Espace S-Exp. [PDF]

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Lycée pilote de Tunis Droites et plans de l’espace Sphère

Mr Ben Regaya. A

Terminales S-exp www.ben-regaya.net

+Eléments de corrections

Exercice 1

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) .On donne les points A 1, 0, 0  , B  0, 0,1 et

C 1, 1,1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB  AC . b) Déduire que les points A, B et C déterminent un plan P et donner une équation de P. 2. Soit S l’ensemble des points M  x, y, z  de l’espace vérifiant x2  y 2  z 2  2 x  2 z  1  0 . a) Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon r. b) Montrer que le plan P coupe la sphère S suivant le cercle circonscrit au triangle ABC. 3. a) Calculer le volume du tétraèdre IABC. b) Soit  un réel et soit M un point de l’espace de coordonnées  , 0, 2    . Montrer que lorsque  décrit l’ensemble des réels, le volume du tétraèdre MABC reste constant. Exercice 2

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) .On donne les points A  2, 0,1 , B  0, 2,1 et

C 1, 2, 0  . 1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan P dont une équation cartésienne est x  y  z  3  0 . 2. Soit S la sphère de centre O et de rayon

5.

a) Vérifier que A, B et C sont des points de S. b) Déduire alors l’intersection de la sphère S avec le plan P.

 5 5 5 , ,  et Q le plan passant par D et  3 3 3

3. Soit le point D  

parallèle au plan P. Montrer que Q est tangent à la sphère S au point D. 4. Soit M  x, y, z  un point de l’espace n’appartenant pas à P.





a) Calculer AB  AC . AM . b) Montrer que le volume V du tétraèdre MABC est égale c) En déduire que pour tout point M du plan Q ; V 

x  y  z 3

5 1 3

3

.

Exercice3





L’espace est munie d’un repère orthonormé O, i, j , k . On considère les points I 1,1,0  , J  0,1,1 et K 1, 0, 1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur IJ  IK . b) En déduire que les points I, J et K déterminent un plan P dont une équation est x  y  z  0 . 2. Soit le point S 1, 1,1 .Montrer que le volume du tétraèdre SIJK est égal à

1 . 2

3. Soit la droite  passant par I et parallèle à la droite (JK) et soit M un point quelconque de  . a) Montrer que MJ  MK  IJ  IK . b) Déterminer alors le volume du tétraèdre SMJK. 4. Soit S la sphère d’équation : x2  y 2  z 2  6 x  2 z  4  0 . a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère S. b) Montrer que la sphère S coupe le plan P suivant un cercle que l’on précisera. Exercice 4





L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i, j , k . On donne les points A 1, 2, 1 , B  2,0, 2  et C  1,1,1 . 1. a) Déterminer les composantes du vecteur AB  AC et déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. b) Donner une équation du plan P déterminé par les points A, B et C.

x   1  2. Soit  la droite de systèmes d’équations paramétriques  y  2   ℝ. z   1  a)Vérifier que A est un point de  . b) Montrer que la droite  est perpendiculaire au plan P. 3. Soit  un réel et I   1, 2,   1 un point de la droite  . a) Montrer que d  I , P   2  . b) Soit  S  la sphère de centre I et de rayon 2 2 . Déterminer suivant les valeurs de  la position relative de la sphère  S  et du plan P. 4. a) Pour quelles valeurs de  , le point B appartient à la sphère  S  ? b) Pour les valeurs de  trouvées, caractériser  S   P .

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Eléments de corrections

Exercice 1

1. a) On a AB  1,0,1 et AC  0, 1,1 donc AB  AC 1,1,1 . b) AB  AC  O , d’où les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et par suite les points A , B et C ne sont pas alignés déterminent donc un unique plan P. Un vecteur normal à ce plan est AB  AC , d’où une équation du plan P est : x  y  z  d  0 Le point A 1, 0, 0  ∊ P donc d  1 .Ainsi le plan P à pour équation : x  y  z  1  0 . 2. a) M  x, y, z  ∊ S  x2  y 2  z 2  2 x  2 z  1  0 

 x 12 1  y 2   z  12  1  1  0   x  12  y 2   z  12  1 . On en déduit que l’ensemble S est la sphère de centre I 1, 0,1 et de rayon r  1 . b) Pour cela il suffit de vérifier que les trois A, B et C sont des points de la sphère S. 3. a) On a AI  0, 0,1 donc le volume du tétraèdre IABC est égale





1 1 1 AB  AC . AI  0  0  1  unité 6 6 6

de volume. b) Pour  réel , on a AM   1,0, 2    et le volume du tétraèdre MABC est égale





1 1 1 indépendant de  . AB  AC . AI    1 1  0 1   2    1  6 6 6 Exercice 2

1. L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i; j ; k ) . Les points A(2,0,1) , B(0,2,1) et C(1,2,0).

AB  AC  2, 2, 2  d’où AB  AC  O , d’où les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et par suite les points A ,B et C ne sont pas alignés déterminent donc un unique plan P dont un vecteur normal est

AB  AC . Ainsi une équation de P est de la forme 2 x  2 y  2 z  c  0

A est un point de P donc c  6 . Ainsi P : x  y  z  3  0 . 2. La sphère S à pour équation : x2  y 2  z 2  5 . a) Vérification facile. b) Le plan P est déterminer par les trois points A, B et C. La sphère S passe par ces trois points. D’où l’intersection de la sphère S avec le plan P est le cercle circonscrit au triangle ABC. 3. a) Le plan Q est parallèle à P, d’où une équation cartésienne du plan Q est x  y  z  d  0 . Le point D est un point de Q donc d  3

5 5  0. . Ainsi Q : x  y  z  3 3 3

b) La sphère S à pour centre O. Calculons la distance de O au plan Q.

3 d  O, Q  

5 3 3



3 5   5 qui est égale au rayon de la sphère S. D’où le plan Q est tangent à la 3 3

sphère S. 2

2

2

 5  5  5          5 donc D est un point de S et aussi D est un point de Q. 3 3 3       Conclusion Q est tangent à S au point D. 4. Soit M  x, y, z  un point de l’espace n’appartenant pas à P. a) AB  AC  2, 2, 2  et AM  x  2, y, z  1 donc

 AB  AC .AM  2  x  2  2 y  2  z 1  2x  2 y  2z  6 . b) Le volume V du tétraèdre MABC est égale

x  y  z 3 1 1 AB  AC . AM  2 x  2 y  2 z  6  6 6 3



c) Soit M  x, y, z  un point de Q. On a x  y  z  3



5  0. 3

x  y  z 3 5 5  0  x  y  z  3 et donc V   3 3 3

x  y  z 3

3

5 3 3 3

5 5 1  1 . 3 3



Exercice 3

1. a) IJ  1,0,1 , IK  0, 1, 1  IJ  IK 1, 1,1 b) Le vecteur IJ  IK étant non nul donc les points I, J et K ne sont pas alignés et par suite ils déterminent un plan P. De plus IJ  IK est normal à P ce qui donne que P : x  y  z  d  0 comme I est un point de P alors d = 0 et par suite P : x  y  z  0 . 2. Soit V le volume du tétraèdre SIJK, alors V 

V









1 IJ  IK .IS avec IS  0, 2,1  IJ  IK .IS  3 .Ainsi 6

1 . 2

3. a) Montrons que MJ  MK  IJ  IK .



 







MJ  MK  MI  IJ  MI  IK  MI  MI  IJ  IK  MI  IK  IJ ou encore MJ  MK  IJ  IK  MI  JK  IJ  IK . En effet MI et JK sont colinéaires.







   effet  MJ  MK  .MI   IJ  IK  . MI  0 . Finalement  MJ  MK  .MS   IJ  IK  .IS .











b) MJ  MK .MS  MJ  MK . MI  IS  MJ  MK .MI  MJ  MK .IS  MJ  MK .IS . En

Les tétraèdres SMJK et SIJK ont le même volume d’où le volume du tétraèdre SMJK est égal à

1 . 2

2 2 4. a) x 2  y 2  z 2  6 x  2 z  4   x  3  y 2   z  1  14 .On en déduit que s est la sphère de centre le

point   3, 0,1 et de rayon r  14 b) d  , P  

4

r donc S coupe P suivant un cercle de centre r '  14 

3

16 28 et de centre le point  3 3

H projeté orthogonal de  sur P. Exercice 4

1. a)les composantes du vecteur AB  AC sont  5, 0,5 . Ce vecteur étant non nul donc les points les points A,

B et C ne sont pas alignés. b) Le vecteur AB  AC est normal à P donc une équation cartésienne de P est 5x  5z  d  0 , d est un réel.

A est un point de P alors d  0 et par suite une équation de P est x  z  0 . 2. a) Remarquer que A est le point de  qui correspond à   0 . b)  est la droite qui passe par A et de vecteur directeur de composante 1, 0,1 qui est donc colinéaire à

AB  AC donc la droite  est perpendiculaire au plan P. 3. a) d  I , P  

  1   1 12  12



2 2

 2

b) Comparons 2 2 et d  I , P 



d 2  I , P   2 2



2





 2 2  8  2  2  4 . Donc

 2 2  et la sphère  S  et le plan P sont sécant suivant un cercle. Si   , 2  2,  alors d  I , P   2 2  et la sphère  S  et le plan P ont une intersection vide. Si   2, 2 alors d  I , P    2 2  et la sphère  S  et le plan P sont tangents. Si   2, 2 alors d  I , P 











4. a) Le point B appartient à la sphère  S  signifie d  I , B   2 2 signifie

  12   22    12

2 2  6  2 2   2  1    1

 2 2 signifie

Le point B appartient à la sphère  S  pour les valeurs -1 et 1 de  . b) les valeurs -1 et 1 de  appartiennent à 2, 2 donc la sphère  S  et le plan P sont sécant suivant un cercle. Le rayon de ce cercle est r 

2 2    2  2

2

 6.

Le centre de ce cercle est le point w projeté orthogonal de I (centre de  S  )sur le plan P.

w n’est autre que le point d’intersection de  et du plan P. Ainsi w  A Conclusion dans le cas ou le point B appartient à la sphère  S  la sphère  S  et le plan P sont sécant suivant le cercle de centre A et de rayon

6.