Serie Espace [PDF]

Zitiervorschau

SERIE DE MATHEMATIQUES

LYCEE OUED ELLIL

CLASSE :4IEME ANNEE SECONDAIRE SECTION :4IEME SCIENCES EXPERIMENTALES  THEME :GEOMETRIE DANS L’ESPACE

 ANNEE SCOLAIRE :2011-2012 Prof : bellassoued mohamed 

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Exercice 1 L’espace est rapporté a un repère orthonormé direct (O; OI; OJ; OK)  



On considère le cube OIRJKLMN , on note A le milieu de IL  et B le point défini par KB  KN 2 3

On appelle (P) le plan passant par les points O , A et B 1- a déterminer les coordonnées des points A et B b- déterminer les composantes du vecteur u  OA  OB c- montrer alors que l’aire du triangle OAB est :

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2- le point C appartient-il a (P) ? justifier votre réponse . 3- On considère le tétraèdre OABK . a- Montrer que le volume de ce tétraèdre est :

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b-Calculer alors la distance du point K au plan (P) Exercice 2    L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) Soient les points A(2;2;0) , B(0;2;2) et C(1;0;1) 1- Vérifier que les points A , B et C définissent un plan P 2- Montrer que le plan P a pour équation cartésienne : x  z  2  0 3- Soit Q le plan dont une équation est : x  2y  z  1  0 a- Montrer que les plans P et Q sont sécants b- Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection 4- Déterminer l’ensemble   M(x; y; z); M  etd( M, P )  d( M, Q) 5- Soit S l’ensemble des points M(x ;y ;z) de  tel que x 2  y 2  z 2  2y  4z  1  0 a- Montrer que S est une sphère que l’on caractérisera b- Montrer que le plan Q coupe la sphère suivant un cercle C dont on précisera le centre et le rayon c- Déterminer les plans parallèles a P et tangents a S Exercice 3    L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) A chaque réel m , on considère le plan Pm dont une équation est Pm : x  2y  mz  2  0 On pose S  M(x; y; z)  ; x 2  y 2  z 2  2x  2y  7  0 1- Montrer qu’il existe une droite D incluse dans Pm pour tout réel m , et déterminer une représentation paramétrique de D 2- Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R 3- Déterminer S  D 4- a-Calculer la distance de I a Pm en fonction de m b-Discuter suivant les valeurs de m , la position relative de S avec Pm et la nature de S  Pm -1-

Exercice 4

  

L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) On considère les points A(1;1;3) , B(2;1;0) , C(2;1;2) et I  B  C 1- a- montrer que les points A , B et C définissent un plan P b-Montrer que le plan P a pour équation cartésienne : x  y  z  3  0 2- a-Montrer qu’une équation cartésienne du plan Q médiateur du segment AB  est Q : x  z  1  0 b-Déterminer une représentation paramétrique de la droite D  P  Q





3- Soit l’ensemble E  M   / MB2  MB  BC  0

a-Verifier que ( M  E) si et seulement si ( MB  MC)  0) Déduire alors que E est une sphère de centre I dont on précisera le rayon b-Montrer que E est tangent a Q c-Déterminer les coordonnées du point H de contact de E et Q puis vérifier que HD 4- Soit l’ensemble S m  M( x; y; z)   / x 2  y 2  z 2  2mx  2my  2(m  1)z  2m 2  2m  0 , m   a-Montrer que pour tout m , S m est une sphère dont on précisera le centre m et le rayon R m b-Montrer que l’ensemble des points m , lorsque m décrit  , est une droite contenue dans Q . c- Discuter , suivant les valeurs de m, la position relative de P et S m d- Déterminer m pour que P soit un plan diamétral de S m . Caractériser dans ce cas P  S m Exercice 5

  

L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) On considère les points A(1;1;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) et D(1;2;2) 1- Placer les points A ,B,C et D 2- Déterminer une équation de la sphère passant par les points O,A,B et C 3- Soit la sphère S : x 2  y 2  z 2  x  y  z  0 Déterminer l’intersection de la sphère S et la droite (AD) 4- Montrer qu’une équation du plan P passant par B et perpendiculaire a (AD)est :  x  y  z  1  0 5- Montrer que l’intersection du plan P et de la sphère S est un cercle dont on déterminera le rayon et les coordonnées de son centre 6- Soit le plan Q m : x  y  z  m  0 a-Vérifier que Q 2 est le plan médiateur de AD b-Déterminer les valeurs du paramètre réel m pour que le plan Q m soit tangent a S  

7- Déterminer l’intersection de Q 2 et du plan P(O; i ; j ) Exercice 6

  

L’espace  est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) A chaque réel m , on considère Pm le plan dont une équation est Pm : x  2y  mz  2  0 On pose S  M( x; y; z)   / x 2  y 2  z 2  2x  2y  7  0 1- Montrer qu’il existe une droite D incluse dans Pm pour tout réel m et déterminer une représentation paramétrique de D 2- Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R 3- Déterminer S  D 4- a-Calculer la distance de I a Pm en fonction de m b-Discuter suivant les valeurs de m , la position relative de S avec Pm et la nature de S  Pm -2-

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

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Exercice 10

Exercice 11

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