Mecanique de La Rupture [PDF]

Zitiervorschau

Mécanique de la rupture I

I

I

Etude des fissures macroscopiques, id est dont la géométrie doit être explicitement prise en compte dans la structure. Typiquement, 1mm. Observations Si la longueur de fissure augmente, la résistance de la pièce diminue Propagation/arrêt de fissure Rupture ductile vs rupture fragile, température de transition, résilience Plan : Mécanique linéaire de la rupture I I I I I

Taux de restitution d’énergie Etude des champs de contrainte et déformation Facteur d’intensité de contrainte Fissures en tridimensionnel Propagation en fatigue

Quelques dates

I

I

I I

I I I

1920, Griffith rupture d’un milieu élastique-fragile, bilan énergétique 1956, Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de fissure 1968, intégrale de Rice-Cherepanov années 70, développement des méthodes numériques, éléments finis années 70, fissuration en fatigue, chargements complexes années 80, aspects 3D approche locale de la fissuration

Taux de restitution d’énergie

«La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface A est égale à la variation de l’énergie potentielle totale V, appelée taux de restitution d’énergie» (unité : joule/ m2 ) : G=−

−propagation si : −arrêt si :

∂V ∂A

G − 2 γs ≥ 0 0 ≥ G − 2 γs

avec γ s énergie spécifique de rupture par unité de surface

Evaluation du taux de restitution d’énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide de volume V , force Fd imposée sur SF ) : Z Z 1 V= σ : ε dV − F d . u dS 2 V∼ ∼ SF Et (théorème de la divergence) : 1 2

Z V

σ :∼ ε dV = ∼

1 2

V=

G=

1 2

Z F . u dS = S

1 2

R SF

Z

1 2

Z

F d . u dS +

SF

1 2

Z

∂u F d . ∂A dS −

1 2

Su

F . u d dS −

1 2

Z

F . u d dS

Su

F d . u dS

SF

R

∂F Su ∂A

. u d dS

Cas d’une charge ponctuelle, signification physique Avec R , raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et U le déplacement : F = R U ; U = C F , avancée à déplacement imposé ou à force imposée :

F

F

M F

U 0

H 0

a. Force imposée

U

Ud

b. Déplacement imposé

Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure

Cas d’une charge ponctuelle, expression de G I

à déplacement imposé, comme F = R U d : Z 1 ∂F G=− . u d dS 2 Su ∂A     1 dR d 1 F2 dR =− U .U d = − 2 dA 2 R2 d A

I

à force imposée, comme U = C F d : Z ∂u 1 G = F . dS 2 SF ∂A   1 dC = Fd. Fd 2 dA

G=

1 2 dC F 2 dA

Quelques valeurs critiques de G

matériau verre, céramiques résines fragiles composites verre–résine alliages d’aluminium aciers > Ttrans métaux purs

valeur (J/m2 ) 10 100–500 7000 20000 100000 105 à 106

Essai Charpy : le montage

Charpy

le professeur X/EMP

le film

Essais Charpy sur l’acier du Titanic

Acier du Titanic

Acier A36 actuel

Autres éprouvettes

Solution de Muskhelishvili

A’

− Si

x1 ≥ a

− Si

0 ≤ x1 ≤ a

A

Plaque infinie en traction selon x2 contenant une fissure de longueur 2a Solution exacte sur l’axe x1


1/2 σ22 = σ∞ / 1 − (a/x1 )2 σ11 = σ22 − σ∞ ! σ  1−ν ∞ ε22 = ν+ 1/2 E (1 − (a/x1 )2 )  
1/2 4 a σ∞ [u2 ] = 2u2 = 1 − (x1 /a)2 E

Solution asymptotique de Westergaard

x2

Singularité en r 1/2 lorsque r tend vers 0 (on pose x1 = a + r ) :

M r θ

x1

σ22 ∝ σ∞ (a/2r )1/2

A (a,0)

Fissure linéaire chargée perpendiculairement à son axe : mode I Facteur d’intensité de contrainte en mode I, KI :   √ KI = lim σ22 2 π r r →0

Les 3 modes de sollicitation

Mode I charge normale perpendiculaire au front

Mode II cisaillement perpendiculaire au front

Mode III cisaillement parallèle au front

Mode I

KI θ θ 3θ σ11 = √ cos (1−sin sin ) 2 2 2 2πr θ θ 3θ KI cos (1+sin sin ) σ22 = √ 2 2 2 2πr KI θ 3θ θ σ12 = √ cos sin sin 2 2 2 2πr r KI r θ θ u1 = cos (κ−1+2 sin2 ) 2µ 2π 2 2 r r θ KI θ u2 = cos (κ+1+2 cos2 ) 2µ 2π 2 2 avec : κ = 3−4ν en déformations planes et : κ =

3−ν en contraintes planes 1−ν

Calculs par éléments finis d’une plaque en traction

x2

σ 22 I

x1

I

I

Fissure de 2×4mm dans une plaque 40mm×40mm. σ22 = 100 MPa Par raison de symétrie, on calcule 1/4 de plaque Calculs en contrainte plane et en déformation plane

Champs de contrainte (von Mises) dans une plaque en traction

Déformation plane

Contrainte plane

Ouverture de fissure dans une plaque en traction

0.012 U1, EF U2, EF U2, Mushkelishvili 0.01

U (mm)

0.008

0.006

0.004

0.002

0 -0.5

0

0.5

1

1.5

2 x (mm)

2.5

3

3.5

4

Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction

1800 sig22 sig11 sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22

1600 1400

stress (MPa)

1200 1000 800 600 400 200 0 -200 2

4

6

8

10

12 x (mm)

14

16

18

20

Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction

10000

stress (MPa)

sig22, EF sig11, EF sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22

1000

100 4

4.1

4.2

4.3 x (mm)

4.4

4.5

Mode II

KII θ θ 3θ σ11 = − √ sin (2+cos cos ) 2 2 2 2πr θ 3θ KII θ σ22 = √ sin cos cos 2 2 2 2πr KII θ θ 3θ σ12 = √ cos (1−sin sin ) 2 2 2 2πr r θ KII r θ u1 = sin (κ+1+2 cos2 ) 2µ 2π 2 2 r KII r θ θ u2 = − cos (κ−1−2 sin2 ) 2µ 2π 2 2

Mode III

KIII θ σ13 = − √ sin 2 2πr KIII θ σ23 = √ cos 2 2πr r 2KII r θ sin u3 = − µ 2π 2

Remarques

I

√ L’unité de K est le N.m−3/2 . On utilise couramment le MPa. m.

I

L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure : Z Z 1 1 1 1 √ √ r dr dθ We = σ :∼ ε dV ∝ ∼ 2 V 2 V r r

I

En comparant la solution précédente en θ = 0 et la solution de Muskhelishvili lorsque r tend vers 0 Westergaard : σ22 ∝ √

KI 2πr

r ;

Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞

√ KI = σ∞ π a

a 2r

Remarques (suite)

I

Ne pas confondre KI avec Kt , facteur de concentration de contrainte, sans dimension, Au voisinage d’un défaut elliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ : p Kt = σ22max /σ∞ = 2 a/ρ -

I

Matériaux anisotropes : Kij = lim σij

√

r →0

(couplage possible entre les modes)

2πr

Exemple

Relation entre K et G en mode I

x2

0’

0

a I

I

x1

Travail nécessaire pour refermer une fissure de longueur a + ∆a

∆a

La densité d’effort sur le segment OO 0 passe de 0 (fissure en O 0 ) à σ22 (fissure est en O) pendant que l’ouverture passe de u2 à 0 il vient G = KI 2 (k + 1) /8 µ en déf.plane : k = 3 − 4ν

en contr.plane : k =

3−ν 1−ν

Relation entre K et G

I

Mode I Contraintes planes :

G = (1 − ν 2 )KI 2 /E

Déformations planes : I

G = KI 2 /E

Plusieurs modes Contraintes planes : Déformations planes :

G= G=

1 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E

1 − ν2 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E

Etat de contrainte tridimensionnel

x2

x3

x1

Structures épaisses 0 < σ11 < σ33 < σ22 . Glissement dans x1 − x2

Structures minces 0 < σ33 ≈ 0 < σ11 < σ22 glissement dans x2 − x3 ,

Propagation de fissure en fatigue

da/dN (mm/cycle)

1 10 -3

Fissures "courtes" Fissures "longues"

10 -6 10 -9 Pas de propagation

10 -3 1

a (mm)

Diagramme de Kitagawa

σ σu σl

























































































































 




  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 −1/2  
 
 


































 

 

 

 

 

 





















































K=K 









  Ic   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


































































 

 

 

 

 

 





















                

                   
















































 






















































































































  








  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
































































 

 

 

 

 

 









































 

































 

 

 

 

 

 































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 





 a ∆ K= ∆K s

Loi de Paris

da/dN (mm/cycle)

1 10 -3 10 -6 10 -9 ∆ KS da = C. ∆K m dN

K 1C

∆K

Valeur critique et valeur seuil du facteur d’intensité de contrainte

Matériau acier haute résistance (ex : 35NCD16) acier moyenne.résistance (ex : 15MND6) . . . . . .(basse température) . . .(palier ductile) alliages d’aluminium (ex : 7075) alliages de titane (ex : TA6V) composite verre-résine polyéthylène polystyrène résine époxyde verre

KIc√ MPa m 60

∆ K√s MPa m 1à4

40 200 30 80 7 6,5 0,4 0,1 0,01

3 8 1,5 à 4 2à8