Physique 3 PDF [PDF]

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𝑹é𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒓𝒊𝒆𝒏𝒏𝒆 𝑫é𝒎𝒐𝒄𝒓𝒂𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒕 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒔𝒕é𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝑬𝒏𝒔𝒆𝒊𝒈𝒏𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒆𝒖𝒓 𝒆𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒆𝒓𝒄𝒉𝒆 𝑺𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆

Centre universitaire : Nour Bachir-EL Bayadh Institut : des sciences Département : Technologie Domaine : ST

POLYCOPIE :

Vibrations et Ondes Mécaniques Module : PHYSIQUE 03 Niveau : 2eme Année Licence

Présenté Par :

Dr. BOUZOUIRA Nour Eddine Année Universitaire : 2017/2018 Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

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Avant-propos Le présent polycopié de cours, intitulé : « Vibrations et Ondes Mécaniques » (physique 3) est élaboré et présenté en conformité au canevas relatif à la formation Licence LMD-S3 dans le domaine ‘’ Science de la matière (SM) et Science et Technologie (ST)’’. Ce cours est structuré en deux parties : La première, répartie en Cinq chapitres, traite le problème des vibrations. Le premier chapitre porte sur l’utilisation du formalise de Lagrange qui décrit les oscillations des systèmes physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée dans le deuxième chapitre. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre présente les vibrations aux plusieurs degrés de liberté. La deuxième partie, que constituent les deux derniers chapitres, est consacrée au traitement des phénomènes de propagation des ondes.

Le cours présenté avec un enchaînement logique, chaque nouveau concept défini est clarifié par des exemples simples et utiles, une série de problèmes venant enrichir le cours, le tout a été réalisé avec l’esprit de permettre une meilleure assimilation par l’étudiant.

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Sommaire Avant Propos….....................................................................................................................2

PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS CHAPITRE .1 . Généralité sur les oscillations.)...............................................................6 Définition d’une oscillation (Vibration)................................................................................6 1.1.1Exemples….....................................................................................................................6 1.2 Définition d’un mouvement périodique............................................................................6 1.2.1 Exemples........................................................................................................................7 1.3 La représentation complexe...............................................................................................7 1.3.1 Exemples........................................................................................................................7 1.4 Superposition des grandeurs périodique.............................................................................7 1.4.1 Grandeurs sinusoïdal de même pulsation.........................................................................7 1.4.2 Exemples........................................................................................................................8 1.4.3 Grandeurs sinusoïdal de même amplitude........................................................................8 1.4.4 Exemple...........................................................................................................................8 1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques................................................................................8 1.4.6 Exemples...........................................................................................................................8 1.5 Définition des sériés de fourrier..........................................................................................8 1.5.1 Cas des fonctions paires et impaires..................................................................................9 1.5.2 Exemple...........................................................................................................................9 CHAPITRE .2 . Systèmes linéaires libres à un degré de liberté...............................................10 2.1 Oscillateurs libres.................................................................................................................10 2.2 Oscillateur harmonique.........................................................................................................10 2.2.1 Exemples............................................................................................................................10 2.3 Pulsation propre d’un oscillateur harmonique......................................................................10 2.3.1 Exemples...........................................................................................................................11 2.4 L’énergie d’un oscillateur harmonique.................................................................................11 2.4.1 Exemple.............................................................................................................................12 2.5 Condition d’équilibre............................................................................................................12 2.5.1 Exemple.............................................................................................................................13 2.6 Equation de Lagrange (1788).............................................................................................13 2.6.1 Exemple.............................................................................................................................13 2.6.2 Exercices............................................................................................................................14 CHAPITRE.3. Systèmes linéaires libres amortis à un degré de liberté...............................16 3.1 Force d’amortissement.........................................................................................................16 3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis........................................................................16 3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis.....................................................................16 3.4 Résolution de l’équation du mouvement.............................................................................17 3.5 Décrément logarithmique......................................................................................................18 3.5.1 Exemples............................................................................................................................18 3.5.2 Exercices............................................................................................................................19 CHAPITRE.4. Systèmes linéaires forcés à un degré de liberté...........................................21 4.1 Force d’excitation................................................................................................................21 4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés.....................................................................21 4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés.....................................................................21 4.4 Résolution de l’équation du mouvement.............................................................................21

4.5 Résonance.............................................................................................................................22 4.6 Bande passante et facteur de qualité.....................................................................................23 4.6.1 Exercices............................................................................................................................25 CHAPITRE.5. Systèmes linéaires forcés à plusieurs degrés de liberté................................27 5.1 Degrés de libertés.................................................................................................................27 5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés......................................................................27 5.2.1 Equation du mouvement.....................................................................................................27 5.2.2 Modes propres (normaux)..................................................................................................27 5.3 Système forces a deux degrés de libertés............................................................................28 5.3.1 Equations de mouvement...................................................................................................28 5.3.2 Résonance et antirésonance..............................................................................................29 5.3.3 Impédance d’entrée et de transfert...................................................................................30 5.3.4 Exercices............................................................................................................................31

DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES CHAPITRE.6. Généralité sur le phénomène de propagation....................................................34 6.1 Rappel théorique...................................................................................................................34 6.2 Applications.........................................................................................................................37 CHAPITRE.6. Propagation d’ondes mécaniques dans différents milieux.........................41 7.1 Rappel théorique...................................................................................................................41 7.2 Applications..........................................................................................................................42 Références bibliographiques................................................................................48

Liste des figures Figure 6.1 Propagation d’une onde mécanique..........................................................................34 Figure 6.2 Onde longitudinal....................................................................................................................... 35 Figure 6.3 Onde transversale...................................................................................................................... 35 Figure 6.4 Mouvement circulaire à la surface d’eau...............................................................35 Figure 6.5 phénomène de diffraction est caractéristique des ondes...........................................36 Figure 6.6 Expérience de Young.................................................................................................................. 37 Figure 6.7 ondes émises par deux hauts parleurs............................................................................37

PARTIE I : Vibrations

Chapitre 1 : Généralité sur les oscillations

1.1Définition d’une oscillation (Vibration) On appelle oscillation, un mouvement qui s’effectue de part et d’autre d’une position d’équilibre. (Par vibration, on désigne les oscillations rapides des systèmes mécaniques.) 1.1.1 Exemples

a) Masse-ressort

b) Circuit électrique oscillant

c) cylindre flottant dans un liquide

1.2 Définition d’un mouvement périodique Un mouvement est dit périodique s’il se répète identique a lui-même pendant des intervalles de temps égaux. Le plus petit intervalle de répétition est appelé période (notée T, mesurée en secondes s.) le nombre de répétitions par seconde est appelé fréquence (notée f, mesurée en Hertz ou s-1.) Elle est reliée à la période par 𝑓=

1

(1.1)

𝑇

Le nombre de tours par seconde est appelé pulsation (notée ω, mesurée en rad/s.) 𝜔 = 2𝜋𝑓 =

2𝜋 𝑇

(1.2)

Mathématiquement, la périodicité s’exprime par 𝑔(𝑡 + 𝑇) = 𝑔(𝑇) .Une grandeur périodique est dite Sinusoïdale lorsqu’elle est de la forme 𝑔(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) .A est appelée amplitude, ω : la pulsation, φ : la phase initiale. Parmi les grandeurs physiques étudiées des systèmes oscillants, on trouve :      

Le déplacement 𝑥. L’angle𝜃. La charge𝑞. Le courant𝑖. La tension𝑈. Un champ𝐸.

1.2.1 Exemple

𝑎) Soit la grandeur périodique 𝑔(𝑡) représentée ci-contre. 1

𝑇 = 2𝑠.

𝑓 = = 0,5𝐻𝑧. 𝑇

𝜔 = 2𝜋𝑓 =

𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑠

.

1.3 La représentation complexe Pour faciliter les calculs, nous transformons les grandeurs sinusoïdales en des exponentielles qui sont plus simples à manipuler. Ceci possible grâ ce à la formule d’Euler (1748)

cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 = 𝑒𝑗𝜃 𝑗2 = −1

(1.3)

1.3.1 Exemples 𝑏) Soit un condensateur et un courant 𝑖(𝑡)=𝐼0 cos 𝜔𝑡. Trouver l’impédance complexe 𝑍

=

𝑢𝑐

𝑐

. 𝑅𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙: 𝑢 = 𝑐

𝑖

𝑞

=

𝑐

𝑖 𝑢 (𝑡) 𝑐

=

∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑐

→ 𝑢𝑐 (𝑡) =

∫ 𝐼0𝑒𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑐 𝑗𝑐𝜔

=

𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡

=

𝑑𝑞

. 𝐶𝑎𝑟 𝑖 =

. ⇒ 𝑧𝑐 =

𝑢𝑐 𝑖

.

𝑑𝑡

𝑐

𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos 𝜔𝑡 → 𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡. {

∫ 𝑖𝑑𝑡

𝑖

1

= 𝑗𝑐𝜔𝑖 = 𝑗𝑐𝜔 .

𝑗𝑐𝜔

𝑐) Soit une bobine 𝐿 et un courant 𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos 𝜔𝑡. 𝑑𝑖 Trouver l’impédance complexe 𝑧𝐿 = 𝑢𝐿. Rappel : 𝑢 = 𝐿 . 𝐿 𝑖 𝑑𝑡

𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos 𝜔𝑡 → 𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡. {

𝑗𝜔𝑡

𝑢(𝑡) =

𝑑 (𝐼 𝑑𝑖 𝑑𝑖 0 𝑒 ) = 𝑗𝐿𝜔𝐼0𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑗𝐿𝜔𝑖 → 𝑢(𝑡) = 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑢 ⇒ 𝑧𝐿 = 𝐿 = 𝑖

𝑗𝐿𝜔𝑖 𝑖

= 𝑗𝐿𝜔

1.4 Superposition des grandeurs périodique L’addition de deux ou plusieurs grandeurs de même nature est appelée superposition. 1.4.1 Grandeurs sinusoïdales de même pulsation La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation ω est une grandeur sinusoïdale de pulsation ω.

1.4.2 Exemple

𝜋

𝑎) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : 𝑔 (𝑡) = √2 cos(3𝑡 − ) et 𝑔 (𝑡) = √2 sin(3𝑡 + 1

𝜋). 𝜋

𝜋

√2 cos(3𝑡 − ) +√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜋). 4

𝑗𝜔𝑡

1. 𝑒

= cos(𝜔𝑡) 𝐷𝑜𝑛𝑐. 𝐴 = 1.

2

4

)

𝜋

)

𝜋

𝜋

→ √2𝑒𝑗(𝜔𝑡− 4 + 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜋−2 = (√2𝑒−𝑗4 + 𝑒𝑗 2 ) 𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝜑 = 0.

1.4.3 Grandeurs sinusoïdales de même amplitudes La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même amplitude est une grandeur sinusoïdale à amplitude modulée si les deux pulsations sont différentes. 1.4.4 Exemple Soit les deux grandeurs sinusoidales: 𝑔1(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔1𝑡 , 𝑔2(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔2𝑡. La superposition est : 𝑔1(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔1𝑡 + 𝑔2(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔2𝑡. 𝜔1−𝜔2 𝜔1 + 𝜔2 = 2𝑎 cos( 𝑡) cos( 𝑡) 2 2 1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques. La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de pulsations différentes ω1 et ω2 ne sera une grandeur périodique que si le rapport entre leur périodes est un nombre 𝑛 rationnel : 𝑇1 = . La période résultante est le plus petit multiple commun : 𝑇 = 𝑚𝑇 = 𝑇2

1

𝑚

𝑛𝑇2. 1.4.6 Exemple 𝑎) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : 𝑔1(𝑡) = 5 cos(5𝑡 + 2) , 𝑔2(𝑡) = 2 cos(7𝑡 + 3). Leur superposition est : 5 cos(5𝑡 + 2) + 2 cos(7𝑡 + 3). Comme 𝑇1 = 𝑇2

2𝜋/5 2𝜋/7

𝑛

= est un nombre rationnel 𝑚

( 𝑛 = 7 , 𝑚 = 5 ), 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 2 2 𝑇 = 𝑚 𝜋 = 𝑛 𝜋 = 2𝜋𝑠. 5

7

1.5 Définition des séries de fourrier Il est possible d’exprimer une grandeur périodique par une somme de sinus et de cosinus qui sont plus simples à manipuler physiquement et mathématiquement. Cette somme est appelée série de fourrier (1807). Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

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La série de Fourier d’une fonction f (t) périodique de période T, est définit par :

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𝑓(𝑡)= a0 + ∑∞

𝑛=1 𝑎𝑛

cos(𝑛𝜔𝑡)+ ∑∞

𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔𝑡).

(1.4)

𝑛=1

 

Le a0 , les 𝑎𝑛 , et les 𝑏𝑛 sont appelée les coefficients de Fourier. La pulsation ω= 2𝜋 est appelée la pulsation fondamentale.

 

Les pulsations supérieures 𝑛𝜔 (multiple de ω) sont appelées les harmoniques. Les coefficients de Fourier sont définit par :

𝑇

a0 = 1

𝑇

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑛

𝑇

2

= 𝑏

, 𝑎

2

∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡 , 𝑛

𝑇 0

𝑇

= ∫ 𝑓(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡

(1.5)

𝑇 0

𝑇

0



Le graphe de 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 (et parfois √𝑎2 + 𝑏2 ) en fonction de 𝑛𝜔 est appelé le 𝑛

𝑛

spectre de la fonction. 1.5.1Cas des fonctions paires et impaires 

Fonctions paires : Une fonction est dites paire si 𝑓 (−1) = 𝑓 (𝑡).

Dans la série de Fourier des fonctions paires, il n’y a que les termes en cosinus et parfois la constante a0 qui est la valeur moyenne de la fonction : 𝑏𝑛 = 0 . 

Fonctions impaires : Une fonction est dite impaire si 𝑓 (−𝑡) = − 𝑓(𝑡).

Dans la série de Fourier des fonctions impaires, il n’y a que les termes en sinus : a0 = 𝑎𝑛 = 0. 1.5.1 Exemple 1. La période de la fonction est T=2s. 2. 𝑎 1 𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 [∫ 𝑇 1. 𝑑𝑡 + 2 −𝑡 + 2 𝑑𝑡] = 3 . ∫ ( ) ∫( ) 0 =𝑇 0 0 1 2

2 𝑎𝑛 =

𝑇

4

2𝜋𝑛𝑡

𝑇

∫ 𝑓(𝑡) cos 𝑇 0

𝑑𝑡

1

2

= 2 [∫ cos 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫ (−𝑡 + 2)𝑑𝑡 cos 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡 ] 2 0 1 cos 𝜋𝑛 − 1

(−1)𝑛 − 1

2 2 𝜋 =𝑛

𝜋2𝑛2

=

2 𝑏𝒏 =

𝑇

𝑇

2𝜋𝑛𝑡

∫ 𝑓(𝑡) sin 0

𝑇 1

0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟 = { −2 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟. 𝑛2𝜋2

𝑑𝑡 2

= 2 [∫ sin 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫ (−𝑡 + 2) sin 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡] 2 0 1 1

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=

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𝜋𝑛

.

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𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡 , 𝑓 𝑡 = 3 ( ) + 4

(−1) −1

𝑛

𝑛=1

cos 𝑛𝜔𝑡 +

𝜋2𝑛2

sin 𝑛𝜔𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑟𝑎 pris comme étant le graphe des an et bn

∑∞ 1 𝑛=1 𝜋𝑛

en fonction de 𝑛𝜔.

Chapitre 2. Systèmes linéaires libres à un degré de liberté. 2.1 Oscillateurs libres Un système oscillant en absence de toute force d’excitation, est appelé oscillateur libre. Le nombre des grandeurs indépendantes intervenant dans le mouvement est appelée degré de liberté. 2.2 Oscillateur harmonique En mécanique, on appelle oscillateur harmonique qui, dés qu’il soit écarté de sa position d’équilibre d’une distance 𝑥 (ou angle 𝜃), est soumis à une force de rappel opposée et proportionnelle à l’écartement 𝑥 (ou 𝜃) : 𝐹 = −𝐶𝑥.

(2.1)

𝐶 : Une constante positive 2.2.1 Exemples 𝑎) Le système masse-ressort ci-contre est un oscillateur harmonique car la force de rappel est 𝑇 = −𝑘𝑥. 𝑏) La force de rappel du pendule simple est 𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃. Le pendule devient un oscillateur harmonique lorsque 𝜃 ≪ 1: 𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃 ≈ −𝑚𝑔𝜃.

2.3 Pulsation propre d’un oscillateur harmonique L’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique est linéaire et de la forme 𝑞̈ + 𝜔02𝑞 = 0

(2.2)

(En mécanique 𝑞 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝜃 , 𝜑 , … En électricité = 𝑖 , 𝑢 , 𝑞 , … ). L’équation horaire 𝑞 (𝑡) (solution de (2.2)) est de la forme : 𝑞 (𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0 + 𝜑 )

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(2.3)

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ω0 est appelée pulsation propre car elle ne dépend que des grandeurs propres à l’oscillateur.

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L’amplitude A et la phase φ dépendant des conditions initiales. 2.3.1 Exemples 𝑎) Trouver à l’aide du PFD l’équation du mouvement du système ci-contre. -

Calculer sa pulsation propre pour 𝑚 = 1𝑘𝑔 𝑒𝑡 𝑘 = 3𝑁/𝑚. Trouver l’amplitude 𝐴 et la phase ∅ sachant qu’initialement la masse est poussée 2𝑐𝑚 vers le bas puis lancée vers le haut à une vitesse de 2𝑐𝑚/𝑠.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 PFD en équilibre : ∑ 𝐹⃗ = ⃗0⃗⇒ 𝑚𝑔⃗+ ⃗𝑇⃗⃗= ⃗0⃗⇒ 𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0. PFD en mouvement : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑚𝑔⃗+ 𝑇⃗= 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑚𝑔 − 𝑘(𝑧 + 𝑧0 ) = 𝑚𝑧̈.

-

Grace à l’équation d’équilibre𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0, l’équation du mouvement se 𝑘 simplifie : 𝑧̈ + 𝑧 = 0. 𝑚

 

La pulsation propre est 𝜔0

=√

𝑚

= √3 rad/s.

L’équation horaire est : 𝑧(𝑡) = 𝐴 sin( √3𝑡 + ∅). Utilisons les conditions initiales pour trouver 𝐴 et ∅ : 𝑧(0) = 𝐴 sin ∅ = 2𝑐𝑚 { 𝑧(0) = 𝐴√3 cos ∅ = −2𝑐𝑚 /𝑠

𝑡𝑎𝑛∅ = −√3 ⇒ ∅ =

⇒{ 2 𝐴 = sin ∅

2𝜋 3

≈ 0.87 ≈ 2,3𝑐𝑚 2

𝑏) Trouver à l’aide de la loi des mailles l’équation du mouvement de la charge 𝑞 dans le circuit ci-contre, puis déduire la pulsation propre 𝜔0. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 : La loi des mailles s’écrit : 𝑢 + 𝑐

𝑞

𝑑𝑖

𝑢𝐿 = 0 ⇒ + 𝐿 𝑐

= 0 ⇒ 𝑞̈ +

1

𝑞 = 0.

𝐿𝑐

𝑑𝑡

La pulsation propre est donc 𝜔0 =

1

.

√𝐿𝑐

2.4 L’énergie d’un oscillateur harmonique L’énergie d’un oscillateur harmonique est la somme de ses énergies cinétiques et potentielles : 𝐸 =𝑇+𝑈

(2.5)



L’énergie cinétique 𝑚 et de vitesse 𝑣 est 1 de translation d’un corps de masse 1 𝑇 = 𝑚𝑣2 . Pour une bobine 𝑇 = 𝐿𝑖2 . (2.6)



L’énergie cinétique de rotation d’un Corps de moment d’inertie 𝐼∆ autour

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

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2

2

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d’un axe ∆ et de vitesse angulaire 𝜃̇ est 1 𝑇 = 𝐼 𝜃̇2 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

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2

∆

(2.7)

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

L’énergie potentielle d’une masse 𝑚 dans un champ gravitationelle constant 𝑔 est : 𝑈𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 = 𝑚𝑔ℎ . Lors d’une ascension d’une hauteur ℎ (2.8)  𝑈𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 = −𝑚𝑔ℎ . Lors d’une descente d’une hauteur ℎ (2.9)  L’énergie potentielle d’un ressort à boudin de raideur 𝑘 lors d’une déformation 𝑑 est : 1 1 1 𝑈 = 𝑘𝑑2. Pour un condensateur 𝑈 = 𝑞2. (2.10) 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡



2 𝐶

2

L’énergie potentielle d’un ressort de torsion de raideur 𝑘 lors d’une déformation 𝜃 est :

𝑈𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 =

1 2

𝐾𝜃2.

(2.11

Remarque : L’énergie totale 𝐸 = 𝑇 + 𝑈 est conservée (constante) durant le mouvement : 𝑑𝐸

𝑑𝑡

= 0.

(2.12)

Cette équation de conservation donne l’équation du mouvement des systèmes conservés. 2.4.1 Exemple 𝑇=

1

𝑚𝑧̇2. 𝑈 =

2

1

𝑘(𝑧 + 𝑧 )2 − 𝑚𝑔(𝑧 + 𝑧 ). 0

2

1

0

1

= 𝑘𝑧 2 + 𝑘𝑧0𝑧 − 𝑚𝑔𝑧 − 𝑚𝑔𝑧0 + 𝑘𝑧02 Grâ ce à la condition d’équilibre 2 2

𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0 , on a 𝑘𝑧0𝑧 − 𝑚𝑔𝑧 = 0. 𝑈 se simplifie alors en 𝑈 = 1 𝑘𝑧 2 1 2 − 𝑚𝑔𝑧 + 𝑘𝑧 0

2

2

0

1

= 𝑘𝑧2 2

+ 𝐶

𝑡𝑒

.

𝐸 = 1 𝑚𝑧2 + 1 𝑘𝑧2 𝑑𝐸 𝑘 + 𝑡𝑒. 𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝑚𝑧̇𝑧̈ + 𝑘𝑧𝑧̇ = 0 ⇒ 𝑧̈ + 𝑧 = 0. qui est bien l’équation 2 2 𝑚 𝐶 du mouvement trouvée à l’aide du PFD. 2.5 Condition d’équilibre La condition d’équilibre est 𝐹 = 0. si l’équilibre est en 𝑥 = 𝑥0 , on écrit 𝐹 ⃒ 𝑥= 𝑥0 = 0. Pour une force dérivant d’un potentiel ( − 𝜕𝑈 𝜕𝑥

⃒ 𝑥= 𝑥0 > 0.

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𝜕𝑈

) , la condition d’équilibre s’écrit : 𝜕𝑥

(2.13) Page 17

L’équilibre d’un système est stable si, une fois écarté de sa position d’équilibre, il ya retourne. Le système retourne a son équilibre si 𝐹 est une force de rappel. Puisque 𝐹 = −𝐶𝑥. on aura une force de rappel si 𝐶 > 0. Comme = −

𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕 𝑈

= 2

𝜕𝑥2

, la condition d’équilibre stable s’écrit :

𝜕2𝑈 𝜕𝑥2

⃒ 𝑥= 𝑥0 > 0.

(2.14)

Cette condition est aussi une condition d’oscillation. L’équilibre d’un système est instable si le système ne regagne pas son équilibre lors d’un écartement, c.-à -d. si 𝐶 < 0. la condition d’équilibre instable s’écrit donc : 𝜕2𝑈 𝜕𝑥2

⃒ 𝑥= 𝑥0 0. , 𝜕2 ⃒𝜃= 𝜃 > 0. 2 0 𝜕𝜃

⃒ 𝜃= 𝜃0 < 0.)

2.5.1 Exemple Trouver les positions d’équilibre et leur nature pour le système ci-contre. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 L’énergie potentielle lors d’un écartement 𝜃 de la verticale est : 𝑈 = −𝑚𝑔ℎ = −𝑚𝑔(𝑙 − 𝑙 cos 𝜃). Les positions d’équilibre sont données par 𝜕𝑈 𝜕𝜃

0. 𝜕𝑈 𝜕𝜃 = 0 ⇒ −𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 ⇒ sin 𝜃 = 0.

Les positions d’équilibres sont donc : 𝜃 = 0 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋. 𝜕2𝑈

∗ 𝜕𝜃2 ⃒𝜃=0 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 ⃒𝜃=0 = −𝑚𝑔𝑙 < 0 ∶ 𝜃 = 0 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒. ∗

𝜕2𝑈 𝜕𝜃2

′ ⃒ 𝜃=𝜋 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 ⃒ 𝜃=𝜋 = 𝑚𝑔𝑙 > 0 ∶ 𝜃 = 𝜋 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

2.6 Equation de Lagrange (1788) L’équation de Lagrange (appelée aussi équation d’Euler-Lagrange) est : 𝑑

𝑑𝑡

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𝜕𝐿

( )− 𝜕𝑞̇

𝜕𝐿 𝜕𝑞

= 0. (2 .1 6)

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𝐿 = 𝑇 − 𝑈 est appelé le Lagrangien L’équation de Lagrange donne aussi directement l’équation du mouvement. (Pour les translations𝑞 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. Pour les rotations 𝑞 = 𝜃 , 𝜑 , … En électricité 𝑞 = 𝑞. ) 2.6.1 Exemple 𝑇 = 1 𝑚𝑧 2 . 2

1 2 𝑈 = 𝑘𝑧 + 2 𝐶

Le lagrangien est :

𝑡𝑒

.

1 2 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑚𝑧 −

2

1

2

𝑘𝑧2 + 𝐶𝑡𝑒.

L’équation du mouvement est donc : 𝑑 𝜕𝐿 ( ) 𝑑𝑡 − 𝜕𝑧̇

𝑘 𝜕𝐿 𝑑 (𝑚𝑧̇) + 𝑘𝑧 = 0 ⇒ 𝑧̈ + 𝑧 = 0. =0 ⇒ 𝑚 𝜕𝑧 𝑑𝑡

Qui est bien l’équation obtenue à l’aide du PFD puis à l’aide de l’équation de conservation. 2.6.2 Exercices Exercice n° 1 : On considère les trois systèmes mécaniques de la figure ci-contre. La masse m peut coulisser sans frottement sur le plan horizontal. 1- Trouver le ressort équivalent pour chaque système. 2- Déduire l’énergie potentielle U pour chaque système. 3- Trouver l’énergie mécanique E pour chaque système. 4- A l’aide de l’équation de conservation, trouver l’équation du mouvement, et la pulsation propre de chaque système. Exercice n° 2 : Deux ressort de même raideur K ont une longueur a vide l 0 ˂ d0 .une masse m reliée a leur extrémités peut coulisser sans frottement sur l’axe X’O X. 1- Trouver l’énergie potentielle U du système en fonction de x. 2- Monter que pour les petits mouvements (x « d0) U s’écrit : U = K [(1 – l0 / d0) x2 + (d0 – l0)2]. 3- Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie Totale E = T + U du système. 4- Trouver l’équation du mouvement a l’aide de l’équation de conservation et la pulsation propre ω0 du système. Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

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Exercice n° 3 : Une tige de longueur totale L+l et de masse négligeable, porte a son extrémité supérieure une masse ponctuelle m. l’autre bout de la tige est relié a un ressort de raideur k. Celui-ci n’était pas déformée a l’équilibre et supposé rester horizontal lors des petits mouvements. La tige peut tourner librement autour du point O. a l’équilibre la tige était verticale. 1- Trouver l’énergie potentielle U et l’énergie cinétique T du système si 𝜃

et (sin 𝜃 ≈ 𝜃 , cos 𝜃 ≈ 1 − 2). 2

.

2- Trouver l’équation du mouvement et la pulsation propre ω0 ; soit avec l’équation de Lagrange, soit avec l’équation de la conservation de l’énergie totale. 3- Trouver la condition d’oscillation du système. Exercice n°4 : Une masse m est suspendue par un fil inextensible et non glissant enroulé autour d’un disque de masse M. Le disque, pouvant tourner librement autour de son centre, est suspendu par un ressort de raideur k. 1. 2. 3. 4. 5.

Calculer l’énergie potentielle U du système en fonction de z. Déduire l’allongement z0 du ressort a l’équilibre puis simplifier U. Trouver l’énergie cinétique T du système. Trouver le lagrangien L et déduire l’équation du mouvement. Trouver la pulsation propre ω0. (A.N; m = 1 kg, k=44N, M= 1kg).

Exercice n°5 : Deux disque de taille différents et relies par un fil non glissant et inextensible, peuvent tourner librement autour de leurs axes fixes. Le grand disque porte a sa périphérie une masse ponctuelle m. A l’équilibre la masse était a la verticale (représenter en pointillé). 1. Trouver l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle U du système en termes de la variable 2. Déduire le lagrangien puis l’équation du mouvement et la pulsation propre ω0 . 3. Ecrire l’équation de conservation de l’énergie et retrouver l’équation du mouvement.

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Page 21

Exercice n° 6 : La tige de longueur l (masse négligeable) peut tourner sans frottement autour de son axe en O. A l’équilibre la tige était horizontale. Les boules sont ponctuelles. 1. Remplacer les deux ressort par un seul ressort équivalent de raideur k, puis trouver l’énergie potentielle U du système en fonction de . 2. Ecrire la condition d’équilibre et déduire l’allongement z0 a l’équilibre du ressort équivalent. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre. 3. Trouver l’énergie cinétique T du système. 4. Trouver le lagrangien et déduire l’équation du mouvement, puis la pulsation propre ω0.

Chapitre 3. Système linéaire libres amortis à un degré de liberté. 3.1 Force d’amortissement. Un système soumis à un frottement est dis amorti. Le frottement le plus simple est le frottement visqueux. Les frottements visqueux sont de la forme 𝑓 = −𝛼𝑣

(3.1)

Est une Constante positive appelé coefficient de frottement et 𝑣 est la vitesse du corps en mouvement. En mécanique, l’amortissement est schématisé par : la vitesse 𝑣 est dans ce cas la vitesse relative des deux bras de l’amortissement. 3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis S’il existe un frottement 𝑓 = −𝛼𝑞̇ , l’équation de Lagrange devient : 𝑑 ( 𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝑞)

𝜕𝐿 = −𝛼𝑞̇. En introduisant la fonction de dissipation 𝐷 = 1 𝛼𝑞2 , nous pouvons − 𝜕𝑞 2 𝜕𝐷 1 1 2 2 2 écrire : 𝑓 = −𝛼𝑞̇ = − . (En translation 𝐷 = 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥̇ . En électricité 𝐷 = 1

2

2

𝑅𝑖 =

1

𝜕𝑞

2

2

2

𝑅𝑞̇ . ) L’équation de Lagrange des systèmes amortis s’écrit alors (où 𝑞 = 2

𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝑞 , 𝜃 …) 𝑑 (𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝑞)

−

𝜕𝐿 𝜕𝑞

𝜕𝐷

= −

.

(3.2)

𝜕𝑞̇

3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis L’équation du mouvement des systèmes linéaires amortis par 𝑓 = −𝛼𝑞̇ est de la forme 𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔02𝑞 = 0.

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(3.3)

Page 22

Est appelé facteur (ou coefficient, ou constante) d’amortissement. 𝜔0 est la pulsation propre. 𝜔0 2𝛿

= 𝑄 est appelé facteur de qualité.

(Parfois, l’équation 3.3 est écrite sous la forme 𝑞̈ + 𝛾𝑞̇ + 𝜔02𝑞 = 0. ) 3.4 Résolution de l’équation du mouvement La solution de l’équation (3.3) est de la forme 𝑞 (𝑡) = 𝐴𝑒𝑟𝑡 . En injectant ceci dans (3.3) on obtient 𝑟2𝐴𝑒𝑟𝑡 + 2𝛿𝑟𝑒𝑟𝑡 + 𝜔2𝑒 0𝑟𝑡 = 0 ⇒ 𝑟2 + 2𝛿𝑟 + 𝜔2 = 00 appelé l’équation caractéristique. On distingue alors trois cas suivant le signe du discriminant réduit ∆́ = 𝛿2 − 𝜔20. 𝛿2 − 𝜔20> 0 : (amortissement important : 𝑄 < 0,5 ) Deux solutions réelles pour l’équation caractéristique { 𝑟1 = −𝛿 − √𝛿2 − 𝜔02. 𝑟2 = −𝛿 + √𝛿2 − 𝜔20. Le mouvement résultant est 𝑞 (𝑡) = 𝐴1𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐴2𝑒𝑟2 𝑡 , soit : 0

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0

Page 23

𝑞 (𝑡) = 𝑒−𝛿𝑡 ( 𝐴1𝑒

−√𝛿2− 𝜔2 𝑡

+ 𝐴2𝑒

−√𝛿2− 𝜔2 𝑡

).

(3.4)

Le mouvement est dit apériodique. 

𝛿2 − 𝜔20= 0 : (amortissement critique : 𝑄 = 0,5 ) Une solution double pour l’équation caractéristique : 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 = −𝛿 . Le mouvement résultant est : 𝑞 ( 𝑡 ) = ( 𝐴1 + 𝐴2 𝑡)𝑒𝑟𝑡. (3.5) Le mouvement est dit en régime critique

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Page 24



𝛿2 − 𝜔20< 0 : (amortissement faible : 𝑄 > 0,5 ) Deux solutions complexes pour l’équation caractéristique : 𝑟1 = −𝛿 − 𝑗√ 𝜔2 − 𝛿2. {

0

𝑟2 = −𝛿 + 𝑗√𝜔20 − 𝛿2.

Le mouvement résultant est 𝑞 (𝑡) = 𝐴1𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐴2𝑒𝑟2 𝑡 , soit : 𝑞 (𝑡) = 𝐴𝑒−𝛿𝑡 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 )

(3.6)

Le mouvement est dit pseudo- périodique. 𝜔 = √𝜔02 + 𝛿2 pulsation. 𝑇=

2𝜋 𝜔

=

2𝜋 √𝜔20− 𝛿2

est appelé pseudo-

est appelé pseudo période.

3.5 Décrément logarithmique Pour évaluer la diminution exponentielle de l’amplitude du mouvement pseudo𝑞(𝑡) 𝑞(𝑡) périodique, nous utilisons le logarithme. Le rapport 𝛿 = 𝑙𝑛 (ou encore 1 𝑙𝑛 ): 𝑞(𝑡+𝑇)

est appelé le décrément logarithmique. En utilisant (3.6), on trouve 𝛿 = 𝑙𝑛

𝑛 𝐴𝑒

𝑞(𝑡+𝑛𝑇)

−𝛿𝑡

𝐴𝑒−𝛿(𝑡+𝑇)

⇒ 𝐷= 𝛿𝑇

(3.7)

3.5.1 Exemples 𝑎) Soit le système masse-ressort ci-contre. Trouver l’équation du mouvement d’abord avec le Lagrangien puis avec PFD. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎) Soit le système masse-ressort ci-contre. Trouver l’équation du mouvement d’abord avec le Lagrangien puis avec PFD. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 

A l’aide du Lagrangien :

1

2 1 2 Le Lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑚𝑥 − 𝑘𝑥 .

2

2

L’équation de Lagrange s’écrit alors : 𝛼

𝑚

𝑘

𝑑

𝑑 𝑡

𝑥̇ + 𝑥 =0.

𝜕𝐿

( )− 𝜕𝑥

𝜕𝐿 𝜕𝑥

= −

𝜕𝐷

1 2 𝐷 = 𝛼𝑥 .

2

⇒𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = −𝛼𝑥̇ ⇒ 𝑥̈ +

𝜕𝑥̇

𝑚



à l’aide du PFD : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑇⃗+ 𝑚𝑔⃗+ 𝑅⃗+ 𝑓⃗= 𝑚𝑎⃗ ⇒ −𝑘𝑥𝑖⃗− 𝑚𝑔𝑗⃗+ 𝑅𝑗⃗− 𝛼𝑥̇𝑖⃗= 𝑚𝑥̈𝑖⃗

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Page 25

Par projection sur 𝑥′𝑂𝑥 ∶ −𝑘𝑥 − 𝛼𝑥̇ = 𝑚𝑥̈ ⇒ 𝑥̈ +

𝛼

𝑥̇ +

𝑚



𝑘

𝑥 = 0.

𝑚

A l’aide du Lagrangien :

1

2 1 2 Le Lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑚𝑥 − 𝑘𝑥 .

2

L’équation de Lagrange s’écrit alors : 𝛼

𝑘

𝑚



1 2 𝐷 = 𝛼𝑥 .

𝜕𝐿

( )− 𝑑 𝑡

𝑥̇ + 𝑥 =0.

𝑚

𝑑

2

𝜕𝑥

𝜕𝐿

= −

𝜕𝑥

𝜕𝐷

2

⇒𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = −𝛼𝑥̇ ⇒ 𝑥̈ +

𝜕𝑥̇

à l’aide du PFD : ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑇⃗+ 𝑚𝑔⃗+ 𝑅⃗+ 𝑓⃗= 𝑚𝑎⃗ ⇒ −𝑘𝑥𝑖⃗− 𝑚𝑔𝑗⃗+ 𝑅𝑗⃗− 𝛼𝑥̇𝑖⃗= 𝑚𝑥̈𝑖⃗

Par projection sur 𝑥′𝑂𝑥 ∶ −𝑘𝑥 − 𝛼𝑥̇ = 𝑚𝑥̈ ⇒ 𝑥̈ +

𝛼

𝑥̇ +

𝑚

𝑘

𝑥 = 0.

𝑚

𝑏) Soit le système disque-ressort ci- contre. 𝜃 ≪ 1. Trouver l’équation du mouvement si 𝑀 = 1𝑘𝑔 , 𝑘 = 2 𝑁/𝑚 , 𝑅 = 10𝑐𝑚 , 𝑟 = 5𝑐𝑚 , 𝛼 = 8𝑁𝑠/𝑚. 

A l’aide du Lagrangien : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈. 1

1 1 1 2 2̇ ( )2 = ( 𝑀 𝑅 . 𝑈 = )𝜃 𝑅𝜃 . 𝑘 𝑇 = 𝐼/0𝜃 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 𝐿 = ( 𝑀𝑅2 ) − 𝑘 (𝑅𝜃) 𝐷 = 𝛼𝑣𝐵 = 𝛼(𝑟𝜃̇) . 2 2 2 2 2 2 𝜃2̇ L’équation de Lagrange nous donne alors l’équation du mouvement :

𝑑

( 𝜕𝐿

𝑑𝑡 𝜕𝜃)

−

𝜕𝐿 𝜕𝜃

= −

𝜕𝐷 𝜕𝜃

2̇

1 ⇒ 𝑀𝑅2 𝜃̈ + 𝑘𝑅2 𝜃 = 𝜃̈ + 2

2𝛼𝑟2 𝑀𝑅2

𝜃̇ + 2𝑘 𝜃=0. 𝑀

3.5.2 Exercices Exercice n° 1 : Soit le système amorti ci- contre. A l’équilibre la tige était verticale (en pointillé) et le ressort au repos. Le fil autour du disque est inextensible et non glissant. 1. 2. 3. 4.

Trouver l’énergie cinétique T du système. Trouver l’énergie potentielle U en fonction de (θ « 1). Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D. Déduire l’équation du mouvement.

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Page 26

Exercice n°2 : Soit le système amorti ci-contre. A l’équilibre le ressort K1 était comprimé et K2 allongé chacun d’une distance y0. 1. 2. 3. 4.

Trouver l’énergie cinétique T et potentielle U du système. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D. Déduire l’équation du mouvement.

Exercice n°3 : En tournant le disque ci-contre peut monter et descendre grâ ce au fil non glissant et inextensible enroulé autour du sillon circulaire de rayon r. à l’équilibre le ressort k était comprimé d’une distance y0. L’amortisseur α représente les frottements. 1. Trouver l’énergie cinétique T du système. 2. Trouver l’énergie potentielle U en fonction de y. 3. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre. 4. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D. et Déduire l’équation du mouvement. 5. Sachant que M = 2kg , R = 50 cm , r = 25cm k = 10N/m , trouver la va leur maximal que le coefficient α ne doit pas atteindre pour que le système oscille. 6. Avec un amortisseur de coefficient α = 5 N.m-1 , le système oscille mais son amplitude diminue au cours du temps. Trouver le temp τ nécessaire pour que l’amplitude diminue a ½ de sa valeur. 7. Calculer le décrément logarithmique.

Exercice n°4 : Soit le circuit électrique ci-contre. 1. Trouver à l’aide de la loi des mailles l’équation du mouvement de la charge q dans le circuit. 2. Déduire l’équation différentielle du courant i. 3. Déduire l’équation différentielle de la tension UL aux bornes de L.

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Page 27

Chapitre 4. Systèmes linéaire forcés à un degré de liberté 4.1 Force d’excitation Pour vaincre les frottements responsables des pertes d’énergie et des ralentissements des systèmes en mouvements, il faut appliquer une force externe qu’on appelle excitation. 4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés Si en plus du frottement 𝑓 = −𝛼𝑞̇ l’équation de Lagrange s’écrit : 𝑑 ( 𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝑥)

−

𝜕𝐿 𝜕𝑥

= −

𝑑 ( 𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ )

−

𝜕𝐿 𝜕𝜃

= −

𝜕𝐷

, il existe une force d’excitation externe 𝐹 ( 𝑡 ) ,

+ 𝐹 ( 𝑡 ) (En translation)

(4.1. 𝑎)

𝜕𝑥̇ 𝜕𝐷

̇+ 𝜕𝜃

𝑀 ( 𝑡 ) (En rotation. 𝑀 est le moment de la force𝐹.)

(4.1. 𝑏)

4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés L’équation du mouvement des systèmes linéaires amortis par 𝑓 = −𝛼𝑞̇ et excités par 𝐹 ( 𝑡 ) est de la forme ( 𝑎 est une constante) 𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔2𝑞 = 0

𝐹(𝑡) 𝑎

(4.2)

.

4.4 Résolution de l’équation du mouvement La résolution de l’&équation (4.2) est très simple pour une𝐹 excitation sinusoïdal 𝐹 ( 𝑡 ) = 0 𝐹 cos 𝜔𝑡. Dans ce cas ( 4.2 ) s’écrit : 𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔2𝑞 = cos 𝜔𝑡. La solution générale 0

0

𝑎

de cette équation est : 𝑞 ( 𝑡 ) = 𝑞𝑇( 𝑡 ) + 𝑞𝑃 ( 𝑡 ). 



𝑞𝑇( 𝑡 ) est la solution (transitoire) de l’équation homogène (sans 𝐹). Elle dépend du signe de 𝛿2 − 𝜔02 . Elle est dite transitoire car elle s’éteint au cours du temps (voir chap. III.) 𝑞𝑃 ( 𝑡 ) est la solution (permanente) de l’équation non homogène (avec 𝐹 ). Elle est appelée permanente car elle dure tout au long du mouvement. Elle est de la forme 𝑞 (𝑡) = 𝐴 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 ). On trouve 𝐴 et 𝜑 à l’aide de la représentation complexe comme suit : 𝐹0 cos 𝜔𝑡 → 𝐹0𝑒𝜔𝑡. 𝑞 (𝑡) = 𝐴 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 ). → 𝑞 ( 𝑡 ) = 𝐴𝑒𝑗 (𝜔𝑡+ 𝜑 ) = 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔2𝑞 = 0

𝐹0

cos 𝜔𝑡 → 𝑞̈ + 2𝛿 𝑞̇ + 𝜔2 𝑞 = 𝐹0 𝑒𝑗𝜔𝑡 0

𝑎 2

⇒ - 𝜔 𝐴𝑒

𝑗𝜔𝑡

+ 2𝛿𝑗𝜔𝐴𝑒

𝑎 𝑗𝜔𝑡

+ 𝜔2 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 = 0

𝐹0

𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑎

⇒ (- 𝜔2 + 2𝛿𝑗𝜔 + 𝜔20 ) = 𝐹0/𝑎 Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 28

𝐹0/𝑎

⇒𝐴=

(4.3)

( 𝜔02− 𝜔2)+ 𝑗2𝛿𝜔

L’amplitude du mouvement est donc : 𝐹0/𝑎

𝐴 = |𝐴| =

(4.4)

√(𝜔20− 𝜔2)2+4𝛿2𝜔2

La phase 𝜑 du mouvement (déphasage entre 𝑞 (𝑡) et 𝐹 (𝑡) ) est donner par : 2𝛿𝜔 tan

𝜑=

𝐼𝑚 ( 𝐴) 𝑅𝑒 ( 𝐴)

=−

( 𝜔20− 𝜔2 )

.

(4.5)

Finalement la solution du mouvement en régime permanent est : 𝑞 (𝑡) = 𝐴Cos (ωt+ φ). (Avec 𝐴 donné par (4.4) et 𝜑 donné par (4.5))

(4.6)

4.5 Résonnance La pulsation d’excitation 𝜔 pour laquelle l’amplitude 𝐴 atteint son maximum est appelée pulsation de résonance (d’amplitude) ωR . 𝐴 est maximale lorsque

𝜕𝐴

𝜕𝜔

= 0 .D’après

(4.4) : 𝜕𝐴 𝜕𝜔

=0 ⇒

[−4𝜔 ( 𝜔20− 𝜔2 )

2 ] 𝐹0 ) + 8𝛿 𝜔 ( 𝑎

= 0 ⇒ −4(𝜔2 − 𝜔2) + 8𝛿2 = 0 , soit 0

2[[(𝜔20− 𝜔2)2+ 4𝛿2𝜔2 ]]3/2

𝜔 = √𝜔02 − 2𝛿2 ≡ 𝜔𝑅 𝜔𝑅

= 𝜔0 √1 −

1 4𝑄2

.

(4.7)

A cette pulsation, l’amplitude est : 𝐴max=

𝐹 /𝑎 0

- 𝐴𝑚𝑎𝑥 =

𝐹0 𝑎𝜔2

𝑄

0

√1−

4 √4𝛿2𝜔2 0− 4𝛿

1

.

(4.8)

4𝑄2

Pour qu’il y ait résonance il faut que : 𝜔2 − 2𝛿2 > 0 ⇒ 1 − 0

1 2𝑄2

>0 ⇒Q >

1

:

√2

Le facteur de qualité doit donc être supérieur a 1

√2

D’après (4.5), tan 𝜑 = − ∞ ( 𝜑 = − lorsque

𝜋

⇒ l’amortissement doit être faible.

)

2

𝜔 = 𝜔0 .

(4.9)

Cette pulsation est appelée pulsation de résonance de phase

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 29

4.6 Bande passante et facteur de qualité La puissance instantanée fournie par la force d’excitation est : Ƥ =

𝑑𝑊

=

𝑑𝑡

𝐹.𝑑𝑞

= 𝐹. 𝑞̇.

𝑑𝑡

En utilisant (4.6), on trouve : Ƥ=

1

[ ] −𝐹0 cos 𝜔𝑡. 𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = − 𝜔𝐴𝐹0 sin 𝜑 + sin(2𝜔𝑡 + 𝜑) . 2 𝑇

La puissance moyenne est 〈Ƥ〉 = 1 ∫ Ƥ𝑑𝑡 = − 𝜔𝐴𝐹 𝑇 0

1

sin 𝜑 = − 1 𝜔𝐴𝐹 0

2

0

2

𝑡𝑎𝑛𝜑

. D’après

√1+𝑡𝑎𝑛2𝜑

(4.4) et (4.5) : 〈Ƥ〉 =

𝜔2𝛿( 𝐹2/𝑎 ) 0

(𝜔20− 𝜔2)2+ 4𝛿2𝜔2

〈Ƥ〉 est maximale lorsque 𝜕〈Ƥ〉 = 0 ⇒ { 𝜕𝜔

.

(4.10)

𝜔 = 𝜔0 〈Ƥ〉𝑚𝑎𝑥 =

(4.11)

𝐹2 0

4𝜔𝑎

La pulsation 𝜔𝑐1 et 𝜔𝑐2 pour lesquelles 〈Ƥ〉 est à moitié de son maximum sont appelées pulsations de coupure. La largeur 𝜔𝑐2 - 𝜔𝑐1 = B est appelée la Bande passante. D’après 〈Ƥ〉𝑚𝑎𝑥 (4.10), 〈Ƥ〉 = ≈ (à faible amortissement : 𝛿 ≪ 𝜔0 ) pour 𝜔 ≈ 𝜔0− 𝛿 et 𝑐1

2

𝑐2

𝜔 𝜔0−𝛿 .Donc 𝐵 = 2𝛿. 𝜔0 𝐵

=

𝜔0

(4.12)

= 𝑄 est le facteur de qualité (voir chap. III).

2𝛿

Les graphes de 𝐴 , 𝜑 , 𝑒𝑡 〈Ƥ〉 en fonction de la pulsation d’excitation 𝜔 sont :

4.6.1Exercices Exercice n° 1 : Le fil autours des disques ci-contre est inextensible et non glissant F(t)  F0 sin t . 5. Trouver T, U, et la fonction de dissipation𝐷. 6. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement en fonction de 𝑥. (  1). 7. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa phase ). 8. Donner la pulsation de résonance R . 9. Donner les pulsations de coupures C1,C 2 , et déduire la bande passante 𝐵

(  0 ). 10. Calculer R , B, et le facteur de qualité pour M  2Kg, m  1Kg, K  27N / m,  0,6N.s / m. Exercice n°2 : Soit le circuit excité ci-contre E(t)  E0 cos t. système amorti ci-contre. A l’équilibre le 0 ressort K1 était comprimé et K2 allongé chacun d’une distance y0. 5. Trouver l’équation du mouvement de la charge 𝑞 circulant dans le circuit à l’aide de la loi des mailles. 6. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa phase  ). 7. Donner la pulsation de résonance R . 8. Donner les pulsations de coupures C1,C 2 , et déduire la bande passante 𝐵

(  0 ). 9. Calculer R , B, et le facteur de qualité pour R  20, C  1F , L  5H . Exercice n°3 : Soit Le système ci-contre. Un déplacement S(t)  S0 cost. 1. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D. 2. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement en fonction de x. (  1). 3. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa phase ). 4. Donner la pulsation de résonance R .

5. Donner les pulsations de coupures C1,C2 , et déduire la bande passante B

(  0 ). 6. Calculer R , B, et le facteur de qualité pour M  2Kg, k  19N / m,  0,6N.s / m, R  1m, r  75cm .

Exercice n°4 : Soit le système excité ci-contre F(t)  F0 cost. 4. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D. 5. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement. 6. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa phase ). 7. Donner la pulsation de résonance R . 8. Trouver la puissance moyenne  fournie au système. 9. Déduire la puissance moyenne



10. Donner les pulsations de coupures

C1

ma x

fournie au système.

,C 2 , pour lesquelles  



max , déduire la 2

bande passante B  C1  C 2 .(On suppose que (  0 ). amortissement très faible). 11. Trouver la puissance moyenne

r dissipé par frottement.

Chapitre 5. Systèmes linéaires à plusieurs degrés de liberté 5.1 Degrés de libertés Les variables indépendantes nécessaires à la description d’un système en mouvement sont appelées degrés de liberté. S’il ya N variables indépendantes 𝑞𝑖 , on écrit N équations de Lagrange : 𝑑

𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇1 𝜕𝑞1 I 𝑑 𝜕𝐿 I ( ) − 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑞̇2 𝜕𝑞2 𝑡 ❪ I 𝜕𝐿 I 𝑑 𝜕𝐿 ( ) − 𝗅𝑑𝑡 𝜕𝑞̇𝑁 𝜕𝑞𝑁 ‫ﻟ‬

𝜕𝐷 + 𝐹1 ( 𝑡 ), 𝜕𝑞̇1 = −𝜕𝐷 𝐹 + ( 𝑡 ), 2 𝜕𝑞̇2 . .

= −

= − 𝜕𝐷 + 𝐹 ( 𝑡 ). 𝑁 𝜕𝑞̇𝑁

5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés 5.2.1 Equation du mouvement Soit le système libre ci-contre. Les deux variables indépendantes sont 𝑥1 et𝑥2. 𝑘0 est appelé élément de couplage. 1

𝑇 = 𝑚 𝑥̇2 + 2

21

2 1 1

2

1

{𝑈=

𝑘 𝑥̇ +

1 1

1

𝑚 𝑥̇2 .

2

2 2

𝑘 (𝑥 − 𝑥 )2 + 0 2

1

1 2

𝑘 𝑥2. 2 2

Le lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1 𝑚 𝑥̇2 + 2

1 1

1

𝑚 𝑥̇2 - 1 𝑘 𝑥̇2 −

2

2 2

2 1 1

1 2

𝑘 (𝑥 − 𝑥 )2 − 0

1

2

1 2

𝑘 𝑥2. 2 2

Les deux équations de Lagrange s’écrivent : ( 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝐷 = 0 , 𝐹 = 0 ∶ 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑐é . ) 𝑑 𝑑 𝑡

( 𝜕𝑥̇ ) −

𝑑 𝑑 𝑡

( 𝜕𝑥̇2) −

{

𝜕𝐿

1

𝜕𝐿

𝜕𝐿 𝜕𝑥1 𝜕𝐿 𝜕𝑥2

=0 ⇒{ =0

𝑚̈ 1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 − 𝑘0𝑥2 = 0. 𝑚̈ 2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 − 𝑘0𝑥1 = 0.

(5.1)

5.2.2 Modes propres (normaux) En mode normale (ou propre) la solution de (5.1) est 𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1). 𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2).

(5.2)

𝐴1 , 𝐴2 , 𝜑, Dépendant des conditions initiales. Pour trouver 𝜔 , utilisons la représentation complexe :

𝑥1 = 𝐴1 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑1 ). → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑥2 = 𝐴2 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑2 ). → 𝑥2 = 𝐴2𝑒𝑗𝜔𝑡 (5.1) devient (−𝜔2 +

𝑘1+𝑘0

)𝐴

𝑚1

{ −

𝑘

0

1 2

𝐴1 + (−𝜔 +

𝑚2

= 0.

𝑘0

− 𝐴

𝑚1

(−𝜔 + 𝑎)𝐴1 + 𝑏𝐴2 = 0. - {−𝑐𝐴 + (−𝜔2 + 𝑑)𝐴 = 0.

2

𝑘 +𝑘 0

𝑚

2

2

) 𝐴2 = 0.

1

(5.3)

2

2

Pour que (5.3) soit vrai sans que 𝐴1 et 𝐴2 soient tous les deux nuls, il faut que son déterminant caractéristique soit nul : ∆ (𝜔) = |

−𝜔2 + 𝑎 −𝑐

−𝑏 −𝜔2 + 𝑑| = 0.

Ceci nous donne l’équation caractéristique : 𝜔4 − (𝑎 + 𝑑)𝜔2 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 0. Les deux solutions réelles et positives 𝜔1 et 𝜔2 de cette équation sont appelées pulsations propres ou normales. La plus petite est appelée la fondamentale, l’autre est appelée l’harmonique. 

 

Première mode propre : Pour𝜔 = 𝜔1, le système (5.3) implique que : 𝐴1(1)

2 1𝜔

𝐴2

𝑐

=− + (1)

> 0. La vibration est dite en phase car la solution (5.2) s’écrit dans

𝑥1 (1) = A1 (1) cos(ω1t + φ). ce cas :{ 𝑥2 (1) = A2 (1) cos(ω1t + φ). Deuxième mode propre : Pour 𝜔 = 𝜔2, le système (5.3) implique que : 𝐴1(2) 𝐴2(2)

=− +

2 2𝜔

< 0. La vibration est dite en opposition de phase car la solution 𝑥1 (2) = A1 (2) cos(ω2t + φ). (5.2) s’écrit dans ce cas :{ 𝑥2 (2) = −A2 (2) cos(ω2t + φ). 𝑐

Dans le cas général, le système vibre dans une superposition de ces deux modes propres. 5.3Système forces a deux degrés de libertés 5.3.1 Equations de mouvement Soit le système ci- contre.

Le lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

1

𝑚 𝑥̇2 +

1

𝑚 𝑥̇2 Page 36

1

𝑘 𝑥̇2 −

2 1 1

1 2

𝑘 (𝑥 − 𝑥 )2 − 0

1

2

1

2

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

2

𝑘 𝑥2 .

1 1

2

2 2

2 2

Page 37

Les deux équations de Lagrange s’écrivent : ( 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝐷 = 1

𝑑 𝑑 𝑡

{

(

𝜕𝐿

𝜕𝑥̇1

) −

𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝑡 (𝜕𝑥̇2

)

=−

𝜕𝐿 𝜕𝑥1

𝜕𝐿 −𝜕𝑥2

𝜕𝐷

2

𝛼1𝑥̇1 +

1 2

2

𝛼2𝑥̇2 𝑒𝑡 𝐹0 cos 𝜔𝑡.)

+ 𝐹

𝜕𝑥̇1

=−

2

⇒{

𝜕𝐷 𝜕𝑥̇2

𝑚1𝑥̈1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 + 𝛼1𝑥̇1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 .

(5.4)

𝑚2𝑥̈2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 + 𝛼2𝑥̇2 − 𝑘0𝑥1 = 0.

5.3.2 Résonance et antirésonance (𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐷 = 0 𝑒𝑡 𝐹 ≠ 0 ∶ 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑐é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖. ) La solution permanente de (5.4) est :

𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1). 𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2).

(5.5)

𝐴1, 𝐴2, 𝜑2 dépendent de la pulsation d’excitation 𝜔 et de 𝐹0. Pour trouver 𝐴1, 𝐴2 , utilisons La représentation complexe : 𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 → 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1) → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜑1) = 𝐴1𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2) → 𝑥2 = 𝐴2𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜑2) = 𝐴2𝑒𝑗𝜔𝑡 (5.4) devient lorsque 𝐷 = 0: 𝑚1𝑥̈1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹0𝑒 { 𝑚2𝑥̈2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 − 𝑘0𝑥1 = 0

𝑘1+𝑘0

(−𝜔2 +

𝑗𝜔𝑡

⇒{ (−𝜔2 +

)𝐴

1 𝑘𝑚 0+𝑘1

1

)𝐴 2

𝑚2

𝑘0

−

𝑚1 𝑘0

−

𝐹0

𝐴2 = 𝑚 .

𝑚2

1

𝐴1

= 0.

(5.6)

. Cas où : 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 𝑒𝑡 𝑘0 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘. En Posant

𝑘

𝑚

2

= 𝜔 , (5.6) devient { 0

(−𝜔2 + 2𝜔2)𝐴 − 𝜔2𝐴 = 0

1

0 2

0

2

0 1

.

𝑚 (−𝜔2 + 2𝜔2)𝐴 − 𝜔2𝐴 = 0. |2𝜔2−𝜔2|

⇒𝐴

𝐹0

0

=0 𝑚 |(2𝜔2−𝜔2)2−𝜔4| 1 𝐹 0

0

𝜔2 0

𝐴2 = 𝐹

.

.

0

(5.7)

𝑚 |(2𝜔2−𝜔2)2−𝜔4| 0

0

D’après (5.7) Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 38



𝐴1 = 𝐴2 = ∞ lorsque

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 39

 

𝜔 = 𝜔0 ≡ 𝜔𝑅1 (𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊é𝒓𝒆 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒. ) 𝑜𝑢 𝜔 = √3𝜔0 ≡ 𝜔𝑅2(𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝒅𝒆𝒖𝒙𝒊é𝒎𝒆 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒. ) 𝐴1 = 0 lorsque 𝜔 = √2𝜔0 ≡ 𝜔𝐴. (𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′𝒂𝒏𝒕𝒊𝒓é𝒔𝒐𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆. ) {

5.3.3 Impédance d’entrée et de transfert ( 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐷 ≠ 0 𝑒𝑡 𝐹 ≠ 0: 𝑆𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑒𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑐é. ) 𝐹

En électricité, l’impédance est définie par𝑧 = . Par analogie, on définie 𝑖1 𝐹

l’impédance mécanique par 𝑧 = . 𝑣

𝑧𝐸 = 𝐹 est appelée impédance d’entrée. 𝑧𝑇 = 𝐹 est 𝑣 𝑣 1

2

appelée impédance de transfert. Pour les trouver on utilise encore la représentation complexe : 𝐹(𝑡) → 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑥1 → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗𝜔𝑡.

𝑥2 → 𝑥2 = 𝐴2𝑒𝑗𝜔𝑡. 𝑣1

𝑣1 = 𝑗𝜔𝑥1 ⇒ 𝑥1 =

𝑗𝜔

𝑣2 𝑣2 = 𝑗𝜔𝑥2 ⇒ 𝑥2 = . 𝑗𝜔

.

𝑥̈1 = 𝑗𝜔𝑣1.

𝑥̈2 = 𝑗𝜔𝑣2.

(5.6) devient (𝑗𝜔𝑚 + {

𝑚1𝑥̈1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 + 𝛼1𝑥̇1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹

1

⇒{ 𝑚2𝑥̈2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 + 𝛼2𝑥̇2 − 𝑘0𝑥2 = 0

(𝑗𝜔𝑚 + 2

En Posant 𝑗𝜔𝑚 +

𝑘1

+ 𝛼 = 𝑧 , 𝑗𝜔𝑚

+ 𝛼

𝑘2

+

𝑘1

+

𝑗𝜔

𝑗𝜔 𝑘2

+

𝑗𝜔

=𝑧 , =𝑧

𝑘0

𝑘0 𝑗𝜔

𝑘0

+𝛼 )𝑣 − 𝑣 1

1

+𝛼 )𝑣 − 𝑣 2

2

. on obtient

𝑘0 𝑗𝜔

= 𝐹. 2

𝑘0

𝑗𝜔

= 0. 1

1

{

𝑗𝜔 1

1

2

(𝑧1 + 𝑧0)𝑣1 − 𝑧0𝑣2 = 𝐹. (𝑧2 + 𝑧0)𝑣2 − 𝑧0𝑣1 = 0.

⇒

0

2

𝐹 0= (𝑧 1 + 𝑧 − 1 𝑧2+𝑧0 ) 𝑣 = (𝑧 𝑧

1

2 𝑗𝜔

𝑗𝜔 2

0

𝑧0𝑧2 )𝑣1 𝑧2+𝑧0



L’impédance d’entrée est 𝑧𝐸 𝐹 𝑧0𝑧2 = 𝑣 = 𝑧1 + 𝑧2+𝑧0 ≡ 𝑧1 + 𝑧0 ∕⁄𝑧2.



1

L’impédance de transfert est 𝑧 𝑇

𝐹 =

= 𝑧 +𝑧 𝑣2

1

2

+

𝑧1 𝑧2 𝑧0

.

5.3.4 Exercices Exercice No1 : 1.1 Dans le système ci-contre : 𝜃1 ≪ 1, 𝜃2 ≪ 1. 1. Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie potentielle U. 2. Trouver le lagrangien puis les équations du mouvement. 3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux modes propres de vibration. 4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑚1 = 1𝑘𝑔 , 𝑚2 = 2𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘 = 20 𝑁⁄𝑚 , 𝑔 = 10𝑚. 𝑠−2

Exercice No2 : 1.2 Le fil autour du disque auquel est suspendue 𝑚1 est inextensible et non glissant. (θ ≪ 1). 1. Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie potentielle U. 2. Trouver le lagrangien puis les équations du mouvement. 3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux modes propres de vibration. 4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑀 = 1𝑘𝑔 , 𝑚1 = 0,5𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘1 = 15 𝑁⁄𝑚 , 𝑘1 = 10 𝑁⁄𝑚

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 42

Exercice No3 : 1.3 Dans le système ci-contre(θ ≪ 1). 1. Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie potentielle U. 2. Trouver le lagrangien puis les équations du mouvement. 3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux modes propres de vibration. 4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑀 = 2𝑘𝑔 , 𝑚 = 0,5𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘 = 5 𝑁⁄𝑚 , 𝑅 = 1𝑚 , 𝑟 = 80cm. Exercice No4 : 1.4 Dans le circuit ci-contre 𝐸(𝑡) = 𝐸0 cos 𝜔𝑡. 1. A l’aide de la loi des mailles, trouver les deux équations du mouvement des courants 𝑖1 , 𝑖2. 2. Trouver à l’aide de la représentation complexe l’impédance d’entrée 𝑧𝐸

=

𝐸

.

𝑖1

3. Déduire à l’aide de l’analogie de Maxwell , le système mécanique équivalent. Exercice No5 : 1.5 Dans le circuit ci-contre 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin 𝜔𝑡. 1. Trouver l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U, et la fonction de dissipation 𝐷. (𝜃 ≪ 1. ) 2. Trouver le lagrangien puis les équations du mouvement. 3. A l’aide de la représentation complexe l’impédance d’entrée 𝑧𝐸 =

𝐹

.

𝑣1

4. Déduire à l’aide de l’analogie de Maxwell, le système mécanique équivalent.

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

Page 43

PARTIE II : Ondes Mécaniques

Chapitre 6 : Généralité sur le phénomène de propagation 6.1 Rappel théorique 

L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de la matière, comme le montre la figure 6.1.

Figure 6.1 : Propagation d’une onde mécanique

 

L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie. Il existe deux types de milieux :  Milieu dispersif : La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du milieu et de longueur d’onde. Exemple : ce phénomène se perçoit par exemple dans l’air lorsque l’amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute fréquence se propagent plus rapidement que les ondes a basse fréquence, l’air est dispersif)



 Milieu non dispersif : La célérité dépend uniquement des propriétés du milieu de propagation. Il existe deux types d’onde :  Onde longitudinale : L’ébranlement est parallèle à la direction de propagation, comme le montre la figure 6.2.

Figure 6.2 : Onde longitudinal Ondes transversale : L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de propagation comme le montre la figure6.3.





Figure 6.3 : Onde transversale La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du milieu. L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :  A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.  A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau, comme la montre la figure 6.4 ci-dessous :

Figure 6.4 : Mouvement circulaire à la surface d’eau

Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant dans un plan  A trois dimension : ondes sonores. Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :  Périodicité temporelle : Caractérisé par la période 𝑇 (𝑠).  Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde 𝜆𝑤(𝑚).  Le phénomène de diffraction est caractéristique des ondes. Il se manifeste l’orsqu’une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la longueur d’onde, voir la figure 6.5 :

Figure 6.5 : phénomène de diffraction et caractéristique des ondes D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :  L’expérience de Young : la lumière passe a travers deux trous séparés par une distance 𝑑. Il apparait sur l’écran alors des interférences circulaires comme le montre la figure 6.6 ci-dessous :

Figure 6.6 : Expérience de Young



Les ondes émises par deux hauts parleurs comme le montre la figure 6.7 :

Figure 6.7 : ondes émises par deux hauts parleurs

Applications : Probléme1 : Une source émet une onde mécanique ѱ de fréquence ν se propageant dans la direction 𝑜𝑥 avec une vitesse 𝑉 constante. 

Ecrire l’équation de propagation 𝑥

Posant les variable suivantes : 𝑝 = 𝑡 +

𝑒𝑡 𝑞 = 𝑡 − .

𝑥

𝑉

𝑉



Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.



En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et infini en régime sinusoïdal Solutions :  L’équation de propagation : 𝜕2ѱ 𝜕𝑡2

𝜕2ѱ 𝜕𝑥2

= 𝑉2

C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles. Les solutions générales en utilisant la méthode du changement de variables sont :



𝑝=𝑡+

𝑥

𝜕 ѱ

2

⟩ ⇒{ 𝜕𝑝𝜕𝑞

𝑉 𝑥

⟨

𝜕2ѱ

𝑞=𝑡−

𝑉



𝜕𝑞𝜕𝑝

= 0 ⇒ ѱ1 (𝑞) ⇒ѱ = ѱ (𝑞) + ѱ (𝑝) 𝑇

1

2

= 0 ⇒ ѱ2 (𝑝)

En régime sinusoïdal, la solution est de forme :

ѱ(𝑡, 𝑥)

= 𝐴 cos 𝜔(𝑡 −

𝜔

𝑉

𝑥)

Probléme2 : Une onde mécanique 𝑆 de fréquence ν se propageant dans un milieu a symétrie radiale avec une vitesse 𝑉 constante.   

Ecrire l’équation de propagation de 𝑆 . Résoudre l’équation aux dérivées partielles. Exprimer la solution générale dans le cas d’un milieu infini en régime sinusoïdal. Interpréter les résultats. Solutions :



L’équation de propagation : 𝜕 𝑆

2

𝜕𝑡2



= 𝑉2∆𝑆

La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal : 1

𝑟

𝑟

𝑟

𝑉

𝑉

𝑆(𝑟, 𝑡) = [𝑓 (𝑡 − ) + 𝑔(𝑡 + )] Avec 

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal : 1

𝑟

𝑟

𝑉

𝑆(𝑟, 𝑡) = cos 𝜔(𝑡 − ) Avec 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 

On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure

Figure 6.8 : Propagation d’une onde sphérique

Le facteur 1

représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui est due à la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même manière. 𝑟

Probléme3 : Soit une onde mécanique ѱ de fréquence ν se propageant dans le plan (𝑂𝑥𝑦) avec une vitesse 𝑉 constante.   

Ecrire l’équation de propagation. Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables. On pose les conditions suivantes : ѱ(𝑥 = 0) =



𝜕ѱ 𝜕𝑦

(𝑦 = 0 ) = 0

Déterminer les solutions générales. Solutions :



L’équation de propagation a deux dimensions : 𝜕2ѱ 𝜕𝑡2



𝜕2ѱ

= 𝑉2( 𝜕𝑥2 +

𝜕2ѱ 𝜕𝑦2 )

Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des variables : 𝑆(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝐴(𝑥)𝐵(𝑦)𝑇(𝑡) ⇒

𝐴̈(𝑥)

+

𝐴(𝑥)

𝐵̈ (𝑦) 𝐵(𝑦)

 Après le calcul on obtient alors :

=

1 𝑇̈ (𝑡) 𝑉2 𝑇(𝑡)

= 𝐶𝑠𝑡𝑒

𝐴̈(𝑥) + 𝑘2𝐴(𝑥) = 0

2

𝑥

{𝐵̈ (𝑦) + 𝑘𝑦2𝐵(𝑦) = 0 Avec { 𝑇̈ (𝑡) + 𝜔2𝑇(𝑡) = 0



2

2

𝑘𝑜 = 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 𝜔

𝑘𝑜 =

𝑉

𝐴(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘 1

𝑥 + 𝐴 sin 𝑘 𝑥 𝑥

2

𝑥

⇒{𝐵(𝑦) = 𝐵1 cos 𝑘𝑦𝑦 + 𝐵2 sin 𝑘𝑦𝑦 𝑇(𝑡) = 𝑇1 cos 𝜔𝑡 + 𝑇2 sin 𝜔𝑡

L’espace de propagation est limité (fini) , on obtient des ondes stationnaires dans les trois directions.  En appliquant les conditions aux limites on obtient : ѱ ( 𝑥 = 0 ) = 0 𝐴1 = 0 𝐴(𝑥) = 𝐴 sin 𝑘(𝑛)𝑥 𝑛𝜋 (𝑛) { 𝜕ѱ ⇒{ et 𝑘𝑥 = ⇒{ 2 𝑥 (𝑦 = 0) 𝑎 𝐵 2 = 0 ( ) 𝐵 𝑦 = 𝐵 cos 𝑘 1 𝑦𝑦 𝜕𝑦  Les solutions générales sont : 𝑆 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ 𝛬 sin 𝑘(𝑛)𝑥 cos 𝑘(𝑚)𝑦𝑇(𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛬 = 𝐴 𝐵 𝑇

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

𝑛

𝑥

𝑦

2 2

Page 52

Chapitre 7 : Propagation d’ondes mécaniques dans différents milieux 7.1Rappel théorique : Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde. Soit un fil de longueur 𝑙 et de masse 𝑚 , la masse linéique du fil (supposé constante le long de celui-ci) est alors :

𝜇=



𝑚 𝑙

=

𝑑𝑚 𝑑𝑥

Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas déformer le câ ble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueur𝑑𝑙 : Approximations : La corde est considérer comme déformable mais non allongeable donc la norme des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation. Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure ci-dessous :

Le bilan des forces donne :

∑ 𝐹⃗ = 𝑑𝑚𝑎⃗ ⇒ {

𝐹[cos 𝜃𝑥+𝑑𝑥 − cos 𝜃𝑥] ≅ 0 𝐹[sin 𝜃𝑥+𝑑𝑥 − sin 𝜃𝑥] ≅ 𝑑𝑚

𝜕2𝑦

avec 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑙

𝜕𝑡2

Ce que signifie qu’il n’y pas de déplacements selon 𝑥 , et 𝑎⃗représente l’accélération selon 𝑦 . Si les angles sont vraiment petits , nous avons le premier terme du développement qui donne : sin 𝑥 ≅ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ≅ 𝑑𝑙 ≅ 𝑑𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑥

La loi de Newton appliquée à la masse 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥 donne (nous considérons que chaque point de masse se déplace seulement selon 𝑦 car il n’ya pas allongement) : Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction 𝑦(𝑥) :

[𝐹

𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑦

− 𝜕𝑥 ⃒𝑥

𝑥+𝑑𝑥

Il en résulte l’équation aux dérivées partielles : 𝜕2𝑦 𝜕𝑡2

=

𝐹 𝜕2𝑦

] ≅ 𝜇𝑑𝑥

𝜕 𝑦

2

𝜕𝑡2

𝐹

⇒𝑉 =

√𝜇

𝜇 𝜕𝑥2

Elle se nomme « l’équation des cordes vibrantes ». Nous vérifions les unités de 𝐹 sont celles d’une vitesse (𝑚 ∕ 𝑠)2 , comme l’exige l’analyse 𝜇

dimensionnelle. Pour simplifier l’écriture, nous posons : 𝑉=√

𝐹 𝜇

7.2 Applications :

Probléme1 : Soit une corde vibrant transversalement dans le plan𝑂𝑥𝑦. L’équation de mouvement est de forme𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡). Soient 𝑇et 𝜇 la tension et la masse linéique de la corde à l’équilibre.  

Ecrire l’équation de propagation de l’onde. En déduire la célérité 𝑉 des oscillations.

On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal. 

Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la méthode des séparations des variables.

Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distance 𝑎 , lâ chée sans vitesse initiale.  

Déterminer la forme de la solution générale. Montrer que la fréquences de vibration de la corde sont multiples entier d’une fréquence fondamentale 𝑓1.

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Page 54

Application numérique : Pour la troisième corde de la guitare de longueur 𝑎 = 63𝑐𝑚 en nylon, de masse volumique 𝜌 = 1200 𝑘𝑔 ∕ 𝑚3 et de section 𝑆 = 0,42𝑚𝑚2. 

Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son fondamental 𝑓1 = 147𝐻𝑧 (𝑛𝑜𝑡é 𝑟é). Solutions :



L’équation de propagation : 𝜕2𝑦

=

𝜕𝑡2



⇒𝑉 =

𝜇 𝜕𝑥2

𝐹

√𝜇

Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre : 𝐴̈(𝑥)

̈ 𝐵 (𝑥)

= 𝑉2

𝑦 = 𝐴(𝑥)𝑇(𝑡) ⇒ 𝐴(𝑥)



𝑇 𝜕2𝑦

⇒{

𝐴( 𝑥 ) = 𝐴

cos 𝜔 𝑥 + 𝐴 sin 𝜔 𝑥 1

2

𝑉

𝐵(𝑥)

𝑉

𝐵(𝑡) = 𝐵1 cos 𝜔𝑡 + 𝐵2 sin 𝜔𝑡 La corde est maintenant fixée, les conditions aux limites nous donnent :

{

𝑦(𝑥 = 0) = 𝑦(𝑥 = 𝑎) = 0 𝑦̇(𝑡 = 0)

𝐴1 = 0 (𝑛) = ⇒{ et 𝑘 (𝜔 𝐵2 = 0

(𝑛) )𝑥 𝑛𝜋 ⇒{𝐴(𝑥) = 𝐴2 sin 𝑘𝑥 𝑥

𝑉

𝑎

𝐵(𝑡) = 𝐵1 cos 𝜔𝑛𝑡

Ainsi la solution finale : 𝑦 (𝑥, 𝑡) = ∑ 𝛬 sin 𝑘(𝑛)𝑥 cos 𝜔𝑛𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛬 = 𝐴 𝐵 𝑇



𝑛

Les fréquences de vibration de la corde :

𝑘

(𝑛)

=

𝜔𝑛

𝑥



2 1

𝑥

=

𝑉

2𝜋𝑓𝑛 𝑛𝜋

=

𝑉

𝑎 1

⇒ 𝑓

= 𝑛𝑓 avec 𝑓 = 𝑛

1

1 2𝑎

√𝑇 𝜇

Application numérique :

𝑓= 1

1

𝑇

√ ⇒𝑇 = 4𝑎2𝜌𝑆𝑓2 ⇒ 𝑇 = 17.3𝑁

2𝑎

𝜇

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1

Page 55

Probléme2 : Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique 𝜇 , tendue par une force de tension d’intensité 𝐹 constante. La corde au repos et horizontale et matérialisation par l’axe 𝑂𝑥 . Au cours de la propagation d’une onde, le point 𝑀 de la corde, d’abscisse 𝑥 au repos subit le déplacement transversale 𝑦(𝑥, 𝑡) à l’instant𝑡. On néglige l’influence de la pesanteur sur la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée suivant l’axe 𝑂𝑥 , 𝑂𝑥 ⊥ 𝑂𝑦 et de valeur algébrique : −𝑏𝑉 (𝑥, 𝑡) par unité de longueur(𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 > 0), où 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝜕𝑦

est la vitesse transversale de l’élément de la corde d’abscisse 𝑥 à l’instant 𝑡.

𝜕𝑡



Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement𝑦(𝑥, 𝑡).

On définit 𝑘 le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible(𝑏 < < 𝜇𝜔). 

Etablir la relation de dispersion sous la forme : 𝑘(𝜔) = 𝜔

[1−𝑗𝑔(𝜔)] 𝑐

 

Exprimer les coefficients 𝑔 et 𝑐 en fonction des données 𝐹, 𝜇 𝑒𝑡 𝑏. En déduire l’équation de l’onde 𝑦(𝑥, 𝑡) . Que peut on dire sur 𝑦(𝑥, 𝑡) ? On définit l’impédance mécanique complexe 𝑇𝑦

𝑍̃ = 𝑉(𝑥,𝑡) 



Où 𝑇𝑦 désigne la projection sur 𝑂𝑦 de la tension de la corde en 𝑀(𝑥) . Exprimer l’impédance mécanique complexe 𝑍̃ de la corde en fonction de 𝐹, 𝜇, 𝑏 𝑒𝑡 𝜔. Solutions : L’équation aux dérivées partielles du déplacement 𝑦(𝑥, 𝑡): 𝜕2𝑦 𝜕𝑥2



=

𝜇 𝜕2𝑦 𝐹 𝜕𝑡2

𝐹 𝜕𝑡

avec

𝑉=

𝐹

√

𝜇

La relation de dispersion : 𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝐴𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)⇒𝑘(𝜔) ≅

𝜔

(1 − 𝑗 𝑐



+

𝑏 𝜕𝑦

𝑏

𝐹

) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 = √ 𝑔(𝜔) = 2𝜇𝜔 𝜇

𝑏 2𝜇𝜔

L’équation de l’onde 𝑦(𝑥, 𝑡):

𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝐴𝑒

𝑏𝑥 −2𝜇𝑐 𝑗(𝜔𝑡− )𝑥

𝑒

𝑐

C’est une onde progressive amortie. 

L’impédance mécanique complexe :

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Page 56

𝑍̃ =

𝑇𝑦

𝜕𝑦

= 𝐹 𝜕𝑥

𝑉(𝑥,𝑡)

⇒ 𝑍̃ = −√𝜇𝐹 (1 − 𝑗

𝜕𝑦 𝜕𝑡

𝑏

)

2𝜇𝜔

Probléme3 : Partie A : Equation de la corde vibrante : Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique 𝜇 , est tendue horizontalement suivant l’axe 𝑂𝑥 avec une tension 𝐹 constante, voir la figure. La corde, déplace de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant 𝑡 par le déplacement quasi vertical 𝑦(𝑥, 𝑡) , compté à partir de sa position d’équilibre, d’un point 𝑀 d’abscisse 𝑥 au repos. A l’instant 𝑡 , la tension 𝑇(𝑥, 𝑡) exercée par la partie de la corde à droite de 𝑀 sur la partie de la corde à gauche de 𝑀 , fait un petit angle 𝜃(𝑥, 𝑡) avec l’horizontale. On admettra 𝜃petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de pesanteur.

Equation des cordes vibrantes : On considère le tronçon de la corde compris entre l’abscisse 𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥.  

Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante. En déduire la célérité 𝑉 de l’onde en fonction de 𝜇 𝑒𝑡 𝐹.

Partie B : Analogie électrique : Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure comme suit :

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Page 57





Montrer que la cellule électrique représentée ci-dessus un circuit analogique d’un élément de corde vibrante de longueur 𝑑𝑥  Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique𝐿𝑖𝑛𝑑, de la capacité linéique𝐶𝑎𝑝, de l’intensité du courant 𝑖(𝑥, 𝑡) et de la tension électrique 𝑢(𝑥, 𝑡). Solutions : Partie A : L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante : 2 2 𝐹 𝜕 𝑦 𝐹𝜕 𝑦 ⃗ ∑ 𝐹 = 𝑑𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝐹 ⇒ 2 = avec 𝑉 = √ 𝜇 2

𝜕𝑥



𝜕𝑥

𝜇

Partie B : L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique : 𝜕𝑖

2

=

2

= −𝐶𝑎𝑝

𝜕𝑡

= −𝐿∗𝑖𝑛𝑑

𝜕𝑡

𝜕𝑥

2

𝜕 𝑖

∗ 𝜕𝑢

𝜕𝑥

∗ ∗ 𝜕 𝑖 𝐿𝑖𝑛𝑑𝐶𝑎𝑝 2

𝜕𝑡

⇒ 𝜕𝑢 𝜕𝑥



𝜕𝑖

L’équivalence mécanique-électricité : 𝜕2𝑖

𝜕2𝑖

𝜕𝑥

𝜕𝑡 2

= 𝐿∗ 𝐶∗ 𝑖𝑛𝑑 𝑎𝑝 2

𝜕2𝑦

⇔

𝜇 𝜕2𝑦 𝜕𝑥 2

=

𝐹 𝜕𝑡 2

Avec ∗

𝐿𝑖𝑛𝑑

⇔

𝐶∗ ⇔ 𝑎𝑝

1

𝐹

𝑖(𝑥, 𝑡) ⇔

𝜕𝑦

𝜕𝑡

Probléme4 : Deux cordes, de masses linéiques 𝜇1 et 𝜇2 sont attachées à la jonction 𝑂 pour former une longue corde tendue horizentalement suivant l’axe 𝑂𝑥 avec une force de tension d’intensité𝐹. On choisit l’abscisse 𝑥 = 0 à la jonction O des deux cordes. Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude 𝑎𝑖 et venant de la gauche ( 𝑟é𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑥 < 0) de la forme : 𝑦𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑎𝑖 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥) Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

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A la jonction 𝑂 il ya une onde réflichie dans la région 𝑥 < 0 et une onde transmise vers la région 𝑥 > 0. On définit 𝑘1 et 𝑘2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes dans la région 𝑥 < 0 et 𝑥 > 0 : 

Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux relations qui lient les amplitudes 𝑎 , 𝑎 , et le rapport𝑘1. 𝑎 𝑖



𝑡

𝑟

En déduire les coefficients de réflexion 𝑅 =

𝑎𝑟 𝑎𝑖

𝑘2

et de transmission 𝑇 =

𝑎𝑡 𝑎𝑖

pour

l’amplitude en fonction de 𝑘1 et 𝑘2 , puis en fonction de 𝜇1 et 𝜇2.Commenter. Application numérique : On attache en O un fil d’acier (1) vers le fil(2), les coefficient 𝑅 et 𝑇. Probléme4 : On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface 𝑆 d’une membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace plan 𝑂𝑥𝑦𝑧 et dont les axes sont 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧. soit un élément 𝑑𝑠 dont les cotes sont soumises a des tensions linéaires 𝑟 , comme le montre la figure :

 

Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une masse surfacique 𝜎. Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations des variables.

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA

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REFERENCES [1] P.HAMMAD, ≪ Vibrations et Ondes≫ , http://sites.google.com/site/exerev [2] H.LUMBROSO, ≪ Ondes Mécaniques et Sonores≫ , Edition DUNOD, ISBN 2-1000468-8,2000 [3] IAIN G.MAIN, ≪ Vibrations and Waves in physics ≫ , Edition CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 5-03-000128-X, 1993 [4] R. GABILLARD, ≪ Vibration et phénomène de propagation≫, Edition, 1972 DUNOD [5] M.BALKANSKI, C. SEBENE, ≪ Ondes et phénomènes vibratoires≫, Edition DUNOD, 1973 [𝟔] M.BALKANSKI, C. SEBENE, ≪ Ondes et phénomènes vibratoires≫, Edition DUNOD, 1973 [7] Pr DJELOUAH Hakim, « Vibrations et Ondes, Manuel de cours » cours en ligne, Faculté de Physique, USTHB, année 2006/2007. [8] Dr Fouad BOUKLI HACENE. Vibrations et Ondes Mécaniques. Université Hassiba BENBOUALI de CHLEF. Année Universitaire : 2012 /2013. [9] Jean Marc Richard, « Ondes et Vibrations », Laboratoire de Physique Subatomique et Cosmologie, http //lpsc.in2p3.fr/théorie/Richard, 2009.