Magnétotellurique: Relation Fondamentale (Formule de Cagniard) [PDF]

Zitiervorschau

- Magnétotellurique : Définition et généralités - Relation fondamentale de la Magnétotellurique (formule de Cagniard) - Démonstration de la relation fondamentale de la MT (Formule de Cagniard) - Notion d’impédance électromagnétique 1D , 2D et 3D - Profondeur de pénétration et d’investigation - Notion de fonction de transfert géomagnétique(Tipper) - Les capteurs telluriques et magnétiques By Djedddidd - Domaines d’applications de la Magnétotellurique - Recherche sur la prévision de précurseur de tremblement de terre par les phénomènes sismo- électromagnétiques By

Djeddi Mabrouk

Ce cours «cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique » dispensé en licence et Master de Géophysique au département de Géophysique de la FHC n'est pas encore entièrement By: Djeddi Mabrouk(erreurs) dans le texte et achevé, il peut également subsister des fautes des références absentes. Si vous utilisez des données de ce travail, vous devez citer la référence en bibliographie de la façon suivante : Djeddi Mabrouk. Cours de prospection électromagnétique et Magnétotellurique, Département de Géophysique (FHC), Université M’Hamed Bougara de Boumerdes. Algérie. 2015

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LA MAGNETOTELLURIQUE

IDEFINITION ET GENERALITES La magnétotellurique (MT) est une technique géophysique qui permet d’obtenir des informations sur la distribution des conductivités électriques du sous-sol. Elle utilise comme sources naturelles notamment les ondes électromagnétiques naturelles produites constamment dans le sous-sol par des champs électromagnétiques ou micro pulsations géomagnétiques auxquels sont associés les courants telluriques. Ces derniers peuvent être assimilés à des courants alternatifs uniformes qui circulent sous l'aspect de nappes ou de faisceaux parallèlement à la surface terrestre dans l'ionosphère. La variation du champ magnétique terrestre engendre des courants telluriques dans les roches du sous-sol naturellement conductrices. Les changements de ces courants telluriques vont produire à leur tour un autre champ magnétique, dénommé champ magnétique secondaire. La MT consiste à mesurer en parallèle les composantes horizontales du champ électrique et des composantes du champ magnétique terrestre. Ensuite, il faut évaluer, dans le domaine spectral à l’aide de la transformée de Fourier, une fonction de transfert unissant les deux champs pour parvenir au calcul du tenseur magnétotellurique .C’est grâce à ce tenseur magnétotellurique qu’il est possible d’extraire deux grandeurs fondamentales ayant un lien direct avec les propriétés électriques du sous- sol à savoir - La résistivité électrique apparente. - la phase (déphasage entre les champs électrique et magnétique). En mesurant l'impédance du sous –sol à partir des ondes électromagnétiques d'origine naturelle, il est possible d’obtenir des indications sur la répartition des conductivités électriques (inverse de la résistivité) des roches depuis la surface jusqu’à des profondeurs pouvant atteindre des centaines de Kilomètres. La quantification de la résistivité permet alors aux géophysiciens d’établir des coupes géoélectriques en profondeur ou des cartes d'iso-résistivité, dont l'interprétation aidera à positionner les structures géologiques.

2

Toutefois, la mise en évidence des structures géologiques réelles par la MT est conditionnée par le respect de certaines hypothèses dites de Cagniard (1953) à savoir : 1- Le courant de déplacement doit être insignifiant par rapport au courant de conduction. Cette hypothèse ne pose pas de difficultés sachant que les courants de déplacement ne deviennent importants qu’à partir des fréquences supérieures à 100 𝐾𝐻𝑧 et dans ce cas seuls les contrastes de résistivité seront suffisamment sensibles aux mesures. Etant donné que les méthodes EM utilisent généralement des sources de fréquences inferieures à 1 𝑀𝐻𝑧 pour lesquelles les courants de déplacement sont négligeables devant les courants de conduction c’est-àdire

𝜀 . 𝜕𝐸/𝜕𝑡 ≪ 𝜎.𝐸 Ce qui simplifie les relations de maxwell à l’équation suivante (appelée équation de diffusion) aux trois dimensions.

∇2 𝐸 − 𝜎 . 𝜇 . 𝜕𝐸 / 𝜕𝑡 = 0 De ce fait les courants électriques induits par le champ électromagnétique primaire ont tendance à s’ accumuler au voisinage de la surface du corps conducteur et par conséquent seules les contrastes de résistivité (ou son inverse la conductivité) interviennent dans la réponse du sous- sol . 2- La nappe tellurique doit être uniforme, ce qui suppose que la source naturelle d'excitation des ondes électromagnétiques est très éloignée .Cette seconde hypothèse ne pose pas également des difficultés, car les sources en MT sont d’origine externe et proviennent surtout des orages atmosphériques dont les fréquences sont supérieures à 1 𝐻𝑧 soit d’origine ionosphérique de fréquence inferieure à 1 𝐻𝑧. La Magnétotellurique naturelle (MT) utilise des champs primaires naturels éloignés dont le signal est de fréquences très basses de l’ordre de quelques Hz. La source électromagnétique n’est pas contrôlée par l’opérateur qui exécute les mesures. La méthode magnétotellurique permet d’explorer de très grandes profondeurs (jusqu’à la lithosphère et plus, fig.1). Néanmoins, son avantage de sonder des grandes profondeurs affecte la résolution qui sera naturellement faible étant donné que les signaux MT enregistrés sont généralement de très basses fréquences.

3

La Magnétotellurique naturelle comprend : -

Méthode tellurique.

-

Méthode magnétotellurique.

-

Méthode audio magnétotellurique (AFMAG Audio Frequency Magnetic Fields) etc…

1- Classement selon la profondeur, la MT peut être classée en : - Radio –Magnétotellurique (RMT) pour les faibles profondeurs. - Audio-magnétotellurique pour les moyennes profondeurs. - L’Hélio –Magnétotellurique pour les grandes profondeurs 2- Classement selon la nature du champ EM utilisé. - méthode passive (naturelle)

II-

RELATION FONDAMENTALE DE LA MT (DEMONSTRATION)

Les équations de Maxwell sont : -

Equation de Maxwell –Ampère

⃗⃗⃗ = 𝒋𝒄 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 𝒓𝒐𝒕 -

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

= 𝒋𝒄 + 𝒋𝒅

Equation exprimant la relation les champs électrostatique et électromoteur

⃗ = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕 -

dans le cas le plus général (régime variable)

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⇨

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ = 𝛁

−

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

Théorème de Gauss

⃗⃗ = 𝒅𝒊𝒗 𝑬

𝝆 𝜺𝟎

⇨

⃗ .𝑬 ⃗⃗ = 𝛁

𝝆 𝜺𝟎

⃗⃗ = 𝝆 soit 𝒅𝒊𝒗 𝑫

Flux de l’induction magnétique étant charges magnétiques)

⃗ = 𝟎 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩

⃗ . ⃗𝑩 ⃗ = 𝟎. ⇨ 𝛁

4

conservatif, signifiant l’absence de

Remarque : 𝝆 ∶ densité de charges par unité de volume(C/m3) a ne pas confondre avec le paramètre résistivité des matériaux.

𝒅𝒊𝒗 𝒋𝒄 = −

𝝏𝝆 𝝏𝒕

Nous avons

⃗.𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 = − ∬𝒔 𝒓𝒐𝒕⃗𝑬 ∬𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗ 𝒅𝒔 = − .𝒏

𝝏 𝝏𝒕

⃗ .𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 ∬𝒔 ⃗𝑩

⃗ : Étant le vecteur unitaire normal à S (fig1) 𝒏 ⃗.𝒏 ⃗ .𝝉 ⃗ 𝒅𝒔 = ∮𝑳 ⃗𝑬 ⃗ 𝒅𝒍 𝒓𝒐𝒕⃗𝑬 ∬𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec

⃗ .𝝉 ⃗ 𝒅𝒍 = − ∮𝑳 ⃗𝑬

𝝏 𝝏𝒕

⃗ .𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 ∬𝒔 ⃗𝑩

⃗ : Vecteur unitaire tangent au contour 𝑳 𝝉 Par substitution

⃗. 𝒏 ⃗ .𝝉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 ⃗ 𝒅𝒔 = ∮𝑳 ⃗𝑬 ⃗ 𝒅𝒍 ∬𝒔 𝒓𝒐𝒕 −

𝝏 𝝏𝒕

donc ∬𝒔

⃗. 𝒏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 ⃗ 𝒅𝒔 = − ∬𝒔 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗ . 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 ∬𝒔 𝑩

On obtient

⃗⃗ . 𝝉 ⃗ 𝒅𝒍 = Force électromotrice (F.E.M) = − ∮𝑳 𝑬 Avec

⃗⃗ . 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 = 𝜱 ∬𝒔 𝑩

5

𝝏 𝝏𝒕

⃗⃗ . 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 ∬𝒔 𝑩

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗ 𝒅𝒔 = .𝒏

Fig.1 expliquant le sens physique de la seconde équation de Maxwell.

D’où la force électromotrice est : 𝝏𝜱

𝑭. 𝑬. 𝑴 = −

𝝏𝒕

Aussi, on a :

⃗⃗ . 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 = ∬𝒔 𝒋𝒄 . 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 + ∬𝒔 𝒓𝒐𝒕⃗𝑯 ∬𝒔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ 𝝏𝑫 𝝏𝒕

⃗ 𝒅𝒔 = ∬𝒔 𝒋. 𝒏 ⃗ 𝒅𝒔 .𝒏

⃗ 𝒅𝒍 = 𝑰 𝑯. 𝝉 ∫𝑳 ⃗⃗⃗⃗

Comme

Etant donné que ⃗⃗ 𝝏𝑫

⃗ 𝒅𝒔 + ∬𝒔 𝑰 = ∬𝒔 𝒋𝒄 . 𝒏

𝝏𝒕

⃗ 𝒅𝒔 .𝒏

Et Par le théorème Green -Ostogradsky on obtient : 𝒅𝒔 = − ∭𝑽 ∬𝒔 𝒋𝒄 . ⃗⃗⃗⃗

𝝏𝝆 𝝏𝒕

𝒅𝑽

𝑰 = ∬ 𝒋𝒄 . ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔 D’où

𝒔

− ∭𝑽

𝝏𝝆 𝝏𝒕

𝒅𝑽 =

−

𝝏𝑸 𝝏𝒕

=𝑰

6

Comme .

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯 𝒓𝒐𝒕 Avec

= 𝒋𝒄

⃗ ×𝑯 ⃗⃗⃗ = 𝒋𝒄 𝛁

⇨

⃗ (la loi d’ohm) 𝒋𝒄 = 𝝈 . ⃗𝑬 ⃗⃗ = 𝝈 . ⃗𝑬 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑯

Soit

Par la relation de Faraday :

⃗ =− ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕

⃗⃗ 𝝏𝑩

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ 𝛁

⇨

𝝏𝒕

=

−

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

= − 𝝁𝒐 .

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

L’utilisation de l’identité ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕 et

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬 − 𝛁 𝟐 ⃗𝑬 .

et

⃗𝑫 ⃗ = 𝜺𝒐 . ⃗𝑬 ⃗

⃗ = 𝟎 et en tenant compte que 𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑬

⃗𝑩 ⃗ = 𝝁.𝒐 . ⃗𝑯 ⃗⃗

Donne 𝟐

⃗ + 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝝏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑬 𝒓𝒐𝒕

𝑬

+ 𝝈 𝝁𝟎

𝝏𝒕𝟐 𝟐𝑯

⃗⃗ + 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝝏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑯 𝒓𝒐𝒕

+ 𝝈 𝝁𝟎

𝝏𝒕𝟐

⃗ 𝝏𝑬

= 𝟎

𝝏𝒕 ⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

= 𝟎

Ce qui donne finalement.

⃗⃗ −𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁𝟐𝑬

𝝏𝟐 𝑬

⃗⃗⃗ −𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 . 𝛁𝟐𝑯

𝝏𝟐 𝑯

𝝏𝒕𝟐

𝝏𝒕𝟐

− 𝝈 𝝁𝟎 − 𝝈 𝝁𝟎

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕 ⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

= 𝟎 = 𝟎

Pour le champ électrique Pour le champ magnétique

𝒌𝟐 = 𝝎𝟐 . 𝝁𝟎 𝜺𝟎 − 𝒊𝝎. 𝝁𝟎 𝝈 Ou 𝒌 est appelé nombre d’onde complexe

7

En prospection magnétotellurique, on travaille généralement avec le champ d’ondes électromagnétiques de fréquences inferieures à 10 KHz et par la suite on néglige la partie réelle du nombre d’onde. Soit

𝝎𝟐 . 𝝁𝟎 𝜺𝟎 < 𝒊𝝎. 𝝁𝟎 𝝈 Dans ces conditions le courant de déplacement est insignifiant devant le courant de conduction ( 𝒋𝒄 > 𝒋𝒅 ) En négligeant les courants de déplacement c’est-à-dire en négligeant les termes

𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐 𝑬 𝝏𝒕𝟐

et

𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐 𝑯

,

𝝏𝒕𝟐

on obtient :

⃗ 𝝏𝑬

⃗ = 𝝈. 𝝁𝟎 𝛁 𝟐 ⃗𝑬

𝝏𝒕

⃗⃗ = 𝝈 . 𝝁𝟎 𝛁 𝟐 ⃗𝑯

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

Ces dernières équations sont appelées les équations de diffusion .Elles sont valables lorsque les deux champs varient lentement en fonction du temps autrement (cas proche du régime quasi stationnaire). Donc :

( 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐 𝑬 𝝏𝒕𝟐

et 𝜺𝟎 . 𝝁𝟎 .

𝝏𝟐 𝑯 𝝏𝒕𝟐

) ≪ ( 𝝈 𝝁𝟎

⃗ 𝝏𝑬

et 𝝈 𝝁𝟎

𝝏𝒕

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

)

Si on suppose que le champ électromagnétique varie sinusoïdalement dans temps et pour une fréquence angulaire 𝝎 = 𝟐𝝅 /𝑻 , on obtient

⃗⃗ (t) = 𝑬 ⃗⃗ 𝟎 [cos 𝝎𝒕 + 𝒊. 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕] = 𝑬 ⃗⃗ 𝟎 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑬

et

⃗⃗⃗ (t) = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎 [cos 𝝎𝒕 + 𝒊. 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕] = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎. 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑯 Soit ⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕

=

𝝏

⃗⃗ 𝟎 𝒆𝒊𝝎𝒕 ] = 𝒊 . 𝝎 . ⃗𝑬 ⃗ (t) [𝑬 𝝏𝒕

et

8

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

=

𝝏 𝝏𝒕

⃗⃗⃗ 𝟎 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 ] = 𝒊. 𝝎. ⃗𝑯 ⃗⃗ (𝒕) [𝑯

D’ou

⃗ = 𝝈. 𝝁𝟎 . 𝛁 𝟐 ⃗𝑬

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒕

⃗⃗ = 𝝈 . 𝝁𝟎 . 𝛁 𝟐 ⃗𝑯

⃗ (t) = 𝒊. 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 . ⃗𝑬

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

⃗⃗ (𝐭). = 𝒊. 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 . ⃗𝑯

Lorsque le champ électromagnétique se propage dans le plan horizontal (𝑿 − 𝒀) avec une variation de son amplitude et de phase dans la direction verticale, on obtient :

⃗𝑬 ⃗ (𝒕) = [ 𝑬𝒙 , 𝑬𝒚 , 𝟎 ]

⃗𝑯 ⃗⃗ (𝒕) = [ 𝑯𝒙 , 𝑯𝒚 , 𝟎 ]

et

avec

⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 ⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) = 𝑬 ⃗⃗ 𝟎,𝒚 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑬 𝑯𝒙 (𝒕, 𝒛) = 𝑯𝟎,𝒙 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑯𝒚 (𝒕, 𝒛) = 𝑯𝟎,𝒚 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛), 𝑯𝒚 (𝒕, 𝒛) avec les équations 𝛁 𝟐 ⃗𝑬 ⃗ 𝑒𝑡 En agençant les équations ⃗𝑬 ⃗⃗ , puis en tenant compte de la variation des champs magnétique et 𝛁 𝟐 ⃗𝑯 électrique avec la profondeur z on obtient : 𝝏𝟐 𝝏𝒛𝟐

⃗⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛)} = 𝒊. 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 { 𝑬 ⃗⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛)} = 𝒊. 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 . 𝑬 ⃗⃗ 𝟎,𝒙 𝒆−𝒊𝒌𝒛 {𝑬

⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 𝒆−𝒊𝒌𝒛 Ou ⃗𝑬 ⃗⃗ 𝟎,𝒙 , 𝑬 ⃗⃗ 𝟎,𝒚 , 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒙 𝒆𝒕 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒚 𝑬

sont

les

valeurs

du

champ

électrique

magnétique suivant les axes 𝑶𝑿 et 𝑶𝒀 à la surface du sol.

𝒌 est le nombre d’onde électromagnétique. ⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙. . 𝒆−𝒊𝒌𝒛 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) ⃗𝑬 ⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒚 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆−𝒊𝒌𝒛 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒚 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) 9

et

⃗⃗⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒙 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆−𝒊𝒌𝒛 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑯

⃗⃗⃗ 𝟎,𝒙 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = 𝑯

⃗⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒚 (𝒛). 𝒆𝒊𝝎𝒕 = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆−𝒊𝒌𝒛 . 𝒆𝒊𝝎𝒕 𝑯

⃗⃗⃗ 𝟎,𝒚 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = 𝑯

Etant donné que le nombre d’onde est exprimé par la relation suivante :

𝒌 = √(−𝒊). 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 = √ 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 .√(−𝒊) = √ 𝝎. 𝝈. 𝝁𝟎 ( il s’ensuit que 𝒌 = D’où 𝜹 = 𝟏⁄ =

𝒌

√𝝎.𝝈.𝝁𝟎

√𝟐

−

𝟏 √𝟐

𝒊) =

√ 𝝎.𝝈.𝝁𝟎 𝝅

𝒊. 𝒆 𝟒

, comme l’effet de peau est 𝜹 = 𝟏⁄

𝒌

√𝟐

√𝟐 𝝎.𝝈.𝝁 √ 𝟎

𝟏

=√

𝟐 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

=√

𝟐 𝟐𝝅𝒇.𝝈.𝝁𝟎

=√

𝟏 𝝅𝒇.𝝈.𝝁𝟎

=√

𝑻 𝝅.𝝈.𝝁𝟎

≅ 𝟓𝟎𝟑√

𝑻 𝝈

= 𝟓𝟎𝟑√𝑻. 𝝆 ou 𝑻𝑒𝑡 𝝆 sont respectivement la période et la résistivité .En substituant 𝜹 dans les équations précédentes, elles deviennent : 𝒛

𝒛

⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛)

⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) = ⃗𝑬

. 𝒆− 𝜹

⃗𝑬 ⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛)

⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 = ⃗𝑬

𝒛

𝒛

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛)

⃗⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 = ⃗𝑯

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛)

⃗⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆−𝒊(𝒌𝒛−𝝎𝒕 ) = ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 = ⃗𝑯

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) : Cette exponentielle représente une évolution harmonique de l’onde en fonction du temps et un changement de la phase pour chaque profondeur (𝒛) 𝒛

𝒆− 𝜹 : expression montrant l’atténuation de l’onde 𝜹 : profondeur de pénétration. 𝜹=

𝟏 √𝟐𝝅𝝈𝝎

=

√𝝆 √𝟐𝝅𝝎

𝝆

= √ 𝟐 = 𝟒𝝅 𝒇

𝟏 𝟐𝝅

𝝆

√𝒇

10

Elle correspond à la valeur de l’amplitude de l’onde électromagnétique qui diminue d’une valeur 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 par rapport à sa valeur en surface c’est-à-dire

𝟏⁄ 𝒆

= 𝟏⁄𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖

, soit environ de

surface et une avance de phase d’environ

𝟓𝟕°

𝟑𝟕%

de sa valeur en

(un radian).

Soit mathématiquement :

⃗𝑬 ⃗ 𝒙𝟎 = 𝒆. ⃗𝑬 ⃗ 𝒙𝜹 𝜹 diminue

avec l’augmentation de la fréquence

et augmente avec

l’augmentation de la résistivité de la roche.

A partir des équations d’Ampère-Faraday

⃗ =− ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑬 ⃗ × ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝛁

⃗⃗ 𝝏𝑩

⃗ × ⃗𝑬 ⃗ 𝛁

⇨

𝝏𝒕

=

−

⃗⃗ 𝝏𝑩 𝝏𝒕

= − 𝝁𝒐 .

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒕

.

⃗ = 𝒋𝒄 = 𝝈 . ⃗𝑬

Et les champs électrique et magnétique représentés par les équations 𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

𝒛

⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 ⃗⃗⃗𝑬 𝒚 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑬 ⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝟎,𝒙 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 ⃗⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) = 𝑯 ⃗⃗⃗ 𝟎,𝒚 . 𝒆𝒊(𝝎𝒕− 𝜹 ) . 𝒆− 𝜹 𝑯 Il en résulte que :

⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) = − 𝑬

𝝎. 𝝁𝟎 ⃗⃗⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) 𝑯 𝒌

⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕, 𝒛) = +

𝝎. 𝝁𝟎 ⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒚 (𝒕, 𝒛) 𝒌

11

III-

IMPEDANCE ELECTROMAGNETIQUE

Pa définition, l’impédance électromagnétique est : 𝐳

𝟏 𝟏 + 𝐢) ( 𝛚. 𝛍𝟎 √𝟐 √𝟐 = = 𝛚. 𝛍𝟎 . = 𝐤 √ 𝛚. 𝛔. 𝛍𝟎

𝐳

⃗ 𝐱 (𝐭, 𝐳) ⃗ 𝟎,𝐱 𝐞𝐢(𝛚𝐭− 𝛅 ) . 𝐞− 𝛅 𝐄 𝐄 𝐙= = 𝐳 𝐳 ⃗⃗ 𝐲 (𝐭, 𝐳) 𝐇 ⃗⃗ 𝟎,𝐲 𝐞𝐢(𝛚𝐭− 𝛅 ) . 𝐞− 𝛅 𝐇 𝝅

𝝎.𝝁𝟎

𝝎.𝝁𝟎

𝒆𝒊.𝟒 =

√ 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

√ 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

𝝅

𝝅

𝟒

𝟒

[𝐜𝐨𝐬 + 𝐢 . 𝐬𝐢𝐧

]=

𝒊.𝒌 𝝈

= 𝒊. 𝒌. 𝝆

𝝅

⃗𝑯 ⃗⃗ 𝒚 𝒆𝒕 ⃗𝑬 ⃗ 𝒙 sont déphasés de

𝟒

Il en résulte que :

| 𝒁| = |

𝝆=

𝟏 𝝈

𝝎.𝝁𝟎 √ 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

=

| = √𝑹𝟐𝒆 + 𝑰𝟐𝒎 = |√

𝟏 𝝁𝟎 𝝎

| 𝒁|² =

𝟏 𝝎𝝁𝟎

𝝎.𝝁𝟎 𝝈

| = |√𝝆. 𝝁𝟎 . 𝝎 |

⃗ 𝒙 (𝒕,𝒛) 𝑬

|⃗⃗⃗

𝑯𝒚

𝑻

⃗ 𝒙 (𝒕,𝒛) 𝑬

| ² = 𝟐𝝅 |⃗⃗ (𝒕,𝒛)

𝑩 𝒚 (𝒕,𝒛)

|²

D’où

𝝆=

𝑻

⃗𝑬 ⃗ 𝒙 (𝒕,𝒛)

|⃗⃗

𝟐𝝅 𝑩 𝒚 (𝒕,𝒛)

|²

C’est la formule fondamentale de la magnetottellurique (formule de Cagniard ) Avec

𝒕𝒂𝒏𝝋 =

𝑰𝒎 𝒁 𝑹𝒆 𝒁

, 𝝋 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 [

𝑰𝒎 𝒁 𝑹𝒆 𝒁

12

]

La magnétotellurique consiste à enregistrer la variation temporelle des champs geo-électrique et géomagnétique. L’exploitation des relations entre l’amplitude et la phase de ces champs mesurés en surface à une fréquence donnée permet d’obtenir l’impédance électromagnétique 𝒁 Habituellement, on mesure en surface les composantes horizontales du champ électrique et les composantes du champ magnétique dont le rapport fournit le tenseur d’impédance 𝒁 à partir du quel on détermine la répartition de la résistivité du sous –sol .Celle-ci est une grandeur physique complexe, qui est liée aux propriétés internes aux roches et aux sols.

𝝆𝒊𝒋 =

𝝁𝟎 𝝎

|𝒁𝒊𝒋 |²

Ici 𝒊 et 𝒋 sont axes 𝒙 et 𝒚 . 𝒁𝒊𝒋 = |𝒁𝒊𝒋 | 𝒆𝒊𝜶

ou

𝜶𝒊𝒋 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧

En milieu homogene la phase

𝑰𝒎 ( 𝒁𝒊𝒋 ) 𝑹𝒆 (𝒁𝒊𝒋 )

𝜶𝒙𝒚 = 𝟒𝟓° 𝑒𝑡 𝜶𝒚𝒙 = −𝟏𝟑𝟓°

la phase de 𝒁 décrit le dephasage entre le champ magnetique ⃗⃗⃗ et le champ electrique 𝑬 ⃗⃗ . 𝑯 Cas d’un milieu homogène Lorsque le milieu est homogène la résistivité apparente

𝝆𝒂 =

| 𝒁|² 𝝎.𝝁𝟎

mesurée sur la surface du sol est alors égale à la résistivité vraie du milieu. La mesure des composantes des champs électrique et magnétique à la surface du sol permet de trouver les fonctions de transfert avec lesquelles provient la distribution des résistivités du sous sol. Le tenseur 𝐙 est composé de 4 nombres complexes 𝐙𝐱𝐱 , 𝐙𝐱𝐲 , 𝐙𝐲𝐲 𝐞𝐭 𝐙𝐲𝐱 d’après l’expression ci- après. 𝐄𝐱 𝐇𝐱 𝐙 𝐙𝐱𝐲 ( ) = ( 𝐱𝐱 )( ) 𝐄𝐲 𝐇𝐲 𝐙𝐲𝐱 𝐙𝐲𝐲

13

MODELE EN 1-D (MILIEU STRATIFIE) Pour un milieu homogène et isotrope de résistivité 𝝆 et 𝝁𝟎 à une dimension c’est-à-dire quand la résistivité de la structure ne dépend que de la profondeur 𝒁. car, la propagation du champ électromagnétique réel dans le sol ne dépend que de l’axe vertical des coordonnées(Z) et de la répartition spatiale des résistivités, par conséquent les deux champs sont respectivement : 𝑬 = (𝑬𝒙 , 𝟎, 𝟎) Pour Le champ électrique

𝑯 = ( 𝟎 , 𝑯𝒚 , 𝟎) Pour le champ magnétique ⃗ et ⃗𝑯 ⃗⃗ Ainsi, lorsqu’une onde électromagnétique est plane, les champs ⃗𝑬 sont constants dans le plan (𝑿 − 𝒀) et nous avons : ⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒙

=

⃗ 𝝏𝑬 𝝏𝒚

=

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒙

=

⃗⃗⃗ 𝝏𝑯 𝝏𝒚

= ⃗⃗⃗𝟎

⃗⃗ ) → Les deux champs s’atténuent avec la profondeur c’est-à-dire ( ⃗𝑬 𝑒𝑡 ⃗𝑯 ⃗⃗⃗𝟎 lorsque la profondeur 𝒁 → ∞ L’équation

𝝏𝟐 ⃗𝑬 𝝏 𝒁𝟐

⃗ = ⃗⃗⃗𝟎 (dite équation de Helmoltz) est alors à + 𝒌𝟐 ⃗𝑬

une dimension. Elle décrit la propagation d’une onde électromagnétique plane se propageant en profondeur Z. La résolution de l’une des équations de Helmholtz 𝝏𝟐 ⃗𝑬 𝝏 𝒁𝟐

⃗ = ⃗⃗⃗𝟎 + 𝒌𝟐 ⃗𝑬

ou

⃗ 𝝏𝟐 ⃗𝑩 𝝏 𝒁𝟐

⃗ = ⃗⃗⃗𝟎 : + 𝒌𝟐 ⃗𝑩

fournit le champ correspondant et à l’aide des équations de Maxwell, on trouve l’autre champ. Donc, pour un modèle en 𝟏 − 𝑫 la résistivité est fonction uniquement de la profondeur soit 𝝆(z) et le tenseur de l’impédance est indépendant de l’orientation de mesure des composantes du champ électromagnétique. L’expression :

14

(

𝐄𝐱 𝐄𝐲

)= (

𝐙𝐱𝐱 𝐙𝐲𝐱

𝐙𝐱𝐲 )( 𝐙𝐲𝐲

𝐇𝐱 𝐇𝐲

)

devient alors :

(

𝐄𝐱 𝐇𝐱 ) = ( 𝟎 𝐙 )( ) 𝐄𝐲 𝐇𝐲 −𝐙 𝟎

Car la diagonale principale du tenseur d’’impédance est nulle .En outre, étant donné que le modèle est 1 − 𝐷 c’est-à-dire qu’il n y a pas de variations latérales de résistivité, alors les éléments

Zxx = Zyy = 0 et

les composantes de l’anti diagonale sont égales mais de signe contraire

𝐙𝐱𝐲

= − 𝐙𝐲𝐱 = 𝒁

Ou finalement

.

𝐙=

𝐄𝐱 𝐇𝐲

= −

𝐄𝐲 𝐇𝐱

(valeur scalaire)

Pour une fréquence donnée 𝝎, l’impédance magnétotellurique resultante est :

𝒁= soit

𝑬𝒙 𝑯𝒚

= −

𝑬𝒚 𝑯𝒙

=

𝝎𝝁𝟎 𝒌

| 𝒁| = √𝝆𝝁𝝎

et

𝝆

𝟏

=

𝝁𝝎

15

| 𝒁|² =

𝟏 𝝁𝝎

⃗ 𝑬

| ⃗⃗⃗ 𝒙 |² 𝑯𝒚

Milieux en 2-D Dans la réalité en géologie, les structures géologiques ont généralement des formes allongées c’est-à-dire que l’une des dimensions horizontales (x ) ou (𝑦 ) est amplement plus grande que l’autre. On dit alors que la structure géologique est bidimensionnelle (2D). Il est alors indispensable d’étudier la conductivité électrique suivant une direction horizontale(X ou Y) et verticalement suivant 𝒁, c’est-à-dire que la résistivité change suivant la profondeur et une direction horizontale, habituellement perpendiculaire à la direction de la structure géologique. La résistivité sera fonction de deux directions de l’espace à savoir : A titre d’exemple pour 𝛒(x, 𝐳) alors 𝒀 coïnciderait avec la direction de la structure géologique et 𝑿 perpendiculaire à la direction de la structure géologique et inversement lorsqu’on a 𝝆(𝒚, 𝒛). Alors, dans les deux cas on a les composantes

𝐙𝐱𝐱 et 𝐙𝐲𝐲 sont nulles

c’est-à-dire.

𝐙𝐱𝐱 = 𝒁𝒚𝒚 = 𝟎

, toutefois on a

𝒁𝒙𝒚 ≠ 𝒁𝒚𝒙

L’impédance électromagnétique 𝒁 serait composantes horizontales, On a l’expression :

(

𝐄𝐱 𝐙 ) = ( 𝐱𝐱 𝐄𝐲 𝐙𝐲𝐱

Avec

𝐄𝐱 =

un

tenseur.

Pour

les

𝐇𝐱 𝐙𝐱𝐲 )( ) 𝐇𝐲 𝐙𝐲𝐲 𝐙𝐱𝐱 . 𝐇𝐱 + 𝐙𝐱𝐲 . 𝐇𝐲

et

𝐄𝐲 = 𝐙𝐲𝐱 . 𝐇𝐱 + 𝐙𝐲𝐲. 𝐇𝐲

La réponse magnétotellurique pour un milieu 𝟐𝑫 fait appel à la résolution de l’équation de Maxwell dans deux modes différents appelés modes de polarisation, Transverse électrique (𝑻𝑬) et transverse magnétique (𝑻𝑴 ).

16

On dit polarisation électrique (mode 𝑻𝑬) lorsque la composante horizontale du champ électrique est parallèle à la diretion de la structure géologique 𝟐 − 𝑫 tandis que la composante horizontale du champ magnétique est perpendiculaire En mode 𝑻𝑴 (polarisation magnétique) : c’est lorsque les courants se propagent perpendiculairement à la direction de la structure 𝟐 − 𝑫 et la composante horizontale du champ magnétique est parallèle à la structure 𝟐 − 𝑫 Examinons dans ce qui suit les deux cas

A-

Quand la direction de la structure est en (𝑿), sa conductivité

électrique est 𝝈(𝒚, 𝒛) , alors les équations de Maxwell pour ce milieu se découpent en deux modes et auront pour expression : 1- En mode 𝑻𝑬 (Transverse électrique) on a : ⃗⃗ 𝒛 𝝏𝑩 𝝏𝒚

−

−

⃗𝒙 𝝏𝑬 𝝏𝒚

⃗𝒙 𝝏𝑬 𝝏𝒛

⃗⃗ 𝒚 𝝏𝑩 𝝏𝒛

=

=

⃗⃗ 𝒙 = 𝝈𝝁𝟎 𝑬

⃗⃗ 𝒛 𝝏𝑩 𝝏𝒕 ⃗⃗ 𝒚 𝝏𝑩 𝝏𝒕

⃗⃗ 𝒛 = 𝒊. 𝝎. 𝑩 ⃗⃗ 𝒚 = 𝒊. 𝝎. 𝑩

La résistivité apparente est exprimée par :

𝝆𝒙𝒚

=

𝟏 𝝁𝝎

| 𝒁|² =

𝟏 𝝁𝝎

⃗𝑬

| ⃗⃗⃗ 𝒙 |² 𝑯𝒚

17

2- En mode 𝑻𝑴 (transverse magnétique) on a :

⃗⃗ 𝒚 ⃗⃗ 𝒛 𝝏𝑬 𝝏𝑬 ⃗𝒙 − = 𝒊. 𝝎. ⃗𝑩 𝝏𝒚 𝝏𝒛 -

⃗⃗ 𝒙 𝝏𝑩

⃗⃗ 𝒛 = 𝝈𝝁𝟎 𝑬

𝝏𝒚

⃗⃗ 𝒙 𝝏𝑩 ⃗𝒚 = 𝝈𝝁𝟎 . ⃗𝑬 𝝏𝒛 La résistivité apparente est exprimée par :

𝝆𝒚𝒙

𝟏

=

𝝁𝝎

⃗𝑬𝒚

𝟏

| 𝒁|² =

𝝁𝝎

| ⃗⃗⃗

𝑯𝒙

|²

A ces équations correspondent les équations : 𝝏 𝝏𝒚

(

En mode polarisation électrique (𝑻𝑬) 𝟏

⃗𝒙 𝝏𝑬

𝒊.𝝎

𝝏𝒚

𝝏 𝝏𝒚

(

)+

𝝏 𝝏𝒛

(

𝟏

⃗𝒙 𝝏𝑬

𝒊.𝝎

𝝏𝒛

⃗𝒙=𝟎 ) − 𝝈𝝁𝟎 ⃗𝑬

En mode polarisation magnétique (𝑻𝑴) 𝟏

⃗⃗⃗ 𝒙 𝝏𝑯

𝝈

𝝏𝒚

)+

𝝏 𝝏𝒛

(

⃗⃗⃗ 𝒙 𝟏 𝝏𝑯 𝝈

𝝏𝒛

⃗⃗ 𝒙 = 𝟎 ) − 𝒊. 𝝎. 𝝁𝟎 ⃗𝑯

18

B- Lorsque la structure géologique est allongée dans la direction(𝒀), sa conductivité électrique est 𝝆(𝒙, 𝒛) . 1- Dans le mode 𝑻𝑬, le champ électrique horizontal est parallèle à la structure, donc ici à l’axe (𝒀) et les composantes du champ électromagnétique

sont 𝐄𝐲 , 𝐇𝐱 𝒆𝒕

𝐇𝐳 ayant pour expression

respectivement.

𝐇𝐱 =

𝟏 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

.

⃗𝒚 𝝏𝑬

et

𝝏𝒛

𝐇𝐳 =

𝟏 𝝎.𝝈.𝝁𝟎

.

⃗𝒚 𝝏𝑬 𝝏𝒙

et l’équation de diffusion de l’onde s’écrit : 𝝏𝟐 𝑬𝒚 𝝏𝒙𝟐

+

𝝏𝟐 𝑬𝒚 𝝏𝒛𝟐

⃗𝒚=𝟎 − 𝒊. 𝝎. 𝝈 . 𝝁𝟎 . ⃗𝑬

On remarque dans ce cas que le champ électrique a une seule composante 𝐄𝐲 , tandis que le champ magnétique a deux composantes

𝐇𝐱 𝒆𝒕 𝐇𝐳 .

2- Dans le mode 𝑻𝑴, le champ magnétique horizontal est parallèle à la structure et les composantes du champ électromagnétique sont ici 𝐄𝐱 , 𝐄𝐙 𝒆𝒕 𝐇𝐲 . Et l’équation de diffusion de l’onde s’écrit : 𝝏 𝝏𝒙

[

𝟏

⃗⃗⃗ 𝒚 𝝏𝑯

𝝈

𝝏𝒛

]+

𝝏 𝝏𝒛

𝟏

[𝝈

⃗⃗⃗ 𝒚 𝝏𝑯 𝝏𝒛

⃗⃗⃗ 𝒚 = 𝟎 ] − 𝒊. 𝝎. 𝝁𝟎 . 𝑯

Tandis que le champ électrique a deux composantes 𝐄𝐱 𝒆𝒕 𝐄𝐳 ayant respectivement pour expression :

𝐄𝐱 = −

⃗⃗⃗ 𝒚 𝟏 𝝏𝑯 𝝈 𝝏𝒛

et

𝐄𝐳 =

⃗⃗⃗ 𝒚 𝟏 𝝏𝑯 𝝈 𝝏𝒙

19

La résolution de ces équations nécessitent l’utilisation des méthodes numériques, car ne elles possèdent pas de solutions analytiques. Il en résulte que l’impédance sera exprimée par la relation.

(

𝐄𝐱 )= ( 𝟎 𝐄𝐲 𝐙𝐓𝐌

𝐙𝐓𝐄 ) ( 𝐇𝐱 ) 𝐇𝐲 𝟎

Il ressort que dans le cas d’une structure 𝟐𝑫 , les champs enregistrés peuvent être décomposés en la superposition de deux modes de polarisation 𝑻𝑬 et 𝑻𝑴 .A ces deux types de polarisation correspondent respectivement une impédance scalaire 𝐙𝐓𝐄 et 𝐙𝐓𝐌 . La tenseur impédance électromagnétique 𝒁 prend alors l’expression.

𝒁 =( 𝟎 𝐙𝐓𝐌

𝐙𝐓𝐄 ) 𝟎

Avec

𝐙𝐓𝐄 ≠ 𝐙𝐓𝐌

Milieux en 3-D Dans un milieu en 𝟑 − 𝑫 la résistivité est fonction de 𝒙 , 𝒚 et 𝒛 soit

𝝆=

𝟏 𝝈

= 𝝆(𝒙, 𝒚 𝒛)

D’où la complexité dans la résolution des équations de Maxwell qui sont du types équations différentielles aux dérivées partielles .Pour y parvenir à leur résolution on utilise les méthodes des intégrales, des éléments finis ou encore les méthodes des différences finies. L’ensemble des composantes ne sont pas nulles. Dans ce cas de modèle et le tenseur impédance renferme l’ensemble des composantes horizontales des champs électrique et magnétique.

20

Fonction de transfert géomagnétique Ainsi, pour la composante magnétique verticale, elle a pour expression

𝐇𝐳 = (𝐓𝐱 𝐓𝐲 ) (

𝐇𝐱 𝐇𝐲

).

La relation entre la composante magnétique verticale et les composantes magnétiques horizontales est assurée par le vecteur d’induction 𝑻. Avec :

𝐇𝐳 = 𝐓𝐱 𝐇𝐱 + 𝐓𝐲 𝐇𝐲 𝐓𝐱 𝑒𝑡 𝐓𝐲 représeTapez une équation ici.ntent des fonctions de transfert complexes et sensibles aux contrastes de conductivité électrique, elles sont appelées Tipper. -

Dans un modèle 𝟏 − 𝑫 on a 𝐓𝐱 = 𝐓𝐲 = 𝟎, car il y a absence de la composante verticale du champ magnétique.

-

Dans un modèle 𝟐 − 𝐃 quand la direction de la structure est en 𝑿 on a

𝐓𝐲 =

𝐇𝐳 𝐇𝐲

car

𝐓𝐱 = 𝟎

21

Profondeur de pénétration et d’investigation 1-

Profondeur dinvestigation

La profondeur d’investigation (𝒉) definit generalement la profondeur limite jusqu’à laquelle un materiau perturbateur peut produire une anomalie que l’on peut deceler à l’aide d’un capteur. La figure 2 (très approximative) donne une aidée sur la profondeur d’investigation en fonction de la fréquence et le domaine d’utilisation

Fig 2 figure montrant approximativement la profondeur d’investigation de quelques méthodes magnétotelluriques actives(NSAMT) et passives(CSAMT) et quelques principaux domaines d’application.

22

2-

Profondeur de pénétration

Les phénomènes électromagnétiques font appel aux courants électriques alternatifs. Ces courants pénètrent plus profondément dans un conducteur lorsque la fréquence est plus basse. Les courants continus, de fréquence nulle, se repartissent uniformément dans toute la section d’un conducteur alors que les courants de hautes fréquences ne circulent que dans sa partie supérieure, leur pénétration étant limitée par l’effet de peau. Les méthodes de prospection magnétotelluriques passives et actives sont sensibles à ce phénomène de l’effet de peau. La profondeur de pénétration dépend de la fréquence du signal étudié mais aussi de la résistivité apparente du sol .La fréquence sera de ce fait la grandeur qui permettra d’agir sur la profondeur de pénétration. la profondeur de pénétration( 𝜹) definit la profondeur à laquelle le

⃗ (ou magnetique ⃗𝑩 ⃗ ) est égal champ electrique ⃗𝑬

⃗ 𝒙𝒐 /𝒆 = ⃗𝑬 ⃗ 𝒙𝜹 (⃗𝑬 ⃗ 𝒙𝒐 à ⃗𝑬

le champ en surface). La profondeur de pénétration est définie généralement par celle à laquelle la valeur du champ électrique de surface est réduite de 1/e, soit à 𝟑𝟕% de sa valeur initiale. Son expression vaut :

𝜹=√

𝟐 𝝁𝝈𝝎 𝝆

Dans le cas d’un milieu non magnétique

𝜹 = 𝟓𝟎𝟑 √ 𝒇

Avec 𝜹 ∶ En m, 𝝆 ∶ En ohm-m 𝒇 : En Hz. Cette formule montre que la profondeur de pénétration pour une résistivité donnée est inversement proportionnelle à la racine carrée de la fréquence choisie de travail. Remarque

Généralement 𝒉 < 𝜹 23

Les capteurs telluriques et magnétiques La chaine d’acquisition en prospection magnétotellurique comprend des capteurs telluriques et magnétiques. Nous passons très succinctement en revue la description des différends capteurs, les caractéristiques mesurées et les phénomènes qui les régissent.

I-

Les capteurs telluriques

Les capteurs telluriques sont généralement des électrodes impolarisables. Ils servent à enregistrer les composantes du champ tellurique à l’aide de 4 électrodes impolarisables selon deux directions perpendiculaires (𝑬𝒙 : 𝑁 − 𝑆) et ( 𝑬𝒚 : 𝐸 − 𝑊 ).Il est utilisé également une cinquième électrode reliée à la masse.

II-

Les capteurs magnétiques

Ils(magnétomètres) servent à l’enregistrement des variations du champ magnétique terrestre. Le choix du type de magnétomètre dépendra de l’objectif et notamment de la gamme des périodes courtes ou longues de variation du champ magnétique terrestre, de la profondeur des structures géo- électriques. Les capteurs magnétiques sont au nombre de trois dont deux horizontaux et un capteur vertical. La disposition des composantes se feront comme suit : 𝑯𝒙 (N-S) et 𝑯𝒚 (E-W) Rappels sur les capteurs du champ magnétique. Le premier magnétomètre a été inventé par Carl Friedrich Gauss en 1833,alors directeur de l'Observatoire géomagnétique à Göttingen. De nos jours, les capteurs du champ magnétique sont amplement utilisés pour mesurer le champ magnétique de la Terre, pour effectuer des levés géophysiques notamment en magnétotellurique et en prospection électromagnétique, pour la détection des sites archéologiques, les épaves immergées, repérer les sous-marins militaires. Ils sont également utilisés dans les forages pétrolier pour définir l’azimut des outils de forage, détecter les métaux magnétiques et bien d’autres. 24

Les capteurs de champ magnétique sont des instruments (transducteurs) appelés également capteurs magnétométriques qui permettent de

⃗⃗ en un signal électrique utile transformer un champ magnétique ⃗𝑯 facilement exploitable. Comme le champ magnétique est une grandeur vectorielle, le capteur doit permettre de retrouver l’intensité, la direction et le sens du champ magnétique. Les méthodes de mesure du champ magnétique sont abondantes et il existe maints principes de capteurs magnétiques (magnétomètres) s’appuyant sur de nombreux phénomènes physiques. Classification des magnétomètres Selon les caractéristiques mesurées du champ magnétique, on classe les magnétomètres en deux catégories : Magnétomètres vectoriels Le champ magnétique est de nature vectorielle, c’est-à-dire il est caractérisé par son intensité, son sens et par sa direction. Les magnétomètres vectoriels mesurent une ou plusieurs composantes du champ magnétique. -

- Magnétomètres scalaires Les magnétomètres scalaires sont sensibles uniquement à l’intensité totale du champ magnétique.

Différents types de magnétomètres - Aimants La manipulation des aimants (capteurs les plus rudimentaires) permet de connaitre la direction à l’aide de la boussole, la variation du champ etc… - Magnétomètre (Search Coil ) C’est un type de magnétomètre dont le principe de fonctionnement est basé sur la loi d’induction de Faraday .Il permet de mesurer le vecteur du champ c’est-à-dire

⃗⃗ 𝒅𝑩 𝒅𝒕

.

25

- Magnétomètre à pompage optique Son principe physique se base sur les phénomènes de Zeeman et la fréquence de Larmor .Il permet de mesurer la valeur scalaire du champ magnétique terrestre. - Magnétomètre à proton Il est construit sur le principe d’Overhaüser (précession nucléaire).Il effectue une mesure scalaire du camp magnétique terrestre. - Magnétomètre fluxgate Son principe de fonctionnement est fondé sur le phénomène de saturation du flux. Il effectue une mesure vectorielle du champ magnétique terrestre. -

Magnétomètre à effet de Hall

Il réalise des mesures vectorielles du champ magnétique terrestre sur la base des phénomènes de la force de Lorentz. Quand un matériau semi - conducteur ou un métal traversé par un courant électrique est plongé dans un champ magnétique orthogonal à la direction de ce courant, il apparait une différence de potentiel et d’un champ électrique dans le matériau dans la direction perpendiculaire au courant et au champ magnétique. L’apparition de cette tension et de ce courant est appelée « effet de Hall » Des magnétomètres nouveaux ont été mis au point plus récemment sur la base de nouveaux d’autres phénomènes physiques .Ce sont les capteurs du type : Magnétorésistance anisotrope(AMR), Magnétorésistance géante (GMR), Magnéto-impédance géante (GMI) Magneto-Elasto –électrique (ME).

26

Magnétomètre résistif Le principe de fonctionnement est fondé sur l’effet magneto-resistif anisotropique .Il permet d’effectuer des mesures vectorielles du champ magnétique terrestre. -

Il est connu depuis longtemps que La résistivité de certains matériaux varie lorsqu’ils sont soumis à un champ magnétique, phénomène appelé « La magnétorésistance ». Le champ magnétique peut agir soit directement sur les électrons de conduction ou indirectement en agissant sur l’aimantation du matériau, la résistance dépendant ainsi de l’état magnétique du matériau. Il y a deux types de ferromagnétiques massifs :

magnétorésistances

dans

les

matériaux

a- Magnétorésistance anisotrope. Le principe de fonctionnement des magnétomètres à Magnétorésistance anisotrope est fondé sur la modification de la résistance d'un matériau en fonction de la direction de l'aimantation qui lui est appliquée. b- Magnétorésistance géante Le phénomène de magnétorésistance géante ou GMR , découvert en 1988, a été observé dans les entassements de minces couches de certains matériaux ferromagnétiques (ex : le Fer) séparées par certains d’autres matériaux non magnétiques ( ex : le Chrome).Les causes des modifications de résistance dans les structures de tels matériaux résultent principalement des phénomènes de diffusion des électrons dépendants du spin. - Magnétomètre SQUID Les récents magnétomètres SQUID (superconducting Quantium Interference Device) sont mis au point sur la base du phénomène physique appelé effet de Josephson .Ils permettent d’effectuer des mesures tensorielles du champ magnétique terrestre.

27

II –Domaines d’applications de la magnétotellurique La MT est destinée à un large domaine d’applications, comme la recherche pétrolière et minière, la recherche des eaux souterraines (eaux douces et géothermie), et bien d’autres. Elle est appliquée pour : -L’exploration des grandes profondeurs tels que la croute terrestre et le manteau .Elle aide a mieux comprendre la distribution des éléments fondus dans le manteau et investir des grandes structures tectoniques complexes dans la croûte terrestre. -L’étude complémentaire de la MT au coté de la sismique réflexion des bassins sédimentaires pour la recherche des gisements d’hydrocarbures et dans le suivi de l’évolution du réservoir d’hydrocarbures. Elle peut apprehender les variations de resistivité des formations géologiques liées à la présence des hydrocarbures . -La MT peut contribuer aussi aisement à l’investigation lorsque la sismique reflexion rencontre les sediments fortements resistifs(grande vitesse de propagation) ou l’energie sismique est tres faiblement transmise sous ces sediments alors que le signal MT les traverse sans aucune difficulté. - la Détermination de l’interface entre le socle cristallin et les formations des bassins sédimentaires étant donné que les deux milieux se distinguent fortement par leur contraste de résistivité électrique. -L’étude en environnement volcanique pour mettre en évidence structures internes des édifices volcaniques.

les

-La recherche et la cartographie des eaux souterraines renfermées dans la partie superficielle du sous-sol. -Détection des failles .Les failles drainant des saumures et les failles ouvertes injectées de sel constituent des anomalies importantes de conductivité -La MT trouve également des applications dans la recherche des barrières de porosité pour suivre le déplacement des fronts d’injection de saumure dans la roche réservoir. Monitoring des réservoirs etc…

28

-Dans le domaine minier, la MT trouve des applications pour la recherche des gisements de métaux tels que le nickel, diamants etc… -L’investigation des grandes structures tectoniques. -Recherche sur la prévision de précurseurs de tremblement de terre. Depuis quelques décennies, les scientifiques prêtent une attention particulière aux phénomènes sismo-électromagnétiques de toute sorte qui produisent des signaux électriques et électromagnétiques dans le sol et dans l’atmosphère durant le cycle antérieur à un séisme. Ces phénomènes incluent l’étude des émissions électromagnétiques dans un éventail large de fréquences, les agitations des couches ionosphériques, observations des anomalies sur les émetteurs de très basses fréquences et des lueurs dans l’air la nuit etc. Leurs recherches d’orientent notamment sur : -

Les phénomènes piézoélectriques (génération de l’électricité lorsque la roche est sous l’effet d’une contrainte)

-

Les phénomènes électrocinétiques prenant naissance sur interface solide-liquide.

-

Les phénomènes de déplacement rapide des fluides ou des roches chargées électriquement

-

Les phénomènes d’ionisation de l’air par des électrons émis par la roche au cours de sa fracturation et les agitations électromagnétiques des couches ionisées de l’ionosphère terrestre lors des crises sismiques et volcaniques etc…

une

NB : Les références bibliographiques seront reportées à le fin du cours (dernier chapitre).

29