Corrige Maths Carnet Dautomatismes 1re Bac Pro - Ed 2022 [PDF]

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d’automatismes CORRIGÉ

1

re

BAC PRO

Maths Les 23 automatismes du programme Entraînements • Défis

Flashcards

Méthodes Rappels de seconde

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d’automatismes

1

re

BAC PRO

Maths CORRIGÉ

Denise Laurent Professeure de mathématiques, académie de Lyon Isabelle Baudet PLP Mathématiques/Physique-Chimie, académie de Versailles Ludivine Druel-Lefebvre PLP Mathématiques/Physique-Chimie, académie de Rouen Ludivine Selle PLP Mathématiques/Physique-Chimie, académie de Rouen

Sommaire Tableau de bord .............................................................................................4

Automatismes de Première 1 Probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple .....8 2 Dénombrement à l’aide de tableaux à double entrée ou d’arbres donnés . 10 3 Lecture de graphiques et de diagrammes................................................. 12 4 Association d’un graphique avec des données et vice-versa ..................... 14 5 Calcul d’indicateurs de position et de dispersion. ..................................... 16 6 Résolution d’équations du type ax + b = c (a, b et c entiers relatifs) .......... 18 7 Résolution d’inéquations du type ax + b < c (a, b et c entiers relatifs) ....... 20 8 Reconnaissance d’une situation de proportionnalité 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

et détermination de la fonction linéaire qui la modélise............................ 22 Reconnaissance d’un graphique à partir d’un tableau de variations .......... 24 Établissement du tableau de variations d’une fonction dont la courbe est donnée....................................................................... 26 Détermination graphique des extremums globaux d’une fonction sur un intervalle....................................................................................... 28 Calcul de l’ordonnée d’un point de la courbe représentative d’une fonction ........................................................................................30 Détermination graphique du coefficient directeur d’une droite ................. 32 Reconnaissance du parallélisme de deux droites d’équations réduites données .....................................................................................34 Résolution graphique d’une équation f(x) = c ou d’une inéquation f(x) < c.. 36 Calcul du montant d’un intérêt simple et d’une valeur acquise .................38 Distinction entre cercle, disque, sphère et boule .......................................40 Distinction entre cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône et boule .......................................................................................... 42 Calcul de l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un rectangle, d’un disque........44 Calcul du volume d’un cube, d’un pavé droit, d’un cylindre ......................46 Factorisation de x 2 − a2 ...........................................................................48 Développement de a(x + b) (a et b entiers relatifs)....................................50 Développement de (x + a)(x + b) (a et b entiers relatifs) ............................ 52

2

Automatismes de Seconde - Révisions 1 Calcul d’une fréquence ............................................................................54 2 Utilisation des pourcentages ....................................................................54 3 Différentes écritures des pourcentages ...................................................54 4 Calcul d’une moyenne ............................................................................. 55 5 Calculs avec les puissances de 10 ............................................................. 55 6 Écriture d’un nombre en notation scientifique .......................................... 55 7 Comparaison des fractions simples entre elles 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

ou avec des nombres décimaux ...............................................................56 Addition et multiplication de fractions .....................................................56 Développement, factorisation, réduction d’expressions littérales .............. 57 Transformation de formules, expression d’une variable en fonction des autres ............................................................................. 57 Résolution d’équations du type ax = b et a + x = b (a et b entiers relatifs) 57 Calcul d’une quatrième proportionnelle ...................................................58 Application et calcul d’un pourcentage ou d’une échelle ..........................58 Repérage dans un plan ............................................................................58 Recherche d’image et d’antécédents d’un nombre par une fonction ........ 59 Procédures de résolution graphique d’équations ...................................... 59 Conversions d’unités de longueur, d’aire et de volume .............................60 Reconnaissance des configurations de Pythagore et de Thalès .................60 Détermination d’un arrondi, d’une valeur approchée................................60 Expression d’un résultat dans une unité adaptée ...................................... 61 Vérification de la cohérence grandeur - unité d’une mesure ..................... 61 Calcul de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un disque ............................. 61

Flashcards ................................................................................................. 62 Crédit photographique  : Photos stock.adobe.com : p. 33 ph© Artranq ; p. 35 ph© Vastram ; p. 40_1 ph© Sveta_Aho ; p. 40_2 ph© alter_photo ; p. 40_3 ph© montego6 ; p. 42 et 44 ph© arbalest ; p. 43_1 ph© zdenek kintr ; p. 43_2 ph© PackShot ; p. 46 ph© Marytog ; p. 47 ph© juriskraulis ; p. 53 ph© Argus

Maquette : Nicolas Piroux Composition : IDT Illustrations : Lupe Granité (mascottes)

© Foucher, une marque des Éditions Hatier - Paris, 2022 ISBN : 978-2-216-16669-5

3

Tableau de bord Automatisme de Première non maîtrisé

maîtrisé

insuffisamment maîtrisé

bien maîtrisé

1 Probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple 2 Dénombrement à l’aide de tableaux à double entrée ou d’arbres donnés 3 Lecture de graphiques et de diagrammes 4 Association d’un graphique avec des données et vice-versa 5 Calcul d’indicateurs de position et de dispersion 6 Résolution d’équations du type ax + b = c (a, b et c entiers relatifs) 7 Résolution d’inéquations du type ax + b < c (a, b et c entiers relatifs)

Exercice 1

Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

8 Reconnaissance d’une situation de proportionnalité et détermination de la fonction linéaire qui la modélise

9 Reconnaissance d’un graphique à partir d’un tableau de variations

Le ............... Le ...............

10 Établissement du tableau de variations d’une fonction dont la courbe est donnée

Le ...............

11 Détermination graphique des extremums globaux d’une fonction sur un intervalle

Le ...............

12 Calcul de l’ordonnée d’un point de la courbe représentative d’une fonction

13 Détermination graphique du coefficient directeur d’une droite

4

Le ............... Le ...............

Tableau de bord à télécharger.

/

foucherconnect.fr 22map01

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Défi

Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

5

Tableau de bord Automatisme de Première non maîtrisé

maîtrisé

insuffisamment maîtrisé

bien maîtrisé

Exercice 1

14 Reconnaissance du parallélisme de deux droites d’équations réduites données

Le ...............

15 Résolution graphique d’une équation f(x) = c ou d’une inéquation f(x) < c

Le ...............

16 Calcul du montant d’un intérêt simple et d’une valeur acquise 17 Distinction entre cercle, disque, sphère et boule

Le ............... Le ...............

18 Distinction entre cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône et boule

Le ...............

19 Calcul de l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un rectangle, d’un disque 20 Calcul du volume d’un cube, d’un pavé droit, d’un cylindre 21 Factorisation de x2 − a2

Le ............... Le ............... Le ...............

22 Développement de a(x + b) (a et b entiers relatifs) 23 Développement de (x + a)(x + b) (a et b entiers relatifs)

Le ............... Le ...............

Ce tableau de bord te permet de suivre ta progression ! Les exercices portant sur un même automatisme doivent être traités à des dates différentes afin de revenir dessus à plusieurs reprises. reprises

6

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Défi

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Le ............... Le ............... Le ...............

Le ...............

Dans chaque automatisme, les exercices sont classés par ordre de difficulté croissante. croissante Tu peux suivre le plan de travail proposé par ton professeur ou travailler les automatismes en fonction de tes besoins.

7

1

Probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple

Je m'échauffe 1. Un magasin utilise la roue ci-contre pour faire gagner un

voyage. Indiquez la probabilité qu’un client gagne le voyage Voyage lorsqu’il fait tourner la roue. La roue est découpée en 12 secteurs égaux. La probabilité de tomber sur la case « voyage » est donc 1 . 12 2. Dans un sac opaque, on a placé des boules bicolores : 3 boules rouge/jaune, 2 boules vert/bleu, 4 boules bleu/rouge et 1 boule vert/jaune. Cochez la bonne réponse. • La probabilité de sortie de chacune des boules est : 0,1 0,5 1 • La probabilité de l’événement « la boule contient du rouge » est : 0,3 0,5 0,7 • La probabilité de l’événement « la boule contient du vert » est supérieure à celle de l’événement « la boule contient du bleu ». Vrai Faux

3. On lance un dé cubique équilibré. Reliez chaque événement à sa probabilité. 1

Ne pas obtenir un « six » • Obtenir un nombre supérieur à 4 • Obtenir un nombre pair •

•2 5

•6 1

•3

Je maîtrise 474 sont des femmes. Pour une opération commerciale, on souhaite offrir un parfum à l’un des 600 clients dont le nom sera tiré au hasard. Calculez la probabilité que ce client soit un homme. 600 – 474 = 126. 126 hommes ont la carte de fidélité. P = 126 = 0,21. La probabilité que le client gagnant soit un homme 600 est 0,21 (21 %). 8

© Éditions Foucher

4. Sur les 600 clients possédant la carte fidélité d’une boutique de vêtements,

Automatismes Première

5. Un couple désire avoir deux enfants. La probabilité que ce soient deux garçons est

de 0,25. Justifiez cette affirmation. Les issues possibles sont fille-fille, fille-garçon, garçon-fille, garçon-garçon. La probabilité d’avoir deux garçons est donc 1 soit 0,25. 4 6. On lance simultanément deux dés cubiques. Si be so in, ob se rve z a. Calculez la probabilité de l’événement « la somme des l’a rbr e de l’e xe rci ce 3 deux dés est égale à 12 ». de l’a uto ma tis me 2. Il y a 36 issues possibles. La seule issue permettant d’obtenir 12 est 6 + 6. La probabilité d’obtenir 12 est donc 1 . 36 b. Calculez la probabilité de l’événement « la somme des deux dés est un multiple de 3 ». Les issues correspondant aux résultats 3, 6, 9 et 12 sont : 1 + 2 ; 2 + 1 ; 3 + 3 ; 1 + 5 ; 5 + 1 ; 2 + 4 ; 4 + 2 ; 3 + 6 ; 6 + 3 ; 4 + 5 ; 5 + 4 ; 6 + 6. Il y a douze issues favorables. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est : 12 = 1 . 36 3 3

u Ble

ne

Jau

Jaune

Bleu

e

Vert

Jaun

t Ver

Vert

Coloriez la roue ci-contre avec les quatre couleurs indiquées pour que le joueur ait : – une probabilité de 0,1 d’obtenir du rouge ; – une probabilité de 0,2 d’obtenir du bleu ; – une probabilité d’obtenir du vert double de celle du bleu. Indiquez alors la probabilité d’obtenir du jaune : 0,3

Rouge

min

Ver t

Défi !

© Éditions Foucher

Méthode Événement Un événement correspond à une ou plusieurs des issues possibles d’une expérience aléatoire. j Si l’on tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, l’événement « la carte tirée est une figure » est vérifié pour les issues « Valet », « Dame » et « Roi ».

Probabilité d’un événement La probabilité d’un événement notée P (A) est égale à la somme des probabilités des issues qui lui correspondent. j Un jeu de 32 cartes comprenant 4 valets, 4 dames et 4 rois, la probabilité de l’événement « la carte tirée est une figure », est égale à : P (V) + P (D) + P (R) =  4 + 4 + 4 = 12 32 32 32 32 = 0,375 9

2

Dénombrement à l’aide de tableaux à double entrée ou d’arbres donnés

Je m'échauffe 1. On étudie les informationsParallélogramme concernant

Homme 14

Vacciné 25

350 patients atteints de la grippe. Observez l’arbre de dénombrement ci-contre.

Femme 11 Homme 223

Non 325 Vacciné

a. Indiquez les deux caractères étudiés.

Femme 102

Le sexe et la vaccination contre la grippe.

b. Indiquez le nombre de femmes parmi les patients et

Le no mb re de pa tie nts es t ind iqu é en ble u su r l’a rbr e.

combien ont été vaccinées. Parmi les patients il y a 113 femmes dont 11 sont vaccinées.

2. Reportez les informations de l’arbre dans le tableau suivant, puis complétez-le : Patient

Vacciné

Non vacciné

Total

Homme

14 11 25

223 102 325

237 113

Femme Total

350

Je maîtrise 3. On lance simultanément 2 dés cubiques. On s’intéresse à la valeur de la somme

des nombres de la face supérieure des dés. L’arbre ci-dessous résume la situation. Résultat du 1er dé

1

2

Résultat du 2e dé Somme obtenue

12 3 456 23 4 567

345678

456789

Résultat du 1er dé

4

5

6

12 3 4 5 6

5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6

6 7 8 9 10 11

12 3 456

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

a. Complétez la dernière ligne avec la valeur de la somme obtenue. b. Donnez le nombre de sorties permettant de réaliser l’événement S « la somme des deux dés est égale à 7 ». Il y a 6 sorties permettant d’obtenir 7.

10

© Éditions Foucher

Résultat du 2e dé Somme obtenue

12 3 456

3

Automatismes Première

4. Un chef cuisinier propose des ateliers culinaires de niveaux débutant et avancé. Il a regroupé les informations concernant les 177 participants dans un tableau. a. Complétez le tableau en calculant les données manquantes. Débutant

Avancé

Total

Homme

51

25

Femme

83

18

76 101

134

43

177

Total

b. Indiquez le nombre d’hommes ayant suivi un atelier culinaire : 76 c. Indiquez le nombre de femmes ayant suivi un atelier « débutant » : 83 d. Indiquez combien de personnes ont choisi un atelier « avancé » : 43

Défi !

3

min

Une urne contient au total 50 boules de couleur rouge ou bleu, chacune portant un numéro. Dans l’urne il y a autant de boules rouges que de boules bleues portant le numéro 1. Montrez que la probabilité d’obtenir une boule portant le numéro 3 est 0,3. On complète l’arbre par déduction à partir des informations 1 8 R 2 6 de l’énoncé. 24 3 10 Le nombre de boules portant le numéro 3 est 10 + 5 = 15. 1 8 La probabilité d’avoir une boule portant le numéro 3 B 2 13 est 15 = 3 = 0,3. 26 3 5 50 10

Méthode

© Éditions Foucher

Dénombrement à l’aide d’un arbre On trace autant de branches que d’issues possibles à chaque tirage. j On tire une boule au hasard dans un sac opaque, on observe la couleur (blanc ou bleu), puis si la boule porte une lettre ou un numéro. Blanc 30 Bleu 20

Lettre 10 Numéro 20 Lettre 8 Numéro 12

Dénombrement à l’aide d’un tableau à double entrée L’un des caractères est étudié en ligne, l’autre en colonne. On fait la somme des totaux en ligne ou des totaux en colonne. j

Lettre Numéro Total

Blanc 10 20 30

Bleu 8 12 20

Total 18 32 50 11

3

Lecture de graphiques et de diagrammes

Je m'échauffe

Les motifs de retour des articles vendus en ligne 5%

1. Un site internet a mené une

Taille incorrecte

17 %

enquête sur les motifs de retour des articles. a. Indiquez le motif de retour le plus courant. La taille est incorrecte.

39 % 14 %

Ne correspond pas à la description Ne correspond pas aux attentes Endommagé Autres motifs

25 %

b. Précisez sous quelle forme la part de chaque motif est donnée sur le graphique. Sous la forme de pourcentage.

2. Le graphique ci-contre donne

État du stock d’un magasin de chaussures 50 Effectif

l’état du stock d’un magasin de chaussures. a. Donnez l’intervalle des tailles des chaussures en stock : [34 ; 44] b. Indiquez le nombre de paires de taille 43 dans le stock : 20

40 30 20 10 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Taille de chaussures

c. Indiquez la taille de chaussures qui est majoritaire dans le stock : 39

représente l’évolution de la production d’électricité d’origine solaire. a. À partir de quelle année, la production s’est-elle fortement développée ? À partir de 2009.

Évolution de la production d’électricité solaire photovoltaïque

8 6 4 2 0 Métropole

DOM

b. Donnez une estimation de la production totale, en TWh, observée en France en 2019. Environ 11 TWh.

12

© Éditions Foucher

3. Le graphique ci-contre

En TWh 12 10

20 0 20 5 0 20 6 0 20 7 0 20 8 0 20 9 1 20 0 1 20 1 1 20 2 1 20 3 1 20 4 1 20 5 1 20 6 1 20 7 1 20 8 19

Je maîtrise

Automatismes Première

passé sur les réseaux sociaux chaque jour.

a. Indiquez l’amplitude des classes. L’amplitude est d’une heure.

b. Indiquez la classe ayant le plus grand effectif. [2 ; 3 [

c. Donnez le nombre d’élèves ayant

répondu qu’ils passent entre 4 et 5 heures par jour sur les réseaux. 3

Défi !

Temps journalier passé sur les réseaux sociaux 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 Temps en heures Effectif

4. On a interrogé des élèves sur leur temps

3

min

Laïla et Léo sont en concurrence sur un jeu vidéo. Ils ont analysé leurs scores ; les résultats obtenus sont présentés dans les boîtes à moustaches ci-dessous. On sait que la médiane des scores de Laïla est supérieure à celle de Léo. Scores de Léo Plu s l’é ca rt int erq ua rti Q3 – Q es t faible , plu le 1 s le jou eu r es t rég uli er.

Scores de Laïla 500

600

700

800

900

Indiquez quel joueur a été le plus régulier et quel joueur a obtenu le meilleur score. Léo a été plus régulier, mais c’est Laïla qui a obtenu le meilleur score.

© Éditions Foucher

Méthode Lecture de diagrammes en bâtons, en colonnes, en secteurs, à lignes brisées – On lit le titre du graphique et les autres informations (nom des axes, légendes…) ; – on lit sur l’axe des ordonnées la valeur correspondant à la hauteur de la barre ou du rectangle ou d’un point de la courbe, cela correspond à l’effectif (ou la fréquence). Pour un diagramme en secteurs, la mesure de l’angle est proportionnelle à l’effectif ou la fréquence de la modalité.

Lecture d’un diagramme en boîte à moustaches j

min

0

5

Q 1 Med Q 3

10

max

15

20

Ici min = 4, Q1 = 7,5, Med = 10, Q3 = 11,5 et max = 18.

13

4

Association d’un graphique avec des données et vice-versa

Je m'échauffe 1. Un directeur de magasins bio compare les ventes (recettes en euros) de

3 boutiques. Complétez la première ligne du tableau avec le nom de chaque boutique. Recette journalière moyenne, Bioshop Bioterre Biomonde Vrac

654

654

567

Boissons

124

230

421

Fruits, légumes

543

678

560

1 321

1 562

1548

Total

en euros, de 3 magasins bio

800 700 600 500 400 300 200 100 0

Bioterre

Biomonde

Vrac

Bioshop

Boissons

Fruits et légumes

Je maîtrise 2. Entourez en vert dans le tableau ci-dessous les données utilisées pour élaborer le premier graphique et en rouge celles utilisées pour le deuxième.

Tableau : Structure de la consommation d’énergie primaire (en %) 1990

2000

2010

2017

2018

Hydraulique, éolien, photovoltaïque

2,1

2,2

2,5

2,9

3,6

Énergies renouvelables thermiques

5,1

4,4

6,3

8,2

8,5

Nucléaire

34,3

40,0

41,9

40,0

40,7

Gaz

11,8

14,4

15,4

15,7

15,3

Pétrole

37,9

33,1

29,5

29,3

28,3

Charbon

8,9

5,9

4,4

4,0

3,6

Total

100

100

100

100

100

4% 4% 28 % 15 %

14

8% 41 %

Hydraulique, éolien, photovoltaïque Énergies renouvelables thermiques Nucléaire Gaz Pétrole Charbon

en % 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1985

Évolution de la part des énergies renouvables entre 1990 et 2018 Hydraulique, éolien, photovoltaïque Énergies renouvelables thermiques

1900

1995

2000

2005

2010

2015

2020

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Structure de la consommation d’énergie primaire

Automatismes Première

Mois

25 Température en °C

mensuelles moyennes de trois villes françaises. Retrouvez quelle courbe correspond aux températures de la ville de Bordeaux. C’est la courbe notée Ville B.

Courbes de températures moyennes de 3 villes françaises 20 15

Ville A Ville B Ville C

10 5 0 Ja nv ier Fé vr ier M ar s Av ril M ai Ju in Ju ille t Ao se pt ût em b Oc re to No bre ve m Dé bre ce m br e

3. Voici les relevés de températures

Jan. Fév. Mars Avril Mai Juin Juil. Août Sept. Oct. Nov. Déc.

Tmoy (°C) à Bordeaux

Défi !

6,4

6,6

9,7

12,5

16 19,8 21,5 21,5

18,9

15,1

10

7

3

min

Mehdi s’entraîne à la course à pied et note à chaque sortie la distance qu’il a parcourue en kilomètres. Il a représenté par un diagramme en boîte à moustaches ses résultats, mais il y a des erreurs sur son graphique. Retrouvez et corrigez-les. Min = 9

Max = 15

Q1 = 10

Med = 11

Q3 = 13,5

Q3 – Q1 = 3,5

8

9

10

11

12

Si besoin, consultez la méthode de l’automatis me 3.

13

14

15

16

© Éditions Foucher

Méthode Association d’un graphique avec des données et vice-versa – On identifie les grandeurs représentées sur les axes ; – on repère sur le graphique un point dont les coordonnées sont facilement lisibles ; – on recherche dans le tableau des valeurs correspondant aux coordonnées de ce point ; – on recommence si besoin avec un autre point.

Dans le cas d’un diagramme circulaire : – on compare les données du tableau avec les différents secteurs (angle, légende…) ; – on étudie la valeur maximale du tableau qui doit correspondre au plus grand secteur. Pour un diagramme en boîte à moustaches, on associe chaque barre verticale à l’indicateur qui lui correspond : Q1, Q3, médiane, minimum et maximum. 15

5

Calcul d’indicateurs de position et de dispersion

Je m'échauffe 1.

On a relevé le prix en euros d’un modèle de téléphone dans différents points de vente : 144 ; 149 ; 145 ; 147,50 ; 149 ; 148 ; 142 ; 150 ; 144,50 ; 146 ; 145,95 a. Reliez chaque indicateur de position à sa valeur.

x\ • Med • Mod •

• 149 • 146 • 146,45

b. Calculez les indicateurs de dispersion : étendue et écart interquartile Q3 – Q1. min = 142 Q1 = 144,50 (3e valeur)

2.

max = 150 Q3 = 149 (9e valeur)

e = 150 – 142 = 8 Q3 – Q1 = 149 – 144,50 = 5,5

Le tableau ci-dessous renseigne sur l’âge des élèves participant à l’atelier robot d’un lycée. Âge

15

16

17

18

19

Effectif

5

7

11

8

3

Calculez les différents indicateurs de cette série statistique, arrondissez au dixième. x\  ≈ 16,9 e = 19 – 15 = 4 s ≈ 1,2 Q1 = 16 Q3 = 18 Med = 17

Je maîtrise Dans une épicerie bio, on a étudié le montant moyen du panier sur une journée. Calculez les indicateurs demandés, arrondis à 10 –2. Montant (€)

[0 ; 10 [

Centre de classe

5

15

25

35

45

55

Effectif

56

27

18

7

5

1

Classe modale : [0 ; 10 [

16

[10 ; 20 [ [20 ; 30 [ [30 ; 40 [ [40 ; 50 [ [50 ; 60 [

x\  ≈ 14,56

s = 11,95

© Éditions Foucher

3.

Automatismes Première

4.

On a demandé à 200 personnes ayant acheté un vélo récemment combien de jours par semaine elles l’utilisent pour se déplacer. Nombre de jours d’utilisation/sem.

1

2

3

4

5

6

7

Effectif

10

13

14

33

42

51

37

Calculez les différents indicateurs de position et de dispersion de cette série statistique, arrondissez à 10 –2. x\  = 4,93 Q1 = 4 Q3 = 6 e = 6 Med = 5 s ≈ 1,68

Défi !

3

min

Voici les 8 dernières performances obtenues par Célia et Malika sur des courses de 100 m. Comparez leurs performances. Arrondissez, si besoin au centième. Célia

56,55

54,31

57,42

55,12

56,88

57,11

58,02

56,43

Malika

55,71

55,88

56,01

57,12

56,57

55,32

56,88

55,13

Pour Célia : x\ = 56,48 s ; s ≈ 1,14 s ; min = 54,31 s ; max = 58,02 s ; e = 3,71 s ; Med = 56,72 s ; Q1 = 55,12 s ; Q3 = 57,11 s ; Q3 – Q1 = 1,99 s. Pour Malika : x\ = 56,08 s ; s ≈ 0,67 s ; min = 55,13 s ; max = 57,12 s ; e = 1,99 s ; Med = 55,95 s ; Q1 = 55,32 s ; Q3 = 56,57 s ; Q3 – Q1 = 1,25 s. Célia a réalisé la meilleure performance mais, Malika a réalisé un meilleur temps moyen et a été plus régulière (car s et Q3 – Q1 sont plus faibles).

© Éditions Foucher

Méthode Calcul d’indicateurs de position et de dispersion – On met la calculatrice en mode statistiques ; – on entre respectivement dans les listes 1 et 2, les valeurs du caractère et les valeurs des effectifs ; – on utilise les fonctionnalités de la calculatrice pour obtenir les indicateurs. j On étudie les notes de satisfaction d’un site internet. Les notes sont saisies dans la première colonne et les effectifs dans la deuxième (voir ci-contre). x\ ≈ 4,11 ; s ≈ 0,95 ; e = 4 ; Q1 = 4 ; Med = 4 ; Q3 = 5.

17

6

Résolution d’équations du type ax + b = c (a, b et c entiers relatifs)

Je m'échauffe 1. Associez chaque équation à sa solution. – 25x = 275 • 3x + 1 = 4 • 6x + 12 = 6 • – 7x + 2 = – 75 •

• • • •

–1 11 1 – 11

2. Les étapes de la résolution de l’équation 84,5x – 12 = 55,6 ont été mélangées. Recopiez-les dans l’ordre correct, dans le cadre ci-dessous. 84,5x = 67,6

x = 0,8

84,5x = 55,6 + 12 84,5x – 12 = 55,6

x =  67,6 84,5

84,5x – 12 = 55,6 84,5x = 55,6 + 12 84,5x = 67,6 x = 67,6 84,5 x = 0,8

Ob se rve z-b ien les sig ne s op éra toires da ns ch ac un de s me mb res de l’é qu ati on .

3. Résolvez les équations suivantes : 320x + 55 = 87

– 16x + 24 = 12

650 – 10 000x = 50

320x = 87 – 55

– 16x = 12 – 24

– 10 000x = 50 – 650

320x = 32 x = 32 320 x = 0,1

– 16x = – 12 x =  12  16 x = 0,75

– 10 000x = – 600 x =  600  10 000 x = 0,06

Je maîtrise membre de gauche. 10x + 12 = 56 ; 10x = 44 ; x = 44 ÷ 10 ; x = 4,4 La solution de l’équation est 4,4.

18

© Éditions Foucher

4. Résolvez l’équation 3x + 7x + 12 = 56 en commençant par réduire dans le

Automatismes Première

5. Déterminez la valeur à donner à x pour que le périmètre

3x + 1

du rectangle soit égal à 58 cm. Donnez les dimensions du rectangle. Le périmètre est égal à 2 × (x + 3x + 1) soit 8x + 2. On résout l’équation 8x + 2 = 58, on trouve x = 7. La largeur du rectangle sera égale à 7 cm et sa longueur à 22 cm.

x

6. Dans un jeu vidéo, chaque partie gagnée permet d’obtenir 150 points, les parties

perdues aucun. Farid a déjà gagné 900 points. Calculez, à l’aide d’une équation, le nombre de parties que Farid doit encore gagner pour atteindre le niveau expert correspondant à 10 000 points. On note x le nombre de parties que Farid doit encore gagner. Le problème se traduit par l’équation 900 + 150x = 10 000. Après résolution, on trouve que Farid doit encore gagner 61 parties pour atteindre le niveau expert.

Défi !

3

min

Théo suit les pas pour lesquels la solution de l’équation est un nombre impair. Indiquez à qui Théo rend visite. Khaled Théo 2x + 7 = 11 Lise

2x + 3 = 5 – 3x + 10 = 1 12x – 5 = 19

6x + 1 = 25

x – 6 = 15 – 2x + 18 = 6

8x + 3 = 59 7x – 5 = 30

Khaled 9x + 28 = 100

– 7x + 120 = 50

Enzo

© Éditions Foucher

Méthode Résolution d’une équation du type ax  + b = c (a, b et c entiers relatifs, a non nul). On retranche b pour isoler le terme ax : ax + b – b = c – b ax = c – b On divise par a pour obtenir la valeur de x : ax = c − b d’où x = c − b a a a

a, b et c peuvent être des nombres négatifs. j – 6x + 65 = – 25 – 6x + 65 – 65 = – 25 – 65 – 6x = – 90 x = − 90 −6 x = 15 19

7

Résolution d’inéquations du type ax + b < c (a, b, c entiers relatifs)

Je m'échauffe 1. Reliez les inéquations à leur traduction. x+1≥2 • x2 • x≤2 •

valeurs de x inférieures ou égales à 2 valeurs de x supérieures ou égales à 1 valeurs de x strictement supérieures à 1 valeurs de x strictement inférieures à 2

2. Cochez la bonne solution de chacune des inéquations. • 3x + 6 ≤ 5 : • 2x + 1 ≥ 0 : −2 x–3 –2 :

•

−1 3 1 x≥ 2 9 x> 2 x > −14

x≤

−1 3 −1 x≤ 2 −9 x< 2 x < 14

x≥

x≤4 1 x≥− 2 −9 x> 2 x < −14

3. Cochez l’intervalle correspondant aux solutions de l’inéquations étudiée. • x ≥ 10 : • 3x < 18 : • x − 5 > 18 : • −2x + 1 ≥ 19 :

[10 ; + ∞[ [6 ; + ∞ [ [23 ; + ∞ [ [− 9 ; + ∞ [

]−∞ ; 10] ]−∞ ; 6[ ]−∞ ; 23] ]−∞ ; − 9]

]10 ; + ∞[ ]6 ; + ∞[ ]23 ; + ∞[ ] −∞; − 9[

Je maîtrise 4. Salomé a eu 5 sur 20 à sa première évaluation. Sachant que toutes les notes ont

le même coefficient, calculez la note x que Salomé doit obtenir au minimum à la prochaine évaluation pour que sa moyenne soit supérieure ou égale à 12. Il faut résoudre l’inéquation 5 + x ≥ 12 € 5 + x ≥ 24 € x ≥ 24 − 5 € x ≥ 19 ; 2 Salomé devra obtenir au moins 19 pour avoir au moins 12 de moyenne.

16 tonnes. Dans son camion, il doit charger des caisses dont le poids est de 125 kg chacune. On note x le nombre de caisses que Valentin peut charger. En traduisant l’énoncé par une inéquation, déterminez le nombre maximal de caisses que Valentin peut charger.

20

© Éditions Foucher

5. Avec son camion pesant à vide 10 tonnes, Valentin veut passer sur un pont limité à

Automatismes Première

Il faut résoudre l’inéquation 10 000 + 125x ≤ 16 000 € 125x ≤ 16 000 − 10 000 € 125x ≤ 6 000 € x ≤ 6 000 € x ≤ 48. 125 Valentin pourra charger au maximum 48 caisses.

Défi !

Ra pp el : 1 t = 1 0 00

kg

3

min

A

D

ABCD est un rectangle. AD = 5 cm et AB = 3 cm. Soit E un point de [BC]. On note BE = x. Trouvez les valeurs de x pour que l’aire du triangle ABE soit supérieure ou égale au quart de l’aire du rectangle ABCD. C ÄABE = AB × BE = 3x ; ÄABCD = AD × AB = 5 × 3 = 15 cm2. B x E 2 2 3x 15 15 7,5 Il faut résoudre l’inéquation ≥ € 3x ≥ × 2 € 3x ≥ 7,5 € x ≥ € x ≥ 2,5. 2 4 4 3 BE ne pouvant être supérieur à 5, x doit appartenir à l’intervalle [2,5 ; 5].

© Éditions Foucher

Méthode Les symboles des inégalités > : strictement supérieur à ≥ : supérieur ou égal à – 6 3x > – 6 € x > – 2 3 3 Les solutions sont toutes les valeurs de x strictement supérieures à – 2. L’intervalle des solutions est : ]– 2 ; +∞[ On change le sens d’une inégalité quand on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre négatif. jRésoudre – 2x < – 8 – 2x > – 8 € x > 4 –2 –2 Les solutions sont toutes les valeurs de x strictement supérieures à 4. L’intervalle des solutions est : ]4 ; +∞[. 21

Reconnaissance d’une situation de proportionnalité et détermination de la fonction linéaire qui la modélise

8

Je m'échauffe

60

1. a. Le graphique ci-contre représente le nombre

D

Nombre de tours

C

48

de tours effectués par une pale d’une éolienne en fonction de sa durée de rotation (en min). On considère que la vitesse de rotation de chacune des pales est constante. Expliquez si le nombre de tours est proportionnel à la durée. Oui, car les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.

36

B

24 A 12 Durée de rotation (en min)

0

1

2

3

4

y −y b. Déterminez le coefficient directeur de la droite. a = xD − yO = 60 − 0 = 15 4−0 D O c. On note m la fonction qui à la durée x associe le nombre de tours. x 15 m(x) = m(x) = 15x Cochez l’expression de m(x) : m(x) = 15 x

2. Vrai ou faux ? A

x

5

21

13

y

15

63

39

B

x

2,27

3,43

5

y

227

343

500

• Le tableau A est un tableau de proportionnalité et l’expression de la fonction linéaire qui modélise la situation s’écrit f(x) = 3x.

Vrai

Faux

linéaire qui modélise la situation s’écrit f(x) = 0,01x.

Vrai

Faux

• Le tableau B est un tableau de proportionnalité et l’expression de la fonction

3. Associez à chacune des fonctions

i(x) = − 0,8x •

22

• d4

2

y d1

1

x –3

–1

–2

0

1

2

3

–1 d4

–2

d3

d2

© Éditions Foucher

linéaires suivantes sa représentation graphique. f(x) = 1,4x • • d1 g( x) = − 2x • • d2 1 h(x) = x • • d3 4

Automatismes Première

Je maîtrise 4. Voici un programme de calcul. On note x le nombre choisi et g(x) le nombre

obtenu. Expliquez si la fonction g est linéaire. g(x) = 0,2x + x = 1,2x. Il s’agit bien d’une fonction Choisir un nombre. linéaire car l’expression algébrique Le multiplier par 0,2. Ajouter le nombre choisi de la fonction g est de la forme g(x) = ax avec a = 1,2. au résultat précédent.

Défi !

3

min

Coloriez d’une même couleur les cases du tableau qui peuvent être associées.

−2

−1

y

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

0

1

2

x

−2

−1

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

4 3

x

–1,5

0,5

x

y

4,5

–1,5

y

1

2 1

0

1

2

x

−2

0

−1

1

2

x

−2

0

−1

1

2

−2

−1

−3 −4

y = 3x

y = –3x

0,5

x

–2

0,5

x

–2

0,5

– 0,5 0,25

y

–6

1,5

y

–4

1

–1

x

−1

y = 1x 2

y = 2x

y

y

© Éditions Foucher

Méthode Proportionnalité et fonction linéaire a est un nombre fixé. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction f qui à un nombre associe le produit de ce nombre par a. On écrit f(x) = ax. Prix en € Une situation de proportionnalité de coefficient a peut être modélisée y 0,25 par la fonction linéaire de coefficient a. La représentation graphique 0,2 Çf d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du 0,15 repère. a est le coefficient directeur de la droite. 0,1 j Graphiquement, on a une droite qui passe par l’origine du repère : 0,05 le prix payé est donc proportionnel au nombre de SMS. Le coefficient x directeur de cette droite vaut 0,05. La fonction linéaire f définie par 0 1 2 3 4 5 Nombre de SMS f(x) = 0,05x permet de modéliser la situation. 23

9

Reconnaissance d’un graphique à partir d’un tableau de variations

Je m'échauffe 1. Vrai ou faux ?

On considère le tableau de variations suivant : • f(2) = 1 Vrai Faux • f(9) = 4 Vrai Faux • f est décroissante sur [−5 ; 2]. Vrai Faux • f est croissante sur [1 ; 9]. Vrai Faux

x f

2. On donne le tableau de variations de la

x

fonction f. Cochez la courbe représentative de la fonction f.

1

y

1

f

–1

1

2

4

8

10

9 1

−1

3

0

1

1

2

0 −2

y

1

x O

−5

−1 y

x O

–1

2

1

x O

–1

2

–1

–1

–1

–2

–2

–2

1

2

Je maîtrise 3. On considère les tableaux de variations et les représentations graphiques de 3 fonctions f, g et h. Associez-les et trouvez l’intrus.

f

−4

−2

−1

1

2

1

1

−3

x C

24

x B

f

−4

−2

3

f

−4

1

2 0 2 1

−2

−2

2 3

1 © Éditions Foucher

x A

Automatismes Première

y

2 1

2 1

x

–4 –3 –2 –1–1O –2 1 –3

1 2 –4 –3 –2 –1–1O –2 2 –3

y

2 1

x

y

2 1

x

1 2 –4 –3 –2 –1–1O –2 3 –3

1 2 –4 –3 –2 –1–1O –2 4 –3

y x 1 2

A 3 ; B 1 ; C 2. L’intrus est la représentation graphique 4.

Défi !

3

min

Associez à chaque tableau de variations la fonction correspondante. x

−∞

2

5

y

+∞

14

5

k

2

x

−∞

4

10

+∞

Çk Çv

8

10

v

Çh

12

6 4

x

−∞

2

+∞

–6 –4 –2 O –1

h

x 2

4

6

8

–2

Méthode Reconnaître un graphique à partir d’un tableau de variation Le tableau de variations de la fonction f donne les informations suivantes :

© Éditions Foucher

x f

–5

–3

2

2

–1

3 2

–2

La courbe passe par les points de coordonnées (– 5 ; 2), (– 3 ; 2), (– 1 ; – 2) et (3 ; 2) La fonction f est constante sur [– 5 ; – 3], décroissante sur [– 3 ; – 1] puis croissante sur y [– 1 ; 3]. Çf 2 Une allure 1 x possible de la O –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 courbe est : –2 –3

25

10

Établissement du tableau de variations d’une fonction dont la courbe est donnée

Je m'échauffe

y 3

1. Vrai ou faux ?

On considère la représentation graphique d’une fonction f ci-contre : • f est décroissante sur [−2 ; 0]. Vrai Faux • f est décroissante sur [−1 ; 3]. Vrai Faux • f est croissante sur [−1 ; 3]. Vrai Faux • f est constante sur [−2 ; 2]. Vrai Faux

2

x –2

1,5

1

y Çg 1

1,5

1,5 0

0 x

O

Je maîtrise

1

y 4

3. Complétez le tableau de variations de la

fonction k en vous aidant de sa représentation graphique. x −2 −1 1 3 6

k

2

0 −4

5 −4

3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 –4

26

2

1

2

3

4

5

x 6

Çk © Éditions Foucher

g

0

1

–1

de la fonction g en vous aidant de sa représentation graphique. −0,5

O

–1

2. Complétez le tableau de variations x

Çf

1

Automatismes Première

Défi !

3

min

Construisez le tableau de variations de chacune des fonctions h, k et v. 4 y 0 −2 2 −1 1 x x 3

h x v

2 −4 −5 1

−3,5 −3,5

k

0 3,5

2

2

2

Çk

1

−2 3,5

Çh

–5 –4 –3 –2 –1 O –1

5 1

1

2

3

Çv x 4 5

–2 –3 –4

−3,5

© Éditions Foucher

Méthode Passer de la courbe au tableau de variations Étape 1 : On identifie les parties de la y 3 courbe où la fonction est croissante ou 2 décroissante. Çf Étape 2 : Pour chacune de ces parties, on 1 x détermine l’intervalle des abscisses qui O –3 –2 –1 1 2 3 lui est associé puis on les reporte dans la –1 première ligne du tableau de variations. –2 Étape 3 : Pour chaque intervalle de –3 la première ligne du tableau, on fait –4 correspondre dans la deuxième une flèche –5 montante si la fonction est croissante –6 et une flèche descendante si elle est décroissante. Étape 4 : On utilise la courbe pour trouver l’image par f de chaque nombre figurant dans la première ligne puis, sous chaque nombre, on reporte dans la deuxième ligne l’image à l’extrémité des flèches. j D’après le graphique, la fonction est croissante sur l’intervalle [–3 ; 0] et décroissante sur l’intervalle [0 ; 3]. On peut lire que f(–3) = –6 ; f(0) = 3 et f(3) = –6. x –3 0 3 D’où le tableau de variations de la fonction f :   3 f

–6

–6 27

11

Détermination graphique des extremums globaux d’une fonction sur un intervalle

Je m'échauffe 1. Vrai ou faux ?

y

5

B

4

• L’ordonnée du point A est un extremum global.

3

Vrai Faux • L’ordonnée du point B est un extremum global. Vrai Faux • L’ordonnée du point C est un extremum global. Vrai Faux • 5 est le maximum de f. Vrai Faux • 2 est le minimum de f. Vrai Faux

C

2 1

x

–4 –3 –2 –1 O –1

1

2

–2 –3

A

2. Plusieurs erreurs se sont glissées dans le texte

y

40

ci-dessous. Corrigez-les. 30 B Çf 20 « La fonction f présente 3 extremums globaux : 10 l’ordonnée du point B(− 4 ; 25), l’ordonnée du Dx point C(2 ; −10) et l’ordonnée du point D(4 ; 0). –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 –10 25 est le maximum de la fonction f et − 8 est le C –20 minimum de f. » –30 La fonction f présente 2 extremums A –40 globaux : l’ordonnée du point A(– 8 ; − 40) et l’ordonnée du point B(– 4 ; 25). 25 est le maximum de la fonction f et – 40 est le minimum de f.

3. À l’aide de la représentation graphique de la

P

fonction d sur l’intervalle [−10 ; 8] ci-contre, Çd donnez les extremums globaux de d. Précisez s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. –10 –8 –6 –4 La fonction d présente 2 extremums globaux : l’ordonnée du point P(– 10 ; 60) Q et l’ordonnée du point Q(– 5 ; – 20). 60 est le maximum de la fonction d et – 20 est le minimum de d.

28

60

y

50

R

40 30 20 10 –2 O –10 –20

x 2

4

6

8

S © Éditions Foucher

Je maîtrise

Automatismes Première

4. Le graphique ci-contre représente l’évolution

uc(V)

de la tension uc, en volt, en fonction du temps 2 t, en milliseconde, au cours de la décharge O d’un condensateur dans une bobine. 2 Pour chaque phrase, cochez la bonne réponse. • Le maximum global de cet enregistrement est égal à : 4 ms 4,25 V 6V 24 ms • Le minimum global de cet enregistrement est égal à : – 4,6 V 3 ms – 2,1 V 0 ms

Défi !

t(ms)

3

min

À l’aide du graphique ci-contre, associez chaque fonction à ses extremums globaux.

f• g• h•

• maximum 3 • maximum – 1 • maximum 5 • minimum – 1 • minimum – 3 • minimum – 5

y Çf

4 3 2 1

x

–3 –2 –1 O –1 –2 –3

Çg

1

Çh

–4 –5

© Éditions Foucher

Méthode Extremums globaux Un extremum global d’une fonction f définie sur un intervalle est un maximum global de f ou un minimum global de f sur cet intervalle. Le minimum global de f est la plus petite valeur de f sur l’intervalle et le maximum global de f est la plus grande valeur de f sur l’intervalle d’étude. Le minimum ou le maximum se lisent sur l’axe des ordonnées.

j La fonction f

A

5

y

présente 2 extremums Çf 4 globaux : l’ordonnée 3 du point A(–3 ; 5) et 2 l’ordonnée du point 1 B B(0 ; 0,5). –4 –3 –2 –1 O 5 est le maximum de la fonction f et 0,5 est le minimum de f.

C x 1

2

29

12

Calcul de l’ordonnée d’un point de la courbe représentative d’une fonction

Je m'échauffe

6

y

5 4

1. On considère la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [– 3 ; 3] d’expression f(x) = – x + 5. a. À l’aide de ce graphique, en laissant les traits de construction visibles, donnez l’ordonnée du point d’abscisse 3. L’ordonnée du point d’abscisse 3 vaut 2.

Çf

3 2 1

–4 –1 O –1

x 1

2

3

4

5

6

7

–2

b. Retrouvez ce résultat à l’aide de l’expression de la fonction : f(3) = – 3 + 5 = 2

2. Cochez la bonne réponse.

• L’ordonnée du point d’abscisse 1 de la courbe représentative de la fonction f d’expression f(x) = – 3x + 1 est égal à :

f ( x) = 1

f(1) = – 2

f(– 2) = 1

d’expression g(x) = 2x – 3 est égal à :

– 0,5

–5

– 11

d’expression h(x) = 34 – 2x² est égal à :

26

4

18

• L’ordonnée du point d’abscisse – 4 de la courbe représentative de la fonction g

• L’ordonnée du point d’abscisse – 2 de la courbe représentative de la fonction h

Je maîtrise 3. On considère une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6 000] par l’expression

4. Lors d’une course poursuite James prend son élan et saute dans l’eau depuis un

rocher. Lors du saut, il suit une trajectoire que l’on peut modéliser par une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 3] par l’expression f(t) = − 4t2 + 4t + 3. t représente le temps de chute, en secondes, et f(t) la hauteur de James au-dessus de l’eau, en mètres. Justifiez que la durée de la chute sera de 1,5 s. 30

© Éditions Foucher

f(x) = 0,1x + 100. À la question : « Est-il vrai de dire que la représentation graphique de cette fonction passe par le point de coordonnées (3 000 ; 400) ? », Paul donne la réponse suivante : « f(400) = 0,1 × 400 + 100 = 140. Non, la représentation graphique de la fonction f passe par le point de coordonnées (140 ; 400) ». Expliquez son erreur et corrigez-la. Paul confond l’abscisse et l’ordonnée. f(3 000) = 0,1 × 3 000 + 100 = 400. La représentation graphique de la fonction passe bien par le point de coordonnées (3 000 ; 400).

Automatismes Première

f(1,5) = − 4 × 1,5² + 4 × 1,5 + 3 = 0 ; James arrivera bien dans l’eau (altitude égale à 0) au bout de 1,5 s.

Défi !

3

min

Chaque résultat des calculs suivants correspond à la position d’une lettre dans l’alphabet. Remettez-les dans l’ordre et vous obtiendrez le nom d’un français qui a la tête un peu plus haut que les nuages ! a. L’ordonnée du point d’abscisse 16 de la courbe représentative de la fonction f 1 1 d’expression f(x) = + 4,875. f(16) = + 4,875 = 5. Lettre E. 2÷16 2÷x b. L’image de − 2 par la fonction g d’expression g(x) = 2x4 + 2x3 − x2 − x + 6 g(−2) = 2 × (−2)4 + 2 × (−2)3 − (−2)2 − (−2) + 6 = 20. Lettre T. c. L’ordonnée du point d’abscisse − 2 de la courbe représentative de la fonction f d’expression f(t) = 6 − 5t. f(−2) = 6 − 5 × (−2) = 16. Lettre P. d. L’image de − 3 par la fonction s d’expression s(r) = r2 + 2r + 2. s(−3) = (−3)2 + 2 × (−3) + 2 = 5. Lettre E. e. L’ordonnée du point d’abscisse 6 de la courbe représentative de la fonction m d’expression m(l) = 0,2l2 + 1,3l + 4. m(6) = 0,2 × 62 + 1,3 × 6 + 4 = 19. Lettre S. + 1. f. L’image de 1 par la fonction q d’expression q(u) = 20 20 2u2 − 1 + 1 = 21. Lettre U. q(1) = 2 × 12 − 1 g. L’ordonnée du point d’abscisse − 1 de la courbe représentative de la fonction u d’expression u(b) = b3 − 3(b − 5). u(−1) = (−1)3 − 3(−1 − 5) = 17. Lettre Q. Il s’agit de Thomas PESQUET.

© Éditions Foucher

Méthode Calculer l’ordonnée d’un point Étape 1 : On repère dans l’expression de la fonction f, toutes les fois où la variable, en général x, apparaît. On les remplace par la valeur de l’abscisse donnée. Étape 2 : On effectue les calculs en respectant les priorités des opérations. Étape 3 : Le résultat obtenu se note f(x), c’est l’ordonnée du point d’abscisse x ; f(x) est aussi appelée image de x par la fonction f.

La représentation graphique de la fonction passe donc par le point de coordonnées (x ; f(x)). j Calculer l’ordonnée du point d’abscisse 5 de la courbe représentative de la fonction f d’expression f(x) = 2x2 – 3x + 1. f(5) = 2 × 52 – 3 × 5 + 1 = 36. La courbe représentative de la fonction f passe par le point de coordonnées (5 ; 36).

31

13

Détermination graphique du coefficient directeur d’une droite

Je m'échauffe 1. Donnez le coefficient directeur de chacune des droites en utilisant les coordonnées des points A et B.

b.

y

(d2)

2 B (d1)

x –2

A

y

1

1

A –3

2

–1

0

–2

0

–1

2

y

la droite ci-contre est 0,7. Indiquez quelle est son erreur. Clara a oublié le signe moins.

2

A B

1

b. Kenneth a commis une autre erreur. Il a écrit :

x

2−1 1 =  ≈ − 1,4. Corrigez son erreur. 1 − 1,7 − 0,7 Kenneth a inversé abscisses et ordonnées. a = 1 − 1,7 = − 0,7. 2 −1

a = 

0

2

1

Je maîtrise 2

directeur.

•2 • 1,5 •1 • − 0,5 • − 1

3

y

(d3)

3. Associez chaque droite à son coefficient

32

1

Le coefficient directeur de (d2) est : 0 − 1 = −1 = − 0,5 1 − (−1) 2

2. a. Clara a écrit que le coefficient directeur a de

Droite (d3) •

x

1

Le coefficient directeur de (d1) est : 2−0 =2 0 − (−3) 3

Droite (d1) • Droite (d2) •

B

(d2)

1 (d1) –3

–2

x –1

0 –1

1

2

© Éditions Foucher

a.

Automatismes Première

4. Le graphique ci-contre représente le

60

Nombre de litres

remplissage d’une cuve vide au départ à l’aide d’une pompe. 40 a. Calculez le coefficient directeur de la droite tracée. 20 a = 60 = 6 10 b. Cochez la bonne réponse. 0 Le débit du robinet, en L/min, est : 5 6 8

Défi !

Nombre de minutes 2

6

4

8

10

3

min

y L’inclinaison ou pente d’une piste de ski peut être donnée en pourcentage. 3 Donnez la pente, en pourcentage, de cette descente neigeuse. Arrondissez à l’unité. 2 Pente = − 2 = 3 2 Un e pe nte de 10 % co − ≈ − 67 % rre sp on d à 3 1 un co eff ici en t dir

A

ec teu r de 0,1 da ns un rep ère ort ho no rm é.

x 0

2

1

3

B

4

© Éditions Foucher

Méthode Déterminer le coefficient directeur a d’une droite (d) non verticale – On place deux points A et B sur (d). Si possible, on choisit des nombres entiers pour les coordonnées de A et B ; – on calcule xB – xA ; – on calcule yB – yA. Le coefficient directeur cherché est : y −y a = x B − xA . B

A

j On lit sur le graphique A (0 ; 1) et B (2 ; 2).

xB – xA = 2 – 0 = 2 ; yB – yA = 2 – 1 = 1 a = 1 = 0,5 2 y 3

(d)

2

B

1 A x 0

1

2

3

Le coefficient directeur de (d) est égal à 0,5. 33

14

Reconnaissance du parallélisme de deux droites d’équations réduites données

Je m'échauffe 1. Vrai ou faux ?

Dans un repère du plan, on donne les équations réduites de quatre droites. 12 (D1) : y = −4x + 2 ; (D2) : y = −4x + 5 ; (D3) : y = −2 +  x ; (D4) : y = −÷1⁄ 6x − 8. 3 a. Cochez la bonne réponse. • (D1) est parallèle à (D2). Vrai Faux • (D2) est parallèle à (D3). Vrai Faux • (D3) est parallèle à (D4). Vrai Faux • (D4) est parallèle à (D1). Vrai Faux

b. Justifiez les réponses fausses. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Coefficient de (D2) = − 4 ; coefficient de (D3) = 12 ÷ 3 = 4. Coefficient de (D3) = 4 ; coefficient de (D4) = −÷1⁄ 6 = − 4.

2. Associez, lorsque c’est possible, les droites parallèles définies par leur équation réduite dans un repère. y = x − 5 • y = −5x • 1 y =  x + 1 • 3 y = − x + 1 •

• y = 0,6x − 5 • y = 7 − x • y = 1x + 3 • y = − 15 x − 1

3 3. Retrouvez l’énoncé des questions auxquelles Jimmy a répondu.

1 question : a1 = 4 − 1 = 3 =1 ; a2 = 1 − (−2) = 3 =1 1 − (−2) 3 2 − (−1) 3

y 4

re

B

2

A

D x

2e question : oui, car les coefficients sont égaux. –2

–1

0

1

2

1 question : Calculez le coefficient C –2 directeur des droites (AB) et (CD). 2e question : Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? 34

© Éditions Foucher

re

Automatismes Première y

Je maîtrise

3

4. a. Calculez le coefficient directeur

F

2

de la droite (AB). a = 2 − 1 = 1 = 0,25 6−2 4 b. Placez sur le graphique un point F tel que les droites (CF) et (AB) soient parallèles. Par exemple (2 ; 2) ou (4 ; 2,5).

1

B C A x

0

4

2

6

8

c. Vérifiez votre tracé en calculant le coefficient directeur de la droite (CF).

a = 2,5 − 1,5 = 1 = 0,25 4−0 4

Défi !

3

min

La nature s’amuse parfois à imiter des formes géométriques, comme ces strates (couches de terre) qui semblent parallèles. En utilisant les points A, B, E, F, vérifiez Pr en dre A (0 ; 0), B (2, 5 ; 4), E (3 ; 0), F (5 ; 3,4). si les strates sont parallèles. Justifiez. Coefficient directeur de (AB) = 4 ÷ 2,5 = 1,6 ; coefficient directeur de (EF) = 3,4 ÷ 2 = 1,7. Les coefficients ne sont pas égaux ; donc les strates ne sont pas parallèles.

B

y

F 3 2 1 A 0

E 1

2

3

x

4

© Éditions Foucher

Méthode Reconnaître le parallélisme de deux droites d’équations réduites données – On identifie le coefficient directeur des droites : c’est le nombre a dans l’équation réduite y = ax + b de la droite ; – si le coefficient directeur est le même, les droites sont parallèles. j Voici trois équations réduites : (d1) : y = 0,25x + 3 (d2) : y = 1x 4

(d3) : y = 1x + 3 3 Coefficient a1 de (d1) = 0,25 Coefficient a2 de (d2) = 1 = 0,25 4 Coefficient a3 de (d3) = 1 3 On voit que a1 = a2. Donc les droites (d1) et (d2) sont parallèles. a3 ≠ a1 et a3 ≠ a2. Donc (d3) n’est parallèle ni à (d1), ni à (d2). 35

15

Résolution graphique d’une équation f (x) = c ou d’une inéquation f (x) < c

Je m'échauffe 1. La fonction f est définie sur l’intervalle [−1,5 ; 1,5].

y

Résolvez à l’aide du graphique ci-contre : a. l’équation f (x) = 0,5 Le s so lut ion s so nt les 3 solutions : − 1,3 ; − 0,2 ; 1,5

x 0

–1

–2

2

Çf

y=1

x –1

0

2

1

3

–2

• L’équation f (x) = 0 a 3 solutions.

36

1

y

3. Vrai ou faux ?

Vrai Faux • L’équation f (x) = 1 a 2 solutions. Vrai Faux • L’équation f (x) = − 1,5 a 2 solutions. Vrai Faux • 1 est solution de l’inéquation f (x) > 1. Vrai Faux • 1 est solution de l’inéquation f (x)  0 • f (x) = 3,1 •

Défi !

Çf

y=2

2

Çg

1

x 0

• {1 ; 3} • {1}

y

2

1

3

4

–1

3

min

Malika ne veut pas dépenser plus de 6 € pour acheter des pommes, mais il lui en faut au moins 2 kg. Le graphique représente le prix y (en €) de x kg de pommes. Dans quel intervalle doit se situer la masse de pommes achetées ? L’intervalle cherché est [2 ; 3,3].

y 6 4 2 x 0

2

1

3

© Éditions Foucher

Méthode Résoudre graphiquement une équation f (x) = c ou une inéquation f (x)  3. a. Exprimez en fonction de x l’aire de la surface colorée. x² − 3² = x² − 9

x 3 3 x

b. Factorisez cette expression littérale. c. Écrivez en fonction de x, les dimensions d’un rectangle de largeur (x − 3) ayant la même aire que cette surface colorée. Longueur = x + 3 48

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x² − 9 = (x + 3)(x − 3)

Automatismes Première

5. L’objectif de cet exercice est de trouver sans calculatrice le produit 103 × 97. a. Complétez les égalités suivantes. • 103 = 100 + 3

• 97 = 100 − 3

b. En utilisant l’identité x2 − a2 = (x − a)(x + a), écrivez sous forme d’une

différence le produit (100 – 3) (100 + 3). (100 – 3) (100 + 3) = 1002 − 32

c. Déduisez-en la valeur du produit 103 × 97. 103 × 97 = (100 + 3) (100 – 3) = 1002 − 32 = 10 000 – 9 = 9 991. d. En utilisant le même procédé, calculez le produit 1 005 × 995. 1 005 × 995 = (1 000 + 5) (1 000 – 5) = 1 0002 − 52 = 1 000 000 – 25 = 999 975.

Défi !

4

min

Un champ en forme de L a été divisé en 6 deux parcelles de même aire. Les futurs x 6 propriétaires veulent s’en assurer. Prouvez que les deux champs ont la Champ de M. Dev même aire. x Aire du champ de M. Dev = x2 − 62. Longueur du champ de M. Fac = x + 6. Largeur du champ de M. Fac = x – 6. Aire du champ de M. Fac = (x + 6)(x − 6) = x2 − 62. Les deux champs ont bien la même aire.

6

x

Champ de M. Fac

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Méthode Factoriser une expression de la forme x² − a² Factoriser l’identité x2 − a2 c’est transformer cette différence en un produit. x2 − a2 = (x − a) (x + a) Pour cela : − on identifie la valeur de a2 et détermine la valeur de a = ÷a2 ; − on remplace a par sa valeur dans l’expression (x – a) (x + a).

j Factorisez x2 – 25 :

− on identifie a2 = 25 ; − on calcule a = ÷25 = 5 ; − on écrit la forme factorisée : x2 − 25 = (x – 5) (x + 5).

49

22

Développement de a(x + b) (a et b entiers relatifs)

Je m'échauffe 1. Reliez chaque expression littérale à sa forme développée.

− 9(x − 7)

• • •

• − 9x − 63 • 9x + 63 • − 9x + 63

− 9(x + 7)

•

• 9x − 63

9(x − 7) 9(x + 7)

2. Cochez la réponse correspondant au développement de l’expression donnée. • 4(x + 1) = • 8(x − 2) = • − 6(x + 2) = • − 9(x − 12) = 

5x 8x − 16 − 12x 108x

4x + 4 − 16x 6x − 12 − 9x + 108

4x + 1 8x + 16 − 6x − 12 9x − 108

3. Développez les expressions suivantes.

• 20(x + 17) = 20 × x + 20 × 17 = 20x + 340 • 92(x − 10) = 92 × x + 92 × (−10) = 92 x − 920 • − 16(x − 1) = (− 16) × x + (− 16) × (− 1) = − 16x + 16

Je maîtrise 4. Pour cet exercice, on suppose que x > 2.

x

a. Écrivez en fonction de x, l’aire d’un rectangle de longueur (x – 2) et de largeur 5. Aire du rectangle = 5(x − 2) b. Développez cette expression littérale. Aire du rectangle = 5(x − 2) = 5x – 10

5

2

d. En décomposant le rectangle rouge, retrouvez l’expression littérale développée de la question b. Aire du rectangle rouge = 5x. Aire du rectangle blanc = 2 × 5 = 10. Aire du rectangle hachuré = 5x – 10. 50

© Éditions Foucher

c. Hachurez sur le schéma ci-contre la surface délimitée par ce rectangle.

Automatismes Première

5. Écrivez l’expression littérale que l’on obtient lorsqu’on applique ce programme de calcul à un nombre n, puis développez l’expression obtenue. Choisir un nombre. Soustraire 10 à ce nombre. Multiplier le résultat par – 15. Expression correspondante : − 15 (n – 10) = − 15n + 150.

Défi !

4

min

Coloriez d’une même couleur les cases du tableau qui peuvent être associées. Périmètre d’un rectangle de longueur x et de largeur 5

6(x − 5)

4(x − 4)

Aire d’un rectangle de longueur (x − 5) et de largeur 6

Aire d’un triangle de base (x − 4) et de hauteur 8

2(x + 5)

6x + 30

2x + 10

6x − 30

Volume d’un pavé droit de longueur 2 de largeur (x + 5) et de hauteur 3

4x − 16

6(x + 5)

Méthode

© Éditions Foucher

Développer une expression de la forme a (x + b) Développer une expression de la forme a (x + b) c’est transformer ce produit en somme.

a (x + b) = a × x + a × b Au cours du développement, il faut faire attention aux signes de a et de b. j Développer l’expression 2(x + 3) j Développer l’expression −2(x – 5) 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 –2(x – 5) = (−2) × x + (–2) × (–5) 2(x + 3) = 2x + 6 –2 (x – 5) = –2x + 10 51

23

Développement de (x + a)(x + b) (a et b entiers relatifs)

Je m'échauffe 1. Reliez chaque produit à sa forme développée et réduite. (x + 2)(x + 3) • (x − 7)(x − 2) •

• x2 − x − 6 • x2 − 9x + 14 • x2 + x − 20

(x + 2)(x − 3) •

• x2 + 5x + 6

(x − 4)(x + 5) •

2. Développez puis réduisez les expressions suivantes. • (x + 12)(x + 1) = x × x + x × 1 + 12 × x + 12 × 1

= x2 + x + 12x + 12 = x2 + 13x + 12 • (x − 7)(x + 11) = x × x + x × 11 + (− 7) × x + (− 7) × 11 = x2 + 11x + (− 7x) + (− 77) = x2 + 4x − 77 • (x + 8)(x − 1) = x × x + x × (− 1) + 8 × x + 8 × (−1) = x2 + (− x) + 8x + (− 8) = x2 + 7x − 8 • (x − 10)(x − 10) = x × x + x × (− 10) + (− 10) × x + (− 10) × (− 10) = x2 + (− 10x) + (− 10x) + 100 = x2 − 20x + 100

Je maîtrise 3. a. Donnez le nombre de cases d’un tableau de 11 lignes et 14 colonnes. 11 × 14 = 154 cases.

b. On considère un tableau de x lignes et x colonnes. Donnez, en fonction de x, le nombre de cases de ce tableau. Le nombre de cases du tableau est x2.

c. Écrivez en fonction de x, l’expression littérale donnant le nombre de cases si

d. Développez et réduisez cette expression littérale. (x + 5)(x + 8) = x × x + x × 5 + 8 × x + 5 × 8 = x2 + 13x + 40

e. Vérifiez votre calcul de la question a. avec x = 6. 62 + 13 × 6 + 40 = 154 cases. 52

© Éditions Foucher

on ajoute 5 lignes et 8 colonnes à ce tableau. Le nombre de cases du nouveau tableau est (x + 5)(x + 8).

Automatismes Première

4. Écrivez l’expression littérale que l’on obtient lorsqu’on applique ce programme de calcul à un nombre x, puis développez et réduisez l’expression obtenue. Choisir un nombre Ajouter 6 à ce nombre

Ajouter (−4) à ce nombre

Multiplier les deux résultats obtenus Expression correspondante : (x + 6) (x – 4) (x + 6) (x – 4) = x2 + (– 4x) + 6x + (– 24) = x2 + 2x – 24.

Défi !

4

min

On suppose que x > 6. Dans un atelier, un technicien dispose d’une plaque métallique carrée de côté x cm. Cette plaque étant trop grande il doit en couper une bande horizontale de 6 cm et une bande verticale de 4 cm. Écrivez, développez et réduisez l’expression littérale qui permet d’exprimer l’aire de la plaque découpée en fonction de x. Aire de la plaque découpée = (x − 6)(x − 4). (x − 6)(x − 4) = x2 + (− 4x) + (− 6x) + 24 = x2 − 10x + 24

x 6 cm 4 cm

Méthode

© Éditions Foucher

Développer une expression de la forme (x + a)(x + b) Développer une expression de la forme (x + a)(x + b), c’est transformer ce produit en somme. (x + a) (x + b) = x × x + x × b + a × x + a × b Au cours du développement, il faut faire attention aux signes de a et de b.

À la fin du développement, il est nécessaire de réduire l’expression finale, c’est-à-dire de regrouper ensemble les termes semblables en x et d’effectuer le calcul. j Développer l’expression (x + 3)(x − 5) (x + 3)(x − 5) = x × x + x × (−5) + 3 × x + 3 × (−5) (x + 3)(x − 5) = x2 – 5x + 3x – 15 (x + 3)(x − 5) = x2 – 2x – 15

53

Automatismes de Seconde Révisions

1 Calcul d’une fréquence 1. Simon a relevé la couleur sortie lors de 200 lancers de billes à la roulette.

La couleur « rouge » est sortie 85 fois, la couleur « noir » les autres parties.

a. Cochez les différentes écritures possibles de la fréquence de la couleur

« rouge » : 85 0,425 42,5 42,5 % 200 b. Donnez 3 écritures possibles de la fréquence de la couleur « noir » : 115 ; 0,575 ; 57,5 % 200 2. Cinquante adolescents ont été interrogés sur leur sport collectif préféré. Voici les réponses obtenues. Complétez le tableau : Sport préféré

Football

Rugby

Handball

Basket-ball

Nombre d’adolescents

21

15

6

8

Fréquence

0,42

0,30

0,12

0,16

2 Utilisation des pourcentages 1. Dans une société de 450 salariés, 68 % travaillent totalement à distance et 28 % travaillent à la fois en présentiel et à distance.

a. Calculez le nombre de salariés travaillant uniquement à distance. 450 × 0,68 = 306 ; 306 salariés travaillent uniquement à distance.

b. Calculez le pourcentage des salariés travaillant uniquement en présentiel. 100 – 68 – 28 = 4 ; 4 % des salariés travaillent uniquement en présentiel.

2. En 2021, un fleuriste a vu son bénéfice progresser de 1,3 % par rapport à l’année

3 Différentes écritures des pourcentages Complétez les égalités suivantes avec l’écriture décimale, puis une écriture fractionnaire : 31 ; 42,5 % = 0,425 = 42,5 ; 0,6 % = 0,006 =  0,6 31 % = 0,31 =  100 100 100 54

© Éditions Foucher

précédente où il était de 20 000 euros. Calculez le bénéfice de l’année 2021. 20 000 × 0,013 = 260 euros supplémentaires. Le bénéfice en 2021 est donc de : 20 000 + 260 = 20 260 euros.

Automatismes Seconde

4 Calcul d’une moyenne 1. Dans un musée, on relève le nombre journalier de visiteurs sur une semaine : 125 ; 231 ; 450 ; 176 ; 344 ; 546 ; 432. Calculez le nombre moyen de visiteurs par jour. Arrondissez à l’unité. (125 + 231 + 450 + 176 + 344 + 546 + 432) ÷ 7 ≈ 329,14 Le nombre moyen de visiteurs, arrondi à l’unité, est de 329.

2. Charline a vendu des vêtements d’occasion sur un site spécialisé. Calculez la

moyenne des notes de satisfaction qu’elle a obtenues. Arrondissez au centième. x¶ ≈ 4,31 Nombre d’étoiles 1 2 3 4 5 Effectif

0

1

7

19

25

5 Calculs avec les puissances de 10 1. Pour chaque proposition, cochez la bonne réponse. • 0,000 01 s’écrit aussi : 10 –6 • Un milliard peut s’écrire : 106 • 104 × 105  109 12 –6 • 10  × 10   1018 5 • 10−3 108

10 –5 109 1045 10 –6 102

105 1012 10 –1 106 10 –15

10 2. Une galaxie a un diamètre d’environ 100 000 années-lumière.

a. Exprimez 100 000 sous la forme 10 n. 100 000 = 105. b. Calculez le diamètre de la galaxie en kilomètre. 5

9

1 an né e-l um ièr e va ut en vir on 9,5 × 10 9 km .

14

10 × 9,5 × 10 = 9,5 × 10 km.

6 Écriture d’un nombre en notation scientifique 1. Cochez la proposition donnant la notation scientifique.

© Éditions Foucher

• 6 582 : • 0,47 : • 31,1 :

0,6582 × 104 4,7 × 10−1 3,11 × 10−1 

6,582 × 103 4,7 × 10−2 3,11 × 10 

65,82 × 102 47 × 10−2 3,11 × 102

2. On estime à 750 millions le nombre de bactéries présentes dans 1 mL de salive. Donnez l’écriture en notation scientifique de cette information. 750 × 106 = 7,5 × 108 bactéries.

55

7 Comparaison des fractions simples entre elles

ou avec des nombres décimaux

1. Placez les valeurs suivantes sur l’axe ci-dessous : − 2 ; − 5 ; 14 ; 7 ; 3 5

−5

−4

−3

–

5 −2 2

−1

–

20 5

3 1 5

2

7 3

2 4 3 5

3

14 4 4

5

6

2. Classez les valeurs suivantes dans l’ordre croissant : 1 15 1 8 ; 0,3 ; ; 1 ; ; 5 6 10 100

  8 < 1 < 1 < 0,3 < 1 < 15 100 10 5 6

8 Addition et multiplication de fractions 1. Effectuez les calculs suivants et donnez le résultat sous forme d’une fraction irréductible. a. −3 + 6 × −2 = −3 − 12 = −9 − 12 = −21 = −7 5 15 15 15 15 5 5 5 3 4 4 4 × 3 = 12 = 3 b. ÷ =  5 3 5 4 20 5 c. 9 − 1 × 78 = 18 − 78 = −60 = −30 26 26 26 13 13 26

d. (3 + 2) × 1 + 7 ÷ 7 = (15 + 4 ) × 1 + 7 × 2 = 19 × 1 + 2 = 19 + 2 = 19 + 8 2

5

2

5

2

10 10 27 = = 9 30 10

2

5

7

10

2

5

20

5

20

20

2. Une balle est lancée dans les airs d’une hauteur initiale de 12 mètres. Quand

3 cette balle rebondit, elle atteint une hauteur égale aux de la hauteur atteinte au 8 rebond précédent.

a. Déterminez, en m, la hauteur atteinte par la balle au premier rebond.

b. Déterminez, en cm, la hauteur atteinte par la balle au troisième rebond. 3 × 3 × 4,5 ≈ 0,63 m soit 63 cm. 8 8

56

© Éditions Foucher

12 × 3 = 4,5 mètres. Au premier rebond, la balle atteint 4,5 m. 8

Automatismes Seconde

9 Développement, factorisation,

réduction d’expressions littérales

1. Développez les expressions suivantes. Réduisez si nécessaire. • 7(10x + 6) = 70x + 42 • (5 − z) × (−5) = − 25 + 5z • −9(8 − 2a) + 5 (−1 − a) = − 72 + 18a − 5 − 5a = 13a − 77

2. Factorisez les expressions suivantes.

• (3a + 4)(4a − 3) − (3a + 4)(3a − 1) = (3a + 4)(4a − 3 − 3a + 1) = (3a + 4)(a − 2) • (3x − 1)(x + 3) − (x + 3)(4x + 1) = (x + 3)(3x − 1 − 4x − 1) = (x + 3)(− x − 2)

10 Transformation de formules,

expression d’une variable en fonction des autres 1. L’indice de masse corporelle, noté IMC, en kg/m², permet de déterminer la

corpulence d’une personne adulte. Il se calcule en fonction de la masse m, en kg, m et de la taille t, en m : IMC =  2 . t Exprimez t en fonction de IMC et m. t = m IMC 2. Dans un système d’engrenage, on peut calculer la fréquence de rotation d’un n Z ×Z pignon par rapport à un autre en utilisant la formule : 1 = 2 4. n2 Z1 × Z3 Z2 × Z4 n2 Exprimez Z1 en fonction de n1, n2 et Z4, Z2 et Z3. Z1= n × Z 1 3

÷⁄

11 Résolution d’équations

© Éditions Foucher

du type ax = b et a + x = b

Résolvez les équations suivantes. a. 2x = − 1 x = − 1 e. 1 + x = 5 x = 5 − 1 = 4 2 b. 7 t = 3 t = 3 × 3 = 9 f. −5 − a = 6 − 5 − 6 = a soit a = − 11 3 7 7 c. a = 3 a = 3 × 2 = 6 g. 1 + x = 2 x = 2 − 1 = 6 − 5 = 1 5 3 15 15 15 2 3 5 1 2 8 1 d. = 5 x = h. − x = − x = 2 + 8 = 8 + 8 = 16 = 4 x 7 28 5 7 28 28 28 28 7

57

12 Calcul d’une quatrième proportionnelle 1. Le tableau ci-contre est un tableau de proportionnalité. a. Pour déterminer x, Wilfrid a écrit le calcul suivant :

2,4 × 3 x =  . A-t-il raison ? 3,6 Corrigez si Wilfrid a commis une erreur.

2,4

3,6

3

x ?

Wilfrid s’est trompé. Le calcul exact est 3 × 3,6. 2,4 3 × 3,6 b. Calculez x : = 4,5 2,4 3 2. 3 dm d’aluminium pèsent 8,1 g. Calculez la masse de 15 cm3 d’aluminium. 15 est 5 fois plus grand que 3. Donc masse de 15 cm3 = 8,1 × 5 = 40,5 g. Autre méthode : 8,1 × 15 = 40,5 g. 3

13 Application et calcul d’un pourcentage

ou d’une échelle

20 = 70 × 0,2 = 14 €. 100 b. Léa a été élue déléguée de sa classe avec 15 voix sur 20 votants. Calculez le pourcentage de voix obtenues. 15 = 0,75 ; 0,75 × 100 = 75, soit 75 % des voix. 20

1. a. Calculez 20 % de 70 €. 70 ×

2. Complétez le tableau. Échelle

Longueur sur document

1/50

5 cm

250

10 cm

5 km = 500 000 cm

cm = 2,5

14 Repérage dans un plan

4 y A

a. Carla pense avoir placé le point M de coordonnées

2

(− 2 ; 3). Sa réponse est-elle exacte ? Non, Carla a placé le point de coordonnées (3 ; −2).

x –4

b. Donnez les coordonnées des points A et B. A(1 ; 3) ; B(−3 ; −2) 58

m

–2 B

O –2 –4

2

4 M

© Éditions Foucher

1/ 50 000

Longueur réelle

Automatismes Seconde

15 Recherche d’image et d’antécédents

d’un nombre par une fonction

1. Soit la fonction f définie sur 3 par f (x) = 2x − 3. a. Calculez l’image de − 8 par f. f (− 8) = 2 × (− 8) − 3 = − 19 b. Calculez f (2,4). f (2,4) = 2 × 2,4 − 3 = 1,8 c. Calculez l’antécédent de 5 par f. On résout l’équation 2x − 3 = 5. On obtient x = 4. L’antécédent de 5 est égal à 4.

2. Le graphique ci-contre donne les courbes

y

représentatives de deux fonctions f et g. Déterminez graphiquement :

d. L’antécédent de 1 par g : 2

Çf

1

b. L’image de 2 par g : 1 c. Les antécédents de 1 par f : 0 et 3

Çg

2

a. L’image de 1 par f : − 1

x –2

e. L’antécédent de − 1 par g : 0

–1

0

1

2

3

–1

16 Procédures de résolution graphique

d’équations

Le graphique ci-contre donne les courbes représentatives des fonctions f, g et h. Déterminez graphiquement les solutions des équations suivantes sur l’intervalle [− 2 ; 2].

y 2 Çh

1

a f (x) = g (x) :− 0,7 et 1 b. f (x) = h (x) : pas de solution

© Éditions Foucher

c. g (x) = h (x) : − 1 et 2 d. f (x) = 1,5 : − 1 et 1,7 e. g (x) = 1,5 : 0

Çf

x –2

–1

0 –1

2

1 Çg

–2

59

17 Conversions d’unités de longueur, d’aire

et de volume

Complétez les égalités suivantes. cm 10 cm2 = 0,001  m2 25 m = 2 500 4,8 cm = 0,048 m 23 dam2 = 230 000 dm2 5,04 km = 5 040 000 mm 5 000 mm2 = 0,5 dm2 76 mm = 0,076

m

17,6 m = 17 600

mm

L 6 m3 = 6 000 3 0,003 5 dm3 3,5 cm = 500 dm3 = 500 000 cm3 50 mL = 0,050 L

18 Reconnaissance des configurations

de Pythagore et de Thalès

1. Citez au moins 3 triangles dans lesquels le théorème

A

de Pythagore peut s’appliquer dans la figure. ACG, BCF, ECG, DCF, BDC, AEC.

B

2. Citez au moins 2 triangles de la figure dans lesquels le théorème de Thalès peut s’appliquer en précisant les droites parallèles. Triangle ACG : (BF) // ((AG), triangle ECG : (DF) // (EG), triangle AEC : (BD) // (AE)

E D

C

F

G

19 Détermination d’un arrondi,

d’une valeur approchée 1. Complétez le tableau ci-dessous.

79,699 7 895,872

Arrondi à l’unité

Arrondi au centième

120 80 7 900

124 80 7 896

124,39 79,70 7 895,87

2. a. Complétez l’encadrement de 8,425 au centième :

8,42 < 8,425 < 8,43 .

b. Donnez les valeurs approchées au dixième de 7,85. Par défaut : 7,8  ; par excès : 7,9 .

60

© Éditions Foucher

124,389

Arrondi à la dizaine

Automatismes Seconde

20 Expression d’un résultat

dans une unité adaptée

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s). • Pour donner la taille d’un atome, l’unité la mieux adaptée est : le mètre le millimètre le micromètre. • Pour donner la distance réelle entre deux villes, l’unité la mieux adaptée est : le kilomètre le mètre le centimètre. • Pour donner la distance entre deux villes sur une carte routière, l’unité la mieux adaptée est : le kilomètre le mètre le centimètre. • Pour donner la masse d’un éléphant, l’unité la mieux adaptée est : le kilogramme le gramme la tonne.

21 Vérification de la cohérence grandeur − unité

d’une mesure

Vrai ou faux ? Corrigez lorsque cela est nécessaire. • Le volume et la masse d’un pavé d’aluminium s’expriment dans la même unité. Vrai Faux. Le volume s’exprime en m3 et la masse en g. • Sur les autoroutes, la vitesse est limitée à 130 kilomètres heure. Vrai Faux. Elle est limitée à 130 kilomètres par heure. • Le volume d’un cylindre peut être égal à 30 L. Vrai Faux. • L’aire de la surface d’une cuisine peut s’exprimer en m3. Vrai Faux. Une aire s’exprime en m2.

22 Calcul de l’aire d’un carré, d’un rectangle,

d’un disque

1. a. Calculez l’aire d’un carré de côté 2 cm. Ä = 2 × 2 = 4 cm2. b. Calculez l’aire d’un rectangle de longueur 3,5 m et de largeur 1,5 m. Ä = 1,5 × 3,5 = 5,25 m². © Éditions Foucher

c. Calculez l’aire en m2 d’un carré de côté 85 cm. Ä = 0,85 × 0,85 = 0,722 5 m².

2. a. Calculez l’aire d’un disque de rayon 0,75 dm. Ä = p × 0,752 ≈ 1,77 dm2. b. Calculez l’aire d’un disque de diamètre 45 dm. Ä = p × 22,52 ≈ 1 590,43 dm2. 61

Flashcards

Pour te tester, réponds oralement aux questions. Si tu as besoin d’aide, relis la méthode de l’automatisme indiqué.

Le corrigé des flashcards est à télécharger sur foucherconnect.fr/22map02

1.

4.

On lance un dé non truqué de 12 faces (dodécaèdre). Chaque face porte un numéro compris entre 1 et 12. Calculez la probabilité que le résultat obtenu soit un multiple de 4. > Automatisme 1

Associez chaque type d’établissement à la courbe qui lui correspond.

F F

G

F F Un couple désire avoir G G trois enfants. Cette F situation peut être F G G traduite par un arbre des F G possibles. G Donnez le nombre de possibilités d’avoir au moins deux filles. > Automatisme 2

3. Indiquez quel type de motorisation a connu le plus grand essor entre 2019 et 2020 et celui qui a connu la plus forte baisse. Justifiez. 1 400 000

Ventes de véhicules neufs, selon le type de motorisation

2019

1 267 800

1 200 000

2020

1 000 000 800 000 600 000

765 500

736 200

25 20 15 10 5 0

1980

2000

1990

2010

2019

1980 1990 2000 2010 2019 Lycée général et technologique

27,1

29,7

27,7

27,7

29,7

Lycée professionnel

23,5

22,7

19,7

19

18,3

Collège

23,5

24,3

24,2

24,4

25,6

> Automatisme 4

5. Au péage, le matin, à l’heure de pointe, on a compté le nombre de passagers dans chaque véhicule léger. Voici les résultats obtenus :

Effectif

1

2

3

4

5

986

921

645

231

24

172 600

200 000

106 300

Diesel

107 300 42 300

18 700

74 200

Essence Hybrides non Électrique Hybrides rechargeables rechargeables

> Automatisme 3

62

30

Nombre de passagers

496 300

400 000

0

35

Nombre d’éléves

2.

Évolution du nombre d’élèves par classe

Déterminez les indicateurs suivants : étendue, moyenne, médiane, mode, écart type, premier et troisième quartiles. Arrondissez au centième les résultats. > Automatisme 5

Tu peux aussi t’entraîner avec des flashcards numériques.

/

foucherconnect.fr 22map03

6.

y

Çf

Résolvez les équations suivantes : • 140x – 25 = 17 • 36 – 3x = – 9 > Automatisme 6

B

3 2 1

x

–3 –2 –1 O

1

2

3

7.

4

> Automatisme 9

Résolvez dans 3 l’inéquation 2x – 3 ≥ 1. > Automatisme 7

10. On considère la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [– 2 ; 3] ci-dessous. Construisez son tableau de variations.

8. On considère le tableau ci-dessous. x

3

7,3

11,3

3

y

15

36,5

56,5

2

y

Çf

1

Justifiez que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Donnez l’expression de la fonction linéaire qui la modélise la situation.

–3 –2 –1 O –1

x 1

2

3

> Automatisme 10

> Automatisme 8

9. On considère le tableau de variations de la fonction f que l’on étudie sur l’intervalle [– 3 ; 4]. x f

−3

−1

2

4

4

5

3

y

A

2 1 –3 –2 –1 O –1

x 1

2

3

4

y

E Çt

4 3

A

2 1

0

Des deux représentations graphiques A et B ci-dessous, choisissez celle qui correspond au tableau de variations donné ci-dessus. Çf

11.

1 −1

4

–2 –1 O –1

x

C 1

2

3

4

–2 –3

B

–4

D

À l’aide de la représentation graphique de la fonction t sur l’intervalle [– 2 ; 6], donnez les extrémums globaux de t en précisant s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. > Automatisme 11

63

12.

17.

Calculez l’ordonnée du point d’abscisse – 6 de la courbe représentative de la fonction f d’expression f (x) = –0,4x2 − 2,1x + 1,8.

í Ç est le cercle de centre O. É est le disque de centre O. í É O est la sphère de centre O. A B Ç Dites quelles sont les affirmations exactes. 1 Le point O appartient au cercle Ç. 2 Le point O appartient au disque É. 3 Le point A appartient à la sphère í. 4 Le point B appartient à la sphère í.

> Automatisme 12

13.

4

y

(d)

2

> Automatisme 17

x –1 O –2

1

18.

Déterminez graphiquement le coefficient directeur de la droite (d). > Automatisme 13

Parmi les noms de la liste ci-dessous, indiquez ceux qui sont des solides. carré • pavé droit • cône • disque • cube • pyramide • cercle • boule • rectangle. > Automatisme 18

14.

19.

On donne les équations réduites des droites (d1) et (d2). 2 (d1) : y = 0,1x − 4 et (d2) : y =  x + 3. 20 Dites si ces deux droites sont parallèles. Justifiez.

Calculez, en mm2, l’aire arrondie à l’unité, d’un disque de 2 cm de diamètre.

> Automatisme 14

15. Résolvez graphiquement l’équation f (x) = − 1.

2 1 –2 –1 O –1

> Automatisme 19

20. Calculez, en m3, le volume d’une piscine parallélépipédique de longueur 10 m, de largeur 4 m et de hauteur 1 m.

y

> Automatisme 20

Çf x 1

2

–2

21. Factorisez l’expression x2 − 10 000. > Automatisme 21

> Automatisme 15

22. Développez l’expression 25(x – 4).

16.

> Automatisme 22

Un capital de 27 000 € est placé pendant 4 mois au taux annuel de 2,1 %. Calculez l’intérêt produit et la valeur acquise.

23. Développez et réduisez (x – 5)(x – 7)

> Automatisme 16

NB/MB-VO

> Automatisme 23

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