AR M2 Exercices [PDF]

Zitiervorschau

Commande robuste H∞: Exercices Mokrane Boudaoud

Sorbonne Universit´ e Institut des Syst` emes Intelligents et de Robotique (ISIR) [email protected] November 26, 2020

1 / 13

Exercice 1: " Calculer les valeurs singuli` eres de la matrice de transfert G(p) =

1 p −2 p

1 p 2 p

#

Exercice 2: Donner la norme H∞ des syst` emes d´ ecrits par les fonctions de transfert suivantes: G1(p) =

5 , 10+p

G2(p) =

3.12 , p

G3(p) =

7 p4 +3p3 +9p2 +2p

2 / 13

Exercice 2 Exercice 3: Soit physique monovariable à commander. On souhaite SoitG(p) G(p) un un processus processus physique monovariable ` a commander. On souhaite synthétiser un correcteur robuste K(p). Pour cela, on utilise les synth´ etiser un correcteur robuste K(p). Pour cela, on utilise les fonctions fonctions de depond´ pondération W1et (p) indiqué surci-dessous. la figurePar ci-dessous. 3(p) comme eration W 1(p) W et 3(p)Wcomme indiqu´ e sur la figure rapport Par lasynth` structure de synthèse typique en cours, schéma ` a larapport structureà de ese typique vue en cours, le sch´ evue ma pr´ esent´ e ici nelecontient présenté ici nedecontient pasplac´ deee fonction de pondération placée sur la pas de fonction pond´ eration sur la commande et on supposera que le commande et est oncapable supposera que un le signal processus G(p) quelque est capable processus G(p) de supporter de commande soit son de amplitude.un signal de commande quelque soit son amplitude. supporter

R(p)

+

K(p) _

G(p)

W1(p)

Z1

W3(p)

Z3

Y(p)

1)- Mettre le système bouclé augmenté des pondérations sous une forme standard. On notera P l’ensemble constitué du système G et des fonctions de pondération. Donner le schéma interne de P. 2)- Donner l’expression de P.

3 / 13

1- Mettre le syst` eme boucl´ e augment´ e des pond´ erations sous une forme standard. On notera P l’ensemble constitu´ e du syst` eme G et des fonctions de pond´ eration. Donner le sch´ ema interne de P . Donner l’expression de P. 2- A partir de la forme standard ainsi obtenue, donner l’expression de la Transform´ ee Lin´ eaire Fractionnaire (LFT) que l’on notera F (P, K). 3- Le probl` eme H∞ consiste ` a trouver un correcteur K qui assure la stabilit´ e interne de la boucle et qui satisfasse: kF (P, K)k∞ < γopt . Comment le choix de la fonction de pond´ eration W 1(p) influe-t-elle sur le syst` eme boucl´ e? 4- En supposant la pr´ esence d’une perturbation (en sortie du processus G(p)), expliquer comment prendre en compte la r´ ejection de cette perturbation sur la sortie Y et sur le signal de commande lors de la r´ ealisation des fonctions de pond´ eration. 5- La synth` ese H∞ a produit une valeur γopt = 1.5 . Que peut-on en conclure ? 6- Une autre synth` ese a permis d’obtenir une valeur γopt = 0.9 . Que peut-on en conclure ?

4 / 13

on en conclure ?

Exercice 4: 3 Exercice SoitSoit le syst` eme boucl´ e repr´ ereprésenté sent´ e sur lasur figure ci-dessous. le système bouclé la figure ci-dessous. Δ(p) +

R(p) +

K(p) _

+

G(p)

Y(p)



Dans ce système, G(p) représente le modèle nominal d’un processus monovariable à commander le Dans ce syst` eme, G(p) repr´ esenteetleK(p) mod` elecorrecteur. nominal d’un processus monovariable (p) représente maximale des incertitudes multiplicatives à ` a commander et K(p)l’amplitude le correcteur. l’entrée du processus.

∆(p) repr´ esente l’amplitude maximale des incertitudes multiplicatives ` a l’entr´ ee du processus. 1)- Quel théorème peut garantir la robustesse en stabilité d’une commande en boucle fermée de ce système ?

1- Quel eor` eme peut garantir robustesse en stabilit´ e d’une commande en la 2)- th´ Exprimer le critère delastabilité robuste (permettant de garantir boucle ferm´ edu e desystème ce syst` ebouclé me ? pour toute incertitude bornée par (p)). stabilité 3)- Donner un schéma représentant des incertitudes additives.

2- Exprimer le crit` ere decestabilit´ e robuste de garantir la stabilit´ e du 4)- Exprimer, dans cas, le nouveaupermettant critère de stabilité robuste. syst` e5)me Dans boucl´ e pour toute incertitudeadditives, born´ ee par ∆(p). le cas des incertitudes à quel endroit doit-on placer une fonction de pondération afin de synthétiser un correcteur assurant la stabilité robuste ?

3- Donner un sch´ ema repr´ esentant des incertitudes additives.

5 / 13

4- Exprimer, dans ce cas, le nouveau crit` ere de stabilit´ e robuste. 5- Dans le cas des incertitudes additives, ` a quel endroit doit-on placer une fonction de pond´ eration afin de synth´ etiser un correcteur assurant la stabilit´ e robuste ?

6 / 13

Exercice 5: Partie I: 1 Soit un syst` eme de fonction de transfert G(p) = p+1 . Nous souhaitons synth´ etiser un correcteur assurant les performances suivantes:

- suivi de consigne avec une erreur statique inf´ erieure ` a1% - temps de r´ eponse ` a 5% en boucle ferm´ ee inf´ erieur a `3s - un gain entre l’erreur statique et la consigne inf´ erieur 2 pour tout ω - une limitation du signal de la commande ` a 2 pour tout ω pour une entr´ ee de type ´ echelon unit´ e 1- Concevoir un probl` eme H∞ standard permettant d’assurer ces objectifs. 2- D´ efinir les fonctions de transfert des gabarits fr´ equentiels consid´ er´ es. Partie II: Un correcteur solution du probl` eme assurant γ = 0.87 est: p+1 K(p) = 1.4 p+0.01

3- Calculer les fonctions de transfert S(p), K(p)S(p) et K(p)S(p)G(p). Effectuer une analyse fr´ equentielle de ces fonctions et v´ erifier que le cahier des charges est respect´ e. 4- Proposer une modification des fonctions de pond´ eration (gabarit fr´ equentiels) pour att´ enuer le gain du correcteur K(p) en hautes fr´ equences. 7 / 13

Partie III: En r´ ealit´ e le mod` ele de G(p) ´ etudi´ e n´ eglige une dynamique du premier ordre avec une constante de temps τ < τmax , avec τmax = 0.25 s. La fonction compl` ete de G(p) est la suivante: 1 , avec G0 (p) = G(p) = G0 (p) 1+τ p

1 p+1

5- Est ce que la pr´ esence de cette incertitude de mod´ elisation remet en cause la stabilit´ e du syst` eme en boucle ferm´ ee ?

8 / 13

Exercice 6: 1 . Nous souhaitons Soit un syst` eme de fonction de transfert G(p) = p2 +0.1p+1 d´ eterminer un correcteur K(p) dont la sortie s’ajoute ` a une perturbation b tel que repr´ esent´ e sur la figure ci-dessous.

b

+ _

v

1

y

p 2+0.1p +1

u K(p)

Le correcteur doit assurer les performances suivantes: - limiter la r´ esonance du transfert entre b et y ` a 1.4 - assurer une pulsation propre du syst` eme en boucle ferm´ ee aux alentour de 0.5 - assurer des marges de stabilit´ e correctes 1- Concevoir un probl` eme H∞ standard permettant d’assurer ces objectifs. 2- D´ efinir les fonctions de transfert des gabarits fr´ equentiels consid´ er´ es. 9 / 13

Exercice 7: A effectuer sur Matlab Les bilames pi´ ezo´ electriques font partie des actionneurs les plus utilis´ es dans les microsyst` emes. La figure ci-dessous pr´ esente la structure d’un bilame constitu´ e d’une couche de mat´ eriau pi´ ezo´ electrique (PZT) ´ equip´ ee d’´ electrodes et d’une couche de cuivre (mat´ eriau passif). Cet actionneur est utilis´ e pour produire un d´ eplacement y(t) ` a son extr´ emit´ e sous l’effet d’une tension ´ electrique v(t) appliqu´ ee sur les ´ electrodes. L’une des applications de ces actionneurs est l’ouverture et la fermeture de micropinces pour la manipulation d’objets de tr` es faibles dimensions. L’objectif est d’asservir la position y(t) de l’extr´ emit´ e de la poutre (bilame). Electrodes

Couche piézoélectrique (PZT)

+ u(t)

y(t) Couche passive (Cu)

Figure 1: Structure et fonctionnement d’un bilame pi´ ezo´ electrique

10 / 13

Partie I: Identification et analyse L’actionneur ´ etudi´ e est un syst` eme monovariable d’entr´ ee v(t) et de sortie y(t). L’identification, effectu´ ee sous diff´ erentes conditions repr´ esentatives des situations r´ eelles de fonctionnement, a permis d’obtenir plusieurs mod` eles du deuxi` eme ordre. De ces diff´ erents mod` eles, nous retenons les trois mod` eles suivants : Gn (p) =

0.8425 5.699×10−8 p2 +4.774×10−6 p+1

G1 (p) =

0,80 5.55×10−8 p2 +3.53×10−6 p+1

Gn (p) =

0.9133 5.82×10−8 p2 +4.01×10−6 p+1

Gn (p) repr´ esente le mod` ele nominal (moyen). G1 (p) et G2 (p) sont les mod` eles pr´ esentant le plus de variations relativement au mod` ele nominal. Dans ces mod` eles, l’entr´ ee est exprim´ ee en volts et la sortie en µm. 1- D´ eterminer le gain statique, la pulsation naturelle et le coefficient d’amortissement de chacun des mod` eles. 2- Tracer les r´ eponses indicielles ainsi que les lieux de Bode de ces mod` eles. 3- D´ ecrire et commenter le comportement de l’actionneur.

11 / 13

Partie II: Synth` ese de la commande On souhaite synth´ etiser un correcteur K(p) par la m´ ethode H∞ conform´ ement au sch´ ema classique repr´ esent´ e ci-dessous : E

Yc + _

K(p)

U

G(p)

Y

Figure 2: Commande en boucle ferm´ ee par retour de sortie

Le correcteur devra satisfaire le cahier des charges suivant : a)- le syst` eme boucl´ e doit ˆ etre stable pour tous les mod` eles consid´ er´ es, b)- le syst` eme boucl´ e doit avoir un comportement comparable ` a un syst` eme du deuxi` eme ordre dont le facteur d’amortissement vaut 0.7 et la pulsation naturelle 30 rad/s avec une erreur statique limit´ ee ` a 0.5%. c)- afin d’´ eviter de d´ etruire l’actionneur, la tension de commande devra ˆ etre limit´ ee ` a 1.2 V pour une consigne de 1 µm.

12 / 13

4- Proposer une mod´ elisation de l’incertitude dynamique du syst` eme. 5- Proposer un sch´ ema de commande en boucle ferm´ ee augment´ e de fonction de pond´ erations permettant de r´ epondre au cahier des charges. 6- Mettre le syst` eme sous la forme standard avec une fonction P contenant le syst` eme ` a commander G ainsi que les diff´ erentes fonctions de pond´ eration. Les entr´ ees et sorties de P doivent ˆ etre respectivement [Y c U ]T et [Z E]T o` u Z est le vecteur de sortie des fonctions de pond´ eration. 7- A partir de la forme standard, donner l’expression de la Transform´ ee Lin´ eaire Fractionnaire (LFT) que l’on notera F (P, K). 8- D´ efinir le probl` eme H∞ standard. 9- D´ efinir les fonctions de pond´ eration Wi satisfaisant le cahier des charges. 10- Trouver le correcteur K(p). Utiliser la fonction hinfric 11- Etudier les performances obtenues en boucle ferm´ ee a ` l’aide d’un sch´ ema de simulation sous Simulink. Analyser particuli` erement le comportement du syst` eme pour les mod` eles extrˆ emes. 12- Proc´ eder ` a une analyse fine des limitations des fonctions de transfert consid´ er´ ees dans le probl` eme H∞ avec les fonctions de pond´ eration associ´ ees.

13 / 13