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Vibration de systèmes continus L. Champaney Notes du cours du Dynamique des Constructions
Sommaire 1 Vibrations longitudinales d’une barre 1.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . 1.2 Fréquences et modes propres . . . . . 1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Mise en évidence d’une base modale 1.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . .
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2 Vibrations de torsion d’une poutre 3 Vibration de flexion d’une poutre 3.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . 3.2 Fréquences et modes propres . . . . . 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Mise en évidence d’une base modale 3.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . .
2 2 2 3 4 5 6
. . . . . 1
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6 6 7 7 8 10
ENSMP - Dynamique des Constructions
1
Vibration de Systèmes Continus
Vibrations longitudinales d’une barre
1.1
Vibrations libres
Les variables considérées sont : =
∂u ∂x
(1)
N = ES
L’équation d’équilibre local est : dN ∂2u = ρS 2 dx ∂t ∂ ∂u ρS ∂ 2 u S = ∂x ∂x E ∂t2
soit :
(2)
(3)
qui devient : ∂2u 1 ∂2u = 2 2 2 ∂x c ∂t
(c2 =
E ) ρ
(4)
Energie potentielle : 1 V= 2
Z
1 σdΩ = 2 Ω
Z
L
ES
0
∂u ∂x
2 dx
(5)
Energie cinétique 2 2 Z 2 2 Z 1 ∂ u ∂ u 1 L ρ ρS dΩ = dx 2 Ω ∂t2 2 0 ∂t2 Les conditions aux limites possibles sont : – déplacement imposé nul aux extrémités : T =
u(0, t) = 0
et/ou
u(L, t) = 0
et/ou
∂u (L, t) = 0 ∂x
(6)
– effort imposé nul aux extrémités : ∂u (0, t) = 0 ∂x
1.2
Fréquences et modes propres
On effectue une séparation des variables : u(x, t) = U (x)T (t)
(7)
L’équilibre devient : 1 d2 T 1 d2 U = = cste (8) U dx2 c2 dt2 On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égales à une constante. Cette constante est choisie négative pour assurer la stabilité de la solution en temps : 1 d2 T ω2 1 d2 U = = − (9) U dx2 c2 dt2 c2 ce qui donne 2 d U ω 2 U (x) = A sin ωx + B cos ωx 2 + U =0 dx c c c ⇒ (10) 2 T (t) = C sin ωt + D cos ωt d T 2 + ω T = 0 dt2 Les constantes A, B, C et D sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites. ENSMP
2
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
1.3 1.3.1
Vibration de Systèmes Continus
Exemples Barre libre aux deux extrémités
Les conditions aux limites : ∂u (0, t) = 0 ∂x donnent : ω c
A A cos
∂u (L, t) = 0 ∂x
et
ωL ωL − B sin c c
ω (C sin ωt + D cos ωt) = 0 c
(11)
(C sin ωt − D cos ωt) = 0
qui a pour solution non triviale :
A=0 ωL sin =0 c Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par : ωL = iπ c
(12)
(13)
Les «pulsations propres» de vibration sont donc : πc π ωi = i =i L L
s
E ρ
(14)
et les «modes propres» associés : Ui (x) = cos
iπx L
(15)
La solution générale du problème de vibration est donc : u(x, t) =
∞ X i=0
cos
iπx (Ci cos ωi t + Di sin ωi t) L
(16)
où les constantes Ci et Di dépendent des conditions initiales. 1.3.2
Barre encastrée-libre
Les conditions aux limites : u(0, t) = 0
et
∂u (L, t) = 0 ∂x
conduisent à :
ωL =0 c Les «pulsations propres» de vibration sont donc :
(17)
cos
π ωi = (2i − 1) 2L
s
E ρ
(18)
πx 2L
(19)
et les «modes propres» associés : Ui (x) = sin(2i − 1)
ENSMP
3
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
1.3.3
Vibration de Systèmes Continus
Barre encastrée-encastrée
Les conditions aux limites : et
u(0, t) = 0
u(L, t) = 0
conduisent à :
ωL =0 c Les «pulsations propres» de vibration sont donc :
(20)
sin
π ωi = i L
1.4 1.4.1
s
E ρ
(21)
Mise en évidence d’une base modale Orthogonalité des modes
Les modes propres Ui (x) sont caractérisés par l’équation caractéristique : (ESUi0 )0 = −ωi2 ρSUi
(22)
en multipliant chaque membre par un autre mode Uj et en intégrant sur la barre, on obtient : L
Z
L
Z
(ESUi0 )0 Uj dx
ωi2 ρSUi Uj dx
=−
0
(23)
0
En intégrant par partie le premier terme on obtient : h
ESUi0 Uj
Z
iL
L
−
0
ESUi0 Uj0 dx
=
−ωi2
0
Z
L
ρSUi Uj dx
(24)
0
Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit encastrée (Ui = Uj = 0) soit libre (Ui0 = Uj0 = 0). Il reste : Z L Z L 0 0 2 ESUi Uj dx = ωi ρSUi Uj dx (25) 0
0
En répétant la même opération en remplaçant l’équation (22) par : (ESUj0 )0 = −ωj2 ρSUj
(26)
en multipliant chaque membre par Ui , en intégrant sur la barre est en suivant la même procédure que ci-dessus ont obtient : L
Z
ESUi0 Uj0 dx
=
ωj2
Z
0
L
ρSUi Uj dx
(27)
0
En retirant l’équation 25 de l’équation 27 on obtient : (ωi2
−
ωj2 )
Z
L
ρSUi Uj dx = 0
(28)
0
Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété : Z
L
ρSUi Uj dx = 0,
si i 6= j
(29)
0
ENSMP
4
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
Vibration de Systèmes Continus
qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appelé opérateur de masse. En injectant cette propriété dans l’équation 25 ou dans l’équation 27, on obtient : Z
L
ESUi0 Uj0 dx = −
Z
L
(ESUi0 )0 Uj = 0,
si i 6= j
(30)
0
0
qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur d d ( dx (ES dx ). 1.4.2
Normalisation
Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Ui de manière à ce que : Z L ρSUi2 dx = 1 (31) 0
La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire : L
Z
(32)
ρSUi Uj dx = δij 0
Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient : Z
L
2
ESUi0 dx = −
0
1.5
L
Z
(ESUi0 )0 Ui = ωi2
(33)
0
Vibrations forcées
Lorsque qu’on force la vibration par un effort f (x, t), l’équation d’équilibre devient : ∂ ∂u ρS ∂ 2 u + f (x, t) = 0 S − ∂x ∂x E ∂t2
(34)
On cherche une solution décomposée dans la base modale : u(x, t) =
∞ X
(35)
qj (t)Uj (x)
j=0
En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (34), en multipliant chaque membre par Ui et en intégrant le long de la barre on obtient : Z 0
L
Z ∞ X ρSUi ( q¨j (t)Uj (x))dx − j=0
L
Z ∞ X 0 0 Ui ( (qj (t)ESUj (x)) )dx =
0
Z Qi (t) =
Ui f (x, t)dx
(36)
0
j=0
Le terme
L
L
Ui f (x, t)dx
(37)
0
est appelée projection de la force imposée sur le mode i. En utilisant les propriétés d’orthonormalité des modes, ils reste : q¨i (t) + ωi2 qi (t) = Qi (t),
i = 0...∞
(38)
La résolution du problème de vibrations forcées se ramène à la résolution d’un ensemble de systèmes scalaires à un degré de libertés indépendant. ENSMP
5
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
2
Vibration de Systèmes Continus
Vibrations de torsion d’une poutre Les variables considérées sont : χt =
∂θ ∂x
(39)
Mt = GI0 χt
L’équation d’équilibre local est : dMt = ρI0 θ¨ dx soit : ∂ ∂x
I0
∂u ∂x
=
(40)
ρI0 ∂ 2 u G ∂t2
(41)
Cette forme est identique à celle obtenue pour un problème de vibration longitudinale de barre. Les solutions sont du même type.
3
Vibration de flexion d’une poutre
3.1
Vibrations libres
Les variables considérées sont : – le déplacement radial : v(x, t) ∂v (hypothèse de Bernoulli) – la rotation de la section : θ(x, t) = ∂x ∂θ – la courbure : χf = ∂x – le moment fléchissant Mf = EIχf – ł’effort tranchant Tt Les équations d’équilibre local sont : ∂T ∂2v t + ρS 2 = 0 ∂x ∂t ∂M f − Tt = 0 ∂x
(42)
Ici, on a négligé les termes d’inertie dus à la rotation des sections devant les termes d’inertie du à leur translation. En éléminant l’effort tranchant, on obtient : ∂ 2 Mf ∂2v + ρS 2 = 0 2 ∂x ∂t
(43)
∂4v ρS ∂ 2 v + =0 4 ∂x EI ∂t2
(44)
qui devient :
Energie potentielle : V=
1 2
Z
L
EI
0
∂2v ∂x2
2 (45)
dx
Energie cinétique T =
1 2
Z ρ Ω
∂2v ∂t2
2 dΩ =
1 2
Z
L
ρS
0
∂2v ∂t2
2 dx
(46)
Les conditions aux limites possibles sont : – déplacement imposé nul aux extrémités : v(0, t) = 0
ENSMP
et/ou 6
v(L, t) = 0
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
Vibration de Systèmes Continus
– rotation imposée nulle aux extrémités : ∂v (0, t) = 0 ∂x
et/ou
∂v (L, t) = 0 ∂x
et/ou
∂2v (L, t) = 0 ∂x2
et/ou
∂3v (L, t) = 0 ∂x3
– moment imposé nul aux extrémités : ∂2v (0, t) = 0 ∂x2 – effort imposé nul aux extrémités : ∂3v (0, t) = 0 ∂x3
3.2
Fréquences et modes propres
On effectue une séparation des variables : v(x, t) = V (x)T (t)
(47)
EI 1 d4 V 1 d2 T =− = cste 4 ρS V dx T dt2
(48)
L’équilibre devient :
On a égalité de deux fonctions de variables indépendantes. Les deux fonctions sont donc égales à une constante. Cette constante est choisie positive pour assurer la stabilité de la solution en temps : EI 1 d4 V 1 d2 T =− = +ω 2 (49) 4 ρS V dx T dt2 ce qui donne 4 d V 4 − β4V = 0 dx 2 d T + ω2 T = 0 dt2
( ⇒
U (x) = Achβx + Bshβx + C cos βx + D sin βx T (t) = E sin ωt + F cos ωt
(50)
avec
ρSω 2 EI Les constantes A, B, C, D, E et F sont calculées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites. β4 =
3.3 3.3.1
Exemples Poutre en appuis simples
Les conditions aux limites : v(0, t) = v(L, t) = 0 donnent :
ENSMP
et v 00 (O, t) = v 00 (L, t) = 0 A+C =0 2
β (A − C) = 0 AchβL + BshβL + C cos βL + D sin βL = 0 2 β AchβL + BshβL − C cos βL − D sin βL = 0 7
(51)
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
Vibration de Systèmes Continus
qui a pour solution non triviale :
A=C=0 BshβL = 0 ⇒ B = 0 D sin βL = 0
(52)
Les modes possibles de vibration sont donc caractérisés par : iπ L
βi =
(53)
Les «pulsations propres» de vibration sont donc : s ωi = i2 π 2
EI ρSL4
(54)
iπx L
(55)
et les «modes propres» associés : Vi (x) = sin
La solution générale du problème de vibration est donc : u(x, t) =
∞ X i=0
sin
iπx (Ei cos ωi t + Fi sin ωi t) L
(56)
où les constantes Ei et Fi dépendent des conditions initiales. 3.3.2
Poutre encastrée-libre
Les conditions aux limites : v(0, t) = v 0 (0, t) = 0
et v 00 (L, t) = v 000 (L, t) = 0
donnent : A+C =0 B+D =0 AchβL + B cos βL + CshβL + D sin βL = 0 2 β AchβL + B cos βL − CshβL − D sin βL = 0
(57)
qui une solution non triviale si : chβL + cos βL shβL + sin βL = shβL − sin βL chβL + cos βL
(58)
chβL cos βL + 1 = 0
(59)
soit : dont les solutions sont : β1 = 1.875, β2 = 4.694, ...
3.4 3.4.1
Mise en évidence d’une base modale Orthogonalité des modes
Les modes propres Vi (x) sont caractérisés par l’équation caractéristique : (EIVi00 )00 = ωi2 ρSVi ENSMP
8
(60) L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
Vibration de Systèmes Continus
en multipliant chaque membre par un autre mode Vj et en intégrant sur la poutre, on obtient : Z L Z L 00 00 (EIVi ) Vj dx = − ωi2 ρSVi Vj dx (61) 0
0
En intégrant deux fois par partie le premier terme on obtient : Z iL Z L h iL h 00 00 2 00 0 00 0 EIVi Vj dx = ωi (EIVi ) Vj − EIVi Vj + 0
0
L
ρSVi Vj dx
(62)
0
0
Le premier terme est nul car, aux extrémités, la barre est soit appuyée (Vi = Vj = 0) soit libre d’effort (Vi000 = Vj000 = 0). Le deuxième terme est aussi nul car, aux extrémités, la barre est soit à rotation bloquée (Vi0 = Vj0 = 0) soit libre de moment (Vi00 = Vj00 = 0). Il reste : Z L Z L EIVi00 Vj00 dx = ωi2 ρSVi Vj dx (63) 0
0
En répétant la même opération en remplaçant l’équation (60) par : (EIVj00 )00 = ωj2 ρSVj
(64)
en multipliant chaque membre par Vi , en intégrant sur la barre est en suivant la même procédure que ci-dessus ont obtient : Z L Z L EIVi00 Vj00 dx = ωj2 ρSVi Vj dx (65) 0
0
En retirant l’équation 63 de l’équation 65 on obtient : Z L 2 2 (ωi − ωj ) ρSVi Vj dx = 0
(66)
0
Lorsque i 6= j, les deux fréquences sont différentes et on obtient alors la propriété : Z L ρSVi Vj dx = 0, si i 6= j
(67)
0
qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur ρS, appelé opérateur de masse. En injectant cette propriété dans l’équation 63 ou dans l’équation 65, on obtient : Z L Z L 00 00 (EIVi ) Vj dx = EIVi00 Vj00 = 0, si i 6= j (68) 0
0
qui indique que deux modes différents sont orthogonaux par rapport à l’opérateur de raideur d2 d2 ( dx 2 (EI dx2 ). 3.4.2
Normalisation
Lorsqu’on considère deux fois le même mode (i = j), on normalise en général le mode Vi de manière à ce que : Z L ρSVi2 dx = 1 (69) 0
La condition d’orthonormalité des modes par rapport à la masse peut donc s’écrire : Z L ρSVi Vj dx = δij
(70)
0
Dès lors qu’on fait cette normalisation, on obtient : Z L Z L 2 EIVi00 dx = (EIVi00 )00 Vi = ωi2 0
ENSMP
(71)
0
9
L. Champaney
ENSMP - Dynamique des Constructions
3.5
Vibration de Systèmes Continus
Vibrations forcées
Lorsque qu’on force la vibration par un effort radial f (x, t), l’équation d’équilibre devient : ∂2 ∂2v ∂2u EI + ρS 2 = f (x, t) (72) 2 2 ∂x ∂x ∂t On cherche une solution décomposée dans la base modale : v(x, t) =
∞ X
qj (t)Vj (x)
(73)
j=0
En introduisant cette décomposition dans l’équation d’équilibre (72), en multipliant chaque membre par Vi et en intégrant le long de la barre on obtient : q¨i (t) + ωi2 qi (t) = Qi (t),
i = 0...∞
(74)
en utilisant les propriètés d’orthonormalité des modes. Le terme L
Z Qi (t) =
Vi f (x, t)dx
(75)
0
est appelée projection de la force imposée sur le mode i. La résolution du problème de vibrations forcées se ramène à la résolution d’un ensemble de systèmes scalaires à un degré de liberté indépendants.
ENSMP
10
L. Champaney