5 Moteur Asynchrone [PDF]

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Ali NEJMI Version.2009

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à

^onstruction a

120o

120o

c¶ b¶

c

b a¶ 120o

Stator ± Enroulement 3-phasé Rotor ± cage d¶écureil / bobiné


   

i

^onstruction Bobine à N spires traversée par i

Perméabilité du fer >> ÿo ĺ toute la chute de la FMM apparaît dans l¶entrefer

a

Nord

Sud

Axe de la bobine

Répartition spatiale de la FMM

a¶

Ni / 2 -


-
/2


/2




-Ni / 2


   

a

^onstruction

Ni / 2 -


-
/2


/2




-Ni / 2

La décomposition en série de Fourier donne une composante fondamentale:

Î
 |   


   



^onstruction Enroulement distribué : ± bobines réparties dans plusieurs encoches Nc spires /encoche

Nord

Sud

(3Nci)/2 (Nci)/2

-


-
/2


/2


   






^onstruction Enroulement distribué La FMM résultante est la somme des contributions des FMM de chaque spire ^onsidérons seulement les composantes spatiales fondamentales , ^oncenté Distribué

Distributé ^oncentré


   

‰

Phase a ± enroulement à distribution sinusoïdale

Î( )

FMM dans l¶entrefer





   

2


A

Phase a ± enroulement à distribution sinusoïdale

Î( )

FMM dans l¶entrefer




2


La décomposition en série de Fourier donne une composante fondamentale:

Î
 |   
Î     
   



D

L¶enroulement sinusoïdale de chaque phase produit une FMM et un flux spatialement sinusoidaux.

D

Un courant sinusoidal (fréquence Xs) dans une phase statorique produit une FMM stationnaire sinusoïdale.

D

La combinaison des 3 ondes sinusoïdales stationnaires produit une onde de la FMM tournant à:

i
f Xs ´ p p : nombre de paires de pôles f ± fréquence d¶alimentation
   







Ôhéorème de Ferraris: Un enroulement multipolaire, polyphasé parcouru par des courants sinusoïdaux polyphasés équilibrés crée dans l¶entrefer une force magnétomotrice circulaire unique tournant dans l¶espace lié à cet enroulement, à la vitesse angulaire °   étant la pulsation des courants).
   

à

D

Flux induit tournant produit: Fem dans les enroulement statorique (force contre électromotrice) Fem dans les enroulement rotorique Flux rotorique tournant à la vitesse synchrone

† Le courant rotorique interagit avec le flux: production du couple ‡ Le Rotor tourne souvent à une vitesse inférieure à la vitesse synchrone, i.e. à une vitesse glissante: Xgl = Xg ± Xr ‡ Glissement: Rapport entre la vitesse synchrone et celle du X Xr rotor g
s Xs


   

àà

Equation de la tension statorique: Vs = Rs Is + j(2
f)LlsIs + Es Es : fcem Es = k f  Equation de la tension rotorique: Er = Rr Ir + jg(2
f)Llr Er : fem induite au rotor Er /g = (Rr / g) Ir + j(2
f)Llr
   

ài

^ircuit équivalent / phase Rs +

Llr

Lls +

Is

Vs Im ±

Rs : Rr : Lls : Llr : Lm : g:

Lm Es ±

Ir

+ Er/g

Rr/g

±

résistance statorique résistance rotorique inductance de fuite statorique inductance de fuite rotorique inductance mutuelle glissement


   

àa

  
 Er g
Es 

6    
  
   
"  

"

!,





Rr ' Llr ' Ir ´ a (Ir ' ) , R r ´ 2 , Llr ´ 2 a a j !"



"#

 $%&'()*+%i
)!


   

à

^ircuit équivalent / phase ramené au stator Rs

Is

Lls

Llr¶ +

+ Vs ± Rs : Rr¶ : Lls ± Llr¶ ± Lm ± Ir¶ ±

Ir ¶

Lm Im

Es

Rr¶/g

±

Résistance statorique Résistance rotorique ramenée au stator Inductance de fuite statorique Inductance de fuite statorique ramenée au stator Inductance mutuelle ^ourant rotorique ramené au stator


   

à

Ordres de grandeur Pour donner des ordres de grandeur aux éléments du schéma équivalent, on les compare à l¶impédance nominale. Le schéma est vu depuis une phase du stator. On prend donc comme référence l¶impédance nominale de phase du stator en [>/phase] : ZN = VN/IN où VN et IN sont respectivement la tension et le courant de phase nominale du stator.

Xls et X¶ls Xm Xm


   

à‰

Puissance et couple La puissance est transmise du stator au rotor via l¶entrefer: appelée puissance de l¶entrefer (ou puissance transmise).

Ptr

I r i

Rr g





I ri R r



º 
 

"


I ri

Rr ùà g

g


#     " $ %à-()º

Le rendement rotorique croît lorsque le glissement diminue, donc lorsque la vitesse augmente. Un moteur asynchrone n¶est alors intéressant d¶un point de vue énergétique que pour les faibles glissements.
   

àA

puissance et couple Puissance mécanique, Pm = Ôem Xr


,

gXs = Xs - Xr

Xr = (1-g)Xs




j Ptr = Ôem Xs Tem


I ri r ´ ´ gX s Xs tr

Par conséquent, le couple est donné par : Tem


r ´ gX s   

Vsi s

È

r



g


i

È $X s È X r

i

Pour le moteur asynchrone, le régime permanent correspond généralement à une valeur du couple de 60% (petites machines) à 40% (grandes puissances) du couple maximum. En d¶autres termes, le couple maximum vaut: Ômax = 1,7 à 2,5 Ôn
   

à

puissance et couple Ôem

couple de décrochage

Rr

gm


Ômax

Ôn 

gm



iX s

Xn Xs

g

1

i

s

i



r

†Le glissement gm est proportionnel à la résistance rotorique.

couple de démarrage

0

Rs  $

0


   

 V si   R  Ri  $ s  s

s



i r





Xr †Le couple de décrochage est indépendant de la résistance rotorique.

à

puissance et couple

Les machines de grande puissance ont une caractéristique couple/vitesse (ou couple/glissement) beaucoup plus « pointue » que les petites machines. ^eci s¶explique par le fait que les petites machines ont une résistance rotorique qui, comparée aux autres impédances du schéma équivalent est plus élevée que celle des grosses. En effet, plus Rr¶ est important par rapport à Rs, Xs et Xlr¶, plus le glissement de décrochage gm est élevé est plus la caractéristique coupe/vitesse est arrondie.


   

 

 

i

puissance et couple Pour les moteurs de puissance importante (Pmec > 1 kW), les expressions de couple peuvent être simplifiées comme suit :

Vsi
r Tem ´ gX s  r  i  È $X s È X r  g


i

Rs gm) : Tem i g m ´ Tm g

Hyperbole


   

ii

Bilan des puissances Le flux de puissance active pour un fonctionnement en moteur (à g>0) et celle de droite pour un fonctionnement en génératrice (à g 1. Si le moteur tourne à vide (Ôres = 0), dans le même sens que le champ tournant direct, alors r
 s et : g=2.


   

aa

Freinage par inversion de phases A partir de la marche en charge, le processus est le suivant : on réduit à zéro la charge mécanique, puis on inverse 2 phases, lorsque la vitesse est nulle (s = 1) on coupe l¶alimentation (sans cela le rotor tourne dans le sens inverse). Si ce mode de freinage est appliqué sur un moteur à rotor bobiné, le couple de freinage peut être ajusté par l¶insertion de résistances rotoriques. L¶énergie thermique dissipée dans l¶enroulement rotorique, jusqu¶à l¶arrêt (de g1 = 2 à g2 = 1), est donnée par : g dg

^ette énergie est 3 fois plus élevée que celle dissipée lors d¶un démarrage à vide. ^e mode de freinage n¶est alors utilisé que pour les moteurs de faibles et moyennes puissances car il sollicite fortement le moteur et le réseau. Pour les entraînements de grandes puissances on lui préfère un freinage par injection de courant continu dans l¶enroulement statorique.
   

a

Freinage par injection de courant continu ^e procédé consiste, après avoir déconnecté le moteur du réseau d¶alimentation, à brancher sur deux bornes du stator une source de courant continu très basse tension (20 à 24 V par exemple) au moyen d¶une batterie d¶accumulateurs ou d¶un redresseur. } Le courant continu crée un champ magnétique, qui est fixe alors que le rotor est en mouvement. } Les conducteurs du rotor sont alors le siège de courants induits qui interagissent avec le champ pour créer un couple de freinage. ^e dernier dépend de la valeur du courant continu injecté. } Vers la fin de l¶opération, à faible vitesse, le couple de freinage diminue fortement et devient nul à l¶arrêt.


   

a

Performance en régime statique Les performances du régime statique peuvent être calculées à partir du schéma équivalent, par exemple, à l'aide de MAÔLAB

Rs

Is

Lls

Llr¶ +

+ Vs ±

Ir ¶

Lm Im

Es

Rr¶/g

±


   

a‰

Performance en régime statique Rs

Is

Lls

Llr¶

Ir ¶

+

+ Lm

Vs

Im

±

Es

Rr¶/g

±

Exemple. Moteur 3±phasé à cage d¶écureil V = 460 V

Rs= 0.25 

Lr = Ls = 0.5/(2*pi*50) f = 50Hz

Rr=0.2  Lm=30/(2*pi*50)

p=4
   

aA

Performance en régime statique 



T orque
































.


 .


 .


 .


 .


 .


 .


.





 .


 .


 .


 .


 .


 .


.




























.








Is

 








.

.








Ir

 








.

.

.

.

.

.


   

.

.

.



a

Performance en régime statique 600

400

200

orque

0 

-200

-400

-600

-800 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

g


   

a

Performance en régime statique Rendement 1 0.9 0.8 0.7

(1(1-g) -s )

fficiency

0.6 0.5



0.4 0.3 0.2 0.1 0

g 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


   

0.8

0.9

1




        

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à

^ommande scalaire de la machine asynchrone: ^ommande basée sur le modèle en régime statique (schéma équivalent/phase):

Rs

Is

Lls

Llr¶ +

+ Vs ±

Ir ¶

Lm Im

Es

Rr¶/g

±


   

i

^ommande scalaire de la machine à induction:

Ôe Ômax Point d¶intersection (Ôe=ÔL) détermine la vitesse en régime statique

Ôe ÔL

Ôn

s

sm

XnXrotor Xs


   

Xr

a

^ommande scalaire de la machine à induction:

Ùtant donné une caractéristique Ô±Ȧ de la charge, la vitesse en état stable peut être modifiée en modifiant la caractéristiqueÔ±Ȧ du moteur :

^hangement de pôles: } La vitesse synchrone varie avec le nombre de pôles. } ^hangement discontinue de la vitesse } Pas de réglage fin

Ôension variable (amplitude), fréquence variable } Utilisant les convertisseurs de puissance } Opérée à un glissement faible Ôension variable (amplitude), fréquence fixe: } Exemple: Utilisant un transformateur ou un triac } Le glissement devient élevé si la tension est réduite ± rendement faible


   



^as des moteurs à rotor bobiné

Lorsque l¶enroulement rotorique est ouvert, celui du stator étant alimenté, il apparaît aux bornes de chaque phase du rotor une tension induite de fréquence fr = g.f . Il est donc possible d¶alimenter un dispositif et de lui fournir de l¶énergie. . ^onsidérons un moteur asynchrone qui fonctionne à couple utile constant. La puissance mécanique utile Pméc = Ô. est proportionnelle à la vitesse de rotation du rotor. En faisant fournir par le rotor une puissance Pr à une charge extérieure, la vitesse diminuera
   



^as des moteurs à rotor bobiné

Réglage par résistance variable au rotor L¶insertion d¶une résistance additionnelle, en série avec chaque phase de l¶enroulement rotorique, permet de déplacer la courbe du couple électromagnétique. Pour pour un couple résistant donné, il est alors possible de varier la vitesse au moyen d¶un rhéostat. Pour une certaine vitesse 2 correspondant au glissement g2 , la résistance additionnelle Radd pourra être calculée à partir du glissement naturel g1 (sans résistance additionnelle) avec la relation: g2 = g1.(Rr+Radd)/Rr

L¶inconvénient de ce système réside évidemment dans le fait que la puissance transmise aux résistances additionnelles est totalement perdue, ce qui diminue le rendement de l¶installation.
   

‰

^as des moteurs à rotor bobiné

^ascade hyposynchrone Avec une « cascade hyposynchrone », la puissance disponible aux bornes de l¶enroulement rotorique est renvoyée au réseau par l¶intermédiaire d¶un convertisseur statique. L¶amplitude et la fréquence des tensions induites aux bornes du rotor sont différentes de celles du réseau. ^¶est pour cela que l¶enroulement rotorique ne peut pas être raccordé directement au réseau. La cascade comprend: - un pont redresseur (4), - un onduleur (5) - et un transformateur (7) dont les enroulements sont connectés respectivement à l¶onduleur et au réseau.


   

A

^as des moteurs à rotor bobiné

^ascade hyposynchrone Une résistance de démarrage (3) est utilisée pour lancer le moteur, le commutateur S1 doit alors être en position 1 (comme sur la figure). A la fin du démarrage, S1 est commuté. Le réglage de vitesse se fait par la commande de l¶onduleur. ^e mode de réglage est plus intéressant que le précédent car le réseau ne fournit que la puissance augmentée des pertes dans le moteur et dans le système convertisseur. Un tel dispositif est utilisé pour des moteurs de puissance élevée.


   



^as des moteurs à cage

Ôension variable , fréquence fixe Exemple. Machine 3±phasée (à cage)

600

V = 460 V

500

Rs= 0.25 

Rr=0.2  Lr = Ls = 0.5/(2*pi*50)

Ô orque

400

Lm=30/(2*pi*50) f = 50Hz

300

p=4

200

Vitesse faible  glissement élevé

100

Rendement faible aux faibles vitesses

0

0

20

40

60

80 w (ra d/ s )

100

120

140

160


   



Ôension variable , fréquence fixe } Les figures montrent que selon l¶allure du couple résistant, certains points de fonctionnement peuvent être instables (dÔres/d < dÔ/d ). } Avec cette méthode, la plage de réglage pour la vitesse est, selon le type de couple résistant, } particulièrement limitée (ex: Ôres = const.). } Notons aussi que pour les forts glissements le rendement n¶est pas bon (ex: Ôres quadratique).


   



Ôension variable , fréquence variable f La seule possibilité de réglage continu de la vitesse du moteur à cage consiste à modifier la vitesse du champ tournant. ^ette variation, qui est possible au moyen d¶un convertisseur de fréquence, permet d¶effectuer un réglage de vitesse dans de bonnes conditions de rendement. Elle est de plus en plus souvent employée. L¶inversion du sens de rotation et le fonctionnement en génératrice sont possibles. f Pour garder un couple électromagnétique constant, en modifiant la vitesse, il faut, simultanément avec la modification de la fréquence d¶alimentation f du stator, modifier la valeur de la tension d¶alimentation U afin de ne pas varier la valeur nominale du flux totalisé. En effet, la tension induite est proportionnelle à la fréquence et au flux.


   

à

Ôension variable , fréquence variable V/f constant Es = k f 



= constante

V ´ L f f s

La vitesse peut être variée en variant f Maintenir V/f constant pour éviter la saturation du flux


   

i

Ôension variable , fréquence variable V/f constant Vs Vn

fn
   

f a

Ôension variable , fréquence variable V/f constant -en supposant que le flux est constant: Les caractéristiques couple-vitesse se déduisent alors les unes des autres par translation, comme le montre la figure ci-contre. 900 800

50 z

700

30 z

Ô orque

600 500

10 z 400 300 200 100 0

0

20

40

60

80

100

120


   

140

160 

Ôension variable , fréquence variable V/f constant -en supposant que le flux est constant: Avec ce mode d¶alimentation (U/f = constante), il est possible d¶obtenir un point de fonctionnement en tout point de la région OAB^ de la figure ci-bas. Dans ce cas, les caractéristiques du moteur asynchrone rappellent celles du moteur à courant continu à excitation séparée alimenté à flux constant et à tension d¶induit réglable.


   



Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant ± boucle ouverte

Redresseur

2

   

R


MAS

˜ 

X 



R

  
   


   

‰

Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant ± Boucle ouverte Exemple de Simulation : 460V, 50Hz, 4 pole, Rs = 0.25, Rr = 0.2, Lr=Ls= 0.0971 H, Lm = 0.0955, 600

500

Ô X en régime statique

400

 00

200

100

0

100

0

20

40

60

0

100

120

140

160

1 0

200


   

A

Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant ± Boucle ouverte Exemple de simulation: 460V, 50Hz, 4 pole, Rs = 0.25, Rr = 0.2, Lr=Ls= 0.0971 H, Lm = 0.0955, 600

500

Régime statique (Ô X) et la caractéristique transitoire(Ô X): sans limitation de rampe

400

 00

200

100

0

100

0

20

40

60

0

100

120

140

160

1 0

200


   



Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant ± Boucle ouverte Exemple de simulation: 460V, 50Hz, 4 pole, Rs = 0.25, Rr = 0.2, Lr=Ls= 0.0971 H, Lm = 0.0955, 600

500

Régime statique Ô X et la caractéristique transitoire(Ô X): avec limitation de rampe

400

 00

200

100

0

100

0

20

40

60

0

100

120

140

160

1 0

200


   



Ôension variable, Fréquence variable V/f constant Problèmes avec Boucle ouverte à V/f constant

A vitesse faible, la chute de tension aux bornes de l¶impédance statorique est importante : la capacité en couple est médiocre aux faibles vitesses

Solution: Renforcer la tension aux faibles vitesses Maintenir Im constant ± â constant
   

‰

 nsi n va iabl , F é nc va iabl

V/f c nstant ——

——

—

——

 


——

—

—— — ——

——

—

—

—


—

—

—

——

 —


   


—

—

‰à

^orrection de la tension aux fréquences faibles f Pour les faibles valeurs de fréquence, l¶importance relative de la résistance statorique (par rapport aux réactances) entraîne une réduction du flux totalisé. Il apparaît alors une diminution du couple maximum et une augmentation du glissement critique (cf. figure ci-dessous à gauche); f Si l¶on règle la tension de telle sorte que le flux totalisé reste constant, alors le couple maximum et le glissement critique correspondant deviennent indépendants de la fréquence. Dans ce cas, pour les faibles valeurs de fréquence, la fonction U/f est corrigée, comme représenté ci-dessous à droite.


   

‰i

Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant Avec compensation (Is,nRs) 700

‡ Le couple se détériore aux faibles fréquences ± d¶où la compensation est couramment performée aux faibles fréquences

600

500

Ô orque

400

‡ Pour une véritable compensation, il y a besoin de mesurer le courant statorique

300

200

100

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160


   

‰a

Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant Avec renforcement de la tension aux faibles fréquences

Vn Offset linéaire

Renforcement

Offset non-linéaire : varie avec Is

fn
   

‰

Ôension variable, Fréquence variable

V/f constant Problèmes avec la Boucle ouverte à V/f constant Régulation médiocre de vitesse Solution: ^ompenser le glissement ^ommande à boucle ouverte


   

‰

Ôension variable, Fréquence variable V/f constant ± Boucle ouverte avec compensation du glissement et renforcement de la tension Redresseur

2

   

R


MAS

˜ 

X 









§ 
 




R

R

  
   

R˜



   

‰‰

Ôension variable, Fréquence variable

Flux ^onstant Une meilleure solution : maintenir â constant. ^omment? â constant ĺ Es/f constant ĺ Im constant (nominal) Régulé pour maintenir Im nominal

Rs

Is

Lls

Llr¶ +

+ Lm

Vs ±

Ir ¶

Maintenu à la valeur nominale

Im

Eag

Rr¶/s

±


   

‰A

Ôension variable, Fréquence variable

Flux ^onstant 900 800 50z

700 30z

Ô orque

600 500 10z 400 300 200 100 0

0

20

40

60

80

100

120


   

140

160

‰

Ôension variable, Fréquence variable

Flux ^onstant

jX Lr  Im


Rr s

jX Lr  Im


Im


Is

R jX Lr  Lm r  r g Rr s

 r  R jX  Lr  r s  àr
jX g

r

à

 r  jX g  àr


Is

Is
r

à

 r  jX g  Tr È à àÈr
 Is ´ Im
jX gTr È à ‡ Le courant est régulé en utilisant un convertisseur de courant ‡ Dépendant des paramètres rotoriques: sensibilité aux variations de ces paramètres


   

‰

Ôension variable, Fréquence variable

Flux ^onstant

2

   

R
Redresseur




  

X






X

z
z



X

X




   

A


        

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Aà

Pourquoi le modèle dynamique? †


  
     

 
 
        


†

 
  
   
      
   

    

†

    
   
      
   
   



   

Ai

Pourquoi le modèle dynamique? †

  
    
  
!
!     
 
    

†

    
! "
     

!
    
   "

"   

†

    
   
     
 


  
"    
   


   

Aa

Modèle dynamique Axe magnétique de la phase B

ibs


#



Axe magnétique de la phase A ias

# ics




Axe magnétique de la phase ^


   

Enroulement statorique équivalent simplifié

A

Modèle dynamique stator, b

rotor, a 

rotor, b

stator, a

rotor, c

stator, c


   

A

Modèle dynamique, Modèle 3-PHASE ^onsidérons la phase a Le Flux qui traverse la phase a est dû au: ‡ Flux produit par l¶enroulement a

‡ Flux produit par l¶enroulement b

‡ Flux produit par l¶enroulement c


   

A‰

Modèle dynamique, Le modèle 3-phasé ^onsidérons la phase a

Fluxautres produit par l¶enroulement b La relation entre les courants ‡des produit par l¶enroulement c phases et leur flux traversant ‡la Flux phase a est exprimée par les inductances mutuelles.


   

AA

Modèle dynamique, Le modèle 3phasé

^onsidérons la phase a

åas
åas,s  åas,r

Lasias  Labsibs  Lacsics

Inductance mutuelle entre phase a et phase b de stator

Las,ariar  Las,bribr  Las,cricr

Inductancemutuelle mutuelle Inductance mutuelle Inductance mutuelle Inductance entrephase phaseaentre ade et stator phase phase a de stator phase aentre de stator entre de stator phase c de rotor phase b deetrotor etb phase a deetrotor
   

A

Modèle dynamique, Le modèle 3-phasé x å
| $ %Ur 

  
  
  


x å
| $ %Ur 

  
  
  

"
# 

 "
  
´  " #
 " 


"
# 

 "
  
´  " #
 " 


‡ ‡


# 


  
´  #
 



# 


  
´  #
 



# 

 
  
´  #
  



# 

 
 
 ´ #
  


Uabcs : flux (produits par les courants du stator et du rotor) traversant les enroulements statoriques abcr : flux(produits par les courants du stator et du rotor) traversant les enroulements rotoriques
   

A

Modèle dynamique ±

Le modèle 3-phasé

 ´   È    ´  È 

Flux traversant les enroulements statoriques produits par les courants statoriques 

#
  
 


#   ´ 
# # # 
 #



#       Flux traversant les enroulements statoriques produits par les courants rotoriqu 
#   

  ´  


 



  #

# 


#  #

 


  #

 
 

#  
 #


      
  


   



Modèle dynamique ±

Le modèle 3-phasé

On peut raisonner d¶une façon similaire pour formuler le flux au niveau du rotor: Flux traversant les enroulements rotoriques produits par les courants rotoriques

å
#   


 





#


#

#




# 

 
 

# 
 #


    


Flux traversant les enroulements rotoriques produits par les courants statoriques


#  

  ´  


 



  #

# 


#  #

 


  #

 
 

#  
 #


      
  


   

à

Modèle dynamique ±

Le modèle 3-phasé

‡ Les inductances propres se composent de l¶inductance de magnétisation et de l¶inductance de fuites: Las = Lms + Lls

Lbs = Lms + Lls Lls

Lcs = Lms +

‡ Les inductances mutuelles entre les phases statoriques (resp. les phases rotoriques) peuvent être exprimées en fonction des inductances de magnétisation:           È   & &

 
   
#   ´      È    
 #

& &
  
  
       È  
  & &
   

i

Modèle dynamique ±

Le modèle 3-phasé

Les inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques dépendent de la position du rotor: abcs,r

abcr,s

 cos r  Nr ´ Lms cos r  2
3 Ns  cos r È 2
3

$ $

 cos r  Nr ´ Lms cos r È 2
3 Ns  cos r  2
3

$ $

$

cos

r

È 2


cos

$

cos

r

$

cos

$

r

3

 2


cos

cos

3

r

 2


r

$ cos$ cos

3

r

È 2


 2
3 2
r È 3 cos r r

$ cos$

cos

3


   

 i 
 ar

ibr



 icr 

È 2
3 2
r  3 cos r r

 i 
 as

ibs



 ics  a

Modèle dynamique ±

abcs,r

 cos r  Nr ´ Lms cos r  2
3 Ns  cos r È 2
3

$ $

Le modèle 3-phasé

$

cos

r

È 2


cos

$

cos

r

3

r

 2


$ cos$ cos

3


   

 2
3 2
r È 3 cos r r

 i 
 ar

ibr



 icr 



Modèle dynamique ±

abcs,r

 cos r  Nr ´ L ms cos r  2
3 Ns  cos r È 2
3

$ $

Le modèle 3-phasé

$

cos

r

È 2


cos

$

cos

r

3

r

 2


$ cos$ cos

3

 2
3 2
r È 3 cos r r

 i 
 ar

ibr



 icr 

stator, b

rotor, a 

rotor, b

stator, a

rotor, c

stator, c


   



Modèle dynamique, Modèle biphasé ‡ Il est plus facile d¶étudier la dynamique de la MAS en considérant son modèle biphasé. ^elui-ci peut être construit à partir du modèle 3-phasé utilisant la transformation de Park 2-phase

3-phase

Il y a un couplage magnétique entre phases

Il n¶y a pas de couplage magnétique entre phases


   

‰

Modèle dynamique, Modèle biphasé

stator, b

stator, q Xr

Xr

tournant

rotor, 

rotor, a r

rotor, b

tournant

rotor, 

r

stator, a

stator, d

rotor, c

stator, c

3-phase

2-phase


   

A

Modèle dynamique, Modèle biphasé

stator, q

Xr

rotating

rotor, 

^ependant, le couplage magnétique  existerotor, toujours entrer rotor et staor stator, d

Modèle 2-phase


   



Modèle dyna ique ±

Modèle biphasé

‡ Ôoutes les grandeurs triphasées doivent être transformées en grandeurs biphasées ‡ Généralement si xa, xb, et xc sont les grandeurs triphasées , le phaseur spatial (ou phaseur) du système triphasé est défini comme: &   

 


 # 
&  '

$

 ´   È (

$

2  2 x d ´ eùx ´ e  x a È axb È a 2 x c
´  xa 3  3

$

1 xb 2

1 2  2 x q
I ùx
I  xa  axb  a x c

$xb 3  3
   

1  xc 2


xc 

Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

‡ Le courant :

$

2 is ´ ia È aib È a 2 ic 3 aib 2 ia 3

is ´ ids È jiqs 2 aib 3

q

ids

d

ia

is a 2 ic

iqs

2 2 a ic 3

$

  
 ´ 
 ´  

È

È

Ê
´ 

  

ù

is 


 
Ê 


   $

Ê
 ´
 ´ 

È

È

Ê
´    

ù

$


   



Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

‡ La transformation est donnée par :

    i
 

 

  
  à


à
à
à


    à




à


  Ê  à


    
$ # $  å    å io correspond à la composante homopolaire

idqo = Ôabc iabc La transformation inverse est donnée par : iabc = Ôabc-1 idqo
   

à

Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

Equations de la MAS : 2-phase

3-phase x å
| $ %Ur 

x
å
|
$ %U
r 

x å
| $ %Ur 

x å
| $ %U r 

stator, q

Xr

Stator

Rotor

rotating

rotor,  rotor, 

r

stator, d


   

i

Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

x
å
|
$ %U
r 


 


 


x å
| $ %U r   U

ådqs,s

år ,r





å    å  

U


å r ,r  å r,s

L dd L dq  ids 

i
L L qd qq   qs  

L
 L

L  ir  L
 ir


ådqs,r

Ld
 Lq

år ,s

Ld Lq  ids 

i
L L  q   qs   d


   

Ld  ir  Lq
 ir


a

Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

A noter que:  å   å 

 å  å 

 å 

 å 

L¶inductance mutuelle entre stator et rotor dépend de la position du rotor:  å  å    å  å   

  å  å  





  å  å  


   







Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

stator, q

Xr

rotating

rotor,  rotor, 

r

stator, d

 å  å    å  å   

  å  å  





  å  å  


   







Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

Forme matricielle :  v    s È s  
  v

´   v
 s sr    r 
 v
   sr |  r



s

sr

È s

s sr |  r

s

sr

s

s

sr

   r

r

   r

|  r È s



|  r    s  

s sr    r
  s


  r


È s
  r
 r

s

sr

L¶inductance mutuelle entre stator et rotor dépend de la position du rotor:


   

‰

Modèle dynamique ±

Modèle biphasé

stator, q

rotor, q

L¶inductance mutuelle peut être indépendante de la position du rotor exprime les grandeurs d X rotor, d si on stator, du rotor et du stator dans le même Le stator et le rotor tournants ou stationnaires repère (exemple: dans le repère stationnaire) r

Le chemin magnétique partant du stator et traversant le rotor est indépendant de la position du rotor j l¶inductance mutuelle indépendante de la position du rotor.
   

A

Modèle dynamique  Modèle biphasé Si les grandeurs rotoriques sont rapportées au stator, on peut écrire :

v sd   s  sLs 
 v sq

 0  vrd
 sLm 
  vrq
   XrLm

0 s

sLm

 sLs

XrLm sLm

0 r

' sLr

 XrLr

 isd  

sLm
isq
 XrLr
 ird


r ' sLr    irq
 0

Lm, Lr sont (resp) l¶inductance mutuelle et l¶inductance propre du rotor ramenées au stator, et r¶ est la résistance du rotor ramenée au stator Ls = Ldd : inductance propre du stator Vrd, vrq, ird, irq tensions et courants du rotor ramenés au stator
   



Modèle dynamique  Modèle biphasé ^omment exprimer les courants rotoriques dans un repère lié au stator ? ir


$

2 ira  airb  a 2irc 3

ir Est appelé le phaseur spatial du courant rotorique

Dans un réferentiel tournant , il peut être exprimé commei:r 

´ ir e

j r

Dans un repère stationnaire il s¶écrit :





irq

X

irs
ir e j$r 

 



ird


   


ir e j
ird  jirq



Modèle dynamique Modèle biphasé

Il peut être démontré que dans un repère tournant à Xg, l¶équation des tensions est :

v sd   s  sLs 
 v sq

 XgLs  vrd
 sLm 
  vrq
 (Xg Xr )Lm

XgLs s  sLs

sLm XgLm

(Xg Xr )Lm r ' sLr sLm (Xg Xr )Lr


   

 isd 


 isq
(Xg Xr )Lr
 ird



  irq
 r ' sLr XgLm sLm

à

Modèle dynamique  Phaseurs

Le modèle d¶une MAS peut être écrit ³compactement ³ sous forme de phaseurs :



  U 
 
   X  U  

  U 

   X   X
U  

U 
 
  


U 

  


Ôoutes les grandeurs sont exprimées dans un repère quelconque


   

àà

Modèle dynamique  équation du couple Produit du phaseur de tension et de phaseur conjugué du courant:   


´



$



È   È



 Ê



$




È




 È
Ê

ias + ibs + ics = 0,

ù

  

 
´ 
´ $ 






$ 
 È  
 È  Ê
Ê

È  
 È  Ê
Ê ´



ù

 


Pin: puissance électrique absorbée par le moteur
   

ài

Modèle dynamique  équation du couple


´



ù

 
 ´

Si



ù

   È  

  

´

  



  


´ $ 




È  


 

È  



 



 

et


´

ù 





 È  Ê
Ê ´



ù

 



   

àa

Modèle dynamique  équation du couple L¶équation des tensions devient:
ùR |  ùL s |  ùG X r |  ùF X g |

La puissance absorbée est donnée par:


t
t p in
i V
i ù i  i t ù si  i t ù X r i  i t ù X g i i i

ù

Pertes joules

Variation de l¶énergie magnétique stockée

Puissance mécanique


   

Puissance associée à Xg

à

Modèle dynamique  équation du couple

p meÊ Ès s v s   s 
  v s

´  v r
 s m 
  v r

  X g  X r r


t ´ X m Te ´ i ù X r i i

Ès s  X g  Xr r s m

s

s

m

      X g X r r Lm

Xg

m

r









r

X g  Xr r

X r r Lm

Ès

X g X r r Lr


   

  i s 

s m
  i s

 X g  X r r r
 ir


È s
  ir

 r r

m

r

   s 


   s

X g X r r Lr
  r



   r



à

Modèle dynamique  équation du couple

p meÊ


t ´ X m Te ´ i ù X r i i

 i s  

 i s

X mTe ´ i  ir

 i r



t

 

X   m i s
È r i r

r
 i   i r r   m s

On sait que Xm = Xr / (p/2),


p Te ´ i i

m

$i

i  i s i r


s
r


   

à‰

$



  ´  Mais U  ´  
 È 




´ U  


$

 ´
 $U    
 

j

$



 ´ 


 U $

 ´

U  
 ´        
   

àA

Modèle dynamique Simulation Réarrangeons les équations avec les courants rotoriques et statoriques comme variables d¶état:  is  
 i s

´  ir

 ir



i m

à 

r

s

 s r  i  Xr m   s m   X r m s

 Xr

i m s


i

s

Xr 

s

r

Xr

r m



 Xr

m

m



r

s

r

s

m

 Xr

r

r

Xr s

m m

r r

r

s s

  i s 
i

  s

È
 ir


  ir



i m

à 

r

s

 r    m  


v r
 s  

 v s

m

Le couple peut être exprimé en fonction des courants rotoriques et statoriques:

3p Ôe
Lm isqird isdirq 22

ù

dXm Ôe  ÔL ´ J dt


   

à

^e système peut être modélisé sous SIMULINK:


   

à