TP Asservis [PDF]

Zitiervorschau

Université science et de la technologie Mohamed Boudiaf Département d’automatique

Master 1 Automatique et Informatique Industrielle

2020/2021

Thème 1 : Commande PID d’un moteur à courant continu

Groupe : 1

Sommaire : 1

Table des matières

1.

1

Introduction

4

Chapitre 1 : Description du système

5

1.

5

Moteur a courant continue

1.1

Description d’un moteur a courant continue

5

1.2

Constitution d’un moteur a courant continue

5

1.3

Principe de fonctionnement

7

1.4

Types de moteurs à courant continu

8

1.4.1

Moteur à excitation séparé

8

1.4.2

Moteur à excitation série

8

1.4.3

Moteur à excitation composé

8

2

Généralités sur la régulation

2.1

8

Boucle de régulation

9

2.1.1

Boucle ouverte (BO)

9

2.1.2

Boucle fermé (BF)

9

2.2

Constituants d’une chaine de régulation

2.3

Critères de performance d’un système de régulation

9 10

2.3.1

Stabilité

10

2.3.2

Précision

12

2.3.3

Rapidité

12

3

INCONVÉNIENTS DE LA COMMANDE EN BOUCLE OUVERTE

13

4

PRINCIPE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE

13

5

L’action P, I et D :

14

5.1

Action P (Proportionnel)

14

5.2

Action I (Intégral)

14

5.3

Action D (dérivateur)

15

1

6

Défirent type du Régulateur PID et l’influence des coefficients

15

6.1

Régulateur P

15

6.2

Régulateur PI

15

6.3

Régulateur PID

16

Chapitre 2 Modélisation et étude du système

17

1.

Modélisation d’un moteur a courant continue

17

2.

Fonction de transfert du moteur

18

3

Calculer les paramètres du système (A, ω, ξ, tau) en utilisant Matlab

20

3.1

Le gain statique « A »

20

3.2

La pulsation propre « ω »

20

3.3

Le facteur d’amortissement « ξ »

20

3.4

Le constant du temps « tau »

20

Chapitre 3 Synthèse de la commande

21

1

En utilisant la méthode de la réponse indicielle en BO

21

2

En utilisant la méthode de Ziegler-Nichols

23

3

En utilisant Matlab on extrait les paramètres du correcteur (PID)

26

Chapitre 4 Simulation et résultats

26

1

La Réponse indicielle du système en BO

26

2

Fonction de transfert du correcteur :

27

3

Fonction de transfert du correcteur + H en BF

27

4

Reponse indicielle du correcteur + H en BF

28

5

Tracage du diagramme de bode

28

6

Traçage du diagramme de Nyquist

29

7

Simulation du système sans et avec coorecteur en BF en utilisant simulink

29

7.1

Schéma bloc du système sans correcteur

29

2

7.2

Schema bloc du stseme avec correcteur (P)

30

7.3

Schema bloc du stseme avec correcteur (PI)

33

7.4

Schema bloc du stseme avec correcteur (PID)

35

7.5

Conclusion

36

8

Conclusion générale :

37

3

1. Introduction De nos jours, l'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse, de la commande et de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques les mathématiques, la théorie du signal et l'informatique théorique. L'automatique permet l'automatisation de différentes tâches de fonctionnement des machines et des chaines industriels. On parle alors de système asservi ou régulé, d’où est le plus répondu dans notre vie quotidienne, en particulier dans le domaine industriel, car il permet de réaliser plusieurs opérations sans l’intervention de l’être humain, pour de divers besoins, par exemple : convoyeurs industriels à navettes indexées, pilotage automatique de l’avion (autopilot), asservissement d’angle pour des bras robotiques (ABB, Kuka, ...) …etc. Dans la plupart des processus industriels, en particulier les moteurs électriques, il est indispensable de maîtriser certains paramètres physiques (vitesse, position, angle...etc.), il est donc très souvent nécessaire d’avoir recours à une commande. La commande PID (Proportionnelle-Intégrale-Dérivée) est une méthode qui a fait ses preuves et qui donne de bons résultats, grâce à l’action proportionnelle qui améliore la rapidité, l’intégrale pour la précision, et la dérivée pour la stabilité. L’objectif de notre travail est d’implémenter une commande PID pour un moteur à courant continu. La modélisation de la commande et du système (moteur MCC) est programmée sous l’environnement MATLAB/SIMULINK. Notre monographie comporte 4 chapitres, dans le premier chapitre on abordera tout ce qui est description du système traité, dans le second chapitre on fera la modélisation du système et son étude et choix du moteur à courant continu, le troisième on fera la synthèse de la commande PID ou on déterminera les gains de ce dernier enfin le dernier chapitre on simulera et présentera les résultats trouvés.

4

Chapitre 1 : Description du système 1. Moteur a courant continue 1.1 Description d’un moteur a courant continue Un moteur électrique à courant continu (MCC) est un convertisseur électromécanique permettant la conversion bidirectionnelle d’énergie entre une installation électrique parcourue par un courant continu et un dispositif mécanique. Il est très utilisé en industrie est nécessite une régulation précise de la vitesse de rotation. Ce chapitre traite la modélisation en vue de la simulation d’un moteur à courant continu à excitation séparée.

Figure 1 : Structure générale d’une MCC.

1.2 Constitution d’un moteur a courant continue  Un inducteur appelé aussi stator ; l’inducteur est composé soit d'aimants permanents, soit d'enroulements bobinés autour d'un élément immobile du stator. Il crée le champ magnétique dit statorique. Il est constitué de la carcasse du moteur et du circuit magnétique proprement dit. Un circuit magnétique est constitué d’une structure ferromagnétique qui canalise le flux magnétique, créé par une source de champ magnétique : aimant permanent ou électroaimant. Le circuit magnétique du stator crée le champ appelé : champ inducteur (Bs). L’inducteur magnétise en créant un flux magnétique (Φ) dans l’entrefer. 5

 Un induit appelé aussi rotor. Le rotor cylindrique est composé de tôles isolées entre elles et munies d'encoches dans lesquelles sont réparties les conducteurs. Parcourus par un courant, ceux-ci créent le champ magnétique dit rotorique Un collecteur fixé à l'induit, il est en contact avec les charbons. C’est la partie mobile de la machine, porte les conducteurs soumis

au

flux

magnétique

de

l’inducteur. Il est constitué de tôle en fer au silicium isolé entre elles pour limiter les pertes par hystérésis les pertes par courants de Foucault. Le fer de l’induit comporte des encoches à la périphérie.et dans ces encoches qu’est logé le bobinage de l’induit parcouru par un courant continu. Le bobinage de l’induit Figure 2 : Composition de l’induit

est formé de sections

 . Les extrémités du bobinage de l’induit sont reliées au collecteur.  Des charbons appelés aussi balais. Ils alimentent l'induit par le collecteur sur lequel ils frottent.  Des charbons : Fixés sur la carcasse par le biais de portes balais, ils sont en carbone ou en graphite permettent l’alimentation de l'induit (partie en rotation) grâce à un contact glissant entre les lames du collecteur reliées aux conducteurs de l’induit et le circuit électrique extérieur. Ils sont constitués de petits cubes ayant une surface de contact de quelques mm² à quelques cm², en graphite pur ou en alliage, qui doivent résister à des conditions d’utilisation sévères (courants élevés, températures élevées,

frottements,

arc,

atmosphères chargées ou très sèches Un ressort exerce une pression constante sur la partie en graphite quel que soit le degré d’usure du balai et frottent sur le collecteur grâce à des ressorts. Figure 3 : Balais et porte balais

6

 Les collecteurs : Le collecteur est le constituant critique des machines à courant continu. C'est un ensemble de lames de cuivre, isolées latéralement les unes des autres et disposées suivant un cylindre, en bout de rotor. Ces lames sont réunies aux conducteurs de l’induit. Le collecteur a pour fonction d’assurer la commutation du courant d’alimentation dans les conducteurs de l’induit. Figure 4 : Collecteur

1.3 Principe de fonctionnement L’inducteur ou le stator crée un champ magnétique fixe B. ce stator peut être a ou constitué (comme sur le schéma) d’électro-aimant. L’induit ou le rotor porte des conducteurs parcourus par un courant continu (alimentation du moteur) ; ces spires, soumise à des force (force dite de ), entrainent la rotation du rotor. Il en résulte une variation du flux du champ magnétique a traves chaque spire

;

elle

engendre

une

f.e.m

qui

par l’ensemble {collecteur-balai}. La valeur moyenne E de cette f.e.m est proportionnelle à la vitesse angulaire de Figure 5: Principe de fonctionnement de MCC

rotation 𝜔 r du rotor, aux flux maximaux du

champ magnétique crée par l’inducteur à travers une spire (Φ= B x S) et une constant K qui dépend des caractéristiques de la conception du moteur (nombre de conducteurs, nombre de paires de pôles…)

7

1.4 Types de moteurs à courant continu 1.4.1 Moteur à excitation séparé  L'inducteur est alimenté par une source indépendante ;  Grande souplesse de commande ;  Large gamme de vitesse. Utilisé en milieu industriel, associé avec un variateur électronique de vitesse et surtout sous la forme motrice d’asservissement.

1.4.2 Moteur à excitation série  L'inducteur connecté en série avec l’induit, le flux d’excitation y est donc implicitement asservi au couple fourni ;  Le bobinage Inducteur comporte, dans ce cas, peu de spires, mais il est réalisé avec du fil de gros diamètre (robustesse) ;  Le moteur série est Un autorégulateurs de puissance ;  Possède un fort couple de démarrage mais risque l'emballement à vide ;  Le couple du moteur série ne dépend pas de la Tension d’alimentation ;  Le couple résistant croit rapidement avec la vitesse ;  La vitesse décroit quand la charge augmente ;  Supporte bien les surcharges.

1.4.3 Moteur à excitation composé  L’inducteur est divisé en deux parties, l’une connectée en série et l’autre en parallèle ;  Entraînements de grande inertie ;  Couple très variable Avec la vitesse.

2 Généralités sur la régulation Dans le présent chapitre, nous allons définir la terminologie et la méthodologie associées à la théorie de régulation objet principale de notre étude. Dans une régulation, on s’attachera à limiter les variations de la grandeur réglée autour d’une consigne constante lorsque le système est soumis à des perturbations. Pour d’autres systèmes, la perturbation la plus importante est la consigne elle-même. En effet, la consigne peut varier en fonction du temps et par conséquent la grandeur réglée doit suivre les variations de la consigne. On parle, dans ce cas, d’un asservissement.

8

2.1 Boucle de régulation 2.1.1 Boucle ouverte (BO) On parle de fonctionnement en boucle ouverte quand c’est l’opérateur qui contrôle l’organe de réglage. Proprement parler, il ne s’agit pas à de régulation, car cette technique n’utilise pas la mesure pour déterminer la commande du régulateur.

Figure 6 : Boucle ouverte

2.1.2 Boucle fermé (BF) C’est le fonctionnement normal d’une régulation. Le régulateur compare la mesure de la grandeur réglée et la consigne et agit en conséquence pour s'en rapprocher. Le schéma ci-dessous représente la boucle fermée.

Figure 7 : Boucle fermée

2.2 Constituants d’une chaine de régulation Cette organisation fonctionnelle représente la structure de base qu’on trouve dans tous les systèmes asservis ou régulés. Elle fait intervenir deux chaînes une chaîne d'action et une chaîne de retour ou d'information.

Figure 8 : Représentation fonctionnelle d'une boucle de régulation

Chaîne directe ou d'action : Englobe tous les organes de puissance (nécessitant un apport extérieur d'énergie) et qui exécute le travail. Chaîne de retour ou de réaction : Analyse et mesure le travail effectue et transmet au comparateur une grandeur physique proportionnelle à ce travail.

9

Entrée : La consigne est la grandeur qui doit commander la sortie, c'est-à-dire la valeur vers laquelle celle-ci doit tendre, pour finalement l’égaler. La consigne n’a pas la même dimension que la sortie, elle doit être en accord avec la dimension de la mesure. Comparateur : Compare le travail effectue à celui qui était à faire et délivre un signal d'erreur proportionnel à la différence entre une grandeur d’entrée et la grandeur physique issue de la chaine de retour. Régulateur : Le régulateur se compose d'un comparateur qui détermine l'écart entre la consigne et la mesure et d'un correcteur qui élabore à partir du signal d'erreur l'ordre de commande. Actionneur : C'est l'organe d'action qui apporte l'énergie au système pour produire l'effet souhaite. Processus : est le cœur du système régulé. C’est également la partie qui agit directement sur la valeur de sortie. Perturbation : On appelle perturbation tout phénomène physique intervenant sur le système qui modifie l’état de la sortie. Un système asservi doit pouvoir maintenir la sortie à son niveau indépendamment des perturbations. Sortie : Elle est le résultat de la régulation, la variable que le système va influencer et/ou essayer de garder constante. Capteur : Le capteur prélevé la grandeur réglée (information physique) et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur. Mesure : Dans une boucle de régulation, la sortie est constamment contrôlée, il est ainsi possible de réagir à toute variation indésirable de celle-ci. La valeur mesurée (proportionnelle à la sortie) est appelée mesure (ou retour).

2.3 Critères de performance d’un système de régulation Pour tout projet de régulation industrielle, les spécifications de l’utilisateur constituent le point de départ du travail de l’ingénieur. Malgré la diversité des problèmes de régulation, on peut considérer les critères suivants :

2.3.1 Stabilité Le système constitué de procédé et de la boucle de régulation est dit stable, s’il est soumis à une variation de consigne, la mesure retrouve un état stable, dans le cas contraire le système est dit instable. Pour un système stable, le temps écoulé pour retrouver la stabilité constitue le régime transitoire. 10

Figure 9 : Réponse indicielle d’un système Stable

Figure 10 : Réponse indicielle d’un système Instable

11

2.3.2 Précision La précision d’un système, en valeur relative, par rapport à la consigne c(t), est définie par son signal d’erreur ε(t). Selon que le système se trouve en régime statique c(t) =constante (régime permanent constant) ou en régime dynamique c(t) = f(t) (régime permanent variable), on parle de précision statique ou de précision

dynamique.

Pour

tout

système, on essaiera alors de minimiser Figure 11 : Présente la courbe de l’erreur de Système

cette erreur. Erreur de précision (%) = (ε/C).100

2.3.3 Rapidité Elle traduit pratiquement la durée transitoire. Plus précisément, elle s’exprime par le temps de réponse Te ou temps d’établissement, qui est le temps mis par la mesure pour atteindre sa valeur définitive à +5 % de sa variation tout en se maintenant dans cette zone des +5 % [5]. Rapidité = temps de réponse Te Te : correspond au temps mis pour atteindre 95 % ou 105% de la valeur finale de ΔM La figure suivante représente des réponses oscillatoires amorties Te : correspond au temps mis pour atteindre 95 % ou 105% de la valeur finale de ΔM.

Figure 12 : La réponse oscillatoire d’amortissement

12

3 INCONVÉNIENTS DE LA COMMANDE EN BOUCLE OUVERTE La commande en boucle ouverte d’un système consiste à introduire, à l’entrée de ce système, le signal e(t) permettant d’obtenir à sa sortie, le signal s(t) correspondant à la réponse voulue. Cela nécessite, bien sûr, la connaissance d’un modèle de fonctionnement du système, par exemple, de sa fonction de transfert G(p). Ainsi, la connaissance d’un modèle de fonctionnement d’un moteur à courant continu permettra de connaître la tension d’entrée qu’il faudra lui appliquer pour obtenir telle ou telle vitesse de rotation.

Figure 13: Problématique générale de la commande des systèmes.

Dans le formalisme de Laplace, on peut donc écrire : 𝑆 (𝑝 ) = 𝐺 (𝑝 )𝐸 (𝑝 ) 𝐸 (𝑝 ) =

𝑆(𝑝) 𝐺(𝑝)

4 PRINCIPE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE Le principe de la commande en boucle fermée résulte d’une simple question de logique et de bon sens : pour mieux maîtriser le fonctionnement d’un système, mesurons en permanence son comportement, vérifions que ce comportement correspond bien à ce que l’on attend et utilisons cette information pour adapter le signal de commande. Pour mieux commander un système quelconque, il faut :  Mesurer l’évolution de son comportement, à l’aide d’un capteur adéquat ;  Comparer l’information délivrée par ce capteur à une valeur de consigne ;  Utiliser la différence entre consigne et mesure comme information permettant de construire le signal de commande C’est ainsi que le schéma général de la figure 15 fait apparaître :

13

Figure 14: Schéma général d’une boucle de régulation

5

L’action P, I et D :

5.1 Action P (Proportionnel) L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, donc rapide, tout écart de la grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain (on diminue la bande proportionnelle) mais, on est limité par la stabilité du système. Le régulateur P est utilisé lorsqu’on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante, Exemple : régler le niveau dans un bac de stockage. Le but de la correction proportionnelle est de diminuer de façon importante le temps de réponse. Par contre on introduit un dépassement et surtout la précision n’est pas excellente puisqu’il existe une erreur de position.

5.2 Action I (Intégral) L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle en régime permanent. Afin de rendre le système plus dynamique (diminuer le temps de réponse), on diminue l'action intégrale mais, ceci provoque l'augmentation du déphasage ce qui provoque l'instabilité en état fermé. L'action intégrale est utilisée lorsqu’on désire avoir en régime permanent, une précision parfaite, en outre, elle permet de filtrer la variable à régler d'où l'utilité pour le réglage des variables bruitées telles que la pression. Le but de cette correction est d’annuler l’erreur de position c’est-à-dire d’obtenir en régime Permanent la sortie égale à la consigne (erreur de position nulle s=0). Par contre le temps de réponse est long.

14

5.3 Action D (dérivateur) L'action Dérivée, en compensant les inerties dues au temps mort, accélère la réponse du système et améliore la stabilité de la boucle, en permettant notamment un amortissement rapide des oscillations dues à l'apparition d'une perturbation ou à une variation subite de la consigne. Dans la pratique, l'action dérivée est appliquée aux variations de la grandeur à régler seule et non de l'écart mesure-consigne afin d'éviter les à-coups dus à une variation subite de la consigne. L'action D est utilisée dans l'industrie pour le réglage des variables lentes telles que la température, elle n'est pas recommandée pour le réglage d'une variable bruitée ou trop dynamique (la pression). En dérivant un bruit, son amplitude risque de devenir plus importante que celle du signal utile. L’effet dérivée est sans influence sur le régime permanent (la dérive est nulle), mais il y aucun effet important en régime transitoire.

6 Défirent type du Régulateur PID et l’influence des coefficients 6.1 Régulateur P Le régulateur P ou le régulateur proportionnel est le plus simple des correcteurs. Il s’agit d’appliquer une correction proportionnelle

à

l’erreur

corrigeant

de

manière

instantanée tout écart de la grandeur à régler :

Figure 15 : Schéma électronique du correcteur proportionnel.

𝑢 (𝑡) = 𝐾𝑝. ℰ (𝑡) ⇒ 𝑈 (𝑝) = 𝐾𝑝. ℰ (𝑝)

Son rôle est d’amplifier quasiment l’erreur pour que le système réagisse plus rapidement. Il permet ; de corriger les grandes inerties du système et diminue le temps de montée, lorsque l’on augmente Kp, le système réagit plus vite et l’erreur statique s’en trouve améliorée, mais en contrepartie le système perd sa stabilité. Le correcteur P est utilisé lorsqu’on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante.

6.2 Régulateur PI Le correcteur de type PI est une régulation de type P auquel on a ajouté un terme intégral I, il élabore alors une commande qui peut être donnée par la Figure 16 : Schéma électronique du correcteur proportionnel intégral.

relation suivante : 15

𝑡

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝. ℰ(𝑡) + 𝐾𝑖∫ ∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 ⇒ 𝑈(𝑝) = 𝐾𝑝. ℰ(𝑝) + 𝐾𝑖. 0

𝜀(𝑝) 𝑝

1 𝑈(𝑝) = ℰ(𝑝). [𝐾𝑝 + 𝐾𝑖 ] 𝑝 Le terme intégral complète l’action proportionnelle puisqu’il permet de compenser l’erreur statique et d’augmenter la précision en régime permanent. L’idée est d’intégrer l’erreur depuis le début et d’ajouter cette erreur à la consigne, lorsque l’on se rapproche de la valeur demandée, l’erreur devient de plus en plus faible. Le terme proportionnel n’agit plus mais le terme intégral subsiste et reste stable, ce qui maintient le moteur à la valeur demandée. Aussi, le terme intégral agissant comme un filtre sur le signal intégré, il permet de diminuer l’impact des perturbations (bruit, parasites), le correcteur PI est le plus utilisé en pratique où ses contributions à la précision et à la robustesse d'un système asservi sont particulièrement appréciées.

6.3 Régulateur PID Les termes proportionnel et intégral peuvent amener un dépassement de la consigne et des oscillations. Cela implique des inversions de polarité pour le moteur, ce qui est loin d’être idéal. Pour limiter ce phénomène indésirable, on introduit un troisième élément : le terme dérivé D. Son action va dépendre du signe et de la vitesse au 'quel l’erreur varie, et il sera opposée à l’action proportionnelle. Donc l'action dérivée devient supérieure aux abords de la valeur Figure 17: Schéma électronique du correcteur proportionnel Intégral dérivé.

demandée lorsque l’erreur devient faible, que l’action du terme proportionnel faiblit et que l’intégrale varie peu ; elle freine alors le système, limitant le dépassement et diminuant le temps de stabilisation.

On obtient alors un régulateur composé d’un terme proportionnel, un terme intégral et un terme dérivé comme suite : 𝑡

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝. ℰ (𝑡) + 𝐾𝑖∫ ∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐾𝑑 0

⇒ 𝑈(𝑝) = 𝐾𝑝. ℰ(𝑝) + 𝐾𝑖. Au final on aura l'expression suivante :

16

𝑑 ℰ (𝑡 ) 𝑑𝑡

𝜀(𝑝) + 𝐾𝑑. 𝑝. ℰ(𝑝) 𝑝

𝑈 (𝑝) = ℰ (𝑝). [𝐾𝑝 + 𝐾𝑖

1 + 𝐾𝑑. 𝑝] 𝑝

L’action dérivée est surtout utilisée dans le cas de variables non bruitées, car la dérivation est très sensible au bruit du signal ; on diminuera donc son influence dans une régulation de vitesse.

Chapitre 2 Modélisation et étude du système 1. Modélisation d’un moteur a courant continue

Figure 18: Schéma équivalent d’un moteur à courant continu.

Selon le schéma de la (Figure 18), un moteur électrique à courant continu est régi par les équations physiques découlant de ses caractéristiques électriques, mécaniques et magnétiques. D’après la loi de Newton, combiné à des lois de Kirchhoff, On peut écrire les équations différentielles de premiers ordres suivantes :

𝑢(𝑡 ) = 𝑅𝑖(𝑡 ) + 𝐿

𝑑𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝑒(𝑡 )

𝑢(𝑡 ) = 𝐾𝑒 𝛺(𝑡 )

(𝟏) (𝟐)

D’après le principe fondamental de la dynamique on a : 𝑗

𝑑𝛺(𝑡) = 𝐶𝑢 − 𝐶𝑟 (𝟑) 𝑑𝑡 𝐶𝑢 = 𝐾𝑐 𝑖 (𝑡 ) − 𝐶𝑝 𝐶𝑟 = 𝑓𝛺(𝑡)

u(t) : Tension appliquée au moteur e(t) : Force contre électromotrice i(t) : Intensité traversant le moteur Ω (t) : Vitesse de rotation du rotor Cu : Couple moteur généré Cr : Couple résistant f : Coefficient de frottement visqueux J : Moment d’inertie de l’axe du rotor

17

Ke : Constante de vitesse Kc : Constante de couple Cp : Couple de pertes

2. Fonction de transfert du moteur On passe en Laplace

𝑅𝑖(𝑠) + 𝐿𝐼 (𝑠) + 𝐸 = 𝑈(𝑠) 𝐸 = 𝐾𝑒 𝛺 (𝑠)

(𝟒) (𝟓)

𝐽𝑠𝛺(𝑠) = 𝐶𝑢 − 𝐶𝑟

(𝟔)

En combinant (4) et (5) on obtient : 𝑈(𝑠) = 𝑅𝐼 (𝑠) + 𝐿𝑠𝐼(𝑠) + 𝐾𝑒 𝛺(𝑠)

En modifiant (6) on a : 𝐽𝑠𝛺(𝑠) = 𝐾𝑐 (𝑠) − 𝐶𝑝 − 𝑓𝛺(𝑠)

On en déduit l’expression de 𝛺(𝑠) : 𝛺 (𝑠) =

𝐾𝑐 (𝑠) − 𝐶𝑝 (𝑓 + 𝐽𝑠)

On peut en sortir l’expression de i(s) : 𝐼 (𝑠 ) =

𝐶𝑝 𝑓 + 𝐽𝑠 𝛺(𝑠) + 𝐾𝑐 𝑓 + 𝐽𝑠

On l’injecte à présent dans (4) : 𝑈(𝑠) = 𝛺(𝑠) [

((𝑅 + 𝐿𝑠)(𝑓 + 𝐽𝑠))

𝐾𝑐

+ 𝐾𝑒 ] +

(𝑅 + 𝐿𝑠)

(𝑓 + 𝐽𝑠)

𝐶𝑠

On suppose que le moment du couple de pertes (qui est vu comme une perturbation) est négligeable devant le moment du couple électromagnétique (Kc i(t)) on peut alors prendre Cp nul pour simplifier le système. On a donc : ((𝑅 + 𝐿𝑠)(𝑓 + 𝐽𝑠)) 𝑈 (𝑠) = 𝛺(𝑠) [ + 𝐾𝑒 ]

𝐾𝑐

La fonction de transfert cherchée H(s) est entre la tension entrante dans le moteur U(s) et la vitesse de sortie Ω(s), les valeurs numériques sont données dans le tableau suivant.

𝐻 (𝑠 ) =

𝛺(𝑠) 𝑈 (𝑠 )

=

𝐾𝑐 (𝑅 + 𝐿𝑠)(𝑓 + 𝐽𝑠) + 𝐾𝑒 𝐾𝑐

18

On écrit la fonction H(s) sous forme canonique pour identifier le gain statique « A », la pulsation propre « 𝜔0 » et le facteur d’amortissement «𝜉 »

𝐾𝑐

(𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 ) 𝐻 (𝑠 ) = 𝑅𝐽 + 𝑓𝐿 𝐽𝐿 [ ] 𝑆2 + [ ]𝑆 + 1 (𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 ) (𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 ) On pose : 𝐾𝑒 = 𝐾𝑐 = 𝐾 = 0.9 0.9 4.2 ∗ 5.7 ∗ 10−4 + 0.92 𝐻 (𝑠 ) = 0.05 ∗ 0.4 0.05 ∗ 4.2 + 5.7 ∗ 10−4 ∗ 0.4 [ ] 𝑆2 + [ ] −4 2 (4.2 ∗ 5.7 ∗ 10 + 0.9 ) (4.2 ∗ 5.7 ∗ 10−4 + 0.92 ) 𝑆 + 1 𝐻 (𝑠 ) =

1.108 0.02462 + 0.2588 𝑆 + 1 𝑆2

D’où :

𝐾𝑐 (𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 ) (𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 ) 2𝜋 𝐴=

𝜔0 = √

𝜉 = 𝜔0

𝐿𝐽

360

[𝑅𝑎𝑑/𝑠]

(𝑅𝐽 + 𝐿𝑓 ) 2(𝑅𝑓 + 𝐾𝑒 𝐾𝑐 )

Les valeurs numériques du MCC choisi (Maxon : Référence F2260/813) données par le constructeur

Tension nominale

Unom=24V

Tension maximale

Umax=30V

Courant permanent maximal

Imax=2.2A

Résistance aux bornes

R=4.2 ohm

Constante de couple

Kc=0.9 mNm.A-1

Constante de vitesse

Ke=0.9 mNm.A-1

Inductance

L=0.4 mH

Moment d’inertie rapporté au rotor

J=0.05 kg.m2

Coefficient de frottement visqueux

f=5.7*10-4

19

3 Calculer les paramètres du système (A, ω, ξ, tau) en utilisant Matlab 3.1 Le gain statique « A »

3.2 La pulsation propre « ω »

3.3 Le facteur d’amortissement « ξ »

3.4 Le constant du temps « tau »

20

Chapitre 3 Synthèse de la commande 1 En utilisant la méthode de la réponse indicielle en BO 𝐾𝑖 + 𝐾𝑑. 𝑠 𝑠 1 𝐶 (𝑠) = 𝐾𝑝(1 + + 𝑇𝑑. 𝑠) 𝑇𝑖. 𝑠 𝐶 (𝑠) = 𝐾𝑝 +

Kp : gain proportionnel. Ki : gain intégral. Kd: gain derive. 𝐾𝑝

Ti: reset time = . 𝐾𝑖

𝐾𝑑

Td: rate time =𝐾𝑝. Cette méthode est applique aux systèmes dont la réponse indicielle en BO est comme suite :

Une courbe de réponse s'obtient à l'aide des résultats expérimentaux. Cette courbe (time réponse) donne l'évolution de la variable PV (ou celle du SP) dans le temps. Les essais expérimentaux sont effectués soit sur une boucle fermée où le régulateur reçoi le signal rétroactif de la valeur régulée pour le traiter ; soit en boucle ouverte ou plutôt, la régulation se fait de façon manuelle (le régulateur étant débranché). Dans cette courbe de réponse qui représente la variable régulée PV en fonction du temps, à une perturbation du procédé, en boucle ouverte ; on note :  Td = Dead time, le temps mort. Il représente l'intervalle de temps compris entre l'instant où la perturbation a été appliquée et le temps. Il est en grande partie du au retard de l'élément final.  Tr = Rise time, le temps de montée. Par convention, Il représente l'intervalle de temps compris entre l'instant où le PV atteint 10% et l'instant où il atteint 90%. 21

 Ts = Setting time (réponse time), le temps de rétablissement (temps de réponse). C'est l'intervalle de temps compris entre le début de la perturbation et le temps où pour une seconde fois on atteint 95% de la valeur du PV.  Overshoot = temps de dépassement.

22

2 En utilisant la méthode de Ziegler-Nichols Le mode PID fait intervenir trois paramètres : Le gain G = Kp, le temps d'action intégrale Ti, et la constante de temps de l'action dérivée Td. Pour mesurer ses paramètres de fonctionnement du régulateur, Ziegler et Nichols proposent deux méthodes semi empiriques basées sur les résultats de tests expérimentaux. La première repose sur les résultats d'une courbe de réponse en boucle ouverte, la deuxième utilise le pompage ultime à boucle fermée (dans notre cas on va utiliser la première méthode) : Mode de la courbe de réponse : À partir des résultats expérimentaux (T, L) on peut calculer les valeurs des paramètres du régulateur Kp, Ti, et Td, en utilisant les transformations de Ziegler & Nichols données dans le tableau suivant : Type PID P PI PID

Kp 𝑇 𝐿

Ti ∞

Td 0

0.9 ∗

𝑇 𝐿

𝐿 0.3

0

1.2 ∗

𝑇 𝐿

2*L

0.5*L

Vu qu’on utilisera la première méthode on doit trouver le point d’inflexion et dessiner la tangente en utilisant le programme sous Matlab suivant voilà c’est dernier :

23

1ere étape :

Figure 19 : Réponse indicielle en BO

2eme étape :

Figure 20 : Réponse indicielle en Bo en y insérant le point d’inflexion

24

3eme étape :

Figure 21: Réponse indicielle avec la tangente

Provenant du graphe on extrait les paramètres L, T :

L=0.0485

T=0.3404

Pour que la méthode 1 soit applicable il faut que la condition suivante soit vérifiée : 𝐿 ≤ 0.3 𝑇 𝐿 0.0485 = = 0.14 𝑇 0.3404 0.1 ≤

Donc la méthode est applicable vu que la condition est vérifiée. 25

3 En utilisant Matlab on extrait les paramètres du correcteur (PID)

Kp=8.4181

Ki=0.097 1

Ti=0.097

1

Td=0.024

3

Chapitre 4 Simulation et résultats 1 La Réponse indicielle du système en BO

26

Figure 22: Réponse indicielle de la fonction H en BO

2 Fonction de transfert du correcteur :

Figure 23: La fonction de transfert du correcteur

3 Fonction de transfert du correcteur + H en BF

Figure 24 : La fonction de transfert du correcteur + H

27

4 Reponse indicielle du correcteur + H en BF

Figure 25: Réponse indicielle du correcteur + H en BF

5 Tracage du diagramme de bode

Figure 26 : Diagramme de bode

28

6 Traçage du diagramme de Nyquist

Figure 27: Digramme de Nyquist

7 Simulation du système sans et avec coorecteur en BF en utilisant simulink 7.1 Schéma bloc du système sans correcteur

29

Figure 28 : Réponse indicielle du système sans correcteur

Remarque : un grand ecart entre la consigne ( setpoint) et la valeur de mesure a cause des perturbations

7.2 Schema bloc du stseme avec correcteur (P)

 Le gain proportionnel Kp=7.8513 :

30

Figure 29 : Réponse indicielle du système avec correcteur (P)

Observation : Comme mentionner la haut dans la partie théorique en utilisant le correcteur P on remarque bien qu’en pratique il ya un écart entre la consigne et la valeur mesurer et c’est l’une des inconvenients de ce correcteur pour éviter cela on augmente la valeur du gain Kp et on va le voir ci-dessous :  Le gain proportionnel Kp=20 :

31

Figure 30: Réponse indicielle du système avec correcteur (P)

Remarque :  On confirme que l’augmentation de l’action proportionnel rend le système plus vif et rapide la réponse à une action proportionnelle avec un gain croissant réduit le temps de monté et de réponse sur la sortie du correcteur.

32

 Il faudra noter qu’une augmentation excessive de l’action proportionnelle introduit inévitablement un dépassement qui n’est pas tolérer dans le cahier de charge c’est pour quoi on doit l’ajuster à une valeur plus raisonnable.

7.3 Schema bloc du stseme avec correcteur (PI)

 Pour Ti = 0.1618 :

Figure 31: Réponse indicielle du système avec correcteur (PI)

33

Comme mentionner avant le terme intégral complète l’action proportionnelle puisqu’il permet de compenser l’erreur statique et d’augmenter la précision en régime permanent et c’est confirmer par la simulation.  Pour Ti = 1 :

 En augmentant la valeur de Ti on a minimiser l’erreur statique .

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7.4 Schema bloc du stseme avec correcteur (PID)

Figure 32 : Réponse indicielle du système avec correcteur (PID)

Remarque :  Diminution du temps de montée.

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 Elimination de l’erreur statique.  Diminution du temps de stabilisation.  Diminution du dépassement

7.5 Conclusion Le but d'un système de régulation est d'être efficace, c'est à dire, lors d'un changement brusque (perturbation), de réduire l'écart entre la consigne SP et la valeur da mesure PV au minimum dans des délais acceptables dépendamment du système de régulation et du fluide procédé en question. Lors d’un changement brusque de la variable du procédé PV, le système de régulation doit agir à l'encontre de ce changement de PV et ramener au SP. La manière la plus stable est d'agir de façon proportionnelle, soit le mode P, puisque le mode D (dérivé) est trop rapide et le mode I (intégral) est plus long. Néanmoins, on fait appel à ces derniers pour la finition. La correction en mode P nous ramène vers le SP. En ce moment, on n'arrive jamais avec ce mode, d'un seul coup à tomber sur PV = SP. Naturellement, lorsque le gain du mode P est trop grand, on assiste à des oscillations autour du SP (c'est beaucoup, on descend ; c'est peu, on monte), qui peuvent être graves ou même destructives. Ce phénomène d'instabilité est appelé pompage. Lorsque le gain est faible, la régulation prend plus de temps, mais un écart résiduel permane appeler statisme ou offset subsiste. Le gain fort est précis mais pas stable ; le gain faible est stable mais pas précis. Ainsi, le mode P est toujours utilisé à gain faible.

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8 Conclusion générale : Dans notre monographie, nous avons vu que la commande PID appliqué à un moteur a courant continue constitue un régulateur offrant des bonnes performances, que ce soit au niveau de la précision, du temps de réaction, de dépassement ou de la stabilité Cependant le régulateur parfait n’existe pas, chaque changement sur un paramètre de PID ce fait au dépend d’un autre ; c’est pourquoi il convient de trouver le bon compromis en fonction des exigences de cahier de charge ou de l’application. Nous avons appliqué trois types de régulateur (P, PI, PID), pour élaborer une commande du moteur à courant continu à base de régulateur, une comparaison entre les trois méthodes, a été établi dans l’environnement MATLAB/SIMULINK, en vue de décidé le quel est le plus approprier pour un moteur a courant continue à excitation indépendante. Ce travail montre qu’un régulateur PI est suffisant pour un moteur a courant continue, puisque le système en lui-même est assez stable et présente des marges de manœuvre satisfaisante mais les contraintes physiques peuvent limiter les performances. D’après les résultats obtenus, on remarque que pour atteindre les meilleures qualités de stabilités, rapidités et précision il est nécessaire de faire un bon choix de régulateur et aussi un calcul précis de ses paramètres. Le régulateur PID était bien adaptées à ce système (une bonne poursuite dans les trois cas).

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Bibliographie : 

https://www.youtube.com/watch?v=rkUIw3-wXl4



https://www.youtube.com/watch?v=s-tF_iO4CzU



https://www.youtube.com/watch?v=5WSq4Uv3JFI



https://biblio.univ-annaba.dz/ingeniorat/wp-content/uploads/2019/10/BensaoulaMohamed-Amine.pdf



http://bib.univ-oeb.dz:8080/jspui/bitstream/123456789/8040/1/MII-00010.pdf



https://www.yumpu.com/fr/document/read/59605066/docslidenet-commande-pid-dunmoteur-a-courant-continu



https://dl.ummto.dz/bitstream/handle/ummto/8104/BrahimiMustapha.pdf?sequence=1 &isAllowed=y



https://dspace.univ-ouargla.dz/jspui/bitstream/123456789/18702/1/GHANEM%20TEMMAM%20.pdf



https://bu.umc.edu.dz/theses/gclim/BEN6571.pdf



http://univbejaia.dz/jspui/bitstream/123456789/8685/1/Etude%20comparative%20des%20r%C3 %A9gulateurs%20PID%20et%20Flou%20Application%20%C3%A0%20un%20mote ur%20%C3%A0%20courant%20continu%20MCC.pdf



http://dspace.univbouira.dz:8080/jspui/bitstream/123456789/4606/1/Synth%C3%A9se%20d%27un%20 R%C3%A9gulateur%20Intelligent%20Pour%20un%20MCC.pdf

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