Mécanique de la rupture 2868832490 [PDF]

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a Cet ouvrage intitulé «Mécanique de la rupture »,le Monographies de Matérialogie, s'adresse aux ingénieursuuc,uo.uo;;au de la science des matériaux. du contrôle non destructif et de l' sûreté des structures. Le chercheur trouvera également intéressants pout guider ses recherches; Enfin, le professeur, choisir certaines parties pour son enseignement. '

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Cet ouvrage, qui se veut un texte de référence prenant en derniers acquis, décrit les éléments de base de la mécanique de la, ru):>ture , cherche à éviter des développements trop complets ou encore non truûtrisé:s, pour ne pas alourdir la lecture. n traite de la' mécanique de la rupture des milieux homogènes et isotropes. Seul le chargement monotone, et statique est considéré. Une bibliographie non exhaustive correspondant aux sujets introduits est disponible et peut ainsi être mise à profit pour des lectures complémentaires. L'ouvrage est organisé de façon à aller du plus simple au plus compliqué et suit ainsi naturellement le développement chronologique de cette discipline. · Dans 1' ordre également, l'échelle microscopique est considérée avant 1'échelle macroscopique, car la compréhension physique des phénomènes liée à 1'observation expérimentale du matériau a précédé la compréhension du comportement macroscopique des structures. Dans ce dernier domaine, l'apport relativement récent des calculs aux éléments finis qui s'apparentent à l'observation expérimentale est déterminant. L'approche analytique plus délicate n'est cependant pas oubliée.

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Mécanique de la rupture

Des exercices sont proposés au lecteur. Ils sont destinés à souligner des points importants ou à expliciter des développements.

Auteur: D.MIANNAY

00272

Monographies de Matérialogie

Cette nouvelle collection, publiée sous le patronage de la Société Française de Métallurgie et des Matériaux, vise à traiter, dans le champ de la Science et du Génie des Matériaux, quelques sujets bien définis pour lesquels le besoin d'ouvrages en langue française se fait sentir. Il ne s'agit donc nullement de mettre en œuvre un traité systématique ou une encyclopédie, qui couvrirait tout le domaine de la Science et du Génie des Matériaux, mais plutôt, dans les limites de livres de dimension raisonnable, de traiter de sujets bien ciblés portant par exemple sur une classe de matériaux à finalité donnée ou sur une propriété ou un type de comportement sous certaines sollicitations, sur certaines évolutions structurales, ou encore certains types de procédés d'élaboration, de transformation ou de mise en œuvre, ou enfin sur certaines méthodes de caractérisation. Le titre de cette collection se veut un peu provocateur. Il veut rappeler l'existence d'une discipline spécifique, participant bien sûr des disciplines de base que sont la Mécanique, la Physique et la Chimie, mais avec une philosophie propre qui en fait une discipline à part entière. Ces ouvrages s'adressent aussi bien aux chercheurs, aux ingénieurs et aux enseignants qu'aux étudiants. Nous souhaitons que quelques uns de ces livres restent pendant longtemps à portée de leur main dans leur bureau ou leur laboratoire.

Jean Philibert Directeur de Collection

Comité Editorial Gérard Béranger, Professeur à 1'Université de Technologie de Compiègne Michel Colombié, Professeur au CNAM Thierry Magnin, Professeur à l'Ecole des Mines de Saint-Etienne André Mocellin, Professeur à 1'Ecole des Mines de Nancy Jean-Hubert Schmitt, Chef de Département à l'IRSID

Avant-propos

Cet ouvrage s'adresse aux ingénieurs de trois disCiplines : l'ingénieur du bureau d'études responsable de la conception d'une structure, l'ingénieur de la science des matériaux qui doit fournir les caractéristiques mécaniques et améliorer la qualité des matériaux, et l'ingénieur du contrôle non destructif qui doit assurer qu'aucune fissure nocive n'extste après fabrication ou n'apparaît en service. Cet ouvrage s'adresse également à l'ingénieur qui doit expertiser la sûreté des structures. Le chercheur trouvera également des éléments intéressants pour guider ses recherches. Le professeur pourra extraire certaines parties pour enseigner. Cet ouvrage en français qui se veut être un texte de référence prenant en compte les derniers acquis fournit les éléments de base de la mécanique de la rupture et cherche à éviter les développements trop complets ou non encore maîtrisés pour ne pas alourdir la lecture. Il comble un manque de publication en langue française sur le sujet durant les dix dernières années. Une bibliographie non exhaustive correspondant aux sujets introduits est disponible et peut ainsi être mise à profit ppur des développements complémentaires. I..:ouvrage est organisé de façon à aller du plus simple au plus compliqué et suit ainsi naturellement le développement chronologique de cette discipline. Dans l'ordre également l'échelle microscopique est considérée avant l'échelle macroscopique, car la compréhension physique des phénomènes liée à l'observation expérimentale du matériau a précédé la compréhensiqn du comportement macroscopique des structures. Dans ce dernier domaine l'apport relativement récent des calculs aux éléments finis qui s'apparentent à l'observation expérimentale est déterminant. Des exercices sont proposés. Ils sont destinés à souligner des points importants ou à expliciter des développements. Cet ouvrage traite de la mécanique de la rupture dans des milieux homogènes et isotropes. Seul le chargement monotone et statique est considéré. Le chapitre 1 considère le processus de rupture à l'échelle atomique et donne le critère de rupture élastique en terme dè contrainte. Le chapitre II décrit l'application par Griffith de ce critère et du critère énergétique non équivalent à ce dernier, au cas des entailles dans un milieu au comportement purement élastique. Puis, pour les fissures, le traitement élastique introduit par Irwin pour décrire les champs de contrainte et de déformation en fonction des deux paramètres de chargement équivalents, le facteur d'intensité de

chargement T, contrainte transverse, est égalem~nt i~troduit. C'~~l~-d;~;i~; de l'élasticité présenté sur la figure ci-après. Elasticity

p

0 no---r---------r--------~----~~>

K (a)

J

K (ae)

J, Elasticité

Chapitre Il

Q

Plasticité confinée

1

Q

0 Plasticité confinée

limitée

étendue

Chapitre Ill

Chapitre VIl

Plasticité généralisée

Chapitre VI

F~g. -Domaines d;_ déformat!on d'un corps fis~u~é, définis sur la courbe charged~plac~ment et par 1etude relatJ~e de la zone plastifiee (zone hachurée) par rapport aux dJm,ensJOns du co~ps. Les pa~ametre.s (grand.eu~s) ~ouvant caractériser le chargement et le,s etats de c~ntramte et de deformatiOn sont md1ques pour chaque domaine. Les chapitres ou ces domames sont traités sont indiqués. Au chapitre III, la correction approximative de plasticité sous ses différentes fo~mes, qu~ doit être introduite pour que les solutions élastiques du chapitre II sment physiquement acceptables, est décrite. C'est le domaine de la plasticité con-

nnee umnee ae 1a ngure CI-avant. Les resunars aes cnapnres 11 et 111 aoounssem à la méthodologie de mesure de la ténacité qui est une grandeur caractéristique uniquement du matériau. Le chapitre IV présente l'application au calcul des structures dont le comportement est globalement linéaire. I..:homme de la science des matériaux introduit une ténacité pouvant être fonction de la géométrie et pouvant présenter une dispersion plus ou moins importante. La propagation de fissure est introduite. I..:homme du contrôle non destructif tient compte d'une densité initiale de fissures de tailles variées et introduit une probabilité de détection. I..:homme du bureau d'études prend en compte ces données pour concevoir une structure dont la probabilité de rupture au cours de la durée devie spécifiée sous des sollicitations mécaniques données soit très faible. I..:homme de l'expertise de sûreté vérifiera que l'état de l'art dans ces matières a bien été respecté à chaque étape. Au chapitre V, les mécanismes de rupture de clivage et de rupture ductile liés à la déformation à l'échelle microscopique sont décrits et les critères de contrainte et de déformation correspondants sont quantifiés. I..:aspect statistique de la rupture de clivage est introduit naturellement. Les critères obtenus permettent de décrire la transition fragile-ductile observée avec des éprouvettes lisses. La mécanique des milieux continus endommageables est ensuite traitée. Au chapitre VI, qui traite du cas où la plasticité généralisée envahit l'ensemble de la structure, l'effondrement plastique, auquel correspond la charge limite, est décrit et quantifié. Dans le cas d'un matériau d'Hollomon, les champs de contrainte et de déformation tels qu'ils ont été déterminés par Hutchinson et Ri ce et Rosengren sont formulés à l'aide de l'intégrale J. Pour un matériau avec une loi de comportement quelconque , l'approche par la contrainte de référence telle que proposée par Ainsworth est introduite. Au chapitre VII, le traitement élastoplastique développé par Fong Shih pour la plasticité confinée limitée ou étendue (voir figure) dans un matériau suivant une loi de Ramberg-Osgood est décrit et les paramètres de chargement J et Q sont introduits. Pour la rupture ductile, la fissure immobile et la fissure en mouvement sont successivement considérées ët la méthodologie de mesure des ténacités correspondantes est donnée. Au chapitre VIII, le lien entre les aspects microscopique et les aspect macroscopiques de la rupture est fait à l'aide des résultats des chapitres V, VI et VIL La ténacité apparaît ainsi comme essentiellement liée à la géométrie et au mode de sollicitation mécanique. Finalement, l'instabilité au cours de la propagation d'une fissure est traitée. Cet ouvrage est articulé autour d'un cours élémentaire professé à l'Institut Supérieur des Matériaux et de la Construction Mécanique. If représente également le bilan d'une activité de 25 ans dans le domaine de la mécanique de la rupture au Commissariat à l'Energie Atomique. Je remercie l'Institut de Protection et de Sûreté Nucléaire et le Commissariat à l'Energie Atomique de m'avoir encouragé à écrire cette synthèse et d'en avoir permis la publication.

TABLE DES MATIERES

Monographies de Matérialogie ...................... ~.......................................

V

Avant-propos..........................................................................................

VII

Notations.................................................................................................

XVII

CHAPITRE I : Aspect microscopique de la rupture Contrainte de cohésion.................................................

1

CHAPITRE II : Traitement élastique linéaire des discontinuités Traitement purement élastique .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

5

1. L'entaille - Concentrations de contrainte et de déformation........

5

1.1. Champs de contrainte et de déformation .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

5

1.2. Aspect énergétique.............................................................

8

1.3. Critères de rupture.............................................................

8

II. La fissure -Facteurs d'intensité de contrainte............................

9

II.l. Représentation générale d'unefissure...............................

9

II.2. Champs de contrainte et de déformation au voisinage d'une fissure....................................................................

11

II.3. Aspect énergétique...........................................................

25

II.4. Critères de rupture............................................................

28

III. La fissure tridimensionnelle .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ......................

34

CHAPITRE III : Traitement élastique linéaire des discontinuités Correction de plasticité............................................

51

1. Modèle de plasticité confinée pour une entaille .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

51

II. Modèles de plasticité confinée pour une fissure.........................

52

II.l. Premier modèle : correction de zone plastique d'Irwin.....

52

1!.2. Second modèle: modèle de la bande plastifiée ou modèle de Dugdale-Barenblatt ......................................... .

57

11.3. Troisième modèle: traitement élastoplastique du mode III

60

II.4. Quatrième modèle : modèle de Bilby, Cottrell et Swinden...........................................................................

62

II.5. Cinquième modèle : modèle de l'entaille à fond circulaire

CHAPITRE V : Aspect microscopique de la rupture Clivage et rupture ductile...........................................

103

1. Rappel sur la théorie des dislocations.......................................

106

II. Méthodes expérimentales d'analyse..........................................

112

11.1. Essais de flexion d'éprouvettes entaillées latéralement......

112

de Tetelman.....................................................................

64

1!.2 Essais de traction d'éprouvettes axisymetriques entaillées.

116

III. Implications de ces modèles pour la rupture .. .. ..................... .. .

66

III. Rupture de clivage...................................................................

118

III.l. Critères de rupture ..... ................ .. ... .. ..... .. ................... ... .

67

111.1. Mécanismes élémentaires...............................................

118

11!.2 .. Traitement statistique.....................................................

124

III.2. Diagramme d'évaluation de la rupture-Méthode des deux critères ou méthode R6......... ..................... .. ..... ... .. ..........

68

IV. Rupture intergranulaire...........................................................

130

III.3. Eprouvettes de mesure de la ténacité...............................

69

V. Rupture ductile........................................................................

130

V.l. Mécanismes élémentaires................................................

132

V.2. Mécanique des milieux dommageables............................

144

CHAPITRE IV : Traitement élastique linéaire de la rupture

VI. La transition fragile ductile avec les éprouvettes lisses et

Le risque de rupture brutale .................................... .

81

I. La ténacité .. ............................. ... ... .................................. ....... ...

81

entaillées ................................................................................. .

146

I.l. Les courbes de résistance à la propagation .... ... ..................

85

VI.l. La transition fragile ductile en taille de grain ................ .

147

1.2. La correction de contrainte plane.......................................

87

VI.2. La transition fragile ductile en température ................... .

148

I.3. Le caractère statistique de la ténacité .......... ......... .. ............

88

II. Le défaut..................................................................................

88

II.l. La nature des défauts........................................................

88

Traitement purement plastique et correction de

II.2. Le contrôle non destructif.................................................

91

grandes déformations ............................................. .

155

III. Les sollicitations mécaniques...................................................

93

I. Matériau rigide-parfaitement plastique. Le chargement limite ..

158

IV. Exemple d'application : les capacités sous pression ........ ... ... ...

93

I.l. Le chargement limite ....................................................... .

158

1. 2. Le champ de déformation ................................................ .

159

IV.l. Sélection d'un matériau en fonction du contrôle non

CHAPITRE VI : Traitement plastique des discontinuités

destructif..........................................................................

94

1.3. Le cas tridimensionnel... .................................................. .

160

IV.2. Concept du cycle d'épreuve.............................................

94

II. Matériau plastique avec consolidation. L'intégrale de contour ..

160

IV.3. Concept de la fuite avant rupture.....................................

95

II.l. Les intégrales de contour.. ................ :.............................. .

160

IV.4. Le risque de rupture brutale............................................

96

11.2. Cas particulier du matériau d'Hollomon ........................... .

174

II.3. Cas d'un matériau avec une loi de déformation non analytique

CHAPITRE VIII : Traitement élasto-plastique des discontinuités Le risque de rupture ... ..... .... ... ... ......................... .. .

24 7

L'approche d'Ainsworth...................................................

184

III. Le problème tridimensionnel... ............................................... .

185

III.l. Définition de Jet méthodes de détermination ................. .

185

macroscopique .......................................................................... .

247

III.2. Expressions de J ............................................................ .

186

I.l. Comportement totalement fragile ...................................... .

248

IV. Extension de fissure ............................................................... .

186

I.2. Comportement totalement ductile ..................................... .

255

V. Utilisation de l'intégrale J pour la fatigue ............................... .

190

I.3. Comportement ductile puis fragile .................................... .

265

I.4. La transition fragile ductile................................................

265

II. Application pratique .................................................. ···.···········

265

207

II.l. Le facteur de sûreté pour la rupture fragile ...................... .

265

I. Expression générale des champs de contrainte et de déformation.

209

II.2 La stabilité de la propagation contrôlée par J ................. .. .

267

II. La plasticité confinée limitée et les champs décrits par Q..........

210

11.3. Effet tridimensionnel........................................................

269

II.l. Propriétés de l'intégrale de contour J................................

210

II.2. Description des champs de contrainte et de déformation...

212

ANNEXES ............................................................................................. .

275

III. Corps fissurés de largeur finie .. .... ................................... .. ... ...

218

Annexe I : Un peu de mathémathiques élémentaires ............................... .

275

IV. Les paramètres de chargement ... .............................................

220

Annexe II : Propriétés physiques et caractéristiques à la température

IV.l. Détermination et estimation de J.....................................

223

ambiante de quelques métaux et alliages ........................ , ..... .

276

IV.2. Estimation de Q........................................ ,.....................

226

Annexe III: Thermique ........................................................................... .

277

V. Le problème tridimensionnel...................................................

226

Guide de lecture et bibliographie complémentaire ............ ·....................... .

280

VI. La propagation quasi-statique..................................................

228

Solutions d'exercices .............................................................................. .

281

CHAPITRE VII : Traitement plastique des discontinuités Traitement élasto-plastique .. ........... .... .. ..... ... ..........

VI.1. Cas du matériau élastique-parfaitement plastique et des petites déformations........................................................

228

VI.2. Cas du matériau élasto-plastique et des petites déformations .................................................................. .

233

VII. Implication de ces modèles pour la rupture . ........ ...................

236

VII.l. Critères de rupture.........................................................

236

VII.2. Eprouvettes de mesure de la ténacité..............................

237

I. La ténacité : relation entre aspect microscopique et aspect

Notations

a a a a ao b b

B B c

2d D

DR E

J, Jo, J*, fL, f(a/w) G G1, Gu, Gm

Ge h h(afw, n) J Jo

fe

Demi-longueur d'une fissure interne Longueur d'une fissure de surface Profondeur d'une fissure elliptique débouchante Rayon d'une éprouvette axisymétrique entaillée Paramètre de maille du réseau Vecteur de Burgers d'une dislocation Dimension du ligament non fissuré en avant du front de fissure Facteur de biaxialité d'une plaque avec une fissure de Inglis. B = a ':'x/ a ';y Epaisseur ("breadth") d'une plaque ou d'une éprouvette Demi-longueur en surface d'une fissure elliptique débouchante Diamètre de grain Fonction dommage Valeur ctitique de la fonction dommage Module d'Young Fraction volumique de vide, courante, initiale, efficace, limite, critique Fonction de forme dans l'expression de K 1 avec une charge Force d'extension de fissure Force d'extension de fissure en mode I, II, III Force d'extension de fissure critique Triaxialité Fonction de forme dans l'expression de J Intégrale de contour de Rice Intégrale de contour de Rice dans le cas de l'écoulement plastique de déformation Intégrale de contour de Rice critique Intégrale de contour de Rice à l'amorçage J modifié de Ernst Résistance à la propagation Facteur d'intensité de contrainte critique en mode I ou ténacité non en déformation plane Facteur d'intensité de contrainte critique en mode I ou ténacité en déformation plane Facteur d'intensité de contrainte corrigé de la plasticité

LI

Ka Kap Kcp l L l* Lr M n

N p q

Q Q QHRR

r r*

R R Sr

t Tr T,Ti Ti

Tn

Facteur d'intensité de contrainte critique déduit de J1c Facteur d'intensité de contrainte obtenue par la méthode de la sécante Rapport du facteur d'intensité de contrainte appliqué sur la ténacité en élastique Facteur de concentration de contrainte Facteur de concentration de contrainte plastique Facteur de concentration de déformation plastique Distance entre vides Taille de la maille Diamètre d'une source de Frank-Read Rapport du chargement appliqué sur le chargement de plasticité généralisée Moment de flexion Exposant de consolidation dans la relation c =Gan Vecteur unitaire perpendiculaire à un contour ou à une surface Exposant de consolidation dans la relation a = CcN Charge de traction ou de compression Déplacement généralisé Force généralisée Facteur de confinement ("constraint factor") Amplitude adimensionnelle du deuxième terme du développement asymptotique en série des contraintes dans un matériau de Ramberg-Osgood Amplitude adimensionnelle fonction des coordonnées polaires de la différence entre un champ de contrainte donné et le champ de contrainte de la plasticité confinée limitée dans un matériau de Ramberg-Osgood Coordonnée polaire Distance d'une source de Frank-Read à la tête de l'empilement de dislocations Rayon de l'entaille d'une éprouvette axisymétrique entaillée Constante des gaz parfaits: R = 8,3143 J.K- 1 .mol- 1 Rapport du chargement appliqué sur le chargement limite Epaisseur ("thickness") d'une plaque ou d'une éprouvette Contrainte transverse T Vecteur traction agissant sur un contour Module de déchirement (de déchirure) lié au chargement Module de déchirement (de déchirure) lié au matériau Déformation Energie de déformation élastique Energie de déformation ou aire sous-tendue par la courbe charge-déplacement '

Ur

v

w w w

Y(afw) (3 f3c fJic

6-an co cc cE ceq Cij

cM cp

cR

cr cT 1'gb

'Yi

'Yrn 'Ys 'YsA 1'P

1JP (}

.L..I'J.J.'"".I.f,.L'-' UU""''"I.YU ... .&'-1&.&

Energie de déformation plastique ou aire sous la courbe charge-déplacement Déplacement d'une charge · Largeur ("width") d'une plaque ou d'une éprouvette avec une. fissure de surface Travail des forces extérieures Densité d'énergie de déformation apparaissant .dans l'expression de J Densité d'énergie de déformation élastique apparaissant . dans l'expression de J Densité d'énergie de déformation plastique apparmssant dans l'expression de J Fonction de forme dans l'expression de K, avec une contrainte Taux de triaxialité Paramètre d'étendue de la zone plastique Paramètre d'étendue de la zone plastique en déformation plane Ouverture à fond de fissure Ouverture à fond de fissure critique Symbole de Kronecker ( = 0 pour i =f. j ; = 1 pour i = j) . Dimension de la maille utilisée dans l'étude de la propagatiOn de la r-upture ductile Extension de fissure Déformation à la limite d'élasticité Déformation critique Déformation élastique Déformation équivalente ou généralisée Composante du tenseur de déformation Déformation maximale Déformation plastique Déformation à la rupture Déformation de référence dans la règle R6 Déformation totale : cT = cE + cP Energie de cohésion d'un joint de grain Energie de franchissement d'un joint de grain par une fissure de clivage · Energie de propagation d'un clivage dans un grain Energie de surface Energie de surface de la phase A Energie de déformation plastique Coefficient reliant la composante plastique Jp à l'énergie de déformation plastique Up Coordonnée polaire

lJ

Coefficient de Poisson Rayon de courbure Limite d'élasticité Contrainte de cohésion du réseau Contrainte de clivage Contrainte équivalente ou généralisée Contrainte d'écoulement plastique Composante' du tenseur de contrainte Contrainte maximale ou charge maximale ramenée à la section initiale dans un essai de traction Contrainte réduite Contrainte à la rupture Contrainte de référence dans la règle R6 Composante de contrainte normale Taux de biaxialité adimensionnel d'une fissure en élasticité Cission critique théorique de glissement Limite d'élasticité en cisaillement Composante de la contrainte de cisaillement (cission) Force d'une source de Frank-Read

CHAPITRE!

Aspect microscopique de la rupture Contrainte de cohésion

Si l'on considère un matériau sans défaut de structure cristallographique, que l'on simplifiera ici en l'assimilant à une structure cubique simple, et que l'on caractérisera sur l'échelle dimensionnelle par le paramètre de maille a 0 de l'ordre de 0,5 nm, les possibilités de déformation ordonnée et massive (Fig. 1.1) à des températures relativement basses par rapport à la température de fusion du matériau correspondent à la réponse aux deux composantes d'une sollicitation s'exerçant sur un plan réticulaire ou cristallographique, une contrainte normale perpendiculaire à ce plan et une cission parallèlement à ce plan. Les valeurs critiques nécessaires pour assurer ces mouvements s'appellent les contraintes

théoriques de cohésion (ou de clivage) et de glissement du réseau. La troisième possibilité de mouvement (Fig. 1.1) est le mouvement désordonné ou cavitation caractéristique des phénomènes de diffusion à haute température ou des phénomènes de création de défauts ponctuels à basse température, par exemple par irradiation. Cet aspect sera traité ultérieurement. Pour le clivage qui consiste à séparer deux plans cristallographiques de leur position d'équilibre dans une direction perpendiculaire à ces plans, la contrainte· normale a nécessaire à la séparation commence par augmenter, passe par un maximum, puis décroît jusqu'à une valeur nulle comme indiqué sur la figure 1.1. La contrainte de cohésion, ac, est la contrainte maximale. La courbe contraintedéformation peut être approximée par une courbe sinusoïdale de longueur d'onde À. Ainsi

. (x-ao) a= ac sm 271' À avec a 0 la distance inter atomique. Au voisinage de la position d'équilibre, le comportement du cristal est purement élastique et le module d'Young vaut

D. Miannay

2

·3

CHAPITRE 1- ASPECT MICROSCOPIQUE DE LA RUPTURE

ici :

nm

0=====~ E

Avant

Pendant

~

9+9-9

Pendant

Q----d-----cH)

= (du) de

x=ao

du ) ( d (x :oao) x=ao

l

ao+>-

2"(5 == ao

crc sin2rr

(xao) -->.- ==

2rr

= O"cao T

1

À

-crc 21!"

COS

x- ao

lao+>-

2rr -->.- ao

À

== 0"c:;;:

~élimination de À entre les expressions de E et de 2 "fs, conduit au résultat :

{Ff1; va;

D'autres calculs de la contrainte de cohésion ont été faits [1] en utilisant des lois force-séparation plus précises et ont conduit à des valeurs de O"c comprises entre E/4 et E/13. En général, on considère que les valeurs CJc

Avant

(der) dx x=ao

En outre l'aire sous la courbe contrainte-déplacement représente l'énergie, 2 "(5 , nécessaire pour créer deux surfaces, soit :

O"c =

b/cisaillement

= ao

E == 10

avec

Eao

'Ys == 100

Pendant

sont de bonnes approximations. (exercice 1.1) Un calcul similaire de la contrainte théorique de glissement conduit à l'approximation suivante f1

Tc

== 10

f1 étant le module de cisaillement ou module de Coulomb.

(exercices 1.2, 1.3)

a/cliva e Fig.I.l. -

c/cavitation

Bibliographie

Modes de rupture à l'échelle atomique et définitions.

[1] Gilman J.J., "Strength of Ceramics Crystals", Am. Ceram. Soc. Conf., New York, Apri11962.

4

D. Miannay

Exercices I.l. Calculer la contrainte de cohésion du réseau lorsque la loi contraintedéplacement est la loi de Lennard-Jones CT=

avec m

A [ (~) m

_

(:O) n]

CHAPITRE II

= 2 et n = 9.

1.2. Calculer la contrainte théorique de cisaillement du réseau. 1.3. Comparer les valeurs des contraintes théoriques avec les valeurs réellement observées dans le cas des aciers, des alliages de titane et des alliages d'aluminium.

Traitement élastique linéaire des discontinuités Traitement purement élastique

On considèrera dans ce chapitre un milieu continu, homogène et isotrope dans lequel existe une discontinuité au repos et qui est soumise à un chargement. Le cas de la discontinuité en mouvement sera traité par la suite. On considère un milieu dans lequel il ne se produit pas de déformations plastiques : les contraintes dans le matériau restent toujours inférieures à la limite d'écoulement plastique. Et la loi de comportement pour les petites déformations en trois dimensions est décrite par l'équation généralisée de Hooke :

où s;j est la contrainte réduite, s;j = CTij - akk/38;j, v le coefficient de Poisson etE le module d'Young. Cette loi constitutive en traction s'écrit :

avec a0 = Ee 0 la limite d'élasticité. La présentation est faite ici en considérant principalement des problèmes plans. Les problèmes spécifiquement tridimensionnels font l'objet de la dernière partie. 1.

L'entaille- Concentrations de contrainte et de déformation

1.1

CHAMPS DE CONTRAINTE ET DE DÉFORMATION

Les nombreux éléments d'une structure peuvent être assimilés très souvent à des éléments simples de la mécanique : plaques, barres, poutres, tubes. Dans de

6

D. Miannay

CHAPITRE II- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS

tels éléments, l'état de contraintes et de déformations élastiques peut se déduire facilement des équations de base de l'élasticité. Cependant, lorsque les charges appliquées au matériau sont concentrées en certains points ou lorsqu'il existe des singularités géométriques telles que des entailles, filets de vis, gorges, congés de raccordement, trous, etc. qui sont destinés à l'assemblage, l'état élastique est perturbé localement et l'analyse en est plus difficile. Dans ce cas, on considère la discontinuité à part: on analyse l'état de contrainte (ou de déformation) loin de la discontinuité, ce qui donne la contrainte (ou déformation) nominale (c'est la contrainte dans le matériau sans discontinuité) : ua (pour "gross stress"). Puis on détermine la contrainte (ou déformation) maximale~ lTM, au voisinage de la discontinuité. On introduit alors le facteur de concentration de contrainte, Ku, qui représente le rapport de cette contrainte maximale à la contrainte nominale :

tension.

cr

tt tt t 2bl ~s-'.A

p

0

maximale O"M K l T 0"= ---=-

a nominale

7

Q

CT G

Lorsque la discontinuité correspond à un manque de matière, certains auteurs remplacent, dans l'expression du facteur de concentration de contrainte, la contrainte nominale par la contrainte réduite, lTN ("net section stress") qui est la contrainte qui existerait dans l'élément simple dè dimension diminuée de la dimension de la discontinuité :

Lorsque le milieu devient infini ou lorsque le défaut est très petit, lTN et ua sont voisins et les deux définitions de Ku se confondent. La contrainte peut être une tension ou une cission. Kt = I(u est le facteur d'entaille qui apparaît dans les études de fatigue. La résolution de nombreux cas peut être trouvée dans la littérature [1-3). On y trouvera également les lois de décroissance des contraintes et des déformations lorsque l'on s'éloigne de la discontinuité. La première solution d'une discontinuité a été donnée par Inglis [4) pour une fissure elliptique bidimensionnelle, dans une plaque plane, soumise à une contrainte, u, uniformément répartie à l'infini et perpendiculaire au grand axe. L:ellipse est caractérisée pl;lr ses axes de longueur 2 a et 2 b. Son rayon de courbure à l'extrémité du grand axe est p = b2 /a. L: état de contrainte est représenté sur la figure II.l et la résolution en coordonnées curvilignes donne comme expression du facteur de concentration de contrainte au sommet du grand axe :

Ku= 1 + 2a/b = 1 + 2(a/p) 1 12 et pour la distribution de la contrainte normale maximale au voisinage immédiat

tension

=---

1

moyenne

Fig.II.l -Etat de contrainte autour d'une entaille elliptique traversante sollicitée en tension (d'après lnglis (1913)).

CHAPITRE Il- TRAITEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE DES DISCONTINUITÉS

D. Miannay

8

Cette expression indique que Œr tend vers zéro lorsque p tend vers O. Ceci n'èst pas concevable physiquement. Aussi Griffith a introduit un deuxième type de critère:

du rayon:

Œyy

9

= uKuJ p+4x p

(exercice 11.1) Lorsque le rayon à fond d'entaille devient nul, Ku devient infini et les méthodes ?e calcul utilisées pour la détermination de Ku ne peuvent s'appliquer. Une premtère approximation consiste à utiliser un rayon fictif qui dépendra de la nature du matériau [5] pour pouvoir conserver la notion de facteur de concentration. La deuxième solution est d'utiliser de nouvelles méthodes de calcul pour déterminer l'état de contrainte élastique autour des fissures et d'introduire la notion de facteur d'intensité de contrainte (voir plus loin).

1.3.2 Critère énergétique La rupture se produira lorsque la variation d'énergie de déformation élastique due à un accroissement de longueur d'entaille, d2a., sera égale à la variation d'énergie de surface due à la variation de surface 2 d2a (pour une épaisseur de plaque unité), c'est à dire lorsque : 1ro}ad2a

E'

dt:.U =

= --y,!.14 a.

D'où 1. 2

AsPECT ÉNERGÉTIQUE Ur

J2E'7s

=

7ra

~introduction

de l'entaille elliptique dans la plaque en perturbant les c~amps ~e c~ntra_inte et de d~formation entraîne une diminution d'énergie de deformation elastique que Griffith [6] a calculée à partir de la solution de lnglis et trouvée égale à 1ru2a2

f::.U= - - E'

Dans cette expression le rayon à fond d'entaille n'apparaît pas. Ainsi les deux critères apparaissent comme des conditions nécessaires et suffisantes pour avoir la rupturt
12 8~8

1

14

120

1' P/4

OL

1

b/ 4 points

........-

3P/8

.J..

Expressions du facteur d'intensité de contrainte de la branche infiniment petite à l'extrémité d'une fissure principale en fonction des facteurs d'intensité de contrainte de la fissure principale.

110 8J, P pl'

42 [[20 1i1Q 180 1

I4o T3P/8

110 3P/8 J,

a

b)

. a) - 23 Kn sm

= ~cos~ (KI sin a+ Kn(3 cos a- 1)) 2

WB

4

tlo 3P 1440 1

ku

·

Op/2 ~

~p

2a

a ( KI cos2 a ki= cos 2 2

Kn=~&Fi:I

Eprouvettes de flexion

/1\9

i

49

2

étant l'angle formé par la branche et la prolongation de la fissure principale.

24J. p

!40 36 h2o TjP/8 p1' 1110 180 110 3P/8 _-k_ 30J. p 30 n2o p1' 110 180

[4o

T P/8

Référence: Balloch R.A. et Brown M.W., "The Effect of Precracking History on Branch Crack Threshold Under Mixed Mode 1/II Loading", Fatigue Under Biaxial and Multiaxial Loading, ESIS 10, K. Kussmaul et al., Eds. (Mech. Pub., London, 1991) pp. 179-197.

D. Miannay

50

Annexe IX.- Expression du champ de contrainte au voisinage d'une fissure avec un fond arrmidi en mode 1 (d'après Creager (1985)).

CHAPITRE III

Traitement élastique linéaire des discontinuités Correction de plasticité

u,, =

() ( 1- sm . -sm() . 3()) - -cosp 3()] -K1- [cos.,fïirr . 2 2 2 2r 2 '0K1

[

() (

. () .

3()) + 2pr cos 23()]

1 +sm 2sm 2

uyy

= .,fïirr cos

r

K1 [ . () (} . 3(} p . 3(}] =--sm-cos-sm---sm.,fïirr 2 2 2 2r 2

"'Y

2

avec KI = u 00

,;;;ra

l!origine des coordonnées polaires est prise à une distance p/2 du fond de fissure de rayon de courbure p.

On considèrera dans ce chapitre un milieu continu, homogène et isotrope ·dans lequel existe une entaille ou une fissure au repos et qui est soumise à un chargement. Le cas de la fissure en mouvement sera traité par la suite. On considère un milieu dans lequel il ne se produit pas de déformations plastiques sauf au voisinage immédiat de l'entaille où la contrainte maximale devient supérieure à la limite d'élasticité, ou de la fissure où la singularité asymptotique décrite par le FIC comporte des contraintes qui deviennent infinies et qui doivent donc être borp.ées par la limite d'élasticité. La loi de comportement pour les petites déformations est décrite en traction uni-axiale par : -pouru < u0 (Loi de l'élasticité) : E

U

e:o

ua

'

avec u 0 = E e: 0 la limite d'élasticité et v ~ 0,3. -pouru = u 0 (Loi de la plasticité parfaite sans consolidation) : u =u0 ,

u0 étant la contrainte équivalente de Von M!ses et v = 0, 5. On considère d'abord brièvement le cas des entailles, puis plus en détaille cas des fissures. 1.

Modèle de plasticité confinée pour une entaille

Neuber [1] a proposé la règle suiviJ.nte, dite "règle de Neuber": "Quelle'que soit la loi de comportement du matériau, on a, si l'on désigne par K" le facteur de concentration de contrainte et par K. le facteur de concentration de déformation : Ku.K• = constante

52

D. Miannay

CHAPITRE lii- CORRECTION DE PLASTICITÉ

avec Ker = uM/u et K, = êM/ê, UM et êM étant la contrainte maximale et la déformation maximale au voisinage de l'entaille et u et ê la contrainte nominale et la déformation nominale". Dans le cas du comportement élastique, on a donc la relation : KcrE X KŒ

53

mESCA

VON MISES

= (KcrE) 2 x

avec KcrE le facteur de concentration de contrainte élastique. Dans le cas du comportement plastique, l'expression précédente s'écrit:

11 - pour u o. 1 1) possibles (l'expression utilisée est à vérifier pour chaque ca cu . 2

soit,

avec s1 < s2 < s3 < ... identification du premier terme ou terme principal conduit à la solution proposée par Hutchinson et Rice et Rosengren ou solution HRR, CJHRR, avec s 1 = -1/(n+ 1), avec l'amplitude gouvernée par Jet avec dominance de la partie plastique de la loi de comportement. La résolution des deux premiers termes de la série a été faite par Li et Wang [3] à l'aide des fonctions d'Airy pour n = 3 et n = 10 et par Sharma et Aravas [4] pour l'état de déformation plane directement à partir de l'expression des contraintes de façon plus générale. Ces derniers trouvent après résolution des équations et calcul numérique les solutions suivantes: ~

)1/(n+1) -. ·((} ).+ QHRR ( _r_ J CJij _ ( u'LJ ,n CJo O:Eo CJo In r J / CJo

soit (Wang (1992))

-é:ij = ( o:e:o

_pour la loi de Ramberg-Osgood, (loi RO) : 1+v

Eij :::::

-es;j

+

1- 2 3 E Ukk 6;j

3

+ 2o: Eo

n-1 ( Cfe )

Sij

uo

uo

Pour les grandes déformations, la loi de déformation du matériau est donnée par: -selon Hancock (1992) : Cf> uo;

~

11:

1

"

0 U;- U; _

o:e:o

(;J

1/m-

(;J

-

HRR (

= :o;

m = 0,1

)

n/(n+l)

r -11

J

(

o:e:o uo

(

O:Eo

n/(n+l)

In

_r_ )

J / uo

•• (

((}

,n )

J

) •• (

)

-

êij

In r CJo

+ QHRR

'Dowd (1992) de façon plus complexe, voir la référence [9]. - se1on O • , , · · f 't l'état de Sauf indication contraire, le traitement presente ICI est ai pour déformation plane.

:;

+Q

J o:Eo CJo

)•2 Û;j(O,n) + ... ,

) (n-1)/(n+1)

Cfo 1n

A

e:;j(O,n),

T

- ·((} ) r i/(n+1) u, ,n

J ŒEo CJo

)

(n-1)/(n+l) r2f(n+1)

û;(O, n).

In

avec pour 1 < n < 1,6 (c'est-à-dire pour un matériau "fictif" à très forte consolidation): s 2 = (n- 2)/(n + 1)

,o

lOI< K/4

et en considérant les solutions obtenues par la méthode des champs de lignes de glissement, on obtient :

30

0

Ti cr ""0,8 ,..--------;-;---~~~ c a/1=0,60, fie x. • a/1=0. 15, flex. 0,4 o a/1=0, 15, ten a/1=0.60. ten . O/C=0,24 0,0

~

(en effet d'après Ewing, a YY ~ ao; a "·x ~ ao et a o·y ~ ao) V.

8

90

02i 02j·

60

Le problème tridimensionnel

Pour un matériau Elastique Puis Plastique, Wang [18] a étudié par calcul aux éléments finis les fissures de surface semi elliptiques courte et profonde (Fig. VII.14) dans une plaque soumise à une tension ou à une flexion. Les valeurs normalisées de l'intégrale J obtenues par la méthode de l'intégrale de domaine et les valeurs du paramètre T / a 0 déduites de Q55 Y par la relation de Wang donnée

90

60

30

0

,o

Fig. VI de l'intégrale J normalisée , ] = Jj-co a 0 t L2r> e t d u t aux . ï - Valeurs . b' . r1.14 , 1axm 1te e as!Iqu_e le long d'une fissure semi-elliptique de surface dans une plaque soun a ~ne tension ou a une flexion. Plaque de dimension Wjt = 8 etH jt = 16; L 1• = P/ Pr am /ao en tension et Lr = M /Mo = 1. 5 ab' /ao en flexion. Matériau Elastique F Pl~sllque, Eo = 0,0025 ; v = 0,3 ; n = 10. T est déduit de Q avec la relation de W: (d apres Parks (1992)). '

~e para~ètre ~n'est donné que pour des angles

0, r uo E (avec ii= 1/(n- 1)) avec f* la solution pour la fissure immobile:

db =

r = ~ Ü.y(1r, n) ( n

o /o

3

0

0

22

fissure stationnaire fissure mobile,

oo

45°

+1

In

.J

) -1/(n+l)'

Uo éo In r

et (3* et R* indéterminés par l'analyse asymptotique. les expressions asymptc tiques proposées pour les champs de contrainte et de déformation s'écrivent : v=0,3

u;i

= (ln ~)a. Ü;j(fJ, n),

u;

= r (ln-:;:-A)à+l ü.;(fJ, n),

2

-1

23

extensions gouvernées par des valeurs de T égales à 5 et 15 et a ainsi détermin numériquement la valeur de (3 = 5,46 qui est en accord avec la valeur de 1 solution asymptotique et la valeur de a = 0,58. En outreR est compris entre 0,11 E h/uo et0,133 E h/uo. La variation dé u;i/uo en fonction der/ (Kr/uo) 2 pot (} = 0 en avant de la fissure en mouvement est identique quelque soit T à celle e avant de la fissure stationnaire à l'exception de la composante u zz qui est trouvé _plus petite. La figure VII.18 représente l'évolution des profils d'ouverture pot la fissure stationnaire et pour la fissure en mouvement. On constate que le prof est conservé au cours de la propagation. Cette remarque sera utilisée au chapitx VIII.

fissure stationnaire

fissure mobile,

CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS

90°

Fig.VII.17- Représentation à l'aide des lignes de glissement des états de contrainte .du champ de .Prandtl au voisinage d'une fissure i~mobile et d~ champ ~e Prandtl mo~1fié avec un secteur élastique pour une fissure mobile. Compara1son des etats de contramte (d'après Drugan, Rice et Sham (1982)).

e;j =

(ln-:;:-A)à+l Ë;j(fJ,n)

pour r--> 0,

avec A non identifiée dans la solution asymptotique. En utilisant des chargemenl transitoires et permanents KI fonction de .6.a, ces auteurs ont déterminé le champs de contrainte et de déformation. Pour le mode 1 et pour un matériau de Ramberg-Osgood avec n = 10, Vari~ et Shih [24] ont utilisé la méthode de la couche limite modifiée avec KI et T le paramètres de chargement à l'infini pour déterminer par calcul aux éléments fin1 les dimensions de la zone plastique et les états de contrainte et de déformatio dans cette zone dans le cas des régimes permanents correspondants à différente valeurs de KI. Les principaux résultats obtenus sont les suivants : - l'étude aux grandes déformations n'est pas faite car la zone de grand déformation est en fait très petite, de l'ordre de w- 4 (KJ/u0 ) 2 ;

CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS

D. Miannay

234

235

0,04

1,5

5

n=10

251/ao

- pour la tension : 0, 01 b > R

> 3 Dt= 3 x 0, 6 1 /ao

Il faut donc que : b>1751/ao. VII.2.2 Extension pennise Pour l'état de plasticité généralisée, c'est-à-dir.e lor~que la déformat~on élastique est négligeable devant la déformatio~ plasti.que, Il faut que le domame de dominance de dimension R soit tel que (vmr chapitre VI, paragraphe Ill),

- pour la flexion da

R

= 0, 07 b > 1 dl

ou sous forme adimensionnelle w=

b dl

- > 14. 1 da

La valeur 14 serait en fait un majorant si les résultats expérimentaux sont considérés.

- pour la tension da R = 0, 01 b > 1 dl

ou sous forme adimensionnelle b dl > 100. 1 da

W= - -

VII.2.3 Méthodes d'essais

Pour augmenter pour un volume donné de matière la capacité détermination des valeurs critiques de 1, seules les éprouvettes sollicitée: flexion sont retenues : ce sont les mêmes éprouvettes SE(B) sollicitées en fie: 3 points et C(T) sollicitées en tension qui sont utilisées pour la détermina de K 1c lors d'un comportement globalement élastique, comme il a été décri chapitre III. La longueur relative de fissure, ajW, est comprise entre 0,5 etC En outre, il sera vu au chapitre suivant que cette géométrie conduit aux couJ de résistance à la propagation les plus conservatoires pour l'utilisation sûre ( composant. _ Pour déterminer la ténacité lie, valeur critique de 1 au voisinage du démarr de l'extension stable de la fissure, la procédure vise à développer la pori initiale d'une courbe 1 - R consistant en des valeurs de l'intégrale 1 à série d'extensions de fissure mesurées, et à évaluer une estimation au sem l'ingénieur de la valeur de l'intégrale 1 requise pour produire une petite val d'extension stable de la fissure, et dans la norme ASTM E 813 [28] la val de 0,2 mm est considérée. Deux méthodes peuvent être utilisées, la techni• des éprouvettes multiples ("multiple specimen technique") et la technique l'éprouvette unique ("single specimen technique"). Selon la première technic plusieurs éprouvettes (au minimum 5) sont chargées jusqu'à des déplacements vant produire différentes valeurs régulièrement échelonnées d'extension fla. charge est enregistrée en fonction du déplacement de la charge. Les éprouve: sont alors déchargées et le front de propagation est marqué soit par la méth1 de "bleuissage" (ou d'oxydation à chaud de la fissure), soit par une extens complémentaire en fatigue qui présente un faciès reconnaissable. ~éprouvette ensuite rompue de façon fragile et l'extension fla est déterminée. La deuxiè technique consiste à utiliser une éprouvette unique (l'essai est répété au mo trois fois pour tester l'hétérogénéité du matériau) et à procéder au cours du ch gement normal avec enregistrement de la charge en fonction du déplacemer des déchargements partiels à des instants bien choisis. Ces déchargements parti analysés en terme de complaisance élastique permettent de déterminer la !1 gue ur de la fissure en cours de propagation. Puis pour chaque éprouvette pouJ première technique ou pour chaque déchargement pour la deuxième techniq la valeur de l'intégrale 1 est déterminée à partir de ses composantes élastique

240

D.Miannay

CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS

et plastique Jp à l'aide de la relation : J=

charge

h +Jp

avec JE = K{ (1 - v 2 ) , K1 étant donné au chapitre II pour les deux géométries et avec Jp = TJ Up / Bb, Up étant l'aire délimitée par la courbe de chargement et la droite dite de déchargement tracée à l'aide de l'expression non rappelée ici de ia complaisance élastique C (a0 + t:.a) (Fig. VII.22). 7J = 2 pour l'éprouvette de flexion et 77 = 2 + 0,522 b0 /W pour l'éprouvette compacte. Les données sont ensuite portées sur un diagramme J - t:.a (Fig. VII.22). La droite d'émoussement ("blunting line") d'équation J = 2crr t:.a est tracée, avec err la limite d'écoulement plastique prise égale à la valeur moyenne de la limite d'élasticité et de la contrainte maximale. Cette droite traduit l'avancée de la fissure par formation de la zone étirée ("stretched zone"). Ensuite sont tracées deux droites, dites droites d'exclusion, parallèlement à la droite d~émoussement et traversant l'axe des abscisses aux points 0,15 et 1,5 mm. Seuls les points expérimentaux régulièrement répartis entre ces deux droites sont retenus pour la suite. Les points d'extensions faibles ne sont pas retenus car manquants de précision sur la valeur de l'extension et les points. d'extensions élevés ne sont pas retenus pour ne pas transgresser a priori la règle d'extension gouvernée par J. Une limite supérieure en J, JMax = b err /15, valeur voisine de la valeur correspondant à la condition de validité de J pour une fissure immobile est également tracée pour exclure les valeurs supérieures. Ensuite les points expérimentaux sont lissés linéairement par la méthode des moindres carrés sous la forme : ln J

241

nt a)

déplacement sur la ligne de charge

J

J

--~x_-----

------~

da.J • points utilisés pour la régression

5

ligne d'exclusion des o. 15 mm

~

= ln cl + c2 ln t:.a.

Et l'intersection de cette courbe parabolique est recherchée avec la droite parallèle à la droite d'émoussement et décalée de 0,2 mm sur l'axe des t:.a. Le point trouvé donne la valeur JQ. Si la valeur JQ vérifie la condition JQ < b0 B /25, cette valeur est la valeur recherchée de la ténacité J 1c en déformation plane. Pour déterminer les courbes J - R (" J - R curves") ou courbes de résistance à la propagation qui donnent la variation de J en fonction de l'extension t:.a, la procédure générale est identique à celle de la détermination de J 1c (norme ASTM E 1152 [29]). Les différences principales (Fig. VII.23) sont la prise en compte de la propagation de la fissure dans le calcul de J-et les limites de validité pour les données expérimentales : les points à retenir sont au-delà de la ligne sécante passant par l'origine d'équation J = 4 (err t:.a) /3 et en-deçà de l'extension 0,1 bo et de valeurs inférieures à JMax = err b0 /20 ou JMax = err B/20. Dans le cas où ces limites sont transgressées, les résultats peuvent être formulés sous la version modifiée de J appelée JM ("modified J") qui a été proposée de façon semi-empirique par Ernst [30) : JM = J

-la (aa

Jp)

ao

-da,

a v.

Vp étant la composante plastique du déplacement total V.

1.25 1.50

b)

1.75

2.00

2.25

Extension de fissure (mm)

Fig. VII.2~ - a) Défin!tion ~e l'~ire pour le calcul de J; b) Définitions pour la qualificatior des donnees pour la determmat10n de J 10 (d'après la norme ASTM E 813 (1989)).

~n effet E~nst co_nsid~re_ l'intégrale déduite de la théorie du chargement proportlOnnel qui peut etre ecnte sous la for-me J = J(V, a). La différentiation de cette

CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS

D. Miannay

242

J

Une justification partielle réside dans le fait expérimental que lorsque résultats obtenus avec des éprouvettes d'une géométrie donnée et de dimensi· différentes sont représentés en fonction de JM la dispersion qui existait dan représentation en fonction de Jau dehors du domaine de validité de J dispar Cet aspect est développé au chapitre VIII. La norme ASTM E 1129 [31] décrit la méthodologie de mesure de l'ouvert à fond de fissure.

max

5

j

-2 da.J m

6

6

sée an

6.

Bibliographie

l'> a

P max

0 0,50

0

2.00

1.50

1.00

Extension de fissure (mm)

Fig.VIL23- Données typiques d'une courbe J - R (d'après la norme ASTM E 1152 (1987)).

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(!!_.!_) 8V

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+ (8 1) Ba

v

665-687.

da.

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soit en séparant les composantes élastique et plastique de l'intégrale et du déplacement dJ= (8G) dVE+( 80 ) da+(~ViJr) 8 VE 8 a vE a

u

P

a

dVr+( 8 ~)

8

plastic crack-tip fields, J. Appl. Mech. 58 (1991) 104-113. [8] O'Dowd N.P. et Fong Shih C, Family of crack-tip fields characterized a triaxiality parameter- I. Structure of fields, J. Mech. Phys. Sa/ids (1991) 989-1015.

v,

da.

Ernst postule alors que la dépendance géométri~u~ est due à !.a ~ré.sen;:e du dernier terme et propose ainsi de prendre comme mtegrale modrfiee mdependante · de la géométrie dJM = dJ- (8 Jp) da, 8 a v, ce qui est équivalent à l'expression donnée initialement ci-dessus. La. correcti~n de JM a pour effet de relever la courbe JR car JM ~ Jo pour une extensiOn donnee de la fissure.

[9] O'Dowd N.P. et Foug Shih C, Family of crack-tip fields characterized l: triaxiality parame ter- II. Fracture applications, J. Mech. Phys. Solids (1992) 939-963. [10] Foug Shih C, O'Dowd N.P. et Kirk M.T., ·~ Framework for Quantify

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244

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Testing, Rapport NUREG/CP-0131, ORNL/TM-12413 (U.S. NRC, Washington, 1993) pp. 435-463. [13] Rice J.R et Johnson M.A., "The Role of Large Crack-Tip Geometry Changes in Plane Strain Fracture", Inelastic Behavior of Solids, M.F. Kanninen et al., Eds. (McGraw-Hill, New York, 1970) pp. 641-672. [14] McMeeking R.M., Finite deformatiàn analysis of crack-tip opening in elastic-plastic materials and implications of fracture,!. Mech. Phys. Solids 25 (1977) 357-381. [15] Parks D.M., ''Advances in Characterization of Elastic-Plastic Crack-Tip Fields", Tapies in Fracture and Fatigue, AS. Argon, Ed. (SpringerVerlag, New-York, 1992). [16] Kumar V., German M.D. et Shih C.F., ''An Engineering Approach for Elastic-Plastic Fracture Analysis", EPRI Report NP-1931 (Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA 1981). [17] Ainsworth RA, The assessment of defects in structures of strain hardening materials, Eng. Fract. Mech. 19 (4) (1984) 633-642. [18] Wang Y.Y., "On the Two-Parameter Characterization of Elastic-Plastic Crack-Front Fields in Surface-Cracked Plates", Constraint Effects in Fracture, E.M. Hackett, K.H. Schwaloe, RH. Dodds, Eds. (ASTM STP 1171, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1993) pp. 120-138. [19] McClintock F.A, "Plasticity Aspects of Fracture", Fracture: an Advanced Treatise, Vol. 3, H. Liebowitz, Ed. (Academie Press, New York, 1971) pp. 47-225. [20] ChitaleyA.D. et McClintock F.A, Elastic-plastic mechanics of steady crack growth underanti-plane shear,J. Mech. Phys. Solids 19 (1971) 147-163. [21] Drugan W.J., Rice J.R et Sham T.L., Asymptotic analysis of growing plane strain tensile cracks in elastic-ideally plastic solids, J. Mech. Phys. Solids 30 (1982) 447-473. [22] Sham T.L., ''A Finite-Element Study of the Asymptotic Near-Tip Fields for Mode I Plane Strain Cracks Growing Stahly in Elastic-Ideally Plastic Solids", Elastic-Plastic-Fracture: Second Symposium, Volume I: Inelastic Crack Analysis, ASTM STP 803 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1983) pp. 152-179. [23] Dai Y. et Hwang K.-C., A finite element investigation of unsteady crack growth in power-law hardening materials under small-scale yielding conditions, Eng. Fract. Mech. 34 (1989) 531-546. [24] Varias AG. et Shih C.F., Quasi-static crack advance under a range of constraints- Steady-state fields based on a characteristic length, J. Mech. Phys. Solids 41 (1993) 835-861. [25] Dodds RH., Tang M. et Anderson T.L., Numerical procedures to mode! ductile crack extension, Eng. Fract. Mech. 46 (1993) 253-264. [26] McMeeking RM. et Parks D.M., On Criteria for ]-Dominance of Crack· Tip Fields in Large Scale Yielding, ASTM STP 668 (American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1979) pp. 175-194.

CHAPITRE VII- TRAITEMENT ÉLASTO-PLASTIQUE DES DISCONTINUITÉS

[27] Shih C.F., J -dominance un der plane strain fully plastic conditions: the e crack subject to combined tension and bending,Jnt. J. Fract. (1985) 73 [28] ASTM Designation E 813-87, Standard Test Method for J 1c, a Mem of Fracture Toughness (American Society for Testing and Mater Philadelphia, 1987). [29] ASTM Designation E 1152-87, Standard Test Method for Determir J- .[l Curves (American Society for Tes ting and Materials, Philadelp 1987). . [30] Ernst H.A, Materials Resistance and Instability Beyond J-Contro Crack Growth, ASTM STP 803, Vol. 1, C.F. Shih et J.P. Gudas I (American Society for Tes ting and Materials, Philadelphia, 1993) p~.] 213.

[31] AS~M D~signation E 1129-89, Standard Test Method for Crack Tip 0 mng D1splacement Testing (American Society for Tes ting and Ma teri Philadelphia, 1989).

Exercices VII.l. Wang a lissé les résultats numériques qu'il a obtenus pour décrire le cha de c?~trai~te dans le cas de la plasticité confinée limitée avec T = 0 et pour matenau d Hollomon avec a = 1, par la fonction :

CTyy(B = 0) ao

~"-'----'-

dans l'intervalle 0, 0002 ::; r / (

= Yo J(

A

(

J ) -aero E:o

2 )

::;

aero E:o 1 -v ) Yo = 13,00 A= 12,64 Ya = -3, 672 A = -3, 964

b

0, 03, avec : pour

n = 10 b = 4, 890 x w- 2 n =5 b = -0, 1131. (Travaux cités dans [31] : Parks D.M., "Three-Dimensional Aspects of HR J?ominance", J?efect Assessment in Components- Fundamentals and AppJi, tlons, Proceedmgs of the European Symposium on Elastic-Plastic Fracture lv charries, ESIS/EGF Publication 9 (Mech. Eng. Pub!. Ltd, 1991) pp. 205-231). Comparer ce rés.ultat au résultat donné dans le texte.

VII.2. Dans le cas de la plasticité confinée limitée où il existe une relation entre et J, compte tenu que pour rendre compte de la rupture par clivage, on écrit q la contrainte a yy( B = 0) atteint une valeur critique, quelle précision doit-on av• sur le calcul de cette contrainte pour n'avoir qu'une erreur maximale de 10% ~ la ténacité K1c ? Commentedes résultats obtenus dans l'exercice précédent. VII.3. Dans le cas de la plasticité confinée limitée d'un panneau avec fissure configuration de Inglis pour lequel on prendra le FIC non corrigé des effets

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bord libre, et soumis à un effort de tension biaxial caractérisé par le facteur de biaxialité B = u:;;,;u~, donner l'expression du paramètre de triaxialité Q en fonction de la contrainte u~, du taux de biaxialité adimensionnel 2: et du facteur de biaxialité B. VII.4. Pour une fissure stationnaire en mode III, quel est l'incrément de déformation plastique en un point de coordonnées r et B = 0 provoqué par un incrément de sollicitation provoquant un incrément d'étendue R. Que peut-on en déduire pour les dérivées secondes 8 2 'Yr /8a 8R et 8 2 'Yr /8R 8a.

CHAPITRE VIII

VILS. Pour une fissure en mode III, dont l'extension obéit au critère de McClintock d'une déformation plastique critique à une distance critique en avant de la pointe, quel est le rapport des ténacités correspondant à l'amorçage de la propagation et au régime permanent.

Traitement élasto-plastique des discontinuités Le risque de rupture La première partie du chapitre IV a présenté la ténacité pour un comport( ment globalement élastique de la structure. Cette ténacité est représentée sous 1 forme d'une valeur critique K1c ou sous la forme d'une courbe de résistance à 1 propagation K-R, ces grandeurs pouvant être déterminées expérimentalemen ~ effet de l'épaisseur a été présenté : aux fortes épaisseurs la ténacité a1 paraît comme une caractéristique du matériau seulement et pour les plus faibh épaisseurs la ténacité est une fonction du matériau et de l'épaisseur. Ici la ténaci1 est décrite dans le cas général au moyen des modèles microscopiques de ruptw qui ont été traités au chapitre V et au moyen des champs de contrainte et c déformation qui ont été décrits aux chapitres VI et VII. ~instabilité de la propagation de fissure qui avait été introduite au chapitre I dans le cas du comportement élastique est généralisée dans la deuxième partie c ce chapitre. La démarche dans l'application de ces concepts à la bonne tenue des structuP est dans le cas général la même que dans le cas du comportement élastique. C aspect n'est pas plus développé ici. 1.

La ténacité : relation entre aspect microscopique et aspect macroscopiq1

A l'échelle semi-microscopique du grain, deux types de rupture existe comme il a été vu au chapitre V : la rupture de clivage caractérisée par une co trainte de tension critique et la rupture ductile caractérisée par une déforma ti< critique. A ces deux types de rupture correspondent deux types de ténaci Lorsque ces deux types existent pour une nuance donnée de matériau les \ leurs observées de ténacité liées à la rupture ductile sont supérieures aux valet liées à la rupture fragile. ~utilisation du schéma d'une courbe de résistance à propagation J - R ou h - t.a telle que celle donnée sur la figure VIII.l permet d'évaluer cet aspect : lorsquele chargement quantifié par J augmen le fond de fissure se plastifie selon le régime de la droite d'émoussement pc 1

V,

•

CHAPITRE VIII- LE RISQUE DE RUPTURE

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donner une zone étirée discernable sur la surface de rupture. La rupture de clivage peut se produire au cours de ce régime. Ou bien, si l'obtention de valeurs de J plus importantes est possible, la rupture ductile s'amor~e et l'extensi~n de la fissure par déchirure se produit jusqu'à ce que la rupture mstable par clivage ou par déchirure ductile intervienne. Ces aspects sont passés en revue ci-dessous. Les modèles proposés sont d'abord présentés puis leur application aux résultats expérimentaux. 1

chinson, Rice et Rosengren ou solution HRR pour décrire la variation d' ténacité en fonction de la température d'un acier à bas carbone dans le dom< purement fragile de la transition. Cet article possède des erreurs sur la solu1 HRR et sur la valeur de la contrainte de clivage, mais présente la méthode qui utilisée. Le critère de rupture est que la rupture se produit dans la zone plasti· en avant de la fissure lorsque la contrainte tangentielle O'eo(B = 0) du cha HRR atteint la valeur critique·CTc qui a été identifiée au chapitre V, à une dista critiquerc qui est par exemple la dimension de deux grains, 2d, dans un proce! élémentaire de clivage et qui se situe dans le domaine ou anneau de domina de J, comme il a été défini au chapitre VII. La ténacité est donc donnée par

(}'

J

inte~ntion

de l'instabilité de clivage après début de la déchirure.stable \etempérature de trans1t1on ) début de la déchirure stable ( J1 c ) intervention de l'instabilité de clivage avant la déchirure stable( basse température ) extension due à l'émoussement

--a---"'"'

yy

(() = 0)

O'o

(}' =~ =(

O'o

JI

) 1/(n+l) c

Ύ:oO'olnrc

Ô'yy(()

= 0),

avec la variation de la limite d'élasticité O'o représentée par une expression d1 forme donnée au chapitre V. En fait, cette expression n'est valable qu'en déformation plane et que lors< le champ. de contrainte est décrit uniquement par J. Ces deux cas sont exami ci-dessous.