TD1+Méc +rat II+22-23 [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Supérieure en Sciences Appliquées –Tlemcen

2ème Année Tronc Commun

MECANIQUE RATIONNELLE 2 Série TD N° 01

4.

Exercice 01 : Déterminer par intégration les coordonnées du centre d’inertie des corps solides homogènes suivants : 1. Un quart de cercle de rayon R et de masse M. 2. Un demi disque de rayon R et de masse M. 3. Une demi-sphère matérielle pleine de rayon R et de masse M. 4. Une plaque matérielle en forme de triangle rectangle dont la base et la hauteur sont a et b. 5. Un cône plein de rayon R, de hauteur h et de masse M. z

y

y

Y

z

R h

b o o

x O

x

y

o

x

a

x

O

y

x

Exercice 02 : En utilisant le théorème de Guldin, déterminer les coordonnées du centre d’inertie des corps solides homogènes suivants: 1. Un quart de cercle de rayon R et de masse M. 2. Un demi disque de rayon R et de masse M. 3. Une plaque matérielle en forme de triangle rectangle dont la base et la hauteur sont respectivement a et b. 4. Une plaque rectangulaire de côtés a et b. 5. Une plaque de côtés a et b, évidée sur le coté a d’un demi cercle de rayon R. Y

y

y

y

y

a o o

x

a

b

b

x O

a

x

o

b x

x

Exercice 03: Déterminer les coordonnées du centre d’inertie des solides suivants, en utilisant le calcul d’intégrale et le théorème de Guldin : 1. Un demi disque de rayon 2𝑅 évidé d’un demi disque de rayon 𝑅. 𝑅

2. Un quart de disque de rayon 𝑅 évidé d’une plaque triangulaire de hauteur 𝑅 et de base . 2

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AU : 2021-2022

Exercice 04: a. Soit un quart de cercle homogène de rayon R et de masse M. Déterminer le tenseur d’inertie en O dans la base (Oxyz). b. Soit un demi disque homogène de rayon R, de masse M. 1. Déterminer le tenseur d’inertie en O dans la base (Oxyz). 2. En déduire le tenseur d’inertie en G dans (Gx1y1z1). 𝑅

C. Soit un quart de disque de rayon 𝑅 évidé d’une plaque triangulaire de hauteur 𝑅 et de base . 2

Déterminer le moment d’inertie 𝐼𝑂𝑥 et le produit d′inertie 𝐼𝑥𝑦 du solide. y

y

o

o

x

x

 

D. Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé R(O, i , j , k) des solides suivants : 1. Une barre AB de longueur 2L, de milieu O, portée par (Oz). 2. Un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz. 3. Une sphère creuse de centre O, de rayon R. 4. Une sphère pleine de centre O, de rayon R. 5. Un parallélépipède d’arrêtes a, b , c et de masse M. z

y

Z A

O

x

O

y

O

y

x x

B

z

z

c O

y

O

a

y

b

x

x

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AU : 2021-2022

Corrigé Exercice 01 : 1. Un quart de cercle En coordonnées polaires on a : 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑅 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑡 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝑥𝐺 = 𝑀 1 𝑦𝐺 = 𝑀

𝜋 2 0 𝜋 2 0

𝜆𝑅2 𝑥𝑑𝑚 = 𝑀 𝜆𝑅2 𝑦𝑑𝑚 = 𝑀

𝜋 2 0 𝜋 2 0

𝜆𝑅2 2𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = = 𝑀 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 =

𝜆𝑅2 2𝑅 = 𝑀 𝜋 2𝑅 2𝑅

Donc le centre d’inertie est le point 𝐺 (

𝜋

,

𝜋

)

2. Un demi disque Ox est un axe de symétrie : 𝐺 ∈ 𝑜𝑥 ⇒ 𝑦𝐺 = 0 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

−

𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 1 𝑥𝐺 = 𝑀

𝜋 𝜋 ≤𝜃≤ 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 2 2

𝜋 2

𝜍 𝑥𝑑𝑚 = 𝑀 −𝜋 2

𝜋 2

𝜍𝑅3 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 3𝑀 −𝜋 2

𝜋 2

−𝜋2

2𝜍𝑅3 4𝑅 = = 3𝑀 3𝜋

3. Une demi-sphère matérielle pleine

L’axe OZ est l’axe de révolution de la demi-sphère, donc son centre de masse est sur cet axe : xG  yG 

1 M

 xdm  0

1 M

 ydm  0

s

s

Le centre de masse du solide est situé sur l’axe de symétrie on a: zG 

1 zdm M s

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 En coordonnées sphériques on a : 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋

0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅; 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝑒𝑡 0 ≤ 𝜃 ≤ ; 2

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AU : 2021-2022

La masse de la demi sphère pleine est : 𝑀=

2𝜌𝜋𝑅3 3

𝑧𝐺 =

1 𝑀

𝑧𝑑𝑚 𝑆=𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒

=

𝑧𝐺 =

1 𝑀

𝜋𝜌𝑅4 3𝑅 = 4𝑀 8

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝜌𝑑𝑣 = 𝑆

Soit

𝐺 0,0,

𝜌 𝑀

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑 = 𝑆

𝜌 𝑀

𝜋 2

2𝜋

𝑅

𝑟 3 𝑑𝑟 0

𝑑𝜑 0

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 0

3𝑅 8

4. Une plaque matérielle en forme de triangle rectangle

𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 =

1 𝑀

1 𝑀

𝑥𝑑𝑚 𝑦𝑑𝑚

Sachant que :

0≤𝑥≤𝑎 𝑏

0≤𝑦≤ 𝑥 𝑎

𝑒𝑡

𝑀=

𝜍𝑎𝑏 2

𝜍 𝑥𝐺 = 𝑀

𝜍 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑀

𝜍 𝑦𝐺 = 𝑀

𝜍 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑀

Soit

𝐺

𝑎

0 𝑎

0

𝑏 𝑥 𝑎 0 𝑏 𝑥 𝑎 0

𝜍 𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 = 𝑀 𝜍 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑀

𝑎

0 𝑎

0

𝑏 2 𝜍 𝑏𝑎3 2𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑎 𝑀 3𝑎 3 𝑏2 2 𝜍 𝑏 2 𝑎3 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 = = 2𝑎2 𝑀 2𝑎2 3 3

2𝑎 𝑏 , 3 3

5. Un cône plein

Par raison de symétrie le centre d’inertie du cône est situé sur l’axe de révolution Oz.

zG 

1 zdm M v

En coordonnées cylidriques on a :

 x  r cos    y  r sin   z  z On a : tg 

r R R  r z z h h Page 4 sur 13

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D’où : 0  r 

R z;0    2 ;0  z  h z h R r h θ

z O

y

x

L’élément de volume choisi est un disque d’axe oz, de rayon r et d’épaisseur dz : dv  rdrd dz

 2 1  h  Rh z 2 h R 2 3  2 2 zG  z  rdrd  dz  z rdr dz d   z dz  Rh   2      0 M v M 0  0 M 0 2h 4M  R 2 h z h R  2  R 2 h 2 z dz  Calculons la masse du cône : M    rdrd dz     h rdr dz  d  2  0 0 0 0 2h 2 3   v

Finalement : zG 

3 h 4

Exercice 02: 1. Un quart de cercle Par raison de symétrie : 𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 Par définition on a : 𝑥𝐺 =

𝑆(𝑂𝑦 ) 2𝜋. 𝐿

et

𝑦𝐺 =

𝑆(𝑂𝑥) 2𝜋. 𝐿

En faisant tourner le quart de cercle autour de 𝑂𝑦, on engendre une surface hémisphérique : 𝑆(𝑂𝑦 ) = 2𝜋𝑅2 et Soit :

𝑥𝐺 =

𝐿= 2𝜋𝑅 2 𝜋𝑅 2𝜋. 2

=

𝜋𝑅 , L: la longueur du quart de cercle 2 2𝑅 𝜋

De même, la rotation du quart de cercle autour de 𝑂𝑥, on engendre une demi sphère de surface : 𝑆(𝑂𝑥) = 2𝜋𝑅2 𝑦𝐺 =

2𝜋𝑅2 2𝑅 = 𝜋𝑅 𝜋 2𝜋. 2 2𝑅 2𝑅

D’où le centre d’inertie du quart de cercle est le point : 𝐺(

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𝜋

,

𝜋

)

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2. Un demi disque 𝑂𝑥 est un axe de symétrie : 𝐺 ∈ 𝑜𝑥 ⇒ 𝑦𝐺 = 0 𝑥𝐺 =

𝑉(𝑂𝑦 ) 2𝜋. 𝑆

En faisant tourner le demi disque autour de 𝑂𝑦, on engendre un volume d’une sphère: 𝑉(𝑂𝑦 ) =

4𝜋𝑅3 et 3

𝑆=

𝜋𝑅2 , 𝑆: la surface du demi disque 2

Soit : 4 3 𝑉(𝑂𝑦 ) 𝜋𝑅 4𝑅 𝑥𝐺 = = 3 𝜋𝑅 2 = 2𝜋. 𝑆 2𝜋. 3𝜋 2

4𝑅

D’où le centre d’inertie du quart de cercle est le point : 𝐺(

3𝜋

, 0)

3. Une plaque triangulaire 1 2 𝑉(𝑂𝑦 ) 𝑎 3𝜋𝑏 𝑎 𝑥𝐺 = = = 2𝜋. 𝑆 2𝜋. 𝑎.𝑏 3 2

𝑦𝐺 =

1 𝑉(𝑂𝑥 ) 𝜋𝑎 𝑏 2 𝑏 = 3 𝑎.𝑏 = 2𝜋. 𝑆 2𝜋. 2 3

𝑥𝐺 =

𝑉(𝑂𝑦 ) 𝜋𝑏 𝑎 2 𝑎 = = 2𝜋. 𝑆 2𝜋. 𝑎𝑏 2

𝑦𝐺 =

𝑉(𝑂𝑥 ) 𝜋𝑎 𝑏 2 𝑏 = = 2𝜋. 𝑆 2𝜋. 𝑎𝑏 2

4. Une plaque rectangulaire

5. Une plaque de côtés a et b, évidée sur le coté a d’un demi cercle de rayon R 𝑂𝑦 est un axe de symétrie : 𝐺 ∈ 𝑜𝑦 ⇒ 𝑥𝐺 = 0 Le solide (S1) : La plaque Le solide (S2) : Le demi disque 4𝜋𝑅3 3𝜋𝑏 2 𝑎 4𝜋𝑅3 𝜋𝑏 2 𝑎 − 3 − 3 𝑉𝑆1(𝑜𝑥 ) − 𝑉𝑆2(𝑜𝑥 ) 3𝑎𝑏2 − 4𝑅3 3 𝑦𝐺 = = = = 𝜋𝑅2 2𝜋(𝑠1 − 𝑠2 ) 𝜋(2𝑎𝑏 − 𝜋𝑅2 ) 3(2𝑎𝑏 − 𝜋𝑅2 ) 2𝜋(𝑎𝑏 − ) 2

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Exercice 03: 1. Un demi disque de rayon 2𝑅 évidé d’un demi disque de rayon 𝑅

1. Par intégration 𝑂𝑦 est un axe de symétrie : 𝐺 ∈ 𝑜𝑦 ⇒ 𝑥𝐺 = 0 Le solide (S1) : Le demi disque de rayon 2𝑅 et de masse 𝑀1 Le solide (S2) : Le demi disque de rayon 𝑅 et de masse 𝑀2

𝑦𝐺1

𝑦𝐺2

1 = 𝑀1

𝜍 𝑦𝑑𝑚 = 𝑀1

1 = 𝑀2

𝜍 𝑦𝑑𝑚 = 𝑀2

2𝑅 𝜋

0

0

𝑅 𝜋

0 0

⇒ 𝑦𝐺 𝑆 =

𝜍 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝑀1

𝜍 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝑀2

𝑀1 . 𝑦𝐺1 − 𝑀2 . 𝑦𝐺2 = 𝑀1 − 𝑀2

𝜋

2𝑅

𝑟 2 𝑑𝑟

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 =

0

0

𝑅

𝜋

𝑟 2 𝑑𝑟 0

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 0

16𝜍𝑅3 8𝑅 = 3𝑀1 3𝜋

2𝜍𝑅3 4𝑅 = 3𝑀2 3𝜋

8𝑅 𝜍𝜋𝑅2 4𝑅 2𝜍𝜋𝑅2 . 3𝜋 − 2 . 3𝜋 2𝜍𝜋𝑅2 −

𝜍𝜋𝑅2 2

=

28𝑅 9𝜋

2. Par application du théorème de Guldin 𝑦𝐺 =

𝑉𝑆1(𝑜𝑥 ) − 𝑉𝑆2(𝑜𝑥 ) 2𝜋(𝑠1 − 𝑠2 )

32𝜋𝑅3 4𝜋𝑅3 28𝑅 3 − 3 = = 2 𝜋𝑅 9𝜋 2𝜋(2𝜋𝑅2 − ) 2 𝑅

2. Soit un quart de disque de rayon 𝑅 évidé d’une plaque triangulaire de hauteur 𝑅 et de base . 2

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Centre d’inertie du solide (S1= un quart de disque) : 1. Par intégration :

𝑥𝐺1 =

1 𝑀1

𝑥𝑑𝑚 =

𝜍 𝑀1

𝜋 𝑅 2

𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃. 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0 0

𝜍 𝑀1

𝜋 2

𝑅

𝑟 2 𝑑𝑟

𝜍𝑅3 3𝑀1

𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃 =

0

0

Avec : 𝜍𝜋𝑅2 𝑀1 = 4 𝑦𝐺1 =

1 𝑀1

𝑦𝑑𝑚 =

𝜍 𝑀1

𝜋 𝑅 2

𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑑𝑟𝑑𝜃 = 0 0

⇒ 𝑥𝐺1 = 𝜍 𝑀1

4𝑅 3𝜋

𝜋 2

𝑅

𝑟 2 𝑑𝑟 0

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 0

𝜍𝑅3 4𝑅 = 3𝑀1 3𝜋

Centre d’inertie du solide (S2= plaque triangulaire) :

𝑥𝐺2 =

1 𝑀2

𝑥𝑑𝑚 =

𝜍 𝑀2

𝑅 2 −2𝑥+𝑅

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

𝜍 = 𝑀2

0 𝑅 2

0

𝜍 𝑀2

𝑅 2 −2𝑥+𝑅

( 0

𝑑𝑦)𝑥𝑑𝑥 = 0

𝜍 2𝑥 3 𝑅𝑥2 2 (−2𝑥 + 𝑅𝑥)𝑑𝑥 = − + 𝑀2 3 2

𝜍 𝑀2 𝑅 2 0

𝑅 2

𝑦

−2𝑥+𝑅 0

𝑥𝑑𝑥

0

𝜍𝑅3 = 24𝑀2

Avec : 𝑀2 =

𝑦𝐺2

𝑦𝐺2

1 = 𝑀2

𝜍 = 2𝑀2

𝜍 𝑦𝑑𝑚 = 𝑀2

𝑅 2

𝑅 2 −2𝑥+𝑅

0

0

2

⇒ 𝑥𝐺2 =

𝜍 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑀2

𝜍 4𝑥 + 𝑅 − 4𝑥𝑅 𝑑𝑥 = 2𝑀2 2

0

𝜍𝑅2 4

𝑅 6

𝑅 2 −2𝑥+𝑅

( 0

0

𝜍 𝑦𝑑𝑦)𝑑𝑥 = 𝑀2

4𝑥 3 4𝑥 2 + 𝑅2 𝑥 − 𝑅 3 2

𝑅

= 0

𝑅 2

0

𝑦2 2

−2𝑥+𝑅

𝑑𝑥 0

𝜍𝑅3 𝑅 = 12𝑀2 3

4𝑅 𝜍𝜋𝑅2 𝑅 𝜍𝑅2 𝑥𝐺1 . 𝑀1 − 𝑥𝐺2 . 𝑀2 3𝜋 . 4 − 6 . 4 7𝑅 𝑥𝐺 = = = 𝜍𝜋𝑅2 𝜍𝑅2 𝑀1 − 𝑀2 6 𝜋−1 − 4 4 4𝑅 𝜍𝜋𝑅2 𝑅 𝜍𝑅2 𝑦𝐺1 . 𝑀1 − 𝑦𝐺2 . 𝑀2 3𝜋 . 4 − 3 . 4 𝑅 𝑦𝐺 = = = 2 2 𝜍𝜋𝑅 𝜍𝑅 𝑀1 − 𝑀2 𝜋−1 − 4 4 Page 8 sur 13

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2. Application du théorème de Guldin s1 = la surface du solide S1 un quart de disque s2 = la surface du solide S2 plaque triangulaire

𝑥𝐺 =

𝑦𝐺 =

𝑅2 .𝑅 2𝜋𝑅 8𝜋𝑅3 𝜋. 𝑅3 4 − − 7𝑅3 4 7𝑅 3 3 12 12 = = = . = 2 2 2 2 2 𝜋𝑅 𝑅 𝜋𝑅 𝑅 12 2𝜋𝑅 𝜋 − 1 6 𝜋−1 2𝜋( − ) 2𝜋( − ) 4 4 4 4 3

𝑉𝑆1(𝑜𝑦 ) − 𝑉𝑆2(𝑜𝑦 ) 2𝜋(𝑠1 − 𝑠2 )

𝜋

2 𝑅 2𝜋𝑅3 𝜋𝑅 . 2 4𝜋𝑅3 𝜋𝑅3 3 − − 4 𝑅 3 = 6 6 =𝑅 . = 3 = 2 2 2 2 𝜋𝑅 𝑅 𝜋𝑅 𝑅 2 2𝑅2 𝜋 − 1 𝜋−1 2𝜋( − ) 2𝜋( − ) 4 4 4 4

𝑉𝑆1(𝑜𝑥 ) − 𝑉𝑆2(𝑜𝑥 ) 2𝜋(𝑠1 − 𝑠2 )

Exercice 04 : 1. le tenseur d’inertie en O dans la base (Oxyz) y

On a 𝑧 = 0 ⇒ 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 = 0 , 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = 0

𝐼𝑜𝑥 =

𝐼𝑜𝑦 =

𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝜆𝑅3

𝑥 2 𝑑𝑚 = 𝜆𝑅3

𝜋 2

0

𝜋 2

0

𝜋 2

𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 = 𝜆𝑅3

1−𝑐𝑜𝑠 2𝜃

0

2

𝜋 2

𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 = 𝜆𝑅3

1+𝑐𝑜𝑠 2𝜃

0

2

𝑑𝜃 =

𝑀𝑅 2

𝑑𝜃 =

2

o

x

𝑀𝑅 2 2

𝐼𝑜𝑧 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑚 = 𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 = 𝑀𝑅2

𝐼𝑥𝑦 =

𝑥𝑦𝑑𝑚 = 𝜆𝑅3

𝜋 2

0

𝜋 2

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 𝜆𝑅3

ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0

𝑀𝑅2 2 𝑀𝑅2 − 𝜋 0

𝑠𝑖𝑛 2𝜃 2

𝑀𝑅2 − 𝜋 𝑀𝑅2 2 0

𝑑𝜃 =

𝑀𝑅 2 𝜋

= 𝐼𝑦𝑥

0 0 𝑀𝑅2

𝑂𝑥𝑦𝑧

B. le tenseur d’inertie en O dans la base (Oxyz) 𝑦𝐺 =

y

4𝑅 3𝜋

On a 𝑧 = 0 ⇒ 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 = 0 , 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 = 0 𝐼𝑜𝑥 =

𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝜍

𝑟 3 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 =

𝜍𝑅 4 4

𝜋

0

1−𝑐𝑜𝑠 2𝜃 2

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𝑑𝜃 =

o

x

𝑀𝑅 2 4

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𝐼𝑜𝑦 =

𝑀𝑅 2 4

𝐼𝑜𝑧 = 𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 =

𝑀𝑅 2 2

𝑀𝑅2 4 ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0

0

0

𝑀𝑅2 4

0

0

0

𝑀𝑅2 2

𝑂𝑥𝑦𝑧

2. En déduire le tenseur d’inertie en G dans la base (Gx1y1z1). 𝑀𝑅2 0 0 4 𝐼𝐺𝑥 1 0 0 𝑦𝐺2 + 𝑧𝐺2 𝑀𝑅2 0 𝐼𝐺𝑦1 0 = + 𝑀 −𝑥𝐺 𝑦𝐺 0 0 4 0 0 𝐼𝐺𝑧1 −𝑥𝐺 𝑧𝐺 𝐺𝑥1𝑦1𝑧1 𝑀𝑅2 0 0 2 𝑂𝑥𝑦𝑧

𝐼𝐺𝑥 1 0 ⇒ 0

0 𝐼𝐺𝑦1 0

𝑀𝑅2 4

0 0 𝐼𝐺𝑧1

= 𝐺𝑥1𝑦1𝑧1

0

0

0

𝑀𝑅2 4

0

0

0

𝑀𝑅2 2

−𝑥𝐺 𝑦𝐺 𝑥𝐺2 + 𝑧𝐺2 −𝑦𝐺 𝑧𝐺

16𝑅2 9𝜋 2 −𝑀 0 0

−𝑥𝐺 𝑧𝐺 −𝑦𝐺 𝑧𝐺 𝑦𝐺2 + 𝑥𝐺2

0

0

0

0 16𝑅2 9𝜋 2

0

=

𝑂𝑥𝑦𝑧

𝑀𝑅2 16𝑅2 𝐼𝐺𝑥 1 = − 4 9𝜋 2 2 𝑀𝑅 ⇒ 𝐼𝐺𝑦1 = 4 2 𝑀𝑅 16𝑅2 𝐼𝐺𝑧1 = − 2 9𝜋 2

C. Le moment d’inertie 𝑰𝑶𝒙 𝐞𝐭 𝐥𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐢𝐭 𝐝′𝐢𝐧𝐞𝐫𝐭𝐢𝐞 𝑰𝒙𝒚 du solide

1

𝐼𝑂𝑥 = 𝐼𝑂𝑥 ( 𝑑𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒) − 𝐼𝑂𝑥 (𝑝. 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒) 4

1. moment d’inertie 𝐼𝑂𝑥 du solide (S1=quart de disque) Page 10 sur 13

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𝑧=0 𝜋 2

𝑅

𝑦 2 𝑑𝑚 =

⇒ 𝐼𝑂𝑥 =

𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝜍𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝜍

𝑟 3 𝑑𝑟 0

𝜍𝑅 4

𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 = 0

4

𝜋 2

0

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑀1 𝑅 2 𝑑𝜃 = 2 4

2. moment d’inertie 𝐼𝑂𝑥 du solide (S2=plaque triangulaire) 𝑧=0 𝑅 2

𝑦 2 𝑑𝑚 =

⇒ 𝐼𝑂𝑥 =

−2𝑥+𝑅

𝑦 2 𝜍𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜍

𝑦 2 𝑑𝑦 0

𝑑𝑥 =

0

𝐼𝑂𝑥 =

𝑅 2

𝜍 3

−2𝑥 + 𝑅

3

𝑑𝑥 =

0

𝑀2 𝑅2 6

𝑀1 𝑅2 𝑀2 𝑅2 − 4 6

3. Produit d’inertie du solide : 1 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦 ( 𝑑𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒) − 𝐼𝑥𝑦 (𝑝. 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒) 4 𝜋 2

𝑅

𝐼𝑥𝑦 𝑆1 =

𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝜍

𝑥𝑦𝑑𝑚 = 𝜍

𝑟 3 𝑑𝑟 0

𝑅 2

𝐼𝑥𝑦 𝑆2 =

𝑦𝑑𝑦 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜍 0

=

𝜍 2

−2𝑥+𝑅

𝑥𝑦𝑑𝑚 = 𝜍

0 𝑅 2

0

0

1 𝑀1 𝑅2 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 = 2 2𝜋 𝑅 2

2 −2𝑥+𝑅

𝑦 2

𝑥 𝑑𝑥 = 𝜍 0

0

𝑦2 2

−2𝑥+𝑅

𝑥 𝑑𝑥 0

𝑅 2

4𝑥 2 + 𝑅2 − 4𝑥𝑅 𝑥 𝑑𝑥 0

𝜍 = 2 =

𝐼𝑥𝑦 =

𝑅 2

𝜍 4 𝑅2 𝑥 2 4𝑥 3 𝑅 4𝑥 + 𝑅 𝑥 − 4𝑥 𝑅 𝑑𝑥 = 𝑥 + − 2 2 3 3

0

2

2

𝑅 2

=

0

𝜍 3𝑅4 𝑅4 𝜍𝑅4 − = 2 16 6 96

𝑀2 𝑅2 24

𝑀1 𝑅2 𝑀2 𝑅2 𝑅2 𝑀1 𝑀2 − = − 2𝜋 24 2 𝜋 12

D. 1. Une barre AB de longueur 2L, de milieu O, portée par (Oz).

Z A

On a 𝑥 = 𝑦 = 0 ⇒ 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 = 0 , 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 = 0 𝐼𝑜𝑥 =

𝑧 2 𝑑𝑚 = 𝜆

𝐼𝑜𝑦 = 𝐼𝑜𝑥 =

𝐿 2 𝑧 𝑑𝑧 −𝐿

𝑧 2 𝑑𝑚 =

=

𝑀𝐿2

O

y

3

𝑀𝐿2 3

x

B

𝐼𝑜𝑧 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑚 = 0 Page 11 sur 13

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𝑀𝐿2 3

ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0 0

0

0

𝑀𝐿2 3 0

0 0

𝑂𝑥𝑦𝑧

2. Un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz. Oz est un axe de révolution (les produits d’inertie sont nuls) 𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 = 0 , 𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 = 0

𝐼𝑜𝑥 = 𝐼𝑜𝑦 =

𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝜍

𝑟 3 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 =

𝜍𝑅 4 4

2𝜋 0

1−𝑐𝑜𝑠 2𝜃 2

y

𝑑𝜃 =

𝑀𝑅 2

O

x

4

𝑀𝑅 2 4

𝐼𝑜𝑧 = 𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 =

𝑀𝑅 2 2

𝑀𝑅2 4 ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0

0

0

𝑀𝑅2 4

0

0

0

𝑀𝑅2 2

𝑂𝑥𝑦𝑧

3. Une sphère creuse de centre O, de rayon R.

𝐼𝑜𝑧 = 𝐼𝑜𝑥 = 𝐼𝑜𝑦

z

1 3 𝐼𝑜 = (𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 + 𝐼𝑜𝑧 ) = 𝐼𝑜𝑧 2 2 𝐼𝑜 =

(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝜍𝑑𝑠 = 𝜍𝑅4

ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0 0

0

0

2𝑀𝑅2 3

0

0

2𝑀𝑅2 3

O

2𝜋

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 0

𝐼𝑜 = 4𝜋𝜍𝑅4 = 𝑀𝑅2 2𝑀𝑅2 3

𝜋

𝑑𝜑 = 0

x

𝑂𝑥𝑦𝑧

4. Une sphère pleine de centre O, de rayon R. 𝐼𝑜𝑧 = 𝐼𝑜𝑥 = 𝐼𝑜𝑦

1 3 𝐼𝑜 = (𝐼𝑜𝑥 + 𝐼𝑜𝑦 + 𝐼𝑜𝑧 ) = 𝐼𝑜𝑧 2 2 𝐼𝑜 =

y

𝜌𝑅5 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝜌𝑑𝑉 = 5

z

𝜋

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 0

O

2𝜋

y

𝑑𝜑 = 0

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x

AU : 2021-2022

𝜌𝑅5 3𝑀𝑅2 𝐼𝑜 = 4𝜋 = 5 5 2𝑀𝑅2 5 ℑ𝑂𝑥𝑦𝑧 =

0

0

0

2𝑀𝑅2 5

0

0

0

2𝑀𝑅2 5

𝑂𝑥𝑦𝑧

5. Un parallélépipède d’arrêtes a, b , c et de masse M. z

c O

y

a b

x

𝐼𝑜𝑥 =

𝐼𝑜𝑥 =

𝑎

(𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑚 = 𝜌

𝑏

𝑑𝑥 0

𝑐

𝑦 2 𝑑𝑦

𝑎

𝑑𝑧 + 𝜌

0

0

𝑏

𝑑𝑥 0

𝑐

𝑑𝑦 0

𝑧 2 𝑑𝑧

0

𝜌𝑎𝑐𝑏 3 𝜌𝑎𝑏𝑐 3 𝑀𝑏 2 𝑀𝑐 2 𝑀 2 + = + = (𝑏 + 𝑐 2 ) 3 3 3 3 3

Avec le même type de calcul, les autres moments d'inertie valent :

𝐼𝑜𝑦 =

𝑀 3

(𝑎2 + 𝑐 2 ) et 𝐼𝑜𝑧 =

𝑀 3

(𝑎2 + 𝑏 2 )

Et les termes non diagonaux (produits d’inertie) : 𝑎

𝐼𝑥𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 =

𝑥𝑧𝑑𝑚 = 𝜌

𝑏

𝑥𝑑𝑥 0

𝑐

𝑑𝑦 0

𝑧𝑑𝑧 = 0

𝑀𝑎𝑐 4

𝑀𝑏𝑐 4 𝑀𝑎𝑏 = 4

𝐼𝑦𝑧 = 𝐼𝑧𝑦 = 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑦𝑥

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