A differenciál- és integrálszámítás elemei 1. [PDF]

Zitiervorschau

© Typotex Kiadó

SZÁSZ PÁL

A DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ELEMEI I.

TYPOTEX KIADÓ

200 0

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Ez a könyv a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült.

ISBN 963 9132 748

©Typotex, 2000

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mű bővített, i Iletve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozz ájárulása nélleül sem a teljes mű, sem annak ré~e semmiféle form ában (fotokópia, mikrofilm vagy más hordozó) nem sokszorosítható.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Előszó

az I. kötet 3. kiadásához

Vannak könyvek, mint a "Pólya-Szegő", a "Hardy-Wright", vagy amit az olvasó a kezében tart, a "Szász Pál", amelyekre csak a szerzők nevével hivatkazunk E legendás alapműveknél a cím megadása teljesen felesleges, mindenki tudja, hogy melyik könyvről van szó. Egy szerzőnek ennél nagyobb elismerés nem is adathatik meg: az olvasók széles tábora kerül generációkon keresztül személyes ismeretségbe a művével. A jelen könyv ezt az elismerést minden szempontból kiérdemelte. Szász Pál monumentális műve a harmincas évek elején íródott, nem sokkal azután, hogy a klasszikus analízis alapfogalmai és alapvető tételei a mai formájukban véglegesen kikristályosodtak. Ez a könyv tartalmazza mindazt, amit a "calculusról" egy mérnöknek, matematikusnak, fizikusnak vagy tanárnak tudnia kell. Azonban a cím "A differenciálszámítás és integrálszámítás elemei" nem teljesen fedi a tartalmat, ugyanis itt sokkal többről van szó, nevezetesen a könyv tartalmazza a differenciálgeometria, a valós függvénytan és a topológia elemeit is. De mi indokolja, hogy az 1951-ben megjelent 2. kiadás ötven év után változatlan formában megjelenjen? Ez a kérdés ma különösen aktuális, hiszen a számítógépek nem csak mindennapi életünket, de oktatási módszereinket és oktatásunk tartalmát is jelentősen megváltoztatják A computer-algebrai programcsomagok minimális programozási technikák elsajátítása után valóban mentesítenek bennünket bizonyos kifejezések egyszerűsítése, deriváltak ill. integrálok kiszámítása, vagy görbék megszerkesztése ill. diszkutálása alól. Nem véletlen, hogy napjainkban a "calculus reform" néven jegyzett mozgalom egyre hangosabban hallatja hangját. Azonban a számítógépek segítsége nem pótolhatja a fogalmak és alapvető tételek elsajátítását. Nem csalc arról van szó, hogy pl. egy háromszor iterált logaritmus függvény menete a fellépő számok kozmikus mérete miatt valószínűleg soha nem lesz a gépen megfigyelhető, hanem arról, hogy a hihetetlenül hatékony analízisbeli módszerek alkalmazása vagy továbbfejlesztése csak az elődök gondolatainak és módszereinek megismerése révén lehetséges. Szász Pál könyve ebből a szempontból egyedülálló mű. Rendkívül alapos, szemléletes és kimerítő tárgyalását adja a klasszikus analízis valamennyi fejezetének. Ha egy tétel vagy módszer szerepel, akkor rögtön ott van mellette az, hogy azt hogyan lehet tovább vinni, vagy hogy az eredményt miért nem lehet javítani. Kitűnő példák sorát tárgyalja a fizika, geometria és foldrajz területéről. Eredeti munkákra való hivatkozásai és tudománytörténeti megjegyzései pótolhatatlanak Nagyon gyakran találhatunk benne olyan klasszikus eredményeket ill. példákat, amelyeket más, a témából írott újab b művek már elfeledtek Hangsúlyozom, hogy a felépítés és tárgyalási mód modem. Nyelvezete itt-ott archaikus, de ez egyáltalán nem zavaró, sőt "ízes" stílusa élvezetes. Ma már nem használjuk az értékrendszer (= szám n-es), hiperbólás függvény (= hiperbolikus függvény), radicantus (= gyök alatti mennyiség) ill. egyenlőtlen konvergencia (=nem egyenletes konvergencia) kifejezéseket, ill. a mai matematikában a tartomány fogalma mástjelent (ezt a szerző az euklideszi tér tetszőle­ ges részhalmazának megnevezésére használja). A könyvben kb. ennyi az eltérés a ma használatos terminalágiátóL Többször lehet hallani, hogy Szász Pál könyve alaposságával és hatalmas anyagával nem alkalmas arra, hogy belőle oktassunk Valóban, inkább kézikönyvként, referenciamunkaként ajánlatos a használata. Meggyőződésem azonban, hogy a saját példám általános érvényű: bár tanulni a "Szász Pálból" sok időt vesz igénybe, megtanulni az analízist csak ebből lehet. Szeged, 2000 május 10. Totik Vilmos

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

ELűszó~ Szívesen teszek eleget Szász f!ál óhajának, hogy mííve második kiadása eUbe is néhány sort helyezzek. Az elsőhöz írt előszavam végén mondom: "Én úgy vélem, hogy Szász Pál e minden ízében átgondolt, alaposságat matematikai eleganciával egyesítő könyve irodalmunk igazi nyeresége, és összes főiskoláink matematikai hallgatóságának, de a magánúton tanulóknak is, bizonyára hasznára és örömére fog szolgálni." Ezt a reménységet Szász Pál analízise az elmúlt tizenhat esztendő alatt fényesen beváltotta. Könyve a magánúton tanulóknak, az összes főiskolák különböző kate" góriájú matematikai hallgatóinak, de, hozzátehetjük, a szakadatlan fejlődésben lévő, klasszikus irányzatú matematikai analízis kutatóinak is valóban nélkülözhetetlen segédeszközévé vált. A könyvre szükség volt, jól oldotta meg kitűzött feladatát, el is fogyott hama" ros an első kiadása. Mármost előttünk van a második, amely az első terjedelmét körülbelül annak 40 százalékával felülmulja. Az új kiadás, amellett, hogy az analízis és alkalmazott analízis tanulásához elengedhetetlenül szükséges alapismereteket tartalmazza, gazdag tárháza az érdeke~ sebbnél érdekesebb, újabb és legújabb analízisbeli tényeknek. Ezek jól áttekinthető rendszerbe vannak foglalva, és nagy előadásbeli művészettel megírva. N em egy probléma~ kör e b b e n az "analízis"-ben nyeri e ls ö feldolgozását, éS mélyen meg vagyok győződve arról, hogy Szász Pál míívének ez az újabb kiadása is, bármely országban · meleg fogadtatásra találna. A körülbelül 1300 oldalnyi míí oly igazi és magasrangú tudományos munka terméke, hogy szerzőjét most, amikor az a magyar közönség elé kerül, mély megelégedés töltheti el. Fejér Lipót Budapest, 19/íl. november 20.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

A SZERZŐ ELŐSZAVA. A maga.m t·a.rtozom.

:részéről

meg kell emlékeznem mindazo'k ról, akiknek

kö~zönettel

Elsőso:rban köszönetern illeti a. MAGY AR Tuu OMÁNYo~ · AK.Al>É:MIÁT és a KözoK'ÚTÁSÜGYI MINISZTÉRIUMOT, hogy lehetövé tették könyvem megjelenését. Hálá;s köszönetet mondok FEJÉR LIPÓT prof:es:;zornak, hogy Iliunkáro kiadása érdekében három éven keresztül lankadatiUl ilnergiával munkálkodott s ujra ellátta. mélyen megtisztelő előszavával, am nek folytán a könyv eimlapj á.t ismét az ö világhírű neve díszítheti. RÉNYI ALFRÉD akadémiai osztálytitkárnak ugyancsak köszö:höm könyvem kiadása érdekében kifejtett tevékenységét. Őszinte hálával emlékezem meg CsÁSZÁR ÁKos . egyetemi tanszékvezető docens és MIKOLÁS MIKLós egyetemi adjunktus kartársakr'ól, akik mint korrektúra-olvasók tanácsaikkal és értékes megjegyzéseikkel a könyv jobbátételén fáradoztak, tová,bbá FucHs LÁszLó egyetemi adjl.lnktus kartársról, aki a tördelt korrektúra, olva.sásáva.l tett hasonló szolgálatot. LőRINCZ PAL sza.kfelügyelő és műegyeteini adjunktus a.z á,brák elkészítésével járult hozzá a,könyvtökélet'ésebbé tételéhez, amiért őt is köszöneteni illeti; . A KözoKTATÁSÜGYI KIADÓVÁLLALAT · részéről EiLNER SÁ:t'iDOR, műszaki osztályvezető a kiadásra vonatkozó kívá,nsá,gaimat tnesszemenő előzékenységgel teljesítette. FRIGYESI MIKLÓSNÉ kartársnő pedig·a név~ és tárgymutató, valamint a tartalomjegyzék elkészítésénél volt nagy segítségemre. Szívességüket mindr kettőjüknek nagyon köszönöm~ Hálás köszönetern fejezem ki még azoknak a kedves volt tanítványaimnak, akik annak idején a kézirat elkészítésén~l voltak seW,tség~mre 1 továbbá a Franklin Nyomda dolgozóinak, akik a könyv előállításá,val végeztek fáradságos munkát. Ezek után szeretettel ajánlom e könyvet kedves tanítványaimnak. S kérem őket, ne felejtsék el, hogy amidön tanulmányaikat e könyv segítségével kiegészítik és elmélyítik, ezzel is a Béke ügyét szolgálják!

Szász Pál

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

TARTALOMJEGYZÉK. ELSŐ FEJEZET.

A VALÓS SZÁMOK. EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÓS FtiGGVÉNY.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

§. §. §. §. §. §. §. §. §. §.

J. A pozitív valós számok, mint végtelen tizedestörtek. Végtelen tizedestört; pozitív valós szám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A nagyobb és kisebb fogalma pozitív számokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számhalmaz felső határa . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pozitív számok összege és szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenlőtlenségre vonatkozó müveletí szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kommutatív, asszociatív és disztributiv törvény ...... ~ . . . . . . . . . . . Pozitív számok kivonása és osztása .. .. .. . .. . .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . Számhalmaz alsó határa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pozitív szám n-edik gyöke ............................ , , . . . . . . . . . . . Egyenesdarabok mérése ............................................. , .

1 5 7 9 12 13 14 16 17 ·19

II~ Áttérés a valós számok összeségére. 11. §. Két p-ozitív szám, mint kisebbítendő és ki vonandó, meghatároz egy valós számot ..........................•......................... , . . . . . . 23 12. §. A nagyobb és kisebb, az összeg és szorzat fogalma valós számokra. Műveleti szabályok .....................•.. · . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 23 13. §. Valós számok kivonása és osztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 14. §. Az abszolút. érték ......•..................•...... :. . . . . . . . . . . . . . . . . 25 15. §. A számegyenes ................................... ·................ 26

Ill. Az egyszerű számtani, harmonikus és geometriai közép. 16. §. A számtani és harmonikus közép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. §. A geometriai középre vonatkozó egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. §. Példák ..... :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..• .. . . . . . . .

28 28 30

IV. A kör kerülete és területe. 19. §. A k.ör kerülete min t a beírt sokszögek kerületének felső határa. . . . . . . . . 20. §. A n szám ....... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21-22. §. Körív ivhosszúsága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. §. Szög abszolút mérőszáma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2~. §. Kör és körszektor területe .................................... : . . . . 25. §. Az ellipszis területe . • . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 34 34 36 36 38

V. Az összeg, szorzat és hányados folytonossága. Számhalmaz felső és alsó határa. 26. §. Az összeg és szorzat folytonassága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.· §. A hányados folytonosaága ....................................... , . 28. §. Számhalmaz felső és alsó határa .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .

www.interkonyv.hu

39 U

42

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

VI VI: Monoton sorozatok. 29. §. Korlátos monoton sorozat határértéke .................... , ........ . 30-32. §. Példák ........................................................... . 33. §. Közönséges végtelen lánctört ...................................... .

43

4r.

47

VS-1 . .. . · V~ 2 és - - 1anctort alakJa ..................................... . 2 .

53

35. §. Nem korlátos monoton sorozat ......... ~ .......................... .

55

34. §.

36. §. 1 1

1

1

1

1

+2 + ... + n--· -+ +. = .................................... . +2+ ... +--

n~ O n 38-39. §. Példák .... _..................................................... . 40. §. A BERNOULLI-féle egyenlőtlenség .................................. .

37.§.

56

•

+

•

•

•

•

•

•

•

~

•

•

~ '.

•

•

o

~

•

·•

•

•

•

•

•

•

•

• • •

•

•

•

o

•

• . •

•

•

•

•

•

•

58 59 61

n

VU"-+ 1 .................... .

62

VII. A függvény általános definiciója. 42. §. DIRICHLET-definíciója. A függvény ábrázolása. Páros és páratlan függvény. Monoton függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. §. Példák függvény-értelmezésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. §. Racionális egész- és törtfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 64 67

VIII. Függvény határértéke. 45. §. Határérték a végtelenben. Racionális függvény határértéke a = helyeken ...................................... , ............ -:-:. . . . . . 46. §. Határérték a végesben ...................... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. §. Jobb- és baloldali határérték ..................... ,................. 48. §. Minden számsorozatból kiválaszthatunk egy monoton rész-sorozatot.... 49. §. A véges határérték létezésének kritériuma ............•.. , . . . . . . . . . . .

69 72 74 76 77

IX. Függvény folytonossága. 50. §. A folytonosság definíciója. Összeg, szorzat és hányados folytonossága. Első- és másodfajú szakadás . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . 51. §. Példa minden racionális helyen megszüntethető szakadású függvényre 52. §. Közvetett függvény folytonossága...................................

78 79 80

41.·§. q"-+

00

(q >-1), q"--'>- O· {O-< q< 1);

+

53. 54. 55. 56. 57.

§. §. §. §. §.

X. A folytonos függvények alaptulajdonságai. BOLZANO tétele ...... , . , . , ..... ; ....•......... , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valós együtthatás páratlanfokú egyenlet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az xn- c1 xn-1 - c 2 xn-2 - ... -c,.. = O egyenlet..... . . . . . . . . . . . . . WEIERSTRASS tétele; folyományok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenletes folytonosság tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. Számsorozat határértéke. Véges és végtelen határérték. A CAUCHY-féle konvergencia-principium Folyományok. Összeg, szorzat és hányados határértéke. LEIBNIZ tétele Véges határértékű sorozat származtatása monoton sorozatokbóL,. . . . . . Példa •... : . ....................................................•. · 62. §. Zérus-sorozatok. qn1· -+O. Ha l an+ 1 1 ~p -< 1 (n~ P), akkor a,.-+ O

58. 59. 60. 61.

§. §. §. §.

n.

.

~

80 82 83 83

85

87 88 90 92 93

63. §. A függvény-határérték fogalmának visszavezetése számsorozat határértékére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. §. Számsorozat felső és alsó határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

XII. Értékrendszerek· tartományai. értékrendszerek. Korlátos pontsorozatból mindig kiviilaszthatunk egy konvergens rész-sorozatot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

65. §.

94

n-elemű

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

VII f>6. §. Tartomány; belső, külsö és határpont. Korlátos tartomány átmérője. Torlódási hely .......................................; . . . . • • . . . • . . . 67. §. Közös ponttal nem bíró korlátos és zárt tartományok minimális távolsága 68. §. Egy segédtétel. Nyílt és összefüggö tartomány két pontjának összeköthetése poligonnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . • . . 69. §. BoREL befödési tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • .

103 10/i

XIII. Többváltozás függvény. Határértéke és lolytonossága. §. Többváltozós függvény ..................................... ,; . .. . . §. Függvény határértéke .. .. .. . . . . . .. . .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . §. Folytonosság. BoLZANO tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. WEIERSTRAss· tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Egyenletes folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 106 108 109 110

70. 71. 72. 73. 74.

101 103

MÁSODIK FEJEZET. DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. HATÁROZOTT ~S HATÁROZATLAN INTEGRÁL.

I. DHierenciálhányados. "75. §. Egyváltozós függvény differenciálhatósága, differenciálhányados vagy 76. ·77. 78; 79. 80. 81.

§. §. §. §. §. §.

derivált. xn és .!..._ (n = 1, 2, 3, ... ) dariváltja .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . xn Differenciálható függvény folytonosaága ........................ ·..... Jobb- és baloldali differenciálhányados. Végtelen differenciálhányados... A differenciálás formális törvényei .... :............................. Szorzat és hányados differenciálási szabálya; determináns differenciálása Közvetett függvény differenciálási szabálya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . STIELTJES tétele a különbségi hányadosra vonatkozólag . . . . . . . . . . . . . . n

82. §. Inverz függvény.

Vx

dariváltja • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 114 115 116 117 119 120 121

ll. A dHierenciálhányados geometriai jelentése. -83. §. A differenciálhányados geometriai jelentése. Az y·= x" (n = 2, 3, 4,..•. ) és y= x~ (n= 1, 2, 3, ... ) görbék érintőinek szerhsztése........... 84. §. Az éri!ltő és a normális egyenlete. Subtangens és subnorrnális, normálisdarab, érintő-darab. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. §. A cisszois érintőjének szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124 127 129

fi. Magasabbrendíi dHierenciálhányadosok. 8&. §. Magasabbrendű deriváltak szukces51;ív képezése . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . 87. §. A TAYLOR-formula racionális egész függvényre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. §. A LEIBNIZ-féle differenciálási szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. . . .

131 132 134

IV. Racionális egész függvény gyokeinek multlplicitása. m-szeres gyök; folyományok........................................ Bizonyos számú helyen váltakozó előjelű polinom fokSzáma . . . • . . . . . . BoLZANo tétele racionális egész függvény esetében . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RoLLE tétele racionális egész függvényre vonatkozólag................ Alkalmazás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

134 136 13? 138 139

89. 90. 91. 92. 93.

§.. §. §. § §.

V. A lokális és a monoton növekedés tétele. 94. §. A lokális növekedés tétele. A derivált eltünése belső extremális helyen 95. §. Példa lokálisan növekedő, de nem monoton növekedő differ.enciálható függvényre .............................................. , ..•..... , .• .

www.interkonyv.hu

140 141

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

vm 96. §. A monoton növekedés tétele ...... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. §. Ellipszis normálisának a középponttól való .maximális távolsága........ 98. §. A növekmények összehasonlításának elve. Az integrálszámítás alaptétele

141 142 144

VI. Konvexitás és konkávitás. 99. §. Alulról konvex, y =

J_ (n== xn

resp. konkáv görbe. Az y= xn (n

= 2, 3, 4, ... ) és

1, 2, 3, ... ) görbék konvexitása ...................... .

14

100. §. A .TENSEN-féle egyenlőtlenség. Hatványközép ........................ . 149 101. §. A konvexitás szükséges és elegendő feltétele differenciálható függvénynél · 152

102. §.

f (x)

és

xf (~) görbéi alakjának kapcsolata ....................... . VII. Lokális

szélsőérték.

154

Inflexiós pont.

103. ~- Lokális konvexitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104. §. Lokális maximum és minimum .......... ~.......................... 105. ~- Inflexiós pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 156 157

VIII. A derivált alaptulajdonságai. Az általános Taylor-formula. 106. §. DARBoux-tétele. A cleriváltnak zárt számközben nem kell korlátosnak

lennie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ror.LE tétele; általánosítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvények diszkussziója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A LAGRANGE- és a CAUCHY-féle középértéktétel .......... ... .. .. .... Parameteres előállítású függvény differenciálási szabálya A CAUCHY-féle középértéktétel geometriai interpretációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. ~. A TAYLOR-formula általános maradéktagja; speeiális esetek . . . . . . . . . . . 112. §. n-szeres zérus-hely.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-*·

107. 108. ~109. HO. §.

*·

159 160 1'62 164 166 167 170

IX. Görbék érintkezése. Simuló kör. 113. 114.

~- n-edrendű érintkezés. A görbe és az érintő érintkezése . . . . . . . . . . . . . . . ~- Kör meghatározása az x, y, y", y'=\= O adatokból....................

172' 174

115. §. Simuló kör. Ennek középpontja, mint két normális metszéspontjának

határhelyzete ........................ .- .................. ~ ........· . A parabola simuló köre. A simuló kör sugara szélsőértékének esete...... 117. §. A simul ó kör középpontj a, mint a görbe három pontján átmenő kör középpontjának határhelyzete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116.

~-

17 5 178· 179

X. Parciális differenciálhányado8. 118. §. Első- és magasabbrendű parciális deriváltak.......................... 119. §. 1 /V x 2 + y 2 + z2 eleget tesz a térbeli LAPLACE-egyenletnek . . . . . . . . . . . . 120. ~- A differenciálások sorrendjének felcserélhetősége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. §. SCHWARZ tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI. Többváltozós lokális

180 181 182 183

szélsőérték.

122. §. Többváltozós lokális szélsőérték. PEANo ellenpéldája . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. §. Példa abszolút szélsőértékre........................................ 124. §. Kétváltozós másodfokú racionális egész függvény maximuma, resp. minimuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. §~ Példa ........................................................ , . . .

185 187

188 190

XII. Riemann szerint integrálható korlátos függvény. 126. §. Alsó- és felsőösszegek.

RrEMANN-szerinti integrálhatóság. Az integrál mint határérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. §. Az integrálhatóság kritériuma...................................... 128. §. Monoton függvény integrálhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. §. Az integrandus megváltoztatása véges számú helyen...................

www.interkonyv.hu

191 197 198 199

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

IX §. Integrálható függvénynek az abszolút ,értéke is integrálható............ §. Folytonos függvény integr.álhatósága. Altalánosítás véges számú szakadási hely esetére......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Példa mindenütt sűrű helyeken diszkontinuus integrálható függvényre... §. Integrálható függvény folytonossági helyei mindenütt sűrűn töltik hl az intervallumot ................................... :. . . . . . . . . . . . . . . . . 13r.. §. Az integrál formális tulajdonságai; kiszámítása, midőn az integrandus valamely függvény deriváltja. Példák. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130. 131. · 132. 133.

200 200 201 202· 203

XIII. Korlátos variációjú függvény. 135. ~- A_ korlát_os _v_ariációjú függvény két definíciója; integrálhatósága. JoRDANfele vanácw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. §. Korlátos variációjú függvény két rnonoton növekedő függvény különbsége 137. ~- Korlátos variációjú. függvények szorzata és hányadosa . . . . . . . . . . . . . . .

206: 210 211

XIV. Szorzat és hányados integrálhatósága. 138. §. Szorzat és hányados integrálhatósága................................ 139. §. A CAUCHY-féle egyenlőtlenség .................................... 140. §. A Scnw ARz-féle egyenlőtlenség ...................................

XV. Az integrálszámítás 141. 142. 143. 11!4. 145.

§. §. §. §. §.

első

212 213 214

és második középértéktétele.

Az integrálok összehasonlításának elve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az első középértéktétel; integrálközép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az integrál, mint a felső határ függvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az ABEL-féle egyenlőtlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A második középértéktétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 217 219 221 222

XVI. Határozatlan integrál. 146. §. Folytonos függvénynek van primitív függvénye. Formális törvények. Elsőrendű quadratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. §. Parciális integrálás. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148. §, IntégráJás helyettesítésset Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149. §. Szétválasztott változójú. elsőrendű differenciálegyenleL... . . . . . . . . . . . . . f50. §. Ortogonális trajektoriák ......................... , . . . . . . . . . . . . . . . . . 151. §. A parciális integrálás általános formulája. A TAYLOR-formula integrálmaradéktagja .......................................... , . . . . . . . . . . 152. §. n-edrendű quadratura ..........•............................ , ..... , :

224 226229 232 235 237· 239

XVII. A Jordan-féle területfogalom. 153. 1St.. 155. 151i. 157. 158. 159. 160.

§. §. §. §. §. §. §. §.

Korlátos tartomány belső és külső területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·240· A belső és a külső területre vonatkozó egyenlőtlenségek. . . . . . . . . . . . . . . 243 Mérhető területű tartományok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Zérus területű tartomány; a mérhetö területűség feltétele. Folyományok 24& JORDAN tétele ........................... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 t. 9 Példa nem mérhető területü korlátos tartományra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 JoRDAN-féle köbtartalom. Forgási test köbtartalma; példák . . . . . . . . . . 252 GömbCikk köbtartalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

HARMADIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK.

I. A logaritmus és az exponenciálís függvény.

+ ~r

257

162. §. Az EuLER-féle állandó . . . . . . . . . . . . •. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. §. .M modúlusú logaritmus; görbéjének szerk.esztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261 263

161. §. A természetes logaritmus, mint integrál.

www.interkonyv.hu

Az alapszám

e= lim (1

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

x 16~.

§. Az ax (a:::- O) exponenciális függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . (x:::- O) kamatos-kamatszámítási interpretációja;

e~ =li~

+i)

265

x

268

. ... IITaCIOn . ál"IS SZám ...... . e= 2'71 167. §. A súlyos geometriai közép ....................................... , .

270

16S. §.

eX

. §. 1 166. 168. §.

1 1 1 +n+ 2!+ .. ,+ n-If e;

Jg (x)eax

dx előállÍtása, midőn

x~+O>

(1

x

o

.

g (x) racionális egész függvény; .

az

ll Iogxdx

272

J

a

integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

272

169. §. Az y'= w y differenciálegyenlet. Fényabszorpció planparallel lemezben 170. §. log (x2 + y 2 ) eleget tesz a sikbeli LAPLACE-egyenletnek . . . . . . . . . . . . . .

275

.

.

27~

II. A hatvány, mint az alap függvénye. 171. §. Az af' (x:::- O) függvény ........... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 172. §. A.. ~ERNOULLI-féle egyenlőtlenség általánosítása. Általános hatvány-

kozep............................................................

173. §. log x és e"' nagyságrendje ...... ~ . .. . .. .. . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 17~. §. Függvény zérussá vagy végtelenné válásának rendszáma . . . . . . . . . . . . . . . b

175. §.

J xllo dx

a

(f.' =F -1) közvetlen kiszámítása. Példák improprius integrálra..

176. §. JxV. (log x)n da; (n= 1, 2, 3, ... ) előáállítása

276 279 280 282 283

. . . . .. .. . .. . .. . . . . . . . . .

286

III. Trigonometrikus és dklometrikus függvények. §. Az arc tg x függvény, mint integrál................................ §. A tg x, ctg x és arc ctg x függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. A sin x és cos x függvények. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Az arc sin x és arc cos x függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Az y"=- a 2 y differenciálegyenlet; harmonikus mozgás.............. §. A RIEMANN-féle lemma; a korlátos variációjú függvény esete . . . . . . . . . 18~. §. Trigonometrikus összegképletek.....................................

287 292 296 302 306308 310

177-178. 179. 180. 181. 182. 183.

185. 186. 187. 188.

IV. Logaritmikus derivált. Zárt analitikai kifejezések differenciálása. §. Logaritmikus derivált. WARING tétel{! ..... ; . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. u(x)v(x) és u(x}log v(x) differenciálása . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . §. Zárt analitikai kifejezések differenciálása. Kidolgozatlan példák........ §. f'{a) =lim f' (x), ha ez létezik és f (x) folytonos az a helyen; példa .... ;. x-a

313 3H 315 317

V. A L'Hospital-szabály. 189. §. A L' HosPITAL szabály végesben fekvő helyen .....•............... 190. §. Példák ......................... , ...........•....... ·._, ..·........•.. 191-192. §. A L'HosPITAL-szabály, midőn számláló és nevező végtelenhez tart.

318 319

Példák ......... ·............... ; ..................... ·. . . . . . . . . . . . . .

320 323

... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. §. A L' HosPITAL-szabály a+ oo helyeken 19~. §. Kidolgozatlan példák ... -::. . . .. . .. . . . . . . .. . . .. .. . . . . .. .. . .. . . • .. .. . 195. §. lim /((x)) x-a q; X

kiszámítása f(x) és q;(x)

magagabbrendű · deriváltjai alapján

32~

325

VI. Harmadfokú racionális egész függv-ény. 196. §. A harmadfokú racionális egész függvény diszkussziója . . . . . . . . . . . . . . . . 197. §. Harmadfokú egyenlet .....•......., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . 198. §. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII. Maximum-miniinnm te.lil.datok. Adott hosszúságú körív és a húrja közti mliximális terület. . . . . . . . . . . • . . . 200. §. LHUILIER feladata . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . 201. §. Az AP + BP + GP összeget minimizáló P pont meghatározása. . . . . . . . 19~. §.

www.interkonyv.hu

326 328 333·

33~

335 338

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XI

VIII. Néhány függ,vény .diszkussziója. 202. 203. 204. 205 .

................................ Kidolgozatlan példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az x = tg x egyenlet gyökei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin x es . x sm . ::; 1 f"uggvenye . k .......................... , . . . . . . . . §. -x-

341 344 344 3 ..,_ 7

206. §. A sin .!._ függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

351

207. §. Az x 2 sin ;

352

§. §. §. A

e-ckx sin a. x (k >-O) diszkussziója:

függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX. Aszimptota. 208. §. Az aszimptota létezésének feltétele. Példák ........................ , . 209. §. Konvex, resp. konkáv görbe aszimptotája-...... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210. §. Példa .......................................................... , . .

X. Parameteres és polárkoordinátás 211. 212. 213. 214. 215.

§. §. §. §. §.

előállítású

355 35_8 360

görbék.

Parameteres előállítású görbe érintője; simuló körének sugara. . . . . . . . . . A cyclois-görbe .·.................................................. Polárkoordinátás egyenletű görbék. Spirálisolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A lemniszkáta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CASSINI-féle görbék ....................... ·,: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

362 364 366 370 372

XI. Hiperbolás függvények. 216. §. A ch x és sh x függvények; ezek inverzei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.§. A cth x és th x függvények; ezek inverzei........................... 218. §. A tractrix görbe ..................... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

378 383 385

XII. A Cauchy-féle függvényegyenlctek. 219. §. Az t (x + y) = f (x) f (y) és rp (xy) = q; (x) rp (y) függvényegyenletek.. . . . . 220. §. Az f (x + y) = t (x) + f (y) és rp (xy) = rp (x) + rp (y) függvényegyenletek 221. §. Az f (x- y) + f (x + y) = 2 f (x) f (y) függvényegyenlet . . . . . . . . . . . . . . .

387 389 39.0

NEGYEDIK FEJEZET. AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁS EGYES RÉSZEI.

I. Alapintegrálok. 222. 223. 224. 225.

§. Alapintegrálole Integrálás megfelelő felbontással. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. tgn x dx (n = 1, 2, 3, ... ) előállítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Valóságos kúspzelet egy jellemző tulajdonsága: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. A cosinus- és sinus-multiplumok ortogonalitása. Trigonometrikus ploinom együtthatóinak FoURIER-alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

393 395 396 398

ll. Néhány integrál kiszámítása. 226. §. Az ~ 2

Jg (x),eax ~?~ bx

227. §. ~ sinn x dx és 228-229. 230. 231. 232.

www.interkonyv.hu

dx integrálok, ahol g (x)

racionális egész függvény

"

J2 sinn x cosmx dx

kiszámítása,

midőn n és m pozitív

egész szám. A WALLis-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Két. határozott integrál kiszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Kidolgozatlan példák.............................................. §. xm arc tg x dx (m = 1, 2, 3, ... ) előáll\tása....................... §. Kidolgozatlan példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l

400

402 407 HO H :l. 412

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XII

233. 234. 235. 236. 237.

§. §. §. §. §.

lll. Területszámítások. Területszámítás parameteres elöállítású görbéknéL A eyelais quadraturája. Az ellipszis és a hiperbola quadraturája . . . • . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . Az astroid területe ......................... ; . . . . . . . . . . . . . . •.. . . . . . . Szektorszerü idom területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A cardioid területe ..................... : . ............. _. . . . . . . . . . . .

412 413 415 416 417-

23S. 239. 240. 241.

§. §. §. §.

IV. Elsőrendű lineáris düferenciálegyenlet. Elsörendü lineáris differenciálegyenlet összes megoldásai. . . . . . . . . . . . . . . Lineáris zárt vezető önindukciója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontosan gyüjtő plankonvex lencse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CAssrNr-féle görbe sereg ortogonális· trajektoriái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

418420 422 424

V. Improprius integrálok. 2A2. §. Az improprius integrálok három fö tipusa ... : ...................... . +oo

J

243. §.

a

f (x) dx kdnvergenciájának szükséges és

J SI: x

+oc .

· konvergens integrál;

elegendő

feltétele. Abszolút

'

'

dx konvergens, de

nem

abszolút kon-

vergens ................................................._.......... . 244. §. Az előbbi integrál kiszámítása ................................ : .. .. +OC

245. §.

Jt (x) a

dx konvergenciájának eiegendő feltétele ...................... .

+oc

J

246. §.

' o

247. §.

425'

429 431 433'

.

xn e-·ax c_os bx dx (a>- O; n = 1, 2, -3, ... ) rekurziv meghatározása

'

~

+oo_x'·

Jo e

dx

y-;;

+oo

2

o

= -;

J xn

e-x• dx

(n= 1, 2, 3, ... )

rekurzív

.. .

43 !i-

meg-

határozása ...................................................... . + oo) intervallumban folytonos és nem korlátos függvény int~gr:álja konvergens lehet ............................ , ....•.•.. , : .....•... _.

436

248. §. Az (a, b

249. §.

.

Jt

437

(x) dx konvergencíájának szükséges és elegendő feltétele. Abszolút

a

. .

konvergens integrál ...•............... , : ......................... . b

Ja t

439'

(x) dx konvergenciájának ·elegendő feltétele .................... .

440

251-252. §. Példák ..................... , .................................... . 253. §. Kidolgozatlan példák .................... ; ........................ .

441 444

VI. Racionális törtfüggvények integrálása. rx.x+/1 . .. . . Az n dx (n = 1, 2, 3, ... ) mtegrál ............... . (a x 2 b x + c) · · Példák ...... -...................................... , ... .-......... . Valódi törtfüggvény valós parciális törtekre bontása .. ~ ............. . A határozatlan együtthatók módszere; példa, ...........· ............ .. Kidolgozatlan példák ............. , ................................ .

447

449 455 457

VII. R-acionális függvény integráljára visszavezethető· integrálok. (sin x, ·cos x/ dx integrál ....................... ·........... ,

458

250. §.

254. §. 255. 2fí6. 257. 258.

§. §. §. §.

259. §. Az

.

J

+

JR 2"

260. §. -21 n

j' 1 o

? + e2 -_e cos x

1-es

dx =

+ - 1

(es;;: 1)

....................... . .

261. §. A t = tg x helyettesítés, midőn R (sin x, cos x) = R (-sin x,- cos x) 262. §. Kidolgozatlan példák ............................•......•........_...

www.interkonyv.hu

445

460 462

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XIII 263. §. Az 264. 265. 266. 267. 268.

§. §. §. §. §.

269. 270. 271. 2?2. 273.

§. §. §. §. §.

J

R (x. ·

(Prx+s x + q)

Q1

/cr 1 ,

• • • ,

t

(prxx q) f!nlcrn dx s

integráL A cisszois

quadraturája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kidolgozatlan példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az JR (x, Vax2 + b x+ c) dx in-tegrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kidolgozatlan példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Példa ad hoc módszerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

462 464 466 466 468 468

VIII. Rektifikálható folytonos görbék a síkban.

274. §. 275. §. 276. §. 277. §. 278. §. 279. §.

Folytonos vonaldarab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 Rektifikálhatóság. Az ívhossz additi v és folytonosan változik.......... 471 Az ívhosszúság a beírt poligon hosszának határértéke................. 473 A rektifikálhatóság szükséges és elegendő feltétele.................... 474 y = f (x) egyenletű görbe ívhosszának integrálalakja. A láncgörbe rektifikációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·476 A parabola rektifikációja........................................... 478 Parameteres előállítású görbe ívhosszának integrálalakja. A teljes cyclois-ív hossza; az astroid kerülete. Az ív és a húr viszonya.................... 479 Polárkoordinátás egyenletű görbe ívhosszának integrálalakja. A cardioid kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 483 484 A logaritmikus spirális rektifikáció ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Improprius integrállal kifejezett ívhosszúság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Görbületi mérték. A parabola görbülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '•86

IX. Térgörbe ívhosszúsága és 280. 281. 282. 283. 284. .285.

§. §. §. §. §. §.

érintője.

T~rg~rbe ~v~os~~úsága.

Körhengerre írt csavarvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tergorbe ermto]e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Körkúpra írt csavarvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gömbre írt Joxodroma ........................................ ,. . . . . MERCATOn-térkép .................................. , ......... : . ; . . . Stereografikus projekció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

489 490 491 493 496 500

X. F01·gási test palástjának felszíne. 286. §. A palást felszínének definíciója és képlete rektifikálható meridián esetében. A gömbsüveg felszíne.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287. §. Forgási ellipszoid felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288. §. Vonaldarab súlypontja; GuLDIN-szabály. Teljes cyclois-ív súlypontja. . . . . . 289. §. Negyedastroid súlypontja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290. §. Félcardioid súlypontja ................................ , , . . . . . . . . . . •

50/i 507 509 510 511

FÜGGELÉK,

A komplex· számok. Az algebra alaptétele, ·291. §. A komplex számok, mint valós számpárok; a számsík. összeadás és szorzás, az i szám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292. §. Kivonás és osztás ................................................ : 293 .. §. A MoiVRE-képlet. Alkahnazások ......... ,.......................... 294. §. Az abszolút értékre vonatkozó egyenlőtlenségek...... . . . . . . . . . . . . . . . . 295. §. Elemi geometriai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296. §. Négyzetgyök; másodfokú egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297. §. Binom egyenlet; egységgyökök..................................... 298. §. Az ö-tödik egységgyökök előállítása normálalakban. Szabályos ötszög és tízszög szerkesztése .................•........... , . . . . . . . . . . . . . . . 299. §. Az összeg, szorzat és hányados folytonossága. Számsorozat határértéke 300. §. Az algebra alaptétele. Az egyenlet gyökeinek elemi szimm.etrikus formái

www.interkonyv.hu

513 517 519 521 523 524 527 529 531 533

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XIV ÖTÖDIK FEJEZET.

VÉGTELEN SOROR. I. Aszimptotikus

egyenlőségek.

301. §. Aszimptotikus egyenlőségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. §. Példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 303. §. A STIRLING-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

539 540· 541

II. A Cauchy- és a Toeplitz-féle határértéktétel. \

394. 305. 306. 307. 308. 309.

§. CAUCHY első határértéktétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Példa ........................................................... · §. CAUCHY második határértéték tele .................................. · §. Példák ..................................................... ;· .... · §. TOEPLITZ határértéktétele. Példa ....................... , .......... · §. Folyomány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .

544 546 547 548 549 552:

III. Végtelen sor konvergenciája és divergenciája. 310. 311. 312. 313. 314-315.

Konvergens, ill. divergens sor. Folyományok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergens sor asszodativ sajátsága. A zárójelek elhagyhatásának feltétele Konvergens sarok összeadása; szorzása egy számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . LEIBNIZ tétele a váltakozó előjelű sorról............................. §. A MARKOV- és az EuLER-féle sortransformatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. §. §. §.

553 5M 555 556 558

IV. Példák hatványsorba fejtésPe. 316. 317. 318. 319. 320. 321. 322. 323.

§. §. §. §. §. §. §. §.

A geometriai sor; ennek tagonkénti differenciálhatósága .............. . arc tg x hatványsora ........................................... .. n kiszámítása öt tizedesig ........................................ . log (1 + x) hatványsora ........ , . , ...................· ............ . Logaritmusok kiszámítása; a 10 alapu Jogaritmusok modulusa ......... . ex hatványsora .................................................. . sin x és cos x hatványsora ........................................ . sin so kiszámltása öt tizedesig .................................... .

562 564 565 56? 569 5 ?3

575 576

V. Feltételes és abszolút konvergencia. 324. §. A sor összege függhet a tagok sorrendjétőL .......................... . 325. §. RIEMANN tétele. Feltételesen konvergens sor ....................... . 326. §. Abszolút konvergens sor .......................................... .

578

579 580

VI. Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergenciaés divergencia-kritériumok. 32?. §. A konvergencia szükséges és elegendő feltétele ...................... . 328. §. Az általános összehasonlító kritériumok ............................ . 329. §. A CAUCHY-féle gyök- és hányados-kritérium ............... , ...... . ~1 ~ 1 330. §. A ~-;;;; és n (log n)a · sarok (rx. >-O) ................. ; ........ .

585

331. §. Az ABEL-DINI-tétel

58&

/_J

L

............................................. . 1

58.Z 582 584-

sorok (rx. >-O) ....... .

588

333. §, A logaritmikus kritériumok ....................................... . 334. §. A RAABE-féle kritérium ........................................... . 335. §. Az általánositott GAuss-féle kritérium ..................... ' ..•.... 336. §~ A CAucHy-féle integrál-kritérium ...•.................. , .....•.......

590 591. 595

332.. §. A

www.interkonyv.hu

n log n log log n . .. (log log ..... Jog .n)a

598

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XV

Vll. Abszolút konvergens sor felbontása rész-sorokra.

+

337. §. Abszolút konvergens sor rész-sorai abszolút konvergensek. A L: a." =E a.,' + E a.," + ... felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . «>

«>

(v)

«>

oo (v)

60:C··

338. §. Abszolút konvergens sorok összetétele. A E (L: a,. ) =E (L: a,. ) képlet. . 603 v=1 n=1

n-1 v=l

.,···

339. §. A LAMBERT-féle sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . .

60!1.

VTII. Szummábllis sor. 3i0. 341. 342. 343. 344.

§. §. §. §. §.

+ +

A E cos (rn n x) sor (x =F kn) divergenciája. Folyományok. . . . . . . . . . A E cos (m n x) sor (x =F 2kn) szummája. Folyományok • . . . . . . . . . . . A szummábilis sor általános definíciója. Folyományok . . . . . • . . . . . . . . . . Az a 1 - a 2 + a 3 - a4 + . . . (a1 ~ a 2 ;;;;; ••• ;;;;; O) sor szummábilitása A HAnDY-LANDAu-tétel ..........................................

605 60& 608 610 611

IX. Konvergens sorok szorzása, 345. §. Az általános szorzási szabály. Abszolút konvergens sorok szorzása. A CAUCHY-féle szorzási szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346. §. MERTENS tétele ........................ , ........... , .... , ....... , 347. §. Sorok CAUCHY-féle szorzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

613

615 616

X. Hatványsorok. §. A CAUCHY-HADAMARD-tétel

348. 349. 350. 351. 352. 353. 354.

.............. .......................... §. Hatványszor tagonkénti differenciálhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. ABEL folytonossági tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. FnoBENius tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. Koefficiens-összehasonlítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. TAYLOR-SOr. CAUCHY ellenpéldája ............. , . , , .... , . . . . . . . . . . . . §. Elegendő feltétel a TAYLOR-sorba fejthetőségre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

355. 356. 357. 358.

§. A binomiális sor konvergencia-tartománya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. (1 + x)" = 1 + (~)x + (~) x 2 + ... valahányszor a sor konvergens . . . . §. Példák binomiális sorba fejtésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §. arc sin .x hatványsora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

620 622 624 625 627 628 630

XI. A binomiális sor.

xn. Függvénysorozat

631 63'< 636 637

és függvénysor egyenletes konvergenciája.

359. §. Egyenletes és egyenlőtlen konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360. §. Az egyenletes konvergencia szükséges és elegendő feltétele . . . . . . . . . . . . 361. §. A WEIERSTRAss-féle elegendő kritérium. A Ern cos n x és E rn sin n x sorok összege (i r 1-::: 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . . • . . . . • . . • . . . . . . . 362. §. A L: u,. (x) v,. (x) sor egyenletes konvergenciájára vonatkozó elegendő kritériumok ......... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363. §. Függvénysorozat határfüggvényének folytonossága. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. §. WEIERSTRAss példája mindenütt folytonos, seholsem differenciálható függvényre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365. §. Egy segédtétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

637 640

6/t :l. 642 6'

366. §. n .2 x = ~

LA

sinn nx

(9-< x-< 2n). Folyományok

650

n~l

00

367.§. (n 2

x)a= n122 + ~ LA cons"•nx

(O :;:;; x :;:;; 2n). Folyományok .......... .

653

n~l

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XVI 00

A ~ sin na sin .nx 368. §. n2

i..J

(O-< a-< :n:) sor összege

658

n-1 00

x) :369. §. -log ( 2 sin 2

~ i..J cosnnx (O-< x-< 2:n:). Folyomány ok .......... .

=

660

n-1 00

A ~ sin (2 n-1) x .. . k . . t .3?0. §. n sor asszegene vizsga1a a ..................... .

6

663

n=1

XIV. Függvénysor tagonkénti differenciálása és integrálása 3?L §. Tagonkénti differenciálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666

00

. A~ 6

372. §

sinn 2nx sor osszegen .. · k VIzsga · 'l a t a ............................ . 669

n-1

3?3. §. A

00

~ siri (2n-1) x

6

(2n-i)

2

, k sor összegene vizsgá1ata

...... , . . . . . . . . . . . . • • •

670

n~l

3?/i. 3?5-3?6. 3?7. 3?8-3?9.

§. §. §. §.

Tagonkénti integrálás. Példa .................................... , . . 670 Példák ............................................................ 67/i A tagonkénti differenciálhatáságra vonatkozó tétel kiegészítése........ 6?6 Elsö- és másodfajú teljes elliptikus integrálok sorbafejtése. Az ellipszis és a lemniszkáta kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

XV. Az Euler-féle összegképlet. 380. §. BERNOULL!-polinomok és BERNOULLI-Számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381. §. Az EuLER-féle összegképlet ......................... , . . . . . . . . . . . . . . 382. §. log n ! közelítö meghatározása; az általános STIRLING-formula ,. . . . . . . . . 383. §. 1

+ ~ + ... + ~ közelltő

680 685 688

meghatározsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

693

384. §. A BERNOULLI-plinomok generátor-sora. x cth x és th x hatványsora . . . .

695

385. §. x ctg x, tg x, log cos x és log sin x hatványsora. Folyományok . . . . . . x . 386. §. 1/cos x és 1/ch x hatványsora; EuLER-féle számok . . . . . . . . . . . . . . . . . .

698

www.interkonyv.hu

701

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XVII

Szász Pál (1901-1978)

1978. február 13-án hosszú, súlyos betegség után elhunyt Szász Pál nyugalmazott egyetemi tanár, a matematikai tudományok doktora. Személyében az Eötvös Loránd Tudományegyetem egykori professzorától, a Bolyai János Matematikai Társulat tiszteletbeli elnökétől, tanítványainak százai szeretett Pali bátyjuktól vettek búcsút. Szász Pál neve csaknem fél évszázadon át egybeforrt a budapesti tudományegyetemen folyó matematikaoktatássaL Közvetlenür a matematika-fizikaszakos tanári oklevél megszerzése után, 1924-től kezdve vett részt Fejér Lipót fiatal munkatársaként az analízis oktatásában, kezdetben gyakorlatok vezetésével, majd éVtizedeken át a matematika-fizika szakos tanárjelölteknek szóló analízis-előadások megtartásávaL Mint az egyetem mellett működő középiskolai Tanárképző Intézet tanára 1933-ban egyetemi magántanári, 1943-ban egyetemi rendkívüli tanári címmel tüntették ki; 1950-ben intézeti tanári, 1952-ben docensi kinevezést nyert, inajd 1958-tól kezdve egyetemi tanárként folytatta fáradhatatlan oktató munkáját. Az analízisoktatás problémáiban való elmélyülés impozáns eredménye az 1935~bén kiadott hatalmas tankönyv, a Differenciál- és integrálszámítás elemei. Sokkal több ez a munka annál, amit szerény címe ígér. Nem csupán a valós és komplex változós függvényele lelaszszileus analízisének nyújtja számtalan didaktikai ötlettel kicsiszolt felépítését, hanem az elemeken messze túlvezetve feldolgozza Fejér Lipótnak és tanítványainak nagyszámú mélyenfekvő eredményét, közülük nem egynek első tankönyvszerű bemutatásával. Méltán írta Fejér Lipót az első kiadás előszavában: "Szász Pál e minden ízében átgondolt, alaposságat matematikai eleganciával egyesítő könyve irodalmunk igazi nyeresége", amely "bármely országban meleg fogadtatásra találna". A tankönyvírás és az egyetemi előadások folyvást új és új gondolatokkal való gazdagítása mellett időt talált Szász Pál arra is, hogy a matematikai tudományt elmélyült alkotó munkával fumepelje. Eredményei két nagy témakört ölelnek fel. Kisebb részük szarosan csatlakozik mesterének, Fejér Lipótnak interpolációelméleti kutatásaihoz; ennek módszereit finomítja, eredményeit élesíti és általánosítja, mindénkor törekedve a lehető legnagyobb egyszerűségre és eleganciára. · A terjedelemben is, mélységben is túlnyomó rész egy ettől távol eső, de hazai matematikánk történetében fényés előzményekkel tündöklő témához, a geometria alapjainak kutawww.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XVIII

tásához tartozik. Szász Pál számos e gondolatkörhöz tartozó dolgozatában a BolyaiLobacsevszkij-féle geometria axiomatikUs felépítésének szinte minden ismert módszerét gazdagítja új gondolatokkal, gondosan ügyelve az eszközök megválogatására, a feleslegesnek mutatkozó feltevések elkerülésére. Mindezek eredményeképpen ennek a témakörnek nemcsak hazánkban kimagaslóan legtájékozottabb és legeredményesebb művelöjévé vált, hanem joggal keltette fel a nemzetközi matematikai közvélemény figyeimét is, ami többek között nemzetközi tudományos konferenciákra való meghívásokban nyilvánult meg. A hiperbolikus geometria megalapozására vonatkozó sok évtizedes kutatásainak szintéziseként 1973-ban jelent meg Bevezetés a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriába című munkája, amely a felhasznált eszközök egyszerűsége folytán a kezdőnek tankönyvül, az újszerű gondolatok mélysége révén a szakembemek kézikönyvül szolgálhat. A sok évtizeden át végzett áldozatos pedagógiai munka és a külföldön is megbecsült tudományos produkció meghozta számára az igen megérdemelt elismerés külsö jeleit. A Tudományos Minösítö Bizottság a tudományos fokozatok létrehozásakor a kandidátusi fokozatot ítélte oda neki, majd 1957-ben doktori értekezésének megvédésével a matematikai tudományok doktora fokozatot szerezte meg. 1956-ban megkapta a Szacialista Munkáért Érdemérmet, majd 1968-ban a Munka Érdemrend arany fokozatát. 1969-bena Magyar Tudományos Akadémia az Akadémiai Díj első fokozatával tömette ki. 1977-ben vette át az Akadémiai Kiadó nfvódiját Bevezetés a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriába című könyvéért. Az Eötvös Loránd Matematikai és Fizikai Társulatnak éveken át választmányi tagja volt, ennek utóda, a Bolyai János Matematikai Társulat pedig 1966-ban tiszteletbeli elnökévé választotta. Aki azonban ismerte Pali bácsit, jól tudja, nem az elismerésnek ezek a külsö jelei jelentették számára az igazi örömet. Páratlan szerénysége nemcsak könyveinek puritán egyszerűségű címeiben és előszavaiban nyilvánult meg, hanem abban is, ahogyan távol állt tőle minden törtetés, a sikerek minden hajszolása, ahogyan félrehúzódott mindenütt, hogy másokat, szeretett tanítványait, nála fiatalabbakat állítson előtérbe. Mi, akik sok százan, évtizedeken áttöle taimltuk meg, hogyan kell a napi munkát fáradhatatlanul és pontosan végezni, hogyan kell egy- · egy matematikai gondolat hatóerejét cizellált aprómunkával érvényre juttatni, mi tanítványai láttuk, éreztük, tapasztaltuk, hogy Pali bácsi jó ember volt. Jó volt a szó igazi, nemesen egyszerű értelmében: soha másnak nem akart és nem tett mást, mint jót. Tanított, nevelt minket, éppen olyan szorgalommal, mint amilyennel búvárkodott a matematika irodalmában; és éppen olyan lelkesedéssel, mint amilyennel ef tudott gyönyörködni egy-egy új matematikai gondolatban, egy-egy bizonyítás egyszerűsítésében, egy-egy felesleges feltevés kiiktatásában. Pali bácsi tudományos életműve eleven cáfolata annak az elterjedt tévhitnek, hogy a tudományos alkotóerő az évtizedek előrehaladtával hamar kiapad: ö publikációinak több, mint nyolcvan százalékát ötvenedik életéve után alkotta. Példás szorgalm;:t nyugalomba vonulása után is szüntelen alkotó munkára késztette. Több új cikk mellett ezekben az éVekben írta könyvét a hiperbolikus geometriára vonatkozó vizsgálatainak összegezéseként Szinte utolsó percéig dolgozott a készülö angol nyelvű kiadáson, a már egyre inkább elhatalmasodó betegségről mit sem sejtve. Amikor csendben kórházba vonult, hogy jelentéktelennek vélt panaszait kivizsgáltassa, nem gondolta, hogy a néhány hetes kórházi tartózkodás után soha többé nemfog visszatérni a rá váró korrektúrához. · Pali bácsi olyan csendben és szerényerr hagyott itt bennünket, mint amilyen csendben és szerényerr élt közöttünk. Eletében mindenki szerette öt, most mindnyájan fájdalmasan· érezzük hiányát. Példaképünk volt és marad ezután is, hogy csak emlékében és műveiben marad velünk.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XIX Szász Pál tudományos munkáinakjegyzéke

I. Dolgozatok l. Über einen Mittelwertsatz. Mathematische Zeitschrift 25 (1926). 2. A differenciálszámítás középértéktételével kapcsolatos kérdésekről. Matematikai és Fizikai Lapok 33 (1927). 3. A differenciálszámítás egy általános középértéktételéről. Uo. 35 (1928). 4. Konvex és monoton függvényekrőL Uo. 36 (1929). 5. A simuló paraboláróL Uo. 38 (1931). 6. Egy minimum-feladat a körbe beírt sokszögekre vonatkozólag. Uo. 42 (1935). 7. Megjegyzés Kürschák József egy munkájához. Uo. 47 (1937). 8. Az elliptikus, az euklideszi és a hiperbolikus geometria szétválasztása. Uo. 48 (1943). 9. A hiperbolikus trigonometriáról. Uo. 48 (1941). l O. Az aequidistans interpolációróL Uo. 49 (1942). 11. Neue Herleitung der hyperbolischen Trigonometrie in der Ebene. Szegedi Acta 12 (1950). 12. Verwendung einer lelassischen Konfiguration Johann Bolyais' bei der HerJeitung der hyperbolischen Trigonometrie in derEbene. Uo. 14 (1952). 13. N. I. Lobacsevszkij "Geometriai vizsgálatok a párhuzamosok elméletének körébő!" c. könyvéről. A MTA III. Osztályának Közleményei 2 (1952). 14. Neue Bestimmung des Parallelwinkels in der hyperbolischen Ebene mit den lelassischen Hilfsmitteln. Szegedi Acta 14 (1952). 15. Neue HerJeitung der hyperbolischen Trigonometrie durch Verwendung der Grenzkugel. Acta Math. Hung. 3 (1952). 16. A hiperbolikus trigonometria különböző elemi elő állításai. A MTA III. Osztályának Közleményei 3 (1953). 17. Beweis der Hauptfonnel der hyperbolischen Trigonometrie anabhangig von der Stetigkeit. Szegedi Acta 15 (1953). 18. A hiperbolikus trigonometria közvetlen előállítása a tér felhasználásával. A MTA III. Osztályának Közleményei 3 (1953). 19. A hiperbolikus trigonometria új előállítása a pacaszféra felhasználásával. Uo. 3 (1953). 20. A hiperbolikus trigonometria új síkbeli előállítása a klasszikus segédeszközökkeL Uo. 3 (1953). 21. HerJeitung der hyperbolischen Trigonometrie in der Poincaréschen Halbebene. Szegedi Acta 15 (1954). 22. Über die Rektifikation des Kreises, des Grenzkreises und der Abstandslinie. Acta Math. Hung. 4 (1953). 23. Über die Hilbertsebe Begründung der hyperbolischen Geometrie. Uo. 4 (1953). 24. Megjegyzés Fejér Lipót egy munkájához. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem Tennészettudományi Karának 1952-53. tanévi évkönyve, 1954. 25. Über die Trigonometrie des Poincaréschen Kreismodells der hyperbolischen eberren Geometrie. Acta Math. Hung. 5 (1954). 26. Az elemi könnérésrőL Matematikai Lapok 5 (1954). 27. A moduláris csoport geometriai interpretációjáróL A MTA III. Osztályának Közleményei 5 (1955). 28. Elementargeometrischer Beweis der Widerspruchsfreiheit der hyperbolischen Raumgeometrie mit Hilfe des Poincaréschen Halbraumes. Acta Math. Hung. 5 ( 1954). www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XX 29. Elementargeometrische Herstellung ,des Klein-Hilbertschen Kugelmodells des hyperbolischen Raumes. Szegedi Acta 16 (1955). 30. Diverses présentations élementaires de la trigonométrie hyperbolique. Acta Math. H ung. 5 (1954). Supplementum. 31. A ciklusövek rektifikációjáróL A MTA III. Osztályának Közleményei 5 (1955). 32. A sinus-sor maradéktagjáróL Matematikai Lapok 6 (1955). 33. A hiperbolikus trigonometria leolvasása a Poincaré-féle körmodellrőL A MTA III. Osztályának Közleményei 6 (1956). 34. A hyperbolikus trigonometria előállítása a Poincaré-féle félsík útján. Uo. 35. Hyperbolische Trigonometrie an dem Poincaréschen Kreismodell abgelesen. Acta Math. Hung. 7 (1956). 36. A Poincaré-féle félsík és a hiperbolikus síkgeometria kapcsolatáról. A MTA Közleményei 6 (1956). 37. A hiperbolikus sík analitikus geometriájának independens elemi felépítése a Hilbert-féle "végkalkulus" alapján. Uo. · 38. Bolyai Farkas sokszögátdarabolási tételérőL Matematikai Lapok 7 (1956). 39. Begründung der analytischen Geometrie der hyperbolischen Ebene mit den klassischen Hilfsmitteln unabhangig von der Trigonometrie dieser Ebene. Acta Math. Hung. 8 (1957). 40. Die hyperbolische Trigonometrie als Folge der analytischen Geometrie der hyperbolischen Ebene. Uo. 41. Ein elementargeometrischer Beweis von H. A. Schwarz vereinfacht und unabhangig von · parallelen Axiom gefiihrt. Uo. 42. On a mean-value theorem ofSchwarz-Stieltjes. Szegedi Acta 19 (1958). 43. Unmittelbare Einführung WeierstrasBscher homogenen Koordinaten in der hyperbolischen Ebene aufGrund der Hilbertseben Endenrechnung. Acta Math. Hung. 9 (1958). 44. A remark on Hilbert's foundation of the hyperbolic plane geometry. Uo. 45. Neuer Beweis für die Darstellung der Bewegungen und Umwendungen der hyperbolischen Ebene mit Hilfe der Hilbertseben Endenrechnung. Annales Univ. Sci. Budapestineusis etc. Sectió Math. l. (1958). 46. New proof of the circle axiom for two eireles in the hyperbolic plane by means of the endcalcuius ofHilbert. Uo. 47. Direct introduction of Weierstrass homogeneaus coordinates in the hyperbolic plane, on the basis of the endcalcuius of Hilbert. Symposium on the Axiomatic Method, Berkeley 1957/58. 48. A halmazelmélet ekvivalencia-tételérőL Mat. Lapok 10 (1959). 49. Über die Rektifikation von Kurvenlogen ing Poincaréschen l{reismodell der hyperbolischen Geometrie der Ebene. Annales Univ. Sci. Budapestineusis etc. Sectio Math. 2 (1959). · 50. Remarque sur un ouvrage de M. Léopold Fejér. Uo. 51. On quasi-Hermite-Fejér interpolation. Acta Math. Hung. l O (1959). 52. Fejér Lipót (1880-1959). A MTA Ill. Osztályának Közleményei 10 (1960). ·53. Einfache Herstellung einer Klasse von nirgends differenzierbaren Stetigen Funktionen auf · . · Grund eines elemeutaren Satzes der analytische Geometrie. Publicationes Mathematicae · Debrecen (1960). · . 54. On a theorem of L. Fejér conceming trigonometric interpolation. Szegedi Acta 21 (1960). '55. On Axioms ofCongruence Due to H. G. Forder. Monatshefte fiir Math.. 65" ( 1961 ).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

XXI 56. A simplar determining of the Angle of parallelism after the method of János Bolyai. Annales Univ. Sci. Budapestineusis etc. Sectio Math. 3-4 (1960-61). 57. On a Maximum-Property Characterizing the Angles of a triangle. Monatshefte fúr Math. 66 (1962). 58. New Gauge Constructions of Perperidiculars Without Assuming the Parallel Axiom. Archi v der Math. 13 ( 1962). 59. Ein bequemer W eg zur Herleitung der Hyperbolischen Trigonometrie mit Hilfe der Grenzkugel. Annales Univ. Sci. Budapestineusis etc. Section Math. 5 (1962). 60. Einfache Herstellung der hyperbolischen Trigonometrie in der Ebene auf Grund der Hilbertseben Endrechnung. Uo. 61. On generalized quasi-step and almost-step parabolas, respectively. Uo. 6 (1963). 62. On a Sum Caneerning the Zeros of the Jacobi Polinamials with Application to the Theory of Generalized Quasi-step Parabolas. Monatshefte fúr Math. 68 (1964). 63. The extended Rennite-Fejér interpolation formula with application to the theory of generalized almost-step parabolas. Publicationes Mathematicae Debrecen ll (1964). 64. On a new presentation of the hyperbolic trigonometry by aid of the Poincaré model. (Hajós Györggyel) Annales Univ. Sci. Budapestineusis etc. Sectio Math. 7 (1964). 65. On power series of the Fejér type. Uo. 8 (1965). 66. Application of the End-calcuius of Hilbert to the Bisectors of the Defect of a triangle in the Hyperbolic Plane. Mathematische Nachrichten 33 (1967). 67. On the pseudo-euklidean geometry due to G. Hessenberg. Canadian Journal of Mathematics 19 (1967). 68.A hiperbolikus trigonometria egyszerűbb előállítása a klasszikus úton. MTA III. Oszt. Közl. 22 (1973) 11-54. 69. A remark on Hermite-Fejér interpolation. Sitzungsberichte d. math.- naturw. Kl. Abt. II. 183. Bd. 8-10. Heft.

II Könyvismertetések l. Karl Reinhardt, Methodische Einführung in die höhere Mathematik. Könyvismertetés, Szeged Acta 9 (1939). 2. Ernst Lindelöf, Einführung in die höhere Analsis. Könyvismertetés. Uo. 9 (1940). 3. Gustave Verriest, Introduction a la géométry non euclidienne par la methode élémentaire. Könyvismertetés. Uo. 14 (1952). 4. R. Baldus- F. Löbell, Nichteuklidische Geometrie. Könyvismertetés. Szegedi Acta 17 (1956).

III. Könyvek l. A differenciál- és integrálszámítás elemei. Az előszót írta Fejér Lipót. Budapest, 1935. FrankJin Társulat. 2. A differenciál- és integrálszámítás alapfogahnai. Budapest, 1948/49. Diószegi Sokszorosító. 3. A differenciál- és integrálszámítás elemei. Teljesen átdolgozott és lényegesen bővített második kiadás. Az előszót írta Fejér Lipót Budapest, 1951, Közoktatásügyi Kiadó Vállalat. 4. Bevezetés a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriába. Bp. Akad. Kiadó, 1973. 295. lap. "Disquisitiones matematicae Hungaricae, szerk. MTA Matematikai Bizottsága. Ism.: Strommer Gyula, Matematikai Lapok, 1973, 179-180.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

ELSŰ FEJEZET.

A VALÓS SZÁMOK. EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÖS FÜGGVÉNY. B e v e z e t és. Az alábbi tárgyalásokhan csak a pozitív racionális számokat tekintjük ismeretes eknek. Ezek: 1o a pozitív egész számok vagy természetes számok, azaz

1, 2, 3, 2° a pozitív racionális törtek, vagyis a _E_

q alakú számok, ahol p és q pozitív egész szám és p a q-val nem osztható. E fejezet célja mindenekelött éppen a sokkal általánosabb számfogalomnak, a valós szám fogalmának felépítése. Ez két lépésben fog történni. Először bevezetjük a pozitív valós számokat, mint végtelen tizedestörteket. Azután a zérus és a negatív számok bevezetésével áttérünk a valós számok Összeségére. 1 I. A pozitív valós számok, mint végtelen tizedestörtek.

1. §. Legyen a pozitív egész szám, vagy a O jegy, továbbá ai, a2, ... , an, .... legyenek a O, 1, ... , 9 jegyek közül valók, kikötve, hogy ne legyen bizonyos indextől kezdve mindegyik jegy O. Akkor az a·a 1 a 2 . . . a;,. .•. (1) alakzatot végtelen tizedestörtnek nevezzük. Az

(2) véges tizedestörtek (attól kezdve, amely már nem áll csupa O-hól) e végtelen tizedestört ú. n. közelítő törtjei, míg 1 Elvontabb és talán kevésbbé természetes a valós számoknak akár fl. DEDEKIND-, akár a CANTOR-MÉRAY-féle klasszikus elmélete. V. ö. R. DEDEKIND: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872 (5. kiad. 1927), továbbá G. CANToR: Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie .der trigonometriachen Reihen, Mathematische Annalen 5 (1872),.p~ 123~126 és ugyanattól: Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, u. o. 21 (1883), p. 564'-----569, végül Ch. MÉRAY: Nouveau précis d' Analyse infinitésimale, Paris 1872. Első kiadásunkban még a CANTOR-MÉRAY-féle elméletet dolgoztuk ki.

1

A differenciál- és integrálszámítás elemei -

www.interkonyv.hu

4/19

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

2

(3)

a

felső közelítő tört jei.

i

+ iOn

(Ha a· a 1 a 2 ... an csupa O-ból áll, akkor a· a 1 a 2 ... an+

i

az iOn számot jelenti.) A (2) sorozat monoton növekedő, vagyis a·a 1 ;:2; a·a 1 a 2 2; ... ;:2; a·a 1 a 2

a,. ;:2; ••• ,

•••

a (3) sorozat viszont monoton fogyó, azaz a·a 1

i + IO ;s

a·a 1 a 2

+ iüi

. 2

~ •••

;s

a·a1 a 2

• ••

l a"+ iOn

;s ...

Továbbá (2) tagjai mind kisebbek a (3) bármelyik tagjánál: a · a 1 a2

• • •

a"




r(! -

e.

Eszerint az r + e, ill. r(! felső .korlát a legkisebb az ex" + flv, ill. IX,. flv számok racionális felső korlátai között. Ebből azonban már következik, hogy ezeknél

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

11

kisebb irracionális felső korlátj a sincsen e számhalmazoknak. Mert ha pl. volna az (r+ e)-nál kisebb irracionális felső korlátja az o:n + f3v számoknak, akkor annak egy az (r+ e)-nál szintén kisebb felső közelítő törtje (2. § 2°) ezeknek ugyancsak felső korlátja volna, ami pedig racionális lévén, az előbbiek szerint az (r+ e)-nál nem lehet kisebb. Hasonlóan következik, hogy az o:n {3" számoknak sincs re-nál kisebb irracionális felső korlátjuk. Ezzel a fenti definíció jogosultságát igazoltuk. Ha az (1) alatti számok összege végtelen tizedestört alakjában

(4) akkor a definícióból folyólag a (2), ill. (3) alatti közelítö törtekre rögzített m mellett 1 C'C1C 2 ••. Crn < CGn + f3v ;2 C'C1C2 ••• C m + 10m hacsak n és v eléggé nagy. Ekkor tehát (1. §) az o:,. + f3v összeg végtelen tizedestört alakja az m-edik decimális jegyig megegyezik az A + B összeg (4) alatt felírt kifejezésével. Hasonlókép, ha végtelen tizedestörthe fejtve AB= d·d 1d2

•••

dm. ... ,

rögzített m mellett o:,. {3..., kifejtése ezzel az m-edik jegyig egyezik, ha n és v eléggé nagy. Megmutatjuk még, hogy az 1 mint szorzó az általánosabb számkörben is hatástalan, vagyis mindig A.1 =A.

Minthogy végtelen tizedestört alakjában 1 = 0·99 ... 9 ... 1 2

azt kell megmutatnunk, miszerint az Ezek kisebbek A-nál, mert

o:" .O· 99

v

o:,..0·99 ... 9

... 9
e x -ex 10" 10n m IL maradna bármely n és v-re, ami lehetetlen. 5. §. Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenségre vonatkozólag érvényesek a következő műveleti szabályok: Ha B


Pv, (2. § 4°), tehát n ~ n0 , v 2; v0 mellett még inkább o.:" > lfv (1. §). Megmutatjuk, hogy ( 1) egyetlen megoldása

X

www.interkonyv.hu

= o.:,. -

, {J~ felső határa.

(2)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

15

Ez egyben ex". - p-:_ felső határa, mert m ~ n, m ~ v esetén ex". - /[". ~ exn - {i'V (1. §). Minthogy B a {3,. közelítő törtek felső határa (3. §), a 6. § segédtétele értelmében X + B az (ex",- {J".) + {3,. számok felső határa. E felső határ azonban A-val egyenlő. Először is A ezeknek felső korlátja, mert (ex".- P".)+ {3,.= ex".-

(fJ".- {3,.) O, az a-ö 2n, a szög a teljes körülforgásnál nagyobb forgással áll elő.) . . ·, ."..-........ 24. §. Legyen (12. ábra) valamely O középpontú AB körívhe beírt nyilt sokszög AP 1P 2 ••• Pn_ 1 B, a megfelelő körülírt sokszög AQ1 Q2 ••• QnB és t= OAP1

www.interkonyv.hu

•..

Pn_ 1 B területe,

T= OAQ 1

••.

QnB terulete.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

37

Az OAB körszektor (körcikk) területe alatt mindenesetre oly -,; számot kell értenünk, amelyre t> az n indexre vonatkozik, akkor (5), ill. (5*)-ot részletesebben így írjuk: a.. --+H, midőn n--++ oo, ill. H= lim

an.

n-++oo

Ha a (3) monoton fogyó sorozat alulról korlátos, azaz van olyan k szám, amelyre k ;2; b" (n= 1, 2, 3, ... ); akkor a sorozat h alsó határának (28. §) hasonló tulajdonsága van, csakhogy (3) tagjai felülről közelitik meg a h értéket. Vagyis adatván akármilyen kis. pozitív e szám, bizonyos b~, tagtól kezdve h ;2; bn < h

+e

(n = fh, fh

+ 1,

... ).

Ezt ismét úgy fejezzük ki, hogy a (3) manaton fogyó korlátos sorozat a h alsó határhoz tart, vagy h a sorozatnak határértéke (limese), képletben vagy h= lim b".

Nyilvánvaló, hogy h megint az egyetlen szám, amely ezzel a tulajdonsággal bír. A mondottak értelmében valamely pozitív valós szám a végtelen tizedestört alakja közelítő törtjeinek és felső közelítő törtjeinek közös határértéke, lévén ezeknek felső, ill. alsó határa (3., 8. §). Minthogy egy n jegyű közelítő tört és a megfelelő

felső közelítő tört

különbsége

megközelítik, kisebb

i~n -nél.

1~" ,

azért a hiba, amivel ezek a határértéküket

A következő §-okban bemutatunk még néhány példát manaton ill. fogyó sorozat határértékére. 30. §. Tekintsük a

V2, V1 +V2,

... ,

V1 +V1 + ... +V2, ...

növekedő,

(1)

sorozatot, amelyben az n-edik tag an =

V + V + ... + V + V2:" 1

(l)

1

(2)

Megmutatjuk, hogy ez szigorúan manaton

www.interkonyv.hu

1

(n-1)

(2.)

(n)

növekedő.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

45 (2)·re tekintettel nyilván

a; = 1 + a.,.- 1, a~+ 1 = 1

+ an.

(3)

Ha már tudjuk, hogy a"> a"_1 , akkor (3) alapján egyszersmind a"+ 1 > a". Az első két tagra közvetlenül látható, hogy a 2 > a 1 , tehát teljes indukcióva valóban minden n-re (n = 1, 2, 3, ... ). De az (1) sorozat

felülről

korlátos is, mert (3)-ból

1

an-l

1

a"

an

a1

1 an=~+-- O folytán B,.q,.

+ B.._

1

< B,.x". + Bn-1 < Bnq,. + B,. + B,._I

vagy (6)-ra tekintettel Bn+l

< Bn X,.

+ Bn-1
1 + 0:1 + 0:2 + ••• + O:ml

mert a baloldalon a szorzást elvégezve, a nyert összeg tartalmazza a jobboldalon álló tagokat s ezeken kívül még csupa pozitív tagot. Ezt alkalmazva, (2)-ből 2· 4· . . . 2n > 2 ( 1 1-3· ... (2n-1)

+i_ +

. .. + _1_) .

3

2n-1

Ebből

pedig a 36. § (5) tétele alapján nyilván folyik (1 *). 39. §. Megmutatjuk most, hogy

(1)

szigorúan monoton fogyólag. A monotonitásra vonatkozó állítás speciális esete a következő tételnek: Legyenek b1 , b2 , ••• , bn pozitív számok, és tegyük fel, hogy az

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

60

sorozat szigorúan manaton fogyó. Akkor az u n

=al+ a2 + ... +a" bl + b2 + ' , ' + b,.

(n= 1, 2, 3, ... )

sorozat is szigorúan manaton fogyó.

E tételt így láthatjuk be. A feltevés alapján

egyenlőtlenségeket

Ez

(a1

összeadva

+ a2 + ... +a,.)

bn;l

> (b1 + b2 +

... +b.,)

an+t·

Mindkét oldalhoz hozzáadva az szorzatot

(a1 + a2 + ... + a,.) (b 1 + b2 + ... + b,.+ 1) > > (b1 + b2 + ... +b.,) (a1 + a 2 + ... + a.,+ 1),

honnan (n

=

1, 2, 3, ... ).

Ha speciáJisan 1

1

b=-,

a"= 2n-1'

"

n

akkor az 1 - -1 (n= 1, 2, 3, ... ) 2-n

sorozat nyilván szigorúan monoton fogyó, tehát a fenti tétel értelmében az (1) alatti sorozat is ilyen. Legyen mármost 1 1 Sn = 1 +2 + ... +

n·

Akkor

1) ( 21 + 41 + ' .' · + 2n

82 n -

u.. = - - - - - - - - - - s..

(2)

s,.

De ;.-_·,,

82"

=

8"

+ (n

!

1+

n! 2 + .. · + 2~) '

tehát (2)-böl

(3)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

61

Mivel pedig nyilván

1

1

n+1+n+2

1

1

+···+2n 1 vagyis q - 1 > O, (2) tagjai is pozitívak és folyvást növekednek, ha pedig O 1 + n(q -1) o

1 q

rt'

20 a. ábra.

(n= 2, 3, 4, ... ).

o

q" q"

-1

q•

(3) q

1

20 b. ábra.

Ugyanis qn- 1 vagyis az (1) sorozat első és (n + 1)-edik tagja közti különbség nyilván egyenlő a (2) alatti első n differencia összegével, azaz

(4)

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

62

S mivel itt a jobboldalon álló n tagú összeg legkisebb tagja a fentebbiek szerint q- 1, innen folyik (3). A q helyébe (1 + h)-t téve, a (3) tételt így is kifejezhetjük: ha 1 + h> O és h =t= O, akkor (3*) (1 + ht > 1 + n h (n = 2, 3, 4, ... ). A (3), ill. (3*) alatti egyenlőtlenséget Bernoulli-féle egyenlőtlenségnek fogjuk • nevezni. 1 A (4) képlet nyilván mindig érvényes, bármilyen szám is a q. Ha q =t= 1, akkor (q- 1)-gyel végigosztva adódik 1 +q+q 2 + ... +qn-1 = qn - 11 (q=t= 1) ,

(5)

q-

ami a véges geometriai sor ismert összegképlete. 41. §. A BERNOULLI-féle egyenlőtlenségnek folyománya a elemi tétel:

köv~tkező

fontos.

Ha q> 1, akkor az

1, q, q2,. '., qn, •'' szigorúan manaton

növekedő

sorozatban

qn Ugyanis a BERNOULLI-féle

---.>-

+ 00

egyenlőtlenség

(q> 1).2

(1)

szerint (33. § (3))

q" > 1 + n (q- 1), s mivel q -

(2)

1 > O, a P pozitív szám megadása után 1 +n (q -1) >P

ha n eléggé nagy, t. i. ha már

n>

P-1 q-1

De ekkor (2) alapján még inkább

qn >P (21. a ábra), amivel (1)-et bebizonyítottuk.

o

1 q q' q•

p q"

Első

o

pillanatra cfe

21 a. ábra.

q•

meglepő,

q•

q

hogy a tétel 1

21 b. ábra.

igaz, bármily kevéssel legyen is nagyobb q az 1-nél. E tételből folyik a következő: ha O < q < 1, akkor az

1' q, q2 ' ... ' qn , ... 1 V. ö. JAKOB BERNOULLI: Über unendliche Reihen (1685-f?Oq), Ostwald's K!assiker der exakten Wissenscha.ten Nr. 1:1, p. 5, IV. 2 JAKOB BERNOULLI i. h. p. 6, v.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

63

szigorúan monoton fogyó sorozatban q"--+ O (O< q< 1) 1 • Ugyanis a feltevés szerint _i_> 1, tehát az

q

előbbi

tétel értelmében az s pozitív

szám megadása után

ha n eléggé nagy, innen pedig (21. b ábra). Ugyancsak a BERNOULLI-féle pozitív szám, akkor

egyenlőtlenségnek

folyománya, hogy ha a=J=1

n

Va

--d fogyólag, vagy növekedőleg aszerint, amint a> 1 vagy O < a < 1. Tegyük fel u. i. először, hogy a> 1. Akkor n

Va =

+ hn, hn >O n Va < Va miután 1

(4)

(5)

n+i

és itt hn folyvást csökken, mert a > 1 következtében az n (n+ 1)-edik hatványokra an < an+ 1 • Alkalmazva a BERNOULLI-féle egyenlőt­ lenséget, innen a> 1 nhn, tehát a-1 O 1, tehát az előbbiek szerint a

n

fogyólag, tehát (27. §)

Va

--+ 1 növekedő leg.

VII. A függvény általános detiníciója. 42. §. Az egyváltozás egyértékű függvény fogalmát, célszerűség okából mindjárt a lehető legáltalánosabban definiáljuk. Ez az ú. n. DIRICHLET-féle függvényfogalom2 a következő: . 1 JAKOB BERNOULLI i. h. p. 6, VI. 2 V. ö. G. LEJEUNE DIRICHLET: Über

die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus· und Cosinusreihen, Repertorium der Physik 1 (1837), Werke I., p.135-136; Ostwald's Klassiker Nr. 116, p. 3-4. ·

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

64

Azt mondjuk, hogy y az x egyértéky függvénye, ha x minden szóbajövő értékéhez y-nak meghatározott értéke tartozik. Az y-nak, mint x függvényének megadása a legkülönbözőbb módokon történhet. A fenti definíció szerint függvénnyel állunk szemben pl. akkor is, midőn minden pozitív végtelen tizedestört alakjában adott -

értékhez az értéket rendeljük. A szóbajövö x értékek a függvény értelmezési tartományát alkotják, a megfelelő y értékek összesége pedig a függvény értékkészlete. Az x-et független változónak vagy a függvény argumentumának m~:mdjuk, az y-t függő változónak is nevezzük. A függvény rövid jelölésére, ha az x független vált.ozót is fel akarjuk tüntetni, az f(x), cp(x) stb. szimbolumok szolgálnak. Ekkor az x és y között fennálló funkcionális kapcsolatot az y = f(x), vagy y y= f(x 2 ). ' 43. §. Jelentse [x] az x valós számban foglalt legnagyobb egész számot, amelyre tehát x-1 x 27. ábra:

Már nem szemléltethető így értelmezünk: f(x) =

~,

1, ha 0, ha -1, ha

x>

O

x=O

x
O)

q 10,q ha x irracionális.

·

Ugyancsak nem szemléltethető az ú. n. DIRICHLET-féle függvény 1 diagrammáj a, 1

V. ö. G.

www.interkonyv.hu

LEJEUNE DIRICHLET's

Werke I, Berlin 1889, p. 132.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

67

miután e függvény f(x) = { O,

ha x racionális 1, ha x irracionális.

44. §. Az x pozitív egész

y=

kitevőjű

C0

hatványaiból alkotott

+ c + ... + 1 X

Cn xn

függvényt, amelyben c0 , c1 , ••• , cn megadott számok, n-edfokú racionális egész függvénynek vagy n-edfokú polinomnak nevezzük. Ha cn =f: O, akkor e polinom pontosan n-edfokú. Midön ki akarjuk emelni, hogy c~ = O is lehetséges, legföljebb n-edfokú polinomról beszélünk. A 0-adfokú y =c polinomot állandónak ( constansnakJ nevezzük. Ezt egy az OX tengellyel párhuzamos egyenes ábrázolja (28. ábra). y

y

c

-------r~----y=c

o

x

o

28. ábra.

x 29. ábra.

Az y = m x + c elsőfokú racionális egész függvényt olyan egyenes ábrazolja (29. ábra), amely átmegy az OY tengely (O, c) pontján (az OY tengelyből c darabot vág le) és iránytangense m. Az előbbi ennek az a speciális esete, midőn m = O. A pontosan másodfokú y =a x 2 b x+ c (a =f: O) polinom görbéje oly parabola, amelynek tengelye az OY tengellyel párhuzamos

+

Y.

Y.

o

x

30 a. ábra.

x

30 b. ábra.

5* -1)/30

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

68

x

b

=- 2a

egyenes, és a tengelypontja a legmélyebben vagy legmagasabban

fekszik aszerint, amint a > O vagy a < O (30 a. és b. ábra). Általában racionális függvénynek nevezzük két racionális polinom hányadosát: _ a0 x m

+a

x m-1

1

+ . . . + am •

Y- b0 x+ n b x n-1 + ... +n b 1 Ennek értelmezési tartományából ki vannak zárva azok az x helyek, amelyeken a nevező O. Ha a nevező állandó, akkor speciáJisan racionális egész függvénnyel állunk szemben. Az olyan racionális függvényt, amely nem racionális polinom, racionális törtfüggvénynek mondjuk. Ennek legegyszerűbb esete a lineáris törtfüggvény: y =

Ezt

egyenlőoldalú

olyan

ax+b d ex+

(c =j= O,

hiperbola

ad-be =j= O).

ábrázolj a, amelynek

y

y

a

középpontj a

a

l

_ji

----··c--------------:-----------,-

a

. ·-c-------------;-------------

1 l

1

l

l

x

o

-cl

X

l

l l

l l l

y~ a~+b

Y= a:!!+b

cx+d .l.bc-ad>O)

cót!+d

(bc-ad

vagy [x] -

x

----+

1 m1"d"on '

X-->-+ 00.

Minthogy 1

~[x]< x

1_

_!, x

ha -oo

K.

valahányszor

e,

Hasonló az x= -oo helyen vett véges határérték definiciója. H a akármilyen nagy pozitív P számhoz található oly K, hogy

f(x) >p

x>K,

valahányszor

+ oo helyen + oo,

akkor azt mondjuk, hogy f(x) határértéke az x =

képletben

lim f(x) = + oo x=+

00

vagy f(x)-~

+oo,

midőn

+oo.

x-~

Hasonló értelme van a lim f(x) = -oo, x~+

lim f(x) = + oo,

oo

lim f(x) = -oo

x=-oo

x=-oo

kép l eteknek. Az összeg, szorzat és hányados folytonassága (26., 27. §) alapján nyilvánvalók a következő tételek: Ha lim ep (x) =B limf(x) =A, x~+

oo

;!:=

+ 00

s A és B véges számértékek, akkor

+ ep (x)] =

lim [f(x) x=+ oo

A

+ B,

(1)

lim [f (x) ep (x)] = AB x~+

(2)

oo

és B=!=O esetén f(x)

lim - - +oo ep (x)

x~

A

-· B

(3)

(1) ill. (2)-ből teljes indukcióval rögtön következik, hogy ha

lim / 1 (x) = A 11 x-+ oo

s A1 , A2 ,

••• ,

lim j n (x) =An x=+ oo

oo

An véges számértékek, akkor lim [/ 1 (x)+ / 2 (x)+ .. . +ln. (x)]= A 1 + A 2 +· .. +An

••• ,

x~+

és

lim / 2 (x) = A 2, x~+

(1*)

oo

lim x~+

[ft (x) / 2 (x) ... fn

oo

(x)] = A 1 A 2

•••

An.

(2*)

Ugyanezek érvényesek evidenter az x=--oo helyen vett véges határértékre vonatkozólag.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

71

E tételek alapján tüstént meghatározhatjuk valamely

+ ...

aoxm +atxm-1 +~ bo xn +bt xn-l + ... +b,.

(4)

racionális függvény határértékét az x = + oo vagy x = -co helyen. Ugyanis x =1= O mellett- amint a + oo vagy - oo helyen vett határérték vizsgálatánál nyilván feltehetjük - e függvény 1 +al_!_+ az _!_+ ..• +am_!_ . a0 xm a0 x a0 x2 b0 xn 1 +b1 _!_+b 2 _!_+ ... +b,._!_ b0 x b0 x2 b0 x" a0 xm

(5}

Minthogy pedig nyilván· lim _!_=O,

lim

a fenti

tételekből

\=O, ...,

x-± oo X

x-±co X

következik, hogy . llffi x-;!:co

1 + a1 _!_ + a2 _!_ + • . . + am _!_ ao x ao x2 ao xm 1 = . 1 + bl _!_+ b2 _!_+ .•. +b,. l_ b0 x b0 x2 b0 x"

Ennélfogva, ha az (5) jobboldalán álló első tényező határértéke véges, a (2) tétel értelmében a baloldal is ugyanezzel a határértékkel bír. Ez nyilván igaz még akkor is, ha a jobboldali első tényező a +ooVagy -oohatárértékhez tart. E

tényező

l::,

ha m =n

aoxm- J ao 1 bo xn l b xn-m '

ll a: bo

ham n esetén evidenter +co vagy -co asze-

:o pozitív vagy negatív. Az o

x = - oo helyen vett határértéket illetó-

leg ez m >n esetben páros m,-n mellett nyilván ugyanazok, páratlan m-n mellett ellenben ~ordítottak a viszonyok. Látjuk, a (4} racionális függvénynek akár az x= +oo, akár az x= -,-co helyen van (véges vagy végtelen) határértéke, mégpedig lim x=.±co

www.interkonyv.hu

+ ... +

ao xm + al xm-1 am l" ao xm -b-bo xn + bl xn- l + ... +· b.. =Im x = ;!: co o xn

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

72 vagyis a határérték megállapításánál a számlálóból és a nevezőből csak a legmagasabb fokú tagok jönnek tekintetbe. A mondottak értelmében m = n esetén a határérték

l. lill

x = ± oo

m




n, az x

ao xm bo x n

+a +b

1

xm- 1

1

xm-

1

+ ... +am + · · · + bm

+ al xm-1 + ... + am + b xn- 1 + . . . + bn

lill 00

_ ao --b' o

-O ( -

m

l

l


O ao xm + al xm- 1 + ... + am b n b 1 b o x + xn + ... + n h ao -oo a-< o

=

l.

x-+

00

a0 xm bo xm

l

'

oo helyen vett határértékre

3

+ V2 x2 + V? =-oo. lim V -, lim x=_±oo 2-x+x3-3x5 3 x=-oo 5x3-n x2 + 2V5 Speciálisan valamely racionális egész függvény határértéke a + oo helyen • ( a0 x m + a x m-l + ... + am ) = { +oo, h ha a 0 > O J1m 1 x=+oo -oo, a a < 0 1-

n

x2

+ 2 x5

bo

>

n) és ugyanez vagy a fordított érvényes az x = aszerint, amint m - n páros vagy páratlan. Például (m

n 2 x4

2

4

0

a - oo helyen pedig

. (a0 x m l1m

x=-oo

+ a1 x m- 1 + . . . + am ) -_J\ + oo, -oo,

hha a0 > O és . m páros . a a 0 H - e. Minthogy f (x) monoton növekedő, a fortiori H- e < f (x) ~ H, ha x ;s ~Eszerint a fenti definíció értelmében lim f (x)= H. x-+ oo

Hasonló tétel érvényes az x= -oo helyen vett határértékre vonatkozólag. 46. §. Legyen f (x) oly függvény, amely egy a hely bizonyos környezetében (15. §) minden x=!= a helyen értelmezve van. Magán az x= a helyen nem kell értelmezve lennie. Ilyen pl. az x

www.interkonyv.hu

[! Jfüggvény

az x =O hely környez.etében

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

73

(43. §). Lehetséges, hogy f (x) tetszőleges pontossággal megközelít valamely A értéket, ha az x =f: a helyet az a-hoz eléggé közel választjuk, mint ahogy az említett függvény nyilván megközelíti az 1 értéket. Ilyenkor azt mondjuk, hogy f (x) határértéke az x= a helyen A. Részletesebben kifejezve, a végesben fekvő x= a helyen vett véges határérték definíciója a következő: Az j (x) függvényről azt mondjuk, hogy a végesben határértéke a véges A számérték, képletben

f (x)=

lim

x= a

fekvő

x = a helyen vett

A

vagy j (x) ---+ A, midön x ---+ a,

ha akármilyen kis pozitív

f

számhoz található oly pozitív ~

valahányszor

Az

[~J

-!

~

szám, hogy

f (x)- A l -A,

midőn X--'>-

a+ 0,

ha akármilyen kis pozitív e számhoz található oly pozitív

l /(x)- A l
- + co, ill. f (x)--+- co midőn x-+ a + 0, ha akármilyen nagy pozitív P számhoz található oly pozitív o, hogy f (x)> P, resp. f (x)< -P

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

76

valahányszor

a< x< a+

o.

Hasonlóan definiáltatik a + oo, ill. - oo, mint baloldali határérték. Például (31b. ábra) a x+ b . l 1m lim a x + b = + oo = -oo, d ex+ d d ex+ d x~-- +0 x~-- -O c

c

(be- ad< O).

Nyilvánvaló, hogy ha az x= a helyen mind a jobb-, mind a baloldali határérték oo, ill. - oo, akkor a függvény a helyen vett határértéke is oo, resp. - oo, és fordítva. 48. §. Az alábbiakban szükségünk lesz a következő nevezetes segédtételre: Bármely

+

+

végtelen számsorozatból kiválaszthatunk egy manaton «részsorozatot)). Bizonyítás. Tegyük fel

először, hogy a sorozat tagjai között nincs legnagyobb. Választván valamely ai, tagot, ez után kelllenni nagyobb tagnak, mert különben a 1 , a 2, ••• , a;, közül a legnagyobb egyszersmind az egész sorozat legnagyobb tagj a volna. Legyen egy ilyen, a;, utáni nagyobb tag a;,, Ez után is kelllenni nagyobb tagnak, mert különben a 1 , a 2, ••• , ai, legnagyobbika a sorozat legnagyobb tagja volna. E kiválasztás vég nélkül folytatható s oly részsorozatot eredményez, amely konstrukció j a szerint szigorúan monoton növekedő:

a;,< ai,< ... 0 mellett az a O, osszuk fel az (a, b) szá"!llközt véges számú részre úgy, hogy

If

(x1) -

f

(x2)

l
P, ... , a,.> P, ...

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

SR

Ha az (1) sorozat olyan, hogy- an--++ oo, akkor azt mondjuk, hogy a határértéke - oo, képletben lim an = - 00 vagy an--+- 00. Ez tehát azt jelenti, hogy adatván akármilyen nagy pozitív P szám, bizonyos v indextől kezdve an < - p (n =v, 'V 1, ... ).

+

A + oo helyen vett véges határérték létezésének kritériumát (49. §) arra az esetre alkalmazva, midőn a függvény értelmezési tartományát az 1, 2, ... , n, . . . számok alkotják, nyerjük a számsorozat véges határértéke létezésének következő szükséges és elegendő feltételét: Valamely számsorozatnak akkor és csak akkor van véges határértéke, ha adatván akármilyen kis pozitív e szám, ehhez található oly v index, amelytől kezdve bármely két tag különbségének abszolút értéke kisebb e-nál, vagyis

l a,.- am l

S 2v-l

(k, v = 1, 2, 3, ... )

(36. ábra). Tehát s 2 , s 4 , ••• monoton fogyó, s1 , s3 , ••• viszont monoton növekedő, alulról, ill. felülről korlátos sorozat s így mindegyiknek van véges határértéke l

l

llim

S2k-
-A, azért ez e pozitív számhoz találunk oly

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

92

tagot (S')-ben, amelytól kezdve valamennyi tag megközelíti A-t e-nál kisebbhibával, amelytől kezdve tehát minden tag különbözik x3 -tól. Mármost (S'} minden tagját egy helyen, ahol fellép, tartsuk meg, a többi helyről pedig töröljük. lgy (S')-ből oly Y1, Y2, · · ., Yn, · · • (S"} sorozat marad vissza, amelynek tagjai egymástól és A-tól különbözők s melyben szintén y,. -7 A. Ez (S") sorozatra három eset lehetséges: 1. végtelen sok tag kisebb A -nál és véges számú nagyobb A -nál, 2. végtelen sok tag nagyobb A-nál és véges számú kisebb A-nál, 3. végtelen sok tag kisebb A-nál és végtelen sok tag nagyobb A-nál. Az 1. esetben hagyjuk el a véges számú A-nál nagyobb tagot, a 2. esetben a véges számú A-nál kisebb tagot, a 3. esetben pedig tartsuk meg a sorozatot változatlanul. Legyen az így kapott sorozat (S"')

Ebben is zn -7 A és az 1. esetben a sorozat olyan, mint (1), a 2. esetben mint (2), a 3 .. esetben pedig olyan mint (3). Világos továbbá, hogy (S) az (S"')-tőllegfeljebb annyiban különbözik, hogy ki van bővítve az 1o, 2° és 3o alatt felsorolt tagokkaL A tétel tehát be van bizonyítva. 61. §. Legyenek a nem-negatív számokból álló ain), a~n>, .. ;, a~n) (n= 1, 2, 3, ... ) számcsoportok úgy választva, hogy bármelyik csoport számtani közepe a következőnek a legnagyobb száma, vagyis m + l> al.J'> + a~n> + . . . a~n> (1) max ai = .

+

v

Bebizonyítjuk, hogy e számcsoportok bizonyos L számhoz tartanak: min ·ain> --7 L, max ain> --7 L .l (2} (1)-ből folyólag (16. §) max a;n + l> ;;; max aln> azaz e számcsoportok legnagyobb számainak sorozata monoton fogyó. E sorozatnak a 0 alsó korlátja, minthogy tagjai nem-negatívak. Ennélfogva e sorozat fogyólag bizonyos véges határértékhez tart (29. §), mondjuk max ajn>--7L. (3) A sorozat fogyó lévén, L nem nagyobb a tagok bármelyikénél, azaz (1)-re tekintettel + acn> l 2 + . • . + a'n v L , . acn> .

2=

v

'

ami mellett méginkább áll

L;;; ,

1

Értesítő

ml·n

a.~n

+ (v- 1) p

max ain>

(4}

DÁVID LAJos: Az algebrai iteratio elméletéhez, Matematikai és Természettudományi 1907, p. 320. · ·

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

93

Ha mármost adatik valamely e >0 szám, (3) értelmében bizonyos n= k-tól kezdve max at)

8

< L+ v- 1

(n= k, k

+ 1,

... ),

tehát (4) alapján L < min a;n> +(v -1) L+ e

(n= k, k

következőleg

L - e < min ain> ~ max a)"> < L (n =k, k + 1, ... ). Ezzel (2)-t bebizonyítottuk. 62. §. A határérték definíció j a szerint (58. §) az

+ 1,

... ),

+e

sorozatról azt mondjuk, hogy a határértéke zérus, képletben

an --+

o,

ha akármilyen kis pozitív e-hoz található oly av tag a sorozatban, amelytől kezdve valamennyi tag abszolút értéke Icisebb e-nál, azaz

l

av

l
r. Minthogy

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

94

és a

r

+q l'

r

+q 2 '

... , !L tényezök kisebbek .!L -nél,. azért n r.

qn qr(q)n-7' r).

(3)

Mivel jtt r választása folytán

azért (1) értelmében

( -qr )n-r --+O . ' tehát a (3) alatti becslésból folyik (2). Különben {2) nyilván specjáJis esete a Ha az sorozathoz található olyan p

következő

általános tételnek:

< 1 pozitív szám, ·hogy bizonyos v indextől kezdve

la;:t l~

p

(n

~ v),

(4)

akkor

(5)

a"-+ O.

Bizonyítás. A (4) alatti feltevés szerint

l a..+t l ~ P l a.. l, l a,.+2 l ~ P l a..+t l ;;;:; P2 l a.. l, S, akkor az e

=

S'-;- S pozitív

s~ámra

+ e, tehát (S'- e)-nál nagyobb tag csak véges számú van a sorozatban, ha pedig S' < S, akkor az e = S--;- S' számra S' + e = S-e s így (S' +e)-

S'- e= S

nál nagyobb tag végtelen sok van. Az S szám e tulajdonságát úgy fejezzük ki, hogy S az (1) sorozat határértékell vagy «limes superiorjall, képletben S

=

lim a,. vagy S

=

, x~v>, ... , xii>) pontnak a A= (a 1 , az, ... , an) ponttól való távolsága APv-~ 0. Az ilyen pontsorozatot konvergensnek nevezzük. Korlátosnak m ondjuk a fenti pontsorozatot, midön van olyan K > O szám, hogy

l x~> l


(v

l
, ••.

7

xii~ 1 )

(v= 1, 2, 3, ... ).

Minthogy föltevésünk szerint az állítás n-dimenziós térre igaz, (1)-böl nyilván kiválasztható a

Pvl, Pvz• ... ' Pp.,• ... (v1 < v2 < ... < v, < ... ) részsorozat úgy, hogy

(2) ('\'l)

('Vi)

('Vg)

Xn,Xn:···,Xn,···

mind konvergens sorozatok legyenek. És a 64. § idézett tétele értelmében a korlátos sorozatból kiválaszthatunk egy konvergens X(vkl)' x(v7,2) n+l

n+1 ' · • .,

(vk.)

Xn+i • • · ·

(k. l


O, e távolságnak mindenesetre van bizonyos d~ O alsó határa (28. §). A v = 1, 2, 3, ... indexek mindegyikéhez T 1 -ből a Pv,- T 2 -ből pedig a Qv pont úgy választható, hogy -1 d 2 PvQv < d+- (v= 1, 2, 3, .... ) v

mikor is v--++ oo esetén P,Qv--+ d.

Ha a két tartomány közül pl. T1 korlátos, akkor P 1 , P 2 , ••• korlátos sorozat és e limes-relációból nyilván következik, hogy Q1 , Q2, ... is ilyen. Mármost a korlátos zárt tartomány átmérőjére vonatkozó tétel bebizonyításában követett gondolatmenethez hasonlóan láthatjuk be (66. §), miszerint T1-nek van olyan A, T 2 -nek olyan B pontja, hogy d = AB. E távolság pozitív, miután A és B a feltevés szerint egymástól különbözők. S minthogy ez a i' Q távolság alsó határa, azért annak a lehető legkisebb értéke. Qu. e. d. 68. §. Az alábbiakban szükségünk lesz a következő segédtételre: H a a zárt T tartomány belsejében tartalmazza a T' korlátos és zárt tartományt

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

104

és T' -nek a T határától való minimális távolsága d, akkor minden olyan korlátos tartomány, amelynek T' -vel van közös pontja és átmérője kisebb d-nél, egészen T belsejébe esik.

Ennek belátására legyen a d-nél kisebb átmérőjű korlátos tartomány , képletben f (x 11 x2 , ••• , xn) _ c. Az ilyen függvényt állandónak (constans0 nak) nevezzük. ~-----+------------~ A kétváltozós z = f (x, y) függx V vényt valamely térbeli OXYZ koordi- ~y---' nátarendszerben (39. ábra) egy «felület» X 39. ábra. ábrázolja. Ennek pontjait úgy kapjuk,

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

106

hogy a függvény értelmezési tartományának minden (x, y) helyéhez megszerkesztjük a térnek azt a P pontját, amelynek koordinátái x, y és a megfelelő z. Az x, y változók ú. n. hatványszorzatai az 1 x, y x2, xy, y2 xs, x2y, xy2, ys

függvények. Itt a (k + 1)-edik sorhan azok a hatványszarzatok állanak, amelyek~ ben a változók kitevőinek összegek-val egyenlő; ezeket k-adfokúaknak mondjuk. Ha az első k + 1 sorban foglalt hatványszorzatokat (vagyis a legföljebb k-adfokúakat) bizonyos együtthatókkal megszorozzuk s azután összeadjuk, akkor az x, y változók k-adfokú racionális egész függvényét (vagy polinomját) nyerjük, e változók hatványszorzatai szerint rendezett alakban. Ez pontosan k-adfokú lesz, ha benne a k-adfokú hatványszarzatok együtthatói nem mind zérusok. Az x, y, z változók hatványszorzatai 1 x, y, z x2 , xy, xz, y 2 , yz, z2 x3 , x 2y, x 2z, iy 2, xyz, xz 2, y 3 , y 2 z, yz 2, z3 ahol is a (k + 1)-edik sorban ismét azok a hatványszarzatok állanak, amelyekben a kitevők összege k, amelyeket ezért k-adfokúaknak mondunk. Az első k + 1 sorban foglalt hatványszorzatokat bizonyos együtthatókkal szorozva és azután összeadva, az x, y, z változókk-adfokú racionális egész függvényét (polinomj át) nyerj ük, hatványszarzatok szerint rendezett alakj ában. Hasonló szerkezetű akárhány változó k-adfokú racionális egész függvénye vagy polinomja. Valamely racionális egész függvényt k-adfokú homogén függvénynek mondunk, ha a O-tól különböző együtthatójú tagjainak mindegyikében a változók kitevőinek összege k, vagyis ha minden ilyen tagja k-adfokú. Az elsőfokú homogén racionális egész függvényt máskép elsőfokú alaknak, vagy lineár-alaknak, a másodfokút másodfokú alaknak, vagy quadratikus alaknak nevezzük s igy tovább. Két racionális egész függvény hányadosát általában racionális függvénynek nevezzük. Ez minden olyan helyen értelmezve van, ahol a nevezője nem zérus. 71. §. Legyen (a 1 , a 2 , ••• , a,.) az f (x 1 , x 2 , ••• , x") függvény értelmezési tartományára nézve torlódási hely (66. §). Az ilyen helyen vett véges határérték fogalmát (v. ö. 46. §) következőkép definiáljuk: Az f (x1 , x 2 , ••• , x,.) függvényről azt mondjuk, hogy az (a 1 , a2 , a határértéke a véges A számérték, képletben

lim

www.interkonyv.hu

••• ,

an) helyen

(1)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

107

ha akármilyen kicsiny pozitív e számhoz található olyan pozitív ) (v = 1, 2, 3, ... ) pontsorozatot, amely (a1, a2 , ••• , an)-hez konvergál, de tagjai ettől különbözők, akkor a megfelelő függvényértékek f (xiv>, X~v>, ••• , X~v)) (v= 1, 2, 3, ... ) sorozata A-hoz tart. E tétel meg is fordítható. Ezt éppen úgy bizonyíthatjuk be, mint egyváltozós függvény esetében (63. §). Ennek alapján evidens, miszerint két n-változós függvény összegének, szorzatának és hányadosának határértékére vonatkozólag ugyanazok a tételek érvényesek, mint amelyeket egyváltozós függvény esetében megállapítottunk (46. § (1}, (2), (3)). A véges határérték létezéséhez természetesen nem elegendő, hogy bármely egyenes mentén konvergálva az iUetö helyhez, a függvényérték mindig egy és ugyanazon határértékhez tartson. Tekintsük pl. az x y2 f (x, Y) = x2 + y4 kétváltozós függvényt, amely minden az x = O, y = O kezdőponttól különböző helyen értelmezve. van. Valamely y = m x egyenes mentén a függvényérték

f (x, m x) = x2

m2 xa m2 x m4 x4 = 1 m4 x2

+

+

(x =l= O),

tehát ez egyenesen konvergálva a kezdőponthoz (mikor is x -+O), a függvényérték O-hoz tart. Az OY tengely mentén (az O pont kivételével) a függvény eltünik s így ez egyenes mentén konvergálva a kezdőponthoz, a határérték szintén O. De e függvénynek a kezdőpontban mégsincs határértéke l U gyariis az x = y 2 parabola mentén a függvényérték y4 1 t (y2, y) = y4 + y4 = 2 (y =l= O), tehát e görbe mentén konvergálva a

kezdőponthoz,

a határérték

~

és nem 0.

Az

ax+by+c ax+,By+y

(a ,B- b a =l= O)

(2)

függvény (amely az a x+ ,B y +y= O egyenes pontjain kívül mindenütt értelmezve van), egyszerűsége mellett is olyan különösen viselkedik, hogy az

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

108

+

+

b ?J c = O, (3) adódó($, TJ) helyen nemcsak nincs határértéke, hanem ennek akármilyen kis környezetében minden valós értéket fölvesz. Ugyanis z bármely értékénél a$

egyenletrendszerből

(IX

z - a) x

+ (~z- b) y + y z - c =

O

(4)

egyenes egyenlete, mert a~- b IX =!= O folytán nem lehet egyidejűleg IX z - a = O és~ z - b = O. Ez egyenes nyilván átmegy a (3) által adott($,?)) ponton és különbözik az ezen szintén átmenő IX x ~ y y = O egyenestől, amelyen a (2) függvény nincs értelmezve. De e (4) egyenesnek a($, ?))-tól különböző pontjaiban (ahol is tehát IX x+~ y+ y=!= O) a (2) függvény evidenter a z értéket veszi fel. Tehát e függvény valóban a (~, ?)) hely akármilyen kis környezetében felveszi a z értéket. 72. §. Az f( x 1, x 2, ... , xn) függvényt az (a 1, a 2, ... , an) helyen folytonosnak mondjuk, ha itt a helyettesítési értéke a határértékével megegyezik, azaz

+

lim

+

f (x 1, x 2, . .. , xnJ

=

f (a1 ,

a2, ... ,aJ.

(v. ö. 50. §). A két függvény összegének, szorzatának és hányadosának határértékére vonatkozó tételekből (71. §) folyik, hogy ha az n-változós f és ep fü_55ványek valamely (a1 , a2 , ••• , an) helyen folytonosak, akkor e helyen f + ep, f ep, továbbá

••• , an)=!= O) szintén folytonos. Ebből következik, ep . . hogy valamely racionális függvény mínden olyan helyen folytonos, ahol a nevezője nem zérus, vagyis ahol értelmezve van. Ha az ul =_ul (xl, x2,. .. , xk), ... , un = un (xl, x2, ... , x],) . függvények valamely (x 1 , x 2, ... , xk) helyen folytonosak s az f (u 1 , u 2, ... , un) függvény a megfelelő (u 1 , u 2 , ••• , un) helyen szintén folytonos, akkor a

1_ (feltéve, hogy ep(a 1 , a2 ,

F (x 1 , x 2, ... , xk) =

f ( u1 (x1, x 2 ,

••• ,

xk), .•• , un (x1 , x 2, ... , xk))

((közvetett függvény>, is folytonos az (x1 , x 2 , ••• , x 7,) helyen. E tétel általánosságban éppen úgy látható be, mint az n = 1, k = 1 speciális esetben (52. §). Természetesen a folytonossághoz nem elegendő, hogy a függvény bármelyik változónak külön-külön folytonos függvénye legyen, míg a többi változó rögzítve van. Például tekintsük az

f(x,y) = x 2 x: y 2

(x2

+y

2

=!=O),

f (O, O)= O

kétváltozós függvényt. Ez nyilván az x bármely rögzített értékénél y-nak és az y bármely rögzített értékénél x-nek folytonos függvénye. De e függvény az. x= O, y= O helyen mégsem folytonos! Ugyanis valamely y = m x egyenes. mentén a függvényérték

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

109

m

f (x, m x) = 1 + m2, ha

x =j= O,

tehát ez egyenesen konvergál va az x = O, y = O helyhez, a határérték 1 m 2 +m és nem O, hacsak m =j= O. BoLZANO tételét (53. §) többváltozós függvényre következőkép vihetjük át: ha az f (xu x 2, ... , x") függvény valamely összefüggő tartományban folytonos s annak (a1 , a2 , •• • , a") és (b 1 , b2 , •• • , b") helyein ellenkező előjelű értékeket vesz jel azaz j (a1 , a2 , ••• , a,.) > O, f (bl> b2 , • • • • , bn) < O (~ 1 , ~ 2 , ••• , ~n)

vagy fordítva, akkor van olyan

helye a tartománynak, amelyen

t (~11 ~21 ••. , ~") = o. Ugyanis a feltevés szerint az (a 1 , a2 , ••• , a") és (b 1 , b2 , ••• , bn) helyek összeköthetök olyan xl .- xl (t}, x2 = x2 (t), ... , xn = xn (t) (x ~ t ;;;::;, {3) ' folytonos úttal, amelynek minden pontja a tartományhoz tartozik (66. §) s mivel ennek mentén a függvény a t paramet~rnek j (x 1 (t), x 2 (t), ... , xn (t)) folytonos függvÉnye, az etyváltozós függvényre vonatkozó BoLZANo-tételböl következik az állítás. 73. §. H a valamely folytonos függvény egy korlátos és zárt tartományban folytonos, akkor e tartományban van legnagyobb és legkisebb értéke. (WEIERSTRASS tétele.) Bizonyítás. Először is bebizonyítjuk, hogy a függvény a szóbanforgó T tartományban korlátos. Lehetetlen, hogy a függvény felülről ne legyen korlátos. Ekkor u. i. T-ben az Au A 2 , •• • , Av, . . . (1) helyeket rendre úgy választhatnók, hogy a megfelelő függvényértékek sorozatában j (Al) > 1, j (A2) > 2, ... , j (Av) > v, ... (2) tehát j (AJ---++ oo. (3) A 65. §-ban bebizonyított segédtétel értelmében az (1) sorozatból (amely T korlátos volta miatt korlátos) kiválaszthatnánk oly (4)

részsorozatot, amely konvergens, mondjuk A-hoz tart. Minthogy T zárt tartomány, e A pont is T-hez tartoznék (66. §), tehát a függvény itt folytonos volna, miért is i-·--+ + oo es etén j (Av)--+ j (A) (5) állana. Ez azonban ellentmondás, mert j (A,),

www.interkonyv.hu

f

(A" 2 ),

••• ,

j (Av),

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

110

a (2) alatti függvényértékek sorozatának részsorozata volna s így (3)-ból folyólag ennek is + oo-hez kellene konvergálnia (59. §). Hasonlókép lehetetlen, hogy a függvény alulról ne legyen korlátos. J elöljük a függvény T-beli értékkészletének WEIERSTRAss-féle felső, illetve alsó határát (28. §) W resp. w-vel. Megmutatjuk, hogy e W és w értékeket a függvény T -ben fel is veszi. Minthogy u. i. W az értékkészlet felső határa, azért T-ben az (1) sorozat úgy választható, hogy W- 1
O. Legyen ~ és 'Y/ két szomszédos gyök, amelyek között tehát több gyök nincsen. Akkor az előbbi § szerint g'(x)-nek ~ és 'YJ között páratlan számú gyöke van. Másrészt, minthogy (1) a g (x)

aJakban is írható,

g(~)

= g'(x)

+x~ n.

(1 *)

=g (rj) = O folytán

g

'

m= -

~

'n. ,

g' ('Y/>

n

= -?L n! .

(2)

S mivel ~ és rJ mindketten negatívok, (2) alapján g'(;) és g'('Y)) egyenlő előjelűek Tehát a 91. § értelmében g'(x)-nek ~ és 'Y/ között vagy nincs gyöke, vagy páros 1

M. RoLLE alábbi i. h. (160. old.).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

140

számú van. Ez az előbbivel ellenkezik, tehát' lehetetlen, hogy g (x)-nek egynél több különböző gyöke legyen. De egy többszörös gyöke sem lehet, mert ha o: gyök, akkor ismét IX j( a), az a előtti helyeken pedig f (x) < f (a). Viszont fogyónak mondjuk az f (x) függvényt az a helyen, ha ennek elég kis környezetében az a hely után f (x) f (a). Természetesen, abból, hogy a függvény valamely helyen pl. növekedő, nem következik, hogy e hely környezetében monoton növekedő. Tekintsük pl. ezt a függvényt: f (x) = 1x x2, ha x racionális l x - x 2 , ha x irracionális. Ez az x = O helyen növekedik, mert a - 1 O vagy f'(a)0, azaz f(x) >f(a), az a előtti helyeken viszont f(x)-f(a)< O, vagyis f (x) < f (a). Tehát f (x) az a helyen valóban növekedik. Legyen most f' (a)< O. Akkor -f' (a) > O s így az előbbiek szerint a - f (x) függvény az a helyen növekedő. Ebből azonban nyilván következik, hogy f (x) az a helyen fogyó.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

141

A függvény növekedésére, ill. fogyására vonatkozó ezen feltétel persze csak elegendő, de nem szükséges. Például az xa függvény a O helyen növekedő, noha itt a cleriváltja zérus. · A fenti tételből következik, hogy ha az f (x) függvény az, (a, b) intervallum valamely belső ~ helyén ez intervallumbeli legnagyobb vagy legkisebb értékét veszi fel, akkor f'(~) = O, amennyiben f (x) e ~ helyen differenciálható. Ha u. i. f' (~) >O volna 1 akkor f (x) a ~ helyen növekednék, vagyis elég kis pozitív h mellett állana · · f(~-h)

O. Ennélfogva e függvény a lokális növekedés tétele értelmében (94. §) az x= O helyen növekedik (ami különben közvetlenül is tüstént belátható). Másrészt (1)-böl

f'

(~) = w + 2 x s ( ~)

- s' (

~)

(x =f= O)

tehát (81. § (6))

Í' amely érték

k) =w -1

(21

(k =

+ 1, +2, ... )

(2)-ből folyólag negatív. Következőleg f (x)

az

~•

!' !,...

helyeken

fogyó (94. §). De e sorozat O-hoz tart és így nyilvánvaló, hogy bármilyen kis környezetét jelöljük is ki a O helynek, abban f (x) nem monoton növekedő. 96. §. A lokális növekedés tétele alapján bebizonyítjuk az alábbi tételt, amely a függvények menetének vizsgálata szempontjából alapvető.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

142 H a f (x) az a ;2:; x ;2:; b zárt számközben folytonos és annak belsejében differenciálható függvény, továbbá

f' (x)> O

(a< x< b),

akkor f (x) e számközben szigorúan nwnoton növekedő. (A monoton növekedés tétele.) Bizonyítás. Legyen először a < x 1 < x 2 < b. Minthogy a feltevés szerint f' (x1 ) > O, a lokális növekedés tétele értelmében (94. §) az x 1 helytől jobbra és hozzá eléggé közel eső helyeken (x) > f (x1 ). Tekintsük az x 1 < x ;2:; x 2 számköz azon x számai halmazának $ felső határát (28. §), amelyekre ez egyenlőtlenség

t

fennáll. Miután f' W > O, x 1 és ; között a c helyet eléggé közel választva ;-hez, a c < x < ; számközben j (x) < f (;). Ennélfogva lehetetlen, hogy ; ne tartozzék az említett halmazhoz azaz j ($) ~ f (xi) legyen, mert akkor e számközben még inkább j (x) < f (x 1) állana, tehát nemcsak ;, hanem e számköz pontjai sem tartoznának a szóbanforgó halmazhoz, ellentétben azzal, hogy ; e halmaz felső határa. Tehát szükségképen f W > f (x1). Ebből folyólag az is lehetetlen, hogy ; < x 2 legyen. U. i. f' W> O folytán akkor $és x 2 között a ;~től jobbra és hozzá elég közel eső helyeken t (x) > j(;), tehát még inkább f (x) > t (x1 ) volna, ellentétben ; jelentésével. Eszerint ; = x 2 , tehát f (x 2 ) > j (x 1 ). Ezzel kimutattuk, hogy f (x) az (a, b) számköz belsejében szigorúan monoton növekedő. Ki kell még mutatnunk, hogy f (a) < f (x) < f (b) valahányszor a

viszont

f (al)> f (a2) > .. ·

(3)

(4) j (bl) < f (b2) < · · · · Mivel pedig a függvény az a helyen j abbról, a b helyen pedig balról folytonos, (2) alapján j (an)---+j (a), f (bn)---+f (b)

f (x)
f (a), (4)-ből d. Hasonlókép, ha f (x) az (a, b) zárt számközben folytonos és ezen belül f' (x) b)

(1)

ellipszisen a P pont úgy, hogy a P-beli normálisnak a középponttól való táPalsága a lehető legnagyobb legyen.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

143

Aszimmetria miatt szoritkozhatunk az ellipszisnek első negyedére. A P (x, y) ponthoz tartozó normális egyenlete (84. § (2*)) rendezés után a2 y~- b2 x 'YJ- c2 x y =O (c2 = az- b2). (2) A normálisnak az 0

kezdőponttól

való távolságát p-vel jelölve, (2) alapján (3)

Minthogy

(1)-ből

azért a" y2

+ b4 xz =

b2 a4- a2 b2 x2 +b" x2

= b2 (a"- c2 x2),

tehát (3)-ra tekintettel

Ez

függvény cleriváltja j' (x) = 2 x {(a2 - 2 x 2) (a"- ez x 2) c2 xz (a2- x2)} (a"- c2 x2)2

+

(

Tekintettel a

f'

c2 =

a2

2x ( 2 4 2 a4 x 2 a4 -c 2 x 2 ) 2 c x -

+ a 6) .

b2 relációra, ez igy is írható:

-

(x) = (a4

__::z x2)2 {(a+ b) xz- aa} {(a- b) x2- aa}.

(4)

A O < x < a számközben (a-b)x 2 - a3 O (a< x f (a) -q; (a), azaz fennáll (2). E tételből következik, hogy ha f (x) az a ~ x ~ b zárt számközben folytonos is azon belül differenciálható függvény s van olyan m állandó, hogy f'(x)

>

m

m.

(4}

T. i. az előbbi tételt a (3) feltevésnél fogva alkalmazhatjuk az f (x) és rp (x) = m x függvényekre, tehát f (b)- f (a) > m (b- a), vagyis (4) érvényes. Hasonlóképen ha f (x) az a ~ x ~ b zárt számközben folytonos és azon belül differenciálható függvény s van olyan M állandó, hogy f' (x}

VW iránytangense. Látjuk (1) vagy (2) áll fenn aszerint, amint V az UW alatt vagy a felett van, vagyis amint a görbe alulról konvex vagy .konkáv.

t (x)

1 A konvexitásnak tágabb értelmezését adja JENSEN, alulról konvexnek nevezve az függvényt az illető intervallumban, ha annak bárrriely két különböző x1 és x 2 helyére

f (

X1

~ X2

)

< f

(x1 )

~ f (x 2).

Lásd J. L. W. v. JENSEN: Sur les fonctions corivexes et les inégalités entre les :valeurs moyennes,. Acta Mathematica 30 (1906), p.176. Ez egyimlőtlenség csak azt fejezi ki, hogy az (x1 , x2 ) inter- . valium felezőpontjához tartozó pont a görbén a végpontoknak megfelelő pontokat összekötő húr .alatt van. Ebből következik, hogy ált!!-lában minden a O és 1 közé eső {} racionális számra f (xl + {} (x2 - xl)) f-lri)

= 1, 2, 3, ... ).

De !-ln -+fl (75. §) s így ennek alapján fl f-t 1). Ez azt mondja, hogy P 1 az e felett (alatt) varr. Hasonló a bizonyítás, ha p 1 < p. Tegyük fel most viszont azt, hogy fennáll ez az utóbbi tulajdonság. Akkor bárhogyan választván (a, b)-ben az u u2 > ... > u.,. > ... sorozat úgy választható, hogy u,.-+ a;

a konvexitás (konká vitás) szerint t (v) - t (Un+ t) < t (v)- t (u,.) v - Un+l v- u,.

( t (v) - t (un+ t) > t (v) - t (u.. ) )

v - Un+l (n = 1, 2, 3, ... ) s az a helyen való jobboldali folytonosság következtében t (v)- t (u..) v-u ..

-'-''--'-----''--'-..;:::__ --+

v - u..

t (v)- f(a) . v-a

De ugyancsak a konvexitás (konkávitás) miatt t (v)- t (u.. ) t (w)- t (v) (.t (v)- t (u.. ) t (w)- t :......:...~--=--.....:...-.!:::.. < . . > w -v ' v - u,. w- v v - u.. . tehát t (v) - l (a) < -'-t-'--(w-'-)--'-t-'-(v-'-) ( t(v)-t(a)> t(w)-t(v))· v-a w-v v-a w-v Ez azt jelenti, hogy a görbe v abszcisszájú pontja az a és w abszcisszájú pontokat összekötő húr alatt (felett) van. Hasonlóan látható be, hogy ha t (x) a b helyen balról folytonos, akkor a < u < v < b esetén a v abszcisszájú pont az u és b abazcisszájú pontokat összekötő húr alatt (felett) van. Midőn t (x) az a helyen jobbról és egyidejűleg a b helyen balról folytonos, a < v < b esetén a v abszcisszájú pont az a és b abszcisszájiíakat összekötő húr alatt (felett) van. Ez esetben u. i. a és v között valamely u, v és b között egy w helyet választva, az előbbiek szerint f(v)-t(a) mellett

t (m1 X 1 + m2 X2 + . · · + mv x.. m1 +m2 + ... +m..

valahányszor x 1

www.interkonyv.hu


O, akkor (9-) szerint o: < O, tehát C a normálisnak az OY tengellyel való metszéspontján túl van. Vizsgáljuk meg a parabola· és a simul ó kör kölcsönös helyzetét a P pont környezetében. Legyen először x> O. A simuló körre nézve az első és a második differenciálhányados u. a., mint a parabolára nézve, tehát az előbbire a harmadik differenciálhányadost a. 114. § (7) képlete szolgáltatja, ha abban y' = 2 x, y" = 2; e differenciálhányados tehát pozitív. Minthogy a parabolára vonatkozó y

y

x

a

7~.

73. ábra.

ábra.

harmadik differenciálhányados O-sal egyenlő, azért látjuk (113. §), x > O esetén a parabola és a simul ó körmásodrendben érintkeznek és a P pontban úgy metszik egymást, hogy jobbról a kör van felül (73. ábra). Legyen most x= O. Akkor y' =0 s így az idézett (7) képlet alapján a harmadik differenciálhányados a körre nézve is O. A 114. § (8) képletét alkalmazva adódik, hogy a simuló körre vonatkozó negyedik differenciálhányados x = O-nál 24-gyel egyenlő, tehát nagyobb, mint a parabolára vonatkozó, amely O. Ennélfogva x = O-nál az érintkezés harmadrendű s e pont környezetében a parabola és a kör nem metszik egymást, hanem a kör van felül. (8) és

(10)-ből

itt o: = O, {J x2

www.interkonyv.hu

= ~ , vagyis a simuló kör egyenlete

+ y2-y =O. © Szász Pál

© Typotex Kiadó

179

Eszerint x 2 - y = - y2 < 0, hacsak y=!= O, ami azt mondja, hogy a simuló kör (a kezdőpont kivételével) egészében a parabola felett van (74. ábra). A simuló kör sugara (2) szerint e=

V O számot eléggé kicsinynek választva, e derivált az a- (J ~ x ~ a + Cl, b- Cl ~ y ~ b + ö (2) négyzetben korlátos. Legyen ebben a felső határa M (Cl), az alsó határa pedig m (Cl), mikor is m (o) ~~~~(x, y) ~ M (ö) (3) és az (a, b) helyen való folytonosság következtében nyilván (4) lim M (o) =lim m (Cl) =~~~(a, b). ö~O

.

b=O

Tekintsük mármost rögzített k mellett a következő függvényt: F (x) = f (x, b+ k)- f (x, b). Ennek derivált j a F' (x) = f~ (x, b + k) _:_ f~ (x, b) ami a LAGRANGE-féle középértéktétel alkalmazásával (109. §) a

+

F' (x) = k f';y (x, b -ck) O < -c =.-c (x) < l alakban írható. Ugyancsak a LAGRANGE-féle középértéktétel szerint F (a+ h)- F (a)= h F' (a+{} h), O < {} < 1, y tehát (6) alapján F(a+h)-F(a)= =hkf~~(a+{}h,b+-ck).

b+~

btk

(5)

(6)

(7)

Amennyiben h és k abszolut értékben olyan kicsinyek, hogy az (a+ h, b+ k) hely a (2) négyzetbe esik (76. ábra), (3)-at az (a+ {}h, b + -ck) helyre al· kalmazva, (7)-ből folyólag

b b-it

o

Q-~

a a+h

m(CJ) ~ F(a+:)k-F(a) ~ M(o.)

-x

o+J

76. ábra.

m ( 0)

~

!(

(a

+ h, b +

kk- f

vagyis (5)-re tekintettel (a

+ h, b) _

f (a,

b

+

kk- f

(a, b)}

~ M ( 0). (S)

Miután rögzített h mellett az f~ (a+ h, b) és f~ (a, b) parciális deriváltértékek fogalma szerint l . f (a+ h, b + k)- f (a+ h, b)_ f' ( -L h b) k

1m k=O

-

Y

a

1

,

1 V. ö. H. A. ScHWARz: Ueber ein vollstiindiges System von einander unabhangiger Voraussetzungen zum Beweise des Satzes

.!_

:Jy

(:J t (x, y) )

= .!_

:IX

:IX

(:J

t (x, y)) , :Jy

Mathematische Abhandlungen II, p. 275-284.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

185

és

. f (a, b l1m

+ k)f (a, b) k

_f' ( b) - y a, ,

k~O

(8)-ból folyólag egyben m (ö)~ f~ (a+ h, bl-- f~ (a, b) Ebből

2= M (ö).

pedig (4) alapj án evidenter következik, miszerint . f'y(a+h,b)-f'y(a,b) -f"( b) IIfi h - xy a, . h~

O

Vagyis az ~~~(a, b) második derivált is létezik és fennáll (1), qu. e .. d.

XI. Többváltozós lokális

szélsőérték.

122. §. Többváltozós függvénynél a lokális maximum és lokális minimum (közös néven lokális szélsőérték) fogalmát éppen úgy definiáljuk, mint egyváltozás függvény esetében (104. §). Eszerint az f(x 1 , x 2 , • , ., xr~) függvényről azt mondjuk, hogy az (a1 , a2 , ••• , ar~) helyen lokális «maximuma» van, ha ennek elég kis környezetében a tőle különböző (x1 , x 2 , ••• , x") helyeken f (x 1 , x 2 , •• • , x") < f (a 1, a2 , •• • ; a"); ha pedig az (a1 , a2 , • •• , a") hely elég kis környezetében a tőle különböző (x 1 , x 2 , ••• , x") helyeken '· f (xl, x2, ... , xn) > f (au a2, ... , an), akkor azt mondjuk, hogy az f (x1 , x 2 , ••• , x") függvénynek az (a1 , a 2 , ••• , a,.) helyen lokális «minimuman van. A szó tágabb értelmében vett lokális maximumról, resp. minimumról beszélünk a A= (a1 , a 2 , ••• , a") helyen, ha A-nak elég kis környezetében a függvény ez A helyen felvett értéknél nagyobb, ill. kisebb értéket nem vesz fel. Az egyváltozás függvényre vonatkozó lokális növekedés tételéből (94. §) következik, hogy ha az (a 1 , a2 , •• • , a") helyen azf (x1 , x 2 , ••• , xn) függvény elsőrendű parciális deriváltjai léteznek és a függvénynek ott lokális szélsőértéke van (esetleg csak a szó tágabb értelmében), akkor e helyen a parciális deriváltak zérussal egyenlők: f' x, (a 1 , a.!, ... , a")= O, f' x, (a1 , a2 , •• • , a")= O, ... , f' x,. (a1 , a 2 , ••• , a")= O. (1) Ugyanis ez esetben az f (al,··., ai-I, x, ai+l> ··.,a") egyváltozás függvény az x = a helyen nyilván sem növekvő, sem fogyó nem lehet, tehát az idézett tétel alapján a differenciálhányadosa e helyen szükségképen eltűnik, vagyis

f'x 1 (a 1 , . . . , ai, ... , a.. )= O (i= 1, 2, ... , n), szóval fennállanak az (1) alatti relációk. Az elsőrendű parciális differenciálhányadosok eltűnése természetesen nem elegendő· arra, hogy az illető helyen lokális szélsőérték valóban legyen. Például a kétváltozós z= xy

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

186

függvénynél JZ é:JX =y,

JZ , Jy =X,

amelyek az x = O, y = O helyen eltűnnek. De itt még sincs szélsőérték, mert e helyen a függvényérték z (O, O) = O s e helynek akármilyen kis· környezetében felvesz a függvény úgy pozitív, mint negatív értékeket, nevezetesen z ~ O aszerint, amint x és y megegyező vagy ellenkező előjelűek. Ha az f (x1 , x 2, ••• , xn) függvénynek valamely tartományban van legnagyobb vagy legkisebb értéke s azt a tartomány egy belső (a 1 , a 2 , •• ,, an) helyén veszi fel, akkor itt nyilván lokális szélsőértéke is van a szó tágabb értelmében. E helyen tehát (1) érvényes, ha itt a függvény az egyes változók szerint parciálisan differenciálható. Midőn valamely helyen a függvénynek lokális maximuma, resp. minimuma van, az ezen átfektetett. bármely irányított egyenes mentén vizsgálva a függvényt, mint az e helytől számított t távolság függvényét, ez egyváltozás függvénynek a t = O helyen evidenter szintén maximuma, ill. níinimuma van. Ez azonban bekövetkezhetik anélkül, hogy az eredeti függvénynek az értéke volna. Tekintsük pl. az

f (x, y)

= (y 2

-

2px) (y 2 -

illető

helyen

szélső­

2qx)

> O, q > O, p =J= q) függvényt. 1 Ezt a kezdőponton átmenő x = at, y = fl t (a 2 + {1 2 = (p

1) egyenes

mentén vizsgálva, a

= f (a t, (3 t)=

F (t) y

!i'=2px

+

+

77. ábra.

nyezetében felvesz az értéket.

f

t 2 ((32 t - 2 p a} ((3 2 t - 2 q a)

függvénynek a t = O helyen m1mmuma van. Ugyanis F (O) = O s mivel p és q pozitív volta folytán a ep (t) = ((3 2 t - 2 p a) ((3 2 t - 2 q a)

másodfokú racionális egész függvény a t = O hely környezetében nyilván pozitív (a. = O esetén X t = O-nál eltűnik), azért F (t) > O, ha t ::j= O a O-hoz elég közel esik. De ez f (x, y) függvénynek a kezdőpontban még sincs minimuma, mert az y2 = 2 px és y 2 =2 q x parahoJák közti síkrészben (77. ábra) a függvény nyilván negatív, e parabolákon eltűnik, egyebütt pedig pozitív, tehát a kezdőpont akármilyen kis kör(0, O) = O értéknél nagyobb, valamint ennél kisebb

1 Ez PEANO híres példája. Lásd A. GENoccx-G. PEANo: Calcol o differenziale etc. Torino 18 84, p. XXIX., németül G. BüHLMANN-A. SeREPP-től Leipzig 1899, p. 332; l. még L. ScHEEFFER Theorie der Maxima und Minima einer Function vonzwei Variabeln, Mathematische Annalen 35 (1890), p. 543-5?6.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

187

123. §. Az

f (x1, x 2, •.. , x,.) = = a;l xl 2

+ O:z Xz 2 +

... +a:,. x,. 2+ 2 pl xl +2 Pz

+ ... +2 P.. x,. +r

Xz

(1)

függvény a:1 > O, a:

2

>O, ... , a:,. > O

(2)

esetén az

1 at - - = a : x +P =0 2 ax,. " " " egyenletrendszernek megjel elő xl =

~l =

-

Px'

(3)

a; l

helyen és csakis ezen a legkisebb értékét veszi fel. Ez nyilvánvaló, mert az (1) függvény az egyváltozós al xl2

+ 2 Pt xl,

a2 x22

+ 2 P2 x2,

+ 2 {J,. x,.+ y

•.. , a,. x,.z

másodfokú racionális egész függvények összege s ezek (2) folytán a (3) alatti helyeken és csak ezeken külön-külön a legkisebb értéküket veszik fel (44. §). Hasonlóképen az (1) függvény az a 1 < O, a: 2 < O, ... , a,. Otehát méginkább (a x + b y)2 + +(a c - b2 ) y2 > O; ha pedig y.= O és x=!= O, akkor a []-ben a 2 x 2 álls ez a =1= O folytán > O. Ennélfogva (x, y) =!= (O, O) esetén f (x, y) az a-val megegyező előjelű, vagyis valóban f (O, 0) = O· a legnagyobb vagy legkisebb függvényérték aszerint, amint a < O vagy a> O. Tehát a (2) feltétel elegendő. Tegyük fel möst fordítva, hogy az (1) függvény az x= O, y ~ O helyen és csakis ezen a legnagyobp ·vagy legkisebb értékét veszi fel, azaz más (x, y) helyen vagy mindig negatív, vagy mindig pozitív. Minthogy valamely x =!= O, y~ O helyen f (x, y) = a x 2 , azért az első esetben a < O, az utóbbiban a > O. Az b x = - y, Y =1= o

a

helyen (3)-hól

.b

f (- ; y' y) =

1 . (i (a c -

. b2) y z'

s miután ez a mondottak szerint a-val megegyező előjelű, (2)-nek fenn kell állania. Tehát a (2) feltétel szükséges is. Qu. e. d. Az (1) függvény x és y-nak quadratikus alakja (70. §). Ha a kezdőponttól kűlönböző (x, y) helyeken mindenütt pozitív, akkor definit pozitív alaknak, ha pedig e helyeken mindenütt negatív, akkor definit negatív alaknak mondjuk.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

189

Ha vagy az egyik vagy a másik eset fennáll, akkor (1)-et definit alaknak, ellenesetben indefinit alaknak nevezzük. Tételünk értelmében az (1) .quadratikus alak akkor és csak akkor definit, ha ac-b 2 > O; ez .esetben definit pozitív vagy definit negatív aszerint, amint a> O vagy a O folytán a és c egyszerre pozitívak vagy negatívak.) E tételnek folyománya a következő: a kező

= a1, 1 x 2

z (x, y)

+ 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 13 x+ 2 a 23 y + a 33

(4)

másodfokú racionális egész függvény an a22~al2z

>

O

(5)

esetén az

1

é)Z

au x

+ a12 y + ala =

O

= a12 x

+ a22 Y + a2a =

O

2 éJx = 1

é)Z

2 Jy

egyenletrendszernek

(6)

megfelelő

x= ex, y= {J helyen és csakis ezen a legnagyobb vagy legkisebb értékét veszi fel aszerint, amint a 11 < O vagy a11 > O. Ugyanis rendezzük át a (4) függvényt az x-a és y-fl másodfokú racionális egész függvényévé. Ez lehetséges, mert x = (x-ex) ex, y = (y-{J) {J, s ezeket (4)-be helyettesítvén a függvény nyilván ilyen alakra hozható:

+

z (x, y) = ~l (x--cx) 2

+

+ 2 al2 (x-a) (y-fl) + ~2 (y-fl) 2 + 2 a;3 (x-ex) + +2 ~a (y-{J) + aaa·

Az itt szereplö együtthatókat könnyen meghatározhatjuk. Innét

z (ex, {J)

először

(7)

is

= ~3 •

Továbbá az x, ill. y szerinti első parciális differenciálhányados az (a, fl) helyen

a-;

z~ (ex, {J) = 2 íl;. 3 , ZÍJ (ex, {J) = 2 3 , s mivel az x = ex, y = {J értékrendszer eleget tesz (6)-nak, nyerjük, hogy

A

másodrendű

2a11

a-13 = ~3= o. parciális deriváltak (4)-, ill. (7)-böl

d oZ =2 = é) X

2a

11 ,

tehát végül au = au, al2 = al2• a22 = a22· Ezek szerint a (7) alatti átrendezés z (x, y) = a 11 (x-a)2 + 2 a 12 (x-a) (y-{J) + a 22 (x-fl) 2 + z (a, fl). Ámde (5)-böl folyalag a fenti tétel értelmében a 11 (x-a) 2 + 2 a12 (x-a) (y-{J) + a 22 (y-{3) 2

www.interkonyv.hu

(7*)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

190

az x-ex és y-{3 változóknak definit quadratikus alakja, tehát ha x-a; és y-{3 nem mindketten zérusok, azaz (x, y) =!= (ex, {3), akkor ez pozitív vagy negatív aszerint, amint a 11 > O vagy a 11 < O. Vagyis (7*) alapján (x, y) =!= (ex, {3) esetén

(

z x, y

) { > z (ex, {3), ha au> O '~abszolút méröszámban), ahol ' ". a;+ {3+ y= :rr;-- + oo (45. §), tehát a felsőösszegek alsó határa h= O. Ezzel kimutattuk, hogy e korlátos t (x) függvény a (O, 1) intervallumban integrálható, mégpedig 1 J

rt (x) dx =O.

u

133. §. Az azonban már lehetetlen, hogy valamely korlátos és integrál-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

20;)

ható függvény az intervallumban mindenütt discontinuus legyen. Sőt érvényes a következő tétel: Ha f (x) az (a, b) intervallumban korlátos és integrálható függvény, akkor folytonossági helyei (a, b)-t mindenütt sűrűn töltik ki. Ennek bebizonyítása végett nyilván elég kimutatnunk, hogy ha f (x) az (a, b) intervallumban korlátos és integrálható, akkor (a, b) belsejében van olyan ~ hely, ahol f (x) folytonos. Először mcgmutatjuk, miszerint adatván akármilyen kis pozitív ;; szám. (a, b)-nek van olyan belső rész-intervalluma, amelyben t (x) oszcillációja < 'YJ· Legyen a O, akkor (a, b)-ben 1 l f(x) is korlátos variációjú. Valóban a fenti felosztásnál

1

l

s mivel a feltevés alapján .

Llf 1 n

(xl)

f

1

(x;) -

l

l f (x,) f

(x;_1 )

1

-1 '(x;-1)

~· ~

(x;-I) -

l

(x;-1)

l

~

1 P2

i-1

f

(x;)

f (x;) (x;-1)

pz, innen

Ll f n

f

(x;) -

j

(x;-1) ·

.

i~1

A jobboldali összeg a feltevés értelmében korlátos lévén, ez egyenlőtlenségből folyólag a baloldali is korlátos, azaz 1 J f (x) korlátos variációjú. E két tétel kombinációjával adódik, hogy ha az (a, b) intervallumban f 1 (x) és fz (x) korlátos variációjú függvények és l fz (x) l ~ p > O, akkor (a, b)-ben az / 1 (x) l fz (x) hányados is korlátos variációjú.

XIV. Szorzat és hányados integrálhatósága. 138. §. Legyenek / 1 (x) és fz (x) az (a, b) intervallumban korlátos és integrálható /üggvények. Akkor (a, b)-ben az f 1 (x) fz (x) szorzat is integrálható. Bizonyítás. Vegyük az intervallumnak valamely

a = Xo < X1 < ... < Xn-1 < Xn = b felosztását. Legyen az X;_1 ~ x ~ X; intervallumban az / 1 (x), lz (x), / 1 (x) fz (x) függvények oszcillációja rendre O;', O;'', O;. Ha ~és 17 ez intervallum két helye, akkor

/1 (~)/z W- /1 (1]) tehát, ha az a

~

x

~

fz (1]) =

/1 W Uz W-

fz (17)]

+ fz (1]) U1 (~)- /1 (1])],

b intervallumban

l /1 (x) l

~ Kl,

l lz (x) l ~

Kz,

következik, miszerint

l /1 (~) fz W- f1

www.interkonyv.hu

('r))

/z (17) l

~

K1 0;"+ Kz 0/.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

213 Ebből

pedig nyilván folyik, hogy egyszersmind O, ~ K 1 Ot K 2 0/. Ennélfogva az oszcillációs összegekre

+

n

1J

(x,-

i·l

x,_ O, ~ K 1)

n

1

~

(x;-

X;- 1)

i-l

O/'

n

+ K 1J 2

i~l

(x;-

X;- 1 )

O/.

Ha mármost max (x;- x;_1 ) _ _".O, akkor itt a jobboldalon álló két oszcillációs összeg O-hoz tart, mert f 1 (x) és f 2 (x) a feltevés szerint integrálható (127. §). Tehát akkor a fortiori n

~ Fl

(X;-

X;- 1) 0;---'>-

0,

vagyis f 1(x)

f 2(x) integrálható, qu. e. d. Ha az (a, b) intervallumban f 1 (x) és / 2 (x) korlátos és integrálható függvények és l f 2 (x) l ncgJJcU mmad bizonyos pozitív számnál, akkor (a, b)-ben az / 1 (x) j f 2 (x) hányados is integrálható. Bizonyítás. A feltevés értelmében van oly p pozitív szám, hogy

l f 2 (x) l >

p

(a ~ x ~ b).

folyólag 1/ f2 (x) (a, b)-ben korlátos. Kimutatjuk, hogy integrálható is. H a a= x 0 < x1 < ... O s (6)-ot erre alkalmazva adódik t(!;) = M. (7) Mivel a föltevés alapján (141. § (2*)) b

JIP (x} dx >

(8)

O,

a

(5) és (7)-böl következik (4).

Hasonló a bizonyítás, midőn (1)-ben baloldalt érvényes az egyenlőség jele. Tegyük fel most, hogy (1) alatt mindkét oldalon a < jel áll. Akkor (8)-ra tekintettel b

Jt (x) IP (x) dx m
- O, vagyis F (x) az x helyen folytonos.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

.

220

t (t)

az x helyen folytonos, akkor h -+ O mellett evidenter M (h)----+ t (x), m (h)----+ t (x) s igy (4)-re tekintettel egyszersmind Ha

fl (h)--'>-

t (x).

Ennélfogva (3), alapján h -+O esetén F (x

+ h) -

F (x)

_ __".l (x)

h

vagyis (2) fennáll. Qu. e..d. A tétel második része a differenciálhányados és a határozott integrál fogalma közti alapvető kapcsolatot fejezi ki. Megmutatjuk, hogy ha aszóbanforgó intervallumban f (x) szigorúan monoton fogyó, akkor az ( 1) f üggt·ény görbéje alulról konkáv. Legyen u. i. három különhözó abszcissza U f

tehát UV iránytangense

> F

(v)

(w)- F (v),

·w-v

> VW iránytangense.

Ez éppen azt jelenti, hogy az y = F (x) görbe alulról konkáv (99. §). Minthogy (1)-ból (126. § (14)) a

F (a)=

Jf (x)

dx =O,

a

az y= F (x) görbe átmegy az (a, O) ponton. Midón f (x)> O, a görbe emelkedik, mert ez esetben (141. § (4)) ll

F ({3) -

F (rz)

=J f (x) dx > O u

hacsak rz < {3,

következőleg

F ({3) > F (rz)

(rz

< {3).

Ha tehát f (x) > O és szigorúan fogyó, az előbbiek szerint az (1) függvény görbéje aszóhanforgó intervallumban a 83. ábrán látható képet mutatja. Amennyiben f (x) folytonos, a görhének mindenütt van érintője is, az x helyen vett érintő iránytangense (2) értelméhen f (x).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

221

Minthogy (126. § (13)) a.

x

Jt (t) dt = -Ja t (t) dt, x tételből

a§ elején kimondott

követke-

a

J f(t)

zik, hogy az

dt integrál az x alsó

"

integrációs határnak folytonos függvénye, és

d -d

x

1(

Y=frrtJdt ll

a

J f (t) dt = - j (x)

(5)

x

amennyiben az j (t) integrandus az x O helyen folytonos. 83. ábra. Megmutatjuk még, hogy az (1) függvény a szóbanforgó A ~ x ~ B számközben korlátos variációjú. Ha u. l j (x) l ~ M, e számköz bármely

A =

Xo


(t) =t (ep (t))

ep'(t).

függvénynek is van határozatlan integrálja, nevezetesen

J t (ep (t)) ep' (t) dt =[j t (x) dx]x~q>(t)·

(1)

Ez az ú. n. helyettesítés elve a határozatlan integráira vonatkozólag. Amennyiben az x = ep (t) függvény szigorúan monoton is, tehát van egyértékű inverz függvénye (82. §), a t = "P (x) jelöléssei (1)-böl

J f (x)

ep' (t) dt]t~1J!(x) . (2) Tegyük fel most, hogy ep' (t) valamint t (x) folytonos. Akkor t (ep (t)) ep' (t) a fortiori folytonos (52., 50. §) s a határozott integrál kiszámításának szabálya szerint (146. § (1 *)) (1)-ből következik, hogy dx

=[j f (ep (t))

~

q>(~)

J t (ep (t)) ep' (t) dt =J t (x) dx a

(3)

q>(a)

hacsak CG és {J annak az intervallumnak két helye, amelyben a p (t) függvény értelmezve volt. Ez a határozott integráira vonatkozó helyettesítés elve folytonos p' (t) és t (x) esetében, mikor is a szóbajövő integrálok eo ipso léteznek (131. §). (3) szerint a jobboldali integráion az x = ep (t) helyettesítést úgy hajtjuk végre, hogy t (x)-et t (ep {t))-vel, dx-et a dx dt egyenletből

, ()

= ep t

formálisan adódó

dx = ep' (t) dt kifejezéssel, végül a ep (a) és ep ({J) határokat rendre a megfelelő a, {J határokkal pótoljuk. Ha ep (t) nem monoton, a ep (a) és ep ({J) függvényértékek esetleg nem határozzák meg egyértelműen az a és {J helyeket. A haloldali integrál átalakításánál ezeket a lépéseket ellenkező irányban végezzük. A határozatlan integrál átalakítása (1), ill. (2) értelméhen hasonlókép történik, csak.a határok helyettesítése helyett az új integráiba végül x = ep (t), ill. t = 1fl (x) helyettesítendő. Például az

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

230

integrál az x=

Vt + 1 3

helyettesitéssel, mikor is

3 v 2

dx =

t2

+1

t3

dt,

(1) értelmében ebbe megy át:

Minthogy itt

J(x

1) dx

2-

xs

= 3 -x,

végeredményül

J

tS

]fta + 1

dt =

~

9

(t 3

+ 1)

Vt 3

+ 1 - ~3 Vt + 1) +C. 3

Az 1

J(1- x) ]f2 +x dx -1

határozott integrált kiszámítandó, alkalmazzuk az x = t2 -

dx = 2t dt

2,

helyettesítést. Ezt tehetjük, mert az x = t 2 - 2 függvény értékkészlete a - 2 ;;::; x < + oo intervallum, amely tartalmazza a - 1 ;;::; x ;;::; 1 intervallumot. Az x= -1, ill. x= 1 érték megfelel a t= 1, ill. t= ]f3 értéknek, tehát (3) szerint

Vs

1

J(1-x) ]f2 +x dx =2 J (3- t -l

Vs 2)

1

=2

t 2 dt =2

J (3 t

2 -

t 4)

dt =

1

[t 3 -~J~s =2 (3Jf3- 9 ~3 -1 + ~)

vagyis végeredménykép j(1-x)V2+xdx

=

~(6V3 -4).

-1

Az új határoknak a t = - 1 és t = V3 helyeket is választhattuk volna, mert ezeknek is x = - 1 és x = 1 felel meg, de akkor V2 + x = ]ft:!= - t amíg t< O, tehát az új integrált a (-1,0) és (O, ]f3) intervallumokra vonatkozó integrálok összegére ~E!J.l.l:>ontantmk. Megmutatjuk még, miszerint valamely x=mt+c

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

231

lineáris helyettesítésnél mindig b-c m

b

Jf (x) dx =J m f (mt + c) dt

a

(4)

a-c m

hacsak j (x) az (a, b) számközben korlátos és integrálható függvény. a-c b-c Legyen pl. o : = - - < - - ={J s az (o:, fl) számköz m m

valamely

felosztása O:

A

=

t0


(B)

rp' (t) dt

m

=J f (x)

dx.

(6)

'1'0)

Bizonyítás. Legyen pl. o: < f3 s az (o:, {3) számköz valamely felosztása ismét O:=

www.interkonyv.hu

to


Q; [T]-~:,

E"

+ ~:,

< Q. [T]

(4)

lévénazelőbbiekszerint.QJT]

a a' felső, Q.[T] a.E" alsó határa. Nyilván vehetünk olyan T-re borított R* rácsot, amelyben R' és R" oldalai és osztóvonalai mind osztóvonalak. Ebben evidenter (v. ö. 154. §) a* ~ a' viszont E"" ~ E", tehát (4) alapj án a fortiori a* > Qi [T]-~:, E* Qi [T],

+

e tartomány a JoRDAN-féle értelmében nem mérhető területű.l 159. §.A poliéderek kobtartalmának mérése alapján a fentebbiekhez analóg módon vezethetjük be a J ORDA N-féle köbtartalom fogalmát. Az analógia kiterjeszthe tő akárhány dimenziós térre is, ekkor JoRDAN-féle kiterjedésről beszélünk. 2 Tekintsünk valamely r sugarú, m magasságú egyene~? körhengert. Legyen egy az alapjába írt n-szög területe tn, a megfelelő köré írt sokszögé T.,. A t.,, ill. T .. területű soks'zöggel, mint alappal bíró m magasságú egyenes hasábot a hengerbe beírt, illetve a henger köré írt hasábnak nevezzük. Ezek köbtartalma 1 Először LEBESGUE és OsGoon szerkesztettek olyan nem mérhetö területű korlátos tartományokat, amelyeknek határa egyszerű, folytonos zárt görbe (alábbi 269.§). Lásd H. LEBESGUE Intégrale, longueur, aire, Annali di matematica (3) 7 (1902), p. 2t.7 ., továbbá Sur le probleme de.s aires, Bulletin de la Société Mathématique de France 31 (1903), p. 197-203, és L. W. OsGoon, A Jordan curve of positive area, Transaction of the American Mathematical Society 4 (1903), p. 107-112. 2 Más, a poliéderak köbtartalommérését is felölelő tárgyalást nyujt E. ScHMIDT i. h. _ (240. old.). ·

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

253

mt.. , illetve mT,. s így a hengernek K; belső és K. külső köbtartalmára (v. ö. 154. § (1)) mt..

< K;

~ K.

< mT,..

(1)

(Az egyenlőtlenség érvényes mind a két helyen, mert nyilván van mt.. -nél nagyobb köbtartalmú beírt, és mT.. -nél kisebb köbtartalmú köré írt hasáb.) Minthogy (24. §) az r sugarú kör r 2 n területe az egyetlen szám, amelyre mindig t .. < r 2 n< Tn, (1)-ből

következik, miszerint

K; = K. = mr 2 n. Vagyis az egyenes körhenger mérhető köbtartalmú és köbtartalma az alap területének és a magasságnak szorzata: Khenger

(2)

= mr2 n.

Az (a, b) zárt számközben folytonos nem-negatív t (x) függvény görbéje és az OX tengely közti a-tól b-ig vett síkrészt az OX tengely körül forgatva, ú. n. forgási test keletkezik. (2) alapján megmutatjuk, hogy e torgási test mérhető köbtartalmú és köbtartalma b

Kforg

= nj

t (x)

2

(3)

dx.

a

Vegyük u. i. (a, b)-nek valamely a

=

x0


O és b> O mellett az x és y bármely valós értékénél (13) és a"' b"'= (ab)"'. (14) (13) szerint a hatvány hatványozása, (14) ",_X értelmében az egyenlő kitevőjű hatványok szorzása is ugyanazt a törvényt követi, mint pozitív egész kitevők esetében. 165. §. A 161. § ( 17) képletét általánosítva, megmutatj uk, hogy az x bármely valós értékénél

(1 + fl~)f-L.

ex= -lim_ It-7-+

oo

(1)

Ez x = O-ra evidens. Ha x =!= O, akkor

,u log ( 1 + ;

)

log(1+~) =x

x

,u

(2)

,u hacsak ,u már olyan nagy, hogy 1 + ~ > O.

,u

Minthogy

fl

--+

+ oo esetén

1+ ,u ~--7- 1 és a log x függvény 1 helyen. vett cleriváltja 1-gyel egyenlő (161. § (10)),

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

269

azért lim

x

JA.-++ 00

tehát (2)-böl lim fl log lJ.-++

00

(1 + ~) p

=

x

s igy az exponenciális függvény folytonassága alapján X )

( 1 + ji

JA.

~dog ( 1+ ~) = e·

x

--+

e , midón fl

+oo,

-+

amivel (1)-et bebizonyítottuk. Ha x> O, akkor az (3)

sorozat szigorúan

növekedő.

Minthogy u. i. x>O folytán x x 1 < 1 + n + 1 < 1 + n'

az y = log x görbe konkávitása értelmében fennáll


1 esetén a differenciálhányados monoton növekedik (161., 164. §),O O esetén x = O-nál az x" függvény értéke O-sal, vagyis (3) szerint a jobboldali határértékkel egyenlő legyen, akkor :itt a függvény jobbról folytonos (50. §). E helyen a különbségi hányados határértéke (3)-ra tekintettel

J O, t+ oo,

ha fl > 1 x~+O X x~+O ha O< fl< 1. Ez azt jelenti (77. §), hogy az x=· O helyen X" jobboldali differenciálhányadosa oo aszerint, amint fl > 1 vagy O < fl < 1. O vagy Amennyiben az y =x" (x> O) görbe valamely P pontjának x abszcisszájá-

. x" l1m -

. = 11m x"- 1 =

+

ból az ..::_ egyenesdarab megszerkeszthető körzővel és vonalzóval (tehát pl. raciofl

www.interkonyv.hu

'

.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

278

nális fl esetén), a P-beli

érintőt

is könnyen megkonstruálhatjuk. U. i. a

P-ből

OX-re bocsátott merőleges Q talppontjából felrakva OX-re a -~ egyenes.u darabot (ami a negatív vagy a pozitív irányba esik aszerint, amint fl> O vagy fl < O), az ennek végpontját P-vel összekötő egyenes iránytangense x x~'-:

fl

=

fl

x~'--1,

ez egyenes tehát (4)-re tekintettel éppen a P-beli

y

y

érintő

(115 a., b., c. ábra).

y

!J=X!l (fl :::..1i

o

x

"

x

o

x

115 a. ábra.

o

x

x o

x

115 b. ábra.

115 c. ábra.

Minthogy log x ~ O aszerint, amint x ~ 1, és ex monoton növekedő, az (1) képletből látható, hogy rögzített x helyen x> 1 esetén x~'- annál nagyobb, minél nagyobb a fl, viszont O fl2>flt>0)

1 ------

x 116 b. ábra.

116 a. ábra.

(4) értelmében az

ol

'

1

x

116 c. ábra

x~-'

függvény eleget tesz az xy' =fl y (5) differenciálegyenletnek. Megmutatj uk, miszerint a O < x < oo interva-llumban az (5) ditferencálegyenlet összes megoldásai a Cx~'- alakú függvények, ahol C tetszőleges állandó. ,

+

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

279

Evidens, hogy minden ilyen függvény eleget tesz (5)-nek. Viszont, ha y kielégíti (5)-öt, akkor (79. § (2))

]!___)'=y' x~-'-y fJ, x~-'- 1 = xy'- fJ, y= 0 ( X~-' X2 ~ XI-'+ l minden pozitív x-re, tehát (98. §)

ahol C állandó. Ezzel állításunkat igazoltuk. A C állandó az x = i helyen felvett függvényérték. Ez eredmény alapján az y = x~' függvényt azzal jellemezhetjük, hogy eleget tesz az xy' = f-lY differenciálegyenletnek y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett. 172. §. Az y = x~' (x > O) görbe alakjáról előbb mondottak másszóval azt jelentik, hogy a (O, + O 1 vagy f-l

+ oo -hez,

O).

= 1-re, azaz

lim log x= O. x~+oo

Az x

(2)

(3)

X

> 1 számhoz határozzuk meg azt az n pozitív egész számot, amelyre n O esetén a felosztásnak megfelelő alsó, ,u < O esetén viszont a felső­ összeg) a,.= aJL+ l (q" -1) [1 + q~+l + q~-,U+ 1

< - 1 és ,u > O esetén fogyólag, - 1 < ,u < O esetén viszont növekedőleg, minthogy az y - xJL + 1 görbe ez eseteknek megfelelő en alulról konvex, ill. alulról konkáv (171. §)). Ennélfogva ez (5) képletből folyik (59. §), miszerint (,U

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

285 b~'-+ 1 - a~'-+ 1

a

-->-

p,+1 " amint (1) kívánja. Ha fl > O, mikor is x~'- az x = O helyen O és a O ~ x ~ b számközben monoton növekedő (171. §), a: O-tól b-ig vett integrál is létezik. Ez (1)-hez hasonlóan (134. §) b

Jx~'-

dx = :"'~ ~ (p,> O, b> 0). {6) o Ez eredmény geometriailag igen egyszerűen interpretálható: az y =x~'- (p> O) görbe úgy osztja két részre a (O, b) intervallumra mint alapra b~' magassággal szerkesztett derékszögű négyszöget, hogy az alsó rész területének a felsőéhez való viszonya 1 : fl (v. ö. 134. §, 82. ábra). Egyébként a (6) képlet (1)-ből már következik, mert b

b

J x~'- dx =lim J x~'-dx, a~+Oa

O

lévén a jobboldali integrál a-nak folytonos függvénye (143. §). Alkalmazzuk (1)-et arra az esetre, midőn fl negatív, mondjuk f l = - ex Ekkor (1)-ből




1).

(8)

a

A O
o, a harmadik pedig akkor,

midőn

(~r+ Ha

(~) 2 + (~) 3 > O,

(fr O, ha O < < O, ha :n
o; mellett

1

2ko;

'Y/o = -a arc tg k2 - a2 '

(k

míg k


·

(8)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Eszerint a (?).alatti határérték (5}-nek gy'öke. Ez mindenesetre pozitív, tekintve, hogy n ;;;; t és (arc tg x)> - ~. Tehát (8) alatt O < (arc tg x..)

x (179. §), az

(n-;) n és

n n határok között pedig

tg x ... Nyilvánvaló (154. ábra), hogy

1 n

2

> el>

1

3 n> 2 n

>

2

> e2 > 5 n>... . Kérdés, mi az y' (!.b

+ oo).,

előjele

a;; a LAGRANGE-féle középértéktétel szerint (109. §)

f (x)- f (y) =f' x-y

($), y

o.

(x) (x-

x> rp (x) > o

s innen (8) és (9) alapján látjuk, hogy ha már rp (x) -

(9)

x) + x [f' (X) -t' (x)] O, akkor

vagyis rp (x) monoton csökkenő. Ebből következik (illetve hasonlóan bizonyítható), hogy ha a görbe alulról konkáv, akkor rp (x) illonoton növekedő. Mármost (2)-t úgy bizonyíthatjuk he, hogy kimutatj uk, miszerint bármilyen nagy x-en túl található oly 'Y/ hely, amelyre t (x)- a x= f (rJ)- 'Y} f' (rJ)· (10) Legyen x= 1/u; (4) értelméhen lim u-O

www.interkonyv.hu

uj(!)= Jim, f(x) =a, U

x~+«>

X

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

360

vagyis a F (u) =u f

(!} F (O)= a

függvény az u = 0 helyen folytonos. A LAGRANGE-féle középértéktétel szerint (109. §) a (O, u) intervallumban található oly ~ hely, hogy F (u) - F (O)= F' (~), u .

O
n és végén O. Tüstént meggyőződhetünk, hogy egy darabig növekedik, azután fogy. Ugyanis (6) z= r2 .az előbbiek szerint az x-nek szigorúan monoton növekedő folytonos függvénye lévén, ezt tekinthetjük független változónak (82. §) s ekkor (5)-ből d cos 2 {} 1 dz = 2 c2

Tehát a 3o esetben,

midőn a2

c4 -

a4

2 c2 z 2

< c2 , látjuk

J< O,

ha z < Vc4- a4 dz \ > O, ha z > Vc4 - a4 következőleg a z = Vc-4--a-4 helyig cos 2{} fogy, utána növekedik s így {}-ra a fordított érvényes. A cos 2{} minimális értéke (5)-ből ~cos 2{}

v

( cos 2{}) r•~z~ c•-a• =

E z =

Vc4- a4 c2

( a2


O, ami (1) alapján maga után vonja, hogy y'< O. Ekkor (1)-ből folyólag O< y< a és (1) az y'-re megoldott alakban y

l

y=-

Va2-y2

'

(1 *)

ami a változók szétválasztásával (t49. §) a

Va 2 - y 2

'---"'-Y

JI

alakot ölti. Tehát az y

=

,

= -

1

y (x) függvényre (149. § (3))

J

Va2-y2dy =-x+ C. y . A (2) baloldalán álló integrált kiszámítandó, alkalmazzuk az 25

A •liffrrenciál- óa integrálszámft.ás elemei -

www.interkonyv.hu

(2)

2/27

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

386 a

y= chz (z> O)

helyettesítést, mikor is

dy

a

·

z

c

.

a y

sh z dz, z= ar ch-.

= --h 2

Ezáltal adódik (216. § (6), 217. § (5))

J Va";

yz dy

=-

Ja

th 2 z dz

= -a

J (1-"--

0; 2

z) dz=

2 V(~) -i =-aarch-a + Va - y =--a (z- th z)=- a ar ch-+ a a

2

y

y

!!:__

2•

y

Tehát a (2) egyenlet más alakban

x=

C+ a ar ch~Va2-y2. y

Mivel (216. § (11))

a + ar ch ya = log ( y

v(

ya)

2

--1 )

= log a + Vya2 -

(2*)

yz ,

ez még az (2**) alakhan is írható. (2)-ből

dx Va2.-y2 dy = y

(3)

ami az y > 0 föltevés folytán negatív az egész O < y < a számközben, tehát ebben x szigorúan monoton fogyó függvény!') y-nak. (2*)-ból látható továbbá, hogy lim x =+oo, lim x=C. y~

a-O

Ezekből folyólag (82. §) y a C < x < + oo intervallumban folytonos és szigo. rúan monoton fogyó függvénye x-nek és (3)-ból

dy dx =

y

-.V a2-y2. ·

Tehát az y függvény valóhan kielégíti az (1 *) s ezzel az (1) differenciálegyenletet a C < x < + oo intervallumban. A koordinátarendszer kezdőpontját. eitolva az OX tengely ~c ahszcisszájú pontjába, a (2**) egyenlet az

x= a1oga+Vaz-y2- Va2-'-y2 .

www.interkonyv.hu

.

.; y

.

(2***)

. .. .

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

387

alakot ölti. A mondottak értelmében e (2***) egyenlet jellemzi azt a (O, a) pontbó! kiinduló folytonos görbét, amelynél az érintö-darab minden más pontban a-val egyenlő.

E görbét az OY tengelyre vonatkozó tükörképével együtt (amelyen az - a) tractrixnak nevezzük (179. ábra). Minthogy

érintő-darab

y

x 1 ?9. ábra.

a- Va2-y2

log---

y

=log

y2

y (a

+ Vaz -

y2)

=-log

a+ Vaz-yz

y

,

e görbének az OY tengely baloldalára eső felét is (2***) jellemzi, ha abban anégyzetgyököt mindkét helyen negatív előjellel vesszük. E görbén y mint az x függvénye az x == O helyen nem differenciálható, nevezetesen (3)-ból folyólag itt a j abboldali differenciálhányados - oo s a szimmetria folytán a baloldali + oo.

XII. A Cauchy-féle függvényegyenletek. 1 219.

~-

Láttuk (164. § (2)), hogy az

t (x)=

a'" függvény eleget tesz az

t (x + y) = t (x) t (y)

( 1)

függvényegyenletnek Most megmutatjuk, miszerint az (1) függvényegyenlet egyetlen folytonos megoldása (amely nem azonosan zr!ru.s)

f (x) = a'" ahol a

tetszőleges

(2)

pozitív szám.

Tegyük fel ugyanis, hogy f (x) megoldása (1)-nek és nem azonosan zérus. Akkor ·ebből először is következik; hogy t (x) =F O bármely helyen. Mert ha /(a.) = O volna, akkor (1)-et alkalmazva, bármely helyre adódnék f (x) = f ((x- a.) +a.)= f (x- a.) f (a.) =O a feltevéssel ellentétben. S mivel (1) alapján

l 1

V. ö.

CAUCHY

(x)

=t ( ~ + ~) = t (~r'

i. h. (29. old.), p. 98-113.

25·-. 2!32

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

388

egyszersmind látjuk, hogy j (x) mindenütt pozitív. Minthogy továbbá (1) értelmében t (x) =j (x + O) = j (x) t (O), azért j (x) =l= O folytán az x

= O helyen felvett függvényérték j (O) = 1.

(.'3)

Megmutatjuk mármost, hogy az x bármely értékénél t (x) =[j (1)1'". Legyen először x racionális, mondjuk x= ~>zámok.

+ ~,

(4)

ahol p és q pozitív egész

(1)-böl teljes indukcióval következik, hogy általánosabban

t (xl + X2 + · · · + xn) = t (xl) t (x2) · · · t (x,.). Ezt alkalmazva pedig 1

j (1)

:d

q

=t (qr + qI + ... + qI)

(1)q

= j -;;

l

tehát

s ennek felhasználásával ~

~

E-

p

t ( ~) =j ( ~ + ~ + ... + ~) =j (~r,-= [j (1)l·

(5)

Minthogy pedig (1) értelmében

t (~) t (- ~)

=j (O),

(3) és (5) alapján j (-

~) =(f(1)f~·

(6)

(3), (5) és (6) szerint (4) minden racionális x-re érvényes. Ha x irracionális szám, amelynek végtelen tizedestört alakja akkor az Xn

=

+

IX. IX 1 IX 2 ••• IX,.

(n

= 1, 2, 3, ... )

racionális számok monoton sorozatában (29. §) x,. --o>- x. Ennélfogva az [j (1)]'" függvény folytonassága (164. §) következtében az

f (xn)

= [f (1))"'"

(n= 1, 2, 3, ... ) sorozatban, amely szintén monoton, nyilván t (x.. ) --o>- [f (1)]"'.

www.interkonyv.hu

(7)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

389

De az

f (x) feltételezett folytonassága alapján e manaton sorozatban másrészt f (xn) f (x). (8) ---?

(7) és (8)-ból folyólag (4) ez irracionális x helyre is fennáll.

Az f (1) = a> O értéket tetszés szerint előírván, a mondottak értelméhen (1) egyetlen folytonos megoldása a (2) függvény. Qu. e. d. E tétel felhasználásával megmutatjuk még, hogy a

=

q; (x y)

q; (x) q; (y)

(x

>

O,

y

>

0)

(9)

függvényegyenlet egyetlen folytonos megoldása (amely nem azonosan zérus) q; (t) = t~' (.10) ahol fl tetszőleges valós szám. A (10) függvény (9)-et tényleg kielégíti (164. § (14)). B'e kell bizonyítanunk, hogy fordítva is: ha a q; (t) folytonos és nem azonosan eltünő függvény (9)-nek eleget tesz, akkor szükségkép a (10) alakkal bír. Minthogy pozitív x és y értékekre szorítkozunk, azért bevezethetjük az x= eu, y= ev (u =log x, v =log y) jelölést, mikor is (9) így írható:

=

q; (eu+v)

Eszerint az

f

függvény eleget tesz az

q; (e") q; (ev).

(z) = q; (e•)

(11)

+

(12) l (u v) = f (u) f (v) függvényegyenletnek. De f (z) folytonos függvény (52.§), mert az exponenciális függvény folytonos (164. §), s a feltevés szerint q; (t) is. az. És f (z) nem lehet azonosan zérus, mert akkor - mivel e• minden pozitív értéket felvesz - a q;(t) függvény is minden pozitív t-re eltűnnék, ellentétben a föltevésseL Tehát (12) alapján a fenti tétel szerint f (z)= [f (1))• vagyis (11)-re tekintettel (164. §(8*), (13)) Ez a fl = log q; (e), t = ez

jelölés mellett átmegy (10)-be, qu. e. d. 220. §. Az

l

(x

+ y) = f (x) + f (y)

('1)

függvényegyenlet egyetlen folytonos megoldása (2) f (x)= mx, ahol m tetszőleges állandó. A (2) alatti függvény (1)-nek valóhan megoldása. Megmutatjuk, miszerint (1)-nek más folytonos megoldása nincsen. Tegyük fel u. i., hogy (1)-et valamely f (x) folytonos függvény kielégíti. ('1)-böl teljes indukcióval rögtön következik, hogy általában

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

390

f (xl + Xz + · •· + Xn) = f (xl) + f (x2) + Ennek pedig folyománya, miszerint racionális x-re

f (x)

=

· •· + f (xn)·

f (1) x;

(3)

ez hasonlóan látható be, mint a megelőző § (4) képlete. Mivel f (1) x folytonos és a föltevés szerint f (x) is az,· következik (mint az előbbi §-ban), hogy (3) irraeionális x-re is érvényes. Tehát f (x) a (2) alakkal bír. Qu. e. d. E tétel alapján kimutatjuk továbbá, hogy a rp (x y) = rp (x)

+ rp (y)

(x

>

O, y -:-: Ó)

(4)

fiiggvényegyenlet egyetlen folytonos megoldása l

rp (x) . c log x, ahol c tets~őleges állandó. Az (5) alatti függvény valóban kielégíti ep (x) folytonos és (4)-nek eleget tesz, akkor az

f (z)

(5) (4)~et

(161. § (4*)). Viszont, ha

= rp (e8 )

(6)

függvény, amely szintén folytonos (52. §), megoldása az f (u

+ v) =

f (u)

+ f (v)

függvényegyenletnek. Ennélfogva a fenti tétel szerint

f (z)= c z azaz (6)-ra tekintettel

(7)

rp (e•) = c log e8 •

De e• minden pozitív értéket fölvesz, tehát az x = e• jelöléssei (7) átmegy (5)-be, qu. e. d. 221. §. Az (1) f (x y) f (x- y) = 2 f (x) f (y)

+ +

függvényegyenletet akár az f (x) = cos p,x, akár az f (x) = ch p,x függvény kielégíti (180. § (23), 216. § (9)). Nyilván eleget tesz neki az f (x) = O azonosan eltűnő függvény is. Bebizonyítjuk, miszerint · az (1) függvényegyenletnek nincs más folytonos és nem azonosan eltűnő megoldása, mint f (x) = cos p,x, vagy f (x) -:- ch p,x ahol p, tetszőleges állandó. Ha valamely ~ helyen f sei adódik

(~)

=1= O, akkor (1)-böl x 2 t(~)

t (O) = 2 t (~) (1)-et x

= ~-re

=

=~,

1. .

y

=

O helyettesítés(2.)

alkalmazva és y helyébe (--y)-t téve .t 1.

j (a)

Akkor (216. §) van olyan o: pozitív szám, amelyre

f (a) = ch o:

(4)

s így (3) felhasználásával (216. § (6), (9)) j (2 a)

= 2 f (a)2- 1 =

2 ch2 o:- 1

=

(5)

ch 2 o:.

Megmutatjuk, hogy általában

f (n

(n = 1, 2, 3, ... ).

a) = ch n o:

(6)

U. i. (1) értelmében

f ((n -1) a)+ f((n

+ 1) a)= 2 j (n a) j (a),

tehát föltéve, hogy (6) (n -1)-re és n-re igaz, következik, miszerint

f ((n + 1)

a)

=

2 f (n a) f (a)- f ((n -1) a) = 2 ch no: ch o:- ch (n -1) a= =ch (n+ 1) o:

n=

vagyis (6) érvényes (n+ 1)-re is. S mivel (4) és (5) értelmében (6) az 1 és = 2 esetekben fennáll, teljes indukcióval minden pozitív egész n-re igaznak bizonyul. (3) alapj án (6)-ból következik, hogy n

t(na)= vf(n;)+1= ychn;+1-:-chn2o:, tehát

l (n4a) =

t(~)+1 =V eh n2a+-=-ch~ 2

2

-

4

s így tovább, teljes indukcióval

j ( (n

n2~)

= 1, 2, 3, ... ;

no: =ch 2".

m

(7)

= 1, 2, 3, ... ).

Nyilvánvaló azonban, hogy bármely x pozitív szám ilyen ~~ alakú szá...,

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

392

makkal tetszölBges pontossággal tát választjuk, amelyben

megközelíthető.

na 2m

Ha ezeknek valamely soroza-

X,

----?

akkor na

Cl.

2m --+·-x a '

tehát (7)-böl az zik, hogy

t (x) és a ch x függvény folytonassága (216. §) alapján követke-

t (x) =

ch (:

x) .

(8)

Ez negatív x-re is érvényes, mert amint láttuk j (x) páros függvény, az x helyen (2) szerint szintén fennáll, szóval minden x-re érvényes. Tegyük fel most, hogy valamely b > O helyen

o< t (b)

= O

< 1.

A kk or van olyan {J pozitív szám (180. §), amelyre

t (b) Ebből

= cos {J.

a fentebbiekhez hasonlóan következik, miszerint most

t (x)

= cos ( ~

x)·

(9)

Ha nincs olyan hely, amelyen a függvényérték 1-nél nagyobb, vagy 1-nél kisebb pozitív szám, akkor minden x-re

t (x) =

(10)

1.

Ellenkező esetben u. i. ez t (x) folytonos függvény BoLzANO tétele értelmében (53. §) a (2) alatti f (O) = 1 és valamely t (;) =!= 1 érték közti minden értéket felvesz, tehát értékkészletében t (;) > 1 ese té n van 1-nél nagyobb, t (;) < 1 ese té n pedig 1-nél kisebb pozitív szám. A (8), (9) és (10) alatti eseteket összefoglalva látjuk, hogy (1) folytonos és nem azonosan eltűnő megoldása tényleg vagy ch fhX vagy cos fh x alakú,

a (8) esetben

www.interkonyv.hu

fh

= :, (9)-ben

fh =

~,

(10)-ben pedig

fh =

O.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

NEGYEDIK FEJEZET.

AZ INTE GRÁLSZÁMÍTÁS EGYES RÉSZEI. I. Alapintegrálok. 222. §. Speciális differenciálási szabályaink alapján közvetlenül adódnak ::tz alábbi a.lapintegrálok:

J

x~t+l

x•' dx =,u+ 1 + C

1o (171.§(4))

J sin x dx =

(180. § (11))

3°

J

dx2 COS X

- cos x

(,u =!= -1)

Jcos x dx =

+ C,

J _d~

=tg x+ C,

Sin

X

sin x

+C

=-ctg x+ C

(181. § (13))

JV J+ dx

1-x2

(181. § (3))

dx xz = arc tg x

1

(178. § (2))

·=(arc sin x) +C

Jx= dx

+C

log x+ C

(161. § (10))

Je"'dx=e'"+C (164. § (11*))

so

JV ~+ x2

1

= log (x

+

v--x + 1) +C, 2

JV

dx ·=1og(x+Vx2 -1)+C x2 -1 ·

(216.§ (10)), (12}, (11}, (13)}

go

J

dx

1-x2

(217.~

= _!_ log 1 2

+x +C

1-x

(4), (5)).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

394

Mindezek a formulák a megfelelő intervallumban érvényesek. lgy pl. 6° érvényes a O < x < + oo intervallumban, de nem érvényes a - oo < x < O intervallumban; ez utóbbiban a helyes formula dx log (-x) +C (-oo O esetén pozitív, x 0 < O esetén negatív .:r-ekre szorítkozva) a{) (x) függvénynek azonosan ki kell elégítenie (149. § (3**)) az o

J

x

sin u du__ cos 2 u P

o,

J!!!_

(4)

t2

x,

egyenletet. Minthogy (222. § (1), 2°) o

J

sin u cos 2 u du

[ =

]o

1 1 cos u o,= cos {) -

1 cosö;;,

il,

a (4) egyenlet

Ebből

x

p cos{}

= ----"---·--.------·

1 + (1!..

1 cos {} x0 - -cos {}-) 0

Ez egyenlet pedig azt jelenti, hogy a keresett görbe egyenlete polárkoordinátákban

r=

p

1+

.

(5)

(!!_Xo - -·-

1 -) cos {) cos D0

Ha a görbe x 0 abszcisszájú pontjának rádiuszvektora r 0 -~=>-p -

akkor (5) alatt ez eseteknek

cos {}0

megfelelőleg

l!.. - -cos1- {} x 0

x0

= 0

-
1)

www.interkonyv.hu

1

,

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

406 x

J. . 2

Sinn x cosm x dx =

[

"'2

J'

2

- sinn-l x cosmt x]2 m 1 0

o Itt a kiintegrált rész ismét O, írunk, adódik

J

"'

rr

1

+

n-

+

m

+

1 1

· n - ~ .1: cos"'+ 2 x r,a:. l stn

o tehát ha cosm+ 2 x helyett cosm x (1- sin 2 x)-et

"2

"' 2

n - 1 J smn. n-1 2 x cosm x dx- --,---,..-m+1 · m+1

sinn x cosm x dx =

o

o

l

J

sinn x cosm

:~:

dx;

o

honnan

"2

"2

J

sinn x cosm x dx

J

= n- 1 m+n

o

sinn--2 x cosm x dx.

(G)

o

Ha n páratlan·, a (6) redukciós formula ismételt alkalmazásával adódik

"'2

~ 2

J•.

(n- 1) (n- 3) . ' . 2 sm x cos x x = .,----'-c,.---,.-_;_;_--~--..,..(m_+_ 3"_) (m n) (m n - 2) ... n

d

m

+

+

J.

sm x cosm x dx.

o

S mivel :n;

2

J

sin x cosm x dx =

~

[

-

x]2

cosm+l m+1

0

=

1 m+1'

(7)

o midőn n

ez esethen -

páratlan --

2"'

J

·n m d _ sm x cos x x- (m

2.4 .... (n-1)

+i)

(m

+ 3)

... (m +n)·

(8)

o Jelentsek! l (olv. k ccszemi-faktorális») ak-val megegyező paritású és k-nál nem nagyobb pozitív egész számok szorzatát, vagyis legyen

k 1 ! = { 2· 4· ... k, ha k p~ros 1 ·3· ... k, ha k paratZ an.

E jelölés mellett - ha (8) jobboldalán a számlálót és szorozzuk - (8) így írható:

nevezőt

(m

+ 1) ! !-sal

2"'

J

(n- 1) ! ! (m- 1) ! r sinn x cosm x dx = -'-----;.--::-'----;-;(n páratlan). (m +n)!!

o Ez akkor is érvényes, ha n páros és m páratlan, mert nyilván :n;

:n;

2

2

sinn x cosm x dx .=

J s inm x cosn x dx, o

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

407

lévén az y

=

sin" x cosm x görbe az y

=

sinm x cosn x görbének tükörképe az

x= ~ egyenesre vonatkozólag. Legyen most úgy n mint m páros. (6) alapján akkor

"2

?"

,. ) sin" x cosm x dx •

=

(m

(n- 1) (n- 3) ... 1 n) (m n - 2) . . . (m

+

+

+ 2)

{)

J- cos

m

d x .x,

o

tehát (2)-re tekintettel 2"

j' sin" .r cosm x dx =

1.3 .... (n-1) 1.3 .... (m-1)

n

(m + 2) (m + 4) ... (m + n) 2. 4 .... m -

2

-=

(n- 1) ! ! (m- 1)! ! n (' . . ) -2 n es m paros . (m +n)!!

l

Ez eredményeket összefoglalva

~

j

. . ".. "' _ sm :1 cos x dx-

0

(n- 1) ! l (m- 1) ! ! . (m +n)!! , ha n vagy m paratlan (n _ 1)!! (m _ 1)!! n (m n) ! ! 2 , ha n és m páros.

+

Ha megállapodunk abban, hogy O!! = 1 legyen, e képlet akkor is érvényes, ha n = 1 vag! m = 1, mert (7)-re tekintettel 2"

2"

J. sin x m

=

cos"~" x dx

=

j' sinm x cos x dx

=

1 O! ! (m- 1) ! ! m + 1 - -.,.-(m-'-+-1""). ! !

(l o Az esetben, midön n és m mindketten páratlanok, mondjuk n 2 q + 1, a (8) alatti képlet így egyszerűsbödik:

=

2p

+ 1,

2"

J

sin 2 P+ 1 x cos 2 q+l x dx =

.!_

p! q! • '2 (p+ q+ 1) l

(}

Ami az

Jsin" x dx, Jcos" x dx, Jsin" x cos"' x dx

határozatlan integrálok meghatározását illeti, ez szintén a parciális integrálás ismételt alkalmazásával történhet, a fentebbiekhez hasonlóan. 22R. §. Kiszámítandó

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

408

Alkalmazzuk az x= sin t

helyettesítést. Akkor dx

dt =COS s ha t átfutja a

t

(O, ; ) intervallumot, x átfutja (O, 1)-et. Tehát (148. § (3))

J +·

2"'

1

x

dx

V~

-

-j~-t-dt

xz -

sin t

+ cos t

·

(1)

o o A jobboldalon álló integrált könnyen meghatározhatjuk. Ugyanis

cos t = 1 _ . sin t , sm t + cos t sm t + cos t tehát

"'

~

2

Jsm.

o

2

cos t dt = !!.. + cos t 2

t

-J .

sin t dt. sm t + cos t

(2)

~

De az y

cos x + cos x . és

sm x y == sin x + cos x

= Sln x

görbék egymás tükörképei az x

=

"'

~ egyenesre vonatkozólag s így nyilván :n:

=J_

2

2

J

cos t dt sin t d sin t + cos t . · sin t + cos t t. o .o Ennélfogva (2)-ból :n:

2

J

cos t dt - !!.. . sin t + cos t - 4

o

Vagyis (1)-re tekintettel l

Jx+ V1-x dx

= :n:. 2

4

o

229. §. Kiszámítandó l

J

log (1 +x) d 1 + xz x. o .

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

409

Alkalmazzuk most az x= tg p

helyettesitést. Akkor

dx dp

1 cos 2 p

=

s ha p monoton változik O-tól ~-ig, x monoton változik O-tól1-ig. Tehát (148. §(3)) ~

~

4

=J

l

4

=J'

x) dx log (1 +tg p) _1_ d 10 (1 +t ) d . J log1 (i+ + x2 1 + tg 2 p cos2 p P g gP P o o o Ez utóbbi integrált könnyen meghatározhatj uk. Nevezetesen ;'T

;r

4

4

J

log (1 +tg p) d p

=J

u

o

log sin P+ cos P dp= cos p rr

~

4 =

{1)

1

Jlog (sin p + cos p) d p o

J

log cos p dp,

u

s mivel

cos p + sin rp

=

V2 cos

(p - : ),

nyerjük, hogy :c 4

:n;

4

1C

jt

4

1

Jiog (1 + tg p) dp = 10~ 2J dp+ Jiog cos o

De az y

o

x

(p---:) dp-Jlog cos p dp.

o

= log cos és y = log cos

(x -

(2)

o

x

~) görbék egymás tükörképei az = ~

egyenesre vonatkozólag s így nyilván ~

~

4

4

ji og cos (p - :) dp = Jlog cos p drp.

o

o

Tehát (2)-böl 4"

J

log (1

+ tg p) dp = ~ log 2.

u

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

410

Vagyis (1) alapján l

J

log(1+x)d =.nl 2 1 + x2 x 8 og .

o

230. §. Gyakorlásul szalgálhat a következő integrálok előállitása, illetve kiszámítása: 1. e- 2.c sin 3x dx

J 2. J e"' cos 3. J e'" cos

2

J e'" sin x d:J.: x dx, J c"' sin x dx

x dx,

3

2

3

J

4. " e_,. sin3 :r dx ()

Jx

Jx

"

5.

JT

4

cosxdx,

()

2

eos 3 xdx

(l

"2

2"

6.

Jx ()

7.

J x sinn x dx

3

Jx o

cos 2 x dx,

JT

2

cos 3 x dx,

J x cos o

3

:r dx

n

(n=--= 1, 2, 3, ... )

o

8. fx tg 2 x dx ~

g·J"

dx

XSIDX

1

o

+ cos

2

x

2"

j

o.

J

___!!:!____ sin 4 x

4"

11.

Jt: :!: :

12.

Jx

dx

1

3

V1 -

x 2 dx

()

l

13.

J (1 -

.

x2) 3 12 dx·

o

l

14

.

J

~c tg x_ d .

1 +x

.x

o 3

15.

J ey;- dx.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

411

elő

231. §. Állítsuk

az

J x'" arc tg x d:r

(n

= 1, 2, 3, ... )

határozatlan integrált. Parciális integrálással (147. § (1))

J

X m-tl

x"' arc tg

x dx

= m

+

'1 arc tg

x-

f

1

rn

mtl

1 -1 :~ x2 d:r.

+

(1)

Mivel pedig 1-x2

+

x4- . . .

+ (-i)n-1

1--(-x2)"

x2n--2

1

+

=

x2

vagyis z2n

1 + x2

= x2n--2-

x:ln--4

+ ... +

(-

nn-[ +

1

(--- 1)" 1 + x2

és egyben x2n+l

1 + x2 = az m

+ ... +

x2n-3

x2n-1 _

x

(-1)n-l x + (- 1)n 1 + x 2 '

= 2 n-1 esetben (1)-böl (222. § 5°)

J

z2n-t

f

x2n 1 x2 n-1 x2n-3 arc tg x dx = 2 n arc tg x - 2 n \2 n-1- 2 n-3

+

+ ... + (-1)n-1 x+ (-1)n arc tg x } +C, az m

(2)

= 2n esetben viszont (222. § (2))

J

z2n

1

{x2n ·

.

.

x2n+1

arc tg x dx = 2 n

+ 1 arc tg x -

x2 (-21)" log(1+-x2)}·. +C . .(3)

x2n-2

- 2 n+ 1 2 n- 2 n-2+ ... +(-1)"-12 +

(2)-böl folyik (134. § (8)), miszerint például l

Jx

2 n-l

arc tg x dx =

o

:n: . 1 ( .1 1 =8 n (1 - (- 1)n) - 2 n 2 n-1 - 2 n-3

tehát páros n es·~tt~n ·

Jx

0

2 n-l

. ·,

) '

.

'

arctgxdx = 21n ( 1- 31 (n

www.interkonyv.hu

..

+ · · · + (- 1) )-l

+ 51 -

1 1 ) ... +2 n--32n-1

= 2. 4. 6, ... ),

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

412

páratlan n esetén viszont

!x

211 - 1

arc tg x dx

=

0

_n_- _i_

4n

2n

(t -

_!_ 3

1--.--) + _!_5 _:____ ..•. + -::::-2n-1

(n= 1, 3, 5, ... ).

(3)-ból pedig adódik

t d 1 o x-n arc g x x = 1

')

1 ( 1 1 - 2 n -;1- 1 211- 2 n-2

1

:n;

(2 n+ 1) 4

1 n log 2) + · · · + (- f)n _ 1 2+ (-i) -2- ·

232. §. Gyakorlásul szolgálhat a

következő

integrálok kiszámítása, ·ill.

előállitása: 1

1.

Jx

2"

arc sin x dx

(n

= 1, 2, 3, ... )

o

2.

J V1-x

3.

J

x arc sin x dx 2

1

o

4.

x 2 arc tg x dx 1 x2

+

1

j

(arc sin x) 2 dx

{)

l

5.

j

x (arc sin x) 2 dx.

o

III. Területszámítások. 233. §. Legyen l (x) az a ~.x ~ b intervallumban nem-negatív vagy nempozitív folytonos függvény és tekintsük ' azt az idomot (182 a. és b. ábra), amelyet az y = l (.T) görbe. az x = a és x = b egyenesek, továbbá az abszcisszay y

.b

·!82"· úbra.

www.interkonyv.hu

x

x

182 b. úbra.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

tengely határol. Ez idom területe (126. §) elöjellel (ha az negatívnak vesszük)

f (x)

~

O esetben

b

T

=J f (x) dx.

Ha a görbe valamely parameteres

= x (t),

x

(1)

előállítása

y = y (t)

ahol is x (t) átfutja az (a, b) intervallumot, midőn t átfut bizonyos (a:, {J) számközt, akkor az (1) integráira az x = x (t) helyettesítést alkalmazva (148. § (3)) lJ

T

=J y (t) x' (t) dt

(2)

" (a= x (a:), b= x({J))

feltéve, hogy (a, b)-ben x'(t) létezik és folytonos. Például az y = a (1- cos t)

x = a (t - sin t),

(0 ;;;;, t ;;;;, 2 n)

cyclois-ív (212. §) és az abszcissza-tengely közti terület 2z

J a (1-cos t)

2n

o

2x

=

a2

o

2

t dt } =

a2

(2 n -

O

o

gördülő

+ 4 Jcos

t dt) = 3 a.2 n

y

kör területének

~

[TeuJ:: =J b sin t(- a sin t)

2

n

x = a cos t, y = b sin t (O ;;;;, t ;;,; :n:) (1) félellipszisnek (183; ábra) az x1 < x2 abszciszszákhoz tartozó y1 és y2 ordináták közti területrésze (233. § . (2))

x 183. ábra. ~

dt = ab

~

ahol (1)-re

t) dt =

2"'

2~

{J dt - 2 Jcos t dt + Jcos

(227. § (2)), azaz a háromszorosa. 234. §. Az

2

9

2.rr

o

J (1 -2 cos t + cos

a (1 -cos t) dt = a 2

J sin

2

tdt,

(2)

~

tekint~ttel

x x t1 '= arc cos__!, t 2 = arc cos~. · a a.

Minthogy

J . ·· · 2 J · ~

~

sm2 tdt=

ft

www.interkonyv.hu

1

.

(1- cos 2 t) dt =

t.

.

·1 [

2

sin 2 t - - 2-

(3)

t]

t;

t,

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

414

és (1) alapján · 2

SJTl

t=

2 xy

ab'

(2) ég (3)-ból

( x1 [7 .('\1. ]x' = -ab 2 arc eos -a x,

+ -12 (x

y 2 - - x 1 y.1 ).

(4)

2) ab ( arc cos ---' X1 . arc co.s x ~ a a

(5)

arc eos -x 2 ) a .

2

lrjuk (4)-et a

rT ell.] x,~·.• - 21

:r·z •?J 2 --r, 21 x I .1J l --

x 2 y 2 az O Q2 P 2 pozitív körüljárású

alakban. A 183. ábrán ; pozitív,

~

2

háromszögnek

OQ 1 P 1 negatív körüljárású háromszögnek negatív

x 1 y1 pedig az

területe. Ennélfogva a P 10P 2 ellipszis~szektór területe nem más, mint az (5) által szaigáitatott érték. Ez nyilván akkor is igaz, · ha O ;;:;; x 1 ;;:;; x 2 ;;:;; a vagy -- a ;;:;; x 1 ;;:;; x 2 ~ O. Ha x 1 = -a, x 2 = a (mikor is y 1 = y 2 = O), (4) szerint a félellipzsis területc ,u

[7 eu.La

ab

= 2

(arc cos (-1) --arc cos 1) =

ab

2

n,

tehát az egész ellipszis területe abn, amint már a 25. §-ban találtuk. Midőn a= b, (5)-ből a P 10P 2 körszektor (184. ábra) területe · [T.·

f'- x 22y~ + x12YI

kör. x.

= !!:__ ( a arc cos x 1 -a arc cos _x 2 ) . 2 a .a

y

x

x

185. ábra.

l t t a zárójelben nyilván a P;.P 2 körív hossza áll (181. §), ez tehát régi eredményünk, amely szerint a körszektor területe egyen1ő az ív és a sugár szorzatának fr-lével (24. §).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

415

Analóg számítással nyerjük, tniszerint az x = a ch t, y = b sh t (t ,;:; 0) (6) negyedhiperbolának (185. ábra) az x 1 < x 2 abszisszákhoz tartozó y 1 és y2 ordináták közti területrésze x, x2 Y2 - xt Yt ab ( l xt (7) [TI1iv),., = - - - - -2---+ "2 ar c 1 ar

a-

Minthogy (6)-ból a t parametert kiküszöbölve b . y = - Vx2- a2, a

a 216. § (11) képletének alkalmazásával

1

ar ch : =log(;+ és hasonlókép

v(:lr

- 1 ) =log (:l+

ar ch a =log (X2 a+ X2

.

~l)

Y2) b .

Tehát a (7) képietet így is írhatj uk: .

[T

]"'' hip. x,

X 2 Y2 -

Xt

ab l

Yt

X1 Yt -+-

= - - 2 - - + 2 og

a

b

Xz

(7*)

Yz

-+a b

A 185. ábrából látható, miszerint a P 10P 2 hiperbola-szektor területe nem más, mint a (7*)-ból adódó 1 -2

X2.Y2-

1 -2

·

Xt

Yt- [Thip.]x .

érték. Ez általánosítása a 216. § (3) képletének. 235. §. Számítsuk ki az .r= acos 3 t, y= asin 3 t

(O~ t~

~ •

=

ab

"7I ,c,

X2

+Yz

a

b

log--X1 Yt -+a b. y

aB

2 n:)

«astroid» által bezárt területet (186. ábra). Elegendő. a O ~ t ~ ;

vallumnak megfelelő iB vonalda· rab és a koordináta-tengelyek által határolt OAB idom területét számítani. Ugyanis a szimmetria folytán nyilvánvaló, hogy az A'OB. A'OB', OAB' idomok területe ahszo-

www.interkonyv.hu

x

inter-

186.

ábra.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

416

lút értékben egyenlő O A B területével, tehát az egész idom terüléte az utóbbiénak négyszerese. E negyed-terület (233. § (2))

"' T o ~ 2 J sin 3 t.3 cos 2 t (-sin t) dt = 3 a2 Jsin4 t cos 2 t dt = = a 4 "'

o

2 ~

=

~

2

3 a2

J sin

~

2

4

=

t ('l- sin 2 t) dt

3 a2

o

J sin

2

4

t dt- 3 a2

o

J sinG t dt.

o

Tudjuk (227. § (2)), hogy

J. .

"'

J. ~

6 d. _ 1.3.5 n· sm t t - 2.4.6 2'

1.3 n

d

sm 4 t t o= 2 _4

2,

o

(l

tehát T _ 3

2

1.3 ( 1

4 - ' a 2.4 .

5) n _

-6 2 -

3

2

32 a n

s így

. 3 T= S a2 n, vagyis az a sugarú köz· területének háromnyolcada. 236. §. Tekintsük most · azt a T szektorszerű idomot, amelyet a polárkoordinátákban kifejezett r = r (it) egyenletű folytonos vonaldarab, továbbá a f} = CG és it = {J értékeknek megfelelő OA és OB rádiuszvektorok határolnak (187. ábra). E görbe-szektor mérhetö teriiletű és területe ~

~J r (it)2 dit.

Q [T] =

(1)

a

Erre az eredményre a következő meggondolás vezet (v. ö. 155. §). Osszuk .az (CG, {J) intervallum ot részközökre az CG= it o

Q és w 2

>

Q.

+oo

Ennélfogva ismét a kritérium értelmében

J f (x) dx konvergens.

a

Ilyenkor-midön t (x) az (a, w) subintervallumokban korlátos és integrál+ oc

ható s

+oo

J l t (x) l dx

konvergens -

az

J t (x) dx

improprius integrált abszolút

a

a

konvergensnek mondjuk. Megmutatjuk, miszerint az +oo

J

si: x dx

(1)

o integrál konvergens, de nem abszolút konvergens. Tekintsük az

r

sin x dx x '

•

J 2 :n:

:re

O

J

(n+l)

sin x dx x ' · · .,

~

sm x -x- dx,

(2)

n~

x

számsorozatot. Ennek tagj ai nyilván váltakozva pozitívok és negatívok. Megmutatjuk még, miszerint abszolút értékben fólyvást csökkennek és O-hoz tartanak. Minthogy u. i. az

+ 1)

n n < x < (n

n

számközben

1

.

(n + 1) n l sm x l
1 2 1) (ax + x + c) log (ax2 + bx c), ha n = 1, {2)-böl nyerjük, miszerint n > 1 eselén

+ bx++b c)" dx-_ { -

2 ax

(axz

J

(ax 2

(n

_

+

a.x+fJ dx=a. + bx + c)" 2 a (n -1) (ax 2

+

(

a

b) J(ax

{J- 2 q.

2

+ bx + c)"- 1 +

+ dxbx + c)"'

(3)

n = 1 esetén pedig

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

446

Jax2a..;_! ~c dx= 2a.alog

(ax2

+ bx +c)+ (P-;

!)J

ax2 +d:x +c. (3*}

(3) és (3*) alapján az (1) alatti integrál vissza van vezetve erre:

J Ha 4ac- b2

=

dx

(a X 2

+ b x + cr·

.

(4}

O, akkor ez integrált tüstént kiszámíthatjuk, ez esetben t. i.

1 2 a x 2 +b x+ . c= -4 a (2 a x+ b) , tehát

J

dx (ax 2 +bx+c)'' =( 4 a)"

J

dx 22n-1 an-l 1 (2ax+b) 2n = - 2n-1. (2ax+b)2n

(4ac- b2 Tegyük fel most., hogy 4ac-b2 = Minthogy ekkor

=

1

+C

O).

+ q2,

q =1= O.

a x2 + b x + c = 41a J· l (2 a x + b) 2 + q2} = 4q2{(2ax+b)2 a q· ± 1} ,

(5)

t= 2 a x+ b q

(6)

a helyettesítés alkalmazásával

J

dx

(a x:&+ b x+ c)"=

22n-1 an-l q2n 1

[J (t2 +dt 1)"J

1_2ax+b q

( 7)

(4ac- b2 = + q2 =1= O). A jobboldali integráira redukciós formulát vezethetünk le. Ugyanis

J (t 2

dt

± 1t = +

J (t~± + t2

1 - t2 J dt 1)" dt . + (til ± 1)n-l

=F

J

t2

(t2

+ 1)" dt

s mivel parciális integrálással

J (t2

~ 1)" dt =

-2(:-1)J t ( (t2; 1)n-l )'dt =

1

adódik

J

J

dt

(t2 + 1)n-l'

2n-3J dt l +2 (n-1) (t 2 1)n l· E redukciós formula ismételt alkalmazásával integrálunkat az dt t2 + 1 (t 2

dt

1

t

+ 1)n-l +2 (n-1)

= - 2 (n-1) (t 2

+1

± 1)" =2 (n:_1)

t

(t2

+ 1)n

+

(8}

J

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

447

integráira vezethetjük vissza. Ha a + jel szerepel, ez (222. § 5°)

J

dt t2+ 1

(9)

arc tg t + C,

=

s midón a -jel szerepel, ez integrál (222. § 9°) t-1 . 1 _!:!._ = 2 log t + 1 + C, ha t > 1 vagy t < \ 1 1-t 2 log 1 t C, ha - 1 < t < 1.

Jt~-1

- 1

(9*)

+ +

Miután föltevésünk szerint a x 2 + b x+ c> O, (5) és (6)-ra tekintettel az utóbbi két eset közül az elsővel állunk szemben, ha a > O, ellenben a másodikkal, ba a< O. A (7), (8) és (9) resp. (9*) képletek alapján 4 a c - b2 =f= 0 esetén is meghatározhatjuk a (4) alatti integrált. Az (1) alatti azután (3), ill. (3*)-ból adódik. 255. §. Az előbbi §-ban leírt módon határozzuk meg pl. ezt az integrált:

J

-2x+5 d (x2-x-1)2 x.

(-2 x + 5)-nek az (x 2 -

x - 1)'

+5=

2x

-

=

-

2 x - 1 szerint rendezett alakja

(2 x -

+ 4,

1)

tehát

j (x

J

-2x+5 dx=-J 2x-1. dx+ 4 (x 2 - x -1) 2 (x 2 - x -1)~

1 x2 -x-1

=

Minthogy x2-x-1

at

=

+4

dx = x - 1) 2

2 -

J

dx (x 2 - x -1)2 ·

(1)

{(

=(x- ~r-~=~ 2XV~ 1-f-1},

2x-1 V5 helyettesítés alkalmazásával

J

dx x-

(x 2 -

8

1)~ = 5V5

[J

(t 2 -

dt

Jt~2x-1'

1)2

( 2)

Vs

Az utóbbi integrál redukció j a (254. §) most így alakul:

J

dt

(t 2 -1) 2 = = -

J J

= - ;

www.interkonyv.hu

t2 -

1 - t2

(t2-1)~ dt=-

t2 dt

1-

;

t2 t

1-

;

Jt~-1-2 J (t~-1

t2 t

1+ ;

J

dt 1

t2

1

dt

o

J

t2 dt

t

1 )' ,

dt=

1= (3)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

448

Mivel (222. § 9°)

J_!!_=_!_ 2

1-t~

log 1 + ~' 1.-t

(2) és (3)-ból adódik 1 dx __ x-2 _2_ 10 V5-1 +2 x (x 2 -x-1) 2 5 x 2 - x - 1 + 5V5 gV5 + 1-2x'

J

2

S így (1) alapján

vagy a racionális részt összevonva

J.

-2x+5 d _ 9-Sx ~l V5-1 + 2x +C (x 2 - x - 1)~ x - 5 (x 2 - x - 1) + 5 Vs og 5 + 1 - 2 x ·

V

Határozzuk meg most az

integrált. l

(-x+ 1)-et az ( x 2 +x+ -- x

+1=

tehát

J

--x + 1 ( x2 + x + ; ) dx = -

1

2

J

,

2 ) =2 x+ 1 szerint rendezve 1

3 + 1) + -' 2

--2 (2 x

2x + 1 ( x2 +x +

~r

3 dx +

2

J (

x2

+

dx x+

~

r(4)

Minthogy

1 x 2 +x+ 2

1 1 2 +1}, = ( x+ 21 )2 +t;=~;{(2x+1)

a t = 2 x + 1 helyettesítés alkalmazásával

J

( x2

dx

+ x + ; )2

=8

[J _r!!:_] + t~ (t2

1)2

2 x+ 1

(5)

Ez utóbbi integrált a fenti módon redukálva

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

449

J'

(t2

dt

+ 1)2 =

J

t2

J. + 1 + 2 dt

t2

=

+

1 - t2 (t 2 + 1) 2 dt

t 1 (t2 + 1) - 2

=

J

j' [2+dt 1 + 21 Jt ([2+1 1 )

dt t 1 t2 + 1 = 2 (t 2 + 1) + 2

l

J

dt =

dt t2 + 1

=

t 1 2 W + 1) + 2 arc tg t

s így

(5)-ből

J

dx

2x+1

( x2 + x +2)

x2 + x +2

----1- 2 =

Tehát (4)-re tekintettel -x+ 1 1 1 ----1.,~2 dx=2 ( x2 + x + 2 ) x2 + x

J

vagy végeredményül -x+1 1- 2 dx ( x2 + x +2)

J-----

=

1 +4 arc tg (2 x+ 1).

3 1 + 2

+2

2x + 1 x2 + x

, 1 +6 arc tg(2x+1)+C

+2

3x+2

• 1 + 6 arc tg (2 x + 1) + C. x2 + x + 2

256. §. Tekintsük most általánosságban a g (x) /h (x) racionális törtfüggvényt oly intervallumban, amelyben a h (x) nevezőnek nincs gyöke, ahol is tehát c függvény mindenütt értelmezve van. Ez intervallumban e törtfüggvény folytonos (50. §), tehát U7:

f

g(x)dx

h( x)

határozatlan integrál mindcnesetre létezik (146. §). Meg fogjuk mutatni, hogy ez integrál előállítható zárt alakban s ehhez a racionális függvényeken kívül csak a logaritmus és az arcustangens függvényre van szükség. Elegendő lesz azzal az esettel foglalkoznunk, midőn g (x) fh (x) valódi törtfüggvény, azaz a g (x) számláló a h (x) nevezőnél alacsonyabb fokú. Ha u. i. g (x)

magasabb vagy ugyanolyan fokú mint h (x), akkor g (x)-et h (x)-szel osztva, maghatározhatjuk a q (x) hányadost és a h (x)-nél alacsonyabb fokú r (x) maradékot, amelyekre g (x) = q (x) h (x) + r (x), tehát g (x) r (x) h (x) = q (x) + h (x) és

Jg

(x) h (x) dx

=

j' q (x) dx + Jrh (x)(x) dx.

A q (x) racionális egész függvény integrálja szintén racionális egész függvény, 29

A differenciál- és integrálszámltás elemei -

www.interkonyv.hu

8/33

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

·150

amit tagonkénti integrálással meg tudunk határozni (146. § (3)), tehát most már az r (x) 1h (x) valódi törtfüggvény integrálasára vagyunk utalva. Vala:rnely valódi racionális törtfüggvény integrálása e törtfüggvénynek ú. n. parciális törtekre bontásán alapszik. H a a g (x) l h (x) valódi törtfüggvény nevező je (az egyenlő tényezők szorzatát hatvány alakjában írvaJ h (x) = C (x- a)a . .. (x 2 2rx s)" . . . (1) 2 ahol r - s < O azaz a másodfokú tényezők nem esnek szét két elsőfokú valós tényező szorzatára, akkor e törtfüggvény ilyen alakban írható:

+

g (x) h(x)

+

Ao

(x-a)a

+ .

+ .

A1

(x-a)a-1

+

+

.. ·

+

+ Aa-1 + x-a

+

+

+

R n x j- So R1 x S, +R" -1 x Sa -1 (x2 2rx s)a (x 2 2rx s)a - l • • ' x2 2rx s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

+

+

+

+

+

+

Ez e valódi törtfüggvénynek ú. n. valós parciális törtekre bontott alakja; az A Rx+S 2 (x-aa ) resp. (x 2 2 rx sa (r -

+

+)

s


-1) (1+acosx) 2

o

5

·

J"'

dx (2+ cosx) 2

o

6

·

J"'

dx

(4cosx+5) 2

o

J_!±_ 2n

7.

cos x dx 1 + cos 2 x

o

263. §. H a az integrandus x-böl és a (p x racionális kitevöjü ~

+ q) j (r x + s)

Q2

x + q)"'' (p x + q)~' ... ' ( prx+s. rx+s

lineáris függvény Q"

( p X+ q)"n r x+ s

(1)

hatványaiból racionális műveletekkel van összetéve, akkor racionális függvény integráljára jutunk a

(2) helyettesítéssel, hacsak v racionális egész szám és a 1 többszöröse.

www.interkonyv.hu

-,

a 2 -,

••• ,

an-nek közös

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

4.63

E helyettesítésnél u. i. az (1) alatti hatványok t-nek nyilván egész ki-

tevőjű

hatványaiba (tehát racionális függvényeibe) mennek át, és

a t-nek szintén racionális függvényeként nyilván racionális (148. §). Számítsuk ki pl. az

fejezhető

(2)-ből ~;

ki. Az új integrandus így

a

JV x

x

a-x

dx (a> O)

(l

improprius integrált, amely mindenesetre konvergens (250. §). Ezt ama végtelenbe nyúló idom területe mérőszámának tekintjük, y amelyet az

y=xlfX

v a=x

cisszois-ág (85. §), továbbá az abszcissza-tengely és az x = a egyenes határol (193. ábra). Az _x_ = t 2 (t E;; O)

a-x

x

helyettesítés mellett

x= l

a t2

+ t2 =

a

dx

a - 1 + t 2,

dt

2 at = (1 t2)2'

+

193. ábra.

s amíg x változik 0-tól a-ig, addig x/ (a- x) és ezzel együtt t is változik O-tól + oo-ig. Tehát a

J

J

x V tz=X dx =

o Alkalmazva a

+

-+

x< A.>, ?i - + ii.

(12)

De mivel

a (7*),

y(-r,l), y ('t',2),

... , y (-r,), ...

pedig a (8*) sorozat részsorozata, (10) és (12) alapján

x(A.) = ~. y (A.) =1J· Eszerint (9) bármely (11) alatti konvergens részsorozatának ugyanaz a A. határértéke van, vagyis {9) maga is konvergens (64. §). Ezzel kimutattuk, hogy az (5) függvény folytonos (50., 63. §). Ebből t"üvábbá következik, hogy e függvény

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

471

szigorúan monoton. Mert legyen a ~ t' < t" < t"' ~ b. A különböző t', t" és t"' értékeknek különböző (x, y) pontok, tehát különböző -c', -c'' és -c'" értékek felelnek meg; tegyük fel, hogy -c' = ep (t') > ep (t") = -c". Akkor lehetetlen, hogy ep (t") < ep (t"') legyen. Ekkor lL i. vagy ep (t') > ep (t'") > > ep (t'') vagy ep (t"') > ep (t') > ep (t") volna. A folytonosság következtében ep (t) BoLZANO tétele szerint (53.§) az első esetben t' és t" között felvenné a ep (t"'), a második esetben t" és t"' között a ep (t') értéket. Ez ellentmondásban van azzal, hogy különböző t értékeknek különböző -c = ep (t) értékek felelnek meg. Tehát ep (t") > ep (t"'). Ebből pedig egyszerűen következik, hogy az (5) alatti folytonos függvény szigorúan monoton. Vagyis ha t átfutja a (2) számközt, a megfelelő (x, y) ponthoz tartozó -c érték valamelyik irányban átfutja a (4) intervallumot s nyilván ez az, amit meg kellett mutatnunk. Véges számú AB, BG, ... , LM egyszerű folytonos vonaldarab összetételét fogjuk az alábbiakban folytonos vonaldarabnak nevezni. Ha A összeesik M-mel akkor folytonos zárt görbéről beszélünk. A fentebbiek alapján az AM folytonos vonaldarabon két haladási értelem lehetséges. Az egyiknél t. i. az iB, Bc, ... , L'M egyszerű vonaldarabokon A-ból B, B-bői C, ... , L-ből M felé haladunk;-' a másiknál viszontM-ből L, ... , C-ből B, B-ből A felé; az első az A-ból M felé, a második az M-ből A felé való haladás. Az ilyen folytonos vonaldarab parameteres előállítása

x

=

x (t), y = y (t)

(a ~ t ~ m)

ahol x (t) és y (t) az (a, m) zárt számközben folytonosak s ez véges számú (a, b), (b, c), ... , (l, m) rész-interva]lumra bontható úgy, hogy ugyanazon rész különböző helyeihez különböző (x, y) pontok tartoznak. 270. §. Szemeljük ki az AM folytonos vonaldarabon (269. §) A-ból M felé haladva egymás után az A= P 0 , P 1 , •• • , P"._ 1 , P".= M pontokat, amelyek azt _......__ _......__ --------. az AP 1 , P 1P 2 , ••• , P"._ 1 M ívekre osztják. Mindegyik ív két végpontját (amelyek össze is eshetnek) húrral összekötve, a vonaldarabba beírt A P 1 P 2 . . • P"._ 1 M poligon keletkezik, amelynek hossza n--

:E P;-1 P;.

i~l

Az összes lehető felosztásoknak (midőn tehát n valamint P 1 , P 2 ,. •• , Pn-l más és más) megfelel a poligon-bosszak bizonyos halmaza. Lehetséges, hogy ez felülről korlátos, mint pl. körív esetében (21.§), de lehetséges az is, hogy nem korlátos, amint alább látni fogjuk (272. §). H a a beírt poligonoknak megfelelő poligon-hasszak halmaza felülről korlátos, akkor a folytonos vonaldarabot ((rektifikálhatónak» mondjuk és e halmaz felső határát a vonaldarab ((ívhosszúságánakJJ nevezzük.l (V. ö. 21. §.) A definícióból nyilván következik, miszerint valamely rektifikálható foly1

C.

www.interkonyv.hu

JORDAN

i.

fi.

(206. old.), p. 100-103.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

472

to nos vonaldarabba beírt poligon hossza legfeljebb ah kora, mint a vonaldarab ív hosszúsága, továbbá, hogy rektifikálható folytonos vonaldarabnak részét képező folytonos vonaldarab ugyancsak rektifikálható.

Kimutatjuk még az ívhosszúságnak két tulajdonságát. Legyen az AM vonaldarab valamely közbülső pontj a P, amely azt az ÁP és PM vonaldarab okra osztja. E részek ívhosszát szintén ÁP és PM-mel jelölve, a jelzett tulajdonságok a következők: -.. 1° AP+PM=AM 2° AP folytonosan változik, vagyis adatván akármilyen kicsiny e pozitív szám, P előtt a P' és P után a P" pont úgy választható, hogy a ft'P,.., vonaldarab bármely közbülső X pontj ára

-- --

-

-- --

AP- e < AX < AP + e. (1) Az 1o tulajdonság ugyanúgy bizonyítható be, mint a körív speciális esetéhen (22. §). A 2° tulajdonságot __...,""....

__

következőkép

bizonyítjuk be. Adatván e> O, írjunk

az AP vonaldarabba olyan AP1P 2 . .. P,.-1P sokszöget {196. ábra), hogy . -. . --.e AP1 + P 1P 2 + ... + P,.-1 P >AP- 2·

P

Ez lehetséges, miután ÁP a· poligonhasszak felső határa. Feltehetjük, hogy egyben A

-P ..-1P

196. ábra.

e

< 2'

mert egy új szögpont beiktatásával a poligonhossz nem kisebbedik és folytonos vonaldarabról lévén szó, ez utóbbi egyenlőtlenség fennáll, hacsak P ,.-1-et az AP ívnek bizonyos FP részén választjuk. E két egyenlőtlenségból következik, hogy -APl + P1P2 + · · · + Pn_2pn-1 >AP- e, tehát még inkább ...-.. ....-.. (2) AP.;-1 > AP~ e. Hasonlóképen, a PM vonaldarabon található olyan Q1 pont, hogy

--

Q-;M> PM-e. Az 1o tulajdonság szarint

..-.... ....-... ......-... AQ1 =AM- Q1 M,

,.-.....

,-.....

....-..

AP= AM -PM,

tehát ekkor

....-... ..-.... ...-.. (3) AQ1 O (h > O) vagyis rp(x) és 'ljl(x) valóban szigorúan monoton növekedök. Ezek szerint (2) az f (x) függvénynek kívánt előállítása. 273. §. H a f (x) az a ~ x ~ b számközben folytonos és azon belül differenciál-

+

+

ható függvény, továbbá f'(x) korlátos, akkor az

y= f (x) (a~ x~ b) vonaldarab rektifikálható, és ívhosszúsága

(1)

b

s

=j V1 +

/'(x) 2 dx

(2)

a

amennyiben ez integrál létezik.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

477

Bizonyítás. Osszuk föl (a, b)-t az x1 , x 2 ,

A

••• ,

x"_ 1 osztőpontokkal, ahol

a = Xo < x1 < . . . < Xn-l < X,; = b. P 0P 1 •• • Pn beírt poligon (270. §) hossza

megfelelő

(3)

Ámde a LAGRANGE-féle középértéktétel szerint (109. §)

t (x;) -t (xi_1)

t (.;;),

= (x;- X;- 1)

X;- 1

< $;
O mellett (7) l g (z) l > l g (zo) l, ha l z l ;;;; r.

+

Ekkor z0 az O középpontú r f?ugarú körön belül fekszik (239. ábra). Mivel a 2° segédtétel szerint l g (z) l a z pont koordinátáinak folytonos függvénye, WEIERSTRASS tétele értelmében (73. §) a l z l ;2:; r zárt körben van legkisebb értéke. Ezt nem veheti fel a kerületen, mert a belső z0 pontban a függvény (7) szerint kisebb mint a kerületen. Tehát a legkisebb értéket szolgáltató o: hely is a körön belül fekszik. Ha g (o:) ::.f= O volna, akkor a 3o segédtétel értelmében a kör valamely

www.interkonyv.hu

y

r

x

239. ábra.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

536

+

Co belső helyére (4) állana,. ami ellenkeznék azzal, hogy l g (a) l a l g (z) l függvény legkisebb értéke e zárt körben. Tehát szükségkép g (a) = O. Qu. e. d. A tételnek folyománya, hogy minden legalább elsőfokú (1) alatti racionális egész függvény

a

(1 *)

alakban írható, ahol m 1 , m 2, ••• , mk pozitiv egész számok. Ugyanis a tétel szerint g (z)-nek van valamely z1 gyöke. Erre mint a valósban (89. §) g (z) = (z- z1 )m, g1 (z), g 1 (z 1) =l= O

ahol m1 pozitív egész szám és g1 (z) csak (n- m1)-edfokú polinom. Ha g1 (z) nem 0-adfokú, akkor hasonlóan g1 (z)

=

(z- z2)m, g2 (z),

g2 (z 2 )

=l= O

s így tovább. Minthogy g1 (z), g2 (z), . . . rendre n - m 1 , n - m1 - m2 , ••• fokszámúak, legföljebb n lépésben0-adfokú polinomra, azaz valamely c állandóra jutunk és nyerjük g (z) = (z- z 1)m• (z- z 2 )m, . : ; (z- z,Jmk. c

Itt szükségkép m1

+ m 2 + ... + mk =

(k

~

n).

n

mert g (z) pontosan n-edfokú, tehát c a zn együtthatája g (z)-ben, vagyis c = a0 , amivel (1 *) igazolva van. Minthogy szorzat csak akkor zérus, ha egyik tényezője zérus, azért (1 *) alatt z1 , z 2 , ••• , a g (z) racionális egész függvény összes gyökei. E felbontás a g (z} ú. n. gyöktényezös alakja, ebben z - z1 , z - z2 , ••• , z - zk a gyöktényezök, az m1 , m 2, •.• , m 1, kitevők (ha e felírásban z1 , z2 , ••• , zk különbözök) a megfelelő gyökök, ill. gyöktényezök multiplicitásai (v. ö. 89. §}. Ezzel a terminológiával az algebra alaptételének e folyományát úgy fejezhetjük ki, hogy pontosan n-edfokú racionális egész függvénynek éppen n gyöke van, ha minden gyököt annyinak számítunk, amennyi a mnltiplicitása. Az (1) polinom konjugáltja alatt a

g (z) = a0 z + a 1 z + ... + an polinomot értjük, amelynek egyötthatói az eredeti együtthatáknak konjugáltjaL -

-

n

-

n-]

-

H a az a komplex szám a g (z) polinomnak m-szeres gyöke, akkor az ii konjugált komplexszám a (z} konjugált polinomnak szintén m-szeres gyöke. Ez azon alapult hogy összeg konjugáltja a tagok konjugáltjainak összege, szorzat konjugáltja pedig a tényezök konjugáltjainak szorzata (291. § (14), (15)). Valóban, a feltevés szerint g (z) = (z- a)m g1 (z), g1 (a) =l= O

g

s mivel ennek együtthatói a-ból és g1 (z) együtthatóiból összeadás- és szorzással adódnak, azért az előbbi megjegyzésből folyólag g(z) =(z- ii)mg1 (z).

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

537

De g1 (1%) =1= Olévén, egyben g1 (-;x) =l= O, mert a fenti megjegyzés alapján ez éppen a konjugált érték. Tehát Ci" ag(z) polinomnak m-szeres gyöke. Ha a polinom együtthatói speciáJisan valósak, akkor a konjugáltja vele megegyezik, tehát az előbbi tétel ez esetben azt mondja, hogy ha 1% a valós együtthatás g (z) polinomnak m-szeres gyöke, akkor ii ennek szintén m-szeres gyöke. Ha normálalakban 1% = a + ib, ii = a- ib, a megfelelő gyöktényezők szorzata [z- (a+ ib)] [z -(a-ib)]= [(z- a)- ib] [(z- a) + ib] = (z-a) 2 + b2 z2 -2az + a 2 + b2

=

=

\

valós együtthatóa másodfokú polinom. Az (1 *) alatti felbontásból tehát következik, misierint valós együtthatás polinom felbontható olyan valós tényezők szorzatára, amelyek mindegyike első vagy másodfokzí. Ezt használtuk fel a 256. §-ban. E tétel azonban nemcsak folyománya az algebra alaptételének, hanem aequivalens is vele, amennyiben ebből, fordítva, következik az algebra alaptétele. Ugyanis legyen valamely legalább elsőfokú komplex együtthatóa polinom g (z) = (~%o+ i Po) z"+ (al'+ ipl) zn-1 + ... (1%,. + ip n) = = (~%o z" + 1%1 zn-1 + ... + ~%n) i (Po z" + flt zn-l +{J"} = = u (z) iv (z), ahol is tehát u (z) és v (z) valós együtthatóa polinomok és legalább az egyik fokszáma n ~ 1. Nyilván g (z) konjugáltja

+ + ...

t +

g (z) =

u (z) - iv (z),

tehát g (z)

g(z) =

u (z) 2

+ v (z)2.

Az előbbi tételből folyólag e valós együtthatóa polinomnak (amely evidenter legalább másodfokú) van gyöke (296. §). Ez mindenesetre gyöke vagy g (z)-nek, vagy (z)-nek. De a fentebbiekből tudjuk, hogy ha ' + i 'Y} a (z)-nek gyöke, akkor ,_i'Y} gyöke a g (z) polinomnak. Ennek tehát mindenkép van gyöke, amit meg akartunk mutatni. Az (1) polinom gyökei és együtthatói között egyszerű formális kapcsolatot állapíthatunk meg az (1 *) gyöktényezös előállítás alapján. Legyenek a gyökök

g

g

(8) mindegyiket annyiszor írva fel, amennyi a multiplicitása. Ezek ú. n. elemi szimmetrikus formái 1%1, a2, • • ., l%"

S f'l = 1J IX,; 1 Sá"l = IJ IX,; OG7,, S~ll) = 1J a,; QGT< IX1 1 • • • 1 S~n) = al IX2 ••• !%n (9) e gyökökből képezett 1-, 2-, ... , n-edosztályú ismétlésnélkiili kombinációknak mint azorzatoknak összegei (ahol is különböző indexű gyökök különbözöeknek tekintetnek akkor is, ha egyenlők). Mármost az (1) racionális egész függvény együtthatói a (8) alatti gyökökkel abban a kapcsolatban vannak, hogy a (9) alatt felírt elemi szimrnetrikus formák az együtthatókkal kifejezve

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

538

S\nl = - a1 , S~n>= a 2 , ••• , S/'l= (-1)'V a'V, . .. , s~nl = (-1)" a,.. (10) ao ·ao . ao ao Ugyanis a szorzást elvégezve (z--,- a;1) (z- a; 2) ••• (z- a,.) =z"- Sin) z"-1 + ... + (- 1)v S}"l z"-'V + ... +

+

(-1)" s~n), amint teljes indukcióval könnyen belátható. Minthogy pedig (1 *) értelmében (ha a 0-lal végigosztunk) 11-1 + . . . + -.. a,. ~"-v + . . . + -a,. = (z - a;l ) (z ao ao ao . koefficiens-összehasonlítás éppen a (10) alatti relációkat adja.

zn

+ -z al

www.interkonyv.hu

a;2) • •

(z -

a;,. ),

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

ÖTÖDIK FEJEZET.

VÉGTELEN SOROK. I. Aszimptotikus

egyenlőségek.

301. §. Általában azt mondjuk, hogy az

és sorozatokban a,. aszimptotikusan

egyenlő

bn-nel, képletben

ha

(V. ö. 162. §.} Ez másszóval azt jelenti, hogy (62. §)

a n -b n~ O vagy an- bn --+ O bn an vagyis az an- b.. különbség az a,. és b.,-hez képest abszolút értékben tetszöleges kicsiny, ha n eléggé nagy. Megmutatjuk, hogy az 1 1 1 +2+ ... -Iogn (1)

+n

reláció mellett (162. §. (3*)) egyszersmind

n Ugyanis 1 1 n + 1+ n + 2

1 +1+

+ ··· +

n

1 n2

1 1 + 2 + ··· + 7 1 1 +2+

1 (1 1 ... +122+2+ .. ·+121·)

----~~------

log n

1

log n

1

1 +2 + ... +n2 =

2 --"---,:--log n2 tehát (1)-re tekintettel

www.interkonyv.hu

(2)

-log n.

1

1

1+2+···+-nlog n

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

. -~40

1

1

1

n + 1 + n + 2 + · · · + n2 -------:---------+2-1 log n

=

1

vagyis (2) valóhan fennáll. 302. §. Legyen O < ex < 1. Minthogy (36. §)

•

1+

1

1

2 + ... + n,

--+

+co,

annál inkább 1 1 + 2-a

Ez utóbbi összeg is

--+

+co.

(1)

egyszerű

1

1 + 2a

Ezt

1

+ ... +na

+

aszimptotikus alakhan írható. Nevezetesen 1 1 nl-a 3+ ... + -na .- 1 - . (O < a .< 1). a -a

(2)

következőkép

mutatjuk meg. Minthogy az 1fxa függvény a (O,

+co) intervallumban szigorúan monoton

Y.

2-L--~----nL---~-----~x 2~0.

ábra.

fogyó (171. §),azért 1-től n-ig vett integráljára nyilván (141. §)

(240. ábra). Innen

aní:lhöl (1)-re tekintettel következik, hogy

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

541

Eszerint

_, J n

k=1

s mivel n1 -a

---;..

+ oc

dx

=

X 11

n1 -a - 1 1-cx

1

folytán evidenter nl-a-1 1-~

nl-a

--, 1-cx

egyszersmind nl-a

1-a' ami éppen a (2) reláció. 303. §. A WALLis-formula felhasználásával (227. § (5)) az n! nevezetes aszimptotikus értékét állíthatjuk elö. 1 y; Y=iogx

o

2

n-1

ll

11+1

241. ábra.

Tekintsük az y= log x görhének 1, 2, ... , n ahszcisszájú P 1 , P 2, pontjait (241. ábra). Minthogy (168. § (6)) n

Jlogxdx =n logn-n

•.• ,

P"

+ 1,

l

a P 1 P 2 ••• P,. nyilt poligon alatti terület pedig (mint trapózek összege) +log (n~1)+log n_ 1 log 2 log 2+ log 3 + 1 _!_ 2 + 2 ... 2 - og n . 2 1og n, 1 Az alábbi tárgyalást illetőleg v. ö. VEREss PAL: A StirJing-formula egy elemi bizonyítása, Mat. és Fiz. Lapok 42 (1935), p. 50-53.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

542

a P),. görbe-ív és a P 1 P 2 terület

( n

•••

P n poligon közti (vonalkázással feltüntetett)

+ } ) log n -

n

+ 1-

(1)

log n ! .

Ez a terület az n növelésénél nyilván folyvást növekedik. Megmutatjuk, hogy bizonyos korlát alatt marad. Messe a P n P,..q egyenes a P n-1 pont ordinátájának meghosszabbítását Qn_ 1 -ben (n= 2, 3, 4, ... ). Akkor a szóbanforgó vonalkázott terület mindenesetre kisebb aP1 P 2 Q1 , P 2 P3 Q2 , ••• , P n-l P n Q"_1 háromszögekterületének összegénél, miután az y=logx görbe alulról konkáv (161. §). A Pn_1 Pn+ 1 egyenes és a Pn pont ordinátájának metszéspontját Mn-neljelölve, MnPn = }Pn_ 1 Qn_ 1 , s mivel a p n-l p n Qn-1 háromszögnek a p n-1 Qn-1 alaphoz tartozó magassága. 1' e háromszög terüfete

p

n-1

p Q n

_ log (n- 1) + log (n+ 1) , _ M p _ 1 .. .. og n 2 '

n-1 Le, -

vagyis 2 P n-1 P,. Q"_ 1 6= [log n -log (n- 1)]- [log (n + 1) -'-log n]. Az n helyébe rendre 2, 3, ... , n-et téve s ez egyenlőségeket összeadva 2 (P1P2 Ql 6+ P2Pa Qz 6+··.+ P,._1pn Qn-1 6)= =[log 2 -log 1] -[log (n+ 1) -log n]< log 2.

. Tehát a jelzett háromszögek területeinek összege kisebb

lo~ 2 -nél

s így még

inkább az (1) alatti terület

(n + } ) log n -

n

+1 -

log n !

Ennélfogva (29. §) az (1) terület szigorúan monoton értékhez tart:

(n + ~)log n -

n

+ 1-

< lo~ 2 · növőleg

bizonyos L határ-

log n ! ~ L.

Másszóval log n ! -

(n + 21 ) log n + n

fogyólag, vagy exponenciális alakban n l en

-+

. 1- L

.

-·-·-~et-L 1

(2)

n n+2 szintén fogyólag, lévén

www.interkonyv.hu

e" szigorúan monoton

növekedő

folytonos függvény.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

543

A (2) alatti el-L határértéket a WALLis-formula birtokában könnyen meghatározhatjuk. Legyen (3)

mikor is (2) értelmében

(4) fogyólag. (3)-ból

a~

_ (n !) 2 e2" (2n) 2 "+~ n2ntl (2 n)! e2" =

(2.4 .... 2 n) 2 (2

-

2 •4. . .. • 2n

ri)-,--

1.

1.3 .... (2 n-1)

V2

vn

=

lf7l'::.

- - y2n

yn;-

s mivel a WALLis-formula szerint 2.4 .... 2n _1__ ~ 1 1.3 .... (2n-1)~ '

innen következik, hogy

(5) De (4) értelmében s ezt (5)-tel összevetve látjuk (59.§ (2)) ~

---+

V2n

el-L.

Másrészt azonban (4) alapján a~ ---+ e2(t-L),

tehát szükségkép

=

Vh

et-L=

V2n.

e2(1-L)

et-L,

honnan a (2) alatti határérték (6)

Mivel (2) és (6) értelmében

(7) fogyólag, látjuk (301. §), az n l aszimptotikusan képletben

V2';i

n+!

n

2

e-n -nel egyenlő, (7*)

Ez eredményt magában foglalja a később előállítandó általános STIRLINo-formula (382. §), amely majd számot ad a közelítés pontosságáról is, midőn n l helyéb~ az n nagy értékénél ezt az aszimptotikus értéket tesszük.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

544

II. A Cauchy- és a Toeplitz-féle határértéktéteL 304. §. A 37. § tételét következőkép általános!thatjuk: Ha

zérus-sorozat azaz d,.---)-

o,

(1)

és az pozitiv számokra

m1 + m2 + ... + m,. ---)- + oo,

akkor egyben

(2) (3)

Bizonyítás. Adassék akármilyen kis pozitív e szám. Az (1) föltevésnél fogva a v index úgy választható, hogy e

J

dv+l

J

< 2l

e

J

dv+2

l< 2

e

l

• • • 1 J

Ö,.

< 2' • • •

J

Ekkor egyszersmind (14. §)

l

mv+J, Öv+l

+ mv+2 Öv+ 2+ ... + m,. ö,.

mv+l

e

(4)

O esetén azt jelenti, hogy

J. 1

1

XI'

dx

= ,U + 1

1

o

amint már a 175. §-ban láttuk. 30G. §. CAuCHY első határértéktételének folyománya a

következő:

Ha az pozitív-tagú sorozatban a."

----+

an-1

A'

(1)

akkor egyszersmind n

~--+A. Ez abban a;:; esetben is érvényes, midön a A határértélc

(2)

+ oo.

(CAUCHY

második ha·

t árértéktétele1 .) 1 CAuCHY

i. l1. (29. old.).

35*- 1/29

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

548

Ugyanis (1) alapján log a,. -'-lóg a,._ 1

a

1

1

A

= og a,.~ 1 og határérték-:- oo, A = + oo esetén pedig

n-(n-1)

-)o

= O esetén a log A említett tétel (304. § (7*)) értelméhen

(A

log ~'a ..

log a,.

=

"

n

~ log

+ oo), tehát az

A '

amiből

folyik (2). Legyen például a"

= (2nn) _ (n + 1) (n +2) ... 2n 1. 2 .... n

Akkor = 2n (2n-1) = 2 ( 2

n2

tehát a tétel szarint

_!)._ 4 n

'

ve:) ~ . n

4

Az

a;

. ..!!'.!_._ .,. . a,._l

jelÖléssei a fenti tétel így fejezhető ki: Ha a pozitiv tagú sorozatban · okkor egyszersmind

-v" -a:a-··.a:,.A. a;l

307. §. Legyen a,.

=

(n

+ 1) (n. ~·2)

... 2n

(n

=

1, 2, 3, .. ~).

E sorozatban ~ = 2n(2n-1) (n-1)" _ a,._ 1 n (n- 1) n"

s mivel a jobboldali (165. §),innen

első tényező

4n2 -2n ( 1 n2 - n

n

4-hez tart (45. §), a második viszont 1/e-hez

Tehát az előbbi § tétele szarint 1 n - Vr.-

(~1 - A)

+ a~n>

(~2 - A)

+ ... + a~n) (~n- A)

---+

O.

vagyis

a}n>

~t+ a~n> ~2+

... + a~n> ~n- A (a)n> + a~n> + ... + a~n>)

---+

O,

honnari a (Ill) feltevés folytán

a 1

t

!>t

+ a z: + • · • + a t ____..,. ·A 2 52 n 5" ·

Ez (5)-re tekintettel éppen a (2} állítás. Meg kell még mutatnunk, hogy az (1), (III) és (Il*) feltevés mellett (2) akkor is igaz, midön lim ~.. = oo. Legyen pl. lim~,.=+ oo.

+

Akkor adatván P

1

> O, a v index úgy választható, hogy ~.. +1 > 2P, ~,.+ 2 > 2P, ~ .. , ~ .. > 2P, ...

(6)

V. ö. O. ToEPLITZ : Über Iineare Mitt.elbildungen, Prace matematyczno-fizyczne 22

1911), p; 113-119.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

551

Minthogy (l) alapján (III)-ból folyólag a~~? 1

+ a~n)a + ... + a~n)

tehát a (Il*) szerint nem-negatív a~~ 1 , ~n+2, ha n eléggé nagy. Ekkor (6) mellett egyben a 1 ),

k > K. E feltétel elegendő. Ugyanis a zárójelek elhagyásával nyert sor n-edik szelete (ha már n > v1 )

midőn

s,.

=

al

+ a2 + ... + a". + a" .+1 + ... + an ~

.

(1)

~

alakú, ahol (2)

Minthogy pedig a feltevés szerint akármilyen kis pozitiv s mellett eléggé nagy k-ra

l s - (al

s

+ a2 + · · · + a,) l + ... + s + . . .

(6)

1

+

sor alakjában, ha m---+ oo esetén az (5) a/,atti maradékok a fortiori konvergens sorának (k) + . . . R t n-- rm(O) + fm(1) + . • . + fm összege R",---+ O. (MARKov-féle sortranszformáció. 1 ) 315. §. Az éppen talált - majdnem triviális - tételnek bemutatjuk egy nevezetes alkalmazását. Előrebocsátjuk

a

következőket.

Valamely (1)

Xo, Xü · · ., xk, xk+l' első

differenciái Ll x 0 = x0 - x 1, Ll x1 = x1 - x 2, ... , Ll xk = x,,- xu 1 , E differenciák sorozatának első differenciái az eredeti sorozat második differenciái, képletben Ll 2 xk = Ll x .. - Ll xl:+ 1 (k = O, 1, 2, ... ), ez újabb sorozat első differenciái az eredetinek harmadik differenciái, képletben

számsorozat ú. n.

LJ3 xk = LJ2 x " - LJ2 xk+I

(k = O, 1, 2, ... )

s így tovább. l\Iegállapodva abban, hogy L1°x7, = xk (k = O, 1, 2, ... ), e differenciák definícióját összefoglalja a LJ"+l xk = Lln x 1, - Ll" xk+ 1

(k

= O, 1, 2, ... )

rekurziós formula. A definíció szerint LJ 2 xl,.

=

Ll x"- Ll x~.-+1 = (xl,- xk+l)- (xk+l- Xuz) =

=

xk -

2 xk+l

+ xk+2,

ennélfogva LJ3 xk

=

LJ 2 X~c- LJ 2 xk+l = (xk- 2xk+l

=

xk-

+ xk+2)- (xk+l- 2xk+2 + Xk+a) =

3 xk+l +3

xk+2- xk+a·

Teljes indukcióval megmutathatjuk (v. ö. 88. §), hogy általában az (1) sorozat n-edik differenciái Ll" xk

=

xk-

(7)

xk+l

+ (;) X7,+2 - · .. + (-1)" (k = o, 1, 2, ... ).

(:) xk+n

(2)

Alkalmazzuk mármost a MARKov-féle sortranszformáriót (314. §)valamely konvergens 1A. MARKOFF: Mémoire sur la transformation des séries, ::\Iém. St. Pétersbourg 37 (1891).

www.interkonyv.hu

de l'Acad. Imp. de

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

560

sorra. (Jelölés dolga, hogy a k indexű tagot itt (- 1)k a7, -val jelöljük.) Ennek tagjai az a0 = ( a0 -

a1 = -

Ll a0 ) + (

;

~

( a1 -

Ll a1 )

~

Ll a0

~

-

!

Ll a 1 -

Ll 2 a0 ) +

!

Ll 2 a1 )

(! Ll -

2

(!

a0

-

!

Ll 3 a0 ) + ...

!

Ll 2 a1 -

Ll 3 a1 )

-

• • .

. . .. .. .. .. . . . .. . ... . .. ... . . .. . .... . ... . ... . .. •. .. ... . . .•. .•. . . .. . .

(4)

-

(

1 1 (-1)~ O)

(2)

aszerint, amint n páros vagy páratlan, miután (1) bal-, ill. jobboldala a (2) bal-, ill. jobboldalán álló függvény dariváltja s a Ohelyen (2) mindkét oldala ugyana7.on t. i. O értékkel bír. (2) értelmében 3

O ;;: arc tg x -

www.interkonyv.hu

(x -; + ... + (-1)

2 n.-1 11

-

1

"2xn _

2 n-;1

1 ) ;;: ( - 1)" 2 : + 1 (x >O)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

.565

ahol is a felső vagy az alsó egyenlőtlenségi jelek érvényesek aszerint, amint n páros vagy páratlan. Negatív x-re a fordított érvényes, minthogy (2) alatt mindkét oldalon páratlan függvény áll. Ezekből folyólag ·x =!= O esetén x3 n-I x2n-I ) l X 12n+l < 2 n+ 1 (x=!= 0), arc tg x - x - 3 + ... + (- 1) -2 n _ 1

l

(

l

tehát amíg l x

l~

1, a fortiori

larctgx-(x-; + ... + (-1)"-1 2~1-1) l -O, innen látható, miszerint a - 1

~

x

~

1

zárt számközben 3

X

x- 3

5

+ 5- ... + X

(

1)n-1

2n-l

X

2 n_ t"---- arc tg x

egyenletesen áll fenn (v. ö. 316. §). Másszóval (310.§) a -

1

~

x

~

1 zárt inter-

vallnmban érvényes az

arc tg x

xs

= x- 3

x5 + '5

- ...

1)"-1

+ (-

x2n-l

2 n_ 1

+ ...

(3)

sorfejtés és e sor ngyanitt egyenletesen konvergens. (2) értelmében a sor szeletei pozitív x mellett váltakozva nagyobbak és kisebbek arc tg x-néL E sor az arc tg x

. függvény hatványsora. H a l x l > 1, akkor (3) már nem érvényes, mert ez esetben

lX

12n-l

2n-1----+

00 ·

(62.§ (6)), tehát a sor divergens (310.§ (5)). 318. §. Ha a megelőző § (3) képletébe x = 1-et helyettesítünk, a nevezetes n

1

1

..

4= 1 -3+ 5-· .. + (- 1)

1 2 n+ 1

+ ·..

(1)

LEIBNiz-féle sortl nyerjük. Ez an szám numerikus meghatározására nem alkalmas, mert - mint látjuk - igen lassan konvergál. A ~ -et azonban könnyen kifejezhetjük olya_n kicsiny arcusokkal, melyeknek tangensei kicsiny racionális számok, amelyekre az idézett sor gyorsan konvergál. Legyen például 1 ep= arc tg-· (2) 5 1 G. W. LEIBNIZ: De vera proportione eireuli ad quadratum cireumscriptum, Acta Eruditorum 1682, p. ft1.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

566

Ennek 4-szerese a ~-nél igen kevéssel nagyobb. Valóban 2 5

5 1 -12' 1-25

t 2 - . 2 tg rp g rp -1-tg2 qJ 10 tg 4 rp

=

2 tg 2 rp 1 - tg2 2 rp

=

12

1-~ 144

=

120 119

+ _i_

1

119'

ami közel esik a tg ~ = 1 értékhez. A 4 rp- ~ különbség tangense

1 tg 4 rp-1 1 + tg 4 rp

ill

=

1 =239'

+ 120

1

119 vagyis 4 .

. 1

n

4 = arc tg 239.

rp -

(3)

Mármost (2) és (3)-ból n

4

=

1 4 arc tg 5

1 arc tg 239 ·

-

(MACHIN képlete. 1 ) A n értékét öt decimálisig most már Az előbbi § (3) képlete alapján t 1 arc g 5

1

1 1 53

=5- 3

1 1 55 -

következőkép

1 1 57 +

+5

(4)

7

r

8 '

határozhatjuk meg.

O
200 3 = 8.106 r 16 < 16 s + 4 s < 9.106 ff

1

+ 6.106

(5)

ff

8

'

-

35 =. 18.106

1 V.{), M. CANTOR: Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd. III, 2. Auf!., Leipzig 1901, p. 367.

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

567

s még inkább O < 16 s' (5) alatt a {

+ 4 s"
O) ahol is a felső vagy az alsó egyenlőtlenségi jelek érvényesek aszerint, . páros vagy páratlan. Következőleg

llog (1 +x)- (x - x22 + tehát amíg O ~ x

~

xa x") l x"+ "3... + (- 1)"-1 n O),

1, még inkább

llog (1 +x)- (x- ~2 + ... + (- 1)"-I~:·) l O; ri

(3)

1;. 2, 3, ... ).

=

A görbe valamely- x abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének iránytangense e-"' lévén, (i)- hez hasonlóan pozitív x-re a konvexitás. folytán _., 1 1 > - e >e_., (x> 0) x

vagyis 1 -x Ebből

< e_" < 1 - x e-'"

(x

>

O).

(2)-höz hasonlóan következik, hogy

1 1l x- x2 O).

lgy folytatva látjuk, hogy x> O mellett váltakozva 1

-x

+ x2 + ( 1)" x" -== _., -== 1 + x2 + ( 1)"-1 x"-1 2!-.·· n!==- e ==- - x 2!-.·· (n-1)!+

" e-'" · + (-1)".; n. (x> O ; n

1, 2, 3, ....).

egyenlőtlenségeket

A (3) és (4) alatt nyert x =f: O mellett x

=

2

(4)_

11-1

összefogJaihatjuk abban, hogy ..

e"'= 1 +-11. + x21. + ... + (n~ 1)1. + .;e&nx (O< -D,.< 1). n. . . .

(5)

(Ez különben az e'" függvényre alkalmazott MACLAURIN-formula a LAGRANGE-féle maradéktaggal (111. § (6**)). Mivel x:~ O(62.§ (2)), eitnx pedig az ..

~

n-től

függet.

lenül 1 és e"' közé esik, e képletnek folyománya, hogy az x bármely értékénél

x x2 x" ., 1 +-11. +21+···+,--+ e · . n. (ez nyilván x= O-ra is érvényes). Másszóval minden x helyen érvényes az "' . _· :r; x2 · . · x" · e = 1 +-11. +21+ ... +r·+· ·:• . n.

www.interkonyv.hu

(6)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

575

sorfejtés. A sor szeletei negatív x mellett a (4) alatti váltakozva nagyobbak és kisebbek e'"-nél. (6) értelmében minden x-re -x_

e

-

i

2 X

egyenlőtlenségek

szerint

H

X

(

--11. +-2,-.··+.

i)" X __L ln. ' · · ·

s ezt (6)-hoz hozzáadva, ill. belöle levonva (312. §), adódik a xz x"x2v ch x = 1 +2! + 4! + ... + (2v)! + ...

(7)

illetve x xa x5 x2v-1 sh x= it+ 3!+ 5!+ ... + (2v-=--r~ + ...

(8)

sorfejtés (216. § (5)). 322. §. A sin x és cos x függvény hatványsoralakjához szintén a növekmények összehasonlításának elve (98. § (2)) alkalmazásával juthatunk, t. i. a következőképpen.

Legyen x> O. Akkor (180. §) sin x< x, tehát az említett tétel szerint [

--cos x

]

x 0

< [x2]x 2 0

vagyis x2

cos x> 1 - - , 2 amiből

hasonlóan következik, hogy

.

Slll X> X -

Ebből

r ,. 3

folyólag [

-cosx

]

x

o

x""]-' > [xz 1 - -1

2.

4. o

vagyis x2

x4

cos x< 1 - 2! +4!' aminek következtében . xa smx O mellett az xa x2v_I sv (x)= x - 31 (-1)"-1 ( 2v-i)t (v= 1, 2, 3, ... )

+ ... +

www.interkonyv.hu

(1)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

576

összegek váltakozva nagyobbak és kisebbek sin x-nél, viszont a c... (x)

=

x2

... x2v

1 - 2 !+ ... + (-1) (2v)! (v= 1, 2, 3, ... )

(2)

összegek váltakozva kisebbek és nagyobbak cos x-nél. Ennélfogva ~~

hH

sin x= s ... (x)+ (-1)"' (2;+ 1)! -&... (x), . cos x= c"(x) + (- 1)V+1 ( 2v + 2 )! r"(x)(3) (x

> O ;

v

= 1, 2, 3, ... )

ahol

O - + oo mellett nyilván p --+ + oo és q --+ + oo. Mivel (1) konv:ergens, itt a haloldal véges határértékhez tart, ha tehát az a 1 + a 2 aP és {3 1 + {3 2 + ... + {Jq összegek egyike szintén véges értékhez tartana, vagyis megfelelőleg a ~>,, ill. 1]{1, sor konvergens volna, akkor a másik összeg is véges határértékhez konvergálna. De ez esetheh az

+ ... +

l al l + l a2l + · · · + l a" l = a.l + IX2 + · · · + a.l' + fJ1 + fJ2 + · · · + fJq összeg is véges határértékkel bírna, azaz (2) konvergens volna, a feltevéssel ellentétben. Adassék mármost valamely C szám. Tegyük föl pl., hogy C ~ 0. Egészen határozott utasítás szerint át fogjuk rendezni (1)-et úgy, hogy összege C legyen. Mivel ~x; és 1]{3; divergens, van egy meghatározott p 1 index, amelyre x 1 + a. 2 + ... + a.p, > C, de a többlet ~ ap,, azután egy meghatározott q1 index, amelyre x 1 + ... + xp, -{3 1 ~ ••• -{J q, < C, de a hiány ~ {J q,, majd egy meghatározott p 2 index, amelyre 1 HIEMA:'i'X

www.interkonyv.hu

i. h. (!95. old.), p. 22'!.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

li80

+ ... + a:p,- fJ1- •• • -

+

+ ... + a:p, >

+ ... +

+

+ ... +

{Jq, a:p,+l s igy tovább. Mármost rendezzük át (1)-et igy: a:l O:p,- {Jl- ••• - {Jq, O:p,+l a:l

O:p,

C, de a többlet~ o:p.,

-{Jq,+1- ... -{Jq,

+ ... (3)

Megmutatjuk, hogy e sor összege C. U gyams e sor részletösszegei közül

(4) C-től

való eltérése az

előbbi egyenlőtlenségek

szerint rendre legföljebb akkora,

mint Ezek azonban (1) konvergenciája folytán O-hoz tartanak (310. § (5)), tehát a (4) sorozat határértéke C. Minthogy a (3) alatti sor többi részletösszegének bármelyike (kivéve s 1, s 2 , • ~ ., sp,- 1 -et) nagyságra nézve nyilván a (4) sorozat két-két egymásutáni tagja közé esik, következik, hogy az egész sl, s2, ..., sn, ...

sorozat határértéke is C, vagyis a (3) sor összege valóban C-vel egyenlő. Hasonló a bizonyítás. ha C ~ O. A tett feltevés mellett (1) átrendezhető úgy is, hogy a részletösszegek határértéke oo vagy - oo legyen. Ugyanis a ,Eo:i sor divcrgenciájából folyólag az r 1 < r 2 1 + fJ1 0:1 + 0:2 + · ••+ CXr, > 2 + fJ1 + fJ2 0:1 + 0:2 + · · · + a:r, > 3 + fJ1 + fJ2 + fla

0:1

Nyilvánvaló, hogy ekkor az 0:1 + · •· + O:r, fJ1 + CXr, +l + · ••+ CXr, - fJ2 + •· • sor részletösszegei + oo -hez tartanak, e sor pedig (1)-nek egy átrendezése. Hasonlóan készíthetünk-a ~{Ji sor divergenciája folytán- (1)-ből olyan sort, amelynek részletösszegei - oo-hez tartanak. Ezek alapján az olyan .Ea.n konvergens sort, amely nél' a tagok abszolút értékeiből alkotott .E l an l sor divergens, > sornak neveizük. 326.§. A sor összege a tagok sorrend]ének megváltoztatásával nem változhatik az olyan s.ornál, amelynél a tagok abszolút értékeiből alkotOtt sor konvergens. Ez utóbbi sor konvergenciájaból az eredetié már köwt kezik is. Vagyis fennáll a következő tétel: Ha az (1) a1 + a 2 + ... + an+ ... sur tagjainak abszolút értékeiből alkotott ·

l al l + l a2 l + · · · + l an l + · · · www.interkonyv.hu

(2)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

581

sor konvergens, akkor e sor maga is konvergens és összege független a tagok

sorrend~

jétől.

Bizonyítás. Állításunk első része a konvergencia fogalmából tüstént következik. Ugyanis (2) konvergenciája azt jelenti (310. §), miszerint bármely pozitív e-hoz található oly N, hogy

l an+1 l + l an+zl + ... +l an+k l N

(k = 1, 2, 3, ... ).

De akkor még inkább

l an+l + an+z + ... + an+k l < (k

e, ha n

> N

= 1, 2, 3, ... )

vagyis az (1) sor is konvergens. Legyen mármost (1)-nek valamely átrendezése ai,

+ ai, + ... + ai,. + ...

(3)

Az (1), ill. (3) sor részletösszegei legyenek

s.,

=

a1

+ a + ... + a.,, 2

t., = a;,

+ a;, + ... + ai.

(n = i, 2, 3, ... )

és legyen (1) összege s, vagyis

(4)

s =lim s...

Adassék akármilyen kicsiny pozitív e szám. Minthogy (2) a föltevés szerint kon. vergens sor, található oly v index, hogy B

l av+l l + l av+2 l + · · · + l av+k l < 2

(5)

(k = i, 2, 3, ... ).

Emellett még inkább áll B

l av+l + aN2 + · · · + aV+k l 'll és eléggé nagy, akkor t .. - s.. csupa olyan tagot tartalmaz, amelyeknek indexe P-nél nagyobb, tehát (5) alapján e különbség abszolút értékben kisebb

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

582

; -nél. Vagyis valamely p, index úgy választható, hogy

l t,; Most már (6) és

(7)-hől

sv

e

l < 2'

ha n ~ ft.

(7)

nyilván következik, miszerint

l t,. -

s

l
nevezzük. A fenti tételt az előbbi § tételével összevetve, látjuk, valamely konvergens sor összege akkor és csak akkor jaggetlen a tagok sorrendjétől, ha a sor abszolút konvergens. Azért is az ilyen sort máskép > nevezzük.

VI. Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia- és divergencia-kritériumok. 327. §. Az abszolút konvergens sorok indokolttá teszik, hogy a pozitív tagú sorok konvergenciájának kérdésével behatóbban foglalkozzunk. A konvergencia fogalmáhól (310.§) folyik a pozitív tagú sorok konvergenciiájának következő általános szükséges és elegendő feltétele: Pozitiv tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegei korlátosak. Az ilyen sornál u. i. a részletösszegek monoton növekedő sorozatot alkotnak, ez pedig akkor és csak akkor konvergens azaz véges határértékű (58. §), ha korlátos (29., 35. §). Ez a kritérium - éppen általánossága miatt - konkrét esetekben ritkán alkalmazható. Az alábbiakhan hemutatjuk a pozitív tagú sorok konvergenciájának több csupán elegendő feltételét, amelyek gyakran alkalmazhatók .. Egyszerű, de fontos megjegyzés, hogy valamely pozitiv tagú

a1

+ a2 + ... + a" + . . .

(1)

sor egyszerre konvergens vagy divergens a tagösszevonásokkal nyert (al+ a2 + ... +av,)+ (av,+l + Uv,+2 + ... +av,)+ .. · (2) sorral és konvergencia esetén a két sor összege ugyanaz. Ez nyilvánvaló annak alapján, hogy (2) szeletei az (1) sor szeleteinek részsorozatát képezik és (1) szeletei monoton növekednek. 328. §. Legyen adva két pozitív tagú sor

(A) és

bl + b2 + H a (B) konvergens és bizonyos

... + b" + ... indextől

kezdve

+

a" ;;::;; b" (n = v, v 1, ... ), akkor (A) is konvergens. (Konvergens sor minoránsa konvergens.)

www.interkonyv.hu

(B}

(1)

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

58::1

H a (B) divergens és bizonyos indextől kezdve a,. ;;;;; b.. (n = v, v + 1, ... ), (2} akkor (A) is divergens. (Divergens sor majoránsa divergens.) T. i. az első esetben (B} részletösszegei korlátosak, amiből (1) alapján következik, hogy (A) részletösszegei is korlátosak, tehát (A) konvergens (327. §). Viszont a második esetben (B) részletösszegeinem korlátosak, amiből (2) alapján folyik, hogy (A) részletösszegei sem korlátosak, tehát (A} divergens. H a (B) konvergens és bizonyos indextől kezdve < bn+l a,. =.b..

an+l

akkor (A) is konvergens. Ha (B) divergens és bizonyos an+l

> bn+l b..

a.. =

( n=

v, v

indextől

+ 1,

... ),

(3)

kezdve

(n= v, v

+ 1, ... ),

(4)

akkor (A} is divergens. Ugyanis az első esetben (3)-ból folyólag

tehát av+l + aV+2

+ ••' +

a\'·•·k

~;v (bV!-l +•bv+2 + ' ' ' + bv+k)

(5)

v

(k = 1, 2, 3, ... ).

Mivel a föltevés alapján bv+l + bv+ 2 + ... + bv+k korlátos, (5)-böl következik, a,.+ 2 + ... + awk is az. Az (A) sor részletösszegei tehát nyilván hogy a\'+ 1 korlátosak s így (A) konvergens. A második esetben (4)-böl hasonlóan következik, miszerint

+

a,o.Ll

+ aV+2 + • • o +

a\'+k ;;;;;

:V (bv+l + b\'+2 + • o o +

b,.,.k)

(6)

v

(k

= 1, 2, 3, ... ).

Mivel most a feltevés alapján b,.+l + bv+ 2 + ... + bv+l< nem korlátos, (6)-ból következik, hogy av+l + a,.+2 + ... + av+k sem az s ebből folyólag (A) részletösszegei szintén nem korlátosak; tehát (A) divergens. A fenti konvergencia- és divergencia-kritériumokat összehasonlító kritériumoknak nevezzük. Az első kettőben a két sor megfelelő tagjait hasonlítjuk össze, a másik kettőben pedig az egyik sor két egymásutáni tagjának viszonyát a másik sor megfelelő tagjainak viszonyávaJ. Az alábbi §-okban (B) helyébe speciális konvergens, ill. divergens sorokat téve, speciális konvergencia-, resp. divergenciakritériumokhoz fogunk jutni. · .

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

584.

329. §.Ha az

ao + al + ... pozitív tagú sorban bizonyos n-től kezdve

+ an + ...

n

q < 1 (n = v, v + 1, ... ), akkor e sor kongervens. (CAUCHY-féle gyök-kritérium. 1 ) Ugyanis az 1 +q+ • • • qn + • •• geometriai sor O < q < 1 folytán konvergens (316. §), s mivel (1) szerint a .. ~ q" (n = v, v + 1, ... ), azért (328. §)I: an konvergens. Ha az ao + al + ... + an + ... pozitív tagú sorban bizonyos n-től kezdve ·

Van ~

(1)

+

an+l ~ q< 1 (n= v, v+ 1, ... ), a;.

(2}

akkor e sor konvergens. (CAUCHY-féle hányados-kritérium. 2 ) (2) szerint ugyanis an+l

qn+t

an

q

- - ~-n-

(n

=

.

v; v

+ 1,

... )

s így I: q" konvergenciájából folyik (328. §) I: an konvergenciája. A I;a" pozitív tagú sor konvergenciáját vagy divergenciáját most már n

rögtön eldönthetjük, ha azzal az egyszerű esettel állunk szemben, midőn lim Van vagy lim

an+ t

an

véges és meghatározott 1-töl különböző szám. . n

Mert ha lim Van tehát ekkor I:

an

< 1, akkor bizonyos

n-től kezdve nyilván teljesül (1), n

konvergens. Viszont, ha lim Van > 1, akkor bizonyos n-től

n

kezdve Van> 1, következőleg a., > 1 s így I: an divergens, minthogy an nem tart O-hoz (310.§ (5)). Ha pedig lim an+ l < 1, akkor bizonyos n-től kezdve teljesül an

(2) s így I: an ismét konvergens. Ellenben lim a:+ 1 > 1 es etén I: an divergens, n

mert akkor bizonyos Például a n~ (l

n-től

kezdve an+ 1 > a.. , tehát a" nem tart O-hoz.

o: n)" sor konvergens, mert itt n_ 1 . V a =--____,..O. n

1 2

V. ö. V. ö.

www.interkonyv.hu

CAucHY CAUCHY

log n

i. h. (29 old. ), p. 121, Théoreme I. i. h. (29. old.), p. 123, Théoreme II.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

585

~ -n n! sor SZin · t·en k onvergens, mer t enne'l A ..c..... n-1

n

an+1

-a,:=

(

n )n 1 n+1 =r+~)'"

tehát (161. §)

Ugyancsak konvergens fl minden értékénél a

-a~..+l =

(

1

ao

n"'

L: 1 n.

n~J

sor, mert ebben (171. §)

1 )"' 1 +n n + 1-+ O.

330. §. Az

1 ~ 1 1+- + ... 2a +3-a + " · + n"

(1)

(a>O)

ú. n. hiperharmonikus sorra a CAUCHY-féle gyök- vagy hányados-kritérium nem

alkalmazható, mert log n-+ O (173. §) folytán n n

VT

-alogn

- = lim c n = 1, n" s x" az x = 1 helyen folytonos és 1-gyel egyenlő lévén, egyben lim

lim [(n

!If''.:] dm (

1

1

1+. n

r~ 1

A konvergenciát vizsgálandó, pótoljuk e sort a tagösszevonásokkal nyert 1 +(2:+ 3:)+ ... + ((2!)"+ ... + (2k+1:_1)") +... sorral (327.§). A k-adik zárójelben foglalt tagok legnagyobbika a száma 2k, tehát e tagok összege

legelső,

(i*)

a tagok

1 1 2k (2 )k (2k)a + • • • + (2k+1- 1)" O)

(2)

sor a.> 1 esetén konvergens, viszont a. ~ 1 esetén divergens. (ABEL-DINI-tétel,l) Bizonyítás. Legyen először a. > L Az y = x- 0) görbe az s,. ahszcisszájú pontjában vett érintő felett lévén (171. §), e pontot az s,. --a" abszcisszájú ponttal összekötő egyenes iránytangensére (s - a )-a.s~ első

Eszerint (2) az -1-1 {(St-(a-1) a.-

(n= 2, 3, 4, ... ).

tag elhagyása után minoránsa az

-(a-1)) S2

+ ( S2-(a-1) -

-(a-1)) S3

+. • • • + (Sn-1 -(a-t) -

-(a··-1)) _1 Sn ,·- ..•

}

sornak. Ez azonban konvergens, mert (n-1)-edik szelete -(a-1) 1 -(a-1) -(a-t)) _s_1_-;a.- 1 ( St

.

-

Sn

1 '

---+ IX -

tekintve, hogy a. > 1 és s,. -t- + oo folytán s;;- 1 mellett

sor divergens. U gy a nis Sn+l


1 esetén konvergens, viszont 1

az

~

.

+ 3 Jog 3 +"·+ lJ log n )a

elő hb

mondottakat a 1 -=-=--___" 2 Jog 2

(o: >O)

(.S)

o: ~ 1 mellett divergens. De mivel

1

1

+2 + ... + n -

divergens~_!_n

log n,

harmonikus sorra alkalmazva

1 1 + 3 log 3 + · · . + n log n .- log

log · n·

Így pedig (8)-cal egyetemben nyilván a 00

n~3

1 n log n (log log n)a

sor is o: > 1 !Helle t t konvergens, míg o: :;::; 1 mellett divergens. okoskodást most a divergens

I

n log n

ugyanezt az

~og log n

sorra alkalmazva, adódik, hogy a "~ n log n log log 1n (log Jog log n)a

sor o:

(a> O)

> 1 esetén konvergens, a ~ 1 esetén divergens. Ezt folytatva, látjuk, hogy általában a

L

n log n Jog log n ..

~

(log log

log n)a

(a> O)

sor konvergens ha a> 1, ellenben divergens, ha a ~ 1. (E sor olyan nagy n-nel kezdődik, amelyre a nevezőben szereplő Jogaritmusok már mind pozitívok.) 333. §. Legyenek 00

s= ~a", n=l

pozitív tagú konvergens sorok, amelyekben az n-edik részletösszeg sn, ill. s~. Azt mondjuk, hogy a~ a~ sor ( J konvergál a~ a,. sornál, ha

(1) (Analog kifejezéssel ekkor a ~ a,. sor vagy konvergál, mint E a~.) Erre elegendő feltételt szolgáltat a következő tétel: fl a a"

a~

www.interkonyv.hu

-+

O, akkor ~ a~ gyengébben konvergál, mint ~ a11 •

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Ó91

v+ 1

Ugyanis adatván akármilyell kis pozitív indextől kezdve a,. < e a~, következőleg

s-s,. = s - Sn 1

1

a,., 1 1

a,.+ 1

E,

+ a,., 2 +... +

+ a,.+ 2 1

•••

a feltevés szerint bizonyos

1 es etén ko n ver~n ogn a CG

~

1 esetén divergensek. S mivel nyilván -
O), a második logaritmikus kritérium ez: H a a ,Eu" pozitív tagú sorban bizonyos n-től kezdve 1 lognu,. > CG > 1 ;----;;-----"-- log log n'

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

593

akkor e sor konvergens; ha pedig bizonyos n-től kezdve 1 lognu.,~a;~1,

log log n-

akkor e sor divergens. E kritériumok megalkotását vég nélkül folytathatjuk. Minél távolabbi valamely kritérium ebben a sorozatban, annál gyengébben konvergáló, resp. divergáló sorokra alkalmazható.I Vizsgáljuk meg pl. konvergencia szempontjából az 1 + qlog2 + qlog3 + ... + qlog n + . . . (O < q < 1) sort. Ennek tagjai mindenesetre 0-hoz tartanak (164. §). Most u.,= qlogn, tehát

log_!_ ~ log n

= -

l

I og n. og q log n

= lo

1 _ gq

l

> 1, ha q < _!_ e ~

1, ha q

1

s;; -e ·

Ennélfogva az első logaritmikus kritérium értelmében sorunk konvergens, ha · 1 q

1,

(2)

pozitív tagú sor konvergens; ha azonban bizonyos n-től kezdve

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

n

(_5_,_- 1) ; ; ; 1,

(3)

an+l

akkor e sor divergens. (RAABE-féle kritérium. 1 ) Megmutatjuk pl., hogy az 1 1 1.3 1 1.3.5 1 +-·-+-·-+~· 2 3 2.4 5 2.4.6 sor konvergens. Ennél (2n-1) 1 1 . 3. (n = 1, 2, 3, ... ), a.n+l =2. 4. 2n 2n+1 tehát 2 n (2 n+ 1) 4 n 2 +2 n (2 n -1} 2

és

_s___ 1 = a,. ... 1

Ennélfogva (45. §) n

-+

+ oo a

n ( a .. : 1 Ha tehát 1

6n-1 4 n2 -4 n + 1

esetén 6 n2 - n ) 1 = 4 n 2 - 4 n+ 1

3

--+2'

< k < ~, akkor bizonyos n-től kezdve (2) teljesül s így a sor valóban

konvergens. Ezze l szemben az

1

1

1.3

1.3.5

+-+-+--+"' 2 2.4 2.4.6

sor már divergens. (De tagjai O-hoz tartanak (38. §)). Most ugyanis (n

= 1, 2, 3, ... ),

tehát

n(~-1) = __n__ ;;;;; 1, an+l 2 n -1 vagyis fennáll (3), amiből a divergencia következik. Hasonlóan mutathatjuk meg, miszerint általában a

fi

ft (p,

n~1

+ 1)

... (p, n!

+

n - 1)

(0


1,

l y,. l
t esetén konvergens, {J ~ t esetén divergens. ( Altalánosított GAussféle kritérium.) Bizonyítás. Mivel föltevésünkből folyólag

n(~an+l

t)

= f3

+ n ;::_1 ---* {3,

a RAABE-féle kritérium alapján (334. §) {J> 1 esetén konvergens, {J divergens a sor. Legyen most {J = 1, azaz

+ t + Yn p n n

an - 1

- -

(P> 1 '

=

a.,+ 1

l Yn l


(2)

(n=

Y, Y

n-től

+ 1,

kezdve

... ).

(3)

Legyen rövidség kedvéért

s,.

1

1

= 1 +2+ ... +;

(4)

tehát 1 b=-· "

ns". '

akkor (n+ 1) sn+l b" bn+lns.,

(n

=

+ 1) (s" + n~ 1 .) ns".

t

(5)

t

=1+-+ -· n ns.. Mármost (t) és (5)-böl b,. bn+l

~ an+l -

_i_ ~

nsn

_!_ (t-~ y

_h_ -

nP

-

nsn

np-1

n

) .

(6)

De p> 1 folytán (173. §)

s mivel (4)-re tekintettel

s".

-log n (162. §), nyilván egyszersmind

s.,

np-1

www.interkonyv.hu

----+

o '

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

597

tehát l y,. l < K lévén, a fortiori

Ennélfogva (6)-ból következik, hogy bizonyos n-től kezdve b., a,. 0

-----> b"+l

a,.+l

vagyis (3) valóban fennáll. Miután a (2) alatti sor divergens, (3) alapján következik (328. §), hogy a !J a,. sor is divergens. Qu. e. d. A fentebbinek speciális esete az, midőn a" nk + a 1 nk-l + . . . + ak an+l

Ez u.

1.

=

nk

nyilván így írható: ~ _ 1 + (a 1 an+l

=

-

1 + ai___:__ b1 n

+ ólhk-1 + ... + bk

(7)

•

b1) nk- 1 + ... +(ak- b1J nk+ bl nh l+ ... +bk -

+

g (n)

n (nk

+ b1 nk 1 + ... + bk)'

ahol g (n) az n-nek legföljebb (k- 1)-edfokú racionális vezetve a

eg~sz

n g( n)

'P (n)

=

nk

(7*)

függvénye. Be-

(8)

+ bl nk + ... + bk l

j elölés t, (7*) az

alakot ölti. De g (n) az n-nek legföljebb (k- 1)-edfokú polinomja lévén, a (8) alatti q; (n)-ben a számláló legföljebb k-adfokú, s mivel a nevező pontosan k-adfokú, n --+ + oo esetén q; (n) mindenesetre véges határártékhez tart (45. §), kövétkezéskép korlátos. Vagyis a (7) alatti esetben .!!.r!:_ an+ 1

= 1 +al- bl + 'P(~), n

i'P (n)J a; + p eseLén konvergens, y ~ a; + p esetén divergens. 336. §. A pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergencia- és divergenciakritériumokat kiegészíthetjük még a következővel: Legyen 1

2

Ezek szerint a (6) integrál konvergens, ha IX> 1, ellenben divergens, ha IX ~ 1. Ennélfogvaaz (5) alatti sor IX> 1 esetén konvergens, IX ~ 1 esetén divergens, megegyezésben a 330. §-ban talált eredménnyel. Hasonlóan nyerhető a 332. § végén elöállított eredmény.

VII. Abszolút konvergens sor felbontása rész-sorokra. 337. §. Valamely (1)

sorból kiragadott av 1

+ av + ... + av + ... 2

(2)

le

sort, ahol is V1

:< V 2 < · · ·
+ .. . ai2> + a~2) + ... + a~> + .. .

a + ... + a~> + ...

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

Ei02

rész-sarok összetétele, akkor e rész-sarok és összege ugyanaz, képletben 00

00

összegeiből

00

alkotott sor abszolút konvergens, 00

E a" = E a~l) + E a~> + ... + E a~> + ...

n-1

n-1

n=!

(4}

n=!

Bizonyítás. Legyen rövidség kedvéért 00

S =~a

ú n=!

n7

00

~ a.(l) c(v) ~ n ' · • .,. " n= 1

s ~ , tehát e pozitív tagú sor minoránsa a I; 2 l x ik konvergens geometriai

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

605

sornak. Látható, hogy a k-adik sorban azok és csak azokazxntagok szerepelnek, amelyekre n osztható k-val. Ennélfogva az előbbi § (3) képlete szerint e sorok összeadásával előáll a 00

x" 1 - x,.

=

x

+ 2 x 2 + 2x + 3 :é + 2x5 + 4 x6 + 2 x + 4 x + ... + - K (n= O, 1,.2, ... ) tehát

K

a,. > - -n,

K

-a" -

-·

p

(11)

~

(10) és (11 )"re tekintettel (7)-ben az alsó korlát határértéke nyilvána-K 1 a

felső.

korláté pedig

G

+ KCJ.

De (8) alapján

ö (J,-e 1, (2)-re tekintettel

l c., x.. l > 1

végtelen sok n-re

(4)

s ennélfogva az (1) sor divergens (31Ö. §). A (Il) esethen az x bármely rögzített értékénél nyilván lim sup

n..,...----,,..-.

V l c., x" l =

O,

.s így valamely q< 1 pozitív számot választván, ismét fennáll (3), tehát mint előbb, a gyök-kritérium alapján (1) abszolút konvergens. Tekintsük végül a (lll) esetet. Ekkor a n

1cl l, sorozat

felülről

VTC;T," ... , VTC:T, ...

nem korlátos (64. §), tehát x =1= O esetén n_ _ 1 V1. c., l > végtelen sok n-re

TXT

vagyis fennáll (4), miért is (1) divergens. Qu. e. d. A (-R, R) számköz a hatványsor ú. n. konvergencia-intervalluma (ez a (Il) esetben kiterjed a valós számok összeségére, a (III) esethen viszont összezsugooo, a (lll) rodik a O pontra); R a konvergencia-sugár (a (Il) esetben R= esetben R = O). A fenti tételt röviden úgy fejezhetjük ki, hogy az (1) hatványsor konvergencia-sugara 1

+

R=---n -lim sup

(ha a.

= + oo,

nevező

O, akkor R Tekintsük pl. az

+

ha a

+

Vrc:J

nevező

+ oo,

+

+ 8x + 27x + ...

1 +x+ 2x 2 3x 3 4x 4 9x 5 hatványsort, amelyben az együtthaták

c2 k Itt 2k

= 2k, c2 ~ P, ha n elegendő nagy.

tételből

következik, hogy az (1) tagonkénti differenciálásával nyert c1 2c 2 x + ... +ne., x"-1 (5) hatványsornak ugyanaz a konvergencia-sugara van, mint magának (1)-nek. Ez (5) hatványsor u. i. nyilván (312. §) ugyanazokon az x helyeken konvergens, mint c1 x + 2c2 x2 + ... + ne., x" + ... . log n S miVe1 - O folytán (173. §) A

+

n

+...

-·-)o

n 1 V-n·= en-!ogn

-l>

1,

azért a

l eJ l , V~l , · · ·,

n

Vn l c., l ,

sorozat bármely részsorozatának határértéke (ha létezik) ugyanaz, mint a megfelelöé a n

cl

sorozatban,

1,

VTCJ , ... , VTC:I , ...

következőleg n

lim sup

Vl ne.. l =

n

lim sup

VTC:l .

00

349. §. Tekintsünk valamely }J c..x" hatványsort, amelynek konvergencian~o

sugara R =1= O. Az

f (x) = c0 + c1x + ... + c..x" + . . .

(1) (-R< x ($,.) (x- a)" "

n!

(4)

alakban írható, ahol $,. az a és x közé esik. Mivel a föltevés értelmében l ](n) (x) l < K (n = 1, 2, 3, ... ), ( 4)-ből látható, hogy

l R,. (x) l ~

!x-,aln n.

K

(n= 1, 2, 3, ... }.

(5)

De rögzített x mellett (62. § (2))

lx-ain _;_ _ _...:...._---+o, n!

tehát (5)-böl folyólag

R,. (x)---+ O. Ez (2) és (3)-ra tekintettel éppen az (1) alatti állítást tejezi ki. E tétel alkalmazható pl. az e"', cos x, sin x függvényekre, amelyeknek MACLAURIN-sorba fejtése más úton már fentebb megtörtént (321., 322. §).

XI. A binomiá1is sor. 355. §. Állítsuk elő az (1 + x)~' függvény MACLAURIN-sorát. Bármily valós számot jelent is p, e függvény mindig értelmezve van, ha x> - 1, mert ekkor 1 +x> O (171. §). A függvény deriváltjai (a 0-adrendűt, vagyis magát a függvényt is felírva (1 +x)~', p, (1 + x)~'-1 , . . . , p (tt -1) ... (tt ___,n+ 1) (1 + x)~'-n, ... s ezek az x = O helyen az 1, ft, ... , p, (tt- 1) ... (p- n + 1), ...

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

632

értékeket veszik fel. Tehát a

,u (,u-

(,u- n

1) ...

+ 1) =

n!

(~)

jelölésssei az (1 +x)"' függvény MACLAURIN-sora 1 + (~)

(i ) x

x+

2

+ ... + (

~ ) x".+ . ...

(1)

E hatványsort binomiális sornak nevezzük. Ha ,u=!= O, 1, 2, ... , az (1) binomiális sor konvergencia-sugara R = 1. Ugyanis a CAUCHY-féle második határértéktétel szerint (306. §)

. vw) l

hm

. l(n~~)1) l ~ . l,unl n+

~ lun

n

( 1

hm

1 d,

1

tehát a CAUCHY-HADAMARD-tétel értelmében (348. §) a konvergencia-sugár is 1. A konvergencia-intervallum végeit illetőleg először is megmutatjuk, hogy az (1) sor az x = 1 helyen ,u > - 1 eseten konvergens, viszont ,u ;;;:;; - 1 eselén divergens. E helyen a sor

.1+(~)

+'"·+

(~)

(2)

+ ... ,

tehát két egymásutáni tag hányadosa (a ,u =!= O, 1, 2, ... kikötés mellett)

(3)

Innen látható, hogy ha ,u> -1 vagyis ,u + 1 > O, akkor bizonyos n-től kezdve (2) tagjai váltakozó előjelűek és abszolút értékben folyvást csökkennek. Megmutatjuk még, hogy O-hoz tartanak. Ugyanis ,u + 1 > O folytán (172. § (1)) (1

+ _1_)-(J.t+l) > n+1

1 - ,u+ 1 n+1

vagyis 1s mivel (3)-ból bizonyos n

(n+ 1)"'+ 1 n+ 1 < .n+ 2 '

,u+ 1

= v-től

kezdve ,u+1 n+1

= 1- --

www.interkonyv.hu

(n

= v, v

+ 1,

... ),

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

633

ez

egyenlőtlenség

értelmében ~)J.t+1 < ( n+2

+ 1,

(n =v, v

... ).

Eszerint

\(v~ 1)\ 1 -p ( 1

+ ~ + ··· +

!)

(p

< O),

(36. §)

Sn --+ + 00 (,u < O), a sor divergens. Arnennyiben p = O, 1, 2, ... , az (1) sor tagjai bizonyos tagtól kezdve mind 0-ok, ekkor tehát a sor bármely x helyen konvergens. Ezzel minden esetben meghatároztuk azokat a helyeket, amelyeken (1) konvergens. 356. §. A binomiális sor összegét illetőleg bebizonyítjuk, miszerint a ,u bármely valós 'értékénél

(1

+xt = 1 +(~)x+ ... + (~)x"+ ...

(1)

valahányszor a sor konvergens.

Legyen először -1 O, x> O esetén

1 n x+ 1

·--------· x

Amennyiben e

< 1, :r

-+

+O esetén 1 --1 e

- - - ---->

x

tehát a fenti m (x) függvény az x

=

+co,

O hely j abboldali környezetében nem kor-

y

1~-------------------------

x 244. ábra.

látos. Vagyis e függvénysorozat a O-hely jobboldali környezetében egyenlőtlenül tart az s (x) = 1 határfüggvényhez. Mind nagyobb és nagyobb n-től kezdve lesz 1 - s". (x) < e, amint x-et jobbról a O-hoz közelítjük. Ha azonban a > O és x-et az (a, + oo) intervallumra szorítjuk, akkor

1

1

--1 --1 e e --- _e___ , a

vagyis az (a, +co) intervallumban a konvergencia már egyenletes. Tekintsünk most valamely u1 (x) + u2 (x)

+ ... +

un (x) + ...

jüggvénysort, amely bizonyos I intervallum minden x helyén konvergens. E függ-

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

640

vénysort I-ben egyenletesen konvergensnek mondjuk, ha szeletei egyenletesen tartanak a sur összegéhez. Ellenkező esetben a függvénysor J-ben egyenlötlenül konvergens.

Ezek értelmében valamely s1 (x), s2 (x), ... , s,. (x), ...

függvénysorozat egyenletes konvergenciája aequivalens az S1

(x)

+ [s

2

(x)- s 1 (x)]

+ ... + [s,. (x}- s,.- (x)] + ... 1

függvénysor egyenletes konvergenciájával. 360. §. A függvénysor egyenletes konvergenciájának általános szükséges és elegendő feltétele a következő: Az (1) u1 (x) u 2 (x) + u,. (x)

+

+ ...

+ ...

függl)énysor a I intervallumban akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha bármely pozitív e-hoz található oly N, hogy I minden x helyén

l u,.+I (x)

+ un+ 2 (x) + ... + un+k (x) l < e (k

(2)

= 1, 2, 3, ... )

ha n> N.

Ez valóban szükséges. Mert tegyük fel, hogy az (1) sor J-ben egyenletesen konvergens és jelöljük a sor összegét s (x)-szel, szeletei pedig legyenek s 1 (x), s 2 (x), . . . . Adatván e > O, az egyenletes konvergencia folytán ehhez található oly N, hogy

l s (x) -

sn (x)

e

l N,

(3)

tehát egyszersmind e

ls (x)- sn+k (x) l N

(k = 1, 2, 3, ... ). (3) és (4)-ből folyik, miszerint

l s,.+ 7, (x) - s,. (x) l < e, ha (k = 1, 2, 3, ... ),

n

> N

vagyis (2) teljesül. De a (2) alatti feltétel elegendő is. Ha u. i. ez teljesül, akkor ebből először is következik (310.§), miszerint (1) konvergens I minden helyén. És (2) alapján

l u,.+I (x)

+ un+

2

(x)

+ ... + un+k (x) + ... l ~

e, ha n

> N

vagyis

l s (x)- s,. (x) l ~ függetlenül az x

www.interkonyv.hu

helytől.

e, ha n

> N,

Tehát ekkor J-ben (1) egyenletesen konvergens.

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

641

361. §. A fenti kritérium általánossága miatt konkrét esetekben ritkán alkalmazható. Gyakran talál azonban alkalmazásra az egyenletes konvergenciának a következő, csupán elegendő kritériuma: .Ha az u1 (x)

+ u2 (x) + ... + u., (x) + ...

(1)

függvénysor tagjaira a l intervallumban

l u., (x) l ~ M,.

(n

= 1,

(2)

2, 3, ... )

és az (3)

numerikus sor konvergens, akkor e függv,j;~ysor l-ben egyenletesen konvergens. {WEIERSTRASS-féle kritérium. 1 ) Ugyanis adatván akármilyen kicsiny pozitív e, a (3) sor konvergenciája folytán található oly N, hogy Mn+ 1

+ M,.~ 2 + ... + Mn+k N

(k = 1, 2, 3, ... ).

De akkor (2) alapján még inkább áll

l u.. ,. 1 (x) + u..+2 (x) + ... +

unt-k

(x)

l '< e, ha n > N

(k = 1, 2, 3, ... ), '· a l számköz minden helyén. Ebből pedig következik (360.§), miszerlnt J-ben (1 egyenletesen konvergens. Például az

1 + r cos x + r 2 cos 2x + ... + r" cos nx + ... és r sin

x+ r 2 sin 2 x+ ... +r" sin nx

(4)

+ ...

sorok l r l < 1 esetén egyenletesen konvergensek a (- oo, ban, mert l r" cos n x l ~ l r l", l r" sin nx l ~ l r l" (n = O, 1, 2, ... )

(5)

+ oo)

intervallum-

s a E l r l" sor l r l < 1 folytán konvergens (316. §). n=O

E sorok összegét könnyen meghatározhatjuk. Ugyanis (4)-et szorozva (1 -2 r cos x + r 2 )-tel (312. §) · . (1 + r cos x.+ ... + r" cos nx + ... ). (1- 2r cos x+ r 2) = = ( 1 + r cos x + r 2 cos 2 x + ... + r" cos nx + + (O- 2r cos x - 2r2 cos x cos x:.._.; . . - 2rn cos (n -1)x cos x - ... ) + (O+ O+ r2 + .. ·. +r" cos (n- 2)x + ... ). · (6)

+ ...).

i K. ·WEIER~TRk.~S: Zur. FuncÜon~~lehre, Monatshefte der Königlich Preussischen Akadernie der Wissenschaften -1880, -Werke II., p.' 220. ·

. '''

41

A dirrerenciál- és integrálszámltás elemei I -

www.interkonyv.hu

4/19

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

642

Minthogy 2 cos (n -1) x cos x = cos (n- 2) x

+

cos n x,

a (6) jobboldalán álló három sor összege (312. §) 1 - r cos x. Továbbá az x bármely értékénél (7) 1 - 2 r cos x + r2 > O; ugyanis l r l < 1 folytán (1-1 r 1) 2 > O azaz 1 + r2 > 21 r l, s mivel l r l ~ ~ l r cos x l ~ r cos x, azért még inkább 1 + r 2 > 2 r cos x, tehát (7) valóban fennáll. Ennélfogva (6)-ból 1

+ r cos x + r

2

cos 2 x

+ ... + r"

cos n x

+ ... =

1 - r cos x 1 - 2 r cos x + r2

(8)

r si:Q- x

(9)

(-1 O, a p index: megválasztható úgy, hogy itt minden x-re

l tp (x)- s,.' (x) l < Ebből

~ , ha n= p, p

+ 1, . . . .

(4)

nyilván folyik, hogy (a, b)-ben bármely k-ra

l s~+k (x)- s;, (x) l < ;

(k = 1, 2, 3, ... ).

Tehát (98. § (4), (6)) egyben

l [sp+l• (x + h)- sP (x +hh)]- [sP+k (x)- sP (x)] l


N.

Bármely pozitív e-hoz található ily N, tehát fennáll (1). Qu. e. d. Ha s,.(x) egyenlőtlen ül tart s (x)- hez, akkor (1) érvényét veszítheti. Legyen például Ez a (O, 1) számközben egyenlőtlenültart az s (x)= O határfüggvényhez (363.§). És ez esetben (1) valóban nem érvényes, mert s"(x) dx o

=J

1

n :r c-nx' dx

e-nx']1 =

= [ - -2-

(J

o

1 2 (1-e-n)

tehát

1

l

J Sn (x) dx

--+

2'

(l

míg l

Js (x) dx =O, o

lévén s (x) azonosan O. De az egyenletes konvergencia (1) fennállásának nem szükséges föltét.ele· Tekintsük pl. a O ~ x ~ 1 számközben az

1,

www.interkonyv.hu

x, ... , xn-\ ... © Szász Pál

© Typotex Kiadó

673

sorozatot, amely egyenlötlenül konvergens (363. §). Az integrálok sorozata O-hoz tart, mert 1 o, J xll-ldx=n-+ 1

o

és a határfüggvény integrálja is O, miután lim x"- 1 = O, ha O ;;;; x


2nn2(2nn)Zh-2--+ +oo, a

--+

+oo

G2. §), holott konvergencia esetén a sortagoknak O-hoz kellene tartaniok (310. §). (1)"et exponenciális alakban fejezve ki:

www.interkonyv.hu

© Szász Pál

© Typotex Kiadó

693 1

n! =n"+ 2 e-"

y2 ::t

B, l

Bu

eU n+· .. + (2k-1)

1 + 21t n21t+l

Bl!Jor-~ l (21t+t) (21t+2) nu+~,

i}k (n)

(1 *)

O < {} 1, (n) < 1. Minthogy rögzített k mellett B21:+2

l

e-n-~;(n)(2k+1)(2k+2)

n2k+I

~ 1, ha n~

+oo,

(1 *)-ból következik, miszerint (301. §) n! aszimptotikus értéke n!- n n+

1 2

B, 1

l~

e-"

-et. 2 n

V2n

Bu 1 + · .. + (2k-1)2k -· n2~:-1

A k = O esetben adódik 1

n! -n 11

+

2 e-"

l(2n

amit már a 303. §-ban találtunk. Minthogy B 2 =

(15)

!

(380. § (8)), ak= 1 esetben

nyerjük, hogy 1

l

n ! .- n n+-2 e-" l~ v 2 n e t2n

,

s így tovább. 383.§. Legyen C az EuLER-féle állandó (162. §). BebizonyHjuk, miszerint a

C+ 21n- ~2

:2-... -~~n!~>

v~l

ahol 1

Rk=

J

t2kl-1

fj27,+1

(x) etx dx.

(3)

o

Ámde a 380. § (10) képlete alapján

(k == 1, 2, 3, ... ), tehát (3)-ból folyólag (141. §)

Ebből

+co

~

következik (41. § (:3)), hogy k

lt l
O, ha s így (2) alapján

esetén

+L

2:n,

OC)

1 +et = e1 -1 -----,,-----2· t

B

_1!__ t~v-1

(2 v)!

(et- 1)

(-2 ::t< t.< 2 n), vagy

(4) v~

i