Resueltos Dinámica Beer Johnston [PDF]
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1 El movimiento de una partícula está definido por la relación, x t ^ t ^ Ä Ä , x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine el momento en el que ala aceleración es cero, ÿ la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. Datos: x
P ------------------------------------------------
t ^ t ^ Ä Ä
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas: x
t ^ t ^ Ä Ä
(1)
xD v v
t ^ Ät ^ Ä
(2)
D xD
^ t ^ Ä
(3)
ï
v
t ^ Ät ^ Ä
^ t ^ Ä
v
ï Ä ^ Ärï Ä ^ Ä
^ ^
v
ï Ä ^ Ä
v
ï ^
v
m s§ Ä
^ t ^ Ä
ï
t ^ Ä
t
t
t
ÿ v x
(3)
Ä
ï s Ä
Ä ÄÄ s
v
x
(1)
x
t ^ t ^ Ä Ä
x
ï Ä ^ rï Ä ^ Ä m
ÄÄ
x
Ä
ï ÷
s
(2)
3 El movimiento de una partícula está definido por la relación x=5t4 - 4t3 +3t -2, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s. Datos: x=5t4 - 4t3 +3t -2 x=? v=? a=? g
t=2s
Solución:
Posición: x= 5(2)4 ² 4(2)3 +3(2) -2 x= 80 ² 32 + 6 ² 2 x= 52 ft.
Velocidad: v= 20(2)3 ² 12(2)2 +3 v= 160 ² 48 + 3 v= 115 ft/s.
Aceleración: v= 60(2)2 ² 24(2) v= 240 ² 48 v= 192 ft/s2.
5. El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x=500 sen kt donde x y t se expresan en milímetros y segundos respectivamente , y k es constante. Si k=10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05 s.
SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS. ݔൌ ͷͲͲ
ൌ ͳͲȀ
ൌ
cuando t=0.05 s POSICION: ݔൌ ͷͲͲ
ݔൌ ͷͲͲሺͳͲȀሻሺͲǤͲͷሻ ݔൌ ͷͲͲሺͳͺͲͲȀǑሻሺͲǤͲͷሻ
ݔൌ ʹͶͲ.
VELOCIDAD: ݒൌ
݀ݔ ݀ݐ
ݒൌ ͷͲͲ
ݒൌ ͷͲͲሺͳͲሻ
ቀ
ݒൌ Ͷ͵ͻͲȀ
ଵ଼ Ǒ
ݒൌ Ͷǡ͵ͻȀ
ቁ ሺͲǡͲͷሻ
ACELERACION: ܽൌ
݀ݒ ݀ݐ
ܽ ൌ െͷͲͲ݇ଶ ܽ ൌ െʹ͵ͻͳǤʹȀ
ܽ ൌ െͷͲͲሺͳͲሻଶ ቀ
ଵ଼ Ǒ
ܽ ൌ െʹ͵ǡͻȀ
ቁ ሺͲǡͲͷሻ
7.- El movimiento de una partícula se define mediante la relación ݔൌ ݐଷ െ ݐଶ ͻ ݐ ͷ, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: a) El momento en que la velocidad es cero b) La posición, aceleración y la distancia total recorrida cuando ݐൌ ͷݏ DATOS ݔൌ ݐଷ െ ݐଶ ͻ ݐ ͷ
ݔሾݏ݁݅ሿ
ݐሾݏ݀݊ݑ݃݁ݏሿ
a)§ ݐൌǫ ՜ ݒൌ Ͳ b)§ ݔൌǫ ǡ ܽ ൌǫ ǡ ݀݅ ݈ܽݐݐܽ݅ܿ݊ܽݐݏൌǫ՜ ݐൌ ͷݏ
SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas ݔൌ ݐଷ െ ݐଶ ͻ ݐ ͷ
ݒൌ
డ௫ డ௧
ܽൌ
డ௩ డ௧
ݐൌǫ ՜ ݒൌ Ͳ
a)§ ݒൌ
డ௫ డ௧
ൌ ͵ ݐଶ െ ͳʹ ݐ ͻ
͵ ݐଶ െ ͳʹ ݐ ͻ ൌ Ͳ
࢚ ൌ ࢚࢟ ൌ
ݔൌǫ ǡ ܽ ൌǫ ǡ ݀݅ ݈ܽݐݐܽ݅ܿ݊ܽݐݏൌǫ՜ ݐൌ ͷݏ
b)§ ݔൌ ݐଷ െ ݐଶ ͻ ݐ ͷ ݔൌ ሺͷሻଷ െ ሺͷሻଶ ͻሺͷሻ ͷ ࢞ ൌ ࢋ࢙ ߲ݒ ൌ ݐെ ͳʹ ߲ݐ ܽ ൌ ሺͷሻ െ ͳʹ ࢋ࢙ൗ ࢇ ൌ ૡ ࢙
ܽൌ
La distancia total es la suma de las distancias: Cuando t=0 Cuando t=1 Cuando t=3 Cuando t=5
x=5 x=9 x=5 x=20
d=0 d=4 d=4 d=20
Distancia = 28 pies 9.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación ܽ ൌ ͵݁ ିǤଶ௧ ௧ donde ܽ y t se expresan en మ y segundos respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0, ௦ determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s ܽ ൌ ͵݁ ିǤଶ௧ ݔൌͲ ݒൌͲ Determine: ݔൌǫ ݒൌǫ SOLUCIÓN:
t=0 t=0.5s
௧
ܽ( మ) ; t (s) ௦
Ecuaciones cinemáticas: ௧
1.§ ܽ ൌ ͵݁ ିǤଶ௧ ቂ మ ቃ ௦
ܽൌ
௩ ௩ ݀ݒ
ௗ௩ ௗ௧
ൌ
ൌ ܽ ൌ ͵݁ ିǤଶ௧
ݒെ ݒൌ
ଷ
ିǤଶ
݁ ିǤଶ௧
2.§ ݒൌ ݒെ ͳͷሺ݁ ݒൌ ௫
ௗ௫ ௗ௧
ݒൌǫ՜ ݐൌ ͲǤͷݏ
௧ ͵݁ ିǤଶ௧ ݀ݐ
ݒൌ ݒെ ͳͷሺ݁ ିǤଶ௧ െ ͳሻ ݒൌ െͳͷ൫݁ ିǤଶሺǤହሻ െ ͳ൯
t 0
ିǤଶ௧
௧
െ ͳሻ
௧
ቂ ቃ
௧
௫ ݀ ݔൌ ݒെ ͳͷሺ݁ ିǤଶ௧ െ ͳሻ݀ݐ
ݔെ ݔൌ ݐݒെ ͳͷሺ
ିǤଶ
െ ݐሻ
௦
௦
ൌ ݒെ ͳͷሺ݁ ିǤଶ௧ െ ͳሻ షబǤమ
ݒൌ ͳǤͶʹ ቂ ቃ
t
ݔൌǫ՜ ݐൌ ͲǤͷݏ
0
ݔൌ ݔ ݐݒെ ͳͷሺെͷ݁ ିǤଶ௧ ͷ െ ݐሻ
ݔൌ െͳͷ൫െͷ݁ ିǤଶሺǤହሻ ͷ െ ͲǤͷ൯ 3.§ ݔൌ ݔ ݐݒെ ͳͷሺെͷ݁ ିǤଶ௧ ͷ െ ݐሻሾ݂ݐሿ ݔൌ ͲǤ͵͵ሾ݂ݐሿ
11.- la aceleración del punto A se define mediante la relación ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ ݇ ݐെ ௧ ͶǤ͵ʹ
݇ ݐdonde ܽ y t se expresan en మ y segundos, respectivamente y ௦ ݀ܽݎ ൗ ݇ൌ͵ ݏCon x = 0.48ft y v= 1.08 ft/s cuando t = 0. Determine la velocidad y la posición del punto A cuando t = 0.5s
݇ ൌ ͵ ݀ܽݎΤݏ
ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ ݇ ݐെ ͶǤ͵ʹ
݇ݐ
ݔൌ ͲǤͶͺ݂ ݐ ݐൌ Ͳ൜ ݒൌ ͳǤͲͺ݂ݐȀݏ Determine:
ݐൌ ͲǤͷ ݏቄ
ܽሺ݂ݐΤ ݏଶ ሻǢ ݐሺݏሻ
ݔൌǫ ݒൌǫ
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas ௧
1.§ ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ ݇ ݐെ ͶǤ͵ʹ
݇ ݐቂ మ ቃ
ܽൌ
ௗ௩ ௗ௧
௦
ൌ െ͵ǤʹͶ ݇ ݐെ ͶǤ͵ʹ
݇ݐ ௧
௩
௩ ݀ ݒൌ ሺെ͵ǤʹͶ ݇ ݐെ ͶǤ͵ʹ
݇ݐሻ ݀ݐ ͳǤͶͶ ݇ݐ t రǤయమ యǤమర ݒെ ݒൌ ሺ ೖ
݇ ݐെ ೖ ݇ݐሻ ݒൌ ͳǤͲͺ
͵ሺͲǤͷሻ െ ͳǤͶͶ ͵ሺͲǤͷሻ o ݒെ ݒൌ యǤమర ሺ
݇ ݐെ ͳሻ െ రǤయమ ሺ ݇ ݐെ Ͳሻ ೖ ೖ
ݒൌǫ՜ ݐൌ ͲǤͷ ݒൌ ͳǤͲͺ
݇ ݐെ
௧
ݒൌ ͳǤͲͶ ቂ ቃ ௦
ݒൌ ͳǤͲͺ ͳǤͲͺሺ
݇ ݐെ ͳሻ െ ͳǤͶͶ ݇ݐ ௧
2.§ ݒൌ ͳǤͲͺ
݇ ݐെ ͳǤͶͶ ݇ ݐቂ ቃ ௦
ݒൌ
ௗ௫ ௗ௧
ൌ ͳǤͲͺ
݇ ݐെ ͳǤͶͶ ݇ݐ
ݔൌǫ՜ ݐൌ ͲǤͷ
௧
௫
௫ ݀ ݔൌ ሺͳǤͲͺ
݇ ݐെ ͳǤͶͶ ݇ݐሻ݀ݐ ͲǤͶͺ
݇ݐ t భǤబఴ భǤరర ݔെ ݔൌ ሺ ೖ ݇ ݐ ೖ ݇ݐሻ ͲǤͶͺ
͵ሺͲǤͷሻ o ݔെ ͲǤͶͺ ൌ ͲǤ͵ሺ ݇ ݐെ Ͳሻ ͲǤͶͺ ሺ
݇ ݐെ ͳሻ ݔൌ ͲǤͶͺ ͲǤ͵ ݇ ݐ ͲǤͶͺ
݇ ݐെ ͲǤͶͺ
ݔൌ ͲǤ͵ ݇ ݐ ݔൌ ͲǤ͵ ͵ሺͲǤͷሻ ݔൌ ͲǤͶͻ ሾ݂ݐሿ
3.§ ݔൌ ͲǤ͵ ݇ ݐ ͲǤͶͺ
݇ ݐሾ݂ݐሿ
13.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a=0.15m/s2. Si x=-10m cuando t=0 y v=-0.15m/s cuando t=2s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=5s.
Datos: Cuando
t=0s x0=-10m
Cuando
t=2s V0=-0.15m/s
Ecuaciones cinemáticas ܽൌ
ݒൌ
ௗ௩
(1)
ௗ௧ ௗ௫
(2)
ௗ௧
Solución: Tramo AB ܽൌ ௩
ௗ௩ ௗ௧
௧
௩: ݀ ݒൌ ௧: ܽ݀ݐ
ݒെ ݒ: ൌ ܽ§ ݐ ݒ: ൌ ܽ ݐ+ ݒ Remplazando valores de a=0.15m/s2 t=2s v=-0.15m/s ݒ: ൌ ܽ ݐ+ ݒ ݒ: ൌ ͲǤͳͷ݉Ȁ ݏଶ ሺʹݏሻȄ ͲǤͳͷ݉Ȁݏ
§
ݒ: ൌ െͲǤͶͷ݉Ȁݏ Tramo BC Cuando: ܽൌ ௩
a=0.15m/s2 t0=0s t=5s V0=-0.45
ௗ௩ ௗ௧
௧
௩: ݀ ݒൌ ௧: ܽ݀ݐ
ݒെ ݒ: ൌ ܽ§ ݐ ൌ ࢇ࢚ : Ecuación Cinemática de la Velocidad Remplazando valores: ݒൌ ܽ ݐ ݒ: ݒൌ ͲǤͳͷ݉Ȁ ݏଶ ሺͷݏሻȄ ͲǤͶͷ݉Ȁݏ ൌ Ǥ Ȁ࢙
§
Posición: ݀ݔ ݒൌ ݀ݐ Cuando: ௫
௧
௫:
௧: ଶ
t=0s a=0.15
x0=-10m
න ݀ ݔൌ න ሺܽ ݐ ݒ:ሻ݀ݐ
ݔെ ݔ: ൌ ܽ ݐȀʹ +ݒ:ݐ §
§
࢞ ൌ ࢇ࢚ Ȁ +:࢚ ࢞: Ecuación cinemática de la posición Reemplazando valores de:
a=0.15m/s2
t=5s v0=-0.45m/s x0=-10m
ݔൌ ͲǤͲͷሺͷሻଶ -0.45 (5)െͳͲ ࢞ ൌ െǤ ૡ Distancia recorrida: Cuando v=0m/s obtendremos el tiempo en detenerse ݒൌ ܽ ݐ ݒ: ܽ ݐ ݒ: ൌ Ͳ ݐൌ ݒ:Ȁܽ ݐൌ ͲǤͶͷȀͲǤͳͷ ݐൌ ͵ݏ Reemplazando en ecuación de la posición:
ݔൌ ͲǤͲͷሺ͵ሻଶ -0.45 (3)െͳͲ ܺ݉݅݊ ൌ െͳͲǤͷ d1=x0 - Xmin=0.675 d2=xs - Xmin=0.3 dt=d1+d2=0.975m 15. La aceleración de una partícula está definida por la relación aൌ ݇ ݐଶ. a) Si v= -10 m/s cuando t = 0 y v = 10 m/s cuando t =2s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento con x = 0 cuando t = 2s.
Datos: Cuando t= 0 i v= -10 m/s Cuando t= 2s i v= 10 m/s Solución: Ecuaciones de movimiento: ܽ ൌ ݇ ݐଶ (1) ܽൌ
ݒൌ
ௗ௩
es decir v: y t: es decir v
(2)
ௗ௧ ௗ௫
(3)
ௗ௧
a) De (1)
௧
௩
௩: ݀ ݒൌ ௧: ܽ݀ݐ ௧
ݒെ ݒ: ൌ ௧: ݇ ݐଶ ݀ݐ
ݒെ ݒ: ൌ ݇ ݒൌ
݇ൌ
௧య
ଷ ଷ ݒ: ݐ ଷ ଷሺ௩ି௩:ሻ ௧య
(4) (5)
Reemplazando los valores de los datos del problema en (5) tenemos: ݇ൌ
݇ൌ
ଷሺଵିሺିଵሻሻ ଵହ ଶ
ሺଶሻయ
(6)
b) De (3)
݀ ݔൌ ݐ݀ݒ
(7)
integrando (7):
௫
௧
௫: ݀ ݔൌ ௧ୀଶሺݒ: ଷ ݐଷ ሻ݀ݐ ௧
ݔെ ݔ: ൌ ௧ୀଶሺͳͲ ݐଷ ሻ݀ݐ ଷ ݔെ ݔ: ൌ ͳͲ ݐ
ଵଶ
ݐସ
݁ݏ݊݁݉݁ݐ݀݊ܽݑ݈ܽݒ: ݔെ ݔ: ൌ ቀͳͲ ݐ ݔെ ݔ: ൌ
ଵଶ
ଵଶ
ݐସ ቁ െ ቀͳͲሺʹሻ
ݐସ ͳͲ ݐെ ͵Ͳ
ǡହ ଵଶ
ሺʹሻସ ቁ
=ݔ0 cuando t i 2s Entonces: ݔൌ
ଵଶ
ݐସ ͳͲ ݐെ ͵Ͳ
(8) ec. Mov.
17.- El punto A oscila con una aceleración ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ݔሻ, donde ܽ ݔݕse expresan en ݉ൗ ݏଶ y en metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el
tiempo t=0 con v=0 y x=0.2 metros, Determine: a)§ Posición y velocidad de A cuando t=0.2s
DATOS ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ݔሻ ܽ ൌ ቂ݉ൗ ݏଶ ቃ ݔൌ ሾ݉݁ݏݎݐሿ ݐൌ Ͳǡ ݒൌ Ͳǡ ݔൌ ͲǤʹ݉ a)§ ݔൌǫ ǡ ݒൌǫ՜ ݐൌ ͲǤʹݏ SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ݔሻ ܽൌ
߲ݒ ߲ݐ
ݒൌ
߲ݔ ݀ݔ ݀ ݐൌ ߲ݐ ݒ
ܽൌ
ݒ݀ݒ ൌ ͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻ ݀ݔ
௩
௫
න ݒ݀ݒൌ න ͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻ݀ ݔ՜ ݑൌ ͲǤʹͷ െ ݑ݀ݔൌ െ݀ݔ
Ǥଶ
௫ ݔ ݔ ݒଶ න ൌ െͷͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ȁ ൌ െͳͲͲ ݑ݀ݑൌ െͷͲݑଶ ȁ ͲǤʹ ͲǤʹ ʹ Ǥଶ ൌ െͷͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ͲǤͳʹͷ
ݒൌ േඥെͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ͲǤʹͷ
݀ ݔൌ ݐ݀ݐ݀ݒൌ ݀ ݐൌ
௧
݀ݔ
݀ݔ ݒ ൌ
݀ݔ
േඥͲǤʹͷሾͳ െ ͶͲͲሺͲǤʹͷሻଶ ሿ േඥെͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ͲǤʹͷ ݀ݔ ൌ േͲǤͷඥͳ െ ͶͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ௫
න ݀ ݐൌ න
݀ݔ
ͶͲͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻଶ ൌ െʹͲ݀ݔ
Ǥଶ േͲǤͷඥͳ െ
ܿ ݔ݀݊ܽݑൌ ͲǤʹ ՜ ݑൌ ͳ ௧
௨
න ݀ ݐൌ േ න
ݐൌേ
ଵ
݀ݑ
ͳͲξͳ െ ݑଶ
ͳ ߨ ቀିଵ ݑെ ቁ ͳͲ ʹ
ൌേ
ݑൌ ʹͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻ݀ݑ
ͳ ିଵ ݑ ͳ ߨ ݑȁ ൌ േ ቀିଵ ݑെ ቁ ͳͲ ͳͲ ͳ ʹ
ߨ ߨ ݑൌ ቀ േ ͳͲݐቁ ՜ ቀ േ ͳͲݐቁ ʹ ʹ ߨ ߨ ൌ ቀ ቁ ሺ
േͳͲݐሻ േ ቀ
ቁ ሺ േͳͲݐሻ ʹ ʹ
ݑൌ
ሺേͳͲݐሻ ൌ
ሺͳͲݐሻ ՜
ሺͳͲݐሻ ൌ
ሺെͳͲݐሻ
ݑൌ ʹͲሺͲǤʹͷ െ ݔሻ ൌ
ሺͳͲݐሻ Posición del Punto A con tiempo=0.2s ࢞ ൌ Ǥ െ
ܛܗ܋ሺ࢚ሻ
Velocidad del Punto A con tiempo =0.2s ݒൌ ൌ
డ௫ డ௧
ൌെ
ି ୱ୧୬ሺଵ௧ሻכଵ
ܖܑܛሺ࢚ሻ
ଶ
19 La aceleración del punto A se define mediante la relación ïï x Ä ïïx Ä , donde y x se expresan en ft s y ft respectivamente. Si la velocidad de A es
de 10 ft s y £ u ï cuando u ï , determine la velocidad y la posición de A cuando u ïï .
r uO Datos:
ft s
A
A·
t= 0
a u jïï ïï£
u ïï
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas:
a u jïï £ ïï£ §§§§K(2§
3 u 2 §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ 2
2 u 2
3
v §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
vv
u r r §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ u
v
v §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v
v 2 v r
r
ï
Ä
Ä 2 §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
£ £ u ïï ïï
v
v v £
§§§§§ r £ £
4
£
4
£
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ ï ï
ï
£
£ § ï ï ï ^
ï ^ ïï £ ïï £ §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Rï § O
£
£
O
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ R 4
(2)
p
x §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ xD
v
ïï p ïï p ïï §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v
ï ïï p ïï p ïï §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v
p
^ÿ
ÿ ^ §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v
p
^ÿ
ÿ ^
p
^ïï
p
^ ïï R ï § Ä ïï
p
^ï R ï §
dx § dt
r
Rï ït ï
r
ï ït
ïï ^ ïïïï ïï
p
p
^ï ft
p
p
^ï ft
v
ïï x §
v
ïï p ^ p
v
ïï x ^ ^ï
v
ïï x ï
v
Rï x ï ft s
En (2) : t
v§
ï ï
En (3): t
ï ï
(3)
x
ï tg r ïï ï
x
ï tg
v v
r
ï ït ï ït
v ï ï x
v
ï ïï ft
Ä Ä ft s
11.21 La aceleración de una partícula se define mediante la relación mediante a = k(1-e-x), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=+9m/s cuando x= -3m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b) la velocidad de la partícula cuando x=-2m. Datos: a = k(1-e-x) v =+9m/s
x= -3m
vf = 0m/s
x=0m
a) k=? b) v=?
x=-2m
Solución: a)
න ൌ න ሺ െ ࢋି࢞ ሻ ࢞ ૢ
ቆ െ
ି
ૢ ቇ ൌ ሾ െ ሺെሻ െ ࢋ ሿ
െ Ǥ ൌ ሺ െ ࢋ ሻ ൌ Ǥ Ȁ࢙ b)
࢞
න ൌ න Ǥ ሺ െ ࢋି࢞ ሻ ࢞
ቆ
ቇ ൌ Ǥ ሾ࢞ ࢋି࢞ െ ሿ
ൌ Ǥ ሾ࢞ ࢋି࢞ െ ሿ
ൌ േǤ ሾ࢞ ࢋି࢞ െ ሿ1/2
X=-2m ൌ േǤ ሾെ ࢋ െ ሿ1/2
ൌ േǤ ૠȀ࢙ ൌ Ǥ ૠȀ࢙
23. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-0.4V, donde a se expresa en mm/s2 y V en mm/s. Si cuando t=0 la velocidad es de 75 mm/s, determine a)la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo . b) el tiempo recorrido para que la velocidad de la partícula se reduzca al uno por ciento de su valor inicial. SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS ܽ ൌ െͲǤͶ ܽൌ
ݒ݀ݒ ݀ݔ
݀ ݔൌ
ݒ݀ݒ ܽ
Cuando: X=0
V0=75 m/s
X=?
V=0
௫
ݒ݀ݒ ୴୭ െͲǤͶܸ ௩
න ݀ ݔൌ න
݀ ݔൌ െ ݔൌെ
ݒ ͲǡͶ
Ͳ െͷ െ ͲǡͶ ͲǡͶ
ݔൌ ͳͺǤͷ݉ b) ܽ ൌ െͲǤͶ ܽൌ
݀ݒ ݀ݐ
݀ ݐൌ
݀ݒ ܽ
Cuando: t=0
V0=75 m/s
t=?
V=0.75 m/s ݀ݒ ௩ െͲǤͶܸ ௩
௧
න ݀ ݐൌ න
ݐൌെ ݐൌെ
ͳ ͲǡͶ
Ͳ ͳ ሺͲǡͷሻ െ ሺͷሻ ͲǡͶ െͲǡͶ
t =0,71+10,79 t =ͳͳǡͷݏ 25.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación ܽ ൌ െ݇ξݒ, donde k es constante, si x = 0 y v = 25ft/s en t = 0, y =ݒ12ft/s cuando x = 6ft, determine: 1) la velocidad de la partícula en x = 8ft, 2) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo. ܽ ൌ െ݇ξݒ
k, cte.
ݔൌ Ͳ ݐൌ Ͳ൜ ݒൌ ʹͷ݂ݐȀݏ
ݒൌ ͳʹ݂ݐȀ ݏ՜ ݔൌ ݂ݐ
Determine: ܽሻ ݒൌǫ ՜ ݔൌ ͺ݂ݐ ܾሻ ݐൌǫ ՜ ݒൌ Ͳ SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas ௗ௩
1.§ ܽ ൌ ݒ
ൌ െ݇ݒଵȀଶ
ௗ௫
ݒ݀ݒൌ െ݇ݒଵȀଶ ݀ݔ
݀ ݔൌ ௫
ܽሻ ݒൌǫ ՜ ݔൌ ͺ݂ݐ య
௩ௗ௩
ି௩ భȀమ
ݒమ ൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷݔ య
௩
ଵ
௫ ݀ ݔൌ െ ቀቁ ௩ ݒଵȀଶ ݀ݒ ଶ
ݔെ ݔൌ െ ቀ ቁ ݒଷȀଶ ଷ
య మ
ଶ
ݒమ ൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷሺͺሻ య
ݒ
ݒ
య
ݔെ ݔൌ െ ቀ ቁ ቀ ݒെ ݒమ ቁ ଷ య మ
ଶ
య మ
ݔൌ െ ቀ ቁ ቀ ݒെ ʹͷ ቁ ଷ
ܾሻ ݐൌǫ ՜ ݒൌ
ܽൌ
య
ଶ
ݒమ ൌ ͳ͵Ǥͷͻ య ݒൌ ξͳ͵Ǥͷͻଶ ݒൌ ͷǤͶ݂ݐȀݏ
2.§ ݔൌ െ ቀ ቁ ቀ ݒమ െ ͳʹͷቁ ଷ
ௗ௩ ௗ௧
݀ ݐൌ
య
ଶ
ଵ
య మ
݇ ൌ െ ቀ ቁ ቀͳʹ െ ͳʹͷቁ ֜ ݇ ൌ ͻǤʹ݇݁݊ʹ ଽ ݔൌ െቀ
ଶ
ଷሺଽǤଶሻ
య
య
ݔൌ െͲǤͲʹ ቀ ݒమ െ ͳʹͷቁ య మ
య
ቁ ቀ ݒమ െ ʹͷమ ቁ
3.§ ݒൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷݔ
ௗ௩
ି௩ భȀమ
௧
ଵ
௩
భ
ି ݀ ݐൌ െ ௩ ݒమ ݀ݒ ݒ
ܿ ݒ݀݊ܽݑൌ ͳʹ݂ݐȀ ݏ՜ ݔൌ ݂ݐ ൌ െ ቀ ቁ ቀͳʹమ െ ͳʹͷቁ ଷ
ൌ െ݇ξݒ
ଶ
ݐൌ െ ሺ ݒǤହ ሻ
ଶ
ݐൌെ
ݐൌ െ ሺݒ ଶ
ଽǤଶ
Ǥହ
ሺെʹͷǤହ )
ݐൌ ͳǤͲͻݏ
െ ݒ
ݒ
Ǥହ
ሻ
27. La aceleración de la corredera A se define mediante la relación ܽ ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ݒଶ , donde k es constante. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5ft y v =0. Si x = 1.2ft cuando t = 0.2s, determínese el valor de k.
ܽ ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ݒଶ
k=cte
ݔൌ ͳǤͷ݂ݐ ݔൌ ͳǤʹ݂ݐ ݐൌ Ͳቄ ቄ ݒൌ Ͳ ݐൌ ͲǤʹݏ
ܽ ሺ݂ݐΤ ݏଶ ሻǢ ݐሺݏሻ
Determine: ݇ ൌǫ SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas 1.§ ܽ ൌ
݀ ݔൌ
௩ௗ௩ ௗ௫
ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ݒଶ
ଵ
௩
௩ௗ௩
ିଶξ మ ି௩ మ
௫
ݔെ ݔൌ െ ݔെ ݔൌ
ଵ
ଶ
ͳǤʹ െ ͳǤͷ ൌ
ଶ
൬
ξ మ ି௩ మ ିଵ
൰
ଵ
ௗ௧
ൌ ͲǤͻʹ݇ ௧
௫ ݀ ݔൌ ͲǤͻʹ݇݀ݐ r§ r §
ሾ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯ െ ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯ ଶ
ௗ௫
௫
௩ௗ௩
௫ ݀ ݔൌ െ ଶ ௩ ξ మ ି௩ మ ଵ
ݒൌ
3. ݔെ ݔൌ ͲǤͻʹ݇ݐ ݇ ൌǫ ՜ ݐൌ ͲǤʹ
ሾ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯ െ ൫ξ݇ ଶ െ Ͳଶ ൯ሿ
ͳǤʹ െ ͳǤͷ ൌ ͲǤͻʹ݇ሺͲǤʹሻ Ǥଷ
െͲǤ͵ሺʹ݇ሻ ൌ ሾ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯ െ ݇ሿ
݇ൌെ
െͲǤ݇ ݇ ൌ ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯
݇ ൌ െͳǤ͵
ሺͲǤͶ݇ሻଶ ൌ ൫ξ݇ ଶ െ ݒଶ ൯
ͲǤͳ݇ ଶ ൌ ݇ ଶ െ ݒଶ
ଶ
Ǥଵ଼ସ
ݒଶ ൌ ͲǤͺͶ݇ ଶ
2.§ ݒൌ ͲǤͻʹ݇
29.- A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carreras
está definida por la relación v=154ξͳ െ ݁ ିǡହ௫ , donde v y x se expresa en m/s y metros respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carreras cuando a) v=20m/s b) v=40m/s
Datos:
v=154ξͳ െ ݁ ିǡହ௫ Ecuaciones cinemáticas: ܽൌ
ௗ௩ ௗ௧
Solución: Trabajando en ecuación v=154ξͳ െ ݁ ିǡହ௫
v/154=ξͳ െ ݁ ିǡହ௫
-0.00057x=݈݊ ͳ െ ቀ
ଶ
௩మ
ቁ ൨ ଵହସ
x=െૠǤ ቈ െ ቀ
ቁ ecuación cinemática de la posición
despejando x en función de v v2=23716ሺͳ െ ݁ ିǡହ௫ ሻ
ܽൌݒ
ௗ௩
= ௗ௧
ௗ
ௗ௫
௩మ
ቀ ቁ ൌ ሺͳͳͺͷͺሻሺͲǤͲͲͲͷሻ݁ ିǡହ௫ ଶ
ܽ ൌ ǤͲͷͻͲ݁ ିǡହ௫ =ǤͲͷͻͲ ͳ െ ቀ ࢇ ൌ Ǥ ૠૢ ቈ െ ቀ
ܞ
୴మ
ଶ
ቁ ൨ ଵହସ
ቁ ecuación cinemática de la aceleración
Reemplazando v=20m/s en ecuación cinemática de la posición y aceleración.
Para x=29.8m a=6.65m/s2 Para x=122.5m a=6.30m/s2
v=20m/s
v =40m/s
35. A una vagoneta se le prueban la aceleración y los frenos. En la primera prueba de aceleración en la calle, transcurrió un tiempo de .2 segundos para lograr un incremento de velocidad desde 10 km/h hasta 100 km/h. En la prueba de frenos, la vagoneta recorrió una distancia de 44m durante el frenado desde 100 km/h hasta cero. Si se suponen valores constantes para la aceleración y la desaceleración, determine a) La aceleración durante la primera prueba en la calle. b) La desaceleración durante la prueba de frenos.
solución: A
B
t: =0
t:=8,2s
v:= 10 km/h v:=0 Ecuaciones de movimiento: ܽൌ
ݒൌ
ௗ௩
(1)
ௗ௧ ௗ௫
(2)
ௗ௧
ܽሻ De (1) ݀ ݒൌ ܽ݀ ; ݐintegrando: ௩Ό
௧Ό
௩:
௧:
න ݀ ݒൌ න ܽ݀ݐ
ݒΌ െ ݒ: ൌ ܽሺݐΌ െ ݐ:ሻ
44m (=0,044 km) (=0,00227h)
v:=100km/h
C t:
ܽൌ
ሺ௩Όି௩:ሻ
(3)
ሺ௧Όି௧:ሻ
Reemplazando los valores de los datos tenemos: ሺͳͲͲ െ ͳͲሻ݇݉Ȁ݄ ܽൌ ሺͲǡͲͲʹʹ݄ െ Ͳሻ
ܽ ൌ ͵ͻͷͳʹǡͳͻͷ మ ࢇ ൌ ǡ ૡ b) Despejando ݀ ݐde (1) y (2) y luego igualando ambas tenemos: ݀ݔ݀ ݒ ൌ ܽ ݒ ݒ݀ݒൌ ܽ݀( ݔ4) Integrando: ௩
௫
න ݒ݀ݒൌ න ܽ݀ݔ ௩Ό
௫:
ͳ ሺݒଶ െ ݒΌଶ ሻ ൌ ܽሺ ݔെ ݔ:ሻ ʹ ܽൌ
௩మ ି௩Όమ
ଶሺ௫ି௫:ሻ
(5)
Reemplazando los datos tenemos: ܽൌ
మ ିሺଵȀሻమ ଶሺǡସସିሻ
ܽ ൌ ͳͳ͵͵ǡ͵݇݉Ȁ݄ଶ ࢇ ൌ ૡǡ ૠȀ࢙ 37 Un avión inicia su despegue en A con velocidad 0 y aceleración constante a. Si empieza a volar 30 s después en B y la distancia AB es de 2700ft, determine a) la aceleración a. b) la velocidad de despegue VB.
SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS ܽൌ
݀ݒ ݀ݐ
݀ ݒൌ ܽ݀ݐ ௩
௧
௩
௧
න ݀ ݔൌ න ݐ݀ݒ ݒെ ݒൌ ܽݐ ݒൌ ܽݐ
ݒൌ ܽ( ݐecuación 1) v0=0 ݒൌ ܽݐ
ݒൌ ሺ͵Ͳሻ
ݒൌ ͳͺͲ݂ݐȀݏ ECUACION CINEMATICA ݒൌ
ௗ௫ ௗ௧
Cuando: Xo= 0
t0= 0
X= 2700 ft ௫
௧
௫
௧
t= 30s
න ݀ ݔൌ න ݐ݀ݒ ௧
ݔൌ න ݐ݀ݒ ௧
ݒൌ ௧
ݔൌ න ݒ ܽݐ݀ݐ ௧
ݔൌ ݐݒ Vo=0 ݔൌ ݐଶ Ȁʹ
ܽ ݐଶ ʹ
ܽ ൌ ʹȀ ݐଶ
ܽ ൌ ʹሺʹͲͲሻȀሺ͵Ͳሻଶ
ܽ ൌ Ȁ ݏଶ
39 En una carrera de ïï÷ , un atleta acelera de modo uniforme durante los primeros Äï ÷ y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros Äï ÷ es de s . Determine su aceleración y ÿ su velocidad final, el tiempo en que completa la carrera. Datos:
tte MRUV
v
tte MRU
Äï ÷ A
B
C ïï÷
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas:
dv §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v dt
v
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x §
v
t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x
dx dt
vt §§
v t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x v v
vv
x
t
ï
t t
ï
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
xx
ï
t t §
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vït
t
t
§ ï
v ^ vo
t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x
v Vï t §§§§§§§§K(2 x
vït
t
xï §
xï v ï t
t
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§K02
En AB:
tte §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
x
x ï vït
t
x
t
ÿ
Äïm s
§§§§§En v
§v
ï
(1)
ï m s
t §§§§§§§§
ï m s s
v ï ÷ s §
En BC:
x v x Äï
vï
tte
v
x t
v
ïï
V
ï
t t
vï t
t
t
ïï ÷ ^ Äï ÷
vï t
t
t
ïm ï m s t ^ ï m s s ï m s t t
ïm ïm
Ä Äs
49 El bloque A se mueve hacia abajo a velocidad constante de 1m/s. Determine a) la velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarín B en relación con el bloque A, c) la velocidad relativa de la porción D del cable respecto al bloque A.
Datos: VA=cte.
VA=1m/s
a)§ VC=? b)§ VB/A=? c)§ VD/A=? Solución: a)§ VA=1m/ s XA + (XA ² XB)= cte.
Du r
2XB + XC = cte.
Du r
2 VA ² VB = 0
2 VB + VC = 0
VB= 2(1)
VC = -2 VB
VB= 2m/s
VC = -2 (2) VC = -4m/s. VC = 4m/s
b)
VB/A= VB ² VA VB/A= 2 ² 1 VB/A= 1m/s
XD + XC = cte.
xD v VD + VC = 0 VD = - VC VD = 4m/s VD/A= VD ² VA VB/A= 4 ² 1 VB/A=3m/s
! ü . l l m v i v l id d # & ' mi " ' l v l id d ( ) &l l ( &l l &
) l * + + + =, - # # + + = " " + = l *& # # x * +$x & = " " + + +$ d=, + d=« =«
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«ܿ ሺ ሻ %# + = / %# + =/ / l id d d l l & %# + d= = 0 + %# d=0 / +
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1 5 5 . 2 34l 4d 67 d 8 839: í i2i; i 4 3: 34l 6 ; 62 : 24 v 8l 6; id 4d d 8 d 83p 8g: 8 d 8 4 36 7 8 : 24 p 82di 82 8 7 8; 4 d 8 @A° d 8 i2; li 24; i B2. C8 87 mi 28 4 F ?D 5 5 5 5 5 El i 8mp 6 7 423;:77 id 6 82 7 8 8l d 83p 8g: 8 y 8l 4 877 i >4 8, L4 l 62gi :d d d 8l 5 34l 6,
G6l:; i B2:
Ͳ͵݃ݐ°
Ä
5 5 D5 E2 8l m6m82 6 d 8l d 83p 8g: 8 Hp: 2 6 6 828m63: D Hv x M = 42d 6 83 6 82 H@ D 4 ݕሺͲሻ ሺͲሻݐȂ ½݃ ݐ D HS ݐ݃½« ݕ D D R 88mpl 4>42d 6 HI 82 HS «Ͳ͵݃ݐ° «½݃ ݐ D ௫௧ଷ° ݐ H= D D H< 82 H= V ሺሺ୶ሻ:ሻ௧௧ଷ° ݐ TU V V TWX y Yl v Zl [\ d Y l Z g\ Zv Yd Zd Y] T^ _Y]Ym[`:
ሺ ݉Ȁ ሻͲ͵݃ݐݐ° ͻǤͺ݉Ȁ ݃
௫
Ͳ͵݃ݐ« ݕ°
5 E;: 4; i 6283 ; i 28mJ i; 43: L 7 K K 5 5 6v 6 i >62 4l: 6v v 87 i; 4l: D 5 D D 5 D 5 y = HyM + Hvy M N ½ g O x = Hv x M H< D D g = . QI m/ 3 O Hv x M =