Livre Du Professeur Maths Terminale S [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre

1

Fonction exponentielle

1.  Page d’ouverture

• Énigme ✱ Pour tout nombre entier n, Pn est la puissance d’un disque dur en janvier de l’année de rang n sachant qu’en 2011 P0 = 4 To. 2

n

On a Pn = 2 3 P0. Pour 2014, n = 3 P3 = 4 P0 = 16 To Pour 2023, le rang est 12 P12 = 28 × P0 = 256 × 4 To P12 = 1 024 To

Énigme ✱✱ 100 2E 100 2 Ê 50 ˆ  2,25 E Remboursement tous les 6 mois :  Á1  Ë 100 ˜¯  Remboursement tous les n-ième de l’année : n Ê 100 ˆ n Á ˜ Ê 1ˆ n ÁË1  ˜  Á1  ˜ . 100 ¯ n¯ Ë n Ê 1ˆ u est la suite définie sur * par un  Á1  ˜ . n¯ Ë On saisit u dans la calculatrice afin d’obtenir un tableau de valeurs de la suite. Remboursement sur 1 an :  1 

Sur un écran calculatrice, il semble que la banque ne puisse pas récupérer en un an, 3 E.

2.  Vérifier les acquis 1 Réponse a : f est dérivable en 1 et le nombre dérivé de f en 1 est – 1. 2 f ¢(1) est égal au coefficient directeur de la tan2 gente T. f ¢(1)  3

1. a) x a 2 x 1 b) x a - 2 (avec x ≠ 0) x

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3

c)  x a 3 x 2 1 d) x a (avec x > 0) 2 x 2. a) f ¢( x )  6 x 2 - 5 1 b) g ¢( x )  1  2 x 3 c) h ¢( x )  pour x > 0 2 x

a) Pour tout x > 0, 1 f ¢( x )  2 ¥ x  ¥ (2 x - 1) 2 x 2x - 1 f ¢( x )  2 x  2 x 4x 2x - 1 f ¢( x )   2 x 2 x 6x - 1 f ¢( x )  2 x - 3( x  1) - 1 ¥ (1 - 3 x ) b)  g ¢( x )  ( x  1)2 - 3x - 3 - 1  3x g ¢( x )  ( x  1)2 -4 g ¢( x )  ( x  1)2 2 1 c)  h ¢( x )   2 ( x - 1) 2 ( x - 1)2 - 4 h ¢( x )  2( x - 1)2 ( x - 1 - 2)( x - 1  2) h ¢( x )  2( x - 1)2 ( x - 3)( x  1) h ¢( x )  2( x - 1)2 4

5 f est dérivable sur , et f ¢( x )  10 x - 3 f ¢(2)  17 f (2) = 16 T : y  f ¢(2)( x - 2)  f (2) T : y  17 x - 18 6 a) f est une fonction dérivable sur I. Si la dérivée est positive sur I, alors la fonction f est croissante sur I. Si la dérivée est négative sur I, alors la fonction f est décroissante sur I. Si la dérivée est nulle pour toutes valeurs de I alors la fonction f est constante sur I. b) g est dérivable sur . g ¢( x )  6 x 2 - 6 x g ¢( x )  6 x( x - 1)

x g¢ g

–∞

0 +

0 1

+∞

1 –

0

+

0

5

• Activité 1

uuur ur 1 a) NON Pour a = 1, MH uuur = i ur Pour a = 2, MH = 1, 5 i uuur ur b) f(x) = (x + 1)3 : NON Pour a = 0,5, MH = 0, 5 i 1 f ( x)  2  NON x 1 ur Pour a = – 1,  MH = i ur Pour a = – 0,5,  MH = 1, 25 i 2 a) Pour tout réel a, tel que f ¢(a) ≠ 0 M = Ta ∩ (Ox) ⇔ M(xM ; O) Ta a pour équation y = f ¢(a) (x – a) + f(a) f ¢(a) (xM – a) + f(a) = 0 f (a) xn – a = –   f ¢(a) ≠ 0 f ¢( a ) f (a) xn = a – f ¢( a ) uuur ur b) (1) : MH  i € xH – xM  1 f (a) €a–a  1 avec f ¢( a )  0 f ¢( a ) uuur ur MH  i € f ( a )  f ¢( a ) c) On saisit le point de coordonnées (a ; xuuur ) MH P décrit la droite d’équation y = 1

• Activité 2 a) m(x) = u(x) ¥ v(x) avec u(x) = exp(x) et v(x) = exp(– x) = u(– x) dérivables sur  (activité 1 et cadre info). Pour tout réel x, u¢(x) = u(x) = exp(x) et v¢(x) = – u¢(x) = – u(– x) = – exp(– x) m¢(x) = u¢(x) v(x) + u(x) v¢(x) = exp(x) exp(– x) + exp(x) [– exp(– x)] m¢(x) = 0 b) Pour tout réel x, m(x) = k constante réelle libre et m(0) = exp(0) ¥ exp(0) = 1 = k, d’où k = 1 Pour tout réel x, m(x) = 1. c) Pour tout réel x, exp(x) exp(– x) = 1 ≠ 0 ⇔ exp(x) ≠ 0

4.  Pour s’exercer a) f est dérivable sur  donc g l’est aussi et 1 1 g ¢( x )  f ¢( x )  f ( x )  g( x ) 2 2 1 1 g( 0)  f ( 0)  ¥ 2  1 2 2 b) D’après le a), g( x ) = exp( x ) c) f ( x ) = 2 g( x ) = 2exp( x ) 3

4 On pose g la fonction définie sur  par g(x) = 3 f(x) g est dérivable sur  et pour tout x ∈ : g¢(x) = 3 f ¢(x) = 3 f(x) = g(x)

6

1 g(0) = 3 f(0) = 3 ¥ = 1 3 g(0) = 1 g est donc dérivable sur  telle que g¢ = g et g(0) = 1 Pour tout x ∈, g(x) = exp(x) 1 1 donc f ( x ) = g( x ) = exp( x ) 3 3 5 a) f est dérivable sur  f ( x )  exp( x )  exp(– x ) f ¢( x )  exp( x ) - exp( - x ) De même, g est dérivable sur . g’(x) exp( x )  exp( - x ) b) f ( x )  exp( x )  exp( - x ) 1 exp( x )2  1 f ( x )  exp( x )   exp( x ) exp( x ) 2 Èexp( x )˘˚ - 1 (exp( x ) - 1)(exp( x )  1)) g( x )  Î  exp( x ) exp( x ) f 2 ( x ) - g2 ( x ) 2 2  ÎÈexp( x )  exp( - x )˘˚ - ÈÎexp( x ) - exp( - x )˘˚

 exp( x )  2 exp( x )exp( - x )  exp( - x ) 2

2

- exp( x )  2 exp( x )exp( - x ) - exp( - x )  4 2

6

2

A=  exp(2x – 1) ¥ exp(3 – 2x) = exp(2x – 1 + 3 – 2x) = exp(2)

9 a) e 6 x  3( -6 x )  e3 b) 1  e -2 x c) e 4 x - 2 x -1  e2 x -1 10 a) (ex)5 ¥ e–2x = e5x ¥ e–2x = e5x – 2x = e3x e2 x + 3 b)  2 x –1 = e2x+3 – (2x–1) = e2x+3 – 2x+1 = e4 e e x + e– x c)  = (ex + e–x) ¥ ex = ex ¥ ex + e–x ¥ ex = ex+x + e–x+x e– x = e2x + e0 = e2x + 1 11 e x ¥

e –2 x

1– 1  e– x

e2 x – 1 2x  e x ¥ ex e 1 ex 2 e x –1 ex e2 x – 1  ex ¥ ¥ x  x 2 x e e 1 e 1

e x - 1 e- x 1 - e- x ¥ -x  ex  1 e 1  e- x e2 x ex - 1 - e -2 x ¥ 2 x  2 x e e

12 a) 

b) e - x

e2 x – 1 e2 x  1 x e –1 ex – 1 2 x 2 x 2f ( x ) e 1  e 1  2 ( e x – 1)2 1  [f ( x )]2 Ê e x – 1ˆ 1 x 1 Á x ( e  1)2 ˜ Ë e  1¯ 13 Pour tout réel x,  f (2 x ) 

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3.  Activités d’approche

2( e x – 1) ¥ ( e x  1) 2[( e x )2 – 1]  x 2 x 2 ( e  1)  ( e – 1) e2 x  2 e x  1  e2 x – 2 e x  1 2 x e -1  2x  f (2 x ) e 1



14 e x – 2  e – x 

( e x )2 – 2e x  1 ( e x – 1)2  0 ex ex

15

18 a) Pour tout réel x, f ¢( x )  - e - x  0. Donc f est une fonction décroissante sur . b) • lim - x   et lim e X    x Æ-

Donc lim e - x  

X Æ

x Æ-

• lim - x  - et lim e X  0 x Æ

Donc lim e - x  0 c) 

X Æ-

x Æ

x f(x)

–∞ +∞

+∞

21 f(x) = ex + e–x est dérivable comme une somme de deux fonctions dérivables sur . Pour tout réel x,  f ¢(x) = ex – e–x. f ¢(0) = 1 – 1 = 0  et  f(0) = 1 + 1. Une équation de la tangente à la courbe de f est y = 2. 24 Pour tout réel x : a) f ¢( x )  - 5e -5 x  4 b) g ¢( x )  4 e 4 x - 3 2 c) h ¢( x )  - 6 xe -3 x 2 d) k ¢( x )  (2 x - 3)e x - 3 x 25 a) x est un nombre réel, f ( x ) et g( x ) sont strictement positives f ( x)  1 équivaut à e x  1 soit x  0 g( x ) f est en dessous de g sur ]– ∞ ; 0 [ et au-dessus sur ]0 ; + ∞[ b) x est un nombre réel, f ( x ) et h( x ) sont strictement positives f ( x) 2  1 équivaut à e x - 2 x  1, x( x - 2)  0 h( x ) f est en dessous de g sur ]0 ; 2[ et au-dessus sur ]– ∞ ; 0[ et sur ]2 ; + ∞[.

0

d) 

5.  Accompagnement personnalisé 26 1. 

6 5 y  ex

4

Les courbes de la fonction exponentielle et de g sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

3 2

19 a) 

1 –4

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b) La courbe de g admet pour axe de symétrie l’axe des ordonnées. c) Pour tout réel x,  g(– x) = e–x + ex = g(x) 20 1. f est dérivable sur  f ¢( x )  - e - x a) T0¢ : y  f ¢( x )( x - 0)  f ( 0) T0¢ : y  - x  1 b) T1¢ : y  - e -1( x - 1)  e -1 T1¢ : y  - e -1x  2e -1 2. T0¢ et T0 sont perpendiculaires comme le sont T1¢ et T1 T0 : y  x - 1 et T1 = yex donc 1 ¥ - 1  - 1 et - e -1 ¥ e  - 1

–3

–2

–1 O –1

1

2

3

2. a) x  1 Æ ex  e b) x  1 Æ ex  e c) Pour tout nombre réel x  0, ex  1. d) ex – 1  0 ⇔ ex  1 ⇔ x  0. 27 a) f est au-dessus de T0 sur . b) Pour tout nombre réel x, f ¢(x) = ex – 1 ex – 1  0 ⇔ ex  1 ⇔ x  0 Donc f est croissante sur [0 ; + ∞[ et décroissante sur ]– ∞ ; 0]. f admet donc un minimum f(0) = e0 – 1 = 0. Pour tout réel x, f(x)  0 ⇔ ex  x + 1.

7

28 Fonction x  ex

Fonction x  e–kx

Fonction 2 x  e–kx

0 a pour image 1 Fonction croissante Fonction décroissante Axe de symétrie Somme en produit

OUI OUI NON NON OUI

OUI NON OUI NON OUI

OUI NON NON OUI NON

29 1. a) e –a =

1 ea

b) ea ¥ eb = ea+b

ea d) (ea)n = ean = e a – b eb 2. (ex+2)2 ¥ e–4x = e2x+4 ¥ e–4x = e2x+4–4x = e–2x+4 Zoé ne connaît pas la propriétét algébrique 4 de la question 1. c) 

6.  Exercices d’application 30 a) Comme f est une fonction dérivable sur , la fonction g = – 2f est dérivable sur . Pour tout réel x, g¢(x) = – 2f ¢(x) Comme f ¢(x) = f(x), g¢(x) = – 2f(x) g¢(x) = g(x), donc g¢ = g. Ê 1ˆ b) g(0) = – 2 f(0) = – 2 ¥ Á – ˜ = 1. Ë 2¯ g(0) = 1 et g¢ = g Il existe une unique fonction g telle que, pour tout réel x,  g(x) = exp(x). 1 1 c) Pour tout réel x,  f(x) = – g(x), d’où f(x) = – exp(x) 2 2

1 f avec f dérivable sur , alors h est 5 dérivable sur  tel que h¢ = h et h(0) = 1, donc pour tout réel x, h¢(x) = exp(x). Donc f = 5 exp. 31 Comme h =

1 f dérivable sur  telle que : 4 1 1 h( 0)  – f ( 0)  – ¥ (– 4 )  1 et h¢ = h, 4 4 donc h = exp et f = – 4 exp. 32 h = –

1 33 h = f dérivable sur  telle que : 3 1 1 h( 0)  f ( 0)  ¥ 3  1 et h¢ = h, 3 3 donc h = exp et f = 3 exp. g est dérivable sur  comme le quotient de f deux fonctions dérivables sur  avec f ≠ 0 sur . Pour tout réel x, g ¢( x )f ( x ) – g( x )f ¢( x ) g( x )f ( x ) – g( x )f ( x ) h ¢( x )   0 f 2 ( x) f 2 ( x) h(x) = k avec k constante réelle libre 34 a) h =

35 1. T(0) = 55 exp (0) + 45.  T(0) = 100 °C. 2. a) T est une fonction dérivable sur  car exp est une fonction dérivable sur . 1 T(t) = 55 exp(at + b) + 45 avec a = – et b = 0. 5 Pour tout réel t, T¢(t) = 55 a exp(at + b) Ê 1ˆ Ê 1 ˆ T¢(t) = 55 ¥ Á – ˜ exp Á – t˜ Ë 5¯ Ë 5 ¯

Ê 1 ˆ T¢(t) = – 11 expÁ – t˜ est la vitesse de refroidissement. Ë 5 ¯ Ê 1 ˆ 45 – T(t) = – 55 expÁ – t˜ Ë 5 ¯ 45 – T(t) = 5 T¢(t) 1 T¢(t) = 45 – T(t ) 5 1 b) Le coefficient de proportionnalité est . 5 3. T(5) = 55 exp(– 1) + 45, d’où  T(5) = 65 °C. 36 1. q(0) = A exp(0) = A = 3,84 ¥ 10–5. 2. a) Coefficient directeur de T passant par A (0 ; 3,84 ¥ 10–5) et B (8 ¥ 10–4 ; 0) y – yB 3, 84 ¥ 10–5 a= A    a   – 0, 048 xA – xB – 8 ¥ 10–4

b) q(t) est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout t ∈ [0 ; + ∞[ : Ê- tˆ A q ¢(t )  - exp Á ˜ Ë t ¯ t c) q¢(0) = a = – 0,048 A –  – 0, 048 = – 0,048 t A 3, 84 ¥ 10–5 t   8 ¥ 10–4 0, 048 0, 048 Constante de temps : τ = 8 ¥ 10–4 t 8 ¥ 10–4  500 W τ = RC ⇔ R   C 1, 6 ¥ 10–4 Résistance ohmique : R = 500 W Ê ˆ t 3. i(t) = – 0,048 expÁ – .  i(0) = – 0,048. Ë 8 ¥ 10–4 ˜¯ 37 1. x(0) = – 4 2. a) Comme exp est une fonction dérivable sur , alors x(t) est une fonction dérivable sur [0 ; + ∞[. Pour tout réel t ∈ [0 ; + ∞[ : x¢(t) = u¢(t) v(t) + u(t) v¢(t) x¢(t) = 0,4 exp(ct) + (0,4 t – 4) ¥ c ¥ exp(ct) b) x¢(0) = 0 ⇔ 0,4 – 4 c = 0 4 c = 0,4 c = 0,1 c) x(t) = (0,4 t – 4) exp(0,1 t) 3. x(t) = 0 ⇔  (0,4 t – 4) exp(– 0,1 t) = 0 ⇔ 0,4 t – 4 = 0 ⇔ t = 10 s.

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Propriété

8

g( 0) 1 = = 1, d’où h(0) = 1 f ( 0) 1 g( x ) Pour tout réel x, h( x ) = 1 = , d’où g(x) = f(x) f ( x) Ce qui prouve l’unicité de f. b) h( 0) =

38 A = e5a+1 ¥ (e–a)5 = e5a+1 ¥ e–5a = e1 1 B  a  3 ( e – a )2 ¥ e3a 1  e – a – 3 ¥ e –2 a ¥ e3a 1 = e–2 e C = e0 ¥ e3a ¥ e2–3a ¥ e = e3a+2–3a+1 = e3

 1¸ S  Ì– ˝ Ó 4˛ 2 x d) e = ex+1 ⇔ x2 = x + 1 ⇔ x2 – x – 1 = 0 D=1+4=5 1– 5 1 5 x1  et x2  2 2 1 – 5 1  5 ¸ SÌ ˝ ; 2 ˛ Ó 2

39 a) Pour tout réel x, (ex – 1)(ex – 4) = (ex)2 – 4 ex – ex + 4 = e2x – 5 ex + 4 b) Pour tout réel x, (ex + e–x)2 – (ex – e–x)2 = (ex + e–x + ex – e–x)(ex + e–x – ex + e–x) = 2ex ¥ 2e–x = 4e0 = 4 c) Vrai, e–x(e2x – 1) = ex – e–x 40 a) Pourt tout réel x, 

b) Pour tout réel x,

2

e( x 1) ( x 1)2 –( x –1)2  e 4 x 2  e e( x –1) 2

3e – 2 x – 2 e – 3 x = 3e – 2 x – 41 Pour tout réel x,

e) e x = e–x–1 ⇔ x2 = – x – 1 ⇔ x2 + x + 1 = 0 D = – 3  0  Pas de solution f) (ex)2 – 2ex + 1 = 0 ⇔  (ex – 1)2 = 0 ⇔ ex – 1 = 0 ⇔ ex = 1 = ex ⇔ x = 0 S = {0}

2 3e x – 2 = e3 x e3 x

46 a)  e2x  1 = e0 b)  ex  e1 c)  ex  e–x 2x  0 x  1 x  – x x  0 S = ]1 ; + ∞[ 2x  0 S = ]– ∞ ; 0] S = ]– ∞ ; 0] 2 d) e – x  ex ⇔ – x2  x ⇔ x2 + x  0 ⇔ x(x + 1)  0

exp(2 x  1)2 – exp(– 2 x )





exp(5 x )

 exp(2 x  1) – exp(– x ) ¥ exp(–5 x ) 2

2

 ÎÈexp(2 x  1) – exp(– x )˘˚ ÎÈexp(2 x  1)  exp(– x )˘˚ 5 ¥ exp(– x )



x ¥2 e2

42 1. Pour tout réel x, e x  2. a)  1 x –∞ – f(x) 0

b) 

x –∞ (x – 1) ex f(x)



  0

0

+ –

0

x e2

2

+∞ + +∞

1 –



+ + +

43 a) Pour tout nombre réel x, ex + 2  0 est vrai. b) Pour tout nombre réel x, 2 2 2 2 f (– x )  f ( x )  – x    e  1 ex  1 1  ex ex  1 ex x x 2e 2 2e  2 2( e x  1)   x   2 x 1 e e  1 1 ex 1 ex c) La courbe de f admet le point (0 ; 1) comme centre de symétrie.

ex  x 2  e x . Faux. ex e x 1 e x 1 1 b)  x2 1  x 1 x  x . Faux. – x e – e e (e – e ) e – e– x 2

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44 a) 

45 a) e–2x = 0  Pas de solution b) ex+1 = 1 = ex ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = – 1  S = {– 1}

c) e–3x = ex+1 ⇔ – 3x = x + 1 ⇔ 4x = – 1 ⇔ x = –

1 4

x

x2 + x

–∞

–1 +

–

0

+∞

0 +

0

D’après le tableau de signes de x2 + x : x2 + x  0 sur ]– ∞ ; 1] ∪ [0 ; + ∞[ S = ]– ∞ ; 1] ∪ [0 ; + ∞[ e) (ex + 1)(e–3x – 1)  0 ⇔ e–3x – 1  0 ex + 1  0 sur  ⇔ e–3x  1 = e0 ⇔ – 3 x  0 ⇔ x  0 S = ]– ∞ ; 0[ 2 2 Ê 1ˆ Ê 1ˆ f) (ex)2  Á ˜ ⇔ (ex)2 – Á ˜  0 Ë e¯ Ë e¯ Ê x 1ˆ Ê x 1ˆ ⇔ Áe – ˜ Áe  ˜  0 e¯ Ë e¯ Ë x –1 ⇔ e – e  0 ⇔ ex  e–1 ⇔ x  – 1 S = ]– ∞ ; – 1] 47 a) e x –

1  0 ⇔ e2x – 1  0 ⇔ e2x  1 ⇔ 2x  0 ex ⇔x0

b) e3– x  – e2  0 ⇔ e6–2x  e2 ⇔ 6 – 2x  2 ⇔ x  2 2

48 a) Il semble que : 5 f(x)  0 sur ]– ∞ ; – ] ∪ [4 ; + ∞[ 2 5 f(x)  0 sur [–  ; 4] 2 2 2 b) f(x) = ex e x – x –12 – 1  0 ⇔ e x – x –12 – 1  0 2 ⇔ e x – x –12  1 = e0 ⇔ x2 – x – 12  0 ex  0 sur 

x –∞ x2 – x – 12

–3 +

0

+∞

4 –

0

+

D = 1 + 48 = 49 9

49 a) Pour tout nombre entier n, en2 2n2 un 1 en2 e2 n e3 n  2  e n 1  2 n  2 ¥ n 1  3n 3  e –1 e un e e e 2 n e u b) Pour tout nombre entier n, n +1  1 un

Pour tout nombre entier n, un  0 donc un+1  un. u est une suite décroissante. 50 a) Pour tout nombre entier naturel n : 2 2 2 2 vn 1 – vn  e –( n 1) – e – n  e – n – 2 n –1 – e – n

 e – n e –2 n –1 – 1 b) e  0 sur  e –2 n –1 – 1  0 ⇔ e –2 n –1  1 = e0 ⇔ – 2n – 1  0 1 ⇔ n  – donc e–2n–1 – 1  0 sur  2 Pour tout nombre entier n : vn+1 – vn  0 donc v est une suite strictement croissante. 2

–n2

51 f dérivable sur  et pour tout réel x : f ¢(x) = 1 ex + x ex + 3 f ¢(x) = ex (1 + x) + 3. 52 f(x) = u(x) ¥ v(x) avec u(x) = x2 – 3x + 1 et v(x) = e–x dérivables sur  donc f dérivable sur  et u¢(x) = 2x – 3 et v¢(x) = – e–x Pour tout réel x,  f ¢(x) = u¢(x) v(x) + u(x) v¢(x) f ¢(x) = (2x – 3) e–x + (x2 – 3x + 1)(– e–x) f ¢(x) = e–x (2x – 3 – x2 + 3x – 1) f ¢(x) = (– x2 + 5x – 4) e–x.

u( x ) 53 f ( x ) = avec u(x) = ex – e–x et v(x) = ex + e–x v( x ) dérivables sur  et v(x) ≠ 0 sur  donc f est dérivable sur  avec u¢(x) = ex + e–x = v(x) et v¢(x) = ex – e–x = u(x) u ¢( x ) v ( x ) – u( x ) v ¢( x ) Pour tout réel x,  f ¢( x )  v2 ( x) x – x x – x x ( e  e )( e  e ) – ( e – e – x )( e x – e – x ) f ¢( x )  e x  e– x 2 v 2 ( x ) – u2 ( x ) ÈÎv ( x ) – u( x )˘˚ ÈÎv ( x )  u( x )˘˚ f ¢( x )   v2 ( x) v2 ( x) – x x 2e ¥ 2e  v2 ( x) 4 f ¢( x )  e x  e– x 2

10

u( x ) avec u(x) = ex et v(x) = ex – x dérivables v( x ) sur  et v(x) ≠ 0 sur . (ex  x sur ) f est donc dérivable sur  et pour tout réel x : e x ( e x – x ) – e x ( e x – 1) f ¢( x )  ( e x – x )2 x e (– x  1) f ¢( x )  ( e x – x )2 54 f ( x ) =

55 f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 1 – x et v(x) = 2 – e–x dérivables sur  : f est donc dérivable sur  et pour tout réel x : f ¢(x) = – 1 (2 – e–x) + (1 – x)(e–x) f ¢(x) = – 2 + e–x + e–x – x e–x f ¢(x) = e–x (– x + 2) – 2 56 a) T1 et T2 parallèles. b) Coefficient directeur de T1 :  a = f ¢(0) f dérivable sur  comme le produit de deux fonctions dérivables sur . Pour tout réel x,  f ¢(x) = 1 ex + x ex et f ¢(0) = 1 Coefficient directeur de T2 : g(x) = u(x) + v(x) dérivable sur  avec u(x) = x2 et v(x) = ex dérivables sur . Pour tout réel x,  g¢(x) = 2x + ex et g¢(0) = 0 Comme f ¢(0) = g¢(0) alors T1// T2 57 a) f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = e2x et v(x) = – 2x + 3 dérivables sur , donc f dérivable sur . Pour tout réel x,  f ¢(x) = 2 e2x – 2 b) et c) 2 e2x – 2  0 ⇔ e2x  1 ⇔ 2x  0 ⇔ x  0 2 e2x – 2  0 sur ]0 ; + ∞[ 2 e2x – 2  0 sur ]– ∞ ; 0[

x f ¢(x)

–∞

+∞

0 –

f(x)

0

+

4

f(0) = e0 – 2 × 0 + 3 = 4 58 1. Il semble que : a) Le premier point d’intersection I1 (– 0,5 ; 0) ; Le deuxième point d’intersection I2 (1 ; – 2,5). b) f au-dessus de g sur ]– 0,5 ; 1[. f en dessous de g sur ]– ∞ ; – 0,5[ ∪ ]1 ; + ∞[. c) 

x g(x)

–∞

–2 1

1

+∞

– 2,5

2. f(x) = g(x) ⇔  – x2 ex = (x2 – x – 1) ex ⇔ x2 ex + (x2 – x – 1) ex ⇔ ex (2 x2 – x – 1) =0 ⇔ 2 x2 – x – 1 = 0, d’où ex  0 D=1+8=9

© Nathan. Hyperbole Term S

1– 7 1 7  – 3 et x2  4 2 2 D’après le tableau de signes : f(x)  0 sur ]– ∞ ; – 3] ∪ [4 ; + ∞[ f(x)  0 sur [– 3 ; 4] x1 

1– 3 1 1 1 = –  donc y1 = – e –0 ,5 = – 4 2 4 4 e 1 3 x2   1 donc y2 = – e 4 1 I1 (– 0,5 ; – ) et I2 (1 ; – e) 4 e 3. a) f(x) – g(x)  0 ⇔  ex (– x2 – x2 + x + 1)  0 ⇔ 2 x2 + x + 1  0 2 Le signe de – 2 x + x + 1 est donné dans le tableau cidessous. x1 =

x

–∞

– 2 x2 + x + 1

– –

1 2 0

+∞

1 +

–

0

1 f(x) – g(x)  0 sur ]–  ; 1[ 2 b) Ceci est cohérent avec le fait que f est au-dessus de 1 g sur ]–  ; 1[. 2 4. a) g(x) = u(x) × v(x) avec u(x) = x2 – x – 1 et v(x) = ex dérivable sur , donc g dérivable sur . Pour tout réel x,  g¢(x) =  (2x – 1) ex + (x2 – x – 1) ex = ex (x2 + x – 2) b) g¢(x) a le même signe que x2 + x – 2 donné dans le tableau ci-dessous. x –∞ g¢(x)

–2 +

–

0

+∞

1 0

+

x2 + x – 2 = 0

1– 3 1 3  – 2 et x2  – 1 2 2 c) Le signe de g¢(x) permet de dresser le tableau de variation de g ci-dessous. D = 9 donc x1  –

x

–∞

g(x)

–2 5 e–2

1

+∞

–e

g(1) = (1 – 1 – 1) e1 = – e. g(–2) = (4 + 2 – 1) e–2 = 5 e–2. 1 e– x 1   , donc  lim – x  0 , d’où x Æ – e

59 a) Pour tout réel x, ex =

Or lim e – x x Æ – lim e x  x Æ –

0

b)  lim f ( x )    et lim f ( x )  –  x Æ

x Æ –

60 a)  lim e – x    et lim e – x  0 © Nathan. Hyperbole Term S

x Æ –

x Æ

b)  lim e x  e – x    et lim e x  e – x    x Æ –

x Æ

c)  lim x (1  e – x )  –  et lim x (1  e – x )    x Æ –

x Æ

61 Il semble que : 1. a) L’axe des abcisses d’équation y = 0 est asymptote à la courbe de f en – ∞.

La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe de f en + ∞. b)  lim f ( x )  0 et lim f ( x )  1 x Æ –

x Æ

2. a) Comme lim e x  0, lim x Æ –

ex  0. 2

x Æ – e x

b) Pour tout réel x, 1 1 1 ex   x  x – x 2 e 2 1 2 e e 2 1 x x e e 1 f(x) = 1 + 2 e– x c) Comme lim e – x  0, alors lim f ( x )  1. x Æ

x Æ

62 1.  lim e x  0 donc lim f ( x )  0 x Æ –

x Æ –

2. a) Pour tout nombre réel x, 2 2 – 2 ex –   x  f ( x ). – x 1 1 e e 1 1 x e b)  lim e – x  0, donc lim f ( x )  - 2. x Æ

x Æ

–2  0 , donc la 1  e– x courbe de f est au-dessous de l’axe des abscisses. Pour tout nombre réel x, –2 – 2  2  2 e– x 2 e– x f ( x)  2  2  0 – x – x 1 e 1 e 1  e– x ⇔ f(x)  – 2, donc la courbe de f est au-dessus de la droite d’équation y = 2. 3. Pour tout nombre réel x, f ( x ) 

63 a) Pour tout nombre réel x,  f ¢( x ) 

xex (1  x )2

a ea ea ( x – a)  2 (1  a ) 1 a b) Ta passe par O si, et seulement si, a ea ea a2 e a ea 0 (– a )  €  (1  a )2 1 a (1  a )2 1  a 2 2 ⇔ a = 1 + a ⇔ a – a – 1 = 0. 1 – 5 1  5 ¸ SÌ ˝. ; 2 ˛ Ó 2 Équation de Ta : y 

64 f(x) = eu(x) a) Avec u(x) = – x2 – 3x dérivable sur , donc f dérivable sur . 2 f ¢(x) = u¢(x) eu(x) = (– 2x – 3) e – x – 3 x b) Avec u(x) = 1 – 3x dérivable sur , donc g dérivable sur . Pour tout réel x,  g¢(x) = – 3 e1–3x c) Avec u(x) = x3 – 0,01 x dérivable sur , donc h dérivable sur . 3 Pour tout réel x, h ¢( x )  (3 x 2 – 0, 01) e x – 0 ,01x 1 d) Avec u(x) = – x + x 4 dérivable sur , donc k dérivable 2 sur . Ê 1 ˆ – 1 x  x4 Pour tout réel x, k¢(x) = Á –  4 x 3 ˜ e 2 Ë 2 ¯

11

1 65 f(x) = eu(x) avec u(x) = dérivable sur ]0 ; + ∞[, donc x f dérivable sur ]0 ; + ∞[. 1 Pour tout réel x  0, u ¢( x )  – 2 x 1 1 f ¢( x )  – 2 e x x u( x) avec u(x) = e2x+1 et v(x) = e2x + 1 dériv( x ) vables sur  avec v(x) ≠ 0. Pour tout réel x, u¢(x) = 2 e2x+1 et v(x) = 2 e2x 2 e2 x 1 ( e2 x  1) – e2 x 1 ¥ 2 e2 x f ¢( x )  ( e2 x  1)2 2 e 4 x 1  2 e2 x 1 – 2 e 4 x 1  ( e2 x  1)2 2 x  1 2e f ¢( x )  2 x ( e  1)2

Les deux alliages ont même température à l’instant t = 5. b) 

66 f(x) =

68 a) f au-dessus de g sur l’intervalle ]– 3 ; 2[. f au-dessous de g sur l’intervalle ]– ∞ ; – 3[ ∪ ]2 ; + ∞[.

b) f(x) – g(x) = 0,1e x – 6 – 0,1e – x  0,1e – x ( e x – 6  x – 1) Comme 0,1 e–x  0, f(x) – g(x) a le même signe que 2 ex + x–6 – 1 2 2 e x  x – 6 – 1  0 € e x  x – 6  1  e0 € x2  x - 6  0 Le signe de x2 + x – 6 est donné par le tableau ci-dessous 2

x

x2 + x – 6

2

–∞

–3 +

0

+∞

2 –

0

69 1. a) T(0) = 19, 5 e –7.10 ¥ 0 - 10, 5  19, 5 – 10, 5 T(0) = 9 °C b) t = 60 × 24 = 1 440 –4 T(1 440) = 19,5 × e –7.10 ¥1440 – 10,5 T(1 440) ≈ – 3,4 °C –4 2.  lim e –7.10 t  0, donc lim T(t )  – 10, 5 –4

t Æ

La température a un comportement asymptotique en + ∞. 70 a) 

72 1. a) N0 = N(0) nombre d’œufs à l’instant t = 0. b) N(t) = 1 000 e–0,3t N(t) dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0 N¢(t) = – 300 e–0,3t  0 sur [0 ; + ∞[ • N est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[ • lim N(t )  0 t Æ

• Le nombre d’œufs décroit pour se rapprocher de 0. c) et d)  N(t) 1 000 1 740 548

1 N 2 0

406 301 223 122 96 165

+

donc f(x) – g(x)  0 sur ]– ∞ ; – 3[ ∪ ]2 ; + ∞[ f(x) – g(x)  0 sur ]– 3 ; 2[

t Æ

71 a) C(0) = 3 ¥ 10–2 mol.l–1 b) C(t) dérivable sur [0 ; + ∞[ Pour tout réel t  0, C¢(t) = – 2,37 ¥ 105 C(t) c) C¢(0) = – 2,37 ¥ 105 mol.l–1.s–1

100 O

1

t ≈ 2,3

49

11,1 15

2. a) L(0) = 1 000 ⇔ k1 + k2 = 1 000 L dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0, L¢(t) = – 0,2 k1 e–0,2t – 0,3 k2 e–0,3t L¢(0) = – 0,2 k1 – 0,3 k2 = 300 On obtient le système suivant : L1 k1  k2  1000 L1 k1  k2  1000 Ì– 2 k – 3 k  3 000 € Ì– k  5 000 L2 Ó L  2 L 2 1 2 2 1 Ó k2  – 5 000 Ìk  6 000 Ó1

Pour tout réel t  0, L(t) = 6 000 e–0,2t – 5 000 e–0,3t b) L est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel t  0 : L¢(t) = – 1 200 e–0,2t + 1 500 e–0,3t L¢(t) = – 300 e–0,2t (4 – 5 e–0,1t) 12

t

© Nathan. Hyperbole Term S

u( x) avec u(x) = 1 – e–x et v(x) = 1 + e2x dériv( x ) vables sur . Pour tout réel x, u¢(x) = e–x et v¢(x) = 2 e2x e – x (1  e2 x ) – (1 – e – x )(2 e2 x ) f ¢( x )  (1  e2 x )2 – x x e  e – 2 e2 x  2 e x  (1  e2 x )2 – 2 e2 x  3 e x  e – x f ¢( x )  (1  e2 x )2 67 f(x) =

Le temps de fusion pour la fonte 1 est de t = 5,77. Le temps de fusion pour la fonte 2 est de t = 6,265.

c) L¢(t) = 0 ⇔ 4 – 5 e–0,1t = 0 ⇔ e–0,1t =

76 1. Faux  2. Vrai  3. Vrai 4. Vrai  5. Vrai  6. Vrai

4 5

a ∈ ]2,2 ; 2,3[ – 300 e–0,2t  0 sur ]0 ; + ∞[ L¢ a le même signe que 4 – 5 e–0,1t 4 4 4 – 5 e–0,1t  0 ⇔ – e–0,1t  – ⇔ e–0,1t  = eα 5 5 ⇔ – 0,1t  α ⇔ t  – 10α donc  4 – 5 e–0,1t  0 sur ]– 10α ; + ∞[ L¢(t)  0 sur ]– 10α ; + ∞[ donc  4 – 5 e–0,1t  0 sur [0 ; – 10α[ L¢(t)  0 sur [0 ; – 10α[ Le signe de L¢ nous donne le tableau des variations de L ci-dessous sur [0 ; + ∞[. t L(t)

0

+∞

– 10a

1 000

73 1. f(0) = 170 – 150 = 20 °C. 2. a) f est dérivable sur [0 ; 1] et pour tout réel x ∈ [0 ; 1] : f ¢(x) = – 150 × (– 0,6) e–0,6x f ¢(x) = 90 e–0,6x  0 sur [0 ; 1]

x

0

f(x)

20

2

Ê 1ˆ 3 1 3 77 Partie A : 1. a) Á e x - ˜   e2 x - e x   2¯ 4 4 4 Ë  e2 x - e x  1  g( x ) b) Pour tout nombre réel x, g(x) > 0 2. a) ∆ = – 3 > 0 Donc pour tout nombre réel X, X2 – X + 1 > 0 (signe du coefficient de X2) b) Donc, pour tout nombre réel x, (ex)2 – ex + 1 > 0 Partie B : 1. a) f est dérivable sur ℝ 3e x ( e x  1) - e x (3e x ) f ¢( x )  1 ( e x  1)2 2 x 3e  3e x - 3e 2 x f ¢( x )  1 ( e x  1)2 ( e x  1)2 - 3e x f ¢( x )  ( e x  1)2 2 x e - ex  1 g( x )  x f ¢( x )  ( e x  1)2 ( e  1)2 b) Pour tout nombre réel x, f ¢( x )  0 car pour tout nombre réel x, g( x )  0 x f¢

f(1)

b) f(1) = 170 – 150 e–0,6  8,8 °C c)  0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

f

1

- 3-

20 28,7 36,9 44,7 52 58,9 65,3 71,4 77,1 82,5 87,7

d) 

a +

–5

3e - 5 e -5  1

0

5

7-

3e 5 e5  1

2. Pour tout x ∈ [–5 ; α[, f(x)  0 car la fonction est croissante sur [– 5 ; 5] De même, pour tout x ∈ [α ; 5], 0  f(x) 3. Avec la calculatrice, α ∈ [– 1,42 ; – 1,41]

y 90 80 60

78 1. a)  lim e - x  0

40

lim 2 - e - x  2

x Æ

x Æ

Donc lim f ( x )   

20 10 O

x Æ

0,1 0,2

0,4

0,6

0,8

1

x

e) 5 mètres.

7.  Objectif Bac © Nathan. Hyperbole Term S

74 1. a)   2. a)   3. b)   4. b)   75 1. L’affirmation est fausse car ( e1 )2 = e2 et e(1 ) = e 2. L’affirmation est vraie d’après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. 3. L’affirmation est fausse car le point de coordonnées (1 ; e1) n’appartient pas à la droite. 4. L’affirmation est fausse car f(0) = 2 et e2×0 = 1 2

b) f(x) – (2x – 2) = (x – 1)[(2 – e–x) – 2] = – e–x (x – 1) f(x) – (2x – 2) est du signe de 1 – x.  est au-dessus de ∆ sur [0 ; 1] et au-dessous sur [1 ; + ∞[. 2. a) f est dérivable sur [0 ; + ∞[. f ¢(x) = 1(2 – e–x) + e–x(x – 1) f ¢(x) = 2 – e–x + xe–x – e –x f ¢(x) = 2(1 – e–x) + xe–x b) Pour tout nombre réel x  0, –x  0 e–x  e0 –e–x  – e0 –x Donc 2(1 – e ) > 0 Pour tout nombre réel x  0, f ¢(x)  0 c) f(0) = – 1 13

3. 

x f ¢(x)

0

f(x)

–1

Pour k = 50 et n = 1, on obtient a = 46,3. Pour k = 25 et n = 2, on obtient a = 92,42.

+∞ + +∞

8.  Travaux pratiques

3 2

81 1. Pour tout nombre réel t  0, N¢(t) = – l × N0 e–lt = – l N(t). N vérifie donc la condition 1. 2. a) Comme l  0, N¢(t)  0 sur [0 ; + ∞[. b)  lim N(t )  0

A

1

O

1

2

3

4

5

6

7

c) 

xÆ

–1

t N(t)

–2

4. f ¢(x) = 2 xe–x + 2 – 2e–x = 2 xe–x – 2e–x = 0 e–x(x – 2) = 0 x = 2 car e–x > 0 Les coordonnées de A sont (2 ; 2 – e–2). 79 1. a) Q(0) = 1,8e–λ×0 = 1,8 Q¢(t) = –λ × 1,8e–λ×t = –λ Q(t) b) Q(1) = Q(0) × 0,7 = 1,8e–λ 0,7 = e–λ Avec la calculatrice, λ ≈ 0,356 7 2. a) 

3. 1. a) 

0 N0

+∞ 0

Carbone 14

N0 N € N0 e –0 ,121t  0 € e –0 ,121t  0, 5 2 2 t ≈ 5,71 milliers d’années 2.  Uranium-238 b) N(t ) 

t ≈ 4 444 444,4 milliers d’années Iode-131 b) La quantité de substance est réduite de moitié pour t ≈ 1,9 h. 80 1.  lim P( x )  0 x Æ

14

t ≈ 2,14.10–5 milliers d’années 82 1. a) 

© Nathan. Hyperbole Term S

Une épaisseur de plaque plastique acrylique infinie ne laisse plus passer la lumière. 2. a) x = 45 cm b) x = 80 cm 3. P(x) dérivable sur  et pour tout réel x  0, P¢(x) = – 1,5e–0,015x  0 P est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[. Le pourcentage de lumière traversant une plaque diminue avec des valeurs de x qui augmentent. 4. a) L’algorithme nous donne une valeur approchée de l’inéquation P(x)  k. b) 

b) Il semble que  est au-dessus de Ta 2. a) Ta a pour équation y = ea (x – a) + ea b) Pour tout nombre réel x, d¢(x) = ex – ea d¢(x)  0 ⇔ ex  ea ⇔ x  a d¢(x)  0 ⇔ ex  ea ⇔ x  a Donc d est strictement décroissante sur ]– ∞ ; a] et strictement croissante sur [a ; + ∞[. d admet un minimum d(a) = 0. c) Pour tout nombre réel x, d(x)  0 Donc  est au-dessus de Ta sur .

84 1. a) ( x 2 – 3 x + 1) e – x

2 + 3 x –1

  3 points

83 Partie A 1. a) b) 

(2 x + 1) e –2 x –1  1 point

La longueur OM est minimale pour a = – 0,44. Partie B 1. a) Pour tout nombre réel x, g¢(x) = 4 e2x + 2  0 sur . g est une fonction strictement croissante sur . b) α ≈ – 0,44. c) D’après les variations de la fonction g : • g(x)  0 sur ]– ∞ ; α[ ; • g(x)  0 sur [α ; + ∞[. 2. a) Pour tout nombre réel x, f ¢(x) = 2 e2x + 2x = g(x). f¢ a le même signe que g sur . f est une fonction : • strictement décroissante sur ]– ∞ ; α[ ; • strictement décroissante sur [α ; + ∞[. b) f admet un minimum f(α) ≈ 0,6. 2  y2  3. a) OM  xM x 2  ( e x )2  x 2  e2 x M

( x 2 + x + 2) e – x

2 – x –2

  1 point

© Nathan. Hyperbole Term S

b) OM est minimale signifie que la fonction x  x2 + e2x admet un minimum pour x = α. La valeur minimale de OM recherchée est f (a ) ª 0, 77. c) La tangente T0 a pour coefficient directeur m = ea La droite (OM0) a pour coefficient directeur yM ea ea e2 a m¢ =  0  . D’où m ¥ m ¢  ea ¥  xM0 a a a avec g(α) = 0 ⇔ 2 e2a + 2α = 0 ⇔ e2a = – 1. Conclusion : m × m¢ = – 1. 15

pas de solution (D = – 3  0) –1 u¢(x) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = 2 –1 1 x • e x 1 –1 u( x )   1 € x  1  u ¢( x )  2  0 x x • x e– x u(x) = x = 1 ⇔ x = 1 1 u ¢( x )  0 2 x 3 2 • ( x 3 + x 2 – 1) e – x – x +1 u(x) = x3 + x2 – 1 = 1 ⇔ x3 + x2 – 2 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + 2) = 0 ⇔ x = 1

–1

1 x e   1 point x

u¢(x) = 3x2 + 2x = 0 ⇔ x(3x + 2) = 0 ⇔ x = 0 et x =

x e – x   1 point

–2 3

9.  Exercices d’entraînement

( x 3 + x 2 – 1) e – x

3 – x 2 +1

  3 points

85 a) f(t) = u(t) × v(t) + 3,9 avec u(t) = – 3t + 0,1 et v(t) = e–5t dérivables sur [0 ; 2]. Donc f est dérivable sur [0 ; 2] et pour tout réel t ∈ [0 ; 2] : u¢(x) = – 3 et v¢(t) = – 5 e–5t –5t f ¢(t) = – 3 e + (– 3t + 0,1)(– 5 e–5) f ¢(t) = e–5t (15t – 3,5) b) e–5t  0 sur [0 ; 2] 15t – 3,5 = 0 15t = 3,5 3, 5 7 t= =  0,24 15 30 f(0) = 0,1 + 3,9 = 4 f ¢ a le même signe que 15t – 3,5

t

0

f ¢(t)

–

7 30 0

2 +

4

f(t)

f(2) = – 5,9 e–10 + 3,9  3,9 7 c) À t = , le plateau atteint sa côte minimal 3,713 1 cm. 30 d)  f(t)

• (x2 + x + 2) e – x – x – 2 u(x) = x2 + x + 2 = 1 ⇔ x2 + x + 1 = 0 2

16

4

3,78 3,71

3,88 3,89

3,84

3 2 1

O

1

2

t

© Nathan. Hyperbole Term S

b) Il semble que la tangente à  est horizontale lorsque u(x) = 1 et u¢(x) = 0. 2. a) f ¢ = u¢ e–u (1 – u) b) f ¢(x) = 0 ⇔ u¢(x) = 0 et u(x) = 1 2 c) • (x2 – 3x + 1) e – x + 3 x –1 u(x) = x2 – 3x + 1 = 1 ⇔ x(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 et x = 3 3 u¢(x) = 2x – 3 = 0 ⇔ x = 2 • (2x + 1) e–2x–1 u(x) = 2x + 1 = 1 ⇔ x = 1 u¢(x) = 2 ≠ 0

b) e –0 ,1x  e x ⇔  – 0,1x  x2 ⇔ x2 + 0,1x  0 ⇔ x(x + 0,1)  0

86 1. a) f dérivable sur + et pour tout réel t  0,

f ¢(t) = –

1 – t 100 e 2

 0 sur [0 ; + ∞[ f(t)

x –∞ x x + 0,1 x2 + 0,1x

+∞

0 220

t

f(0) = 220 b) 

2

°C

220 200

100 80 60 50°C 40 20 O

1

2

3

4

5

6

7

t = 7,65 cm Æ 3,82 h

c) 3 h 49 min 2. a) d0 = 78,7 °C ; d1 = 47,7 °C ; d2 = 28,9 °C. D’où dn = f(n) – f(n + 1) dn = 200 e dn

n 2

n – = 200 e 2

b) 

© Nathan. Hyperbole Term S

–

– 200 e

–

1 – 

n+1 2

1 – e 2

¥ e –3 x  1 € e x – 3 x –10  e 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0

D = 9 + 40 = 49 3–7 4 x1   –  –2 2 2 S = {– 2 ; 5}

0 0

+

+∞

0 –

0

+ –

0

+ + +

D’après le tableau de signes de x2 + 0,1x : S = ]– ∞ ; – 0,1[ ∪ ]0 ; + ∞[ c) e2x + ex – 2 = 0 En posant X = ex, l’équation devient X2 + X – 2 = 0 D=1+8=9 –1– 3 –1 3 X1 = = – 2  et X2  1 2 2 e x1 = – 2 impossible e x2  1 € x2  0 S = {0} d) e2x – (1 + e) ex + e  0 En posant X = ex, l’équation devient X2 – (1 + e) X + e  0 D = (1 + e)2 – 4e = 1 + 2e + e2 – 4e = 1 – 2e + e2 = (1 – e)2  0 1  e – ( e – 1) 1  e  e – 1 2e X1   1 et X2   e 2 2 2 Ce qui donne e x1  1 € x1  0 e x2  e € x2  1 X

–∞

1 +

0

+∞

e –

0

+

S = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[

c) n0 = 6 2 –10

– –

X2 – (1 + e) X + e

Entrer Saisir la diminution de la température voulue C Initialisation n prend la valeur 1 d prend la valeur d(0) Traitement Tant que d  C d prend la valeur d(n) n prend la valeur n + 1 Fin Tant que Sortie Afficher n – 1

87 a) e x

t

– 0,1

2

x2 

37 5 2

88 a) f(x) = u(x) ¥ v(x) avec u(x) = x – 2 et v(x) = ex dérivables sur  telles que u¢(x) = 1 et v’(x) = ex Pour tout réel x, f ¢(x) = ex (x – 2 + 1) f ¢(x) = ex (x – 1) f ¢(x) = 0 ⇔ ex (x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 f(1) = – 1 e1 = – e Conclusion : La tangente à  au point (1 ; – e) est parallèle à l’axe des abscisses. b) Raisonnons par l’absurde Si α = 1, alors f ¢(x) = 0, donc la tangente à  au point d’abscisse α est parallèle à (Ox), faux. Donc α ≠ 1. 1 c) f ¢(x) = 1 ⇔ eα (α – 1) = 1 ⇔ eα = a –1 d) α = 1,28 89 a) A(0 ; 2) ∈  ⇔ f(0) = 2 ⇔ b e0 = 2 ⇔ b = 2 B(2 ; 0) ∈  ⇔ f(2) = 0 ⇔ (2a + 2) e2 = 0 ⇔ 2a + 2 = 0 ⇔a=–1 f(x) = (– x + 2) ex b) Cherchons la hauteur h du profilé. f dérivable sur  et pour tout réel x : f ¢(x) = – 1 ex + (– x + 2) ex f ¢(x) = ex (– 1 – x + 2) f ¢(x) = ex (– x + 1) x f ¢(x) = 0 ⇔ e (– x + 1) = 0 ⇔ – x + 1 = 0 ⇔ x = 1 h = f(1) = (– 1 + 2) e1

17

90 Partie 1 u( x ) 1. A( x ) = v( x ) avec u(x) = 4x et v(x) = ex + 1 dérivables sur [0 ; + ∞[ telle que u¢(x) = 4 et v¢(x) = ex 4 ( e x  1) – 4 x e x Pour tout réel x  0,  A ¢( x )  ( e x  1)2 x x 4 ( e – x e  1) 4 g( x ) A ¢( x )   x ( e x  1)2 ( e  1)2 Comme (ex + 1)2  0 sur [0 ; + ∞[ : A¢(x) a le même signe que g(x) sur [0 ; + ∞[ 2.  0 x α +∞ – A¢(x) + 0

A(x) Partie 2

4x 1. Aire de OPMQ : x ¥ f ( x )  x maximale par x = α e 1 α  1,3 2. Coefficient directeur de (PQ) : yQ – yP f (a ) – 0 f (a ) 4    0–a –a – a ( ea  1) xQ – xP α vérifie g(α) = 0 ⇔ eα – α eα + 1 = 0 ⇔ eα + 1 = α eα. f (a ) 4 –4   2 a Donc a –a –a ¥ ae a e Coefficient directeur de T : f ¢(α) 1 f(x) = 4 × avec u(x) = ex + 1 dérivable sur [0 ; + ∞[ u( x ) telle que u¢(x) = ex. – 4 u ¢( x ) Pour tout réel x  0,  f ¢( x )  u2 ( x ) – 4 ex – 4 ex – 4 ea f ¢( x )  x f ( x )    donc  ¢ (aea )2 a 2 ea ( e  1)2 –4 f ¢( x )  2 a a e Conclusion : T et (PQ) sont parallèles pour M d’abscisse α. 91 Partie A 1. Il semble que : a) f strictement croissante sur . 1 b) T a pour équation y = x . 2 c) f est au-dessus de T sur ]– ∞ ; 0] ; f est en dessous de T sur [0 ; + ∞[.

Partie B

u( x ) avec u(x) = ex – 1 et v(x) = ex + 1 dérivables v( x ) sur  telles que u¢(x) = ex et v¢(x) = ex. e x ( e x  1) – ( e x – 1) e x Pour tout réel x,  f ¢( x )  ( e x  1)2 1. a) f(x) =

18

e2 x  e x – e2 x  e x ( e x  1)2 2e x  0 sur . f ¢( x )  x ( e  1)2 b) f est strictement croissante sur . 1 2. y = f ¢(0) (x – 0) + f(0), d’où y = x 2 2 2 1 f ¢(0) = 2 = = et f(0) = 0 2 4 2 3. a) Comme f est dérivable sur , pour tout réel x : 1 2e x 1 g ¢( x )  f ¢( x ) –  x – 2 2 ( e  1) 2 4 e x – ( e x  1)2 4 e x – e2 x – 2 e x – 1 g ¢( x )   2( e x  1)2 2( e x  1)2 2 x x – ( e – 2e  1) g ¢( x )  2( e x  1)2 – ( e x – 1)2 g ¢( x )  . 2( e x  1)2 b) g¢(x)  0 sur , donc g est strictement décroissante sur . c) g(0) = f(0) – 0 = 0 g(0) = 0  donc  g(x)  0 sur ]– ∞ ; 0[ g(x)  0 sur [0 ; + ∞[ x d) f(x)  sur ]– ∞ ; 0[ 2 x f(x)  sur [0 ; + ∞[ 2 f ¢( x ) 

92 1. a)   

b) Il semble que f admet un maximum f(0) = 1,5. u( x ) 2. a) f(x) = avec u(x) = e2x + ex + 1 et v(x) = e2x + 1 v( x ) dérivables sur . Donc f dérivable sur  et pour tout réel x, u¢(x) = 2e2x + ex et v¢(x) = 2e2x 2 x (2e  e x )( e2 x  1) – ( e2 x  e x  1) 2e2 x f ¢( x )  ( e2 x  1)2 2 e 4 x  2 e2 x  e3 x  e x – 2 e 4 x – 2 e3 x – 2 e2 x f ¢( x )  ( e2 x  1)2 3 x x x –e  e (– e )( e2 x – 1)  f ¢( x )  2 x ( e  1)2 ( e2 x  1)2 x b) • – e  0 sur  • e2x – 1 = 0 ⇔ e2x = 1 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 • (e2x + 1)2  0 sur  • e2x – 1  0 ⇔ e2x  1 ⇔ x  0 • e2x – 1  0 sur ]– ∞ ; 0[ x f ¢(x) f(x)

–∞

+∞

0 +

0 3 2

–

© Nathan. Hyperbole Term S

h = e u donc h = 10e  27,18 cm. Il faut à la société PROBOIS une section de 30 cm sur 27,18 cm pour débiter un profilé. Avec une planche de section 30 cm sur 300 cm, on peut débiter 11 profilés.

1 1 1 3  1 1 2 c) Le tableau de variation de f confirme l’existence d’un maximum f(0) = 1,5. 3 e2 x  e x  1 3 3. a) Pour tout réel x,  f ( x ) –  – 2 e2 x  1 2 2 e 2 x  2 e x  2 – 3e 2 x – 3 f ( x)  2( e2 x  1) 2 x – e  2e x – 1 f ( x)  2( e2 x  1) 3 – ( e x – 1)2 f ( x) –  2 2( e2 x  1) 3 b) f(x) –  0 sur  2 3 f(x)  sur  2 f(0) =

93 a) 

b) L’origine du repère est un centre de symétrie de la courbe de f. e– x – 1 c) Pour tout réel x,  f (– x )  – x – – x e 1 1 –1 x 1 – ex ex – 1 f (– x )  – x – e  –x–  – x  1 1  ex ex  1 1 ex ex – 1 – f ( x)  – x  x e 1 f(– x) = – f(x) d) Pour tout réel x, f(– x) = – f(x) confirme la conjecture émise.

© Nathan. Hyperbole Term S

94 f(t) = b ea(1–t) + 40 1. A(1 ; 5) ∈  ⇔ f(1) = 5 ⇔ b e0 + 40 = 5 ⇔ b = – 35 y – yA 40 – 5 35 Coefficient direction de (AB) : B = = xB – xA 10 – 1 10

f ¢(1) = 3,5  f dérivable sur [1 ; + ∞[. f(t) = – 35 eu + 40 avec u(t) = 0,1 – at dérivable tel que u¢(t) = – a. Pour tout réel t  1, f ¢(t) = – 35 × (– a) ea(1– t) f ¢(t) = 3,5 aca(1–t) f ¢(1) = 3,5 a = 3,5 ⇔ a = 0,1 f(t) = – 35 e0,1(1–t) + 40 2. a) f(5) = 16 b)  f (1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 5 + 8 + 11 + 14 + 16 = 54 pièces produites lors des 5 premiers jours. 3. a) Cet algorithme donne le nombre de pièces produites au bout de n jours.

b) 

Sur Casio

Pour N = 20 jours S = 481 pièces produites soit une production journalière de 24 pièces/jour. Pour N = 30 jours S = 850 pièces produites soit une production journalière de 28 pièces/jour fi L’apprenti n’atteindra pas la production moyenne journalière souhaitée par son entreprise. 95 Équation de la tangente T1, y = f ¢(–1,5) (x + 1,5) + f(1,5) au point d’abscisse – 1,5 f(x) = e–x dérivable sur  et pour tout réel x : f ¢(x) = – e–x  f ¢(– 1,5) = – e1,5  f(– 1,5) = e1,5 y = – e1,5 (x + 1,5) + e1,5 Pour atteindre une cible, y = 0 ⇔ x + 1,5 = 1, soit x = – 0,5. En a = – 1,5, le pilote atteint la cible 1. b) Pour atteindre la cible C5,  y = f ¢(a) (1,5 – a) + f(a) = 0 ⇔ – e–a (1,5 – a) + e–a = 0 ⇔ 1,5 – a = 1 ⇔ a = 0,5 Le pilote doit être en position a = 0,5 pour atteindre la cible 5. c) Pour atteindre la cible C3,  y = f ¢(a)(0,5 – a) + f(a) = 0 ⇔ – e–a (0,5 – a) + e–a = 0 ⇔ 0,5 – a = 1 ⇔ a = – 0,5 Le pilote doit être en position a = – 0,5 pour atteindre la cible 3. d) Pour atteindre une cible d’abscisse x par le pilote placé au point d’abscisse a : y = f ¢(a)(x – a) + f(a) = 0 ⇔ – e–a (x – a) + e–a = 0 ⇔ x – a = 1 ⇔ x = 1 + a ⇔ a = x – 1  abscisse du pilote. 96 1. a) Pour tout nombre réel x, e– x  e x ch(– x )   ch( x ) 2 b)  lim e x    et lim e – x  0, x Æ

x Æ

donc lim ch( x )    . x Æ

c) Pour tout nombre réel x, e x – e– x e2 x – 1 ch¢( x )   e– x 2 2 a le même signe que e2x – 1 e2x – 1  0 ⇔ e2x  1 ⇔ 2x  0 ⇔ x  0 La fonction ch est donc croissante sur [0 ; + ∞[. 2. a) Pour tout nombre réel x, e– x – e x sh(– x ) = = – sh( x ) 2 b)  lim e x    et lim e – x  0 donc lim sh( x )    x Æ

x Æ

x Æ

e x  e– x c) Pour tout nombre réel x, sh¢( x )   0 . La 2 fonction sh est donc strictement croissante sur [0 ; + ∞[. 19

x Æ –

c) 

x Æ

6 5 y  ch(x)

4 3 2 1

–4 –3 –2 –1O –1 y  sh(x)

1

2

3

4

–2 –3 –4

4. a) 

e a  e – a eb  e – b ch( a ) ch(b )  ¥ 2 2 e a  b  e a – b  eb – a  e – a – b  4 e a – e – a eb – e – b sh( a ) sh(b )  ¥ 2 2 e a  b – e a – b – eb – a  e – a – b  4 e a  b  e –( a  b ) ch( a ) ch(b )  sh( a ) sh(b )   ch( a  b ) 2 e a – e – a eb  e – b sh( a ) ch(b )  ¥ 2 2 e a  b  e a – b – eb – a – e – a – b  4 e a  e – a eb – e – b ¥ 2 2 e a  b – e a – b  eb – a – e – a – b  4 e a  b  e –( a  b ) sh( a ) ch(b )  sh(b ) ch( a )   sh( a  b ) 2 b)  ch (2a) = ch (a + a) = ch (a) ch (a) + sh (a) sh (a) = ch2 (a) + sh2 (a) sh (2a) = sh (a + a) = sh (a) ch (a) + sh (a) ch (a) = 2sh (a) ch (a) c) Pour tout nombre réel a, 2 2 Ê ea  e– a ˆ Ê ea – e– a ˆ ch2 ( a ) – sh2 (b )  Á – ˜ Á ˜ 2 2 Ë ¯ Ë ¯ a 2 – 2 a 2 a e 2e – e  2 – e –2 a  1 4 ch( a ) sh(b ) 

u( x ) avec u(x) = ex et v(x) = 1 + x dérivables v( x ) sur ]– 1 ; + ∞[ telles que v(x) ≠ 0 u¢(x) = ex et v¢(x) = 1 f est donc dérivable sur ]– 1 ; + ∞[ et pour tout réel x  1 : 97 f ( x ) =

20

e x (1  x ) – e x x ex  2 (1  x ) (1  x )2 Équation de T1 au point d’abscisse x = – 0,6 : y = f ¢(– 0,6) (x + 0,6) + f(– 0,6) – 0 , 6 e –0 , 6 e –0 , 6 y ( x  0, 6)  2 0, 4 0, 4 – 0 , 62 – 0 , 6 e – 0 , 6 Pour x = 0, y  e  0, 42 0, 4 –0,6 –0,6 y = – 2,25 e + 2,5 e y = 0,25 e–0,6 ≠ 0 T1 ne passe pas par l’origine du repère. Équation de T2 au point d’abscisse x = 1,6 : y = f ¢(1,6) (x – 1,6) + f(1,6) 1, 6 e1,6 e1,6 y ( x – 1, 6)  2 2, 6 2, 6 – 1, 62 1,6 Pour x = 0, y  e  e1,6  0  0,029 2 , 62 T2 ne passe pas par l’origine du repère. f ¢( x ) 

98 Pour x = 3  – 2,  f(3) = (4 – 9) e–3 = – 5 e–3  0. Faux Pour tout réel x,  f(x) = (2 – x) (2 + x) e–x f(x) a le même signe que (2 – x)(2 + x) f(x)  0 sur ]– ∞ ; – 2[ ∪ ]2 ; + ∞[ f(x)  0 sur [– 2 ; 2] 99 Déterminer a et b : x(0) = 2 ⇔  ae0 = 2 ⇔a=2 x(t) = u(t) v(t) avec u(t) = 2ebt et v(t) = 1 – 8t dérivables sur [0 ; 3] telles que u¢(t) = 2bebt et v¢(t) = – 8. Donc x dérivable sur [0 ; 3] et pour tout réel t ∈ [0 ; 3], x¢(t) = 2bebt (1 – 8t) + 2ebt × – 8 x¢(0) = 2b – 16 = – 26 2b = – 10 b=–5 donc x(t) = 2 e–5t (1 – 8t) sur [0 ; 3] x(t) = 0 ⇔ 2e–5t (1 – 8t) = 0 1 – 8t = 0 1 t= s 8 1 oscillation autour de la position d’équilibre. 100 1. Il semble que f est strictement croissante sur ]– ∞ ; 1[ ∪ ]2 ; + ∞[ et strictement croissante sur [1 ; 2]. 2. a) f(x) = u(x) × v(x) avec u(x) = x2 – 5x + 7 et v(x) = ex dérivables sur  telles que u¢(x) = 2x – 5 et v¢(x) = ex Donc f est dérivable sur  et pour tout réel x : f ¢(x) = (2x – 5) ex + (x2 – 5x + 7) ex f ¢(x) = ex (x2 – 3x + 2) x b) e  0 sur  f(x) a le même signe que x2 – 3x + 2 D=9–8=1 3–1 31 x1   1 et x2  2 2 2

© Nathan. Hyperbole Term S

e x  e– x e x – e– x –  e– x  0 2 2 b)  lim ch(x ) – sh(x )  lim e – x  0 3. a) ch( x ) – sh( x ) 

x f ¢(x)

–∞

f(x)

1 +

0 3e

+∞

2 –

0

+

e2

3. ex  0 sur  f(x) a le même signe que x2 – 5x + 7 D = 25 – 28 = – 3  0 f(x)  0 sur  101 a) Vraie.  e2 a ¥ e2b  ( e a  b )2  e a  b ea+b  0 b) Fausse. 2ea+b = e2a + e2b ⇔ 2eaeb = (ea)2 + (eb)2 ⇔ (ea)2 – 2eaeb + (eb)2 = 0 ⇔ (ea – eb)2 = 0 ⇔ ea – eb = 0 ⇔ ea = eb ⇔ a = b c) Vraie.  a = b = k ∈  d) Fausse. e2a + e2b  2ea+b ⇔ (ea – eb)2  0 102 • Propriété 1 : Supposons qu’il existe un réel x tel que exp(x) = 0. Pour tout réel y ≠ x : exp(y) = exp(y – x + x) = exp(y – x) exp(y) = 0 alors exp est la fonction nulle. En introduction avec le prérequis 2 donc pour tout réel x, exp(x) ≠ 0. • Propriété 2 : Pour tout réel x, exp(x + 0) = exp(x) × exp(0) ⇔  exp(x) = exp(x) exp(0) ⇔ exp(0) = 1 • Propriété 3 : Pour tout réel x, exp(x – x) = exp(x) × exp(– x) ⇔  exp(0) = exp(x) × exp(– x) 1 ⇔ exp(– x) = exp( x ) • Propriété 4 : Pour tous réels x et y, exp(x – y) = exp(x) × exp(– y) 1 exp( x ) ⇔ exp(x – y) = exp(x) × ⇔ exp(x – y) = exp( y ) exp( y )

4 cm  10 millions

29,122

30 25,935 23,936 21,815 19,344

20

24,946

22,901

20,645

16,256

10

13,812 10,742

17,847 M(t ; f(t))

6,621

O

1 2

5

10

15

t

10. Exercices d’approfondissement

4. a) u(t) est le coefficient directeur de la droite (OM). b) u(t) minimale pour t = 15

28 28 28 = 14 ⇔  = 14 ⇔ 0,3t + 1 = 2 0, 3t + 1 14 10 ⇔t= 3 Au bout de 4 ans. 1 b) v(t) = 28 × avec u(t) = 0,3t + 1 dérivable sur [0 ; 15] u(t ) tel que u¢(t) = 0,3. v est donc dérivable sur [0 ; 15] et pour tout réel – u ¢(t ) t ∈ [0 ; 15], v¢(t) = 28 × 2 u (t ) – 0, 3 – 8, 4 v¢(t) = 28   0 sur [0 ; 15]. ( 0, 3t  1)2 ( 0, 3t  1)2 V est donc une fonction strictement décroissante sur [0 ; 15] 28 28 c) V(t) = 7 ⇔ = 7 ⇔ 0,3t + 1 = ⇔ t = 10 0, 3t + 1 7

104 Partie A 1. Il semble que : a) C1 est au-dessus de C2 sur [0 ; 1] ; C1 est au-dessous de C2 sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[. b) I1 (0 ; 0) et I2 (1 ; 0,3) soient les points d’intersection de C1 et C2. c)  1 x –∞ +∞

103 1. a) v(t) =

© Nathan. Hyperbole Term S

Au bout de 10 ans. d) La fonction 28 – v(t) représente la décote du véhicule. – v(t) est une fonction strictement croissante sur [0 ; 15] donc 28 – v(t) est aussi une fonction strictement croissante sur [0 ; 15]. 2. C(t) = u(t) + v(t) avec u(t) avec u(t) = 2e0,1t et v(t) = – 0,05t – 2 dérivables sur [0 ; 15] telles que : u¢(t) = 0,2 e0,1t et v¢(t) = – 0,05 C est donc une fonction dérivable sur [0 ; 15] et pour tout réel x, C¢(t) = 0,2 e0,1t – 0,05 = 0,2 (e0,1t – 0,25) e0,1t  1 sur [0 ; 15] e0,12 – 0,25  0,75 sur [0 ; 15] C¢(t)  0 sur [0 ; 15] C est donc une fonction strictement croissante sur [0 ; 15] 3. a) f(t) =  28 – v(t) + C(t) (Décote + frais d’entretien) 28 = 28 – + 2e0,1t – 0,05t – 2 0, 3t + 1 28 f(t) = 26 – + 2e0,1t – 0,05t 0, 3t + 1 b) f(12)  25 953 E c) 

f(x) d) f2(0) = 0 est un mimimum de f2 f2(2) = 0,54 est un maximum local de f2 2. • Conjecture a f1(x) – f2(x) = ex (x – x2) a le même signe que x – x2 donné dans le tableau ci-dessous 21

x x – x2

–∞

0 –

+∞

1 +

0

0

–

f1(x) – f2(x)  0 sur ]0 ; 1[ f1(x) – f2(x)  sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[ donc C1 est au-dessus de C2 sur ]0 ; 1[ ; C1 est au-dessous de C2 sur ]– ∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[. • Conjoncture b f1(x) = f2(x) ⇔ x e–x = x2 e–x ⇔ e–x (x – x2) = 0 ⇔ x – x2 = 0 ⇔ x(1 – x) = 0 d’où x = 0 ou x = 1 1 f1(0) = 0 et f1(1) = 1e–1 = e 1 I1 (0 ; 0) et I2 (1 ; ) points d’intersection de C1 et C2. e • Conjecture c f1(x) = u(x) v(x) avec u(x) = x et v(x) = e–x dérivables sur . telles que u¢(x) = 1 et v¢(x) = – e–x donc f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ¢(x) = e–x (1 – x) a le même signe que 1 – x sur . 1 f(1) = e 1 x –∞ +∞ – f ¢(x) + 0 1 f(x) e • Conjecture d f2(x) = u(x) × v(x) avec u(x) = x2 et v(x) = e–x dérivables sur  telles que u¢(x) = 2x et v¢(x) = – ex donc f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ¢(x) = e–x (2x – x2) a le même signe que 2x – x2 sur . 0 2 x –∞ +∞ – – f ¢(x) + 0 0 –2 4e f(x) 0 f(0) = 0 et f(2) = 4e–2 f(0) = 0 est un minimum de f2 f(2) = 4e–2 est un maximum local de f2 3.  y

Partie B 1. Équation de la tangente À C1 au point d’abscisse a :  y = f ¢(a) (x – a) + f(a) y = e–a (1 – a) (x – a) + a e–a Pour x = 0,  y = e–a (1 – a)(– a) + a e–a y = e–a (– a + a2) + a e–a y  – a e – a  a2 e – a  a e – a y = a2 e–a 2. a) α = a2 e–a Pour α  4e–2, il existe une unique solution a tel que  f2(x) = α = a2 e–a donc une seule tangente à C1 passant par T. Pour α ∈ ]0 ; 4e–2], il existe deux solutions α tel que  f2(x) = α = a2 e–a donc deux tangentes exactement à C1 passant par T Pour α = 0, 1 seule tangente à C1 passant par T Pour α  0, aucune tangente à C1 passant par T b) On place sur C2 le point M d’ordonnée a, puis on place sur C1 le point N de même abscisse que M. On trace enfin la droite (TM) tangente à C1 en N. 105 1. a)  

b) Il semble que la concentration plasmatique maximale est 0,7 pour t = 0,76.

2. a) c(t) dérivable sur  et pour tout réel t ∈[0 ; 24] : c¢(t) = 3(– e–t + 2e–2t) = – 3e–2t (et – 2) –2t b) – 3e  0 sur [0 ; 24]. Donc c¢(t) est de signe contraire à et – 2 et – 2 = 0 ⇔ et = 2 ⇔ t = α  0,69 et – 2  0 ⇔ et  2 = eα ⇔ t  α et – 2  0 sur [0 ; a[

2

t c¢(t)

α  0,69

0 +

0

+∞ –

T Æ a2e–a

O

22

ur i 1

C2 C1 2

3

4

x

c) α = 0,69 cohérent avec la conjecture 1.b) 3. Il semble que non c(t) = 3e–2t (et – 1) 3e–2t  0 sur [0 ; 24] et – 1  0 sur ]0 ; 24] Donc c(t) ≠ 0 sur ]0 ; 24]

© Nathan. Hyperbole Term S

c(t) 1

106 Partie A 1. Équation de T au point M :  y = ea(x – a) + ea T coupe l’axe des abscisses en P si, et seulement si : ea(x – a) + ea = 0 ⇔ xuu–r a = – 1 ⇔ x = a – 1uur ur 2. Coordonnées du vecteur NP (a – 1 – a ; 0). Donc NP = i Partie B 1. Équation de Ta au point M :  y = g¢(a)(x – a) + g(a) Ta coupe l’axe des abscisses en P si, et seulement si : g( a ) g( a ) g¢(a)(x – a) + g(a) = 0 ⇔ x – a = – ⇔x=a– g ¢( a ) g ¢( a ) Ê g( a ) ˆ P a pour coordonnées Á a – ;0 g ¢( a ) ˜¯ Ë

2. g(0) = 2. Pour tout réel x,  g¢(x) = – 2e–x Ê ˆ 2e – a P a pour coordonnées Á a – ; 0˜ , soit (a + 1 ; 0) – a – 2e ¯ Ë uur uur ur Coordonnées du vecteur NP (a + 1 – a ; 0). Donc NP = i y

107 1.  6 4 2 1 O B(b ; –b2–1)

T A(a ; ea) 1

x

1 Ê a2  a  1ˆ – 1 – Ê 1ˆ ax – e a e b) y = 0 ⇔ Á ˜ ÁË a ˜¯  0 a2 Ë ¯ 1 a a ⇔x  ⇔x 2 a  a 1 Ê a2  a  1ˆ Á ˜ a2 Ë ¯

c) T 1 coupe l’axe des abscisses au point d’abscisses a

1 1 a a a x   2 1 1 1  a  a2 a  a 1  1 2 a2 a a 108 1. Pour tout réel x,  f ( x ) 

ex

1  e– x

1  f ( x) e– x  e x f est une fonction paire L’axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe de f. 2. Pour tout réel x  0, 1 e – x  e x € x  e x € 1  e2 x e Sur [0 ; + ∞[, e2x  1, donc e–x  ex sur [0 ; + ∞[.

f (– x ) 

lim e x   ¸ Ô 3. a)  ˝ lim e x  e - x    lim e - x  0 Ô x Æ x Æ ˛ lim f ( x )  0 x Æ

x Æ

1 avec u(x) = ex + e–x dérivable sur [0 ; + ∞[ u( x ) telle que u(x) ≠ 0 sur [0 ; + ∞[ et u¢(x) = ex – e–x. f est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour réel x  0, e x - e- x e- x - e x f ¢( x )  - x  x x 2 (e  e ) ( e  e - x )2 b) f ( x ) =

–1 dérivables sur x –1 ]0 ; + ∞[ telles que v¢(x) = 1 et u¢(x) = 2 x donc f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout réel x  0 : 1 1 – 1 – f ¢(x) = e x  ( x  1) ¥ 2 e x  0 sur ]0 ; + ∞[ x 1 – Ê x 2  x  1ˆ f ¢( x )  e x Á ˜ x2 Ë ¯ f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

© Nathan. Hyperbole Term S

f(x) = v(x) eu(x) avec v(x) = x + 1 et u(x) =

2. a) Équation de Ta :  y = f ¢(a)(x – a) + f(a). 1 1 – Ê a2  a  1ˆ – a   ye aÁ ( x – ) ( ) e a a 1 ˜ a2 Ë ¯ 1 Ê a2  a  1ˆ – 1 ˆ – Ê a2  a  1 ax – e a yÁ e – a – 1˜ ˜ Á 2 a a Ë ¯ Ë ¯ 1 1 2 Ê a  a  1ˆ – – Ê 1ˆ yÁ ˜ e a x – e a ÁË a ˜¯ 2 a Ë ¯

Comme e–x  ex sur [0 ; + ∞[, f ¢(x)  0 sur [0 ; + ∞[. f est décroissante sur [0 ; + ∞[. x f ¢(x) f(x)

–∞ + 0

+∞

0 0 1 2

– 0

1 2 4. a) Pour tout réel x  0, ex  ex + e–x  2ex 1 1 1  x  x x x e e e 2e h(x)  f(x)  g(x)

f ( 0) =

23

b) G est au-dessus de G2 et au-dessous de G1 sur [0 ; + ∞[. 1 0,8

111 a) D(0) = 12 573 habitants par km2 au centre ville. b) D’après la calculatrice 0 R +∞

G1

D(R)

12 573

0,6 G

c)  lim D(R )  0

0,4

R Æ

G2

O

Équation de la tangente à G au point d’abscisse 0 y = f ¢(0) x + f(0) 1 y= 2 109 Conjecture : voir grapheur. Il semble que pour tout réel x, eax  ax. Soit f(x) = eax – ax dérivable sur . Pour tout réel x, f ¢(x) = aeax – a f ¢(x) = a(eax – 1) • 1er cas : a  0 eax – 1  0 sur ]0 ; + ∞[ eax – 1  0 sur ]– ∞ ; 0[ • 2e cas : a  0 eax – 1  0 sur ]– ∞ ; 0[ eax – 1  0 sur ]0 ; + ∞[

x f ¢(x) f(x)

–∞

0

112 Partie A a) g dérivable sur ]0 ; 100] et pour tout réel x ∈ ]0 ; 100] : g¢(x) = 2e2x – 2ex = 2ex(ex – 1) g¢(x) a le même signe que ex – 1. g¢(x)  0 sur ]0 ; 100]. b)  x 0 100

g(x) c) 

+∞

0 –

d) D(R) = 12 573 eu avec u(x) = – 0,008 51R – 0,063 1 R2 dérivable sur [0 ; + ∞[ telle que u¢(x) = 0,008 31 – 0,126 22. D est donc dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout réel R  0, D¢(R) = – 104,481 63 – 1 586,712 6 eu(R)  0 sur [0 ; + ∞[. D est donc strictement décroissante sur [0 ; + ∞[.

+

1

f(0) = e0 – 0 = 1 donc pour tout réel x, f(x)  0 et eax  ax 110 T(t) = Aect + 20 sur [0 ; 24]. T(0) = A + 20 = 32 A = 12 T(0,5) = 12e0,5c + 20 = 31 12e0,5c = 11 11 e0,5c = 12 121 (e0,5c)2 = 144 121 ec = 144 Heure du crime tel que T(t) = 12ect + 20 = 37 t Ê 121ˆ 17 17 ct ct c t ⇔ 12e = 17 ⇔ e = ⇔ (e ) = Á  Ë 144 ˜¯ 12 12

d) g(x)  0 sur ]0 ; a[ g(x)  0 sur ]a ; 100] Partie B u( x ) 1. f ( x ) = avec u(x) = e2x + 3 et v(x) = 6(ex – 1) ≠ 0 v( x ) dérivables sur ]0 ; + ∞[ telles que u¢(x) = 2e2x et v¢(x) = 6ex. f dérivable sur ]0 ; + ∞[ et pour tout réel x  0 : 2e2 x ¥ 6( e x - 1) - ( e2 x  3) ¥ 6e x f ¢( x )  36( e x - 1)2 12e3 x - 12e2 x - 6e3 x - 18e x f ¢( x )  36( e x - 1)2 3 x 6e - 12e2 x - 18e x f ¢( x )  36( e x - 1)2 x 6 e ( e 2 x - 2 e x  3) e x ¥ g( x ) f ¢( x )   6( e x - 1)2 36 ( e x - 1)2 x f ¢(x)

t

Ê 121ˆ 17  ⇔Á ⇔ t ≈ 2 h d’après le tableur de la calcu˜ Ë 144 ¯ 12 latrice.

24

a

0

100

–

0

+

1 1,01

a 1

2 1,50

f(x) 2. 

x f(x)

0,5 1,47

3 3,55

© Nathan. Hyperbole Term S

0,2 0,1

0

3. 

17

f(3) = 0  f (7) = 4 e 4   f (30)  27e 3. Équation de T : y = f ¢(24)(x – 24) + f(24) 17 y( x - 24 )  21 4 17 yx  123 4

-

3 2

y

300 O

1

2

3 200

4. 1 unité. 113 Partie A

1. f(x) = u(x) ¥ v(x) avec u(x) = x – 3 et v(x) = dérivables sur [3 ; 30] sur  telles que u¢(x) = 1 et x 1 - 6 v¢(x) = - e 4 donc f est dérivable sur [3 ; 30] et pour 4 tout réel x ∈ [3 ; 30] : x - 6 Ê 1ˆ - x  6 f ¢( x )  e 4  ( x - 3) ¥ Á - ˜ e 4 Ë 4¯ x - 6 Ê x 3ˆ f ¢( x )  e 4 Á1 -  ˜ Ë 4 4¯ Ê x 7 ˆ - x 6 f ¢( x )  Á -  ˜ e 4 Ë 4 4¯ 2. e

x - 6 4

3

7 +

Partie B 1. Bénéfice = prix de vente – prix de revient

x x - 6 - 6 4 - 300e 4 x - 6 3) e 4

 x¥e

 (x Bénéfice = f(x)

17

0

30 –

17

0

x

4e 4

27e

-

3 2

© Nathan. Hyperbole Term S

f(x)

O ur 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 30 i

2. f(x) admet un maximum f (7) = 4 e 4 donc x = 700 F prix de vente. Le bénéfice est alors de 28 000 F.

 0 sur [3 ; 30] x f ¢(x)

100

x - 6 e 4

25