Ejercicios Resueltos [PDF]

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INGENIERÍA ECONÓMICA LELAND BLANK – ANTHONY TARQUIN SÉPTIMA EDICIÓN CAPÍTULO 2: FACTORES: CÓMO EL TIEMPO Y EL INTERÉS AFECTAN AL DINERO PROBLEMAS Uso de tablas de interés 1. Encuentre el valor numérico correcto de los factores siguientes, a partir de las tablas de interés. a) (F/P, 6%, 10) = 1.5933 b) (A/P, 10%, 10) = 0.16275 c) (A/G, 15%, 20) = 5.3651 d) (A/F, 2%, 30) = 0.02465 e) (P/G, 35%, 15) = 7.5974 Determinación de F, P y A 2. ¿Cuánto dinero puede desembolsar ahora Haydon Rheosystems, Inc., para un Sistema de administración de energía, si el software ahorraría a la empresa $21,300.00 anuales durante los siguientes cinco años? Use una tasa de interés de 10% anual. P=? A = $21,300.00 n = 5 años i = 10% anual P = A(P/A, 10%, 5) = 21,300(3.7908) = $ 80,744.04 3. Un fabricante de vehículos todo terreno considera comprar inclinómetros de eje dual para instalarlos en una nueva línea de tractores. El distribuidor de los inclinómetros de momento tiene muchos en inventario y los ofrece con un descuento de 40% sobre su precio normal de $142.00. Si el comprador los obtiene hoy y no dentro de dos años, que es cuando los necesitaría, ¿cuál es el valor presente de los ahorros por unidad? La compañía pagaría el precio normal si los comprara dentro de dos años. Suponga que la tasa de interés es de 10% anual. F = $142.00 P=? n = 2 años i = 10% anual Costo actual = 142(0.60) = 85.20 P = F(P/F, 10%, 2) = 142(0.8264) = 117.3488 Ahorro actual = 117.3488 – 85.20 = $32.1488 4. La empresa Moller Skycar prueba una aeronave conocida como automóvil aéreo personal (AAP) que espera la certificación de la FAA el 31 de diciembre de 2011. El costo es de $985,000.00, y un depósito de $100,000.00 apartaría uno de los primeros diez “automóviles”. Suponga que un comprador paga el saldo de $885,000.00 tres años después de depositar $100,000.00. Si la tasa de interés es de 10% anual, ¿cuál es el costo total efectivo del AAP en el año 3? P = $100,000.00 F1 = $885,000.00 FT = ? n = 3 años i = 10% anual FT = 885,000.00 + 100,000.00(F/P, 10%, 3) = 885,000.00 + 100,000.00(1.3310) = $1,018,100.00

5. Una familia que ganó un premio de $100,000.00 en el programa de Los Videos Más Divertidos decidió depositar la mitad en un fondo escolar para su hijo responsable de ganar el premio. Si el fondo gana 6% anual, ¿cuánto habrá en la cuenta 14 años después de abierta? P = $100,000.00 i = 6% anual F=? n = 14 años F = 100,000.00(F/P, 6%, 14) = 100,000.00(2.2609) = $226,090.00 6. Una de la vulnerabilidades mayores en un sistema de control son los dispositivos de red, como los interruptores de redes Ethernet en sitios al alcance de cualquiera. Los interruptores DeltaX, fabricados por Dahne Security, permiten que el usuario bloquee y desbloquee en forma automática el acceso a todos los interruptores de la red. La compañía planea expandir sus líneas de manufactura hoy o bien dentro de tres años. Si el costo hoy es de $1,900,000.00, ¿cuál es la cantidad equivalente que podría desembolsar la empresa dentro de tres años? La tasa de interés es de 15% anual. P = $1,900.000.00 F=? n = 3 años i = 15% anual F = 1,9000,000.00(F/P, 15%, 3) = 1,900,000.00(1.5209) = $2,889,710.00 7. Una empresa que vende productos químicos de gran pureza planea invertir en equipos nuevos que reducirían los costos si se adaptara el tamaño de los productos por embarcar con el del contenedor. Si la compra e instalación del equipo nuevo importaría $220,000.00, ¿cuánto debe ahorrar cada año la empresa para que en tres años se justifique la inversión, si la tasa de interés es de 10% anual? P = $220,000.00 A=? n = 3 años i = 10% anual A = 220,000.00(A/P, 10% 3) = 220,000.00(0.40211) = $88,464.20 8. La compañía Red Valve Co., de Carnegie, Pennsylvania, elabora un control para válvulas que manejan todos abrasivos y corrosivos, de uso en exteriores, de inserción, rodamientos e incluso tipo satélite recubierto. ¿Cuánto debe gastar la empresa ahora en el equipo nuevo en vez de desembolsar $75,000.00 dentro de cuatro años? La tasa de retorno de la organización es de 12% anual. P=? F = $75,000.00 n = 4 años i = 12% anual P = 75,000.00(P/F, 12%, 4) = 75,000.00(0.6355) = $47,662.50

9. Si la empresa GHD Plastics adquiere un edificio nuevo hoy en $1,300.000.00 para sus oficinas corporativas, ¿cuál debe ser el valor del inmueble en 10 años? La compañía espera que todos sus gastos tengan una tasa de retorno de la menos 18% anual. P = $1,300,000.00 F=? n = 10 años i = 18% anual F = 1,300,000.00(F/P, 18% 10) = 1,300,000.00(5.2338) = $6,803,940.00 10. CGK RHeosystems fabrica viscosímetros de alto rendimiento capaces de superar pruebas de esfuerzo cortante estable en una superficie rugosa y compacta. ¿Qué cantidad debe dedicar la empresa ahora para adquirir un equipo nuevo, en vez de gastar $200,000.00 dentro de un año y $300,000.00 dentro de tres años, si la compañía utiliza una tasa de interés de 15% anual? P=? F = $200,000.00 n = 1 año F = $300,000.00 n = 3 años i = 15% anual P = 200,000.00(P/F, 15%, 1) + 300,000.00(P/F, 15%, 3) = 200,000.00(0.8696) + 300,000.00(0.6575) = $371,170.00 11. Hace cinco años, un ingeniero consultor compró un edificio para oficinas hecho de ladrillos mal elaborados. Como resultado, algunos de ellos se deterioraron por su exposición a la lluvia y la nieve. Debido a dicho problema, el precio de venta del edificio fue 25% inferior al de otros inmuebles comparables sin daño estructural. El ingeniero reparó los ladrillos dañados y evitó un mayor deterioro con la aplicación de un sellador elastómetro hecho a base de un solvente de alta resistencia. Esto devolvió al edificio su precio de mercado. Si el precio del inmueble era de $600,000.00 y el costo de la reparación fue de $25,000.00, ¿cuál es el valor equivalente ahora de la “apreciación forzada”, si la tasa de interés es de 8% anual? Ganancia después de la reparación = (600,000.00/0.75) – 600,000.00 – 25,000.00 = $175,000.00 P = $175,000.00 F=? n = 5 años i = 8% anual F = 175,000.00(F/P, 8%, 5) = 175,000.00(1.4693) = $257,127.50 12. La empresa Metso Automation, que manufactura actuadores dirigibles de un cuarto de vuelta, planea dedicar $100,000.00 hoy y $150,000.00 en un año para posibles reemplazos de los sistemas de calefacción y enfriamiento en tres de sus plantas más grandes. Si la sustitución no será necesaria durante cuatro años, ¿cuánto tendrá en su cuenta la empresa si gana una tasa de interés de 8% anual? F=? P = $100,000.00 n = 4 años P = $150,000.00 n = 3 años i = 8% anual F = 100,000.00(F/P, 8%, 4) + 150,000.00(F/P, 8%, 3) = 100,000.00(1.3605) + 150,000.00(1.2597) = $325,005.00

13. Las bombas tipo jeringa a veces fallan porque se adhieren sólidos al pistón de cerámica y deterioran el sello. La empresa Trident Chemical desarrolló un sello dinámico de polímero integrado que provee una fuerza de sellado más grande sobre el borde, lo que resulta en una vida útil más larga. Como resultado del nuevo sello, un cliente de Trident espera reducir los tiempos muertos 30%. Si la producción perdida hubiera tenido un costo para la organización de $110.000.00 por año durante los siguientes cuatro años, ¿cuánto podría gastar hoy en los nuevos sellos, si utiliza una tasa de interés de 12% anual? A = $110,000.00(0.3) = $33,000.00 n = 4 años P=? i = 12% anual P = 33,000.00(P/A, 12%, 4) = 33,000.00(3.0373) = $100,230.90 14. China gasta unos $100,000.00 anuales en tratar de provocar lluvias con el bombardeo de nubes, lo que implica armamento antiaéreo y lanzadores de cohetes que transportan yoduro de plata al cielo. En estados Unidos, las instalaciones que operan las presas hidroeléctricas están entre los más activos estimuladores de nubes, pues creen que es una forma rentable de aumentar los suministros escasos de agua 10% o más. Si la producción de los cultivos comerciales aumenta 4% anual durante los siguientes tres años debido a la irrigación adicional por el bombardeo de nubes, ¿cuál es la cantidad máxima que los agricultores deben gastar hoy en dicha actividad? El valor de los cultivos comerciales sin agua adicional sería de $600,000.00 por año. Use una tasa de interés de 10% anual. A = $600,000.00(0.04) = $24,000.00 n = 3 años P=? i = 10% anual P = 24,000.00(P/A, 10%, 3) = 24,000.00(2.4869) = $59,685.60 15. La Oficina de Servicios Públicos (OSP) asignó dos contratos por un total combinado de $1,070,000.00 para mejorar (es decir, profundizar) una presa de almacenamiento y reconstruir su vertedor que se dañó severamente en una inundación hace dos años. La OSP dijo que debido al estancamiento económico las propuestas fueron $950,000.00 inferiores de lo que esperaban los ingenieros. Si se supone que los proyectos tienen una vida útil de 20 años, ¿cuál es el beneficio anual de los ahorros, con una tasa de interés de 6% anual? P = $950,000.00 n = 20 años A=? i = 6% anual A = 950,000.00(A/P, 6%, 20) = 950,000.00(0.08718) = $82,821.00 16. La Oficina de Seguridad en el Tránsito en las Autopistas Nacionales aumentó el promedio del estándar para la eficiencia en el consumo de combustible a 35.5 millas por galón para los automóviles y camiones ligeros para el año 2016. Las regulaciones costarán a los consumidores un promedio de $434.00 adicionales por vehículo en los automóviles de modelo 2012. Si una persona compra un carro en dicho año y lo conserva por cinco años, ¿cuánto debe ahorrar en combustible a fin de que se justifique el costo adicional? Considere una tasa de interés de 8% anual. P = $434.00 A=? n = 5 años i = 8% anual A = 434.00(A/P, 8%, 5) = 434.00(0.25046) = $108.70

17. En un esfuerzo por reducir la obesidad infantil mediante la disminución del consumo de bebidas azucaradas, algunos estados aplicaron impuestos a los refrescos y otros productos. Un sondeo de Roland Sturm entre 7300 alumnos de quinto grado reveló que si los impuestos promediaran 4 centavos por cada dólar gastado en refrescos, no habría diferencia real en el consumo total. Sin embargo, si los impuestos aumentaran a 18 centavos por dólar, Sturn calculó que eso generaría una diferencia significativa.Para un estudiante que consume 100 refrescos por año, ¿cuál es el valor futuro del costo adicional de 4 centavos a 18 centavos por botella? Suponga que el estudiante consume refrescos del quinto grado al 12. Utilice una tasa de interés de 6% anual. A = 18 – 4 = 14(100) = 1400 centavos = 14 dólares F=? n = 8 años i = 6% anual F = 14(F/A, 6%, 8) = 14(9.8975) = $138.56 18. Texas Tomorrow Fund (TTF) es un programa que inició en 1996 en Texas con el que los padres pueden pagar en forma anticipada la colegiatura de la universidad de sus hijos para cuando crezcan. Los actuarios establecieron el precio con base en los costos y las ganancias por la inversión en ese momento. Tiempo después, las leyes de Texas permitieron que las universidades establecieran sus propias colegiaturas; los costos aumentaron en forma muy notable. El costo de ingreso de un recién nacido en 1996 fue de $10,500.00. Si el fondo TTF creció con una tasa de 4% anual y las colegiaturas lo hicieron 7% por año, calcule el déficit estatal cuando el recién nacido ingrese a la universidad, 18 años después. F = 10,500.00(F/P, 7%, 18) – 10,500.00(F/P, 4%, 18) = 10,500.00(3.3799) – 10,500.00(2.0258) = $14,218.05 19. Henry Mueller Supply Co. Vende termostatos a prueba de alteraciones abiertos normalmente (es decir, el termostato se cierra cuando aumenta la temperatura). En la tabla siguiente se presentan los flujos de efectivo anuales. Determine el valor futuro de los flujos netos si se aplica una tasa de interés de 10% anual. Año Ingresos, $1,000.0 0 Costo, $1,000.0 0

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200

200

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200

200

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200

200

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90

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90

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90

F=? A = $110,000.00 n = 8 años i = 10% anual F = 110,000.00(F/A, 10%, 8) = 110,000.00(11.4359) = $1,257,949.00 20. Una compañía que fabrica hebillas de cierre automático para cinturones de seguridad espera comprar nuevos equipos para su línea de producción en tres años. Si las unidades nuevas costarán $350,000.00, ¿cuánto debe gastar cada año la empresa si su cuenta gana 10% anual? F = $350,000.00 A=? n = 3 años i = 10% anual A = 350,000.00(A/F, 10%, 3) = 350,000.00(0.30211) = $105,738.50

Valores de los factores 21. Encuentre el valor numérico de los factores siguientes con a) interpolación y b) la fórmula. 1. (A/P, 13%, 15) a) (A/P, 12%, 15) = 0.14682 (A/P, 14%, 15) = 0.16281 12% ---------- 0.14682 a b

c 13% ----------

X

d

14% ---------- 0.16281

a c = b d a 13−12 c= d= ( 0.16281−0.14682 ) =0.007995 b 14−12 (A/P, 13%, 15) = 0.14682 + 0.007995 = 0.1548 b) (A/P, 13%, 15) =

[

i(1+ i)n 0.13(1+0.13)15 = =0.1547 (1+i)n−1 (1+0.13)15−1

][

]

2. (P/G, 27%, 10) a) (P/G, 25%, 10) = 9.9870 (P/G, 30%, 10) = 7.8872 25% ---------- 9.9870 a b

c 27% ----------

X

d

30% ---------- 7.8872

a c = b d a 27−25 c= d= ( 7.8872−9.9870 )=−0.83992 b 30−25 (P/G, 27%, 10) = 9.9870 - 0.83992 = 9.1470 b) (P/G,

¿

27%, n

10) 10

=

(1+0.27) −1 1 (1+i) −1 n 1 10 − =¿ − =9 .0676 n n 10 i i(1+i) 0.27 (1+ i) 0.27 (1+0.27) ( 1+ 0.27)10

[

]

[

]

22. Encuentre el valor numérico de los factores siguientes con a) interpolación, b) fórmula y c) una función de hoja de cálculo. 1. (F/P, 14%, 62) a) (F/P, 14%, 60) = 2595.92 (F/P, 14%, 65) = 4998.22 60 ---------- 2595.92 a b

c 62 ----------

X

d

65 ---------- 4998.22

a c = b d a 62−60 c= d= ( 4998.22−2595.92 )=960.92 b 65−60 (F/P, 14%, 62) = 2595.92 + 960.92 = 3556.84 b) (F/P, 14%, 62) = (1+i)n =(1+0.14)62=3373.65 2. (A/F, 1%, 45) a) (A/F, 1%, 40) = 0.02046 (A/F, 1%, 48) = 0.01633 40 ---------- 0.02046 a b

c 45 ----------

X

d

48 ---------- 0.01633

a c = b d a 45−40 c= d= ( 0.01633−0.02046 )=−0.002581 b 48−40 (A/F, 1%, 45) = 0.02046 - 0.002581 = 0.01787 b) (A/F, 1%, 45) =

[

i 0.01 = =0.01770 n (1+i) −1 (1+0.01)45−1

][

]

23. Para el factor (F/P, 10%, 43), encuentre la diferencia porcentual entre los valores obtenidos con interpolación y con la fórmula, y suponga que el calculado con ésta es correcto. (F/P, 10%, 43) (F/P, 10%, 43) = 0.02046 (F/P, 10%, 43) = 0.01633 40 ---------- 45.2593 a b

c 43 ----------

X

d

45 ---------- 72.8905

a c = b d a 43−40 c= d= ( 72.8905−45.2593 )=−0.002581 b 45−40 (F/P, 10%, 43) = 45.2593 + 16.5787 = 61.8380 (F/P, 10%, 43) = (1+i)n =(1+0.10)43 =60.2400 Diferencia (%) = (61.8380 – 60.2400) / 60.2400 = 0.02652 * 100 = 2.65% 24. Para el factor (F/A, 15%, 52), determine la diferencia porcentual entre los valores encontrados con interpolación y con la fórmula y suponga que el correcto es el obtenido con ésta. (F/A, 15%, 52) (F/A, 15%, 50) = 7217.72 (F/A, 15%, 55) = 14524.00 50 ---------- 7217.72 a b

c 52 ----------

X

d

55 ---------- 14524.00

a c = b d a 52−50 c= d= ( 14524.00−7217.72 )=2922.512 b 55−50 (F/A, 15%, 52) = 7217.72 + 2922.512 = 10140.2320

(F/A, 15%, 52) =

[

(1+i)n−1 (1+0.15)52−1 = =9547.5797 i 0.15

][

]

Diferencia (%) = (10140.2320 – 9547.5797) / 9547.5797 = 0.0620 * 100 = 6.20%

Gradiente aritmético 25. Las utilidades del reciclamiento de papel, cartón, aluminio y vidrio en una universidad de humanidades se incrementaron con una tasa constante de $1,100.00 en cada uno de los últimos tres años. Si se espera que las utilidades de este año (al final) sean de $6,000.00 y la tendencia continúa hasta el año 5, a) ¿cuál será la utilidad al final del año 5? b) ¿cuál es el valor presente de la utilidad con una tasa de interés de 8% anual? A = $6,000.00 G = $1,100.00 n = 5 años i = 8% anual a) F = 6,000.00 + 1,100.00(4) = $10,400.00 b) P = 6,000.00(P/A, 8%, 5) + 1,100.00(P/G, 8%, 5) = 6,000.00(3.9927) + 1,100.00(7.3724) = $32,065.84 26. Un informe de la Oficina de Contabilidad del Gobierno (OCG) espera que el Servicio Postal de Estados Unidos tenga pérdidas por $7,000,000,000.00 al final de este año, y si su modelo de negocios no cambia, las pérdidas totalizarían $241,000,000,000.00 al final del año 10. Si las pérdidas aumentan de manera uniforme en el periodo de 10 años, determine lo siguiente: a) El aumento esperado de las pérdidas de cada año. b) La pérdida en cinco años después de hoy. c) El valor uniforme equivalente de las pérdidas con una tasa de interés de 8% anual. a) G = (241,000,000,000.00 – 7,000,000,000.00) / 9 = $26,000,000,000.00 b) Pérdida = 7,000,000,000 + 4(26,000,000,000.00) = $111,000,000,000.00 c) A = 7,000,000,000.00 + 26,000,000,000.00(A/G, 8%, 10) = 7,000,000,000.00 + 26,000,000,000.00(3.8713) = $107,653,800,000.00 27. Los tornillos esféricos son apropiados para aplicaciones de alta precisión, como la interrupción de un chorro de agua. Se espera que su costo total de manufactura disminuya debido al aumento de productividad, como se aprecia en la tabla. Determine el costo anual equivalente con una tasa de interés de 8% anual. Año Costo, $1,000.0 0

1

2

3

4

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6

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200

195

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175

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165

A1 = $200,000.00 G = – $5,000.00 n = 8 años i = 8% anual

A = 200,000.00 – 5,000.00(A/G, 8%, 8) = 200,000.00 – 5,000.00(3.0985) = $184,507.50 28. La empresa Western Hydra Systems fabrica una máquina moldeadora de paneles con diámetro de 2.7 m en su extremo, emite pocas vibraciones y procesa paneles de aluminio pretensados que miden hasta 6 000 mm de longitud. La compañía desea obtener un préstamo para una nueva planta y bodega. Si ofrece saldar el préstamo con $60,000.00 en el año 1 y esta cifra aumenta $10,000.00 cada año hasta el quinto, ¿cuánto puede pedir prestado la empresa con una tasa de interés de 10% anual? A = $60,000.00 G = $10,000.00 n = 5 años i = 10% anual P=? P = 60,000.00(P/A, 10%, 5) + 10,000.00(P/G, 10%, 5) = 60,000.00(3.7908) + 10,000.00(6.8618) = $296,066.00 29. GKX Industries espera que las ventas de sus sellos hidráulicos (en unidades inglesas y métricas) se incrementen de acuerdo con la secuencia de flujo de efectivo de $70.00 + 4k, donde k está en años y el flujo de efectivo en $1,000.00. a) ¿Cuál es la cantidad del flujo de efectivo en el año 3)? b) ¿Cuál es el valor futuro de toda la serie de flujo de efectivo en el año 10? Sea i = 10% anual. a) CF3 = 70.00 + 4(3) = 82 = $82,000.00 b) A = 70.00 + 4(1) = 74 P = 74.00(P/A, 10%, 10) + 4(P/G, 10%,10) = 74.00(6.1446) + 4(22.8913) = $546,265.60 F = 546,265.60(F/P, 10%, 10) = 546,265.60(2.5937) = $1,416,849.08 30. Para los flujos de efectivo siguientes, determine la cantidad en el año 1 si el valor anual de los años 1 a 9 es de $601.17 y la tasa de interés es de 10% anual. Año Costo, $1,000.0 0

1

2

3

4

5

6

7

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9

A

A + 30

A + 60

A + 90

A+ 120

A+ 150

A+ 180

A+ 210

A+ 240

A = A1 + G(A/G, i%, n) 601.17 = A1 + 30(A/G, 10%, 9) 601.17 – 30(A/G, 10%, 9) = A1 601.17 – 30(3.3724) = A1 A1 = $500.00 31. Apple Computer quiere tener $2,100,000,000.00 en cinco años para financiar la producción de un “cerebro electrónico” portátil que, de acuerdo con el comportamiento del usuario, aprenderá a controlar casi todos los dispositivos electrónicos del hogar, como termostatos, cafetera, televisión y sistema de riego. La compañía espera dedicar cantidades de dinero crecientes en forma uniforme cada año hasta alcanzar su meta. Si el monto apartado al final del año 1 es de $50,000,000.00, ¿cuál debe ser el incremento constante G cada año? Suponga que la cuenta de inversión crece a razón de 18% anual. F = $2,100,000,000.00 A = $50,000,000.00 G=? n = 5 años i = 18% anual P = 2,100,000,000.00(P/F, 18%, 5) = 2,100,000,000.00(0.4371) = $917,910,000.00 P = A(P/A, 18%, 5) + G(P/G, 18%, 5) 917,910,000.00 = 50,000,000.00(3.1272) + G(5.2312) 917,910,000.00 = 156,360,000.00 + 5.2312G

(917,910,000.00 – 156,360,000.00) / 5.2312 = G G = $145,578,452.36 32. Tacozza Electric, que fabrica servomotores de escobillas cd, presupuestó el año pasado $75,000.00 anuales para pagar ciertos componentes durante los próximos cinco años. Si la empresa espera gastar $15,000.00 el año 1, ¿cuál es el costo que espera la compañía para un aumento uniforme (aritmético) cada año? Suponga que la organización utiliza una tasa de interés de 10% anual. A = A1 + G(A/G, 10%, 5) 75,000.00 = 15,000.00 + G(1.8101) (75,000.00 – 15,000.00) / 1.8101 = G G = $33,147.34

Gradiente geométrico 33. En este libro no hay tablas para factores de series en gradiente geométrico. Calcule los primeros dos valores del factor del valor anual, es decir, los valores de A para n = 1 y 2, que aparecerían en una tabla con 10% para una tasa de crecimiento de 4% anual. Para n = 1

(1+0.04)1 −1 (1+0.10)1 P E= =0.9090 0.04−0.10

[

]

A = 0.9090(A/P, 10%, 1) = 0.9090(1.1000) = 1.0000 Para n = 2

(1+0.04)2 −1 (1+0.10)2 P E= =1.7685 0.04−0.10

[

]

A = 1.7685(A/P, 10%, 2) = 1.7685(0.57619) = 1.0190 34. Determine el valor presente de una serie de gradiente geométrico con un flujo de efectivo de $50,000.00 en el año 1 y aumentos de 6% cada año hasta el año 8. La tasa de interés es de 10% anual.

(1+0.06)8 −1 (1+0.10)8 =50,000.00 (6.4114 ) =$ 320,572.63 0.06−0.10

50,000.00 P E=

[

]

35. Determine la diferencia en los valores presentes de los dos contratos siguientes de ciertos artículos, con una tasa de interés de 8% anual. El contrato 1 tiene un costo de $10,000.00 en el año 1; los costos aumentarán a razón de 4% anual durante 10 años. El contrato 2 tiene el mismo costo en el año 1, pero los costos se incrementarán 6% al año durante 11 años. Contrato 1:

(1+0.04)10 −1 (1+0.08)10 =10,000.00 ( 7.8590 )=$ 78,590.00 0.04−0.08

10,000.00 P E=

[

]

Contrato 2:

(1+0.06)11 −1 (1+0.08)11 =10,000.00 ( 9.2926 )=$ 92,926.00 0.06−0.08

10,000.00 P E=

[

]

Diferencia = 92,926.00 – 78590.00 = $14,336.00 36. El Paso Water Utilities (EPWU) compra agua superficial para su tratamiento y distribución a consumidores del Distrito para la Mejora del Agua de El Paso. Un contrato nuevo entre las dos entidades tuvo como resultado una reducción de los aumentos de precio futuros en el costo del agua de 8 a 4% anual durante los siguientes 20 años. Si el costo del agua el año próximo (año 1 del nuevo contrato) será de $260.00 por acre – pie, ¿cuál es el valor presente de los ahorros (en $/acre - pie) entre los contratos nuevo y antiguo? La tasa de interés es de 6% anual.

(1+0.04)20 −1 (1+0.06)20 =260.00 ( 15.8398 )=$ 4,118.37 por acre− pie 0.04−0.06

260.00 P E=

[

]

37. Determine el valor presente de un contrato de mantenimiento que tiene un costo de $30,000.00 en el año 1 y aumentos de 6% por año durante 10 años. Utilice una tasa de interés de 6% anual.

P E=D

n 10 =30,000.00 =30,000.00 ( 9.4339 )=$ 283,018.86 1+ E 1+0.06

Tasa de interés y tasa de retorno 38. Gesky Industrial Products fabrica fuelles sin cepillos para calderas, equipo de cocina, hornos y celdas de combustible. La empresa obtuvo un préstamo de $18,000,000.00 para una expansión de la planta y lo saldó en siete pagos anuales de $3,576,420.00, e hizo el primer pago un año después de recibido el préstamo. ¿Cuál es la tasa de interés por el préstamo? Obtenga la solución a mano y con hoja de cálculo. P = $18,000,000.00 A = $3,576,420.00 n = 7 años i=? P = A(P/A, i%, n) 18,000,000.00 = 3,576,420.00(P/A, i%, 7) 18,000,000.00/3,576,420.00 = (P/A, i%, 7) 5.0330 = (P/A, i%, 7) (P/A, 9%, 7) = 5.0330, por lo tanto i = 9% anual 39. Si el valor del portafolio de jubilación de Jane aumentó de $170,000.00 a $813,000.00 en un periodo de 15 años y no hubo depósitos en la cuenta en dicho lapso, ¿cuál fue su tasa de retorno? P = $170,000.00 F = $813,000.00 n = 15 años i=? F = P(F/P, i%, n)

813,000.00 = 170,000.00(F/P, i%, 15) 813,000.00/170,000.00 = (F/P, i%, 15) 4.7823 = (F/P, i%, 15) 10% ---------- 4.1772 a b

c X

---------- 4.7823

d

11% ---------- 4.7846

a c = b d c 4.7823−4.1772 a= b= ( 11−10 )=0.9962 d 4.7846−4.1772 i = 10 + 0.9962 = 10.99%

40. El historial de crédito de una persona es importante para establecer la tasa de interés por una hipoteca de vivienda. De acuerdo con el Servicio de Asesoría de Crédito al Consumidor, un propietario con hipoteca de $100,000.00 e historial de 520 puntos pagará $110,325.00 más en cargos por interés durante la vida de 30 años de un préstamo, que otro con la misma hipoteca y un historial de 720 puntos. ¿Qué tan alta tendría que ser la tasa de interés anual a fin de que tomara en cuenta esta diferencia en los cobros de intereses, en un pago único realizado al final de los 30 años? P = $100,000.00 F = $110,325.00 n = 30 años i=? P = F(P/F, i%, n) 100,000.00 = 110,325.00(P/F, i%, 30) (100,000.00 / 110,325.00) = (P/F, i%, 30) 0.9064 = (P/F, i%, 30) 0.25% ---------- 0.9278 a b

c X

---------- 0.9064

d

0.50% ---------- 0.8610

c 0.9278−0.9064 a= b= ( 0.25−0.50 )=0.0800 d 0.9278−0.8610 i = 0.25 + 0.080 = 0.33% 41. Durante un periodo en que el Mercado de bienes raíces en Phoenix, Arizona, estuvo a la baja, la empresa CSM Consulting Engineers acordó con un propietario la compra de un edificio de oficinas en los siguientes términos: precio total de $1,200,000.00 con un pago de $200,000.00 hecho hoy y

sin pagos durante cuatro años, después de lo cual se pagaría el saldo insoluto de $1,000,000.00. CSM pudo hacer este trato debido a las malas condiciones del mercado en el momento de la compra, y al mismo tiempo planeaba vender el inmueble dentro de cuatro años (cuando era probable que mejorara el mercado) para mudarse a un edificio más grande en Scottsdale, Arizona. Si CSM pudiera vender el edificio en $1,900,000.00 exactamente cuatro años después, ¿qué tasa de retorno habría logrado la empresa por su inversión? P = $200,000.00 F = 1,900,000.00 – 1,000,000.00 = $900,000.00 n = 4 años i=? F = P(F/P, i%, n) 900,000.00 = 200,000.00(F/P, i%, 4) (900,000.00 / 200,000.00) = (F/P, i%, 4) 4.5000 = (F/P, i%, 4) 40% ---------- 3.8416 a b

c X

---------- 4.5000

d

50% ---------- 5.0625

c 4.5000−3.8416 a= b= ( 50−40 )=5.9327 d 5.0625−3.8416 i = 40 + 5.9327 = 45.93% 42. Una compañía nueva que fabrica sellos hidráulicos obtuvo un préstamo de $800,000.00 para expandir sus instalaciones de empaque y envío. El contrato requiere que la compañía pague a los inversionistas por medio de un mecanismo novedoso llamado faux dividends, que consiste en una serie de pagos anuales uniformes durante un periodo fijo. Si la compañía pagó $250,000.00 anuales durante cinco años, ¿cuál fue la tasa de interés por este préstamo? P = $800,000.00 A = $250,000.00 n = 5 años i=? P = A(P/A, i%, n) 800,000.00 = 250,000.00(P/A, i%, 5) 800,000.00/250,000.00 = (P/A, i%, 5) 3.2000 = (P/A, i%, 5) 16% ---------- 3.2743 a b

c X

---------- 3.2000

d

18% ---------- 3.1272

a c = b d c 3.2743−3.2000 a= b= ( 16−18 )=1.0101 d 3.2743−3.1272 i = 16 + 1.0101 = 17% annual

43. La compañía Bessimer Electronics manufactura actuadores dirigibles en una de sus maquiladores en México. La empresa cree que si invierte $24,000.00 cada año del 1 al 3, evitará pagar $87,360.00 en el tercer año. Si no hace inversiones anuales, ¿qué tasa de retorno obtendrá? F = $87,360.00 A = $24,000.00 n = 3 años i=? F = A(F/A, i%, n) 87,360.00 = 24,000.00(F/A, i%, 3) 87,360.00/24,000.00 = (F/A, i%, 3) 3.6400 = (F/A, i%, 3) (F/A, 20%, 3) = 3.6400, por lo tanto i = 20% anual

44. Las resinas epóxicas curables con luz ultravioleta se emplean para sellar y cerrar aberturas, y como recubrimientos transparentes. Su jefe leyó un informe enviado por el director de finanzas (CFO) que decía que el valor anual equivalente de dar mantenimiento al equipo de producción de resinas fue de $48,436.00 durante los últimos cinco años. El informe afirmaba que el costo en el año 1 fue de $42,000.00, y que aumentó en forma aritmética $4,000.00 por año. Su jefe pensó que $48,436.00 era demasiado elevado, de modo que pidió a usted que determinara la tasa de interés con que el CFO hizo sus cálculos. ¿Cuál fue dicha tasa de interés? A = A1 + G(A/G, i%, 5) 48,436.00 = 42,000.00 + 4,000.00(A/G, i%, 5) (48,436.00 – 42,000.00) / 4,000.00 = (A/G, i%, 5) 1.6090 = (A/G, i%, 5) (A/G, 22%, 5) = 1.6090, por lo tanto i = 22% anual Número de años 45. La compañía Acme Bricks, de productos de mampostería, quiere contar con $600,000.00 para invertirlos en nuevas bandas, camiones y otros equipos. Si aparta $80,000.00 cada año en una cuenta que paga 15% anual, ¿cuántos años requerirá Acme para comprar el equipo? F = $600,000.00 A = $80,000.00 n=? i = 15% anual F = A(F/A, i%, n) 600,000.00 = 80,000.00(F/A, 15%, n) 600,000.00/80,000.00 = (F/A, 15%, n) 7.5000 = (F/A, 15%, n) 5 ---------- 6.7424

a b

c X ---------- 7.5000

d

6 ---------- 8.7537

a c = b d c 7.5000−6.7424 a= b= ( 6−5 )=0.3766 d 8.7537−6.7424 n = 5 + 0.3766 = 5.4 años

46. Un ingeniero que planea su jubilación tenía $1,600,000.00 en su portafolios de inversión; no obstante, una fuerte recesión hizo que disminuyera su valor a sólo 55% de su valor original, de modo que siguió trabajando. Si pudiera invertir su dinero con una tasa de retorno de 9% anual cuando terminara la recesión, ¿cuántos años tardaría en recuperar el valor de $1,600,000.00? P = 1,600,000.00(0.55) = $880,000.00 F = $1,600,000.00 n=? i = 15% anual F = P(F/P, i%, n) 1,600,000.00 = 880,000.00(F/P, 9%, n) 1,600,000.00/880,000.00 = (F/P, 9%, n) 1.8181 = (F/P, 9%, n) 6 ---------- 1.6771 a b

c X ---------- 1.8181

d

7 ---------- 1.8280

a c = b d c 1.8181−1.6771 a= b= ( 7−6 )=0.9343 d 1.8280−1.6771 n = 6 + 0.9343 = 6.9 años

47. Usted posee una compañía pequeña de consultoría en ingeniería. Si invierte $200,000.00 de la empresa en un ducto de gas natural que se espera genere un ingreso de $29,000.00 anuales, ¿cuánto tiempo y con qué tasa debe producir el yacimiento a fin de recuperar la inversión más una tasa de retorno de 10% anual? P = $200,000.00 A = $29,000.00 n=? i = 15% anual A = P(A/P, i%, n) 29,000.00 = 200,000.00(A/P, 10%, n) 29,000.00/200,000.00 = (A/P, 10%, n) 0.1450 = (A/P, 10%, n) 12 ---------- 0.14676 a b

c X ---------- 0.14500

d

13 ---------- 0.14078

a c = b d c 0.14676−0.14500 a= b= (12−13 )=0.2943 d 0.14676−0.14078 n = 12 + 0.29 = 12.3 años 48. Una ingeniera previsora comenzó a ahorrar hace 15 años para su jubilación, apartando con diligencia $18,000.00 cada año hasta el día de hoy. Invirtió en acciones que promediaron una tasa de retorno de 12% en dicho periodo. Si hace la misma inversión anual y logra la misma tasa de retorno en el futuro, ¿cuánto tiempo habrá transcurrido después de hoy (momento cero) antes de que tenga $1,500,000.00 en su fondo de retiro? F = $1,500,000.00 A = $18,000.00 n=? i = 12% anual F = A(F/A, i%, n) 1,500,000.00 = 18,000.00(F/A, 12%, n) 1,500,000.00/18,000.00 = (F/A, 12%, n) 83.3333 = (F/A, 12%, n) 21 ---------- 81.6987 a b

c X ---------- 83.3333

d

22 ---------- 92.5026

a c = b d c 83.3333−81.6987 a= b= ( 22−21 )=0.1512 d 92.5026−81.6987 n = 21 + 0.1512 = 21.2 – 15 = 6.2 años

49. Un graduado de ingeniería mecánica que desea tener su propio negocio obtuvo un préstamo de $350,000.00 de su papá como capital inicial. Como son familiares, su progenitor cobró un interés de sólo 4% anual. Si el ingeniero pudo pagarle $15,000.00 en el año 1, $36,700.00 en el año 2 y cantidades que aumentan $21,700.00 cada año, ¿cuánto tiempo se tardará el ingeniero en saldar el préstamo? P = $350,000.00 A = $15,000.00 G = $21,700.00 n=? i = 4% anual P = A(P/A, i%, n) + G(P/G, i%, n) 350,000.00 = 15,000.00(P/A, 4%, n) + 21,700.00(P/G, 4%, n) Por ensayo y error Si n = 5 350,000.00 = 15,000.00(P/A, 4%, 5) + 21,700.00(P/G, 4%, 5) 350,000.00 = 15,000.00(4.4518) + 21,700.00(8.5547) 350,000.00 = 252,414.00 Si n = 10 350,000.00 = 15,000.00(P/A, 4%, 10) + 21,700.00(P/G, 4%, 10) 350,000.00 = 15,000.00(8.1109) + 21,700.00(33.8814) 350,000.00 = 856,889.00 5 ---------- 252,414 a b

c X ---------- 350,000

d

10 ---------- 856,889

c 350,000−252,414 a= b= ( 10−5 ) =0.8072 d 856,889−252,414 n = 5 + 0.8072 = 5.8 años 50. Se espera que los costos de energía de una empresa que se dedica a los recubrimientos en polvo de muebles de uso exterior aumentan a razón de $400.00 anuales. Se espera que el costo al final del año siguiente (año 1) sea de $13,000.00. ¿Cuántos años después de hoy se requerirán antes de que el costo anual equivalente sea de $16,000.00 por año si la tasa de interés es de 8% anual? G = $400.00 A1 = $13,000.00 A = $16,000.00 n=? i = 8% annual A = A1 + G(A/G, i%, n) 16,000.00 = 13,000.00 + 400.00(A/G, 8%, n) (16,000.00 – 13,000.00) / 400.00 = (A/G, 8%, n) 7.5000 = (A/G, 8%, n) 21 ---------- 7.2940 a b

c X ---------- 7.5000

d

22 ---------- 7.5412

c 7.5000−7.2940 a= b= ( 22−21 )=0.8333 d 7.5412−7.2940 n = 21 + 0.8333 = 21.8 años 51. Al limpiar ciertos archivos que dejó el ingeniero que lo antecedió en el puesto, usted descubrió un informe antiguo que tenía un cálculo del valor presente de ciertos costos de mantenimiento de autopistas estatales. El informe contenía la siguiente ecuación (con costos en $1,000,000.00): 12{1 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)]X} / (0.06 – 0.03) = 140 El valor de x en el cálculo no podía leerse. ¿Cuál era dicho valor? 12{1 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)]X} = 140(0.06 – 0.03) 12{1 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)]X} = 4.2 {1 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)]X} = 4.2 / 12 {1 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)]X} = 0.35 – [(1 + 0.03) / (1 + 0.06)] X} = 0.35 – 1 – (0.9717)X = – 0.65 (0.9717)X = – 0.65 / – 1 (0.9717)X = 0.65 (X)log(0.9717) = log(0.65) – 0.012467X = – 0.187086 X = – 0.187086 / – 0.012467 X = 15 años 52. El valor equivalente de un gradiente aritmético en aumento es de $135,300.00. Si el flujo de efectivo en el año 1 es de $35,000.00 y el gradiente es de $19,000.00, ¿cuál es el valor de n con una tasa de interés de 10% anual? A = A1 + G(A/G, i%, n)

135,300.00 = 35,000.00 + 19,000.00(A/G, 10%, n) (135,300.00 – 35,000.00) / 19,000.00 = (A/G, 10%, n) (A/G, 10%, n) = 5.2789 (A/G, 10%, 15) = 5.2789, por lo tanto, n = 15 años 53. Le informaron que el valor presente de un gradiente geométrico que aumenta es de $88,146.00. Si el flujo de efectivo en el año 1 es de $25,000.00 y el gradiente aumenta 18% anual, ¿cuál es el valor de n? La tasa de interés es de 10% anual.

D P=

[

(1+ E)n −1 (1+i)n E−i

]

(1+0.18)n 25,000.00 −1 (1+0.10)n 88,146.00= 0.18−0.10

[

]

(1+0.18)n 88,146.00 ( 0.18−0.10 )=25,000.00 −1 n (1+0.10)

[

(1+0.18)n 7051.68 = −1 25,000.00 (1+0.10)n

[

0.282067+1=

]

(1+0.18)n (1+0.10)n

1.282067=(1.072727)n log 1.282067 = n(log1.072727) 0.107910 = n(0.030489) 0.107910 / 0.030489 = n n = 3.5 años

]