145 Analyse Des Systemes Asservis [PDF]

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Asservissement

chap : 2

Chapitre 2 : Analyse des systèmes linéaires asservis : Rapidité, Stabilité et Précision : I-Introduction : Dans ce chapitre, on se propose d'examiner comment on peut analyser un système asservi, c’est-à-dire étudier ses performances intrinsèques à travers les notions : - Stabilité - Rapidité -Précision Lorsque ces performances ne sont pas suffisantes (ou bien ne répondent pas à un cahier de charge industriel), on doit chercher un correcteur convenable (objet de chapitre suivant). Un système asservi est un système commandé possédant un dispositif de retour permettant de compenser le manque de fidélité d’un système physique. Il comprend : - la chaîne directe H(p) : c’est le système commandé qui est soumis à l’influence des perturbations et manque donc de fidélité. Sa transmittance est souvent notée H(p). - la chaîne de retour K : elle convertit la grandeur de sortie en une tension qui est le signal de retour xr . Ce capteur doit être fidèle (insensible aux perturbations). L’organe d’affichage K : il transforme la valeur désirée Ye de y (consigne) en tension x. Il n’est pas présent dans tous les asservissements. - le comparateur : il élabore le signal d’erreur e = x – xr Exemple régulation de température :

Un bon système asservi sera caractérisé par :  une erreur très faible, et si possible nulle (y très voisin ou égal à la valeur de la sortie désirée ou exigée par le cahier des charges yd ) en régime permanent.  un temps de réponse tr5% le plus court possible en régime transitoire.

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II- Rapidité : Le critère de rapidité standard est le temps de réponse à 5pourcent( tr5%). Pour les systèmes bouclés (asservissements) il faut considérer le temps tr5%de la boucle fermée (c'est à de la fonction de transfert en boucle fermée). - Pour les systèmes de 1er ordre : tr5% = 3τ. - Pour les systèmes 2nd ordre tr5% dépend de la valeur de facteur d'amortissement ξ et de la pulsation propre non amortie ω0 du système. - Un système rapide est un système de tr5% faible (ou nul : rapidité idéale). On peut dire : - Une augmentation de la bande passante (à -3db ou à 0dB) provoque en général une augmentation de rapidité (B.P augmente système devient plus rapide c’est-à-dire tr5% diminue). - Pour les systèmes physiques on peut dire que la bande passante à -3dB de la fonction de transfert en boucle fermée (HBf(P)) peut étre approximée par la bande passante à 0dB de la fonction de transfert en boucle ouverte (HBo(p)). Si on prend un système bouclé à retour unitaire :

𝐺(𝑝) 1 + 𝐾(𝑝). 𝐺(𝑝) Si K(p) tend vers l'infini Hbf(p) tends vers 1 c’est-à-dire la sortie Y(p)=X(p) le système très rapide. Donc en général, une augmentation du gain de la chaine directe CD(p)=K(p).G(p), permet d'augmenter la rapidité du système asservi. III- stabilité d'un système : 3.1 : Définition : Un système est stable si à une entrée bornée(EB) correspond une sortie bornée(SB). Le comportement d’un système stable est tel que : En lui appliquant une entrée de type échelon (entrée bornée), la sortie converge vers une valeur aussi bornée. Par contre, un système instable verra sa sortie diverger. Un système qui ne revient pas à sa position d’équilibre mais ne s’en écarte pas est dit oscillant ou en pompage. 𝐻𝑏𝑓(𝑝) = 𝐾(𝑝).

Remarque : En théorie un système réel instable oscille jusqu’à la destruction, mais en pratique les amplitudes de ces oscillations sont dans le cas général limitées par les différentes saturations (saturations des amplificateurs opérationnels, fin de courses, butées physiques,...) et laisser croire que la sortie du système est bornée. Le système ne peut plus être considéré comme linéaire. La première définition ne peut être utilisée. 3.2 : Condition nécessaire et suffisante de stabilité : a- Théorème : Un système linéaire est dit stable (entrée bornée, sortie bornée) si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont à parties réelles strictement négatives, ou bien dont des pôles imaginaires purs simples non nuls. Année Scolaire 2017-2018

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Dans le cas d'un système bouclé (en boucle fermée), la fonction à considérer est la fonction de transfert en boucle fermée. b- Critères de stabilité : Soit la fonction de transfert en boucle fermée d'un système :

𝑯𝒃𝒇(𝒑) =

𝑮(𝒑) 𝟏+𝑹(𝒑).𝑮(𝒑)

: Ce système est stable si et seulement si les racines de l'équation

caractéristique notée D(p)=1+R(p).G(p) sont à partie réelle strictement négative (ou des imaginaires non nuls) [ou bien si et seulement si D(p) n'a pas de racines à partie Re(pi)≥0) . La condition de stabilité montre que les pôles stables sont situés dans le demi-plan gauche de la variable p :

Pour chercher si cette condition est vérifiée ou non on dispose de deux sortes de critères : - Algébrique (pas traiter dans ce chapitre, Hors programme TSI) - Critères graphiques : ils sont nombreux on se limite au critère de Bode . Remarque : un système stable en boucle ouverte n'est pas nécessairement stable en boucle fermée. c- Etude de la stabilité à partir du diagramme de Bode de la FTBO : c.1 : Point critique de la stabilité : Dans le cas d'un système asservi représenté par le schéma bloc suivant :

𝑯(𝒑) 𝑯(𝒑) = 𝟏 + 𝑹(𝒑). 𝑯(𝒑) 𝟏 + 𝑯𝒃𝒐(𝒑) Avec Hbo(p) la fonction de transfert du système en boucle ouverte. Donc l'équation caractéristique du système est D(p)=1+Hbo(p) : la condition de stabilité est conditionnée par le signe de la partie réelle de D(p)=0 soit 1+Hbo(p)=0. Il y a donc instabilité s'il existe une racine pi=α+jβ avec α≥0 tel que Hbo(pi)=-1 ce point "-1" sur le diagramme de Bode de la fonction FTBO (Hbo(p)) corréspond au point ou le gain de Hbo est nul (20log(1)=0) et de phase (argument) égal à -180 degré (-Π rad) : c'est un point critique . c.2 : Critère de stabilité dans le diagramme de Bode : Dans le plan de Bode la condition de stabilité devient : La fonction de transfert en boucle ouverte FTBO est Hbo(p)=R(p).H(p) : on considère la pulsation critique wc=w-Π pour laquelle : arg[𝐻𝑏𝑜(𝑝)] = −180 𝑑𝑒𝑔𝑟é . 𝑯𝒃𝒇(𝒑) =

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Le système sera stable si : |𝐻𝑏𝑜(𝑗𝑤𝑐)| < 1 ou bien 20. log( |𝐻𝑏𝑜(𝑗𝑤𝑐)|< 0dB. Autrement dit : si la courbe de gain de la FTBO passe au-dessous du niveau 0dB pour wc=w-Π.

- Pour le système (a) : à w=w-π : le gain Hbo(p)(dB) est négatif donc le système est stable. - Pour le système (b) : à w-π : le gain de Hbo(p) (dB) est positif : le système est instable. - Si : à w=wc : Hbo(wc)(db)=0 : le système sera Oscillant (Limite de stabilité) . C3 : Marge de phase – Marge de gain : En général, nous souhaitons obtenir des systèmes stables, ceci veut dire que nous voulons un système stable mais présentant des marges de sécurité encore appelées marge de stabilité : si cette marge est faible il y a risque d'instabilité du système vis-vis à des perturbations intrinsèques et extrinsèques.  Marge de phase d’un système bouclé :Mφ ou Δφ :Plus le diagramme de Bode passe près du point –1, moins le système sera amorti et plus il aura tendance à l’instabilité. On cherche la pulsation w0dB (fréquence f1) pour laquelle de module de la transmittance est égal à 1 (ou 0dB) À cette fréquence, l’argument de la transmittance vaut ϕ la marge de phase est définit par : ϕm =Δφ==Mφ= 180 + ϕ=180+Arg (Hbo(jw0dB) exprimée en degré . Cette marge de phase peut-être positive ou négative. Si Mφ=0 : le système est en limite de stabilité.

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Remarque : Dans la pratique on prend une marge de phase Δφ ≥ 45 degré.  Marge de gain d'un système bouclé : Mg ou ΔG : Elle est indiquée par rapport au point critique, elle représente la "quantité" de gain que l'on peut ajouter (en dB) dans la boucle ouverte avant le bouclage pour que le système sera stable en boucle fermée, mathématiquement cette marge est définie par : 1 𝑀𝑔 = 𝛥𝐺 = 20𝑙𝑜𝑔10 ( ) = −20𝑙𝑜𝑔10(|𝐻𝑏𝑜(𝑗𝑤 − 𝛱)| |𝐻𝑏𝑜(𝑗𝑤 − 𝛱)| Dans la pratique on cherche la pulsation w-Π pour laquelle : Arg(Hbo(jw-Π)=-180 degré puis on calcul la valeur de la marge de gain par : 𝑀𝑔 = 𝛥𝐺 = −20𝑙𝑜𝑔10(|𝐻𝑏𝑜(𝑗𝑤 − 𝛱)| Pour les valeurs pratiques on exige une marge de gain Mg=ΔG de 6dB à 12dB. Remarque : Si le tracé de Bode (phase) de Hbo(jw) ne coupe jamais le point -180 degré : cas d'un premier ordre et 2eme ordre ) la marge de gain est infinie : Mg=∞ : c’est-à-dire le système est toujours stable ou bien inconditionnellement stable .

Remarque : Pour les systèmes dont le comportement en BF est comparable à celui de 2nd ordre oscillant bien amorti, on peut estimer le coefficient d'amortissement en boucle fermée ξbf par : 𝑴𝝋 𝝃𝒃𝒇 ≅ 𝟏𝟎𝟎 Et le dépassement en boucle fermée𝑫% = 𝟏𝟎𝟎𝒆𝒙𝒑((−𝝃𝒃𝒇. 𝜫)/(√(𝟏 − 𝝃𝒃𝒇𝟐 ) Exemples : (Voir Fin de cours document ressources 1) 𝑴𝝋 Si on veut : Mφ=60 degré donc :𝝃𝒃𝒇 ≅ 𝟏𝟎𝟎 = 0.6 et le dépassement D%=10 alors Si on veut Mφ=45 degré :ξbf=0.45 et D%=20 . IV- Précision des systèmes asservis : 5.1 : Ecart : Définition générale : Soit le système suivant :



Le calcul de la fonction de transfert se fait par la méthode de superposition : 𝑌(𝑝) = 𝐻1(𝑝) ∗ 𝑋(𝑝) + 𝐻2(𝑝) ∗ 𝐵(𝑝) 𝑌(𝑝) 𝑌(𝑝) Avec : 𝐻1(𝑝) = 𝑋(𝑝) à 𝐵(𝑝) = 0) 𝑒𝑡 𝐻2(𝑝) = 𝐵(𝑝) à 𝑋(𝑝) = 0 (Voir TD2) En 1er lieu on prend une perturbation P(p) [ou bruit B(p)] nulle (P(p)=0) : donc la fonction de transfert en Boucle ouverte Hbo(p) est : FTBO(p)=Hbo(p)=G1(p).G2(p).F(p) : Pesons: Année Scolaire 2017-2018 page 5/9

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𝑲. 𝑵(𝒑) 𝑷𝜶 . 𝑫(𝒑) Avec :K: Gain statique la FTBO. α : le degré de la FTBO. N(0)=D(0)=1 L'écart est la fonction ε(t) (Erreur) soit : Є(𝑷) = 𝑿(𝒑) − 𝑹(𝒑) Comme : R(p)=Є(p).G1(p).G2(p).R(p)=Є(p).Hbo(p)=Є(p).G(p) Soit : Є(p)*[1+Hbo(p)]=X(p) donc : 𝑿(𝒑) Є(𝒑) = 𝟏 + 𝑮(𝒑) 𝑮(𝒑) = 𝑯𝒃𝒐(𝒑) = 𝑮𝟏(𝒑). 𝑮𝟐(𝒑). 𝑭(𝒑) =

L'écart Є0 est la valeur finale de Є(t) lorsque le système passe son régime transitoire c’est-à-dire : Є𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 Є(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝒑. Є(𝒑) 𝒕−∝

𝒑−𝟎

Soit donc :

Є𝟎 = 𝐥𝐢𝐦(𝒑 → 𝟎)(𝒑. Є(p)=𝐥𝐢𝐦𝒑→𝟎 𝒑 ∗ [(

𝑿(𝒑) 𝟏+𝑮(𝒑)

)]

Un système est dit précis si : Є0=0 c’est-à-dire la valeur finale de Є(t) est nulle. 5.2 : Ecart de position ou Erreur Statique : C'est l'écart (ou erreur) notée Єp(t) en régime permanent quand l'entrée x(t) du système bouclée est un échelon soit : x(t)=a.u(t) [u(t) Echelon unitaire] soit : X(p) la 𝐚 transformée de Laplace de x(t) donc : 𝐗(𝐩) = 𝐩 Avec a>0 X(p)

Donc : Єp = limt→∞ Єp(t) = limp→0 p ∗ Єp(p) = limp→0 p ∗ 1+G(p) En remplaçant : X(p) et G(p) et en tenant compte que N(p)=D(p)=0 on trouve : pα Єp = lim a ∗ α p→0 p +K Si la fonction de transfert en boucle ouverte est de classe zéro (α=0) : l'erreur statique est non nulle a (système non ou peu Précis) : Єp = 1+K pour minimiser l'erreur statique il faut augmenter le gain statique de la boucle ouverte K. , Si la fonction de transfert en boucle ouverte est de classe supérieure ou égale à 1 [α≥1] :l'erreur statique Єp=0 (système précis). Conclusion : pour avoir un système précis (ou écart de position nul), il faut au moins une intégration dans la fonction de transfert en boucle ouverte.

5.3 : Ecart de vitesse (dit aussi erreur de traînage ou de poursuite) : C'est l'écart noté ЄV(t) en régime permanent (t tends vers l'infini) quand l'entrée x(t) est une rampe de vitesse (Echelon de vitesse : c’est-à-dire x(t)=a.t.u(t) ; a positif non nul) : donc : 𝒂 𝑿(𝒑) = 𝟐 𝒑 𝟏 𝒂∗𝒑 Et : Є𝒗 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→∝ Є𝒗(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦𝒑→𝟎 𝒑. Є𝒗(𝒑) = 𝐥𝐢𝐦𝒑→𝟎 ( 𝒑. 𝑿(𝒑)) 𝟏+𝑮(𝒑) = 𝐥𝐢𝐦(𝒑 → 𝟎)[𝒑𝟐 (𝟏+𝑲𝑵(𝒑)/𝑫(𝒑)] Comme N(o)=D(0)=1 donc : l'expression de Єv est :

𝑷𝜶−𝟏 Є𝒗 = 𝐥𝐢𝐦 𝒂 ∗ 𝜶 𝒑→𝟎 𝒑 +𝑲

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  

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Si la fonction de transfert en boucle ouverte du système est de classe zéro (α=0) : l'erreur de traînage Єv→∝ : erreur infinie. Si la fonction de transfert en boucle ouverte du système est de classe 1 (α=1): l'erreur de 𝒂 traînage Єv=𝑲 : augmenter le gain statique K implique Єv diminue.

Si la fonction de transfert en boucle ouverte du système est de classe ≥2 (α≥2): l'erreur de traînage Єv est nulle :Єv=0 : système précis vis-à-vis l'entrée vitesse . - Pour avoir un écart de vitesse nul, il faut au moins deux intégrations dans la fonction de transfert en boucle ouverte du système. - Lorsque la fonction de transfert du système en boucle ouverte est de classe 1 : l'écart de vitesse dépend de gain K. En résumé :Pour un système qui à la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO(p)) qui s'écrit sous la forme : 𝐊. 𝐍(𝐩) 𝐆(𝐩) = 𝐇𝐛𝐨(𝐩) = 𝐆𝟏(𝐩). 𝐆𝟐(𝐩). 𝐅(𝐩) = 𝛂 𝐏 . 𝐃(𝐩)

Remarque : Ecart statique et Ecart dynamique : - L'écart statique est, de façon générale, l'écart en régime permanant quand l'entrée est bornée de type échelon, rampe de vitesse, accélération [x(t)=𝑎. 𝑡 2 . 𝑢(𝑡).], sinusoïde …. - L'écart dynamique est l'écart en régime transitoire, généralement pour diminuer l'écart dynamique, on recherche un bon amortissement c’est-à-dire on limite la résonance (on prend une marge de phase ≥45 degré). 5.4 : cas d'une entrée sinusoïdale : Dans ce cas l'entrée x(t)=ae.sin (we.t) ; toujours on prend le cas d'une perturbation nulle P(p)=0 ; l'erreur dans ce cas est dite erreur harmonique (ou écart harmonique) notée Єh(t) : soit : 𝑎𝑒 Єℎ = lim Єℎ(𝑡) = lim 𝑝. Єℎ(𝑝) = 𝑡→∝ 𝑝→0 |1 + 𝐺(𝑗𝑤𝑒)| Pour les systèmes physiques, en général de type passe-bas si we 𝐴 Année Scolaire 2017-2018

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Dans le cas ou we≫ 𝑤0𝑑𝐵(en hautes fréquences) : |1 + 𝐺(𝑗𝑤0)| ≈ 1 soit Єh ≈ 𝑎𝑒 est le système sera imprécis. En général, un gain statique élevé dans une large bande passante à 0dB, le système est rapide et aussi précis. En gros : la stabilité est définie par une marge de phase Mφ et marge de gain MG , et la précision se décompose en précision statique et précision dynamique . Les conditions imposées à la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO(p)=G(p)) sont en générale contradictoires (ce qu'on appelle dilemme stabilité – rapidité) : Une augmentation de gain statique de la boucle ouverte se traduit par une augmentation de la précision mais ! Une diminution de la stabilité [car Mφ et MG diminuent]. 5.5: Ecart en cas d'une perturbation (Bruit): Dans ce cas on suppose le bruit non nul (c'est le cas réel dans un système physique) ; on reprend le schéma vue en 5.1 : et grâce au principe de la superposition, nous pouvons traiter séparément l'entrée du système bouclé X(p) et l'entrée bruit P(p) on trouve : 𝐺1(𝑝). 𝐺2(𝑝) 𝐺2(𝑝) 𝑆(𝑝) = . 𝑋(𝑝) − ∗ 𝑃(𝑝) 1 + 𝐺(𝑝) 1 + 𝐺(𝑝) 𝟏 𝑭(𝒑).𝑮𝟐(𝒑) Comme l'erreur Є(p)=X(p)-F(p).S(p) on trouve : Є(𝒑) = 𝟏+𝑮(𝒑) ∗ 𝑿(𝒑) + 𝟏+𝑮(𝒑) ∗ 𝑷(𝒑) 1

Soit : Є1(𝑝) = 1+𝐺(𝑝) ∗ 𝑋(𝑝) si pas de bruit (P(p)=0) qui dépend de l'entrée voir : les cas précédents. Є𝟐(𝒑) =

𝑭(𝒑).𝑮𝟐(𝒑) 𝟏+𝑮(𝒑)

∗ 𝑷(𝒑) Si X(p)=0 et P(p) non nul. Pour évaluer l'effet de la perturbation sur la

précision il suffit d'étudier Є2(p) : a- Si la perturbation est de type échelon : P(p)=b/p : 𝑭(𝒑). 𝑮𝟐(𝒑) 𝒃 𝒃. 𝑭(𝒑). 𝑮𝟐(𝒑) Є𝟐𝒑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒑 ∗ [ ∗ ] = 𝐥𝐢𝐦 𝒑→𝟎 𝒑→𝟎 𝟏 + 𝑮(𝒑) 𝒑 𝟏 + 𝑮(𝒑) 𝐍𝟏(𝐩) On pose : 𝐆𝟏(𝐩) = 𝐊𝟏 ∗ 𝐏𝛂𝟏 ∗𝐃𝟏(𝐩)

𝐀𝐯𝐞𝐜 𝐊𝟏 𝐠𝐚𝐢𝐧 𝐬𝐭𝐚𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝𝐞 𝐆𝟏 𝐞𝐭 𝛂𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐫é 𝐝𝐞 𝐆𝟏 𝐞𝐭 𝐍𝟏(𝟎) = 𝐃𝟏(𝟎) = 𝟏

𝐅(𝐩). 𝐆𝟐(𝐩) = 𝐊𝟐 ∗

Et :

𝐍𝟐(𝐩) 𝐏𝛂𝟐 ∗𝐃𝟐(𝐩)

Є𝟐𝒑 = 𝐥𝐢𝐦𝒑→𝟎

Soit :

(K2 gain statique, α2 classe et N2(0)=D2(0)=1). 𝒃.𝑭(𝒑).𝑮𝟐(𝒑) 𝟏+𝑮(𝒑)

=

𝒃.𝑲𝟐.𝒑𝜶𝟏 𝑲𝟏𝑲𝟐+𝑷𝜶𝟏 .𝑷𝜶𝟐

Finalement : 𝒃.𝑲𝟐



Si α1=0 et {

𝜶𝟐 = 𝟎 ∶ Є𝟐𝒑 = 𝟏+𝑲𝟏.𝑲𝟐 𝒃

𝜶𝟐 ≥ 𝟏 ∶ Є𝟐𝒑 = 𝑲𝟏

 Si α1≥1 : pour toute valeur de α2 : Є2p=0 Un système qui comporte au moins une intégration en amont du point d'entrée de la perturbation, aura un écart (due à la perturbation) nul : l'effet de la perturbation sur le système est nul. 𝒃 b- Cas ou la Perturbation est une rampe de vitesse : Dans ce cas : 𝑷(𝒑) = 𝒑𝟐 donc : 𝒃. 𝑲𝟐. 𝑷𝜶𝟏−𝟏 𝒑→𝟎 𝑲𝟏. 𝑲𝟐 + 𝑷𝜶𝟏+𝜶𝟐

Є𝟐𝒗 = 𝐥𝐢𝐦

- Si : α1=0 : Є2v → ∞ la perturbation à un effet négatif sur le système. 𝑏 - Si: α1=1 : Є2𝑣 = 𝐾1 il faut augmenter le gain K1 pour limiter Є2v. - Si : α1≥2 : Є2v=0 : pas d'effet de la perturbation. Il faut donc que le système comportant au moins deux intégrations en amont du point d'entrée de la perturbation pour annuler l'erreur de perturbation si celle-ci se comporte comme une rampe de vitesse. Fin chapitre 2 Année Scolaire 2017-2018

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Document ressource : Le diagramme de Bode d’une transmittance en boucle ouverte (bo) d’un asservissement a l’allure suivante :

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