Probleme Astronomie Rezolvate [PDF]

Zitiervorschau

..ACESTA ESTE UN MANUSCRIS SI SUPORTA MODIFICARI VA MULTUMESC PENTRU EVENTUALE OBSERVATII SUNT POSIBILE ERORI –CORECTATI-LE!!!

GHID DE PREGĂTIRE A OLIMPIADELOR ŞCOLARE LECŢII. TESTE. PROBLEME

PARTEA a III-a

67

TESTUL XIII 1. Numărul total de constelaţii este: A. 66; B. 88;

C. 20.

2. Constelaţia cea mai întinsă este : A. Ursa Mică; B. Octantul;

C. Hydra.

3. Constelaţia cu dimensiunea cea mai mică este: A. Fecioara; B. Taurul; C. Crucea Sudului. 4. Stelele din Carul Mare, cele mai depărtate de Pământ, sunt: A. stelele din oişte; B. roţile Carului; C. toate sunt la aceeaşi distanţă. 5. Cu un binoclu obişnuit se pot vedea: A. 800.000 stele; B. 60.000 stele;

C. 1.000.000.000 de stele.

6. Cu ochiul liber se pot vedea aştri până la magnitudinea: A. m = 0; B. m = +2; C. m = +6. 7. Numele constelaţiilor din emisfera sudică datează din: A. secolul XIII; B. secolele al XVII –lea şi al XVIII-lea; C. secolul IV. 8. Pentru a vedea stelele în aceeaşi poziţie în noaptea următoare, este necesar să facem observaţii: A. la aceeaşi oră; B. cu patru minute mai devreme; C. cu patru minute mai târziu. 9. Aspectul constelaţiilor: A. se modifică în zeci de ani; B. nu se modifică; C. se modifică treptat. 10.Centura zodiacală este formată din: A. 9 constelaţii; B. constelaţii; C. 12 constelaţii. 11. Constelaţia Cygnus este, la latitudinea localităţii Sulina: A. circumpolară B. este la Zenit la ora 00 C. găzduieşte roiul globular M 13 D. componentă a Caii Lactee. 12. Meteorul este: A. corpul care intră în atmosfera şi cade pe Pământ B. fenomenul luminos produs în urma frecării dintre un corp meteoric şi atmosfera terestră C. „stea cu coada” D. un fenomen ce se produce doar înainte de răsăritul Soarelui

TESTUL XIV 1. Satelitul natural al Pământulu, Luna, prezintă pământenilor permanent aceeaşi faţă. Ce fenomen face posibil acest lucru? a). mişcările de revoluţie ale Pământului şi Lunii sunt egale; b). mişcarea de rotaţie în jurul axei proprii a Lunii are loc în aceeaşi perioadă de timp cu mişcarea de revoluţie în jurul Pământului; c). viteza mişcării de revoluţie a Pământului este egală cu viteza mişcării de revoluţie a Lunii. 2. Unul din criteriile de clasificare a sateliţilor artificiali ai Pământului îi împarte în sateliţi geostaţionari şi sateliţi circumtereştri. Ce proprietăţi specificie au sateliţii geostaţionari? a). viteza de rotaţie a sateliţilor în jurul Pământului este egală cu viteza de rotaţie a Pământului în jurul axei proprii, astfel sateliţii se vor găsi permanent deasupra aceluiaş punct geografic; b). satelitul este echipat cu instalaţii specifice pentru determinări geografice; c). sateliţii sunt aproape statici pe orbită şi astfel în 24 de ore pot cartografia întreaga suprafaţă geografică.

68

3. Ce este poluarea luminoasă? a). distrugerea stratului de ozon din atmosferă pătrunderea unei cantităţi mai mari de radiaţie luminoasă venită din spaţiul cosmic; b). reflexia luminii solare de către praful cosmic pe timpul nopţii; c). influenţa luminii artificiale terestre şi a Lunii asupra observaţiilor astronomice pe timpul noţii. 4. Ce vă spune termenul ,,terminator’’ a). linia ce desparte suprafaţa luminată de cea neluminată de Soare a unui corp din spaţiul cosmic; b). celebra serie de filme s.f a cărui subiect central este călătoria în timp; c). linia de demarcaţie a umbrei pe suprafaţa solară în timpul eclipselor. 5. Anotimpurile pe un corp planetar, inclusiv Pănânt sunt provocate de: a). înclinarea axei de rotaţie a corpului faţă de planul orbitei sale; b). sateliţi naturali ai corpului (Luna în cazul Pământului); c). ciclul activităţii solare. 6. Când avem în regiunea noastră noaptea cea mai lungă? a). la echinocţiul de vară; b). la echinocţiul de iarnă; c). la echinocţiul de iarnă. 7. În ce perioadă a anului se poate vedea constelaţia Ursa Major? a). primăvară-iarnă; b). permanent când cerul este senin; c). toamna.

TESTUL XV Stabiliţi valoarea de adevăr a fiecărui afirmaţii numerotate de la 1 la 15. Pe foaia de concurs vei trece în dreptul fiecărui număr corespunzător afirmaţiei, una din literele A (pentru adevărat) sau F (pentru fals) în funcţie de valoarea de adevăr a acesteia. 1. Centrul de masă al sistemului Pământ-Lună este mai aproape de Lună decât de Pământ. 2. Nicolaus Copernicus a fost un astronom polonez care a introdus sistemul heliocentric în locul celui geocentric. 3. Dacă faza Lunii sugerează litera C, atunci ea este în creştere. 4. În conformitate cu legea a doua a lui Kepler, o planetă se mişcă mai repede la afeliu. 5. legea lui Galilei este o regulă empirică ce stabileşte distanţele planetelor faţă de Soare. 6. Umbra unui băţ înfipt vertical în pământ are lungime maximă la amiază. 7. Toate planetele cu excepţia lui Venus se rotesc în aceeaşi direcţie. 8. Şi asteroizii au sateliţi. 9. Distribuţia stelelor din Galaxie dovedeşte o aglomerare în jurul planului ecuatorial ceresc.

69

10. Echilibrul termic al unei stele este caracterizat de egalitatea dintre energia generală în interiorul stelei şi energia radiată înspre exterior din miezul acesteia. 11. Echilibrul hidrostatic al unei stele exprimat prin echilibrul forţei gravtaţionale şi cea datorată presiunii gazului în orice punct în interiorul acestuia. 12. Piticele brune sunt ,,stele’’ cu masa prea mică pentru a iniţia arderea hidrogenului şi care radiază energie doar prin contracţie gravitaţională. 13. Strălucirea unei stele percepută de ochiul uman este direct proporţională cu intensitatea energetică a stelei, indiferent de lungimea de undă a radiaţiei emise de stea în domeniul vizibil. 14. Deplasarea ,,spre roşu’’ a spectrului radiaţiei emise de quasari indică faptul că sunt la distanţă constantă de Pământ. 15. inversul constantei Hubble are dimensiune de timp. Răspuns. 1-Fals; 2-adevărat; 3-Fals; 4-Fals; 5-Fals; 6-fals; 7-Adevărat; 8-adevărat; 9-Adevărat; 10-Adevărat; 11-Adevăratr; 12-Adevărat; 13-fals; 14-Fals; 15-Adevărat. PROBA OBSERVAŢIONALĂ(J+S Faza naţională 2009) Figura reprezintă harta cerului de la Călimăneşti în 14 aprilie 2009 ora 23, timp local.

70

Cerinţe: Problema 1 Identificaţi şi notaţi pe marginea foii punctele cardinale. Problema 2 Trasaţi pe hartă ecliptica si ecuatorul ceresc. Problema 3 Identificaţi planetele care se văd pe hartă. Problema 4 Desenaţi pe hartă minim 12 constelaţii care sunt în totalitate prezente şi pe care le-aţi identificat. Problema 5 Identificaţi următorele stele pe hartă precizând care sunt duble şi care sunt multiple: Izar, Castor, Algieba, Cor Caroli. Problema 6 Marcaţi pe hartă poziţiile următoarelor obiecte Messier şi precizaţi natura acestora (roiuri deschise, globulare, galaxii, nebuloase): M44, M3, M35, M51, M81, M65 Soluţie (vezi următoarea pagină) Problema1. Pentru fiecare punct cardinal indicat corect se acordă. Problema2. Trasarea corectă a eclipticii; Trasarea corectă a ecuatorului ceresc. Problema3. Identificarea corectă a planetei Saturn. Problema4. Pentru fiecare constelaţie desenată şi identificată corect se acordă punctajul corespunzător. Problema 5. Castor, Algieba, Cor Caroli; Stele duble: Izar, Algieba, Cor Caroli; Stea multiplă: Castor. Problema 6. M44, M35 - sunt roiuri deschise. M3 – este roi globular.M51, M81, M65 sunt galaxii.

71

72

PROBLEME REZOLVATE 1. În tabelul de mai jos sunt date 6 puncte de pe sfera cerească şi respectiv 9 constelaţii. Asociază numărul de ordine de pe sfera cerească cu litera corespunzătoare constelaţiei în care se află. 2. Punctul pe sfera ceraească Constelaţia 1. Polul Nord ceresc a. Constelaţia Berenicei 2. Polul Sud ceresc b. Crucea Sudului 3. Polul Nord ecliptic c. Dragonul d. Octant 4. Punctul vernal g 5. polul Nord galactic e. Orion 6. Centrul Galaxiei se află în dreapta constelaţiei f. Peştii 7 g. Săgetătorul 8 h. Ursa Mare 9 i. Ursa Mică Etapa pe judeţ 2008(J+S) Răspuns: 1-i; 2-d; 3-c; 4-f; 5-a; 6-g. 2. Explicaţi fenomenele astronomice numite ,,ocultaţie’’, ,,tranzit’’, ,,conjuncţie’’. Daţi câte un exemplu concret pentru fiecare fenomen. Etapa pe judeţ 2008(J+S) Răspuns: ocultaţie: Înpedicarea vizibilităţii unui obiect datorită interpunerii unui alt obiect între observator şi primul obiect.În astronomie sunt numeroase situaţii în care se produc ocultaţii. Luna ocultează de multe ori diverse stele. Planetele privite prin telescop ocultează unii din sateliţii lor. Tranzit: Un fenomen de tranzit sau trecerea unui astru peste un alt astru constă în interpunerea unui corp ceresc între observator şi un al doilea corp ceresc, în situaţia în care corpul mai apropiat de observator are dimensiune aparentă mai mică, astfel încât acoperirea corpului mai depărtat este parţială. De notat că termenul trecere sau tranzit se mai utilizează, tot în astronomie, pentru trecerea la meridian a unui corp ceresc. Dacă corpul mai apropiat are dimensiune aparentă mai mare, astfel încât acoperirea este completă, fenomenul se numeşte ocultaţie. De importanţă deosebită sunt trecerile planetelor inferioare, Mercur şi Venus peste discul Soarelui. În cadrul unui fenomen de tranzit, sunt importante patru momente:  primul contact - momentul începerii tranzitului, când discurile celor doi aştri sunt tangente, fiecare fiind în exteriorul celuilalt;  al doilea contact - momentul în care discul astrului mai apropiat intră complet în interiorul discului celui mai îndepărtat, cele două discuri fiind tangente, unul în interiorul celuilalt;  al treilea contact - momentul în care discul astrului mai apropiat începe să iasă din interiorul discului celui mai îndepărtat, cele două discuri fiind din nou tangente, unul în interiorul celuilalt;  al patrulea contact - momentul final al tranzitului, când discurile celor doi aştri sunt din nou tangente, fiecare fiind în exteriorul celuilalt. 3. Care este ora siderală la care steua a din constelaţia Lyra atinge înălţimea de 30 0 deasupra orizontului de latitudine j = 450 . Coordonatele stelei sunt: a = 18h36m 56s , d = 380 47�� . Se 01 � dau cos 380 47�� 01 � �0, 7795 şi cos 84050� �0,1028 . Etapa pe judeţ 2008(J+S) h = 30 , rezultă că

Răspuns.Avem z = 90  h , şi pentru că z = 90 0  30 0 = 60 0 . Din formula trigonometrică cos z = cos(90  d ) cos(90  j )  sin(90  d ) sin(90  j ) cos H şi 0

0

73

cos H = 0,1028 ,

unde H = 84 0 50 sideral=ascensiadreaptăunghiul orar, deci

este

unghiul

orar

al

stelei.

Timpul

t = a  H  t1 = 0 h 9 m 36 s şi t 2 = 13 h 4 m16 s . 4. Observă cu atenţie poza din figura 1. În figura 2 este reprezentat, schematic, modul în care se proiectează umbra copilului din poză pe peretele casei. Cunoşti înălţimea copilului, măsurată de la sol până în vârful degetelor de la mâini h, şi lungimile segmentelor de umbră proiectate pe sol, l1 şi l2 . Calculează în funcţie de mărimile indicate, distanţa zenitală a Soarelui în momentul în care a fost făcută poza. Etapa pe judeţ 2008(S) Figura 1

z

Figura 2

Figura 2

Răspuns Din asemănarea triunghiurilor ABE şi

DCE ( DC || AB , AB = h, BC = l , DC = l ), 1 2 rezultă raportul de asemănare DC ED EC DC EC DC EC DC EC = = = = =     AB AE EB AB EB AB EB  EC AB BC l1 DC  BC l1  l 2 CE =  EC = . În BAE , avem tg z =  tg z = . AB h  l2 h  l2 DC 5. Determinaţi momentul apropierii maxime de Soare a stelei a Centauri. Care vor fi, în acel moment, paralaxa, mişcarea proprie şi magnitudinea vizuală a stelei, dacă se cunosc valorile � , 758 . actuale pentru Vr = 22km / s , Vt = 23km / s , m = 0.06 , m = 0� Etapa pe judeţ 2008(S) Rezolvare: am notat cu D – steaua, M – poziţia stelei la apropierea maximă faţă de Soare. Din vr 206265 u.a. triunghiul dreptunghic MDS v=arctg . De asemenea SM = SD  sin v = vt  206265  u.a. şi deci   = = 1 .05 - paralaxa stelei în momentul apropierii Dar SD =  sin v maxime faţă de Soare. Din formula lui Pogson, M fiind magnitudinea absolută a stelei, vom avea:

M = m  5  5 lg    M = m  5  lg  

m = m  5 lg   5 lg   = m  5 lg

S

 = 

= m  5 lg(sin v) = 0.645 , unde m este magnitudinea aparentă a stelei, m’ este magnitudinea aparentă a stelei în momentul aproprierii maxime faţă de Soare.

74

M

D

v

6. În acelaşi timp în care astronoauţii de pe Lună observă o eclipsă de Soare, pe Pământ are loc: a). Tot o eclipsă de Soare; b). O eclipsă de Lună; c). Şi o ecliopsă de Soare şi o eclipsă de Lună; d). Nici o eclipsă. Etapa pe judeţ 2008(J) Răspuns. d). –nu se observă nicio eclipsă. 7. Luna răsare în fiecare zi? Argumentează răspunsul. Etapa pe judeţ 2008(J) Răspuns. Nu. –ziua lunară este mai lungă decât ziua solară. 8. Dacă secera Lunii este foarte subţire şi aproape de litera “C”, atunci va mai fi vizibilă Luna peste trei zile? Etapa naţională 2008(J) Răspuns. Dacă se observă o astfel de seceră a Lunii în emisfera nordică, atunci înseamnă că Luna este ,,bătrână’’, iar peste câteva zile va fi Lună Nouă. În acest caz, satelitul nostru natural nu va fi vizibil peste trei zile. Totuşi, în momentul Lunii Noi se produce o eclipsă de Soare, atunci discul Lunii se va vedea proiectat pe discul Soarelui. Dacă secera Lunii se vede din emisfera sudică, atunci aceasta este o Lună ,,tânără’’, iar peste trei zile secera va fi mai groasă, deci Luna va fi şi mai bine vizibilă pe cerul de seară. 9. Presupunem că azi Luna este în primul pătrar şi ocultează steaua Aldebaran (alpha a Tauri). În ce anotimp al anului ne găsim? Răspuns. Steaua Aldebaran se găseşte în constelaţia Taurul, nu departe de ecliptică. Soarele trece prin această zonă a cerului la sfârşitul lui mai-începutul lui iunie. Luna aflată în primul pătrar este situată la 90o est de Soare şi se găseşte, de fapt, în acel loc de pe cer în care se află Soarele peste trei luni. Prin urmare, acum este sfârştul lui februarie-începutul lui martie. 10. În a doua jumătate a lui martie planeta Mercur se găseşte aproape de ecliptică, la 10º est de Soare. La ce latitudine este mai uşor de observat planeta cu ochiul liber sau cu binoclul? Etapa naţională 2008(J) Răspuns. Mercur se află la elongaţie estică, de aceea el se poate vedea seara devreme înainte de apusul Soarelui sau imediat după apus. Este evident că pentru unghiul de separare între planetă şi Soare dat, el poate fi văzut cel mai uşor din acel punct de pe Pănânt în care ecliptica este perpendiculară pe orizont şi trece prin Zenit. Întrucât fenomenul se produce seara, în a doua jumătate a lui martie, Soarele care apune se află, pe de o parte aproape de orizontul matematic, de de altă parte aproape de punctul echinocţiului de primăvară. La Zenit va fi, atunci, punctul solstiţiului de vară aflat la 90o înspre Est faţă de punctul vernal, prin urmare trebuie să fim la tropicul de Nord, care are latitudinea j = 23.5 0 N. 11. Între 8 şi 10 mai 2000 s-au aflat în conjuncţie cu Soarele trei planete strălucitoare: Mercur, Jupiter şi Saturn. În ce constelaţie s-a putut produce acest fenomen? S-a putut observa şi, dacă da, în ce moment al zilei? Etapa naţională 2008(J) Răspuns. În această perioadă toate planetele se aflau, împreună cu Soarele, în constelaţia Berbecul. Ele răsar şi apun împreună cu Soarele, de aceea se află deasupra orizontului în timpul zilei, ca atare nu sunt vizibile. Singura posibilitate de a le vedea este cazul unei eclipse de Soare, dar o astfel de eclipsă nu a avut loc în perioada menţionată. 12. La 16 iulie 2000 s-a produs o eclipsă totală de Lună, în care Luna, aflată aproape de apogeul orbitei sale, a trecut, practic, prin centrul orbitei terestre. Va fi aproape de maximul teoretic valoarea fazei maxime a eclipsei? Dar valoarea duratei fazei de totalitate?

75

Etapa naţională 2008(J) Răspuns. Pe măsura îndepărtării de Pământ, diametrul umbrei planetei noastre scade şi în mod corespunzător scade şi raportul dintre acest diametru şi diametrul Lunii. De aceea, cea mai mare fază va corespunde acelor eclipse centrale pentru care satelitul nostru este mai aproape de perigeul său, şi nu de apogeul orbitei, ceea ce înseamnă că faza elipsei din 16 iulie 2000 a fost mai mică decât cea maximă. Durata fazei maxime (1h47min), în schimb, se atinge atunci când Luna se apropie de apogeu, pentru că la apogeu viteza de mişcare a Lunii este cu aproape 15% mai mică decât la perigeu, iar dimensiunea spaţială a umbrei cu 5% mai mică. 13. În anul 2004 au fost cinci duminici în luna februarie. În ce an se va întâmpla pentru prima dată după 2004 să fie cinci duminici în februarie? În ce an s-a întâmplat ultima dată înainte de 2004 să fie cinci duminici în februarie? Etapa naţională 2008(J) Răspuns. Anul 2004 a fost an bisect, deci luna februarie a avut 29 zile. Dacă au fost cinci duminici, înseamnă că 1 februarie a fost într-o zi de duminică. Un an bisect are 366 de zile, adică 52 de săptămâni şi două zile. Asta înseamnă că în 2004, 1 februarie a fost într-o duminică, în 2005 1 februarie va fi într-o zi de marţi. În 2006, an obişnuit cu 365 de zile, 52 de săptămâni şi o zi, 1 februarie va fi într-o zi de miercuri. Folosind acelaşi raţionament ajungem la primul an bisect în care luna februarie începe într-o duminică în 2032. Pentru a afla când s-a întâmplat pentru ultima dată acest lucru folosim un raţionament analog cu cel de mai sus, doar că atunci când se merge în trecut, între 1 februarie dintr-un an bisect şi anul dinaintea lui trec 365 de zile, deci 1 februarie 2003 a fost într-o sâmbătă, dar între 1 februarie dintr-un an dinaintea uni an bisect şi un an bisect trec 366 de zile. Astfel între 1 februarie 2001 şi 1 februarie 2000 au trecut 366 de zile. Anul căutat este 1976. 14. Ce durează mai mult: cea mai lungă zi sau perioada dintre răsăritul şi apusul Lunii? Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Intervalul de timp dintre răsăritul şi apusul Lunii. Aceasta se explică atât prin faptul că luna se mişcă pe orbită în sensul invers mişcării diurne, cât şi prin faptul că Luna de regulă are declinaţie mai mare decât Soarele, întrucât orbita sa este înclinată faţă de ecliptică. 15. La 16 iulie 2000 s-a produs o eclipsă totală de Lună, în care Luna, aflată aproape de apogeul orbitei sale, a trecut, practic, prin centrul orbitei terestre. Va fi aproape de maximul teoretic valoarea fazei maxime a eclipsei? Dar valoarea duratei fazei de totalitate? Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Pe măsura îndepărtării de Pământ, diametrul umbrei planetei noastre scade şi în mod corespunzător, scade şi raportul dintre acest diametru şi diametrul Lunii. De aceea, cea mai mare fază va corespunde acelor eclipse centrale pentru care satelitul nostru este mai aproape de perigeul său şi nu de apogeul orbitei, ceea ce înseamnă că faza elipsei din 16 iulie 2000 a fost mai mică decât cea maximală. Durata fazei maxime (1h47min) se atinge atunci când Luna se apropie de apogeu, pentru că la apogeu viteza de mişcare a Lunii este aproape 15% mai mică decât la perigeu, iar dimensiunea spaţială a umbrei cu 5% mai mică. 16. În anul 2088 vor fi cinci duminici în luna februarie. În ce an se va întâmpla pentru prima dată după 2088 să fie cinci duminici în februarie? În ce an s-a întâmplat ultima dată înainte de 2088 să fie cinci duminici în februarie? Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Anul 2008 este bisect, deci luna februarie are 29 de zile. Dacă au fost cinci duminici înseamnă că 1 februarie a fost într-o zi de duminică. Un an bisect are 366 zile, adică 52 de săptămâni şi două zile. Asta înseamnă că în 2088, 1 februarie va fi într-o duminică, în 2089, 1 februarie va fi într-o zi de marţi. În 2090, după un an obişnuit cu 365 de zile, 52 de săptămâni şi o zi, 1 februarie va fi într-o zi de miercuri. Folosind acelaşi raţionament şi ţinând seama că 2100 nu

76

este an bisect (ani de la sfârştul unui secol sunt bisecţi doar dacă se divid cu 400) ajungem la concluzia că primul an bisect în care luna februarie începe într-o duminică este 2128. Pentru a afla când s-a întâmplat pentru ultima dată acest lucru folosim un raţionament analog cu cel de mai sus, doar că atunci când se merge în trecut, între 1 februarie dintr-un an bisect şi anul dinaintea lui trec 365 de zile, deci 1 februarie 2087 a fost într-o sâmbătă, dar între 1 februarie dintr-un an dinaintea unuia bisect şi un an bisect trec 366 de zile. Astfel între 1 februarie 2085 şi 1 februarie 2084 au trecut 366 de zile. Anul căutat este 2060. 17. Pentru un observator de pe suprafaţa Lunii, atât Pământul, cât şi Soarele se pot considera puncte materiale, permanent colineare cu centrul Lunii. Datorită rotaţiei proprii a Lunii, pe suprafaţa acesteia există alternanţa zi – noapte. Să se determine, pentru observatorul de pe suprafaţa Lunii, durata nopţii lunare, cunoscând perioada rotaţiei proprii a Lunii, TL = 27,25 zile terestre şi perioada rotaţiei Pământului în jurul Soarelui, TPS = 365 zile terestre. Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Datorită rotaţiei proprii, Luna îşi expune treptat spre Soare întreaga suprafaţă, astfel încât pentru un observator de pe suprafaţa Lunii există alternanţa zi-noapte, cu o durată diferită de aceea a alternanţei zi-noaptede pe Pământ. În figura următoare este reprezentat sistemul solar Soare-Pământ-Lună, la momentele t0 şi respectiv t1 , atunci când, pentru observatorul aflat în repaus pe suprafaţa Lunii, începe noaptea lunară (poziţia A0) şi la un moment oarecare din noapte poziţia A. Sunt evidenţiate poziţiile Lunii în raport cu Soarele la cele două momente considerate. In intervalul de timp t = t  t 0 direcţia SoarePământ-Lună s-a rotit cu unghiul  =  PS t , unde  PS este viteza unghiulară a Pământului în mişcarea sa circulară efectuată în jurul Soarelui iar raza vectoare a observatorului în raport cu centrul Lunii s-a rotit cu unghiul  =  L t , unde  L este viteza unghiulară a rotaţiei proprii a Lunii. Unghiul cu care s-a rotit linia de separare dintre cele două zone (luminată şi respectiv întunecată) de pe suprafaţa Lunii, în acelaşi interval de timp t , este a . Observatorul va ieşi din noaptea lunară, atunci când   a =  . În aceste condiţii rezultă:   t nL = = = 14,72 2 2  L t nL   PS t nL =   L   PS zile terestre.  TL TPS 18. Pilotul unei nave cosmice (considerată punct material), observă un asteriod sferic cu raza R, atunci când, în zbor cu viteza v 0 pe direcţia centrului asteriodului, distanţa dintre navă şi suprafaţa asteroidului este L. Imediat cosmonautul acţionează, pentru un timp extrem scurt (neglijabil), unul din motoarele cu reacţie, existent pe una din părţile laterale ale navei, care  realizează o variaţie v a vitezei navei, al cărei modul, v este limitat de puterea motorului. Să se stabilească orientarea optimă ce trebuie să i se asigure vectorului  v şi să se determine  v astfel încât, realizându-se această orientare optimă, să poată fi evitată coliziunea navei cu asteroidul. Viteza asteroidului este neglijabilă faţă de viteza navei. Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Vezi figura. Pentru evitarea coliziunii trebuie ca orientarea vectorului viteză al navei să fie schimbată, astfel încât unghiul dintre noua sa direcţie şi direcţia sa iniţială să fie superior

77

unghiului

a (notat

în figură), pentru care avem: sin a =

R . Orientarea optimă a corecţiei LR

 v , la o valoare dată a lui  v este aceea care face ca direcţia vectorului viteză finală, v să fie maxim derivată faţă de direcţia vectorului viteză iniţială, v 0 . Aceasta se întâmplă atunci când direcţia corecţiei  v este perpendicură pe direcţia vitezei finale v , de unde rezultă că v v R sin a =  . Pentru evitarea coliziunii este necesar să avem sin   sin a  v0 v0 L  R

 v 

R  v0 . LR

19. Pentru două stele A şi B maximul de intensitate a radiaţiei lor s-a găsit la lungimile de undă de 6500 Angströmi, respectiv 4000 Angströmi. Ştiind că raza stelei A este de două ori raza stelei B găsiţi diferenţa dintre magnitudinile lor absolute. Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Pentru a afla diferenţa dintre magnitudinile absolute ale stelelor folosim relaţia lui Pogson m A  m B = 2,5(lg L A  lg LB ) . Raportul luminozităţii stelelor se găseşte din relaţia dintre luminozitatea, raza şi temperatura lor: L = 4R 2  T 4 , unde  este constanta lui Stefan. Temperatura efectivă a stelelor se află din legea lui Wien (produsul dintre lungimea de undă la care se atinge maximul de radiaţie al stelei şi temperatura efectivă a ei este constant), adică raportul temperaturilor stelelor este inversul lungimilor de undă ale stelelor. Ştiind că raza stelei A este de 4 L 8 două ori raza stelei B, raportul luminozităţii stelelor devine A = 2 2    prin înlocuire se LB  13  obţine diferenţa magnitudinilor de 0,6’’. 20. Distanţa dintre Jupiter şi Soare este de 5,2 u.a. şi magnitudinea sa aparentă la opoziţie este de  2.3 m . Calculaţi care este magnitudinea aparentă a lui Jupiter atunci când acesta se află la separare maximă de Soare pentru un observator aflat pe steaua α Centauri, care are paralaxa egală cu 0.758". Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Pentru a afla magnitudinea aparentă a lui Jupiter privit de un observator aflat pe steaua a Centauri folosim formula lui Pogson m1  m2 = 2,5(lg s1  lg s 2 ) unde m1 este magnitudinea căutată, iar m2 este magnitudinea dată. Strălucirea s2 se află îmărţind luminozitatea lui Jupiter la 4  d 2 , unde d este distanţa Pământ-Jupiter, când Jupiter este la opoziţie, adică la 4,2 u.a. Aceeaşi formulă se foloseşte şi pentru s1 Distanţa la care se află observatorul de pe a Centauri se 1u.a află folosind paralaxa stelei: sin P = , unde P este paralaxa stelei, iar d este distanţa d Pământ-stea. Pentru unghiuri mici, sinusul unghiului se aproximează cu unghiul exprimat în P (radiani ) radiani ( P  = . Astfel raportul strălucirilor lui Jupiter devine egal cu pătratul 206265 inversului raportului distanţelor. Înlocuind în formula lui Pogson găsim m1 = 21,757 ’’.

78

21. Galaxia noastră are o rază de 30 kpc şi o grosime de 600 pc. Dacă în galaxia noastră se produc cinci explozii de supernovă la fiecare 100 de ani, cât de des ne putem aştepta să se producă o explozie într-o vecinătate de o rază 100 de parseci a Soarelui? Se consideră că stelele sunt uniform distribuite în galaxie. Etapa naţională 2008(S) Răspuns. Întrucât Soarele se află aproape de planul galactic, o sferă cu raza de 100 parseci, cu centrul în Soare, se află în întregime inclusă în galaxie. Conform datelor problemei, rata exploziilor de supernovă în galaxia noastră este de 0,05 explozii/an. Pentru a determina raza exploziilor de supernovă într-o sferă cu raza de 100 de parsceci, cu centrul în Soare, înmulţim 4R 3 această valoare cu raportul dintre volumul acestei sfere cu volumul galaxiei R 2  d şi 3 obţinem că raza exploziilor de supernovă în această sferă este de

1,27 , adică avem cu 10 7

aproximaţie o explozie de supernovă la fiecare 8,1 milioane ani. BARAJ 21. Se pot vedea, de pe suprafaţa Pământului, simultan Soarele şi Luna în timpul fazei de totalitate a unei eclipse de Lună? Dar de pe Marte, se pot vedea simultan Soarele şi satelitul Phobos, când acesta din urmă este complet scufundat în umbra planetei? Faza naţională(baraj J) 2008 Rezolvare. Dacă observatorul situat pe suprafaţa planetei vede simultan Soarele şi Luna, scufundată în umbra Pământului, atunci razele de lumină care vin de la Soare cad pe Lună.Datorită refracţiei astronomice, razele de Soare care trec prin atmosfera terestră pot să ajungă (unele dintre ele) pe suprafaţa lunii chiar şi în timpul unei eclipse totale de Lună. Pe Marte, acest fenomen nu se poate produce, deoarece admosfera marţiană este destul de rarefiată, de aceea refracţia este neglijabilă. De aceea, nu putem vedea simultan Soarele şi Phobos dacă Phobos este în conul de umbă al planetei. 22. Vor putea posibilii viitori locuitori ai Lunii să observe coroana Soarelui în timpul eclipselor de Soare? Dar în alte condiţii (specificaţi care)? Faza naţională(baraj J) 2008 Rezolvare. Discul Pământului, văzut de pe Lună este mult mai mare decât discul Soarelui, iar coroana solară se poate observa doarpentru câteva clipe la începutul şi la sfârşitul fazei de totalitate a eclipsei. În plus, în atmosfera terestră lumina Soarelui este împrăştiată, în consecinţă, în timpul în care Pământul acoperă Soarele, coroana solară este obturată de lumina solară difuzată în atmosfera terestră. Coroana solară este mult mai uşor de observat de pe Lună la răsăritul sau apusul Soarelui sau de fiecare dată când Soarele este ascuns în spatele unui obiect, de exemplu: un munte de pe Lună. Deoarece Luna nu are atmosferă, difuzia luminii solare nu există. 23. Distanţa medie de la Lună la Pământ este de 384.400 km, iar de la satelitul Io până la planeta Jupiter este de 421600 km. Ştiind că masa lui Jupiter este de aproximativ 318 ori mai mare decât masa Pământului stabiliţi pentru care dintre sateliţi perioada de revoluţie este mai mare? Masa Lunii este 7,35.1022 kg, masa lui Io 8,95.1022 kg, iar masa Pământului 5,97.1024 kg. Faza naţională(baraj J) 2008 Rezolvare. Masele Pământului şi a Lunii, respectiv a lui Jupiter şi a lui Io sunt comparabile, de aceea pentru a calcula perioada de mişcare a Lunii şi a lui Io utilizăm legea a III-a a Lui Kepler T2 4 2 generalizată: 3 = , unde T este perioada de mişcare, a este semiaxa mare a G  (M 1  M 2 ) a mişcării, iar M1 şi M2 masele celor două corpuri. Deoarece masa lui Jupiter este 318 mai mare decât masa Pământului, perioada de revoluţie T a lui Io trebuie să fie mult mai mică decât perioada de revoluţie a Lunii, deşi raza orbitei lui Io este mai mare (masa satelitului este mult mai mică decât masa planetei). Înlocuind datele numerice date se obţine că Io paecurge o revoluţie completă în

79

jurul lui Jupiter decât perioada orbitală a lunii de 1,77 zile, în timp Luna are nevoie pentru a efectua o revoluţie în jurul Pământului de 27,23 de zile. 24. Un felinar obişnuit este vizibil cu ochiul liber de la o distanţă de 20 km. Se poate vedea cu ochiul liber de pe Lună un oraş de pe Pământ, iluminat cu 100.000 de felinare? Dar cu un telescop cu un diametru de 6 cm? Vom presupune că Luna se află la o distanţă de aproximativ 400.000 de km de Pământ şi că diametrul pupilei nocturne a ochiului uman este de aproximativ 6 mm. Rezolvare. Luna se află faţă de Pământ la o distanţă de aproximativ 20000 de ori mai mare decât limita de vizibilitate a unui felinar (20km). Pentru un observator de pe Lună un felinar este de 400000000 ori mai puţin luminos decât limita sa de vizibilitate. De aceea, chiar un grup de 100000 de felinare este de 4000 ori mai puţin luminos decât ar trebui să fie ca să fie vizibil de pe Lună cu ochiul lber. SENIORI BARAJ Faza Naşională 2008 25. La 1 ianuarie, la ora 0k, timp universal, a avut loc o eclipsă totală de Soare, în 5 ianuarie, la ora 0k s-a produs o ocultaţie a lui Venus de către Lună, iar în 6 ianuarie, la ora 0 k s-a produs o ocultaţie a lui Jupiter de către Lună. Ce alt fenomen astronomic s-a mai produs în luna ianuarie şi în ce zi? Perioada orbitală a Lunii este 27,322 zile, iar ale planetelor Venus şi Jupiter sunt 0,62, respectiv 11,86 ani tereştri. Rezolvare. 1. Se ţine cont de faptul că Luna se mişcă de-a lungul eclipticii cu o viteză între 11.5º şi 14.5º pe zi, în funcţie de distanţa faţă de Pământ. La patru zile după Luna Nouă şi eclipsa de Soare, Luna a trecut pe cer prin faţa lui Venus, care se găsea aproape de momentul celei mai mari elongaţii vestice (distanţa ei faţă de Soare nu poate fi mai mare de 47º). În acest timp, Venus, ca şi Soarele, se mişcă de-a lungul eclipticii, înspre est, cu o viteză de aproximativ 1º pe zi. După încă o zi, s-a produs ocultaţia lui Jupiter de către Lună, prin urmare, la 5 ianuarie el se găsea la aproximativ 13º la est de Venus. Viteza de deplasare a lui Jupiter pe ecliptică, în perioada în care este vizibil seara, este de aproximativ 0.2º pe zi, prin urmare, Venus, care se deplasează în acelaşi sens, dar cu o viteză de 0.8º pe zi o ajunge din urmă după 16 zile, la 21 ianuarie, când va avea loc o conjuncţie a celor două planete. 26. Distanţa dintre steaua Barnard şi Soare descreşte cu 117km/s. Magnitudinea vizuală aoarentă a stelei la acest moment este m = 9,64, iar paralaxa este  = 0,545 . După câţi ani steaua va fi vizibilă cu ochiul liber? (magnitudinea aparentă limită pentru ochiul liber este de 6’’’,0) Rezolvare. Să considerăm m, D, p mărimile actuale ale magnitudinii aparente, distanţa până stea măsurată în kilometri şi respectiv paralaxa. Fie m , D , p  ărimile la momentul cerut, ale magnitudinei aparente, distanţa măsurată în kilometri şi T P respectiv paralaxa. Vom calcula: M = m  5  5 lg  ,

M  = m   5  5 lg   . Din

M = M,

rezultă că m  m  = 5  lg

 . 

S

a med 7 Paralaxa unei stele se determină din sin  = , unde a med = 15  10 p km este raza medie a orbitei terestre în raport cu Soarele. Considerând geometric că sin    (exprimare în radiani, 1rad=570=206265’-calcul aproximativ).

Obţinem D =

a D  D a med  125 ani. , D  = med . Avem t = V  

27. Calculaţi faza unei planete superioare în funcţie de distanţa acesteia faţă de Pământ şi Soare şi unghiul Soare- Pământ-planetă. În ce configuraţie este faza maximă şi care este valoarea acesteia pentru Marte, Jupiter şi Saturn (vezi desenul) Faza judeţeană(S+J) 2009

80

Rezolvare. Se aplică teorema sinusurilor în triunghiul  STP , de unde rezultă că ST SP TS =  sin T .  sin p = sin p sin T SP Valoarea maximă a unghiului p se obţine în quadratură, când unghiul t = 90 0 . Avem p Marte = 4101 , p Jupiter = 110 5 , p Saturn = 61 . 28. Resturile unei supernove sunt în expansiune cu o viteză de 1000km/s. Distanţa faţă de aceste resturi este de 10000 parseci. Calculaţi diametrul unghiular al acestei supernove peste un an. Rezolvare. Pentru calcularea diametrului unghiular în secunde de arc vom folosi formula: D  ' ' = 206265 , unde D este diametrul real, iar d este distanţa până la obiect. Diametrul real D îl d vom afla din viteză şi timp, fiind de fapt distanţa până la care ajung marginile suparnovei aflată în expansiune la momentul cerut (timpul 1 an):

D = V �� t D = 1000km / s � 3.16 � 107 s � D = 3.2 � 1010 km 3.2 � 14010 km Deci, diametrul unghiular după un an este  '' = 206265'' �  '' = 0.02'' . 10.000 � 3.1� 1013 km 29. Să se determine perioada de rotaţie a unei planete X, pe o orbită circulară în jurul Soarelui, ştiind că magnitudinea aparentă a Soarelui privit de pe planeta X este egală cu magnitudinea aparentă a Lunii, în faza în jurul soarelui. Se cunosc: magnitudinile aparente ale Lunii, respectiv ale Soarelui privite de pe Pământ m1,P=12,7, mS,P=26,8, perioada de rotaţie a Pământului în jurul soarelui TP=1 an terestru. Faza Naţională (S) 2007 Rezolvare. Plecând de pe Pământ spre planeta X, creşterea aparentă a magnitudinii aparente a Soarelui pentru un observator este: m = mS , X  mS , P = mL , P  mS , P . Rezultă că observatorul s-a depărtat de Soare astfel 2

încât:

m � �  EP 0,4 m  m 0,4 m = 10 5 . Din legea a III-a a lui Kepler, = 10 ( S ,P S ,X ) = � X �; X = 10 ES � P �  P 2

3

3 m �T � � � rezultă � X �= � X �; T = T 10 10 . Înlocuind m = 14,1 în relaţia precedentî se obţine: P �TP � � P � X TX = 10 4, 23 ani  1700ani .

Supernova este o stea variabilă din clasa novelor, dar având o strălucire de sute de ori mai mare. Evoluţia tuturor stelelor masive a căror masă depăşeşte 8-10 mase solare se încheie printr-un fenomen ce constă în explozia şi spulberarea lor. Luminozitatea unei supernove este de aproximativ 10 miliarde de ori mai mare ca cea a Soarelui, iar durata maximă de strălucire este de câteva zeci de zile. Dimensiunile exploziei sunt de 15-75 ori diametrul Soarelui. Învelişul stelei de aproximativ 1030 g este expulzat cu o viteză de 300-1.500 km /s. 30. Un astronom care urmăreşte activitatea solară, constată că pe fotosferă a apărut la un moment dat o pată de dimensiunile Pământului (R = 6 371 km). Poate fi observată cu ochiul liber (printrun filtru), aceasta pată? Se va ţine cont de faptul că ochiul poate distinge doar obiecte văzute sub un unghi de cel puţin 2′ − 3′. Rezolvare. Diametrul Pământului D = 12 742 km , iar distanţa medie de la Pământ la Soare d = 149 600 000 km. Determinăm diametrul unghiular al petei de pe Soare: tgα = D/d = 12 742 km/149 600 000 km = 0,000085, rezultă că α = arctg 0,000085 = 0,00487° ≈ 0,29′ (pata nu ar putea fi observată cu ochiul liber).

81

31. Cea mai mare lună a lui Saturn, Titan, orbitează planeta la fiecare 16 de zile. Raza orbitei lui Titan (distanţa medie de la centrul planetei Saturn) este de 1,2·106 km. Utilizaţi aceste informaţii pentru a calcula masa lui Saturn, MS. (Se poate presupune că masa lui Titan este