Rezolvarea Ecuatiilor Algebrice de Grad Superior-Securizat-1903-7 [PDF]

Zitiervorschau

Dani el aMANEA

REZOLVAREA ECUAŢI I LORALGEBRI CE DEGRADSUPERI OR

0 = a + . 1+. . n nx n +a 1 x

Edi t ur aPar al el a45

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR

Referent ştiinţific: lect.univ.dr. Eduard Asadurian

Corectură: Daniela Manea

Editor: Călin Vlasie ISBN: 978-973-47-1903-7

Copyright © Editura Paralela 45, 2016, pentru prezenta ediţie

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUAŢIILOR ALGEBRICE DE GRAD SUPERIOR

Daniela Manea

Introducere

Introducere

Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele care ne atrag atenţia îşi exprimă funcţia sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii. În matematică găsim mereu combinări neaşteptate şi ingenioase de idei, de adevăruri, de rezultate. Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne. De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă, teoretică, matematica devenind, după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor. În dezvoltarea istorică a matematicii, după numere, egalităţile constituie una din primele cuceriri ale acestei ştiinţe. Ele apar la egipteni (aşa cum atestă Papirusul lui Ahmes) cu 2000 de ani î.e.n.. Babilonienii, deşi nu foloseau simboluri algebrice, rezolvau totuşi probleme algebrice, prin procedeul introducerii unei necunoscute ajutătoare. Termenul de ecuaţie – egalitatea între două expresii, conţinând elemente de aceeaşi natură, dintre care unele sunt cunoscute, iar altele necunoscute, adevărată numai atunci când elementele necunoscute sunt înlocuite cu anumite elemente numite soluţii – a fost folosit iniţial de către L. Fibonacci. Ecuaţia algebrică este ecuaţia ce poate fi adusă la forma P = 0 , unde P este un polinom cu una sau mai multe nedeterminate, care sunt necunoscutele ecuaţiei. În secolul al IX-lea, Muhammed al-Horezmi, în lucrarea sa ,,Carte scurtă despre calculul al-djabr şi al-mukabala”, a făcut o clasificare a ecuaţiilor şi le-a rezolvat, folosind cele două operaţii, al-djabr (trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru în altul) şi almukabala (reducerea termenilor asemenea), operaţii fundamentale pe atunci în rezolvarea ecuaţiei de gradul I şi II. Până în secolul al XVI-lea, problema rezolvării ecuaţiilor algebrice apărea ca ceva foarte complicat, rezolvarea lor ducând la alte numere necunoscute. Chiar ecuaţia de gradul I ducea la efectuarea unei împărţiri considerată ca o operaţie foarte grea. Şi mai anevoioasă a fost rezolvarea ecuaţiei de gradul II, ce necesită o extragere de rădăcină pătrată. Începând cu secolul al XVI-lea, a crescut interesul europenilor pentru găsirea unor metode generale de rezolvare a ecuaţiilor algebrice. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare sau egal cu 5 a fost mereu în atenţia matematicienilor, dar abia la începutul secolului al XIX-lea a fost demonstrată de către Abel şi Ruffini imposibilitatea găsirii unor formule de rezolvare pentru ecuaţiile de grad mai mare sau egal cu 5. 5  

Daniela Manea

Introducere

Lucrarea de faţă îşi propune analiza rezolvării ecuaţiilor algebrice de grad superior, concretizând prin exemple metodele descrise. Ea este structurată pe trei părţi. Prima parte cuprinde un scurt istoric al evoluţiei rezolvării ecuaţiilor algebrice şi detaliază câteva metode de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mic sau egal cu 4. A doua parte tratează tipuri de ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali. A treia parte prezintă câteva consideraţii metodice asupra predării ecuaţiilor algebrice în gimnaziu şi liceu, precum şi o serie de exerciţii şi probleme ce propun rezolvarea unor tipuri de ecuaţii algebrice, folosind diverse metode. Lucrarea este însoţită de o bibliografie completă, pentru ca cititorul interesat, să-şi însuşească mai bine partea teoretică la care se referă exerciţiile şi problemele, simultan cu deprinderile de aplicare. Consider că această lucrare poate fi un bun suport didactic în activitatea de la catedră. Aduc mulţumirile mele domnului lect.univ.dr. Eduard Asadurian, coordonator ştiinţific al lucrării, pentru observaţiile utile şi competente în structurarea şi definitivarea materialului realizat.

Daniela Manea

 

 

6  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

 

Capitolul 1. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

1.1. Preliminarii. Istoric Matematica este o permanenţă în viaţa noastră, în conversaţiile noastre, toate obiectele care ne atrag atenţia îşi exprimă fiinţa sau frumuseţea prin forme, volume, proporţii. În matematică găsim mereu combinări noi, neaşteptate şi ingenioase idei, adevăruri şi rezultate. Matematica a pătruns ca aerul în toate formele vieţii moderne. De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o dezvoltare progresivă s-a ajuns la formularea şi rezolvarea unor probleme de natură abstractă, teoretică, matematica devenind, după cum spunea Gauss, regina ştiinţelor. Ecuaţiile algebrice cu o singură necunoscută reprezintă astăzi un domeniu de mare importanţă. În toate ramurile ştiinţei şi tehnicii ne întâlnim cu ecuaţii algebrice de diferite tipuri. La început, în antichitate, ecuaţiile algebrice nu constituiau un domeniu demn de atenţia învăţaţilor vremii. Ecuaţiile apăreau în schimb în diverse probleme de geometrie, mecanică, astronomie. Apoi, în mod neaşteptat, algebra, care la prima vedere pare atât de aridă, a oferit palpitante aventuri, în special în domeniul acesta, al rezolvării ecuaţiilor algebrice. Papirusurile egiptene, care datează din antichitate, conţin un număr de 110 probleme de matematică, printre ele fiind şi unele care conduceau la ecuaţii de gradul I. Mergând mai departe, babilonienii acordau o atenţie mai mare ecuaţiilor. Astfel, una din a 1 problemele babiloniene conducea la ecuaţia x + = a , cu soluţia x = + 2 x

2

æ a ö÷ çç ÷ -1 . çè 2 ø÷

Este important să subliniem faptul că aceste probleme erau formulate în cuvinte şi că de cele mai multe ori, rezultatele erau date fără explicaţii. Istoricii de mai târziu au încercat să reconstituie modul de gândire şi să redea într-o formă cunoscută nouă soluţiile date problemelor respective. Babilonienii s-au mai întâlnit şi cu probleme care conduceau la ecuaţii de grad mai mare, ca de exemplu x 3 + x 2 = a . Pentru a suplini lipsa unei formule, ei alcătuiau tabele cu ajutorul cărora aproximau pe x . În acele timpuri, un rol deosebit în dezvoltarea matematicii l-au avut matematicienii şi filozofii Greciei antice. Ei au făcut o descoperire foarte importantă, şi anume descoperirea 7  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

incomensurabilităţii, adică a imposibilităţii de a exprima raportul a două segmente oarecare printr-un raport de numere intregi. Pentru a evita aceste cazuri neplăcute a luat fiinţă ,,algebra geometrică”. Aceasta furniza căile de rezolvare ale diferitelor ecuaţii liniare sau de gradul II cu o singură necunoscută. Problema ecuaţiilor rămânea totuşi o mare necunoscută: pe lângă limitele de cunoaştere, mai existau şi greutăţile create de lipsa unei simbolizări adecvate, lipsă care obliga formularea ,,verbală” a problemelor respective. Matematica datorează lui Diofant din Alexandria1 (sec. III d. Hr.) prima încercare sistematică de folosire a unei notaţiii algebrice consecvente. În ,,Aritmetica” sa, el se consacra în mod deosebit studiului ecuaţiilor diofantice, adică a ecuaţiilor nedefinite cu două necunoscute şi de diferite ordine. În ceea ce priveşte ecuaţiile cu o singură necunoscută, Diofant considera ecuaţiile de gradul I şi II şi numai o singură ecuaţie de gradul III şi anume: x 3 + 3x - 3x 2 - 4 = x 2 + 2x. Să trecem acum pe alte meleaguri. În îndepărtata Chină, matematicienii s-au ocupat în mod preferenţial de rezolvarea ecuaţiilor algebrice. Matematicienii chinezi inventează şi perfecţionează o metodă rapidă de extragere a rădăcinilor de diferire ordine, metodă pe care au aplicat-o intensiv la rezolvarea ecuaţiilor. Ei aduc contribuţii însemnate în acest domeniu, deşi ei n-au căutat formule generale pentru ecuaţiile de ordin superior. Metodele lor de calcul erau suficient de bune în cazul ecuaţiilor ,,incomode” şi, spre deosebire de metodele ,,prin radicali”, ele se puteau aplica la ecuaţii de orice ordin. Trebuie spus că matematicienii chinezi rezolvau curent ecuaţii de gradul I şi II, precum şi ecuaţii binome de gradul III, şi reuşiseră să inventeze substituţiile pe care azi le cunoaştem sub numele de Horner, şi anume x = ky şi y = p + z , cu ajutorul cărora se transformă în mod convenabil ecuaţiile de ordin superior. Urmărind firul roşu al rezolvării ecuaţiilor, poposim acum pe meleagurile Orientului arabo- persan. Orientul a jucat un rol însemnat în dezvoltarea matematicii. În afară de contribuţia învăţaţilor arabi, persani, uzbeci etc. în acest domeniu, ei au avut o misiune istorică, pentru că au păstrat şi transmis mai departe în timp, cuceririle ştiinţifice ale lumii antice. Rolul învăţaţilor din ţările arabe în dezvoltarea algebrei a fost deosebit. În această ordine de idei este bine să amintim că termenul de „algebră” provine din limba arabă. AlHorezmi, unul din învăţaţii privilegiaţi din Academia lui al-Mamun , a scris o lucrare intitulată

                                                             1  [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 21-22.  

8  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

„Al kitab al-muhtasar fi hisab al-djabr va-l-mukabala” în care apare pentru prima oară cuvântul algebră. Omar Khayyam2 (1048-1131), probabil cea mai strălucită minte a lumii orientului din acele vremuri, întrebuinţa în mod curent denumirea ,,al-djabr” pentru întreaga disciplină a ecuaţiilor. El a elaborat o adevărată teorie despre ecuaţiile de gradul III şi face pentru prima oară aluzia că ecuaţiile de gradul III nu se pot rezolva în general cu ajutorul riglei şi compasului. Abia în 1637, René Descartes reafirmă din nou această idee, pe care abia două secole mai târziu, tot un matematician francez, P.L. Vantzel, reuşeşte să o demonstreze în mod riguros. În afară de aceeasta, Khayyam îşi pune problema rezolvării ecuaţiei de gradul III în mod asemănător ecuaţiei de gradul II (deci prin radicali), dar nu reuşeşte acest lucru. El însă realizează o clasificare a ecuaţiilor, construcţia geometrică a rădăcinilor şi determinarea numărului şi a limitelor soluţiilor pozitive. Iată un exemplu de ecuaţie de gradul III, rezolvată de Khayyam cu ajutorul metodelor geometrice: x 3 + p 2 x = p 2 q . El se foloseşte de cercul x 2 + y 2 = qx şi de parabola x 2 = py pe care le scrie sub forma

p x x y = şi = de x y y y-x

p2 x sau p 2 (q - x) = x 3  x 3 + p 2 x = p 2 q . Punctul de intersecţie a celor două unde 2 = x q-x curbe dă soluţia pozitivă a ecuaţiei. Nici cei ce au urmat lui Omar Khayyam, o bună bucată de vreme nu au reuşit să ajungă la o rezolvare completă a ecuaţiei de gradul III. S-au rezolvat enorm de multe cazuri particulare, s-au dat numeroase şi ingenioase soluţii geometrice. Totuşi, nu aceasta era ceea ce se dorea; atracţia unei formule generale era din ce în ce mai puternică. Trecerea timpului ne poartă acum paşii spre Italia medievală a începutului de secol al XVI-lea. Este epoca în care spiritul creator al omului cunoaşte o descătuşare de mari proporţii. În această perioadă are loc şi rezolvarea prin radicali a ecuaţiei generale de gradul III. Iată cum s-au petrecut lucrurile. Scipione del Ferro (1456-1526), profesor la Universitatea din Bologna, reuşeşte între anii 1500-1515 să găsească regula generală de rezolvare algebrică a ecuaţiei x 3 + px = q . Însă el nu divulgă metoda. Numai doi oameni au avut acces la secretul său: ginerele şi succesorul său la catreda de matematici Annibale della Nave, şi un elev de-al său, Antonio Maria Fior. Ultimul reţine descoperirea lui Scipione del Ferrro în aşteptarea unei ocazii care să o pună în valoare.                                                              2  [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 25-28.  

9  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

În bătălia pentru soluţia generală, intră Niccolo Fontana zis Tartaglia (1500-1557), matematician extrem de talentat al epocii respective. În anul 1530, Zuanne de Tonini da Coi, de asemenea matematician al vremii, propune lumii matematice de atunci rezolvarea unor ecuaţii particulare de tipul: x 3 + px 2 = q ,

x 3 + q = px 2 , x 3 = px 2 + q . Tartaglia rezolvă în timp record aceste probleme şi afirmă că a găsit şi soluţia generală. La auzul acestor afirmaţii, Antonio Fior crede că a găsit momentul să îşi consacre gloria prin formulele lui del Ferro. Ca urmare, în anul 1535 el provoacă pe Tartaglia la o mare dispută, timiţându-i spre rezolvare ecuaţii de tipul: x 3 + px = q , x 3 + q = px , x 3 = px + q , a căror rezolvare el o ştia prin formulele lui Scipione del Ferro. Dar surpriză: Tartaglia rezolvă şi aceste ecuaţii şi-i trimite la rândul său lui Fior ecuaţiile de tipul: x 3 + px 2 = q , x 3 + q = px 2 , x 3 = px 2 + q , pe care însă Fior nu mai este capabil să le rezolve. Tartaglia afirmă acum că a găsit procedeul general de rezolvare a ecuaţiilor de gradul III. În aceste momente, intră în scenă Girolamo Cardano3 (1501-1576), spirit enciclopedic şi matematician de geniu al epocii. În perioada disputelor publice dintre Tartaglia şi Fior, Cardano lucra la un tratat imens de matematică numit ,,Ars Magna”, care a apărut în 1545. În 1539, Cardano încearcă să-l convingă pe Tartaglia să-i comunice metoda de rezolvare pentru a o include în ,,Ars Magna”. Conform istoriei, Tartaglia i-ar fi comunicat-o până la urmă lui Cardano, dar cu rugămintea de a nu o publica. În 1543, însoţit de elevul său preferat Lodovico Ferrari (1522-1561), Cardano soseşte la Bologna pentru a examina manuscrisele lui Scipione del Ferro. Cei doi au aici o adevărată surpriză: constată că, de fapt, del Ferro a fost primul care a reuşit să dea metoda generală de rezovare pentru ecuaţia x 3 + px = q . Astfel, în 1545 vede pentru prima oară lumina tiparului, metoda generală de rezolvare a ecuaţiei de gradul III, Cardano citându-i pe toţi înaintaşii săi în acest domeniu. Şi după cum spune şi istoricul sovietic al matematicii, A.P. Iuşkevici, “Cardano, el însuşi un matematician talentat, nu s-a mărginit la a reproduce regulile lui Tartaglia. El a dat demonstraţiile acestora, a arătat cum se reduc ecuaţiile cubice complete la ecuaţii cubice numai cu trei termeni; lui îi aparţine prima întrebuinţare a soluţiilor imaginare a ecuaţiilor pătratice. În opera sa, Cardano expune de asemenea şi metoda de reducere a rezolvării ecuaţiei de gradul IV la rezolvarea unei

                                                             3  [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 30-36.  

10  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

ecuaţii de gradul III, metodă găsită de elevul său, Lodovico Ferrari.” (,,Hrestomatia po Istorii Matematiki”, 1976, Moskva). Acum câte ceva despre rezolvarea grafică a ecuaţiei de gradul III. Încă de acum multe secole în urmă, metodele grafice erau preferenţiale în rezolvarea ecuaţiior de diferite tipuri. Ceva mai târziu, teoria funcţiilor de o variabilă reală, combinată cu clasicele cunoştinţe asupra conicelor, a devenit un mare ajutor în această problemă a rezolv.ării ecuaţiilor. Desigur că rezolvarea grafică a unei ecuaţii este aproximativă, dar, ceea ce este important la această metodă, este posibilitatea de a detecta numărul de rădăcini reale (şi implicit şi al celor complexe conjugate), precum şi valoarea lor aproximativă. Goana după radicali a continuat, din păcate însă fără success. N-au mai putut fi rezolvate prin radicali decât ecuaţii particulare de grad mai mare decât patru. Aceste eforturi nu au contenit decât atunci când s-a produs o adevărată cotitură în algebră. Matematicianul francez de geniu, Evariste Galois (1811-1832), creează bazele teoriei moderne a structurilor algebrice (noţiunea de grup). Norvegianul H. Abel (1802-1829) şi italianul Ruffini (1765-1832) atacă şi ei abordarea dintr-un unghi nou al algebrei şi reuşesc, în final, să demonstreze un fapt extrem de important: ecuaţiile algebrice generale de grad mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali. Acesta este sfârşitul ,,goanei după radicali”. Se deschide o nouă perioadă în dezvoltarea algebrei. Cercetările încep acum să se concentreze asupra unor probleme ca: în ce condiţii există rădăcini raţionale, metode de rezolvare aproximativă a ecuaţiilor de ordin superior etc. Ecuaţiile algebrice au constituit un domeniu de atracţie şi pentru matematicienii români, aceştia reuşind să aducă o contribuţie interesantă şi utilă. Reviste ca „Gazeta Matematică”, „Revista Matematică din Timişoara”, „Pozitiva” şi altele, conţin o sumedenie de note şi articole pe marginea rezolvării ecuaţiilor algebrice de diferite ordine. Articolul dr. docent Marius Iosifescu4 din 1955, conţine, pe lângă elementele istorice, şi cazul clasic de rezolvare a ecuaţiei de gradul III, pentru care se dă o metodă originală de reducere a ecuaţiei complete de gradul III, a 0 x 3 + 3a1x 2 + 3a 2 x + a 3 = 0 , a 0 ¹ 0 , la o ecuaţie binomă. De asemenea, marele matematician Traian Lalescu5 a fost fost un talentat algebrist. În domeniul ecuaţiilor algebrice, Lalescu deduce în 1914 limitele rădăcinilor reale ale ecuaţiei de gradul III: x 3 - px + q = 0 .                                                              4  [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 61-64   5

 Ibidem, pg. 65.

11  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Ceva mai târziu, Gheorghe Buicliu6, s-a ocupat de rezolvarea ecuaţiei algebrice de gradul IV, găsind condiţiile în care ecuaţia generală f (x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 se poate pune sub forma sumei a două pătrate, ducând apoi la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II. Cam tot în aceeaşi perioadă, profesorul Theodor Angheluţă publică in ,,Gazetă” un studiu relativ complet asupra aşezării în ordine naturală a rădăcinilor a două ecuaţii de gradul III. Multe probleme interesante, legate de ecuaţiile de ordin superior, au fost dezbătute de matematicienii noştri în studiul ecuaţiilor algebrice satisfăcute de laturile poligoanelor regulate. Astfel, profesorul N.N. Mihăileanu dă, în G.M. nr. 7/1970, chiar un criteriu general de formare a acestor ecuaţii.

1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali Considerăm formulele (expresiile algebrice) de forma R(t1 , t 2 , ..., t n ) ,

(1.1)

care conţin în afara simbolurilor de operaţii aritmetice (adunarea, înmulţirea, împărţirea), numai semnele

k

(extragerea rădăcinii de ordinul k dintr-un număr complex).

Exemplul 1.1. t1 + 3 t 2 - t 3 este o formulă de forma (1.1.).

Fie R(t1 , t 2 , ..., t n ) o expresie algebrică de tipul (1.1). Când mărimilor t1 , t 2 , ..., t n dăm valorile t1 = a1 , t 2 = a 2 , ..., t n = a n , atunci R(a1 , a 2 , ..., a n ) are mai multe valori (un număr finit). Spunem că un număr complex z se exprimă prin radicali din numerele complexe a1 , a 2 , ..., a n dacă există o expresie de tipul (1.1) astfel încât z să fie una din valorile lui R(a1 , a 2 , ..., a n ) . Dacă a1 , a 2 , ..., a n sunt numere raţionale arbitrare, atunci spunem simplu că z se exprimă prin radicali. Exemplul 1.2. a) z = 1 + i se exprimă prin radicali.

Într-adevăr, z = 1 + i este una din valorile lui R(1, -1) , unde: R(t1 , t 2 ) = t1 + t 2 . b) z = 2 + 5 - 3 se exprimă prin radicali.                                                              6  [1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981, pg. 66  

12  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Într-adevăr,  z = 2 + 5 - 3 este valoarea lui R(2, 5, 3) , unde: R(t1 , t 2 , t 3 ) = t1 + t 2 - t 3 . Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie prin radicali? Considerăm ecuaţia algebrică de grad n ³ 1 cu coeficienţi complecşi: x n + a1x n-1 + ... + a n = 0 .

(1.2)

Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că coeficientul lui x n este 1. Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia are n rădăcini complexe. Dar această teoremă nu indică şi un procedeu de obţinere a celor n rădăcini. Spunem că o rădăcină z 0 a ecuaţiei (1.2) se exprimă prin radicali dacă există o formulă de tipul R(t1 , t 2 , ..., t n ) astfel încât z0 să fie una din valorile expresiei R(a1 , a 2 , ..., a n ) , adică z0 se exprimă prin radicali din numerele complexe a1 , a 2 , ..., a n . Dacă orice rădăcină a ecuaţiei algebrice (1.2) se poate exprima prim radicali, atunci spunem că ecuaţia (1.2) se rezolvă prin radicali.

Dacă există o formulă R(t1 , t 2 , ..., t n ) astfel încât pentru orice numere complexe a1 , a 2 , ..., a n ecuaţia (1.2) are rădăcini exprimabile prin radicali prin intermediul expresiei R(t1 , t 2 , ..., t n ) , atunci vom spune că R(t1 , t 2 , ..., t n ) este formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul n . Presupunem că rădăcinile ecuaţiei (1.2) se exprimă prin radicali prin intermediul formulei

R(t1 , t 2 , ..., t n ) , adică rădăcinile sale sunt o parte din valorile expresiei

R(a1 , a 2 , ..., a n ) . Problema care se pune este de a distinge din mulţimea acestor valori pe acelea care sunt rădăcinile ecuaţiei date. Acest lucru se face pentru fiecare caz în parte. În cele ce urmează ne propunem să arătăm că pentru n = 2, 3, 4 se poate da un procedeu de determinare a rădăcinilor ecuaţiei. Pentru n = 1 ecuaţia x + a1 = 0 are rădăcina x = -a1 şi nu mai prezintă probleme.

1.3. Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III 1.3.1. Ecuaţia de gradul II

Fie ecuaţia x n + a1x n-1 + ... + a n = 0 . 13  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Pentru n = 2 avem x 2 + a1x + a 2 = 0, a1 , a 2 Î  . Această ecuaţie se poate scrie sub forma: 2

x 2 + a1 x +

2

æ æ a12 a2 a ö a2 a ö a2 + a 2 - 1 = 0  çç x + 1 ÷÷÷ + a 2 - 1 = 0  çç x + 1 ÷÷÷ = 1 - a 2  èç èç 4 4 2ø 4 2ø 4

-a1  a12 - 4a 2 a1 a12 a1 a12 .  x+ = -a2  x = -  -a2  x = 2 4 2 4 2

Deci ecuaţia de gradul II este rezolvabilă prin radicali. Soluţiile sunt date de formula: x=

-a1  a12 - 4a 2 . 2

(1.3)

Exemplul 1.3. Să se rezolve ecuaţia: x 2 - x + (1- i) = 0 .

Avem (utilizând (1.3.)): x=

1  1- 4 (1- i)

Cum

2

=

1 + 4i - 3 . 2

-3 + 4i =  (1 + 2i)  x1 = 1 + i, x 2 = -i .

1.3.2. Ecuaţia de gradul III. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi reali

Fie ecuaţia x 3 + a1x 2 + a 2 x + a 3 = 0

(1.4)

cu coeficienţi complecşi. Înlocuim y = x +

a1 a  x = y - 1 şi ecuaţia devine: 3 3 3

2

æ ö æ ö æ ö çç y - a1 ÷÷ + a1 çç y - a1 ÷÷ + a 2 çç y - a1 ÷÷ + a 3 = 0  ÷ ÷ çè ç ç è è 3ø 3ø 3 ÷ø

 y3 - 3y 2

a1 a 2 a3 a a2 aa + 3y 1 - 1 + a1 y 2 - 2a1 y 1 + a1 1 + a 2 y - 1 2 + a 3 = 0  3 9 27 3 9 3

æ a2 ö 2a 3 a a  y3 + y çç- 1 + a 2 ÷÷÷ + 1 - 1 2 + a 3 = 0 . ÷ø 27 çè 3 3 Notăm -

a12 2a 3 a a + a 2 = p şi 1 - 1 2 + a 3 = q şi atunci ecuaţia devine: 3 27 3 y3 + py + q = 0 .

14  

(1.5)

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Deci rezolvarea ecuaţiei (1.4) revine la rezolvarea ecuaţiei (1.5). În concluzie, vom căuta să indicăm o metodă de rezolvare pentru ecuaţia de gradul III de forma y3 + py + q = 0 . Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că ecuaţia (1.5) are trei rădăcini complexe. Fie y 0 una dintre aceste rădăcini. p Considerăm polinomul în nedeterminata u , f 0 (u ) = u 2 - y 0 u - . Fie a , b rădăcinile 3 p ecuaţiei f 0 (u ) = 0 . Din relaţiile lui Viète obţinem: a + b = y 0 , ab= - . 3

Cum y 0 este rădăcină, atunci y 03 + py 0 + q = 0 . Combinând relaţiile, obţinem: 3

(a + b) + p (a + b) + q = 0  a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 + pa + pb + q = 0   a 3 + b3 + (a + b)(3ab + p) + q = 0 . Dar 3ab + p = 0 . Atunci a 3 + b3 = -q . ì 3 + b3 = -q ì 3 + b3 = -q ïa ïa ïï ïï 3 . Obţinem: í  í 3 3 ïïab = - p ïïa b = - p ïî 3 27 ïîï Deci a 3 şi b3 sunt rădăcinile ecuaţiei t 2 + qt -

D = q2 + 4

æ q 2 p3 ö p3 = 4 çç + ÷÷÷ şi t1,2 = çè 4 27 ÷ø 27

-q  2

p3 = 0 . Pentru această ecuaţie, 27

q 2 p3 + 2 3 4 27 = - q  q + p . Cum a 3 = t şi 1 2 2 4 27

q q 2 p3 q q 2 p3 şi b = 3 - . + + b3 = t 2 , rezultă că a = 3 - + 2 4 27 2 4 27

Atunci: q q 2 p3 q q 2 p3 . y0 = 3 - + + +3- + 2 4 27 2 4 27

Această ultimă formulă reprezintă formula lui Cardano7 de rezolvare a ecuaţiei de gradul III. Rezultă că ecuaţia de gradul III este rezolvabilă prin radicali. Ţinând seama de faptul că rădăcina cubică dintr-un număr complex are trei valori complexe, formula lui Cardano ne dă şase valori complexe. Trebuie să distingem dintre aceste valori care sunt rădăcinile ecuaţiei (1.5). Considerăm formulele lui a şi b .                                                              7  [2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979, pg. 105-107.  

15  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Fie a1 una dintre cele trei valori ale lui a date de formulele considerate. Dacă e şi e 2 sunt rădăcinile cubice nereale ale unităţii, atunci celelalte valori ale lui a sunt: a 2 = ea1 , a 3 = e 2a 1 .

Fie b1 , b2 , b3 , valorile lui b date de formulele considerate. Avem: b2 = eb1 , b3 = e 2 b1 . p Dar trebuie ca: ab = - . 3 p Să presupunem că b1 este valoarea corespunzătoare lui a1 , deci a1b1 = - . Se vede că 3 p a 2 b3 = (ea1 )(e 2 b1 ) = e3 (a1b1 ) = a1b1 = - , 3 p a 3b2 = (e 2a1 )(eb1 ) = - , 3

deoarece a 3 = 1 . Deci b3 este valoarea corespunzătoare lui a 2 şi b 2 este valoarea corespunzătoare lui a 3 . Rezultă că rădăcinile ecuaţiei (1.5) sunt: y1 = a1 + b1 , y 2 = a 2 + b3 = ea1 + e 2b1 , y3 = a 3 + b2 = e 2a1 + eb1. Definiţia 1.1. Fie ecuaţia x n + a1x n-1 + ... + a n = 0 . Notăm cu x1 , x 2 , ..., x n rădăcinile

 (x - x )

2

acestei ecuaţii. Numărul complex d =

i

j

se numeşte discriminantul ecuaţiei.

1£i< j£n

Avem egalitatea:

1 x1 . n-1 x1

1 x2 . n-1 x2

... 1 ... x n =  (x j - xi ) , ... . 1£i< j£n n-1 ... x n

unde primul membru al egalităţii este determinantul Vandermonde. Fie U matricea: æ 1 çç çç x U = çç 1 çç . çç n-1 çè x1

1 x2 . n -1 x2

... 1 ö÷ ÷ ... x n ÷÷÷ ÷ ... . ÷÷÷ ÷ ... x nn-1 ÷ø÷

şi U t matricea transpusă a lui U . Cum det U = det U t , atunci d = (det U )(det U t ) = det ( UU t ) . 16  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Dar n t1 t d = det ( UU ) = t 2 . t n-1

t1 t2 t3 . tn

t2 t3 t4 . t n +1

... t n-1 ... t n ... t n +1 , ... . ... t 2n-2

unde t i = x1i + x i2 + ... + x in sunt sumele de puteri ale lui Newton. Din relaţiile lui Viète rezultă că: n

åx

i

= -a1 ,

åx x i

n

j

= a 2 , ..., x1x 2 ...x n = (-1) a n .

i< j

i=1

Dacă a1 , a 2 , ..., a n Î  , obţinem că d este un număr real ce se exprimă în funcţie de a1 , a 2 , ..., a n . Ne propunem să calculăm discriminantul d pentru n = 2,3 . Pentru n = 2 , ecuaţia este x 2 + a1x + a 2 = 0 . Avem: 2

2

d = ( x1 - x 2 ) = x12 + x 22 - 2x1x 2 = ( x1 + x 2 ) - 4x1x 2 .

Dar x 1 +x 2 = -a1 şi x1x 2 = a 2 , deci d = a 12 - 4a 2 . Pentru n = 3 , ecuaţia este x 3 + a1x 2 + a 2 x + a 3 = 0 . Avem

3 d = ( x1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x1 - x 3 ) = t 1 t2 2

2

2

t1 t2 t3

t2 t 3 = 3t 2 t 4 + 2t1t 2 t 3 - t 32 - 3t 32 - t12 t 4 , t4

unde : t1 = x1 + x 2 + x 3 = -a1 , 2

t 2 = x12 + x 22 + x 32 = ( x1 + x 2 + x 3 ) - 2 ( x1x 2 + x 2 x 3 + x1x 3 ) = a12 - 2a 2 , t 3 = x13 + x 32 + x 33 = ( x1 + x 2 + x 3 )( x12 + x 22 + x 32 - x1x 2 - x1x 3 - x 2 x 3 ) + 3x1x 2 x 3 = = a13 - 3a1a 2 + 3a 3 ,

t 4 = x14 + x 42 + x 34 = ( x12 + x 22 + x 32 ) - 2 ( x12 x 22 + x 22 x 32 + x12 x 32 ) = 2

= t 22 - 2 ( x1x 2 + x1x 3 + x 2 x 3 ) + 4x1x 2 x 3 ( x1 + x 2 + x 3 ) = (a12 - 2a 2 ) - 2a 22 + 4a1a 3 . 2

2

Deci: d = 3(a12 - 2a 2 )(a14 + 4a 22 - 4a12 a 2 - 2a 22 + 4a1a 3 ) + 2 (-a1 )(a12 - 2a 2 )(a13 - 3a1a 2 + 3a 3 ) -

17  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

-(a12 - 2a 2 ) - 3(a13 - 3a1a 2 + 3a 3 ) - a12 (a14 + 4a 22 - 4a12 a 2 - 2a 22 + 4a1a 3 ) = 3

2

= a12 a 22 - 4a13a 3 + 18a1a 2 a 3 - 4a 32 - 27a 32 .

Discuţia rădăcinilor ecuaţiei de gradul III, x 3 + a1x 2 + a 2 x + a 3 = 0 , se reduce la a

determina natura rădăcinilor ecuaţiei reduse în care a1 = 0 . Aşadar vom face discuţia rădăcinilor ecuaţiei x 3 + px + q = 0 . Discriminantul acestei ecuaţii este:

æ q 2 p3 ö d = -(4p3 + 27q 2 ) = -108çç + ÷÷÷ . çè 4 27 ÷ø 1. Cazul d < 0 . Ecuaţia fiind de gradul III are cel puţin o rădăcină reală. Fie aceasta x1 . 2

2

2

Deoarece d = ( x1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x1 - x 3 ) < 0 , x 2 , x 3 sunt numere complexe conjugate. Deci ecuaţia are o rădăcină reală şi două complexe conjugate. 2. Cazul d = 0 . Ecuaţia are cel puţin două rădăcini egale. Cum o rădăcină este reală, rezultă că toate trei sunt reale (din care cel puţin două sunt egale). 2

2

2

3. Cazul d > 0 . Avem ( x1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x1 - x 3 ) > 0 . Presupunem că x1 este reală. Dacă x 2 şi x 3 ar fi complexe conjugate, am putea scrie x 2 = a + ib, x 3 = a - ib , cu b ¹ 0 . În acest caz am avea 2 2 d = ( x1 - a - ib) (-4b 2 )( x1 - a + ib) = éë( x1 - a ) - ibùû éë( x1 - a ) + ibùû (-4b 2 ) , 2

2

adică 2

2 d = éê( x1 - a ) + b 2 ùú (-4b 2 ) < 0 ë û

şi deci, contradicţie. Deci ecuaţia are, în acest caz, trei rădăcini reale distincte. Exemplul 1.4. Să se rezolve ecuaţia: x 3 - 6x + 9 = 0 .

é 92 (-6)3 ù æ 92 ö ê ú ç d 108 108 = + = Avem p = -6; q=9 şi deci ç - 8÷÷÷ = -27 ⋅ 49 < 0 . ê4 ú ÷ø çè 4 27 ú ëê û Deci: 3

3

9 92 (-6) 9 92 (-6) x1 = 3 - + + +3- + = 2 4 27 2 4 27

9 49 3 9 49 =3- + + - = -1- 2 = -3 , 2 4 2 4 æ -1 + i 3 ö÷ æ -1- i 3 ö÷ 3 + i 3 ÷÷ - 2 çç ÷÷ = , x 2 = -1ççç ÷ø ççè ÷ø çè 2 2 2

18  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

æ -1- i 3 ö÷ æ -1 + i 3 ö÷ 3 - i 3 ÷÷ - 2 çç ÷÷ = . x 3 = -1ççç ÷ø èçç çè 2 2 2 ø÷

1.4. Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV

Fie ecuaţia x 4 + a1x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0 . Făcând substituţia y = 4

3

a1 + x , obţinem 4

2

æ æ æ æ a ö a ö a ö a ö ecuaţia çç y - 1 ÷÷÷ + a1 çç y - 1 ÷÷÷ + a 2 çç y - 1 ÷÷÷ + a 3 çç y - 1 ÷÷÷ + a 4 = 0 , care determină ecuaţia de çè ç ç ç è è è 4ø 4ø 4ø 4ø

gradul IV în care coeficientul lui y 3 este 0 : y 4 + py 2 + qy + r = 0 . Această ecuaţie se numeşte ecuaţia redusă de gradul IV.

Prezentăm mai multe metode de rezolvare pentru o astfel de ecuaţie. 1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte)

Fie ecuaţia redusă de gradul IV, de forma: y 4 + py 2 + qy + r = 0 .

(1.6)

Fie m un parametru. Atunci 2

æ ö p p2 y + py + qy + r = çç y 2 + + m÷÷÷ + qy + r - - m 2 - 2my 2 - pm çè ø 2 4 4

2

şi deci: 2 æ æ 2 p ö÷ é p 2 öù ç y + py + qy + r = ç y + + m÷÷ - êê 2my 2 - qy + ççm 2 + pm - r + ÷÷÷úú . çè çè ø ë 2 4 ÷øû 4

2

Alegem parametrul m astfel încât polinomul în Y

æ p2 ö f (Y) = 2mY 2 - qY + ççm 2 + pm - r + ÷÷÷ çè 4 ÷ø să fie pătratul unui polinom de gradul I. Trebuie deci ca discriminantul ecuaţiei f ( y) = 0 să fie nul, adică

æ p2 ö q 2 - 8m ççm 2 + pm - r + ÷÷÷ = 0 çè 4 ÷ø sau

æ p2 ö 8m3 + 8pm 2 - 8ççr - ÷÷÷ m - q 2 = 0 , çè 4 ÷ø 19  

(1.7)

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

care este o ecuaţie de gradul III în m . Ecuaţia (1.7) are o rădăcină complexă; fie aceasta m 0 , care se exprimă prin radicali. Pentru m 0 avem: æ q f (Y) = 2m0 ççY çè 4m

2

ö÷ ÷÷ . ÷ 0ø

Ecuaţia (1.6) devine: 2

2 æ ö æ 2 p ö çç y + + m 0 ÷÷ - 2m 0 çç y - q ÷÷ = 0 ÷ ç çè ø 2 4m 0 ÷÷ø è

sau æ öæ ö çç y 2 + p + m - 2m y + q ÷÷çç y 2 + p + m + 2m y - q ÷÷ = 0 ÷ ÷ 0 0 0 0 çç ç 2 2 2 2m 0 ÷÷øèç 2 2m 0 ÷÷ø è sau

ìï æp ïï 2 ç ïï y - 2m 0 y + ççç 2 + m 0 + 2 è ïï í ïï æ çp 2 ï ïï y + 2m 0 y + çç + m 0 çè 2 2 ïïî

q ö÷÷ ÷= 0 2m 0 ÷÷ø q ÷÷ö ÷= 0 2m 0 ÷÷ø

.

(1.8)

Formulele (1.8) ne arată că ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali. Exemplul 1.5. Să se rezolve ecuaţia: x 4 + 4x 3 + 16x - 5 = 0 .

Facem substituţia x = y -1 şi obţinem ecuaţia: 4

3

( y -1) + 4 ( y -1) + 16 ( y -1)- 5 = 0  y 4 - 6y 2 + 24y - 24 = 0 . Fie m un parametru. Atunci: 2 æ ö é æ 6 36 öù y 4 - 6y 2 + 24y - 24 = çç y 2 - + m÷÷÷ - ê 2my 2 - 24y + çç m 2 - 6m + 24 + ÷÷÷ú = çè ç ø êë è 2 4 øúû 2 = ( y 2 - 3 + m) - éê 2my 2 - 24y + (m 2 - 6m + 33)ùú . ë û

Alegem pe m astfel încât polinomul 2my 2 - 24y + (m 2 - 6m + 33) să fie pătratul unui polinom de gradul I. Obţinem ecuaţia: -m 3 + 6m 2 - 33m + 72 = 0 .

O rădăcină a acestei ecuaţii este m0 = 3 . Ecuaţia devine: 2

æ 24 ö ( y - 3 + 3) - 6 çççè y - 12 ÷÷÷ø = 0  éêë y2 - 6 ( y - 2)ùúû éêë y2 + 6 ( y - 2)ùúû = 0 , 2

2

de unde 20  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

y 2 - 6 ( y - 2) = 0 sau y 2 + 6 ( y - 2) = 0 , şi deci: y 2 - 6y + 2 6 = 0 sau y 2 + 6y - 2 6 = 0 .

De aici se pot găsi cele patru rădăcini ale ecuaţiei în y şi prin substituţia x = y -1 se obţin cele patru rădăcini ale ecuaţiei iniţiale. 1.4.2. Metoda lui R. Descartes (produs de polinoame de gradul II)

O rezolvare elegantă a ecuaţiei reduse de gradul IV, y 4 + py 2 + qy + r = 0 , a dat-o celebrul matematician René Descartes. El a pornit de la ideea că un polinom de gradul IV poate fi scris ca un produs de două polinoame de gradul II, adică: Y 4 + pY 2 + qY + r = (Y 2 + aY + b)(Y 2 + a1Y + b1 ) ,

(1.9)

în care a, a1 , b, b1 trebuie determinaţi. Identificând coeficienţii, Descartes obţine sistemul: ì a + a1 = 0 ï ï ï ï ïb + b1 + aa1 = p . í ï ab1 + a1b = q ï ï ï ï ï îb1b = r El scrie ultima dintre ecuaţii într-un mod foarte ingenios: 2

2

(b1 + b) -(b1 - b) = 4r .

(1.10)

Avem: a1 = -a, b1 + b = p + a 2 , b1 - b =

q . a

Înlocuind aceste relaţii în ecuaţia (1.10) se obţine:

(p + a 2 )

2

-

q2 = 4r sau a 6 + 2pa 4 + (p 2 - 4r ) a 2 - q 2 = 0 . a2

Notând a 2 = u , avem ecuaţia: u 3 + 2pu 2 + (p 2 - 4r ) u - q 2 = 0 .

Această ecuaţie se numeşte rezolventa ecuaţiei de gradul IV de mai sus. Ea este o ecuaţie de gradul III. Făcând scimbarea de variabilă u = v -

a1 , o putem aduce la o ecuaţie de forma 3

v 3 + sv + t = 0 , care se poate rezolva cu ajutorul formulelor lui Cardano. Deci se găseşte u ,

adică a, a1 , b, b1 , astfel încât ecuaţia de gradul IV este rezolvabilă prin radicali.

21  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Fie y1 , y 2 , y3 , y 4 rădăcinile ecuaţiei y 4 + py 2 + qy + r = 0 . Conform relaţiilor lui Viète, din egalitatea (1.9) rezultă că -a reprezintă suma a două rădăcini oarecare. Deci a poate lua şase valori, două câte două egale şi de semne contrare:

( y1 + y2 ) ,  ( y1 + y3 ) ,  ( y1 + y 4 ) . Dacă u1 , u 2 , u 3 sunt rădăcinile ecuaţiei u 3 + 2pu 2 + (p 2 - 4r ) u - q 2 = 0 , cele şase valori ale lui a sunt:  u1 ,  u 2 ,  u 3 .

(1.11)

Scriem atunci că: ( y1 + y 2 ) =  u1 , ( y1 + y3 ) =  u 2 , ( y1 + y 4 ) =  u 3 . Adunăm relaţiile şi ţinem seama de faptul că y1 + y 2 + y3 + y 4 = 0 . Rezultă că y1 =

 u1  u 2  u 3 . 2

Din cele opt valori ale expresiei doar patru convin. În baza relaţiilor lui Viète avem: y1 y 2 y3 + y1 y 2 y 4 + y1 y3 y 4 + y 2 y3 y 4 = -q . Pe de altă parte avem că:

( y1 + y2 )( y1 + y3 )( y1 + y4 ) = y13 + y12 y2 + y12 y3 + y12 y4 + y1y2 y3 + y1y2 y4 + y1y3 y4 + y2 y3 y4 = = y12 ( y1 + y 2 + y3 + y4 ) + y1 y 2 y3 + y1 y 2 y 4 + y1 y3 y 4 + y2 y3 y4 . Rezultă că:

( y1 + y2 )( y1 + y3 )( y1 + y4 ) = -q . Deci semnele radicalilor în (1.11) trebuie alese astfel încăt produsul celor trei radicali să fie -q . În această situaţie cele patru rădăcini ale ecuaţiei y 4 + py 2 + qy + r = 0  au expresiile: 1 u1 + u 2 - u 3 , 2 1 y2 = u1 - u 2 + u 3 , 2 1 y 3 = - u1 + u 2 + u 3 , 2 1 y 4 = - u1 - u 2 - u 3 . 2 y1 =

(

)

(

)

(

)

(

)

1.4.3. Metoda lui L. Euler

Leonhard Euler, celebrul matematician elveţian, a arătat că soluţiile ecuaţiei y 4 + py 2 + qy + r = 0 22  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

se pot scrie convenabil astfel: ì 1 ï ï y1 = u1 + u 2 - u 3 ï ï 2 ï ï ï 1 ï y2 = u1 - u 2 + u 3 ï ï 2 ï , í ï 1 ï y 3 = - u1 + u 2 + u 3 ï ï 2 ï ï ï 1 ï y 4 = - u1 - u 2 - u 3 ï ï 2 ï î

(

)

(

)

(

)

(

)

(1.12)

unde u1 , u 2 , u 3 sunt rădăcinile ecuaţiei u 3 + 2pu 2 + (p 2 - 4r ) u - q 2 = 0 .

Metoda constă în determinarea a trei numere v, z, w , a căror sumă să fie dublul unei rădăcini a ecuaţiei de gradul IV, scrisă sub forma redusă y 4 + py 2 + qy + r = 0 . Dacă v+z+w=2y , atunci

v 2 +z 2 +w 2 +2 ( vz + vw + zw ) =4y 2 şi deci:

(v2 +z 2 +w 2 )

2

+4 ( vz + vw + zw )( v 2 +z 2 +w 2 ) +4 ( v 2 z 2 + v2 w 2 + z 2 w 2 ) +8vzw ( v + z + w ) =16y 4 .

În ecuaţia dată înlocuim pe: y, y 2 , y 4 şi rezultă 1 é 2 2 2 2 ù 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ê( v +z +w ) +4 ( vz + vw + zw )( v +z +w ) +4 ( v z + v w + z w ) +8vzw ( v + z + w )ú + û 16 ë 1 1 + p éêë v 2 +z 2 +w 2 +2 ( vz + vw + zw )ùûú + q ( v+z+w ) + r = 0 , 4 2

adică 2 1 2 2 1 1 1 v +z +w 2 ) + ( vz + vw + zw )( v 2 +z 2 +w 2 ) + ( v 2 z 2 + v 2 w 2 + z 2 w 2 ) + vzw ( v + z + w ) ( 16 4 4 2 1 1 1 2 2 2 + p ( v +z +w ) + p ( vz + vw + zw ) + q ( v+z+w ) + r = 0 , 4 2 2

sau încă:

(v2 +z 2 +w 2 )

2

+4 ( vz + vw + zw )( v 2 +z 2 +w 2 ) +4 ( v 2 z 2 + v 2 w 2 + z 2 w 2 ) +8uvw (u + v + w ) +

+4p ( v 2 +z 2 +w 2 ) +8p ( vz + vw + zw ) + 8q ( v+z+w ) + 16r = 0 .

În final, putem scrie:

(v2 +z 2 +w 2 )

2

+4 ( vz + vw + zw )( v 2 +z 2 +w 2 + 2p) +4p ( v 2 + z 2 + w 2 ) +8 ( vzw+q )( v + z + w ) +

+4( v2 z2 + v2 w 2 + z 2 w 2 ) +16r = 0 .

23  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Fie v, z, w astfel încât v 2 +z 2 +w 2 + 2p = 0 şi vzw + q = 0 , deci v 2 +z 2 +w 2 = -2p şi vzw = - q . Expresia de mai sus devine

(-2p) + 4p (-2p) + 4 ( v2 z 2 + v2 w 2 + z 2 w 2 ) +16r = 0 , 2

adică 4p 2 - 8p 2 + 4 ( v 2 z 2 + v 2 w 2 + z 2 w 2 ) + 16r = 0 ,

de unde se obţine că: v 2 z 2 + v 2 w 2 + z 2 w 2 = p 2 - 4r . Am obţinut astfel sistemul: ì ï v 2 +z 2 +w 2 = -2p ï ï ïv 2 z 2 + v 2 w 2 + z 2 w 2 = p 2 - 4r . í ï ï 2 2 ï ï ï î( vzw ) = (-q )

Deci v 2 , z 2 , w 2 sunt rădăcinile ecuaţiei de gradul III: u 3 + 2pu 2 + (p 2 - 4r ) u - q 2 = 0 ,

ecuaţie ce se poate rezolva cu formulele lui Cardano. Dacă u1 , u 2 , u 3 sunt rădăcinile ei, atunci: u =  u1 , v =  u 2 , w =  u 3 , astfel încât vzw=-q . Deci rădăcinile y1 , y 2 , y3 , y 4 , date de relaţia v+z+w=2y , sunt cele menţionate în formulele (1.12). 1.4.4. Metoda lui Liapin

O altă metodă interesantă de rezolvare a ecuaţiei de rezolvare a ecuaţiei y 4 + py 2 + qy + r = 0 se găseşte în ,,Kurs Vîsşei Alghebrî” (E.S. Liapin, Moscova, 1953). Scriem ecuaţia astfel: 2 y 4 + py 2 + qy + r = ( y 2 + l ) - éê(2l - p) y 2 + (-q ) y + (l 2 - r )ùú , ë û

unde l este un parametru oarecare. Dacă îl vom determina pe l , astfel încât g ( y) = (2l - p) y 2 + (-q ) y + (l 2 - r )

să fie un pătrat perfect, atunci membrul drept al relaţiei va conţine diferenţa a două pătrate perfecte. Acest lucru se poate realize uşor, scriind că discriminantul trinomului g ( y) este nul:

(-q) - 4 (2l - p)(l 2 - r) = 0 2

24  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 2

Pentru l obţinut din ecuaţia de mai sus, putem scrie g ( y) = (ay + b) şi deci: y 4 + py 2 + qy + r = ( y 2 + l +ay + b)( y 2 + l -ay -b) ,

ceea ce duce la rezolvarea a două ecuaţii de gradul II.

1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 Metoda constă în a reduce o ecuaţie de acest tip la un număr de ecuaţii algebrice a căror rezolvare este mai simplă. În cadrul acestei metode se găseşte ideea dezvoltării teoriei lui Galois. Fie F (X1 , X 2 , ..., X n ) =

f (X1 , X 2 , ..., X n )

o fracţie raţională cu coeficienţi numere

g (X1 , X 2 , ..., X n )

(

)

complexe. Notăm sF (X1 , X 2 , ..., X n ) = F Xs(1) , Xs(2) , ..., Xs(n) , s Î sn . Se spune că permutarea s invariază fracţia raţională F(X1 , X 2 , ..., X n ) dacă

(

)

F Xs(1) , Xs(2) , ..., Xs(n) = F(X1 , X 2 , ..., X n ) . Vom nota cu H F mulţimea permutărilor ce invariază pe F . Propoziţia 1.1. H F este un subgrup al lui sn .

(

)

Demonstraţie. Fie s Î H F . Avem F Xs(1) , Xs(2) , ..., Xs(n) = F(X1 , X 2 , ..., X n ) şi deci

) (

(

)

F Xs-1(1) , Xs-1(2) , ..., Xs-1(n) = F Xs-1(s(1)) , Xs-1(s(2)) , ..., Xs-1(s(n)) = F(X1 , X 2 , ..., X n ) . Rezultă că s-1 Î H F . Dacă

s, t Î H F ,

(

atunci

(

)

F X t(1) , X t(2) , ..., Xt(n) = F(X1 , X 2 , ..., X n )

) (

şi

deci

)

F Xs(t(1)) , Xs(t(2)) , ..., Xst(n) = F Xs(1) , Xs(2) , ..., Xs(n) = F(X1 , X 2 , ..., X n ) .

(

)

Rezultă că F X(st)(1) , X(st)(2) , ..., X(st)(n) = F (X1 , X 2 , ..., X n ) , adică st Î H F . Deci H F este un subgroup al lui sn . Definiţia 1.2. Subgrupul H F se numeşte subgrupul invariant al fracţiei raţionale

F(X1 , X 2 , ..., X n ) . Invers, dat fiind un subgroup H al lui s n , o fracţie raţională F(X1 , X 2 , ..., X n ) se spune că este un invariant pentru H dacă H = H F .

25  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Observaţia 1.1. H = sn , dacă şi numai dacă F este o fracţie simetrică. Propoziţia 1.2. Fie F(X1 , X 2 , ..., X n ) o fracţie raţională cu H F subgrupul invariant şi fie pˆ = pH F o clasă de echivalenţă la stânga modulo H F . Atunci pentru orice s Î pH F avem

sF (X1 , X 2 , ..., X n ) = pF(X1 , X 2 , ..., X n ) . Demonstraţie. Dacă s Î pH F , atunci există t Î H F astfel încât s = pt . Atunci:

(

)

sF(X1 , X 2 , ..., X n ) = (pt) F(X1 , X 2 , ..., X n ) = pF X t(1) , X t(2) , ..., X t(n) =

(

)

= pF (X1 , X 2 , ..., X n ) = F Xp(1) , Xp(2) , ..., Xp(n) . Teorema 1.1. Fie F(X1 , X 2 , ..., X n ) o fracţie raţională cu H F subgrupul invariant asociat. Atunci F(X1 , X 2 , ..., X n ) este rădăcină a unui polinom de gradul p = [sn : H F ] cu coeficienţi în inelul polinoamelor simetrice în nedeterminatele X1 , X 2 , ..., X n . Demonstraţie. Fie pˆ 1 , pˆ 2 , ..., pˆ p clasele de echivalenţă la stânga modulo H F . Putem

presupune că p1 = e .

(

)

Să punem: Fi (X1 , X 2 , ..., X n ) = pi F(X1 , X 2 , ..., X n ) = F Xpi (1) , Xpi (2) , ..., Xpi (n) . Cum p1 = e , atunci F1 (X1 , X 2 , ..., X n ) = F(X1 , X 2 , ..., X n ) . p

Considerăm polinomul de gradul p : P (Y) = (Y - Fi (X1 , X 2 , ..., X n )) . i=1

Fie s o permutare arbitrară a lui sn . Atunci sFi (X1 , X 2 , ..., X n ) este una dintre valorile F1 , F2 , ..., Fp . Într-adevăr, sFi (X1 , X 2 , ..., X n ) = spi F (X1 , X 2 , ..., X n ) . Dar spi aparţine unei clase de echivalenţă şi fie aceasta pˆ j . Din propoziţia anterioară obţinem spi F (X1 , X 2 , ..., X n ) = p jF (X1 , X 2 , ..., X n ) = Fj (X1 , X 2 , ..., X n ) . Pe de altă parte, dacă i ¹ j avem sFi ¹ sFj .

Într-adevăr, dacă sFi = sFj atunci s-1 (sFi ) = s-1 (sFj ) şi deci

Fi = Fj .

Valorile F1 , F2 , ..., Fp sunt distincte. Într -adevăr, dacă Fi = Fj , atunci pi F = p jF , de unde p-j 1pi F = F şi deci p-j 1pi Î H F , ceea ce implică pˆ i = pˆ j , adică se obţine o contradicţie. Deci rezultă egalitatea {sF1 , sF2 , ..., sFp } = {F1 , F2 , ..., Fp } , oricare ar fi s Î sn . Scriem polinomul P (Y ) sub forma 26  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

P (Y) = Y p - A1Y p-1 + A 2 Y p-2 + ... + (-1) A p , unde: p

A1 = F1 + F2 + ... + Fp = å Fi , i=1

å

A2 =

FF i j ,

1£i< j£p

………………………………. A p = F1F2 ...Fp .

Fie s o permutare arbitrară a lui sn . Ţinând seama de forma lui P (Y ) obţinem: p

p

i=1

i=1

sA1 = å sFi = å Fi = A1 , sA 2 =

å

sFisFj =

1£i< j£p

å

FF i j = A2 ,

1£i< j£p

………………… sA p = sF1sF2 ...sFp = F1F2 ...Fp = A p .

Rezultă că polinoamele A1 , A 2 , ..., A p sunt simetrice şi F1 = F este o rădăcină a polinomului P (Y) .

1.5.1. Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange

Considerăm ecuaţia de gradul III (forma redusă), x 3 + px + q = 0 , unde p, q sunt numere complexe. Considerăm expresia B = (X1 + eX 2 + e 2 X 3 ) , unde e este o rădăcină cubică a unităţii, 3

diferită de 1. Subgrupul invariant pentru B este H B = {e, (1, 2, 3,) , (1, 3, 2)} . Cum H B este de indice 2 în s3 , atunci conform teoremei anterioare B verifică o ecuaţie de gradul II cu coeficienţi polinoame simetrice în X1 , X 2 , X 3 . Să determinăm această ecuaţie. Clasele de echivalenţă la stânga modulo grupul H B sunt două:

eˆ = eH B = H B = {e, (1, 2, 3,) , (1, 3, 2)} , 1, 2) = (1, 2) H B ={(1, 2) , (1, 3) , (2, 3)} . ( Cele două valori ale lui B sunt: B1 = eB = B = (X1 + eX 2 + e 2 X3 ) , 3

27  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

B2 = (1, 2) B = (X 2 + eX1 + e 2 X 3 ) . 3

Ecuaţia de gradul II pe care o verifică B este

(z - B1 )(z - B2 ) = 0 sau z 2 -(B1 + B2 ) z + B1B2 = 0 . Dar, calculând, obţinem B1 + B2 = (X1 + eX 2 + e 2 X 3 ) + (X 2 + eX1 + e 2 X 3 ) = 2s13 - 9s1s 2 + 27s3 3

3

şi B1B2 = (X1 + eX 2 + e 2 X 3 ) (X 2 + eX1 + e 2 X 3 ) = (s12 - 3s 2 ) , 3

3

3

unde s1 , s 2 , s3 sunt sumele Viète pentru X1 , X 2 , X3 . Deci B verifică ecuaţia: z 2 - (2s13 - 9s1s 2 + 27s3 ) z + (s12 - 3s 2 ) = 0 , 3

(1.13)

coeficienţii săi fiind polinoame simetrice. Să notăm L eX = X1 + eX 2 + e 2 X 3 . Se vede că B1 = L3eX şi B2 = L3e2X , unde B1 , B2 sunt rădăcinile ecuaţiei (1.13). Dacă x1 , x 2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 + px + q = 0 , şi notăm cu Lex valoarea lui L eX când facem X1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 , obţinem sistemul de ecuaţii:

ì ï x1 + x 2 + x3 = 0 ï ï ï x + ex + e 2 x = L . í 1 ex 2 3 ï ï 2 ï ï îx1 + e x 2 + ex3 = L e2 x 1

1

1

Determinantul sistemului este 1 e 1 e2

e 2 = 3(e 2 - e) ¹ 0 , deci sistemul are soluţie e

unică. Rezolvând acest sistem, obţinem soluţia: x1 =

1 ( L ex + L e 2 x ) , 3

x2 =

1 2 ( e L ex + e L e 2 x ) , 3

x3 =

1 eL ex + e 2 L e 2 x ) . ( 3

Aşadar rezolvarea ecuaţiei de gradul III, x 3 + px + q = 0 , se reduce la determinarea lui Lex şi a lui L e2 x .

28  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Să notăm cu b1 , b 2 valorile lui B1 , respectiv B2 pentru X1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 . Atunci b1 şi b 2 sunt soluţiile ecuaţiei (1.13), unde punem X1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 . În acest caz s1 = 0, s 2 = p, s3 = -q . Deci b1 , b 2 sunt rădăcinile ecuaţiei z 2 + 27qz - 27p3 = 0 . Această ecuaţie se numeşte rezolventa8 ecuaţiei x 3 + px + q = 0 . Obţinem:

Cum

2

3

2

3

b1 = -

27q + 27 2

æ q ö÷ æ p ÷ö çç ÷ + çç ÷ , èç 2 ø÷ çè 3 ÷ø

b2 = -

27q - 27 2

æqö æpö çèçç ø÷÷÷ + çèçç ø÷÷÷ . 2 3

L ex = 3 b1

L3ex = b1 , atunci

iar

L3e2 x = b2

şi deci

L e2 x = 3 b 2 . Dar

L e2 x L ex = s12 - 3s 2 = -3p , deci L e2 x este determinat de Lex . Înlocuind în formulele lui

x1 , x 2 , x3 în funcţie de Lex , L e2 x , obţinem din nou formulele lui Cardano de determinare a rădăcinilor ecuaţiei de gradul III. Prin această metodă rezolvarea ecuaţiei de gradul III (forma redusă) se reduce la rezolvarea ecuaţiei de gradul II şi a două ecuaţii binome de gradul III. Exemplul 1.6. Să se rezolve ecuaţia x 3 - 6x + 9 = 0 . Avem p = -6 şi q = 9 şi deci 2

3

2

æ q ÷ö æ p ÷ö æ 9 ÷ö çç ÷ + çç ÷ = çç ÷ + (-2)3 = 81 - 8 = 49  èç 2 ÷ø çè 3 ÷ø çè 2 ÷ø 4 4

2

3

æ ö æ ö çç q ÷÷ + çç p ÷÷ = 7 . çè 2 ÷ø çè 3 ÷ø 2

Obţinem: b1 = -

27 ⋅ 9 7 + 27 ⋅ = -27 , 2 2

b2 = -

27 ⋅ 9 7 - 27 ⋅ = -27 ⋅ 8 . 2 2

Rezultă că:

Lex = 3 -27 = -3 şi Le2x = 3 -27 ⋅ 8 = -3⋅ 2 = -6 . În final rezultă că: 1 x1 = (-3 - 6) = -3 , 3                                                              8  [2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979, pg. 115-118.  

29  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

1 1 -3 + i 3 3 - i 3 , = x 2 = éëê e 2 (-3) + e (-6)ùûú = (-e 2 - 2e)⋅ 3 = -(e 2 + 2e) = 2 2 3 3 1 1 -3 - i 3 3 + i 3 . x 3 = éêë e (-3) + e 2 (-6)ùúû = (-e - 2e 2 )⋅ 3 = -(e + 2e 2 ) = = 2 2 3 3

1.5.2. Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metoda lui Lagrange Considerăm ecuaţia x 4 + a1x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0 , unde a1 , a 2 , a 3 , a 4 sunt numere complexe. Considerăm polinomul A = X1X 2 + X3X 4 . Subgrupul invariant al lui A este:

H A = {e, (1, 2) , (3, 4) , (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4) (2, 3) , (1, 3, 2, 4) , (1, 4, 2, 3) } , care este de indice 3 în s4 . Clasele de echivalenţă la stănga modulo subgrupul H A sunt:

eˆ = H A , ( 1, 3) = (1, 3) H A , ( 1, 4) = (1, 4) H A . Cele trei valori ale lui A sunt: A1 = A = X1X 2 + X3X 4 ,

A 2 = (1, 3) A = X1X 4 + X 2 X3 , A3 = (1, 4) A = X1X3 + X 2 X 4 . Ecuaţia de gradul III pe care o satisface A este

(z - A1 )(z - A 2 )(z - A3 ) = 0 sau

z3 -(A1 + A 2 + A3 ) z 2 + (A1A 2 + A1A3 + A 2 A3 ) z - A1A 2 A3 = 0 . Dar, calculând, obţinem A1 + A 2 + A 3 = s 2 , A1A 2 + A1A 3 + A 2 A 3 = s1s3 - 4s 4 , A1A 2 A 3 = s12s 4 + s32 - 4s 2s 4 ,

unde s1 , s 2 , s3 , s 4 sunt sumele lui Viète în X1 , X 2 , X 3 , X 4 . Prin urmare A  satisface ecuaţia:    z 3 - s 2 z 2 + (s1s3 - 4s 4 ) z - (s12s 4 + s32 - 4s 2s 4 ) = 0 . Fie x1 , x 2 , x 3 , x 4 rădăcinile ecuaţiei x 4 + a1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0 .

30  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

Să notăm cu a i valorile lui Ai , cu 1 £ i £ 3 , când punem X1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 şi X 4 = x 4 . Ţinând seama de relaţiile lui Viète, rezultă că a i , cu 1 £ i £ 3 , sunt rădăcinile ecuaţiei: z 3 - a 2 z 2 + (a1a 3 - 4a 4 ) z - (a12 a 4 + a 32 - 4a 2 a 4 ) = 0 .

Această ecuaţie se numeşte rezolventa9 ecuaţiei iniţiale. Dar a1 = x1 x 2 + x 3 x 4 , a 2 = x1 x 4 + x 2 x 3 , a 3 = x1 x 3 + x 2 x 4 , şi cum x1x 2 x 3 x 4 = a 4 , din relaţiile de mai sus obţinem că: x1x 2 şi x 3 x 4 sunt soluţiile ecuaţiei z12 -a1z1 + a 4 = 0 ,

x1x 4 şi x 2 x 3 sunt soluţiile ecuaţiei z 2 2 -a 2 z 2 + a 4 = 0 ,

iar x1x 3 şi x 2 x 4 sunt soluţiile ecuaţiei z 32 -a 3 z 3 + a 4 = 0 .

Este uşor de văzut că odată determinate valorile x1x 2 , x1x 3 , x 2 x 3 , x1x 4 , ... obţinem imediat pe x1 , x 2 , x 3 , x 4 . Să scriem x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 ( a1 = 0 , în cazul ecuaţiei reduse), x1x 2 x 3 + x1x 2 x 4 + x1x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = -a 3 şi deci:

x 3 + x 4 = -( x1 + x 2 ) , x1x 2 ( x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 ( x1 + x 2 ) = -a 3 . Dacă x1 = x1x 2 şi x 2 = x 3 x 4 sunt rădăcinile ecuaţiei z12 -a1z1 + a 4 = 0 , avem că

-x1 ( x1 + x 2 ) + x 2 ( x1 + x 2 ) = -a 3 şi deci:

                                                             9  [2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979, pg. 118-119.  

31  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

a3 . x1 - x 2

x1 + x 2 =

Prin urmare am obţinut: ì a3 ï ï ïx1 + x 2 = x -x í 1 2 ï ï ï ï îx1x 2 = x1 şi ì a3 ï ï ïx 3 + x 4 = - x -x í 1 2 . ï ï ï ï îx 3 x 4 = x 2 Formăm sistemul de ecuaţii gradul II ì a3 ï ï u2 u + x1 = 0 ï ï x1 -x 2 ï , í ï a3 2 ï v + v + x2 = 0 ï ï x1 -x2 ï î

ale cărui rădăcini u1 , u 2 şi v1 , v 2 sunt rădăcinile x1 , x 2 respectiv x 3 , x 4 ale ecuaţiei de gradul IV. Considerând ecuaţia z 2 2 -a 2 z 2 + a 4 = 0 sau ecuaţia z 3 2 -a 3 z 3 + a 4 = 0 , prin acelaşi raţionament găsim aceleaşi rădăcini pentru ecuaţia de gradul IV. Deci rezolvarea ecuaţiei de gradul IV se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul III (rezolvanta lui Lagrange) şi a trei ecuaţii de gradul II. Exemplul 1.7. Să se rezolve ecuaţia: 4x 4 - 8 3x + 13 = 0 . Forma redusă a ecuaţiei este: x 4 - 2 3x +

13 = 0 . Avem că: 4

a1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 2 3, a 4 =

13 . 4

Rezolventa ecuaţiei este z 3 -13z -12 = 0 , care are rădăcinile: a1 = -1, a 2 = -3, a 3 = 4 .

Ecuaţia de gradul II, cu rădăcinile x1x 2 şi x 3 x 4 este z12 + z1 +

13 =0. 4

Rezolvând această ecuaţie obţinem: x1 = x1x 2 =

-1 + 2i 3 , 2

32  

Daniela Manea

Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

x2 = x 3 x 4 =

-1- 2i 3 . 2

Apoi aflăm: 2 3 4 3 1 = = = -i, -1 + 2i 3 + 1 + 2i 3 4i 3 i 2 2 3 = i. x3 + x 4 = -1 + 2i 3 + 1 + 2i 3 2 x1 + x 2 =

Formăm două ecuaţii de gradul II: 2u 2 + 2iu -1 + 2i 3 = 0 , cu rădăcinile u1 = x1 , u 2 = x 2 şi 2v 2 - 2iv -1- 2i 3 = 0 cu rădăcinile v1 = x 3 , v 2 = x 4 . Din rezolvarea lor obţinem: -i + 2 - 3i 1+ 3 = 1- i , 2 2 -i - 2 + 3i 1- 3 x2 = u2 = = -1 - i , 2 2 i + 2 + 3i 1+ 3 x 3 = v1 = = 1+ i , 2 2 i - 2 - 3i 1- 3 x 4 = v2 = = -1 + i . 2 2 x 1 = u1 =

33  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

Capitolul 2. Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

Teorema 2.1 (Abel-Ruffini). Ecuaţia generală de grad n , x n + a1x n-1 + ... + a n = 0 , nu este rezolvabilă prin radicali pentru n ³ 5 . (Pentru n £ 4 , ecuaţia generală este rezolvabilă prin radicali). Totuşi, sunt ecuaţii de grad mai mare sau egal cu 5 ce se pot rezolva prin radicali, deci pentru care pot fi date formule de determinare a rădăcinilor lor. Prezentăm în continuare câteva tipuri de astfel de ecuaţii.

2.1. Ecuaţii binome Definiţia 2.1. Ecuaţia de forma x n - a = 0 ( a Î , n ³ 1 ) se numeşte ecuaţie binomă. Rezolvarea acestei ecuaţii este echivalentă (conform ideii lui Gauss, din 1801) cu determinarea rădăcinilor de ordinul n ale lui a . Se scrie numărul a sub formă trigonometrică, obţinând ecuaţia echivalentă x n = r (cos j + i sin j) , unde r reprezintă modulul numărului complex a , iar j este argumentul redus al acestuia ( a = r (cos j + i sin j) ). æ j + 2kp j + 2kp ö÷ Soluţiile ecuaţiei sunt date de formula x = n a = n r ççcos + i sin ÷ , unde çè n n ø÷

0 £ k £ n -1 . Astfel ecuaţia de gradul n are n rădăcini distincte.

(

)

Exemplul 2.1. Să se rezolve ecuaţia: ix 4 - 1 + i 3 = 0 .

(

)

Avem: ix 4 = 1 + i 3 . Rezultă: x 4 = j=

1+ i 3  x 4 = 3 - i . Deci r = 3 +1 = 2 , i

æ 11p 11p ö÷ 11p + i sin şi scriem x 4 = 2 ççcos ÷ . Rădăcinile acestei ecuaţii sunt date de: çè 6 6 ÷ø 6 æ 11p + 12kp 11p + 12kp ö÷ + i sin x k = 4 2 ççcos ÷÷ , çè ø 24 24

cu 0 £ k £ 3 . Deci rădăcinile ecuaţiei date vor fi:

34  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

æ 11p æ 11p ö÷ 23p 23p ÷ö 4 x 0 = 4 2 ççcos + i sin + i sin ÷÷ , x1 = 2 çççcos ÷, çè è 24 24 ø 24 24 ÷ø æ æ 35p 35p ö÷ 47p 47p ö÷ 4 x 3 = 4 2 ççcos + i sin + i sin ÷÷ , x 3 = 2 çççcos ÷. çè è 24 24 ø 24 24 ø÷

Observaţia 2.1. Ideea de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare sau egal cu 5 este de a o reduce la rezolvarea succesivă a unui număr de ecuaţii simple (de regulă ecuaţii binome).

2.2. Ecuaţii trinome Definiţia 2.2. O ecuaţie de forma ax p + bx q + cx r = 0 , cu p, q, r Î  şi a, b, c Î  se numeşte ecuaţie trinomă.

Eliminând

factorul

corespunzător

celor

r

rădăcini

nule,

obţinem

ecuaţia

ax n + bx m + c = 0 .

În cazurile când n = 2m sau n = 3m , rezolvarea ecuaţiei ax n + bx m + c = 0 se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul II, respectiv III şi a unor ecuaţii binome. În cazul particular m = 2 şi n = 4 , obţinem ecuaţia ax 4 + bx 2 + c = 0 . Definiţia 2.3. Ecuaţia ax 4 + bx 2 + c = 0 , cu a, b, c Î  se numeşte ecuaţie bipătrată. Exemplul 2.2. Să se rezolve ecuaţia: x 6 + 15x 3 -16 = 0 .

Fie

y = x 3 . Rezolventa ecuaţiei este

y 2 + 15y -16 = 0

şi soluţiile ei sunt:

y1 = -16, y 2 = 1 . Avem de rezolvat ecuaţiile binome: x 3 -1 = 0 şi x 3 + 16 = 0 . Din x 3 = 1 rezultă: x k = cos

2kp 2kp + i sin , 0£k£2. 3 3

æ (2t +1) p (2t +1)p ö÷ ÷÷ , 0 £ t £ 2 . + i sin Din x 3 = -16 rezultă: x t = 2 3 2 çççcos çè 3 3 ø÷ Deci soluţiile ecuaţiei date sunt: x1 = 1, 2p 2p 1 3 , + i sin =- +i 3 3 2 2 4p 4p 1 3 x 3 = cos + i sin = - -i , 3 3 2 2 æ1 æ p pö 3ö x 4 = 2 3 2 ççcos + i sin ÷÷÷ = 2 3 2 ççç + i ÷÷÷ , èç çè 2 3 3ø 2 ø÷ x 2 = cos

x 5 = 2 3 2 (cos p + i sin p) = -2 3 2,

35  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

æ 5p 5p ö x 6 = 2 3 2 ççcos + i sin ÷÷÷ = 2 3 èç 3 3ø

æ1 3ö 2 ççç - i ÷÷÷. çè 2 2 ÷ø

2.2.1. Ecuaţii bipătrate Definiţia 2.4. Ecuaţia de forma ax 4 + bx 2 + c = 0 , cu a, b, c Î  , a ¹ 0 se numeşte ecuaţie bipătrată. Notând x 2 = y , se obţine ecuaţia de gradul II ay 2 + by + c = 0 , care se numeşte rezolventa ecuaţiei. Rădăcinile ecuaţiei bipătrate sunt date de x = 

-b  b 2 - 4ac , numită formula de 2a

rezolvare a ecuaţiei bipătrate. În această formulă apar radicali de forma A  B , care pot fi aduşi la o sumă sau la o diferenţă de radicali simpli:

A B =

A + A2 - B A - A2 - B ( A 2 ³ B, B ³ 0 ).  2 2

2.3. Ecuaţii reciproce Definiţia 2.5. Ecuaţia de forma a n x n + a n-1x n-1 + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 = 0 ( a n ¹ 0 ), cu proprietatea că a n-i = a i , "i=0, n , se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n (coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt egali).

Enunţăm mai jos câteva proprietăţi generale pentru ecuaţiile reciproce de grad n . P.2.1. Dacă ecuaţia reciprocă are rădăcina a , atunci ea are şi rădăcina

1 . a

Demostraţie. Dacă a este rădăcină, atunci rezultă că: a n a n + a n-1a n-1 + ... + a 2 2a 2 + a1a + a 0 = 0

şi a ¹ 0 ( a = 0  a 0 = 0  a n = 0 , contradicţie). Deci se poate împărţi cu a n şi obţinem: n -1

æ1ö æ1ö a n + a n-1 çç ÷÷÷ + ... + a1 çç ÷÷÷ çè a ø èç a ø

n

æ1ö + a 0 çç ÷÷÷ = 0 . èç a ø

Dar a i = a n-i , 0 £ i £ n şi deci putem scrie: n

n -1

æ1ö æ1ö a n çç ÷÷÷ + a n-1 çç ÷÷÷ èç a ø èç a ø

æ1ö + ... + a1 çç ÷÷÷ + a 0 = 0 . èç a ø

36  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

Prin urmare

1 este rădăcină. a

P.2.2. Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina x = -1 . Demonstraţie. Fie n = 2p + 1 . Notăm f ( x ) = a 2p+1x 2p+1 + a 2p x 2p + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0

şi atunci: 2p+1

f (-1) = a 2p+1 (-1)

2p

2

+ a 2p (-1) + ... + a 2 (-1) + a1 (-1) + a 0 = p +1

= -a 2p+1 + a 2p - ... + a p+1 (-1)

p

+ a p (-1) + ... + a 2 - a1 + a 0 =

= (a 0 - a 2p+1 ) -(a1 - a 2p ) + ... + (-1) (a p - a p+1 ) . p

Dar a i = a 2p+1-i ( 0 £ i £ 2p + 1 ). Rezultă că f (-1) = 0 şi deci x = -1 este rădăcină pentru ecuaţia reciprocă de grad impar. P.2.3. Orice ecuaţie recirocă de grad impar se reduce la rezolvarea ecuaţiei x +1 = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de grad par. Demonstraţie. Din P.2.2. rezultă că x = -1 este rădăcină a lui f . Conform teoremei

lui Bézout, avem că f ( x ) = ( x +1) g ( x ) . Fie g ( x ) = b 2p x 2p + ... + b 2 x 2 + b1x + b0 . Scriem: a 2p+1x 2p+1 + a 2p x 2p + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 = ( x + 1)(b 2p x 2p + ... + b 2 x 2 + b1x + b 0 ) .

Prin identificarea coeficienţilor avem:

a 2p+1 = b 2p , a 2p = b 2p + b 2p-1 , a 2p-1 = b 2p-1 + b 2p-2 , ..................... a 2 = b 2 + b1 , a1 = b1 + b0 , a 0 = b0 . Cum a i = a 2p+1-i ( 0 £ i £ 2p + 1 ), rezultă că b 0 = b 2p . Cum b 2p + b 2p-1 = b1 + b 0 , rezultă că b1 = b 2p-1 . Procedând la fel, din egalităţile anterioare rezultă că bi = b 2p-i ( 0 £ i £ 2p ). Deci ecuaţia b 2p x 2p + ... + b 2 x 2 + b1x + b 0 = 0 este reciprocă. P.2.4. Orice ecuaţie reciprocă de grad par, n = 2p , se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de grad p şi a p ecuaţii de grad II.

37  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

Demonstraţie. Fie ecuaţia reciprocă

a 2p x 2p + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 = 0 ,

a 2p ¹ 0 .

Împărţim ecuaţia prin x p , x ¹ 0 . Rezultă că: æ æ æ 1ö 1 ö 1ö a 2p çç x p + p ÷÷÷ + a 2p-1 çç x p-1 + p-1 ÷÷÷ + ... + a p+1 çç x + ÷÷÷ + a p = 0 . çè çè èç x ø x ø xø

Notăm y = x +

(2.1)

1 1 . Rezultă x 2 + 2 = y 2 - 2 . x x k

æ 1ö În general din y k = çç x + ÷÷÷ se obţine çè xø y k = x k + C1k x k-2 + C k2 x k-4 + C3k x k-6 + ... + C3k

1 x

k -6

+ C k2

1 x

k -4

+ C1k

1 x

k -2

+

1 , xk

adică: æ æ æ 1ö 1 ö 1 ö y k = çç x k + k ÷÷÷ + C1k çç x k-2 + k-2 ÷÷÷ + C k2 çç x k-4 + k-4 ÷÷÷ + ... . çè ç ç è è x ø x ø x ø

Pentru k = 1, 2, ..., p se găseşte x k +

1 , în funcţie de y, y 2 , ..., y p-1 , y p . Înlocuind xk

valorile găsite în ecuaţia (2.1) va rezulta o ecuaţie în necunoscuta y , de gradul p , care va avea p rădăcini y1 , y 2 , ..., y p .

Pentru a obţine rădăcinile ecuaţiei reciproce, se rezolvă cele p ecuaţii de forma x+

1 = yi , i Î {1, 2, ..., p} , adică de forma x 2 - yi x +1 = 0, i Î {1, 2, ..., p} . x

Definiţia 2.6. Se numesc ecuaţii reciproce şi ecuaţiile de forma: a n x n + a n-1x n-1 + ... + a 0 = 0 ,

având proprietatea următoare: a i = -a n-i , "i=0, n .

Dacă n = 2p , din a i = -a 2p-i rezultă că a p = -a p , deci a p = 0 . Prin urmare orice ecuaţie de tipul menţionat mai sus are ca rădăcină pe x = 1 . Atunci, conform teoremei lui Bézout putem scrie a n x n + a n-1x n-1 + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 = ( x -1)(b n-1x n-1 + ... + b 2 x 2 + b1x + b 0 )

sau:

a n x n + a n-1x n-1 + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 = bn-1x n + (b n-2 - bn-1 ) x n-1 + ... + (b0 - b1 ) x - b0 . Prin identificarea coeficienţilor avem:

38  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

a p = b n-1 , a n-1 = b n-2 - b n-1 , a n-2 = b n-3 - b n-2 , ..................... a 2 = b1 - b 2 , a1 = b 0 - b1 , a 0 = -b 0 . Cum a 0 = -a n rezultă că b 0 = b n-1 , cum a1 = -a n-1 rezultă că b1 = b n-2 şi cum a 2 = -a n-2 rezultă că b 2 = b n-3 . Continuînd astfel, obţinem că bi-1 = b n-i , "i=1, n-1 , ceea ce ne arată că ecuaţia b n-1x n-1 + ... + b 2 x 2 + b1x + b 0 = 0 este o ecuaţie reciprocă. Concluzia 2.1. Orice ecuaţie de forma a n x n + a n-1x n-1 + ... + a 0 = 0 , cu proprietatea că

a i = -a n-i , "i=0, n , se reduce la rezolvarea ecuaţiei x -1 = 0 şi a unei ecuaţii reciroce de grad n -1 .

Definiţia 2.7. O ecuaţie în care coeficienţii termenilor egal depărtaţi de extreme sunt fie egali (ecuaţii reciproce de speţa întâia), fie opuşi (ecuaţii reciproce de speţa a doua), se va numi ecuaţie reciprocă. Observaţia 2.2. Ecuaţiile reciproce de grad impar de speţa întâia au rădăcina -1 , iar cele de speţa a doua au rădăcina 1. 2.3.1. Ecuaţii reciroce de gradul III

Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa întâia este ax 3 + bx 2 + bx + a = 0 , cu a, b Î  , a ¹ 0 . Această ecuaţie are rădăcina -1 , deci o putem scrie sub forma

( x + 1) éêëax 2 + (b - a ) x + a ùúû = 0 . Astfel ecuaţia admite rădăcinile: x1 = -1 şi x 2 , x 3 date de ecuaţia ax 2 + (b - a ) x + a = 0 . Forma generală a ecuaţiei reciproce de speţa a doua este ax 3 + bx 2 - bx - a = 0 , cu a, b Î  , a ¹ 0 . Această ecuaţie are rădăcina

1, deci o putem scrie sub forma

( x -1) éëê ax 2 + (a + b) x + a ùûú = 0 . Astfel ecuaţia admite rădăcinile: x1 = 1 şi x 2 , x 3 date de ecuaţia ax 2 + (a + b) x + a = 0 . Exemplul 2.3. Să se rezolve ecuaţiile: a) 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = 0 ; b) 2x 3 - x 2 + x - 2 = 0 .

a) Ecuaţia reciprocă de speţa întâia 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = 0 se mai scrie:

39  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

( x + 1)(2x 2 + x + 2) = 0 . Rezultă că soluţiile ei sunt: x1 = -1, x 2 =

-1 + i 15 -1- i 15 . , x2 = 4 4

b) Ecuaţia reciprocă de speţa a doua 2x 3 - x 2 + x - 2 = 0 se mai scrie:

( x -1)(2x 2 + x + 2) = 0 . Rezultă că soluţiile ei sunt: x1 = 1, x 2 =

-1 + i 15 -1- i 15 . , x2 = 4 4

2.3.2. Ecuaţii reciproce de gradul IV

Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul IV (speţa întâia) este: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ,

(2.2)

cu a, b Î  , a ¹ 0 . Ecuaţia nu are rădăcina x = 0 , deci putem împărţi cu x 2 . Rezultă ax 2 + bx + c +

b a + 2 = 0 , (a ¹ 0) x x

şi grupând convenabil termenii vom scrie: æ æ 1ö 1ö a çç x 2 + 2 ÷÷÷ + b çç x + ÷÷÷ + c = 0 . çè ç è x ø xø

Facem substituţia y = x +

1 1 . Rezultă că x 2 + 2 = y 2 - 2 . Ecuaţia devine: x x

( y 2 - 2) a + by + c = 0  ay2 + by + c - 2a = 0 , numită rezolventa ecuaţiei. Dacă y1 şi y 2 sunt soluţiile acestei ecuaţii, rezultă că y1 = x + y2 = x +

1 şi x

1 sau x 2 - xy1 + 1 = 0 şi x 2 - xy 2 + 1 = 0 , care sunt ecuaţii de gradul II. x

Astfel se obţin soluţiile x1 , x 2 , x 3 , x 4 ale ecuaţiei (2.2). Exemplul 2.4. Să se rezolve ecuaţia: 4x 4 + x 3 + 5x 2 + x + 4 = 0 . æ 1ö æ 1ö Împărţim ecuaţia cu x 2 şi rezultă ecuaţia: 4 çç x 2 + 2 ÷÷÷ + çç x + ÷÷÷ + 5 = 0 . Facem çè ç x ø è xø

substituţia y = x +

1 3 şi obţinem o nouă ecuaţie 4y 2 + y - 3 = 0 , care are rădăcinile y1 = şi x 4

y 2 = -1 .

40  

Daniela Manea

Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

3 Deci avem ecuaţiile: x 2 - x + 1 = 0  4x 2 - 3x + 4 = 0 şi x 2 + x + 1 = 0 . 4

Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul IV vor fi: x1 =

3 + i 55 3 - i 55 -1 + i 3 -1 - i 3 . , x2 = , x3 = , x4 = 8 8 2 2

2.3.3. Ecuaţii reciroce de gradul V

Forma generală a ecuaţiei reciproce de gradul V (speţa întâia) este: ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ,

cu a, b, c Î  , a ¹ 0 . Conform proprietăţii ecuaţiei reciproce de grad impar de speţa întâia, rezolvarea acestei ecuaţii se reduce la rezolvarea ecuaţiei x +1 = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV. Pentru speţa a doua, rezolvarea ecuaţiei reciproce de gradul V se reduce la rezolvarea ecuaţiei x -1 = 0 şi a unei ecuaţii reciproce de gradul IV. Exemplul 2.5. Să se rezolve ecuaţia: x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0 .

Ecuaţia reciprocă de speţa întâia x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0 , admite soluţia x = -1 . Rezultă: ( x + 1)( x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1) = 0 .

Ecuaţia x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 = 0 este o ecuaţie reciprocă de gradul IV. Împărţim această ecuaţie cu x 2 şi facem substituţia y = x +

1 . Obţinem o nouă ecuaţie y 2 + y = 0 , care x

are soluţiile: y1 = 0 şi y 2 = -1 . Deci avem ecuaţiile: x 2 + 1 = 0 şi x 2 + x + 1 = 0 . Astfel rădăcinile ecuaţiei de gradul V vor fi: x1 = i, x 2 = -i, x 3 =

-1 + i 3 -1 + i 3 . , x3 = 2 2

41  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

   

Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

3.1. Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu Subordonându-se obiectivelor generale ale predării-învăţării matematicii în învăţământul preuniversitar, unul din importantele obiective specifice este însuşirea de către elevi a cunoştinţelor referitoare la noţiunea de ecuaţie, de formare a deprinderilor, de aplicare a cunoştinţelor în rezolvarea ecuaţiilor, dezvoltând abilităţi elevilor de a rezolva probleme cu ajutorul ecuaţiilor. Plecând de la definirea noţiunii de ecuaţie (egalitatea între două expresii conţinând elemente de o anumită natură – numere, funcţii, etc. – dintre care unele sunt cunoscute, iar altele nu, adevărată numai atunci când necunoscutele sunt înlocuite cu anumite elemente), trebuie precizat că elementele prezente pe lângă necunoscute pot fi reprezentete prin litere, valori presupuse cunoscute, dar nefixate numeric. Unele dintre ele pot fi fixate de la începutul problemei (deşi sunt notate prin litere acestea sunt valori constante), altele, se presupun cunoscute, dar nu sunt fixate, schimbarea lor putând modifica valorile necunoscutelor pentru care egalitatea este adevărată (acestea se numesc parametrii). A rezolva o ecuaţie înseamnă a găsi mulţimea valorilor ce se pot da necunoscutelor, astfel încât egalitatea să fie adevărată. Aceste valori se vor numi soluţiile ecuaţiei. Dacă nu există nici o astfel de valoare , se va spune că ecuaţia nu are soluţii. Pentru a putea deosebi toate aceste elemente ce intervin într-o ecuaţie, în teoria ecuaţiilor se foloseşte de obicei notarea necunoscutelor cu litere de la sfârşitul alfabetului: x, y, z, t, u, v, w , a constantelor cu litere de la începutul alfabetului: a, b, c, d, e , iar a parametrilor cu litere de la mijlocul alfabetului: m, n, p, q . Această notaţie nu constituie o convenţie şi nici nu este obligatorie în rezolvarea

ecuaţiilor. Dacă o ecuaţie conţine litere ce reprezintă constante şi parametrii, a rezolva o ecuaţie în acest caz înseamnă a găsi toate grupele de expresii ale necunoscutei, în funcţie de literele ce reprezintă valorile necunoscute, astfel încât verificarea ecuaţiei cu fiecare din aceste grupe să se facă în mod identic, oricare ar fi valorile particulare ale acestor litere. Se spune că două ecuaţii sunt echivalente atunci când au aceleaşi soluţii. Deoarece acest concept este foarte important, trebuie fixat când i se predă elevului, prin câteva exemple şi contraexemple clare.

42  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

În rezolvarea anumitelor ecuaţii, sunt situaţii când se folosesc transformări ale acestora, în scopul facilitării găsirii soluţiilor. Acestea se numesc transformări echivalente, care permit rezolvarea ecuaţiei iniţiale cu ajutorul unor ecuaţii mai simple. Noţiunea de ecuaţie apare elevului pentru prima dată în clasa a V-a. Definiţia ce se dă ecuaţiei de gradul I este: propoziţia logică care depinde de o variabilă, de o structură anume (propoziţiile cu o variabilă se mai numesc şi propoziţii deschise sau predicate). În exprimarea acestor propoziţii apar cuvintele ,,este egal cu”. Se precizează că variabila se numeşte necunoscută şi se notează cu x , putându-se folosi şi alte litere, în special de la sfârşitul alfabetului: y, z , etc. Predicatul de o variabilă, peste o multi-metodă, este o aplicaţie p : M  N unde N este mulţimea propoziţiilor logice, adică "x Î M, p ( x ) este o propoziţie, care

are o anumită valoare de adevăr. Elevul de clasa a V-a, neştiind noţiunea de aplicaţie, este necesar a i se arăta că, fiind vorba de propoziţii logice, are sens a se vorbi despre valoarea de adevăr a propoziţiei p ( x ) , pentru x dintr-o mulţime dată. Astfel i se defineşte elevului mulţimea

soluţiilor ecuaţiei, ca fiind mulţimea valorilor x Î M , pentru care valoarea de adevăr a propoziţiei p ( x ) este 1, iar a rezolva ecuaţia înseamnă a determina mulţimea de adevăr a propoziţiei p ( x ) . Ţinând cont că în clasa a V-a elevii au însuşite numai operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, în anumite mulţimi de numere, metodele de rezolvare au la bază proprietăţi ale acestor operaţii. În aceeaşi concepţie de definire, dându-se noţiunea de rădăcină a ecuaţiei sau soluţie, în clasa a VI-a se reia ecuaţia de gradul I, metodele de rezolvare bazându-se pe proprietăţile egalităţii în mulţimi de numere peste care sunt definite ecuaţiile. Tot în clasa a VI-a se dă şi algoritmul de calcul pentru rezolvarea ecuaţiei. Cunoştinţele despre mulţimi prevăzute în programa gimnazială, permit introducerea noţiunii de ecuaţie destul de devreme. Au existat mai multe opinii cu privire la introducerea acestei noţiuni, printre care cele exprimate de A. Hollinger, E. Rusu, V. Popa. Pornind de la opinia exprimată de A. Hollinger, că ,,procedeul cel mai răspândit de a introduce noţiunea de ecuaţie este de a porni de la o problemă”, se poate afirma că ecuaţia este o problemă ce se poate formula relativ la o aplicaţie. Astfel, prin ecuaţie (operatorială) înţelegem o problemă de tipul: Se dau două mulţimi X şi Y şi

două

aplicaţii

f, g :X  Y .

Se

consideră

mulţimea

definită

în

abstracţie

prin

S = {x ‫ ׀‬f ( x ) = g ( x ) , x Î X} şi se cere să se determine în extensie mulţimea S . Această definiţie corespunde mai bine multitudinii de exemple ce se cer a fi rezolvate, precum şi problemelor ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor.

43  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

Simbolic notăm o ecuaţie prin f ( x ) = g ( x ) , x Î X . Un element x Î S se numeşte soluţia ecuaţiei, mulţimea S se numeşte mulţimea soluţiilor ecuaţiei, iar f ( x ) şi g ( x ) se numesc membrul întâi, respectiv al doilea al ecuaţiei. Particularizând mulţimile X şi Y şi aplicaţiile f şi g obţinem diverse tipuri de ecuaţii. Pornind de la a defini ecuaţia în această concepţie este necesar a se reactualiza cele două moduri de definire a unei mulţimi: în extensie – dacă mulţimea este dată prin precizarea elementelor sale – sau în abstracţie (în comprehensiune) – dacă mulţimea este dată printr-o proprietate a elementelor sale. Reluând întrebarea ,,Ce înseamnă a rezolva o ecuaţie?”, putem răspunde că înseamnă găsirea soluţiilor problemei propuse. Este necesară deci definirea ecuaţiei echivalente. Pe exemple concrete se stabileşte algoritmul de rezolvare a ecuaţiei. Reformulând noţiunea de ecuaţie de gradul I, termenul de ecuaţie algebrică apare prin problema: ,,Să se determine mulţimea de numere x pentru care ax + b = 0 , cu a ¹ 0 şi a, b Î  .” Pentru rezolvarea unor ecuaţii este necesar, câteodată, să aplicăm anumite transformări. Este posibil ca acestea să nu ducă totdeauna la obţinerea unor ecuaţii echivalente cu cea dată. Se pot obţine ecuaţii ce introduc noţiuni străine şi, în cazul acesta trebuie verificate ce valori din cele obţinute rămân soluţii ale ecuaţiei iniţiale, acest lucru facându-se prin înlocuirea directă în ecuaţia iniţială. Dacă egalitatea rămâne adevărată, aceste valori sunt rădăcini, iar dacă nu, se elimină. Se pot obţine însă şi ecuaţii care pierd soluţii în raport cu ecuaţia iniţială. În această situaţie trebuie descoperite eventualele soluţii eliminate şi alăturate soluţiilor ce au rezultat în urma rezolvării, pentru a determina corect mulţimea rădăcinilor. Noţiunea de ecuaţie de gradul II, definită într-o formă analoagă celei anterioare, pentru ecuaţia de gradul I, se introduce în clasa a IX-a, prin problema: ,,Să se determine mulţimea numerelor x pentru care ax 2 + bx + c = 0 , cu a ¹ 0 şi a, b, c Î  . Să se scrie în extensie mulţimea M = {x ‫ ׀‬ax 2 + bx + c = 0; a ¹ 0, a, b Î } .” Se dă algoritmul rezolvării ecuaţiei de gradul II, diferitele forme ale ei, natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali, semnul rădăcinilor, relaţii între rădăcini şi coeficienţi, precum şi formarea ecuaţiei de gradul II cân se cunosc rădăcinile. În afara prezentării algoritmului rezolvării, care este dat în manual, se poate da o metodă cu caracter mai general, ce se poate aplica la ecuaţii de grad superior, în vederea obţinerii ecuaţiei reduse. În clasa a X-a noţiunea de ecuaţie se completează cu cea de ecuaţie algebrică şi cu cea de ecuaţie transcendentă, studiindu-se ecuaţiile algebrice de grad superior lui II. La sfârşitul clasei a X-a elevul trebuie să fie capabil să rezolve o gamă largă de ecuaţii algebrice, avănd bagajul de cunoştinţe necesar pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuaţii algebrice. Tot în 44  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

această clasă, când se studiază mulţimea numerelor complexe, se introduce şi ecuaţia de gradul II cu coeficienţi complecşi, remarcându-se că formulele de rezolvare sunt aceleaşi cu formulele de la ecuaţia de gradul II cu coeficienţi reali. La ecuaţiile algebrice de grad superior lui II, se revine în clasa a XII-a, când elevul are introduse noţiunile de inel şi corp, putându-se vorbi acum de ecuaţii algebrice cu coeficienţi întrun inel sau corp.

3.2. Exerciţii şi probleme rezolvate P.3.1. Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi a n x n + a n-1x n-1 + ... + a1x + a 0 = 0 într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care coeficientul dominant să fie 1. Demonstraţie. Fie y = a n x . Rezultă că x =

an

yn

+ a n-1

n

(a n )

y n-1 n -1

(a n )

y , a n ¹ 0 . Avem an

+ ... + a1

y + a0 = 0 , an

de unde , prin eliminarea numitorului, obţinem: y n + a n-1 y n-1 + a n-2 a n y n-2 + ... + a 0 a nn-1 = 0 ,

care este o ecuaţie cu coeficienţi întregi şi coeficient dominant 1. E.3.1. Transformaţi în ecuaţii, în care coeficientul dominant să fie 1: a) 8x 3 - 6x 2 - 3x + 1 = 0 ; b) 20x 4 + 3x 3 + 18x 2 + 3x - 2 = 0 . Rezolvare. a) Considerăm ecuaţia: 8x 3 - 6x 2 - 3x + 1 = 0 .

Fie y = 8x . Rezultă că x =

y . Avem 8

y3 y2 y 8 ⋅ 3 - 6 ⋅ 2 - 3⋅ +1 = 0 , 8 8 8 de unde obţinem: y3 - 6y 2 - 24x + 64 = 0 . b) Considerăm ecuaţia: 20x 4 + 3x 3 + 18x 2 + 3x - 2 = 0 . Fie y = 20x . Rezultă că x = 20 ⋅

y . Avem 20

y4 y3 y2 y + 3 ⋅ + 18 ⋅ + 3⋅ - 2 = 0 4 3 2 20 20 20 20 45

 

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

de unde obţinem: y 4 + 3y3 + 360y 2 + 1200y -16000 = 0 .

P.3.2. Să se transforme ecuaţia cu coeficienţi întregi a n x n + a n-1x n-1 + ... + a1x + a 0 = 0 într-o ecuaţie echivalentă, tot cu coeficienţi întregi, în care să lipsească coeficientul termenului de grad n -1 . Demonstraţie. Fie x = y + h . Rezultă că: n -1

n

a n ( y + h ) + a n-1 ( y + h )

+ ... + a1 ( y + h ) + a 0 = 0 .

Egalând coeficientul lui y n-1 cu 0 , obţinem a n C1n h + a n-1 = 0 , de unde h =

-a n-1 . na n

Deci substituţia va fi: x = y-

a n-1 na n

E.3.2. Transformaţi în ecuaţii echivalente, în care să lipsească coeficientul termenului de grad n -1 , n fiind gradul termenului dominant: a) 2x 3 - 3x 2 + x -1 = 0 ; b) x 4 + 5x 3 + 4x - 3 = 0 . Rezolvare. a) Considerăm ecuaţia: 2x 3 - 3x 2 + x -1 = 0 .

Fie x = y -

-3 1 = y + . Rezultă că 3⋅ 2 2 3

2

æ æ 1ö 1ö æ 1ö 2 çç y + ÷÷÷ - 3çç y + ÷÷÷ + çç y + ÷÷÷ -1 = 0 , çè ç ç è 2ø 2ø è 2ø

iar de aici se obţine: 3 1 3 1 2y3 + 3y 2 + y + - 3y 2 - 3y - + y - = 0 . 2 4 4 2

În final se ajunge la:

4y3 - y - 2 = 0 . b) Considerăm ecuaţia: x 4 + 5x 3 + 4x - 3 = 0 . 5 Fie x = y - . Rezultă că 4 4

3

æ ö æ ö æ ö çç y - 5 ÷÷ + 5 çç y - 5 ÷÷ + 4 çç y - 5 ÷÷ -1 = 0 , ÷ ÷ çè ç ç è è 4ø 4ø 4 ø÷

iar de aici se obţine: 46  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

256y 4 - 2400y 2 + 5024y + 3923 = 0 .

E.3.3. Să se rezolve ecuaţiile: a) 8x 3 + 18x 2 + x - 6 = 0 ; b) 27x 3 - 9x - 2 = 0 . Rezolvare. a) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant

este 1. Fie x =

y . Rezultă că 8

y3 y2 y + 18 ⋅ + - 6 = 0 , 512 64 8

8⋅ adică:

y3 +18y 2 + 8y - 48 = 0 . Acum aducem această ecuaţie la o formă în care coeficientul lui y 2 să fie 0 . Fie y = z-

18 sau y = z - 6 . Rezultă că 3 3

2

(z - 6) + 18(z - 6) + 8(z - 6) - 384 = 0 , adică z 3 -100z = 0 ,

care are soluţiile: z1 = 0, z 2 = 10, z3 = -10 . Rezultă că y1 = -6, z 2 = 4, z3 = -16 şi deci 3 1 x 1 = - , x 2 = , x 3 = -2 . 4 2

b) Transformăm ecuaţia într-una echivalentă, în care coeficientul dominant este 1. Fie x=

y . Rezultă că 3 3

æ yö æ yö 27 çç ÷÷÷ - 9 çç ÷÷÷ - 2 = 0 , çè 3 ø èç 3 ø

adică y3 - 3y - 2 = 0 . Folosind formula lui Cardano ( p = -3, q = -2 ), rezultă că 47  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

q q 2 p3 u, v = 3 -  + = 3 1  1 + (-1) = 1 , 2 4 27

adică u = v = 1 , şi deci y1 = u + v = 1 + 1 = 2, y 2 = eu + e 2 v = e + e 2 = -1, y3 = e 2 u + ev = e 2 + e = -1 .

Obţinem: x1 =

y y1 2 y 1 1 = , x 2 = 2 = - , x3 = 3 = - . 3 3 3 3 3 3

Folosind metoda lui Lagrange, aceeaşi ecuaţie y3 - 3y - 2 = 0 , o putem rezolva precum este redată mai jos. Avem: p = -3, q = -2 . Rezolventa ecuaţiei este z 2 - 54z + 729 = 0 . Rezolvând această ecuaţie şi notând cu a1 şi a 2 soluţiile ei, rezultă că: a1 = a 2 = 27 . Deci L3ay = a1 = 27 , adică Lay = 3 , iar L3a 2 y = a 2 = 27 , adică La 2 y = 3 . Obţinem: y1 =

L ay + L a 2 y

= 2, 3 aLay +a 2 La 2 y 1 æç -1 + i 3 -1- i 3 ö÷ y2 = = çç ⋅3+ ⋅ 3÷÷ = -1, ÷ø 3 3 çè 2 2 y3 =

a 2 Lay +aLa 2 y 3

1 æ -1- i 3 -1 + i 3 ö÷ = ççç ⋅3+ ⋅ 3÷÷ = -1. ÷ø 3 çè 2 2

Va rezulta că: x1 =

y y1 2 y 1 1 = , x 2 = 2 = - , x3 = 3 = - , 3 3 3 3 3 3

regăsind astfel soluţiile obţinute folosind formulele lui Cardano. E.3.4. Să se rezolve, folosind metoda lui Ferrari, ecuaţia: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x + 4 = 0 . Rezolvare. Conform metodei lui Ferrari, fie m un parametru. Scriem

x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x + 4 = ( x 2 + x + m) -(ax 2 + bx + c) , 2

unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât ax 2 + bx + c să fie pătratul unui polinom de gradul I. Avem:

x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x + 4 = x 4 + 2x 3 + (1 + 2m - a ) x 2 + (2m - b) x + m 2 - c . Identificând coeficienţii, obţinem: a=2m-4, b=2m-4, c=m 2 -4 . 48  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

Punem condiţia ca discriminantul ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 să fie nul. Rezultă:

(2m - 4) - 4 (2m - 4)(m2 - 4) = 0  (2m - 4)(2m2 - m - 6) = 0 , 2

3 de unde obţinem: m1 = m 2 = 2, m3 = - . 2

Luând m = 2 , rezultă că a = 0, b = 0, c = 0 , şi deci ecuaţia iniţială devine

(x 2 + x + 2)

2

= 0,

cu soluţiile: x1 = x 3 =

-1 + i 7 -1 - i 7 . , x2 = x4 = 2 2

3 7 Pentru m = - , rezultă că a = -7, b = -7, c = - , şi deci ecuaţia iniţială devine: 2 4 2

2

æ 2 ö æ ö çç x + x - 3 ÷÷ + 7 çç x + 1 ÷÷ = 0 . ÷ çè ç è 2ø 2 ø÷

Trebuie ca cei doi termeni ai sumei să fie simultani 0 . Cum x = 2

1 este rădăcină 2

2

æ æ 1ö 3ö 1 pentru çç x + ÷÷÷ = 0 , dar nu este rădăcină pentru çç x 2 + x - ÷÷÷ = 0 , rezultă că - nu este çè ç è 2ø 2ø 2

rădăcină pentru ecuaţia dată. 3 Deci, pentru m = - , nu putem determina soluţiile ecuaţiei date. 2

E.3.5. Să se rezolve folosind metoda lui Ferrari ecuaţia: x 4 + 4x 3 + x 2 + 18x + 8 = 0 . Rezolvare. Fie m un parametru. Scriem

x 4 + 4x 3 + x 2 + 18x + 8 = ( x 2 + 2x + m) - (ax 2 + bx + c) , 2

unde a, b, c vor fi aleşi astfel încât ax 2 + bx + c să reprezinte pătratul unui polinom de gradul I. Avem:

x 4 + 4x 3 + x 2 +18x + 8 = x 4 + 4x 3 + (4 + 2m - a ) x 2 + (4m - b) x + m2 - c . Identificând coeficienţii rezultă că: a = 2m + 3, b = 4m -18, c = m 2 - 8 . Punem condiţia ca discriminantul ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 să fie nul şi obţinem ecuaţia 2m3 - m 2 + 20m -105 = 0 ,

care admite ca rădăcină pe m = 3 . În aceste condiţii obţinem a = 9, b = -6, c = 1 şi ecuaţia iniţială devine

49  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

(x 2 + 2x + 3) -(9x - 6x +1) = 0  (x 2 + 2x + 3) -(3x -1)2 = 0  2

2

 ( x 2 + 5x + 2)( x 2 - x + 4) = 0 ,

care are soluţiile: x1, 2 =

-5  17 1  i 15 . , x 3, 4 = 2 2

E.3.6. Să se rezolve ecuaţia: 4x 4 + 4x 12 +13 = 0 . Rezolvare. Folosim metoda lui Descartes. Împărţim ecuaţia prin 4 şi obţinem:

x 4 + x 12 + Avem: p = 0, q = 12, r =

13 = 0. 4

13 . Rezolventa ecuaţiei este 4

u 3 + 2pu 2 + (p 2 - 4r ) u - q 2 = 0 ,

adică: u 3 -13u -12 = 0 .

Rădăcinile acestei noi ecuaţii sunt: u1 = -1, u 2 = -3, u 3 = 4 . Atunci: u1 = i,

u 2 = i 3,

u 3 = 2 .

Produsul celor trei radicali trebuie să să fie -q , adică - 12 şi astfel rădăcinile ecuaţiei date sunt: x1 = x2 = x3 = x4 =

(

2 + i 1+ 3

(

2

),

2 - i 1+ 3 2

(

),

-2 - i 1 - 3 2

(

),

-2 + i 1 - 3 2

).

E.3.7. Să se rezolve prin metoda lui Lagrange, ecuaţia: 4x 4 + 4 30x + 19 = 0 . Rezolvare. Prin împărţirea ecuaţiei cu 4 obţinem ecuaţia x 4 + 30x +

50  

19 =0, 4

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

cu a1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 30, a 4 =

19 . 4

Rezolventa ecuaţiei este: z3 - a1z 2 + (a1a 3 - 4a 4 ) z - (a12 a 4 + a 32 - 4a 2 a 4 ) = 0 ,

adică z 3 -19z - 30 = 0 ,

care are rădăcinile z1 = -2, z 2 = -3, z3 = 5 . Ecuaţia de gradul II cu rădăcinile x1x 2 şi x 3 x 4 este t 2 - z1t + a 4 = 0 ,

deci t 2 + 2t +

19 = 0  4t 2 + 8t + 19 = 0 . 4

Rădăcinile acestei ecuaţii sunt: t1, 2 =

-2  i 15 , 2

deci t1 = x1 x 2 =

-2 + i 15 -2 - i 15 . , t 2 = x3x 4 = 2 2

Avem:

x1 + x 2 =

a3 30 30 = = = -i 2 t1 - t 2 -2 + i 15 -2 - i 15 i 15 2 2

şi x3 + x 4 = -

a3 30 30 ===i 2 . t1 - t 2 -2 + i 15 -2 - i 15 i 15 2 2

Vor rezulta ecuaţiile de gradul II u 2 + i 2u +

-2 + i 15 -2 - i 15 = 0 şi u 2 - i 2u + =0, 2 2

de unde:

x 1 = u1 =

(

51  

)

-i 2 + i 3 - 5 - 5 - i 2 - 3 = , 2 2

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

(

)

x2 = u2 =

5 -i 2 + 3 -i 2 - i 3 + 5 , = 2 2

x 3 = v1 =

5 +i 2 + 3 i 2 +i 3 + 5 , = 2 2

x 4 = v2 =

i 2 -i 3 - 5 - 5 + i 2 - 3 . = 2 2

(

)

(

)

E.3.8. Să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei: 2x 3 + 3x 2 -12x + m = 0, m Î  . Rezolvare. Facem schimbarea de variabilă x =

y , pentru a face coeficientul dominant 2

1. Rezultă ecuaţia: y3 + 3y 2 - 24y + 4m = 0 .

Fie y = z -1 , pentru a găsi rezolventa ecuaţiei. Aceasta este: z 3 - 27z + 26 + 4m = 0 . Avem: p = -27, q = 26 + 4m . Discriminantul rezolvantei este:

é (26 + 4m)2 (-27)3 ù æ q 2 p3 ö÷ ú= ç d = -108ç + ÷÷ = -108 êê + ú çè 4 27 ø÷ 4 27 êë úû 2 = -108 éê(13 + 2m) - 27 2 ùú = -108 (4m 2 + 52m - 560) = -432 (m 2 +13m -140) . ë û

Discuţie: Cazul I: d < 0 .

d < 0  m 2 +13m -140 > 0  m Î (-¥, - 20) È (7, ¥) . Ecuaţia are o rădăcină reală şi două rădăcini complexe conjugate. Cazul II: d = 0 .

d = 0  m Î {-20, 7} . Ecuaţia are toate rădăcinile reale, dintre care două sunt egale. Dacă m = -20 , ecuaţia are x1 = x 2 = -2 şi o rădăcină reală x 3 în intervalul (1, ¥) , iar dacă m = 7 , ecuaţia are x1 = x 2 = 1 şi o rădăcină reală x 3 în intervalul (-¥, 2) . Cazul II: d > 0 .

d > 0  m Î (-20, 7) . Ecuaţia are trei rădăcini reale distincte.

52  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

E.3.9. Se dă ecuaţia: x 3 + px + q = 0 . Să se găsească condiţia ca două din rădăcinile sale să fie de forma cos q şi sin q . Rezolvare. Ţinând cont de formula fundamentală a trigonometriei sin 2 q + cos 2 q = 1 ,

dacă x1 = sin q şi x 2 = cos q , rezultă că x12 + x 22 = 1 . Scriem relaţiile lui Viète:

ì x1 + x 2 + x 3 = 0 ï ï ï ï í x1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = p . ï ï ï ï îx1x 2 x 3 = -q Obţinem:

ìïx1 + x 2 = -x 3 ìïx1 + x 2 = -x 3 ìïx1 + x 2 = -x 3 ï ï ï ï ï ï ïx x = p + x 2 ï ïïïx1x 2 + x 3 ( x1 + x 2 ) = p ïïïx1x 2 - x 32 = p 1 2 3 í ï  í í x1x 2 x 3 = -q ïïx1x 2 x 3 = -q ï ï x1x 2 x 3 = -q ï ï ïï ï ï 2 ï ï 2 ïï( x1 + x 2 ) - 2x1x 2 = 1 ï ïïx 32 - 2 (p + x 32 ) = 1 x 2x x 1 = 3 1 2 ï î î î ìïx 2 = -2p -1 ì ï x 32 = -2p -1 ïï 3 ï ï ï ï  íx1x 2 = -p -1  íx1x 2 = -p -1 . ïï ï 2 2 2 ïï( x x x )2 = q 2 ï ï ï 1 2 3 ï( x1x 2 ) x 3 = q îï î

Rezultă: 2

(p + 1) (2p + 1) + q 2 = 0 . E.3.10. Ştiind că a, b, c sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 + px 2 + qx + r = 0 , să se calculeze expresia (a 2 - bc)(b 2 - ca )(c 2 - ab) , în funcţie de coeficienţii ecuaţiei. Rezolvare. Scriem relaţiile lui Viète:

ïìïa + b + c = -p ï íab + ac + bc = q . ïï ïïîabc = -r r r r Din ultima relaţie rezultă: bc = - , ca = - , ab = - . Obţinem: b a c r a3 + r a 2 - bc = a 2 + = , a a r b3 + r b 2 - ca = b 2 + = ,. b b r c3 + r c 2 - ab = c 2 + = . c c

Expresia din enunţ devine: 53  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

(a =

2

- bc)(b - ca )(c - ab) = 2

2

(a 3 + r)(b3 + r)(c3 + r) abc

=

a 3 b 3 c3 + r ( a 3 b 3 + a 3 c 3 + b 3 c 3 ) + r 2 ( a 3 + b 3 + c3 ) + r 3 -r

.

Dar 3

(a + b + c) = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc)- 3abc , şi deci putem scrie: 3

a 3 + b3 + c3 = (a + b + c) - 3(a + b + c)(ab + ac + bc) + 3abc = 3

= (-p) - 3(-p) q + 3(-r ) = -p3 + 3pq - 3r .

Analog, obţinem:

a 3b3 + a 3c3 + b3c3 = (ab + ac + bc) - 3(ab + ac + bc)(a 2 bc + ab2c + abc2 ) + 3(ab)(ac)(bc) = 3

3

2

= (ab + ac + bc) - 3abc (ab + ac + bc)(a + b + c) + 3(abc) = 2

= q 3 - 3q (-r )(-p) + 3(-r ) = q 3 - 3prq + 3r 2 .

Rezultă că:

(a 2 - bc)(b2 - ca)(c2 - ab) =

-r 3 + r (q 3 - 3prq + 3r 2 ) + r 2 (-p3 + 3pq - 3r) + r 3 -r

=

= -(q 3 - 3prq + 3r 2 ) - r (-p3 + 3pq - 3r ) = -q 3 + 3prq - 3r 2 + rp3 - 3prq + 3r 2 =

= -q 3 + rp3 .

E.3.11. Se notează cu a = cos

2p 2p o rădăcină de ordinul 11 a unităţii. Se cere + i sin 11 11

să se formeze ecuaţia de gradul V ale cărei rădăcini sunt:

a +a10 , a 2 +a 9 , a 3 +a 8 , a 4 +a 7 , a 5 +a 6 . Rezolvare. Deoarece a este o rădăcină a unităţii, avem că a11 = 1 şi deci a10 ⋅a = 1 ,

de unde rezultă că a10 =

1 1 1 1 1 . Analog, obţinem: a 9 = 2 , a 8 = 3 , a 7 = 4 , a 6 = 5 . a a a a a

Deci rădăcinile ecuaţiei ce trebuie formată sunt: a + a10 = a +

1 1 1 , a 2 + a9 = a 2 + 2 , a3 + a8 = a3 + 3 , a a a

a 4 +a 7 = a 4 +

1 1 , a 5 +a 6 = a 5 + 5 . 4 a a

Din x11 -1 = 0 , excluzând rădăcina x1 = 1 , obţinem ecuaţia reciprocă:

54  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

x10 + x 9 + ... + x + 1 = 0 .

Ecuaţia în y , ce va avea rădăcinile a +a10 , a 2 +a 9 , a 3 +a 8 , a 4 +a 7 , a 5 +a 6 , este rezolvanta acestei ecuaţii reciproce, cu y = x +

1 . x

Ţinând seama de: 1 1 1 = y, x 2 + 2 = y 2 - 2, x 3 + 3 = y3 - 3y, x x x 1 1 x 4 + 4 = y 4 - 4y 2 + 2, x 5 + 5 = y5 - 5y3 + 5y, x x x+

ecuaţia cerută va fi: y5 + y 4 - 4y3 - 3y 2 + 3y + 1 = 0 .

E.3.12. Fie polinomul P = 4X 3 + 8aX 2 + 4bX + 1 , cu a, b Î  . Să se arate că: a) dacă x 0 este o rădăcină reală a lui P , atunci x 0 £ b 2 - 2a ; b) dacă x1 , x 2 sunt rădăcini distincte ale lui P , ambele rădăcini fiind reale sau ambele complexe nereale, atunci x1x 2 ³ b - a 2 . Rezolvare. a) Fie x 0 o rădăcină reală. Rezultă: 4x 30 + 8ax 02 + 4bx 0 + 1 = 0 .

Atunci: 4x 30 = -8ax 02 - 4bx 0 -1 = 4b 2 x 02 - 8ax 02 - 4b 2 x 02 - 4bx 0 -1 =

= 4x 02 (b2 - 2a ) -(2bx 0 +1) £ 4x 02 (b 2 - 2a ) . 2

Deci: 4x 30 £ 4x 02 (b 2 - 2a ) . Împărţim inecuaţia prin 4x 02 , care este pozitiv. Rezultă: x 0 £ b 2 - 2a .

b) Dacă x1 , x 2 sunt ambele reale sau complexe nereale, rezultă că x 3 este reală. Din relaţiile lui Viète putem scrie:

x1x 2 = b - x 3 ( x1 + x 2 ) = b - x 3 (-2a - x 3 ) = b + 2ax 3 + x 32 = 2

= b - a 2 + a 2 + 2ax 3 + x 32 = b - a 2 + (a + x 3 ) ³ b - a 2 .

Deci: x1x 2 ³ b - a 2 .

n

E.3.13. Fie ecuaţia x n - a1x n-1 + a 2 x n-2 - a 3 x n-3 + ... + (-1) a n = 0 , cu rădăcinile pozitive. Să se arate că: a k n k £ C nk a1k , "k Î  (1 £ k £ n ) .

55  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

Rezolvare. Fie

x1 , x 2 , ..., x n

rădăcinile pozitive ale ecuaţiei date. Deoarece

x1 +x 2 + ... + x n = a1 , iar a1 este constant, atunci x1x 2 ...x k este maxim când x1 =x 2 = ... = x k . Rezultă că

å x x ...x 1

2

k

este maximă când x1 =x 2 = ... = x n =

Numărul termenilor din suma

å x x ...x 1

2

k

x1 +x 2 + ... + x n a1 = . n n

este Ckn . Rezultă că: k

æa ö å x1x 2 ...x k £ C ⋅çççè n1 ÷÷÷ø . k n

k

æa ö Ţinând cont de relaţiile lui Viète, rezultă că a k £ C kn ⋅ çç 1 ÷÷÷ , şi deci a k n k £ C nk a1k . çè n ø

E.3.14. Să se arate că o ecuaţie algebrică de grad par, cu coeficienţi numere întregi impare, nu admite rădăcini raţionale. Rezolvare. Presupunem prin absurd că ecuaţia algebrică a 0 x 2n + a1x 2n-1 + ... + a 2n-1x + a 2n = 0 ,

cu a 2n , a 2n-1 , ..., a 0 numere întregi impare, admite rădăcina raţională

p , fracţie ireductibilă. q

Atunci p‫׀‬a 2n , q‫׀‬a 0 şi deci p şi q sunt impare. Avem

a0

p 2n p 2n-1 p a + + a 2n = 0 , 1 2n-1 + ... + a 2n-1 2n q q q

şi deci: a 0 p 2n + a1p 2n-1q + ... + a 2n-1pq 2n-1 + a 2n q 2n = 0 .

Aceasta este o contradicţie, deoarece membrul stâng este o sumă cu un număr impar de numere impare, deci este un număr impar, în timp ce membrul drept este par. E.3.15. Se dă ecuaţia: x 3 + 3ax 2 + (3a 2 - b) x + a 3 - ab 2 = 0 . Se cere: a) oricare ar fi parametrii a şi b , rădăcinile ecuaţiei date sunt în progresie aritmetică; b) să se determine aceste rădăcini. Rezolvare. a) Fie în general ecuaţia x 3 + a1x 2 + a 2 x + a 3 = 0 , cu rădăcinile în progresie

aritmetică, deci de forma t -a, t, t +a . Obţinem condiţiile:

56  

Daniela Manea

Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice

 

ìït -a + t + t +a = -a ïï 1 ï2 2 2 2 ít -at + t -a + t +at = a 2 . ïï ïït ( t 2 -a 2 ) = -a 3 ïî De aici rezultă: ìï ïït = -a1 ïï 3 ïï ïï 2 a12 . ía = - a 2 ïï 3 ï 2 2 ö ïïï-a1 æç a1 a1 + a 2 ÷÷÷ = -a 3 ç ïï 3 ç 9 3 è ø÷ ïî Astfel se stabileşte condiţia ca ecuaţia x 3 + a1x 2 + a 2 x + a 3 = 0 să aibă rădăcinile în progresie aritmetică, şi anume: 2a13 - 9a1a 2 + 27a 3 = 0 .

Pentru a1 = 3a, a 2 = 3a 2 - b 2 , a 3 = a 3 - ab 2 , obţinem: 2a13 - 9a1a 2 + 27a 3 = 54a 3 - 27a (3a 2 - b 2 ) + 27 (a 3 - ab 2 ) = = 54a 3 - 81a 3 + 27ab 2 + 27a 3 - 27ab 2 = 0 .

Rezultă că oricare ar fi parametrii a şi b , rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt în progresie aritmetică. b) Din a 2 =

a12 - a 2 , pentru a1 = 3a şi a 2 = 3a 2 - b 2 , obţinem 3 a2 =

9a 2 - 3a 2 + b 2 = b 2 , 3

deci a = b . Avem: t = -a, t -a = -a  b, t + a = -a  b .

Deci rădăcinile ecuaţiei iniţiale sunt: x1 = -a - b, x 2 = -a, x 3 = -a + b .

57  

Daniela Manea

Bibliografie

Bibliografie

[1] Viorel Gh. Vodă, Surprize în matematica elementară, Editura Albatros, Bucureşti, 1981. [2] C. Năstăsescu, C. Niţă, Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979. [3] C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi algebră, Editura Didactică, Bucureşti, 1993. [4] C. Năstăscu, C. Niţă şi alţii, Culegere de probleme pentru liceu. Algebră, Editura Rotechrro, Bucureşti, 1996. [5] C. Năstăsescu, C. Niţă, S. Popa, Matematică. Manual pentru clasa a X-a. Algebră, Editura Didactică şi Pedagică, Bucureşti, 1981.

58  

Cuprins

Introducere .................................................................................................................................... 5 Capitolul 1. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ........................... 7 1.1. Preliminarii. Istoric ................................................................................................. 7 1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali ....................................................... 12 1.3. Formule de rezolvare pentru ecuaţiile de gradul II şi III .................................. 13 1.3.1. Ecuaţia de gradul II .............................................................................................. 13 1.3.2. Ecuaţia de gradul III. Natura rădăcinilor ecuaţiei de gradul III cu coeficienţi reali ....................................................................................................................... 14 1.4. Metode de rezolvare pentru ecuaţia de gradul IV .............................................. 19 1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferenţă de pătrate perfecte) ................................................ 19 1.4.2. Metoda lui R. Descartes (produs de polinoame de gradul II) .............................. 21 1.4.3. Metoda lui L. Euler .............................................................................................. 22 1.4.4. Metoda lui Liapin ................................................................................................. 24 1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecuaţiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ........................................................................................................... 25 1.5.1. Rezolvarea ecuaţiei de gradul III prin metoda lui Lagrange ................................ 27 1.5.2. Rezolvarea ecuaţiei de gradul IV prin metda lui Lagrange .................................. 30 Capitolul 2. Ecuaţii algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali ....34 2.1. Ecuaţii binome ....................................................................................................... 34 2.2. Ecuaţii trinome ...................................................................................................... 35 2.2.1. Ecuaţii bipătrate .................................................................................................... 36 2.3. Ecuaţii reciproce .................................................................................................... 36 2.3.1. Ecuaţii reciproce de gradul III ............................................................................. 39 2.3.2. Ecuaţii reciproce de gradul IV ............................................................................. 40 2.3.3. Ecuaţii reciproce de gradul V ............................................................................... 41 Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecuaţii algebrice. Consideraţii metodice ............ 42 3.1. Aspecte metodice ale predării ecuaţiilor în gimnaziu şi liceu ............................ 42 3.2. Exerciţii şi probleme rezolvate ............................................................................. 45 Bibliografie .................................................................................................................................. 58

 

 

Mat emat i c aa r eoc ont r i buţ i eî ns e mna t ăî nf or ma r e aş ide z v ol t a r e a gâ ndi r i iome ne ş t i .Î nz i l e l enoa s t r ee ade v i net otma imul tmode l ul s pr ec a r epr i v e s cc uî nc r e de r eş ii nt e r e sc e l e l a l t eş t i i nţ e . Teor i aec uaţ i i l oroc upăunl oci mpor t a ntî nma t e ma t i c ăş ic ons t i t ui e uns ubi e c ta t r a c t i vpe nt r uma t e ma t i c i e ni idet oa t ev â r s t e l epr i n mul t i t udi ne apr obl e me l orc el ea bor de a z ă . Luc r a r e adef a ţ ăe s t ec ons a c r a t ăr e z ol v ă r i ie c ua ţ i i l ora l ge br i c e degr a ds upe r i or .Eaa r ec as c oppr e z e nt a r e aş ii nt e r pr e t a r e anoţ i uni l or t e or e t i c eî nt r of or măc epoa t efior i c â ndut i l ăî na c t i v i t a t e aunui pr of e s ordema t e ma t i c ădi nî nv ă ţ ă mâ nt ulpr e uni v e r s i t a r . Da ni e l aMANEA

I SBN:97 897 3 47 1 903 7

Lucr ar epr emi at ăl aConcur s ulNaţ i onal deCompet enţ ă ş iPer f or manţ ă Conc ur sor ga ni z a ti npa r t e ne r i a tc uM. E. N. C. Ş.