Lucrarea de Laborator 10c [PDF]

Zitiervorschau

Lucrarea de laborator 10c Studiul oscilaţiilor pendulului fizic Scopul lucrării:Verificarea experimentală a formulei perioadei pendulului fizic, determinarea coeficientului de amortizare a oscilaţiilor, a acceleraţiei gravitaţionale, precum şi a dependenţei perioadei oscilaţiilor de distanţa axei de pendulare până la centrul de masă al pendulului. Obiective:De rând cu obiectivele generale ale lucrării, la sfârşitul lecţiei studenţii trebuie să mai fie capabili:  să definească oscilaţiile armonice şi amortizarea lor;  să obţină experimental şi să aplice graficul dependenţei ln  t4n1 t1     t1 2  t2  t3   t4n1 2  pentru determinarea coeficientului de amortizare  ;  să estimeze influenţa coeficientului de amortizare  asupra valorii perioadei pendulului fizic;  să stabilească experimental şi să utilizeze graficul dependenţei mărimii Y  4 2 T 2   2 de





mărimea X  x l 2 12  x 2 pentru determinarea acceleraţiei gravitaţionale g ;  să estimeze erorile relativă şi absolută comise;  să tragă concluzii privind veridicitatea formulei perioadei pendulului fizic, metodei de cercetare aplicate şi valorii obţinute a acceleraţiei gravitaţionale g . Materiale şi accesorii:Calculator, soft pentru procesarea datelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 1 senzor, stativ, pendul fizic, riglă. De studiat:pp.18–28 cap.27, §28.1 din [1].

Consideraţii teoretice şi experimentale Se numeşte pendul fizic orice corp ce se poate roti în jurul unei axe fixe O ce nu trece prin centrul lui de masă C (fig. 10.1). După cum se ştie, perioada oscilaţiilor mici (   5 ) neamortizate ale pendulului fizic se exprimă prin formula T0  2

I , mgx

(10.1)

unde I este momentul de inerţie al corpului în raport cu axa perpendiculară figurii ce trece prin punctul O, m este masa pendulului, g - acceleraţia gravitaţională, iar x  OC . Oscilaţiile oricărui pendul fizic întotdeauna sunt amortizate, amplitudinea iniţială A0 a oscilaţiilor lui se micşorează în timp în conformitate cu legea: A  A0e  t ,

Fig. 10.1

(10.2)

unde  este coeficientul de amortizare al oscilaţiilor. Respectiv, perioada oscilaţiilor creşte, devenind T

2 4 2 T02   2

.

De aici se obţine următoarea relaţie între perioadele T şi T0 :

(10.3)

2 

4 2 4 2  2 . T2 T0

(10.4)

Coeficientul de amortizare poate fi determinat utilizând relaţia

ln  t4n1 t1     t1 2  t2  t3 

 t4n1 2 

(10.5)

din lucrarea de laborator 9c „Studiul oscilaţiilor amortiza-te”, întrucât modul de măsurare a intervalelor de timp t1 , t2 , t3 , t4 n1 , în care obturatorul pendulului fizic acoperă, descoperă, apoi din nou acoperă şi din nou descoperă fascicolul senzorului ş. a. m. d. este acelaşi. Astfel, construind graficul dependenţei (10.5) (fig. 10.2), care trebuie să reprezinte o linie dreaptă, şi determinând panta ei p1 folosind metoda celor mai mici pătrate sau din grafic, determinăm, de fapt, coeficientul de amortizare al oscilaţiilor pendulului fizic:   p1  BC AC   tg . Pentru valori mici ale coeficien-tului de amortizare, deosebirea dintre perioadele oscilaţiilor amortizate T şi neamortizate T0 poate fi mai mică

Fig. 10.2

decât eroarea cronometrului t  0,0004s : T  T0  t . Substituind aici formula (10.3), ţinând seamă că, de regulă,  T0

2 şi utilizând formula aproximativă 1 1  x  1  x 2 , obţinem

următorul criteriu pentru neglijarea coeficientului de amortizare în (10.4):

  0 

2 T0

2t . T0

(10.6)

Din (10.6) rezultă că pentru T0  1s coeficientul de amortizare

  0,18s1 , iar pentru T0  3,5s –   0,027s1 . Dacă relaţia (10.6) este satisfăcută, atunci se poate considera   0 şi T  T0 . În calitate de pendul fizic vom considera o bară omogenă subţire cu adâncituri conice, simetrice, realizate peste fiecare 10 mm de la centrul ei de masă C . Bara poate fi suspendată pe două cuie de asemenea conice, care servesc în calitate de axă de pendulare. Ea poate fi fixată pe oricare pereche de adâncituri simetrice, astfel având posibilitatea de a varia distanţa OC  x de la centrul de masă (fig. 10.3). Notăm masa barei cu m . În conformitate cu teorema lui Steiner, momentul de inerţie al barei în raport cu axa de pendulare: Ib  IbC  mx 2 , unde momentul de inerţie al barei în raport cu axa ce trece prin centrul ei de masă (mijlocul ei) IbC  ml 2 12 . Astfel, momentul de inerţie al pendulului considerat în raport cu axa de pendulare situată la distanţa x de la centrul de masă C este

I  ml 2 12  mx 2 .

Fig. 10.3

(10.7)

După cum arată experienţa, amortizarea oscilaţiilor pendulului fizic considerat este mică    0, 05s1  , însă pentru unele valori ale distanţei OC  x relaţia (10.6) poate să nu fie satisfăcută.În acest caz trebuie luată în seamă amortizarea oscilaţiilor pendulului. Substituind (10.7) în (10.1), pentru perioada oscilaţiilor neamortizate, obţinem:

l 2 12  x 2 . gx

T0  2

(10.8)

Substituind (10.8) în (10.4), pentru perioada oscilaţiilor amortizate, se obţine relaţia:

T

2 gx  l 12  x    2

2

2

,

(10.9)

care trece în (10.8), dacă   0 . Relaţia (10.9) poate fi verificată experimental transformând-o gx într-o dependenţă liniară. Din (10.9) se observă că 2 T 2   2T 2  4 2 , iar de aici 2 l 12  x rezultă dependenţa:

4 2 x 2  g 2 . 2 T l 12  x 2

(10.10)

Această relaţie poate fi considerată ca o funcţie liniară de tipul Y  pX  b , unde





Y  4 2 T 2   2 ( T se măsoară direct utilizând cronometrul electronic), X  x l 2 12  x 2 , iar b  0 . Panta acestei drepte p  g . Astfel construind graficul dependenţei liniare (10.10) după punctele experimentale, poate fi verificată formula perioadei oscilaţiilor amortizate a pendulului fizic şi determinată acceleraţia gravitaţională g  p . Segmentul tăiat de dreaptă pe axa ordonatelor, după cum arată formula (10.10), trebuie să fie egal cu zero. Totuşi, în scopul excluderii unei eventuale erori sistematice, ce se poate comite în experiment, la procesarea datelor vom considera b  0 . T ,s Revenind la relaţia (10.9), observăm că dependenţa perioadei oscilaţiilor amortizate de distanţa OC  x a axei de pendulare de la centrul de masă (fig. 10.3) este determinată de produsul a doi factori concurenţi: x , care este o funcţie monoton crescătoare, şi 1  l 2 12  x 2  , care este o funcţie monoton descrescătoare. Acest fapt ne arată că mărimea x  l 2 12  x 2  pentru o anumită valoare

a distanţei x  xm va atinge valoarea maximă. Respectiv, perioada oscilaţiilor amortizate, dar şi a celor neamortizate, va atinge valoarea minimă. Aceste raţionamente ne permit să conchidem că x, m xm perioada oscilaţiilor pendulului fizic considerat va descreşte odată cu creşterea distanţei x începând de la valori mici (de ordinul a 2 Fig. 10.4 – 3 cm), va atinge o valoare minimă pentru x  xm , apoi va creşte din nou, dacă x va creşte în continuare. Rezultă că graficul dependenţei perioadei oscilaţiilor de distanţa x trebuie să aibă aproximativ aspectul din figura 10.4. Valoarea distanţei x  xm , pentru care perioada oscilaţiilor atinge valoarea minimă, se poate determina cerând ca derivata  expresiei de sub semnul radicalului din (10.9) să fie egală cu zero, adică  x  l 2 12  x 2   0 . De aici se obţine





xm  l 2 3 .

(10.11)

Substituind (10.11) în (10.9), obţinem valoarea minimă a perioadei oscilaţiilor amortizate a pendulului fizic studiat:

Tmin 

2 3g 2 l

 2

l . 3g

(10.12)

Dependenţa perioadei oscilaţiilor barei omogene de distanţa OC  x (fig. 10.4), precum şi formulele (10.11) şi (10.12), de asemenea, pot fi verificate experimental. Pentru aceasta trebuie să construim după punctele experimentale dependenţa perioadei de distanţa x , iar din graficul obţinut să determinăm valorile experimentale ale mărimilor xm şi Tmin , care pot fi comparate cu valorile teoretice (10.11) şi (10.12). Dacă dreapta Y  p1 X , unde Y  ln  t4 n1 t1  , X  t1 2  t2  t3   t4n1 2 (vezi (10.5)) se construieşte la calculator folosind rezultatele a 5  n  15 măsurări a intervalelor de timp, în care fascicolul senzorului este acoperit de către obturatorul pendulului fizic după fiecare perioadă a oscilaţiilor, atunci panta dreptei p1   şi eroarea ei p1   se vor calcula aplicând metoda celor mai mici pătrate. Aici p1 coincide cu eroarea standard. Analogic se va determina şi eroarea acceleraţiei gravitaţionale g  p . Termenul liber din ecuaţia Y  pX  b şi eroarea lui b , de asemenea, se vor calcula cu aceeaşi metodă. Deoarece în (10.10) b  0 , trebuie să se îndeplinească inegalitatea b  b . Erorile absolute xm şi Tmin se vor estima ca fiind modulele abaterilor valorilor experimentale determinate din grafic (fig. 10.4) de la cele teoretice calculate cu formulele (10.11) şi (10.12). Calculele erorilor standard se vor efectua pentru nivelul de încredere P  0,6827 urmând ca alte nivele de încredere să fie examinate după necesităţi.

Fişa de lucru 1. Fixaţi bara pe axa de pendulare la o distanţă de 2-3 cm de la centrul ei de masă, excitaţi oscilaţii mici şi încredinţaţi-vă că ele se produc în condiţii satisfăcătoare. Stabiliţi senzorul astfel încât în procesul oscilaţiilor fascicolul lui să fie întretăiat de bară. 2. Accesaţi programul pentru efectuarea lucrării de laborator şi introduceţi datele cerute. 3. Excitaţi oscilaţii mici ale pendulului, declanşaţi cronometrul şi accesaţi butonul „Start”, la momentul când pendulul se află abătut de la poziţia de echilibru, măsuraţi 4n  1 intervale consecutive de timp. 4. Dacă măsurările au avut loc în condiţii satisfăcătoare, accesaţi butonul „Citirea datelor”, în caz contrar, – butonul „Restart” şi repetaţi măsurările. Ca rezultat obţineţi graficul dependenţei (10.5), valoarea coeficientului de amortizare  şi eroarea standard a acestuia  . 5. Cunoscând valoarea medie T a perioadei, verificaţi prin calcule dacă relaţia (10.6) este satisfăcută sau nu şi stabiliţi dacă trebuie sau nu luat în considerare  . 6. Deplasaţi axa de pendulare cu 1 cm de la centrul de masă şi repetaţi punctele 3, 4 şi 5 până la terminarea numărului selectat de serii. 7. După terminarea tuturor seriilor de măsurări, accesaţi butonul „Continuare”, ajungeţi la fereastra „Prelucrarea datelor experimentale” şi analizaţi tabelele valorilor medii ale perioadelor oscilaţiilor, ale mărimilor Y  4 2 T 2   2 şi X  x l 2 12  x 2 , precum şi ale





coeficientului de amortizare  . 8. Accesaţi butonul „Procesarea datelor experimentale” şi vizualizaţi graficul dependenţei (10.10), calculaţi panta dreptei ce coincide cu acceleraţia gravitaţională şi valoarea termenului liber b din (10.10). Prin accesarea aceluiaşi buton se obţine şi graficul dependenţei (10.9), determinând xm şi Tmin .

9. Accesaţi butonul „Calculul erorilor” şi obţineţi eroarea standard a acceleraţiei gravitaţionale g , precum şi eroarea standard a termenului liber. Stabiliţi dacă b  b . 10. Completaţi spaţiile destinate pentru rezultatele finale. 11. Accesaţi butonul „Concluzii” şi formulaţi-le (formularea concluziilor poate fi finalizată şi după salvarea referatului). 12. Accesaţi butonul „Referat”, obţineţi referatul la lucrarea de laborator şi salvaţi-l. 13. Accesaţi butonul „Finiş” şi finalizaţi efectuarea lucrării de laborator.

Întrebări de control 1. Ce se numeşte pendul fizic? 2. Definiţi oscilaţiile armonice şi caracteristicele acestora (elongaţia, amplitudinea, frecvenţa ciclică, frecvenţa, perioada, faza şi faza iniţială). 3. Definiţi amortizarea oscilaţiilor şi explicaţi care este cauza ei. 4. Care este formula perioadei oscilaţiilor mici neamortizate ale pendulului fizic? 5. Ce reprezintă mărimea fizică I în formula perioadei şi cum ea se determină? 6. Care este formula perioadei oscilaţiilor mici amortizate ale pendulului fizic? 7. Cum variază în timp amplitudinea oscilaţiilor în prezenţa amortizării? 8. Ce mărime se numeşte coeficient de amortizare? 9. Cum modifică forţa de rezistenţă frecvenţa ciclică şi perioada oscilaţiilor? 10. Care este legea oscilaţiilor amortizate? 11. Ce mărime descrie viteza descreşterii amplitudinii oscilaţiilor amortizate? Definiţi-o. 12. Cum se modifică legea oscilaţiilor amortizate în cazul lipsei fazei iniţiale? 13. Care este viteza pendulului şi cum se calculează aceasta? 14. Ce valori are viteza pendulului peste un număr întreg de perioade? 15. Ce număr de perioade poate fi selectat în experiment? 16. Ce relaţie există între viteza pendulului la momentul de timp egal cu un număr întreg de perioade şi perioada oscilaţiilor? 17. Ce aproximaţie se utilizează la determinarea vitezelor instantanee v n ? 18. În ce punct al traiectoriei pendulului se determină vitezele instantanee v n ? 19. Care este originea de măsurare a timpului în această lucrare de laborator? 20. Cum se asigură valoarea nulă a fazei iniţiale a oscilaţiilor în experiment? 21. La ce momente de timp se determină (se măsoară indirect) vitezele instantanee v n ? 22. Ce relaţie se utilizează pentru determinarea coeficientului de amortizare şi cum se obţine aceasta? 23. Cum se determină coeficientul de amortizare în experienţă? 24. Care este criteriul de neglijare a coeficientului de amortizare în experienţă şi cum acesta se obţine? 25. Care este dependenţa perioadei oscilaţiilor neamortizate ale pendulului fizic de distanţa x de la axa de pendulare până la centrul lui de masă? 26. Care este dependenţa perioadei oscilaţiilor amortizate a pendulului fizic de distanţa x de la axa de pendulare până la centrul lui de masă? Ce formă are graficul acestei dependenţe şi de ce? 27. Care este valoarea teoretică minimă a perioadei oscilaţiilor pendulului fizic Tmin , care sunt raţionamentele ce permit determinarea acestei valori şi pentru ce valoare a distanţei x ea se obţine? 28. Cum se determină experimental Tmin şi xm ? 29. Cum poate fi verificată experimental dependenţa (10.9) a perioadei oscilaţiilor amortizate de distanţa x ? 30. De ce la verificarea experimentală a relaţiei (10.10) se consideră b  0 ?

31. Când se consideră că dreapta (10.10) construită după punctele experimentale trece prin originea de coordonate şi ce înseamnă aceasta? 32. Cum se determină în experiment valorile pantelor p1 şi p ale dreptelor (10.5) şi, respectiv, (10.10)? 33. Cum se determină în experiment valorile erorilor standard p1 şi p ale pantelor dreptelor (10.5) şi, respectiv, (10.10)? 34. Ce nivel de încredere au rezultatele obţinute? Cum se pot analiza şi alte nivele de încredere? 35. Cum se estimează în experiment valorile erorilor absolute xm şi Tmin ? 36. Ce concluzie aţi trage, dacă graficul dependenţei (10.5), construit după punctele experimentale ar reprezenta un segment de dreaptă, prelungirea căreia nu ar trece prin origine?, dar dacă ar trece prin origine? 37. Ce concluzie aţi trage, dacă graficul dependenţei (10.10), construit după punctele experimentale, ar reprezenta un segment de dreaptă, prelungirea căreia nu ar trece prin origine?, dar dacă ar trece prin origine? 38. Ce concluzie aţi trage, dacă panta dreptei (10.10) construită după punctele experimentale, ar coincide cu valoarea cunoscută din alte experienţe pentru determinarea acceleraţiei gravitaţionale? 39. Ce concluzie aţi trage, dacă valorile teoretice şi experimentale ale mărimilor Tmin şi xm în limitele anumitor erori ar coincide?