Sujet de Preparation 2 Maths 2 Bac SM [PDF]

Zitiervorschau

@@Ëíšíà@ Exercice (1)

( ( ) )

2012-2013

(M ( ℝ ) , +, ×) est un anneau unitaire .

On rappel que M 2 ℝ , +,i est un espace vectoriel réel et

2

   x + y 3y   1 3 On considère l’ensemble E = M x , y =   / x , y ∈ ℝ2  on pose J =    −y x − y   −1 − 1       

( )

( )

( ) b) montrer que ( E , +,i ) est un espace vectoriel puis déterminer sa dimension

1) a) montrer que E , + est un groupe commutatif

2

2) calculer J et J

n

( )

puis déterminer les coordonnées de I + J + J 2 + ..... + J n dans la base I , J

(

( ) ) f (M ) = x + i y a) montrer que f est un isomorphisme de ( E , × ) vers ( ℂ,× ) b) déduire la structure de ( E , +, × )

3) soit f l’application de E vers ℂ telle que : ∀M x , y ∈ E

2

 2 n  déterminer A en fonction de I et J 4) on pose A = M  1,  2   

(I )

Exercice (2) Soit m un nombre complexe . on considère dans ℂ l’équation :

(E )

( 1) a) vérifier que ∆ = ( 2im + 4 + i ) b) résoudre l’équation ( E )

)

(

)

(

)

Z 2 − 2m + 5i Z + 2m 2 + 1 + i m − 2 5 + i = 0 2

( )

2) déterminer m pour que les solutions de E soient confondues et donner cette solution w   II le plan P est muni d’un repère orthonormé O, u, v . on considère les points M m ;

( )

( ) M ' (Z ' = (1 + i ) m + 2 + 3i ) 1) a) montrer que :

(

(

)

(

et M '' Z '' = 1 − i m − 2 + 2i

)

( )

)

( M , M ' et M " alignés ) ⇔ ( Im (m ) = 2 ) ( )

b) déduire l’ensemble des points M ' Z ' pour que M , M ' , M " soient alignés 2) soit S l’application du plan qui associer M au point M ' et S ' qui transforme M au point M " a) montrer que S est le composé d’une homothétie et une rotation en donnant leurs éléments caractéristiques b) montrer que S ' S est une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport 3) soit f l’application qui lie M ' au point M " a) montrer que f est une rotation en donnant l’affixe de son centre Ω et une mesure de son angle b) soit I le milieu du M ' M "  et T l’application qui transforme M en I . monter que T est une translation et déterminer son vecteur

( ) (

)

c) on suppose que M ' ≠ Ω . montrer que ΩI et M ' M " sont perpendiculaire

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(

1) montrer par récurrence que ∀n ≥ 3 2) on considère dans ℕ* l’équation

()

a) résoudre I

(I )

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exercice (3) 2 >n

)

n −1

x n −1 = n

pour n = 1 et pour n = 2

b) déterminer l’ensemble des solutions pour n ≥ 3

( )

3) on considère dans ℕ* × ℕ* l’équation E

a b = ba

p a ⇔ p b

a) soit p un entier naturel premier . montrer que :

b) on suppose a ≠ b et soit p un diviseur premier de a et de b

(i )

α l’exposant de p dans la décomposition en nombre premier de a et β celle de p dans la

décomposition en nombre premier de b . montrer que αb = β a

(ii ) montrer que b a ou (iii ) on suppose que a b

a b

( )

déterminer les solutions de l’équation E Exercice (4) x

( ) ∫

2

On considère la fonction G définie sur ℝ par : G x =

1 + 4t 2

0

dt

( )

1) a) montrer que G est dérivable sur ℝ et calculer sa dérivée G ' x b) montrer que G est impaire 1 2) a) montrer que ∀t ≥ 0 ≤ 1 + 2t

(

)

( )

1 1 + 4t 2

b) déduire lim G x x→+∞

(

3) a) montrer que ∀t ≥ 1

(

)

(

1 + 4t 2 ≥ 1 + t

) ( )

()

)

2

(

b) déduire que ∀x > 1 G x ≤ G 1 − ln 4 + 2 ln x + 1

( )

)

c) étudier la branche infinie de la courbe ΓG au voisinage de + ∞ 4) a) montrer que G est bijective de ℝ vers ℝ b) soit F la réciproque de G .

(

)

( )

( )

1 2 1 + 4F x 2 c) montrer que F est deux fois dérivable sur ℝ et que F " x − F x = 0

montrer que F est dérivable sur ℝ et ∀x ∈ ℝ F ' x =

()

d) calculer F ' 0

;

( ) ( ) F ( 0 ) puis déterminer F ( x ) et G ( x ) en fonction de x

exercice (5) pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 .

( )

(

)

( )

on définie la fonction fn sur 1, + ∞  par : fn x = ln x − 1 + Pn x  

k =n

( ) ∑ xk

avec Pn x =

k =1

k

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1) a) étudier le sens de variation de Pn sur 1, + ∞    b) étudier le signe de fn +1 x − fn x sur 1, + ∞   

( )

(

( )

)

( )

xn et donner le tableau de variation de fn x −1 2) a) montrer que l’équation fn x = 0 admet une seul solution bn

c) montrer que ∀x ∈ 1, + ∞   

( )

b) montrer que la suite bn

( )

n

fn/ x =

( )

est décroissante et qu’elle est convergente

on donne 1 < b2 < 1,2

3) tracer la courbe C 2

4) soit p un entier de ℕ* .

(

a) montrer que ∀p ∈ ℕ*

) ∫ x1 dx ≤ p1

( ∀n ≥ 2 )

b) montrer que

p +1

p

(

)

()

ln n + 1 ≤ Pn 1

 1  fn  1 + b =1  > 0 puis montrer que nlim →+∞ n n + 1   1  / 5) a) étudier le sens de variation de fn +1 sur l’intervalle 1,1 +  n + 1 

(

c) déduire que ∀n ≥ 2

)

b) en utilisant le théorème des accroissements finies à fn +1 sur bn +1, bn  montrer que :

(

)(

)

bn +1 − 1 ≤ n + 1 bn − bn +1 ≤ bn − 1

c) déduire un encadrement du nombre b3