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Lycée pilote de Tunis Droites et plans de l’espace Sphère
Mr Ben Regaya. A
Terminales S-exp www.ben-regaya.net
+Eléments de corrections
Exercice 1
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) .On donne les points A 1, 0, 0 , B 0, 0,1 et
C 1, 1,1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB AC . b) Déduire que les points A, B et C déterminent un plan P et donner une équation de P. 2. Soit S l’ensemble des points M x, y, z de l’espace vérifiant x2 y 2 z 2 2 x 2 z 1 0 . a) Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon r. b) Montrer que le plan P coupe la sphère S suivant le cercle circonscrit au triangle ABC. 3. a) Calculer le volume du tétraèdre IABC. b) Soit un réel et soit M un point de l’espace de coordonnées , 0, 2 . Montrer que lorsque décrit l’ensemble des réels, le volume du tétraèdre MABC reste constant. Exercice 2
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) .On donne les points A 2, 0,1 , B 0, 2,1 et
C 1, 2, 0 . 1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan P dont une équation cartésienne est x y z 3 0 . 2. Soit S la sphère de centre O et de rayon
5.
a) Vérifier que A, B et C sont des points de S. b) Déduire alors l’intersection de la sphère S avec le plan P.
5 5 5 , , et Q le plan passant par D et 3 3 3
3. Soit le point D
parallèle au plan P. Montrer que Q est tangent à la sphère S au point D. 4. Soit M x, y, z un point de l’espace n’appartenant pas à P.
a) Calculer AB AC . AM . b) Montrer que le volume V du tétraèdre MABC est égale c) En déduire que pour tout point M du plan Q ; V
x y z 3
5 1 3
3
.
Exercice3
L’espace est munie d’un repère orthonormé O, i, j , k . On considère les points I 1,1,0 , J 0,1,1 et K 1, 0, 1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur IJ IK . b) En déduire que les points I, J et K déterminent un plan P dont une équation est x y z 0 . 2. Soit le point S 1, 1,1 .Montrer que le volume du tétraèdre SIJK est égal à
1 . 2
3. Soit la droite passant par I et parallèle à la droite (JK) et soit M un point quelconque de . a) Montrer que MJ MK IJ IK . b) Déterminer alors le volume du tétraèdre SMJK. 4. Soit S la sphère d’équation : x2 y 2 z 2 6 x 2 z 4 0 . a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère S. b) Montrer que la sphère S coupe le plan P suivant un cercle que l’on précisera. Exercice 4
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i, j , k . On donne les points A 1, 2, 1 , B 2,0, 2 et C 1,1,1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB AC et déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. b) Donner une équation du plan P déterminé par les points A, B et C.
x 1 2. Soit la droite de systèmes d’équations paramétriques y 2 ℝ. z 1 a)Vérifier que A est un point de . b) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan P. 3. Soit un réel et I 1, 2, 1 un point de la droite . a) Montrer que d I , P 2 . b) Soit S la sphère de centre I et de rayon 2 2 . Déterminer suivant les valeurs de la position relative de la sphère S et du plan P. 4. a) Pour quelles valeurs de , le point B appartient à la sphère S ? b) Pour les valeurs de trouvées, caractériser S P .
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Eléments de corrections
Exercice 1
1. a) On a AB 1,0,1 et AC 0, 1,1 donc AB AC 1,1,1 . b) AB AC O , d’où les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et par suite les points A , B et C ne sont pas alignés déterminent donc un unique plan P. Un vecteur normal à ce plan est AB AC , d’où une équation du plan P est : x y z d 0 Le point A 1, 0, 0 ∊ P donc d 1 .Ainsi le plan P à pour équation : x y z 1 0 . 2. a) M x, y, z ∊ S x2 y 2 z 2 2 x 2 z 1 0
x 12 1 y 2 z 12 1 1 0 x 12 y 2 z 12 1 . On en déduit que l’ensemble S est la sphère de centre I 1, 0,1 et de rayon r 1 . b) Pour cela il suffit de vérifier que les trois A, B et C sont des points de la sphère S. 3. a) On a AI 0, 0,1 donc le volume du tétraèdre IABC est égale
1 1 1 AB AC . AI 0 0 1 unité 6 6 6
de volume. b) Pour réel , on a AM 1,0, 2 et le volume du tétraèdre MABC est égale
1 1 1 indépendant de . AB AC . AI 1 1 0 1 2 1 6 6 6 Exercice 2
1. L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) . Les points A(2,0,1) , B(0,2,1) et C(1,2,0).
AB AC 2, 2, 2 d’où AB AC O , d’où les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et par suite les points A ,B et C ne sont pas alignés déterminent donc un unique plan P dont un vecteur normal est
AB AC . Ainsi une équation de P est de la forme 2 x 2 y 2 z c 0
A est un point de P donc c 6 . Ainsi P : x y z 3 0 . 2. La sphère S à pour équation : x2 y 2 z 2 5 . a) Vérification facile. b) Le plan P est déterminer par les trois points A, B et C. La sphère S passe par ces trois points. D’où l’intersection de la sphère S avec le plan P est le cercle circonscrit au triangle ABC. 3. a) Le plan Q est parallèle à P, d’où une équation cartésienne du plan Q est x y z d 0 . Le point D est un point de Q donc d 3
5 5 0. . Ainsi Q : x y z 3 3 3
b) La sphère S à pour centre O. Calculons la distance de O au plan Q.
3 d O, Q
5 3 3
3 5 5 qui est égale au rayon de la sphère S. D’où le plan Q est tangent à la 3 3
sphère S. 2
2
2
5 5 5 5 donc D est un point de S et aussi D est un point de Q. 3 3 3 Conclusion Q est tangent à S au point D. 4. Soit M x, y, z un point de l’espace n’appartenant pas à P. a) AB AC 2, 2, 2 et AM x 2, y, z 1 donc
AB AC .AM 2 x 2 2 y 2 z 1 2x 2 y 2z 6 . b) Le volume V du tétraèdre MABC est égale
x y z 3 1 1 AB AC . AM 2 x 2 y 2 z 6 6 6 3
c) Soit M x, y, z un point de Q. On a x y z 3
5 0. 3
x y z 3 5 5 0 x y z 3 et donc V 3 3 3
x y z 3
3
5 3 3 3
5 5 1 1 . 3 3
Exercice 3
1. a) IJ 1,0,1 , IK 0, 1, 1 IJ IK 1, 1,1 b) Le vecteur IJ IK étant non nul donc les points I, J et K ne sont pas alignés et par suite ils déterminent un plan P. De plus IJ IK est normal à P ce qui donne que P : x y z d 0 comme I est un point de P alors d = 0 et par suite P : x y z 0 . 2. Soit V le volume du tétraèdre SIJK, alors V
V
1 IJ IK .IS avec IS 0, 2,1 IJ IK .IS 3 .Ainsi 6
1 . 2
3. a) Montrons que MJ MK IJ IK .
MJ MK MI IJ MI IK MI MI IJ IK MI IK IJ ou encore MJ MK IJ IK MI JK IJ IK . En effet MI et JK sont colinéaires.
effet MJ MK .MI IJ IK . MI 0 . Finalement MJ MK .MS IJ IK .IS .
b) MJ MK .MS MJ MK . MI IS MJ MK .MI MJ MK .IS MJ MK .IS . En
Les tétraèdres SMJK et SIJK ont le même volume d’où le volume du tétraèdre SMJK est égal à
1 . 2
2 2 4. a) x 2 y 2 z 2 6 x 2 z 4 x 3 y 2 z 1 14 .On en déduit que s est la sphère de centre le
point 3, 0,1 et de rayon r 14 b) d , P
4
r donc S coupe P suivant un cercle de centre r ' 14
3
16 28 et de centre le point 3 3
H projeté orthogonal de sur P. Exercice 4
1. a)les composantes du vecteur AB AC sont 5, 0,5 . Ce vecteur étant non nul donc les points les points A,
B et C ne sont pas alignés. b) Le vecteur AB AC est normal à P donc une équation cartésienne de P est 5x 5z d 0 , d est un réel.
A est un point de P alors d 0 et par suite une équation de P est x z 0 . 2. a) Remarquer que A est le point de qui correspond à 0 . b) est la droite qui passe par A et de vecteur directeur de composante 1, 0,1 qui est donc colinéaire à
AB AC donc la droite est perpendiculaire au plan P. 3. a) d I , P
1 1 12 12
2 2
2
b) Comparons 2 2 et d I , P
d 2 I , P 2 2
2
2 2 8 2 2 4 . Donc
2 2 et la sphère S et le plan P sont sécant suivant un cercle. Si , 2 2, alors d I , P 2 2 et la sphère S et le plan P ont une intersection vide. Si 2, 2 alors d I , P 2 2 et la sphère S et le plan P sont tangents. Si 2, 2 alors d I , P
4. a) Le point B appartient à la sphère S signifie d I , B 2 2 signifie
12 22 12
2 2 6 2 2 2 1 1
2 2 signifie
Le point B appartient à la sphère S pour les valeurs -1 et 1 de . b) les valeurs -1 et 1 de appartiennent à 2, 2 donc la sphère S et le plan P sont sécant suivant un cercle. Le rayon de ce cercle est r
2 2 2 2
2
6.
Le centre de ce cercle est le point w projeté orthogonal de I (centre de S )sur le plan P.
w n’est autre que le point d’intersection de et du plan P. Ainsi w A Conclusion dans le cas ou le point B appartient à la sphère S la sphère S et le plan P sont sécant suivant le cercle de centre A et de rayon
6.