Bazele Cercetarii Operationale [PDF]

Zitiervorschau

1

BAZELE CERCETĂRII OPERAŢIONALE

Şef lucr. dr. Stejărel BREZULEANU

2004

2

CUPRINS Cap. 1. Natura cercetării operaţionale ..............................................................3 1.1. Dezvoltarea cercetării operaţionale.......................................................3 1.2. Cercetarea operaţională şi disciplinele înrudite ....................................8 1.3.

Conţinutul

şi

caracteristicile

principale

ale

cercetării

operaţionale..................................................................................................16 Cap. 2. Modelarea în cercetarea operaţională..................................................24 2.1. Rolul modelării în cercetarea operaţională ...........................................24 2.2. Probleme tip de cercetare operaţională .................................................29 Cap. 3. Programarea liniară în cercetarea operaţională .................................35 3.1. Prezentarea generală a programării liniare............................................35 3.3. Algoritmul simplex ...............................................................................39 Cap. 4. Elemente de teoria grafurilor................................................................44 4.1. Noţiuni generale....................................................................................44 4.2. Moduri de reprezentare ale unui graf....................................................46 4.3. Concepte de bază în teoria grafurilor....................................................48 4.4. Găsirea drumurilor într-un graf orientat ...............................................50 4.5. Arbori „Problema arborelui de valoare optimă“ ...................................55 4.5.1. Noţiunea de arbore.............................................................................55 4.5.2. Algoritmi pentru găsirea arborelui de valoare optimă .......................58 4.6. Drumuri optime într-un graf .................................................................63 4.7. Reţele de transport ................................................................................66 Cap. 5. Gestiunea stocurilor ...............................................................................71 5.1. Introducerea în problematica stocurilor ................................................71 5.2. Importanţa stocurilor în procesul de producţie .....................................72 5.3. Tipuri de stocuri....................................................................................74 5.4. Obiective şi rezultate ale gestiunii ştiinţifice a stocurilor .....................76 5.5. Elementele principale ale unui proces de stocare .................................77 5.6. Modele de gestiune a stocurilor ............................................................82 5.6.1. Modelul Willson ................................................................................82 5.6.2. Modelul Willson cu ruptură de stoc...................................................86 5.6.3. Generalizări ale modelului Willson ...................................................91

3 5.6.4. Modelul de producţie-stocare ............................................................92 5.6.5. Model de gestiune cu preţuri de achiziţie sau cu cheltuieli de producţie variabile .......................................................................................96 5.6.6. Modele de gestiune cu cerere aleatoare .............................................98 5.7. Modalităţi practice de aplicare a modelelor teoretice ...........................102 5.7.1. Modelul S-S .......................................................................................102 5.7.2. Metoda A.B.C. ...................................................................................103 5.7.3. Strategia IMPACT .............................................................................107 Cap. 6. Optimizarea itinerarelor de transport .................................................111 6.1. Metode pentru obţinerea unor soluţii iniţiale de bază...........................112 6.1.1. Metoda colţului nord-vest sau a colţului stânga sus ..........................112 6.1.2. Metoda colţului sud-vest....................................................................115 6.1.3. Metoda elementului minim pe linie ...................................................116 6.1.4. Metoda elementului minim pe coloană ..............................................117 6.1.5. Metoda dublei preferinţe....................................................................118 6.1.6. Metoda acoperirii zerourilor ..............................................................120 6.2. Metoda Kotzig ......................................................................................126 6.3. Metoda Vogel .......................................................................................130 Bibliografie .................................................................................................133

4

CAPITOLUL 1 NATURA CERCETĂRII OPERAŢIONALE 1.1. DEZVOLTAREA CERCETĂRII OPERAŢIONALE Cercetarea operaţională se aplică pe scară largă în multe domenii de activitate ca: administraţie centrală sau locală, în activităţi industriale în diverse organizaţii sociale, spitale, şcoli, sindicate, biblioteci) etc. Cu atât mai mult, în activitatea de producţie agricolă, cercetarea operaţională îşi găseşte aplicabilitatea datorită diversificării ramurilor de producţie, a influenţei factorilor de producţie şi a factorilor naturali, precum şi a proceselor permanente de optimizare a resurselor. Metodele cercetării operaţionale se aplică cu succes în conservarea resurselor de apă, în optimizarea tehnologiilor de producţie, precum şi în planificarea regională şi locală a producţiei agricole. Se pare că termenul de „cercetare operaţională“ a fost utilizat pentru prima dată în anul 1939, dar la fel ca şi în alte ramuri ale ştiinţei, s-a constatat că izvoarele cercetării operaţionale îşi au originea în decursul ştiinţei şi societăţii. Chiar şi cele mai vechi discipline, cum ar fi ştiinţele naturale au început să fie individualizate prin nume abia în secolul trecut, dar odată denumirea fixată, ea a servit pentru a denumi lucrări mult mai vechi. Deşi anumite elemente de cercetare operaţională se pot întâlni înainte de prima revoluţie industrială, necesităţile impuse de această revoluţie au fost cele care au condus la dezvoltarea cercetării operaţionale ca ştiinţă independentă. Până la mijlocul secolului trecut, majoritatea unităţilor de producţie foloseau foarte puţini oameni. Apariţia maşinilor-unelte a permit înlocuirea omului cu maşina, ca sursă de energie iar dezvoltarea sistemelor naţionale de transport şi comunicaţii au impulsionat evoluţia industriei întreprinderilor, devenea din ce în ce mai greu ca întreg procesul de conducere să fie asigurat de un singur om. De aceea proprietarul, iar mai târziu directorii de profesie, au început să atribuie altora câte o parte din sarcinile sale. Au

5 început să apară serviciile de producţie, finanţe, personal, comercial, cercetare şi proiectare. Dezvoltarea industrială ulterioară a impus o diferenţiere şi mai accentuată. Astfel, serviciul producţie a fost divizat în aprovizionare, întreţinere şi reparaţii, transport, control de calitate şi planing, (planificarea lucrului pe maşini şi utilaje). Pe măsura creşterii şi răspândirii populaţiei, au apărut noi pieţe de desfacere şi s-au descoperit surse noi de materii prime. Ca rezultat, operaţiile industriale s-au dispersat geografic. A devenit un lucru comun ca aceeaşi firmă să dispună de mai multe întreprinderi şi de mai multe oficii comerciale, fiecare dintre acestea având propriul lor conducător. Astfel, diviziunea teritorială şi funcţională a managementului firmelor, pe care o cunoaştem astăzi, este o consecinţă a dezvoltării economice generată de prima revoluţie industrială. Pe măsura dezvoltării fiecărei noi activităţi de conducere, au apărut noi ştiinţe aplicate, având rolul de a sprijini activitatea respectivă. Astfel, odată cu utilizarea cunoştinţelor de statistică şi psihologie, s-a dezvoltat o altă ştiinţă, organizarea producţiei. Au apărut şi alte discipline aplicative: studiul fenomenelor de conjunctură, microeconomia industrială, psihologia şi sociologia industrială. Specializarea continuă a funcţiilor de conducere a determinat o specializare din ce în ce mai accentuată a disciplinelor ştiinţifice corespunzătoare. Au apărut discipline ca: tehnologia materialelor, controlul statistic al calităţii, teoria reînnoirii, teoria siguranţei, marketingul. Un aspect important al acestei dezvoltări constă în faptul că sfera de preocupări a acestor ştiinţe nu a cuprins şi funcţia executivă a procesului de conducere. Pentru a înţelege semnificaţia acestui fenomen, este indicat să lămurim în ce constă această funcţie executivă. Ori de câte ori o funcţie de conducere este divizată în mai multe subfuncţii diferite, apare o nouă activitate care trebuie desfăşurată. Toate aceste noi compartimente trebuie integrate, astfel încât ele să servească în mod eficient interesele generale. Funcţia executivă este cea care trebuie să realizeze această integrare. Pentru ca funcţia executivă să-şi atingă scopul, este necesar să se stabilească obiectivele compartimentelor corespunzătoare, precum şi anumite criterii care să indice măsura în care aceste obiective au fost

îndeplinite.

De

exemplu,

6 conducerea

unei

întreprinderi

atribuie

compartimentelor principalele sarcini: -

Serviciul producţie: maximizarea cantităţii de mărfuri sau servicii şi minimizarea cheltuielilor specifice de producţie;

-

Serviciul comercial: maximizarea cantităţii de mărfuri vândute şi minimizarea cheltuielilor specifice legate de desfacerea mărfurilor;

-

Serviciul

financiar:

minimizarea

capitalului

necesar

pentru

menţinerea unui nivel de producţie dat; -

Serviciul personal: urmăreşte ca salariaţii să-şi poată îndeplini sarcinile în mod conştiincios şi să asigure o înaltă productivitate a muncii.

Toate aceste sarcini sunt în conformitate cu obiectivele generale ale întreprinderii, dar ele sunt adeseori contradictorii, aplicarea lor în practică este mai greu de înfăptuit. Ca o ilustrare a acestui fapt, putem exemplifica atitudinea pe care o au cele 4 servicii menţionate faţă de problema stocurilor: -

Serviciul producţie caută să producă cât mai mult la un preţ cât mai scăzut. Acest lucru se poate realiza numai prin fabricarea în mod continuu a unui singur produs.

Dacă se cer mai multe tipuri de produse, metoda cea mai ieftină este în a produce de fiecare dată serii cât mai mari. În acest fel se minimizează pierderile de timp cerute de adaptarea utilajelor la o producţie nouă, iar experienţa acumulată prin efectuarea timp îndelungat a aceluiaşi produs duce la creşterea productivităţii. Cum serviciul producţie cere să se lucreze cât mai puţine tipuri de produse, în serii cât mai mari, rezultă necesitatea unor stocuri cât mai mari, conţinând relativ puţine categorii de produse. Serviciul producţie preferă în general acea politică de stocuri care asigură un spaţiu larg de depozitare şi o nomenclatură redusă de produse finite. Serviciul comercial doreşte de asemenea un spaţiu mare de depozitare pentru ca încă de astăzi clientul să poată fi aprovizionat cu ce ar dori mâine. Dar cum serviciul comercial doreşte să vândă cât mai mult, el trebuie să dispună de produse cât mai variate. De aceea, serviciul producţie şi cel comercial intră de obicei în conflict în ceea ce priveşte nomenclatura mărfurilor produse. Serviciul comercial susţine producerea unor mărfuri de

7 serie unică, chiar nerentabile, pe când serviciul producţie reclamă excluderea lor. Serviciul financiar, în urmărirea obiectivului său de minimizare a capitalului necesar, doreşte să reducă mijloacele „fixe“ de producţie. Una din cele mai uşoare căi pentru aceasta constă în reducerea stocurilor, şi deci a capitalului fix legat de ele. De regulă, serviciul financiar este de acord ca nivelul stocurilor să fie ridicat şi să scadă proporţional sau să crească în funcţie de creşterea sau scăderea vânzărilor firmei. Chiar dacă vânzările sunt reduse, serviciul personal nu doreşte totuşi să reducă nivelul producţiei şi să concedieze muncitori, deoarece astfel de măsuri au o influenţă negativă asupra moralului personalului şi implică cheltuieli suplimentare legate de concedieri: plata preavizelor şi de instruirea noilor angajaţi, atunci când se fac angajări. De aceea, serviciul personal este interesat de menţinerea producţiei la un nivel cât mai constant posibil. Aceasta implică creşterea stocurilor atunci când vânzările sunt slabe şi micşorarea lor atunci când au loc vânzări masive. Prin urmare, serviciile financiar şi personal au păreri diferite în ceea ce priveşte politica de urmat în problema stocurilor. Sarcina funcţiei executive constă în alegerea unei politici care să servească cât mai bine întreprinderilor în ansamblu şi nu interesele vreunuia din compartimentele ei. Pentru a realiza această integrare, este necesar să fie luat în considerare întreg sistemul în ansamblul său şi în aceasta constă esenţa funcţiei executive. În agricultură, funcţia executivă s-a dezvoltat treptat, paralel cu dezvoltarea sistemelor de producţie. Asupra conducătorilor care purtau răspunderea exercitării acestei funcţii, noile tehnologii de producţie nu au mai avut aceeaşi puternică influenţă, pe care a manifestat-o faţă de conducătorii tehnici. Pe măsură ce pătrunderea în esenţa problemelor, specialistul agronom constata că rezolvarea lor nu necesită decât un bun simţ bazat pe experienţă. De aceea el nu simţea nevoia de a-şi fundamenta ştiinţific deciziile luate. Totuşi, specialistul avea din ce în ce mai puţin timp pentru rezolvarea problemelor ce se puneau, aşa că a trebuit să recurgă la ajutorul celor care posedau mai multă experienţă în rezolvarea unor astfel de probleme. În acest fel au apărut consultanţi de

8 profesie, însă la început activitatea lor nu se baza pe utilizarea unor metode ştiinţifice. Specialiştii de profesie sunt de acord că cercetarea operaţională reprezintă în esenţă o abordare ştiinţifică a problemelor funcţiei executive, ajungând la concluzia că dezvoltarea ei în domeniul conducerii ştiinţifice a sistemelor de producţie agricolă a fost mult întârziată. Această situaţie s-ar fi putut mult prelungi dacă cercetarea operaţională nu ar fi fost utilizată în unele activităţi militare la începutul celui de-al doilea război mondial. Cercetarea operaţională a fost impusă în armată datorită specificului acesteia şi ca urmare a faptului că organizarea militară a cunoscut acelaşi tip de evoluţie ca şi cea industrială şi din aceleaşi motive. Deosebirea principală între evoluţia conducerii militare şi a celei industriale se produce în cei douăzeci de ani cuprinşi între sfârşitul primului război mondial şi începutul celui de-al doilea. În această perioadă, tehnica militară s-a dezvoltat mult mai repede decât tactica şi strategia. Apărând diverse probleme de ordin strategic, conducătorii militari au cerut ajutorul unor mici echipe de specialişti în diverse domenii de activitate. Succesul obţinut a făcut să crească cererea pentru unele servicii de acest fel, iar utilizarea echipelor de oameni de ştiinţă s-a răspândit în Europa (Germania, Franţa, Anglia), dar şi în SUA şi Canada. De obicei, grupele erau ataşate unui ofiţer care activa în sectorul operaţiilor de luptă. Din acest motiv, îndeletnicirea acestor grupe a început să fie cunoscută sub denumirea de cercetare operaţională în Marea Britanie şi sub o varietate de alte domenii în SUA: operaţional analysis (analiză operaţională), operations evaluation (evaluarea operaţiilor); operations research (cercetarea operaţiilor), systems analysis (analiza sistemelor), systems evaluation (evaluarea sistemelor), systems research (cercetarea sistemelor) şi management science (ştiinţa conducerii). Cel mai folosit termen este cel de operations research, termen impus în limba română de cercetare operaţională. După cel de-al doilea război mondial, dezvoltarea cercetării operaţionale a urmat căi diferite în SUA şi în Anglia. În Anglia, cheltuielile militare s-au redus, ceea ce a făcut ca mulţi specialişti în cercetarea operaţională să părăsească armata. În acelaşi timp, conducătorii industriali erau puşi în faţa unei uriaşe opere de reconstrucţie. Nu numai că

9 trebuiau refăcute uzinele distruse de bombardamente, dar se simţea şi nevoia de înlocuire a vechilor utilaje demodate. Conducătorii acestor ramuri solicitau consensul specialiştilor în cercetarea operaţională deveniţi disponibili.

1.2. CERCETAREA OPERAŢIONALÃ ŞI DISCIPLINELE ÎNRUDITE Cercetarea operaţională este una din disciplinele care a apărut către sfârşitul primei jumătăţi a secolului nostru şi s-a dezvoltat spectaculos în special în ultimii ani, în strânsă legătură cu o serie de alte discipline ale organizării şi conducerii, cum ar fi cibernetica, informatica sau analiza sistemelor. Pentru a avea o imagine de ansamblu asupra obiectului cercetării operaţionale aplicate în economie, considerăm, deci, util să examinăm succint cum au apărut şi au evoluat disciplinele organizării şi conducerii precum şi legăturile pe care le prezintă între ele. Concepţia "organizării ştiinţifice", conturată către sfârşitul secolului al 19-lea şi începuturile celui actual, consideră unitatea productivă ca un mecanism, în care oamenii, ajutaţi de maşini, lucrează într-un determinism aproape total, pe baza unor dispoziţii acţionând ierarhic, conform unor competenţe riguros definite. Principalii reprezentanţi ai începuturilor organizării ştiinţifice, care formează aşa-numita ″şcoală clasică", stabilesc pentru prima oară o serie de principii ale conducerii ştiinţifice. Printre acestea figurează binecunoscutul (şi încă actualul) principiu al excepţiei, principiul specializării organizaţionale, principiul definirii riguroase a sarcinilor, principiul organizării ierarhice (Staff and Line) ş.a. Între conceptele utilizate de şcoala clasică nu figurează informaţia şi nici decizia: conducerea "mecanismului" economico-social revine (în ultimă instanţă prin parcurgerea treptelor piramidei ierarhice), întotdeauna, unui centru unic de decizie, pentru care informaţiile sunt presupuse, aprioric, disponibile complet şi instantaneu, fără nici un fel de restricţie (de timp, de spaţiu, de tehnică a transmiterii şi înmagazinării etc.).

10 Pionierii organizării ştiinţifice (Taylor, Gantt, Fayol) şi ceilalţi reprezentanţi ai şcolii clasice pun pentru prima oară problema abordării raţionale a mecanismului funcţionării unei întreprinderi. O mare parte din ideile şcolii clasice au fost criticate de reprezentanţii diferitelor şcoli care s-au dezvoltat ulterior în ştiinţele organizării, dând naştere, după cum vom arăta în continuare, unor teorii din ce în ce mai abstracte şi mai complexe. Merită să arătăm că în anii 1960, ca o reacţie împotriva excesului de teoretizare, s-a dezvoltat o aşa-numită şcoală neoclasică, având drept obiectiv reîntoarcerea la practică. În deceniile care urmează după apariţia şi dezvoltarea şcolii clasice, problemele informaţional-decizionale îşi afirmă prezenţa din ce în ce mai acut, pe

măsura

creşterii

dimensiunilor

şi

complexităţii

organizaţiilor

social-economice şi îşi caută rezolvări empirice de cele mai multe ori nu la nivelul necesităţilor. Se stabilesc adesea circuite informaţionale paralele şi supraabundente (redundante) iar în afara fluxurilor oficiale (formale) de date, se dezvoltă o circulaţie neformală, uneori mai eficientă, dar cu caracter strict local. În procesele de decizie continuă să prevaleze rutina, bunul simţ, talentul sau chiar improvizaţia. În perioada următoare primului război mondial au putut fi constatate, ca urmare a acestor rezolvări empirice, diferenţe considerabile, din punctul de vedere al competitivităţii, între unităţi economice cu structuri organizatorice şi dotări tehnice identice sau similare. Analizele efectuate au condus la o primă includere în perimetrul cercetării privind problemele organizării şi conducerii a aspectelor informaţional-decizionale, până atunci ignorate şi totodată şi a aspectelor relaţiilor umane. Se lărgeşte considerabil problematica organizării şi conducerii şi încep să circule cu din ce în ce mai multă autoritate denumirile de management (ca activitate practică) şi management science (ştiinţa conducerii). Această perioadă este dominată de "şcoala comportamentului" care pune în centrul preocupărilor sale observaţia minuţioasă a comportamentului oamenilor în timpul procesului motivaţiilor care determină coeziunea grupurilor. Diferenţele substanţiale între şcoala comportamentului şi şcoala clasică se referă în special la aspecte ca: descentralizarea deciziilor, promovarea încrederii între membrii unui grup (şi neglijarea autorităţii) cu accentul pus pe

1

11

responsabilitate (şi nu pe control) . Începând cu anii 1950 nostru2, se produce un fenomen care promovează informaţia şi decizia printre elementele esenţiale ale epocii în care trăim. La acest fenomen contribuie în primul rând creşterea extraordinară a complexităţii structurale şi funcţionale, a organizaţiilor economice. Procesele de comasare-integrare, apariţia structurilor organizaţionale cu activităţi productive pe arii geografice foarte mari (şi, de asemenea, cu multiple probleme legate de desfacerea produselor), ridicarea nivelului de tehnicitate a instalaţiilor şi corespunzător o specializare accentuată a profesiunilor - sunt numai câteva din aspectele acestei complexităţi a unităţilor productive moderne. Ca o consecinţă a acestei stări de fapt apare o extraordinară creştere a cantităţii de informaţii deţinute şi manipulate în unităţile productive, accentuată şi de formularea unor condiţii mult mai severe în ceea ce priveşte calitatea informaţiei (pertinenţa şi operativitatea acesteia). Alături de producţia de bunuri apare o producţie de informaţii din ce în ce mai însemnată, informaţia devine chiar un produs sau marfă ce se poate negocia, ajungând, alături de servicii, obiectiv al unor organizaţii specializate. În ceea ce priveşte procesele de decizie, pentru prima oară se pune în mod riguros şi pe scară largă problema găsirii unor soluţii optime sau apropiate de cele optime, în marea diversitate de probleme organizatorice şi de conducere. Se poate considera că toate aceste schimbări au condus la o veritabilă revoluţie informaţional-decizională în domeniul organizări şi conducerii şi, ca o consecinţă, la apariţia managementului ştiinţific modern. Principalele discipline privind conducerea, care au apărut în această etapă sunt: cercetarea operaţională, cibernetica, informatica, psihosociologia organizării şi teoria generală a sistemelor. • Cercetarea operaţională, care poate fi definită succint ca disciplină a optimizării deciziilor cu ajutorul modelării matematice, a apărut în perioada 1

Printre reprezentanţii "şcolii comportamentului" pot fi citaţi Mayo, Abraham Zalesnick şi D. G. Peltz. 2

Desigur, referirea la un moment în timp nu poate fi decât pur orientativă; aici am avut în vedere apariţia primei generaţii de calculatoare electronice, a primelor lucrări de cibernetică şi a primelor echipe de cercetare operaţională.

12 celui de-al doilea război mondial. Considerată de unii ca reprezentând şcoala matematică în disciplinele organizării şi conducerii, cercetarea operaţională se caracterizează în primul rând prin procesul de elaborare a modelelor, de regulă matematizate, care descriu procesele economice pentru care urmează a se lua decizii cât mai avantajoase. • Cibernetica este ştiinţa care se ocupă cu conducerea şi reglarea sistemelor complexe. Printre încercările cele mai caracteristice de perfecţionare a metodelor folosite în ultimele decenii în ştiinţele organizării şi conducerii, alături de întrebuinţarea masivă a procedeelor matematice şi a calculatoarelor electronice, se află şi utilizarea concepţiei sistemico-cibernetice. Poate fi definită ca sistem orice secţiune a realităţii în care se identifică un ansamblu de fenomene, obiecte, procese, concepte, fiinţe sau grupuri interconectate printr-o mulţime de relaţii reciproce, precum şi cu mediul înconjurător şi care acţionează în comun în vederea realizării unor obiective bine definite. Mulţimea elementelor şi a relaţiilor dintre acestea, precum şi a relaţiilor între componente şi ansamblu formează structura sistemului. Mulţimea caracteristicilor unui sistem, la un moment dat, determină starea sa. Pentru analiza comportamentului sistemelor, în ansamblul lor, s-a propus conceptul de "cutie neagră" care reprezintă sistemul privit ca un tot, făcând abstracţie de procesele sale interne. Cutia neagră primeşte impulsuri din partea mediului înconjurător (″intrările" în sistem) şi, prelucrând aceste impulsuri, le transformă în acţiuni asupra mediului ("ieşirile") din sistem. Sistemele se pot clasifica: după natura lor (sisteme naturale - cum sunt organismele vii şi sisteme elaborate - tehnice, economice, conceptuale), după modul de funcţionare (deschise - în care ieşirile nu influenţează intrările, şi închise, în care are loc influenţa intrărilor de către ieşiri) şi după comportament (deterministe sau probabilistice1). Mecanismul transformării intrărilor în ieşiri poate fi descris cu ajutorul funcţiilor de transfer, care au diverse forme, particulare, după natura sistemului. 1

Sistemele deterministe au o comportare previzibilă, în timp ce sistemele probabilistice au o comportare aleatoare.

13 Sistemul devine cibernetic atunci când apare reglarea (conexiunea 2

inversă, feedback-ul), adică o intervenţie asupra intrărilor în scopul menţinerii ieşirilor la nivelul unor parametri-obiectiv doriţi. Se înţelege că expresia analitică a funcţiilor de transfer şi a mecanismului reglării conduce la forme matematice foarte diverse şi de cele mai multe ori foarte complexe. Ansamblul economiei poate fi privit ca un sistem ale cărui elemente componente

(organizaţiile

social-economice

de

diferite

mărimi)

sunt

intercorelate prin fluxuri materiale şi informaţionale şi au un comportament orientat spre atingerea unor obiective precise. La rândul lor, organizaţiile, care sunt elemente componente ale sistemului-ansamblu, pot fi considerate sisteme, diviziunea putându-se continua până la identificarea unor componente elementare indivizibile. Scopul cercetării cibernetico-sistemice aplicată la realitatea social-economică îl constituie surprinderea comportamentului sistemelor, una din căile de descriere a acestui comportament fiind găsirea expresiei funcţiilor de transfer şi a mecanismului reglării. Adoptarea

perspectivei

cibernetico-economice

în

ştiinţele

social-economice reprezintă un câştig teoretic remarcabil şi este foarte probabil ca, în următorii ani, să asistăm la închegarea unei teorii cibernetico-sistemice complete şi unitare aplicată la realitatea social-economică pe scară largă. • Informatica poate fi definită ca disciplina prelucrării datelor cu ajutorul echipamentelor automate de prelucrare. Principalele probleme care pot fi considerate ca aparţinând informaticii sunt: culegerea datelor, pregătirea datelor, codificarea acestora, transmiterea lor, prelucrarea datelor pe echipamente, stocarea şi conservarea lor. Problema dezvoltării explozive a informaticii şi a rolului ei în economie,

administraţie,

cercetare

spaţială,

strategie

militară,

ştiinţă,

învăţământ etc, este bine cunoscută şi de nespecialişti. Vom arăta numai că, de la câteva calculatoare electronice şi puţini specialişti în informatică, în 1945, s-a ajuns azi, pe plan mondial, la milioane de calculatoare şi specialişti. • Psihosociologia organizării a apărut ca o nouă orientare în 2

Apariţia şi dezvoltarea ciberneticii (începând din deceniul al 5-lea al secolului nostru) este legată de numele unor savanţi celebri ca Norbert Wiener, Claude Shannon, Ross Ashby etc.

14 disciplinele conducerii în jurul anului 1950. St. March, F. Simon şi alţi reprezentanţi ai aşa-numitei "şcoli psihosociologice" abordează, în principal, problema influenţei factorilor psihologici şi sociologici în compartimentul decizional. Luarea deciziilor, în concepţia acestei şcoli, nu este funcţie numai de criterii raţionale ci şi de modul de percepere a stimulilor, depinzând de poziţia decidentului şi de relaţiile cu ceilalţi membri ai grupului. Cu alte cuvinte, oricât s-ar face apel, în organizarea şi conducerea organismelor economice, la metode şi echipamente de mare fineţe şi tehnicitate, în ultimă instanţă oamenii sunt cei de care depinde funcţionarea eficientă a sistemului, de aceea, trebuie studiate reacţiile individuale şi relaţiile dintre indivizii din sistem. • Teoria generală a sistemelor (TGS), strâns legată de cibernetică, propune o perspectivă care să sintetizeze ideile viabile ale diferitelor orientări în ştiinţele organizării şi conducerii. Iată câteva din ideile de bază ale teoriei generale a sistemelor, după "Industrial Dynamics" a lui J. Forrester: a) orice sistem este alcătuit din elemente (părţi) interdependente, acţionând în comun în virtutea unui scop; b) ansamblul legăturilor între elementele sistemului, precum şi al legăturilor cu întregul, formează structura sistemului S; c) complexitatea sistemelor depinde mai mult de structura sistemului decât de natura părţilor sale; d) două sisteme cu structuri parţial identice se numesc homomorfe (sistemul mai simplu va constitui un model al sistemului homomorf mai complex); e) două sisteme homomorfe vor avea un comportament asemănător, de unde rezultă posibilitatea de studiu a proprietăţilor sistemelor reale prin simulare; f) structura (statică) unui sistem preexistă comportamentului său (dinamicii sistemului); g) mişcările într-un sistem se realizează prin fluxuri presupuse concrete şi continue;

15 h) într-un organism economic toate categoriile de mişcări pot fi grupate în următoarele tipuri de fluxuri interconectate; 1) fluxuri materiale; 2) fluxuri de comenzi; 3) fluxuri băneşti; 4) fluxuri umane; 5) fluxuri de echipamente şi 6) fluxuri informaţionale; i) fluxul informaţional are un rol central în funcţionarea sistemelor; j) procesele decizionale sunt considerate şi ele ca având un rol central în mecanismul sistemelor; ele sunt presupuse a fi discontinue; k) reglarea este un element caracteristic al funcţionării sistemelor; l) procesele care au loc în sistemele economice sunt, de regulă, neliniare. Pe baza acestor premise, Forrester construieşte un procedeu de descriere a comportamentului unei întreprinderi, care utilizează metode cibernetice, informatice, psihosociologice, precum şi procedee de modelare matematică. De asemenea, sunt folosite analogii fizice şi tehnice (de exemplu, fluxurile sunt examinate în sens hidraulic) iar simularea este utilizată ca un procedeu de bază în descrierea comportamentului sistemelor. În linii mari în "Industrial Dynamics" se urmăreşte înţelegerea stării unui sistem cu ajutorul unor ecuaţii care descriu în timp intrările, transformările şi ieşirile din sistem, pentru cele şase tipuri de fluxuri amintite mai sus. (E vorba deci de găsirea funcţiilor de reacţie ale sistemului.) Pe baza acestei descrieri matematice se pot face simulări pe calculator, cu ajutorul cărora se prevede evoluţia sistemului. Ideile şi procedeele TGS, impresionante prin complexitatea lor, sunt în curs de sedimentare metodologică şi experimentare practică. Marea majoritate a propoziţiilor enumerate mai sus şi care stau la baza teoriei lui Forrester se regăsesc explicit sau implicit şi la baza metodologiilor practice de analiză sistemică. Conceptele de flux informaţional şi proces decizional sunt dominante şi în analiza sistemică la fel ca în TGS, iar urmărirea mecanismului transformării intrărilor în ieşiri constituie obiectul principal al analizei de sistem la fel ca şi al TGS. Procedeul folosit de analiza sistemică nu mai este însă matematic, ci bazat pe descrierea explicită, calitativă, a proceselor informaţional-decizionale. În plus, în practica analizei de sistem, odată cu proiectarea proceselor informaţionale şi în special a celor decizionale, se

16 urmăreşte îmbunătăţirea lor, deci se au în vedere criterii de optim. În acţiunea aceasta de proiectare eficientă a procesului informaţional-decizional, analiza sistemică face din plin apel la procedeele cercetării operaţionale şi la tehnicile informaticii. În ceea ce priveşte folosirea metodelor psihosociologice, în analiza de sistem există încercări recente în acest sens. În industria carboniferă şi cea metalurgică, în transporturi, gospodărie comunală şi în multe alte ramuri ale economiei au apărut grupe de cercetare operaţională industrială. În contrast cu cele întâmplate în Europa, în Statele Unite ale Americii cercetările militare s-au dezvoltat intens şi după terminarea războiului. Mulţi specialişti, cu o bogată experienţă în cercetarea operaţională au continuat să activeze în domeniul militar. Conducătorii din întreprinderile industriale nu aveau de ce să ceară ajutorul cercetării operaţionale, întrucât ei au revenit la metodele familiare dinainte de război. Problema reconstrucţiei sau a naţionalizării întreprinderilor nu s-a pus în Statele Unite ale Americii. Pătrunderea ştiinţei în rezolvarea problemelor de conducere a industriei se datoreşte în S.U.A., celei de-a doua revoluţii industriale. Cel de-al Doilea Război

Mondial

a

stimulat

cercetările

ştiinţifice

în

domeniul

telecomunicaţiilor, al conducerii automate şi tehnicii de calcul. Prin aceasta s-a creat bază tehnică a procesului de automatizare, proces a cărui esenţă constă în faptul că funcţiile de control exercitate de om sunt preluate de calculator. O nouă revoluţie industrială a început la sfârşitul anilor 1950 când a devenit posibilă comercializarea calculatoarelor. S-a făcut în acelaşi timp o reclamă intensă posibilităţilor calculatoarelor ca noi instrumente de conducere şi de asistare a deciziilor manageriale. Directorii întreprinderilor neavând competenţa necesară în multe domenii de activitate noi, au început să caute ajutor în selectarea şi utilizarea calculatoarelor. Cererile de acest fel s-au amplificat odată cu începerea războiului din Coreea, care a impus o productivitate crescută pentru o mare parte din industria americană. De aceea, la începutul anilor 1860 o parte din specialiştii în cercetarea operaţională care lucrau în domeniul militar, au început să activeze în industrie. Alte studii sunt iniţiate în cadrul unor birouri de consultaţii, universităţi, institute de cercetare sau instituţii guvernamentale. În acest fel, cercetarea

17 operaţională a început să se dezvolte şi să se răspândească şi în SUA. În decursul unui deceniu, numărul cercetărilor care activau în diverse organisme academice, guvernamentale sau industriale l-a egalat pe cel al cercetătorilor preocupaţi de probleme militare. În prezent, mai mult de jumătate din marile firme americane au sau utilizează specialişti în cercetarea operaţională. În anul 1953 a luat fiinţă o societate naţională – Societatea americană de cercetări operaţionale (The Operations Research’Society of America). Alte ţări au urmat curând acest exemplu şi în 1957 s-a constituit Federaţia Internaţională a Societăţilor de Cercetări Operaţionale. Au început să apară şi reviste periodice: trei în SUA, una în Anglia urmate de altele în diferite ţări. În SUA au fost introduse cursuri şi seminarii de cercetare operaţională, iar într-un ritm mai lent astfel de cursuri au luat naştere şi în alte ţări. În concluzie, după un deceniu în care a cunoscut o amplă dezvoltare în domeniul militar, cercetarea operaţională a continuat să se dezvolte foarte rapid în cadrul diferitelor organisme academice, industriale şi guvernamentale.

1.3. CONŢINUTUL ŞI CARACTERISTICILE PRINCIPALE ALE CERCETĂRII OPERAŢIONALE În multe lucrări de specialitate pot fi întâlnite diverse definiţii ale cercetării operaţionale, dar au existat şi multe argumente în favoarea ideii căreia cercetarea operaţională nu poate fi definită. Examinând definiţiile propuse, trebuie să ne reamintim că nici cele mai vechi ştiinţe şi nici ştiinţa în sine nu a fost niciodată definită într-un fel care să fie acceptat de majoritatea celor care se ocupă de ştiinţa respectivă. Încercând să luăm în considerare toate activităţile şi domeniile de activitate cu care se întrepătrunde, vom încerca să dăm o definiţie cât mai completă a cercetării operaţionale care să constituie o bază folosirea pentru înţelegerea noţiunii acestei ştiinţe, mai ales dacă avem în vederea istoria dezvoltării acestei ştiinţe. Astfel putem considera ca cercetarea operaţională reprezintă: aplicarea metodelor ştiinţifice de către o echipă interdisciplinară la studiul problemelor

18 legate de conducerea sistemelor organizate în scopul obţinerii unor soluţii care să servească cât mai bine interesele organizaţiei în ansamblu. Principalele caracteristici ale cercetării operaţionale care pot fi desprinse din această definiţie sunt următoarele: -

Abordarea în ansamblu a problemelor;

-

Folosirea unei grupe de specialişti din diferite domenii;

-

Utilizarea metodelor ştiinţifice la problemele de conducere.

În continuare, ne vom opri mai amănunţit asupra fiecărei caracteristici.

1.3.1. ABORDAREA ÎN ANSAMBLU A PROBLEMELOR Această caracteristică se bazează pe observaţia că în sistemele organizate, comportarea fiecărei părţi influenţează într-un fel sau altul toate celelalte părţi. Nu toate aceste influenţe pot fi detectate şi nu toate au aceeaşi importanţă. În consecinţă, această caracteristică constă în esenţă în a descoperi care sunt interacţiunile semnificative, atunci când se evaluează activitatea sau politica urmată de fiecare din componentele sistemului. O astfel de abordare a problemelor de conducere este direct opusă celeia care urmăreşte simplificarea problemelor, reducând dimensiunile lor. Cercetătorul operaţional lărgeşte aproape întotdeauna problema iniţială, introducând interacţiuni care nu se găseau în formularea prezentată de către conucerea firmei. Pentru a putea studia aceste probleme mai largi, şi deci mai complicate, au trebuit să fie dezvoltate noi metode de cercetare. Dacă ar fi să ne întoarcem la problema de stocuri discutată la punctul 1.1, abordând problema planificării producţiei şi a stocurilor numai din punctul de vedere al serviciului producţie şi a stocurilor numai din punctul de vedere al serviciului producţie, am fi capabili să evaluăm influenţa, pe care o decizie aleasă de pe această poziţie ar avea-o asupra vânzărilor şi asupra problemelor de personal şi financiare ale firmei. Cercetarea operaţională caută să ţină seama de toate influenţele semnificative, să facă toate aceste efecte considerabile şi să obţină o evaluare a lor în ansamblu.

19

1.3.2. FOLOSIREA UNEI GRUPE DE SPECIALIŞTI DIN DIFERITE DOMENII Divizarea cunoştinţelor umane în diverse discipline ştiinţifice este un fenomen relativ recent, produs al secolului al XIX-lea. Până către sfârşitul secolului al XVII-lea era posibil ca un singur om să posede cele mai multe, dacă nu chiar toate cunoştinţele acumulate de omenire până atunci. Prin urmare, în acest domeniu nu era necesară nici un fel de specializare şi orice activitate ştiinţifică era cunoscută sub numele de filosofie. Pe măsură ce volumul de cunoştinţe a început să depăşească posibilităţile de acumulare ale persoanei, au început să se contureze diverse specializări. A început să se facă o deosebire între filozofia naturală şi cea tradiţională, care nu se baza pe date empirice. Mai târziu filozofia naturală a început să fie cunoscută sub numele de ştiinţe naturale. La începutul secolului nostru au început să apară şi ştiinţele sociale, iar fiecare nouă ştiinţă apărută a dat naştere la noi ramuri şi subramuri. Disciplinele ştiinţifice reprezintă diverse moduri de a aborda problemele specifice apărute în firme. Orice problemă poate fi privită din punctul de vedere al oricărei discipline. Pentru conducerea unei firme nu există probleme de producţie, probleme financiare sau probleme comerciale, ci numai diverse moduri de abordare a uneia şi aceleiaşi probleme. Din experienţă noi găsim cele mai potrivite căi pentru examinarea problemelor, cu care suntem obişnuiţi. În situaţii complicate sau neobişnuite vom căuta să utilizăm metodele care ne sunt cele mai familiare. De aceea nu este de mirare că atunci când este confruntat de exemplu, cu problema ridicării productivităţii muncii, psihologul din cadrul serviciului personal încearcă să selecteze muncitorii cât mai bine calificaţi şi să îmbunătăţească pregătirea lor profesională. Inginerul mecanic va căuta să perfecţioneze maşinile – specialistul cu organizarea muncii va încerca să îmbunătăţească amploarea utilajelor, să simplifice operaţiile executate de muncitori şi să le ofere stimulente mai atractive. Analistul de sistem va căuta să îmbunătăţească fluxul informaţional

20 în cadrul sistemului de producţie. Toate aceste oferte/măsuri oferă doar anumite ameliorări, însă trebuie să cunoaştem care este cea mai bună combinaţie. În cazul unor probleme complexe, probabilitatea de a cunoaşte cu exactitate efectul măsurilor luate este foarte mică. De aceea este util să fie examinate şi evaluate cât mai multe posibilităţi. Tocmai din această cauză este necesară o echipă interdisciplinară. Deoarece în prezent există foarte multe discipline ştiinţifice pure sau aplicate, este evident imposibil ca în fiecare proiect de cercetare operaţională să fie inclus câte un reprezentant al fiecăreia dintre ele. Este însă de dorit ca în echipă să fie reprezentate cât mai multe discipline posibil, iar activitatea echipei să fie supusă unei analize critice de pe poziţia a cât mai multe dintre disciplinele nereprezentate.

1.3.3. UTILIZAREA METODELOR ŞTIINŢIFICE LA PROBLEMELE DE CONDUCERE În cele mai multe lucrări privind metodele utilizate de ştiinţă se consideră că experimentul joacă un rol esenţial. Din nefericire, experimentul în sensul strict al cuvântului (adică modificarea fizică a valorilor variabilelor), nu este posibil, sau este neraţional atunci când este vorba de exploataţii agricole. În agricultură, de exemplu, o exploataţie agricolă nu-şi poate permite riscul unui faliment, de dragul unui experiment. Desigur, experimentarea este posibilă uneori, în particular, la nivel de subsistem şi joacă un rol important în cercetarea operaţională. Totuşi, de regulă, sistemul studiat nu poate fi supus, în ansamblu, experiemtării. Prin urmare, pentru studiul sistemului, în majoritatea cazurilor trebuie utilizată altă metodă decât experimentul. O sugestie o constituie metoda utilizată pentru a construi o reprezentare a sistemului şi a modului său de funcţionare, adică un model, pe care îşi efectuează cercetările. Modelele cercetării operaţionale iau forma unei ecuaţii, care, deşi din punct de vedere matematic pot fi foarte complicate, au o structură foarte simplă: U = f(xi, yi)

21 unde: U – reprezintă utilitatea sau valoarea criteriului ce caracterizează funcţionarea sistemului; xi – variabile ce pot fi controlate; yi – variabile (constante) necontrolabile, dar care acţionează asupra lui U; f – relaţia dintre U, xi şi yi. În plus, de multe ori sunt necesare una sau mai multe ecuaţii sau inecuaţii, care exprimă faptul că variabilele controlabile pot varia numai între anumite limite. De exemplu, timpul necesar unei maşini agricole pentru efectuarea unei anumite lucrări de pregătire a patului germinativ nu poate fi negativ, şi nici nu poate depăşi timpul total disponibil. De asemenea, sumele totale alocate fondurilor de salarii sau achiziţionării de materiale nu pot depăşi capitalul total disponibil. Funcţia criteriu împreună cu restricţiile constituie modelul sistemului şi în acelaşi timp, problema pe care dorim să o rezolvăm. Prin urmare, aceasta este atât un model al sistemului cât şi un model de decizie. Odată modelul constituit, el poate fi utilizat pentru a găsi exact sau aproximativ valorile optime ale variabilelor controlabile – adică acele valori care asigură cea mai bună performanţă a sistemului, pentru anumite valori specificate ale variabilelor necontrolabile. În acest fel, se obţine o soluţie a problemei cu ajutorul modelului. Procedeul folosit depinde de natura modelului. Soluţia se poate obţine fie prin efectuarea unui experiment asupra modelului, adică prin simulare, fie cu ajutorul analizei matematice. În unele cazuri, analiza matematică a modelului se poate efectua fără să cunoaştem valorile variabilelor, adică într-o formă abstractă sau simbolică, dar în alte cazuri trebuie să cunoaştem valorile numerice ale variabilelor. Pentru anumite tipuri de funcţii f (de exemplu: cînd f este exprimat prin funcţii algebrice elementare) şi pentru un număr mic de restricţii, matematica clasică furnizează instrumente eficiente care permit găsirea valorilor optime. În ultimii ani s-au dezvoltat metode noi, care permit rezolvarea problemelor, în

22 care restricţiile sunt atât de numeroase, încât metodele clasice devin prohibitive din punct de vedere calculatoriu. Pe de altă parte, funcţia f s-ar putea să fie dată print-o serie de reguli (algoritm) care permit calcularea utilităţii U pentru valori date ale variabilelor controlabile şi necontrolabile, dar nu ne permit să găsim în mod direct valorile optime ale variabilelor controlabile. De obicei, se poate găsi o regulă, cu ajutorul căreia se determină succesiv un şir de valori ale variabilelor controlabile, care să conveargă către valoarea optimă. Pentru unii algoritmi, cheltuielile necesitate de găsirea soluţiei optime pot fi mult mai mari decât avantajele pe care le oferă această soluţie, în comparaţie cu o soluţie bună, care poate fi obţinută relativ uşor. De fiecare dată când se calculează U pentru noile valori ale variabilelor xi (yi fiind fixaţi), căpătăm noi informaţii despre comportarea sistemului. Din aceste informaţii sar putea aprecia dacă prin alegerea unor noi valori pentru xi se obţine o îmbunătăţire semnificativă a lui U. Dacă putem estima această îmbunătăţirea înainte de efectuarea calculelor, am putea să o comparăm cu cheltuielile necesitate de calcule şi să decidem dacă alte încercări vor mai fi sau nu justificate. Sistemul poate fi astfel încât yi să nu fie cunoscuţi înainte de alegerea lui xi. de exemplu, dacă yi reprezintă vânzările din luna viitoare, iar un xi reprezintă nivelul producţiei din luna curentă, decizia privind valoarea xi s-ar putea să fim obligaţi să o luăm, cunoscând doar funcţia de repartiţie (probabilistică) a lui yi. În astfel de cazuri, dacă f este destul de simplă, vom putea lucra cu valoarea medie a factorilor necontrolabili, adaptând decizia cea mai bună „în medie“. Totuşi, adesea, procesul de „mediere“ este atât de complicat încât devine practic inanalizabil. De aceea, apare necesitatea efectuării unor experimente asupra modelului (simulare) în care valorile variabilelor necontrolabile se aleg cu o frecvenţă corespunzătoare funcţiilor lor de repartiţie. Acum putem calcula valoarea lui U şi în ultimă instanţă, în acest fel găsim funcţia lui de repartiţie. Uneori această simulare se produce în întregime la calculator. În anumite cazuri, rolul celui ce trebuie să ia decizia nu poate fi descris într-o formă suficient de clară pentru a fi reprezentat explicit în sistem. Atunci procesul de simulare poate fi realizat de către oameni. O astfel de simulare se numeşte joc operaţional.

23 Indiferent de metoda folosită, întotdeauna se caută o soluţie optimă. O soluţie optimă este o soluţie care minimizează sau maximizează (după caz) valoarea funcţiei criteriu din model, cu restricţiile care apar în acel model. Cum modelul nu constituie niciodată o reprezentare perfectă a problemei, soluţia optimă nu este totdeauna cea mai bună soluţie a problemei. Admiţând că modelul constituie o reprezentare „bună“ a problemei, soluţia optimă sau suboptimă a modelului va constitui o aproximaţie „bună“ pentru soluţia optimă a problemei şi să sperăm, va fi sensibil mai bună decât strategiile sau procedeele pe care această soluţie este chemată să le înlocuiască. Deoarece soluţia optimă a modelului poate îmbuinătăţi funcţionarea sistemului numai dacă modelul constituie o bună aproximaţie a realităţii, soluţia propusă va trebui testată şi evaluată cu alte cuvinte, este necesar să comparăm rezultatele preconizate cu strategia sau procedeul care urmează să fie înlocuit. În sfârşit, dacă scopul cercetării operaţionale este bine definit, şi anume de a îmbunătăţi performanţele sistemului, rezultatele cercetării vor trebui implementate, în cazul că sunt acceptate de factorii de decizie. Acum se efectuează o ultimă testare şi evaluare a rezultatelor cercetării. În această fază a lucrării, cercetătorul operaţional are cele mai mari posibilităţi de a acumula o experienţă folositoare. Dacă soluţia considerată urmează să fie aplicată nu numai o singură dată, atunci este foarte posibil, având în vedere natura sistemelor studiate în cercetarea operaţională, ca valorile variabilelor necontrolabile şi chiar structura sistemului să se modifice de la o decizie la alta. De aceea este necesar să descoperim schimbările semnificative în sistem şi în mediul înconjurător şi să ajustăm soluţia în mod corespunzător. Altfel spus, soluţiile preconizate a fi aplicate în situaţii repetabile sau după intervale mari de timp vor trebui actualizate şi corectate. În concluzie, într-un studiu de cercetare operaţională deosebim cinci stadii: -

Formularea problemei;

-

Construcţia modelului;

-

Obţinerea soluţiei optime;

-

Testarea modelului şi evaluarea soluţiei;

-

Implementarea şi actualizarea soluţiei.

24 Deşi, în mod normal, fazele unui studiu de cercetare operaţională încep în ordinea dată mai sus, de regulă, ele nu se termină în această ordine. În fapt, fiecare etapă continuă până la definitivarea studiului şi se află într-o strânsă interacţiune cu celelalte etape. De exemplu, putem conchide că etapa de formulare a problemei s-a încheiat cu succes, numai după ce au fost examinate, măcar în mare, toate celelalte etape şi în special, cea privind implementarea soluţiei.

25

CAPITOLUL 2 MODELAREA ÎN CERCETAREA OPERAŢIONALĂ 2.1. ROLUL MODELĂRII ÎN CERCETAREA OPERAŢIONALĂ Conceptul de "model", atât de mult folosit în ştiinţa modernă, este relativ nou, dar metoda modelării este tot atât de veche pe cât sunt preocupările oamenilor pentru cunoaşterea ştiinţifică3. Putem considera că modelul este o reprezentare izomorfă a realităţii, care, oferind o imagine intuitivă şi totuşi riguroasă, în sensul structurii logice, a fenomenului studiat, facilitează descoperirea unor legături şi legităţi imposibil sau foarte greu de găsit pe alte căi. În elaborarea modelelor economico-matematice, teoria economică are un rol deosebit de important întrucât ea formulează categoriile, conceptele şi legile obiective ale realităţii economice. Numai sprijinindu-se pe teoria economică modelele matematice pot reprezenta fidel fenomenele economice. Modelul, ca instrument al cunoaşterii ştiinţifice, este folosit în foarte numeroase discipline teoretice şi practice. Fără pretenţia de a face o clasificare riguroasă a tipurilor de modele, vom arata că ele pot fi: modele verbal-descriptive - folosite în toate disciplinele nematematizate, modele matematice, modele fizice analogice (de tipul machetelor statice sau dinamice), modele grafice etc. În ştiinţele economice, în special în disciplinele organizării şi conducerii, modelele sunt utilizate în toată diversitatea de tipuri care există. În ultimele decenii însă, se conturează din ce în ce mai mult tendinţa utilizării cu precădere, în aceste discipline, a modelelor de tip matematic, datorită în special capacităţii acestora de a condensa riguros esenţialul, cât şi posibilităţii lor de a 3

Oamenii de ştiinţă din toate timpurile au folosit "modele" în cele mai diverse domenii ale cunoaşterii ştiinţifice. Până de curând însă ei utilizau modelarea fără a folosi termenul respectiv.

26 fi programate cu ajutorul calculatoarelor electronice, alcătuind împreună un instrument de investigaţie ştiinţifică de o putere necunoscută până în prezent, o prodigioasă "prelungire" a inteligenţei umane. O sistematizare metodologică a modelelor matematice întrebuinţate în disciplinele organizării şi conducerii social-economice ar fi riscantă, având în vedere mutaţiile continue şi spectaculoase care au loc în aceste discipline şi, în plus, ar avea un caracter pur scolastic, fără utilitate teoretică sau practică reală. De aceea, ne vom limita, în continuare, să enumerăm principalele tipuri de modele matematice cunoscute în acest domeniu. După întinderea domeniului studiat, modelele care descriu realitatea economică pot fi: macroeconomice - cele care se referă la economia naţională, la ramură (subramură) sau la economia unui teritoriu mare (un judeţ, o anumită zonă industrială, agricolă etc.) şi microeconomice - la nivel de întreprindere, uzină, trust, combinat etc. Modelele cibernetico-economice urmăresc să studieze relaţia dintre intrări şi ieşiri într-un organism economic, cu evidenţierea fenomenelor de reglare care determină buna funcţionare a sistemului. Majoritatea modelelor cibernetico-economice sunt macroeconomice. Modelele

econometrice

descriu

comportamentul

organismelor

economice cu ajutorul unor sisteme de ecuaţii în care elementele numerice sunt determinate statistic. Şi aceste modele sunt, de obicei, macroeconomice. Modelele de simulare încearcă să stabilească modul de funcţionare al unor organisme macro sau microeconomice prin acordarea unor combinaţii de valori întâmplătoare variabilelor independente care descriu procesele. Prin "citirea" valorilor pe care le capătă în felul acesta variabilele dependente, se obţin mărimi semnificative în procesul studiat. Modelele sistemice au drept obiectiv surprinderea ansamblului aspectelor dintr-un organism economic (de exemplu, în modelele Forrester se consideră că prin identificarea celor şase fluxuri caracteristice se poate cunoaşte comportarea sistemului ca un tot). Modelele cercetării operaţionale se caracterizează prin căutarea unei soluţii optime sau apropiată de optim, pentru fenomenul studiat. Modelele cercetării operaţionale se bazează pe o mare diversitate de procedee matematice şi au aplicaţii la nivel macro, dar în special la nivel

27 microeconomic. Ele reprezintă principalul instrument pentru optimizarea deciziilor în analiza de sistem. Tipologia de mai sus este foarte relativă, între grupele menţionate existând frecvente asemănări şi întrepătrunderi. Astfel, modelele econometrice sunt adesea de tip cibernetic, simularea se utilizează în mai toate tipurile de modele matematice, modelele cercetării operaţionale pot fi folosite în descrierea sistemică a unui organism etc. Vom examinăm, în continuare, procedeele practice de elaborare şi utilizare a modelelor matematice în disciplinele organizării şi conducerii. În primul rând trebuie subliniat faptul că activitatea de modelare, pentru a fi eficientă, trebuie desfăşurată întotdeauna în cadrul analizei de sistem, şi anume ca un moment al etapei de proiectare a noului sistem. O serie de operaţii care se desfăşoară în cadrul analizei de sistem înaintea acestui moment au un caracter pregătitor pentru efectuarea modelării, iar altele, ulterioare ei, sunt necesare pentru aplicarea în practică a modelelor elaborate. Vom arăta în continuare care sunt principalele faze ale elaborării unui model matematic într-o problemă de organizare-conducere social-economică, având grijă să evidenţiem cum se împletesc aceste faze cu alte operaţii ale analizei de sistem. • Prima fază a modelării, care are un caracter pregătitor, este cunoaşterea realităţii în organismul studiat, în scopul îmbunătăţirii mecanismului

informaţional-decizional.

Descrierea

logicii

proceselor

decizionale, alături de considerarea obiectivelor viitorului sistem, sunt principalele elemente ale cunoaşterii realităţii necesare modelării. • A doua fază a modelării o reprezintă construirea propriu-zisă a modelului. Această operaţie, în marea majoritate a cazurilor din practică, constă în aplicarea unui instrument clasic de modelare ales din gama extrem de variată pe care ne-o pune la dispoziţie teoria cercetării operaţionale. În astfel de situaţii, abilitatea analistului constă în stabilirea corespondenţei dintre realitate şi instrumentul de modelare cunoscut din literatura de specialitate. Există şi cazuri când nu se poate stabili o astfel de corespondenţă, analistul fiind obligat să elaboreze modele noi. Acestea pot fi de două feluri: a) combinaţii de modele clasice, din domeniul teoriei şi b) modele noi propriu-zise. În primul caz, totul se reduce la buna cunoaştere a realităţii şi a teoriei, la care trebuie adăugată o

28 doză de abilitate în combinarea metodelor. În cazul al doilea, este vorba despre creaţie originală. Elaborarea unui model matematic realmente original reclamă, pe lângă profunda cunoaştere a realităţii care urmează a fi modelată, o foarte solidă cultură matematică, imaginaţie şi talent. După cum va rezulta din parcurgerea în prezentul curs a modelelor clasice ale cercetării operaţionale, există o mare diversitate în structura, matematica şi logica modelelor, de la modele foarte simple, neaxiomatizate, cum sunt cele din programarea liniară, la modele combinatorice, în probleme de teoria grafelor, analiza drumului critic şi programarea operativă a producţiei şi până la modele de mare fineţe, prezentate axiomatizat, cum sunt cele ale utilităţii sau deciziilor de grup. Evident, elaborarea în forma axiomatizată a unui model reprezintă un stadiu superior în procesul modelării care, însă, nu poate fi totdeauna atins în practică. Un model axiomatizat (sistem axiomatic) cuprinde: - axiomele sistemului, reprezentând propoziţii exprimate în formă matematică, de regulă foarte puţine, care conţin unele adevăruri de mare generalitate privind fenomenul care se modelează, atât de generale, încât toate constatările concrete şi particulare vor putea fi deduse din cele generale; - reguli de inferenţă, reprezentând prescripţii riguroase, singurele admise în sistem, prin care se trece de la axiome la teoreme, sau de la teoreme deja demonstrate, la altele noi; - teoreme, adică propoziţii mai mult sau mai puţin particulare, exprimate matematic, deduse prin reguli de inferenţă din aproape în aproape din axiome şi care exprimă proprietăţi ale fenomenului modelat. Când în procesul de modelare axiomatică se explicitează limitativ conceptele care urmează a fi utilizate, adică se dă de la început o listă a noţiunilor şi operaţiilor matematice admise în sistem, se obţine o formă superioară de sistem axiomatic numit sistem formal. Sistemele formale sunt încă foarte puţin utilizate în ştiinţă şi cu atât mai puţin în disciplinele organizării şi conducerii economice. Axiomatizarea şi, în ultima analiză, formalizarea, reprezintă viitorul în modelarea matematică, datorită rigorii excepţionale pe care o introduc, diminuării considerabile a elementelor de intuiţie şi arbitrar, care, deşi mult

29 mai puţine decât în modelele nematematizate, sunt încă prezente în modelarea matematică axiomatizată. • A treia fază a modelării este confruntarea modelului cu realitatea şi eventual experimentarea sa. Această fază se realizează în cadrul implementării sistemului, care poate fi considerată a patra şi ultima fază a modelării. În încheierea acestui paragraf, să examinăm câteva caracteristici ale instrumentelor de modelare matematică pe care ni le pune la dispoziţie cercetarea operaţională. Una din principalele caracteristici ale tuturor metodelor cercetării operaţionale este faptul că unele probleme ale cercetării operaţionale pot fi privite, din perspectivă pur teoretică, ca probleme de matematică pură. Evident, nu aceasta va fi perspectiva pe care o vom adopta în cele ce urmează, întrucât vom privi metodele cercetării operaţionale strâns legate de problemele practice. Din punct de vedere istoric, unele dintre problemele cercetării operaţionale s-au ivit, ce e drept, în special sub aspect pur matematic, cu mult înainte de a fi apărut activitatea organizată şi denumirea de cercetare operaţională. Astfel, unele noţiuni de teoria grafelor se cunosc de mai bine de un secol, teoria aşteptării îşi are originea în unele lucrări ale lui Erlang din deceniul al 2-lea al secolului nostru, iar teoria stocurilor apare către anul 1930. Ca disciplină de sine stătătoare, cercetarea operaţională a apărut însă în timpul celui de-al doilea război mondial, prin înfiinţarea unor echipe complexe (matematicieni, ingineri, economişti, biologi, psihologi ş.a.) însărcinate cu optimizarea deciziilor privind unele acţiuni pregătitoare operaţiilor militare. După război, echipele astfel formate s-au reprofilat rapid pentru activităţi paşnice. Dezvoltându-se spectaculos în ultimele trei decenii, preocupările teoretice şi în special practice, în domeniul cercetării operaţionale, au ajuns să antreneze astăzi pe plan mondial sute de mii de specialişti. În prezent nu se mai poate concepe conducerea unei activităţi tehnicoeconomice importante fără a face apel la metodele cercetării operaţionale, bineînţeles împreună cu celelalte tehnici moderne cum ar fi informatica, analiza de sistem ş.a..

30

2.2. PROBLEME TIP DE CERCETARE OPERAŢIONALĂ Încă de la începuturile ei, cercetarea operaţională a fost aplicată la rezolvarea unei mari varietăţi de probleme. Multe din acestea aveau un caracter mai curând tactic, decât strategic. Distincţia între problemele tactice şi cele strategice nu este simplă, deoarece ea se bazează pe cel puţin trei caracteristici ale problemei, fiecare din acestea având un caracter gradual. Mai întâi, o problemă are un caracter tactic mai accentuat decât alta, dacă efectul pe care-l exercită soluţia sa are o durată mai scurtă sau, ceea ce este de fapt acelaşi lucru, dacă soluţia poate fi uşor modificată sau înlocuită. Cu cât efectul soluţiei durează mai mult, cu atât caracterul strategic al problemei este mai accentuat. De aceea, o problemă în care se stabileşte producţia pentru ziua următoare este o problemă tactică în comparaţie cu problema construirii unei noi întreprinderi. Cercetarea operaţională s-a aplicat mai mult problemelor având o durată scurtă, decât celor de lungă durată. Vom numi această caracteristică registrul problemei. În al doilea rând, o problemă are un caracter cu atât mai strategic, cu cât este mai mare partea din organizaţie care este afectată direct de rezolvarea ei. De aceea, o problemă privind alegerea unei noi forme de evidenţă contabilă are un caracter tactic în comparaţie cu problema stabilirii bugetului întregii firme. Această caracteristică o vom numi aria problemei. În sfârşit, o problemă are un caracter strategic cu atât mai pronunţat, cu cât ea joacă un rol mai important în determinarea obiectivelor intermediare sau finale. Toate problemele stabilesc căile şi mijloacele prin care se poate atinge scopul dorit, însă cele mai multe probleme presupun că acest scop este dat din exterior sau este cunoscut în prealabil. Astfel de probleme au un caracter tactic. De aceea, planul global al firmei, în care trebuie determinate obiectivele parţiale şi finale ale diverselor compartimente, este o problemă de strategie în comparaţie, de exemplu, cu problema minimizării cheltuielilor de transport, problemă al cărei obiectiv este clar formulat. Vom numi această caracteristică orientarea problemei. Cele trei caracteristici enumerate nu oferă o delimitare clară între problemele strategice şi cele tactice. De aceea, în cel mai bun caz, putem spune

31 că o problemă are un caracter mai mult sau mai puţin strategic (sau tactic) în raport cu unul sau altul din cele trei aspecte. După cum s-a menţionat, cercetarea operaţională s-a ocupat cel mai mult (dar nu în exclusivitate) de probleme având un caracter tactic. Totuşi, vom examina ceva mai amănunţit problemele strategice şi rolul pe care-l poate juca cercetarea operaţională în rezolvarea lor. Dintre-un anumit punct de vedere, două probleme tactice nu pot fi niciodată identice. Pe de altă parte, problemele tactice tind să se grupeze în câteva tipuri bine definite. Ceea ce face ca două probleme să nu fie niciodată identice, este conţinutul lor. Ceea ce face ca toate problemele tactice să se grupeze într-un număr relativ mic de tipuri este forma lor. Orice problemă are o formă şi un conţinut. Aceste două trăsături sunt la fel de inseparabile, ca cele două feţe ale unei monede: le putem examina separat, dar nu le putem despărţi. Forma se referă la felul în care mărimile problemei sunt legate între ele, pe când conţinutul se referă la natura (semnificaţia) acestor mărimi. De exemplu, mai multe perechi de variabile pot fi legate între ele printr-o relaţie care se exprimă grafic printr-o dreaptă. Aceste perechi de variabile, între care există o dependenţă liniară, au forme identice, dar conţinutul lor este diferit. Putem separa forma unei probleme de conţinutul ei printr-un proces de abstractizare. Limbajul cu ajutorul căruia exprimăm forma, abstracţie făcând de conţinut, este limbajul matematic. Prin urmare, un model matematic de decizie constituie o reprezentare a formei problemei. Separarea formei de conţinut face necesară cunoaşterea conţinutului problemei. Inginerii sau economiştii interesaţi de rezolvare problemei cunosc conţinutului ei mai bine decât cercetătorii operaţionali. În general, cercetătorii nu-şi pot permite să cheltuiască timpul şi efortul necesar pentru a cunoaşte conţinutul fiecărei probleme concrete în parte, la fel de bine ca cei interesaţi de problema respectivă. De aceea, cercetătorul trebuie să utilizeze cunoştinţele despre problemă pe care le are inginerul sau economistul. Din această cauză, cercetarea operaţională dă cele mai bune rezultate atunci când există o colaborare activă între parteneri. După cum am văzut mai sus, o consecinţă importantă a faptului că cercetarea operaţională a fost aplicată la rezolvarea unei largi varietăţi de probleme cu caracter tactic, constă în identificarea unui grup restrâns de

32 probleme tip, la care se reduc majoritatea problemelor. Deoarece aceste tipuri de probleme se întâlnesc frecvent, s-au construit diverse tehnici pentru modelarea şi rezolvarea lor. Problemele tip sunt următoarele: 1) alocare; 2) stocuri; 3) reînnoire; 4) fire de aşteptare; 5) ordonanţare şi coordonare; 6) alegerea itinerariilor; 7) competiţie; 8) căutare. Ordinea în care au fost redate aici are la bază anumite considerente metodice. În realitate, diversele tipuri de probleme apar unele după altele (şi nu neapărat în ordinea amintită), pe măsură ce se lărgeşte concepţia asupra sistemului. De exemplu, mulţi cercetători operaţionali încep cu problemele de stocuri deoarece: 1) conceptual, ele sunt cele mai simple; 2) există tehnici puternic dezvoltate pentru rezolvarea lor; 3) se crede de obicei că datele necesare sunt uşor disponibile (dar rareori se întâmplă aşa în realitate); 4) conducătorii compartimentului respectiv sunt obişnuiţi, de regulă, să gândească în categorii cantitative şi de aceea nu sunt atât de refractari cercetării operaţionale, ca alţi conducători mai puţin pregătiţi tehnic. După cum vom vedea, teoria stocurilor reprezintă aparent cea mai simplă operaţie ce se poate concepe – păstrarea unor produse. Deciziile stabilesc, în general, când şi câte produse vor trebui achiziţionate. S-ar putea ca în problemă să fie implicat un mare număr de produse (de exemplu, părţi ale unui aceluiaşi agregat); atunci pentru fiecare din ele trebuie stabilit când şi ce cantitate se achiziţionează. După rezolvarea acestei probleme s-ar putea constata eventual că nu există posibilitatea fabricării tuturor produselor, în cantităţile cerute de soluţia optimă a problemei. În acest caz, se pune problema alocării utilajelor disponibile la executarea diverselor produse, astfel încât

33 pierderile, în comparaţie cu soluţia obţinută prin rezolvarea problemei de stocuri, luată izolat, să fie minime. Problema de alocare utilizează un model în care de regulă se presupune că utilajele sunt disponibile în mod continuu, fără întrerupere. În realitate, se pot ivi unele staţionări: utilajele se defectează şu trebuie reparate, se produc întreruperi în alimentarea cu energie, oamenii sau materialul nu se găsesc acolo unde este nevoie şi atunci când este nevoie. De aceea, în problema de alocare ar trebui să se ţină seama de aceste întârzieri. Pentru aceasta va trebui rezolvată o problemă de teoria aşteptării. În teoria aşteptării se presupune de obicei că există o regulă pentru determinarea ordinii de servire (de exemplu, se ştie ce utilaj urmează să fie reparat). În unele cazuri, ordinea în care se execută aceste lucrări are o influenţă sensibilă asupra timpului total necesar sau asupra executării lucrărilor la datele planificate. În aceste situaţii, va trebui rezolvată o problemă de ordonanţare (determinarea ordinii de servire), astfel încât să fie asigurată îndeplinirea obiectivului propus: respectarea termenelor planificate sau reducerea timpului total de execuţie. Dacă înaintea executării fiecărei noi lucrări este necesară o anumită pregătire a oamenilor şi utilajelor, iar durata acestei pregătiri depinde de ordinea în care sunt dispuse lucrările, atunci ar trebui luate în considerare şi pierderile de timp legate de perioadele de pregătire. Pentru aceasta trebuie rezolvată o problemă privind alegerea unui anumit itinerariu; consideraţiile care impun examinarea acestei probleme vor deveni evidente atunci când ne vom opri asupra ei în detaliu. Dacă această problemă ilustrativă este studiată pentru un interval de timp mai îndelungat, va trebui să avem în vedere şi problema reînnoirii utilajelor uzate sau cu o uzură avansată. Până acum ne-am concentrat atenţia aproape exclusiv asupra comportării sistemului studiat, fără a lua în consideraţie factorii externi care ar putea influenţa performanţele sistemului (furnizori, clienţi, concurenţi). Dacă vom ţine seama de aceşti factori, pentru a încerca să achiziţionăm materii prime la un preţ mai redus sau să ne vindem mărfurile la un preţ mai convenabil, va trebui rezolvată o problemă de tip competitiv. De regulă, aceste probleme sunt foarte complexe şi greu de rezolvat. De aceea, o echipă de

34 cercetare operaţională abordează o astfel de problemă numai după ce conducerea firmei a căpătat destulă încredere în capacitatea echipei, pentru a admite „riscul” acestei cercetări. Trebuie să remarcăm că, în general, cu cât o cercetare este mai dificilă şi comportă o doză mai mare de risc, cu atât mai mare este beneficiul ce se obţine prin aplicarea rezultatelor pe care le oferă. În sfârşit, cu cât obiectivul problemelor de cercetare operaţională este mai cuprinzător şi cu cât mai variate sunt soluţiile ce urmează a fi implementate, cu atât mai acută devine nevoia de a culege, păstra şi prelucra informaţiile necesare utilizării şi reactualizării soluţiilor. Adesea aceasta conduce la un studiu dedicat sistemului informaţional şi de comunicaţii. Problema care constă în a stabili ce şi de multe informaţii sunt necesare, cum trebuie culese şi folosite aceste informaţii, este o problemă de căutare. Rezultă că problemele de conducere pot fi examinate foarte rar separat una de alta. De aceea, cu toate că, cercetarea operaţională se poate limita la o singură problemă, ea este mult mai eficientă atunci când are posibilitatea să-şi lărgească obiectivul iniţial şi să examineze, simultan sau succesiv, cât mai multe probleme ce se influenţează reciproc. Multe probleme practice nu pot fi încadrate în nici unul din modelele tip. Deşi pentru ele se pot construi modele care să încorporeze mai multe probleme tip, în general nu dispunem de metode pentru rezolvarea acestor modele. Problemele tip sunt, într-un sens, cele mai extinse probleme ce se pot rezolva într-o singură etapă. Cum problemele reale conţin mai multe probleme tip, adesea trebuie să le „descompunem” în mai multe probleme parţiale; soluţia unei probleme parţiale va furniza datele iniţiale pentru următoarea problemă parţială. Vom putea utiliza atunci soluţia ultimei subprobleme, pentru a corecta sau reevalua una sau mai multe din soluţiile parţiale obţinute anterior. În practică, deseori când avem de-a face cu mai multe tipuri de probleme şi repetând acest ciclu până când se ajunge la o soluţie globală satisfăcătoare. Clasificarea problemelor de cercetare operaţională în cele opt tipuri nu conţine nimic magic sau imuabil. Cu timpul apar noi probleme, iar cele vechi se pot combina când se descoperă metode pentru rezolvarea lor simultană. Graniţa dintre diversele probleme tip nu este clar conturată şi devine din ce în ce mai difuză, pe măsură ce apar noi generalizări şi se descoperă noi puncte comune. Unele tehnici matematice, utilizate pentru rezolvarea anumitor

35 probleme, de exemplu, pentru programarea liniară sau dinamică, sunt aplicabile şi la alte probleme. De aceea, uneori problemele sunt clasificate în raport cu aparatul matematic necesar pentru rezolvarea lor. Am preferat clasificarea lor după situaţiile chemate să le rezolve şi nu după aspectul lor matematic, deoarece acest lucru corespunde mai bine caracterului cercetării operaţionale. Ar însemna să dăm dovadă de uşurinţă, dacă am considera cercetarea operaţională ca fiind o ramură a matematicii aplicate, mai curând decât o ştiinţă aplicată interdisciplinară şi dacă, concentrându-se asupra metodelor, am neglija scopul final. Să mai remarcăm că există unele probleme foarte interesante din punct de vedere teoretic, dar care nu se încadrează în vreunul din tipurile enumerate. Astfel de probleme prezintă un domeniu atractiv de cercetare şi deschid drumul către o eventuală identificare a unor noi probleme tip. Din discuţia de mai sus, rezultă că problemele tip nu constituie instrumente care să poată fi aplicate de-a gata în orice situaţie. Problemele tip se potrivesc foarte rar unor situaţii reale. De obicei, ele trebuie să fie adaptate fiecărui caz concret în parte. Dacă considerăm însă că studiul acestor probleme constituie un exerciţiu de construire şi rezolvare a modelelor, atunci vom căpăta o bază corespunzătoare pentru studiul problemelor concrete.

36

CAPITOLUL 3 PROGRAMAREA LINIARĂ 3.1. PREZENTARE GENERALĂ Mulţimea sistemelor economice concrete şi multitudinea problemelor conducerii acestora au creat o diversitate de reprezentări economicomatematice, denumite modele. Varietatea acestora este determinată, în principal, de structura "obiectului" analizat, de scopul cercetării precum şi de informaţia disponibilă. Modelele de programare matematică şi mai ales subclasa acestora – modelele de programare liniară – ocupă un loc deosebit de important, atât în teoria cât şi în practica economică. Teoria economică a beneficiat de aportul abordării interdisciplinare care a permis aprofundarea analizei eficienţei maximale a sistemelor complexe, a permis descoperirea unor concepte noi ale optimului economic, a perfecţionat metodele de cercetare şi cunoaştere iar practica economică s-a îmbogăţit cu un instrument deosebit de util analizei economice şi fundamentării deciziilor. Structura modelului general de programare liniară se constituie în primul rând prin mulţimea de activităţi {A1, A2, ... An} care compun sistemul economic analizat, mulţimea de resurse utilizate {R1, R2, ... Rm} precum şi prin relaţiile tehnico-economice dintre acestea. Legătura dintre activităţi şi resurse este determinată de tehnologia de fabricaţie corespunzătoare fiecărei activităţi Aj (j=1,...,n) şi poate fi caracterizată numeric prin vectorul coloană a(j) de componente (a1j, a2j, ... amj). Elementele {aij, i = 1,...,m; j = 1,...,n} se numesc coeficienţi tehnici sau coeficienţi de consum specific şi arată ce cantitate din resursa Ri se consumă pentru producerea unei unităţi din produsul (serviciul) Pj (ca rezultat al activităţii Aj). Toate "tehnologiile" de fabricaţie definite de vectorii coloană a(j) se pot organiza într-o matrice A cu m linii şi n coloane; fiecare linie se referă la o resursă Ri (i = 1,...,m) şi fiecare coloană se referă la o activitate Aj (j = 1,...,n).

37 Notând cu xj (j = 1,...,n) rezultatul activităţii Aj într-o perioadă dată şi cu bi (i = 1,...,m) cantităţile disponibile din resursele Ri (i = 1,...,m), se pot scrie matematic următoarele restricţii tehnico-economice:

(1)

a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n ≤ b1 a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n ≤ b 2 sau A⋅x ≤ b LLLLLLLLLLLL a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n ≤ b m

 a 11  unde A =  a 21  M  a m1

a 12 a 22 M a m2

L a 1n  L a 2n  ; x =  O M  L a mn 

 x1  x   2  şi b =  M  xn 

 b1  b   2  M  bn 

Fiecare inecuaţie/restricţie încorporează două afirmaţii: a. cantitatea consumată dintr-o resursă nu poate depăşi volumul disponibil (propoziţie de logică economică) b. consumul total Rij din resursa Ri pentru efectuarea activităţii Aj este proporţional cu intensitatea acesteia, adică cu xj, deci Rij(∗) = aij ⋅ xj (ipoteză simplificatoare) Sistemul de restricţii (1) realizează legătura dintre resurse şi activităţi prin intermediul celor m restricţii liniare. Modelul problemei de programare liniară conţine restricţii de tipul (1) precum şi un criteriu de "performanţă" care să permită evaluarea eficienţei fiecărei activităţi. În funcţie de scopul urmărit, putem alege drept criteriu de eficienţă un indicator care măsoară efortul, unul care măsoară rezultatul sau un indicator exprimat ca raport între rezultat şi efort (sau efort pe rezultat). Este evident că eficienţa maximă înseamnă minimizarea efortului şi maximizarea rezultatului, iar conceptul de optim se defineşte, în acest caz, ca

(∗)

De aici rezultă posibilitatea să calculăm coeficienţii aij pe baza informaţiilor disponibile R ij ; i = 1,...,m; j = 1,...,n privind cantităţile consumate Rij şi nivelul xj: aij = xj

38 un program x∈ R care minimizează sau maximizează o funcţie obiectiv şi, în n

acelaşi timp, satisface toate restricţiile tehnico-economice. Presupunând că fiecare componentă a vectorului linie c = (c1, c2, ..., cn) măsoară eficienţa unei unităţi din rezultatul activităţii Aj, atunci se poate introduce funcţia liniară: f(x) = c1⋅x1 + c2⋅x2 + ... + cn⋅xn

care evaluează performanţa oricărui program x. Sintetizând, obţinem următorul program de programare liniară: optim[ f (x )]

(1)

x

 n  ∑ a ij ⋅ x j ≤ b i  j=1 n ∑ a kj ⋅ x j ≥ b k  j=1  xj ≥ 0  

i ∈ I1 unde I1 ∪ I2 = {1,2,...,m}

k ∈ I2 j = 1, n

(2)

(3)

Relaţiile (1), (2) şi (3) constituie împreună modelul general al unei probleme de programare liniară, având fiecare un rol specific: n

1. relaţia (1), unde f(x) =

∑ c j ⋅ x j este denumită funcţia obiectiv de j=1

eficienţă a problemei, evaluează eficienţa/performanţa fiecărei variante de program x; n

2. relaţiile (2) de tipul

∑ a ij ⋅ x j ≤ b i reprezintă

restricţii de tip

j=1

n

resurse; iar restricţiile de tipul

∑ a kj ⋅ x j ≥ b k se referă la restricţii j=1

tehnico-economice de tip calitativ (şi ca urmare indicatorul bk este limita inferioară impusă "reţetei optime"; 3. relaţia (3) xj ≥ 0 j = 1,...,n, numită condiţia de nenegativitate a variabilelor, asigură obţinerea unei soluţii realizabile din punctul de vedere al logicii economice. După cum s-a arătat la început, structura concretă a unei aplicaţii în economie este determinată în primul rând de obiectivul urmărit.

39 Astfel, în cazul problemei determinării structurii sortimentale optime a producţiei, se cunosc cantităţile disponibile (cantităţile de care se poate face

rost pe perioada analizată) din fiecare materie primă {bi, i =1,...,m}, coeficienţii tehnologici {aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n} (aij reprezintă cantitatea din materia primă i necesară fabricării unei unităţi din produsul de tipul j), cantităţile maxime { x j , j = 1,...,n} şi minime { x j , j = 1,...,n} ce pot fi produse din fiecare sortiment în perioada analizată şi profiturile unitare {pj, j = 1,...,n} ale fiecărui tip de produs. Se cere găsirea acelor cantităţi xj care trebuie fabricate din fiecare tip de produs astfel încât să se obţină profitul maxim, în condiţiile nedepăşirii disponibilurilor din fiecare resursă. Pentru simplificarea modelului, se presupune că preţul unui bun nu depinde de cantitatea produsă din acesta sau din celelalte, consumul din fiecare materie primă este direct proporţional cu cantitatea produsă şi, pentru fiecare bun, consumurile dintr-o resursă sau alta nu se condiţionează reciproc. Problema matematică echivalentă este:

max (p1x1 + p 2 x 2 + ... + p n x n )  x j j=1,n a i1x1 + a i2 x 2 + ... + a in x n ≤ b i i = 1,..., m  j = 1,..., n x j ≤ x j ≤ x j x j ≥ 0 j = 1,..., n  În unele probleme, în loc de profiturile pj se cunosc veniturile unitare vj sau costurile unitare cj sau alt criteriu de eficienţă, scopul fiind maximizarea venitului, minimizarea costurilor respectiv optimul indicatorului de eficienţă respectiv, sau toate la un loc. De asemenea pot lipsi condiţiile de limitare a producţiei sau pot exista şi alte condiţii. La o problemă de programare operativă a producţiei restricţiile se referă la o serie de maşini (utilaje) cu care se execută produsele dorite, bi fiind disponibilul de timp al utilajului i pe perioada analizată iar aij timpul necesar prelucrării unui produs de tipul j pe utilajul i, scopul fiind maximizarea producţiei. Ca urmare, modelul are forma:

40

 max (x 1 + x 2 + ... + x n )  x j ( j=1,..., n)   a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a in x n ≤ b i   x j ≥ 0 i = 1,..., n 

i = 1,..., m

Dacă se doreşte obţinerea unui meniu (reţete furajere), care să asigure necesarurile {bi, i = 1,...,m} dintr-un număr de m substanţe esenţiale organismului, având la dispoziţie un număr de n alimente, cunoscându-se cantităţile {aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n} din fiecare substanţă pe care le conţine o unitate de măsură din fiecare aliment şi costurile {cj, j = 1,...,n} unei unităţi de măsură din fiecare aliment, putem scrie modelul:

 min (c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n )  x j ( j =1,..., n)   a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a in x n ≥ b i i = 1,..., m   x j ≥ 0 j = 1,..., n  Variabilele xj reprezintă, în acest caz, cantitatea din fiecare aliment ce n

va intra în meniu iar f(x) =

∑c j ⋅ xj

este costul total al reţetei definită de

j=1

vectorul x.

3.2. ALGORITMUL SIMPLEX Reamintim că presupunem că problema este la forma standard de maxim şi că dispunem de o soluţie de bază admisibilă. Pasul 1. Se construieşte tabelul simplex corespunzător bazei de care dispunem

în ordinea următoare: 1. pe linia a doua se trec toate variabilele într-o ordine oarecare;

41 2. pe prima linie se trec coeficienţii funcţiei obiectiv, fiecare deasupra variabilei corespunzătoare; 3. se construieşte matricea A, fiecare coloană fiind formată din coeficienţii unei variabile din toate ecuaţiile (ordinea în care se parcurg ecuaţiile trebuie să fie aceeaşi pentru toate variabilele), având grijă ca, coloanele să fie trecute în ordinea în care au fost trecute variabilele pe linia 2; 4. se construieşte baza B, ordinea coloanelor fiind cea în care apar ele în matricea A; 5. se calculează B-1; 6. se calculează B-1⋅A şi se trece în partea centrală a tabelului; 7. se trec variabilele principale în a doua coloană, în aşa fel încât, la intersecţia liniei şi coloanei corespunzătoare acestei variabile, să se afle valoarea 1. 8. se trec în prima coloană coeficienţii corespunzători variabilelor principale din funcţia obiectiv, fiecare în dreptul variabilei corespunzătoare; 9. se calculează soluţia de bază cu formula B-1⋅b, având grijă ca ordinea în care au fost trecuţi termenii liberi în vectorul b să fie aceeaşi cu ordinea în care au fost parcurse ecuaţiile la formarea matricii A; 10. se trec în a treia coloană valorile variabilelor principale din soluţia de bază, fiecare în dreptul variabilei corespunzătoare; 11. se calculează f(xB) înmulţind două câte două componentele coloanei 1 cu cele din coloana 3 aflate pe aceeaşi linie şi adunând toate produsele între ele (adică facem produsul scalar dintre cB şi xB); 12. se calculează pe rând fiecare zj j = 1,...,n un zj obţinându-se înmulţind scalar cB cu coloana j din B-1⋅A aflată în centrul tabelului (această linie se calculează şi se trece doar în primul tabel, scopul ei fiind calcularea lui ∆); 13. se calculează pe rând fiecare ∆j j = 1,...,n scăzând din linia lui z linia lui c (∆j = zj - cj)

42 Pasul 2. Se analizează valorile ∆j corespunzătoare variabilelor secundare (e

uşor de văzut că întotdeauna, cei corespunzători variabilelor principale sunt toţi 0, deci neinteresanţi). − dacă toţi sunt mai mari sau egali cu 0 atunci soluţia actuală este cea optimă. Dacă există ∆j = 0 în afara bazei, atunci pot apărea două cazuri: 1) toate elementele din coloana aj din B-1⋅A sunt mai mici sau egale cu 0. Atunci toate soluţiile de forma xB - aj⋅λ sunt soluţii optime, unde λ > 0 oarecare; 2) există o componentă aij a coloanei aj strict pozitivă. Atunci introducând variabila xj în bază în locul variabilei principală xi obţinem altă soluţie de bază optimă. Dacă apar numai cazuri de tipul 2), obţinem toate soluţiile de bază optime, mulţimea tuturor soluţiilor optime fiind formată din toate combinaţiile convexe ale acestora. Dacă apare şi cazul 1) atunci mulţimea soluţiilor optime este nemărginită fiind formată din combinaţiile convexe ale soluţiilor de forma xB aj⋅λ unde xB sunt toate soluţiile optime de bază. − dacă există ∆j < 0 atunci îl alegem pe cel mai negativ: ∆k =

min ∆ j . Variabila xj va fi cea care intră în noua bază. Dacă

m +1≤ j≤ n ∆ j 0 0 0  0 0 0 0  ∂n∂s  ∂2n ∂ 2s   

Evident n0 > 0 şi avem: ∂ 2 C T (n, s ) 2

∂ s ∂ 2 C T (n, s ) 2

∂ n

(n 0 , s 0 ) = (cs + cp)⋅

(n 0 , s 0 ) = 2c l + (c s + c p )⋅ s 02 ⋅ T  ⋅

∂ 2 C T (n, s ) ∂2n 2c l (c s + c p )⋅ T ⋅ N n 04

T >0 n0 N  n 30



(n 0 , s 0 ) ⋅

N

∂ 2 C T (n, s ) ∂ 2s

>0 2

  ∂ 2 C T (n, s ) (n 0 , s 0 ) −  (n 0 , s 0 ) =   ∂n∂s

>0

n0 ≤ N este echivalentă cu:

În concluzie, dacă

cp 2 ⋅cl ⋅ ≤ N⋅T. cs cs + cp

cp 2 ⋅cl ⋅ ≤ N⋅T atunci problema admite soluţia cs cs + cp

optimă: n0 =

2 ⋅cl ⋅ N cs + cp ⋅ cs ⋅T cp

s0 =

cp 2⋅cl ⋅ N ⋅ cs ⋅T cs + cp

τ1 =

cp 2⋅cl ⋅T ⋅ cs ⋅ N cs + cp

τ2 =

2⋅cl ⋅T cs ⋅ N

τ =

2 ⋅cl ⋅T cs + cp ⋅ cs ⋅ N cp

 cs + c p cp ⋅ −  cp cs + cp 

   

92 CT maxim = CT(n0,s0) =

Expresia ρ =

cp cs + cp

2 ⋅ cl ⋅ c S ⋅ T ⋅ N ⋅

cp cs + cp

măsoară intensitatea lipsei de stoc şi din

expresia lui CT maxim se observă că admiterea lipsei de stoc duce la micşorarea costului total cu stocarea, explicaţia constând în micşorarea numărului de lansări pentru că, deşi cp este mult mai mare decât cs, cl este şi mai mare decât cp. Dacă cp este mult mai mare decât cs (

cs ≈ 0 ) atunci se obţin aceleaşi soluţii cp

ca în modelul Willson fără ruptură de stoc. Dacă

cp 2 ⋅cl ⋅ > N⋅T atunci se va face o singură lansare (deci n0 = cs cs + cp

N) şi vom avea s0 = n0, τ1 = τ = T şi τ0 = 0 iar CT = cl + cs⋅

N ⋅T exact ca şi în 2

modelul Willson fără ruptură de stoc.

5.6.3. GENERALIZĂRI ALE MODELULUI WILLSON În practică ipoteza că cs (costul unitar) este acelaşi, indiferent de cantitatea stocată, nu este în general îndeplinită decât pentru variaţii mici ale stocului sau ale duratei de stocare, fiind mult mai realistă ipoteza că acesta depinde (invers proporţional) de cantitatea stocată s, de durata de stocare (direct sau invers proporţional) etc, dependenţele fiind exprimate prin funcţii mai mult sau mai puţin complicate. Aceleaşi consideraţii sunt valabile şi pentru cp (dependent de mărimea cererii neonorate sau mărimea întârzierilor). În concluzie putem imagina modele în care: cs = f(s,ts) şi/sau cp = f(p,tp) unde am notat cu: − s = cantitatea stocată − ts = durata de stocare − p = cererea neonorată − tp = durata întârzierii onorării cererii

93 sau şi mai complicate, neexistând evident limite în acest sens. Motivele care ne opreşte totuşi în a discuta teoretic aceste modele sunt următoarele: − orice complicare a modelelor anterioare duce la ecuaţii matematice

complicate, ale căror soluţii nu mai pot fi scrise cu operatorii matematici obişnuiţi (de exemplu, chiar dacă am presupune că unul singur dintre cs sau cp este funcţie liniară în variabilele expuse mai sus s-ar ajunge în rezolvare la ecuaţii de gradul patru ale căror soluţii încap pe o foaie întreagă (cititorul poate încerca singur analiza acestor variante); ele ar fi practic de nefolosit şi oricum scopul studierii gestiunii stocurilor nu este găsirea unor modele cât mai impunătoare; − aceste modele mai complicate pot apărea şi pot fi aplicate evident în

practică, existând algoritmi matematici de rezolvare (cel puţin aproximativi) pentru orice model matematic, dar acesta ar fi doar un pur calcul matematic; − modelele mai complicate nu ar adăuga nimic ideii teoretice,

desprinse din modelul Willson clasic, că în orice model de stocare există întotdeauna două tipuri de costuri, indiferent de variabilele de decizie şi anume: unele direct proporţionale şi celelalte invers proporţionale cu variabilele de decizie, fapt care face ca soluţia să fie una de mijloc, şi nu o valoare extremă evidentă şi deci banală. − în foarte multe cazuri un model de stocare presupune şi multe alte

variabile, care sunt de obicei aleatoare, caz în care devine nerealizabilă dorinţa de a găsi o soluţie matematică simplă. În aceste cazuri sunt chemate spre rezolvare alte ramuri ale analizei matematice şi economice, cum ar fi, de exemplu, simularea, algoritmii genetici etc.

5.6.4. MODEL DE PRODUCŢIE – STOCARE Presupunem că o unitate economică fabrică un singur tip de produse cu un ritm al producţiei de β produse în unitatea de timp pentru care are o cerere de N bucăţi într-o perioadă T. Presupunem că β⋅T > N (adică dacă întreprinderea ar lucra non-stop întreaga perioadă T ar produce mai mult decât

94 ceea ce poate efectiv să vândă) motiv pentru care perioadele de producţie sunt alternate cu perioade de oprire a producţiei astfel încât producţia totală să devină egală cu cererea totală N. Pentru simplificarea calculelor se va presupune că cererea este constantă în timp, adică în fiecare unitate de timp este egală cu α =

N . Deoarece β > α este evident că pe parcursul perioadelor T

de producţie se va acumula o cantitate de produse care trebuie stocate într-un depozit, acest stoc epuizându-se în perioadele în care producţia este oprită. De asemenea este evident că oprirea şi repornirea producţiei implică o serie de costuri. Pentru formalizarea modelului vom face şi următoarele ipoteze: 1. duratele ciclurilor de producţie sunt egale între ele; 2. intervalele de staţionare sunt egale între ele; 3. costul stocării este direct proporţional cu cantitatea stocată şi durata stocării cu un factor de proporţionalitate cs (costul unitar de stocare) 4. costul unei secvenţe oprire-pornire a producţiei este acelaşi pentru toate secvenţele; 5. se admite ruptura de stoc; 6. valoarea penalizării este direct proporţională cu mărimea cererii neonorate şi cu durata întârzierii cu un factor de proporţionalitate cp (costul unitar de penalizare) Se cere în aceste condiţii găsirea acelor intervale de producţie şi staţionare care duc la un cost total pe unitatea de timp minim. Situaţia de mai sus poate fi vizualizată foarte bine desenând graficul evoluţiei stocului în timp în figura 3. N

s(t)

n

s

Lichidarea deficitului în paralel cu satisfacerea cererii curente

Ciclu de producţie

Acumulare de comenzi neonorate

T t4

t1 Formarea stocului

t2 Consumarea stocului

Figura 3

t3

95 În acest desen am notat cu: −

n = cantitatea produsă peste cerere într-un ciclu de producţie;

− s = cantitatea maximă acumulată în depozit; − t1 = intervalul de timp în care se formează stocul; − t2 = intervalul de timp în care se epuizează stocul ca urmare a opririi

producţiei; − t3 = intervalul de timp în care se acumulează comenzi neonorate ca

urmare a faptului că nu se produce şi s-a epuizat stocul; − t4 = intervalul de timp în care este lichidat deficitului în paralel cu

satisfacerea cererii curente. Se observă că avem de-a face cu un fenomen ciclic în care o perioadă poate fi aleasă ca intervalul dintre două porniri succesive ale producţiei. Într-o perioadă costul va fi format din: − costul unei secvenţe lansare-oprire a producţiei cl; − cheltuieli de stocare pe intervalele t1 şi t2, cs ·

s · (t1 + t2); 2

− cheltuieli de penalizare pe intervalele t3 şi t4: cp ·

n -s · (t3 + t4) 2

Costul total unitar va fi:

CT(n,s,t1,t2,t3,t4) =

cl + cs

s (t 1 + t 2 ) + c p n − s (t 3 + t 4 ) 2 2 t1 + t 2 + t 3 + t 4

şi vom avea de rezolvat problema de minim cu legături:

min

n,s, t1 , t 2 , t 3 , t 4

cl + cs

s (t 1 + t 2 ) + c p n − s (t 3 + t 4 ) 2 2 t1 + t 2 + t 3 + t 4

n − s s  t = t = β −α 1  4  n −s = s =α  t t2 3  0 < s ≤n   0 < t , 1≤ i ≤ 4  i Pentru rezolvare vom scoatem din sistemul de restricţii patru variabile în funcţie de celelalte, de exemplu variabilele n, s, t1 şi t4 în funcţie de t2 şi t3 şi le vom înlocui în CT.

96 Avem: − s = t2 ⋅ α − n = (t2 + t3)⋅ α

α

− t1 =

β −α α

− t4 =

β −α

t2 t3

şi înlocuind în funcţia obiectiv obţinem: CT(t2,t3) =

(

2c l (β − α ) + αβ c s t 22 + c p t 32 2 β (t 2 + t 3 )

)

Se calculează ca şi în modelul Willson cu ruptură de stoc derivatele parţiale în t2 şi t3 şi din condiţia ca ele să se anuleze în punctul de minim obţinem un sistem în t2 şi t3 care are soluţia: cp 2c l ( β − α ) ⋅ αβc s cs + c p

t2 =

,

cs 2c l ( β − α ) ⋅ αβc p cs + c p

t3 =

şi în continuare: t1 =

s=

cs 2αc l ⋅ , t4 = βc p ( β − α ) c s + c p

cp 2αc l (β − α ) ⋅ , n= βc s cs + c p CTminim =

cp 2αc l ⋅ βc s ( β − α ) c s + c p

c s  2αc l (β − α )  c p ⋅ + β (c s + c p )  c s cp  

 α 2 ⋅ α ⋅ c s ⋅ c p 1 −  β

 cp   cs + c p

Soluţia de mai sus verifică evident şi celelalte restricţii, deci este unica soluţie optimă.

Observaţie Dacă ritmul producţiei este mult mai mare decât intensitatea cererii (β mult mai mare decât α sau echivalent spus din modelul Willson cu ruptură de stoc.

α ≅ 0 ) se obţine soluţia β

97

5.6.5. MODEL DE GESTIUNE CU PREŢURI DE ACHIZIŢIE SAU CU CHELTUIELI DE PRODUCŢIE VARIABILE În modelul anterior, cu excepţia cheltuielilor de lansare (presupuse fixe), cheltuielile de producţie erau ignorate. Acest lucru este valabil dacă cheltuielile de producţie pe unitatea de produs nu variază cu volumul producţiei iar cererea este satisfăcută în întregime (sau, în modelele de aprovizionare, cheltuielile de aprovizionare pe unitatea de produs nu variază cu volumul comenzii). Cheltuielile de producţie depind de volumul producţiei, notat cu q, şi anume printr-o funcţie nedescrescătoare f(q) care se anulează în origine şi are un salt egal cu cl în aceasta, pentru cheltuieli de lansare cl ≠ 0 . Uneori funcţia

f(q) are şi alte salturi care trebuie luate în consideraţie când se determină cantitatea optimă q ce trebuie achiziţionată (produsă).

Caz 1 Să presupunem acum că intensitatea cererii de produse este α şi să presupunem că preţul unitar al produsului este p când volumul comenzii este mai mic decât o cantitate Q şi p' când volumul comenzii este mai mare sau egal cu Q, cu p' < p. Atunci f(q) are expresia: q=0 0  f(q) = c l + p ⋅ q 0 < q < Q c + p ′ ⋅ q q ≥ Q  l Dacă presupunem că nu se admite neonorarea comenzilor şi că aprovizionarea se face instantaneu, atunci ne aflăm în situaţia de la modelul anterior în care t1 = t3 = t4 = 0,

s = β şi s = q. Formula cheltuielilor medii pe t2

unitatea de timp va deveni: 1 cs ⋅q ⋅ t 2 + cl β ⋅ cl 1 2 = cs ⋅ q + CT = 2 t2 q

98 Adăugând la acestea şi cheltuielile unitare de producţie

β ⋅cl 1  2 c s ⋅ q + pβ + q C(q) =  β ⋅cl 1  c s ⋅ q + p ′β +  2 q

f (q ) obţinem: t2

0 C (α ) < C(α + 1) sistem care, după efectuarea unor calcule simplificatoare, este echivalent cu: p(β ≤ α - 1)