Calcul Trigonometrique Resume de Cours 1 [PDF]

Zitiervorschau

Résumé de Cours CALCUL TRIGONOMETRIQUE PROF: ATMANI NAJIB

1BAC SM

CALCUL TRIGONOMETRIQUE A) Formules de transformations : 1)Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 on a :

5) Transformations des produits en sommes. Pour tous réels 𝑥, 𝑦 on a :

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (2) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (3) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (4) Pour tout réel 𝑥 on a : 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 1 et 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠x

1 [𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)] 2 1 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 = − [𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)] 2 1 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 = [𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)] 2 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 =

1  cos 2 x 1  cos 2 x et sin ² x  2 2 x x cos x  2 cos ²  1 cos x  1  2sin ² 2 2 x x sin x  2sin cos 2 2 2) Formules de la tangente.

La linéarisation d’une expression c’est de l’écrire sous la forme d’une somme.

cos ² x 

B) LES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES. 1) Rappelles : k 

a) cos x  cos x0  x  x0  2k ou x   x0  2k b) sin x  sin x0  x  x0  2k ou x    x0  2k

Soient 𝑥 et 𝑦 deux réels tels que :

  + 𝑘𝜋 et 𝑦 ≠ + 𝑘𝜋 on a : 2 2 tan x  tan y  1) Si (𝑥+ 𝑦) ≠ +𝑘𝜋 alors tan  x  y   2 1  tan x  tan y   2 tan x 2) si 𝑥 ≠ + 𝑘 alors : tan 2 x  1  tan ² x 4 2  3) Si (𝑥 − 𝑦) ≠ + 𝑘𝜋 alors : 2 tan x  tan y tan  x  y   1  tan x  tan y 3) Les valeurs trigonométrique en fonction x de : 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 ( ) 2 𝑥≠

Soit 𝑥 un réel tel que : 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘𝜋 On posant : 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 (

x  ) Si de 𝑥 ≠ + 𝑘𝜋 et 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘𝜋 on a : 2 2

1) cos x 

1 t² 2t 2) sin x  1 t ² 1 t ²

3) tan x 

c) tan x  tan x0  x  x0  k 2) L’équation : (𝐸): 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 = 0 Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels non nuls on a : Pour tout réel 𝑥 : b  a  a cos x  b sin x  a ²  b²  cos x  sin x  a ²  b²  a ²  b² 

a cos x  b sin x  a ²  b²  cos  cos x  sin  sin x  où le réel 𝜑 est déterminer par :

a b et 𝑠𝑖𝑛𝜑 = a ²  b² a ²  b² a cos x  b sin x  a ²  b² cos  x   

𝑐𝑜𝑠𝜑 =

L’équation 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 = 0 se ramène à : 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜑) =

c a ²  b²

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe. C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

2t 1 t²

4) Transformations des sommes en produits Pour tous réels 𝑝 , 𝑞, on a :

pq pq ) . 𝑐𝑜𝑠 ( ) 2 2 pq pq sin 𝑝 - sin 𝑞 = 2cos ( ) . sin ( ) 2 2 pq pq 𝑐𝑜𝑠 𝑝+𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2𝑐𝑜𝑠 ( ). 𝑐𝑜𝑠 ( ) 2 2 pq pq 𝑐𝑜𝑠 𝑝- 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = -2sin ( ) . sin ( ) 2 2 sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2sin (

Prof/ATMANI NAJIB

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