Probleme de Numarare [PDF]

Zitiervorschau

3.1 PROBLEME de NUMĂRARE INTRODUCERE Materialul de față face parte dintr-unul mai amplu, dedicat matematicii ”de performanță” la nivelul claselor a III-a – a IV-a. Am strâns aproximativ 550 de probleme (sursa primordială fiind G.M.B.) grupate tematic pe capitole și sub-capitole. Aș dori să-l finalizez cam până pe la finele lui 2014 și să-l pun pe Scribd ”la liber”. M-am săturat de puzderia de gunoaie ”de autor” din care copiii nu învață nimic, dar pe care părinții sunt obligați să le cumpere.

ENUNȚURI 1. Dacă

a şi b sunt cifre, precizaţi câte numere naturale sunt de forma aba .

(S.G.M. 4/2011) 2. Pentru numerotarea paginilor unei cărţi s-au folosit 510 cifre. Câte pagini are cartea ? (Camelia Fota, G.M. 11-12/1987) 3. Pentru numerotarea paginilor unei cărţi s-au folosit 1191 de cifre. De câte ori s-a folosit cifra 6? (Concurs, Rm. Sărat, 25.04.2009) 4. Pentru numerotarea paginilor unui dicționar enciclopedic s-au folosit 6837 de cifre. Câte pagini are dicționarul ? 5. Pentru numerotarea unei cărţi s-au folosit 2013 cifre. Câte pagini are cartea ? (Mihai Vijdeluc, S.G.M. 11/2012) 6. Un elev a citit dintr-o carte un număr de pagini pentru a căror numerotare s-a folosit de 23 de ori cifra 3. Aflaţi cel mai mic şi cel mai mare număr de pagini pe care elevul le putea citi – în ipoteza că numărul total de pagini din carte nu depășește 1000. (G.M.B. 5/2009) 7. Câte numere pare sunt de la 12 la 124, inclusiv capetele ? (G.M.B. 10/2009) 8. Se scrie şirul numerelor naturale nenule pare, fără a le separa. Determinaţi a 2009-a cifră a numărului obţinut. (Daniel Codeci, S.G.M. 10/2009) 9. Fie numărul N = 510152025… 200020052010 , obţinut prin scrierea tuturor multiplilor de 5, până la 2010 inclusiv, fără spaţii între ei. a) Câte cifre are numărul N ? b) Care este cea de-a 1000-a cifră a lui N ? (Concurs, Iaşi, 21.03.2009) 10. Fie numărul n = 12345678910111213… . Determinaţi cifra de pe locul 2010. (Doina Lăcrămioara Nechifor, S.G.M. 3/2010) 11. Se scriu numerele de la 1 la 2013 unul după altul, fără a le separa, obținându-se numărul N = 1234567891011… 20122013 . Câte cifre are numărul N ? Ce cifră se găsește pe poziția 5656 (poziția 1 fiind a cifrei celei mai semnificative) ? (Concurs Jose Marti, 26.01.2013, enunț parțial) 12. În garderobă am bluze roşii, verzi şi albastre, pantaloni albi şi albaştri, adidaşi negri şi albi. Ştiind că nu îmi place să port două articole vestimentare de aceeaşi culoare, aflaţi în câte moduri mă pot eu îmbrăca. (Victor Cojocariu, S.G.M. 12/2009) 13. Diana are la dispoziţie cinci cartonaşe, pe care sunt scrie cifrele 4, 5, 5, 6 şi 6. Câte numere de trei cifre poate ea forma, alăturând trei dintre cartonaşe ? Dar de patru cifre ? (Denisa Ţugui, S.G.M. 12/2009) 14. O carte ciudată este o carte în care toate paginile se numerotează cu numere formate numai din cifre impare. Determinaţi ce număr se află pe a 50-a pagină a unei cărţi ciudate. (Cristian Lazăr, G.M.B. 12/2009) 15. Câte numere

abcd au proprietatea că 5 × a × b = c + d ? (Elena Iurea, G.M.B. 3/2010)

16. Câte numere naturale de forma

abc cu a < b ≤ c există ? (Anca Silvia Negulescu, S.G.M. 5/2010)

17. Se consiedră șirul de numere naturale 1, 2, 2,3, 3,3, 4, 4, 4, 4,… Determinați al 2006-lea termen al șirului. 18. Pe o parte a unei străzi sunt case cu numere pare, ultima având numărul 56. Vizavi sunt casele cu numere impare, ultima având numărul 53. Ştiind că în plus există case cu numerele 11bis, 37bis, 24bis şi 46bis, să se afle câte case sunt pe stradă. (Concurs Arhimede 20.11.2010, enunţ modificat) 19. Câte numere de trei cifre încep şi se termină cu cifra 3 ? Dar de patru cifre ? (S.G.M. 4/2011) 20. Fie șirul de numere naturale 1,8,15, 22, 29,… Câți termeni ai săi sunt numere de trei cifre ? 21. Câte numere de patru cifre diferite trebuie să scriem, pentru a fi siguri că am scris două numere identice ? (G.M.B. 7-8-9/2011) 22. De câte ori apare cifra 7 la numerotarea paginilor unei cărţi cu 972 de pagini ? (Concurs Micii Campioni, 7.06.2012) 23. Câte numere naturale de patru cifre au produsul cifrelor 0 ? (Viitori Olimpici, 3/2012) 24. Aflaţi câte numere naturale de patru cifre conţin cel puţin o cifră de 1. (Viitori Olimpici, 3/2013) 25. Câte numere naturale de trei cifre au ultima cifră pară ? (Marian Ciuperceanu, G.M.B. 1/2013) 26. Câte numere de două cifre înmulţite cu 7 dau numere de trei cifre ? (Marian Ciuperceanu, G.M.B. 3/2013) 27. De câte ori întâlnim cifra 3 în şirul numerelor de la 78 până la 643 ? (Aida Frujină, S.G.M. 3/2013) 28. Numărul 2444 are exact trei cifre identice, iar a patra diferită de celelalte trei. a) Scrieţi patru astfel de numere, mai mici decât 2444, în care cifrele să fie poziţionate de fiecare dată altfel (nu este neapărat ca cifrele identice să fie vecine). b) Câte asemenea numere naturale mai mici decât 2444 există ? (Concurs Arhimede, 27.04.2013) 29. Câte numere de patru cifre se pot forma numai cu cifre pare ? (G.M.B. 5/2013) 30. Câte numere de trei cifre conţin exact două cifre egale cu 4 ? Aflaţi suma lor. (G.M.B. 6-7-8/2013) 31. Câte numere naturale de trei cifre au cifra sutelor mai mare decât cifra zecilor ? (G.M.B. 6-7-8/2013)

SOLUȚII 1. O metodă adesea folosită la numărarea tuturor combinațiilor realizabile este principiul înmulțirii : dacă avem n variabile independente v1 , v 2 ,… , vn de care depinde generarea elementelor unei mulțimi, atunci numărul tuturor combinațiilor posibile este

N = a1a2 … an ,

unde

ai este numărul valorilor distincte pe care le poate lua variabila vi , i = 1, n . În cazul exercițiului de față, cifra a poate lua 9 valori (se exclude 0, deoarece niciun număr cu mai mult de o cifră nu poate începe cu 0), iar b poate lua 10 valori. În total, se pot forma 9 ⋅10 = 90 de numere de forma aba . 2. Numerotarea oricărei cărți începe de la pagina 1. Vom avea pe rând : - 9 pagini (1 – 9) pentru numerotarea cărora ajunge o singură cifră: - 90 de pagini (10 – 99), numerotate cu câte două cifre fiecare; Pentru numerotarea primelor 99 de pagini, se folosesc deci 90 × 2 + 9 ×1 = 180 + 9 = 189 de cifre. Până la 510 mai rămân 510 − 189 = 321 de cifre, care acoperă 321: 3 = 107 pagini,

numerotate cu câte trei cifre fiecare. Ultima pagină a cărții este prin urmare cea numerotată cu 100 + 107 − 1 = 206 . 3. Scădem cele 90 × 2 + 9 ×1 = 180 + 9 = 189 de cifre folosite la numerotarea primelor 99 de pagini ale cărții. Pentru numerotarea celorlalte pagini ale cărții ne rămân așadar 1191 − 189 = 1002 cifre; cum fiecare dintre acestea necesită trei cifre, rezultă că sunt 1002 : 3 = 334 de pagini cu numere de la 100 în sus. Ultima pagină are deci numărul 100 + 334 − 1 = 433 . Avem așadar de numărat câte cifre 6 apar în intervalul 1 – 433. De la 1 la 100, cifra 6 apare de 10 ori la unități : 6, 16, 26,… ,96 și de tot atâtea ori la ordinul zecilor : 60, 61, 62,… , 69 (la 66, cifra 6 apare de două ori, dar am preferat să separăm aparițiile de la ordinul unităților de cele de la ordinul zecilor, pentru a evita încurcătura). Avem câte 20 de apariții ale cifrei 6 pe fiecare dintre intervalele 1 – 100, 101 – 200, 201 – 300 și 301 – 400. De la 401 la 433 sunt doar 3 apariții, la numerele 406, 416 și 426. Cu totul, cifra 6 apare de 20 × 4 + 3 = 83 de ori la numerotarea paginilor cărții. 4. Dicționarul are mai mult de 1000 de pagini, deoarece se folosesc mai mult de 2889 de cifre. Cele 2889 de cifre provin de la : - 9 cifre de la paginile 1 – 9, pentru care este suficientă o singură cifră: 180 = 90 × 2 cifre de la paginile 10 – 99, care se numerotează cu câte două cifre; 2700 = 900 × 3 cifre de la paginile 100 – 999, care se numerotează cu câte trei cifre. Restul de 6837 − 2889 = 3948 de pagini provine de la numerotarea unor pagini cu numere de patru cifre. Acestea sunt în număr de 3948 : 4 = 987 și încep de la 1000, deci ultima pagină din dicționar este 1000 + 987 − 1 = 1986 . 5. Vezi rezolvările exercițiilor precedente. 2013 − 189 = 1924 . 1924 : 3 = 641 rest 1 . Faptul că obținem rest ne arată că nu este posibil să folosim la numerotare exact 2013 cifre – în ipoteza că numerotarea se face continuu (fără a sări pagini), de la 1 la ultima pagină. 6. Problema, așa cum apare în G.M.B, este incomplet formulată. Pentru a evita căutarea soluțiilor pe la pagini cum sunt 3333 sau chiar 33333, am adăugat ipoteza de a nu depăși numărul 1000. Un domeniu continuu cu multe cifre de 3 în numerotare este cel dintre 330 și 339, unde apar 10 × 2 + 1 = 21 de cifre 3. Până la 23, mai lipsesc două cifre, care apar fie de la 328 și 329, fie de la 340 și 341. În orice caz, numărul minim de pagini este 12 (între 328 și 339, sau între 330 și 341). Pentru numărul maxim, observăm că în intervalul 1 – 100 cifra 3 este folosită de 20 de ori : de 10 ori la unități (3, 13, 23, …, 93) și de alte 10 ori la ordinul zecilor (30, 31, 32, …, 39). Începând cu pagina 40 (pentru a omite intervalul 30 – 39, cu multe apariții ale cifrei 3 și a mări astfel numărul de pagini citite) și până la 100 sunt doar 6 cifre de 3. Între 101 și 129 avem alte 3 cifre (la 103, 113 și 123) cu care ajungem la un total de 6 + 3 = 9 . Între 130 și 139 sunt alte 10 + 1 = 11 apariții ale cifrei 3, care ne conduc la un total de 9 + 11 = 20 . Restul de 3 până la 23 sunt cele de la paginile 143, 153 și 163 – dar se mai pot citi și paginile de până la 172, unde nu e niciun ”pericol” să întâlnim vreun 3 la numerotare. Numărul maxim de pagini citite corespunde intervalului 40 – 172 (sau 140 – 272, 440 – 572 etc.) deci este de 172 − 40 + 1 = 133 de pagini.

[ a, b] sunt incluse într-o numărătoare cu pasul k ≥ 1 , atunci numărul de elemente este de N = ( b − a ) : k + 1 (de reținut !). În cazul particular k = 1 , găsim N = ( b − a ) + 1 . Pentru exercițiul de față, se observă că atât 12, cât și 124 sunt pare, deci avem (124 − 12 ) : 2 + 1 = 112 : 2 + 1 = 57 de numere pare. Cum procedăm

7. Dacă ambele capete ale unui interval

dacă trebuie să determinăm câți multipli de 5 sunt între 13 și 137 ? Pentru a păstra aceeași formulă, se determină cel mai mic, apoi cel mai mare multiplu de 5 din interval – aceștia sunt 15, respectiv 135. Numărul multiplilor de 5 din interval este așadar 8. Numărul scris este numerelor pare de : -

(135 − 15) : 5 + 1 = 25 .

246810121416… 98100102… . Se contorizează separat aparițiile

o cifră, acestea sunt 4 și totalizează

-

4 ×1 = 4 cifre; două cifre, care sunt ( 98 − 10 ) : 2 + 1 = 45 și însumează 45 × 2 = 90 de cifre;

-

trei cifre, care sunt

( 998 − 100 ) : 2 + 1 = 450

și ”aduc”

450 × 3 = 1350 de cifre. Prin adunarea tuturor acestor numere de cifre, ajungem la 4 + 90 + 1350 = 1444 de cifre. Până la 2009 cifre, mai sunt 2009 − 1444 = 565 , care sunt acoperite de numere pare de patru cifre. 565 : 4 = 141 rest 1 , deci 141 de numere pare sunt scrise complet, ultimul fiind 1000 + 2 × (141 − 1) = 1280 . Cifra căutată este prima din cel de-al 142-lea număr par, care este 1282, deci 1. 9. Procedăm ca la exercițiul precedent. În scrierea lui N se acumulează : - un număr de o cifră (5), în total 1× 1 = 1 cifră; -

( 95 − 10 ) : 5 + 1 = 18 numere de două cifre, cu 18 × 2 = 36 de cifre; ( 995 − 100 ) : 5 + 1 = 180 de numere de trei cifre, cu 180 × 3 = 540 de cifre; ( 2010 − 1000 ) : 5 + 1 = 203 numere de patru cifre, cu 203 × 4 = 812 cifre.

În total, N are 1 + 36 + 540 + 812 = 1389 de cifre. Pentru a o găsi pe cea de pe poziția 1000, se dau la o parte primele 1 + 36 + 540 = 577 de cifre și rămân 1000 − 577 = 423 . Prin împărțirea lui 423 la 4, găsim câtul 105 și restul 3. Aceasta înseamnă că 105 multipli de 5 apar scriși complet, cei dintre 1000 și 1000 + 5 × 104 = 1520 . Cifra căutată este a treia a următorului multiplu (1525), anume 2. 10. În scrierea lui două cifre,

n apar mai întâi cele 9 numere de o cifră, apoi cele ( 99 − 10 ) + 1 = 90 cu

( 999 − 100 ) + 1 = 900

cu trei cifre etc. Scrierea completă inclusiv a numerelor de

trei cifre ar acoperi 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 = 9 + 180 + 2700 = 2889 de cifre. Cum trebuie însă să ajungem doar la poziția 2010, scădem din 2010 primele 189 de cifre, corespunzând numerelor de una și două cifre și obținem 2010 − 189 = 1921 de cifre. Se împarte 1921 la 3; câtul ne arată câte numere de trei cifre apar până la poziția 2010 – iar restul ne indică a câta cifră trebuie să luăm, din numărul care urmează în secvență. Cum 1921: 3 = 640 rest 1 , cele 640 de numere incluse complet sunt cele dintre 100 și 100 + 640 − 1 = 739 . Numărul care urmează în secvență este 740, iar prima sa cifră este 7. 11. În alcătuirea numărului

N intră: 9 numere cu câte o cifră, ( 99 − 10 ) + 1 = 90 cu câte două

cifre, 900 cu câte trei cifre și

( 2013 − 1000 ) + 1 = 1014

cu câte patru cifre. Numărul

N are

prin urmare 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 + 1014 × 4 = 9 + 180 + 2700 + 4056 = 6945 de cifre. Ca să ajungem la cifra de pe locul 5656, dăm mai întâi la o parte cele 9 cifre ale numerelor de o cifră, cele 180 ale celor de două cifre, cele 2700 ale celor de trei cifre – adică un total de 2700 + 180 + 9 = 2889 de cifre. Rămân 5656 − 2889 = 2767 de cifre, acoperite din grupa numerelor cu câte patru cifre. Se acoperă complet 2767 : 4 = 691 de numere de patru cifre

– cele cuprinse între 1000 și 1000 + 691 − 1 = 1690 . Restul împărțirii 2767 : 4 , adică 3, indică ordinea celei de-a 5656-a cifre în cadrul numărului următor, care este 1691. Cifra a treia a acestuia este 9. 12. Aplicație simplă a principiului înmulțirii (vezi ex. 1) : fiind trei tipuri (culori) de bluze, două de pantaloni și două de adidași, numărul combinațiilor posibile între acestea este de 3 × 2 × 2 = 12 . 13. Numerele de trei cifre care se pot genera sunt : 455, 456, 465, 466, 545, 546, 554, 556, 564, 565, 566, 645, 646, 654, 655, 656, 664 și 665. În total, avem 18 numere. De patru cifre, sunt : 4556, 4565, 4566, 4655, 4656, 4665, 5456, 5465, 5466, 5546, 5564, 5566, 5645, 5646, 5654, 5656, 5664, 5665, 6455, 6456, 6465, 6545, 6546, 6554, 6556, 6564, 6565, 6645, 6654, 6655. Acestea sunt 30 de numere. 14. Folosind doar cele 5 cifre impare 1, 3, 5, 7 și 9 putem forma : 5 numere de o cifră, 5 × 5 = 25 de numere de două cifre, 5 × 5 × 5 = 125 de numere de trei cifre etc. Pentru a ajunge la pagina 50, se dau la o parte primele 5 + 25 = 30 de pagini care se numerotează cu una și două cifre. Trebuie să găsim a 50 − 30 = 20 -a pagină numerotată cu trei cifre impare. Pentru fiecare valoare distinctă a cifrei

a , există 5 numere de forma 1ab ; împărțind 20 : 5 = 4 deducem că pagina căutată este ultima din grupa a patra (cu numere de forma 17b ), deci are numărul 179. 15. Valoarea maximă a sumei c + d este 18, dar trebuie să se împartă exact la 5, pentru a putea fi egală cu expresia din membrul stâng. Cum a ≠ 0 , avem pentru c + d valorile acceptabile 5,10,15 . -

dacă

c + d = 5 , rezultă 5 × a × b = 5 ⇒ a × b = 1 , cu singura posibilitate a = b = 1 . Pentru perechea ( c, d ) valorile acceptabile fac parte din mulțimea

{( 0,5) , (1, 4 ) , ( 2,3) , ( 3, 2 ) , ( 4,1) , ( 5, 0 )} . Putem forma 6 numere. -

dacă

c + d = 10 , rezultă 5 × a × b = 10 ⇒ a × b = 2 . Putem avea fie a = 1, b = 2 , fie

a = 2, b = 1 . Suma c + d este 10 când perechea ( c, d ) ia valori din mulțimea

{(1,9 ) , ( 2,8) , ( 3, 7 ) , ( 4, 6 ) , ( 5,5) , ( 6, 4 ) , ( 7,3) , (8, 2 ) , ( 9,1)} . -

Putem forma deci

2 × 9 = 18 numere. dacă c + d = 15 , rezultă 5 × a × b = 15 ⇒ a × b = 3 . Putem avea fie a = 1, b = 3 , fie

a = 3, b = 1 . Suma c + d este 15 când perechea ( c, d ) ia valori din mulțimea

{( 6,9 ) , ( 7,8) , (8, 7 ) , ( 9, 6 )} . Putem forma deci 2 × 4 = 8 numere. În total, sunt

6 + 18 + 8 = 32 de numere.

16. Fie

S n = 1 + 2 + … + n suma primelor n numere naturale. Începem prin a alege a = 1 , ceea ce impune ca b ≥ 2 . Se dau pe rând valori lui b : pentru b = 2 , c poate lua valori între 2 și 9, adică 8 valori; pentru b = 3 , c poate lua valori între 3 și 9, adică 7 valori etc. Se ajunge la b = 9 , pentru care merge doar c = 9 , o singură valoare. Deci, pentru a = 1 , se pot forma 8 + 7 + … + 1 = S8 numere de forma abc cu 1 = a ≤ b < c . Pentru a = 2 putem forma S7

numere, pentru

a = 3 , S6 ș.a.m.d. În total, avem S1 + S 2 + S3 + S 4 + S5 + S6 + S7 + S8 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120 de numere cu proprietatea dorită.

17. Șirul conține (în ordine): o apariție a lui 1, două apariții ale lui 2, trei ale lui 3, patru ale lui 4. Ultima apariție a numărului n este situată pe poziția S n = 1 + 2 + … + n . Trebuie deci să determinăm care este prima sumă Gauss cel puțin egală cu 2006. Folosim formula

Sn = n ⋅ ( n + 1) : 2

cunoscută

și

procedăm

prin

încercări.

Calculăm

S60 = 60 ⋅ 61: 2 = 30 ⋅ 61 = 1830 , S65 = 65 ⋅ 66 : 2 = 65 ⋅ 33 = 2145 . Cum S65 este prea mare (se vede că ”ar mai fi loc” să intercalăm și alte sume Gauss până la 2006), ne întoarcem la S64 = S65 − 65 = 2145 − 65 = 2080 și chiar la S63 = S64 − 64 = 2080 − 64 =

= 2016 . Al 2006-lea termen al șirului este așadar egal cu 63. 18. Cu

numere

pare,

( 53 − 1) : 2 + 1 = 27

sunt

( 56 − 2 ) : 2 + 1 = 28

de

case,

iar

cu

numere

pare,

de case. Adăugându-le și pe cele patru cu ”bis”, găsim un total de

28 + 27 + 4 = 59 de case. 19. Avem de numărat numerele de forma iar în cel de-al doilea, 10 ×10 = 100 .

3a3 , respectiv 3ab3 . În primul caz sunt 10 numere,

20. Fiecare termen al șirului se obține adunând 7 la termenul precedent, iar primul termen este 1. Al doilea va fi deci 8 = 1 + 7 , al treilea 15 = 1 + 2 ⋅ 7 , al patrulea 22 = 1 + 3 ⋅ 7 etc. Termenul de pe locul

n ≥ 1 se calculează deci cu relația tn = 1 + 7 ⋅ ( n − 1) . Condiția ca un termen tn

să aibă trei cifre este

100 ≤ tn ≤ 999 ⇔ 100 ≤ 1 + 7 ⋅ ( n − 1) ≤ 999 . După ce se scade 1 din

99 ≤ 7 ⋅ ( n − 1) ≤ 998 . Se împart limitele 99 și 998 la 7 și avem 99 : 7 = 14 rest 1 , respectiv 998 : 7 = 142 rest 4 . Deducem că 15 ≤ n − 1 ≤ 142 (în

toți membrii dublei inegalități, rezultă

cazul limitei inferioare, dacă împărțirea nu se face exact, este necesară adăugarea unei unități); aceasta este echivalentă cu 16 ≤ n ≤ 143 ; șirul are deci 143 − 16 + 1 = 128 de termeni de trei cifre. 21. Fie abcd un număr de patru cifre, cu toate cifrele distincte. Pentru a avem 9 posibilități de alegere (deoarece a ≠ 0 ), pentru b avem tot 9 (excludem valoarea lui a , dar includem 0), pentru c rămân 8, iar pentru d numai 7. Sunt deci 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 de numere de patru cifre, cu toate cifrele distincte. Pentru a avea două numere identice, trebuie deci să scriem 4536 + 1 = 4537 astfel de numere. 22. În intervalul 1 – 100, cifra 7 apare de 10 ori la ordinul unităților :

7, 17, 27,… , 97 și de alte 10

ori la ordinul zecilor : 70, 71, 72,… , 79 (vezi soluția exercițiului 3, unde justificăm separarea unităților de zeci). La fel se întâmplă și în celelalte intervale complete de lungime 100 : 101 – 200, 201 – 300, …, 801 – 900. În intervalul 700 – 799 numărăm în plus 100 de apariții la ordinul sutelor. Rămân de numărat aparițiile cifrei 7 din intervalul incomplet 901 – 972. Acestea sunt 7 la ordinul unităților (907, 917, 927, 937, 947, 957 și 967) și 3 la ordinul zecilor (970, 971 și 972). În total, avem 9 × 20 + 100 + 10 = 290 de apariții ale cifrei 7 la numerotarea cărții (intervalul 1 – 972). 23. Un număr de patru cifre abcd are produsul cifrelor 0 dacă are cel puțin o cifră 0. Este mai simplu să ne gândim câte numere de patru cifre NU au cifre 0. Fiecare dintre cifrele a, b, c și

d poate lua valorile 1, 2,...,9 - în total 9 valori. Există așadar 9 × 9 × 9 × 9 = 81× 81 = 6561

astfel de numere (vezi principiul înmulțirii, enunțat la rezolvarea problemei 1). Cum în total sunt 9000 de numere de patru cifre, există 9000 − 6561 = 2439 care au produsul cifrelor egal cu 0. 24. Există în total 9000 de numere de patru cifre, cel mai mic fiind 1000, iar cel mai mare, 9999. Este mai simplu să determinăm câte dintre ele NU conțin cifra 1. Fie abcd un număr de patru cifre. Dacă acesta nu conține cifra 1, a poate lua 8 valori distincte (excludem 1, dar și 0), iar

b, c și d fiecare câte 9 valori distincte. În total, numărul abcd se poate forma în 8 × 9 × 9 × 9 = 72 × 81 = 5832 de moduri. Rezultă că sunt 9000 − 5832 = 3168 de numere

de patru cifre care conțin cifra 1. 25. Numerele de trei cifre cu ultima cifră pară sunt de forma

abc , cu 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 şi

c ∈ {0, 2, 4, 6,8} . Principiul înmulțirii ne spune că se pot forma 9 × 10 × 5 = 90 × 5 = 450 de numere pare de trei cifre. 26. Rezultatul maxim al înmulţirii unui număr de două cifre cu 7 este 99 × 7 = 693 , care are trei cifre. Deoarece avem 14 × 7 = 98, 15 × 7 = 105 , cel mai mic număr de două cifre care înmulţit cu 7 dă un rezultat de trei cifre este 15. Există aşadar numere de două cifre cu această proprietate.

99 − 15 + 1 = 84 + 1 = 85 de

27. În fiecare interval complet de lungime 100 care începe cu un număr de forma a 01 (adică 101, 201 etc.), cifra 3 apare de 20 de ori la ordinele unităților și zecilor (vezi exercițiile 3 și 22 pentru justificare). În intervalul 300 – 399 avem în plus 100 de apariții la ordinul sutelor. Separat, numărăm aparițiile din intervalele 78 – 100 (acestea sunt 2, la 83 și respectiv 93) și cele dintre 601 și 643 (acestea sunt câte una la unități la 603, 613, 623, 633 și 643 și zece la ordinul zecilor între 630 și 639). În total, avem 4 × 20 + 120 + 2 + 15 = 217 apariții, dacă includem și numărul 643. 28. a) De exemplu, 1171, 2229, 2022, 1777. b) Cele trei cifre identice pot ocupa pozițiile (începând cu cea mai semnificativă) :

(1, 2,3) , (1, 2, 4 ) , (1,3, 4 )

și

( 2,3, 4 ) . Formele generale ale numerelor de patru cifre cu trei cifre

egale, iar a patra diferită sunt : aaab, aaba, abaa și baaa , unde b ≠ a . Se impune acum condiția ca numerele produse să fie mai mici ca 2444. Aceasta este verificată de : -

111b, b ≠ 1 și 222b, b ≠ 2 . Sunt în total 9 + 9 = 18 numere;

-

11b1, b ≠ 1 și 22b 2, b ≠ 2 . Și aici sunt tot 9 + 9 = 18 numere;

-

1b11, b ≠ 1 și 2b 22, b ∈ {0,1, 3, 4} . În total, sunt 9 + 4 = 13 numere;

1aaa, a ≠ 1 și 2aaa, a ∈ {0,1, 3} Aici avem 9 + 3 = 12 numere. În total, 18 + 18 + 13 + 12 = 61 de numere cu trei cifre egale și a patra diferită de cele trei sunt -

mai mici decât 2444. 29. Aplicație simplă a principiului înmulțirii : prima cifră poate lua 4 valori, anume 2, 4, 6 și 8. Următoarele trei cifre pot lua fiecare câte 5 valori (deoarece în cazul lor se poate folosi și cifra 0). În consecință, se pot forma 4 × 5 × 5 × 5 = 500 de numere de patru cifre numai cu cifre pare.

30. Numerele căutate sunt de una din formele:

a 44, 4a 4 sau 44a , unde a ≠ 4 (la prima formă se exclude și valoarea a = 0 ). Ele sunt deci în număr de 8 + 9 + 9 = 26 .

Se calculează sumele parțiale ale numerelor având fiecare dintre aceste forme.

S1 = 144 + 244 + 344 + 544 + 644 + 744 + 844 + 944 = 44 ⋅ 8 + 100 + 200 + 300 + 500 + +600 + 700 + 800 + 900 = 352 + 4100 = 4452 S2 = 404 + 414 + 424 + 434 + 454 + 464 + 474 + 484 + 494 = 404 ⋅ 9 + 10 + 20 + 30 + +50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 3636 + 410 = 4046 S3 = 440 + 441 + 442 + 443 + 445 + 446 + 447 + 448 + 449 = 440 ⋅ 9 + 1 + 2 + 3 + +5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 3960 + 41 = 4001 Suma tuturor celor 26 de numere este așadar :

S = S1 + S 2 + S3 = 4452 + 4046 + 4001 = 12499 31. Observăm de la bun început că nu avem nicio restricție referitoare la cifra unităților; aceasta poate lua deci orice valoare. Fie abc un număr de trei cifre cu cifra sutelor mai mare decât cea a zecilor. Nu putem avea a = 0 . Pentru a ≥ 1 , inegalitatea b < a se scrie b ≤ a − 1 . Numărul minim de valori pentru perechea

( a, b )

este 1, fiind atins dacă

a = 1 (ceea ce

impune

b = 0 ), iar cel maxim este 9 și se realizează pentru a = 9 (pentru care sunt acceptabile valorile b ∈ {0,1, 2,… ,8} ). Avem deci 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 de valori acceptabile pentru perechea

( a, b ) , cărora le corespund

cifre cu cifra sutelor mai mare decât cea a zecilor.

45 ⋅10 = 450 de numere de trei