Logica, verzamelingen en relaties [2, 1 ed.] 9789492231550, 9789492231352 [PDF]

Zitiervorschau

Logica, verzamelingen en relaties Cursusdeel 2 Blok 2 Verzamelingen en relaties

Open Universiteit Faculteit Management, Science & Technology Auteur mw. drs. J.S. Lodder Deze cursus is grotendeels samengesteld uit delen van de cursussen Discrete wiskunde A (T07131) en Discrete wiskunde B (T33131), waaraan de volgende personen hebben meegewerkt: dhr. dr. R.J. Beerends, auteur dhr. A.S. Haven, auteur mw. drs. J. S. Lodder, auteur dhr. dr. H.M. Mulder, auteur dhr. dr. M. de Rijke, auteur dhr. dr. E.G.C. Thijsse, auteur dhr. drs. J.H. Timmerman, auteur mw. drs. H. Verhage, adviseur dhr. ir. E.M. van de Vrie, auteur Programmaleiding mw. prof. dr. T.E.J. Vos

CURSUSDEEL 2

Logica, verzamelingen en relaties Verzamelingen en relaties

Productie Open Universiteit Redactie John Arkenbout Arnold van der Leer Lay-out Maria Wienbröker-Kampermann Omslag Team Visuele communicatie, Open Universiteit Druk- en bindwerk Canon Business Services

Dit materiaal is gelicentieerd onder de Creative Commons-licentie NaamsvermeldingNietCommercieel-GeenAfgeleideWerken 4.0. Zie de licentie voor details: https://creativecommons.org/licenses/ by-nc-nd/4.0/legalcode This content is licensed under the Creative Commons license Attribution-NoncommercialNoDerivs 4.0. See licence for more details: https://creativecommons.org/licenses/ by-nc-nd/4.0/legalcode Eerste druk: 2016 Illustratieverantwoording Archiv für Kunst und Geschichte, Berlijn: blz. 57 Hollandse Hoogte, Amsterdam: blz. 52 National Portrait Gallery, Londen: blz. 23, 43 Schatz, Kundo-Staiger gmbh, blz. 85 Ullstein Bilderdienst, Berlijn: blz. 134

IB0402_50132_06062016 ISBN 978 94 92231 55 0 (serie) ISBN 978 94 92231 35 2 (deel 2) Cursuscode IB0402

Structuur van de cursus Logica, verzamelingen en relaties

Onderdeel

Blok

Leereenheid

Cursusboek 1

1 Logica

Introductie tot de cursus 1 2 3 4

Bladzijde

Propositielogica Wetten van de propositielogica Predikaatlogica Wetten van de predikaatlogica

Aanwijzingen en terugkoppelingen blok 1 Bijlagen: Symbolen en Grieks alfabet Register Cursusboek 2

2 Verzamelingen en relaties

5 6 7 8 9 10

Verzamelingenalgebra Boolealgebra’s Grafen Relaties en functies Equivalentierelaties Ordeningen

Aanwijzingen en terugkoppelingen blok 2 Bijlagen: Symbolen en Grieks alfabet Register Cursusboek 3

3 Inductie

11 Inductie en recursie 12 Inductieve bewijzen Aanwijzingen en terugkoppelingen blok 3 Bijlagen: Symbolen en Grieks alfabet Register

Cursussite

http://youlearn.ou.nl

5

9 29 49 71 105 127 145 217 222

Blok 2

Verzamelingen en relaties

Verzamelingenalgebra Introductie Leerkern

9 10

Bewerkingen op verzamelingen 10 Rekenen met doorsneden en verenigingen 15 5.2.1 Commutativiteit en associativiteit 15 5.2.2 Indexnotatie 17 5.2.3 Distributiviteit 19 5.2.4 Absorptie 21 5.3 Rekenen met complementen 22 5.1 5.2

Samenvatting Zelftoets

26

25

Leereenheid 5

Verzamelingenalgebra

INTRODUCTIE

In deze leereenheid gaan we rekenen met verzamelingen. Het bepalen van doorsneden, verenigingen en complementen gaan we daarbij opvatten als het uitvoeren van bewerkingen op verzamelingen. Het verenigen van verzamelingen vatten we bijvoorbeeld op als de bewerking die aan ieder tweetal verzamelingen A en B de nieuwe verzameling A  B toevoegt. Dit is te vergelijken met het optellen van getallen: optellen is de bewerking die aan ieder tweetal getallen x en y het nieuwe getal x + y toevoegt.

Verzamelingenalgebra

Voor de bewerkingen op verzamelingen zullen we vervolgens diverse rekenregels afleiden die grote gelijkenis vertonen met de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van getallen. Hierdoor wordt het werken met verzamelingen een stuk eenvoudiger. Denk maar eens aan de vele regels die we, meestal ongemerkt, gebruiken bij het rekenen met getallen, zoals de commutativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging, dus x + y = y + x en xy = yx, en de distributiviteit, dus x(y + z) = xy + xz. Als deze regels niet zouden gelden, dan zou het rekenen met getallen heel wat moeilijker zijn. Het werken met de rekenregels voor de bewerkingen op getallen, wordt wel ‘(elementaire) algebra’ genoemd. Net zo zullen we het werken met de rekenregels voor de bewerkingen op verzamelingen, verzamelingenalgebra noemen. Om de term verzamelingenalgebra te verklaren, vergeleken we hiervoor het rekenen met verzamelingen met het rekenen met getallen. Maar eigenlijk lijken de rekenregels voor verzamelingen meer op de wetten van de propositielogica dan op de rekenregels voor getallen. Er blijkt voor deze twee onderwerpen een gemeenschappelijke theorie te bestaan. In de volgende leereenheid zal dit het uitgangspunt zijn voor de introductie van een ‘abstracte structuur’ die boolealgebra wordt genoemd en die inderdaad het rekenen met verzamelingen en het rekenen in de logica omvat. Het ontdekken en formaliseren van overeenkomstige structuren is een algemeen principe in de wiskunde (en in de wetenschap). LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – de bewerkingen doorsnede, vereniging, complement en verschil kent en kunt toepassen – het begrip machtsverzameling kent en kunt toepassen – voor een eindige verzameling het aantal elementen van de machtsverzameling kunt bepalen

– de volgende eigenschappen van de bewerkingen doorsnede en vereniging kent en ermee kunt rekenen: commutativiteit, associativiteit, distributiviteit en absorptie – de eigenschappen van de lege verzameling als nulelement en van het universum als éénelement kent en ermee kunt rekenen – de volgende eigenschappen van de bewerking complement kent en ermee kunt rekenen: dubbel complement, complementregels en wetten van De Morgan – identiteiten voor verzamelingen kunt bewijzen met behulp van voornoemde rekenregels – de stellingen uit deze leereenheid kunt bewijzen – de indexnotatie voor verzamelingen kent en kunt toepassen. Studeeraanwijzing Een belangrijk leerdoel van deze leereenheid is het kunnen leveren van elementaire bewijzen. Hiermee willen we de vaardigheid vergroten in logisch en helder formuleren en redeneren en ook oefenen in het ‘voor anderen leesbaar’ opschrijven van zulke redeneringen. In het begin zult u dit wellicht lastig vinden, maar ‘oefening baart kunst’. Onderdeel van het oefenen is het kunnen bewijzen van de zes stellingen die in deze leereenheid voorkomen. Een aantal bewijzen is zeer eenvoudig, andere zijn wat lastiger. Probeer de bewijzen niet letterlijk uit het hoofd te leren, maar leer de methode(n) van bewijzen en de essentiële stap(pen) uit de bewijzen. We zullen deze steeds proberen te benadrukken, hoewel het idee van een ‘essentiële stap’ van persoon tot persoon kan verschillen! Voorkennis In deze leereenheid gaan we er vanuit dat u over elementaire kennis van verzamelingen beschikt. Kijk zonodig in yOUlearn voor een introductie in de verzamelingenleer.

LEERKERN 5.1

Bewerkingen op verzamelingen

Voor verzamelingen A en B zijn de doorsnede en de vereniging gegeven door respectievelijk: Doorsnede

A  B = {xx A  x B}

Vereniging

A  B = {xx A  x B} Ter herinnering: ‘x A’ betekent x is een element van de verzameling A, {xx A  x B} is een impliciete omschrijving van de verzameling van alle elementen x met de eigenschap dat ze zowel tot A als tot B behoren. Als A  U (A is een deelverzameling van het universum U), dan wordt het complement van A (ten opzichte van U) gegeven door:

Complement

Ac = {xx U  x A}

Verschil

Ø is de lege verzameling, de verzameling die geen enkel element bevat.

Meestal is U een van tevoren gegeven universum. In dat geval schrijven we gewoon Ac = {xx A}. Voor al deze begrippen is ook gedefinieerd wat we bedoelen als A = Ø of als B = Ø (of beide). Het begrip complement kent nog een eenvoudige uitbreiding die wat ruimer toepasbaar is. Dit is het zogenaamde verschil van verzamelingen.

DEFINITIE 5.1 Notatie A – B

Laat A en B verzamelingen zijn. Het verschil A – B is de verzameling {xx A  x B}.

VOORBEELD

Zij A = {0, 1, 2, 3, 4} en B = {3, 4, 5}. Dan geldt A – B = {0, 1, 2}, B – A = {5} en A – = Ø. Is A de verzameling ‘rokers’ en B de verzameling ‘drinkers’, dan is A – B de verzameling van rokers die niet drinken en B – A de verzameling van drinkers die niet roken. «

A–B≠B–A

Uit de voorbeelden zien we dat A – B niet hetzelfde is als B – A. Wat dit betreft is het verschil van verzamelingen vergelijkbaar met het verschil van getallen: x – y is in het algemeen niet gelijk aan y – x. Verder volgt direct uit de definities van verschil, doorsnede en complement dat A – B = A  Bc.

OPGAVE 5.1

Bepaal A – B en B – A voor de volgende verzamelingen A en B. a A = {–8, –6, –4, –2, 2, 4, 6} en B = {x  x2 < 20}. b A = {a, b, 0, } en B = {, {a}, b, {0, a}}. c A = {xx heeft de cursus ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd} en B = {xx heeft de cursus ‘Inleiding informatica’ bestudeerd}. d A = en B = +. e A = {x  x2 > 12} en B = {x  –3 ≤ x ≤ 3}. Het verschil A – B correspondeert in een venndiagram met alles binnen het ovaal voor A dat niet binnen het ovaal voor B ligt. Zie figuur 5.1.

FIGUUR 5.1 Het dik-omlijnde gebied correspondeert met A – B Verzameling A is horizontaal gestreept, verzameling B diagonaal; A – B correspondeert met het gebied waarin wél een horizontale, maar géén diagonale arcering voorkomt; het gebied is dik omlijnd. Verschil is uitbreiding van complement.

Zoals gezegd is het verschil te zien als een uitbreiding van ‘complement nemen’. Immers, in het speciale geval dat A  U, volgt er uit definitie 5.1 dat U – A = {xx U  x A}, wat precies het complement van A ten opzichte van U is. Voor het verschil is het dus niet noodzakelijk dat de ene verzameling bevat is in de andere, terwijl dat wel noodzakelijk is om van een complement te kunnen spreken. Venndiagrammen kunnen gebruikt worden om ideeën op te doen over eigenschappen van verzamelingen. Het venndiagram in figuur 5.1 suggereert bijvoorbeeld dat A – B  A.

Om deze eigenschap te kunnen bewijzen, moeten we laten zien dat voor iedere x A – B geldt dat x A. Maar volgens definitie 5.1 geldt voor x A – B dat x A en x B. Dit betekent in het bijzonder dat x A. Voor iedere x A – B geldt dus dat x A, ofwel A – B  A. OPGAVE 5.2

a Bewijs dat uit A  B volgt dat A – B = Ø. b Bewijs dat (A – B)  B = Ø. Doorsnede, vereniging, verschil en complement zijn bewerkingen met verzamelingen.

Berekeningen maken, vereist rekenregels voor de bewerkingen.

Afspraak: alle verzamelingen zijn deelverzameling van een gegeven universum U.

De bewerkingen met verzamelingen die tot nu toe zijn ingevoerd, te weten doorsnede, vereniging, complement en verschil, kunnen naar hartelust met elkaar gecombineerd worden. Zo kan men tot gecompliceerde beschrijvingen van verzamelingen komen. Zijn twee gegeven beschrijvingen wellicht hetzelfde? Geldt bijvoorbeeld U  (V – W) = (U  V) – (U  W)? Hiermee samenhangend kunnen we ons van een gegeven beschrijving afvragen of deze te vereenvoudigen is. Later zullen we bijvoorbeeld zien dat ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) te vereenvoudigen is tot C. Deze vragen zullen we nu niet beantwoorden, maar ons algemener de vraag stellen hoe we dit soort problemen zouden kunnen aanpakken. Daartoe wenden ons maar eerst eens tot een bekend terrein: de getallen. Als we in een berekening, die we voor getallen aan het uitvoeren zijn, de uitdrukking (a(a – b) – b2) + b(a + b) tegenkomen, dan zal het niet veel moeite kosten deze te vereenvoudigen tot a2. Maar hoe komt deze vereenvoudiging tot stand? Meestal realiseren we ons niet (meer) dat hieraan rekenregels voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen ten grondslag liggen. Bij het herschrijven van a(a – b) als a2 – ab en van b(a + b) als ba + b2 wordt de distributiviteit gebruikt. Laten we –ab en ba tegen elkaar wegvallen, dan gebruiken we dat ab = ba, ofwel de commutativiteit van de vermenigvuldiging. Tussendoor worden ook nog ‘haakjes weggelaten’ en termen in de som verwisseld, wat betekent dat we de associativiteit en commutativiteit van de optelling gebruiken. Willen we op vergelijkbare wijze met verzamelingen kunnen rekenen, dan is het noodzakelijk dat we ook voor de bewerkingen met verzamelingen, zoals doorsnede, vereniging, complement en verschil, rekenregels afleiden. We zullen dat in het vervolg van deze leereenheid gaan doen. U zult hierbij een hele reeks bekende regels (wetten) uit de propositielogica tegenkomen! Voordat we met de rekenregels aan de slag gaan, maken we voor de rest van de leereenheid de afspraak dat alle verzamelingen een deelverzameling zijn van een zeker universum U. Dit is dan tevens het universum ten opzichte waarvan complementen bepaald moeten worden. In concrete voorbeelden en opgaven kunnen we natuurlijk een expliciete keuze maken voor het universum (bijvoorbeeld een getalverzameling als of ). Maar in ‘abstracte’ situaties nemen we steeds aan dat er een geschikt universum U voorhanden is waar alle genoemde verzamelingen een deelverzameling van zijn. Het is dan handig om alle deelverzamelingen van zo’n universum samen te nemen tot één geheel. Dit wordt de machtsverzameling van U genoemd.

Machtsverzameling

DEFINITIE 5.2 Notatie P(U)

x P(U) als x  U

De verzameling bestaande uit alle deelverzamelingen van een verzameling U heet de machtsverzameling van U en wordt genoteerd met P(U). De letter P, die we in de notatie P(U) gebruiken, kan men onthouden als de beginletter van de Engelse term ‘powerset’ of de Duitse term ‘Potenzmenge’. De elementen van P(U) zijn de deelverzamelingen van U. Als U = , dan is {1, 2, 3}  U, dus {1, 2, 3} P( ). Let goed op dit onderscheid tussen ‘element’ en ‘deelverzameling’: x P(U) als x  U. Vergeet ook niet de twee ‘uiterste gevallen’ van deelverzamelingen van U: de lege verzameling en U zelf, dus Ø P(U) en U P(U).

OPGAVE 5.3

a Geldt P( )? Geldt Ø P( )? Geldt Ø  P( )? Motiveer uw antwoorden. b Zij U = {Ø, {Ø}}. Is {Ø, {Ø}} een element van U? Is het een element van P(U)? Motiveer uw antwoorden. Voor een eindige verzameling is het niet zo moeilijk om op systematische wijze alle deelverzamelingen van U, en dus P(U), te beschrijven. VOORBEELD 5.1

Voor U = {a, b, c} willen we P(U) bepalen. We doen dit systematisch door achtereenvolgens alle deelverzamelingen met 0, 1, 2 en 3 elementen op te sommen. De enige deelverzameling met nul elementen is de lege verzameling. Alle deelverzamelingen met één element zijn {a}, {b} en {c}. De deelverzamelingen met twee elementen zijn {a, b}, {a, c} en {b, c}. De enige deelverzameling met drie elementen is U. Dus P(U) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. «

OPGAVE 5.4

Geef de machtsverzameling P(U) als U = {0, 1}. Hoeveel elementen heeft U respectievelijk P(U)? Als we naar opgave 5.4 en voorbeeld 5.1 kijken, dan zien we dat het aantal elementen van P(U) snel toeneemt als U meer elementen bevat. Wellicht valt er nog iets op: als U twee elementen heeft, dan bestaat P(U) uit 4 = 22 elementen en als U drie elementen heeft, dan bestaat P(U) uit 8 = 23 elementen. Dit lijkt te suggereren dat voor een verzameling U met n elementen geldt dat P(U) uit 2n elementen bestaat. STELLING 5.1

Per element 2 keuzen mogelijk

Laat U een verzameling zijn met n elementen (n  ). Dan is het aantal elementen van de machtsverzameling P(U) van U gelijk aan 2n. Bewijs We moeten het aantal deelverzamelingen van U bepalen. Als we een willekeurige deelverzameling A van U vormen, dan moet er bij ieder van de n elementen van U een keuze gemaakt worden: ofwel we nemen het element in A op, ofwel we nemen het niet in A op. Ieder van deze keuzen leidt tot een andere deelverzameling A van U. Omdat er n mogelijke keuzen uit steeds 2 alternatieven zijn, levert dit 2n verschillende deelverzamelingen A van U op. □

OPGAVE 5.5 (Aanw)

Zij A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a Hoeveel elementen heeft P(A)? b Geef een expliciete definitie van {x P(A)x= 1}. Hierbij is x het aantal elementen van de verzameling x. Stelling 5.1 is ook als volgt uit te drukken: als er één element aan een verzameling wordt toegevoegd, dan wordt het aantal elementen in de bijbehorende machtsverzameling verdubbeld. Dat we door steeds verdubbelen heel snel grote aantallen krijgen, leert een bekende legende over de uitvinding van het schaakspel. In deze legende wilde de Indiase koning Shirham de uitvinder Sissa ben Dahir belonen. Als beloning vroeg Sissa aan de koning om hem graan te geven en wel 1 korrel graan op het eerste veld van het schaakbord, 2 korrels op het tweede veld, 4 korrels op het derde veld, en zo verder steeds het dubbele aantal graankorrels op het volgende veld, tot alle 64 velden van het schaakbord gevuld zijn. De koning riep uit ‘Is dit alles wat je wil, jij dwaas’ en stemde toe. Hij realiseerde zich niet dat alle graanoogsten van de wereld (zelfs over vele, vele jaren) bij lange na niet voldoende zouden zijn om deze beloning toe te kennen. In totaal komen er zo’n 264 ≈ 1,85  1019 graankorrels ‘op het schaakbord’ te liggen. In de legende wordt hierover vermeld dat dit de gehele aardbodem zou bedekken met een laag graan van enkele centimeters dik.

In de paragrafen 5.2 en 5.3 zullen we zien dat de bewerkingen doorsnede, vereniging en complement voldoen aan een aantal rekenregels en zullen we snel en eenvoudig met deze bewerkingen leren ‘rekenen’. Bovendien geven we hiermee een ‘structuur’ aan P(V) die een belangrijk voorbeeld zal zijn van een zogenaamde boolealgebra. Dit onderwerp komt in leereenheid 6 aan de orde en het belang van machtsverzamelingen en sommige van de rekenregels zal daar ook pas echt naar voren komen. Zo lijkt het overdreven om het hierna vermelde resultaat een ‘rekenregel’ te noemen. Maar op deze manier herkent u wel de vergelijkbare wet uit de propositielogica.. Voor iedere verzameling A geldt dat A  A = A en A  A = A.

Idempotentie van doorsnede en vereniging

In een venndiagram is dit erg flauw, maar toch geven we ook nog een formeel bewijs. Om te bewijzen dat A  A = A, laten we eerst zien dat A  A  A en vervolgens dat A  A  A. Als x A, dan geldt ook dat x A en x A, ofwel x A  A. Dit laat zien dat A  A  A. Als x A  A, dan geldt dat x A en x A, wat we mogen vereenvoudigen tot x A. Er geldt dus ook dat A  A  A. Hiermee is bewezen dat A  A = A. In opgave 5.6 wordt gevraagd om net zo te bewijzen dat A  A = A. OPGAVE 5.6 (Aanw)

Bewijs dat voor iedere verzameling A geldt dat A  A = A.

OPGAVE 5.7 (Aanw)

Bewijs dat uit A  B = Ø volgt dat A – B = A. OPGAVE 5.8

a Geef in een venndiagram de verzameling A – Bc weer (het complement nemen we ten opzichte van een universum U). b Bewijs dat A – Bc = A  B.

OPGAVE 5.9

Een variant op het verschil is het symmetrische verschil A  B van de verzamelingen A en B, dat gedefinieerd wordt door: A  B = (A – B)  (B – A)

a Geef het symmetrische verschil weer in een venndiagram. Kunt u de naamgeving verklaren? b Zij A = {x  x ≤ 0  x > 1} en B = {x  x ≥ 0}. Bepaal A – B, B – A en vervolgens A  B. c Laat met behulp van opgave 5.7 zien dat A  B = A  B als A  B = Ø. d Bepaal het symmetrische verschil van de verzamelingen {x  x2 > 12} en {x  –3 ≤ x ≤ 3}. OPGAVE 5.10 (Aanw)

Zij V = {a, 0, {a}, {0, }, b}, A = {a, b, {0, }} en B = {{a}, {b}, {0, a}, {0, }}. a Hoeveel elementen heeft de machtsverzameling P(V)? b Geldt A V? Geldt A  V? Geldt A P(V)? c Beantwoord dezelfde vragen als in onderdeel b voor de bewerkingen A  B, A  B, A – B en Ac (ten opzichte van het universum V). d Is het correct om te spreken over Bc (ten opzichte van universum V)? e Geldt B  P(V)? OPGAVE 5.11 (Aanw)

Zij A = {a, b} en B = {a, b, c}, dan geldt dat A  B. Is het nu voor dit voorbeeld waar dat P(A)  P(B)? Zo ja, probeer dan ook in het algemeen te bewijzen dat uit A  B volgt dat P(A)  P(B). OPGAVE 5.12 (Aanw)

Zij A = {a, b, c} en B = {b, c, d}. a Ga voor dit voorbeeld na of P(A  B) = P(A)  P(B). Zo ja, probeer dan ook in het algemeen te bewijzen dat P(A  B) = P(A)  P(B). b Ga voor dit voorbeeld na of P(A  B) = P(A)  P(B). Zo ja, probeer dan ook in het algemeen te bewijzen dat P(A  B) = P(A)  P(B). 5.2

Rekenen met doorsneden en verenigingen

5.2.1

COMMUTATIVITEIT EN ASSOCIATIVITEIT

We beginnen met één van de eenvoudigste rekenregels voor de bewerkingen doorsnede en vereniging, de commutativiteit. Commutativiteit van doorsnede en vereniging

STELLING 5.2

Bewijs berust op commutativiteit van ‘en’ en ‘of’.

Voor verzamelingen A en B geldt dat A  B = B  A en A  B = B  A. De bewerkingen doorsnede en vereniging zijn dus commutatief. Bewijs Als x A  B, dan geldt dat x A  x B, terwijl x B  A betekent dat x B  x A. Maar ‘x A  x B’ is equivalent met ‘x B  x A’, want de conjunctie is commutatief. Met andere woorden A  B = B  A. De gelijkheid A  B = B  A berust net zo op het feit dat ‘x A  x B’ equivalent is met ‘x B  x A’.

Uit stelling 5.2 volgt dat we ons bij het noteren van doorsneden en verenigingen geen zorgen hoeven te maken om de volgorde waarin we ze opschrijven. Door de associativiteit van de conjunctie en de disjunctie mogen we in logische formules soms ‘haakjes weglaten’. Stelling 5.3 laat zien dat hetzelfde voor doorsneden en verenigingen geldt. Associativiteit van doorsnede en vereniging

STELLING 5.3

Voor verzamelingen A, B en C geldt dat (A  B)  C = A  (B  C) en (A  B)  C = A  (B  C). De bewerkingen doorsnede en vereniging zijn dus associatief. Bewijs Laat x (A  B)  C. Dit betekent dat x A  B)  x C. Maar dit betekent weer dat (x A  x B)  x C. Uit de associativiteit van de conjunctie volgt dat dit equivalent is met x A  (x B  x C), wat betekent dat x A  x B  C), ofwel x A  (B  C). Dit bewijst dat ((A  B)  C)  (A  (B  C)). Op vergelijkbare wijze is de associativiteit van de vereniging te bewijzen.

□

OPGAVE 5.13

Bewijs net als in stelling 5.3 de associativiteit van de vereniging. Haakjes weglaten in twee of meer doorsneden dan wel verenigingen.

VOORBEELD

Er kan nu dus geen verwarring meer ontstaan als we in (A  B)  C en (A  B)  C haakjes weglaten en A  B  C respectievelijk A  B  C schrijven. Dit geldt dan ook voor meer dan twee doorsneden dan wel verenigingen. Door de associativiteit en commutativiteit te combineren is bijvoorbeeld te bewijzen dat (C  B)  (D  A) = A  B  C  D. We laten dan eerst op grond van de associativiteit van  de haakjes weg, wat C  B  D  A oplevert. Daarna verwisselen we op grond van de commutativiteit van  net zo lang tot de volgorde A  B  C  D is bereikt. We geven nog een tweede, wat ingewikkelder, voorbeeld. Voor verzamelingen A, B en C (bevat in een zeker universum U) bekijken we de verzameling C – (A  B)c. Door eerst C en (A  B)c in een venndiagram te tekenen, komen we voor C – (A  B)c tot het venndiagram uit figuur 5.2.

Ga na dat dit het juiste venndiagram is.

FIGUUR 5.2 Het venndiagram voor C – (A  B)c Met diagonale streepjes is C gearceerd, met horizontale (A  B)c. Tot C – (A  B)c behoort het gebied dat wel diagonaal, maar niet horizontaal is gearceerd. Dit is vetomlijnd aangegeven.

Het venndiagram suggereert nu dat C – (A  B)c = A  B  C, maar hoe bewijzen we dat? Een rechtstreeks bewijs (toon aan dat zowel C – (A  B)c  A  B  C als A  B  C  C – (A  B)c) is zeker mogelijk, hoewel dit al aardig vervelend begint te worden. Het kan veel eenvoudiger met behulp van onder meer de commutativiteit en de associativiteit. Daartoe gebruiken we allereerst opgave 5.8b: C – (A  B)c = C  (A  B). Op grond van de commutativiteit van  is dit te schrijven als (A  B)  C en vanwege de associativiteit van  zijn de haakjes weg te laten, ofwel C – (A  B)c = A  B  C. « Rekenregels maken het bewijzen eenvoudiger.

Dit voorbeeld laat goed zien hoe we met wat simpele rekenregels de bewijsvoering voor verzamelingen kunnen vereenvoudigen.

OPGAVE 5.14 (Aanw)

In deze opgave kunt u de commutativiteit en associativiteit van  en  gebruiken. Geef in uw uitwerking steeds aan welke van deze eigenschappen u gebruikt. a Bewijs dat D  (B  A)  C = A  B  C  D. b Bewijs dat D  ((B  A)  C) = (A  B  C)  D. c Geldt er dat (A  B)  C = A  (B  C), met andere woorden, is het duidelijk wat we met A  B  C bedoelen? Motiveer uw antwoord. 5.2.2

INDEXNOTATIE

Niet alleen de bewijzen, ook het noteren van doorsneden en verenigingen van grote aantallen verzamelingen wordt door de associativiteit en de commutativiteit eenvoudiger. Bekijk als voorbeeld eens de verzamelingen A = {0, 1}, B = {0, 1, 2}, C = {0, 1, 2, 3}, D = {0, 1, 2, 3, 4} en E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. De gezamenlijke doorsnede van deze 5 verzamelingen is te noteren als A  B  C  D  E. Vanwege de associativiteit zijn er geen haakjes nodig en vanwege de commutativiteit doet ook de volgorde waarin we de 5 verzamelingen opschrijven, er niet toe. Hetzelfde geldt voor A  B  C  D  E. Als het aantal verzamelingen verder toeneemt, dan is deze notatie met letters niet handig meer. Welke letters moeten we gebruiken als we de gezamenlijke doorsnede van de verzamelingen {0, 1}, {0, 1, 2}, ..., {0, 1, 2, 3, ..., 326, 327} zouden willen opschrijven? Of, nog ‘erger’, van de verzamelingen {0, 1}, {0, 1, 2}, ..., {0, 1, 2, ..., i} voor een willekeurige i  +? In dit soort situaties gebruiken we in plaats van A, B, C, ... de indexnotatie A1, A2, A3, .... De doorsnede en de vereniging van bijvoorbeeld de verzamelingen A1 tot en met A100 wordt dan genoteerd als: 100

Ai

i1

Indexverzameling

100

respectievelijk

Ai

i 1

100 In ‘lopende tekst’ gebruiken we hiervoor de notaties 100 i 1 A i en i 1 A i , die wat beter in de regel passen. Net als voor de verzamelingen A  B  C  D  E en A  B  C  D  E zijn deze notaties ondubbelzinnig, omdat vanwege de commutativiteit de volgorde van de verzamelingen A1 tot en met A100 er niet toe doet en we vanwege de associativiteit geen haakjes hoeven te plaatsen. De verzameling van waarden die de index i aanneemt, in dit geval {1, 2, ..., 100}, heet de indexverzameling en wordt meestal met de letter I aangegeven.

OPGAVE 5.15

Zij A = {0, 1}, B= {0, 1, 2}, C = {0, 1, 2, 3}, D = {0, 1, 2, 3, 4} en E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. a Bepaal A  B  C  D  E en A  B  C  D  E. b Definieer voor i  + de verzameling Ai als Ai = {0, 1, 2, ..., i}, dus bijvoorbeeld A1 = {0, 1} = A en A2 = {0, 1, 2} = B. Bepaal 5i 1 A i en 5 6 6 100 100 i 1 A i . Bepaal ook i 1 A i en i 1 A i en ten slotte ook i 1 A i en i 1 A i . Een indexverzameling hoeft zeker niet een doorlopende reeks getallen te zijn en hoeft ook niet per se met 1 te beginnen. Allerlei verzamelingen zijn als indexverzameling te gebruiken. Het is dan vaak wel weer handiger om eerst de indexverzameling zelf een naam te geven, bijvoorbeeld I, en dan de notatie Indexnotatie i I

Ai

en iI

Ai

te gebruiken voor de doorsnede respectievelijk de vereniging van alle verzamelingen Ai met i I. Nemen we bijvoorbeeld I = {1, 2, ..., 100}, dan A is 100 i 1 A i nu ook te noteren als i I i . VOORBEELD

Zij I = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}. Definieer nu voor iedere p I de verzameling Ap door Ap = {x  +x ≤ 40 en x is deelbaar door p}. Er geldt dan bijvoorbeeld dat A2 = {x  +x ≤ 40 en x is even}, A3 = {x  +x ≤ 40 en x is een 3-voud} en A37 = {x  +x ≤ 40 en x is een 37-voud}. Deze laatste verzameling bevat slechts één element, namelijk 37. Laten we eens kijken of we p I A p en p I A p kunnen bepalen. Een getal in p I A p is een positief geheel getal ≤ 40, dat zowel een 2-voud, als een 3-voud, als een 5-voud, ..., als een 37-voud is. Maar dat is onmogelijk: het getal 37 bijvoorbeeld is het enige 37-voud ≤ 40, maar het is zeker geen 2-voud. We zien dus dat p I A p   . De verzameling p I A p bevat alle positieve getallen ≤ 40, die ofwel een 2-voud zijn, ofwel een 3-voud, ofwel een 5-voud, ..., ofwel een 37-voud. Wat uitproberen (of kennis van priemgetallen, getallen groter dan 1 die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf) leert dat dit alle getallen ≤ 40 zijn, behalve het getal 1. We zien dus dat p I A p = {x  +2 ≤ x ≤ 40} « Tot nu toe werd voor I steeds een eindige verzameling genomen, maar bijvoorbeeld ook (deelverzamelingen van) , of zijn toegestaan. Om precies te definiëren wat we met i I A i bedoelen voor een willekeurige indexverzameling I, merken we op dat i I A i voor bijvoorbeeld I = {1, 2, ..., 100} ook te omschrijven is als {xx A1 en x A2 en ... en x A100}, wat ook als {xx Ai voor alle i I} geschreven kan worden. Voor een willekeurige indexverzameling I definiëren we nu: iI

Ai  {x x  Ai voor alle i}

Evenzo is i I A i voor I = {1, 2, ..., 100} te omschrijven als {xx A1 of x A2 of ... of x A100}, wat ook als {xx Ai voor zekere i I} geschreven kan worden. Voor een willekeurige indexverzameling I definiëren we dan: iI

Ai  {x x  Ai voor zekere i  I }

VOORBEELD 5.2

Definieer voor iedere i  + de verzameling Ai als Ai = {0, 1, 2, ..., i} (zie ook opgave 5.15b) en bekijk de twee verzamelingen i +Ai en i +Ai. Het is niet zo moeilijk om deze oneindige doorsnede en vereniging expliciet te bepalen. De doorsnede is bevat in ieder van de afzonderlijke verzamelingen Ai. In het bijzonder is de doorsnede dus bevat in de ‘kleinste’ verzameling, wat A1 = {0, 1} is. Dus i +Ai  {0, 1}. Omdat {0, 1}  Ai voor iedere i, volgt ook dat {0, 1}  i +Ai. Dit bewijst dat i +Ai = {0, 1}. Ieder van de afzonderlijke verzamelingen Ai is bevat in de vereniging. Iedere n  behoort tot een Ai (namelijk 0 A1 en n An voor n ≥ 1), ofwel  i +Ai. Omdat anderzijds Ai  voor iedere i, volgt ook dat . Dit bewijst dat i +Ai = . « i +Ai 

OPGAVE 5.16 (Aanw)

We definiëren Ai voor iedere i  door Ai = {x  –i ≤ x ≤ i}. Bepaal i Ai en i Ai. Motiveer uw antwoorden. OPGAVE 5.17

Zij V = {x  x ≤ 20} en definieer Ai voor i = 0, 1, 2, 3 en 4 door Ai = {x Vx = 5k + i voor zekere k  }. a Geef een expliciete definitie van Ai voor i = 0, 1, 2, 3 en 4. b Bewijs dat 4i  0 A i = V. c Ga na dat A1  A2 = Ø en bepaal vervolgens 4i  0 A i . Geef daarbij aan welke rekenregels u gebruikt. 5.2.3

Twee distributieve wetten bij verzamelingen

DISTRIBUTIVITEIT

De conjunctie is distributief over de disjunctie en omgekeerd. Voor de doorsnede en vereniging van verzamelingen gelden vergelijkbare eigenschappen. In figuur 5.3 hebben we dit voor één van de varianten uitgevoerd, namelijk voor A  (B  C) = (A  B)  (A  C). In figuur 5.3a zijn eerst A en B  C en daarna A  (B  C) weergegeven, terwijl in 5.3b eerst A  B en A  C en vervolgens (A  B)  (A  C) is weergegeven.

FIGUUR 5.3

Distributiviteit a A  (B  C) (het gebied dat zowel horizontaal als diagonaal is gearceerd) b (A  B)  (A  C) (het gebied dat ofwel horizontaal, ofwel diagonaal is gearceerd)

Wat de venndiagrammen suggereren, vereist wel een formeel bewijs. Distributiviteit van doorsnede en vereniging

STELLING 5.4

Voor verzamelingen A, B en C geldt dat A  (B  C) = (A  B)  (A  C) en A  (B  C) = (A  B)  (A  C). De bewerking doorsnede is dus distributief over vereniging en de bewerking vereniging is distributief over doorsnede.

Distributiviteit van doorsnede en vereniging

STELLING 5.4

Eerst A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

Voor verzamelingen A, B en C geldt dat A  (B  C) = (A  B)  (A  C) en A  (B  C) = (A  B)  (A  C). De bewerking doorsnede is dus distributief over vereniging en de bewerking vereniging is distributief over doorsnede. Bewijs Zij x A  (B  C). Dit betekent dat x A en dat bovendien x B of x C, in logische notatie: x A x B  x C). Uit de distributiviteit van de conjunctie volgt dat dit equivalent is met (x A x B)  (x A x C) oftewel x (A  B)  (A  C). Dit bewijst: (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)). In opgave 5.18 wordt gevraagd de andere distributieve eigenschap te bewijzen. □

OPGAVE 5.18

Bewijs net als in stelling 5.4 de distributieve eigenschap A  (B  C) = (A  B)  (A  C). Distributiviteit gebruiken om ... uit te werken of ... buiten haakjes te halen.

VOORBEELD

Net als bij het rekenen met proposities, worden de (beide) distributieve eigenschappen op twee manieren gebruikt. Enerzijds om uitdrukkingen ‘uit te werken’, waarbij we bijvoorbeeld A  (B  C) omschrijven tot (A  B)  (A  C), en anderzijds om ‘buiten haakjes te halen’, waarbij we juist (A  B)  (A  C) als A  (B  C) schrijven. Omdat  en  commutatief zijn, geldt de distributiviteit ook ‘aan de rechterkant’, dus (B  C)  A = (B  A)  (C  A) en (B  C)  A = (B  A)  (C  A). Met de distributiviteit hebben we ons arsenaal aan rekenregels verder uitgebreid. Hiermee zijn niet alleen identiteiten voor verzamelingen makkelijker te bewijzen, maar ook concrete verzamelingen vaak op handige wijze uit te rekenen. Uit een venndiagram is duidelijk dat (V  W)  (V  W) = V  W. Naast een direct bewijs kan men ook de rekenregels gebruiken om een bewijs te geven. Eerst passen we stelling 5.4 toe met A = V  W, B = V en C = W. Er volgt dan dat (V  W)  (V  W) = ((V  W)  V)  ((V  W)  W) Volgens de associativiteit en de commutativiteit van  geldt dat (V  W)  V = V  V  W en (V  W)  W = V  W  W en omdat A  A = A en A  A = A voor iedere verzameling A (de idempotentie: zie eventueel het einde van paragraaf 5.1), volgt er inderdaad dat (V  W)  (V  W) = (V  W)  (V  W) = V  W

VOORBEELD 5.3

«

Laat A, B en C de volgende verzamelingen zijn: A = {6, 7, 8, 9, 10} B = {y(y = 4k + 2 voor zekere k  )  (–3 ≤ y ≤ 20)} C = {y(y = 6k + 4 voor zekere k  )  (–12 ≤ y ≤ 10)}

Distributiviteit gebruiken om uit te werken.

Als gevraagd wordt om A  (B  C) te bepalen, is het handiger om dit met de distributiviteit uit te werken en A  B en A  C te bepalen: A  B = {6, 10} (voor k = 1 is 4k + 2 = 6 en voor k = 2 is 4k + 2 = 10) en A  C = {10} (voor k = 1 is 6k + 4 = 10), dus

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) = {6, 10}  {10} = {6, 10} Distributiviteit gebruiken om buiten haakjes te halen.

Als daarentegen gevraagd wordt om (A  B)  (A  C) te bepalen, dan is het handiger om A buiten haakjes te halen en A  (B  C) te bepalen. Immers, (B  C)  {y  –3 ≤ y ≤ 10} en de enige elementen van B in deze verzameling zijn –2, 2, 6 en 10, terwijl –2, 4 en 10 de enige elementen van C in deze verzameling zijn. Dus B  C = {–2, 10} en (A  B)  (A  C) = A  (B  C) = {–2, 6, 7, 8, 9, 10}

«

OPGAVE 5.19

Gebruik de commutativiteit, associativiteit en distributiviteit om te bewijzen dat (V  W)  (V  W) = V  W. OPGAVE 5.20 (Aanw)

Zij A = {x  –18 ≤ x ≤ 18}, B = {x(x = k2 voor zekere k  )  x ≤ 50} en C = {xx is een 4-voud}. (Opmerking: veelvouden mogen ook negatief zijn.) Bepaal A  (B  C) en A  (B  C). OPGAVE 5.21 (Aanw)

In deze opgave is het universum . Zij I = {i  –3 ≤ i ≤ 3} en Ai = {x –2i < x < 2–i} voor i I. Verder zijn gegeven A = {xx2 – 1 is een 3-voud} en B = {xx is een 3-voud} (veelvouden mogen ook negatief zijn). a Bepaal C = i I A i en D = i I A i . b Neem C als in onderdeel a en bepaal C  (A  B). c Neem D als in onderdeel a en bepaal (A  D)  (A  B). 5.2.4

ABSORPTIE

Ook de volgende ‘absorptiewetten’ kent u uit de propositielogica. Absorptie voor doorsnede en vereniging

STELLING 5.5

Laat A en B verzamelingen zijn. Voor de bewerkingen doorsnede en vereniging gelden de absorptiewetten: A  (A  B) = A

en

A  (A  B) = A

Het bewijs van stelling 5.5 is eenvoudig en komt in opgave 5.22 aan bod. De absorptiewetten zijn weer eenvoudig te illustreren met behulp van venndiagrammen. In figuur 5.4 is dit gedaan voor A  (A  B) = A.

FIGUUR 5.4 A = A  (A  B) A is horizontaal gearceerd, A  B diagonaal. A  (A  B) is het gebied dat zowel horizontaal als diagonaal is gearceerd en is dik omlijnd aangegeven. OPGAVE 5.22

a Bewijs de absorptiewet A  (A  B) = A. Teken ook een venndiagram van A  (A  B). b Gebruik stelling 5.4 om te bewijzen dat A  (A  B) = A  (A  B) en geef aan waarom stelling 5.5 hiermee bewezen is.

OPGAVE 5.23 (Aanw)

Geef bij uw antwoorden steeds aan welke rekenregel(s) u gebruikt. a Schets een venndiagram van (A  (B  C))  A en vereenvoudig vervolgens (A  (B  C))  A zo ver mogelijk. b Bewijs dat (A  (B  C))  B = A  B. c Vereenvoudig ((A  B)  (B  C))  (A  C) zo ver mogelijk. 5.3

Rekenen met complementen

De lege verzameling vervult een rol die vergelijkbaar is met die van het getal 0 in de vermenigvuldiging en de optelling, of de altijd onware bewering in de logica. Immers, voor Ø geldt dat AØ=Ø

Nulelement

Doorsnede lijkt op vermenigvuldigen en vereniging op optellen ...

en

AØ=A

voor iedere verzameling A. Deze identiteiten komen precies overeen met de identiteiten a · 0 = 0 en a + 0 = a die voor alle getallen a gelden of de logische equivalenties   ⊥  ⊥ en   ⊥   . Omdat Ø zich precies gedraagt als 0, wordt Ø het nulelement voor de verzamelingenalgebra genoemd. Laten we nog even wat langer bij deze analogie stilstaan en ons afvragen of er nog een ander speciaal getal is bij de optelling of de vermenigvuldiging. Bij de optelling is 0 ‘speciaal’ omdat 0 bij een getal optellen de waarde van het getal niet verandert. Maar bij de vermenigvuldiging is er ook zo’n getal, immers a · 1 = a. Omdat vermenigvuldigen met doorsnede correspondeert, leidt dit tot de vraag of er een verzameling X is waarvoor geldt dat A  X = A voor alle verzamelingen A. Dit zal het universum U zijn dat steeds is aangenomen, immers voor iedere A  U geldt dat A  U = A en A  U = U

... maar deze gelijkenis gaat niet altijd op.

Eénelement

De correspondentie van vermenigvuldigen met doorsnede gaat hier op, maar die van optellen met vereniging niet: voor U geldt dat A  U = U, maar a + 1 = 1 geldt niet. Omdat U zich ten opzichte van de doorsnede wel als 1 gedraagt, noemen we U het éénelement voor de verzamelingenalgebra. Het universum gedraagt zich bovendien als de altijd ware bewering in propositielogica.

Het complement van het complement geeft het orgineel Bron: Grootmoeders rijmpjes en versjes, Knipsels van Jan Lever. Verba, 1991

Naast doorsnede en vereniging is ook het nemen van complementen ten opzichte van het universum U als een bewerking op verzamelingen te zien. Het complement in verzamelingenalgebra correspondeert met de negatie in propositielogica. Voor het complement geldt weer een aantal rekenregels waarbij vergelijkbare rekenregels in logica bestaan. Onze eerste rekenregel noemen we ‘dubbel complement’ omdat dit het herhaald toepassen van de bewerking complement betreft: voor A  U geldt dat (Ac)c = A

Dubbel complement OPGAVE 5.24 (Aanw)

Zij A, B  U. Bewijs dat A = B dan en slechts dan als Ac = Bc, met andere woorden: bewijs dat uit A = B volgt dat Ac = Bc en dat uit Ac = Bc volgt dat A = B. De volgende eenvoudige rekenregels noemen we hier vooral omdat deze regels in de theorie van de boolealgebra’s gebruikt worden om het begrip complement mee te definiëren. Vandaar dat we dit de complementregels zullen noemen: voor A  U geldt dat A  Ac = Ø en A  Ac = U

Complementregels OPGAVE 5.25 (Aanw)

Zij A, B  U. Bewijs met behulp van rekenregels: (A  B)  (A  Bc) = A. De laatste rekenregels voor complementen die we zullen behandelen, zijn de twee belangrijke ‘wetten van De Morgan’. Deze geven het verband aan tussen enerzijds de bewerkingen doorsnede en vereniging en anderzijds de bewerking complement.

Augustus De Morgan (1806-1871) hoogleraar aan University College Londen

VOORBEELD

Op een voorlichtingsbijeenkomst zijn alleen mensen welkom die niet de cursus ‘Inleiding informatica’ of de cursus ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd hebben. Wat bedoelen we precies met deze zin? Alleen die mensen zijn welkom die noch ‘Inleiding informatica’ noch ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd hebben. Met verzamelingen is dit als volgt uit te drukken. Zij A = {xx heeft ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd} en B = {xx heeft ‘Inleiding informatica’ bestudeerd}. De mensen die niet ‘Inleiding informatica’ of ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd hebben, vormen (A  B)c, terwijl de mensen die noch ‘Inleiding informatica’ noch ‘Inleiding wiskunde’ bestudeerd hebben, Ac  Bc vormen. Dit suggereert dat (A  B)c = Ac  Bc, wat inderdaad één van de wetten van De Morgan is die in stelling 5.6 bewezen zal worden. «

STELLING 5.6

Voor A, B  U geldt dat (A  B)c = Ac  Bc en (A  B)c = Ac  Bc. We zeggen nu dat voor de bewerking complement de wetten van De Morgan gelden (ten opzichte van  en ).

Wetten van De Morgan

Bewijs van (A  B)c = Ac  Bc Eerst (A  B)c  Ac  Bc Dan Ac  Bc  (A  B)c

Bewijs van (A  B)c = Ac  Bc

Bewijs We bewijzen (A  B)c = Ac  Bc door eerst aan te tonen dat (A  B)c  (Ac  Bc) en vervolgens dat (Ac  Bc)  (A  B)c. Neem x (A  B)c, ofwel x A  B (en x U). Dit betekent dat x noch tot A, noch tot B kan behoren, ofwel x A en x B. Omdat x U, volgt er dat x Ac en x Bc, ofwel x Ac  Bc. Dit bewijst (A  B)c  (Ac  Bc). Neem nu x Ac  Bc, ofwel x Ac en x Bc. Dan geldt dat x A en x B (en x U). Maar uit x A en x B volgt dat x A  B, immers als x A  B, dan zou volgen dat x A of x B. We zien dus dat x (A  B)c, wat aantoont dat (Ac  Bc)  (A  B)c. Net zo kan men een direct bewijs van (A  B)c = Ac  Bc geven. Maar het is eenvoudiger om dit nu uit (A  B)c = Ac  Bc af te leiden. Vervang namelijk in deze gelijkheid A door Ac en B door Bc, dan volgt dat (Ac  Bc)c = (Ac)c  (Bc)c. Met ‘dubbel complement’ krijgen we dan dat (Ac  Bc)c = A  B. Gebruik ten slotte opgave 5.24 (en opnieuw dubbel complement): A  B = (Ac  Bc)c dan en slechts dan als (A  B)c = Ac  Bc. □ De methoden en rekenregels die in de paragrafen 5.2 en 5.3 zijn behandeld, worden vooral gebruikt om snel en eenvoudig identiteiten tussen verzamelingen te bewijzen. Daarnaast zijn ze te gebruiken om op handige wijze concrete verzamelingen uit te rekenen.

VOORBEELD

Door een venndiagram te schetsen van B  (A  B)c, komen we op het idee dat dit vereenvoudigd kan worden tot Ac  B. Om dit te bewijzen, passen we eerst ‘De Morgan’ toe: B  (A  B)c = B  (Ac  Bc). Uit de distributiviteit volgt dan dat B  (A  B)c = (B  Ac)  (B  Bc). Maar B  Bc = Ø en (B  Ac)  Ø = B  Ac, zodat ten slotte uit de commutativiteit van  het resultaat volgt. «

VOORBEELD

Zij B = {y(y = 4k + 2 voor zekere k  )  (–3 ≤ y ≤ 20)} en A = {6, 7, 8, 9, 10} (zie voorbeeld 5.3). Om bijvoorbeeld Ac  Bc te bepalen, is het handiger om eerst A  B te bepalen en vervolgens hiervan het complement te nemen. Omdat A  B = {6, 10}, volgt er dat (A  B)c = {x  x ≠ 6  x ≠ 10} (het universum is ). «

OPGAVE 5.26

a Zij A, B  U. Bewijs met behulp van rekenregels: (A  Bc)c  A = U. b Laat het universum zijn. Bepaal Ac  Bc als A = {x–18 ≤ x ≤ 18} en B = {x(x = k2 voor zekere k  )  x ≤ 50} (zie opgave 5.20). In deze leereenheid hebben we een paar keer de aandacht gevestigd op overeenkomsten tussen de bewerkingen in de verzamelingenalgebra en de bewerkingen in de logica. We zouden een aanzienlijke tijdwinst kunnen boeken als we die overeenkomsten zo ver konden doorvoeren dat we eigenschappen en rekenregels uit de ene theorie zonder meer mochten overbrengen naar de andere theorie, vooral als het gaat om moeizaam verkregen resultaten. In leereenheid 6 zullen we zien dat iets dergelijks inderdaad mogelijk is. Onder meer naar aanleiding van het voorbeeld van de verzamelingenalgebra, wordt er dan een abstracte stuctuur ingevoerd, de zogenaamde boolealgebra. Alle rekenregels uit de verzamelingenalgebra keren in de theorie van deze boolealgebra’s in abstracte vorm terug. In deze leereenheid zullen we overigens ook zien dat boolealgebra’s ‘van nature’ tevoorschijn komen bij het rekenen met digitale elektronische schakelingen. OPGAVE 5.27 (Aanw)

Laat U een universum zijn en A, B, C  U. Schets eerst twee venndiagrammen van (A  B)  C en A  Cc en vereenvoudig vervolgens ((A  B)  C)  (A  Cc) zo ver mogelijk. OPGAVE 5.28

Laat het universum zijn, A = {xx is een 4-voud} en B = {x2x2 ≥ 30}. Bepaal (A  B)c. OPGAVE 5.29 (Aanw)

Laat U een universum zijn en A, B, C  U. Vereenvoudig ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) zo ver mogelijk. OPGAVE 5.30 (Aanw)

a Bewijs dat de doorsnede distribueert over het verschil, met andere woorden, dat A  (B – C) = (A  B) – (A  C) met behulp van de rekenregels uit deze leereenheid. b Is het waar dat vereniging distribueert over verschil? Zo ja, bewijs dit. Zo nee, geef een voorbeeld waaruit dit blijkt.

SAMENVATTING

Het nemen van doorsneden, verenigingen en complementen van verzamelingen is op te vatten als het uitvoeren van bewerkingen op die verzamelingen. Alle verzamelingen zijn daarbij een deelverzameling van een zeker universum U, ofwel een element van P(U), de machtsverzameling van U. Immers, P(U) is de verzameling die bestaat uit alle deelverzamelingen van U. Is U een eindige verzameling met n elementen, dan bestaat P(U) uit 2n elementen.

Voor de drie ‘standaardbewerkingen’ doorsnede, vereniging en complement gelden de volgende eigenschappen (alle verzamelingen zijn bevat in het universum U): commutativiteit associativiteit distributiviteit idempotentie absorptiewetten nulelement éénelement dubbel complement complementregels De Morgan

A  B = B  A en A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) en (A  B)  C = A  (B  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) en A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  A = A en A  A = A A  (A  B) = A en A  (A  B) = A A  Ø = Ø en A  Ø = A A  U = A en A  U = U (Ac)c = A A  Ac = Ø en A  Ac = U (A  B)c = Ac  Bc en (A  B)c = Ac  Bc Vanwege de commutativiteit en de associativiteit zijn de indexnotaties i I A i en i I A i , voor de doorsnede respectievelijk de vereniging van de verzamelingen Ai met i I, ondubbelzinnig. De verzameling I is de indexverzameling. Omdat de bewerkingen  en  voldoen aan rekenregels die op een aantal punten vergelijkbaar zijn met die voor vermenigvuldigen en optellen, spreken we van verzamelingenalgebra. Net als voor getallen, stellen de rekenregels ons in staat om snel en efficiënt berekeningen uit te voeren met verzamelingen en identiteiten voor verzamelingen te bewijzen. Met behulp van de drie standaardbewerkingen zijn andere bewerkingen in te voeren, die het werken met verzamelingen verder kunnen vereenvoudigen. Zo wordt het complement uitgebreid door het verschil A – B = {xx A  x B} = A  Bc in te voeren. Rekenregels voor het verschil, en voor eventuele andere nieuwe bewerkingen, kunnen uit de rekenregels voor de standaardbewerkingen afgeleid worden.

ZELFTOETS

1

In deze opgave is het universum. Zij I = {3, 4, 5, 6, 7}, Ai = {xx is een i-voud} voor iedere i I en V = {x  x ≤ 15}. Geef bij uw antwoorden op de vragen steeds aan welke rekenregel(s) u gebruikt. a Bepaal V  ( i I A i ) . b Bepaal V  ( i I A i ) . c c Bewijs met behulp van de rekenregels dat i I A i  ( i I A i ) c en c c bepaal vervolgens V  iI A i .

2

Voor verzamelingen A en B, bevat in een zeker universum U, wordt het symmetrische verschil A  B gedefinieerd door A  B = (A – B)  (B – A). We beschouwen  als een bewerking op verzamelingen. Geef bij uw antwoorden op de vragen steeds aan welke rekenregel(s) voor doorsnede, vereniging en/of complement u gebruikt. a Bewijs dat de bewerking symmetrisch verschil commutatief is. b Geef rekenregels voor A  Ø, A  U en A  Ac (dat wil zeggen, druk ze uit in één van de verzamelingen A, Ac, Ø of U) en bewijs deze regels. c Bewijs dat A  B = (A  B)  (A  B)c en leid hieruit af dat (A  B)c = (A  B)  (Ac  Bc). d Bewijs dat doorsnede distribueert over symmetrisch verschil, met andere woorden, dat A  (B  C) = (A  B)  (A  C). Hierbij mag gebruikt worden dat doorsnede over verschil distribueert. e Distribueert symmetrisch verschil over doorsnede, met andere woorden: geldt er dat A  (B  C) = (A  B)  (A  C)? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, laat dit met een voorbeeld zien.

3

Laat V = {{Ø}, u, v, {v, {u}}, {u}} het universum zijn. Beantwoord de volgende vragen. Motiveer daarbij steeds uw antwoorden. a Hoeveel elementen heeft P(V)? b Geldt Ø P(V)? Geldt {Ø} P(V)? Geldt {{Ø}} P(V)? c Zij x = {v, {u}}. Geldt x V? Geldt x P(V)? Geldt x  P(V)? d Zij W = {{Ø}, u, {u}}. Geldt nu dat P(W)  P(V)? e Zij A = {u, v, {u}}, B = {v, {{u}, v}, {Ø}} en C = {{u}, u}. Is (A – (B  C))c – ((C  A) – B) een element van P(V)?

Inhoud leereenheid 6

Boolealgebra’s Introductie Leerkern 6.1

Schakelalgebra’s De werking van poorten en schakelingen Notatie Equivalente schakelingen

6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2

Boolealgebra’s Verzamelingen met structuur Commutativiteit, associativiteit, absorptie, distributiviteit Nul- en éénelement en complementen Eigenschappen van boolealgebra’s

6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4

Samenvatting Zelftoets

28

Leereenheid 6

Boolealgebra’s

INTRODUCTIE

Als we ons afvragen welk van de twee verzamelingen wiskundig interessanter is: de verzameling natuurlijke getallen of de verzameling {Astrid, Bert, Corrie, Dirk}, dan kiezen we ongetwijfeld voor de eerste verzameling. Waarom doen we dit? Een antwoord op deze vraag is dat de natuurlijke getallen allerlei toepassingsmogelijkheden hebben, zowel in het dagelijks leven, als in bijna alle wetenschapsgebieden. Maar ook los van deze toepassingsmogelijkheden zijn de natuurlijke getallen interessanter, omdat we er meer mee kunnen. De natuurlijke getallen vormen een verzameling met structuur: we kunnen getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, enzovoort. Er zijn dus allerlei bewerkingen op natuurlijke getallen mogelijk. Daarnaast zijn er relaties tussen natuurlijke getallen zoals de relatie ‘groter dan’ of de deelbaarheidsrelatie. Als we beschikken over deze relaties en bewerkingen, dan kunnen we vervolgens gaan onderzoeken aan wat voor eigenschappen ze voldoen. We merken dan bijvoorbeeld op dat de optelling commutatief is: x + y = y + x. Ook andere verzamelingen kunnen structuur hebben. In leereenheid 5 bent u al een voorbeeld van een verzameling met structuur tegengekomen, namelijk de machtsverzameling P(V) van een verzameling V. Op P(V) kennen we bewerkingen zoals het bepalen van doorsnede, vereniging, verschil of complement van verzamelingen, en we kennen relaties: bijvoorbeeld de relatie ‘deelverzameling van’. Een derde voorbeeld introduceren we in de eerste paragraaf van deze leereenheid: we kijken daar naar schakelalgebra’s waarmee we schakelingen in een computer door kunnen rekenen. In deze leereenheid gaan we ons bezighouden met verzamelingen die een heel specifieke structuur hebben. Weliswaar beperken we nu onze klasse van voorbeelden, maar u zult zien dat we daardoor op een heel efficiënte manier resultaten af kunnen leiden. De werkwijze die we hierbij toepassen, is kenmerkend voor de wiskunde: we onderkennen dat verschillende verzamelingen overeenkomstige eigenschappen hebben en gaan vervolgens abstraheren. Resultaten die we voor het abstracte geval hebben afgeleid, kunnen we dan weer toepassen op concrete voorbeelden. LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – de definitie van nulelement, éénelement en complement kent – de definitie van een boolealgebra kent – van een gegeven structuur kunt nagaan of het een boolealgebra is – eenvoudige eigenschappen van boolealgebra’s af kunt leiden – de volgende eigenschappen van een boolealgebra kent en kunt bewijzen: idempotentie, dubbel complement, De Morgan, eenduidigheid van complementen

29

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

– een aantal voorbeelden van boolealgebra’s kent – eigenschappen die u hebt afgeleid voor boolealgebra’s, in concrete structuren kunt interpreteren – uw kennis van boolealgebra’s toe kunt passen op schakelalgebra’s.

LEERKERN 6.1

Schakelalgebra’s

De centrale verwerkingseenheid (CVE) van een digitale computer verwerkt signalen. Deze signalen zouden we kunnen opvatten als variabelen die de waarde 0 of 1 kunnen aannemen. Fysiek zijn ze gerealiseerd door een hoge spanning (waarde 1) of een lage spanning (waarde 0) in elektrisch geleidend materiaal. Het uitvoeren van bewerkingen gebeurt door middel van eenvoudige schakelingen, zogenaamde poorten. Een poort transformeert één of meer ingangssignalen tot één uitgangssignaal. In deze leereenheid beperken we ons tot drie eenvoudige poorten. In de praktijk komen ook andere poorten voor, maar deze drie zijn voldoende om alle mogelijke schakelingen te bouwen.

6.1.1

DE WERKING VAN POORTEN EN SCHAKELINGEN

De drie poorten die we in deze leereenheid gebruiken als bouwstenen voor schakelingen, zijn de NIET-poort, de EN-poort en de OF-poort. De werking van deze drie poorten geven we in tabellen weer. Schakelingen worden vaak schematisch weergegeven. Hierbij vindt u steeds de ingangssignalen links en het uitgangssignaal rechts. NIET-poort

De NIET-poort transformeert een ingangssignaal met hoge spanning tot een uitgangssignaal met lage spanning en omgekeerd. Schematisch geven we de NIET-poort als volgt weer (zie figuur 6.1).

FIGUUR 6.1

30

NIET-poort

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

De werking van de NIET-poort kunt u in de volgende tabel aflezen: x

y

1 0

0 1

De EN-poort heeft twee ingangen. Alleen als beide ingangssignalen een hoge spanning hebben, heeft ook het uitgangssignaal een hoge spanning. In alle andere gevallen heeft het uitgangssignaal een lage spanning. Schematisch geven we de EN-poort als volgt weer (zie figuur 6.2).

EN-poort

FIGUUR 6.2

De werking van de EN-poort vindt u in de volgende tabel:

OF-poort

x

y

z

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

Ook de OF-poort heeft twee ingangen. Als beide ingangssignalen een lage spanning hebben, dan heeft het uitgangssignaal ook een lage spanning. In alle andere gevallen heeft het uitgangssignaal een hoge spanning. Zie figuur 6.3.

OF-poort

FIGUUR 6.3

De werking vindt u in de volgende tabel: x

y

z

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Het zal u wellicht zijn opgevallen dat de tabellen voor de werking van de poorten precies overeenkomen met de waarheidstabellen voor de logische connectieven uit leereenheid 1. Kennelijk is er een relatie tussen schakelingen en propositielogica. Op deze relatie zullen we in het vervolg van deze leereenheid dieper ingaan.

31

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Met behulp van de genoemde drie poorten kunnen we complexe schakelingen bouwen. We geven een voorbeeld (zie figuur 6.4).

FIGUUR 6.4

Een schakeling

Hoe kunnen we nu bij gegeven waarden voor ingangssignalen x, y en z, de waarde van het uitgangssignaal u bepalen? Als voorbeeld kiezen we x = y = z = 1. We beginnen met de NIET-poort linksboven. Het ingangssignaal x = 1 geeft een uitgangssignaal met lage spanning. De OF-poort hier schuin rechts onder combineert dit signaal met y = 1 en geeft als uitgang de waarde 1. Zo kunt u de hele schakeling verder doorrekenen. Ga zelf na dat dit tot het volgende resultaat leidt (zie figuur 6.5).

FIGUUR 6.5

De schakeling uit figuur 6.4, doorgerekend voor x=y=z=1

OPGAVE 6.1

Bepaal voor alle mogelijke waarden van de ingangssignalen x, y en z de waarde van het uitgangssignaal u in de schakeling van figuur 6.4. Is het nodig om steeds de hele schakeling door te rekenen? OPGAVE 6.2

Bepaal ook voor de schakeling in figuur 6.6 de waarden van het uitgangssignaal u voor alle mogelijk ingangssignalen x, y en z. Wat valt u op?

FIGUUR 6.6

Schakeling bij opgave 6.2

32

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

In de vorige opgaven hebt u kunnen zien dat twee heel verschillende schakelingen dezelfde werking kunnen hebben. Dit roept de volgende vraag op: hoe kunnen we beslissen of twee schakelingen dezelfde werking hebben? Kan dit alleen door beide schakelingen helemaal door te rekenen of kan het soms ook handiger? In het vervolg van deze paragraaf gaan we hier wat dieper op in. 6.1.2

NOTATIE

In plaats van met schema’s, kunnen we schakelingen ook weergeven met formules. Het idee hierachter is het volgende: we kunnen een poort opvatten als een operator die één of twee (ingangs)signalen omzet in een nieuw (uitgangs)signaal. In een complexer geheel kan zo ook van één of twee schakelingen een nieuwe schakeling worden gemaakt. Stel, a en b zijn schakelingen, dan kunnen we beide uitgangen bijvoorbeeld verbinden door een EN-poort. De schakeling die we nu krijgen, noteren we als a EN b. Twee schakelingen a en b verbonden door een OF-poort, noteren we als a OF b, en een schakeling a met daarachter een NIET-poort als NIETa. Met behulp van deze notatie kunnen we nu formules opstellen voor schakelingen met meerdere achter elkaar geplaatste poorten. Als voorbeeld nemen we de schakeling uit figuur 6.4. We vinden de formule als volgt. We splitsen de hele schakeling eerst in twee schakelingen a en b die verbonden zijn door een OF-poort. Hoe dit gaat, ziet u in figuur 6.7.

FIGUUR 6.7

We splitsen de schakeling uit figuur 6.4 in de schakelingen a en b die door een OF-poort verbonden zijn.

De schakeling uit figuur 6.4 kunnen we dus voorlopig met de formule a OF b beschrijven. De schakeling a geven we weer met de formule NIETx. Ga zelf na dat we de schakeling b kunnen beschrijven met de formule NIET((NIETx OF y) EN z). Een formule bij de schakeling uit figuur 6.4 is dus NIETx OF NIET((NIETx OF y) EN z).

33

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 6.3

Geef een formule bij de schakeling uit opgave 6.2. OPGAVE 6.4

Geef een andere formule bij de schakeling uit figuur 6.4. OPGAVE 6.5

Teken een schakeling bij de formule (NIETx OF (x EN y)) OF z. In de opgaven hebt u kunnen zien dat schakelingen en formules niet precies met elkaar corresponderen. Voor het beschrijven van schakelingen is de notatie echter goed genoeg. Daarnaast hebben we de verwachting dat grotere complexere schakelingen die we in schema niet goed kunnen overzien, met de formulenotatie en rekenregels makkelijker vereenvoudigd kunnen worden. 6.1.3

EQUIVALENTE SCHAKELINGEN

OPGAVE 6.6

In deze opgave onderzoeken we de volgende schakeling (zie figuur 6.8).

FIGUUR 6.8

a Geef een formule bij deze schakeling. b Kunt u de schakeling vervangen door een eenvoudiger schakeling met dezelfde werking? c Wat voor ‘rekenregel’ hebt u bij onderdeel b gebruikt? In opgave 6.6 hebt u een rekenregel afgeleid waarmee schakelingen vereenvoudigd kunnen worden tot schakelingen met dezelfde werking. Twee schakelingen met dezelfde werking noemen we equivalent. We noteren a ≈ b als a en b equivalente schakelingen zijn. Waarschijnlijk herkende u de rekenregel als een standaardequivalentie uit de propositielogica. Kijk nog eens terug naar de tabellen voor NIET, EN en OF uit paragraaf 6.1.1. Gezien de overeenkomst met de waarheidstabellen voor de propositielogische connectieven, ligt het voor de hand om te veronderstellen dat we ook andere logische equivalenties als rekenregels kunnen gebruiken om schakelingen te vereenvoudigen. Een voorbeeld zijn de regels van De Morgan: ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q en ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q. Voor schakelingen wordt dit: NIET(a EN b) ≈ (NIETa OF NIETb) en NIET(a OF b) ≈ (NIETa EN NIETb). In de volgende paragraaf gaan we hier uitvoerig op in. Hier geven we alleen vast een aantal rekenregels. We gebruiken voor de regels de namen die u uit de logica kent.

34

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

dubbele negatie associativiteit distributiviteit De Morgan De Morgan rekenregel i rekenregel ii

Rekenregels NIET(NIETa) ≈ a a OF (b OF c) ≈ (a OF b) OF c a OF (b EN c) ≈ (a OF b) EN (a OF c) NIET(a EN b) ≈ NIETa OF NIETb NIET(a OF b) ≈ NIETa EN NIETb NIETa OF a ≈ 1 1 EN a ≈ a In de laatste twee staat 1 voor de schakeling die altijd een 1 als uitvoer heeft. Omdat we kennelijk kunnen rekenen met schakelingen noemen we een verzameling schakelingen met daarop de bewerkingen NIET, EN en OF noemen we een schakelalgebra.

Schakelalgebra

6.2

Boolealgebra’s

6.2.1

VERZAMELINGEN MET STRUCTUUR

In de introductie merkten we al op dat een verzameling wiskundig pas interessant wordt als we beschikken over een structuur op die verzameling. Deze structuur kan bestaan uit relaties of bewerkingen, die bepaalde eigenschappen hebben. We beginnen deze paragraaf met een drietal voorbeelden van verzamelingen met structuur. In elk van de voorbeelden geven we een verzameling met daarop twee bewerkingen en bewijzen we een eigenschap die voor deze bewerkingen geldt. Sommige bewijzen bent u al in eerdere leereenheden tegengekomen. We herhalen ze hier, zodat u de verschillen tussen de bewijsmethoden kunt zien. De voorbeelden zullen in deze hele leereenheid een rol blijven spelen. VOORBEELD 6.1 Machtsverzameling P(V) Zie paragrafen 5.1 en 5.2.1.

We gaan een structuur definiëren op de machtsverzameling van een of andere verzameling V, dus op de verzameling die bestaat uit alle deelverzamelingen van V. Op deelverzamelingen zijn allerlei bewerkingen uit te voeren: van twee deelverzamelingen is de doorsnede, de vereniging en het verschil te bepalen en we kunnen van een deelverzameling het complement nemen. Voorlopig zullen we ons beperken tot twee bewerkingen: doorsnede (de bewerking die aan twee deelverzamelingen A en B de doorsnede A ∩ B toevoegt) en vereniging (de operatie die aan twee deelverzamelingen de vereniging A ∪ B toevoegt). Deze bewerkingen hebben allerlei eigenschappen die we af kunnen leiden uit de definitie van de bewerkingen. Bij wijze van voorbeeld bewijzen we de volgende eigenschap (stelling 5.1): A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Hoe kunnen we aantonen dat twee deelverzamelingen aan elkaar gelijk zijn? We moeten dan laten zien dat elk element van de ene verzameling ook tot de andere behoort en omgekeerd. Stel dus dat x ∈A ∩ (B ∩ C). Dan volgt uit de definitie van ∩ dat x ∈A én x ∈B ∩ C, dus x ∈A én x ∈B én x ∈C.

35

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Maar: als x ∈A en x ∈B, dan ook x ∈A ∩ B, en omdat bovendien gold x ∈C, kunnen we nu concluderen dat x ∈(A ∩ B) ∩ C. Op precies dezelfde manier kunnen we bewijzen dat uit x ∈(A ∩ B) ∩ C volgt dat x ∈A ∩ (B ∩ C) (probeer dit zelf). We hebben hiermee aangetoond dat beide verzamelingen aan elkaar gelijk zijn. « VOORBEELD 6.2 Verzameling propositielogische formules PL Zie paragrafen 1.3 en 2.2.

Alle propositielogische formules opgebouwd uit de propositieletters p0, p1, ..., vormen een verzameling, die we PL zullen noemen. Het ligt misschien iets minder voor de hand hoe we op deze verzameling een structuur kunnen definiëren. Bedenk wel dat we de logische connectieven op kunnen vatten als bewerkingen die van formules nieuwe formules maken! Ook nu beperken we ons voorlopig tot twee bewerkingen: ∧, de bewerking die aan twee formules ϕ en ψ de formule ϕ ∧ ψ toevoegt, en ∨, de bewerking die aan twee formules ϕ en ψ de formule ϕ ∨ ψ toevoegt. Eigenschappen van ∨ en ∧ hebben een iets andere vorm dan in het vorige voorbeeld. Het is niet zo dat twee verschillende formules aan elkaar gelijk kunnen zijn, immers formules zijn alleen gelijk aan zichzelf. Wél kunnen twee verschillende formules equivalent zijn: voor elke waardering van de propositievariabelen hebben de twee formules steeds dezelfde waarheidswaarde. Een voorbeeld van een eigenschap van ∧ is: de formules ϕ ∧ (ψ ∧ χ) en (ϕ ∧ ψ) ∧ χ zijn equivalent Dit bewijzen we met behulp van waarheidstabellen: ϕ

ψ

χ

ϕ

∧

(ψ

∧

χ)

(ϕ

∧

ψ)

∧

χ

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 ↑

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 ↑

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 ↑

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 ↑

1 0 1 0 1 0 1 0

Omdat de formules ϕ ∧ (ψ ∧ χ) en (ϕ ∧ ψ) ∧ χ steeds dezelfde waarheidswaarde hebben, zijn ϕ ∧ (ψ ∧ χ) en (ϕ ∧ ψ) ∧ χ inderdaad equivalent. VOORBEELD 6.3 Schakelalgebra’s

In paragraaf 6.1.1 hebt u gezien hoe elektrische schakelingen van een computer opgebouwd kunnen worden. Hierbij gebruikten we drie basispoorten: de NIET-poort, de EN-poort en de OF-poort. Doorrekenen van de schakelingen a EN (b EN c) en (a EN b) EN c (zie figuur 6.9) toont aan dat deze equivalent zijn: a EN (b EN c) ≈ (a EN b) EN c.

FIGUUR 6.9

36

De schakelingen a EN (b EN c) en (a EN b) EN c

«

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

6.2.2

COMMUTATIVITEIT, ASSOCIATIVITEIT, ABSORPTIE, DISTRIBUTIVITEIT

In elk van de voorbeelden uit de vorige paragraaf hebben we een eigenschap afgeleid. Deze drie eigenschappen zijn aan elkaar verwant: de eigenschap A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C lijkt op de eigenschap ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ∧ χ en op a EN (b EN c) ≈ (a EN b) EN c. De drie eigenschappen hebben alle drie dezelfde naam: associatieve eigenschap, of ook wel associativiteit. De associatieve eigenschap geldt ook voor ∪, ∨ en OF. Er zijn nog veel meer eigenschappen van de drie structuren die steeds dezelfde vorm hebben. Een voorbeeld is de commutatieve eigenschap: A ∩ B = B ∩ A, (ϕ ∧ ψ) ⇔ (ψ ∧ ϕ), a OF b ≈ b OF a.Analoge regels gelden voor ∪, ∨ en OF. We zouden nu hele lijsten kunnen gaan maken van eigenschappen die in de drie structuren gelden. Deze eigenschappen moeten we dan wel eerst bewijzen. Dit wordt nogal bewerkelijk, zeker omdat de bewijzen van overeenkomstige eigenschappen heel verschillend van vorm kunnen zijn! De vraag is dus of dit niet handiger kan. Het antwoord op deze vraag is ja, maar daarvoor moeten we wel eerst wat werk verrichten.

Bakje Dakje

Notatie ⊔ en ⊓

Om te beginnen gaan we op zoek naar overeenkomsten in de drie gegeven voorbeelden. Een eerste overeenkomst is dat we in alle drie de gevallen te maken hebben met een verzameling met daarop twee bewerkingen. We gaan nu in het algemeen naar verzamelingen met twee binaire bewerkingen kijken. Omdat we ons niet vast willen leggen op een specifiek voorbeeld, gebruiken we nieuwe tekens voor deze bewerkingen: ⊔ en ⊓. De namen die we voor deze tekens gebruiken, zijn respectievelijk bakje en dakje. Dus we lezen a ⊔ b als ‘a bakje b’. Met behulp van deze tekens kunnen we nu bijvoorbeeld de associatieve eigenschappen noteren: a ⊔ (b ⊔ c) = (a ⊔ b) ⊔ c a ⊓ (b ⊓ c) = (a ⊓ b) ⊓ c Als we een formule in een concreet voorbeeld willen interpreteren, dan moeten we de betekenis van ⊔ en ⊓ vastleggen. Voor de drie tot nu toe gegeven voorbeelden zullen we dat steeds op de volgende manier doen: P(V) PL Schakelalgebra

⊔ interpreteren we als ∪, ⊓ als ∩ ⊔ interpreteren we als ∨, ⊓ als ∧ ⊔ interpreteren we als OF, ⊓ als EN

OPGAVE 6.7

Interpreteer de formule (a ⊔ b) ⊓ (b ⊔ c) in P(V), PL en schakelalgebra. We hebben geconstateerd dat we in alle drie de voorbeelden te maken hadden met een verzameling waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd. Vervolgens gaan we op zoek naar overeenkomstige eigenschappen van deze bewerkingen, dus naar formules opgebouwd met de connectieven ⊔ en ⊓, die – geïnterpreteerd in P(V), PL en schakelalgebra – steeds een ware uitspraak opleveren. Maar, zult u misschien opmerken, we wilden juist níet een hele lijst eigenschappen voor elk van deze verzamelingen bewijzen. We beperken ons daarom tot een paar basiseigenschappen.

37

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Andere eigenschappen kunnen we vervolgens rechtstreeks uit de basiseigenschappen afleiden, zonder gebruik te maken van onze kennis van een specifieke structuur. Het voordeel is dat een eigenschap die we op deze manier hebben afgeleid, bewezen is voor elk van onze drie voorbeelden, en bovendien voor alle andere structuren met bewerkingen die aan de basiseigenschappen voldoen. Het bepalen van de juiste basiseigenschappen is een vak apart. Op de vraag waarom we juist die eigenschappen kiezen die we hier geven, zullen we hier niet ingaan.

Axioma

DEFINITIE 6.1

Bewerkingen ⊔ en ⊓ in een verzameling T hebben de eigenschap commutativiteit, associativiteit, distributiviteit en absorptie als voor elke a, b en c uit T geldt:

Commutativiteit Associativiteit Absorptie Distributiviteit

a⊓b=b⊓a a ⊓ (b ⊓ c) = (a ⊓ b) ⊓ c a ⊔ (a ⊓ b) = a a ⊔ (b ⊓ c) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c)

a⊔b=b⊔a a ⊔ (b ⊔ c) = (a ⊔ b) ⊔ c a ⊓ (a ⊔ b) = a a ⊓ (b ⊔ c) = (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c)

We hebben al gezien dat commutativiteit en associativiteit gelden voor P(V). In leereenheid 5 (stelling 5.4 en 5.5) is bewezen dat distributiviteit en absorptie geldt voor P(V). In PL geldt niet dat ϕ ∧ ψ = ψ ∧ ϕ. Immers, deze formules zijn niet aan elkaar gelijk. Wel geldt ϕ ∧ ψ ⇔ ψ ∧ ϕ. Er geldt dus alleen een zwakkere vorm van voorgaande eigenschappen, waarbij we de gelijkheid vervangen door logische equivalentie ⇔. Hetzelfde geldt voor schakelalgebra’s: er geldt ook hier een zwakkere vorm van voorgaande eigenschappen, waarbij gelijkheid nu vervangen is door ≈. We geven een voorbeeld van een eigenschap die af te leiden is uit deze eigenschappen: (a ⊓ b) ⊓ (a ⊔ b) = a ⊓ b Hoe bewijzen we nu zo’n eigenschap? U herkent misschien een variant op absorptie: in de formule (a ⊓ b) ⊓ (a ⊔ b) = a ⊓ b is de absorptie-eigenschap b ⊓ (b ⊔ a) = b verwerkt. Voordat we absorptie toe kunnen passen, moeten we eerst haakjes verplaatsen (met de associatieve eigenschap) en volgordes verwisselen (met de commutatieve eigenschap). Het bewijs wordt nu: (a ⊓ b) ⊓ (a ⊔ b) = a ⊓ (b ⊓ (a ⊔ b)) = a ⊓ (b ⊓ (b ⊔ a)) =a⊓b

associativiteit commutativiteit absorptie

Wat hebben we nu bewezen in onze drie voorbeelden P(V), PL en schakelalgebra? Hiervoor hoeven we alleen de afgeleide eigenschap maar te interpreteren. We zetten de resultaten onder elkaar: P(V) PL Schakelalgebra

(A ∩ B) ∩ (A ∪ B) = A ∩ B ((ϕ ∧ ψ) ∧ (ϕ ∨ ψ)) ⇔ (ϕ ∧ ψ) (a EN b) EN (a OF b) ≈ a EN b

Als besluit van deze paragraaf geven we nog een ander voorbeeld van een verzameling met bewerkingen die voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1.

38

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

VOORBEELD 6.4 {0, 1} met ∧ en ∨

Op de verzameling waarheidswaarden {0, 1} uit de propositielogica kunnen we met behulp van de waarheidstabellen voor ∧ en ∨ twee bewerkingen definiëren. Om te laten zien dat deze bewerkingen voldoen aan de eigenschappen van definitie 6.1, maken we gebruik van standaardequivalenties van de propositielogica. Voor alle duidelijkheid: dit voorbeeld verschilt van voorbeeld 6.2. Daar definieerden we bewerkingen op de verzameling propositielogische formules, hier slechts op de verzameling {0, 1}. In dit voorbeeld staan variabelen dus niet voor formules, maar voor (waarheids)waarden 0 en 1. Toch kunnen we wel gebruik maken van de propositielogica. Omdat de commutatieve, associatieve, distributieve en absorptie-eigenschappen gelden voor propositielogische formules, gelden ze ook voor waarheidswaarden met bewerkingen ∨ en ∧. « In plaats van met behulp van de waarheidstabellen kunnen we de bewerkingen uit voorbeeld 6.4 ook als volgt definiëren: p ∧ q = min(p, q) p ∨ q = max(p, q)

(min(p, q) is het minimum van p en q) (max(p, q) is het maximum van p en q)

OPGAVE 6.8

Bepaal (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c) in: P(N); neem a = {0, 1, 2, ... , 10}, b = {x ∈Nx is even}, c = {x ∈Nx is een drievoud}. OPGAVE 6.9

Laat zien dat voor elke p, q en r uit {0, 1} geldt: a max(p, min(q, r)) = min(max(p, q), max(p, r)) b min(p, max(q, r)) = max(min(p, q), min(p, r)) OPGAVE 6.10 (Aanw)

In deze opgave onderzoeken we structuren met drie elementen a, b en c. De bewerkingen ⊔ en ⊓ zijn met behulp van een tabel vastgelegd. We geven twee varianten. Onderzoek in beide gevallen aan welke van de vier eigenschappen uit definitie 6.1 de bewerkingen voldoen. a

Variant a

⊓

a

b

c

⊔

a

b

c

a b c

a a a

a b b

a b c

a b c

a a b

a b c

b c c

b Variant b ⊓

a

b

c

⊔

a

b

c

a b c

a a a

a b b

a b c

a b c

a b c

b b c

c c c

OPGAVE 6.11

Ga na dat de absorptie-eigenschappen a OF (a EN b) ≈ a en a EN (a OF b) ≈ a gelden voor schakelalgebra’s.

39

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

6.2.3

NUL- EN ÉÉNELEMENT EN COMPLEMENT

Met de bewerkingen ⊔ en ⊓ kunnen we maar een deel van de structuur, die we in P(V) of PL hebben, beschrijven.We zijn nog niet in staat om bijvoorbeeld complementen of negaties weer te geven. Daarom bestuderen we in deze paragraaf verzamelingen met speciale elementen en een extra bewerking. In P(V) kunnen we twee speciale elementen aanwijzen: de kleinste deelverzameling ∅ en de grootste deelverzameling V. Kunnen we met behulp van de bewerkingen ∩ en ∪ uitdrukken dat ∅ de kleinste en V de grootste deelverzameling is? De doorsnede van twee verzamelingen is kleiner dan de afzonderlijke verzamelingen of eventueel gelijk aan een van beide. De eigenschap dat voor elke deelverzameling A geldt dat A ∩ ∅ = ∅, karakteriseert dus dat ∅ de kleinste deelverzameling is. OPGAVE 6.12

Formuleer een vergelijkbare eigenschap die karakteriseert dat V de grootste deelverzameling in P(V) is. Ook in PL kennen we twee bijzondere proposities: de propositie ⊥ met de eigenschap dat voor elke propositie p geldt: p ∧ ⊥ ⇔ ⊥, en de propositie ⊤ met de eigenschap dat voor elke propositie p geldt: p ∨ ⊤ ⇔ ⊤. Dit is de aanleiding voor de volgende definitie van twee speciale elementen die we nul- en éénelementen noemen. Nulelement Éénelement

DEFINITIE 6.2

Een nulelement 0 in een verzameling B is een element met de volgende eigenschap: voor elke a uit B geldt: a ⊓ 0 = 0. Een éénelement 1 in een verzameling B is een element met de volgende eigenschap: voor elke a uit B geldt: a ⊔ 1 = 1. Om nul- en éénelement te onderscheiden van de getallen 0 en 1, gebruiken we de cursieve 0 en 1. Ook een schakelalgebra heeft dit soort speciale elementen: uit de tabellen voor de EN- en OF-poort kunt u aflezen dat het signaal 1 een éénelement en het signaal 0 een nulelement is. In P(V) is het nulelement gelijk aan ∅ en het éénelement gelijk aan V. In de verzameling {0, 1} uit voorbeeld 6.4 is het nulelement gelijk aan 0 en het éénelement gelijk aan 1.

OPGAVE 6.13 (Aanw)

De verzameling B heeft bewerkingen ⊓ en ⊔ die voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1, en een nul- en éénelement. Laat zien dat de volgende eigenschappen gelden voor elk element a uit B: a 0⊔a=a b a⊔0=a c 1⊓a=a d a⊓1=a

40

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

Naast de twee bewerkingen doorsnede en vereniging hebben we op P(V) ook nog de beschikking over de bewerking die aan een verzameling zijn complement ten opzichte van V toevoegt. Net zoals we ∅ en V konden karakteriseren met behulp van doorsnede en vereniging, kunnen we ook het complement karakteriseren met behulp van doorsnede, vereniging, ∅ en V. Immers, voor het complement Ac van een verzameling A geldt: A ∪ Ac = V en A ∩ Ac = ∅. Met behulp van deze twee eigenschappen hebben we het complement ook precies vastgelegd. We definiëren nu het begrip complement. Complement

DEFINITIE 6.3

In een verzameling met 0 en 1 is een element a' complement van het element a als geldt: a ⊔ a' = 1

en

a ⊓ a' = 0

In P(V) heeft elke deelverzameling precies één complement ten opzichte van V. We kunnen ons nu afvragen of elke verzameling met nul- en éénelement het geval is. We stellen dan twee vragen: 1 Heeft elk element een complement? 2 Kan een element ook twee verschillende complementen hebben? De tweede vraag zullen we beantwoorden in stelling 6.1. Opgave 6.14 gaat over de eerste vraag. OPGAVE 6.14

Deze opgave gaat over de structuur uit opgave 6.10b. a Bepaal het nul- en het éénelement in deze structuur. b Laat zien dat niet elk element een complement heeft. De eerste vraag moeten we dus ontkennend beantwoorden: niet elk element hoeft een complement te hebben. We komen nu terug op de tweede vraag die we stelden, namelijk of een complement uniek is. STELLING 6.1

Laat B een verzameling zijn met bewerkingen ⊓ en ⊔ die voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1. Als B een nul- en éénelement heeft, dan heeft elk element hoogstens één complement. Bewijs Laat a een element van B zijn. Stel dat a twee verschillende complementen a' en a" heeft. We tonen aan dat uit de definitie van complement volgt dat a' en a" aan elkaar gelijk zijn, en hebben dan een tegenspraak met onze aanname afgeleid. Er geldt: a' = a' ⊓ 1 = a' ⊓ (a ⊔ a") = (a' ⊓ a) ⊔ (a' ⊓ a") = (a ⊓ a') ⊔ (a' ⊓ a") = 0 ⊔ (a' ⊓ a") = a' ⊓ a"

zie opgave 6.13 definitie complement a" distributiviteit commutativiteit definitie complement a' zie opgave 6.13

Als we in dit bewijs a' en a" verwisselen, dan vinden we dat a" = a" ⊓ a'.

41

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Met de commutativiteit volgt dat a" = a' ⊓ a". Omdat we ook al hadden aangetoond dat a' = a' ⊓ a", kunnen we concluderen dat a'= a". Het complement is uniek. □ Notatie

Boolealgebra

DEFINITIE 6.4

Omdat elk element hoogstens één complement heeft, kunnen we hier een aparte notatie voor gebruiken. We geven het complement weer met een streep boven het element: a is het complement van a. We hebben gezien dat P(V) een verzameling is met bewerkingen ⊓ en ⊔ die voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1, dat P(V) een nul- en éénelement heeft, en dat elk element van P(V) een complement heeft. Zo’n verzameling noemen we een boolealgebra (spreek uit: boel-algebra). Een verzameling B met bewerkingen ⊓ en ⊔ is een boolealgebra als i de bewerkingen ⊓ en ⊔ voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1 ii B een nul- en éénelement heeft iii elk element in B een complement heeft. We zetten de eigenschappen waaraan een verzameling B met bewerkingen ⊓ en ⊔ moet voldoen om een boolealgebra te zijn, nog eens onder elkaar:

commutativiteit associativiteit absorptie distributiviteit Nulelement Éénelement Complement

a⊓b=b⊓a a ⊓ (b ⊓ c) = (a ⊓ b) ⊓ c a ⊔ (a ⊓ b) = a a ⊔ (b ⊓ c) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) a⊓0=0 a⊔1=1 a ⊔ a = 1 én a ⊓ a = 0

a⊔b=b⊔a a ⊔ (b ⊔ c) = (a ⊔ b) ⊔ c a ⊓ (a ⊔ b) = a a ⊓ (b ⊔ c) = (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c)

U bent al een aantal voorbeelden van boolealgebra’s tegengekomen. De belangrijkste zetten we in tabel 6.1 bij elkaar. Hoewel de verzameling propositielogische formules PL en een schakelalgebra in strikte zin geen boolealgebra vormen (we hebben steeds te maken met equivalentie tussen formules of schakelingen in plaats van gelijkheid) vermelden we deze verzameling toch in de tabel. Voorbeelden van boolealgebra’s

TABEL 6.1 verzameling

P((V)

PL

schakelalgebra’s

⊔

∪

∨

OF

⊓

∩

∧

EN

1 0 complement

V ∅ Ac

⊤ ⊥ ¬ϕ

1 0 NIET

OPGAVE 6.15

Laat zien dat de verzameling {0, 1} met bewerkingen ∨ en ∧ (zie voorbeeld 6.4) een boolealgebra is.

42

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

George Boole, 1815-1864

Nieuwe wiskundes, de algebra van Boole In de loop van de 19-de eeuw vonden in de wiskunde een aantal ingrijpende veranderingen plaats. In de algebra bijvoorbeeld, waren eeuwenoude tradities niet langer heilig. William Rowan Hamilton (1805-1865) vroeg zich bijvoorbeeld af ‘wat voor algebra of rekenkunde we krijgen als we aannemen dat a × b niet gelijk is aan b × a’. De algebra zou op een veel algemenere en abstractere wijze benaderd worden als tot dan toe het geval was geweest. In deze ontwikkeling past ook het werk van de Britse logicus George Boole, die leefde van 1815 tot 1864. Boole baseerde zijn ideeën op het werk van George Peacock (1791-1858) die onderscheid maakte tussen rekenkundige en symbolische algebra. Ook voor Boole hoefden de symbolen niet meer voor getallen of specifieke bewerkingen te staan. De wiskunde bevrijdde zich zo van de inhoud die ze tot dan toe had. Volgens Boole was de essentie van de wiskunde niet zozeer de inhoud als wel de vorm, de structuur. Hij publiceerde zijn ideeën in Mathematical Analyses of Logic uit 1847 en in zijn veel bekendere Investigation of the laws of thought uit 1854, waarin hij zowel de formele logica als een nieuwe algebra ontwierp. In zijn systeem gaf hij met de letters x, y, z, ... deelverzamelingen weer van een universele verzameling; deze universele verzameling gaf hij aan met het symbool 1; de lege verzameling gaf hij weer met het symbool 0. De vereniging van twee deelverzamelingen noteerde hij als x + y (bij de vereniging ging hij ervan uit dat x en y geen (!) gemeenschappelijke elementen mogen hebben), de doorsnede als x × y (of x ⋅ y of xy) en de gelijkheid van verzamelingen gaf hij weer met het teken =. In dit systeem gelden de vijf fundamentele wetten van de algebra, want x + y = y + x, xy = yx, x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z en x(y + z) = xy + xz. Maar de algebra van Boole voldoet niet aan alle regels van de algebra waarin x, y en z getallen voorstellen, want er geldt bijvoorbeeld voor elke verzameling dat x ⋅ x = x. Ook volgt uit zx = zy (waar z niet de lege verzameling is) niet dat x = y, noch is het zo dat x of y de lege verzameling moet zijn als xy = 0. Tegenwoordig worden de ideeën van Boole op vele terreinen toegepast, maar het heeft toch bijna een eeuw (!) geduurd voordat zijn theorie pas echt werd gebruikt, namelijk in de schakelalgebra van Shannon uit 1936. Boole’s notaties zijn inmiddels wel enigszins gewijzigd, maar de beginselen van zijn theorie hebben standgehouden. 6.2.4

EIGENSCHAPPEN VAN BOOLEALGEBRA’S

Alle eigenschappen die we in deze paragraaf afleiden, gelden voor elke boolealgebra. We onderzoeken eerst eigenschappen van het complement. In een boolealgebra heeft elk element precies één complement. Deze stelling kunnen we gebruiken bij het afleiden van andere eigenschappen. De Morgan

De regels van De Morgan zijn: a ⊓ b = a ⊔ b en a ⊔ b = a ⊓ b . We bewijzen de eerste regel: a ⊓ b = a ⊔ b . Deze regel zegt dat a ⊔ b het complement is van a ⊓ b. We kunnen nu gebruikmaken van stelling 6.1. Als we namelijk aantonen dat a ⊔ b voldoet aan de definiërende eigenschappen van het complement van a ⊓ b, dan moet a ⊔ b wel gelijk zijn aan het complement van a ⊓ b, omdat dit complement uniek was. Kijk voor deze definiërende eigenschappen nog eens terug naar definitie 6.3.

43

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

We moeten dus laten zien: a (a ⊓ b) ⊓ ( a ⊔ b ) = 0 b (a ⊓ b) ⊔ ( a ⊔ b ) = 1 Bewijs van regel a

Bewijs van regel b:

(a ⊓ b) ⊓ ( a ⊔ b ) = ((a ⊓ b) ⊓ a ) ⊔ ((a ⊓ b) ⊓ b ) = ((b ⊓ a) ⊓ a ) ⊔ ((a ⊓ b) ⊓ b ) = (b ⊓ (a ⊓ a )) ⊔ (a ⊓ (b ⊓ b )) = (b ⊓ 0) ⊔ (a ⊓ 0) =0⊔0 =0

distributiviteit commutativiteit associativiteit (tweemaal) definitie complement definitie 0 opgave 6.13

(a ⊓ b) ⊔ ( a ⊔ b ) = ( a ⊔ b ) ⊔ (a ⊓ b) = (( a ⊔ b ) ⊔ a) ⊓ (( a ⊔ b ) ⊔ b) = (( b ⊔ a ) ⊔ a) ⊓ (( a ⊔ b ) ⊔ b) = ( b ⊔ ( a ⊔ a)) ⊓ ( a ⊔ ( b ⊔ b)) = ( b ⊔ (a ⊔ a )) ⊓ ( a ⊔ (b ⊔ b )) = ( b ⊔ 1) ⊓ ( a ⊔ 1) =1⊓1 =1

commutativiteit distributiviteit commutativiteit associativiteit (tweemaal) commutativiteit (tweemaal) definitie complement definitie 1 opgave 6.13

Hiermee is het bewijs geleverd. Het bewijs van de tweede regel, a ⊔ b = a ⊓ b , verloopt analoog. Ook de volgende eigenschap kent u uit de logica en verzamelingenleer: Dubbel complement

a =a

Het bewijs van deze regel vragen we u in opgave 6.16. We sluiten deze paragraaf af met nog een eigenschap die geldig is in boolealgebra’s. a⊓a=a

en

a⊔a=a

We bewijzen a ⊓ a = a. Hoe pakken we dit aan? De enige regels waarbij a als term rechts van het gelijkteken voorkomt, zijn de absorptieregels, de regels uit opgave 6.13 en de regel voor het dubbel complement.

Idempotentie

De laatste regels lijken niet direct bruikbaar. Een absorptieregel zouden we toe kunnen passen als we in a ⊓ a = a de tweede a kunnen vervangen door iets van de vorm (a ⊔ ...). Dit kan met behulp van opgave 6.13: a ⊔ 0 = a. We kunnen nu het bewijs opschrijven: a⊓a = a ⊓ (a ⊔ 0) =a

opgave 6.13 absorptie

Het bewijs dat a ⊔ a = a, gaat analoog. OPGAVE 6.16 (Aanw)

Bewijs de regel voor het dubbel complement: a = a.

44

Leereenheid 6 Boolealgebra’s

OPGAVE 6.17

Vereenvoudig (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ b ). Interpreteer dit resultaat in PL en P(V). OPGAVE 6.18 (Aanw)

Gegeven is de verzameling {a, b, c, d}. Laat zien dat hierop precies één boolealgebra gedefinieerd kan worden met 0 = a en 1 = d. OPGAVE 6.19

Welke schakelingen zijn equivalent op grond van de regels van De Morgan? Teken deze schakelingen. OPGAVE 6.20

Vereenvoudig de volgende schakeling (zie figuur 6.10).

FIGUUR 6.10

SAMENVATTING

Een Boolealgebra is een verzameling B met nulelement, éénelement, complementen en twee bewerkingen ⊔ en ⊓, waarin de volgende eigenschappen gelden: a⊓b=b⊓a a ⊓ (b ⊓ c) = (a ⊓ b) ⊓ c a ⊔ (a ⊓ b) = a a ⊔ (b ⊓ c) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c)

a⊔b=b⊔a a ⊔ (b ⊔ c) = (a ⊔ b) ⊔ c a ⊓ (a ⊔ b) = a a ⊓ (b ⊔ c) = (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c)

commutativiteit associativiteit absorptie distributiviteit

Het nulelement 0 heeft de eigenschap dat voor elke a uit B geldt: a ⊓ 0 = 0. Het éénelement 1 heeft de eigenschap dat voor elke a uit B geldt: a ⊔ 1 = 1. In een boolealgebra is het element a complement van het element a als geldt: a⊔ a =1

en

a⊓ a =0

In een boolealgebra heeft elk element precies één complement. Eigenschappen van boolealgebra’s: 0⊔a=a

a⊔0=a a =a ab = a ⊓ b

a⊔a=a

45

1⊓a=a

a⊓1=a aab = a ⊔ b

a⊓a=a

dubbel complement De Morgan idempotentie

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Voorbeelden van boolealgebra’s (PL en de schakelalgebra’s zijn geen echte boolealgebra’s, maar gedragen zich wel als zodanig, als we overal in plaats van gelijkheid equivalentie lezen): verzameling

P((V)

PL

schakelalgebra’s

⊔

∪

OF

⊓

∩

1 0 complement

V ∅ Ac

∨ maximum ∧ minimum ⊤ ⊥ ¬ϕ

EN 1 0 NIET

ZELFTOETS

1

Bepaal ( a ⊔ b) ⊓ a in: P(N), neem a = {xx is een drievoud}, b = {xx is even}.

2

Bewijs dat in een boolealgebra de volgende eigenschap geldt: (a ⊓ b ) ⊔ (b ⊓ a ) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊓ b) Interpreteer deze eigenschap in P(V).

3

Toon aan dat een boolealgebra precies één éénelement heeft.

4

Toon aan dat de volgende twee schakelingen equivalent zijn.

FIGUUR 6.11

46

Inhoud leereenheid 7

Grafen Introductie Leerkern Enkele grafische structuren Wat is een graaf? Wandelen in een graaf 7.3.1 Wandelingen 7.3.2 Paden 7.3.3 Cykels 7.3.4 Routes waarin elke lijn precies eenmaal voorkomt 7.4 Gerichte grafen 7.1 7.2 7.3

Samenvatting Zelftoets

48

Leereenheid 7

Grafen

INTRODUCTIE

In deze leereenheid bekijken we verzamelingen van punten en verbindingen tussen die punten. Deze vormen de basis van de grafentheorie, een explosief groeiend vakgebied binnen de wiskunde met toepassingen in velerlei, zeer verscheiden gebieden, waaronder de informatica en de besliskunde. Een karakteristiek kenmerk van de grafentheorie is de grote aanschouwelijkheid ervan. Dit blijkt al uit het volgende voorbeeld. Stel we willen met de trein van A naar B. Op de informatieborden op het station vindt u een gestileerde kaart van het spoorwegnet van Nederland. Op deze kaart staan alleen de stations en de railverbindingen met daarbij de nummers van de tabellen waar de dienstregeling gevonden kan worden, zie figuur 7.1 voor een fragment van deze kaart.

FIGUUR 7.1 Een gedeelte van het Bron: Spoorboekje Nederlandse Spoorwegen

spoorwegnet van Nederland

Als het ons er slechts om te doen is uit te vinden op wélke manieren we van A naar B kunnen komen, dan hoeven we alleen het patroon van stations en verbindingen te kennen. In figuur 7.2 zien we een plaatje waarin de stations met punten (voor de duidelijkheid getekend als kleine cirkeltjes) en de railverbindingen met lijnen zijn weergegeven. Zo’n structuur van punten en verbindende lijnen noemen we een graaf.

FIGUUR 7.2

49

De graaf van een stukje spoorwegnet

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

In figuur 7.3 zien we een ander plaatje van dezelfde graaf. Hierin hebben we geen rekening gehouden met de precieze geografische ligging van de stations. Die doet namelijk niet ter zake voor het vinden van bijvoorbeeld alle mogelijke routes van Hilversum naar Den Dolder in dit stukje van het spoorwegnet. In een graaf gaat het niet om de ligging van de punten ten opzichte van elkaar, maar zuiver en alleen om het al of niet bestaan van verbindende lijnen tussen de punten.

FIGUUR 7.3

Een ander plaatje van dezelfde graaf

Kenmerkende vragen voor de grafentheorie zijn: welke verschillende routes zijn er van punt A naar punt B, wat is de kortste route van A naar B, is er een route te vinden die elk punt van de graaf precies éénmaal passeert, is er een route te vinden die elke lijn precies éénmaal doorloopt? Ga zelf na dat beide laatste vragen voor de graaf van figuur 7.3 ontkennend beantwoord moeten worden. Deze vragen zijn voor een spoorwegnet natuurlijk van weinig belang, maar we zullen in het vervolg voorbeelden zien van problemen waar de oplossing juist bestaat uit het beantwoorden van zulk soort vragen. In de volgende leereenheid zult u ook zien dat grafen door hun aanschouwelijk karakter snel inzichten kunnen verschaffen. In die leereenheid gebruiken we grafen om plaatjes te tekenen van relaties of functies. Deze leereenheid bestaat voornamelijk uit het introduceren van een aantal grondbegrippen uit de grafentheorie. Na een definitie van een begrip volgen meestal nog een aantal bijbehorende termen. Zo zullen we een woordenschat ontwikkelen waarmee we elementaire grafentheoretische problemen kunnen formuleren. Onder andere zullen we het voornoemde idee van het vinden van routes in een graaf nader uitwerken. In deze leereenheid zult u ook enkele grafentheoretische stellingen en bewijzen tegenkomen. Een bewijs is een sluitende redenering om uzelf en een ander te overtuigen van de juistheid van een stelling. De manier van redeneren in de grafentheorie is misschien heel anders dan u gewend bent. Daarom worden de belangrijkste stappen in de bewijzen steeds in de marge samengevat, om zo de structuur van de redenering duidelijk te maken. LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – de definities van de grondbegrippen van de grafentheorie, voorzover in deze leereenheid behandeld, kunt geven en toepassen – een pad van u naar v kunt vinden in een wandeling van u naar v

50

Leereenheid 7 Grafen

– de in deze leereenheid behandelde stellingen kunt formuleren en bewijzen en eenvoudige vergelijkbare stellingen kunt bewijzen (stelling 7.3 moet u wel kunnen formuleren, maar hoeft u niet te kunnen bewijzen) – in een gerichte graaf een gericht pad tussen twee punten kunt vinden. Studeeraanwijzing Het aanschouwelijke karakter van de grafentheorie kunnen we uitstekend benutten om de intuïtie te ontwikkelen en de argumenten en redeneringen in de bewijzen te volgen. Houd daarom kladpapier en potlood bij de hand en maak bij het bestuderen van de definities, voorbeelden, stellingen en bewijzen steeds plaatjes van de bijbehorende grafen. LEERKERN 7.1

Enkele grafische structuren

Voor we het begrip graaf precies definiëren, zullen we eerst nog enkele voorbeelden bekijken van structuren die met een graaf gerepresenteerd kunnen worden. Stamboom

VOORBEELD 7.1

Een stamboom kunnen we opvatten als een graaf. De punten zijn de stamhouder of stamhoudster en zijn of haar nakomelingen. Twee punten zijn verbonden door een lijn als het ene punt een ouder is van het andere (zie figuur 7.4). De graad van verwantschap tussen twee personen kunnen we eenvoudig uit de boom aflezen: A is n-degraads familie van B als we in n stappen van A naar B kunnen lopen door langs lijnen van punt naar punt te stappen. Merk op dat we zo van elk punt naar elk ander punt kunnen lopen, maar dat we niet een ‘rondje’ kunnen lopen.

FIGUUR 7.4

Een stamboom met bijbehorende graaf

Ook wiskundige structuren kunnen we op grafische wijze analyseren. Een voorbeeld is het volgende. Deelverzamelingen

VOORBEELD 7.2

We beschrijven dit voorbeeld voor het algemene geval, maar we adviseren u het alleen uit te werken aan de hand van het geval in figuur 7.5.

51

«

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Zij X een verzameling met n elementen. We stellen elke deelverzameling van X voor door een punt en we trekken een pijl van het punt van deelverzameling A naar het punt van deelverzameling B als A een deelverzameling is van B met precies één element minder dan B. Zo krijgen we wat we een gerichte graaf noemen. De gerichte graaf van de deelverzamelingen van X = {a, b, c} zien we in figuur 7.5. Er geldt nu dat C een deelverzameling is van B dan en slechts dan als we langs pijlen van C naar B kunnen lopen. Zo kunnen we van C = {c} via {a, c} naar B = {a, b, c} lopen. Het aantal elementen van B is precies gelijk aan het aantal stappen dat we nodig hebben om langs pijlen van ∅ naar B te lopen. Probeer dit uit voor de verzameling {b, c}.

FIGUUR 7.5

Besliskunde Logistiek

VOORBEELD 7.3

De gerichte graaf van de deelverzamelingen van {a, b, c}

«

We besluiten deze paragraaf met een toepassing in de besliskunde, en wel in de logistiek. Stel het heeft geijzeld en we sturen een pekelwagen erop uit om de straten in een stadswijk te strooien. Dit strooien moet zo snel en efficiënt mogelijk gebeuren om gevaarlijke situaties en ongemak te minimaliseren. Dat wil zeggen dat de pekelwagen zo min mogelijk door straten moet rijden waar hij al eerder langs geweest is en al gestrooid heeft.

52

Leereenheid 7 Grafen

De stadsdeelraad schakelt een grafentheoreticus in om een optimale route voor de pekelwagen te ontwerpen. Deze gaat als volgt te werk. Van het stratenplan van de straten die gestrooid moeten worden, maakt zij een graaf: de kruispunten worden de punten van de graaf en de straatstukken tussen deze punten worden de lijnen van de graaf. Nu moet zij een zo kort mogelijke route door de graaf zoeken die elke lijn ten minste éénmaal bevat. Als het om een ingewikkeld stratenplan gaat, dan zal zij haar oplosmethode programmeren en de oplossing met behulp van een computer construeren. Een stukje van de benodigde grafentheorie zullen we in paragraaf 7.3 tegenkomen. Deze toepassing van de grafentheorie is daadwerkelijk gebruikt voor het vinden van optimale routes voor strooiploegen in grote steden in Europa. In de introductie stelden we de vraag naar het al of niet bestaan van een route in een graaf die elke lijn precies eenmaal bevat. Voor een spoorwegnet leek dit meer op een spelletje dan op een serieuze vraag. Maar nu blijkt het te gaan om de vraag of er een route voor de strooiploeg bestaat waarbij ze nooit langs reeds gestrooide wegen hoeft te rijden. Bij zo’n route is de strooiploeg natuurlijk het snelst klaar. « 7.2

Wat is een graaf?

Bij de voorgaande voorbeelden ging het steeds om een verzameling objecten (stations, familieleden, deelverzamelingen, kruispunten) waarbij tussen twee objecten al dan niet een relatie bestond (respectievelijk in de vorm van een spoorverbinding, de ouder-kind-relatie, de inclusie van deelverzamelingen, een verbindende straatweg). In een plaatje konden we dat heel sprekend weergeven met punten (kleine cirkeltjes) die al dan niet door lijnen of pijlen verbonden zijn. Zo verkregen we respectievelijk grafen en gerichte grafen. De laatste komen in paragraaf 7.4 aan de orde. We beperken ons nu eerst tot de ‘gewone’, dus ongerichte grafen. Graaf Punt Lijn

DEFINITIE 7.1

Een graaf G bestaat uit een eindige niet-lege verzameling V, waarvan de elementen punten heten, en een verzameling E bestaande uit deelverzamelingen van V met twee punten. De elementen van E worden lijnen genoemd.

Notatie

We noteren de graaf G met puntenverzameling V en lijnenverzameling E ook wel met (V, E), dus G = (V, E). De reden dat we hier kiezen voor de notatie V en E is dat dit in de Engelse literatuur vrij algemeen gebeurt. In het Engels wordt dan een punt ‘vertex’ genoemd en een lijn ‘edge’. Dit gebruik vindt zijn oorsprong in het feit dat in de vorige eeuw grafen ook bestudeerd werden als de hoekpunten (Engels: vertices) en ribben (Engels: edges) van een veelvlak. Overigens komen ook andere benamingen en notaties in de literatuur voor, zodat het altijd goed is bij het raadplegen van een boek of artikel over grafentheorie eerst even na te gaan welke terminologie de schrijver gebruikt.

Puntenverzameling Lijnenverzameling

VOORBEELD 7.4

De graaf G in figuur 7.6a heeft als puntenverzameling {p, q, r, s, t}. We noteren de lijn {p, r} tussen p en r voor het gemak met pr, enzovoort. Zo wordt de lijnenverzameling {pr, ps, pt, qs, qt, rt}. In figuur 7.6b zien we nog een plaatje van G. In dit plaatje snijden de lijnen pr en qs elkaar, maar dankzij onze afspraak om de punten van de graaf met kleine cirkeltjes weer te geven, zullen we dit snijpunt niet als een punt van G lezen.

53

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Het snijpunt heeft dus in G geen enkele betekenis. Dit geldt ook voor de overige snijpunten. Dat beide figuren plaatjes van dezelfde graaf zijn, kunnen we controleren door in beide plaatjes na te gaan of dezelfde punten met elkaar verbonden zijn. Inderdaad is p zowel in figuur 7.6a als figuur 7.6b verbonden met r, t en s en niet met q, enzovoort. Ga dit na.

FIGUUR 7.6

Twee plaatjes van dezelfde graaf

«

OPGAVE 7.1

Geef van de grafen in figuur 7.7 de puntenverzameling en de lijnenverzameling.

FIGUUR 7.7

Twee grafen Om het spreken over grafen te vergemakkelijken, voeren we een aantal termen in. Als u en v punten zijn en {u, v} is een lijn, dan noteren we deze lijn, net als in voorbeeld 7.4, voortaan met uv, of, wat natuurlijk ook kan, met vu. We zeggen dat lijn uv de punten u en v verbindt. We noemen u en v de uiteinden van de lijn uv, en we zeggen dat u en v buren van elkaar zijn, of dat de punten u en v incident zijn met de lijn uv. Of nog anders gezegd, er bestaat een incidentie tussen punt u en lijn uv. Het lijkt op het eerste gezicht overbodig om verschillende termen in te voeren voor het zelfde verschijnsel, maar soms is de ene term handiger en soms de andere. Een bijkomend voordeel is dat men de term kan kiezen die het dichtst bij de eigen intuïtie aansluit, waardoor het gemakkelijker is het begrip te onthouden en er mee te werken. Deze rijkdom aan taal is ook een kenmerk van de grafentheorie.

Verbinden Uiteinde Buur Incident Incidentie

VOORBEELD 7.5

In de graaf van figuur 7.6 zijn p en r uiteinden van de lijn pr, zijn r, s, en t de buren van p, zijn q en t incident met qt, en is punt s betrokken bij twee incidenties, namelijk met de lijnen ps en qs. «

54

Leereenheid 7 Grafen

OPGAVE 7.2

Beantwoord de volgende vragen voor de graaf uit figuur 7.6. a Wat zijn de buren van s, en wat die van t ? b Bij hoeveel incidenties is punt t betrokken? c Hoeveel incidenties zijn er in totaal in de graaf? d Ziet u een relatie tussen het totaal aantal incidenties en het aantal lijnen in deze graaf? We hebben nogal de nadruk gelegd op het belang van het tekenen van plaatjes, die een goede leidraad zijn voor onze intuïtie. Maar niet elk plaatje is even goed ‘leesbaar’. Zo kunnen veel snijpunten die leesbaarheid negatief beïnvloeden. In figuur 7.6 is het linkerplaatje veel overzichtelijker dan het rechterplaatje. Van grotere grafen is het vaak niet mogelijk om een goed leesbaar plaatje te tekenen. Ook voor het ‘goed’ tekenen van grafen is inmiddels de nodige theorie en programmatuur ontwikkeld. OPGAVE 7.3

Teken een plaatje van de graaf G' met {1, 2, 3, 4, 5} als puntenverzameling en waarin twee punten i en j zijn verbonden als ze ten minste 2 verschillen. Zo is punt 2 verbonden met de punten 4 en 5 maar niet met de punten 1 of 3. In opgave 7.2 werd gevraagd het totaal aantal incidenties in de graaf van figuur 7.6 te tellen. Waarschijnlijk heeft u dat gedaan door per punt het aantal incidenties te tellen. Zo komen we tot het volgende begrip. Graad

DEFINITIE 7.2

Zij G = (V, E) een graaf. De graad d(v) van een punt v van G is het aantal incidenties waarbij v betrokken is.

OPGAVE 7.4

Bepaal de graden van de punten van de grafen in figuur 7.7. Merk op dat de graad van v gelijk is aan het aantal buren van v. Een punt met graad nul noemen we een geïsoleerd punt, we kunnen zo’n punt nooit vanuit een ander punt langs lijnen bereiken. Een punt met graad 1 in een graaf heet een eindpunt. Zo zijn de punten onderin een stamboom eindpunten. En de beide grafen van figuur 7.7 hebben elk één eindpunt. We zijn nu zover dat we ons eerste, elementaire resultaat in de grafentheorie kunnen afleiden: de som van de graden van de punten in een graaf G is gelijk aan tweemaal het aantal lijnen in G. Deze relatie kwamen we al tegen in opgave 7.2d. In stelling 7.1 noteren we de som van de graden met het symbool Σ; indien u hier niet mee bekend bent, raadpleeg dan eventueel formule 11.1 en de toelichting erop.

Geïsoleerd punt Eindpunt

STELLING 7.1

In een graaf G = (V, E) geldt

∑ d(ν ) = 2 E

ν ∈V

55

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Het aantal incidenties vanuit de punten gezien Het aantal incidenties vanuit de lijnen gezien

Bewijs Om de stelling te bewijzen, tellen we het aantal incidenties in G op twee manieren. Eerst tellen we de incidenties uitgaande van de punten. Een punt v is bij d(v) incidenties betrokken, dus de som van de graden van alle punten levert het totale aantal incidenties in G op. Aan de andere kant is elke lijn bij twee incidenties betrokken, dus ook 2E geeft het aantal incidenties in G. Of we op de ene of de andere manier het aantal incidenties tellen, doet er niet toe. In beide gevallen moet het resultaat hezelfde zijn, dus is de som van de graden gelijk aan tweemaal het aantal lijnen. □ Uit deze stelling volgt dat de som van alle graden in een graaf altijd even is. Hoe zit het met de graden zelf?

OPGAVE 7.5

Probeer eens een graaf met 5 punten te tekenen waarvan alle graden even zijn en eentje waarvan alle graden oneven zijn. De som van alle graden, zoals volgt uit stelling 7.1, is een even getal, en is gelijk aan de som van de even graden en de oneven graden. De som van een willekeurig aantal even getallen is zelf even, dus de som van de even graden is even. Hieruit volgt dat de som van de oneven graden ook even moet zijn. Dit laatste kan alleen het geval zijn als er een even aantal punten is met oneven graad. Deze observatie vinden we belangrijk genoeg om haar als apart resultaat te formuleren. STELLING 7.2

Het aantal punten met oneven graad in een graaf is even.

OPGAVE 7.6

Teken een graaf met 6 punten, waarvan één met graad 5, één met graad 3 en alle overige met graad 4. OPGAVE 7.7

Teken een plaatje van de volgende graaf. Graaf H heeft als punten de deelverzamelingen van {1, 2, 3}, en twee deelverzamelingen verbinden we door een lijn als ze een lege doorsnede hebben.

Koningsbergen

Stel dat we in een stad met rivieren, grachten en bruggen het patroon van bruggen bestuderen. Dan kunnen we de door water omgeven stadsdelen met punten weergeven en elke brug door een lijn tussen de bijbehorende punten. In figuur 7.8 zien we een overzicht van het achttiende-eeuwse Koningsbergen met een eiland in de rivier de Pregel, die zich daarna splitst, en een zevental bruggen tussen de verschillende oevers. Een schematische weergave van de bruggen en de bijbehorende ‘bruggengraaf’ ziet u in figuur 7.9.

56

Leereenheid 7 Grafen

Leonhard Euler

FIGUUR 7.8

Koningsbergen in het begin van de achttiende eeuw

FIGUUR 7.9

Het schema van bruggen in Koningsbergen met bijbehorende ‘bruggengraaf’

Volgens overlevering vroegen de inwoners van het achttiende-eeuwse Koningsbergen zich af of het mogelijk was de zondagse wandeling zo in te richten dat men elk van de zeven bruggen in Koningsbergen precies één keer overstak. Men probeerde een oplossing te vinden door week in week uit een andere route uit te stippelen. De Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, geboren te Basel in 1707 en overleden te Sint Petersburg in 1783, hoorde van dit probleem en pakte het meteen systematisch aan door het probleem voor willekeurige patronen van eilanden en bruggen te analyseren. Euler is een van de meest productieve wiskundigen aller tijden. Zijn boeken, artikelen, manuscripten en brieven beslaan in de uitgave van zijn volledige werken een kleine 37 000 bladzijden. In 1736 verscheen van zijn hand in de Verhandelingen van de Keizerlijke Akademie van Wetenschappen van Sint Petersburg een artikel getiteld Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, hetgeen betekent ‘Oplossing van een probleem betreffende de meetkunde van positie’, waarin hij de analyse van het bruggenprobleem publiceerde. Euler gebruikte geen grafen bij zijn analyse. Hij zou dit ook niet gedaan kunnen hebben, want die werden pas een kleine anderhalve eeuw later, in 1878, door J.J. Sylvester ingevoerd. Overigens zij opgemerkt dat in de Tweede wereldoorlog het oude hart van Koningsbergen is verwoest. Na de oorlog is het grootste deel van Oost-Pruisen, waar Koningsbergen lag, bij de toenmalige Sovjetunie ingelijfd. Koningsbergen heet sindsdien Kaliningrad.

57

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Op de oplossing van het probleem voor willekeurige bruggengrafen komen we terug in paragraaf 7.3.4. PUZZEL (facultatief) Probeer eens, zonder alle mogelijke wandelingen te controleren, een argument te vinden waarom een wandeling in Koningsbergen, waarbij elke brug precies eenmaal wordt overgestoken, niet bestaat. 7.3

Wandelen in een graaf

Veel problemen in de grafentheorie of in de toepassingen ervan betreffen het van punt naar punt gaan langs lijnen in de graaf. We zagen dat al bij het ‘strooiploegenprobleem’. Voor het efficiënt oplossen van dit probleem is nog heel wat theorie vereist, veel meer dan we hier kunnen behandelen. Een aantal van de fundamentele begrippen die voor dit soort problemen nodig zijn, worden in deze paragraaf ingevoerd. De terminologie die we kiezen, sluit zoveel mogelijk aan bij het aanschouwelijke karakter van de grafentheorie. 7.3.1

WANDELINGEN

Hoe vertaalt een wandeling in Koningsbergen zich in een ‘wandeling’ in de bruggengraaf? We beginnen in een punt, steken een brug, dus een lijn, over naar een ander punt, enzovoort. Maak zo maar eens een wandeling in de bruggengraaf van figuur 7.9 die zeven bruggen bevat. We maken dus een rij van afwisselend punten en lijnen, waarbij elke lijn het vorige met het volgende punt verbindt. Wandeling

DEFINITIE 7.3

Lengte van een wandeling

Notatie

Een wandeling van v0 naar vk in een graaf G is een rij v0, e1, v1, e2, ..., ek, vk bestaande uit afwisselend punten en lijnen, waarin v0, v1, ..., vk punten en e1, e2, ..., ek lijnen zijn, waarbij vi–1 en vi de uiteinden zijn van de lijn ei, voor i = 1, 2, ..., k. Het getal k, dit is het aantal lijnen in de rij, is de lengte van de wandeling. Zij v0, e1, v1, e2, ..., ek, vk een wandeling in een graaf G. Omdat we ons verder beperken tot gewone grafen, dus zonder meervoudige lijnen, wordt elke lijn vastgelegd door haar uiteinden. Daarom kunnen we de wandeling van v0 naar vk ook noteren met v0 → v1 → v2 → ... → vk. De pijlen schrijven we tussen de punten om duidelijk aan te geven dat het hier om een wandeling gaat en niet om zomaar een rij punten of eventueel een verzameling. Merk op dat een punt of een lijn meerdere malen in de wandeling kan voorkomen.

VOORBEELD 7.6

FIGUUR 7.10

58

Vele mogelijkheden voor wandelingen van u naar v

Leereenheid 7 Grafen

We geven enkele wandelingen in de graaf van figuur 7.10. a u → a → b → c → d → v is een wandeling van u naar v met lengte 5 b u → c → b → a → c → d → v is een wandeling met lengte 6; merk op dat we het punt c tweemaal gebruikt hebben c u → a → b → c → a → b → v is een wandeling met lengte 6; merk op dat we de lijn tussen a en b tweemaal gebruikt hebben d u → a → b → v is een wandeling met lengte 3 e u → c → b → v → b → c → d → c → u is een wandeling met lengte 8 f v → b → a → c → d → v is een wandeling met lengte 5 « Zij v0 → v1 → v2 → ... → vk een wandeling in een graaf G. We noemen v0 het beginpunt en vk het eindpunt van de wandeling. De lengte van de wandeling is, plastisch gezegd, het aantal ‘stappen’ in de wandeling, waarbij een stap bestaat uit het langs een lijn naar het volgende punt van de wandeling gaan. Een lijn e = vw met haar uiteinden v en w kunnen we opvatten als een wandeling v, e, w = v → w bestaande uit één stap, dus met lengte 1, en een punt u kunnen we opvatten als een wandeling met lengte nul. Als in een wandeling met positieve lengte begin- en eindpunt hetzelfde punt van de graaf zijn, dan noemen we de wandeling een gesloten wandeling. Als begin- en eindpunt verschillend zijn of de lengte van de wandeling nul is, dan hebben we het over een open wandeling.

Beginpunt Eindpunt

Gesloten wandeling Open wandeling OPGAVE 7.8

Beschouw de graaf uit figuur 7.10. a Maak een wandeling van u naar v met lengte 8. b Bestaat er een wandeling van u naar v met lengte 2? c Welke van de wandelingen uit voorbeeld 7.6 zijn gesloten en welke open? Het is natuurlijk maar de vraag of er tussen elk tweetal punten van een graaf wel altijd een wandeling bestaat. Daarom gebruiken we de volgende begrippen. Samenhangend Onsamenhangend

DEFINITIE 7.4

Een graaf is samenhangend als er tussen elk tweetal punten van de graaf een wandeling bestaat en onsamenhangend als dat niet het geval is. Een onsamenhangende graaf bestaat uit een aantal samenhangende stukken, die we de componenten van de graaf noemen. Tussen twee componenten bestaat geen enkele verbinding. De graaf in figuur 7.11 is onsamenhangend en heeft vier componenten, waarvan er één een geïsoleerd punt is. Een andere manier om te zeggen dat een graaf samenhangend is, is dat de graaf maar één component heeft.

Component

VOORBEELD 7.7

FIGUUR 7.11

59

Een onsamenhangende graaf met vier componenten

«

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

7.3.2

PADEN

In een wandeling kunnen punten (en lijnen) vaker voorkomen. Wandelingen waarin dat niet gebeurt, spelen een speciale rol in de grafentheorie. Pad

DEFINITIE 7.5

Een pad in een graaf G is een wandeling waarin geen punt meer dan eenmaal voorkomt. Let wel, een pad is dus altijd open. Merk op dat, als punten niet vaker voorkomen, lijnen dan zeker niet vaker kunnen voorkomen. Uit de definities van pad en wandeling volgt dat de lengte van een pad het aantal lijnen is in het pad. Een pad met lengte k heeft dus k verschillende lijnen en k + 1 verschillende punten. Een lijn e = vw met haar uiteinden v en w kunnen we opvatten als een pad v, e, w = v → w met lengte 1, en een punt u kunnen we opvatten als een pad met lengte nul.

VOORBEELD 7.8

Een wandeling van u naar v bevat altijd een pad van u naar v.

Bekijk voorbeeld 7.6. Welke van de in dit voorbeeld genoemde wandelingen is een pad? Alleen die van a en d zijn paden. Daarbij is d een zogeheten kortste pad, want een pad met lengte 2 of korter tussen u en v bestaat niet. Merk op dat we uit wandeling b een pad kunnen maken door het stukje → b → a → c weg te snijden. We houden dan het pad u → c → d → v over. « In voorgaand voorbeeld zien we dat we, door eventueel stukken van de wandeling weg te laten, uit de wandeling van u naar v een pad van u naar v kunnen maken. Dit geldt altijd: een wandeling van u naar v bevat een pad van u naar v. In kleine voorbeelden zien we dat onmiddellijk, maar als de graaf heel groot is, dat wil zeggen: heel veel punten en lijnen heeft, dan kunnen we dat niet meer met het blote oog waarnemen. Om een pad in de wandeling te vinden, hebben we dan een procedure nodig die we kunnen volgen en zo nodig programmeren zodat we het vinden van het pad aan de computer kunnen overlaten. In de omgangstaal kunnen we zo’n procedure als volgt beschrijven: – begin in de wandeling v0, e1, v1, e2, ..., ek, vk te lopen vanuit het beginpunt v0 – zodra we in een punt aankomen waar we al een keer eerder waren, zeg vi = vj, dan snijden we het stuk van de wandeling tussen vi en vj weg (zie figuur 7.12), dat wil zeggen: we houden de wandeling v0 → v1 → v2 → ... → vi → vj+1 → ... → vk over – dit wegsnijden herhalen we waar nodig tot we in het eindpunt vk zijn aangeland.

FIGUUR 7.12

60

Wegsnijden van een stuk uit een wandeling

Leereenheid 7 Grafen

OPGAVE 7.9

Pas de hiervoor beschreven procedure toe om via wegsnijden een pad te maken uit de wandeling u → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 4 → 5 → 8 → 9 → 8 → 10 → 3 → 11 → 12 → 7 → 6 → v. Merk op dat we een pad van u naar v ook in omgekeerde richting kunnen doorlopen, waarmee we een pad van v naar u krijgen met dezelfde lengte. In veel situaties, als er sprake is van ‘tweerichtingsverkeer’, interesseert het ons niet of het pad dat we bekijken, een pad van u naar v of een pad van v naar u is. We spreken dan van een pad tussen u en v.

Pad tussen u en v

7.3.3

CYKELS

Bij wandelingen hebben we gesloten en open wandelingen. Een pad is een open wandeling waarin alle punten verschillend zijn. Gesloten wandelingen waarin alle punten verschillend zijn (behalve natuurlijk begin- en eindpunt), spelen, net als paden, een zeer belangrijke rol. Daarom krijgen ook zij een eigen naam: cykel, uit te spreken als siekel. In figuur 7.13 ziet u een plaatje van een cykel met lengte 3, één met lengte 4 en één met lengte 5.

FIGUUR 7.13

Cykel

DEFINITIE 7.6

De cykels met lengte 3, 4 en 5

Een cykel met lengte k in een graaf G is een gesloten wandeling v0 → v1 → ... → vk–1→ v0 met lengte k waarin de punten v0, v1, ..., vk–1 alle verschillend zijn en waarin alle lijnen verschillend zijn.

OPGAVE 7.10

Welke van de wandelingen in voorbeeld 7.6 is een cykel? Een cykel met lengte k heeft dus k verschillende punten en k verschillende lijnen. De lengte van een cykel is natuurlijk het aantal lijnen in de cykel. Een cykel met even lengte noemen we een even cykel en een cykel met oneven lengte een oneven cykel. OPGAVE 7.11

Geef in de graaf van figuur 7.10 een cykel aan met lengte 3, lengte 4, lengte 5 en lengte 6. Bestaat er in deze graaf ook een cykel met lengte 7? Volgens definitie 7.6 heeft de cykel v0 → v1 → ... → vk–1 → v0 een beginpunt v0 en een oriëntatie, aangegeven door de pijlen. Door in een ander punt te beginnen, krijgen we formeel een andere cykel, maar we lopen nog wel steeds hetzelfde ‘rondje’ in de graaf. Vandaar dat we dan toch van dezelfde cykel spreken. Net zoals bij paden zullen we in het geval van ‘tweerichtingsverkeer’ afzien van de oriëntatie van de cykel. We zagen hiervoor dat elke wandeling tussen u en v een pad tussen u en v bevat. Is het nu ook zo dat elke gesloten wandeling een cykel bevat?

61

We zien eenvoudig dat dit niet altijd het geval is. Neem maar een pad van u naar v, doorloop dat eerst van u naar v en dan in omgekeerde richting van v naar u. Dit is een gesloten wandeling die duidelijk geen cykel bevat. Algemener kunnen we gesloten wandelingen maken zonder cykels door nooit een ‘ommetje’ te maken en geregeld ‘op onze schreden terug te keren’. Bij zo’n wandeling gaan we na elke keer dat we door een lijn heen gaan ook een keer door die lijn terug. Dus elke lijn komt een even aantal keren in zo’n wandeling voor, zodat de wandeling een even lengte heeft. Hoe zit dat met gesloten wandelingen met oneven lengte? Merk op dat het bewijs van de volgende stelling niet alleen een redenering is om ons van de juistheid van de stelling te overtuigen. Het is ook een beschrijving van een procedure om in een gesloten wandeling met oneven lengte daadwerkelijk een oneven cykel te vinden. Het bewijs van stelling 7.3 behoort niet tot de tentamenstof. We raden u aan het toch door te nemen om uw vaardigheid te vergroten in het leveren van elementaire bewijzen. STELLING 7.3

Loop tot een punt waar u eerder was. Stuk tussen eerste en tweede bezoek aan dit punt is gesloten wandeling. Als oneven, dan oneven cykel Als even, dan wegsnijden.

Herhaal tot oneven cykel overblijft. Dit lukt omdat V eindig is.

Een gesloten wandeling met oneven lengte bevat een oneven cykel. Bewijs Als oneven, dan oneven cykel. Zij Q = v0  v1  ...  vk–1  vk  v0 een gesloten wandeling met oneven lengte. We beginnen in v0 te lopen net zo lang tot we in een punt komen waar we al eerder waren (dit moet eens gebeuren omdat we in ieder geval in v0 terugkomen), zeg dat vi en vi+r hetzelfde punt zijn, voor zekere r > 0. Dan is vi  vi+1  ...  vi+r een gesloten wandeling waarin, afgezien van begin- en eindpunt, elk punt ten hoogste eenmaal voorkomt, zie figuur 7.14a. Als r oneven is, dan is deze gesloten wandeling een oneven cykel en hebben we een oneven cykel gevonden. Als r even is, dan snijden we het stuk tussen vi en vi+r uit de wandeling weg en houden een kortere oneven gesloten wandeling over, zie figuur 7.14b. We herhalen het voorgaande, dat wil zeggen dat we in v0 beginnen te lopen net zo lang tot we in een punt komen waar we al eerder waren, enzovoort. Dit doen we net zo lang tot we wel een keer een oneven gesloten wandeling die een oneven cykel is tegenkomen. Dat dit (ooit) zal gebeuren, weten we omdat we natuurlijk niet oneindig vaak even stukken met positieve lengte uit een oneven wandeling weg kunnen snijden.

FIGUUR 7.14

Wegsnijden van een even stuk

□

Leereenheid 7 Grafen

OPGAVE 7.12

Wat is de minimale lengte van een even stuk wandeling dat we moeten wegsnijden in het bewijs van stelling 7.3? 7.3.4

Alle lijnen in dezelfde component.

De graad van elk punt is even.

ROUTES WAARIN ELKE LIJN PRECIES EENMAAL VOORKOMT

Tot slot keren we nog even terug naar het strooiploegenprobleem. Onder welke omstandigheden bestaat er een gesloten route in een graaf die elke lijn precies eenmaal bevat? In dit geval zal de strooiploeg nooit langs een weg komen waar zij al gestrooid heeft. Allereerst moeten alle lijnen in één component zitten, want anders was het niet eens mogelijk een route te maken die alle lijnen bevat. Als de route door punt u gaat, dan is er één lijn nodig om in u te komen en een andere lijn om weer uit u te vertrekken, dus de route gebruikt twee lijnen voor deze passage, zie figuur 7.15a. Bij een volgende passage gebruikt ze twee nieuwe lijnen, enzovoort. Dus als de route punt u precies k keer passeert, dan gebruikt ze precies 2k lijnen incident met u, zie figuur 7.15b. Omdat de route elke lijn precies eenmaal bevat, gebruikt ze álle lijnen incident met u. Dus is de graad van u gelijk aan 2k, dat wil zeggen dat de graad van u even is. Bij het beginpunt gebruikt de route één lijn om er weg te komen en één lijn om er aan het eind weer aan te komen. Bij elke passage door het beginpunt gebruikt de route twee lijnen, dus ze gebruikt ook een even aantal lijnen bij het beginpunt. Dus de graad van elk punt is even.

FIGUUR 7.15

Passages door een punt

Samenvattend: als er een gesloten route bestaat die elke lijn precies eenmaal bevat, dan zitten alle lijnen in dezelfde component en zijn alle graden even. Het verrassende is nu dat het omgekeerde ook geldt, dat wil zeggen dat elke graaf die aan deze twee simpele voorwaarden voldoet, een route heeft die elke lijn precies eenmaal bevat. Het bewijs hiervan vergt enig werk en laten we achterwege. In elk inleidend boek over grafentheorie is het te vinden. Wat zegt dit nu voor het bruggenprobleem van Koningsbergen? Als we niet eisen dat de wandeling over de bruggen gesloten is (omdat we bijvoorbeeld thuis beginnen en eindigen in een herberg om er een kop warme soep te eten), dan mogen begin- en eindpunt van de wandeling een oneven graad hebben. Immers bij het beginpunt gebruiken we één lijn om er weg te komen en twee bij elke passage van dat beginpunt tijdens de wandeling. Bij het eindpunt gebruiken we twee lijnen bij elke passage ervan en ten slotte nog één om er te eindigen. Maar alle overige punten moeten nog steeds een even graad hebben.

63

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

In Koningsbergen teveel punten met oneven graad

De bruggengraaf van Koningsbergen heeft vier punten met oneven graad, dus twee teveel. Dat wil zeggen dat de grafentheoreticus niet op stap zal gaan, maar thuis blijft en zelf een kopje soep opwarmt. Euler had in 1736 deze oplossing (zonder grafen te gebruiken) al gevonden.

OPGAVE 7.13

Probeer in figuur 7.16a een wandeling te vinden die elke lijn precies eenmaal bevat. Geef aan waarom zoiets niet mogelijk is in figuur 7.16b.

FIGUUR 7.16

Wandelen door twee grafen 7.4

Gerichte grafen

Tot nu toe hebben we steeds aangenomen dat we een lijn in twee richtingen kunnen doorlopen. In bepaalde situaties is dat niet het geval, dan maken we gebruik van pijlen in plaats van lijnen. In een wegennet van een stad kunnen bijvoorbeeld eenrichtingsverkeerswegen voorkomen. Een probleem waarbij een grafisch model zeer behulpzaam is, maar waarin lijnen niet functioneren, is het plannen van werkzaamheden in de tijd. De werkzaamheden stellen we voor door punten, en als werkzaamheid u afgerond moet zijn voor we aan werkzaamheid v beginnen, dan trekken we een pijl van u naar v. Ook bij de ouder-kind-relatie kunnen we pijlen gebruiken door in plaats van een lijn tussen ouder en kind een pijl van ouder naar kind te trekken. Gerichte graaf Pijl Kop Staart

DEFINITIE 7.7

Een gerichte graaf D = (V, A) bestaat uit een verzameling punten V en een verzameling A van geordende paren van punten, die pijlen heten. Als (u, v) een pijl is in D, dan is u de staart en v de kop van de pijl. In een plaatje van een gerichte graaf D = (V, A) geven we een pijl (u, v) in A, zoals te verwachten, weer met een pijl van u naar v. Volgens de definitie is het mogelijk dat tussen de punten u en v tegelijkertijd de pijlen (u, v) en (v, u) lopen. Zo’n pijlenpaar noemen we een dubbele pijl. Verder kunnen ook pijlen van het type (u, u) voorkomen. Zo’n pijl noemen we een gerichte lus, of kortweg lus.

Dubbele pijl (Gerichte) lus VOORBEELD 7.9

FIGUUR 7.17

64

Een gerichte graaf

«

Leereenheid 7 Grafen

De keuze voor de letters D en A in definitie 7.7 komt weer voort uit de wens aan te sluiten bij de meest voorkomende terminologie in het Engels. Daar wordt een gerichte graaf meestal ‘digraph’ genoemd, hetgeen een afkorting is van ‘directed graph’. De pijlen worden vaak ‘arcs’ genoemd. Ook hier geldt weer dat er geen standaard terminologie bestaat, zodat u in andere teksten andere benamingen en notaties kunt tegenkomen. Bij veel begrippen uit de theorie der (ongerichte) grafen bestaat een vergelijkbaar begrip in de theorie der gerichte grafen. Soms kunnen begrippen zonder meer worden afgeleid uit de overeenkomstige begrippen voor (ongerichte) grafen, soms zijn kleine aanpassingen nodig, soms komen we tot geheel nieuwe begrippen. We geven hier slechts enkele voorbeelden. Het begrip graad kunnen we in het gerichte geval iets uitbreiden. DEFINITIE 7.8

Uitgraad d+(u) Ingraad d–(u) Graad d(u)

Zij D = (V, A) een gerichte graaf en zij u een punt van D. De uitgraad d+(u) van u is het aantal pijlen waarvan u de staart is. De ingraad d–(u) van u is het aantal pijlen waarvan u de kop is. De graad d(u) van u is de som van de ingraad en uitgraad van u.

OPGAVE 7.14

Wat zijn in de gerichte graaf van figuur 7.17 de ingraad, de uitgraad en de graad van punt u en van punt c? Merk op dat een lus bij een punt 1 bijdraagt aan de ingraad en 1 bijdraagt aan de uitgraad, en dus 2 bijdraagt aan de graad van het punt. Dit is in overeenstemming met onze definitie van graad van een punt in ongerichte grafen. De graad van een punt was namelijk het aantal incidenties waarbij het punt betrokken was, en u is als kop incident met lus (u, u) én als staart. Onze eerste stelling voor gerichte grafen komt overeen met onze eerste stelling (7.1) voor ongerichte grafen. STELLING 7.4

In een gerichte graaf D = (V, A) geldt

u) A = ∑ d − (u) ∑ d + (=

u∈V

Aantal staarten = aantal pijlen = aantal koppen

u∈V

Bewijs Het aantal pijlen in D is natuurlijk gelijk aan het aantal staarten in D, en dit aantal is precies gelijk aan de som van de uitgraden van de punten. Evenzo is het aantal pijlen gelijk aan het aantal koppen, en dat is weer gelijk aan de som van de ingraden. □

OPGAVE 7.15 (Aanw)

Volgens stelling 7.2 geldt dat in een ongerichte graaf het aantal punten met oneven graad even moet zijn. Kunnen we hetzelfde zeggen voor de graden in een gerichte graaf?

65

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Ook het begrip wandeling moet enigzins aangescherpt worden, omdat we nu rekening moeten houden met de richting van de pijlen. Gerichte wandeling

DEFINITIE 7.9

Lengte van een gerichte wandeling

Notatie

VOORBEELD 7.10

Een gerichte wandeling in een gerichte graaf D = (V, A) van v0 naar vk is een rij v0, (v0, v1), v1, (v1, v2), ..., (vk–1, vk), vk bestaande uit punten v0, v1, ..., vk en pijlen (v0, v1), (v1, v2), ..., (vk–1, vk) uit A. Het aantal pijlen in de wandeling is de lengte van de wandeling. In een gerichte wandeling lopen we dus met de richting van de pijlen mee. We noteren de gerichte wandeling v0, (v0, v1), v1, (v1, v2), ..., (vk–1, vk), vk weer met v0 → v1 → ... → vk. Merk op dat het punt voorafgaande aan een pijl, de staart is en het punt volgende op een pijl, de kop van de pijl is. We kunnen in deze notatie nu dus de pijlen lezen als echte pijlen in de graaf. In een wandeling in een ongerichte graaf was het mogelijk dat twee opeenvolgende lijnen dezelfde lijn waren. Vanwege de richting van de pijlen is dit in een gerichte wandeling alleen mogelijk als twee maal na elkaar dezelfde lus wordt doorlopen. Ga zelf na waarom dit zo is. Een pijl (anders dan een lus) kan vaker in een wandeling voorkomen, maar tussen twee voorkomens zullen we eerst andere pijlen moeten doorlopen. In de gerichte graaf van figuur 7.17 kunnen we de volgende gerichte wandelingen vinden: a u→a→b→v b u→c→c→d→b→v c a → b → v → b → a. Merk op dat er geen gerichte wandeling bestaat van v naar u of van a naar d.

«

Definitie van de begrippen beginpunt en eindpunt van een gerichte wandeling kunnen we zo overnemen van de ongerichte situatie. Dit geldt ook voor open en gesloten gerichte wandelingen. OPGAVE 7.16

Welke van de gerichte wandelingen uit voorbeeld 7.10 zijn open en welke zijn gesloten?

Ongerichte wandeling

In voorbeeld 7.10 was er geen gerichte wandeling van v naar u of van a naar d. Toch zouden we de gerichte graaf niet onsamenhangend willen noemen. Vandaar dat we ook het begrip ongerichte wandeling in een gerichte graaf invoeren. Hierbij gaan we via pijlen van punt naar punt, waarbij we zowel in de richting van de pijl als tegen de richting in mogen lopen. In zo’n ongerichte wandeling is het weer wel mogelijk dat twee opeenvolgende pijlen dezelfde pijl zijn, maar dan wordt de pijl eenmaal in de pijlrichting en eenmaal tegen de pijlrichting in doorlopen. Voor de notatie van een ongerichte wandeling spreken we het volgende af. We lezen weer van links naar rechts: als we de pijl (u, v) van u naar v doorlopen, dan noteren we dat met u → v, en als we deze pijl in omgekeerde richting doorlopen, dan schrijven we v ← u. Een gerichte wandeling is per definitie ook een ongerichte wandeling (maar dan wel eentje waarvan alle pijlen ‘goed’ lopen).

66

Leereenheid 7 Grafen

VOORBEELD 7.11

In de gerichte graaf van figuur 7.17 is a ← b ← d → c een ongerichte wandeling van a naar c. Er is een gerichte wandeling W van u naar v, maar niet van v naar u. Als we W in omgekeerde richting doorlopen, dan krijgen we een ongerichte wandeling van v naar u. « Omdat we twee soorten wandelingen hebben, gerichte en ongerichte, hebben we ook twee soorten van samenhang.

Sterk samenhangend Zwak samenhangend Samenhangend

DEFINITIE 7.10

Een gerichte graaf D is sterk samenhangend als er van elk punt in D naar elk ander punt een gerichte wandeling bestaat. En D is zwak samenhangend, of kortweg samenhangend, als er tussen elk tweetal punten van D een ongerichte wandeling bestaat.

VOORBEELD 7.12

De gerichte graaf in figuur 7.18a is sterk samenhangend; we kunnen van elk punt in elk ander punt komen met de richting van de pijlen mee. Die in figuur 7.18b is niet sterk samenhangend; we kunnen met de pijlen mee niet van boven naar beneden komen. Maar hij is wel zwak samenhangend; negeren we de richting van de pijlen, dan kunnen we wel overal komen.

FIGUUR 7.18

Een sterk en een zwak samenhangende gerichte graaf

«

Een sterk samenhangende gerichte graaf is vanzelfsprekend ook zwak samenhangend. Immers, elk gericht pad is, hoe gek het ook klinkt, volgens de definitie ook een ongericht pad (waarin dan wel ‘toevallig’ alle pijlen de goede kant op staan). Een gerichte graaf die zelfs niet zwak samenhangend is noemen we onsamenhangend. Een onsamenhangende gerichte graaf bestaat uit meerdere componenten. Een open gerichte wandeling waarin alle punten verschillend zijn noemen we een gericht pad en een gesloten gerichte wandeling waarin alle punten (op begin- en eindpunt na) verschillend zijn noemen we een gerichte cykel. Ook hier hebben we de ongerichte varianten waarbij we de pijlen in de verkeerde richting mogen doorlopen.

Onsamenhangende gerichte graaf Component Gericht pad Gerichte cykel

OPGAVE 7.17

Neem de gerichte graaf van figuur 7.17. a Maak een gericht pad met lengte 4. b Is er een gerichte cykel met lengte 4 te vinden? c Maak een ongericht pad dat geen gericht pad is. d Is er een ongerichte cykel met lengte 4 te vinden? OPGAVE 7.18 (Aanw)

Kunnen we uit de onderliggende graaf van een gerichte graaf iets afleiden over de eventuele sterke samenhang van de gerichte graaf?

67

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 7.19

Geef definities voor de begrippen incident en geïsoleerd punt in gerichte grafen. OPGAVE 7.20 (Aanw)

Bewijs dat een gerichte wandeling van u naar v in een gerichte graaf een gericht pad van u naar v bevat. SAMENVATTING

Deze leereenheid bestond uit een allereerste kennismaking met de grafentheorie. We hebben een reeks van begrippen ingevoerd waarmee we kunnen redeneren over grafen. De belangrijkste begrippen vatten we hier kort samen: – Een graaf bestaat uit een verzameling punten (V) en lijnen (E) – Een gerichte graaf bestaat uit een verzameling punten (V) en pijlen (A) – De graad d(v) van een punt v is het aantal incidenties waarbij v betrokken is, als de graaf gericht is hebben we te maken met ingraad en uitgraad. – Een wandeling van v0 naar vk in een graaf G is een rij v0, e1, v1, e2, ..., ek, vk bestaande uit afwisselend punten en lijnen, waarin v0, v1, ..., vk punten en e1, e2, ..., ek lijnen zijn, waarbij vi–1 en vi de uiteinden zijn van de lijn ei, voor i = 1, 2, ..., k. Het getal k, dit is het aantal lijnen in de rij, is de lengte van de wandeling. – Een pad is een wandeling waarin geen punt meer dan eenmaal voorkomt. – Een cykel is een gesloten wandeling waarin afgezien van begin- en eindpunt alle punten verschillend zijn, en alle lijnen verschillend zijn – Een graaf is samenhangend als elk tweetal punten van een graaf verbonden zijn door een wandeling, een gerichte graaf is sterk samenhangend als er tussen elk tweetal punten een gerichte wandeling bestaat. Belangrijke eigenschappen die we in deze leereenheid hebben aangetoond zijn de gradenstellingen, en de stelling dat elke gesloten wandeling met oneven lengte een oneven cykel bevat.

68

Leereenheid 7 Grafen

ZELFTOETS

1

Bewijs dat in een graaf de som van de graden gelijk is aan tweemaal het aantal lijnen.

2

a Wat is het maximale aantal lijnen dat een onsamenhangende graaf met 8 punten bevat? b Wat is het minimale aantal lijnen dat een samenhangende graaf met 8 punten bevat?

3

Bewijs dat een graaf, waarin de graad van elk punt ten minste 2 is, een cykel bevat.

4

In een ongerichte graaf is het aantal punten met oneven graad even (zie stelling 7.2). Kunnen we in een gerichte graaf iets zeggen over het aantal punten met oneven ingraad of oneven uitgraad?

69

Inhoud leereenheid 8

Relaties en functies Introductie Leerkern Het cartesisch product Relaties Binaire relaties 8.3.1 Binaire relaties als figuren in het vlak 8.3.2 Binaire relaties als grafen 8.4 Functies 8.5 Surjectieve, injectieve en bijectieve functies 8.6 De inverse functie en het samenstellen van functies 8.6.1 De inverse 8.6.2 Het samenstellen van functies 8.1 8.2 8.3

Samenvatting Zelftoets

70

Leereenheid 8

Relaties en functies

INTRODUCTIE

Een vast onderdeel in kranten en nieuwsberichten waar ook ter wereld is het weerbericht. Vooral als het gaat om extreme situaties, lijkt niets ons zo bezig te houden als ‘het weer’. Om de weersgesteldheid te beschrijven, worden gegevens gebruikt als temperatuur, windkracht, luchtdruk en neerslag. Een voorbeeld hiervan is in figuur 8.1 te zien.

FIGUUR 8.1

Een winterse weerkaart van Europa

Natuurlijk zullen de gegevens over het weer van plaats tot plaats verschillend zijn en ook in de tijd veranderen. We zeggen dan dat bijvoorbeeld de temperatuur afhangt van de plaats waar en het tijdstip waarop we meten, ofwel dat de temperatuur een functie is van plaats en tijd. Essentieel hierbij is dat er op een vast gekozen plaats en tijdstip steeds maar één temperatuur mogelijk is. Een ander aspect aan gegevens is de mogelijkheid om er vergelijkingen mee uit te voeren. Als we de maximumtemperatuur in Amsterdam vandaag meten, dan kan het daar kouder zijn dan in Rome en warmer dan in Oslo. Of het zou de hoogste maximumtemperatuur kunnen zijn die de afgelopen tien jaar in Amsterdam is gemeten. Het typische aan dit soort vergelijkingen is, dat temperaturen op meer dan één plaats en/of tijdstip met elkaar in verband worden gebracht. We zeggen dan ook wel dat die temperaturen met elkaar in relatie staan.

71

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

De begrippen ‘relatie’ en ‘functie’ komen in de meest uiteenlopende zaken tevoorschijn. Een aandeel van een onderneming heeft een unieke koers die in de tijd varieert en die vergeleken kan worden met de koersen van andere aandelen. Prestaties van computerchips kunnen worden vergeleken op grond van het aantal elementaire operaties dat ze per seconde kunnen uitvoeren. Mensen kunnen met elkaar in relatie staan op basis van bloedverwantschap. Dit laatste voorbeeld sluit goed aan bij het begrip familierelatie dat we uit het dagelijkse leven kennen. Een ander voorbeeld uit het dagelijkse leven is dat landen een diplomatieke relatie met elkaar kunnen hebben door ambassadeurs uit te wisselen. Na enig nadenken zal duidelijk worden dat het aantal voorbeelden van relaties en functies vrijwel onuitputtelijk is. We zullen in deze leereenheid zien dat het begrip relatie eenvoudig in termen van verzamelingen te definiëren is. Als voorbereiding daartoe behandelen we in paragraaf 8.1 een speciaal soort verzameling, het zogenaamde cartesisch product. Hiermee definiëren we dan in paragraaf 8.2 het begrip relatie. Vervolgens behandelen we in paragraaf 8.3 een speciaal en veel voorkomend type relatie, de zogenaamde binaire relatie, waarin steeds twee (vandaar de term binair) objecten een rol spelen. Na dit eerste deel over relaties, zullen we in paragraaf 8.4 zien dat een functie in feite een speciaal soort relatie is. Ten slotte bestuderen we in de paragrafen 8.5 en 8.6 een aantal eigenschappen van functies. LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – de definitie van n-tupel, coördinaat van een n-tupel en cartesisch product kent en kunt toepassen – het aantal elementen kunt bepalen van een cartesisch product van eindige verzamelingen – de definitie van relatie van n variabelen en van binaire relatie kent en kunt toepassen en in het bijzonder met impliciete en expliciete definities van relaties kunt werken – een binaire relatie kunt weergeven in een assenstelsel – binaire relaties op eindige verzamelingen aan de hand van een graaf kunt aflezen – de definitie van functie (of afbeelding) kent en kunt toepassen – voor functies de volgende begrippen kent en kunt toepassen: argument, functievoorschrift, domein (of definitiegebied), bereik (of waardenverzameling), beeld, origineel en volledig origineel – de grafiek van een functie kunt tekenen in een assenstelsel – de begrippen rij, constante functie en identieke functie kent en kunt toepassen – het verschil kent tussen functies van één dan wel meer dan één variabele – kunt nagaan of een functie een surjectie, injectie dan wel bijectie is en van een gegeven functie een domein en bereik kunt bepalen zo dat de functie een surjectie, injectie dan wel bijectie wordt – het begrip samenstelling van functies kent en kunt toepassen – weet dat het samenstellen van functies associatief is – het verband kent tussen bijecties en het bestaan van een inverse – van eenvoudige bijecties de inverse kunt bepalen – uit de grafiek van een bijectie de grafiek van de inverse kunt bepalen.

72

Leereenheid 8 Relaties en functies

Studeeraanwijzing Het functiebegrip wordt zo vaak toegepast, dat de kans groot is dat u al eens eerder kennis hebt gemaakt met functies, bijvoorbeeld in een eerdere opleiding. Het is dan goed u te realiseren dat in deze leereenheid functies in een zeer breed kader worden geplaatst en als bijzonder geval van het begrip relatie worden geïntroduceerd. Juist de overbekende functies met hun grafieken, zoals de kwadratische functie met de parabool als grafiek, spelen in deze leereenheid en in het vervolg van de cursus een ondergeschikte rol. We gaan er wel vanuit dat u met dit soort functies bekend bent en dat u eenvoudige opgaven over deze functies kunt maken. LEERKERN 8.1

Het cartesisch product

Laten we aannemen dat we gedurende een aantal dagen op een bepaalde plaats de maximumtemperatuur van de buitenlucht meten in hele graden celsius. In de volgende tabel zijn de uitkomsten weergegeven voor de eerste 12 dagen van de maand januari. dag

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

temperatuur 5

6

6

4

1

3

–1

–4

–1

0

2

3

Deze tabel is niets anders dan een handige manier om de 12 paren van gegevens van de vorm (dag, maximumtemperatuur) weer te geven. Om geen verwarring in de gegevens te krijgen, moeten we hierbij goed op de volgorde letten, immers, het paar (1, 5) heeft een andere betekenis dan het paar (5, 1). Als we de maximumtemperatuur niet alleen op verschillende dagen, maar ook op verschillende plaatsen meten, dan bestaat een gegeven uit een geordend drietal van de vorm (dag, plaats, maximumtemperatuur). Voor nauwkeuriger metingen geven we bijvoorbeeld ook nog het uur van de dag en de hoogte boven de grond aan, zodat geordende vijftallen van de vorm (dag, uur, plaats, hoogte, maximumtemperatuur) ontstaan. In het algemeen zullen bij het weergeven van gegevens (of het nu gaat om relaties dan wel functies) geordende n-tallen optreden. We voeren hiervoor een aparte terminologie in. DEFINITIE 8.1

Zij a1 ∈A1, a2 ∈A2, ..., an ∈An voor zekere verzamelingen A1, A2, ..., An. Het object (a1, a2, ..., an), waarin de volgorde van de elementen ai van belang is, heet een n-tupel. We noemen a1 de eerste coördinaat, a2 de tweede coördinaat, enzovoort.

In tupels is de volgorde belangrijk.

Omdat de volgorde in n-tupels van belang is, zijn twee n-tupels (a1, a2,...., an) en (b1, b2, ..., bn) alleen gelijk als alle coördinaten aan elkaar gelijk zijn, met andere woorden, als ai = bi voor i = 1, 2, ..., n. Geldt n = 2, dan spreken we meestal niet van een 2-tupel, maar van een (geordend) paar.

n-Tupel Coördinaat

Paar Geordend paar

73

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

In de informatica wordt een n-tupel meestal een record met n velden genoemd. Net als in het temperatuurvoorbeeld, treden records op als rijen in tabellen. Het verband tussen tupels en tabellen komt ook in voorbeeld 8.1 tot uiting. VOORBEELD 8.1

Laten we proberen de gegevens in de temperatuurtabel als tupels te beschrijven. Definieer daartoe de verzamelingen D (van dagen) en T (van temperaturen) door D = {x ∈Z+x ≤ 12} en T = {x ∈Z–4 ≤ x ≤ 6}. Alle gegevens in de tabel zijn dan weer te geven als paren (d, t) met d ∈D en t ∈T, zoals (1, 5), (2, 6) en (5, 1). Niet ieder paar van de vorm (d, t) met d ∈D en t ∈T komt ook voor in de tabel: de paren (2, 4) en (1, –4) bijvoorbeeld zijn wel van deze vorm, maar komen niet in de tabel voor. «

VOORBEELD 8.2

Mensen kunnen vier verschillende bloedgroepen hebben die aangegeven worden met A, B, AB en O. Daarnaast kan bloed onderscheiden worden naar de zogenaamde resusfactor, die positief (+) of negatief (–) kan zijn. Noem nu V = {A, B, AB, O} en W = {+, –}. Alle verschillende paren (v, w) met v ∈V en w ∈W zijn: (A, +), (A, –), (B, +), (B, –), (AB, +), (AB, –), (O, +) en (O, –). Omdat V uit 4 elementen bestaat en W uit 2, krijgen we 4 · 2 = 8 verschillende paren. (Het onderscheid tussen deze 8 paren is van levensbelang bij bloedtransfusies.) «

OPGAVE 8.1

a Geef alle verschillende paren (a, b) met a ∈A en b ∈B als A = {+, –, Ø} en B = {0, 1}. Hoeveel van deze paren kunnen er gevormd worden? b Geef alle verschillende 3-tupels (a, b, c) met a ∈A, b ∈B en c ∈C als A = {0, 1}, B = {+, –, Ø} en C = {α, β}. Hoeveel van deze 3-tupels kunnen er gevormd worden?

Cartesisch product

Tupels zijn samen te nemen tot een verzameling.

Door een aantal n-tupels samen te nemen tot één geheel, ontstaat een verzameling van n-tupels. In het bijzonder kunnen we voor gegeven verzamelingen A1, A2, ..., An alle verschillende n-tupels samen nemen die van de vorm (a1, a2, ..., an) zijn met ai ∈Ai voor i = 1, 2, ..., n. We hebben dit gezien in voorbeeld 8.2 en opgave 8.1. Zulke verzamelingen vormen het uitgangspunt voor de definities van relatie en functie in de komende paragrafen.

DEFINITIE 8.2 Notatie A1 × A2 × ... × An

Laat A1, A2, ..., An verzamelingen zijn. Het cartesisch product van deze verzamelingen, genoteerd met A1 × A2 × ... × An, is de verzameling {(a1, a2, ..., an)ai ∈Ai voor i = 1, 2, ..., n}.

Notatie An

VOORBEELD

Het cartesisch product A × B heet ook wel de productverzameling van de twee verzamelingen A en B. Een cartesisch product A1 × A2 × ... × An kan bestaan uit allemaal verschillende verzamelingen Ai, maar er mogen ook gelijke verzamelingen in voorkomen. Let op dat de volgorde van de verzamelingen in een cartesisch product van belang is (zie ook opgave 8.2a). Als alle Ai gelijk zijn aan dezelfde verzameling A, dan noteren we A × A × ... × A (n maal) als An. Neem V = {A, B, AB, O} en W = {+, –} als in voorbeeld 8.2, dan geldt dat V × W = {(A, +), (A, –), (B, +), (B, –), (AB, +), (AB, –), (O, +), (O, –)} en dat « W2 = {(+, +), (+, –), (–, +), (–, –)}.

74

Leereenheid 8 Relaties en functies

OPGAVE 8.2

a Neem A = {0, 1} en B = {+, –, Ø}. Bepaal A × B en B × A en laat zien dat A × B ≠ B × A. Hoeveel elementen hebben A × B respectievelijk B × A? b Neem A = {0, 1}, B = {+, –, Ø} en C = {α, β}. Bepaal A × B × C. Hoeveel elementen heeft A × B × C?

Aantal elementen in A1 × A2 × ... × An (als iedere Ai eindig is)

Rooster

Assenstelsel

In de voorbeelden hebben we tot nu toe steeds gewerkt met cartesische producten van eindige verzamelingen. We zagen in die voorbeelden dat het aantal elementen in het cartesische product gegeven werd door het product van de aantallen elementen in de afzonderlijke verzamelingen. Dit geldt in het algemeen: als A1, A2, ..., An eindige verzamelingen zijn met respectievelijk m1, m2, ..., mn elementen, dan is A1 × A2 × ... × An eindig en heeft m1 · m2 · ... · mn elementen. Immers, A1 × A2 × ... × An is de verzameling van alle n-tupels (a1, a2, ..., an) waarbij ai ∈Ai willekeurig gekozen kan worden. Voor a1 hebben we m1 mogelijke keuzen, voor a2 hebben we m2 mogelijke keuzen, enzovoort. Dit geeft n onafhankelijke keuzen van m1, m2, ..., mn elementen, wat in totaal m1 · m2 · ... · mn tupels oplevert die allemaal verschillend zijn. Niets weerhoudt ons om in een cartesisch product (ook) oneindige verzamelingen op te nemen. Kiezen we bijvoorbeeld A = Z en B = Q, dan geldt A × B = {(m, q)m ∈Z en q ∈Q}, wat weer een oneindige verzameling is. Nemen we A = B = Z, dan geldt A × B = A2 = Z2 = {(m, n)m ∈Z en n ∈Z}. Men noemt Z2 wel een rooster, een term die eenvoudig te verklaren is. Daartoe gaan we Z2 representeren in een figuur in het vlak. Eerst tekenen we twee loodrechte assen, één in horizontale en één in verticale richting. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong en wordt vaak genoteerd met O. Ten slotte nemen we op beide assen een gelijke eenheid van lengte. In het vervolg zullen we dit een assenstelsel noemen. Laat nu (m, n) ∈Z2 corresponderen met het punt in het vlak dat m eenheden in horizontale richting en n eenheden in verticale richting ligt, dan krijgen we een in beide richtingen oneindig doorlopend rooster waarvan in figuur 8.2 een deel is te zien.

FIGUUR 8.2

Een deel van het rooster Z × Z = Z2

Een eindig rooster is eenvoudig weer te geven als een cartesisch product van twee eindige deelverzamelingen van Z. Dit soort cartesische producten kunnen ook gebruikt worden om bijvoorbeeld de individuele punten op het beeldscherm van een computer, de zogenaamde pixels, mee aan te geven. Bestaat het beeldscherm uit 1024 bij 768 pixels, dan is iedere pixel aan te geven met een paar (p, q) ∈P × Q met P = {x ∈N0 ≤ x ≤ 1023} en Q = {x ∈N0 ≤ x ≤ 767}.

75

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Ook op landkaarten worden coördinaten van punten (bij benadering) vaak weergegeven met een getallenpaar zoals het paar (oosterlengte, noorderbreedte). OPGAVE 8.3 (Aanw)

Zij A = {x ∈N2 ≤ x ≤ 4} en B = {x ∈Z–1 ≤ x ≤ 2}. Geef een expliciete definitie van A × B (dat wil zeggen: som alle elementen uit deze vezameling op) en teken A × B in een assenstelsel. Het vlak als R2

Cartesisch komt van Descartes.

Willen we niet alleen roosterpunten weergeven, maar alle punten in het platte vlak, dan nemen we A = R, dus A2 = R2 = {(x, y)x ∈R en y ∈R}. Een schets hiervan is weinig interessant, omdat we dan hooguit de twee loodrechte assen kunnen tekenen. We zijn zo gewend geraakt aan allerlei grafische representaties van gegevens, dat het moeilijk voor te stellen is dat dit een grote stap in de wiskunde is geweest. Deze stap is in volle algemeenheid pas genomen door de Franse filosoof/wiskundige R. Descartes rond 1620. Dit verklaart de naamgeving ‘cartesisch’.

OPGAVE 8.4

Zij A = {x ∈Z–1 ≤ x ≤ 1}, B = {x ∈Z–2 ≤ x ≤ 2} en C = {x ∈R–1 ≤ x ≤ 1}. a Geef een expliciete definitie van A × B en teken A × B in een assenstelsel. b Teken de verzameling A × C in een assenstelsel. c Teken C2 in een assenstelsel. OPGAVE 8.5 (Aanw)

Neem V = {a, b} en laat P(V) de machtsverzameling van V zijn (zie definitie 6.2). a Geef een expliciete definitie van V × P(V) en van P(V)2 (= P(V) × P(V)). b Is P(V2) (= P(V × V)) hetzelfde als P(V)2? Motiveer uw antwoord. c Laat A een verzameling zijn met n elementen en B een verzameling met m elementen. Hoeveel elementen bevat A × P(B) respectievelijk P(A) × P(B) × B?

1637 – De cartesiaanse revolutie In 1637 verscheen in Leiden de Géométrie van René Descartes (1596-1650) als een appendix van zijn Discours de la Méthode, een verhandeling over de methoden van het juist redeneren met als doel de wereld door de rede te begrijpen. De Géométrie is een voorbeeld van zijn

76

Leereenheid 8 Relaties en functies

rationalistische denken waarmee hij de meetkundige constructieproblemen van de oude Grieken te lijf ging. In de ogen van Descartes was de aanpak van de Grieken niet systematisch en hij zocht naar een methode om zulke problemen op te lossen. Cruciaal in het werk van Descartes is dat hij, in tegenstelling tot zijn voorgangers, het resultaat van bepaalde bewerkingen op lijnstukken (vermenigvuldiging, deling, trekken van vierkantswortel) weer als lijnstuk voorstelt (vanaf de Grieken werd het product van twee lijnstukken bijvoorbeeld weergegeven als het oppervlak van een rechthoek). Zijn nieuwe benadering stelde Descartes in staat om het product van twee lijnstukken op te tellen bij een ander lijnstuk, iets wat voor de Grieken onmogelijk was.

Figuur a toont de constructie van de vermenigvuldiging van BD met BC. Wanneer AB de eenheid is, is BE het product van BD en BC. Omdat ∆BDE en ∆BAC gelijkvormig zijn, geldt immers de evenredigheid BE/BD = BC/BA waaruit het gestelde volgt. In figuur b wordt de vierkantswortel van GH geconstrueerd. Als FG de eenheid is, is GI de gevraagde wortel. Omdat ∆GFI en ∆GIH gelijkvormig zijn (vanwege de rechthoekige driehoek FIH), geldt namelijk GF/GI = GI/GH. Door nu lijnstukken als letters voor te stellen, kon hij de bewerkingen op lijnstukken in algebraïsche uitdrukkingen vertalen (zoals a3 – b · c of z = a3 – b · c). De aanpak van Descartes komt erop neer dat de analyse van een constructieprobleem leidt tot een of meer vergelijkingen met onbekenden. In het algemeen stelde Descartes: ‘Men moet evenveel vergelijkingen vinden als men onbekende lijnstukken heeft aangenomen.’ En als zoveel vergelijkingen niet gevonden kunnen worden: ‘Dan kan men naar believen bekende lijnstukken nemen voor alle onbekenden waarmee geen vergelijking correspondeert.’ Als het probleem bijvoorbeeld leidt tot één vergelijking met twee onbekenden, die in navolging van Descartes sinds 1637 x en y worden genoemd, dan kunnen we voor y zelf een lijnstuk nemen en ligt x vervolgens door de vergelijking vast. Dan oppert Descartes het idee dat een paar lijnstukken x en y ten opzichte van coördinaatassen (niet noodzakelijk loodrecht!) een punt bepaalt, en dat de oplossingen van een vergelijking in twee onbekenden een kromme opleveren: ‘Wanneer men achtereenvolgens oneindig veel verschillende grootheden neemt voor het lijnstuk y, dan zal men een oneindige veelheid aan verschillende punten hebben (...) door middel waarvan men de gevraagde kromme zal beschrijven.’ En hiermee is de synthese tussen meetkunde en algebra compleet! Descartes vertaalde niet alleen meetkundige problemen in algebraïsche vraagstukken, maar gaf ook het begrip ‘kromme’, dat bij de Grieken nog zuiver een meetkundige betekenis had (denk aan parabolen en hyperbolen als de doorsnijdingen van een kegel met een vlak), de nieuwe inhoud van meetkundige interpretatie van een vergelijking in twee onbekenden. De meetkunde zou nooit meer worden wat zij was geweest. In de loop van de zeventiende en achttiende eeuw zouden meetkundige constructies, die bij de Grieken, maar ook bij Descartes nog centraal stonden, naar de achtergrond verdwijnen en hun plaats zou worden ingenomen door analytische formules: in plaats van constructies zouden vergelijkingen het object van onderzoek worden. Met de ideeën van Descartes werd zo de basis voor de ontwikkeling van de moderne differentiaal- en integraalrekening gelegd.

77

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.2

Relaties

Het begrip relatie doet waarschijnlijk als eerste denken aan mensen die een relatie hebben (getrouwd, samenwonend, of, heel neutraal volgens ‘van Dale’: betrekking van een persoon tot een andere). Dit begrip is eenvoudig in verband te brengen met het wiskundige idee van een cartesisch product. Laat M de verzameling van alle mensen zijn. De verzameling van paren (!) mensen (x, y), waarbij x en y een relatie hebben, is dan een deelverzameling van M × M. Algemener wordt het woord relatie volgens ‘van Dale’ gebruikt voor dingen die in betrekking tot elkaar staan. We geven nog een voorbeeld uit het dagelijkse leven. VOORBEELD 8.3

Zie paragraaf 8.1.

VOORBEELD 8.4

Lijn

Cirkelschijf

Een universiteit houdt in een bestand met gegevens de resultaten bij die de studenten voor de tentamens halen. Als student Ab een 8 voor het tentamen Inleiding wiskunde heeft gehaald, dan kunnen we zeggen dat Ab, 8 en Inleiding wiskunde in betrekking tot elkaar staan, ofwel met elkaar in relatie staan, en dit in het bestand opnemen als de 3-tupel (Ab, 8, Inleiding wiskunde). Op deze manier zijn voor alle studenten de behaalde tentamencijfers als 3-tupels weer te geven. Noem nu S de verzameling van alle studenten, C = {1, 2, 3, ..., 9, 10} en T de verzameling van alle mogelijke tentamens. De verzameling van alle 3-tupels die de behaalde tentamencijfers weergeven, is dan een deelverzameling van S × C × T. Die deelverzameling bestaat precies uit alle 3-tupels (x, y, z) waarvoor geldt dat x ∈S, y ∈C en z ∈T met elkaar in relatie staan in de hiervoor beschreven betekenis. « Deelverzamelingen van cartesische producten komen erg vaak voor in de wiskunde. Als we bijvoorbeeld door het kiezen van een assenstelsel het (platte) vlak zien als het cartesisch product R2, dan treden allerlei interessante figuren op als deelverzamelingen van dit cartesisch product: lijnen, cirkels, rechthoeken, vlakken enzovoort. De deelverzameling l = {(x, y) ∈R2x = y} van R2 bestaat uit alle paren (x, y) in R2 waarvoor de relatie x = y geldt, ofwel uit alle elementen in R2 van de vorm (x, x). In het vlak betekent dit dat we eenzelfde aantal eenheden zowel in horizontale als in verticale richting bewegen. We krijgen dan de lijn uit figuur 8.3a, die de loodrechte hoek bij de oorsprong door midden deelt. De deelverzameling C = {(x, y) ∈R2x2 + y2 ≤ 1} van R2 is weer te geven als de ‘gevulde’ cirkel uit figuur 8.3b. We noemen C een cirkelschijf. Het is de verzameling paren (x, y) in R2 waarvoor de relatie x2 + y2 ≤ 1 geldt.

FIGUUR 8.3

78

De lijn l (a) en de cirkelschijf C (b) als deelverzamelingen « van het cartesisch product R2

Leereenheid 8 Relaties en functies

Al deze verschillende voorbeelden van relaties hebben eigenlijk maar één karakteristieke eigenschap gemeen: het zijn deelverzamelingen van een cartesisch product. We geven nu de volgende zeer algemene definitie van het begrip relatie. Relatie

DEFINITIE 8.3

Laat A1, A2, ..., An verzamelingen zijn. Een relatie van n variabelen op A1 × A2 × ... × An is een deelverzameling van A1 × A2 × ... × An. In ons eerste voorbeeld, over de verzameling M van alle mensen, is R = {(x, y)x ∈M, y ∈M en x en y hebben een relatie} een deelverzameling van M × M en dus, in wiskundige zin, een relatie van 2 variabelen op M × M.

Tabellen zijn deelverzamelingen van cartesische producten, dus relaties.

In voorbeeld 8.3 is de verzameling van alle 3-tupels (x, y, z), met x ∈S een student die het cijfer y ∈C heeft gehaald voor het tentamen z ∈T, een deelverzameling van S × C × T en dus een relatie van 3 variabelen op S × C × T. Dit soort verzamelingen van gegevens worden vaak in tabelvorm weergegeven en als het grote bestanden betreft in een computer opgeslagen als ‘onderdeel’ van een relationele database. Merk op dat iedere tabel is te zien als deelverzameling van één of ander cartesisch product, en dus als een relatie.

OPGAVE 8.6

a In de tabel uit het begin van paragraaf 8.1 zijn voor 12 dagen zekere maximumtemperaturen weergegeven. Laat met behulp van de verzamelingen uit voorbeeld 8.1 zien hoe deze tabel opgevat kan worden als relatie. b Waarom zijn de lijn l en de cirkelschijf C uit voorbeeld 8.4 relaties? Hoeveel variabelen hebben deze relaties?

Universele relatie Lege relatie

Relatie in A Binaire relatie Relatie van A naar B

Voor ieder cartesisch product A1 × A2 × ... × An zijn er twee bijzondere relaties te onderscheiden. Allereerst is A1 × A2 × ... × An zelf een deelverzameling van A1 × A2 × ... × An en dus een relatie. Dit wordt de universele relatie genoemd. Het andere ‘extreme’ geval is Ø, wat ook een deelverzameling van A1 × A2 × ... × An is. Deze relatie wordt de lege relatie genoemd. Voor een relatie wordt meestal de letter R gebruikt. In concrete gevallen, zoals in de voorgaande voorbeelden, wordt vaak een suggestieve letter gekozen. Is het aantal variabelen duidelijk uit de context, dan spreekt men kortweg van een relatie. Het komt nogal eens voor dat alle verzamelingen Ai in een cartesisch product gelijk zijn aan dezelfde verzameling A, dus A1 × A2 × ... × An = An. In dit geval spreken we meestal niet van een relatie op An, maar van een ‘relatie (van n variabelen) in A’. Een relatie van 2 variabelen zullen we een binaire relatie noemen of een relatie ‘van A naar B’. De lijn l en de cirkelschijf C uit voorbeeld 8.4 zijn relaties (van 2 variabelen) op R2, die we dus ook binaire relaties in R of relaties van R naar R kunnen noemen.

79

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Is R ⊂ A1 × A2 × ... × An een relatie en (a1, a2, ..., an) ∈R, dan zeggen we dat a1 ∈A1, a2 ∈A2, ..., an ∈An met elkaar in relatie staan. Een relatie kunnen we dus ook beschrijven door aan te geven welke elementen uit A1, A2, ..., An met elkaar in relatie staan. Zo is de lijn l te beschrijven door te zeggen dat x ∈R en y ∈R met elkaar in relatie staan als x = y. De elementen 2 en 3 staan bijvoorbeeld niet met elkaar in relatie, maar 2 en 2 wel. Een relatie wordt meestal gedefinieerd door te vermelden welke elementen met elkaar in relatie staan. Omdat relaties niets anders zijn dan zekere verzamelingen, heeft men hiervoor weer dezelfde mogelijkheden: expliciet door alle elementen op te sommen of impliciet door definiërende voorwaarden te geven.

In relatie staan met

VOORBEELD

Ga dit na. VOORBEELD

Zij A = {0, 1, 2, 3, 4} en T de relatie van 3 variabelen in A gegeven door T = {(0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4), (0, 2, 3), (0, 2, 4), (0, 3, 4), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}. Een impliciete definitie van T is als volgt: r, s, t ∈A staan met elkaar in relatie als r < s < t. « Beschouw de Nederlandse bevolking als een verzameling B en laat P de verzameling van alle politieke partijen in Nederland zijn. We maken een (binaire) relatie L op B × P door te definiëren dat x ∈B in relatie staat tot p ∈P als x lid is van p. Dit is een relatie, immers L ⊂ B × P. Omdat veel mensen van geen enkele partij lid zijn, zullen veel elementen uit B met geen enkel element uit P in relatie staan. «

OPGAVE 8.7

Laat L de relatie op B × P zijn uit voorgaand voorbeeld. a Zijn er elementen uit B die met meer dan één element uit P in relatie staan? Motiveer uw antwoord. b Denkt u dat er elementen uit P zijn die met geen enkel element uit B in relatie staan? Motiveer uw antwoord. OPGAVE 8.8 (Aanw)

Neem V = {0, 1, 2} en laat P(V) de machtsverzameling van V zijn. We zeggen dat A, B, C ∈P(V) met elkaar in relatie staan als C ⊂ (A ∩ B). a Laat zien dat dit een relatie in P(V) definieert. We noemen deze relatie D. b Geef alle elementen uit D die van de vorm (x, y, {1, 2}) zijn. c Geef minstens twee voorbeelden van 3-tupels die niet tot D behoren. d Voor welke z ∈P(V) geldt dat (x, y, z) ∈D voor alle x, y ∈P(V)? 8.3

Kleiner dan als relatie opvatten.

Binaire relaties

De meest gebruikte relaties zijn de binaire relaties, dus relaties van 2 variabelen. Het bekendste voorbeeld is de relatie ‘kleiner/groter dan’, waarbij we getallen in grootte met elkaar vergelijken en die in vele varianten voorkomt: lichter/zwaarder, lichter/donkerder, korter/langer, vroeger/later, jonger/ouder, enzovoort. Willen we ‘kleiner dan’ (of ‘groter dan’) inderdaad als een relatie opvatten, dan kunnen we dit bereiken door het te zien als de deelverzameling K = {(x, y) ∈R2x < y} van R2. We zijn echter zo gewend aan deze relatie, dat we er nooit op deze manier mee werken en x < y schrijven in plaats van (x, y) ∈K.

80

Leereenheid 8 Relaties en functies

Notaties xRy en / xRy

Iets vergelijkbaars gaan we nu voor een willekeurige binaire relatie R doen: in plaats van (x, y) ∈R schrijven we xRy. Als twee elementen x en y niet met elkaar in relatie staan, dus (x, y) ∉R, dan noteren we dit ook wel / . Voor sommige belangrijke relaties wordt een apart symbool als xRy ingevoerd, zoals voor ‘kleiner dan’: we schrijven niet xKy maar x < y.

VOORBEELD 8.5

In dit voorbeeld bekijken we het verband tussen landen en talen. Voor het gemak spreken we af dat in Nederland alleen Nederlands wordt gesproken, in Duitsland alleen Duits, in Frankrijk alleen Frans, in Spanje alleen Spaans en in België zowel Frans als Nederlands. Neem nu T = {Nederlands, Engels, Duits, Frans} en L = {Nederland, België, Duitsland, Frankrijk, Spanje} en definieer op T × L de (binaire) relatie S door tSl als de taal t in land l gesproken wordt. Er geldt dan dat NederlandsSNederland, NederlandsSBelgië, DuitsSDuitsland, FransSBelgië, FransSFrankrijk. Het element Engels in T staat tot geen enkel element uit L in relatie. «

VOORBEELD 8.6

Neem V = {1, 2} en laat E de binaire relatie in P(V) zijn, gedefinieerd door xEy als x een echte deelverzameling is van y. Er geldt dan bijvoorbeeld dat ØE{1} omdat Ø ⊂ V en {1} ⊂ V en bovendien Ø een echte deelverzameling van {1} is. Er geldt niet dat {1}E{1}, omdat {1} ⊂ V geen echte deelverzameling van {1} ⊂ V is. Als we nu de mogelijkheden even langslopen, dan zien we dat een expliciete definitie van E gegeven wordt door ØE{1}, ØE{2}, ØE{1, 2}, {1}E{1, 2} en {2}E{1, 2}. In plaats van de notatie ØE{1} kunnen we ook de ‘oude’ notatie (Ø, {1}) ∈E gebruiken. De binaire relatie E zien we dan weer als deelverzameling van P(V)2 en een expliciete definitie van E in deze notatie is dan: E = {(Ø, {1}), (Ø, {2}), (Ø, {1, 2}), ({1}, {1, 2}), ({2}, {1, 2})}. «

VOORBEELD 8.7

Een getal m ∈Z is een 3-voud als er een n ∈Z is waarvoor m = 3n. Voorbeelden van 3-vouden zijn dus 3, 6, 9, maar ook 0 en –3, –6, –9. Definieer nu in Z de relatie R door xRy als x – y een 3-voud is. Dan geldt bijvoorbeeld dat 3R0, 3R3, 4R1 en 1R4, immers, 3 – 0 = 3 is een 3-voud, 3 – 3 = 0 is een 3-voud, 4 – 1 = 3 is een 3-voud en 1 – 4 = –3 is een 3-voud. Met behulp van de relatie R zijn speciale deelverzamelingen van Z kort weer te geven. Bekijk bijvoorbeeld eens de deelverzameling {xxR0} van Z, die alle elementen bevat die in relatie staan tot 0. Maar xR0 betekent dat x – 0 een drievoud is, ofwel dat x een 3-voud is. We zien dus dat {xxR0} hetzelfde is als de verzameling van alle 3-vouden {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...}. Net zo geldt dat {xxR1} = {xx – 1 is een 3-voud}, dus {xxR1} = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...}. «

OPGAVE 8.9 (Aanw)

In Z definiëren we de relatie E door xEy als x – y even is. a Geef 5 verschillende paren elementen (x, y) waarvoor xEy. b Geef een beschrijving van {xxE0} en van {xxE1} en toon aan dat {xxE0} ∩ {xxE1} = Ø en {xxE0} ∪ {xxE1} = Z. OPGAVE 8.10 (Aanw)

Zij V = {a, b} en definieer de relatie E op V × P(V) door xEA als x ∈A. Hierbij geldt dus x ∈V en A ⊂ V. Geef een expliciete definitie van E.

81

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.3.1

BINAIRE RELATIES ALS FIGUREN IN HET VLAK

Soms kan het nuttig zijn om een binaire relatie in het platte vlak weer te geven. In figuur 8.3 is dat gedaan voor de lijn l ⊂ R2 en de cirkelschijf C ⊂ R2. Een ander voorbeeld is te zien in de weerkaart in figuur 8.1, waarop lijnen getoond zijn die de plaatsen aangeven waar de luchtdruk gelijk is aan 1010 millibar, 1020 millibar, enzovoort. De lijn die bijvoorbeeld aangeeft waar een luchtdruk van 1010 millibar heerst, is de weergave van de relatie L op R2 gedefinieerd door xLy als in het punt (x, y) een luchtdruk van 1010 millibar heerst. Net zo is de relatie R uit voorbeeld 8.7 weer te geven als deel van het rooster Z2 uit figuur 8.2, door alleen die punten (m, n) te tekenen die in R voorkomen, ofwel waarvoor mRn geldt. Zie figuur 8.4.

FIGUUR 8.4

De relatie R op Z2 uit voorbeeld 8.7 weergegeven in het vlak

Evenzo kan men willekeurige relaties R op A × B zinvol proberen weer te geven in het vlak. Daartoe tekenen we eerst een assenstelsel. Hierin zetten we de elementen x ∈A uit op de horizontale as en de elementen y ∈B op de verticale as (omgekeerd mag ook, maar is minder gebruikelijk). Hoe de elementen precies op de assen worden uitgezet, is afhankelijk van de verzamelingen A en B (zijn ze bijvoorbeeld eindig of oneindig), maar is vaak ook een kwestie van smaak: wat willen we precies tot uitdrukking laten komen in de figuur. In de figuren 8.1, 8.3, 8.4 en 8.5 (hierna) laten we slechts een paar van de vele mogelijkheden zien: het begrip ‘relatie’ ligt vast, maar het ‘plaatje’ ervan kan zeer veel verschillende vormen aannemen. In paragraaf 8.4 over functies komen we hier nog een keer op terug. VOORBEELD

In figuur 8.5 is de relatie S op T × L uit voorbeeld 8.5 in het vlak getekend. De elementen zijn op alfabetische volgorde uitgezet. De punten geven aan welke elementen met elkaar in relatie staan.

82

Leereenheid 8 Relaties en functies

FIGUUR 8.5

De relatie S uit voorbeeld 8.5 weergegeven in het vlak

Dit soort ‘stippenpatronen’ zijn vaak aan te treffen in catalogi van fabrikanten die voor al hun beschikbare modellen (auto’s, tv’s, ...) de verschillende specificaties overzichtelijk willen weergeven.

«

OPGAVE 8.11

Teken de volgende (binaire) relaties in het vlak. a De relatie E op V × P(V) uit opgave 8.10. b De relatie E in Z uit opgave 8.9. c De relatie L in Z gedefinieerd door xLy als x – y = 1. d De relatie L als in onderdeel c, maar nu in R. e De relatie C in Z gedefinieerd door xCy als x2 + y2 ≤ 4. Voor binaire relaties op eindige verzamelingen is er een andere veelgebruikte manier van representeren: de representatie met ‘grafen’ (paragraaf 8.3.2) 8.3.2

Graaf van een relatie

BINAIRE RELATIES ALS GRAFEN

Laat A en B eindig zijn en R een relatie zijn op A × B. Om R met een graaf te representeren, tekenen we eerst de elementen van zowel A als B als punten in het vlak. De punten behorend bij A en B tekenen we in twee aparte groepen, meestal links en rechts of onder en boven. Voor het gemak zetten we de symbolen van de elementen bij de punten (men noemt dit wel de ‘labels’ van de punten). Vervolgens tekenen we een pijl van x ∈A naar y ∈B als xRy. De figuur die zo ontstaat, heet de graaf van de relatie. In figuur 8.6 is de graaf van de relatie S uit voorbeeld 8.5 getekend (de namen van de elementen zijn afgekort).

FIGUUR 8.6

83

De graaf van de relatie S op T × L uit voorbeeld 8.5

Vaak tekent men de elementen van een verzameling in een ovaal, als bij venndiagrammen. Figuur 8.6 komt er dan uit te zien als in figuur 8.7.

FIGUUR 8.7

De graaf uit figuur 8.6 gecombineerd met venndiagrammen

In de graaf van een relatie R op A  B gaan alle pijlen van A naar B. Dit verklaart de terminologie ‘een relatie van A naar B’ voor een binaire relatie op A  B (zie paragraaf 8.2). We zeggen nu ook wel dat y is toegevoegd aan x als xRy. In de relatie uit figuur 8.7 is bijvoorbeeld België toegevoegd aan Nederlands en Frans.

Toevoegen aan

OPGAVE 8.12

Beschouw voor V = {a, b} weer de relatie E op V  P(V) uit opgave 8.10 gedefinieerd door xEA als x A. a Teken de graaf van E. b Geef de elementen uit P(V) die aan a V zijn toegevoegd. Als B = A (met A eindig) hebben we dus te maken met een relatie R op A2, ofwel een binaire relatie in A. We tekenen dan op een iets andere manier een graaf van R: de elementen van A tekenen we als punten in het vlak, en als xRy, dan tekenen we een pijl van x naar y. In figuur 8.8 is de graaf getekend van de relatie E in P({1, 2}) uit voorbeeld 8.6 (xEy als x een echte deelverzameling van y is).

FIGUUR 8.8

Lus

De graaf van de relatie E in P({1, 2}) uit voorbeeld 8.6

Geldt naast xRy ook yRx, dan wordt er dus zowel een pijl van x naar y, als een pijl van y naar x getekend. Als y = x, met andere woorden geldt xRx, dan tekenen we ‘een pijl van x naar x’, ofwel een lus bij x.

Leereenheid 8 Relaties en functies

VOORBEELD 8.8

Zij B = {1, 2, 3, 4} en R de relatie in B gedefinieerd door xRy als x – y even is (zie ook opgave 8.9). De graaf van R is getekend in figuur 8.9.

FIGUUR 8.9

De graaf van de relatie R in B = {1, 2, 3, 4}

«

De graaf van een binaire relatie is een voorbeeld van een zogenaamde gerichte graaf. Op hun beurt vormen gerichte grafen een klein onderdeel van een uitgebreide theorie over ‘grafen’, waarvoor we naar leereenheid 7 verwijzen. In het bijzonder kunnen ideeën en resultaten uit de grafentheorie van toepassing zijn bij de studie van relaties. We gaan hier verder niet op in.

Gerichte graaf Graaf

OPGAVE 8.13 (Aanw)

Zij V = {1, 2} en definieer de relatie D in P(V) door xDy als x ⊂ y (als deelverzamelingen van V). Teken de graaf van D. Wat is het verschil met de graaf behorend bij de relatie E uit voorbeeld 8.6 (zie figuur 8.8)? OPGAVE 8.14 (Aanw)

Een getal m ∈Z+ is een deler van n ∈Z als er een k ∈Z bestaat waarvoor mk = n. We noteren dit met mn. Laat A de verzameling van delers van 6 zijn en definieer de relatie R in A door xRy als xy en x ≠ y. Teken de graaf van R en vergelijk deze met figuur 8.8. 8.4

Functies

Paragraaf 8.1 begonnen we met een voorbeeld waarbij een aantal dagen lang de maximumtemperatuur van de buitenlucht gemeten wordt. Ook andere zaken kunnen gemeten worden, zoals de hoeveelheid neerslag of de luchtdruk.

We houden ons nu verder bij de temperatuur.

85

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Laat D de verzameling dagen zijn waarop gemeten wordt en T de verzameling van alle mogelijke temperaturen. De meetgegevens zijn dan weer te geven als paren (d, t) met d ∈D en t ∈T en de verzameling van alle meetgegevens M vormt dus een relatie van 2 variabelen op D × T. Deze relatie heeft als bijzondere eigenschap dat aan ieder element in D precies één element in T is toegevoegd. Anders geformuleerd: voor iedere d ∈D bestaat er precies één t ∈T zodanig dat dMt. Zoals we in de introductie aangaven, wordt t (de temperatuur) nu een functie van d (de tijd in dagen) genoemd en het is de genoemde bijzondere eigenschap van de relatie M die hieraan ten grondslag ligt. Dit functiebegrip speelt een centrale rol in de wiskunde. Functie

DEFINITIE 8.4

Laat R een relatie zijn van A naar B. Dan heet R een functie van A naar B als voor iedere x ∈A er precies één y ∈B bestaat waarvoor xRy.

Twee eisen aan een relatie

Om van een functie te kunnen spreken, moet een relatie dus aan twee eisen voldoen. Allereerst moet er aan iedere x ∈A een element van B zijn toegevoegd. Bovendien mag er aan een x ∈A niet meer dan één element van B zijn toegevoegd.

VOORBEELD

Definieer de relatie l van R naar R door xly als x = y. Omdat aan iedere x ∈R precies één y ∈R is toegevoegd, namelijk y = x, volgt er dat l een functie is. Dit is de lijn l uit voorbeeld 8.4. «

Een functie herkennen in een graaf

De relatie S van T naar L uit voorbeeld 8.5 is geen functie: aan Engels ∈T is geen enkel element in L toegevoegd. Een ander argument is dat aan Nederlands ∈T de twee elementen Nederland en België in L zijn toegevoegd. We kunnen dit ook aan de graaf van S in figuur 8.6 zien: vanuit E(ngels) ∈T vertrekt geen enkele pijl en vanuit N(ederlands) ∈T vertrekken twee pijlen. Dit geldt algemeen. Als A en B eindig zijn, dan kunnen we in de graaf van een relatie van A naar B zien of het een functie is, doordat er dan vanuit ieder punt van A precies één pijl vertrekt. Hoeveel pijlen er in punten van B aankomen, is niet van belang: dit kan meer dan één pijl zijn, maar het kan ook geen enkele pijl zijn. Het is gebruikelijk om bij de graaf van een functie van A naar A de punten van A wel twee maal weer te geven, omdat dit beter bij het functie-idee aansluit. Dit wijkt dus af van wat we bij relaties hebben afgesproken.

OPGAVE 8.15

Ga van de volgende relaties na of het functies zijn. Motiveer steeds het antwoord. a De relatie E op {a, b} × P({a, b}) gedefinieerd door xEA als x ∈A (als in opgave 8.10). b De relatie E in Z gedefinieerd door xEy als x – y even is (opgave 8.9) c De relatie L in Z gedefinieerd door xLy als x – y = 1 (opgave 8.11c). d De relatie L als in onderdeel c, maar nu in R (opgave 8.11d). e De relatie C in Z gedefinieerd door xCy als x2 + y2 ≤ 4 (opgave 8.11e).

86

Leereenheid 8 Relaties en functies

Afbeelding

Afbeelding = functie

Notatie y = f(x)

Een functie wordt ook wel een afbeelding genoemd. Soms wordt er tussen functie en afbeelding een onderscheid gemaakt, maar wij zullen dat niet doen. Meestal gebruiken we ‘functie’, tenzij er speciale redenen zijn (zoals historische) om hier van af te wijken. In plaats van de R voor relatie geven we een functie meestal aan met de f en omdat aan iedere x ∈A precies één y ∈B is toegevoegd, schrijven we voortaan y = f(x) in plaats van xfy. Naast de formele definitie van functie zal het handig zijn om een functie f van A naar B op te vatten als een ‘zwarte doos’ (Engels: black box), die een invoer x (Engels: input) op een bepaalde manier bewerkt (als een ‘machine’) tot een uitvoer y (Engels: output). In figuur 8.10 is dit schematisch weergegeven.

Zwarte doos Invoer Uitvoer

FIGUUR 8.10 Notatie f : A → B en x → f(x)

Argument

VOORBEELD 8.10

Een functie f als zwarte doos met invoer x en uitvoer y

Enigszins hierbij aansluitend zal voor een functie f van A naar B de verkorte ‘pijlnotatie’ f : A → B gebruikt worden. We schrijven dan ook wel x → f(x), waarmee we bedoelen dat f(x) ∈B het unieke element is dat aan x ∈A is toegevoegd. In deze notatie wordt x wel het argument van f genoemd. Op Z × N definiëren we de relatie f door xfy als y = x2. Dus geldt bijvoorbeeld 2f4 en ook –2f4 omdat 22 = (–2)2 = 4. Aan iedere x ∈Z is nu precies één y ∈N toegevoegd, immers, een getal kan niet twee verschillende kwadraten hebben. Dit betekent dat f : Z → N een functie is. Omdat y = f(x) = x2, zegt men wel dat de functie ‘gegeven wordt door f(x) = x2’ of « ‘gegeven wordt door y = x2’. Dit laatste voorbeeld toont een algemeen gebruik. Vooral bij definities van functies in termen van rekenkundige bewerkingen wordt de ‘y’ of de ‘f ’ in de notatie achterwege gelaten. Men zegt dan: ‘beschouw de functie y = x2 van Z naar N’ of ‘definieer de functie f : Z → N door f(x) = x2’ of ‘laat f de functie van Z naar N zijn gegeven door x → x2’. Deze manier van noteren wordt een functievoorschrift genoemd.

Functievoorschrift OPGAVE 8.16

a Geef een functievoorschrift van de relaties uit opgaven 8.15c en d. b Op N × Z definiëren we de relatie f door xfy als x = y2. Is f een functie? Zo nee, waarom niet. Zo ja, geef een functievoorschrift. Omdat functies van A naar B een speciaal soort binaire relaties zijn, kunnen ze op dezelfde manieren gerepresenteerd worden als de relaties: als figuur in het vlak en als graaf (deze laatste alleen als A en B eindig zijn). De figuur in het vlak wordt bij een functie de grafiek genoemd. De precieze definitie van dit begrip is als volgt.

87

Open Universiteit

Grafiek

Logica, verzamelingen en relaties

DEFINITIE 8.5

Eigenlijk geldt grafiek = functie, ... ... maar toch zullen we grafiek = figuur bedoelen.

Laat f : A → B een functie zijn. De deelverzameling {(x, f(x))x ∈A} van het cartesisch product A × B heet de grafiek van f. Met de term grafiek wordt dus eigenlijk niet een figuur bedoeld, maar de verzameling {(x, f(x))x ∈A}. Strikt gesproken zijn we hiermee zelfs weer ‘terug bij af’: f : A → B is een relatie, dus een deelverzameling van het cartesisch product A × B en wel precies {(x, f(x))x ∈A}! Toch zullen we voortaan, enigszins slordig, met de grafiek de figuur bedoelen. Dat is wel zo handig. Het voordeel van definitie 8.5 is, dat de grafiek hiermee precies vast ligt, wat beslist niet geldt voor het plaatje dat we er van tekenen. De opmerkingen die we daar in paragraaf 8.3 over maakten, zijn ook hier van toepassing. Zo kan men de grafiek van f : Z → N gegeven door f(x) = x2, tekenen als stippenpatroon, maar bijvoorbeeld ook als staafjes of als blokken.

FIGUUR 8.11

Continu

Drie ‘grafieken’ van x → x2 van Z naar N: met stippen, staafjes of blokken

Soms worden in dit soort grafieken de losse punten met lijnstukjes of met een vloeiende kromme verbonden. Denk bijvoorbeeld aan een grafiek waarin het verloop van de temperatuur te zien is over een zekere periode. De afzonderlijke punten worden dan met een vloeiende lijn verbonden, omdat de temperatuur een vloeiend of continu verloop heeft. De ‘echte’ vloeiende krommen ontstaan als we de grafieken tekenen van functies van R naar R. De lijn l uit figuur 8.3 is hier een voorbeeld van. Een ander voorbeeld is te zien in figuur 8.12, waar de grafiek is getekend van f : R → R gegeven door f(x) = x2. In deze cursus besteden we geen aandacht aan het ‘continue’ karakter van dit soort grafieken.

88

Leereenheid 8 Relaties en functies

FIGUUR 8.12

De grafiek van x → x2 van R naar R

OPGAVE 8.17

a Beschouw de functie f : Z → Z gegeven door f(x) = x – 1 (zie opgave 8.15c). Teken de grafiek van f en geef de grafiek ook als verzameling. b Doe hetzelfde als in onderdeel a voor de functie f : R → R gegeven door f(x) = 2x + 1. Voor functies introduceren we nu de volgende terminologie. Domein of definitiegebied

DEFINITIE 8.6

Beeld

Bereik of waardenverzameling

Notatie f(V)

Origineel Volledig origineel

Laat f : A → B een functie zijn. De verzameling A heet het domein of het definitiegebied van f. ls y = f(x), dan heet y het beeld van x (ook wel de waarde van x). In het algemeen, als V ⊂ A, dan heet {y ∈By = f(x) voor zekere x ∈V} het beeld van V. Het beeld van V noteren we met f(V). De verzameling f(A), dus de verzameling van alle beelden f(x) met x ∈A, heet het bereik of de waardenverzameling van f. Als y = f(x), dan heet x een origineel van y. In het algemeen, als W ⊂ B, dan heet {x ∈Af(x) = y voor zekere y ∈W} het volledig origineel van W. Er is geen enkele dwingende reden om vast te houden aan de letter f voor een functie of de letters x en y voor een origineel en een beeld. Zoals altijd is het zelfs gebruikelijk om suggestieve letters te kiezen, bijvoorbeeld m en n als het origineel of beeld tot N behoort, q en r als ze tot Q behoren, enzovoort. De fameuze x en y worden meestal gebruikt in abstracte zin, maar ook als origineel of beeld tot R behoort. Daarentegen gebruikt men bijvoorbeeld in de economie weer meestal de letter q vanwege de Engelse term ‘quantity’ (hoeveelheid).

VOORBEELD 8.11

Beschouw de functie f : Z → N gegeven door f(n) = n2. Het domein van f is Z. Het beeld van 2 is 4 en het beeld van –2 is evenzo 4. Het bereik f(Z) is de verzameling kwadraten in N, ofwel {0, 1, 4, 9, ...}. Ook f(N) = {0, 1, 4, 9, ...}. Een origineel van 1296 is 36, maar ook –36. Het volledig origineel van {1296} is {–36, 36}. «

89

Soms wordt een functie op twee of meer deelverzamelingen van het domein door verschillende voorschriften gegeven. Als voorbeeld nemen we de functie f :  gegeven door f(x) = –x voor x < 0 en f(x) = x voor x ≥ 0. Dit soort functies wordt meestal als volgt genoteerd:

 x f (x )   x  Absolute waarde

voor x  0 voor x  0

Omdat deze functie nogal eens gebruikt wordt, is de aparte notatie x ingevoerd voor het beeld van x. Dit beeld wordt de absolute waarde van x genoemd en is altijd ≥ 0. In figuur 8.13 is de grafiek van f getekend. Het bereik van deze functie is {x  x ≥ 0}.

Notatie x

FIGUUR 8.13

De grafiek van x  x van

naar

OPGAVE 8.18 (Aanw)

Laat f :



de functie zijn gegeven door

2 x  1  f ( x )  0 2 x  1  a b c d e

Geef het domein van f. Ga na dat f(x) = 2x – 1. Bepaal de beelden van –1/2, 0, 1/2 en 1 en teken de grafiek van f. Bepaal het bereik van f. Bepaal het volledig origineel van {y  1 ≤ y ≤ 7}.

Functies met domein

Rij Termen

voor x  1/2 voor x  1/2 voor x  1/2

DEFINITIE 8.7

Gebruikelijke rijnotatie

Aan de hand van het domein kunnen we speciale klassen van functies onderscheiden. Allereerst zijn dat de functies met als domein , wat in feite de rijen zijn. Hoewel dit begrip al eerder gebruikt is, kunnen we er nu een formele definitie van geven. Een rij is een functie met als domein de verzameling zo’n functie worden de termen van de rij genoemd.

. De beelden van

Laat f :  B een rij zijn. Door de beelden van 0, 1, 2, 3, ... achter elkaar te noteren, ontstaat de rijnotatie f(0), f(1), f(2), f(3), ... Vervolgens wordt in plaats van f(n) de indexnotatie fn gebruikt. Zo krijgen we de gebruikelijke notatie f0, f1, f2, f3, ... voor een rij. Bij het bestuderen van rijen is deze notatie zo overheersend, dat vrijwel nooit expliciet naar de bijbehorende functie op wordt verwezen. Men heeft het bijvoorbeeld over de rij 1, –1, 1, –1, 1, ..., of over de rij gedefinieerd door fn = (–1)n, in plaats van over de rij behorend bij de functie n  (–1)n van naar .

Leereenheid 8 Relaties en functies

Eindige rij

Functie van één variabele

Functie van n variabelen

Functies met als domein een cartesisch product

Nemen we van een rij slechts eindig veel termen, dan spreken we van een eindige rij. Het domein van de bijbehorende functie is dan een eindige deelverzameling van N. Digitale informatie op een compact disc of in een computerbestand is op te vatten als een eindige rij nullen en enen. In leereenheid 11 komen we uitgebreider terug op rijen. Een tweede manier om functies van elkaar te onderscheiden, is naar het aantal variabelen in het domein. Kijk eerst weer eens naar het voorbeeld van de temperatuurmeting. Voor iedere d ∈D (D is de verzameling dagen) is er precies één t ∈T (T is de verzameling temperaturen) die gemeten wordt en dus is t een functie f van de tijd d (in dagen): t = f(d). We zeggen nu dat f een functie is van één variabele, in dit geval de variabele d. Stel nu dat we ook op verschillende plaatsen gaan meten en laat P de verzameling plaatsen zijn waar gemeten wordt. Noem A = P × D en definieer de relatie f van A naar T door (p, d)ft als t de temperatuur is op plaats p en dag d. Bij iedere (p, d) ∈A hoort precies één t ∈T, wat betekent dat f een functie van A naar T is. Omdat A een cartesisch product is van twee verzamelingen, wordt f een functie van de twee variabelen p en d genoemd: t = f(p, d). Als we bij de meting van de temperatuur ook nog het uur u van de dag en de hoogte h boven de grond aangeven, dan wordt t een functie van vier variabelen: t = f(u, d, p, h). In het algemeen spreekt men van een functie f van n variabelen als het domein A van f een cartesisch product is van n verzamelingen, dus A = A1 × A2 × ... × An. Zo’n functie voegt aan iedere n-tupel (x1, x2, ..., xn) in A een element toe en we schrijven in dit geval y = f(x1, x2, ..., xn). Functies van meer variabelen zijn weer door een functievoorschrift te geven, zoals de functie f : R2 → R van twee variabelen gegeven door f(x, y) = x2 + y2 of de functie f : R3 → R van drie variabelen gegeven door f(x, y, z) = x + y + z, enzovoort. Ook kan een functie f van meer variabelen weer als zwarte doos opgevat worden: f bewerkt dan de n invoerwaarden x1, x2, ..., xn tot één uitvoerwaarde y. Zie figuur 8.14.

FIGUUR 8.14

Een functie f van n variabelen als zwarte doos

Ten slotte kan bij functies f : A → B zowel A als B een cartesisch product zijn. Een bijzonder geval hiervan is een functie van Rn naar Rm voor zekere n, m ∈Z+, zoals f : R3 → R2 gegeven door f(x, y, z) = (x + y + z, x2 + y2). OPGAVE 8.19

Wortelfunctie

Laat V de verzameling kwadraten zijn van getallen in N, dus V = {0, 1, 4, 9, ...}. Op V × N definiëren we de relatie f door xfy als x = y2. a Laat zien dat f een functie is. Het beeld van x ∈V noteren we met √x. b Geef f in de vorm van een functievoorschrift en teken de grafiek van f. Deze functie heet de wortelfunctie. c Geef het domein en het bereik van f.

91

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 8.20 (Aanw)

Laat N de verzameling letters in het Nederlandse alfabet zijn. Zet de letters in hun standaardvolgorde en voeg aan iedere letter haar rangnummer toe: a → 1, b → 2, ..., z → 26. Definieer f : N → N door f(σ) = rangnummer van σ. a Ga na dat f een functie is en bepaal f(f) en het bereik f(N). Laat nu N* de verzameling van alle eindige rijtjes van letters uit N zijn. Noteer die rijtjes zonder komma’s. Definieer g: N* → N door g(ξ) = f(σ1) + f(σ2) + ... + f(σm) als ξ = σ1σ2 ... σm ∈N*. b Ga na dat g een functie is en bepaal g(aa), g(b), g(r), g(drab), g(bard), g(baard), g(zzzz) en het bereik g(N*). (Bedenk voor het bereik dat N* ook het rijtje bevat dat geen enkel symbool heeft; dit wordt wel het ‘lege rijtje’ genoemd.) c Schrijf an voor het rijtje aa...a (n maal). Bepaal voor g het beeld van {ξ ∈N*ξ = an voor zekere n ∈N} en {ξ ∈N*ξ = bn voor zekere n ∈N}. d Bepaal voor g het volledig origineel van {2} en {1, 2, 3}. OPGAVE 8.21 (Aanw)

Beschouw de functie f : R → R gegeven door f(x) = 2x2 – 2. a Geef het domein van f. b Bepaal de beelden van –2, –1, 0, 1, 2 en 3 en schets de grafiek van f. c Bepaal het bereik van f. d Zij U = {x ∈R–1 ≤ x ≤ 2}. Bepaal f(U). e Zij V = {y ∈R0 < y ≤ 16}. Bepaal het volledig origineel van V. 8.5

Surjectieve, injectieve en bijectieve functies

Uit de definitie van functie van A naar B volgt dat ieder origineel uit A een bijbehorend beeld in B heeft. Maar niet ieder element uit B hoeft op te treden als beeld van een origineel uit A. Bekijk eens de functie f : Z → N gegeven door f(n) = n2. Omdat het bereik van f bestaat uit alle kwadraten 0, 1, 4, 9, 16, ... in N, zijn er dus (veel) elementen in N die niet optreden als beeld van een origineel uit Z (bijvoorbeeld 2, 3 en 5). Anderzijds bestaan er wel degelijk functies f : A → B waarbij wél ieder element uit B een origineel heeft. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is de functie g: Z → Z gegeven door g(n) = n + 1. Voor deze functie geldt dat m ∈Z als origineel het getal m – 1 ∈Z heeft, immers, g(m – 1) = m. Voor g geldt dus dat ieder element uit B inderdaad een origineel heeft. Deze belangrijke eigenschap heeft een aparte naam gekregen. Surjectief Op

Surjectie

DEFINITIE 8.8

Een functie f : A → B heet surjectief (of ‘op’) als f(A) = B, met andere woorden, als er voor iedere y ∈B een origineel x ∈A bestaat.

Surjectief: altijd minstens één origineel.

Bij een surjectieve functie heeft een element uit B dus altijd ten minste één origineel. Er mogen ook elementen uit B zijn met meer dan één origineel. Een surjectieve functie noemen we ook kortweg surjectie. De functie g: Z → Z gedefinieerd door g(n) = n + 1 is een surjectie: iedere m ∈Z heeft een origineel (namelijk m – 1).

92

Leereenheid 8 Relaties en functies

Surjecties maken: f: A → f(A) is altijd surjectief.

VOORBEELD

Daarentegen is de functie f: Z → N gegeven door f(n) = n2 geen surjectie: het element 2 ∈N heeft bijvoorbeeld geen origineel. Het is wel eenvoudig om uit f een surjectie te krijgen: laat V de verzameling van kwadraten van getallen in N zijn, dan is f : Z → V wel een surjectie. Wat we hier gedaan hebben, voor f : Z → N de verzameling N vervangen door het bereik f(Z) = V, kunnen we altijd doen: door bij een functie f : A → B de verzameling B te vervangen door het bereik f(A), wordt f vanzelf surjectief. Een flauwe truc misschien, maar toch goed om te onthouden. Bovendien geeft dit een aardige systematiek om na te gaan of een functie surjectief is: bepaal het bereik f(A), dus {y ∈By = f(x) voor zekere x ∈A}, en kijk of f(A) gelijk is aan B. We geven nog een voorbeeld. De functie f : R → R gegeven door f(x) =x is niet surjectief. Immers, het bereik f(A) van f is V = {y ∈Ry ≥ 0}, dus het element –1 ∈R heeft bijvoorbeeld geen origineel. Maar f : R → V is wel surjectief.

«

OPGAVE 8.22

Ga na of de volgende functies surjecties zijn. Is het geen surjectie, bepaal dan de verzameling waarvoor het wel een surjectie is. a De functie f van U = {Frankrijk, Spanje, België} naar V = {Engels, Frans, Spaans} gedefinieerd door f(u) = v als men in land u de taal v spreekt (zie eventueel ook voorbeeld 8.5). b De functie f : R → R gegeven door f(x) = x2. OPGAVE 8.23

Laat f : A → B een functie zijn tussen twee eindige verzamelingen. Omdat een functie in het bijzonder een relatie is, kunnen we van f ook een graaf bepalen (zie paragrafen 8.3.2). Hoe is aan de graaf van f te zien of het een surjectie is. Een tweede onderscheid dat we kunnen maken voor een functie van A naar B is het aantal keer dat een element uit B optreedt als beeld. Immers, voor een element uit B geldt dat er geen, één of meer dan één origineel kan zijn. Zo geldt voor f : Z → N gegeven door f(n) = n2 dat 3 ∈N geen origineel heeft (er is geen getal in Z met kwadraat 3), dat 0 precies één origineel heeft (namelijk 0) en dat 4 meer dan één origineel heeft (–2 en 2). Als deze laatste mogelijkheid zich nooit voordoet, dan heet f een injectieve functie. Er zijn dan nooit verschillende originelen x, y waarvoor f(x) = f(y). Anders gezegd: als f(x) = f(y), dan moet wel gelden dat x = y. (Let op dat x en y hier beide originelen zijn, en dat er dus niet y = f(x) geldt!) Injectief Een-eenduidig Een-op-een

Injectie

DEFINITIE 8.9

Een functie f : A → B heet injectief (of een-eenduidig of een-op-een) als voor alle x, y ∈A geldt dat uit f(x) = f(y) volgt dat x = y.

Injectief: altijd hooguit één origineel

Bij een injectieve functie heeft een element uit B dus hooguit één origineel. Er kunnen wel elementen uit B zijn met geen enkel origineel. Er is dus ofwel geen enkel ofwel precies één origineel. Een injectieve functie noemen we ook kortweg injectie.

93

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Injecties maken door het domein te verkleinen ... maar wel zo groot mogelijk te houden.

VOORBEELD

De functie f: Z → N gegeven door f(n) = n2 is niet injectief, omdat bijvoorbeeld het beeld 1 ∈N twee verschillende originelen 1 en –1 heeft. Het is eenvoudig om uit f een injectie te krijgen. Volgens definitie 8.9 moeten we er dan voor zorgen dat uit f(m) = f(n), dus uit m2 = n2, volgt dat m = n. Dit kunnen we bereiken door het domein van f te beperken tot (bijvoorbeeld) N. Immers, als m2 = n2 en zowel m als n behoren tot N, dan moet er wel gelden dat m = n. Met andere woorden, de functie f : N → N is wel een injectie omdat voor alle m, n ∈N geldt dat uit f(m) = f(n), dus m2 = n2, volgt dat m = n. Wat we hier gedaan hebben, voor f : Z → N het domein Z vervangen door het ‘kleinere’ domein N, kunnen we altijd doen: door het domein van een niet-injectieve functie te vervangen door een ‘voldoende klein’ domein, ontstaat een injectie. Daarbij streven we er steeds stilzwijgend naar het domein zo groot mogelijk te houden. Immers, door het domein te verkleinen tot slechts één element, ontstaat altijd een injectie. Let ook op dat er vaak meer keuzen mogelijk zijn voor een (zo groot mogelijk) domein waarop een gegeven functie een injectie wordt. In ons voorbeeld is ook f : Z– ∪ {0} → N injectief (ga na)! De functie f : R → R gegeven door f(x) =x, is niet injectief. Er geldt bijvoorbeeld dat f(3) = f(–3) = 3, dus het beeld 3 heeft twee verschillende originelen (3 en –3). Als echterx=y, en er geldt zowel x ≥ 0 als y ≥ 0, dan volgt dat x = y. Definiëren we nu V = {x ∈Rx ≥ 0}, dan is f : V → R wel injectief omdat nu uit f(x) = f(y), dusx=y, volgt dat x = y. Nemen we W = {x ∈Rx ≤ 0}, dan is ook f : W → R een injectie, omdat ook uitx=ymet x ≤ 0 en y ≤ 0 volgt dat x = y. «

OPGAVE 8.24

Ga van de functies uit opgave 8.22 na of het injecties zijn. Is het geen injectie, bepaal dan een domein waarvoor het wel een injectie is. OPGAVE 8.25

Laat f : A → B een functie zijn tussen twee eindige verzamelingen. Hoe is aan de graaf van f te zien of het een injectie is? Bijectief

DEFINITIE 8.10

Een functie f : A → B heet bijectief als f zowel surjectief als injectief is.

Bijectie

Spreek uit: bi-jectie(f).

Een bijectieve functie noemen we ook kortweg bijectie. Een bijectie heeft niet alleen bij ieder origineel precies één beeld, maar ook bij ieder element uit het bereik B precies één element uit A als origineel. De functie f : Z → N gegeven door f(n) = n2 is noch surjectief, noch injectief. Door nu het domein aan te passen en N te vervangen door een bijbehorend bereik, kunnen we uit f een bijectie krijgen: laat V de verzameling van kwadraten van getallen in N zijn, dan is f : N → V zowel een surjectie als een injectie en dus een bijectie. Ook dit kunnen we altijd doen, waarbij de opmerkingen die hier over gemaakt zijn bij injecties, opnieuw van toepassing zijn.

Bijectief: altijd precies één origineel. Bijecties maken door domein te verkleinen en bijbehorend bereik te bepalen.

VOORBEELD

De functie f : R → R gegeven door f(x) =xis noch injectief, noch surjectief. Nemen we V = {x ∈Rx ≥ 0}, dan volgt uit het voorgaande voorbeeld dat f : V → R injectief is. Omdat in dit geval het bereik f(V) eveneens gelijk aan V is, zien we dat f : V → V zowel injectief als surjectief is, en dus dat f dan een bijectie is. «

94

Leereenheid 8 Relaties en functies

Het is overigens niet altijd eenvoudig om na te gaan of een functie surjectief en/of injectief is. Vaak is het een kwestie van wat puzzelen en uitproberen: wat waarden berekenen, grafieken schetsen (indien dit van toepassing is), proberen y = f(x) en/of f(x) = f(y) ‘op te lossen’, enzovoort. Voor de functies waar u in deze cursus mee te maken krijgt, moet dit voldoende zijn om achter de surjectiviteit en/of injectiviteit (en dus de bijectiviteit) te komen. OPGAVE 8.26

Ga van de functies uit opgave 8.22 na of het bijecties zijn. Is het geen bijectie, bepaal dan een domein en bereik waarvoor het wel een bijectie is. OPGAVE 8.27 (Aanw)

Laat f : A → B een bijectieve functie zijn tussen twee eindige verzamelingen. a Hoe is aan de graaf van f te zien dat f een bijectie is? b Laat zien dat A en B hetzelfde aantal elementen hebben.

Bij functies altijd het grootst mogelijke domein aannemen.

Partiële functie

In het voorafgaande zijn we eigenlijk slordig geweest in onze notaties. Strikt genomen ontstaat er namelijk door het veranderen van het domein een andere functie. Maar het is vrijwel altijd uit de context duidelijk wat het domein van een gegeven functie is en slordigheden hierover leveren dan geen gevaar op. We zullen zelfs nog een stapje verder gaan en bijvoorbeeld spreken over de functie f : R → R gegeven door f(x) = 1/x. Volgens definitie 8.4 is dit geen functie: aan 0 ∈R wordt geen element toegevoegd omdat 1/0 niet gedefinieerd is. Het woord ‘functie’ creëert echter de context waaruit duidelijk is dat we R – {0} als domein van f nemen. Voortaan geven we aan deze slordigheden toe en gaan we er steeds (stilzwijgend) van uit dat een functie f : A → B gegeven is op het grootst mogelijke domein in A, tenzij er uitdrukkelijk iets anders wordt vermeld. Dit heeft als consequentie dat het belangrijk kan zijn om van een gegeven functie eerst na te gaan wat precies ‘het’ domein van die functie is. Overigens wordt er soms een aparte term ingevoerd (zoals partiële functie) voor een functie die als domein slechts een echte deelverzameling van A heeft. Wij zullen dat niet doen. Tot slot van deze paragraaf introduceren we twee klassen van functies die vanwege hun ‘extreme’ gedrag vaak een speciale rol vervullen. Allereerst is dat de functie die niet van waarde verandert, ofwel constant is, zoals f : R → R gegeven door f(x) = 3 voor alle x ∈R.

Constante functie

DEFINITIE 8.11

Een functie f : A → B waarvoor geldt dat f(x) = f(y) voor alle x, y ∈A, heet een constante functie. Is het domein van een constante functie de verzameling N, dan spreken we van een constante rij (bijvoorbeeld de rij 1, 1, 1, 1, ...).

Constante rij OPGAVE 8.28

Laat f : A → B een constante functie zijn. a Uit hoeveel elementen bestaat f(A)? b Voor welke verzamelingen A is f injectief? c Voor welke verzamelingen B is f surjectief? d Voor welke verzamelingen A en B is f bijectief? e Schets de grafiek van f : R → R gegeven door f(x) = 3 voor alle x ∈R.

95

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

De functie f : R → R gedefinieerd door f(x) = x is een eenvoudig voorbeeld van een bijectie. Omdat f iedere x ∈R op zichzelf afbeeldt, wordt het de identieke functie op R genoemd. Zo’n functie is voor iedere verzameling te definiëren en in paragraaf 8.6 zullen we het belang hiervan zien. Identieke functie Identiteit

DEFINITIE 8.12

Notatie 1 of I of id

of 1A

De functie f : A → A waarvoor geldt dat f(x) = x voor alle x ∈A, heet de identieke functie of de identiteit op A. De identiteit beeldt iedere x ∈A op zichzelf af en is dus zowel injectief als surjectief, dus bijectief. De identiteit op A noteren we met 1, maar ook I of id wordt vaak gebruikt. Is er meer dan één verzameling in het spel, bijvoorbeeld A en B, dan geven we vaak de verzameling als index aan de identiteit mee, dus 1A en 1B en dergelijke.

OPGAVE 8.29

Ga van de volgende functies na of het injecties, surjecties of bijecties zijn. Als het geen bijectie is, bepaal dan een domein en bereik waarvoor het wel een bijectie is. a De functie f : Z → Z gegeven door f(x) = 2x + 1. b De functie g: R → R gegeven door g(x) = 2x + 1. c De functie h: R → R gegeven door h(x) = 2x2 – 2. d De functie f : P(V) → N gegeven door f(x) = aantal elementen in x. Hierbij is V een verzameling met n elementen (n ≥ 2) en P(V) de machtsverzameling van V. e De functies f : N → N en g: N* → N uit opgave 8.20. f De functie h: R2 → R2 gegeven door h(x, y) = (x2, y2). 8.6

De inverse functie en het samenstellen van functies

8.6.1

DE INVERSE

In de vorige paragraaf werd nogal wat aandacht besteed aan het bijectief maken van functies. Wat is eigenlijk het belang van bijecties? Met bijecties zijn verzamelingen met elkaar te vergelijken. Bijecties zijn omkeerbaar.

Omkeerprobleem

Allereerst worden bijecties gebruikt om verzamelingen met elkaar te vergelijken. Een voorbeeld hiervan is het begrip ‘evenveel elementen’. Is f : A → B een bijectie tussen twee eindige verzamelingen, dan hebben A en B evenveel elementen (zie opgave 8.27). Bijecties zijn verder belangrijk omdat het ‘omkeerbare’ functies zijn. Om dit te illustreren, bekijken we een eenvoudig voorbeeld. Als een vierkant is gegeven met zijden met lengte x (in een zekere lengteeenheid), dan heeft dit vierkant oppervlakte x2. Omgekeerd kunnen we ons afvragen wat de lengte van de zijden is, als gegeven is dat de oppervlakte x bedraagt. Het gaat ons nu (nog) niet zozeer om het antwoord, dat √x is, maar om het ‘omkeerprobleem’. Om dit voor ons voorbeeld in termen van functies te formuleren, introduceren we de verzameling V = {x ∈Rx ≥ 0} en de functie f : V → V gegeven door f(x) = x2. Het omkeerprobleem luidt dan: Gegeven het getal x ∈V, welk getal y ∈V heeft dan x als kwadraat, ofwel, voor welke y ∈V geldt dat f(y) = x?

96

Leereenheid 8 Relaties en functies

Inverse functie

Dit is de essentie van het omkeerprobleem: f is een bijectie.

We weten dat er voor iedere x ∈V een uniek antwoord y ∈V op deze vraag is, omdat f : V → V een bijectie is (zie eventueel opgave 8.22) en er dus voor iedere x uit het bereik V precies één y uit het domein V is waarvoor f(y) = x. Kijken we nu naar definitie 8.4, dan betekent dit precies dat we een nieuwe functie g: V → V kunnen definiëren door y = g(x) als f(y) = x, ofwel als y de oplossing is van het omkeerprobleem. In ons voorbeeld wordt die oplossing gegeven door y = √x en dus is g(x) = √x. In plaats van de ‘omgekeerde’ van een functie spreken we van de inverse functie: de functie x → √x is de inverse functie van x → x2.

DEFINITIE 8.13 Notatie f–1

Zij f : A → B een bijectie. De inverse functie van f, genoteerd met f–1, is de functie van B naar A gedefinieerd door f–1(b) = a als b = f(a). De inverse functie zullen we ook kortweg inverse noemen. Dat de inverse een omkering teweeg brengt, is goed te zien aan een bijectie tussen eindige verzamelingen: uit de graaf van de bijectie ontstaat de graaf van de inverse door alle pijlen om te draaien.

Inverse

OPGAVE 8.30

Beschouw de functie f van U = {België, Duitsland, Engeland, Spanje} naar V = {Duits, Engels, Nederlands, Spaans} gedefinieerd door f(x) = y als men in het land x de taal y spreekt. a Laat zien dat f een bijectie is en teken de graaf van f. b Bepaal de inverse functie van f en teken de graaf van f–1.

Methode om de inverse te bepalen: probeer y op te lossen uit x = f(y).

VOORBEELD

Is een bijectie gegeven, dan is een veel voorkomend probleem dat de inverse in één of andere expliciete vorm bepaald moet worden. Hiervoor zijn geen vaste methoden te geven en het kan een uiterst moeilijk, of zelfs principieel onoplosbaar, probleem zijn. Voor eenvoudige functies is er een standaardmethode om te proberen een inverse te vinden. Neem als voorbeeld weer de functie y = x2 (van V = {x ∈Rx ≥ 0} naar V). Uit definitie 8.13 volgt dat f–1 de functie van V naar V is die gedefinieerd wordt door f–1(x) = y als x = f(y), ofwel als x = y2. Merk op dat x = y2 ontstaat uit y = x2 door x en y te verwisselen. Om f–1 te bepalen, lossen we nu y op uit x = y2. Omdat y ≥ 0, wordt die oplossing gegeven door y = √x, waarmee f–1: V → V gevonden is: f–1(x) = √x. Overigens, de functie y = x2 van R naar R heeft geen inverse omdat het geen bijectie is. Hieruit halen we het volgende algemene principe. Is de bijectie f : A → B gegeven door een vergelijking van de vorm y = f(x), verwissel dan x en y en probeer y op te lossen uit de vergelijking x = f(y). De functie f–1 wordt dan gegeven door de uitdrukking die voor y gevonden is: f–1(x) = y. We merken nog op dat het kunnen oplossen van y uit x = f(y) (voor iedere x ∈B) precies neerkomt op het bewijzen van de surjectiviteit; het bepalen van de inverse en het bewijzen van de surjectiviteit gaan dus in één moeite door. Het is eenvoudig te laten zien dat f : R → R gegeven door f(x) = 2x + 4 injectief is (zie eventueel opgave 8.29b). Om aan te tonen dat f surjectief is, moeten we voor iedere y ∈R een x ∈R vinden waarvoor 2x + 4 = y.

97

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Door x en y te verwisselen, mogen we ook een y bepalen waarvoor 2y + 4 = x. Maar dit komt precies neer op het bepalen van de inverse! Omdat uit 2y + 4 = x volgt dat y = (x – 4)/2, is nu zowel de surjectiviteit bewezen als « de inverse bepaald: f–1: R → R is de functie f–1(x) = x/2 – 2. Grafiek van de inverse

Spiegelen in de lijn y = x.

Deze methode voor het bepalen van de inverse laat ook zien hoe we uit de grafiek van een bijectie f de grafiek van de inverse kunnen krijgen. Immers, het verwisselen van x en y betekent dat we in een assenstelsel de horizontale en de verticale as van rol laten verwisselen. Dit kan bereikt worden door te spiegelen in de lijn y = x, met andere woorden door letterlijk een spiegel te plaatsen op de lijn y = x. Het gespiegelde van de grafiek van f is dan de grafiek van f–1. In figuur 8.15 is dit weergegeven voor de functie f(x) = 2x + 4 uit voorgaand voorbeeld.

FIGUUR 8.15

De gespiegelde van de grafiek van f in de lijn y = x is de grafiek van f–1

OPGAVE 8.31 (Aanw)

Bepaal van de functies de inverse of laat zien dat die niet bestaat. a De functie f : Z → Z gegeven door f(x) = –3x + 4. b De functie f : R → R gegeven door f(x) = 8x – 4. c De functie g: Q – {2} → Q – {0} gegeven door g(x) = 1/(2x – 4). d De functie g: P(Z) → P(N) gegeven door g(x) = x ∩ N. e De functie h: R2 → R gegeven door h(x, y) = 8x2 + 2y. 8.6.2

HET SAMENSTELLEN VAN FUNCTIES

Nemen we eerst het kwadraat van een getal x ≥ 0 en vervolgens weer de wortel uit dat kwadraat, dan keren we terug bij ons uitgangspunt x, ofwel x 2 = x voor x ≥ 0. Dit is een karakteristieke eigenschap van de inverse: het na elkaar toepassen van een bijectie en haar inverse, brengt ons terug bij het uitgangspunt. Maar wat bedoelen we precies met het ‘na elkaar toepassen’ van functies? Dit is zeker niet voorbehouden aan een bijectie en haar inverse. Zo is x → (x – 1)2 ook op te vatten als het na elkaar toepassen van ‘1 aftrekken’ en ‘kwadrateren’. Om een goed beeld te krijgen van het na elkaar toepassen van functies, beschouwen we een functie weer als zwarte doos. Laat f een zwarte doos zijn die een invoer x

98

Leereenheid 8 Relaties en functies

bewerkt tot de uitvoer y = f(x). In figuur 8.16 gebruiken we de uitvoer y als invoer voor een tweede zwarte doos g. De uitvoer van g is z genoemd en er geldt dus dat z = g(y). Omdat ook y = f(x), geldt er z = g(f(x)).

FIGUUR 8.16

De uitvoer van de zwarte doos f is de invoer van de zwarte doos g; zo ontstaat de nieuwe zwarte doos ‘g ° f ’

De toevoeging x → z, met z = g(f(x)), geeft een nieuwe zwarte doos die de invoer x bewerkt tot de uitvoer z. Die nieuwe zwarte doos noemen we de samenstelling van f en g en is in figuur 8.16 als de zwarte doos ‘g ° f ’ (‘g na f ’) weergegeven. Voor dit begrip is het van geen enkel belang of de functies injectief, surjectief dan wel bijectief zijn. Samenstelling

DEFINITIE 8.14 Notatie g ° f

Laat f : A → B en g: B → C functies zijn. De samenstelling van f en g, genoteerd met g ° f (spreek uit ‘g na f ’), is de functie van A naar C gedefinieerd door (g ° f)(x) = g(f(x)) voor alle x ∈A.

Let op volgorde bij samenstellingen.

Let goed op de volgorde bij samenstellingen. Voor f en g als in definitie 8.14 zal de samenstelling f ° g in het algemeen niet bestaan omdat C niet tot het domein van f hoeft te behoren.

VOORBEELD

Neem A = {x ∈Rx ≥ 0} en laat f : A → R de functie f(x) = √x zijn. Laat verder C = {x ∈Rx ≤ –1} zijn en g: R → C de functie g(x) = –x2 – 1. Er geldt dan dat (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = – (√x)2 – 1 en omdat (√x)2 = x, volgt er dus dat de functie g ° f : A → C gegeven wordt door (g ° f)(x) = –x – 1. De functie f ° g bestaat niet, omdat f als domein A = {x ∈Rx ≥ 0} heeft, terwijl C = {x ∈Rx ≤ –1}. We constateren dit ook direct als we f ° g proberen uit te rekenen, immers (f ° g )(x) = f(g(x)) = f(–x2 – 1) = − x 2 − 1 bestaat niet, omdat –x2 – 1 < 0.

Bestaan f ° g en g ° f, dan geldt nog niet altijd f ° g = g ° f.

Pas, indien nodig, bij samenstellingen het domein aan.

«

Als C = A, dus f : A → B en g: B → A, dan bestaan wel de beide samenstellingen f ° g en g ° f. Vaak geldt bovendien dat B = A, zodat f en g beide functies van A naar A zijn. Als bijvoorbeeld f en g: R → R worden gegeven door f(x) = x – 1 en g(x) = x2, dan geldt (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2, terwijl (f ° g)(x) = f(x2) = x2 – 1. We zien hier dat zelfs als f ° g en g ° f beide bestaan, er niet hoeft te gelden dat f ° g = g ° f. Als we slordigheden toelaten met betrekking tot het domein van een functie, zoals we in paragraaf 8.5 hebben afgesproken, dan moet definitie 8.14 met enige zorgvuldigheid worden toegepast. Proberen we f en g: R → R gegeven door f(x) = x – 1 en g(x) = √x samen te stellen, dan moet het oorspronkelijke domein R van f tot {x ∈Rx ≥ 1} beperkt worden. Immers, (g ° f)(x) = g(x – 1) = x − 1 is alleen gedefinieerd voor x ≥ 1. In het algemeen moeten we bij samenstellingen van functies dus goed letten op eventuele veranderingen in de oorspronkelijke domeinen. In definitie 8.14 hoeven ons daar geen zorgen om te maken, omdat we er in die definitie van uit gaan dat de term ‘functie’ in de strikte zin van definitie 8.4 genomen wordt.

99

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 8.32 (Aanw)

Ga van de volgende functies na of de samenstelling g ° f dan wel f ° g bestaat. Als een samenstelling bestaat, bepaal die dan en geef het domein ervan. Als g ° f en f ° g beide bestaan, ga dan na of f ° g = g ° f. a f en g: R → R gegeven door f(x) = 1/x2 en g(x) = 4x + 3. b f : R → R gegeven door f(x) = √x en g: R → R gegeven door g(x) = –x – 1. OPGAVE 8.33 (Aanw)

Omdat in het algemeen niet beide samenstellingen g ° f en f ° g bestaan, heeft het begrip commutativiteit geen betekenis. Laat zien dat het samenstellen wel associatief is, dat wil zeggen als f : A → B, g: B → C en h: C → D functies zijn, dan geldt dat h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. f : A → A met zichzelf samenstellen Notatie f n

Een functie f : A → A kan met zichzelf samengesteld worden. De functie f ° f noteren we met f 2, dus f 2(x) = (f ° f)(x) = f(f(x)). Omdat het samenstellen van functies associatief is, kunnen we algemener f n definiëren als f n = f ° f ° f ° ... ° f (n keer). Is bijvoorbeeld f : R → R gegeven door f(x) = x2 + 1, dan geldt f 2(x) = f(x2 + 1) = (x2 + 1)2 + 1, f 3(x) = f((x2 + 1)2 + 1) = ((x2 + 1)2 + 1)2 + 1, enzovoort. Let op dat bijvoorbeeld f 2(x) niet hetzelfde is als (f (x))2.

OPGAVE 8.34

a Laat f : R → R gegeven zijn door f(x) = –3 + √x. Bepaal f 2. Wat is het domein van f 2? b Laat f : R → R gegeven zijn door f(x) = x. Is f 2 de functie x → x2? Motiveer uw antwoord. Bepaal ook de functie f 3 en vervolgens f n. Laten we ten slotte terugkomen op de inverse van een bijectie. Met het begrip samenstelling kan de inverse als volgt gekarakteriseerd worden (1A en 1B in stelling 8.1 zijn de identieke functie op A respectievelijk op B; zie eventueel definitie 8.12). STELLING 8.1

Laat f : A → B een bijectie zijn en stel dat een functie g: B → A gegeven is. Dan geldt dat g = f–1 dan en slechts dan als g ° f = 1A. Evenzo geldt dat g = f–1 dan en slechts dan als f ° g = 1B. In opgave 8.35 wordt gevraagd om deze stelling te bewijzen, maar u hoeft het bewijs niet te kennen. De inverse f–1: B → A van een bijectie f : A → B is dus precies die functie die in een samenstelling met f ervoor zorgt dat we weer naar ons uitgangspunt terugkeren.

VOORBEELD

Zij f : R2 → R2 de bijectie f(x, y) = (x – y, –2x + 3y) en g: R2 → R2 de functie g(x, y) = (3x + y, 2x + y). We beweren dat g = f–1 en om dit aan te tonen passen we stelling 8.1 toe: (g ° f)(x, y) = g(x – y, –2x + 3y) = (3(x – y) + (–2x + 3y), 2(x – y) + (–2x + 3y)) = (x, y), ofwel g ° f = 1, waarbij 1 de identiteit op R2 is. Uit stelling 8.1 volgt nu dat g = f–1. Overigens hadden we net zo goed kunnen aantonen dat f ° g = 1. «

OPGAVE 8.35 (Aanw)

a Laat f en g de functies uit voorgaand voorbeeld zijn. Bewijs dat g = f–1 door aan te tonen dat f ° g de identiteit op R2 is. b Bewijs de twee beweringen uit stelling 8.1.

100

Leereenheid 8 Relaties en functies

OPGAVE 8.36 (Aanw)

Ga van de volgende functies na of de samenstelling g ° f dan wel f ° g bestaat. Als een samenstelling bestaat, bepaal die dan en geef het domein ervan. Als g ° f en f ° g beide bestaan, ga dan na of f ° g = g ° f. a f : P(Z) → P(N) gegeven door f(x) = x ∩ N en g: P(N) → N gegeven door g(x) = aantal elementen van x ∩ V, waarbij V ⊂ Z eindig is. b f : R → R2 gegeven door f(t) = (t, t3) en g: R2 → R2 gegeven door g(x, y) = (x2 + y2, 2xy). OPGAVE 8.37 (Aanw)

Bewijs de volgende eigenschappen van het samenstellen van functies f : A → B en g: B → C. a Als f en g surjectief zijn, dan is g ° f surjectief. b Als f en g injectief zijn, dan is g ° f injectief. c Als f en g bijectief zijn, dan is g ° f bijectief met inverse f–1 ° g–1. SAMENVATTING

Het cartesisch product van de verzamelingen A1, A2, ..., An is de verzameling A1 × A2 × ... × An bestaande uit alle n-tupels (a1, a2, ..., an) waarbij de i-de coördinaat ai tot Ai behoort voor i = 1, 2, ..., n. Als A1, A2, ..., An eindige verzamelingen zijn met respectievelijk m1, m2, ..., mn elementen, dan is A1 × A2 × ... × An eindig en heeft m1 · m2 · ... · mn elementen. Veel cartesische producten zijn van de vorm An = A × A × ... × A (n keer A), zoals het rooster Z2, het vlak R2 en de ruimte R3. Een relatie R van n variabelen op A1 × A2 × ... × An is een deelverzameling van A1 × A2 × ... × An. Een relatie (van n variabelen) in A is een relatie op An. Relaties kunnen zowel impliciet als expliciet beschreven worden. Als n = 2, dan is R een binaire relatie op A × B ofwel een relatie van A naar B. Voor (x, y) ∈R wordt dan xRy geschreven. Een binaire relatie van A naar B is als figuur in het vlak weer te geven door A en B in een assenstelsel uit te zetten en vervolgens aan te geven welke elementen met elkaar in relatie staan. Daarnaast zijn binaire relaties op eindige verzamelingen weer te geven als graaf. Een functie f van A naar B is een bijzondere relatie: iedere x ∈A heeft dan precies één y ∈B waarvoor xfy. In plaats van xfy wordt y = f(x) geschreven en ‘f van A naar B’ wordt genoteerd als f : A → B. Veelgebruikte functies zijn de functies waarbij A en B (deelverzamelingen van) één van de verzamelingen N, Z, Q of R zijn en waarbij f wordt beschreven door een functievoorschrift. Tekenen we f : A → B in een assenstelsel, dan ontstaat de grafiek van de functie f, hoewel hiermee formeel de deelverzameling {(x, f(x))x ∈A} van A × B wordt bedoeld. Het domein of definitiegebied van een functie f : A → B is A. Als y = f(x), dan is x het origineel en y het beeld. Algemener: als V ⊂ A en W ⊂ B, dan is f(V) = {y ∈By = f(x) voor zekere x ∈V} het beeld van V en {x ∈A f(x) = y voor zekere y ∈W} het volledig origineel van W. Het bereik of de waardenverzameling van f is het beeld f(A) van A. Voor een functie f : A → B staan we de slordigheid toe dat het domein slechts een echte deelverzameling van A is. Voor een gegeven functie kan het dan belangrijk zijn om eerst na te gaan wat het grootst mogelijke domein is waarop de functie bestaat.

101

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Rijen zijn functies met domein N. Functies van n variabelen zijn functies met als domein een cartesisch product van n verzamelingen. Voor een constante functie geldt dat f(x) = f(y) voor alle x en y in het domein. De identieke functie of identiteit op A, genoteerd met 1, I, id of 1A (als A van belang is), is de functie 1(x) = x voor alle x ∈A. Een functie f : A → B is surjectief als f(A) = B, met andere woorden, als er voor iedere y ∈B een origineel x ∈A bestaat. De functie is injectief als voor alle x en y ∈A geldt dat uit f(x) = f(y) volgt dat x = y. Een bijectie f is een functie die zowel surjectief als injectief is en dus een inverse f–1 heeft, dat wil zeggen een functie waarvoor f–1(b) = a als b = f(a). Is een bijectie f : A → B gegeven door een vergelijking y = f(x), dan kunnen we f–1 proberen te bepalen door x en y te verwisselen en y uit x = f(y) op te lossen. De grafiek van f–1 ontstaat uit de grafiek van f door deze te spiegelen in de lijn y = x. De functies f : A → B en g: B → C zijn samen te stellen tot de functie g ° f van A naar C gegeven door (g ° f)(x) = g(f(x)). In deze situatie zal f ° g in het algemeen niet bestaan. Zelfs als zowel g ° f als f ° g bestaan, dan zullen deze in het algemeen niet aan elkaar gelijk zijn. Het samenstellen van functies is wel associatief. Hiermee is f n dan te definiëren als f ° f ° ... ° f (n keer). Er geldt dat g: B → A de inverse van een bijectie f : A → B is dan en slechts dan als g ° f = 1A. Evenzo geldt dat g: B → A de inverse is dan en slechts dan als f ° g = 1B. ZELFTOETS

1

Zij A = {0, 2, 4}, B = {3, 5, 7} en C = {x ∈Z–6 < x < 9 ∧ x ≠ 0}. Een getal m ∈Z+ is een deler van n ∈Z als er een een getal k ∈Z bestaat waarvoor mk = n. Definieer nu de relatie R op A × B × C door (x, y, z) ∈R als x + y een deler is van z. a Hoeveel elementen heeft A × B? En A × B × C? b Laat zien dat A × B × C ≠ A × C × B. c Geef een expliciete definitie van R. d Is R een functie van twee variabelen van A × B naar C? Motiveer uw antwoord. e Laat zien dat R een echte deelverzameling van A × B × C is.

2

Laat R de binaire relatie in V = {0, 1, 2, 3, 4} zijn gedefinieerd door xRy als 2x2 + y2 ≤ 9. a Geef een expliciete definitie van R en teken R in een assenstelsel. b Teken de graaf van R. c Bepaal {x ∈V0Rx}. Is dit hetzelfde als {x ∈VxR0}? Motiveer uw antwoord.

102

Leereenheid 8 Relaties en functies

3

Beschouw de functies f, g: R → R gegeven door f(x) = 9 – x2 en g(x) = √x. a Bepaal voor f de beelden van –4, –3, ..., 4 en schets de grafiek van f. b Bepaal f({x ∈R–1 ≤ x ≤ 7}). c Zij V = {y ∈Ry ≤ 5}. Bepaal voor f het volledig origineel van V. d Bepaal een domein en bereik waarop f een bijectie is, bereken de inverse van f op dit domein en schets de grafiek van f–1. e Bepaal het domein van g ° f en van f ° g en ga na of deze functies injectief zijn. f Zij h = g ° f met domein {x ∈R0 ≤ x ≤ 3}. Bepaal het bereik zo dat h bijectief is en bewijs dat h–1 = h (op dit domein). Wat betekent dit voor de grafiek van (g ° f)–1?

4

Zij f : R2 → R2 de functie f(x, y) = (x + y, x – y) en g: R2 → R de functie g(x, y) = 1/(x2 + y2). a Bepaal voor zowel f als g het domein en ga na of de functie op dit domein injectief, surjectief dan wel bijectief is. b Bepaal voor f het volledig origineel van (0, 0). c Ga na of de samenstelling g ° f dan wel f ° g bestaat. Als de samenstelling bestaat, bepaal die dan en geef het domein ervan. d Zij h: R2 → R2 de functie h(x, y) = ((x + y)/2, (x – y)/2). Bewijs dat h = f–1. e Laat zien dat g ° f geen inverse heeft.

103

Inhoud leereenheid 9

Equivalentierelaties Introductie Leerkern 9.1

Binaire relaties Eigenschappen van relaties De transitieve en reflexieve afsluiting Equivalentierelaties Equivalentierelaties en partities

9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4

Samenvatting Zelftoets

104

Leereenheid 9

Equivalentierelaties

INTRODUCTIE

Vergelijken is een eeuwenoude wiskundige activiteit. Vergelijken kan op twee manieren. We kunnen op zoek gaan naar overeenkomsten: op de boerderijen X en Y lopen evenveel koeien rond, Jan en Piet hebben dezelfde kleur ogen, An en Nel volgen dezelfde diplomalijn. We kunnen ook geïnteresseerd zijn in verschillen en daarbij gaan ordenen: op boerderij X lopen meer koeien rond dan op boerderij Y, Jan is langer dan Piet, An heeft meer cursussen gevolgd dan Nel. Als we dit wiskundig willen modelleren, dan zien we dat we steeds te maken hebben met een verzameling met daarop een relatie: bijvoorbeeld in de verzameling boerderijen de relatie die bestaat uit alle paren (X, Y) met de eigenschap dat op boerderij X evenveel koeien rondlopen als op boerderij Y. Relaties die in één of andere zin overeenkomstige of gelijkwaardige elementen met elkaar verbinden, noemen we equivalentierelaties. Voorbeelden van equivalentierelaties zijn dus: boerderij X staat in relatie tot boerderij Y als op X en Y evenveel koeien rondlopen, persoon J staat in relatie tot persoon P als J en P dezelfde kleur ogen hebben, en student A staat in relatie tot student N als A en N dezelfde diplomalijn volgen. Equivalenlentierelaties vormen het onderwerp van deze leereenheid. Relaties die een ordening aanbrengen tussen verschillende elementen, heten ordeningsrelaties. In de volgende leereenheid komen deze relaties aan bod. In een concreet voorbeeld van een equivalentierelatie kunnen we uitzoeken wat voor eigenschappen er in dat geval gelden. Het nadeel van deze werkwijze is, dat we voor verschillende voorbeelden vaak steeds opnieuw hetzelfde werk moeten verrichten. We zullen daarom in deze leereenheid de aanpak kiezen die we ook in leereenheid 6 toepasten: we geven een algemene definitie van het begrip equivalentierelatie waarmee we abstraheren van de concrete voorbeelden, en leiden eigenschappen van dit abstracte begrip af. Deze eigenschappen zijn dan weer toepasbaar in concrete gevallen. Het kan overigens wel helpen om bij de abstracte redeneringen een concreet voorbeeld in gedachten te houden. LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – kunt nagaan of een relatie een of meer van de volgende eigenschappen heeft: reflexiviteit, irreflexiviteit, symmetrie, antisymmetrie, transitiviteit – de definitie van het begrip equivalentierelatie kent – bij een equivalentierelatie de klassen kunt bepalen – de definitie van partitie kent – aan kunt tonen dat de klassen van een equivalentierelatie een partitie vormen

105

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

– bij een partitie de bijbehorende equivalentierelatie kunt bepalen – in eenvoudige gevallen de reflexieve en transitieve afsluiting van een relatie kunt bepalen – het begrip quotiënt van een verzameling met betrekking tot een equivalentierelatie kent. Studeeraanwijzingen Om deze leereenheid te kunnen bestuderen, is het noodzakelijk dat u leereenheid 8 goed beheerst. U moet kunnen werken met binaire relaties en hun representaties via een graaf. Bekijk zo nodig leereenheid 8 nog eens voordat u begint met het bestuderen van deze leereenheid. LEERKERN 9.1

Binaire relaties

9.1.1

EIGENSCHAPPEN VAN RELATIES

Deze leereenheid gaat over binaire relaties in een verzameling met speciale eigenschappen. In paragraaf 8.2 van leereenheid 8 kunt u een algemene definitie van het begrip relatie vinden. Een binaire relatie in een verzameling A ‘koppelt elementen uit A aan elkaar’. Formeel is een binaire relatie in A gedefinieerd als een deelverzameling van het cartesisch product A × A (zie ook paragraaf 8.3). We geven een aantal voorbeelden van binaire relaties.

Binaire relatie

VOORBEELD 9.1

VOORBEELD 9.2

A is de verzameling mensen. In A is de relatie R gedefinieerd door xRy als x een ouder is van y.

«

A is de verzameling schakelingen opgebouwd met behulp van NIETpoorten, OF-poorten en EN-poorten. Twee schakelingen hebben dezelfde werking als ze bij gelijke input hetzelfde outputsignaal geven. We definiëren de relatie R in A door xRy als de schakelingen x en y dezelfde werking hebben. « In nogal wat situaties komt het voor dat de elementen van een verzameling ingedeeld zijn in klassen. Verderop zullen we een precieze definitie geven van het begrip ‘klasse’. Voor de nu volgende voorbeelden is dit niet nodig. Als we zo’n verzameling met klassen hebben, dan kunnen we als volgt een relatie definiëren: xRy als x en y tot dezelfde klasse behoren. We geven twee voorbeelden.

VOORBEELD 9.3

A is de verzameling gewervelde dieren. Dit is een zeer omvangrijke verzameling. Om hierin een beetje structuur aan te brengen, is de verzameling onderverdeeld in klassen: zoogdieren, vogels, reptielen, enzovoort. Als de relatie R gedefinieerd is door xRy als x en y tot dezelfde klasse behoren, dan geldt bijvoorbeeld dat aapRhond.

106

«

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

VOORBEELD 9.4

Bij statistisch onderzoek is het vaak handig om de onderzochte populatie in klassen onder te verdelen. Een veelgebruikte verdeling is een indeling in leeftijdsgroepen, bijvoorbeeld 20-29 jaar, 30-39 jaar, enzovoort. We kunnen weer een relatie R definiëren door xRy als x en y tot dezelfde klasse behoren. «

VOORBEELD 9.5

Ook gelijkheid binnen een verzameling kunnen we opvatten als een binaire relatie, als voorbeeld nemen we gelijkheid in de verzameling natuurlijke getallen: definieer R in N door nRm als n = m.

«

VOORBEELD 9.6

Op de verzameling schakelingen uit voorbeeld 9.2 kunnen we ook een andere relatie definiëren: xRy als x meer poorten bevat dan y. «

VOORBEELD 9.7

In de verzameling mensen uit voorbeeld 9.1 definiëren we een relatie R door xRy als x en y een gemeenschappelijk kind hebben.

«

We hebben nu een hele serie zeer verschillende voorbeelden van relaties gegeven. Kunnen we hierin wat structuur aanbrengen? De voorbeelden 9.3 en 9.4 gaan beide over situaties waarin een verzameling in klassen is ingedeeld en gelijksoortige elementen met elkaar in relatie staan. Maar ook in voorbeeld 9.2 bestaat de relatie uit paren gelijksoortige elementen: schakelingen die dezelfde werking hebben. En de relatie uit voorbeeld 9.5 bestaat uit paren gelijke, dus ook gelijksoortige elementen. De relatie uit voorbeeld 9.6 is weliswaar in dezelfde verzameling gedefinieerd als de relatie uit voorbeeld 9.2, maar de relatie zelf is heel anders van aard; nu worden juist ongelijksoortige elementen met elkaar verbonden en wordt er een soort ordening aangebracht. Ook in voorbeeld 9.1 worden ongelijksoortige elementen met elkaar verbonden. In voorbeeld 9.7 worden niet echt gelijksoortige elementen met elkaar verbonden.

107

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Ook brengt de relatie geen ordening aan. Intuïtief hebben we zo wel een indruk van de verschillen tussen de relaties. Maar als we hier mee willen werken, zullen we precies vast moeten gaan leggen wat we verstaan onder relaties die gelijksoortige elementen met elkaar verbinden, of relaties die ordenen. Dit doen we door karakteristieke eigenschappen van deze relaties te bepalen. Om te beginnen, zullen we een lijst geven van mogelijke eigenschappen van binaire relaties. Deze eigenschappen lichten we onder andere toe aan de hand van de gegeven voorbeelden. Pas daarna bepalen we welke eigenschappen karakteristiek zijn voor relaties die gelijksoortige elementen met elkaar verbinden. Ordeningsrelaties komen in leereenheid 10 aan bod. Op de verzameling A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} definiëren we de relatie R door xRy als x = y. De graaf van deze relatie vindt u in figuur 9.1.

FIGUUR 9.1

De graaf bij de relatie x = y

Er geldt bijvoorbeeld 2R2, want 2 = 2. Het element 2 staat dus met zichzelf in relatie. Dit geldt niet alleen voor het element 2, maar voor elk element van A: de relatie R heeft de eigenschap dat elk element in relatie staat met zichzelf. Een relatie waarvoor deze eigenschap geldt, noemen we reflexief. Reflexief

DEFINITIE 9.1

Een relatie R in een verzameling A heet reflexief als voor elk element x uit A geldt dat xRx.

OPGAVE 9.1

Welke van de relaties uit de voorbeelden 9.1 t/m 9.7 zijn reflexief? Reflexiviteit is eenvoudig in de graaf van een relatie te herkennen. Een relatie is reflexief als elk element in relatie staat met zichzelf, dus als er vanuit elk punt een pijl naar dat punt zelf vertrekt. (Zie bijvoorbeeld figuur 9.1.) Soms staat bij een relatie geen enkel punt in relatie met zichzelf. In dat geval noemen we de relatie irreflexief. Irreflexief

DEFINITIE 9.2

Een relatie R in een verzameling A heet irreflexief als voor elk element x uit A geldt dat x R x.

OPGAVE 9.2

Welke van de relaties uit de voorbeelden 9.1 t/m 9.7 zijn irreflexief?

108

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

Ook irreflexiviteit is eenvoudig in de graaf te herkennen: nu vertrekt er geen enkele pijl van een punt naar zichzelf. De graaf bij de relatie xRy als xy > 0 in de verzameling A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} ziet er als volgt uit (zie figuur 9.2).

FIGUUR 9.2

Niet reflexief ≠ irreflexief

Symmetrie

DEFINITIE 9.3

De graaf bij de relatie xy > 0

Merk op dat deze relatie noch reflexief, noch irreflexief is; er is immers geen pijl van 0 naar zichzelf, terwijl er bijvoorbeeld wel een pijl is van 1 naar zichzelf. Een relatie die niet reflexief is, is dus niet automatisch irreflexief! Wat verder opvalt, is dat pijlen tussen verschillende elementen steeds in paren voorkomen: als er een pijl is van één punt, naar een ander punt dan is er ook een pijl terug. Een relatie met deze eigenschap heet symmetrisch. Een relatie R in een verzameling A heet symmetrisch als voor elke x en y uit A geldt: als xRy, dan ook yRx.

OPGAVE 9.3

Welke van de relaties uit de voorbeelden 9.1 t/m 9.7 zijn symmetrisch? Soms heeft de graaf van een relatie de eigenschap dat een pijl van x naar y en een pijl van y naar x nooit gelijktijdig voorkomen als x en y verschillend zijn. Anders gezegd: het enige geval waarin een pijl van x naar y én van y naar x voor zou kunnen komen, is het geval dat x en y samenvallen. In dat geval heet de relatie antisymmetrisch. Antisymmetrie

DEFINITIE 9.4

Een relatie R in een verzameling A heet antisymmetrisch als voor elke x en y uit A geldt: als xRy én yRx, dan x = y.

OPGAVE 9.4

Welke van de relaties uit de voorbeelden 9.1 t/m 9.7 zijn antisymmetrisch?

Transitiviteit

Niet symmetrisch ≠ antisymmetrisch

Het is mogelijk dat een relatie noch symmetrisch, noch antisymmetrisch is. In opgave 9.8 vragen we u hier een voorbeeld van te geven. Een typische eigenschap van de ‘kleiner-dan-relatie’ < is de volgende: als x < y en y < z, dan ook x < z. Een zelfde eigenschap geldt voor de gelijkheidsrelatie: als x = y en y = z, dan x = z. Deze eigenschap noemen we transitiviteit.

DEFINITIE 9.5

Een relatie R in een verzameling A heet transitief als voor elke x, y en z uit A geldt: als xRy en yRz, dan ook xRz.

109

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 9.5

Welke van de relaties uit de voorbeelden 9.1 t/m 9.7 zijn transitief? Hoe herkennen we transitiviteit in een graaf? Volgens de definitie zou het volgende moeten gelden: als er een pijl is van x naar y en van y naar z, dan is er ook een pijl van x naar z. (Als we in twee stappen van x naar z kunnen komen, dan kan het ook in één stap). Zie figuur 9.3.

FIGUUR 9.3

De graaf van een transitieve relatie

Merk op dat de x, y en z uit de definitie variabelen zijn die staan voor elementen uit A. Voor x, y en z moeten we dus alle mogelijke combinaties van elementen van A invullen, als we na willen gaan of een relatie transitief is. Hierbij kunnen x, y en/of z ook dezelfde waarden aannemen. Als aRb en bRa en R is transitief, dan moet dus ook gelden dat aRa. Delerrelatie

VOORBEELD

In de verzameling Z+ is de delerrelatie gedefinieerd door nm als n een deler is van m. Deze relatie is transitief: als n een deler is van m en m een deler van p, dan is ook n een deler van p, dus uit nm en mp volgt np. «

VOORBEELD

In de verzameling Z definiëren we de relatie R door xRy als 5|(x + 4y). We zullen aantonen dat deze relatie transitief is. We moeten dus laten zien dat uit xRy en yRz volgt dat xRz. Stel dat xRy en yRz, dus 5(x + 4y) en 5(y + 4z). Dan is x + 4y een vijfvoud en y + 4z een vijfvoud. Er zijn dus gehele getallen k en l waarvoor: x + 4y = k · 5 y + 4z = l · 5 Om te laten zien dat nu ook x + 4z een vijfvoud is, passen we een trucje toe: we tellen beide vergelijkingen bij elkaar op. Dit geeft: x + 5y + 4z = k · 5 + l · 5 Brengen we nu 5y naar rechts en halen we de factor 5 rechts buiten haken, dan vinden we: x + 4z = k · 5 + l · 5 – 5y = (k + l – y) · 5 Hiermee hebben we dus aangetoond dat ook x + 4z een vijfvoud is, dus dat 5| (x + 4z) , dus dat xRz. Uit xRy en yRz volgt dus xRz. Hiermee is de transitiviteit van R bewezen. «

110

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

VOORBEELD

In het dagelijks leven is transitiviteit vaak een gewenste, maar niet altijd gerealiseerde eigenschap van relaties. Een voorbeeld is de relatie ‘bevriend met’. ‘De vrienden van mijn vrienden zijn mijn vrienden’ is in de praktijk niet altijd waar! Een ander voorbeeld vinden we in de sport. Als A van B wint en B van C wint, hoeft A nog niet van C te winnen. « We zetten de verschillende mogelijke eigenschappen van relaties uit deze paragraaf nog eens onder elkaar: Een binaire relatie R in een verzameling A is – reflexief als voor elke x uit A geldt: xRx – irreflexief als voor geen x uit A geldt: xRx – symmetrisch als voor elke x en y uit A geldt: als xRy, dan ook yRx – antisymmetrisch als voor elke x en y uit A geldt: als xRy en yRx, dan x=y – transitief als voor elke x, y en z uit A geldt: als xRy en yRz, dan ook xRz.

OPGAVE 9.6

Ga voor de vijf relaties waarvan de grafen in figuur 9.4 getekend zijn, na welke eigenschappen ze hebben: reflexiviteit, irreflexiviteit, symmetrie, antisymmetrie en/of transitiviteit.

FIGUUR 9.4

Grafen van te onderzoeken relaties

OPGAVE 9.7 (Aanw)

Welke eigenschappen hebben de volgende relaties: reflexiviteit, irreflexiviteit, symmetrie, antisymmetrie en/of transitiviteit? Het gaat steeds om relaties in Z, behalve in onderdeel e, waar de relatie in Z – {0} is gedefinieerd. a y>x b 4(x – y) c x – y < 2 d xy > 0 e x/y ≥ 1

111

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 9.8

Geef een voorbeeld van een relatie die niet symmetrisch en ook niet antisymmetrisch is. OPGAVE 9.9

Als een relatie transitief is, dan volgt uit xRy en yRx dat xRx. Betekent dit dat een transitieve en symmetrische relatie ook reflexief is? 9.1.2

DE TRANSITIEVE EN REFLEXIEVE AFSLUITING

Kijk nog eens terug naar voorbeeld 9.1 uit de vorige paragraaf. De ouderschapsrelatie uit dat voorbeeld is een relatie die niet transitief is. Immers, als a een ouder is van b, en b een ouder van c, dan is a géén ouder van c. Met behulp van de ouderrelatie kunnen we de voorouderrelatie definiëren: a is een voorouder van b als er een rijtje mensen c1, c2, ..., cn bestaat waarvoor a = c1, b = cn en ci is een ouder van ci+1 voor elke i ∈{1, ..., n – 1}. De relatie ‘voorouder van’ is wél transitief. Het is precies de relatie die we krijgen als we de ouderrelatie uit willen breiden tot een transitieve relatie en niet meer paren toe willen voegen dan hiervoor strikt noodzakelijk is. Voordat we laten zien hoe we in het algemeen een relatie uit kunnen breiden tot een transitieve relatie, bekijken we hoe we uit de ouderrelatie de grootouder- en overgrootouderrelatie kunnen definiëren. Laat R de ouderrelatie zijn. In de rest van deze paragraaf gebruiken we de verzamelingnotatie voor relaties: R = {(x, y)x is een ouder van y} (zie paragraaf 8.2). Dan geldt: a is een grootouder van b als er een p is waarvoor a ouder is van p en p ouder is van b. De relatie ‘grootouder van’ is dus gelijk aan de verzameling {(x, y)er is een p waarvoor xRp én pRy}. Ook de overgrootouderrelatie kunnen we definiëren: a is een overgrootouder van b als er een p en een q zijn, waarvoor a ouder is van p, p ouder is van q en q van b. De relatie ‘overgrootouder van’ is dus gelijk aan de verzameling {(x, y)er is een p en een q waarvoor xRp, pRq én qRy}. De grootouderrelatie noteren we ook wel als R2 en de overgrootouderrelatie als R3. Meer algemeen zijn machten van een relatie als volgt gedefinieerd. Machten van een relatie

DEFINITIE 9.6

De n-de macht van een binaire relatie R in A is gelijk aan Rn = {(x, y)er zijn p1, p2, ..., pn–1 waarvoor xRp1, p1Rp2, ... én pn–1Ry}.

OPGAVE 9.10

Gegeven is de graaf van een relatie R (zie figuur 9.5).

FIGUUR 9.5

Bepaal R2, R3 en R4. Hoe kunnen we nu in het algemeen een relatie R in een verzameling A op een zo zuinig mogelijke manier uitbreiden tot een transitieve relatie R+? Als aRb en bRc, dan zal aR+c moeten gelden. Zonodig moeten we het paar (a, c) dus toevoegen. Om te beginnen voegen we daarom de verzameling {(x, y)er is een p waarvoor xRp én pRy} aan R toe. Dit is precies de verzameling R2.

112

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

VOORBEELD 9.8

Als voorbeeld beschouwen we de relatie R gegeven door de volgende graaf (zie figuur 9.6).

FIGUUR 9.6

Graaf bij relatie R

Er geldt dus dat R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 4)}. Deze relatie is duidelijk niet transitief: er loopt bijvoorbeeld wel een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 3, maar geen pijl van 1 naar 3. In plaats van na te gaan welke pijlen nu ontbreken, voegen we in één keer de relatie R2 toe. In dit voorbeeld is R2 de relatie {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3)}. Als we R2 toevoegen aan R, dan krijgen we dus de relatie R ∪ R2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (2,4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. De graaf van deze relatie ziet er zo uit (zie figuur 9.7).

FIGUUR 9.7

Graaf bij relatie R ∪ R2

Het is best mogelijk dat R2 paren bevat die ook al in R zaten (in dit voorbeeld het paar (2, 2)). Maar het kan geen kwaad dit paar opnieuw toe te voegen. Omdat we een algemene methode willen geven waarmee een relatie is uit te breiden tot een transitieve relatie, is het eenvoudiger om R2 toe te voegen, dan om te omschrijven welke nieuwe paren we toevoegen. (Met de voorwaarde uit de alinea na opgave 9.10 dat we R op een zo zuinig mogelijke manier willen uitbreiden, bedoelden we dat R+ zo klein mogelijk is; het toevoegen van paren die we al hadden, is dus niet in strijd met deze voorwaarde.) Is de relatie R ∪ R2 nu transitief? Nee, er geldt bijvoorbeeld wel 1R2 en 2R24, dus (1, 2) en (2, 4) behoren tot de relatie R ∪ R2, maar er geldt niet 1R4 en ook niet 1R24, dus (1, 4) behoort niet tot R ∪ R2. Het paar (1, 4) behoort wel tot de relatie R3. We moeten dus ook deze relatie nog toevoegen. Dit geeft de relatie R ∪ R2 ∪ R3 met de volgende graaf (zie figuur 9.8).

FIGUUR 9.8

Graaf bij relatie R ∪ R2 ∪ R3

In dit voorbeeld hebben we zo een transitieve relatie gecreëerd. In andere gevallen zullen we, als R ∪ R2 ∪ R3 niet transitief is, door moeten gaan « met toevoegen van R4, R5, enzovoort.

113

In het algemeen kunnen we een relatie R uitbreiden tot een zo klein mogelijke transitieve relatie door alle machten van R toe te voegen: R+ = R  R2  R3 ... De notatie die we hiervoor gebruiken is de volgende: Notatie Zie voor deze indexnotatie ook leereenheid 5 paragraaf 5.2.2.

R n  R  R 2  R3  ... n1

Er geldt dus aR+b precies dan als er een getal n ≥ 1 is waarvoor aRnb. Als A een eindige verzameling is, dan zal vanaf zekere n toevoegen van Rn niets nieuws meer opleveren. U kunt zelf in voorbeeld 9.8 nagaan dat R4 bevat is in R  R2  R3. In het oneindige geval zal dit meestal wel het geval zijn en hebben we dus een oneindige vereniging nodig. In de opgaven zult u hier voorbeelden van zien. Is R+ nu inderdaad transitief? Dit is inderdaad zo; stel namelijk dat aR+b en bR+c. Dan zijn er getallen k en l waarvoor aRkb en bRlc. Maar dan geldt ook aRk + lc, dus aR+c. Dit rechtvaardigt de volgende definitie.

Transitieve afsluiting

DEFINITIE 9.7

De transitieve afsluiting van een relatie R in A is de relatie R  

n1 R

n.

OPGAVE 9.11

In de verzameling ‘plaatsen van een zeker land’ is de volgende relatie gedefinieerd: aRb als er een weg is van a naar b. Wat betekent in dit geval aR+b? Soms willen we een relatie ook nog reflexief maken. We moeten dan {(x, x)x A} toevoegen. De relatie {(x, x)x A} noteren we ook wel als R0 voor willekeurige R. VOORBEELD 9.8 Vervolg

De relatie R+ = R  R2  R3 uit voorbeeld 9.8 is niet reflexief. Om deze relatie reflexief te maken, voegen we de verzameling {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} toe. Weer kiezen we voor een algemene methode, en nemen we het eventueel toevoegen van paren die we al hadden, voor lief. We hebben R nu uitgebreid tot een reflexieve transitieve relatie R0  R  R2  R3 met de volgende graaf (zie figuur 9.9)

FIGUUR 9.9

Reflexieve transitieve afsluiting

DEFINITIE 9.8

Graaf bij relatie R0  R  R2  R3

De reflexieve transitieve afsluiting van een relatie R in A is de relatie R *  n 0 R n .

«

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

OPGAVE 9.12

Gegeven is de graaf van een relatie R (zie figuur 9.10).

FIGUUR 9.10

Teken de graaf van R+ en van R*. OPGAVE 9.13 (Aanw)

De relatie R in N is gedefinieerd door nRm ⇔ m = n + 1. Wat is in dit geval de relatie R+? En de relatie R*? VOORBEELD

In de praktijk maken we vaak impliciet gebruik van transitieve afsluitingen. Een voorbeeld hiervan zijn sub- en superklassen binnen Java. Met behulp van het sleutelwoord extends kan bij een klasse A een subklasse B gedefinieerd worden: public class B extends A. Deze subklasse B erft public methoden van de superklasse A. De subklasse kan zelf ook weer subklassen hebben. Om te weten welke public methoden tot de interface van een klasse behoren, moet bekend zijn welke directe en indirecte superklassen een klasse heeft. Definiëren we nu de relatie R door A R B als A superklasse is van B, dan is de transitieve afsluiting van deze relatie R+ de relatie die geldt tussen A en B precies dan als A een directe of indirecte superklasse is van B. « NB: protected methoden worden ook geërfd, maar zijn niet overal zichtbaar. 9.1.3

EQUIVALENTIERELATIES

Bekijk de voorbeelden 9.2 t/m 9.5 van paragraaf 1 nog eens. In al deze voorbeelden hadden we te maken met een relatie tussen gelijksoortige elementen. We gaan nu onderzoeken welke eigenschappen karakteristiek zijn voor zulke relaties; we zetten de verschillende eigenschappen onder elkaar en geven bij elke eigenschap aan of zij wel of niet zou moeten gelden. – Reflexiviteit: deze eigenschap moet zeker gelden; een element van een verzameling is gelijksoortig met zichzelf. – Irreflexiviteit: de relatie moet reflexief zijn en kan dus niet irreflexief zijn. – Symmetrie: deze eigenschap moet wel gelden; als element a gelijksoortig is met element b, dan geldt ook dat b gelijksoortig is met a. – Antisymmetrie: deze eigenschap zegt: als a gelijksoortig is met b én b gelijksoortig is met a, dan vallen a en b samen. Deze eigenschap geldt niet want zij is te sterk, gelijksoortigheid hoeft geen gelijkheid te impliceren. – Transitiviteit: als a en b gelijksoortig zijn en b en c gelijksoortig zijn, dan zijn ook a en c gelijksoortig. Deze eigenschap geldt.

115

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

We kunnen nu de definitie geven van het begrip ‘equivalentierelatie’. Equivalentierelatie

DEFINITIE 9. 9

Een relatie R in een verzameling A is een equivalentierelatie als R reflexief, symmetrisch en transitief is. We geven een aantal voorbeelden van equivalentierelaties.

VOORBEELD

Reflexiviteit Symmetrie Transitiviteit

In A = Z × Z+ definiëren we de relatie R door (p, n)R(q, m) als p · m = q · n. Voorbeelden van paren die met elkaar in relatie staan, zijn: (2, 4)R(6, 12), want 2 · 12 = 4 · 6 en (16, 10)R(8, 5), want 16 · 5 = 10 · 8. Deze relatie is een equivalentierelatie. We controleren de drie eigenschappen. Voor elke p en n geldt (p, n)R(p, n), want p · n = p · n, dus R is reflexief. Als (p, n)R(q, m), dan geldt ook (q, m)R(p, n), want uit p · m = q · n volgt q · n = p · m, dus R is symmetrisch. Stel (p, n)R(q, m) en (q, m)R(r, k), dus p · m = q · n en q · k = r · m. We moeten aantonen dat hieruit volgt dat (p, n)R(r, k), dus dat p · k = r · n. Dit doen we als volgt: p·m=q·n ⇒p·m·k=q·n·k ⇒p·m·k=r·m·n ⇒p·k=r·n

gegeven vermenigvuldiging met k want q · k = r · m we mogen delen door m, want gegeven is m ≠ 0

Dus R is transitief. We kunnen deze relatie R ook anders beschrijven. Als we van de vergelijking p · m = q · n beide leden delen door m en n, dan zien we dat (p, n)R(q, m) precies dan geldt als de breuken p/n en q/m aan elkaar gelijk zijn. « Een heel ander soort voorbeeld is het volgende. VOORBEELD Eindige verzamelingen

Laat A een verzameling van eindige verzamelingen zijn. Definieer op A de relatie R door VRW als V en W evenveel elementen hebben. Dit is een equivalentierelatie want de drie eigenschappen gelden. Reflexiviteit: een verzameling heeft evenveel elementen als de verzameling zelf, dus VRV geldt voor elke V. Symmetrie: als V evenveel elementen heeft als W, dan heeft W evenveel elementen als V. Transitiviteit: als V evenveel elementen heeft als W en W evenveel elementen heeft als U, dan heeft V evenveel elementen als U. «

VOORBEELD Gelijkwaardige vergelijkingen

De vergelijking (x + 4)(x – 2) = x2 kunnen we als volgt oplossen: (x + 4)(x – 2) = x2 ⇔ x2 + 2x – 8 = x2 ⇔ 2x – 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔x=4 Wat is hier de betekenis van het teken ⇔? We lezen dit teken als ‘is gelijkwaardig met’: de vergelijkingen voor en na de dubbele pijl zijn gelijkwaardig, dat wil zeggen: ze hebben dezelfde oplossing. De relatie ⇔ is dus een relatie in de verzameling vergelijkingen. Deze relatie is reflexief en symmetrisch. Zij is ook transitief, en dit is de eigenschap waar we bij het oplossen van een vergelijking gebruik van maken.

116

Uit de transitiviteit volgt in het gegeven voorbeeld dat de eerste vergelijking (x + 4)(x – 2) = x2 en de laatste vergelijking x = 4 gelijkwaardig zijn, dus dat x = 4 inderdaad de oplossing is van (x + 4)(x – 2) = x2. (In de praktijk wordt vaak te slordig met deze gelijkwaardigheidsrelatie omgegaan. Men vindt dan bijvoorbeeld een dubbele pijl tussen twee vergelijkingen die niet gelijkwaardig zijn.) VOORBEELD 9.9 Equivalentie van proposities

«

Twee proposities heten equivalent als ze voor iedere waardering dezelfde waarheidswaarde hebben, bijvoorbeeld p  q is equivalent met ¬p  q. In dit geval noteren we ook wel (p  q )  (¬p  q). De relatie ‘is equivalent met’ is een equivalentierelatie in de verzameling proposities. «

OPGAVE 9.14

In deze opgave geven we een aantal verzamelingen met daarin een relatie. Ga steeds na of de relatie een equivalentierelatie is en motiveer uw antwoord. a A = {lijnen in het platte vlak}; lRm als l evenwijdig is aan m b A = {lijnen in het platte vlak}; lRm als l loodrecht staat op m c A = ; aRb als b gelijk is aan de rest bij delen van a door 7 . d A = ; aRb als 7a – b) e A =  ; (x1, x2)R(y1, y2) als x12 + x22 = y12 + y22 f A = {functies van naar }; fRg als f(0) = g(0) g A = {functies van naar }; fRg als er een a is waarvoor f(a) = g(a) h A = {functies van naar } ; fRg als er een constante c is waarvoor voor alle x geldt dat f(x) = g(x) + c OPGAVE 9.15

In deze opgave is A een willekeurige niet-lege verzameling. Welke van de volgende relaties in A zijn equivalentierelaties? a De universele relatie R = A  A. b De lege relatie . c De identieke relatie R = {(x, x)x A}. 9.1.4

EQUIVALENTIERELATIES EN PARTITIES

In de voorbeelden 9.3 en 9.4 van paragraaf 9.1 hadden we te maken met de volgende situatie: we beschikten over een verzameling (de verzameling gewervelde dieren, een onderzoekspopulatie) die opgedeeld was in klassen. Dit gaf aanleiding tot een equivalentierelatie: xRy als x en y tot dezelfde klasse behoren. Is dit een algemene methode om equivalentierelaties te definiëren? We kunnen deze vraag alleen beantwoorden als we precies vastleggen wat we bedoelen met ‘opdelen in klassen’. In de gegeven voorbeelden heeft de opdeling de volgende eigenschappen: ten eerste wordt de hele verzameling opgedeeld, elk element zit in een klasse. Ten tweede behoort geen enkel element tot twee verschillende klassen (bij het statistisch onderzoek mogen proefpersonen niet dubbel tellen). De verschillende klassen zijn dus disjunct. Zo’n opdeling noemen we een partitie (voor de indexnotatie in deze definitie zie paragraaf 5.2.2). DEFINITIE 9.10

Partitie

Een verzameling van niet-lege deelverzamelingen {Aii I} van V vormt een partitie van V als i Ai  V ii als Ai ≠ Aj, dan Ai  Aj = 

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

OPGAVE 9.16

Ga in elk van de onderdelen van deze opgave na of {Ai} een partitie is van V. a V = {2, 3, 4, ..., 10}; A0 = {x ∈Vx is een tweevoud}, A1 = {x ∈Vx is een drievoud}, A2 = {x ∈Vx is een vijfvoud}, A3 = {x ∈Vx is een zevenvoud} b V = {2, 3, 4, 5}; A0 = {x ∈Vx is een tweevoud}, A1 = {x ∈Vx is een drievoud}, A2 = {x ∈Vx is een vijfvoud} c V = {1, 2, 3, 4, 5}; A0 = {x ∈Vx is een tweevoud}, A1 = {x ∈Vx is een drievoud}, A2 = {x ∈Vx is een vijfvoud} d V = {1, 2, ..., 10}; A0 = {x ∈Vx is een drievoud}, A1 = {x ∈Vx is een drievoud plus 1}, A2 = {x ∈Vx is een drievoud plus 2}. OPGAVE 9.17

Bepaal alle partities van de verzameling {a, b, c}. OPGAVE 9.18

Zij V = {plaatsen in Nederland} en A = {{plaatsen in Groningen}, {plaatsen in Friesland}, ...}. Is A een partitie van V? Een partitie leidt tot een equivalentierelatie.

In de voorbeelden 9.3 en 9.4 gebruikten we een partitie om een equivalentierelatie te definiëren. Ook in het volgende voorbeeld ziet u hoe bij een partitie een equivalentierelatie gemaakt kan worden.

VOORBEELD

In opgave 9.16d hebt u aangetoond dat {Aii = 0, 1, 2} met Ai = {x ∈V x is een drievoud plus i} een partitie is van V = {1, 2, ..., 10}. De partitie bestaat in dit geval dus uit de deelverzamelingen {3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10} en {2, 5, 8}. We definiëren nu een relatie door xRy als er een getal i (i = 0, 1, 2) is waarvoor x en y beide tot Ai behoren. Dus bijvoorbeeld geldt 6R3, want 6 en 3 behoren beide tot A0, en er geldt 2R8 want 2 en 8 behoren beide tot A2. Ook geldt 2R2, want 2 en 2 behoren ‘beide’ tot A2, maar niet geldt 2R4, want 2 behoort alleen tot A2 en 4 behoort alleen tot A1. We controleren dat de relatie die we zo gedefinieerd hebben, een equivalentierelatie is. Reflexiviteit: elke x uit V behoort tot één van de verzamelingen Ai (want {Ai} is een partitie van V), en dus geldt voor elke x dat xRx. Symmetrie: stel dat xRy, dan behoren x en y tot dezelfde verzameling Ai, maar dan behoren ook y en x tot dezelfde verzameling Ai en dus geldt yRx. Transitiviteit: stel dat xRy en yRz, dus x en y behoren tot dezelfde verzameling Ai, en y en z behoren tot dezelfde verzameling Aj. Kan het nu voorkomen dat Ai en Aj verschillend zijn? In dat geval zou y tot twee verschillende verzamelingen Ai en Aj behoren. Twee verschillende verzamelingen Ai en Aj hebben echter steeds een lege doorsnede, dus dit kan niet voorkomen. Dit betekent dat x, y en z alledrie tot eenzelfde « verzameling Ai behoren, en dat dus xRz. We kunnen nu laten zien dat élke partitie een equivalentierelatie bepaalt. Het bewijs verschilt niet wezenlijk van het bewijs dat we in dit voorbeeld gaven. We vermelden het voor de volledigheid.

STELLING 9.1

Laat A een partitie zijn van de verzameling V. Definieer de relatie R door xRy als er een Ai ∈A is waarvoor x ∈Ai en y ∈Ai. Dan is R een equivalentierelatie in V.

118

Bewijs We gaan na dat R voldoet aan de drie eigenschappen van een equivalentierelatie. Reflexiviteit: als x V, dan is er een Ai A waarvoor x Ai , want i I Ai = V, dus xRx. Symmetrie: stel xRy, dan is er een Ai A waarvoor x Ai en y Ai, en dus geldt ook yRx. Transitiviteit: stel xRy en yRz. Dan zijn er Ai A en Aj A waarvoor x Ai en y Ai, en y Aj en z Aj. Maar dan is y Ai  Aj, dus Ai  Aj ≠ . Ai en Aj vallen dus samen. Hieruit volgt dat x Ai en z Ai, dus xRz. □ OPGAVE 9.19

Waar hebben we in het bewijs de eerste en waar de tweede voorwaarde uit de definitie van een partitie toegepast?

Equivalentieklasse

Een equivalentierelatie leidt tot een partitie.

Als we nu omgekeerd uitgaan van een equivalentierelatie, dan kunnen we deelverzamelingen maken van elementen die met elkaar in relatie staan; in voorbeelden 9.3 en 9.4 waren dit de klassen. U zult in stelling 9.4 zien dat deze deelverzamelingen een partitie vormen. We gaan nu eerst de deelverzamelingen definiëren van elementen die met elkaar in relatie staan.

DEFINITIE 9.11

Laat R een equivalentierelatie in een verzameling V zijn en x een element van V. De equivalentieklasse van x bij de relatie R is de verzameling [x]R = {y VxRy}. Als duidelijk is om welke relatie het gaat, spreken we ook wel over de equivalentieklasse of klasse van x (zonder verwijzing naar R) en noteren we [x].

VOORBEELD 9.10 Equivalentieklassen van de relatie 7|(x – y)

In definiëren we de relatie R door xRy als 7| (x – y). In opgave 9.14 hebt u al aangetoond dat deze relatie een equivalentierelatie is. We zoeken een aantal elementen van de equivalentieklasse van 1. Voor zo’n element moet gelden: 7|(1 – y). We kunnen voor y nemen 1, 8, 15, maar ook bijvoorbeeld –6, –13. Dus [1] = {..., –13, –6, 1, 8, 15, ...}. Op dezelfde manier vinden we: [2] = {..., –12, –5, 2, 9, 16, ...} [3] = {..., –11, –4, 3, 10, 17, ...} [8] = {..., –13, –6, 1, 8, 15, ...} «

OPGAVE 9.20

In definiëren we de equivalentierelatie R door xRy als x = y. Bepaal [3] en [0]. OPGAVE 9.21 (Aanw)

In  definiëren we de equivalentierelatie R door (x1, x2)R(y1, y2) als x12 + x22 = y12 + y22. a Bepaal [(2, 0)]. b Bepaal [(√2, √2)]. c Laat zien dat voor elke (p, q) uit [(2, 0)] geldt: [(p, q)] = [(2, 0)].

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

In opgave 9.21c hebt u laten zien dat voor elke (p, q) uit [(2, 0)] geldt: [(p, q)] = [(2, 0)]. Geldt zo’n eigenschap ook in voorbeeld 9.10? U hebt al gezien dat [1] en [8] samenvallen. Kiezen we een ander element n uit [1], dan zien we steeds dat [n] = [1]. Dit doet vermoeden dat de volgende eigenschap geldt voor equivalentieklassen: als y ∈[x]R, dan [y]R = [x]R. STELLING 9.2

Laat R een equivalentierelatie zijn in V. Dan geldt voor elke x en y uit V: als y ∈[x]R, dan [y]R = [x]R. Bewijs Stel dat y ∈[x]R. Om de stelling te bewijzen, moeten we laten zien dat voor elke u geldt: als u ∈[y]R dan u ∈[x]R en als u ∈[x]R dan u ∈[y]R. We bewijzen eerst: als u ∈[y]R dan u ∈[x]R. Stel u ∈[y]R. Dan geldt yRu. Uit y ∈[x]R volgt xRy (figuur 9.11, linker graaf). Omdat R transitief is volgt uit xRy en yRu dat xRu, dus u ∈[x]R (figuur 9.11, rechter graaf).

FIGUUR 9.11

Als u ∈[y]R, dan u ∈[x]R (steeds zijn die pijlen getekend die we in de loop van het bewijs afgeleid hebben)

Vervolgens bewijzen we: als u ∈[x]R, dan u ∈[y]R. Stel u ∈[x]R. Dan geldt xRu, en uit y ∈[x]R volgt xRy (figuur 9.12, linker graaf). Omdat R symmetrisch is, geldt nu ook yRx (figuur 9.12, middelste graaf). Omdat R transitief is, volgt uit yRx en xRu dat yRu, dus u ∈[y]R (figuur 9.12, rechter graaf).

FIGUUR 9.12

Als u ∈[x]R, dan u ∈[y]R (steeds zijn die pijlen getekend

die we in de loop van het bewijs afgeleid hebben)

□

Misschien had u bij deze stelling het gevoel: dat is toch logisch, waarom moeten we dit nu nog bewijzen? In dat geval hebt u tot nu toe een goed beeld gekregen van wat een equivalentierelatie nu eigenlijk is. Deze intuïtie is ook belangrijk bij het ontdekken van eigenschappen. Maar om er zeker van te zijn dat een eigenschap voor élke equivalentierelatie geldt en niet alleen voor de voorbeelden die we tot nu toe gaven, moesten we deze eigenschap bewijzen.

Representant

Een gevolg van stelling 9.2 is dat we een equivalentieklasse kunnen ‘noemen’ naar elk element van deze klasse: in voorbeeld 9.10 kunnen we de klasse {..., –13, –6, 1, 8, 15, ...} aanduiden als [1], maar ook als [8] of als [701]. Het element dat we gebruiken om de klasse een naam te geven, noemen we ook wel een representant van de klasse. Dus 701 is een representant van de klasse {..., –13, –6, 1, 8, 15, ...}.

120

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

Een ander, belangrijk, gevolg van stelling 9.2 is: STELLING 9.3

Laat R een equivalentierelatie zijn in V. Dan geldt voor elke x en y uit V: xRy dan en slechts dan als [x]R = [y]R. Wat zegt deze stelling? Ten eerste: als x en y met elkaar in relatie staan, dan zijn de bijbehorende klassen aan elkaar gelijk. Ten tweede: als x en y verschillende representanten van dezelfde klasse zijn, dan staan x en y met elkaar in relatie. Bewijs We bewijzen eerst: als xRy, dan [x]R = [y]R. Stel xRy. Dan geldt y ∈[x]R. Volgens stelling 9.2 volgt nu [x]R = [y]R. Vervolgens bewijzen we: als [x]R = [y]R, dan xRy. Stel [x]R = [y]R. Dan □ geldt y ∈[x]R, dus xRy. Op jurken, vazen, gebouwen, ..., op allerlei plaatsen komen we randversieringen tegen. Vaak is deze versiering op de een of andere manier symmetrisch. Op grond van het soort symmetrie kunnen we de versieringen indelen in klassen. Bijvoorbeeld: figuren die alleen symmetrisch zijn ten opzichte van de horizontale as. In plaats van zulke omschrijvingen kunnen we ook van elk van de zeven klassen een typerende representant geven (H. Lauwerier, Symmetrie, 1988). U vindt ze in figuur 9.13. Kunt u nu zien tot welke klassen de versieringen uit figuur 9.14 behoren?

FIGUUR 9.13

De zeven typen randversieringen

FIGUUR 9.14

Randversieringen

Het antwoord is: a = 5, b = 6, c = 7, d = 2 (of 6, afhankelijk van hoe we de figuur in stukken knippen), e = 4 en f = 1. OPGAVE 9.22

Laat R de relatie in Z zijn uit voorbeeld 9.10: xRy als 7(x – y). Laat zien dat de verzameling equivalentieklassen van R een partitie vormt van Z. In stelling 9.1 hebt u gezien dat een partitie aanleiding geeft tot een equivalentierelatie. Opgave 9.22 was een voorbeeld van het omgekeerde: hier liet u zien dat een equivalentierelatie een partitie bepaalt. Dit kan algemeen.

121

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

STELLING 9.4

Laat R een equivalentierelatie zijn in V. Dan vormt de verzameling equivalentieklassen van R een partitie van V. Bewijs We moeten laten zien dat de verzameling klassen aan de twee voorwaarden voor een partitie voldoet. i De vereniging van de verzameling klassen is gelijk aan V. Dit klopt, want voor elke x ∈V geldt dat x ∈[x]R, dus elk element behoort tot een equivalentieklasse. ii Als twee klassen verschillend zijn, dan is hun doorsnede leeg. Deze voorwaarde kunnen we ook als volgt formuleren: als twee klassen een niet-lege doorsnede hebben, dan vallen ze samen . We bewijzen dit laatste als volgt: stel [x]R ∩ [y]R ≠ ∅. Dan is er een element u waarvoor u ∈[x]R en u ∈[y]R. Uit stelling 9.2 volgt nu [u]R = [x]R en [u]R = [yR], □ dus [x]R = [y]R. Omdat de verzameling klassen van een equivalentierelatie kennelijk belangrijk kan zijn, heeft zij een aparte naam.

Quotiënt

DEFINITIE 9.12 Notatie

De verzameling equivalentieklassen van een equivalentierelatie R in een verzameling V heet het quotiënt van die relatie. We noteren dit quotiënt als V/R. De relatie R uit voorbeeld 9.10 heeft zeven verschillende equivalentieklassen: [1], [2], ..., [7]. Het quotiënt van R is de verzameling waarvan de elementen gelijk zijn aan deze equivalentieklassen, dus Z/R = {[1], [2], ..., [7]} = {{..., –13, –6, 1, 8, ...}, {..., –12, –5, 2, 9, ...}, ..., {..., –7, 0, 7, 14, ...}}. Dit « quotiënt is een partitie van de verzameling Z.

VOORBEELD Verband tussen quotiënt en partitie

Wat is nu precies het verband tussen de begrippen quotiënt en partitie? Uit stelling 9.4 volgt dat elk quotiënt een partitie vormt van de verzameling waarin de equivalentierelatie gedefinieerd is. Omgekeerd kunnen we een partitie opvatten als het quotiënt van de bijbehorende equivalentierelatie, maar we kunnen ook heel goed een partitie definiëren zonder over equivalentierelaties te praten, zoals bijvoorbeeld in de voorbeelden 9.3 en 9.4.

OPGAVE 9.23

In de verzameling V = {1, 2, ..., 10} is de relatie R gedefinieerd door xRy ⇔ 3(x – y) . a Teken de graaf van deze relatie. b Hoe kunt u aan de graaf zien dat R een equivalentierelatie is? c Hoe kunt u de klassen van R herkennen in de graaf? d Bepaal het quotiënt V/R.

122

Leereenheid 9 Equivalentierelaties

OPGAVE 9.24

U kent vast wel het schuifspelletje dat hier is afgebeeld.

Het is de bedoeling om net zolang te schuiven totdat de cijfers in de goede volgorde staan. De ‘stand’ kunnen we beschrijven in een 4 × 6-tabel, waarin de getallen 1 t/m 23 elk precies één maal voorkomen. In het overgebleven element kunnen we een 0 plaatsen, dit is het lege vakje. Op de verzameling van alle mogelijke standen definiëren we een relatie XRY als stand Y uit stand X te verkrijgen is door één steentje te verschuiven. In de tabel betekent dit dat we de 0 met zijn boven-, beneden-, linker- of rechterbuur mogen verwisselen. a Wat stelt de relatie R* voor? b Leg uit dat R* een equivalentierelatie is. c R* heeft twee verschillende klassen. (U hoeft dit niet te bewijzen.) Wat betekent dit voor de mogelijkheden van het spel? SAMENVATTING

Een equivalentierelatie R in een verzameling A is een binaire relatie in A met de volgende eigenschappen: de relatie is – reflexief: voor elke x uit A geldt xRx – symmetrisch: voor elke x en y uit A geldt: als xRy, dan ook yRx – transitief: voor elke x, y en z uit A geldt: als xRy en yRz, dan ook xRz. Andere mogelijke eigenschappen van een binaire relatie R in A zijn: – irreflexiviteit: voor geen x uit A geldt xRx – antisymmetrie: voor elke x en y uit A geldt: als xRy en yRx, dan x = y. Een binaire relatie R in A kunnen we op een zo zuinig mogelijke manier uitbreiden tot een transitieve relatie, de transitieve afsluiting R+, door de machten van R toe te voegen: R+ = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ .... Als we ook nog de identieke relatie toevoegen, dan krijgen we de reflexieve transitieve afsluiting R* = R0 ∪ R ∪ R2 ∪ R3 ∪ .... De equivalentieklasse van een element x ∈A bij R is [x]R = {y ∈AxRy}. De verzameling van alle equivalentieklassen bij R noemen we het quotiënt A/R. Dit vormt een partitie van A: verschillende equivalentieklassen zijn onderling disjunct en de vereniging van alle equivalentieklassen is gelijk aan A. Omgekeerd geeft een partitie aanleiding tot een equivalentierelatie; definieer R door xRy als x en y tot hetzelfde element uit de partitie behoren.

123

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

ZELFTOETS

1

Onderzoek of de volgende relaties reflexief, irreflexief, symmetrisch, antisymmetrisch en/of transitief zijn (zie figuur 9.15).

FIGUUR 9.15

Grafen van vier relaties

2

In de verzameling {1, 2, ..., 7} is de relatie R gedefinieerd door xRy ⇔ 7(y – x2 ). Geef een expliciete definitie van de transitieve afsluiting R+ en van de reflexieve transitieve afsluiting R*.

3

In N is de relatie R gedefinieerd door xRy ⇔ x + y is even. a Laat zien dat R een equivalentierelatie is. b Bepaal het quotiënt N/R.

124

Inhoud leereenheid 10

Ordeningen Introductie Leerkern 10.1 10.2

Partiële ordeningen Het hassediagram

10.3

Onder- en bovengrenzen

Samenvatting Zelftoets

126

Leereenheid 10

Ordeningen

INTRODUCTIE

In de vorige leereenheid hebben we equivalentierelaties bestudeerd. Een equivalentierelatie brengt structuur in een verzameling door elementen die bepaalde overeenkomsten vertonen, samen te voegen in een equivalentieklasse. Structuur aanbrengen in een verzameling, eigenschappen van die structuur opsporen, daarmee allerlei vragen over die verzameling beantwoorden en zo problemen oplossen, is de essentie van wiskunde. In deze leereenheid bekijken we relaties die op een andere manier structuur aanbrengen in een verzameling. Dat gebeurt door de elementen op de een of andere manier te ordenen. De natuurlijke getallen kunnen we ordenen naar grootte. In deze ordening is elk tweetal elementen a en b ‘vergelijkbaar’, dat wil zeggen dat één van de twee groter is dan de ander. Een andere ordening, die dezelfde eigenschap heeft, is de alfabetische ordening in een telefoonboek: ook hier is het zo dat elk tweetal namen ‘vergelijkbaar’ is; nu betekent het dat één van de namen voorafgaat aan de andere. Maar er zijn ook andere ordeningen mogelijk. Zo kunnen we P(X), de deelverzamelingen van een verzameling X, ordenen met behulp van de relatie ‘is-deelverzameling van’. Als we nu twee elementen A en B uit P(X) nemen, dan kunnen ze ‘vergelijkbaar’ zijn in de ordening, dat wil zeggen A ⊂ B of B ⊂ A, of ‘onvergelijkbaar’, omdat geen van de twee verzamelingen bevat is in de ander. Zo’n ordening, waarin niet noodzakelijk elk tweetal elementen ‘vergelijkbaar’ is, noemen we een partiële ordening. Veel ordeningen die we in de wiskunde of in de toepassingen tegenkomen, zijn slechts partieel in deze zin. De alfabetische ordening in het telefoonboek berust op de ordening die we in het alfabet hebben aangebracht. Hoewel we ons dat nauwelijks meer bewust zijn, is deze ordening volstrekt kunstmatig en niet gebaseerd op enige eigenschap van de letters. Het telefoonboek laat zien hoeveel praktisch gemak deze kunstmatige ordening oplevert. In deze leereenheid behandelen we de beginselen van de wiskundige theorie der ordeningen, waar de alfabetische ordening ook onder valt. LEERDOELEN

Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u – de definitie van een partieel geordende verzameling kent – van een relatie kunt vaststellen of het een partiële ordening is of niet – het onderscheid kent tussen partiële ordening en strikte partiële ordening – het hassediagram van een partieel geordende verzameling kunt tekenen – de definitie van de n-kubus kent

127

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

– weet dat het hassediagram van de partieel geordende verzameling van de deelverzamelingen van een verzameling met n elementen de n-kubus is – weet wat maximale en minimale elementen zijn, wat een grootste en kleinste element is, wat boven- en ondergrenzen zijn, wat een supremum en een infimum is, en wat een complement van een element is in een partieel geordende verzameling. Studeeraanwijzingen In deze leereenheid komen veel nieuwe begrippen aan de orde. De namen zijn echter zo gekozen dat ze zoveel mogelijk voor zich spreken. Net als in de voorgaande leereenheid wordt geabstraheerd van concrete verzamelingen en relaties en worden de algemene structuren onderzocht. LEERKERN 10.1

Notatie (X, R)

Vooroudernakomeling-relatie

Transitief

Partiële ordeningen

Net zoals een equivalentierelatie is ook een ordeningsrelatie een binaire relatie in een verzameling. Als R een ordeningsrelatie is in een verzameling X, dan schrijven we meestal (X, R). In de introductie hebben we al enkele ordeningsrelaties gezien. Zo was er de ordening naar grootte van de natuurlijke getallen, namelijk (N, 12} en B = {x ∈Z–3 ≤ x ≤ 3} geen elementen gemeen hebben, zien we dat A – B = A en B – A = B.

5.2

a De verzameling A – B bestaat uit alle elementen van A die niet in B zitten. Omdat A ⊂ B is echter elk element van A ook een element van B, dus er zijn geen elementen in A die niet in B zitten, wat betekent dat A – B = Ø. b Omdat A – B per definitie geen elementen van B bevat, zijn er geen elementen te vinden die zowel in A – B als in B zitten, dus (A – B) ∩ B = Ø.

5.3

a De elementen van de machtsverzameling P(Z) van Z zijn de deelverzamelingen van Z. Omdat N een deelverzameling is van Z, geldt er inderdaad dat N ∈P(Z). Ook Ø ⊂ Z, dus Ø ∈P(Z). Omdat Ø een deelverzameling is van iedere verzameling, geldt ook dat Ø ⊂ P(Z). b De verzameling {Ø, {Ø}} is geen element van U. De afzonderlijke elementen van deze verzameling, dus Ø en {Ø}, zijn wel elementen van U. Dit betekent ook meteen dat {Ø, {Ø}} wel een deelverzameling is van U, ofwel {Ø, {Ø}} ∈P(U).

5.4

De enige deelverzameling met nul elementen is de lege verzameling. Alle deelverzamelingen met één element zijn {0} en {1}. De enige deelverzameling met twee elementen is U. Dus P(U) = {Ø, {0}, {1}, {0, 1}}. De verzameling U heeft 2 elementen en P(U) heeft 4 = 22 elementen.

5.5

a Omdat A uit 6 elementen bestaat, volgt uit stelling 5.1 dat P(A) uit 26 = 64 elementen bestaat. b Als x ∈P(A), dan x ⊂ A. Voor deze deelverzameling x van A moet bovendien gelden dat x = 1, ofwel x heeft 1 element. De verzameling {x ∈P(A)x = 1} bestaat dus uit alle deelverzamelingen van A met één element. Dit zijn de deelverzamelingen {1}, {2}, {3}, {4}, {5} en {6}, waarmee een expliciete definitie gegeven is.

5.6

Het formele bewijs voor de idempotentie van de vereniging lijkt sterk op dat van de doorsnede. Als x ∈A, dan geldt zeker dat x ∈A of x ∈A, met andere woorden x ∈A ∪ A, wat aantoont dat A ⊂ A ∪ A. Als x ∈A ∪ A, dan geldt x ∈A of x ∈A, wat we mogen vereenvoudigen tot x ∈A. Dus ook A ∪ A ⊂ A. Samen met A ⊂ A ∪ A bewijst dit dat A ∪ A = A.

153

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

5.7

Zij A ∩ B = Ø. We bewijzen dat dan A – B = A. Merk op dat voor ieder tweetal verzamelingen geldt dat A – B ⊂ A (zie de tekst voorafgaand aan opgave 5.2). We hoeven dus alleen nog aan te tonen dat ook A ⊂ A – B. Neem nu x ∈A. Omdat A ∩ B = Ø, moet er dan gelden dat x ∉B. Immers, als x ∈B, dan zou volgen dat x ∈A en x ∈B ofwel x ∈A ∩ B, wat onmogelijk is. Er geldt dus dat x ∈A en x ∉B, ofwel x ∈A – B (zie definitie 5.1). Hiermee is bewezen dat A ⊂ A – B, en samen met A – B ⊂ A bewijst dit dat A – B = A.

5.8

a In deze opgave is U een zeker universum. De verzameling A – Bc bestaat uit de x ∈A die niet tot Bc behoren. Deze verzameling is dik omlijnd weergegeven in figuur 5.5.

FIGUUR 5.5

De verzameling A – Bc

b Zoals we na definitie 5.1 al opmerkten, volgt er direct uit de definities van verschil, doorsnede en complement dat A – B = A ∩ Bc. Neem nu voor B de verzameling Cc (C is willekeurig), dan volgt dat A – Cc = A ∩ (Cc)c. Maar (Cc)c = C ,dus A – Cc = A ∩ C. We kunnen C nu net zo goed weer B noemen: A – Bc = A ∩ B. 5.9

a Omdat A ⊕ B de vereniging is van A – B en B – A, volgt het venndiagram voor A ⊕ B eenvoudig uit dat voor A – B in figuur 5.1.

FIGUUR 5.6

Het gearceerde gebied correspondeert met A ⊕ B

In het venndiagram zien we een symmetrische situatie: of we nu A ⊕ B of B ⊕ A tekenen, er is geen verschil. Dit in tegenstelling tot de venndiagrammen voor A – B en B – A. Dit verklaart de naamgeving: het verschil is ‘symmetrisch gemaakt’. b Er geldt dat A – B = {x ∈Rx < 0} en B – A = {x ∈R0 < x ≤ 1}. Hieruit volgt dat A ⊕ B = (A – B) ∪ (B – A) = {x ∈Rx < 0 ∨ 0 < x ≤ 1} = {x ∈Rx ≠ 0 ∧ x ≤ 1}. c Als A ∩ B = Ø, dan geldt dat A – B = A (zie opgave 5.7). Uit A ∩ B = Ø volgt dat ook B ∩ A = Ø en dus volgt uit opgave 5.7 weer dat ook B – A = B. Dus A ⊕ B = (A – B) ∪ (B – A) = A ∪ B als A ∩ B = Ø. d Noem A = {x ∈Zx2 > 12} en B = {x ∈Z–3 ≤ x ≤ 3}. Omdat A ∩ B = Ø, volgt met onderdeel c: A ⊕ B = A ∪ B. Maar A ∪ B = Z, dus A ⊕ B = Z.

154

Terugkoppelingen

5.10

a De verzameling V heeft 5 elementen, namelijk a, b, 0, {a} en {0, α}. Volgens stelling 5.1 heeft P(V) dan 25 = 32 elementen. b Het object A komt niet voor onder de objecten (= elementen) van V, ofwel A ∉V. Omdat ieder element van A ook tot V behoort, geldt wel dat A ⊂ V. Dit betekent meteen dat A ∈P(V). c Er geldt dat A ∩ B = {{0, α}}. Dit object behoort niet tot V (let op het onderscheid tussen {0, α} ∈V en {{0, α}} ∉V), maar is wel een deelverzameling van V. Hieruit volgt dat A ∩ B ∈P(V). Er geldt dat A ∪ B = {a, b, {a}, {b}, {0, α}, {0, a}}. Dit object behoort niet tot V en is ook geen deelverzameling van V, immers, {b} ∈A ∪ B, maar {b} ∉V. Hieruit volgt dat A ∪ B ∉P(V). Er geldt dat A – B = {a, b}. Dit object behoort niet tot V, maar is wel een deelverzameling van V. Dus A – B ∈P(V). Er geldt dat Ac = {0, {a}}. Dit object behoort niet tot V, maar is wel een deelverzameling van V. Dus Ac ∈P(V). d Omdat B geen deelverzameling van V is (immers {b} ∈B, maar {b} ∉V), is het niet correct om te spreken over Bc (ten opzichte van V). e De verzameling B is een deelverzameling van P(V) als ieder element van B ook tot P(V) behoort. De elementen van B zijn: {a}, {b}, {0, a} en {0, α}. De verzameling {0, α} is echter geen element van P(V) omdat het geen deelverzameling is van V. (Het is wel een element van V, maar geen deelverzameling: α ∈{0, α}, maar α ∉V.)

5.11

Als A = {a, b} en B = {a, b, c}, dan geldt P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} en P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} (zie voorbeeld 5.1). We zien dus dat P(A) ⊂ P(B) voor dit voorbeeld. Om nu in het algemeen te bewijzen dat P(A) ⊂ P(B) als A ⊂ B, moeten we aantonen dat voor iedere x ∈P(A) geldt dat x ∈P(B). Maar x ∈P(A) betekent dat x ⊂ A. Uit x ⊂ A en A ⊂ B volgt dan dat x ⊂ B, dus inderdaad x ∈P(B). Dit bewijst dat P(A) ⊂ P(B).

5.12

a In opgave 5.11 is P({a, b, c}) weergegeven. Hieruit is P({b, c, d}) te halen door overal a te vervangen door b, b door c en c door d. We zien dan dat P(A) ∩ P(B) = {Ø, {b}, {c}, {b, c}}. Omdat A ∩ B = {b, c} en dus P(A ∩ B) = {Ø, {b}, {c}, {b, c}}, geldt er voor dit voorbeeld inderdaad dat P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B). Vervolgens proberen we dit in het algemeen te bewijzen door eerst aan te tonen dat P(A ∩ B) ⊂ (P(A) ∩ P(B)) en vervolgens dat (P(A) ∩ P(B)) ⊂ P(A ∩ B). Neem eerst x ∈P(A ∩ B), ofwel x ⊂ A ∩ B. Dan moet zowel x ⊂ A als x ⊂ B gelden, ofwel x ∈P(A) en x ∈P(B), dus x ∈P(A) ∩ P(B). Voor iedere x ∈P(A ∩ B) geldt dus dat x ∈P(A) ∩ P(B). Dit bewijst dat P(A ∩ B) ⊂ (P(A) ∩ P(B)). Neem nu x ∈P(A) ∩ P(B), ofwel x ⊂ A en x ⊂ B. Dan volgt dat x ⊂ A ∩ B, ofwel x ∈P(A ∩ B). Voor iedere x ∈P(A) ∩ P(B) geldt dus dat x ∈P(A ∩ B). Dit bewijst dat (P(A) ∩ P(B)) ⊂ P(A ∩ B). b Omdat A ∪ B = {a, b, c, d}, geldt er bijvoorbeeld dat {a, b, c, d} ∈ P(A ∪ B) = P({a, b, c, d}). Maar {a, b, c, d} ∉P(A) ∪ P(B), dus geldt niet dat P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B). In het algemeen zal dus P(A ∪ B) ≠ P(A) ∪ P(B).

5.13

Laat x ∈(A ∪ B) ∪ C. Dat betekent dat x ∈A ∪ B ∨ x ∈C. Maar dit betekent weer dat ( x ∈A ∨ x ∈B) ∨ x ∈C. Uit de associativiteit van de disjunctie volgt dat dit equivalent is met x ∈A ∨ (x ∈B ∨ x ∈C), wat betekent dat x ∈A ∨ x ∈B ∪ C, met andere woorden x ∈A ∪ (B ∪ C). Hiermee is bewezen dat ((A ∪ B) ∪ C) = (A ∪ (B ∪ C)).

155

5.14

a Op grond van de associativiteit van  laten we in D  (B  A)  C eerst de haakjes weg: D  (B  A)  C = D  B  A  C. Op grond van de commutativiteit van  kunnen we net zo lang volgordes verwisselen tot de gewenste volgorde A  B  C  D is bereikt. b Uit achtereenvolgens de commutativiteit en de associativiteit van  volgt dat (B  A)  C = (A  B)  C = A  B  C. De commutativiteit van  geeft dan dat D  ((B  A)  C) = (A  B  C)  D. c Er geldt in het algemeen niet dat (A  B)  C = A  (B  C) zoals de venndiagrammen in figuur 5.7 suggereren. De haakjes mogen hier dus niet weggelaten worden. Voor een bewijs kunnen we natuurlijk concrete verzamelingen aangeven waarvoor (A  B)  C ≠ A  (B  C). Neem bijvoorbeeld A = {0, 1}, B = {1, 2} en C = {0, 2}, dan geldt dat (A  B)  C = {1}  {0, 2} = {0, 1, 2} en A  (B  C) = {0, 1}  {0, 1, 2} = {0, 1}. Deze twee zijn inderdaad niet aan elkaar gelijk. We laten dit ook nog met een andere methode zien.

FIGUUR 5.7

De verzamelingen (A  B)  C (a) en A  (B  C) (b)

Om te bewijzen dat (A  B)  C ≠ A  (B  C), nemen we x C zo dat x A; zie figuur 5.7 (afgezien van ‘bijzondere gevallen’ is dit altijd mogelijk). Omdat x C, zal zeker gelden dat x (A  B)  C. Maar omdat x A, zal ook gelden dat x A  (B  C). De twee verzamelingen (A  B)  C en A  (B  C) zullen dus in het algemeen niet aan elkaar gelijk zijn. Meestal is het geven van een eenvoudig voorbeeld (veel) makkelijker dan deze tweede methode. 5.15

a Er geldt dat A  B = {0, 1}, A  B  C = {0, 1}, enzovoort, tot A  B  C  D  E = {0, 1}. Er geldt dat A  B = {0, 1, 2}, A  B  C = {0, 1, 2, 3}, enzovoort, tot A  B  C  D  E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b Omdat A1 = A, A2 = B, A3 = C, A4 = D en A5 = E, volgt uit onderdeel 5 5 a dat i 1 A i = {0, 1} en i  0 A i = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 6 6 Vervolgens willen we i 1 A i en i 1 A i bepalen. 6 5 De verzameling i 1 A i is hetzelfde als de doorsnede van i 1 A i met 5 A6 = {0, 1, ..., 6}. Maar we zagen net dat i 1 A i = {0, 1} en als we dit doorsnijden met {0, 1, ..., 6}, dan houden we nog steeds {0, 1} over. Er 6 geldt dus opnieuw dat i 1 A i = {0, 1}. 6 5 De verzameling i 1 A i is hetzelfde als de vereniging van i 1 A i 5 met A6 = {0, 1, ..., 6}. Maar i 1 A i = {0, 1, ..., 5} en als we dit verenigen 6 met {0, 1, ..., 6}, dan krijgen we {0, 1, ..., 6}. Er geldt dus dat i 1 A i = {0, 1, ..., 6}. 100 100 Ten slotte willen we ook i 1 A i en i 1 A i bepalen.

100 6 De verzameling i 1 A i ontstaat uit bijvoorbeeld i 1 A i = {0, 1} door steeds met de volgende verzameling Ak = {0, 1, ..., k} te doorsnijden voor k = 7, 8, ..., 100. Deze doorsnijdingen zijn echter steeds gelijk aan {0, 1}, 100 dus ook i 1 A i = {0, 1}. (Let op de eigenschap dat doorsnijdingen nooit ‘groter’ worden, hooguit ‘kleiner’.) We kunnen dit resultaat ook directer als volgt bewijzen. De verzameling 100 i 1 A i is in ieder geval een deelverzameling van A1 = {0, 1}, dus 100 i 1 A i  {0, 1}. Omdat {0, 1}  Ai voor iedere i {1, 2, ..., 100}, volgt 100 100 anderzijds ook {0, 1}  i 1 A i . De twee resultaten i 1 A i  {0, 1} 100 100 en {0, 1}  i 1 A i te zamen bewijzen dat i 1 A i = {0, 1}. 100 6 De verzameling i 1 A i ontstaat bijvoorbeeld uit i 1 A i = {0, 1, ..., 6} door steeds met de volgende verzameling Ak = {0, 1, ..., k} te verenigen voor k = 7, 8, ..., 100. Deze verenigingen worden steeds één groter: {0, 1, ..., 7}, {0, 1, ..., 8}, enzovoort tot {0, 1, ..., 100}. Dus geldt dat 100 i 1 A i = {0, 1, .., 100}. (Let op de eigenschap dat verzamelingen door verenigen nooit ‘kleiner’ worden, hooguit ‘groter’.) 100 Een directer bewijs van dit resultaat gaat als volgt. Verzameling i 1 A i 100 bevat in ieder geval A100 = {0, 1, ..., 100}, dus {0, 1, ..., 100}  i 1 A i . Omdat Ai  {0, 1, ..., 100} voor iedere i {1, 2, ..., 100}, volgt anderzijds 100 dat ook i 1 A i  {0, 1, ..., 100}. Deze twee resultaten te zamen bewijzen 100 dat i 1 A i = {0, 1, ..., 100}. In het vervolg zullen we dit soort resultaten meestal met de genoemde ‘directe’ methode proberen te bewijzen.

5.16

n Als we voor wat waarden van n eerst i  0 A i bepalen, dan zien we n dat steeds i  0 A i = {0}. We vermoeden dan dat i Ai = {0}. Om nu te bewijzen dat i Ai = {0}, merken we eerst op dat A0 = {x  –0 ≤ x ≤ 0} = {0}, dus geldt er in ieder geval dat i Ai  {0}. Omdat {0}  Ai voor iedere i  , volgt er anderzijds ook dat {0}  i Ai. Deze twee resultaten bewijzen te zamen dat i Ai = {0}. n Als we nu voor wat waarden van n eerst i  0 A i bepalen, dan zien we n dat i  0 A i een steeds groter deel van gaat beslaan. We vermoeden dan dat i Ai = . Om dit te bewijzen, merken we eerst op dat Ai  voor iedere i  , dus i Ai  . We proberen nu ‘omgekeerd’ te bewijzen dat  i Ai. Neem k  . Als k ≥ 0, dan geldt dat k Ak = {x  –k ≤ x ≤ k}, en als k < 0, dan geldt dat k A–k = {x  k ≤ x ≤ –k}. Hieruit volgt dat iedere k  ook tot i Ai behoort, ofwel dat inderdaad  i Ai. Te zamen met i Ai  betekent dit dat we bewezen hebben dat i Ai = .

5.17

a Er geldt dat A0 = {x Vx = 5k voor zekere k  }, ofwel A0 is de verzameling 5-vouden in V = {x  x ≤ 20}. Een expliciete definitie van A0 is dan {0, 5, 10, 15, 20}. De getallen in A1 zijn van de vorm 5k + 1, ofwel een 5-voud met 1 erbij opgeteld. Uit de expliciete definitie van A0 zien we dan dat A1 = {0 + 1, 5 + 1, 10 + 1, 15 + 1} = {1, 6, 11, 16}. De getallen in A2 zijn van de vorm 5k + 2, ofwel een 5-voud met 2 erbij opgeteld. Dus A2 = {2, 7, 12, 17}. Net zo volgt dat A3 = {3, 8, 13, 18} en A4 = {4, 9, 14, 19}. b Uit onderdeel a zien we dat in de verzamelingen Ai voor i = 0, 1, 2, 3 en 4 te zamen precies alle getallen uit V voorkomen, dus 4i  0 A i = V. c Uit onderdeel a zien we dat A1  A2 = Ø (zelfs: Ai  Aj = Ø voor alle i ≠ j). Op grond van de commutativiteit en de associativiteit kunnen we 4 A i  0 i schrijven als C  (A1  A2) met C = A0  A3  A4. Omdat A1  A2 = Ø en C  Ø = Ø , volgt 4i  0 A i = Ø.

5.18

Zij x A  (B  C), wat betekent dat x A  (x B  x C). Uit de distributititeit volgt dat dit equivalent is met (x A  x B)  (x A  x C), dus met x (A  B)  (A  C). Dit bewijst dat (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)).

5.19

Eerst gebruiken we de commutativiteit van : (V  W)  (V  W) = (V  W)  (V  W). Pas vervolgens stelling 5.4 toe met A = V  W, B = V en C = W, dan volgt dat (V  W)  (V  W) = ((V  W)  V)  ((V  W)  W). Volgens de associativiteit en de commutativiteit van  geldt dat (V  W)  V = V  V  W en (V  W)  W = V  W  W. Omdat A  A = A en A  A = A voor iedere verzameling A (zie eventueel het einde van paragraaf 5.1), zien we dan ten slotte dat (V  W)  (V  W) = (V  W)  (V  W) = V  W.

5.20

Om A  (B  C) te bepalen, is het handiger om eerst A  B en A  C te bepalen: A  B bestaat uit de kwadraten ≤ 18, dus A  B = {0, 1, 4, 9, 16}, en A  C bestaat uit de 4-vouden tussen –18 en 18, dus A  C = {–16, –12, –8, –4, 0, 4, 8, 12, 16}. Volgens stelling 5.4 geldt dan dat A  (B  C) = (A  B)  (A  C) = {–16, –12, –8, –4, 0, 1, 4, 8, 9, 12, 16}. De verzameling A  (B  C) kan men daarentegen beter direct bepalen. Immers, B  C bestaat uit de kwadraten ≤ 50 die tevens 4-voud zijn: B  C = {0, 4, 16, 36}. Dus A  (B  C) = {x  –18 ≤ x ≤ 18}  {36}.

5.21

a Omdat A3 = {x–23 < x < 2–3} en A–3 = {x–2–3 < x < 23}, volgt er dat A3  A–3 = {x–23 < x < 23} = {x–8 < x < 8}. Alle andere verzamelingen Ai zijn hier een deelverzameling van, dus C = i I A i = {x–8 < x < 8}. Evenzo geldt dat A3  A–3 = {x–2–3 < x < 2–3} = {x–1/8 < x < 1/8} en omdat dit een deelverzameling is van alle andere verzamelingen Ai, volgt er dat D = i I A i = {x–1/8 < x < 1/8}. b Om C  (A  B) te bepalen, is het handiger om de distributiviteit toe te passen en (C  A)  (C  B) te bepalen. De verzameling C  A bestaat uit de x  die voldoen aan –8 < x < 8 en waarvoor bovendien geldt dat x2 – 1 een 3-voud is. Dit laatste betekent in het bijzonder dat x geheel moet zijn. Het is dan eenvoudig na te gaan voor welke gehele getallen x C geldt dat x2 – 1 een 3-voud is: C  A = { –7, –5, –4, –2, –1, 1, 2, 4, 5, 7}. De verzameling C  B bestaat uit de x  die voldoen aan –8 < x < 8 en die bovendien een 3-voud zijn. Net als hierboven volgt er dat C  B = {–6, –3, 0, 3, 6}. Dus C  (A  B) = {x  –8 < x < 8}. c Om (A  D)  (A  B) te bepalen, is het handiger om de distributiviteit toe te passen en A  (D  B) te bepalen. De verzameling D  B bestaat uit de x  die voldoen aan –1/8 < x < 1/8 en die bovendien een 3-voud zijn. Dit is alleen het getal 0, dus A  (D  B) = {xx2 – 1 is een 3-voud}  {0}.

5.22

a Zij x A  (A  B), dus x A  (x A  x B Volgens de absorptiewet van de logica is dit equivalent met x A. Hiermee is bewezen dat A  (A  B) = A. Zie figuur 5.8.

FIGUUR 5.8

Absorptie: A  (A  B) (het totaal van de gearceerde gebieden) = A

Terugkoppelingen

b Uit stelling 5.4 volgt dat A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B). Maar A ∩ A = A (idempotentie), dus A ∩ (A ∪ B) = A ∪ (A ∩ B). In onderdeel a is aangetoond dat A ∪ (A ∩ B) = A. Dus volgt nu ook de andere absorptiewet: A ∩ (A ∪ B) = A. Stelling 5.5 is hiermee bewezen. 5.23

a Het venndiagram van (A ∪ (B ∩ C)) ∩ A in figuur 5.9 suggereert dat (A ∪ (B ∩ C)) ∩ A = A. We bewijzen dit met behulp van de absorptie (het kan ook ‘direct’, maar dit is veel sneller). Noem D = (B ∩ C) en pas absorptie (en commutativiteit) toe: (A ∪ D) ∩ A = A. Klaar! (Wellicht bent u A ∪ (B ∩ C) eerst gaan uitwerken met behulp van distributiviteit, maar dat leidt tot een veel langere weg).

FIGUUR 5.9

Venndiagram van (A ∪ (B ∩ C)) ∩ A = A (het vetomlijnde deel)

b Uit de associativiteit en commutativiteit van ∪ volgt dat (A ∪ (B ∩ C)) ∪ B = A ∪ (B ∪ (B ∩ C)). Pas nu absorptie toe: B ∪ (B ∩ C) = B, dus (A ∪ (B ∩ C)) ∪ B = A ∪ B. c Een venndiagram suggereert dat ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C. Voor een bewijs hiervan passen we bijvoorbeeld eerst distributiviteit (en commutativiteit) toe: noemen we even U = A ∩ B, V = B ∩ C en W = A ∩ C en werken we (U ∪ V) ∩ W met behulp van distributiviteit uit, dan volgt dat (U ∪ V) ∩ W = (U ∩ W) ∪ (V ∩ W), dus ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ (A ∩ C) = ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)) ∪ ((B ∩ C) ∩ (A ∩ C)). Hier staat een vereniging die bestaat uit de twee termen (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) en (B ∩ C) ∩ (A ∩ C). Ieder van deze twee termen werken we nu afzonderlijk uit. Allereerst geldt vanwege de associativiteit en commutativiteit van ∩ dat (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ A ∩ C = A ∩ A ∩ B ∩ C . Volgens de idempotentie van ∩ geldt dat A ∩ A = A, dus mogen we concluderen dat (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C. Op precies dezelfde manier geldt voor de tweede term dat (B ∩ C) ∩ (A ∩ C) = B ∩ A ∩ C ∩ C = B ∩ A ∩ C = A ∩ B ∩ C. Voor de vereniging van de twee termen geldt dus dat ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ (A ∩ C) = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C). Maar nu kunnen we de idempotentie van ∪ toepassen en volgt er dat ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C.

159

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

5.24

We bewijzen eerst dat uit A = B volgt dat Ac = Bc. Daarna bewijzen we omgekeerd dat uit dat Ac = Bc, volgt dat A = B. Neem dus eerst aan dat A = B. Volgens de definitie van complement geldt er dat x ∈Ac precies als x ∉A. Maar A = B, dus x ∉A precies als x ∉B, wat weer betekent dat x ∈Bc. Dus x ∈Ac precies als x ∈Bc, ofwel Ac = Bc. Hiermee is bewezen dat uit A = B volgt dat Ac = Bc. Op vergelijkbare wijze bewijst men dat uit Ac = Bc volgt dat A = B. Dit kan echter ook eenvoudig uit de al bewezen regel worden afgeleid. Immers, volgens die regel geldt dat uit Ac = Bc volgt dat (Ac)c = (Bc)c. (We passen de regel dus toe op de verzamelingen Ac en Bc!) Met behulp van dubbel complement zien we dan dat uit Ac = Bc inderdaad volgt A = B.

5.25

We gebruiken de distributiviteit om in (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) de verzameling A buiten haakjes te halen: (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) = A ∩ (B ∪ Bc). Omdat B ∪ Bc = U en A ∩ U = A, volgt er dat (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) = A.

5.26

a Pas eerst De Morgan toe en vervolgens ‘dubbel complement’: (A ∩ Bc)c = Ac ∪ (Bc)c = Ac ∪ B. Dan volgt uit de associativiteit en de commutativiteit dat (A ∩ Bc)c ∪ A = Ac ∪ B ∪ A = (Ac ∪ A) ∪ B. Omdat Ac ∪ A = U en U ∪ B = U, volgt het resultaat: (A ∩ Bc)c ∪ A = U. b Om Ac ∪ Bc te bepalen, is het handiger om eerst A ∩ B te bepalen en vervolgens De Morgan toe te passen. Omdat A ∩ B = {0, 1, 4, 9, 16} (zie eventueel opgave 5.20), volgt er dat Ac ∪ Bc = (A ∩ B)c = Z – {0, 1, 4, 9, 16} (het universum is Z).

5.27

De venndiagrammen van (A ∪ B) ∩ C en A ∩ Cc = A – C zijn in figuur 5.10 geschetst.

FIGUUR 5.10

Venndiagrammen van (A ∪ B) ∩ C (a) en A ∩ Cc (b)

Deze venndiagrammen suggereren dat ((A ∪ B) ∩ C) ∪ (A ∩ Cc) = A ∪ (B ∩ C), wat we nu zullen bewijzen. Uit de distributiviteit volgt dat ((A ∪ B) ∩ C) ∪ (A ∩ Cc) = ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) ∪ (A ∩ Cc). Gebruiken we nu de associativiteit en de commutativiteit van ∪, dan kunnen we dit schrijven als ((A ∩ C) ∪ (A ∩ Cc)) ∪ (B ∩ C). Maar (A ∩ C) ∪ (A ∩ Cc) = A ∩ (C ∪ Cc) (hier gebruiken we de distributiviteit om A buiten haakjes te halen) en C ∪ Cc = U, dus ((A ∩ C) ∪ (A ∩ Cc)) ∪ (B ∩ C) = (A ∩ U) ∪ (B ∩ C) = A ∪ (B ∩ C), waarbij ook nog gebruikt is dat A ∩ U = A. Hiermee is bewezen dat ((A ∪ B) ∩ C) ∪ (A ∩ Cc) = A ∪ (B ∩ C).

160

5.28

In deze opgave is het universum. Om (A  B)c te bepalen, is het handiger om De Morgan toe te passen en Ac  Bc te bepalen. Er geldt dat Bc = {x2x2 < 30} = {x–3 ≤ x ≤ 3}. Omdat Ac = {xx is geen 4-voud}, volgt er dat (A  B)c = Ac  Bc = {x–3 ≤ x ≤ 3  x ≠ 0} = {–3, –2, –1, 1, 2, 3}.

5.29

Als we venndiagrammen van (A  Bc)  C en van (B – A)  C schetsen, dan suggereert dit dat ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) = C. Een bewijs hiervan gaat als volgt. Met behulp van de distributiviteit kunnen we als volgt C buiten haakjes halen: ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) = ((A  Bc)  (B – A))  C. Allereerst schrijven we B – A in termen van doorsnede en complement: B – A = B  Ac (zie de opmerking na definitie 5.1 of opgave 5.8b). Vervolgens merken we op dat B  Ac precies het complement is van A  Bc, immers, (A  Bc)c = Ac  (Bc)c = Ac  B = B  Ac, waarbij achtereenvolgens De Morgan, dubbel complement en commutativiteit zijn gebruikt. We hebben nu dat ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) = ((A  Bc)  (A  Bc)c)  C. Een verzameling verenigen met z’n complement levert het universum U op, dus (A  Bc)  (A  Bc)c = U, en omdat U  C = C, is hiermee bewezen dat ((A  Bc)  C)  ((B – A)  C) = C.

5.30

a Om te bewijzen dat A  (B – C) = (A  B) – (A  C), gebruiken we eerst dat (A  B) – (A  C) = (A  B)  (A  C)c (zie de opmerking na definitie 5.1 of opgave 5.8) en passen vervolgens De Morgan toe: (A  C)c = Ac  Cc. Dus A  (B – C) = (A  B)  (Ac  Cc). Op het rechterlid passen we nu de distributiviteit toe: (A  B)  (Ac  Cc) = ((A  B)  Ac )  ((A  B)  Cc). Maar met behulp van de associativiteit en commutativiteit van  volgt dat (A  B)  Ac = (A  Ac)  B = Ø  B = Ø, waarbij ook gebruikt is dat A  Ac = Ø. Dus (A  B)  (Ac  Cc) = Ø  ((A  B )  Cc) = (A  B )  Cc. Het rechterlid is eenvoudig weer in termen van verschil te schrijven, immers (A  B)  Cc = A  (B  Cc) = A  (B – C), zodat we nu inderdaad bewezen hebben dat (A  B) – (A  C) = A  (B – C), ofwel dat doorsnede distribueert over verschil. b Vereniging distribueert niet over verschil. We geven een eenvoudig voorbeeld waar dit uit blijkt. Neem A = {0, 1}, B = {1, 2} en C = {0, 2}. Dan geldt A  (B – C) = {0, 1}  {1} = {0, 1} en (A  B) – (A  C) = {0, 1, 2} – {0, 1, 2} = Ø. 2

1

Uitwerking van de zelftoets

a Uit de commutativiteit, associativiteit en idempotentie van  volgt dat V  ( i I A i ) = i I (V  A i ) . Merk nu op dat voor i I = {3, 4, 5, 6, 7} geldt dat V  Ai = {x  x ≤ 15 en x is een i-voud}. De verzameling i I (V  A i ) bestaat dus uit de natuurlijke getallen ≤ 15 die zowel een 3-voud, als een 4-voud, als een 5-voud, als een 6-voud, als een 7-voud zijn. Dit is alleen het getal 0 (0 is zelfs een i-voud voor iedere i  +). Dus i I (V  A i )  {0}, wat bewijst dat ook V  ( i I A i )  0.

b Uit de distributiviteit van  over  volgt dat V  ( i I A i ) = i I (V  A i ) . De enige elementen uit V die hier niet toe behoren, zijn de elementen uit V die noch een 3-voud, noch een 4-voud, noch een 5-voud, noch een 6-voud en noch een 7-voud zijn. Dit zijn alleen de getallen 1, 2, 11 en 13, dus V  ( i I A i ) = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15}. c De uitdrukking ( iI A i ) c = (A3  A4  ...  A7)c schrijven we eerst als (A3  Y)c met Y = A4  A5  A6  A7. Uit De Morgan volgt dat (A3  Y)c = A c3  Yc. Noem nu W = A5  A6  A7, dus Y = A4  W, en pas opnieuw De Morgan toe: A c3  Yc = A c3  (A4  W)c = A c3  ( A c4  Wc). Dit proces blijven we herhalen tot het bij A c7 stopt en we A c3  A 4c  A c5  A 6c  A c7 c hebben verkregen. Dus i I A i  ( i I A i ) c . c c Om V  iI A i te bepalen, gebruiken we eerst het voorgaande c resultaat. Er volgt dan dat V c  iI A i = Vc  ( iI A i ) c . Vervolgens passen we opnieuw De Morgan toe: Vc  ( iI A i ) c = (V  ( iI A i )) c . Uit onderdeel a volgt dan dat V c  iI A ic = {0}c = – {0} (het universum is ). 2

a Dat A  B = B  A volgt direct uit de commutativiteit van vereniging: A  B = (A – B)  (B – A) = (B – A)  (A – B) = B  A. b We gebruiken steeds dat A – B = A  Bc (zie de opmerking na definitie 5.1 of opgave 5.8) om het verschil te herschrijven in termen van doorsnede en complement en vice versa. Verder gebruiken we dat Øc = U en Uc = Ø. Uit de definitie van  en voorgaande eigenschap volgt dat A  Ø = (A – Ø)  (Ø – A) = (A  Øc)  (Ø  Ac). Pas nu de regels toe voor het nulelement Ø en het éénelement U: (A  Øc)  (Ø  Ac) = (A  U)  Ø = A  Ø = A. Dit bewijst de rekenregel A  Ø = A. Evenzo volgt dat A  U = (A – U)  (U – A) = (A  Uc)  (U  Ac). Pas nu de regels toe voor Ø en U: (A  Uc)  (U  Ac) = (A  Ø)  Ac = Ø  Ac = Ac . Dit bewijst de rekenregel A  U = Ac. Ten slotte geldt: A  Ac = (A – Ac)  (Ac – A) = (A  (Ac)c)  (Ac  Ac). Uit ‘dubbel complement’ en idempotentie van  volgt dan dat A  Ac = (A  A)  (Ac  Ac) = A  Ac. Passen we nu de complementregel toe, dan hebben we de rekenregel A  Ac = U bewezen. c Uit de definitie van  en de eigenschap uit het begin van onderdeel b volgt dat A  B = (A  Bc)  (B  Ac). Pas de distributiviteit twee maal toe: (A  Bc)  (B  Ac) = (A  (B  Ac))  (Bc  (B  Ac)) = ((A  B)  (A  Ac))  ((Bc  B)  (Bc  Ac)). Omdat A  Ac = B  Bc = U (complementregel), volgt dan uit de regels voor U en de commutativiteit dat A  B = ((A  B)  U)  (U  (Bc  Ac)) = (A  B)  (Ac  Bc). Pas ten slotte De Morgan toe (Ac  Bc = (A  B)c), dan volgt het gevraagde resultaat. Neem nu in de identiteit A  B = (A  B)  (A  B)c van beide leden het complement en pas De Morgan toe, dan volgt dat (A  B)c = ((A  B)  (A  B)c)c = (A  B)c  ((A  B)c)c. Uit dubbel complement en opnieuw De Morgan volgt dan dat (A  B)c = (Ac  Bc)  (A  B) = (A  B)  (Ac  Bc) wat we moesten bewijzen.

Terugkoppelingen

d Uit de definitie van ⊕ en distributiviteit volgt dat A ∩ (B ⊕ C) = A ∩ ((B – C) ∪ (C – B)) = (A ∩ (B – C)) ∪ (A ∩ (C – B)). De bewerking doorsnede distribueert over verschil (zie opgave 5.30), dus A ∩ (B ⊕ C) = ((A ∩ B) – (A ∩ C)) ∪ ((A ∩ C) – (A ∩ B)) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C), met andere woorden: doorsnede distribueert over symetrisch verschil. e We laten met een voorbeeld zien dat A ⊕ (B ∩ C) niet gelijk hoeft te zijn aan (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C). Neem A = {0, 1}, B = {1, 2} en C = {0, 2}. Dan is B ∩ C = {2}, dus A – (B ∩ C) = {0, 1} en (B ∩ C) – A = {2}, waaruit volgt dat A ⊕ (B ∩ C) = {0, 1, 2}. Verder is A ⊕ B = {0} ∪ {2} = {0, 2} en A ⊕ C = {1} ∪ {2} = {1, 2}, dus (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C) = {2}. We zien inderdaad dat A ⊕ (B ∩ C) ≠ (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C). 3

a De verzameling V heeft 5 elementen, dus P(V) bestaat uit 25 = 32 elementen (stelling 5.1). b Omdat Ø ⊂ V, volgt dat Ø ∈P(V). Omdat Ø geen element is van V, is {Ø} geen deelverzameling van V, dus {Ø} ∉P(V). Omdat {Ø} ∈V, geldt {{Ø}} ⊂ V en dus {{Ø}} ∈P(V). c Het object x = {v, {u}} is één van de objecten van V, dus x ∈V. Omdat v ∈V en {u} ∈V, volgt er dat x ⊂ V, dus x ∈P(V). Ten slotte bekijken we de vraag of x ⊂ P(V). Dit is alleen het geval als alle elementen van x ook tot P(V) behoren. Omdat x als elementen v en {u} heeft, moeten we dus nagaan of v en {u} ook elementen van P(V) zijn, met andere woorden, of v ⊂ V en {u} ⊂ V (elementen van P(V) zijn immers deelverzamelingen van V). Maar v is geen deelverzameling van V, waaruit dus volgt dat x geen deelverzameling van P(V) is. d Natuurlijk kunnen we alle elementen van P(W) en P(V) opsommen en concluderen dat P(W) ⊂ P(V). Eenvoudiger is het om te constateren dat W ⊂ V en dat dus P(W) ⊂ P(V) (zie eventueel opgave 5.11). e Er geldt dat A, B, C ⊂ V. Maar dan zijn ook alle verzamelingen die uit A, B en C ontstaan door het nemen van doorsneden, verenigingen, complementen (ten opzichte van V) en verschillen, weer een deelverzameling van V. Dus is (A – (B ∩ C))c – ((C ∪ A) – B) een deelverzameling van V, ofwel een element van P(V). Natuurlijk kan men ook (A – (B ∩ C))c – ((C ∪ A) – B) expliciet bepalen en constateren dat het een deelverzameling van V is, maar dat is veel omslachtiger.

163

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

T E R U G K O P P E L I N G LEEREENHEID 6

Uitwerking van de opgaven

1

6.1

We moeten voor alle mogelijke ingangssignalen het uitgangssignaal bepalen. Het is handig om alle waarden uiteindelijk in een tabel te zetten. We willen dus de volgende tabel invullen: x

y

z

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

u

De eerste waarde hebben we al berekend: als x = y = z = 1, dan geldt u = 0. Om de tweede waarde uit de tabel te berekenen, nemen we x = y = 1 en z = 0 (zie figuur 6.12).

FIGUUR 6.12

x = y = 1 en z = 0

Misschien is het u hierbij opgevallen dat in dit geval de einduitkomst alleen van z afhankelijk was. Als we de waarde voor x en y open laten, vinden we dezelfde uitkomst (zie figuur 6.13).

FIGUUR 6.13

164

u is onafhankelijk van x en y bij z = 0

Terugkoppelingen

We kunnen dus al een groot deel van de tabel invullen: x

y

z

u

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1

Ook als we x = 0 nemen, kunnen we het uitgangssigaal onafhankelijk van de ingangssignalen y en z bepalen (zie figuur 6.14).

FIGUUR 6.14

u is onafhankelijk van y en z bij x = 0

Nu resteert alleen nog x = z = 1, y = 0. Hiervoor vinden we u = 1. De hele tabel wordt dus:

6.2

x

y

z

u

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

Deze schakeling kunnen we op dezelfde manier doorrekenen als we in opgave 6.1 deden. We vinden dan: x

y

z

u

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

Dit is precies de tabel uit opgave 6.1! De twee schakelingen hebben dus dezelfde werking.

165

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

6.3

Een formule bij de schakeling uit opgave 6.2 is: (NIETx OF NIETy) OF NIETz

6.4

In een formule hebben OF-poorten en EN-poorten een volgorde, terwijl dit voor de schakeling niets uitmaakt: x EN y en y EN x zijn precies dezelfde schakelingen. Een andere formule bij de schakeling uit figuur 6.4 is dus bijvoorbeeld NIET((NIETx OF y) EN z) OF NIETx. Er zijn veel andere mogelijkheden, bijvoorbeeld: NIET((y OF NIETx) EN z) OF NIETx of NIET(z EN (y OF NIETx)) OF NIETx.

6.5

Deze schakeling bestaat uit de schakelingen NIETx OF (x EN y) en z verbonden door een OF-poort. De schakeling NIETx OF (x EN y) bestaat uit de schakelingen NIETx en x EN y verbonden door een OF-poort. De hele schakeling ziet er dus zo uit (zie figuur 6.15).

FIGUUR 6.15

6.6

(NIETx OF (x EN y)) OF z

a Een formule bij deze schakeling is: NIET(NIETx) OF y. (Voor de leesbaarheid zijn wat haakjes toegevoegd.) b De twee NIET-poorten heffen elkaars werking op. We kunnen ze dus weglaten. Dit geeft de schakeling van figuur 6.16.

FIGUUR 6.16

Vereenvoudigde schakeling figuur 6.8

c De ‘rekenregel’ die we hierbij gebruikten, is: NIET(NIETx) heeft dezelfde werking als x. 6.7

– Interpretatie in P(V) Een interpretatie voor a, b en c is niet gegeven. Omdat we verzamelingen meestal met hoofdletters aangeven, vervangen we a door A, b door B, c door C (u mag ook de kleine letters laten staan). Nu interpreteren we (a ⊔ b) als (A ∪ B) en (b ⊔ c) als (B ∪ C). De formule (a ⊔ b) ⊓ (b ⊔ c) wordt dus (A ∪ B) ∩ (B ∪ C). – Interpretatie in PL Omdat we logische formules meestal met Griekse letters weergeven, vervangen we a door ϕ, b door ψ en c door χ. Dit geeft (ϕ ∨ ψ) ∧ (ψ ∨ χ). – Interpretatie in Schakelalgebra Gedeelte a ⊔ b interpreteren we als (a OF b), b ⊔ c als (b OF c) en dus de totale formule als ((a OF b) EN (b OF c)).

166

Terugkoppelingen

6.8

De vertaling van (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c) is (a ∩ b) ∪ (a ∩ c). We vullen voor a, b en c de gegeven verzamelingen in: (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) = ({0, 1, ..., 10} ∩ {x ∈ Nx is even}) ∪ ({0, 1, ..., 10} ∩ {x ∈ Nx is een drievoud}) = {0, 2, ..., 10} ∪ {0, 3, 6, 9} = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}.

6.9

a U kunt deze gelijkheid beredeneren of uitrekenen voor elke waarde van p, q en r. Wij doen beide. Eerst berekenen we max(p, min(q, r)) en min(max(p, q), max(p, r)) voor elke waarde van p, q en r. p

q

r

max(p, min(q, r))

min(max(p, q), max(p, r))

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 0 0

We kunnen de gelijkheid ook als volgt beredeneren: uit de definities p ∧ q = min(p, q) en p ∨ q = max(p, q) volgt dat de waarde van max(p, min(q, r)) gelijk is aan de waarheidswaarde van p ∨ (q ∧ r) en de waarde van min(max(p, q), max(p, r)) gelijk is aan de waarheidswaarde van (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Uit de propositielogica weten we dat deze formules logisch equivalent zijn, dus de waarheidswaarden zijn gelijk. b Voor elke waarde van p, q en r berekenen we min(p, max(q, r)) en max(min(p, q), min(p, r)). p

q

r

min(p, max(q, r))

max(min(p, q), min(p, r))

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

We kunnen de gelijkheid ook als volgt beredeneren: uit de definities p ∧ q = min(p, q) en p ∨ q = max(p, q) volgt dat de waarde van min(p, max(q, r)) gelijk is aan de waarheidswaarde van p ∧ (q ∨ r) en de waarde van max(min(p, q), min(p, r)) gelijk is aan de waarheidswaarde van (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Uit de propositielogica weten we dat deze formules logisch equivalent zijn, dus de waarheidswaarden zijn gelijk. 6.10

a – Commutativiteit De commutativiteit van ⊓ en ⊔ volgt uit de symmetrie van de tabellen ten opzichte van de diagonaal van linksboven naar rechtsonder. – Associativiteit De associativiteit voor ⊔ blijkt niet te gelden, wat uitproberen leert dat a ⊔ (a ⊔ c) = a, maar (a ⊔ a) ⊔ c = b, dus p ⊔ (q ⊔ r) = (p ⊔ q) ⊔ r geldt niet voor elke keuze van p, q en r. Overigens geldt de associativiteit wel voor ⊓. We tonen dat aan in onderdeel b. – Absorptie Ook deze eigenschap is niet voor elk tweetal elementen geldig: c ⊓ (c ⊔ a) = c ⊓ b = b ≠ c.

167

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

– Distributiviteit Distributiviteit van ⊓ over ⊔ is niet algemeen geldigwant b⊓ (a ⊔ c) = b⊓ b = b terwijl (b ⊓ a) ⊔ (b⊓ c) = a ⊔ b = a. b – Commutativiteit De commutativiteit van ⊓ en ⊔ volgt uit de symmetrie van de tabellen ten opzichte van de diagonaal van linksboven naar rechtsonder. – Associativiteit We moeten laten zien dat p ⊓ (q ⊓ r) = (p ⊓ q) ⊓ r voor elke keuze van p, q en r. We moeten dus 3 × 3 × 3 = 27 gelijkheden narekenen en vervolgens nog eens 27 gelijkheden voor ⊔. Als u de gelijkheden narekent, zult u zien dat ze kloppen. Met wat redeneren kunnen we de associativiteit handiger aantonen. We merken eerst op dat p ⊓ a = a ⊓ p = a bij elke keuze van p. Dus als we voor ten minste één van de variabelen p, q en r de waarde a invullen, dan krijgen we zowel links als rechts van het gelijkteken als antwoord a. We hoeven dus nog alleen die gevallen te controleren waarbij p, q en r alleen de waarden b en/of c aan kunnen nemen. In dit geval geldt: als ten minste één van de variabelen p, q en r de waarde b aanneemt, dan krijgen we zowel links als rechts van het gelijkteken als antwoord b. Nu blijft alleen nog het geval c ⊓ (c ⊓ c) = (c ⊓ c) ⊓ c over. Ook deze gelijkheid geldt (links en rechts van het gelijkteken komt er c uit). De associativiteit voor ⊔ kunnen we op een vergelijkbare manier bewijzen. We moeten aantonen dat p ⊔ (q ⊔ r) = (p ⊔ q) ⊔ r voor elke keuze van p, q en r. Als we voor ten minste één van de variabelen p, q en r de waarde c invullen, dan krijgen we zowel links als rechts van het gelijkteken als antwoord c. We hoeven dus nog alleen die gevallen te controleren waarbij p, q en r alleen de waarden a en/of b aan kunnen nemen. In dit geval geldt: als ten minste één van de variabelen p, q en r de waarde b aanneemt, dan krijgen we zowel links als rechts van het gelijkteken als antwoord b. Nu blijft alleen nog het geval a ⊔ (a ⊔ a) = (a ⊔ a) ⊔ a over. Ook deze gelijkheid geldt (links en rechts van het gelijkteken komt er a uit). – Absorptie We lopen alle vergelijkingen na waarop de variabelen in de absorptieeigenschap kunnen worden ingevuld en controleren met behulp van de tabellen waarmee de operaties zijn gedefinieerd, of ze juist zijn. a ⊔ (a ⊓ a) = a ⊔ a = a a ⊔ (a ⊓ b) = a ⊔ a = a a ⊔ (a ⊓ c) = a ⊔ a = a b ⊔ (b ⊓ a) = b ⊔ a = b b ⊔ (b ⊓ b) = b ⊔ b = b b ⊔ (b ⊓ c) = b ⊔ b = b c ⊔ (c ⊓ a) = c ⊔ a = c c ⊔ (c ⊓ b) = c ⊔ b = c c ⊔ (c ⊓ c) = c ⊔ c = c

a ⊓ (a ⊔ a) = a ⊓ a = a a ⊓ (a ⊔ b) = a ⊓ b = a a ⊓ (a ⊔ c) = a ⊓ c = a b ⊓ (b ⊔ a) = b ⊓ b = b b ⊓ (b ⊔ b) = b ⊓ b = b b ⊓ (b ⊔ c) = b ⊓ c = b c ⊓ (c ⊔ a) = c ⊓ c = c c ⊓ (c ⊔ b) = c ⊓ c = c c ⊓ (c ⊔ c) = c ⊓ c = c

– Distributiviteit We moeten laten zien dat p ⊔ (q ⊓ r) = (p ⊔ q) ⊓ (p ⊔ r) en dat p ⊓ (q ⊔ r) = (p ⊓ q) ⊔ (p ⊓ r) voor elke keuze van p, q en r. Net zoals bij het bewijs van de associativiteit, moeten we dus 2 × 27 gelijkheden controleren. We proberen weer of het sneller kan.

168

Terugkoppelingen

Eerst p ⊔ (q ⊓ r) = (p ⊔ q) ⊓ (p ⊔ r). Merk op dat als we p = c nemen, dat dan links en rechts van het gelijkteken er c uitkomt. We hoeven dus alleen nog maar die gevallen te bekijken waarin p = a of p = b. Verder zien we dat als we q = r nemen, dat dan links p ⊔ (q ⊓ q) staat, wat gelijk is aan p ⊔ q, en rechts (p ⊔ q) ⊓ (p ⊔ q), wat gelijk is aan p ⊔ q, want voor elke x geldt x ⊓ x = x ⊔ x = x. Ten slotte kunnen we commutativiteit gebruiken voor q en r: als we de gelijkheid bijvoorbeeld hebben aangetoond voor p = a, q = a en r = b, dan volgt zij ook voor p = a, q = b en r = a. We hoeven dus alleen nog maar te controleren: p = a, q = a, r = b p = a, q = a, r = c p = a, q = b, r = c

p = b, q = a, r = b p = b, q = a, r = c p = b, q = b, r = c

Invullen geeft: a ⊔ (a ⊓ b) = a = (a ⊔ a) ⊓ (a ⊔ b) a ⊔ (a ⊓ c) = a = (a ⊔ a) ⊓ (a ⊔ c) a ⊔ (b ⊓ c) = b = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) b ⊔ (a ⊓ b) = b = (b ⊔ a) ⊓ (b ⊔ b) b ⊔ (a ⊓ c) = b = (b ⊔ a) ⊓ (b ⊔ c) b ⊔ (b ⊓ c) = b = (b ⊔ b) ⊓ (b ⊔ c) Vervolgens p ⊓ (q ⊔ r) = (p ⊓ q) ⊔ (p ⊓ r). Met een redenering als hiervoor hoeven we alleen de volgende gevallen te controleren: p = c, q = a, r = b p = c, q = a, r = c p = c, q = b, r = c

p = b, q = a, r = b p = b, q = a, r = c p = b, q = b, r = c

Invullen geeft: c ⊓ (a ⊔ b) = b = (c ⊓ a) ⊔ (c ⊓ b) c ⊓ (a ⊔ c) = c = (c ⊓ a) ⊔ (c ⊓ c) c ⊓ (b ⊔ c) = c = (c ⊓ b) ⊔ (c ⊓ c) b ⊓ (a ⊔ b) = b = (b ⊓ a) ⊔ (b ⊓ b) b ⊓ (a ⊔ c) = b = (b ⊓ a) ⊔ (b ⊓ c) b ⊓ (b ⊔ c) = b = (b ⊓ b) ⊔ (b ⊓ c) 6.11

We bepalen de werking van de schakelingen voor elke keuze van a en b. Daarbij maken we gebruik van een zelfde soort notatie als de waarheidstabellen voor propositielogische formules: a

b

a

OF (a

EN b)

a

EN (a

OF b)

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 0 0 ↑

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0 ↑

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

Inderdaad hebben a, a OF (a EN b) en a EN (a OF b) dezelfde werking en zijn zij dus equivalent.

169

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

6.12

De vereniging van twee verzamelingen is groter dan de afzonderlijke verzamelingen of gelijk aan één van beide. De eigenschap dat voor elke deelverzameling A geldt dat A ∪ V = V, karakteriseert dat V de grootste deelverzameling van P(V) is.

6.13

a Het enige dat we kunnen gebruiken, is de definitie van 0: a ⊓ 0 = 0. We kunnen dus 0 vervangen door a ⊓ 0, daarna willen we absorptie toepassen: 0⊔a = (a ⊓ 0) ⊔ a = a ⊔ (a ⊓ 0) =a

definitie 0 commutativiteit absorptie

b a⊔0 =0⊔a =a

commutativiteit onderdeel a

c 1⊓a = (a ⊔ 1) ⊓ a = a ⊓ (a ⊔ 1) =a

definitie 1 commutativiteit absorptie

d a⊓1 =1⊓a =a

commutativiteit onderdeel c

6.14

a Het nulelement is gelijk aan a, want voor elke p geldt dat p ⊓ a = a. Het éénelement is c, want voor elke p geldt dat dat p ⊔ c = c b Het element b heeft geen complement, want het enige element waarvoor geldt dat b ⊔ p = 1 (waarbij 1 = c, zie onderdeel a) is p = c, maar b ⊓ c = b. Er is dus geen element p te vinden waarvoor zowel geldt dat b ⊔ p = 1 als b ⊓ p = 0, dus b heeft geen complement.

6.15

We weten al dat ∧ en ∨ voldoen aan de eigenschappen uit definitie 6.1. Nulelement is 0, want p ∧ 0 = 0 voor elke p. Éénelement is 1, want p ∨ 1 = 1 voor elke p. Het complement van 0 is 1, het complement van 1 is 0. Dus {0, 1} is een boolealgebra.

6.16

We moeten laten zien dat a = a, dus dat het complement van a gelijk is aan a. Hierbij gebruiken we stelling 6.2. We weten dat elk element precies één complement heeft. Als we dus laten zien dat a voldoet aan de eigenschappen van het complement van a , dan is a gelijk aan het complement van a . We moeten dus aantonen dat a ⊔ a = 1 en a ⊓ a = 0.

170

Terugkoppelingen

Er geldt:

a⊔a =a⊔ a =1

commutativiteit want a is het complement van a

en

a⊓a =a⊓ a =0

commutativiteit want a is het complement van a

Dus is inderdaad a het complement van a en dus a = a. 6.17

(a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ b ) = a ⊓ (b ⊔ b ) =a⊓1 =a

distributiviteit* definitie complement opgave 6.13

* Hier gebruiken we distributiviteit ‘van rechts naar links’ en kunnen zo een a buiten haakjes halen. Geïnterpreteerd in de verschillende verzamelingen geeft dit: PL ( ϕ ∧ ψ) ∨ ( ϕ ∧ ¬ ψ) ⇔ ϕ P(V) (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) = A 6.18

We maken een tabel voor de operaties ⊔ en ⊓ als in opgave 6.10. Omdat a = 0 en d = 1, volgt uit de definitie van 0 en 1, uit de commutativiteit en uit opgave 6.13 wat de uitkomst moet zijn van een bewerking waarbij links of rechts a of d voorkomt. We hebben hiervoor geen enkele keuze! Dit deel van de tabel vullen we alvast in. ⊓

a

b

c

d

⊔

a

b

c

d

a b c d

a a a a

a

a

a b c d

c

c

a b c d

b

b

a b c d

d

d

d d d d

Verder moet idempotentie gelden; we kunnen dus ook de diagonaal invullen: ⊓

a

b

c

d

⊔

a

b

c

d

a b c d

a a a a

a b

a

a b c d

a b c d

a b c d

b b

c

d d d d

171

b

c c

d

c d

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

Nu weten we alleen b ⊓ c en b ⊔ c nog niet. We moeten zorgen dat elk element een complement heeft. Maar a en d zijn elkaars complement, dus moeten b en c ook wel elkaars complement zijn. Dit geeft: ⊓

a

b

c

d

⊔

a

b

c

d

a b c d

a a a a

a b a b

a a c c

a b c d

a b c d

a b c d

b b d d

c d c d

d d d d

Dit is de enige mogelijkheid om ⊔ en ⊓ te definiëren. Nu moeten we eigenlijk nog nagaan dat we op deze manier een boolealgebra hebben gedefinieerd. Voor nul- en éénelement en complementen hebben we gezorgd, maar we zouden nog na moeten gaan dat commutativiteit, associativiteit, distributiviteit en absorptie gelden. U kunt dit narekenen zoals in opgave 6.10, u kunt ook als volgt redeneren. Bekijk P({0, 1}) en noem ∅ = a, {0} = b, {1} = c en {0, 1} = d. De tabellen die we hiervoor gaven, kloppen nu precies voor de operaties ∩ en ∪ op P({0,1}), en omdat we weten dat P({0, 1}) een boolealgebra is, is de verzameling die we zo definieerden ook een boolealgebra. 6.19

De eerste regel van De Morgan vertaald naar schakelingen is: NIET(a EN b) ≈ (NIETa) OF (NIETb). Deze schakelingen zien er zo uit (zie figuur 6.17).

FIGUUR 6.17

De tweede regel van De Morgan vertaald naar schakelingen is: NIET(a OF b) ≈ (NIETa) EN (NIETb). Deze schakelingen zien er zo uit (zie figuur 6.18).

FIGUUR 6.18

6.20

We geven de schakeling eerst in formulevorm weer: NIET(x OF NIET(x OF (NIETy)))

Vervolgens gaan we deze formule vereenvoudigen. We kunnen hierbij gebruikmaken van de axioma’s van boolealgebra’s, maar ook van de eigenschappen die we tot nu toe hebben afgeleid.

172

Terugkoppelingen

NIET(x OF NIET(x OF (NIETy))) ≈ (NIETx) EN NIET(NIET(x OF (NIETy))) ≈ (NIETx) EN (x OF (NIETy)) ≈ ((NIETx) EN x) OF ((NIETx) EN (NIETy)) ≈ 0 OF ((NIETx) EN (NIETy)) ≈ (NIETx) EN (NIETy) ≈ NIET(x OF y)

De Morgan dubbel complement distributiviteit definitie complement opgave 6.13 De Morgan

De gegeven schakeling is dus equivalent met de volgende schakeling (zie figuur 6.19).

FIGUUR 6.19 2

1

Uitwerking van de zelftoets

We vereenvoudigen de formule eerst: ( a ⊔ b) ⊓ a = (a⊓b)⊓a = (a ⊓ b ) ⊓ a = ( b ⊓ a) ⊓ a = b ⊓ (a ⊓ a) = b ⊓a

De Morgan dubbel complement commutativiteit associativiteit idempotentie

(U kunt natuurlijk ook ( a ⊔ b) ⊓ a zelf in de verschillende verzamelingen bepalen.) b ⊓ a wordt in P(N): {xx is oneven} ∩ {xx is een drievoud} = {xx is een oneven drievoud} (= {3, 9, 15, 21, ...}). 2

3

(a ⊓ b ) ⊔ (b ⊓ a ) = ((a ⊓ b ) ⊔ b) ⊓ ((a ⊓ b ) ⊔ a ) = (b ⊔ (a ⊓ b )) ⊓ ( a ⊔ (a ⊓ b )) = ((b ⊔ a) ⊓ (b ⊔ b )) ⊓ (( a ⊔ a) ⊓ ( a ⊔ b )) = ((b ⊔ a) ⊓ (b ⊔ b )) ⊓ ((a ⊔ a ) ⊓ ( a ⊔ b )) = ((b ⊔ a) ⊓ 1) ⊓ (1 ⊓ ( a ⊔ b )) = (b ⊔ a) ⊓ ( a ⊔ b )

distributiviteit commutativiteit (2×) distributiviteit (2×) commutativiteit complement (2×) opgave 6.13

= (b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b)

De Morgan

= (a ⊔ b) ⊓ (a ⊓ a)

commutativiteit

Stel de boolealgebra B heeft twee verschillende éénelementen, die we 1 en 1' zullen noemen. Nu geldt het volgende: 1 2 3 4

1' ⊔ 1 = 1 1 ⊔ 1' = 1' 1' ⊔ 1 = 1 ⊔ 1' 1 = 1'

want 1 is éénelement want 1' is éénelement commutativiteit combineer regel 1, 2 en 3

We hebben nu aangetoond dat 1 = 1'; dit is in strijd met onze aanname dat 1 en 1' verschillend waren. Er volgt dus dat B precies één éénelement heeft.

173

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

4

De eerste schakeling is in formule-vorm: (a OF (NIETb)) EN (a OF (NIETc)). De tweede schakeling is in formule-vorm: a OF (NIET(b OF c)). We laten zien dat deze twee formules equivalent zijn: a OF (NIET(b OF c)) ≈ a OF ((NIETb) EN (NIETc)) ≈ (a OF (NIETb)) EN (a OF (NIETc))

De Morgan distributiviteit

Dus de twee schakelingen hebben dezelfde werking. Vertaald naar P(V) staat hier (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c.

174

Terugkoppelingen

TERUGKOPPELING LEEREENHEID 7 1

Uitwerking van de opgaven

7.1

a V = {1, 2, 3, 4, 5} en E = {12, 13, 14, 24, 34, 45}. b V = {a, b, c, d, e} en E = {ab, ac, bc, bd, cd, de}.

7.2

a De buren van s zijn p en q, en die van t zijn p, q en r. b Punt t is incident met de lijnen tp, tq en tr, en is dus bij 3 incidenties betrokken. c Er zijn 3 incidenties bij p en t elk en 2 bij q, r en s elk, dus in totaal 12. d Het aantal incidenties is tweemaal het aantal lijnen. Iedere lijn is immers betrokken bij twee incidenties.

7.3

De gevraagde graaf:

FIGUUR 7.19

Graaf G' met {1, 2, 3, 4, 5} en verbindingsvoorwaarden

7.4

Punt 4 heeft graad vier, punt 1 heeft graad drie, punten 2 en 3 hebben graad twee en punt 5 heeft graad één. Punten c, b en d hebben graad drie, punt a heeft graad twee en punt e heeft graad één.

7.5

Een graaf met 5 punten met even graad levert het volgende plaatje:

FIGUUR 7.20

Een graaf met 5 punten met even graad

Een graaf met 5 punten met oneven graad bestaat niet.

175

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

7.6

Nummer de punten van de graaf met 1, 2, ..., 6, zie figuur 7.21. Neem aan dat punt 1 graad vijf heeft en punt 2 graad drie, waarbij punt 2 verbonden is met de punten 1, 5, en 6 en niet met 3 en 4. Nu moeten de punten 3, 4, 5 en 6 graad vier hebben. Dat kan alleen als zo de graaf in figuur 7.21 ontstaat.

FIGUUR 7.21

7.7

De graaf met de gevraagde eigenschap

Graaf H.

FIGUUR 7.22

De lege-doorsneegraaf van alle deelverzamelingen van {1, 2, 3}

7.8

a Bijvoorbeeld u → a → b → d → b → d → b → d → v. b Nee. c De eerste vier wandelingen zijn open, de laatste twee gesloten.

7.9

Eerst snijden we het stuk tussen de twee voorkomens van 4 eruit: resultaat u → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 8 → 9 → 8 → 10 → 3 → 11 → 12 → 7 → 6 → v. Hieruit snijden we de heen-en-weer-stap tussen 8 en 9: resultaat u → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 8 → 10 → 3 → 11 → 12 → 7 → 6 → v. Ten slotte moeten we hieruit dan nog het stuk tussen de twee voorkomens van 3 wegsnijden: resultaat u → 1 → 2 → 3 → 11 → 12 → 7 → 6 → v.

7.10

Alleen wandeling f is een cykel.

7.11

Een cykel met lengte drie is a → b → c → a, met lengte vier is a → b → d → c → a, en met lengte vijf is a → b → v → d → c → a, en met lengte 6 is u → a → b → v → d → c → u. Er is geen cykel met lengte 7, want er zijn niet eens 7 verschillende punten in de graaf.

7.12

De kortst mogelijk gesloten wandeling is van type u → v → u, en dit is een wandeling met even lengte. Dus zo’n soort stukje is het kortste stukje dat we mogelijkerwijs moeten wegsnijden.

176

Terugkoppelingen

7.13

Als de lijnen worden genummerd in de volgorde zoals we ze doorlopen, dan is een mogelijke wandeling gegeven in figuur 7.23.

FIGUUR 7.23

Een wandeling die elke lijn precies eenmaal bevat in de graaf van figuur 7.16a

In de graaf van figuur 7.16b zijn 4 punten met oneven graad. 7.14

De ingraad van u is 0 en de uitgraad is 2, dus de graad van u is 2. De ingraad van c is 3 en de uitgraad is 4, dus de graad is 7. Merk op dat de lus bij c aan zowel de ingraad als de uitgraad 1 bijdraagt, dus aan graad 2.

7.15

Aangezien de som van de graden gelijk is aan de som van de uitgraden plus de som van de ingraden, is die som van de graden gelijk aan tweemaal het aantal pijlen. Dus volgt dat de som van de oneven graden even moet zijn, waarmee het aantal punten met oneven graad even moet zijn. Hier geldt dus hetzelfde als voor ongerichte grafen.

7.16

De eerste twee zijn open en de laatste is gesloten.

7.17

a b c d

7.18

Nee. Stel dat de onderliggende graaf samenhangend is. Aan de onderliggende graaf kunnen we niet zien hoe de richting van de pijlen is. Alle pijlen zouden dubbele pijlen kunnen zijn, waarmee de gerichte graaf vanzelfsprekend sterk samenhangend is. Maar er zou ook een punt kunnen zijn met alleen maar uitgaande pijlen, dus met ingraad nul. Als er zo’n punt in de gerichte graaf is, kan hij nooit meer sterk samenhangend zijn (tenzij hij alleen uit dat ene punt bestaat, een wel wat erg triviale sterk samenhangende graaf). Als de onderliggende graaf onsamenhangend is, dan is de gerichte graaf vanzelfsprekend ook onsamenhangend en dus zeker niet sterk samenhangend.

7.19

Punt u is incident met pijl e als u de kop of staart is van e. Een geïsoleerd punt is een punt dat kop noch staart is.

Bijvoorbeeld u → c → d → b → v. Nee. Bijvoorbeeld u → a → b ← d. Ja, meerdere, onder andere a → b ← d → c → a.

177

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

7.20

Het bewijs voor het ongerichte geval kan min of meer letterlijk worden overgenomen, als we maar steeds het woord lijn door pijl vervangen. In de formulering die we daar gaven, zit niets dat tegen de richting van de pijlen inging. We geven hier de procedure om in een gerichte wandeling van u naar v een gericht pad van u naar v te vinden. Begin in de wandeling te lopen vanuit het beginpunt u; zodra we in een punt aankomen waar we al een keer eerder waren, snijden we het stuk van de wandeling tussen beide voorkomens van dit punt weg (net zoals in figuur 7.12). Dan houden we een kortere wandeling van u naar v over. Dit wegsnijden herhalen we waar nodig tot we in het eindpunt v zijn aangeland. Wat we overhouden, is het gevraagde pad. 2

Uitwerking van de zelftoets

1

Zie het bewijs van stelling 7.1.

2

a Het maximale aantal lijnen wordt bereikt door een graaf met twee componenten, waarbij in elke component elk tweetal punten verbonden is. Het aantal lijnen in een graaf van dit type hangt af van de grootte van de twee componenten. Het maximum wordt bereikt als we de 8 punten verdelen in twee componenten, één van 7 punten en één van 1 punt. Het maximale aantal lijnen is dan 21. b Als we een pad maken met 8 punten, dan is de graaf samenhangend en bevat 7 lijnen. Als we minder lijnen hebben, is het niet meer mogelijk de graaf samenhangend te maken. Dus het minimale aantal lijnen in een samenhangende graaf met 8 punten is 7.

3

Neem een punt u, en ga vanuit u lopen zonder lijnen tweemaal te gebruiken. Als we in een punt v aankomen, dan hebben we één lijn incident met v gebruikt. De graad van v is ten minste 2, dus er is een nog ongebruikte lijn incident met v waarlangs we weer weg kunnen. Omdat de graaf een eindig aantal punten heeft, kunnen we niet oneindig lang doorgaan naar nieuwe punten. We zullen dus (ooit) een keer terecht moeten komen in een punt waar we al een keer eerder waren. Het stuk tussen de eerste keer dat we in dit punt waren en de tweede keer dat we er waren, is een cykel.

4

Over het aantal punten met oneven ingraad of oneven uitgraad valt niets te zeggen. Neem maar een gerichte graaf die uit niets anders dan een ‘gerichte cykel’ met n punten bestaat (een gesloten gerichte wandeling waarin elk punt, op begin- en eindpunt na, precies eenmaal voorkomt). Deze gerichte graaf bevat n punten met oneven ingraad en n punten met oneven uitgraad. De graaf kan dus zowel een even als een oneven aantal punten met oneven ingraad en uitgraad hebben. Wel is het zo dat als het aantal punten met oneven ingraad even is, dat dan ook geldt voor het aantal punten met oneven uitgraad en omgekeerd. Immers, de som van de ingraden is gelijk aan het totaal aantal pijlen en dat is weer gelijk aan de som van de uitgraden.

178

Terugkoppelingen

TERUGKOPPELING LEEREENHEID 8 1

Uitwerking van de opgaven

8.1

a Alle paren (a, b) ontstaan als we a de verzameling A laten doorlopen en b de verzameling B. Voor a hebben we drie keuzen: +, – en Ø. Voor b hebben we twee keuzen: 0 en 1. Er zijn dan 3 · 2 = 6 verschillende paren: (+, 0), (+, 1), (–, 0), (–, 1), (Ø, 0), (Ø, 1). b Voor de 3-tupels (a, b, c) hebben we twee keuzen voor a (0 en 1), drie keuzen voor b (+, – en Ø) en twee keuzen voor c (α, β). Er zijn dan 2 · 3 · 2 = 12 verschillende 3-tupels: (0, +, α), (0, +, β), (0, –, α), (0, –, β), (0, Ø, α), (0, Ø, β), (1, +, α), (1, +, β), (1, –, α), (1, –, β), (1, Ø, α), (1, Ø, β).

8.2

a Er geldt dat A × B = {(0, +), (0, –), (0, Ø), (1, +), (1, –), (1, Ø)}, terwijl B × A precies de paren uit opgave 8.1a bevat. Omdat A × B bijvoorbeeld (0, +) bevat, wat geen element is van B × A, volgt dat A × B ≠ B × A. Ze hebben wel allebei 6 elementen. (Natuurlijk ontstaat B × A uit A × B door de coördinaten in de paren om te draaien, maar daarom geldt nog niet dat A × B = B × A.) b Er geldt dat A × B × C precies de 3-tupels uit opgave 8.1b bevat. De verzameling A × B × C heeft 12 elementen.

8.3

Omdat A = {2, 3, 4} en B = {–1, 0, 1, 2}, geldt er dat A × B = {(2, –1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, –1), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (4, –1), (4, 0), (4, 1), (4, 2)}. Getekend in een assenstelsel levert dat figuur 8.17 op.

FIGUUR 8.17

179

A × B in een assenstelsel

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.4

a Omdat A = {–1, 0, 1} en B = {–2, –1, 0, 1, 2}, volgt dat A × B = {(–1, –2), (–1, –1), (–1, 0), (–1, 1), (–1, 2), (0, –2), (0, –1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, –2), (1, –1), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. In een assenstelsel levert dat figuur 8.18 op.

FIGUUR 8.18

A × B in een assenstelsel

b Omdat C alle punten tussen –1 en 1 bevat (met inbegrip van –1 en 1) en A = {–1, 0, 1}, ziet A × C er als in figuur 8.19 uit.

FIGUUR 8.19

A × C in een assenstelsel

c Er geldt dat C2 = {(x, y)–1 ≤ x ≤ 1 en –1 ≤ y ≤ 1}, wat een ‘gevuld’ vierkant is in R2 met zijden met lengte 2. Zie figuur 8.20.

FIGUUR 8.20

180

C2 in een assenstelsel

Terugkoppelingen

8.5

a Omdat V = {a, b} volgt dat P(V) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}}. Dus V × P(V) = {(a, Ø), (a, {a}), (a, {b}), (a, {a, b}), (b, Ø), (b, {a}), (b, {b}), (b, {a, b})} en P(V)2 = {(Ø, Ø), (Ø, {a}), (Ø, {b}), (Ø, {a, b}), ({a}, Ø), ({a}, {a}), ({a}, {b}), ({a}, {a, b}), ({b}, Ø), ({b}, {a}), ({b}, {b}), ({b}, {a, b}), ({a, b}, Ø), ({a, b}, {a}), ({a, b}, {b}), ({a, b}, {a, b})}. b Omdat Ø een deelverzameling is van V2, volgt er dat Ø ∈P(V2). Maar Ø is geen element van P(V)2 (want P(V)2 bestaat uit paren, zie eventueel onderdeel a), dus P(V)2 ≠ P(V2). c Volgens stelling 6.1 bestaat P(B) uit 2m elementen en P(A) uit 2n elementen. Dus A × P(B) heeft n · 2m elementen en P(A) × P(B) × B heeft 2n · 2m · m elementen.

8.6

a Zij D = {x ∈Z+x ≤ 12} en T = {x ∈Z–4 ≤ x ≤ 6}, dan zijn de gegevens in de genoemde tabel weer te geven met paren (d, t) met d ∈D en t ∈T. De tabel correspondeert dus met een zekere deelverzameling van D × T en is dan een relatie van 2 variabelen op D × T. b De lijn l en de cirkelschijf C uit voorbeeld 8.4 zijn deelverzamelingen van R2, wat het cartesisch product R × R is. Het zijn dus beide relaties van 2 variabelen op R2 = R × R.

8.7

a Ja, er zijn elementen uit B die met meer dan één element uit P in relatie kunnen staan omdat een persoon x lid kan zijn van meer partijen. Als x lid is van partij p1 en partij p2, dan geldt dat (x, p1) ∈L en (x, p2) ∈L. b Als een partij geen leden heeft, dan staat die partij met geen enkel element uit B in relatie.

8.8

Deze definitie geeft een deelverzameling van P(V)3 = P(V) × P(V) × P(V) en is dus een relatie (van 3 variabelen) in P(V). b De 3-tupels (x, y, {1, 2}) behoren tot de relatie D als {1, 2} ⊂ (x ∩ y). We moeten dus alle deelverzamelingen x en y van V bepalen zo dat x ∩ y de verzameling {1, 2} bevat. In het bijzonder betekent dit dat zowel {1, 2} ⊂ x als {1, 2} ⊂ y. Voor x en y houden we dan de volgende mogelijkheden over: x = {1, 2} of x = {0, 1, 2} en y = {1, 2} of y = {0, 1, 2}. Alle gevraagde tupels zijn dus ({1, 2}, {1, 2}, {1, 2}), ({1, 2}, {0, 1, 2}, {1, 2}), ({0, 1, 2}, {1, 2}, {1, 2}), ({0, 1, 2}, {0, 1, 2}, {1, 2}). c De 3-tupels ({1}, Ø, {0}) en ({0}, {0, 1}, {1, 2}) behoren bijvoorbeeld niet tot D. d Volgens de definitie van de relatie moet dan voor z ⊂ V = {0, 1, 2} gelden dat z ⊂ (x ∩ y) voor alle x, y ⊂ V. In het bijzonder moet dit gelden voor bijvoorbeeld x = {0} en y = {1}. Maar dan geldt x ∩ y = Ø, dus moet voor z in ieder geval gelden dat z ⊂ Ø. Dit kan alleen als z = Ø. En voor z = Ø geldt nu inderdaad dat z ⊂ (x ∩ y) voor alle x, y ⊂ V (immers, Ø is een deelverzameling van iedere verzameling; zie leereenheid 6).

8.9

a Voor het paar (x, y) met x, y ∈Z moet gelden dat x – y even is. Voorbeelden zijn (bedenk dat ook 0 even is): (4, 2), (2, 4), (3, 1), (2, 2), (1, 1), (0, 0), (10023, 17). b Er geldt dat {xxE0} = {xx – 0 is even} = {xx is even}, dus dit is de verzameling van alle even getallen in Z. Evenzo geldt dat {xxE1} = {xx – 1 is even} de verzameling van alle oneven getallen in Z is. Omdat geen enkel getal zowel even als oneven is, volgt er dat {xxE0} ∩ {xxE1} = Ø en omdat ieder getal in Z ofwel even ofwel oneven is, volgt er ook dat {xxE0} ∪ {xxE1} = Z.

a

181

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.10

In opgave 8.5a is V × P(V) expliciet bepaald. Hierop nemen we nu de relatie E gedefinieerd door xEA als x ∈A. Er geldt dan bijvoorbeeld dat aE{a} omdat a ∈V, {a} ⊂ V en bovendien a ∈{a}. Daarentegen geldt bijvoorbeeld niet dat aEØ, omdat weliswaar a ∈V en Ø ⊂ V, maar niet a ∈Ø. Net zo geldt bijvoorbeeld niet dat aE{b} omdat a ∉{b}. Als we zo voor alle paren (x, A) in V × P(V) controleren of x ∈A, dan komen we tot de volgende expliciete definitie van E: aE{a}, aE{a, b}, bE{b}, bE{a, b}.

8.11

a In een assenstelsel nemen we V op de horizontale as en P(V) op de verticale as. Uit de expliciete definitie van E in opgave 8.10 volgt direct de volgende figuur.

FIGUUR 8.21

De relatie E uit opgave 8.10 in een assenstelsel

b In een assenstelsel nemen we Z zowel op de horizontale als op de verticale as. Het punt (x, y) in het rooster Z2 wordt alleen aangegeven als x – y even is. Dit geeft de volgende figuur.

FIGUUR 8.22

De relatie E uit opgave 8.9 in een assenstelsel

c De relatie L in Z gedefinieerd door xLy als x – y = 1 geeft in het rooster Z2 de punten (x, y) waarvoor x – y gelijk aan 1 is. Zie figuur 8.23.

182

Terugkoppelingen

FIGUUR 8.23

De relatie L in Z een assenstelsel

FIGUUR 8.24

De relatie L in R een assenstelsel

e Voor de relatie C in Z, gedefinieerd door xCy als x2 + y2 ≤ 4, is het mogelijk om alle paren (x, y) in Z2 expliciet op te sommen. Er geldt dat –2 ≤ x ≤ 2 en –2 ≤ y ≤ 2 en als we alle mogelijke paren daarvan langslopen vinden we dat C = {(–2, 0), (–1, –1), (–1, 0), (–1, 1), (0, –2), (0, –1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, –1), (1, 0), (1, 1), (2, 0)}. Zie figuur 8.25.

FIGUUR 8.25

183

De relatie C in Z een assenstelsel

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.12

a We tekenen de elementen a en b van V links en de elementen Ø, {a}, {b} en {a, b} van P(V) rechts en zetten een pijl van x ∈V naar A ∈P(V) als xEA, dus als x ∈A. Omdat E gegeven is door aE{a}, aE{a, b}, bE{b} en bE{a, b} (zie opgave 8.10), ziet de graaf van E er als volgt uit.

FIGUUR 8.26

De graaf van de relatie E uit opgave 8.10

b De elementen {a} en {a, b} zijn aan a toegevoegd.

8.13

Omdat V = {1, 2} volgt dat P(V) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}. Er geldt voor x, y ∈ P(V) dat xDy als x ⊂ y. Om alle elementen van D te bepalen, moeten we dus voor iedere y ⊂ {1, 2} alle deelverzamelingen x van y bepalen. Voor y = Ø is dit alleen x = Ø, wat een lus bij Ø in de graaf geeft. Voor y = {1} zijn dit x = Ø en x = {1}, voor y = {2} zijn het x = Ø en x = {2}, terwijl voor y = V = {1, 2} de deelverzamelingen x = Ø, x = {1}, x = {2} en x = {1, 2} zijn. Voor de graaf zie figuur 8.27.

FIGUUR 8.27

De graaf van de relatie D

Het verschil met de graaf van de relatie E uit figuur 8.8 is dat er hier 4 lussen in de 4 elementen van P(V) zijn bijgekomen. 8.14

Er geldt dat A = {xx is een deler van 6} = {1, 2, 3, 6}. Omdat 1 een deler is van ieder geheel getal, volgt dat 1R2, 1R3 en 1R6 (niet 1R1, omdat in xRy moet gelden dat x ≠ y). Voor 2 geldt dat 2R6, voor 3 geldt 3R6, terwijl 6 met geen x ∈A in relatie staat. Hiermee is R expliciet bepaald en krijgen we de volgende graaf, die identiek is aan de graaf uit figuur 8.8.

184

Terugkoppelingen

FIGUUR 8.28

De graaf van de relatie R

8.15

a De relatie E op V × P(V), gedefinieerd door xEA als x ∈A, is geen functie: aan a ∈V worden twee elementen in P(V) toegevoegd. b De relatie E in Z, gedefinieerd door xEy als x – y even is, is geen functie: aan bijvoorbeeld 0 ∈Z worden oneindig veel elementen toegevoegd, namelijk alle even getallen. c De relatie L in Z gedefinieerd door xLy als x – y = 1 is wel een functie. Aan iedere x ∈Z wordt een uniek element toegevoegd: y = x – 1 ∈Z. d Evenzo is de relatie L uit onderdeel c, maar nu in R, een functie. e De relatie C in Z gedefinieerd door xCy als x2 + y2 ≤ 4 is geen functie: aan 3 ∈Z is geen element toegevoegd; een ander argument is dat aan 0 meer dan één element is toegevoegd (namelijk –2, –1, 0, 1 en 2).

8.16

a De relatie L in Z gedefinieerd door xLy als x – y = 1 is een functie f: Z → Z met functievoorschrift f(x) = x – 1. Deze relatie L in R is een functie f: R → R met functievoorschrift f(x) = x – 1. b Er wordt niet aan ieder element x ∈N een element y ∈Z toegevoegd omdat er bijvoorbeeld geen y ∈Z is waarvoor 2fy, ofwel waarvoor 2 = y2. Ook zijn er bijvoorbeeld bij 1 ∈N twee y ∈Z waarvoor 1fy, immers 1f1 en 1f(–1). Deze relatie is dus zeker geen functie.

8.17

a De grafiek van f als verzameling is {(x, y) ∈Z2y = x – 1}, wat we ook kunnen schrijven als {(x, x – 1)x ∈Z }. De tekening van de grafiek van f geeft figuur 8.23 weer terug. b De grafiek van f als verzameling is {(x, y) ∈R2y = 2x + 1}, wat we ook kunnen schrijven als {(x, 2x + 1)x ∈R}. De tekening van de grafiek van f is in figuur 8.29 te zien.

FIGUUR 8.29

185

De grafiek van de functie f(x) = 2x + 1

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.18

a Het domein van f is R. b Uit de definitie van de absolute waarde volgt dat 2x – 1 = 2x – 1 als 2x – 1 ≥ 0, dus als x ≥ 1/2. In het bijzonder is dit 0 voor x = 1/2. Net zo geldt 2x – 1 = –(2x – 1) = –2x + 1 als 2x – 1 < 0, dus als x < 1/2. We zien dat inderdaad 2x – 1 overeenstemt met het functievoorschrift voor f, ofwel f(x) = 2x – 1. c Er geldt dat f(–1/2) = 2, f(0) = 1, f(1/2) = 0 en f(1) = 1 en als we door deze punten (x, f(x)) in R2 een kromme als de absolute waarde tekenen, met de ‘punt’ in (1/2, 0), dan ontstaat figuur 8.30.

FIGUUR 8.30

De grafiek van de functie f(x) = 2x – 1

d Het bereik van f is de verzameling f(R) van alle beelden. Uit de grafiek in figuur 8.30 zien we dat f(R) = {y ∈Ry ≥ 0} het bereik van f is. e Noem V = {y ∈R1 ≤ y ≤ 7}. We bepalen eerst de volledige originelen van 1 en 7. Er geldt dat f(x) = 1 als 2x – 1 = 1 en x > 1/2, of als –2x + 1 = 1 en x < 1/2. Dus x = 1 en x = 0 vormen het volledig origineel van 1. Net zo geldt er dat f(x) = 7 als 2x – 1 = 7 en x > 1/2, of als –2x + 1 = 7 en x < 1/2. Dus x = 4 en x = –3 vormen het volledig origineel van 7. Uit de grafiek in figuur 8.30 zien we dat de x ∈R met –3 ≤ x ≤ 0 dan tot het volledig origineel van V behoren, evenals de x ∈R met 1 ≤ x ≤ 4. Samengevat geldt dat {x ∈R–3 ≤ x ≤ 0 ∨ 1 ≤ x ≤ 4} het volledig origineel van V is. 8.19

a Voor iedere x ∈V is er precies één y ∈N waarvoor x = y2, omdat V precies uit alle kwadraten van de natuurlijke getallen bestaat. Dus f is een functie. b Een functievoorschrift voor f is f: V → N en f(x) = √x. De grafiek van f is als stippenpatroon in figuur 8.31 getekend.

FIGUUR 8.31

186

De grafiek van de wortelfunctie f(x) = √x van V naar N

Terugkoppelingen

c Het domein is V = {0, 1, 4, 9, ...}. Er geldt dat f(V) = N omdat V precies uit alle kwadraten van de natuurlijke getallen bestaat. Het bereik van f is dus N. 8.20

a Er wordt aan iedere σ ∈N precies één n ∈N toegevoegd, dus f is een functie. De letter f is de zesde letter, dus f(f) = 6. Voor de 26 letters krijgen we de beelden 1, 2, ..., 26 in N, dus het bereik wordt gegeven door f(N) = {1, 2, ..., 26}. b Er wordt aan iedere ξ ∈N* precies één n ∈N toegevoegd, dus g is een functie. Voor ξ = aa volgt dat g(ξ) = g(aa) = f(a) + f(a) = 1 + 1 = 2. Voor ξ = b volgt dat g(ξ) = g(b) = f(b) = 2. Net zo geldt g(r) = f(r) = 18, g(drab) = f(d) + f(r) + f(a) + f(b) = 4 + 18 + 1 + 2 = 25, g(bard) = g(drab) = 25, g(baard) = g(bard) + g(a) = 26 en g(zzzz) = 4g(z) = 4 · 26 = 104. We zien uit de voorbeelden wel dat we iedere n ∈N op deze manier als beeld van een ξ ∈N* kunnen krijgen. Om precies te zijn: er geldt bijvoorbeeld g(ξ) = n als ξ = aaa...a (n keer a) (zie ook onderdeel c). Hierbij bedoelen we met ‘0 keer a’ het lege rijtje, dat wil zeggen: het rijtje dat geen enkel symbool bevat; geven we het lege rijtje met Λ aan, dan geldt dus dat g(Λ) = 0. Dus het bereik wordt gegeven door g(N*) = N. c Er geldt dat g(an) = f(a) + f(a) + ... + f(a) = 1 + 1 + ... + 1 = n voor willekeurige n ∈N, dus g({ξ ∈N*ξ = an voor zekere n ∈N}) = N. (Hierbij hanteren we de afspraak uit onderdeel b dat a0 = Λ en g(Λ) = 0.) Er geldt dat g(bn) = f(b) + f(b) + ... + f(b) = 2 + 2 + ... + 2 = 2n voor willekeurige n ∈N, dus g({ξ ∈N*ξ = bn voor zekere n ∈N}) is de verzameling van alle even getallen in N. d Laat V het volledig origineel van {2} zijn, dus V = {ξ ∈N*g(ξ) = 2}. In onderdeel b zagen we dat g(a2) = 2 en g(b) = 2, dus a2 ∈V en b ∈V. Omdat g(ξ) de som is van de afzonderlijke waarden van de letters die in ξ voorkomen, kan ξ ∈V alleen a of b bevatten, immers g(c) = 3, g(d) = 4, enzovoort. De letter b kan maar één keer voorkomen, omdat g(b) = 2. Dit betekent dat a alleen nog maar apart kan voorkomen en dan moet dat 2 keer zijn. Dus V = {a2, b}. Laat W het volledig origineel van {1, 2, 3} zijn, dus W = {ξ ∈N*g(ξ) = 1 of 2 of 3}. Als g(ξ) = 1, dan kan ξ alleen a zijn. Als g(ξ) = 2, dan kan ξ alleen a2 of b zijn (zie hiervoor). Stel nu dat g(ξ) = 3. Omdat g(d) = 4, g(e) = 5, enzovoort kan ξ alleen a, b of c bevatten. De letter c kan maar één keer voorkomen omdat g(c) = 3. Als b voorkomt, dan kan naast b alleen nog één keer a voorkomen. Omdat de volgorde van belang is, krijgen we twee rijtjes: g(ab) = g(ba) = 3. Als a alleen voorkomt, dan moet dat 3 keer zijn: g(a3) = 3. Dus W = {a, a2, b, a3, ab, ba, c}.

187

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.21

a Het domein van f is R. b Er geldt dat f(–2) = 8 – 2 = 6, f(–1) = 0, f(0) = –2, f(1) = 0, f(2) = 6 en f(3) = 16 en door een vloeiende kromme door deze punten (x, f(x)) in R2 te trekken ontstaat de ‘parabool’ uit figuur 8.32.

FIGUUR 8.32

De grafiek van de functie f(x) = 2x2 – 2

c Omdat 2x2 – 2 ≥ –2 voor alle x ∈R, volgt dat het bereik f(R) = {y ∈Ry = 2x2 – 2 voor zekere x ∈R} gegeven wordt door {y ∈Ry ≥ –2}. Zie ook de grafiek in figuur 8.32. d Er geldt dat 0 ∈U en dat f(0) = –2. De minimale waarde –2 die mogelijk is, wordt dus aangenomen in f(U) = {y ∈Ry = 2x2 – 2 voor zekere x ∈U}. Omdat U = {x ∈R–1 ≤ x ≤ 2} en f(–1) = 0 en f(2) = 6 zien we dat de maximale waarde in f(U) gelijk is aan 6. Alle andere waarden tussen –2 en 6 worden ook aangenomen, dus volgt er dat f(U) = {y ∈R–2 ≤ y ≤ 6}. e Omdat V = {y ∈R0 < y ≤ 16}, bepalen we eerst de volledige originelen van 0 en 16. Er geldt dat 2x2 – 2 = 0 als 2x2 = 2, ofwel als x = 1 of x = –1. Net zo geldt dat 2x2 – 2 = 16 als x = 3 of x = –3. Uit de grafiek zien we dan dat de x ∈R met 1 < x ≤ 3 tot het volledig origineel van V behoren, evenals de x ∈R met –3 ≤ x < –1. Samengevat geldt er dat {x ∈R–3 ≤ x < –1 ∨ 1 < x ≤ 3} het volledig origineel van V is. Let goed op waar < en waar ≤ gebruikt moet worden en dat de x ∈R met –1 ≤ x ≤ 1 niet tot het volledig origineel van V behoren. 8.22

a Dit is geen surjectie omdat Engels geen origineel heeft. Laten we Engels weg, dus nemen we W = {Frans, Spaans}, dan is f: U → W wel een surjectie. b Dit is geen surjectie, immers, het bereik f(R) van f is V = {y ∈Ry ≥ 0}, dus bijvoorbeeld –1 ∈R heeft geen origineel. Nu is f: R → V wel surjectief.

8.23

Als f een surjectie is tussen de eindige verzamelingen A en B, dan zien we dit in de graaf doordat in ieder punt van B minstens één pijl aankomt, immers iedere y ∈B is het beeld van minstens één x ∈A.

188

Terugkoppelingen

8.24

De functie uit 8.22a is geen injectie omdat Frans twee originelen heeft. Laten we België weg uit het domein, dus nemen we als domein {Frankrijk, Spanje}, dan is f wel een injectie. (We zouden ook Frankrijk uit het domein weg kunnen laten.) De functie uit 8.22b is geen injectie omdat bijvoorbeeld f(–1) = f(1) = 1, ofwel 1 heeft twee originelen. Nemen we als domein V = {x ∈Rx ≥ 0}, dan is f: V → R wel een injectie. (We zouden ook W = {x ∈Rx ≤ 0} als domein kunnen nemen.)

8.25

Als f een injectie is tussen de eindige verzamelingen A en B, dan zien we dit in de graaf doordat in ieder punt van B hooguit één pijl aankomt, immers iedere y ∈B is het beeld van hooguit één x ∈A.

8.26

We combineren opgaven 8.22 en 8.24. De functie uit 8.22a is geen bijectie omdat deze noch surjectief noch injectief is. Nemen we als bereik {Frans, Spaans} en als domein {Frankrijk, Spanje} (of {België, Spanje}), dan is f wel een bijectie. Net zo is de functie uit 8.22b geen bijectie. Nemen we als bereik en domein V = {x ∈Rx ≥ 0}, dan is f: V → V wel een bijectie.

8.27

a We combineren opgaven 8.23 en 8.25. Als f een bijectie is tussen de eindige verzamelingen A en B, dan zien we dit in de graaf doordat in ieder punt van B precies één pijl aankomt, immers iedere y ∈B is het beeld van precies één x ∈A. (Natuurlijk vertrekt er ook uit ieder punt van A precies één pijl, maar dat geldt voor iedere functie.) b Zij A = {a1, a2, ..., an}. De beelden f(a1), f(a2), ..., f(an) zijn n elementen van B die allemaal verschillend zijn omdat f injectief is. Bovendien kan B geen andere elementen bevatten omdat f surjectief is (dus b ∈B is altijd van de vorm f(ai) voor zekere i). Dus B = {f(a1), f(a2), ..., f(an)} heeft evenveel elementen als A.

8.28

a Omdat f(x) = f(y) voor alle x, y ∈A, bestaat f(A) uit één element. b De verzameling A moet uit één element bestaan, anders volgt dat f(x) = f(y) voor twee verschillende elementen x en y. c Uit onderdeel a volgt dat B uit één element moet bestaan. d Uit onderdelen b en c volgt dat zowel A als B uit één element moeten bestaan. e De grafiek is de lijn evenwijdig aan de horizontale as en door het punt (0, 3). Zie figuur 8.33.

FIGUUR 8.33

189

De grafiek van de functie f(x) = 3

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.29

a De functie f: Z → Z gegeven door f(x) = 2x + 1 is injectief: uit f(x) = f(y), ofwel 2x + 1 = 2y + 1, volgt dat x = y. De functie is niet surjectief: het bereik van f is de verzameling oneven getallen, dus –2 heeft bijvoorbeeld geen origineel. Nemen we voor V de verzameling oneven getallen in Z, dan is f : Z → V wel surjectief en dus ook bijectief. b De functie g: R → R gegeven door g(x) = 2x + 1 is injectief (als in onderdeel a) en ook surjectief, omdat het bereik van g de verzameling R is. Immers, voor y ∈R is er altijd een x ∈R te vinden waarvoor 2x + 1 = y, namelijk x = (y – 1)/2. Dus g: R → R is bijectief. c De functie h: R → R gegeven door h(x) = 2x2 – 2 is niet injectief, omdat bijvoorbeeld h(–1) = h(1), en niet surjectief, omdat het bereik de verzameling W = {y ∈Ry ≥ –2} is en bijvoorbeeld –3 geen origineel heeft. Er geldt dat h van V = {x ∈Rx ≥ 0} naar W = {y ∈Ry ≥ –2} wel injectief en surjectief is. Injectief omdat uit 2x2 – 2 = 2y2 – 2 volgt dat x2 = y2 en dit voor x, y ∈V betekent dat x = y. Surjectief omdat voor y ∈W altijd een x ∈V te vinden is waarvoor 2x2 – 2 = y, ofwel x2 = (y + 2)/2, namelijk = x ( y + 2)/2. Dus h: V → W is een bijectie. d De functie f: P(V) → N gegeven door f(x) = aantal elementen in x, is niet injectief als V een verzameling met 2 of meer elementen is. Er zijn dan twee verschillende elementen v, w ∈V en dan f({v}) = 1 = f({w}), met andere woorden, het beeld 1 heeft meer dan één origineel. Deze functie is ook niet surjectief omdat er geen deelverzamelingen zijn met bijvoorbeeld n + 1 elementen en dus n + 1 ∈N geen origineel heeft. Zij V = {v1, v2, ..., vn}. Om f injectief te maken, moeten we A ⊂ P(V) zo kiezen dat A niet twee deelverzamelingen van V heeft met hetzelfde aantal elementen. Neem dus A = {Ø, {v1}, {v1, v2}, ..., {v1, v2, ..., vn}}. De beelden f(Ø) = 0, f({v1}) = 1, f({v1, v2}) = 2, ..., f({v1, v2, ..., vn}) = n, vormen dan het bereik B, dus B = {0, 1, 2, ..., n}. Nu is f: A → B injectief en surjectief, dus bijectief. e De functie f: N → N is injectief, omdat iedere letter in N haar eigen rangnummer heeft, maar niet surjectief (27 heeft geen origineel). Omdat het bereik van f de verzameling B = {1, 2, ..., 26} is, volgt dat f: N → B ook surjectief is en dus bijectief. De functie g: N* → N is niet injectief (g(aa) = 2 = g(b)), maar wel surjectief (in opgave 8.20b is aangetoond dat g(N*) = N). Neem V = {ξ ∈N*ξ = an voor zekere n ∈N}, dan geldt nog steeds g(V) = N (zie opgave 8.20c), en ook is g: V → N injectief (als g(an) = g(am), dan is n = m, dus an = am), dus g is bijectief. f De functie h: R2 → R2 gegeven door h(x, y) = (x2, y2) is noch injectief (bijvoorbeeld h(–1, –1) = h(–1, 1) = h(1, –1) = h(1, 1)), noch surjectief (bijvoorbeeld (–1, –1) heeft geen origineel). We bepalen eerst een domein waarop h injectief is. Stel dat twee originelen, die we (x, y) en (u, v) noemen, hetzelfde beeld hebben, dus h(x, y) = h(u, v). Er geldt dan dat (x2, y2) = (u2, v2), ofwel x2 = u2 en y2 = v2. We kunnen er voor zorgen dat x2 = u2 precies één oplossing heeft door x ≥ 0 en u ≥ 0 te nemen. Net zo heeft y2 = v2 één oplossing als y ≥ 0 en v ≥ 0. Nemen we dus V = {x ∈Rx ≥ 0}, dan is f: V × V → R2 injectief omdat uit h(x, y) = h(u, v) met (x, y) ∈V en (u, v) ∈V nu volgt dat x = u en y = v, ofwel (x, y) = (u, v). Het bereik van h is ook de verzameling V × V, immers x2 ≥ 0 en y2 ≥ 0, dus h(x, y) = (x2, y2) ∈V × V en ieder element in V × V heeft ook een origineel. Hieruit volgt dat h: V × V → V × V met V = {x ∈Rx ≥ 0} bijectief is.

190

Terugkoppelingen

8.30

a We geven de talen en landen aan door hun eerste letter. Er geldt dat f(B) = N, f(D) = D, f(E) = E en f(S) = S. Hieraan zien we dat f zowel injectief als surjectief is, dus bijectief. Zie figuur 8.34 voor de graaf.

FIGUUR 8.34

De graaf van de functie f

b Uit de definitie van de inverse functie f–1 volgt dat f–1: V → U gegeven wordt door f–1(N) = B, f–1(D) = D, f–1(E) = E, f–1(S) = S. In woorden is f–1 de functie van V naar U gegeven door f–1 (x) = y als men de taal x in het land y spreekt. De graaf van f–1 krijgen we door in figuur 8.34 eenvoudig alle pijlen om te draaien. 8.31

a De functie f: Z → Z gegeven door f(x) = –3x + 4 heeft geen inverse omdat f niet surjectief is (en dus niet bijectief): 0 heeft geen origineel. b De functie f: R → R gegeven door f(x) = 8x – 4 is bijectief (bewijs is precies als in opgave 8.29b). Om de inverse te bepalen, lossen we y op uit x = 8y – 4, wat y = (x + 4)/8 geeft, ofwel f–1: R → R is f–1(x) = (x + 4)/8. c De functie g: Q – {2} → Q – {0} gegeven door g(x) = 1/(2x – 4) is injectief (uit 1/(2x – 4) = 1/(2y – 4) volgt dat 2x – 4 = 2y – 4, dus x = y) en surjectief. Om dit laatste te bewijzen, moeten we een x bepalen waarvoor y= 1/(2x – 4). Door x en y te verwisselen, mogen we ook een y bepalen waarvoor x = 1/(2y – 4), waarmee we meteen de inverse bepalen als die bestaat! We lossen dus y op uit x = 1/(2y – 4). Er geldt dat x = 1/(2y – 4) precies als 2y – 4 = 1/x (dit kan omdat x ∈Q – {0}, dus x ≠ 0), ofwel 2y = 4 + 1/x, wat betekent dat y = 2 + 1/2x. Dit bewijst dat f surjectief en dus bijectief is en dat f–1: Q – {0} → Q – {2} gelijk is aan f–1(x) = 2 + 1/2x. d De functie g: P(Z) → P(N) gegeven door g(x) = x ∩ N is niet injectief (bijvoorbeeld g({–1}) = Ø = g({–2})), dus de inverse bestaat niet. e De functie h: R2 → R gegeven door h(x, y) = 7x2 + 2y is niet injectief (bijvoorbeeld h(1, 0) = 7 = h(–1, 0)), dus de inverse bestaat niet.

8.32

a Voor f en g: R → R gegeven door f(x) = 1/x2 en g(x) = 4x + 3, geldt dat (f ° g)(x) = f(g(x)) = f(4x + 3) = 1/(4x + 3)2 bestaat op het domein {x ∈Rx ≠ –3/4}. Net zo bestaat (g ° f)(x) = g(1/x2) = (4/x2) + 3 op het domein {x ∈Rx ≠ 0}. Er geldt niet dat f ° g = g ° f. b Voor f: R → R gegeven door f(x) = √x en g: R → R gegeven door g(x) = –x– 1, geldt dat (f ° g)(x) = f(–x– 1). Maar f heeft V = {x ∈Rx ≥ 0} als domein, terwijl –x– 1 < 0 is. Dus f ° g bestaat niet. Er geldt dat (g ° f)(x) = g(√x) = –√x – 1 (immers, √x ≥ 0), dus we mogen de absolute waarde weglaten. Deze functie g ° f bestaat dus op het domein V = {x ∈Rx ≥ 0}.

191

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

8.33

Laat f: A → B, g: B → C en h: C → D functies zijn en neem x ∈A willekeurig. Er geldt dan enerzijds dat (h °(g ° f))(x) = h((g ° f)(x)) = h(g(f(x))), terwijl anderzijds ((h ° g) ° f)(x) = (h ° g)(f(x)) = h(g(f(x))). Dit bewijst dat h °(g ° f) = (h ° g) ° f, ofwel het samenstellen van functies is associatief.

8.34

a Voor f: R → R gegeven door f(x) = –3 + √x geldt er dat f 2(x) = f(f(x)) = f(–3 + √x) = –3 + √(–3 + √x). Het domein van f 2 is {x ∈R–3 + √x ≥ 0}, ofwel {x ∈R√x ≥ 3}, ofwel {x ∈Rx ≥ 9}. b Voor f: R → R gegeven door f(x) = x geldt er dat f 2(x) = f(f(x)) = f(x) = x. Het is dus niet zo dat f 2 de functie x → x2 is. De functie f 2 is weer de oorspronkelijke functie: f 2(x) = f(x) = x. Net zo is de functie f 3 weer de oorspronkelijke functie: f 3(x) = f 2(f(x)) = f 2(x) = x. Dit is steeds te herhalen, dus f n(x) = x voor iedere n.

8.35

a Laat f: R2 → R2 de bijectie f(x, y) = (x – y, –2x + 3y) zijn en g: R2 → R2 de functie g(x, y) = (3x + y, 2x + y). We tonen aan dat g = f–1 door na te gaan dat f ° g = 1, met 1 de identiteit op R2. Uit stelling 8.1 volgt dan dat g = f–1. Er geldt voor iedere (x, y) ∈R2 dat (f ° g)(x, y) = f(3x + y, 2x + y) = ((3x + y) – (2x + y), –2(3x + y) + 3(2x + y)) = (x, y), wat inderdaad bewijst dat f ° g = 1. b U hoeft de bewijzen uit dit onderdeel niet te kennen. De afzonderlijke stappen zijn wel een goede oefening in het geven van elementaire bewijzen. Laat f: A → B een bijectie zijn en stel dat een functie g: B → A gegeven is. De eerste bewering uit stelling 8.1 die we willen bewijzen is: er geldt dat g = f–1 dan en slechts dan als g ° f = 1A. Het bewijs hiervan splitsen we in twee beweringen: enerzijds de bewering ‘als g = f–1, dan geldt dat g ° f = 1A’ en anderzijds ‘als g ° f = 1A, dan geldt dat g = f–1’. Neem eerst aan dat g = f–1, dan moeten we aantonen dat g ° f = 1A. We doen dit door voor willekeurige x ∈A aan te tonen dat (g ° f)(x) = x. Zij dus x ∈A, dan geldt dat (g ° f)(x) = g(f(x)) = f–1(f(x)) omdat g = f–1. Noem y = f(x), dan volgt uit de definitie van inverse dat f–1(y) = x, ofwel f–1(f(x)) = x. Dus (g ° f)(x) = x voor alle x ∈A, met andere woorden g ° f is inderdaad de identiteit op A. Neem nu aan dat g ° f = 1A, dan moeten we aantonen dat g = f–1. We doen dit door voor willekeurige x ∈A aan te tonen dat g(y) = x als y = f(x). Zij dus x ∈A, dan volgt uit g ° f = 1A dat (g ° f)(x) = x, ofwel g(f(x)) = x. Noemen we nu y = f(x), dan zien we dat g(y) = x voor alle x ∈A, wat volgens definitie 8.13 precies betekent dat inderdaad g = f–1. Hiermee is de eerste bewering bewezen. De tweede bewering, dat g = f–1 dan en slechts dan als f ° g = 1B, wordt precies zo bewezen, waarbij we dan steeds met x ∈B moeten werken.

192

Terugkoppelingen

8.36

a Laat f: P(Z) → P(N) gegeven zijn door f(x) = x ∩ N en g: P(N) → N gegeven zijn door g(x) = aantal elementen van x ∩ V (V ⊂ Z eindig). Er geldt dan dat (g ° f)(x) = g(x ∩ N) = aantal elementen van (x ∩ N) ∩ V, waarbij x ∈P(Z), wat niets anders betekent dan x ⊂ Z. Voor zo’n deelverzameling x van Z is x ∩ N ∩ V één of andere eindige deelverzameling van N. In het bijzonder is daarvan het aantal elementen te bepalen, met andere woorden, g ° f: P(Z) → N bestaat en het domein is P(Z). Er geldt dat (f ° g)(x) = f(aantal elementen van x ∩ V), wat niet bestaat omdat het domein van f de verzameling P(Z) is, terwijl het aantal elementen van x ∩ V een getal in N is. Anders gezegd: het bereik van g en het domein van f hebben geen elementen gemeenschappelijk. Als u de redeneringen in deze uitwerking moeilijk vindt, dan bevelen we aan om eerst eens met een concrete V te werken, bijvoorbeeld V = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}, en vervolgens wat beelden van f en g en daarna van g ° f en f ° g te bepalen. Voor f ° g zal dit niet lukken (bijvoorbeeld, met V als boven, (f ° g) ({3, 4, 5}) = f(g({3, 4, 5})) = f(2), wat niet bestaat omdat 2 ∉ P(Z); natuurlijk geldt wel dat {2} ∈P(Z), maar {2} is niet hetzelfde als 2). b Voor f: R → R2 gegeven door f(t) = (t, t3) en g: R2 → R2 gegeven door g(x, y) = (x2 + y2, 2xy) geldt dat (g ° f)(t) = g(t, t3) = (t2 + (t3)2, 2t · t3), wat voor alle t ∈R bestaat. Dus g ° f bestaat en het domein is R. Er geldt dat (f ° g)(x, y) = f(x2 + y2, 2xy), wat niet bestaat omdat R het domein van f is, terwijl (x2 + y2, 2xy) ∈R2.

8.37

a Laat f: A → B en g: B → C twee surjectieve functies zijn. We beweren dan dat g ° f: A → C surjectief is. Daarvoor moeten we bewijzen dat er voor iedere z ∈C een x ∈A bestaat waarvoor (g ° f)(x) = z. Neem dus z ∈C willekeurig. Omdat g: B → C surjectief is, bestaat er een y ∈B waarvoor g(y) = z. Omdat y ∈B en f: A → B surjectief is, bestaat er een x ∈A waarvoor f(x) = y. Dus z = g(y) = g(f(x)), ofwel z =(g ° f)(x). Voor iedere z ∈C is er dus een x ∈A waarvoor (g ° f)(x) = z, wat aantoont dat g ° f: A → C surjectief is. b Laat f: A → B en g: B → C twee injectieve functies zijn. We beweren dan dat g ° f injectief is. Daarvoor moeten we bewijzen dat uit (g ° f)(x) = (g ° f)(y) volgt dat x = y. Stel dus dat (g ° f)(x) = (g ° f)(y), ofwel g(f(x)) = g(f(y)). Omdat g injectief is, volgt hieruit dat f(x) = f(y). Maar ook f is injectief, dus volgt dat x = y. Dit bewijst dat g ° f injectief is. c Uit onderdelen a en b volgt dat g ° f : A → C bijectief is. We passen nu stelling 8.1 toe om te bewijzen dat f–1 ° g–1 de inverse is van g ° f. Omdat g–1: C → B en f–1: B → A is f–1 ° g–1 een functie van C naar A. Vanwege de associativiteit van het samenstellen van functies geldt voor deze functie f–1 ° g–1 dat (f–1 ° g–1) ° (g ° f) = f–1 ° (g–1 ° g) ° f. Maar g–1 ° g = 1B, dus (f 1 ° g–1) ° (g ° f) = f–1 ° 1B ° f. Omdat 1B ° f = f en f–1 ° f = 1A, volgt er dan uiteindelijk dat (f–1 ° g–1) ° (g ° f) = 1A. Dus f–1 ° g–1 is een functie van C naar A waarvoor geldt dat (f–1 ° g–1) ° (g ° f) = 1A, zodat uit stelling 8.1 volgt dat het de inverse van g ° f is: (g ° f)–1 = f–1 ° g–1.

193

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

2

Uitwerking van de zelftoets

1

a De verzameling A heeft 3 elementen en B heeft er 3, dus A × B heeft 3 · 3 = 9 elementen. De verzameling C heeft 13 elementen omdat C = {–5, –4, ..., –1, 1, 2, ..., 7, 8}. Dus A × B × C heeft 9 · 13 = 117 elementen. b Het element (0, 3, –1) behoort tot A × B × C, maar niet tot A × C × B omdat –1 ∉B. Dus A × B × C ≠ A × C × B. c De relatie R op A × B × C is gegeven door (x, y, z) ∈R als x + y een deler is van z. We bepalen systematisch alle elementen (x, y, z) ∈A × B × C, die tot R behoren. Alle elementen van de vorm (0, 3, z) zijn: (0, 3, –3), (0, 3, 3), (0, 3, 6). Alle elementen van de vorm (0, 5, z) zijn: (0, 5, –5), (0, 5, 5). Alle elementen van de vorm (0, 7, z) zijn: (0, 7, 7). Alle elementen van de vorm (2, 3, z) zijn: (2, 3, –5), (2, 3, 5). Alle elementen van de vorm (2, 5, z) zijn: (2, 5, 7). Er zijn geen elementen van de vorm (2, 7, z). Alle elementen van de vorm (4, 3, z) zijn: (4, 3, 7). Er zijn geen elementen van de vorm (4, 5, z) of van de vorm (4, 7, z). Dus R = {(0, 3, –3), (0, 3, 3), (0, 3, 6), (0, 5, –5), (0, 5, 5), (0, 7, 7), (2, 3, –5), (2, 3, 5), (2, 5, 7), (4, 3, 7)}. d De relatie R is geen functie van twee variabelen van A × B naar C, omdat bijvoorbeeld aan (0, 3) ∈A × B de drie elementen –3, 3 en 6 in C zijn toegevoegd (immers, (0, 3, –3), (0, 3, 3), (0, 3, 6) behoren alle tot R). e Het element (0, 3, –5) behoort tot A × B × C, maar niet tot R, dus R is een echte deelverzameling van A × B × C.

2

a Een expliciete definitie van R krijgen we door voor alle paren (x, y) ∈V × V met V = {0, 1, 2, 3, 4} na te gaan of ze aan 2x2 + y2 ≤ 9 voldoen. We zien dan dat 0R0, 0R1, 0R2, 0R3, 1R0, 1R1, 1R2, 2R0 en 2R1.

FIGUUR 8.35

194

De relatie R in een assenstelsel

Terugkoppelingen

b Uit de expliciete definitie van R volgt de graaf in figuur 8.36.

FIGUUR 8.36

De graaf van de relatie R

c De elementen x ∈V, waarvoor geldt dat 0 in relatie staat tot x, halen we uit de expliciete definitie van R: 0R0, 0R1, 0R2, 0R3. Dus geldt {x ∈V0Rx} = {0, 1, 2, 3}. Net zo volgt dat {x ∈VxR0} = {0, 1, 2}. Dus {x ∈V0Rx} ≠ {x ∈VxR0}. 3

a Er geldt dat f(–4) = 9 – 16 = –7, f(–3) = 0, f(–2) = 5, f(–1) = 8, f(0) = 9, f(1) = 8, f(2) = 5, f(3) = 0 en f(4) = –7. Trekken we een vloeiende kromme door deze punten (x, f(x)) ∈R2, dan ontstaat de parabool uit figuur 8.37.

FIGUUR 8.37

De grafiek van de functie f(x) = 9 – x2

b Noem U = {x ∈R–1 ≤ x ≤ 7}. Er geldt dat 9 – x2 ≤ 9 voor alle x ∈R en omdat 0 ∈U, wordt deze maximale waarde 9 ook aangenomen in f(U). Verder geldt dat f(–1) = 8 en f(7) = –40, dus de minimale waarde die wordt aangenomen in f(U) is –40. Alle andere waarden tussen –40 en 9 worden ook aangenomen (zie bijvoorbeeld de grafiek van f in figuur 8.37), dus volgt er dat f(U) = {y ∈R–40 ≤ y ≤ 9}.

195

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

c Omdat V = {y ∈Ry ≤ 5}, bepalen we eerst het volledig origineel van 5. Er geldt dat 9 – x2 = 5 als x2 = 4, ofwel als x = 2 of x = –2. Uit de grafiek in figuur 8.37 zien we dan dat de getallen x ∈R met x ≥ 2 tot het volledig origineel van V behoren, evenals de getallen x ∈R met x ≤ –2. Dus {x ∈Rx ≤ –2 ∨ x ≥ 2} is het volledig origineel van V. d De functie f is niet injectief op het domein R, maar wel injectief op het domein A = {x ∈Rx ≥ 0}, immers, uit 9 – x2 = 9 – y2 volgt dat x2 = y2 en voor x, y ∈A geldt dan dat x = y. De functie f is niet surjectief op het bereik R, maar is wél surjectief als het bereik gegeven wordt door B = {y ∈Ry ≤ 9}. Om dit te bewijzen, moeten we voor iedere y ∈B een x ∈A vinden waarvoor 9 – x2 = y. Door x en y te verwisselen, mogen we ook een y ∈A bepalen waarvoor 9 – y2 = x. Hiermee bepalen we dan meteen de inverse, als die bestaat. Er geldt dat 9 – y2 = x precies als y2 = 9 – x en omdat 9 – x ≥ 0 voor x ∈B kunnen we y = √(9 – x) nemen. Omdat y ≥ 0, geldt er dat y ∈A. Dit bewijst dat f: A → B surjectief en dus bijectief is en dat f–1: B → A gegeven wordt door f–1(x) = √(9 – x). In figuur 8.38 is eerst het deel van de grafiek van f getekend dat bij het domein A hoort. Dit deel spiegelen we in de lijn y = x, waardoor de grafiek van f–1 ontstaat.

FIGUUR 8.38

De grafiek van de functie f–1(x) = √(9 – x)

Een alternatieve keuze voor het domein is A = {x ∈Rx ≤ 0}. Ook dan is f: A → B bijectief en f–1: B → A wordt nu gegeven door f–1(x) = –√(9 – x). De grafiek van f–1 wordt verkregen door het andere deel van de grafiek van f te spiegelen in de lijn y = x.

196

Terugkoppelingen

e Voor de functie g: R → R gegeven door g(x) = √x, geldt dat (g ° f)(x) = g(9 – x2) = √(9 – x2), wat bestaat voor 9 – x2 ≥ 0, ofwel voor –3 ≤ x ≤ 3. Dus g ° f bestaat op het domein {x ∈R–3 ≤ x ≤ 3}. De functie g ° f is niet injectief op dit domein omdat bijvoorbeeld (g ° f)(–3) = 0 = (g ° f)(3). Er geldt dat (f ° g)(x) = f(√x) = 9 – (√x)2 = 9 – x, wat bestaat voor x ≥ 0, immers g bestaat alleen voor x ≥ 0. Dus f ° g bestaat op het domein {x ∈Rx ≥ 0}. De functie f ° g is injectief op dit domein, omdat uit 9 – x = 9 – y direct volgt dat x = y. f Noem W = {x ∈R0 ≤ x ≤ 3}, dan is h(x) = (g ° f)(x) = √(9 – x2) injectief. Immers, uit √(9 – x2) = √(9 – y2) volgt dat x2 = y2 en voor x ≥ 0 en y ≥ 0 geldt dan dat x = y. Dus h is injectief op dit domein W. We bepalen het bereik nu zo dat h bijectief is. Omdat h(x) = √(9 – x2), zal altijd h(x) ≥ 0. Anderzijds geldt 9 – x2 ≤ 9 voor alle x, dus √(9 – x2) ≤ 3 voor alle x. Dit betekent dat altijd h(x) ≤ 3. Het bereik van h is dus {y ∈R0 ≤ y ≤ 3}, wat opnieuw W is, en h: W → W is nu bijectief. Vervolgens bepalen we de inverse van h: W → W door y op te lossen uit √(9 – y2) = x voor x, y ∈W (wat dan overigens opnieuw aantoont dat h: W → W surjectief is). Voor x ≥ 0 is √(9 – y2) = x precies als 9 – y2 = x2, ofwel als y2 = 9 – x2. Omdat ook y ≥ 0, zien we dat y = √(9 – x2). Dus h–1(x) = √(9 – x2) en we zien dus dat h–1(x) = h(x). Voor de grafiek van h = g ° f betekent dit dat deze niet verandert als we spiegelen in de lijn y = x, ofwel de grafiek van (g ° f)–1 is hetzelfde als de grafiek van g ° f. 4

a Het domein van f: R2 → R2 gegeven door f(x, y) = (x + y, x – y) is R2. Het domein van g: R2 → R gegeven door g(x, y) = 1/(x2 + y2) is {(x, y) ∈R2x2 + y2 ≠ 0}, ofwel R2 – {(0, 0)}. We gaan na of f injectief is. Stel dat f(x, y) = f(u, v), dus (x + y, x – y) = (u + v, u – v). Er geldt dan zowel x + y = u + v als x – y = u – v. Tellen we deze vergelijkingen bij elkaar op, dan volgt dat 2x = 2u, dus x = u. Trekken we ze van elkaar af, dan volgt dat 2y = 2v, dus y = v. Dit bewijst dat (x, y) = (u, v) en dus dat f injectief is. We gaan nu na of f surjectief is. Gegeven (u, v) moeten we dan proberen (x, y) te vinden waarvoor f(x, y) = (u, v), dus (x + y, x – y) = (u, v). Er moet dan gelden dat x + y = u en x – y = v. Tellen we deze vergelijkingen bij elkaar op, dan volgt dat 2x = u + v, dus x = (u + v)/2. Trekken we ze van elkaar af, dan volgt dat 2y = u – v, dus y = (u – v)/2. Hiermee is (x, y) gevonden waarvoor f(x, y) = (u, v), wat bewijst dat f surjectief is. Omdat f zowel injectief als surjectief is, is f ook bijectief. De functie g is niet injectief omdat bijvoorbeeld g(1, 0) = 1 = g(–1, 0). De functie g is niet surjectief omdat bijvoorbeeld 0 ∈R geen origineel heeft. In het bijzonder is g niet bijectief. b In onderdeel a hebben we gezien dat f injectief is. Omdat f(0, 0) = (0, 0), volgt dan dat (0, 0) het enige origineel is met (0, 0) als beeld. Het volledig origineel van (0, 0) is dus {(0, 0)}. Dit volledig origineel is ook te bepalen door f(x, y) = (0, 0), dus x + y = 0 en x – y = 0, op te lossen, maar dan doen we in feite het bewijs van de surjectiviteit uit onderdeel a nog eens over voor het speciale geval u = 0 en v = 0. Als in onderdeel a tellen we namelijk de vergelijkingen bij elkaar op, wat 2x = 0 oplevert, en trekken we ze van elkaar af, wat 2y = 0 oplevert. Hieruit volgt direct dat x = 0 en y = 0, dus (x, y) = (0, 0) is inderdaad het enige origineel van (0, 0).

197

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

c Er geldt dat (g ° f)(x, y) = g(x + y, x – y) = 1/((x + y)2 + (x – y)2) = 1/(2x2 + 2y2), wat bestaat voor alle (x, y) ≠ (0, 0). Dus g ° f bestaat op het domein R2 – {(0, 0)}. Er geldt dat (f ° g)(x, y) = f(1/(x2 + y2)), wat niet bestaat omdat 1/(x2 + y2) ∈R terwijl f als domein R2 heeft. d We weten dat f: R2 → R2 bijectief is. Als we van h: R2 → R2 laten zien dat h ° f = 1, waarbij 1 de identiteit op R2 is, dan volgt uit stelling 8.1 dat h = f–1. Er geldt voor iedere (x, y) ∈R2 dat (h ° f)(x, y) = h(x + y, x – y) = ((x + y + x – y)/2, (x + y – x + y)/2) = (x, y), dus h ° f = 1, wat bewijst dat h = f–1. e De functie (g ° f)(x, y) = 1/(2x2 + 2y2) is niet injectief omdat bijvoorbeeld (g ° f)(1, 0) = 1/2 = (g ° f)(–1, 0). Dus g ° f is niet bijectief. De inverse bestaat dan niet.

198

Terugkoppelingen

TERUGKOPPELING LEEREENHEID 9 1

Uitwerking van de opgaven

9.1

– Voorbeeld 9.1: deze relatie is niet reflexief, want niemand is de ouder van zichzelf, dus in dit geval geldt nooit xRx. – Voorbeeld 9.2: deze relatie is reflexief, want elke schakeling heeft dezelfde werking als zichzelf, dus voor elke x geldt xRx. – Voorbeeld 9.3: deze relatie is reflexief, voor elke diersoort x geldt dat x en x tot dezelfde klasse behoren, dus xRx geldt voor elke x. – Voorbeeld 9.4: deze relatie is reflexief, want voor elke x geldt xRx. – Voorbeeld 9.5: deze relatie is reflexief, want voor elk natuurlijk getal n geldt n = n, dus nRn. – Voorbeeld 9.6: deze relatie is niet reflexief, want een schakeling bevat nooit meer poorten dan het aantal dat die zelf bezit, dus in dit geval geldt xRx voor geen enkele x. – Voorbeeld 9.7: deze relatie is niet reflexief, want voor elke x die geen kinderen heeft, geldt niet xRx.

9.2

– Voorbeeld 9.1: geen mens is zijn of haar eigen ouder, dus deze relatie is irreflexief. – Voorbeelden 9.2 t/m 9.5: in de vorige opgave hebt u gezien dat deze relaties reflexief zijn. Voor alle elementen uit de onderliggende verzameling geldt xRx; deze relaties kunnen dus nooit irreflexief zijn. – Voorbeeld 9.6: voor geen enkele schakeling geldt xRx, dus deze relatie is irreflexief. – Voorbeeld 9.7: elke x die kinderen heeft, heeft met zichzelf gemeenschappelijke kinderen, dus voor elke x die kinderen heeft, geldt xRx, dus deze relatie is niet irreflexief.

9.3

– Voorbeeld 9.1: mijn moeder is een ouder van mij, maar ik ben geen ouder van mijn moeder, dus deze relatie is niet symmetrisch. – Voorbeeld 9.2: als x dezelfde werking heeft als y, dan heeft ook y dezelfde werking als x. Voor deze relatie geldt dus: als xRy, dan yRx. De relatie is dus symmetrisch. – Voorbeeld 9.3: als x tot dezelfde klasse behoort als y, dan behoort ook y tot dezelfde klasse als x; de relatie is dus symmetrisch. – Voorbeeld 9.4: als x tot dezelfde klasse behoort als y, dan behoort ook y tot dezelfde klasse als x; de relatie is dus symmetrisch. Voorbeeld 9.5: als x = y, dan is ook y = x. Deze relatie is dus symmetrisch. – Voorbeeld 9.6: als x meer poorten bevat dan y, dan bevat y niet meer poorten dan x; deze relatie is dus niet symmetrisch. – Voorbeeld 9.7: als x en y gemeenschappelijke kinderen hebben, dan hebben ook y en x gemeenschappelijke kinderen, dus deze relatie is symmetrisch.

199

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

9.4

– Voorbeeld 9.1: deze relatie is antisymmetrisch. We geven twee verschillende manieren om dit te beredeneren. Methode 1 In de alinea vóór definitie 9.4 wordt antisymmetrie als volgt omschreven: in de bijbehorende graaf komen een pijl van x naar y en van y naar x tussen twee verschillende elementen x en y niet voor. Voor de relatie betekent dit dus dat een relatie antisymmetrisch is als voor geen enkel paar verschillende x en y zowel xRy als yRx optreden. Dat klopt voor de ouderrelatie. Voor twee verschillende mensen x en y geldt nooit tegelijkertijd dat x een ouder is van y en y een ouder van x. (We verstaan hier onder ouder: biologische ouder, dit om gevallen waarin iemand met zijn stiefgrootmoeder trouwt, uit te sluiten). Methode 2 Volgens de definitie is R antisymmetrisch als voor elke x en y geldt: als xRy én yRx, dan x = y. Maar xRy én yRx komt in dit geval nooit voor. Er is dus automatisch aan de voorwaarde voldaan, want de definitie zegt alleen maar iets over de gevallen waarin xRy én yRx. U kent een dergelijk manier van redeneren uit de logica: een implicatie ϕ → ψ is onder andere waar als de premisse ϕ onwaar is (zie paragraaf 1.3.4). Ter verduidelijking geven we nog een voorbeeld van een dergelijke redenering. Stel, ik beweer: ‘als het morgen mooi weer is, dan ga ik zwemmen’ en het regent morgen. Of ik in dat geval wel of niet ga zwemmen, maakt voor de waarheid van de bewering niet uit (de bewering is waar), want ik heb alleen een uitspraak gedaan over het geval dat het mooi weer zou zijn, en dat geval doet zich niet voor. In deze opgave hebben we te maken met eenzelfde soort redenering. We kunnen de voorwaarde voor antisymmetrie vertalen in een logische formule: voor elke x en y moet gelden (xRy ∧ yRx) → x = y. Omdat in dit geval xRy én yRx zich nooit tegelijkertijd voordoen, is de premisse xRy ∧ yRx voor elke x en y onwaar, en dus de hele implicatie waar. Dus is R (op formele gronden) antisymmetrisch. – Voorbeeld 9.2: het is mogelijk dat x dezelfde werking heeft als y en dat y dezelfde werking als x, terwijl x en y verschillend zijn. Deze relatie is dus niet antisymmetrisch. – Voorbeeld 9.3: er geldt aapRhond en hondRaap, terwijl apen en honden verschillen, dus de relatie is niet antisymmetrisch. – Voorbeeld 9.4: het is mogelijk dat x en y tot dezelfde klasse behoren, dus xRy en yRx, terwijl x en y verschillen. De relatie is dus niet antisymmetrisch. – Voorbeeld 9.5: als n = m en m = n, dan volgt n = m. Deze relatie is dus antisymmetrisch. In de vorige opgave hebt u gezien dat gelijkheid ook symmetrisch is. Symmetrie en antisymmetrie sluiten elkaar dus niet uit! – Voorbeeld 9.6: voor twee verschillende schakelingen x en y is het niet mogelijk dat x meer schakelingen heeft dan y en y meer schakelingen heeft dan x. Net zoals in voorbeeld 9.1, geldt ook hier dat de relatie antisymmetrisch is. – Voorbeeld 9.7: er geldt (mijn vader)R(mijn moeder) én (mijn moeder)R(mijn vader), terwijl (mijn vader) ≠ (mijn moeder), dus de relatie is niet antisymmetrisch.

200

Terugkoppelingen

9.5

– Voorbeeld 9.1: als a een ouder is van b en b een ouder is van c, dan zal in het algemeen a géén ouder zijn van c; deze relatie is dus niet transitief. – Voorbeeld 9.2: voor alle schakelingen x, y en z geldt: als schakeling x dezelfde werking heeft als y en schakeling y dezelfde werking heeft als z, dan hebben x en z dezelfde werking; de relatie is dus transitief. – Voorbeeld 9.3: als x tot dezelfde klasse behoort als y en y tot dezelfde klasse behoort als z, dan behoren x en z tot dezelfde klasse; deze relatie is dus transitief. – Voorbeeld 9.4: als x tot dezelfde klasse behoort als y en y tot dezelfde klasse behoort als z, dan behoren x en z tot dezelfde klasse; deze relatie is dus transitief. – Voorbeeld 9.5: als x = y en y = z, dan geldt ook x = z; deze relatie is dus transitief. – Voorbeeld 9.6: als x meer poorten bevat dan y en y meer poorten bevat dan z, dan bevat x meer poorten dan z; deze relatie is dus transitief. – Voorbeeld 9.7: het is mogelijk dat x en y gemeenschappelijke kinderen hebben én y en z gemeenschappelijke kinderen hebben, terwijl x en z géén gemeenschappelijke kinderen hebben; deze relatie is dus niet transitief.

9.6

a Deze relatie is reflexief, want van elk punt loopt een pijl naar zichzelf. De relatie is niet irreflexief. De relatie is symmetrisch. We tonen dit aan. Volgens de definitie moet gelden: als xRy, dan ook yRx. Omdat er in dit geval alleen pijlen van elementen naar zichzelf lopen, is aan deze voorwaarde voldaan: uit 1R1 (met x gelijk aan de eerste 1 en y gelijk aan de tweede 1) volgt natuurlijk 1R1 (met y gelijk aan de eerste 1 en x gelijk aan de tweede 1); hetzelfde geldt voor 2R2 en 3R3. De relatie is antisymmetrisch, want pijlen tussen verschillende elementen komen niet voor. De relatie is transitief. We tonen dit aan. Vanuit 1 kunnen we in twee stappen alleen in 1 komen, maar dit kon ook in één stap. Net zo kunnen we vanuit 2 in twee stappen alleen in 2 komen, wat ook in één stap kan, en kunnen we vanuit 3 in twee stappen alleen in 3 komen, wat ook in één stap kan. b De relatie is niet reflexief; er is bijvoorbeeld geen pijl van 2 naar zichzelf. De relatie is niet irreflexief, want er is een pijl van 1 naar zichzelf. De relatie is niet symmetrisch; er is bijvoorbeeld wél een pijl van 1 naar 2, maar geen pijl van 2 naar 1. De relatie is wel antisymmetrisch; er is één keuze voor x en y mogelijk waarvoor xRy én yRx, namelijk als x = 1 en y = 1. In dit geval geldt x = y. De relatie is niet transitief: er is wel een pijl van 1 naar 2 en een pijl van 2 naar 3, maar geen pijl van 1 naar 3. c Deze relatie is niet reflexief, er is bijvoorbeeld geen pijl van 1 naar zichzelf. De relatie is irreflexief; vanuit geen enkel punt is er een pijl naar het punt zelf. De relatie is symmetrisch: er geldt zowel 1R2 als 2R1. De relatie is niet antisymmetrisch, want er geldt zowel 1R2 als 2R1, terwijl 1 ≠ 2. De relatie is niet transitief: er is een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 1, maar geen pijl van 1 naar 1.

201

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

d Deze relatie is niet reflexief, wel irreflexief, wel symmetrisch en niet antisymmetrisch. De relatie is niet transitief: er is een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 1, maar geen pijl van 1 naar 1. e Deze relatie is reflexief, niet irreflexief, wel symmetrisch, niet antisymmetrisch en wel transitief (als we vanuit een punt in twee stappen ergens kunnen komen, dan kan het steeds ook in één stap). 9.7

a Deze relatie is niet reflexief, want er geldt bijvoorbeeld niet 1 > 1. De relatie is irreflexief, want voor geen x geldt x > x. De relatie is niet symmetrisch; er geldt bijvoorbeeld 2 > 1, maar niet 1 > 2. Deze relatie is wel antisymmetrisch, want voor twee waarden van x en y geldt nooit dat x > y én y > x. De bewering ‘als x > y én y > x, dan x = y’ is dus waar voor elke x en y uit Z. De relatie is transitief, want uit x > y en y > z volgt x > z. b De relatie is reflexief, want voor elke x geldt 4| (x – x), immers elk getal is een deler van 0.. De relatie is niet irreflexief. De relatie is symmetrisch, want als 4| (x – y) mod 4 = 0, dan geldt ook 4|(y – x). De relatie is niet antisymmetrisch; er geldt bijvoorbeeld: 4|(4 – 0) en 4|(0 – 4), maar 4 ≠ 0. De relatie is transitief. We bewijzen dit als volgt. Stel dat 4|(x – y) en 4|(y – z). We moeten aantonen dat nu ook 4|(x – z). Om ons gegeven te kunnen gebruiken, schrijven we x – z als (x – y) + (y – z). Uit 4|(x – y) en 4|(y – z) volgt dat x – y en y – z beide 4-vouden zijn. Maar dan is ook x – z = (x – y) + (y – z) een 4-voud, dus 4|(x – z). c Deze relatie is reflexief, want voor elke x geldtx – x < 2. De relatie is niet irreflexief. De relatie is symmetrisch, want uit x – y < 2 volgt y – x < 2. De relatie is niet antisymmetrisch, er geldt bijvoorbeeld 4 – 3 < 2 en3 – 4 < 2, maar 4 ≠ 3. De relatie is niet transitief, want er geldt bijvoorbeeld4 – 3 < 2 en 3 – 2 < 2, maar niet 4 – 2 < 2. d De relatie is niet reflexief, want er geldt niet 0 · 0 > 0. De relatie is ook niet irreflexief, want er geldt bijvoorbeeld 1 · 1 > 0. De relatie is symmetrisch, want als xy > 0, dan ook yx > 0. De relatie is niet antisymmetrisch, want er geldt bijvoorbeeld 1 · 2 > 0 en 2 · 1 > 0, maar 1 ≠ 2. De relatie is transitief. We bewijzen dit als volgt. Stel xy > 0 en yz > 0. Uit xy > 0 volgt x > 0 én y > 0, of x < 0 én y < 0. We bekijken eerst het geval dat x en y beide positief zijn. Uit yz > 0 volgt dan z > 0, dus xz > 0. Als x en y beide negatief zijn, dan volgt uit yz > 0 dat z < 0, dus ook in dit geval geldt xz > 0. In beide gevallen volgt dus uit xy > 0 en yz > 0 dat xz > 0. e De relatie is reflexief, want voor elke x geldt x/x ≥ 1. De relatie is niet irreflexief. De relatie is niet symmetrisch; er geldt bijvoorbeeld wel 2/1 ≥ 1, maar niet 1/2 ≥ 1.

202

Terugkoppelingen

De relatie is antisymmetrisch, want uit x/y ≥ 1 én y/x ≥ 1 volgt x = y. De relatie is transitief. Dit is het makkelijkst als volgt in te zien. Er geldt x/y ≥ 1, als x ≥ y én x en y beide positief, of als x ≤ y en beide negatief. Stel nu x/y ≥ 1 én y/z ≥ 1. Veronderstel eerst dat x en y beide positief zijn; dan moet ook z positief zijn, en geldt x ≥ y ≥ z, dus x/z ≥ 1. Als x en y beide negatief zijn, dan moet ook z negatief zijn, en geldt x ≤ y ≤ z, dus ook x/z ≥ 1. 9.8

Op deze vraag zijn veel antwoorden mogelijk. Voor uw antwoord moet in ieder geval gelden: er zijn a en b waarvoor aRb en niet bRa (dan is de relatie niet symmetrisch) en er zijn c en d waarvoor cRd en dRc en c ≠ d (dan is de relatie niet antisymmetrisch). We geven twee mogelijke antwoorden. – De relatie met de volgende de graaf (zie figuur 9.16).

FIGUUR 9.16

– De relatie ‘broer van’. 9.9

Nee, dit hoeft niet. Alleen voor elementen die met andere elementen in relatie staan, volgt xRx. Een voorbeeld van een transitieve en symmetrische relatie die niet reflexief is, staat in figuur 9.17.

FIGUUR 9.17

9.10

Er geldt: 1R2 en 2R1, dus 1R21 1R2 en 2R3, dus 1R23 2R1 en 1R2, dus 2R22. Dit zijn alle mogelijkheden om in 2 stappen ergens te komen. Dus R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2)}. Er geldt: 1R2, 2R1 en 1R2, dus 1R32 2R1, 1R2 en 2R1, dus 2R31 2R1, 1R2 en 2R3, dus 2R33. Dit zijn alle mogelijkheden om in 3 stappen ergens te komen. U ziet dat R = R3. Omdat R = R3, volgt R2 = R4; er geldt dus 1R41, 1R43 en 2R42.

9.11

aR+b betekent dat we vanuit a via een reeks aansluitende wegen in b kunnen komen.

203

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

9.12

Als een punt via een aantal pijlen verbonden is met een punt, dan moeten we tussen deze punten een pijl toevoegen. We kunnen bijvoorbeeld van 1 naar 3 via 2, dus geldt 1R23, dus (1, 3) behoort tot R+. Ook kunnen we van 1 naar 5 via 2 en 3, dus geldt 1R35, dus (1, 5) behoort ook tot R+. Een derde voorbeeld: we kunnen van 2 via 3 en 4 naar 2, dus geldt 2R32, dus moeten we (2, 2) aan R+ toevoegen. Alle paren die op een dergelijke manier te verkrijgen zijn, behoren tot R+. De graaf van R+ ziet er dus als volgt uit (zie figuur 9.18).

FIGUUR 9.18

Nu moeten we bij elk punt ook nog een pijl naar zichzelf toevoegen: R* = R+ ∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}. De graaf van R* is dus als volgt (zie figuur 9.19).

FIGUUR 9.19

9.13

Er geldt: nR2m als m = n + 2, nR3m als m = n + 3, enzovoorts. Immers, de graaf van R ziet er als volgt uit (zie figuur 9.20).

FIGUUR 9.20

De graaf van R2 verkrijgen we uit deze graaf door steeds twee pijlen samen te stellen (zie figuur 9.21).

FIGUUR 9.21

204

Terugkoppelingen

Zo doorgaand vinden we dat Rp alle pijlen van links naar rechts met ‘lengte p’ bevat. Dus nR+m als m = n + p voor zekere p > 0. Dit kunnen we ook anders omschrijven: nR+m geldt als n < m. Voor de relatie R* moeten we nu nog alle paren (n, n) toevoegen. Dit is dus de relatie n ≤ m. 9.14

a Deze relatie is een equivalentierelatie want: – R is reflexief omdat elke lijn evenwijdig is aan zichzelf – R is symmetrisch omdat uit l evenwijdig aan m volgt dat m evenwijdig is aan l – R is transitief omdat uit l evenwijdig aan m en m evenwijdig aan n volgt dat l evenwijdig is aan n. b Dit is geen equivalentierelatie, want R is niet reflexief: een lijn staat niet loodrecht op zichzelf. (R is wel symmetrisch, maar ook niet transitief.) c Dit is geen equivalentierelatie, want R is niet symmetrisch. Bijvoorbeeld 1 is gelijk aan de rest bij delen van 8 door 7, maar 8 is niet gelijk aan de rest bij delen van 1 door 7. (R is ook niet reflexief, want bijvoorbeeld de rest bij delen door 7 van 8 is 1, en dit is ongelijk aan 8. De relatie R is wel transitief.) d Dit is een equivalentierelatie, want: – R is reflexief omdat voor elke x geldt 7| (x – x) – R is symmetrisch omdat uit 7|(x – y) volgt 7| (y – x) – R is transitief omdat uit 7|(x – y) en 7|(y – z) volgt dat x – y en y – z beide 7-vouden zijn. Maar dan is ook (x – y) + (y – z) = x – z een 7-voud, dus 7|(x – z) . e Dit is een equivalentierelatie, want: – R is reflexief omdat voor elk paar (x1, x2) geldt: x12 + x22 = x12 + x22 – R is symmetrisch omdat uit x12 + x22 = y12 + y22 volgt y12 + y22 = x12 + x22 – R is transitief: als x12 + x22 = y12 + y22 en y12 + y22 = z12 + z22, dan volgt x12 + x22 = z12 + z22. f Dit is een equivalentierelatie, want: – R is reflexief: voor elke functie f geldt f(0) = f(0) – R is symmetrisch: uit f(0) = g(0) volgt g(0) = f(0) – R is transitief: als f(0) = g(0) en g(0) = h(0), dan volgt f(0) = h(0). g Dit is geen equivalentierelatie, want R is niet transitief. Een tegenvoorbeeld is: neem de functies f, g en h met functievoorschrift f(x) = 0, g(x) = x en h(x) = 1 (dus f en h zijn constante functies). Dan geldt fRg, want f(0) = g(0) en ook gRh, want g(1) = h(1), maar niet fRh, want voor geen enkele a geldt f(a) = h(a). (R is wel reflexief en symmetrisch.) h Dit is een equivalentierelatie, want: – R is reflexief omdat voor elke f geldt f(x) = f(x) + 0 voor alle x – R is symmetrisch omdat uit f(x) = g(x) + a voor alle x volgt dat g(x) = f(x) – a voor alle x, dus ook nu is er een constante te vinden (–a) waarvoor de functiewaarden op deze constante na aan elkaar gelijk zijn – R is transitief omdat uit f(x) = g(x) + a en g(x) = h(x) + b volgt dat f(x) = h(x) + a + b, dus er is een constante (a + b) waarvoor f en h op deze constante na aan elkaar gelijk zijn.

205

9.15

a In dit geval geldt voor elke x en y uit A dat xRy, dus is R reflexief, symmetrisch en transitief, dus R is een equivalentierelatie. b De lege relatie is niet reflexief, dus Ø is geen equivalentierelatie. c Dit is wel een equivalentierelatie, want: – R is reflexief omdat voor elke x geldt xRx – R is symmetrisch omdat uit xRy volgt x = y, dus ook yRx – R is transitief, want uit xRy en yRz volgt x = y en y = z, dus x = z, dus xRz.

9.16

a Dit is geen partitie, want er geldt bijvoorbeeld A0  A1 = {6}, dus twee verschillende deelverzamelingen uit de partitie hebben geen lege doorsnede. Aan voorwaarde ii uit definitie 9.10 is dus niet voldaan. b Dit is wel een partitie: aan voorwaarde i is voldaan, omdat A0  A1  A2 = V; aan voorwaarde ii is voldaan, omdat A0  A1 = Ø, A0  A2 = Ø en A1  A2 = Ø. c Dit is geen partitie: aan voorwaarde i is niet voldaan, want A0  A1  A2 = {2, 3, 4, 5} ≠ V. d Dit is wel een partitie: aan voorwaarde i is voldaan, omdat A0  A1  A2 = V (elk getal uit V is ofwel een drievoud, ofwel een drievoud plus 1, ofwel een drievoud plus 2); aan voorwaarde ii is voldaan, omdat A0  A1 = Ø, A0  A2 = Ø en A1  A2 = Ø (een getal kan bijvoorbeeld nooit tegelijkertijd een drievoud en een drievoud plus één zijn).

9.17

We moeten de verzameling {a, b, c} opdelen in niet-lege deelverzamelingen die onderling disjunct zijn. We kunnen de verzameling opdelen in deelverzamelingen die elk één element hebben: {a}, {b} en {c}. De partitie is in dit geval: {{a}, {b}, {c}}. We kunnen de verzameling ook opdelen in een deelverzameling met één element en een deelverzameling met twee elementen. Dit geeft de partities {{a, b}, {c}}, {{a, c}, {b}} en {{b, c}, {a}}. Tenslotte kunnen we de verzameling nog ‘opdelen’ in één verzameling met drie elementen. Dit geeft de partitie {{a, b, c}}. (We noteren hier dubbele accolades, omdat de verzameling {a, b, c} in dit geval het enige element is van de partitie {{a, b, c}}).

9.18

Elke Nederlandse plaats behoort tot een provincie, dus de vereniging van de elementen van A is gelijk aan V. Elke plaats behoort tot precies één provincie, dus de doorsnede van verschillende elementen van A is steeds de lege verzameling. Dus A is een partitie van V.

9.19

De eerste voorwaarde hebben we toegepast toen we aantoonden dat R reflexief was. We gebruikten hier dat elke x V tot een deelverzameling Ai behoorde, omdat i I Ai = V. De tweede voorwaarde gebruikten we bij het bewijs van de transitiviteit. Uit Ai  Aj ≠  volgde met behulp van de tweede voorwaarde dat Ai = Aj.

9.20

[3] is gelijk aan de verzameling van alle elementen die equivalent zijn met 3. Dit zijn alle x waarvoor geldt x = 3, ofwel x = 3 en x = –3, dus [3] = {–3, 3}. Alleen 0 is equivalent met 0, dus [0] = {0}.

9.21

a We onderzoeken eerst voor welke (x1, x2) geldt: (2, 0)R(x1, x2). Dan moet gelden: 4 + 0 = x12 + x22. Dus [(2, 0)] = {(x1, x2) x12 + x22 = 4}. Dit is de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2.

Terugkoppelingen

b Er geldt: (√2, √2)R(x1, x2) als 2 + 2 = x12 + x22. Dus [(√2, √2)] = {(x1, x2) x12 + x22 = 4}. Dit is dezelfde cirkel uit onderdeel a. Dit lag voor de hand, want (√2, √2) ligt op deze cirkel. c Stel dat (p, q) tot [(2, 0)] behoort. Dan geldt p2 + q2 = 4. Het ligt voor de hand om aan te nemen dat de equivalentieklasse van (p, q) nu weer dezelfde cirkel is. We controleren dit: [(p, q)] = {(x1, x2)  (p, q)R (x1, x2)} = {(x1, x2) p2 + q2 = x12 + x22)} = 〈want p2 + q2 = 4〉 = {(x1, x2) x12 + x22 = 4} = [(2, 0)]. 9.22

We bepalen eerst de verschillende equivalentieklassen: [0] = {..., –14, –7, 0, 7, 14, ...} (alle zevenvouden) [1] = {..., –13, –6, 1, 8, 15, ...} (alle zevenvouden plus 1) [2] = {..., –12, –5, 2, 9, 16, ...} (alle zevenvouden plus 2) [3] = {..., –11, –4, 3, 10, 17, ...} (alle zevenvouden plus 3) [4] = {..., –10, –3, 4, 11, 18, ...} (alle zevenvouden plus 4) [5] = {..., –9, –2, 5, 12, 19, ...} (alle zevenvouden plus 5) [6] = {..., –8, –1, 6, 13, 20, ...} (alle zevenvouden plus 6) Dit zijn ze allemaal, immers [7] = [0], [8] = [1], enzovoorts. De verzameling equivalentieklassen is dus {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}. Dit is een partitie van Z; we controleren de twee voorwaarden. i [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4] ∪ [5] ∪ [6] = Z (want elk geheel getal is óf een zevenvoud, óf een zevenvoud plus 1, ..., óf een zevenvoud plus 6, en behoort dus tot één van de equivalentieklassen) ii Voor twee verschillende klassen [n] en [m] met n ≠ m en 0 ≤ n, m ≤ 6, geldt dat [n] ∩ [m] = ∅, want een geheel getal kan niet tegelijkertijd een zevenvoud plus n én een zevenvoud plus m zijn.

9.23

a

Zie figuur 9.22.

FIGUUR 9.22

b De graaf verdeelt de verzameling V = {1, ..., 10} in de drie disjuncte deelverzamelingen {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8} en {3, 6, 9}. Dit is een partitie van {1, ..., 10}. De relatie R geldt precies dan tussen twee elementen, als ze tot dezelfde deelverzameling van de partitie behoren. Volgens stelling 9.1 is R dus een equivalentierelatie. (U kunt ook als antwoord geven dat uit de graaf blijkt dat R reflexief, symmetrisch en transitief is.) c De graaf verdeelt V in drie deelverzamelingen van elementen die allemaal onderling verbonden zijn. Deze drie deelverzamelingen vormen precies de klassen van R. d Het quotiënt is de verzameling equivalentieklassen, dus V/R = {{1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9}}.

207

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

9.24

a XR*Y betekent dat we vanuit X de stand Y kunnen bereiken door een aantal (eventueel 0) keren een steentje te verschuiven. b R* is per definitie reflexief. Als XR*Y geldt, dan kunnen we door terug te schuiven stand X uit Y krijgen. (Het probleem is meestal echter dat we niet meer weten hoe we Y uit X gekregen hadden!) Als we stand Y uit stand X kunnen krijgen en stand Z uit stand Y, dan kunnen we natuurlijk ook stand Z vanuit stand X krijgen. Dus is R* ook transitief. (Dit volgt ook uit het feit dat R* per definitie transitief is.) c Dit betekent dat we niet vanuit elke stand een willekeurig andere stand kunnen bereiken. Immers, we kunnen nooit van de ene klasse in de andere klasse terechtkomen. 2

1

Uitwerking van de zelftoets

a Niet reflexief, want er is bijvoorbeeld geen pijl van 1 naar 1. Wel irreflexief: er is geen enkele pijl van een punt naar dat punt zelf. Niet symmetrisch, want er is bijvoorbeeld wel een pijl van 1 naar 2, maar geen pijl van 2 naar 1. Wel antisymmetrisch omdat er nooit een pijl heen en terug is. Niet transitief, want er is bijvoorbeeld wel een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 4, maar niet van 1 naar 4. b Niet reflexief, want er is bijvoorbeeld geen pijl van 1 naar 1. Wel irreflexief: er is geen enkele pijl van een punt naar dat punt zelf. Wel symmetrisch, omdat voor elk tweetal punten geldt: als er een pijl is van a naar b, dan is er ook een pijl van b naar a. Niet antisymmetrisch, want er is bijvoorbeeld een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 1, maar 1 ≠ 2. Niet transitief, want er is bijvoorbeeld een pijl van 1 naar 2 en van 2 naar 1, maar niet van 1 naar 1. c Niet reflexief, want er is bijvoorbeeld geen pijl van 1 naar 1. Wel irreflexief: er is geen enkele pijl van een punt naar dat punt zelf. Niet symmetrisch, want er is bijvoorbeeld wel een pijl van 1 naar 2, maar geen pijl van 2 naar 1. Wel antisymmetrisch, omdat er nooit een pijl heen en terug is. Wel transitief, want de enige pijlen die we samen kunnen stellen zijn: – van 1 naar 2 en van 2 naar 4; er is ook een pijl van 1 naar 4 – van 1 naar 3 en van 3 naar 4: er is ook een pijl van 1 naar 4. d Niet reflexief: er is bijvoorbeeld geen pijl van 3 naar 3. Niet irreflexief, want er is bijvoorbeeld wel een pijl van 1 naar 1. Wel symmetrisch, omdat voor elk tweetal punten geldt: als er een pijl is van a naar b, dan is er ook een pijl van b naar a. Niet antisymmetrisch, want er is bijvoorbeeld een pijl van 2 naar 3 en van 3 naar 2, maar 2 ≠ 3. Niet transitief: er is een pijl van 3 naar 4 en een pijl van 4 naar 3, maar geen pijl van 3 naar 3.

208

Terugkoppelingen

2

De graaf van R ziet er als volgt uit (zie figuur 9.23).

FIGUUR 9.23

We zien dat we door het ‘samenstellen’ van pijlen vier nieuwe paren krijgen: (2, 2), (4, 4), (3, 4) en (5, 2). Dus R+ = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (4, 2), (5, 4), (6, 1), (2, 2), (4, 4), (3, 4), (5, 2)}. Voor R* moeten we nu nog alle reflexieve pijlen toevoegen, dus R* = R+ ∪ {(3, 3), (5, 5), (6, 6), (7, 7)}. 3

a R is reflexief, want voor elke x in N geldt dat x + x even is. R is ook symmetrisch, want uit xRy volgt x + y is even, dus ook y + x is even, dus yRx geldt. We bewijzen dat R ook transitief is. Stel dat x + y even is en y + z even is. Nu zijn er twee mogelijkheden: x, y en z zijn alle drie even, of x, y en z zijn alle drie oneven. In beide gevallen volgt xRz, dus R is transitief. b We bepalen eerst de equivalentieklassen. [0] = {y 0 + y is even} = {y y is even} [1] = {y 1 + y is even} = {y y is oneven} Dit zijn alle equivalentieklassen ([2] = [0], [3] = [1], enzovoorts.). We kunnen dus nu het quotiënt opschrijven: N/R = {{y y is even}, {y y is oneven}}.

209

Open Universiteit

Logica, verzamelingen en relaties

TERUGKOPPELING LEEREENHEID 10 1

Uitwerking van de opgaven

10.1

– (N,