Metode de Numarare PDF [PDF]

Zitiervorschau

Metode de numărare. Permutări, aranjamente, combinări Fie mulţimea cu „ n ”elemente

A  {a1 , a2 ,....an }

Definţie: Se numeşte permutare a unei mulţimi finite A , orice relaţie de ordine care se formează între elementele acestei mulţimi. Notăm cu Pn numărul permutărilor elementelor mulţimii A. notat

Pn  1 2  3  ...  n  n!

,

0!  1

Definţie : Se numesc „aranjamente de n luate câte k ” , submulţimile ordonate cu k elemente diferite ale mulţimii A. Notăm cu Ank aranjamentele de n luate câte k.

Ank 

n! , 0  k  n, n, k   n  k !

.

Definţie :Se numesc „combinări de n luate câte k ” submulţimile de k elemente diferite alese din A Notăm cu

Cnk combinările de n luate câte k. Cnk 

n! , 0  k  n, n, k  . k ! n  k !

Aplicaţii : 1. Câte moduri se pot aranja 6 creioane colorate diferit într-o cutie? Rezolvare: 6!  1 2  3  4  5  6  720 2. Câte numere de 4 cifre distincte se pot forma cu elementele mulţimii B  0,1,2,3 ? Rezolvare: 4! 3!  24  6  18 3. Calculaţi: a)

( n  2)( n 3) 1 1 1 1 (n  2)(n  3) 1 n2  5n  5      (n  3)! (n  3)!  n  1!  n  3! (n  1)! (n  1)!(n  2)(n  3)

b)

A74 

7! 7!   4  5  6  7  840 (7  4)! 3!

c)

C1510 

15! 15! 10!1112 13 14 15 1112 13 14 15    (15  10)!10! 5!10! 5!10! 5!

4. Câte numere de 4 cifre diferite se pot forma cu elementele mulţimii M  1,2,3,5,6,8 ? Rezolvare: A64 

6! 6!   5  6  7  210 (6  4)! 3!

prof.Cialâcu Ionel

5. Câte submulţimi de 4 elemente diferite se pot forma cu elementele mulţimii M  1,2,3,5,6,8 ? Rezolvare: C64 

6! 6! 567    105 (6  4)! 2! 3! 2! 2

Cn4 7  Cn2 2

6. Să se determine numărul n  N pentru care : Rezolvare:

Cn4 

n! (n  4)! 4!

După înlocuire şi reducerea lui

;

Cn2 

n! , (n  2)! 2!

rezultă :

(n  2)! 2 7  (n  4)! 24 2

cu soluţiile Proprietăţi: 1) Cn  Cn  1 0

n

k

 Cnnk (formula combinărilor complementare)

k

 Cnk1  Cnk11 (formula de recurenţă pentru combinări)

2) Cn

3) Cn

0 1 2 n n C  C  C  ....  C  2 n n n n 4)

(numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente )

Binomul lui Newton Fie a, b  R, n  N * . Atunci

(a  b)n  Cn0an  Cn1an1b  ....  Cnk ank bk  .....  Cnna0bn Exemplu: (a  b)5  a5  5a 4b  10a3b 2  10a 2b3  5ab4  b5 . Termenul general al dezvoltării este Tk 1  Cn a b k

k

nk

Observaţii : 1) Coeficienţii binomiali ai dezvoltării sunt Cn0, Cn1, Cn2, …, Cnn care pot fi diferiţi de coeficienţii dezvoltării datorită constantelor ce apar în exprimarea lui a sau b. 2) Pentru binoamele de forma (a  b)n termenul general este Tk 1  (1)k Cnk ak bnk 3) Suma coeficienţilor binomiali este : Cn  Cn  Cn  .... Cn  2 . 0

1

2

4) Suma coeficienţilor binomiali de rang par (impar)este :

Cn0  Cn2  Cn4  ....  Cn1  Cn3  Cn5  ....  2n1 prof.Cialâcu Ionel

n

n

Aplicaţii : 1) Să se dezvolte: (2a-1) 5. Rezolvare: (2a-1)5= C50 (2a)5  C51 (2a)4 (1)1  C52 (2a)3 (1)2  C53 (2a)2 (1)3  C54 (2a)1 (1)4  C55 (1)5 =32a5-80a4+80a3-40a2+10a-1 2) Să se determine: a) termenul al patrulea al dezvoltării (a+3b)4; b) termenul din mijloc al dezvoltării ( x x  x3 )12 . Rezolvare: a) T4=T3+1=C43a(3b)3=108ab3; b) Termenul din mijloc al dezvoltării este T7=T6+1= C126 ( x x )6 ( x3 )6 = C126 x 27 . 3) Să se determine termenul: a) care conţine a7 în dezvoltarea ( a  24 a )20 ; 1 15 b) care nu conţine x în dezvoltarea (3x 2  ) . 4 x2 Rezolvare: k 20

a) Tk+1= C ( a )

20k

4

k

k 15

(2 a ) = C a

40k 4

2k şi deci

40  k  7 ecuaţie în k care are 4

soluţia

k=12.Termenul care conţine a7 este T13. 605 k 60  5k 1 k b) Tk+1= C15k (3x 2 )15k ( = C15k 315k x 2 . Rezultă =0. Deci k=12. Termenul ) 4 2 2 x căutat este T13. 4) Să se determine n şi x ştiind că suma coeficienţilor binomiali de rang par ai dezvoltării ( x  xlg x )n este 16, iar termenul al treilea al dezvoltării este egal cu 1 000 000. Rezolvare: Suma coeficienţilor binomiali de rang par ai dezvoltării ( x  xlg x )n este egală cu 2n-1 şi deci 2n-1=16. Rezultă n=5. Termenul al treilea T3= C52 x3 ( xlg x )2 =1 000 000. Rezultă 10x32 lg x  1000000. Ecuaţia (3  2 lg x) lg x  5 este de gradul doi în lgx cu soluţiile lgx=1 şi 5 1 lgx=- . Soluţiile sunt x=10 şi x= . 2 105

5) Să se determine numărul termenilor raţionali ai dezvoltării (3 2  2 )60 . Rezolvare: 60k

60k 3

k 2

Termenul general Tk+1= C ( 2 ) ( 2 ) = C 2 2 .Termenii raţionali au puteri cu exponent întreg.Deci 60-k este multiplu de 3 k este multiplu de 3 şi k este multiplu de 2  k este multiplu de 6. Deci sunt 11 valori pe care le poate lua k. k 3 60

k

k 60

Dezvoltarea are 11 termeni raţionali. prof.Cialâcu Ionel