Mécanique de La Rupture PDF [PDF]

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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université de Tébessa Faculté des Sciences et de la Technologie Département de Génie Mécanique

POLYCOPIE DE COURS Présentée par

Dr : DIHA Abdallah

Mécanique de la rupture Cours et exercices

Année 2018

TABLE DES MATIERES CHAPITRE I Introduction … … … … … … … … … … … … … … … … … I.1.Aperçu sur la rupture I.2. Utilisation de la mécanique de la rupture en conception I.3. Influence des propriétés des matériaux sur la rupture

1 1 2 9 16

CHAPITRE II

17

II.1 Mécanique linéaire de la rupture

17

II.1.1. Approche atomique de la rupture fragile

17

II.1.2. Concentration de contraintes près d’un défaut

20

II.1.3. Théorie énergétique de Griffith

24

II.1.4. Description des champs des contraintes au voisinage immédiat d’une fissure à l’aide du facteur d’intensité des contraintes II.1.5. Relation entre le Fic et l’énergie de Griffith

26

II.1.6. Principe de superposition en MLER

32

II.1.7. Relation entre le Fic et le comportement global

34

II.1.8. Propagation brutale des fissures-ténacité

37

II.1.9. Propagation instable- courbe R

39

II.1.10. Zone plastique à fond de fissure

42

II.1.11. Mode de rupture mixte

45

II.2 Mécanique non linéaire de la rupture

29

49

II.2.1 Notion de CTOD

49

II.2.2. Intégrale J

52

II.2. 3. Relation entre l’intégrale J et le CTOD

55

II.2.4.Courbe JR de résistance à la fissuration

56

II.2.5. Rupture contrôlée par l’intégrale J

57

II.2.6. Tri axialité des contraintes en plasticité étendue

62

EXERCICES… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..

63

REFERENCES… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

80

Préface L'objet de la présente polycopie est de fournir une vision globale des phénomènes responsables de la ruine de matériaux de structure. Ceux-ci revêtent en effet une importance considérable puisque, peu ou prou, ils vont déterminer la durée de vie ou la disponibilité d'un composant, d'un assemblage etpar enchainement, d'une installation industrielle complète. Cette polycopie est donc principalement destinée à des étudiants en master LMD ou des ingénieurs déjà familiarisent avec la science des matériaux et qui voudraient approfondir les phénomènes spécifiques conduisant à la rupture, tout en ayant une vision globale de leur variété. Par cette lecture, ils pourront acquérir une connaissance fine, mais la plus complète possible, des mécanismes de rupture, développant ainsi une capacité à prévenir les défaillances par la connaissance des conditions qui leur donnent naissance. De plus, en cas de rupture en service, ils pourront, par 1'examen des pièces rompues, déterminer, et donne combattre, les causes de ruine. L‘étude fine des aspects mécaniques, lies a la présence des défauts, a connu un développement majeur, donnant naissance a une nouvelle discipline, la mécanique de la rupture. On se penchera successivement sur les moyens utilises pour examiner les ruptures, les mécanismes a 1'origine des défauts dans les structures et les concepts mécaniques permettant de quantifier les sollicitations locales qu'ils induisent (mécanique de la rupture), avant de détailler les divers mécanismes physiques conduisant a la rupture d'une pièce donnée : rupture théorique, rupture ductile, clivage, déchirement. Nous utiliserons ainsi plusieurs concepts de la mécanique linéaire et non linéaire de la rupture, tels que celle de Griffith pour calculer les énergies et ténacité des matériaux et celle d’Irwin basé sur la détermination de la singularité de contraintes en fond de fissure.Ce travail s’articule sur deux chapitres. Le premier sera consacré à une présentation générale de différents types physiques de rupture : ruptures fragile et ductiles, transition fragile ductile et fissuration. Le deuxième chapitre est divisé en deux parties, telle que la première partie comprend la mécanique linéaire de la rupture : facteur de concentration de contrainte, champs de contraintes et de déplacements au voisinage d’une fissure, facteur d’intensité de contrainte, ténacité, critère d’énergie, taux de restitution d’énergie. Alors que la deuxième partie traite l’aspect de la mécanique non linéaire de la rupture : notion de CTOD (crack tip openingdisplacement), l’intégrale J, la courbe Js de la résistance à la fissure et la triaxialité des contraintes en plasticité étendue. A la fin, une série d’exercices clôturent ce manuel. 1

Mécanique de la rupture Introduction Les défauts sont présents dans pratiquement toutes les structures métalliques, ils apparaissent lors de la fabrication essentiellement. A la solidification, les variations de volume, de température et de composition, induisent des séries de défauts, les soudures exacerbent les mêmes phénomènes. L'usinage et les traitements thermiques peuvent être al’origine de fissurations dans l'état final des pièces. Lorsqu’un matériau est sollicité jusqu’à rupture, les essais montrent que la contrainte de rupture σR est une grandeur présentant de fortes fluctuations pouvant même dépasser la décade pour certains matériaux et que le mode de ruine dépend de la nature du matériau. Ainsi la rupture peut intervenir brutalement quasi sans déformation préalable pour les matériaux qualifies aujourd’hui de fragiles, tandis qu’elle n’intervient qu'après une étape de grande déformation permanente pour les matériaux qualifies aujourd’hui de ductiles. Nous savons maintenant que les matériaux fragiles rompent brutalement au de la d’une certaine tension, tandis que les matériaux ductiles s'écoulent plastiquement sous cisaillement avant de rompre. Si la rupture est toujours l’´étape ultime de la ruine des structures, elle est précédée d’une étape de plastification pour les matériaux ductiles. Cette polycopie traitera principalement de la rupture fragile au sens macroscopique d’un matériau, c’est `a dire une rupture intervenant sans plastification macroscopique notable, ce qui n’exclut pas une plastification microscopique en pointe de fissure. Causes reconnues aujourd’hui : 

Structure soudée (propagation de fissure facilitée)

 Mauvaise qualité des soudures (criques et contraintes internes)  Faible ténacité de l’acier et transition ductile/fragile proche de l’ambiante Fatigue des structures aérodynamiques  28 Avril 1988  Vol 243 : Compression explosive et défaillance de la structure à 24 000 pieds de Hilo à Honolulu, Hawaï  90 passagers et 5 membres d'équipage.  Un agent de bord a balayé une surcharge, 65 blessés (8 sérieusement).  descente et atterrissage d'urgence à l'aéroport de Kahului (île de Maui).  Décollement significatif et fatigue défaillance de l'assemblage par recouvrement et séparation du lobe supérieur du fuselage.

1

Mécanique de la rupture 

Problèmes postérieurs en matière de sécurité et conception technique (fissuration par fatigue à sites multiples).

Figure 1 : défaillance de la structure

I.1.Apercusur la rupture Éviter la rupture n’est pas en soi une idée nouvelle : les concepteurs des structures de l’Égypte des pharaons (pyramides) ou ceux de l’empire romain nous ont laissé des édifices que l’on peut encore contempler. Les matériaux utilisés avant la révolution industrielle étaient cependant limités pour l’essentiel au bois de construction, à la pierre ou à la brique et au mortier. La brique et le mortier sont relativement fragiles lorsqu’ils sont utilisés en traction. Pour ces raisons, toutes ces structures anciennes (pyramides, ponts romains…) qui ont su résister au temps, étaient chargées en compression - en fait, toutes les structures de l’époque précédant la révolution industrielle étaient conçues pour des chargements en compression. L’utilisation de nouveaux matériaux ductiles (acier et autres alliages métalliques) pour des chargements en traction conduisit cependant à quelques problèmes. Des ruptures se produisaient parfois pour des niveaux de charges bien inférieurs à la limite d’élasticité. La recherche en mécanique de la rupture devait donc être développée. Les premiers essais de rupture ont été menés par Léonard de Vinci (1452-1519) bien avant la révolution industrielle : il a montré que la résistance à la traction d’un fil de fer variait inversement avec la longueur de ce fil. Ce résultat suggérait déjà que les défauts contenus dans le matériau contrôlaient la résistance de celui-ci : plus le volume est important (fil de fer long) plus la probabilité de présence de fissure est importante. Cette interprétation qualitative fût précisée plus tard en 1920 par Griffith qui établit une relation directe entre la taille du défaut et la contrainte de rupture. 2

Mécanique de la rupture I.1.1 La rupture des matériaux – classifications et faciès Généralité : Les études faites sur les matériaux ont montré que le phénomène de la propagation de la rupture est dû essentiellement aux défauts existants dans le matériau. Les conditions d’exploitation jouent un rôle déterminant, en particulier : la température et la vitesse de sollicitation.La théorie de la mécanique de la rupture est un moyen pour estimer la stabilité des fissures qui peuvent survenir à cause des défauts. Elle permet de prévoir l’évolution de la fissure jusqu’à la ruine de la structure. A ce jour, basé sur les expériences, la théorie de la mécanique de la rupture n’est nullement une science de base exhaustive et exacte, cependant, plusieurs approches ont été proposées. a) Analyse des contraintes au voisinage d’un trou elliptique : C’était la première approche d’Inglis en 1913. Il a montré que la contrainte au fond du trou elliptique d’une plaque chargée en traction σ est beaucoup plus élevée que la contrainte dans un champ lointain (figure. I.2).

Figure. I.2: Analyse des contraintes au voisinage d’un trou elliptique. b) Approche énergétique : Pour un solide élastique possédant une fissure S, la propagation de celle-ci entraîne une modification de son aire. Griffith exprime la conservation de l'énergie totale du système. - dWelast :variation del'énergieélastique -dWext :variation

del'énergiepotentielle

cesforces(données) changé de signe

3

desforcesextérieuresoutravailde

Mécanique de la rupture -dWs:énergie

dissipéedanslaséparation,

Ws

=2γdS,γ

étantl'énergiesuperficielle

caractéristique du matériau, dS l'accroissement d'airede la fissure, étant dû aux deux faces de la fissure -dWcin :variationd'énergiecinétique. La fissure se propagera de façon instable si dWcin> 0, c'est-à-dire :  (Welast  Wext )  2   0 S

Par définition, le taux de restitution d'énergie G est :

G

 (Welast  Wext ) S

Le critère de propagation de Griffith se traduit par : G  2

L'initiation de la propagation A partir de la configuration S est possible lorsque : G c  2γ

Dès que G est supérieur à 2γ, une partie de l'énergie disponible sert précisément à rompre les liaisons : c'est l'énergie de séparation. L'excès d'énergie (G-2γ)dsest transformé en énergie cinétique, qui pourrait à son tour, s'il n'y avait pas d'autreapport d'énergie extérieure, se dissiper dans la séparation de surface nouvelle. Ceprocessus peut mener à la propagation instable.Si les sollicitations extérieures sont telles que l'égalité G  2

soit vérifiée à tout moment, alors il n'y a pas d'accroissement d'énergie cinétique : la rupture est contrôlée et la croissance de la fissure est stable.

I.1.2 Mécanismes de rupture La rupture détruit la cohésion de la matière par la création de discontinuité à l’échelle de l’existence des microfissures ou cavités, des fissures dans les structures mécaniques. Les causes et mécanismes sont étudiés par fractographie (échelle macroscopique) ou microfractographie (échelle du microscope électronique MEB) ou par l’analyse du facièstypes.

4

Mécanique de la rupture I.1.3 Types de rupture Rupture par fissuration rapide : ductile, semi-fragile, fragile ; Rupture par fissuration progressive : - Sous sollicitations statique : corrosion sous contrainte, fluage, ... - Sous sollicitations cycliques : fatigue mécanique, fatigue thermique ; - Sous sollicitations complexes : Fatigue-corrosion, fatigue-fluage, ... I.1.3.1Rupture fragile Mécanisme : Se manifeste au niveau des liaisons intra-atomiques sans déformation plastique macroscopique. Conditions :Intervient lorsque l’énergie de déformation locale due aux sollicitations extérieures devient égale à l’énergie nécessaire de décohésion atomique. Caractéristiques : - Propagation très rapide de fissure ; - Consommation d’énergie très faible ; - Les défauts et accidents géométriques jouent un rôle essentiel dans l’amorçage de la rupture

Figure. I.3 : Faciès de rupture d’une éprouvette de Charpy rompue à -70 °C. a) Rupture fragile transgranulaire (à clivage) La rupture suit des plans cristallographiques à travers le grain (plans de clivage). Faciès de rupture cristallin (aspect brillant (figure. I.4)). (a) Echelle macroscopique : La surface de rupture est perpendiculaire à la direction de sollicitation. (b) Échelle microscopique : Rupture des liaisons interatomiques dans une directionperpendiculaire au plan de rupture. 5

Mécanique de la rupture (c) Échelle microscopique : Une rupture transgranulaire, la fissure suit des plans et directions cristallographiques dans chaque grain.

(b) (a)

(c)

Figure.I.4 : La rupture par clivage à différentes échelles :

L’interaction de la fissure avec les défauts microstructuraux ou hétérogénéités du métal conduit à des micro-reliefs très caractéristiques : surfaces de clivage sous forme de traces et marches appelés rivières(Figure.I.5) et languettes observées par fractographie (Figure.I.6).

Figure. I.6 : Types de rupture fragile transgranulaire (à clivage): Languettes

Figure. I.5 : Types de rupture fragile transgranulaire (à clivage) : Rivières Les rivières se forment :

- par l’interaction du plan de clivage et de dislocation vis ;

6

Mécanique de la rupture - par jonction de deux plans de clivage voisins, et convergent vers la direction du sens de propagation de la fissure. Lors d’un franchissement d’un joint de grain, soit les rivières se multiplient, soit il y aura un réamorçage dans le grain voisin et ceci selon la désorientation de la fissure qui est fonction de la taille du grain. La rupture à basse température se fait par clivage et elle ne peut survenir que si la limite d’élasticité est atteinte. La rupture fragile transgranulaire se manifeste surtout dans les structures de cristauxCubiques centrés (C.C.) tels que les aciers à carbone et les cristaux ; Hexagonaux compacts (H.C.) tels que le Zinc et le Magnésium. Les structures de cristaux cubiques à faces centrées (C.F.C.) tels que le cuivre, aluminium.Sont peu sujettes au clivage. A plus basses températures, dans les structures de cristaux C.C. ou H.C., l’agitation thermique qui facilite le mouvement des dislocations est moindre, ce qui bloque les dislocations et augmente la limite d’élasticité (augmentation de la résistance intrinsèque du matériau). La zone plastique devient très petite en taille et par suite le déchirement ductile devient un clivage Les atomes se séparent les uns des autres à une contrainte de E/15. La zone plastique est très limitée. Le profil idéal montre que la contrainte théorique au voisinage de la fissure tende vers l’infini. Pratiquement, les défauts métallurgiques et l’apparition de la zone plastique limite cette contrainte à une valeur élevée mais finie (figure. I.7).

Figure.1.7 : Propagation de la fissure par clivage. b) Rupture fragile intergranulaire Caractérisée par une décohésion intergranulaire ; La rupture suit les joints des grains. Mécanismes :

7

Mécanique de la rupture Elle survient par accumulation d’impuretés ou d’inclusions (présence de seconde phase au joint du grain ou ségrégation d’un élément chimique), qui sont à l’origine d’une fragilité introduite, par exemple la fragilité au revenu. Caractéristiques : La rupture présente deux aspects à l’échelle microscopique (figureI.8) : - Aspect lisse, si la rupture suit les joints des grains) avec déformation plastique réduite - Aspect de cupules).

Figure I.8 : Aspect de rupture intergranulaire à l’échelle microscopique La rupture suit les facettes du grain par détérioration du joint de grain. La rupture intergranulaire se manifeste sous deux formes : - Rupture fragile à basses températures quand les éléments d’impuretés ségrégés au joint du grain diminuent l’énergie de cohésion de ces joints ; - Rupture intergranulaire par fluage aux températures moyennes et élevées (≥ 1/3 T fusion). Les défauts qui conduisent à ce type de rupture sont initialement des cavités puis leurs multiplications ou décohésion (points triple).

I.1.3.2 Rupture ductile Le matériau plastifie et rompt progressivement, où une fissure stable peut s’amorcer au sein de la matière. L’endommagement peut-être diffus et relativement important. Les métaux cubiques à faces centrées ont ce comportement, alors que les métaux de type cubique centré sont ductiles pour une température suffisamment élevée. La rupture ductile se produit en trois phases (Figure I.9) :(i) germination de cavités autour d’inclusions, (ii) croissance des cavités, (iii) coalescence des cavités menant à l’apparition d’une fissure macroscopique.

8

Mécanique de la rupture

Figure I.9 : Formes de rupture d’aluminium pur (a) rupture cisaillée, (b) et (c) rupture de forme respectivement cuvette et cône.

I.2. Utulisation de la mécanique de la rupture en conception Deux approches sont utilisées pour le dimensionnement des structures (figure I.10). La première, la plus classique, repose sur la limité d’élasticité du matériau σE, alors que la seconde s’appuie sur le concept de ténacité KCissu de la mécanique linéaire de la rupture (MLR). Dans le premier cas, les structures sont dimensionnées pour que les contraintes appliquées σ restent inférieures à la limité d’élasticité (σ 0, la fissure devient instable et se propage librement

13

Mécanique de la rupture

I.2.2 Concept d’intensité des contraintes La figure I.14 schématise l’ensemble des contraintes appliquées sur un élément centré en un point M de coordonnées polaires (r, θ) par rapport à l’extrémité d’une fissure sollicitée en mode d’ouverture ou mode I. Ces contraintes sont décrites par les relations suivantes : KI

σ xx 

2π r KI

σ yy 

2π r KI

τ xx 

2π r

cos

cos



 3   1 sin sin  2 2 2 



 3   1 sin sin  I.4 2 2 2 

cos

 2

sin

 2

cos

 2

Ces relations peuvent s’écrire sous la forme condensée suivante : KI

σij 

2π r

ƒ ij  



I.5

Figure I.14 : Contraintes près de l’extrémité d’une fissure Pour différentes configurations de chargement, des formules de calcul du FIC KI, que l’on peut trouver dans les manuels spécialisés, ont été élaborées. Dans le cas décrit par la figure I.2, il est connue que :

K I  σ

πa I.6

En comparant les formules I.1 et I.6, il apparaît que : 2

G

KI E

2

K et G c  Ic I.7 E

Dans l’approche basée sur le concept de FIC de la MLR, la rupture se produit lorsque le FIC (KI) atteint la valeur critique KIC- cette valeur correspond en fait à la ténacité du matériau. Dans cette approche, le coefficient KIest la force motrice dans un matériau dont 14

Mécanique de la rupture la résistance à la rupture est caractérisée par la ténacité KIC. Le principe de similitude est supposé vérifié comme dans le cas de l’approche énergétique. Via les relations I.7, les deux démarches sont équivalentes pour un matériau dont le comportement est linéaire élastique.

I.2.3 Propagation des fissures et concept de tolérance au dommage La MLR permet le calcul de la durée de vie d’une structure soumise à des sollicitations cycliques (phénomène de fatigue) ou sujette à des effets de corrosion sous tension, puisque dans ce cas : - la vitesse de propagation des fissures est caractérisée par un paramètre tel que le FIC, - et la taille critique de défaut à ne pas dépasser est directement liée à la ténacité du matériau. Par exemple, pour la fissuration par fatigue des alliages métalliques, la propagation de fissure da/dNest généralement représentée par la relation empirique de Paris : da m  C  K  dN

I.8

Où C et m sont des constantes du matériau, et ∆K l’amplitude du facteur d’intensité des contraintes. Parce que les structures contiennent inévitablement des défauts de type fissure, défauts en général inhérents aux procédés même de fabrication des composants, leurs dimensions sont choisies de sorte que ces défauts ne puissent atteindre la taille critique conduisant à la rupture brutale : il s’agit du concept de tolérance au dommage. La MLR fournit les outils nécessaires pour déterminer cette taille critique (relation I.3) et suivre la propagation de la fissure (relation I.8). L’évolution au cours du temps (figure I.15) de la taille d’un défaut (de type fissure de fatigue ou de corrosion sous tension) illustre bien le concept de tolérance au dommage. En pratique, la longueur de fissure initiale a0 correspond à la limite de détection des moyens de contrôle non destructif, et la longueur critique est déterminée à partir du chargement appliqué et de la ténacité du matériau. Quant au coefficient de sécurité, il est choisi de sorte que la longueur admissible du défaut reste inférieure à la longueur critique. La durée de vie de la structure est alors déterminée en calculant le temps nécessaire pour que la longueur de défaut passe de a0 à la longueur admissible.

15

Mécanique de la rupture

Figure I.15 Concept de tolérance au dommage

I.3.Influence des propriétés des matériaux sur la rupture En mécanique de la rupture, le choix du concept varie selon le comportement physique du matériau. La classification usuelle de ces concepts est la suivante : -La mécanique linéaire de la rupture (MLR) pour les matériaux dont le comportement est essentiellement linéaire élastique, tels les alliages d’aluminium à précipitation durcissante, les aciers à haute limite élastique, les céramiques… -La mécanique élastoplastique de la rupture (MEPR), pour les matériaux ductiles tels que les aciers à faible ou moyenne résistance, les inox ou aciers austénitiques, les alliages de cuivre…

-La mécanique dynamique de la rupture (MDR), linéaire ou non linéaire, pour les métaux sollicités à grandes vitesses de déformation dans ces conditions, le comportement peut aussi être viscoplastique. - La mécanique viscoélastique de la rupture (MVER), essentiellement pour les polymères sollicités à des températures au dessous de la température de transition vitreuse. -

La mécanique viscoplastique de la rupture (MVPR) pour les polymères au dessus de la température de transition ou encore les métaux et les céramiques sollicités à haute température.

Remarques 1/ Si le temps n’agit pas en MLR et en MEPR, il intervient explicitement en MDR, MVER et MVPR. 2/ La MEPR, la MDR, la MVER et la MVPR sont souvent regroupées dans le domaine élargi de la mécanique non linéaire de la rupture (MLNR). Considérons à présent, une plaque fissurée chargée jusqu’à rupture. La figure I.16 schématise la variation de la contrainte à rupture en fonction de la ténacité du matériau. 16

Mécanique de la rupture - Pour les matériaux à faible ténacité où la contrainte à rupture varie linéairement avec le K IC(relation

I.6), la rupture fragile est le principal mécanisme qui gouverne la ruine de la

structure. C’est la MLR qui décrit donc le mieux ce genre de comportement. - Pour les matériaux à très haute ténacité, la MLR n’est plus valable puisque les propriétés d’écoulement du matériau gouvernent le mécanisme de rupture. Une simple analyse de chargement limite permet alors de dimensionner les structures. - Pour les matériaux à ténacité intermédiaire, la MNLR est souvent appliquée.

Figure I.16 : Comportement en fonction de la ténacité

II.1 Mécanique linéaire de la rupture II.1.1. Approche atomique de la rupture fragile La rupture fragile s’accompagne de très peu de déformation plastique. Dans les alliages métalliques, elle est de type (figure II.1) soit : - transgranulaire : rupture par clivage ou par glissement dans un grain ; - intergranulaire : rupture par glissement le long des joints de grains.

Figure II.1 : (a) Clivage dans un acier doux ruptures transgranulaire (clivage) et (b) intergranulaire (décohésion) dans un acier doux a gros grains.

17

Mécanique de la rupture L’approche atomique consiste à étudier une rupture par clivage en considérant les forces des liaisons atomiques ; la figure II.2 présente schématiquement ce type de rupture fragile qui se développe en mode d’ouverture, ou mode I selon la classification de la MLR. Le clivage opère par rupture des liaisons inter atomiques dans une direction perpendiculaire au plan de rupture. Il se produit préférentiellement le long de plans atomiques bien définis qui dépendent des matériaux. Par exemple, les matériaux cubiques centrés clivent selon les plans (100) alors que les cubiques faces centrées clivent difficilement Pour calculer la contrainte de liaison atomique, il est nécessaire d’introduire la distance inter atomique r , puis de considérer la relation entre le déplacement des atomes, autour de leur position d’équilibre r0 , et la force appliquée. Cette force est la somme d’une composante d’attraction (en 1/ r 2) et d’une composante de répulsion (en −1 /r 9). La contrainte de liaison est donc de la forme : 2 9   r0   r0    σA      r   r    

II.1

Figure II.2 : rupture par clivage (mode I de rupture

Par la suite, nous entendons par contrainte théorique de clivage la valeur maximale, notée σc, de la fonctionσ (r) dont la courbe est représentée sur la figure II.3.Afin de mieux comparer les valeurs théorique et expérimentale de la contrainte de rupture par clivage, nous allons donner une approximation de la valeur théorique par deux méthodes différentes. Première méthode La déformation étant donnée par ε =log r /rO, le module d’Young E s’écrit : 𝑑𝜎

𝑑𝜎

E = 𝑑𝜖 )

𝑟∎𝑟0

= 𝑟0 𝑑𝑟 )

𝑟∎𝑟0

II.2

18

Mécanique de la rupture soit en utilisant la relation II.1 : E =7 A

II.3

La contrainte théorique de clivage σCest définie par la condition d dσ/dr =0, soit :rO /r =0.18 Il vient finalement : σc 

E II.4 14

Figure II.3 : Courbe représentative de la fonction r tend vers σ(r)) Seconde méthode Pour simplifier les calculs, on choisit parfois d’identifier la portion de la courbe représentative de la fonction r σ (r ) correspondant aux abscisses supérieures ou égales à rO , à une sinusoïde (figure II.3). La quantité α est alors définie de sorte que le produit αrO soit l’abscisse en laquelle le maximum de la contrainte est atteint. Sous cette hypothèse, la contrainte de liaison pour r>rO s’écrit :   r  π σ  σ c sin   1   II.5  2  α 1   r 0  

Si bien que le module d’Young devient : 𝑑𝜎

E = 𝑟0 𝑑𝑟 )

𝜋

𝑟∎𝑟0

(2𝛼−1)𝑟0

W =∫𝑟

0

=σc 2(𝛼−1)II.6

𝜎𝑑𝑟

II.7

D’autre part, on appelle énergie de cohésion par unité de surface, la quantité notée W, et définie par : (aire hachurée – figure II.4), soit :

19

Mécanique de la rupture W 4

α 1 r0 σ c π

Figure II.4 : approximation sinusoïdale de la contrainte de liaison σ. Or lors de la rupture, deux surfaces sont créées : on décide donc de poser W = 2γS. OùγSest appelée l’énergie de création de surface.Ce qui nous permet d’écrire la nouvelle formule : γs  2

α 1 r σ π 0 c

II.8

La comparaison des égalités II.6 et II.8 permet d’éliminer le coefficient α et d’obtenir 𝜎

L’expression γs= 𝑐 𝑟0 𝜎𝑐 , soit : 𝐸

σc 

Eγs

II.9

r0

Comme l’énergie de création de surface dans les matériaux métalliques est reliée au module d’Young par une relation empirique de la forme γS≈ Eb/ k où b ≈ rO est appelé vecteur de Burgers et k est une constante comprise entre 16 et 100, nous obtenons un encadrement de la contrainte théorique de clivage 𝐸

≤ 𝜎𝑐 ≤ 10

𝐸

II.10

4

II.1.2. Concentration de contraintes près d’un défaut II.1.2.1Introduction Les calculs de dimensionnement des structures sont principalement basés sur la théorie de l’élasticité. Lorsque la limite d’élasticité est dépassée, des déformations plastiques se développent, ce qui nécessite l’utilisation des théories plus compliquées de la plasticité. 20

Mécanique de la rupture Cependant, la fatigue des matériaux ou encore la corrosion sous tension, se produisent le plus souvent à des niveaux de contrainte relativement bas où la théorie de l’élasticité est applicable.Dans les structures, des entailles géométriques dues à des changements brusques desection (épaulements, gorge, cannelure, orifice de lubrification …) sont souvent inévitables compte tenu de leur rôle fonctionnel. Au voisinage de ces incidents de forme, les répartitions des contraintes sont inhomogènes et conduisent à desconcentrations de contraintes : la figure II.5 illustre ces concentrations où l’on observeque la contrainte atteinte à la racine du trou est bien plus élevée que la contraintenominale σ nomde traction appliquée à la plaque.

Figure II.5 : Répartition des contraintes autour d’un trou dans une plaque

Le facteur de concentration des contraintes est le rapport de la contrainte maximale (σmax) observée à la racine de l’incident de forme sur la contrainte nominale (σnom) à laquelle la structure est soumise. Ce facteur, notéKt est donné par : Kt 

 max  min

II.11

La sévérité de la concentration de contraintes dépend de la géométrie et de la configurationde l’entaille. Lorsqu’on conçoit une structure, on cherche à réduire autant que possible les concentrations de contraintes pour éviter notamment les problèmes de rupture par fatigue. Ce chapitre traite des différents aspects des concentrations des contraintes et des effets de la géométrie sur le facteur Kt: c’est l’une des questions fondamentales pour le dimensionnement en fatigue des structures.

21

Mécanique de la rupture II.1.2.2 Détermination théorique du facteur de concentration de contraintes Considérons une plaque avec un trou elliptique central, très petit par rapport aux dimensions de la plaque (figure II.6a).

Figure II.6 a- Entaille elliptique et b- entaille hyperbolique

a) Plaque uniformément chargée La figure II.7 représente une plaque uniformément chargée, autrement dit, la contrainte σ∞ appliquée à la plaque est perpendiculaire en tout point à ses extrémités. Cette plaque est percée d’un très petit trou elliptique. On utilise les résultats du chapitre précédent pour déterminer les potentiels complexes ϕ(z) et χ(z) associés à cette configuration de chargement.

Figure II.7 Plaque uniformément chargée percée d’un trou elliptique de rayon à fond d’entaille ρ • Les conditions limites aux bords de la plaque, c'est-à-dire à l’infini compte tenu de la taille importante de la plaque comparée à celle du trou elliptique, sont données par : 



x  y  



et  xy  0

II.12

Le facteur de concentration des contraintes Kt est quant à lui donné par :

22

Mécanique de la rupture Kt 

 a  max    2 b  min 

II.13

Le rayon ρ à fond d’une entaille elliptique de grand axe a et de petit axe bs’exprimant par ρ

b2/a, le facteur Ktpeut aussi s’écrire :

Kt 2

 b

II.14

Pour un trou circulaire, le facteur Kt vaut 2 et il tend vers l’infini lorsque b

a ou

lorsque ρ tend vers 0, ce qui suggère que les contraintes sont infinies à l’extrémité d’une fissure dans un matériau élastique. b) Plaque percée d’un trou elliptique sollicitée en traction simple Les conditions limites aux bords de la plaque (figure II.8), sont données par : 

y  



et  x   xy  0

Les conditions limites aux extrémités d’un trou elliptique, c'est-à-dire pour α=α0, sont comme dans le cas précédent (plaque uniformément chargée).

Figure III.8 Plaque chargée en traction simple, percée d’un trou elliptique de rayon à fond d’entaille ρ Les solutions pour cette configuration de chargement ont été proposées par Stevenson en 1945. a  max      1 2  b 

II.15

et le facteur de concentration des contraintes est alors donné par : K t 1 2

 a

II.16

23

Mécanique de la rupture Pour un trou circulaire, le facteur Ktvaut 3 et lorsque l’entaille tend vers la fissure (b >δ), lepremier terme de l’intégrale J est nul puisque dy≈ 0. La normale aucontour Cétant, l’intégrale J est alors donnée par :

J c

 uy    

ds

II.105

Figure II.36 : Modèle de Dugdale-Barenblatt Si on prend l’origine du repère à l’extrémité de la zone endommagée, ce qui revient à faire le changement de variable X=x-ρ, le déplacement uyne dépend que de X à δ fixé et l’intégrale J s’écrit : 55

Mécanique de la rupture ρ

ρ

J = 2σe ∫0 duy (X) = σe ∫0 dδ = σe δ = σe .CTOD

II.106

II.2.4Courbe JR de résistance à la fissuration Certaines méthodes de caractérisation de la résistance à la rupture relevées dans la littérature permettent de tracer des courbes de résistance. Contrairement aux méthodes à paramètre de rupture unique, les courbes de résistance ne permettent pas uniquement de prédire les conditions auxquelles une fissure va se propager. Elles permettent aussi de prévoir l'avancement de la fissure à mesure que l'énergie totale emmagasinée à la pointe de la fissure est libérée par la création de nouvelles surfaces. Les courbes de résistance sont souvent appelées « courbe J-R » où J représente la valeur de l'intégrale de contour J et R représente la résistance à la rupture. La figure II.37 illustre une courbe de résistance J-R typique. Puisque J est une mesure de l'énergie disponible à la création de nouvelles surfaces, oneut comprendre de la figure 37 qu'il faut sans cesse que cette énergie augmente pourallonger davantage la fissure. Cette figure montre également un paramètre de ruptureunique nommé JICqui correspond au point où la propagation stable de la fissure débute. Une procédure détaillée permettant de mesurer ce paramètre de rupture est donnée dans lacumentation des essais normalisés ASTM E813. Bien que ce paramètrepuisse nous indiquer la valeur de / pour laquelle la fissure va commencer à se propager, ilne nous procure pas d'information quant à la progression future de la fissure. C'est pour cette raison que notre méthodologie de caracterisation est basée sur l'utilisation de courbes de résistance J-R.

Figure II.37 : Courbe de résistance J-R typique

56

Mécanique de la rupture II.2.5. Rupture contrôlée par l’intégrale J II.2.5.1 Intégrale J dans la rupture fragile : En utilisant l'égalité de J et G, un bilan énergétique réalisé par Irwin dans une structure élastique pour une avancée élémentaire de la fissure prouve que le facteur d'intensité de contraintes est lié à l'intégrale Jelpar une relation quadratique suivante : J  el

K I K II  1  K III  ' ' E E E 2

2

2

II.107

Avec :  E contraintes planes  E ' E  1 2 en déformations planes  

Cette expression montre que l'intégrale de Rice comme le facteur d'intensité de contraintes permet de caractériser au moyen d'un seul scalaire la sévérité d'un chargement sur une structure élastique fissurée soumise à un mode d'ouverture éventuellement complexe.

II.2.5.1.1Les corrections de zone plastique : L'élasticité linéaire est une approche trés performante lorsque les chargementsappliqués sont faibles comparés au seuil plastique du matériau étudié. Dans le cas d'unesingularité de contraintes provoquée par une fissure l'approche élastique conduit à un niveaude contraintes infini en pointe de fissure. On ne se situe donc pas dans le domaine de validité de l'approche élastique. Il existe une zone entourant la pointe de la fissure où le matériau est entièrement plastifié. Cette zone n'oppose pratiquement aucune résistance aux efforts dans la structure dans l'hypothèse de plasticité parfaite. La figure II.38représente schématiquement la zone plastique en pointe de fissure.

Figure II.38 : Représentation schématique de la zone plastique. On cherchera à estimer avec différentes approches le rapport : 57

Mécanique de la rupture ry Φ a

II.108

La prise en compte de la plasticité de pointe de fissure reviendra à remplacer la longueur a de la fissure par : a(1+Φ) dans le calcul de KI ou de Jel.

II.2.5.1.2 La plasticité confinée en pointe de fissure :

utiliser le développement limité en pointe de fissure obtenu avec la solution de Westergaard. On considère ici que le matériau est élastoplastique parfait de limite élastique σ

et

vérifie le critère de Von Mises. Une première approche consiste à repérer le lieu géométrique des contraintes qui égalent le critère de Von Mises. Par exemple pour la fissure de longueur 2a chargée en mode I dans un milieu infini de la figure II.38, avec l'hypothèse de contraintes planes, ce lieugéométrique est donné par la relation en coordonnées polaires suivante: 2

2   2   r 1     cos  1 3 sin     a 2  0  2  2 

II.109

L'allure de cette zone plastique est représentée sur la figure II.39 et est caractéristique d'une fissure chargée en mode I.

Figure II.39: Zone plastique de pointe de fissure en mode 1.

Irwin propose un calcul plus fin, toujours en mode I et dans l'hypothèse de contraintes planes, prenant en compte un rééquilibrage des efforts. La figure II.40 représente la distribution des contraintes dans la direction orthogonale à la fissure avant écrêtage à σ

puisaprés écrêtage sur une longueur 2ry. Pour rééquilibrer les efforts, les aires

hachurées doiventêtre égales.

58

Mécanique de la rupture

Figure II.40: Méthode d'Irwin pour le calcul de ry.

La fissure se comporte alors comme une fissure de longueur a+ry, avec:

1   ry   a 2   0 

2

II.110

Irwin complète sa solution en développant une approche plus approximative endéformations planes, il obtient alors:

1   Φ=     0 

2

II.112

avecβ = 2 en contraintes planes etβ = 6 en déformations planes Cette correction n'est applicable qu'aux faibles niveaux de chargement. Il est doncillusoire de l'appliquer au-delà de la plasticité généralisée, d'autres corrections intervenant à ce niveau, comme nous le verrons par la suite. Nous serons amenés à utiliser la correction de plasticité empirique suivante: 1  /  0  Φ= 2 1  /  0  2 2

II.113

Cette dernière expression permettant de limiter la correction de plasticité confinée lorsque les niveaux de chargement sont importants.

II.2.5.2 Intégrale J dans la rupture des matériaux ductiles : Le calcul d'une intégrale de contour J pour un matériau ductile et un contour donné de la structure est numériquement toujours possible, il reste cependant à établir les conditions sous lesquelles cette intégrale reste bien une caractéristique de la nocivité du chargement 59

Mécanique de la rupture pour une structure donnée.Kumar et Shih font l'hypothèse de radialité des chargements. Les contraintes à unerésistance c de la pointe de fissure sont proportionnelles au chargement appliqué :  p  II.114   n,   p 0

P0 est une valeur de P particulière arbitrairement choisie.L'intégrale In de la solution H.R.R. est remplacé par une fonction h1 de la géométrie etdu coefficient d'écrouissage du matériau.La solution H.R.R. en solide de dimensions finies prend alors la forme:  p  J  0 0 h1c   p0 

n 1

P

II.115

C'est sous cette forme qu'ont étés tabulés un grand nombre de résultats éléments finis dans les différents formulaires EPRI, pour ce qui concerne la partie plastique de l'intégrale J.L'estimation complète de l'intégrale J des formulaires EPRI s'écrit généralement : J  J el  1   J P

II.116

1 n 1  P/ P 0    n 1 1  P/ P 0  2 2

II.117

 2 en contraintes planes    6 en déformations planes

Φ est une correction de plasticité confinée pour un matériau de Ramberg-Osgood. De plus P0 est généralement choisi égal ou voisin de la charge limite de la structure. Bien que cela ne soit pas mentionné la fonction h1(n) dépend également du choix de P0. Les propriétés de l'intégrale J sont donc respectées pour les matériaux de RambergOsgood. Pour les autres matériaux on ne dispose d'aucun résultat, toute porte cependant à penser que l’intégrale J reste avec une très bonne approximation indépendante du contour d’intégration. On ne sait alors calculer l'intégrale J que numériquement, il faudra donc toujoursvérifier l'indépendance des résultats vis-à-vis du contour d'intégration

II.2.5.1.3 Méthodes de caractérisation de la résistance à la rupture D'après ce que l'on trouve dans la littérature, il existe plusieurs méthodes de caractérisation de la résistance à la rupture. Cependant, on peut regrouper ces méthodes selon deux 60

Mécanique de la rupture catégories. Les méthodes appartenant à la première catégorie se concentrent sur l'obtention d'un paramètre de rupture unique tandis que celles de la seconde catégorie permettent d'obtenir des courbes de résistance. Les essais normalisés E-1152, D-6068 et ASTM E-813, proposent deux types d'éprouvettes à utiliser. Ces essais normalisés donnent également les équations permettant de calculer J à partir de la mesure de l'énergie dissipée et de la mesure de lalongueur initiale de la fissure pour chaque type d'éprouvette. Le premier type est l'éprouvette en flexion fissurée sur le côté (Single Edge Notched Bend). Plusieurs auteurs ont utilisé ce type d'éprouvette. La figure II.29 montre cette éprouvette ainsi que son montage. Le paramètre de Merkle-Corten T) est égal à 2 pour ce type d'éprouvette. Ainsi, on peut calculer l'intégrale de contour J à partir de l'équation II.32 J

U 2U  II.118 B  W a 0  B  W a 0 

Le second type est l'éprouvette compacte en tension CT (Compact Tension). Dans la littérature, certains auteurs ont utilisé ce type d'éprouvette [26 à 28], La figure II.41montre cette éprouvette. Le paramètre de Merkle-Corten T| pour une éprouvette compacte entension CT, est égal à 2 + 0.522 bo/W où boest la longueur du ligament non fissuré (W ûo). L'équation II.118devient donc :  b0  U  2  0.522  W  II.119 J   B  W a 0 

Figure II.41 : Éprouvette enflexionfissuréesur le côté (SENB)

61

Mécanique de la rupture

FigureII.42 : Éprouvette compacte en tension (CT)

II.2.6. Tri axialité des contraintes en plasticité étendue

On définit le taux de triaxialitéde contraintes T par le rapport de la contrainte hydrostatique σh et la contrainte équivalente de von Mises σeqet s’écrit comme suit :

T  h

II.120

 eq

Oùσh et σeqsont exprimées dans les directions principales par :

h



m



1 2

 eq



1     3 1 2 3

II.121

             2

1

2

2

1

2

3

3

1 2

II.122

2

 i  i 1  3  sont les contraintes principales. Dans le cas des essais biaxiaux sur les éprouvettes papillons, les contraintes σ1et σ2 sont calculées par les relations suivantes :

1 

 xx   yy 1  2 2



 xx   yy  1 1  2 2

  yy   4 xy II.123 2

xx



2

  yy   4 xy II.124 2

xx

2

Où σxx, σyyetσxysont les contraintes locales au centre des éprouvettes papillons 62

Mécanique de la rupture EXERCICES Exercice 1 Dans les installations industrielles, on inspecte des tôles de fortes épaisseurs afin de détecter d’éventuelles fissures susceptibles de provoquer une rupture brutale en service. Si le matériau a une fissure de 1mm. a) Calculer la ténacité du matériau b) Comparer la valeur trouvée avec le facteur d’intensité

critique puis déduire une

conclusion c) Calculer la taille critique de la fissure

On donne : Re = 480 MPa, facteur de correction géométrique α = 1.12 ; σ = Re, KIC = 53 MPa.√m

Solution 1:

K .

a .1x10

K=1.2x480x

3

 30.3 MPa

m

Cette valeur est bien plus basse que la ténacité KIC= 53 MPa.√mdu matériau et par conséquentla rupture, si elle a lieu, sera plutôt du type "déformation plastique généralisée"...Donc le matériau se déforme progressivement avant de rompre... 2

2

3 1  K IC  1  53  aC        2.7x10 m  2.7 mm    R e    1.2x480 

Exercice 2 Une large plaque a une fissure débouchante soumise à une contrainte de traction de 100 MPa, et d’une ténacité de KIC = 50 MPa m1/2. a) Déterminer la taille critique de la fissure, on suppose que le matériau a un comportement linéaire élastique b) Calculer l’Energiecritique de ce matériau sachant que son module d’Young E = 207000 MPa

63

Mécanique de la rupture Solution 2: À la rupture K IC  K I 

a c , donc

m 100MPa

50MPa

a c

a c  0.0796m  79.6 mm La longueur totale de la fissure est de 2ac= 159 mm



50MPa m K IC GC   E 207000MPa



2

 0.0121MPa mm 12.1kPa m = 12.1kJ/m2

Exercice 3 Une large plaque en alliage d’aluminium a une fissure centrée de 25 mm de longueur. Si la contrainte de rupture de cet échantillon est σmax = 200 MN/m2 et la limite élastique σy = 400 MN/m2 Calculer la ténacité du matériau en en utilisant : - Le concept de la mécanique élastique linéaire de la rupture (MELR), - En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure

Solution 3 : a) En utilisant le concept de la mécanique élastique linéaire de la rupture (MELR) K IC  max

a  200

3/2  0.025    39.6MN.m   2 

b) En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure : K IC max

K IC  200

  a  rp  max

 1  max 2  a  1     2  y    

 0.025   1  200      1    2   2  400  

K IC  42MN.m

3/2

64

2

Mécanique de la rupture Exercice 4 : Un réservoir travaillant sou pression fabriquée à base d’une plaque en acier, qui peut-être : a- Un acier marging (18 % nickel) avec σy= 1900 MN/m2 et KIC= 82 MN.m-3/2 ; b- Un acier à moyenne résistance avec σy= 1000 MN/m2 et KIC = 50 MN.m-3/2. - Lequel de ces deux aciers présente la meilleure tolérance au défaut ? - Comparer leurs ténacités si on suppose qu’ils ont la même tolérance aux défauts. Le coefficient de sécurité est s = 2. Solution 4 : 1) Pour une plaque de dimension infinie, nous avons la relation :

K IC 

a

a) La longueur de la fissure critique pour l’acier maraging : 2

1  K IC  ac    ,   d 

d 

y 2

2

1  82  ac     0.0024m  2.4mm, soit une longueur critique 4.2mm   950 

b) La longueur de la fissure critique pour l’acier à moyenne résistance : 2

1  50  ac     0.0038m  3.18mm, soit une longueur critique 6.36mm.   500 

On constate que l’acier à moyenne résistance présente la meilleure tolérance aux défauts. 2) Comparaison des ténacités :

K IC  d

a  950

.0.00318  95MN.m

3/2

Exercice 5 Une plaque d’acier (KIC=150 MPa.(m)1/2 ; σe =1500 MPa) est supposée contenir une fissuredébouchante semi-élliptique de longueur apparente 3 cm et de profondeur de 0.5 cm. Quelle est dans ce cas la contrainte causant la rupture de la plaque. Schant que : Prendre 𝚽=1

65

Mécanique de la rupture

Solution 5 : La valeur maximale de KI est obtenue à l’extrémitédu petit axe c.a.d(a=0.5 cm) et vaut K I 1.12

a   

K IC 1.12

a 

150

 1.12

.0.005 1

1068MPa

 rup 1068MPa

Exercice 6 Un barreau en acier (σe = 1790 MPa, KIC = 90 MPa(m)1/2 ) de sectioncarré 120x120 mm2 est soumis à une force de traction F = 12 MN. Le barreau une fissure d’angle en quart de cercle de rayon a=1cm. Si on évalue le facteur d’intensité de contraintes à partir de celui de la fissure semi-circulaire débouchante, le facteur de corrosion sur la surface libre (1,12) étant appliqué deux fois pour tenir compte des deux surfaces perpendiculaires

Le barreau résistera-t-il à la charge qui lui est appliquée ?

Solution 6 : Le facteur d’intensité de contrainte peut être évalué à partir de celui de la fissure semicirculaire débouchante, le facteur de corrosion sur la surface libre (1,12) peut être appliqué deux fois pour tenir compte des deux surfaces perpendiculaires.

66

Mécanique de la rupture 

F 12   833.33 MPa S 0.12x0.12

Donc : K I   1.12  x2 2

a 117.95 MPa 

K I 117.95  K I c  90 MPa

m

m

on voit bien que K I  K I c ,

Donc le barreau se rompra sous la charge appliquée.

Exercice 7 Une plaque épaisse de dimension (W = 200 mm) présente deux fissures critiques de côtés de longueur a = 10 mm chaque une. Supposons qu'elle est sollicitée à une contrainte de traction de 650 MPa. a) Déterminer le facteur d'intensité de contrainte. b) Quelle serait le défaut qu'on peut tolérer (critique) pour une plaque de fissure centrale et qui a la même valeur du facteur d'intensité de contrainte et sollicitée à la même contrainte précédente. On donne l’intensité de contrainte pour une plaque de deux fissures de cotés :

Le facteur d’intensité de contrainte pour une plaque de fissure centrale :

Solution 7 : K 

W  a a  tan   W  a

a) K I 16.65MPa

1/2

 0.2W  a   sin     a  W 

m

2

1  KI  b) a c    11.97mm   

67

Mécanique de la rupture Exercice 8 On réalise des essais de rupture sur deux plaques de ce matériau contenant une fissure centrale

:

- la première de largeur W = 500 mm contient une fissure de longueur 2a = 75mm - la seconde de largeur W = 50 mm contient une fissure de longueur 2a = 25 mm. Avec KIC= 100 MPa.m1/2, β1=1, β2=1.18 Pour chacune des plaques: 1)

Calculer la contrainte critique qui conduirait à la rupture brutale

2)

Déterminer la contrainte qui conduirait à une plastification généralisée de la section contenant lafissure

3)

En déduire comment se produira la rupture dans chacun des cas et pour quelle contrainte.On rappelle

Solution 8 : 1) 1max 

100 K IC   291 MPa 1 a C 1 1x .37.5

 2 max 

100 K IC   427.7 MPa 2 a C2 1.18 x .12.5

2) W

5K 2IC

 e2 

2 e

,  e1 

5x K IC W2



5x K IC W1



5x100  316.22 MPa 500

5x100 1000 MPa 50

3) r P1 

a1. 1max 15.6 mm , 2  e1 2

r P2 

2 a 2.  2 max 1.6 mm 2 e2

68

Mécanique de la rupture Exercice 9

Estimer la valeur de la contrainte théorique de rupture d'un matériau fragile, comportant une fissure de forme elliptique de longueur de 0.5 mm, avec un rayon de courbure de 5.10 3

mm. Sachant que la contrainte appliquée de traction est de 103,5 MPa

Solution 9 :   t   m  1 2 

a 

  t 103, 5  1 2    t   m  1 2    t 103, 5  1 2 

   0, 5 5x10 3

a 

   2174 MPa 

   0, 5 5x10 3

   2174 MPa 

Exercice 10 Une large vitre en verre est soumise à une contrainte de traction de 40 MPa. L’énergie de surface du verre est de 0.3J/m2 et son module d’élasticité E= 69GPa. Déterminer la longueur de la surface fissurée (surface perpendiculaire à la contrainte) qui pourra causer la rupture. Solution 10 : c 

2 E a c

2 E 2x0, 3  69x10    8, 2x10 6 m  0, 0082 mm  8, 2 m 2 2 6  c  x40x10  9

ac 

Exercice 11 Les calculs basés sur la force de cohésion suggèrent que la contrainte de traction du verre est de 10GPa. Tandis que la valeur de la contrainte de traction trouvée expérimentalement est seulement de 1.5 % de cette valeur. Griffith suppose que cette valeur est faible à cause de la présence des fissures dans le verre. Calculer la longueur de la fissure, de direction perpendiculaire à la contrainte de traction. 69

Mécanique de la rupture On donne :Module d'Young E = 70 GPa, l'énergie surfacique est de γs

2

Solution 11 : 9 2 E 2x  70x10  x0, 5  9, 9x10 7 ac  2  9 2  c x  0,15x10 

2a c  2x10 6 m

Exercice 12 Une plaque en acier a une contrainte de traction de 1900 MPa. Calculer la valeur du pourcentage de réduction de contrainte causée par la fissure dans cette plaque qui est de longueur 2a = 3 mm (surface perpendiculaire à la contrainte) On donne : E = 200 GPa, l'énergie surfaciqueγs= 2 J/m2, l'énergie plastique γp = 2×104 J/m2 Solution 12 :



Gc  2 s   p Gc  



a  2 E G cxE  .a

reduction  %  

40004x200  600, 54 MPa .1, 5  c 600, 54   31, 6 %  t 1900

Exercice 13 Deux poutres en bois sont assemblées à l'aide d'un adhésif époxy comme indiqué dans la figure ci-dessous. L'adhésif a été agité avant l'application, entraînant de l'air des bulles qui, sous pression dans la formation de l'articulation, se déforment en disques de diamètre 2a = 2 mm. Si le faisceau a les dimensions indiquées, Et l'époxy a une ténacité de fracture de 0,5 MN m-3/2. Calculez la charge maximale F que le faisceau peut supporter. Sachant que : σ = Mf.V/I0 , I0= bh3/12 et V= h/2

70

Mécanique de la rupture Solution 13 :

K I 

a

K

=

a

0, 5



.1x10

 8, 92 MPa

3

M f M f .V  I0 I0 V F Mf M f  .L  F  2 L



 0,1 

I0  8, 92. V 148666, 66

M f . F  2x

3

3

  148666, 66 Nmm 3

3

10

6

 2973, 33N

1x10

Exercice 14 Lors d’un essai de détermination de la ténacité, on trouve KQ = 55 MPa√m. La limite d’élasticitédu matériau étant égale à 690 MPa et l’épaisseur de l’éprouvette étant de 12,7 mm. a) Indiquer si l’essai est valide. b) Donner la valeur maximale de la ténacité qui peut être mesurée avec une telle éprouvette. Solution 14 : 2 3  K Q2   55  a) Bmin  2, 5  2  10 x2, 5   15, 38mm  690   e  Bmin >12, 7 donc l ' essai n ' est pas valide

b) K Q 

2

R exB  2, 5

2 950 x12, 7x10 2, 5

3

 67, 71 MPa

71

m

Mécanique de la rupture Exercice 15 Une éprouvette en alliage AlCu4Mg1 de traction de typeB (CT) 50 mm de largeur, 12.5 mm d'épaisseur, soumis à une force critique de FQ = 9,05 kN. La valeur de la fissure a = 25 mm sa contrainte élastique est de 390 MPa. a) Calculer le facteur d’intensité de contrainte apparent du matériau b) Déduire la largeur minimale Bmin de l’éprouvette c) Que ce vous pouvez conclure ? Solution 15 : 3    9050x 10  x10, 61 FQ  a    f  34, 35 MPa 1) K Q   , KQ  B W W 12, 5 50 2

m

2

3  34, 5   KQ  2) B min  2, 5.    2, 5x10   19, 4 mm  390   e  3) B 12, 5 K Q

Exercice 16 Une grande plaque d'épaisseur de 36 mm avec une fissure de bord a = 32 mm de longueur est tiré très lentement sous charge de déplacement. Au déplacement de 7,2 mm, lorsque la charge enregistrée est de 2750 N, la fissure commence à croître. A a = 41,7 mm, la fissure est arrêtée et la charge diminue à 1560 N. Déterminer le taux d’énergie critique libérée.

72

Mécanique de la rupture Solution 16 : aire du  (OAB) aire du (OA C)  aire du (OBC)  Bxa Bxa a  a 2  a1  41.7  3.2  9.7 mm

GC 

GC

3 3     1/ 2  7.2x10 x2750  1/ 2  7.2x10 x1560      12268 J / m 2  3

(36x9.7) x 10 G C 12.27KJ / m

2

Exercice 17 : Une plaque de perplexe rectangulaire de 600 mm par 300 mm par 6 mm d'épaisseur est décrite en deux carrés égaux par un couteau, laissant une coupe uniforme de profondeur de 0,3 mm. Quel est le moment de flexion nécessaire pour briser la plaque si la perplexe a un travail à une fracture de 500 J / m2 ? Notez que E = 2.5 GPa pour perplexe.

Solution 17 : 9

f 

G C.E  .a

 f .I , Mf   t a / 2 6

500x2.5x10  36.4 MPa x0.0003 I

b  t a 

3

12 3

36.4x10 x0.3x0.0057 M  59.2 N.m 12x0.00285

Exercice 18 Si la contrainte de rupture d'une grande tôle d'acier maraging, qui contient une fissure centrale de 40 mm, est de 480 MPa, calculez la contrainte de rupture d'une feuille similaire contenant une fissure de 100 mm. 73

Mécanique de la rupture Solution 18 : G C.E , .a K  x a 2

f  f 

K

.a  480

120.32 x50x10

3

3

x20x10 120.32 MPa

m

 304 MPa

Exercice 19 Une poutre en porte-à-faux fissurée est déviée de 8 mm sous une charge de 10kN. À la même charge, la déviation est augmentée de 1 mm en raison d'une extension de la fissure de 0,5 mm. Calculez le facteur d'intensité de contrainte initiale. Supposons E = 200 GPa, épaisseur de la section = 0,5 m Solution 19 : 2

P c , GC  2.B a 8 mm / N 10000 9 Complaisance finale  mm / N 10000 Complaisance initiale 

2

c 1  , a 5000

 4  10   x 1  2x10 4 N / m G 2x0.5 5000

2

K G E

K

G.E 

4

9

2x10 x200x10  63.2 MPa

74

m

Mécanique de la rupture AUTRES EXERCICES PROPOSES Exercice 1 Un réservoir sous pression cylindrique de diamètres intérieur et extérieur 40 et 48 cm est réaliséen alliage d'aluminium ayant les propriétés suivantes :Re = 385 MPa, K1C= 44 MPa m.Le réservoir doit être soumis à une pression interne p = 70 MPa. Les techniques d'inspection nepermettent pas de déceler en service des fissures débouchant sur la face interne de moins de 0,5 cmde profondeur et de 3 cm de longueur. a) Le réservoir est-il sûr ? b) Que peut-on préconiser pour le rendre sûr ? Rappel : le facteur d'intensité de contrainte peut être calculé de la façon suivante ; K I 1.12

a 1.07

Exercice 2 Calculer la ténacité d’un matériau pour lequel on effectue un essai sur une plaque delargeur W = 500 mm, d’épaisseur B = 19 mm, contenant une fissure centrale de longueur 2a = 50mm. a) Est-on en état de déformation plane ? b) Quel est le type de rupture observé ? rupture brutale, plastification généralisée ? c) Quelle est la dimension de la zone plastifiée au moment de la rupture ? AN : charge à rupture 1360 kN, limite d’élasticité : 480 MPa 2

K 

2

 a   a   a  a , avec 1 0.256   1.152   12.2   w w w

3

Exercice 3 Calculer la contrainte maximale au fond d’une fissure de forme elliptique de longueur de 10 mm et de rayon de courbure ρ = 2,0 mm, telle que la contrainte de traction extérieure appliquée est de 100 MPa. Déduire le facteur de concentration de contrainte ?

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Mécanique de la rupture Exercice 4 Trois fissures sont détectées dans une structure par l’ultrason. La première d’une longueur de 16 mm dans une région de contrainte de 100 MPa avec une fonction de forme (f = 1,2) La deuxième d’une longueur de 9 mm sous une contrainte de 150 MPa, avec f= 1.1 et la troisième est d’une longueur de 25 mm dans une région de contrainte de 70 MPa et (f = 1,3). Quelle est la plus dangereuse fissure dans cette structure ? Déduire l’énergie de griffith correspondant à cette fissure, sachant que E = 207 Gpa Exercice 5 Lors d’un essai de la ténacité sur une éprouvette compacte. a) Calculer KQ b) Vérifier si l’essai est valide (KQ = KC) c) Calculer l’énergie (état de déformation plane) On donne : σe =759 MPa, FQ = 42.3 KN, B = 25. 4 mm, W= 50.8 mm, a = 27.7 mm, E = 207 Gpa,

ν= 0.28. a/w

0.40

f1(a/w) 7.18

0.45

0.50

0.54

8.22

9.52

11.17

Exercice 6 On considère deux matériaux, dont les caractéristiques mécaniques sont les suivantes : - un alliage d'aluminium 2024-T3 : de limite d'élasticité Re = 490 MPa et de ténacité K1C = 110 MNm-3/2 - un acier de limite d'élasticité Re = 1700 MPa et de ténacité K1C= 60 MNm-3/2. On veut tester deux éprouvettes constituées respectivement de chacun de ces matériaux ; on utilise des plaques à entaille centrale, contenant une fissure de longueur initiale 2a = 2 mm. 1) Déterminer la contrainte critique conduisant à la rupture brutale pour ces matériaux. 2) Commentez les résultats obtenus : selon vous, quel type de rupture obtiendra-t-on pour chacundes matériaux ? Quel matériau suggéreriez-vous d'utiliser et pourquoi ? 76

Mécanique de la rupture

Exercice 7 Une plaque de verre de 2 m par 200 mm par 2 mm contient une fissure centrale parallèle au côté de 200 mm. La plaque est fixée à une extrémité et chargée en tension de l’autre avec une masse de 500 kg. Quelle est la longueur maximale admissible de la fissure avant la rupture ? Supposons l'état de contrainte plane et les valeurs de propriété matérielle suivantes : E = 60 GPa, l'énergie de surface est de 0,5 J / m2.

Exercice 8 La charge sur une plaque de 30 mm d'épaisseur avec une fissure de bord de 50 mm de longueur a été augmentée très lentement et le déplacement du point de charge a été surveillé. On a observé qu'à la charge de 2100 N et le déplacement u = 4,1 mm, la fissure a commencé à croître. Le taux de croissance de la fissure était beaucoup plus rapide que le taux d'augmentation de la charge et, par conséquent, la fissure a été essentiellement augmentée à la charge de 2100 N. Grâce à un enregistrement rapide de la caméra, on a constaté que la fissure augmentait jusqu'à 65 mm de longueur avec une augmentation rapide du déplacement à u = 7,5 mm. Déterminer le taux critique de libération d'énergie.

Exercice 9 La contrainte de rupture d’une plaque en acier, dont elle contienne une fissure centrale de longueur 40 mm est de 480 MPa. Calculer la contrainte de rupture de ce même matériau, contenant une fissure d’une longueur de 100 mm.

Exercice 10

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Mécanique de la rupture Un panneau, de 3 mm d'épaisseur et de 10 cm de large contenant une fissure de bord de 1 mm soumis en traction sous une charge de 150 Kn (a). Cependant, à une charge de 120 kN, un autre panneau de même matière est rompu en deux pièces lorsque la fissure avait une longueur de 5 mm (b). Avec cette information, calculer la contrainte élastique et la ténacité de rupture du matériau. Tel que le facteur de forme est de Y= 1.12

Exercice 11

(b)

(a)

Quelle est la contrainte maximale appliquée au niveau du fond d’une fissure intérieure de longueur 3,8.10-2 mm, avec un rayon de courbature de 1,9.10-4 mm, sachant que la contrainte de traction nominale est de 140 MPa ? a) Déduire le facteur de concentration de contrainte ?

Exercice 12 Pour les matériaux ayant une ténacité modérée (par exemple des alliages d'aluminium), KIc peut être déterminé à partir de J Ic. Exprimer l'épaisseur minimale requise pour l'essai JIc (Bj) en termes d'épaisseur minimale requise pour le test KIc(Bk). Tels que : Le module d’ YoungE = 70 000 MPa, la résistance élastique σe= 345 MPa La résistance à la rupture σr = 500 MPa

78

Mécanique de la rupture Exercice 13 La valeur de l'intégrale J est indépendante du chemin exact suivi par la pointe de fissure dans le sens antihoraire, en commençant parle plus bas et se terminant sur la fissure du flanc supérieure (figure ci-dessous). a) Qu'est-ce que J pour un contour fermé, c'est-à-dire n’entourant pas la singularité de pointe de fissure? b)

Indiquez

ce

qui

ne

va

pas

dans

le

raisonnement

du

texte

suivant :

Le long du contour fermé ABPA représenté sur la figure, l'intégrale J est nulle. Le long des flancs AP et BP J est égal à zéro aussi. Par conséquent, J doit être nul le long du contour entourant fissure, A B.

Exercice 14 Un test JIc est réalisé sur de l'acier avec les propriétés suivantes: E = 207 GPa ;σys = 360 MPa en σuts = 560 MPa ;ν = 0,28.A cet effet, uneéprouvette de flexion à 3 points est utilisée ayant les dimensions suivantes : W = 50 mm ; B = 20 mm ; a = 30 mm. La charge augmente linéairement avec le déplacement. Au début de l'extension de la fissure, la charge est de 25 kN, tandis que le déplacement est de 4 mm. a) Quelle valeur suit pour JIc, si cela est défini comme J au début de l'extension de la fissure? b) Quelle est la valeur correspondante pour KIc? c) Quelle épaisseur doit avoir l'échantillon pour une détermination KIc valide ?

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Mécanique de la rupture REFERENCES

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