Résumé Maths BAC S [PDF]

Zitiervorschau

Les mathématiques RESUME DU COURS 2ème année du baccalauréat Sciences expérimentales - Sciences et technologies industrielles

Réalisé par : LAGDEM Mohamed Prof d’enseignement secondaire qualifiant 2020/2021

Sommaire : Titre du chapitre

page

Rappels et prérequis : - Ensemble des nombres.

04

- L’ordre dans IR.

05

- Equations, inéquations et systèmes.

07

- Trigonométrie.

08

- Limite d’une fonction numérique.

10

Continuité d’une fonction numérique

13

Dérivation

17

Représentation graphique d’une fonction numérique

22

Suites numériques

25

Fonctions primitives

27

Fonctions logarithmes

29

Les nombres complexes

30

Fonctions exponentielles

34

Les équations différentielles

35

Calcul d’intégral

36

Géométrie de l’espace

37

Dénombrement- Probabilités

39

[email protected]

2

+212676453608

Cet ouvrage est destiné aux élèves du deuxième année du baccalauréat science expérimentales et sciences et technologies industrielles, c’est un résumé précis du programme des mathématiques qui peut vous aider à mémoriser les points clés de chaque chapitre. C’est aussi un outil de révision 100% efficace pour préparer l’épreuve des mathématiques d’examen national.

Les ensembles

LAGDEM Mohamed

, , ID ,

et

2BACS-Rappels

 0,1, 2,3, 4,5...

- l'ensemble des entiers naturels

 ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...

- l'ensemble des entiers relatifs

Les ensembles

,

, ID ,

ID  a.10n / a 

- l'ensemble des nombres décimaux

et

Exemples :

et n 



3,25 ; 0,08696

a   / a b

- l'ensemble des nombres rationnels Exemples : 3 5

7 15

;

;

et b 

*

  

1 3

- l'ensemble des nombres réels est noté par .C’est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.

ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ.

Opérations dans

a c ad  bc   b d bd

a  c  a  bc b

Puissances

an  a nm m a

(a n )m  a nm

a n  bn   ab 

a



et b 



a  b  ab (a  b)2  a2  2ab  b2

[email protected]

 ad  bc

1  an n a n

2

Racines carrés

Identités remarquables

a c  b d

an  a m  a nm

an  a    bn  b 

a2  a  a

an  a

a  b

1 a  a a

a b

1 b  a a b

a b  ad c b c d

a c ac   b d bd

, b0

n

n

, a0

(a  b)2  a2  2ab  b2 (a  b)(a  b)  a 2  b2

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

4

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

+212676453608

L’ordre dans

LAGDEM Mohamed

ab

Comparaison de deux réels

2BACS-Rappels

si

a b  0

a  b alors : a  c  b  c -si a  b et c  d alors : a  c  b  d a  b  ac  bc -si c  0 alors : a  b  ac  bc -si c  0 alors : -si

Ordre Et Opérations dans IR

L’encadrement

-si 0  a  b et 0  c  d alors : 0  ac  bd -si 0  a  b alors : 0  1  1 . -si a  b  0 alors :

b a 1 1   0. b a

-si 0  a  b alors : a  b . -si 0  a  b alors : a 2  b2 . -si a  b  0 alors : a 2  b2 . Toute inégalité de la forme a  x  b ou a  x  b ou a  x  b ou a  x  b est appelée encadrement de x d’amplitude b  a .

-si a  x  b et c  y  d alors : ac  x y bd et a  d  x  y  b  c

Propriétés

-si 0  a  x  b alors : a2  x2  b2 . -si a  x  b  0 alors : b2  x2  a 2 . -si a  x  b tels que a et b non nuls et de même signe alors : 1 1 1 .   b x a

Intervalles de IR

[email protected]

5

+212676453608

LAGDEM Mohamed

Union et Intersection d'intervalles

2BACS-Rappels

Exemple1 (union)

La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui sont dans I OU dans J (au moins dans l'un des deux) : Exemple2 (intersection) elle se note I ∪ J ( ∪ se lit « union ») L'intersection de deux intervalles I et J est l'ensemble des nombres qui sont dans I ET dans J (les deux à la fois) : elle se note I ∩ J ( ∩ se lit « inter »).

-longueur de I   a, b est : b  a

Longueur , centre et rayon -centre de I   a, b  est : d’un intervalle I   a, b

ab 2

-rayon de I   a, b est : b  a 2

 x si x  0 x   x si x  0

valeur absolue

x  0 équivalent à x  0

Propriétés de la valeur absolue

[email protected]

x 0 ;

x  x

;

xy  x y

;

;

x x  y y

x2  x  x2 ; 2

x y  x  y

;

x2  x

(r  0) x r



xr

ou

x  r

x  y



x y

ou

x  y

x r



x r



6

-r  x  r xr

ou

x  r

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Equations , inéquations et systèmes

LAGDEM Mohamed

Signe du binôme ax  b ( a  0 ) 

x

ax  b



b a

Signe contraire de a

Signe de a

2 Signe et factorisation du trinôme ax  bx  c Discriminant   b2  4ac

Résolution de l’équation

ax  bx  c  0 2

(a  0)

Factorisation du trinôme

Signe du trinôme

ax2  bx  c

ax2  bx  c

L’équation admet deux solutions distinctes :

0

b   b   et x2  x1  2a 2a

a( x  x1 )( x  x2 )

ax2  bx  c

S   x0 

0

b . 2a

a( x  x0 )

L’équation n’admet aucune solution dans IR

S 

Somme et produit des solutions d’une équation de seconde degré

Signe de

Signe contraire de a

a



x2

ax2  bx  c

Le trinôme n’admet pas de factorisation dans IR

x1  x2 

b a



x 2

Si l’équation ax2  bx  c  0

Détermination de deux nombres dont la somme et le produit sont connus

x1

Signe de

a

(on suppose que x1  x2 )

L’équation admet une unique solution qui est x0 



x

S  {x1; x2}

0

2BACS-Rappels

et

x ax  bx  c

x0

Signe de a



2

 Signe de a

admet deux solutions x1 x1  x2 

 Signe de a

et x2

Alors :

c a

Deux nombres u et v dont la somme est S et le produit est P  u  v  s  sont les solutions de l’équation :  càd   uv  p  

x2  sx  p  0

Système de deux équations du premier degré à deux inconnues méthode de déterminant (méthode de Cramer)

le système admet une unique solution ( x, y ) Dy Dx et y  D D c b a avec Dx  et Dy  c' b' a'

D0

ax  by  c  a ' x  b ' y  c '

D

a

tel que :

b

a' b'

 ab ' a ' b

x

c c'

le système soit admet une infinité de solutions dans IR 2 (D x =0 et D y =0)

D0

ou bien n'admet pas de solutions dans IR 2 (D x  0 ou D y  0)

[email protected]

7

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Trigonométrie

LAGDEM Mohamed

2BACS-Rappels

Equations trigonométriques

[email protected]

8

+212676453608

Formules de transformation :   

𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒃) 𝒔𝒊𝒏(𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒃) 𝒄𝒐𝒔(𝒂 − 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) + 𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒃)



𝒔𝒊𝒏(𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) − 𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒃) 𝒕𝒂𝒏(𝒂 + 𝒃) =

𝒕𝒂𝒏(𝒂)+𝒕𝒂𝒏(𝒃)

𝒕𝒂𝒏(𝒂 − 𝒃) =

𝟏−𝒕𝒂𝒏(𝒂)𝒕𝒂𝒏(𝒃)

𝒕𝒂𝒏(𝒂)−𝒕𝒂𝒏(𝒃) 𝟏+𝒕𝒂𝒏(𝒂)𝒕𝒂𝒏(𝒃)

Résultats :

  

𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒙) = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) = 𝟐𝒔𝒊𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟐𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙) = 𝟐

 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒂) =  𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒂) =

𝟏−𝒕𝒂𝒏 (𝒙) 𝟏+𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒂)

𝟐𝒕

𝒂

 𝒔𝒊𝒏(𝒂) = 𝟏+𝒕𝟐

𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒂)

𝒕 = 𝒕𝒂𝒏( ) 𝟐

𝟏−𝒕𝟐

 𝒄𝒐𝒔(𝒂) = 𝟏+𝒕𝟐

𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒂)

𝟐𝒕

 𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝒂) = 𝟏+𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒂)

 𝒕𝒂𝒏(𝒂) = 𝟏−𝒕𝟐

Transformation de produit en somme : 𝟏  𝒄𝒐𝒔(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) = 𝟐 [𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) + 𝒄𝒐𝒔(𝒂 − 𝒃)] −𝟏



𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒔𝒊𝒏(𝒃) =



𝒔𝒊𝒏(𝒂)𝒄𝒐𝒔(𝒃) = [𝒔𝒊𝒏(𝒂 + 𝒃) + 𝒔𝒊𝒏(𝒂 − 𝒃)]

𝟐 𝟏

[𝒄𝒐𝒔(𝒂 + 𝒃) − 𝒄𝒐𝒔(𝒂 − 𝒃)]

𝟐

Transformation de somme en produit : 𝒂+𝒃



𝒄𝒐𝒔(𝒂) + 𝒄𝒐𝒔(𝒃) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 (



𝒄𝒐𝒔(𝒂) − 𝒄𝒐𝒔(𝒃) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 (



𝒔𝒊𝒏(𝒂) + 𝒔𝒊𝒏(𝒃) = 𝟐𝒔𝒊𝒏 (



𝒔𝒊𝒏(𝒂) − 𝒔𝒊𝒏(𝒃) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 (

𝒂−𝒃

) 𝒄𝒐𝒔 (

𝟐 𝒂+𝒃

𝒂+𝒃

𝟐

) 𝒔𝒊𝒏 (

𝒂−𝒃

) 𝒄𝒐𝒔 (

𝟐 𝒂+𝒃 𝟐

)

𝟐 𝒂−𝒃 𝟐

)

)

𝟐 𝒂−𝒃

) 𝒔𝒊𝒏 (

𝟐

)

Transformation de formule : 𝐚𝐜𝐨𝐬(𝐱) + 𝐛𝐬𝐢𝐧(𝐱) (𝐚, 𝐛) ≠ (𝟎, 𝟎)



𝒂𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒃𝒔𝒊𝒏(𝒙) = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 (

𝒂 √𝒂𝟐 +𝒃𝟐

𝒄𝒐𝒔(𝒙) +

𝒃 √𝒂𝟐 +𝒃𝟐

= √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙 − 𝜶) tel que 𝜶 un réel qui vérifie : 𝒃 𝒔𝒊𝒏(𝜶) = 𝟐 𝟐 ‫و‬ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) = √𝒂 +𝒃

[email protected]

9

𝒔𝒊𝒏(𝒙))

𝒂 √𝒂𝟐 +𝒃𝟐

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LIMITE D'UNE FONCTION NUMERIQUE

LAGDEM Mohamed

2BACS-Rappels

I. Limite finie d'une fonction en un point : 1. Limites des fonctions référentielles en 0 :

lim x  0 x 0

lim x n  0

;

(n 

x 0

*

lim x  0

;

)

x 0

Propriété (unicité de la limite) : Si une fonction admet une limite

en un réel a alors

est unique.

2. limites des fonctions polynômes -limites des fonctions rationnelles en un réel : Soient P( x) et Q( x) deux fonctions polynômes et a 

3.



lim P( x)  P(a)



Si Q(a)  0 alors lim

x a

P( x) P(a )  x a Q( x) Q(a )

Propriété (Limite à droite et à gauche en un point): Soient f une fonction numérique et a et

lim f ( x) 

deux nombres réels.



x a

II.

.

lim f ( x)  lim f ( x) 

x a 

x a

Limite infinie d'une fonction en un point : Limites usuelles : Soit n     

III.

*

lim

x 0

1   xn

1   n x 0 x 1 Si n est impair : lim n   x 0 x 1 lim   x 0 x Si n est pair : lim

Limite finie et infinie d'une fonction en l’infini :

1. Limite finie d’une fonction en l’infini : Limites usuelles :

[email protected]

Soit n 

1 lim n  0 x  x

* ;

1 0 x  x n lim

10

;

lim

x 

1 0 x

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2. Limite infinie d’une fonction en l’infini : Limites usuelles :

Soit n 

* lim x n  



x 



Si n est pair : lim x  



Si n est impair : lim x  

n

x 

n

x 

IV.

x  

lim



x 

Limites et opérations : Dans les tableaux qui suivent a désigne un réel ou  ou  ,

et ' sont deux réels.

1. Limite de la somme de deux fonctions lim f ( x) x a

















 '









F.I.

F.I.

x a

x a



'

lim g ( x) lim( f  g )( x)



2. Limite du produit de deux fonctions : 0

lim f ( x) x a

lim g ( x)

'

x a

lim( fg )( x)

'

x a

0

0

0







0



















0















F.I.

F.I.

3. Limite de l’inverse d’une fonctions 0

lim f ( x) x a

1 f ( x)

lim x a

1





0

0

0

0





4. Limite du quotient de deux fonctions : lim f ( x) x a

lim g ( x) x a

f lim( )( x) x a g



'

'



0

0 











0

0

Ou

Ou

 Ou

 Ou

0



0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

















F.I.

F.I.

5. Limite infini d’une fonction polynôme – d’une fonction rationnelle : La limite en  (resp en  ) d’une fonction polynôme est la limite en  (resp en  ) de son monôme de plus haute degré. La limite en  (resp en  ) d’une fonction rationnelle est la limite en  (resp en  ) du quotient des monômes de plus haute degré du numérateur et du dénominateur.

[email protected]

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+212676453608

Remarque : La propriété précédente n’est valable que pour les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles et uniquement pour l’étude des limites en l’infini.

V. Limites et ordre : Soient f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle de la forme

I   a,   (a  ) et soit  

Si



Si



Si



Si

(x  I ) ; f ( x)  g ( x)  lim f ( x)    x (x  I ) ; f ( x)  g ( x)  lim g ( x)    x  f ( x)   g ( x) (x  I ) ;  lim g ( x)  0   x  (x  I ) ; g( x)  f ( x)  h( x)  lim g ( x)  lim h( x)   x   x

alors: lim g ( x)   . x 

alors: lim f ( x)   . x 

alors: lim f ( x)  . x 

alors: lim f ( x)  . x 

Remarque : Les propriété précédentes restent valables quand x tend vers  ou tend vers a à gauche ou à droite.

VI.

Limites des fonctions trigonométriques 1  cos( x) 1  ; x 0 x2 2

sin( x) 1 ; x 0 x

1) lim

Pour tout a 

2) -

lim

lim cos( x)  cos(a) ;

;

x a

   k / k   ; 2 

Pour tout a  \ 

-

tan( x) 1 x 0 x

lim

lim sin( x)  sin(a) x a

lim tan( x)  tan(a) x a

Conséquences : Pour tout a 

1  cos(ax) 1 ;  x 0 (ax)2 2

sin(ax) 1 ; x 0 ax

*

lim

lim

tan(ax) 1 x 0 ax

lim

VII. Limites d’une fonction irrationnelle Soit f une fonction définie et positive sur un voisinage d’un réel a et soit 

Remarque:

-

Si lim f ( x) 

-

Si lim f ( x)   alors : lim

x a

x a

alors : lim x a

x a

f ( x) 



.

f ( x)   .

Enoncés analogues en  et en 

[email protected]

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Continuité d’une fonction numérique

LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Continuité en un point:

Propriété



𝒇 est continue en 𝒂



𝒇 est continue à droite en 𝒂



𝒇 est continue à gauche en 𝒂 ⇔

𝒇 est continue en 𝒂

⇔

⇔

𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) 𝒙→𝒂

⇔

𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

𝒙→𝒂+

𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

𝒙→𝒂−

𝒇 est continue à droite et à gauche en 𝒂

Continuité sur un intervalle :

 𝒇 est continue sur ]𝒂, 𝒃[ s’elle est continue en tout point de]𝒂, 𝒃[  𝒇 est continue sur [𝒂, 𝒃] s’elle est continue sur]𝒂, 𝒃[ et continue à droite en 𝒂 et continue à gauche en 𝒃

Continuité des fonctions usuelles:     

Tout fonction polynôme est continue sur ℝ Toute fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition 𝒙 ⟶ √𝒙 est continue sur [𝟎, +∞[ 𝒙 ⟶ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 et 𝒙 ⟶ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 sont continues sur ℝ 𝒙 ⟶ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.

Opération sur les fonctions continues : Si 𝒇 et 𝒈 sont continues sur 𝑰  alors les fonctions 𝒇 + 𝒈 et 𝒇 − 𝒈 et 𝒇 × 𝒈 et 𝜶𝒇 sont continues sur 𝑰 , (𝜶 ∈ ℝ) 𝟏 𝒇  si de plus g ne s’annule pas sur 𝑰 alors 𝒈 et 𝒈 sont continues sur 𝑰

L’image d’un intervalle par une fonction continue L’intervalle 𝑰 [𝑎, 𝑏] ]𝑎, 𝑏[

L’intervalle 𝒇(𝑰) 𝒇 strictement croissante sur 𝑰 𝒇 strictement décroissante sur 𝑰 [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] [𝑓(𝑏), 𝑓(𝑎)] ] 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥)[

[𝑓(𝑎), 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥)[ 𝑥→𝑏

] 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑎)]

] 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑏)]

[𝑓(𝑏), 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥)[

[𝑓(𝑎), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑎)]

] 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑏)]

[𝑓(𝑏), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

] 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)[

𝑥→𝑎

[𝑎, 𝑏[ ]𝑎, 𝑏]

𝑥→𝑏

𝑥→𝑎

[𝑎, +∞[ ]𝑎, +∞[

𝑥→+∞

𝑥→𝑎

]−∞, 𝑏] ]−∞, 𝑏[ ]−∞, +∞[

𝑥→−∞

𝑥→−∞

𝑥→−∞

[email protected]

𝑥→+∞

𝑥→𝑏

𝑥→+∞

13

𝑥→𝑏

𝑥→𝑎

𝑥→𝑏

𝑥→𝑎

𝑥→+∞

𝑥→+∞

𝑥→𝑎

𝑥→−∞

𝑥→𝑏

𝑥→+∞

𝑥→−∞

𝑥→−∞

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Continuité de la composée de deux fonction : Si 𝑓 est continue sur 𝐼 et 𝑔 continue sur 𝐽 tel que 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 alors 𝑔 ∘ 𝑓 est continue sur 𝐼 Résultats -si 𝒇 est continue et positive sur 𝑰 alors √𝒇 est continue sur 𝑰 .

-si

𝒇 est continue sur 𝑰 alors 𝒇𝒏 est continue sur 𝑰 .

(𝒏 ∈ 𝐈𝐍∗ )

Théorème des valeurs intermédiaires: {

∃𝜶 ∈ [𝑎, 𝑏] ; 𝒇(𝜶) = 𝛽

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 [𝑎, 𝑏] 𝛽 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓(𝑎) 𝑒𝑡 𝑓(𝑏)

Résultats :

L’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet au moins une solution 𝜶 dans [𝒂, 𝒃]

𝒇 continue sur [𝒂, 𝒃]  𝒇(𝒂). 𝒇(𝒃) < 0 

𝒇 continue et strictement monotone sur[𝒂, 𝒃]  𝒇(𝒂). 𝒇(𝒃) < 0 

L’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet une unique solution 𝜶 dans [𝒂, 𝒃]

La méthode de dichotomie Est une méthode pour trouver une solution approchée à une équation f(x)=0. Précisément, supposons que la fonction f est continue sur l'intervalle [a,b], avec f(a)0. On sait donc qu'il existe au moins un réel c dans l'intervalle [a,b] tel que f(c)=0. L'idée est alors d'évaluer ce que vaut f au milieu de [a,b], et de distinguer les deux cas suivants :  si 𝒇 (

𝒂+𝒃

𝒂+𝒃

𝟐

𝟐

) > 𝟎, alors on sait qu'on a une racine dans l'intervalle [𝒂; 𝒂+𝒃

]

𝒂+𝒃

 sinon, 𝒇 ( ) < 𝟎 et on sait qu'on a une racine dans l'intervalle [ 𝟐 ; 𝒃]. 𝟐 Ainsi, dans les deux cas, on a trouvé un intervalle de longueur moitié dans lequel est située une racine de l'équation f(x)=0. On recommence alors avec cet intervalle, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve une approximation qui nous convienne 𝒇(𝜶) = 𝟎

[email protected]

(𝑪𝒇 ) coupe l’axe des abscisses au point 𝑨(𝜶, 𝟎)

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Fonction réciproque Propriétés : L’équation 𝒇(𝒙) = 𝒚 admet une seule solution dans 𝑰

Si 𝒇 continue et strictement monotone sur 𝑰  Et 𝒚 ∈ 𝒇(𝑰) 

Si 𝒇 est continue et strictement monotone sur 𝑰 alors 𝒇 admet une fonction réciproque 𝒇−𝟏 définie sur 𝑱 = 𝒇(𝑰) .

𝒇 {

𝒇: 𝑰 → 𝑱 𝒆𝒕 𝒇−𝟏 : 𝑱 → 𝑰

−𝟏 (𝒙)

=𝒚 𝒙∈𝑱

(∀𝒙 ∈ 𝑰), 𝒇−𝟏 𝒐𝒇(𝒙) = 𝒙 (∀𝒚 ∈ 𝑱), 𝒇𝒐𝒇−𝟏 (𝒚) = 𝒚

𝒇(𝒚) = 𝒙 { 𝒚∈𝑰

⟺

 La fonction 𝒇−𝟏 est continue sur 𝑱 et a le même sens de variation de 𝒇 sur 𝑰  Les courbes (𝑪𝒇 ) et (𝑪𝒇−𝟏 ) sont symétrique par rapport la droite (D) : 𝒚 = 𝒙

𝐧

La fonction racine 𝐧𝐢𝐞𝐦𝐞 :( √ ) , 𝐧 ∈ 𝐈𝐍 ∗ 𝒙 ∈ ℝ+

,

𝒙𝒏 = 𝒚

⟺

𝒚 ∈ ℝ+ 𝒏

√𝒚 = 𝒙

𝒏

 La fonction 𝒙 ⟶ √𝒙 est continue et strictement croissante sur [𝟎, +∞[ 𝟏 𝟐  Cas particuliers : √𝒙 = 𝒙 , √𝒙 = √𝒙 pour tout 𝒙 ∈ 𝑰𝑹+ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑰𝑹+

Propriétés : 𝒏

√𝒙𝒏 = 𝒙

𝒏

𝒏

√𝒙 √𝒚 = √𝒙𝒚

𝒏

𝒏

( √𝒙) = 𝒙

; 𝒏

𝒏, 𝒎 ∈ 𝑰𝑵∗

;

𝒏

;

√𝒙 √𝒚

𝒏

𝒏

𝒏

𝒙

= √ 𝒚

𝒎

𝒏

( √𝒙) = √𝒙𝒎

; (𝒚 ≠ 𝟎)

;

𝒏𝒎

𝒏 𝒎

√ √𝒙 = 𝒏𝒎√𝒙

𝒏

√𝒙𝒎 = √𝒙

; ;

𝒑

√𝒙𝒏𝒑 = 𝒙𝒏

Limites : 𝒏

𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = +∞ ⟹ 𝒍𝒊𝒎 𝒏√𝒇(𝒙) = +∞ ;

𝒂−𝒃=

[email protected]

𝒂𝟑 −𝒃𝟑 𝒂𝟐 +𝒂𝒃+𝒃𝟐

𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝓵 ≥ 𝟎 ⟹ 𝒍𝒊𝒎 𝒏√𝒇(𝒙) = √𝓵

𝟑

15

𝒂−𝒃

𝟑

√𝒂 − √𝒃 =



𝟑

𝟐

𝟑

𝟑

𝟑

𝟐

√𝒂 + √𝒂. √𝒃+ √𝒃

+212676453608

Continuité : si 𝒇 est une fonction continue et positive sur 𝑰 alors 𝒏√𝒇 est continue sur 𝑰

Puissance rationnelle d’un nombre réel strictement positif : ∗

𝒏 ∈ ℕ , 𝒎 ∈ ℤ Pour tout 𝒙 de ]𝟎, +∞[ on a : 𝟏

𝒓 , 𝒓′ ∈ 𝑸

;

(𝒙𝒓 )𝒓′ = 𝒙𝒓×𝒓′

,

(𝒙𝒚)𝒓 = 𝒙𝒓 × 𝒚𝒓′ 𝒙𝒓′

[email protected]

= 𝒙𝒓−𝒓′

𝒙𝟐 = √𝒙

; 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑰𝑹∗+

𝒙𝒓 × 𝒙𝒓′ = 𝒙𝒓+𝒓′

𝒙𝒓

𝒏

𝒙 = √ 𝒙𝒎 𝟏

𝒏

𝒙𝒏 = √𝒙 Propriété :

𝒎 𝒏

, ,

16

𝒙 𝒓

𝒙𝒓

( 𝒚) = 𝒚𝒓 𝟏

𝒙−𝒓 = 𝒙𝒓

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Dérivation

LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Définition :  On dit que 𝒇 est dérivable en 𝒂 si : 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂) 𝒙−𝒂

=𝓵∈ℝ

 Le nombre 𝓵 est appelé le nombre dérivé de 𝒇 en 𝒂 et noté 𝒇′ (𝒂)

Dérivabilité à droit - Dérivabilité à gauche  On dit que 𝒇 est dérivable à droite en 𝒂 si 𝒍𝒊𝒎+

𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂)

𝒙→𝒂



𝒙−𝒂

𝓵 est appelé le nombre dérivé de 𝒇 à droite en 𝒂 et noté 𝒇′𝒅 (𝒂)

 On dit que 𝒇 est dérivable à gauche en 𝒂 si 𝒍𝒊𝒎−

𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂) 𝒙−𝒂

𝒙→𝒂



=𝓵∈ℝ

= 𝓵′ ∈ ℝ

𝓵′ est appelé le nombre dérivé de 𝒇 à gauche en 𝒂 et noté 𝒇′𝒈 (𝒂)

Propriété 𝒇 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 à 𝒅𝒓𝒐𝒊𝒕𝒆 𝒆𝒕 à 𝒈𝒂𝒖𝒄𝒉𝒆 𝒆𝒏 𝒂 } ⟺ 𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒂 𝒆𝒕 𝒇′𝒅 (𝒂) = 𝒇′𝒈 (𝒂)

L’équation de la tangente à (Cf)  L’équation de la tangente à la courbe (Cf) au point d’abscisse 𝒂 est : 𝒚 = 𝒇′ (𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Fonction affine tangente à f Si f est dérivable en 𝒂, la fonction 𝒙 → 𝒇′ (𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) est appelée la fonction affine tangente à f en 𝒂 .

Autrement dit : Si

[email protected]

x a : f ( x) f '(a)( x  a)  f (a)

17

+212676453608

Interprétation géométrique de la dérivation  𝒇 est dérivable en 𝒂 La limite 𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂) = 𝒍 ∈ 𝑰𝑹∗ 𝒙→𝒂 𝒙−𝒂

𝒍𝒊𝒎

𝒇′ (𝒂) = 𝒍

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂) =𝟎 𝒙→𝒂 𝒙−𝒂

𝒍𝒊𝒎

𝒇′ (𝒂) = 𝟎

Interprétation géométrique

Représentation graphique (en exemple)

(𝑪𝒇)admet une tangente au point 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) d’équation

𝒚 = 𝒇′ (𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

(𝑪𝒇)admet une tangente horizontale au point 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂))

 𝐟 dérivable à gauche ou à droite en 𝐚

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒙>𝒂

La limite

Interprétation géométrique

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂) = 𝒍 ∈ 𝑰𝑹∗ 𝒙−𝒂

(𝑪𝒇)admet une demi tangente à droite au point 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) d’équation

𝒇′𝒅 (𝒂) = 𝒍

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒙>𝒂

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂) =𝟎 𝒙−𝒂 𝒇′𝒅 (𝒂) = 𝟎

𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒙𝒂

(𝑪𝒇)admet une demi tangente à droite au point 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) dirigée vers le bas

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂) 𝒍𝒊𝒎 = −∞ 𝒙→𝒂 𝒙 − 𝒂 𝒙 Si g ne s’annule pas sur I , alors 𝒈 𝒆𝒕

𝒇 𝒈

sont dérivables sur 𝑰 .

-> Si 𝒇 > 𝟎 𝒔𝒖𝒓 𝑰 , alors 𝒏√𝒇 est dérivable sur 𝑰.

Voir la formulaire de dérivée page suivante

Dérivée de la composée de deux fonction : Si 𝒇 est dérivable sur 𝑰 et 𝒈 est dérivable sur 𝒇(𝑰), alors la fonction 𝒈𝒐𝒇 est dérivable sur 𝑰 ∀𝐱 ∈ 𝐈

(𝐠𝐨𝐟)′ (𝐱) = 𝐟 ′ (𝐱) × 𝐠 ′ (𝐟(𝐱))

Dérivée de la fonction réciproque : I) Si f est dérivable en 𝒂 et 𝒇′(𝒂) ≠ 𝟎 alors 𝒇−𝟏 est dérivable en 𝒃 = 𝒇(𝒂) 𝟏 (𝒇−𝟏 )′ (𝒃) = ′ Et 𝒇 (𝒂) II) Si f est dérivable sur 𝑰 et 𝒇′ ne s’annule pas sur 𝑰 alors 𝒇−𝟏 est dérivable sur 𝑱 = 𝒇(𝑰) 𝟏 (∀𝒙 ∈ 𝑱) ; (𝒇−𝟏 )′ (𝒙) = ′ −𝟏 Et 𝒇 (𝒇

Soient f et g deux dérivables sur 𝑰 et k  IR La dérivation et lafcts monotonie

(𝒙))

et n  IN * , alors :

-> 𝒇𝒇 + 𝒇𝒈 , 𝒌𝒇sur , 𝒇𝑰𝒏 sont dérivables sur 𝑰 . est𝒈,croissante ∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇′ (𝒙) ≥ 𝟎 𝟏 𝒇 ∀𝒙 ∈ sur 𝑰 𝑰 . 𝒇′ (𝒙) ≤ 𝟎 -> 𝒇Siest g nedécroissante s’annule passur sur𝑰 I , alors 𝒈 𝒆𝒕 𝒈 sont dérivables 𝒇 est constante sur 𝑰 ∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒇′ (𝒙) = 𝟎 𝒏 -> Si 𝒇 > 𝟎 𝒔𝒖𝒓 𝑰 , alors √𝒇 est dérivable sur 𝑰.

Extremums d’une fonction Si 𝑓 ′ s’annule en 𝒂 en changeant de signe alors 𝑓 admet un extremum en 𝑎

x f ( x) '



-

x f ( x)

+

'

f ( x)

f ( x)



+



  Valeur minimale [email protected]

 valeur maximal 20

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LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Formulaire de dérivées Dérivée des fonctions usuelles

Opérations sur les fonction dérivées

 af  '  af

( a) '  0 ( x) '  1

( f  g ) '  f ' g '

(ax) '  a

( fg ) '  f ' g  fg '

( x ) '  nx n

 x  2   x

'



1  n

 1  f '    f 2  f  '

 1  1    2  x x '

'

n 1

'

n

'

 f  f ' g  fg '    2 g g  



1 x 1

n

x

n 1

  f



cos' ( x)   sin( x) sin ' ( x)  cos( x)



tan ' ( x )  1  tan 2 ( x ) =

n



f n

'

f





f ' 2 f

 nf ' f '



1 n

n 1

f ' n

f

n 1

fog   g ' f ' og '

f  1

1 cos 2 ( x )

'

'

1  f ' of

1

( avec a  IR et f et g deux fonctions numériques) [email protected]

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Représentation graphique d’une fonction numérique

LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Branches infinies :

lim f ( x)  b x 

lim f ( x)   x a

lim f (x )  

x  La droite d’équation y  b est asymptote horizontale à (C f ) au

lim x 

voisinage de 

La droite d’équation x  a est asymptote verticale à (C f )

f ( x) x

a0

 (C f ) admet une branche

0 (C f ) admet une branche

lim f ( x)  ax

parabolique de direction l’axe des ordonnés au voisinage de 

parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de 

x 



b

(C f ) admet une

(C f ) admet une branche

asymptote oblique d’équation y  ax  b au voisinage de 

parabolique de direction la droite d’équation y  ax au voisinage de 

Propriété Si :

lim  f ( x)  (ax  b)   0 alors : x 

 la droite d’équation y  ax  b est asymptote oblique à (C f ) au voisinage de  .

[email protected]

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LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Concavité d’une courbe – point d’inflexion :  (𝑪𝒇 ) est convexe sur 𝑰 s’il est au dessus de chacune de ses tangentes sur 𝑰

Définitions

 (𝑪𝒇 ) est concave sur 𝑰 s’il est au dessous de chacune de ses tangentes sur 𝑰  𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) est un point d’inflexion de (𝑪𝒇 ) si , en A , (𝑪𝒇 ) traverse sa tangente. 

𝒇′′ ≥ 𝟎 sur 𝑰

Propriétés  𝒇′′ ≤ 𝟎 sur 𝑰

(𝑪𝒇 ) est convexe sur 𝑰

x 𝒇′′(𝒙)

𝒂 +

(𝑪𝒇 ) est concave sur 𝑰 Concavité de (𝑪𝒇 )

 𝒇′′ s’annule en changeant de signe en 𝒂

Convexe

Si

𝒇′

concave Point d’inflexion

𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂))

alors 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) est un point d’inflexion de (𝑪𝒇 )

Propriété

-

s’annule en 𝒂 et ne change pas de signe alors 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂)) est un point d’inflexion de (𝑪𝒇 )

Eléments de symétrie de la courbe d’une fonction :  Centre de symétrie : Le point 𝑰(𝒂, 𝒃) est centre de symétrie de (𝑪𝒇 ) ssi :

(∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 ):

𝟐𝒂 − 𝒙 ∈ 𝑫𝒇

𝒆𝒕

𝒇(𝟐𝒂 − 𝒙) = 𝟐𝒃 − 𝒇(𝒙)

 Axe de symétrie : La droite (∆): 𝒙 = 𝒂 est axe de symétrie de (𝑪𝒇 ) ssi :

(∀𝒙 ∈ 𝑫𝒇 ):

𝟐𝒂 − 𝒙 ∈ 𝑫𝒇

𝒆𝒕

𝒇(𝟐𝒂 − 𝒙) = 𝒇(𝒙)

Remarque :  Si f est paire alors (𝑪𝒇 ) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnés.  Si f est impaire alors (𝑪𝒇 ) est symétrique par rapport à l’origine du repère.

[email protected]

23

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Compléments  La position relative de

C f  et d’une droite    d’équation : y

Pour étudier la position relative de la courbe on étudie le signe de

f  x   ax  b  sur I

-

C f  et la droite    d’équation y

 Si

f  x    ax  b   0 pour tout x de I

 Si

f  x    ax  b   0

 L’intersection de

 ax  b  ax  b

sur un intervalle I,

C f  est au-dessus de    sur I. pour tout x de I alors C f  est au-dessous de    sur I. alors

C f  et les axes du repère

C f  et l’axe des abscisses , on résout l’équation f  x   0 Pour déterminer l’intersection de C f  et l’axe des ordonnés on calcule f  0  Pour déterminer l’intersection de

Plan d'étude d'une fonction 

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction s’il n’est pas donné dans l’énoncé.



Réduire éventuellement cet ensemble par la recherche de la parité et de la périodicité de la fonction.



Etudier la continuité de la fonction.



Déterminer les limites de la fonction aux bornes de l’ensemble d’étude .



Chercher les branches infinies de la courbe.



Etudier la dérivabilité de la fonction.



Déterminer la dérivabilité de la fonction aux points où les théorèmes de dérivabilité ne s’appliquent pas. Interpréter géométriquement ces limites en termes de tangentes.



Calculer la dérivée de la fonction et étudier le signe de cette dérivée (une étude de fonction auxiliaire est parfois nécessaire).



En déduire le sens de variation de la fonction.



Résumer tous les résultats précédents dans un tableau après en avoir vérifié la cohérence. Calculer les coordonnées des points « particuliers » rencontrés dans l’étude et des points à tangente horizontale (𝒇′ (𝒙) = 𝟎).



Calculer la dérivée seconde pour étudier la convexité de la fonction et déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe.



Tracer la courbe représentative de la fonction : - Choisir astucieusement la position du repère dans le plan et l’unité de longueur si elle n’est pas donnée dans l’énoncé. Sinon, respecter l’unité imposée par l’énoncé. - Placer les asymptotes et les points particuliers (avec leur tangente). - Tracer la courbe en plaçant quelques autres points sans oublier de vérifier la cohérence avec le tableau de variations

[email protected]

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les suites numériques

LAGDEM Mohamed

Toute fonction définie de 𝑰 partie de ℕ vers ℝ appelée une suite numérique

définition

(∀𝒏 ∈ 𝑰) 𝑼𝒏 ≤ 𝑴 (∀𝒏 ∈ 𝑰) 𝑼𝒏 ≥ 𝒎 (𝑼𝒏 )𝒏 majorée et minorée (∀𝒏 ∈ 𝑰) 𝒎 ≤ 𝑼𝒏 ≤ 𝑴

(𝑼𝒏 )𝒏∈𝑰 majorée par 𝑴 (𝑼𝒏 )𝒏∈𝑰 minorée par 𝒎 (𝑼𝒏 )𝒏∈𝑰 bornée

Suite majorée Suite minorée Suite bornée

Suite décroissante (∀𝒏 ∈ 𝑰) 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 ≤ 𝟎

Suite croissante (∀𝒏 ∈ 𝑰) 𝑼𝒏+𝟏 − 𝑼𝒏 ≥ 𝟎

𝑼𝒏 ≤ 𝑼𝒏𝟎

(∀𝒏 ≥ 𝒏𝟎 )

Suite arithmétique

𝑼𝒏+𝟏 = 𝒒𝑼𝒏

𝒒 la raison de la suitegéométrique

le terme général

𝑼𝒏 = 𝑼𝟎 × 𝒒𝒏 ∀(𝒏, 𝒑) ∈ 𝑰 𝟐 𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 × 𝒒𝒏−𝒑

La somme de termes consécutifs

𝑺𝒏 = 𝑼𝒑 + 𝑼𝒑+𝟏 + ⋯ + 𝑼𝒏 𝟏 − 𝒒𝒏−𝒑+𝟏 𝑺𝒏 = 𝑼𝒑 × 𝒒≠𝟏 𝟏−𝒒 𝑺𝒏 = (𝒏 − 𝒑 + 𝟏)𝑼𝒑 𝒒=𝟏

trois termes consécutifs

𝑼𝒏 ≥ 𝑼𝒏𝟎

(∀𝒏 ≥ 𝒏𝟎 )

Suite géométrique définition

2BACS-2020/2021

𝑼𝒏+𝟏 = 𝑼𝒏 + 𝒓

𝒓 la raison de la suite arithmétique

𝑼𝒏 = 𝑼𝟎 + 𝒏𝒓 ∀(𝒏, 𝒑) ∈ 𝑰 𝟐

𝒂 et 𝒃 et 𝒄 trois termes consécutifs 𝒂 × 𝒄 = 𝒃𝟐

𝑼𝒏 = 𝑼𝒑 + (𝒏 − 𝒑)𝒓

𝑺𝒏 = 𝑼𝒑 + 𝑼𝒑+𝟏 + ⋯ + 𝑼𝒏 𝑺𝒏 =

𝒏−𝒑+𝟏 (𝑼𝒑 + 𝑼𝒏 ) 𝟐

𝒂 et 𝒃 et 𝒄 trois termes consécutifs 𝒂 + 𝒄 = 𝟐𝒃

Convergence d’une suite numérique : Définitions

(𝑼𝒏 )𝒏 est une suite convergente si elle admet une limite finie càd 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = 𝒍 ∈ ℝ (𝑼𝒏 )𝒏 est une suite divergente si elle n’est pas convergente

Limite de la suite (𝐧𝛂 ) (𝛂 ∈ ℚ∗ ) 𝜶0 𝒍𝒊𝒎 𝒏𝛂 = +∞ 25

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LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

Limite de la suite (𝐪𝐧 ) (𝐪 ∈ ℝ)

𝒒 ≤ −𝟏

−𝟏 < 𝒒 < 𝟏

𝒒=𝟏

𝒒>𝟏

n’admet pas de limite

𝒍𝒊𝒎 𝒒𝐧 = 𝟎

𝒍𝒊𝒎 𝒒𝐧 = 𝟏

𝒍𝒊𝒎 𝒒𝐧 = +∞

Critères de convergences  Toute suite croissante et majorée est convergente  Toute suite décroissante et minorée est convergente 𝒖𝒏 ≤ 𝒗 𝒏 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = +∞ 𝒖𝒏 ≤ 𝒗 𝒏 { 𝒍𝒊𝒎 𝒗𝒏 = −∞ |𝒖 − 𝒍| ≤ 𝒗𝒏 { 𝒏 𝒍𝒊𝒎 𝒗𝒏 = 𝟎 𝒘 𝒏 ≤ 𝒖𝒏 ≤ 𝒗 𝒏 { 𝒍𝒊𝒎 𝒘𝒏 = 𝒍𝒊𝒎 𝒗𝒏 = 𝒍 {

𝒍𝒊𝒎 𝒗𝒏 = +∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = −∞ 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = 𝒍 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = 𝒍

Suite de la forme 𝐯𝐧 = 𝐟(𝐮𝐧 ) : (𝑼𝒏 )𝒏 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒊𝒎 𝒖𝒏 = 𝒍 { 𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒍

{

(𝒗𝒏 )𝒏 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒕 𝒍𝒊𝒎 𝒗𝒏 = 𝒇(𝒍)

Suite de la forme 𝐮𝐧+𝟏 = 𝐟(𝐮𝐧 ) (𝑼𝒏 )𝒏 Suite définie par son première terme 𝒖𝒏𝟎 et la relation 𝒖𝒏+𝟏 = 𝒇(𝒖𝒏 )

𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝑰 𝒇(𝑰) ⊂ 𝑰 𝒖𝒏𝟎 ∈ 𝑰 { (𝑼𝒏 )𝒏 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆

[email protected]

𝐥𝐚 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞 𝐝𝐞 (𝑼𝒏 )𝒏 𝐞𝐬𝐭 { 𝐥𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥′é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒅𝒂𝒏𝒔 𝑰

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Fonctions primitives

LAGDEM Mohamed

Définition

2BACS-2020/2021

On dit que 𝑭 est une fonction primitive de la fonction 𝒇 sur un intervalle 𝑰 , si 𝑭 est dérivable sur 𝑰 Et ∀𝒙 ∈ 𝑰 𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙)

 Toute fonction continue sur un intervalle 𝑰 admet une fonction primitive sur cet intervalle.

 Si 𝑭 est une fonction primitive de 𝒇 sur 𝐈 alors

Propriétés

l’ensemble des fonctions primitives de 𝒇 sur 𝐈 est l’ensemble des fonction définie sur 𝐈 par : 𝒙 → 𝑭(𝒙) + 𝒌 avec 𝒌 ∈ ℝ  Soient 𝐱 𝟎 de 𝐈 et 𝐲𝟎 de ℝ , il existe une unique fonction primitive 𝐆 de la fonction 𝐟 sur 𝐈 qui vérifie la condition : 𝑮(𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟎

Fonctions primitives des fonctions usuelles : F est une fonction primitive de f sur l’intervalle I f(x)

F(x)

L’intervalle I

𝟎 𝒂

𝒄 𝒂𝒙 + 𝒄

ℝ ℝ

𝒙

𝒓

∗

(𝒓 ∈ 𝑸 \{−𝟏})

𝟏 𝒙𝟐

si 𝐫 < 𝟎

ℝ+∗ 𝟐√ 𝒙 + 𝒄

√𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃)

(𝒂 ∈ ℝ∗ )

𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃)

(𝒂 ∈ ℝ∗ )

𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒄 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄

𝟏 𝟏 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙

[email protected]

si 𝒓 > 𝟎

ℝ∗

𝟏 − +𝒄 𝒙

𝟏

𝟐

ℝ ℝ∗

𝒙𝒓+𝟏 +𝒄 𝒓+𝟏

𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒄 𝒂 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝒄 𝒂 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝒄

27

ℝ ℝ ℝ ℝ ]−

𝛑 𝛑 + 𝒌𝝅, + 𝒌𝝅[ 𝐤 ∈ ℤ 𝟐 𝟐

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(suite) f(x)

F(x)

L’intervalle I

𝟏

𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄

ℝ∗

𝐱

ℝ

𝒙

𝒙

𝒆 +𝒄

𝒆

Opérations sur les primitives : F est une fonction primitive de f sur l’intervalle I La fonction f ′

Primitive F de f

L’intervalle I ′

𝑼 + 𝐕′

𝐔+𝐕

𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒕 𝑽 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝛂𝐔′

𝛂𝐔

𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆

𝑼′ × 𝐔 𝐫

𝟏 𝐔 𝐫+𝟏 𝐫+𝟏

′

𝑼 𝐔𝟐 ′

𝑼

𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝐔𝐫 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆 𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝒏𝒆 𝒔′ 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒔

−𝟏 𝐔

𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒆

𝟐√𝐔

√𝐔 𝑼′ 𝐔

𝒍𝒏|𝑼|

𝑼′ 𝒆𝑼

𝒆𝑼

[email protected]

𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝒏𝒆 𝒔′ 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒔

𝒍′ 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒐ù 𝑼 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆

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+212676453608

Fonctions logarithmes

LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021 𝟏

Définition

 𝒍𝒏 (logarithme népérien) est la primitive de 𝒙 → sur ]𝟎, +∞[ et qui 𝒙 s’annule en 𝟏

𝒍𝒏′ (𝐱) =

propriétés

Propriétés algébriques Le nombre e

𝟏 𝐱

∀𝒙 ∈ ]𝟎, +∞[

𝒍𝒏(𝟏) = 𝟎

 𝒍𝒏 est une fonction définie ,continue et dérivable sur ]𝟎, +∞[  𝒍𝒏 est une fonction strictement croissante sur ]𝟎, +∞[  𝒍𝒏(𝒙) > 𝒍𝒏(𝒚) ⟺ 𝒙 > 𝒚 𝒙 𝟎 𝟏  𝒍𝒏(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒚) ⟺ 𝒙 = 𝒚 𝒍𝒏(𝒙)  𝒍𝒏(𝒙) > 𝟎 ⟺ 𝒙 > 𝟏  𝒍𝒏(𝒙) < 𝟎 ⟺ 𝟎 < 𝒙 < 𝟏

 

𝒍𝒏(𝒙𝒚) = 𝒍𝒏(𝒙) + 𝒍𝒏(𝒚) 𝒙 𝒍𝒏 ( ) = 𝒍𝒏(𝒙) − 𝒍𝒏(𝒚)

𝒍𝒏 ( ) = − 𝒍𝒏(𝒙) 𝒙  𝒍𝒏(𝒙𝒓 ) = 𝒓 𝒍𝒏(𝒙) 𝒍𝒏(𝒆) = 𝟏 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏

+

( 𝒙, 𝒚 ∈ ]𝟎, +∞[ )

𝒚 𝟏



+∞

𝒓∈ℚ 𝒍𝒏(𝒆𝒓 ) = 𝒓

𝒓∈ℚ

𝒍𝒏(𝒙) = 𝒓 ⟺ 𝒙 = 𝒆𝒓

Les limites : 𝒍𝒊𝒎 𝒍𝒏(𝒙) = −∞

𝒍𝒊𝒎 𝒍𝒏(𝒙) = +∞

𝒙→𝟎+

𝒙→+∞

𝒍𝒏(𝒙) =𝟎 𝒙→+∞ 𝒙

𝒍𝒊𝒎+𝒙𝒍𝒏(𝒙) = 𝟎

𝒍𝒊𝒎

𝒙→𝟎

𝒍𝒊𝒎+𝒙𝒏 𝒍𝒏(𝒙) = 𝟎

𝒙→𝟎

𝒏 ∈ ℕ∗

𝒍𝒊𝒎

𝒍𝒏(𝒙)

𝒙→+∞ 𝒙𝒏

𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) =𝟏 𝒙→𝟎 𝒙 La dérivation :

=𝟎

𝒏 ∈ ℕ∗

𝒍𝒏(𝒙) =𝟏 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏

𝒍𝒊𝒎

𝒍𝒊𝒎

Si 𝒖 est dérivable sur un intervalle 𝑰 et ne s’annule pas sur 𝑰 alors la fonction 𝒙 → 𝒍𝒏|𝒖(𝒙)| est dérivable sur 𝑰 et on a :

′

(𝒍𝒏|𝒖(𝒙)|) =

𝒖′ (𝒙) 𝒖(𝒙)

La fonction logarithme de base 𝐚 :

Définition

𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒙) =

𝒍𝒏(𝒂)

𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒂) = 𝟏

Résultats Logarithme décimal

𝒍𝒏(𝒙)

avec 𝒂 un réel strictement positive et différent de 𝟏

𝒍𝒐𝒈𝒆 (𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙)

𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒂𝒓 ) = 𝒓

Est La fonction logarithme de base 𝟏𝟎 , on la note 𝒍𝒐𝒈 

[email protected]

𝒍𝒐𝒈(𝒙) =

𝒍𝒏(𝒙)

𝒍𝒏(𝟏𝟎) 29

𝒍𝒐𝒈(𝟏𝟎𝒓 ) = 𝒓 +212676453608

les nombres complexes

LAGDEM Mohamed

2BACS-2020/2021

L’ensemble ℂ-L’écriture algébrique :  L’ensemble des nombres complexes noté ℂ  Tout élément 𝒛 de ℂ s’écrit d’une manière unique 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 ∀(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐 tel que 𝒊𝟐 = −𝟏  L’écriture 𝒙 + 𝒊𝒚 appelée la forme algébrique de 𝒛  Le nombre 𝒙 appelé la partie réel de 𝒛 et noté 𝑹𝒆(𝒛)  Le nombre 𝒚 appelé la partie imaginaire de 𝒛 et noté 𝑰𝒎(𝒛) 𝑹𝒆(𝒛) = 𝑹𝒆(𝒛′ )  Si 𝑰𝒎(𝒛) = 𝟎 alors 𝐳 est un réel ′ 𝒛=𝒛 ⟺ { 𝑰𝒎(𝒛) = 𝑰𝒎(𝒛′ )  Si 𝑹𝒆(𝒛) = 𝟎 et 𝑰𝒎(𝒛) ≠ 𝟎 alors 𝒛 est un imaginaire pur La représentation géométrique d’un nombre complexe ⃗ ,𝒗 ⃗) le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑶, 𝒖 soit 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 un nombre complexe tel que (𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐  Le point 𝑴(𝒙, 𝒚) appelé image de 𝒛 noté 𝑴(𝒛)  Le nombre 𝒛 appelé affixe de 𝑴 et noté 𝐳𝐌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )  Le nombre 𝒛 appelé affixe de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 et noté 𝒛 = 𝒂𝒇𝒇(𝑶𝑴  L’affixe de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 est 𝒛⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 = 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 La relation complexe 𝒛𝑨 + 𝒛𝑩 𝒛𝑰 = 𝟐 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 ∈ℝ 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨

La notion 𝑰 le milieu de [𝑨𝑩] 𝑨 et 𝑩 et 𝑪 points alignés

Le conjugué d’un nombre complexe soit 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 un nombre complexe tel que (𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐 Définition

 le conjugué de 𝒛 est le nombre complexe 𝒛̅ = 𝒙 − 𝒊𝒚

Propriétés

̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝒛 + 𝒛′ = 𝒛̅ + 𝒛̅′ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝒛 × 𝒛′ = 𝒛̅ × 𝒛̅′ 𝒏 =𝒛 ̅̅̅ ̅𝒏 𝒛 𝒏 ∈ ℕ∗ ̅̅̅̅ 𝟏 𝟏  ( )= 𝒛≠𝟎 𝒛 𝒛̅ ̅̅̅̅̅ 𝒛 𝒛̅  ( ′) = ̅′ 𝒛′ ≠ 𝟎

   

  

𝒛



𝒛 un nombre réel ⟺ 𝒛̅ = 𝒛 𝒛 un imaginaire pur ⟺ 𝒛̅ = −𝒛 𝒛 + 𝒛̅ = 𝟐𝑹𝒆(𝒛) 𝒛 − 𝒛̅ = 𝟐𝒊 𝑰𝒎(𝒛) 𝒛𝒛̅ = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

𝒛

Le module d’un nombre complexe Soit 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 un nombre complexe tel que (𝒙, 𝒚) ∈ ℝ𝟐

Définition

Le module de 𝒛 est le nombre réel positive |𝒛| = √𝒛𝒛̅ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

[email protected]

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+212676453608

Propriétés

|𝒛 × 𝒛′ | = |𝒛| × |𝒛′ | |𝒛̅| = |𝒛|

|𝒛𝒏 | = |𝒛|𝒏 |−𝒛| = |𝒛|

| ′| = |𝒛′ |

| | = |𝒛|

|𝒛|

𝒛

𝟏

𝒛

|𝒛| = 𝑶𝑴

𝟏

𝒛

La distance 𝑨𝑩 𝑨𝑩 = |𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 | L’argument d’un nombre complexe-la forme trigonométrique L’argument de 𝒛 est tout mesure en radians de l’angle ⃗̂ orienté (𝒖 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐎𝐌) (𝑴 est l’image de z ) et noté 𝒂𝒓𝒈(𝒛)

Définition

𝒂𝒓𝒈(𝒛) = 𝜽[𝟐𝝅]

𝒛 ∈ ℝ∗+ ⟺ 𝒂𝒓𝒈(𝒛) ≡ 𝟎[𝟐𝝅] 𝝅 𝒛 ∈ ℝ∗+ ⟺ 𝒂𝒓𝒈(𝒊𝒛) ≡ [𝟐𝝅]

cas particulières

𝟐

𝒛 ∈ ℝ∗− ⟺ 𝒂𝒓𝒈(𝒛) ≡ 𝝅[𝟐𝝅] −𝝅 𝒛 ∈ ℝ∗− ⟺ 𝒂𝒓𝒈(𝒊𝒛) ≡ [𝟐𝝅] 𝟐

𝒛 −𝒛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂ (𝑨𝑩 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐂𝐃) = 𝐚𝐫𝐠( 𝑫 𝑪 )[𝟐𝝅]

⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗̂ Mesure de l’angle(𝑨𝑩 , 𝐂𝐃

𝒛𝑩 −𝒛𝑨

Soit 𝒛 un complexe 𝒂𝒓𝒈(𝒛) = 𝜽[𝟐𝝅] et |𝒛| = 𝒓 La forme trigonométrique

La forme exponentielle

 La forme trigonométrique de z est : 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜽)

Soit 𝒛 un complexe 𝒂𝒓𝒈(𝒛) = 𝜽[𝟐𝝅] et |𝒛| = 𝒓 La forme exponentielle de 𝒛 est : 𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝜽

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊é𝒕é𝒔

𝒓𝒆𝒊𝜽 = [𝒓, 𝜽]

 ̅̅̅̅̅̅ 𝒓𝒆𝒊𝜽 = 𝒓𝒆−𝒊𝜽

 𝒂𝒓𝒈(𝒛̅ ) ≡ −𝒂𝒓𝒈(𝒛)[𝟐𝝅]

 −𝒓𝒆𝒊𝜽 = 𝒓𝒆𝒊(𝝅+𝜽)

 𝒂𝒓𝒈(−𝒛) ≡ 𝝅 + 𝒂𝒓𝒈(𝒛)[𝟐𝝅]

 𝒓𝒆𝒊𝜽 × 𝒓′ 𝒆𝒊𝜽 = 𝒓𝒓′ 𝒆𝒊(𝜽+𝜽 )

 𝒂𝒓𝒈(𝒛𝒛′ ) ≡ (𝒂𝒓𝒈(𝒛) + 𝒂𝒓𝒈(𝒛′ ))[𝟐𝝅]

 (𝒓𝒆𝒊𝜽 )𝒏 = 𝒓𝒏 𝒆𝒊𝒏𝜽

 𝒂𝒓𝒈(𝒛𝒏 ) ≡ 𝒏 𝒂𝒓𝒈(𝒛)[𝟐𝝅]

′





[email protected]

 Autre notation

𝟏 𝒓𝒆𝒊𝜽

′

𝟏

 𝒂𝒓𝒈 ( ) ≡ −𝒂𝒓𝒈(𝒛)[𝟐𝝅]

𝟏

= 𝒆−𝒊𝜽

𝒓𝒆𝒊𝜽 ′ 𝒓′ 𝒆𝒊𝜽

𝒛

𝒓

=

𝒓

𝒛

 𝒂𝒓𝒈 ( ′) ≡ 𝒂𝒓𝒈(𝒛) − 𝒂𝒓𝒈(𝒛′ )[𝟐𝝅]

′

𝒆𝒊(𝜽−𝜽 ) ′

𝒛

𝒓

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+212676453608

Formules d’Euler

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

𝒆𝒊𝜽 + 𝒆−𝒊𝜽 𝒆𝒕 𝟐

𝒔𝒊𝒏 𝜽 =

𝒆𝒊𝜽 − 𝒆−𝒊𝜽 𝟐𝒊

(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝒏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝜽 Formule de Moivre :

𝒏

(𝒆𝒊𝜽 ) = 𝒆𝒊𝒏𝜽

Points cocyclique 𝑨 et 𝑩 et 𝑪 et 𝑫 des points cocyclique si

L’ensemble des points M(z) qui vérifient |𝒛 − 𝒛 𝑨 | = 𝒓 ⟺ 𝑨𝑴 = 𝒓 |𝒛 − 𝒛𝑨 | = |𝒛 − 𝒛𝑩 |

𝒛𝑫 −𝒛𝑨 𝒛𝑩 −𝒛𝑨

×

𝒛𝑩 −𝒛𝑪 𝒛𝑫 −𝒛𝑪

∈ℝ

La notion géométrique Cercle de centre 𝑨 et de rayon 𝒓 la médiatrice de [𝑨𝑩]

⟺ 𝑨𝑴 = 𝑩𝑴 Nature du triangle

𝝅 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒓𝒆±𝒊𝟐 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒆𝒊𝜽 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨 𝝅 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒆±𝒊𝟐 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨 𝝅 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨 = 𝒆±𝒊𝟑 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨

𝑨𝑩𝑪 triangle rectangle en 𝑨 𝑨𝑩𝑪 triangle isocèle en 𝑨 𝑨𝑩𝑪 triangle isocèle et rectangle en 𝑨 𝑨𝑩𝑪 triangle équilatérale

Résolution de l’équation 𝐚𝐳 𝟐 + 𝐛𝐳 + 𝐜 = 𝟎 ( a et 𝐛 et 𝐜 des réels) L’équation 𝒂𝒛𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎

L’équation 𝒛𝟐 = 𝒂

Solutions

𝒛∈ℂ

𝒂 ≠ 𝟎 et 𝒛 ∈ ℂ 𝟐

𝒂>𝟎

𝑺 = {−√𝒂; √𝒂}

∆> 𝟎

𝒂=𝟎

𝑺 = {𝟎 }

∆= 𝟎

𝒂