Curent Alternativ Probleme Rezolvate [PDF]

Zitiervorschau

1. Relaţia între yef şi ymax a unei mărimi sinusoidale yef = √ ∫

√ ∫

ştie că: sin2 cos

+cos2

√ = 1 si cos

/2 si deci ∫ *

+

=∫

y  y m ax sin t

(30) Dar, din trigonometrie se

∫ cos2

- sin2 =∫

(31) incat sin2

Deci ∫

si devine yef = √

= t -

∫

(32) deoarece sin0 = 0 si sin =√

= (1-

sin(2*(2π/T)*T) = sin4π = 0 √ = √ /2 = 0,707A (33)

Formula (33) furnizează relaţia dintre valoarea efectivă a unei mărimi sinusoidale şi valoarea sa maximă (amplitudinea A). Deci Uef = 0,707 Umax;

Ief = 0,707 Imax.

2. Stabiliţi reprezentarea în complex asociată mărimii instantanee exprimată prin funcţia sinusoidală: i  I sint   m ax

I = Ief(cosϕ+jsinϕ) iar Ief = Im / √ = (Im√ /2; Ex: i1= 40√ sin

; Mărimea sinusoidală

asociată mărimii complexe este I = 0 – 40j cu modulul |I| = 40 si argumentul ϕ = -π/2 este i = 40√ sin(

π/2 ) = - 40√ cos

3. În figura de mai jos este prezentată schema unui circuit RLC paralel, alimentat sub o diferenţă de potenţial sinusoidală de valoare efectivă U=180V şi pulsaţie = 400 rad/s. Să se calculeze: a) valoarea efectivă a curentului; b) puterea absorbită de către circuit; c) puterea reactivă; d) puterea aparentă. Se cunosc R = 30 Ω, L= 0,1 H, C=125 μF. a) valoarea efectivă a curentului se calculează din expresia legii lui Ohm I = U/Z unde Z=

√

1/

= 1/(0,1 * 400) = 1/40 = 0,025 Ω-1 = 25 * 10-3 Ω-1;

C

= 125 * 10-6 * 400 Ω-1 =

0,05 Ω-1 = 50 * 1 0-3 Ω-1 1/R2 = 1/900 = 0,001111(Ω-1)2 = 1,111 * 10-3(Ω-1)2; 50 * 10-3) Ω-1 = -25 * 10-3 Ω-1 √ 7,5A;

(1/

= (25 * 10-3 –

= 0,041665; I = 180 * 0,041665 =

b) Puterea absorbită în rezistorul R: P = U2/R; P = (180)2/30 = 1080W; c) Puterea reactivă: Q = U2

; Q = -810VAR;

d) Puterea aparentă: S = UI;

S = 180 × 7,5 VA = 1350 VA

4. În figura de mai jos, sunt prezentate schemele a două circuite pentru care se cere să se calculeze impedanţele echivalente atunci când la bornele MN ale fiecăruia se aplică o tensiune sinusoidală cu pulsaţia de 250 rad/s. Se cunosc: R = 30Ω; L =0,16 H; C= 100 μF, elementele respective de circuit fiind considerate ideale. Expresia generală a impedanţei unui circuit R L C paralel: Z =

se

√

particularizează pentru cele două circuite astfel: a) C

= 0; Za =

b) 1/

=

√

; Zb =

=

√

=√

√

;

;

√

Za =

Zb =

√

= 24Ω

√

= 30/1,25 = 24Ω

5. Pentru circuitul RLC din figură, alimentat sub o diferenţă de potenţial sinusoidală de valoare efectivă U= 100V şi pulsaţie valoarea efectivă a curentului; elementelor componente;

= 500 rad/s, să se calculeze:

a)

b) valorile efective ale tensiunilor la bornele c) valorile factorilor (coeficienţilor) de

supratensiune la bornele bobinei şi respectiv, condensatorului. Se cunosc: R= 30 Ω; L= 0,32 H; C = 10 μF. a) Impedanţa echivalentă circuitului este: Z = √ =√

√ UR = RI;

= 50Ω;

UR = 30 * 2V = 60V; UL = L

I = U/Z; ;

;

Z=

I = (100/50)A = 2A;

UL = 160 * 2V = 320V;

UC = I/

b) ;

2 * 200V = 400V b) Din definiţia factorului (coeficientului) de supratensiune, rezultă: 320/100 = 3,2;

SC = UC/U = 400/100 = 4,0

S L = UL/U =

UC =

6. În condiţiile problemei anterioare se poate realiza condiţia de rezonanţă? Vom calcula reactanţele asociate bobinei şi condensatorului în condiţiile date în enunţul problemei: XL = L ; XL = 0,32*500Ω = 160Ω XC = 1/

; XC = 1/(10*10-6*500)Ω = 200Ω; XL≠ XC, sistemul nu este la rezonanţă.

Pentru a se îndeplini condiţia de rezonanţă, ar trebui să existe posibilitatea de variere (modificare a unora dintre parametrii L, C,

). Să presupunem că generatorul care

alimentează circuitul poate furniza frecvenţă variabilă; în acest caz, s-ar putea îndeplini condiţia de rezonanţă pentru o frecvenţă νrez=ν0 respectiv pentru o pulsaţie

rez =

0, valorile pentru L şi C rămânând

nemodificate. L

0

= 1/C

0;

LC

;

= 1/LC;

(2πv0)2 = 1/LC;

= 1/4π2LC;

v0 =

π√

Numeric: = 1/v0 = π√

0

=

;

√

;

0

=

= 555,5 rad/s;

√

v0 =

π√

;

v0 ≈ 89 Hz;

T0

T0 ≈ 0,01 sec

7. Vom calcula intensităţile curenţilor din laturile reţelei prezentate în figură, folosind metoda transfigurării. Reţeaua este alimentată cu tensiune variabilă sinusoidală în timp (U, ). U=100V; v = 50HZ R1=6Ω; R2=2Ω; R3=2Ω; L1 = (0,1/ π H; L2 = (0,02/π H; C1 = (25/ π *10-4 F; C3 = (50/ π *10-4 F; Calculăm valorile impedanţelor complexe Z1, Z2 şi Z3: R2 + jXL2;

Z1 = R1 + j(XL1-XC1);

Z2 =

Z3 = R3 - jXC3

Numeric: Z1 = R1+j(L1

- 1/C1 );

= 2πv; Z1 = 6+j( π π

π

π

= 6+j(0,1*100-

6+j(10-4) = 6+6j(Ω) = 6(1+j)(Ω) Z2 = R2+jL2 ; Z2 = 2+j*(0,02/π) * 2πv = 2+j*0,02*100 = 2+2j = 2(1+j)(Ω); Z3 = R3j/(C3 ) = -j/C32π ;

Z3 = 2 -

2-2j(Ω) = 2(1-j)(Ω). Reţeaua dată se înlocuieşte cu reţeaua

π

π

echivalentă următoare,(prima fig.) în care impedanţele Z2 complexe şi Z3sunt conectate în paralel şi pot fi înlocuite prin impedanţa complexă echivalentă Z23 (a doua fig.).

Circuit RLC echivalent, în care elementele au fost înlocuite prin

impedanţel asoc.

Circuit RLC cu impedanţe echiv.

Z23 = Z2Z3/Z2+Z3; Z23 = 2(Ω). Între bornele A şi B impedanţa totală complexă este: ZAB = Z1+Z23;

ZAB= 6+6j+2 = 8+6j = 2(4+3j) (Ω)

Curentul I1 care trece prin această impedanţă e: I1 = U/ZAB; I1 =

=

= 2(4-3j)(A)

=

Tensiunea U1 corespunzând porţiunii de circuit cuprinsă între punctele A şi M este: U1 = I1Z1;

U1 = 2(4-3j)6(1+j) = 12(7+j)(V)

Tensiunea U2 corespunzând porţiunii de circuit cuprinsă între punctele M şi B e: U2 = U-U1;

U2 = 100-12(7+j) = 16-12j = 4(4-3j)(V)

Curenţii I2 şi I3 prin impedanţele Z2 şi Z3 conectate în paralel la aceeaşi tensiune U2 vor fi: I2 = U2/Z2; I2 = =

=

(A) = 1-7j(A); I3 = U2/Z3; I3 =

=

=

(A) = 7+j(A)

Verificarea se face scriind prima teoremă Kirchhoff în nodul M: I1 = I2+ I3; 2(4 3j) = 1 - 7j + 7 + j; 8 - 6j = 8 - 6j 8. Să se calculeze intensităţile curenţilor prin laturile reţelei prezentate în figura prin aplicarea teoremelor Kirchhoff şi prin metoda curenţilor ciclici. Se cunosc: 48+32j (V);

E2= 48+64j (V);

Z1= Z2= 2 (Ω);

a) Prin aplicarea teoremelor Kirchhoff: + I3 Z3 = E1;

Z3= 3+4j (Ω)

În nodul A: I1 + I2 = I3;

În ochiul (1): I1 Z1

În ochiul (2): I2 Z2 + I3 Z3 = E2

Înlocuind valorile numerice date, sistemul devine: = 48+32j;

E1 =

2 I2 +(3+4j) I3 = 48+64j

I1 + I2 - I3 = 0;

2 I1+(3+4j) I3

Δ=

=

Δ1 =

– 2*

= -2(3+4j)-2(3+4j+2) = -16(1+j);

= -

-

; Δ1 = -224 + 32j = -

32(7 – j) Δ2 =

=

I1 = Δ1/ Δ =

=

I3 = I1 + I2;

-

= 32 – 224j = 32(1 – 7j)

= 6-8j(A); I2 = Δ2/ Δ =

=

= 6+8j(A);

I3 = 6-6j+6+8j = 12A

b) Prin metoda curenţilor ciclici: Desenez din nou reţeaua dată indicând curenţii ciclici j1 şi j2 ai celor două ochiuri (1) şi (2) delimitate în mod natural, prin însăşi structura geometrică a reţelei. Nu trebuie confundată unitatea imaginară j (j2 = -1) cu curenţii ciclici j1 sau j2 din laturile reţelei.

Scriind teorema a doua Kirchhoff pentru fiecare ochi (1) şi (2) se obţine: ochiul (1):

j1 ( Z1 + Z3 )- j2 Z3 = E1;

ochiul (2):

j2 ( Z2 + Z3 )- j1 Z3 = - E2

Ordonând termenii şi făcând înlocuiri numerice se obţine sist. de ec.: (5+4j) j1 -(3+4j) j2 = 48+32j; -(3+4j) j1+(5+4j) j2=-(48+64j) => Δ=

= (5+4j)2 – (3+4j)2= 16(1+j);

224-32j= 32(7-j); Δ2= j1 = Δ1/ Δ = j1 - j2;

=

Δ1=

=

= 32(1-7j) = 6-8j;

I1 = j1 = 6 - 8j (A);

I2 = - j2 = 6 8j (A);

I3 =

I3 = 6 - 8j + 6 + 8j =12A

9. Un sistem electric conţine, conectat în serie, diverse aparate, de rezistenţe, inductanţe şi capacităţi echivalente cunoscute. Astfel: R = 30Ω rezistenţa echivalentă; L = 0,32H inductanţa echivalentă; C = 10μF capacitatea echivalentă. Ansamblul este alimentat la o diferenţă de potenţial sinusoidală de valoare efectivă U = 100V şi de pulsaţie

= 500rad/s. Calculaţi:

a) valoarea efectivă a

curentului;

b) valoarea tangentei unghiului de defazaj dintre curent şi tensiune;

c) diversele puteri dezvoltate înacest ansamblu. a) Împedanţa complexă asociată sistemului:

Z = R+jX;

Expresia în complex, a

curentului: I = U/Z = U/(R+jX) Modulul curentului: |I| = I = √

=

;

√

= 0,32*500 = 160Ω;

=

= 200Ω; X = XL - XC =

- (1/

= (160 - 200) = -40Ω;

= 50Ω;

√ b) tgϕ =

=

|Z| = √

=

|I| = I = 100/50 = 2A

; tgϕ = 40/30 = 4/3, ϕ = arctg{4/3};

c) Expresia complex

conjugată a curentului este: I* = Puterea aparentă: S = U I* se explicitează S = S=

+j*

=

=j

=

+ j*

;

=120-160j(VA)

Put. activă este partea reală, P, a puterii aparente: P = 120W iar put.reactivă este partea imag., Q, a puterii aparente: Q = -160VAR Modulul puterii aparente:

|S| = √

;

|S| = √

= 200VA

10. Calculaţi impedanţele echivalente circuitelor următoare, în care se cunosc valorile R,L,C şi a)

Ze = ZLZR/ZL+ZR = +j*

b) j* Ze =

.

; Ze =

– j*

=

; Ze =

+j*

Ze = ZCZR/ZC+ZR = ;

=

=

(

)

=

=

=

-

11. Pentru circuitul din figură, calculaţi: a) intensitatea curentului;

b) defazajul între

curent şi tensiunea u aplicată la bornele A şi B ale acestuia, unde u are expresia u = 2√ cos( t − 45°)V. Se cunosc:

Z1 = 1 + j (Ω);

a) I = U/Z; Z = Z1+ Z2Z3/Z2+Z3; Z = 1 + j+ -

Z2 = 2 (Ω);

= 1 + j+

Z3 = -2j (Ω)

= 1+ j

; Z = 1+ j – j+ 1 = 2(Ω)

Impedanţa echivalentă acestui circuit se comportă ca o rezistenţă ohmică, reactanţa asociată părţii imaginare fiind nulă. b) tgϕ = X/R = 0; ϕ = arctg0 = 0, curentul şi tensiunea sunt în fază. Ief = Uef/Z = 2/2 = 1A