Limite de Funcţii - m2 [PDF]

Zitiervorschau

Limite de funcţii Funcţiile elementare sunt: funcţia constantă, funcţia putere, funcţia radical, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile trigonometrice (sin, cos, tg, ctg), inversele funcţiilor trigonometrice (arcsin, arccos, arctg, arcctg). Operaţiile uzuale cu funcţii: suma, diferenţa, produsul, raportul, compunerea. Teorema: Fie f:D⟶ ℝ (o funcţie obținută prin orice operaţii cu funcţii elementare) și 𝑥0 ∈ 𝐷. Atunci : lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) . 𝑥→𝑥0

Limita oricărei funcţii într-un punct al domeniului său de definiție este egală cu valoarea funcţiei în acel punct ! ! ! ! Dacă există, limita unei funcții este unică. Exemple: • lim [2𝑥 2 − √𝑥 + 8 + log 2 (𝑥 + 1)] = 2 ∙ 12 − √1 + 8 + log 2 (1 + 1) = 2 − 3 + 1 = 0. 𝑥→1

𝑥 2 +1

0+1

1

3

• lim (cos 𝑥 + 𝑥 2 −4) = cos 0 + 0−4 = 1 − 4 = 4 . 𝑥→0

! ! !Pentru punctele de acumulare care nu apaţin domeniului de definiție, este foatre uşor de reţinut valoarea limitelor utilizând, în unele cazuri , graficul funcţiei respective. 1) Funcţia constantă 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑘 ;

lim 𝑘 = 𝑘

𝑥→±∞

2) Funcția putere

lim 𝑥 2𝑘+1 = −∞

𝑥→−∞

•Funcţia putere cu exponent pozitiv impar:

x

lim 𝑥 2𝑘+1 = +∞

𝑥→+∞

𝑓: ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥 2𝑘+1 , 𝑘 ∈ ℕ

1 =0 𝑥→−∞ 𝑥 2𝑘

•Funcţia putere cu exponent negativ par:

lim

o

x

1 =0 𝑥→+∞ 𝑥 2𝑘 lim

1 𝑓: ℝ∗ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑘 , 𝑘 ∈ ℕ 𝑥 lim

1

𝑥→0 𝑥 2𝑘


lim 𝑥 2𝑘 = +∞

𝑥→−∞

exponent pozitiv par:

lim 𝑥 2𝑘 = +∞

𝑥→+∞

𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2𝑘 , 𝑘 ∈ ℕ

y

𝑥→−∞ 𝑥 2𝑘+1

•Funcţia putere cu exponent negativ impar; 𝑓: 𝐼𝑅 ∗ → 𝐼𝑅, 𝑓(𝑥) =

1

1

lim

o

𝑥 2𝑘+1

1

lim

𝑥→+∞ 𝑥 2+1

x

,𝑘 ∈ ℕ

lim

1

𝑥→0 𝑥 2𝑘+1


=0 =0

=

1 = −∞ 0−

=

1 = +∞ 0+

3) Funcția radical

y •Funcţia radical de ordin impar: 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) =

2𝑘+1

o

√𝑥

lim

2𝑘+1

lim

2𝑘+1

√𝑥 = −∞

𝑥→−∞

x

√𝑥 = +∞

𝑥→+∞

𝑘 ∈ ℕ∗

•Funcţia radical de ordin par:

y

2𝑘

𝑓: 0, ∞) → ℝ, 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 2𝑘

∗

𝑘∈ℕ

lim √𝑥 = +∞

o

x

𝑥→+∞

4) Funcția exponențială

•Funcţia exponenţială cu baza supraunitară 𝑓: ℝ → (0, ∞), 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 1

y

o

𝑎 ∈ (0; 1)

lim 𝑎 𝑥 = +∞

1 x

y

•Funcţia exponenţială cu baza subunitară 𝑓: ℝ → (0, ∞), 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥

lim 𝑎 𝑥 = 0

𝑥→−∞

𝑥→+∞

lim 𝑎 𝑥 = +∞

𝑥→−∞

lim 𝑎 𝑥 = 0

1 o

𝑥→+∞

x

5) Funcția logaritmică

•Funcţia logaritmică cu baza subunitară

y

lim log 𝑎 𝑥 = +∞ 𝑥→0 >

𝑓: (0, ∞) → ℝ, 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝑎

1

o

lim log 𝑎 𝑥 = −∞

𝑥→+∞

x

𝑎 ∈ (0; 1)

•Funcţia logaritmică cu baza supraunitară

lim log 𝑎 𝑥 = −∞ 𝑥→0

y

>

𝑓: (0, ∞) → ℝ, 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥,

o

lim log 𝑎 𝑥 = +∞

1

𝑥→+∞

x

𝑎>1

6) Funcțiile trigonometrice • Funcţia sinus : 𝑓: ℝ → −1,1], 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 •Funcţia cosinus: 𝑓: ℝ → −1,1], 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ! Nu există limx→±∞ sin 𝑥 și lim𝑥→±∞ cos 𝑥 .

• Funcţia tangentă 𝑓: ℝ\

𝜋 2

+ 𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ → ℝ, 𝑓(𝑥) = tg𝑥 −𝜋 2

! Nu există lim tg 𝑥; 𝑥→±∞

lim

𝑥→𝜋/2+𝑘𝜋


o

𝜋/2 𝜋

3𝜋 2

tg 𝑥 = −∞.

y • Funcţia cotangentă 𝑓: ℝ\ 𝑘𝜋/𝑘 ∈ ℤ → ℝ 𝑓(𝑥) = ctg𝑥

−𝜋

! Nu există lim ctg 𝑥; 𝑥→±∞

lim ctg 𝑥 = −∞;

𝑥→𝑘𝜋


!!! În general, dacă 𝑓 este o funcţie periodică, nu există

lim 𝑓(𝑥).

𝑥→±∞

−𝜋/2 o

𝜋/2

𝜋 x

7) Inversele funcțiilor trigonometrice • Funcţia 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧𝐮𝐬 : 𝑓: −1,1]→ − 𝜋⁄2 , 𝜋⁄2], 𝑓(𝑥) = arcsin 𝑥 Singurele limite posibile sunt: lim arcsin𝑥 = arcsin 𝑥0 , (∀)𝑥0 ∈ −1,1]. 𝑥→𝑥0

• Funcţia 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬𝐢𝐧𝐮𝐬: 𝑓: −1,1]→ 0, 𝜋], 𝑓(𝑥) = arccos 𝑥 Singurele limite posibile sunt: lim arccos 𝑥 = arccos 𝑥0 , (∀)𝑥0 ∈ −1,1]. 𝑥→𝑥0

y

•Funcţia arctangentă

𝜋/2

lim arctg 𝑥 = −𝜋 ∕ 2

𝑓: ℝ → (− 𝜋⁄2 , 𝜋⁄2)

𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = arctg 𝑥

lim arctg 𝑥 = 𝜋 ∕ 2

o

x

𝑥→∞

−𝜋/2

•Funcţia arccontangentă

y

𝜋

lim arcctg 𝑥 = 𝜋

𝑥→−∞

𝑓: ℝ → (0, 𝜋)

𝜋/2

lim arcctg 𝑥 = 0

𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = arcctg 𝑥

o

x

Limite laterale Limita unei funcții într-un punct evaluează tendința pe care o au valorile funcției atunci când variabila funcției are valori foarte apropiate de punctul respectiv. Uneori se constată o diferență în tendința pe care o au valorile funcției atunci când variabila sa se apropie de punctul limită cu valori mai mici sau mai mari decat acesta. În aceste situatii intervine notiunea de limita laterala. Teorema: Există limita funcției 𝑓 în punctul 𝑥0 dacă există limitele laterale ale funcției și sunt egale: ∃ lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥). Limita funcției în punctul 𝑥0 este egala cu valoarea comună a celor doua limite 𝑥>𝑥0

𝑥1

În rezolvarea acestui tip de exercițiu tinem seama de urmatoarea regulă: 𝑥→𝑎

I. dacă avem o funcție 𝑔(𝑥) cu proprietatea că 𝑔(𝑥) →

𝑥→𝑎

II. dacă avem o funcție 𝑔(𝑥) cu proprietatea că 𝑔(𝑥) → 𝑥→1

Observăm ca în acest exemplu (𝑥 − 1) → 2) lim𝑥→1

1

𝑥 0, atunci lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = +0 = +∞; 0 și 𝑔(𝑥) < 0, atunci lim𝑥→𝑎

1 𝑔(𝑥)

=

1 −0

= −∞.

0 și 𝑥 − 1 > 0 (pentru ca 𝑥 > 1), deci am aplicat regula I. 𝑥→1

= −∞. În acest caz avem (𝑥 − 1) →

0 și 𝑥 − 1 < 0 (pentru ca 𝑥 < 1), deci am aplicat regula

3) lim𝑥→2 4)

1

=

𝟏

= −∞ . În acest caz, 4 − 2𝑥 < 0 deoarece 𝑥 > 2 și am aplicat regula II.

−𝟎 𝑥>2 4−2𝑥 1 𝟏 𝟏 lim𝑥→1 ( )2 = ( )𝟐 𝑥−1 −𝟎 +𝟎 𝑥 0, obținem la

numitor +0. 1

5) lim𝑥→1

2 𝑥>1 𝑥 −3𝑥+2

=

𝟏 −𝟎

= −∞. Deoarece numitorul este o funcție de gradul al doilea, pentru a-i stabili semnul

pentru 𝑥 > 1, putem alcătui tabelul cu semnul acesteia: Soluțiile ecuatiei atașate 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 sunt 1 și 2. Tabelul de semn este urmatorul: 𝑥 -∞ 1 2 +∞ + + + 0 - - - - - 0 + + + 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 Observăm din tabelul de semn că dacă 𝑥 > 1 avem 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 < 0, deci la numitor obținem -0. 1

1

6) lim𝑥→1 21−𝑥 = 2−0 = 2−∞ = 0. Am combinat în rezolvarea acestei limite regulile de calcul pentru limitele 𝑥>1

laterale cu formula de calcul a limitei spre -∞ pentru funcția exponențială cu baza supraunitară. Cel mai frecvent noțiunea de limită laterală se utilizează atunci când se calculeaza limita unei funcții definite pe ramuri, în punctele de legatură. Exemple: 𝑥 − 2, 𝑥 < 3 1) Sa se stabilească dacă există limita funcției 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = { 2 în punctul de legătură. 𝑥 + 𝑥 − 11, 𝑥 ≥ 3 Soluție: Punctul de legătură este 𝑥 = 3. Observăm ca funcția are legi de definire diferite pentru 𝑥 < 3, respectiv 𝑥 ≥ 3. În această situație se impune calculul limitelor laterale în 𝑥 = 3. lim 𝑥→3 𝑓(𝑥) = lim𝑥→3 (𝑥 − 2) = 3 − 2 = 1 și lim 𝑥→3 𝑓(𝑥) = lim𝑥→3 (𝑥 2 + 𝑥 − 11) = 32 + 3 − 11 = 1. Observăm 𝑥3

ca cele doua limite laterale sunt egale, deci ∃ lim𝑥→3 𝑓(𝑥) = 1. 3𝑥 − 2, 𝑥 < −1 2) Sa se stabilească dacă există limita funcției 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = { 2 în punctul de legătură. 𝑥 + 𝑥 − 1, 𝑥 ≥ −1 Soluție: Punctul de legătură este -1. Funcția are legi de definire diferite pentru 𝑥 < −1 , respectiv 𝑥 ≥ −1 , deci vom calcula limitele laterale în 𝑥 = −1. lim 𝑥→−1 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−1 (3𝑥 − 2) = −5 și lim 𝑥→−1 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−1 (𝑥2 + 𝑥 − 1) = −1 . Observăm ca cele doua limite nu 𝑥−1

sunt egale, deci, conform teoremei, nu există lim𝑥→−1 𝑓(𝑥) .

1. Limite remarcabile 1) Funcția polinomială lim (𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ) = {

𝑥→+∞

+∞, 𝑎𝑛 > 0 −∞, 𝑎𝑛 < 0

+∞, 𝑎𝑛 > 0 și 𝑛 par 𝑎𝑛 < 0 și 𝑛 impar lim (𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ) = { −∞, 𝑎𝑛 > 0 și 𝑛 impar 𝑥→−∞ 𝑎𝑛 < 0 și 𝑛 par Exemple:

lim (-2𝑥 4 + 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 1)=−∞ ( avem −2 ∙ (∞)4 = −2 ∙ ∞ = −∞);

𝑥→+∞

lim (−3𝑥 5 + 4𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 + 2) = +∞

𝑥→−∞

lim (2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 1) = −∞

𝑥→−∞

(avem − 3 ∙ (−∞)5 = −3 ∙ (−∞) = +∞) ;

(avem 2 ∙ (−∞)3 = 2 ∙ (−∞) = −∞) .

2) Funcția rațională

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +⋯+𝑎1 𝑥+𝑎0 𝑥→+∞ 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 +𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 +⋯+𝑏1 𝑥+𝑏0

lim

={

0, 𝑛 𝑚

;

𝑎 𝑥 𝑛 +𝑎 𝑥 𝑛−1 +⋯+𝑎1 𝑥+𝑎0 lim 𝑛 𝑚 𝑛−1 𝑚−1 𝑏 𝑥 +𝑏 +⋯+𝑏1 𝑥+𝑏0 𝑥→−∞ 𝑚 𝑚−1 𝑥

={

0, 𝑛 < 𝑚 ,𝑛 = 𝑚

𝑎𝑛 𝑏𝑚

𝑎𝑛 𝑏𝑚

.

∙ (−∞)𝑛−𝑚 , 𝑛

>𝑚

Exemple: 𝟑𝑥 𝟒 −2𝑥+1

• lim

3

3

= −5 = − 5 ( este cazul în care numărătorul și numitorul au gradele egale cu 4, deci

𝑥→+∞ −𝟓𝑥 𝟒 +𝑥 2 −𝑥+3

limita va fi raportul coeficienților termenilor de grad maxim: 3 și respectiv -5); 4𝑥 5 −3𝑥 4 +𝑥 2 −𝑥+2 𝑥→−∞ 5𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥−3

4

4

= 5 ∙ (−∞)5−3 = 5 ∙ (+∞) = +∞ (gradul numărătorului este mai mare decat gradul

• lim

numitorului); • lim

𝑥5 −3𝑥4 +𝑥2 −𝑥+1

𝑥→∞ −2𝑥3 +𝑥2 +𝑥−3

• lim

𝑥→−∞

• lim

4𝑥5 −3𝑥4 −𝑥+2 5𝑥7 +𝑥2 −3

=

∙ ∞ = −∞ (gradul numărătorului este mai mare decat gradul numitorului);

= 0 (gradul numărătorului este mai mic decat gradul numitorului, adica 𝑛 < 𝑚 );

4𝑥5 −3𝑥4 +𝑥2 −𝑥+2 8𝑥5 +𝑥2 +𝑥−3

𝑥→−∞

1 −2

=

1

4

= 2 (gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului).

8

3) Funcția exponentiala 0, 𝑎 ∈ (−1; 1) lim 𝑎 = { 1, 𝑎 = 1 𝑥→+∞ +∞, 𝑎 > 1

𝑥

În particular, lim 𝑒 𝑥 = +∞; 𝑥→+∞

Exemplu:

2𝑥 +3𝑥 𝑥→+∞ 5𝑥 −2𝑥

lim

𝑎 ∈ (−1; 1) 𝑎=1 𝑎>1

+∞, ; lim 𝑎 = { 1, 𝑥→−∞ 0,

𝑥

∞

=∞ lim

lim 𝑒 𝑥 = 0.

𝑥→−∞

2 3𝑥 (( )𝑥 +1) 3

2 𝑥→+∞ 5𝑥 (1−( )𝑥 ) 5

∞ ∞

3

= lim (5)𝑥 𝑥→+∞

2 ( )𝑥 −1

0−1

3

= 0 ∙ 1−0 = 0 . Deoarece 2>1, 5>1 și 3>1, avem

2 1−( )𝑥 5

cazul de nedeterminare ; pentru eliminarea acestei nedeterminări forțăm factor comun la numitor și respectiv 2 𝑥

2 2 3

2 𝑥

3 𝑥

numărător puterea cu baza cea mai mare; se ajunge la , , ∈ (−1; 1) și (3) → 0, (5) → 0 și (5) → 0. 3 5 5

sin𝑥 sin 𝑢(𝑥) = 1 ; generalizare: lim = 1, dacă 𝑢(𝑥)𝑥→𝛼 → 0 𝑥 𝑥→0 𝑥→𝛼 𝑢(𝑥) tg 𝑥 tg 𝑢(𝑥) lim 𝑥 = 1 ; generalizare: lim 𝑢(𝑥) = 1, dacă 𝑢(𝑥)𝑥→𝛼 → 0 𝑥→0 𝑥→𝛼 arcsin𝑥 arcsin 𝑢(𝑥) lim 𝑥 = 1 ; generalizare: lim 𝑢(𝑥) = 1, dacă 𝑢(𝑥)𝑥→𝛼 → 0 𝑥→0 𝑥→𝛼 arctg 𝑥 arctg 𝑢(𝑥) lim 𝑥 = 1 ; generalizare: lim 𝑢(𝑥) = 1, dacă 𝑢(𝑥)𝑥→𝛼 → 0 . 𝑥→0 𝑥→𝛼

4)

lim

Exemple: •lim

𝑥→1

sin( 𝑥−1) 𝑥 2 −1

tg( 𝑥 2 −4) •lim sin(𝑥 −2) 𝑥→2

sin(𝑥−1)

= lim (𝑥−1)(𝑥+1) = lim 𝑥→1

=

tg(𝑥2 −4) . (𝑥 2 −4) 𝑥2 −4 lim sin(𝑥−2) 𝑥→2 .(𝑥−2) 𝑥−2

arcsin( 𝑥+1) 𝑥→−1 arctg(𝑥 2 –𝑥−2)

• lim

𝑙𝑛 (1+𝑥) 𝑥 𝑥→0

5) lim

𝑥→1

= lim𝑥→−1

sin( 𝑥−1) 1 ∙ 𝑥−1 𝑥+1 1∙(𝑥 2 −4) 𝑥→2 1∙(𝑥−2)

= lim

1 2

=1∙ =

= lim

𝑙𝑛 (1+𝑢(𝑥)) 𝑢(𝑥) 𝑥→𝛼

= 1 ; generalizare :lim

= lim

=4 ;

1∙(𝑥+1) 𝑥→𝑎

= 1 , dacă 𝑢(𝑥) →

ln(1+sin 𝑥) ln(1+sin 𝑥) sin 𝑥 = lim sin 𝑥 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 1 = 1; 𝑥 𝑥→0 ln(1+𝑥 2 −𝑥) ln(1+𝑥 2 −𝑥) 𝑥 2 −𝑥 𝑥(𝑥−1) lim 𝑥 −1 = lim 𝑥⏟2 −𝑥 ⋅ 𝑥−1 = lim 𝑥−1 𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1

• lim

𝑥→0

↘1

𝑥−2

𝑥→−1 1∙(𝑥+1)(𝑥−2)

Exemple:

•

;

(𝑥−2)(𝑥+2)

𝑥→2

arcsin(𝑥+1) . (𝑥+1) 𝑥+1 arctg(𝑥2 −𝑥−2) .(𝑥 2 −𝑥−2) 𝑥2 −𝑥−2

1 2

=1 ;

= lim

0 .

1

𝑥→−1 𝑥−2

1

= −3

ln(𝑥 2 +2𝑥−7) 𝑥 2 −4 𝑥→2

• lim

ln(1+𝑥 2 +2𝑥−8) 𝑥 2 +2𝑥−8 ⋅ 𝑥 2 −4 𝑥 2 +2𝑥−8 ⏟ 𝑥→2

= lim

𝑥 2 +2𝑥−8 𝑥→2 𝑥 2 −4

= lim

(𝑥−2)(𝑥+4)

6

3

= lim (𝑥−2)(𝑥+2) = 4 = 2. 𝑥→2

↘1

𝑎 𝑥 −1 6) lim𝑥→0 𝑥

𝑎 𝑢(𝑥) −1 𝑥→𝑥0 𝑢(𝑥)

= ln 𝑎 ; generalizare: lim

𝑥→𝑥0

= ln 𝑎, dacă 𝑢(𝑥) →

0, unde 𝑎 > 0

Exemple: 2𝑥 −1 = ln 2 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑒 −1 •lim 𝑥 = ln 𝑒=1 𝑥→0 2𝑥−3 −1 2𝑥−3 −1 1 •lim 𝑥 2 −9 = lim 𝑥−3 ⋅ 𝑥+3 𝑥→3 𝑥→3

• lim

3𝑥−1 −1

•lim

2 𝑥→1 2𝑥 −1 −1

3𝑥−1 −1 ⋅(𝑥−1) 𝑥−1 2 −1 𝑥 2 −1 𝑥→1 ⋅(𝑥 2 −1) 𝑥2 −1

= lim

3𝑥 −9

• lim 𝑥 2 −4 = lim

3𝑥 −32

2 𝑥→2 𝑥 −4

𝑥→2

1

= lim

ln 2 6

= ln 2 ⋅ 6 =

;

ln 3∙(𝑥−1) ln 𝑥→1 2∙(𝑥 2 −1)

= lim

32 (3𝑥−2 −1)

𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2)

= lim

3𝑥−2 −1

𝑥→2

𝑥−2

⋅

= 9 𝑥+2

ln 3 𝑥−1 lim ln 2 𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+1) 9

9 ln 3

4

4

= ln 3 ∙ =

=

ln 3 1 lim ln 2 𝑥→1 (𝑥+1)

ln 3

= 2 ln 2 ;

.

4. Cazuri de nedeterminare: tehnici de eliminare și aplicaţii I. Cazul

𝟎 𝟎

2𝑥 2 −2 𝑥→1 2𝑥 2 +𝑥−3

1) lim

0

2(𝑥−1)(𝑥+1)

2(𝑥+1) 2∙2 𝑥→1 2𝑥+3 2∙1+3

=0 lim (2𝑥+3)(𝑥−1) = lim 𝑥→1

4 5

= ;

Se observă că prin înlocuirea lui 𝑥 cu 1 se obțin și numitorul și numărătorul egale cu 0. Descompunem numărătorul și numitorul în factori. Deoarece numitorul şi numărătorul se anulează pentru 𝑥 = 1 (în acest caz), în descompunerea lor în factori va apărea cu siguranţă factorul 𝑥 + 1. Pentru numitor procedăm astfel: Ecuația atașată este 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 ∆= 1 + 24 = 25 ; 𝑥1 =

−1−5 4

=−

3 2

; 𝑥2

−1−5 4

3 2

= 1 ⇒ 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 2 (𝑥 + ) (𝑥 − 1) =

= (2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) Tehnica de lucru pentru acest tip de exerciții utilizează descompunerea numitorului și numărătorului în factori. Prin simplificare se elimină cazul

0 0

.

În general, dacă expresia polinomială de la numărător sau numitor se anulează în 𝛼 , în descompunerea sa în factori va apărea factorul 𝑥 − 𝛼 . 0

(√𝑥+1−1)(√𝑥−1+1) 𝑥−1−1 1 1 √𝑥−1−1 0 = lim (𝑥−2)( 𝑥−1+1) = lim (𝑥−2)( 𝑥−1+1) = lim 𝑥−1+1 = 2 𝑥−2 √ √ 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 √ ↑ 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐ă𝑚 𝑐𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑚ă𝑟ă𝑡𝑜𝑟𝑢𝑙𝑢𝑖 3 3 3 1− √3𝑥−5 √2𝑥−3− √3𝑥−5 √2𝑥−3−1+1− √3𝑥−5 √2𝑥−3−1 3) lim = lim = lim + lim = 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 𝑥−2 𝑥→2 ↑ 3 √2∙2−3= √3∙2−5=1 ⇒adunăm și scădem 1 2𝑥−3−1 1−3𝑥+5 1 2𝑥−4 1 6−3𝑥 = lim + lim = lim 𝑥−2 + 3 lim 𝑥−2 = 3 3 𝑥→2 (𝑥−2)(⏟2𝑥−3+1) 𝑥→2 (𝑥−2)(1+ √3𝑥−5+ √(3𝑥−5)2 2 𝑥→2 ⏟ √

2)

lim

2

=

1 2(𝑥−2) 1 −3(𝑥−2) lim + 3 lim 𝑥−2 2 𝑥→2 𝑥−2 𝑥→2

3

=1−1=0

Observație : Exemplele 2) și 3) se rezolvă prin metoda amplificarii cu conjugata. Prin înlocuirea variabilei 𝑥 cu valoarea către care tinde se observă că atât numitorul cât și numărătorul vor da valoarea 0. Pentru radicalii de ordin 2, formula de amplificare cu conjugata este : 𝑎−𝑏 𝑎−1 (√𝑎 − √𝑏)(√𝑎 + √𝑏) = 𝑎 − 𝑏 sau sub forma √𝑎 − √𝑏 = 𝑎+√𝑏 ; în particular, √𝑎 − 1 = 𝑎+1. √ √ Pentru radicalii de ordin 3, formula de amplificare cu conjugata este: 3 3 𝑎−𝑏 3 3 3 3 3 3 ( √𝑎 − √𝑏 )(√𝑎2 + √𝑎𝑏 + √𝑏 2 ) = 𝑎 − 𝑏 sau sub forma √𝑎 − √𝑏 = 3 2 3 3 2 ; în particular, √𝑎 − 1 = 𝑎−1 3

√𝑎2 + 3√𝑎+1

√𝑎 + √𝑎𝑏+ √𝑏

.

II. Cazul

∞ ∞ ∞

Observație : Tot în cazul ∞ se încadrează și aplicaţiile rezolvate anterior, în paragraful de limite remarcabile, de la formulele nr.2) şi nr.3). 1) lim

𝑥+1

𝑥+1

= lim

𝑥→∞ √4𝑥 2 −1

𝑥→∞ √𝑥 2 (4− 1 )

= lim

𝑥+1

𝑥→∞ |𝑥|√4− 1

𝑥2

1 x

x(1+ )

= lim

𝑥→∞ x∙√4− 1 𝑥2

𝑥2

1 x 𝑥→∞ √4− 1 𝑥2

1+

= lim

=

↑ 𝑥→∞⇒𝑥>0 ! 1 1 Pentru finalizarea limitei am folosit faptul că lim = lim 2 = 0 . 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 1 ! 𝑥→−∞⇒𝑥0

−5𝑥+1

= lim

𝑥→∞ |𝑥|√3−5+ 1 +𝑥√3 2 𝑥2

5√3 ; pentru 6

=

=

limitele din cazul ∞-∞ în care apar radicali, o metoda utilă de eliminare a ∞

nedeterminarii este amplificarea cu conjugata care conduce la cazul ∞ care se rezolva prin forțarea de factor comun. IV. Cazul 𝟏∞ Toate limitele din acest caz de nedeterminare se soluţionează prin utilizarea următoarei limite remarcabile: 1 𝑥

𝑢(𝑥)

1

lim (1 + 𝑥) = 𝑒 ; generalizare : lim (1 + 𝑢(𝑥))

𝑥→∞

𝑥→𝛼

1 𝑢(𝑥)

1 𝑥

lim (1 + 𝑥) = 𝑒 ; generalizare : lim (1 + 𝑢(𝑥))

𝑥→0

𝑥→𝛼

𝑥→𝛼

= 𝑒 , dacă 𝑢(𝑥)→

𝑥→𝛼

= 𝑒 , dacă 𝑢(𝑥)→

∞

0

1 𝑥−4

1 𝑥−4

1∞ lim (1 + 𝑥⏟− 4) = 𝑒 . = 𝑥→4 𝑢(𝑥) 1 2𝑥 1 𝑥 2 2) lim (1 + 𝑥) = lim (1 + 𝑥) ] = 𝑒 2 . 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥+2 𝑥 2 −3𝑥+1 𝑥+2 𝑥 2 −3𝑥+1 3) lim ( 2 ) 4 = lim (1 + 2 − 1) 4 𝑥 +5𝑥+3 𝑥 +5𝑥+3 𝑥→∞ 𝑥→∞

1) lim (𝑥 − 3) 𝑥→4

= lim (1 + 𝑥→∞

=𝑒

−8𝑥−2 𝑥+2 ) 4 = lim 𝑥 2 +5𝑥+3 ⏟ 𝑥→∞

𝑢(𝑥)→0 −8𝑥2 −18𝑥−4 lim 𝑥→∞ 4𝑥2 +20𝑥+12

2

(1 +

= 𝑒 −8∕4= 𝑒 −2 .

= lim (1 + 𝑥→∞

𝑥+2 −8𝑥−2 𝑥 +5𝑥+3 −8𝑥−2 ∙ −8𝑥−2 ]𝑥2 +5𝑥+3 4 ) 𝑥 2 +5𝑥+3

𝑥 2 −3𝑥+1−𝑥 2 −5𝑥−3 𝑥+2 ) 4 𝑥 2 +5𝑥+3 lim

(−8𝑥−2)(𝑥+2)

= 𝑒 𝑥→∞ 4(𝑥2 +5𝑥+3) =

=

V. Cazul ∞ ⋅ 𝟎

2𝑥+1 𝑥

1+2𝑥 ∞∙0 =

1) lim 𝑥 ln 2𝑥−1

2𝑥+1 𝑥

𝑥→∞

1∞ 2𝑥+1−2𝑥+1 2𝑥−1

= ln lim (1 + 𝑥→∞

𝑥

2𝑥+1

lim ln (2𝑥−1) = ln lim (2𝑥−1) =ln lim (1 + 2𝑥−1 − 1) = 𝑥→∞ 𝑥→∞ ⏟𝑥→∞ 𝑥

2 ∙𝑥 2𝑥−1 2𝑥−1 2

2

− 1) = ln lim [(1 + ⏟ ) 2𝑥−1

]

𝑥→∞

lim

2𝑥

= ln𝑒 𝑥→∞2𝑥−1 = ln𝑒 1 = 1 .

𝑢(𝑥) 1

1

1 1 1 − 𝑒 𝑥+1 (𝑒 𝑥 𝑥+1 −1)

∞∙0 = lim 𝑥→∞

2) lim 𝑥(𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥+1 ) 𝑥→∞

1

1 𝑥+1

𝑒 𝑥(𝑥+1) −1

= lim 𝑒⏟ 𝑥→∞

1 𝑥(𝑥+1) ⏟ ↓ 1

↓ 𝑒0

=

1 𝑥

1

∙ 𝑥+1 =1∙1∙0=0. ⏟ ↓ 0

∞∙0 cos2𝑥 = lim ↑ 𝑥→0 sin2𝑥 cos(𝜋⁄2−𝑥)=sinx

3) lim ctg2𝑥 ∙ cos(𝜋⁄2 − 𝑥) 𝑥→0

= lim 𝑥→0

∙ sin𝑥 =

cos2𝑥 cos0 1 ∙ sin𝑥 = = 2sin𝑥 cos𝑥 2cos0 2

4. Limite cu parametri − 𝐚𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚ț𝐢𝐢 Să se determine valorile parametrilor reali 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ astfel încât: 𝑥 2 +𝑥+1 𝑥+2 𝑥→∞

1) lim (

− 𝑎𝑥 + 𝑏) = 3 .

Soluție: 𝑥 2 +𝑥+1+(−𝑎𝑥+𝑏)(𝑥+2) 𝑥+2 𝑥→∞

lim

1−𝑎 =0 ⟹ { 1−2𝑎+𝑏 = 3 1

(𝑏+1)𝑥+1

2)

lim (𝑎 + ⏟

3𝑥 2 +1 𝑢(𝑥)→0

𝑥→∞

𝑥 2 +𝑥+1−𝑎𝑥 2 −2𝑎𝑥+𝑏𝑥+2𝑏 𝑥+2

= lim 𝑥→∞ ⇒ 𝑎=1 ⇒ 𝑏=4 . 2𝑥+𝑎

)

=

𝑥 2 (1−𝑎)+𝑥(1−2𝑎+𝑏)+1+2𝑏 𝑥+2 𝑥→∞

= lim

=3

1 𝑒2

Soluție: Din faptul ca valoarea limitei este

1

𝑒2 ∞

și din structura funcției căreia i se calculează limita, deducem că

aceasta trebuie să se încadreze în cazul 1 și de aici se obține 𝑎 = 1. Limita se va scrie: lim

𝑥→∞

[(1 +

(𝑏+1)𝑥+1 3𝑥 2 +1

3𝑥2 +1 (𝑏+1)𝑥+1

)

(𝑏+1)𝑥+1 ∙(2𝑥+𝑎) 3𝑥2 +1

]

lim

= 𝑒 𝑥→∞

(𝑏+1)𝑥+1](2𝑥+1) 3𝑥2 +1

2(𝑏+1)𝑥 2 +(𝑏+1)𝑥+2𝑥+1 2(𝑏+1) 𝑏+1 = −2 ⟹ 3 = −2 ⟹ 3 2 +1 3𝑥 𝑥→∞ 5 3) lim (√4𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = − 64 . 𝑥→∞

⟹ lim

= 𝑒 −2 ⇒

= −1 ⇒ 𝑏 = −4 .

Soluție: Amplificând cu conjugata vom obține: lim [√4𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 − (𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐)] = lim

𝑥→∞ √4𝑥 4 +3𝑥 3 −6𝑥 2 −2𝑥+𝑎𝑥 2 −𝑏𝑥−𝑐

𝑥→∞

= lim

4𝑥 4 +3𝑥 3 −6𝑥 2 −2𝑥−𝑎 2 𝑥 4 −𝑏2 𝑥 2 −𝑐 2 +2𝑎𝑏𝑥 3 +2𝑎𝑐𝑥 2 −2𝑏𝑐𝑥 √4𝑥 4 +3𝑥 3 −6𝑥 2 −2𝑥+𝑎𝑥 2 −𝑏𝑥−𝑐

𝑥→∞

= lim

𝑥 4 (4−𝑎 2 )+𝑥 3 (3+2𝑎𝑏)+𝑥 2 (−6−𝑏2 +2𝑎𝑐)+𝑥(−2−2𝑏𝑐)−𝑐 2

𝑥→∞

3 6 2 𝑏 𝑐 𝑥 2 (√4+ − 2 − 3 +𝑎− − 2) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

3 + 2𝑎𝑏 = 0, 𝑎 = 2 ⇒ 𝑏 = − 9 16

−6− +4𝑐 4

4𝑥 4 +3𝑥 3 −6𝑥 2 −2𝑥−(𝑎𝑥 2 −𝑏𝑥−𝑐)2

5

9

= lim 𝑥→∞

5

= − 64

3 4 25

= − 64 ⇒ 16 (−6 − 16 + 4𝑐) = −5 ⟹ 𝑐 = 16 .

𝑥 4 (4−𝑎2 )+𝑥 3 (3+2𝑎𝑏)+𝑥 2 (−6−𝑏2 +2𝑎𝑐)+𝑥(−2−2𝑏𝑐)−𝑐 2 3

6

2

√𝑥 4 (4+ − 2 − 3)+𝑎𝑥 2 −𝑏𝑥−𝑐 𝑥 𝑥 𝑥

4 − 𝑎2 = 0 ⇒ 𝑎 = ±2 ⟹ { 3 + 2𝑎𝑏 = 0 −6−𝑏2 +2𝑎𝑐 √4+𝑎

=

5 − 64

⇒2+𝑎 ≠0

}⇒𝑎=2