Modélisation Des Systèmes Asservis Linéairesbc [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 3 : Modélisation des systèmes asservis linéaires 1. Introduction : Les systèmes dynamiques qu’ils soient hydrauliques, mécaniques, électriques, peuvent être décris par des équations différentielles qui sont établies à partir des lois de la physiques qui gouverne le système considéré, par exemple : loi de Kirchhoff pour les systèmes électriques, loi de Newton pour les systèmes mécaniques. La description mathématique d’un système donné est appelée modèle mathématique. 2. Exemples de modélisation : Système du premier ordre électrique

on obtient alors l’équation différentielle

Ce système est donc modélisé par une équation différentielle du premier ordre. On dit aussi que le système est de premier ordre. 3. Notion de Fonction De Transfert : 3.3 Définition Considérons un système linéaire quelconque possédant une entrée e(t) et une sortie s(t).

On suppose qu’il est régi par une équation différentielle de degré n

Si nous appliquons la transformation de Laplace aux deux membres de cette équation, tout en supposant nulles les différentes conditions initiales

Cette fraction rationnelle de deux polynômes de la variable complexe p est appelée Fonction de Transfert (TF) ou transmittance du système et communément notée :

Comme cette fonction est une fonction rationnelle de deux polynômes en p, il est possible de factoriser ces deux polynômes dans le corps des complexes. On obtient :

Les racines 𝑧𝑧𝑖𝑖 qui annulent le numérateur sont appelés les zéros de la fonction de transfert. Les racines 𝑝𝑝𝑖𝑖 qui annulent son dénominateur sont les pôles de la fonction de transfert.

Ces paramètres peuvent être complexes ou réels. Le degré n du polynôme du dénominateur est appelé l’ordre du système.

4. Schéma fonctionnels : 4.3 Définition : Un schéma fonctionnel est une représentation simplifiée d’une fonction de transfert d’un processus. En d’autres termes, c’est un graphisme qui peut intervenir des symboles élémentaires de type sommateur, comparateur, capteur, … Il existe quatre schémas élémentaires utilisés dans la représentation fonctionnels des systèmes asservis :

Remarque : • Représentation d’une Fonction de Transfert en Boucle Ouverte(FTBO) :

• Représentation d’une Fonction de Transfert en Boucle Fermée (FTBF)

Réduction du schéma fonctionnel : Simplifier un schéma ou le réduire revient à lui faire des transformations pour mettre en évidence la fonction de transfert. Pour ce faire, nous utiliserons un certain nombre de règles élémentaires qui sont : • Règle1 : Blocs en cascade (en série)

Règle2 : Blocs en parallèle :

Règle 3 : Formule de Black (Réduction de boucle) :

• Règle 4 : Transformation d’un comparateur en un sommateur :

• Règle 5 : Déplacement d’un comparateur: a) Déplacement d’un bloc d’aval en amont : Ce type de déplacement se traduit par l’ajout d’un bloc fonctionnel de fonction de transfert égale à l’entrée du sommateur qui prend la place du comparateur

S(p)=E1(p)H(p)+E2(p)=H(p)[E1(p)+(1/H(p))E2(p )]

b) Déplacement d’un bloc d’amont en aval :

S(p)=[E1(p)+E2(p)]H(p)=H(p)E1(p)+H(p)E2(p)

5. Exemple : Soit le schéma bloc suivant :

Calculer sa fonction de transfert S/E ?

En fin : la mise en cascade

Donc la fonction de transfert :