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SERIE DE MATHEMATIQUES
LYCEE OUED ELLIL
CLASSE :4IEME ANNEE SECONDAIRE SECTION :4IEME SCIENCES EXPERIMENTALES THEME :GEOMETRIE DANS L’ESPACE
ANNEE SCOLAIRE :2011-2012 Prof : bellassoued mohamed
Exercice 1 L’espace est rapporté a un repère orthonormé direct (O; OI; OJ; OK)
On considère le cube OIRJKLMN , on note A le milieu de IL et B le point défini par KB KN 2 3
On appelle (P) le plan passant par les points O , A et B 1- a déterminer les coordonnées des points A et B b- déterminer les composantes du vecteur u OA OB c- montrer alors que l’aire du triangle OAB est :
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2- le point C appartient-il a (P) ? justifier votre réponse . 3- On considère le tétraèdre OABK . a- Montrer que le volume de ce tétraèdre est :
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b-Calculer alors la distance du point K au plan (P) Exercice 2 L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) Soient les points A(2;2;0) , B(0;2;2) et C(1;0;1) 1- Vérifier que les points A , B et C définissent un plan P 2- Montrer que le plan P a pour équation cartésienne : x z 2 0 3- Soit Q le plan dont une équation est : x 2y z 1 0 a- Montrer que les plans P et Q sont sécants b- Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection 4- Déterminer l’ensemble M(x; y; z); M etd( M, P ) d( M, Q) 5- Soit S l’ensemble des points M(x ;y ;z) de tel que x 2 y 2 z 2 2y 4z 1 0 a- Montrer que S est une sphère que l’on caractérisera b- Montrer que le plan Q coupe la sphère suivant un cercle C dont on précisera le centre et le rayon c- Déterminer les plans parallèles a P et tangents a S Exercice 3 L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) A chaque réel m , on considère le plan Pm dont une équation est Pm : x 2y mz 2 0 On pose S M(x; y; z) ; x 2 y 2 z 2 2x 2y 7 0 1- Montrer qu’il existe une droite D incluse dans Pm pour tout réel m , et déterminer une représentation paramétrique de D 2- Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R 3- Déterminer S D 4- a-Calculer la distance de I a Pm en fonction de m b-Discuter suivant les valeurs de m , la position relative de S avec Pm et la nature de S Pm -1-
Exercice 4
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) On considère les points A(1;1;3) , B(2;1;0) , C(2;1;2) et I B C 1- a- montrer que les points A , B et C définissent un plan P b-Montrer que le plan P a pour équation cartésienne : x y z 3 0 2- a-Montrer qu’une équation cartésienne du plan Q médiateur du segment AB est Q : x z 1 0 b-Déterminer une représentation paramétrique de la droite D P Q
3- Soit l’ensemble E M / MB2 MB BC 0
a-Verifier que ( M E) si et seulement si ( MB MC) 0) Déduire alors que E est une sphère de centre I dont on précisera le rayon b-Montrer que E est tangent a Q c-Déterminer les coordonnées du point H de contact de E et Q puis vérifier que HD 4- Soit l’ensemble S m M( x; y; z) / x 2 y 2 z 2 2mx 2my 2(m 1)z 2m 2 2m 0 , m a-Montrer que pour tout m , S m est une sphère dont on précisera le centre m et le rayon R m b-Montrer que l’ensemble des points m , lorsque m décrit , est une droite contenue dans Q . c- Discuter , suivant les valeurs de m, la position relative de P et S m d- Déterminer m pour que P soit un plan diamétral de S m . Caractériser dans ce cas P S m Exercice 5
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) On considère les points A(1;1;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) et D(1;2;2) 1- Placer les points A ,B,C et D 2- Déterminer une équation de la sphère passant par les points O,A,B et C 3- Soit la sphère S : x 2 y 2 z 2 x y z 0 Déterminer l’intersection de la sphère S et la droite (AD) 4- Montrer qu’une équation du plan P passant par B et perpendiculaire a (AD)est : x y z 1 0 5- Montrer que l’intersection du plan P et de la sphère S est un cercle dont on déterminera le rayon et les coordonnées de son centre 6- Soit le plan Q m : x y z m 0 a-Vérifier que Q 2 est le plan médiateur de AD b-Déterminer les valeurs du paramètre réel m pour que le plan Q m soit tangent a S
7- Déterminer l’intersection de Q 2 et du plan P(O; i ; j ) Exercice 6
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O; i ; j ; k ) A chaque réel m , on considère Pm le plan dont une équation est Pm : x 2y mz 2 0 On pose S M( x; y; z) / x 2 y 2 z 2 2x 2y 7 0 1- Montrer qu’il existe une droite D incluse dans Pm pour tout réel m et déterminer une représentation paramétrique de D 2- Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre I et le rayon R 3- Déterminer S D 4- a-Calculer la distance de I a Pm en fonction de m b-Discuter suivant les valeurs de m , la position relative de S avec Pm et la nature de S Pm -2-
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
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Exercice 10
Exercice 11
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