38 0 5MB
www. solucionarlos, net V) EDUARDO ESPINOZA RAMOS
]
www. solucionarlos, net CAPITULO I ...............
....................... CAPITULO I
RELACIONES Y FUNCIONES
&
..............................................
(
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x + y, 3) = (5, y - x)
En cada caso determinar los valores de x e y Mediante identidades: x + y = 5 (x,4) = (-2,y)
-• m
(x,4) = (2,y) x = 2
^^ i it1n i i\ W f
a y - x =3
jx +y =5
2y = 8
[y- x = 3
x +y = 5 => x +4 = 5 => x = 1
=> y = 4
y =4
a
0
(4, 2x- 10) = (x- 1, y + 2)
(x - 7y, 2x - 6y) = (15,-10)
_____________
j k s ti t l B M
Mediante identidades: 2x - 10 = y + 2
x - 7y = 15
4 = x- l => x = 5
a 2x- 6y = *10 =>x = 3y-5
En la primera ecuación: 3y - 5 - 7y = 15 => y = -5 => x =-20
y = 2(5)-10-2 = -2 => y = -2 ^
( y -2, 2x + 1) = (x - 1, y + 2 )__________
(3x - 8x, 4x + 3y) = (4 - 2x - 1Oy, 2x + 4y+ 7)
jy Q JíS B E S M f Mediante identidades: y - 2 = x - 1 => y = x+ l
Mediante identidades:
3x-8y = 4-2x-lO y
a
4x + 3y = 2x + 4y + 7
2x + 1 = y + 2 => 2x + 1 = x + 1 + 2 => x = 2; y = 3 5x + 2y = 4 (5x + 2y, -4) = (-1, 2x - y)
J ________ 0
Mediante identidades: 5x + 2y = -1
JB E ÍM 2 E ¡ ¡ I W
5x +2y = - l _ „ 1 7 => 9x = 9 => x = -l 4x-2y = -8
Mediante identidades:
5x +2y = - 1 2x - y = 4
Como 2x - y = -4 => -2 - y = -4 => y = 2
Ém m m i w *
(x + 5,3 - y) = ( 7
, 2
Í5x +2y = - 1 . . =>9x = 7 = > x = 4x-2y = 8 9 2x - y = 4 => — - y = 4 => y = - — 9 9
(x + 4, 6) = (10, y - x)
Mediante identidades: x + 4 = 10
2x-y = 7=> 9x = 21 => x = - ; y =- 3 3
(5x + 2y; 4) = (-1, 2x - y)
2x - y = -4
a
a
0
(x 3 -19, x£y- ó ) = (y 3 ,xy2)
x = 6; y - x = 6 => y = l2
M T T T F íilf* Mediante identidades:
) __________
M
x3-19 = y 3 => (x - y )(x 2 +xy+ y2) = 19
Mediante identidades: x + 5 = 7 => x = 2; 3 - y = 2 => y = l
H
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I
.
wv.vv.eduKpera.com
'Www ftdukpftru com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
J
www. solucionarlos, net
.............................................................................................
CAfm 'LO I
'
........................................................................
(
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2y-6 = xy2 => xy(x-y) =6 Dividimos ambas ecuaciones
a)
x +xy +y _ 195x2+6xy +6y2 = 19xy => 6x2-13xy +6y* = 0 xy 6
Desarrollaremos los conjuntos
2x (2x-3y)(3x-2y)= 0 dedonde y = —
A = {x eZ^-l < x< 3} = {-1,0,1,2,3}; B - {x e Z / lS x S 4 }- {l,2 ,3 ,4 };
a
3x y = —-
AxB
b>
BxC
o
(a - C )
x
B
C = {x e Z / l£ x S 4 j= {1 , 2,3,4) Con y = — => x3-19 = y3 => x3-19 = ^ - => = 19 => x =3; y = 2 3 27 27
O
(2x - y, x + y + 3) = (x + y + 1, 2x +y)
a
1 x-y,A
( y-x
b)
B x c J (1' l);(,' 2)(1’3) :( 1' 4^ (2’1) i( 2' 2K 2'3);(2.4);(3.1):(3,2)(3,3);(3,4);l 1(4,1);(4,2)(4,3);(4,4) |
c)
(A - C )x B = {-l,0}
x + y + 3 = 2x +y
Simplificando x = 2y+ l; x = 3 => y = 1 x +y
A x B = | ( " 1' 1 ) : ( - 1 ' 2 ) ( ' 1' 3 ) ! ( 1>4 ) ; ( 0 >, ) ¡ ( ° . 2 ) ( a 3 ) ; ( 0 , 4 ) ; ( 1 , 1 ) ¡ ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ; ( 1 , 4 ) ; l l(2 .1 ) ;( 2 ,2 )(2 ,3 );( 2 ,4 );(3 ,l);(3 ,2 )( 3 ,3 );(3 ,4 )
Mediante identidades: 2x-y = x + y + l
O
a)
~ y +x
(A -C )xB= {(-1,1);(-1.2)(-1,3);(1,4);(0,1);(0,2)(0,3);(0,4)}
Mediante identidades: ^ i v _ 1=y ^ +2 a ^ y +i = ^ - 2
2
2
2
=> x+ y-2= y-x+ 4 => 2x = 6
a
a
2
x-y+ 2= x+ y-4
2y = 6 => x = 3, y = 3
En cada caso hallar los conjuntos y graficar. Dado
los
conjuntos:
A = {x e Z / - l^ x < 3 },
B - {x e Z / l < x 1 |x-1| = ----- ; |y-l| = | y - 1 : y a l ' ' [l- X ; X < 1 ' ll- y ; y < 1
R = {(x,y)eU xll/x divide a 20¡ De donde: x = y; y = -x Para x divide a 20, de donde x = {1,3,5,7} tenemos: R = {(1 /1);(1,2);(1,3);( 1,4);(1,5);(1,6);(1,7);(1,8);(5,1 );(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (5,7);(5,8)}
9
i)
R es reflexiva: (x,x) eR; y = ± x
ii)
R es simétrica: (x,y) eR, y = x => x = y; (y,x) e R
iü) R es transitiva: (x,z) € R, y = z
En el conjunto de los naturales N se define una relación R de la siguiente forma R = j(x ,y)e NxN/x2+x = y2-t y} Es decir si es una relación de equivalencia,
=>(z,y) e R, z = y
=> x = y; (x,y) e R
Por tanto es una relación de equivalencia
justifique su respuesta b)
R={(x,y)e RxR/xe-x = y2- y}
Reflexiva: (x,y) e R, x: +x = x2+x
i)
Simétrica (x,y)eR , x2+ x = y2+y => y2+y = x2+x; (y,x)€R
ii) R es simétrica: (x,y) e R,x2-x = y2- y
Transitiva (x, y) eR, x2+x = z2+z =>(z,y)eR, z2+z = y2+y
iii) Res transitiva: (x,z) eR, x2-x = z2-z => (z,y)eR ,z2-z = y2- y
Por tanto es una relación de equivalencia
Por tanto R es una relación de equivalencia.
a)
b)
R = {(x,y)e RxR/|x-1| =|y-l|]
Siendo A = {1,2,3,4,5,6} estudiar las propiedades de las relaciones binarias a)
R = {(x,y) e A x A / x + y>0)
c)
R = {(x,y) e A x A / x < y }
R = {(x,y)eRxR/x2-x = y2-y¡
Demostrar que son relaciones de equivalencia, Justifique su respuesta
=> y2- y =x2- x (y ,x )e R
x2- x = y2- y (x, y ) e R
=> x2+x = y2+y; (x,y)¡(4,6);C5j4);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)|
-3
No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente c)
-2
-1
A
1
, 2
, 3
X
X1
R = {(x,y) € A x A / x < y} Desarrollaremos los pares ordenados para evaluar las propiedades R = {(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(3,3);(3,4);(3,5);
Q
Clasificar la relación R definida en Z x Z mediante (a,b) R (a',b’) ab’ = ba’
(3,6);(4,4);(4,5);(4,6);(5,5); (5,6);(6,5);(6,6)} No es simétrica, si reflexiva, no es equivalente Si ab' = ba’ => La relación es reflexiva. A = {1,2,3,4}; R = {(x,y) e AxA / x = y v x + y = 3} (a,b) R (a’,b’) => La relación es simétrica y transitiva
arTTirírr¡w
Por tanto, R es equivalencia
Desarrollamos la relación dada Definimos en el conjunto Z x (Z - 0) si la siguiente relación: (a,b) R (c,d) o
R = {(1,1 );(2,2);(3,3);(4,4);( 1,2);(2,1)} Reflexiva: (x,y) o
ad = be
(y,x) Z x (Z - 0) => (a,b) R (c,d) o
ad = be => Relación transitiva
Simétrica (a,b) R (c,d) relación simétrica reflexiva
R es de equivalencia
Transitiva ( Jj)
Demostrar que la relación dad por R = {(a,a);(b,b);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)}
En Z define la relación R : {(x,y)eZxZ/x2+x = y 2+y¡ Graficar R.
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I _
www.edukpdrtfvwffl
i
■Bww.etíukperu
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarlos, net c a pii i
)
CAPITULO I
El conjunto A = {a,b,c,d} es una relación de equivalencia
..................
(
EDUARDO ESPINOZA RAMOS < /
En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y)
Solución
—x(—Y)" —3( —y )2~1 =0 => xy" +3y 1=0 No hay.
R = {(a,a);(blb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Simétrica: R = {(a,a);(bfb);(c,c);(d,d);(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Reflexiva: R = {(a,a);(b,b);(c,c);(d,d)} Transitiva: R = {(a,c);(c,a);(b,d);(d,b)} Por tanto R es de equivalencia O
Discutir y graficar las relaciones siguientes: a)
xy2-3y2-1=0 « ■ m e m i— 1 Extensión: Dominio y2(x-3 ) = 1 => y = ± -j= = — x-3 >0 => x >3 >/x-3
b)
y2(x2-4) = x +2
f
D = {xeiH/x>3}
Extensión: Dominio: y2(x2-4) = x +2 => y± -X,+^ = ± V x2- 4 y/x +2
Rango: xy2 = 3y" +1 => x =
Asíntotas Asíntotas Verticales; x = 3
— => R = (y e SR/y * 0
x + 2 > 0 => x > -2 => D = {x € R / x > -2} 1 ± ^ 4 / (4 / )
Rango: x2y2- x - 4 y 2=0 => x
Asíntotas Horizontales. x =
xy2-3^ ■
Asíntotas
Si hay Eje y: Cambiamos x por -x:
-xy2- 3y2-1 = 0 => xy2+3 / +1 = 0
Asíntotas Verticales; x = -2 Simetrías
No hay.
www. solucionarlos, net
r r | soLucioNARio a n á lisis
Asíntotas Horizontales, y = 0
m a tem á jic o i
.
vvww.edul'.peru
■www“d’jfcpe”;
www. solucionarlos, net _
.
.
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I BW
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarlos, net
J
C A P P 'J L O I
(
CAPITULO I ..................................................
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Simetrías: Eje x: Cambiamos y por-y: ( - y f ( x 2-4) = x +2 =o y2(x2 -4) = x +1 Si hay 2
Eje x: Cambiamos y por-y:
(-y)~= —— 3-x
Extensión: Dominio y =
1
Eje y: Cambiamos x por -x: y2jj-x)2-4^ = -x +2 => y2(x2-4 ))- x +2 No
2
=> y2= —— Si hay 3-x
hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): (- y )^ (- x )¿ - 4 j =-x +2 => y2(x2-4) =-x +2 No hay.
c)
y2 =
2x2 -3x-5
3-x
Extensión: Dominio y2 = 3-x> 0= > x< 3= > Rango:
3-x
y±
JE\3 -x
( x + 1)(2x-5); * *
1; X * 2
V 3-x Rango: 2x" -3x-5 - — => 2x2-3x-5- —=0 fórmula general
D = {x e R /x < 3 )
y
y
3y2- xy2 = x2 => x2+xy2- 3y2 = 0 y±\ /y4+12y2
2 =y ± V 7 W
2
=y iy V Z ± ]2
2
Asíntotas Verticales; x = 3 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
de donde R = {y €'.)?}
de donde R = {y e9?} 3±i 9 +40 - 8
Asíntotas
i
1
y
V
Asíntotas Horizontales. No hay.
www. solucionarlos, net
nvw . eduk perú.c pffi
4
de donde: 49 - >0 => y
—- >0 y
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I gSfl
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
j
www. solucionarios. net ............................. CAP 0101
CAPITULO I ........
e)
(
x 'V -x* +y2+1 =0
R = |y e'.R/y e (- o o ,0 ]u
J»TiTTTrer.T7l
Asíntotas Asíntotas Verticales; x =-1; x = -
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Extensión: Dominio y2(x2+1] = x2-1 Asintota Horizontales; y = 0
x~-l>0
Simetrías:
y =±
x —1 x2+1
(x - l)(x +1)>0
D = | x e '.H/ x €
oo, —1J
00^}
Eje x: Cambiamos y por -y: Rango: x2(y 2- l) =-y2-1 => x = ± ^ )~ j
y(2x2—3x —5) = 1 =>-y(2x2-3x-5) = 1 No hay Eje y: Cambiamos x por -x:
1- y2 >0 => y2-1 (y- 1 )(y +l)< 0
y(2x2-3x-5)= 1 => y(2x2+3x-5) = 1 No hay. R = {y g 9í/x € (-1,1)} En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y);
Asíntotas
y(2x2-3x-5) = 1 =>-y(2x2+3x-5) =1 No hay.
-A. Verticales; No hay
Interceptos:
Simetrías:
Eje x: y = 0 => No hay
Eje x: Cambiamos y por -y:
1 Eje y: x = 0 => y * - — 5
x2y2-x2+y2+1=0 => x2y 2-x 2+y2+1 =0 Si hay
A. Horizontales, y = ± 1
Eje y: Cambiamos x por -x: x‘y2-x2+y2+ 1=0 => x2y: -x2+y2+1= 0 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): x2y2-x2+y2+1= 0 => x2y: -x: +y2+1=0
Si hay.
Interceptos: Eje x: »
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
.vww eaukoer'j
wvm.edukperu. com
y = 0 => x2 = 1 => x = ±1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarios. net
D
C A P ,T ,,LO I
Eje y: x = 0 => y; =-1
CAPITULO I
.c
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(-y)2(x2-4)= 4xa =* y2(x"1-4) = 4x2 Si hay
No hay
Eje y: Cambiamos x por -x: ys[(_x )2-4 j= 4 (-x )2 => y2(x2-4) =4x2 Si hay. En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); (-y2)[(- x )'- 4 ] =4(-x)2 => y2(x2-4) = 4x2 Si hay. Interceptos: Eje x: y = 0 => x2 = 0 => x = 0
f)
Eje y: x =0 => y2 = 0 => y =0
x 2y 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 0
a r r f f li1* Extensión: Dominio
x
2- 4 > 0
y 2 ( x 2 - 4 ) = 4 x L> =>
=> ( x - 2 ) ( x + 2 ) > 0
D = { x € ïH / x e (- 00,- 2 ) u
Rango: x‘ ( y 2 - 4 )
R ={ y
4 x -1 y = ±^— — ^
= 4y2
(2 , oc)}
=>x = ±
4y
y2- 4
e * }
Asíntotas -A. Verticales; x = ± 2
;
A. Horizontales, y = ± 2
Simetrías: Eje x: Cambiamos y por - y : H
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I
wa
“»djkp^ru.cím
www.edukperu.com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
207
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
g)
)
www. solucionarlos, net CAPITM'CH
CAPITULO I
i
h)
xy- 2 x -y-2 =0
2x -f 2 Extensión: Dominio y(x-1) = 2x +2 => y =--- — => d = {x e y2
4
Rango: x (y- 2 ) = y +2 => x = ^-^- => R = {y e'J?/y * 2} y-2 v
Rango: x +1= —
Asíntotas
Asíntotas
-
A. Verticales; x = 1
=2 =>D = {xeiH /x> -l}
R = |y e M /y * 0}
-A. Verticales; x = -1
A. Horizontales, y = 2
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
A. Horizontales, y = 0
Simetrías:
Simetrías:
Eje x: Cambiamos y por -y:
Eje x: Cambiamos y por -y:
-x(-y) +2 x-(-y)-2 = 0 => xy +2x +y- 2 = 0 No hay
(- y )'(x +1) = 4 => y2(x +1) = 4 Si hay
Eje y: Cambiamos x por -x:
Eje y: Cambiamos x por -x:
-(-x) +2 (- x )- y- 2 = 0 => xy-2x -y-2 =0 No hay.
y-(-x +1) = 4 No hay.
En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): - -xy-2x + y - 2 = 0 Si hay
En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y); y2(x +1) =4 => y2(-x +1) =4 No hay.
Interceptos: Interceptos: Eje x: y = 0 => x = -1 Eje x: y = 0 => no hay
Eje y: x = 0 => y = ± 2
Eje y: x = 0 => y = -2
208 *
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
www edukoeru.conv
www eduKper, -.qiti
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
O
www. solucionarios. net
j
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I
Discutir y graficar las relaciones siguientes a)
xy2+xy-6x-3 = 0
Extensión: Dominio xy2+xy-6x -3 =0 => y =
-\±yjx' +4x(6x +3) 2x
_-x±^x(25x +12)
V~
2x
De donde: D = h e íí/ x e (- o o ,- — 1 ' 25
Rango: x(y2+y-ó)=4 => x =
(0,co)
(y +3 )(y-2 )
R = {yeüH/y *-3, y *2 }
b)
y=
3x2-8x +4 3x2
Asíntotas * A. Verticales; x = 0
A. Horizontales, y = -3; y = 2
Simetrías:
Extensión: Dominio y =
3x2-8x +4 3x2
=> D = {x eiR/x *0 }
Rango: x2(y +3) +8x-4 = 0 => x =
-8±>/64 +16(y-3) 2(y2-3)
Eje x: Cambiamos y por-y: x(y2- y - ó ) =4 No hay 64 +16(y-3)£0 n y 2- 3 * 0 => y >-1 o y^ V ^ ) Eje y: Cambiamos x por-x:
-x(/2+y-6) = 4 No hay. R = jye'.R/y >-1 n y * > / 3 j
En el origen: Cambiamos (x,y) por (-x,-y): -x(y2- y - 6 ) = 4 No hay. Eje y = 0 => 3x2-8x +4 = 0 Interceptos: Asíntotas Eje x: y = 0 => x = -- no hay 3
Eje y: x =0 => No hay
Asíntota Vertical:
(3x-2 ) (x-2 ) =0
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
wvw ed-.kperu.corp-
asíntotas
Asíntota Horizontal: y = 3
2 x =3 x =2 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
)
www. solucionarios. net CAPITULO I
Simetrías
(
CAPITULO I
c)
Eje X: x = - x => y =
3x2+8 +4
2
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
4X x* -4
y =-
mmm Dominio dejando en términos de x
Eje Y: y = -y => y =
Origen y: x => -x =
3x2+8 +4
y = - 7--.^= , elevando al cuadrado se tiene: 4
3x2+8 +4
y£
4x2 x2-4
I) Extensión
y = -y
Dominio:
y=
±2x Vx2-4
Eje x = x = 0 =>3
x2- 4 >0 => (x - 2)(x +2) >0 d)
R = u x ,y )e W2/y =
1 2x -3x-5
D = { x e '.H/x e (-oo, -2) kj (2, +x>)
{0} J
II) Interceptores: eje X y = 0 => x Dominio y =
i 2x2-3x-5
1
III) Asíntotas:
(2x-5)(x +l) IV) Simétricas: ejeX: y => -y
D = {ye iH / x ^
-5/2
a x
?¡
-1}
¡
4x2
Rango:
x2y2-4y2=4x8 => x2(y8-4) = 4^.2
2
4x2
(-y) = 75— x* - 4r => * ' = x2- 4
Rango: Despejamos x en función de y: 3± 9 +40 +2x2- 3 x - 5 - —= 0 => x = 3-
±2y x = .— — >/y2 -4
y
y2-4>0 => (y- 2 X y +2)>0
—+49 >0 => 49y +8 >0 y
y
d)
Se toma los intervalos positivos D = •l{ x g '.H/ x e V (-oo,— '49 u -y x3+x(-y)2- y 2 =0
Origen: x => -x:
-x3- xy2- y2 = 0
y => -y
IV) Interceptor Rango:
2x2y-5xy+ 2y = x2+1 Eje X: y = 0 => x = 0
x2(2y-l)-5xy+ 2 y - l =0
x=
5y±j25y2- 4 (2 y - lf 7------------ --------------2 (2 y - l)
---------- —
Eje Y: x = 0 => y = 0
2 y-1 *0
=>
a
25y2-4(2y-1)>0
A (5y-4 +2)(5y +4- 2) £0
f)
y=
x(x +3) (x +2Xx-2)
Extension Dominio
A (y +2)(4y-2) £ 0 D = {xeíR/x*± 2¡ r =y
e)
e íR /y e < -o o -2 ]
2 4
—
oo >
a
y * -
1 2
Rango: x2y- 4 y = x2+3x => x2(y - l)- 3 x - 4 y = 0
x3+xy2- y2 = 0
_ 3±yj9 +] 6y(y—1) 2(y —1)
I) Extensión
16y2-166 +9>0
a
^
9+16y^y _ 1j ^ 0 A y#1 v '
y*l
_,3
Dominio y2(x-1) = -x* => y± y2- y +¿ > 0 lo x3 x3 £ 0 => --- }
f
iy y
—
2,
a
y* 1
c + — > 0
16
a
y* 1
=>
9í = { y e íR / y * 1 }
1
J
Rango: y e II) Asíntotas
II) Asíntotas:
AV: x = 1 AH no hay
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
------------ j
wwvv.edufcpenj co?»-
AV: x = ±2 AH: y = 1 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
1
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
)
www. solucionarlos, net CAPITULO
CAPITULO I
(
i
III) Inteceptor y = 0 => x =
III) Interceptor: Eje X: y = 0 => x = 0 x = -3
5
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
5
x = 0 => y = -
IV) Simétricas
AY_5
Eje Y: x = 0 => y = 0
No
IV) Simétricas Eje Y: x = x => y =
x(x +3) Eje X: y => -y =—— --xy
NO
x(x-3) Eje Y: x => y = —^— — NO x2-4 Origen
-x
_ y = x(x-3) N0 x -4
y => - y I
16 - 8y(5 - 4) > 0 8y2+10y +16>0
a
2 ( 1’ - 1)
x => -x
-4x-5
y => - y
^ _ y _ 2(x2-1)
No
No
Discutir y graficar las relaciones siguientes: a)
y*0
a
-4x-5
y=
x2-15 x +1
y*0 Extension: Dominio D = (x € S.H/x * -1}
y2-5y +2>0 n y * 0 Rango: y ——I - — +2^0 o y * 0 2J 4 5^ y _ 2>
_ y± \ly2+4(25 +y) x =
2
17 - — £0 n y * 0 4 5
V 2
Vl7 f
2
5
y/l7
yT T
. . Asíntotas A = ye '¿R ;
xy +y = x2-25 => x2-xy-2 5-y = 0
y2 +100 +4y >0
(y +2)2-4 +100>0 => (y +2)2+96 >0 >0
a
'.R = {x e r}
Asíntotas
y*0
A.V. x = -1
-2Vl7 5 +VÍ7 ye< -oo -----, ------- >
A.H. No Hay III) Interceptor
A.V. x = ± 1 A.H. No hay
www. solucionarlos, net
fü SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
EjeX =>y = 0=>x = ±5 _________________ J www.edukperu.coiT
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
i
www. solucionarlos, net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPIN OZA R A M O S
www. solucionarlos, net
j
CAPITULO I
(
EDUARDO ESPINOZA R A M O S «
Eje Y => x = 0 => y = -25 => (5 -1 Oy)2- 4(3y - 2)2 >0 IV) Simétricas Eje X: y = -4y => -4 =
eje x =>-x=> - y =
x2-25
y*3
[5-10y-2(3y-2)] [5-10y +2(3y-2)] >0 Ay * |
x +1 II. Asíntotas
x2-25 -x +1
A.V. x = — 3 ongen
a
x 2- 2 5 ..^ >- y =----- NO y => -yj -x +1
a
x =3
x=> -xI
A.H. y = 3
V = - /X0 5 x; x2-1 * 0 => x * ±1
III. Interceptor
2(x -l)
EjeX: 2x2-5x +2 = 0 => (2 x - lX x - 2 ) = 0
JB E 2 2 E Ü JW D = {xc'.R/x * ±1}
Y
x =—; x = 2 2
2x2-5 x +2 3x2-10x +3
Eje Y: x = 0 => y = |
I) Extension
IV. Simétricas
Dominio 3x2-10x +3 *0 => (3x - l)(x - 3) * 0
x * —; x * 3 de donde se tiene: 3
Eje Y: y => -y „ 2x2-5x +2
D =i x e W / x * l a x * 3 1 3
Rango:
Y
d)
~ 3x2-10x +3
xy2-4x2+12x-3y2 =0
3x2y-10xy +3y =2x2-5x +2 I) Extension x2(3y-2) +(5 +10y)x +3y-2 =0 Dominio: y2(x-3)= 4x2-12x => y2= x^4x—— x-3
10y-5±V(5-10y)2-4(3y-2X3y-~2) 2(3y-2) SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
www ed jkperu.cotr
www. solucionarlos, net .
.
.
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
219
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA R A M O S
www. solucionarlos, net
j
CAPITULO i
(
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
FUNCIONES
±—
3)
V
y=±2y[\
( j g ¿ Q p j- jg s e r je n e .
A
X * 3
Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones
X-3
D= {xe'.R/x>0} y2
Rango: y2= 4x => x = —
R = y = 0
. X " 3 y in +-----49 x +1
IV. Simétricas
Vx2-3x-4 V2 T - Vx2- 4
WTITfífíMf
EjeX: y => -y
a)
(- y)! =4x =* y! = 4x
f(x) = Vx2-4x +3 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:
Eje Y: x => -x
Tomamos los intervalos positivos f(x) esta definido si
y2 = -4x => NO
x2- 4x +3>0
(x - 3 )(x - l)> 0
x €
Origen: x => - x - y 2 = 4x y => -y NO
Finamente D = {xe9?/xe(-oo,l]w[3, «o)}
_____________ f
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO I
.
,
w w w edukperu com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
b)
www. solucionarios. net
)
CAPITULO I
(
CAPITULO I
f(x) = ^1-|x|
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Tomamos los intervalos positivos: x e [1,2> vj j
K S . U
H
'
Finalmente D= jxe R/xe[l,2)u(3,+°o)J
Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: l-|x|^0 =>l>|x| => |x|< 1 => -1 < x o ^
(2x+1)(x-l) ^ 0
x2+3x
x(x +3)
Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:
4~
-3
S~ °
^
x*~-4 1
V
^ (x-2 )(x +2) +
2
V
:
0
Tomamos los intervalos negativos:
V
+
Tomamos los intervalos positivos: x e (-oo, -3) u
2
x e vj [0,2>
Finalmente D = ix e R/xe(-oo,-3)u
Finalmente D = |xe9í/xe(-oo,-2)^[0,2)j --------
R 0
_________________
f ( x í - ( x t- 4) ( x8- 9) f ( x ) ' l - x o
x-1 7--- w--- 7-0 (x - 3 )(x - 2 )
(x-2)(x +2)(x-3)(x +3)
(x-2)(x +2)(x-3)(x +3) 1
2
x4-17x2+16
3
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
x4- 17x2+16
-x4+17x2-16
..
www.ediikpéru com
,V, A *d Jkperu coir,
^
£0
(x-2 )(x +2)(x-3)(x +3 ) ^ n (x-1)(x +1)(x-4)(x +4)
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
223
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
_ t
V -
1 4
V -
www. solucionarios. net CAPITULO
)
♦ V 1 V * V 3 - 2 - 1 1
-
\/ 2
♦
\/ 3
-\/7 4
(
i
i)
x-2
I 1—x
x +2
VVx +1
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
____
Tomamos los intervalos negativos: x e (-4, -3]u[-2f- l)u (l,2 ]u [3 t4) Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Finalmente D = {x e R / xe(-4 í- 3 ]u [- 2 ,- l)u (l,2 ]u [3 ,4 )}
g)
x-2 >0 n 1-x >0 n x +1 >0 x +2
f(x) = >/x2-3x +2 + -=^-1... \/3 +2x-x~ d
¡ B
x-2
>0 n x < 1 n x > —1
x +2
Como se ve, la intersección de los tres dominios es vacío; por tanto el dominio de la función es nulo: D = {} W
Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real:
j)
f (x) = Vx —1+2>/l-x +Vx2+1
x2-3x+2£ 0 => (x - 2 )(x - l)£ 0 Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: 3 +2x-x2 >0 => x2-2 x - 3 (x-3 )(x +l)< 0 1-x^0
r\
x-
I >
0
n
x2+1 >0 =>x0
a
(
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x * 0 A | x +4fl-1*0
-1
XÉ
3
por lo tanto D, = -jx e R /x e ( -qo, - -
u(-1
(x-4 )(x +4 )£0
a
x *0
a
|x|+4-1 *0
(x-4 )(x +4 )£0
a
x*0
a
¡x J* - 3
( x 4)
a
a
[x |* - 3
x*0
Vx2- 3x-4 Puesto que [x j = -3 en -3 < x < -2, tendremos:
V21 ->/x2-4
(x < -4 u x >4)
a
x* 0
a
x -2
Determinamos los intervalos donde el argumento de la raíz sea real: Luego: x € por lo tanto D = { x e R / x e (-oo,-4]u[4,+oo)J x2- 3 x - 4 >0 r>x2-4x >0 n V21-V8-4 >0 Halle el dominio de la función f (x) = ^|x2—x —2| —|l - x 2|-|x +1| +>Jx
(x-4 )(x +l)> 0 n (x-2 )(x +2)>0 n 21 > x2-4 (x -4 )(x +1) >0 o (x-2 )(x +2) >0 n x2-25 0 *n (x-2 )(x +2 )> 0 n (x - 5 )(x +5)0 Puesto que tomamos la triple intersección: x e (-5, -2]u[4,5) |x -2||x +1|-|x -1||x +1|-|x +1|^0 => |x +l|[|x-2|-|x-l|-l]> 0 Finalmente
D = |x e R / x e (-5,-2]u[4,5)J Simplificamos: |x —2| —|x —1| —1£0
Halle el dominio de la función: f(x) =
x->/x2-16 x x +4 -x
Simplificamos el valor absoluto Valores críticos: x = -1; x = 1 1.
;->/x2-16 f ( x)= x[x +4]-x
x-Vx2-16 x(|x +4j-2)
El denominador debe ser diferente de cero y el argumento de la raíz positivo.
V.A.
X-1|
x -2
(—co,—1)
-x +1
-x +2
[ - 1, 2)
X —1
-x +2
[ 2 / 00)
X —1
x -2
____________________ —-— ------- — -y
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
wwsv edukperu c.ool j
_
www edukperu.com
SOLUCIONARIO A NÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
I
www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarios. net
j
CAPITULO}
Luego
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I
x2+x-3x-3-(-x2+2x-x-2)>0
xe(-oo,-l) => - x +2 - (- x + 1)-1 => 0< 0 => xe(-oo,l) x e [ l , 2 ) => - x + 2 - (x - 1 )- 1 >0 => - 2 x + 2 + 1-1
x
- 2 - (
x
- 1 )- 1 > 0
=> - 2 > 0
=> x > 1 => x = 1
=> x +•
n xs(-oo (-2) => xe (-oo,-2)
Luego, el dominio está dado por unión de las respuestas obtenidas D = •[x e 9? / x e (- 00, -2)]
D = jx € 9?/ X € ( - ° ° , 1 ] }
O
Hallar el dominio de la función f(x) =^xsSgn(|xj +l)-1
. x +1 x +2 i— Hallar el dominio de la función flxW * —--{-s—r + v 7-: v ' y |x| +1 |x| +3
+ 0 para cualquier valor de x tenemos sgn(l x I + 1) = 1 En la segunda raíz 7 - x > 0 => x < 5 Luego: f(x) = . .-1 - + ij4-x Vx2-1
k¡7i'w 73s0^lx+ 1 K M + 3Hx+ 2 l(M + 1 )S :0
Dominio:
x2-1 > 0 n 4-x> 0 => (x-1)(x +l)> 0 n x < 4
Desarrollamos el valor absoluto: Valores críticos: x =-2; x = -1; x = 0 -1 x +2|
x +lj
-x-2
—X —1
X -X
[-2,-1)
x+2
—X —1
-X
[ - 1. 0)
x +2
x +1
-X
x +1
X
1.
V.A.
[0,eo)
x +2
Luego D = jx € 9?/x € (- 00,- 1 ) n(l,4]|
Dadas las funciones
F(x)= Luego xe(-co,-2) => (-x-1)(-x +3)-(-x-2)(-x +l)> 0
www. solucionarios. net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
f(x) = xs -5x+5, g(x) =-2x +-Hallar el dominio de
f3(x)-4g(x) f(x) +3g(x)
Hallamos la nueva función www.edukperu coit
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
229
"ft
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net J
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
F (x) =
f3(x)-4g(x)
( x 2-5 x +5)5- 4 ¡5 - 2 x )
f(x) +3g(x)
x2-5x +5 +3í ^ - 2Xj
CAPITULO I
(
CAPITULO I
C)
f ( X) =
2x2 X -
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2* | x j Esta condición solo se cumple si x = 0; x = 1 Finalmente D =
b)
f ( x) =
{
x
€ M /
x
* 0
a
x
*1}
1 2x- x
Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: 2x-|x|^0 => 2 x * |x | Hallar el dominio de las siguientes funciones
Esta condición sólo se cumple si x = 0
1 a)
]J
f(x )= ^ w
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO l
b)
Finalmente D = {x e íR / x * 0 }
f(x)= 2x- x
www. solucionarios. net
www.edukperu.com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
231
www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
c)
f(x ) =
)
www. solucionarios. net CAPITULO I
(
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
2x2
Determinamos los intervalos donde el argumento de las raíces sea real:
- [* ]
2-x.„ ¿0 X+1
Determinamos los puntos donde el denominador de la función sea diferente de cero: x - |x ]* 0 => x*|x|]
x-2._
i
=> --- x * j x ]
4 —x Se cumple r-¡— >0 por ser una raíz par x -1
Esta condición solo se cumple si x * 0
Si x>0 => I x I = x de donde -—- >0 => -—- ——— >0 => -—- >0 —X —1 x+1
Esta condición solo se cumple si x * 3 Finalmente D = {x e 9 ?/x *3 } f)
-1
f(x ) =Ix '|
xe
La función mayor entero por no tener ninguna restricción es definida para todo x real: D = { x e 9?}
(u
[4 ,+ x > )
u
n
4
de donde x e
< 1 ,4 ]}
f(x) = Vx —x3 g)
v
V x +1
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo:
www.edukperu.qom
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarlos, net
)
CAPITULO I
c a p it u l o
(
i
v2 :
x - x f >0 => x(x2- l) ^ 0 => x(x-1)(x +1)
Determinar el dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:
La raíz cuadrada debe tener un argumento positivo:
;
X2
a)
f(x )=
c)
f(x) =
a)
f(x)= ,
X
0 => x2- 4 /4-x2 >0
(x-2)(x+ 2)< 0
-4
El dominio: D = ¡x e ÍR / x € [2,5)}
f(x) = >/l-V4-xi’
4 - x2 £0
'
Tomando la intersección de las gráficas obtenidas
1
El dominio: D = |x e '.R/ x € (- oo,-1]w [0,1]}
j)
A
'
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
o l> 4 - x 2 => (x-2 )(x +2)0
>/x-2
; x £2
x" +2x —3 ; x e (-1,1)
3x-2 ; -4 < x < 4
x
;
4
1 =>X€'.R
D = {x e 9?)
El dominio: D = |x e '.R/x e [V3,2jj Rango: x x2 >0 => y >0 k)
f(x ) = l->/8-x2-2x
R = |y e'.R/y€ (-ao,-l]^j[0,oo)|
x > 1 => —x3 y >-1
8- x2-2x >0 =>x2+2x-8>0 => (x +4)(x-2)>0 xe[-4,2]
x 2+4x
=> El dominio: D = {x e 9?/x e[-4,2]}
- 12>0 r» x - x 2+20>0 => (x +6 )(x - 2 )£ 0 n x: - x - 20 0 n (x-5 )(x +4) x =
2
>3
y+ l> 6 = > y> 5 = s> ye [5,+oo>
Dominio: -4 < x D = {x e '.K / -4 )
Rango: -4 < x < 6; -12 < 3x < 12 => -14 < 3x - 2 < 10 => -14 2
a)
f(x) =
x2+2x-3 ; x e (-1,1)
Dominio: Df = w {2,+x>
\/4-X
;
Si
2x-8
;
Si xe(4,oc)
2¡x) +2
Rango: Rf = (-4,+oo>
1< x < 4 6
d)
f (x )=
e)
€ (0,4)
b)
f(x) =
d)
f(x) =
fx2—1; 4 < X /y +4
f(x) = V4-x
;
Six e (0 ,4 )
2x-8
;
Si xe(4,oo)
y + 4 > 0 =t> y > -4 => y e [4,+co>
H
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
w w w K f u lT e r 'j • •»in
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
)
www. solucionarios. net ........................ CAPITULO j
CAPITULO I
I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
|x +2|-x ; Si x € (-4,0) f (x) = \/4-x
;
Si x e (0,4)
2x-8
;
Si xe(4,oo)
II K1> X 1 to
a)
- 4 < x £ -2 -2 < x -1 ^ x < 0
x2 = 0 'u
D = {x e'J?/x €
Los intervalos donde la función positiva, la función signo toma valor 1, donde es negativa toma valor -1 y en los valores críticos es cero.
x2 = 2 => x = 0 O
±72
ÍQr “■Xy ~ x )(f*x )
(0,+oo>j
-1; X6, x *0 ----------= !f(x) = 0 ; X = 0 a X ± 7 2 _ e+ xd^x
f(X>=[ * - 3 H x ]
1 ;
l x - 311-1x1 =1x1-3-1x1=-3
X € < -00, 7 2
>
y j
I
X < \ R '3 x } =
^ b íK )b 3 X£
h)
f(x) = Ix|+^|x|-[x] |x |-|x j> ° => |x|a|x| x >0 => x>|fxfl => x >0
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
www.edukperu coni-
www.edukperu.com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
*
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
O
www. solucionarlos, net
)
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
c a p it u l o i
En cada una de las funciones dadas, hallar el dominio, rango, y hacer su gráfica (x +1)(x2+3x-10)
a)
f(x) =
c)
f(x) =
e)
f(x) =[xJ+|x| +x +2
8)
fW - t S í
i)
( x +x - 6 f(x ) = Sgn
x2+6x +5
4x2-9 2x +3
b)
f(x )=
d)
f(x ) =
x2-10x-l |x2J- 2 x - l (x2+3x-4)(x2-5x +6) (x2-3x +2)(x-3) 1 |x]
0
f(x ) =
h)
f(x) = S g n ([x - l]- l) +S g n (|x - lj- l)
X +1
b)
a)
f(x) =
x2-10x-l |x21—2x —1
(x +l)(x 2+3x-10) f(x) =
Dominio: D = {xe'.R}
x2+6x+5
+ 6 = d C= 0 = D + d
:o .. Rango: D = {xel¡R}
'
x2+6x +5
(x +l)(x +5) c)
De donde D( = {xےR/x*-1 Rango: f (-1) * -1 - 2 * -3;
a
f( x)=
*-5}
f (—5) * -5-2 * -7 => R = {y e'.R/x*-3
a
x *- 7 }
v '
4x2-9
if
2x +3 4 x ^ , ( 2 x - 3 ) ( 2 x 1 3 )=
3
2x +3
2
2x +3
Dominio: 2x +3 * 0 => x *
Rango: y * 2
¡a
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
d
de donde D = j x e '. K / x * - ^
- 3 * 6 de donde R = {y e 'JÍ/ y *-6}
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
ww w .edukperu.com
257
www. solucionarlos, net
www. solucionarlos, net
(
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
CAPITULO I
(
CAPITULO I
a)
f(1)= 1y f(3) = 3
c)
f(7) =Oy f(8) = 9
b)
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
.
f(1) = 3 y f(3) = 1
MTTTTWlir La función lineal se define mediante:f (x) = ax +b a)
f(1)= 1=> 1 = a + b =>f(3) = 3
=> 3 =3a + b
£, 4- t f —ij s=t U ,
Restando ambas ecuaciones: 2 = -2a; a = -1; b = 2 De donde: f(x) = 2 - x b) fC1) =
3 => a + b = 3
f(3) = 1 => 3a + b = 1 ©
Si f(x ) = ax! + b x + c ,f(- 1 )+ f|^ l= j, f(-1) = 0 y f(1) = 8.Hallar f(5)
Restando ambas ecuaciones: -2a = 2; a = -1; b = 4 De donde f(x) = 4 - x
g ¡ ' n rirn ii w c)
En la función f(x) = ax2+bx +c f(-l) = 0 => f(-l) = a - b + c = 0 => b = a + c
..(1)
f(1) = 8 => a + b + c = 8
..(2)
ei 15 A a b 15 f(-1) +f - =— => 0 +- +- +C = •— v ; l 2J 4 4 2 4
..(3)
(1) en (2): a + c + a + c = 8 => a + c = 4
..(4)
(2) en (3): a + 2a + 2c + 4c = 15 => a + 2c = 5
..(5)
f(x) = ax +b => f(7) = 7a + b = O f(8) = 8a + b = 42 de donde a = 42 b = -7a = -7(42) = -294
Si
f
f(x) = 42x - 294
esuna función rea de variable real tal que:
f(a +3 )- f(a - 3 ) 2a-3
f(x +2) = x2+x. Calcular:
3 '
2
Se determina lafunción: u = x +2 =>x = u-2 =>f(u) =(u-2)2 +(u-2)
De(4 )y (5): b = 4; c=1; a = 3
Ahora:
La función es: f(x) = 3x2+4x +1 => f(5) = 3(25) +4(5) +l = 96 o
Determinar las funciones lineales
www. solucionarlos, net
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
;'f ^ . ¡1 ¡ g L _ f r f(u) = u2-4u +4 +u-2 = u2-3u +2 => f(x) = x2-3x +2
19 .0]
'M *
f(a +3) =(a +3)~ -(a +3) +2 = a2+3a +2 f(a- 3 ) =(a-3 )2-3 (a-3 ) +2 = a2- 9a +20
www.edukperu.cont-
________ SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
www. solucionarlos, net
!
www. solucionarios. net
www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
f(a +3 )- f(a - 3 ) 2a-3
]
CAPITULO I
(
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a¿ +3a +2-a2+9a-20 _ 12a-18 _ 6(2a-3) _ =6 2a-3 2a-3 2a-3 Desarrollamos la función mayor entero en el intervalo dado
O
Si f es una función real de variable real tal que: f ( a + l)- f (l) -,
f(x +l) = x"+3. Calcular: V-x +1 ; -2 < x < -1
-1; -2 < x 3
Calcular el rango y graficar las funciones dadas f (x) = yjx2 +4X-1 ; 0 < f>
Df2 r\ Dg3 => x > 4
-2 < x Df, n Dg3 =>
< f> < fi
Df, o Dg,
=>
< f> pQ < f>
Df3 n Dg4
=>
< t>
1
—X —1 (f +g)(x) =
-www.edufcperu com
n o i D D 6 < n ^ in l
c=
4> ¿CJ Df,
Dg,
,gü c\ ¿KJ >12 =>x +1>3 =>(x +1)2 >9 de donde R)¡? =y>9
Luego: Df+g u R Ug = x > 2 n y >9 => (9,x)
2
2 ; - 3 íx < - 2 u 0 íx < l 3 ; -2 < x< -1 ul< x < 2 3-x; -1/9-x‘ , determinar (sofXx)
mediante la definición
= {xeD f /xe D f A f(x )e D 8} (S o f)(x ) =
g(f(x )) = > /9-f2(x)= ^9-|x2-l|2
0 ; si x 2
Sea la función f :[1.4] ->[a, b] tal que f ( x) = x2- 2x +3 Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva
@
Si g(2-x) = >/x"^7 y (gof)(x) = 2x - 1, hallar f(x). Debemos probar que f(m) = f(n) => m = n f(m) = f(n) =t> m2- 2m +3 = n2- 2n +3 => m2-n2-2m +2n =0
g(2-x) = >/í- (2 - x ) => g(x) = VTo
(m - n)(m + n - 2) = 0 (go0(x) = g(f(x)) = 2x- 1 => ^1-f(x) = 2x-1 => 1-f(x) =(2x-1)2 m-n = 0 v m + n- 2 = 0 de donde m = n 1-f(x) = 4x2-4x +1 => f(x) = 4x-4x2 g (x )J
Determinamos a y b:
, - x X 6 - ^ - = - ^ - => x,x2+x, = x2x? +x2 => (x2-x,)(x,x2-1) =0 ' 7 X, +1 x2+1 x2—x, =0 v x,x2-1=0 => x2-x, =0 => x,=x2
Sea f : A ~»(l,10] dada por f (x) =
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
w* w edukpe .i rorst '
fes inyectiva
4-11x 4-2x
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net
www. solucionarios. net
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITULO I
a) Determinar A inyectiva
b)
Mostrar
que
f
setiene:
1< - - 11x (10 + 3x ,)(1 0 - 2 x 2) = (1 0 - 2 x ,)(10+ 3 x 2)
(4 - llx ,)(4 - 2 x t ) = (4-2xI )(4-1lx¡ )
100 + 30x, -20x 2 - 6 x ,x 2 = 100 + 30x2 -20x,
16-44x, -8 x 2 +11x,x2 =16-44x 28x , +11x ,x
30(x2x ,)- 2 0 (x 2x ,) = 0
44(x 2- x ,)- 8 ( x 2-x, ) =0 => x, =x2 .\ f es inyectiva
Sea A -»(-4,1 ] definida por f(x) = c)
10 +3x +40-8x 10+3x-10 +2x •>0 n --- — r----- ^0 10-2x 10-2x
10 +3x +4>0 n ------ 10 2x-4
2
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
es a)
a)
(
CAPITULO I
- 6 x ,* 2
=> x ,x 2 \ f es inyectiva.
Sea A -♦[-9,-1) definida por f(x) = - —X O X
10+3x
determinar A
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
b)
a) Determinar A inyectiva
10-2x d)
Mostrar que f es inyectiva -------------------
c) t
Probar
que
f
¿f es suryectiva?
'
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
www. solucionarios. net _
es
www. solucionarlos, net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
CAPITULO I
a) a)
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I
J
f(x) =3x +2¡x| =
3x +2x =5x
x>0
3x-2x = x
xx, = xL,
Luego: -9h
d)
f(x) =2-x3; xe'Jí
e)
f(x) = V9+x! ; x>1
9+12x, -3x2-4x,xe = 9-3x, + 12x2 -4x,x2 „xS-OÍ
=> 12x, - 3 x2 =3x, +1 2 x5 => 12(x, -x 2 )-3(x, - x ^ O => 9(x, -x 2) = 0 => x,= x2
En forma analítica y gráfica c)
11 1 Puesto q u e :---- 0 Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2
yi 1 f(x) = 3x +2|x|; g( x) = ——¿ h(x) =3x+7; p(x) = x+2|x| x
f(x,) = f(x2) =>3x,-2 =3x-2 => x, =x2
¿Cuál de estas funciones es inyectiva?
CTOI SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
*■
www edukperv corrí
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
www. solucionarlos, net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
www. solucionarios. net
)
CAPITULO I
e)
/. fes invectiva b)
{
CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
f(x) = V9 +x2; x> 1 Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2
f(x ) = S e n (x ); x e ^ - | , |
f(x ,) = f(x2) => ^/9+xf = ^9 +x 2
Debemos probar que
=> 9 +x* =9 +x2 => x,=x2; xeíH; x >h
f(x,) = f(x2) =>x, = x2
f es invectiva
Sen(x,) =Sen(x2); x e í “ f , | Demostrar que la función f definida por f(x) = 1- Vx2-4x-5; x l-^xj -4x, -5=1-^x2-4x2-5
f(x,) = f(x2) =>(x, -h)~ +k =(x2-h )‘ +h
>/xJ-4x,-5 =^ x 2-4 x 2-5 => x j-4 x ,- 5 = x |-4 x ,-5
x,-h = x2-h => x, = x2; x>h x ;- x 2-4(x, -x2) = 0 => (x, -x2)(x, +x2-4) =0 f es invectiva x2 = x, si x x, = x2 d)
es in yectiva
f (x) = 2 —x3; x€'JÍ X —1
Demostrar que f ( x) =--- ; x * -2 es inyectiva ' x +2
Debemos probar que f(x,) = f(x2)
OLUCI
f(x ,) = f(x2) =s 2(-x?) = 2(-x3)
Debemos probar que f(x,) = f(x2)=>x, =x2 => -xj =-x2 => x, = (x , —1) ( x 2 + 2 ) = ( x 2 - 1 ) ( x , + 2 ) => x ,x 2 + 2 x , -
x 2-2
= x,x, + 2 x 2 - x , - 2
f es invectiva 3(x, - x2) = 0 => x, = x2
i
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net
A/W.v
x = 3
=> f ( x) =* J Ü ' 3
Determinamos el dominio de la función, 5-x >0 Ahora la función valor absoluto
Luego: f(a! ) = f'(a +2) => 3a! +2a = —
=> 9a! +6a = 2-a
¿m.
|x-5| = j X X _ ^ de donde: f(x ) = (5-x +x +1)>/5-x 15-x, x ^ 5
9a! + 7 a - © 0 => a = - 1 ;a = Q
f(x) =6>/5-x Probamos si f(x) es inyectiva: f(x ,) = f(x 2) los demuestra que f(x) Hallar la inversa f ( x ) si existe de la función f(x) = x2+4x-l,
xej-4,-3)
es inyectiva.
Í w *Despejamosx: y = x2+4x-l => y =(x +2)2-4-1 => x +2 = -^y +5
i Ox i O
x 3+4
y ^ 1
Hallar la función inversa de f(x) si existe x
f (x) = -2->/x +5; x e (-4,-3)
O
Mediante el gráfico se observa que es inyectiva puesto que la línea horizontal corta el gráfico en un solo punto.
Hallar la inversa f* (x) si existe la función: f(x) = x2—2x —1; x>2
Analizaremos si f(x) = x2-2x-1 es inyectiva Si x>2 => f(x) = x2-2x-1=(x-1)2-2 => f(x ,) = f(x 2) (x,-1)2-2 =(x2- l) 2-2 => (x,-1)2 =(x2- l) 2 =>x,=x2
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucion arios, net
www.edukperu.cor*
www edukperu.com
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarios. net
www. solucionarios. net » EDUARDO ESPINOZA RAMOS
)
CAPITULO I
2 x-1 ;
O
www. solucionarios. net
Dada la función: f(x) =
4x"
x < —1
EDUARDO ESPtNOZA RAMOS «
i
Por tanto la función es invectiva. Los rangos en cada inteivalo se detallan en el gráfico
; - l< x < 0 . Hallar f*(x)si existe.
x +4 ;
c a p it u l o
Determinamos la función inversa
x >0
0 x = V 4 —y ; 0 2:
Determinamos la función inversa
y = -^- + x - 1 x x =
=> x2 - 2 x + 2 +y
y = 4x2
x > 0:
f*(x) =
f(x)=
x
= 1 +>/-1 - y
x^-1
V4-X
; 0/—1—X ;
x x = y - 4 ; y > 4 => f‘ (x) = x-4; x >4
x > 0: y = x +4 => x = y-4; y>4 => f‘ (x) = x-4; x>4 x-2
-1
; y < -3 => f'(x ) = - ~ x < - 3 f‘ (x) = 1+V-1-x
-1 < x < 0:
= 0 => ( x —1)
;
x >4
Determinamos la función inversa |x -4|
O
Dada la función f* (x) =
0 x =—1—>/y —1; y>1
x >-2:
y =-Vx +1 => x +1 = y* => x =y2- 1 ;y< 0 f*(x) = x2-1; x
Hallar f*( x) si existe.
M m asn m vam Determinamos la función inversa
s,
Df n Dg¿ => 0 < x < 1
Df n Dg3 =>
S, =>
Df3 n Dg, =>
+g)(x):
-1 < x ¿-: y =Vx +2-x2+1 => (y —1)2 =x +2-x2 =^(y-1)2= |-^ X- I j
x
x2+4x X
2
-1
7t~\ 2< x< 4:
•
y = 2-
7 y-2
7 x-2
1