33 0 909KB
Mécanique de la rupture I
I
I
Etude des fissures macroscopiques, id est dont la géométrie doit être explicitement prise en compte dans la structure. Typiquement, 1mm. Observations Si la longueur de fissure augmente, la résistance de la pièce diminue Propagation/arrêt de fissure Rupture ductile vs rupture fragile, température de transition, résilience Plan : Mécanique linéaire de la rupture I I I I I
Taux de restitution d’énergie Etude des champs de contrainte et déformation Facteur d’intensité de contrainte Fissures en tridimensionnel Propagation en fatigue
Quelques dates
I
I
I I
I I I
1920, Griffith rupture d’un milieu élastique-fragile, bilan énergétique 1956, Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de fissure 1968, intégrale de Rice-Cherepanov années 70, développement des méthodes numériques, éléments finis années 70, fissuration en fatigue, chargements complexes années 80, aspects 3D approche locale de la fissuration
Taux de restitution d’énergie
«La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface A est égale à la variation de l’énergie potentielle totale V, appelée taux de restitution d’énergie» (unité : joule/ m2 ) : G=−
−propagation si : −arrêt si :
∂V ∂A
G − 2 γs ≥ 0 0 ≥ G − 2 γs
avec γ s énergie spécifique de rupture par unité de surface
Evaluation du taux de restitution d’énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide de volume V , force Fd imposée sur SF ) : Z Z 1 V= σ : ε dV − F d . u dS 2 V∼ ∼ SF Et (théorème de la divergence) : 1 2
Z V
σ :∼ ε dV = ∼
1 2
V=
G=
1 2
Z F . u dS = S
1 2
R SF
Z
1 2
Z
F d . u dS +
SF
1 2
Z
∂u F d . ∂A dS −
1 2
Su
F . u d dS −
1 2
Z
F . u d dS
Su
F d . u dS
SF
R
∂F Su ∂A
. u d dS
Cas d’une charge ponctuelle, signification physique Avec R , raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et U le déplacement : F = R U ; U = C F , avancée à déplacement imposé ou à force imposée :
F
F
M F
U 0
H 0
a. Force imposée
U
Ud
b. Déplacement imposé
Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure
Cas d’une charge ponctuelle, expression de G I
à déplacement imposé, comme F = R U d : Z 1 ∂F G=− . u d dS 2 Su ∂A 1 dR d 1 F2 dR =− U .U d = − 2 dA 2 R2 d A
I
à force imposée, comme U = C F d : Z ∂u 1 G = F . dS 2 SF ∂A 1 dC = Fd. Fd 2 dA
G=
1 2 dC F 2 dA
Quelques valeurs critiques de G
matériau verre, céramiques résines fragiles composites verre–résine alliages d’aluminium aciers > Ttrans métaux purs
valeur (J/m2 ) 10 100–500 7000 20000 100000 105 à 106
Essai Charpy : le montage
Charpy
le professeur X/EMP
le film
Essais Charpy sur l’acier du Titanic
Acier du Titanic
Acier A36 actuel
Autres éprouvettes
Solution de Muskhelishvili
A’
− Si
x1 ≥ a
− Si
0 ≤ x1 ≤ a
A
Plaque infinie en traction selon x2 contenant une fissure de longueur 2a Solution exacte sur l’axe x1
1/2 σ22 = σ∞ / 1 − (a/x1 )2 σ11 = σ22 − σ∞ ! σ 1−ν ∞ ε22 = ν+ 1/2 E (1 − (a/x1 )2 ) 1/2 4 a σ∞ [u2 ] = 2u2 = 1 − (x1 /a)2 E
Solution asymptotique de Westergaard
x2
Singularité en r 1/2 lorsque r tend vers 0 (on pose x1 = a + r ) :
M r θ
x1
σ22 ∝ σ∞ (a/2r )1/2
A (a,0)
Fissure linéaire chargée perpendiculairement à son axe : mode I Facteur d’intensité de contrainte en mode I, KI : √ KI = lim σ22 2 π r r →0
Les 3 modes de sollicitation
Mode I charge normale perpendiculaire au front
Mode II cisaillement perpendiculaire au front
Mode III cisaillement parallèle au front
Mode I
KI θ θ 3θ σ11 = √ cos (1−sin sin ) 2 2 2 2πr θ θ 3θ KI cos (1+sin sin ) σ22 = √ 2 2 2 2πr KI θ 3θ θ σ12 = √ cos sin sin 2 2 2 2πr r KI r θ θ u1 = cos (κ−1+2 sin2 ) 2µ 2π 2 2 r r θ KI θ u2 = cos (κ+1+2 cos2 ) 2µ 2π 2 2 avec : κ = 3−4ν en déformations planes et : κ =
3−ν en contraintes planes 1−ν
Calculs par éléments finis d’une plaque en traction
x2
σ 22 I
x1
I
I
Fissure de 2×4mm dans une plaque 40mm×40mm. σ22 = 100 MPa Par raison de symétrie, on calcule 1/4 de plaque Calculs en contrainte plane et en déformation plane
Champs de contrainte (von Mises) dans une plaque en traction
Déformation plane
Contrainte plane
Ouverture de fissure dans une plaque en traction
0.012 U1, EF U2, EF U2, Mushkelishvili 0.01
U (mm)
0.008
0.006
0.004
0.002
0 -0.5
0
0.5
1
1.5
2 x (mm)
2.5
3
3.5
4
Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction
1800 sig22 sig11 sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22
1600 1400
stress (MPa)
1200 1000 800 600 400 200 0 -200 2
4
6
8
10
12 x (mm)
14
16
18
20
Contrainte devant la fissure dans une plaque en traction
10000
stress (MPa)
sig22, EF sig11, EF sig22, Mushkelishvili sig11, Mushkelishvili Westergaard, sig22
1000
100 4
4.1
4.2
4.3 x (mm)
4.4
4.5
Mode II
KII θ θ 3θ σ11 = − √ sin (2+cos cos ) 2 2 2 2πr θ 3θ KII θ σ22 = √ sin cos cos 2 2 2 2πr KII θ θ 3θ σ12 = √ cos (1−sin sin ) 2 2 2 2πr r θ KII r θ u1 = sin (κ+1+2 cos2 ) 2µ 2π 2 2 r KII r θ θ u2 = − cos (κ−1−2 sin2 ) 2µ 2π 2 2
Mode III
KIII θ σ13 = − √ sin 2 2πr KIII θ σ23 = √ cos 2 2πr r 2KII r θ sin u3 = − µ 2π 2
Remarques
I
√ L’unité de K est le N.m−3/2 . On utilise couramment le MPa. m.
I
L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure : Z Z 1 1 1 1 √ √ r dr dθ We = σ :∼ ε dV ∝ ∼ 2 V 2 V r r
I
En comparant la solution précédente en θ = 0 et la solution de Muskhelishvili lorsque r tend vers 0 Westergaard : σ22 ∝ √
KI 2πr
r ;
Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞
√ KI = σ∞ π a
a 2r
Remarques (suite)
I
Ne pas confondre KI avec Kt , facteur de concentration de contrainte, sans dimension, Au voisinage d’un défaut elliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ : p Kt = σ22max /σ∞ = 2 a/ρ -
I
Matériaux anisotropes : Kij = lim σij
√
r →0
(couplage possible entre les modes)
2πr
Exemple
Relation entre K et G en mode I
x2
0’
0
a I
I
x1
Travail nécessaire pour refermer une fissure de longueur a + ∆a
∆a
La densité d’effort sur le segment OO 0 passe de 0 (fissure en O 0 ) à σ22 (fissure est en O) pendant que l’ouverture passe de u2 à 0 il vient G = KI 2 (k + 1) /8 µ en déf.plane : k = 3 − 4ν
en contr.plane : k =
3−ν 1−ν
Relation entre K et G
I
Mode I Contraintes planes :
G = (1 − ν 2 )KI 2 /E
Déformations planes : I
G = KI 2 /E
Plusieurs modes Contraintes planes : Déformations planes :
G= G=
1 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
1 − ν2 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
Etat de contrainte tridimensionnel
x2
x3
x1
Structures épaisses 0 < σ11 < σ33 < σ22 . Glissement dans x1 − x2
Structures minces 0 < σ33 ≈ 0 < σ11 < σ22 glissement dans x2 − x3 ,
Propagation de fissure en fatigue
da/dN (mm/cycle)
1 10 -3
Fissures "courtes" Fissures "longues"
10 -6 10 -9 Pas de propagation
10 -3 1
a (mm)
Diagramme de Kitagawa
σ σu σl
−1/2 K=K Ic a ∆ K= ∆K s
Loi de Paris
da/dN (mm/cycle)
1 10 -3 10 -6 10 -9 ∆ KS da = C. ∆K m dN
K 1C
∆K
Valeur critique et valeur seuil du facteur d’intensité de contrainte
Matériau acier haute résistance (ex : 35NCD16) acier moyenne.résistance (ex : 15MND6) . . . . . .(basse température) . . .(palier ductile) alliages d’aluminium (ex : 7075) alliages de titane (ex : TA6V) composite verre-résine polyéthylène polystyrène résine époxyde verre
KIc√ MPa m 60
∆ K√s MPa m 1à4
40 200 30 80 7 6,5 0,4 0,1 0,01
3 8 1,5 à 4 2à8