TD3 P&C [PDF]

Zitiervorschau

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES

TD 3

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES (TD3) Plaques rectangulaires 3.1. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour soumise à une charge sinusoïdale a

x b/2 b

q0 h : épaisseur a/2

y

D : Rigidité à la flexion ν : coefficient de Poisson.

Figure 3.1. : Plaque rectangulaire en appui simple soumise à une charge surfacique sinusoïdale. Considérons la plaque rectangulaire de la figure 3.1., simplement appuyée sur ses quatre côtés et soumise à la charge surfacique q(x,y) exprimée comme suit : q(x, y) = q 0 sin ( πx a ) sin ( πy b )

3.1.1. Utiliser la méthode de Navier pour établir les expressions de la flèche w(x,y), des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y), du moment de torsion Mxy(x,y) et des efforts tranchants Qx(x,y) et Qy(x,y) de cette plaque. 3.1.2. Déterminer les expressions des moments de flexion maximums Mxmax et Mymax et montrer qu’ils s’écrivent sous la forme suivante : M x max = µ x ( α )  q 0a2  M y max = µ y ( α )  q 0a2  où µ x ( α ) et µ y ( α ) sont des coefficients numériques sans dimension qui dépendent

uniquement du paramètre α = a b . Calculer les valeurs de ces coefficients dans les 2 cas : b = a et b = 4a et commenter. 3.1.3. Déterminer les expressions des réactions Rx(y) et Ry(x) aux bords appuyés respectivement x = a et y = b. Tracer les diagrammes des réactions le long du contour appuyé de la plaque tout en précisant leurs valeurs maximales. Calculer la résultante R de ces réactions réparties le long du contour appuyé de la plaque. 3.1.4. Calculer la résultante Q de la charge surfacique appliquée à la plaque et expliquer à quoi est due la différence entre R et Q.

ENIS, GC2

ENSEIGNANTS :

MR BEN JEMAA FAHMI MME KAMMOUN IMEN

-1-

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES

TD 3

3.2. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour uniformément chargée sur toute sa surface (solution de Navier) O

x q

b

q(x,y) = q

b

On considère la plaque rectangulaire de la figure 3.2 simplement appuyées sur ses quatre côtés (deux côtés de longueur a parallèles à (Ox) et les deux autres de longueur b parallèles à (Oy), d'épaisseur h, de rigidité à la flexion D constante, de coefficient de Poisson ν = 0,3 et soumise à une charge surfacique uniformément répartie sur toute sa surface d’intensité q.

a D : Rigidité à la flexion, ν = 0,3 : coefficient de Poisson de la plaque.

y q

3.2.1. Appliquer la méthode de Navier pour déterminer les expressions des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des efforts intérieurs agissant à l’intérieur de cette plaque.

a

Figure 3.2 : Plaque rectangulaire en appui simple uniformément chargée.

3.2.2. Donner les expressions des séries représentatives de la flèche maximale wmax et des moments de flexion maximums Mxmax et Mymax qui s’écrivent comme suit : 2  q 0a 4  M x max = µ x ( α ) q 0a w max = δ ( α )   et   D  M y max = µ y ( α ) q 0a2 où δ, µx et µy sont des coefficients sans dimension fonction de α = a/b.

{ {

} }

3.2.3. Calculer les valeurs numériques de ces coefficients δ, µx et µy dans la cas d’une plaque carrée (α = a/b = 1) et ν = 0,3 :
en considérant le premier terme des séries (m = 1 , n = 1);
en considérant les quatre premiers termes des séries (m , n= 1 , 3). On donne la solution exacte wmax = 0.00406 q a4 / D. 3.3. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour uniformément chargée sur un aire rectangulaire (solution de Navier)

La plaque supporte une machine de poids supposé uniformément répartie sur une aire rectangulaire de centre le point de coordonnées (x1 , y1) et de dimensions 2c (//x) et 2d (//y) et d’intensité q.

ENIS, GC2

x1

O

b

q

2d

y1

x

b

Considérons la plaque mince de la figure 3.3 de dimensions longitudinales a (côtés // Ox) et b (côtés // Oy), d’épaisseur h et simplement appuyées sur ses quatre côtés. Elle est constituée d’un matériau de rigidité à la flexion D et de coefficient de Poisson ν = 0,3.

2c a q

y

D : Rigidité à la flexion, ν = 0,3 : coefficient de Poisson de la plaque.

a

Figure 3.3 : Plaque rectangulaire en appui simple soumise à une charge uniforme partielle.

ENSEIGNANTS :

MR BEN JEMAA FAHMI MME KAMMOUN IMEN

-2-

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES

TD 3

3.3.1. Utiliser la méthode de Navier pour établir les expressions des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) agissant à l’intérieur de cette plaque. 3.3.2. On suppose que la plaque est carrée (a = b) et que x1 = y1 = a/2 et c = d = a/8. Donner alors les expressions des séries représentatives de la flèche maximale wmax et du moment de flexion maximum Mxmax = Mymax = Mmax dans ce cas. 3.3.3. Calculer leurs valeurs :
en considérant le premier terme des séries (m = 1 , n = 1);
en considérant les quatre premiers termes des séries (m , n= 1 , 3). 3.4. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour soumise à une charge concentrée (solution de Navier) x1

O

a

y

Q

Q

b

Q

b

y1

x

D : Rigidité à la flexion, ν = 0,3 : coefficient de Poisson.

a

Figure 3.4 : Plaque rectangulaire en appui simple soumise à une force concentrée Q en (x1,y1). Considérons la plaque mince de la figure 3.4 de dimensions longitudinales a (côtés // Ox) et b (côtés // Oy), d’épaisseur h et simplement appuyées sur ses quatre côtés. Elle est constituée d’un matériau de rigidité à la flexion D et de coefficient de Poisson ν = 0,3. La plaque supporte une machine de poids d’intensité Q supposé concentré au point de coordonnées (x1 , y1). 3.4.1. Utiliser le TD 3.3 pour établir les expressions des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) agissant à l’intérieur de cette plaque. 3.4.2. On suppose que la plaque est carrée (a = b) et que x1 = y1 = a/2. Donner alors les expressions des séries représentatives de la flèche maximale wmax et du moment de flexion maximum Mxmax = Mymax = Mmax dans ce cas. 3.4.3. Calculer leurs valeurs :
en considérant le premier terme des séries (m = 1 , n = 1);
en considérant les quatre premiers termes des séries (m , n= 1 , 3);
en considérant les neuf premiers termes des séries (m , n= 1,3,5);

ENIS, GC2

ENSEIGNANTS :

MR BEN JEMAA FAHMI MME KAMMOUN IMEN

-3-

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES

TD 3

b

x

q0

q(x,y) = q0

b/2

On considère la plaque rectangulaire de la figure 3.5 simplement appuyées sur ses quatre côtés (deux côtés de longueur a parallèles à (Ox) et les deux autres de longueur b parallèles à (Oy)), d'épaisseur h, de rigidité à la flexion D constante, de coefficient de Poisson ν = 0,3 et soumise à une charge surfacique uniformément répartie sur toute sa surface d’intensité q.

b/2

3.5. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour uniformément chargée sur toute sa surface (solution de Lévy)

a

y

D : Rigidité à la flexion, ν = 0,3 : coefficient dePoisson.

q0

a 3.5.1. Appliquer la méthode de Lévy pour déterminer les expressions des séries Figure 3.5 : représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) Plaque rectangulaire en appui simple, uniformément chargée. agissant à l’intérieur de cette plaque.

3.5.2. Donner les expressions des séries représentatives de la flèche maximale wmax et des moments de flexion maximums Mxmax et Mymax : M q 0a2  q a 4  x max = µ x ( α )  w max = δ ( α )  0  et   D   M y max = µ y ( α ) q 0a2  où δ, µx et µy sont des coefficients sans dimension fonction de α = a/b.

{ {

} }

3.5.3. Calculer les valeurs numériques de δ, µx et µy dans la cas d’une plaque carrée et ν = 0,3 :
en considérant le premier terme des séries (m = 1);
en considérant les deux premiers termes des séries (m = 1 , 3). 3.6. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour soumise à une charge surfacique uniforme partielle (solution de Lévy) x1 b/2

3.6.1. Etablir les expressions des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) de cette plaque en utilisant la méthode de Lévy. On donne a = b, x1 = a/2, e = a/8 et ν = 0,3. 3.6.2. Déterminer les expressions des séries représentatives des moments fléchissant maximums Mxmax et Mymax. Calculer leurs valeurs en considérant les 2 premiers termes.

ENIS, GC2

ENSEIGNANTS :

q

x

b

On considère une plaque rectangulaire simplement appuyé sur tout son contour soumise à une charge surfacique q (kN/m2) uniformément répartie sur l’aire comprise entre (x1-e) et (x1+e) comme le montre la figure 3.6.

a 2e

y

q e x1

Figure 3.6 : Plaque rectangulaire en appui simple soumise à une charge surfacique partielle.

MR BEN JEMAA FAHMI MME KAMMOUN IMEN

-4-

TRAVAUX DIRIGES DE PLAQUES ET COQUES

TD 3

3.7. Plaque rectangulaire simplement appuyée sur tout son contour soumise à une charge linéique uniforme partielle (solution de Lévy)

3.7.1. Utiliser le TD 3.6 pour établir les expressions des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) de cette plaque. On donne : a = b, x1 = a/2 et ν = 0,3. 3.7.2. Déterminer les expressions des séries représentatives des moments fléchissant maximums Mxmax et Mymax. Calculer leurs valeurs en considérant les 3 premiers termes. 3.7.3. Donner les valeurs de ces moments dans le cas où P = q a/4 et comparer avec les résultats du TD 3.6 et commenter.

P

x

b

On considère une plaque rectangulaire simplement appuyé sur tout son contour soumise à une charge linéique P (kN/m) uniformément répartie le long de la ligne droite ( x = x1 ). Comme le montre la figure 3.7.

b/2

x1

a

y

P

x1

Figure 3.7 : Plaque rectangulaire en appui simple soumise à une charge linéique uniforme.

3.8.1. Utiliser la méthode de Lévy pour établir l’expression des séries représentatives de la flèche w(x,y) et des moments de flexion Mx(x,y) et My(x,y) agissant à l’intérieur de la plaque. On suppose que b/a = 0,4.

b

x

q0

q(x,y) = q0

b/2

On considère la plaque rectangulaire de la figure 3.8 simplement appuyée sur ses deux côtés de longueur b parallèles à l’axe (Oy) et encastrée sur les deux autres côtés de longueur a parallèles à (Ox), soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa surface d’intensité q0. Elle est d’épaisseur h et de rigidité à la flexion D constante et de coefficient de Poisson ν = 0,15.

b/2

3.8. Plaque rectangulaire uniformément chargée sur toute sa surface ayant deux côtés opposés simplement appuyés et les deux autres encastrés (solution de Lévy)

a

y

D : Rigidité à la flexion, ν : coefficient de Poisson. q0

a

Figure 3.8 Plaque rectangulaire ayant 2 côtés opposés en appui simple et les 2 autres encastrés soumise à une charge uniforme.

3.8.2. Donner les expressions de la série représentative du moment de flexion Mx(x,0) le long de l’axe x (y = 0). Calculer sa valeur maximale au centre (x = a/2 , y= 0) en considérant les deux premiers termes puis tracer son diagramme. 3.8.3. Donner l’expression de la série représentative du moment de flexion My(a/2,y) le long de l’axe parallèle à l’axe y passant par le centre (x = a/2). Calculer ses valeurs au centre (x = a/2 , y= 0) et à l’encastrement (x = a/2 , y= ±b/2) en considérant les deux premiers termes puis tracer son diagramme et comparer ensuite ce diagramme avec celui obtenu avec la théorie des poutres et commenter. ENIS, GC2

ENSEIGNANTS :

MR BEN JEMAA FAHMI MME KAMMOUN IMEN

-5-