TD 2 Torseurs [PDF]

Zitiervorschau

TD De Mécanique Générale

ISET Nabeul

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE

Niveau : L1/S1

EXERCICE 1 : On considère trois vecteurs glissants définis par un point de leur support et leur vecteur libre :

A 1 (2,1,3) R ; A 2 (1,1,5) R ; A 3 (0,2,0) R  V1 =

0 m 2m

;

 V2

3m =

m m

;

1  V3 = − m 2

1) quels sont les éléments de réduction en O, origine du repère, du torseur associé à cet ensemble de vecteurs glissants ? 2) calculer l’invariant scalaire. Montrer qu’il existe deux valeurs de m telles que cet invariant soit nul. 3) Existe-il une valeur de m (si oui, la calculer) pour laquelle le torseur se réduit à un couple ?

EXERCICE 2 (corrigé) :    A/ soit les vecteurs forces FA = (0, YA , 0) ; FB = (0, YB , ZB) et FC = (XC, YC , ZC ) appliqués à un solide aux points    R (O, X , Y , Z ).

A= (a, 0 ,0), B (0, b, 0) et C (0, 0, c) dans un repère

1) Ecrivez le torseur de chaque force à son point d’application. 2) En déduire le torseur de chaque force en O. 3) Donner le torseur équivalent à la somme. L1

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



B/ soit les vecteurs forces FA = (XA, YA , ZA) et FB = (XB, YB , 0) appliqués à un solide aux    points A= (a, b, 0) et B (-c, b, 4d) dans un repère R (O, X , Y, Z ) 1) écrivez le torseur {τ A } et

{τ B }

en leurs point puis en O.

2) calculer la somme de deux torseurs. 3) calculer le comoment de deux torseurs {τ A } et {τ B } .

L1

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CORRECTION EXERCICE 2 : 1) Expressions des torseurs de chaque force à leurs points d’application :

0 0

{T1 } A =

YA 0 0 0

0 0 {T 2}B = YB 0 ZB 0

{T3}C =

XC 0 YC 0 ZC 0

2) Transfert des torseurs au point O :











 MO  FA  = MA  FA  + OA ∧ FA 







a 0  = 0 + 0 ∧ YA 0 0   MO  FA  =

 {T1 }A→O





0 0 aYA

0 0 = YA 0 0 aYA







 MO  FB  = M B  FB  + OB ∧ FB    

L1

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0 0  = 0 + b ∧ YB 0 ZB   MO  FB 

bZB = 0 0

0 bZB  {T 2}B→O =





YB ZB



0 0





 MO  FC  = M C  FC  + OC ∧ FC    

c XC  = 0 + 0 ∧ YC 0 ZC 0   MO  FC  = − cZC cYC

 {T3}C→O =

XC

0

YC − cZC ZC cYC

3) Le torseur équivalent à la somme :

{T }O = {T1 }O + {T2 }O + {T3 }O

L1

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0

{T}O

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0

0

bZ B

0 + 0 aYA

YB ZB

0 0

= YA

{T}O

XC = YA + YB + YC ZB + ZC

XC

+

0

YC - cZ C Z C cYC

bZ B - cZ C aYA + cYC

B. 1)  les torseurs en leurs points :

{τ A }A

X A  =  YA Z  A

0  0 0

{τ B }B

X B  =  YB  0 

0  0 0

 Transfert au point O :

{τ A }O

{τ B }O

L1

XA

0

= YA ZA

0 0

XB = YB 0

0 0 0

a

+

+

XA

bZ A

b ∧ YA = - aZ A 0 ZA aY A − bX A -c XB bZ B − 4 dY B b ∧ Y B = cZ B + 4 dX B 4d ZB - cY B − bX B

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