A differenciál- és integrálszámítás elemei 2. [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

SZÁSZ PÁL

A DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ELEMEI II.

TYPOTEX KIADÓ 2001

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Ez a könyv a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült.

ISBN 963 9326 054

© Typotex, 2001

Minden jog fe1mtartva, beleértve a sokszorosítás, a mű bővített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában (fotokópia, mikrofilm vagy más hordozó) nem sokszorosítható.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

ELŐSZÓ A II. KÖTET 3. KIADÁSÁHOZ A cím félrevezető: itt messze nem a differenciálszámítás és integrálszámítás elemei kerülnek tárgyalásra, sokkal inkább egy szisztematikus, mélyre hatoló és a lényeget tételeken/példákon keresztül bemutató analízis könyvről van szó. Szász Pál műve a harmincas évek elején íródott, de annyira alapvető fogalmakat és eredményeket tárgyal, hogy egyetlen sora sem avult el mára. Ez a könyv tartalmazza mindazt, amit a "calculusról" egy mérnöknek, matematikusnak, fizikusnak vagy tanárnak tudnia kell. A második kötet különösen hasznos lehet azok számára, akik az alkalmazásokban érdekeltek. Megtalálható benne az interpolációelmélet, a trigonometrikus sorok, az ortogonális polinomok és a speciális függvények (Gamma, Béta függvény) elméletének legalapvetőbb eredményei. Ugyancsak a második kötet tárgyalja a többváltozós függvények kalkulusát (többszörös integrálok, deriváltak, paraméteres integrálok, implicit és inverz függvényrendszerek, felületi integrálok) és egy kb. félévnyi kurzus anyagát a komplex függvénytanbóL Külön érdeme a könyvnek, hogy kitűnő példák hosszú sorát tartalmazza, amelyek nem csak az elmélet illusztrálására szolgálnak, de önálló érdekességgel is bírnak. E szempontból messze túlszárnyalja a modern műveket - ma már alig van idő ilyen jellegű szemiéitető példák tárgyalására az előadásokon illetve tankönyvekben; pedig a matematika fejlődése során ezek rendkívül fontos szerepet játszottak, mivel a fizika, geometria ill. mérnöktudományok területéről származó problémákat oldanak meg. Az I. kötet új kiadásának előszavában írtam az alábbit, amely teljes méctékben igaz a II. kötetre is: Többször lehet hallani, hogy Szász Pál könyve alaposságával és hatalmas anyagával nem alkalmas arra, hogy belőle oktassunk. Való ban, inkább kézikönyvként, referenciamunkaként ajánlatos a használata. Meggyőződésem azonban, hogy a saját példám általános érvényű: bár tanulni a "Szász Pálból" sok időt vesz igénybe, megtanulni az analízist csak ebből lehet. Szeged, 2001. június 29.

www.interkonyv.hu

Totik Vilmos

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

TARTALOMJEG Y ZÉK. HATODIK FEJEZET.

INTERPOLÁCIÓS FORMULÁK~ ORTOGONÁLIS POLINOM-SOROZATOK. TRIGONOMETRIKUS POLINOlUOK.

I. Lagrange-interpoláció. 387. 388. 389. 390. 3 \lL

§. §. §. §. §.

A LAGRANGE-féle interpolációs formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A NEWTON-féle interpolációs formula. Oszlott differenciák .... . . . . . Magasabbrendű differenciák. Aequidistans interpoláció . . . . . . . . . . . . A Seu w ARz-STtELTJEs-tétel . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A LA GRA NGE-féle intcrpolációs formula maradéktagja ...........

.... . •. . .... .... ....

3 5 7 8 11

A StM PSON -formula harmadfokú polinomra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A parabola-segrnentum területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A maradéktaggal ellátott SIMPSON -formula. Közelítö quadra tu ra . . . . . . . Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15 15 19

II. Simpson-féle 392. 393. 394. 395-396.

§. §. §. §.

közelítő

qnadratura.

III. Hermite-féle interpoláció. 397. §. Az HERMITE-féle interpolációs polinom létezése. J onANSEN -formulája 398. §. Az m 0 = m 1 = ... = mv = 2 speciális eset. A harmadfokú polinom egy tulajdonsága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399. §. Az HER]IJTE·féle interpolác:iós formula rnaradéktagja ..... ·.............

22 25 28

IV. Csebisev-polinomok. 400. §. A T .. (x) és

u.. (x)

polinornok . . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . . .

401. §. T .,(x) logaritmikus deriváltja az x

402. 403. 404. 405. 406. 407.

§. §. §. §. §. §.

408-409. 410. 411. 412. . 413. 414.

§. §. §. §.

=

n-l

1 helyen. A

n

30

vn;

sin -szorzat . . . . . n. A .T11 (x) polinom. minimum-tulajdonsága .·........................... A LAGRANGE-féle interpolációs formula CsEBisEv-abszcisszák esetén . . . . Az U,.(x) polinom maximum-tulajdonsága . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . • . Racionális polinom átrendezése. Trigonoii\etrikus összegképletek. . . . . . . . A T n (x) és U n (x) polinom ok geometriai jellemzése . . . . •. . . . . . . . . . . . WEIERSTRAss első approximáció-tételének FEJÉR-féle bizonyitása... . . . ,,_1

32 33 34 34. 37 39 41

V. Ortogonális polinom-sorozatok. LEGEND RE-, HERMITE- és LAGUERRE·poJiriomok ... ;.................. A CsEBISEV-, a LAGUERRE- és az H·ER~IITE-polinomok ortogonalitása...... Ortogonális p 1 (x), p 2 (x), ... polinom-sorozat előállítása (a, b)-ben..... Pn (x)-nek a és b között n különbözö gyök e van; Pn-l (x) gyök ei szétválasztják Pn(x) gyökeit . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . .. . . .. . . §. Pn(x) gyökeinek STIELTJEs-íéle szélválasztása .... ........ ....... . .. §. Ha (a, b) véges, bármely subintervallumában van gyöke p 11 (x)-nek :eléggé nagy n mellett . ~ ............................................. , . . . . 415. §. G.A u ss-féle közelitö. quadra t ura. STtELTJES tétele ..•........... ·... . . . .

www.interkonyv.hu

45 50 50 53 54 58 60

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

II

416. 417. 418. 419. 1•20-421.

422. 423. 4.24. 425-426. 427. 428. 429. 430. 431-432.

§. §. §. §. §.

VI. Jacobl-polli;t.omok. JAcQBI·polinomok ..........••................................... , A JAcoBr-polinömok differenciálegyenlete ........................... · A JAcOBI-polinomok gyökeinek statikai interpretációja . . . . . . . . . . . . ... . A LEGENDRE-polinomok ·geometriai jellemzése .......•.... , :. . . . . . . . . A P,.(x) - P,._ 2 (x) polinom geometriai jellemzése. Gyökcsoportjának minimum-tulajdonsága· .....•...' ................•.............. ;....

VII. Trigonometrikus polinomok. Elem{ tények ... ~ •...•• ; ... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A trigonometrikus polinom ok alaptulajdonsága :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aequidistans trigonometrikus interpoláció ..... _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpoláció sinus-, resp. cosinus-polinommal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus polinom gyökeinek számossága...................... A LAGRANGE-féle interpolációs formula analogonja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FEJÉ.R tétele á trigonometrikus polinom magasságáról és mélységéről . . . . §. A trigonometrikus polinomra vonatkozó BESSEL-feladat • . . . . . . . . . . . . . §. WEIERSTRASS második approximáció-tétele; aequivalentiája az elsővel.. §. §. §. §. §. §. §.

VIII. Bernst~in és JUarkov tétele. 433. §. S. BERNs;EIN t_ét~le trigonometrikus polinom deriváltja abszolút értékének maxtmumarol ............................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434. §. MARKOV tétele racionális polinom deriváltja abszolút értékének maximumáról............................................................

61 65 68 70 72 77 77 78 80 82 85 86 89 91

9.5

97

HETEDIK FEJEZET.

TRIGONOMETRIKUS SOROK. INTERPOLÁCIÓ· ÉS QUADRATURA-SOROZATOK. . A GAMMA-FÜGGVÉNY. I. Fonrier-sorok. 435. §. FouRIER-sor és FoURIER-állandók. Egyenletesen konvergens trigonometrikus sor az összegének FoURIER-sora .•..........•............... 436. §. Az sn(x) részletösszeget kifejező DIRICHLET-féle integrál; lb EMA NN lokalizációs tétele. A LJPSCHJTZ·féle konvcrgencia-kritérium ........... . 437. §. sin 14 .x FouRIER-sora (O~ x -< 2n). dg x és 1fsin2 .-r. parciális törtekre bontasa .•.. ; .......................................•.....•.••.... oo sin (2 11-1 )x . . . . 438. §. A :Z1 sor szeletet; Gm !ls-fele Jelenscg ................ . 211_ 1 v-

439. §. A

oo sin v x

:Z - -

v-1

440. 441. 442. 443. 444. 445.

§. §. §. §. §. §.

11

· sor szeletei. .•....•................................ .-. ·.:

Folytonos függvény divergens FouRIER-sorral (FEJÉR példája) ... : ..... . FEJÉR alaptétele és approximáció-tétele. S. BERNstEIN tétele ......... . DIRICHLET tétele ................................•................ A FouRIER-sor szeleteinek minimum-tulajdonsúga .... ; ................. A PARSEVAL-HURWITZ-tétel ...•.................................. A FouRIER-sor tagonkénti integrálhatósága ......................... .

99

102 106 109 11!.

117 119

126 128 130 ·135

II. Arzela tétele. 4~6. §. Dun tétele ...................................................... .

136

447. §. Tételek a DARaoux-féle alsó integráira vonatkozólag ................. . 448. §. ARZELÁ tétele ..........................•.............•..... ~ .... .

141

. III. Általános trigonometrikus sorok. 2 . · ( sin 449. §. Ha :Z A,. konvergens, akkor :Z A., ~ egyenJetesen konvergens.

143

nx)

137

450. §. RIEMANN alaptétele ...•• , ..........................•...... ~ .•.... : 145 451. §. ScHWARZ tétele az általánositott második differenciálhányadosra vonatkozólag ... .- ... _. ......................... :_. ....................... : · 146 452.§. CANTOR tétele .. ·...••......•................•....... ; ........ ; ... 148 453. §. Du Bois-REYMOND tétele ....................... ,. .. .. .. . ... .. • . • .. . 149

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

III IV. Interpolácló·sorozatok. 454. §. Egy segéd.tétel ...................· •. : .....•....•........ · ....... , , . • 455. §. FABER tételének FEJER~féle bebizonyítása........................ . . • 456. §. Szigorúan normális eloszlású és normális eloszlású pontcsoport-sorozaL Példák...........................................................

n 457. §. Szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozatnál ~

i~1

l x~ xi l L;{x} 2

161

-+O

· egyenletesen.......... , . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • . . . . . . 458. §. G.R ÜNWALD GÉzA tétele a lépcsőparabolákra vonatkozólag . . . . . . . . • . . . . 459. §. A lépcsőparabolák határértéke a · LEGENDRE-esetben a 1 helyeken 1 helyeken a LEGENDRE· 460. §. A LAGRANGE~parabolák divergenciája a esetben ......................... ; . . . . . . . • . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 461. §. A LAGRANGE-paraboJák divergenciája a CsEBlimv-esetben . . . . . . . . . . . . .

+

153 "157

+

164 170 171 173 175

V. Konvergens Langrange-féle interpoláció-sorozatok. '•62. §. LIPS(:HITz-feltételnek eleget tevő folytonos függvény megközelítése adott fokszámú polinommal ...................................... :. . . . . . 463. §. FEJÉR tétele a LAGRANGE-paraboJák konvergenciájára vonatkozólag 464. §. Normális eloszlású pontcsoport-sorozat az intervallum belsejét mindenütt sürün tölti ki ..... , . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 8 182 185

VI. Interpolatorius quadratura-sorozatok. 465. §. FEJÉR quadralura-tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 466. §. A (-1, 1) számközre vonatkozólag a Tn(x) polinom gyökeihez tartozó CoTEs-féle számok pozitívok ..................................... '. . 191 467. §. Ugyanaz a tétel az Un(x) polinomra vonatkozólag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 APn-1 (x) + BPn z(x) polinomra vonat468. §. Ugyanaz a tétel a Pn(x) kozólag, midőn A és B bizonyos feltételeknek tesznek eleget. Speciális esetek ............................................................ · 194 469. §. A 465. § tételének megfelelő pontcsoport-sorozat az intervallumot minde. nütt sürün tölti ki és a CoTEs-féle számok O-hoz tartanak......... . . . . . 196 470. §. ERn ős és TuRÁN quadra tura-tétele •............ ~ ........·........... . 197

+

VII. ctg x parciális

tört~kre

bontásának folyománya!.

471. §. A lg x, 1/sin x és 1/cos x rdggvények parciális törtekre bontása .. : ..... .

+res

J sin

281

improprius integrálok.

506--507. §. ~aran;e~eres. imf!ropriu~ jn,tegrál egyenletes konvergenciája; folytonossága, mtegralasa es differencialasa........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508. §. Példák parameter szerinti integrálásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -too

276 278

283 287

4oo

287

510. §. Példák parameter szerinti differenciálásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

511 §+J- O) kiszámítása •..

.

o

552

t mego

J

556 559

IX. Reguláris függvény inverze. 636. §. f(z) inverze, midőn f{O) = O, f'{O) =FO. A LAGRANGE-féle megfordító sor; példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 56'> 637. §. A LEGENDRE-polinomok generátor-sora; folyományok . . . . . . . . . . . • . . • . 569 638. §. A LEGENDRE-polinomok STIELTJEs-féle becslése {FEJÉR bizonyítása) 573 639. §. (z) _inyerze az f (a) =f' (a) = ... = j(v-1) (a) = O, f(v) (a) =FO esetben v-erteku • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 575 640. §. Egyrétü reguláris függvény létesítette ábrázolásnál a kép területe ff l f'(x + i y) j2 dx dy. FEJ ÉR tétele a hatványsornak a konvergenciakörön való egyenletes konvergenciájára vonatkozólag . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

t

X. Végtelen szorzatok. 6H. §. Végtelen szorzat; a konvergencia definíciója és szükséges feltétele. Egyszerű példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642. §. n (1 +an) és n {1- a.,.) az an~ O esetben akkor és csak akkor konvergensek, ha 1l an konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6~3. §. TANNER Y tétele . ...................... ............ ........... 6V•. §. sin z és cos z végtelen szorzat alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • 6~5. §. A konvergencia szükséges és elegendő feltétele. Abszolút konvergens , szorzat ... ....................... ... ................ .......... ....... ...... 6q6, §. Végtelen szorzat pótlása végtelen sorral; folyományok .................... 6q7, §.·Reguláris függvényt előállító végtelen szorzat &~8-:.§.~ A kompl!lx változó gamma-függvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . Nev- es tárgymutató .....................• , .....·. . . • . . . . . . . . • . . . . . .

www.interkonyv.hu

578 580 582 585 588 589 591 59~

599

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

HATODIK FEJEZET.

INTERPOLÁCIÓS FORMULÁK. ORTOGONÁLIS POLINOMSOROZATOK. TRIGONOMETRIKUS POLINOMOK. I. La.grangc-interpoláeió. 387. §. Legyen Xo< X 1

n

+1

egymástól

különböző

< ...
+ 1 (x) CsEBISEv-polinom gyökei, azaz

1 G. PóLYA-G. p. 90, Aufgabe 80.

;J. --

=

n +1

SzEG Ö:

Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis II., Berlin 1925.

12/~2

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

36

. n x"= cos (2 v --1) 2 (n 1) (v= 1, 2, ... , n+ 1).

+

(5)

A jelen esetben

x- x"> O (v= 1, 2, ... , n+ 1) továbbá T•nl (x) = cos ((n

s igy

(4)-ből

+ 1) arc cos

x)

n

> cos 2

= O

(1) alapján n+l

l ~ _1- ~ l.g (x) . - n+1~

Tn+l

(x) =

x -x"

_·_1- T' (x) . + 1 n+l

n

vagyis (400. § (11))

l g (x) l ;;;;;

un (x).

Ebből

következik (400. § (14), (15)), hogy l g (x) l ; ; ; n+ 1 s egyenlőség csak x= 1-nél állhat fenn. Kimutatjuk, miszerint x = 1-nél is csak a (2) alatti esetben áll fenn az egyenlőség. Ugyanis T+ 1 (1) = 1 (400. § (13)), tehát (4)-ből

(6) S minthogy 1 1 _ x >O

('v= 1, 2, ... , n+ 1)

'V

és (1) értelmében azért (6) alapján

2:

n+l

- -1n +1

I

n+l

1-

1

1 - - -1 ~2 > ... > ~n-l gyökeit tekintve (amelyeken Tn (x)-nek váltakozva minimuma és maximuma van) az 1

=

~o

>

~l

> ··· >

~n-1

> ~.. = -

1

helyekre (400. § (13)) T~ (~k)

= (- 1)h (k = O, 1, ... , n).

Ez a mondhatni geometriai tulajdonság e CsEBISEv-polinomot mint n-edfokú racionális egész függvényt jellemzi is\ vagyis érvényes a következő tétel: g (x)

=

T" (x) az egyetlen n-edfokú kftlönböző gyöke van és deriváltjának ~ 1 > g (1) =i, g (~l)= -1, .. . ,g (~k) = Bizonyítás. A feltevés szerint (269.

polinom, amelynek 1 és - 1 között n ~2 > ... > ~..- 1 gyökeit tekintve (-1)", ... , g ( -1) = { -1)n.

ábra)

1 V. ö. EGERVÁRY JENő: Über die charakteristischen geometrischen Eigenschaftender Legendreschen und Tschebyscheffschen Polynome, Archiv der Mathematik und Physik, II l. Re i he 27 (1918), p. 23__:_24.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

40

1 -g (x) = O, ha x = $2, ~4 , •. ·

és 1 + g (x) = O, ha x = ~1 , $3 , ••• s ezek legalább kétszeres gyökök, továbbá g (1) = 1 és g (-1) = két polinom szorzata

1 - g (x) 2

+ 1, tehát

e

C (x- ~1 ) 2 (x- ~ 2 ) 2 ••• (x- ~n- 1 ) 2 (x 2 -1) ahol C állandó (89. §). Itt azonban (x- ~ 1 ) . . . (x- ;.,_1 ) egy konstans faktortól eltekintve g' (x) · s így

=

1- g (x )2= Kg' (x) 2 (x 2 -1) ahol K állandó. Koefficiens-összehasonlítással innen nyilván

t

1

1

K=-n2 vagyis g (x) eleget tesz az 1 1 -g(x)2 =n 2(1- x2) g'(x)2 269. ábra.

differenciálegyenietnek. A ~1 < x < 1 számközben a feltevésnél fogva g' (x) >O (106, 96. §), tehát itt e differenciálegyenlet a

g' (x) = n V1 - g (x) 2

{;1

V1-x 3

dx =

[u v· [(x 2 ~ 1)m]lm> dx =O (n

=t=

m)

-l

(m, n= O, 1, 2, ... ), :vagyis e polinomok a (-1, 1) számközben ortogonális rendszert alkotnak (v. ö. 225, §). E tulajdonságuk természetesen megmarad, ha e polinomokat egy-egy numerikus faktorral szorozzuk. E faktorokat úgy akarjuk választani, hogy az x = 1 helyen mindegyik polinom értéke 1 legyen. Miután (88. §) [(x 2 -

1rJ:~1 = n l 2",

.az -1)"](x2) (2xt-2v. v. A (2x)"-zv tényező differenciálásakor nyerjük az (n + 1)-edik differenciálhányadosnak azt a tagját, amelyet nem vonunk össze az előtte állóvaL Ez n= 2v esetén O, n= 2v + 1 esetén pedig - minthogy ekkor n+ 1 -2 (v+ 1)...

=

n; r-v) (x2).2 v.

(n+ 1)! t O

> O, azért Pa (x~') > O, Pa (x~') < O.

Minthogy továbbá (45. §) lim Pa (x)= -co, x--oo

világos (53. §), hogy Pa (x)-nek

lim Pa (x)=+ co, x-+oo

x~"

xi" < xi'


f (xT>) + A~nJ f (x~n>) + ... + A~n> f {xhn>) (3) (STIELTJES

ahol az A\n>, A~m, ... , A ;r'> -1, {J> -1. Akkor (a, f:l) ( - 1t 1 dn [(1- x)n+n (1+ ln (x) = n! 2" (1- x)" (1 + x)l> dxn

x)~+n]

(1)

(n = O, 1, 2, ... ) a (-- 1, 1) intervallumban a e (x) = (1- x)" (1 + x)f:l súly-függvény mellett ortogonális rendszert alkotó O-, 1-, 2-, .. .-edfokzí polinomok. (J ACOBI-polinomok. 3 ) 1 C. F. GAuss: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Göttingen 1814, Werke III., p. 187, németül A. KowALEWSKI-től: Newton, Cotes, Gauss, Jacobi. Vier grundlegend e Abhandlungen ü ber Interpolation und genaherte Quadratur, Leipzig 1917, p. 56-67. 2 STIELTJEs i. h. (51. old.), 6. pont. 3 V. ö. C. G. J. JACOBI: Untersuchungen über die Differentialalgleichung der hypergeometrischen Reihe, Werke VI., p. 192, form. (7). E polinomok alaptulajdonságait tárgyaló '·16-(1.17. §-okat illetőleg v. ö. PÓLYA-SZEGŐ i. m. (35. old.). Bd. n .. p. 93. Aufg. 98.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

62

is megmutatjuk, hogy az (1) képlettel a - 1 < x < 1 intervallumban definiált J - 2 folytán pozitív, tehát az (1) resp. (2) alatti polinom valóban pontosan n-edfokú. (n= O esetén J 0 -1 és

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

63 ~P>-1

folytán (1-x)a+n az x=1 helyen,(1+x)ll+n pedig az x=-1 helyen első n - 1 differenciálhányadosával együtt a O bal-, ill. jobboldali határértékkel bír (171. §), azért a parciális integrálás általános képlete szerint (151. § (1))

r 1

d" [(1- x)a+n (1 + x)ll+n] dx"

v

• x

dx

=

-l

J l

= (-1)"

+ x)ll+n d;;"

(1- x)a+n (1

= O

-l

(v

=

O, 1, ... , n -

1),

vagyis 1

J(1- x)a (1 + x)ll J~a,jl) (x) x" dx.=O -l

Ebből

(v= O, 1, ... , n -1; n= 1, 2, 3, ... ). következik, hogy l

J(1- x)" (1 +

x)ll

J (x) J (x) dx =

-1

O, ha m =f= n,

(6)

.

ami az (1) polinomok jelzett ortogonalítását fejezi ki. Az x = 1, ill. x= -1 helyen (2)-ből

J~a, fl) ( 1) =

J~"· fl) (-1)

=

c7;

(a ~ n) ({3 7; n) = n)

e~ n) (-1)" =

c n) , ~

(-1)"

({3~ n).

(7)

E polinomok néhány speciális esete már szerepelt a fentebbiekben. Nevezetesen (1)-ből J~O, O)

(x)

= Pn (x)

(408.§ (4)) és (5) tekintetbevételével (410., 411.§)

J~-}·-~)(x)

= 1. 3 .. · · (2n - 1) T,.(x),

2.4 .... 2n

i~·}-) (x)= 21.:, .... (Zn + 1) U,.(x} 2.

n

1. ...

(2n +2)

(400. § (2)). Az ortogonalitásból folyólag (411. § (7)) az (1) polinomokra ilyen alakzí rekurziós formula áll fenn: J~a,jl) (x)

=

(A~~,f:l) X

+ B~a,f3)) J~":-_~) (x) + C~,a,jl) J~«:$.) (x).

(8)

(n= 2, 3, 4 , ... ).

Itt (5)-re tekintettel Aha,fl) =

_s_ k,.- 1

www.interkonyv.hu

=

(o:

+ {3+ 2n) (a + {3 + 2n -1) 2n (a

+ {3 + n)

(9)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

·.64

A B~a,f?.) és C~cx,fl) meghatározására (7) alapj án ez a két egyenletünk van:

(Aha,f?.>

+ Bha,fl>) (ex+ n-1) + c~cx,fl> (ex+ n-2)) = (ex+ n) n-1

n

n-2

(A~·fl>_B~a,fl>) (p:~~1) + c~·fl> (Pn+~;2) = e~n)·

(ex + 2) n _n2

.. b ozo .. " E z egyenlet ek et a O-tól k u.. 1on

resp.

(p +n _n-2 2 ) tenyezo . "k- ·

kel végigoszt va, (n- 1)-gyel pedig végigszorozva (Ahcx,fl)

+

(A~·fl>- B~a,fl>) (10)-ből

c~a,fJ> =

(ex+ n -1) + (n- 1)

Bha,fl>)

=

(ex+ n) (ex+ n-1), n

(ex + {3 + 2 n) (ex + n - 1) ({J + n - 1)

n

honnan (9) alapján adódik

(ex+ n-1> (ex+ f3 +2,~> n (ex + {3 + n) (ex + {3 + 2 n - 2)

c __ n

-

Például, ha

ex= {3 =

A (O, O) n

O, (9)-, (12)- és (13)-ból

2n- 1 n ,

_

-

B (O,O) _0 n

-

'

Cn(O,O)

__

-

n-1 n

s így (8) értelmében a P.,(x) LEGENDRE-polinomra az · n P .. (x)- (2 n -1) x Pn-t (x)+ (n -1) Pn- 2 (x)= O rekurziós formula . érvényes. (8)-ban n helyébe (n + 1)-et téve J~afi (x) = (A~"fi x Ebből

(13)

+ B~"fi)

J~a,fl> (x)

+ c~a·!i

J~a~.!'f (x).

(14)

(15)

az

j

l

(1- x)a (1

+ x)ll

[J!~·fl> (x)] 2 dx

-l

integrál számára szintén rekurziós képietet vezethetünk le. Szorozva ugyanis

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

65

(1-x) a (1 + x)ll J~~i (x)-szel és integrálva -1-től 1-ig, (15)-ból a {6) alatti ortogonalitás alapján 1

O= A~111f

J( i - x)a (i +

x)fl x J~a,ll) (x) J~"!i (x) dx +

-1 l

+

C7~111{

J ('1

+

x)u (1

-

x)ll [J~11!f (x)] 2 dx.

-l

De az n-edfokú x J~a~i (x} polinomot a J~a,fl>(x), J~"!i(x), ... , 1 polinomok szerint rendezve (405. §) k x ]~«:_!ll (x) = J,. (a,fl) (x) + ... ,

kl

+

amit (1-x)a (1 ismét (6) alapján

"

x)ll Jn(a,tJJ(x)-szel szorozva

1

(a,

és -1-tól 1-ig integrálva,

(a, fl) ln-l

Pl

J (1 -- x)a (1 + x)tl x ln (x) (x) dx = le ~-l J(1 --x)" (1 + x)fl [J,. (x)) dx. -1

=

1

2

k,. -1 Ezt ( 16)-ba helyettesítve, adódik

/(1-x)a (1-1-x)il (Jn(a,jl) (x)]2 dx = ~t

=-

c

1

f- J (1,-x)a

An+l

(1 +x)fl [J~~~) (x)]2 dx

n-1-1

vagy (9) és (13) tekintetbevételével 1

J

{1- x)a (1

+ x)ll [J.?~..Il)(x)J2 dx =

-l

(a+n)(f1+n)(cx+f1+2n-1) Jt (1-x}.. (1 +x)ll [f~ll>(x)]2dx. n(a+{J+n)(a+{J+2n+1)_ 1 n 1

=

Például az a

=

(17)

{J = O esetben (17) szerint

n-1 J J [P,. {x)] dx = 22-n+ 1 _ [P .l

1

2

1

1

n-l

(x)]2 dx.

Ezt ismételten alkahnazva

l

t

[P .. (x)]z dx =

2n-1 2n-3 1 2 n + 1 2 n- 1 ... 3

l

t

[Po (x)]a dx,

s mivel P 0 (x)=1 folytán a jobboldali integrál értéke 2, látjuk, a P,.(x) polinom négyzetének integrálja - 1-töl 1-ig 1 2 [P n (x)]2 dx = 2 n + 1 •

LEGENDRE-

J

-1

417. §. A Jn- 2 folytán nyilván n-edfokú polinom, lévén J,. (x) is n-edfokú. Megmutatjuk, miszerint 1 ( ) [a (x) J~ (x)]' "d . , n- 1) . (5) ex ( ) x x = ·O (v = O, 1, ... -1 (! x Mivel u. i. a> -1, {J> -1 folytán (171. §) (2)-re tekintettel a (1- O) = O, a(- 1 + O) = O, (6) a parciális integrálás kétszeri alkalmazásával

+

+

1

J ' (x)]' 1 J1 e (x) . [a (x)e (x) n x" dx =-J v xv-l a (x) J~ (x) dx =

-1

-1

.

1

.

=v j[(v -1) xv-z a (x)+ xv-l a' (x)] J,. (x) dx -l

=

f e x)

v-1

l

(

[

.,. (v- 1) x -

2

(x) ea (x) +

x

.,._l

a' (x) e (x)

=

J)

d .. (x) x.

De itt a [ ]-ben álló függvény (2) és (3) alapján legfeljebb v-edfokú polinom, s így a J,. (x) polinomok ortogonalitásából (416. §(6)) folyólag ez integrál értéke O, valahányszor v= O, 1, ... , n- 1, vagyis (5) valóban fennáll. Ebből azonban következik (411. §), hogy a (4) alatti n-edfokú polinom csak valamely konstans faktorban különbözik J,. (x)-től, azaz (1- x 2 ) J~' (x) +[(,8- a)- (a +,8+ 2) x] J~ (x) = K .. J,.(x). Ez azonosság két oldalán az X 11 együtthatójának egyenlőnek kell lennie, tehát Kn = - n (n- 1)- n (a + ,8 + 2) =-n (n a + {J + 1). Ezt hehelyettesítve (és J,. (x) helyébe ismét J~a, M (x)-et téve), adódik (1). Például, ha a = {3=0, (1) szerint a P .. (x) LEGENDRE-polinom eleget tesz az (1-x 2 ) P:,; (x)- 2x P~ (x)+ n (n+ 1) P .. (x)= 0 (7) másodrendű differenciálegyenletnek.

+

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

67

Most megmutatjuk, miszerint az {1) differenciálegyenlet Jfna, P>(x)-et mint n-edfokú polinomot jellemzi (egy konstans faktortól eltekintve), vagyis ha az n-edfokú g (x) polinom eleget tesz az {1-x2 ) g" (x} +[(p-a)- (a+ p+ 2) x] g' (x) + n (n+ a +P+ 1) g (x)=O (8) másodrendű

differenciálegyenletnek, akkor g (x) csak egy konstans faktorban külön-

bözik J., (a, p)(x)-től. Ezt behizonyitandó csak azt kell kimutatnunk (411. §), hogy 1

Je (x) J.}a,

J3)

(x) g (x) dx

= o,

ha v =

o, 1, ... '

n -1.

(9)

-l

(1) szerint J .. (x)-re (a felső indexeket elhagyva) (1-x 2) J~' (x) +[(,B-a)- (a+ p+ 2) x] J_! (x)+ 'P (v+ a+ p+ 1) J .. (x) =O. Ezt a (10) A" = v (v + a + ,B + 1) jelölés mallett a -1 (x) JACOBI-polinom differenciálegyenletének. De a megelőző § szerint e differenciálegyenletnek csak J n (a., fJ) (x) tesz eleget (egy konstans faktortól eltekintve) az n-edfokú polinomok közül, tehát az (5) alatti egyensúlyi feltétel végeredményben azt fejezi ki, hogy a (3) polinom csak konstans faktorban különbözik a J ACOBI-polinomtól, vagyis x1 , x 2 , ••• , x." e J~· M (x) polinom gyökei. Ezzel a fenti állítást bebizonyítottuk 419. §. A P., (x) LEGENDRE-polinom differenciálegyenletét (417.§ (7)) a

P,. (x)

=

n (n

~i)

[(x 2 -

1)

P',. (x)]'

(1)

alakban írhatjuk. Ebből e polinomnak egyszerű geometriai tulajdonságát olvashatjuk ki. Legyenek P,.(x) gyökei x 1 < x 2 < ... < x.,, a P~ (x) derivált gyökei pedig (107. §) .;1 ·< .;2 < ... < .;n_1 mikor is ~ 1

< x l < .;l < x2 < .;2 < x3 < ...


O,

~

a 2 (x)

O, ... , an (x)

~

O

(4)-ból folyik (2). 2° Az x = n/2 helyre szimmetrikus helyeken

({ln

(0


)

dx l < ~ ' ha

n>

N.

(15)

(13), (14) és (15) alapján következik, miszerínt

2 0t

J (f -

o

(14)

szerint (140. § (5))

l J"u- tvl U o

(13)

s~') 2 dx < ~ , ha n > N.

v -

o A ScHWARz-féle

~.

fv-re a tétel igaz, található oly N, hogy

A v-t így rögzítsük. l\fivel

Mármost

2 0t

dx +2

s,.) 2 dx

< ~

+ ~ +2~

= e, ha n

>

N.

Minden e-hoz található ilyen N, tehát (1*) valóban fennáll, a tétel j (x)-re is igaz. Végül bebizonyítjuk a tételt tetszőleges korlátos és integrálható f (:li) függvényre. Vegyük a (O, 2n) intervallum felosztásainak oly sorozatát, amelyben a felosztás legnagyobb intervallumának hossza O-hoz tart. A v-edik felosztásnak megfelelő és f (x)-re vonatkozó alsóösszeget (126. §) azon szakaszonként állandó s így szakaszonként folytonos Cflv (x) függvény integráljának tekinthetjük; amely a felosztás egyes szakaszain az f (x) függvény megfelelő alsó határával egyenlő (az osztópontokban tetszés szerint lehet előírva (129. §)). Ez az alsÓ2::r

összeg, vagyis azaz

J Cflv (x) dx,

v ~ oo esetén az

o

2:t

Jo U (x)-

www.interkonyv.hu

2:r

Cflv

(x) J dx

=

f (x)

függvény integráljához tart,

2;n;

Jo f (x) dx ~ oj

Cflv

(x) dx __.. O.

. (Hi)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

134

De ha ismét l f (x) l ;;;; M és Tv (x) -et az osztópontokban is úgy választjuk, hogy l Tv (x)l ~ M; e Tv (x) függvényre nyilván O ~ t (x} - Tv (x) ~ 2 M (O ~ X ;;;; 2:n:), tehát az első középértéktétel értelmében (142. §) 2n

J (f- Tv) o (16) és

(17)-ből

2n

2

dx =

J (f- Tv) (t- Tv} dx o

~ 2M

2n

J (t- Tv) dx.

(17)

o

folyólag 2 :n:

J (f- Tv)

2

dx---. 0, midőn v---.

o

+ oo.

(18)

Miután Tv (x)-re (amely szakaszonként folytonos) az előbbiek szerint érvényes a tétel, (18) alapján következik t (x)-re is, ugyanúgy, mint előbb a (6)-ból. Qu. e. d. Alkalmazzuk e tételt pl. az

. t( X) = SIO X

. +21 SIO. 2 X + .. , + n1 SIO nX + .. ,

függvényre (366. § (3)). E sor az összegének FouRIER-sora (435. §), tehát ez esetben

S minthogy e sor összege a (O, 2 :n:) intervallum belsejében :n:-2- x és 2n

J (:n;

2 xf dx = [ -

o a tétel értelmében

:n;2

6

=

1

+

~ (:n; 2 1 22

xrJ:"'

=

1

j~ + j-~

=

~3 '

1

+ 32 + ... + n2 + ... ,

amint már a 367. §-ban (10} alatt találtuk. Vegyük most az

t (x)= sin x+

!

sin 3 x+

... + 2 v ~- 1

sin(2v- 1)

x+ ...

függvényt (366. § (7)). E sor szintén az összegének FouRIER-sora lévén, most 1 ao = a1 = a 2 = ... =O, b1 = 1, b2 =O, ... , b2v-t = 2 v_ 1 , b2v =O, A sor összege a (O,· :n:) intervallum belsejében

:n;

4,

a (:n:, 2 :n:) helsejében -

:n;

4,

s mivel 2n

:n;3 j '(:n;)2 4 dx =8' o

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

i 35

a tétel szerint 1

;n;2

1

8 = 1 + 32 +52 +· · · +

1 (2v-1) 2

+ · · .,

megegyezésben a 367. § (11) alatti eredményével. A fenti tételt következőkép általánosithatjuk: ha f (x) valamint rp (x) a (O, 2 n) intervallumban korlátos és integrálható függvény, akkor 1

2n

-:n; Jf (x) rp (x) dx = 2 ~ CXo + O

oo

E

(av av

v=l

+ bv flv),

(29)

ahol

·. 1 ao

1

a'V

= -:n;

=2

rt

2n

no

1

= -:n;

Ugyanis a tételt az

s az

f

r.T.o = 2 :n;

1

2n

J f (x) cos vx dx, o (v

b,.

1

.

(x) dx,

=

a. 'V

Jrp (x) dx,

o

2";

J rp (x) cos vx dx

o

1, 2, 3, ... ),

2ot

Jf (x) sin vx dx,

flv

o

+

= -:n;

2";

1

=

:n;

2";

J rp (x) sin vx dx

o

(v = 1, 2, 3, ... ). rp, illetve f- rp függvényre alkalmazva

első képletből

a Ipásodikat kivonva, 4-gyel való osztás után előáll (19). 445. §. Bár a FouRIER-sor divergens lehet (440.§), érvényes a következő

tétel: H a f (x) a 2 n szerint periodikus korlátos és integrálható függvény, amelynek

FouRIER-sora 00

f (x)

""" a0

+ E

(av cos vx

+ bv sin vx),

V=l

akkor ennek valamely (x 0 , x 1 ) számközre vonatkozó integrálja X1

X1

oo

0

v-1

X1

X't

J f (x) dx = a x.J dx + E (av J cos x. .Xo

1'X

dx

+ bv J sin vx dx).

(!)

x.

Vagyis a függvény integrálját a FouRIER-sorának tagonkénti integrálásával nyert - szükségképpen konvergens - sor összege adja.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

136

A bizonyításban nyilván feltehetjük, hogy O ~ x 0 O, ha O ~ x < X 0 rp (x)= 1, ha.· x 0 ~ x~ xi O, ha xi < x ~ 2 n.

l


z a Ha g1 (x),

g2 (x},

következő

tételre: (1)

... , g,. (x), ...

az a ~ x ~ b számközben folytonos függvények és rögzített x-nél e sorozat monoton fogyólag O-hoz tart, akkor (2) gn (:r)- O ez intervallumban egyenletesen áll fenn. (DINI tétele. 1 ) Bizonyítás. Legyen gn (x) legnagyobb értél

v"

O szám megadásakor bizonyos

indexre

lyen folytonos, ennek elég kis ( ~- 15, gV&

~

(X)

+ 15)
J 'f (x) dx a

a b

Ezzel kimutat tuk, hogy

e.

b

J 'f (x) dx az J g (x) dx integrálok felső határa. Qu. e. d.

a

a

2° tétel. Legyenek q;1 (x) és q; 2 (x) korlátos fiiggvények az a ~ x ~ b s::.ámközben, továbbá legyen 'f (x)

=

ifJ (x)= max (q; 1 (x), q; 2 (x)). 1

min (q;1 (x), q;2 (x)),

Akkor az alsó integrálokra b

b

/)

J q; (x) dx +J ifJ (x) dx ~J q; a

a

h

1

(x) dx

a

+1 q;

2

(x) dx.

(4)

a

Bizonyítás. Legyenek g1 (x) és g2 (x) olyan folytonos függvények az (a, b) .zárt intervallumban, amelyekre g 1 (x)

~

q; 1 (x),

g2 (x)

~ q;~ (x).

Akkor g (x) = min

(g 1 (:r), g2 (1·)),

G (.r) = max (g1 (x). g'!. (x))

(5)

nyilván szintén folytonosak és

g (x) 1

Vagyis rp {x) a

www.interkonyv.hu

([1 1

~

q; (x),

G (x) ;2 ifJ (i).

(x) és p 2 (x) értékek közül a nem nagyobbik, rp (x) a nem kisebbik.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

139

Az 1 o tétel alapján b

b

b

b

J rp (:r) dx +J-

J Pn(x) dx a

a

~·

(14)

E folytonos függvények a (13) alatti első egyenlőtlenség és (9) alapján O-hoz tartanak s mivel a második egyenlőtlenség szerint rögzített x-nél monoton fogyó sorozatot alkotnak, DINI tétele értelmében (446. §)g,. (x)__". O egyenlete-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

141

sen áll fenn az (a, b) intervallumban.

Ebből

pedig következik (374. §), miszerint

b

J gn (x) dx-+ O. a

Ennek értelmében az ~ pozitív számhoz található oly v index, hogy n kezdve

J gn (x) dx

O, van olyan N, hogy b

J q;"(x) dx
N.

(4)

a

De q;.,(x) definíciójából folyólag

l /"(x) l ~

s rnivel

lj

11

(x)

l

9'n (x) (a ~ x ~ b) a feltevésből folyólag integrálható (130. §), eviden~er (v. ö.

447. §. (1)) b

h

Jl /,.(x) l dx ~aJ q;,.(x) dx, a

tehát (4) mellett a fortiori b

J l/,. (x) l dx < s,

ha n

>

N

(5}

a

és annál inkább (141. §)) b

J

J/". (x) dx j < a

s, ha n> N.

Bármely pozitív s-hoz található ilyen N, tehát (3) valóban fennáll. E tételt általánosabb alakban így mondhatjuk ki: Ha

fi

(x),

/2 (x),

... ,

ln

(x), · . ·

az a ;2; x ~ b számközben korlátos és integrálható függvények és

!/"(x) l ~ K

(n= 1, 2, 3, ... )

(7)

továbbá /., (x)-->- j (x) ahol f (x) ez (a, b) számközben korlátos és integrálható függvény, akicor b

J/

11

(8)

b

(:1:) dx-->-

a

J /.(x) d:c.

(9)

(l

téLele. 1 ) Ugyanis (7) és (8)-ból következik, hogy

(ARZELA

J

lj

(x)

l ;2;

K, tehát

f (x)-/" (.r) l ~ 2 K,

lovábbá (8) szerint

f

(x) -

/" (x) - + O

és f (x) -ln (x) integrálható, mert a feltevés értelméhen j (x) és (134. §). Vagyis az

f (x)- II (x), f (x)- / 2 (x),

... ,

f

J,.

(:1:) ilyen

(x:)-/,. (x), ...

1 C. AnzELA: Sulla integrazione pec serie, Rendicon ti della Aceadernia dei Lincei (4), I (1885), p. 537.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

143

függvénysorozat teljesíti a fenti tétel feltételeit,

következőleg

b

J [t (x)- ln (x)] dx-+ O a

azaz b

b

J j (x) dx- J t" (x) dx-+ O,

a

a

ami éppen a (9) alatti állítás. Függvénysorra átfogalmazva, a tétel azt mondja, hogy ha a:; a számközben az

t

(x)

=

u 1 (x)

+u

(x)

2

~

x

~

lr

+ ... + un (x) + ...

függvénysor összege és tagjai korlátos és integrálható függvények s a sor részletösszegez abszolút értékben bízonyos közös korlát alatt maradnak, akkor b

b

J t (x) dx =J u a

u

b

1

(x) dx

+J u

a

(x) dx

2

+ ... +J

u,. (x) dx

+ ...

(9*)·

a

a

Vagyis az ilyen függvénysor tagonként integrálható. III. Általános trigonometrikus sorok. 00

449.§. Szükségünk lesz a

következő

segédtételr?: ha I; A" konvergens nume-

rikus sor, akkor a

(sin nx) 2 nx

oc

I; A"

n=l

(1)

.. . sin nx tuggvenysor egyenletesen konvergens. (Az x =O helyen nx az 1 határértékkel veendő egyenlőnek,

így e sor tagjai a O helyen is folytonosak.) Ezt bebizonyítandó, a

cl:X) •

=

fP (x)

2

(2)

függvényt két korlátos és monoton növekedő függvény különbsége alakjáhan állítjuk elő a O ~ x < + oo intervallumban. Minthogy fP (O) = 1, mindenesctre (146. §) x

fP (x)

=

1

+ J fP'(t) dt.

(3)

o

S mivel

- l fP'(l) l ~

rp'(t) ~

l fP'(t) l '

azért o~ rp' (l)+

www.interkonyv.hu

l fP

1

(t)

l::: 21 rp' (t)

J,

o~

l fP

1

(t)

J-rp' (t)~ 21 rp' (t)

J,

(4)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

i 44

tehát az x 1 x 1 x J ep' (t) dt = 2 J[ep' (t) + l ep' (t) l ] dt- 2 J[l ep' (t} 1- ep' (t)] dt o o o kisebbítendő,

felbontásban akár a

akár a kivonandó nem nagyobb, mint

x

J l ep' (t) l dt. E

(5)

+ oo)

függvény azonban a (0,

intervallumban bizonyos korlát

l}

(2)-ből

alatt marad. Ugyanis

, ( ) _ 2 sin t t cost-sin t = 2 sin t cos t _ 2 sin2 t (t -l- O)., ep t - ·-tt2 t2 t3 -r következőleg

l ep' (t) l ~ ~2 + ~3 ~ ~ •

ha t

~ 1,

tehát x [

J

rp' (t) l dt

1 x) , ha x> 1

< 4 ( 1-

és így x

1

J l ep' (t) l dt v - 1

s így ez 1 (x) függvényre vonatkozólag a (6) alatti összegek sorozata nem korlátos. Qu. e. d. A LAGRANGE-féleinterpolációs formulaszerint (387.§ (5)) a (3) alatti interpoJáci ó-sorozatban L .. (x) - j (x) z (x) +l (x) z (x) +t (x) z (x) ahol t (x), z (x), ... , z (x) az interpoláció alapfüggvényei az n-edik pontcsoportnak megfelelőleg. Minthogy

+ ...

!Z (x)

l+

Jl (x)

l + ···+

p (x)

l

folytonos az a ~ x ~ b zárt számközben, maximumát ebben felveszi valamely r" helyen (56. §). Mármost F ABER tétele annak a ténynek folyománya, hogy a (2) pontcsoport-sorozat bármely választásánál az n-edik pontcsoporthoz tartozó alaptüggvények abszolút értékei összegének A,.= l' Z(i) (r") l+ IZ (r") l+ ... +ll(~) (r,.) l (n = 1, 2, 3, ... ) maximuma n-nel oo-hez tart. Ugyanis a segédtételt az

+

a 0,

h

a 0 2'

v ( 1) - 1 + x, ' - 1 - x, 2 -

1

1 > _!_ , -x, 2

ez esetben

v, (x)

> 21 , ha - 1

(i= 1, 2, 3, ... ,

Itt az x, helynek

megfelelő

~

x

~

1

n; n= 1, 2, 3, ... ).

konjugált pont 1

x,= X;

-:-"l

vagyis x, harmonikus párja, ha alappontokul a - 1 és 1 pontokat választjuk. Megmutatjuk most, hogy általában a J~a, ~>(x) JAcoBI-polinomok (n= 1, 2, ... ) gyökcsoportjai alkotta pontcsoport-sorozat szigorúan normális eloszlású a ( - 1, 1) számközbe n, ha a < O és {3 < O. Minthogy u. i. w (x) = J~o., ll>(x) eleget tesz az

(o:+ {3+ 2) x] w' (x) + n (n+ o:+ {3+ 1) w (x)= O (417. §. (1)), az x, gyökre w"(x,) ({3- o:)- (cc + {3 + 2) X;

(1- x 2 ) w" (x) +[({3- cc)-

differenciálegyenletnek

w'(x,)

-

'

1 - x; 2

tehát v. (1) '

= 1 - w"

(x,) (1- x.) w' (x;) '

+ {3 + 2) x, = + x,

= 1 +({3- o:)- (a

= 1 - (o:+ {3+ 2)

1

+

+ 1) +x,

2 ({3

1

(8)

míg v, (- 1) = 1

+ w:' t)) (1 + xJ = 1 -({3- cc)----;_ (o: + P+ 2) x, = w x, -x, = 1 - (o: + {3+ 2) + 2 (o: + 1) . 1-x,

Következőleg

O< 1

+ X; < 2

p+ 1 > 0) + 1) = -o:

folytán (minthogy

v, (1) > 1 -(o: + {3 + 2) + ({J és O< 1-x, O)

v, (- 1) >

(9)

1 -(a

+ {3 + 2) + (o: + 1) =

-{J,

tehát a -o: és - fJ pozitív számok közül a nem nagyobbikat e-val jelölve, a= -1 és b = 1 mellett (5) fennáll. Az a= fJ =O esetnek megfelelő P" (x) LEGENDRE-polinomok (408. §{4)) gyökcsoportjai már csak normális eloszlású pontcsoport-sorozatot alkotnak a· 12*- 12/22

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

164

(-1, 1) intervallumban. Ekkor u. i. (8) és

v, (1)

+. 1 +2 x,. =

(9)-ből

1-x;

+ x,. > o, v, (- 1) = - 1 + -- 21 x, =

1 +x

1-xii >o tehát (6) a = -1, b = 1-gyel fennáll, de mivel eléggé nagy n mellett az x gyökök legnagyobbika az 1, legkisebbike pedig a - 1 helyet tetszőlegesen megközelíti (414. § ), nincs oly e> O szám, amelyre (5) a = - 1 és b= 1 mellett minden n-re fennállana. A 398. § (8) azonossága értelmében az (1) pontcsoporthoz tartozó FEJÉR-féle alapfüggvények összege = -

1

1

n

I;

v, (x)

l; (x) 2 = 1.

(10)

í=l

Ennélfogva szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozatnál bármelyik pontcsoportra Z1

(x) 2

+ l2 (x) 2 + ... + ln

(x) 2

~ .!_,

ha a

e

~

x

~

b

(11)

ahol e az (5) követelésben szereplö pozitív szám. Ez egyenlőtlenség alábbi tárgyalásainkban döntő szerepet játszik. Miután a CAUCHY-féle egyenlőtlenség (139. §) értelmében

l h l + l lz l + ... + IZ.. l ~ Vn Vli + l~ + ... + z~, (11)-nek folyománya, hogy az (a, b) számközben szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozatnál bármelyik pontcsoportra IZ1 (x)

l + Jl2 (x) l + . . . + J l"

(x)

l~

'

1 lrv~ n,

ha

a ~ x ~ b.

(12)

FEJÉRI felvetette a kérdést, hogy szigorúan normális eloszlású pontcsoportsorozat esetén a szóbanforgó a ~ x ~ b számközben folytonos f (x) függvényhez rendelt F 1 (x), F 2 (x), ... , Fn (x), ... lépcsőparabolák (454. §.) egyenlete.sen f (x)-hez tartanak-e mindig !?bben az intervallumban? GRÜNWALD GÉzA2 igenlő választ adott erre a kérdésre. Tételét a szükséges előkészítés után a 458. §-ban bizonyítjuk be. . 457. §. Legyen adva a -1 ~ x ~ 1 számközben valamely szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozat (456. §), nevezetesen az n-edik pontcsoporthoz tartozó karakterisztíkus líneártényezőkre álljon fenn v, (x) ~ 2e > O, ha - 1 ~ x ~ 1 (1) (i= 1, 2, ... , n; n= 1, 2, 3, ... ). Ha ep (x) valamely differenciálható függvény ebben az intervallumban, jelölje H., [ep (x)] azt a legfeljebb (2n- 1)-edfokú racionális egész függvényt, amely

FEJÉR í. h. (161. old. harmadik cikk), p. 13-14. GRÜNWALD. GÉZA: Az Hermite-féle interpolációról, Matematikai és Fizikai Lapok XLVIII (19t.1), p. 272-28ft. Lásd még ugyanattól: On the Theory of Interpolation, Acta Mathematica 75 (19113), p. 2"19-2115, különösen p. 22'J-23t.. 1

2

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

165

az n-edik pontcsoportot alkotó x1 , x 2 , ••• , x" helyeken rendre a rp (x1), qr (x2)j .. (, rp (x") értékeket, cleriváltja pedig ugyanezeken a helyeken rendre a rp' (x1), rp' (x 2), • ~ ., rp' (x,..) ertéket veszi fel (398. §). E jelöléssei élve, bebizonyítjuk a következő

tételt:

H a rp (x) a -3 ~ x ;;;; 3 intervallumban differencíálható függvény és differenciálhányadosa ugyanott folytonos, akkor adatván valamely e> O szám, eléggé nagy n-re (2) l H" [rp (x c)]- ~p(x c) l < e valahányszor

+

~ c ~

- 2

+

2, - 1

~ x ~

1.

Bizonyítás. WEIERSTRASS approximáció-tételét (407. §.) a rp' (x) folytonos függvényre alkalmazva, nyilvánvaló (141., 146. §), miszerint van olyan g (x) racionális egész függvény, hogy

!'P (x)- g (x) l
Ugyanis a GAuss-féle szerint (459. § (5))

+ ... + f (x,.) ln (1) > O, eléggé nagy n-re

M (i= 1, 2, ... , n).

közelítő_"quadratura

x,-hez tartozó állandója CHRISTOFFEL

2

(4)

A, = (1- x, 2) Pn' (x,)2 s mivel itt x 12


O, tekintve, hogy az (1) alatti helyek a O-ra szimmetrikusan feküsznek (408. §). És ha n már olyan nagy, hogy (3) fennáll, akkor (6)-ból folyólag

(7)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

175

De mivel a O helyre vonatkozó szimmetria miatt nyilván és (415. §) azért itt

Al

+ A2

tehát max A, következőleg

-+

. 11, + ... + A(n) = . .

O folytán A1

ha n páros 1 1 A h . l - 2 [~]+l'' a n parat an,

2

+ A2 + ... + A[~]

--+

1,

eléggé nagy n-re. A1

1

+ A 2 + ... + A[~] > 2·

(8)

· (7) és (8)-ból végül következik, hogy

m ~ 11.(1) l>

i-1

~

ha n eléggé nagy s ekkor még inkább n

i~lll, (1)

M

l> 4"

Mivel M akármilyen nagyra volt választható, ezzel (2) be van bizonyítva. (2)-ből az X; helyek O-ra vonatkozó szimmetriája miatt már nyilván folyik, miszerint egyben n

+ oo

E ll.

d{}

= ~ (-log sin {}21) · n

+ O, itt a jobboldal + oo-hez tart, tehát még

n

E jl;(1) l --+ + oo. i-1 Az x, helyek- a O-ra szimmetrikusan feküdvén, ezzel egyben be van bizonyítva, hogy n

E j z, (-1) l --+ + oo. i-l Legyen most -1 < x < 1 azaz O < {} ; kitevőjű

LIPSCHITZ-

tesz eleget, azaz

l l (x')- l (x") l ~ C l x'-x" l"

(i)

(a~x~b,a:>~)· akkor ez intervallumban szigorúan normális eloszlású pontcsoport-sorozatot fektetvén alapul, az f (x)-hez. rendelt LAGRANGE-féle (2)

interpoláció-sorozatra

L .. (x)-+ f (x) ugyanitt egyenletesen áll fenn. Bizonyítás. Legyen részletesebb jelölésben

L .. (:>:) = L., [j (x)]

(3)

s hasonlóan jelöljük bármely más függvényhez rendelt LAGRANGE-parabolát (454. §) ugyanazon pontcsoport-sorozatra vonatkozólag. Továbbá legyen g.. _ 1 (x) az ·(1) föltevés folytán a megelőző § elején formulázott tétel szerint létező legföljebb (n-1)-edfokú racionális egész függvény, amelyre tehát

l f (x) -gn-1 (x) (a~ x~

r

l~ n«

(4)

b; n= 1, 2, 3, ... ).

A (3) alatti jelöléssei nyilván f (x) -Ln U (x)]

=

f (x) -Ln [g.. _ 1 (x)]- Ln [f (x) -

gn-1 (x)].

(5)

Minthogy g"_ 1 (x) legföljebb (n- 1)-edfokú, itt evidenter

L.,. [g"_1 (x)]

=

gn-1 (x).

És ha az n-edik pontcsoportnak megfelelő LAGRANGE-féle alapfüggvények a· felső index elhagyásával ll (x), z2 (x), ... , z.. (x), l FEJÉR

www.interkonyv.hu

i. h. (161. old. második cikk), p. 20.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

184

a LAGRANGE-féle interpolációs formula szerint (387. § (5)) n

t' U (x,)- gn-1 (x;)] l; (x).

L 11 [j (x)- gn-1 (x)]=

i-1

Ennélfogva (5)-böl (4) alllpján következik, hogy n

If (x)- L" [f (x)] l ;;;;; l t (x) -·g.,_t (x) l + ~L !Zdx) l ;;;;; i-1

(6) Űe

a pontcsóport-sorozat szigörúan normális eloszlású lévén, a 4p6. § (.12) egyenértelmében van olyan K > O szám, hogy

lőtlensége

n

.E jl, (x)

1 ;;;;;

K

Vn,

i-1

tehát (6)-ból folyólag

.

r

l f (x) -L,.[f (x)],l;;;;; ~ n (a;;;;; x;;;;; b;

Miután a feltevés szerint a >

n=

rK +~ na-2

1, 2, 3, ... ).

; , itt a jobboldaÍi korlát O-hoz tart, midón n~+ oo,

következőleg

f(x)- L,. [t (x)]~ O

egyenletesen áll fenn az a ;;;;; x ;;;;; b szál'l)közben. Qu. e. d. Ha a pontcsoport-sorozatról csak azt tudjuk, ho~y normális eloszlású, akicor valamely a+ {) ;;;;; x~ b-{) subintervallumban (458. § (7)). n

"LA z, (x)2 ;;;;; -{)b-a 8

(a

+ {) ; ; ; x ;;;;; b- 15)

így (139. § (1)) n

~ ~

ll, (x) l ; ; ;

vb-av-{)n

(a

+ o ; ; ; x ;;;;; b- b).

i-1

Tehát tekintettel a fenti gondolatmerietre, normális eloszlású pontcsoport-sorozat feltevése mellett egy a szóbantorgó a ;;;;; x _:::: b számközben a

> ~ kitevőjű

(1)

l..IP-

SCHITz-teltételnek eleget tevő t (x) függvényről csak annyii állíthatunk, hogy (2) ez

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

i 85

+

intervallum minden belső· helyén fennáll, mégpedig, bármely a o~ x ~ b- o subintervallumban egyenletesen. E tételt alkalmazhatjuk pl. a LEGENDRE-polinbmok gyökcsoportjainak meg~ fele!ó LAGRÁNGE-parabolák sorozatára a _:__ 1 ~ x ~ 1 számközpen (456. §). 464. §. Az utóbbi tétel alapján nevezetes következtetést vonhatunk a normális eloszlású pontcsoport-sorozatokra vonatkozólag. Ezt FEJÉR 1 következő tétele fejezi ki: Ha az a~ x ~ b intervallumban fekvő X ti)

xi2>'

x~>

pontcsoport-sorozat ott normális eloszlású, akkor ez az (a,b) intervallumot mindenütt sűrűn tölti ki, vagyis valahányszor a < ct < {3 < b, az

xin>,

x~m

pontok közül legalább egy az a Bizonyítás. Legyen

/(x)~ E függvény az a

l

~· x

O,

, • . . , x~>


;;.;;; O, A~n> ;;.;;; O, ••. , A~> ;;;; O, tehát a (6) alatti képezési törvény alapján (9)-ból folyólag

(12)

2 (be_ a) i~l A/")

l Q,. [f (x)- g (x)] l < vagyjs. (3) felhasználásával

e 2.

Q.,[/ (x) -g (x)]
O, y> 1)

(5)·

függvényegyenletnek. Ugyanis parciális integrálással (ha x> O és y

> 1) adódik

B (x, y)=

x+y- 1

I1 t:>:-1. (1- t)Y-1 dt = [t"' (f-

o

=

yx

B (x, y -1)

t)Y-l]·t-1-0

x

1

+

lJ 1 l ~ t"' (1-t)Y-2 dt =

!-+0 1

x

J o

'

.

.·

J t"' (1 -

(6)

t)Y-2 dt,

o

mert a kiintegrált rész nyilván O (171. § (3)). Azonban

t"' (1- t)Y-2

=

fX-1

(1- t)Y-2- fX-1 (1 _ t)y-1 1

tehát (6)-ból

J~. t"'-l

. 1 dt = (1- t)Y-

o

www.interkonyv.hu

y-1J1 tx-1 (1 - t)Y-:.l dt- y-1 l~ x o x ö

--.-

fX- 1

(1- tj1J-l dt,

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

213

honnan

JtX-1(1-

t)ll-1

o

dt

=

J

y- 1 x+y-io

vagyis (5) valóban fennáll. (4) alapján (5)-ből folyik a x-1 B (x, y) = + . x y- 1 B (x -

(X-1

(1 -

t)Y- 2 dt

(x> 1, y> O)

1, y)

(5*)

függvényegyenl et. Ha vagy y pozitív egész szám, az (1) integrál értékét könnyen kiszámíthatjuk Nevezetesen pozitív egész y esetében (6)-ot ismételten alkalmazva

x

l

J

1f

1 •••x+y-2 J tX+y-2 dt

1 y ·2 x x+1

1

tX-1(1- t)Y-1dt = ~--=-

=

0

o

y-i y-2 1 1 =-x-x+i··· x+y:-2 x+y-1 vagyis

B (x, y) =

J

1

.

0

Ebből

(y- 1)

tx-l (1~. t)U- 1 dt =

+ 1) ... (x + y~ 1)

x (x

.

l

·

(7)

(y = 1, 2, 3, ... ). pedig (4) szerint következik, hogy pozitív egész x·mellett 1

B (x, y)

=

r 0

. tx-l

(1-t)u-1 dt

=

y (y

(x -1) l · . . . (y

+. 1)..

+ x-1)

(7*)

(x === 1, 2, 3, ... ). Ezeket pozitív egész x, y mellett a

B (x, y)

Jo1 tx-1 (1-t)u-1 dt. =

=

(x= 1, ::!, 3, ... ;

(x- 1) l ( -

1) l

· Y (x+.y-1)!

·

y= 1, 2, 3, ... )

alakban is írhatjuk. 476. §. Alkalmazzuk a

B (x, y*) = x

+y*y-:-1 1 B (x,

y*-1) .

(x

>

O, y*

>

1)

képietet (475. § (5)) rendre az y*= y+ 1, y+ 2, ... , y+ n értékekre, ahol y> O. Az így 'nyert · B (x, y+ 1) =-'--+y B (x, y) x y

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

214

+ 2) =

B (x, y

B (x, y

+ n)

=

x

x

y+1 + y +' 1 B (x,

y

+ 1)

y+ n-1 n-1 B (x, y

+ .y +

+

n-1)

egyenleteket összeszorozva, adódik a

B( ) = (x+ y) (x+ y+ 1) ... (x+ y+ n-1) B ( x, y y (y+ 1) ... (y+ n-1) . x, y

+ )

(1)

n

vényegyenlet. Ebből a beta-függvénynek nevezetes határértékalakjához juthatunk. Legyen v= [y] vagyis (43. §) az a nem-negatív egész szám, amelyre v~y O. Parciális integrál;íssal x > O mellett +~

+~

T®

J fe-t dt = [-tz e-1] :::: +x J tx-l e-tdt = x J tx-1 e-tdt,

o

o

o

1 Az elnevezés és jelölés bevezetését illetőleg l. A. M. LEGENDRE: Exercices de calcui intégral sur divers ordres de transcendanies et sur les quadratures, Paris 1811-'-1819, I. köt. p. 221, u. köt., p. 3-~.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

211)

azaz

r

(x)

el~get

tesz a

r

+ 1) = x r

(x

(3)

(x)

függvényegyenletnek. Ha x egész szám, akkor (3) ismételt alkalmazasáva\

r

(x) = (x--1) (x-2) ... 1

r

(1) =

r

(1),

s mivel 1];

00

(4)

= 1,

o

ez esetben Vagyis az

+00

J e-tdt= [-e:-

r (x) =

(x-1) !

(x =

t, 2, 3, ... ).

(5)

y= r (x) görbe átmegy az

+

(1, O!), (2, 1 !), ... , (n 1, n!), ... pontokon. Történetileg éppen az ilyen görbe keresése vezette EuLEnt a gammafüggvényre.1 Minthogy az (1) alatti Integrandus pozitív x-nél pozitív, nyilvánvaló, miszerint (6) r(x) >O (x> O). (1)-ből különböző helyettesítésekkel a gamma-függvénynék más integrálalakjaihoz juthatunk. Így pl. az u = e-t változó bevezetésével adódik

r·

J( 1

(x)=

u

log 1 )x-1 du,

(1 *)

o míg a v = log t változót vezetve be +OO·

r (X) = J eX

V

e-eV dv.

(1 **)

-oo

És sok esetben valamely integrált megfelelő helyettesítéssei a gamma-függvényre vezethetünk vissza. Például x> O mellett a z= f' változó bevezetésév_el

J e-tx dt

J

+OO

+00

.

o

·

1

1 x- - 1 e-z-z . x

o

vagyis (3)-ra tekintettel

+.r e-tX dt = r ( 1 + ~) o . x

(x

>

O).

478. §. Legyen p> O és alkalmazzuk a gamma-függvényt definiáló integr(l.lra (477. § (1)) a t= pu helyettesitést. Ily módon adódik a +OO

r(x) = pz

j ux-1 e-Pudu

.

(p> O, x> O)

(1)

o . 1 .V. ö. M. GoDÚROY: Lafonctiongamma; théorie,histoire,bibliographie, Paris, GauthierVillars, 1901. ·

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

217

integrál-alak. Ennek alapján a heta-függvény határérték-alakjáhól a gammafüggvénynek is nevezetes határérték-alakját állíthatjuk elő. - Evégből megmutatjuk, miszerint pozitív p mellett p!l;

B (x, p

+ 1) < r (x) < (p + x + 1t B (x, p + 1).

Az (1) alatti integrandus pozitív lévén, e

képletből

(2)

következik, hogy

1

r (X) > p"' J ux-1 e-PU du o

s mivel ·a (O, 1) száinközön belül O< 1 -

u < e-u (O < u < 1) (miután e-u görbéje a O abszcisszájú ponthoz tartozó érintő felett van e pont kivételével), még inkább

r

1

(X)

> p"'

J u,X-1(1-u)P

du

o

vagyis érvényes a (2) alatti alsó becslés (475. § (1)}. Az 1 + u < e" (u > O) egyenlőtlenség alapj án (amely azt fejezi ki, hogy e" görbéje a O abszcisszájú pontban vett érintő felett van e pontnak a kivételével) e- 1 vagy x < O helyeken felvett függvényértékeket a O < x ~ 1 számközben felvett értékekre vezeti vissza. Ebben azonban elég a függvény értékeit a O < x lumban kiszámítani, mert az

~- < x
o valahányszor x> o (477.§ (5)). 480. §. H a az x pozitív egészszám ú nx többszöröse nem O vagy- negatív egész szám, akkor n-1

n nw-l

r O mellett

F' (x) = d log

r

(x)

r (x) =-c- i_+ .E

dx

x

v-l

(_!_- x_1_). + v.

(2)

'V

Itt a jobboldalon álló sor ismét tagonként differenciálható, mert 1

1

1

l

(-;-x+ v) =(x+ Y) 2 és a

00

1 + ) X Y

E(

v-1

2

sor a pozitív x-ek tartományában egyenletesen konvergens,

mivel tagjai rendre Ennélfogva (2)-böl F" (x) Ebből

kis~bbek r

a

~ ~

(x) -F' (x) 2 (x) 2

r

dx 3

így tovább, általában a O < x

=_2

E

v-O


O, ennek alapján T" (x) > O, ha x > O. Tehát (101. §) az y= T (x) görbe az egész O< x < + oo intervallumban alulról konvex. Mivel T (1) = 1, valamint T (2) = 1 (477. § (5)), T' (x) az .x = 1 és x =2 helyek között valamely ~ helyen a T'(~) = o, 1 < ~ O és akárhá!J.yszor differenciál:Qató s így tovább. Látjuk, a (-1, O), (-2, -1), ... számközök belsejében r (x) váltakozva negatív és pozitív, akárhányszor differenciálható fiiggvény. Miután a O helyen

vényé viszont

r (1) =

i_ baloldali határértéke- co, a r (x + 1) függx

1, (9)- ből látjuk, miszerint lim r (x)= -co.

(10}

;1:=-0

És (7) alapján (9)-ből tüstént következik, hogy a -1 helyen vett jobboldali határérték ugyancsak lim r (x) = -00. (11) X=-1+0

(9) alapján {10) és (11) maga után vonja, hogy a -1 helyen a baloldali, a -2 helyen viszont a jobboJdali határérték o6 s így tovább. Ezeket (7)-tel összefoglalhatjuk abban, hogy a o, -1, -2, ... helyeken r (x) jobboldali határértéke tJáltakozva + co és -co, a baloldali határértéke pedig váltakozva - co és + co. A függvény görbéjének alaki viszonyait x < O esetén vizsgálandó, (2) általánosításakép megmutatjuk, miszerint a gamma-függvény logaritmikus deriváltja. az egész érlelmezési tarlományban

+

F' (4= -C _i_

r Ugyani~

lJ (i. -

_1- ) :v

+

(2*)

(9)-ból a szorzat logaritmikus differenciálási szabálya szerint (185. §)

! +

· F' (x) = _ (x) x

r

www.interkonyv.hu

+

x v-1 :v x (x =F O, -1, -2, ... ).

(x)

+ 1) , r (x+ 1)

T' (x

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

227

tehát -1 és O között mikor is x

F' (x) r(x)

=

+1>

1 1 -x--C-x+1

O, (2) alkalmazásával 00

1

(

+ "~1

-;-

1 ) x+v+1 ·

De itt a zárójelek nyilván: el is hagyhatók (311. §) s azután. a

~x

!

1 tagtól

kez.dve két~két egymásutáni tagot zárójelbe foglalva előáll (2*). Ebből ugyanígy következik (2*) érvénye a -2 és -1 közötti x helyekre s így tovább. A (2*) jobboldalán álló sor tagonként differenciálható, mert a

fj (X+1 f2

v-1

· sor bármely korlátos tartományhan egyenletesen konvergens, miután mellett eléggé nagy v-re

l: + 11 ~ ~

'JI

R

s így

1

(x

l x l ;:; ;

r

1

+ v)2 = 'j/2 ( : + 1

< 4 . =

v2 '

vagyis a sortagok bizonyos indexűtől kezdve nem nagyobbak a E v~ konvergens sor . megfelelő tagjaináL Tehát (2*)-ból a gamma-függvény második logaritmikus cleriváltja 00 d T' (x) 1 (x =l= O, - 1, - 2, ... ). (3*) dx r (x) = ...~o (x v) 2

+

Ez pozitív lévén, következik, hogy általában

·r" (x) r

(x)

> o

(x

=l=

o, -

1, -2, ... ).

Ennélfogva a r (x) előjeléről elóbb mondottakhól folyik (101. §), miszerint az y= F(x) görbe a (-1, O), (-2, -1), ... intervallun:wkbari váltakozva alulról konkáv és konvex. A T' (x) derivált e számközökben váltakozva szigorúan fogyó és növekedő. Ezekben kell egy-egy ~1 , ~ 2 , ••• zérushellyel bírnia, :(llert amelyikben nem volna gyöke, abban állandó előjelű volna (106. §) s így ott r (x) folyvást növekednék vagy fogy na, ami a fentebbiekkel ellenkezik. E szeririt F' (:x!) a (-1, ~ 1 ) számköz belsejében pozitív, viszont (~ 1 , O) belsejében negatív, r (x) az előbbi­ ben növekedik, az utóbbiban fogy, a ~ 1 helyen lokális maximuma van. A (-2, -1) számközben fordítottak a viszonyok, (-3, -2)-ben ismét hasonlóak s így tovább váltakozva. Vizsgálatunk eredményét szernlélteti a 288. ábra. (2*)-ból ismételt tagonkénti differenciálással (3*)-hoz hasonlóan nyerjük, hogy általában a gamma-függvény (n 1)-edik logaritmikus cleriváltja

+

.!!:__ dx"

(x

482. §. A

(F'r (x)(x)) --

(- 1)" ~1 n

l

iJ

1

. v~d (x+

(4*)

'J.r•+l

=l= O, -1• -2, ... ; n= 1, 2, 3,.· .. ).

megelőző

§ (8) képletét ma·gában foglalja a

következő

képlet:

15* -13/3

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

228 az x bármely pozitív értékénél

=fi1

r' (x)+ C

r

(x)

-

tx-1

1- t

dt

(1} l

o

ahol C az EuLER-féle állandó. Valóban, ha x 1

k-1

- t = 1-t

tk-2

+.

tk-3

= k

+

~ 2 pozitív egész szám, akkor

...

+.t + 1'

tehát l

1 dt=-·1-t k--1

1 - tk-l

J

1 1 +--+· .. + -+ 1 k-2 2

o

s fgy (1)-böl folyik az említett "képlet. Ha pedig x = 1, akkor (1) alatt az integran:-

Y.

V= f(X)

3

z 1

1

·z

x

-2 -J

288. ábra.

dus azonosan zérus, tehát ez esetben (1)-ból r' (1) = -C, ami az idézett képlet a k = 1 esetre. (1)-ct bebizonyítandó, induljunk ki az 1 1 t" -1-= +t+ ... +tn-l +-1-t -t

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

229

azonosságbóL Ezt t"'-1-gyel végigszorozva ~~

- - = t"'-1 1-·t

tfi~

+ f + ••• 4- t"'+n-2 + 1 - t

s így kivonással adódik az t"'- 1 1 ~-t = 1 -r-l t - t"'

+ t2- ... + tn-1- t"'+n-2 + 1t

+

f t t"-1

azonosság. Tagonként integrálva. O-tól 1-íg, nyerjük, miszerint 1

J

1 - t'l:- 1 ·1-t dt=

1

1

1

.

1

1

1

1--;+2-x+1 +3-···+n:-x+n-1

.

+

1

n-ld +ft-t"' 1-tt t. o (Itt a jobboldalon álló integrálban az integrandus t= 1 helyen vett határértéke a L'HosPITAL-szabály (i89. §) alkalmazásával t t"' i - xt"'- 1 t L..., n-1 . l !ID --t = }'IID --. - - = }'liD _ 1 = X- i , t-1 1 - t t~1 1 - t t-1

tehát ez integrandus t= 1-nél is folytonos, ha itt a határértékét vesszük.függvényértéknek.) E képlet a tagok átrendezésével az t

J

1 - t'x;-l 1 1 - t dt = - - ;

o

+ ( T1 -

1 )

+1 +

x

(1

1

2 -x + 2

)

+ ... +

1

1+ ft1 ) +( 1 +--- -t"'t ~-1 x+n-1 ~ 1-t

n-1

dt

(2)

o

alakban írható. A jobboldali integráira az (142. §)

f

{};j• t

t

1

l - t"' n-1 d {},.--t t= 1- t i·-{},.

.,_1

d

t=

első

középértéktételt alkalmazva

{}.,- ~ 1 -, 1-{},. n

o

O)

(1)

o integrál alakjáb.an írhatjuk.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

231

Minthogy a megelőző § (1) képletének jobboldalán álló integrál az

1 + U=-• t

1

1

t=--

1 +u

helyettesítéssei az

J

l

1

1 - tx-l _ 1-t dt - -

()

o 1-

+oo

J(

1

(1 +u)"'

1 1--i+u

+oo

du

l

+

(1

u) 2 =

1

1

1

) du

+ u- (1 + u)"' :U

o

alakot ölti, az (i) alatti állítás aequivalens azzal, hogy az EuLER-féle állandó a +00

C=j(-1-. -e-")du 1+u u

(2}

o integrál alakjában írható. Bizonyítás. Induljunk ki az EuLER-féle állandónak definiáló

+ _!_2 + · · · + _!_-log n) n

C= lim (1 n- +oo

(3)

határérték alakjából- (162. §). Itt

r

J -x"

l

1

1

, 2 l

1 +···+-n·=

l

(1 +x+ ... +xn-1) dx=

o

1l-x dx

u

vagy az

x=i-~ n helyettesítést alkalmazva 1

i 1 Jn'[1·- (1 -n:u)n] u= du +2+ ... + n:= o

fl + Jn , o

1

továbbá n·.

logn=

Ju' du

1

tehát n

1

1+~

+···+ ~-logn=j[1-(1-~)"]d:-J(1-:)"d;.

o Megmutatjuk most, miszerint valamely O ;;;; u eset én

~

.l a számközben n

-+

(4)

+ oo (5)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

232

egyenletesen áll fenn. Ugyanis az y,= log x görbe alulról konkáv lévén (161. .§), n> amellett

(1 -!:)

log log _ ___:__ _ n_ 2: a n

(1 _.!:) n > 1

(O


(log x)

, :l:- 1

n ebből

következik, hogy

log(t-*)---)> 1 u n

egyenletesen a O< u hogy

~

a interval1umban. Ennek pedig nyilván folyománya,

is egyEmletesen áll fenn, ami_evidenter maga utan vonja (5) egyenletes fennállását (lévén ef/4 véges interv.allumban egyenletesen folytonos (57. §)). Ebből következik, míszerint

j(

1-

:r d:---)> J:" du.

1

Ezt

(7)

1

következőkép

láthatjuk be. Adassék akármilyen kis pozitív e szám. Az w pozitív számot megválaszthatjuk úgy (243. §), hogy +co

J-du 1-u

(n= 2, 3, 4, ... ),

tehát ö

J[

1-

~ )']

(1-

d:

< ö

o

s így

ebből

az

előbbiekhez

hasonlóan következik, hogy

l

' l

j[ t - ( 1 - ~)]~u--+j(t-e-") o

o

:l·

(12)

Most már (3) és (4)-ból (7) és (12)-re tekintettel ·1

d

J

Ju

1

+CO

-u C= (1-e-")__!!:- :._du='lim

.u

o

l

=

lim fJdu u

ö- +0 ~ ö

www.interkonyv.hu

fj'1 -e 1

b- +0 ~

1

li

+·CO

-u

u

+co

-je-"u du )f· = li

du-

j' :._duf= l

1

-t


A t = sín 2 rp helyettesítés alkalmazásával, O és y> O mellett (475. § (1))

J

.l

sin2x- 1 q:>cos2 Y- 1 q:>dp =

n

1

midön dt

= 2 sin ep cos ep dep, 1

1

2 jt'"- 1 (1-t)Y- 1 dt= 2

B(x,y),

o

vagyis gamma-értékekkel kifejezve

"'

_i

2 · 2:c-l . 2y-1 d sw ep cos q:> q:> 0

1

2

r(.r)r(y) y) 1 , (x

+

(x> O, y> O). Ezt nz y=

~

esetre alkalmazva

"'

1 sm:~o:-1 ep dep= TVn 2" .

0

www.interkonyv.hu

r(x)

r(x+ ~)

(x > O)

(2)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

248

vagy a LEGENDRE-formula felhasználásával

"

1 2x-1 ep d q; --22.c~2 rr(x)2 (2x) 2.

(x> O).

o sm ~

A 2 x- 1 =

jelöléssei (2)- ből

-r( 'P+ i)

-

f

s miután itt

(2*)

(~=0

sin" epdrp

=~n

2

(v> -1)

~r(;+1)

kizárásával) a függvényegyenlet szerint (4. 77. § (3))

és a LEGENDRE-formula értelmében

r(~) r C~ 1)

=

x~~rcv),

utóbbi eredmény x =l= ; esetén az

"

7)

d J-." sm ep ep = o

n

v

2v-1

r(v)

r(;f

(v

>-

1, v=!= 0)

(2**)

alakban írható. Például az x

1

=4

i

esetben (2*)-ból

%

J o (2**)-ból "

.

dep Vsin ep =

r(!)2 4 2 V2 n .

~ esetében 2 n v2n J2 V-.smepdep= 1

""

r(~;)

o

2 •

Az(1).képletet (az integrációs változót t-vel jelölve) megkaphatjuk (2*)-ból

is, a t= (sin

ep)~ helyettesítés alkalmazásával az x=! jelölés mellctt.. .

www.interkonyv.hu

fl

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

NYOLCADIK FEJEZET.

MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET.

P ARAMETERES INTEGRÁL. I. 1\lásodrendü lineáris differenciálegycnlet. 490. §. Legyenek p 1 (x), p2 (x) és q (x) bizonyos számközben folytonos függvények. A

differenciálegyenletet másodrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük; ha q (x) =O, akkor e differenciálegyenlet homogén, különben pedig inhomogén. Foglalkozzunk először a homogén

d2y -d x2

dy

.

+. Pt(x)-dx + P2(x) y= O

(2)

egyenlettel, amelyet (1) redukált egyenletének is szokás nevezni. Ennek megoldásait illetőleg egyelóre az alábbi három tételt bizonyítjuk be. 1o tétel. H a y1 és y 2 a (2) differenciálegyenletnek megoldásai, akkor az

Y függvény, ahol c1 és c 2 Ez folyik a

tetszőleges

+ C2 Y2) + Pt (x )

d 2 (ct Yt dx2 =Ct

[ d2y dx 2 1

+ Pt (x)

dy dx 1

= ct Yt

+ C2 Y2

állandók, szintén megoldása (2)-nek.

d (ct Yt

+ C2 Y z) + P2(x ) (Ct Yt + C2 Y2)= _

dx

+ P2(x} Yt J+ C2 [d2y dx 2 2 + Pt(x)

dy

d~ 2

+ Pz(x) Y2J

azonosságból. 2° tétel. A (2) differenciálegyenlet bármely két y 1 és y 2 megoldására (yi y~ -Y z y~) efp, (x) dx = c

(3)

állandó. Ugyanis a (3) baloldalán álló fU.ggvény cleriváltja

{(YtY~-YzY~) efp,(x)dx}' =(~ly~' -y 2 y~') efp,(x>dx +

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

250

= :S

+ (yly~ -y2y~) Pl (x) efp,(x)d:-: = { Y1 [y~'+ P1 (x) Y~]- Y2 [y{' + Pt (x) y~J} efp,(x)dx

tekintve, hogy y 1 és y 2 eleget tesz (2)-nek, ez folytatva = {-Pa (x) Ya Yt +Pa (x) !h Y 2}

efp,(x)dx

=O

.az egész szóbanforgó számközben, tehát az integrálszámítás alaptétele szerint ·{98. §) e függvény állandó. Az utóbbi tétel értelmében (2) kEt y 1 , y 2 megoldásának ú. n. WRONSKI-jéle .determinánsa

YIY~-YaY~ =

ce-.fp,(x)dx

ahol c állandó. E determináns tehát vagy mindenütt zérus, vagy seholsem zérus adott számközben. 3° tétel. H a y 1 és Y a a (2) differenciálegyenletnek két olyan megoldása, ame.lyeknek WRONSKI-jéle determínánsa

~z

Yt Y~ -Y 2 Y~ =!= 0,

(4)

akkor (2} összes megoldásai az (5)

.alakú függvények, ahol C1 és Ca tetszőleges állandók. Bizonyítás. Az 1o tétel értelmében az (5) alatti függvények mind megol- . · dásai (2)-nek. Be kell még bizonyítanunk, miszerint (2)-nek bármely megoldása jlyen alakú. Legyen az y függvény (2)-nek valamely tetszőleges megoldása. A 2° tételt az y és y1 , ill. y és y 2 megoldásokra alkalmazva (y Y~- Y1 y')

e.fp,(x)dx = c 11

(y y~ -YaY')

efp,(x)dx

=Ca . .

Ha az első egyenletet (-y 2)- vel, a másodikat y 1-gyel szorozzuk s a kettőt összeadjuk, előáll (

,

')

y~~-~~e

fp,(x)dx

·

=~~-~~

A (4) feltevés folytán (3) alatt c=!= O, tehát innen

ami a C2-

Ct

c

jelölés mellett átmegy (5)-be. Qu. e. d. A (4) alatti feltétel aequivalens azzal, hogy y 1 nem azonosan zérus és oly számközben, ahol y 1 =!=O, az y 2 / y 1 viszony nem állandó. Ez esetben u. i. (4) valóban :fennáll, mert különhen

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

251

( Ya)' = Yt Y~ -;Y2Y~ = 0

YI

Yt és így y 2 Jy1 állandó volna (98. §), s fordítva (4)-ből következik, hogy y1 nem azonosan zérus és oly intervallumban, ahol y 1 =!= O, y 2 Jy 1 nem lehet állandó, mert akkor a derivált j a O volna, tehát y1 y~- y 2 y~ = O állana. A (2) homogén egyenletnek egy ilyen y1 , y 2 megoldási rendszerét, amelyből tehát az összes megoldások (5) szerint adódnak, alaprendszernek nevezzük. Látni fogjuk, hogy alaprendszer mindig létezik (502. §). A 3° tételből az (1) egyenlet megoldásait illetőleg folyik a következő tétel: Ha y11 y 2 a (2) homogén egyenletnek valamely alaprendszere. és 'YJ (x) az (1) egyenletnek egy megoldása, akkor (1) összes megoldásai az

y = rJ (x) + cl Yl(x) + c 2Yz(X) c2 tetszőleges állandók.

(6)

függvények, ahol cl és Ugyanis mindenekelőtt világos, hogy e függvények mind megoldásai (1)-nek, mert a baloldalon kijelölt.műveletet az ·YJ (x) függvényre alkalmazva, a feltevés. szerint q (x)-et, (C1 y 1 C2 y 2)-re alkalmazva viszont O-t kapunk, lévén ez utóbbi az 1o tétel értelmében (2)-nek megoldása, s így ezek összegére alkalmazva szintéri q (x)-et kapunk. És (1)-nek bármely y megoldása ilyen alakú, mert mivel a baloldali kifejezést akár y-ra, akár n-ra képezve q (x) adódik, azért (y -n)-ra képezve O-t kapunk, vagyis y - rJ megoldása (2)-nek, tehát a 3° tétel értelmében

+

cl

és c2 állandók. A (6) képlet az (1), az (5) alatti pedig a (2) differenciálegyenletnek ú. n. általános megoldását állítja elő. Ezekből a C1 és C2 állandók speciális választásával nyert megoldások e differenciálegyenletnek partikuláris megoldásai. Az (1) inhomogén egyenlet valamely partikuláris megoldásának és. a (2) homogén egyenlet egy alaprendszerének ismeretében (6) szerint úgy kapjuk (1) általános meg·oldását, hogy (1) partikuláris megoldásához (2) általános megoldását hozzáadjuk. 491. §. Megmutatjuk most, miszerint a megelőző §-ban (2) alatt felírt J10mogén egyenlet valamely y 1 =l= O megoldásából quadraturával mindig előállít­ hatjuk annak egy további y 2 . megoldását, amely y1-gyel alaprendszert alkot. Evégből elegendő valamely kétszer differenciálható y 2 függvényt úgy meghatározni, hogy ahol

(1}

legyen. Innen u. i. deriválással adódik Y1 Y~'- Ya y~'

=-

P1 (x) e- fp,(;x)d.."C

vagyis - minthogy feltevésünk szerint y1 megoldása az elöbbi § (2) egyenletének - tekintettel (1)-re Y1 Y~'- Ya [ - P1 (x) Y~- Pa (x) Y1J = - P1 (x) (yl Y~- Y2 Y~),

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

252

ami rendezve Y1 [y~'

+ P1 (x) Y~ + P2 (x) Y2J

= 0.

Miután y1 =l= O, ez azt jelenti, hogy y 2 eleget tesz az egyenletének. És (1)-böl folyólag YIY~-y2y~

előbbi

§ (2) differenciál-

=l= o

azaz y1 , y 2 alaprendszer. :Mármost (1)-et az 1

l

Y2' _Y1y 2 = _

-fp,(x)d:c

Y1 e

Y1

nlakban írva, ez y 2-re elsőrendű lineáris differenciálegyenletből (238. § (4**})

y2

=e Jy,

y,' dx

J

-J y~ ----e

y'

e-fp,(x)dx

dx

d

Y1

x.

:\I i után

J aszerint, amint y 1

::;;::

y~ -dx YI

= l og{+ y1 ) -

0, ez a keresett másik megoldás

J

-jp,(x)dx

e

dx.

Yi

(2)

Például tekintsük az 11 .~

"-1 ,+1 . -xy -y= x2

o

differenciálegyenletet. Ennek evidenter megoldása az y 1 =x függvény. Ezzel (2) szerint alaprendszert alkot

y2 = x n (O,

J

J

d."


0. Egyik megoldás nyilván

y1 =ctg x. Ezzel O és ; között {ahol is ez y 1 =f: 0) alaprendszert alkot {491.§ (2))

y 2 = ctg x

= ctg x

J

e- Jctgxdx t dx = ctg x c g2 x

J

dx sin x ctg2 x = ctg x

J

J

e-log sin x

t

c .g2 x

dx =

sin x 1. cos 2 x dx = ctg x cos x

=

1 sin x ·

Ez természetesen az egész (O, n) számközön belül megoldás és az előbbivel alaprendszert alkot. Ennélfogva (1) általános megoldása a (0, n) számköz belsejéhen (490. § (5))

y

cl

+c

= - .-

Sin X

2

ctg x

(0 O esetén az 1-p,

(C1 cos (o: log x) +C2 sin (o: log x)),

y= x--2 o

2 P2 -

(pl-1) 2

·

4

= -

o:2


O, a2-k2 = - r;. 2 0. A rezonancia esetében, midön a = w, a (10) alatti stacionárius megoldás (6) és (7)-re tekintettel -'1'}=--cos M ( wx-. Ms m . wx =-(11) 2kw · · 2 2kw (a= w). Nézzük még, hogy akár (1}, akár (9) stacionárius megoldásának (3) alatti amplitudója rögzített k, a 2 és M mellett az w mely értékénél a legnagyobb abszolút

n)

értékű?

Minthogy (3)-ban a négyzetgyök alatti kifejezés ep (w 2), ahol ep (z)= z2 +2 (2 k 2 - a2 ) z+ a 4 s e másodfokú racionális egész függvény legkisebb értékét veszi fel a z = a 2-2 k 2 helyen,. azért 2 k 2 < 2 esetén l A 1 legnagyobb, midön

a

(12)

w=Va -2k =aV1-2(:f. 2

2

Ha azonban 2 k 2 2: a 2 , akkor l A l-nek nincs legnagyobb értéke, hanem folyvást növekedik, midön .w fogyólag átfutja a pozitív számokat, mert akkor ep (z) a (O, + oo) intervallumban monoton növekedik. Ekkor (3)-ra tekintettel l A l -4o -+ M j a 2 midön w ->- + 0. Az előbbi esetben (12) alapján a megfelelő maximális abszolút értékű amplitudó (3)-ból M A= M 2 k2 2k 2ka 1~(a)

V

VaL-k

a

o kezdőfázisra

pedig (4)-böl adódik

. o-- v1-2(:r

sm

www.interkonyv.hu

k

1-(-a)

2

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

271

Ezt szintén a rezonancia· esetének nevezhetjük. Látjuk, :hogy ha }!_ kicsiny, a a rezonancia rÍ5gzített k, a2 és M mallett közelítőleg ugyancsak az a esetben következik be, mikor is A és !5 közelítő értékei

w=

A

z 2:a , !5 z-~

(w= Va -2k 2

2,

:

kicsiny).

502. §. Annak igazolására, hogy a d2 y dy

d;2 + PI(x), d~+ P2(x) Y =q (x)

(1)

másodrendű

lineáris differenciálegyenletnek (amelyben p 1 (x), Pa (x) és "q (x) bizonyos intervallumban folytonos függvények) valamely Y (xo) = Yo• y' (xo) = Yo' (2) kezdeti feltétel mellett mindig van egy és csakis egy megoldása, bebizonyítjuk az elsőrendű lineáris differenciálegyenletrendszerekre vonatkozó következő alaptételt: H a ci (x), {3 (x}, y (x), valamint i"( x), p(x), (x) bizonyos intervallumban folytonos függvények, akkor abban a

y

~~ =

oc (x)

dz

-

+ {3 (x) y + r (x) z

. dx = oc (x) + {3 (x)

(D)

-

y + r (x) z

elsőrendű

lineáris differenciálegyenletrendszernek valamely y (x 0 ) = y 0 , z (x0 ) = z0 kezdeti feltétel mellett egy és csak egy y = y (x),

(F)

z = z (x)

megoldása van. Bizonyítás.! Nyilván~elég~bebizonyítanunk, hogy a tétel igaz a szóbanforgó intervallumnak minden az x 0 helyet tartalmazó zárt a ~ x ~ b részében. Vezessük be a rövidség kedvéért az l (x, y, z) = oc (x) + {3 (x) y + r (x) z rp (x, y, z) =~(x) + lf(x) y (x) z (3) jelölést, mikor is (D) a d · . dz (D*) ~=l (x, y, z), dx = ep (x, y, z)

+y

alakot ölti. Ez a (F1) kezdeti feltétel mellett aequivalens az x

y (x) = Yo

+J j (t, y (t), z(t)) dt, :r.

x

z (x) = z0

+Jx,rp (t, y (t), z (t)) dt

(D**)

1V. ö. É. PJCARD: Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles ei Ja méthode des approximations successives, Journal de mathémati.ques pures et appliqueés (4) 6 (1890), p. 197-200, továbbá E. LJNDELÖF: Sur l' application des méthodes d'approximation successives etc., u.-o. 10 {1894), p. 117--128. ·.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

integráiegyenletrendszerrel (146, 143. §), miután folytonos y (x), z (x) függvények esetében (3)-ra tekintettel a feltevésnél fogva f (x, y (x), z (x)) és ep (x, y (x), z(x)) is folyt_onosak (72. §). E (D**) egyenletrendszért a szukcesszív approximáció módszerével oldjuk meg (v. ö. 204. §). Legyen .

x

y 1 (x) = y 0

-

+J l (t, y

x

z0 ) dt,

0,

z1 (x) = z0

+J ep (t, y

0,

~

.z0 ) dt,

(a1 )

~

majd e folytonos függvényekből (143. §) képezzük az x

x

Y2 (x) = Yo

+J l (t, y

z 2 (x) = z0

(t), z1(t)) dt,

1

~

+J ep (t, y

1

(t), z1 (t)) dt (a 2 )

~

függvényeket, amelyek szintén folytonosak, és így tovább. Az n-edik lépésben x

y,.(x) = Y o

x

+J l (t, Yn-1 (t),z~_1(t)) dt,

z,.(x)

=

z0

+j ep (t, y,._ (t), 1

~

z,._. 1(t)) dt

(a,.)

~

(n

= 1, 2, 3, ... ).

Kimutatjuk, hogy az

Yo zo

+ [yl (x) - Yo] + : · · + [Y (x) - Yn-1 (x)] + · · · , + [z1 (x)- z + ... + [z,. (x) - z,.__1 (x)] + ... n

0]

(4)

függvénysorok az (a, b) számközben egyenletesen konvergensek. Az t (x, y0 , z0 ) és ep (x, y0 , z0 ) függvények (3)-ra tekintettel folytonosak lévén az (a, b) zárt számközben, WEIERSTRASS tétele alapján (56. §) van olyan M>O szám, hogy (5) l t (x, Yo, zo) l ~ M, l ep (x, Yo, zo) l ~ M (a~ x~ b). Ugyancsak

WEIERSTRASS

tétele alapján van oly A >O és B> O szám, hogy

Ir

P

l ,8 (x) l ~

A, l (x) l ~ A, l r (x) l ~ B, (x) l ~ B, miért is (3)-ból valamely x, y, z és x, y*, z* értékrendszerpárra mindi'g

l t (x, y, z)- t (x, y*, z*) l } l ep (x, y, z) -ep (x, y*, z*) l

~ A l y - y* l +B l z - z*l

(6)

(a~ x,_~ b).

Mármost (5) alapján (a1 )-böl (141. §) x> x0 mellett l Y1 (x)- Yo l ~ M (x- x 0 ), l z1 (x)- z0 l ~ JV] (x - x 0 ). Mivel pedig (a1 ) és (a2)-ból

(b1)

x·

.Y2 (x)-

Y1

(x)

=J [f (t, Y1 (t),

Z1

(t))

- l (t, Yo, zo)] dt

x,

x

z2 (x) - z1 (x)

=

J[ep (t, y

1

(t), z1 (t)) -ep (t, y0, z0 )] dt

Xo

s itt (6) alapján az integrandusok abszolút értéke

l f (t, Yt (t), zl (t))•- j (t, Yó, .zo) j }· ~ l ep (t, Y1 (t), Z1 (t)) -ep (t, Yo, Zo) l ·

www.interkonyv.hu

A

l Yl (t)- Yo l + B l zi (t)-.,.. zo l,

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

273

tehát (b1 )-ra tekintettel annál inkább

l j (t, Yt (t), Z1 (t))- j (t, Yo• Zo) l l ;;; l (p (t, Y1 (t), Z1 (t})- qJ (t, Yo• Zo) l f

M (A

+ B) (t_ x0),

adódik

l Y2 (x)- Y1(x) l } ;;; l z2 (x) - z1 (x)

M (A

+ B) / x 0 mellett az a közben l y,. (x) - Yn-1 (x) l } ;;; M (A B)"-1 (x- Xo)" l z,. (x)- z,._i {x) J n! (n = 1, 2, 3, ... ).

+

S minthogy x - x0

ly,. l z,.

;;;

~

x ;;; b szám(b,.)

b -a, még in.kább

(x)- y,._1 (x) (x) - z,._1 (x)

l} ;;; l

M (A+ B)"-1 (b -a)" nl .

(b,.*)

(n= 1, 2, 3, ... ). 18

A differenciál- és Integrálszámítás elemel II -

www.interkonyv.hu

18/17 .

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

274

Nyilván ugyanerre az eredményre jutunk, midőn x< x0 • Eszerint a {4) alatti sorok tagjai (az y0 , ilL Zo kezdőtag0t nein .számítva) abszolút értékben rendre nem nagyobbak a · co

M

"\" [(A

A +B 6

.. ·

+ B) (b- a)]" n!

n-1

sor megfelelő tagjainál, amely sor pedig konvergens (321.§). Ennélfogva a WEIERSTRAss-féle kritérium értelmében (361. §)a (4} alatti függvénysorok valóban egyenletesen konvergensek. Tekintsük áz 00

y(x) = Yo

+.n=l ~ [y .. (x)- Yn-i (x)],

00

z(x)=zo+ ~ [z.,(x)- z"_ 1(x)]

(7)

z"(x)--:-+ z(x)

(8)

n=l

függvényeket. A mondottak szerint y.,(x)--:-+ y(x),

egyenletesen áll fenn az a ~ x ~ b számközben, s így Yn(x) és z.,(x) folytonossága következtében y (x) és z (x) is folytonos (363. §). Mivel (6) értelmében

l f(x, Yn (x), z,. (x))- f (x, Y (x), z (x)) l l ~A 1y (x) -Yn (x) l+ B l q; (x, Yn (x), z" (x))- q; (x, y(x), z(x)) l J

lz (x)-z., (x)

j,

(8) mellett

l

valamint

(x, y,. (x),

z" (x))--:-+ f (x, y (x), z (x)),

q; (x, y .. (x), z.. (x))--:-+ q; (x, y (x), z (x)) egyenletesen áll fenn (a,b)-ben. Itt a:z f (x, Yn (x), z"(x)) és q; (x, Yn(x),z .. (x)) függvények folytonosak, tehát (a, b)-ben korlátosak és integrálhatók lévén, ebből (a.,)-re tekintettel következik (374. §), hogy x

y... (x) ---""Yo

+J f (t, y (t), z (t)) dt,

x

Zn

(x)--O szám, hogy j

(x.,

y(x), z(x)) ! ~ K, l q; (x), y(x), z(x)) l ~ J( (a~ x~

www.interkonyv.hu

b)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

275

s ennélfogva (9) és (a.. )-böl (b1,*)-hoz hasonlóan következik, hogy

l y(x)-y.. _i(x) l l;;:;; .K (A+ B)"-db-a)" jz(x)-z,._dx)

Miután e

felső

1f

·

[(A +B) (b-a)/' A +B n! K

n! ebből

folyólag

z.,_ 1 (x)

-+z (x)

korlát O-hoz tart, (62. §),

y,._ 1 .(x) - + y(x),

s ez (8)-cal egybevetve azt jelenti, miszerint

y (x) = y (x), z (x) =

z (x).

Tehát {D**)-nak (4) alatti megoldása valóban az egyetlen. Qu. e. d. Mármost az (1) differenciálegyenletnek a (2) kezdeti feltétel melletti megoldása aequivalens a dy -=z

dx

dz dx

= q (x) -P 2 (x) y~ Pl (x) z

differenciálegyenletrendszer megoldásával az Y (xo)

= Yo, z (xo) =

Y~

feltétel mellett. Az előbbi tételnek tehát folyománya a következő: H a p1(x), p 2 (x) és q (x) bizonyos intervallumban folytonos függvények továbbá x 0 ez intervallum valamely helye, és y 0 , y~ tetszőleges értékek, akkor e számközben egy és csak egy olyan y függvény van, amely az (1) alatti másodrendű lineáris differenciálegyenletet kielégíti és megfelel a (2) kezdett feltételnek.

E

tételből

végül tüstént következik a homogén

d2y

dx2

+ P1 (x) dy dx + P2 (x) Y = O

(10)

egyenlet alaprendszerének (490. §) létezése. Ugyanis legyen x0 a szóbanforgÓ intervallum valamely helye és tekintsük az utóbbi egyenletnek azokat az y1 , y2 megoldásait, amelyek az Y1 (xo)

=

1, Yt (xo) = O,

Y2 (xo)

=

0,

illetve

v; (xo) =

1

kezdeti feltételnek tesznek eleget. E kH megoldás WnoNSKI-féle determinánsa az x0 helyen Y1 (xo) Y2' (xo) -Y2 (xo) Y1' (xo) = 1

szóval nem zérus, tehát (490.§) ez y1 , Yz megoldások (10)-nekegy alaprendszerét alkotják. 18* -18/17

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

276

II. Parameteres integrál.

·59a.

§. Az y parametertől függö b

Jf (x,y)dx fl

integrált parr.lmeteres integrállJak nevezzük. Legyen f (x, y) az

(1)

a & x & b, c & y & d négyszögalakú zárt tarlományban folytonos függvény. Akkor a b

F (y)

=Ja f (x, y) dx

(2)

parameteres irtlr:f;rál a c & y & d intervallumban folytonos. Ha ugyaniH y-nak a L1y növekményt adjuk, F (y) növekménye (2)-re tekintettel F (y

+ Ll y) -

F (y)

=

J"{t (x, y + Lly)- t (x, y) } dx.

(3)

a

Ámde

t (x,

y) a:t. (1) a_Iatti korlátos és zárt tartományban folytonos lévén, ott

egyenletesen folytonos (74. §), tehát adatván

8

> O, az b

8

a pozitív számhoz

található oly pozitív ö, hogy x-től függetlenül

If (:r;, y + Lly) - t (x,

y)

l


O)

(9)

(6)-ra tekintettel (t

>

O).

~~~ f (t) =J 1 ~xz

=

~

= C1 et- C2 e-t

Minthogy az (1) függvény folytonos,

(10)

(1)-ből +00

o s az {5) alatti függvény folytonassága alapján (143: §) (5)-böl lim F (t) =O. t-0

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

294

Ennélfogva (9) es (10)-böl

· tehát .

Cl = 0,

'll

-2 ..

Cs =

Ezeket (10)-he helyettesítve (t> O).

Mivel (1) szerint

t (t)

páros függvény,

ebből

t (-t)= ~e-t

(t

folyólag egyszersmind

> 0).

Ezek értelmében az (1) integrál

J._ 1 + oo

cos xy dx x2

o

=l· i n

e-u, ll

2 e'

ha

y~

O

ha

y~

O.

Ennek alapján (5) és (5*)-hól +oo

J

sin t x _ ~ _ _1 x (1 +x2 ) dx- 2 (1 e ), ha t ~ O.

o

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

KILENCEDIK FEJEZET.

TÖBBSZÖRÖS INTEGRÁLOK. TÖBBVÁLTOZÓS DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK. VONALINTEGRÁLOK. I.

Kettős

integrál.

512. §. Legyen f (x, y) a korlátos és mérhető területű T tartományban (155. §) korlátos kétváltozós függvény. A DARBoux-féle alsó és felső integrál fogalmát (126. §) erre következőkép visszük át. Osszuk a tartományt a t1 , t 2 , ••• , t., területű részekre. Ilyen felosztás származik pl. akkor, ha T-re sokszögrácsot borítunk (153. §) s a T-be eső szemek mellett vesszük !l kinyúló szemek T-hez tartozó részeit. Ez utóbbi csonka szemek u. i. szintén mérhetó területűek (156. § 2°), minthogy T-nek és egy-egy sokszögnek közös részei. Legyen a t, területű részben f (x, y) alsó határa mi, felső határa Mi (mindegyik részhez a határát is hozzászámítva). Akkor a felosztásnak megfeJelő alsóösszeg n

s

a

felsőösszeg

pedig

=E t, m;, i-1 n

s =E tiMi. i=l felosztáshoz tartozó alsó-, ill. felsőösszeg, Tr}indig s .::::;; S'. (1) Ezt ugyanazzal a gondolatmenettel bizonyíthatjuk be, mint amellyel 1 26 §-ban a 2° segédtételt bebizonyítottuk. Legyen az összes lehető felosztásoknak megfelelő alsóösszegek halmazának felső határa H, a felsőösszegek halmazának alsó határa h. (1)-hől nyiTván következik, hogy H~ h. Bebizonyítjuk a következő tételt: Az alsóösszeg tetszőleges pontossággal megközelíti a H felsőhatárt, a felsőösszeg pedig a h alsó határt, ha a felosztás részeinek átmérői eléggé kicsinyek; (DARBoux tétele.) Ezt úgy fejezzük ki, hogy az alsóösszeg a H, a felsőösszeg viszont a h ((határértékhez)) tart, midőn a felosztás részei d1 , d2, ••• , d.. átmérőinek legnagyobbika «O-hoz tart», képletben s--. H, S---+ h (2) H a s és S' két

tetszőleges

a

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

296

midón

max d,--+ 0.

Elegendő az alsóösszegre vonatkozó állítást igazolnunk, mert a felső­ összegre vonatkozó has9nlókép igazolható, illetve abból már következik js, ha azt a - f (x, y) függvényre alkalmazzuk. Adassék akármilyen kicsiny pozitív- e szám. Mivel II az alsóösszegek felső határa, van olyan felosztás, hogy a megfelelő s* alsóösszegre

e

H- 2 , t~>, ••• , tknk> (k= 1, 2, ... , v), a felosztás egyéb (nem az előbbi felosztás egy-egy részébe eső) részeinek területei pedig a megfelelő alsó határok illetve m~, m~,

Ez újabb felosztásnak

... , m0 '. alsóösszeg

megfelelő v

nk

Q

li~l

i=1

i-1

s =~(~t~> m~>) +~t;' m;'.

(Ha a k valamely értékénél a

ti;

területű

(5)

.

részbe nem esik az új felosztásnak nk

egyik része sem, akkor (5) jobboldalán a megfelelő ~ t~> m~> tag O.) J el,Ülj e az i=l

eredeti felosztás tit területű részének mégfelelő alsó határt mi;, az egész T tartományra vonatkozót m. Akkor nyilván

m/

m,

:=:::

tehát (5)-re tekintettel 'v

nk

.

s;:: I: (ni]; k~1

~ t~>)

f!

+m

i-1

~

t;'.

(6)

i=1

Minthogy T területe evidenter (155. § 2°) v

~

tit =

h-1

v

í-1

www.interkonyv.hu

t/

=

Q

+ E t/ i-1

k-1· i-1

11

~

v nk . ~ < ~ t~')

v

nk

E

tit-~ OJt~>),

h-1

h-1 i=l

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

297

a (6)

egyenlőtlenség

így írható: s ~

v

1J

(mj; -

m)

-~

1J

v

+ m E th_.

t~>

i-1

k=1

(6*)

h-1

Mivel pedig a rögzített felosztáshoz tartozó alsóösszeg 'V

(6*)-nak az nk

v

s ~ s*

-E (mj; -

m) (t%

-

E t~>)

(6**)

i-1

h-1

alakot adhatjuk.AzonbanJoRDAN tétele értelmében (157. §)a (4) alatti részekre nk

E t~> _,_ti;

(k

= 1, 2, ... ,

v)

.i= l

midőn az újabb felosztás részei fogva pedig (26. § (4))

átmérőinek

átmérője

ha az új felosztás részeinek maximális alapján

s

>

legnagyobbika O-hoz tart. Ennél-

eléggé kicsiny. Ekkor (6**)

s*- _:_.

2

F.zt (3)-mal összevetve, látjuk, miszerint H-e rt1}, (~2 , rt 2 ), ••• , (~n' rtn) helyeket, a

'RIEMANN

(1) i-1

összeg a felosztásnak és a választott helyeknek megfelelő közelítőösszeg. Az elnevezést az indokolja, hogy ha f (x, y} a T tartományban korlátos és RIEMANN szerint integrálható függvény, akkor az (1) közelítőösszeg tetszőleges pontossággal megközelíti a I integrálértéket, hacsak a felosztás részeinek átméröi eléggé kicsinyek, bárhogyan válasszuk is az egyes részekben a (~;, r;J helyeket Ez folyománya DARBOUX előbbi tételének, miután bármely felosztás és a (~il r;,) helyek bárminő választásamellett evid~nter

s;;;;

(J ;;;;

s.

Az I integrálértéket így jelöljük: f(x,y}dxdy

JJ

(T)

(olv.

kettős

integrál T-re vonatkozólag f (x, y} dx dy). Az

előbbi

tétel értelmében

n

J(T)J l (x, y) dx dy =limi=lE ti f(~i, 7];) a felosztás részeinek maximális átmérője O-hoz tart. Az l (x, y} = 1 függvény integrálja j dx dy = T területe.

(2)

midőn

J

(3)

(T)

Ugyanis T bármely felosztásánál e függvényre vonatkozólag akár az alsó-, akár a felsőösszeg az egyes részek területeinek összege, ami pedig egyenlő T területével (155. §. 2°). Ha T nem O területű (mikor is a felosztás részei nem lehetnek mind O területűek), akkor abból, lwgy a közelítőösszeg véges és meghatározott limeshez tart, midőn a felosztás részeinek maximális átmérője O-hoz tart, következik, miszerint a filggvény korlátos és RIEMANN szerint integrálható. Ez éppen úgy látható be, mint az egyváltozás függvényre vonatkozó megfelelő tétel (126. §).Elegendő, hogy a közelitóösszeg határértéke a felosztásoknak egy bizonyos sorozatára, amelyben a részek maximális átmérő i O-sorozatot alkotnak, létezzék (a (~ü r;;} helyek speciális választásától függetlenül). Hacsak l (x, y) a T-ben korlátos, az

O;= M,-m, . különbség a függvény ú. n. oszcillációja (ingadozása) a t, területű részben. A felső­ . és az alsóösszeg különbsége nyilván

s -'

www.interkonyv.hu

n

s _:_ .

E t· o.· i= l l

(4)

''

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

299•

ez a felosztásnak megfelelő oszcillációs összeg. Mivel DARBoux tétele értelmében s - l l és S-- h midőn a felosztás részeinek maximális átmérő}e O-hoz tart, azért bármely korlátos függvénynél ez esetben n lim~ LJ

t.·l o.= h-H. '

(5)

i=l

Ha tehát e határérték O, akkor a függvény RIEMANN szerint integrálható, különben pedig ·nem. Vagyis a korlátos és mérhető területű T tartományban korlátos f (x, y) függvény itt akkor és csak akkor integrálható RIEMANN szerint, ha a (4) alatti oszcillációs összeg határértéke O, midőn a felosztás rész.einek maximális átmérője O-hoz tart .. Az integrálhatóságnak ezt a szükséges és elegendő feltételét még így is fogalmazhatj uk: a korlátos és mérhető területű T tartományban korlátos f (x, y) függvény itt akkor és csak akkor. integrálható RIEMANN szerint, ha adatván akármilyen kicsiny pozitív e szám, mindig van T-nek olyan felosztása, amely mellett az oszcillációs összeg kisebb, mint e. Ezt (4) és (5)-re tekintettel éppen úgy láthatjuk be, mint az egyyáltozós függvény RIEMANN szeriRti integrálhatóságára vonatkozó megfelelő tételt (127. §). E kritérium alapján (annak első, ill. második alakját használva) tüstént helátható a következő két tétel: 1o H a f (x, y) dx dy létezik és T' a T tartománynak mérhető területű része,

JJ

(T)

akkor

JJf (x,

y) dx dy is létezik.

(7")

2° Ha T1 és T 2 egymás belsejébe nem nyúló mérhető területű tartomooyok s f (x, y) dx dy, valamint f (x, y) dx dy létezik, akkor a T1 - és T 2 -ből összetett

JJ (T1 )

T1

JJ

+T

(T 1 )

2

tartományra vonatkozó J J f (x, y) dx dy integrál is létezik. (T,+ T1 )

Korlátos és zárt tartományban folytonos függvény abban egyenletesen folytonos lévén (74.§), a zárt számközön folytonos egyváltozós függvény integrálhatóságához hasonlóan Játható he, hogy 3° korlátos és mérhető területű zárt tartományban folytonos függvény abban RIEMANN szerint integrálható. 514. §. Az integrál fogalmából (513. § (2)} nyilvánvaló, hogy valamely T mérhető területű korlátQs tartományhan f (x, y)-nal együtt c l (x, y), j (x, y) és g (x, y)-nal együtt f (x, y}+ g (x, y) szintén integrálható, mégpedig

ff cf(x,

y) dx dy =c

(T)

JJ {/(x, y)·+ g (x, y)} (T)

Ezekből

JJ f (x,

y) dx dy,

(1)

(T)

dx dy =J J f (x, y) dx dy +J J g (x, y) dx dy. (T)

(2)

(T)

teljes indukcióval következik, hogy általában JJ{ctfdx,y)+cafs(x,y)+ ... +c,.f,.(x,y)} dxdy= (T)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

1!00

= c1 J J /x(x, y) dxdy

+ r2 J J

/ 2 (x,y) dxdy

+ ...

(T)

(T)

+c"

-

hacsak a jobboldali integrálok léteznek. Az egymás helsejébe nem nyúló' T 1 , T 2 , tartományokból összetett T1 T2

+

••• ,

+ ... + T"

JJ t.. (x, y) dxdy,

(3)

{T)

T" mérhetö terülEitű korl'\tos tartományra vonatkozólág

JJ/ (x, y) dx dy = JJt (x, y) dx dy + JJ f (x, y) dx dy + ... + J J t (x, y) dx dy. (T1 + .•• +Ta)

=

(T1)

(T1 )

(4)

(T,.)

Ugyanis a baloldali integrál létezéséből ~· jobboldaliak létezése már követkeiik (513.§ 1°) s a képlet ismét nyilvánvaló az integrál fogalmából, ha a 'Í'i T2 T" tartománynak olyan felosztásait tekintjük, amelyek a T11 T 2, ••• , T., tartományok felosztásaiból tevődnek össze (v. ö. 134.§). Ha valamely N négyszögalakú tartomány tartalmazzaaTmérhető területű tartományt és a T-ben korlátos és integrálható f (x, y) függvény értelmezését az · egész N-re akként terjesztjük ki, hogy f (x, y) =O legyen a T-hez nem tartozó pontokban, akkor (5) (x, y) dx dy t (x, y) dx dy.

+

+ ... +

+

=J J

JJt

(T)

(N)

Ez folyománya a (4) képletnek, miután a T elhagyásával nyert N-T tartományban (amely szintén mérhetó területű (156. § 1°)) a függvény mindenütt O és így erre vonatkozó integrálja is O, sa T-re és (N-T)-re vonatkozó integrálok létezéséból az N-re vonatkozó létezése már követke-Zik (513. § 2°). Az integrálok összehasonlításának elve ( 141. § (2)) a megelőző § (2) képlete · alapján közvetlenül átvihető kettős integrálra. Ennek ismét folyománya (v. ö. 142. §) ez a középértéktétel: ha f (x, y) és ep (x, y) a mérhetö területű korlátos T tartományban korlátos és integrálható függvények · s ep (x, y) ~ O, továbbá ugyanott l (x, y) felső határa M, alsó határa m, akkor m ep (x, y) dx dy ~ J J t (x, y) ep (x, y) dx dy ~ M ep (x, y) dx dy. (6)

JJ

JJ (T)

.

(T)"

(T)

{A szorzat integrálhatósága ugyanúgy látható be, mint egyváltozás függvények

esetében (138. §)).

Amennyiben J.f

J O,.

ez még így is írható:

t (x, y) ep (x, y) dx dy

(1')

m ~ ___,_~J;-:J:-ep-(_x_,y-)-dx_d_y_ _

(6*)

(1')

{V.Ö;142.§(1'1'*)). WEIERSTRASS és BOLZANOtételealapján(73., 72.§) e (6*} egyenkövetkezik, hogy ha T kotlátos, zárt és összefüggö mérhetö területű tartomány s benhe f (x, y} folytonos és ep (x, y) dx dy >O, akkQr T-ben van olyan

lőtlenségből

(~.

JJ

{1'}

17) hely, amelyre J J f (x, y) ep (x, y) dx dy . t($, 17) J J ep.(x, y) dx dy. (T)

www.interkonyv.hu

(7)

(T}

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

301 Midőn fP (x,

y) = 1, a jobboldali integrál T területe s ekkor e képlet a

JJf (x, y) dx dy =t(~, 1]) Q [T]

(7*)

(T)

alakot ölti. 515. §. Legyen

t (x, y)

az

a ~ x ~ b, c :5: y ~ d (N) négyszögalakú tartományban korlátos és integrálható függvény. Jelöljük rögzített y mellett az f(x, y) a-tól b-ig vett alsó, ill. felső integrálját fP (y)-, ill. (p (y)- nal, vagyis legyen b

b

=J t (x, y) dx,

fP (y)

ep (y)=

Jt (x, y) dx. a

a

Megmutatjuk, hogy d

d

JJ t (x, y) dx dy = J fP {y) dy =J ep (y) dy.

(1)

c

c

(N)

Osszuk fel a (N) négyszöget a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesekkel kis négyszögekre. Legyenek az OY · tengellyel párhuzamos egyenesek abszcisszái a = x0


O, O
m különbsége, vagyis K [Np] = (1..2- !..1) (b 3 __,.a~ (sin lf'2 -

megfelelő

sin 1f11 ).

Minthogy a LAGRANGE-féle középértéktétel szerint (109; §) b3 - a3 = 3 (b- a) e* 2,

sin '1'2 -

sin 971

=

('1' 2 -

971) cos If'*

ahol a

< e*
t l

••• )}

- p f (txu . .. ).

.

Itt a számláló (2) alapján zérus, tehát (}j'

(t) = O

(t

> O).

Ennélfogva az integrálszámítás alaptétele szerint (98. §) a O < t vallumhan (}j (t) állandó, tehát . (}j


y' (x 11 • • • , x", y, z) = O, ([>_' (x1, • · .• , :r,., y, z: = O. Vagyis (4)-re tekintettel (ha 2-vel végigosztunk) 1,/(xl, ... , x", y, z)/ (xl, ... , x", y, z) +gy' (xl, . ~ ., x,., y,z) g(xl, . .. , x,., y, z)= o~

x,., y, z) f(x 1, ... , x,., y, z)+ gz' (x11 ... , :r,., y, z) g (x1 , . . • , x,., y, z)=O. Ez .homogén lineáris egyenletrendszer az f (x1, ... , x,., y, z) és g (xll ... , x,., y, z} ismeretlenekre, amelynek determinánsa (3) értelmében nem zérus, lévén az ( a1 , a 2 , ••• , a,.) hely K környezetébe eső (x 1 , x 2 , ••• , x,.) a fortiori K 1 -ben. Tehát ez egyenletrendszerból fotyik (2). Az N négyszög oldalait 2 (x, y, z) =

iüggvényre

;;!/>=o ;;x ,

www.interkonyv.hu

f

+ A q; (x, y, z)

(x, y, z)

(1)

e helyen ;;(/>

ily

=o.

'

;;!/>=o. ()Z

.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

4.06

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az (x0 , y 0 , z0 ) hely környezetében példliul

~~

=l=

o,

t3)

mikor is tehát (x 0 , y0, Zo) bizonyos négyszögalakú környezetében (P)-ból z:__ z(x, y), amely függvény az (x0 , y0 ) helyen differenciálható (563. §). Minthogy a kétváltozós t (x, y, z (x, y)) függvénynek az (x0 , y0 ) helyen szélsőértéke van, azért (122. §) ott a differenciálja, mint dx és dy lineár-alakja, azonosan zérus. Vagyis e helyen (542. §)

dt

=

at dx + aj dy + at dz = ax ay az

o

a dx és dy minden értékénéL S mivel a ep (x~ y, z (x, y)) függvény az (x0 , y 0 ) hely környezetéhen mindenütt eltűnik, azért a differenciálja, mint dx és dy lineáralakja azonosan zérus, vagyis (542. §)

dq; = Jcp dx ax

+

Jp dy ay

+

Jq; dz = O az

a dx és dy minden értékénéL Az utóbbi egyenletet az egyelőre tetszőleges .A. faktorral végigs~orozva s a~ elóbbihez hozzáadva, nyerjük, miszerint az (x0 , y0 , z0 ) helyen

at (~

+ A Jq;).dx.+ (aj ~

~

+A ap) dy+ (at ~

~

+ ?.

Jrp) dz= O ~

(4)

.

bármi legyen is dx és dy értéke.A (3) feltevés alapján van egy és csakis egy oly . ?., melyre

at+ ~.ap az az

=o.

(5)

at +A ilcp ay ay

=o

(6)

De akkor szükségképpen

és

at ax

+ A. tJp ax

=

O,

(7)

mert a mondottak értelméhen (4)-nek a dx =O, dy = 1, valamint a dx = 1, dy = O értékekre egyaránt fenn kell állania. (5), (6) és (7) szerint e J.. mellettés csakis e .il. mellett - az (1) függvényre fennállanak a (2) alatti egyenletek. Qu. e. d. 567. §. Vizsgáljuk most az /(x, y, z) függvényt a (F) cp1 (x, y, z) = O, cp 2 (x, y, z) = O egyenletekkel jellemzett felületek metszési görbéje mentén. Tegyük fel, hogy e görbe valamely (x0 , y0 , .zo) pontjának bizonyos J).égyszögalakú környezetében. (F)-ből két változó. kifejezhető, mint a harmadik egyértékű függvénye, mond-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

407

juk például

y = y (-x), z = z (x). eső

Akkor a metszési görbének e környezetbe vénye: j(x, y, z)=

darabján

t (x, y(x),

t(~,

y, z) csak az x függ-

z(x)),

amely- egyváltozós függvény az x0 hely környezetében értelmezve van. Ha e· fiiggvénynek az x0 helyen lokális maxírnurna resp. minimuma van (104. §),'akkor azt mondjuk, hogy a ~áromváltozós f (x, y, z) függvénynek az (x0 , y0 , z0 } helyen jeltételes lokális maximuma, illetőleg feltételes lokális minimuma van a ( F) alatti feltételek mellett. Általában azt mondjuk, hogy az f (x, y, z} függvenynek az (x0 , y 0 , Zo) helyen, amely (F)nek megfelel, feltételes lokálís maximúma, illetőleg minimuma van a (F) alatti feltételek mellett, ha e helynek elég kis környezetében a (F)-nek megfelelő (x, y, z) =F =F (xo, y 0 , z0 ) helyeken f (x, y, z) < f (x0 , y 0 , z0 ), illetőleg f (x, y, z) >t (x0 , y 0 , Zo). H a e helyeken f (x, y, z) ~ (x0 , y 0 , z0 ), illetőleg (x, y, z) ~ f (x0 , y0 , z0 ), akkor a szó tágabb értelmében vett lokális maximumról, resp. minimumról beszélünk az (x 0 , y 0 ,,z0 ) helyen. Legyen a (F) alatti egyenletek két változóra való megoJdhqtósága s az

t

t

im plicit függvényrendszer függvényeinek a megfelelő helyen való differenciálhatósága azáltal biztositva (564. §), hogy rp1 (x, y, z) és rp 2 (x, y, z) az (x0 , y 0 , z0) hely környezetében folytonos függ;ények, továbbá 1° CfJ1 (xo, Yo, Zo) = O, CfJ2 (xo, Yo• zo) = O, 2° cp1 (x, y, z) és cp 2 (x, y, z) az (x0, y 0, z0) helyen differenciálhatók, 30 az (x0 , y 0 , z0 ) helyen a

acpl acpl acpl ax ay az acp2 acp2 acpz ax ay az matrix három másodredű determinánsa közül legalább az egyik nem zérus és a matrix elemeit képező parciális differenciálh~nyadosok e hely környezetében folytonosak. H a ez esetben f (x, y, z) az (x0 , y 0 , Zo) helyen differenciálható függvény, melynek ott feltételes lokális szélsőértéke ·van a (F) feltételek mellett (esetleg csak a szó tágabb értelmében), akkor e helyhez tartozik egy és csakis egy oly .íl1 , .íl 2 számpár, hogy a

if> (x; y, z)

= t (x, y, z) + A1 CfJ1 (x, y, z) + .íl 2 rp 2 (x, y, z)

(1)

függvényre e helyen

;;!J>=

ax

www.interkonyv.hu

o '

a!f> Jy

=o

a!J>

'

az

=o.

(2)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

408

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az (x0 , y0 , .zo} helyen például Jrpl Jrpl Jy

Jz

=l= o,

Jrp2 Jq;2 Jy Jz

(3)

amr-·a parciális differenciálhányadosok folytonossága következtében e hely elég kis környezetéhen is fennáll. Akkor (x0 , Yo~ Zo} bizonyos négyszögalakú·· környezetéhen a (F) egyenletekhól y= y (x), z= z (x), rriély függvények az x 0 helyen . differenciálhatók (564. §). Minthqgy az egyváltozás f (x, y (x), z (x)) függvénynek az x0 helyen szélsőértéke van, azért e helyen (122. §) a differenciálja, rnint dx lineár-alakja, azonosan zérus (vagyis a differenciálhányadosa ezen a helyen zérus). Tehát' e helyen (542. §) df = ;;f dx rJx

+

Jf dy

;;y

+ ~dz = az

O

(4)

a dx minden értékénéL S rnivel a q;1 (x, y (x}, z (x)) és q; 2 (x, y (x), z (x)) függvényak az x 0 hely környezetéhen rnindenütt eltűnnek, azért ezeknek a differenciálja is azonosan zérus, vagyis (542. §) drp1 =JJdx ax

a ;; · + JJay +.!!!Jaz= o Jy J;.

(5)

drp =

+ Jq;

(6)

J

és 2

;;q; 2 dx

Jx

ay

2

dy

+ ;;q;

2

az

dz = O

a dx rninden értékénél. (5)-öt az egyelőre tetszőleges ). 1-gyel, (6)-ot pedig t1 2 -vel végigazorozva és rnindkettőt (4)-hez hozzáadva, nyerjük, miszerint az (x 0 , y0 , Zo) helyen

(7) bármi legyen is dx értéke. A (3) feltevés alapján van egy és csakis egy oly l1, l2 számpár, hogy

rnert a (3) alatti determináns éppen ennek a ).1 és .A2-re lineáÍ'is egyenletrendszernek a deterrninánsa. De akkor szükségképpen

J/

ax

www.interkonyv.hu

+A.1 ;;q;t + .A. 2 Jrp2 Jx

Jx

.O

(10)

'

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

409

mivel (7)-nek a dx minden értékére fenn kell állania. (8), (9) és (10) szerint e A1 és A2 értékek mellett -és csakis ezek mellett - az (1) függvényre fennlillanak a (2) alatti egyenletek. Qu. e. d. A fentebbiekhez hasonlóan definiáljuk a feltételes lokális maximum, illetőleg minimum fogalmát n k változós függvény és n ((feltételi egyenlet» esetében. Az

+

előbbi tétel megfelelő általánosítása ís hasonlóan bizonyítható be. Az alábbi §-okban néhány példán bemutatjuk e tétel alkalmazását feltételes abszolút maximum vagy minimum meghatározására, mikor is a függvény legnagyobb, resp. legkisebb értékét keressük, bizonyos feltételi egyenletekkel jellemzett tartományban. 568. §. Legyenek az ABC derékszögű háromszög B (343. ábra) oldalainak méréssel nyert közelítő pozitív

A

C M3. ábra.

mérőszámai

BG:::; a, CA::: b, AB:::; c,

ahol a2

+ bZ-c2 ;:f=: O.

Meghatározandók az x, y, z korrekciók úgy, hogy ep (x, y, z)= (a

+ x) 2 +

(b

+ y) 2 --(c + z) 2 =

0

(1)

teljesüljön és

f (x, y, z)= x2 + y2 + z2 a

lehető

(2)

legkisebb legyen.

Az x, y, z változókat derékszögű koordinátáknak tekintve, az (1) feltételi egyenlet oly körkúp egyenlete, melynek csúcsa a (-a, -b, -c) pont, tengelye az OZ tengellyel párhuzamos és alkotói hozzá 45o alatt hajlanak (344. ábra). E kúp x, y, z koordinátákkal bíró P pontjára úP2 = x2 + y2 + z2. Feladatunk tehát meghatározni e kúpnak azt a pontját, mely O-hoz legközelebb fekszik. Hogy ilyen valóban van, a következő meggondolás mutatja. Legyen P 0 a kúpfelület valamely fix pontja. Nyilvánvaló, hogy ha a kúpfelületet az OXY síkkal párhuzamos és fölötte elég magasan fekvő sikkal metszük, a kúp e·sík fölötti pontjainak O-tól való távolsága OP0 -nál nagyobb. És az OXY sík alatt elég mélyen fekvő, vele párhuzamos síkkal metszve a kúpot, annak e sík alatti pontjai is OP0 -nál nagyobb távolságra vannak O-tól. A kúpfelületnek e két sik közé eső és azokon rajta fekvő pontjai nyilván korlátos és - zárt tartományt alkotnak. S mivel az OP távolság a P pont x, y, z koordinátáiJ).ak folytonos függvénye, WEIERSTRASS tétele értelmében (73. §) e tartománynak van oly P* pontja, ahol OP a legkisebb értékét veszi fel e tartományban. Ez OP* azonban egyszersmind legkisebb az egész végtelen kúpfelület alkotta tartományban. Mert ha P a felületnek olyan pontja, mely az előbbi két sík közén

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

410

kívül fekszik, akkor (e síkok választása folytán) OP > OP0, s mivel OP0 ~ OP* (lévén OP* a legkisebb az előbbi zárt tartományban), azért méginkább OP> OP*. A minimumot szolgáltató P* pont nem lehet a kúp S csúcspontja. Ugyanis a kúpnak nyilván van olyan alkotója, mely nem merőleges az SO egyenesre, tehát O-ból ez alkotóra bocsátott merőleges ·kisebb SO-nál, s így SO nem a !

:

IZ

,l••••••·•--··-•••••••••••·•••·•-······f·•.,

• • •••••••••·-•u ....

~

..l

............ : ..

3(!4. ábra.

minimum, P* nem esik össze S-sel. Tehát a P* pontban az (1) alatti q; (x, y, z) függvényre 1 df{J 2 .Jz =-(c + z) =f: O. És a (2) függvénynek e P* pontban evidenter feltételes lokális minimuma is van (legalább a szó tágabb értelmében) az (1} feltétel mel1ett. Ennélfogva az 566. § . tétele szerint P*-hoz tartozik egy meghatározott A szám úgy, hogy a

+ + +

+

+ + y) 2 -

tP (x, y, z) = x 2 y2 z2 A { 1 vagy At < vagy a2 + b2 < c2, tehát mindkét esetben

-

1 aszerint, amint a2

+ b2 >

c"'

Af> 1. Ennélfogva (8) és (9) alapján

l (x:b Y2' Z2) < f (xu Yu Zt)· Eszerint a A. . A2 gyöknek megfelelő (x2, y.b z2) helyen lesz a (2) függvény az (1) feltétel mellett a lehetó legkis_ebb: Mivel (7)-ból 2 (a2 + b2 )Ya . 2

lévén (21)-re tekintettel Ilk a rp (x, y) j D (x, y) j függvény alsó hatát·a N,,-han eb ból pedig egy konvergens rész-sorozat: q~,

q;, ... , q~, ... , amelyben q~--+ q.

Akkor mindenesetre rp (q~) j D (q~)

és ~ l D (x, y)

l

1--+ Ilk

(24)

folytonassága következtében m" j D (q~)

1--+ ~ l D (q) l·

(25)

De mk a (21) függvény alsó határa lévén N"-ban, bizonyára

m" l D (q~j l ~ rp (q~) j D (q~) j, tehát (24) és (25)-ból folyólag (26} m" l D (q) l ~ flk· Mármost (23) és (26)-ból BoLZANO tétele szerint (72. §} következik (20). Az j D (x, y) l folytonassága következtében N~;-ban van olyan ($ft, 17Í,.), hely, amelyre (514. § (7*))

ff j D (x, y) [ dxdy =t" l D (,í., 11ÍJ j. (Nk)

Tehát (18)-ra tekintettel az ff felosztásnak megfelelőleg az alsóösszeg s (F) = I: mk l D Wu 7JÍ.) l tk.

f (u, v)-re

vonatkozó

(k)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

426

Viszont a q; (x, y) l D (x, y) l függvényre vonatkozó F-nek megfelelő alsóösszeg (20) alapj án (27) s (F) = .E l-lk tk= .Em~; l D(~~" 'YJ~ O) (1) gömb ama darab j ának felszíne, amely!lt belőle a x2 y2 (2) z= 2 a + 2 b (O< 2 a< c, O< 2 b< c}

+ .+

elliptilms paraboloid kivág (352. ábra). Minthogy a feltevés szerint 2 ac< c2 , valamint 2 be< c2 , a z= c sík a _(2) paraboioidot oly ellipszisben metszi, amely a gömbön belül van, tehát a gömb és paraboloid g metszési görbéje a -felső félgömbre esik. Az OXY síkon való vetületének egyenie-te -(U és (2)-ből x2

+ y2 + ( -2x2a + 2_·y2.-b - c ) 2== c2

vagy x2

-

x2 + y2 + ( -2a + 2b -y2 ) 2-. c (x2 :_ + 11~b2 ) _= a

O.

Ez az x =

Va u,

Y = Jfli-u

(3)

transformatioval az a u2

+ b v 2 + _:_41 (u2 + v 2) 2 - c (u 2 + v 2) = O

egyenlet-be megy át, amely viszont az r, w polárkoordinátákat bevezető u = r cos w, v = r sin w helyettesítéssei az r 2 · 4 (c- a cos 2 w- b sin 2 w)

www.interkonyv.hu

{4)

(5)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

440

alakhan írható, ha az r 2 =l= O tényezővel végigosztunk. A g görbe vetületével körwzárt tartomány a polárkoordinátákban (5) egyenletű görbével körülzárt tartománynak felel meg, amelyben fix ro mellett a rádiuszvektor O-tól a 2 Yc- _a cos 2 ro- b sin2 -ro értékig, ro pedig O-tól2.n-ig változik (353. ábra). Miután a felső félgömb egyenlete

z

c + Vc-,2,---x-,:2--y--=-2'

=

l

honnan

az - = ·ax az Jy

x . -·----·-····- -- . ' Vc2-x2 _ y2

-

y

-V c2- x2 ~ y2

=

v.

y

x tehát

1

352. ábra.

353. ábra.

2 (Jz) z= 1 x2 + yz = + (az) ax + Jy + c2-x2-y2

c2-x2-y2

c2

'

a keresett felszin az 575. § (17) képlete ért_elmében

S=

ff V c dx dy JJ cz-xz-yz

(Tx,y)

ahol T,. 11 a g görbe vetületével körülzárt tartomány. A (3) és (4)-ből összetett x= Va r cos ro, y ="Vb r sin ro IVORY-féle transformatio alkalmazásával (537. § (1)) innen

s=rr JJ Vcs- r

c 2

(a cos 2 ro

-

+b sin2 ro)

Vabrdrdw,

(Tr, m)

ami a mondottak alapján kétszeres integrál aJakjában 2"' 2

Yc-aeos• w-bsin• w

J(J V

S = c Vab o

www.interkonyv.hu

o

c2 ---:ra (a -

co~ ro + b sin2 ro)

dr) dro.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

441 belső

·integrál a t = c2 - r 2 (a cos 2 w + b sin 2 ro), dt = - 2r (a cos 2 w +b sin2 ro) dr helyettesítéssei A

2

Vc-a eos• ro -b sin' ro

J Vc o

2 -

=

r (a cos: w+ b sin 2

a 0082

J

[c-2 (a eos• oo +b sin' oo)]'

1 w +b sin2 w

2

w) dr=-

dt 2(acos 2 w+bsin 2 ro}.Vt-

c•

{c- (c- 2 (a cos 2 w

+ b sin 2 w))} =2,

tehát végeredményben a keresett felszín

s=

4n c VOJj. 579. §. Megjegyzendő, hogy a felszínt nem definiálhatjuk az ívhosszúság analógiájára úgy, mint a felületdarabba beírt háromszöglapú nyílt poliéder felszínének O-hoz tartó maximális él mellett vett határértékét. E definíció szerint u. i. már egész egyszerű esetben sem volna a sima felületdarabnak meghatározott véges felszíne. Ezt mutatja H. A. ScHWARZ alábbi híres példája. Tekintsük az x = r cos u, y = r s1n u, z = v O ~ u ~ n, O ~ v ~ h fél-hengerpalástot, amely nyilván sima felületdarab (575. §). Vegyük ennek (az n és v pozitív egész számok megválasztása után) egyrészt azokat a p pontjait, amelyek az ~n

U=-,

n

v

= kh

(i = O, 1, ... , n; k

v

= O, 1, , .. , 1•),

másrészt azokat a Q pontjait, amelyek az (2 i - 1} n (2 k - 1) h u= • v = · 2v (i= 1, 2, ... , n; k 2n

=

1, 2, ... ,~·)

parameterértékeknek felelnek meg. Képezzük ezekből, mint szögpontokból a p!k> p Q p\k-D p~k-1> Q(('J (1) 1-l l ' ' •-l 1 l (i= 1, 2, ... , n; k = 1, 2, ... , v), valamint a p Q Q\kJ (2) \ 'l 'lTl 1

'

•+ll

(i= 1, 2, ... , n -1; k = 1, 2, ... , v), továbbá a p P

valahányszor. l z l > K. A folytonosság definíciója is (v. ö. 50. §) komplexben ugyanaz, mint a valósban: az f (z) függvényt értelmezési tartományának valamely a helyén akkor mondjuk folytorwsnak, ha !imf (z)=

f (a).

Az összeg, szorzat és hányados folytonosaága (299. §) alapján nyilvánvaló, hogy ha lim f (z)= A, lim fP (z) = B z=a

z-a

véges határértékek, akkor

lim U (z)" + fP (z)] = A z-a

www.interkonyv.hu

+ B,

lim/ (z) fP (z)= AB

(1)

z-a

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

és B ::j= O eselén lim

f (z)=

A.

B

z-a ({J (z)

(2)

Az (1) alatti relációk teljes indukcióval kiterjeszthetők akárhány tag, ill. tényező esetére. Ezekből következik, hogy ha / 1 (z), / 2 (z), ... , ln (z) az a helyen folytonos fiiggvények, akkor ott az / 1 (z) + / 2 (z) + ... +/,.(z) összeg és az / 1(z) / 2(z) ... fn(z) szorzat is folytonos. S (2) folyománya, hogy ha f (z) és q; (z) az a helyen folytonosak és q; (a) =l= O, akkor az f (z) J q; (z) hányados is folytonos ugyanezen helyen. Nyilvánvaló, hogy (1) és (2) a oo helyen vett véges határértékekre is érvényesek. Ha j (z) az a hely környezetében, azaz bizonyos l z - a l O

x

o

x 358. ábra.

parahoJán mozog, mégpedig y > O esetén növekedő x mellett átfut ezen a 358. ábrán jelzett irányban. E parabola fókusza az Q kezdőpont, parametere 2 y 2• Ha y helyett a -y állandót vesszük, növekedő x mellett w ugyanezen a parabolán fut át ellenkező irányban. A w-sík minden pontján, amely nem esik össze Q-val vagy a pozitív QU tengely valamely ponLjával, egy és csak egy ilyen parabola megy át, és mindegyik meghatározott y = const. > O egyenesnek felel meg, mert y 2 a O < y < + oo intervallumban minden pozitív értéket felvesz egyszer és csak egyszer. Midőn z az y = O valós tengelyen fut végig pozitív irányban, a megfelelő w pont a w-sík pozitív valós tengelyét írja le az Q kezdópontig s innen vissza. Látjuk, a z2 függvény a valós tengely feletti y > O félsíkon egyrétű, az (1) megfeleltetés e félsíkot az Q kezdőpontból a pozitív valós tengely ment.én felhasított w-síkba. viszi át. Az y < O félsík ugyancsak egyrétűen az ugyanígy felhasított w-síkba

megy át, ami az elóbbiből már következikis annak alapján, hogy z-hez és -z-hez. ugyanaz a w· tartozik. Ugyancsak (4)-ből folyólag állandó x =!= O mellett w a v 2 =4 x 2 (x 2 _;u)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

(t 51

parabelán mozog, mégpedig az x = const., y

> O félegyenest z-vel a

növekedő

y-ok irányában futva be, w e parabolának az Q U tengely feletti vagy az alatti

részét írja le a· 359. ábrán jelzett irányban aszerint, amint x > O vagy x < O. E parabola fókusza ismét !J, parametere 2 x2• Midőn z az x= O képzetes tengely felső felét futja át pozitiv irányban, a megfelelő w pont a w-sik valós tengelyének

y

v

z-sik

l

u

x

o

-x

359. abra.

negatív részét· ír j a Je Q-tól távolodva. Az x= const., y>O félegyeneseknek meg felelő eme görbesereg az y = const. egyeneseknek megfelelő előbbi sereget derékszögben metszi, megegyezésben a megelőző § tételével. · Különben a z 2 függvény a képzetes tengely jobboldalán levő félsikhan ugyancsak egyrétű, az (1) megfeleltt:tés ezt az Q kezdőpontból-a negativ valós tengely mentén /elhasított w-síkba viszi át. Ez a mondottak mellett folyománya annak is, hogy a

z=

e (cos

{}

+ i sin #),

-

~ < {} < ~

Y.

u

360. ábra. 29•- 5/8

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

~52

trigonometrikus alakból (293. § (3)) z2 =

e2 (cos 2{} + i

sin 2 t?), -n




.,

w-sík

l-Sik

,.

1 esetén a l z l = r

u

x

361 a. ábra.

v

y~

l

l-Sik

w-sík

u

361 b. ábra.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

kör pozitív értelmű befutásának az (5) ellipszis pozitív értelemben való befutása felel meg, viszont r < 1 esetén a negatív értelmű befutás (361. ábra). Az r és

!

sugarú körökhöz ugyanaz az ellipszis tartozik, de

ellenkezőkép befutva A w·sik .

minden pontján, amely nem esik a -1 pontot az 1 ponttal összekötő egyenes· darabra, egy és csak egy ilyen .ellipszis megy át és mindegyik meghatározott

l z l= r>

1 körnek felel meg. Ugyanis az

r+ !függvény az 1

r

O.

z a l z l = 1 egységkört írj a le pozitív irányban az f pontból kiindulva, akkor w az DU valós tengelyen. halad az 1 ponttól -1·ig és vissza, miután ez

Midőn

esetben (2)- ből x 2 · + y 2 = 1 folytán.!.= x-i y s így (1) alatt w =x.

z

látjuk, hogy az (1) függvény a l z l> 1 körkülsőbenegyrétű se megfeleltetés ezt a körkülsőt a valós tengely mentén az 1 ponttól a -1 pontig felhasított w-síkba viszi át. A l z l < 1 körbelső az ugyanígy felhasított w-síkb.a megy át.ugyancsak egyrétűen, de a z= o pontnak nem felel meg végesben fekvő pont, hanem a w = oc, azaz z - O esetén w__. oo. Ez különben az elóbbiből Ezekből'

már következik, minthogy (1) alapján z-hez és! -hez ugyanaz a w érték tar-

z

to zik. Ugyancsak (4)-bőlfolyólagállandó·Dmellett (ha D$ O,

~,

n, 3;

mod.

vagyis midőn z ·valamely O-ból kiinduló s nem a koordináta-tengelyekbe egyenest fut át a O pontot hozzá nem számítva, w az

eső

2~). fél-

u2 IJ2 -·-~--=1 2 -8 2 D

cos

sin

hiperbolán mozog. Ennek fókuszai cos2 D + sin2 D = .1 folytán szintén az 1 és -1 pontok. A {), -D, n + D, n - { ) arcusokhoz ugyanaz a hiperbola tartozik. A megfelelő félegyeneseknek a l z l> 1 körkülsőbe eső részei az (1) megfeleltetésnél a 362. ábrán ugyanúgy színezett hipérbola-részekbe mennek át, a befutási értelmet nyilak jelzik. Ez következik abból, hogy ha· r > 1 növekedik, akkor (4) alatt

7~+.!. és

.!. a pozitív számokon át növekednek s + oo-hez tartar nak, midőnr- + oo. Ha .P= O vagy D= n, azaz sin D= O, akkor w a v= O 3:n: , azaz cos D = o esetén ped"1g az u = o va lós tengelyen, {} 2:n; vagy D 2

r

r-

=

=

képzetes tengelyen n1arad. A l z l > 1 körkülsőbe eső tengelyrészeknek az ugyanúgy szinezett tengelyrészek felelnek meg, a jelzett értelemben befutva. A hiperbola-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

t. 55

.részek és az utóbbi tengelyrészek az 1 és - 1 fókuszú fenti eliipsziseket derékszögben metszik, mint az O középpontú körök az O-ból kiinduló félegyenesek részeit a l z l > 1 körkülsőben, megfelelően az 581. § tételének. 584. §. Tárgyalásunkhan alapvető fontosságú annak megállapítása, hogy ha a z = x + i y komplex változó (z) függvénye normálalakban t (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y), (1) .akkor micsoda kirovást jelent az u (x, y) és v (x, y) kétváltozós függvényekre az f (x + i y) differenciálhatósága valamely x + i y helyen. Az x + i y helyről áttérve egy más (x + h) + i (y + k) helyre, az (1) függvény megváltozása nyilván

t

L1

f (x

+ i y)

= L1

ll

+ i L1 v

(2)

.ahol

Ll ll = u (x + h, y + k)- u (x, y), L1 v = v (x + h, y + k) - v (x, y). Ha az x + i y helyen vim differenciálhányados és ez A + i B, akkor ez azt jelenti, hogy a (2) alatti függvény-növekménynek az x+ i y szenvedett h+ ik Yáltozásához való viszonya Ll

hll+ + ii kLl v

--+

A

+ l. B ,

'd •

m1 . on

h

+ L. k• --+ O.

Vagyis ekkor L1 u.+ i L1 v h+ ik

ahol a

+ i (3 -~ O,

midőn

=

A

+ ~.B + ex + .p,R

(3)

L

+

h i k--+ O, azaz lim a = O, lim (3 = O.

h=O, k-O

(4)

h=O, k=O

(3) így írható: Ll ll+ i Ll v= A h+ a h - Bk- (3 k +i (Ak+ ak+ B h+ (3 h),

tehát

L1 ll = A h - B k + a h - (3 k, Ll v = B h + A k + (3 h + a k. Ez (4)-re tekintettel azt fejezi ki, hogy u és v az (x, y) helyen differenciálható kétváltozós függvények (541. §), mégpedig itt ()U

()V

Jx

;;y

-=A=-,

()U

()V

-=-B=--·

Jy

Jx

(5)

Megmutatjuk most, hogy fordítva is, ha u és v az (x, y) helyen differenciálható két_változós függvények és eleget tesznek az (5) alatti feltételeknek, akkor .az (1) függvény az x + i y helyen differenciálható, nevezetesen cleriváltja itt A+ iB. A feltevés szerint Ll u = A h - Bk + c1 h + e2 k, L1 v = B h + A k + c3 h + c4 k, ahol

(6)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

456

midón egyidejűleg h~ O és k ~O. Ennélfogva az (1) függvény különbségi hányadosa Llu+iLID h k h+ ik = A + i B+ h+ ik (e1 + i e3 ) +h+ ik (e 2 +i e~)- A + i B midón h

+ i k ~ O,

miután

lh~ l~ lh: 1•

ik

és (6)-ból folyólag ekkor

+ i e3

l~ 1 ~

ik

O, e2 + i e4 -~ O. Ezek szerint az (1) függvény valamely x+ i y helyen akkor és csak akkor differenciálható, ha u (x, y) és v (x, y) az (x, y) helyen ditferenciálható olyan kétváltozós függvények, amelyek itt eleget tesznek a au av au av (7) -ay' - = -axax= ay · e1

---T

feltéte{eknek. Ez utóbbiak az ú. n. CAUCHY-RIEMANN-/éle relációk. Amennyiben valamely nyílt és összefüggő ·tartományban fennállnak, CAUCHY-RIEMANN-/éle· parciális differenciálegyenletekről beszélünk. 1 A fentebbiek értelmében az (1) függvény cleriváltja - amennyiben létezik-

· ) =J - + lJ - =J- - LJ- · t' (x+ty ax ax ay ay U

•

D

D

.

U

{8)

Példakép tekintsük a

w = (x - i y) 2 = x2 - y 2 -

2x y i

függvényt. Tüstént látható, miszerint ez a Ohelyen differenciálható és cleriváltja O. Ugyanis a O helyről áttérve valamely más x + i y helyre, a különbségi hányados. (x - i y) 2 x - iy . x + i y = x + i y (x - t y) s ez x+ i y

--+

O esetén valóban O-hoz tart, miután ez esetben egyútta]

x-iy--+Oés

l

l

X-ty x+iy =1.

De a O-tól különbözó helyeken már nem differenciálható ez a függvény, mert most u = x2 -

y 2,

D

= -

2x y

s így

au ax

av ' ay

av ' ' ax tehát a (7) alatti feltételek nem teljesülnek, ha x + i y =l= 0. -=2x - = - 2 x

au ay

-=~2y

-=-2y

1 V. ö. B. RIEMANN: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funclionen einer verlinderlichen complexen Grösse, Inaugural Dissertation, Göttingen 1851, Gesammelte Matl:)ematische Werke, Leipzig 1876, S. 6; továbbá A. L. CAucHY: Mémoire sur les intégrales définies, Oeuvres l, p. 319 és ugyanattól: Exercices d'analyse et de physique mathématique t. 4, p. 345.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

457

Valamely f (z) függvényről azt mondjuk, hogy ) y' (t)] dt. (L)

a

Ennélfogva (4) alapján

J j (z) dz= JfJ [u(x (t), y (t))+ i v (x (t), y (t))J[x' (t)+ i y' (t)] dt, (L)

(6)

Q

amit (2) és {5)-re tekintettel a rövidebb •

j l (L)

{J

(z) dz =

Jj (z (t)) z' (t) dt

{6*)

"

alakban irhatunk. Ez a 'komplex változós függvény integrálja kiszámításának szabálya, amely megfelel a helyettesítés elvének (148. §). Minthogy pl. egy az O kezdőpont mint · középpont körül e sugárral· leirt

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

479 előállítása

K 0 kör parameteres

z=

e e'. t ,

O ~ t ~ 2 :n:,

a (6*) szabály alkalmazásával e pozitív értelemben körüljárt K 0 körre

J

Je

J

O

O

2~

2~

1 tee . it dt=t. --. e•t

dzz __

(K,)

vagyis

J

_1_. 2 nt

dt=2ni

dz= 1. z

(7}

(K,)

Hasonlókép, valamely a középpontú Ka körre vonatkozólag (pozitív körüljárási értelem mellett) 1 dz _ 1 (7*) 2:n:i

J z=a-

.

(K,.)

Számitsuk ki most a pozitív értelemben körüljárt O .középpontú K0 körre vonatkozólag az ·• dz · z" (n= 2, 3, 4, ... )

J

(K,)

integrált. Ismét (6*)-ot alkalmazva

J

Je 2n

z

(KJ

2n

_1_. i! d _ ,. •,. t L e e t -

dz_ •• -

e

_j__ ,._ 1

e

O

j' e-'

(1; -z) (1;- a)

Ennélfogva

J

q> (z)- q, (a)- k z-a

1
"- 1

) (,.

d"

~.

dl;=

9' (1;) (1;-a)1>+ 1

(Ll

=J 9' (1;) [(!; -a)k-1 +(C -a)"-2(1; -z)+·~. +CC -;:_a)( l; -z)k-2+ (l; -z)"-1 ~

~-~~-~

k

-

=j

(1;- a)"+l

] d?;=

O megadása után eléggé ·nagy n-re

l ql'> (z) -NJ (z) l < e az L-en belül felvett zárt tartomány minden z helyén. Eszerint (2) is egyenletesen áll fenn minden ilyen zárt rész-tartományban. Qu. e. d. Függvénysorra átfogalmazva, a tétel a következő: H a valamely függvénysor tagjai a rektifikálható L egyszerű zárt görbén belül és azon magán reguláris függvények s a sor L-en egyenletesen konvergens, akkor e függvénysor L-en belül is minden zárt résztartományban egyenletesen koni.Jergens, összege L {Jelsejében reguláris, akárhányadik deriváZtja tagonkénti deriválással képezhető és az így nyert derivált-sor L belsejének minden uírt részében szintén egyenletesen konvergens. E tételt kiegészíthetjük még azzal, hogy ka az előbbi felt(!vésen kívül a ·lJ a,.(z) függvénysor mellett .E l a,. (z) l is egyenletesen konvergens L~en, akkor a lJ l a\~l(z) l sorok (k = 0, 1, 2, ... ) az L belsejének minden zárt részében ugyancsak egyenletesen konvergensek. Ezt következőkép 379. ábra. láthatjuk be. Először is a k-adik deriváltak abszolút értékei sorának maradékösszege -v+r

-v+r

~ l aOLl(z) l - ?:.!_ ~ i..J n 2 n i..J n-v+l

n-v+l

lJ .

a,. (C) (C- z)'(a)= n!

_1_. 2nt

Jl

_1_J t 2ni (C-at+

(C) dC

C-a

(C)

1

d,. .,.

(n = 1, 2, 3, ... ),

.e (4) sorfejtés éppen az (1) alatti, qu. e. d.

Ha az a helyen reguláris

f (a) =f' (a) =

l (z)

... =

függvényre

j (a) =l= O,

akkor azt mondjuk, hogy a e fuggvény n-szeres O-helye vagy n-szeres gyöke (v. ö. 112. §). Ez a fenti tétel alapján másszóval azt jelenti, hogy az a hely környezetében· j (z) = (z--' a)" {c,. + cn+1 (z- a) + ...}, c,. =l= O

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

510

vagyis

f (z)

= (z- a)"

.t\ z (1) LAuRENT-sorban

L ~"a)·•· (z

az ú. n. főrész. E fórészt illetóleg há-

rom eset lehetséges: 1o minden negatív indexű c_,. = O, 2° bizonyos n = 11 1 > 1 indextól kezdve c_,. = O, de c_v =!= O, 3o végtelen sok c_,. =!= O. Az 1o esetben a helyen vett függvényértéknek az f (a) = c0 értéket véve, a körön belül

+

+OC>

!: c,. (z -

j (z} =

a)",

n-0

tehát ekkor j (z) az a helyen reguláris. A 2° esetben

--) + L c,. (z-a)"+-z-a + -(z-a +oo

l (z) =

c_ 1

c_2

11

• • •

+

(.

c--v

z-a)"

(c_v

=!= O).

Ekkor azt mondjuk, hogy az a hely az l (z) függvénynek v-edren;dü pólusa. Minthogy z--+ a estén a fórész c_J (z-

ar-l + c_2 (z- at-ll + ... + c_., --+ 00 (z- a}"

. viszont +oo

~c,.

n-o

(z-a)"--+ c0

(lévén. e· hatványsor az a helyen folytonos (602. §)), azért rnost lim l (z) = oo. z-a

A pólus v rendszáma abban jut kifejezésre, hogy lim (z- a)" j (z) = c_v =!= O, z-a kitevőnél

a határérték O, kisebbnél viszont oo. A pólust máskép nemlényeges- isoláZt szinguláris helynek nevezzük. A 3o esetben azt mondjuk, hogy a az j (z) függvénynek lényeges isoláZt szinguláris helye. Bebizonyítjuk, miszerint ez esetben bármely w komplex számhoz található olyan z11 z2 , ••• , z"., ... sorozat, hogy nagyobb

és

(3) (4)

A sorozal zígy is választható, hogy j (z..)--+ oo,

(CASORATI~WEIERSTRASS-tétel. 1 )

1 V. ö. K. WEIERSTRAss: ZurTheoriedereíndeutigen analytischen Functionen, AbbandInngen der Kö.niglicnen Akaderilia der Wissenschaften 1876, Mathematische .Werke II, p.·f21i.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

520

. Először az utóbbi tulajdonságot mutatjuk ki, amely pólus esetében Is érvényes. Legyen pl. c_l< =1= O azaz (2}-re tekintettel

c_~c

.

ft (C) (C- a)lc-l dC =l= o,

. -2 1 . :n:t

(Kp

ahol K". valamely a középpontú

e< r

sugarú kör. Innen (591. § 5°)

l c_" l ~ 21:n: 2 ne max l l C) l elr.-1 It-al- Q

azaz max 1;-a

-Q

l f (C) l ~ l c_"l< e

'

minélfógva

l f (C) 1-+ + oo,

max It-aJ-

midőn

e-+ 0.

Q

. Ha tehát valamely e1 , e2, ••• , e,., ... sorozatot választván, z,. az a hely az a középpontú e,. sugarú kör kerületén, ahol l/ (C) l e kerületen a legnagyobb (73. §), akkor valóban z,.-+ a (z,. =l= a) és f (zn)- oo. Mármost a (3) és (4) alatt kifejezett tulajdonságot következőkép bizonyíthatjuk be. Ha a-hoz akármilyen közel van olyan z =f: a hely, amelyen 1 (z) = w, akkor az állítás evidens. Tegyük fel, hogy az a-hoz elég közeli z =f: a helyekre l (z) =f: w. Akkor az a hely LAURENT-féle hely az f (z).=.._ w függvényre nézve is, mert ez a szóbanforgó helyeken szintén differenciálható. E függvény azonben nem lehet reguláris az a helyen. Ekkor ugyanis (miután nem azonosan zérus)

l (z).:__ w= (z- af' {et.., +

et,.+ 1

(z- a)

hatványsor alakjában volna írható (608. §) és etv

+ "v+l . (z1_

)

a

+ .. . . = Po + fJI (z -

+ ...}

=f: O)

(CGv

etv

=f: O folytán egyben

a)

+ . . . (Po ..!. =f: o) o::,. a

hatványsorba fejtés állana fenn az a hely szóbanforgó környezetében s így áz következnék, hogy

f (z)- w= (z- a)-" {Po+ {J1 (z- a)+ ...} vagyis

f (z)= Ez pedig v

www.interkonyv.hu

w+ >

Po

(z- a) ..

+

pl .-1

(z-a)'~'

+ ... + P.. + Pv+l (z- a) + ....

O esetén azt jelentené, hogy a az j (z) függvénynek v-edrendű

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

621

pólusa, v= O esetén pedig azt, hogy

f (z) az a helyen reguláris, mindenkép

ellentétben a feltevéssel. (Hasonlókép következik, hogy a az j nek pólusa sem lehet.) Az előbbiek szerint tehát a zl> z2, úgy választható, hogy

(z)~ w függvény-

•••

sorozat (3)-nak

megfelelőleg

1

-,1:-:---o-----+ oo. (z,.)- w De ekkor j (z,.) -

w

----l>

O

azaz (4) fennáll. A pólusokat és lényeges szinguláris helyeket közös néven isoláZt szinguláris helyeknek nevezzük. A mondottakból következik, hogy ha az j (z) függvénynek az a LAURENTféle helyen véges határértéke van, akkor ezt véve e helyhez tartozó lüggvényértéknek, a függvény itt reguláris. Ekkor t. i. az a hely nem pólus és nem is lényeges isolált szinguláris hely, vagyis az 1° esettel állunk szemben. H a pedig az l (z) függvénynek LAURENT-/éle a helyéhez található oly pozitív egész v kitevő, hogy (z- a)v l (z) e helyen O-tól különböző véges határértékkel bír, akkor az a hely v-edrendű pólusa j (z)-nek. Ez esethen u. i. nyilván 1 /(z) = ( )v (z- a) v t (z)--+ oo. midőn z--+ a, · z-a tehát z= a nem regularitási hely és nem is lényeges szinguláris hely, szóval pólus, amelynek rendszáma éppen a v kitevő. A pólusok felismerését illetőleg fontos megjegyeznünk, hogy ha ep (z) az a helyen reguláris függvény és ep (a) =f= O míg az f (z) függvénynek a v-edrendű pólusa, akkor a ep (z) j (z) szorzatnak itt ugyancsak v-edrendű pólnsa van. Ugyanis a feltevés szerint lim f (z) (z- a)v =c-. 9;: O,

tehát

z-a

lim ep (z) = ep (a) =l= O, z-a

lim (z- a)v ep (z) t (z) =ep (a) c_" =f= O.

z-a

Másik gyakran alkalmazott egyszerű tétel, hogy ha g (z) és h (z) az a helyen regulárisfüggvényekés g (a) =f= O, míg h (z)-nek az a hely v-szörös gy.öke, akkor a g (z)/h (z) hányadosnak ittv-edrendű pólusa van. Ekkor u. i. az a hely környezetében (608. §) h (z} = (z- a)"' r (z),

ahol

y (z)

y (a)

*o

szintén reguláris függvény az a helyen, tehát g (z) -nek a mindenh (z)

esetre LAURENT-féle helye és (z-a)"'g(z) = g(z)--g(a)=f=O h (z) y (z) y(a) '

www.interkonyv.hu

ha z--+ a.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

522

z Például a(/ _ 1 függvénynek a z= 2 k n i (k = elsőrendű

pólusai, miután az ez- 1

nevezőnek

±

1,

+ 2,

... ) helyek

egyszeres gyökei (585 §).

Lényeges isolált szinguláris helye pl. a sin 1 1 z függvénynek a z = 1 hely, miután ehhez tartozó LAURENT-sora {603. § (3)) o

sln

1

1

1 - z= - z - 1

1

1

+ 3T (z- 1)3

1. 1 --5 l (Z- 1) 5

+· · ·

614. §. Az egész számsíkon konvergens hatványsarok (vagyis a mindenütt differenciálható függvények (602., 608. §)) az ú. n. egész függvények. Ha valamely egész függvénynek véges szám ú kivétellel minden együtthatój a O, akkor racionális egész függvénnyel állunk szemben, ellenkező esetben, mídőn végtelen sok O-tól különbözö együttható van, transzcendens egész függvényről beszélünk. Valamely g (z) egész függvénynek a oo-ben való viselkedése alatt a

g(~)

függvény O helyen való viselkedését értjük. E megállapodás értelmében

á oo

a g (z) egész függvénynek regularitási helye, v-edrendű pólusa vagy lényeges

isolált szinguláris helye aszerint, hogy a Omilyen helye a

g(}) f üggvénynek.

( Külö-

ben hasonló a megáiJapodás általában eléggé nagy abszolút értékű z értékekre értelmezett függvénynél.) Ennélfogva pontosan v ~ 1-edfokú racionális egész függvénynek a oo hely v-edrendű pólusa, mert ha g

(z)

=

akkor

c0

+ c1 z + ... + c.., z" (v

c (1) ... z =co+--+ z

g-

1

~

1, c.., =f= O)

c z

+~·

0-adfokú racionális egész függvény, azaz valamely konstans a végtelenben reguláris. Ezzel szemben transzcendens egész függvénynek a oo lényeges isolált szinguláris helye, mert. ha a mindenütt konvergens

+ ...

+ ...

y (z) = c0 + c1 z + c" zn hatványsorban végtelen sok O-tól különbözú együttható szerepel, akkor a y

(_!_) = Co + cl + ... + c: + ... z z z

LAURENT-sorban a főrész végtelen sok O-tól különbözö együtthatójú tagot tartalmaz. A megelőző §-ban bebizonyítottakból következik, hogy ha valamely egész függvény nem állandó, akkor nem korlátos. (LwuviLLE tétele. 1 ) Ugyanis ez esetben l V. ö. *No te de M. A. Cauchy aux observations présentées id' Académie par M. Liouvillc., Comptes Rendus de l'Académie des Sciences t. 32 (1851), p.Lt52. Ezt megelőzte azonban A. CAUCHY: Mémoire sur les fonction·scompléinentaires, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences·t. 19 {1844), p. 1377, 2e Théoréme.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

523

a oo hely az előbbiek szerint vagy pólusa, vagy lényeges isolált szingulárís helye a függvénynek Következik továbbá, miszerint ha y (z) transzcendens egész függvény, akkor az m komplex szám is az e, R pozitív számok bármely választásánál van olyan z* hely, hogy

l y (z*) -

w

J




R.

Vagyis transzcendens egész függvény akármil y en nagy sugarú O középpontú körön kívül, akármely komplex számnak akármilyen közelségébe férkőzik. Ez a CASORATI-WEIERSTRASS-tétel transzcendens egész függvény esetében. 615.§. Az algebra alaptétele (300.§) az imént talált LIOUVILLE-tétel alapján a következőképpen bizonyítható be. Ha a g(z) legalább elsőfokú racionális egész függvénynek nem volna O-helye, akkor az 1/g (z) függvény mindenütt differenciálható, azaz egész függvény volna. De a oo hely a megelőző § szerint a g (z) függvénynek pólusa lévén, g (z) -+ oo midőn .z -+ oo, tehát az R > O számot eJéggé nagyra választva,

l g (z) l >

1 ha / z

l>

R s így ekkor

l g ~z) l
If

(a)j"

Ezek értelmében nyílt és összefüggő tartományban valamely nem állandó eguláris függvény abszolút értéke legnagyobb értéket sehol nem vehet fe l s amely helyen nem zérus, ott legkisebb-értékét sem. E tétel a maximum elve nevet .viseli. Ezt WEIERSTRASS tételével egybevetve (73.§), látjuk, hogy ha l (z) valamely nyílt és összefüggő korlátos tartományban reguláris és annak határán még folytonos, akkor abszolút értékének a tartomány határára vonatkozó maximumát M-mel jelölve, a tartomány belsejében If (z) l< M hacsak j (z) nem állandó. (A határpontok zárt tartományt alkotr.ak ('66. §), amely a feltevésből folyólag ugyancsak korY. látos.) 620. §. Alkalmazásul megmutatjuk, hogy ha P 1 , P 2 , ••• , P n valamely R sugarú körön belül fekvő 'rögzített pontok,· P pedig a kerület változó pontja, akkor az nr==-==----== P ..P geometriai közép maximuma R-nél nagyobb, a minimuma viszont kisebb. Feltehetjük, hogy R= 1. A koordi-

VP 1P.PJ1 ...

x

nátarendszer felvétele után, az origót a középpontbahelyczvén,legyenekP1 ,P2 , ... , P.. 391. ábra. rendre a z1 , z2 , ••• , z.. komplex számokat ábrázoló pontok, P pedig a l; váJtozót ábrázoló pont. A feltevés szerint

l z, l < 1 (i = 1, 2, .... , n), Nyilvánvaló (391. ábra), mi,szerint tehát

IC-z, l= 11-=z,?; l

IC l =

t.

(i= 1,2, ... , n),

Tekintsük az

t (z)

n

=

V

(2>

(l)

(L)

Ez a híres CAUCHY-féle residuum-tétel. E tétel folyománya az 592. § (5) tételének. Ugyanis az egyes szinguláris helyek mint középpontok körül eléggé kis sugarakkal a K 1 , 1( 2 , : • • , K.., köröket vonva (394. ábra), ezek L-en belül, de egymáson kívül vannak, tehát az idézett tétel értelmében (.3} J (C) dC = l (C) dC + i (l;) dC + . . . + l (C) dC

J

J

J

(L)

(K,)

(K,)

J

( K.,.)

ha a körökön is pozitív értelemben integrálunk. S mivel (1) szerint a K,. kik középpontj ához tartozó residu um

o

1 o J t (C) dl; c~i =~ 2 nL

o·

(11

= 1, 2, ... , v)

( K")

(3)- at 2 1 . -vel végigszorozva éppen (2) :;t l

áll

elő.

Megjegyzendő abból, hogy L-en belül csak iso1á1t szinguláris helyek van394. ábra. nak, már következik;, miszerint vé'ges számú ilyen van. Mert ha végtelen sok ilyen volna, akkor ezeknek volna torlódási helyük (66.§) az L görbén belül vagy azon rajta, ez pedig ellentmondás, mivel a függvény L-en reguláris, azon helül pedig csak isolált szinguláris helye van. Az j (z) függvény a helyhez tartozó residuumát így kívánjuk jelölni: res f (z).

H a az a hely

t (z)-nek

z=a

elsőrendű

pólusa, akkor

res j (z) = lim (z- a) l (z).

(4)

Ez nyilvánvaló az achoz tartozó

f (z)

~ z-a + Co .

+ ... lévén a c0 + c1 (z- a) + ... hatványsor =

+c

1

(z- a)

LAUBENT-sorból (613. §), a:z a helyen folytonos (602. §). Ebből következik a residuum számításának másik egyszerű

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

5H

szabálya: ha tp (z) az a helyen reguláris függvény, míg az f (z) függvénynek az a hely elsőrendű

pólusa, akkor

res tp (z) f (z) = tp (a) res f (z).

(5)

z-a

z=a

Ugyanis tp (a) =l= O esetén a tp (z) f (z) szorzatnak az a helyen elsőrendű pólusa -van (613. §) és . (6) lim (z- a) q; (z) f (z) = tp (a) lim (z- a) f (z) z-a

:.

z=:a

azaz (4)-re tekintettel fennáll (5). A tp (a) = O esetben a (6) alatti határérték ú lévén, (z- a) tp (z) f (z) az a helyen eltűnő reguláris függvény (613. §), tehát .e hely környezetében (608. §) (z következőleg

=

a) ep (z) t (z)

a1 (z- a)

+ a2 (z- a) + ... 2

a z =!= a helyekre q; (z)

+

t (z) =

a1 a 2 (z - a)+ ... Ez azonban azt jelenti, hogy tp (z) f (z) reguláris az a helyen (ha itt a1-nek veszszük), tehát residuuma O s így (5) ismét érvényes.

Ugyancsak folyománya (4)-nek ez a gyakran alkalmazott egyszerű szabály: ha g (z) és h (z) az a helyen reguláris függvények és g (a) =!= O,míg h (z)-nek .az a egyszeres gyöke, akkor g(z)

g(a)

(7)

;~~ h (z) = h' (a)·

Ekkor u. i. az a hely

~~~~-nek elsőrendű pólusa (613.

§) és

g (z) g (z) g(a) . • (z- a) h (z) --: h (z)- h (a) ---+h' (a) midon

z~ a.

z-a

626. §. A residuum-tételnek számtalan alkalmazása van. Itt első alkalmazáskép bebizonyítjuk a következő nevezetes tételt: JI a f (z) az L egyszerű rektifikálható zárt görbén és azon belül egyes belső pólusok kivételével reguláris függvény s L-en magán f(z) =l= O, akkor pozitív körüljárási értelemben integrálva

ff'f m

1 2n í

(C)

dC

= N- P

(1)

(L)

.ahol N a O-helyek, P pedig a pólusok száma az L görbén belül, minden O-helyet, i~l. pólust annyinak számítva, amennyi a multiplicitása, resp. rendszáma. Bizonyítás. Csak véges számú O-hely lehet L-en belül. Ellenkező esetben

u. i. a O-helyeknek volna torlódási helyük (66. §),amely nem eshetnék L-re, mint- · hogy azon f (z) =!= O és folytonos. S így az azonossági tételből folyólag (610. §) a függvény értelmezési tartományának L-rm belül eső helyein mindenütt O volna, ami pedig ellenkezik azzal, hogy L pontjaiban folytonos és nem O. És· mind-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

542

t

egyik O-hely véges multiplicitású, mert ha egy ilyen helyen (z)-nek akárhányadik cleriváltja is eltűnnék, akkor e hely környezetében f (z)= O volna (608. §)~ ami az előbbiek szerint lehetetlen. A pólusok száma a feltevésből folyólag szintén véges (66. §). Ha a egy az L görbén belüli m-szeres O-hely vagyy-edrendű pólus, akkorennek környezetében (2) t (z) = (z- a)P qy (z), qy (V O ahol m, ha a zérus-hely p= { - Y , ha a pólus

*

és qy (z) az a helyen reguláris függvény. Innen

f'

(z) = p \z- a)P-1 ep (z)

tehát

+ (z- a)P ep' (z),

f'

(z) p qy' (z) j (z) = z -a·+ ep (z)

(3}

az a-hoz eléggé közeli z =f= a helyeken, ahol is (2} folytán ep (z) =f= O. Minthogy

cr (z) az a helyen reguláris és nem zérus, azért :~~~) is reguláris e helyen, tehát

j'(~)

(3) azt jelenti, miszerint a az

logaritmikus deriváltnak

elsőrendű

pólusa

az j (z) zérus-helyeinek multiplicitásait mn mk-val, a pólusainak rendszámait Y1-, v2 -, ••• , v8 ·Sel jelölve - a residuum-tétel értelmében p residuummal. Ennélfogva -

m 2 -,

••• ,

2

! ÍJ~,(~~)

dl;=

m1

+ m2 +. ·. + mk- v1 - v2 -

... -

v.,

(L)

. miután

~'(~~}az L-en magán és azon belül is az f (z) nevező 0- helyeitől és pólusai-

tól eltekintve reguláris. Qu. e. d. 627. §. Az algebra alaptételét (300. §) a megelőző tétel alapján ís bebizonyíthatjuk Legyen a legalább elsőfokú racionális egész függvény

g (z) = a0 z"

+a

1

z"-1

+ ... + a,..

(a0 =l= O, n ~ 1).

(1)

Az R > O sz'ám olyan nagyra választható, hogy l z l ~ R mellett l g (z) l > 1 (300:§ (1 °)). Ekkor g (z)-nek O-helye legfeljebb a O középpontú R sugarú K körön belül lehet. Az előbbi § (1) tétele szerint-minthogy g (z) mindenütt reguláris1 2n i

Jg'

(t)

g (l;) dl;

= N,

2) (

(K)

ahol N a g (z) gyökeinek száma, mindegyiket annyiszor véve, amennyi a multiplioitása. Azonban (1 )-ből

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

+ ... + ... -

ahol a:1 , a 2 ,

••• ,

l z l ,; ;:; R),

a,._I

al

+-+···+!il z z1 + Pt + ... +P:

ao z"

z

z

P1 , P2 , ••• , P.. állandók. Itt a jobboldali második reguláris ·a l w l ~ ~ zárt körben (lévén g (z) =f: O,

a"_1 valamint

tört mint w = : függvénye ha

1

na.,zn-1

g' (z) na0 z"-1 g (z) = a0 zft

tehát abban_!_ hatványai szerint haladó sorba

z

e hatványsor konvergencia-sugara

g' (z) = !!:. ( 1 g (z) z

>~

(616. §).

+ Y1 + Y + . ; .) 2

z

= !!:_

(608. §},

Következőleg ..L

ny1

z ' z2

z2

fejthető

+ ny3z + ... z

s e sor a K körön egyenletesen konvergens (600. ·§). Innen tagonkénti integrálással (600. §)

Jg' (~)d~= njd~c +

nyljdC + ny2jdt;

ez

g (t;)

(K)

l!

(K)

c;s

(K)

(K)

így (591. § (7), (8))

1

2n i

+ ...

jg'g (t;)(C) dC =

(31

n.

(K)

(2} és (3) összevetéséből látjuk, miszerint N = n, vagyis az (1} racionális egész: függvénynek pontosan n gyöke van, ha azokat multiplicitás szerint számítjuk. Ezzel az algebra alaptétele be van bizonyítva. 628. §. A cotangens függvény parciális törtekre való bontását (v. ö. 437.§) komplexben a residuum~tétel alkalmazásával a következőkép állíthatjuk elö. Legyen z =f: O, n, 2n-, •••

+

+

rögzített hely és tekintsük a

~tg C

.,-z

függvényt. Ez reguláris a z, kn (k = O,

± 1 ,.

±2, ... ) helyek kivételével, amelyek nyilván elsőrendű pólusai (613. §). A z helyen vett residuum (625. § (4)) ctg l; res-,.-·- = ctg z. (1) t~zf, -.z Mínthogy pedig (sin l;)'t=k" = cos h, tehát (l; _ k:Tr) ctg l; =

t; - z m1dón t;

~

cos l;

l; -

kn

cos h i 1 M - z cos k,;,r; -= h - z

kn, azért ct,g l;

res---

1; •l!x

www.interkonyv.hu

-+

C- z sin C- sin kn

C-

.Z -

1 krJJ -

. Z

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

544

Jelöljük Qn-ne1 azt a pozitív értelemben körüljárt O középpontú :négyzetet, amelynek oldalai párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel és oldalhossza . (2n + 1) n (395. ábra). Ha n eléggé nagy, a z hely e négyzeten belül van. E mellett a Qn-ben levő pólusok O, +n, ... ,± nn. Tehát (1) és·(2)-re tekintettel a resíduum-tétel szerint (625. § (2)}

J

1 ctg(; -2 . -,..-dC = ctg z n L ."-z

+

1

n

~

kn. - z

h--n

(Q nl

Yi

Cl" r

l"-----n x

-u

-,x

o

----na

2n

ll

(

x

-r

395. ábra. i)

így ~ ctgz=- i..l.

1

h--nkn-z

1 J--d.,. ctg C r +-. 2nL (;-z

(3)

(Qnl

Kimutatjuk, hogy (3) alatt

J

;tg ~dé; --+ O midön n --+

+ oo

(4)

O szám, hogy Q.,. kerületén

l ctg Cl< M.· A (3) alatti integrált

J

megbecsülendő,

ctg ~ dC C-z

=J

O számot úgy, hogy az a O középpontú négyzet, amelynek oldalai a koordináta-tengelyekkel párhuzamosak és oldalhossza 2 r,. tartalmazza a z helyet. Akkor, ha már (n+ ; ) n> r, (6) alapján a ·(3) alatti integrál abszolút értéke a (8) képletre tekintettel (591. § 5°)

u·

ctg

l; -

c dl;

z

l
1

(n = 1, 2, 3, ... ).

A számítás az n= O esethen is érvényes, tehát egyben nyertük, hogy "'

J

o

i -

dx 2 a cos x .

11 .:_ é'

+ a2 =

ha O < az < 1

n 2 az -'-- 1 , ha a

.

>

1

ami különhen már a 260. §-hól ismeretes. 632. §. A residuum-tétel további alkalmazásakép kiszámítjuk az +oo

J

g(z) dz h(z)

-oo

integrált, ahol g (z) fh (z) valqs együtthatós racionális törtfüggvény, amelyben a h (z) nevezőnek valós gyöke nincsen és g (z) legalább 2_.vel alacsonyabb fokú, mint h (z). Legyen g(z) a 0 zP + a 1 zP- 1 + ... +.aP (a0 ::::!= O, b0 =t= O), h(z) = b0 zq b1 zq 1 b'l

+

+ . .. +

ahol is tehát a feltevés szerint q- p

www.interkonyv.hu

~

2. Minthogy

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

553

azért van olyan c pozitív állandó, hogy

l

zq-p g(z) l< c

(2)

h( z)

hacsak l z l eléggé nagy. Rajzoljunk a O mint középpont körül e sugárral kört, amely a h (z) nevező gyökeit helsejéhen tartalmazza s amelyen (2) fennáll. Tudjuk (300. §), h (z) gyökei páronként egymás konjugáltjai; legyenek ezek közül a valós tengely fölé esők (396. ábra) ZH Zz,

•• ,,

Legyen továbbá a szóhanforgó kör

z..,.

felső

fele KQ, olyan irányítássa!, amely a

x 396. ábra.

félkör idom pozitiv szarint (625. § (2))

értelmű Q

J h(z) dz g(z)

-Q

körüljárásának felel meg. Akkor a residuum-tétel

J + (KQ)

'll

g(z) ."' g(z) h(z) dz = 2 m i.J ~~:1, ;.h(z) •

(3)

k=1

Megmutatjuk, hogy

J

g(z) h(z) dz~ O' f i l"d·on

e~

+ co.

(4)

(KQ)

Ugyanis (591. § 5°)

lf

g(z)

h( z) dz

l


J

dz

(2 n-2)!

(1+z2)" = [(n-1)!]222"

2

:n;.

-oo

A (6) képlet alkalmazása különösen egyszerű, midőn a 4_, z2, mind egyszeresek. Ekkor u. i. a 625. § (7) képlete szerint

;:;k

www.interkonyv.hu

••• ,

zv gyökök

g (z) g(zk) h (z) = h' (zk) '

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

555

tehát a g( z)

'P (z) =

(7)

h'(z)

függvény bevezetésével a {6) integrál (6*) -co

Számítsuk ki pl. az

1J +11 dz 2 +

+CO

J integrált. A z

6

+a:>

z'+1

+1

z6

z4

dz =

z6

O

+1=

-co

O egyenlet egyik gyöke i, és a hatodik egységgyökök 1

± 1'

+ i V3

+ i f3

-1

2

2

'

tehát ez egyenlet összes gyökei (297. §)

+i +V3+i, +V3-i -'

2

2

Továbbá most a (7) függvény

z4 + 1

'P (z) =

6 z5

=

z + ZSz) '

1 (1

6

tehát

~

'P (i) =

'P

( =t= V3 +

i)

(i - i )

!. (

=

=

2

~'

-

_

+V 3+ i _ ! + V3- i _ + V3 + i

2

6

-3 s így (6*) alkalmazásával

4

12

=t= V3+ 2

i) _

i

=-6

-co

Tehát a keresett integrál +CO

J

z4 +1 2:rr z&+ 1 dz= 3"

o

Számítsuk ki még az +oo

J1 + z + 2

O

www.interkonyv.hu

1J 2 1 + z2 + z' +co

dz·

dz

z4 =

-co

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

556

integrált. A

z4 + z2

egyenletból

+f

=O

· . . 2n z2 = -1+íV3 =cos 2n ~ + L sm ~, 2

3 -

3

tehát ez egyenlet gyökei (293. § (1)) cos

~

+i

sin

fi =

1

-

cos ~

4 z3

+2z

+2i V3,

3

=F

í sin ~ _ -

3

1 =F- i

2

V3.

A (7) alatti függvény a jelen esetben

1

"P (z) =

tehát "P

(cos 3n- + ..sm -3n) L

1p ( -

+í

cos •3::

sin

1

=

·

-4+ 1 + i

~3 )

'

v3

=

1

v

----"---, -3 + i 3

1

1

- 4-t+iV3- 3+iV3

s így (6*)-ot alkalmazva +a:>

Jz4 +a;+1= 2 ní(_3~iV3 + 3+~V3)

4nV3 12

=

n V3.

-co

A keresett integrál ennélfogva +co

J o

dz

z4

+ z2 + 1

n

-

2 V3.

633. §. Az imént követett módszert kiterjeszthetjük az +OO

J

j

+CI"J

g(z) h(z) cos az

dz,

g(z) . h(z) sm az dz

(1}

-co

-oo

integrálok kiszámítására is, ahol a > O s g (z) fh (z) valós együtthatós racionális törtíüggvény, amelyben a h (z) nevezőnek valós gyöke nincsen- és g (z) legalább. 2-vel alacsonyabb fokú, mint h (z). Ha u. i. KQ ismét a fenti félkört jelenti (396. ábra), a residuum-tétel értelmében Q

J

g(z) eiaz h(z)

-Q

és itt

dz

+j g(z) eiaz dz = 2 ni t· res [ g(z) eiaz], h(z) h(z)

(2)·

k-1 z-zk

(KQ)

J ~~~~

eiaZ dz ---+

.

Ű midön (! ~ + 00,

(3)J

(Ke>

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

557

ami

következőkép

látható be. A Kfl félkörön

z

tehát eíaz

+ i{3,

= "

{3 ~

= e-afJ eia«, l eiaz l = e-a{J

s így (591. § 5°)

lJ

o,

g(z) eiaz dz h(z)

l~

max

Jt(!

(KQ)

~

1

l g(z? 1.. h(z

(KQ)

Itt a jobboldali korlát - mint az előbbi §-ban láttuk - zérushoz tart, midön e-+ + oo, tehát ebből folyik (3). Ennélfogva (2) alapján

J Q

lim ll-+ oo

= 2 ni

g (z) e' az dz h(z)

E res

[g( z) eiaz] .

(4)

h(z)

h-1 z=zk

-Q

Minthogy pedig az EULER-relációra tekintettel (587. § (7)) Q

J

=J Q

g (z) eiaz dz h(z)

J (>

g(z) cos az dz h(z)

+i

g(z) sin az dz, h(z)

-o

-Q

(4) azt jelenti, míszerint +oo

J

+oo

J

g(z) cos az dz h(z)

+i

-oo

g(z) sin az dz = 2 ni h( z)

E res[ g(z) eiaz]. h(z)

(5)

11.-1 z-zk

-oo

Tehát az (1) alatti első integrál (5) jobboldalának valós, a második annak képzetes része. Például számítsuk ki az +00

integrált. Az integrandus nevezőjének a valós tengely fölé i, tehát (5)-öt alkalmazandó, ki kell számítanunk az (1

eső

egyetlen gyöke (6)

+ z2)3

függvénynek az i helyhez tartozó residuumát. A (7)

z=i+h

jelöléssei (1

+z

2) 3

=

(2ih

+ h2) 3

-

h3 (2i

(8)

+ h)3

Minthogy (603. § (1)) "h

et

www.interkonyv.hu

=

1

ih + TI -

h2 2!

+ ... ,

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

558

viszont a l h l O esetén

ahol z 1 , z 2 ,

••• ,

J. cos+ az

+oo

b2z2

1

J

too

-oo

d

z

+

. t

-oo

1

sin az d -. 1 + b2z2 .z= 2;;n 2b2 i e b ' -b-

következőleg

a

+co

J

cos az ne-il 1 b2z2 dz = -b-

+

(a> O, b> O).

-oo

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

559

634. §. Számítsuk ki most a residuum-tétel alkalmazásával az +co

J

.

logx (1

+ x2)2 dx

o

integrált. Legyen a z komplex változó trigonometrikus alakban z= e (cos{}+ i sin?})= e éli-, és tekintsük a számsíkon azt a félkör-gyűrűt (397. ábra), amelyben O ~ 1} ~ n, O < r ~ e ~ R

(1)

(2)

Y.

x 397.· ábra.

ahol

>

r< 1, R

tehát a

{ 1 1 ~ ; 2) 2

1.

Ebben

log z =log e+ í?}

a

függvény

reguláris,

függvény is ilyen a z= i hely kivételével, amely nyilván

másodrendű

pólusa. Ennélfogva a residuum-tétel értelmében (625. §) e függvénynek a szóbauforgó félkörgyűrű kerületén pozitív körüljárási értelemben vett integrálja az i helyhez tartozó residuuma 2ni-szerese. A R sugarú félkörön (1)-ból z = ReHt, tehát az ezen vett integrál (591. § (6*))

J

J z :n:

log z

(1 + z2)2

(R)

Jog R + i {} R . Ht d{} (1 +B2 e2iil')2 t e .

d _

O

Minthogy R > 1 folytán [1 + R 2 e2i-& ben evidenter kisebb, mint (141. §)

[ ;;:;;;

R 2. - 1 (294. § (5)), ez abszolút érték-

:n:

JlogR+.f}

RJogR

(R2 -1)2 R dfJ = (R2-1)2n

R

n2

+ (RZ-1)2 2

'

o ami O-hoz tart midőn R--+ oo.(45., 173. §). Tehát logz (1 + z2) 2 dz --+ O,· ha R --+- + oo.

J

(3)

(R)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

560

A r sugarú körön vett integrál

-J logr+i{} o

J

. i1l-d (1+ r2 e2i-fr)2 ne {}

Iogz d (1 + z2)2 z-

s ez r

(r)


-O,

R

-+

+ 1, akkor a (---n, n) intervallumra mint alapra állított m > log r magasságú derékszögű négyszög (398. ábra) tartalmazza a z = i Jog r pólust, '

Y.

mi ilogr ..

ilogr-Z:r

-2 .n

-;r

o

iloc r+Zn

Jr

x

2Jr

398. ábra.

ellenben nem tartalmaz szinguláris helyet, midőn r< 1. Tehát a residuum"tétel (625.§) értelmében (a négyszög kerületére vonatkozó integrált az egyes oldalakra vonatkozó integrálok összegére bontvas a függélyes oldalakon a z = n iy, resp. z =-n + iy, a felső vízszintes oldalon pedig a z = x +. i m helyettesítést . · alkalmazva)

+

m

dx

+ í j- l (n + iy) dy o

www.interkonyv.hu

-~

+J l ,.

O

(x

+ im) dx + i

J

m

l(- n

+ iy) dy = ·

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

563

l

l)_.

,

=

.

z=i log r

O, ha O
jwl,

(4)-ből folyólag \w~ (C) j


tartalm~zó

(~)tp (Ctf~o- (n~ 1 ) 1(tp'(C) 4>(C)tp(~)n-1]~~~1 > }·

n• l

Azonban 1 (n) ·1 (n-1) -; [4>( C) tp( C)"] = 1 [4>' (C) IP( c-)" + n 4>( C) tp(-C)n-.1 p' (C) J = n. t-o n. t;~o 1 (n-1) 11 (n-1) · = nl [4>' C) tp(C}"]t;~o + (n-i!) [4> (C) tp{C)n-11P'(C)J=o ,

tehát ez utóbbi sorfejtés

ami (4)-re tekinteitel épen a (3) alatti sor, qu. e. d. A z{w) inverz függvény differenciálhatósága ki lévén mutatva, a w= f(z(w)) azonossághól differenciálással i = j'(z) .z' (w),

vagyis a tett. feltételek mellett a w= f(z) függvény inverzének deriváleja z' (w) =

t' ~z),

(11)

ahol w és z egymásnak megjelelO helyek.

.

Megjegyzendő, a (3) alaui tétel aequivalens azzal, hogy ugyanazon· feltételek

nullell érvényes a (10) sorfejtés. Ugyanis e feltételek mellett (10)-ből következik (3), amint éppen láttuk s viszont (3)-hól folyik (10). Ez utóbhit következőkép láthatjuk be. A tp (z) függvény (4) alatti jelentésére tekintettel. z-wp(z) =O azonosan áll fenn aC kör belsejében, ha itt w a w= f (z) függvényt jelenti, tehát differenciálással adódik

1 - w tp' (z) =

~:

tp (z).

A feJtevés szerint ddw z =l= O, tehát az inverz függvény. deriváltja·(H) értelméhen

dz dw

www.interkonyv.hu

=

IP (z) 1-w. tp' (z)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

568

Ennek felhasználásával pedig a (3). hatványsorból w szerinti differenciálással (602. §) co tP' (z) ep (z} = ~ w"-t [tP' z (-z-)"] ... > O

s ennélfogva itt +2 ebből

> O,

ak a,._k -

ak+I o:n-k+l

> O,

következik, hogy

! P,. - ? P»+z l = < ~

-

= 1. +.

>

ll T1

al •• ,

> ··· >

+

a:,.

+

> O.

+ U n + q.,l!-1 U n+l +

(4)

ahol

1 =q,.> qn+1

> ••• >

q2n

> O,

1 FEJÉR LIPÓT : Abschatzungen für die Legendreschen und verwandle Polynome, Máthematische Zeitschrift 24 (1925), p. 289-291. 2 J. T. STrELTJ Es: Sur les polynom es de Lege n dre, Annales de la :Faculté des Sciences de · Toulouse 4 (1890), Oeuvres II, p. 241-242. '

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

574

tehát e polinom együtthatói monoton fogyó pozitív számok. Mivel pedig.

Ji

" 11-

+ u + ... + u J=

1

u"+ 1 1 _ u- ~

2 l Ji _u

ha · Jzz

J

~ 1, u =l= 1,

az ABEL-féle egyenlötlenséget (294. § (7)) e (·l,) polinomra alkalmazva, adódik

ls., (u)zl

~ Ji~ u l'

vagyis (3) valóban fennáll. írjuk mármost az előbbi § (10) képletét a P., (cos /J) =e-in·& (a:o o:,. a:Io:,.-1 e2i1} alakban. Ebből az e2 h't =z

+

jelölés mellett J. P,. (cos /J)

l = i o:o o:,.

+ o:l o:,.-1

+ av a:,._v

z+

z" + ... +

+ ... + a;n "o e2irt>:t) (5)

· · · +av-I o:,.--v+1 zv-1 + ct,. a;0

z" J.

Legyen itt 11

=

J 2n , l1a

lt n

, n paros

1 , ha n páratlan;

akkor mindkét esetben

(6) Innen

l P,. (cos

{J)

J

~

J

iXo

o: ..

+ 0:1 a:,._1 Z+ · · · + a,._1 a;n-v+l i"-1 + J

(7)

s mivel és 0(a) =O, j

>

(4)

O számhoz

2 p'

tehát r-et R-hez eléggé közel választván, egyben l

ai 12 r 2

+ 2 l a 2 /2 r4 + . . . + n l a"

j2

r 2"

> 2P

s még inkább 00

lJ n j a,. 12 r2" >

2p

n-1

állana, vagyis a (3) terület nem volna korlátos. De a 623. §-ból tudjuk, hogy a1 z

a

! z J =R 1

+ a2 z2 + . . . + a,. z" + ...

körvonaion egyenletesen szummábilis s így (4) konvergenciája maga

FEJÉR

i. h. (535. old.), p. 51,.

37 A differenciál- és integrálszámítás elemel'II -

www.interkonyv.hu

17/18

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

578

után vonja e körkerületen ugyanezen sor egyenletes konvergenciáját, amint a FEJÉn-féle konvergencia-kritérium bizonyításából (599. §) nyilvánvaló. Ezzel kimutattuk, hogy a (2) alatti hatványsor a l z l -:R körkerületen egyel).letesen konvergens. Qu. e. d.

X. Végtelen szorzatok. 641. §. Valamely

komplex tagú sorozat tagjaiból képezett u1 u2 ••• u., alakzatot - a1 ) + (a~n>- a 2 ) + ... + (a~n>- a!l) j+ 23e. Mivel pedig (ain>- a1 )

(8)

+ (% > - a + ... + (a~n>- a!l)---+ O 71

2)

minthogy (3) alapján e q tagú összeg minden tagja O-hoz tart, azért van olyan index, amelytől kezdve

P

l (a -

al)

+ (a 2 -

a 2)

+

...

+ (a q - a ) l < 3e !l

Tehát (8)-ból következik, miszerint

l A,. -

A

e

2e

l < 3 + T=

e,

ha n ~ v.

Minden pozitív e-hoz található ilyen v, ami azt mondja, hogy An---+ A

vagyis (7)-re tekintettel fennáll (5). Qu. e. d. E tétel szerint például

(:)" +

(Yf + · .. + (!f---+ e e

Ugyanis ez összeg tagjainak száma n

www.interkonyv.hu

-+

1'

+ oo és (165. §(2))

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

584

mégpedig növekedöleg, mert ezek Jogaritmusai log ( 1-~) 1 .'

2log (1-~)

n

n

2

':· ..

m.ind növekednek, lévén az y= log x görbe alulról konkáv, továbbá 1 -e 1+ e-1+-2+ e ... =1 - e l = e- 1. A tételből mármost következik a szorzatra vonatkozó megfelelő tétel: Ha a (9) Pn = (1 +ain>) (1 + aJan>) . ·. (1 + a1~). szorzatra teljesül a (2), (3) és (4) alatti feltétel, akkor

lim P n = ( 1

+ ~) (1 + a2)

• • • (

1

+ av)

(10)

•.•

Válasszuk u. i. az r indexet oly nagyra, hogy

1 1 Mr+t ~2' M.-+a ~2' ... legyen. Akkor a log* (1 + a~~\) +log* (1 + a~~2 ) + ... +log* (1 + a~~>)

(11)

összegben (ahol is log* a logaritmus föértékét jelenti) a (4) feltétel folytán a fortiori

l O szám, hogy (3) l Pn* l ~ b > O (n = 1,·2, 3, ... ). Adatván 'e >0, a CAUCHY-féle konvergencia-principium szerint (299.§) az eO > O számhoz található oly N, hogy ·

l p*•~+k -P..* l < (k =

tehát (3) alapj án P*n+k I

p,. *

e ö, ha n 1, 2, 3, ... ),

> N

-11

< h. n> N m mellett mindig l (1 + am+l) (1 am+ 2) ••• (1 +a.,) -1 l < e vagy a (2) alatti jelöléssei