Resume de Cours (MPSI MP) [PDF]

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Résumé de cours MPSI – MP

Année 2020-2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 1 – Structures algébriques Structure de groupe

→ Groupe (Z/n Z, +)

→ Groupes et sous-groupes

On suppose ici n ∈ N∗ . Rappelons que si a , b ∈ Z, a ≡ b [n ]

Définition : Groupe Un groupe est un couple (G , ∗) où G est un ensemble et ∗ une loi de composition interne tels que : (i) la loi ∗ est associative : ∀x , y , z ∈ G ,

x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y ) ∗ z

(ii) il existe un élément neutre : ∀x ∈ G ,

x ∗e =e ∗x = x

⇐⇒

n | (a − b )

⇐⇒

a − b ∈ nZ

La congruence modulo n est une relation d’équivalence. On note Z/n Z l’ensemble des classes d’équivalence de Z pour cette relation. On munit alors Z/n Z d’une addition et d’une multiplication (qui ne dépendent pas du choix du représentant). Théorème Pour tout n ∈ N∗ , (Z/n Z, +) est un groupe abélien.

(iii) tout élément de G possède un inverse : ∀x ∈ G ,

∃y ∈ G ,

x ∗y = y ∗x =e

→ Groupes monogènes et groupes cycliques Définition Un groupe (G , ∗) est dit :

Proposition Soit (G , ∗) un groupe. H ⊂ G est un sous-groupe de G si H est non vide et si : ∀x , y ∈ H ,

x ∗ y −1 ∈ H

• monogène s’il est engendré par un élément : G = 〈a 〉 = {a k , k ∈ Z} • cyclique s’il est monogène et fini.

• Le produit fini de groupes est encore un groupe. • L’intersection (quelconque) de sous-groupes de G est un sous-groupe de G . Théorème : Sous-groupes de Z Si G est un sous-groupe de (Z, +), alors il existe un unique n ∈ N tel que G = n Z.

Théorème • Le groupe (Z/n Z, +) est cyclique. • Z/n Z = 〈k 〉 si et seulement si k ∧ n = 1.

Théorème : Classification des groupes monogènes Soit G un groupe monogène.

→ Morphismes de groupes Définition : Morphisme de groupes Un morphisme du groupe (G , ∗) dans le groupe (G 0 , ?) est une application φ : G → G 0 qui vérifie : ∀x , y ∈ G ,

φ(x ∗ y ) = φ(x ) ? φ(y )

Parmi les morphismes classiques, on rencontre exp, ln, det et la signature d’une permutation. Les images directe et réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe. Définition : Noyau et image d’un morphisme Soit φ un morphisme du groupe (G , ∗) dans le groupe (G 0 , ?).

• Si G est infini, G ' Z. • Si G est cyclique, G ' Z/n Z avec card(G ) = n .

→ Ordre d’un élément dans un groupe Définition Soient (G , ∗) un groupe dont l’élément neutre est noté e et a un élément de G . • a est d’ordre fini s’il existe n ∈ N∗ tel que a n = e . • L’ordre de a est alors min{n ∈ N∗ | a n = e }. L’ordre de a est aussi le cardinal du sous-groupe engendré par a . De plus, si a est d’ordre fini d , alors, an = e

• On appelle image de φ et on note Im(φ) le sousgroupe φ(G ) = {φ(x ), x ∈ G }. • On appelle noyau de φ et on note Ker(φ) le sousgroupe φ −1 ({e 0 }) = {x ∈ G , φ(x ) = e 0 }. Le noyau permet de caractériser l’injectivité. Année 2020/2021

⇐⇒

d |n

Théorème L’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe.

Fiche 1 – Structures algébriques

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→ Idéaux d’un anneau commutatif

Structures d’anneau et de corps

Définition : Idéal d’un anneau commutatif

→ Anneaux et corps

Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. On appelle idéal de A toute partie I de A tel que :

Définition : Anneau Un anneau est un triplet (A, +, ×) où l’ensemble A est muni de deux lois de composition de sorte que : (i) (A, +) est un groupe commutatif ; (ii) la loi × est associative, admet un élément neutre et est distributive sur + :

(i) (I , +) est un sous-groupe de (A, +) ; (ii) ∀x ∈ I ,

∀a ∈ A,

xa ∈ I .

Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.

∀x , y , z ∈ A,

x × (y + z ) = x × y + x × z

Si I1 et I2 sont deux idéaux d’un anneau commutatif A, I1 ∩ I2 et I1 + I2 sont des idéaux de A.

et

(x + y ) × z = x × z + y × z

Soit x un élément d’un anneau commutatif A.

• L’anneau est commutatif si la loi × est commutative. • Un anneau commutatif est dit intègre si : ∀(x , y ) ∈ A 2 ,

x × y = 0A =⇒ x = 0A ou y = 0A

• Tout produit fini d’anneaux est un anneau. • Si x et y commutent, n −1 n   X X n k n −k n x y ; x n −y n = (x −y ) x k y n −1−k (x +y ) = k k =0 k =0

(x ) = x A = {x a | a ∈ A} est le plus petit idéal de A contenant x . De plus, x|y

⇐⇒

yA ⊂ xA

⇐⇒

(y ) ⊂ (x )

→ Arithmétique dans Z Théorème Les idéaux de Z sont les n Z, où n ∈ N.

Proposition : Caractérisation d’un sous-anneau Soit (A, +, ×) un anneau. B est un sous-anneau de A si et seulement si 1A ∈ B et : ∀x , y ∈ B ,

x −y ∈B

x ×y ∈B

et

Soient a , b ∈ Z non nuls. On appelle : • plus grand diviseur commun de a et b l’unique entier naturel d tel que a Z + b Z = d Z. Notation : a ∧ b . • plus petit commun multiple de a et b l’unique entier naturel c tel que a Z ∩ b Z = c Z. Notation : a ∨ b .

Définition : Corps Un corps K est un anneau commutatif pour lequel tout élément non nul admet un inverse pour la loi ×. Dans le cadre du programme, les corps sont supposés commutatifs. Un corps est un anneau intègre. Définition : Sous-corps Soit K un corps. K0 ⊂ K est un sous-corps de K si : ∀x , y ∈ K0 × K0∗ ,

x − y ∈ K0

et

x × y −1 ∈ K0

Théorème : Théorème de Bézout Soient a , b ∈ Z. Alors a ∧ b = 1 si et seulement s’il existe un couple (u , v ) ∈ Z2 tel que a u + b v = 1. L’algorithme d’Euclide permet de déterminer le pgcd de deux entiers ou une relation de Bézout. Théorème : Lemme de Gauss Soient a , b , c ∈ Z. Si a | b c et a ∧ b = 1, alors a | c . Si p est premier et p | a b , alors p | a ou p | b .

→ Morphismes d’anneaux Définition : Morphisme d’anneaux Soient A et B deux anneaux. On appelle morphisme de A dans B toute application φ : A → B qui vérifie :

→ L’anneau (Z/n Z, +, ×) Théorème (Z/n Z, +, ×) est un anneau.

(i) ∀x , y ∈ G , φ(x + y ) = φ(x ) + φ(y ) (ii) ∀x , y ∈ G , φ(x × y ) = φ(x ) × φ(y ) (iii) φ(1A ) = 1B . Un morphisme d’anneaux est un morphisme de groupes. Définition : Noyau et image d’un morphisme Si φ un morphisme de l’anneau A dans l’anneau B ,

Théorème Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Z/n Z est un corps. (ii) Z/n Z est un anneau intègre. (iii) n est premier.

• Im(φ) = φ(A) = {φ(x ), x ∈ A} ; • Ker(φ) = φ −1 ({0B }) = {x ∈ A, φ(x ) = 0B }.

L’élément k est inversible dans l’anneau Z/n Z si et seulement si k ∧ n = 1.

L’image d’un morphisme d’anneaux est un anneau, mais pas le noyau. Année 2020/2021

Fiche 1 – Structures algébriques

Théorème : Lemme chinois Si m et n sont deux entiers premiers entre eux, Z/m nZ est isomorphe à Z/mZ × Z/n Z

Définition : Indicatrice d’Euler Pour n ∈ N∗ , on pose ϕ(n ) = card {k ∈ ¹1, n º | k ∧ n = 1}. La fonction ϕ est appelée indicatrice d’Euler. ϕ(n ) représente : • le nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n ; • le nombre d’éléments inversibles de l’anneau Z/n Z ; • le nombre de générateurs du groupe (Z/n Z, +), donc celui de (Un , ×). Proposition Soient m, n ∈ N∗ . Si m ∧ n = 1, ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n ).

Proposition ‹ Y  1 1− . p p premier

Pour tout n ∈ N∗ , ϕ(n ) = n ·

p |n

Proposition : Théorème d’Euler Soient a ∈ Z et n ∈ N \ {0, 1}. Si a ∧ n = 1, alors : a ϕ(n ) ≡ 1 [n ]

Corollaire : Petit théorème de Fermat Soient p un entier premier et a ∈ Z. Alors, a p ≡ a [p ] Si de plus p ne divise pas a , a p −1 ≡ 1 [p ].

Structure d’algèbre Définition : K-algèbre Une algèbre sur un corps K, ou K-algèbre, est un ensemble A munis de trois lois +, × et · tels que : (i) (A , +, ·) est un K-espace vectoriel ; (ii) (A , +, ×) est un anneau ; (iii) les lois × et · sont compatibles : ∀a , b ∈ K, ∀x , y ∈ A , (a ·x )×(b ·y ) = a b ·(x ×y ) Une sous-algèbre de A est une partie B de A telle que B est à la fois un sous-anneau de A et un sous-espace vectoriel de A . Définition : Morphisme d’algèbres Soient A et B deux K-algèbres. On appelle morphisme de A dans B toute application φ : A → B telle que φ est un morphisme d’anneaux et φ un morphisme d’espaces vectoriels.

Année 2020/2021

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MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 2 – Polynômes et fractions rationnelles Polynômes

→ Racines n ièmes de l’unité

→ Généralités

Ce sont les n racines simples du polynôme X n − 1 de la 2k π forme ωk = ei n pour k ∈ ¹0, n −1º. Leur somme est nulle :

Un polynôme est défini par la suite de ses coefficients, supposés nuls à partir d’un certain rang. P=

+∞ X

k =0

n −1 € X

ei

2π n

Šk

=

1 − ei

k =0

1 − ei

2nπ n 2π n

= 0.

De même, on peut déterminer les racines de X n − a pour 1 θ a ∈ C. On écrit a = ρei θ et on trouve αk = ρ n ei n ωk .

n =0

Par définition, P Q =

ωk =

k =0

a k X k ∈ K[X ]

‚ n +∞ X X

n −1 X

Œ a i bk −i X k .

i =0

→ Arithmétique des polynômes Les idéaux de K[X ] sont tous principaux, i.e. de la forme :

Théorème • (K[X ], +, ×) est un anneau intègre commutatif. • (K[X ], +, ×, ·) est une K-algèbre. On pose deg(P ) = max{k ∈ N | a k 6= 0} avec deg(0˜ ) = −∞. Si P,Q ∈ K[X ], deg(P + Q ) ¶ max(deg(P ), deg(Q )). De plus, deg(P × Q ) = deg(P ) + deg(Q ) et deg(P ◦ Q ) = deg(P ) × deg(Q ). Théorème : Formule de Leibniz Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans K. n   X n (k ) (n −k ) Alors, (P Q )(n ) = P Q . k k =0 Théorème : Formule de Taylor Soit P un polynôme de degré n et a ∈ K. Alors, P=

n X P (k ) (a ) k =0

k!

(P ) = P · K[X ] = {P · Q | Q ∈ K[X ]} Tout idéal de K[X ] distinct de {0˜ } est engendré par un unique polynôme unitaire, appelé polynôme minimal. Soient A, B ∈ K[X ] non nuls. On appelle : • plus grand diviseur commun de A et B l’unique polynôme unitaire D tel que (A) + (B ) = (D ). Notation : A ∧ B . • plus petit commun multiple de A et B l’unique polynôme unitaire C tel que (A) ∩ (B ) = (C ). Notation : A ∨ B . Théorème : Théorème de Bézout Soient A, B ∈ K[X ]. A et B sont premiers entre eux ssi il existe (U , V ) ∈ K[X ]2 tel que AU + BV = 1. Si A, B ∈ K[X ], on peut trouver (U , V ) ∈ K[X ]2 tel que AU + BV = A ∧ B à l’aide de l’algorithme d’Euclide . Théorème : Lemme de Gauss

k

(X − a )

→ Racines et factorisation Théorème : Division euclidienne Soit A et B deux polynômes tels que deg(B ) ¶ deg(A) et B non nul. Alors, ∃!(Q , R ) ∈ K[X ], A = BQ + R avec deg(R ) < deg(B ) On appelle racine de P tout élément α ∈ K tel que P (α) = 0. Théorème : Théorème de factorisation

Si A | B C et A ∧ B = 1, alors A | C .

→ Polynômes irréductibles Définition Un polynôme P est dit irréductible si : P = Q R avec Q , R ∈ K[X ] =⇒ Q ou R constant Proposition Tout polynôme P ∈ K[X ] admet une unique décomposition comme produit d’un scalaire par un produit de facteurs unitaires irréductibles.

Si α1 , . . . , αp sont p racines d’un polynôme P alors : ∃!Q ∈ K[X ] P = (X − α1 ) · · · (X − αp )Q α ∈ K est dite racine de P d’ordre de multiplicité k si l’une des deux assertions équivalentes suivantes est vérifiée :

Théorème : Théorème de d’Alembert-Gauss Un polynôme complexe non constant admet au moins une racine dans C. Tout polynôme P ∈ C[X ] non nul est scindé sur C et :

• P = (X − α)k Q avec Q ∈ K[X ] ; • P (α) = · · · = P (k −1) (α) = 0. On dit que P de degré n est scindé sur K (ou dans K[X ]) s’il possède n racines dans K. Si c’est le cas, P = a n X n + · · · + a 1 X + a 0 = a n (X − α1 ) · · · (X − αn ) ce qui donne n + 1 relations entre racines et coefficients.

P =λ

n Y

(X − αi )

(αi ∈ C)

i =1

Si P ∈ R[X ] et P (α) = 0, alors P (α) = 0. Si α ∈ / R, alors on peut factoriser P par : (X − α)(X − α) = X 2 − 2Re(α)X + |α|2 ∈ R[X ] Année 2020/2021

Fiche 2 – Polynômes et fractions rationnelles

Théorème : Polynômes irréductibles • Les polynômes irréductibles de C[X ] sont les polynômes de degré 1. • Les polynômes irréductibles de R[X ] sont les polynômes de degré 1 et de degré 2 à discriminant négatif. En pratique, on commencera par décomposer un polynôme dans C[X ] pour faire apparaître les facteurs réels en regroupant les racines conjuguées et ainsi obtenir sa décomposition dans R[X ].

En pratique, pour déterminer une décomposition en éléments simples, on pourra : • mettre au même dénominateur et identifier ; • évaluer en un point pour un pôle simple ; • multiplier par (X − α)p puis évaluer en α ; • multiplier par X puis passer à la limite en +∞. En outre, pour tout pôle simple α ∈ C de la fraction irréA ductible , l’élément simple associé sera de la forme : B a X −α

→ Polynômes interpolateurs de Lagrange Si P = λ

Théorème Si x1 , . . . , xn ∈ K sont distincts et y1 , . . . , yn ∈ K alors il existe un et un seul P ∈ Kn −1 [X ] tel que : P (xi ) = yi

∀i ∈ ¹1, n º,

L’existence est assurée en écrivant : P=

n X

yi L i

Li =

où

n Y X − xj

i =1

j =1 j 6=i

xi − x j

On a bien deg(P ) ¶ n − 1 et L i (x j ) = δi , j donc P (xi ) = yi .

Fractions rationnelles Les fractions rationnelles sont définies à l’aide de couples de polynômes au moyen d’une relation d’équivalence. Théorème (K(X ), +, ×) est un corps commutatif. Soit R ∈ K(X ). On appelle forme irréductible de R toute écriture de la forme : R=

A B

A∧B =1

avec

A est irréductible, on appelle partie entière de R le B quotient de la division euclidienne de A par B .

Si R =

On appelle pôle de R d’ordre r tout α ∈ K racine de B d’ordre de multiplicité r . Décomposition en éléments simples Soit R ∈ C(X ) de partie entière P et de pôles distincts α1 , . . . , αr de multiplicité m1 , . . . , m r . Il existe une unique famille (a i ,k ) 1¶i ¶r de nombres complexes telle que : 1¶k ¶mi

r

R=

m

i XX A ai k =P + B (X − αi )k i =1 k =1

La décomposition en éléments simples dans R(X ) (unique elle aussi) fait apparaître une somme de termes de la forme : mi X

ai k (X − αi )k k =1

et

mi X

bi k X + c i k 2 + d X + e )k (X j j k =1

où les X 2 + d j X + e j sont irréductibles dans R[X ]. Ces expressions ne sont pas à connaître par cœur ! Année 2020/2021

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r Y

avec

a=

A(α) B 0 (α)

(X − αi )mi avec α1 , . . . , αr distinctes,

i =1 r

P 0 X mi = P X − αi i =1

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 3 – Matrices, espaces vectoriels et applications linéaires Matrices

Théorème Deux matrices de Mn ,p (K) sont équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang.

→ Puissances de matrices Le calcul des puissances successives d’une matrice peut s’effectuer, par exemple, • en réduisant la matrice ; • en utilisant la formule du binôme de Newton ; si A et B commutent alors, pour p ∈ N quelconque, (A + B )p =

p  X k =0



p k p −k A B k

• en ayant recours à un polynôme annulateur. → Inversion de matrices

Proposition 

I Si rg(A) = r , A est équivalente à Jr = r 0

 0 . 0

→ Matrices semblables Soient A, B ∈ Mn (K). Définition

Définition Une matrice A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement s’il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que : AB = B A = In Il suffit en fait que AB = In pour que B A = In . A ∈ Mn (K) est inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0 ⇐⇒ rg(A) = n Pour inverser une matrice, on peut : • résoudre le système linéaire associé à l’aide du pivot de Gauss ; • appliquer les opérations élémentaires sur la matrice jusqu’à obtenir l’identité ; • utiliser un polynôme annulateur ; • calculer la comatrice. → Trace Si A ∈ Mn (K), Tr(A) =

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si on peut passer de l’une à l’autre par une série d’opérations élémentaires sur les lignes.

n X

ak k .

k =1

La trace est une forme linéaire sur K et Tr(AB ) = Tr(B A). La trace est la somme des valeurs propres complexes de A. → Transposée Si A ∈ Mn ,p (K), A T = (a j ,i ) 1¶i ¶n . 1¶ j ¶p

A et A T ont même rang et même déterminant (si n = p ). → Matrices équivalentes Soient A, B ∈ Mn ,p (K). Définition : Matrices équivalentes A et B sont dites équivalentes s’il existe P ∈ GL p (K) et Q ∈ GL n (K) telles que : B = Q −1 AP

A et B sont semblables s’il existe P ∈ GL n (K) telle que : B = P −1 AP A et B représentent alors le même endomorphisme dans deux bases différentes. Deux matrices semblables ont même rang, même trace, même déterminant, même polynôme caractéristique donc même valeurs propres.

Systèmes d’équations linéaires On considère le système d’équations linéaires :  a 11 x1 + a 12 x2 + . . . + a 1p xp = b1     a 21 x1 + a 22 x2 + . . . + a 2p xp = b2 ..   .    a n 1 x1 + a n 2 x2 + . . . + a np xp = bn a 11 . On lui associe A =  ..

a 12 .. .

...

 a 1p ..  ∈ Mn ,p (K). .

an 1

an 2

...

a np 



   b1 x1 ..   ..   Le système se réécrit sous la forme : A . = . . bn

xp

L’ensemble des solutions est un sous-espace affine. Un tel système admet donc 0, 1 ou une infinité de solutions. Lorsqu’il n’admet pas de solution, on dit qu’il est incompatible. On dit qu’il est de Cramer lorsque n = p et qu’il admet une unique solution (x1 , . . . , xp ) ∈ Kp . Pour un système de Cramer avec n = p = 2, b1 a 12 a 11 b1 a 21 b2 b2 a 22 et x2 = x1 = a 11 a 12 a 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 Ce sont les formules de Cramer (en dimension 2). Année 2020/2021

Fiche 3 – Matrices, espaces vect. et applications linéaires

Espaces vectoriels

Théorème : Théorème de la base incomplète

E désigne désormais un K-espace vectoriel et F ⊂ E .

Si F est une famille libre de E , • on peut compléter F en une base de E .

Définition

• Card(F ) ¶ n ; si Card(F ) = n , c’est une base de E .

F est un sous-espace vectoriel de E ssi 

7

Par définition, rg F = dim Vect(u 1 , . . . , u p ).

0E ∈ F ∀x , y ∈ F, ∀λ ∈ K, λx + y ∈ F

Quelques exemples classiques d’espaces vectoriels : R, C, Kn , K[X ], Mn ,p (K), F (R, R), C ∞ (R), etc. munis des lois usuelles. L’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

Théorème • rg F ¶ n et rg F ¶ p . • rg F = n ssi la famille est génératrice. • rg F = p ssi la famille est libre.

(u 1 , . . . , u n ) base de E ⇐⇒ rg(u 1 , . . . , u n ) = n

→ Famille de vecteurs

⇐⇒ det(u 1 , . . . , u n ) 6= 0

Soient u 1 , . . . , u n ∈ E . ¨ Vect(u 1 , . . . , u n ) =

n X

« n

αi u i | (α1 , . . . , αn ) ∈ K

i =1

F et G désignent deux sous-espaces vectoriels de E .

C’est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs u 1 , . . . , u n . Définition La famille (u 1 , . . . , u n ) est dite génératrice de F si F = Vect(u 1 , . . . , u n ). Autrement dit, ∀x ∈ F,

∃(α1 , . . . , αn ) ∈ Kn ,

x=

n X

αi u i

i =1

,→ Existence de la décomposition. Définition La famille (u 1 , . . . , u n ) est dite libre dans F si : ∀(α1 , . . . , αn ) ∈ Kn

n X

→ Espaces supplémentaires et sommes directes

Définition On dit que F et G sont supplémentaires dans E si E = F + G et F ∩ G = {0E }. On note alors E = F ⊕ G . Un supplémentaire n’est pas unique. Rappel : dans un espace euclidien E , E = F ⊕ F ⊥ . dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) lorsque F et G sont de dimension finie. Théorème : Caractérisation en dim. finie Si E est un espace de dimension finie, F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si deux des trois assertions suivantes sont vérifiées : (i) E = F + G

αi u i = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0

i =1

(iii) dim(E ) = dim(F ) + dim(G )

,→ Unicité de la décomposition. Une famille de deux vecteurs est libre lorsqu’ils ne sont pas colinéaires. Cette propriété est fausse dès qu’il y a plus de deux vecteurs. Une famille infinie de vecteurs de E est libre ssi toute sous-famille est libre. Définition • Une base de E est une famille libre et génératrice.

E = F ⊕ G si et seulement si l’on obtient une base de E en concaténant une base de F et une base de G . On parle alors de base adaptée à la somme directe. Définition : Somme directe Les espaces F1 , . . . , Fp sont en somme directe lorsque la décomposition de tout vecteur de F1 + · · · + Fp est p M unique. On la note alors Fi ou bien F1 ⊕ · · · ⊕ Fp . i =1

• Un espace de dimension finie est un espace qui admet une famille génératrice finie. • Toutes les bases d’un espace E de dimension finie ont même cardinal. On l’appelle dimension de E . Soient désormais E un espace vectoriel de dimension n= 6 0 et F = (u 1 , . . . , u p ) une une famille de vecteurs de E . Théorème : Théorème de la base extraite Si F est une famille génératrice de E , • on peut extraire de F une base de E . • Card(F ) ¾ n ; si Card(F ) = n , c’est une base de E .

Année 2020/2021

(ii) F ∩ G = {0E }

On a dim

‚ p X i =1

ΠFi

¶

p X

dim(Fi ). Il y a égalité si et seule-

i =1

ment si les sous-espaces sont en somme directe. Théorème : Caractérisation de la somme directe Les sous-espaces F1 , . . . , Fp sont en somme directe si et seulement si la décomposition du vecteur nul est unique. E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fp si et seulement si la famille obtenue par concaténation de bases des espaces F1 , . . . , Fp est une base de E , appelée base adaptée à la somme directe.

Fiche 3 – Matrices, espaces vect. et applications linéaires

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→ Hyperplans

On dispose d’une forme version plus forte de ce résultat, sans hypothèse sur les dimensions :

Définition : Hyperplan Un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel de E admettant une droite comme supplémentaire. Autrement dit, si H est un hyperplan de E , il existe u ∈ E non nul tel que E = H ⊕ Vect(u ). De plus, H est un hyperplan si et seulement si,

Théorème : Forme géométrique Soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈ L (E , F ). Si Ker(f ) possède un supplémentaire I dans E , alors f|I est un isomorphisme de I sur Im(f ). Théorème

• dim(H ) = n − 1 si E est de dimension n ;

Soit f un endomorphisme de E de dimension finie.

• H = Ker(ϕ) où ϕ ∈ L (E , K) est non nulle.

f injective ⇐⇒ f sujective ⇐⇒ f bijective

Proposition : Intersection de p hyperplans Si E est de dimension finie n et p ¶ n , (i) L’intersection de p hyperplans de E est un sousespace de dimension au moins n − p .

Théorème Soit f ∈ L (E , F ). f est un isomorphisme si et seulement si l’image d’une base (de toute base) de E est une base de F .

(ii) Tout sous-espace de dimension n − p est l’intersection de p hyperplans de E . → Formules de passage et changement de base(s) On suppose E de dimension finie. Soient B et B 0 deux bases de E . On note P ∈ GL n (K) la matrice de passage de B à B 0 (ses colonnes représentent les coordonnées des vecteurs de B 0 dans la base B).

Applications linéaires → Généralités E et F désignent des espaces vectoriels sur K. Définition On dit que f : E → F est une application linéaire si :

Théorème : Formules de passage • Soit x ∈ E . On note X (resp. X 0 ) le vecteur coordonnées de x dans la base B (resp. B 0 ). X =PX0

∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ K, f (λx + y ) = λf (x ) + f (y ). L (E , F ) désigne le K-e.v. des applications linéaires de E dans F . Si E et F sont de dimension finie,

• Un isomorphisme est une application linéaire bijective. • Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. • Une forme linéaire est une application linéaire à valeurs dans K.

M 0 = P −1 M P Ne pas oublier que pour déterminer X 0 en fonction de X , on doit inverser un système. D’où la présence de P −1 dans la formule X 0 = P −1 X . Plus généralement, soit f ∈ L (E , F ). On considère deux bases B et B 0 de E et deux bases C et C 0 de F . On pose P = PB→B 0 , Q = PC →C 0 ainsi que M = MatB,C (f ) et M 0 = MatB 0 ,C 0 (f ). On a alors :

f désigne désormais un élément de L (E , F ). Définition • Ker(f ) = {x ∈ E | f (x ) = 0F } = f −1 ({0F }).

X 0 = P −1 X

• Soit f ∈ L (E ). On note M (resp. M 0 ) la matrice de f dans la base B (resp. B 0 ).

dim(L (E , F )) = dim(E ) × dim(F ) • Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans lui-même.

c-à-d

M 0 = Q −1 M P → Endomorphismes induits Définition

• Im(f ) = f (E ) = { f (x ) | x ∈ E }. • Ker(f ) est un s.e.v. de E et Im(f ) un s.e.v. de F . • Si (ei )i ∈I est une base de E , Im(f ) = Vect(f (ei )). i ∈I

• f est injective ssi Ker f = {0E }. • f est sujective ssi Im f = F . Par définition, rg f = dim Im f . Théorème : Théorème du rang Si E est de dimension finie et f ∈ L (E , F ), dim E = dim Ker f + rg f

Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par f ∈ L (E ), c-à-d f (F ) ⊂ F . f|F est alors un endomorphisme de F appelé endomorphisme induit. Si (e1 , . . . , ep ) est une base de F que l’on complète en une base (e1 , . . . , en ) de E , on a alors :   Mat f|F × Mat(f ) = . 0 × Si E = F ⊕ G et si F et G sont stables par f , on aura dans une base adaptée :   Mat f|F 0 Mat(f ) = . 0 Mat f|G Année 2020/2021

Fiche 3 – Matrices, espaces vect. et applications linéaires

→ Projections et symétries vectorielles Définition Soit E = F ⊕ G . Si x ∈ E , il existe un unique couple (x1 , x2 ) ∈ F × G tel que x = x1 + x2 . • On appelle projection sur F parallèlement à G l’application linéaire p vérifiant : ∀x ∈ E , p (x ) = x1 . • On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G l’application linéaire s vérifiant : ∀x ∈ E , s (x ) = x1 − x2 .

G

G x

F

x1

−x

2

x2 =

x−

x2

p (x

)

x

x1 = p (x )

F

s (x )

Théorème : Caractérisation Soient p , s ∈ L (E ). • p est une projection vectorielle sur Im p parallèlement à Ker p si et seulement si p ◦ p = p . On a alors E = Im(p )⊕Ker(p ) et Im p = Ker(p −idE ). • s est une symétrie vectorielle par rapport Ker(s − idE ) parallèlement à Ker(s + idE ) si et seulement si s ◦s = idE . On a alors E = Ker(s −idE )⊕Ker(s +idE ). Dans une base adaptée, les matrices de p et s sont :     Ir 0 Ir 0 et MatB (s ) = MatB (p ) = 0 In −r 0 0 p est diagonalisable et • dim Im p = Tr(p ) = r , dim Ker p = n − r ; • χp = (X − 1)r X n −r et πp = X (X − 1) si p ∈ / {0L (E ) , idE }. s est diagonalisable et • dim Ker(s − idE ) = r , dim Ker(s + idE ) = n − r ; • χs = (X −1)r (X +1)n −r et πs = (X +1)(X −1) si s 6= ±idE . Si E = E1 ⊕ · · · ⊕ En , tout vecteur x de E se décompose de façon unique sous la forme x = x1 + · · · + xn où xi ∈ Ei . Notons alors, pour i ∈ ¹1, n º, pi l’application définie sur E par pi (x ) = xi . Théorème Pour tout i ∈ ¹1, nº, pi est la projection vectorielle n M sur Ei parallèlement à Ek . De plus, k =1 k 6=i

p1 + · · · + pn = idE

Année 2020/2021

et

∀i 6= j

pi ◦ p j = 0L (E )

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MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 4 – Déterminant Déterminant d’une matrice carrée Définition Soit A ∈ Mn (K). On appelle déterminant de A le scalaire : n X Y "(σ) det(A) = a σ(i ),i σ∈Sn

i =1

"(σ) désigne la signature de la permutation σ de ¹1, n º. Toute permutation σ s’écrit comme composée de transpositions. La parité du nombre de transpositions est quelle que soit la décomposition fixe, fixe. S’il est pair (resp. impair), "(σ) prend la valeur +1 (resp. −1).

Définition : Mineurs et cofacteurs Soit A = (a i , j ) ∈ Mn (K). On note A i , j la matrice obtenue en ôtant la i ème ligne et la j ème colonne de A. On appelle alors : • mineur relatif à a i , j le scalaire det(A i , j ). • cofacteur de a i , j le scalaire (−1)i + j det(A i , j ). • comatrice de A la matrice des cofacteurs de A. ˜ La comatrice est souvent notée Com(A) ou A.

Théorème : Développement n X • ∀i ∈ ¹1, n º det(A) = (−1)i + j det(A i , j )a i , j j =1

det(A) est un polynôme en les coefficients de la matrice. • ∀ j ∈ ¹1, n º

Théorème

det(A) =

n X i =1

(−1)i + j det(A i , j ) a i , j {z } | cofacteur

Soient A, B ∈ Mn (K) et λ ∈ K. (i) Le déterminant est n -linéaire par rapport aux colonnes. En particulier, det(λA) = λn A. (ii) det(AB ) = det(A) × det(B ). (iii) A ∈ GL n (K) si, et seulement si, det(A) = 6 0. 1 . Dans ce cas, det(A −1 ) = det(A) (iv) det(A ) = det(A). T

(v) Si A et B sont semblables, det(A) = det(B ).

Théorème : Déterminant triangulaire par blocs Soit A une matrice triangulaire par blocs, c’est-à-dire de la forme :   A1 ? ? .. A= . ?  où A 1 ∈ Mp1 (K), . . . , A r ∈ Mpr (K) Ar

Théorème : Inversion par la comatrice Soit A ∈ Mn (K). Alors, A × Com(A)T = Com(A)T × A = det(A)In En particulier, si A ∈ GL n (K), A −1 =  a Si a d − b c = 6 0, alors c

b d

−1

1 Com(A)T . det(A)

 1 d = a d − b c −c

 −b . a

Déterminant d’une famille de vecteurs E désigne un K-espace vectoriel de dim. finie n ∈ N∗ . Définition Le déterminant d’une famille F de n vecteurs de E dans une base (quelconque) B de E est le déterminant de sa matrice représentative. Notation : det(F ). B

Alors, det(A) = det(A 1 ) × · · · × det(A r ). 

A En général, det C

 B 6 det(A) det(D ) − det(B ) det(C ). = D

Pour calculer certains déterminants, on pourra opérer sur les lignes et les colonnes pour faire apparaître des déterminants de matrices diagonales ou triangulaires (éventuellement par blocs). Effets des opérations du pivot : • Ci ↔ C j : on multiplie le déterminant par −1. • Ci ← λCi : on multiplie le déterminant par λ. X • Ci ← Ci + λ j C j : le déterminant reste identique.

Pour une base B de E , detB est l’unique forme n -linéaire alternée sur E vérifiant det(B) = 1. B

Théorème : Bases et déterminant Soient F = (u 1 , . . . , u n ) ∈ E n et B, B 0 deux bases. • Formule de changement de base det(·) = det(B 0 ) × det(·) B

• Caractérisation d’une base (u 1 , . . . , u n ) libre

j 6=i

Une autre possibilité pour calculer un déterminant consiste à le développer par rapport à une de ses lignes ou une de ses colonnes.

B0

B

⇐⇒

(u 1 , . . . , u n ) base de E

⇐⇒

det(u 1 , . . . , u n ) 6= 0

Dans ce cas, det(B) = F

B

1 . det(F ) B

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Fiche 4 – Déterminant

Déterminant d’un endomorphisme Définition Soit f ∈ L (E ). det(MatB (f )) ne dépend pas de la base B choisie. On l’appelle déterminant de l’endomorphisme f et on le note det(f ).

Théorème Soient f , g ∈ L (E ) et λ ∈ K. (i) det(idE ) = 1 et det(λf ) = λn det(f ). (ii) det(f ◦ g ) = det(f ) × det(g ). (iii) f ∈ GL (E ) si, et seulement si, det(f ) 6= 0. 1 Dans ce cas, det(f −1 ) = . det(f ) Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme, on se ramènera de façon quasi-systématique à un calcul de déterminant matriciel.

Orientation de l’espace, produit vectoriel Soient B et B 0 deux bases orthonormales de E . PB→B 0 est orthogonale donc det P = ±1. Définition : Orientation de l’espace On dit que B et B 0 définissent la même orientation si et seulement si det PB→B 0 = 1. Orienter l’espace consiste à choisir arbitrairement une base orthonormale de E . Toutes celles qui définissent la même orientation seront dites directes. Les autres indirectes. Par convention, les bases orthonormales directes de R3 sont celles qui respectent la règle des trois doigts (ou règle du tire-bouchon). On munit R3 du produit scalaire usuel. Théorème : Propriétés du produit vectoriel Soient x , y et z trois vecteurs de R3 . 1. (x ∧ y |z ) = [x , y , z ]. 2. Si x et y ne sont pas colinéaires, (x , y , x ∧ y ) est une base directe de R3 . 3. Si (x , y ) est orthonormée, (x , y , x ∧ y ) est une base orthonormée directe de R3 . 4. Identité de Lagrange : (x |y )2 + kx ∧ y k2 = kx k2 ky k2 5. Double produit vectoriel : x ∧ (y ∧ z ) = (x |z )y − (x |y )z

Année 2020/2021

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MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 5 – Réduction d’endomorphismes Éléments propres

Polynômes d’endomorphismes et de matrices

Soit u ∈ L (E ) où E désigne un K-espace vectoriel.

→ Algèbre commutative K[u ] Pour u ∈ L (E ) (ou M ∈ Mn (K)), on définit :

→ Généralités

K[u ] = {P (u ) | P ∈ K[X ]} = Vect(u n ) n ∈N

Définition • On dit que λ ∈ K est une valeur propre de u associé au vecteur propre x ∈ E si : u (x ) = λx avec x 6= 0E On appelle spectre de u et on note Sp(u) l’ensemble des valeurs propres de u . • On appelle sous-espace propre associé à λ l’espace vectoriel Eλ (u ) = Ker(u − λidE ).

Théorème • Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. • Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

(K[u ], +, ◦, ·) possède une structure d’algèbre commutative. L’application P 7→ P (u) définit un morphisme d’algèbres de K[X ] dans L (E ) ; son image est K[u ]. Si E est de dimension finie, K[u ] ⊂ L (E ) l’est aussi. Proposition Si P ∈ K[X ], les sous-espaces Im(P (u)) et Ker(P (u)) sont stables par u .

→ Polynômes annulateurs et polynôme minimal Définition : Polynôme annulateur Soient u ∈ L (E ) et P ∈ K[X ]. P est appelé polynôme annulateur de u si P (u ) = 0L (E ) . La définition est identique pour une matrice M ∈ Mn (K).

→ Polynôme caractéristique

En dimension finie, il existe toujours un polynôme annulateur non trivial (donc une infinité).

On suppose désormais E de dimension finie n .

Si P et Q annulent u , pgcd(P,Q ) annule u (Bézout).

Définition On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme χu = det(X idE − u ).

Théorème • Les valeurs propres de u sont exactement les racines de χu . • χu = X n − Tr(u )X n −1 + · · · + (−1)n det(u ). • La somme des valeurs propres (complexes) vaut Tr(u ) et leur produit det(u ). Si E est un C-espace vectoriel, u admet exactement n valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité. Lorsque E est un R-espace vectoriel, elle en admet au plus n . Si F est stable par u, le polynôme caractéristique χu |F de l’endomorphisme induit divise χu . Théorème Soit λ ∈ Sp(u ) d’ordre de multiplicité m(λ).

Théorème / Définition : Polynôme minimal Si u ∈ L (E ) est non nul et E de dimension finie, il existe un unique polynôme unitaire qui divise tous les polynômes annulateurs de u . Ce polynôme est appelé polynôme minimal de u et on le note πu . Un endomorphisme en dimension infinie n’admet pas toujours de polynôme minimal. Proposition Deux matrices semblables ont même polynôme minimal. Proposition Si d est le degré du polynôme minimal de u, alors la famille (u k )0¶k ¶d −1 est une base de K[u ]. En particulier, dim(K[u ]) = deg(πu ). Proposition

1 ¶ dim(Ker(u − λidE )) ¶ m(λ)

Soit F un sous-espace stable par u non réduit à {0E }. Alors, le polynôme minimal de l’endomorphisme induit u |F divise celui de u .

Si λ est valeur propre simple, alors Ker(u − λidE ) est une droite vectorielle.

Cela fournit un argument utile de diagonalisabilité pour un endomorphisme induit. Année 2020/2021

Fiche 5 – Réduction d’endomorphismes

→ Polynômes annulateurs et valeurs propres

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Théorème : CNS de diagonalisabilité Les assertions suivantes sont équivalentes.

Théorème Si P annule u, toute valeur propre de u est racine de P . Si u (x ) = λx , alors P (u )(x ) = P (λ)x .

(i) u est diagonalisable M Eλ (ii) E = λ∈Sp(u )

Attention, l’ensemble des racines d’un polynôme annulateur contient les valeurs propres mais n’est pas égal, en général, au spectre de u .

X

dim(Eλ )

λ∈Sp(u )

(iv) χu est scindé et, ∀λ ∈ Sp(u ), dim Eλ = m (λ) (v) il existe un polynôme scindé à racines simples annulant u .

→ Théorème de Cayley-Hamilton Théorème : Théorème de Cayley-Hamilton Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme en dimension finie (ou d’une matrice) est un polynôme annulateur. Autrement dit, si E est de dimension finie, ∀u ∈ L (E ),

(iii) dim(E ) =

χu (u ) = 0L (E )

Le polynôme minimal d’un endomorphisme divise ainsi le polynôme caractéristique. Le degré du polynôme minimal est donc inférieur ou égal à dim(E ).

(vi) le polynôme minimal de u est scindé à racines simples. Une matrice est diagonalisable si, et seulement si, elle est annulée par un polynôme scindé à racines simples. Pour que u soit diagonalisable, πu ne doit pas contenir de facteur de la forme (X − λ)α avec α > 1. Théorème : CS de diagonalisabilité (1) Si χu est scindé et n’admet que des racines simples alors u est diagonalisable.

Théorème Les racines du polynôme minimal de u sont exactement ses valeurs propres.

Proposition Une matrice de Mn (C) est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est X n .

Théorème : CS de diagonalisabilité (2) • Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est diagonalisable à l’aide d’une base orthonormale de vecteurs propres. • Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable au moyen d’une matrice orthogonale. Plan de diagonalisation (à l’aide de χu ) : • Étude de la diagonalisabilité de u . – On détermine χu .

→ Lemme des noyaux

– Si χu n’est pas scindé, u n’est pas diagonalisable.

Théorème : Lemme des noyaux Si P1 , . . . , Pr sont des polynômes deux à deux premiers entre eux de produit égal à P , alors : Ker (P (u )) =

r M

Ker (Pi (u ))

i =1

En particulier, si P annule u , E =

r M

– Si χu est scindé, on compare dim Eλ et m (λ). • Diagonalisation de u lorsque c’est possible. On détermine une base de Eλ pour tout λ ∈ Sp(u ) en résolvant l’équation u(x ) = λx et on concatène les bases obtenues. Corollaire

Ker (Pi (u )).

i =1

E est alors la somme de sous-espaces stables par u.

Si u est diagonalisable, alors pour tout sous-espace vectoriel F non réduit à {0E } et stable par u, l’endomorphisme induit par u sur F est diagonalisable.

Diagonalisation Définition • Un endomorphisme f de E est dit diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle sa matrice est diagonale. • Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. Un endormorphisme est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de vecteurs propres de f . Dans cette base, la matrice de f est diagonale. Année 2020/2021

Trigonalisation Définition : Trigonalisabilité • Un endomorphisme u de E est dit trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure. • Une matrice est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Fiche 5 – Réduction d’endomorphismes

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Théorème : CNS de trigonalisablité Les assertions suivantes sont équivalentes. (i) u est trigonalisable. (ii) Son polynôme caractéristique est scindé. (iii) Son polynôme minimal est scindé (iv) u est annulé par un polynôme scindé. Toute matrice est donc trigonalisable dans Mn (C). On a T = P −1 M P avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée par les valeurs propres de M . Lorsque n = 2 ou n = 3, on cherchera généralement T sous la forme :     λ1 × × λ1 1 ou  0 λ2 1  0 λ2 0 0 λ3 Théorème Soit M ∈ Mn (K). S’il existe un polynôme scindé annulant M , alors M est semblable à une matrice diagonale par blocs triangulaires supérieurs. Autrement dit, à une matrice de la forme :  

T1

λi

 ..

.

 Tr

avec

Ti =

λi

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 6 – Espaces préhilbertiens réels Produit scalaire

Orthogonalité

E désigne un R-espace vectoriel.

→ Familles orthonormales Soient x , y ∈ E .

Définition On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E × E → R telle que : • ϕ est une forme bilinéaire : Pour tous x1 , x2 , y ∈ E et λ ∈ R,

Le vecteur nul est le seul vecteur orthogonal à tous les autres.

ϕ(λx1 + x2 , y ) = λϕ(x1 , y ) + ϕ(x2 , y )

Théorème : Pythagore

Pour tous x , y1 , y2 ∈ E et λ ∈ R,

kx + y k2 = kx k2 + ky k2 ⇐⇒ (x |y ) = 0.

ϕ(x , λy1 + y2 ) = λϕ(x , y1 ) + ϕ(x , y2 ) • ϕ est symétrique :

∀x , y ∈ E , ϕ(x , y ) = ϕ(y , x ).

• ϕ est définie positive : ∀x ∈ E , ϕ(x , x ) ¾ 0

Définition : Familles orthogonales et orthonormales Soit I un ensemble d’indices fini ou infini.

ϕ(x , x ) = 0 ⇐⇒ x = 0E

et

(E , ϕ) est alors appelé espace préhilbertien réel. Si dim E < +∞, E est qualifié d’espace euclidien.

• E = Rn muni du produit scalaire usuel (x , y ) 7→

n X

• Une famille de vecteurs (ei )i ∈I de E est dite orthogonale si : ∀(i , j ) ∈ I 2 ,

Exemples fondamentaux d’espaces préhilbertiens réels : xi yi .

i =1

• E = R[X ] muni de (P,Q ) 7→

Définition x et y sont dits orthogonaux si (x |y ) = 0.

i 6= j =⇒ (ei |e j ) = 0.

• Elle est dite orthonormale si ses vecteurs sont de plus unitaires. Cela revient à dire que pour tout (i , j ) ∈ I 2 , (ei |e j ) = δi , j .

1

Z

Théorème

PQ.

• Une famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls est libre.

0

• E = C ([a , b ], R) muni de (f , g ) 7→

b

Z

f g.

• Une famille orthonormale est libre.

a T

• E = Mn (R) muni de (A, B ) 7→ Tr(B A). Théorème : Décomposition dans une BON Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit (E , (·|·)) un espace préhilbertien réel. On a alors : |(x |y )| ¶ kx k · ky k

∀x , y ∈ E

Soient E un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ et (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E . ∀x ∈ E , x = (x |e1 )e1 + · · · + (x |en )en =

p

(x |x ) = kx k est une norme sur E .

Identités remarquables vérifiées par la norme euclidienne : Pour tous x , y ∈ E , • kx + y k2 = kx k2 + ky k2 + 2(x |y ). 2

Proposition Soient B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale de E . On considère x , y ∈ E de coordonnées respectives X = (x1 , . . . , xn ) et Y = (y1 , . . . , yn ). On a alors : (x |y ) =

• kx − y k = kx k + ky k − 2(x |y ). 2

2

n X

2

2

kx + y k + kx − y k = 2kx k + 2ky k • Identité de polarisation : (x |y ) = Année 2020/2021

xi yi =

i =1

• Identité du parallélogramme : 2


1 kx + y k2 − kx − y k2 4

2

(x |ei )ei

i =1

Il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. L’application x 7→

n X

kx k2 =

n X

(x |ei )(y |ei ) = X T Y

i =1

n X i =1

xi2 =

n X i =1

(x |ei )2 = X T X

Fiche 6 – Espaces préhilbertiens réels

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− → − →− →− → u 2 − ( u 2 | e1 ) e1

−→ u2

→ Projection orthogonale et distance Dans toute cette partie, F est supposée de dimension finie. On a E = F ⊕ F ⊥ . Définition On appelle projection orthogonale sur F la projection sur F parallèlement à F ⊥ .

−→ e2 −→ u1

−→ e1 − →− →− → ( u 2 | e1 ) e1

Théorème On note p la projection orthogonale sur F . • p (x ) est entièrement caractérisé par :

Tout espace euclidien admet une base orthonormale, que l’on peut construire à l’aide de l’algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. On part d’une base (u 1 , . . . , u n ) quelconque de E et on construit pas à pas une base orthonormale (e1 , . . . , en ) en posant : ek0 = u k −

k −1 X

(u k |ei )ei

puis

ek =

i =1

ek0 kek0 k

p (x ) ∈ F

x − p (x ) ∈ F ⊥

et

• Si (e1 , . . . , ep ) est une base orthonormale de F alors p (x ) = (x |e1 )e1 + · · · + (x |ep )ep Définition Soit x ∈ E . On appelle distance de x à F le réel d (x , F ) = inf kx − u k u ∈F

Théorème Soient n ∈ N∗ et (u 1 , . . . , u n ) une famille libre de vecteurs de E . Il existe alors une famille orthonormale (e1 , . . . , en ) de E telle que :

Théorème Soit x ∈ E . d (x , F ) = kx −p (x )k où p est la projection orthogonale sur F .

Vect(e1 , . . . , en ) = Vect(u 1 , . . . , u n ) → Suites totales → Orthogonal d’une partie Définition : Orthogonal Soit F une partie de E . On appelle orthogonal de F l’ensemble :

Définition : Suite totale On dit qu’une suite de vecteurs (ei )i ∈N de E est totale si Vect(ei ) est dense dans E , c’est-à-dire, i ∈N

∀x ∈ E ,

∀" > 0,

∃y ∈ Vect(ei ), i ∈N

kx − y k < "

F ⊥ = {x ∈ E | ∀y ∈ F (x |y ) = 0} Théorème F ⊥ est un espace vectoriel. Théorème Soit F un sous-espace vectoriel de E .

Soient (ei )i ∈N une suite orthonormale totale d’éléments de E et pour tout n ∈ N, pn le projecteur orthogonal sur Vect(e0 , ..., en ). Alors, pour tout x de E , (pn (x ))n∈N converge vers x .

• Si F est de dimension finie, E = F ⊕ F ⊥ .
⊥ • Si E est de plus un espace euclidien, F ⊥ = F et :

x − pn (x )

• u ∈ F ⊥ si et seulement si u est orthogonal aux vecteurs d’une base de F . x

dim F ⊥ = dim(E ) − dim(F )

pn ( x

)

Vect(e0 , ..., en ) Corollaire : Inégalité de Bessel Soient (e1 , . . . , ep ) une famille orthonormale de E et p X x ∈ E . Alors (x |ei )2 ¶ kx k2 .

Corollaire : Égalité de Parseval Si (ei )i ∈N une suite orthonormale totale de E ,

i =1

Il y a égalité si et seulement si x ∈ Vect(e1 , . . . , ep ).

∀x ∈ E ,

kx k2 =

+∞ X

(x |ei )2

i =0

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

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Résumé 7 – Endomorphismes d’un espace euclidien (E , (·|·)) désignera par la suite un espace euclidien.

→ Symétries orthogonales

Endomorphismes orthogonaux

Soit F un sous-espace vectoriel de E . On a E = F ⊕ F ⊥ . Définition : Symétries orthogonales

→ Matrices orthogonales

• On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie par rapport à F parallèlement à F ⊥ .

Définition : Matrices orthogonales On dit que M ∈ Mn (R) est une matrice orthogonale si et seulement si M T M = M M T = In . On note On (R) l’ensemble des matrices orthogonales de Mn (R). Une matrice orthogonale est inversible, d’inverse M T et de déterminant ±1. On note S On (R) l’ensemble des matrices orthogonales de déterminant 1 (groupe spécial orthogonal). On (R) et S On (R) sont des groupes.

• Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Théorème : Caractérisation Une isométrie vectorielle est une symétrie orthogonale si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.

Théorème : Caractérisation Une matrice est orthogonale si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée : • ses vecteurs colonnes forment une famille orthonormale. • ses vecteurs lignes forment une famille orthonormale.

→ Classification des isométries planes • Les isométries positives du plan sont les rotations.   cos θ − sin θ M ∈ S O2 (R) ⇐⇒ ∃θ ∈ R tel que M = sin θ cos θ Cas particuliers : idE (θ = 0), −idE (θ = π).

Une matrice orthogonale s’interprète comme la matrice de passage d’une base orthonormée à une base orthonormée. Lorsque les bases de départ et d’arrivée ont même orientation, son déterminant vaut +1.

• Les isométries négatives de l’espace sont les réflexions.   cos θ sin θ − M ∈ O2 (R) ⇐⇒ ∃θ ∈ R tel que M = sin θ − cos θ

→ Isométries vectorielles

→ Classification des isométries de l’espace • Les isométries positives de l’espace sont les rotations.

Définition Soit f un endomorphisme de E . Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f conserve la norme :

∀x ∈ E ,

k f (x )k = kx k

(ii) f conserve le produit scalaire : ∀x , y ∈ E ,

(f (x )| f (y )) = (x |y )

On dit alors que f est une isométrie vectorielle de E (ou un endomorphisme orthogonal). Une isométrie vectorielle est bijective, c’est un automorphisme. La composée d’isométries (positives) reste une isométrie (positive) : O (E ) et S O (E ) sont des groupes. Théorème Soit F un sous-espace vectoriel stable par f ∈ O (E ). Alors F ⊥ est stable par f .

Théorème : Caractérisation à l’aide d’une b.o.n.

Si f ∈ S O (R3 ), il existe une base B de R3 dans laquelle :   1 0 0 MatB (f ) = 0 cos θ − sin θ  0 sin θ cos θ Cas particuliers : idE (θ = 0), demi-tour (θ = π). • Les isométries négatives de l’espace sont les composées (commutatives) de rotation et de réflexion. Si f ∈ O − (R3 ), il existe une base B de R3 dans laquelle :   −1 0 0 MatB (f ) =  0 cos θ − sin θ  0 sin θ cos θ Cas particuliers : réflexion (θ = 0), −idE (θ = π). Plan d’identification : On note f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à la matrice A.

Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :

1. On vérifie que A T A = I3 , i.e. A ∈ O3 (R). f est une isométrie vectorielle.

• l’image d’une b.o.n. est une b.o.n.

2. On calcule det(A).

• sa matrice dans une b.o.n. est orthogonale. Année 2020/2021

• Si det(A) = 1, A ∈ S O3 (R) et f est une rotation d’axe dirigé par u et d’angle θ . (cas 1)

Fiche 7 – Endomorphismes d’un espace euclidien

18

• Si det(A) = −1, A ∈ O3− (R) et f est la composée d’une rotation d’axe dirigé par u et d’angle θ et d’une réflexion par rapport à Vect(u )⊥ . (cas 2) 3. On détermine l’axe Vect(u) de la rotation en résolvant AX = X (cas 1) ou AX = −X (cas 2). 4. L’angle de la rotation est donné par : • Tr(A) = 1 + 2 cos(θ ) (cas 1), • Tr(A) = −1 + 2 cos(θ ) (cas 2) sin(θ ) = [u , x , f (x )] où kx k = ku k = 1, x ∈ Vect(u)⊥ . Dans le deuxième cas, si θ = 0, f est une simple réflexion.

Théorème : Théorème spectral – version matricielle Toute matrice M ∈ Mn (R) symétrique réelle est diagonalisable au moyen d’une matrice de passage orthogonale : ∃P ∈ On (R) P −1 M P = P T M P diagonale.

xD x

Théorème : Théorème spectral Si f est un endomorphisme symétrique de E alors f est diagonalisable dans une base orthonormale. Autrement dit, il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de f .

f (x )

Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle sont orthogonaux, toutes ses valeurs propres sont réelles. Si la matrice représentative d’un endomorphisme dans une certaine base est symétrique réelle, alors il existe une base orthonormale constituée de vecteurs propres de cet endomorphisme.

θ

xD⊥

f (x D ⊥ )

D⊥

D = Vect(u ) Représentation d’une rotation de l’espace

Endomorphismes symétriques Définition : Endomorphisme symétrique On appelle endomorphisme symétrique tout endomorphisme f de E vérifiant : ∀x , y ∈ E ,

(f (x )|y ) = (x | f (y ))

L’ensemble S (E ) des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L (E ). Les projecteurs orthogonaux sont des endomorphismes symétriques, ce sont même les seuls projecteurs à l’être. Proposition Un projecteur est orthogonal si et seulement s’il est symétrique. Proposition Soit f ∈ S (E ). Si un sous-espace vectoriel F de E est stable par f , alors F ⊥ est stable par f . Proposition : Caractérisation à l’aide d’une b.o.n. Un endomorphisme est symétrique si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée : • pour une (et même toute) b.o.n. (e1 , . . . , en ) de E , ∀i , j ∈ ¹1, n º,

(f (ei )|e j ) = (ei | f (e j ))

• sa matrice dans une b.o.n est symétrique.

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

19

Résumé 8 – Espaces vectoriels normés et topologie Soit E un K-espace vectoriel.

Une partie A est bornée si, et seulement si, ∃M > 0,

Norme et distance

∀x ∈ A,

kx k ¶ M

Comparaison de normes

Définition : Norme sur un espace vectoriel Une norme est une application N : E → R+ vérifiant : • ∀x ∈ E , N (x ) = 0 ⇐⇒ x = 0E

Soient N et N 0 deux normes définies sur E . Proposition

• ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E , N (λx ) = |λ| · N (x )

Toute suite convergeant au sens de N converge aussi au sens de N 0 si, et seulement s’il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ E , N 0 (x ) ¶ αN (x ).

• ∀x , y ∈ E , N (x + y ) ¶ N (x ) + N (y ) (E , N ) est un espace vectoriel normé. (E , k · k) désigne désormais un K-espace vectoriel normé. Une norme sur E vérifie l’inégalité triangulaire étendue : ∀x , y ∈ E , kx k − ky k ¶ kx + y k ¶ kx k + ky k

∀x ∈ E

Exemples de normes à connaître : • Normes sur Kn – pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn , v uX n n X t |xi |2 ; kx k∞ = max |xi | kx k1 = |xi | ; kx k2 = 1¶i ¶n

i =1

i =1

• Normes sur C ([a , b ], K) – pour f ∈ C ([a , b ], K), v Z b uZ b t k f k1 = | f | ; k f k2 = | f |2 ; k f k∞ = sup | f | a

Définition : Normes équivalentes N et N 0 sont équivalentes s’il existe α, β > 0 tels que :

I

a

αN (x ) ¶ N 0 (x ) ¶ β N (x )

L’équivalence des normes est une relation d’équivalence. Théorème : Équivalence des normes En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes, il suffit de construire une suite de vecteurs telle que N (u n ) ¶ αN 0 (u n ) est impossible, en passant à la limite.

: si (E , (·|·)) est un espace préhilber• Norme euclidiennep tien réel, alors x 7→ (x |x ) définit une norme sur E .

Notions générales de topologie

• Norme produit : si (Ei , Ni ) sont p espaces vectoriels, on peut munir E1 × · · · × Ep de la norme définie par :

→ Voisinages, ouverts et fermés

∀x = (x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep ,

N (x ) = sup Ni (xi ) 1¶i ¶p

Définition : Distance associée à une norme On appelle distance associée à k · k l’application : d : E × E −→ R+ (x , y ) 7−→ kx − y k

Proposition

Soit A une partie de E et x ∈ E . Définition : Voisinage, ouvert, fermé • A est un voisinage de x s’il existe r > 0 tel que B (x , r ) ⊂ A. • A est un ouvert de E si : ∀x ∈ A,

∃r > 0,

B (x , r ) ⊂ A

• A est un fermé de E si son complémentaire A c = E \ A est un ouvert.

Une distance d associée à une norme k · k vérifie : • ∀(x , y ) ∈ E 2 , d (x , y ) = d (y , x )

∅ et E sont des parties ouvertes et fermées de E .

• ∀(x , y ) ∈ E 2 , d (x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y

• Toute réunion d’ouverts est un ouvert, toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.

• ∀(x , y , z ) ∈ E 3 , d (x , y ) ¶ d (x , z ) + d (z , y ) • la boule ouverte de centre a ∈ E et de rayon r ¾ 0 est B (a , r ) = {x ∈ E | kx − a k < r } • la boule fermée de centre a ∈ E et de rayon r ¾ 0 est

• Toute réunion finie de fermés est un fermé, toute intersection de fermés est un fermé. Théorème : Caractérisation séquentielle A est une partie fermée de E si et seulement si la limite de toute suite convergente de A est dans A.

B f (a , r ) = {x ∈ E | kx − a k ¶ r } • la sphère de centre a ∈ E et de rayon r ¾ 0 est S (a , r ) = {x ∈ E | kx − a k = r } Année 2020/2021

Deux normes équivalentes définissent sur un espace la même topologie : les parties ouvertes et les parties fermées sont les mêmes pour l’une comme pour l’autre.

Fiche 8 – Espaces vectoriels normés et topologie

20

Continuité dans un espace vectoriel normé

→ Intérieur, adhérence et frontière Définition : Point intérieur, point adhérent • x est un point intérieur à A s’il existe r > 0 tel que B (x , r ) ⊂ A. • x est un point adhérent à A si pour tout r > 0, B (x , r ) ∩ A 6= ∅.

Soient f : E → F , où E et F désignent des espaces vectoriels munis des normes k · kE et k · kF , et A ⊂ E . → Limites Définition f admet comme limite b ∈ F en a ∈ A si,

x1

x0 x0 est un point intérieur

∀" > 0,

x1 est un point extérieur

x2

∃α > 0,

∀x ∈ A,

kx − a kE ¶ α =⇒ kf (x ) − b kF < "

x2 est un point adhérent

a

b x

f (x ) "

α

Définition : Intérieur, adhérence et frontière • L’intérieur de A est l’ensemble A8 des points intérieurs à A. • L’adhérence de A est l’ensemble A des points adhérents à A.

8 • La frontière de A est l’ensemble Fr(A) = A \ A.

lim f (x ) = b ⇐⇒ ∀" > 0, ∃α > 0, f (B (a , α)) ⊂ B (b , ")

x →a

⇐⇒ ∀V ∈ V (b ), ∃U ∈ V (a ), f (U ) ⊂ V → Continuité f est continue en a ∈ A ssi f (x ) −−→ f (a ). x →a

Les opérations classiques sur les limites nous permettent de montrer que :

• A8 ⊂ A ⊂ A. • L’intérieur de A est la réunion de tous les ouverts inclus dans A, c’est même le plus grand ouvert de A. • L’adhérence de A est l’intersection de tous les fermés contenant A, c’est le plus petit des fermés contenant A.

Proposition : Caractérisation séquentielle Un point x de E est adhérent à A si et seulement s’il existe une suite d’éléments de A convergeant vers x .

• l’ensemble C (A, F ) des fonctions continues sur A est un espace vectoriel. • l’ensemble C (A, K) des fonctions continues sur A et à valeurs dans K est une K-algèbre (le produit de deux fonctions continues est en particulier continu). • si f : A → F et g : B → G sont continues avec f (A) ⊂ B , alors g ◦ f est continue sur A. Proposition : Caractérisation séquentielle

⇐⇒

∀r > 0,

⇐⇒

∃(xn ) ∈ A ,

⇐⇒

d (a , A) = 0

f est continue en a ∈ A si pour toute suite (xn
)n ∈N d’éléments de A convergeant vers a , f (u n ) n ∈N converge dans F . Dans ce cas,   lim f (u n ) = f lim u n = f (a )

Si A est une partie bornée et non vide de R, sup(A) et inf(A) appartiennent à A.

Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense de E sont égales.

a ∈A

B (a , r ) ∩ A 6= ∅ N

xn −−−−→ a n →+∞

Définition Soient A et B deux parties de E . • On dit que A est dense dans E si A = E . • On dit que A est dense dans B si B ⊂ A. De façon équivalente, A est dense dans B si et seulement si l’une des assertions suivantes est vérifiée : • tout élément de B est limite d’une suite de A. • pout tout x ∈ B , il existe r > 0 tel que B (x , r ) ∩ A 6= ∅

n →+∞

n→+∞

Applications lipschitziennes Définition f est dite lipschitzienne de rapport K ¾ 0 si : ∀x , y ∈ E ,

k f (x ) − f (y )kF ¶ K · kx − y kE

Pour f : R → K, lien avec les accroissements finis. Proposition Toute fonction lipschitzienne est continue. x 7→ kx k et x 7→ d (x , A) = inf kx − a k sont continues. a ∈A

Année 2020/2021

Fiche 8 – Espaces vectoriels normés et topologie

Applications uniformément continues Définition f : E → F est uniformément continue sur A si : ∀" > 0,

∃α > 0,

→ Applications polynomiales et multilinéaires • toute application polynomiale définie sur un espace vectoriel normé de dimension finie est continue. • toute application multilinéaire définie sur E1 × · · · × En supposé de dimension finie est continue.

∀x , y ∈ A,

kx − y kE < α =⇒ kf (x ) − f (y )kF < "

f lipschitzienne

21

=⇒

f uniformément continue

=⇒

f continue

Parties compactes → Définition et premières propriétés Définition : Partie compacte A est compacte si toute suite d’éléments de A admet une sous-suite qui converge dans A.

Caractérisations topologiques de la continuité Toute suite d’un compact admet donc au moins une valeur d’adhérence.

Si X ⊂ F et f : E → F , f −1 (X ) = {x ∈ E | f (x ) ∈ X } ⊂ E A ⊂ f −1 (X ) si et seulement si f (A) ⊂ X .

Théorème Toute partie compacte est fermée et bornée.

Théorème : Image réciproque et continuité Une application de E dans F est continue si et seulement si l’une des deux assertions suivantes est vraie : • L’image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E . • L’image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E . Par exemple, si f : E → R est continue, {x ∈ E , f (x ) > 0} = f

−1

(R∗+ )

est ouvert ;

{x ∈ E , f (x ) ¾ 0} et {x ∈ E , f (x ) = 0} sont fermés. → Continuité d’une application linéaire La continuité d’une application linéaire se ramène par linéarité à sa continuité en 0. Théorème : Continuité d’une application linéaire L’application linéaire u ∈ L (E , F ) est continue si, et seulement s’il existe C > 0 tel que, ∀x ∈ E ,

ku (x )kF ¶ C kx kE

Pour justifier la continuité d’une application linéaire, • on peut invoquer un argument de dimension : Théorème Si E est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue. • on peut majorer ku (x )k afin de trouver C tel que pour tout x ∈ E , ku (x )k ¶ C kx k.

Les parties compactes d’un compact sont les parties fermées de ce compact. Proposition Soit X ⊂ A où A est une partie compacte de E . Alors, X est compacte si et seulement si X est fermée.

Proposition Le produit fini de compacts d’espaces normés est compact (pour la norme produit).

→ Compacité et continuité Théorème L’image d’un compact par une application continue est compacte.

Corollaire : Théorème des bornes atteintes Si f est une application continue sur un compact et à valeurs dans R, f est bornée et atteint ses bornes. On peut ainsi montrer qu’une norme est atteinte ou justifier l’existence d’un minimum/maximum. Théorème : Théorème de Heine Toute application continue sur un compact y est uniformément continue.

Pour justifier la non-continuité, on peut chercher une suite (xn )n ∈N tel que pour tout n ∈ N, ku (xn )k > n kxn k.

→ Compacité en dimension finie

Tout noyau d’application linéaire en dimension finie est fermé et plus généralement :

En dimension finie, les parties compactes sont les fermés bornés de l’espace.

Théorème Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace normé est fermé. Année 2020/2021

Théorème : Caractérisation en dimension finie Une partie d’un espace de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Fiche 8 – Espaces vectoriels normés et topologie

22

Trois conséquences immédiates : • En dimension finie, la boule unité fermée et la sphère unité sont compactes. • Toute application continue sur un fermé borné en dimension finie et à valeurs dans R est bornée et atteint ses bornes. • Le théorème de Bolzano-Weierstrass s’étend à tout espace vectoriel de dimension finie.

Parties connexes par arcs Définition : Connexité par arcs Soient A une partie de E non vide et a , b ∈ A. • On appelle chemin continu (ou arc) joignant les points a et b toute application γ : [0, 1] → A continue et vérifiant γ(0) = a et γ(1) = b . • A est dite connexe par arcs si pour tous a , b ∈ A, il existe un chemin continu joignant a et b .

γ(t )

b

a

Les composantes connexes de la partie A sont les classes d’équivalences de A relativement à la relation d’équivalence « il existe un chemin continu de A joignant a et b ». A est connexe par arcs si elle possède une seule composante connexe. • Les parties convexes et les parties étoilées de E sont connexes par arcs. • Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles. Théorème Soient f : E → F une application continue et A une partie connexe par arcs de E . Alors f (A) est connexe par arcs. Ce résultat permet de montrer qu’une partie est connexe par arcs. Corollaire : Théorème des valeurs intermédiaires Soient A une partie connexe par arcs et f : A → R une application continue. Alors f (A) est un intervalle.

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

23

Résumé 9 – Fonctions d’une variable réelle

À l’exception de la dernière partie, on ne considère que des fonctions définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans R.

Continuité → Continuité en un point, sur un intervalle f est continue en x0 ∈ I si lim f (x ) = f (x0 ), i.e. si : x →x0

La fonction arcsin est   définie et continue sur [−1, 1] et à valeurs dans − π2 , π2 . Elle est dérivable sur ] − 1, 1[. ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x )) = x h π πi , arcsin(sin(x )) = x ∀x ∈ − , 2 2 La fonction arcsin est enfin impaire : ∀x ∈ [−1, 1]

arcsin(−x ) = − arcsin(x )

∀" > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , |x − x0 | < η =⇒ |f (x ) − f (x0 )| < " f est continue sur I si f est continue en tout point de I .

π

La somme, le produit et la composée de fonctions continues sont continues.

y = arccos(x) π 2

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur I avec a , b ∈ I vérifiant a < b . Alors pour tout réel y compris entre f (a ) et f (b ), il existe x ∈ [a , b ] tel que y = f (x ).

y = cos(x)

−1

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. (TVI bis) Une fonction continue qui change de signe sur I s’annule (au moins une fois) sur I . Théorème : Théorème des bornes atteintes

On remarquera qu’en général, f ([a , b ]) 6= [f (a ), f (b )].

2

3

Représentation de la fonction arccos La fonction arccos est définie et continue sur [−1, 1] et à valeurs dans [0, π]. Elle est dérivable sur ] − 1, 1[.

Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

1

∀x ∈ [−1, 1], ∀x ∈ [0, π] ,

cos(arccos(x )) = x arccos(cos(x )) = x

La fonction arccos vérifie enfin : ∀x ∈ [−1, 1]

arccos(−x ) = π − arccos(x )

Théorème : Théorème de la bijection Si f est continue et strictement monotone sur I alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f (I ). De plus, la bijection réciproque f −1 : J → I est continue et de même monotonie que f . Le graphe de f −1 est symétrique à celui de f par rapport à la première bissectrice.

−3

−2

−1

1

2

3

Représentation de la fonction arctan y = sin(x)

1

2

− π2 Représentation de la fonction arcsin Année 2020/2021

y = arctan(x)

y = arcsin(x)

π 2

−1

π 2

− π2

→ Fonctions circulaires réciproques

−2

y = tan(x)

La fonction arctan est définie et continue sur R et à valeurs   dans − π2 , π2 . Elle est dérivable sur R. ∀x ∈ R, tan(arctan(x )) = x i π πh , arctan(tan(x )) = x ∀x ∈ − , 2 2 La fonction arctan est impaire et vérifie :  ‹ 1 π ∀x ∈ R∗ , arctan(x ) + arctan = sgn(x ) · x 2

Fiche 9 – Fonctions d’une variable réelle

24

Dérivabilité

Formules de Taylor

f est dérivable en x0 ∈ I si mite finie en x0 .

f (x ) − f (x0 ) possède une lix − x0

Théorème Si f est dérivable en x0 , alors f est continue en x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si, 0

f (x0 + h ) = f (x0 ) + h f (x0 ) + o(h ) h →0

La somme, le produit et la composée de fonctions dérivable sont dérivables.  ‹0 g f 0− f g0 f ; (g ◦ f )0 = f 0 · (g 0 ◦ f ) = g g2

Soient f une fonction de classe C n +1 sur I et a , b ∈ I . • Formule de Taylor avec reste intégral f (b ) =

n X (b − a )k (k ) f (a ) + k! k =0

b

Z a

(b − t )n (n +1) f (t ) dt n!

• Inégalité de Taylor-Lagrange n X |b − a |n +1 (b − a )k (k ) f (a ) ¶ M f (b ) − k! (n + 1)! k =0 où M = sup | f (n +1) |. [a ,b ]

• Formule de Taylor-Young Théorème : Dérivabilité de la bijection réciproque Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle I et f −1 sa bijection réciproque. Si f est dérivable en x0 et si f 0 (x0 ) 6= 0 alors f −1 est dérivable en y0 = f (x0 ) et 1

0

f −1 (y0 ) =

f

0 (x

0)

=

1 f

0 (f −1 (y )) 0

Dérivées des fonctions circulaires réciproques : 1 −1 ; arcsin0 (x ) = p ; ∀x ∈]− 1, 1[, arccos0 (x ) = p 2 1− x 1− x2 1 ∀x ∈ R, arctan0 (x ) = 1+ x2 Théorème : Limite de la dérivée Soit f une fonction continue sur I et dérivable sur I \ {x0 }. Si f 0 (x ) admet une limite ` ∈ R en x0 , • f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = ` ; • f est de plus continue en x0 . Théorème : Formule de Leibniz n

Soient f et g deux fonctions de classe C sur I . Alors, f g est également de classe C n sur I et (f g )

n   X n (k ) (n−k ) f g . = k k =0

Ces formules sont utiles pour déterminer un développement limité, pour justifier l’existence d’un développement en série entière, etc.

Développements limités et relations de comparaison Soient f , g : I → R avec g ne s’annulant pas au voisinage de x0 , sauf éventuellement en x0 . On dit que : • f et g sont équivalentes au voisinage de x0 si : f (x ) −−−→ 1 g (x ) x →x0

Si f est continue sur [a , b ], dérivable sur ]a , b [ et si f (a ) = f (b ) alors il existe x ∈]a , b [ tel que f 0 (x ) = 0. Théorème : Formule des accroissements finis Si f est continue sur [a , b ] et dérivable sur ]a , b [ alors il existe c ∈]a , b [ tel que : 0

f (b ) − f (a ) = f (c )(b − a ) Si | f 0 | est majorée par un réel M sur I , on a alors (inégalité des accroissements finis) : | f (y ) − f (x )| ¶ M |x − y |

•

˜ notation : f (x ) ∼ g (x ) x →x0

• f est négligeable devant g au voisinage de x0 si : •

˜ notation : f (x ) = o(g (x )) x →x0

• f est dominée par g au voisinage de x0 si : • ˜ f (x ) est bornée notation : f (x ) = O(g (x )) g (x ) x →x0

Proposition : Lien entre ∼ et o f (x ) ∼ g (x )

Théorème : Théorème de Rolle

∀x , y ∈ I ,

n X (b − a )k (k ) f (a ) + o((b − a )n ) k ! k =0

f (x ) −−−→ 0 g (x ) x →x0

0

(n )

f (b ) =

x →x0

⇐⇒

f (x ) = g (x ) + o(g (x )) x →x0

Définition : Développement limité On dit qu’une fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x0 s’il existe a 0 , . . . , a n ∈ R tels que : f (x ) = a 0 +a 1 (x −x0 )+· · ·+a n (x −x0 )n +o((x −x0 )n ) x →x0

À connaître : Opérations usuelles sur les développements limités, intégration terme à terme (sans oublier la constante d’intégration), utilisation de la formule de Taylor-Young...

Application à l’étude des suites du type u n +1 = f (u n ). Année 2020/2021

Fiche 9 – Fonctions d’une variable réelle

ex =

n X xk

+ o(x n )

k! n X x 2k cos x = + o(x 2n ) (−1)k x →0 (2k )! k =0 n X x 2k +1 sin x = + o(x 2n +1 ) (−1)k x →0 (2k + 1)! k =0 n X x 2k + o(x 2n ) chx = x →0 (2k )! k =0 n X x 2k +1 shx = + o(x 2n+1 ) x →0 (2k + 1)! k =0 x →0

k =0

25

n X 1 = x k + o(x n ) 1 − x x →0 k =0 n X 1 = (−1)k x k + o(x n ) 1 + x x →0 k =0 n X xk + o(x n ) ln(1 + x ) = (−1)k +1 x →0 k k =1 n X α(α − 1) · · · (α − k + 1) k x + o(x n ) (1 + x )α = 1 + x →0 k ! k =1

tan x = x + x →0

x3 + o(x 4 ) 3

Développements limités usuels

Fonctions convexes

Proposition Une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de R2 .

→ Généralités Définition : Fonction convexe, fonction concave Une fonction f est convexe sur l’intervalle I de R si pour tout (x , y ) ∈ I 2 et tout λ ∈ [0, 1] :
f (1 − λ)x + λy ¶ (1 − λ)f (x ) + λf (y )

Cf

Une application f est dite concave lorsque − f est convexe.

E f (x 0 ) f (x ) x0

x (1 − λ)f (x ) + λf (y ) f (1 − λ)x + λy

x




y

Théorème : Croissance de la pente Soit f : I → R. f est convexe si et seulement si pour f (t ) − f (x ) tout x ∈ I , t 7→ est croissante sur I \ {x }. t −x

(1 − λ)x + λy

Une fonction est convexe si et seulement si son graphe est au-dessous de toutes ses cordes. Cf Proposition : Inégalité de Jensen Soit f : I → R une fonction convexe. Pour tous x1 , . . . , xn ∈ I et λ1 , . . . , λn des réels positifs de somme 1. Alors, ‚ n Œ n X X f λi xi ¶ λi f (xi ) i =1

i =1

f (x ) f (y )

f (z ) x

z

y

→ Caractérisations géométriques Corollaire : Inégalité des pentes

Définition Soit f : I → R. On appelle épigraphe de f l’ensemble des points du plan situés au-dessus du graphe de f . Autrement dit, E = {(x , y ) ∈ R2 | y ¾ f (x )}

Année 2020/2021

Soient f : I → R une fonction convexe et x , y , z ∈ I vérifiant x < z < y . Alors, f (z ) − f (x ) f (y ) − f (x ) f (y ) − f (z ) ¶ ¶ z −x y −x y −z

Fiche 9 – Fonctions d’une variable réelle

26

→ Caractérisation par la dérivée

→ Intégration sur un segment

La croissance de la dérivée permet d’établir facilement la convexité d’une fonction dérivable.

Si f : [a , b ] → R est continue sur E , e.v.n. de dimension finie muni d’une base B = (e1 , . . . , ep ), on pose :

Théorème

b

Z

Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I . Alors, les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i) f est convexe (ii) f 0 est croissante (iii) le graphe de f est au-dessus de toutes ses tangentes

f (t ) dt =

b

Z

‚ p X

fi (t )ei

dt =

i =1

a

a

Œ

p X

b

‚Z

i =1

Πfi (t ) dt ei

a

On vérifie que l’intégrale ne dépend pas de la base choisie et on retrouve les propriétés classiques de l’intégrale (linéarité, relation de Chasles, sommes de Riemann, inégalité triangulaire). De plus, pour tous a , b ∈ I , Z x f (t ) dt est de classe C 1 sur I et F 0 = f .

• F : x 7→ a

b

Z

Corollaire

f 0 (t ) dt = f (b ) − f (a ).

• Si f : I → E est de classe C 1 ,

Soit f une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle I . Alors f est convexe (resp. concave) si et seulement si f 00 > 0 (resp. f 00 < 0).

Fonctions vectorielles et arcs paramétrés On appelle fonction vectorielle d’une variable réelle toute fonction définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans un espace vectoriel normé E de dimension finie. On travaille avec E = Rp , d’où des fonctions de la forme : f : I −→ Rp t 7−→ (f1 (t ), . . . , fp (t )) Les fonctions numériques fi : I → R pour i ∈ {1, . . . , p } sont appelées fonctions composantes ou fonctions coordonnées de f . Si E est muni d’une base B = (e1 , . . . , ep ), on peut toujours écrire f = f1 e1 + · · · + fp ep . Soit f : I ⊂ R → E , où E est de dimension p .

a

Proposition : Inégalité des accroissements finis Soit f : I → E une fonction de classe C 1 , où I est un intervalle de R. S’il existe un réel M > 0 tel que pour tout t ∈ I , k f 0 (t )k ¶ M , alors : ∀a , b ∈ I ,

On retrouve également les formules de Taylor. → Courbes planes et arcs paramétrés Un arc paramétré est une application f : t 7→ (x (t ), y (t )) de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans R2 . Le support de l’arc est alors l’ensemble : {(x (t ), y (t )) ∈ R2 | t ∈ I } • Paramétrage de la droite passant   par le point M 0 (x0 , y0 ) a et dirigée par le vecteur u~ = : b

→ Dérivabilité d’une fonction vectorielle f (t ) − f (t 0 ) existe. Alors, f est dérivable en t 0 ∈ I si lim t →t 0 t − t0 f (t ) = f (t 0 ) + (t − t 0 ) · f 0 (t 0 ) + o(t − t 0 ) t →t 0

La dérivabilité de f équivaut à celle de ses fonctions composantes. De plus, • Toute combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable. • Toute composée de fonctions dérivables est dérivable. • Si f : I → F et g : I → G sont dérivables sur I et B : F × G → E est bilinéaire, B (f , g ) est dérivable et : B (f , g )0 = B (f 0 , g ) + B (f , g 0 ) Application classique : dérivation d’un produit scalaire ou d’un produit vectoriel.

k f (b ) − f (a )k ¶ M · |b − a |



x = x0 + t a y = y0 + t b

(t ∈ R)

• Paramétrage du cercle de centre Ω(a , b ) et de rayon R : 

x (t ) = a + R cos(t ) y (t ) = b + R sin(t )

(t ∈ R)

Plan d’étude pour f : t 7→ (x (t ), y (t )) de classe C 1 sur I (i) Domaine de définition (ii) Recherche des symétries (parité/périodicité) (iii) Étude des variations de x et y (iv) Tangente en un point régulier   −−→ dO M x 0 (t 0 ) ~, il dirige la tangente la Si (t 0 ) = = 6 0 y 0 (t 0 ) dt tangente à la courbe en M (t 0 ).

L’application f est dite de classe C k sur I si elle est dérivable k fois sur I et si sa dérivée k -ième, notée f (k ) , est continue sur I . Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

27

Résumé 10 – Suites numériques et vectorielles Suites numériques classiques

Théorème : Théorème de la limite monotone

• Suite arithmétique de raison r ∈ K : 

u0 ∈ K

Une suite croissante et non majorée diverge vers +∞.

u n +1 = u n + r Alors, pour tout n ∈ N, u n = u 0 + n r .

Outre les théorèmes de comparaison et des gendarmes, le théorème suivant est à connaître. Théorème : Suites adjacentes

• Suite géométrique de raison q ∈ K 

Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.

Soit (u n )n ∈N et (vn )n ∈N deux suites réelles vérifiant :

u0 ∈ K

(i) (u n )n∈N croissante et (vn )n ∈N décroissante.

u n +1 = q u n

(ii) u n − vn −−−−→ 0. n →+∞

Alors (u n )n ∈N et (vn )n ∈N convergent vers la même limite.

Alors, pour tout n ∈ N, u n = q u 0 . n

• Suite arithmético-géométrique 

→ Suites extraites et valeurs d’adhérence

u0 ∈ K u n+1 = a u n + b

(a 6= 1)

On note ` le point fixe de la suite : ` = a ` + b . (u n − `) est géométrique de raison a et u n = a n (u 0 − `) + `.

Toute suite de la forme (u ϕ(n ) )n ∈N avec ϕ : N → N strictement croissante est appelée suite extraite ou sous-suite de (u n )n ∈N . On a ϕ(n ) −−−−→ +∞ puisque ϕ(n ) ¾ n . n →+∞

Théorème

• Suite récurrente linéaire d’ordre 2  u0, u1 ∈ R u n+2 = a u n +1 + b u n On résout l’équation caractéristique X 2 − a X − b = 0 de discriminant associé ∆. (i) Si ∆ > 0, deux racines réelles distinctes r1 et r2 .

Si (u n )n∈N converge vers ` alors toute suite extraite converge vers `.

Théorème : Bolzano-Weierstrass De toute suite complexe bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

∃(λ, µ) ∈ R2 , ∀n ∈ N, u n = λr1n + µr2n (ii) Si ∆ = 0, une racine réelle double r . ∃(λ, µ) ∈ R2 , ∀n ∈ N, u n = (λ + nµ)r n (iii) Si ∆ < 0, deux racines complexes ρe±i θ . ∃(λ, µ) ∈ R2 , ∀n ∈ N, u n = ρ n (λ cos(n θ )+µ sin(n θ ))

Relations de comparaison Si (u n )n ∈N et (vn )n ∈N sont deux suites numériques réelles avec vn 6= 0 à partir d’un certain rang, on dit que : un = 1. • (u n )n ∈N et (vn )n ∈N sont équivalentes si lim n→+∞ vn Notation : u n ∼ vn ; n →+∞

• (u n )n ∈N est négligeable devant (vn )n ∈N si lim

n →+∞

Convergence des suites numériques (u n )n∈N désigne ici une suite à valeurs dans R ou C.

On dit qu’une suite (u n )n ∈N converge vers ` ∈ K si, ∃N ∈ N,

∀n ¾ N ,

ku n − `k < "

La limite, lorsqu’elle existe, est unique. Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse. → Cas des suites réelles Axiome de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Année 2020/2021

=

n →+∞

o(vn ) ;

• (u n )n ∈N est dominée par (vn )n∈N si Notation : u n

Définition

∀" > 0,

Notation : u n

=

n →+∞

O(vn ).

un = 0. vn

un est borné. vn

Si (u n )n ∈N converge vers un réel ` et u n (vn )n ∈N converge vers la même limite `.

∼

n →+∞

vn alors

De plus, si deux suites sont équivalentes, les termes généraux sont de même signe à partir d’un certain rang. Théorème Pour deux suites (u n )n ∈N et (vn )n ∈N données, un

∼

n →+∞

vn

⇐⇒

un

=

n→+∞

vn + o(vn )

Fiche 10 – Suites numériques et vectorielles

28

Suites vectorielles

Proposition

On note (E , k · k) un K-espace vectoriel normé de dimension quelconque.

Une suite converge vers ` ∈ E si, et seulement si, toutes ses sous-suites convergent vers `. La limite est donc l’unique valeur d’adhérence d’une suite convergente. Ainsi, une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence diverge.

→ Convergence d’une suite Définition Soit (u n )n ∈N une suite d’éléments de E . On dit que : • la suite (u n )n ∈N est bornée s’il existe M > 0 tel que pour tout n ∈ N, ku n k ¶ M .

Si K est une partie compacte de E , toute suite admet au moins, par définition, une valeur d’adhérence dans K .

• la suite (u n )n ∈N converge vers ` ∈ E si : ∀" > 0,

∃N ∈ N,

∀n ¾ N ,

ku n − `k < "

On dit qu’elle diverge sinon. On remarquera que la suite (u n )n∈N converge vers ` si, et seulement si, la suite numérique (ku n − `k)n ∈N converge vers 0. Proposition (i) La limite d’une suite, lorsqu’elle existe est unique. (ii) Toute suite convergente est bornée. L’ensemble des suites convergentes est un espace vectoriel et l’application (u n )n ∈N 7→ lim u n est une forme n→+∞

linéaire sur cet espace. Proposition Soient p espaces vectoriels normés (Ei , Ni ). On pose E = E1 × · · · × Ep et on munit E de la norme produit notée N . Une suite u = (u 1 , . . . , u p ) de E converge si, et seulement si, chaque suite u i converge dans Ei . Dans ce cas,   lim u n = lim u 1,n , . . . , lim u p ,n n→+∞

n →+∞

n →+∞

Une suite définie sur un espace vectoriel normé produit converge si et seulement si chacune des suites composantes converge. Ainsi, • pour étudier une suite à valeurs dans Kp , on se ramènera à l’étude des p suites composantes (elles, à valeurs dans K). • pour déterminer la nature d’une suite à valeurs dans C, on pourra étudier la convergence des parties réelle et imaginaire. → Suites extraites et valeurs d’adhérence Définition : Suite extraite On appelle suite extraite ou sous-suite d’une suite (u n )n ∈N de E toute suite de la forme (u ϕ(n ) )n∈N où ϕ : N → N est strictement croissante.

Définition : Valeur d’adhérence On appelle valeur d’adhérence d’une suite (u n )n ∈N de E toute limite d’une e sous-suite de (u n )n∈N .

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

29

Résumé 11 – Séries numériques et vectorielles Sommes classiques n X

k=

k =0

→ Cas des séries à termes positifs Attention, ces résultats ne sont valables que pour des séries à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang).

n X n (n + 1) n (n + 1)(2n + 1) et k2 = 2 6 k =0

n X

n X 1 − q n +1 1 − q n −p +1 Si q 6= 1, q = et qk = qp · 1−q 1−q k =0 k =p n   n −1 X X n k n −k n n n (x +y ) = x y et x −y = (x −y ) x k y n −1−k k k =0 k =0 k

Théorème P On suppose que u n est une série à termes positifs. Si la suite (Sn )n ∈N est majorée alors la série converge. Sinon, elle diverge vers +∞.

Théorème : Règle de majoration

Convergence des séries numériques

On suppose que pour tout n ∈ N, 0 ¶ u n ¶ vn . P P (i) vn converge =⇒ u n converge. +∞ +∞ X X Et alors, un ¶ vn .

La suite (u n )n ∈N est supposée à valeurs dans K. On appelle : n X • somme partielle au rang n le terme Sn = uk . k =0

• série de terme général u n la suite (Sn )n ∈N , notée

P

un .

(ii)

P

n=0

n =0

u n diverge =⇒

P

vn diverge.

• somme de la série de terme général la limite de (Sn )n ∈N La série de terme général u n est dite convergente lorsque (Sn )n ∈N converge. On appelle alors : • somme de la série la limite de (Sn )n ∈N . +∞ X Notation : S = lim Sn = un . n→+∞

n =0

• reste au rang n la différence Rn = S − Sn =

+∞ X

uk .

k =n+1

On ne modifie pas la nature d’une série en modifiant ses premiers termes. Petit passage en revue des techniques au programme permettant de déterminer la nature d’une série.

Théorème : Règle des équivalents P On suppose vn à termes positifs et u n ∼ vn . n →+∞ P P Alors, u n et vn sont de même nature.

Théorème : Règle de d’Alembert P Soit u n une série à termes strictement positifs véu n +1 −−−−→ `. rifiant de plus u n n →+∞ • Si ` < 1, la série converge. • Si ` > 1, la série diverge. • Si ` = 1, on ne peut rien dire.

→ Divergence grossière Théorème : Comparaison séries/intégrales

Théorème P Si u n converge alors u n −−−−→ 0.

Si f : [a , +∞[→ R est continue, positive et décroisR +∞ P sante, f (n ) et a f (t ) dt sont de même nature.

n→+∞

Ainsi, si (u n )n ∈N ne converge pas vers 0, la série diverge (de manière grossière). P La réciproque est fausse comme le montre l’exemple n1 . → Calcul direct Théorème : Série géométrique P n x converge si et seulement si |x | < 1 (pour x ∈ C). 1 Dans ce cas, sa somme vaut . 1− x On peut également prouver la convergence de séries à l’aide de sommes télescopiques. Proposition La suite (u n )n∈N converge ssi la série converge.

P

(u n +1 − u n )

Ce théorème fournit de nouvelles séries de référence. Théorème : Séries de Riemann X 1 Soit α ∈ R. converge si et seulement si α > 1. nα Théorème : Règles du petit o et du grand O P vn une série à termes positifs convergente. P • Si u n = O(vn ), alors u n converge (absolument). P • Si u n = o(vn ), alors u n converge (absolument) Soit

On peut comparer les restes de deux séries à termes positifs convergentes : • Si u n • Si u n

Application au développement asymptotique de la série harmonique. Année 2020/2021

• Si u n

∼

vn alors Rn

=

o(vn ) alors Rn

=

O(vn ) alors Rn

n →+∞ n →+∞ n→+∞

∼

n →+∞

Rn0 .


o Rn0 .
= O Rn0 .

=

n →+∞

n →+∞

Fiche 11 – Séries numériques et vectorielles

30

On peut comparer les sommes partielles de deux séries à termes positifs divergentes : • Si u n • Si u n • Si u n

∼ S0 . n →+∞ n

∼

vn alors Sn

=

o(vn ) alors Sn

=

O(vn ) alors Sn

n →+∞ n →+∞ n →+∞


o Sn0 .
= O Sn0 .

=

n →+∞

Séries à valeurs dans un e.v.n. de dim. finie Soit (E , k·k) un espace vectoriel normé de dimension finie. La nature de la série est ainsi indépendante de la norme choisie. → Convergence d’une série à valeurs dans un e.v.n. P P On dit que u n converge absolument lorsque ku n k converge.

n→+∞

→ Convergence absolue Lorsque la série n’est plus à termes positifs (cas réel ou complexe), on étudie sa convergence absolue.

Théorème Une série absolument convergente d’un espace vectoriel normé de dimension finie est convergente.

Définition P On dit que u n converge absolument lorsque la P série à termes positifs |u n | converge.

Soit n ∈ N∗ . L’application A 7→ max

Théorème : CV abs =⇒ CV

1¶i ¶n

Une série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse :

P (−1)n n

→ Exponentielles de matrices et d’endomorphismes

norme sur Mn (K). Elle vérifie : ∀A, B ∈ Mn (K),

est semi-convergente.

Par récurrence simple,

→ Produit de Cauchy

n =0

n =0

|a i , j | définit une

j =1

kAB k ¶ kAk · kB k

∀k ∈ N,

kA k k ¶ kAkk .

Théorème / Définition : Exponentielle de matrice X Ak converge abs. Pour tout A ∈ Mn (K), la série k! k ∈N Sa somme est appelée exponentielle de A et on pose :

Théorème : Produit de Cauchy P P Si u n et vn convergent absolument alors leur produit de Cauchy converge (absolument) et : ‚+∞ Œ ‚+∞ Œ +∞ n X X X X wn = avec wn = un · vn u k vn −k n =0

n X

exp(A) = eA =

k =0

+∞ k X A k =0

k!

→ Critère spécial des séries alternées Théorème : Théorème spécial des séries alternées P (−1)n αn une série à termes réels telle que :

De même, pour f ∈ L (E ) (en dim. finie), exp(f ) =

Soit

Proposition

(αn )n ∈N positive, (αn )n∈N & et lim αn = 0.

Si A, B ∈ Mn (K) commutent,

n →+∞

Alors (−1) αn converge et |Rn | = |S − Sn | ¶ αn +1 . Rn est de plus du signe du premier terme « négligé ». P

+∞ k X f . k! k =0

n

exp(A + B ) = exp(A) exp(B ) = exp(B ) exp(A)

Application à l’étude de la convergence uniforme de certaines séries de fonctions. Série alternée ? Convergence absolue ?

non

?

no

n

oui Règle de majoration Règle des équivalents Divergence grossière ?

non

P

u n à termes positifs ?

oui

Règle de d’Alembert Comparaison

P R /

Règle du petit o ou O

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

31

Résumé 12 – Familles sommables Ensembles dénombrables

→ Cas des familles de nombres réels ou complexes Définition

Définition : Ensemble dénombrable • Un ensemble E est dit dénombrable s’il existe une bijection entre E et N. • Il sera dit au plus dénombrable s’il est fini ou en bijection avec N. Si E est dénombrable, on peut numéroter ses éléments : E = {xn | n ∈ N} ∗

Les ensembles N, N , Z, N2 , Q sont dénombrables. • Le produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. • La réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable. Les ensembles R, {0, 1}N et NN ne sont pas dénombrables.

Familles sommables de nombres complexes

La famille (u i )i ∈I de nombres complexes est dite sommable si la famille de réels positifs (|u i |)i ∈I l’est. Toute combinaison linéaire de familles sommables est sommable et pour une famille sommable (u i )i ∈I : X X |u i | ui ¶ i ∈I i ∈I Théorème : Sommation par paquets (cas complexe) Soient (In ) une partition de I et (u i )i ∈I une famille de nombres complexes supposée sommable. Alors, (i) pour tout entier n , (u i )i ∈In est sommable ; ! X X |u i | converge. (ii) la série n ∈N

(u i )i ∈I désigne une famille de nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable I .

De plus,

X

ui =

i ∈In +∞ X X n =0

i ∈I

! ui .

i ∈In

→ Cas des familles de réels positifs Définition La famille de réels positifs (u i )i ∈I est sommable si « ¨ X u i | J ⊂ I , J finie est majoré.

Corollaire : Convergence commutative X u n converge absolument, pour toute Si la série
permutation σ de N, u σ(i ) i ∈N est sommable et : +∞ X

i ∈J

Dans ce cas, on pose :

X

u i = sup

i ∈I

X

J ⊂I i ∈J J finie

Si (u i )i ∈I n’est pas sommable, on pose

X

n =0

ui

u i = +∞.

i ∈I

Proposition : Lien avec les séries numériques La famille de réels positifs P (u i )i ∈N est sommable si, et seulement si, la série u n converge. +∞ X X Dans ce cas, ui = ui .

Application aux séries doubles Théorème : Tonelli discret Soit (u n ,p )(n ,p )∈N2 une famille de réels positifs. Cette famille est sommable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées : X (i) pour tout entier n , u n ,p converge p ∈N

! (ii) la série

Théorème : Sommation par paquets (cas positif ) Soient (In )n∈N une partition de I et (u i )i ∈I une famille de réels positifs. Alors, la famille (u i )i ∈I est sommable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont vérifiées : (i) pour tout entier n , (u i )i ∈In est sommable ; ! X X (ii) la série u i converge. n ∈N

Dans ce cas,

X i ∈I

Année 2020/2021

i ∈In

ui =

+∞ X X n =0

un

n =0

i =0

i ∈N

+∞ X

u σ(n ) =

i ∈In

!

X X n∈N

Si c’est le cas,

u n ,p

converge

p ∈N

+∞ X +∞ X

u n ,p =

+∞ +∞ X X

u n ,p .

p =0 n=0

n =0 p =0

Théorème : Fubini discret Si la famille de complexes (u n ,p )(n ,p )∈N2 est som+∞ X +∞ +∞ X +∞ X X mable, alors u n ,p = u n ,p . n =0 p =0

p =0 n =0

ui . On retrouve également le théorème du produit de Cauchy.

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

32

Résumé 13 – Suites et séries de fonctions Suites de fonctions

Méthode : établir la non-convergence uniforme

→ Modes de convergence

Ls possibilités sont multiples. On peut justifier :

On considère une suite de fonctions fn un intervalle I et à valeurs dans K.


n∈N

définies sur

double limite.

Définition : Convergence simple
On dit que la suite fn n∈N converge simplement vers la fonction f sur I si : ∀x ∈ I ,

fn (x ) −−−−→ f (x )

Établir la convergence simple de la suite fn n ∈N revient à montrer la convergence de (fn (x ))n ∈N pour tout x ∈ I . Définition : Convergence uniforme
On dit que la suite fn n ∈N converge uniformément vers la fonction f sur I si fn − f est bornée à partir d’un certain rang sur I et :

| fn (u n ) − f (u n )| −−−− 6 →0 n→+∞

En cas de convergence uniforme, la continuité se transmet par passage à la limite. Théorème : Continuité de la limite uniforme
Soit fn n ∈N une suite de fonctions de I dans K convergeant uniformément vers f sur I et soit a ∈ I . Si, pour tout n ∈ N, fn est continue en a , alors f est continue en a . La continuité étant une propriété locale, on peut se contenter de travailler seulement au voisinage de a .

k fn − f k∞ −−−−→ 0, n →+∞

sup | fn (x ) − f (x )| −−−−→ 0 x ∈I

Ì l’existence d’une suite (u n )n ∈N telle que :

→ Convergence uniforme, continuité et double limite

n →+∞




c’est-à-dire :

Ê la non-convergence simple (condition minimale) ; Ë le non-respect des théorèmes de continuité et de

n →+∞

y f +" f fn f −"

Théorème : Théorème de la double limite
Soit fn n ∈N une suite de fonctions de I dans K convergeant uniformément vers f sur I et soit a un point adhérent à I (ou bien a = ±∞). Si, pour tout n ∈ N, fn admet une limite `n en a , alors (`n ) admet une limite ` et f (x ) −→ `. x →a

Ce résultat généralise le précédent. → Convergence uniforme, intégration sur un segment Théorème Soit (fn ) une suite de fonctions continues sur un segment [a , b ] et à valeurs dans K, convergeant uniformément sur le segment [a , b ]. Alors,

x Illustration de la convergence uniforme

b

Z

fn (x ) dx =

lim

Proposition : CVU =⇒ CVS
Si une suite fn n ∈N converge uniformément vers f sur I , alors elle converge simplement vers f sur I .

n →+∞

b

Z

a

lim fn (x ) dx

a

n →+∞

Si l’intervalle n’est pas un segment, on exploitera le théorème de convergence dominée. Proposition : Convergence uniforme et primitives

Méthode : établir la convergence uniforme On commence par déterminer la limite simple f de la
suite de fonctions fn n ∈N . S’offrent deux possibilités :

Ê La borne supérieure sur I de | fn − f | s’obtient parfois par simple étude de fonction. Il suffit dans ce cas de passer à la limite.

Ë Le calcul explicite de la borne sup est malaisé, on majore alors en cherchant M n ∈ R+ tel que : ∀x ∈ I ,

| fn (x ) − f (x )| ¶ M n

avec

Soit (fn ) une suite de fonctions continues définies sur un intervalle I et à valeurs dans K, convergeant uniformément vers f sur tout segment de I . Soit x0 ∈ I . On définit, pour n ∈ N et x ∈ I , Fn (x ) =

Z

x

fn (t ) dt x0

et

F (x ) =

Z

x

f (t ) dt x0

Alors (Fn ) converge uniformément vers F sur tout segment de I .

M n −−−−→ 0 n →+∞

Année 2020/2021

Fiche 13 – Suites et séries de fonctions

→ Convergence uniforme et dérivation Théorème Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn est de classe C 1 sur I .

33

Définition : Convergence simple, uniforme X On dit que la série de fonctions fn converge simplement (respectivement uniformément) sur I si la suite de fonctions (Sn )n ∈N converge simplement (respectivement uniformément) sur I . En cas de convergence, on pose :

• (fn ) converge simplement sur I vers f . • (fn0 ) converge uniformément sur (tout segment de) I vers une fonction g . Alors (fn ) converge uniformément vers f sur (tout segment de) I , f est de classe C 1 sur I et f 0 = g . La convergence uniforme de la suite des dérivées s’établira sur l’intervalle I ou, si nécessaire, seulement sur tout segment inclus dans I . Corollaire Soit (fn ) une suite de fonctions définie sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn est de classe C p sur I . • Pour tout k ∈ ¹0, p − 1º, (fn(k ) ) converge simplement sur I vers une fonction fk . € (p ) Š • fn converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction fp . Alors (fn ) converge uniformément vers f = f0 sur tout segment de I . La fonction f est de plus de classe C p sur I et pour tout k ∈ ¹0, p º, f (k ) = fk .

Théorème : Convergence dominée Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I . • La suite (fn ) converge simplement sur I vers une fonction continue par morceaux f . • Il existe une fonction ϕ positive, continue par morceaux et intégrable sur I vérifiant : | fn | ¶ ϕ

(hypothèse de domination)

Alors, les fonctions f et fn sont intégrables sur I et, Z Z fn (x ) dx =

lim

n →+∞

I

f (x ) dx

I

+∞ X

fk (x ) = lim

k =0

n →+∞

n X

fk (x )

k =0

La convergence uniforme d’une série entraîne sa convergence simple. Proposition Une série de fonctions converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et si la suite de ses restes converge uniformément vers 0. Il n’est pas commode de justifier la convergence uniforme d’une série de fonctions (à l’exception de celles vérifiant le critère spécial des séries alternées) : il faut au préalable montrer la convergence simple pour ensuite étudier la convergence uniforme du reste vers 0. Définition : Convergence normale X On dit que la série de fonctions fn converge normalement sur I si les fonctions fn sont bornées sur I (à partir d’un certain rang) et si la série numérique X k fn k∞,I converge.

Théorème Si la série de fonctions converge normalement sur I alors elle converge uniformément sur I .

+∞ +∞

X

X

fn Dans ce cas, ¶ k fn k∞,I .

n =0 n=0 ∞,I

CV normale

=⇒

CV uniforme

=⇒

CV simple

Toute série convergeant uniformément ne converge pas nécessairement normalement. Bien que pratique, la convergence normale ne sera pas la réponse à tout ! → Continuité et double limite Théorème P Soit fn une série de fonctions de I dans K convergeant uniformément vers f sur I et soit a ∈ I . +∞ X Si, pour tout n ∈ N, fn est continue en a , alors fn

Séries de fonctions → Modes de convergence Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs dans K. On appelle : n X • somme partielle au rang n la fonction Sn = fk ; k =0

• série de terme général fn la suite de fonctions (Sn )n∈N . Année 2020/2021

S (x ) =

Pour justifier la convergence normale, on établit souvent X la majoration k fn k∞ ¶ αn avec αn convergente.

→ Convergence dominée

∀n ∈ N,

∀x ∈ I ,

est continue en a .

n =0

En pratique, la convergence uniforme sur tout segment inclus dans I assure la continuité sur I . Cette condition s’avère pratique lorsqu’il n’y pas convergence uniforme (ou mieux, normale) sur I .

Fiche 13 – Suites et séries de fonctions

34

Théorème : Théorème de la double limite P Soient fn une série de fonctions de I dans K et a un point adhérent à I (ou bien a = ±∞). On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn admet une limite `n en a . P fn converge uniformément sur I . +∞ X P Alors la série `n converge, la somme fn admet • La série

une limite en a et lim x →a

+∞ X

fn (x ) =

+∞ X n =0

n=0

n =0

lim fn (x ).

x →a

→ Dérivation et intégration d’une série de fonctions Théorème : Dérivation terme à terme P Soit fn une série de fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn est de classe C 1 sur I . P • fn converge simplement sur I . P 0 • fn converge uniformément sur tout segment de I . +∞ X fn converge uniformément sur tout segAlors, n =0

ment de I ,

+∞ X

fn est de classe C 1 sur I et ‚+∞ X

Œ0 =

fn

n =0

+∞ X

• Pour tout n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I . P • La série fn converge simplement sur I vers une fonction continue par morceaux. PR • La série | f | converge. I n Alors,

+∞ X

fn est intégrable sur I et

n =0 +∞ X

Z

n =0



fn (x ) dx = I

Z ‚+∞ X I

Πfn (x ) dx

n =0

Attention àZne pas oublier la valeur absolue dans l’hypoX | fn | converge ». thèse « I

n =0

Définition : Fonctions continues par morceaux Une fonction f : [a , b ] → C est dite continue par morceaux si pour une certaine subdivision (x0 , . . . , xn ) de [a , b ], pour tout i ∈ ¹0, n − 1º,

fn0

On généralise alors aux séries de fonctions de classe C p . Corollaire : Dérivation terme à terme P Soit fn une série de fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que : • Pour tout n ∈ N, fn est de classe C p sur I . P • Pour tout k ∈ ¹0, p − 1º, fn(k ) converge simplement sur I . P (p ) • fn converge uniformément sur tout segment de I . +∞ X Alors, fn est de classe C p sur I et, n =0

• f]xi ,xi +1 [ est continue sur ]xi , xi +1 [ • f]xi ,xi +1 [ est prolongeable par continuité en xi et xi +1 La subdivision (x0 , . . . , xn ) est dite adaptée à f . Les fonctions en escalier et les fonctions continues sont continues par morceaux. Proposition Toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée.

Théorème : Approximation uniforme (segment)

∀k ∈ ¹0, p º,

‚+∞ X

Œ(k ) fn

=

n =0

+∞ X n =0

fn(k )

Théorème : Intégration terme à terme (segment) P Soit fn une série de fonctions continues sur un segment [a , b ] et à valeurs dans K, convergeant uniforZ X b mément sur le segment [a , b ]. Alors fn (x ) dx

b

‚Z

Πfn (x ) dx =

a

Toute fonction continue par morceaux sur [a , b ] est la limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier sur [a , b ].

Théorème : Théorème de Weierstrass Toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme de fonctions polynomiales.

a

converge et :

n =0

Théorème : Intégration terme à terme Soit ( fn ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K. On suppose que :

Approximation uniforme

n=0

+∞ X

Les théorèmes qu iprécèdent sont encore valables pour fn : I → F avec F un espace normé de dimension finie. Les théorèmes de continuité et de double limite sont même encore vérifiés pour fn : A ⊂ E → F avec A une partie d’un espace normé E de dimension finie.

b

Z a

‚+∞ X

Πfn (x ) dx

n =0

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

35

Résumé 14 – Séries entières Une série entière de Pvariable réelle ou complexe z est une série de la forme a n z n avec a n ∈ K. Son domaine de convergence le domaine de définition D de la fonction : z 7→

+∞ X

an z n

n =0

Rayon de convergence → Définition et propriétés Lemme : Lemme d’Abel Soit z 0 ∈ C. Si la suite (a n z 0n )n ∈N est bornée, alors, pour P tout nombre complexe z tel que |z | < |z 0 |, la série a n z n est absolument convergente. Définition

→ Opérations sur les séries entières Théorème : Somme et produit P • (a n + bn )z n est une série entière de rayon de convergence R avec R = min(Ra , R b ) si Ra 6= R b ou R ¾ Ra si Ra = R b . P • λa n z n est une série entière de rayon de convergence Ra si λ 6= 0 ou +∞ si λ = 0. • Le produit de Cauchy des deux séries est de la n X P forme cn z n avec cn = a k bn −k et son rayon k =0

de convergence R vérifie R ¾ min(Ra , R b ).

Propriétés de la somme (variable réelle)

On rayon de convergence de la série entière P appelle a n z n l’élément R ∈ R+ défini par :  R = sup r ¾ 0 | (a n r n )n ∈N est bornée

P Soient désormais la série entière réelle a n x n , R > 0 son +∞ X a n x n sa somme. rayon de convergence et f : x 7→ n =0

f est définie sur l’intervalle I , où ] − R , R [⊂ I ⊂ [−R , R ]. Théorème P Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R . P • Si |z | < R alors a n z n converge absolument. P • Si |z | > R alors a n z n diverge grossièrement.

Théorème Une série entière converge normalement, donc uniformément, sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence.

• Si |z | = R alors on ne peut rien dire. Autrement dit, R = sup{r ¾ 0 |

X

a n r n converge absolument}

→ Détermination pratique du rayon de convergence P P On considère deux séries entières a n z n et bn z n de rayons de convergence respectifs Ra et R b . Théorème : Encadrement Soit z 0 ∈ C. P • Si a n z 0n converge, alors |z 0 | ¶ R P • Si a n z 0n diverge, alors |z 0 | ¾ R . P • Si a n z 0n est semi-convergente, alors |z 0 | = R . Théorème : Comparaison

Attention, il n’y a a priori pas convergence normale sur l’intervalle de convergence, seulement sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert ! Théorème : Continuité La fonction f est continue sur l’intervalle ouvert de convergence.

Pour justifier la continuité au bord du domaine, on s’intéressera à la convergence uniforme ou normale sur [−R , R ]. Théorème : Dérivation terme à terme P f est de classe C ∞ sur ] − R , R [, na n x n −1 est une série entière de rayon de convergence R et : ∀x ∈] − R , R [,

• si a n

∼

n →+∞

=

n →+∞

na n x n −1

|bn |, Ra = R b .

o(bn ), Ra ¾ R b .

On appliquera également la règle de d’Alembert (pour une série numérique à termes strictement positifs). Théorème P P Les séries a n z n et na n z n ont même rayon de convergence.

Année 2020/2021

+∞ X n =1

• si |a n | ¶ |bn | à partir d’un certain rang, Ra ¾ R b . • si |a n |

f 0 (x ) =

Théorème : Intégration terme à terme X a n On note F une primitive de f . x n +1 est une n +1 série entière de rayon de convergence R et : ∀x ∈] − R , R [,

F (x ) = F (0) +

+∞ X a n n +1 x n +1 n =0

Fiche 14 – Séries entières

36

Développements en série entière Définition Une application est développable en série P entière sur ] − r, r [ s’il existe une série entière a n x n de rayon de convergence R avec R ¾ r telle que : ∀x ∈] − r, r [,

f (x ) =

+∞ X

an x n .

n =0

Théorème Si f admet un développement en série entière sur ]−r, r [ alors f est de classe C ∞ sur ]−r, r [, son développement en série entière est unique et est donné +∞ (n ) X f (0) n par sa série de Taylor : x . n! n =0 La réciproque est fausse : toute fonction de classe C ∞ n’est pas développable en série entière. → Détermination pratique • Utilisation des développements usuels (♥). • Dérivation et intégration terme à terme. • Formule de Taylor avec reste intégral. • Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle. • Utilisation d’une équation différentielle. → Développements en série entière usuels

C

ez =

+∞ n X z

n!

n=0

+∞ +∞ X X x 2n +1 x 2n ; sh(x ) = (2n )! (2n + 1)! n =0 n=0

R

ch(x ) =

R

cos(x ) =

+∞ X (−1)n x 2n n =0

(2n )!

; sin(x ) =

+∞ X (−1)n x 2n +1 n =0

+∞ X

(2n + 1)!

+∞ X

] − 1, 1[

1 (−1)n+1 n (−1)n x n ; ln(1 + x ) = = x 1 + x n =0 n n =1

] − 1, 1[

(1 + x )α = 1 +

+∞ X α(α − 1) · · · (α − n + 1) n=1

n!

x n (α ∈ / N)

Année 2020/2021

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

37

Résumé 15 – Calcul intégral Intégration sur un segment

• Changement de variables Si f : J → R est continue et ϕ : [a , b ] → J de classe C 1 , Z b Z ϕ(b )

→ Construction et propriétés On définit l’intégrale en approchant sur le segment [a , b ] toute fonction continue par morceaux par une suite de de fonctions en escalier. Z b

Ainsi, si f est continue p.m. sur [a , b ], alors

f existe. a

Propriétés de l’intégrale : (f , g ∈ Cm ([a , b ]; K) et λ ∈ K) b

Z

λf + g = λ

• Linéarité :

b

Z

f +

b

Z

f =

• Relation de Chasles : • Positivité : f ¾ 0 =⇒

a

• Fractions rationnelles Intégration directe lorsqu’elles sont du type

1 . (x − a )n

Sinon, on décompose en éléments simples. x  1 1 x 7→ se primitive en x 7→ arctan . x2 +a2 a a • Fractions rationnelles en exp : on pose u = e x .

(c ∈ [a , b ])

(seulement pour a < b )

• Produit d’un polynôme trigonométrique par une exponentielle : on passe en complexe.

f + a

f ¾0

ϕ(a )

• Produit d’un polynôme par une exponentielle On effectue des intégrations par parties successives jusqu’à éliminer le polynôme.

c

Z

a b

Z

g a

a

a

b

Z

f (ϕ(u ))ϕ 0 (u ) du

f (t ) dt =

b

Z

f c

a

• Croissance : f ¶ g =⇒

Z

b

Z f ¶

Za b • Inégalité triangulaire : a

b

g

(idem)

aZ b f ¶ |f | a

→ Calcul approché d’intégrales La méthode des rectangles (ici « à gauche ») est à connaître.

(idem)

Théorème : Sommes de Riemann Soit f une fonction continue sur [a , b ]. Alors,

Théorème

Z b ‹ n −1  b −a b −a X f a +i −−−−→ f (t ) dt n →+∞ n i =0 n a

Soit f une fonction positive et continue sur [a , b ]. b

Z

f = 0 ⇐⇒ f est identiquement nulle sur [a , b ]. a

Pour a = 0 et b = 1, on trouve : Z1 n −1  ‹ 1X k f −−−−→ f (t ) dt n k =0 n n →+∞ 0

→ Primitives Une primitive d’une fonction continue f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F 0 = f . Théorème

I désigne désormais un intervalle quelconque de R.

Soient f : I → R continue sur l’intervalle I et a , b ∈ I . Z x f (t ) dt est une primitive de f sur I .

x 7→

Intégrales généralisées

a

Définition

b

Z

f (t ) dt = F (b )−F (a ).

Si F est une primitive de f ,

→ Définition

a

Soit f : [a , b [→ K continue, avec b ∈ R ou b = +∞. Z x f admet une limite finie lorsque x → b − , on

Si

Toutes les primitives sur un même intervalle sont égales à une constante près.

a

b

Z

f la limite.

dit que l’intégrale converge et on note a

→ Recherche de primitives Il existe de nombreuses façons de calculer des primitives. • Reconnaissance de formes usuelles. Ex. : f 0 f α se « prif α+1 mitive » en si α 6= −1, en ln | f | si α = −1. α+1 • Intégration par parties Si f et g sont de classe C 1 sur [a , b ], Z b Z b  b f 0g = f g a − f g0 a

Année 2020/2021

a

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre diverge. Il y a deux types d’intégrales impropres : l’intégrale de fonctions non bornées sur un intervalle borné (x 7→ ln x sur ]0, 1]) et celle de fonctions continues sur un intervalle non borné (x 7→ e−x sur [0, +∞[). On peut étendre la définition précédente au cas ]a , b ] avec a ∈ R ou a = −∞. Pour un intervalle de la forme ]a , b [ on découpe l’intégrale en deux.

Fiche 15 – Calcul intégral

38

→ Étude de la nature d’une intégrale On peut quelquefois calculer une primitive et passer à la limite pour prouver la convergence/divergence. +∞

Z

1 dt CV ssi α > 1 ; tα

1

1

Z 0

+∞

Z

−αt

e

dt CV ssi α > 0 ;

b−

ln t dt CV.

Rb a

b−

f converge. a

a

• si f = O(g ) alors

0

continuité en b (attention, b 6= ∞ !),

f =

Soient f , g : [a , b [→ R. On suppose g continue, positive et d’intégrale convergente sur [a , b [. Rb • si f = o(g ) alors a f converge (absolument) ;

1

Z

Si f : [a , b [→ K est continue sur [a , b [ et prolongeable par Z b

b

Théorème : Règle du petit o et du grand O

1 dt CV ssi α < 1 ; tα

0

Z

Des encadrements séries-intégrales permettent en outre d’obtenir des équivalents de sommes et d’intégrales.

f converge (absolument).

Ainsi, g intégrable =⇒ f intégrable (cf. ci-dessous).  ‹ 1 Application à f (t ) = o avec α > 1. t →+∞ tα

b

Z

f˜ où f˜ est le prolongement continu de f a

Théorème : Divergence grossière à l’infini

→ Calcul intégral On se placera sur un segment avant d’utiliser une intégration par parties, quitte à passer à la limite.

Soit f : [a , +∞[→ R continue par morceaux. Si f adZ +∞

met une limite ` 6= 0 en +∞,

Théorème : Changement de variable Soient f :]a , b [→ K continue et ϕ :]α, β [→]a , b [ une bijection strictement croissante de classe C 1 . Zβ Z b

f (t ) dt diverge.

a

f (ϕ(u))ϕ 0 (u ) du sont de même

f (t ) dt et

Contrairement aux séries, on ne peut rien dire lorsque la limite n’existe pas.

α

a

nature et en cas de convergence, elles sont égales.

→ Intégrales de fonctions positives

Idem pour ϕ strictement décroissante (aux bornes près).

On dispose de plusieurs méthodes lorsque la fonction est positive (ou tout du moins de signe constant).

→ Convergence absolue et fonctions intégrables

Théorème : Règle de majoration

Définition Soit f : [a , b [→ R continue p.m. sur [a , b [. Z b

Soient f , g : I → R deux fonctions continues p.m. sur I telles que 0 ¶ f ¶ g . Alors, Z Z (i) I

g converge =⇒ f converge. Z ZI f ¶

Dans ce cas, I

Z

f diverge =⇒

(ii) I

a

I

Z g diverge.

Soient f , g : [a , b [→ R deux fonctions continues p.m. sur I , de signe constant au voisinage de b , telles que f (t ) ∼ g (t ). Alors, t →b −

Théorème : CV absolue =⇒ CV

f et a

Une intégrale absolument convergente converge. +∞

Z 0

sin(t ) est semi-convergente. t

Définition Soit f : I → K uneZfonction continue p.m. sur I est

b

Z

a

| f | converge.

lorsque

g

Théorème : Règle des équivalents

b

b

Z

I

Z

f est absolument convergente

On dit que

g sont de même nature.

Théorème : Comparaison séries/intégrales Soit f une application continue par morceaux, positive et décroissante sur [a , +∞[.R n Alors la série de terme général n −1 f (t ) dt − f (n) converge. En particulier, Z +∞ P f (n ) et f (t ) dt sont de même nature. a

f est absolument convergente.

dite intégrable si I

a

Les propriétés de linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles et inégalité triangulaire se vérifient encore pour des fonction intégrables sur un intervalle quelconque. Théorème L’ensemble L 1 (I ) des fonctionsZcontinues et intégrables sur I muni de k · k1 : f 7→ vectoriel normé.

| f | est un espace I

Année 2020/2021

Fiche 15 – Calcul intégral

Si f , g : [a , b [→ K sont continues et g est de plus positive et intégrable sur [a , b [, Z b Z b x →b

g (t ) dt .

f (t ) dt ∼

• Si f (x ) ∼ g (x ),

x →b

x

• Si f (x ) = o(g (x )), x →b

f (t ) dt = o

• Si f (x ) = O(g (x )), x →b

b

‚Z

x →b

x

f (t ) dt = O

g (t ) dt . b

‚Z

x →b

x

Œ

x

b

Z

Πg (t ) dt .

x

Si g est supposée positive et non intégrable sur [a , b [, Z x Z x

• Si f (x ) ∼ g (x ), x →b

g (t ) dt .

f (t ) dt ∼

x →b

a

• Si f (x ) = o(g (x )), x →b

f (t ) dt = o

• Si f (x ) = O(g (x )), x →b

x

Z

x

Z

x →b

a

f (t ) dt = O



g (t ) dt . a x

Z

x →b

a



g (t ) dt . a

Intégrales à paramètre On note I et J deux intervalles de R et on considère : Z f (x , t ) dt avec f : I × J → R

g : x 7→

∀(x , t ) ∈ K × J ,

| f (x , t )| ¶ ϕK (t )

La continuité de g sur tout segment de I assure alors sa continuité sur I . Si J = [a , b ] est un segment et si f est continue sur I × [a , b ], la domination sur tout segment sera automatiquement vérifiée (à justifier). → Dérivabilité d’une intégrale à paramètre Théorème : Théorème de Leibniz

a

x

Z

L’hypothèse de domination peut simplement être vérifiée sur tout segment K inclus dans I , c’est-à-dire :

x

b

Z

39

J

Étudier le domaine de définition de g revient à étudier pour chaque x ∈ I l’existence d’une intégrale.

Si une fonction f : I × J → K vérifie : • Pour tout t ∈ J , x 7→ f (x , t ) est de classe C 1 sur I . • Pour tout x ∈ I , t 7→ f (x , t ) est continue (p.m.), ∂f intégrable et t 7→ (x , t ) continue (p.m.) sur J . ∂x • Il existe ϕ : J → R+ continue (p.m.) et intégrable sur J telle que : ∂ f (x , t ) ¶ ϕ(t ) ∀(x , t ) ∈ I × J , ∂x Z f (x , t ) dt est de classe C 1 sur I et

Alors, g : x 7→ J

∀x ∈ I ,

0

g (x ) =

→ Convergence dominée

Z J

Théorème : Convergence dominée (extension) Soit (f x ) x ∈I une famille de fonctions définies sur J à valeurs dans K. Soit également x0 un point adhérent à I (ou bien x0 = ±∞). On suppose que : • Pour tout x ∈ I , f x est continue (p.m) sur J . • Pour tout t ∈ J , f x (t ) −−−→ f (t ) où f est une fonc-

∂f (x , t ) dt ∂x

On peut là encore se contenter d’une domination sur tout segment inclus dans I . L’hypothèse de domination est automatiquement vérifiée lorsque J est un segment. Extension aux fonctions de classe C k : on opère en plusieurs fois sur f 0 , f 00 , . . . ou bien on raisonne par récurrence. On peut également appliquer directement :

x →x0

tion continue par morceaux sur J . • Il existe ϕ : J → R+ continue (p.m.) et intégrable sur J telle que pour tous (x , t ) ∈ I × J , | f x (t )| ¶ ϕ(t ). Alors, les fonctions f x et f sont intégrables sur J et Z Z f x (t ) dt =

lim

x →x0

J

f (t ) dt

J

→ Continuité d’une intégrale à paramètre R Théorème : Continuité sous le signe Si une fonction f : I × J → K vérifie : • Pour tout t ∈ J , x 7→ f (x , t ) est continue sur I . • Pour tout x ∈ I , t 7→ f (x , t ) est continue par morceaux) sur J . • Il existe ϕ : J → R+ continue (par morceaux) et intégrable sur J telle que : ∀(x , t ) ∈ I × J , Z

f (x , t ) dt est définie et continue sur I .

Alors, x 7→ J

Année 2020/2021

| f (x , t )| ¶ ϕ(t )

Théorème : Théorème de Leibniz – version C n Si une fonction f : I × J → K vérifie : • Pour tout t ∈ J , x 7→ f (x , t ) est de classe C n sur I . ∂kf (x , t ) est ∂ xk continue (p.m) et t → 7 f (x , t ) est intégrable sur J .

• Pour tous k ∈ ¹0, n º et x ∈ I , t 7→

• Pour tout k ∈ ¹1, n º, Il existe ϕk : J → R+ continue (par morceaux) et intégrable sur J telle que : k ∂ f ∀(x , t ) ∈ I × J , (x , t ) ¶ ϕk (t ) ∂ xk Z f (x , t ) dt est de classe C n sur I et

Alors, g : x 7→ J

∀x ∈ I ,

g (n ) (x ) =

Z J

∂nf (x , t ) dt ∂ xn

Ces hypothèses sont à savoir retrouver.

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

40

Résumé 16 – Équations différentielles linéaires Équations linéaires scalaires d’ordres 1 et 2

→ Équations différentielles linéaires d’ordre 2

→ Équations différentielles linéaires d’ordre 1

On considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 1 suivante et on note (H ) l’équation homogène associée :

On considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 1 et l’équation homogène associée : y 0 = a (t )y + b (t )

(E )

y 0 = a (t )y

(H )

a (t )y 00 + b (t )y 0 + c (t )y = d (t )

(E )

On suppose a , b , c , d : I → R continues sur l’intervalle I . Théorème : Problème de Cauchy

Théorème On suppose a , b : I → K continues sur l’intervalle I . Soit A une primitive de a sur I . • L’équation homogène y 0 = a (t )y admet pour solution générale t 7→ λeA(t ) où λ ∈ K. • L’équation y 0 = a (t )y + b (t ) admet pour solution générale t 7→ yp (t ) + λeA(t ) où yp est une solution particulière de l’équation complète.

Z

a (t )y 00 + b (t )y 0 + c (t )y = d (t ) y (t 0 ) = y0 ; y 0 (t 0 ) = y00

admet une unique solution sur I .

Lorsque a : I → R ne s’annule pas sur l’intervalle I ,

t

b (x )e−A(x ) dx

(λ ∈ K)

t0

On considère maintenant l’équation différentielle linéaire d’ordre 1 et son équation homogène associée, où les fonctions a , b , c : I → R sont continues sur l’intervalle I : a (t )y 0 + b (t )y = c (t )

et

a (t )y 0 + b (t )y = 0

Théorème : Problème de Cauchy Si a ne s’annule pas sur l’intervalle I , le problème de Cauchy 



Théorème : Structure de l’ensemble des solutions

On peut même écrire : y (t ) = λeA(t ) + eA(t )

Si a ne s’annule pas sur l’intervalle I , le problème de Cauchy

a (t )y 0 + b (t )y = c (t ) y (t 0 ) = y0

admet une unique solution sur I . Corollaire : Structure de l’ensemble des solutions Lorsque a : I → R ne s’annule pas sur l’intervalle I , • l’ensemble SH des solutions de (H ) est une droite vectorielle ; • l’ensemble SE des solutions de (E ) est une droite affine de direction SH . Plan de résolution : • Identification de l’équation. • Mise sous forme résolue en divisant par a (t ) sur les intervalles où a ne s’annule pas. • Résolution de l’équation homogène y 0 = f (t )y . y (t ) = λeF (t ) où F est une primitive de f sur I et λ ∈ R. • Résolution de l’équation avec second membre. On recherche une solution particulière y0 de (E ). S’il n’y a pas de solution évidente, on utilise la méthode de variation de la constante en posant y (t ) = λ(t )eF (t ) . La solution générale est y (t ) = λeF (t ) + yp (t ). • Recollement éventuel des solutions (souvent via un DL). • Utilisation des conditions initiales.

• l’ensemble SH des solutions de (H ) est un plan vectoriel ; • l’ensemble SE des solutions de (E ) est un plan affine de direction SH . Proposition : Principe de superposition Si y1 est solution de l’équation a y 00 +b y 0 +c y = d 1 (t ) et y2 de l’équation a y 00 +b y 0 +c y = d 2 (t ) alors y1 + y2 est solution de a y 00 + b y 0 + c y = d 1 (t ) + d 2 (t ). Résolution de (H ) lorsque les coefficients sont constants : On résout l’équation caractéristique a X 2 + b X + c = 0 de discriminant associé ∆. • Si ∆ > 0, deux racines réelles distinctes r1 et r2 . y (t ) = λ1 er1 t + λ2 er2 t avec λ1 , λ2 ∈ R. • Si ∆ = 0, une racine réelle double r . y (t ) = (λ1 + λ2 t )er t avec λ1 , λ2 ∈ R. • Si ∆ < 0, deux racines complexes conjuguées α ± i β . y (t ) = (λ1 cos(β t ) + λ2 sin(β t ))eαt avec λ1 , λ2 ∈ R. On peut déterminer une solution particulière de (E ) lorsque le second membre d (t ) est de la forme : • d (t ) = P (t )em t avec P ∈ R[X ], on cherche y0 sous la forme y0 (t ) = Q (t )em t avec Q ∈ R[X ] et deg(Q ) = deg(P ) + k , k étant l’ordre de multiplicité de m en tant que racine de l’équation caractéristique. • d (t ) = cos(ωt ), on passe en complexe. On pourra utiliser le principe de superposition. Résolution lorsque les coefficients ne sont pas constants : (on se laisse guider par l’énoncé) • Recherche de solutions polynomiales (on commence par l’étude du degré). • Recherche de solutions développables en série entière. • Recherche d’une solution sous la forme y (t ) = z (t )y0 (t ) où y0 est une solution déjà connue (méthode dite de Lagrange). • Changement de variables ou d’inconnues. Année 2020/2021

Fiche 16 – Équations différentielles linéaires

Systèmes différentiels linéaires

→ Méthode de variation des constantes

→ Systèmes différentiels à coefficients continus Soit le système linéaire à coefficients continus suivant :  0 x1 (t ) = a 11 (t )x1 (t ) + · · · + a 1n (t ) xn (t ) + b1 (t )      x20 (t ) = a 21 (t )x1 (t ) + · · · + a 2n (t )xn (t ) + b2 (t )     

xn0 (t ) = a n 1 (t )x1 (t ) + · · · + a n n (t )xn (t ) + bn (t )

Il se réécrit sous la forme X 0 (t ) = A(t )X (t ) + B (t ) avec : 1

n

X ∈ C (I , K ) ;

A ∈ C (I , Mn (K)) ;

Il s’agit de trouver les solutions de X 0 = A(t )X + B (t ) connaissant une base (X 1 , . . . , X n ) de l’équation homogène X 0 = A(t )X . La famille (X 1 , . . . , X n ) est alors qualifiée de système fondamental des solutions. X 0 = A(t )X +B (t ) ⇐⇒ λ01 (t )X 1 (t )+· · ·+λ0n (t )X n (t ) = B (t )

.. .

.. .

n

B ∈ C (I , K )

De manière équivalente,

→ Wronskien d’une équation linéaire d’ordre 2 Définition : Wronskien On appelle wronskien de deux solutions y1 et y2 de a (t )y 00 + b (t )y 0 + c (t )y = 0, l’application : y1 (t ) y2 (t ) = y1 (t )y 0 (t ) − y2 (t )y 0 (t ) W : t 7→ 0 1 2 y (t ) y 0 (t ) 1

x 0 = a (t )(x ) + b (t ) avec a ∈ C (I , L (E )) et b ∈ C (I , E ) Théorème : Cauchy-Lipschitz linéaire Soient I un intervalle de R, t 0 ∈ I et X 0 ∈ Mn ,1 (K). Si A : I → Mn (K) et B : I → Mn ,1 (K) sont continues sur I , le problème de Cauchy 

(i) (y1 , y2 ) est un système fondamental de solutions (ii) ∀t ∈ I , W (t ) 6= 0

(iii) ∃t 0 ∈ I , W (t 0 ) 6= 0

Lorsque le système différentiel linéaire est à coefficients constants, on sait le résoudre explicitement.

Théorème : Structure de l’ensemble des solutions Lorsque A : I → Mn (K) et B : I → Kn sont continues sur l’intervalle I , • l’ensemble SH des solutions de X 0 = A(t )X est un s.e.v. de C 1 (I , Kn ) de dimension n ; • l’ensemble des solutions de X 0 = A(t )X + B (t ) est un sous-espace affine de C 1 (I , Kn ) de direction SH .

→ Équations différentielles linéaires scalaires

y (n ) = a 0 (t )y +a 1 (t )y 0 +· · ·+a n −1 (t )y (n−1) ⇐⇒ Y 0 = A(t )Y 

0

y 0 0   y  . avec Y =  ..  et A =   .. .  0 y (n−1) a0



1 .. . .. . ··· a1

0 .. . .. . 0 ···

··· .. . .. . 0 ···



0 ..  . 

. 0  

1

a n−1

• L’ensemble des solutions de l’équation Y 0 = AY sur un intervalle est donc un e.v. de dimension n . • Le problème de Cauchy y (n) = a 0 (t )y + a 1 (t )y 0 + · · · + a n −1 (t )y (n −1) y (t 0 ) = y0 , y 0 (t 0 ) = y1 , . . . , y (n −1) (t 0 ) = yn −1 admet une et une seule solution.

Théorème Soit A ∈ Mn (K). L’équation homogène X 0 = AX admet pour solution générale X : t 7→ et A C où C ∈ Kn .

Théorème : Cas diagonalisable Soit A ∈ Mn (C) une matrice diagonalisable. Il existe alors une base (X 1 , . . . , X n ) de vecteurs propres associés aux valeurs propres λ1 , . . . , λn , éventuellement multiples. Les solutions de l’équation X 0 = AX sont de la forme : X (t ) = C1 eλ1 t X 1 +· · ·+Cn eλn t X n avec C1 , . . . , Cn ∈ K

On peut transformer une équation linéaire scalaire d’ordre n en un système différentiel linéaire d’ordre 1.

Année 2020/2021

Soient y1 et y2 deux solutions de l’équation a (t )y 00 + b (t )y 0 + c (t )y = 0, avec a ne s’annulant par sur I . Les assertions suivantes sont équivalentes :

→ Résolution des systèmes à coefficients constants

admet une et une seule solution.

¨

2

X 0 = A(t )X + B (t ) X (t 0 ) = X 0



41

Lorsque le système est à coefficients réels et que l’on diagonalise A dans C, il suffit d’extraire les parties réelles et imaginaires de eλt X pour trouver les solutions. On retrouve le résultat du théorème en écrivant : X 0 = AX ⇐⇒ X 0 = P D P −1 X ⇐⇒ P −1 X 0 = D P −1 X ⇐⇒ Y 0 = D Y avec Y = P −1 X Le calcul de P −1 est inutile. Cette méthode fonctionne également lorsque A est seulement trigonalisable ou bien lorsque le système comporte un second membre.

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

42

Résumé 17 – Calcul différentiel Applications de classe C 1

Proposition

Soit f : U ⊂ E → F où E et F désignent deux e.v.n. sur R de dimensions respectives p et n et U un ouvert de E .

Si f est différentiable en a alors f est dérivable en a selon u pour tout vecteur u ∈ E et Du (f )(a ) = d fa (u). On munit désormais E d’une base (e1 , . . . , ep ).

→ Différentielle Définition : Différentielle en un point

Définition : Dérivées partielles

L’application f est dite différentiable en a ∈ U s’il existe ϕ ∈ L (E , F ) tel que :

Pour j ∈ ¹1, p º, on appelle dérivée partielle en a d’indice j la dérivée de f en a suivant e j , c’est-à-dire :

f (a + h ) = f (a ) + ϕ(h ) + o(h )

f (a + t e j ) − f (a ) ∂f (a ) = lim t →0 ∂ xj t

h →0

L’application est alors unique, on l’appelle différentielle de f au point a . On la note dfa ou d f (a ).

Si f est différentiable en a , alors les dérivées partielles existent et :

Notation : o(h ) = kh k"(h ) où " : E → F et "(h ) −−−→ 0F . h →0E

f (a + h ) = f (a ) + d fa (h ) + o(h )

∀ j ∈ ¹1, p º,

h →0

Proposition

d fa (h ) = d fa

Si f est différentiable en a , f est continue en a .

! hj ej =

j =1

p X

h j dfa (e j ) =

j =1

p X

hj

j =1

∂f (a ). ∂ xj

En notant dx j les applications h 7→ h j ,

• Si f et g sont différentiables en a , λg + µg aussi et :

p

d(λf + µg )a = λd fa + µdg a

dfa =

• Si f est différentiable en a et g en f (a ), alors g ◦ f est différentiable en a et : d(g ◦ f )a = dg f (a ) ◦ dfa Définition : Différentielle, application de classe C

p X

∂f (a ) = dfa (e j ) ∂ xj

X ∂f ∂f ∂f (a )dx1 + · · · + (a )dxp = (a )dx j ∂ x1 ∂ xp ∂ xj j =1

Théorème : Caractérisation 1

• f est dite différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U . On appelle alors différentielle de f l’application : df : U ⊂ E −→ L (E , F ) a 7−→ d f (a ) = dfa • L’application f : U ⊂ E → F est dite de classe C 1 sur U si f est différentiable sur U et si sa différentielle d f est continue sur U . Si f est de classe C 1 sur U , on dira aussi que f est continûment différentiable sur U . → Dérivée selon un vecteur et dérivées partielles

Soit f : U ⊂ E → F . f est de classe C 1 sur U si et seulement si les dérivées partielles de f existent et sont continues en tout point de U . Si f est de classe C 1 sur U et a ∈ U , alors : f (a + h ) = f (a ) + h →0

f (a + t u) − f (a ) Du (f )(a ) = lim t →0 t Quand une fonction est différentiable, elle est dérivable dans toutes les directions.

j =1

hj

∂f (a ) + o(h ) ∂ xj

Pour calculer la différentielle en un point, on peut revenir à la définition ou bien calculer les dérivées partielles. → Jacobienne On munit désormais F d’une base (e10 , . . . , en0 ). On appelle jacobienne de f au point x = (x1 , . . . , xp ) la matrice représentative de df x dans les bases (e j )1¶ j ¶p et (ei0 )1¶i ¶n :

Définition : Dérivée selon un vecteur Soit u ∈ E . L’application f est dite dérivable en a selon le vecteur u si la fonction t 7→ f (a + t u ) est dérivable en 0. On pose dans ce cas :

p X

∂ f1 (x )  ∂ x1  .. = .  ∂ f n (x ) ∂ x1 

 ∂ fi J f (x ) = (x ) ∂ xj 1¶i ¶n 

1¶ j ¶p

...

...

 ∂ f1 (x )  ∂ xp  ..  .   ∂ fn (x ) ∂ xp

Si f est de classe C 1 sur U , pour tout x ∈ U , Jg ◦ f (x ) = Jg (f (x )) × J f (x )

car

d(g ◦ f ) x = dg f (x ) ◦ d f x Année 2020/2021

Fiche 17 – Calcul différentiel

. Soient U un ouvert de R2 et I un intervalle de R. On considère les deux applications de classe C 1 : ϕ : I −→ U t 7−→ (x (t ), y (t ))

f :

et

∂f ∂f (x (t ), y (t )) + y 0 (t ) (x (t ), y (t )) ∂x ∂y

R2 −→ R (x , y ) 7−→ f (ϕ(x , y ), ψ(x , y )) 2

2

∂F ∂ϕ ∂f (x , y ) = (x , y ) · (ϕ(x , y ), ψ(x , y )) ∂x ∂x ∂x ∂ψ ∂f + (x , y ) · (ϕ(x , y ), ψ(x , y )) ∂x ∂y ∂F ∂ϕ ∂f (x , y ) = (x , y ) · (ϕ(x , y ), ψ(x , y )) ∂y ∂y ∂x ∂f ∂ψ (x , y ) · (ϕ(x , y ), ψ(x , y )) + ∂y ∂y → Gradient associé à une fonction numérique Soit f : U ⊂ E → R une fonction numérique, que l’on suppose différentiable en a . On peut alors définir le gradient de f au point a par ses coordonnées :   ∂f (a )   ∂ x1   ..   ∇f (a ) =  .   ∂f (a ) ∂ xn On peut aussi avoir recours au théorème de Riesz.

Théorème : CN d’existence d’un extremum Si f : U ⊂ E → R de classe C 1 sur l’ouvert U admet un extremum au point a ∈ U alors x est un point ~. critique. Cela revient à dire que ∇f (a ) = 0 La propriété est fausse ailleurs que sur un ouvert. De plus, tout point critique ne correspond pas nécessairement à un extremum (cas des points selles). → Dérivées le long d’un arc et vecteurs tangents

Alors F est de classe C sur R et pour tout (x , y ) ∈ R , 1

f (x ) ¶ f (x0 )

∀x ∈ U ,

. On considère les applications f : R2 → R, ϕ : R2 → R et ψ : R2 → R de classe C 1 sur R2 et : F :

f admet un maximum en x0 ∈ E si et seulement s’il existe un voisinage U de x0 tel que :

U −→ R (x , y ) 7−→ f (x , y )

L’application t 7→ f (x (t ), y (t )) est de classe C 1 sur I et pour tout t ∈ I , (f ◦ ϕ)0 (t ) = x 0 (t )

43

Proposition : Dérivation le long d’un arc Si f : U ⊂ E → F et γ : I ⊂ R → E sont de classe C 1 , alors f ◦ γ est de classe C 1 sur I et : ∀t ∈ I ,

(f ◦ γ)0 (t ) = dfγ(t ) (γ0 (t ))

Proposition : Intégration le long d’un arc Si f : U ⊂ E → F et γ : [0, 1] ⊂ R → E sont de classe C 1 et si γ(0) = a et γ(1) = b , alors : f (b ) − f (a ) =

1

Z

d fγ(t ) (γ0 (t )) dt 0

Si U est un ouvert connexe par arcs et f : U ⊂ E → F , f est constante sur U ssi pour tout a ∈ U , d fa = 0L (E ,F ) . Définition Si X est une partie de E et x un point de X , un vecteur v de E est tangent à X en x s’il existe " > 0 et un arc γ défini sur ] − ", "[ dérivable en 0 à valeurs dans X , tels que γ(0) = x , γ0 (0) = v .

Théorème : Représentation des formes linéaires Soit (E , 〈·, ·〉) un espace euclidien. Pour tout forme linéaire ϕ, il existe un unique vecteur u ∈ E tel que : ∀x ∈ E ,

ϕ(x ) = 〈u , x 〉

Définition : Gradient On appelle gradient de f en a et on note ∇f (a ) le vecteur associé à la forme linéaire d fa . Pour tout h ∈ E , dfa (h ) = ∇f (a ) · h

Applications de classe C k On définit par récurrence les dérivées partielles d’ordres supérieurs :   ∂ ∂ k −1 f ∂kf = ∂ xi k · · · ∂ xi 1 ∂ xi k ∂ xi k −1 · · · ∂ xi 1 Définition : Application de classe C k Une application est dite de classe C k sur un ouvert U si toutes ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues.

Définition : Point critique Soit f : U ⊂ E → R de classe C 1 sur l’ouvert U . On dit que a ∈ U est un point critique de f si :   ∂f (a )  ∂ x1    . =0 ~ .. d fa = 0L (E ,R) c’est-à-dire ∇ f (a ) =    ∂f  (a ) ∂ xn Année 2020/2021

Théorème : Théorème de Schwarz Soit f : U ⊂ E → F une application de classe C 2 sur un ouvert U de R2 . Alors, ∀a ∈ U ,

∂ 2f ∂ 2f (a ) = (a ) ∂ x∂ y ∂ y∂ x

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

44

Résumé 18 – Probabilités discrètes Dénombrement

Définition : Tribu

Par la suite, Ω est un ensemble à n éléments et p ∈ ¹0, n º. Définition • Un p -uplet ou une p -liste de Ω est une famille de p éléments de Ω. • Un arrangement de p éléments de Ω est un p -uplet constitué d’éléments de Ω distincts. • Une permutation de Ω est un arrangement de Ω à n éléments. • Une combinaison de p éléments de Ω est un sousensemble de Ω contenant p éléments. On modélise les tirages successifs avec remise à l’aide de listes, les tirages successifs sans remise avec des arrangements et les tirages simultanés avec des combinaisons. Théorème • Il y a n p p -listes de Ω. n! arrangements de p éléments de Ω. • Il y a (n − p )! • Il y a n ! permutations de Ω.   n • Il y a combinaisons de p éléments de Ω. p Soient n , p , m ∈ N.     n n • = 1, =n 0 1     n n −1 • p =n p p −1 n   X n = 2n • k k =0

Une tribu sur Ω est une partie A de P (Ω) qui vérifie : (i) Ω ∈ A ; (ii) Si A ∈ A alors A ∈ A (iii) Si (A n )n ∈N ∈ A N , alors

+∞ [

La donnée d’un univers Ω et d’une tribu A définit un espace probabilisable (Ω, A ) ; tout élément de A est appelé événement de Ω. Soit (Ω, A ) un espace probabilisable. Définition : Système complet d’événements On appelle système complet d’événements toute famille finie ou dénombrable (A i )i ∈I d’événements telle que : (i) Pour tous i et j distincts, A i ∩ A j = ∅ ; [ A i = Ω. (ii) i ∈I

Définition : Probabilité On appelle probabilité sur (Ω, A ) toute application P : A → [0, 1] vérifiant : • P(Ω) = 1

    n n • = p n −p       n −1 n −1 n • + = p −1 p p    p   X n m n +m • = k p −k p k =0

• Pour toute suite (A n )n ∈N d’événements deux à deux incompatibles, P

+∞ [



An =

n =0

+∞ X

P(A n )

(σ-additivité)

n=0

Le triplet (Ω, A , P) est appelé espace probabilisé. Une probabilité est une application qui va opérer sur les événements. La σ-additivité assurera la convergence des séries qui seront manipulées.

Probabilités discrètes → Tribus et probabilités

Théorème

Définition On appelle univers l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire donnée. Les éléments de l’univers Ω sont qualifiés de possibles (ou de résultats possibles).

Soient Ω
= {ωn }n ∈N dénombrable et une famille de réels pn n ∈N . Il existe une probabilité P sur (Ω, P (Ω)) telle que pour tout n ∈ N, P({ωn }) = pn ssi : (i) pour tout n ∈ N, pn ¾ 0 ; (ii) la série

P

pn converge et

Définition : Réunion et intersection dénombrables Soit (A n )n ∈N une suite de de l’ensemble Ω. On [parties\ définit les ensembles A n et A n par : n∈N

ω∈

An ∈ A

n =0

[

n∈N

An

⇐⇒

∃n ∈ N ω ∈ A n

An

⇐⇒

∀n ∈ N ω ∈ A n

+∞ X

pi = 1.

n =0

P est alors unique et pour tout A ∈ P (Ω), X P(A) = pn n ∈N ωn ∈A

n ∈N

ω∈

\ n ∈N

Dans le cas fini, on appelle probabilité uniforme sur Ω l’unique probabilité qui prend la même valeur pour chaque événement élémentaire.

Année 2020/2021

Fiche 18 – Probabilités discrètes

Proposition

45

Théorème : Formule de Bayes

Soient (Ω, A , P ) un espace probabilisé et A, B ∈ A . • P(∅) = 0 et P(A) = 1 − P(A).

Soient A et B deux événements, P(A|B ) =

• Si A ⊂ B alors P(A) ¶ P(B ).

P(A) × P(B |A) P(B )

• P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B ). (Ω, A , P) désignera par la suite un espace probabilisé. Proposition : Continuité croissante Si (A n )n ∈N est une suite croissante d’événements (au sens de l’inclusion), alors : +∞  [ P A n = lim P(A n ) n →+∞

n =0

n →+∞

Proposition : Sous-additivité • Si (A 1 , . . . , A n ) est une famille d’événements, alors :  P

n [

 Ak ¶

k =0

n X

P(A k )

k =0

• Si P(A n )n∈N est une suite d’événements et si la série P(A n ) converge, alors : P

+∞ [

 An ¶

n =0

+∞ X

P(A n )

n =0

→ Conditionnement et indépendance Théorème / Définition : Probabilité conditionnelle Soit A un événement tel que P(A) 6= 0. L’application PA : A −→ R P(A ∩ B ) B 7−→ P(A) est une probabilité sur Ω. On l’appelle probabilité conditionnelle relative à A (ou sachant A).

En tant que probabilité, PA vérifie toutes les propriétés énoncées précédemment. Théorème : Formule des probabilités composées Soient n ¾ 2 et (A 1 , A 2 , . . . , A n ) une famille d’événements telle que P(A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ) 6= 0. Alors, P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P(A 1 )PA 1 (A 2 ) × · · · × PA 1 ∩···∩A n−1 (A n ) Théorème : Formule des probabilités totales Soit (A n )n ∈N un système complet d’événements. Pour tout événement B , la série de terme général P(B ∩ A n ) est convergente et : P(B ) =

+∞ X n =0

Année 2020/2021

P(B ∩ A n ) =

+∞ X n =0

Deux événements de l’espace probabilisé (Ω, A , P) sont dits indépendants si P(A ∩ B ) = P(A) · P(B ). On dit alors des événements A 1 , . . . , A n qu’ils sont deux à deux indépendants si : ∀i , j ∈ ¹1, n º, i 6= j =⇒ P(A i ∩ A j ) = P(A i )P(A j )

De même, si (A n )n ∈N est une suite décroissante d’événe+∞  \ A n = lim P(A n ). ments (au sens de l’inclusion), P n=0

Définition : Indépendance de deux événements

P(B |A n )P(A n )

Définition : Mutuelle indépendance On dit des événements A 1 , . . . , A n qu’ils sont mutuellement indépendants si : P(A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n ) =

n Y

P(A i )

i =1

L’indépendance mutuelle d’une famille d’événements implique qu’ils sont deux à deux indépendants mais la réciproque est fausse.

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

46

Résumé 19 – Variables aléatoires discrètes (Ω, A , P) désigne un espace probabilisé.

Variables aléatoires discrètes Définition : Variable aléatoire discrète On appelle variable aléatoire réelle discrète toute application X : Ω → R telle que : • X (Ω) est un ensemble fini ou dénombrable ; • Si x ∈ X (Ω) alors (X = x ) ∈ A . X désigne désormais une variable aléatoire discrète.

Définition : Variance Si X admet un moment d’ordre 2, (X − E(X ))2 est d’espérance finie. On appelle variance de X et on note V(X ) le réel positif : X
(x − E(X ))2 P(X = x ) V(X ) = E (X − E(X ))2 = x ∈X (Ω)

On appelle écart type de X le réel σ(X ) =

p

V(X ).

Proposition : Formule de Kœnig-Huygens Si X admet un moment d’ordre 2,

X (Ω) = {xn | n ∈ N}

V(X ) = E(X 2 ) − E(X )2

La famille ((X = xn ))n∈N est un système complet d’événements. Définition : Loi d’une variable aléatoire On appelle loi de probabilité de X l’application : PX : X (Ω) −→ R x 7−→ P(X = x )

Vecteurs aléatoires discrets On étend la définition de variable aléatoire à valeurs réelles aux variables à valeurs dans Rn . (X , Y ) désigne un couple de variables aléatoires discrètes. Définition : Lois conjointe et marginales • La loi conjointe de X et de Y est l’application

Se donner une une famille dénombrable de réels positifs de somme égale à 1 revient à se donner une variable aléatoire sur (Ω, A , P).

Moments d’une variable aléatoire Définition : Espérance X est dite d’espérance finie si

X

xn · P(X = xn )

n ∈N

converge absolument. Dans ce cas, on appelle espérance de X le réel : E(X ) =

+∞ X

xn · P(X = xn )

n=0

Plus généralement, si X r admet une espérance finie, on appelle moment d’ordre r ∈ N le réel E(X r ). Théorème : Théorème de transfert Soit X f : X (Ω) → R. f (X ) est d’espérance finie ssi f (xn ) · P(X = xn ) converge absolument et, alors, n ∈N

E(f (X )) =

+∞ X

f (xn ) · P(X = xn )

n=0

L’espérance est linéaire, positive et croissante. Si X est à valeurs dans N et d’espérance finie, E(X ) =

+∞ X n=1

P(X ¾ n )

P(X ,Y ) : X (Ω) × Y (Ω) −→ [0, 1]
(x , y ) 7−→ P X = x , Y = y • Les lois marginales de (X , Y ) sont celles de X et Y . La formule des probabilités totales permet de trouver les lois marginales à partir de la loi conjointe. Définition : Lois conditionnelles • On appelle loi conditionnelle de X sachant (Y = y ) l’application x 7→ P(X = x |Y = y ) ; • On appelle loi conditionnelle de Y sachant (X = x ) l’application : y 7→ P(Y = y |X = x ). Généralisation du théorème de transfert : Si Z = f (X , Y ) est d’espérance finie, X
E(Z ) = f (x , y )P X = x , Y = y (x ,y )∈X (Ω)×Y (Ω)

Définition : Indépendance Les variables X et Y sont dites indépendantes si pour tout (x , y ) ∈ X (Ω) × Y (Ω),

P X = x , Y = y = P (X = x ) × P Y = y Si X et Y sont indépendantes, alors f (X ) et g (Y ) sont indépendantes. Plus généralement (lemme des coalitions) : si les variables X 1 , . . . , X n sont mutuellement indépendantes, f (X 1 , . . . , X p ) et g (X p +1 , . . . , X n ) sont indépendantes.

Année 2020/2021

Fiche 19 – Variables aléatoires discrètes

47

Inégalités de concentration et convergence

Définition Si X et Y admettent un moment d’ordre 2, alors la variable aléatoire (X − E(X ))(Y − E(Y )) admet une espérance. On appelle alors covariance de X et Y et on note cov(X , Y ) le réel :

Lemme : Inégalité de Markov Si X est à valeurs positives et admet une espérance, ∀a > 0

cov(X , Y ) = E ((X − E(X ))(Y − E(Y ))) On suppose que X et Y admettent un moment d’ordre 2. Théorème : Formule de Kœnig-Huygens

X

Si X admet un moment d’ordre 2, ∀" > 0 P (|X − E(X )| ¾ ") ¶

x y P X = x,Y = y

Théorème : Loi faible des grands nombres Soit (X n )n ¾1 une suite de variables indépendantes et de même loi, admettant un moment d’ordre 2. n X En notant m l’espérance commune et Sn = Xi ,

Proposition Pour tous a , b ∈ R, V(a X + b Y ) = a 2 V(X ) + b 2 V(Y ) + 2a b cov(X , Y )

∀" ¾ 0,

Pour a = b = 1, V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) + 2cov(X , Y ). Cas particulier : V(a X + b ) = a 2 V(X ). Inégalité de Cauchy-Schwarz : |cov(X , Y )| ¶ σ(X ) · σ(Y )

i =1   Sn P − m ¾ " −−−−→ 0 n →+∞ n

Lois usuelles

Théorème Si X et Y sont indépendantes, alors : cov(X , Y ) = 0 ;

Nom

Notation

X (Ω)

Bernoulli

B(p )

{0; 1}

V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) La réciproque est fausse.

Fonctions génératrices

Si X est à valeurs dans N, la fonction génératrice de la variable X est définie par : G X : t 7→ E t

X




=

P(X = n )t

P(X = k ) E(X ) V(X )  p si k = 1 p pq q si k = 0   n k n −k p q np n p q k

Binomiale B(n , p )

¹0; nº

Uniforme U (¹1; n º)

¹1; nº

1 n

Définition : Fonction génératrice

+∞ X

V(X ) "2




x ∈X (Ω) y ∈Y (Ω)

E(X Y ) = E(X )E(Y ) ;

E(X ) a

Proposition : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

cov(X , Y ) = E(X Y ) − E(X ) · E(Y ). cov(X , X ) = V(X ) et E(X Y ) =

P(X ¾ a ) ¶

n + 1 n2 − 1 2 12

Géométr.

G (p )

N∗

q k −1 p

1 p

q p2

Poisson

P (λ)

N

e−λ

λk k!

λ

λ

n

n =0

La série entière

X

P(X = n )t n a un rayon de convergence

n ∈N

supérieur ou égal à 1. Théorème : Fonction génératrice et moments Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. (i) La variable aléatoire X admet une espérance E(X ) si et seulement si G X est dérivable en 1. Si tel est le cas, E(X ) = G X0 (1). (ii) La variable aléatoire X admet une variance si et seulement si G X est deux fois dérivable en 1. Théorème : Somme de variables indépendantes Si X et Y sont à valeurs dans N et indépendantes, alors, pour tout t ∈] − R , R [ où R ¾ min(R X , R Y ),


G X +Y (t ) = E t X +Y = E t X E t Y = G X (t )G Y (t )

Année 2020/2021

• Si X 1 , . . . , X n ,→ B(mi , p ) sont mutuellement indépendantes, alors X 1 + · · · + X n ,→ B(m1 + · · · + mn , p ). • Si X 1 , . . . , X n ,→ P (λi ) sont mutuellement indépendantes, alors X 1 + · · · + X n ,→ P (λ1 + · · · + λn ). • Si pour tout n ∈ N∗ , X n ,→ B(n , pn ) et lim npn = λ, n →+∞

∀k ∈ N,

P(X n = k ) −−−−→ e−λ n →+∞

λk k!

• Si X (Ω) = N∗ , alors X ,→ G (p ) si et seulement si : ∀(k , n ) ∈ N2 ,

P(X > n + k |X > n) = P(X > k )

MATHÉMATIQUES 2020 – 2021

48

Table des matières

11 Séries numériques et vectorielles A Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Convergence des séries numériques . . . . . C Séries à valeurs dans un e.v.n. de dim. finie

29 29 29 30 31 31 31 31

1 Structures algébriques A Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . B Structures d’anneau et de corps . . . . . . . . . C Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3

12 Familles sommables A Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . B Familles sommables de nombres complexes C Application aux séries doubles . . . . . . . . .

2 Polynômes et fractions rationnelles A Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

13 Suites et séries de fonctions 32 A Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 B Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 C Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . 34

3 Matrices, espaces vect. et applications linéaires A Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . C Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6 7 8

4 Déterminant A Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . B Déterminant d’une famille de vecteurs . . C Déterminant d’un endomorphisme . . . . . D Orientation de l’espace, produit vectoriel .

. . . .

5 Réduction d’endomorphismes A Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes d’endomorphismes et de matrices B C Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 11 11 12 12 12 13 13

6 Espaces préhilbertiens réels 15 A Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7 Endomorphismes d’un espace euclidien 17 A Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . 17 B Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . 18 8 Espaces vectoriels normés et topologie A Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . C Notions générales de topologie . . . . . . . . . D Continuité dans un espace vectoriel normé E Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F Parties connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . 9 Fonctions d’une variable réelle A Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . D Développements limités et relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . F Fonctions vectorielles et arcs paramétrés . 10 Suites numériques et vectorielles A Suites numériques classiques . . . . . B Convergence des suites numériques C Relations de comparaison . . . . . . . . D Suites vectorielles . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

19 19 19 19 20 21 22

14 Séries entières 35 A Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 35 B Propriétés de la somme (variable réelle) . . . 35 C Développements en série entière . . . . . . . . 36 15 Calcul intégral A Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . B Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . C Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 37 39

16 Équations différentielles linéaires 40 A Équations linéaires scalaires d’ordres 1 et 2 40 B Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . 41 17 Calcul différentiel 42 A Applications de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . 42 B Applications de classe C k . . . . . . . . . . . . . 43 18 Probabilités discrètes 44 A Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B Probabilités discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . 44 19 Variables aléatoires discrètes A Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . B Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . C Vecteurs aléatoires discrets . . . . . . . . . . . . D Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . E Inégalités de concentration et convergence F Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 46 46 47 47 47

23 . 23 . 24 . 24 . 24 . 25 . 26

. . . .

27 27 27 27 28 Année 2020/2021