Formule m2 [PDF]

Zitiervorschau

FORMULE BAC M2 FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT (a+ b)2=a2 +2 ab+ b2 (a−b)2=a2−2 ab+b 2 2 2 2 2 (a+ b+c ) =a +b + c +2 ab+ 2 ac+2 bc SUMĂ REMARCABILĂ 1+2+3+....+n=

n(n+1) ; 2

MODULUL UNUI NR. REAL

{ x , dacă x ≥ 0

Fie x ∈ R , atunci |x|= −x , dacă x< 0 .

Proprietati: |x|≥ 0, |x|=0 ⇔ x=0 ; |x|=|−x| ; √ x 2=|x|; |x|≤ c și c>0 ⇔−c ≤ x ≤ c ; |x|≥ c ⇔ x ∈¿ ∪ ¿ .

Partea întreagă și partea fracționară Fie x ∈ R , x=[ x ] + { x }, unde [ x ]- se numește partea întreagă și este cel mai mare { x } - se numește partea numă r întreg mai mic sau egal cu x , fracționară egal cu x-[ x ].

PROGRESII ARITMETICE Def: Se numește progresie aritmetică un șir de numere reale în care fiecare termen se obține din termenul anterior adunând o constantă numită rație (r).

Proprietate :trei numere a,b,c sunt în progresie aritmetică adică an=a1+(n-1)r – formula termenului general Sn=

(a ¿ ¿ 1+a n)∙n ¿ -suma primilor n termeni. 2

PROGRESII GEOMETRICE

1

.

Def: Se numește progresie geometrică un sir de numere reale în care fiecare termen se obține din termenul anterior înmulțind cu o constantă numită rație (q).

Proprietate :trei numere a,b,c sunt în progresie geometrică cu termeni pozitivi dacă b e medie geometrică între a și c adică n−1 b n=b1 ∙ q - formula termenului general Sn=b1

.

n

q −1 , q ≠ 1 - suma primilor n termeni. q−1

FUNCȚII Punctul A(a,b) se află pe graficul funcției f dacă f(a)=b. Punctele de intersecție dintre graficele a două funcții f și g se rezolvă sistemul Soluțiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. Inversa functiei f: Dacă atunci Intersecția cu Ox a graficului funcției f se rezolvă ecuația f(x)=0. Dacă x e o soluție a ecuației f(x)=0 atunci punctul A(x,0) e un punct de intersecție dintre axa Ox și graficul funcției f. Intersecția cu Oy a graficului funcției f se calculează f(0) dacă 0 e în domeniu de definiție.Punctul B(0,f(0)) reprezintă intersecția dintre axa Oy și graficul funcției f. In cazul în care 0 nu se află în domeniul de definiție al funcției,graficul funcției nu taie axa Oy. LOGARITMI b log a x=b ⇔ x=a , a> 0 , a ≠1 , b>0 log a x +log a y=log a (xy ¿¿)¿¿ Proprietăți x log a x−log a y=log a y 1 n log a x =n log a x , log a x= log a x n log b x 1 log a x= , log a b= log a log b a b log x log a=1 , log 1=0 , a =x , a a a> 0 , a ≠1 , b>0 , b ≠ 1 n

a

2

PUTERI.PROPRIETĂȚI

0

1

,

,

a =1 , a =a , ∀ a> 0 ,a ≠ 1.

,

,

FORMULE COMBINATORIALE 1.Permutări de n se notează Pn Pn=n! si reprezintă numarul de mulțimi ordonate ce se pot forma cu n elemente . n!=1 2 3 ............. n. Atenție! 0!=1, 1!=1. 2.Aranjamente de n luate câte k se noteaza

.

reprezintă nr de submulțimi ordonate de câte k elemente ce se pot forma dintr-o mulțime cu n elemente.

3.Combinări de n luate câte k se notează

.

reprezintă nr de submulțimi neordonate de câte k elemente ce se pot forma dintr-o mulțime cu n elemente. Numărul tuturor sumulțimilor unei mulțimi cu n elemente este 2n Numărul submulțimilor cu câte k elemente ale unei mulțimi cu n elemente este

PROBABILITĂȚI Probabilitatea=

, P0 , a ≠1 , b>1 , atunci f ( x )=log a b. Dacă a f (x)=ag (x) , a>0 , a ≠ 1, atunci f ( x )=g ( x ) . 3. Ecuații logaritmice b 1.log a f ( x )=b ⇔ f ( x )=a , CE: a> 0 , a ≠1 , f ( x )>0 2.log a f ( x )=log a g ( x ) ⇔ f ( x ) =g ( x ) , CE:a> 0 , a ≠1 , f ( x )> 0 , g (x)>0 .

FUNCȚIA DE GRADUL DOI 2

f : R → R , f ( x ) =a x + bx+ c , a ≠ 0 , a , b , c ∈ R

Vârful parabolei este

1.

2. Puncte de extrem -dacă

f(x)=

-dacă a < 0 f(x)=

este valoare minimă iar x= este valoare maximă iar x= 4

punct de minim. punct de maxim.

Graficul funcției de gradul doi e tangent la axa Ox dacă are

.

Graficul funcției de gradul doi e situat deasupra axei Ox dacă are Relațiile lui Viette Pentru ecuația de gradul doi cu rădăcini

au loc relațiile:

Observatie Ecuația cu rădăcini

unde

este

iar

.

VECTORI ÎN PLAN Modulul vectorului

este

Conditia ca doi vectori sa fie coliniari

,

Condiția ca doi vectori să fie perpendiculari

: ,

a ∙ c +b ∙ d=0

Dacă

și

Dacă

vectorul de pozitie al lui A este

noteaza

atunci

.

.

OPERAȚII CU VECTORI Adunarea vectorilor:-regula triunghiului ⃗ AB + ⃗ BC=⃗ AC ⃗ ⃗ -regula paralelogramului AB+ AD=⃗ AC .

TRIGONOMETRIE

5

se mai

Ox- axa cosinusului Oy- axa sinusului

-1 ≤ sin x ≤ 1 -1≤ cos x ≤ 1

formula fundamentală a trigonometriei. x

0

sinx

0

1

0

-1

0

cosx

1

0

-1

0

1

tgx

0

1

-

0

-

0

ctgx

-

1

0

-

0

-

funcţie impară. cos funcţie pară. funcţie impară funcţie impară.

6

GEOMETRIE 1 .Distanța ( lungimea ) dintre două puncte

2.Ecuația dreptei AB :

sau

ax +by +c =0.

x−x A y−yA = x B−x A y B − y A

.

cu forma generală

3.Panta dreptei AB -dacă știu două puncte panta este

−a -dacă ecuația e sub forma ax+by+c=0 panta este m= b .

4.Condiția ca două drepte să fie -papalele md =md - perpendiculare md ∙ md =−1 1

2

1

2

5.Ecuația unei drepte când știu un punct A și panta m este 6. Mijlocul segmentului AB este de coordonate

7.Condiția ca trei puncte A,B,C să fie coliniare 7

.

.

8.Punctul de intersecție dintre două drepte se determină rezolvând sistemul făcut de ecuațiile lor.

9.Aria triunghiului ABC este 10.Aria triunghiului ABC=

unde

2

2

b +c −a 11.Teorema cosinusului cos A= cos C=

2

2

2

=

2 bc

2

b +a −c . 2 ba

.

12.Teorema sinusurilor circumscris triunghiului .

, cos B=

2

2

=

a + c −b2 , 2 ac

unde

R raza cercului

INVERSA UNEI MATRICE O matrice patratică e inversabilă dacă și numai dacă are

determinantul diferit de 0

 Inversei unei matrice : A-1= A Inversa unei matrice A se notează A-1 și are proprietatea AA-1=A-1A=In Pentru calculul inversei se procedează astfel -calculez determinantul matricei care trebuie să dea nenul -calculez transpusa matricei A notată A t matrice care se obține din matricea A schimbând liniile cu colanele ( adică linia1 devine col 1, linia2 devine coloana 2, etc) -calculez matricea adjunctă notată A formată din comlemenții algebrici ai matricei A calculați în matricea transpusă. - aflu inversa A-1=

A . SISTEME

Natura unui sistem 8

Un sistem poate fi:  sistem incompatibil (adică nu are soluții)  sistem compatibil (adică are soluții)  compatibil determinat (adică are soluție unică)  compatibil nedeterminat (adică are o infinitate de soluții). Condiția ca un sistem să fie compatibil determinat Un sistem e compatibil determinat dacă are determinantul diferit de 0. Metoda lui Cramer-pentru rezolvarea unui sistem compatibil determinat Dacă A este matricea coeficienților și detA0 sistemul e compatibil determinat și pot aplică regula lui Cramer adică x=

, y=

z=

,e.t.c … =det obținut din matricea A înlocuind coloana coeficienților lui x cu coloana termenilor liberi ;analog , e.t.c.

ALGEBRĂ a XII-a I.

LEGI DE COMPOZIȚIE

PARTE STABILĂ Definiție:Fie A o mulțime și ,,o” o lege pe mulțimea A. BA spunem că B e parte stabilă a lui A în raport cu legea,,o” dacă atunci . PROPRIETĂȚI: ASCIATIVITATE : Fie A o mulțime și ,,o” o lege pe A .Spunem că legea e asociativă dacă (x o y) o z = x o (y o z)

.

COMUTATIVITATE :Fie A o mulțime și ,,o” o lege pe A .Spunem că legea e comutativă dacă x o y = y o x

.

ELEMENT NEUTRU : Fie A o mulțime și ,,o” o lege pe A .Spunem că legea are element neutru dacă există astfel încât x o e = e o x = x . Teoremă: Elementul neutru dacă exista e unic . ELEMENTE SIMETRIZABILE : Fie A o mulțime și ,,o” o lege pe A care are element neutru . Spunem că e simetrizabil dacă astfel încât x o x’ = x’ o x = e în acest caz x’ se numește simetricul lui x . 9

Teoremă: Dacă x e simetrizabil simetricul lui x’ e unic . II. POLINOAME Fie K unul dintre corpurile ℚ , ℝ , ⸿ sau Z p , p prim. Dacă f ∈ K [ X ] atunci: 1) Forma algebrică a polinomului f n n−1 f =a n X + an−1 X +…+a 1 X + a0 , unde a n , a n−1 , an−2 , … . a1 ∈ K se numesc coeficienții polinomului f și a 0 termenul liber. 2) Gradul unui polinom Dacă f =0 spunem că f are gradul −∞ , iar dacă n n−1 f =a n X + an−1 X +…+a 1 X + a0 , a n ≠ 0 spunem că f are gradul n , notat gradf=n. Proprietăți: grad ( f + g ) ≤ max ( gradf , gradg ) , ∀ f , g ∈ K [ X ] grad ( f ∙ g ) =grad f + grad g , ∀ f , g ∈ K [ X ] . 3) Teorema împărțirii cu rest Fie f , g ∈ K [ X ], g ≠ 0 și K un corp comutativ. Atunci există și sunt unic determinate polinoamele q ,r ∈ K [ X ] astfel încât f =g ∙ q+r cu grad r< grad g . Observație Spunem că g divide pe f dacă există h ∈ K [ X ] astfel încât f =g ∙ h . ´ Dacă f ∈ K [ X ] și a ∈ K , atunci a este rădăcină a lui 4) Teorema lui B ezout f ⇔ X −a/ f . Restul împărțirii lui f la X −a este f ( a ) . 5) Descompunerea în ⸿[ X ] f =a n ( X−x 1 ) ( X−x 2 ) … ( X −x n ) . ` : 6) Relațiile lui Viete 2 ∎ f =a X +bX + c , a ≠ 0 , cu x 1 , x 2 rădăcini , au loc relațiile: −b x 1+ x2= a c x 1 ∙ x 2= a 3 2 x , ∎ f =a X +b X + cX +d , a ≠0 , cu 1 x 2 , x 3 rădăcini , au loc relațiile: −b x 1+ x2 + x 3= a c x 1 ∙ x 2+ x 1 ∙ x 3 + x 2 ∙ x 3 = a −d x 1 ∙ x 2 ∙ x3 = a

FORMULE

SUBIECTUL III

I.SUBIECTUL III 1 1.

f e continua în a dacă

f(a)

2. Definiția derivatei funcției într-un punct 10

3. Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă a este 4. Panta tangentei la grafic în punctul a este 5.Rolul derivatei I ► Monotonie fie

unde

D interval f derivabila pe D

1) dacă

atunci f e monoton descrescatoare pe D

2) dacă

atunci f e monoton crescatoare pe D

► Punctele de extrem ale unei functii se determină rezolvând ecuația f ' ( x )=0 . Dacă x o este punct de minim atunci f (x) ≥ f (x o ) x o este punct de maxim atunci f ( x)≤ f (x o ). (se folosesc în rezolvarea inecuațiilor). 6. Rolul derivatei a II-a ► Convexitate,concavitate fie

de două ori derivabilă pe [a,b]

1)daca

atunci f e convexaă pe [a,b]

2)daca

atunci f e concavă pe [a,b].

► Punctele de inflexiune ale funcției le determinăm rezolvând ecuația f '' ( x ) =0. 7. ASIMPTOTE Asimptote verticale : Dacă

spunem că dreapta x=a asimptotă verticală la stanga

Dacă spunem că dreapta x=a asimptotă verticală la dreapta Asimptote orinzontale Dacă , spunem că dreapta y=a e asimptotă orizontală spre analog la Asimptote oblice y=mx+n , unde m ¿ lim

x → ±∞

f ( x) ( f ( x ) −mx ) ∈ R se numește asimptotă oblică spre ± ∞ . ∈ R¿, și n=xlim →± ∞ x

Reguli de derivare:

11

Tabel cu derivatele funcţii uzuale

Derivata funcţiei inverse: ' ( f −1 ) ( y 0 )= ' 1

Tabel cu derivatele funcții compuse

f : I →J ⇒ f −1 : J →I x0 ∈ I → y0 ∈ J

f ( x 0)

II SUBIECTUL III 2 12

1. F primitiva a lui f dacă 2. Dacă f e continuă atunci f admite primitive 3. Dacă

4.Tabel cu integrale nedefinite

atunci

Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este: Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:

Aria subgraficului unei funcţii Dacă

este o funcţie continuă pozitivă

atunci avem: Volumul unui corp de rotaţie Dacă

este o funcţie continuă atunci avem:

13

.

14