Metodica Matematica [PDF]

Zitiervorschau

Metodica pred˘arii matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar Ioana Gabriela M˘arcut¸

Cuprins 1 Probleme generale ale pred˘ arii-ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 5 1.1 Metodica pred˘arii-ˆınv˘a¸t˘arii matematicii - obiect ¸si important¸˘a . . . 5 1.2 Specificul form˘arii not¸iunilor matematice ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar . 7 1.2.1 Dezvoltarea psihic˘a a ¸scolarului mic - stadiul operat¸iilor concrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Etape necesare ˆın formarea conceptelor matematice . . . . . 8 1.2.3 Ciclurile curriculare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Planul cadru ¸si programa de matematic˘a pentru ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar 11 1.3.1 Planul cadru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Schema orar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Programa ¸scolar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Proiectarea didactic˘ a 2.1 Planificarea calendaristic˘a . . . . . 2.2 Proiectarea unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare . . 2.3 Proiectul de lect¸ie . . . . . . . . . . 2.3.1 Tipuri ¸si variante de lect¸ii . 2.3.2 Etapele lect¸iei . . . . . . . . 2.3.3 Algoritmul proiect˘arii lect¸iei

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

15 15 17 19 20 20 22

3 Strategii didactice specifice ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii ˆın ciclul primar 37 3.1 Metode ¸si procedee pentru predarea-ˆınv˘a¸tarea matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Explicat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Demonstrat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Conversat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.4 Observat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.5 Problematizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.6 ˆInv˘a¸tarea prin descoperire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.7 Exercit¸iul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1

3.2

3.1.8 Algoritmizarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Jocul didactic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10 Cubul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.11 S¸tiu/ Vreau s˘a ¸stiu/ Am ˆınv˘a¸tat . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.12 Mozaicul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilizarea mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant ˆın lect¸iile de matematic˘a la clasele primare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Evaluarea randamentului ¸scolar la matematic˘ a 4.1 Tipuri de evaluare didactic˘a . . . . . . . . . . . 4.2 Criterii de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Important¸a rezultatelor ¸scolare . . . . . . . . . 4.4 Tehnici ¸si instrumente de evaluare . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

47 47 51 51 52

. 54

. . . .

5 Formarea conceptului de num˘ ar natural. Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor naturale la clasele primare 5.1 Elemente preg˘atitoare pentru predarea-ˆınv˘a¸tarea num˘arului natural 5.2 Predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor ˆın concentrul 0 - 10 . . . . . . . . . . 5.2.1 Etapele de predare-ˆınv˘a¸tare a unui num˘ar . . . . . . . . . . 5.3 Predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor naturale ˆın concentrul 0-100 . . . . . 5.3.1 Numerele naturale de la 0 la 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Numerele naturale pˆan˘a la 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor scrise cu trei sau mai multe cifre . . . 5.4.1 Not¸iunile de ordin ¸si clas˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Scrierea numerelor cu cifre romane . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 60 61 63 64

70 70 72 76 77 77 81 83 86 87

6 Predarea-ˆınv˘ a¸tarea operat¸iilor cu numere naturale ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 89 6.1 Formarea reprezent˘arilor despre operat¸ii la vˆarsta ¸scolar˘a mic˘a . . . 89 6.2 Adunarea ¸si sc˘aderea ˆın concentrul 0-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor pˆan˘a la 100, f˘ar˘a trecere peste ordin 94 6.3.1 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale ˆın concentrul 0-20 . 94 6.3.2 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale ˆın concentrul 0-30 . 95 6.3.3 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor pˆan˘a la 100 . . . . . . . . . 95 6.4 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor pˆan˘a la 100, cu trecere peste ordin 98 6.5 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale mai mari decˆat 100 . . . . 101 6.5.1 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale f˘ar˘a trecere peste ordin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5.2 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale cu trecere peste ordin103 6.5.3 Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor mai mari decˆat 1000 . . . . 104 6.6 Predarea-ˆınv˘a¸tarea operat¸iei de ˆınmult¸ire . . . . . . . . . . . . . . . 105 2

6.7

6.8

6.6.1 ˆInt¸elegerea sensului operat¸iei de ˆınmult¸ire . . . . . . . . . . 105 6.6.2 Predarea-ˆınv˘a¸tarea tablei ˆınmult¸irii . . . . . . . . . . . . . . 107 6.6.3 ˆInmult¸irea numerelor pˆan˘a la 1000 . . . . . . . . . . . . . . 108 Predarea-ˆınv˘a¸tarea operat¸iei de ˆımp˘art¸ire . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.7.1 Semnificat¸ia operat¸iei de ˆımp˘art¸ire . . . . . . . . . . . . . . 111 6.7.2 Predarea-ˆınv˘a¸tarea tablei ˆımp˘art¸irii . . . . . . . . . . . . . . 113 6.7.3 ˆImp˘art¸irea unui num˘ar mai mic ca 1000 la un num˘ar de o cifr˘a 114 Formarea deprinderilor de calcul mintal, oral ¸si ˆın scris . . . . . . . 115 6.8.1 Calculul mintal, calculul oral ¸si calculul ˆın scris . . . . . . . 115 6.8.2 Organizarea calculului mintal . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.8.3 Procedee de calcul mintal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Aspecte metodologice ale activit˘ a¸tii de rezolvare de probleme 7.1 Not¸iunea de problem˘a ¸si de rezolvare de problem˘a . . . . . . . . . 7.2 Aspecte metodice ale rezolv˘arii problemelor simple . . . . . . . . 7.3 Rezolvarea problemelor compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Etapele rezolv˘arii problemelor compuse . . . . . . . . . . . 7.3.2 Activitatea de compunere de probleme . . . . . . . . . . . 7.4 Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic˘a . . . . . . . . . . 7.4.1 Metoda figurativ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Metoda aducerii la acela¸si termen de comparat¸ie . . . . . . 7.4.3 Metoda falsei ipoteze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Metoda mersului invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Probleme de organizarea ¸si prelucrarea datelor . . . . . . . 7.4.6 Probleme de logic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.7 Probleme care se rezolv˘a prin ˆıncerc˘ari . . . . . . . . . . . 7.4.8 Probleme de estim˘ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.9 Probleme de probabilit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 . 122 . 126 . 129 . 130 . 134 . 136 . 136 . 140 . 141 . 143 . 144 . 145 . 146 . 148 . 150

8 Metodologia pred˘ arii-ˆınv˘ a¸t˘ arii numerelor rat¸ionale 8.1 Elemente preg˘atitoare pentru introducerea not¸iunii de fract¸ie 8.2 Predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor rat¸ionale la clasa a IV-a . . . 8.3 Compararea fract¸iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Adunarea ¸si sc˘aderea fract¸iilor cu acela¸si numitor . . . . . . 8.5 Aflarea unei fract¸ii dintr-un ˆıntreg . . . . . . . . . . . . . . .

151 . 151 . 152 . 154 . 155 . 156

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 Aspecte metodice privind predarea-ˆınv˘ a¸tarea m˘ arimilor, m˘ asur˘ arii acestora ¸si unit˘ a¸tilor de m˘ asur˘ a 158 9.1 Procesul de formare a reprezent˘arilor despre m˘arimi ¸si m˘asur˘a ˆın clasele primare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.2 M˘arimi ¸si m˘asurarea m˘arimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3

9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5

M˘asurarea lungimii . . . . . . . . . . M˘asurarea capacit˘a¸tii vaselor . . . . M˘asurarea masei corpurilor . . . . . M˘asurarea timpului . . . . . . . . . . Valoarea. Unit˘a¸ti de m˘asur˘a a valorii

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

162 163 163 164 165

10 Predarea-ˆınv˘ a¸tarea elementelor de geometrie ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 166 10.1 Specificul form˘arii not¸iunilor geometrice . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.2 Cerint¸e metodice ˆın predarea elementelor de geometrie . . . . . . . 168 10.3 Metode ¸si procedee ˆın predarea-ˆınv˘a¸tarea not¸iunilor de geometrie . 170

4

Capitolul 1 Probleme generale ale pred˘ arii-ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 1.1

Metodica pred˘ arii-ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii - obiect ¸si important¸˘ a

ˆInv˘a¸t˘amˆantul actual este centrat pe elev, acesta este subiectul educat¸iei. Rolul profesorului este de a face ca elevul s˘a fie interesat de cunoa¸stere ¸si s˘a-¸si ˆınsu¸seasc˘a prin efort propriu competent¸ele necesare fiec˘arei etape a dezvolt˘arii sale. Elevul trebuie permanent ˆıncurajat s˘a-¸si exprime punctul de vedere, s˘a-¸si argumenteze ideile, s˘a accepte ideile colegilor, s˘a coopereze cu ace¸stia pentru rezolvarea sarcinilor. Profesorul coordoneaz˘a ˆınv˘a¸tarea, ajutˆand elevii s˘a descopere ¸si s˘a ˆınt¸eleag˘a noile cont¸inuturi, fiind partenerul lor ˆın activitatea didactic˘a. Aceste idei nu sunt noi ˆın ˆınv˘a¸t˘area matematicii, dup˘a cum o dovedesc cele afirmate de Eugen Rusu ˆın Psihologia activit˘ a¸tii matematice, ap˘arut˘a ˆın 1969: ”Dac˘a elevul ar fi stimulat nu numai s˘a ˆınvet¸e teoreme sau s˘a fac˘a probleme, ci ¸si s˘a reflecteze asupra modului cum a gˆandit, asupra obiectului matematicii ˆın ansamblul ei, asupra esent¸ei activit˘a¸tii umane prin care se face matematica munca lui ar fi probabil mai fructuoas˘a. Interesant ar fi, credem, un experiment ˆın cadrul c˘aruia la o clas˘a s-ar ”r˘api” o parte din timp de la activitatea matematic˘a propriu-zis˘a - de la ˆınc˘a un exercit¸iu de algebr˘a sau ˆınc˘a o problem˘a de geometrie - pentru a o acorda comentariului, filosofic ¸si psihologic, asupra problemelor - mai put¸ine - f˘acute. Timpul astfel ”pierdut” pe seama cantit˘a¸tii nu ar ˆınsemna oare c˘a e pozitiv folosit, ˆın privint¸a calit˘a¸tii?” Matematica este ¸stiint¸a care opereaz˘a numai cu concepte abstracte. De aceea majoritatea o consider˘a greu accesibil˘a. A apropia copilul de matematic˘a, a-i trezi 5

interesul pentru aceast˘a disciplin˘a, presupune din partea profesorului atˆat o foarte bun˘a cunoa¸stere a cont¸inutului ¸stiint¸ific, a psihologiei copilului ¸si nu ˆın ultimul rˆand st˘apˆanirea strategiilor didactice pe care trebuie s˘a le foloseasc˘a ˆın activit˘a¸tile la clas˘a. De aceea studiul didacticii ˆın general ¸si a didacticii matematicii este absolut indispensabil preg˘atirii profesorului pentru activitatea sa. Cu cˆat vˆarsta elevilor este mai mic˘a, cu atˆat mai dificil˘a este predarea-ˆınv˘a¸tarea matematicii. Metodica pred˘arii matematicii aprt¸ine familiei ”didacticilor speciale”. Didactica matematicii nu se identific˘a cu metodica pred˘arii matematicii. Didactica matematicii se ocup˘a de specificul procesului de ˆınv˘a¸tare la matematic˘a, f˘ar˘a s˘a ajung˘a la organizarea ¸si desf˘a¸surarea explicit˘a a situat¸iilor de ˆınv˘a¸tare. Metodica pred˘arii matematicii reprezint˘a o aplicare, ˆın condit¸iile specifice situat¸iilor de ˆınv˘a¸tare din clas˘a, a caracteristicilor procesului de ˆınv˘a¸tare la matematic˘a [18]. Obiectul de studiu al didacticii ˆıl constituie procesul de ˆınv˘a¸t˘amˆant, definit ca ansamblul activit˘a¸tilor organizate, dirijate ¸si evaluate ˆın cadrul unor institut¸ii specializate, sub ˆındrumarea unor persoane preg˘atite ˆın acest scop, ˆın vederea ˆındeplinirii unor obiective instructiv-educative. Cadrul institut¸ional de desf˘a¸surare a procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant ˆıl reprezint˘a sistemul de ˆınv˘a¸t˘amˆant, ˆınt¸eles ca totalitatea institut¸iilor de ˆınv˘a¸t˘amˆant, ˆın care se desf˘a¸soar˘a activit˘a¸ti instructiveducative [7]. Didactica matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar are ca obiect studierea legit˘a¸tilor procesului studierii matematicii ˆın clasele I-IV, cu toate implicat¸iile informative ¸si formative ale acestei activit˘a¸ti. Considerˆand ¸si metodica pred˘arii matematicii la clasele primare, ca aplicarea didacticii ˆın condit¸iile specifice situat¸iilor de ˆınv˘a¸tare, se pot defini cele trei valent¸e ale acesteia [14]: • teoretic˘a, de fundamentare prin cercetare ¸si explicare logic-¸stiint¸ific˘a ¸si didactic˘a a procesului ˆınv˘a¸t˘arii matematicii; • practic˘a-aplicativ˘a, de fundamentare a bazelor elabor˘arii normelor privind organizarea ¸si managementul activit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare a matematicii; • de dezvoltare, creare ¸si ameliorare continu˘ a a demersurilor ¸si solut¸iilor metodice specifice acestei activit˘a¸ti, ˆın condit¸iile obt¸inerii unei eficient¸e sporite. Pe baza cunoa¸sterii celor doi factori principali, matematica ¸si copilul, metodica pred˘ arii ˆınv˘a¸t˘arii matematicii analizeaz˘ a ˆın spiritul logicii ¸stiint¸elor moderne obiectivele, cont¸inuturile, strategiile didactice, mijloacele de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant folosite, formele de activitate ¸si de organizare a elevilor, modalit˘ a¸tile de evaluare a progresului ¸scolar, bazele cultiv˘arii unor repertorii motivat¸ionale favorabile ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii. Ofer˘a alternative teoretico-metodologice, norme ¸si modele de activit˘a¸ti care asigur˘a optimizarea ˆınv˘a¸t˘amˆantului matematic ˆın clasele I-IV [14].

6

Cunscˆand bine proiectarea didactic˘a, integrarea resurselor ˆın activitatea la clas˘a ¸si evaluarea rezultatelor ¸si a progreselor elevilor prin raportarea la obiectivele propuse, profesorul nu este un simplu preactician care aplica ret¸ete metodice, ci un investigator care studiaz˘a atent fenomenele, aplic˘a cu competent¸˘a valorile ¸stiint¸ei convertit˘a ˆın disciplin˘a ¸scolar˘a, ˆı¸si perfect¸ioneaz˘a continuu propria activitate, contribuind la ridicarea calit˘a¸tii ˆınv˘a¸t˘amˆantului.

1.2 1.2.1

Specificul form˘ arii not¸iunilor matematice ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar Dezvoltarea psihic˘ a a ¸scolarului mic - stadiul operat¸iilor concrete

Evolut¸ia intelectual˘a a copilului se realizeaz˘a pe paliere succesive, fiecare etap˘a fiind caracterizat˘a printr-o organizare specific˘a. Piaget descrie aceste stadii astfel [20]: dup˘a dezvoltarea inteligent¸ei psihomotorii ¸si apoi a gˆandirii preconceptuale, se dezvolt˘a ˆıntre 4-7 ani gˆandirea intuitiv˘a. Ea pare ca o gˆandire ˆın imagini care se serve¸ste de configurat¸ia de ansamblu a lucrurilor percepute pentru a r˘aspunde problemelor puse. Coordonarea informat¸iilor se supune unor rudimente de logic˘a, dar este o coordonare instabil˘a, incomplet˘a, pe care informat¸iile perceptive imediate o pot u¸sor dezorganiza. ˆIntre 7-12 ani, copilul este ˆın perioada operat¸iilor concrete. El ajunge la o coordonare mobil˘a ¸si reversibil˘a a activit˘a¸tii mintale, dar care funct¸ioneaz˘a numai ˆın raport cu realitatea concret˘a a lucrurilor. Copilul ajunge s˘a ˆınt¸eleag˘a conservarea cantit˘a¸tii de substant¸˘a, a masei ¸si volumului, cu toate modific˘arile aparente. Dup˘a 7-8 ani, copilul ˆıncepe s˘a ˆınt¸eleag˘a relat¸iile spat¸iale ¸si temporale dintrun punct de vedere obiectiv, prin coordonarea punctelor de vedere posibile. El ajunge treptat s˘a poat˘a opera cu conceptul de m˘asur˘a, ˆıntrucˆat devine posibil˘a sinteza operatorie ˆıntre deplasarea unui etalon ˆınt¸eles ca fiind constant ¸si partit¸ia obiectului de m˘asurat. Stadiul operat¸iilor concrete corespunde cu posibilitatea incluziunii ierarhice a claselor, cu posibilitatea de a seria, de a ordona lucrurile dup˘a un criteriu dat. Sinteza dintre clasificare ¸si ordonare, care st˘a la baza conceptului de num˘ar, devine astfel posibil˘a. Principalele caracteristici ale dezvolt˘arii cognitive specifice acestui stadiu sunt [14]: • gˆandirea este dominat˘a de concret • percept¸ia lucrurilor r˘amˆane ˆınc˘a global˘a, v˘azul se opre¸ste asupra ˆıntregului 7

nedescompus; lipse¸ste dubla mi¸scare rapid˘a disociere-recompunere; comparat¸ia reu¸se¸ste pe contraste mari, nu sunt sesizate st˘arile intermediare; • domin˘a operat¸iile concrete, legate de act¸iuni obiectuale; • apare ideea de invariant¸˘a, conservare; • apare reversibilitatea sub forma inversiunii ¸si compens˘arii; • puterea de deduct¸ie este legat˘a de obiecte, nu dep˘a¸se¸ste concretul imediat decˆat din aproape ˆın aproape, extinderi limitate, asociat¸ii locale; • intelectul are o singur˘a pist˘a; nu ˆıntrevede alternative posibile; • este prezent rat¸ionamentul progresiv, de la cauz˘a spre efect, de la condit¸ii spre consecint¸e. Spre clasa a IV-a se pot ˆıntˆalni, diferent¸iat ¸si individualizat, manifest˘ari ale stadiului preformal, simultan cu ment¸inerea unor manifest˘ari intelectuale situate la nivelul operat¸iilor concrete.

1.2.2

Etape necesare ˆın formarea conceptelor matematice

Caracteristicile stadiului operat¸iilor concrete implic˘a o metodologie adecvat˘a pentru formarea conceptelor matematice, noile not¸iuni ¸si operat¸ii mintale se formeaz˘a pornind de la modele concrete. ˆInainte de a se aplica propozit¸iilor, enunt¸urilor verbale, logica not¸ional˘a se organizeaz˘a ˆın planul act¸iunilor obiectuale, al operat¸iilor concrete. Z.P. Dienes afirm˘a c˘a ˆın formarea unui concept matematic la aceast˘a vˆarst˘a, este necesar˘a parcurgerea a ¸sase stadii [8]: • jocurile libere, ˆın care copilul caut˘a pe bˆajbˆaite, f˘ar˘a reguli precise, prin procedeul ˆıncercare-eroare; • jocurile organizate, cu reguli bine stabilite; • c˘autarea altor jocuri diferite, dar cu aceea¸si structur˘a, adic˘a g˘asirea de izomorfisme; • reprezentarea - propriet˘a¸tile care nu sunt importante pentru ceea ce se urm˘are¸ste ale diferitelor jocuri precedente se elimin˘a ¸si se obt¸ine reprezentarea not¸iunii; • simbolizarea - se utilizeaz˘a limbajul simbolic; • formalizarea - apare procesul abstract. 8

Formarea not¸iunilor matematice se realizeaz˘a prin ridicarea treptat˘a c˘atre general ¸si abstract, la niveluri succesive, unde relat¸ia dintre concret ¸si logic se modific˘a ˆın direct¸ia esent¸ializ˘arii realit˘a¸tii. ˆIn acest proces trebuie valorificate diverse surse intuitive: experient¸a copiilor, realitatea ˆınconjur˘atoare, operarea cu mult¸imi concrete de obiecte, limbajul grafic. De exemplu, pentru not¸iunile de mult¸ime, apartenent¸˘a, incluziune, reuniune, intersect¸ie, etc. se pot utiliza obiecte reale, cunoscute de elevi. Copiii intuiesc ˆınsu¸sirea caracteristic˘a a obictelor care formeaz˘a mult¸imea respectiv˘a. ˆIn etapa urm˘atoare se pot utiliza plan¸se, ilustrat¸ii din carte, desene. Piaget afirm˘a c˘a nu obiectele ˆın sine poart˘a principiile matematice, ci operat¸iile cu mult¸imi concrete. De aceea, operat¸iile logice trebuie efectuate mai ˆıntˆai prin act¸iuni concrete cu obiectele ¸si apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gˆandirii. ˆIn etapa urm˘atoare elevul opereaz˘a cu material didactic special confect¸ionat: bet¸i¸soare, bile, riglete. Trusa Dienes este un material didactic special gˆandit pentru formarea mult¸imilor, operarea cu acestea, stabilirea relat¸iilor dintre mult¸imi. Operˆand cu piesele jocurilor logice, copiii opereaz˘a de fapt cu structuri logice. Reprezent˘arile grafice fac leg˘atura dintre concret ¸si logic, ˆıntre reprezentare ¸si concept. Interact¸iunea dintre cele dou˘a niveluri este mijlocit˘a de format¸iuni mixte de tipul conceptelor figurale, al imaginilor esent¸ializate sau schematizate. Imaginile mintale, ca modele part¸ial generalizate ¸si ret¸inute ˆın gˆandire ˆıntr-o form˘a figurativ˘a, de simbol sau abstract˘a, ˆıl apropie pe copil de logica operat¸iei intelectuale cu obiectele, procesele ¸si evenimentele realit˘a¸tii, devenind astfel sursa principal˘a a activit˘a¸tii gˆandirii ¸si imaginat¸iei. Operat¸ia de generalizare are loc atunci cˆand elevul este capabil s˘a exprime prin semne grafice simple ideea general˘a care se desprinde ˆın urma operat¸iilor efectuate cu mult¸imi concrete de obiecte. Elevul exprim˘a grafic fenomenul matematic pe baza ˆınt¸elegerii lui, a sesiz˘arii esent¸ialului, adic˘a a definit¸iei. Nivelurile de construct¸ie a conceptelor matematice nu se succed liniar, ˆın fiecare stadiu existˆand o ˆımbinare ˆıntre concret, imagine, senzorial ¸si logic. De aceea, nu se impune o parcurgere rigid˘a acestor etape, ci o organizare rat¸ional˘a, metodic˘a a relat¸iei intuitiv-logic, adecvat˘a form˘arii conceptului respectiv, ˆın strˆans˘a conexiune cu condit¸iile concrete ˆın care se desf˘a¸soar˘a activitatea didactic˘a. Limbajul matematic se introduce la ˆınceput cu dificultate. Trebuie asigurat˘a mai ˆıntˆai ˆınt¸elegerea not¸iunii respective, sesizarea esent¸ei ˆıntr-un limbaj cunoscut de copii, accesibil, iar ulterior pe m˘asur˘a ce elevul avanseaz˘a ˆın interpretarea corect˘a a not¸iunilor matematice se introduce ¸si limbajul riguros ¸stiint¸ific. Important este ca introducerea oric˘arei not¸iuni matematice s˘a cuprind˘a acele elemente pentru care exist˘a posibilitatea real˘a a ˆınt¸elegerii de c˘atre elevi ¸si care permit dezvoltarea ulterioar˘a corect˘a.

9

1.2.3

Ciclurile curriculare

Finalit˘a¸tile studierii disciplinei Matematic˘a ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar vizeaz˘a formarea, pentru tot¸i copiii a competent¸elor aritmetice de baz˘a. Toate aceste finalit˘a¸ti sunt determinante pentru formularea obiectivelor educat¸ionale la nivelul ciclurilor curriculare. Ciclurile curriculare reprezint˘a periodiz˘ari ale ¸scolarit˘a¸tii care grupeaz˘a mai mult¸i ani de studiu ¸si care au, la nivelul fiec˘arei discipline, obiective generale comune. Aceste periodiz˘ari ale ¸scolarit˘a¸tii se suprapun peste structura formal˘a a sistemului de ˆınv˘a¸t˘amˆant, cu scopul de a focaliza ˆınv˘a¸tarea asupra obiectivului major al fiec˘arei etape ¸scolare ¸si de a regla procesul de ˆınv˘a¸t˘amˆant prin intervent¸ii de natur˘a curricular˘a. Periodizarea ¸scolarit˘a¸tii pe cicluri curriculare a stat la baza gener˘arii planurilor de ˆınv˘a¸t˘amˆant, programelor ¸si manualelor ¸scolare pentru fiecare ciclu de ˆınv˘a¸t˘amˆant. La nivel operat¸ional, ciclurile curriculare au impus modific˘ari ale metodologiei de predare a disciplinelor ¸scolare ¸si a solicitat regˆandirea strategiilor didactice prin adaptarea acestora la obiectivele curriculare ¸si la nivelul de vˆarst˘a al elevilor. Pentru fiecare disciplin˘a din interiorul unui ciclu curricular, este dat prin programa ¸scolar˘a un set coerent de obiective de ˆınv˘a¸tare care descriu capacit˘a¸tile pe care trebuie s˘a le dobˆandeasc˘a elevii pentru fiecare dintre etapele de ¸scolarizare. Obiectivele ciclurilor confer˘a diferitelor etape ale ¸scolarit˘a¸tii o serie de dominante care se reflect˘a ˆın structura programelor ¸scolare. Astfel, structurarea sistemului de ˆınv˘a¸t˘amˆant pe cicluri curriculare contribuie la: • continuitate la trecerea de la o treapt˘a de ¸scolaritate la alta (ˆınv˘a¸t˘amˆant pre-primar - ˆınv˘a¸t˘amˆant primar, ˆınv˘a¸t˘amˆant primar - gimnaziu, gimnaziu liceu); • continuitate la nivel metodic prin transfer de metode de la un ciclu la altul; • stabilirea de conexiuni intra ¸si interdisciplinare explicite la nivelul curriculumului prin intermediul ansamblului de obiective generale; • construirea unei structuri a sistemului de ˆınv˘a¸t˘amˆant mai bine corelat˘a cu vˆarsta psihologic˘a a elevilor. Ciclul achizit¸iilor fundamentale cuprinde grupa preg˘atitoare a gr˘adinit¸ei ¸si clasele I ¸si a II-a ¸si are ca obiectiv major acomodarea la cerint¸ele sistemului ¸scolar ¸si alfabetizarea init¸ial˘a. Ciclul de dezvoltare cuprinde clasele de la a III-a la a VI-a ¸si are ca obiectiv major formarea capacit˘a¸tilor de baz˘ a necesare pentru continuarea studiilor. Ciclul de observare ¸si orientare cuprinde perioada claselor a VII-a pˆan˘a la a IX-a ¸si are ca obiectiv major orientarea ˆın vederea optimiz˘ arii opt¸iunii ¸scolare ¸si profesionale ulterioare. 10

1.3

Planul cadru ¸si programa de matematic˘ a pentru ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar

Ministerul elaboreaz˘a documentele reglatoare ˆın privint¸a pred˘arii-ˆınv˘a¸t˘arii matematicii pentru toate nivelurile ˆınv˘a¸t˘amˆantului preuniversitar. Acestea sunt planul cadru ¸si programa ¸scolar˘a.

1.3.1

Planul cadru

Planul cadru structureaz˘a resursele de timp ale procesului educat¸ional ¸si cuprinde disciplinele de studiu ¸si num˘arul de ore afectat unor activit˘a¸ti obligatorii pentru tot¸i elevii cu scopul asigur˘arii egalit˘a¸tii de ¸sanse. Planul cadru descrie modalitatea de organizare a timpului ¸scolar sub forma unor repere orare s˘apt˘amˆanale, num˘ar minim ¸si num˘ar maxim de ore, alocate pentru fiecare arie curricular˘a ¸si fiecare disciplin˘a ¸scolar˘a ale fiec˘arui an de studiu. Ariile curriculare reprezint˘a o categorie fundamental˘a a Curriculumului Nat¸ional ¸si grupeaz˘a diferite discipline ¸scolare ˆın funct¸ie de dominantele lor educat¸ionale. Matematica este disciplin˘a din aria curricular˘a Matematic˘ a ¸si S ¸ tiint¸e ale naturii, care mai cuprinde pentru ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar ¸si disciplina S¸tiint¸e ale naturii. Pentru ˆınv˘a¸t˘amˆantul obligatoriu, aceast˘a arie curricular˘a se focalizeaz˘a pe: • formarea capacit˘a¸tii de a construi ¸si interpreta modele ¸si reprezent˘ari adecvate ale realit˘a¸tii; • interiorizarea unei imagini dinamice asupra ¸stiint¸ei ˆınt¸eleas˘a ca activitate uman˘a ˆın care ideile ¸stiint¸ifice se schimb˘a ˆın timp ¸si sunt afectate de contextul social ¸si cultural ˆın care se dezvolt˘a, construirea de ipoteze ¸si verificarea lor prin explorare ¸si experimentare. Disciplinele ¸si reperele de timp obligatorii cont¸inute ˆın planul cadru constituie curriculumul nucleu. Pentru matematic˘a, la clasele I-IV, sunt prev˘azute 3-4 ore pe s˘apt˘amˆan˘a. Diferent¸ierea parcursului ¸scolar ˆın funct¸ie de interesele, aptitudinile ¸si nevoile elevilor reprezint˘a o oportunitate educat¸ional˘a dat˘a de existent¸a ˆın planul cadru a unui anumit num˘ar de ore alocat disciplinelor opt¸ionale sub numele de curriculum opt¸ional. Pentru clasele I-II acest num˘ar de ore este 1-3, iar pentru clasele III-IV, 1-4 ore.

1.3.2

Schema orar˘ a

Modul de ˆımbinare a disciplinelor obligatorii cu cele opt¸ionale pentru fiecare clas˘a ¸si an de studiu constituie schema orar˘ a. Aceast˘a schem˘a orar˘a este realizat˘a de pro11

fesor ¸si adoptat˘a de ¸scoal˘a pentru fiecare clas˘a a ciclului primar ˆın funct¸ie de structura colectivului de elevi ¸si trebuie s˘a se ˆıncadreze ˆıntre num˘arul minim ¸si num˘arul maxim de ore pe s˘apt˘amˆan˘a. Orele introduse ˆın schema orar˘a peste num˘arul minim de ore prev˘azute ˆın trunchiul comun constituie curriculum la decizia ¸scolii (CDS). ˆIn funct¸ie de nevoile ¸si aptitudinile elevilor se pot adopta urm˘atoarele tipuri de curriculum la decizia ¸scolii: • curriculum de aprofundare reprezint˘a acea form˘a de CDS care prime¸ste alocare de timp din plaja orar˘a ¸si are ca efect parcurgerea programei ¸scolare ˆın mai multe ore decˆat cele prev˘azute prin planul cadru. Acest tip de curriculum este propus elevilor care, ˆın anii ¸scolari anteriori, nu au reu¸sit s˘a dobˆandeasc˘a achizit¸iile minime prev˘azute de programa ¸scolar˘a de matematic˘a ¸si au nevoie de recuperare, adic˘a vor parcurge programa ¸scolar˘a de trunchi comun ˆıntr-un num˘ar mai mare de ore. Aceste ore nu necesit˘a rubric˘a special˘a ˆın catalog; • curriculum de extindere reprezint˘a acea form˘a de CDS care prime¸ste alocare de timp din plaja orar˘a ¸si are ca efect parcurgerea programei de matematic˘a inclusiv cu elementele marcate cu asterisc. Acest tip de curriculum este propus elevilor care au deschidere ¸si interes pentru studiul matematicii ¸si care vor parcurge programa ¸scolar˘a integral. Calificativele se trec ˆın catalog tot ˆın rubrica disciplinei matematic˘a; • curriculum opt¸ional la nivelul disciplinei reprezint˘a acea form˘a de CDS care prime¸ste alocare de timp din curriculum la decizia ¸scolii, are ca efect aparit¸ia unor discipline din afara listei de discipline a planului cadru. Un opt¸ional la nivelul disciplinei poate fi, de exemplu, Matematica distractiv˘ a. Programa acestei discipline este realizat˘a profesor ¸si poate fi propus˘a pentru 1-2 ani. Noua disciplin˘a va avea rubric˘a special˘a ˆın catalog; • curriculum opt¸ional la nivelul ariei curriculare reprezint˘a acea form˘a de CDS care prime¸ste alocare de timp din curriculum la decizia ¸scolii ¸si are rol integrativ la nivelul ariei. Elaborarea programei ¸scolare pentru o disciplin˘a opt¸ional˘a este sarcina profesorului.

1.3.3

Programa ¸scolar˘ a

Conform Curriculumului Nat¸ional, studiul matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul obligatoriu ˆı¸si propune s˘a asigure pentru tot¸i elevii formarea competent¸elor de baz˘a privind operarea cu numere ¸si rezolvarea de probleme implicˆand calculul aritmetic. Programa ¸scolar˘a pentru Matematic˘a descrie oferta educat¸ional˘a a disciplinei pe ani de studiu, pentru fiecare ciclu. Programa cont¸ine o not˘a de prezentare, 12

obiective-cadru, obiective de referint¸˘a, exemple de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare, cont¸inuturi ale ˆınv˘a¸t˘arii ¸si standardele curriculare de performant¸˘a la finalul clasei a IV-a. Nota de prezentare descrie parcursul disciplinei Matematic˘a, argumenteaz˘a structura didactic˘a adoptat˘a, sintetizeaz˘a o serie de recomand˘ari semnificative ale autorilor programei. ˆIn notele de prezentare ale fiec˘arei programe sunt prezentate explicit dominantele curriculumului la disciplina Matematic˘a. Pentru ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, acestea deriv˘a din obiectivele ariei curriculare Matematic˘a ¸si S¸tiint¸e ale naturii: • construirea unei variet˘a¸ti de contexte problematice, ˆın m˘asur˘a s˘a genereze deschideri c˘atre domeniul matematicii; • folosirea de strategii diferite ˆın rezolvarea de probleme; • organizarea unor activit˘a¸ti variate de ˆınv˘a¸tare pentru elevi, ˆın grup ¸si individual, ˆın funct¸ie de nivelul ¸si de ritmul propriu de dezvoltare al fiec˘aruia; • construirea unor secvent¸e de ˆınv˘a¸tare care s˘a permit˘a activit˘a¸ti de explorare/investigare la nivelul not¸iunilor de baz˘a studiate. Obiectivele cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate ¸si complexitate. Ele se refer˘a la formarea unor capacit˘a¸ti ¸si atitudini specifice disciplinei ¸si sunt urm˘arite de-a lungul mai multor ani de studiu. Programele de matematic˘a pentru ciclul primar propun o dezvoltare progresiv˘a a not¸iunilor matematice de baz˘a ¸si impun schimbarea accentului de la predarea de informat¸ii pe formarea de capacit˘a¸ti, deprinderi ¸si atitudini. ˆIn ciclul achizit¸iilor fundamentale, obiectivele cadru pentru disciplina Matematic˘a sunt urm˘atoarele: 1. Cunoa¸sterea ¸si utilizarea conceptelor specifice matematice 2. Dezvoltarea capacit˘a¸tii de explorare/investigare ¸si rezolvare de probleme 3. Formarea ¸si dezvoltarea capacit˘a¸tii de a comunica utilizˆand limbajul matematic 4. Dezvoltarea interesului ¸si a motivat¸iei pentru studiul ¸si aplicarea matematicii ˆın contexte variate ˆIn ciclul de dezvoltare, obiective cadru se formuleaz˘a astfel: 1. Cunoa¸sterea ¸si ˆınt¸elegerea conceptelor, a terminologiei ¸si a procedurilor de calcul specifice matematicii 2. Dezvoltarea capacit˘a¸tii de explorare/investigare ¸si rezolvare de probleme 13

3. Dezvoltarea capacit˘a¸tii de a comunica utilizˆand limbajul matematic 4. Dezvoltarea interesului ¸si a motivat¸iei pentru studiul ¸si aplicarea matematicii ˆın contexte variate Cele patru obiective cadru din fiecare ciclu acoper˘a atˆat domeniul cognitiv cunoa¸sterea ¸si utilizarea conceptelor matematice - cˆat ¸si domeniul operat¸ional ¸si atitudinal. Dup˘a parcurgerea programei de matematic˘a dintr-un ciclu curricular, elevii trebuie s˘a fie capabili s˘a utilizeze capacit˘a¸ti de explorare ¸si investigare pentru cunoa¸sterea obiectelor matematice cu care opereaz˘a, s˘a comunice demersurile investigative ˆıntreprinse ¸si acest tip de abordare a ˆınv˘a¸t˘arii s˘a le dezvolte interesul ¸si motivat¸ia pentru studiul matematicii. Obiectivele de referint¸˘a specific˘a rezultatele a¸steptate ale ˆınv˘a¸t˘arii ¸si urm˘aresc progresul ˆın achizit¸ia de capacit˘a¸ti ¸si de cuno¸stint¸e matematice de la un an de studiu la altul. Pentru ˆınv˘a¸tarea matematicii, obiectivele cadru ¸si obiectivele de referint¸˘a cont¸inute ˆın program˘a sunt ˆın acord cu obiectivele curriculare ¸si aceste obiective au rolul de a descrie acest domeniu de cunoa¸stere modelat prin intermediul didacticii: • ofer˘a imaginea dezvolt˘arii progresive ˆın achizit¸ia de capacit˘a¸ti ˆın ˆınv˘a¸tarea matematicii, de la un an de studiu la altul; • creeaz˘a premisele pentru centrarea actului didctic pe aspectele formative ale ˆınv˘a¸t˘arii; • ofer˘a o hart˘a a evolut¸iei capacit˘a¸tilor elevului pe parcursul anilor de studiu. Exemplele de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare propun modalit˘a¸ti de organizare a activit˘a¸tii ˆın clas˘a. Pentru fiecare obiectiv de referint¸˘a, programa cont¸ine ¸si astfel de exemple. Exemplele de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare sunt construite astfel ˆıncˆat s˘a valorifice experient¸a concret˘a a elevului ¸si permit integrarea unor strategii didactice adecvate ˆın contexte variate de ˆınv˘a¸tare. Cont¸inuturile sunt mijloace prin care se urm˘are¸ste atingerea obiectivelor cadru ¸si de referint¸˘a. Cont¸inuturile sunt organizate tematic. Standardele curriculare de performant¸˘a reprezint˘a un sistem de referint¸˘a comun ¸si echivalent la sfˆar¸situl unei trepte de ¸scolaritate care permite evident¸ierea progresului realizat de elevi de la o treapt˘a de ¸scolaritate la alta. Standardele sunt criteriile de evaluare a calit˘a¸tii procesului de ˆınv˘a¸tare ce vizeaz˘a cuno¸stint¸ele, capacit˘a¸tile ¸si comportamentele stabilite prin curriculum. Standardele sunt exprimate sintetic, ˆın acord cu programele ¸scolare ale ciclului de ˆınv˘a¸t˘amˆant ¸si reprezint˘a baza de plecare pentru elaborarea descriptorilor de performant¸˘a ¸si a criteriilor de atribuire de calificative. Ele descriu performant¸ele pe care trebuie s˘a le manifeste elevul la finalul unui ciclu. 14

Capitolul 2 Proiectarea didactic˘ a Realizarea demersului didactic propus prin curriculum nucleu la disciplina Matematic˘a necesit˘a realizarea unei proiect˘ari pe termen mediu concretizat˘a ˆın planificare calendaristic˘a ¸si o proiectare secvent¸ial˘a, pe termen scurt, prin proiectarea unit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare. Proiectarea demersului didactic reprezint˘a activitatea desf˘a¸surat˘a de profesor care const˘a ˆın anticiparea etapelor ¸si a act¸iunilor concrete de realizare a pred˘arii. Predarea este activitatea de organizare ¸si conducere a ofertelor de ˆınv˘a¸tare care au drept scop familiarizarea ¸si stimularea ˆınv˘a¸t˘arii eficiente la elevi. Proiectarea didactic˘a este o condit¸ie de baz˘a a optimiz˘arii activit˘a¸tii didactice ¸si presupune urm˘atoarele etape [2]: 1. Lectura personalizat˘a a programelor ¸scolare pentru matematic˘a; 2. Planificarea calendaristic˘a; 3. Proiectarea unit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare; 4. Proiectarea lect¸iilor. ˆIntrucˆat programele ¸scolare actuale sunt centrate pe obiective, ele nu mai asociaz˘a cont¸inuturilor o alocare temporal˘a ¸si nici o anumit˘a succesiune, rolul profesorului fiind mult mai important.

2.1

Planificarea calendaristic˘ a

Planificarea calendaristic˘a este un document administrativ realizat de profesor, care asociaz˘a, ˆıntr-un mod personalizat, elemente ale programei cu alocarea de timp considerat˘a optim˘a de c˘atre profesor, pe parcursul unui an ¸scolar. ˆIn elaborarea planific˘arii calendaristice se recomand˘a parcurgerea urm˘atoarelor etape [10]: 15

1. Realizarea asocierii dintre obiectivele de referint¸˘a ¸si cont¸inuturi; 2. ˆImp˘art¸irea ˆın unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare; 3. Stabilirea succesiunii de parcurgere a unit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare; 4. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare unitate de ˆınv˘a¸tare, ˆın concordant¸˘a cu obiectivele de referint¸˘a ¸si cont¸inuturile vizate. Structura planific˘arii calendaristice este urm˘atoarea: S¸coala ................................. Profesor .............................. Clasa .......................................... Disciplina ................................... Tip de curriculum ...................... Nr. ore / s˘apt˘amˆan˘a .................. Anul ¸scolar ................................. Nr. Unitatea de crt. ˆınv˘a¸tare

Obiective de Cont¸inuturi Num˘ar de referint¸˘a ore alocate

S˘apt˘amˆana

Observat¸ii

Tabela 2.1: Planificarea calendaristic˘a

Completarea tabelului: • Unit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare se indic˘a prin titluri (teme) stabilite de profesor; • Obiectivele de referint¸˘a se trec cu num˘arul lor din program˘a; • Cont¸inuturile selectate sunt extrase din lista de cont¸inuturi ale programei; • Num˘arul de ore alocate este stabilit de profesor ˆın funct¸ie de experient¸a lui profesional˘a ¸si de nivelul clasei • S˘apt˘amˆana se poate indica prin num˘arul de ordine al acesteia sau prin datele calendaristice; • La rubrica observat¸ii se completeaz˘a eventualele modific˘ari determinate de aplicarea efectiv˘a la clas˘a pe parcursul anului. Planificarea calendaristic˘a trebuie s˘a acopere integral programa ¸scolar˘a la nivel de obiective de referint¸˘a ¸si cont¸inuturi. ˆIn interiorul planific˘arii calendaristice anuale se face demarcat¸ie ˆıntre semestre. 16

2.2

Proiectarea unit˘ a¸tii de ˆınv˘ a¸tare

Pentru ˆınv˘a¸tarea matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar este esent¸ial˘a existent¸a unei viziuni unitare pe o perioad˘a de timp mai mare decˆat ora tradit¸ional˘a. De aceea, proiectarea activit˘a¸tii didactice poate fi realizat˘a eficient ˆıntr-o structur˘a coerent˘a din perspectiva obiectivelor de referint¸˘a, unitar˘a din punct de vedere tematic ¸si care permite feed-back-ul achizit¸iilor comportamentale ¸si operatorii pe o anumit˘a perioad˘a de timp. Aceast˘a structur˘a reprezint˘a o unitate de ˆınv˘a¸tare. Unitatea de ˆınv˘a¸tare reprezint˘a o structur˘a didactic˘a deschis˘a ¸si flexibil˘a format˘a din obiective de referint¸˘a, cont¸inuturi, activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare ¸si resurse educat¸ionale care are urm˘atoarele caracteristici [12]: • determin˘a formarea unui comportament specific prin integrarea unor obiective de referint¸˘a; • este unitar˘a din punct de vedere tematic; • se desf˘a¸soar˘a ˆın mod continuu pe o perioad˘a de timp; • se finalizeaz˘a prin evaluare. Conceptul de unitate de ˆınv˘a¸tare concretizeaz˘a conceptul de demers didactic personalizat. Metodologia de proiectare a unei unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare const˘a ˆın asocierea obiectivelor de referint¸˘a cu cont¸inuturile consonante ¸si alegerea resurselor adecvate ˆın vederea atingerii obiectivelor. Etapele proiect˘arii unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare sunt urm˘atoarele [2]: 1. Identificarea temelor (temele sunt enunt¸uri complexe legate de analiza scopurilor ˆınv˘a¸t˘arii). Temele pot fi originale, formulate de profesor sau preluate din lista de cont¸inuturi ale programei sau din manuale; 2. Alegerea activit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare prin corelarea obiectivelor de referint¸˘a cu cont¸inuturile, ceea ce presupune orientarea c˘atre un scop, redat prin modul de organizare a activit˘a¸tii; 3. Alocarea resurselor necesare conceperii strategiei ¸si realiz˘arii demersului didcatic. Resursele reprezint˘a elementele care asigur˘a buna desf˘a¸surare a activit˘a¸tii didactice. Aceste etape se pot sintetiza sub forma urm˘atoarelor ˆıntreb˘ari [10]: • ˆIn ce scop voi face? - identificarea obiectivelor • Ce voi face? - selectarea cont¸inuturilor 17

• Cu ce voi face? - analiza resurselor • Cum voi face? - determinarea activit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare • Cˆat am realizat? - stabilirea instrumentelor de evaluare. Proiectarea unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare implic˘a realizarea urm˘atorului tabel, ˆın care: Cont¸inuturi Obiective de Activit˘a¸ti de referint¸˘a ˆınv˘a¸tare

Resurse

Evaluare

Tabela 2.2: Structura unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare

• Cont¸inuturile cuprind detalieri necesare ˆın explicitarea anumitor parcursuri; • Obiectivele de referint¸˘a se trec cu numerele lor de ordine din programa ¸scolar˘a; • Activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare pot fi cele din programa ¸scolar˘a, completate, modificate sau chiar ˆınlocuite cu altele pe care profesorul le consider˘a adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse; • Resursele cuprind: – resurse procedurale: tipul de organizare a clasei, metode didactice; – timpul alocat pentru fiecare dintre activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare proiectate; – resurse materiale: materiale didactice, mijloace audio-video; – auxiliare curriculare: manual, culegeri de probleme. • ˆIn rubrica evaluare se vor ment¸iona instrumentele / modalit˘a¸tile de evaluare, autoevaluare aplicate la clas˘a. Ultimul cont¸inut al unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare trebuie s˘a fie o prob˘a de evaluare sumativ˘a. Profesorul va asocia fiec˘arui obiectiv acele resurse pe care le consider˘a necesare pentru conceperea strategiei ¸si realizarea demersului didactic ¸si tipul de instrumente de evaluare care se vor aplica la clas˘a. Se recomand˘a ca proiectele complete ale unit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare s˘a fie realizate ritmic, pe parcursul unui an ¸scolar. Lectura personalizat˘a a programei ¸scolare presupune adaptarea demersului proiectiv la structura colectivului de elevi ¸si o bun˘a cunoa¸stere a programelor 18

¸scolare de matematic˘a pentru toate clasele ciclului primar. Necesitatea proiect˘arii pe unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare a activit˘a¸tilor didactice la matematic˘a este o consecint¸˘a a ˆınv˘a¸t˘arii prin act¸iune ¸si impune existent¸a unei viziuni educat¸ionale unitare pe o perioad˘a mai mare de timp decˆat ora tradit¸ional˘a. ˆIn condit¸iile noului curriculum, profesorul poate proceda la gruparea temelor ˆın unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare , poate recurge la adapt˘ari, ˆınlocuiri, omiteri, ad˘augiri a materialelor suport oferite de manualele alternative. Proiectarea pe unit˘a¸ti ˆınv˘a¸tare ofer˘a urm˘atoarele avantaje [2]: • creeaz˘a un mediu de ˆınv˘a¸tare coerent pe termen mediu ¸si lung; • implic˘a elevii ˆın proiecte de ˆınv˘a¸tare personal˘a cu accent pe explorare ¸si reflect¸ie; • ofer˘a profesorului posibilitatea adapt˘arii demersului didactic-aplicativ la ritmurile de ˆınv˘a¸tare ale elevilor; • asigur˘a lect¸iilor perspectiv˘a, situˆandu-le ˆın secvent¸e diferite ale unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare. Dac˘a proiectarea unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare a fost bine realizat˘a, urm˘atoarele ˆıntreb˘ ari de autocontrol formulate de profesor conduc la r˘aspunsuri afirmative [12]: • Asigur˘a cont¸inuturile alese unitatea tematic˘a? • Este respectat˘a logica ˆınv˘a¸t˘arii? • Se pot parcurge cont¸inuturile ˆıntr-un timp optim de 3-8 ore la clas˘a? • Sunt cuprinse obiective de referint¸˘a din toate obiectivele cadru? • Obiectivele de referint¸˘a pot fi realizate prin parcurgerea cont¸inuturilor alese?

2.3

Proiectul de lect¸ie

Proiectarea unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare nu cont¸ine suficiente elemente pentru a oferi o imagine complet˘a asupra fiec˘arei activit˘a¸ti didactice. Lect¸ia este componenta opera¸tional˘a pe termen scurt a unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare, unitatea didactic˘a fundamental˘a, principala form˘a de organizare a procesului de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant. Lect¸ia este rezultanta asambl˘arii mai multor componente ¸si a relat¸iilor dintre acestea. Componentele specifice oric˘arei lect¸ii sunt: • Resursele umane: elevii ¸si profesorul;

19

• Resursele materiale: mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant ¸si spat¸iul de instruire; • Resursele temporale: ora; • Resursele ideatice / informat¸ionale: cont¸inutul lect¸iei; • Resursele procedurale: metode ¸si procedee didactice de predare-ˆınv˘a¸tareevaluare.

2.3.1

Tipuri ¸si variante de lect¸ii

Tipul de lect¸ie este un anumit mod de organizare ¸si desf˘a¸surare a activit˘a¸tii didactice, funct¸ie de obiectivul fundamental al acesteia. Tipurile de lect¸ii sunt: • Lect¸ia de transmitere ¸si dobˆ andire de noi cuno¸stint¸e: ˆın cadrul lect¸iei predomin˘a noile cuno¸stint¸e care vor fi dobˆandite de c˘atre elevi prin transmiterea acestora de c˘atre profesor; • Lect¸ia de dobˆandire de noi cuno¸stint¸e: ˆın cadrul lect¸iei predomin˘a noile cuno¸stint¸e care vor fi dobˆandite de c˘atre elevi ˆıntr-un mod activ; • Lect¸ia de fixare ¸si consolidare a cuno¸stint¸elor : vizeaz˘a dobˆandirea unor procedee de munc˘a intelectual˘a, exersarea unor algoritmi, aplicarea practic˘a a cuno¸stint¸elor; • Lect¸ia de verificare ¸si apreciere a rezultatelor ¸scolare: activitatea predominant˘a este evaluarea; • Lect¸ia de recapitulare ¸si sistematizare: reactualizeaz˘a cuno¸stint¸ele pe baza unui plan ¸si se desf˘a¸soar˘a la finele unit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare sau sfˆar¸situl anului ¸scolar; • Lect¸ia mixt˘a : cuprinde atˆat dobˆandire de cuno¸stint¸e, cˆat ¸si verificare ¸si evaluare.

2.3.2

Etapele lect¸iei

1. Captarea atent¸iei; 2. Anunt¸area temei ¸si a obiectivelor; 3. Reactualizarea cuno¸stint¸elor ˆınsu¸site anterior; 4. Prezentarea noului material / sarcinilor de ˆınv˘a¸tare; 20

5. Dirijarea ˆınv˘a¸tarii; 6. Asigurarea conexiunii inverse (feed-back-ului); 7. Asigurarea ret¸inerii; 8. Obt¸inerea performant¸ei; 9. Asigurarea transferului; 10. Evaluarea / sutoevaluarea performant¸elor. 1. Captarea atent¸iei const˘a ˆıntr-o focalizare a atent¸iei elevilor c˘atre activitatea desf˘a¸surat˘a ˆın clas˘a. Aceasta se poate realiza pe tot parcursul lect¸iei prin diferite metode: • verbal: profesorul schimb˘a tonul vocii, exclam˘a, face o glum˘a, intercaleaz˘a o scurt˘a poveste; • scris: profesorul utilizeaz˘a cret˘a colorat˘a ¸si sublinieri pentru a scoate ˆın evident¸˘a cont¸inuturi esent¸iale; • schimbarea formei de organizare a activit˘a¸tii didactice. 2. Anunt¸area temei ¸si a obiectivelor se refer˘a la informarea elevilor cu privire la rezultatele / noile cuno¸stint¸e pe care le vor avea la sfˆar¸situl lect¸iei. Enunt¸area obiectivelor se face ˆıntr-un limbaj accesibil elevilor. Momentul ˆın care se face acest lucru depinde de strategia aleas˘a de profesor. Acest eveniment este ˆın concordant¸˘a cu principiul ˆınv˘a¸t˘arii con¸stiente ¸si active ¸si se face prin: • scrierea titlului pe tabl˘a; • enunt¸area obiectivelor pe ˆınt¸elesul elevilor. 3. Reactualizarea cuno¸stint¸elor ˆınsu¸site anterior constituie o secvent¸˘a necesar˘a pentru a prezenta un nou cont¸inut, ˆın lect¸ia de dobˆandire de cuno¸stint¸e, sau pentru a evalua cuno¸stint¸ele elevilor ˆıntr-o lect¸ie mixt˘a, sau pentru a proceda apoi la formarea de deprinderi ˆın lect¸ia de fixare ¸si consolidare. 4. Prezentarea noului material / sarcinilor de ˆınv˘ a¸tare const˘a ˆın prezentarea noului cont¸inut. La clasele primare, aceasta se realizeaz˘a prin: • prezentarea elementului stimul care treze¸ste interesul pentru noul cont¸inut; • demonstrarea metodei, extragerea definit¸iei, etc.; • enunt¸area de exercit¸ii sau probleme. 21

5. Dirijarea ˆınv˘a¸t˘arii se realizeaz˘a dup˘a punerea elevului ˆın situat¸ia de ˆınv˘a¸tare, prin ˆıntreb˘ari care canalizeaz˘a gˆandirea elevului spre descoperirea de not¸iuni, propriet˘a¸ti, rezolvarea problemelor, etc. 6. Asigurarea conexiunii inverse (feed-back-ului) se refer˘a la confirmarea pe care o are elevul ¸si profesorul cu privire la ˆınsu¸sirea corect˘a a informat¸iei (definit¸ie, metod˘a, propriet˘a¸ti). Acest eveniment se realizeaz˘a ˆın momentul ˆın care profesorul confirm˘a sau nu corectitudinea rat¸ionamentului pe care ˆıl face elevul pentru rezolvarea unei sarcini de lucru, iar elevul se convinge c˘a a gˆandit corect sau nu, ˆın funct¸ie de rezultatele obt¸inute. Feed-back-ul este evenimentul care conduce la reglarea comportamentelor profesorului ¸si elevilor astfel: profesorul decide dac˘a poate trece la urm˘atoarea secvent¸˘a de lect¸ie sau r˘amˆane la acela¸si tip de sarcini de lucru pˆan˘a se asigur˘a corectitudinea r˘aspunsului, iar elevul con¸stientizeaz˘a care este gradul de st˘apˆanire a cuno¸stint¸elor. 7. Asigurarea ret¸inerii se realizeaz˘a printr-un volum mai mare de exercit¸ii care sunt aplicat¸ii la not¸iunea, metoda, proprietatea care se studiaz˘a. Scopul este interiorizarea cuno¸stint¸elor dobˆandite, astfel ˆıncˆat acestea s˘a poat˘a fi folosite ˆın ˆınv˘a¸tarea ulterioar˘a. Acest eveniment este prelungit prin efectuarea temei de cas˘a. 8. Obt¸inerea preformant¸ei este evenimentul care const˘a ˆın activitatea pe care o desf˘a¸soar˘a elevul pentru a obt¸ine performant¸ele a¸steptate. Profesorul propune ˆın acest moment sarcini de lucru mai dificile. Elevul dovede¸ste ˆın acest moment c˘a a ˆınt¸eles noul cont¸inut prin rezolvarea acestor sarcini mai complicate. 9. Asigurarea transferului este evenimentul care const˘a ˆın aplicarea cuno¸stint¸elor dobˆandite anterior ˆın situat¸ii noi de ˆınv˘a¸tare. Acest eveniment se desf˘a¸soar˘a dup˘a ce s-a f˘acut asigurarea ret¸inerii. 10. Evaluarea / autoevaluarea performant¸elor este evenimentul prin care se apreciaz˘a nivelul atins de elevi ˆın ceea ce prive¸ste ˆınsu¸sirea cuno¸stint¸elor ¸si formarea deprinderilor. Se testeaz˘a ˆındeplinirea obiectivelor operat¸ionale propuse pentru lect¸ia respectiv˘a.

2.3.3

Algoritmul proiect˘ arii lect¸iei

Proiectarea lect¸iei reprezint˘a un act de gˆandire anticipativ˘a asupra demersului didactic, fiind o proiectare la nivel micro a instruirii. ˆIn proiectarea lect¸iei se porne¸ste de la obiectivele de referint¸˘a din programele ¸scolare, cont¸inuturile ¸si exemplele de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare. Algoritmul proiect˘arii didactice la nivel micro porne¸ste de la trei ˆıntreb˘ari cheie care includ urm˘atoarele act¸iuni metodico-pedagogice, validate ˆın teoria ¸si practica instruirii: • Ce voi face? cuprinde: – Stabilirea locului lect¸iei ˆın unitatea de ˆınv˘a¸tare; 22

– Stabilirea obiectivelor operat¸ionale. • Cˆ at voi face? presupune: – Selectarea ¸si transpunerea didactic˘a a cont¸inuturilor. • Cum voi face? cuprinde: – Elaborarea strategiei instruirii; – Prefigurarea strategiilor de evaluare; – Stabilirea act¸iunilor de autocontrol ¸si autoevaluare ale elevilor; – Stabilirea structurii procesuale a activit˘a¸tii didactice. Stabilirea locului lect¸iei ˆın unitatea de ˆınv˘ a¸tare Stabilirea locului lect¸iei ˆın unitatea de ˆınv˘ a¸tare este o etap˘a ˆın care profesorul stabile¸ste: • Titlul lect¸iei; • Tipul lect¸iei; • Obiectivele de referint¸˘a corespunz˘atoare lect¸iei, extrase din programa ¸scolar˘a ¸si din proiectul unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare. Stabilirea obiectivelor operat¸ionale La nivelul activit˘a¸tilor didactice, profesorul ˆı¸si stabile¸ste propriile obiective concrete. Obiectivele concrete descriu rezultate cu caracter efectiv, fiind formulate pentru cont¸inutul unei unit˘a¸ti tematice. Acestea formuleaz˘a performant¸a pe care elevul trebuie s˘a o dovedeasc˘a pe parcursul sau la finele lect¸iei ¸si sunt corect definite dac˘a au urm˘atoarele caracteristici: • pertinent¸˘a : rezultatul scontat este conform cu obiectivul de referint¸˘a din care este derivat; • univocitate: formularea sa nu cont¸ine ambiguit˘a¸ti; • realizabil : elevul posed˘a toate cuno¸stint¸ele ¸si capacit˘a¸tile necesare ˆındeplinirii sarcinii ce va conduce la dobˆandirea competent¸ei scontate; • verificabil : dobˆandirea competent¸ei scontate poate fi verificat˘a cantitativ (m˘asurat˘a) ¸si calitativ (observat˘a). 23

Operat¸ionalizarea obiectivelor reprezint˘a operat¸ia de transpunere a scopurilor procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant ˆın obiective intermediare ¸si a acestora ˆın obiective concrete. Acest lucru se realizeaz˘a prin precizarea unor comportamente cognitive ¸si / sau psihomotorii observabile ¸si m˘asurabile, cu ajutorul verbelor de act¸iune. Obiectivele operat¸ionale pentru lect¸ia de matematic˘a pot fi subdivizate astfel: • Obiective de ˆınv˘a¸tare, care se refer˘a la date, fapte, reguli ¸si principii care se cer cunoscute; • Obiective de transfer, care se refer˘a la capacitatea subiect¸ilor de a utiliza cuno¸stint¸ele asimilate ˆın alte situat¸ii, fie similare, fie noi; • Obiective de exprimare, care se refer˘a la capacit˘a¸tile de comunicare ¸si generalizare, precum ¸si la posibilit˘a¸tile de creat¸ie ale elevului. ˆIn ceea ce privet¸e matematica, modelul util ¸si eficient de operat¸ionalizare a obiectivelor este cel al lui R.F. Mager ¸si presupune [10]: 1. Descrierea (denumirea) comportamentului observabil, respectiv precizarea conduitei, a performant¸elor elevului cu ajutorul verbelor de act¸iune, evitˆand verbele cu spectru larg. 2. Specificarea (descrierea) condit¸iilor ˆın care trebuie s˘ a se manifeste comportamentul respectiv vizeaz˘a atˆat procesul ˆınv˘a¸t˘arii realizat pentru atingerea obiectivelor operat¸ionale stabilite, cˆat ¸si modalit˘a¸tile de verificare ¸si evaluare a performant¸elor, utilizˆand sintagmele: cu ajutorul, pe baza, utilizˆand, folosind, avˆand la dispozit¸ie, avˆand acces la. 3. Stabilirea criteriilor de reu¸sit˘ a sau ale unei performant¸e acceptabile se refer˘a la absent¸a sau prezent¸a unei capacit˘a¸ti sau tr˘as˘aturi, num˘ar minim de r˘aspunsuri corecte, num˘arul de ˆıncerc˘ari admise, erori acceptabile. Clasificarea obiectivelor ¸si ierarhizarea lor se pot realiza recurgˆand la taxonomie. Taxonomia este un plan de obiective ierarhizate care permite analiza unor intent¸ii generale ¸si detalierea diferitelor niveluri de realizare posibile. ˆIn domeniul cognitiv, Bloom propune clasificarea obiectivelor de la cel mai simplu la cel mai complex, folosind urm˘atoarele categorii: 1. Cunoa¸sterea: reactualizarea problemelor, metodelor ¸si proceselor; ˆ ¸elegerea: reorganizarea cuno¸stint¸elor pentru obt¸inerea unui rezultat spe2. Int cific; 3. Aplicarea: folosirea cuno¸stint¸elor ˆın rezolvarea unor cazuri noi; 24

4. Analiza: descompunerea ˆıntregului pentru a-l explica; 5. Sinteza: reunirea elementelor pentru a obt¸ine un ˆıntreg; 6. Evaluarea: formularea de judec˘a¸ti cantitative sau calitative. ˆIn funct¸ie de complexitatea comportamentului solicitat, obiectivele cognitive act¸ioneaz˘a pe diferite niveluri taxonomice (Bloom, 1950), conform tabelului 2.3, [10]:

Algoritmul lui Horn, revizuit de Minder, ˆınlesne¸ste folosirea piramidei taxonomice, vezi tabelul 2.4, [18]:

Obiectivele operat¸ionale sunt cele mai importante pentru demersul didactic. Profesorii le definesc ˆın funct¸ie de obiectivele de referint¸˘a din programe. Un obiectiv operat¸ional trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a urm˘atoarele cinci condit¸ii [18]: 1. Obiectivul trebuie formulat ˆıntotdeauna ˆın funct¸ie de cel care ˆınvat¸˘ a ¸si nu ˆın funct¸ie de cel care pred˘a; altfel nu ar fi un obiectiv, ci un scop sau o intent¸ie; 2. Obiectivul trebuie s˘a fie specific, capacitatea respectiv˘a s˘a fie formulat˘a printr-un verb care s˘a nu permit˘a interpret˘ari diferite, ci s˘a fie univoc; el trebuie s˘a fie atˆat de precis ˆıncˆat tot¸i cei care iau cuno¸stint¸˘a de el (profesori ¸si elevi) s˘a-¸si reprezinte produsul a¸steptat sub aceea¸si form˘a. A ˆınt¸elege, a ¸sti, a aprecia, a citi sunt comportamente, dar nu sunt atˆat de specifice ˆıncˆat s˘a poat˘a oferi posibilitatea formul˘arii unui obiectiv operat¸ional. 3. Rezultatul a¸steptat trebuie s˘a fie descris sub forma unui comportament observabil, care s˘a indice c˘a elevul a atins obiectivul. 4. Trebuie s˘a precizeze condit¸iile (ˆımprejur˘arile) ˆın care comportamentul respectiv se va produce: condit¸ii legate de timp, condit¸ii materiale. 5. S˘a precizeze criteriile de acceptabilitate a performant¸ei, adic˘a nivelul de reu¸sit˘a de la care se pleac˘a pentru a considera c˘a obiectivul este realizat. Un obiectiv operat¸ional la matematic˘a, ce respect˘a algoritmul de mai sus, ar trebui formulat astfel: ”La sfˆar¸situl lect¸iei tot¸i elevii vor fi capabili s˘a identifice triunghiuri din desenul dat. Obiectivul va fi considerat realizat dac˘a sunt identificate 4 din cele 5 triunghiuri care figureaz˘a ˆın desenul dat.” Pedagogia bazat˘a pe obiective este un subiect controversat. ˆIn favoarea sa exist˘a trei argumente: 25

Nivelul taxonomic / Competent¸e vizate 1. Cunoa¸sterea Elevul recunoa¸ste, red˘a cuno¸stint¸a (informat¸ia, metoda, faptul) sub aceea¸si form˘a ¸si ˆın acela¸si context cognitiv ˆ ¸elegerea 2. Int Elevul prezint˘a cuno¸stint¸a sub o form˘a diferit˘a, dar ˆın acela¸si context cognitiv 3. Aplicarea Elevul transfer˘a ¸si aplic˘a cuno¸stint¸ele sub aceea¸si form˘a sau transformate ˆın alt context cognitiv 4. Analiza Elevul analizeaz˘a situat¸ia / problema ˆın vederea solut¸ion˘arii (c˘autˆand elemente, relat¸ii, principii de organizare) ¸si eventual o rezolv˘a, utilizˆand cuno¸stint¸ele dobˆandite 5. Sinteza Elevul prelucreaz˘a elementele de cont¸inut, le condenseaz˘a, sintetizeaz˘a, le ˆıncadreaz˘a ˆıntr-un sistem 6. Evaluarea Elevul evalueaz˘a situat¸ia, emite judec˘a¸ti de valoare, ia decizii, le argumenteaz˘a, stabile¸ste concluzii

Verbe-act¸iuni utilizate ˆın atingerea performant¸ei a recunoa¸ste, a reda, a prezenta, a defini, a preciza, a indica, a enumera, a aminti, a descrie, a denumi, a enunt¸a, a scrie, a identifica a a a a a a a a a

transforma, a modifica, a schimba, redefini, a ilustra, a reorganiza, interpreta, a explica, a demonstra, distinge, a estima, a determina, completa, a prevedea, a stabili. folosi, a aplica, a stabili leg˘aturi, organiza, a transfera, a restructura, clasifica, a rezolva, a desena, generaliza, a completa, a scrie

a a a a

analiza, a distinge, a detecta, categorisi, a compara, a deduce, selecta, a utiliza, a descompune, identifica, a stabili

a a a a a a a a

elabora, a sintetiza, a prelucra, condensa, a ˆıncadra, a dezvolta, combina, a modifica, a organiza, proiecta, a crea, a clasifica, realiza judeca, a argumenta, a evalua, decide, a concluziona, a valida, estima

Tabela 2.3: Taxonomia lui Bloom

26

Activitatea profesorului

Activitatea elevului

Nivelul taxonomic

Prezint˘a ˆın mod explicit un fapt, o metod˘a, un proces Prezint˘a ˆın mod explicit un fapt, o metod˘a, un proces, explicˆand ”de ce” ¸si ”cum” Cere un transfer de cuno¸stint¸e prin trecerea la un alt nivel Prezint˘a o situat¸ie, o problem˘a nou˘a, cerˆand elevilor s˘a o rezolve dup˘a criterii stabilite. Problema presupune o solut¸ie precis˘a Propune un proiect a c˘arui realizare se poate face ˆın mai multe feluri ˆIl invit˘a pe elev s˘a emit˘a o judecat˘a de valoare

Recunoa¸ste faptul, metoda, procesul sub aceea¸si Cunoa¸stere form˘a ¸si ˆın acela¸si context Recunoa¸ste faptul, metoda, ˆInt¸elegere procesul sub o form˘a diferit˘a, dar ˆın acela¸si context Folose¸ste faptul, procesul, metoda ˆınv˘a¸tat˘a sub aceea¸si Aplicare form˘a, dar ˆın alt context Examineaz˘a, analizeaz˘a aceast˘a situat¸ie, aceast˘a Analiz˘a problem˘a pentru a-i g˘asi solut¸ia Realizeaz˘a proiectul ˆın mod personal ¸si creativ

Sintez˘a

Emite o judecat˘a de valoare

Evaluare

Tabela 2.4: Algoritmul lui Horn

27

• Pedagogia prin obiective ˆıl oblig˘a pe profesor s˘a regˆandeasc˘a demersul pedagogic ¸si alegerile f˘acute ¸si s˘a vizeze o anumit˘a eficacitate; • Se clarific˘a demersul pedagogic: fixarea obiectivelor faciliteaz˘a alegerea metodelor ¸si mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant; • Permite o evaluare mai obiectiv˘a a rezultatelor elevului ¸si a eficient¸ei activit˘a¸tii profesorului. Dezavantajele acestei pedagogii ar fi urm˘atoarele [18]: • Operat¸ionalizarea introduce o anumit˘a rigiditate ¸si un anumit formalism ˆın procesul de ˆınv˘a¸tare, ˆıntrucˆat se axeaz˘a numai pe comportamente care pot fi anticipate; • Operat¸ionalizarea reduce libertatea profesorului; • Nu pot fi exprimate, ˆın termeni operat¸ionali, comportamentele complexe ale elevului (creativitatea, spiritul critic); • Nu pot fi operat¸ionalizate cele mai multe obiective ale domeniului afectiv; • Operat¸ionalizarea nu poate face abstract¸ie de natura obiectului de ˆınv˘a¸t˘amˆant; ˆın timp ce disciplinele puternic formalizate sunt mai disponibile pentru obiective definite operat¸ional, disciplinele umaniste ˆıntˆampin˘a dificult˘a¸ti ˆın a proiecta capacit˘a¸ti care s˘a fie evaluate prin criterii cantitative. ˆIn orice caz, definirea clar˘a a obiectivelor constituie punctul de plecare pentru elaborarea unui demers pedagogic. Aplicat˘a corect, operat¸ionalizarea obiectivelor devine un instrument eficient ˆın planificarea, organizarea ¸si controlul activit˘a¸tii la lect¸ia de matematic˘a. Selectarea ¸si transpunerea didactic˘ a a cont¸inuturilor Selectarea ¸si transpunerea didactic˘ a a cont¸inuturilor se concretizeaz˘a prin realizarea unei prime schit¸e a lect¸iei: • selectarea cont¸inuturilor ¸stiint¸ifice se face analizˆand resursele: clasa, nivelul de cuno¸stint¸e al elevilor, abilit˘a¸tile intelectuale ¸si practice de care dispun ace¸stia, precum ¸si resursele materiale de care dispune profesorul: manuale, laborator, etc. • transpunerea didactic˘a a cont¸inuturilor are ca etape necesare: – structurarea logic˘a a cont¸inuturilor, care poate fi: inductiv˘a, deductiv˘a sau prin analogie; 28

– esent¸ializarea: se refer˘a la alegerea ˆın aceast˘a faz˘a a cont¸inuturilor esent¸iale; – adecvarea cont¸inutului se face relativ la obiectivele operat¸ionale. Elaborarea strategiei instruirii Elaborarea strategiei instruirii const˘a ˆın: • alegerea metodelor ¸si strategiilor didactice; • stabilirea resurselor materiale; • alegerea formelor de organizare a activit˘ a¸tilor didactice: frontal˘a, individual˘a, pe grupe sau combinat˘a. Strategia didactic˘a trebuie s˘a fie adaptat˘a la obiective ¸si cont¸inut. Formele de organizare a activit˘ a¸tilor sunt un ansamblu de tehnici care, prin combinare, vor optimiza ˆınv˘a¸tarea. Pe parcursul unei activit˘a¸ti se pot ˆımbina 23 forme. Diferent¸ierea ¸si individualizarea au ca scop valorificarea potent¸ialului individual al elevilor. Adoptarea unor strategii bazate pe diferent¸iere determin˘a schimb˘ari ˆın modul de organizarea a demersului didactic. Activitatea diferent¸iat˘a se poate realiza prin activitatea individual˘a sau pe grupe. Formele de organizare a ˆınv˘a¸tarii au caracteristicile evident¸iate ˆın tabelul 2.5, din [12].

Activit˘a¸tile frontale sunt formele de organizare ale lect¸iilor tradit¸ionale, cˆand profesorul lucreaz˘a simultan cu ˆıntreaga clas˘a. Este o modalitate de activitate didactic˘a colectiv˘a proiectat˘a pe baza unui scop pedagogic comun, realizabil ˆıns˘a ˆın grade diferent¸iate, ˆın funct¸ie de posibilit˘a¸tile fiec˘arui elev. Avantajele activit˘a¸tilor frontale sunt [10]: • activitatea elevului este dirijat˘a ˆın direct¸ia ˆınsu¸sirii cuno¸stint¸elor ¸si deprinderilor specifice; • orienteaz˘a init¸iativa ¸si creativitatea elevului pe baza unor tehnici de munc˘a intelectual˘a dobˆandite anterior; • se cˆa¸stig˘a timp; • se prezint˘a un volum mare de informat¸ii; • cuno¸stint¸ele prezentate sunt bine sistematizate; 29

Organizarea colectivului de elevi Activitate frontal˘a

Tip de sarcin˘a

Caracteristici

sarcin˘a frontal˘a unic˘a sarcin˘a nediferent¸iat˘a

Sarcina se rezolv˘a la tabl˘a. Sarcina se rezolv˘a independent. Elevii formuleaz˘a r˘aspunsuri individuale. Activitate Elevii r˘aspund individual ˆın cadrul grupului. pe grupe Elevii r˘aspund prin cooperare pe grupe. eterogene Profesorul sintetizeaz˘a r˘aspunsurile grupelor. sarcin˘a Elevii r˘aspund individual ˆın cadrul grupului. diferent¸iat˘a Elevii rezolv˘a prin cooperare. Profesorul sintetizeaz˘a r˘aspunsurile grupelor. Activitate sarcini Elevii rezolv˘a prin cooperare. pe grupe diferent¸iate Elevii r˘aspund individual sau omogene ca obiective, prin reprezentant¸i. cont¸inut ¸si Profesorul anunt¸˘a sarcinile, mod de realizare urm˘are¸ste modul de realizare. Activitate sarcini Elevii rezolv˘a ¸si r˘aspund individual. individualizat˘a individualizate Profesorul distribuie sarcinile, ca obiective, urm˘are¸ste modul de realizare, cont¸inut ¸si ˆındrum˘a. mod de realizare Tabela 2.5: Forme de organizare a activit˘a¸tii ˆın clas˘a

30

• profesorul prime¸ste ¸si ofer˘a un feed-back imediat. Dezvantajele activit˘a¸tilor frontale sunt [10]: • elevul se afl˘a ˆıntr-un raport de dependent¸˘a fat¸˘a de profesor; • nu stimuleaz˘a ˆın suficient˘a m˘asur˘a activitatea independent˘a ¸si gˆandirea divergent˘a a elevului; • nu asigur˘a decˆat ˆın rare cazuri participarea tuturor elevilor la procesul de ˆınv˘a¸t˘amˆant; • conexiunea invers˘a este dificil de realizat, mai ales la clasele cu num˘ar mare de elevi; • elevii sunt tratat¸i predominant ca ¸si cum ar avea tot¸i acelea¸si caracteristici. Pentru ˆımbun˘at˘a¸tirea rezultatelor activit˘a¸tii frontale se recomand˘a: • evident¸ierea situat¸iei init¸iale a elevilor prin intermediul diagnosticului init¸ial; • combinarea activit˘a¸tii frontale cu cele individuale ¸si de grup; • realizarea de activit˘a¸ti frontale cu grupe omogene ale clasei, timp ˆın care ceilalt¸i elevi efectueaz˘a activit˘a¸ti individuale sau de grup. Activit˘a¸tile individuale constau ˆın organizarea lect¸iei ˆın a¸sa fel ˆıncˆat elevii s˘a lucreze individual, aceea¸si sarcin˘a de lucru sau sarcini diferite, cu sau f˘ar˘a ajutorul cadrului didactic. La baza acestei forme de organizare a activit˘a¸tii st˘a principiul respect˘arii particularit˘a¸tilor individuale ale elevilor. Avantajele activit˘a¸tilor individuale sunt [10]: • permit diferent¸ierea sarcinilor de ˆınv˘a¸tare ˆın funct¸ie de particularit˘a¸tile individuale ale elevilor; • activitatea se desf˘ u¸soar˘a ˆın lini¸ste; ˆınv˘a¸tarea se produce ˆın ritm propriu; • cre¸ste responsabilitatea elevului fat¸˘a de propria munc˘a. Dezvantajele activit˘a¸tilor individuale sunt [10]: • faciliteaz˘a erorile ˆın ˆınv˘a¸tare; • profesorul nu evalueaz˘a ˆın ˆıntregime rezultatele de fiecare dat˘a; • favorizeaz˘a competit¸ia; 31

• comunicarea este aproape absent˘a. Activit˘a¸tile ˆın grup sau prin cooperare sunt o modalitate de ˆımbinare a ˆınv˘a¸t˘arii individuale cu cea colectiv˘a. Elevii lucreaz˘a ˆın grupuri mici, fiecare dintre ei contribuind la rezultatul final. Se recomand˘a introducerea treptat˘a ˆın activitatea didactic˘a a activit˘a¸tilor ˆın grup ¸si respectarea unor reguli de lucru. Etapele preliminare ale ˆınv˘a¸t˘arii ˆın grup sunt: • aranjarea s˘alii de clas˘a prin gruparea meselor; • etapa de orientare, care const˘a ˆın organizarea de activit˘a¸ti cu scopul de a familiariza elevii unii cu alt¸ii, dac˘a ace¸stia nu se cunosc. • stabilirea grupelor de lucru. Etapele metodice ale ˆınv˘a¸t˘arii ˆın grup sunt: • prezentarea temei ¸si a obiectivelor urm˘ arite; • ˆımp˘art¸irea sarcinilor ˆın cadrul grupurilor ; • realizarea activit˘a¸tilor ˆın cadrul grupurilor ; • comunicarea rezultatelor ; • evaluarea activit˘a¸tii elevilor. Organizarea activit˘a¸tii de ˆınv˘ a¸tare ˆın grup presupune din partea profesorului, conform [10]: • Stabilirea obiectivelor ; • Stabilirea dimensiunii grupurilor : o dimensiune optim˘a a grupurilor poate fi considerat˘a de 4-5 elevi, deoarece astfel fiecare are posibilitatea de a trece prin rolurile presupuse de activitatea ˆın grup; • Stabilirea strategiei de grupare a elevilor. Exist˘a mai multe strategii de grupare a elevilor, ˆın funct¸ie de obiectivele urm˘arite, astfel: – gruparea aleatoare este eficient˘a ¸si u¸sor de aplicat. Elevii pot fi grupat¸i prin num˘arare, iar cei care au acela¸si num˘ar formeaz˘a un grup. – gruparea omogen˘a presupune gruparea elevilor ˆın categorii, ˆın funct¸ie de aptitudinea pentru matematic˘a ¸si vor primi sarcini diferent¸iate ˆın funct¸ie de nivel;

32

– formarea grupurilor de c˘ atre profesor permite profesorului s˘a decid˘a care elevi vor lucra ˆımpreun˘a; – formarea grupurilor de c˘ atre elevi creeaz˘a de obicei grupuri eterogene, dar dezechilibrate, astfel ˆıncˆat unele grupuri nu vor putea atinge obiectivele propuse. • Coordonarea activit˘a¸tii pe grupuri. Profesorul are urm˘atoarele responsabilit˘a¸ti: – instructor : profesorul ofer˘a instruct¸iuni clare ¸si precise asupra rolului membrilor grupului, modului ˆın care se va lucra, modului ˆın care se vor comunica rezultatele, timpului de lucru pentru fiecare activitate; – facilitator : profesorul faciliteaz˘a activitatea ¸si ˆınv˘a¸tarea prin punerea la dispozit¸ia elevilor a unor materiale de lucru; – consultant: profesorul ofer˘a informat¸ii suplimentare, puncte de sprijin, dirijeaz˘a elevii pentru realizarea sarcinii de lucru; – participant: ˆın anumite situat¸ii profesorul se implic˘a ˆın activitatea grupurilor prin exprimarea unei opinii, ˆıns˘a doar ˆın cazul unor dispute iscate ˆıntre membrii grupului; – observator : profesorul observ˘a procesul de cooperare, dinamica grupurilor, afinit˘a¸tile dintr elevi, ritmul de lucru, ofer˘a sarcini de lucru suplimentare pentru grupurile care termin˘a mai repede; – motivator : profesorul motiveaz˘a elevii prin caracteristicile sarcinii de lucru, prin monitorizarea fiec˘arui grup, prin modul de evaluare a rezultatelor. • Evaluarea activit˘a¸tii ˆın grupuri ¸si a rezultatelor elevilor implic˘a emiterea unor aprecieri formative, notarea, verificarea rezultatelor, obt¸inerea unui feed-back din partea elevilor imediat dup˘a activitate, care permite ˆımbun˘at˘a¸tirea unor activit˘a¸ti ulterioare de acela¸si tip. Avantajele activit˘a¸tilor realizate ˆın grup sunt: • permit diferent¸ierea sarcinilor de ˆınv˘a¸tare; • ˆınv˘a¸tarea se produce ˆın ritm propriu; • elevii ˆınvat¸˘a unii de la alt¸ii; • cre¸ste responsabilitatea elevului fat¸˘a de propria ˆınv˘a¸tare, dar ¸si fat¸˘a de grup; • cei cu abilit˘a¸ti de nivel sc˘azut progreseaz˘a mai u¸sor; 33

• elevii buni ˆı¸si dezvolt˘a abilit˘a¸tile de comunicare. Dezvantajele activit˘a¸tilor realizate ˆın grup sunt: • creeaz˘a un oarecare zgomot; • unii elevi tind s˘a aib˘a un rol pasiv; • evaluarea contribut¸iei fiec˘arui elev se face cu dificultate. Implicarea elevilor ˆın proiecte didactice realizate ˆın grup obi¸snuie¸ste elevii cu r˘aspunderea pentru propria munc˘a ¸si cu munca ˆın echip˘a, ˆın care de multe ori rezultatele dep˘a¸sesc suma competent¸elor membrilor.

Configurarea strategiilor de evaluare Configurarea strategiilor de evaluare presupune: • stabilirea metodelor, tehnicilor ¸si probelor de evaluare; • stabilirea momentelor ˆın care se aplic˘ a evaluarea. Stabilirea act¸iunilor de autocontrol ¸si autoevaluare a elevilor Stabilirea act¸iunilor de autocontrol ¸si autoevaluare a elevilor const˘a ˆın: • stabilirea modalit˘a¸tilor de autocontrol ¸si autoevaluare; • stabilirea momentelor ˆın care se aplic˘ a autoevaluarea. Stabilirea structurii procesuale a activit˘ a¸tii didactice Stabilirea structurii procesuale a activit˘ a¸tii didactice vizeaz˘a e¸salonarea ˆın timp a activit˘a¸tii didactice cu scopul de a evita erorile, riscurile, a neˆıncadr˘arii ˆın timp, a evenimentelor nedorite. Elaborarea proiectelor de lect¸ie nu trebuie privit˘a ca o activitate formal˘a, ci, ˆın limitele unei anumite rigori, ea trebuie s˘a ˆıncurajeze creativitatea didactic˘ a a profesorului. Proiectul de lect¸ie este un instrument de lucru operat¸ional al profesorului ¸si trebuie s˘a aib˘a urm˘atoarele caracteristici: • s˘a ofere o perspectiv˘a global˘a ¸si complet˘a asupra lect¸iei; • s˘a aib˘a un caracter realist; 34

• s˘a fie simplu ¸si operat¸ional; • s˘a fie flexibil; • s˘a faciliteze realizarea obiectivelor operat¸ionale. ˆIn practica educat¸ional˘a, nu se lucreaz˘a cu o structur˘a unic˘a a proiectelor didactice, dimpotriv˘a, se concep proiecte avˆand diferite structuri. Structura unui proiect de lect¸ie cuprinde partea introductiv˘ a, ˆın care se precizeaz˘a coordonatele principale ale lect¸iei: Proiect de lect¸ie Obiectul: Clasa: Data: Unitatea de ˆınv˘a¸tare: Tema (subiectul lect¸iei): Scopul lect¸iei: Obiective operat¸ionale: Metode ¸si procedee: Mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant: Forme de organizare a activit˘a¸tii: Evaluare: Bibliografie: Partea descriptiv˘a vizeaz˘a prezentarea (ˆın variante diferite) a desf˘a¸sur˘arii lect¸iei. Cˆateva modele orientative pentru aceast˘a parte se prezint˘a ˆın continuare. Desf˘a¸surarea activit˘a¸tii Varianta 1 Etapele lect¸iei

Timp

Obiective E¸salonarea Metode ¸si Mijloace operat¸ion. cont¸inut. procedee de (coduri) didactice ˆınv˘a¸t˘am.

Forme Evaluare de organiz.

Varianta 2 Etapele lect¸iei

Obiective operat¸ionale

Cont¸inutul informat¸ional Strategiile instruirii

35

Varianta 3 Obiective Activit˘a¸ti operat¸ion. de ˆınv˘a¸tare

Cont¸inutul ˆınv˘a¸t˘arii

36

Metode ¸si Mijloace de procedee ˆınv˘a¸t˘am.

Forme de organiz.

Evaluare

Capitolul 3 Strategii didactice specifice ˆınv˘ a¸t˘ arii matematicii ˆın ciclul primar Strategia didactic˘a este modalitatea prin care profesorul alege, combin˘ a ¸si organizeaz˘a ansamblul de metode pedagogice, materiale didactice ¸si mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant ˆıntr-o succesiune ce asigur˘a atingerea unor obiective. O strategie poate fi ˆınt¸eleas˘a ca o modalitate de abordare ¸si rezolvare a unei activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare. Cum aceste activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare sunt asociate unui obiectiv de referint¸˘a, alegerea unor metode ¸si mijloace, combinarea ¸si organizarea optim˘a a situat¸iei de ˆınv˘a¸tare este realizat˘a cu scopul obt¸inerii unor rezultate educat¸ionale prev˘azute prin curriculum. Alegerea unei anumite strategii didactice este influent¸at˘a de urm˘atorii factori, conform [12]: • concept¸ia didactic˘a : se aleg metode active, specifice ˆınv˘a¸t˘arii prin act¸iune ¸si decoperire, care r˘aspund nevoilor metodice de proiectare ¸si realizare a unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare; • obiectivele instructiv-educative specifice unei activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare - pentru tipuri de obiective de referint¸˘a ¸si activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare diferite se pot alege strategii diferite; • natura cont¸inutului - unul ¸si acela¸si cont¸inut se poate preda ˆın moduri diferite la colective diferite de elevi ¸si la vˆarste diferite; • experient¸a de ˆınv˘a¸tare a copiilor - vˆarsta copiilor ¸si nivelul de instruire la matematic˘a influent¸eaz˘a opt¸iunea referitoare la modul de organizare a ˆınv˘a¸t˘arii. 37

Strategia didactic˘a ofer˘a solut¸ii de ordin structural-procesual, dar ¸si metodologic ˆın procesul de ˆınv˘a¸tare, prin modul de combinare a diferitelor metode, procedee, mijloace didactice ¸si forme de organizare specifice. Strategiile inductive sunt bazate pe un proces de abordare de la particular la general a realit˘a¸tii matematice. Prin observare dirijat˘a ¸si act¸iune, elevii dobˆandesc treptat capacitatea de a generaliza. Din analiza faptelor matematice se ajunge, prin percept¸ie intuitiv˘a ¸si act¸iune, la familiarizarea cu not¸iuni matematice noi. La vˆarsta ¸scolar˘a mic˘a, copilul elaboreaz˘a rat¸ionamente de tip transductiv, de la particular la particular. Acest tip de ˆınv˘a¸tare constituie premisa pentru rat¸ionamentele de tip deductiv de mai tˆarziu. ˆIn general, ˆımbinarea ˆınv˘a¸t˘arii inductive cu cea deductiv˘a realizeaz˘a fundamentul logic al instruct¸iei pentru c˘a ambele forme de rat¸ionament sunt prezente ˆın activitatea cognitiv˘a a copilului, ˆın toate situat¸iile de ˆınv˘a¸tare. ˆIn planul metodologiei ˆınv˘a¸t˘arii matematicii, ˆınv˘a¸tarea deductiv˘a ¸si cea inductiv˘a se sprijin˘a pe metodele verbale ¸si intuitive. ˆInv˘a¸tarea inductiv˘a faciliteaz˘a organizarea percept¸iilor ¸si creeaz˘a premise pentru ca elevul s˘a descopere relat¸ii constante ˆıntre elementele structurilor noi cu care opereaz˘a. Prin comparat¸ii ¸si clasific˘ari, elevii ˆınvat¸˘a s˘a identifice ˆınsu¸siri esent¸iale ale claselor de obiecte, s˘a sintetizeze datele care fundamenteaz˘a reprezent˘ari simbolice ¸si s˘a le exprime prin limbaj. Strategiile analogice se sprijin˘a pe calitatea gˆandirii de a crea analogii, ca form˘a de manifestare a procesului de abstractizare.

3.1

Metode ¸si procedee pentru predarea-ˆınv˘ a¸tarea matematicii ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar

Metodele de ˆınv˘a¸tamˆant sunt modalit˘a¸ti de act¸iune, cu ajutorul c˘arora elevii, sub ˆındrumarea profesorului sau ˆın mod independent, ˆı¸si ˆınsu¸sesc cuno¸stint¸e, ˆı¸si formeaz˘a priceperi ¸si deprinderi, aptitudini, atitudini, concept¸ii [7]. Metodele se aplic˘a printr-o suit˘a de procedee, care reprezint˘a tehnici mai limitate de act¸iune decˆat metodele. Procedeele asigur˘a calitatea ¸si eficient¸a unei metode. ˆIn unele cazuri metoda poate deveni procedeu ˆın structura altei metode. Ansamblul metodelor ¸si procedeelor didactice alc˘atuiesc metodologia didactic˘ a. Strategia didactic˘a ˆıncorporeaz˘a o suit˘a de metode ¸si procedee ordonate logic ¸si selectate dup˘a criteriul eficient¸ei pedagogice. Eficient¸a unei metode este dat˘a de calitatea acesteia de a declan¸sa acte de ˆınv˘a¸tare ¸si de gˆandire prin act¸iune, de m˘asura ˆın care metoda determin˘a ¸si favorizeaz˘a reprezent˘ari specifice etapelor de formare a not¸iunilor matematice ˆıntr-un demers didactic adaptat elevilor din ciclul primar. De aceea ˆınv˘a¸tarea matematicii la acest nivel impune reconsiderarea metodelor ¸si folosirea acelora care pun accentul pe formarea de deprinderi ¸si

38

dobˆandirea de abilit˘a¸ti prin act¸iune. Exist˘a numeroase clasific˘ari ale metodelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant. Avˆand ˆın vedere specificul pred˘arii matematicii la ciclul primar, se prezint˘a urm˘atoarea clasificare, conform [12]: 1. ˆIn funct¸ie de scopul didactic urm˘arit, metodele se clasific˘a ˆın: • metode de comunicare; • metode de consolidare; • metode de verificare. Aceast˘a clasificare permite alegerea metodelor ˆın funct¸ie de tipul de activitate, de etap˘a ¸si nivel de vˆarst˘a. 2. ˆIn funct¸ie de nivelul de dezvoltare a bazei senzoriale de cunoa¸stere: • metode intuitive - ˆınlesnesc copilului activitatea de observare a obiectelor ¸si asigur˘a o cunoa¸stere intuitiv˘a; • metode active - copilul opereaz˘a cu obiectele, formˆandu-¸si treptat ¸si nuant¸at reprezent˘ari; • metode verbale - copilul descrie act¸iuni prin intermediul cuvintelor. Se prezint˘a ˆın continuare cˆateva dintre cele mai eficiente ¸si utilizate metode pedagogice ˆın predarea-ˆınv˘a¸tarea matematicii la clasele primare.

3.1.1

Explicat¸ia

Explicat¸ia este o metod˘a verbal˘a de asimilare a cuno¸stint¸elor ce creeaz˘a un model descriptiv la nivelul relat¸iilor de tip cauz˘a-efect. Explicat¸ia dezv˘aluie, clarific˘a semnificat¸ii, relat¸ii, legi, ipoteze, etc. Ea este eficient˘a dac˘a ˆındepline¸ste urm˘atoarele condit¸ii: • favorizeaz˘a ˆınt¸elegerea unui aspect din realitate; • justific˘a o idee pe baz˘a de argumente ¸si antreneaz˘a operat¸ii ale gˆandirii; • ˆınlesne¸ste dobˆandirea unor tehnici de act¸iune; • are un rol concluziv, dar ¸si anticipativ; • influent¸eaz˘a pozitiv resursele afectiv-emot¸ionale ale elevilor. Urm˘atoarele cerint¸e trebuie respectate pentru utilizarea eficient˘a a acestei metode: 39

• explicat¸ia trebuie s˘a fie precis˘ a ¸si concis˘ a, orientˆand atent¸ia elevilor asupra unui anumit aspect cu semnificat¸ie matematic˘a; • explicat¸ia trebuie s˘a fie corect˘ a din punct de vedere matematic; • explicat¸ia trebuie s˘a fie accesibil˘ a, adic˘a adaptat˘a nivelului experient¸ei lingvistice ¸si cognitive a copiilor. Dac˘a metoda explicat¸iei este corect aplicat˘a, ea devine eficient˘a sub aspect formativ, c˘aci copiii g˘asesc ˆın explicat¸ie un model de rat¸ionament matematic, de exprimare ˆın limbaj matematic a caracteristicilor unui obiect sau procedeu de lucru, un model de abordare a unei situat¸ii-problem˘a. ˆIn cadrul demersului didactic, explicat¸ia este folosit˘a atˆat de profesor, cˆat ¸si de elevi. Profesorul explic˘a procedeul de lucru, explic˘a termenii matematici prin care se verbalizeaz˘a act¸iunea, explic˘a modul de utilizare a mijloacelor didactice, regulile de joc ¸si sarcinile de lucru. Elevul explic˘a modul ˆın care a act¸ionat pentru rezolvarea unei sarcini ¸si solut¸iile g˘asite pentru rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic. Explicat¸ia ˆınsot¸e¸ste ˆıntotdeauna demonstrat¸ia. ˆIn cursul explicat¸iei se pot face ˆıntreruperi, cu scopul de a adresa ˆıntreb˘ari elevilor, prin care s˘a se testeze gradul de receptare ¸si ˆınt¸elegere a celor explicate, dar ˆıntreruperile trebuie s˘a fie de scurt˘a durat˘a, pentru a nu rupe firul logic al demersului sust¸inut. Metoda explicat¸iei se utilizeaz˘a ˆın oricare etap˘a a lect¸iei.

3.1.2

Demonstrat¸ia

Demonstrat¸ia asigur˘a reflectarea obiectului ˆınv˘a¸t˘arii la nivelul percept¸iei ¸si al reprezent˘arii prin intermediul materialului intuitiv. Demonstrat¸ia const˘a ˆın prezentarea obiectelor ¸si fenomenelor sau substitutelor acestora spre studiu. Ea asigur˘a un suport concret-senzorial procesului de ˆınv˘a¸tare. Demonstrat¸ia poate utiliza obiecte reale, substitute ale acestora (plan¸se, scheme, fotografii, tablouri), desenul la tabl˘a, mijloace tehnice audio-vizuale, exemple, etc. Demonstrat¸ia este prezent˘a ˆın etapa de familiarizare a unei unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare cu scopul de a pune ˆın valoare caracterul activ, concret senzorial al percept¸iei copilului. O situat¸ie matematic˘a nou˘a, un procedeu nou de lucru pot fi demonstrate ¸si, ˆın acela¸si timp, explicate de profesor. Nivelul de cuno¸stint¸e al copiilor ¸si vˆarsta acestora determin˘a raportul optim dintre demonstrat¸ie ¸si explicat¸ie. Eficient¸a utiliz˘arii demonstrat¸iei, ca metod˘a de ˆınv˘a¸tare a metematicii ˆın ciclul primar, este sporit˘a dac˘a sunt respectate urm˘atoarele cerint¸e psihopedagogice: • pe parcursul demonstrat¸iei trebuie s˘a se utilizeze diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realit˘a¸tii, materiale ˆın m˘asur˘a s˘a ofere o 40

prezentare schematic˘a, intuitiv˘a, a unor concepte matematice ¸si o sust¸inere obiectual˘a a ˆınv˘a¸t˘arii, indispensabil˘a gˆandirii concrete a copilului; • demonstrat¸ia trebuie s˘a respecte succesiunea logic˘a a etapelor de ˆınv˘a¸tare a unei not¸iuni sau algoritm; • demonstrat¸ia trebuie s˘a favorizeze ˆınv˘a¸tarea prin crearea motivat¸iei specifice.

3.1.3

Conversat¸ia

Conversat¸ia este metoda bazat˘a pe dialogul ˆıntrebare-r˘aspuns, cu scopul realiz˘arii unor sarcini ¸si situat¸ii de ˆınv˘a¸tare. Funct¸iile pedagogice pe care le ˆındepline¸ste conversat¸ia, ˆın raport cu obiectivele urm˘arite ¸si cu tipul de activitate ˆın care este integrat˘a, sunt urm˘atoarele: • funct¸ia euristic˘a, de valorificare a cuno¸stint¸elor anterioare ale elevilor; • funct¸ia de clarificare, de aprofundare a cuno¸stint¸elor; • funct¸ia de consolidare ¸si sistematizare; • funct¸ia de verificare sau control. Mecanismul conversat¸iei const˘a ˆıntr-o succesiune logic˘a de ˆıntreb˘ari cu pondere adecvat˘a ˆıntre ˆıntreb˘ari de tip reproductiv-cognitiv (care este?, ce este?, cum? ) ¸si ˆıntreb˘ari productiv-cognitive (cu ce scop?, din ce cauz˘ a?, ce se ˆıntˆ ampl˘ a dac˘ a? ). Avˆand ˆın vedere c˘a este o metod˘a verbal˘a, conversat¸ia contribuie operat¸ional la realizarea obiectivelor de comunicare. ˆ Intreb˘ arile adresate de profesor elevilor trebuie s˘a satisfac˘a urm˘atoarele cerint¸e: • s˘a respecte succesiunea logic˘a sarcinilor de ˆınv˘a¸tare; • s˘a stimuleze gˆandirea elevului, orientˆand atent¸ia spre elementele importante din perspectiv˘a cognitiv˘a sau formativ˘a ale unei situat¸ii-problem˘a; • s˘a fie clare, corect formulate gramatical, precise; • s˘a nu sugereze r˘aspunsurile a¸steptate; • s˘a aprecieze corect capacitatea de explorare a elevilor, respectˆand principiul pedagogic al pa¸silor mici

41

R˘ aspunsurile elevilor sunt acceptate numai ˆın m˘asura ˆın care sunt complete, motivate ¸si argumentate, sunt formulate independent, dovedesc ˆınt¸elegerea cuno¸stint¸elor matematice ¸si r˘aspund la cerint¸ele cuprinse ˆın ˆıntrebare. Din perspectiv˘a formativ˘a, este util ca profesorul s˘a creeze cˆat mai multe situat¸ii generatoare de ˆıntreb˘ari ¸si c˘aut˘ari, s˘a dea elevilor posibilitatea de a face o select¸ie a posibilit˘a¸tilor de lucru. Prezent¸a unor ˆıntreb˘ari-problem˘a, posibilitatea oferit˘a elevilor de a formula ei ˆın¸si¸si ˆıntreb˘ari ¸si de a r˘aspunde la ˆıntreb˘ari de tipul: ce observi?, ce ai f˘ acut?, de ce? pun elevii ˆın situat¸ia de a motiva act¸iunea ¸si astfel limbajul accentueaz˘a cont¸inutul matematic al act¸iunii obiectuale. ˆIntreb˘arile care pot fi integrate ˆın demersul didactic sunt de trei tipuri: • ˆıntreb˘ari convergente care pun elevii ˆın situat¸ia de a face analize ¸si comparat¸ii; • ˆıntreb˘ari divergente care antreneaz˘a gˆandirea elevilor ˆın a descoperi noi c˘ai de act¸iune matematic˘a; • ˆıntreb˘ari de evaluare care solicit˘a elevilor judec˘a¸ti proprii.

3.1.4

Observat¸ia

Observat¸ia const˘a ˆın analiza obiectelor ¸si fenomenelor ce constituie cont¸inutul ˆınv˘a¸t˘arii, cu scopul identific˘arii ˆınsu¸sirilor semnificative ale acestora. Observat¸ia, ca metod˘a, asigur˘a baza intuitiv˘a a cunoa¸sterii, permite o percept¸ie polimodal˘a ¸si asigur˘a formarea de reprezent˘ari clare despre obiecte ¸si ˆınsu¸sirile semnificative ale acestora. Calitatea act¸iunii didactice este dat˘a de modul ˆın care observat¸ia este organizat˘a de profesor ¸si de m˘asura ˆın care ˆındepline¸ste urm˘atoarele condit¸ii: • dirijarea observat¸iei prin intermediul explicat¸iei ¸si a conversat¸iei; • acordarea libert˘a¸tii elevilor de a pune ˆıntreb˘ari ˆın timpul observat¸iei; • valorificarea informat¸iilor dobˆandite de elevi prin observat¸ie; • alocarea timpului necesar elevilor pentru observat¸ie; • alegerea unor materiale didactice care s˘a favorizeze observat¸ia. Formularea de c˘atre profesor a unui scop ˆın cadrul observat¸iei are rolul de a dirija atent¸ia elevilor spre elementele esent¸iale ale obiectului observ˘arii, astfel ˆıncˆat, treptat, reprezent˘arile s˘a se structureze. Elevul observ˘a, recunoa¸ste, descrie ¸si analizeaz˘a elemente semnificative ale obiectelor. Rezultatele observat¸iei pot fi descrise verbal ¸si notate ˆın moduri variate. Din perspectiv˘a formativ˘a, sunt utile elemente de problematizare integrate ˆın observare. Treptat, elevul va fi capabil s˘a 42

explice cauzele unor schimb˘ari observate, s˘a interpreteze modific˘ari, s˘a prezinte ˆın forme variate ¸si s˘a valorifice rezultatele observat¸iei dirijate. Explicat¸ia are rol de dirijare a observat¸iei spre scopul propus: • copiii comunic˘a rezultatele explor˘arii cˆampului perceptiv, evident¸iind elementele semnificative ale obiectului observat; • se fixeaz˘a ¸si se valorific˘a rezultatele act¸iunii de observare la nivel perceptiv; se introduc elemente specifice limbajului matematic ˆın forme accesibile. Limbajul matematic reprezint˘a un mijloc de ˆınt˘arire ¸si sistematizare a observat¸iei perceptive ¸si favorizeaz˘a discrimin˘ari not¸ionale. Utilizat corect ˆın cadrul explicat¸iei care ˆınsot¸e¸ste observat¸ia, limbajul constituie un element de continuitate ˆın ˆınv˘a¸tarea matematicii ¸si contribuie la realizarea obiectivelor ˆınv˘a¸t˘arii.

3.1.5

Problematizarea

Problematizarea este metoda de ˆınv˘a¸t˘amˆant bazat˘a pe construirea de situat¸iiproblem˘a ¸si reprezint˘a una dintre cele mai utile metode ˆın predarea matematicii, datorit˘a potent¸ialului ei euristic ¸si activizator. O situat¸ie-problem˘a reprezint˘a o situat¸ie contradictorie pentru elev din punct de vedere cognitiv ¸si creat˘a prin existent¸a simultan˘a a dou˘a realit˘a¸ti: experient¸a anterioar˘a ¸si elementul de noutate cu care se confrunt˘a copilul. Acest conflict cognitiv este important din punct de vedere formativ ˆıntrucˆat el incit˘a copilul spre c˘autare ¸si descoperire, spre identificarea unor solut¸ii noi prin ˆıncercare-eroare, la relat¸ion˘ari ˆıntre ceea ce este cunoscut ¸si ceea ce este nou. Problematizarea constituie o metod˘a pedagogic˘a prin care copilul este stimulat s˘a contribuie con¸stient la propria formare prin participarea la o nou˘a experient¸˘a de ˆınv˘a¸tare cu rol de restructurare ¸si dezvoltare a ansamblului de deprinderi ¸si cuno¸stint¸e. ˆIntreb˘arile de tip euristic deschid calea spre descompunerea problemei date ˆın probleme simple, ca trepte ˆın solut¸ionarea problemei centrale. Prin rezolvarea unei situat¸ii-problem˘a elevul este solicitat ˆın g˘asirea de solut¸ii noi, originale ¸si se cultiv˘a astfel creativitatea ¸si flexibilitatea gˆandirii prin valorificarea formativ˘a a unui conflict cognitiv. Fiecare dintre cele dou˘a momente importante ˆın problematizare - prezentarea situat¸iei-problem˘a ¸si formularea ˆıntreb˘arii au valoare formativ˘a, deoarece: • favorizeaz˘a consolidarea unor structuri cognitive; • stimuleaz˘a spiritul de explorare ¸si investigare; • formeaz˘a un stil activ de munc˘a;

43

• cultiv˘a autonomia ¸si curajul ˆın afirmarea unor opinii ale elevilor rezultate ˆın urma unui proces de c˘autare a solut¸iei. ˆIn organizarea unei situat¸ii-problem˘a, profesorul ofer˘a copiilor un minim de informat¸ii spre a-i orienta ˆın alegerea informat¸iilor care s˘a-i ajute s˘a rezolve problema, adreseaz˘a ˆıntreb˘ari, orientˆandu-i ˆın stabilirea unor leg˘aturi de dependent¸˘a ˆıntre ceea ce ei ¸stiu deja ¸si sarcin˘a. Rezolvarea situat¸iilor problem˘a se poate face fie individual, fie pe grupe. Atunci cˆand grupele sunt eterogene, situat¸ia problem˘a se prezint˘a frontal, profesorul intervine ˆın activizarea elevilor care ˆıntˆampin˘a dificult˘a¸ti ¸si ˆıi sprijin˘a pentru a participa la descoperirea solut¸iei. Se realizeaz˘a astfel o activitate con¸stient˘a, de rezolvare ˆın grup, prin cooperare ˆıntre elevi. ˆIn situat¸ia ˆın care grupele sunt omogene, situat¸iile-problem˘a trebuie adaptate posibilit˘a¸tilor fiec˘arui grup. ˆIn cazul conversat¸iei euristice, elementele de problematizare se introduc prin ˆıntreb˘ari de tip productiv-cognitiv (de ce?) sau ipotetico-deductiv (dac˘a... atunci?, ce s-ar ˆıntˆampla dac˘a?). Elevii au sarcina de a g˘asi solut¸ii ¸si a le verifica prin act¸iune. Dac˘a problematizarea este integrat˘a ˆın exercit¸iu sau ˆın joc, elementele de problematizare sunt de tip ˆıntrerupere sau obstacol pentru c˘a sunt formulate noi cerint¸e. Folosit˘a atˆat ca metod˘a cˆat ¸si ca procedeu, problematizarea are valent¸e formative ce pot fi valorificate ˆın lect¸iile de matematic˘a la toate nivelurile de vˆarst˘a. Prin folosirea frecvent˘a a problematiz˘arii ca metod˘a de ˆınv˘a¸tare, se constat˘a o perfect¸ionare a procedurilor de descoperire inductiv˘a folosite de copii (c˘autare, tatonare, select¸ie). Primele lor ˆıncerc˘ari nesigure sunt ˆınlocuite treptat cu un plan de act¸iune: elevul stabile¸ste mental unele relat¸ii, elimin˘a etape ¸si valorific˘a din punct de vedere calitativ experient¸a c˘ap˘atat˘a ˆın alte situat¸ii de ˆınv˘a¸tare. ˆInv˘a¸tarea prin problematizare poate fi utilizat˘a ˆın fiecare dintre etapele metodologice ale unei unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare, dar are un rol esent¸ial ˆın etapa de familiarizare.

3.1.6

ˆInv˘ a¸tarea prin descoperire

ˆ a¸tarea prin descoperire este asociat˘a problematiz˘arii ˆın rat¸ionamente de tip inInv˘ ductiv, deductiv sau analogic. Descoperirea pe cale inductiv˘ a este util˘a ˆın procesul de formare a schemelor operatorii. Calea deductiv˘a a ˆınv˘a¸t˘arii prin descoperire este specific˘a activit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare ˆın care elevul este solicitat s˘a identifice metode de lucru. Descoperirea prin analogie const˘a ˆın aplicarea unui procedeu cunoscut ˆıntr-un alt caz asem˘an˘ator. ˆInv˘a¸tarea prin descoperire ¸si ˆınv˘a¸tarea prin problematizare sunt metode care se pot ˆımbina ˆın cadrul unei strategii de ˆınv˘a¸tare, dar nu au aceea¸si funct¸ie formativ˘a: ˆın cadrul problematiz˘arii, accentul cade pe crearea unor situat¸ii conflictuale care 44

declan¸seaz˘a procesul de ˆınv˘a¸tare, iar ˆın ˆınv˘a¸tarea prin descoperire accentul este pus pe procesul de c˘autare a solut¸iei, pornind de la elemente deja cunoscute.

3.1.7

Exercit¸iul

Exercit¸iul este o metod˘a bazat˘a pe act¸iuni motrice ¸si intelectuale, efectuate de copii ˆın mod con¸stient ¸si repetat, cu scopul form˘arii de priceperi ¸si deprinderi, al automatiz˘arii ¸si interioriz˘arii unor modalit˘a¸ti de lucru ¸si a unor algoritmi de calcul. Prin act¸iune exersat˘a repetat, con¸stient ¸si sistematic, elevul dobˆande¸ste deprinderi de operare, iar repetarea unui exercit¸iu ˆın condit¸ii variate formeaz˘a automatisme de calcul. Ansamblul deprinderilor ¸si priceperilor dobˆandite ¸si exersate prin exercit¸ii ˆın cadrul orelor de matematic˘a duce la automatizarea ¸si interiorizarea lor, transformˆandu-le treptat ˆın abilit˘a¸ti. Abilitatea este ˆınsu¸sirea de a efectua cu u¸surint¸˘a deosebit˘a unele operat¸ii motrice sau mentale la nivel ridicat de performant¸˘a. O act¸iune se consider˘a exercit¸iu numai ˆın condit¸iile ˆın care p˘astreaz˘a un caracter algoritmic ¸si se finalizeaz˘a cu formarea unor componente automatizate, a unor abilit˘a¸ti ce vor putea fi exersate ˆın rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate. Etapele form˘arii unei deprinderi operatorii prin exercit¸iu sunt urm˘atoarele: • familiarizarea cu act¸iunea ˆın ansamblul ei, prin demonstrat¸ie ¸si aplicat¸ii init¸iale; • familiarizarea cu elementele componente ale deprinderii, prin descompunerea ¸si efectuarea pe etape a act¸iunii; • efectuarea act¸iunii ˆın ansamblul ei; • reglarea ¸si autocontrolul efectu˘arii operat¸iilor; • automatizarea ¸si perfectarea act¸iunii, dobˆandirea abilit˘a¸tii. Pentru a asigura formarea de abilit˘a¸ti aritmetice specifice curriculumului de matematic˘a din ciclul primar, exercit¸iul trebuie integrat ˆıntr-un sistem, atˆat la nivelul unei abilit˘a¸ti, cˆat ¸si la nivel de unitate didactic˘a. Conceperea, organizarea ¸si proiectarea unui sistem de exercit¸ii cu scopul dobˆandirii unor capacit˘a¸ti contribuie la: • formarea de deprinderi prin act¸iuni corect elaborate ¸si consolidate; • adˆancirea ˆınt¸elegerii not¸iunilor matematice prin exersara ˆın situat¸ii noi; • dezvoltarea operat¸iilor mentale ¸si constituirea lor ˆın structuri operat¸ionale; 45

• sporirea capacit˘a¸tii operatorii a cuno¸stint¸elor, priceperilor ¸si deprinderilor ¸si transformarea lor ˆın abilit˘a¸ti. Un sistem eficient de exercit¸ii satisface anumite condit¸ii psihopedagogice, specifice etapelor de formare a abilit˘a¸tilor matematice: • succesiunea sistemic˘a a exercit¸iilor pentru respectarea etapelor de formare a unei not¸iuni; • succesiunea progresiv˘a a exercit¸iilor prin e¸salonarea lor dup˘a gradul de dificultate; • aplicarea diferent¸iat˘a a exercit¸iilor, ˆın funct¸ie de particularit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare ale copiilor; • varietatea exercit¸iilor prin schimbarea formei de prezentare, a modului de execut¸ie sau a materialului didactic; • cre¸sterea treptat˘a a gradului de independent¸˘a a elevilor ˆın executarea exercit¸iilor; • e¸salonarea ˆın timp a exercit¸iilor, cu scopul sporirii eficient¸ei ˆınv˘a¸t˘arii; • asigurarea unei alternant¸e rat¸ionale ˆıntre exercit¸iile motrice ¸si cele mentale, ˆın funct¸ie de nivelul de vˆarst˘a ¸si scopul urm˘arit. Sistemul de exercit¸ii nu ˆı¸si poate atinge scopul formativ f˘ar˘a a se acorda atent¸ia cuvenit˘a organiz˘arii situat¸iilor de ˆınv˘a¸tare. Profesorul are urm˘atoarele sarcini: • s˘a anticipeze valoarea ¸si limitele exercit¸iului de executat; • s˘a motiveze elevii pentru efectuarea repetat˘a a unor exercit¸ii la nivelul de performant¸˘a a¸steptat; • s˘a explice ¸si s˘a demonstreze concludent modelul act¸iunii; • s˘a creeze situat¸ii cˆat mai variate de exersare; • s˘a grupeze exercit¸iile ˆın funct¸ie de complexitate ¸si grad de dificultate; • s˘a ˆımbine procedeul execut¸iei globale cu cu cel al execut¸iei pe etape; • s˘a impun˘a un ritm optim de execut¸ie ¸si s˘a aplice instrumente de autoevaluare.

46

3.1.8

Algoritmizarea

Algoritmizarea este o metod˘a bazat˘a pe utilizarea ¸si valorificarea algoritmilor ˆın ˆınv˘a¸tare. Algoritmul este constituit dintr-o suit˘a de operat¸ii executate ˆıntr-o anumit˘a ordine, aproximativ constant˘a, prin parcurgerea c˘arora se ajunge la o ˆınl˘ant¸uire logic˘a de cont¸inuturi. ˆIn procesul de formare a capacit˘a¸tii de operare cu numere, algoritmizarea are o valoare formativ˘a major˘a. Elevii ˆınvat¸˘a algoritmul ca fiind o succesiune de etape ˆın efectuarea operat¸iilor de adunare, sc˘adere, ˆınmult¸ire, ˆımp˘art¸ire pe baza unor sisteme de exercit¸ii cu grade variate de dificultate.

3.1.9

Jocul didactic

Jocul didactic este un ansamblu de act¸iuni ¸si operat¸ii care, paralel cu destinderea, buna dispozit¸ie ¸si bucuria pe care le stˆarne¸ste, urm˘are¸ste un set de obiective de preg˘atire intelectual˘a, tehnic˘a, moral˘a sau fizic˘a a elevului. Prin intermediul jocului didactic, profesorul precizeaz˘a, consolideaz˘a ¸si chiar verific˘a temeinicia cuno¸stint¸elor elevilor, contribuie la ˆımbog˘a¸tirea nivelului de cuno¸stint¸e, pune ˆın valoare ¸si antreneaz˘a capacit˘a¸tile creatoare ale acestora. ˆIn programul zilnic al unui copil, grijile legate de ˆınv˘a¸t˘atur˘a, de realizarea temelor pentru acas˘a, nu diminueaz˘a cu nimic pofta lui de joac˘a, astfel ˆıncˆat integrarea jocului didactic ˆın lect¸iile de matematic˘a nu face decˆat s˘a r˘aspund˘a unei nevoi l˘auntrice de a se juca, nevoie care se ment¸ine pe parcursul ˆıntregii copil˘arii. Jocul este o ”act¸iune specific˘a, ˆınc˘arcat˘a de sensuri ¸si tensiuni, ˆıntotdeauna desf˘a¸surat˘a dup˘a reguli acceptate de bun˘avoie ¸si ˆın afara sferei utilit˘a¸tii sau necesit˘a¸tii materiale, ˆınsot¸it˘a de simt¸˘aminte de ˆınv˘a¸tare ¸si de ˆıncredere, de voio¸sie ¸si destindere”, [13]. Pentru ca un exercit¸iu matematic s˘a poat˘a fi transpus ˆın joc didactic este necesar: • s˘a realizeze un scop ¸si o sarcin˘a didactic˘a; • s˘a se utilizeze elemente de joc ˆın vederea realiz˘arii obiectivelor propuse; • s˘a utilizeze un cont¸inut matematic atractiv ¸si foarte accesibil pentru elevi; • s˘a utilizeze reguli de joc, cunoscute ¸si respectate de tot¸i elevii. Componenetele de baz˘a ale jocului didactic matematic sunt: Scopul didactic care respect˘a cerint¸ele programei, ˆın conformitate cu specificul vˆarstei elevilor ¸si care trebuie formulat clar, astfel ˆıncˆat s˘a oglindeasc˘a problemele specifice, impuse de realizarea jocului. O formulare corespunz˘atoare a scopului ˆınseamn˘a o bun˘a orientare, organizare ¸si desf˘a¸surare a activit˘a¸tii respective. 47

Jocurile pot avea scop de natur˘a cognitiv˘ a, altele urm˘aresc aspectul formativ, dar pot s˘a cuprind˘a ¸si ambele categorii. Sarcina didactic˘a este legat˘a de cont¸inutul jocului, de structura lui, cont¸inˆand referiri la ceea ce trebuie s˘a fac˘a elevii ˆın mod concret pe parcursul jocului. Sarcina didactic˘a este esent¸a ˆıntregului joc, antrenˆand operat¸iile gˆandirii: analiza, sinteza, comparat¸ia, dar ¸si imaginat¸ia copilului. Jocul didactic matematic cuprinde de obicei o singur˘a sarcin˘a didactic˘a. De exemplu, ˆın jocul didactic ”Cine urc˘a mai repede scara?”, scopul didactic este consolidarea deprinderilor de calcul cu cele patru operat¸ii, iar sarcina didactic˘ a este efectuarea unor exercit¸ii de adunare, sc˘adere, ˆınmult¸ire, ˆımp˘art¸ire. Elementele de joc se stabilesc ˆın raport cu cerint¸ele ¸si sarcinile didactice ale jocului. Ele pot fi foarte variate: ˆıntrecerea (individual˘a sau pe grupe), cooperarea (spirit de colectivitate, de echip˘a), recompensarea (de ordin moral sau material), penalizarea (pentru a se respecta regulile jocului), aplauzele, cuvintele stimulative, ˆıncuraj˘arile, mi¸scarea. Cont¸inutul matematic al jocului didactic este corespunz˘ator particularit˘a¸tilor de vˆarst˘a ale elevilor c˘arora li se sdreseaz˘a ¸si sarcinii didactice. Cont¸inutul trebuie s˘a fie accesibil, recreativ ¸si atractiv prin forma ˆın care se desf˘a¸soar˘a, prin mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant utilizate, prin volumul de cuno¸stint¸e la care apeleaz˘a. Materialul didactic trebuie ales ¸si realizat ˆınaintea derul˘arii jocului, el trebuie s˘a contribuie efectiv la reu¸sita acestuia. El trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a urm˘atoarele condit¸ii: • s˘a fie mobil, u¸sor de manipulat de c˘atre elevi; • s˘a cont¸in˘a o problem˘a didactic˘a de rezolvat, dup˘a caz. Regulile jocului asigur˘a modalitatea de transpunere ˆın act¸iuni concrete a sarcinii didactice. Regulile trebuie s˘a fie formulate clar, corect, concis, s˘a fie ˆınt¸elese de c˘atre tot¸i participant¸ii la joc. Subordonarea intereselor personale, celor ale echipei, lupta pentru dep˘a¸sirea eventualelor obstacole, respectarea unor reguli prestabilite contribuie la dezvoltarea personalit˘a¸tii elevului. Utilizarea jocului accentueaz˘a rolul formativ al ˆınv˘a¸t˘arii matematicii prin: • exersarea operat¸iilor gˆandirii: analiza, sinteza, comparat¸ia, clasificarea; • dezvoltarea spiritului de observat¸ie, de init¸iativ˘a ¸si imaginativ-creator; • dezvoltarea spiritului de competit¸ie ¸si de echip˘a; • formarea unor deprinderi de lucru corect ¸si rapid; • ˆınsu¸sirea cuno¸stint¸elor matematice ˆıntr-o form˘a accesibil˘a ¸si pl˘acut˘a. 48

Organizarea ¸si desf˘a¸surarea jocului didactic matematic Pentru o bun˘a proiectare, organizare ¸si desf˘a¸surare a jocului didactic este necesar ca profesorul s˘a asigure o deplin˘a concordant¸˘a ˆıntre toate elementele care ˆıl definesc. Cerint¸ele de baz˘a pentru reu¸sita jocului didactic sunt urm˘atoarele: • preg˘atirea jocului didactic; • organizarea minut¸ioas˘a a acestuia; • respectarea momentelor jocului didactic; • ritmul ¸si strategia conducerii jocului; • stimularea elevilor ˆın vederea particip˘arii active la joc; • asigurarea unei atmosfere prielnice de joc; • varietatea elementelor de joc. Preg˘atirea jocului didactic const˘a ˆın: • studierea atent˘a a cont¸inutului acestuia, a structurii sale; • preg˘atirea materialului didactic necesar sau confect¸ionarea acestuia; • elaborarea planului dup˘a care se va derula desf˘a¸surarea jocului didactic. Organizarea jocului didactic presupune: • reorganizarea mobilierului s˘alii de clas˘a; • ˆımp˘art¸irea pe grupe a elevilor clasei ˆın funct¸ie de act¸iunea jocului; • distribuirea materialului didactic necesar desf˘a¸sur˘arii jocului. Etapele desf˘a¸sur˘arii jocului didactic sunt: • introducerea ˆın atmosfera de joc prin discut¸ii preg˘atitoare; • anunt¸area titlului jocului ¸si a scopului acestuia; • prezentarea materialului didactic necesar desf˘a¸sur˘arii jocului; • explicarea ¸si demonstrarea regulilor jocului; • fixarea regulilor; 49

• executarea jocului de c˘atre copii; • complicarea jocului prin introducerea altor variante ale jocului; • ˆıncheierea jocului prin evaluarea conduitei echipelor sau evaluarea individual˘a. Introducerea ˆın atmosfera de joc se poate face ˆın funct¸ie de tema jocului, printro discut¸ie deschis˘a cu efect motivator sau printr-o scurt˘a expunere sau descriere care s˘a stˆarneasc˘a interesul elevilor. Anunt¸area jocului se va face sintetic, ˆın termeni exact¸i, pentru a nu prelungi ˆınceputul acestei activit˘a¸ti. Prezentarea materialului didactic se va face cˆat mai explicit, punˆandu-se accent pe obiectivele urm˘arite. Prezentarea poate fi ˆınsot¸it˘a ¸si de cˆateva exercit¸ii de folosire corect˘a a materialului. Explicarea jocului este un moment hot˘arˆator pentru derularea ulterioar˘a acestuia. Sarcinile profesorului ˆın aceast˘a etap˘a sunt urm˘atoarele: • s˘a-i fac˘a pe elevi s˘a ˆınt¸eleag˘a sarcinile de lucru ce le revin pe parcursul jocului; • s˘a precizeze regulile jocului, asigurˆand ˆınt¸elegerea ¸si ˆınsu¸sirea lor rapid˘a ¸si corect˘a; • s˘a prezinte cont¸inutul jocului ¸si principalele etape ˆın funct¸ie de reguli; • s˘a dea unele indicat¸ii referitoare la utilizarea materialului didactic; • s˘a precizeze sarcinile conduc˘atorului de joc ¸si care sunt cerint¸ele pentru a deveni cˆa¸stig˘ator ˆın final. Fixarea regulilor este recomandat˘a pentru jocurile cu o act¸iune mai complicat˘a, care impun sublinierea special˘a a acestor reguli. Profesorul va acorda o atent¸ie special˘a elevilor cu o capacitate mai redus˘a de ˆınt¸elegere. Executarea jocului ˆıncepe la semnalul conduc˘atorului jocului. Acesta poate interveni pe parcursul jocului dac˘a este nevoie s˘a reaminteasc˘a regulile jocului sau pentru a da indicat¸ii organizatorice. Pe parcursul jocului pot interveni elemente noi: unii elevi devin ei ˆın¸si¸si conduc˘atorii jocului, elevii ˆı¸si schimb˘a materialul didactic ˆıntre ei, sarcinile jocului se complic˘a, se introduc elemente ¸si materiale noi. Este recomandat ca profesorul s˘a dea libertate elevilor ˆın timpul jocului, pentru a spori rolul formativ al acestuia. Verbalizarea act¸iunilor, exprimarea rezultatelor obt¸inute, de¸si sunt importante, nu se situeaz˘a pe acela¸si plan cu activitatea propriu-zis˘a, putˆandu-se utiliza un limbaj obi¸snuit. 50

ˆ Incheierea jocului se realizeaz˘a la finalul jocului, moment ˆın care profesorul formuleaz˘a concluziile ¸si aprecierile ˆın leg˘atur˘a cu modul ˆın care s-a desf˘a¸surat jocul, asupra modului ˆın care s-au respectat regulile, cum s-au executat sarcinile primite. Profesorul va face referiri ¸si asupra comportamentului elevilor, f˘acˆand recomand˘ari cu caracter individual ¸si general. Foarte important˘a pentru finalitatea jocului este anunt¸area ¸si evident¸ierea cˆa¸stig˘atorului jocului ¸si eventuala recompensare a acestuia prin aplauzele colegilor sau cadouri simbolice. Introducerea metodei jocului ˆın diferite etape ale demersului didactic conduce la un plus de eficient¸˘a formativ˘a ˆın planul cunoa¸sterii, dezvolt˘a la copil atitudini afective ¸si conduite con¸stiente de act¸iune. ˆIn acest fel, cadrul didactic reu¸se¸ste s˘a activizeze copiii din punct de vedere cognitiv, operat¸ional ¸si afectiv, sporind gradul de ˆınt¸elegere ¸si participare activ˘a a copilului la actul de ˆınv˘a¸tare, s˘a evident¸ieze modul de act¸iune ˆın diverse situat¸ii, s˘a contribuie la formarea deprinderilor de autocontrol a conduitelor operatorii ¸si a achizit¸iilor cognitive ale copiilor.

3.1.10

Cubul

Cubul este o metod˘a de explorare din diferite perspective cognitive a unei situat¸ii de ˆınv˘a¸tare. Etapele pentru organizarea unor activit˘a¸ti folosind metoda cubului sunt: • alegerea unit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare ¸si a activit˘a¸tii de ˆınv˘a¸tare; • preg˘atirea materialului didactic: confect¸ionarea unui cub pe ale c˘arui fet¸e s-au notat ¸sase dintre deprinderile care trebuie exersate: descrie, compar˘ a, analizeaz˘a, asociaz˘a, aplic˘a, argumenteaz˘ a; • organizarea colectivului de elevi; • valorificarea sarcinilor de lucru ˆın grup: sarcina finalizat˘a este prezentat˘a de reprezentantul fiec˘arui grup ˆıntregului colectiv de elevi.

3.1.11

S ¸ tiu/ Vreau s˘ a ¸stiu/ Am ˆınv˘ a¸tat

Cercet˘arile ˆın domeniu au ar˘atat c˘a ˆınv˘a¸tarea este eficient˘a atunci cˆand se bazeaz˘a pe ˆınv˘a¸tare con¸stient˘a ¸si valorific˘a experient¸e anterioare ale elevilor ˆın procesul de dobˆandire de noi cuno¸stint¸e. Prin metoda S ¸ tiu/ Vreau s˘ a ¸stiu/ Am ˆınv˘ a¸tat se realizeaz˘a un inventar a ceea ce elevii ¸stiu deja despre o tem˘a ¸si apoi se formuleaz˘a ˆıntreb˘ari la care se a¸steapt˘a g˘asirea r˘aspunsurilor prin valorificarea cuno¸stint¸elor anterioare. Profesorul deseneaz˘a pe tabl˘a urm˘atorul tabel:

51

S¸tiu Vreau s˘ a ¸stiu Am ˆınv˘ a¸tat Elevii noteaz˘a ceea ce Elevii noteaz˘a ceea ce Elevii noteaz˘a ceea ce ¸stiu sau cred c˘a ¸stiu doresc s˘a afle nou ˆın au ˆınv˘a¸tat despre tema despre tema dat˘a leg˘atur˘a cu acea tem˘a nou˘a Etapele metodei sunt urm˘atoarele [12]: • Colectivul clasei se organizeaz˘a ˆın perechi ¸si fiecare pereche prime¸ste ca sarcin˘a realizarea unei liste cu tot ceea ce ¸stiu sau cred c˘a ¸stiu despre o anume tem˘a. • Fiecare pereche va prezenta tabelul s˘au ¸si se vor nota ˆın coloana din stˆanga informat¸iile cu care toat˘a clasa este de acord. • Elevii vor identifica ˆıntreb˘arile pe care ei le au despre subiectul abordat, iar profesorul le va lista ˆın a doua coloan˘a a tabelului. Aceste ˆıntreb˘ari vor evident¸ia nevoile de ˆınv˘a¸tare ale elevilor ˆın leg˘atur˘a cu tema abordat˘a. • Elevii citesc individual din manual o nou˘a tem˘a. Dup˘a lectura textului, se revine asupra ˆıntreb˘arilor formulate ˆın coloana a doua ¸si se analizeaz˘a la care dintre ˆıntreb˘ari s-a g˘asit r˘aspunsul ˆın text. R˘aspunsurile vor fi notate ˆın coloana Am ˆınv˘a¸tat. • Elevii vor face comparat¸ie ˆıntre ceea ce ei ¸stiau deja despre tema abordat˘a, tipul ¸si cont¸inutul ˆıntreb˘arilor pe care le-au formulat ¸si ceea ce ei au ˆınv˘a¸tat. Unele dintre ˆıntreb˘arile lor s-ar putea s˘a r˘amˆan˘a f˘ar˘a r˘aspuns sau vor ap˘area ˆıntreb˘ari noi. ˆIn acest caz, ˆıntreb˘arile pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigat¸ii personale. • Informat¸ia cuprins˘a ˆın coloana a treia Am ˆınv˘ a¸tat poate fi structurat˘a ca ¸si cont¸inut not¸ional al temei noi. Aceast˘a metod˘a poate fi aplicat˘a la clasele a III-a ¸si a IV-a ˆın cadrul oric˘arei unit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare.

3.1.12

Mozaicul

Mozaicul sau Jigsaw este o metod˘a de ˆınv˘a¸tare prin colaborare ¸si prin predarea de c˘atre elevi colegilor lor. Activitatea se desf˘a¸soar˘a ˆın trei etape: Etapa 1 • Se ˆımparte colectivul de elevi ˆın grupe de cˆate 4 elevi, numite grupuri ”de ba¸stin˘a”. Elevii fiec˘arei grupe num˘ar˘a pˆan˘a la 4, astfel ˆıncˆat fiecare membru al grupei prime¸ste un num˘ar de la 1 la 4. 52

• Se d˘a fiec˘arui membru al grupei o fi¸s˘a de lucru cu 4 sarcini structurate. Se discut˘a cu toat˘a clasa cont¸inutul fi¸sei, f˘ar˘a a se da explicat¸ii referitoare la modul de rezolvare. Etapa 2 • Tot¸i elevii cu num˘arul 1 se adun˘a ˆıntr-un grup, cei cu num˘arul 2 ˆın alt grup, etc. Aceste grupuri noi se numesc grupurile ”de expert¸i”. Sarcina lor este s˘a rezolve corect cerint¸a cu acela¸si num˘ar din fi¸sa de lucru. Fiecare grup trebuie s˘a citeasc˘a sarcina ¸si s˘a discute posibilele solut¸ii. Apoi membrii fiec˘arui grup hot˘ar˘asc ˆımpreun˘a modul ˆın care o pot preda colegilor, avˆand ˆın vedere c˘a fiecare urmeaz˘a s˘a se ˆıntoarc˘a ˆın grupul ”de ba¸stin˘a” ¸si s˘a explice colegilor modul de rezolvare. • Este foarte important ca fiecare membru al grupului ”de expert¸i” s˘a ˆınt¸eleag˘a c˘a el este responsabil de modul ˆın care va explica celorlalt¸i din grupul ”de ba¸stin˘a” solut¸ia respectiv˘a. Elevilor li se d˘a timp pentru a ˆınt¸elege sarcina, pentru a discuta ¸si elabora strategiile de rezolvare. Etapa 3 • Dup˘a ce grupele ”de expert¸i” ¸si-au ˆıncheiat lucrul, fiecare elev se ˆıntoarce la grupul s˘au init¸ial ¸si explic˘a celorlalt¸i modul de rezolvare a sarcinii. Fiecare elev din grup trebuie s˘a cunoasc˘a rezolvarea tuturor sarcinilor. • Elevii noteaz˘a orice ˆıntreb˘ari sau nel˘amuriri au ˆın leg˘atur˘a cu rezolvarea sarcinii ¸si cer apoi profesorului clarific˘ari. Dac˘a neclarit˘a¸tile persist˘a se va adresa ˆıntrebarea ˆıntregului grup de ”expert¸i” pentru rezolvarea cerint¸ei respective. • Profesorul cere elevilor s˘a prezinte rezolvarea fiec˘areia dintre sarcinile din fi¸sa de lucru, a¸sa cum au ˆınt¸eles-o predat˘a de colegii lor. Pentru feed-back-ul activit˘a¸tii, se pot adesa elevilor ˆıntreb˘ari de tip productiv. • ˆIn timpul ˆınv˘a¸t˘arii prin colaborare, profesorul monitorizeaz˘a activitatea grupurilor pentru a fi sigur c˘a informat¸ia se transmite corect, stimuleaz˘a cooperarea, asigur˘a implicarea, participarea tuturor membrilor. Aceast˘a metod˘a prezint˘a avantaje deoarece stimuleaz˘a ˆıncrederea ˆın sine a elevilor, dezvolt˘a abilit˘a¸ti de comunicare argumentativ˘a ¸si de relat¸ionare ˆın cadrul grupului, dezvolt˘a gˆandirea logic˘a, critic˘a ¸si independent˘a, dezvolt˘a r˘aspunderea individual˘a ¸si de grup.

53

3.2

Utilizarea mijloacelor de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant ˆın lect¸iile de matematic˘ a la clasele primare

Mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant sunt resurse educat¸ionale cu rol important ˆın cadrul strategiei didactice. Eficient¸a unei strategii este dat˘a nu numai de bog˘a¸tia ¸si mobilitatea metodelor, ci ¸si de folosirea flexibil˘a a mijloacelor didactice solicitate de particularit˘a¸tile metodice ale fiec˘arei situat¸ii de ˆınv˘a¸tare sau secvent¸˘a a lect¸iei. Resursele materiale folosite ˆın sprijinul procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant sunt: material intuitiv, material didactic ¸si mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant. Materialul intuitiv desemneaz˘a acele materiale care redau ˆın form˘a natural˘a obiectele ¸si fenomenele realit˘a¸tii. Materialul didactic este o not¸iune mai cuprinz˘atoare ˆın sensul c˘a include atˆat materialele intuitive, cˆat mai ales pe cele realizate intent¸ionat pentru a mijloci observat¸ia elevilor asupra realit˘a¸tii inaccesibile sau greu accesibile. Aceste mijloace sunt substitute ale realit˘a¸tii c˘aci ele reproduc sau reconstituie obiectele ¸si fenomenele reale. Prin modul cum sunt elaborate sau construite, aceste mijloace materiale reprezint˘a originalul. Materialul didactic are cu preponderent¸˘a funct¸ie demonstrativ˘a, ˆıntrucˆat serve¸ste profesorului pentru a prezenta unele obiecte ¸si fenomene, pentru a ilustra expunerea sau pentru a efectua unele experient¸e. Termenul de mijloc de ˆınv˘a¸t˘amˆ ant este un concept mult mai cuprinz˘ator decˆat cel de material didactic [11]. Prin acest concept se ˆınt¸eleg resursele materiale ale procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant investite cu anumite funct¸ii pedagogice pentru a u¸sura comunicarea, ˆınt¸elegerea, formarea not¸iunilor ¸si deprinderilor, fixarea, evaluarea ¸si aplicarea cuno¸stint¸elor ˆın practic˘a, precum ¸si consolidarea abilit˘a¸tilor. Aceste mijloace manifest˘a un anumit potent¸ial pedagogic care se valorific˘a ˆın lect¸ie pentru realizarea obiectivelor stabilite ¸si influent¸eaz˘a ˆın mod direct gradul de participare al elevilor la desf˘a¸surarea procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant, mergˆand pˆan˘a la individualizarea ˆınv˘a¸t˘arii. Spre deosebire de materialele didactice, mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant ofer˘a o informat¸ie mai bogat˘a, mai bine selectat˘a, prelucrat˘a ¸si ordonat˘a logic care poate fi valorificat˘a direct ˆın lect¸ie. Fiind astfel concepute ¸si realizate, mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant reu¸sesc s˘a stimuleze o serie de procese care constituie tot atˆatea ˆındemnuri la act¸iune ¸si, ˆın acela¸si timp, s˘a trezeasc˘a interesul elevilor pentru cunoa¸sterea realit˘a¸tii. La aceste resurse materiale recurg profesorul ¸si elevul ˆın lect¸ie cu scopul de a realiza sarcinile de instruire. Ele sunt instrumente de care se folosesc profesorii ˆın activitatea de predare ¸si elevii ˆın activitatea de ˆınv˘a¸tare. Funct¸iile pedagogice pe care le au mijloacele de ˆınv˘a¸t˘amˆant sunt urm˘atoarele [11]: • Funct¸ia de comunicare const˘a ˆın ˆınsu¸sirea mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant de a comunica direct informat¸ii despre obiectele ¸si fenomenele studiate. 54

• Funct¸ia ilustrativ-demonstrativ˘ a sust¸ine ¸si amelioreaz˘a comunicarea bazat˘a pe limbajul vorbit, dovede¸ste un adev˘ar, prezint˘a experimente, operat¸ii de lucru, care u¸sureaz˘a ˆınt¸elegerea ¸si executarea corect˘a a unor activit˘a¸ti. • Funct¸ia formativ-educativ˘a a mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant ˆınseamn˘a faptul c˘a acestea contribuie la formarea gˆandirii logice, a capacit˘a¸tii de analiz˘a ¸si sintez˘a, la activizarea atent¸iei, la formarea de priceperi ¸si deprinderi, la stimularea curiozit˘a¸tii, a intereselor de cunoa¸stere ¸si favorizeaz˘a activitatea independent˘a. • Funct¸ia stimulativ˘a const˘a ˆın provocarea ¸si dezvoltarea motivat¸iei pentru problemele studiate. • Funct¸ia de rat¸ionalizare a efortului ˆın activitatea de predare-ˆınv˘ a¸tare (ergonomic˘a) decurge din posibilit˘a¸tile unor mujloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant de a contribui la rat¸ionalizarea eforturilor elevilor ¸si profesorului ˆın timpul desf˘a¸sur˘arii procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant. • Funct¸ia estetic˘a decurge din posibilit˘a¸tile unor mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant de a contribui la dezvoltarea capacit˘a¸tii de ˆınt¸elegere ¸si apreciere a frumosului. • Funct¸ia de evaluare const˘a ˆın posibilitatea mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant de a pune ˆın evident¸˘a rezultatele obt¸inute de elevi ˆın procesul de ˆınv˘a¸t˘amˆant, de a diagnostica ¸si aprecia progresele elevilor. Din punct de vedere psihologic, materialul didactic, corelat cu calitatea act¸iunii ˆın momentul perceperii, ajut˘a la perfect¸ionarea capacit˘a¸tii perceptive. Descrierea imaginii se realizeaz˘a la un nivel superior atunci cˆand elevul nu se rezum˘a s˘a o observe, ci explic˘a ceea ce vede. Astfel, descrierile elevilor devin mai organizate, abaterile de la sarcin˘a sunt mai put¸in frecvente. Ca efect al exers˘arii pe un material didactic adecvat, are loc perfect¸ionarea actului perceptiv. Folosirea materialului concret ca sprijin intuitiv ˆın formarea not¸iunilor este impus˘a de faptul c˘a posibilit˘a¸tile de generalizare ¸si abstractizare sunt limitate la ¸scolarul mic. Absent¸a materialului didactic ˆın activitate exclude exercit¸iile de observare perceptiv˘a ¸si are ca efect o inert¸ie a activit˘a¸tii cognitive. Calitatea ¸si culoarea materialului didactic este important˘a, deoarece la copilul mic apar dificult˘a¸ti de diferent¸iere, de separare a obiectului de fond. La vˆarsta ¸scolar˘a mic˘a, elevul ˆı¸si concentreaz˘a atent¸ia asupra stimulilor relevant¸i ¸si, din punct de vedere perceptiv, forma prezint˘a un nivel de variabilitate mai put¸in sesizabil ˆın raport cu culoarea. Pentru copil, culoarea este mai dinamic˘a, mai sugestiv˘a ¸si se impune mai direct ˆın cˆampul perceptiv. Raportul de dominant¸˘a form˘a-culoare este influent¸at ¸si de modul ˆın care culoarea este distribuit˘a pe suprafat¸a obiectului. Dac˘a obiectul este colorat ˆıntr-o 55

singur˘a tonalitate, uniform distribuit˘a, se produce un efect de adaptare la culoare, forma devine dominanta perceptiv˘a ¸si culoarea trece pe planul doi ˆın percept¸ie. De multe ori, ˆın lect¸iile de matematic˘a la clasele mici trebuie evident¸iat˘a una dintre propriet˘a¸tile obiectului. Pentru aceasta se preg˘atesc obiecte identice ˆın toate privint¸ele, cu except¸ia unei singure calit˘a¸ti, care variaz˘a. Materialul didactic bogat ¸si variat este un mijloc eficient de a dezvolta capacitatea elevului de a observa ¸si de a ˆınt¸elege realitatea, de a act¸iona ˆın mod adecvat. Operarea cu material didactic asigur˘a con¸stientizarea, ˆınt¸elegerea celor ˆınv˘a¸tate, precum ¸si motivarea ˆınv˘a¸t˘arii. Utilizarea de c˘atre elevi a materialului didactic pentru rezolvarea unor sarcini antreneaz˘a capacit˘a¸tile cognitive ¸si motrice ¸si, ˆın acela¸si timp, declan¸seaz˘a o atitudine afectiv-emot¸ional˘a, favorabil˘a obiectivelor propuse. Rolul materialului didactic ˆın predarea-ˆınv˘a¸tarea matematicii const˘a ˆın [12]: • Sprijin˘a procesul de formare a not¸iunilor, contribuie la formarea capacit˘a¸tilor de analiz˘a, sintez˘a, generalizare ¸si constituie un mijloc de maturizare mental˘a. • Ofer˘a un suport pentru rezolvarea unor situat¸ii-problem˘a ale c˘aror solut¸ii urmeaz˘a s˘a fie analizate ¸si valorificare ˆın lect¸ie. • Determin˘a ¸si dezvolt˘a motivat¸ia ˆınv˘a¸t˘arii ¸si, ˆın acela¸si timp, declan¸seaz˘a o atitudine emot¸ional˘a pozitiv˘a. • Contribuie la evaluarea unor rezultate ale ˆınv˘a¸t˘arii. Ca resurs˘a educat¸ional˘a, materialul didactic este cu atˆat mai eficient cu cˆat ˆınglobeaz˘a o valoare cognitiv˘a ¸si formativ˘a mai mare, iar contextul pedagogic ¸si metoda folosit˘a determin˘a eficient¸a materialului didactic prin valorificarea funct¸iilor sale pedagogice. Clasificarea mijloacelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant se face conform acestor funct¸ii, astfel: 1. Mijloace informativ-demonstrative care ajut˘a la exemplificarea, ilustrarea ¸si concretizarea not¸iunilor matematice: • Materiale intuitive care ajut˘a la cunoa¸sterea unor propriet˘a¸ti ale obiectelor, specifice fazei concrete a ˆınv˘a¸t˘arii. Acestea pot fi obiecte din mediul ˆınconjur˘ator, materiale din natur˘a, juc˘arii. • Repezent˘ari figurative care sunt substitute ale obiectelor reale. Acestea pot fi desene din manual, jetoane cu imagini, plan¸se, desenul pe tabl˘a, tabla magnetic˘a. • Reprezent˘ari simbolice care se utilizeaz˘a ˆın faza semiabstract˘a de formare a unor not¸iuni. Elevii opereaz˘a cu material didactic special confect¸ionat: bet¸i¸soare, num˘ar˘atoarea cu bile, num˘ar˘atoarea cu discuri, abacul, truse de figuri ¸si corpuri geometrice, truse de geometrie, instrumente de m˘asur˘a. 56

2. Mijloace de exersare ¸si formare de deprinderi. ˆın acesat˘a categorie se ˆıncadreaz˘a fi¸sele de lucru, instrumentele de m˘asur˘a, instrumentele de geometrie, jocurile logice, trusa Dienes, rigletele, cuburile demontabile. Trusa Dienes este format˘a din 48 de piese, de 4 forme: cerc, p˘atrat, triunghi, dreptunghi; 3 culori: ro¸su, galben, albastru; 2 m˘arimi: piese mari ¸si mici; 2 grosimi: piese groase ¸si subt¸iri. Trusele Logi I ¸si Logi II sunt asem˘an˘atoare trusei Dienes ¸si pot fi folosite pentru activit˘a¸ti independente. Rigletele Cuissenaire simbolizeaz˘a numerele naturale de la 1 la 10. Rigletele sunt colorate diferit ¸si au lungimile ˆın funct¸ie de num˘arul pe care ˆıl reprezint˘a. Num˘arul 1 este reprezentat de o riglet˘a alb˘a, ˆın form˘a de cub. Num˘arul 2 este reprezentat de o riglet˘a format˘a din dou˘a cuburi, de culoare ro¸sie, etc. Utilizarea rigletelor prezint˘a urm˘atoarele avantaje: • Ofer˘a posibilitatea elevului de a forma numere prin realizarea de combinat¸ii de riglete, ceea ce favorizeaz˘a ˆınt¸elegerea compunerii ¸si descompunerii numerelor. • Favorizeaz˘a ˆınt¸elegerea relat¸iilor de egalitate ¸si ordine dintre numerele naturale, prin posibilitatea de a compara m˘arimile rigletelor ¸si aprecierea num˘arului de unit˘a¸ti cu care un num˘ar este mai mare sau mai mic decˆat altul. • Favorizeaz˘a ˆınt¸elegerea num˘arului ca m˘asur˘a prin observarea unit˘a¸tilor care ˆıl compun. • Favorizeaz˘a ˆınt¸elegerea ¸si efectuarea operat¸iilor aritmetice simple. Datorit˘a multiplelor avantaje de ordin pedagogic ¸si u¸surint¸ei ˆın folosire, utilizarea rigletelor determin˘a transform˘ari calitative ˆın achizit¸ia conceptelor de num˘ar ¸si operat¸ie. Cuburile demontabile sunt asem˘an˘atoare rigletelor. Se pot utiliza ˆın predarea numerelor de ordin de m˘arime superior. Riglete de 10 unit˘a¸ti se pot asambla cˆate 10 ¸si se formeaz˘a 100, iar pl˘acile de 100 se pot asambla cˆate 10 pentru a forma cubul de 1000 de cubulet¸e mici. Ajut˘a la ˆınt¸elegerea sistemului zecimal, a component¸ei numerelor, la efectuarea de operat¸ii aritmetice. 3. Mijloace de rat¸ionalizare a timpului constituie ¸sabloane, jetoane, ¸stampile, care permit realizarea mai rapid˘a a desenelor. De asemenea, utilizarea calculatorului este atractiv˘a pentru elevi. Softul educat¸ional este special conceput sub form˘a de joc ¸si solicit˘a din partea elevului ˆındeplinirea unor sarcini care conduc la satisfact¸ie prin dep˘a¸sirea nivelurilor de dificultate. 4. Mijloacele de evaluare utilizate mai frecvent sunt fi¸sele de evaluare ¸si testele. Evaluarea performant¸elor elevilor se poate realiza rapid ¸si eficient ¸si cu ajutorul calculatorului. 57

Profesorul trebuie s˘a dozeze eficient folosirea mijloacelor didactice, pentru a nu ajunge la dispersarea ¸si ˆındep˘artarea sintezei, corel˘arii sau aplic˘arii ¸si neglijarea unor aspecte de cont¸inut. De asemenea, limitarea la materialul didactic simplu d˘auneaz˘a efectu˘arii operat¸iilor gˆandirii, etapelor ˆınv˘a¸t˘arii, iar folosirea abuziv˘a a unui singur mijloc nu conduce la realizarea obiectivelor dac˘a nu solicit˘a procese, act¸iuni variate pentru corelare. Materialul didactic trebuie astfel ales ˆıncˆat el s˘a atrag˘a, s˘a apeleze la sensibilitatea copilului, la dezvoltarea spiritului de observat¸ie, iar volumul de reprezent˘ari, sinteza lor original˘a, ˆımprejurarea afectiv˘a s˘a duc˘a la reprezent˘ari personale, f˘ar˘a ca elevul s˘a imite. Dac˘a profesorul stabile¸ste ˆıntˆai sistemul de metode, ¸tinˆand cont de elementele cunoscute ale lect¸iei, poate alege mijloacele mai u¸sor, avˆand ˆın vedere rolul acestora ca auxiliare ale metodelor, ˆın diversificarea procedeelor.

58

Capitolul 4 Evaluarea randamentului ¸scolar la matematic˘ a A evalua rezultatele ¸scolare ˆınseamn˘a a determina m˘asura ˆın care obiectivele programului de instruire au fost atinse, precum ¸si eficient¸a metodelor de predareˆınv˘a¸tare folosite. Evaluarea e menit˘a s˘a furnizeze informat¸iile necesare regl˘arii ¸si amelior˘arii activit˘a¸tii de la o etap˘a la alta, prin adoptarea m˘asurilor corespunz˘atoare pentru cre¸sterea eficient¸ei activit˘a¸tii. Evaluarea didactic˘a reprezint˘a totalitatea activit˘a¸tilor prin care se colecteaz˘a, organizeaz˘a ¸si interpreteaz˘a datele ˆın urma aplic˘arii unor instrumente de m˘asurare, ˆın scopul emiterii unei judec˘a¸ti valoare, pe care se bazeaz˘a o anumit˘a decizie ˆın plan educat¸ional. Evaluarea este component˘a esent¸ial˘a a procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant. Din aceast˘a perspectiv˘a ˆındepline¸ste urm˘atoarele funct¸ii: • Funct¸ia de constatare ¸si diagnosticare a performant¸elor obt¸inute de elevi, explicate prin factorii ¸si condit¸iile care au condus la succesul sau insuccesul ¸scolar. • Funct¸ia de reglare ¸si perfect¸ionare continu˘a a metodologiei instruirii pe baza informat¸iilor obt¸inute din aplicarea factorilor ¸si a condit¸iilor ce au determinat rezultatele la ˆınv˘a¸t˘atur˘a. • Funct¸ia de predict¸ie ¸si decizie privind desf˘a¸surarea ˆın viitor a activit˘a¸tii instructiv-educative cu scopul amelior˘arii ei. • Funct¸ia de select¸ionare ¸si clasificare a elevilor ˆın raport cu rezultatele ¸scolare obt¸inute. • Funct¸ia formativ-educativ˘a de ameliorare a metodelor de ˆınv˘a¸tare folosite de elevi, de stimulare ¸si optimizare a ˆınv˘a¸t˘arii. 59

• Funct¸ia de perfect¸ionare ¸si inovare a ˆıntregului sistem ¸scolar. Procesul de evaluare cuprinde trei etape principale: • M˘asurarea rezultatelor ¸scolare reprezint˘a operat¸ia de constatare a existent¸ei, volumului, corectitudinii ¸si gradului de st˘apˆanire a unor cuno¸stint¸e prin aplicarea unor instrumente de evaluare adecvate scopului urm˘arit (probe orale, scrise, practice, proiecte, portofolii, etc.); • Aprecierea rezultatelor ¸scolare reprezint˘a procesul de acordare a notei sau calificativului pe baza unor criterii unitare (bareme de corectare ¸si notare, descriptori de performant¸˘a, etc.); • Formularea concluziilor este un demers de factur˘a explicativ-justificativ˘a, avˆand rolul de a facilita ˆınt¸elegerea, la nivelul elevului, a motivelor care au stat la baza acord˘arii notei. Argumentarea realizat˘a de profesor se poate manifesta sub dou˘a forme: – Normativ˘a : centrat˘a pe justificarea corectitudinii notei acordate; – Formativ˘a : profesorul urm˘are¸ste nu numai con¸stientizarea elevului cu provire la nivelul performant¸elor sale, dar ¸si mobilizarea lui ˆın direct¸ia dep˘a¸sirii performant¸ei obt¸inute la un moment dat.

4.1

Tipuri de evaluare didactic˘ a

ˆIn procesul evalu˘arii, avem de-a face cu urm˘atoarele tipuri de evaluare didactic˘ a: ˆ 1. In funct¸ie de sistemul de referint¸˘ a fat¸a˘ de care se face evaluarea: • Elevul considerat ˆın raport cu propriul s˘a standard, ca expresie a capacit˘a¸tilor ¸si motivat¸iei pentru ˆınv˘a¸tare. ˆIn acest caz intereseaz˘a ˆın ce m˘asur˘a elevul ˆı¸si reediteaz˘a sau dep˘a¸se¸ste statutul anterior. Acest tip de evaluare se nume¸ste evaluare de progres. • Elevul situat ˆın standardele sau norma grupului (clas˘a sau a unui grup reprezentativ). Acest tip de evaluare se nume¸ste evaluare normativ˘ a sau clasificatorie. • Elevul ˆın raport cu obiectivele programei. Aceast˘a form˘a de evaluare se nume¸ste evaluare formativ˘a. 2. ˆIn funct¸ie de momentul ˆın care se realizeaz˘a evaluarea: • Evaluarea init¸ial˘a, care se realizeaz˘a la ˆınceputul unei perioade de instruire. Aceasta ˆı¸si dovede¸ste utilitatea din dou˘a puncte de vedere: 60

– stabilirea cu suficient˘a exactitate ˆınc˘a de la ˆınceput a lacunelor existente ˆın preg˘atirea elevilor ¸si a m˘asurilor ce permit eliminarea acestora; – se constituie ca punct de reper esent¸ial pentru asigurarea obiectivit˘a¸tii ¸si pertinent¸ei act¸iunilor evaluative ulterioare. • Evaluarea continu˘a se realizeaz˘a pe parcursul secvent¸elor de instruire ¸si are drept obiective: – monitorizarea sistematic˘a a progresului elevilor; – repararea ˆın timp util a eventualelor disfunct¸ionalit˘a¸ti survenite ˆın procesul de predare-ˆınv˘a¸tare. • Evaluarea final˘a /sumativ˘a / cumulativ˘ a se realizeaz˘a la sfˆar¸situl unui stadiu de instruire ¸si urm˘are¸ste constatarea eficient¸ei act¸iunii instructiv-educative ˆıntreprinse ˆın acest interval de timp.

4.2

Criterii de evaluare

Aprecierea cˆat mai obiectiv˘a a rezultatelor la ˆınv˘a¸t˘atur˘a presupune raportarea lor la anumite criterii: 1. Criteriul raport˘arii rezultatelor la obiectivele cadru ¸si de referint¸˘ a, prev˘azute de programa ¸scolar˘a ¸si la obiectivele operat¸ionale ale fiec˘arei lect¸ii. Prin aceast˘a raportare se scot ˆın evident¸˘a calitatea ¸si eficient¸a programului de instruire. Obiectivele pedagogice, pe lˆang˘a faptul c˘a indic˘a direct¸ia metodologic˘a a programului de instruire, permit s˘a se verifice ¸si s˘a se aprecieze mai exact rezultatele elevilor, astfel ˆıncˆat ˆıntre evaluatori diferit¸i care apreciaz˘a aceea¸si performant¸˘a, diferent¸ele s˘a fie foarte mici. ˆIn acest sens, obiectivele pedagogice ˆındeplinesc funct¸ia de criteriu de referint¸˘ a, atunci cˆand se formuleaz˘a o judecat˘a de valoare asupra rezultatelor ¸scolare. Sunt situat¸ii ˆıns˘a cˆand raportarea la obiective ¸si cont¸inut este influent¸at˘a de nivelul clasei. 2. Criteriul raport˘arii rezultatelor la nivelul mediu atins de populat¸ia ¸scolar˘ a evaluat˘ a, care se manifest˘a ˆın tendint¸a de apreciere mai indulgent˘a a rezultatelor elevilor dintr-o clas˘a mai slab˘a la ˆınv˘a¸t˘atur˘a ¸si de exigent¸a sporit˘a la clasele mai bine preg˘atite. 3. Criteriul raport˘arii rezultatelor la capacit˘ a¸tile fiec˘ arui elev, la nivelul lui de cuno¸stint¸e ˆınainte de ˆınceperea programului de instruire. 61

Din perspectiva acestor criterii, evaluarea poate fi definit˘a ca un proces de m˘asurare ¸si apreciere a calit˘a¸tii rezultatelor la ˆınv˘a¸t˘atur˘a ¸si a progreselor obt¸inute de elevi. Criteriul fundamental de evaluare a rezultatelor ¸scolare trebuie s˘a-l constituie raportarea la cont¸inut ¸si la obiectivele pedagogice stabilite de programele de ˆınv˘a¸t˘amˆant ¸si care se reg˘asesc ˆın proport¸ii variabile ˆın nivelul de cuno¸stint¸e ¸si deprinderi, ˆın capacit˘a¸tile intelectuale ¸si ˆın tr˘as˘aturile de personalitate ale elevilor. Se prezint˘a ˆın continuare cˆateva categoriile de achizit¸ii vizate de criteriile de evaluare. • nivelul de cuno¸stint¸e (structuri cognitive) ˆınsu¸site de elevi, raportat la obiective ¸si cont¸inut, adic˘a: volumul de informat¸ii fundamentale prev˘azut de program˘a, caracterul de sistem al acestora, nivelul de ˆınt¸elegere, temeinicia cuno¸stint¸elor, etc; • nivelul structurilor operat¸ionale formate pe baza ˆınsu¸sirii logice a cuno¸stint¸elor: capacitatea de a efectua operat¸ii logice de analiz˘a, comparat¸ie, sintez˘a, abstractizare, generalizare ¸si concretizare, de a explica ¸si demonstra logic pe baz˘a de argumente, de a efectua rat¸ionamente inductive, deductive ¸si prin analogie, de a stabili relat¸ii ˆıntre cauze ¸si efecte, de a discerne esent¸ialul, de a elabora definit¸ii sau de a redefini, de a gˆandi divergent, de a extrapola cuno¸stint¸ele ˆın alte domenii sau de a le transfera ˆın situat¸ii diferite, capacitatea de a efectua judec˘a¸ti de valoare asupra cuno¸stint¸elor ¸si de autoevaluare, etc.; • capacitatea de aplicare a cuno¸stint¸elor, de a descoperi ¸si inventa, capacitatea de autoinstruire, metode ¸si tehnici de ˆınv˘a¸tare; • nivelul structurilor metacognitive: deprinderi nonspecifice obiectului de studiu, deprinderi de munc˘a intelectual˘a, de cercetare ¸stiint¸ific˘a, precum ¸si unele abilit˘a¸ti tehnologice, tr˘as˘aturi de personalitate ce influent¸eaz˘a randamentul ¸scolar, ˆın special motivat¸iile, atitudinile, convingerile, perseverent¸a, tenacitatea, hot˘arˆarea, voint¸a de a ˆınv˘a¸ta, nivelul de aspirat¸ie, care vor fi luate ˆın considerare ˆın actul evalu˘arii. La aceste criterii de evaluare a performant¸elor ¸scolare cu caracter general se adaug˘a criteriile specifice fiec˘arui obiect de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant. Criteriile de evaluare trebuie cunoscute de elevi. Evaluarea se fundamenteaz˘a pe standarde curriculare de performant¸˘ a ¸si de competent¸˘ a. Standardele de performant¸˘a ˆındeplinesc urm˘atoarele condit¸ii: • sunt centrate pe elev ¸si relevante din punctul de vedere al motiv˘arii acestuia pentru ˆınv˘a¸tare; orientate spre ceea ce elevul va fi - ˆın termeni de dezvoltare personal˘a, la finalizarea parcursului ¸scolar ¸si la intrarea ˆın viat¸a social˘a; 62

• permit evident¸ierea progresului realizat de elevi de la o treapt˘a de ¸scolarizare la alta; sunt exprimate simplu, sintetic ¸si inteligibil pentru tot¸i agent¸ii educat¸ionali. Standardele de performant¸˘a au ˆın vedere curriculumul atins, adic˘a rezultatele elevilor. Sunt enunt¸uri sintetice ce indic˘a ˆın ce m˘asur˘a trebuie realizate de c˘atre elevi obiectivele curriculare sub form˘a de cuno¸stint¸e, capacit˘a¸ti ¸si atitudini demonstrate. Ele exprim˘a ceea ce elevul ¸stie ¸si e capabil s˘a fac˘a, sunt scrise ˆın termeni de performant¸˘a minim˘a, medie ¸si superioar˘a. La matematic˘a, pentru fiecare capacitate sau subcapacitate au fost elaborat¸i descriptorii de performant¸˘a pentru calificativele: foarte bine, bine ¸si suficient, adic˘a ceea ce trebuie s˘a ¸stie ¸si s˘a fac˘a elevul pentru a obt¸ine respectivele calificative.

4.3

Important¸a rezultatelor ¸scolare

Rezultatele ¸scolare reprezint˘a indicatorul cel mai concludent pentru aprecierea eficient¸ei procesului de ˆınv˘a¸t˘amˆant. Cele mai multe modele taxonomice privind obiectivele educat¸ionale consider˘a trei tipuri de baz˘a: obiective cognitive, afective ¸si psihomotorii. rezultatele ¸scolare reflect˘a atingerea acestor obiective. Un anumit rezultat care apart¸ine uneia dintre aceste categorii include ¸si elemente proprii celorlalte domenii. ˆIntre ele exist˘a numeroase interact¸iuni. Cel mai adecvat este s˘a se considere componentele cognitive, afective ¸si psihomotorii ˆın cadrul unui comportament [13]. Se evalueaz˘a: nivelul de cuno¸stint¸e, dezvoltarea capacit˘a¸tilor intelectuale, dezvoltarea capacit˘a¸tii de aplicare a cuno¸stint¸elor ˆın explicarea ¸si aprecierea fenomenelor, ˆın rezolvarea problemelor teoretice ¸si practice, tr˘as˘aturi de personalitate ¸si conduit˘a, fiecare tip prezentˆand tr˘as˘aturi specifice. Nivelul cuno¸stint¸elor acumulate reprezint˘a unul dintre obiectivele importante ale instruirii, la orice nivel de ¸scolarizare. ˆIn ˆınv˘a¸t˘amˆantul actual, se pune un accent mai mare pe dezvoltarea capacit˘a¸tii de autoinstruire, ceea ce implic˘a cerint¸a ca ˆın paralel cu asimilarea cuno¸stint¸elor, s˘a se favorizeze dezvoltarea capacit˘a¸tilor intelectuale. Dezvoltarea capacit˘a¸tilor intelectuale a devenit un obiectiv primordial al ˆıntregii activit˘a¸ti instructiv-educative ¸si al m˘asur˘arii eficient¸ei acesteia. A-i ˆınv˘a¸ta pe elevi cum s˘a se instruiasc˘a ¸si cum s˘a gˆandeasc˘a, a le forma capacitatea de autoinstruire, ˆınseamn˘a a le crea disponibilitatea pentru instruire continu˘a. Estimarea acesor rezultate este mai put¸in reu¸sit˘a decˆat evaluarea cuno¸stint¸elor acumulate, datorit˘a faptului c˘a progresele ˆınregistrate de elevi ˆın direct¸ia dezvolt˘arii proceselor intelectuale sunt mai greu de cuantificat ¸si de m˘asurat.

63

Capacitatea de aplicare a cuno¸stint¸elor. Valoarea cuno¸stint¸elor acumulate se dezv˘aluie ˆın posibilt˘a¸tile oferite elevilor de a explica ¸si aprecia fenomene cunoscute, de a asimila noi cuno¸stint¸e, din ce ˆın ce mai complexe, precum ¸si ˆın cre¸sterea capacit˘a¸tii de investigare ¸si ˆın special de folosire a cuno¸stint¸elor ˆın rezolvarea unor probleme teoretice sau practice. Actul de evaluare vizeaz˘a capacitatea de a aplica, de a folosi cele ˆınv˘a¸tate. Tr˘ as˘aturile de personalitate ¸si de conduit˘ a ale elevilor. Evaluarea tr˘as˘aturilor formate ¸si a conduitei elevilor este o necesitate. Ele reprezint˘a atˆat rezultate ale activit˘a¸tii de instruct¸ie ¸si educat¸ie, cˆat ¸si condit¸ii care influent¸eaz˘a puternic randamentul ¸scolar al elevilor. Evaluarea conduitei elevilor, ca ¸si a multor tr˘as˘aturi de personalitate se exprim˘a ˆın aprecieri generale, globale ¸si nu au exactitatea aprecierilor asupra rezultatelor instructive ale activit˘a¸tii ¸scolare. Se aplic˘a metode de diagnostic a personalit˘a¸tii (chestionare de interese) ale c˘aror date pot explica unele aspecte ale comportamentului elevilor. O alt˘a metod˘a folosit˘a pentru cunoa¸sterea elevilor de-a lungul ¸scolarit˘a¸tii o constituie fi¸sa psiho-pedagogic˘a, prin intermediul c˘areia se structureaz˘a informat¸iile privind conduita elevilor, evolut¸ia personalit˘a¸tii lor.

4.4

Tehnici ¸si instrumente de evaluare

Sistemul metodologic al verific˘arii randamentului ¸scolar este constituit din mai multe metode ¸si tehnici: observarea curent˘a a modului cum ˆınvat¸˘a elevul, probe orale, scrise ¸si practice, analiza unor referate sau creat¸ii personale, teste de cuno¸stint¸e ¸si deprinderi. Cel mai frecvent se aplic˘a probele orale, scrise sau practice. Constat˘arile efectuate prin aceste mijloace sunt, ˆın mod obi¸snuit, completate cu cele realizate prin observarea curent˘a a comportamentului elevilor ˆın timpul lect¸iilor, exprimat ˆın interesul acestora pentru studiu, ˆın modul ˆın care particip˘a la activitatea desf˘a¸surat˘a, ˆın ˆındeplinirea ˆındatoririlor ¸scolare. Verificarea oral˘a se poate realiza ˆın cadrul tuturor lect¸iilor, fie ca o secvent¸˘a a unor lect¸ii mixte sau lect¸ii de verificare ¸si recapitulare, sau de consolidare, etc. Chestionarea oral˘a se realizeaz˘a fie frontal, printr-un dialog cu clasa ˆıntreag˘a ˆın cadrul c˘aruia unii elevi sunt solicitat¸i de mai multe ori, sau prin examinarea cˆatorva elevi ˆın mod deosebit. Metodologia verific˘arii orale recomand˘a cerint¸e referitoare la durata examin˘arii elevilor de diferite vˆarste, frecvent¸a acestora, necesitatea antren˘arii celorlalt¸i elevi ˆın completarea sau corectarea r˘aspunsurilor elevilor chestionat¸i, formularea ˆıntreb˘arilor. 64

Se va ¸tine cont nu numai de cantitatea informat¸iilor memorate de elevi, ci ¸si de capacitatea acestora de a reda aceste informat¸ii, de nivelul de ˆınt¸elegere, capacitatea de transfer, de a opera cu cuno¸stint¸ele ˆınsu¸site ˆın vederea dobˆandirii altora. Acest tip de evaluare permite cadrului didactic s˘a corecteze sau s˘a completeze r˘aspunsul elevului, ajutˆandu-l s˘a ˆı¸si dea seama cˆat ¸stie ¸si cˆat a ˆınv˘a¸tat, direct¸ionˆandui stilul de a ˆınv˘a¸ta. Limitele chestion˘arii orale sunt: • ˆıntreb˘arile adresate diferit¸ilor elevi nu au acela¸si grad de dificultate; • unii elevi sunt mai emotivi ¸si se blocheaz˘a; • timpul nu permite o verificare complet˘a privind cont¸inutul predat; • profesorul poate manifesta indulgent¸˘a sau exigent¸˘a exagerat˘a conducˆand la o notare subiectiv˘a. Aceste limite pot fi ˆınl˘aturate dac˘a se respect˘a urm˘atoarele cerint¸e: • ˆıntreb˘arile s˘a fie centrate pe obiectivele operat¸ionale, s˘a vizeze cont¸inutul esent¸ial; • s˘a fie pecis formulate, ˆınl˘aturˆand inexactitatea, complexitatea nemotivat˘a, ambiguitatea, caracterul sugestiv ¸si conservatorismul care ˆıl oblig˘a pe elev s˘a reproduc˘a exact ideile emise de cadrul didactic; • ˆıntreb˘arile s˘a fie adresate ˆıntregii clase, apoi numit elevul care s˘a r˘aspund˘a, f˘ar˘a a-l ˆıntrerupe decˆat ˆın cazul unor gre¸seli grave sau pentru a-l aduce la subiect; • ˆıntreb˘arile s˘a fie corect formulate, s˘a aib˘a o ˆınl˘ant¸uire logic˘a, s˘a vizeze cuno¸stint¸ele esent¸iale, nivelul de ˆınt¸elegere ¸si capacitatea elevului de a opera cu ele pe plan mintal ¸si practic-aplicativ; • ˆıntreb˘arile s˘a solicite gˆandirea independent˘a, inteligent¸a ¸si creativitatea elevului; atmosfera din clas˘a s˘a fie favorabil˘a; • r˘aspunsurile s˘a fie notate cˆat se poate de obiectiv. Examinarea prin probe scrise este utilizat˘a sub forma unor lucr˘ari de scurt˘a durat˘a, lucr˘ari tip obictiv, lucr˘ari de durat˘a de o or˘a cu subiecte din unul sau mai multe capitole. Cercet˘arile au dovedit c˘a evaluarea formativ˘a, dup˘a fiecare capitol, combinat˘a cu verific˘arile orale este deosebit de eficient˘a ¸si stimulativ˘a. Probele scrise sunt preferate de mult¸i elevi ¸si examinatori pentru c˘a: 65

• asigur˘a un grad mai mare de obiectivitate ˆın notare; • ofer˘a elevilor mai emotivi sau celor care gˆandesc mai lent posibilitatea de a prezenta toate cuno¸stint¸ele ˆınsu¸site; • asigur˘a evaluarea unui num˘ar mai mare de elevi ˆıntr-un timp mai scurt; • ˆıntreb˘arile au acela¸si grad de dificultate pentru tot¸i elevii ¸si verific˘a acela¸si cont¸inut; • favorizeaz˘a realizarea compar˘arii rezultatelor. Limitele metodei: • examinatorul nu poate corecta pe loc unele erori ale elevului ¸si nici gre¸selile de exprimare; • elevii nu mai pot fi direct¸ionat¸i prin ˆıntreb˘ari dac˘a fac confuzii sau cˆand cont¸inutul esent¸ial nu este acoperit prin r˘aspunsuri. Testele au un grad mai mare de dificultate ¸si fidelitate, pot fi corectate ¸si repetate, oferind posibilitatea de a controla condit¸iile de aplicare. Dac˘a se are ˆın vedere momentul intervent¸iei, testele pot fi init¸iale, de progres sau finale. Testele init¸iale sunt folosite cu scopul unei evalu˘ari init¸iale, fiind administrate la ˆınceputul unui program de instruire. Ele ofer˘a cadrului didactic date cu privire la nivelul anterior de cuno¸stint¸e ¸si la capacitatea de ˆınv˘a¸tare a elevilor, pe baza c˘arora este alc˘atuit viitorul program de instruire. Testele de progres sau formative se administreaz˘a pe tot parcursul procesului de predare-ˆınv˘a¸tare, dup˘a fiecare capitol sau dup˘a un num˘ar de lect¸ii. Rezultatele obt¸inute ofer˘a informat¸ii cu privire la eficient¸a metodologiei aplicate, permit¸ˆand reluarea unor probleme neˆınt¸elese, organizarea unor activit˘a¸ti didactice dieferent¸iate, anumite complet˘ari sau sintetiz˘ari. Testele finale ¸si de sintez˘a sunt folosite dup˘a parcurgerea unui capitol, la ˆıncheierea unui semestru sau an ¸scolar. ˆIntreb˘arile din cadrul lor vor fi centrate pe obiectivele didactice majore ale programului de instruire, vizˆand mai mult elementele esent¸iale ¸si capacitatea elevilor de a opera cu cuno¸stint¸ele asimilate. Testul constituie un instrument de verificare cu structur˘a ¸si ˆınsu¸siri specifice. Prin natura sa ¸si a obiectivelor urm˘arite, testul este fie o prob˘a oral˘a sau practic˘a, fie de cele mai multe ori o prob˘a scris˘a. Testele pedagogice se disting de alte tipuri de probe prin mai multe caracteristici: 66

• sunt probe complexe, acoperind o arie mai mare din cont¸inutul predat; • permit verificarea unui num˘ar mai mare de obiective ale actului didactic; • ofer˘a posibilitatea m˘asur˘arii mai exacte a performant¸elor elevilor ˆın comparat¸ie cu celelalte probe; • permit standardizarea condit¸iilor de examinare ¸si a criteriilor de notare, asigurˆand un grad sporit de obiectivitate ˆın apreciere. Elaborarea unui test constituie o activitate complex˘a ¸si dificil˘a. Ea presupune realizarea mai multor operat¸ii, ˆıntr-o anumit˘a ordine: 1. Precizarea obiectivelor pedagogice ¸si a cont¸inuturilor verificate. Necesitatea asigur˘arii unei concordant¸e depline a cont¸inutului probei cu obiectivele urm˘arite ¸si cont¸inutul predat decurge din interact¸iunea obiectiv-ˆınv˘a¸tare-evaluare. Se cultiv˘a astfel motivat¸ia pentru ˆınv˘a¸t˘atur˘a, se elimin˘a situat¸iile surpriz˘a pentru elevi, legate de cont¸inutul probei, ˆıntrucˆat acesta deriv˘a din acelea¸si obiective ca ¸si activitatea de ˆınv˘a¸tare. 2. Analiza cont¸inutului materiei asupra c˘areia se va face verificarea, avˆand ca rezultat stabilirea listei elementelor esent¸iale, semnificative pentru ˆınsu¸sirea materiei, astfel ˆıncˆat nici un element important din cont¸inut s˘a nu fie omis. Se va avea ˆın vedere ¸si posibilitatea de a fi m˘asurate. 3. Alc˘atuirea testului prin redactarea itemilor corespunz˘ator fiec˘arui obiectiv a c˘arui realizare este verificat˘a. 4. Elaborarea descriptorilor de performant¸˘ a pe baza c˘arora vor fi evaluate r˘aspunsurile. Item este orice ˆıntrebare sau element din structura unui test. Din punctul de vedere al obiectivit˘a¸tii ˆın notare, itemii se clasific˘a astfel: • Itemi obiectivi, cu r˘aspuns ˆınchis; • Itemi semiobiectivi ; • Itemi subiectivi, cu r˘aspuns deschis. Pentru elaborarea probelor scrise se recomand˘a urm˘atoarele: • itemii s˘a aib˘a diferite grade de dificultate; • formularea lor s˘a fie cˆat mai variat˘a (itemi obiectivi, semiobiectivi, subiectivi); 67

• s˘a se adreseze, dac˘a este posibil, tuturor registrelor de lucru ale elevilor: act¸ional, figural, simbolic. Itemii obiectivi asigur˘a un grad ridicat de obiectivitate ˆın m˘asurarea rezultatelor ¸scolare ¸si testeaz˘a un num˘ar mare de elemente de cont¸inut ˆıntr-un interval de timp scurt. R˘aspunsul a¸steptat este bine determinat, ca ¸si modalitatea de notare a acestuia. Din aceast˘a categorie fac parte: • Itemii cu alegere dual˘a solicit˘a identificarea r˘aspunsului din dou˘a alternative posibile: adev˘arat/fals; corect/gre¸sit; da/nu, etc. • Itemii cu alegere multipl˘a solicit˘a alegerea unui r˘aspuns dintr-o list˘a de variante oferite. • Itemii de tip pereche solicit˘a stabilirea unor corespondent¸e ˆıntre informat¸iile distribuite pe dou˘a coloane. Criteriul pe baza c˘aruia se stabile¸ste r˘aspunsul corect este enunt¸at ˆın instruct¸iunile care preced cele dou˘a coloane. Tot ˆın enunt¸ se precizeaz˘a ¸si tipul asocierilor. Itemii semiobiectivi permit ca r˘aspunsul a¸steptat s˘a nu fie ˆıntotdeauna unic determinat, modalitatea de corectare ¸si notare introducˆand uneori mici diferent¸e de la un corector la altul. Din aceast˘a categorie fac parte: • Itemii cu r˘aspuns scurt de completare solicit˘a ca elevul s˘a formuleze un r˘aspuns scurt sau s˘a completeze o afirmat¸ie astfel ˆıncˆat aceasta s˘a capete sens sau s˘a aib˘a valoare de adev˘ar. ˆIn aceast˘a categorie se ˆıncadreaz˘a: – elaborarea unui r˘aspuns scurt: definit¸ie, proprietate, rezultatul unui calcul; – completarea unei afirmat¸ii ce are lipsuri; – identificarea unei erori ¸si corectarea ei; – modificarea unei rezolv˘ari, pentru a respecta o cerint¸˘a dat˘a; – aranjarea unor elemente ˆıntr-o succesiune logic˘a pentru a ˆındeplini o anumit˘a cerint¸˘a; – completare de rebusuri; – complet˘ari grafice. ˆ • Intreb˘ arile structurate sunt formate dintr-un enunt¸ pentru care sunt formulate mai multe subˆıntreb˘ari puse de obicei ˆıntr-o ordine cresc˘atoare a dificult˘a¸tii.

68

Itemii subiectivi (cu r˘aspuns deschis) solicit˘a elaborarea unui r˘aspuns amplu, permit¸aˆnd valorificarea capacit˘a¸tilor creative ale elevilor, originalitatea ¸si caracterul personal al r˘aspunsului. Ace¸stia sunt u¸sor de construit, ˆıns˘a problema o constituie modul de elaborare a schemei de notare pentru a se putea obt¸ine uniformitate ¸si unitate la nivelul corect˘arii. ˆIn aceast˘a categorie vom include ˆın principal rezolv˘ arile ¸si compunerile de probleme. Ele reprezint˘a o activitate specific˘a ¸si foarte des utilizat˘a la matematic˘a, datorit˘a caracterului aplicativ al acestei discipline.

69

Capitolul 5 Formarea conceptului de num˘ ar natural. Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor naturale la clasele primare 5.1

Elemente preg˘ atitoare pentru predarea-ˆınv˘ a¸tarea num˘ arului natural

Formarea conceptului de num˘ar natural este un obiectiv prioritar al studiului matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, c˘aruia i se acord˘a important¸a cuvenit˘a prin alocarea unei p˘art¸i considerabile din orele acestei discipline. La intrarea ˆın clasa I, elevii vin cu experient¸a acumulat˘a ˆın gr˘adinit¸˘a, unde au studiat numerele naturale pˆan˘a la 10. Din familie, mult¸i copii ¸stiu deja s˘a numere, chiar pˆan˘a la 20 sau 100, de¸si fac acest lucru mecanic, ca ¸si cum ar recita o poezie memorat˘a. ˆIn gr˘adinit¸˘a, copiii fac numeroase exercit¸ii de formare de mult¸imi cu ajutorul obiectelor, punere ˆın corespondent¸˘a a elementelor acestora, asociere a num˘arului la cantitate, recunoa¸sterea cifrei de tipar. Tot ˆın gr˘adinit¸˘a se subliniaz˘a ¸si aspectul ordinal al num˘arului natural, prin jocuri ˆın care obiectele sunt a¸sezate ˆıntr-un ¸sir ¸si fiecare are num˘arul s˘au de ordine ˆın acel ¸sir. Aceste jocuri pe care copiii le cunosc deja trebuie reluate ˆın perioada preg˘atitoare de la intrarea ˆın clasa I. Deoarece jocul este activitatea de baz˘a a copilului, acesta trebuie s˘a constituie trecerea spre o activitate con¸stient˘a, bazat˘a pe rat¸ionamente, pe elemente simple de deduct¸ie, pe un limbaj matematic adecvat ¸si riguros. Formarea conceptului de num˘ar natural se face pe baza mult¸imilor. Not¸iunea de mult¸ime joac˘a un rol unificator al conceptelor matematice, iar num˘arul apare 70

ca proprietatea comun˘a a mult¸imilor care pot fi puse ˆın corespondent¸˘a element cu element. ˆIn formarea conceptului de num˘ar sunt fundamentale operat¸iile de: • clasificare: ˆın grupe omogene ¸si neomogene, compararea grupelor de obiecte, stabilirea asem˘an˘arilor ¸si deosebirilor; • seriere: ordonare dup˘a atribute distincte. Num˘arul, a¸sa cum este el perceput ˆın perioada preoperatorie, constituie expresia unei caracteristici obiective a mult¸imilor ˆınt¸eleas˘a ca o ˆınsu¸sire de grup. ˆIn procesul de formare a num˘arului, copilul percurge trei niveluri: • senzorial-motric: operare cu grupe de obiecte; • operare cu relat¸ii cantitative pe planul reprezent˘arilor: operare cu numere concrete; • ˆınt¸elegerea raportului cantitativ ce caracterizeaz˘a mult¸imea: operare cu numere abstracte. Num˘arul ¸si numerat¸ia sunt rezultatul analizei ¸si sintezei efectuate, pe diferite niveluri, asupra obiectelor. ˆInsu¸sirea numerat¸iei necesit˘a o perfect¸ionare a mecanismelor analitico-sintetice implicate ˆın percept¸ie, reprezentare ¸si conceptualizare. Numai dup˘a ce percept¸ia global˘a a realit˘a¸tii este dep˘a¸sit˘a ¸si se ajunge la o percepere diferent¸iat˘a, apare posibilitatea constituirii treptate a num˘arului ¸si a generaliz˘arii numerice la nivelul formal de conceptualizare a num˘arului natural. Atunci cˆand copilul ajunge s˘a sesizeze raportul dintre mult¸ime ¸si unitate, num˘arul dobˆande¸ste caracter sintetic ¸si desemneaz˘a o proprietate de grup, ceea ce semnific˘a dobˆandirea capacit˘a¸tii de sintez˘a. ˆIn formarea unui num˘ar sunt implicate atˆat analiza, ˆın activitatea practic˘a cu obiecte din procesul num˘ar˘arii, cˆat ¸si sinteza, ˆın caracterizarea ¸si reprezentarea mult¸imii ce ˆınglobeaz˘a obiectele num˘arate. Reprezentarea numeric˘a are caracter spat¸ial ˆıntrucˆat num˘arul este legat de spat¸ialitate atˆat ˆın reprezentare cˆat ¸si ˆın percept¸ie. Componenta spat¸ial˘a sprijin˘a reprezentarea numeric˘a ¸si o limiteaz˘a datorit˘a faptului c˘a reprezent˘arile, ca ¸si percept¸iile, cuprind un spat¸iu limitat. Num˘arul cardinal este ˆınt¸eles ca ¸si clas˘a cu o structur˘a alc˘atuit˘a din elemente neintuitive. Apare necesitatea realiz˘arii unei noi activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare, serierea. Serierea se face prin dispunerea aleatorie a elementelor, indiferent de forma lor concret˘a pentru ca elementele s˘a fie concepute ca unit˘a¸ti, iar proprietatea ordinal˘a a num˘arului s˘a fie absorbit˘a de proprietatea cardinal˘a, prin clasificare, sintez˘a operatorie ¸si includerea seriei ˆın clase dispuse gradat. ˆIn formarea not¸iunii de num˘ar ¸si a numerat¸iei se parcurg dou˘a momente cognitive semnificative: 71

1. Num˘arul apare ca parte dintr-o suit˘a ordonat˘a de obiecte ¸si ˆı¸si relev˘a natura sa ordinal˘a ; 2. Num˘arul apare ca o mult¸ime de unit˘a¸ti legate ˆıntre ele, ca o clas˘a, relevˆandu¸si natura sa cardinal˘a. ˆIn prima etap˘a, num˘arul nu desemneaz˘a ˆınc˘a mult¸imea sintetic, ci este un indicator al structurii ei pe unit˘a¸ti. Prin limbaj, num˘arul se deta¸seaz˘a de cont¸inutul s˘a concret ¸si cap˘at˘a un caracter abstract, prin semnificat¸ia cuvˆantului care ˆıl denume¸ste, indiferent de natura particular˘a a obiectelor. Ulterior, denumirile fuzioneaz˘a ˆıntre ele, obt¸inˆandu-se caracteristica sintetic˘a, cantitativ˘a, a mult¸imii. Num˘arul se reflect˘a acum ˆın cuvˆant nu numai ca procedeu de num˘arare a elementelor mult¸imii, ci ca not¸iune rezultat˘ a prin act¸iune, desemnˆand sintetic mult¸imea elementelor. Conceptul de num˘ar se consider˘a format dac˘a se dezvolt˘a raporturi reversibile de asociere a num˘arului la cantitate ¸si a cantit˘a¸tii la num˘ar, ¸si se realizeaz˘a sinteza ¸sirului numeric. Copilul interiorizeaz˘a operat¸ia de num˘arare spre 6-7 ani, cˆand num˘ar˘a numai cu privirea obiectele ce alc˘atuiesc o grupare. Aceast˘a manifestare indic˘a interiorizarea act¸iunii externe ¸si marcheaz˘a momentul dobˆandirii num˘arului la nivel formal.

5.2

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor ˆın concentrul 0 - 10

Numerele naturale pˆan˘a la 10 constituie fundamentul pe care se dezvolt˘a ulterior ˆıntregul edificiu al gˆandirii matematice a copilului ¸si, de aceea, trebuie s˘a i se acorde o atent¸ie deosebit˘a. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada cˆand ace¸stia ˆıncep s˘a foloseasc˘a cuvintele pentru denumirea numerelor ¸si ˆıncep s˘a le scrie, utilizˆand cifrele. ˆIn cadrul activit˘a¸tilor matematice din gr˘adinit¸˘a, copilul a f˘acut cuno¸stint¸˘a cu numerele 1 - 10, a ˆınv˘a¸tat s˘a recunoasc˘a simbolul grafic al fiec˘arei cifre, dar profesorul trebuie s˘a reia ˆın clasa I activit˘a¸tile de realizare a corespondent¸ei element cu element a mult¸imilor, punˆand accent pe ˆınt¸elegerea propriet˘a¸tilor numerice ale mult¸imilor cu tot atˆatea elemente. Activit˘a¸tile de stabilire a corespondent¸ei element cu element a mult¸imilor urm˘aresc s˘a dezvolte la copil ˆınt¸elegerea cont¸inutului esent¸ial al not¸iunii de num˘ar, ca o clas˘a de echivalent¸˘a a mult¸imilor finite echipotente cu o mult¸ime dat˘a. Formarea not¸iunii de num˘ar prin cont¸inutul s˘au ˆınseamn˘a stabilirea corespondent¸ei dintre o anumit˘a mult¸ime de obiecte ¸si num˘arul care desemneaz˘a aceast˘a mult¸ime. Construct¸ia ¸sirului numerelor pˆan˘a la 10 se face progresiv. Simultan cu ˆınt¸elegerea not¸iunii respective se ˆınvat¸˘a ¸si semnul grafic corespunz˘ator de tipar ¸si de mˆan˘a, modul de scriere. Pentru studiul fiec˘arui num˘ar se aloc˘a dou˘a ore. 72

Formarea ¸sirului de numere pˆan˘a la 10 se axeaz˘a pe completarea mult¸imii anterioare cu ˆınc˘a un element, deci fiecare num˘ar se formeaz˘a prin ad˘augarea unei unit˘a¸ti la num˘arul precedent. ˆInsu¸sirea con¸stient˘a not¸iunii de num˘ar presupune realizarea urm˘atoarelor obiective: • ˆInt¸elegerea faptului c˘a mult¸imile care se pot pune ˆın corespondent¸˘a element cu element reprezint˘a acela¸si num˘ar; • Con¸stientizarea num˘arului ca proprietate a mult¸imilor finite echipotente; • Denumirea corect˘a a num˘arului; • Recunoa¸sterea ¸si citirea cifrelor de tipar; • Scrierea cifrelor de mˆan˘a; • Descompunerea ¸si compunerea numerelor; • Cunoa¸sterea succesiunii numerelor, a ¸sirului numeric; • Cunoa¸sterea locului fiec˘arui num˘ar ˆın ¸sir; • ˆInt¸elegerea relat¸iei de ordine ˆıntre numerele naturale. Pentru realizarea primului obiectiv, se parcurg urm˘atoarele etape: • Se motiveaz˘a necesitatea compar˘arii a dou˘a mult¸imi. • Se analizeaz˘a dou˘a mult¸imi la care este vizibil˘a diferent¸a de num˘ar de elemente ¸si se compar˘a prin apreciere global˘a, elevii fiind capabili s˘a determine mult¸imea cu mai multe elemente. • Se compar˘a apoi mult¸imi de obiecte la care procedeul anterior nu se mai poate folosi ¸si se observ˘a necesitatea compar˘arii prin punerea ˆın perechi a elementelor. Se stabile¸ste astfel unde sunt mai multe, mai put¸ine sau tot atˆatea obiecte. • Se utilizeaz˘a apoi simboluri pentru figurarea elementelor mult¸imilor ¸si se compar˘a, utilizˆandu-se desenul. • Act¸iunile sunt ˆınsot¸ite de utilizarea limbajului matematic corect.

73

Aceste act¸iuni preg˘atesc con¸stientizarea propriet˘a¸tii comune pe care o au toate mult¸imile cu tot atˆatea elemente. De exemplu, sunt 3 fetit¸e, fiecare fetit¸˘a are o floare, deci sunt tot atˆatea flori cˆate fetit¸e; pe fiecare floare se a¸seaz˘a un fluture, deci sunt tot atˆa¸tia fluturi cˆate fetit¸e ¸si cˆate flori. Astfel se preg˘ate¸ste ˆın gˆandirea copilului formarea conceptului de num˘ar ca proprietate a mult¸imilor finite echipotente. Num˘arul apare din necesitatea sublinierii acestei propriet˘a¸ti comune importante pe care o au aceste mult¸imi. Cantit˘a¸tii de obiecte i se asociaz˘a num˘arul care este corect denumit. Se insist˘a ca elevii s˘a pronunt¸e corect numerele ¸si s˘a fac˘a acordul corespunz˘ator unde este cazul: un elev, doi elevi, o bil˘a, dou˘ a bile, un bet¸i¸sor, dou˘ a bet¸i¸soare. Se prezint˘a cifra de tipar corespunz˘atore, se fac asocieri cu obiecte cu care se aseam˘an˘a. I se studiaz˘a bine forma ¸si caracteristicile, se cite¸ste, se identific˘a dintre alte cifre. Dac˘a numerele pˆan˘a la 10 sunt deja cunoscute de elevi din gr˘adinit¸˘a ¸si de asemenea elevii au studiat cifrele de tipar ¸si le pot citi, scrierea de mˆ an˘ a a cifrelor ˆ este ceva nou, care se studiaz˘a pentru prima dat˘a ˆın clasa I. Inc˘a din primele ore de matematic˘a, elevii ˆıncep s˘a scrie semne grafice pe caietul cu p˘atr˘a¸tele, pentru a se obi¸snui cu dimensiunea, liniatura, utilizarea corect˘a a creionului, pozit¸ia la scris. Aceste exercit¸ii de antrenament sunt importante, semnele grafice fiind astfel alese ˆıncˆat preg˘atesc elementele componente ale cifrelor. Pentru predarea scrierii unei cifre se parcurg urm˘atoarele etape: • prezentarea cifrei de tipar ¸si a celei de mˆan˘a, identificarea lor, stabilirea concluziei c˘a ele reprezint˘a acela¸si num˘ar; • compararea cifrei de mˆan˘a cu cea de tipar ˆın ceea ce prive¸ste forma, stabilirea asem˘an˘arilor ¸si deosebirilor; • descompunerea cifrei de mˆan˘a ˆın elementele sale componente, cu denumirea acestor elemente; • recompunerea cifrei de mˆan˘a din elementele componente ¸si scrierea ei pe tabl˘a cu respectarea liniaturii ¸si a dimensiunilor obi¸snuite, apoi scrierea ei pe o liniatur˘a de dimensiuni mai mari; • parcurgerea conturului cifrei cu degetul sau creionul ˆın aer ¸si apoi pe mas˘a, dup˘a indicat¸iile profesorului; • scrierea cifrei de c˘atre elevi de 2-3 ori, urmat˘a de corect˘ari individuale ¸si generale, apoi scrierea unui rˆand ˆıntreg sau chiar mai mult. Se recomand˘a ca elevii s˘a aib˘a cifra respectiv˘a scris˘a model ˆın caiet, dup˘a care s˘a se orienteze. Din acest punct de vedere, caietele speciale sunt foarte utile, acestea 74

cont¸in numeroase exercit¸ii care ajut˘a elevul s˘a scrie corect. Este necesar s˘a se fac˘a ˆın mod cˆat mai st˘aruitor corect˘arile individuale ¸si cele cu caracter general, pentru ca elevii s˘a ˆınvet¸e de la bun ˆınceput scrierea corect˘a a cifrei ¸si s˘a-¸si perfect¸ioneze deprinderile cˆa¸stigate. La fel de necesar este s˘a se acorde atent¸ie deosebit˘a pozit¸iei la scris a elevilor ¸si felului cum ¸tin creionul, urm˘arindu-se formarea unor deprinderi corecte. Pentru num˘arul 10, de¸si folose¸ste ˆın scriere dou˘a cifre, nu se insist˘a ˆın aceast˘a etap˘a asupra semnificat¸iei scrierii pozit¸ionale ¸si este tratat ca un num˘ar obi¸snuit. Exercit¸iile de descompunere a numerelor sunt foarte importante pentru c˘a prin acestea se contribuie la aprofundarea conceptului de num˘ar. Aceste exercit¸ii se fac ˆınainte de studierea operat¸iilor, cu ajutorul materialului didactic. Acest material poate s˘a ˆınsemne obiecte care formeaz˘a o mult¸ime, cu num˘ar dat de elemente, care se separ˘a ˆın submult¸imi disjuncte. Se observ˘a astfel ˆın ce numere poate fi descompus num˘arul dat ¸si se caut˘a cˆat mai multe variante. Tot pentru descompunerea numerelor, rigletele pot fi de mare ajutor, sau bet¸i¸soarele, sau jocul domino. Materialul se utilizeaz˘a gradat, de la materialul intuitiv, la reprezent˘ari, apoi simboluri grafice. Dup˘a ce elevii s-au familiarizat cu descompunerea numerelor, se poate introduce ¸si compunerea acestora, ca operat¸ie invers˘a descompunerii. Compunerea este mai dificil˘a, de aceea trebuie precedat˘a de descompunere. Pentru ˆınsu¸sirea succesiunii numerelor trebuie s˘a se fac˘a repetate exercit¸ii de num˘arare atˆat cresc˘ator, cˆat ¸si descresc˘ator. Aceste num˘ar˘ari se fac ˆıntˆai cu obiecte: bet¸i¸soare, bile, creioane, etc. ¸si numai dup˘a aceea abstract. Num˘ararea cresc˘atoare se deprinde de obicei f˘ar˘a dificultate. Num˘ararea ˆın ordine descresc˘atoare presupune un proces de gˆandire ceva mai dificil. Se recomand˘a existent¸a permanent˘a ˆın clas˘a a plan¸selor cu numere, a¸sezate la loc vizibil, ˆın ordine cresc˘atoare. Cunoa¸sterea locului pe care ˆıl ocup˘ a un num˘ ar ˆın ¸sirul numeric este realizat˘a prin cˆat mai multe exercit¸ii care solicit˘a: • completarea numerelor care lipsesc dintre numerele date; • completarea vecinilor unui num˘ar: vecinul mai mic, respectiv vecinul mai mare. Analizˆand relat¸ia dintre num˘ar ¸si vecinii s˘ai, elevul face primele exercit¸ii de comparare a numerelor. Pentru a compara dou˘a numere oarecare, se utilizeaz˘a mult¸imi de obiecte care se pun ˆın corespondent¸˘a ¸si se observ˘a unde sunt mai multe elemente. Mult¸imea cu mai multe elemente reprezint˘a num˘arul mai mare. Nu se recomand˘a folosirea din clasa I a semnelor mai mic sau mai mare. Aceste exercit¸ii preg˘atesc ˆınsu¸sirea relat¸iei de ordine ˆın mult¸imea numerelor naturale. Alte exercit¸ii utile pentru acest scop pot fi: alegerea celui mai mare sau a celui mai mic

75

num˘ar dintr-o mult¸ime ¸si ordonarea cresc˘atoare sau descresc˘atoare a unui ¸sir de numere. De¸si 0 este primul num˘ar natural, ˆınv˘a¸tarea numerelor naturale nu ˆıncepe cu 0, deoarece abia dup˘a ˆınsu¸sirea altor numere, elevii pot ˆınt¸elege c˘a 0 este cardinalul mult¸imii vide, 0 este mai greu de imaginat, este prea abstract. Dup˘a perioada preg˘atitoare pentru ˆınt¸elegerea conceptului de num˘ar natural, predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor naturale se realizeaz˘a ˆıncepˆand cu num˘arul 1, apoi pe rˆand fiecare num˘ar, ˆın ordine cresc˘atoare. La un moment dat se pred˘a ¸si num˘arul 0. Sunt alocate ˆın general 2 ore pentru fiecare num˘ar ¸si cˆateva ore de recapitulare.

5.2.1

Etapele de predare-ˆınv˘ a¸tare a unui num˘ ar

Etapa de familiarizare • Se rezolv˘a exercit¸ii de punere ˆın corespondent¸˘a a mult¸imilor, num˘arare, comparare, compunere, descompunere a numerelor ˆınv˘a¸tate deja. • Se construie¸ste o mult¸ime care are atˆatea elemente cˆat este ultimul num˘ar studiat. • Prin punerea elementelor ˆın corespondent¸˘a cu elementele primei mult¸imi, se construie¸ste o alt˘a mult¸ime care are tot atˆatea elemente cˆate are prima ¸si i se adaug˘a un element. • Se observ˘a c˘a cea de a doua mult¸ime are cu un element ˆın plus. Etapa de structurare • Se num˘ar˘a elementele acestei mult¸imi ¸si se nume¸ste num˘arul natural nou. • Se construiesc alte mult¸imi, echipotente cu ultima mult¸ime; • Se num˘ar˘a elementele, insistˆandu-se asupra noului num˘ar. • Se ˆıncadreaz˘a noul num˘ar ˆın ¸sirul numeric prin exercit¸ii de num˘arare. • Se prezint˘a cifra de tipar corespunz˘atoare. • Se scrie cifra de mˆan˘a, respectˆand etapele de scriere.

76

Etapa de aprofundare / consolidare • Se formeaz˘a mult¸imi cu tot atˆatea elemente, verificˆand prin punere ˆın corespondent¸˘a ¸si num˘arare. • Se asociaz˘a num˘arul la cantitate ¸si invers. • Se compar˘a noul num˘ar cu precedentul. • Se descompune ¸si compune noul num˘ar ˆın cˆat mai multe moduri posibile. • Se rezolv˘a exercit¸ii de completare a numerelor care lipsesc, de stabilire a vecinilor, de formare de ¸siruri numerice, atˆat cu noul num˘ar, cˆat ¸si cu cele studiate anterior.

5.3 5.3.1

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor naturale ˆın concentrul 0-100 Numerele naturale de la 0 la 20

Not¸iunile dobˆandite ¸si deprinderile formate prin studiul numerelor din concentrul 0-10 se consolideaz˘a, se aprofundeaz˘a ¸si se l˘argesc prin studiul sistematic al numerelor de la 10 la 20, astfel: • Prin ˆınv˘a¸tarea numerelor de la 0 la 10, s-a format not¸iunea de unitate simpl˘a ca unitate de calcul; prin trecerea la numere mai mari, se va consolida aceast˘a not¸iune ¸si i se va ad˘auga cea de a doua unitate de calcul: zecea. • Formarea numerelor de la 0 la 10 s-a bazat pe gruparea obiectelor luate cˆate unu, ca simple unit˘a¸ti; ˆın cazul numerelor de la 10 la 20, numerele se vor forma prin ad˘augarea unit˘a¸tilor simple la zecea deja format˘a. Elevii dobˆandesc astfel primele not¸iuni privitoare la sistemul zecimal de numerat¸ie. • Prin scrierea numerelor de dou˘a cifre, elevii pot sesiza c˘a valoarea cifrelor folosite pentru reprezentarea numerelor se schimb˘a dup˘a pozit¸ia pe care o ocup˘a ˆın scrierea num˘arului. Consolidarea ¸si precizarea not¸iunii de unitate simpl˘ a ˆIn studiul numerelor pˆan˘a la 10, obiectele se num˘ar˘a cˆate unul, formˆandu-se grupe c˘arora le corespund numerele respective. ˆIn aceast˘a etap˘a num˘arul 10 reprezint˘a un num˘ar oarecare, adic˘a num˘arul asociat mult¸imii de 10 obiecte luate cˆate unu.

77

De aceea, ˆın scrierea num˘arului 10 nu se insist˘a supra semnificat¸iei sau locului cifrei 0 sau a cifrei 1. Pentru a preg˘ati trecerea la numerat¸ia cu numere mai mari decˆat 10, este necesar s˘a se fac˘a precizarea, sistematizarea ¸si ridicarea pe o treapt˘a mai ˆınalt˘a a cuno¸stint¸elor dobˆandite ˆın primul concentru, ¸si anume precizarea faptului c˘a pentru formarea unor anumite grupe, obiectele se num˘ar˘a cˆate unu, iar orice obiect luat singur reprezint˘a o unitate. Se trece apoi la num˘ararea cu folosirea denumirii de unitate: o unitate, dou˘a unit˘a¸ti, etc. Se pot formula concluzii simple bazate pe procesul inductiv care a avut loc: • numerele de la 1 la 10 sunt formate din grupe de obiecte num˘arate cˆate unu; • orice obiect luat singur se nume¸ste unitate; • numerele de la 1 la 10 sunt formate din unit˘a¸ti. Prin formularea acestor concluzii se urm˘are¸ste formarea not¸iunii abstracte de unitate, ele reprezentˆand prima treapt˘a ˆın procesul de abstractizare a not¸iunilor aritmetice care stau la baza sistemului zecimal de numerat¸ie. Formarea not¸iunii de zece ca unitate de calcul Trecˆandu-se la cea de a doua zece ¸si punˆandu-se problema form˘arii not¸iunii de zece ca unitate de calcul, trebuie s˘a se aib˘a ˆın vedere c˘a gˆandirea elevilor va fi supus˘a la noi eforturi spre a se putea ridica pe o nou˘a treapt˘a a funct¸iei de abstractizare ¸si a ˆınt¸elege gruparea obiectelor astfel ˆıncˆat s˘a se utilizeze mereu un grup de baz˘a - zecea - care devine unitate de calcul. Not¸iunea de zece ca tot, ca unitate de ordin superior, se formeaz˘a prin gruparea unor obiecte de acela¸si fel ˆın grupe de cˆate zece. ˆIn prima faz˘a este recomandabil ca num˘arul obiectelor utilizate pentru num˘arare s˘a fie mai mic decˆat 20, pentru a se insista de la ˆınceput asupra form˘arii unei singure zeci, cu pronunt¸area corespunz˘atoare: o zece ¸si numai ˆıntr-o faz˘a mai avansat˘a, dup˘a ce elevii ˆıncep s˘a ˆınt¸eleag˘a ¸si s˘a foloseasc˘a zecea ca tot, se poate trece la formarea a dou˘a sau mai multe zeci. Pentru o cˆat mai clar˘a ˆınt¸elegere a not¸iunii de zece, profesorul prezint˘a diferite obiecte grupate ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti, cerˆand elevilor s˘a identifice grupele respective ¸si s˘a le denumeasc˘a. Not¸iunea de ”zece ca tot” nu se poate forma ˆıntr-o singur˘a lect¸ie ¸si nici ˆın cˆateva lect¸ii consecutive, ci prin insistent¸e ¸si reveniri repetate asupra ei ˆın etapele urm˘atoare ale studiului numerelor. Not¸iunea de zece se poate considera format˘a ¸si ˆınsu¸sit˘a de elevi mai ales dup˘a ce, cu ajutorul zecilor, se formeaz˘a cea de a treia unitate de calcul: suta. Prin predarea numerelor 10-20, se pun bazele ˆınt¸elegerii matematice a acestei not¸iuni. 78

Formarea numerelor 11-20 Pentru formarea numerelor 11-20 se cunosc dou˘a procedee: • formarea numerelor de la 10 la 20 prin ad˘augarea unei unit˘a¸ti la num˘arul precedent; • formarea numerelor de la 10 la 20 prin ad˘augarea la 10 a num˘arului corespunz˘ator de unit˘a¸ti. Ambele procedee trebuie cunoscute de elevi, dar este indicat s˘a se utilizeze mai ˆıntˆai primul procedeu, pentru c˘a el repet˘a modul de formare a numerelor pˆan˘a la 10 ¸si corespunde ˆın mai mare m˘asur˘a capacit˘a¸tii de ˆınt¸elegere a copiilor ˆın etapa respectiv˘a. ˆIn ceea ce prive¸ste denumirile numerelor 11-19, este absolut necesar ca elevii s˘a fie deprin¸si de la ˆınceput cu pronunt¸area lor corect˘ a ¸si s˘a se insiste mult ˆın acest sens, avˆand ˆın vedere c˘a la pronunt¸area acestor numere se fac cele mai multe gre¸seli. ˆIn procesul form˘arii acestor numere, pronunt¸area lor va sublinia component¸a: unsprezece, doisprezece, etc. Succesiunea numerelor 11-20 Procesul de stabilire a succesiunii numerelor ¸si memorarea acestora ˆın ordinea lor din ¸sirul natural, cuprinde: • Num˘ararea utilizˆand obiecte, cresc˘ator ¸si descresc˘ator. Obiectele sunt grupate ˆın o zece ¸si unit˘a¸ti, la care se adaug˘a pe rˆand cˆate o unitate, sau din care se ia pe rˆand cˆate o unitate. • Num˘ararea abstract˘a, utilizˆand la ˆınceput reprezent˘ari, apoi f˘ar˘a sprijin concret. Stabilirea locului pe care ˆıl ocup˘ a fiecare num˘ ar ˆın ¸sirul numerelor naturale Pentru stabilirea locului pe care ˆıl ocup˘a fiecare num˘ar ˆın succesiunea numeric˘a, se vor face exercit¸ii de: • aflarea num˘arului care lipse¸ste dintre numere date; • g˘asirea vecinilor unui num˘ar.

79

Cunoa¸sterea component¸ei numerelor 11-20 A stabili component¸a unui num˘ar ˆınseamn˘a a descompune acel num˘ar ˆın unit˘a¸tile de calcul din care este format. ˆIn cazul acestor numere, ele sunt formate din o zece ¸si unit˘a¸tile respective. Scrierea numerelor 11-20 Dac˘a elevii au ˆınt¸eles procesul de formare a numerelor din o zece ¸si unit˘a¸ti, atunci scrierea ¸si citirea acestor numere nu va fi dificil˘a, pentru c˘a elevii cunosc cifrele respective. Sunt necesare preciz˘arile: • fiind formate din zeci ¸si unit˘a¸ti, numerele 11-20 se scriu cu dou˘a cifre; • locul zecilor este la stˆanga, iar al unit˘a¸tilor la dreapta. Pentru scrierea unui num˘ar, se prcedeaz˘a astfel: • se alege num˘arul; • se stabile¸ste component¸a num˘arului; • se formeaz˘a num˘arul respectiv cu ajutorul materialului didactic: la num˘ar˘atoare, abac, cu ajutorul rigletelor, bet¸i¸soarelor, etc.; • se stabile¸ste c˘a num˘arul se va scrie cu dou˘a cifre, avˆand ˆın vedere c˘a este format din zeci ¸si unit˘a¸ti; • se precizeaz˘a c˘a zecea se scrie ˆın stˆanga, iar unit˘a¸tile ˆın dreapta; • se formeaz˘a num˘arul la tabl˘a cu cifre mobile; • se cite¸ste num˘arul; • se scrie num˘arul, cu indicat¸iile corespunz˘atoare ˆın leg˘atur˘a cu spat¸iile pe care trebuie s˘a le ocupe cifrele num˘arului; • se scrie num˘arul de c˘atre elevi, cu corect˘ari individuale ¸si generale. Este indicat ca la scrierea acestor numere s˘a se ˆınceap˘a cu num˘arul 12, apoi 13, 14, etc, dup˘a care s˘a se revin˘a la scrierea num˘arului 11, apoi a num˘arului 20. Aceasta pentru c˘a num˘arul 11 este format din o zece ¸si o unitate, adic˘a num˘arul zecilor este egal cu al unit˘a¸tilor, iar al˘aturarea celor dou˘a cifre ar putea produce confuzii ˆın ceea ce prive¸ste locul zecilor ¸si unit˘a¸tilor. Numerele 10 ¸si 20 sunt formate numai din zeci. Trebuie precizat c˘a ˆın scrierea acestor numere cifra 0 s-a pus ˆın locul unit˘a¸tilor care lipsesc. 80

5.3.2

Numerele naturale pˆ an˘ a la 100

Prin formarea ¸si consolidarea not¸iunii de zece ca unitate de calcul ¸si prin introducerea not¸iunii de sut˘a se l˘arge¸ste sistemul zecimal de numerat¸ie, elevii fiind solicitat¸i ˆın utilizarea a trei unit˘a¸ti de calcul: unitatea simpl˘a, zecea, suta. ˆIn plus, elevii ˆı¸si formeaz˘a o idee mai clar˘a ˆın leg˘atur˘a cu utilizarea cifrei 0 ˆın locul unit˘a¸tilor de diferite ordine care lipsesc, cˆat ¸si ˆın leg˘atur˘a cu semnificat¸ia pe care o are aceast˘a cifr˘a prin faptul c˘a arat˘a absent¸a unit˘a¸tilor de un anumit ordin. L˘ argirea not¸iunii de zece ca nou˘ a unitate de calcul Elevii au formate not¸iunile de unitate simpl˘a ¸si zece din studiul numerelor 1-20, dar acestea se reamintesc pentru a fi completate cu elemente noi. Pentru a demonstra component¸a sutei ¸si pentru ca elevii s˘a-¸si formeze imaginea concret˘a a mult¸imii obiectelor care este reprezentat˘a de acest num˘ar, este necesar s˘a se ˆıntrebuint¸eze acele materiale care ˆıi ajut˘a mai mult pe elevi s˘a treac˘a de la faza concret˘a la cea abstract˘a. Un material potrivit ˆıl constituie bet¸i¸soarele, cu ajutorul c˘arora elevii pot forma grupe de zeci care pot fi num˘arate cˆate una, pˆan˘a cˆand se ajunge la zece zeci, care formeaz˘a o sut˘a. Se leag˘a m˘anunchiul ˆımpreun˘a ¸si se observ˘a c˘a s-a obt¸inut o nou˘a unitate. Concluziile vor fi: Zece unit˘ a¸ti simple formeaz˘ a o zece, zece zeci formeaz˘a o sut˘a, zecile se num˘ ar˘ a ca ¸si unit˘ a¸tile. ˆIntr-o etap˘a superioar˘a este indicat s˘a se utilizeze materiale care nu scot ˆın evident¸a˘ component¸a distinct˘a a unei zeci din 10 unit˘a¸ti ¸si a sutei din 10 zeci, elevii fiind solicitat¸i s˘a fac˘a un pas ˆınainte pe linia procesului de abstractizare. Acest material poate fi cubul demontabil. Bara de cˆate 10 unit˘a¸ti care reprezint˘a zecea are cuburile doar schit¸ate ¸si, cu toate c˘a se pot num˘ara cˆate unu, ele nu pot fi deta¸sate ˆın unit˘a¸ti simple ¸si apoi reunite ˆıntr-o zece. De asemenea, gruparea de 100 cuburi echivalent˘a cu 10 bare formeaz˘a iar˘a¸si o unitate, suta, care la fel nu se poate descompune ˆın unit˘a¸tile din care este format˘a. Se poate trece apoi la reprezentarea convent¸ional˘a a unit˘a¸tilor de calcul la abac, prin cerculet¸e de aceea¸si m˘arime, dar a¸sezate ˆın coloane diferite. Formarea numerelor pˆ an˘ a la 100 ˆIntrucˆat elevii cunosc num˘ararea cu unit˘a¸tile simple din studiul primelor dou˘a zeci, ei nu ˆıntˆampin˘a dificult˘a¸ti ˆın num˘ararea cu unit˘a¸tile nici peste 20, mai ales c˘a ˆın limba romˆan˘a denumirea ¸si pronunt¸area numerelor repet˘a felul de formare a acestora. Este necesar s˘a se urm˘areasc˘a formarea unor priceperi ¸si deprinderi temeinice de num˘arare pe rˆand cu unit˘a¸tile ¸si cu zecile, atˆat cresc˘ator cˆat ¸si descresc˘ator, ˆın scopul memor˘arii succesiunii numerelor. Pentru verificarea ¸si consolidarea acestor deprinderi, trebuie s˘a se fac˘a exercit¸ii de: 81

• num˘ararea pe intervale, alegˆandu-se intervalele cele mai dificile, cele care cuprind trecerile de la un num˘ar de zeci la altul; • stabilirea locului pe care ˆıl ocup˘a un num˘ar ˆın succesiunea numerelor naturale, cu indicarea num˘arului precedent, a celui urm˘ator, sau a numerelor ˆıntre care se afl˘a. Compunerea ¸si descompunerea numerelor pˆ an˘ a la 100 Cunoa¸sterea component¸ei numerelor din zeci ¸si unit˘a¸ti este important˘a, ˆın vederea ˆınsu¸sirii con¸stiente a algoritmilor de calcul. ˆInt¸elegerea component¸ei numerelor se poate realiza prin combinarea operat¸iilor de formare, respectiv compunere a numerelor, ¸si de descompunere ˆın unit˘a¸tile componente. Utilizarea materialului didactic este necesar˘a pentru ˆınsu¸sirea con¸stient˘a acestor operat¸ii. Se pot utiliza: num˘ar˘atoarea cu bile, abacul, bet¸i¸soarele, tabla cu cifre mobile, cubul demontabil, etc. Dup˘a mai multe exercit¸ii de descompunere ¸si compunere pe baza materialului, se poate trece la descompunerea mintal˘a a numerelor respective ˆın unit˘a¸tile componente, f˘ar˘a material didactic. Scrierea numerelor pˆ an˘ a la 100 Scrierea numerelor reflect˘a component¸a acestora, de aceea exercit¸iile de compunere ¸si descompunere ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti preced scrierea. Cunoscˆand acestea, elevilor li se mai aminte¸ste locul unit˘a¸tilor ¸si locul zecilor ˆın scrierea numerelor. Etapele de scriere a unui num˘ar sunt urm˘atoarele: • pronunt¸area num˘arului de c˘atre profesor; • formarea num˘arului de c˘atre elevi, cu ajutorul materialelor didactice; • scrierea num˘arului cu ajutorul tabelului care cuprinde coloanele: unit˘a¸ti, zeci, sute; • scrierea num˘arului f˘ar˘a tabel. ˆIn cadrul numerat¸iei scrise este indicat s˘a se revin˘a ¸si s˘a se insiste asupra semnificat¸iei cifrei 0 ˆın sensul c˘a ea se pune ˆın locul unit˘a¸tilor care lipsesc. ˆIn ceea ce prive¸ste gradarea exercit¸iilor de scriere a numerelor pˆan˘a la 100, se pot face urm˘atoarele preciz˘ari: • se scriu mai ˆıntˆai numerele formate din zeci ˆıntregi; • se scriu apoi numerele formate din zeci ¸si unit˘a¸ti, pe rˆand, ˆıncepˆand cu 21-30, etc.; 82

• se scriu numere aleatoare pˆan˘a la 100. Exercit¸iile de compunere, descompunere ¸si scriere a numerelor pˆan˘a la 100 sunt importante, deoarece acestea, completate cu cele referitoare la numerele de 3 cifre, constituie baza oric˘aror numere din sistemul zecimal. Compararea numerelor formate din zeci ¸si unit˘ a¸ti Introducerea relat¸iei de ordine pe mult¸imea numerelor studiate vizeaz˘a compararea numerelor dou˘a cˆate dou˘a. Exercit¸iile de comparare se fac gradat, cu sprijinul materialului didactic: se compara numerele care au acela¸si num˘ar de zeci, apoi numere la care num˘arul de zeci este diferit. Tot cu acela¸si scop se formuleaz˘a ¸si cerint¸e ca aflarea celui mai mare sau a celui mai mic termen al unui ¸sir sau ordonarea cresc˘atoare sau descresc˘atoare a termenilor unui ¸sir. Foarte eficiente din punct de vedere formativ sunt activit˘a¸tile de comparare a numerelor prin rotunjire la num˘arul de zeci ¸si activit˘a¸tile de comparare ¸si ordonare a numerelor pe ax˘a.

5.4

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor scrise cu trei sau mai multe cifre

Predarea-ˆınv˘a¸tarea numerelor pˆan˘a la 1000, apoi a numerelor de patru ¸si mai multe cifre, prezint˘a urm˘atoarele caracteristici: • Are loc consolidarea ¸si sistematizarea cuno¸stint¸elor dobˆandite ˆın cadrul numerelor pˆan˘a la 100, completarea ¸si ridicarea pe o treapt˘a mai ˆınalt˘a de abstractizare a not¸iunii de num˘ar natural. • Se introduc not¸iunile de ordin ¸si clas˘a. • Sistemul zecimal de numerat¸ie se ˆımbog˘a¸te¸ste considerabil cu noi unit˘a¸ti de calcul, acestea aplicˆandu-se pe o scar˘a incomparabil mai mare. • Se introduce pe scar˘a mai larg˘a terminologia specific˘a matematicii. • Studiul matematicii se bazeaz˘a din ce ˆın ce mai put¸in pe intuit¸ie, rolul gˆandirii devine preponderent. Din punct de vedere metodic, ˆın studiul numerelor mai mari decˆat 1000 nu intervin decˆat put¸ine elemente ¸si procedee noi, deosebite de cele aplicabile numerelor de trei cifre, ˆıntrucˆat toate procedeele aplicate la operat¸iile cu numere de patru 83

¸si mai multe cifre constituie doar o extindere a procedeelor aplicate la operat¸iile cu numere pˆan˘a la 1000. De aceea, studiul numerelor pˆan˘a la 1000 ¸si peste 1000 constituie o unitate metodic˘a. Formarea not¸iunii de sut˘ a ca unitate de calcul Formarea not¸iunii de sut˘a ca unitate de calcul constituie primul obiectiv al studiului numerelor de mai multe cifre. Cu ajutorul materialului didactic: bet¸i¸soare, cubul demontabil, num˘ar˘atoarea utilizat˘a convent¸ional sau abacul, elevii sunt solicitat¸i s˘a observe c˘a suta are rolul de nou˘a unitate de calcul, c˘a sutele se num˘ar˘a ca ¸si zecile sau unit˘a¸tile, c˘a zece sute formeaz˘a o mie. Formarea numerelor de trei cifre, num˘ ararea, compunerea ¸si descompunerea numerelor Cel mai potrivit procedeu pentru formarea numerelor din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti ˆıl constituie utilizarea ˆın mod gradat a diferitelor materiale didactice, astfel ˆıncˆat s˘a se asigure trecerea treptat˘a de la gˆandirea concret˘a la cea abstract˘a ¸si, ˆın acela¸si timp, elevii s˘a asocieze imaginea num˘arului cu mult¸imea de obiecte care reprezint˘a cont¸inutul acelui num˘ar. Experient¸a arat˘a c˘a elevii ˆınt¸eleg mai bine procesul de formare a numerelor, deprind cu mai mult˘a u¸surint¸˘a tehnica acestui proces ¸si num˘ararea dac˘a se formeaz˘a numerele pe rˆand: 101, 102, etc., pˆan˘a pe la 120-130, apoi trecˆandu-se la 191, 192, etc., apoi alalog cu cele ˆıntre 200 ¸si 300, etc. Atˆat la formarea numerelor, cˆat ¸si la num˘arare, o atent¸ie deosebit˘a trebuie acordat˘a numerelor care reprezint˘a salturi calitative, adic˘a numerelor care, prin ad˘augarea unei unit˘a¸ti, ˆınregistreaz˘a transformarea unit˘a¸tilor de un anumit ordin ˆın unit˘a¸ti de ordin imediat superior. ˆIn formarea numerelor se parcurg urm˘atoarele etape: • formarea unui num˘ar din anumite unit˘a¸ti de calcul indicate ˆın ordine descresc˘atoare; • formarea unui num˘ar din unit˘a¸ti de calcul indicate ˆın ordine cresc˘atoare; • formarea unui num˘ar din unit˘a¸ti de calcul indicate f˘ar˘a respectarea unei ordini. Pentru descompunerea numerelor ˆın unit˘a¸tile componente, profesorul formeaz˘a anumite numere cu ajutorul materialului didactic ¸si cere elevilor s˘a indice unit˘a¸tile din care sunt formate numerele respective. Dup˘a ce elevii dobˆandesc suficiente cuno¸stint¸e ¸si deprinderi, vor forma ei ˆın¸si¸si numerele pe care le vor descompune. Exercit¸iile de compunere ¸si descompunere a numerelor ˆın unit˘a¸tile componente

84

sunt deosebit de utile ¸si necesare ˆın vederea ˆınsu¸sirii con¸stiente a not¸iunilor privitoare la scrierea ¸si citirea numerelor, la formarea not¸iunilor de ordine ¸si clase, dar mai ales ˆın efectuarea operat¸iilor aritmetice. Scrierea ¸si citirea numerelor de trei cifre Etapa intermediar˘a ˆıntre compunerea numerelor ¸si scrierea lor o constituie formarea numerelor la fi¸sa cu numere ¸si la tabla cu cifre mobile. Dac˘a nu se neglijeaz˘a ˆıntrebuint¸area acestor materiale, citirea numerelor se face direct, iar scrierea reprezint˘a doar copierea pe caiete a numerelor astfel formate. Pentru scrierea numerelor de trei cifre, se vor stabili ˆın prealabil cu elevii urm˘atoarele: • numerele de la 100 la 1000 sunt formate din trei unit˘a¸ti de calcul, deci se vor scrie cu trei cifre; • locul fiec˘arei unit˘a¸ti. Scrierea unui num˘ar trece prin urm˘atoarele etape: • pronunt¸area clar˘a a num˘arului de c˘atre profesor; • descompunerea num˘arului ˆın unit˘a¸tile componente; • formarea num˘arului cu ajutorul materialelor didactice; • scrierea num˘arului ˆın tabel; • scrierea numerelor f˘ar˘a ajutorul tabelului. Se revine asupra semnificat¸iei cifrei 0, care se poate pune ˆın locul unit˘a¸tilor sau zecilor dac˘a acestea lipsesc. Gradarea exercit¸iilor de scriere a numerelor, dup˘a dificult˘a¸tile pe care le prezint˘a, este urm˘atoarea: • scrierea numerelor formate din toate trei felurile de unit˘a¸ti; • scrierea numerelor din care lipsesc unit˘a¸tile simple; • scrierea numerelor din care lipsesc atˆat unit˘a¸tile simple, cˆat ¸si zecile; • scrierea numerelor formate din sute ¸si unit˘a¸ti simple. Citirea unui num˘ar de trei cifre se face prin ar˘atarea ¸si denumirea num˘arului de unit˘a¸ti de diferite ordine din care este format num˘arul respectiv. 85

5.4.1

Not¸iunile de ordin ¸si clas˘ a

Cuno¸stint¸ele dobˆandite pˆan˘a aici cuprind primele trei unit˘a¸ti de calcul: unit˘a¸ti simple, zeci ¸si sute. La acestea se adaug˘a ¸si a patra unitate, mia, pe care elevii o cunosc prin pronunt¸are, citire ¸si scriere. ˆIn vederea trecerii la alte unit˘a¸ti de calcul, apare necesitatea introducerii not¸iunii de ordin, apoi a aceleia de clas˘a. Ordinul unei unit˘a¸ti de calcul arat˘a locul pe care ˆıl ocup˘a acea unitate ˆın succesiunea unit˘a¸tilor de calcul din sistemul zecimal. Un grup de trei ordine consecutive, ˆıncepˆand cu unit˘a¸tile simple, formeaz˘a o clas˘ a. T ¸ inˆand seama de aceste indicat¸ii, urmeaz˘a s˘a se studieze cu elevii cont¸inutul not¸iunilor respective, ˆın vederea form˘arii ¸si ˆınsu¸sirii lor. ˆIn acest scop, dup˘a ce se amintesc unit˘a¸tile de calcul ˆınv˘a¸tate, precizˆandu-se locul pe care ˆıl ocup˘a fiecare ¸si dup˘a ce elevii sunt anunt¸at¸i c˘a vor ˆınv˘a¸ta ¸si alte unit˘a¸ti de calcul, se trece la scrierea pe rˆand a acestora, ar˘atˆandu-se succesiunea, felul de formare ¸si raportul unitar dintre dou˘a unit˘a¸ti consecutive. Se introduce apoi not¸iunea de clas˘a. Materialul didactic special pentru ˆınsu¸sirea ordinelor ¸si claselor este num˘ ar˘ atoarea cu discuri. Formarea, scrierea, citirea ¸si compararea numerelor de mai multe cifre Avˆand formate not¸iunile de ordin ¸si clas˘a, elevii vor putea s˘a urm˘areasc˘a f˘ar˘a dificult˘a¸ti ¸si s˘a-¸si ˆınsu¸seasc˘a scrierea numerelor de mai multe cifre. Numerele se formeaz˘a la num˘ar˘atoarea cu discuri, se trec ˆın tabelul ordinelor ¸si claselor, se citesc. Tabelul ordinelor ¸si claselor se utilizeaz˘a mult la ˆınceput, pˆan˘a cˆand elevii sunt capabili s˘a se dispenseze de el. clasa milioanelor milioane

clasa miilor sute zeci mii de mii de mii

clasa unit˘a¸tilor sute zeci unit˘a¸ti

Ordinea exercit¸iilor de scriere a numerelor de mai multe cifre este urm˘atoarea: • numere formate numai din cifre semnificative; • numere care au la urm˘a zerouri; • numere care au zerouri ˆın interior. ˆIn ceea ce prive¸ste marcarea claselor, marcare necesar˘a citirii numerelor, aceasta se face l˘asˆand spat¸ii libere ˆıntre clase aproximativ egale cu spat¸iul ocupat de o cifr˘a. 86

Pentru citirea numerelor de mai multe cifre, mai ˆıntˆai se grupeaz˘a unit˘a¸tile ˆın clase, apoi se cite¸ste num˘arul pe clase, cu indicarea unit˘a¸tilor din care este format˘a fiecare clas˘a. Elevii trebuie con¸stientizat¸i c˘a valoarea unei cifre depinde de pozit¸ia pe care o ocup˘a ˆın scrierea num˘arului. Pentru comparare, se vor compara mai ˆıntˆai ordinele de m˘arime ale numerelor: cel care este scris cu mai multe cifre este mai mare. ˆIn cazul ˆın care au acela¸si num˘ar de cifre, se compar˘a cel mai mare ordin. Exercit¸iile de comparare pot fi ˆıntre dou˘a numere, sau g˘asirea celui mai mare termen al unui ¸sir sau ordonarea cresc˘atoare sau descresc˘atoare a unui ¸sir.

5.5

Scrierea numerelor cu cifre romane

ˆIn casa a IV-a, elevii fac cuno¸stint¸˘a cu un nou sistem de scriere a numerelor naturale, de tip aditiv, scrierea cu cifre romane. Din punct de vedere metodic, aceast˘a tem˘a prezint˘a important¸˘a pentru c˘a elevii con¸stientizeaz˘a cu acest prilej urm˘atoarele: • num˘arul natural nu este determinat de scrierea sa; • num˘arul natural este un concept matematic fundamental; • sistemele de scriere ale numerelor naturale sunt convent¸ii pe baza c˘arora oamenii pot s˘a comunice numerele, avˆand la dispozit¸ie un mod de reprezentare; • cifrele sunt doar simbolurile grafice cu ajutorul c˘arora se scriu numerele; • exist˘a sisteme de scriere a numerelor unde valoarea cifrei nu se schimb˘a, indiferent de pozit¸ia ocupat˘a ˆın scrierea num˘arului. Este interesant pentru elevi s˘a vad˘a ¸si alte sisteme de scriere a numerelor, utilizate ˆın trecut. Scrierea cu cifre romane este utilizat˘a ¸si ˆın prezent, deci prezint˘a important¸˘a studiul ei. Acest sistem de scriere a numerelor utilizeaz˘a ¸sapte simboluri, cifrele romane, care au urm˘atoarele valori: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Simbolurile I, X, C ¸si M sunt simboluri de baz˘ a, iar celelate: V, L, D sunt simboluri auxiliare. Scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane respect˘a urm˘atoarele reguli:

87

• cifrele cu valoare mai mare se scriu ˆın fat¸a celor cu valoare mai mic˘a ¸si valorile lor se adun˘a; • num˘arul maxim de cifre de acela¸si fel care se repet˘a una dup˘a alta este trei; • pentru a scrie 4, 40, 400, 9, 90, 900, se a¸seaz˘a ˆın fat¸a cifrei de valoare mai mare cifra de valoare mai mic˘a, iar valoarea num˘arului se afl˘a prin sc˘adere. De exemplu, MDCCLXVI reprezint˘a num˘arul 1000 + 500 + 200 + 50 + 10 + 5 + 1, adic˘a 1766. MMCDXCIV reprezint˘a 2000 + (500 - 100) + (100 - 10) + (5 - 1) = 2000 + 400 + 90 + 4 = 2494. Dup˘a ˆınv˘a¸tarea cifrelor ¸si a regulilor de scriere, se vor face exercit¸ii de transcriere a numerelor din sistemul zecimal ˆın cel cu cifre romane ¸si invers.

88

Capitolul 6 Predarea-ˆınv˘ a¸tarea operat¸iilor cu numere naturale ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 6.1

Formarea reprezent˘ arilor despre operat¸ii la vˆ arsta ¸scolar˘ a mic˘ a

Operat¸ia aritmetic˘a reprezint˘a o act¸iune ˆıntreprins˘a ˆıntr-o situat¸ie real˘a, ˆıntˆampl˘atoare sau provocat˘a, act¸iune care a generat un act rat¸ional de gˆandire. Operat¸ia aritmetic˘a este rezultatul unei operat¸ii mentale asociat˘a act¸iunii reale ¸si reprezint˘a matematizarea acestei act¸iuni prin transformarea ei ˆıntr-un enunt¸ simbolic. Intervent¸ia prin act¸iune provoac˘a o schimbare ¸si situat¸ia matematic˘a sufer˘a astfel o transformare. Aceast˘a intervent¸ie prin act¸iune care provoac˘a o transformare reprezint˘a operat¸ia matematic˘a. Sensul transform˘arii (ad˘ augare, luare, multiplicare, divizare) induce sensul operat¸iei (adunare, sc˘ adere, ˆınmult¸ire, ˆımp˘ art¸ire). ˆInv˘a¸tarea operat¸iilor presupune descifrarea sensului transform˘arii ¸si traducerea de c˘atre elevi a acestei transform˘ari ˆın limbaj matematic. ˆInsu¸sirea de c˘atre copil a operat¸iei aritmetice asociate unei act¸iuni reale presupune dobˆandirea conserv˘ arii cantit˘ a¸tii, indiferent de natur˘a, form˘a ¸si pozit¸ie spat¸ial˘a, ¸si a reversibilit˘a¸tii [12]. ˆIn formarea unei operat¸ii aritmetice, ca act¸iune mental˘a, punctul de plecare ˆıl constituie act¸iunea extern˘a cu obiecte, act¸iune care produce transform˘ari semnificative sub raport cognitiv. De exemplu, ˆın cazul operat¸iei de adunare, procesul parcurge urm˘atorul traseu [12]. Se consider˘a ca niveluri de formare: planul act¸iunii materiale, planul limbajului extern ¸si planul limbajului intern. Etapele de dobˆandire ˆın plan mintal a procesului de operat¸ie ˆın cazul planului act¸iunii materiale sunt urm˘atoarele: act¸iuni efective, prin deplasare sau ad˘augare real˘a a unui grup de obiecte la altul, copilul considerˆandu-le apoi ˆımpreun˘a. Tot 89

ˆın acest plan, ca form˘a de manifestare a copilului ˆın procesul de dobˆandire a conceptului de operat¸ie: copilul formeaz˘a mult¸imi; pune lˆang˘a obiectele pe care le are ˆınc˘a un obiect, le consider˘a ˆımpreun˘a, le num˘ar˘a cu voce tare ¸si stabile¸ste cˆate obiecte sunt la un loc. Considerˆand planul limbajului extern, procesul ˆı¸si pierde treptat caracterul concret, adunarea se face f˘ar˘a sprijin pe obiecte. Forma de manifestare: are loc interiorizarea act¸iunii externe - copilul adaug˘a direct unitatea termenului al doilea, num˘arˆand ˆın continuare cu privirea, f˘ar˘a a mai pune mˆana pe obiecte. ˆIn planul limbajului intern, operat¸ia se realizeaz˘a ca act de gˆandire verbal˘a, procesul se transpune ˆın plan mental. ˆIn aceast˘a etap˘a, procesul are loc prin reproducerea structurii generale a act¸iunii externe. Forma de manifestare a copilului: act¸iune extern˘a material˘a - copilul adaug˘a la primul termen al doilea termen, luat ˆın totalitate, acest stadiu marcˆand conceptualizarea operat¸iei, ˆıntrucˆat: • copilul face abstract¸ie de natura obiectelor, de pozit¸ia lor spat¸ial˘a, generalizeaz˘a operat¸ia; • copilul ˆınt¸elege sensul termenilor operat¸ionali printr-un proces similar celui de ˆınsu¸sire a sensului unor cuvinte care numesc act¸iuni. Pentru adunare, simbolul verbal ”¸si cu” sau ”plus” este introdus ˆın relat¸ie cu o act¸iune de ad˘augare a unor elemente la o mult¸ime. Prin act¸iune repetat˘a, simbolul verbal cap˘at˘a sens ¸si semnificat¸ie, prin generalizarea unor operat¸ii concrete, executate cu mult¸imi de obiecte. Cunoa¸sterea ¸si ˆınt¸elegerea acestui proces are consecint¸e la nivelul proiect˘arii didactice ¸si structureaz˘a succesiunea experient¸elor de ˆınv˘a¸tare de care elevul beneficiaz˘a ˆın demersul didactic desf˘a¸surat ˆın clas˘a. Elevii au f˘acut cuno¸stint¸˘a la gr˘adinit¸˘a cu operat¸iile de adunare ¸si sc˘adere cu o unitate. Luˆand ˆın considerare procesul de formare a conceptului de operat¸ie, dezvoltarea ¸si dobˆandirea deprinderilor de calcul ˆıncepˆand de la grupa preg˘atitoare ¸si pˆan˘a la finalul ciclului primar ˆın cadrul unui demers coerent de ˆınv˘a¸tare presupune parcurgerea unui traseu metodic care debuteaz˘a cu ˆınt¸elegerea sensului operat¸iei, cu adunarea ¸si sc˘aderea cu o unitate realizate ˆın form˘a explicit˘a ¸si verbalizat˘a, ¸si continu˘a cu ˆınv˘a¸tarea algoritmului de calcul al operat¸iilor de adunare ¸si sc˘adere ˆın concentre numerice tot mai largi. Adunarea ¸si sc˘aderea cu o unitate are ca obiectiv familiarizarea cu algoritmul de operare ¸si contribuie la formarea conceptului de operat¸ie, proces care nu este finalizat dup˘a parcurgerea primei etape. Din punct de vedere psihologic, conceptualizarea operat¸iei de adunare se realizeaz˘a la vˆarsta de 10-11 ani. Adunarea cu o unitate se sprijin˘a pe deprinderea de compunere a num˘ arului, este sust¸inut˘a de procesul algoritmic de formare a unui num˘ar ¸si de cunoa¸sterea modului de formare a ¸sirului numeric. ˆIn cazul operat¸iei de sc˘adere, deprinderea de descompunere

90

a numerelor este semnificativ˘a ca achizit¸ie operatorie. Toate aceste deprinderi ment¸ionate vor fi valorificate formativ ˆın procesul de ˆınv˘a¸tare. ˆInv˘a¸tarea prin act¸iune r˘amˆane dominanta demersului metodic: • se valorific˘a problemele act¸iune ca element motivat¸ional ¸si pretext cognitiv; • se transcriu prin act¸iune cu obiecte datele problemei ¸si se rezolv˘a prin num˘arare; • se scrie operat¸ia corespunz˘atoare; • se verbalizeaz˘a fiecare act¸iune ¸si se introduce terminologia specific˘a, accentuˆandu-se leg˘atura cu act¸iunea obiectual˘a.

6.2

Adunarea ¸si sc˘ aderea ˆın concentrul 0-10

Studiul organizat al operat¸iilor de adunare ¸si sc˘adere ˆın concentrul 0-10 se face dup˘a ce elevii ¸si-au ˆınsu¸sit conceptul de num˘ar natural, numerat¸ia ¸si relat¸ia de ordine definit˘a pe mult¸imea numerelor naturale. Se ˆıncepe cu aceste dou˘a oparat¸ii pentru c˘a ele sunt mai accesibile ¸scolarului de vˆarst˘a mic˘a, au un caracter intuitiv pronunt¸at ¸si corespund particularit˘a¸tilor lui de vˆarst˘a. Introducerea operat¸iilor de adunare ¸si de sc˘adere se poate face fie folosind reuniunea a dou˘a mult¸imi disjuncte, respectiv diferent¸a, fie folosind rigletele. Activit˘a¸tile pe care le desf˘a¸soar˘a elevii cu mult¸imi de obiecte ¸si cu riglete ˆıi preg˘atesc pentru ˆınt¸elegerea esent¸ei celor dou˘a operat¸ii. Gˆandirea copilului va opera prin abstractizare, prin generalizare ¸si prin analogie sau izomorfism. ˆIn primul caz, elevii vor ˆınt¸elege, folosind exemple variate de mult¸imi, c˘a rezultatul adun˘arii a dou˘a numere este cardinalul reuniunii a dou˘a mult¸imi disjuncte finite care au fiecare atˆatea elemente cˆate corespund numerelor care se adun˘a. Pe planul operat¸iilor cu mult¸imi avem de-a face cu o reuniune, iar pe planul operat¸iilor cu numere, avem o adunare. Pentru formarea ¸si ˆınsu¸sirea not¸iunii de adunare se parcurg urm˘atoarele etape: • etapa perceptiv˘a, ˆın care se fac operat¸ii cu mult¸imi concrete de obiecte uzuale; • etapa reprezent˘arilor, cˆand se efectueaz˘a operat¸ii cu reprezent˘ari care au tendint¸a de a se generaliza; • etapa abstract˘a, cˆand se introduce conceptul matematic de adunare. Introducerea operat¸iilor de adunare, respectiv sc˘adere la clasa I se poate realiza prin lect¸ii speciale, ˆın care se urm˘are¸ste familiarizarea elevului cu aceste operat¸ii, cu semnificat¸ia lor.

91

Lect¸ia Semnificat¸ia adun˘arii are ca scop introducerea operat¸iei de adunare pe baza reuniunii a dou˘a mult¸imi de obiecte ¸si g˘asirea rezultatului prin num˘arare. Obiectivele acestei lect¸ii sunt: • elevii con¸stientizeaz˘a faptul c˘a punˆand la un loc elementele a dou˘a mult¸imi au f˘acut o operat¸ie; • sunt importante: num˘arul de elemente al primei mult¸imi, al celei de a doua ¸si num˘arul total; • operat¸ia realizat˘a cu mult¸imile are o transcriere matematic˘a; • semnificat¸ia simbolurilor + ¸si =; • cum se a¸seaz˘a numerele care au intervenit ˆın scrierea operat¸iei. ˆIn faza concret˘a se utilizeaz˘a mult¸imi de obiecte care se reunesc ¸si se scrie operat¸ia corespunz˘atoare, rezultatul deducˆandu-se prin num˘arare. ˆIn faza semiabstract˘a, a form˘arii reprezent˘arilor imaginativ concrete, se utilizeaz˘a reprezent˘ari ale obiectelor prin desen. Trebuie acordat˘a mare atent¸ie reprezent˘arii corecte prin desen: se reprezint˘a elementele primei mult¸imi, apoi ale celei de a doua ¸si toate obiectele desenate se consider˘a ˆımpreun˘a. Nu se deseneaz˘a alte obiecte pentru reprezentarea sumei! Suma este format˘a din obiectele deja desenate, puse la un loc. ˆIn aceast˘a prim˘a lect¸ie, faza abstract˘a nu se atinge, nu se lucreaz˘a cu numere abstracte, doar cu obiecte sau reprezent˘ari ale lor. Lect¸ia Semnificat¸ia sc˘aderii are ca scop introducerea operat¸iei de sc˘adere pe baza diferent¸ei dintre o mult¸ime de obiecte ¸si o submult¸ime a ei. Obiectivele acestei lect¸ii sunt: • elevii con¸stientizeaz˘a faptul c˘a luˆand din elementele unei mult¸imi o parte, au f˘acut o operat¸ie; • sunt importante: num˘arul de elemente mult¸imii init¸iale, al celei care se ia deoparte ¸si num˘arul de elemente r˘amase; • operat¸ia realizat˘a cu mult¸imile are o transcriere matematic˘a; • semnificat¸ia simbolurilor - ¸si =; • cum se a¸seaz˘a numerele care au intervenit ˆın scrierea operat¸iei; spre deosebire de adunare, este important care num˘ar se scrie primul, care este al doilea ¸si ce semnific˘a ele ¸si ce se scrie dup˘a egal.

92

ˆIn faza concret˘a se formeaz˘a o mult¸ime de obiecte, din care o parte sunt luate. Se subliniaz˘a cˆate au fost init¸ial, cˆate s-au luat, cˆate au r˘amas. Se scrie operat¸ia de sc˘adere. Procedeul se repet˘a ¸si cu alte mult¸imi. ˆIn faza semiconcret˘a se utilizeaz˘a desenul. Se reprezint˘a elementele mult¸imii init¸iale, din care se taie o parte. Nu se reprezint˘a altele! Sc˘adere ˆınseamn˘a c˘a din acele obiecte care au fost init¸ial se iau unele, iar cele r˘amase reprezint˘a rezultatul sc˘aderii. La clasa I se studiaz˘a pe rˆand adunarea cu 1, sc˘aderea cu 1, adunarea cu 2, sc˘aderea cu 2, apoi abia adunarea ¸si sc˘adrea cu 0, apoi se continu˘a cu 3, 4 ¸si a¸sa mai departe, adunarea cu 7, 8, 9 ¸si 10 ¸si sc˘aderea cu aceste numere fiind realizate ˆın cˆate o singur˘a lect¸ie, avˆand ˆın vedere c˘a rezultate noi sunt put¸ine. Pe parcurs sunt prev˘azute ore de recapitulare a celor ˆınv˘a¸tate. O lect¸ie de adunare sau sc˘adere cu un anumit num˘ar are ca scop deducerea ¸si ˆınsu¸sirea tuturor rezultatelor operat¸iilor respective ˆın concentrul 0-10. Fiecare rezultat se deduce cu clasa pe baza materialului didactic. Se alc˘atuie¸ste astfel tabla adun˘arii cu num˘arul respectiv. Se observ˘a proprietatea de comutativitate a adun˘arii ¸si, pe baza ei, se alc˘atuie¸ste tabla schimbˆand ordinea termenilor. ˆInsu¸sirea con¸stient˘a a tablei adun˘arii ¸si sc˘aderii se asigur˘a cu prolejul pred˘arii fiec˘arui exemplu ˆın parte. Pentru memorarea tablelor respective, se ˆıntrebuint¸eaz˘a diferite procedee, atˆat la finele fiec˘arei lect¸ii, cˆat ¸si dup˘a formularea ˆın ˆıntregime a tablelor: • repetarea tablei respective pe rˆand, individual ¸si ˆın cor, cu rezultatele scrise; • repetarea tablei pe rˆand, cu rezultatele ¸sterse; • repetarea tablei pe s˘arite, cu completarea rezultatelor; • repetarea din memorie a tablei; • rezolvarea cu profesorul sau prin munc˘a independent˘a a unor exercit¸ii din tablele respective, prin calcul mintal, prin calcul oral sau cu ajutorul materialului didactic; Toate aceste procedee urm˘aresc memorarea de c˘atre elevi a tablei adun˘arii ¸si sc˘aderii prin utilizarea unor cˆat mai variate ¸si mai antrenante forme de lucru. Pe parcurs, pe lˆanga comutativitatea adun˘arii, se mai introduce ¸si proprietatea de asociativitate, prin exercit¸ii de adunare cu trei termeni. Aflarea termenului lips˘a apare la acest nivel ˆın exercit¸iile ˆın care un termen trebuie completat ˆın c˘asut¸˘a. Aceste exercit¸ii se rezolv˘a pe baza imaginilor, cu ajutorul num˘ar˘arii sau a deprinderilor de descompunere a numerelor pe care elevii leau dobˆandit anterior. Datorit˘a faptului c˘a se bazeaz˘a pe descompunere, exercit¸iile

93

se numesc adun˘ari cu termeni lips˘ a sau adun˘ ari lacunare, care nu trebuie confundate cu exercit¸iile de aflare a termenului necunoscut ¸si care se rezolv˘a prin proba operat¸iei. Operat¸iile studiate se aplic˘a ˆın rezolvarea unor probleme simple, moment ˆın care se accentueaz˘a formul˘arile care conduc la adunare, respectiv sc˘adere: ”au venit”, ”ˆın total”, ”ˆımpreun˘a”, ”cu atˆat mai mare”, ”cu atˆat mai mult”, ”au plecat”, ”au zburat”, ”au r˘amas”, ”cu atˆat mai put¸in”, ”cu atˆat mai mic”, contribuind astfel la ˆınsu¸sirea unui limbaj matematic corect.

6.3

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor pˆ an˘ a la 100, f˘ ar˘ a trecere peste ordin

Adunarea ¸si sc˘aderea numerelor pˆan˘a la 100 ridic˘a probleme de ordin metodic datorit˘a faptului c˘a se opereaz˘a cu numere formate din zeci ¸si unit˘a¸ti ¸si se introduc dou˘a modalit˘a¸ti de calcul: desf˘a¸surat ¸si ˆın scris. Un element semnificativ din punct de vedere formativ r˘amˆane act¸iunea direct˘a cu obiecte ¸si ˆınv˘a¸tarea prin act¸iune, dar problematizarea are un rol major ˆın ˆınv˘a¸tare. Calitatea ¸si modul de organizare a situat¸iilor problem˘a influent¸eaz˘a pozitiv eficient¸a ˆınv˘a¸t˘arii.

6.3.1

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor naturale ˆın concentrul 0-20

Se reactualizeaz˘a compunerea ¸si descompunerea numerelor cuprinse ˆıntre 10 ¸si 20, ˆın zecea ¸si unit˘a¸tile din care sunt formate. Primele exercit¸ii de adunare vizeaz˘a component¸a numerelor: 10 + 5 = 15, 5 + 10 = 15, etc. ˆIn etapa urm˘atoare, aceste numere formate dintr-o zece ¸si unit˘a¸ti se adun˘a cu unit˘a¸ti. Aceste exercit¸ii se efectueaz˘a cu ajutorul materialului didactic ¸si, ˆın paralel, la tabl˘a se scrie desf˘a¸surat: 15 + 3 = 10 + 5 + 3 = 10 + 8 = 18. Primul num˘ar se descompune ˆın zece ¸si unit˘a¸ti, iar aceste unit˘a¸ti se adun˘a cu cel˘alalt num˘ar care cont¸ine numai unit˘a¸ti, iar rezultatul se adun˘a cu zecea. Se renunt¸˘a treptat la suportul material, pe m˘asur˘a ce se ˆınsu¸se¸ste algoritmul. Se aplic˘a ˆın rezolvarea unor probleme simple. Prima lect¸ie de sc˘adere a acestor numere vizeaz˘a component¸a num˘arului din zece ¸si unit˘a¸ti. Se scad din num˘ar unit˘a¸tile acestuia ¸si r˘amˆane zecea sau se acade zecea ¸si r˘amˆan unit˘a¸tile: 16 - 6 = 10, sau 16 - 10 = 6. Urm˘atoarele tipuri de sc˘adere sunt ZU - U ¸si ZU - ZU. ˆIn primul caz, unit˘a¸tile se scad din unit˘a¸tile num˘arului, dar ˆın al doilea caz trebuie sc˘azut˘a ¸si zecea, ceea ce face ca aceste exercit¸ii s˘a fie mai dificile, pentru c˘a rezultatul nu mai cont¸ine zeci: 17 - 3 = 10 + 7 - 3 = 10 + 4 = 14; 17 - 13 = 10 + 7 - 10 - 3 = 4. 94

Se repet˘a procedeele ˆınv˘a¸tate ¸si se deduce, pe baz˘a de exemple, leg˘atura dintre adunare ¸si sc˘adere: 12 + 5 = 17; 5 + 12 = 17; 17 - 5 = 12; 17 - 12 = 5.

6.3.2

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor naturale ˆın concentrul 0-30

Cazurile de adunare care se studiaz˘a urmeaz˘a un traseu logic, de la simplu la complex. Primul caz, adunarea unui num˘ar format din zeci cu un num˘ar format din unit˘a¸ti, corespunde component¸ei numerelor, deja cunoscut˘a de elevi, astfel c˘a aceste adun˘ari nu ar trebui s˘a ridice probleme: 20 + 6 = 26. Urm˘atorul caz, ZU + U, repet˘a algoritmul de la adunarea numerelor pˆan˘a la 20, adic˘a unit˘a¸tile se adun˘a la unit˘a¸tile num˘arului: 24 + 5 = 29. Analog se studiaz˘a cazul sc˘aderii ZU - U: 27 - 2 = 25. Ultimul caz, cel mai dificil este ZU + ZU, respectiv ZU - ZU. Rezolvarea acestor exercit¸ii se bazeaz˘a pe descompunerea numerelor ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti ¸si operarea cu unit˘a¸ti de acela¸si ordin: 14 + 13 = 10 + 4 + 10 + 3 = 10 + 10 + 4 + 3 = 20 + 7 = 27. 28 - 13 = 20 + 8 - 10 - 3 = 20 - 10 + 8 - 3 = 10 + 5 = 15.

6.3.3

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor pˆ an˘ a la 100

Predarea adun˘arii ¸si sc˘aderii numerelor formate dintr-un num˘ar ˆıntreg de zeci se realizeaz˘a insistˆand asupra faptului c˘a zecea este o unitate de num˘arare ¸si c˘a operat¸iile de adunare ¸si de sc˘adere se realizeaz˘a dup˘a modelul efectu˘arii lor cu unit˘a¸ti. Din 2 + 3 = 5 se deduce c˘a 20 + 30 = 50. Din 8 - 2 = 6 se deduce c˘a 80 - 20 = 60. Un caz particular al operat¸iilor cu numere formate numai din zeci ˆıl constituie numerele a c˘aror sum˘a este 100 ¸si sc˘aderea unui num˘ar format numai din zeci din 100. ˆInt¸elegerea acestor cazuri se bazeaz˘a pe cuno¸stint¸ele legate de descompunerea sutei ˆın numere formate numai din zeci, dup˘a modelul descompunerii zecii ˆın unit˘a¸ti. Din 2 + 8 = 10 se deduce 20 + 80 = 100. Din 10 - 8 = 2 se deduce 100 - 80 = 20. Materialul didactic care se folose¸ste ˆın acest caz poate fi: bet¸i¸soare legate ˆın m˘anunchiuri de cˆate 10, riglete de 10 unit˘a¸ti, tabla magnetic˘a cu simboluri. Predarea-ˆınv˘a¸tarea adun˘arii numerelor naturale mai mici decˆat 100, f˘ar˘a trecere peste ordin, este recomandabil s˘a se realizeze ˆın mai multe etape:

95

• adunarea unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din unit˘a¸ti; • adunarea unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din zeci; • adunarea a dou˘a numere formate din zeci ¸si unit˘a¸ti f˘ar˘a trecere peste ordin. Pentru a aduna un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din unit˘a¸ti, se folose¸ste descompunerea num˘arului ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti ¸si propriet˘a¸tile de comutativitate ¸si asociativitate ale adun˘arii. De exemplu: 34 + 5 = (30 + 4) + 5 = 30 + (4 + 5) = 30 + 9 = 39. Pentru a aduna un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din zeci, se procedeaz˘a ˆın felul urm˘ator: • se descompune num˘arul format din zeci ¸si unit˘a¸ti ˆın dou˘a numere, unul format numai din zeci, iar cel˘alalt numai din unit˘a¸ti; • se adun˘a num˘arul format numai din zeci obt¸inut prin descompunere cu num˘arul dat format numai din zeci; • se adun˘a num˘arul obt¸inut prin adunarea numerelor formate numai din zeci cu num˘arul format numai din unit˘a¸ti. De exemplu: 56 + 20 = (50 + 6) + 20 = (50 + 20) + 6 = 70 + 6 = 76 Combinˆand cele dou˘a cazuri, adunarea a dou˘a numere formate din zeci ¸si unit˘a¸ti, f˘ar˘a trecere peste ordin, se efectueaz˘a ˆın felul urm˘ator: • se descompune fiecare dintre cele dou˘a numere, ˆın numere formate numai din zeci ¸si numai din unit˘a¸ti; • folosind propriet˘a¸tile de comutativitate ¸si de asociativitate ale adun˘arii, se grupeaz˘a numerele formate numai din zeci ¸si se adun˘a, la fel ¸si cele formate numai din unit˘a¸ti; • se adun˘a sumele part¸iale. De exemplu: 36 + 42 = (30 + 6) + (40 + 2) = (30 + 40) + (6 + 2) = 70 + 8 = 78

96

Adunarea numerelor formate din zeci ¸si unit˘a¸ti, f˘ar˘a trecere peste ordin, se va realiza prin descompunere ¸si adun˘ari part¸iale pˆan˘a ce algoritmul este ˆınsu¸sit con¸stient ¸si pe deplin de c˘atre elevi. Dup˘a ce profesorul s-a asigurat de aceasta, va trece la calculul ˆın scris, prin a¸sezarea numerelor unul sub altul, unit˘a¸ti sub unit˘a¸ti ¸si zeci sub zeci. La calculul ˆın scris, adunarea se efectueaz˘a de la dreapta la stˆanga. Algoritmul de sc˘adere a unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti dintr-un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti se con¸stientizeaz˘a ¸si se ˆınsu¸se¸ste trecˆand prin mai multe etape: • sc˘aderea dintr-un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar format numai din unit˘a¸ti; • sc˘aderea dintr-un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar format numai din zeci; • sc˘aderea dintr-un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti. Procedeele ˆıntrebuint¸ate la efectuarea categoriilor de exercit¸ii specificate constituie particulariz˘ari ale procedeului general. Procedeul general se bazeaz˘a pe component¸a zecimal˘a a numerelor, potrivit c˘areia se scad unit˘a¸tile din unt˘a¸ti ¸si zecile din zeci. Exemple: 48 - 6 = (40 + 8) - 6 = 40 + (8 - 6) = 40 + 2 = 42 57 - 30 = (50 + 7) - 30 = (50 - 30) + 7 = 20 + 7 = 27 96 - 42 = (90 + 6) - (40 + 2) = (90 - 40) + (6 - 2) = 50 + 4 = 54 Pentru cazul general, sc˘aderea se poate efectua ¸si sc˘azˆand din desc˘azut num˘arul format din zecile sc˘az˘atorului, iar din aceast˘a diferent¸˘a se scad apoi unit˘a¸tile sc˘az˘atorului. De exemplu: 96 - 42 = 96 - 40 - 2 = 56 - 2 = 54 Acest procedeu necesit˘a doar dou˘a operat¸ii, ˆın comparat¸ie cu precedentul care necesit˘a trei operat¸ii. Cu toate acestea, elevii ˆınt¸eleg mai u¸sor primul procedeu ¸si ˆıl prefer˘a. Folosirea unui procedeu sau a celuilalt trebuie s˘a r˘amˆan˘a la latitudinea elevilor, profesorul avˆand obligat¸ia de a-i ˆınv˘a¸ta ambele procedee.

97

6.4

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor pˆ an˘ a la 100, cu trecere peste ordin

Predarea ¸si ˆınsu¸sirea algoritmilor de adunare ¸si sc˘adere cu trecere peste ordin se bazeaz˘a pe scrierea zecimal˘a a numerelor naturale, pe compunerea ¸si descompunerea acestor numere, pe propriet˘a¸tile adun˘arii, pe ˆınsu¸sirea adun˘arii ¸si sc˘aderii f˘ar˘a trecere peste ordin. Etapele necesare ˆın studiul acestor operat¸ii sunt urm˘atoarele: • adunarea la un num˘ar scris cu dou˘a cifre a unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti, astfel ˆıncˆat suma s˘a fie un num˘ar format numai din zeci; • sc˘aderea unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti dintr-un num˘ar format numai din zeci; • exercit¸ii de ”completare a zecii”; • adunarea numerelor formate numai din unit˘a¸ti; • sc˘aderea dintr-un num˘ar format din o zece ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar de unit˘a¸ti; • adunarea ¸si sc˘aderea unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format din unit˘a¸ti; • adunarea ¸si sc˘aderea numerelor formate din zeci ¸si unit˘a¸ti. ˆIn primul caz, dificultatea const˘a ˆın a transforma cele 10 unit˘a¸ti ˆıntr-o zece ¸si apoi a o ad˘auga la suma zecilor: 72 + 8 = (70 + 2) + 8 = 70 + (2 + 8) = 70 + 10 = 80 36 + 24 = (30 + 6) + (20 + 4) = (30 + 20) + (6 + 4) = 50 + 10 = 60 ˆIn ceea ce prive¸ste sc˘aderea dintr-un num˘ar ˆıntreg de zeci, dificultatea const˘a ˆın transformarea unei zeci a desc˘azutului ˆın zece unit˘a¸ti ¸si apoi sc˘aderea unit˘a¸tilor sc˘az˘atorului din acestea: 30 - 6 = 20 + 10 - 6 = 20 + (10 - 6) = 20 + 4 60 - 36 = 50 + 10 - 30 - 6 = 50 - 30 + 10 - 6 = 20 + 4 = 24, sau: 60 - 36 = 60 - 30 - 6 = 30 - 6 = 24 Exercit¸iile de ”completare a zecii” ˆınseamn˘a exercit¸ii de tipul 7 + ? = 10, utile pentru cazurile cˆand trebuie adunate unit˘a¸ti a c˘aror sum˘a dep˘a¸se¸ste 10. Dup˘a dificult˘a¸tile pe care le prezint˘a, gradarea exercit¸iilor de adunare a numerelor formate numai din unit˘a¸ti cu trecere peste zece este urm˘atoarea: adunarea 98

la num˘arul 9 a numerelor 2, 3, ..., 9; adunarea la num˘arul 8 a numerelor 3, 4, ...,9; adunarea la num˘arul 7 a numerelor 4, 5, 6, ..., 9, ¸si a¸sa mai departe. Procedeul care se utilizeaz˘a const˘a ˆın ad˘augarea la primul num˘ar a unit˘a¸tilor necesare pentru formarea unei zeci, la care se adaug˘a apoi unit˘a¸tile r˘amase. De aceea, exercit¸iile de ”completare a zecii” sunt utile pentru a observa mai u¸sor modul de descompunere a celui de-al doilea num˘ar. Exemplu: 7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12 ˆIn ceea ce prive¸ste comutativitatea adun˘arii, aceasta se poate aplica mai ales ˆın cazul operat¸iilor cu trecere peste ordin, ˆıntrucˆat elevii vor putea observa, spre exemplu, c˘a adunarea 3 + 8 se poate efectua mai u¸sor dac˘a se scrie 8 + 3, deoarece este mai simplu s˘a se completeze 8 pˆan˘a la 10, decˆat 3 pˆan˘a la 10. Sc˘aderea cu trecere peste zece se poate efectua prin dou˘a procedee. Primul const˘a ˆın descompunerea sc˘az˘atorului ˆın atˆatea unit˘a¸ti cˆate are desc˘azutul ¸si restul de unit˘a¸ti. Primele se scad din desc˘azut, iar cele r˘amase se scad din 10. Exemplu: 13 - 7 = 13 - 3 - 4 = 10 - 4 = 6 Al doilea procedeu const˘a ˆın sc˘aderea num˘arului al doilea din zecea primului num˘ar ¸si ad˘augarea la unit˘a¸tile acestuia a restului obt¸inut. Exemplu: 13 - 7 = 10 - 7 + 3 = 3 + 3 = 6 Acest procedeu utilizeaz˘a operat¸ii diferite: adunarea ¸si sc˘aderea ¸si pune ˆın leg˘atur˘a unit˘a¸ti de ordin diferit, de aceea pare mai dificil. T ¸ inˆand cont de faptul c˘a toate operat¸iile ulterioare ˆın care intervine adunarea sau sc˘aderea se bazeaz˘a ˆın mod special pe operat¸iile efectuate ˆın concentrul 0-20, important¸a ˆınsu¸sirii ˆın condit¸ii optime a acestor operat¸ii se impune de la sine. De aceea este necesar s˘a se utilizeze toate mijloacele posibile nu numai pentru ˆınsu¸sirea ˆın mod con¸stient a operat¸iilor respective, dar ¸si pentru memorarea tablei adun˘arii ¸si sc˘aderii numerelor 0-20. Procedee utilizate ˆın acest scop pot fi: • citirea tablei cu rezultatele scrise; • citirea tablei pe rˆand, cu rezultatele ¸sterse; • citirea tablei pe s˘arite cu rezultatele ¸sterse; • completarea rezultatelor; • repetarea din memorie a tablei; 99

• utilizarea rezultatelor tablei ˆın rezolvarea de exercit¸ii; • organizarea cu regularitate a momentelor de calcul mintal; • rezolvarea de probleme simple ¸si compuse. Pentru a aduna un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din unit˘a¸ti, se folosesc mai multe procedee: • adunarea la unit˘a¸tile primului num˘ar a unit˘a¸tilor celui de al doilea num˘ar (ceea ce s-a studiat deja) ¸si apoi ad˘augarea la zecile primului num˘ar a rezultatului obt¸inut: 57 + 8 = 50 + 7 + 8 = 50 + (7 + 8) = 50 + 15 = 65 • ad˘augarea la unit˘a¸tile primului num˘ar, pˆan˘a se completeaz˘a o zece, de unit˘a¸ti din al doilea num˘ar ¸si adunarea la num˘arul format numai din zeci care s-a obt¸inut a unit˘a¸tilor r˘amase din al doilea num˘ar: 57 + 8 = 57 + (3 + 5) = (57 + 3) + 5 = 60 + 5 = 65 • al treilea procedeu este numit prin rotunjire. Se rotunje¸ste unul din termeni prin lips˘a sau adaos, obt¸inˆandu-se un num˘ar format numai din zeci. Se adun˘a acesta cu al doilea termen, iar din rezultat se scad sau se adun˘a unit˘a¸tile care au fost necesare pentru rotunjire, ˆın funct¸ie de modul ˆın care s-a f˘acut rotunjirea: prin lips˘a sau prin adaos: 47 + 5 = 50 + 5 - 3 = 55 - 3 = 52 Pentru a sc˘adea dintr-un num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti un num˘ar format numai din unit˘a¸ti se folosesc procedee asem˘an˘atoare: • se scad din desc˘azut unit˘a¸tile pe care le cont¸ine, iar din diferent¸a obt¸inut˘a se scad celelalte unit˘a¸ti ale sc˘az˘atorului: 32 - 8 = 32 - 2 - 6 = (32 - 2) - 6 = 30 - 6 = 24 • se transform˘a o zece a desc˘azutului ˆın zece unit˘a¸ti care se adun˘a cu unit˘a¸tile init¸iale. Din num˘arul de unit˘a¸ti astfel obt¸inut se scade sc˘az˘atorul. se adun˘a num˘arul de zeci r˘amase cu diferent¸a obt¸inut˘a: 74 - 9 = 60 + 10 + 4 - 9 = 60 + 14 - 9 = 60 + 5 = 65 100

• se separ˘a o zece de la desc˘azut din care se scade sc˘az˘atorul, iar apoi se adun˘a num˘arul r˘amas cu diferent¸a: 33 - 8 = 23 + 10 - 8 = 23 + (10 - 8) = 23 + 2 = 25 • se rotunje¸ste, prin lips˘a sau adaos, fie desc˘azutul, fie sc˘az˘atorul: 52 - 7 = 50 - 7 + 2 = 43 + 2 = 45 54 - 9 = 54 - 10 + 1 = 44 + 1 = 45 Pentru a aduna sau sc˘adea ˆıntre ele dou˘a numere naturale mai mici decˆat o sut˘a, formate din zeci ¸si unit˘a¸ti, se poate folosi unul dintre urm˘atoarele procedee: • procedeul general, care const˘a ˆın efectuarea operat¸iilor ˆıntre unit˘a¸ti de acela¸si fel (unit˘a¸ti cu unit˘a¸ti ¸si zeci cu zeci) ¸si ˆınsumˆand rezultatele obt¸inute: 26 + 58 = 20 + 6 + 50 + 8 = 20 + 50 + 6 + 8 = 70 + 14 = 84 • prin descompunerea unuia dintre termeni: 38 + 27 = 38 + 20 + 7 = 58 + 7 = 58 + 2 + 5 = 60 + 5 = 65 52 - 28 = 52 - 20 - 8 = 32 - 8 = 32 - 2 - 6 = 24 • procedeul rotunjirii unuia dintre termeni ¸si ad˘augarea sau sc˘aderea unit˘a¸tilor cu care s-a f˘acut rotunjirea: 64 - 38 = 64 - 40 + 2 = 24 + 2 = 26 Procedeul prin rotunjire este un instrument foarte util ˆın efectuarea rapid˘a, mintal˘a, a unor operat¸ii cu numere.

6.5

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor naturale mai mari decˆ at 100

Predarea-ˆınv˘a¸tarea adun˘arii ¸si sc˘aderii cu numere mai mari decˆat 100 se face ˆın mai multe etape: adunarea ¸si sc˘aderea f˘ar˘a trecere peste ordin, a numerelor pˆan˘a la 1 000, apoi cu trecere peste ordin, a numerelor pˆan˘a la 1 000, apoi adunarea ¸si sc˘aderea numerelor mai mari decˆat 1 000.

101

6.5.1

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor naturale f˘ ar˘ a trecere peste ordin

Adunarea f˘ar˘a trecere peste ordin a numerelor naturale mai mari decˆat 100 ¸si mai mici decˆat 1 000 se introduce ˆın urm˘atoarea ordine: • adunarea a dou˘a numere formate numai din sute, care se bazeaz˘a pe faptul c˘a sutele sunt unit˘a¸ti de ordinul al treilea, iar adunarea lor se realizeaz˘a ca ¸si adunarea unit˘a¸tilor sau a zecilor; • adunarea la un num˘ar format din sute ¸si zeci a unui num˘ar format numai din unit˘a¸ti sau numai din zeci sau numai din sute; • adunarea la un num˘ar format din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar format numai din unit˘a¸ti sau numai din zeci sau numai din sute; • adunarea la un num˘ar format din sute ¸si zeci a unui num˘ar format numai din unit˘a¸ti ¸si zeci, sau numai din sute ¸si zeci, sau numai din sute ¸si unit˘a¸ti; • adunarea la un num˘ar format din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti a unui num˘ar format din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti. Procedeele aplicabile la aceste cazuri de adunare se bazeaz˘a pe regulile procedeului general - de adunare ˆıntre ele a numerelor de unit˘a¸ti de acela¸si ordin ¸si constituirea num˘arului rezultat. Operat¸ia de sc˘adere este mai dificil˘a decˆat cea de adunare. Sc˘aderea f˘ar˘a trecere peste ordin parcurge urm˘atoarele etape: • sc˘aderea unui num˘ar format din unit˘a¸ti dintr-un num˘ar format din unit˘a¸ti , zeci, sute; • sc˘aderea unui num˘ar format din zeci dintr-un num˘ar format din unit˘a¸ti , zeci, sute; • sc˘aderea unui num˘ar format din sute dintr-un num˘ar format din unit˘a¸ti , zeci, sute; • sc˘aderea unui num˘ar format din unit˘a¸ti ¸si zeci dintr-un num˘ar format din unit˘a¸ti , zeci, sute; • sc˘aderea unui num˘ar format din unit˘a¸ti, zeci ¸si sute dintr-un num˘ar format din unit˘a¸ti , zeci, sute; Abia dup˘a ce s-au ˆınsu¸sit foarte bine procedeele de adunare ¸si sc˘adere f˘ar˘a trecere peste ordin se poate trece la efectuarea de operat¸ii cu trecere peste ordin. 102

6.5.2

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor naturale cu trecere peste ordin

Adunarea numerelor naturale cu trecere peste ordin se ˆınvat¸˘a, de asemenea, trecˆand prin mai multe etape. Toate procedeele se bazeaz˘a pe formarea ¸si scrierea zecimal˘a a numerelor naturale ¸si pe faptul c˘a zece unit˘ a¸ti de un anumit ordin formeaz˘ ao unitate de ordin superior. Ordinea recomandat˘a pentru adunare este urm˘atoarea: • adunarea unui num˘ar format din zeci ¸si unit˘a¸ti cu un num˘ar format numai din zeci, suma zecilor trecˆand de 100: 56 + 70 = 50 + 6 + 70 = 50 + 70 + 6 = 50 + 50 + 20 + 6 = 100 + 26 = = 126 ˆIn analiza acestui caz trebuie s˘a se insiste pe formarea sutei din zecile primului num˘ar ¸si o parte din zecile celui de al doilea num˘ar. • adunarea a dou˘a numre formate fiecare din zeci ¸si unit˘a¸ti, dar prin adunarea unit˘a¸tilor de acela¸si ordin numai o sum˘a dep˘a¸se¸ste ordinul respectiv: 62 + 74 = 60 + 2 + 70 + 4 = 60 + 40 + 30 + 2 + 4 = 100 + 36 = 136 • adunarea a dou˘a numere formate din zeci ¸si unit˘a¸ti astfel ˆıncˆat prin adunarea atˆat a zecilor ˆıntre ele cˆat ¸si a unit˘a¸tilor s˘a se dep˘a¸seasc˘a ordinul respectiv: 84 + 78 = 80 + 4 + 70 + 8 = 80 + 70 + 4 + 8 = 150 + 12 = 162 • adunarea a dou˘a numere formate din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti, iar cel˘alalt numai din unit˘a¸ti sau unit˘a¸ti ¸si zeci: 564 + 7 = 560 + 4 + 7 = 560 + 11 = 571 647 + 85 = 640 + 7 + 80 + 5 = 720 + 12 = 732 • adunarea a dou˘a numere formate fiecare din unit˘a¸ti, zeci ¸si sute: 586 + 349 = 500 + 80 + 6 + 300 + 40 + 9 = 500 + 300 + 80 + 40 + 6 + + 9 = 800 + 120 + 15 = 920 + 15 = 935

103

ˆIn fiecare caz trebuie insistat asupra faptului c˘a se adun˘a ˆıntre ele unit˘a¸tile de acela¸si ordin, c˘a din 10 unit˘a¸ti de un anumit ordin se formeaz˘a o unitate de ordin imediat superior care se adun˘a la unit˘a¸tile de ordinul respectiv. La toate aceste exercit¸ii se va face ¸si calculul ˆın scris, prin a¸sezarea numerelor unele sub altele, unit˘a¸ti de acela¸si ordin sub unit˘a¸ti de acela¸si ordin. Sc˘aderea cu trecere peste ordin presupune transformarea unei unit˘a¸ti de un anumit ordin ˆın zece unit˘a¸ti de ordin imediat inferior. Primele etape cuprind exercit¸ii de sc˘adere a unui num˘ar de zeci din 100, apoi a unui num˘ar de zeci ¸si unit˘a¸ti din 100. Urm˘atoarele etape sunt cele de la sc˘aderea f˘ar˘a trecere peste ordin, dar de data aceasta num˘arul de unit˘a¸ti de un anumit ordin al desc˘azutului este mai mic decˆat num˘arul de unit˘a¸ti de acela¸si ordin al sc˘az˘atorului. Exemple: 735 - 82 = 600 + 130 + 5 - 80 - 2 = 600 + 130 - 80 + 5 - 2 = 600 + 50 + 3 = 653 523 - 148 = 400 + 110 + 13 - 100 - 40 - 8 = 400 - 100 + 110 - 40 + 13 - 8 = = 300 + 70 + 5 = 375 Se recomand˘a ca la scrierea calculului ˆın scris, ˆın cazul ˆın care num˘arul unit˘a¸tilor de un anumit ordin este mai mic decˆat num˘arul de unit˘a¸ti de acela¸si ordin al sc˘az˘atorului, s˘a se specifice prin scriere deasupra cifrelor desc˘azutului faptul c˘a o unitate a fost transferat˘a ¸si transformat˘a. La sc˘aderile ˆın care se cere transformarea unei unit˘a¸ti de la ordinul sutelor pˆan˘a la ordinul unit˘a¸tilor, se consemneaz˘a c˘a la ordinul zecilor se las˘a 9 zeci, iar o zece se transform˘a ˆın 10 unit˘a¸ti.

6.5.3

Adunarea ¸si sc˘ aderea numerelor mai mari decˆ at 1000

Operat¸iile de adunare ¸si sc˘adere a numerelor naturale mai mari decˆat 1 000 se efectueaz˘a oral ¸si ˆın scris, ˆın etape similare ¸si prin procedee analoage cu cele ˆınv˘a¸tate la adunarea ¸si sc˘aderea numerelor naturale mai mici decˆat 1 000. Pentru adunarea ˆın scris, ca ¸si pentru sc˘adere, a numerelor mai mari decˆat 1 000 este necesar s˘a fie cunoscute temeinic de c˘atre elevi clasele ¸si ordinele ˆın scrierea zecimal˘a a acestor numere, ordinea claselor ¸si ordinea ordinelor ˆın fiecare clas˘a, scrierea ¸si citirea corect˘a a numerelor de orice m˘arime, operat¸iile de adunare ¸si sc˘adere ˆınsu¸site anterior, s˘a fie format˘a deprinderea de scriere a claselor sub acelea¸si clase ¸si a ordinelor din fiecare clas˘a sub ordinele corespunz˘atoare ale claselor respective. Prin exercit¸ii repetate, trecˆandu-se prin etape similare cu cele prin care s-a trecut la efectuarea acestor operat¸ii cu numere mai mici, comparativ se va ajunge la concluzia c˘a tehnica de calcul este aceea¸si.

104

6.6

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea operat¸iei de ˆınmult¸ire

6.6.1

ˆInt¸elegerea sensului operat¸iei de ˆınmult¸ire

ˆInt¸elegerea sensului operat¸iei de ˆınmult¸ire solicit˘a valorificarea deprinderilor de adunare ˆın cazul particular al adun˘arii cu termeni egali. Operat¸ia apare ca o necesitate de rat¸ionalizare ¸si prescurtare a unui calcul. Rolul intuit¸iei este diminuat, accentul fiind pus pe ˆınt¸elegerea semnificat¸iei unei convent¸ii de scriere ¸si de asociere a unui mod particular de act¸iune ¸si verbalizare cu un procedeu de calcul. Introducerea operat¸iei de ˆınmult¸ire se face pe baza cazului particular de adunare cu termeni egali. O adunare cu termeni egali sau o adunare repetat˘a cum se mai nume¸ste, 2 + 2 + 2 + 2 este rezultatul unei act¸iuni ˆın care 2 este luat / repetat de 4 ori sau este repetat de 4 ori num˘ arul 2. 2+2+2+2=4x2 Convent¸ia de scriere 4 x 2 pune ˆın evident¸˘a pe 2 care se repet˘a, iar 4 indic˘a num˘arul de termeni egali. Scrierea 2 x 4 semnific˘a o adunare repetat˘a ˆın care termenul care se repet˘a este 4, iar 2 arat˘a c˘a el se repet˘a de 2 ori. Convent¸ia de notat¸ie acord˘a primului num˘ar din ˆınmult¸ire rolul de a num˘ara de cˆ ate ori se repet˘a termenul adun˘ arii, iar al doilea num˘ar din ˆınmult¸ire nume¸ste termenul care se repet˘a prin adunare, semnul ˆınmult¸irii indicˆand repetarea unui termen prin adunare. ˆIn acest mod ˆınmult¸irea se prezint˘a ca o modalitate de scriere a adun˘arii repetate, care are avantajul scrierii condensate a unei adun˘ari cu un num˘ar dat de termeni egali ¸si identificarea unui procedeu de num˘ arare prin grupare ¸si utilizarea unei convent¸ii de scriere. Elevii vor efectua calculul folosind obiecte, num˘ar˘atoare sau calculul mintal. Activit˘a¸tile desf˘a¸surate cu clasa vor fi preponderent obiectuale ¸si vor fi centrate pe sarcini de ˆınv˘a¸tare care vizeaz˘a aflarea num˘arului de elemente dintr-o mult¸ime prin gruparea obiectelor, g˘asirea num˘ arului de grupe ¸si a num˘ arului de elemente din fiecare grup˘a ¸si exprimarea modului de grupare prin scrierea sub form˘a de adunare repetat˘a de termeni egali. Elevii vor opera cu obiecte, bet¸i¸soare, bile, pe care le vor grupa cˆate 2, 3, etc. ¸si vor exprima rezultatul num˘ar˘arii prin precizarea num˘arului de grupe ¸si a num˘arului de obiecte din fiecare grup˘a. ˆIn etapa urm˘atoare, elevii vor rezolva sarcini care vor solicita gruparea unor obiecte ˆın modul indicat prin scrierea sub form˘a de adunare repetat˘a, iar apoi sub form˘a de ˆınmult¸ire. Activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare conduc la realizarea urm˘atoarelor obiective: • scrierea unor adun˘ari cu termeni egali sub form˘a de ˆınmult¸ire; • scrierea unor ˆınmult¸iri ca adun˘ari cu termeni egali; 105

• con¸stientizarea semnificat¸iei factorilor la ˆınmult¸ire (f˘ar˘a utilizarea terminologiei); • identificarea num˘arului de termeni ai unei adun˘ ari cu termeni egali dac˘a este dat˘a sub form˘a de ˆınmult¸ire; • identificarea termenului repetat dintr-o adunare dac˘a este dat˘a scrierea sub form˘a de ˆınmult¸ire; • identificarea primului factor (de cˆ ate ori se repet˘ a termenul repetat al adun˘ arii) dac˘a se d˘a adunarea cu termeni egali; • identificarea celui de al doilea factor (termenul care se repet˘ a ˆın adunare) atunci cˆand se d˘a adunarea cu termeni egali. Demersul didactic va urm˘ari formarea deprinderilor de verbalizare ˆın limbaj matematic specifice operat¸iei de ˆınmult¸ire, cu folosirea repetat˘a a unor exprim˘ari de tipul de m ori cˆate n, n luat de m ori, n repetat de m ori., pentru a exprima verbal scrierea sub form˘a de ˆınmult¸ire a unei adun˘ari cu termeni egali. ˆIn aceast˘a etap˘a a ˆınv˘a¸t˘arii, modalitatea de calcul a ˆınmult¸irilor este prin adunare, la fel cum ˆın etapa de ˆınt¸elegere a sensului operat¸iei de adunare, modalitatea era num˘ararea. Activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare urm˘aresc: • exercit¸ii de grupare de elemente ¸si partajare de grupe dup˘a reguli date; • exercit¸ii de num˘arare cu pas dat, cu sprijin ˆın obiecte ¸si desene pentru intuirea ˆınmult¸irii; • exercit¸ii de g˘asire a cˆat mai multor modalit˘a¸ti de scriere a unui num˘ar sub form˘a de sum˘a de termeni egali sau de produs; • descompunerea unui num˘ar sub form˘a de sum˘a de termeni egali. De la primele lect¸ii de predare a ˆınmult¸irii numerelor naturale se urm˘are¸ste scoaterea ˆın evident¸˘a a propriet˘a¸tii de comutativitate. Proprietatea este folosit˘a ˆın stabilirea rezultatelor ˆınmult¸irii, cˆand se trece la alc˘atuirea tablei ˆınmult¸irii. Din punct de vedere metodic, comutativitate ˆınmult¸irii poate fi demonstrat˘a elevilor ˆın felul urm˘ator: se realizeaz˘a un tabel matriceal de 3 linii ¸si 5 coloane de obiecte. Se constat˘a c˘a sunt de 3 ori 5 obiecte sau de 5 ori 3 obiecte. deci obiectele pot fi calculate ˆın dou˘a moduri: 3 x 5 sau 5 x 3. Cele dou˘a produse reprezint˘a acela¸si num˘ar: num˘arul obiectelor din tabel.

106

6.6.2

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea tablei ˆınmult¸irii

Determinarea produsului a dou˘a numere cu ajutorul adun˘arii repetate devine greoaie dac˘a numerele sunt mari. De aceea elevii trebuie s˘a ˆı¸si formeze deprinderi de calcul utilizˆand operat¸ia de ˆınmult¸ire. Tabla ˆınmult¸irii trebuie ˆınv˘a¸tat˘a con¸stient, cu ajutorul unor procedee variate. ˆInv˘a¸tarea tablei ˆınmult¸irii se va realiza prin efectuarea repetat˘a a unor ˆınmult¸iri, memorarea nefiind un scop ˆın sine, ci rezultatul aplic˘arii ei repetate. Predarea-ˆınv˘a¸tarea operat¸iei se sprijin˘a pe adunarea repetat˘a ¸si pe folosirea unor tehnici variate de calcul. Dup˘a ce elevii au ˆınt¸eles semnificat¸ia ˆınmult¸irii se trece la ˆınv˘a¸tarea ˆınmult¸irii cu fiecare num˘ar pe rˆand: cu 2, cu 3, etc. ˆInmult¸irea cu 0 ¸si cu 1 se studiaz˘a dup˘a ce s-a ˆınv˘a¸tat deja ˆınmult¸irea cu alt¸i factori. Obt¸inerea rezultatelor ˆınmult¸irilor se bazeaz˘a pe rezultatele cunoscute de la lect¸iile precedente, pe proprietatea de comutativitate, iar rezultatele noi se deduc prin adunarea repetat˘a sau pornind de la rezultatul precedent la care se mai adun˘a o dat˘a num˘arul respectiv. Etapele care se parcurg pentru ˆınv˘a¸tarea ˆınmult¸irii cu un anumit factor sunt urm˘atoarele: • repetarea ˆınmult¸irilor ˆınv˘a¸tate anterior ˆın contexte cˆat mai variate, cu utilizarea materialului didactic ori de cˆate ori este nevoie. Se pune accentul pe calculul oral, pe activit˘a¸ti de rezolvare de probleme relevante pentru obiectivul urm˘arit ¸si pe utilizarea terminologiei matematice specifice; • determinarea rezultatelor primelor ˆınmult¸iri cu noul factor, pe baza propriet˘a¸tii de comutativitate; • obt¸inerea rezultatelor celorlalte ˆınmult¸iri cu factorul respectiv prin utilizarea rezultatelor ˆınmult¸irilor cunoscute sau prin calcul, cu ajutorul adun˘arii repetate; • formarea tablei ˆınmult¸irii cu noul num˘ar; • aplicarea tablei ˆınmult¸irii ˆın contexte cˆat mai variate, cu scopul ˆınv˘a¸t˘arii con¸stiente. De exemplu, la ˆınmult¸irea cu factorul 5, produsele 1 x 5, 2 x 5, 3 x 5 ¸si 4 x 5 sunt cunoscute de la cazurile studiate anterior. Primul rezultat nou este 5 x 5, care se deduce fie prin adunarea 5 + 5 + 5 + 5 + 5, fie 4 x 5 + 5, adic˘a de 4 ori 5 plus ˆınc˘a 5. Pentru 6 x 5 = 5 x 5 + 5, etc. Astfel se deduc prin calcul toate rezultatele. Automatizarea deprinderii de calcul prin utilizarea tablei ˆınmult¸irii este un demers structurat pe un sistem de exercit¸ii care poate cuprinde diferite ˆınmult¸iri, probleme simple bazate pe desene, ˆınmult¸iri lacunare, num˘arare din n ˆın n, adic˘a g˘asirea multiplilor unui num˘ar (f˘ar˘a a fi denumit¸i astfel), scrierea unor numere 107

sub form˘a de produs ˆın cˆat mai multe moduri posibile, exercit¸ii bazate pe relat¸ia dintre adunare ¸si ˆınmult¸ire ¸si pe semnificat¸ia factorilor.

6.6.3

ˆInmult¸irea numerelor pˆ an˘ a la 1000

ˆInsu¸sirea con¸stient˘a a algoritmului de calcul pentru ˆınmult¸irea unui num˘ar de dou˘a sau trei cifre cu un alt num˘ar presupune utilizarea propriet˘a¸tilor de distributivitate a ˆınmult¸irii fat¸˘a de adunare, asociativitatea ˆınmult¸irii ¸si propriet˘a¸tile adun˘arii. Distributivitatea ˆınmult¸irii se intuie¸ste ¸si demonstreaz˘a prin exercit¸ii de tipul: ˆınmult¸irea cˆand unul dintre factori este o sum˘ a. De exemplu: o furculit¸˘a cost˘a 4 lei, iar un cut¸it cost˘a 5 lei. Cˆat cost˘a 3 furculit¸e ¸si 3 cut¸ite? Problema se poate rezolva ˆın dou˘a moduri: se afl˘a cˆat cost˘a cele 3 furculit¸e: 3 x 4 lei, cele 3 cut¸ite: 3 x 5 lei ¸si se adun˘a. Al doilea mod: se afl˘a cˆat cost˘a o furculit¸˘a ¸si un cut¸it ˆımpreun˘a: 4 + 5 lei, iar apoi cˆat cost˘a 3 astfel de grupe: 3 x (4 + 5). Se obt¸ine acela¸si rezultat, adic˘a: 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5) Se concluzioneaz˘a: pentru ˆınmult¸irea unui factor cu o sum˘a, se ˆınmult¸e¸ste factorul cu fiecare termen al sumei, iar rezultatele part¸iale se adun˘a. Proprietatea se poate scrie ¸si invers, bazˆandu-ne pe comutativitatea ˆınmult¸irii: (4 + 5) x 3 = (4 x 3) + (5 x 3) O alt˘a proprietate important˘a pentru ˆınt¸elegerea ˆınmult¸irii numerelor de mai multe cifre este asociativitatea. Aceast˘a proprietate se intuie¸ste ¸si demonstreaz˘a practic prin ˆınmult¸irea cu trei factori. De exemplu: la magazinul de electronice, pe 2 rafturi sunt cˆate 3 televizoare. Pe fiecare ecran se v˘ad cˆate 2 cai. Cˆa¸ti cai se v˘ad pe toate ecranele televizoarelor? S¸i aceast˘a problem˘a se poate rezolva ˆın dou˘a moduri: se afl˘a mai ˆıntˆai cˆate televizoare sunt: 2 x 3, iar apoi cˆa¸ti cai: (2 x 3) x 2 cai. Al doilea mod: se afl˘a cˆa¸ti cai sunt pe un raft: 3 x 2 cai, iar apoi pe ambele rafturi: 2 x (3 x 2) cai. Rezultatul este acela¸si: (2 x 3) x 2 = 2 x (3 x 2) Concluzia este c˘a la ˆınmult¸irea a trei factori, numerele se pot asocia, fie se ˆınmult¸esc primele dou˘a, iar rezultatul cu cel de al treilea, fie se ˆınmult¸e¸ste primul cu produsul celorlalte dou˘a. O alt˘a proprietate important˘a pentru introducerea algoritmului de calcul este regula de ˆınmult¸ire cu 10, respectiv 100. Acestea sunt cazuri speciale de ˆınmult¸ire, rezultatul obt¸inˆandu-se prin ad˘augarea unui zero, respectiv a dou˘a zerouri la sfˆar¸situl num˘arului. 108

ˆInmult¸irea unui num˘ ar de dou˘ a cifre cu un num˘ ar de o cifr˘ a Acest caz se rezolv˘a mai ˆıntˆai pentru ˆınmult¸iri f˘ ar˘ a trecere peste ordin, de exemplu: 2 x 43. Primele exercit¸ii se lucreaz˘a ˆın paralel cu material didactic, cu ajutorul c˘aruia se reprezint˘a num˘arul 43 de dou˘a ori, iar calculul desf˘a¸surat se scrie: 2 x 43 = 2 x (40 + 3) = (2 x 40) + (2 x 3) = (2 x (4 x 10)) + 6 = = ((2 x 4) x 10) + 6 = (8 x 10) + 6 = 80 + 6 = 86 Mai ˆıntˆai factorul de dou˘a cifre se descompune ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti, apoi se aplic˘a ˆınmult¸irea unui factor cu o sum˘a, apoi se scrie ca produs num˘arul care reprezint˘a zecile ¸si se aplic˘a asociativitatea, se pot grupa factorii astfel ˆıncˆat se ˆınmult¸e¸ste 2 cu 4, iar apoi rezultatul cu 10. ˆIn acest moment se atrage atent¸ia c˘a se ˆınmult¸e¸ste factorul de o cifr˘a cu num˘arul zecilor ¸si se obt¸in zeci, adic˘a 80. Se adun˘a rezultatele part¸iale obt¸inute. Acela¸si calcul se face ¸si ˆın scris, se explic˘a a¸sezarea numerelor unul sub altul, ˆınmult¸irea ˆın scris ˆıncepe de la dreapta, se ˆınmult¸esc mai ˆıntˆai unit˘a¸tile, iar rezultatul se scrie sub unit˘a¸ti, apoi zecile, iar rezultatul se scrie sub zeci. Urm˘atorul caz vizeaz˘a trecerea peste ordinul unit˘ a¸tilor. Se procedeaz˘a analog, la calculul dezvoltat nu se produce nici o schimbare, dar la calculul ˆın scris, zecile rezultate prin ˆınmult¸irea unit˘a¸tilor trebuie adunate la zecile rezultatului. De exemplu: 38 x 2 = 76 La trecerea peste ordinul zecilor se va obt¸ine un num˘ar care cont¸ine ¸si sute: 73 x 2 = 146, num˘arul sutelor scriindu-se ˆın fat¸˘a, pe pozit¸ia corespunz˘atoare. Ultimul caz care se studiaz˘a este cel al ˆınmult¸irilor cu trecere peste ordinul unit˘ a¸tilor ¸si al zecilor, care combin˘a cazurile anterioare. De exemplu: 47 x 3 = 141. ˆInmult¸irea unui num˘ ar de trei cifre cu un num˘ ar de o cifr˘ a Dac˘a ˆınmult¸irea unui num˘ar de dou˘a cifre cu un num˘ar de o cifr˘a s-a ˆınt¸eles ¸si elevii au deprins algoritmul de lucru, la ˆınmult¸irea unui num˘ar de trei cifre cu un num˘ar de o cifr˘a, faptul c˘a apar ˆın plus sutele nu constituie o dificultate prea mare. Num˘arul sutelor se alege astfel ˆıncˆat rezultatul s˘a nu dep˘a¸seasc˘a 1 000. Calculul se va efectua ˆın acest moment cu preponderent¸˘a ˆın scris. Primele exemple vor cont¸ine ˆınmult¸iri f˘ ar˘ a trecere peste ordin, adic˘a: 231 x 2 = 462, iar urm˘atoarele cu trecere peste ordinul unit˘ a¸tilor : 136 x 2 = 272; cu trecere peste ordinul zecilor : 173 x 2 = 346; cu trecere peste ordinul unit˘ a¸tilor ¸si al zecilor : 156 x 3 = 468.

109

ˆInmult¸irea numerelor de dou˘ a cifre Pentru ca elevii s˘a ˆınvet¸e con¸stient acest tip de ˆınmult¸ire, se recomand˘a, ca ¸si la cazurile precedente, s˘a se coreleze cele dou˘a modalit˘a¸ti de calcul: • calculul dezvoltat care se sprijin˘a pe cazuri anterioare de ˆınmult¸ire, pe proprietatea de distributivitate a ˆınmult¸irii fat¸˘a de adunare, semnificat¸ia ordinelor unui num˘ar ¸si pe descompunerea numerelor ˆın zeci ¸si unit˘a¸ti: 24 x 13 = 24 x (3 + 10) = 24 x 3 + 24 x 10 = 72 + 240 = 312; • calculul ˆın scris, unde se reg˘ase¸ste fiecare dintre operat¸iile anterioare: 2 1 7 2 4 3 1

4 x 3 2 produs part¸ial 1 produs part¸ial 2 24 reprezint˘a num˘arul de zeci = 240 2

Efectuarea calculului ˆın scris necesit˘a o bun˘a ˆınt¸elegere a modului de exprimare a unui num˘ar ˆın funct¸ie de num˘arul de zeci pe care ˆıl cont¸ine. Acest fapt este important, deoarece, ˆın absent¸a deprinderilor de scriere a unui num˘ar ˆın forme echivalente (ˆın funct¸ie de num˘arul de mii, sute sau zeci), nu se poate justifica modul de a¸sezare a produselor part¸iale. Produsele part¸iale scrise decalat sunt consecint¸a faptului c˘a primul produs part¸ial este un num˘ar exprimat ˆın unit˘a¸ti, iar al doilea produs part¸ial reprezint˘a un num˘ar scris cu ajutorul num˘arului de zeci din care este format. F˘ar˘a ˆınt¸elegerea acestui fapt, nu poate fi explicat modul de adunare a produselor part¸iale care, aparent, contrazice regulile de calcul ˆın scris ˆınsu¸site anterior. De fapt, ˆın exemplul precedent, se adun˘a 72 cu 240, a¸sa cum este justificat ˆın calculul dezvoltat, dar pentru c˘a 240 are cifra unit˘a¸tilor 0 se prefer˘a, pentru simplificarea modului de calcul scris, exprimarea lui sub form˘a de 24 zeci ¸si se scriu zeci sub zeci. Aceste convent¸ii de scriere nu pot fi acceptate de elevi decˆat dac˘a activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare sunt relevante ¸si decodific˘a leg˘atura dintre calculul dezvoltat ¸si cel ˆın scris. Altfel algoritmul se aplic˘a mecanic de c˘atre elevi ¸si se produc frecvente gre¸seli de calcul. Dac˘a algoritmul de ˆınmult¸ire a dou˘a numere de dou˘a cifre s-a ˆınt¸eles ¸si se aplic˘a corect, se pot efectua ¸si ˆınmult¸iri de numere de trei cifre cu numere de dou˘a cifre. S¸i ˆın acest caz se obt¸in dou˘a produse part¸iale, cu aceea¸si semnificat¸ie, modul de a¸sezare la calculul ˆın scris este acela¸si, iar rezultatul se obt¸ine prin adunarea lor. 110

Pe tot parcursul pred˘arii-ˆınv˘a¸t˘arii ˆınmult¸irii, se pune accentul pe formarea unui limbaj matematic corect, ˆınsu¸sirea terminologiei specifice: factori, produs ¸si a formulelor care implic˘a aceast˘a operat¸ie: de atˆ atea ori mai mult, de atˆ atea ori mai mare.

6.7

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea operat¸iei de ˆımp˘ art¸ire

Operat¸ia de ˆımp˘art¸ire este cea mai dificil˘a dintre operat¸iile aritmetice, datorit˘a complexit˘a¸tii ei, variet˘a¸tii cazurilor ¸si caracteristicilor pe care le prezint˘a, cˆat ¸si datorit˘a faptului c˘a utilizeaz˘a simultan toate cele trei operat¸ii precedente, iar calculul ˆın scris se efectueaz˘a de la stˆanga la dreapta, spre deosebire de celelalte operat¸ii.

6.7.1

Semnificat¸ia operat¸iei de ˆımp˘ art¸ire

ˆImp˘art¸irea semnific˘a o sc˘adere repetat˘a, dar rat¸ionamentele diferite care decurg din situat¸ii practice care solicit˘a ˆımp˘art¸ire se structureaz˘a diferit ¸si conduc la dou˘a procedee: • ˆımp˘art¸irea ˆın p˘art¸i egale; • ˆımp˘art¸irea prin cuprindere. ˆImp˘art¸irea ˆın p˘art¸i egale este mai accesibil˘a ˆınt¸elegerii copilului, exprimarea ˆıntrebuint¸at˘a este ˆın concordant¸˘a cu procesul de gˆandire care are loc, iar justificarea operat¸iilor se face f˘ar˘a dificult˘a¸ti. ˆ art¸irea ˆın p˘art¸i egale este o form˘a de rat¸ionament specific˘a unor situat¸ii Imp˘ matematice care solicit˘a separarea unei mult¸imi ˆın submult¸imi disjuncte, ¸stiind num˘ arul de elemente ale mult¸imii date ¸si num˘ arul de submult¸imi care se formeaz˘a. Problema este de a afla cˆate elemente va avea fiecare submult¸ime. Exemplu: 12 caise trebuie ˆımp˘art¸ite ˆın mod egal pe 4 farfurioare. Cˆate caise vor fi pe o farfurioar˘a? Procedeul de rezolvare: se iau 4 caise ¸si se pune cˆate o cais˘a pe fiecare farfurioar˘a. Au r˘amas: 12 - 4 = 8 caise. Se mai iau 4 caise ¸si se pune pe fiecare farfurioar˘a cˆate o cais˘a. Au r˘amas 8 - 4 = 4 caise. Se iau cele 4 caise ¸si se pune cˆate una pe fiecare farfurioar˘a. 4 - 4 = 0, nu au mai r˘amas caise de ˆımp˘art¸it. Pe o farfurioar˘a sunt acum 3 caise. S-au f˘acut 3 sc˘aderi repetate: 12 - 4 = 8 8-4=4 4-4=0 Rezultatul este num˘arul sc˘aderilor repetate care s-au efectuat. Operat¸ia se scrie sub form˘a de ˆımp˘art¸ire astfel: 111

12 : 4 = 3, unde 12 reprezint˘a num˘arul init¸ial de obiecte care trebuie ˆımp˘art¸ite, deˆımp˘ art¸itul, 4 reprezint˘a num˘arul de p˘art¸i egale ˆın care se ˆımpart obiectele, adic˘a ˆımp˘ art¸itorul, iar 3 este num˘arul de obiecte cont¸inute de fiecare parte, cˆ atul ˆımp˘ art¸irii. Traseul metodic care rezult˘a din act¸iune cuprinde urm˘atorii pa¸si: • se stabile¸ste num˘arul obiectelor care trebuie ˆımp˘art¸ite ˆın mod egal ¸si num˘arul p˘art¸ilor; • se ia un num˘ar de obiecte egal cu num˘arul p˘art¸ilor ¸si se repartizeaz˘a cˆate unul fiec˘arei p˘art¸i; • operat¸ia descris˘a mai sus se repet˘a pˆan˘a nu mai r˘amˆan obiecte de ˆımp˘art¸it; • se scriu ˆın paralel sc˘aderile efectuate; • num˘arul operat¸iilor care s-au f˘acut este num˘arul de obiecte corespunz˘atoare fiec˘arei p˘art¸i; • se scrie sub form˘a de ˆımp˘art¸ire. ˆImp˘art¸irea prin cuprindere prezint˘a un grad mai mare de dificultate, ˆıntrucˆat nu se poate ilustra ˆın mod concret ¸si atˆat de u¸sor ca ˆımp˘art¸irea ˆın p˘art¸i egale. La ˆımp˘art¸irea prin cuprindere ¸si scrierea este mai dificil˘a. ˆ art¸irea prin cuprindere este o form˘a de rat¸ionament specific˘a unor situat¸ii Imp˘ matematice care solicit˘a separarea unei mult¸imi ˆın submult¸imi disjuncte ¸stiind num˘ arul de elemente ale mult¸imii date ¸si num˘ arul de elemente din fiecare submult¸ime. Problema este de a afla cˆate submult¸imi se formeaz˘a astfel. Exemplu: 12 caise trebuie ˆımp˘art¸ite cˆate 4 pe o farfurioar˘a. Cˆate farfurioare vor fi necesare? Procedeul de rezolvare: se iau 4 caise ¸si se pun pe o farfurioar˘a. Au r˘amas: 12 - 4 = 8 caise. Se mai iau 4 caise ¸si se pun pe alt˘a farfurioar˘a. Au r˘amas 8 - 4 = 4 caise. Se iau cele 4 caise ¸si se pun pe ˆınc˘a o farfurioar˘a. 4 - 4 = 0, nu au mai r˘amas caise de ˆımp˘art¸it. Sunt acum 3 farfurioare cu caise. S-au f˘acut 3 sc˘aderi repetate: 12 - 4 = 8 8-4=4 4-4=0 Rezultatul este num˘arul sc˘aderilor repetate care s-au efectuat. Operat¸ia se scrie sub form˘a de ˆımp˘art¸ire astfel: 12 : 4 = 3, 112

unde 12 reprezint˘a num˘arul init¸ial de obiecte care trebuie ˆımp˘art¸ite, deˆımp˘ art¸itul, 4 reprezint˘a num˘arul de obiecte dintr-o submult¸ime, adic˘a ˆımp˘ art¸itorul, iar 3 este num˘arul de submult¸imi care s-au format, cˆ atul ˆımp˘ art¸irii. Traseul metodic are urm˘atorii pa¸si: • se stabile¸ste num˘arul de obiecte care trebuie ˆımp˘art¸it ¸si num˘arul de obiecte pe care le cont¸ine o submult¸ime; • din num˘arul de obiecte se ia un num˘ar egal cu cˆate obiecte trebuie s˘a cont¸in˘a o submult¸ime ¸si se formeaz˘a prima submult¸ime; • din obiectele r˘amase se ia din nou acela¸si num˘ar de obiecte ¸si se constituie alt˘a submult¸ime; • se repet˘a procedeul de mai sus pˆan˘a nu mai r˘amˆan obiecte de ˆımp˘art¸it; • num˘arul de p˘art¸i este rezultatul ˆımp˘art¸irii; • se scrie operat¸ia sub form˘a de ˆımp˘art¸ire. Din analiza celor dou˘a exemple se observ˘a c˘a act¸iunea care s-a efectuat este diferit˘a ca semnificat¸ie: ˆın primul caz s-au ˆımp˘art¸it caise la farfurioare ¸si s-au obt¸inut caise, iar ˆın al doilea caz s-au ˆımp˘art¸it caise la caise ¸si s-au obt¸inut farfurioare. Din punct de vedere matematic, ambelor procedee le corespunde aceea¸si operat¸ie, dar semnificat¸ia termenilor ˆımp˘art¸irii ¸si a cˆatului este diferit˘a.

6.7.2

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea tablei ˆımp˘ art¸irii

Dup˘a ce elevii ¸si-au ˆınsu¸sit con¸stient procedeele de ˆımp˘art¸ire ˆın p˘art¸i egale ¸si prin cuprindere, se trece la alc˘atuirea tablei ˆımp˘art¸irii, folosind leg˘ atura dintre ˆınmult¸ire ¸si ˆımp˘ art¸ire. Stabilirea rezultatelor ˆımp˘art¸irii se bazeaz˘a pe tabla ˆınmult¸irii. Leg˘atura dintre ˆınmult¸ire ¸si ˆımp˘art¸ire se poate face printr-un desen, reprezentarea unei situat¸ii care poate fi interpretat˘a pe baza ambelor operat¸ii. De exemplu: • ˆIn livad˘a sunt 5 rˆanduri a cˆate 8 meri fiecare. Num˘arul de meri se afl˘a prin ˆınmult¸ire: 5 x 8 = 40. • Dac˘a 40 de meri sunt distribuit¸i ˆın mod egal pe 5 rˆanduri, cˆa¸ti meri sunt pe un rˆand? Aceast˘a problem˘a conduce la ˆımp˘art¸irea ˆın p˘art¸i egale: 40 : 5 = 8. • Dac˘a 40 de meri sunt a¸sezat¸i cˆate 8 meri pe un rˆand, aflarea num˘arului de rˆanduri conduce la o ˆımp˘art¸ire prin cuprindere: 40 : 8 = 5. 113

Elevii pot s˘a observe din acest exemplu urm˘atoarele: • se poate afla cˆatul ˆımp˘art¸irii, folosind operat¸ia de ˆınmult¸ire; • se poate face proba ˆımp˘art¸irii prin ˆınmult¸ire ¸si invers. Se studiaz˘a pe rˆand tabla ˆımp˘art¸irii cu 2, cu 3, ..., cu 9, cu 10 ¸si cazurile speciale cˆand deˆımp˘art¸itul este 0 sau ˆımp˘art¸itorul este 1. Toate rezultatele se deduc din tabla ˆınmult¸irii. Pentru cunoa¸sterea, fixarea ¸si aplicarea tablelor ˆınmult¸irii ¸si ˆımp˘art¸irii, trebuie efectuat un num˘ar mare de exercit¸ii ¸si probleme, a c˘aror rezolvare se face aplicˆand aceste table ˆın diferite situat¸ii.

6.7.3

ˆImp˘ art¸irea unui num˘ ar mai mic ca 1000 la un num˘ ar de o cifr˘ a

ˆImp˘ art¸irea cu rest Pentru a se ˆınt¸elege ˆımp˘art¸irea cu rest, se reia procedeul de ˆımp˘art¸ire prin cuprindere pentru un caz ˆın care ˆımp˘art¸irea nu se face exact. De exemplu, 14 caise se a¸seaz˘a cˆate 4 caise pe o farfurioar˘a. Cˆate farfurioare se vor forma ˆın acest mod? Se observ˘a, cu ajutorul materialului ¸si al sc˘aderii repetate c˘a se obt¸in 3 farfurioare, dar r˘amˆan ¸si 2 caise nerepartizate, ceea ce reprezint˘a restul ˆımp˘a¸tirii. Se scrie: 14 : 4 = 3 (rest 2) Se deduce relat¸ia dintre deˆımp˘art¸it, ˆımp˘art¸itor, cˆat ¸si rest: d = c x ˆı + r, unde r < ˆı ˆImp˘art¸irea cu rest se studiaz˘a atˆat pentru important¸a ei ca ˆımp˘art¸ire ˆıntre oricare numere naturale cu ˆımp˘art¸itorul nenul, dar ¸si pentru a se putea introduce ˆımp˘art¸irea numerelor de mai multe cifre la un num˘ar de o cifr˘a. ˆImp˘ art¸irea numerelor de dou˘ a cifre la un num˘ ar de o cifr˘ a ˆIn cadrul operat¸iilor de ˆımp˘art¸ire de acest gen, accentul trebuie s˘a cad˘a pe formarea deprinderilor de lucru, pe cunoa¸sterea ¸si ˆınsu¸sirea tehnicilor de calcul. Se introduce calculul ˆın scris. Exercit¸iile de ˆımp˘art¸ire a unui num˘ar natural de dou˘a cifre la un num˘ar de o cifr˘a se introduc respectˆand urm˘atoarele etape: • Num˘arul zecilor ¸si num˘arul unit˘a¸tilor deˆımp˘art¸itului se ˆımpart exact la ˆımp˘art¸itor: 114

– deˆımp˘art¸itul cont¸ine numai zeci: 80 : 4 = 20; – deˆımp˘art¸itul cont¸ine zeci ¸si unit˘a¸ti: 68 : 2 = 34; • Num˘arul unit˘a¸tilor nu se ˆımparte exact la ˆımp˘art¸itor: 65 : 3 = 21 rest 2; • Num˘arul zecilor nu se ˆımparte exact la ˆımp˘art¸itor: 97 : 4 = 24 rest 1 ˆImp˘ art¸irea numerelor de trei cifre la un num˘ ar de o cifr˘ a ˆImp˘art¸irea numerelor formate din sute, zeci ¸si unit˘a¸ti la un num˘ar format numai din unit˘a¸ti se realizeaz˘a prin procedee ¸si ˆın etape ca ¸si ˆın cazurile prezentate anterior: • Toate cifrele deˆımp˘art¸itului se ˆımpart exact la ˆımp˘art¸itor: 396 : 3 = 132; • Num˘arul unit˘a¸tilor nu se ˆımparte exact la ˆımp˘art¸itor: 265 : 2 = 132 rest 1; • Num˘arul zecilor nu se ˆımparte exact la ˆımp˘art¸itor: 653 : 2 = 326 rest 1; • Num˘arul sutelor nu se ˆımparte exact la ˆımp˘art¸itor: 575 : 2 = 287 rest 1; • Num˘arul zecilor este mai mic decˆat ˆımp˘art¸itorul: 325 : 3 = 108 rest 1; • Num˘arul zecilor este 0: 608 : 3 = 202 rest 2; • Num˘arul sutelor este mai mic decˆat ˆımp˘art¸itorul: 257 : 3 = 85 rest 2. Formarea deprinderilor de calcul este asigurat˘a prin rezolvarea unui mare num˘ar de exercit¸ii variate. ˆInsu¸sirea algoritmului de ˆımp˘art¸ire la un num˘ar care cont¸ine numai unit˘a¸ti, asigur˘a ˆınt¸elegerea ˆımp˘art¸irii la numere mai mari, care se va studia mai tˆarziu.

6.8 6.8.1

Formarea deprinderilor de calcul mintal, oral ¸si ˆın scris Calculul mintal, calculul oral ¸si calculul ˆın scris

Se nume¸ste calcul mintal calculul care se efectueaz˘a ˆın gˆand, f˘ar˘a a folosi mijloace sau procedee ale calculului ˆın scris sau ale diferitelor dispozitive: abac, socotitoare, calculator. Calculul mintal propriu-zis necesit˘a specificarea operat¸iei cu indicarea elementelor ei, la care se cere rezultatul, operat¸ia efectuˆandu-se ˆın minte f˘ar˘a utilizarea de material didactic, f˘ar˘a repetarea operat¸iei ¸si f˘ar˘a scrierea ei. 115

Calculul oral este acel calcul ˆın care se repet˘a atˆat operat¸ia cˆat ¸si procedeele ˆıntrebuint¸ate ˆın efectuarea ei, ˆın care se cer ¸si se dau explicat¸ii indiferent dac˘a se folose¸ste sau nu material didactic sau dac˘a se scriu sau nu operat¸iile de baz˘a ¸si cele auxiliare, f˘ar˘a a folosi ˆıns˘a procedeele tehnice ale calculului ˆın scris. Exercit¸iile de calcul mintal care se scriu pe tabl˘a sau ˆın caiete se numesc exercit¸ii scrise. ˆIn calculul mintal, scrierea exercit¸iilor nu constituie un procedeu de calcul, ci se face doar cu scopul de a pune ˆın evident¸˘a diferite etape ale calculului efectuate ˆın minte, pentru a ret¸ine unele rezultate sau a stabili unele procedee. Se nume¸ste calcul ˆın scris calculul ˆın care se folosesc anumite procedee scrise, anumite elemente de tehnic˘a bazate pe scrierea rezultatelor part¸iale ¸si a operat¸iilor. Calculul mintal are un rol predominant ˆın ˆınsu¸sirea matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, deoarece cea mai mare parte din exercit¸ii se rezolv˘a prin calcul mintal ˆın aceast˘a perioad˘a. Chiar ¸si dup˘a ce elevii ˆınvat¸˘a calculul ˆın scris, se folose¸ste ˆın paralel ¸si cel mintal, neputˆandu-se concepe o delimitare riguroas˘a a acestora. Formarea priceperilor ¸si deprinderilor de calcul mintal are o important¸˘a deosebit˘a ˆın preg˘atirea elevilor, deoarece: • calculul mintal init¸iaz˘a elevul ˆın cunoa¸sterea diferitelor forme de calcul, formˆandu-i priceperile ¸si deprinderile necesare trecerii la calculul ˆın scris; • practica viet¸ii sociale necesit˘a utilizarea calculului mintal; • calculul mintal dezvolt˘a facult˘a¸tile cognitive ale elevului, ˆın special memoria, atent¸ia, judecata ¸si rapiditatea gˆandirii.

6.8.2

Organizarea calculului mintal

ˆIn lect¸iile de matematic˘a se folose¸ste ˆın mod frecvent calculul oral deoarece, pe parcursul desf˘a¸sur˘arii, acesta necesit˘a explicat¸ii care ajut˘a la ˆınsu¸sirea con¸stient˘a a operat¸iilor aritmetice ¸si a diferitelor procedee de calcul. Dup˘a modul cum sunt utilizate ˆın lect¸ii, exercit¸iile se pot clasifica ˆın urm˘atoarele categorii: • Exercit¸ii de calcul oral rezolvate cu profesorul, care constau ˆın comunicarea oral˘a a exercit¸iului, repetarea lui, efectuarea ˆın minte a operat¸iilor, indicarea procedeului de calcul ¸si comunicarea rezultatului. • Exercit¸ii scrise, rezolvate cu profesorul, care constau ˆın comunicarea oral˘a a exercit¸iului, ˆın scrierea lui, repetarea exercit¸iului, efectuarea ˆın minte a calculului, anunt¸area rezultatului ¸si scrierea acestuia. • Exercit¸ii scrise ¸si rezolvate prin munc˘ a independent˘ a. Se prezint˘a elevilor exercit¸iile, se citesc aceste exercit¸ii, elevii le copiaz˘a ¸si le rezolv˘a f˘ar˘a nici un ajutor din afar˘a, dup˘a care se cite¸ste rezolvarea exercit¸iilor ¸si se subliniaz˘a rezultatul. 116

Din ultima categorie fac parte ¸si cele date ca tem˘a pentru acas˘a, deoarece procedeul de lucru este acela¸si. Elevii pot lua cuno¸stint¸˘a de exercit¸iile pe care urmeaz˘a s˘a le rezolve ˆın mai multe moduri: • prin copierea exercit¸iilor din manual; • prin copierea exercit¸iilor de pe tabl˘a; • prin dictarea lor de c˘atre profesor; • prin folosirea fi¸selor de lucru. Calculul oral este specific lect¸iilor de dobˆandire de cuno¸stint¸e, ˆın care elevii ˆınvat¸˘a noi procedee de calcul. El se folose¸ste ¸si ˆın lect¸iile de consolidare ˆın care elevii repet˘a prin exercit¸ii orale sau scrise procedeele ˆınsu¸site. Calculul mintal propriu-zis se folose¸ste, ˆın special, pentru formarea deprinderilor de aplicare a unor anumite reguli sau pentru consolidarea anumitor procedee, precum ¸si pentru formarea unor abilit˘a¸ti necesare calculului rapid. Acesta const˘a ˆın comunicarea printr-un mijloc oarecare a exercit¸iilor, efectuarea mintal˘a a operat¸iilor ¸si anunt¸area doar a rezultatelor. ˆIn cazul calculului mintal propriu-zis nu se repet˘a exercit¸iul ¸si nu se cere indicarea procedeului. Calculul mintal propriu-zis se foloset¸e ˆın lect¸iile de consolidare, dar ¸si ˆın cadrul lect¸iilor de dobˆandire de cuno¸stint¸e ˆın etapa de evaluare sau ˆın cea de reactualizare. Prin calcul mintal propriu-zis se urm˘are¸ste formarea deprinderilor de calcul rapid ¸si corect. ˆIn ceea ce prive¸ste tehnica desf˘a¸sur˘arii exercit¸iilor de calcul mintal propriu-zis, aceasta difer˘a de la caz la caz, dup˘a natura exercit¸iilor care se rezolv˘a ¸si formele sub care sunt prezentate. Profesorul trebuie s˘a dea ˆın prealabil indicat¸ii detaliate ¸si suficiente ˆın leg˘atur˘a cu organizarea ¸si desf˘a¸surarea calculului, astfel ˆıncˆat pe parcurs s˘a nu fie nevoie de reveniri sau l˘amuriri suplimentare care ar deruta elevii sau care le-ar atrage atent¸ia spre am˘anunte nesemnificative. ˆIntrucˆat desf˘a¸surarea calculului mintal solicit˘a ˆıntr-un grad ˆınalt gˆandirea elevilor, activitatea de calcul mintal propriu-zis nu trebuie s˘a dep˘a¸seasc˘a 5 minute, durata cea mai potrivit˘a fiind de 2 - 4 minute.

6.8.3

Procedee de calcul mintal

Procedeele de calcul mintal se pot grupa ˆın dou˘a categorii: • procedee generale, care se aplic˘a oric˘aror numere ¸si care se bazeaz˘a pe component¸a zecimal˘a a numerelor ¸si pe propriet˘a¸tile operat¸iilor aritmetice;

117

• procedee speciale, care se aplic˘a numai anumitor numere, care au o structur˘a special˘a ¸si care se bazeaz˘a pe relat¸iile aritmetice particulare ce pot fi stabilite ˆıntre aceste numere. Exist˘a o mare varietate de procedee speciale. Se prezint˘a ˆın continuare cele mai cunoscute. Procedeul rotunjirii numerelor Procedeul rotunjirii numerelor const˘a ˆın ad˘augarea sau neglijarea unor unit˘a¸ti de un anumit ordin pentru a se obt¸ine zeci ˆıntregi, sute ˆıntregi, etc., operat¸iile devenind astfel mai simple ¸si mai u¸sor de efectuat. Exemplu: 298 + 403 = (300 - 2) + (400 + 3) = (300 + 400) + (3 - 2) = 700 + 1 = 701 Procedeul bazat pe propriet˘ a¸tile de comutativitate ¸si asociativitate ale adun˘ arii ¸si ˆınmult¸irii Coform acestor propriet˘a¸ti, se pot stabili urm˘atoarele reguli: • ˆın cazul adun˘arii, la num˘arul mai mare se adun˘a num˘arul mai mic; • ˆın cazul ˆınmult¸irii, se trece ca prim factor num˘arul cu cele mai multe cifre, iar dac˘a factorii au tot atˆatea cifre, se ia ca prim factor num˘arul cu mai put¸ine zerouri; • se schimb˘a ordinea termenilor sau a factorilor ori de cˆate ori calculul poate fi simplificat prin aceast˘a operat¸ie; • se asociaz˘a convenabil termenii sau factorii, pentru a obt¸ine rezultate part¸iale cu care se opereaz˘a mai u¸sor. Exemple: 1) ˆIn cazul adun˘arii: 23 + 87 = 87 + 23 = 110 2) ˆIn cazul ˆınmult¸irii: 3 x 42 = 42 x 3 = 126 3) Schimbarea ordinii termenilor: 74 + 82 + 18 + 39 + 26 = (74 + 26) + (82 + 18) + 39 = 100 + 100 + 39 = 239 118

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 10 + 5 = = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 55 4) Schimbarea ordinii factorilor: 4 x 18 x 25 = (4 x 25 ) x 18 = 100 x 18 = 1800 Procedeul ˆınmult¸irii succesive Procedeul const˘a ˆın descompunerea ˆın factori a celui de al doilea factor ¸si ˆınmult¸irea primului ˆın mod succesiv cu facorii obt¸inut¸i. Exemplu: 27 x 8 = 27 x 2 x 2 x 2 = 54 x 2 x 2 = 108 x 2 = 216 Procedeul ˆımp˘ art¸irii succesive Procedeul const˘a ˆın descompunerea ˆın factori a ˆımp˘art¸itorului ¸si apoi ˆımp˘art¸irea ˆın mod succesiv a deˆımp˘art¸itului prin factorii obt¸inut¸i. Exemplu: 84 : 12 = 84 : 2 : 2 : 3 = 42 : 2 : 3 = 21 : 3 = 7 Procedeele de ˆınmult¸ire cu 5, 25 sau 50 Pentru a ˆınmult¸i un num˘ar cu 5, se ˆınmult¸e¸ste num˘arul cu 10, iar rezultatul se ˆımparte la 2. Dac˘a e posibil, operat¸ia se poate face ¸si invers, se ˆımparte mai ˆıntˆai num˘arul la 2 ¸si apoi se ˆınmult¸e¸ste cu 10. Exemple: 23 x 5 = 23 x 10 : 2 = 230 : 2 = 115 34 x 5 = 34 : 2 x 10 = 17 x 10 = 170 Pentru a ˆınmult¸i un num˘ar cu 25, se ˆınmult¸e¸ste num˘arul cu 100 ¸si rezultatul se ˆımparte la 4. Dac˘a e posibil, se ˆımparte num˘arul la 4, iar rezultatul se ˆınmult¸e¸ste cu 100. Exemplu: 84 x 25 = 84 x 100 : 4 = 8400 : 4 = 2100 84 x 25 = 84 : 4 x 100 = 21 x 100 = 2100 Pentru a ˆınmult¸i un num˘ar cu 50, se ˆınmult¸e¸ste cu 100, iar rezultatul se ˆımparte la 2. Altfel, se ˆımparte num˘arul la 2, iar rezultatul se ˆınmult¸e¸ste cu 100. Exemple: 15 x 50 = 15 x 100 : 2 = 1500 : 2 = 750 36 x 50 = 36 : 2 x 100 = 18 x 100 = 1800 119

Procedeele de ˆımp˘ art¸ire la 5, 25 sau 50 Pentru a ˆımp˘art¸i un num˘ar la 5, se ˆınmult¸e¸ste cu 2 ¸si rezultatul se ˆımparte la 10. Altfel: se ˆımparte num˘arul la 10, iar rezultatul se ˆınmult¸e¸ste cu 2. Exemple: 105 : 5 = 105 x 2 : 10 = 210 : 10 = 21 420 : 5 = 420 : 10 x 2 = 42 x 2 = 84 Pentru a ˆımp˘art¸i un num˘ar la 25, se ˆınmult¸e¸ste cu 4, iar rezultatul se ˆımparte la 100. Sau se ˆımparte mai ˆıntˆai num˘arul la 100, dup˘a care rezultatul se ˆınmult¸e¸ste cu 4. Exemple: 575 : 25 = 575 x 4 : 100 = 2300 : 100 = 23 2200 : 25 = 2200 : 100 x 4 = 22 x 4 = 88 Pentru a ˆımp˘art¸i un num˘ar la 50, se ˆınmult¸e¸ste cu 2, iar apoi se ˆımparte la 100. Altfel: se ˆımparte la 100, iar rezultatul se ˆınmult¸e¸ste cu 2. Exemple: 850 : 50 = 850 x 2 : 100 = 1700 : 100 = 17 1300 : 50 = 1300 : 100 x 2 = 13 x 2 = 26 Procedeul ˆınmult¸irii cu 9 Se ˆınmult¸e¸ste num˘arul cu 10, iar din rezultat se scade num˘arul. Exemplu: 28 x 9 = 28 x 10 - 28 = 280 - 28 = 252 Procedeul ˆınmult¸irii cu 11 Se ˆınmult¸e¸ste num˘arul cu 10, iar la produs se adun˘a num˘arul dat. Exemplu: 73 x 11 = 73 x 10 + 73 = 730 + 73 = 803 ˆIn cazul numerelor de dou˘a sau mai multe cifre, la ˆınmult¸irea cu 11 se procedeaz˘a astfel: se scrie ultima cifr˘a a num˘arului, apoi se adun˘a ultima cu penultima, penultima cu antepenultima, ¸si a¸sa mai departe, pˆan˘a la prima cifr˘a. Exemplu: 348 x 11 = • pe ultima pozit¸ie se scrie 8; 120

• se adun˘a 4 + 8 = 12, pe penultima se scrie 2, iar 1 se transport˘a; • se adun˘a 3 + 4 + 1 = 8, se scrie pe antepenultima pozit¸ie; • pe prima pozit¸ie se scrie 3. deci, 348 x 11 = 3828. Procedeul ˆınmult¸irii numerelor care se termin˘ a cu 5 prin ele ˆınsele Procedeul ˆınmult¸irii numerelor care se termin˘a cu 5 prin ele ˆınsele sau ridicarea la p˘atrat a numerelor care se termin˘a cu 5, const˘a ˆın: produsul are ultimele dou˘a cifre 25. Cifrele anterioare reprezint˘a produsul num˘arului init¸ial f˘ar˘a ultima cifr˘a 5, cu succesorul lui. Exemple: 35 x 35 = 1225, unde 3 x 4 = 12; 75 x 75 = 5625, unde 7 x 8 = 56; 125 x 125 = 15625, unde 12 x 13 = 156.

121

Capitolul 7 Aspecte metodologice ale activit˘ a¸tii de rezolvare de probleme 7.1

Not¸iunea de problem˘ a ¸si de rezolvare de problem˘ a

Not¸iunea de problem˘a are un cont¸inut larg ¸si cuprinde o gam˘a variat˘a de preocup˘ari ¸si act¸iuni din domenii diferite. Problema este un obstacol cognitiv ˆın relat¸iile dintre subiect ¸si lumea sa, iar asumarea sarcinii de a dep˘a¸si obstacolul, ca ¸si demersurile cognitive ¸si tehnice ˆıntreprinse ˆın acest scop, contureaz˘a domeniul rezolv˘arii problemelor (PopescuNeveanu). ˆIn fat¸a unei situat¸ii problem˘a, rezolvitorul tr˘aie¸ste simultan dou˘a realit˘a¸ti: una de ordin cognitiv, referitor la experient¸a pe care ¸si-o reactualizeaz˘a, ¸si alta de ordin motivat¸ional, ce rezult˘a pe baza elementului surpriz˘a, de noutate ¸si necunoscut, cu care se confrunt˘a acesta. Problema de matematic˘a reprezint˘a transpunerea unei situat¸ii practice sau a unui complex de situat¸ii practice ˆın relat¸ii cantitative ¸si ˆın care, pe baza valorilor numerice date ¸si aflate ˆıntr-o anumit˘a dependent¸˘a unele fat¸˘a de altele ¸si fat¸˘a de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acelor valori necunoscute. Toate definit¸iile pentru not¸iunea de problem˘a vizeaz˘a efortul de gˆandire al elevului pentru a ˆınl˘atura obstacolul care ˆıi apare ˆın fat¸˘a. Valoarea formativ˘a a rezolv˘arilor de probleme este important˘a, pentru c˘a participarea ¸si mobilizarea intelectual˘a a elevilor la o astfel de activitate este superioar˘a altor demersuri matematice, elevii fiind pu¸si ˆın situat¸ia de a descoperi ei ˆın¸si¸si modalit˘a¸tile de rezolvare, de a formula ipoteze ¸si de a le verifica, de a face asociat¸ii de idei ¸si corelat¸ii inedite. 122

Rezolvarea de probleme pune la ˆıncercare ˆın cel mai ˆınalt grad capacit˘a¸tile intelectuale ale elevilor, le solicit˘a acestora toate disponibilit˘a¸tile psihice, ˆın special inteligent¸a, motive pentru care programa de matematic˘a acord˘a o important¸˘a major˘a form˘arii capacit˘a¸tii de explorare-investigare ¸si rezolv˘ arii de probleme. Rezolvarea problemelor este influent¸at˘a de o serie de factori. Factori care depind de sarcina dat˘ a : exersarea rezolv˘arii problemelor dintr-o categorie dat˘a tinde s˘a ˆınt˘areasc˘a transferul ˆın ceea ce prive¸ste astfel de probleme ¸si oblig˘a subiectul la atent¸ie concentrat˘a, la generaliz˘ari, la transferul rezolv˘arii de la alt˘a problem˘a asem˘an˘atoare, pe cˆand caracterul eterogen al exemplelor descurajeaz˘a elevul. Factori motivat¸ionali care decurg din relat¸ia care se creeaz˘a ˆıntre elev ¸si informat¸ie, din strategiile de predare-ˆınv˘a¸tare utilizate, vizˆand cele trei tipuri de orient˘ari ale ˆınv˘a¸t˘arii, ˆın general: de activizare (pornirea act¸iunii), de ment¸inere (ˆıntret¸inerea desf˘a¸sur˘arii ei), de dirijare (orientarea spre scopul propus). Rezolvarea unei probleme trebuie s˘a aib˘a o motivat¸ie puternic˘a pentru ca elevul s˘a se angajeze ˆın sarcin˘a. Motivat¸ia este cea care declan¸seaz˘a ¸si orienteaz˘a activitatea de rezolvare, iar afectivitatea este cea care ˆıntret¸ine o activitate prin declan¸sarea energiei necesare. Astfel, motivat¸ia de ordin intrinsec, ¸si anume pl˘acerea descoperirii implicat¸iilor ascunse ale ipotezei unei probleme reprezint˘a esent¸a activit˘a¸tii de rezolvare. Caracteristicile unui bun rezolvitor de probleme sunt urm˘atoarele: • atent¸ia sporit˘a acordat˘a identific˘arii direct¸iilor de atac; • concentrarea asupra unor elemente relevante ale problemei; • u¸surint¸a reactualiz˘arii cuno¸stint¸elor ce pot fi utile ˆın rezolvarea problemei; • atitudinea activ˘a ˆın rezolvare; • acuratet¸e ˆın rezolvarea problemelor ¸si spirit sistematic; • perseverent¸a ˆın rezolvarea problemei; • atitudinea pozitiv˘a fat¸˘a de rat¸ionament; • ˆıncrederea ˆın fort¸ele proprii indiferent de complexitatea problemelor; • obiectivitate ˆın abordarea problemei; • capacitate ridicat˘a de a dep˘a¸si e¸securile. ˆIn fat¸a unei probleme copilul este ˆın contact cu dou˘a categorii de date precise: ce se d˘ a (contextul problemei) ¸si ce se cere (ˆıntrebarea problemei). ˆIntre aceste dou˘a elemente exist˘a un gol care trebuie umplut cu ajutorul cuno¸stint¸elor ¸si metodelor 123

cunoscute (cu rol de operatori) ¸si aplicarea unor cuno¸stint¸e dobˆandite anterior, ˆın alte condit¸ii, la situat¸ia actual˘a, printr-o operat¸ie de transfer. Transferul este posibil prin analiz˘a ¸si sintez˘a. Elevii ˆınt¸eleg o problem˘a ca o situat¸ie a c˘arei rezolvare presupune dezvoltarea unui rat¸ionament matematic. Cu cˆat problema este mai complex˘a, cu atˆat acest rat¸ionament se cere a fi mai dezvoltat ¸si necesit˘a o sever˘a ordonare a seriei de ˆıntreb˘ari ¸si r˘aspunsuri cuprinse ˆın enunt¸, pentru a se ajunge la solut¸ia problemei. Plecˆand de la datele problemei, copilul caut˘a ˆın informat¸iile anterioare acele cuno¸stint¸e care sunt ˆın relat¸ie cu datele pe care problema i le ofer˘a. El alege o anumit˘a informat¸ie ¸si analizeaz˘a ˆın ce m˘asur˘a acea informat¸ie poate fi utilizat˘a ˆın situat¸ia dat˘a. Dac˘a informat¸ia nu e necesar˘a, ˆıncearc˘a o alta pˆan˘a cˆand g˘ase¸ste elemente de sprijin care ˆıl ajut˘a s˘a descopere informat¸iile utilizabile ˆın noua situat¸ie. ˆIn acest proces de analiz˘a ¸si sintez˘a a unor informat¸ii ¸si de valorificare a experient¸ei sale rezolutive, copilul de vˆarst˘a ¸scolar˘a mic˘a trebuie ajutat, ˆıntrucˆat aceast˘a capacitate de a folosi cuno¸stint¸ele anterioare, de a descoperi relat¸ii noi prin valorificarea celor vechi nu este ˆınc˘a dezvoltat˘a. De cele mai multe ori, copilul pierde ideea conduc˘atoare care l-ar putea duce la rezolvarea problemei, nu mai ¸stie ce trebuie s˘a fac˘a cu un rezultat part¸ial obt¸inut. Rezolvarea unei probleme solicit˘a copilului un efort al gˆandirii ¸si o atitudine creatoare, care vor fi cu atˆat mai sust¸inute, cu cˆat cheia problemei se g˘ase¸ste ˆın relat¸ii mai ˆındep˘artate, mai ascunse fat¸˘a de datele cunoscute ale problemei. Datele problemei reprezint˘a pentru elevi termenii de orientare a informat¸iilor, ideilor, a analizei ¸si a sintezei, precum ¸si a generaliz˘arilor care se pot face treptat pe m˘asura rezolv˘arii. Rezolvarea oric˘arei probleme se produce printr-o continu˘a reorganizare a datelor, prin punerea lor ˆın alte relat¸ii, prin reformularea problemei la diferite niveluri, prin elaborarea unor strategii logice, prin descoperirea strategiei optime care duce spre identificarea rezolv˘arii problemei. Pentru ca elevul s˘a devin˘a con¸stient de fiecare verig˘a a rat¸ionamentului, sunt necesare sarcini de reorganizare succesiv˘a a datelor ¸si reformularea problemei la diferite niveluri. Dup˘a identificarea ¸si rezolvarea fiec˘arei probleme simple din component¸a problemei complexe, sunt utile cerint¸e de reformulare a problemei. Aceste sarcini favorizeaz˘a stabilirea leg˘aturilor logice ˆıntre datele problemei ¸si construirea pas cu pas a drumului c˘atre solut¸ie. ˆIn practic˘a se observ˘a uneori absent¸a deprinderilor de analiz˘a ¸si sintez˘a, cu care elevii trebuie s˘a prelucreze cont¸inutul problemei ¸si care s˘a le permit˘a reformul˘ari ale problemei. Elevii nu sesizeaz˘a elementele componente ale enunt¸ului, mai ales ˆın problemele ˆın care cerint¸a este amplasat˘a la ˆınceputul sau la mijlocul textului, sau cˆand relat¸iile dintre condit¸ii ¸si cerint¸e nu sunt evidente. ˆIn asemenea situat¸ii elevii nu ˆınt¸eleg problema ˆın totalitatea ei ¸si solut¸ia pedagogic˘a este de a parcurge un antrenament prin rezolvarea de probleme sistematizate dup˘a un criteriu logic.

124

ˆIn acest program de antrenament rezolutiv, un rol important ˆıl are ˆınsu¸sirea unor algoritmi de rezolvare a unor probleme tipice. Aceasta este o etap˘a de ˆımbinare ˆıntre gˆandirea convergent˘a (caracterizat˘a prin rigoare ¸si algoritmizare) ¸si gˆandirea divergent˘a (creativ˘a). Algoritmul, ca procedeu de lucru, este constituit dintr-un sistem de reguli ce se ˆınl˘ant¸uie ˆıntr-o ordine determinat˘a ¸si care, aplicat la orice problem˘a dintr-o anumit˘a categorie, duce la rezolvarea acesteia. Ace¸sti algoritmi sau metode tipice de rezolvare se caracterizeaz˘a prin modul de formulare a datelor, algoritmii de operare, cˆat ¸si prin utilizare ˆıntr-un mod specific a operat¸iilor gˆandirii ¸si tipului de rat¸ionament. Avˆand ˆın vedere c˘a nu toate problemele implic˘a operat¸ii algoritmice, alt˘a component˘a ˆın procesul de rezolvare a problemelor este dimensiunea euristic˘a. Metodele cu care se descoper˘a noi mijloace de rezolvare, se construiesc planuri ¸si programe nestereotipice, sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice. Problemele netipice au la baz˘a reguli generale care trebuie ˆınsu¸site ˆıntr-o form˘a logic˘a ¸si ˆınt¸elese de elevi ca mod de lucru. Valoarea formativ˘a a rezolv˘arilor de probleme spore¸ste ˆın cazul exercit¸iilor de rezolvare a problemelor netipice, pentru c˘a participarea ¸si ¸si mobilizarea intelectual˘a a elevilor la o astfel de activitate este superioar˘a altor demersuri matematice, elevii fiind pu¸si ˆın situat¸ia de a descoperi ei ˆın¸si¸si modalit˘a¸tile de rezolvare. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematic˘a se ˆınscrie atˆat ˆın zona unor rezolv˘ari algoritmice, dar ¸si ˆın aceea a rezolv˘arii euristice. ˆIn orice problem˘a de matematic˘a sunt evident¸iate trei elemente: • Datele, ceea ce este cunoscut ¸si dat sub form˘a de valori numerice ¸si relat¸ii; • Cerint¸ele, care indic˘a ce anume trebuie determinat utilizˆand datele problemei; • Condit¸iile, care arat˘a ˆın ce fel cerint¸ele sunt legate de date. Pe baza ˆınt¸elegerii datelor ¸si a condit¸iei problemei, raportˆand datele cunoscute la cerint¸e ¸si condit¸ii, elevul trebuie s˘a construiasc˘a ¸sirul de judec˘a¸ti care conduce la g˘asirea solut¸iei problemei. Pe m˘asur˘a ce elevul ˆı¸si ˆınsu¸se¸ste modalit˘a¸ti de rezolvare ¸si cre¸ste experient¸a lui ˆın rezolvarea problemelor, se dezvolt˘a capacit˘a¸tile de rezolvare ¸si investigare. Problemele de matematic˘a din ciclul primar, se pot clasifica dup˘a anumite criterii, astfel: • Num˘arul operat¸iilor – probleme simple; – probleme compuse. 125

• Cont¸inut – probleme de aritmetic˘a; – probleme de geometrie. • Finalitate ¸si sfera de aplicabilitate – probleme teoretice; – probleme practice. • Tipul de rat¸ionamet solicitat (dup˘ a metoda folosit˘ a) – probleme tipice care solicit˘a un rat¸ionament de tip convergent; – probleme netipice care solicit˘a un rat¸ionament de tip divergent. Prin rezolvarea unor probleme care au acela¸si rat¸ionament, ˆın mintea copiilor se contureaz˘a schema mintal˘a de rezolvare, schem˘a ce se constituie ˆıntr-un algoritm de lucru care se ˆınvat¸˘a, se transfer˘a ¸si se aplic˘a la fel ca ¸si regulile de calcul. Aflarea modului de rezolvare a unei probleme este simpl˘a ˆın cazul ˆın care elevul poate ˆıncadra problema nou˘a unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Dar aceast˘a ˆıncadrare se poate face corect numai dac˘a elevul a ˆınt¸eles particularit˘a¸tile tipice ale categoriei respective, rat¸ionamentul rezolv˘arii ei, dac˘a o poate descoperi ¸si recunoa¸ste ˆın diferite contexte sau sub diverse forme de prezentare.

7.2

Aspecte metodice ale rezolv˘ arii problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea cu care copilul se confrunt˘a zilnic ˆın ¸scoal˘a, ˆın familie, la cump˘ar˘aturi, ˆın timpul jocului. De aceea, primele probleme de matematic˘a sunt prezentate sub form˘a de joc ¸si sunt probleme-act¸iune pentru a c˘aror rezolvare se utilizeaz˘a un variat material didactic ilustrativ. Dificultatea principal˘a pe care o ˆıntˆampin˘a copiii const˘a ˆın transpunerea act¸iunilor concrete ˆın relat¸ii matematice. Modul ˆın care se face aceast˘a trecere de la act¸iunea real˘a la scriere simbolic˘a sub form˘a de operat¸ie a fost descris deja. Pe baza experient¸ei de ˆınv˘a¸tare dobˆandite, elevii reu¸sesc s˘a traduc˘a ˆın operat¸ii matematice act¸iunile cerute ˆın enunt¸ul unor probleme. Rezolvarea unei probleme simple trece prin urm˘atoarele etape: a) Enunt¸ul problemei. A enunt¸a o problem˘a ˆınseamn˘a a comunica elevilor cont¸inutul ei, utilizˆand ˆın acest scop citirea textului problemei sau enunt¸area ei pe 126

dinafar˘a. Este de preferat a doua form˘a, deoarece comunicarea pe de rost a unei probleme se face cu mai mult˘a convingere, cu o mai natural˘a modulare a vocii, contribuind astfel ˆıntr-o mai mare m˘asur˘a la ˆınt¸elegerea cont¸inutului problemei. ˆ sirea enunt¸ului problemei. Pentru ca elevii s˘a p˘atrund˘a ˆınt¸elesul unei b) Insu¸ probleme, enunt¸ul ei trebuie s˘a fie urmat de complet˘arile urm˘atoare: • repetarea problemei de c˘atre propun˘ator, cu scrierea datelor pe tabl˘a ¸si pe caiete; • explicarea cuvintelor sau a expresiilor neˆınt¸elese; • repetarea problemei de c˘atre elevi; • ilustrarea problemei cu ajutorul materialului didactic. c) Separarea ˆıntreb˘arii de cont¸inut, astfel ˆıncˆat s˘a se precizeze clar ceea ce se d˘a ˆın problem˘a ¸si ceea ce se cere. d) Alegerea operat¸iei corespunz˘ atoare pe baza cazurilor care determin˘a ˆıntrebuint¸area diferitelor operat¸ii, scrierea operat¸iei respective ¸si efectuarea calculului. e) Formularea r˘aspunsului problemei, ar˘atarea semnificat¸iei lui ¸si scrierea acestui r˘aspuns. ˆIn rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important ˆıl constituie stabilirea operat¸iei corespunz˘atoare unei act¸iuni concrete ¸si justificarea alegerii acestei operat¸ii. De¸si rezolv˘arile problemelor simple par u¸soare, profesorul trebuie s˘a aduc˘a ˆın atent¸ia copiilor toate genurile de probleme care se rezolv˘a printr-o singur˘a operat¸ie aritmetic˘a. Aceste tipuri sunt urm˘atoarele: • Probleme simple bazate pe adunare pot fi: – de aflare a sumei a doi termeni; – de aflare a unui num˘ar mai mare cu un num˘ar de unit˘a¸ti decˆat un num˘ar dat; – probleme de genul ”cu atˆat mai mult”. • Probleme simple bazate pe sc˘ adere pot fi: – de aflare a restului;

127

– de aflare a unui num˘ar care s˘a aib˘a cu un num˘ar de unit˘a¸ti mai put¸ine decˆat un num˘ar dat; – de aflare a unui termen cˆand se cunosc suma ¸si un termen al sumei; – probleme de genul ”cu atˆat mai put¸in”. • Probleme simple bazate pe ˆınmult¸ire sunt: – de repetare de un num˘ar de ori a unui num˘ar dat; – de aflare a produsului; – de aflare a unui num˘ar care s˘a fie de un num˘ar de ori mai mare decˆat un num˘ar dat. • Probleme simple bazate pe ˆımp˘ art¸ire pot fi: – de ˆımp˘art¸ire a unui num˘ar dat ˆın p˘art¸i egale; – de ˆımp˘art¸ire prin cuprindere a unui num˘ar prin altul; – de aflare a unui num˘ar de un num˘ar de ori mai mic decˆat un num˘ar dat; – de aflare a unei p˘art¸i dintr-un ˆıntreg; – de aflare a raportului a dou˘a numere. ˆIn etapa de familiarizare a elevilor cu rezolvarea problemelor simple, se formeaz˘a algoritmi de traducere din limbaj-problem˘a ˆın limbaj-operat¸ii, algoritmi care permit elevilor s˘a realizeze corespondent¸e utile ˆıntre cuvinte sau expresii ˆıntˆalnite ˆın enunt¸urile problemelor ¸si operat¸iile matematice. Uneori, ˆın lipsa unei atente analize a enunt¸ului problemei, aceast˘a traducere automatizat˘a conduce la erori de rezolvare prin aplicarea mecanic˘a a unui model de rezolvare. Dificultatea spore¸ste dac˘a ˆın enunt¸ se afl˘a mai multe verbe sau expresii operat¸ionale. Procedee prin care se urm˘are¸ste formarea capacit˘a¸tilor de a domina varietatea larg˘a a problemelor sunt: • rezolvarea unui num˘ar mare de probleme; • analiza temeinic˘a ˆın rezolvarea fiec˘arei probleme; • abordarea unei mari variet˘a¸ti de enunt¸uri; • prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii s˘a le completeze ¸si apoi s˘a le rezolve; • prezentarea datelor unei probleme pentru care se cere formularea ˆıntreb˘arii ¸si invers; 128

• completarea unui text cu valori numerice reale; • rezolvarea unor probleme ˆın care operat¸ia nu apare de la prima vedere; • compunerea de probleme dup˘a anumite date, dup˘a scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date; • compunerea de probleme ˆın mod liber, f˘ar˘a restrict¸ii. Aceste procedee vor fi introduse ¸si folosite ˆın mod gradat, pe m˘asur˘a ce elevii cap˘at˘a experient¸˘a ˆın activitatea de rezolvare ¸si compunere de probleme.

7.3

Rezolvarea problemelor compuse

Trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse constituie un moment de salt calitativ. Pentru a realiza trecerea de la problemele simple la cele compuse exist˘a dou˘a posibilit˘a¸ti: • regizarea unei act¸iuni care s˘a cuprind˘a dou˘a faze distincte, formularea problemei astfel ˆıncˆat s˘a cuprind˘a cele dou˘a faze ale act¸iunii ¸si apoi rezolvarea acelei probleme; • rezolvarea succesiv˘a a dou˘a probleme simple astfel ˆıncˆat rezultatul primei probleme s˘a constituie un element al celei de a doua. Rezolvarea oric˘arei probleme trece prin mai multe etape. ˆIn fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar ˆın combinat¸ii noi, reorganizarea lor la diferite niveluri ducˆand c˘atre solut¸ie. Procesul implic˘a atˆat analiza cˆat ¸si sinteza, elevul separ˘a ¸si reconstituie, desprinde ¸si construie¸ste rat¸ionamentul. Diferitele elemente luate ˆın considerare ˆı¸si dezv˘aluie mereu noi aspecte (analiza) ˆın funct¸ie de combinat¸iile ˆın care sunt plasate (sinteza). Principalele evenimente implicate ˆın rezolvarea problemelor sunt: 1. Prezentarea problemei, care se poate realiza prin formulare verbal˘a sau pe alt˘a cale. 2. Definirea problemei este f˘acut˘a de c˘atre elev, care distinge caracteristicile esent¸iale ale situat¸iilor din problem˘a. 3. Formularea ipotezelor este realizat˘a de c˘atre elev, care distinge posibile c˘ai ce pot fi aplicate ca modalitate de rezolvare. 4. Verificarea ipotezelor pˆan˘a cˆand se g˘ase¸ste una care duce la solut¸ia c˘autat˘a.

129

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea ¸si formularea unor ipoteze ¸si verificarea lor. Formularea acestor ipoteze presupune atˆat un fond de cuno¸stint¸e pe care elevul le aplic˘a ˆın rezolvarea problemelor, cˆat ¸si o gam˘a variat˘a de deprinderi ¸si abilit˘a¸ti intelectuale necesare ˆın procesul rezolv˘arii problemelor. Diferitele ipoteze (variante de rezolvare) nu apar la ˆıntˆamplare. Ele iau na¸stere pe baza asociat¸iilor, pe baza cuno¸stint¸elor asimilate anterior. Cu cˆat experient¸a rezolutiv˘a este mai bogat˘a, cu atˆat sunt mai mari ¸sansele ca ipotezele care se nasc ˆın mintea rezolvitorului s˘a ˆıl conduc˘a mai repede la o rezolvare. Etapele acestui proces complex trebuie ˆınsu¸site de c˘atre elevi ca orice alt procedeu de activitate intelectual˘a.

7.3.1

Etapele rezolv˘ arii problemelor compuse

Cunoa¸sterea enunt¸ului problemei Cunoa¸sterea enunt¸ului problemei de c˘atre elevi se realizeaz˘a prin actul citirii textului de c˘atre profesor, apoi de c˘atre elevi. Citirea textului unei probleme este diferit˘a de citirea unui text literar. Prin citirea unei probleme se urm˘are¸ste: • ret¸inerea datelor; • stabilirea relat¸iilor dintre date; • fixarea necunoscutelor. Accentul trebuie pus pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoa¸ste de ceea ce trebuie aflat. ˆInt¸elegerea enunt¸ului problemei ¸si scrierea datelor problemei ˆInt¸elegerea enunt¸ului problemei ¸si scrierea datelor problemei constituie o etap˘a important˘a ˆın desf˘a¸surarea procesului de rezolvare a unei probleme. Prin citirea textului, elevii primesc doar un minim de informat¸ii. ˆIn aceast˘a etap˘a se urm˘are¸ste: • orientarea ˆın cont¸inut, pentru descoperirea structurii, delimitˆand ¸si fixˆand sistemul de date, condit¸ii ¸si cerint¸e; • explicarea unor cuvinte sau expresii din enunt¸; • schematizarea problemei ¸si scrierea pe scurt a problemei, ret¸inˆand esent¸ialul, inclusiv anumite cuvinte-cheie; • scrierea enunt¸ului ˆın limbaj matematic, folosind diferite notat¸ii ¸si ret¸inˆand datele ˆımpreun˘a cu semnele operat¸iilor matematice; 130

• realizarea unei reprezent˘ari grafice. Pentru scrierea datelor problemei, nu se recomand˘a formalismul excesiv, utilizat pentru simplificarea scrierii. O schematizare prea exagerat˘a duce la un ˆınt¸eles eliptic al problemei, la crearea unor mecanisme care nu sunt benefice dezvolt˘arii unei gˆandiri logice. Analiza problemei Analiza problemei ¸si examinarea sau judecarea pe cale sintetic˘a sau analitic˘a are loc pe baza proceselor gˆandirii, cu scopul elimin˘arii informat¸iilor f˘ar˘a semnificat¸ie matematic˘a ale enunt¸ului problemei. Aceasta este faza ˆın care se construie¸ste rat¸ionamentul prin care se rezolv˘a problema, adic˘a drumul de leg˘atur˘a dintre datele problemei ¸si necunoscut˘a. Prin exercit¸iile de analiz˘a a datelor, a semnificat¸iei lor, a relat¸iilor dintre ele ¸si a celor dintre date ¸si necunoscute, se dep˘a¸sesc situat¸iile concrete ale problemei ¸si se produce saltul la nivelul abstract. Transpunˆand problema ˆıntr-un desen, ˆıntr-o imagine sau schem˘a, scriind datele cu relat¸iile dintre ele, etc., se evident¸iaz˘a esent¸a matematic˘a a problemei, adic˘a reprezentarea matematic˘a a cont¸inutului ei. Analiza problemei se poate face pe cale sintetic˘a sau analitic˘a. Cele dou˘a metode nu constituie metode de rezolvare, ci modalit˘a¸ti de analiz˘a a datelor ¸si relat¸iilor din problem˘a. Examinarea problemei prin metoda sintetic˘ a presupune un rat¸ionament inductiv: prin ˆıntreb˘ari elevul este dirijat s˘a formeze perechi de valori numerice pe baza relat¸iilor date, formˆand cˆate o problem˘a simpl˘a. Rezolvarea succesiv˘a a acestora poate conduce la rezolvarea problemei. ˆIn aplicarea acestei metode trebuie avut ˆın vedere s˘a se formuleze numai acele probleme simple care converg spre ˆıntrebarea final˘a. Aceasta pentru c˘a ˆın cadrul unor probleme compuse se pot formula ¸si probleme simple care nu converg spre rezultatul final ¸si care abat atent¸ia ¸si gˆandirea elevilor de la rezolvarea just˘a. De aceea este necesar ca ˆın formularea fiec˘arei probleme simple s˘a se pun˘a ˆıntrebarea dac˘a este necesar s˘a se afle acel lucru. Examinarea problemei prin metoda analitic˘ a solicit˘a din partea elevului un efort de gˆandire mai mare, deoarece el trebuie s˘a cuprind˘a ˆıntregul problemei ¸si nu fragmente din enunt¸. A examina o problem˘a prin metoda analitic˘a ˆınseamn˘a a porni de la ˆıntrebarea problemei, a stabili datele, ˆın general necunoscute, cu ajutorul c˘arora se poate formula problema simpl˘a a c˘arei ˆıntrebare s˘a coincid˘a cu ˆıntrebarea problemei date, apoi a stabili alte date cu ajutorul c˘arora s˘a se formuleze alte probleme simple ale c˘aror rezultate s˘a constituie elementele problemei simple precedente ¸si a¸sa mai departe pˆan˘a se ajunge la prima problem˘a simpl˘a care se poate formula pe baza datelor problemei compuse respective, date ce trebuie s˘a fie ambele cunoscute. Pornind de la aceast˘a problem˘a simpl˘a, se arat˘a ˆın mod 131

succesiv toate problemele simple care pot fi formulate, fiecare utilizˆand datele celei precedente, pˆan˘a se ajunge la problema simpl˘a al c˘arei rezultat este ˆınsu¸si rezultatul problemei date. Acest tip de analiz˘a este dominant deductiv˘a. Metoda sintetic˘a este mai u¸soar˘a, mai accesibil˘a elevilor datorit˘a faptului c˘a nu necesit˘a un proces de gˆandire de mare profunzime. De aceea este ˆıntrebuint¸at˘a cu prec˘adere mai ales ˆın primele trei clase. ˆIntrebuint¸area acestei metode poate duce la gre¸seli, prin formularea unor probleme simple care nu sunt necesare, tocmai datorit˘a faptului c˘a procesul de gˆandire nu este orientat ˆın mod clar spre ˆıntrebarea final˘a, pentru c˘a nu porne¸ste de la aceast˘a ˆıntrebare. Metoda analitic˘a formuleaz˘a problemele simple ˆın funct¸ie de ˆıntrebarea final˘a, deci apeleaz˘a numai la acele probleme simple ce converg spre ˆıntrebarea final˘a ¸si care concur˘a la stabilirea r˘aspunsului corespunz˘ator acestei ˆıntreb˘ari. Este mai grea pentru c˘a presupune un proces de gˆandire continuu ¸si de profunzime, fapt pentru care exist˘a tendint¸a de a fi ocolit˘a. Dar ˆıntrebuint¸area acestei metode contribuie ˆıntr-o mai mare m˘asur˘a la dezvoltarea gˆandirii logice ¸si numai cunoa¸sterea ¸si ˆıntrebuint¸area ei creeaz˘a posibilitatea rezolv˘arii de c˘atre elevi a problemelor ˆın mod independent. Este necesar ca pe m˘asur˘a ce elevii dobˆandesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetic˘a, s˘a se treac˘a treptat la utilizarea metodei analitice, mai ales la clasele a III-a ¸si a IV-a. Procesul analitic nu poate fi izolat de cel sintetic, ˆıntrucˆat cele dou˘a metode formeaz˘a o unitate ˆın cadrul proceselor de gˆandire, astfel c˘a nu poate fi vorba de utilizarea cu exclusivitate a uneia sau alteia din aceste metode. ˆIn analiza unei probleme intervin ambele metode ca laturi separate ale procesului unitar de gˆandire, dar ˆın anumite momente, una dintre ele este dominant˘a. Astfel, descompunerea unei probleme compuse ˆın problemele simple din care este format˘a, este prin esent¸˘a un proces de analiz˘a, iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, este un proces de sintez˘a. Cu alte cuvinte, exist˘a o strˆans˘a interdependent¸˘a ˆıntre procesele de analiz˘a ¸si sintez˘a, ele condit¸ionˆandu-se reciproc ¸si realizˆandu-se ˆıntr-o unitate inseparabil˘a. ˆIntocmirea ¸si realizarea planului de rezolvare Concluziile care rezult˘a din examinarea unei probleme se concretizeaz˘a ˆın planul de rezolvare. Acesta arat˘a etapele succesive ale procesului de gˆandire care a avut loc ˆın examinarea problemei, fiecare punct al planului reprezentˆand ˆıntrebarea uneia dintre problemele simple ˆın care s-a descompus problema dat˘a. Planul de rezolvare poate fi formulat prin propozit¸ii interogative sau prin propozit¸ii afirmative. Formularea planului de rezolvare prin propozit¸ii afirmative constituie o etap˘a superioar˘a ˆın dezvoltarea gˆandirii elevilor ¸si a form˘arii priceperilor ¸si deprinderilor de rezolvare a problemelor. O caracteristic˘a important˘a a desf˘a¸sur˘arii procesului de examinare a unei prob132

leme ¸si de stabilire a planului de rezolvare o constituie faptul c˘a ˆın tot acest timp se lucreaz˘a numai cu m˘arimi ¸si cantit˘a¸ti, deci cˆat mai put¸in cu numere, f˘ar˘a s˘a se efectueze nici un fel de calcule. De aceea aceste procese apar ca procese de gˆandire, de stabilire a raporturilor cantitative dintre m˘arimi ¸si nu au aspectul unor relat¸ii de calcul. Operat¸iile pe care le reclam˘a rezolvarea problemelor simple prev˘azute ˆın planul de rezolvare urmeaz˘a s˘a se fac˘a dup˘a ce acest plan a fost complet formulat ¸si apoi repetat de c˘atre elevi. Realizarea planului pretinde stabilirea operat¸iilor aritmetice, scrierea scrierea ¸si efectuarea calculelor. Prin formularea planului de rezolvare ¸si e¸salonarea pe puncte a problemei date, aceasta se descompune ˆın tot atˆatea probleme simple, care urmeaz˘a s˘a fie rezolvate ˆın ordinea stabilit˘a. Pentru rezolvarea unei probleme simple este necesar s˘a se stabileasc˘a, pe baza unui nou proces de gˆandire, operat¸ia corespunz˘atoare, s˘a se scrie aceast˘a operat¸ie ¸si apoi s˘a se efectueze mintal sau ˆın scris. De aceea urmeaz˘a s˘a se trateze separat fiecare punct al planului de rezolvare, ar˘atˆandu-se ˆın primul rˆand procesul de gˆandire care st˘a la baza stabilirii operat¸iei corespunz˘atoare, sau care justific˘a aceast˘a operat¸ie, dup˘a care s˘a se scrie operat¸ia ˆın partea stˆang˘a a tablei, termenii operat¸iei scriindu-se cu numere concrete ¸si ˆın ordinea indicat˘a de procesul de gˆandire. ˆIn cazul cˆand calculele se efectueaz˘a ˆın scris, acestea se scriu ˆın partea dreapt˘a a tablei, dup˘a regulile stabilite la calculul ˆın scris, termenii operat¸iei scriindu-se f˘ar˘a denumirea unit˘a¸tilor pe care le reprezint˘a. De asemenea, pentru efectuarea calculului ˆın scris se aplic˘a, dac˘a este necesar, propriet˘a¸tile generale ale operat¸iilor aritmetice. Activit˘ a¸ti suplimentare dup˘ a rezolvarea problemei Activit˘a¸tile suplimentare dup˘a rezolvarea problemei se centreaz˘a pe exprimarea principiului general de rezolvare, ˆın vederea integr˘arii problemei ˆın tipul sau categoria din care face parte. Aceast˘a etap˘a const˘a ˆın verificarea solut¸iei problemei, ˆın g˘asirea ¸si a altor metode de rezolvare ¸si de alegere justificat˘a a celei mai bune. Acum se realizeaz˘a autocontrolul asupra felului ˆın care s-a ˆınsu¸sit enunt¸ul problemei, asupra rat¸ionamentului realizat ¸si a demersului de rezolvare parcurs. O atent¸ie deosebit˘a trebuie acordat˘a problemelor care admit mai multe procedee de rezolvare. Formarea priceperilor de a g˘asi noi procedee de rezolvare cultiv˘a mobilitatea gˆandirii, creativitatea ¸si simt¸ul estetic, prin elegant¸a, simplitatea, organizarea economic˘a a rezolv˘arii. Se educ˘a de asemenea atent¸ia, spiritul de investigat¸ie ¸si perspicacitatea. Pe baza planului, se construiesc expresiile matematice care ˆınglobeaz˘a datele ¸si condit¸iile din problem˘a sub forma unui exercit¸iu cu dou˘a sau mai multe operat¸ii. Acest exercit¸iu leag˘a ˆıntr-o singur˘a expresie aritmetic˘a toate operat¸iile care core133

spund judec˘a¸tilor formulate. Rezolvarea acestui exercit¸iu constituie ¸si o modalitate de verificare a corectitudinii rezultatului. Expresia numeric˘a ce transcrie rezolvarea sub forma unui exercit¸iu se refer˘a la cazul concret ¸si nu reprezint˘a un algoritm de rezolvare pentru o categorie de probleme. Dac˘a la scrierea rezolv˘arii printr-un exercit¸iu se ˆınlocuiesc datele cu litere, se obt¸in formule literale care surprind algoritmul de rezolvare a problemei ¸si care pot fi folosite ˆın compunerea sau rezolvarea altor probleme. Privirea retrospectiv˘a asupra rezolv˘arii constituie o etap˘a cu multe implicat¸ii formative pentru elevi: • se verific˘a dac˘a rezultatul obt¸inut ˆındepline¸ste toate condit¸iile din enunt¸, oferind astfel ˆınc˘a o oportunitate pentru ˆınt¸elegerea drumului parcurs ˆın rezolvare; • se ofer˘a posibilitatea de a uni ˆıntr-un ˆıntreg ideile din plan, deoarece cont¸inutul problemei a fost fragmentat ˆın activitatea de rezolvare; • se descoper˘a asem˘an˘ari ¸si deosebiri ˆıntre schema de rezolvare a problemei date ¸si schemele altor probleme, aceste operat¸ii constituind primele exercit¸ii de formare a algoritmilor de recunoa¸stere, atˆat de necesari ˆın alegerea algoritmului de lucru; • se caut˘a alte procedee de rezovare, se compun probleme asem˘an˘atoare sau diferite. O problem˘a este cu atˆat mai dificil˘a cu cˆat difer˘a mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cˆat situat¸ia nou˘a cere o restructurare mai profund˘a a experient¸ei anterioare. Dat fiind faptul c˘a posibilit˘a¸tile ¸scolarului mic de folosire a cuno¸stint¸elor ¸si de raportare a relat¸iilor vechi la cele noi sunt ˆınc˘a insuficient dezvoltate, act¸iunile principale ale profesorului trebuie s˘a urm˘areasc˘a ˆınt¸elegerea de c˘atre elevi a specificului rezolv˘arii prin alegerea unui procedeu simplu pentru problemele care, de¸si par diferite, au ˆın esent¸˘a aceea¸si structur˘a.

7.3.2

Activitatea de compunere de probleme

Activitatea de compunere a problemelor ofer˘a terenul cel mai fertil pentru cultivarea ¸si educarea creativit˘a¸tii ¸si a inventivit˘a¸tii. Creativitatea gˆandirii se poate cultiva pe baza unor deprinderi corect formate, stabilizate ¸si eficient transferate. Trecerea de la rezolvarea problemelor, unde deprinderile ¸si abilit˘a¸tile se refer˘a ˆın special la analiza datelor, a condit¸iei, la capacitatea de a ˆınt¸elege ˆıntrebarea ¸si a orienta ˆıntreaga desf˘a¸surare a rat¸ionamentului ˆın direct¸ia descoperirii unei metode de rezolvare, se face ˆın mod gradat, prin: 134

• complicarea unei probleme prin introducerea de noi date sau prin modificarea ˆıntreb˘arii; • rezolvarea problemei prin mai multe procedee: – scrierea rezolv˘arii problemei ˆıntr-o singur˘a expresie; – alegerea celei mai elegante c˘ai de rezolvare; – determinarea schemei generale de rezolvare ¸si ˆıncadrarea problemei ˆın categoria respectiv˘a. Compunerea de probleme este una dintre modalit˘a¸tile principale de a dezvolta gˆandirea independent˘a ¸si original˘a a elevilor, a pasiunii pentru matematic˘a. Se pot compune ¸si crea probleme ˆın urm˘atoarele forme, respectˆandu-se succesiunea gradat˘a: • compunerea de probleme dup˘a imagini; • compunerea de probleme dup˘a modelul unei probleme rezolvate anterior; • compunerea de probleme cu indicarea operat¸iilor matematice ce trebuie efectuate; • compunerea de probleme dup˘a un plan stabilit; • compunerea de probleme cu mai multe ˆıntreb˘ari posibile; • compunerea de probleme cu ˆıntrebare dat˘a; • compunerea de probleme cu ˆıntrebare probabilistic˘a; • compunerea de probleme cu ˆınceput dat, cu sprijin de limbaj; • compunerea de probleme cu m˘arimi date, cu valori numerice date; • compunerea de probleme dup˘a un exercit¸iu simplu sau compus; • compunerea de probleme dup˘a un model simbolic; • compunerea de probleme cu modificarea cont¸inutului ¸si a datelor; • compunerea de probleme, crearea liber˘a de probleme, eventual rebusistice sau de perspicacitate.

135

ˆIn activitatea de compunere a problemelor, trebuie s˘a se ¸tin˘a seama de posibilt˘a¸tile elevilor, prin sarcini gradate, trecˆandu-se treptat de la compunerea liber˘a la cea ˆıngr˘adit˘a de anumite condit¸ii din ce ˆın ce mai restrictive. Se recomand˘a ca atˆat ˆın compunerea de probleme cˆat ¸si ˆın rezolvarea acestora s˘a se utilizeze jocul didactic. Profesorul are sarcina s˘a conduc˘a aceast˘a activitate prin indicat¸ii clare, prin exemple sugestive folosite ca modele, prin cerint¸e rat¸ionale, s˘a canalizeze gˆandirea ¸si imaginat¸ia copiilor spre asociat¸ii din ce ˆın ce mai put¸in ˆıntˆampl˘atoare. Este necesar ca profesorul s˘a aib˘a permanent ˆın atent¸ie ˆımbun˘at˘a¸tirea continu˘a a exprim˘arii corecte a copiilor, oral˘a ¸si ˆın scris, atˆat din punct de vedere matematic cˆat ¸si gramatical; ˆımbog˘a¸tirea vocabularului; cre¸sterea continu˘a a volumului de cuno¸stint¸e, de corelare a lor ¸si, mai ales, de transfer ¸si folosirea acestora ˆın practic˘a; nuant¸area exprim˘arii orale a copiilor ˆın expunerea problemelor propuse, pentru a scoate ˆın evident¸a˘ atˆat datele, cˆat mai ales relat¸iile dintre ele ¸si ˆıntrebarea problemei. Compunerea de probleme ˆın clasele I-IV poate constitui o premis˘a real˘a ¸si eficient˘a pentru o viitoare munc˘a de cercetare, pentru activitatea ulterioar˘a de creat¸ie, inovat¸ie, invent¸ie ¸si o modalitate sigur˘a de sporire a rolului formativ al ˆınv˘a¸t˘amˆantului matematic din ciclul primar.

7.4 7.4.1

Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic˘ a Metoda figurativ˘ a

Metoda figurativ˘a sau grafic˘a este o metod˘a de rezolvare a problemelor de aritmetic˘a ce utilizeaz˘a reprezentarea grafic˘a a m˘arimilor necunoscute ¸si marcarea pe desen a relat¸iilor dintre m˘arimi. Figura reprezint˘a o schematizare a enunt¸ului ¸si a relat¸iilor matematice date. Problemele care se rezolv˘a prin metoda figurativ˘a se pot clasifica ˆın dou˘a categorii: • cu date sau m˘arimi discrete, care pot fi num˘arate cˆate una ¸si puse ˆın corespondent¸˘a dup˘a anumite criterii. Aceste m˘arimi se vor figura prin simboluri; • cu date sau m˘arimi continue, caz ˆın care se figureaz˘a prin segmente. ˆIn aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinat¸ii ale acestora cu condit¸ia ca ele s˘a fie adecvate naturii datelor problemei ¸si specificului lor. Avantajele pe care le prezint˘a metoda figurativ˘a o situeaz˘a pe primul loc ˆın ceea ce prive¸ste utilitatea ei. Astfel: 136

• are caracter general, aplicˆandu-se la orice categorii de probleme ˆın care se preteaz˘a figurarea ¸si pe diferite trepte ale ¸scolarit˘a¸tii; • are caracter intuitiv, ˆınt¸elegerea relat¸iilor dintre datele problemei f˘acˆandu-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind act¸iunea direct˘a, mi¸scarea ¸si transpunerea acesteia pe plan mintal; • prin dimensiunile elementelor figurative ¸si prin proport¸iile dintre ele se creeaz˘a variate modalit˘a¸ti de stabilire a relat¸iilor cantitative dintre diferitele valori ale m˘arimilor, se sugereaz˘a aceste relat¸ii, se pun ˆın evident¸˘a. Figurarea schematic˘ a Exemplu: ˆIntr-o curte sunt g˘aini ¸si purcei. ˆIn total sunt 40 de capete ¸si 100 de picioare. Cˆate g˘aini ¸si cˆa¸ti purcei sunt? Se figureaz˘a cele 40 de animale prin ovale: 



. . .   Se pun cˆate 2 picioare fiec˘arui animal: 



. . .   @ @ @ @ Se observ˘a c˘a ˆın acest mod s-au consumat 80 picioare. Cele 100 - 80 = 20 picioare se mai adaug˘a cˆate 2 astfel: @  @  @  



. . .   @ @ @ @ ˆIn acest mod se obt¸in 20 : 2 = 10 animale cu 4 picioare, adic˘a 10 purcei. Restul de 40 - 10 = 30 sunt g˘aini.

137

Utilizarea literelor ¸si a grupurilor de litere Exemplu: Un ¸t˘aran are de 5 ori mai multe g˘aini decˆat rat¸e. Vinde 5 g˘aini ¸si cump˘ar˘a 3 rat¸e; atunci num˘arul g˘ainilor devine de 3 ori mai mare decˆat al rat¸elor. Cˆate g˘aini ¸si cˆate rat¸e a avut? Se noteaz˘a g˘ainile cu G, iar rat¸ele cu R. Se figureaz˘a situat¸ia init¸ial˘a prin grupuri de cˆate 1 rat¸˘a cu 5 g˘aini ˆın jur: G G G R G G

G G G R G G

. . .

G G G R G G

Pe acela¸si desen se opereaz˘a modific˘arile: vinde 5 g˘aini, deci 5 g˘aini se taie, cump˘ar˘a 3 rat¸e, deci se adaug˘a 3 rat¸e: G G G R G G

G G G R G G

. . .

G G G R G G

R

R

R

Acum sunt de 3 ori mai multe g˘aini decˆat rat¸e, deci ˆın jurul fiec˘arei rat¸e trebuie s˘a fie cˆate 3 g˘aini. Se observ˘a c˘a avem 4 rat¸e f˘ar˘a g˘aini, care au nevoie de 4 x 3 = 12 g˘aini, care se vor luat tot cˆate 2 de la grupele de 1 rat¸˘a cu 5 g˘aini. ˆInseamn˘a c˘a sunt 12 : 2 = 6 astfel de grupe, adic˘a au fost init¸ial 6 + 1 = 7 rat¸e ¸si 5 x 7 = 35 g˘aini. Verificare: dac˘a se vˆand 5 g˘aini r˘amˆan 35 - 5 = 30 g˘aini; dac˘a se cump˘ar˘a 3 rat¸e sunt 7 + 3 = 10 rat¸e, deci de 3 ori mai multe g˘aini decˆat rat¸e. Aflarea a dou˘ a numere cˆ and se cunosc suma ¸si diferent¸a Exemplu: O barc˘a cu motor merge ˆın sensul cursului apei cu o vitez˘a de 14 km/h, iar ˆımpotriva cursului apei cu o vitez˘a de 12 km/h. Care este viteza b˘arcii ˆın ap˘a st˘at˘atoare ¸si care este viteza cursului apei? Cˆand barca se deplaseaz˘a ˆın sensul cursului apei, viteza sa este suma dintre viteza dezvoltat˘a de motor ¸si viteza apei. Cˆand deplasarea se face ˆımpotriva cursului apei, viteza b˘arcii este diferent¸a dintre viteza dezvoltat˘a de motor ¸si viteza apei. Deci, ˆın aceast˘a problem˘a se cunosc suma ¸si diferent¸a celor dou˘a viteze care trebuie aflate. Se reprezint˘a prin segmente:

138

D

vb

}S

va

Exist˘a dou˘a metode pentru aflarea numerelor: egalare ˆın raport cu valoarea mai mic˘a ¸si egalare ˆın raport cu valoarea mai mare. Dac˘a din sum˘a se scade diferent¸a, r˘amˆan dou˘a segmente egale cu num˘arul mai mic: 14 - 12 = 2 km/h, deci viteza apei este de 2 : 2 = 1 km/h, iar a b˘arcii: 14 1 = 13 km/h. Dac˘a la sum˘a se adun˘a diferent¸a, se obt¸in dou˘a segmente egale cu cel mare: 14 + 12 = 26 km/h, deci viteza b˘arcii este: 26 : 2 = 13 km/h, iar a apei 14 - 13 = 1 km/h. ˆIn general, dac˘a se noteaz˘a numerele cu a ¸si b: a + b = S, a - b = D. Numerele se afl˘a astfel: a = (S + D) / 2; b = (S - D) / 2. Aflarea a dou˘ a numere cˆ and se cunosc suma ¸si raportul Exemplu: ˆIntr-o lad˘a se g˘asesc portocale ¸si l˘amˆai, ˆın total 410 buc˘a¸ti. Dup˘a ce s-au vˆandut 26 portocale ¸si 14 l˘amˆai, au r˘amas ˆın lad˘a de 4 ori mai multe portocale decˆat l˘amˆai. Cˆate portocale ¸si cˆate l˘amˆai au fost la ˆınceput ˆın lad˘a? Se figureaz˘a cu ajutorul segmentelor num˘arul de portocale de 4 ori mai mare decˆat num˘arul de l˘amˆai ¸si ˆın plus, cele vˆandute, astfel ˆıncˆat suma lor este de 410 buc˘a¸ti: 26 .......

P L

14 .....

} 410

Dac˘a din sum˘a se scad fructele vˆandute: 410 - (26 + 14) = 370 buc˘a¸ti, acestea reprezint˘a 5 p˘art¸i egale, deci 1 parte are 370 : 5 = 74. Acum sunt 74 l˘amˆai, dar au fost: 74 + 14 = 88 l˘amˆai ¸si 410 - 88 = 322 portocale. ˆIn general, fie a ¸si b numerele a c˘aror sum˘a este: a + b = S ¸si al c˘aror raport: = m . Acest raport ˆınseamn˘a c˘a a are m p˘art¸i, iar b are n p˘art¸i. Suma lor are n m + n p˘art¸i. 1 parte se afl˘a astfel: p = S : (m + n), iar numerele: a = p · m, b = p · n. a b

Aflarea a dou˘ a numere cˆ and se cunosc diferent¸a ¸si raportul Exemplu: 139

Tat˘al are 44 ani, iar fiul 20 ani. Cu cˆa¸ti ani ˆın urm˘a tat˘al a fost de 5 ori mai ˆın vˆarst˘a decˆat fiul? Peste cˆa¸ti ani fiul va avea jum˘atate din vˆarsta tat˘alui? La problemele ˆın care apar vˆarste, trebuie subliniat c˘a ceea ce r˘amˆane constant ˆın timp este diferent¸a de vˆarst˘a. Aceast˘a diferent¸˘a este: 44 - 20 = 24 ani. Se reprezint˘a situat¸ia din momentul cˆand tat˘al a fost de 5 ori mai ˆın vˆarst˘a decˆat fiul: T

D

F Diferent¸a de vˆarst˘a reprezint˘a 4 p˘art¸i egale, deci 1 parte are: 24 : 4 = 6 ani. Atunci fiul avea 6 ani, deci ˆın urm˘a cu 20 - 6 = 14 ani. Pentru a doua cerint¸˘a a problemei, se figureaz˘a situat¸ia cˆand fiul va avea jum˘atate din vˆarsta tat˘alui: D

T F

De data aceasta diferent¸a reprezint˘a 1 parte, deci fiul va avea atunci 24 ani, adic˘a peste 24 - 20 = 4 ani. ˆIn general, fie a ¸si b numerele a c˘aror diferent¸˘a este: a−b = D ¸si al c˘aror raport: = m . Acest raport ˆınseamn˘a c˘a a are m p˘art¸i, iar b are n p˘art¸i. Diferent¸a lor n are m − n p˘art¸i. 1 parte se afl˘a astfel: p = D : (m − n), iar numerele: a = p · m, b = p · n. a b

7.4.2

Metoda aducerii la acela¸si termen de comparat¸ie

Problemele tipice care se rezolv˘a prin aceast˘a metod˘a cont¸in dou˘a sau mai multe m˘arimi ¸si tot atˆatea relat¸ii ˆıntre ele. Metoda const˘a ˆın a transforma prin ˆınmult¸ire sau ˆımp˘art¸ire relat¸iile, astfel ˆıncˆat una dintre m˘arimi s˘a aib˘a aceea¸si valoare ˆın ambele relat¸ii. ˆIn acest moment, diferent¸a provine numai de la cealalt˘a m˘arime, r˘amˆanˆand un singur termen de comparat¸ie. A¸sezarea datelor ˆıntr-o astfel de problem˘a se face cu respectarea relat¸iilor ˆıntre m˘arimi, astfel ˆıncˆat comparat¸ia dintre valorile aceleia¸si m˘arimi s˘a fie pus˘a ˆın evident¸a˘ ˆın mod direct, a¸sezˆand valorile de acela¸si fel unele sub altele. Exemplu: 12 grinzi de brad ¸si 13 grinzi de stejar cˆant˘aresc ˆımpreun˘a 1010 kg. 15 grinzi de brad ¸si 21 grinzi de stejar cˆant˘aresc ˆımpreun˘a 1500 kg. Cˆat cˆant˘are¸ste o grind˘a de brad? Dar una de stejar? 140

Datele se a¸seaz˘a astfel: 12 grinzi brad .......... 13 grinzi stejar .......... 1010 kg 15 grinzi brad .......... 21 grinzi stejar .......... 1500 kg Analizˆand numerele care intervin ˆın problem˘a, se observ˘a c˘a este mai u¸sor s˘a se egaleze num˘arul grinzilor de brad. ˆInmult¸ind prima relat¸ie cu 5 ¸si a doua cu 4, ˆın fiecare caz num˘arul grinzilor de brad se obt¸ine 60: 12 grinzi brad .......... 13 grinzi stejar .......... 1010 kg | · 5 15 grinzi brad .......... 21 grinzi stejar .......... 1500 kg | · 4 60 grinzi brad .......... 65 grinzi stejar .......... 5050 kg 60 grinzi brad .......... 84 grinzi stejar .......... 6000 kg 19 grinzi stejar .......... 950 kg Num˘arul grinzilor de brad fiind acela¸si, diferent¸a de mas˘a provine de la diferent¸a de num˘ar a grinzilor de stejar. Deci 19 grinzi de stejar cˆant˘aresc 950 kg. O grind˘a de stejar cˆant˘are¸ste 950 : 19 = 50 kg. Se ˆınlocuie¸ste ˆın prima relat¸ie: 12 grinzi de brad ¸si 13 grinzi de stejar care au 13 · 50 = 650 kg, au ˆımpreun˘a 1010 kg, de unde cele 12 grinzi de brad cˆant˘aresc 1010 - 650 = 360 kg. deci o grind˘a de brad cˆant˘are¸ste 360 : 12 = 30 kg.

7.4.3

Metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze (a ipotezelor sau a presupunerii) se poate aplica oric˘arei probleme ale c˘arei date sunt m˘arimi proport¸ionale. Aceast˘a metod˘a se aplic˘a unor probleme ˆın care apar dou˘a m˘arimi ¸si se presupune c˘a toate obiectele sunt de acela¸si fel. Se constat˘a o diferent¸˘a fat¸˘a de date, din care rezult˘a c˘a exist˘a elemente ¸si din cealalt˘a categorie, aflˆandu-se num˘arul lor. Exemplu: ˆIntr-o curte sunt g˘aini ¸si purcei. ˆIn total sunt 40 de capete ¸si 100 de picioare. Cˆate g˘aini ¸si cˆa¸ti purcei sunt? Aceast˘a problem˘a s-a rezolvat prin metoda figurativ˘a, dar se poate rezolva ¸si prin metoda falsei ipoteze. Se presupune c˘a toate animalele sunt de un fel: de exemplu, g˘aini. Atunci ar avea 40 · 2 = 80 picioare. Dar ele nu au 80 picioare, ci 100. De aici rezult˘a c˘a sunt ¸si pucei. Diferent¸a este: 100 - 80 = 20 picioare. Diferent¸a dintre num˘arul de picioare ale unui purcel ¸si g˘ain˘a este 4 - 2 = 2 picioare. Deci diferent¸a obt¸inut˘a este de la 20 : 2 = 10 purcei. Num˘arul de g˘aini este 40 - 10 = 30 g˘aini. Metoda falsei ipoteze se poate aplica ¸si ˆın alte cazuri, nu numai cˆand e vorba de dou˘a m˘arimi.

141

Exemple: 1) Un biclist urc˘a o pant˘a cu 6 km/h ¸si coboar˘a aceea¸si pant˘a cu 20 km/h. S¸tiind c˘a drumul urcat ¸si coborˆat a durat 3 h 15 min, s˘a se afle lungimea pantei. Se observ˘a c˘a m˘arimile care intervin ˆın problem˘a sunt proport¸ionale. Se face o presupunere asupra lungimii drumului: 60 km. Pe baza acestei presupuneri se calculeaz˘a timpul necesar pentru urcare: 60 : 6 = 10 h, respectiv pentru coborˆare: 60 : 20 = 3 h. deci timpul total ar fi fost 10 + 3 = 13 h. Dar timpul total nu a fost de 13 h, ci de 3 h 15 min. 3 h 15 min ˆınseamn˘a 3 14 h. Se calculeaz˘a coeficientul de corect¸ie, adic˘a de cˆate ori s-a obt¸inut timpul mai mare decˆat cel real: 1 13 4 13 : 3 = 13 : = 13 · =4 4 4 13 Presupunerea f˘acut˘a a fost de 4 ori mai mare decˆat lungimea real˘a. Deci lungimea pantei este de 60 : 4 = 15 km. 2) Se ¸stie c˘a 54 m stamb˘a ¸si 21 m m˘atase cost˘a ˆın total 1404 lei. Cˆat cost˘a metrul din fiecare material dac˘a m˘atasea este de 3 ori mai scump˘a decˆat stamba? Presupunerea se face astfel ˆıncˆat calculele s˘a fie cˆat mai u¸sor de f˘acut. ˆIn cazul problemei precedente s-a ales un multiplu al numerelor 6 ¸si 20 pentru c˘a distant¸a trebuia ˆımp˘art¸it˘a la vitez˘a. ˆIn acest caz se va alege un num˘ar cˆat mai mic, deoarece trebuie f˘acute ˆınmult¸iri pentru aflarea pret¸ului total. Se presupune c˘a 1 m de stamb˘a cost˘a 1 leu, atunci 1 m m˘atase cost˘a 3 lei. 54 m stamb˘a ¸si 21 m m˘atase vor costa 54 + 63 = 117 lei. Dar materialele nu cost˘a numai 117 lei, ci 1404 lei, de 1404 : 117 = 12 ori mai mult. ˆInseamn˘a c˘a ¸si presupunerea a fost de 12 ori mai mic˘a, deci 1 m stamb˘a cost˘a 12 lei, iar 1 m m˘atase cost˘a 36 lei. 3) Dac˘a pe fiecare banc˘a dintr-un parc s-ar a¸seza la un spectacol ˆın aer liber cˆate 5 persoane, atunci 10 persoane nu ar avea loc. Dac˘a s-ar a¸seza cˆate 6 persoane pe fiecare banc˘a, ar r˘amˆane 3 b˘anci libere. Cˆate b˘anci sunt ˆın parc ¸si cˆate persoane sunt la spectacol? Astfel de probleme se pot rezolva tot prin metoda falsei ipoteze, cu ajutorul unui tabel care cuprinde: num˘arul de b˘anci (care se presupune), num˘arul de persoane calculat coform primei condit¸ii, num˘arul de persoane calculat conform celei de a doua ¸si diferent¸a acestora. Se cre¸ste sau se scade num˘arul presupus de b˘anci ¸si se observ˘a ce se ˆıntˆampl˘a cu diferent¸a: dac˘a scade sau cre¸ste ¸si cu cˆat. De aici se trage concluzia care este num˘arul real de b˘anci:

142

B˘anci 20 21 28

Persoane 1 Persoane 2 Diferent¸a 110 102 8 115 108 7 150 150 0

S-a presupus c˘a sunt 20 b˘anci. Dac˘a se a¸seaz˘a cˆate 5 persoane pe o banc˘a ¸si 10 persoane r˘amˆan ˆın picioare, num˘arul de persoane este 110. Dac˘a pe 17 b˘anci stau cˆate 6 persoane, atunci num˘arul de persoane este 102, deci o diferent¸˘a de 8. Se presupune c˘a num˘arul de b˘anci este 21. Se calculeaz˘a persoanele ˆın fiecare caz ¸si se constat˘a o diferent¸˘a de 7. Se observ˘a c˘a la o cre¸stere cu o unitate a num˘arului de b˘anci, diferent¸a scade cu o unitate. Acum diferent¸a este 7. Deci num˘arul de b˘anci este 21 + 7 = 28 b˘anci. Se calculeaz˘a num˘arul de persoane ¸si se obt¸ine 150 ˆın fiecare caz. Acesta este r˘aspunsul corect.

7.4.4

Metoda mersului invers

A rezolva un exercit¸iu sau o problem˘a prin metoda mersului invers ˆınseamn˘a a reface calculele ˆın sens invers celor indicate de text, pˆan˘a se ajunge la elementul de baz˘a pe care s-a construit exercit¸iul sau problema. ˆInt¸elegerea metodei se bazeaz˘a pe exercit¸iile de aflare a unui num˘ar considerat necunoscut, dar asupra c˘aruia s-au efectuat anumite operat¸ii al c˘aror rezultat este dat. Exemplu: M-am gˆandit la un num˘ar. ˆIl ˆınmult¸esc cu 8 ¸si scad din rezultat 5. Am obt¸inut 43. La ce num˘ar m-am gˆandit? Dac˘a se noteaz˘a cu x num˘arul c˘autat, enunt¸ul se transcrie matematic astfel: x · 8 − 5 = 43. Ultima operat¸ie este o sc˘adere ˆın care necunoscuta este la desc˘azut. Desc˘azutul se afl˘a prin adunare: x · 8 = 43 + 5, adic˘a x · 8 = 48. Acum necunoscuta este unul dintre factorii ˆınmult¸irii, care se afl˘a prin ˆımp˘art¸ire: x = 48 : 8, x = 6. Nu numai mersul rezolv˘arii este invers, ci ¸si operat¸iile care se fac pentru rezolvare sunt operat¸iile inverse celor din problem˘a. Verificarea se face aplicˆand asupra rezultatului obt¸inut operat¸iile indicate de problem˘a. La unele probleme este indicat s˘a se combine metoda mersului invers cu metoda figurativ˘a. Exemplu: Un turist parcurge un traseu ˆın 4 zile. ˆIn prima zi parcurge cu 20 km mai put¸in decˆat 1/3 din drum; a doua zi 1/4 din rest ¸si ˆınc˘a 15 km; a treia zi cu 30 km mai 143

mult decˆat 1/2 din noul rest, iar ˆın ultima zi ultimii 45 km. Ce lungime are traseul ¸si cˆa¸ti kilometri a parcurs ˆın fiecare zi?

D



1 3



ziua 1

- 20 

R1



1 4

- 15

ziua 2 R2

1 2

- 30 ziua 3

 

R3

45 ziua 4

Se reprezint˘a traseul printr-un segment. Acesta se ˆımparte ˆın trei p˘art¸i egale, pentru c˘a ˆın prima zi a parcurs cu 20 km mai put¸in decˆat 1/3 din drum. Dup˘a ziua 1, r˘amˆane restul R1 , care se figureaz˘a mai jos. Acesta se ˆımparte ˆın 4 p˘art¸i egale, pentru c˘a doua zi a parcurs cu 15 km mai mult decˆat 1/4 din R1 . Restul care r˘amˆane dup˘a ziua a doua se ia deoparte ¸si se noteaz˘a cu R2 . Acest rest se ˆımparte ˆın dou˘a p˘art¸i egale, a treia zi a parcurs cu 30 km mai mult decˆat 1/2 din R2 . Ceea ce r˘amˆane, R3 , 45 km este ceea ce a parcurs ˆın a patra zi. Mergˆand ˆınapoi, 45 + 30 = 75 km reprezint˘a 1/2 din R2 . deci R2 are 2 · 75 = 150 km. Mergˆand mai sus, 150 + 15 = 165 km reprezint˘a 3/4 din R1 . Deci R1 are 165 : 3 · 4 = 220 km. 220 20 = 200 km reprezint˘a 2/3 din lungimea drumului. Traseul are 200 : 2 · 3 = 300 km. ˆIn prima zi a parcurs D - R1 = 300 - 220 = 80 km. A doua zi a parcurs R1 - R2 = 220 - 150 = 70 km. A treia zi a parcurs R2 - R3 = 150 - 45 = 105 km.

7.4.5

Probleme de organizarea ¸si prelucrarea datelor

ˆIn noua program˘a de matematic˘a s-au introdus obiective de referint¸˘a ¸si cont¸inuturi care vizeaz˘a formarea unor deprinderi de organizare a datelor ˆın tabele, diagrame ¸si grafice. Aceste competent¸e sunt necesare pentru a apropia ¸si preg˘ati elevul de realitatea practic˘a, pentru a da aplicabilitate cuno¸stint¸elor pe care ¸si le-a ˆınsu¸sit, pentru a-l deprinde s˘a ˆınt¸eleag˘a ¸si s˘a interpreteze corect diversele informat¸ii cu care se confrunt˘a ¸si care apar sub forme variate de prezentare. Tabelele, diagramele ¸si graficele sunt utilizate ˆın toate domeniile de activitate sintetizˆand ¸si sistematizˆand informat¸iile, clarificˆandu-le ¸si oferind totodat˘a o imagine u¸sor de interpretat prin asocieri ¸si corel˘ari ˆıntre date. Elevul deprins s˘a utilizeze 144

aceste forme de prezentare va fi capabil s˘a-¸si realizeze propriile scheme de sistematizare a cuno¸stint¸elor. Redactˆand solut¸iile unor exercit¸ii ¸si probleme sub form˘a tabelar˘a sau utilizˆand diagramele ¸si graficele, elevii vor ˆınv˘a¸ta s˘a economiseasc˘a timp ¸si energie, s˘a extrag˘a esent¸ialul, s˘a prezinte cu mai mult˘a u¸surint¸˘a ¸si claritate demersul percurs ˆın rezolvarea acestora, s˘a sesizeze ¸si s˘a sublinieze relat¸iile existente ˆıntre date, s˘a le interpreteze. Urm˘arind evolut¸ia obiectivelor de referint¸˘a care se refer˘a la prelucrarea de date statistice, se observ˘a c˘a la ˆınceput elevul ˆınvat¸˘a s˘a extrag˘a informat¸ii din tabele ¸si liste, s˘a colecteze date prin observat¸ii pe o anumit˘a tem˘a, ca treptat s˘a reu¸seasc˘a s˘a le clasifice pe baza unor criterii, s˘a le reprezinte ˆın tabele ¸si diagrame ¸si s˘a interpreteze aceste date prin compararea numerelor implicate, prin g˘asirea de asem˘an˘ari ¸si deosebiri. Elevii se vor familiariza cu tablourile de corespondent¸˘a, ˆın care trebuie s˘a marcheze cu un simbol prestabilit, asocierile determinate. Prin aceste exercit¸ii de completare de tablouri, elevii fac asocieri ¸si se familiarizeaz˘a cu modul de prezentare a datelor sub form˘a de tabel, cu modalitatea de a extrage informat¸ii prezentate sub aceast˘a form˘a ¸si cu posibilit˘a¸tile de a le interpreta. Se mai pot introduce exercit¸ii de colectare a datelor ca urmare a unui proces de observare derulat ˆıntr-un interval de timp, de prelucrare a acestora prin sortare dup˘a un criteriu simplu ¸si de organizare a lor ˆın forme variate de prezentare. La clasele mai mari se pot folosi ˆın sortarea datelor dou˘a criterii, prelucrarea realizˆandu-se prin comparare ¸si num˘arare. Datele astfel colectate ¸si ordonate pot fi reprezentate ¸si sub forma unor diagrame simple, de diverse forme ¸si pot fi utilizate ˆın compunerea de probleme ca date suport.

7.4.6

Probleme de logic˘ a

Problemele de logic˘a nu necesit˘a efectuarea unui calcul. Pentru a g˘asi solut¸ia, este suficient un rat¸ionament logic. Aceste probleme sunt de obicei atractive ¸si amuzante pentru elevi, le stimuleaz˘a interesul. Aceasta se explic˘a prin faptul c˘a ˆın aceast˘a categorie sunt incluse multe tipuri de exercit¸ii ¸si probleme ce nu fac apel la cuno¸stint¸e cu cont¸inut aritmetic. Problemele de logic˘a vizeaz˘a cultivarea ¸si exersarea creativit˘a¸tii elevilor: ˆındr˘azneal˘a, istet¸ime, spirit novator, flexibilitatea ¸si originalitatea gˆandirii, crearea unor situat¸ii generatoare de motivat¸ie intrinsec˘a ce favorizeaz˘a stimularea interesului pentru matematic˘a, exersarea gˆandirii divergente, dezvoltarea pl˘acerii ¸si priceperii de a rat¸iona riguros. Datorit˘a formelor atractive ˆın care sunt prezentate (adresare direct˘a, accesibil˘a ¸si nepretent¸ioas˘a), cˆat ¸si faptul c˘a nu implic˘a, ˆın mod obligatoriu, un bagaj de

145

cuno¸stint¸e, problemele de logic˘a fac s˘a creasc˘a gradul de implicare a elevilor ¸si interesul pentru rezolvarea lor. Exersarea rat¸ionamentelor logice se face prin activitatea de rezolvare de probleme. ˆIn rezolvarea problemelor cu una sau mai multe operat¸ii, elevul ˆınvat¸˘a: • s˘a ordoneze logic datele problemei; • s˘a analizeze ipotezele date; • s˘a deduc˘a consecint¸ele posibile ce decurg din acestea. Experient¸a arat˘a c˘a elevul rat¸ioneaz˘a logic la orice vˆarst˘a, f˘ar˘a ca acest aspect s˘a implice antrenamente ˆındelungate. Problemele de logic˘a pot fi pres˘arate pe parcursul lect¸iilor, ˆın diverse momente, ˆın cadrul tuturor disciplinelor de ˆınv˘a¸t˘amˆant, nu numai ˆın orele de matematic˘a. Ele constituie de multe ori un liant ˆıntre diversele discipline (avˆand un pronunt¸at caracter interdisciplinar), g˘asindu-¸si aplicabilitatea imediat˘a ¸si fiind ˆın majoritatea cazurilor inspirate din problemele ˆıntˆalnite ˆın viat¸a de zi cu zi. Elevii sunt pu¸si mereu ˆın situat¸ia de a afla valoarea de adev˘ar a unor afirmat¸ii. Prin diversele activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare, se urm˘are¸ste ca elevii s˘a aprecieze corect valoarea de adev˘ar a unor afirmat¸ii, s˘a verifice validitatea unor afirmat¸ii generale pe cazuri particulare. Relat¸ia cauz˘a-efect este una dintre cele mai des ˆıntˆalnite ˆın situat¸ii practice ¸si deci una dintre cele mai folosite ˆın exersarea rat¸ionamentelor logice. Prin acest tip de exercit¸iu-problem˘a se urm˘are¸ste ca elevii s˘a ˆınt¸eleag˘a sensul implicat¸iei dac˘ aatunci prin exemple simple, inspirate din cotidian, s˘a exemplifice ¸si s˘a exprime relat¸ii cauzale. Un alt tip de sarcin˘a este cea ˆın care se solicit˘a verificarea validit˘a¸tii unor afirmat¸ii de tip cauz˘a-efect.

7.4.7

Probleme care se rezolv˘ a prin ˆıncerc˘ ari

Unele probleme nu se pot rezolva direct. ˆIn acest caz, un procedeu ar fi ˆıncerc˘arile, ˆıncerc˘ari care se pot corecta pas cu pas, pˆan˘a se obt¸in rezultate care verific˘a toate condit¸iile problemei. Rezolvarea prin ˆıncerc˘ari este util˘a ¸si ˆın cazul problemelor care admit mai multe solut¸ii. Elevii sunt tentat¸i ca atunci cˆand au g˘asit o solut¸ie pentru o problem˘a, s˘a considere problema rezolvat˘a ¸si s˘a ignore faptul c˘a pot s˘a existe ¸si alte valori care s˘a constituie solut¸ie pentru problema dat˘a. Folosind ˆıncerc˘ari succesive, ei pot constata c˘a se obt¸in mai multe solut¸ii corecte (care verific˘a condit¸iile problemei) sau c˘a un mic am˘anunt ajut˘a la eliminarea unor presupuse solut¸ii ¸si ajut˘a la g˘asirea rezultatului final. 146

Activitatea de rezolvare de probleme prin ˆıncercare-eroare urm˘are¸ste s˘a stˆarneasc˘a curiozitatea elevilor pentru aflarea rezultatelor unor exercit¸ii ¸si probleme (clasa a II-a), s˘a determine elevii s˘a manifeste init¸iativ˘a ˆın a propune modalit˘a¸ti diverse de abordare a unei probleme (clasa a III-a) ¸si s˘a caute noi c˘ai de rezolvare a acestora (clasa a IV-a). Folosind acest procedeu de rezolvare, elevii pot dep˘a¸si unele blocaje ˆın g˘asirea solut¸iilor. Problemele care se rezolv˘a prin ˆıncerc˘ari apar ˆın program˘a doar la clasa a IV-a. Cu toate acestea, rezolvarea prin ˆıncercare-eroare este introdus˘a ca procedeu de lucru ˆınc˘a de la clasa I, prin activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare ce vizeaz˘a g˘asirea variantelor de descompunere ¸si compunere a numerelor naturale sau de aflare a num˘arului care lipse¸ste dintr-o operat¸ie, prin ˆıncerc˘ari. Aceste tipuri de exercit¸ii se dovedesc a fi foarte utile pentru ˆınt¸elegerea ¸si con¸stientizarea relat¸iilor dintre numerele implicate ˆın operat¸ii. Astfel de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare se pot organiza ¸si la clasele II-IV, l˘argind concentrul numeric ¸si sfera operat¸iilor aritmetice. La clasele III-IV, exercit¸iile de descompunere a numerelor naturale utilizˆand anumite operat¸ii pot fi prezentate ¸si sub forma unor probleme inspirate din realitatea cotidian˘a sau de tip ghicitoare, foarte iubite de copii ¸si care le stimuleaz˘a ¸si dezvolt˘a atent¸ia ¸si rat¸ionamentul logic. Exemplu: Andrei: Am trei frat¸i. Produsul vˆ arstelor lor este 36. Ce vˆ arst˘ a au frat¸ii mei? Dan: Nu pot r˘aspunde la ˆıntrebarea ta. Mai spune-mi ceva despre vˆ arstele lor. Andrei: Suma vˆarstelor lor este cˆ at num˘ arul de etaje ale cl˘ adirii din fat¸a noastr˘ a. Dan: Nici acum nu ¸stiu. Andrei: Cel mic are ochi alba¸stri. Dan: Acum ¸stiu! Cum a socotit Dan vˆarstele frat¸ilor lui Andrei? Num˘arul 36 se poate scrie ca produs de 3 numere naturale ˆın mai multe moduri. Dan calculeaz˘a ˆın fiecare caz suma numerelor care reprezint˘a vˆarstele, astfel: 36 = 1 · 1 · 36, =⇒ S = 38; 36 = 1 · 2 · 18, =⇒ S = 21; 36 = 1 · 3 · 12, =⇒ S = 16; 36 = 1 · 4 · 9, =⇒ S = 14; 36 = 1 · 6 · 6, =⇒ S = 13; 36 = 2 · 2 · 9, =⇒ S = 13; 36 = 2 · 3 · 6, =⇒ S = 11; 36 = 3 · 3 · 4, =⇒ S = 10; ˆIn numai dou˘a cazuri aceste sume ies acelea¸si, S = 13, ˆın celelalte cazuri sunt

147

numere distincte. Dan ¸stie cˆate etaje are cl˘adirea din fat¸˘a. Dac˘a nu poate r˘aspunde, ˆınseamn˘a c˘a este unul dintre cele dou˘a cazuri. Informat¸ia suplimentar˘a c˘a cel mic are ochi alba¸stri este determinant˘a pentru solut¸ie: frat¸ii lui Andrei au 1 an, 6 ani, 6 ani. Cealalt˘a solut¸ie ar fi presupus c˘a sunt doi gemeni mai mici, de 2 ani, deci nu este solut¸ia problemei. Rezolvˆand acest tip de problem˘a, elevii con¸stientizeaz˘a faptul c˘a nu trebuie s˘a trateze cu superficialitate nici o informat¸ie, oricˆat de inutil˘a ar p˘area la prima vedere, ea putˆandu-se dovedi cheia rezolv˘arii problemei. Multe probleme pe care elevii nu ¸stiu s˘a le rezolve utilizˆand metode standardizate pot fi abordate ¸si rezolvate ˆın final prin ˆıncerc˘ari, chiar dac˘a procedeul poate s˘a se dovedeasc˘a mai anevoios. La clasa a IV-a, prin ˆıncerc˘ari se pot rezolva ¸si probleme care necesit˘a metoda falsei ipoteze. Cel mai important lucru ˆın procesul de formare la elevi a capacit˘a¸tii explorativinvestigative ¸si rezolutive este ca solut¸iile metodice adoptate s˘a ˆıl determine pe elev s˘a nu abandoneze o problem˘a dup˘a ce a citit datele, motivˆand c˘a nu ¸stie s˘a o rezolve, ci s˘a ˆınceap˘a pornind de la una dintre condit¸iile date, ˆıncercˆand s˘a le ˆındeplineasc˘a pe celelalte ¸si eliminˆand rˆand pe rˆand solut¸iile eronate. Rezolvarea problemelor prin ˆıncerc˘ari este astfel o solut¸ie la ˆındemˆana fiec˘arui elev. Problemele care se rezolv˘a prin ˆıncerc˘ari vizeaz˘a adaptarea elevilor la situat¸iile problematice, ˆıi obi¸snuie¸ste s˘a-¸si valorifice ¸si s˘a-¸si reorganizeze propriile cuno¸stint¸e, pentru a ajunge la noi structuri cognitive, ˆıi orienteaz˘a spre descoperirea de noi procedee de act¸iune ¸si de verificare a solut¸iilor g˘asite. Prin folosirea frecvent˘a a acestui tip de problem˘a, se constat˘a o perfect¸ionare a procedurilor de descoperire inductiv˘a folosite de copii: c˘autare, tatonare, select¸ie.

7.4.8

Probleme de estim˘ ari

ˆIn viat¸a cotidian˘a, elevii sunt adesea pu¸si ˆın situat¸ia de a estima. Situat¸iile de estim˘ari apar peste tot: la magazin, la ¸scoal˘a, la joac˘a, acas˘a. ˆInainte de a ˆınv˘a¸ta s˘a calculeze, copilul apreciaz˘a m˘arimile doar prin estimare, apropiindu-se, ˆın majoritatea cazurilor, de realitate. S¸colarul mic, dup˘a ce ˆınvat¸˘a s˘a calculeze, are tendint¸a s˘a se concentreze pe calcul, iar adesea rezultatele (datorit˘a gre¸selilor de calcul) sunt aberante (ca ordin de m˘arime ˆın raport cu numerele ¸si operat¸iile date), dar el nu realizeaz˘a acest lucru (avˆand foarte mare ˆıncredere ˆın calcul). De aceea, elevii trebuie stimulat¸i s˘a estimeze con¸stient, s˘a aib˘a idee la ce rezultat s˘a se a¸stepte, f˘acˆand acest lucru chiar ˆınaintea calculului propriu-zis. Altfel, cu trecerea timpului, ¸scolarul obi¸snuit s˘a se bazeze doar pe calcul va deveni dependent de calculator, f˘ar˘a a sesiza erorile din cauz˘a c˘a nu poate estima ordinul de m˘arime al rezultatului. Datorit˘a rolului ¸si frecvent¸ei estim˘arilor ˆın viat¸a de zi cu zi, acestea au fost introduse ˆın noua program˘a de matematic˘a. Se g˘asesc precizate distinct, la cont¸inuturi, 148

doar la clasa a IV-a, de¸si estim˘arile sunt introduse ˆınc˘a din clasa I, cˆand elevul opereaz˘a cu mult¸imi. Utilitatea estim˘arilor se dovede¸ste ˆın urm˘atoarele situat¸ii: • pentru compararea numerelor, prin estimarea ordinului de m˘arime, folosind propriet˘a¸tile sistemului zecimal; • ca procedeu de verificare, ¸tinˆand cont de relat¸iile dintre numerele care intervin ˆın operat¸ie ¸si de ordinul de m˘arime al rezultatului; • ca procedeu de calcul rapid, prin rotunjirea numerelor ¸si estimarea rezultatului; • ˆın justificarea unor algoritmi de calcul ; • ˆın rezolvarea unor situat¸ii ˆın care calculul nu este posibil sau relevant. Aceste estim˘ari se pot realiza treptat, pe clase, astfel: • La clasa I: – jocuri de estimare a num˘arului de obiecte din mediul ambiant; – exercit¸ii-joc de comparare a dou˘a dimensiuni, folosind estimarea. • La clasa a II-a: – exercit¸ii-joc de estimare a num˘arului de obiecte dintr-o mult¸ime fixat˘a din mediul ambiant; – exercit¸ii de comparare a rezultatelor unor operat¸ii, f˘ar˘a a efectua calculele; – exercit¸ii de estimare a ordinului de m˘arime al rezultatului unei operat¸ii, ¸tinˆand cont de relat¸iile ˆıntre numerele care intervin ˆın operat¸ie. • La clasele a III-a ¸si a IV-a: – exercit¸ii de rotunjire a numerelor prin ad˘augare sau omisiune la sute sau zeci; – exercit¸ii de estimare a rezultatului unei operat¸ii; – exercit¸ii de exprimare a rezultatului unei estim˘ari utilizˆand diferite sintagme; – exercit¸ii de aproximare convenabil˘a (prin lips˘a sau adaos) a numerelor mai mici decˆat un milion; 149

– exercit¸ii de utilizare a rotunjirilor ˆın estimarea rezultatului unei operat¸ii; – exercit¸ii de utilizare a axei numerelor pentru a preciza dac˘a un num˘ar este mai ˆındep˘artat sau mai apropiat de un altul; – exercit¸ii de ˆınlocuire a caculului matematic riguros cu calculul estimativ; – probleme practice de estimare bazate pe experient¸a cotidian˘a. Estim˘arile se dovedesc a fi foarte importante ˆın verificarea unor calcule (pentru numere mari mai ales) ¸si ˆın efectuarea unor calcule rapide, cˆand nu este necesar˘a o precizie foarte mare.

7.4.9

Probleme de probabilit˘ a¸ti

ˆIn natur˘a ¸si ˆın viat¸˘a au loc diferite ˆıntˆampl˘ari sau evenimente. Omul este pus de foarte multe ori ˆın situat¸ia de a aplica gradul de probabilitate, ¸sansele ca un eveniment, o situat¸ie, o ˆıntˆamplare s˘a se produc˘a. O afirmat¸ie legat˘a de o ˆıntˆamplare poate fi cotat˘a de c˘atre un elev ca fiind sigur˘ a c˘a se va produce, ˆın timp ce un alt elev o poate aprecia ca fiind posibil˘ a ˆ sau chiar imposibil˘a. In funct¸ie de datele pe care ace¸stia le det¸in, fiecare dintre ei poate avea dreptate. Este foarte important ca elevul de azi, viitorul adult, s˘a poat˘a judeca ¸si interpreta corect unele evenimente din viat¸a cotidian˘a, s˘a poat˘a calcula probabilitatea (¸sansa) ca acestea s˘a se produc˘a, s˘a le poat˘a ordona ¸si clasifica pe o scal˘a a ¸sanselor de realizare (de la sigur la imposibil) sau pe o scal˘a a preferint¸elor. Pentru a dezvolta aceste abilit˘a¸ti, ˆın programa de matematic˘a de la clasele a IIIa ¸si a IV-a au fost introduse tipuri de activit˘a¸ti de ˆınv˘a¸tare ce presupun clasific˘ari probabilistice. Acestea se concretizeaz˘a ˆın sarcini-problem˘a pe care elevii le rezolv˘a practic, cu ajutorul diverselor materiale. Sarcinile de lucru pot fi de tipul: exercit¸ii de evaluare a ¸sanselor ca o situat¸ie s˘a se produc˘a, descrierea de situat¸ii ce reprezint˘a evenimente imposibile, probabile, sigure sau exercit¸ii de ordonare a evenimentelor pe o scal˘a a ¸sanselor de realizare.

150

Capitolul 8 Metodologia pred˘ arii-ˆınv˘ a¸t˘ arii numerelor rat¸ionale 8.1

Elemente preg˘ atitoare pentru introducerea not¸iunii de fract¸ie

Prin introducerea la clasa a IV-a a studiului numerelor rat¸ionale, elevii ˆı¸si l˘argesc considerabil orizontul matematic, ˆı¸si ˆımbog˘a¸tesc cuno¸stint¸ele, ˆı¸si formeaz˘a noi priceperi ¸si deprinderi de calcul. ˆInsu¸sirea de c˘atre elevi a not¸iunilor privitoare la fract¸ii ¸si mai ales a primelor unit˘a¸ti fract¸ionare trebuie s˘a aib˘a la baz˘a un proces intuitiv complet, care s˘a asigure trecerea de la concret la abstract ¸si formarea ˆın mod con¸stient a not¸iunilor care intervin ˆın studiul fract¸iilor. ˆIn predarea acestei teme se va face apel la experient¸a de viat¸˘a a copiilor ¸si se va valorifica aspectul preponderent intuitiv al not¸iunilor, concluziile fiind urmarea unui num˘ar suficient de experient¸e de ˆınv˘a¸tare pe care copilul le parcurge dirijat, ca demers de ˆınv˘a¸tare. Generaliz˘arile se formuleaz˘a clar, ca o concluzie a act¸iunii de operare cu obiectele. Programa ¸scolar˘a prevede la clasa a IV-a studiul acestei teme pentru formarea la elevi a unei imagini mai cuprinz˘atoare despre numere prin familiarizarea cu o nou˘a mult¸ime de numere, mult¸imea numerelor rat¸ionale. ˆInc˘a din clasa a III-a, elevii fac cuno¸stint¸˘a cu not¸iunile de jum˘ atate ¸si sfert, dup˘a ˆınv˘a¸tarea operat¸iei de ˆımp˘art¸ire, f˘ar˘a a utiliza scrierea ca fract¸ie. Este important ca elevul s˘a poat˘a relat¸iona termenul de jum˘ atate cu act¸iunea de fract¸ionare a ˆıntregului ˆın dou˘a p˘art¸i egale. Familiarizarea cu not¸iunea de fract¸ie se face pe baza unui material didactic bogat, atˆat pentru elevi, cˆat ¸si demonstrativ, pentru profesor. Demersul metodic va cont¸ine urm˘atoarele etape: ˆIn prima etap˘a se demonstreaz˘a pe materialul concret ˆımp˘art¸irea unui obiect 151

ˆın dou˘a p˘art¸i egale. Se insist˘a asupra faptului c˘a ˆın acest mod s-au obt¸inut dou˘a jum˘at˘a¸ti ale obiectului respectiv. Experient¸a anterioar˘a se reia pentru figuri geometrice decupate, care au ax˘a de simetrie ¸si pot fi u¸sor t˘aiate ˆın jum˘atate. ˆIn etapa urm˘atoare se trece la utilizarea reprezent˘arilor prin desen, fract¸ionarea figurilor geometrice desenate ¸si colorarea unei jum˘at˘a¸ti, sau recunoa¸sterea jum˘at˘a¸tii pe desen. O alt˘a etap˘a o constituie ˆımp˘art¸irea ˆın jum˘atate a unui num˘ar par de obiecte. Se pot utiliza bet¸i¸soare, iar apoi desene. Se aplic˘a cele studiate ˆın rezolvarea unor probleme simple. ˆIn urma acestor experient¸e, se va generaliza faptul c˘a pentru a obt¸ine jum˘ atatea unui num˘ar, se ˆımparte acest num˘ar la 2. Pentru ˆınsu¸sirea not¸iunilor de sfert sau p˘atrime se vor parcurge acelea¸si etape. Elevul face leg˘atura ˆıntre act¸iunea efectuat˘a, semnificat¸ia ei ¸si operat¸ia matematic˘a respectiv˘a. La clasa a III-a nu se utilizeaz˘a termenul de fract¸ie sau unitate fract¸ionar˘a, dar se opereaz˘a cu semnificat¸ia acestor termeni prin relat¸ionarea act¸iunii cu operat¸ia de fract¸ionare ¸si num˘arul care reprezint˘a cˆatul ˆımp˘art¸irii cu semnificat¸ia sa.

8.2

Predarea-ˆınv˘ a¸tarea numerelor rat¸ionale la clasa a IV-a

La clasa a IV-a, studiul numerelor rat¸ionale va ˆıncepe cu reactualizarea not¸iunilor de jum˘atate ¸si sfert, introducˆandu-se ¸si not¸iunea de unitate fract¸ionar˘ a, cu scrierea sub form˘a de fract¸ie. Pentru predarea-ˆınv˘a¸tarea unit˘a¸tii fract¸ionare se va folosi un bogat ¸si sugestiv material didactic, se vor utiliza metode ¸si procedee didactice de natur˘a s˘a trezeasc˘a interesul elevilor, s˘a-i fac˘a s˘a lucreze cu pl˘acere. Se va sublinia de fiecare dat˘a c˘a: • o unitate fract¸ionar˘a este o parte din num˘arul de p˘art¸i egale ˆın care s-a ˆımp˘art¸it ˆıntregul; • o unitate fract¸ionar˘a este egal˘a cu o alt˘a unitate fract¸ionar˘a numai dac˘a num˘arul de p˘art¸i egale ˆın care s-a ˆımp˘art¸it ˆıntregul este acela¸si. Se subliniaz˘a apoi faptul c˘a num˘arul format din una sau mai multe unit˘a¸ti fract¸ionare se nume¸ste fract¸ie. Etapele procesului intuitiv prin care trece studiul fract¸iilor sunt urm˘atoarele: • Fract¸ionarea obiectelor concrete, adic˘a t˘aierea ˆın mod efectiv a unor obiecte ˆın jum˘at˘a¸ti, sferturi, optimi, etc., atˆat de profesor, demonstrativ, cˆat ¸si de c˘atre elevi, insistˆandu-se ca p˘art¸ile obt¸inute s˘a fie egale; 152

• Fract¸ionarea figurilor geometrice decupate, adic˘a fract¸ionarea prin ˆındoire a cercului, dreptunghiului sau p˘atratului ˆın dou˘a sau patru p˘art¸i, elevii avˆand ¸si ei acelea¸si figuri la dispozit¸ie; • Fract¸ionarea prin desen, adic˘a fract¸ionarea imaginilor unor obiecte sau a figurilor geometrice desenate, fract¸ionarea unui cerc, dreptunghi, p˘atrat, segment, la tabl˘a ¸si pe caiete; • Fract¸ionarea numerelor concrete, pentru ˆınceput a unui num˘ar de obiecte, apoi a numerelor care reprezint˘a anumite unit˘a¸ti de m˘asur˘a; • Fract¸ionarea numerelor abstracte, aceast˘a operat¸ie efectuˆandu-se pe baza regulilor stabilite la fract¸ionarea numerelor concrete, concluziile formulˆanduse astfel ˆıncˆat s˘a se asigure trecerea de la concret la abstract ¸si, ˆın acela¸si timp, generalizarea procesului respectiv. ˆIn fiecare etap˘a este necesar s˘a se stabileasc˘a concluzia corespunz˘atoare, pentru a scoate ˆın evident¸˘a ¸si a accentua caracterul ¸stiint¸ific al not¸iunilor. Dup˘a fiecare operat¸ie se analizeaz˘a cele ˆıntˆamplate ¸si se generalizeaz˘a. ˆIn paralel cu fract¸ionarea figurilor geometrice desenate, se introduce ¸si scrierea fract¸iilor. Se explic˘a ¸si define¸ste semnificat¸ia elementelor care apar ˆın scriere: • num˘arul de sub linie se numet¸e numitor ¸si arat˘a num˘arul de p˘art¸i egale ˆın care a fost ˆımp˘art¸it ˆıntregul; • linia care separ˘a cele dou˘a numere se nume¸ste linie de fract¸ie ¸si indic˘a operat¸ia de partajare, de ˆımp˘art¸ire a ˆıntregului ˆıntr-un num˘ar dat de p˘art¸i egale; • num˘arul de deasupra liniei de fract¸ie se nume¸ste num˘ ar˘ ator ¸si arat˘a cˆate p˘art¸i se iau ˆın considerare. Pentru ˆınsu¸sirea scrierii acestor numere se fac numeroase exercit¸ii de asociere a scrierii la un anumit desen sau ha¸surarea sau colorarea p˘art¸ii corespunz˘atoare, conform scrierii. Activit˘a¸tile de ˆınv˘a¸tare au ˆın vedere exersarea urm˘atoarelor deprinderi: • ˆımp˘art¸ire a unor ˆıntregi ˆıntr-un num˘ar dat de p˘art¸i egale; • scriere simbolic˘a a act¸iunilor efectuate ca fract¸ie cu corelarea semnificat¸iei numitorului ¸si a num˘ar˘atorului cu act¸iunea efectuat˘a; • ˆımp˘art¸ire ˆın num˘ar dat de p˘art¸i egale ¸si scrierea rezultatului act¸iunii sub form˘a de fract¸ie; 153

• reconstituirea ˆıntregului dintr-un num˘ar de p˘art¸i egale; • separarea unui num˘ar precizat de p˘art¸i egale dintr-un ˆıntreg; • relat¸ionarea act¸iunii cu rezultatul ei, prin scrierea fract¸iei corespunz˘atoare. ˆIn demersul metodic, ˆınv˘a¸tarea este favorizat˘a de respectarea traseului de la act¸iune la simbolizare: desenul reprezint˘a etapa iconic˘a a ˆınv˘a¸t˘arii ¸si succede act¸iunii concrete, iar desenul este asociat cu scrierea simbolic˘a a fract¸iei, care reprezint˘a rezultatul act¸iunii efectuate. Sarcinile de ˆınv˘a¸tare vor fi orientate spre ˆınt¸elegerea intuitiv˘a a not¸iunii de fract¸ie prin scrierea fract¸iei care corespunde unei act¸iuni de partajare, dar ¸si prin partajarea care corespunde unei fract¸ii date. ˆIn fiecare dintre cele dou˘a act¸iuni se cere reprezentarea prin desen ¸si exprimarea act¸iunii ˆın limbaj matematic. Este important ca profesorul s˘a formuleze sarcini care s˘a solicite elevilor s˘a opereze cu ˆıntregi diferit¸i pentru a evident¸ia faptul c˘a unitatea fract¸ionar˘a sau fract¸ia au aceea¸si semnificat¸ie indiferent de natura ˆıntregilor.

8.3

Compararea fract¸iilor

Procesul de familiarizare a elevilor cu compararea numerelor rat¸ionale vizeaz˘a dou˘a obiective: • compararea unei fract¸ii cu ˆıntregul; • compararea a dou˘a sau mai multe fract¸ii ˆıntre ele. Pentru compararea fract¸iei cu ˆıntregul, se revine asupra recompunerii ˆıntregului din p˘art¸ile ˆın care a fost descompus ¸si se observ˘a c˘a ˆıntregul poate fi exprimat prin orice fract¸ie care are num˘ar˘atorul ¸si numitorul egali. Se define¸ste fract¸ia echiunitar˘ a, ca fiind orice fract¸ie egal˘a cu un ˆıntreg, adic˘a acele fract¸ii la care se iau ˆın considerare toate p˘art¸ile ˆın care a fost ˆımp˘art¸it ˆıntregul. Dac˘a num˘arul p˘art¸ilor care se iau ˆın considerare este mai mic decˆat num˘arul p˘art¸ilor ˆın care a fost ˆımp˘art¸it ˆıntregul, se obt¸ine o fract¸ie subunitar˘ a, care are num˘ar˘atorul mai mic decˆat numitorul. Un caz ceva mai dificil pentru elevi ˆıl reprezint˘a fract¸iile supraunitare, cele cu num˘ar˘atorul mai mare decˆat numitorul, deoarece pentru reprezentarea acestora este nevoie de doi sau mai mult¸i ˆıntregi care se fract¸ioneaz˘a. Comparˆand fract¸iile cu ˆıntregul, se pot trage urm˘atoarele concluzii: • orice fract¸ie subunitar˘a este mai mic˘a decˆat un ˆıntreg; • orice fract¸ie supraunitar˘a este mai mare decˆat un ˆıntreg; 154

• orice fract¸ie echiunitar˘a este egal˘a cu un ˆıntreg; • orice fract¸ie subunitar˘a este mai mic˘a decˆat orice fract¸ie supraunitar˘a. Egalitatea fract¸iilor se intuie¸ste ˆın urma sect¸ion˘arii obiectelor sau pe desen ¸si se define¸ste astfel: dou˘a sau mai multe fract¸ii sunt egale dac˘a ele reprezint˘a aceea¸si parte dintr-un ˆıntreg. Prin activit˘a¸ti practice ¸si cu ajutorul reprezent˘arilor figurative se descoper˘a fract¸ii egale scrise ˆın mod diferit: 1/2 = 2/4 = 4/8, etc. Pentru compararea a dou˘a fract¸ii ˆıntre ele, se consider˘a cazurile: fract¸iile au numitorii egali, respectiv fract¸iile au num˘ar˘atorii egali. Primul caz, cˆand numitorii sunt egali este mai simplu, c˘aci elevii observ˘a c˘a dac˘a din p˘art¸i de m˘arime egal˘a se iau ˆın considerare mai multe p˘art¸i, atunci se obt¸ine o fract¸ie mai mare. Pentru ca elevii s˘a descopere regula de comparare, se poate parcurge urm˘atorul traseu metodic: • elevii reprezint˘a printr-un desen dou˘a fract¸ii cu acela¸si numitor, ˆımp˘art¸ind dou˘a figuri geometrice de aceea¸si form˘a ¸si m˘arime ˆın acela¸si num˘ar de p˘art¸i egale; • elevii compar˘a cele dou˘a fract¸ii, observˆand c˘a trebuie comparat¸i doar num˘ar˘atorii; • elevii deduc regula - dintre dou˘a fract¸ii cu numitorii egali, este mai mare cea care are num˘ar˘atorul mai mare; • elevii aplic˘a regula ˆın exercit¸ii de tipul: compar˘a fract¸iile dou˘a cˆate dou˘a, ordoneaz˘a un ¸sir de fract¸ii cresc˘ator sau descresc˘ator. Compararea fract¸iilor cu num˘ ar˘ atorii egali presupune o prim˘a etap˘a ˆın care se constat˘a c˘a dac˘a ˆıntregul a fost ˆımp˘art¸it ˆın mai multe p˘art¸i egale, o parte este mai mic˘a decˆat dac˘a s-a ˆımp˘art¸it ˆın mai put¸ine. Se demonstreaz˘a prin figurarea cu ajutorul desenului. Dac˘a se iau ˆın considerare tot atˆatea p˘art¸i, num˘ar˘atori egali, se obt¸ine o fract¸ie mai mare ˆın cazul ˆın care numitorul este mai mic. Traseul metodic este asem˘an˘ator cu cel care se parcurge pentru compararea fract¸iilor cu acela¸si numitor. Alte cazuri de comparare nu se studiaz˘a ˆın clasa a IV-a. Fract¸iile care nu se ˆıncadreaz˘a ˆın unul dintre cazurile prezentate se pot totu¸si compara prin reprezentare pe desen, cu condit¸ia ca diferent¸a de m˘arime s˘a fie vizibil˘a ¸si u¸sor de sesizat.

8.4

Adunarea ¸si sc˘ aderea fract¸iilor cu acela¸si numitor

Dificult˘a¸tile de ˆınsu¸sire a operat¸iilor cu fract¸ii sunt dep˘a¸site dac˘a se apeleaz˘a la ˆınv˘a¸tare intuitiv˘a, prin act¸iune ¸si se folose¸ste material concret. Elevii vor ˆınt¸elege 155

cu u¸surint¸˘a algoritmul de operare ¸si vor observa asem˘an˘arile dintre adunarea sau sc˘aderea fract¸iilor ¸si operarea cu numere naturale. Regulile de operare sunt acelea¸si: se adun˘a sau se scad unit˘a¸ti fract¸ionare de acela¸si tip. Accentul se pune pe act¸iune, figurarea prin desen fiind sugestiv˘a, observare ¸si analiz˘a, scrierea simbolic˘a avˆand rolul de a transcrie matematic act¸iunea de a pune la un loc un anumit num˘ar de p˘art¸i ale unui ˆıntreg, ˆın cazul adun˘arii, sau de a evident¸ia num˘arul de p˘art¸i r˘amase dup˘a ce s-a luat o cantitate din acestea. Se va sublinia faptul c˘a rezultatul se obt¸ine adunˆand sau sc˘azˆand num˘ar˘atorii, iar numitorul este acela¸si. Propriet˘a¸tile operat¸iilor vor rezulta prin observare ¸si analiz˘a, f˘acˆandu-se analogia cu operat¸iile cu numere naturale. Este indicat s˘a se ˆınceap˘a cu adunarea a dou˘a sau mai multe fract¸ii cu acela¸si numitor al c˘arei rezultat s˘a aib˘a num˘ar˘atorul mai mic decˆat numitorul, adic˘a s˘a se obt¸in˘a o fract¸ie subunitar˘a. Abia dup˘a un anumit num˘ar de exercit¸ii ¸si dup˘a ˆınsu¸sirea corect˘a ¸si deplin˘a a algoritmului de adunare a acestor numere, se vor face ¸si adun˘ari ale c˘aror rezultate s˘a fie fract¸ii echiunitare sau supraunitare. Un caz special ˆıl constituie adunarea unei fract¸ii cu un ˆıntreg. La fel ˆın ceea ce prive¸ste operat¸ia de sc˘adere, este indicat s˘a se lucreze mai ˆıntˆai cu fract¸ii subunitare, iar apoi cu fract¸ii supraunitare. Se pot evident¸ia ca ¸si cazuri speciale: sc˘aderea unei fract¸ii din ˆıntreg ¸si sc˘aderea fract¸iilor egale. Se va sublinia permanent c˘a num˘ ar˘ atorul sumei (diferent¸ei) a dou˘ a numere rat¸ionale reprezentate prin fract¸ii cu acela¸si numitor se obt¸ine adunˆ and (sc˘ azˆ and) num˘ ar˘ atorii fract¸iilor, iar ca numitor se scrie numitorul lor comun. Atˆat adunarea cˆat ¸si sc˘aderea fract¸iilor cu acela¸si numitor se pot introduce ¸si prin utilizarea unor probleme act¸iune simple ¸si semnificative, din viat¸a cotidian˘a a elevilor.

8.5

Aflarea unei fract¸ii dintr-un ˆıntreg

Algoritmul de calcul al unei fract¸ii dintr-un ˆıntreg parcurge dou˘a etape distincte: • calculul unei singure unit˘a¸ti fract¸ionare dintr-un ˆıntreg; • calculul unei fract¸ii oarecare dintr-un ˆıntreg, aflarea mai multor p˘art¸i la fel de mari dintr-un ˆıntreg. Specific acestui procedeu de calcul este faptul c˘a prima etap˘a este preponderent intuitiv˘a, procedeul de calcul fiind urmarea unei activit˘a¸ti practice, pe cˆand ˆın etapa a doua se apeleaz˘a la operare. Pentru aflarea unei fract¸ii dintr-un ˆıntreg, se fac dou˘a operat¸ii: • ˆımp˘art¸irea num˘arului la numitor, pentru aflarea unei singure unit˘a¸ti fract¸ionare; 156

• ˆınmult¸irea rezultatului cu num˘ar˘atorul, pentru a afla partea din num˘ar reprezentat˘a de fract¸ia respectiv˘a. Exersarea acestui algoritm de calcul se face prin rezolvarea de probleme. Dup˘a ce elevii ¸si-au ˆınsu¸sit procedeul, se poate trece la scrierea ˆıntr-o singur˘a expresie, scot¸ˆand astfel ˆın evident¸˘a caracterul unitar al acestor dou˘a operat¸ii. La aceast˘a tem˘a se pot valorifica cuno¸stint¸ele elevilor dobˆandite prin studierea m˘arimilor ¸si unit˘a¸tilor de m˘asur˘a.

157

Capitolul 9 Aspecte metodice privind predarea-ˆınv˘ a¸tarea m˘ arimilor, m˘ asur˘ arii acestora ¸si unit˘ a¸tilor de m˘ asur˘ a 9.1

Procesul de formare a reprezent˘ arilor despre m˘ arimi ¸si m˘ asur˘ a ˆın clasele primare

Formarea conceptelor fundamentale este prioritar˘a ˆın studiul matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar. ˆInsu¸sirea conceptelor st˘a la baza clasific˘arilor rat¸ionale ¸si a ˆınt¸elegerii tr˘as˘aturilor comune care determin˘a unele clasific˘ari. ˆIn funct¸ie de natura lor, conceptele pot fi de urm˘atoarele tipuri [12]: • conjunctiv : cele care au propriet˘a¸ti legate, u¸sor de distins unele de altele, u¸sor de predat ¸si ˆınv˘a¸tat; • disjunctiv : cele care au propriet˘a¸ti particulare pentru care sunt greu de stabilit echivalent¸e arbitrare ¸si se reg˘asesc sub form˘a de reguli care se aplic˘a ˆın situat¸ii asem˘an˘atoare ¸si stimuli echivalent¸i; • relat¸ional : cele care au atribute care descriu relat¸ii specifice (distant¸a, direct¸ia, timpul, masa). Aceste concepte sunt dificil de ˆınv˘a¸tat ¸si se formeaz˘a ˆıntr-un interval de timp mai mare decˆat celelalte dou˘a categorii. Atributele esent¸iale care definesc un concept ˆın procesul ˆınv˘a¸t˘arii sunt [12]: • semnificat¸ia ¸stiint¸ific˘a ¸si psihologic˘ a; 158

• structura, format˘a din propriet˘a¸ti ¸si atribute, reguli pentru unirea atributelor ¸si modele de ierarhizare a componentelor; • transferabilitatea, ˆınt¸eleas˘a ca proprietate de aplicare ˆın situat¸ii variate, diferite de cele ˆın care s-a produs ˆınv˘a¸tarea, manifestat prin capacitatea de recunoa¸stere a elementelor asem˘an˘atoare ¸si de stabilire a relat¸iilor de coordonare, subordonare sau supraordonare a diferitelor elemente structurale ale conceptului. ˆIn ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, procesul de ˆınv˘a¸tare a conceptelor legate de m˘ asur˘ a valorific˘a aceste atribute ˆın practica educat¸ional˘a din urm˘atoarele perspective: • a nivelurilor ¸si operat¸iilor parcuse ˆın procesul de formare; • a obiectivelor care stau la baza act¸iunilor de formare a conceptelor de lungime, mas˘a, volum, timp ¸si valoare; • a condit¸iilor specifice care influent¸eaz˘a procesul form˘arii acestor concepte; • a strategiilor didactice. Nivelurile la care se produce contactul copilului cu forme materializate ale unui concept (lungime, mas˘a, volum, timp, valoare) se descriu ¸si se caracterizeaz˘a astfel: • Nivelul concret ˆınlesne¸ste recunoa¸sterea de c˘atre copii a conceptului reflectat ˆın variate forme de materializare. • Nivelul identit˘a¸tii se manifest˘a prin capacitatea elevului de a realiza discriminarea unor atribute semnificative ale conceptului. • Nivelul clasificator al ˆınsu¸sirii conceptului este determinat de calitatea operat¸iilor de ordonare, ierarhizare ¸si clasificare, prin generalizarea unor propriet˘a¸ti. • Nivelul formal se dobˆande¸ste atunci cˆand au loc procese de definire ˆın termenii atributelor semnificative, cu aprofund˘ari, evalu˘ari, aplicat¸ii ¸si transferuri relevante. Capacitatea de a discrimina ¸si generaliza caracterizeaz˘a din perspectiv˘a operatorie acest nivel, pentru c˘a prin discriminare sunt identificate elementele ¸si caracteristicile definitorii ale conceptului, manifestate ¸si recunoscute ˆın situat¸ii complexe. Realizarea obiectivelor ˆınv˘a¸t˘arii necesit˘a la nivelul proiect˘arii didactice crearea premiselor ¸si a condit¸iilor pentru familiarizarea copiilor cu forme relevante de manifestare a conceptului ¸si cu atributele sale definitorii, pentru a mic¸sora progresiv reprezent˘arile eronate care pot s˘a apar˘a. Condit¸iile ˆın care se produce procesul de asimilare con¸stient˘a a conceptului de m˘arime ¸si m˘asur˘a, sunt legate de: 159

• calitatea sarcinilor de lucru este dat˘a de m˘asura ˆın care acestea solicit˘a identificare, recunoa¸stere, comparare, m˘asurare ˆın situat¸ii de ˆınv˘a¸tare motivante; • identificarea contextelor de ˆınv˘a¸tare favorabile; • precizarea modalit˘a¸tilor de validare a corectitudinii ˆınv˘a¸t˘arii conceptului; • adecvarea tehnologiei instruirii la natura restrict¸iilor impuse de vˆarsta ¸si experient¸a copiilor. Relat¸ia dintre niveluri, obiective ¸si condit¸ii presupune identificarea unei strategii de abordare a ˆınv˘a¸t˘arii ˆın care fiecare dintre cei doi parteneri profesor-elev act¸ioneaz˘a coroborat pentru realizarea scopului educat¸ional. Astfel, profesorul selecteaz˘a material didactic relevant pentru rezolvarea de sarcini de ˆınv˘a¸tare care solicit˘a recunoa¸stere ¸si identificare. Elevul particip˘a, act¸ionˆand individual la realizarea sarcinilor ¸si face diferent¸ieri ¸si clasific˘ari ale unor propriet˘a¸ti observate prin act¸iunea cu obiecte. Profesorul dirijeaz˘a observarea. Profesorul introduce terminologia ˆın cazul atributelor ¸si exemplelor utilizate, iar elevul folose¸ste terminologia. Se sintetizeaz˘a atributele conceptului, observate datorit˘a sarcinilor date. Se creeaz˘a condit¸ii pentru transferabilitate, adic˘a utilizarea conceptului ˆın contexte variate, prin activit˘a¸ti de rezolvare de probleme. Se formeaz˘a deprinderile de evaluare ¸si autoevaluare prin utilizarea unor instrumente de autocontrol a nivelului de realizare a sarcinilor, creˆandu-se astfel premise pentru realizarea unei ˆınv˘a¸t˘ari conceptuale independente ¸si eficiente. Prin adoptarea unei strategii inductive, profesorul elaboreaz˘a ¸si alege exemple care permit observarea de asem˘an˘ari ¸si deosebiri ¸si ulterioare clasific˘ari ale propriet˘a¸tilor relevante. Aceste exemple trebuie s˘a aib˘a o succesiune optim˘a ¸si s˘a ofere elevului ¸sansa de a formula sau modifica o ipotez˘a generalizatoare ˆın contactul cu un exemplu relevant sau de a descoperi el ˆınsu¸si o succesiune de exemple sau contraexemple. Focalizarea are ˆın vedere construirea de c˘atre copil a unei scheme de analiz˘a prin care se urm˘are¸ste ˆınt¸elegerea conceptului pe baza unui num˘ar minim de situat¸ii pozitive ¸si negative ¸si utilizarea unei strategii de alegere pe baza unor reguli de select¸ie a situat¸iilor de ˆınv˘a¸tare care conduc la identificarea atributelor caracteristice. Strategia didactic˘a pentru formarea reprezent˘arilor despre m˘asur˘a valorific˘a tipurile de strategii amintite anterior prin ansamblul activit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare care ofer˘a posibilit˘a¸ti de intervent¸ie ¸si modificare a situat¸iilor problem˘a, prin deplas˘ari ˆın planul motivelor, scopurilor ¸si mijloacelor de efectuare a act¸iunii de ˆınv˘a¸tare.

160

9.2

M˘ arimi ¸si m˘ asurarea m˘ arimilor

Not¸iunea de m˘arime fundamental˘ a este o not¸iune primar˘a ˆın matematic˘a, nu se define¸ste, iar ˆınt¸elegerea ei se face pe baz˘a de exemple. A m˘ asura o m˘arime oarecare ˆınseamn˘a a compara aceast˘a m˘arime cu o alta, luat˘a ca unitate de m˘asur˘a. M˘ asura reprezint˘a rezultatul trecerii de la compararea direct˘a ¸si global˘a a obiectelor, a¸sa cum apar ele ˆın percept¸ie, la aprecierea lor dup˘a rezultatele m˘asur˘arii prealabile. Cu ajutorul m˘asurii se stabile¸ste invariant¸a unei anumite m˘arimi, atunci cˆand se modific˘a numai configurat¸ia ei extern˘a. ˆInt¸elegerea m˘asur˘arii ¸si a unit˘a¸tilor de m˘asur˘a nu implic˘a introducerea imediat˘a a unit˘a¸tilor standard. Este important s˘a se realizeze m˘asur˘atori cu unit˘a¸ti nestandard pentru a forma la elev ideea de necesitate a m˘asur˘arii, a compar˘arii obiectelor pe baza unor criterii cantitative. Metoda observ˘arii are un rol important ˆın formarea reprezent˘arilor despre m˘arimi ¸si m˘asurarea lor. Propriet˘a¸tile obiectelor trebuie evaluate ¸si comparate. Observarea conduce ˆın mod natural la m˘asurare, c˘aci observarea prin comparare implic˘a m˘asurare. Pentru a putea s˘a efectueze m˘asur˘atori, elevii trebuie s˘a ˆınt¸eleag˘a procedurile de m˘asurare, trebuie s˘a ¸stie s˘a foloseasc˘a instrumentele de m˘asur˘a ¸si s˘a ˆınt¸eleag˘a conceptul de unitate de m˘asur˘a. M˘asur˘arile cer folosirea corect˘a a unor metode experimentale ¸si sisteme de ˆınregistrare. Experient¸ele practice trebuie s˘a fie corespunz˘atoare nivelului de dezvolatre a copilului, astfel ˆıncˆat conceptele implicate s˘a nu dep˘a¸seasc˘a posibilit˘a¸tile lui de ˆınt¸elegere. Experimentarea ca metod˘a aplicat˘a ˆın clas˘a impune: • necesitatea ˆınt¸elegerii sarcinii de lucru; • familiarizarea cu materialul didactic; • ˆınt¸elegerea terminologiei; • ˆınt¸elegerea problemei sau ipotezei; • investigarea pentru a confirma ipoteza; • ˆınregistrarea datelor ¸si interpretarea lor. ˆInregistrarea datelor ¸si interpretarea lor este o operat¸ie fundamental˘a ˆın m˘asurare. Elevii ˆınvat¸˘a s˘a m˘asoare ¸si s˘a consemneze datele, dar nu li se pare necesar˘a analiza rezultatelor. Ei trebuie dirijat¸i spre interpretarea acestor rezultate ¸si verbalizarea constat˘arilor f˘acute. Toate situat¸iile de ˆınv˘a¸tare create cu scopul ˆınsu¸sirii conceptelor de m˘arime, m˘surare, unitate de m˘asur˘a trebuie s˘a aib˘a un profund caracter practic-aplicativ. 161

Aceste activit˘a¸ti vor forma deprinderi practice utile ˆın viat¸˘a, cˆand omul este mereu solicitat s˘a fac˘a diverse m˘asur˘atori, aprecieri, estim˘ari ale unor m˘arimi, programarea ˆın timp a unor act¸iuni. Studiul m˘arimilor ¸si unit˘a¸tilor de m˘asur˘a are ca obiective principale: • Intuirea m˘arimii fizice, recunoa¸sterea acesteia ca ˆınsu¸sire a anumitor obiecte (lungime, mas˘a, capacitate, valoare); • M˘asurarea m˘arimilor utilizˆand unit˘a¸ti de m˘asur˘a nestandard; • ˆInt¸elegerea necesit˘a¸tii unit˘a¸tilor de m˘asur˘a standard; • Utilizarea instrumentelor de m˘asur˘a pentru a face m˘asur˘atori; • Dezvoltarea capacit˘a¸tii de a face aprecieri ¸si estim˘ari asupra gradului de m˘arime ¸si verificarea lor prin m˘asurare; • Consemnarea ¸si interpretarea datelor obt¸inute ˆın urma activit˘a¸tilor practice de m˘asurare; • Utilizarea m˘arimilor ¸si unit˘a¸tilor de m˘asur˘a ˆın rezolvarea de probleme.

9.2.1

M˘ asurarea lungimii

Pentru ˆınt¸elegerea conceptului de lungime ¸si m˘asur˘a a ei, se cere ca situat¸iile de ˆınv˘a¸tare s˘a aib˘a un pronunt¸at caracter intuitiv ¸si participativ. ˆIn clasa I, conceptul de lungime se pred˘a prin activit˘a¸ti practice. Se observ˘a la mai multe obiecte o proprietate comun˘a, lungimea. Compararea lungimilor obiectelor este necesar˘a ¸si se poate realiza prin m˘asurare cu unit˘a¸ti nestandard: creionul, palma, talpa, pasul, panglica, etc. Scopul este de a crea deprinderi practice de m˘asurare, ˆınregistrare a datelor, utilizarea unui limbaj corect. ˆIn clasele mai mari, elevii fac cuno¸stint¸˘a cu unitatea standard de m˘asur˘a a lungimii, metrul. Este important ca elevii s˘a ˆınt¸eleag˘a necesitatea existent¸ei unei unit˘a¸ti standard. Profesorul prezint˘a elevilor diverse instrumente de m˘asur˘a pentru lungime ¸si ˆıi ˆınvat¸˘a s˘a le utilizeze. ˆIn clasa a III-a se introduc multiplii ¸si submultiplii metrului, iar ˆın clasa a IV-a se fac ¸si transform˘ari ale acestora, pe baza dependent¸ei dintre ace¸stia. Elevii vor con¸stientiza faptul c˘a multiplii ¸si submultiplii au ap˘arut din necesit˘a¸ti practice. Cele studiate se aplic˘a ˆın rezolvarea de probleme.

162

9.2.2

M˘ asurarea capacit˘ a¸tii vaselor

ˆIn formarea conceptului de capacitate, vor fi parcurse urm˘atoarele etape: • compararea ¸si sortarea vaselor prin m˘asurare direct˘a; • m˘asurarea volumului diferitelor vase de aceea¸si m˘arime dar de form˘a diferit˘a; • introducerea unit˘a¸tii pentru m˘asurarea capacit˘a¸tii: litrul; • introducerea multiplilor ¸si submultiplilor litrului; • aplicarea unit˘a¸tilor de m˘asur˘a pentru capacitate ˆın rezolvarea de probleme.

9.2.3

M˘ asurarea masei corpurilor

Primele reprezent˘ari despre mas˘a se dobˆandesc prin mˆanuirea direct˘a a obiectelor, punˆand accent pe ˆınt¸elegerea clar˘a a not¸iunilor de mai greu ¸si mai u¸sor. Elevul controleaz˘a calitatea propriei percept¸ii prin cˆant˘arire cu ajutorul balant¸ei. Leg˘atura ˆıntre masele a dou˘a corpuri prin observarea comport˘arii balant¸ei este o experient¸˘a de ˆınv˘a¸tare semnificativ˘a. O alt˘a experient¸˘a important˘a este de a observa ce se ˆıntˆampl˘a dac˘a dou˘a corpuri de mase egale sunt plasate pe cˆate un taler al balant¸ei. La clasele a II-a ¸si a III-a, o succesiune a activit˘a¸tilor de ˆınv˘a¸tare poate cuprinde urm˘atoarele etape: • Utilizarea balant¸ei ¸si a terminologiei cu scopul ˆıncuraj˘arii elevilor de a compara masele a dou˘a obiecte. Mai ˆıntˆai obiectele se compar˘a prin a le ¸tine pe fiecare ˆıntr-o mˆan˘a, iar apoi se face leg˘atura cu ce se ˆıntˆampl˘a cu brat¸ele balant¸ei cˆand se a¸seaz˘a fiecare obiect pe cˆate un taler. • Cˆ ant˘arirea corpurilor ¸si ordonarea valorilor care reprezint˘ a masele acestora. Aceast˘a activitate impune pentru ˆınceput compararea obiectelor unul cˆate unul. ˆ • Inregistrarea rezultatelor m˘asur˘ atorilor se face simultan cu act¸iunea ¸si se verbalizeaz˘a act¸iunile efectuate. Elevii vor interpreta rezultatele obt¸inute prin m˘asurare. Evaluarea activit˘a¸tii practice va avea drept criterii calitatea act¸iunilor ˆıntreprinse, calitatea ˆınregistr˘arilor ¸si a interpret˘arii datelor. Pentru formarea ideii de conservare a masei, se poate face urm˘atorul experiment [14]: se dau elevilor dou˘a mingi egale din plastilin˘a pentru a le m˘asura. Una dintre ele se modeleaz˘a apoi sub form˘a de disc. Se constat˘a c˘a elevii ajung 163

la concluzia eronat˘a c˘a discul va cˆant˘ari mai mult. Prin cˆant˘arirea direct˘a cu balant¸a, copiii devin con¸stient¸i de falsitatea percept¸iei init¸iale. React¸iile elevilor ˆın ceea ce prive¸ste conservarea masei este diferit˘a pentru substant¸e continue, cum este plastilina, respectiv discontinue: semint¸e, pietricele. Copiii ˆınt¸eleg mai ˆıntˆai conservarea pe obiecte discontinue. Pentru ˆınceput, pentru cˆant˘arire se vor folosi unit˘a¸ti nestandard: obiecte care au toate aceea¸si mas˘a. ˆIn ceea ce prive¸ste leg˘atura dintre mas˘a ¸si volum, se va desprinde ideea c˘a nu toate obiectele de volum mare au ˆın mod necesar masa cea mai mare. Unitatea standard pentru m˘asurarea masei, kilogramul, se introduce ˆın clasa a II-a, insistˆandu-se asupra necesit˘a¸tii existent¸ei unei unit˘a¸ti unice. Submultiplii ¸si multiplii kilogramului se studiaz˘a ˆın clasa a III-a, iar ˆın clasa a IV-a se fac ¸si transform˘ari simple. Cele ˆınsu¸site despre mas˘a ¸si unit˘a¸tile de m˘asur˘a se aplic˘a ˆın activitatea de rezolvare de probleme.

9.2.4

M˘ asurarea timpului

Conceptul de timp, aceast˘a m˘arime cu totul abstract˘a ˆın raport cu celelalte studiate, ridic˘a probleme metodice deosebite profesorului, ¸tinˆand cont ¸si de faptul c˘a unit˘a¸tile de m˘asur˘a pentru timp, cu except¸ia deceniului, secolului ¸si mileniului, nu au la baz˘a sistemul zecimal de numerat¸ie. Se vor utiliza cuno¸stint¸ele pe care elevii le au deja din propria experient¸˘a ¸si se va ¸tine seama de caracterul practic al acestor cuno¸stint¸e. Ora ¸si ziua se introduc f˘acˆandu-se referire la programul zilnic al copiilor. O lect¸ie dureaz˘a o or˘a, o zi este de la r˘as˘aritul soarelui pˆan˘a la urm˘atorul r˘as˘arit ¸si o zi are 24 ore, s˘apt˘amˆana are 7 zile. ˆIn general, se studiaz˘a unit˘a¸tile grupate astfel: unit˘a¸ti mai mici decˆat o zi, respectiv unit˘a¸ti mai mari decˆat o zi. Introducerea not¸iunii de timp se poate face pe baza unor exercit¸ii ¸si jocuri diactice destinate ˆınt¸elegerii ideii de succesiune a timpului. Astfel se vor introduce not¸iuni ca anotimp, lun˘a, an ¸si citirea ¸si construirea calendarului. Recunoa¸sterea orelor pe ceas ¸si apoi a orelor ¸si minutelor este un alt obiectiv urm˘arit prin activit˘a¸tile practice, care se atinge prin exercit¸ii de tipul: citirea orei pe ceas, fixarea ceasului la o anumit˘a or˘a dat˘a, observarea modului de mi¸scare a limbilor acestuia. Se introduc ¸si submultiplii orei: minutul ¸si secunda, cu relat¸iile de dependent¸˘a respective. Continuitatea ˆın curgerea timpului se subliniaz˘a prin not¸iunile de trecut, prezent ¸si viitor, evident¸iindu-se prin exemple de activit˘a¸ti care s-au petrecut ieri, se petrec azi sau se vor petrece mˆaine.

164

9.2.5

Valoarea. Unit˘ a¸ti de m˘ asur˘ a a valorii

Conceptul de valoare se studiaz˘a plecˆand de la procesul intuitiv de cunoa¸stere a banilor sub form˘a de bancnote ¸si monede. Banul, sub diferitele sale forme ¸si valori, reprezint˘a un echivalent general al tuturor m˘arfurilor, un instrument general de schimb, un raport valoric, un etalon al pret¸urilor. Elevii vor fi ˆınv˘a¸tat¸i c˘a moneda nat¸ional˘a ˆın Romˆania este leul, iar banul este submultiplul acestuia, 1 leu avˆand 100 bani. Li se vor prezenta ¸si alte monede, dintre care euro, fiind moneda din Comunitatea European˘a care va fi adoptat˘a ¸si ˆın ¸tara noastr˘a ˆın viitor. Primele not¸iuni despre valoare se vor introduce prin joc didactic, la cump˘ar˘aturi, ¸si prin probleme dup˘a imagini. Conceptul de pret¸ sau valoare a lucrurilor, trebuie dedus ¸si ˆınt¸eles de elevi din analiza unor produse sau obiecte cunoscute de ace¸stia, ˆımpreun˘a cu exprimarea: mai scump, mai ieftin. Elevii vor fi dirijat¸i, prin jocuri didactice sau conversat¸ie care face apel la experient¸a lor, s˘a intuiasc˘a sub o form˘a elementar˘a funct¸iile banilor : • mijloc de circulat¸ie a bunurilor materiale: valoarea m˘arfurilor este exprimat˘a ˆıntr-o sum˘a corespunz˘atoare ˆın lei; • mijloc de plat˘a : pentru munca prestat˘a, impozite, recompense; • acumulare de economii: depozite bancare. ˆIn lect¸iile referitoare la valoare ¸si unit˘a¸tile ei de m˘asur˘a se vor prezenta elevilor principalele bancnote utilizate, cum se pot recunoa¸ste, caracteristici, monedele ¸si caracteristicile lor, precum ¸si valori nominale ale altor ¸t˘ari, eventual comparare valoric˘a ¸si echivalent¸e.

165

Capitolul 10 Predarea-ˆınv˘ a¸tarea elementelor de geometrie ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar 10.1

Specificul form˘ arii not¸iunilor geometrice

Din punct de vedere instructiv, studiul geometriei ˆın clasele I-IV urm˘are¸ste formarea unui ansamblu coerent ¸si bine structurat de deprinderi de explorare a figurilor ¸si corpurilor geometrice, care s˘a permit˘a desprinderea, prin ˆınv˘a¸tare inductiv˘a, a propriet˘a¸tilor acestora, utilizarea m˘asur˘arii pentru stabilirea unor m˘arimi ¸si distant¸e, formarea ¸si dezvoltarea reprezent˘arilor spat¸iale, calcularea unor lungimi ¸si perimetre. ˆIn ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, prin predarea geometriri se urm˘are¸ste formarea deprinderilor de observat¸ie ¸si descriere a figurilor ¸si corpurilor geometrice. Activitatea de observare ¸si de cercetare experimental˘a a realit˘a¸tii determin˘a formarea la elevi de reprezent˘ari active de suporturi imaginative ˆın plan spat¸ial, foarte necesare ˆın ˆınsu¸sirea ulterioar˘a a cuno¸stint¸elor de geometrie ¸si ˆın aplicarea acestora. ˆIn plus, prin ˆınsu¸si specificul lor, lect¸iile de geometrie angajeaz˘a elevii ˆıntr-o activitate intens˘a, prin care li se cere s˘a observe, s˘a descrie, s˘a construiasc˘a, s˘a fac˘a m˘asur˘atori, s˘a calculeze, s˘a rezolve probleme. Studiul geometriei trebuie s˘a ˆınceap˘a cu procese intuitive, pe cale inductiv˘a, cercetare direct˘a prin v˘az, pip˘ait, manipularea de obiecte din realitatea ˆınconjur˘atoare, obiecte plasate ˆın diverse pozit¸ii ˆın vederea descoperirii caracteristicilor comune care contureaz˘a imaginea geometric˘a. Aceste imagini se concretizeaz˘a apoi prin modele geometrice ¸si prin desen. Not¸iunile primare de geometrie predate ˆın ciclul primar nu pot fi ˆınsu¸site de elevi ca abstract¸ii depline. Elevii vor ajunge treptat la stadiul ˆınt¸elegerii not¸iunilor

166

geometrice, dup˘a ce vor m˘asura, vor decupa ¸si compara anumite figuri geometrice. Raportul dintre intuitiv ¸si logic depinde de structura problemei de geometrie, de nivelul de cunoa¸stere al rezolvitorului. Metodica pred˘arii geometriei se axeaz˘a pe ˆınt¸elegerea not¸iunilor fundamentale, pe operat¸iile gˆandirii, pe complexul cognitiv, dar ˆıntr-o foarte mare m˘asur˘a ¸si pe cel afectiv. Mijloacele prin care profesorul poate dezvolta la elevii s˘ai interesul pentru studiul geometriei ar putea fi: • accentuarea acelor tr˘as˘aturi mai importante, esent¸iale, specifice fiec˘arei not¸iuni geometrice; • dezvoltarea acelor tendint¸e naturale ale copiilor care sunt favorabile ˆınsu¸sirii geometriei; • atragerea copiilor spre geometrie, prin utilizarea unor metode ¸si mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant cˆat mai atractive. Formarea unei atitudini active ˆın studiul geometriei se sprijin˘a pe tendint¸a natural˘a a copiilor de a fi activi, de a participa ˆın mod concret prin folosirea instrumentelor de geometrie, prin efectuarea unor m˘asur˘atori, decup˘ari de figuri geometrice, etc. Principiul fundamental care st˘a la baza metodicii pred˘arii-ˆınv˘a¸t˘arii geometriei este acela de a-l pune pe elev ˆın fat¸a problemei, nu de a-i furniza direct solut¸ia, ci de a-l face pe el s˘a o caute ¸si s˘a o descopere. Tensiunea c˘aut˘arii, emot¸ia descoperirii solut¸iei, constituie fenomenul psihologic fundamental pe care ˆıl tr˘aie¸ste elevul ˆın fat¸a geometriei. Procedeul de formare a not¸iunilor geometrice parcurge mai multe faze [12]: • Intuirea obiectelor din mediul ˆınconjur˘ator care evident¸iaz˘a materializat not¸iunea geometric˘a, cu dirijarea atent¸iei elevilor spre ceea ce intereseaz˘a a fi observat. • Analizarea prin / ¸si compararea propriet˘a¸tilor intuite anterior, pe material didactic. • Reprezentarea prin desen (nivel iconic) a not¸iunii intuite ¸si materializate didactic indicˆand elementele componente observate, notˆand, evident¸iind propriet˘a¸ti caracteristice. • Descrierea prin propriet˘a¸ti caracteristice a figurilor ¸si corpurilor geometrice. • Identificarea not¸iunii (figuri geometrice ¸si corpuri) ¸si ˆın alte obiecte din mediul ˆınconjur˘ator.

167

• Construirea materializat˘a a not¸iunii (figurii) folosind instrumente geometrice (sau prin pliere, suprapunere, decupare). • Efectuarea unor operat¸ii de clasificare dup˘a form˘a ¸si / sau alte propriet˘a¸ti utilizˆand metode variate. • Rezolvarea unor exercit¸ii ¸si probleme cu cont¸inut geometric ˆın combinat¸ie cu metoda figurativ˘a, cu probleme de m˘asurare ¸si utilizare a unit˘a¸tilor de m˘asur˘a pentru lungime sau de realizare a transferului de strategie rezolutiv˘a la probleme mai put¸in cunoscute, ˆın situat¸ii geometrice noi. ˆIn ciclul primar se realizeaz˘a primele faze ale procesului ¸si se formeaz˘a deprinderi de observare, identificare, descriere, recunoa¸stere, desenare sau clasificare. Aceste deprinderi se formeaz˘a prin ˆınv˘a¸tare exploratorie de tip inductiv ¸si sunt puse ˆın valoare prin utilizarea unui material didactic adecvat.

10.2

Cerint¸e metodice ˆın predarea elementelor de geometrie

Lect¸iile de geometrie din ciclul primar se vor realiza ˆın prima etap˘a de studiu pe baza lucrului cu obiecte, cu material didactic atractiv ¸si sugestiv, cu figuri geometrice plane, toate realizate ca machete ce reprezint˘a corpul geometric ca ˆın realitate. Treptat, aceea¸si figur˘a va fi reprezentat˘a prin bet¸i¸soare, vergele, cu ajutorul c˘arora se vor pune ˆın evident¸˘a laturile, diagonalele, unghiurile ¸si relat¸iile dintre ele ¸si numai dup˘a aceea se va trece la desenul propriu-zis al figurii, respectiv corpului geometric. Desenul va fi ˆıntˆai explicat, astfel ˆıncˆat fiecare segment trasat s˘a ˆı¸si g˘aseasc˘a corespondentul ˆın modelul real al˘aturat. Elevii nu trebuie s˘a r˘amˆan˘a la faza imaginilor vizuale, ci, pe m˘asura dezvolt˘arii gˆandirii, s˘a ajung˘a la abstractiz˘ari ¸si generaliz˘ari, continuˆandu-se procesul cu utilizarea rat¸ionamentului deductiv. Predarea-ˆınv˘a¸tarea geometriei ˆın ciclul primar impune cˆateva condit¸ii [13]. 1. Elevii nu vor ˆınv˘a¸ta definit¸iile pe de rost. Definit¸iile ¸si propriet˘a¸tile figurilor geometrice se vor deduce din analizarea modelelelor. ˆIn unele cazuri elevii fac mai ˆıntˆai cuno¸stint¸˘a cu not¸iunea specie (de exemplu dreptunghiul) ¸si dup˘a aceea cu not¸iunea gen (paralelogramul). De aceea nu se va putea da ˆıntotdeauna definit¸ia riguroas˘a, cu ajutorul genului proxim ¸si diferent¸ei specifice. 2. ˆIn studiul figurilor geometrice, profesorul va folosi activitatea individual˘ a a elevilor, sugestiile ¸si ideile lor. Elevii vor construi figura, vor descrie elementele 168

corespunz˘atoare, iar profesorul le va prezenta cazuri varate, pozit¸ii variate ¸si nu se va rezuma la studierea unui singur caz particular. 3. Toate observat¸iile ¸si concluziile vor avea la baz˘a intuit¸ia ¸si experient¸a elevilor, rat¸ionamentul de tip analogic, inductiv ¸si deductiv. 4. Primul element logic pe care ˆıl vor ˆıntˆalni elevii ˆın studiul geometriei este definit¸ia. Elevii vor fi ˆındrumat¸i s˘a disting˘a acele propriet˘a¸ti esent¸iale ale obiectelorcare constituie elemente structurale ale definit¸iei unei not¸iuni geometrice. Se vor avea ˆın vedere acele elemente care exprim˘a genul proxim ¸si apoi elementele care precizeaz˘a diferent¸a specific˘a. 5. Prin lect¸iile de geometrie se va urm˘ari ca un num˘ar cˆat mai mare de cuno¸stint¸e s˘a poat˘a fi folosite ˆın activitatea urm˘atoare la geometrie, dar ¸si la alte discipline cuprinse ˆın noul curriculum ¸scolar. Se va avea ˆın vedere ca elevii: • s˘a defineasc˘a corect o anumit˘a figur˘a geometric˘a; • s˘a formuleze corect propriet˘a¸tile unei figuri geometrice; • s˘a deosebeasc˘a figurile geometrice ˆıntre ele, pe baza propriet˘a¸tilor studiate; • s˘a stabileasc˘a asem˘an˘arile ¸si deosebirile dintre figurile geometrice studiate prin activit˘a¸ti proprii, conduse de profesor. Elevii vor fi ˆındrumat¸i s˘a disting˘a notele esent¸iale ale obiectelor, s˘a con¸stientizeze definit¸ia fiec˘arei figuri geometrice studiate ¸si s˘a disting˘a propriet˘a¸tile specifice uneia sau alteia. Strˆ nsa leg˘atur˘a ˆıntre intuitiv ¸si logic ˆın predarea-ˆınv˘a¸tarea geometriei, determin˘a necesitatea folosirii ˆın cadrul lect¸iilor, a unor materiale didactice sau mijloace de ˆınv˘a¸t˘amˆant adecvate: plan¸se, desene executate cˆat mai atractiv, modele confect¸ionate din diferite materiale, trusa de figuri geometrice, trusa de corpuri geometrice, instrumentele de geometrie, etc. Se impun cˆateva condit¸ii esent¸iale pentru garantarea succesului utiliz˘arii acestor materiale didactice: • materialul didactic confect¸ionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi v˘azut din orice punct al clasei, precum ¸si o construct¸ie clar˘a, satisf˘acˆand atˆat criteriile estetice, cˆat ¸si pe cele ¸stiint¸ifice; • materialul didactic trebuie s˘a fie expresia fidel˘a a ceea ce trebuie s˘a reprezinte, s˘a contribuie la facilitarea transpunerii ˆın desen a figurii geometrice 169

studiate, a elementelor sale ¸si a relat¸iilor de m˘arime, paralelism, eventual de perpendicularitate ce exist˘a ˆıntre ele; • materialul didactic trebuie s˘a se adreseze elevilor ˆın funct¸ie de particularit˘a¸tile lor de vˆarst˘a. ˆIn nici un caz abundent¸a de material didactic determin˘a succesul unei lect¸iide geometrie, ci competent¸a profesorului ˆın alegerea acelui material adecvat, care s˘a asigure ˆınsu¸sirea inductiv˘a a cuno¸stint¸elor.

10.3

Metode ¸si procedee ˆın predarea-ˆınv˘ a¸tarea not¸iunilor de geometrie

Metodele prin care elevii sunt condu¸si ca, prin efort propriu, s˘a ajung˘a la descoperirea unor caracteristici geometrice ale figurilor ¸si corpurilor geometrice, sunt problematizarea ¸si ˆınv˘a¸tarea prin descoperire. ˆIn ˆınv˘a¸tarea prin descoperire sunt create condit¸iile pentru ca elevii s˘a descopere propriet˘a¸ti ale formelor geometrice pornind de la relat¸ia care se stabile¸ste ˆıntre cuno¸stint¸ele anterioare ¸si cele noi prin [12]: • descoperirea inductiv˘a : pe baza unor date ¸si cuno¸stint¸e particulare sunt dobˆandite cuno¸stint¸e ¸si se efectueaz˘a operat¸ii cu un grad mai ˆınalt de generalitate; • descoperirea deductiv˘a : pe baza unor date ¸si cuno¸stint¸e generale sunt dobˆandite cuno¸stint¸e care conduc la concluzii particulare; • descoperirea transductiv˘a : prin stabilirea unor relat¸ii analogice ˆıntre diverse serii de date. ˆIn ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, ˆın predarea elementelor de geometrie este mai accesibil˘a elevilor descoperirea inductiv˘a. Cea mai eficient˘a modalitate de ˆınt¸elegere a unui fapt geometric, a unei propriet˘a¸ti este prin descoperirea acesteia prin efort propriu. Prin observarea figurilor, elevul descoper˘a o proprietate pe care o ˆınt¸elege ¸si o ret¸ine mai u¸sor decˆat dac˘a aceasta i-ar fi semnalat˘a doar de profesor. Materialul didactic este esent¸ial pentru ca elevii s˘a poat˘a observa propriet˘a¸ti geometrice, iar m˘asurarea ˆıi ajut˘a ˆın justificarea observat¸iilor f˘acute. Materialul didactic va fi explorat utilizˆand problematizarea pentru a dezvolta la elev gˆandirea independent˘a productiv˘a, scheme operatorii, ¸si pentru a asigura motivat¸ia intrinsec˘a a ˆınv˘a¸t˘arii. Situat¸ia problem˘a reprezint˘a o sarcin˘a cu caracter de noutate, prin a c˘arei rezolvare ˆı¸si ˆınsu¸se¸ste noi cuno¸stint¸e. 170

Metoda ˆınv˘a¸t˘arii prin descoperire poate fi folosit˘a cu succes ¸si ˆın rezolvarea problemelor de geometrie. Dintre metodele intuitive, bazate pe observarea direct˘a, concret senzorial˘a a obiectelor ¸si fenomenelor realit˘a¸tii sau a substitutelor acestora sunt observat¸ia ¸si demonstrat¸ia. Observat¸ia, ca metod˘a, asigur˘a baza intuitiv˘a a cunoa¸sterii, permite formarea de reprezent˘ari clare despre obiecte ¸si ˆınsu¸sirile caracteristice ale acestora. Aceast˘a metod˘a se folose¸ste ˆınsot¸it˘a de explicat¸ie, ultima fiind elementul de dirijare a observat¸iei spre scopul propus. ˆIn cadrul lect¸iilor cu cont¸inut geometric, elevii trebuie dirijat¸i ca prin observare s˘a identifice propriet˘a¸ti ale unor corpuri, s˘a observe ¸si s˘a descrie propriet˘a¸ti simple ale unor figuri geometrice. Evolut¸ia de la o clas˘a la alta a conceptelor referitoare la figuri ¸si corpuri geometrice nu ˆınseamn˘a neap˘arat o ad˘augare de cont¸inuturi, ci o adˆancire a nivelului de analiz˘a a propriet˘a¸tilor figurilor ¸si corpurilor respective, realizat˘a de c˘atre elev prin act¸iunea direct˘a asupra materialului didactic. ˆIn procesul pred˘arii-ˆınv˘a¸t˘arii elementelor de geometrie este indicat ca metodele didactice s˘a se ˆımpleteasc˘a original ¸si diferent¸iat ˆın cadrul desf˘a¸sur˘arii lect¸iei, astfel ˆıncˆat elevii s˘a fie permanent implicat¸i cognitiv ¸si afectiv ¸si s˘a li se stimuleze potent¸ialul individual creativ pentru matematic˘a.

171

Bibliografie [1] Alexandru, Gh., C˘alug˘aru, L., Sˆarbu, M.A. Predarea elementelor de geometrie ˆın ciclul primar, Editura ”Gheorghe Alexandru”, Craiova, 1996 [2] Ana, D., Logel, D., Ana, M.L., Stroescu-Logel, E. Metodica pred˘ arii matematicii la clasele I-IV, Editura Carminis, Pite¸sti, 2005 [3] Aron, I. Metodica pred˘arii aritmeticii la clasele I-IV, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1977 [4] Aron, I., Herescu I.Gh. Aritmetic˘ a pentru ˆınv˘ a¸t˘ atori, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1977 [5] Briand, J., Chevalier, M.C. Les enjeux didactiques dans l’enseignement des math´ematiques, Editura Hatier, Paris, 1995 [6] Bulboac˘a, M., Perta, D.L., Chit¸u, L.E., Gabor, L.D., Stˆarciogeanu, D.F. Metodica pred˘arii matematicii / activit˘ a¸tilor matematice, Editura Nedion, Bucure¸sti, 2007 [7] Cret¸u, D. Psihopedagogie, elemente de formare a profesorilor, Editura Imago, Sibiu, 1999 [8] Dienes, Z.P. Abstraction and Generalization: Examples Using Finite Geometries J. Higgins (Ed.) Cognitive Psychology and the Mathematics Laboratory, Columbus, OH. ERIC/SMEAC, 1975 [9] Ionescu, M., Chi¸s, V. Strategii de predare ¸si ˆınv˘ a¸tare, Editura S¸tiint¸ific˘a, Bucure¸sti, 1992 [10] Magda¸s, I., V˘alcan, D. Didactica matematicii ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar ¸si pre¸scolar, Casa C˘art¸ii de S¸tiint¸˘a, Cluj-Napoca, 2007 ˆ [11] Mucica, T. Indrum˘ ator metodic pentru folosirea mijloacelor de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1982

172

[12] Neagu, M., Streinu-Cercel, G., Eriksen, E.I., Eriksen, E.B., Nedit¸˘a, N. Metodica pred˘arii matematicii / activit˘ a¸tilor matematice, Editura Nedion, Bucure¸sti, 2006 [13] Neac¸su, I., G˘aleteanu, M., Predoi, P. Didactica matematicii ˆın ˆınv˘ a¸t˘ amˆ antul primar, Editura Aius, Craiova, 2001 [14] Neac¸su, I., Dasc˘alu, Gh., Ro¸su, M., Radu, H., Roman, M., T˘agˆırt¸˘a, V., Zafiu, Gh. Metodica pred˘arii matematicii la clasele I-IV, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1988 [15] Noveanu, E., Ionescu-Zanetti, A., Mihalca, D., Preoteasa, D. Modele de instruire formativ˘a la disciplinele fundamentale de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1983 [16] Rusu, E. Aritmetica, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1967 [17] Rusu, E., Psihologia activit˘ a¸tii matematice, Editura S¸tiint¸ific˘a, Bucure¸sti, 1969 [18] St˘ancioiu-Jipa, F., St˘ancioiu Gh. Metodica pred˘ arii matematicii ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆantul primar, Editura Fundat¸iei Humanitas, 2001 [19] Streefland, L., Realistic mathematics education in primary school, Editura CD - β Press, Utrecht, 1991 ˆ a¸t˘amˆantul matematic ˆın lumea contemporan˘ [20] Inv˘ a, Caiete de pedagogie modern˘a nr. 3, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1971 [21] Anexa 1 la OMECT nr. 4686 / 05.08.2003 Planul - cadru de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant pentru clasele I - a II-a [22] Anexa 1.1 la OMEC nr. 5198 / 01.11.2004 Planul - cadru de ˆınv˘ a¸t˘ amˆ ant pentru clasele a III-a - a IV-a [23] Anexa 5 OMECT 4686 / 05.08.2003 Programa ¸solar˘ a de matematic˘ a pentru clasele I - a II-a [24] Anexa 3 OMEC 5198 / 01.11.2004 Programa ¸solar˘ a de matematic˘ a pentru clasa a III-a [25] Anexa 2 OMEC 3919 / 20.04.2005 Programa ¸solar˘ a de matematic˘ a pentru clasa a IV-a

173