Calcul: Cours [PDF]

Zitiervorschau

§-trD

Ecole Hassania des Tlavaux Publics

Cours

Calcul des structures

A.U. : 20L3lL+

Pr. N,lLrstapha RGUiG

2

Pr. ,\t.

RG{IIG

f,'ours

: Calcui cles structures

:h UHfp

Table des matières Généralitês et rappels

1.1 1.2 1.3

.l o

Rappel du théorème de CRSIIGLIANo Rappel du thêorème de NIÉNeeRÉ.+. Iixercices

t)

.)

4

Calcul des poutres continues

16

2.1 2.2

Rappel du théorème des travaux virtuels N{éttrode des trois moments (Nléthode de ClapBvRor\) 2"2.1 Coefficients cle souplesse d'ttne travêe 2.2.2 Equation des trois rnornents (Ct-.l.rovnoN) .

16

exercices

22

1] 17 1q

"

2.3

2.4, Equation des cinq moments (Poutres contiiiues aux appuis

2.5 2.6

2.7

3

31

Exercices N'Iéthode cles fbyers 2"6.1 Fb.vers de gauche 2"6.2 Foyers de droite 2.6.3 Calcul des moments sur ies appr-ris à l'aide des Exercices

ô.) ")n

t)I

ôt fo5,'ers

39 40 42

Calcul des lignes d'irrfluence

55

3.1 3.2 3.3

55

3.4

4

élastiqr-res)

Définitioir Lignes

cf

inflrrence d'une poutre isostatique

=n 4l

3.3.I

ô7

3.3.2

58

Cliarges localisées Charges réparties Exercices

Calcul des ossa[ures

4.1

Pr. Nt.

56

l;xploitation des lignes d'influcnce

59

77

" flécliissants

71

§

oHre

N{éttrode des rotations - Ossatures rigitles (â nceuds fixes) 1.1 Convention de sigrres iles ntoments

I

RGUIC)

Cours

:

Calcul des stnrctures

7l

TABLE DES MATIÈRES

2

4.1.2 Convention de Cnoss 4.1.3 Relation entre couples

72

transmis par les nceuds et les

déformations

4.2 4.3

4.4

A

72

4"1"4 Cas d'une poutre articulée à une extrémité 4.1"5 Déplacement; d'appui

75

Exercices

77

Ossatures soupies (à nceuds mobiles) ossature

91

.1.3.1 Rotations inconnues d'une ,1.3.2 Groupe I d'équations

91

4.3"3 Groupe II d'équations 4.3.4 Calcul d'une ossature à ncends mobiles

93

Exercices

94

cours A.1 Intégrales de N,loHn. A.2 Rotatioris des poutres A.3 Formulaire des rnoments Complêments du

Pr. NI.

(o

R,GUIG

Cours

:

Calcul des structures

92 93

111

. . . 1i1 . . 113

..

zrk

. i19

nnrp

*T-

Chapitre

1

Gênêralités et rappels 1.1

Rappel du théorème de CasrIGtIANo

L'énoncé du théorème de CasTIGLIANo est Ie suivant

:

ie La projection du dêplacement du point d'application d'une force sur la direction de cette force est égale à la dérivêe partielle de l'énergie de déformation par rapport à cette force.

tc Le vecteur rotation du point d'application d'un couple quelconque, projeté sur l'axe de ce couple, est égal à la dérivée partielle, par rapport au moment de ce couple, de l'ênergie de déformation. II

est

traduit par les deux formules

:

lau--1 I

_

(1 1)

lt

laP-"1

où [/ est 1'énergie de déformation du système étudié, ô est Ie déplacement clu point d'application cle 1'efTort extêr'ieur P suivani la direction de P"

lara-_.l l__ : /|

(1 2)

14.11-___l où É et la rotation du système suivant I'axe d'application du couple

M.

L.2

Rappel du théorème de MÉNABRÉA

Le théorème de MÉNaBRÉA, appelé aussi Théorème du travail minimum, est un cas particulier du théorème de CastIcLIANo, son énoncé est Pr. \,1 RGIIIG

C'ours

; []alcul

des structures

§

onre

4

1.3 Exercices

Ie suivant

:

«- Les valeurs que prennent les réactions hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes, ou les efforts hyperstatiques correspondant aux barres surabondantes, rendent stationnaire l'ênergie interne" Ce théorème est

traduit par les deux formules suivantes

:

ffi w-]

(1 3)

lr*:'l

(1 1)

où les X, sont les efforts hSrperstatiques inconnus dans les barres surabondantes et les Ë; sont les réactions hl,perst atiques inconnues au niveau des liaison-. surabondantes"

1.3

Exercices

.§ Exercice 1 :

I'rctlRn

L

1.1

- Schérna de 1'exercice

1

Déterminer le degré d'hyperstaticitê du système

Pr" IvL R,GUIC

Cclurs

:

Calcul des strttctures

§

eHre

b

1"3 Exercices

2.

Résoudre Ie système en déterrninant les réa,ctions d'appuis

3.

Tracer le DN'IF (Diagramrne des Nlornents Fléchissants)

e

Solution 1

:

1. Les inconnues du système sont : IIn" \is, Mla, Hc, Les équations d'équilibre sont

Vs"

:

( L,p, :

{ »ri :: I t.r1,,

0

(1 5)

o o

On a donc 3 équations à 5 inconnues, d'ot\ le s.vstème est h1'perstatique de degré 2.

2. Soient Hç et V6 les inconnues hyperstatiques du

problème.

En appliquant ]e principe de superpositipn, on obtient Lrois s.vstèmes isostatiques comme schématisé sur la figure (1.2).

-3{)

=u

8x

F'tc;uRn 1.2

-

Ov

Décomposition des efTot'ts et DNIF correspondants

En négligeant l'efÏet de l'effort normal par rapport au rnornent fléchissan1,, i'ênergie potentielle de défbrmation rlu svstème s'ér:rit :

Pr. Nt. RGUIG

Cours

: Calcul

des structures

a& Burp

1.3 Exercices

6

f

" ff

I

\t2

elr

(1 6)

I 2Er"* / t.tt' + X.\l' -Y )[")2 À^ 2Er I

En appliquant le théorème de MÉNaeRÉA, avec EI

:

(1 7)

cte, on obtient

{#:0

1ài' Lav-

+'

(1 8)

u ^

: o {Ï^(lt"+xLt'*\'Lt")lI'dr I lir" + x ÿt' \'M")t[" d,r : o

+

:

(1'9)

1")l'2dr+) J'-1/'-l1".dr : -/.\1"-\1',d,r r1.10) { {x[.\l'.\l"dr-Y.[ \t":dr: -l-\l'-\t"d-r \1'f,\// I

Le système (1.10) représente les équaiions canoniques de la méthode des forces. Ce système peut être écrit sous la forrne symboliclue suiva,nte

I

6rrx - 6nY

:

I\ olX '. - ôrr\' -

;

-drp

(1.11)

-ôzp

:

Po'ur un systèm,e hyperstati,rlue. de degré 3, dont les inconnues hy'perstatiques sont X, Y et Z, le système des éçluatr,ons canonirlues s'écrit sous la forme :

Remarque

[ ôr,-f - ôpY -f ôsZ : -ôrp 1 ortX + ô22Y + 6.à2 : -ôrp [ ôrrX - ô32Y * ôzsZ : -d:p

(1 12)

Le système (1.11) est un systèrne de 2 équations à 2 inconnues qu'on peut résoudre en calculant les intégrales, puisqu'on a les équations de ,l,1(r), ou en utilisant les intégrales de NIoHn (méthode graphique). Calcuions les termes du svstème en utilisant les diagrammes de la figure (1"2):

u, Pr. \'1. RGUiG

--

.[

L-'ours

M'2,Jr: : Calcul

(] -, .4: 27.33

des structures

(1 13)

§

nHre

1.3 Exercices

6tz:6zt: i_

l)))

6zp

f

»r',u"a,

:(l*,-rl) +:-,4

f m"'a*: (] ,-r, ,-r))

:

45

6rp

:

+ (-B) (*:r)

f ,,. r,,dr: (] t-ro;.n) ,:

(1.14)

4

(1.15) (

-240

1.16)

: f ru"u"a,

: (| t-rol t2 (-3) - ,, t)) 1,5 + ((--s0) (-3))'4 :

(1 " 17)

416.25

Le sr-srème devient

:

- 24Y {| zt.z:tx --2tx + 15)' \ +'

240

(1"18)

-416.25

( Y

L

ly:

-8i25r

lll1

1::

(1.1e)

En utilisant les équations d'écluilibre statique (forrnules l.5) et les schémas de la figure (1.2), on perit donc conclure 1es valeut's des efforts à l'encastrement A :

(H^:x i rr, : 2o+Y |. ,r, : -(-30-x.r-]'.(-3)) ( H^ :

\J t'r.r I( n,

(1.20)

2"lLt

i,1.875/

-rl; : -2

81'ô

(1.21)

I

tn

3. trn réalisant

la superposition des diagrammes élénrentaires des moments flêchissants de la figure {'1.2) et en remplaçanb les valeurs de X et ÿ,

on obticnt lc DNIF final du système (voir figurc 1.3) Dans la figure (1.,1), nous présentons le DNIF du svstèmc sltr un axe continu.

Pr.

Iv1.

RGTIIG

Cours

: Calcul

des structut:es

§

oure

1.3 Exercices

12.19

1l t

+ l)

-'

/.rr

2.815

A FIcunp

-5

1.3

-

R.éactions d'appuis et DMF

12" 19

-i:.(i25 Ftcunp

.+ Exercice 2

1.1

-

DN,IF sur un axe continu

:

Caicr.rler les réactions et les rnoments d'encastrement du systeme présenté clans la figure (1.5).

e Solution 2 : Les inconnues du système nombre d'inconnues de 6"

Pr.

lVI.

R(lIllG

Cours

sont: Ht,Vs, N[a, Hs. -ys et .4,/6. Soit rrn

:

Calcul des structures

§ eure

I

1.3 Exercices

F-Icunn 1.5

-

Schéma de I'exercice

2

Puisqu'on a 3 équations d'équilibre, le système est donc tryperstatique de degré 3. Soient H,q, Vt et ,11.a les inconnues hyperstatiques dr-r problème. I)écomposon-s ie système en 4 systèmes isostaticlues simples comlne présenté dans la figure (1.6).

1 a--' -l_) \ . \-/' ^

f§)

_rt D,

",

1

C,'

tr_\.2.

ffi;Y .t ..-1

i)t \:l

1

FtctlRB

1.6

-

t)écornpositioii des eflorts et DNIF correspottdaitts

Le théorème d'énergie potentielle de déformation s'écrit

o,: Jf " _ JI 2Er"(r

(\/, - x.r1, *)L: 2Et

Err appliquant le théorèrne de NIÉN,reRÉl, avec

:

t)!t 6, El :

tt D)

cte, an obtient

(1

Pr. Nl. RGUIG

Cor-rrs

: C'iilcul