Material de Apoyo Unidad III M2 02-2021 [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICA II CICLO II - 2021

UNIDAD III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Documento preparado por: Docentes de Dpto. de Matemática y Estadística de la Facultad de Ciencias Económicas. Universidad de El Salvador

3.1 Funciones de Varias Variables. Preparado por: Lic. Oscar Roberto Chacón Una función de varias variables independientes es aquella en la que se establece una relación de dependencia entre una variable U, respecto a n variables independientes, así:

u = f ( x1 , x2 ,..., xn )

Donde x1 , dependiente.

x2 ,..., xn son las variables independientes y

u es la variable

2 2 Ejemplo: Si w = f ( x, y, z ) = 3x + 2 xy − z , entonces

a) b)

w = f (1,0, 2) = 3(1)2 + 2(1)(0) − (2)2 = −1 w = f (−2,1,0) = 3(−2)2 + 2(−2)(1) − 02 = 8

Si el número de variables independientes es dos, entonces se tiene:

u = f ( x1 , x2 ) o z = f ( x, y )

Donde

x, y

son las variables independientes y

z es la variable dependiente.

Ejemplo: Si z = f ( x, y) = x + y − 4 , entonces: 2

2

a) z = f (−1, 2) = (−1) 2 + (2) 2 − 4 = 1 b) z = f (2, 0) = (2) 2 + (0) 2 − 4 = 0 c) z = f (a, −1) = (a) 2 + (−1) 2 − 4 = a 2 − 3 Ejemplo: Un pequeño empresario elabora pantalones y faldas, sus costos fijos mensuales ascienden a $500.00, la elaboración de cada pantalón le cuesta $23.00, mientras que el costo de cada falda es de $19.00, si los pantalones se venden a $32.00 y las faldas a $25.00.

a)

Exprese la ganancia total mensual como una función del número de pantalones y faldas elaboradas y vendidas. Determine la ganancia si se venden 150 pantalones y 75 faldas.

b) Solución: a)

Sean x = número de pantalones y = número de faldas U ( x, y ) = I ( x, y ) - C ( x, y ) donde I ( x, y ) = 32 x + 25 y C ( x, y ) = 500 + 23 x + 19 y Luego U(x,y)=(32 x + 25 y) − (500 + 23 x + 19 y) U(x,y)=32 x + 25 y − 500 − 23 x − 19 y U(x,y)=9x + 6 y − 500 b)

Para x = 150 y =75 U (150, 75) = 9(150) + 6(75) − 500 U (150, 75) = 1350 + 450 − 500 U (150, 75) = 1300 La ganancia total mensual si se venden 150 pantalones y 75 faldas es de $1300.00 Dominio y Rango de una función de dos variables independientes. Si

z = f ( x, y ) ,

es una función de dos variables independientes, su dominio esta

formado por todos pares ordenados ( x, y)  , para los cuales es posible encontrar un 2

valor para

z.

El dominio puede ser: Df = 

2





o bien Df = ( x, y )  / " condición " 2

El rango esta formado por todos los valores de

z = f ( x, y )

z 

Rf =  o bien Rf = " Intervalo "

El rango de la relación puede ser:

Ejemplos. 1.

Si z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 entonces : a) Df = 2 b) Rf =  0, + 2.

Si z = f ( x, y ) = 49 − x 2 − y 2 entonces : a) Df = ? 49 − x 2 − y 2  0  − x 2 − y 2  −49  x 2 + y 2  49 Df = ( x, y ) 2 / x 2 + y 2  49 b) Rf =  0, 7 

que cumplen con la relación

3.2 Derivadas de funciones de varias variables. 3.2.1 Derivada parcial. La figura 1.1 muestra la superficie z  f ( x, y ) y un plano paralelo al plano x, z que pasa por el punto x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )  sobre la superficie. Una ecuación de este plano es y  y 0 . Por tanto, cualquier punto en la curva que sea la intersección de la superficie con el plano debe tener la forma x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )  . Así, la curva puede ser descrita por z  f ( x, y 0 ) . Como y 0 es constante, z  f ( x, y 0 ) puede considerarse como una función de una variable, x . Cuando se evalúa la derivada de esa función en x0, se obtiene la pendiente de la recta tangente a esta curva

en el punto x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )  . (Véase la figura 1.1). Esta pendiente se llama derivada parcial de f con respecto a x en ( x0 , y 0 ) y se denota con f x ( x0 , y 0 ). En términos de límites, f x ( x0 , y 0 )  lim h 0

f ( x 0  h, y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) . h

Por otra parte, en la figura 1.2 el plano x  x0 es paralelo al plano y, z y corta la superficie z  f ( x, y ) en una curva dada por z  f ( x0 , y ), que es una función de y .Cuando se evalúa la derivada de esta función en y 0 , se obtiene la pendiente de la recta tangente a esta curva en el

punto x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )  .Esta pendiente se llama derivada parcial de f con respecto a y en ( x0 , y 0 ) y se denota con f y ( x0 , y0 ). En términos de límites. f y ( x0 , y 0 )  lim h0

f ( x 0 , y 0  h)  f ( x 0 , y 0 ) . h

Decimos que

gráfica de f en f x ( x0 , y0 ) es la pendiente de la recta tangente a la x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )  en la dirección x; similarmente, f y ( x0 , y0 ) es la pendiente de la recta tangente

en la dirección y. Definición. Si z  f ( x, y ) la derivada parcial de f con respecto a x, denotada como f x , es la función dada f ( x  h , y )  f ( x, y ) por f x ( x, y )  lim , en caso de que este límite exista. h 0 h La derivada parcial de f con respecto a y, denotada como f y , es la función dada por f y ( x, y )  lim h 0

f ( x, y  h )  f ( x, y ) , en caso de que el límite exista. h

2

Procedimiento para encontrar f x ( x, y ) y f y ( x, y ) Para encontrar f x , trate a y como constante y diferencie f con respecto a x de la manera usual. Para encontrar f y , trate a x como constante y diferencie f con respecto a y de la manera usual. Ejemplo 1. Obtención de derivadas parciales Si f ( x, y )  xy 2  x 2 y, encontrar f x ( x, y ) y f y ( x, y ) . Encontrar también, f x (3,4) y f y (3,4) . Solución: Para encontrar f x ( x, y ) , tratamos a y como constante y diferenciamos con respecto a x : f x ( x, y )  (1) y 2  ( 2 x) y  y 2  2 xy

Para encontrar f y ( x, y ) tratamos a x como constante y diferenciamos con respecto a y :

f y ( x, y )  x(2 y )  x 2 (1)  2 xy  x 2 Para encontrar f x (3,4) , evaluamos f x ( x, y ) cuando x  3 y y  4 : f x (3,4)  4 2  2(3)( 4)  40 De manera similar, f y (3,4)  2(3)(4)  3 2  33

En la tabla 1.1 se dan las notaciones para las derivadas parciales de z  f ( x, y ). La tabla 1.2 da las notaciones para las derivadas parciales evaluadas en ( x0 , y 0 ) . Note que el símbolo  (no d) z se usa para denotar una derivada parcial. El símbolo se lee “derivada parcial de z con x respecto a x ”. Tabla 1.1 Derivada parcial de f con respecto a x

Derivada parcial de f con respecto a y

Derivada parcial de f con respecto a x evaluada en  x0 , y 0 

Derivada parcial de f con respecto a y evaluada en x 0 , y 0 

f x ( x, y )

f y ( x, y )

f x ( x0 , y 0 )

f y ( x0 , y0 )

  f ( x, y )  x

z  f ( x, y )  y

z x

z y

z x

z y

z x

( x0 , y 0 )

z y

x  x0 y  y0

( x0 , y0 )

x  x0 y  y0

Ejemplo 2. Obtención de derivadas parciales a) Si z  3 x 3 y 3  9 x 2 y  xy 2  4 y, encontrar

z z z , , x y x

y (1, 0 )

z y

. (1, 0 )

w w , x y Hemos visto que para una función de dos variables pueden considerarse dos derivadas parciales. En realidad, el concepto de derivadas parciales puede extenderse a funciones de más de dos variables.

b) Si w  x 2 e 2 x  3 y , encontrar

Por ejemplo, con w  f ( x, y, z ) tenemos tres derivadas parciales: Las derivadas que se pueden generar son: 3

 

w , etc.  Aquí tratamos a y  z como constantes. x w f y ( x, y, z ), ,etc.  Aquí tratamos a x  z como constantes. y f x ( x, y, z ),

 

f z ( x, y, z ),

w , etc.  Aquí tratamos a x  y como constantes. z

Ejemplo 3. Obtención de derivadas parciales a) Si f ( x, y, z )  x 2  y 2 z  z 3 , encontrar f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z ), . b) Si p  g (r , s, t , u ) 

rsu p p p , encontrar , , 2 s t t rt  s t 2

( 0,1,1,1)

1.1.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES.

z es la derivada de z con respecto a x cuando y permanece constante, y como una x derivada es una razón de cambio, tenemos: Como

z es la razón de cambio de z con respecto a x cuando y se mantiene constante. x De modo similar, z es la razón de cambio de z con respecto a y cuando x se mantiene constante. y Veremos ahora algunas aplicaciones en las que la noción “razón da cambio” de una derivada parcial resulta muy útil.

Supongamos que un fabricante produce x unidades del producto X y y unidades del producto Y. Entonces, el costo total c de esas unidades es una función de x y y ; a esto se le llama c función de costos conjuntos. Si una función de este tipo es c  f ( x, y ), entonces se llama x costo marginal (parcial) con respecto a x , y es la razón de cambio de c con respecto a c se llama costo marginal (parcial) con respecto a x cuando y se mantiene fija. Similarmente y y , y es la razón de cambio de c con respecto a y cuando x se mantiene fija. c Por ejemplo, si c se expresa en dólares y  2 , entonces el costo de producir una unidad y adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo, es de aproximadamente 2 dólares. Si un fabricante produce n artículos, la función de costos conjuntos es una función de n variables y habrá n funciones de costos marginales (parcial). PRODUCTIVIDAD MARGINAL La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada principalmente por dos factores: el monto del capital invertido en la planta productiva y la mano de obra empleada en la fabricación del artículo. 4

Sean: Q la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo). K el monto del capital invertido en la planta productiva ($). L el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados). Se establece entonces una función de dos variables: Q(K, L), llamada función de producción, donde K y L son los insumos de producción, como por ejemplo: Q( K ; L)  8L  4 K  3LK  L2  2 K 2 Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial de Q con respecto a K, es decir

Q K

,

y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de obra. Productividad marginal de la mano de obra: Es la derivada parcial de Q con respecto a L, Q L

, y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de

obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva. Ejemplo: Para la función Q( K ; L)  8L  4 K  3LK  L2  2 K 2 , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L = 3 y K = 5. Solución:

Q  4  3L  4 K  4  3(3)  4(5)  4  9  20  7 K

unidades / unidad adicional de capital.

Q  8  3K  2 L  8  3(5)  2(3)  8  15  6  17 unidades / unidad adicional de mano de obra. L

Función de producción de Cobb Douglass: Es una función de la forma Q( K , L)  cLa K b , donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que: a  b  1 . Ejemplo: Q( K , L)  30 K 0.6 L0.4 , calcular las productividades marginales del capital y de la mano de obra para L = 35 y K =220. Solución:  L0.4  Q L  30 L0.4 (0.6) K 0.4  18L0.4 K 0.4  18  0.4   18   K K K 

 K 0.6  Q K  30k 0.6 (0.4) L0.6  12 K 0.6 L0.6  12  0.6   12   L L L  

0.4

0.6

 35   18    220 

 220   12    35 

0.4

 8.63

unidades/unidad adic. de cap.

0.6

 36.16 unidades/unid. adc. de m.o.

DEMANDAS MARGINALES Ciertos productos en el mercado se relacionan entre sí, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro. Sean p1 , p2 los precios unitarios de los artículos y x1 , x2 sus demandas respectivas. Entonces x1  f ( p1 , p2 ) y x2  f ( p1 , p2 ) son sus ecuaciones de demanda. De estas ecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales:

x1 x1 x2 x2 , , , . p1 p2 p1 p2

Demanda marginal del artículo 1, con respecto a su precio: Es la derivada parcial

x1 . p1

5

Demanda marginal del artículo 1, con respecto al precio del 2: Es la derivada parcial

x1 . p2

Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales. En lo general las derivadas parciales

x1 x y 2 son negativas, porque al aumentar su precio p1 p2

disminuye su demanda. Sin embargo las derivadas parciales

x1 p2

y

x2 , que se llaman p1

demandas marginales cruzadas, pueden ser positivas o negativas dependiendo de la interacción de los productos. Por ejemplo al aumentar el precio de la carne de cerdo, sin cambiar el precio de la carne de res, la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demanda de la carne de res. Así mismo si se incrementa el precio de la carne de res, sin cambiar el precio de la carne de cerdo, la demanda de carne de res baja y se incrementa la demanda de la carne de cerdo; aquí

x1 x2 0 y  0 . Sin embargo, por ejemplo, al aumentar el precio de las cámaras p2 p1

fotográficas (no digitales), la demanda de película fotográfica baja y viceversa; aquí las dos derivadas parciales son negativas, es decir

x1 x 0 y 2 0. p2 p1

Artículos competitivos o sustitutos: Cuando

Artículos complementarios: Cuando

x1 x 0 y 2 0. p2 p1

x1 x 0 y 2 0. p2 p1

Ejemplo: Calcular las demandas marginales cruzadas para las siguientes ecuaciones de demanda de dos productos del mercado: x1  140  3 p1  0.4 p2 y x2  210  4 p1  0.3 p2 . A continuación decir si se trata de productos competitivos o complementarios. Solución:

x1 x2  0.4  0 y  4  0 . Puesto que ambas derivadas son negativas, se trata de p2 p1

productos complementarios. 1.1 DIFERENCIAL TOTAL E INCREMENTO TOTAL. Definición: (Incremento total) Para una función de dos variables, z  f ( x, y ) llamaremos incremento total de z , denotado por z a: x  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) .

z da la longitud de cambio de la función, cuando ( x, y ) varía a ( x  x, y  y ) . Ejemplo: Evaluar x , para z  x 2  xy. Determinar cuál es el cambio en la función de (1,1) a (1.2, 0.7). Solución:

6





z  ( x  x) 2  ( x  x)( y  y )  ( x 2  xy ) z  x  2 x(x)  (x)  xy  x (y )  y (x)  (x)(y )  x 2  xy 2

2

z  (2 x  y )x  x(y )  (x) 2  xy Con x  1, y  1, x  0.2 y y  0.3 z  0.6

Definición: (Diferencial total) Sea z  f ( x, y ) una función para la cuál existen las primeras derivadas parciales f x ( x, y )  f y ( x, y ). Entonces; a) Las diferenciales de las variables independientes son dx  x y dy  y b) La diferencial total de la función es:

dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy Ejemplo: Si z  x 2  xy , encontrar dz. Evaluarlo para x  1, y  1, dx  0.2, dy  0.3 dz  (2 x  y )dx  ( x) dy Solución: dz  (2 x  y )dx  xdy dz  0.5 Ejercicio. Si z  2 x 3  4 xy 2  3 y 3 . Calcular a) z b) dz c) Evaluar z  dz para x  6, y  2, x  1 / 2  y  1

1.2 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Si z  f ( x, y ), entonces no solo z es una función de x y y , también f x y f y lo son. Por lo que podemos diferenciar f x y f y para obtener derivadas de segundo orden de f . Simbólicamente, f xx significa ( f x ) x ,

f yy significa ( f y ) y ,

f xy significa ( f x ) y ,

f yx significa ( f y ) x

En términos de la notación ,

2 z   z  significa  , 2 x  x  x

2z   z  significa  , 2 y  y  y

2 z   z  significa  , xy x  y 

2z   z  significa  , yx y  x 

Observe que para encontrar f xy , diferenciamos primero f con respecto a x . Para

2 z , primero xy

diferenciamos con respecto a y . Podemos extender nuestra notación más allá de las derivadas parciales de segundo orden.  3 z   es una derivada parcial de tercer orden de f , esto es, la derivada Por ejemplo, f xxy o  2   yx  7

 2z  parcial de f xx o  2  con respecto a y. Una generalización a derivadas parciales de orden  x  superior con funciones de más de dos variables debería ser obvia. Ejemplo: Derivadas parciales de segundo orden Encontrar las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  x 2  x 2 y 2 . Solución: Como f x ( x, y )  2 xy  2 xy 2 ,  Tenemos f xx ( x, y )  2 xy  2 xy 2  2 y  2 y 2 x  Y f xy ( x, y )  2 xy  2 xy 2  2 x  4 xy. y También, como f y ( x, y )  x 2  2 x 2 y , Tenemos Y









 2 x  2x 2 y  2x 2 y  f yx ( x, y )  x 2  2 x 2 y   2 x  4 xy. x f yy ( x, y ) 





Las derivadas f xy y f yx se llaman derivadas parciales mixtas. Observe en el ejemplo anterior que f xy ( x, y )  f yx ( x, y ) . Bajo ciertas condiciones, las derivadas parciales mixtas de una función son iguales; esto es, el orden de diferenciación es irrelevante. Puede suponerse que éste es el caso para todas las funciones que consideremos. Ejemplo: Derivada parcial mixta 3w Encontrar el valor de si w  (2 x  3 y  4 z ) 3 . zyx (1, 2,3) Solución: w   3(2 x  3 y  4 z ) 2 (2 x  3 y  4 z ) x x 2 = 6( 2 x  3 y  4 z ) 2w   6(2)(2 x  3 y  4 z ) (2 x  3 y  4 z ) yx y = 36( 2 x  3 y  4 z ) 3w  36(4)  144 . Por lo que, zyx

3w zyx

 144. (1, 2 , 3)

Ejemplo: Derivada parcial de segundo orden de una función implícita. 2z Determinar si z 2  xy 2 x z Solución. Por medio de la diferenciación implícita determinar primero . x 8

 2  z  ( xy) x x z 2z y x z y  ,z  0 x 2 z Al diferenciar ambos miembros con respecto a x , obtenemos   z    1 1   yz  x  x  x  2 

 

2 z 1 z   yz 2 2 2 x x Al sustituir, tenemos 2 z 1 2  y  y2   yz   ,z  0  2 z  2 x 2 4z 3

1.3 REGLA DE LA CADENA. Suponga que un fabricante de dos productos relacionados A y B tiene una función de costo conjuntos dada por c  f (q A , q B ), donde c es el costo total de producir las cantidades q A y q B de A y B, respectivamente. Además, suponga que las funciones de demanda para los productos son q A  g ( p A , p B ) y q B  h( p A , p B ) , Donde p A y p B son los precios por unidad de A y B, respectivamente. Como c es una función de q A y q B , y ya que estos son a su vez funciones de p A y p B , entonces c puede considerarse una función p A y p B (de manera apropiada, las variables q A y q B se llaman variables c intermedias de c ). En consecuencia, deberíamos poder determinar la razón de cambio del p A costo total con respecto al precio de A. Una manera de hacer esto es sustituyendo las expresiones g ( p A , p B ) y h( p A , p B ) por q A y q B , respectivamente, en c  f (q A , q B ) . Entonces c es una función de p A y p B y podemos diferenciar c con respecto a p A directamente. Este procedimiento tiene algunas desventajas, especialmente cuando f , g o h están dadas por una expresión complicada. Otra manera de atacar el problema sería por medio de la regla de la cadena (en realidad, una regla de la cadena), que ahora enunciamos sin demostrarla. Regla de la cadena. Sea z  f ( x, y ) donde x y y son funciones de r y s dadas por x  x( r , s ) y y  y ( r , s ) . Si f , x y y tienen derivadas parciales continuas, entonces z es una función de r y s , y z z x z y   r x r y r y z z x z y   . s x s y s 9

Observe que en la regla de la cadena, el número de variables intermedias de z (dos), es el mismo z z que el número de términos que componen cada una de y . r s Regresando a la función original en lo que concierne al productor, vemos que si f , q A y q B tienen derivada s parciales continuas, entonces, por la regla de la cadena, c c q A c q B   . p A q A p A q B p A

Ejemplo. Tasa de cambio del costo Para un fabricante de cámaras y películas, el costo total c de producir qC cámaras y q F rollos de películas esta dado por c  30q C  0.015qC q F  q F  900. Las funciones de demanda para las cámaras y los rollos están dadas por 9000 y q F  2000  p C  400 p F , qC  pC p F Donde pC es el precio por cámara y p F el precio por rollo de película. Encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la cámara cuando pC  50 y p F  2. c Solución: Primero debemos determinar .Por la regla de la cadena, pC c c qC c q F   . p C q C pC q F pC

  9000   (30  0.015q F )  2   (0.015 p C  1)(1).  p C p F  Cuando pC  50 y p F  2 , entonces q C  90 2 y q F  1150. Sustituyendo esos valores en c y simplificando, obtenemos p C

c p C

pC 50 pF 2

 123.2

La regla de la cadena puede extenderse. Por ejemplo, suponga que z  f (v, w, x, y ) y que v, w, w y y son todas funciones de r, s y t . Entonces, si se suponen ciertas condiciones de continuidad, puede considerarse a z como una función de r, s y t , por lo que tenemos z z v z w z x z y     . r v r w r x r y r

z z v z w z x z y     , s v s w s x s y s y

z z v z w z x z y     . t v t w t x t y t

10

Observe que el número de variables intermedias de z (cuatro) es el mismo que el número de z z z términos que forman cada una de y . , r s t Consideremos ahora el caso en que z  f ( x, y ) tal que x  x(t ) y y  y (t ). Entonces, dz z dx z dy   dt x dt y dt dz dz Aquí usamos el símbolo en vez de , ya que z puede considerarse como una función de dt dt dx dy z z una sola variable de t . En la misma forma, los símbolos y se usan en vez de y . dt dt t t dz Como se ha visto, el número de términos que componen es igual al número de variables dt intermedias de z . Otros casos se tratarán de manera similar. Ejemplo: Regla de la cadena. a) Si w  f ( x, y )  3 x 2  xyz  4 y 2 z 3 , donde x  2 r  3s , y  6 r  s y z  r  s , w w Determinar y . r s Solución: como x, r y z son funciones de r y s , entonces por la regla de la cadena, w w x w y w z    . r x r y r z r  (6 xy  yz )(2)  (3 x 2  xz  8 yz 3 )(6)  ( xy  12 y 2 z 2 )(1)

 x(18 x  13 y  6 z )  2 yz (1  24 z 2  6 yz ). También, w w x w y w z    . s x s y s z s  (6 xy  yz )(3)  (3 x 2  xz  8 yz 3 )(1)  ( xy  12 y 2 z 2 )(1)

 x(3 x  19 y  z )  yz (3  8 z 2  12 yz ). x  ey z rt , donde x  rs  se y y  9  rt , evaluar cuando r  2, s  5 y t  4 y s Solución: como y x y son funciones de r, s y t (note que podemos escribir y  9  rt  0( s )), por la regla de la cadena, z z x z y   s x s y s

b) Si z 

1 z   (r  e rt )  (0) y  y rt r e  y Si r  2, s  5 y t  4 , entonces y  1. Así,

z  2  e 8   2  e 8 . r 2 s s 5 1 t 4

11

y si y  x 2 ln( x 4  6) y x  (r  3s ) 6 . r Solución: por la regla de la cadena, c) Determinar

y dy x  r dx r   4x3     2 x ln( x 4  6) 6(r  3s ) 5   x 2  4   x 6 





 2x 4   12 x(r  3s)  4  ln( x 4  6) x  6  5

d) Dado z  e xy , x  r  4 s y y  r  s, encontrar

z en términos de r y s . r

Solución: z z x z y   r x r y r  ( ye xy )(1)  ( xe xy )(1)

 ( x  y )e xy Como x  r  4 s y y  r  s, z  ( r  4 s )  ( r  s)e ( r  4 s )( r  s ) r 2 2  (2r  5s)e r 5rs  4 s .

12

MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE Documento preparado por: Lic. Oscar Roberto Chacón En las empresas hay situaciones en las cuales las actividades de producción y o mercado, entre otras, se encuentran con ciertas condiciones que las limitan y circunscriben a determinados montos y alcances o proyecciones. De ahí que los montos de producción y venta que minimizan costos y o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace necesario considerar los Máximos y Mínimos sin Condiciones y los Máximos y Mínimos con Condiciones. Máximos y Mínimos sin Condiciones Notación: Expresión

Significado

f P

la función evaluada en el punto P

df dqP

la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este

0

caso f es una función de una sola variable)

f u P

la derivada parcial de f con respecto a u, evaluada en po (en este

0

caso f es una función de varias variables)

Es conocido que una función tiene un máximo relativo en un punto P si la función evaluada en dicho punto es mayor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P. De manera similar, una función tiene un mínimo relativo en un punto P si la función evaluada en dicho punto es menor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P.

Definición: Se dice que una función de varias variables f(r, s, t, ……, z) tiene un valor máximo relativo en un punto P0(r0, s0, t0, ……, z0) si f(r0, s0, t0, ……, z0)  f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P0(r0, s0, t0, ……, z0).

“una función f de varias variables tiene un valor máximo relativo en un punto P 0 si dicha función f evaluada en P0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P 0” Si f(r0, s0, t0, ……, z0)  f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P0(r0, s0, t0, ……, z0), entonces la función tiene un mínimo relativo en el punto P 0. “si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P 0 la función f de varias variables tiene un valor mínimo relativo en P 0” PUNTO

CRITICO:

A

todo

punto

P0

para

el

cual

se

cumple

que

 f  f  f  f  0,  0,  0, ..........,  0 , se le conoce como “un punto crítico de r P s P t P z P 0

0

0

0

la función f ”. En un punto crítico P0, puede que la función f tenga un máximo o un mínimo. DETERMINANTE HESSIANO: De una función de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un máximo de “dos al cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: f x x , f x x , f x x , f x x . 1 1

1 2

2 1

2 2

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden dos:

2 

fx x

fx x

fx x

fx x

1 1 2 1

1 2

2 2

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el determinante Hessiano de la función f de dos variables” Si la función es de tres variables, u = f(x1, x2, x3 ), se pueden obtener un máximo de “tres al cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:

fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x . 1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

3 3

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden tres:

fx x

1 1

3  f x x

2 1

fx x

3 1

fx x

fx x

fx x 2 2 fx x

fx x 2 3 fx x

1 2

3 2

1 3

3 3

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el determinante Hessiano de la función f de tres variables” En general, el Hessiano de una función de n variables, u = f (x1, x2, x3, ………. , xn), es el determinante de orden n conformado por todas las “n al cuadrado” posibles derivadas parciales de segundo orden:

fx x

fx x

.... ....

fx x

fx x

fx x

.... ....

fx x

:

:

:

:

:

:

:

:

: fx x

:

1 1

n 

2 1

n 1

1 2

2 2

fx x

n 2

: : .... ....

1 n

2 n

: : :

fx x

n n

Ejemplos: Encontrar el Hessiano para c/u de las funciones dadas 1) u = x ln(yz) – xy2

2) f (x, y) = x ln(y) + x2 y

3) f (x, y, z) = y exz – xyz2

Solución: 1) u = x ln(yz) – xy2 Se trata de una función de tres variables, por tanto el Hessiano de la función u es el determinante de orden tres formado por todas las segundas derivadas parciales de u:

u xx u xy u xz 3  u yx u yy u yz u zx u zy u zz Ahora solo resta encontrar las derivadas parciales de segundo orden y sustituirlas para obtener el Hessiano. En este ejemplo se encuentran solamente uxy y uyy, las demás las encuentra el estudiante:

u xy 

  u  y  x 

Hay que derivar u con respecto a “x” para después derivar este resultado con respecto a “y”:

u    x ln(yz) - x y 2  x x  

u   x  y 2   x  ln(yz) x x x

u  ln(yz) - y 2 x

u xy 

  u y  x

u xy 

     2 2   ln( yz )  y  ln( yz )  y  y y  y  



u yy 

  , sustituyendo el resultado anteriorse tiene que : 

z  2y  yz

 y

 u   y

u

xy



1  2y y

  

Hay que derivar u con respecto a “y” para después derivar este resultado nuevamente con respecto a “y”:

u     x ln(yz) - x y 2  y y   x

  ln(yz)  x   y 2  y y  

 x.

z  x . 2y  yz

u x   2 xy y y

u yy 

 y

 u    , sustituyendo el resultado anterior se tiene que :  y 

u yy 

 y

x    2 xy   y 

u yy  x

 y

 x (-

1  y    2x y  y 

1 )  2x  y2

u

yy



x  2x 2 y

Corresponde al estudiante verificar que las demás derivadas parciales son precisamente las que se muestran en el Hessiano:

0

u xx u xy u xz 1 3  u yx u yy u yz   2y y u zx u zy u zz 1 z

1  2y y x   2x y2 0

1 z 0 

x z2

Nota: Las soluciones de los ejercicios 2) f(x, y) = x ln(y) + x2 y  3) f(x, y, z) = y exz – xyz2 se dejan al estudiante. MENORES PRINCIPALES DE UN DETERMINANTE DE ORDEN N Un determinante de orden n es de la forma:

n 

a11

a12

a13

---

---

a21 a31

a22 a32

a23 a33

---







:

:

:

:

:

:

:

:

an 1 an 2

an 3





a1n a2n a3n

an n

Los menores principales de n se encuentran de la siguiente manera:  El primer menor principal 1 es el determinante de orden 1 conformado por el primer elemento de la diagonal principal: 1 = a11  El segundo menor principal 2 es el determinante de orden 2 cuya diagonal principal son los elementos a11 y a22:

2 

a11 a12 a21 a22

 El tercer menor principal 3 es el determinante de orden 3 cuya diagonal principal son los elementos a11, a22 y a3 3:

a11 a12 a13 3  a21 a22 a23 a31 a32 a33  Así sucesivamente hasta llegar al último menor principal n cuya diagonal son los elementos a11, a22, a3 3, a44, ………., ann. O sea que el último menor principal es el mismo determinante n.

CRITERIO PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES Este no es más que un caso particular del criterio para funciones de varias variables Si z = f(x, y) es una función de dos variables y P0(x0, y0) es un punto crítico de f, entonces puede ocurrir que: a) 1

P

0

 0 y 2  0, en cuyo caso hay un máximo relativo z0 = f P P

0

0

Z z0 (x0, y0, z0) z = f(x, y)

Y y0 x0

P0(x0, y0)

X En el punto (x0, y0, z0) hay un máximo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)

b) 1

P

0

 0 y 2  0, en cuyo caso hay un mínimo relativo z0 = f P P 0 0

Z

z = f(x, y) z0 (x0, y0, z0) Y y0 X

x0

P0(x0, y0)

En el punto (x0, y0, z0) hay un mínimo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)

c)  2  0, en cuyo caso para P0 hay un punto de silla (x0, y0, z0) P 0

Y

z = f(x, y) z0 (x0, y0, z0)

El punto (x0, y0, z0) es un punto de silla: ahí no hay un máximo relativo ni un mínimo

y0 x0

Y

P0(x0, y0)

X

d)  2  0, en cuyo caso se dice que el criterio falla: no se puede concluir con respecto al P 0

punto crítico P0(x0, y0, z0) Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos relativos de f(x, y) = x3 – 3xy + y2 + y – 5 Solución: Paso 1: Se aplica la condición necesaria. Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así encontrar los puntos críticos, o sea aquellos puntos para los cuales puede que haya un máximo o un mínimo relativo (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f (x, y) = x3 – 3xy + y2 + y – 5

fx  

 f(x, y) x

fy 

  3 x - 3xy  y 2  y  5  x  

f  3 x2 -3 y x Igualando a cero las derivadas parciales:

 f

y

 f(x, y) y   3 x - 3xy  y 2  y  5  y  

 -3 x  2y  1

fx = 0

fy = 0 -3x + 2y + 1 = 0 (2),

3x2 – 3y = 0 (1)

se obtiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual se resuelve por cualesquiera de los métodos ya conocidos. Por ejemplo, por igualación: 3x2 – 3y = 0

(1)

-3x + 2y + 1 = 0 (2)

y

y = x2

3x  1 2

y=y x2 =

3x  1  2x2 – 3x + 1 = 0, de donde x = 1  x = 1/2 2

Sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 1  y =1/4 Se tienen entonces dos puntos críticos: P1(1, 1) y P2(1/2, 1/4) Paso 2: Se aplica la condición suficiente. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en cada punto crítico. El signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f (x, y) = x3 – 3xy + y2 + y – 5

f xx El Hessiano de f es:  2  f yx

f xy f yy

Los menores principales de 2 son 1  f xx , y

2 

f xx f yx

f xy f yy

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en los menores principales: Las derivadas

f y  -3 x  2y  1

f x y f y ya se conocen del paso 1:

f x  3 x2 - 3 y



f xx 

  f x  x

  , se sus 

f xy 

tituye f x  3x 2  3 y

tituye f x  3x 2  3 y f xx  f

xx

  2 3x  3 y   x  

f xy 

6x

f yx 

f

  f  x  y

  , se sus 

f

yx

xy

  2 3x  3 y  y  

 3

f yy 

  f    , se sus y  y 

tituye f y  3x  2 y  1

tituye f y  3x  2 y  1 f yx 

  f  , se sus y  x 

  3x  2 y  1 x

f yy 

 3

f

yy

  3x  2 y  1 y

2

Los menores principales son entonces:

1  f xx  6x

2 

f xx f yx

f xy f yy

2 

6x  3  (6 x)(2)  (3)(3)   2  12 x  9 3 2

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crítico el signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativo: a) Para P1(1, 1) 1  6 x 1

P (1, 1) 1

 2  12 x  9  6 (1)



2 P

1

(1, 1)

 12(1)  9

1

P (1, 1)

60



1

2

P (1, 1)

30

1

Aplicando el criterio para máximos y mínimos se observa que : 1

0 y 

P

1

2

P

0

1

De lo anterior se concluye que en el punto P1(1, 1) la función tiene un mínimo. Dicho mínimo relativo es igual a la función f evaluada en el punto crítico P 1(1, 1): f(x, y) = x3 – 3xy + y2 + y – 5 f(1, 1) = (1)3 – 3(1) (1) + (1)2 + (1) – 5  f(1, 1) = -6 es el mínimo relativo de la función. b) Para P2(1/2, 1/4) 1  6 x 1

1

P

2

P

 2  12 x  9

1  6    2



30



2

2 P

2

2 P

1  12    9 2

 3  0

2

Aplicando el criterio para máximos y mínimos se tiene que: 

2

P

 0 , de donde se concluye que para P2(1/2, 1/4) no hay máximo ni mínimo

2

relativo: hay un punto de silla. Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos relativos de f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 – xy Solución: Paso 1: Se aplica la condición necesaria. Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así encontrar los puntos críticos (aquellos puntos para los cuales puede haber un máximo o un mínimo relativos; o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f (x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 – xy

fx 

 f(x, y, z) x

fy 

  2 x  y 2  7 z 2  xy  x   f  2x-y x

  2 x  y 2  7 z 2  xy  y    2y - x 



fz 

 f(x, y, y) y

f

y

 f(x, y, y)   f z   x 2  y 2  7 z 2  xy z z  

f  14z z Igualando a cero las derivadas parciales se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: fx = 0

fy = 0

fz = 0

2x – y = 0 (1)

2y - x = 0 (2)

14z = 0 (3)

Este sistema se puede resolver por cualesquiera de los métodos ya conocidos, resultando que: x = 0, y = 0 z = 0, Se tiene entonces un punto crítico: P 1(0, 0, 0) Paso 2: Se aplica la condición suficiente. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en el punto crítico. El signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 – xy El Hessiano de f es:

f xx 3  f yx f zx

f xy f yy f zy

f xz f yz f zz

Los menores principales de 3 son:

f xx 1  f xx ,  2  f yx

f xx f xy y 3  f yx f yy f zx

f xy f yy f zy

f xz f yz f zz

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden:

Las derivadas f , f  f ya se conocen del paso 1: fx = 2x – y, fy = 2y – x, fz = 14z x y z

  f  x  x 

f xx 

f xy 

 2 x  y   f xx  2 x





  f  y  x   2 x  y  f xy  1 y

El estudiante puede verificar que las restantes derivadas de segundo orden son: fxz = 0, fyx = -1, fyy = 2, fyz = 0, fzx = 0, fzy = 0, fzz = 14 Los menores principales son entonces:

1  f xx  1  2

f xx 2 

f xy

f yx

f yy

 2 

2

1

1 2

f xx

f xy

f xz

3  f yx f zx

f yy

f yz  3   1 f zz 0

f zy

2

 (2)(2)  (1)(1)   2  3

1

0

2

0

0

14

Re solviendo por Sarrus : 2 3   1 0

1

0 2

1

2

0 1

2  (2)(2)(14)  (1)(0)(0)  (0)(1)(0)  (0)(2)(0)  (0)(0)(2)  (14)(1)(1)

0

14 0

0

3  42 Al evaluar 1, 2 y 3 en el punto crítico el signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativo: Para P1(0, 0, 0):

1  2 1

2  3

P (0, 0, 0)

20



1

2

 3  42

P (0, 0, 0)

30



1

3

P (0, 0, 0)

 42  0

1

Aplicando el criterio para máximos y mínimos se observa que que : 1

P

0, 

1

2

P

1

 0, 

2

P

0

1

De lo anterior se concluye que en el punto P1(0, 0, 0) la función tiene un mínimo. Dicho mínimo relativo es igual a la función f evaluada en el punto crítico P 1(0, 0, 0): f(x, y, z) = x2 + y2 + 7z2 – xy f(0, 0, 0) = (0)2 + (0)2 + 7(0)2 – (0)(0)  f(0, 0, 0) = 0 es un mínimo relativo de la función. El siguiente ejercicio lo resuelve el estudiante siguiendo las indicaciones que se plantean para su desarrollo, las cuales son muy similares a las utilizadas para resolver los dos ejemplos anteriores. Ejercicio: Encontrar los extremos relativos, si existen, de la función dada f (x, y) = 2x4 + y2 –x2 – 2y Solución: Paso 1: Tienes que encontrar los puntos críticos. ¿Cómo?. Encuentra las primeras derivadas parciales con respecto a “x” e “y”, las igualas a cero y resuelves el sistema de ecuaciones resultante. f(x, y) = 2x4 + y2 – x2 – 2y a) Las derivadas encontradas deberán ser: fx = 8x3 – 2x,

fy = 2y - 2

b) Después de igualar ambas derivadas a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante, los puntos críticos que deberás encontrar son: P1(-1/2, 1), P2(0, 1), P3(1/2, 1) Paso 2: Tienes que encontrar el Hessiano de la función f y los menores principales. Evalúas dichos menores en cada punto crítico y el signo de estos resultados te dirá si hay máximos o mínimos relativos. f (x, y) = 2x4 + y2 –x2 – 2y a) Tienes que encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden y así los menores principales deberán resultar: 1 = 24x2 – 2

2 = 48x2 – 4

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crítico deberá resultarte que:

 Para P1(-1/2, 1), 1  0 y 2  0  en P1(-1/2, 1) hay un mínimo relativo. Te corresponde encontrar dicho mínimo.  Para P2(0, 1), ¿qué sucede?  Para P3(1/2, 1), ¿qué sucede? Debes recordar que todos los ejercicios de este tipo se resuelven de manera similar. MÁXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS Las empresas enfrentan constantemente problemas de maximización o minimización, en donde el dominio de la función se encuentra limitado por ciertas restricciones en las variables que intervienen. Este tipo de problemas recibe el nombre de “máximos y mínimos condicionados” y las condiciones o restricciones en las variables son llamadas comúnmente “condiciones laterales”. Ejemplos de este tipo de problema podrían ser:  El gerente de una fábrica que elabora dos productos finales para los cuales utiliza alguna materia prima en común y tiene limitaciones para obtenerla. Es posible que para minimizar los costos tenga que distribuir adecuadamente la materia prima disponible para producir una cantidad mínima determinada de cada producto.  Una compañía desea maximizar sus ventas como resultado de la utilización de dos medios publicitarios diferentes, manteniendo los costos totales de promoción dentro de límites específicos. El procedimiento para resolver problemas de máximos y mínimos condicionados sufre algunas modificaciones, en referencia a problemas de máximos y mínimos libres. La siguiente figura muestra que el máximo condicionado es muy diferente al máximo libre: mL : máximo libre mC : máximo condicionado

Z f(x, y, z)

El dominio de f(x, y, z) son los puntos del círculo de radio r. Si no hay restricciones el máximo es mL : máximo libre. La gráfica de g(x, y) = 0 son los puntos de la recta dentro del círculo; si se restringe el dominio a únicamente estos puntos, entonces el máximo que se obtiene es mC : máximo condicionado. Y

r X

condición g(x, y) = 0: si el dominio se condiciona solo a los puntos de esta recta, la mayor imagen es m C

Algunos de los problemas de máximos y mínimos condicionados pueden resolverse tratando de reducirlos a problemas de máximos y mínimos libres, lo cual no siempre es posible. Generalmente se utiliza un procedimiento conocido como “método de los multiplicadores de Lagrange”, el cual se describe a continuación: Si en un problema de optimización f(r, s, t, …….., z) es la función a optimizar (la función que se va a maximizar o minimizar) y si g(r, s, t, ……, z) = 0 es la condición lateral que restringe su dominio, entonces para resolver el problema se procede como sigue: I. Se construye la función objetivo F, la cual está constituida por la suma de la función a optimizar con el producto de la función restricción por la variable . A la nueva variable  se le conoce como “multiplicador de Lagrange. F(, r, s, t, …, z) = f(r, s, t, …, z) +  g(r, s, t, …, z) II. Se define el determinante de orden n+1, conocido como “Hessiano orlado”, conformado por las derivadas parciales de segundo orden de la función objetivo: F

n  1 

Fs

F s ... ... F z Fr s ... ... Fr z Fs s ... ... Fs z

Fr  Fs 

Fr r Fs r

:

:

:

... ...

:

:

:

:

... ...

:

Fz 

Fz r

Fz s

... ... Fz z

III. Si P0(0, r0, s0, t0, ……, z0) es un punto crítico de la función objetivo F, entonces en base a los menores principales 3,  5,  4, …..,  n+1 se establece que: a) Si 3  0,  4  0, 5  0,  6  0, ….., entonces la función original f P P P P 0

0

0

0

tiene un máximo relativo en P0 y dicho máximo es igual a f P

0

b) Si 3  0,  4  0, 5  0,  6  0, ….., entonces la función origina f P P P P 0

0

0

0

tiene un mínimo relativo en P0 y dicho mínimo es igual a f P

0

c) En cualquier otra situación el criterio falla. Nota: Es importante observar que para máximos y mínimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales 1 y  2

Ejemplos: Una empresa calcula que la función de utilidad por la producción y venta mensuales de dos artículos diferentes x e y está dada por la ecuación: U (x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2, en miles de dólares. a) Si la disponibilidad de materia prima es prácticamente ilimitada, calcular el nivel mensual de producción y venta que maximiza la utilidad. b) Si la disponibilidad de materia prima es de 88 unidades por mes y si para producir cada artículo “x” se utilizan 4 unidades mientras que para producir cada artículo “y” se necesitan 8 unidades, calcular el nivel mensual de producción y venta que maximiza la utilidad. Solución: a) En este caso no existe condición alguna: se trata de un problema de máximos y mínimos libres. Paso 1: Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así hallar los puntos críticos. Función a optimizar: U (x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2

Ux 

 U(x, y)    12x  20y - x 2  2y 2   f x  12  2 x x x  

Uy 

 U(x, y)    12x  20y - x 2  2y 2   U y  20  4 y y y  

Ux = 0 Uy = 0 12 – 2x = 0  x = 6  20 – 4y = 0  y = 5, el punto crítico es entonces P0(6, 5). Paso 2: Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en el punto crítico para determinar la naturaleza del mismo. U (x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2

U xx U xy El Hessiano de U es:  2  U yx U yy Los menores principales de 2 son: 1  U xx , y

2 

U xx

U xy

U yx

U yy

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden: Las derivadas U

x

y U

Y

ya se conocen: U  12 - 2x  U  20  4y x y

U xx  

U xy 

 12  2 x  U xx  2 x

U yx  

  U  x  x 

  U  x  y



  

 12  2 x  U xy  0 y

U yy 

 20  4 y   U yx  0 x



  U  y  x 

  U  y  y

  

 20  4 y   U yy  4 y

Los menores principales son entonces: 1  U xx  2

2 

U xx U xy  2 0   (2)(4)  (0)(0)   2  8 f yx f yy 0 4

Al evaluar 1 y 2 en cada punto crítico, el signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativo: Para P0(6, 5) 1  2 1

P (6, 5)

2  8  2  0

0



2

P (6, 5)

80

0

Según el criterio para máximos y mínimos se tiene que 1

P

0

0 y 

2 P

 0  para P0 (6, 5) la función tiene un valor máximo relativo.

0

Dicho máximo relativo es igual a la función U evaluada en el punto crítico P 0(6, 5): U(x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2 U(6, 5) = 12(6) + 20(5) – (6)2 – 2(5)2  U(6, 5) = 111 U (6, 5) = 111 miles de dólares es la utilidad máxima al producir y vender 6 artículos del tipo “x” y 5 del tipo “y”, por mes, si no hay restricción en la obtención de la materia prima. Solución: b) En este caso existen condiciones que limitan la producción: se trata de un problema de máximos y mínimos condicionados. I. Se construye la función objetivo F (, x, y) = U(x, y) + g(x, y), para lo cual obviamente se necesita conocer la función restricción g(x, y):

Función a optimizar: U (x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2 Restricción: “4 unidades de materia prima por el número de artículos “x” más 8 unidades de materia prima por el número de artículos “y” es igual a las 88 unidades de materia prima disponible por mes”  4x + 8y = 88, de donde g(x, y) = 4x + 8y - 88 Función objetivo: ya se sabe que la función objetivo es igual a la suma de la función a optimizar con el producto de la función restricción por la variable . F (, x, y) = U (x, y) + g (x, y) F (, x, y) = (12x + 20y – x2 – 2y2 ) + (4x + 8y – 88) II. Se encuentran los puntos críticos de la función objetivo igualando a cero las derivadas de primer orden: F(, x, y) = (12x + 20y – x2 – 2y2 ) + (4x + 8y – 88)

F 

  (12x  20y - x 2  y 2 )   (4 x  8 y  88)  F  4 x  8 y  88    



Fx  

 F( , x, y) 

 F( , x, y) x   (12x  20y - x 2  y 2 )   (4 x  8 y  88)  Fx  12  2 x  4  x  

Fy  

 F( , x, y) y   (12x  20y - x 2  2y 2 )   (4 x  8 y  88)  Fy  20  4 y  8 y  

F = 0

Fx = 0

Fy = 0

(1) 4x + 8y – 88 = 0 (2) 12 – 2x + 4 = 0 (3) 20 – 4y + 8 = 0 Despejando  de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene:   Por igualación,    , se llega a

x6 y 5  2 2

x6 y5  2 2

Despejando “x” en términos de “y” se obtiene la ecuación (4): x = y + 1

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1): (1) 4x + 8y – 88 = 0 4(y + 1) + 8y –88 = 0 se encuentra que y = 7. Sustituyendo este resultado en la ecuación (4): (4) x = y + 1 x = (7) + 1 se obtiene x = 8 De manera similar, sustituyendo x = 8 en la ecuación (1) se encuentra que  = 1. ¡¡ Esta variable no es necesario encontrarla puesto que la función a optimizar no depende de ella! El punto crítico es entonces P0(0, x0, y0) = P0(1, 8, 7), o bien P0(x0, y0) = P0(8, 7) III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función objetivo, comenzando por el tercero, y se evalúan en el punto crítico para determinar si hay un máximo o un mínimo relativo.

F Fx Fy El Hessiano de la función objetivo es: 3  F x Fxx Fxy Fy Fyx Fyy A partir del tercero solo hay un menor principal: 3 Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 : F , F  F ya se conocen: F = 4x + 8y – 88, Fx = 12 – 2x y Fy = 20 – 4y + 8  x y

F  

  F     

Fx 

 4 x  8 y  88  F  0 



  F  x     4 x  8 y  88  Fx  4 x

El estudiante puede verificar que las demás derivadas de segundo orden son

F

y

 8, F

x

De donde se tiene que:

 4, F

xx

 2 , F

xy

 0, F

y

 8, F

y

 0, F

yy

 4

F Fx Fy 0 4 8 3  Fx Fxx Fxy  4  2 0 , Fy Fyx Fyy 8 0 4 el cual se puede resolver por el método de Sarrus: 0

4

3  4  2 8

0

8 0

4

0 4

- 2  (0)(2)(4)  (4)(0)(8)  (8)(4)(0)  (8)(2)(8)  (0)(0)(0)  (4)(4)(4)

4 8

0

3  192

Hay que recordar que para máximos y mínimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales 1 y  2 Criterios: En base a los menores principales 3,  5,  4, …,  n+1 se establece que: a) Si 3  0,  4  0, 5  0, P P P 0

0

0

6

P

 0, ….., entonces la función origina f

0

tiene un máximo relativo en P0 y es igual a f P

0

b) Si 3  0,  4  0, 5  0, P P P 0

0

0

6

P

 0, ….., entonces la función origina f

0

tiene un mínimo relativo en P0 y es igual a f P

0

c) En cualquier otra situación el criterio falla. En este ejercicio 3  192  0, coincide con la disposición a) del criterio por lo que se P 0

concluye que la función a optimizar U(x, y) tiene un máximo relativo en P 0 el cual es igual a:

U P = U (x0, y0) 0

U (x, y) = 12x + 20y – x2 – 2y2

U P = U (8, 7) = 12(8) + 20(7) – (8)2 – 2(7)2  U (8, 7) = 74 0

U (8, 7) = 74 miles de dólares es la utilidad máxima al producir y vender 8 artículos del tipo “x” y 7 del tipo “y”, por mes, bajo la restricción planteada.

Ejemplo: Una empresa produce calcetines de dos tipos: “x” pares (cantidad en miles) de calcetines de vestir y “y” pares (cantidad en miles) del tipo deportivo. De acuerdo con la demanda y otras situaciones de mercado, se ha calculado que la función de costos totales es C (x, y) = 2x2 + xy –y2 + 200 y que la producción total mensual deberá ser de 200 pares (cantidad en miles). ¿Cuántos pares de cada tipo deberán producirse para minimizar los costos? Solución: Existe una condición que limita la producción: se trata de un problema de máximos y mínimos condicionados. I. Se construye la función objetivo F (, x, y) = C (x, y) + g (x, y), para lo cual obviamente se necesita conocer la restricción g (x, y): Función a optimizar: C (x, y) = 2x2 + xy –y2 + 200 Restricción: “La producción total, “x” miles de pares de calcetines de vestir más “y” miles de pares del tipo deportivo, deberá ser igual a 200”  x + y = 200, de donde resulta que

g(x,

y) = x + y - 200 Función objetivo: F (, x, y) = C (x, y) + g (x, y) F (, x, y) = (2x2 + xy –y2 + 200) + (x + y – 200) II. Se encuentran los puntos críticos de la función objetivo: F (, x, y) = (2x2 + xy –y2 + 200 ) + (x + y – 200) Se encuentran las derivadas parciales con respecto a las variables , x e y, resultando: F = x + y – 200

Fx = 4x + y + 

Fy = x + 2y + 

F = 0

Fx = 0

Fy = 0

(1) x + y – 200 = 0

(2) 4x + y +  = 0

(3) x + 2y +  = 0

El estudiante puede verificar que al resolver el sistema de ecuaciones el punto crítico resulta ser: P0(x0, y0) = P0(50, 150) III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función objetivo, comenzando por el tercer menor (no se toman en cuenta los menores principales 1 y  2 ), y se evalúan en el punto crítico para determinar si hay un máximo o un mínimo relativo. El Hessiano de la función objetivo es:

F Fx Fy 3  Fx Fxx Fxy Fy Fyx Fyy

Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en 3 : Las derivadas F , F  F ya se conocen: F = x + y – 200, Fx = 4x + y +  y Fy = x + 2y +   x y El estudiante puede comprobar que las derivadas parciales de segundo orden son: F



 0 , Fx  1 , Fy  1, Fx  1 , Fxx  4 , Fxy  1 , Fy  1 , F yx  1 , Fyy  2

F Fx Fy 0 1 1 De donde se tiene que 3  F x Fxx Fxy  1 4 1  4 Fy Fyx Fyy 1 1 2 Criterios: En base a los menores principales 3,  5,  4, …..,  n+1 se establece que: a) Si 3  0,  4  0, 5  0,  6  0, ….., entonces la función original f P P P P 0

0

0

0

tiene un máximo relativo en P0 y es igual a f P

0

b) Si 3  0,  4  0, 5  0,  6  0, ….., entonces la función original f P P P P 0

0

0

0

tiene un mínimo relativo en P0 y es igual a f P

0

c) En cualquier otra situación el criterio falla. En este caso 3  4  0, coincide con la disposición b) del criterio por lo que se concluye P 0

que la función a optimizar C(x, y) tiene un mínimo relativo en P 0(50, 150). Se concluye entonces que para minimizar los costos se deberán producir por mes 50,000 pares de calcetines de vestir y 150,000 pares del tipo deportivo (recordar que el problema especifica que las cantidades están dadas en miles).

Bibliografía: Weber, Jean E. Matemática para Administración y Economía Editorial Harla, México, 4ta. Edición, 1984