Rappel Chapitre 3-4 PERT Probabiliste [PDF]

Zitiervorschau

Ecole Nationale d’Ingénieurs de Bizerte (ENIB)

Ordonnancement Rappel+TD PERT PROBABILISTE 2ème année Génie Mécanique

Année universitaire 2020-2021 1

Introduction Il arrive très souvent que la durée d’une tâche et donc de ses coûts ne soit pas certaine ce qui entraine une incertitude sur la durée totale du projet…

De ce fait, la durée d’une tâche peut être considérée comme une variable aléatoire qui suit une loi de probabilité.

PERT probabiliste Le PERT probabiliste prend en compte l'incertitude, la fluctuation au niveau de la durée d'exécution des tâches.

Distribution statistique de la durée d’une tâche : Probabilité d’occurrence

• Optimiste (très peu probable que la tâche prenne moins longtemps que); • Pessimiste (très peu probable que la tâche prenne plus longtemps que); • Très probable (c’est ce que nous pensons vraiment qui arrivera).

Moyenne

Optimiste

PERT = (Optimiste + 4xMoyenne + Pessimiste) 6

Pessimiste

Durée

PERT probabiliste Définition : Loi Bêta (Suite ) Pour obtenir respectivement les paramètres topt, tpes, tvrai qui permettent de calculer la moyenne et la variance , à partir des formules suivantes: Pour la tâche Ti : Durée probable « Temps moyen estimé »

𝑡pro Ti =

t opt Ti + 4t vra (Ti) + t pes (Ti൯ 6 (𝑡𝑝𝑒𝑠 Ti − 𝑡𝑜𝑝𝑡 Ti ) 6

Ecart-type

σ (Ti) =

Variance

Var(Ti) = σ2 (Ti)

PERT probabiliste Loi Bêta : Démarche Il existe une version du PERT qui prend en compte les aléas sur les dates et les durées.

Tâches

Son application s'effectue en plusieurs étapes :

Tâches anterie ures

Temps en semaines

𝐭 𝐨𝐩𝐭 𝐭 𝐯𝐫𝐚

𝐭 𝐩𝐞𝐬

A

-

4

5

12

B

-

1

1,5

5

Elle concerne la recherche de la loi de probabilité

C

A

2

3

4

de la durée de chaque tâche Ti à travers la loi Bêta

D

A

3

4

11

basée sur trois paramètres :

E

A

2

3

4

F

C

1,5

2

2,5

G

D

2,5

3

4,5

1ère étape :



La durée optimiste de la tâche Ti : topt(Ti)



La durée pessimiste de la tâche Ti : tpes(Ti)

H

B,E

1,5

3,5

7,5



La durée vraisemblable de la tâche Ti : tvra(Ti)

I

H

1

2

2,5

J

F,G,I

1

2

3

PERT probabiliste 2ème étape : A partir des paramètres précédents, on calcule de nouveaux paramètres (pour la loi Bêta) : la durée probable de la tâche Ti : 𝑡pro Ti = Tâches

Tâches anterie ures

t opt Ti + 4t vra (Ti) + t pes (Ti൯ 6

Temps en semaines

𝐭 𝐨𝐩𝐭 𝐭 𝐯𝐫𝐚

𝒕𝐩𝐞𝐬

Tâches

𝐭 𝐩𝐫𝐨

A

-

4

5

12

A

4+4𝑥5+12 6

B

-

1

1,5

5

B

2

C

A

2

3

4

C

3

D

A

3

4

11

D

5

E

A

2

3

4

E

3

F

C

1,5

2

2,5

F

2

G

D

2,5

3

4,5

G

3

H

B,E

1,5

3,5

7,5

H

4

I

H

1

2

2,5

I

2

J

F,G,I

1

2

3

J

2

=6

PERT probabiliste 3ème étape : Durée du chemin critique Durée d'un chemin (Sd) = somme des durées des tâches du chemin

La somme de durées aléatoires , Sd, est une variable aléatoire dont on calculera la 𝑛

moyenne et la variance.

Durée moyenne 𝑇𝑚 (Sd) = ෍𝑇𝑚 (Ti) 1 𝑛

Tâches A

Variance

𝐭 𝐩𝐫𝐨 = 𝐓𝐦

Var(Sd) = ෍ Var(Ti) 1

4+4𝑥5+12 =6 6

66 2

9 13 5

C3

B

2

C

3

D

5

00

E

3

1

F

2

G

3

H

4

I

2

La durée globale du rejet est de 17 semaines

J

2

Le chemin critique est A-E-H-I-J

A6

F2

D5

1112 E3 4

15 15 J2 17 17 8 7

G3

I2

B2

9 9 3

H4 1313

6

PERT probabiliste 3ème étape : Durée du chemin critique (Suite) Pour chaque chemin, on peut alors  Calculer la durée estimée pour toutes les tâches Ti du chemin  La variance estimée pour toutes les tâches Ti du chemin  l'écart-type estimé : 𝑡𝑝𝑒𝑠 Ti − 𝑡𝑜𝑝𝑡 Ti σ (Ti) = 6 2 Var(Ti) = σ (Ti)

Résultats Var(𝐒𝐝) = 3,06

Ti

𝐓𝐦

Variance

Ecart type

A

6

1,78

1,33

E

3

0,11

0,33

H

4

1,00

1,00

I

2

0,06

0,25

J

2

0,11

0,33

Var(Sd) σ (Sd)

3,06 1,75

𝛔(𝐒𝐝) = 1,75

Le temps nécessaire à la réalisation du projet Tm suit une loi normale de moyenne 17 et d’écart type 1,75

Tm ̴ N (17 ; 1,75)

PERT probabiliste 4 ème étape : Calcul probabiliste Pour analyser les probabilités d’achèvement d’un projet à une date précise à partir d’une distribution normale, nous utilisons la formule de transformation z

Changement de variable

𝒛=

𝐓 − 𝐓𝐦

σ

où : T = La durée du projet Tm = Durée moyenne estimée duprojet Soit la durée du projet estimé est T= 20 semaines La probabilité pour que la fin du projet soit atteinte au bout de 20 semaines est la suivante 𝑃 T ≤ 𝟐𝟎

𝑷(

𝑻−𝟏𝟕 𝟏,𝟕𝟓

≤

𝟐𝟎−𝟏𝟕 𝟏,𝟕𝟓

)

= 𝑷( 𝐙 ≤ 𝟏, 𝟕𝟏)

La probabilité pour que la fin du projet soit atteinte au bout de 20 semaines

𝑷(Z ≤ 𝟏, 𝟕𝟏)

Exemple

11

PERT probabiliste 4 ème étape : Calcul probabiliste (Suite) On suppose usuellement que la durée des chemins obéit à la loi normale (de Gauss). En utilisant une table de Gauss on peut alors en déduire soit une durée à une probabilité fixée, soit une probabilité d'achèvement du projet dans un délai donné.

𝑷(Z ≤ 𝟏, 𝟕𝟏)

On décompose Z= 1,71 en 1,7+ 0,01

𝑷(Z ≤ 𝟏, 𝟕𝟏)

= 0,9564

1,7

0,01

PERT probabiliste 4 ème étape : Calcul probabiliste (Suite) La probabilité pour que la fin du projet soit atteinte au bout de 20 semaines est la suivante 𝑃 𝑻 ≤ 𝟐𝟎 = 𝑷(

𝑻−𝟏𝟕 𝟏,𝟕𝟓

≤

𝟐𝟎−𝟏𝟕 ) 𝟏,𝟕𝟓

= 𝑷(𝑻 ≤ 𝟏, 𝟕𝟓) En utilisant le tableau de la fonction de répartition de loi normale centré réduite on voit que La probabilité pour que la fin du projet soit atteinte au bout de 20 semaines est 95,64 %avec un risque industriel de 4,36 % 𝑃 𝑻 ≤ 𝟐𝟎 = 𝟗𝟓, 𝟔𝟒%

Exercice 1 A partir le tableau ci-dessous 1. Calculer la durée moyenne et l'écart type pour chaque tâche. 2. Soit le chemin critique du projet est B-E-G-F-E et la durée moyenne des tâches estimée est de l’ordre de 30,66 jours 2.1 Calculer la probabilité que ce projet soit terminé en 32 jours. 2.2 Calculer la durée du projet avec une probabilité de 90 %.

Exercice 1(Suite) 1- Calcul de la durée moyenne et l'écart type de chaque tâche

Exercice 1(Suite) 2.1 Calcul de la probabilité du projet pour qu’il soit terminé en 32 jours  Variance du projet = 2,44  Ecart type du projet = 1,56  Changement de variable : z= (32-30,66)/1,56= 0,86

Probabilité que la durée du projet soit de 32 jours = 80,51%

TD 3 Management de projet

Exercice 1 Prenons l'exemple d’un chemin critique B, D, F, G dont les durée respectives (di) sont: 7, 12, 6, 2. Supposons que ces tâches correspondent aux paramètres communs suivants : Topt(Ti) = 0,7xdi Tpes(Ti) = 1,2xdi Tvrai(Ti) = di 1. Quelle est la durée estimé du projet, ainsi que sa variance et son écart type estimés? 2. Calculons la probabilité pour que la durée du chemin soit inférieure à la valeur 27? 3.

Si maintenant on choisit 25 au lieu de 27 ?

Solution Exercice 1

1) test(TB) = 6,88 σ(TB) = 0,58

test (TD) = 11,8

test (TF) = 5,9

test (TG) = 1,96

σ(TD) = 1

σ(TF) = 0,5

σ(TG) = 0,16 𝑛

σ (Ti) =

𝑡𝑝𝑒𝑠 Ti − 𝑡𝑜𝑝𝑡 Ti 6

Durée moyenne 𝑇𝑒𝑠𝑡 (Sd) = ෍𝑇𝑚 (Ti) 1 𝑛

Variance

Var(Sd) = ෍ Var(Ti) 1

Test = 26,54

Varest = 1,61

σ est = 2,25

Solution Exercice 1 2) La variable de Gauss réduite est Z= (27 -26,54)/2,24 = 0,201. 𝒛=

𝐓 − 𝐓𝐦

σ

0,00

• Pour z < 0,201 donnent la valeur approximative 0,579. 0,3 57,9% de chances pour que la durée du chemin soit inférieure à 27.

• Si maintenant on choisit 25 au lieu de 27, on trouve une probabilité de 75,17%

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981

0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7290 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9779 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982

0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982

0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983

0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984

0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984

0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985

0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.98884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985

0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986

0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986

Exercice 2 On considère le projet dont les contrariantes sont présentées dans le tableau suivant : Tâches

Antécédents

Durée optimiste

Durée plus probable

Durée pessimiste

A

F E

1

2

3

B

AG

1

3

5

C

B

1

3

4

D

E

12

13

14

E

J

3

5

8

F

IJ

2

6

8

G

H

7

8

10

H

I

6

9

12

I

L

1

2

3

J

LK

4

5

6

K

-

3

6

9

L

-

1

3

5

1. Représentez le graphe ci-dessous. 2. Calculez la durée moyenne du projet. 3. Trouvez la probabilité pour que ce projet soit terminé en 32 jours 4. Déterminez la durée avec une probabilité de 98%. 5. Les durées de la tâche H sont modifiées. Des informations plus précises indiquent que la moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modification a-t-elle des conséquences sur les résultats des questions 3 et 4 ?

Correction Exercice 2 1.

Correction Exercice 2 2. Diagramme PERT

Marge libre

Date de début au plus tard

Marge totale

Date de début au plus tôt

Durée de la tâche

Date de fin au plus tôt

Nom de la tâche

Date de fin au plus tard

Correction Exercice 2

2. Durée moyenne du projet = 29,17 3.

Calcul de la variance du projet : 4,42 Ecart type du projet = 2,10

4. •

Changement de variable moyenne : 32-26,17 = 2,83

•

Changement de variable écart type: 2,83/2,1 = 1,35

•

Probabilité pour que le projet soit fini avant 32 jours : 91,15%

Exercice 3 Un projet se compose des tâches suivantes : Tâches

Antécédents

Durée optimiste

Durée plus probable

Durée pessimiste

A

IL

1

3

6

B

-

4

5

7

C

BL

3

6

8

D

CK

1

1

2

E

DF

2

4

5

F

AGH

2

4

5

G

IL

7

10

13

H

CA

1

2

3

I

B

5

8

10

J

B

1

1

2

K

J

2

4

7

L

-

1

2

3

1. Calculez la durée moyenne et l'écart type pour chaque tâche. 2. Tracez le graphe du projet 3. A l'aide des durées moyennes, trouvez les débuts au plus tôt des tâches, les débuts au plus tard, les marges totales et les marges libres - Tracez le chemin critique. 4. Calculez la durée du projet avec une probabilité de 90 %.

Correction Exercice 3 1.

2.

Marge libre

Date de début au plus tard

Marge totale

Date de début au plus tôt

Durée de la tâche

Date de fin au plus tôt

Nom de la tâche

Date de fin au plus tard