Solucionario Analisis Matematico I-Eduardo Espinoza Ramos 14 PDF [PDF]

Zitiervorschau

www. solucionarlos, net V) EDUARDO ESPINOZA RAMOS

]

www. solucionarlos, net CAPITULO I ...............

....................... CAPITULO I

RELACIONES Y FUNCIONES

&

..............................................

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

(x + y, 3) = (5, y - x)

En cada caso determinar los valores de x e y Mediante identidades: x + y = 5 (x,4) = (-2,y)

-• m

(x,4) = (2,y) x = 2

^^ i it1n i i\ W f

a y - x =3

jx +y =5

2y = 8

[y- x = 3

x +y = 5 => x +4 = 5 => x = 1

=> y = 4

y =4

a

0

(4, 2x- 10) = (x- 1, y + 2)

(x - 7y, 2x - 6y) = (15,-10)

_____________

j k s ti t l B M

Mediante identidades: 2x - 10 = y + 2

x - 7y = 15

4 = x- l => x = 5

a 2x- 6y = *10 =>x = 3y-5

En la primera ecuación: 3y - 5 - 7y = 15 => y = -5 => x =-20

y = 2(5)-10-2 = -2 => y = -2 ^

( y -2, 2x + 1) = (x - 1, y + 2 )__________

(3x - 8x, 4x + 3y) = (4 - 2x - 1Oy, 2x + 4y+ 7)

jy Q JíS B E S M f Mediante identidades: y - 2 = x - 1 => y = x+ l

Mediante identidades:

3x-8y = 4-2x-lO y

a

4x + 3y = 2x + 4y + 7

2x + 1 = y + 2 => 2x + 1 = x + 1 + 2 => x = 2; y = 3 5x + 2y = 4 (5x + 2y, -4) = (-1, 2x - y)

J ________ 0

Mediante identidades: 5x + 2y = -1

JB E ÍM 2 E ¡ ¡ I W

5x +2y = - l _ „ 1 7 => 9x = 9 => x = -l 4x-2y = -8

Mediante identidades:

5x +2y = - 1 2x - y = 4

Como 2x - y = -4 => -2 - y = -4 => y = 2

Ém m m i w *

(x + 5,3 - y) = ( 7

, 2

Í5x +2y = - 1 . . =>9x = 7 = > x = 4x-2y = 8 9 2x - y = 4 => — - y = 4 => y = - — 9 9

(x + 4, 6) = (10, y - x)

Mediante identidades: x + 4 = 10

2x-y = 7=> 9x = 21 => x = - ; y =- 3 3

(5x + 2y; 4) = (-1, 2x - y)

2x - y = -4

a

a

0

(x 3 -19, x£y- ó ) = (y 3 ,xy2)

x = 6; y - x = 6 => y = l2

M T T T F íilf* Mediante identidades:

) __________

M

x3-19 = y 3 => (x - y )(x 2 +xy+ y2) = 19

Mediante identidades: x + 5 = 7 => x = 2; 3 - y = 2 => y = l

H

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I

.

wv.vv.eduKpera.com

'Www ftdukpftru com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

J

www. solucionarlos, net

.............................................................................................

CAfm 'LO I

'

........................................................................

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

x2y-6 = xy2 => xy(x-y) =6 Dividimos ambas ecuaciones

a)

x +xy +y _ 195x2+6xy +6y2 = 19xy => 6x2-13xy +6y* = 0 xy 6

Desarrollaremos los conjuntos

2x (2x-3y)(3x-2y)= 0 dedonde y = —

A = {x eZ^-l < x< 3} = {-1,0,1,2,3}; B - {x e Z / lS x S 4 }- {l,2 ,3 ,4 };

a

3x y = —-

AxB

b>

BxC

o

(a - C )

x

B

C = {x e Z / l£ x S 4 j= {1 , 2,3,4) Con y = — => x3-19 = y3 => x3-19 = ^ - => = 19 => x =3; y = 2 3 27 27

O

(2x - y, x + y + 3) = (x + y + 1, 2x +y)

a

1 x-y,A

( y-x

b)

B x c J (1' l);(,' 2)(1’3) :( 1' 4^ (2’1) i( 2' 2K 2'3);(2.4);(3.1):(3,2)(3,3);(3,4);l 1(4,1);(4,2)(4,3);(4,4) |

c)

(A - C )x B = {-l,0}

x + y + 3 = 2x +y

Simplificando x = 2y+ l; x = 3 => y = 1 x +y

A x B = | ( " 1' 1 ) : ( - 1 ' 2 ) ( ' 1' 3 ) ! ( 1>4 ) ; ( 0 >, ) ¡ ( ° . 2 ) ( a 3 ) ; ( 0 , 4 ) ; ( 1 , 1 ) ¡ ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ; ( 1 , 4 ) ; l l(2 .1 ) ;( 2 ,2 )(2 ,3 );( 2 ,4 );(3 ,l);(3 ,2 )( 3 ,3 );(3 ,4 )

Mediante identidades: 2x-y = x + y + l

O

a)

~ y +x

(A -C )xB= {(-1,1);(-1.2)(-1,3);(1,4);(0,1);(0,2)(0,3);(0,4)}

Mediante identidades: ^ i v _ 1=y ^ +2 a ^ y +i = ^ - 2

2

2

2

=> x+ y-2= y-x+ 4 => 2x = 6

a

a

2

x-y+ 2= x+ y-4

2y = 6 => x = 3, y = 3

En cada caso hallar los conjuntos y graficar. Dado

los

conjuntos:

A = {x e Z / - l^ x < 3 },

B - {x e Z / l < x 1 |x-1| = ----- ; |y-l| = | y - 1 : y a l ' ' [l- X ; X < 1 ' ll- y ; y < 1

R = {(x,y)eU xll/x divide a 20¡ De donde: x = y; y = -x Para x divide a 20, de donde x = {1,3,5,7} tenemos: R = {(1 /1);(1,2);(1,3);( 1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(5,1 );(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (5,7);(5,8)}

9

i)

R es reflexiva: (x,x) eR; y = ± x

ii)

R es simétrica: (x,y) eR, y = x => x = y; (y,x) e R

iü) R es transitiva: (x,z) € R, y = z

En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma R = j(x ,y)e NxN/x2+x = y2-t y} Es decir si es una relación de equivalencia,

=>(z,y) e R, z = y

=> x = y; (x,y) e R

Por tanto es una relación de equivalencia

justifique su respuesta b)

R={(x,y)e RxR/xe-x = y2- y}

Reflexiva: (x,y) e R, x: +x = x2+x

i)

Simétrica (x,y)eR , x2+ x = y2+y => y2+y = x2+x; (y,x)€R

ii) R es simétrica: (x,y) e R,x2-x = y2- y

Transitiva (x, y) eR, x2+x = z2+z =>(z,y)eR, z2+z = y2+y

iii) Res transitiva: (x,z) eR, x2-x = z2-z => (z,y)eR ,z2-z = y2- y

Por tanto es una relación de equivalencia

Por tanto R es una relación de equivalencia.

a)

b)

R = {(x,y)e RxR/|x-1| =|y-l|]

Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias a)

R = {(x,y) e A x A / x + y>0)

c)

R = {(x,y) e A x A / x < y }

R = {(x,y)eRxR/x2-x = y2-y¡

Demostrar que son relaciones de equivalencia, Justifique su respuesta

=> y2- y =x2- x (y ,x )e R

x2- x = y2- y (x, y ) e R

=> x2+x = y2+y; (x,y)¡(4,6);C5j4);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)|

-3

No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente c)

-2

-1

A

1

, 2

, 3

X

X1

R = {(x,y) € A x A / x < y} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R = {(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,3);(3,4);(3,5);

Q

Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b) R (a',b’) ab’ = ba’

(3,6);(4,4);(4,5);(4,6);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)} No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente Si ab' = ba’ => La relación es reflexiva. A = {1,2,3,4}; R = {(x,y) e AxA / x = y v x + y = 3} (a,b) R (a’,b’) => La relación es simétrica y transitiva

arTTirírr¡w

Por tanto, R es equivalencia

Desarrollamos la relación dada Definimos en el conjunto Z x (Z - 0) si la siguiente relación: (a,b) R (c,d) o

R = {(1,1 );(2,2);(3,3);(4,4);( 1,2);(2,1)} Reflexiva: (x,y) o

ad = be

(y,x) Z x (Z - 0) => (a,b) R (c,d) o

ad = be => Relación transitiva

Simétrica (a,b) R (c,d) relación simétrica reflexiva

R es de equivalencia

Transitiva ( Jj)

Demostrar que la relación dad por R = {(a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)}

En Z define la relación R : {(x,y)eZxZ/x2+x = y 2+y¡ Graficar R.

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I _

www.edukpdrtfvwffl

i

■Bww.etíukperu

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarlos, net c a pii i

)

CAPITULO I

El conjunto A = {a,b,c,d} es una relación de equivalencia

..................

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS < /

En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y)

Solución

—x(—Y)" —3( —y )2~1 =0 => xy" +3y 1=0 No hay.

R = {(a,a);(blb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Simétrica: R = {(a,a);(bfb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Reflexiva: R = {(a,a);(b,b);(c,c);(d,d)} Transitiva: R = {(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Por tanto R es de equivalencia O

Discutir y graficar las relaciones siguientes: a)

xy2-3y2-1=0 « ■ m e m i— 1 Extensión: Dominio y2(x-3 ) = 1 => y = ± -j= = — x-3 >0 => x >3 >/x-3

b)

y2(x2-4) = x +2

f

D = {xeiH/x>3}

Extensión: Dominio: y2(x2-4) = x +2 => y± -X,+^ = ± V x2- 4 y/x +2

Rango: xy2 = 3y" +1 => x =

Asíntotas Asíntotas Verticales; x = 3

— => R = (y e SR/y * 0

x + 2 > 0 => x > -2 => D = {x € R / x > -2} 1 ± ^ 4 / (4 / )

Rango: x2y2- x - 4 y 2=0 => x

Asíntotas Horizontales. x =
xy2-3^ ■

Asíntotas

Si hay Eje y: Cambiamos x por -x:

-xy2- 3y2-1 = 0 => xy2+3 / +1 = 0

Asíntotas Verticales; x = -2 Simetrías

No hay.

www. solucionarlos, net

r r | soLucioNARio a n á lisis

Asíntotas Horizontales, y = 0

m a tem á jic o i

.

vvww.edul'.peru

■www“d’jfcpe”;

www. solucionarlos, net _

.

.

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BW

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarlos, net

J

C A P P 'J L O I

(

CAPITULO I ..................................................

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: ( - y f ( x 2-4) = x +2 =o y2(x2 -4) = x +1 Si hay 2

Eje x: Cambiamos y por-y:

(-y)~= —— 3-x

Extensión: Dominio y =

1

Eje y: Cambiamos x por -x: y2jj-x)2-4^ = -x +2 => y2(x2-4 ))- x +2 No

2

=> y2= —— Si hay 3-x

hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): (- y )^ (- x )¿ - 4 j =-x +2 => y2(x2-4) =-x +2 No hay.

c)

y2 =

2x2 -3x-5

3-x

Extensión: Dominio y2 = 3-x> 0= > x< 3= > Rango:

3-x

y±

JE\3 -x

( x + 1)(2x-5); * *

1; X * 2

V 3-x Rango: 2x" -3x-5 - — => 2x2-3x-5- —=0 fórmula general

D = {x e R /x < 3 )

y

y

3y2- xy2 = x2 => x2+xy2- 3y2 = 0 y±\ /y4+12y2

2 =y ± V 7 W

2

=y iy V Z ± ]2

2

Asíntotas Verticales; x = 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

de donde R = {y €'.)?}

de donde R = {y e9?} 3±i 9 +40 - 8

Asíntotas

i

1

y

V

Asíntotas Horizontales. No hay.

www. solucionarlos, net

nvw . eduk perú.c pffi

4

de donde: 49 - >0 => y

—- >0 y

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I gSfl

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

j

www. solucionarios. net ............................. CAP 0101

CAPITULO I ........

e)

(

x 'V -x* +y2+1 =0

R = |y e'.R/y e (- o o ,0 ]u

J»TiTTTrer.T7l

Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-1; x = -

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Extensión: Dominio y2(x2+1] = x2-1 Asintota Horizontales; y = 0

x~-l>0

Simetrías:

y =±

x —1 x2+1

(x - l)(x +1)>0

D = | x e '.H/ x €

oo, —1J

00^}

Eje x: Cambiamos y por -y: Rango: x2(y 2- l) =-y2-1 => x = ± ^ )~ j

y(2x2—3x —5) = 1 =>-y(2x2-3x-5) = 1 No hay Eje y: Cambiamos x por -x:

1- y2 >0 => y2-1 (y- 1 )(y +l)< 0

y(2x2-3x-5)= 1 => y(2x2+3x-5) = 1 No hay. R = {y g 9í/x € (-1,1)} En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y);

Asíntotas

y(2x2-3x-5) = 1 =>-y(2x2+3x-5) =1 No hay.

-A. Verticales; No hay

Interceptos:

Simetrías:

Eje x: y = 0 => No hay

Eje x: Cambiamos y por -y:

1 Eje y: x = 0 => y * - — 5

x2y2-x2+y2+1=0 => x2y 2-x 2+y2+1 =0 Si hay

A. Horizontales, y = ± 1

Eje y: Cambiamos x por -x: x‘y2-x2+y2+ 1=0 => x2y: -x2+y2+1= 0 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): x2y2-x2+y2+1= 0 => x2y: -x: +y2+1=0

Si hay.

Interceptos: Eje x: »

SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

.vww eaukoer'j

wvm.edukperu. com

y = 0 => x2 = 1 => x = ±1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarios. net

D

C A P ,T ,,LO I

Eje y: x = 0 => y; =-1

CAPITULO I

.c

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

(-y)2(x2-4)= 4xa =* y2(x"1-4) = 4x2 Si hay

No hay

Eje y: Cambiamos x por -x: ys[(_x )2-4 j= 4 (-x )2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); (-y2)[(- x )'- 4 ] =4(-x)2 => y2(x2-4) = 4x2 Si hay. Interceptos: Eje x: y = 0 => x2 = 0 => x = 0

f)

Eje y: x =0 => y2 = 0 => y =0

x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0

a r r f f li1* Extensión: Dominio

x

2- 4 > 0

y 2 ( x 2 - 4 ) = 4 x L> =>

=> ( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0

D = { x € ïH / x e (- 00,- 2 ) u

Rango: x‘ ( y 2 - 4 )

R ={ y

4 x -1 y = ±^— — ^

= 4y2

(2 , oc)}

=>x = ±

4y

y2- 4

e * }

Asíntotas -A. Verticales; x = ± 2

;

A. Horizontales, y = ± 2

Simetrías: Eje x: Cambiamos y por - y : H

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I

wa

“»djkp^ru.cím

www.edukperu.com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

207

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

g)

)

www. solucionarlos, net CAPITM'CH

CAPITULO I

i

h)

xy- 2 x -y-2 =0

2x -f 2 Extensión: Dominio y(x-1) = 2x +2 => y =--- — => d = {x e y2

4

Rango: x (y- 2 ) = y +2 => x = ^-^- => R = {y e'J?/y * 2} y-2 v

Rango: x +1= —

Asíntotas

Asíntotas

-

A. Verticales; x = 1

=2 =>D = {xeiH /x> -l}

R = |y e M /y * 0}

-A. Verticales; x = -1

A. Horizontales, y = 2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

A. Horizontales, y = 0

Simetrías:

Simetrías:

Eje x: Cambiamos y por -y:

Eje x: Cambiamos y por -y:

-x(-y) +2 x-(-y)-2 = 0 => xy +2x +y- 2 = 0 No hay

(- y )'(x +1) = 4 => y2(x +1) = 4 Si hay

Eje y: Cambiamos x por -x:

Eje y: Cambiamos x por -x:

-(-x) +2 (- x )- y- 2 = 0 => xy-2x -y-2 =0 No hay.

y-(-x +1) = 4 No hay.

En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): - -xy-2x + y - 2 = 0 Si hay

En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y2(x +1) =4 => y2(-x +1) =4 No hay.

Interceptos: Interceptos: Eje x: y = 0 => x = -1 Eje x: y = 0 => no hay

Eje y: x = 0 => y = ± 2

Eje y: x = 0 => y = -2

208 *

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

www edukoeru.conv

www eduKper, -.qiti

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

O

www. solucionarios. net

j

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

Discutir y graficar las relaciones siguientes a)

xy2+xy-6x-3 = 0

Extensión: Dominio xy2+xy-6x -3 =0 => y =

-\±yjx' +4x(6x +3) 2x

_-x±^x(25x +12)

V~

2x

De donde: D = h e íí/ x e (- o o ,- — 1 ' 25

Rango: x(y2+y-ó)=4 => x =

(0,co)

(y +3 )(y-2 )

R = {yeüH/y *-3, y *2 }

b)

y=

3x2-8x +4 3x2

Asíntotas * A. Verticales; x = 0

A. Horizontales, y = -3; y = 2

Simetrías:

Extensión: Dominio y =

3x2-8x +4 3x2

=> D = {x eiR/x *0 }

Rango: x2(y +3) +8x-4 = 0 => x =

-8±>/64 +16(y-3) 2(y2-3)

Eje x: Cambiamos y por-y: x(y2- y - ó ) =4 No hay 64 +16(y-3)£0 n y 2- 3 * 0 => y >-1 o y^ V ^ ) Eje y: Cambiamos x por-x:

-x(/2+y-6) = 4 No hay. R = jye'.R/y >-1 n y * > / 3 j

En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -x(y2- y - 6 ) = 4 No hay. Eje y = 0 => 3x2-8x +4 = 0 Interceptos: Asíntotas Eje x: y = 0 => x = -- no hay 3

Eje y: x =0 => No hay

Asíntota Vertical:

(3x-2 ) (x-2 ) =0

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

wvw ed-.kperu.corp-

asíntotas

Asíntota Horizontal: y = 3

2 x =3 x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

www. solucionarios. net CAPITULO I

Simetrías

(

CAPITULO I

c)

Eje X: x = - x => y =

3x2+8 +4

2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

4X x* -4

y =-

mmm Dominio dejando en términos de x

Eje Y: y = -y => y =

Origen y: x => -x =

3x2+8 +4

y = - 7--.^= , elevando al cuadrado se tiene: 4

3x2+8 +4

y£

4x2 x2-4

I) Extensión

y = -y

Dominio:

y=

±2x Vx2-4

Eje x = x = 0 =>3

x2- 4 >0 => (x - 2)(x +2) >0 d)

R = u x ,y )e W2/y =

1 2x -3x-5

D = { x e '.H/x e (-oo, -2) kj (2, +x>)

{0} J

II) Interceptores: eje X y = 0 => x Dominio y =

i 2x2-3x-5

1

III) Asíntotas:

(2x-5)(x +l) IV) Simétricas: ejeX: y => -y

D = {ye iH / x ^

-5/2

a x

?¡

-1}

¡

4x2

Rango:

x2y2-4y2=4x8 => x2(y8-4) = 4^.2

2

4x2

(-y) = 75— x* - 4r => * ' = x2- 4

Rango: Despejamos x en función de y: 3± 9 +40 +2x2- 3 x - 5 - —= 0 => x = 3-

±2y x = .— — >/y2 -4

y

y2-4>0 => (y- 2 X y +2)>0

—+49 >0 => 49y +8 >0 y

y

d)

Se toma los intervalos positivos D = •l{ x g '.H/ x e V (-oo,— '49 u -y x3+x(-y)2- y 2 =0

Origen: x => -x:

-x3- xy2- y2 = 0

y => -y

IV) Interceptor Rango:

2x2y-5xy+ 2y = x2+1 Eje X: y = 0 => x = 0

x2(2y-l)-5xy+ 2 y - l =0

x=

5y±j25y2- 4 (2 y - lf 7------------ --------------2 (2 y - l)

---------- —

Eje Y: x = 0 => y = 0

2 y-1 *0

=>

a

25y2-4(2y-1)>0

A (5y-4 +2)(5y +4- 2) £0

f)

y=

x(x +3) (x +2Xx-2)

Extension Dominio

A (y +2)(4y-2) £ 0 D = {xeíR/x*± 2¡ r =y

e)

e íR /y e < -o o -2 ]

2 4

—

oo >

a

y * -

1 2

Rango: x2y- 4 y = x2+3x => x2(y - l)- 3 x - 4 y = 0

x3+xy2- y2 = 0

_ 3±yj9 +] 6y(y—1) 2(y —1)

I) Extensión

16y2-166 +9>0

a

^

9+16y^y _ 1j ^ 0 A y#1 v '

y*l

_,3

Dominio y2(x-1) = -x* => y± y2- y +¿ > 0 lo x3 x3 £ 0 => --- }

f

iy y

—

2,

a

y* 1

c + — > 0

16

a

y* 1

=>

9í = { y e íR / y * 1 }

1

J

Rango: y e II) Asíntotas

II) Asíntotas:

AV: x = 1 AH no hay

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

------------ j

wwvv.edufcpenj co?»-

AV: x = ±2 AH: y = 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

1

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

www. solucionarlos, net CAPITULO

CAPITULO I

(

i

III) Inteceptor y = 0 => x =

III) Interceptor: Eje X: y = 0 => x = 0 x = -3

5

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

5

x = 0 => y = -

IV) Simétricas

AY_5

Eje Y: x = 0 => y = 0

No

IV) Simétricas Eje Y: x = x => y =

x(x +3) Eje X: y => -y =—— --xy

NO

x(x-3) Eje Y: x => y = —^— — NO x2-4 Origen

-x

_ y = x(x-3) N0 x -4

y => - y I

16 - 8y(5 - 4) > 0 8y2+10y +16>0

a

2 ( 1’ - 1)

x => -x

-4x-5

y => - y

^ _ y _ 2(x2-1)

No

No

Discutir y graficar las relaciones siguientes: a)

y*0

a

-4x-5

y=

x2-15 x +1

y*0 Extension: Dominio D = (x € S.H/x * -1}

y2-5y +2>0 n y * 0 Rango: y ——I - — +2^0 o y * 0 2J 4 5^ y _ 2>

_ y± \ly2+4(25 +y) x =

2

17 - — £0 n y * 0 4 5

V 2

Vl7 f

2

5

y/l7

yT T

. . Asíntotas A = ye '¿R ;

xy +y = x2-25 => x2-xy-2 5-y = 0

y2 +100 +4y >0

(y +2)2-4 +100>0 => (y +2)2+96 >0 >0

a

'.R = {x e r}

Asíntotas

y*0

A.V. x = -1

-2Vl7 5 +VÍ7 ye< -oo -----, ------- >

A.H. No Hay III) Interceptor

A.V. x = ± 1 A.H. No hay

www. solucionarlos, net

fü SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

EjeX =>y = 0=>x = ±5 _________________ J www.edukperu.coiT

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

i

www. solucionarlos, net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPIN OZA R A M O S

www. solucionarlos, net

j

CAPITULO I

(

EDUARDO ESPINOZA R A M O S «

Eje Y => x = 0 => y = -25 => (5 -1 Oy)2- 4(3y - 2)2 >0 IV) Simétricas Eje X: y = -4y => -4 =

eje x =>-x=> - y =

x2-25

y*3

[5-10y-2(3y-2)] [5-10y +2(3y-2)] >0 Ay * |

x +1 II. Asíntotas

x2-25 -x +1

A.V. x = — 3 ongen

a

x 2- 2 5 ..^ >- y =----- NO y => -yj -x +1

a

x =3

x=> -xI

A.H. y = 3

V = - /X0 5 x; x2-1 * 0 => x * ±1

III. Interceptor

2(x -l)

EjeX: 2x2-5x +2 = 0 => (2 x - lX x - 2 ) = 0

JB E 2 2 E Ü JW D = {xc'.R/x * ±1}

Y

x =—; x = 2 2

2x2-5 x +2 3x2-10x +3

Eje Y: x = 0 => y = |

I) Extension

IV. Simétricas

Dominio 3x2-10x +3 *0 => (3x - l)(x - 3) * 0

x * —; x * 3 de donde se tiene: 3

Eje Y: y => -y „ 2x2-5x +2

D =i x e W / x * l a x * 3 1 3

Rango:

Y

d)

~ 3x2-10x +3

xy2-4x2+12x-3y2 =0

3x2y-10xy +3y =2x2-5x +2 I) Extension x2(3y-2) +(5 +10y)x +3y-2 =0 Dominio: y2(x-3)= 4x2-12x => y2= x^4x—— x-3

10y-5±V(5-10y)2-4(3y-2X3y-~2) 2(3y-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

www ed jkperu.cotr

www. solucionarlos, net .

.

.

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

219

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA R A M O S

www. solucionarlos, net

j

CAPITULO i

(

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

FUNCIONES

±—

3)

V

y=±2y[\

( j g ¿ Q p j- jg s e r je n e .

A

X * 3

Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones

X-3

D= {xe'.R/x>0} y2

Rango: y2= 4x => x = —

R = y = 0

. X " 3 y in +-----49 x +1

IV. Simétricas

Vx2-3x-4 V2 T - Vx2- 4

WTITfífíMf

EjeX: y => -y

a)

(- y)! =4x =* y! = 4x

f(x) = Vx2-4x +3 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:

Eje Y: x => -x

Tomamos los intervalos positivos f(x) esta definido si

y2 = -4x => NO

x2- 4x +3>0

(x - 3 )(x - l)> 0

x €

Origen: x => - x - y 2 = 4x y => -y NO

Finamente D = {xe9?/xe(-oo,l]w[3, «o)}

_____________ f

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I

.

,

w w w edukperu com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

b)

www. solucionarios. net

)

CAPITULO I

(

CAPITULO I

f(x) = ^1-|x|

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

Tomamos los intervalos positivos: x e [1,2> vj j

K S . U

H

'

Finalmente D= jxe R/xe[l,2)u(3,+°o)J

Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: l-|x|^0 =>l>|x| => |x|< 1 => -1 < x o ^

(2x+1)(x-l) ^ 0

x2+3x

x(x +3)

Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:

4~

-3

S~ °

^

x*~-4 1

V

^ (x-2 )(x +2) +

2

V

:

0

Tomamos los intervalos negativos:

V

+

Tomamos los intervalos positivos: x e (-oo, -3) u

2

x e vj [0,2>

Finalmente D = ix e R/xe(-oo,-3)u

Finalmente D = |xe9í/xe(-oo,-2)^[0,2)j --------

R 0

_________________

f ( x í - ( x t- 4) ( x8- 9) f ( x ) ' l - x o

x-1 7--- w--- 7-0 (x - 3 )(x - 2 )

(x-2)(x +2)(x-3)(x +3)

(x-2)(x +2)(x-3)(x +3) 1

2

x4-17x2+16

3

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

x4- 17x2+16

-x4+17x2-16

..

www.ediikpéru com

,V, A *d Jkperu coir,

^

£0

(x-2 )(x +2)(x-3)(x +3 ) ^ n (x-1)(x +1)(x-4)(x +4)

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

223

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

_ t

V -

1 4

V -

www. solucionarios. net CAPITULO

)

♦ V 1 V * V 3 - 2 - 1 1

-

\/ 2

♦

\/ 3

-\/7 4

(

i

i)

x-2

I 1—x

x +2

VVx +1

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

____

Tomamos los intervalos negativos: x e (-4, -3]u[-2f- l)u (l,2 ]u [3 t4) Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Finalmente D = {x e R / xe(-4 í- 3 ]u [- 2 ,- l)u (l,2 ]u [3 ,4 )}

g)

x-2 >0 n 1-x >0 n x +1 >0 x +2

f(x) = >/x2-3x +2 + -=^-1... \/3 +2x-x~ d

¡ B

x-2

>0 n x < 1 n x > —1

x +2

Como se ve, la intersección de los tres dominios es vacío; por tanto el dominio de la función es nulo: D = {} W

Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:

j)

f (x) = Vx —1+2>/l-x +Vx2+1

x2-3x+2£ 0 => (x - 2 )(x - l)£ 0 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 3 +2x-x2 >0 => x2-2 x - 3 (x-3 )(x +l)< 0 1-x^0

r\

x-

I >

0

n

x2+1 >0 =>x0

a

(

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

x * 0 A | x +4fl-1*0

-1

XÉ

3

por lo tanto D, = -jx e R /x e ( -qo, - -

u(-1

(x-4 )(x +4 )£0

a

x *0

a

|x|+4-1 *0

(x-4 )(x +4 )£0

a

x*0

a

¡x J* - 3

( x 4)

a

a

[x |* - 3

x*0

Vx2- 3x-4 Puesto que [x j = -3 en -3 < x < -2, tendremos:

V21 ->/x2-4

(x < -4 u x >4)

a

x* 0

a

x -2

Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Luego: x € por lo tanto D = { x e R / x e (-oo,-4]u[4,+oo)J x2- 3 x - 4 >0 r>x2-4x >0 n V21-V8-4 >0 Halle el dominio de la función f (x) = ^|x2—x —2| —|l - x 2|-|x +1| +>Jx

(x-4 )(x +l)> 0 n (x-2 )(x +2)>0 n 21 > x2-4 (x -4 )(x +1) >0 o (x-2 )(x +2) >0 n x2-25 0 *n (x-2 )(x +2 )> 0 n (x - 5 )(x +5)0 Puesto que tomamos la triple intersección: x e (-5, -2]u[4,5) |x -2||x +1|-|x -1||x +1|-|x +1|^0 => |x +l|[|x-2|-|x-l|-l]> 0 Finalmente

D = |x e R / x e (-5,-2]u[4,5)J Simplificamos: |x —2| —|x —1| —1£0

Halle el dominio de la función: f(x) =

x->/x2-16 x x +4 -x

Simplificamos el valor absoluto Valores críticos: x = -1; x = 1 1.

;->/x2-16 f ( x)= x[x +4]-x

x-Vx2-16 x(|x +4j-2)

El denominador debe ser diferente de cero y el argumento de la raíz positivo.

V.A.

X-1|

x -2

(—co,—1)

-x +1

-x +2

[ - 1, 2)

X —1

-x +2

[ 2 / 00)

X —1

x -2

____________________ —-— ------- — -y

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

wwsv edukperu c.ool j

_

www edukperu.com

SOLUCIONARIO A NÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

I

www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarios. net

j

CAPITULO}

Luego

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

x2+x-3x-3-(-x2+2x-x-2)>0

xe(-oo,-l) => - x +2 - (- x + 1)-1 => 0< 0 => xe(-oo,l) x e [ l , 2 ) => - x + 2 - (x - 1 )- 1 >0 => - 2 x + 2 + 1-1

x

- 2 - (

x

- 1 )- 1 > 0

=> - 2 > 0

=> x > 1 => x = 1

=> x +•

n xs(-oo (-2) => xe (-oo,-2)

Luego, el dominio está dado por unión de las respuestas obtenidas D = •[x e 9? / x e (- 00, -2)]

D = jx € 9?/ X € ( - ° ° , 1 ] }

O

Hallar el dominio de la función f(x) =^xsSgn(|xj +l)-1

. x +1 x +2 i— Hallar el dominio de la función flxW * —--{-s—r + v 7-: v ' y |x| +1 |x| +3

+ 0 para cualquier valor de x tenemos sgn(l x I + 1) = 1 En la segunda raíz 7 - x > 0 => x < 5 Luego: f(x) = . .-1 - + ij4-x Vx2-1

k¡7i'w 73s0^lx+ 1 K M + 3Hx+ 2 l(M + 1 )S :0

Dominio:

x2-1 > 0 n 4-x> 0 => (x-1)(x +l)> 0 n x < 4

Desarrollamos el valor absoluto: Valores críticos: x =-2; x = -1; x = 0 -1 x +2|

x +lj

-x-2

—X —1

X -X

[-2,-1)

x+2

—X —1

-X

[ - 1. 0)

x +2

x +1

-X

x +1

X

1.

V.A.

[0,eo)

x +2

Luego D = jx € 9?/x € (- 00,- 1 ) n(l,4]|

Dadas las funciones

F(x)= Luego xe(-co,-2) => (-x-1)(-x +3)-(-x-2)(-x +l)> 0

www. solucionarios. net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

f(x) = xs -5x+5, g(x) =-2x +-Hallar el dominio de

f3(x)-4g(x) f(x) +3g(x)

Hallamos la nueva función www.edukperu coit

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

229

"ft

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net J

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

F (x) =

f3(x)-4g(x)

( x 2-5 x +5)5- 4 ¡5 - 2 x )

f(x) +3g(x)

x2-5x +5 +3í ^ - 2Xj

CAPITULO I

(

CAPITULO I

C)

f ( X) =

2x2 X -

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

x2* | x j Esta condición solo se cumple si x = 0; x = 1 Finalmente D =

b)

f ( x) =

{

x

€ M /

x

* 0

a

x

*1}

1 2x- x

Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: 2x-|x|^0 => 2 x * |x | Hallar el dominio de las siguientes funciones

Esta condición sólo se cumple si x = 0

1 a)

]J

f(x )= ^ w

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO l

b)

Finalmente D = {x e íR / x * 0 }

f(x)= 2x- x

www. solucionarios. net

www.edukperu.com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

231

www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

c)

f(x ) =

)

www. solucionarios. net CAPITULO I

(

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

2x2

Determinamos los intervalos donde el argumento de las raíces sea real:

- [* ]

2-x.„ ¿0 X+1

Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - |x ]* 0 => x*|x|]

x-2._

i

=> --- x * j x ]

4 —x Se cumple r-¡— >0 por ser una raíz par x -1

Esta condición solo se cumple si x * 0

Si x>0 => I x I = x de donde -—- >0 => -—- ——— >0 => -—- >0 —X —1 x+1

Esta condición solo se cumple si x * 3 Finalmente D = {x e 9 ?/x *3 } f)

-1

f(x ) =Ix '|

xe

La función mayor entero por no tener ninguna restricción es definida para todo x real: D = { x e 9?}

(u

[4 ,+ x > )

u

n

4

de donde x e

< 1 ,4 ]}

f(x) = Vx —x3 g)

v

V x +1

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo:

www.edukperu.qom

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarlos, net

)

CAPITULO I

c a p it u l o

(

i

v2 :

x - x f >0 => x(x2- l) ^ 0 => x(x-1)(x +1)

Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:

La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo:

;

X2

a)

f(x )=

c)

f(x) =

a)

f(x)= ,

X

0 => x2- 4 /4-x2 >0

(x-2)(x+ 2)< 0

-4

El dominio: D = ¡x e ÍR / x € [2,5)}

f(x) = >/l-V4-xi’

4 - x2 £0

'

Tomando la intersección de las gráficas obtenidas

1

El dominio: D = |x e '.R/ x € (- oo,-1]w [0,1]}

j)

A

'

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

o l> 4 - x 2 => (x-2 )(x +2)0

>/x-2

; x £2

x" +2x —3 ; x e (-1,1)

3x-2 ; -4 < x < 4

x

;

4
1 =>X€'.R

D = {x e 9?)

El dominio: D = |x e '.R/x e [V3,2jj Rango: x x2 >0 => y >0 k)

f(x ) = l->/8-x2-2x

R = |y e'.R/y€ (-ao,-l]^j[0,oo)|

x > 1 => —x3 y >-1

8- x2-2x >0 =>x2+2x-8>0 => (x +4)(x-2)>0 xe[-4,2]

x 2+4x

=> El dominio: D = {x e 9?/x e[-4,2]}

- 12>0 r» x - x 2+20>0 => (x +6 )(x - 2 )£ 0 n x: - x - 20 0 n (x-5 )(x +4) x =

2

>3

y+ l> 6 = > y> 5 = s> ye [5,+oo>

Dominio: -4 < x D = {x e '.K / -4 )

Rango: -4 < x < 6; -12 < 3x < 12 => -14 < 3x - 2 < 10 => -14 2

a)

f(x) =

x2+2x-3 ; x e (-1,1)

Dominio: Df = w {2,+x>

\/4-X

;

Si

2x-8

;

Si xe(4,oc)

2¡x) +2

Rango: Rf = (-4,+oo>

1< x < 4 6

d)

f (x )=

e)

€ (0,4)

b)

f(x) =

d)

f(x) =

fx2—1; 4 < X /y +4

f(x) = V4-x

;

Six e (0 ,4 )

2x-8

;

Si xe(4,oo)

y + 4 > 0 =t> y > -4 => y e [4,+co>

H

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

w w w K f u lT e r 'j • •»in

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

www. solucionarios. net ........................ CAPITULO j

CAPITULO I

I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

|x +2|-x ; Si x € (-4,0) f (x) = \/4-x

;

Si x e (0,4)

2x-8

;

Si xe(4,oo)

II K1> X 1 to

a)

- 4 < x £ -2 -2 < x -1 ^ x < 0

x2 = 0 'u

D = {x e'J?/x €

Los intervalos donde la función positiva, la función signo toma valor 1, donde es negativa toma valor -1 y en los valores críticos es cero.

x2 = 2 => x = 0 O

±72

ÍQr “■Xy ~ x )(f*x )

(0,+oo>j

-1; X6, x *0 ----------= !f(x) = 0 ; X = 0 a X ± 7 2 _ e+ xd^x

f(X>=[ * - 3 H x ]

1 ;

l x - 311-1x1 =1x1-3-1x1=-3

X € < -00, 7 2

>

y j




I

X < \ R '3 x } =

^ b íK )b 3 X£

h)

f(x) = Ix|+^|x|-[x] |x |-|x j> ° => |x|a|x| x >0 => x>|fxfl => x >0

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

www.edukperu coni-

www.edukperu.com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

*

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

O

www. solucionarlos, net

)

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

c a p it u l o i

En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango, y hacer su gráfica (x +1)(x2+3x-10)

a)

f(x) =

c)

f(x) =

e)

f(x) =[xJ+|x| +x +2

8)

fW - t S í

i)

( x +x - 6 f(x ) = Sgn

x2+6x +5

4x2-9 2x +3

b)

f(x )=

d)

f(x ) =

x2-10x-l |x2J- 2 x - l (x2+3x-4)(x2-5x +6) (x2-3x +2)(x-3) 1 |x]

0

f(x ) =

h)

f(x) = S g n ([x - l]- l) +S g n (|x - lj- l)

X +1

b)

a)

f(x) =

x2-10x-l |x21—2x —1

(x +l)(x 2+3x-10) f(x) =

Dominio: D = {xe'.R}

x2+6x+5

+ 6 = d C= 0 = D + d

:o .. Rango: D = {xel¡R}

'

x2+6x +5

(x +l)(x +5) c)

De donde D( = {xےR/x*-1 Rango: f (-1) * -1 - 2 * -3;

a

f( x)=

*-5}

f (—5) * -5-2 * -7 => R = {y e'.R/x*-3

a

x *- 7 }

v '

4x2-9

if

2x +3 4 x ^ , ( 2 x - 3 ) ( 2 x 1 3 )=

3

2x +3

2

2x +3

Dominio: 2x +3 * 0 => x *

Rango: y * 2

¡a

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

d

de donde D = j x e '. K / x * - ^

- 3 * 6 de donde R = {y e 'JÍ/ y *-6}

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

ww w .edukperu.com

257

www. solucionarlos, net

www. solucionarlos, net

(

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS

CAPITULO I

(

CAPITULO I

a)

f(1)= 1y f(3) = 3

c)

f(7) =Oy f(8) = 9

b)

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

.

f(1) = 3 y f(3) = 1

MTTTTWlir La función lineal se define mediante:f (x) = ax +b a)

f(1)= 1=> 1 = a + b =>f(3) = 3

=> 3 =3a + b

£, 4- t f —ij s=t U ,

Restando ambas ecuaciones: 2 = -2a; a = -1; b = 2 De donde: f(x) = 2 - x b) fC1) =

3 => a + b = 3

f(3) = 1 => 3a + b = 1 ©

Si f(x ) = ax! + b x + c ,f(- 1 )+ f|^ l= j, f(-1) = 0 y f(1) = 8.Hallar f(5)

Restando ambas ecuaciones: -2a = 2; a = -1; b = 4 De donde f(x) = 4 - x

g ¡ ' n rirn ii w c)

En la función f(x) = ax2+bx +c f(-l) = 0 => f(-l) = a - b + c = 0 => b = a + c

..(1)

f(1) = 8 => a + b + c = 8

..(2)

ei 15 A a b 15 f(-1) +f - =— => 0 +- +- +C = •— v ; l 2J 4 4 2 4

..(3)

(1) en (2): a + c + a + c = 8 => a + c = 4

..(4)

(2) en (3): a + 2a + 2c + 4c = 15 => a + 2c = 5

..(5)

f(x) = ax +b => f(7) = 7a + b = O f(8) = 8a + b = 42 de donde a = 42 b = -7a = -7(42) = -294

Si

f

f(x) = 42x - 294

esuna función rea de variable real tal que:

f(a +3 )- f(a - 3 ) 2a-3

f(x +2) = x2+x. Calcular:

3 '

2

Se determina lafunción: u = x +2 =>x = u-2 =>f(u) =(u-2)2 +(u-2)

De(4 )y (5): b = 4; c=1; a = 3

Ahora:

La función es: f(x) = 3x2+4x +1 => f(5) = 3(25) +4(5) +l = 96 o

Determinar las funciones lineales

www. solucionarlos, net

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

;'f ^ . ¡1 ¡ g L _ f r f(u) = u2-4u +4 +u-2 = u2-3u +2 => f(x) = x2-3x +2

19 .0]

'M *

f(a +3) =(a +3)~ -(a +3) +2 = a2+3a +2 f(a- 3 ) =(a-3 )2-3 (a-3 ) +2 = a2- 9a +20

www.edukperu.cont-

________ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

www. solucionarlos, net

!

www. solucionarios. net

www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

f(a +3 )- f(a - 3 ) 2a-3

]

CAPITULO I

(

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

a¿ +3a +2-a2+9a-20 _ 12a-18 _ 6(2a-3) _ =6 2a-3 2a-3 2a-3 Desarrollamos la función mayor entero en el intervalo dado

O

Si f es una función real de variable real tal que: f ( a + l)- f (l) -,

f(x +l) = x"+3. Calcular: V-x +1 ; -2 < x < -1

-1; -2 < x 3

Calcular el rango y graficar las funciones dadas f (x) = yjx2 +4X-1 ; 0 < f>

Df2 r\ Dg3 => x > 4

-2 < x Df, n Dg3 =>
< f> < fi

Df, o Dg,

=>

< f> pQ < f>

Df3 n Dg4

=>

< t>

1

—X —1 (f +g)(x) =

-www.edufcperu com

n o i D D 6 < n ^ in l

c=

4> ¿CJ Df,

Dg,

,gü c\ ¿KJ >12 =>x +1>3 =>(x +1)2 >9 de donde R)¡? =y>9

Luego: Df+g u R Ug = x > 2 n y >9 => (9,x)

2

2 ; - 3 íx < - 2 u 0 íx < l 3 ; -2 < x< -1 ul< x < 2 3-x; -1/9-x‘ , determinar (sofXx)

mediante la definición

= {xeD f /xe D f A f(x )e D 8} (S o f)(x ) =

g(f(x )) = > /9-f2(x)= ^9-|x2-l|2

0 ; si x 2

Sea la función f :[1.4] ->[a, b] tal que f ( x) = x2- 2x +3 Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva

@

Si g(2-x) = >/x"^7 y (gof)(x) = 2x - 1, hallar f(x). Debemos probar que f(m) = f(n) => m = n f(m) = f(n) =t> m2- 2m +3 = n2- 2n +3 => m2-n2-2m +2n =0

g(2-x) = >/í- (2 - x ) => g(x) = VTo
(m - n)(m + n - 2) = 0 (go0(x) = g(f(x)) = 2x- 1 => ^1-f(x) = 2x-1 => 1-f(x) =(2x-1)2 m-n = 0 v m + n- 2 = 0 de donde m = n 1-f(x) = 4x2-4x +1 => f(x) = 4x-4x2 g (x )J

Determinamos a y b:

, - x X 6 - ^ - = - ^ - => x,x2+x, = x2x? +x2 => (x2-x,)(x,x2-1) =0 ' 7 X, +1 x2+1 x2—x, =0 v x,x2-1=0 => x2-x, =0 => x,=x2

Sea f : A ~»(l,10] dada por f (x) =

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

w* w edukpe .i rorst '

fes inyectiva

4-11x 4-2x

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net

www. solucionarios. net

» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I

a) Determinar A inyectiva

b)

Mostrar

que

f

setiene:

1< - - 11x (10 + 3x ,)(1 0 - 2 x 2) = (1 0 - 2 x ,)(10+ 3 x 2)

(4 - llx ,)(4 - 2 x t ) = (4-2xI )(4-1lx¡ )

100 + 30x, -20x 2 - 6 x ,x 2 = 100 + 30x2 -20x,

16-44x, -8 x 2 +11x,x2 =16-44x 28x , +11x ,x

30(x2x ,)- 2 0 (x 2x ,) = 0

44(x 2- x ,)- 8 ( x 2-x, ) =0 => x, =x2 .\ f es inyectiva

Sea A -»(-4,1 ] definida por f(x) = c)

10 +3x +40-8x 10+3x-10 +2x •>0 n --- — r----- ^0 10-2x 10-2x

10 +3x +4>0 n ------ 10 2x-4

2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

es a)

a)

(

CAPITULO I

- 6 x ,* 2

=> x ,x 2 \ f es inyectiva.

Sea A -♦[-9,-1) definida por f(x) = - —X O X

10+3x

determinar A

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

b)

a) Determinar A inyectiva

10-2x d)

Mostrar que f es inyectiva -------------------

c) t

Probar

que

f

¿f es suryectiva?

'

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

www. solucionarios. net _

es

www. solucionarlos, net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

CAPITULO I

a) a)

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

CAPITULO I

J

f(x) =3x +2¡x| =

3x +2x =5x

x>0

3x-2x = x

xx, = xL,

Luego: -9h

d)

f(x) =2-x3; xe'Jí

e)

f(x) = V9+x! ; x>1

9+12x, -3x2-4x,xe = 9-3x, + 12x2 -4x,x2 „xS-OÍ

=> 12x, - 3 x2 =3x, +1 2 x5 => 12(x, -x 2 )-3(x, - x ^ O => 9(x, -x 2) = 0 => x,= x2

En forma analítica y gráfica c)

11 1 Puesto q u e :---- 0 Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2

yi 1 f(x) = 3x +2|x|; g( x) = ——¿ h(x) =3x+7; p(x) = x+2|x| x

f(x,) = f(x2) =>3x,-2 =3x-2 => x, =x2

¿Cuál de estas funciones es inyectiva?

CTOI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

*■

www edukperv corrí

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

www. solucionarios. net

)

CAPITULO I

e)

/. fes invectiva b)

{

CAPITULO I

EDUARDO ESPINOZA RAMOS «

f(x) = V9 +x2; x> 1 Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2

f(x ) = S e n (x ); x e ^ - | , |

f(x ,) = f(x2) => ^/9+xf = ^9 +x 2

Debemos probar que

=> 9 +x* =9 +x2 => x,=x2; xeíH; x >h

f(x,) = f(x2) =>x, = x2

f es invectiva

Sen(x,) =Sen(x2); x e í “ f , | Demostrar que la función f definida por f(x) = 1- Vx2-4x-5; x l-^xj -4x, -5=1-^x2-4x2-5

f(x,) = f(x2) =>(x, -h)~ +k =(x2-h )‘ +h

>/xJ-4x,-5 =^ x 2-4 x 2-5 => x j-4 x ,- 5 = x |-4 x ,-5

x,-h = x2-h => x, = x2; x>h x ;- x 2-4(x, -x2) = 0 => (x, -x2)(x, +x2-4) =0 f es invectiva x2 = x, si x x, = x2 d)

es in yectiva

f (x) = 2 —x3; x€'JÍ X —1

Demostrar que f ( x) =--- ; x * -2 es inyectiva ' x +2

Debemos probar que f(x,) = f(x2)

OLUCI

f(x ,) = f(x2) =s 2(-x?) = 2(-x3)

Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2 => -xj =-x2 => x, = (x , —1) ( x 2 + 2 ) = ( x 2 - 1 ) ( x , + 2 ) => x ,x 2 + 2 x , -

x 2-2

= x,x, + 2 x 2 - x , - 2

f es invectiva 3(x, - x2) = 0 => x, = x2

i

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarlos, net

A/W.v

x = 3

=> f ( x) =* J Ü ' 3

Determinamos el dominio de la función, 5-x >0 Ahora la función valor absoluto

Luego: f(a! ) = f'(a +2) => 3a! +2a = —

=> 9a! +6a = 2-a

¿m.

|x-5| = j X X _ ^ de donde: f(x ) = (5-x +x +1)>/5-x 15-x, x ^ 5

9a! + 7 a - © 0 => a = - 1 ;a = Q

f(x) =6>/5-x Probamos si f(x) es inyectiva: f(x ,) = f(x 2) los demuestra que f(x) Hallar la inversa f ( x ) si existe de la función f(x) = x2+4x-l,

xej-4,-3)

es inyectiva.

Í w *Despejamosx: y = x2+4x-l => y =(x +2)2-4-1 => x +2 = -^y +5

i Ox i O

x 3+4

y ^ 1

Hallar la función inversa de f(x) si existe x

f (x) = -2->/x +5; x e (-4,-3)

O

Mediante el gráfico se observa que es inyectiva puesto que la línea horizontal corta el gráfico en un solo punto.

Hallar la inversa f* (x) si existe la función: f(x) = x2—2x —1; x>2

Analizaremos si f(x) = x2-2x-1 es inyectiva Si x>2 => f(x) = x2-2x-1=(x-1)2-2 => f(x ,) = f(x 2) (x,-1)2-2 =(x2- l) 2-2 => (x,-1)2 =(x2- l) 2 =>x,=x2

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucion arios, net

www.edukperu.cor*

www edukperu.com

SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I

www. solucionarios. net

www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS

)

CAPITULO I

2 x-1 ;

O

www. solucionarios. net

Dada la función: f(x) =

4x"

x < —1

EDUARDO ESPtNOZA RAMOS «

i

Por tanto la función es invectiva. Los rangos en cada inteivalo se detallan en el gráfico

; - l< x < 0 . Hallar f*(x)si existe.

x +4 ;

c a p it u l o

Determinamos la función inversa

x >0

0 x = V 4 —y ; 0 2:

Determinamos la función inversa

y = -^- + x - 1 x x =

=> x2 - 2 x + 2 +y

y = 4x2

x > 0:

f*(x) =

f(x)=

x

= 1 +>/-1 - y

x^-1

V4-X

; 0/—1—X ;

x x = y - 4 ; y > 4 => f‘ (x) = x-4; x >4

x > 0: y = x +4 => x = y-4; y>4 => f‘ (x) = x-4; x>4 x-2

-1

; y < -3 => f'(x ) = - ~ x < - 3 f‘ (x) = 1+V-1-x

-1 < x < 0:

= 0 => ( x —1)

;

x >4

Determinamos la función inversa |x -4|

O

Dada la función f* (x) =

0 x =—1—>/y —1; y>1

x >-2:

y =-Vx +1 => x +1 = y* => x =y2- 1 ;y< 0 f*(x) = x2-1; x

Hallar f*( x) si existe.

M m asn m vam Determinamos la función inversa

s,

Df n Dg¿ => 0 < x < 1

Df n Dg3 =>

S, =>

Df3 n Dg, =>

+g)(x):

-1 < x ¿-: y =Vx +2-x2+1 => (y —1)2 =x +2-x2 =^(y-1)2= |-^ X- I j

x

x2+4x X

2

-1

7t~\ 2< x< 4:

•

y = 2-

7 y-2

7 x-2

1