Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 2T [PDF]

Zitiervorschau

Solución Álgebra Lineal 2016 -2T 1. Califique como verdadero o falso. 𝟐 1.a. Si 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙, y [𝒑(𝒙)]𝑩 = (𝟏), entonces B es la base canónica 𝑩 = {𝒙𝟐 , 𝒙, 𝟏} 𝟎 Solución: Por contraejemplo: Consideremos la base 𝐵 = {𝑥 2 + 1, 𝑥 − 2, 𝑥}, si calculamos las coordenadas de 𝑝(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥, tendríamos el siguiente sistema 1 −2 0 0 (0 1 1|1) 1 0 02 El cual tiene como solución 2 [𝑝(𝑥)]𝐵 = (1) 0 Por lo tanto, la base no necesariamente es la canónica, y la proposición es FALSA.

1.b. Sean V= ℝ𝟑 . Se define H un subconjunto de V como: 𝒙 𝒚 𝑯 = {( ) |𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟎} 𝒛 Entonces H es un subespacio vectorial de V.

Solución: La inecuación 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟎 Tiene como solución x=0, y=0, z=0, ya que la suma de cuadrados nunca es menor que cero, y solo es cero cuando todos los sumandos son cero. Entonces H es: 𝒙 𝑯 = {(𝒚) |𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎} 𝒛 El cual, es el subespacio de ℝ3 que solo contiene al cero vector. La proposición es VERDADERA.

Ángel Guale

1.c. Sea V el espacio de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores {1, sen(x), cos(x)}, entonces el vector u=tan(x) pertenece al subespacio vectorial H. Estrictamente la función tan(x) no es continua en los reales, por lo cual 𝑢 ∉ 𝑉, de esto se deduce también que 𝑢 ∉ 𝐻. Finalmente se deduce que 𝑢 no pertenece al subespacio vectorial H. La proposición es FALSA.

Nota: No sé si el hecho de que tan(x) no sea continua en los reales se les pasó por alto a los profesores o esa era su intención. Si se les pasó por alto la solución que esperaban era que tan(x) no se puede escribir como combinación lineal de 1, sen(x), cos(x), y de todas formas la proposición era falsa.

1.d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V. Entonces se cumple que 𝒅𝒆𝒕(𝑨 + 𝑩) ≠ 𝟎 Consideremos las bases de V=P1: 𝐵1 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } 𝑦 𝐵2 = {2, 2𝑥, 2𝑥 2 } Si A es la matriz de cambio de base de B2 a B1 sería: 2 0 0 𝐴 = (0 2 0) 0 0 2 Además, consideremos las bases de P1 𝐵3 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } 𝑦 𝐵4 = {−2, −2𝑥, − 2𝑥 2 }

Si B es la matriz de cambio de base de B4 a B3 sería: −2 0 0 𝐵 =( 0 −2 0 ) 0 0 −2 Entonces tendríamos que det(𝐴 + 𝐵) = 0

La proposición es FALSA.

Ángel Guale

3. Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe consumir diariamente 13 unidades de carbohidratos(c), 22 de proteínas(p) y 31 de grasas(g). Un restaurante lanza 3 tipos de platos. El plato I contiene 1 unidad de c, 1 unidad de p, y 1 unidad de g. El plato II contiene una unidad de c, 2 de p y 3 de g, y el plato III contiene 4 unidades de c, 7 unidades de p y 10 unidades de g. Encuentre las distintas combinaciones de platos que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de c, p y g que sugiere el nutricionista. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.

Solución Se tiene que: 𝑃1 = 1𝑢 + 1𝑝 + 1𝑔 𝑃2 = 1𝑢 + 2𝑝 + 3𝑔 𝑃3 = 4𝑢 + 7𝑝 + 10𝑔 Además, la dieta diaria debe ser 13𝑐 + 22𝑝 + 31𝑔 = 𝛼1 𝑃1 + 𝛼2 𝑃2 + 𝛼3 𝑃3 Reemplazando 13𝑐 + 22𝑝 + 31𝑔 = 𝛼1 (1𝑢 + 1𝑝 + 1𝑔) + 𝛼2 (1𝑢 + 2𝑝 + 3𝑔) + 𝛼3 (4𝑢 + 7𝑝 + 10𝑔) Resolviendo el sistema para 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 1 1 4 13 1 1 4 13 (1 2 7 |22) ~ … ~ (0 1 3| 9 ) 1 3 10 31 0 0 0 0 Es decir 𝛼2 = 9 − 3𝛼3 𝛼1 = 13 − 4𝛼3 − 𝛼2 = 4 − 𝛼3 Como no se pueden comer fracciones, las combinaciones serían 𝛼3 = 0, 𝛼2 = 9, 𝛼1 = 4 𝛼3 = 1, 𝛼2 = 6, 𝛼1 = 3 𝛼3 = 2, 𝛼2 = 3, 𝛼1 = 2 𝛼3 = 3, 𝛼2 = 0, 𝛼1 = 1

Ángel Guale

𝑻 𝟏 𝟐 𝟎 −𝟏 4. Sean las matrices 𝑨 = ( ) 𝒚𝑩=( ), encuentre la matriz X tal que (𝑨𝑿𝑻 + 𝑩) = 𝑿 −𝟏 𝟏 𝟏 𝟐

Solución (𝐴𝑋 𝑇 + 𝐵)𝑇 = 𝑋 (𝐴𝑋 𝑇 )𝑇 + 𝐵𝑇 = 𝑋 𝑋𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = 𝑋 𝐵𝑇 = 𝑋 − 𝑋𝐴𝑇 𝐵𝑇 = 𝑋(𝐼 − 𝐴𝑇 ) 𝐵𝑇 (𝐼 − 𝐴𝑇 )−1 = 𝑋

Realizando este cálculo tendríamos 0 1 1 0 1 −1 𝑋=( )( ( ) −( )) −1 2 0 1 2 1 0 1 0 1 −1 𝑋=( )( ) −1 2 −2 0 0 1 0 −1/2 𝑋=( )( ) −1 2 1 0 𝑋=(

Ángel Guale

1 0 ) 2 1/2

−1

𝒙+𝒚+𝒛=𝒂 5. Sea el sistema de ecuaciones lineales {𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝒃 𝒙+𝒚−𝒛 = 𝒄 Determine los valores que deben tomar a, b, c para que el sistema sea consistente Solución: Hay que resolver el sistema 𝑎 1 1 1 𝑎 1 1 1 (1 2 −1|𝑏) ~ (0 1 −2|𝑏 − 𝑎) 1 1 −1 𝑐 0 0 2 𝑎−𝑐 Por lo que el sistema siempre es consistente sin importar los valores de a, b, c; es decir 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

Ángel Guale