Le parole della fisica 1: meccanica [PDF]

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Stefania Mandolini

Le parole della fisica Meccanica con Physics in English

SCIENZE

Stefania Mandolini

Le parole della fisica Meccanica con Physics in English

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Realizzazione editoriale: – Coordinamento editoriale e revisione dei contenuti: Antonia Ricciardi, Stefania Varano – Realizzazione editoriale: Maria Pia Galluzzo – Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Disegni: Luca Tible – Ricerca iconografica: Massimiliano Trevisan Contributi: – Collaborazione alla stesura degli esercizi: Sergio Lo Meo, Valentina Nicosia, Stefano Paolucci – Stesura delle schede Individuare la posizione di un oggetto sulla superficie terrestre: il GPS e Il cavallo-vapore: Nunzio Lanotte – Stesura delle schede di biologia Gli ultrasuoni nel mondo animale e L’energia della vita: Angela Figoli – Collaborazione alla stesura del capitolo La materia: Beatrice Bressan – Rilettura critica e risoluzione degli esercizi: Carlo Incarbone – Stesura di Physics in English: Eleonora Anzola, Silvia Borracci, Roger Loughney (revisione linguistica) I contributi alla realizzazione dei contenuti multimediali e dell’interactive e-book sono online su ebook.scuola.zanichelli.it/mandoliniparole Copertina: – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna

Esercizi facili: richiedono l’applicazione di una formula per volta Esercizi medi: richiedono l’applicazione di una o più leggi fisiche Esercizi difficili: richiedono il riconoscimento di un modello fisico studiato nella teoria e la sua applicazione a situazioni concrete nuove

Prima edizione: gennaio 2012

L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B. File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo: [email protected] Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicati nel sito www.zanichelli.it/aggiornamenti Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001: 2008

Stefania Mandolini

Le parole della fisica Meccanica con Physics in English

SCIENZE

Indice CAPITOLO 1 GRANDEZZE E MISURE 1 2

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4 5 6 In laboratorio 7

Storia della fisica Storia della fisica Con gli occhi di un fisico

Le grandezze fisiche Il Sistema Internazionale Perché solo sette? Prefissi e regole Misurare lo spazio Misurare la lunghezza Sensibilità di uno strumento di misura Cifre significative Portata di uno strumento di misura Misurare l’area Misurare il volume Il volume in litri Misurare il tempo Misurare la massa Massa e peso Notazione scientifica e ordini di grandezza Proprietà della materia: massa, volume e densità Operazioni tra grandezze fisiche diverse Come si utilizza la formula della densità Divisione tra grandezze omogenee Archimede e la misura del volume di un solido irregolare Talete misura la piramide di Cheope I numeri e le cose Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 2 DESCRIVERE IL MOVIMENTO 1

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4 5 Tecnologia Tecnologia Con gli occhi di un fisico

Rappresentare un corpo nello spazio Il punto materiale La traiettoria Sistemi di riferimento Posizione e spostamento L’origine dell’asse dello spazio è arbitraria Avanti e indietro nello spazio I moti unidimensionali Istante e intervallo di tempo L’origine dell’asse del tempo è arbitraria Il grafico spazio-tempo Traiettoria e grafico spazio-tempo Individuare la posizione di un oggetto sulla superficie terrestre: il GPS Il sismografo Immagini e movimento Mappa dei concetti Esercizi

IV Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

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INDICE

CAPITOLO 3 LA VELOCITÀ 1

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3 In laboratorio 4

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Storia della fisica Letteratura Con gli occhi di un fisico

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La velocità media L’unità di misura della velocità media La velocità media può essere negativa o nulla La distanza percorsa Che fine hanno fatto gli indici? Come si utilizza la formula della velocità media Equivalenza tra km/h e m/s Calcolo della velocità media Calcolo dello spazio percorso Calcolo del tempo impiegato La velocità istantanea Il moto a velocità costante Il moto rettilineo uniforme come approssimazione Traiettoria e grafico spazio-tempo Il moto rettilineo uniforme intorno a noi Legge oraria del moto rettilineo uniforme Calcolo della posizione Calcolo dell’istante di tempo Rappresentazione grafica del moto rettilineo uniforme Quando la velocità è nulla Il grafico velocità-tempo Galileo e la velocità della luce Gli anni-luce Velocità e progresso tecnologico Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 4 L’ACCELERAZIONE 1

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3 Simulazione 4

In laboratorio 5

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L’accelerazione media L’unità di misura dell’accelerazione media Il segno dell’accelerazione media L’analogia in fisica Come si utilizza la formula dell’accelerazione media Calcolo dell’accelerazione Calcolo della variazione di velocità Calcolo del tempo impiegato Il moto uniformemente accelerato La legge della velocità La legge oraria del moto uniformemente accelerato Scomponiamo la legge oraria Calcolo del tempo Rappresentazione grafica del moto uniformemente accelerato Grafico spazio-tempo di un moto uniformemente accelerato La caduta dei gravi Approssimazioni per lo studio dei gravi

V Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

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INDICE

Storia della fisica Economia Con gli occhi di un fisico

Galileo e la caduta dei gravi L’inflazione Le montagne russe Mappa dei concetti Esercizi

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CAPITOLO 5 I VETTORI

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Biologia Letteratura Con gli occhi di un fisico

Quando i numeri non bastano Vettore applicato Matematica e fisica Composizione e scomposizione di vettori Somma tra vettori Differenza tra vettori Scomposizione di un vettore Altre operazioni con i vettori Prodotto e divisione per un numero Prodotto scalare Prodotto vettoriale Rappresentazione cartesiana di un vettore Come si usano le componenti cartesiane di un vettore Grandezze fisiche vettoriali I vettori posizione e spostamento Il vettore velocità Il vettore accelerazione L’abilità delle formiche del deserto Flatlandia Viaggiare con il vento Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 6 I MOTI NEL PIANO 1 2

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Simulazione 5

Matematica Matematica

La composizione dei moti Il moto dei proiettili Se la velocità iniziale non è orizzontale Proiettili in orbita Il moto circolare uniforme Unità di misura della velocità angolare Le grandezze del moto circolare uniforme Velocità angolare e velocità tangenziale Periodo e frequenza di un moto circolare uniforme L’accelerazione centripeta Rappresentazione grafica del moto circolare uniforme Il moto armonico La parabola Trigonometria

VI Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

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INDICE

Con gli occhi di un fisico

I meccanismi e il calcolo

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Mappa dei concetti

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Esercizi

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CAPITOLO 7 LE FORZE

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2 In laboratorio 3

4 Simulazione 5

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Biologia Storia della fisica Con gli occhi di un fisico

Che cosa è una forza? Misurare una forza Le forze sono vettori La legge di Hooke La forza elastica La legge di Hooke in forma vettoriale Le forze intorno a noi: il peso Il peso non è una caratteristica dei corpi Forze intorno a noi: l’attrito L’attrito statico radente L’attrito dinamico radente Il rotolamento L’attrito viscoso Forze e rotazioni: il momento di una forza Definizione rigorosa del momento di una forza Il braccio Coppia di forze Forze e fluidi: la pressione Il principio di Pascal La legge di Stevino Un paradosso idrostatico Senza peso Robert Hooke La forza dell’acqua Mappa dei concetti Esercizi

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CAPITOLO 8 LE FORZE E L’EQUILIBRIO 1

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L’equilibrio di un punto materiale In equilibrio con la forza peso Stabilità di una posizione di equilibrio In equilibrio con l’attrito statico L’equilibrio su un piano inclinato I vantaggi del piano inclinato Il piano inclinato in presenza di attrito Il baricentro Centro di massa Baricentro di un corpo rigido Baricentro di un essere umano Equilibrio di un corpo rigido

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VII Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

INDICE

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In laboratorio

Simulazione

Architettura Tecnologia Con gli occhi di un fisico

Stabilità di una configurazione di equilibrio Baricentro di una figura piana Le macchine Il piano inclinato La leva La carrucola Il verricello Il cuneo La vite I fluidi e l’equilibrio I vasi comunicanti La pressa idraulica La pressione atmosferica La legge di Stevino generalizzata Il principio di Archimede La cupola del Brunelleschi Il cantiere del Brunelleschi Numeri da circo Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 9 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 1

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In laboratorio 3 Simulazione

4

5

Storia della fisica Letteratura Con gli occhi di un fisico

Il primo principio della dinamica Il legame tra forze e moto rettilineo uniforme L’inerzia Che cos’è un principio fisico? Principi e assiomi Sistemi di riferimento inerziali Il principio di relatività galileiana La composizione dei moti Il secondo principio della dinamica L’unità di misura della forza Il legame tra forze e accelerazioni La massa Quando l’accelerazione è costante Sistemi di riferimento non inerziali Forze apparenti La forza di trascinamento tangenziale La forza di trascinamento centrifuga La forza di Coriolis Il terzo principio della dinamica Perché ci muoviamo? L’interazione Il pendolo di Foucault Naufragio Le avventure del barone di Münchhausen Mappa dei concetti Esercizi

VIII Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

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INDICE

CAPITOLO 10 LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 1

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4 Simulazione 5 In laboratorio

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Tecnologia Ingegneria Con gli occhi di un fisico

La conservazione dell’energia: una breve introduzione Il Sole è la nostra fonte di energia La fotosintesi clorofilliana Trasferire l’energia: il lavoro Il lavoro può essere positivo, negativo o nullo Il lavoro su un piano inclinato La potenza L’energia sulla bolletta della luce L’energia cinetica Lavoro ed energia cinetica L’energia cinetica rotazionale L’energia potenziale gravitazionale L’energia potenziale elastica La conservazione dell’energia meccanica Un’utile rappresentazione L’energia si disperde Il pendolo semplice La conservazione dell’energia nei fluidi Tubo orizzontale a sezione costante Effetto Venturi La portata Un uomo chiamato due cavalli Effetto Venturi ed effetto suolo Costruire in grande Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 11 LA QUANTITÀ DI MOTO E IL MOMENTO ANGOLARE 1

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La quantità di moto A quale velocità si muove la zattera? Che cosa succede al centro di massa? La conservazione della quantità di moto Quantità di moto e inerzia Quantità di moto e forza L’impulso di una forza Gli urti Urti elastici su una retta Il centro di massa negli urti Il sistema di riferimento del centro di massa Urto elastico contro a una parete Il momento angolare Il momento angolare nel moto circolare uniforme Momento angolare e momento di inerzia

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INDICE

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Tecnologia Tecnologia Con gli occhi di un fisico

La conservazione del momento angolare Momento angolare e momento della forza La simmetria Alcune simmetrie della fisica Il teorema di Noether Il giroscopio Le corde Biciclette Mappa dei concetti Esercizi

CAPITOLO 12 LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE 1

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Simulazione 3

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Astronomia Astronomia Con gli occhi di un fisico

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Le leggi di Keplero Prima legge Seconda legge Terza legge La legge di gravitazione universale La massa gravitazionale L’interazione gravitazionale L’accelerazione di gravità Interazione a distanza Prove sperimentali Prima legge di Keplero e gravitazione Seconda legge di Keplero e gravitazione Terza legge di Keplero e gravitazione La misura di G Una legge fisica universale Moto e gravitazione Il moto dei gravi in pratica Gravitazione e Universo Nebulose Stelle e pianeti Galassie Altre strutture a grande scala Il cielo a occhio nudo Urano, Nettuno e Plutone Storie di viaggi sulla Luna Mappa dei concetti Esercizi

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PHYSICS IN ENGLISH

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Maths talk

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Physics talk

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Reading comprehension

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X Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

Introduzione

Paul Gauguin, Da dove veniamo? Che siamo? Dove andiamo?, 1897.

Che cosa fa un fisico? Chi non si è mai interrogato, almeno una volta nella vita, sull’Universo, sulla sua origine e sul ruolo dell’uomo in tanta immensità? Domande difficili, forse senza possibilità di una risposta definitiva, ma da sempre ispiratrici della ricerca nei più svariati campi della cultura umana. Uno di questi è la fisica. I fisici che studiano l’origine dell’Universo sono detti cosmologi e il loro lavoro è strettamente collegato a quello di altri colleghi: gli astrofisici, che studiano lo spazio profondo, e i fisici delle alte energie, che studiano le particelle più piccole che si conoscono. Per indagare i segreti dell’Universo, quindi, bisogna alzare gli occhi al cielo e contemporaneamente studiare i costituenti ultimi della materia e le loro interazioni. Altri fisici studiano la materia a diversi livelli di organizzazione: dai fisici nucleari ai fisici atomici, dai geofisici, che si occupano di pianeti, di atmosfera e di oceani, ai biofisici, che sono interessati alla materia viva, dalla sua origine alla struttura dell’intelligenza.

Un fisico studia la natura, cioè tutto ciò che si manifesta nell’Universo. Ciò che distingue un fisico da un altro scienziato, un geofisico da un geologo o un biofi-

sico da un biologo non sta tanto nell’oggetto di studio, quanto nel metodo. Oggi i fisici applicano il loro metodo nei più svariati campi, forti dei quattro secoli di lavoro di chi li ha preceduti. La fisica poggia su una struttura molto solida, patrimonio dell’umanità, frutto di grandi menti creative, di uomini e donne che hanno dedicato la loro vita alla ricerca di una via scientifica alla conoscenza.

Una questione di metodo Gli antenati dei fisici moderni sono gli antichi filosofi greci, che si interrogavano sulla natura, ϕυ´ σις (physis), alla ricerca dei suoi principi primi, per spiegare l’infinita varietà del mondo. Diversamente da chi trovava risposte di tipo religioso o mitologico, i filosofi sostenevano che la razionalità del pensiero fosse lo strumento più importante per la conoscenza. Gli stessi greci furono anche i primi a riconoscere regolarità matematiche nei fenomeni naturali e a utilizzarle nell’arte e nella tecnica. Ma non basta la curiosità per ciò che accade o il rigore di un ragionamento a fare di un pensatore un fisico; così come non è sufficiente saper utilizzare correttamente numeri e forme geometriche per studiare scientificamente la natura. La fisica iniziò a distinguersi dalla filosofia

XI Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

INTRODUZIONE

ni erano molto diverse da quelle che conosciamo, ma i fisici riescono a studiarle lo stesso grazie a teorie coerenti e a rigorosi esperimenti. FISICA DELLE PARTICELLE I fisici sono alla ricerca del “bosone di Higgs”, una particella prevista dalla teoria ma non ancora identificata sperimentalmente. L’acceleratore di particelle LHC di Ginevra è l’appa-

rato sperimentale più adatto allo scopo. In un acceleratore di particelle si producono eventi che potremmo osservare in remote regioni dello spazio. L’energia diventa materia: qualcosa che assomiglia molto a ciò che deve essere avvenuto all’origine di tutto. Nello studio delle particelle elementari, ogni volta che sembra essere arrivati alla soluzione di un enigma si scopre un nuovo rompicapo e la ricerca riparte verso nuove frontiere.

CERN

NASA, ESA, and the Hubble Heritage Team (STScI/AURA)

ASTROFISICA E COSMOLOGIA A partire da una concezione antropocentrica, in cui la Terra e l’uomo erano centro immutabile di tutto, abbiamo raggiunto una visione molto diversa del posto che occupiamo nella sconcertante vastità dell’Universo. Secondo la teoria del Big Bang tutto ciò che esiste è in fase di espansione a partire da uno stato estremamente caldo e denso. La materia, la radiazione e le loro interazio-

e a delinearsi come scienza in senso moderno a partire da Galileo Galilei, vissuto tra il XVI e il XVII secolo. Egli elaborò e praticò un metodo importantissimo, nel quale l’esperimento prendeva il posto della dimostrazione logica nello studio dei fenomeni naturali, così come la razionalità si era sostituita al mito nell’antica Grecia. A Galileo si deve la cosiddetta «prima rivoluzione scientifica» e la nascita della fisica come scienza, separata dalla filosofia e basata sull’utilizzo della matematica e dell’esperimento. Un fisico è uno scienziato che «studia la natura» in modo quantitativo e rigoroso attraverso strumenti matematici ed esperimenti. L’appello a tanto rigore potrebbe far sembrare il tutto molto pedante e noioso, ma in realtà la ricerca scientifica assomiglia moltissimo a un gioco, il cui obiettivo è scoprire le regole della natura. Queste sono nascoste dentro i fenomeni e sono scritte in linguaggio matematico, ma la loro più importante pecu-

liarità, rispetto alle regole convenzionali che regnano sulla convivenza umana, è che non sono confermate dalle eccezioni. Per un fisico, piuttosto, l’eccezione falsifica la regola. Basta un solo fenomeno, osservato o sperimentato, in cui sia violata una certa regola perché questa perda di validità. E così, via via che si procede, il gioco si fa sempre più interessante. Il metodo con cui opera la fisica prevede due grandi sezioni strettamente interconnesse: s teorie, cioè le regole della natura espresse in termini matematici; s esperimenti, cioè le conferme o le falsificazioni delle regole. Nel tempo i fisici si sono divisi i compiti, e i due contesti si sono delineati sempre più nella cosiddetta fisica teorica e nella fisica sperimentale. Nel primo caso il computer è lo strumento di lavoro più importante, mentre nel secondo sono necessari apparecchiature e strumenti di vario tipo, a seconda del campo di indagine.

XII Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

INTRODUZIONE

per modificare significativamente la loro evoluzione. I fluidi ne sono un esempio; non a caso la teoria del caos è legata storicamente a un problema meteorologico: «Può il batter d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?». TERMODINAMICA La termodinamica nasce, si sviluppa e si compie nel XIX secolo, parallelamente alla

rivoluzione industriale, durante la quale il calore iniziava a far muovere le macchine. Studia le trasformazioni di materia ed energia a livello molecolare e come sua applicazione più importante c’è la trasformazione del calore in movimento. La termodinamica è usata principalmente nella chimica e nelle applicazioni dell’ingegneria. In una turbina il calore del vapore si trasforma nel movimento rotatorio dell’albero.

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MECCANICA L’attrattore di Lorentz è una rappresentazione in uno spazio astratto del comportamento caotico di un fluido. La branca della fisica più antica è la meccanica, cioè lo studio del movimento; ha una teoria molto sviluppata e fa uso di matematiche eleganti. Fa parte della meccanica lo studio dei sistemi caotici, cioè quei sistemi per i quali basta un piccolo cambiamento

Il metodo della fisica Oggi la fisica è una scienza matura, che poggia su quattro secoli di teorie, conferme e falsificazioni. In molti settori la teoria è talmente sviluppata che tende a procedere in modo autonomo, anticipando addirittura l’osservazione dei fenomeni descritti, come accade generalmente nella fisica dell’infinitamente piccolo. Il metodo più generale della ricerca in fisica non parte dalla teoria, ma dall’osservazione dei fenomeni. Per un fisico osservare un fenomeno significa prima di tutto metterne a fuoco un aspetto, semplificando tutto ciò che non è determinante, per poi tradurlo in termini matematici. Si scelgono cioè delle grandezze che si ritengono importanti e che possono essere scritte sotto forma di dati numerici. Una volta effettuata la «traduzione» si passa alla ricerca delle regole: si ipotizza una certa relazione matematica tra le grandezze scelte e poi si costruisce un esperimento per verificarla. In un esperimento il fenomeno da studiare viene riprodotto cercando di eliminare tutti gli

elementi di «disturbo», in modo tale da poter effettuare osservazioni rigorose e quantitative. Se questo concorda con la regola ipotizzata, il risultato viene comunicato a tutta la comunità scientifica ed entra a far parte del bagaglio di conoscenze dell’intera umanità.

Il linguaggio della fisica Oltre ai fisici anche i biologi, i chimici, i geologi sono scienziati che studiano la natura. Tutti sono interessati ai fenomeni naturali e tutti utilizzano come strumento di conoscenza l’esperimento rigoroso e quantitativo. Negli esperimenti delle scienze naturali c’è poco spazio per la soggettività e l’osservazione dei fenomeni dipende da fattori controllabili. Per esempio, la formazione di un embrione dall’incontro di due gameti non dipende dall’umore dello sperimentatore che la osserva o dalla sua religione o dal prodotto interno lordo del suo paese. Nella fisica, accanto a esperimenti quantitativi e osservazioni oggettive, c’è l’elaborazione e l’utilizzo di teorie espresse in termini matematici.

XIII Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

BIOFISICA Via via che la materia si organizza in livelli superiori, cresce il grado di complessità. Una giovane branca della fisica si occupa dei sistemi biologici e, tra essi, del sistema nervoso. Il nostro cervello è una potentissima rete di neuroni, cellule in grado di trasmettere segnali elettrici e di elaborarli come informazioni. La biofisica è una scienza di frontiera, in cui le conoscenze e gli strumenti acquisiti sono usati per spingersi oltre. Attraverso l’uso di modelli matematici possiamo avvicinarci alla comprensione del funzionamento delle reti neurali biologiche.

GEOFISICA Aria, acqua, terra e fuoco, sono questi gli argomenti che interessano i geofisici: dallo studio dell’atmosfera, all’interno della Terra, dagli oceani al geomagnetismo. Il nostro pianeta produce un campo magnetico responsabile, fra le altre cose, delle magnifiche aurore australi e boreali. Le teorie per spiegare questo fenomeno sono molte e non c’è ancora un modello che riesca a chiarirlo in modo pienamente soddisfacente, anche se si è propensi a pensare alla Terra come a una gigantesca dinamo. La parte ionizzata dell’atmosfera terrestre interagisce con particelle cariche provenienti dal Sole, che si infittiscono lungo le linee del campo magnetico terrestre.

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OTTICA ED ELETTROMAGNETISMO L’ottica è una branca della fisica molto antica, dalle innumerevoli applicazioni nei più svariati campi. È lo studio delle interazioni fra luce e materia, che oggi viene fatto attraverso le leggi della meccanica quantistica, ovvero della cosiddetta elettrodinamica quantistica QED, che sostituisce l’elettromagnetismo classico. L’elettromagnetismo completa il quadro della fisica classica e ne costituisce, insieme alla meccanica, uno dei due grandi pilastri. Si occupa delle forze elettriche e magnetiche e delle loro strettissime relazioni. Oggi gli stessi argomenti vengono studiati dai fisici in modi e contesti diversi, ma gli strumenti classici sono ancora validi per le applicazioni. I colori iridescenti che si vedono sulle superfici dei cd e dei dvd sono dovute a fenomeni ottici di diffrazione e interferenza.

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INTRODUZIONE

La grande differenza tra la fisica e le altre scienze naturali non sta nell’utilizzo degli esperimenti ma nell’elaborazione delle teorie. L’uso della matematica per la descrizione di ciò che accade in natura consente ai fisici di fare previsioni. Le leggi sono equazioni in cui compaiono grandezze fisiche: cambiando il loro valore si può riprodurre una realtà ipotetica, ancora prima di sperimentarla. Per esempio, la fisica permette di prevedere dove cadrà un proiettile che sia sparato con una certa velocità in una certa direzione, anche se non è mai stato fatto prima; mentre la chimica non permette di prevedere che cosa accadrà se due moleco-

le si incontrano, a meno che non sia già stata osservata una precedente situazione dello stesso tipo. Non esiste una teoria delle reazioni chimiche e si conosce solo ciò che è già stato osservato: un chimico deve sapere davvero moltissime cose per fare il suo lavoro! La fisica invece è una scienza più semplice: bastano poche leggi per descrivere moltissime classi di fenomeni. La vera complicazione è che le leggi della fisica sono scritte nel linguaggio della matematica e bisogna saperla usare molto bene per indurre le formule a partire dalla realtà o per dedurre la realtà a partire dalle formule. Domanda Qual è il rapporto fra teorie ed esperimenti in fisica? Rispondi in 10 righe.

XIV Stefania Mandolini LE PAROLE DELLA FISICA - Vol.1 © Zanichelli 2012 Meccanica - Con Physics in English

CAPITOLO

Grandezze e misure su

“

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623 Sfogliare a caso un libro di fisica potrebbe essere scoraggiante: strani simboli dominano intere pagine, strani termini che stanno a indicare chissà che cosa. Anche le rare parole che sembra di riconoscere a ben guardare non hanno nulla a che vedere con il lessico comune. Ma non lasciamoci ingannare, perché è tutta una questione di linguaggio. Man mano che la si studia ci si accorge che la fisica è semplice. Nella fisica le leggi governano gli eventi senza interferenze e il mondo va esattamente come deve andare, secondo regole che possono essere scritte in poche equazioni matematiche. Attenzione però: la fisica è «semplice» ma non «facile». Anche solo per sapere che cosa fa un fisico è necessario prima di tutto imparare il suo linguaggio, e ciò richiede attenta riflessione, studio e rigore. Cominceremo ad allenare l’osservazione della realtà imparando a riconoscere le grandezze fisiche, cioè

”

quelle che possono essere scritte rigorosamente in termini matematici, dalle altre. La misura è l’operazione che consente di trasformare le grandezze osservate in dati numerici, cioè in qualcosa di oggettivo che non dipende dall’osservatore. Vedrai che ciò consiste nello stabilire un’unità di misura, vale a dire una grandezza di riferimento, e nel rapportarvi tutte le altre ad essa omogenee. Siccome i risultati di questa operazione potrebbero essere dei numeri molto grandi o molto piccoli, imparerai a scrivere i dati in modo compatto, usando un sistema di scrittura detto “notazione scientifica”, che permette di valutarne immediatamente il cosiddetto ordine di grandezza, cioè la scala secondo l’unità di misura scelta. Una volta che un fisico ha a disposizione dei dati numerici può compiere operazioni matematiche su di essi, e a volte capita di scoprire relazioni interessanti, come vedrai nel corso dello studio di questa materia.

Feraru Nicolae/Shutterstock

Decorazione muraria dell’arte araba, in cui forme astratte vengono replicate secondo disposizioni simmetriche. Sfogliare a caso un libro di fisica potrebbe essere scoraggiante: strani simboli dominano intere pagine, ma è tutta una questione di linguaggio.

PAROLE CHIAVE Grandezze fisiche Misura Ordine di grandezza

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GRANDEZZE E MISURE

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LE GRANDEZZE FISICHE

Se vogliamo studiare la natura per mezzo della fisica dobbiamo in primo luogo trasformare ciò che percepiamo soggettivamente in qualcosa di quantitativo e oggettivo. Dobbiamo, in altre parole, trasformare la realtà in dati numerici che non dipendono da noi. Non sempre questo è possibile perché molti aspetti della realtà non si lasciano facilmente quantificare in modo rigoroso e univoco, e in tali casi non se ne può fare uno studio scientifico. Per esempio, di fronte al Campanile di Giotto un fisico sarà senz’altro affascinato dalla sua bellezza, ma non potrà far entrare questo parametro in uno studio scientifico sulla statica del monumento, per il quale è necessario considerare, tra le altre cose, l’altezza o la distribuzione della massa. La bellezza, infatti, è una grandezza soggettiva, e anche se decidiamo di attribuirle dei punteggi numerici questi dipendono inevitabilmente da chi osserva. In fisica si trattano soltanto le cosiddette grandezze fisiche, cioè quelle a cui si può attribuire un valore numerico oggettivo. L’operazione attraverso la quale ciò avviene è detta misura. Le grandezze fisiche sono aspetti della realtà che possono essere misurati, cioè ai quali si può associare un valore numerico oggettivo. Del Campanile di Giotto si può misurare l’altezza, ma non la bellezza (figura 1).

© Ian Dagnall / Alamy

Figura 1. Firenze, il Campanile di Giotto e il Battistero.

Vediamo ora che cosa significa misurare una grandezza fisica, partendo dalle seguenti affermazioni:

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GRANDEZZE E MISURE

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a) il Campanile di Giotto è molto alto; b) il Campanile di Giotto è più alto del Battistero; c) il Campanile di Giotto è alto 2,5 volte il Battistero; d) il Campanile di Giotto è alto 85 m (figura 2).

100

90

Figura 2. Il campanile di Giotto è alto 85 m.

85 m 80

70

60

50

40

30

20

10

L’affermazione a) contiene l’altezza, ma ne dà una valutazione soggettiva: qualcuno, pensando alla Tour Eiffel, potrebbe anche affermare che il Campanile di Giotto non è molto alto. Non si tratta, quindi di una misura del monumento. In b) si effettua un confronto oggettivo tra due monumenti, ma dall’affermazione ancora non si possono ricavare dati quantitativi: in termini matematici l’altezza dell’uno è maggiore dell’altezza dell’altro, ma non si sa di quanto. L’affermazione c) è oggettiva e quantitativa, perché ci dice quante volte l’altezza del Battistero deve essere presa per uguagliare l’altezza del Campanile: si tratta dunque di una misura. Tuttavia si tratta di un’informazione con grossi limiti, perché è utile solo se si conosce l’altezza del Battistero. Il metro, invece, è un’unità di misura che tutti conoscono e tutti usano per misurare le altezze dei monumenti o delle persone o delle montagne o di qualsiasi altra cosa. L’affermazione d) è dunque una misura che ha un valore universalmente riconosciuto. Misurare una grandezza fisica significa confrontarla con un’altra grandezza di riferimento, detta unità di misura. Il rapporto fra la grandezza in esame e l’unità di misura fornisce il valore numerico della misura.

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1

GRANDEZZE E MISURE

Uno strumento di misura è un dispositivo con il quale si ricava il valore della misura di una grandezza. In altre parole, la misura di una grandezza è il numero di volte in cui l’unità di misura è in essa contenuta. Come si vede confrontando le affermazioni c) e d), affinché i numeri siano utilizzabili da tutti è necessario che le unità di misura siano note a tutti.

ESEMPIO Gli antichi Babilonesi avevano stabilito di usare un campione di peso, la mina, che era anche un’unità monetaria, per quantificare gli scambi commerciali. Gli archeologi hanno trovato piccole sculture a forma di anitra o di cigno, dal peso multiplo della mina. Molti popoli che commerciavano con i Babilonesi adottarono progressivamente il loro sistema di pesi e misure. DOMANDA Con quale strumento di misura si potrebbe confrontare il peso della mina con quello di un oggetto sconosciuto?

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© INRIM

Figura 3. La convenzione del metro fu firmata il 20 maggio 1875 a Parigi da 17 stati, fra cui l’Italia. Fu il primo passo verso l’adozione di unità di misura uniformi in tutto il mondo.

IL SISTEMA INTERNAZIONALE Verso la fine del XIX secolo alcuni stati del mondo, fra cui l’Italia, decisero di adottare le stesse unità di misura per misurare lunghezza, massa e tempo (figura 3). Queste furono stabilite nel metro, nel kilogrammo e nel secondo, e definite nella prima Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM), riunita a Parigi nel 1889. Nel tempo molti altri stati hanno aderito alla convenzione e altre unità di misura sono state incluse nella lista e definite.

Oggi la quasi totalità del mondo si attiene al cosiddetto Sistema Internazionale, in cui compaiono sette unità che misurano altrettante grandezze fisiche.

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GRANDEZZE E MISURE

GRANDEZZA FISICA

NOME DELL’UNITÀ DI MISURA

SIMBOLO DELL’UNITÀ DI MISURA

lunghezza

metro

m

massa

kilogrammo

kg

intervallo di tempo

secondo

s

intensità di corrente

ampere

A

temperatura

kelvin

K

quantità di sostanza

mole

mol

intensità luminosa

candela

cd

1

Tabella 1. Unità fondamentali del Sistema Internazionale.

Perché solo sette? Le unità di misura del Sistema Internazionale (abbreviato con SI) sono sette, ma le grandezze che si possono misurare in natura sono molto più numerose. Questo non significa che in tutti gli altri casi non ci sia accordo, perché qualsiasi altra grandezza non compresa nella lista si può in realtà ricavare mescolando queste sette, come vedremo ampiamente. Le grandezze del SI sono dette fondamentali perché sono sufficienti a definire qualsiasi altra grandezza conosciuta. Qualsiasi grandezza fisica può essere scritta come combinazione matematica delle sette grandezze fondamentali.

Prefissi e regole Per esprimere i multipli e i sottomultipli delle unità di misura fondamentali si usano dei prefissi che precedono il simbolo e che indicano il numero di volte che l’unità va moltiplicata per potenze di 10. Noi usiamo quotidianamente il kilometro, che è multiplo del metro per un fattore 1000: 1 km ⫽ 1000 m dove il prefisso k indica che il metro è stato moltiplicato 1000 volte. I paesi che aderiscono alla convenzione sono d’accordo anche su quale sia il modo corretto di scrivere i valori delle grandezze, con la loro unità di misura espressa in forma simbolica: s il nome dell’unità di misura inizia sempre con una lettera minuscola («metro», «ampere»); s il simbolo va scritto in maiuscolo solo se deriva da un nome proprio ed è scritto in minuscolo negli altri casi («3 m», «3 A»); s il simbolo si scrive sempre dopo il valore numerico e non prima («3 m» e non «m 3»); s i simboli non sono abbreviazioni, per cui non bisogna farli seguire da un punto (è sbagliato scrivere «3 m.»). Esistono diversi prefissi per diversi fattori moltiplicativi, come illustrato in tabella 2 (a pagina seguente).

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1

GRANDEZZE E MISURE FATTORE DI NOME PREFISSO SIMBOLO MOLTIPLICAZIONE

Tabella 2. Alcuni prefissi del Sistema Internazionale.

Rémih/Wikimedia Commons

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POTENZA DI DIECI CORRISPONDENTE

tera

T

1 000 000 000 000

mille miliardi

1012

giga

G

1 000 000 000

miliardo

109

mega

M

1 000 000

milione

106

kilo

k

1000

mille

103

etto

h

100

cento

102

deca

da

10

dieci

10

deci

d

0,1

decimo

10–1

centi

c

0,01

centesimo

10–2

milli

m

0,001

millesimo

10–3

micro

n

0,000 001

milionesimo

10–6

nano

n

0,000 000 001

miliardesimo

10–9

pico

p

0,000 000 000 001

millesimo di miliardesimo

10–12

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Figura 4. «Nilometro» di Kom Ombo. La prosperità degli antichi Egizi era legata alle piene del Nilo, che rendevano fertili le pianure circostanti. Per fare previsioni sui raccolti furono costruite strutture con cui misurare l’entità dell’alluvione.

NOME CORRISPONDENTE

MISURARE LO SPAZIO

Quando il Nilo inondava le terre dell’antico Egitto i contadini perdevano i confini dei loro campi e, una volta ritiratasi la piena, si poneva il problema di ricalcolarli senza che nessuno ne fosse danneggiato (figura 4). Secondo la tradizione la geometria nacque proprio per far fronte a questa esigenza pratica di misurare proprietà terriere: in greco la parola geometria è composta da cfq (geo), che vuol dire «terra», e nfxtqo (metron), che vuol dire «misura». La misura dello spazio fa dunque parte di una sapienza antica, e tutti più o meno sappiamo di che cosa si tratta, almeno a livello intuitivo. Qui però dobbiamo fare alcune precisazioni, per poter trattare le grandezze fisiche corrispondenti con il rigore necessario alla fisica. Facciamo subito una prima osservazione: comunemente

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GRANDEZZE E MISURE

parliamo di altezza, larghezza e profondità per indicare le tre direzioni dello spazio; in fisica non si opera tale distinzione, ma si parla indifferentemente di lunghezza in tutti e tre i casi. Dal punto di vista di un fisico, non c’è differenza tra le diverse direzioni, perché si tratta della stessa grandezza fisica, misurabile con lo stesso strumento di misura (tabella 3). GRANDEZZE DERIVATE

ESPRESSIONE TRAMITE GRANDEZZE FONDAMENTALI

UNITÀ DI MISURA

area A

A ⫽ ᐉ ⫻ ᐉ ⫽ ᐉ2

m2 metro quadrato

volume V

V ⫽ ᐉ ⫻ ᐉ ⫻ ᐉ ⫽ ᐉ3

m3 metro cubo

Tabella 3. Misurare lo spazio.

La più semplice misura di spazio è la lunghezza, la cui unità di misura è il metro. Durante la Rivoluzione francese fu costruita una barra di platinoiridio di lunghezza pari a un quarantamilionesimo di un meridiano terrestre e la si definì come campione del metro. Tale campione è ancora conservato nell’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres (vicino Parigi) (figura 5). Tuttavia, siccome la materia si può modificare nel tempo, dal 1983 è stata adottata una definizione del metro che utilizza la proprietà della luce di viaggiare nel vuoto a velocità costante. Si definisce il metro come l’intervallo di tempo che la luce impiega a percorrere una lunghezza pari a quella del campione di Sèvres secondo la definizione originaria.

NIST

Misurare la lunghezza

Figura 5. Metro campione conservato nell’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres.

L’unità di misura della lunghezza è il metro, definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo.

NOME DELL’UNITÀ DI MISURA

SIMBOLO

METRI EQUIVALENTI

kilometro

km

1000 m

metro

m

1m

millimetro

mm

0,001 m ⫽ 10–3 m

micrometro

nm

0,000 001 m ⫽ 10–6 m

nanometro

nm

0,000 000 001 m ⫽ 10–9 m

Tabella 4. Alcuni multipli e sottomultipli del metro.

Figura 6. Una rotella metrica sensibile al centimetro.

Massimiliano Trevisan

Tutti gli strumenti per misurare la lunghezza, dalla riga millimetrata alla fettuccia da sarto, dalla rotella metrica (figura 6) al calibro, fanno riferimento a questa definizione. Tali strumenti si usano per confronto diretto con la lunghezza da misurare: si fa coincidere il loro inizio, individuato generalmente da una tacca

7

1

GRANDEZZE E MISURE

contrassegnata con uno zero, con un’estremità della lunghezza da misurare e si legge su una scala graduata il valore più vicino all’altra estremità (figura 7).

Massimiliano Trevisan

Figura 7. Una lunghezza si può misurare per confronto diretto con una riga millimetrata.

Sensibilità di uno strumento di misura Ovviamente non tutti gli strumenti forniscono lo stesso valore, perché alcuni di essi hanno tacche più ravvicinate di altri, cioè hanno una diversa sensibilità. Un righello millimetrato, le cui divisioni sono distanziate di 1 millimetro, ha una sensibilità maggiore rispetto a una fettuccia da sarto, che ha tacche distanziate di 5 millimetri. In generale la sensibilità di uno strumento è il più piccolo valore della grandezza che lo strumento può rilevare.

ESEMPIO

Massimiliano Trevisan

Confronto tra la sensibilità di un righello millimetrato e di un metro da sarto. La sensibilità del righello millimetrato è 1 mm, perché la tacca più piccola ha proprio questo valore; pertanto con questo strumento non possono essere misurate lunghezze inferiori. La sensibilità della fettuccia da sarto è 5 mm, quindi non si potrebbe misurare una lunghezza inferiore con questo strumento.

DOMANDA Confronta la sensibilità di una rotella metrica con quella di una riga millimetrata. Perché per misurare la lunghezza di una strada non si usa uno strumento più sensibile? Rispondi in 5 righe.

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GRANDEZZE E MISURE

1

Cifre significative Il risultato di una misura deve contenere informazioni sulla sensibilità dello strumento, per questo misure effettuate con strumenti con sensibilità diverse forniscono comunque risultati diversi anche se il valore numerico, dal punto di vista matematico, è lo stesso. C’è una grande differenza, infatti, tra un numero come ente matematico e la misura di una grandezza fisica: s in matematica 3,0 o 3,00 hanno lo stesso valore, pari a 3; s in fisica il valore 3,00 m contiene informazioni sui metri (tre), ma anche sui decimetri (zero) e sui centimetri (zero); mentre il valore 3,0 m contiene informazioni solo su metri e decimetri e il valore 3 m solo sui metri. m

3,00

cm

dm

La prima misura è pertanto più precisa dell’ultima. Si dice che il valore 3,00 m ha tre cifre significative, mentre 3,0 m ha due cifre significative e 3 m una sola cifra significativa: le cifre significative si contano andando verso destra, a partire dal primo numero diverso da zero. Il numero di cifre significative dà indicazioni sulla precisione della misura. Con meno cifre significative abbiamo una stima più grossolana della grandezza in esame, mentre un maggiore numero di cifre significative ci avvicina a quello che possiamo definire il suo «valore vero».

ESEMPIO Conteggio delle cifre significative in diverse misure di lunghezza: 4,0005 m 0,0068 m 23,00 m 0,000007 m

5 2 4 1

cifre cifre cifre cifra

significative significative significative significativa

DOMANDA Quante cifre significative dovrebbe avere il «valore vero» della lunghezza di un oggetto?

Portata di uno strumento di misura Per misurare la lunghezza di una matita può essere sufficiente un righello, mentre per misurare la lunghezza di un banco è necessario prendere una riga più lunga (a meno di non voler segmentare l’operazione). Si dice che il righello ha una portata minore rispetto alla riga, perché è minore la lunghezza massima che può misurare in un’unica operazione di misura. In generale la portata di uno strumento è il più grande valore della grandezza che lo strumento è in grado di misurare.

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1

GRANDEZZE E MISURE

Misurare l’area L’estensione di una superficie piana si può misurare direttamente attraverso il confronto con una superficie presa come unità di misura: basta contare quante volte è necessario sovrapporre l’unità alla superficie da misurare per ricoprirla completamente. Per esempio, se si prende per unità una piastrella, la superficie di una stanza è il numero di piastrelle necessarie per pavimentarla (figura 8).

Figura 8. La superficie del pavimento in figura misura 45 piastrelle.

unità di misura: una piastrella

Tuttavia la geometria rende possibile misurare l’estensione di una superficie regolare anche in modo indiretto, attraverso più misure di lunghezza. Se una stanza è rettangolare ci basta misurare la sua larghezza e la sua profondità e applicare la formula Area del rettangolo ⫽ larghezza ⫻ profondità Larghezza e profondità sono due lunghezze, pertanto l’area di un rettangolo risulta essere il prodotto di due lunghezze. Dal punto di vista fisico questo vale in generale per qualsiasi area, in quanto vale anche per un ipotetico rettangolo o quadrato usato come unità di misura. Nel SI l’unità di misura dell’area di una superficie è il metro quadrato (m2), cioè l’area di un quadrato di lato pari a 1 m. I multipli e sottomultipli del metro quadrato più usati sono i quadrati dei multipli e sottomultipli del metro, facendo però attenzione al fattore di moltiplicazione. A ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 100 in area (figura 9). Per esempio, un metro è formato da dieci decimetri, per cui 1 m2 ⫽ 1 m ⫻ 1 m ⫽ 10 dm ⫻ 10 dm ⫽ 100 dm2 Quindi, se 1 m ⫽ 10 dm 1 m2 ⫽ 100 dm2

10

GRANDEZZE E MISURE 1 m ⫽ 10 dm

1 Figura 9. 1 m equivale a 10 dm; 1 m2 equivale a 10 dm ⫻ 10 dm, cioè a 100 dm2.

1 dm

1 m ⫽ 10 dm

10 dm ⫻ 10 dm ⫽ 100 dm2

1 dm

ESEMPIO ¢ Quanti centimetri quadrati ci sono in 3,5 metri quadrati? SOLUZIONE

1 m ⫽ 100 cm 1 m2 ⫽ 100 cm ⫻ 100 cm ⫽ 10 000 cm2 3,5 m2 ⫽ 3,5 ⫻ 10 000 cm2 ⫽ 35 000 cm2

Quindi 3,5 m2 sono equivalenti a 35000 cm2. DOMANDA A quanti km2 sono equivalenti 650 000 m2?

Misurare il volume Per il volume si può fare un ragionamento analogo al caso della superficie, aggiungendo una terza dimensione. Il volume di un solido dal punto di vista fisico è pertanto dato dal prodotto di tre lunghezze: altezza, larghezza e profondità. Nel SI l’unità di misura del volume è il metro cubo (m3), cioè il volume di un cubo di lato pari a 1 m. I multipli e sottomultipli del metro cubo sono i cubi dei multipli e sottomultipli del metro, tenendo presente che a ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 1000 in volume. Se un metro è formato da dieci decimetri (figura 10, a pagina seguente), allora 1 m3 ⫽ 1 m ⫻ 1 m ⫻ 1 m ⫽ 10 dm ⫻ 10 dm ⫻ 10 dm ⫽ 1000 dm3

11

1

GRANDEZZE E MISURE

Quindi se 1 m ⫽ 10 dm allora 1 m3 ⫽ 1000 dm3

1 dm

Figura 10. 1 m equivale a 10 dm; 1 m3 equivale a 10 dm ⫻ 10 dm ⫻ 10 dm, cioè a 1000 dm2.

1 m ⫽ 10 dm

1 dm 1 dm 1 m ⫽ 10 dm 1 m ⫽ 10 dm 10 dm ⫻ 10 dm ⫻ 10 dm ⫽ 1000 dm3

ESEMPIO ¢ A quanti kilometri cubi è equivalente un metro cubo? SOLUZIONE 1 m ⫽ 0,001 km 1 m3 ⫽ 0,001 m ⫻ 0,001 m ⫻ 0,001 m ⫽ 0,000 000 001 m3 Un metro cubo è un miliardesimo di kilometro cubo; cioè in un kilometro cubo ci sono un miliardo di metri cubi. DOMANDA A quanti metri cubi è equivalente un decimetro cubo?

Il volume in litri Spesso per scopi pratici i volumi si esprimono in litri (L). Un litro è equivalente a un volume pari a 1 dm3, cioè 1 m3 è equivalente a 1000 L. Il simbolo del litro, in assenza di prefissi, si scrive in maiuscolo, contrariamente alla regola che stabilisce che il simbolo va scritto in minuscolo eccetto nei casi in cui deriva da un nome proprio, perché altrimenti potrebbe creare confusione con la cifra 1.

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GRANDEZZE E MISURE

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MISURARE IL TEMPO

Abbiamo definito il metro come distanza percorsa dalla luce in una frazione di secondo pari a 1/299 792 458. La durata di questo fenomeno è un intervallo di tempo. Per misurare direttamente la durata di un certo fenomeno bisogna confrontarla con la durata di un fenomeno «campione» usato come unità di misura, ma in questo caso l’operazione non è semplice. Se prendiamo due oggetti qualsiasi possiamo facilmente ricavare quante volte la lunghezza dell’uno sta nella lunghezza dell’altro, perché possiamo prendere il primo e riportarlo più volte sul secondo. Questo non è più vero se vogliamo confrontare la durata di due fenomeni qualsiasi: come facciamo a riprodurre più volte una durata, diciamo il tempo che impiega un sassolino a cadere da una certa altezza?

? Figura 11. Un fenomeno che si verifica una volta sola non si può usare per misurare una durata.

Per sapere, per esempio, quante volte il sassolino deve cadere prima che un ragazzo percorra la distanza tra casa e scuola, il sassolino deve cadere ripetutamente quel numero di volte (figura 11). Per misurare la durata abbiamo quindi bisogno di fenomeni che si ripetono sempre esattamente nello stesso modo, cioè di fenomeni periodici (figura 12).

discpicture/Shutterstock

Per misurare la durata di un fenomeno si conta quante volte la durata di un fenomeno periodico è in essa contenuta.

Figura 12. Una clessidra che si svuota simula un fenomeno periodico se qualcuno la capovolge nel momento esatto in cui la sabbia è passata tutta nel bulbo inferiore. Il primo strumento per la misura del tempo indipendentemente da eventi astronomici è stata la clessidra ad acqua.

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1

GRANDEZZE E MISURE

Intorno a noi non abbiamo a disposizione molti fenomeni periodici, per cui abbiamo avuto storicamente poca scelta sulle unità di misura del tempo. Il giorno è l’unità di misura nata dalla regolarità dell’alternarsi tra notte e giorno; l’anno invece riflette la regolarità delle rivoluzioni della Terra intorno al Sole (figura 13). Per millenni l’umanità si è dovuta accontentare di queste e poche altre grandi regolarità (non sempre precisissime). Si dovette attendere la scoperta del diciassettenne Galileo Galilei per trovare nelle oscillazioni di pendoli artificiali una nuova importante (e stabile) regolarità che contribuì a rendere più precisa la misurazione dell’ora, ventiquattresima parte del giorno solare medio. Terra

Figura 13. La Terra ruota intorno al Sole in un intervallo di tempo chiamato anno.

Sole

Il secondo, unità fondamentale del SI, fu inizialmente definito come una frazione pari a 1/86 400 del giorno solare medio, ma attualmente si usa un fenomeno periodico molto più regolare, che riguarda una proprietà della materia a livello atomico.

decimi di secondo

27

58 29 30 60

1 32

56

3

34

25

5 36

54

23

7

52

38

9

21 50

40

11

19

48

17 46

15 44

13

42

durata ⫽ 4,3 s Figura 14. Il numero di tacche compreso fra le posizioni iniziale e finale della lancetta corrisponde alla durata del fenomeno in secondi. La sensibilità di questo cronometro è il decimo di secondo.

Tabella 5. Alcuni multipli e sottomultipli del secondo.

14

Nel SI l’intervallo di tempo si misura in secondi. Il secondo è la durata di 9 192 631 770 oscillazioni di una particolare onda elettromagnetica emessa dall’atomo di cesio. Lo strumento per misurare l’intervallo di tempo è il cronometro (figura 14). Esso va messo in funzione nello stesso istante in cui inizia il fenomeno di cui si vuole conoscere la durata e fermato nell’istante in cui termina. Sul cronometro si legge il numero di secondi corrispondenti. Per motivi pratici i multipli del secondo seguono norme particolari che si rifanno alle regolarità astronomiche e alle relative unità di misura. Conformemente alla prima definizione di secondo, un giorno è equivalente a 86 400 s; un’ora è invece formata da 60 min da 60 s ciascuno, cioè complessivamente da 3600 s. Per i sottomultipli si usano i noti prefissi del SI (tabella 5). NOME DELL’UNITÀ DI MISURA

SIMBOLO

SECONDI EQUIVALENTI

giorno

d

86 400 s

ora

h

3600 s

minuto

min

60 s

millisecondo

ms

0,001 s ⫽ 10–3 s

microsecondo

ns

0,000 001 s ⫽ 10–6 s

nanosecondo

ns

0,000 000 001 s ⫽ 10–9 s

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GRANDEZZE E MISURE

5

MISURARE LA MASSA

La massa è una grandezza fisica molto «delicata», in quanto è semplice acquisirne un’idea intuitiva ma non è immediato formalizzarla in modo rigoroso. Qui viene introdotta con la sua corretta unità di misura, ma la sua trattazione non si esaurirà in questo paragrafo: ci sarà modo di tornare sul concetto di massa nel corso dello studio. Intuitivamente si può pensare alla massa di un corpo come alla «quantità di materia» in esso presente, tuttavia non è questa la sua corretta definizione, che si basa piuttosto su un comportamento tipico della materia. Il fisico inglese Isaac Newton la collegò per primo, nel XVII secolo, alla tendenza di un corpo a restare fermo quando si cerca di metterlo in movimento. Tale proprietà è detta, come vedremo, inerzia, e il nome corretto della massa così definita è massa inerziale (figura 15).

David Scott/NASA

I corpi materiali hanno, inoltre, la caratteristica di attirarsi a vicenda secondo la legge della gravitazione universale, e la forza di attrazione dipende da una grandezza chiamata massa gravitazionale (figura 16). Abbiamo dunque due tipi di massa ben distinti, ma per entrambi usiamo la stessa unità di misura, il kilogrammo, in quanto tra essi c’è un legame matematico: sono infatti direttamente proporzionali, per cui la misura dell’una implica automaticamente la misura dell’altra.

Dragon Fang/Shutterstock

Noo/Shutterstock

Preston Keres/USN

Figura 15. La massa inerziale del bob è maggiore di quella dello snow-board; infatti ci vuole una spinta maggiore per metterlo in movimento.

Figura 16. La massa gravitazionale della Terra è maggiore di quella della Luna e sulla Terra gli oggetti vengono attratti con una forza maggiore.

15

1

GRANDEZZE E MISURE

L’unità di misura della massa è il kilogrammo, definito come la massa inerziale di un campione cilindrico conservato a Sèvres. Il kilogrammo è l’unica unità di misura che ancora oggi fa riferimento a un campione materiale. Per superare questo limite dal 1999 la comunità scientifica, invitata dalla 21a Conferenza generale dei pesi e delle misure, ha avviato le ricerche per legare anche il kilogrammo a una proprietà della materia a livello atomico o a una costante fondamentale. Il kilogrammo contiene il prefisso «kilo», che indica una moltiplicazione per 1000, anche se è un’unità fondamentale e non può pertanto essere usato per definire multipli e sottomultipli. Questi sono tutti riferiti al grammo (tabella 6).

Tabella 6. Alcuni multipli e sottomultipli del kilogrammo.

NOME DELL’UNITÀ DI MISURA

SIMBOLO

KILOGRAMMI EQUIVALENTI

tonnellata

t

1000 kg

ettogrammo

hg

0,1 kg

grammo

g

0,001 kg ⫽ 10–3 kg

centigrammo

cg

0,000 01 kg ⫽ 10–5 kg

milligrammo

mg

0,000 001 kg ⫽ 10–6 kg

Massa e peso Nel linguaggio comune tendiamo a confondere la massa con il peso e a usare per quest’ultimo il kilogrammo come unità di misura. In realtà le due grandezze sono ben distinte e profondamente diverse: la massa è una caratteristica intrinseca della materia di cui è fatto un oggetto, mentre il peso è la forza con cui tale oggetto è attratto dal pianeta sul quale si trova. Nello spazio, lontano da grossi corpi come stelle, pianeti o satelliti, gli oggetti non hanno peso anche se hanno comunque una massa. La massa si misura per confronto diretto con la bilancia a bracci uguali: quando su ciascun piatto ci sono oggetti di uguale massa il giogo è in equilibrio in posizione orizzontale. Il valore di una massa è dato dal numero di masse campione che bisogna mettere sull’altro piatto di una bilancia a bracci uguali affinché sia verificata questa situazione di equilibrio.

ESEMPIO ¢ Quanto vale la massa della mela? 50 g La bilancia a bracci uguali con campioni fino a 95 g su un piatto e una mela sull’altro.

16

10 g

5g

GRANDEZZE E MISURE

1

SOLUZIONE I due piatti della bilancia sono in equilibrio quando il giogo, cioè l’asta imperniata al centro alla quale sono appesi, è orizzontale. La somma delle masse campione in figura è 95 g, per cui la massa della mela è 95 g. DOMANDA Quanto vale la massa della stessa mela sulla Luna?

6

NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINI DI GRANDEZZA

L’uso delle stesse unità di misura ufficiali, per ogni situazione e in qualsiasi contesto, comporta necessariamente la comparsa di numeri molto grandi o molto piccoli. Per esempio, se usassimo i metri per rappresentare le dimensioni di una molecola d’acqua dovremmo scrivere qualcosa del tipo 0,000 000 0001 m; mentre per rappresentare le dimensioni del Sole dovremmo scrivere qualcosa del tipo 1 000 000 000 m. L’espressione sintetica di tali misure attraverso i prefissi non esaurisce le possibilità di scriverle in modo ancora più compatto ed elegante. Un’altra complementare possibilità è infatti data dalla cosiddetta notazione scientifica, che consiste nell’esprimere i valori per mezzo delle potenze di 10. L’idea è quella di dividere o moltiplicare per 10 il numero in questione tante volte fino a quando il suo valore non risulti compreso tra 1 e 10, e di moltiplicare il risultato per la potenza di 10 utilizzata nell’operazione. Per esempio, se si divide quattro volte per 10 il numero 45 000 si arriva al valore 4,5: il numero 45000 in notazione scientifica si scrive pertanto così: 45 000 ⫽ 4,5 ⫻ 104 4,5 è il risultato della divisione per 10 000 (cioè quattro volte per 10), e 104 è la potenza di 10 che esprime il divisore. Un numero scritto in notazione scientifica è formato da un numero compreso tra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di 10.

ESEMPIO 7 804 000 88 000 000 1 234 000 000 529 000

⫽ ⫽ ⫽ ⫽

7,804 ⫻ 106 8,8 ⫻ 107 1,234 ⫻ 109 5,29 ⫻ 105

DOMANDA Il numero 46,7 ⫻ 105 non è scritto in notazione scientifica. Perché? Quale dovrebbe essere la sua scrittura corretta?

17

1

GRANDEZZE E MISURE

Quando abbiamo a che fare con un numero molto piccolo, invece di dividere per potenze di 10 dobbiamo moltiplicare, e l’esponente di 10 è espresso con un valore negativo.

ESEMPIO 0,081 0,00 000 123 0,000 702 0,000 006 005

⫽ ⫽ ⫽ ⫽

8,1 ⫻ 10–2 1,23 ⫻ 10–6 7,02 ⫻ 10–4 6,005 ⫻ 10–6

DOMANDA Come si scrive il numero 68 055 ⫻ 10–9 in notazione scientifica? La notazione scientifica apparentemente può sembrare un’inutile complicazione, perché comunque il valore numerico resta invariato, ma in realtà nella fisica è molto importante, poiché consente di leggere immediatamente il cosiddetto ordine di grandezza di una misura, cioè la scala del fenomeno che si sta considerando (figura 17). Se, per esempio, ci muoviamo in una stanza, i nostri spostamenti si svolgeranno entro pochi metri: diciamo che l’ordine di grandezza degli spostamenti nella stanza è il metro. Se ci muoviamo all’interno di una cittadina ci spostiamo al più di qualche kilometro, e in questo caso diciamo che l’ordine di grandezza è il migliaio di metri. Se invece percorriamo l’Italia in tutta la sua lunghezza, il nostro spostamento è dell’ordine del migliaio di kilometri, cioè del milione di metri. La notazione scientifica ci mostra immediatamente l’ordine di grandezza attraverso la potenza di 10. Ecco alcuni ipotetici spostamenti cittadini il cui ordine di grandezza è 103 m: 4500 m ⫽ 4,500 ⫻ 103 m 2350 m ⫽ 2,350 ⫻ 103 m L’ordine di grandezza di un viaggio in autostrada da Milano a Reggio Calabria è di 106 m: 1319 km ⫽ 1 319 000 m ⫽ 1,319 ⫻ 106 m

18

Asuka Morizane, Center for iPS Cell Research and Application, Kyoto University

Clayton State University

Figura 17. l’ordine di grandezza del numero di capelli su una testa è 105; l’ordine di grandezza del numero di neuroni in un cervello umano è 1011; l’ordine di grandezza delle sinapsi, cioè delle connessioni tra neuroni, è 1014.

Vlue/Shutterstock

L’ordine di grandezza di un numero è il numero di potenze di 10 in esso contenute.

GRANDEZZE E MISURE

1

ESEMPIO ¢ Considerando una media di 80 anni, qual è, in secondi, l’ordine di grandezza della durata di una vita umana? SOLUZIONE 80 anni ⫽ 80 ⫻ 365 giorni ⫽ 29 200 ⫻ 24 h ⫽ ⫽ 700 800 ⫻ 3600 s ⫽ 2 522 880 000 s Per la valutazione dell’ordine di grandezza interessa solo la potenza di 10 contenuta nel numero, per cui 80 anni ⫽ 2,5 ⫻ 109 s Cioè l’ordine di grandezza della durata di una vita umana è 109 s. DOMANDA Qual è l’ordine di grandezza in metri della distanza della Terra dal Sole?

Quando un numero è molto vicino alla potenza di 10 successiva si può usare come ordine di grandezza quest’ultima in quanto migliore approssimazione. Per esempio, l’ordine di grandezza di 999 m (o anche di 850 m o di 780 m) può essere considerato 1000 m. Gli ordini di grandezza dei numeri possono essere confrontati tra loro facendo semplicemente il rapporto fra le potenze di 10 della loro notazione scientifica.

La troposfera è lo strato più basso dell’atmosfera, quello nel quale avvengono i fenomeni meteorologici. Si estende dalla superficie terrestre fino a un’altezza di circa 15 km. Confrontando questa con la distanza tra la Terra e la Luna pari a circa 400 000 km, si ottiene

OSVALDRU/Shutterstock

ESEMPIO

altezza troposfera 15 km ⫽ 15 000 m ⫽ 1,5 ⫻ 104 m distanza Terra-Luna 400 000 km ⫽ 400 000 000 m ⫽ 4 ⫻ 108 m 10 8 ⫽ 104 ⫽ 10 000 10 4 La distanza della Luna dalla Terra supera di 4 ordini di grandezza l’altezza delle nuvole. DOMANDA Quanti sono gli abitanti di Roma? Confrontane l’ordine di grandezza con quello del numero di abitanti di Shangai.

19

1

GRANDEZZE E MISURE

7 IN LABORATORIO

PROPRIETÀ DELLA MATERIA: MASSA, VOLUME, DENSITÀ

Nel linguaggio comune diciamo che il ferro è «più pesante» del polistirolo, perché effettivamente se prendiamo una pallina di ciascun materiale e la soppesiamo con la mano avvertiamo subito una differenza: il ferro preme sul palmo, mentre il polistirolo quasi non si sente. La nostra intuizione ha qualcosa di corretto, ma in fisica è necessario essere più precisi: innanzitutto è meglio parlare di massa e non di peso. Entrambe le palline, infatti, nello spazio, lontane da stelle o pianeti, perderebbero il loro peso ma non perderebbero la loro massa. Si potrebbe dire allora che «il polistirolo ha una massa minore del ferro», ma anche questa non è un’affermazione fisicamente corretta: è vera solo se ci riferiamo alle palline che stanno sul palmo della nostra mano, ma non in generale. Chi ci vieta di prendere un volume di polistirolo più grande, fino a portare la bilancia in equilibrio (figura 18)?

Misure del volume di un oggetto š Video (7 minuti) š Test (3 domande)

Figura 18. A parità di dimensioni, la pallina di polistirolo ha una massa minore della pallina di ferro. Occorrono diverse centinaia di palline di polistirolo per uguagliare la massa di una pallina di ferro.

ferro polistirolo

Per essere più precisi dobbiamo dire che un certo volume di ferro ha una massa maggiore di un uguale volume di polistirolo. Non dobbiamo quindi confrontare masse e volumi separatamente, ma una loro combinazione, che chiamiamo densità, così definita: ρ? Figura 19. L’aerogel è un materiale artificiale oltre 700 volte meno denso del vetro. Si tratta di una gelatina solida in cui al posto del liquido c’è un aeriforme.

m V

La densità t di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V; la sua unità di misura nel SI è il kilogrammo al metro cubo, kg/m3.

NASA/JPL-Caltech

L’affermazione che esprime correttamente la nostra intuizione è dunque: il ferro è «più denso» (e non «più pesante») del polistirolo. Ogni sostanza ha un valore della densità che la caratterizza rispetto alle altre, per cui se prendiamo diversi volumi di ferro, ne misuriamo la massa e ne calcoliamo il rapporto otteniamo sempre lo stesso valore (tabella 7). Il materiale solido meno denso che esiste è una gelatina artificiale composta di aria e silice (vetro), detta aerogel (figura 19).

20

GRANDEZZE E MISURE

Operazioni tra grandezze fisiche diverse Mentre non si possono eseguire operazioni di sottrazione o di addizione tra grandezze fisiche non omogenee (non ha senso sommare una massa a un volume), per la divisione e la moltiplicazione è necessario fare qualche precisazione. La densità, per esempio, è stata definita proprio come rapporto tra una massa e un volume: dalla divisione di due grandezze ne è derivata una terza (tabella 8). Questo fatto vale anche per la moltiplicazione, per cui si ottiene una regola generale: Ogni volta che si moltiplicano o si dividono tra loro grandezze fisiche diverse si ottiene una nuova grandezza fisica. A ben guardare, però, l’operazione di divisione riguarda soltanto il valore numerico, mentre le grandezze fisiche non vengono modificate dall’operatore e restano espresse nelle rispettive unità di misura. Per esempio, se 0,5 m3 di ferro hanno una massa di 3935 kg, la densità del ferro vale ρF ?

m 3936 kg 3936 ? ? kg/m 3 ? 7870 kg/m 3 V 0, 5 m 3 0, 5

(1.1)

dove l’unità di misura derivata, kg/m3, tiene conto del fatto che c’è un rapporto tra massa e volume: si dice infatti «kilogrammi al metro cubo», a indicare che ogni metro cubo di ferro ha una massa pari a 7870 kg. La densità è dunque il valore della massa di un’unità di volume (nel SI un’unità di volume è 1 m3). GRANDEZZA DERIVATA densità m ρ= V

SCRITTURA ATTRAVERSO LE GRANDEZZE FONDAMENTALI m

b×b×b

=

UNITÀ DI MISURA

m

kg

3

m3 kilogrammo al metro cubo

b

1 MATERIALE

DENSITÀ (kg/m3)

Oro

19 300

Mercurio

13 600

Piombo

11 340

Ferro

7880

Roccia basaltica

2900

Marmo

2800

Alluminio

2700

Vetro

2500

Acqua di mare

1030

Acqua (4°C)

1000

Paraffina

950

Olio di oliva

920

Legno

750

Benzina

700

Sughero

300

Polistirolo

20-50

Aria

1,2

Tabella 7. Densità di alcune sostanze.

Tabella 8. La densità è una grandezza fisica derivata.

Come si utilizza la formula della densità Vediamo ora come si usano le formule in fisica per ricavare dati incogniti a partire da dati conosciuti, aiutandoci con qualche esempio.

ESEMPIO ¢ Un volume pari a 1 dm3 di polistirolo espanso ha una massa pari a 50 g. Quanto vale la sua densità? SOLUZIONE I dati noti sono volume e massa, ma sono espressi mediante sottomultipli delle unità fondamentali, e vanno trasformati in m3 e in kg:

21

1

GRANDEZZE E MISURE

V ⫽ 1 dm3 ⫽ 0,001 m3 m ⫽ 50 g ⫽ 0,05 kg Sostituendo direttamente i dati nella formula (1.1) avremo: m 0, 05 kg 0, 05 kg/m 3 ? 50 kg/m 3 ρ? ? ? 3 V 0, 001 m 0, 001 DOMANDA Un pezzo di metallo ha una massa di 7,88 g e un volume di 1 cm3. Di quale metallo si tratta? (ricava l’informazione dalla tabella 7).

ESEMPIO ¢ Calcola il volume di 100 g di oro. SOLUZIONE Operiamo sulla formula (1.1) per ricavare un’espressione per il volume: moltiplichiamo per V e dividiamo per t: ρ⋅

ρ m V = ⋅ V V ρ m V = ρ

Guardando la tabella 8: t ⫽ 19 300 kg/m3 m ⫽ 100 g ⫽ 0,100 kg Sostituendo i dati nella formula avremo: V =

0, 100 kg kg m = = 5, 18 × 10−6 = 5, 18 × 10−6 m 3 3 3 ρ 19 300 kg/m kg/m

DOMANDA A quanti m3 corrispondono 5,18 ⭈ 10–6 m3 di legno?

ESEMPIO ¢ Quanto vale la massa di 1 L di olio d’oliva? SOLUZIONE Dobbiamo ricavare la massa a partire dalla formula della densità (1.1), cioè dobbiamo trasformarla in un’espressione in cui la massa compare al primo membro senza coefficienti che la moltiplicano. Nella formula della densità la massa è divisa per un volume, per cui moltiplichiamo entrambi i membri per V/t e otteniamo: ρ ⋅V =

m ⋅V V

Quindi m⫽t⭈V

22

GRANDEZZE E MISURE

1

La densità dell’olio di oliva si ricava dalla tabella 7; il volume va trasformato in m3, ricordando che 1 L è equivalente a un volume di 1 dm3: t ⫽ 920 kg/m3 V ⫽ 1 L ⫽ 1 dm3 ⫽ 0,001 m3 Sostituendo direttamente i dati nella formula avremo: m ⫽ t ⋅ V ⫽ 920 kg/m3 ⫻ 0,001 m3 = ⫽ 0,920 (kg/m3) m3 ⫽ 0,920 kg DOMANDA A quale grandezza fisica corrisponde il rapporto tra una massa e una densità?

Divisione tra grandezze omogenee Nell’esempio precedente abbiamo semplificato l’unità di misura m3, come se fosse un numero qualsiasi, perché compariva sia al numeratore sia al denominatore. Questo modo di operare porta a risultati corretti (la massa è infatti espressa correttamente in kg) e mostra che il rapporto fra due grandezze omogenee non è una grandezza fisica ma un numero puro, senza unità di misura. Per esempio: 6m ?3 2m

23

1

GRANDEZZE E MISURE

STORIA DELLA FISICA

Gerone II, tiranno di Siracusa nel III secolo a.C., consegnò a uno stimato orafo una quantità d’oro per foggiare una corona a forma di rami intrecciati. A lavoro terminato la corona pesava effettivamente quanto l’oro di partenza, ma Gerone era sospettoso dell’artigiano e dubitava che questi vi avesse mescolato dei metalli meno pregiati. Per scoprire l’inganno sarebbe stato necessario fondere la corona e misurarne il volume. Se ci fossero stati metalli meno pregiati, a parità di peso la corona avrebbe occupato un volume diverso dall’oro puro: era noto infatti che volumi uguali di sostanze diverse hanno pesi diversi. Per sciogliere il dubbio del re bisognava però escogitare un sistema per misurare esattamente il volume della corona senza distruggerla. Vitruvio narra che Archimede, grandissimo matematico, ingegnere, astronomo e fisico ante litteram siracusano, stesse facendo il bagno quando gli venne un’idea geniale; preso dall’entusiasmo uscì dalla vasca da bagno e andò in giro nudo per la città gridando «Eureka!». L’idea nacque dall’osserva-

zione che il suo corpo, entrando nella vasca piena d’acqua, faceva traboccare una quantità di liquido uguale al volume immerso. Archimede suggerì dunque di confrontare la quantità d’acqua spostata dalla corona con la quantità d’acqua spostata da un blocchetto d’oro di ugual peso: se i due corpi avessero avuto volumi uguali avrebbero innalzato di pari quantità il livello dell’acqua in un recipiente. Ciò non avvenne, perché il volume della corona risultò maggiore di quello del blocchetto d’oro di uguale peso: l’orafo aveva effettivamente mescolato metalli diversi, come Gerone II aveva sospettato.

Giovanni Dall’Orto

Archimede e la misura del volume di un solido irregolare

Archimede visse a Siracusa tra il 287 a.C. e il 212 a.C. e fu uno dei più grandi scienziati della storia.

Se il livello dell’acqua dopo l’immersione della corona è uguale al livello dell’acqua dopo l’immersione del blocchetto d’oro di peso noto, allora i due volumi sono uguali e si può dedurre che la corona è fatta effettivamente d’oro.

DOMANDA Come misurare il volume di un temperamatite con un bicchiere d’acqua e una siringa graduata? Descrivi in 10 righe un procedimento possibile per raggiungere lo scopo e svolgi le operazioni. Fornisci il valore trovato usando la stessa unità di misura indicata sulla siringa (cm3).

24

GRANDEZZE E MISURE

1

STORIA DELLA FISICA Talete misura la piramide di Cheope

Maksym Gorpenyuk/Shutterstock

È possibile misurare l’altezza di un monumento senza salirci sopra? Talete fu il primo a riuscirci nel VI secolo a.C., grazie a una felice intuizione. Egli si accorse, infatti, che la lunghezza di un’ombra proiettata sul terreno dipende dall’altezza dell’oggetto che l’ha originata secondo una relazione matematica ben precisa. In particolare, se si confrontano le ombre di due oggetti diversi, queste stanno tra loro come le altezze degli oggetti corrispondenti: lunghezza ombra 1 : lunghezza ombra 2 ⫽ ⫽ altezza oggetto 1 : altezza oggetto 2 Conoscendo l’altezza di un’asta usata per il confronto e misurando le lunghezze delle ombre sul terreno, Talete fu in grado di determinare l’altezza della piramide.

La piramide di Cheope in Egitto.

lunghezza ombra 1 : lunghezza ombra 2 ⫽ ⫽ altezza asta : altezza incognita della piramide ᐉ1 : ᐉ2 ⫽ h1 : h2 da cui:

ᐉ2 ᐉ1

h2 ⫽ h1 ⭈ —

Il cosiddetto Teorema di Talete è la formalizzazione di questa intuizione.

lunghezza dell’ombra della piramide

lunghezza dell’ombra dell’asta

h1

Le lunghezze delle ombre sono direttamente proporzionali alle lunghezze degli oggetti che le hanno prodotte.

h2 艎1 艎2

DOMANDA Le misure che non si effettuano direttamente dal confronto con un campione ma si ricavano da un’espressione matematica sono dette «indirette». Quali esempi di misure indirette hai incontrato in questo capitolo?

25

1

GRANDEZZE E MISURE

CON GLI OCCHI DI UN FISICO I numeri e le cose Numeri per contare

Numeri per misurare lunghezze…

Ci sono circa 7 miliardi di esseri umani sulla Terra, cioè un sette seguito da nove zeri, o anche 7 ⫻ 109, secondo la notazione scientifica. L’ordine di grandezza del numero di abitanti della Terra è dunque 1010; š
gk[bbe
Z[_
hW]Wpp_
_d
kdW
iYkebW
„
'&2; š
gk[bbe
Z[]b_
WX_jWdj_
Z_
kd
]hWdZ[
fW[i[
„
'&4; š
gk[bbe
Z[]b_
WX_jWdj_
Z_
kdW
]hWdZ[
Y_jj}
„
'&6; š
gk[bbe
Z[]b_
WX_jWdj_
Z[bbÊ?jWb_W
„
'&7; š
gk[bbe
Z[]b_
WX_jWdj_
Z[bbÊ;khefW
„
'&8.

Le lunghezze con le quali abbiamo a che fare tutti i giorni e alle quali siamo più abituati sono quelle confrontabili con le dimensioni del nostro corpo e delle sue parti, dal metro al centimetro. Facilmente ci spingiamo sino a dimensioni dell’ordine del millimetro (10–3 m) e del kilometro (103 m); sappiamo inoltre che l’Italia è lunga, da sud a nord, circa 2000 km, anche se non è facile rappresentare mentalmente qualcosa della quale non abbiamo una percezione diretta. La scienza va oltre e, servendosi di tecniche e strumenti di misura sempre più sofisticati, va a esplorare la natura anche dove i nostri sensi non arrivano. E così, grazie a telescopi e microscopi, riusciamo a conoscere gli ordini di grandezza dello spazio.

L’ordine di grandezza del numero di cellule del corpo umano è 1012. L’ordine di grandezza del numero di molecole d’acqua in un bicchiere è 1024.

Non si possono «vedere» oggetti più piccoli della lunghezza d’onda della luce visibile, per cui per distinguere oggetti più piccoli del decimo di micron sono necessarie altre strategie di osservazione. Per esempio usando elettroni al posto della luce, come nel microscopio elettronico usato per fotografare questo polline di Ipomea Purpurea.

neelsky/Shutterstock

Louisa Howard/Darthmouth College

L’ordine di grandezza delle persone che parlano hindi è 108.

PAROLA CHIAVE

PAROLA CHIAVE

Grandezza fisica

DOMANDA È corretto dire che 109 m è una lunghezza molto grande? Motiva la tua risposta in 5 righe.

26

Misura

DOMANDA Ultimamente si parla molto di nanotecnologie: si tratta dello studio della materia su scale dell’ordine del nanometro (cioè 10–9 m), che ha applicazioni nei campi più svariati, dalla biologia all’informatica. ¢ Con quali tecniche e strumenti si eseguono misure nel «nanomondo»? Fai una ricerca e trova alcune immagini.

GRANDEZZE E MISURE

1

…intorno a noi

…dentro di noi

10 m → altezza dei grattacieli più alti; 103 m → altezza delle montagne più alte; 106 m → diametro terrestre; 108 m → distanza della Luna; 1011 m → distanza del Sole; 1012 m → dimensioni del Sistema Solare; 1016 m → distanza di Proxima Centauri, la stella più vicina al Sole; 1021 m → dimensioni della Via Lattea; 1022 m → distanza di Andromeda, la galassia più vicina alla Via Lattea; 1026 m → distanza dell’oggetto più lontano mai osservato.

10–2 m → dimensioni di un pollice; 10–4 m → dimensioni di un ovulo; 10–5 m → spessore di un capello; 10–6 m → dimensioni delle cellule più piccole; 10–7 m → dimensione di un cromosoma; 10–9 m → dimensioni caratteristiche di una molecola; 10–10 m → diametro dell’atomo di idrogeno; 10–15 m → diametro di un elettrone. 10–35 m → limite delle attuali teorie della fisica.

2

Louisa Howard/Darthmouth College

L’Empire State Building è alto 381 m (ordine di grandezza 102).

PAROLA CHIAVE

Ordine di grandezza

DOMANDA L’ordine di grandezza del numero di lupi in Italia è 102. ¢ Si può quindi affermare che in Italia sono presenti 100 lupi? Motiva la risposta in 5 righe.

Wolfgang Kloehr/Shutterstock

La galassia M51 ha le dimensioni di circa 1018 km.

Robert Zehner / Shutterstock

L’ordine di grandezza del diametro dell’occhio di una mosca Drosophila è 10–4 m.

27

MAPPA DEI CONCETTI MISURARE significa CONFRONTARE UNA GRANDEZZA CON LA SUA UNITÀ DI MISURA

GRANDEZZA FISICA

UNITÀ DI MISURA

MISURA

tutto ciò che può essere misurato

utilizza una grandezza fisica di riferimento

rapporto fra la grandezza fisica e l’unità di misura

SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀ DI MISURA

massa

intervallo di tempo

intensità di corrente

temperatura

quantità di sostanza

intensità luminosa

m

kg

s

A

K

mol

cd

metro

kilogrammo

secondo

ampere

kelvin

mole

candela

Grandezza lunghezza fondamentale

Unità di misura

MISURARE

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

m

confronto diretto con una lunghezza

m2

confronto indiretto mediante formule matematiche

superficie

0

1

2

3

4

0

1

1

volume 0

s

IL TEMPO

LA MASSA

28

kg

s

2

3

2

4

5

3

6

7

LO SPAZIO

0

1

2

3

4

5

6

7

lunghezza

1

2

3

4

m3

confronto diretto con la durata di un fenomeno periodico

kg confronto diretto tra masse

GRANDEZZE E MISURE

Se si MOLTIPLICANO o si DIVIDONO tra loro GRANDEZZE FISICHE DIVERSE si ottiene una NUOVA GRANDEZZA FISICA

MASSA : VOLUME = DENSITÀ

massa

m ?ρ V

GRANDEZZA FISICA volume

unità di massa

UNITÀ DI MISURA

densità

l’unità di misura della densità è il kilogrammo al metro cubo

kg m3

unità di volume

L’ORDINE DI GRANDEZZA DI UNA MISURA

è la scala del fenomeno che si sta considerando

3 ⫻ 102

notazione scientifica

ordine di grandezza

potenza del 10

29

1

20 test (30 minuti)

1 ESERCIZI 1

LE GRANDEZZE FISICHE

TEST INTERATTIVI 8 Quali di queste unità di misura sono scritte in modo

sbagliato? Correggi gli errori. š metro ...........................................................................................................

DOMANDE

š Ampere ......................................................................................................

Individua i limiti dell’utilizzo della lunghezza di una matita come unità di misura e della matita stessa come relativo strumento di misura.

š g .......................................................................................................................

2 «Una persona alta 5 è sicuramente più pesante di

š kelvin ............................................................................................................

una persona alta 3». Perché questa frase non ha senso?

š km ..................................................................................................................

1

š Kg ................................................................................................................... š sec ..................................................................................................................

š secondo ..................................................................................................... š mol. ...............................................................................................................

3 Quali fra queste proprietà sono grandezze fisiche?


š
cehX_Z[ppW




š
X[bb[ppW




š
f[ie




š
b[]][h[ppW




š
\Wj_YW

š A ......................................................................................................................

CALCOLI

CALCOLI

9 Il bit è un’unità di misura utilizzata in ambito infor-

matico; in un byte ci sono 8 bit. A quanti bit corrisponde 1 Gbyte? 10 È maggiore il diametro di una fibra di seta, pari a

15 nm, o quello del filo di una ragnatela, pari a 7000 nm?

4 Quale dei due segmenti rossi mostrati nel disegno è

più lungo? Per rispondere non basta affidarci alla nostra percezione, ma dobbiamo eseguire una misura.

11 Si stima che la Grande Muraglia cinese sia lunga oltre

8000 km. Come si scrive questo valore usando come unità di misura i megametri (Mm)?

3

MISURARE LO SPAZIO

DOMANDE 12 Due misure di lunghezza forniscono due risultati che

5 La lunghezza di una matita di 20 cm è usata come

unità di misura per determinare la lunghezza di un banco di 60 cm. ¢ Quante matite è lungo il banco? 6 La matita dell’esercizio precedente viene temperata

e la sua lunghezza si riduce a ¾. ¢ Quante matite è lungo il banco con questa nuova unità di misura?

differiscono nel numero di cifre significative. Che cosa puoi dire degli strumenti con cui sono state effettuate le misure? Quale delle due è più precisa? Rispondi in 5 righe. 13 Se un righello millimetrato viene spezzato in due

parti si ottengono due diversi strumenti di misura. Come cambiano la sensibilità e la portata rispetto al righello intero? 14 È possibile misurare il volume di un solido regolare

con il righello? Si tratta di una misura diretta o indiretta?

CALCOLI 2

IL SISTEMA INTERNAZIONALE

15 Trasforma in metri i seguenti dati:

š 0,0005 km ..........................................................................................

DOMANDE

š 85,1 cm ..................................................................................................

7 In quali paesi non è adottato per legge il Sistema In-

ternazionale? Fai una ricerca sulla rete.

30

š 6 700 000 nm ................................................................................... š 0,05 mm ..............................................................................................

GRANDEZZE E MISURE 16 Trasforma in metri quadrati i seguenti dati:

5

š 0,2 km2 ................................................................................................. š 850 cm2 ................................................................................................ š 5 000 000 mm2 ................................................................................ š 10 dam2 .................................................................................................

š 350 000 cm3 ...................................................................................... š 1 km3 ...................................................................................................... š 15 000 dm3 ..........................................................................................

MISURARE LA MASSA

DOMANDE 26 Illustra con un disegno e un breve testo di 5 righe un

possibile procedimento per misurare una massa incognita con la bilancia a bracci uguali.

17 Trasforma in metri cubi i seguenti dati:

š 1000 mm3 ............................................................................................

1

27 Quale sarebbe il nome della tonnellata secondo le

regole convenzionali dei prefissi? 28 La massa complessiva di una quantità di acqua e

ghiaccio in un bicchiere è 150 g. Di quanto cambia quando il ghiaccio si scioglie?

18 Quante cifre significative ha il dato 0,07500?

CALCOLI 4

29 Trasforma in kilogrammi i seguenti dati:

MISURARE IL TEMPO

DOMANDE 19 Come si misura la durata di un fenomeno per mezzo

di un fenomeno che si ripete identico a se stesso nel tempo? 20 Quali regolarità astronomiche sono state usate per







š
&"&+
j
..................................................................................................... š
+,)
Y]
................................................................................................... š
, &&& &&&
ng .................................................................................... š
.-& &&&
^]
.........................................................................................

30 Esprimi la massa del tuo corpo in centigrammi. 31 Un’oncia equivale a circa 28 g.

¢ Quante once ci sono un quintale (100 kg)?

definire la durata di un giorno e di un anno? Perché non possono essere usate anche per durate più brevi? Spiega in 10 righe. 21 Perché usiamo le ore invece dei kilosecondi? Rispon-

6

NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINI DI GRANDEZZA

di in 5 righe.

DOMANDE CALCOLI

32 Perché è utile scrivere i dati usando la notazione

22 Quanti miliardi di secondi ci sono in 2000 anni? [63 miliardi di secondi]

23 Quante migliaia di giorni ci sono in un gigasecondo? [circa 12 migliaia di giorni]

scientifica? Rispondi in 5 righe. 33 Se l’ordine di grandezza di un certo tipo di batteri è

10 nm, vuol dire che tutti i batteri di quel tipo sono lunghi esattamente 10 nm? Motiva la risposta in 5 righe.

24 Una ruota compie due giri ogni secondo e a ogni

giro completo fa suonare un campanellino. ¢ Quanti trilli del campanellino si contano in 15 min? [1800]

25 Durante un esperimento, in assenza di un cronome-

tro, si misura il tempo con i battiti cardiaci. Janice Haney Carr/CDC

¢ Supponendo di sapere che la propria frequenza cardiaca è pari a 75 battiti al minuto, a quanti secondi corrisponde all’incirca un conteggio di 150 battiti? [120 s]

31

1 ESERCIZI 34 Durante una violenta eruzione vulcanica vengono

immesse nell’atmosfera polveri di diverse dimensioni. Alcune di esse, dell’ordine del centinaio di nanometri, possono restare sospese per decenni. Che dimensioni ti aspetti che abbiano queste particelle?

PROPRIETÀ DELLA MATERIA: MASSA, VOLUME, DENSITÀ

7

DOMANDE 39 Che cosa succede se dividiamo tra loro grandezze

fisiche dello stesso tipo? E se dividiamo tra loro grandezze fisiche diverse? 40 Quale sarebbe l’unità di misura della densità se usas-

simo le unità del Sistema Imperiale Britannico libbra (pound) e iarda cubica (cubic yard) per misurare rispettivamente la massa e il volume? 41 Osserva nel testo la tabella delle densità (tabella 7).

Alcuni dei valori riportati si riferiscono a valori medi. Sapresti individuarli? Motiva la risposta.

CALCOLI 42 Calcola la densità di un olio di paraffina contenuto in

un recipiente da 1 litro se la sua massa è 800 g.

Moritz Buchty/Shutterstock

43 Come si esprime in g/cm3 la densità dell’olio di pa-

raffina dell’esercizio precedente? 44 Trasforma in g/cm3 le densità riportate nella tabella

7. 45 Quanto volume occupa 1,0 kg di un magma basalti-

co che ha una densità di 2,8 g/cm3?

CALCOLI 35 Scrivi i seguenti dati usando la notazione scientifica:







š
/ &-- &&&
c
.......................................................................................... š
&"&&& &*& &+
a]
................................................................................ š
*+
⫻ 105 s ................................................................................................. š
&"&&, /&
Yc
..........................................................................................

36 Trasforma i seguenti dati scritti in notazione scienti-







Kamira/Shutterstock

fica in notazione decimale estesa: š
+"+
⫻ 107 m ............................................................................................. š
."&&.
⫻ 10–3 km ................................................................................. š
*"''
⫻ 104 s ............................................................................................... š
'"&)&)
⫻ 10–2 kg ..................................................................................

37 La massa della Terra è dell’ordine di 10 kilogrammi; 24

quella della Luna è dell’ordine di 1022 kg. ¢ Quante lune occorrerebbero all’incirca per bilanciare la Terra su un’ipotetica bilancia a bracci uguali?

[3,6 ⫻ 10–4 m3]

46 Qual è la massa di 1,0 dm3 del magma dell’esercizio

precedente?

ESERCIZI DI RIEPILOGO

38 La massa del Sole è di circa 2 ⫻ 10 miliardi di miliar12

di di kilogrammi. ¢ Qual è il suo ordine di grandezza?

DOMANDE 47 Perché non possiamo misurare lo spessore di un ca-

pello con un righello millimetrato? Rispondi in 5 righe.

32

1

GRANDEZZE E MISURE 48 Individua una proprietà che non cambia quando una

spugna viene compressa. 49 In che modo possiamo determinare la densità di un

sasso di forma irregolare? Illustra un possibile procedimento in un testo di 10 righe.

56 Un bidone cilindrico alto 60,0 cm e il cui raggio della

sezione trasversale è 25,0 cm è riempito con olio lubrificante di densità pari a 862 kg/m3. ¢ Qual è la massa dell’olio? ¢ Se il bidone fosse riempito d’acqua, quale sarebbe la sua massa?

50 Con un righello millimetrato non si può misurare lo

spessore di una pagina di un libro in modo diretto, ma si può in modo indiretto. Come? 51 Quanto valgono rispettivamente la portata e la sen-

sibilità di un orologio da polso con la lancetta dei secondi?

[102 kg; 118 kg]

57 Una piscina rettangolare ha i lati lunghi 3 m e 8 m, e la

profondità che passa uniformemente da 1 m a 2 m. ¢ Qual è l’ordine di grandezza dei litri di acqua necessari per riempirla? [104 L]

52 Spiega in 10 righe l’utilità dell’adozione del Sistema

Internazionale.

58 Si misurano le dimensioni di una lastra metallica ret-

53 Molte strutture megalitiche si possono collegare a

un antico metodo per la misura del tempo. Esse infatti appaiono, in diversi casi, allineate con eventi astronomici periodici come il punto in cui sorge il Sole all’orizzonte durante gli equinozi di autunno e di primavera. A quale unità di misura di tempo corrisponde tale fenomeno?

tangolare e si ottengono i valori 34,4 cm e 20,3 cm. ¢ I due lati sono stati misurati con lo stesso strumento? Motiva la risposta in 5 righe. ¢ Di quale metallo si tratta se la lastra ha uno spessore di 1,00 cm e una massa di 6,23 kg? [rame]

59 Si vuole usare un rubinetto che gocciola come feno-

meno periodico per misurare il tempo. Si sa che dal rubinetto escono due gocce d’acqua ogni secondo, e quest’acqua viene raccolta in un contenitore la cui base misura 4,0 dm2.

54 In un film d’azione un ladro svaligia una banca e fug-

ge di corsa con la sua borsa piena di lingotti d’oro. Che cosa c’è di assurdo in questo fatto? Rispondi in 5 righe.

¢ Se l’altezza del contenitore è 200 mm, è sufficiente per raccogliere l’acqua di un’intera giornata di 24 h?

maska/Shutterstock

mpanch/Shutterstock

¢ Se il volume di ogni goccia è 0,050 cm3, quanti minuti sono passati quando il livello dell’acqua nel contenitore è 120 mm?

(Suggerimento: Può aiutarti la risoluzione del problema 55.)

[800 min; sì]

60 La confezione di una risma contenente 500 fogli di

PROBLEMI

carta da fotocopie riporta i seguenti dati: 80 g/m2; 21 cm ⫻ 29,7 cm.

55 Qual è la massa di un lingotto d’oro puro se le sue

¢ Che cosa rappresenta il primo dato?

dimensioni sono 15 cm, 6,0 cm e 2,0 cm?

¢ Che cosa rappresenta il secondo?

¢ Quanto spazio occupano, in litri, 20 lingotti?

¢ Quanto vale la densità della carta se lo spessore della risma è 5,0 cm?

¢ Qual è la migliore approssimazione dell’ordine di grandezza della loro massa complessiva? [3,5 kg; 3,6 L; 102 kg]

(Suggerimento: calcola la massa della risma a partire dalla superficie dei fogli in essa contenuti.)

33

1 ESERCIZI 61 Il tangram è un antico gioco cinese formato da sette

sagome geometriche dello stesso materiale e dello stesso colore, con le quali costruire moltissime figure planari di senso compiuto, seguendo alcune regole. La forma base del tangram è il quadrato formato dalle sette sagome come nella figura. Un tangram in cui il lato del quadrato di base misura 10,0 cm è stato ritagliato da una tavoletta di legno spessa 5,00 mm, di densità pari a 700 kg/m3.

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Il pavimento di un locale a forma rettangolare, di lati rispettivamente 4 e 6 metri, è stato ricoperto con piastrelle di forma simile al rettangolo del pavimento. Il costo di ogni piastrella è stato di 4 euro e quello di tutte le piastrelle di 1600 euro. ¢ Quali sono le dimensioni di ogni piastrella ? A

20 cm e 30 cm

B

10 cm e 15 cm

C

25 cm e 50 cm

D

18 cm e 27 cm

E

12 cm e 18 cm

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2008/2009) 2 Se il lato di un quadrato misura 10 m, la sua superfi-

cie:

¢ Quanto valgono le masse di ciascun pezzo? (Suggerimento: ricava la lunghezza della diagonale con il teorema di Pitagora.) [8,75 g; (triangoli grandi); 4,38 g (triangolo medio); 4,38 g (quadrato); 4,38 g (parallelogramma); 2,19 g (triangoli piccoli)]

34

A

non è esprimibile in dm2

B

misura 0,1 dm2

C

misura 104 dm2

D

misura 1 000 000 dm2

E

misura 100 dm2

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2007/2008)

CAPITOLO

Descrivere il movimento

“

Ti par che farrebe male un che volesse mettere sotto sopra il mondo rinversato?

”

Giordano Bruno, De l’infinito, universo e mondi, 1584

L’infanta Margherita di Spagna è al centro del quadro, circondata dalle sue damigelle. Ma il centro del quadro, sul quale convergono gli sguardi dei suoi personaggi, è altrove: il re e la regina osservano la scena dallo stesso punto di vista dello spettatore e uno specchio in lontananza riflette la loro immagine. Per vederli dovremmo entrare nel dipinto e cambiare in nostro punto di vista. In fisica questo accade molto spesso; e cambiando punto di vista potremmo, per esempio, accorgerci che, mentre ce ne stiamo comodamente seduti a leggere questo libro, in realtà non siamo affatto fermi. Un ipotetico abitante di Marte, infatti, ci vedrebbe sfrecciare nello spazio, piroettando intorno all’asse terrestre. In fisica non si può dire che un corpo è fermo o che è in movimento se non si specifica rispetto a quale sistema di riferimento si sta osservando la situazione. Do-

vremmo dunque dire che, seduti su una sedia, noi siamo fermi rispetto a un sistema di riferimento in cui è ferma anche la Terra. Il marziano direbbe che noi siamo in movimento rispetto a un sistema di riferimento in cui è fermo Marte: egli vedrebbe la nostra posizione cambiare nel tempo. Lo spazio e il tempo sono le due grandezze fisiche che si usano per descrivere un corpo in movimento, e in questo capitolo è spiegato come si rappresentano mediante quantità numeriche e geometriche. La matematica è infatti lo strumento che permette ai fisici di studiare i fenomeni in modo quantitativo e rigoroso, di trovare regole per poterli descriverli nel presente, di fare inferenze sul passato e previsioni per il futuro.

Diego Velázquez, Las meninas, 1656. particolare. Il centro dell’attenzione dei personaggi sono i due sovrani riflessi in uno specchio lontano. Per vederli, dovremmo entrare nel quadro e cambiare il nostro punto di vista.

PAROLE CHIAVE Sistema di riferimento Spazio Tempo

35

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

1

Figura 1. Il Pong è stato uno dei primi videogiochi.

RAPPRESENTARE UN CORPO NELLO SPAZIO

Tra i primi videogame ce n’era uno in cui due segmenti potevano scorrere in verticale lungo i lati opposti dello schermo, e respingevano a turno una «palla», simulando così una specie di ping pong (figura 1). La tecnologia non permetteva di riprodurre situazioni e movimenti articolati, per cui ci si accontentava di una schematizzazione e si usava un po’ di fantasia per far diventare lo schermo del televisore un tavolo da tennis. Per studiare i moti bisogna fare l’operazione opposta: la complessità della realtà deve essere semplificata e ridotta all’essenziale. In fondo, quando assistiamo a una vera partita di ping pong siamo ben poco interessati a come si muovono gambe, braccia, mani e piedi del giocatore, ma piuttosto badiamo all’impatto della pallina sulla racchetta.

Il punto materiale In fisica questo corrisponde a schematizzare i movimenti dei corpi con i movimenti dei loro baricentri. In pratica si tratta di rappresentare il movimento di un corpo esteso come se fosse un punto, ignorando tutto quello che avviene intorno ad esso. Quando si fa una tale approssimazione, in termini fisici si parla di punto materiale: s punto perché non è esteso nello spazio e non è quindi necessario dire altro all’infuori della sua posizione; s materiale per non dimenticare che stiamo parlando di qualcosa che è fatto di materia e che, quindi, ha una massa. Per semplificare lo studio dei moti si rappresenta un corpo esteso come se fosse un punto dotato di massa, la cui posizione coincide con il suo baricentro. Il baricentro è un punto molto particolare, che può essere preso come «rappresentante» di un corpo perché – come vedremo più avanti nello studio della fisica – ne rappresenta una sorta di centro nel campo gravitazionale terrestre (figura 2).

tankist276/Shutterstock

Figura 2. Quando un corpo è sospeso il baricentro tende a occupare la più bassa posizione possibile e a disporsi lungo la verticale, al di sotto del punto di sospensione.

36

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

Ogni volta che si parlerà di corpi in movimento si sottintenderà una tale schematizzazione, anche se non si parlerà esplicitamente di punto materiale (figura 3).

Figura 3. Il baricentro del gatto cade lungo la verticale seguendo la direzione del filo a piombo.

La traiettoria Così come un gessetto, strisciando su una lavagna, traccia una linea lungo il suo percorso, i corpi in movimento descrivono nello spazio linee immaginarie, dette traiettorie. Le traiettorie che si studiano più facilmente sono quelle che hanno una rappresentazione matematica semplice: per esempio, la traiettoria del baricentro di un gatto che cade è un segmento. Si chiama traiettoria l’insieme dei punti dello spazio occupati dal baricentro di un corpo al passare del tempo.

ESEMPIO ¢ La traiettoria della punta di un’elica di un aereo in quiete e in movimento rettilineo.

Se puntiamo una macchina fotografica verso il Nord nel cielo notturno e lasciamo a-perto l’otturatore per diverse ore, otteniamo un’immagine con scie circolari concentriche: sono le stelle che durante la notte descrivono archi di circonferenze intorno alla stella polare (figura 4).

peresanz/Shutterstock

DOMANDA Quale può essere la didascalia di questa immagine?

Figura 4. Le stelle descrivono archi di circonferenza intorno alla stella polare durante la notte.

37

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

La traiettoria della stella polare è praticamente un punto: nell’arco di molti anni occupa sempre la stessa posizione. I pianeti, invece, si comportano in modo più complicato. Le loro traiettorie nel corso dell’anno non sono regolari, ma questi corpi sembrano andarsene a spasso nel cielo senza seguire un disegno preciso. Non a caso la parola pianeta viene dal greco e significa errante. Per esempio Marte di tanto in tanto inverte il suo moto per alcune settimane, descrivendo nel cielo strane curve o cappi chiusi (figura 5).

Gemelli Figura 5. Ogni tanto sembra che Marte torni indietro durante il suo cammino nel cielo visto dalla Terra.

Leone

Cancro

Pesci

Museo Galileo - Firenze

Figura 6. Il sistema tolemaico riproduceva i moti complicati dei pianeti visti dal sistema di riferimento della Terra.

38

La ricerca delle regolarità nel moto dei pianeti arrovellò gli astronomi di tutti i tempi. Tolomeo, nel II secolo d.C., propose un modello secondo il quale tutti i copri celesti si muovevano intorno alla Terra seguendo traiettorie circolari, e le anomalie dei pianeti si spiegavano con il fatto che essi ruotavano su circonferenze più piccole (epicicli), mentre ruotavano intorno alla Terra su circonferenze più grandi (deferenti) (figura 6). Il modello tolemaico era piuttosto macchinoso, ma era geniale e descriveva abbastanza bene il moto dei pianeti, anche se le equazioni per rappresentarlo erano molto complesse. Ebbe un gran successo e restò incontestato per secoli, fino a quando Copernico (14731543) intuì che bastava poco per risolvere la questione in modo molto più semplice ed elegante: bastava osservare tutti i moti dal punto di vista del Sole e scomparivano d’incanto deferenti, epicicli e difficoltà.

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

2

SISTEMI DI RIFERIMENTO

Porre il Sole al centro dell’Universo e descrivere i moti dal suo punto di vista equivale, in termini moderni, a scegliere un sistema di riferimento in cui il Sole (cioè il suo baricentro!) sia fermo. I moti dei pianeti, che dalla Terra appaiono tanto strani, nel sistema di riferimento del Sole si semplificano notevolmente: le traiettorie sono ellissi che giacciono sullo stesso piano, detto piano dell’eclittica, sul quale ovviamente si trova anche l’orbita terrestre. Se immaginiamo una terna di assi cartesiani con l’origine nel baricentro del Sole possiamo scrivere una semplice equazione per l’ellisse di ciascun pianeta e ottenere, quindi, una sua descrizione quantitativa (figura 7). z

Figura 7. Nel sistema di riferimento del Sole i pianeti hanno traiettorie ellittiche.

y

x

z 3,0 m

Per studiare la traiettoria di un corpo nello spazio abbiamo bisogno di definire prima di tutto un sistema di riferimento. Usando tre assi cartesiani ortogonali, uno per ciascuna direzione dello spazio tridimensionale, ogni punto della traiettoria è individuato da tre coordinate, espresse con l’opportuna unità di misura (figura 8).

Figura 8. Le posizioni della farfalla sono individuate dalle sue coordinate. Non sempre la traiettoria è una curva che ha una specifica equazione.

3,8 m 1,0 m x

Un sistema di riferimento cartesiano permette di associare una terna di numeri a ciascun punto dello spazio e viceversa. In generale descrivere il moto di un oggetto che si muove nello spazio tridimensionale può essere complicato, ma per fortuna in molti casi le cose si semplificano da sole. Per esempio, visto che le ellissi su cui si muovono i pianeti intorno al Sole sono figure planari, per descriverle non è necessario usare tutti e tre gli assi ma ne bastano due. Lo stesso accade, per esempio, per le biglie che rotolano su un biliardo e per molti altri corpi che non utilizzano, di fatto, la terza dimensione.

39

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

testing / Shutterstock

Milan Kryl / Shutterstock

Un sistema di riferimento cartesiano bidimensionale è formato da due soli assi ortogonali, e i punti delle traiettorie dei corpi sono individuati da due coordinate (figura 9).

Figura 9. Un sistema di riferimento bidimensionale è sufficiente a rappresentare le traiettorie su una pista di pattinaggio. Figura 10. Il moto di una funicolare si svolge lungo un unico asse.

Un’ulteriore restrizione consiste nel considerare i moti che avvengono in una sola direzione, cioè i moti rettilinei, per i quali è sufficiente usare un solo asse. Le traiettorie sono segmenti e i loro punti sono individuati da un solo numero: la distanza dall’origine dell’asse (figura 10). Come insegna la storia dell’astronomia, lo stesso moto può avere descrizioni molto diverse in due sistemi di riferimento diversi. Noi siamo abituati a considerare «fermo» tutto ciò che è fermo rispetto a un sistema di riferimento solidale con la Terra, per cui preferiamo dire che siamo noi ad andare a scuola, piuttosto che la scuola a venire da noi, anche se a livello puramente descrittivo non c’è una sostanziale differenza. Uscire mentalmente dal nostro sistema di riferimento preferito non è un’operazione banale, ma in fisica è necessario imparare a cambiare il punto di vista con una certa agilità perché – come accadde a Copernico – può aiutare a risolvere problemi altrimenti complicati.

ESEMPIO ¢ Un’automobile e una motocicletta procedono affiancate. Il motociclista è fermo nel sistema di riferimento dell’automobilista, ma è in movimento rispetto al sistema di riferimento di un pedone che osserva dal marciapiede.

40

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

Aleksandr Markin / Shutterstock

¢ Due sportive stanno correndo, ma non si muovono entrambe nello stesso sistema di riferimento.

2

DOMANDA Quali potrebbero essere le didascalie di queste immagini? Scrivine una per ciascuna immagine utilizzando il concetto di sistema di riferimento.

NUMERO DIMENSIONI

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

RAPPRESENTAZIONE NUMERICA

z

P(x; y; z) terne di numeri

3 y

O

S P A Z I O

Tabella 1. Rappresentazioni dello spazio

x y

P(x; y) coppie di numeri

2 O

1

3

O

x x

P(x) numeri

POSIZIONE E SPOSTAMENTO

Per imparare a studiare il moto dei corpi conviene iniziare con il caso più semplice, quello rettilineo. Un moto rettilineo ha come traiettoria un segmento di retta e può essere rappresentato mediante un unico asse cartesiano, x. Per precisare la posizione di un corpo nello spazio mediante il sistema di riferimento scelto si devono prima di tutto definire il verso, l’unità di misura e l’origine dell’asse; poi si misura quanto il baricentro del corpo è lontano da quest’ultima e si trova quindi il valore numerico della sua coordinata.

41

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

La posizione di un corpo è individuata mediante la coordinata del suo baricentro. Un’unica misura non ci dice se il gatto raffigurato è fermo o si sta muovendo: l’unico modo per saperlo è compiere diverse osservazioni nel tempo e vedere se la posizione cambia. Per studiare il moto, quindi, occorre un cronometro. Le coordinate del gatto che corrispondono a diversi istanti di tempo si distinguono, in genere, mediante indici posti in basso a destra (figure 11-12). t⫽0s 0 x 0m Figure 11-12. Il gatto si trova 3 metri dopo l’origine scelta; x0 ⫽ 3 m è la coordinata del gatto al tempo t ⫽ 0 s.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t⫽0s 0 x 0⫽3 m

x

Finché il gatto resta fermo la sua posizione non cambia nel tempo: misure successive della sua posizione forniscono lo stesso risultato. Immaginiamo, invece che il gatto inizi a muoversi nell’istante in cui il nostro cronometro parte: in tal caso, in istanti di tempo diversi, il gatto occupa posizioni diverse. Ciascuna posizione viene indicata con un indice diverso, e si usano numeri progressivi crescenti (figura 13). Un corpo è in movimento quando occupa posizioni diverse in istanti di tempo diversi, cioè quando il suo baricentro si sposta nel tempo.

t ⫽ 0s t ⫽ 2s

t⫽5s

x 0⫽3 m x 1⫽4 m

x 2⫽6 m

Figura 13. Il gatto si muove quando occupa posizioni diverse in istanti di tempo diversi.

0

x

Una volta individuate le posizioni sull’asse cartesiano, è facile calcolare lo spostamento, cioè di quanto è cambiata la posizione. Nell’esempio in figura 13 il gatto nei primi 2 secondi si è spostato di un metro, dalla posizione x0 ⫽ 3 m alla posizione x1 ⫽ 4 m: ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 4 m ⫺ 3 m ⫽ 1 m (lo spostamento nei primi due secondi è uguale alla posizione all’istante 2 s meno la posizione all’istante iniziale).

42

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

In termini fisici il simbolo ∆ significa letteralmente «variazione di». In questo caso, infatti, lo spostamento è proprio una variazione della posizione, x.

ESEMPIO ¢ Qual è la posizione x3 del gatto se 6 s dopo la partenza del cronometro il suo spostamento totale è 4 m? SOLUZIONE Lo spostamento totale è quello tra la posizione x0 e la posizione x3, cioè ∆x03: ∆x03 ⫽ x3 ⫺ x0 ma in questo caso l’incognita è x3, quindi bisogna risolvere rispetto a questa: x3 ⫽ x0 ⫹ ∆x03 quindi x3 ⫽ 3 m ⫹ 4 m ⫽ 7 m DOMANDA Qual è la differenza tra posizione e spostamento? Spiegalo in 5 righe.

L’origine dell’asse dello spazio è arbitraria La scelta dell’origine dell’asse x è arbitraria, cioè possiamo decidere di far partire la misura delle distanze da un punto qualsiasi e i valori degli spostamenti non cambiano.

ESEMPIO Possiamo scegliere l’origine dell’asse x nella posizione x0. t⫽0s t⫽2s

0

x1 ⫽ 1 m

t⫽5s

x2 ⫽ 3 m

x

In tal caso la posizione successiva è x1 ⫽ 1 m e lo spostamento relativo ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 1 m ⫺ 0 m ⫽ 1 m esattamente come nel caso precedente. DOMANDA Quanto vale lo spostamento del gatto nei primi 5 s nel nuovo sistema di riferimento?

43

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

Se si può scegliere di posizionare l’origine dell’asse x in modo arbitrario, allora le posizioni possono essere espresse anche con valori negativi.

ESEMPIO Infatti potremmo scegliere come origine dell’asse la posizione x1, e in tal caso la posizione x0 corrisponderebbe al punto di coordinata ⫺1 m. t⫽0s t⫽2s

x 0 ⫽ ⫺1 m 0

t⫽5s

x2 ⫽ 2 m

x

Lo spostamento tra x0 e x1 è sempre ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 0 m ⫺ (⫺1 m) ⫽ 1 m DOMANDA Quanto vale lo spostamento del gatto tra gli istanti 2 s e 5 s nel nuovo sistema di riferimento?

Avanti e indietro nello spazio Non c’è nessun motivo perché il gatto vada sempre nello stesso verso, da sinistra a destra: potrebbe anche tornare indietro. Ciò corrisponde a una situazione come quella rappresentata in figura 14. t⫽3s

t⫽0s

x1 ⫽ 4 m

x0 ⫽ 6 m

Figura 14. Al procedere del tempo la distanza dall’origine diminuisce.

0

x

In questo caso lo spostamento nei primi 3 secondi è: ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 4 m ⫺ 6 m ⫽ ⫺2 m Gli spostamenti nello spazio possono quindi avere valori negativi e corrispondono a un corpo che si muove in verso opposto rispetto all’asse scelto come sistema di riferimento. Di conseguenza lo spostamento totale su un percorso di andata e ritorno è nullo, anche se non è nulla la distanza percorsa (figura 15). ∆x02 ⫽ x2 ⫺ x0 ⫽ 3 m ⫺ 3 m ⫽ 0 m t⫽5s Figura 15. Il gatto dopo 5 s è nuovamente nel punto di coordinata 3 m.

t⫽0s

x0 ⫽ 3 m x2 ⫽ 3 m

44

x

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

Per tener conto di questo fatto introduciamo una nuova grandezza, che chiamiamo appunto distanza percorsa e che si ottiene sommando tutti gli spostamenti in valore assoluto, cioè considerandoli positivi. ∆s02 ⫽ |∆x01| ⫹ |∆x12| ⫽ 1 m ⫹ 1 m ⫽ 2 m La distanza percorsa è uguale alla somma dei valori assoluti degli spostamenti. La distanza percorsa dal gatto nei primi 5 s è quindi pari a 2 metri.

I moti unidimensionali I moti rettilinei sono i più semplici da studiare, ma sono piuttosto rari. Nella vita di tutti i giorni è molto più comune avere a che fare con moti qualsiasi, di oggetti che spaziano liberamente in tutte le direzioni. Anche i treni, che non possono lasciare il loro binario, in realtà compiono curve, salite e discese, per cui il loro moto avviene in uno spazio tridimensionale. Tuttavia per studiare il moto di un treno non è necessario utilizzare tre assi cartesiani, ma si può fare un’approssimazione e trattarlo come se fosse rettilineo. Il treno, infatti, è vincolato a muoversi su un binario, e se immaginiamo di «stirare» questo binario fino a farlo sovrapporre a una retta possiamo utilizzare l’approssimazione di moto rettilineo. Un moto di questo tipo è detto unidimensionale, in quanto può essere descritto mediante un’unica coordinata spaziale. Si possono studiare come unidimensionali anche i moti dei veicoli lungo le strade: in tali casi bisogna fare l’ulteriore approssimazione che non ci siano movimenti trasversali rispetto alla strada. In effetti, se vogliamo studiare il moto di un’automobile che si sposta tra due città, possiamo tranquillamente trascurare le variazioni dovute al fatto che l’automobile non viaggia rigorosamente in direzione parallela a quella della strada (figura 16).

Figura 16. Approssimando un moto unidimensionale con un moto rettilineo, possiamo studiare un’ampia classe di moti con formule molto semplici.

Un moto unidimensionale può essere approssimato con un moto rettilineo.

45

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

4

ISTANTE E INTERVALLO DI TEMPO

Anche il tempo, come lo spazio, può essere rappresentato in maniera rigorosa mediante un sistema di riferimento cartesiano. Tale sistema è composto dall’unico asse del tempo t, per cui possiamo ragionare in maniera analoga al caso del moto rettilineo. Così come nello spazio abbiamo le posizioni x0, x1, x2 ecc., sull’asse del tempo abbiamo gli istanti t0, t1, t2 ecc. (figura 17). Ciascun istante così contrassegnato corrisponde a una lettura del cronometro ed è espresso in secondi nel Sistema Internazionale. Figura 17. Gli istanti corrispondono alle «posizioni» sull’asse del tempo.

t⫽ 0 s

t⫽ 2 s

t⫽ 5 s

t0 ⫽ 0 s

t1 ⫽ 2 s

t2 ⫽ 5 s

t

Le coordinate sull’asse del tempo si chiamano istanti. Allo spostamento nello spazio ∆x, sull’asse del tempo corrisponde l’intervallo di tempo ∆t, definito come la differenza tra due istanti: ∆t01 ⫽ t1 ⫺ t0 ⫽ 2 s ⫺ 0 s ⫽ 2 s L’intervallo di tempo tra gli istanti t0 e t1 è pari a 2 secondi. Se stiamo osservando un fenomeno che si svolge tra questi due istanti di tempo, diciamo che la sua durata è 2 s. In altre parole, il tempo impiegato dal gatto per andare dalla posizione x0 a x1 è 2 secondi (figura 18). t0 ⫽ 0 s

t1 ⫽ 2 s

t2 ⫽ 5 s

t

Figura 18. Ciascun istante corrisponde a una lettura del cronometro.

0

x 0⫽ 3 m x 1⫽ 4 m

x2 ⫽ 6 m

x

ESEMPIO ¢ Calcolare l’intervallo di tempo tra gli istanti t1 e t2. SOLUZIONE

∆t12 ⫽ t2 ⫺ t1 ⫽ 5 s ⫺ 2 s ⫽ 3 s

Questo è il tempo impiegato dal gatto per andare da x1 a x2, cioè per percorrere una distanza pari a ∆x12 ⫽ 2 m. DOMANDA Il gatto impiega 1 s a percorrere la distanza tra x2 e x3. Quanto vale l’istante t3?

46

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

L’origine dell’asse del tempo è arbitraria Anche nel caso dell’asse del tempo la scelta dell’origine è arbitraria, perché possiamo far partire il cronometro quando vogliamo. Gli avvenimenti che precedono l’istante iniziale t1 hanno il segno negativo (figura 19). partenza del cronometro t 0 ⫽ ⫺2 s

t1 ⫽ 0 s

t2 ⫽ 3 s

t

Figura 19. Se il cronometro parte all’istante t1, l’istante t0 corrisponde a 2 secondi prima.

Come abbiamo già osservato, uno spostamento può essere negativo, perché i corpi si possono muovere avanti e indietro nello spazio, o nullo, se il corpo non cambia la sua posizione. L’intervallo di tempo, invece, è sempre positivo. Non possiamo, infatti, tornare a istanti precedenti e nemmeno possiamo fermarci nel tempo; siamo costretti a procedere inesorabilmente verso istanti successivi: ∆t ⬎ 0 sempre. Invece di usare un cronometro possiamo individuare gli istanti di tempo per mezzo di un orologio. Un orologio è, di fatto, un cronometro che si azzera ogni 24 ore, ma per calcolare gli intervalli di tempo si deve tener conto del fatto che ore, minuti e secondi vengono scritti in formato sessagesimale anziché decimale.

ESEMPIO ¢ Calcolare in minuti l’intervallo di tempo tra le 14:35 e le 15:03. SOLUZIONE

t1 ⫽ 14h 35⬘ 00⬙ t2 ⫽ 15h 03⬘ 00⬙ ∆t12 ⫽ t2 ⫺ t1

Ricordiamo che 1 h ⫽ 60 min e 1 min ⫽ 60 s, cioè 1 h ⫽ 60⬘ 1⬘ ⫽ 60⬙ 15h 03⬘ 00⬙ ⫺ 14h 35⬘ 00⬙ ⫽ ... per eseguire la sottrazione trasformiamo 15h 03⬘ 00⬙ in 14h 63⬘ 00⬙; in questo modo otteniamo: 14h 63⬘ 00⬙ ⫺ 14h 35⬘ 00⬙ ⫽ 0h 28⬘ 00⬙ 0 h 28⬘ 00⬙ ⫽ 28 min

DOMANDA Quanto vale in secondi l’intervallo di tempo tra le 11:10 e le 12:07?

47

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

GRANDEZZA FISICA

Punti

Variazioni

x Tabella 2. Spazio e tempo nei moti in una dimensione.

SPAZIO

⌬x

m metro

x

asse dello spazio

posizione

spostamento

t

TEMPO

⌬t

t

asse del tempo

5

UNITÀ DI MISURA

t

istante

t

intervallo di tempo

s secondo

IL GRAFICO SPAZIO-TEMPO

Quando gli assi spaziale e temporale vengono usati insieme per definire un piano, il moto può essere descritto in modo molto compatto ed efficace attraverso una rappresentazione astratta detta grafico spazio-tempo. Per disegnarlo bisogna conoscere le posizioni del corpo nel tempo: gli istanti e le posizioni corrispondenti sono le coordinate dei punti della curva che rappresenta il moto. Il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo è l’insieme dei punti del piano che hanno come coordinate gli istanti e le posizioni corrispondenti. Analizziamo nuovamente il moto del gatto e rappresentiamo le posizioni x0, x1 e x2 in un piano in cui l’asse x sia verticale e l’asse t orizzontale (figura 20a). Per poter disegnare il grafico spazio-tempo del moto del gatto dovremmo conoscere anche ciò che accaduto tra i punti segnati, cioè dovremmo conoscere le posizioni del gatto istante per istante. Immaginiamo, per esempio, che definiscano la curva rappresentata in figura 20b. x (m) x2 Figura 20. a. Ogni punto del piano spazio-tempo corrisponde a una coppia di numeri, rispettivamente istante e posizione. b. Conosciamo tre posizioni del gatto in tre istanti diversi. Tra essi immaginiamo questa curva.

O

b

x2

(5 s; 6 m)

(2 s; 4 m)

x1 x0

x (m)

a

x1

(0 s; 3 m)

x0

t1

t 2 t (s)

O

t1

t *

t 2 t (s)

Conoscere il grafico spazio-tempo è importante, perché permette di ricavare tutte le informazioni sul moto che rappresenta. Per esempio, leggendo

48

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

il grafico vediamo che all’istante t* ⫽ 3,5 s il gatto si trova a una distanza di 5 m dall’origine.

ESEMPIO Questo potrebbe essere il grafico spazio-tempo di una tigre che cammina avanti e indietro in una gabbia: x 5m

O

t

La tigre va avanti e indietro tra l’origine e il punto di coordinata 5 m. Domanda Qual è il grafico spazio-tempo di un treno fermo alla stazione? Disegnalo.

Traiettoria e grafico spazio-tempo Traiettoria e grafico spazio-tempo sono due cose molto diverse. Un moto può essere rettilineo anche se il grafico spazio-tempo che lo rappresenta non è una retta. A differenza della traiettoria, che ci dà solo informazioni spaziali, questo grafico contiene informazioni sul tempo. Il fatto che il moto si svolga lungo una retta è espresso dal fatto che le posizioni si trovano su un unico asse. In una rappresentazione spazio-temporale di un moto in due dimensioni le posizioni stanno su un piano e il grafico spazio-tempo si sviluppa lungo la dimensione temporale (figura 21). y

y

O

O

Figura 21. Siamo soliti dire che «il tempo passa», ma per un fisico siamo noi a scorrere nel tempo. Se rappresentiamo il tempo con un asse orientato, le traiettorie sono trascinate nel verso della freccia.

t

x

x

Il grafico spazio-tempo ha dunque una dimensione in più rispetto allo spazio. Il caso tridimensionale è più difficile da rappresentare, non abbiamo a disposizione una quarta dimensione spaziale per disegnare l’asse del tempo e quindi non ci rimane che usare l’immaginazione.

49

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

TECNOLOGIA Individuare la posizione di un oggetto sulla superficie terrestre: il GPS

Nasa

Per secoli gli uomini si sono orientati per terra e per mare grazie a mappe e a strumenti quali bussola e sestante. Oggi disponiamo però di una tecnologia straordinariamente potente, che ci permette di conoscere con accuratezza la nostra posizione in ogni parte del globo. Si tratta del GPS (Global Positioning System), un sistema talmente diffuso che ormai non soltanto le navi e gli aerei ma anche le automobili e perfino le biciclette possono essere dotate di un ricevitore. Un satellite GPS.

Pincasso/Shutterstock

# visible sat ⫽ 8

I ricevitori GPS sono ormai parte della tecnologia quotidiana

Un ricevitore GPS è in grado di calcolare la propria distanza da almeno tre satelliti in orbita; dall’intersezione delle tre circonferenze centrate sul ricevitore, e di raggio pari alla distanza dai satelliti, si ricava la sua posizione sulla superficie terrestre.

Orientarsi guardando il cielo Il progetto GPS fu intrapreso dal governo degli Stati Uniti nel 1973, inizialmente per scopi militari, e divenne operativo nel 1994. Il principio su cui si basa è il seguente: un certo numero di satelliti in orbita intorno alla Terra (al momento una trentina) emette in continuazione un segnale radio contenente una serie di informazioni, in particolare la propria posizione nello spazio e l’istante preciso in cui il messaggio è stato trasmesso. Il ricevitore a terra, che ha a sua volta un orologio (clock) molto preciso a bordo, calcola la propria distanza dal satellite in base al tempo t che il segnale ha impiegato per percorrere il tragitto. Visto che il segnale viaggia alla velocità della luce c, la distanza è d ⫽ ct. Questa distanza definisce una sfera di raggio d e centro nel satellite. Se il ricevitore è in grado di vedere 4 satelliti, l’intersezione delle 4 sfere relative ai satelliti definisce la posizione del ricevitore stesso (ricordiamo che l’intersezione di 2 sfere è una circonferenza, di 3 sfere sono 2 punti, di 4 sfere un punto). Se più di 4 satelliti sono visibili, il calcolo può essere reso ancora più accurato. Il margine di errore ottenibile con il GPS è dell’ordine della decina di metri (10-20 metri). Se si ha bisogno di accuratezze maggiori (1-2 m), bisogna prendere in considerazione anche una stazione fissa a terra. Un ricevitore GPS che sia in grado di funzionare al di sopra di 18 km di altitudine e 515 m/s di velocità viene classificato dal governo degli Stati Uniti come arma, perché può essere impiegato come sistema di guida di missili a lungo raggio.

DOMANDA Le misure che non si effettuano direttamente dal confronto con un campione, ma si ricavano da un’espressione matematica, sono dette indirette. Quali esempi di misure indirette hai incontrato in questo capitolo?

50

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

TECNOLOGIA Il sismografo Durante un terremoto una porzione di superficie terrestre si muove rispetto al resto del pianeta e in particolare rispetto a un sistema di riferimento in cui il suo baricentro è fermo. Ma come si fa a misurare lo spostamento del terreno con uno strumento che poggia direttamente su di esso? Il sismografo è uno strumento studiato appositamente per risolvere questo problema e tracciare i movimenti della superficie terrestre al passaggio di un’onda sismica.

Yamaguchi

Un sismografo e uno schema del suo funzionamento che registra spostamenti orizzontali.

È formato da un rotolo di carta che scorre, al cui centro poggia un indice che, al passare del tempo, traccia un segno rettilineo in assenza di scosse. L’indice può scorrere in una direzione lungo un segmento ed è collegato a una molla che assorbe i movimenti del terreno per evitare che gli vengano trasmessi. In questo modo l’indice risulta fermo anche quando la Terra gli trema sotto. Il rotolo di carta, invece, è solidale al terreno e durante un sisma va avanti e indietro rispetto alla punta scrivente. Quando il terreno si muove, anche la carta si muove sotto il pennino e la traccia non è più una retta, ma una curva che si discosta dal centro. Un sismogramma ci dice sia quanto si è spostato il pennino dal centro della carta, sia quando tale spostamento si è verificato: la curva è, di fatto, il grafico spazio-tempo del moto del pennino e lo scorrimento della carta rappresenta il passare del tempo.

INGV

Un sismogramma rappresenta il grafico spazio-tempo dei movimenti della superficie terrestre durante un terremoto: l’asse del tempo coincide con la lunghezza della striscia di carta e l’asse dello spazio coincide con la sua altezza. Il tempo è riprodotto dallo scorrimento della carta; la punta scrivente si muove lungo un segmento perpendicolare alla sua direzione.

Se il pennino non si muove disegna una retta: è il grafico spazio-tempo di un corpo in quiete.

DOMANDA Che cosa disegna il pennino se la carta si blocca? Qual è la traiettoria del pennino?

51

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Immagini e movimento Fotografare il movimento

Il fucile fotografico

Esiste un istante in cui un cavallo in corsa tiene sollevate da terra tutte e quattro le zampe? Il fotografo inglese Eadweard Muybridge, nel 1878, ideò un marchingegno con il quale riuscì a rispondere a questa domanda. Egli tese lungo un tracciato 24 fili di lana equidistanti tra loro, collegati ad altrettante macchine fotografiche: gli zoccoli avrebbero dunque azionato ciascuna macchina esattamente al passaggio del cavallo al galoppo. Il risultato sconvolse il mondo dell’arte, in quanto rese evidenti gli errori che fino ad allora pittori e scultori avevano commesso nel rappresentare il movimento dei cavalli. Le fotografie di Muybridge mostravano, infatti, che l’istante in cui le zampe non toccano il terreno è quello in cui sono raccolte sotto il ventre del cavallo e non quello in cui sono estese, come si vede in moltissime rappresentazioni artistiche del galoppo.

Il passo successivo fu la ricerca di strategie per poter fare fotografie a intervalli di tempo ravvicinati con un unico apparecchio, e in questa direzione va collocata l’invenzione del fucile fotografico da parte del fisiologo francese Étienne-Jules Marey. Si trattava di un oggetto apparentemente uguale a un fucile da caccia, ma caricato con una pellicola fotografica e capace di scattare 12 fotografie in un secondo. Era il 1882 Marey quando catturò le sue prime immagini nel Golfo di Napoli, guadagnandosi l’appellativo di «matto» in quanto soddisfatto di «sparare» agli uccelli senza ucciderne nemmeno uno!

David Monniaux

Il fucile fotografico inventato da É.-J. Marey.

PAROLA CHIAVE

Eadweard Muybridge/Library of Congress

Théodore Géricault, Derby a Epson, 1821.

The Horse in motion di Muybridge è il primo degli studi fotografici del movimento animale e umano.

52

Sistema di riferimento

DOMANDA Un’automobile ferma in uno studio cinematografico sembra andare a spasso per la Costa Azzurra perché alle sue spalle c’è uno schermo su cui è proiettata una strada in movimento (da Caccia al ladro di Alfred Hitchcock). ¢ Rispetto a quale sistema di riferimento è in movimento l’automobile? Rispondi in 5 righe.

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

2

La fotografia stroboscopica

Ricostruire il movimento

La ricerca di tecniche per aumentare il numero degli scatti in un secondo e cogliere così i particolari dei moti più veloci arrivò fino agli anni Trenta, quando lo statunitense Harold Edgerton inventò la cosiddetta «fotografia stroboscopica». Questa superava il limite imposto dall’inevitabile lentezza delle macchine fotografiche attraverso l’uso di lampi di luce. In un ambiente buio il soggetto è illuminato da lampi ad alta frequenza, tenendo aperto l’otturatore della macchina fotografica per tutta la durata del moto. In questo modo la pellicola si impressiona solamente negli intervalli di tempo in cui l’ambiente è illuminato e ne risulta un’immagine formata dalla sovrapposizione di situazioni successive. Se il soggetto è in movimento la sua figura appare in diversi punti dello spazio corrispondenti alle posizioni nei diversi istanti: la fotografia stroboscopica riesce dunque a fotografare l’evoluzione temporale di un fenomeno.

Parallelamente allo sviluppo delle tecniche fotografiche si presentò una nuova sfida tecnologica: se era possibile scomporre il movimento in immagini scattate a istanti ravvicinati, doveva pur essere possibile dare di nuovo movimento a quelle stesse immagini. In altre parole, dopo essere riusciti a fotografare il movimento si cercò il modo di restituirlo in quanto tale. Si trattava di «montare» gli scatti affinché l’occhio li ricomponesse come se l’immagine si stesse davvero muovendo. Esistevano da tempo dispositivi che venivano usati per realizzare dei primitivi «disegni animati», cioè per «muovere» figure disegnate, ma questa volta si trattava di usare vere e proprie fotografie della realtà. Stava dunque per nascere il cinema: il 28 dicembre 1895 i fratelli Lumière proiettarono in un rinomato caffè di Parigi i primi dieci cortometraggi della storia.

Anna Conti/Flickr

Eadweard Muybridge/Library of Congress

Fenachistoscopio: guardando il disco in rotazione da una finestrella le immagini paiono muoversi.

La lanterna magica proiettava su uno schermo immagini dipinte su lastre di vetro.

PAROLA CHIAVE

Spazio

PAROLA CHIAVE

DOMANDA Facendo scorrere velocemente tra le dita le pagine illustrate di un cineografo i disegni sembrano muoversi. Le immagini corrispondono a immagini successive di un moto bidimensionale e un oggetto disegnato sempre nella stessa posizione appare fermo. ¢ In quale direzione collocheresti un asse del tempo?

Massimiliano Trevisan

Andrew Davidhazy

DOMANDA Quale traiettoria descrive la mano destra della ballerina di Andrew Davidhazy? Disegnala in un sistema di riferimento bidimensionale.

Tempo

53

MAPPA DEI CONCETTI RAPPRESENTARE

LO SPAZIO

IL TEMPO

SISTEMA DI RIFERIMENTO SPAZIALE

ASSE DEL TEMPO

3D

t

rappresentazione grafica

istante di tempo

∆x ⫽ spostamento

grandezze fisiche

∆t ⫽ intervallo di tempo

∆x ⫽ 0

stop

∆x ⬎ 0

avanti

∆x ⬍ 0

indietro

2D

1D x

posizione

UNITÀ DI MISURA dello spostamento metro m

54

unità di misura

∆t ⬎ 0 sempre

UNITÀ DI MISURA dell’intervallo di tempo secondo s

DESCRIVERE IL MOVIMENTO

IL MOVIMENTO

SPAZIO

TEMPO

I corpi si muovono nello spazio quando la loro posizione cambia nel tempo

I corpi si muovono comunque nel tempo nello stesso verso dell’asse temporale

Un corpo che si muove descrive una curva detta GRAFICO SPAZIO-TEMPO

∆x ⬎ 0 ∆x ⬍ 0

La TRAIETTORIA è l’insieme dei punti dello spazio occupati dai corpi durante il movimento

∆t ⬎ 0 sempre

Il GRAFICO SPAZIO-TEMPO è una rappresentazione astratta del moto, con una dimensione in più rispetto al moto spaziale

APPROSSIMAZIONI PER LO STUDIO DEI MOTI

PUNTO: non è esteso nello spazio; coincide con il baricentro del corpo

PUNTO MATERIALE MATERIALE: ha tutta la massa del corpo

MOTO RETTILINEO

I moti descritti da un’unica coordinata spaziale sono approssimati come moti rettilinei

55

2

20 test (30 minuti)

2 ESERCIZI 1

RAPPRESENTARE UN CORPO NELLO SPAZIO

TEST INTERATTIVI CALCOLI 11 Disegna il sistema di riferimento con il numero mini-

mo di dimensioni necessarie per rappresentare il moto di un ascensore.

DOMANDE Che cosa è in fisica un punto materiale? Rispondi in 5 righe.

1

12 Disegna il sistema di riferimento con il numero mini-

mo di dimensioni necessarie per studiare il moto di uno sciatore su una pista.

2 Perché a volte per studiare un moto in fisica si ap-

prossimano i corpi come punti materiali? Rispondi in 10 righe facendo alcuni esempi. 3 Mentre camminiamo il nostro baricentro descrive

una traiettoria diversa rispetto a quella descritta dalla punta del nostro piede destro. Quale delle due può essere utilizzata come traiettoria del nostro corpo nel suo insieme?

CALCOLI 4 Disegna, rispetto alla Terra, la traiettoria di uno yo-yo

che oscilla su e giù a bordo di un aereo che viaggia in linea retta a velocità costante.

13 Disegna schematicamente le pale eoliche illustrate

in figura e riporta sul disegno un sistema di riferimento in cui le pale eoliche sono ferme.

5 Disegna la traiettoria di una punta di un paio di for-

bici durante il loro uso, immaginando di osservare il movimento dal perno delle forbici. 6 Come cambia la traiettoria della punta del paio di

forbici dell’esercizio 5 se ne osserviamo il moto rispetto al piano di lavoro? Disegnala. (Suggerimento: durante l’uso le forbici avanzano rispetto al piano di lavoro.) 7 Immagina di osservare la Terra dal Sole. Disegna la

2

Temistocle Lucarelli/Shutterstock

traiettoria di un punto che sulla Terra percorre a velocità costante un meridiano da nord a sud in 24 h.

SISTEMI DI RIFERIMENTO

DOMANDE 8 Sospendi un bullone a un sottile filo di cotone e fallo

oscillare con un piccolo spostamento dalla verticale. Per rappresentare il fenomeno useresti un sistema tridimensionale, bidimensionale o unidimensionale? Motiva la tua scelta. 9 «La Terra è ferma e il Sole le gira intorno». Completa

la frase in modo che sia corretta. 10 A proposito dell’allora rivoluzionaria proposta coper-

nicana di porre il Sole, e non la Terra, al centro dell’Universo, Giordano Bruno parla di «mettere sotto sopra il mondo». Quale può essere il senso di questa espressione in termini di sistemi di riferimento?

56

3

POSIZIONE E SPOSTAMENTO

DOMANDE 14 Durante un viaggio in autostrada un automobilista

pignolo ha annotato il valore letto sul contachilometri ogni mezz’ora. Con i dati è stata compilata la seguente tabella: h km

15:00 15:30 16:00 45 010 45 065 45 118

16:30 17:00 17:30 45 163 45 223 45 279

La grandezza espressa in kilometri è uno spostamento o una distanza percorsa?

DESCRIVERE IL MOVIMENTO 15 Il vagone di un rollercoaster ha una traiettoria molto

articolata nello spazio tridimensionale, ma il suo moto può essere studiato con un sistema di riferimento unidimensionale: perché? Spiega in 10 righe.

2

¢ Riporta le posizioni del canguro su un asse. Qual è lo spostamento complessivo? 22 Quanti salti ha fatto in tutto il canguro dell’esercizio

22? Qual è la distanza percorsa?

4

ISTANTE E INTERVALLO DI TEMPO

DOMANDE 23 La rappresentazione degli istanti sull’asse del tempo Daboost/Shutterstock

ha alcune analogie con la rappresentazione delle posizioni sull’asse dello spazio, ma c’è una differenza tra gli intervalli di tempo e gli spostamenti: quale? 24 A che cosa corrispondono gli istanti di tempo nega-

16 Che cosa significa il simbolo delta (∆) che precede la

posizione x? 17 Uno spostamento può essere positivo, negativo o nul-

lo: a quali situazione corrisponde ciascuno dei tre casi? 18 Per rappresentare gli spostamenti durante una pas-

seggiata da casa al giardino pubblico, dove è necessario posizionare l’origine dell’asse di riferimento? Motiva la risposta in 5 righe.

CALCOLI

tivi? 25 Come si chiamano in fisica rispetto all’asse del

tempo quelle che in matematica vengono chiamate genericamente «coordinate» di un asse cartesiano?

CALCOLI 26 Durante una corsa campestre vengono cronometra-

ti i tempi di arrivo degli atleti; i primi dieci sono riportati in ordine crescente: 6⬘ 30⬙; 6⬘ 32⬙; 6⬘ 33⬙; 6⬘ 37⬙; 6⬘ 40⬙; 6⬘ 44⬙;

19 In riferimento all’esercizio 14, metti i valori su un asse

e rispondi alle domande seguenti. ¢ Qual è stata la mezz’ora in cui è stata percorsa più strada? ¢ Quanta strada è stata percorsa tra le 15:30 e le 17:00? 20 Un uomo va a passeggio con il suo cane. Per ogni

6⬘ 52⬙; 6⬘ 55⬙; 6⬘ 58⬙; 7⬘ 07⬙. ¢ Riporta i valori su un asse del tempo. 27 In riferimento all’esercizio 27, quanto tempo dopo il

primo è arrivato al traguardo il terzo classificato? ¢ Qual è l’intervallo di tempo trascorso tra l’arrivo del primo e l’arrivo del decimo classificato?

metro percorso dall’uomo il cane ne percorre tre, due avanti e uno indietro. Calcola il rapporto tra la distanza percorsa dal cane e il suo spostamento alla fine della passeggiata.

28 Quanto vale in secondi l’intervallo di tempo compre-

21 Un canguro procede a salti di un metro lungo una

29 Due amici si danno appuntamento alle 15:30. Il pri-

strada rettilinea compiendo i seguenti spostamenti ogni due secondi: ∆x1 ⫽ 2 m; ∆x2 ⫽ 4 m; ∆x3 ⫽ ⫺3 m; ∆x4 ⫽ 0 m; ∆x5 ⫽ 1 m

so tra le 17:45 e le 18:33? [2880 s]

mo arriva puntualmente, mentre il secondo arriva con 450 secondi di ritardo. ¢ A che ora arriva il ritardatario? 30 La campanella di una scuola è collegata con un ti-

Lee Torrens/Shutterstock

mer digitale che la fa suonare ogni 50 minuti. ¢ Dopo quanti secondi suona l’inizio della ricreazione, alla fine della terza lezione? ¢ Che ora leggono gli studenti sul proprio orologio, se la prima campanella suona alle 8:00? [9000 s; 10:30]

57

2 ESERCIZI 5

IL GRAFICO SPAZIO-TEMPO

DOMANDE 31 «L’insieme dei punti del piano che hanno come co-

ordinate gli intervalli di tempo e le posizioni corrispondenti di un corpo in movimento ne rappresentano il grafico spazio-tempo». Questa frase è sbagliata, correggila. 32 Qual è la differenza tra traiettoria e grafico spazio-

37 Considera il grafico spazio-tempo dell’esercizio 34.

¢ Individua sul grafico le posizioni negli istanti t1 ⫽ 10 s; t2 ⫽ 13 s; t3 ⫽ 30 s; t4 ⫽ 38 s. 38 Quanto valgono lo spostamento complessivo e lo

spazio percorso approssimativamente dal ciclista dell’esercizio 34? [150 m; 190 m]

39 In riferimento al grafico dell’esercizio 36, quanto vale

lo spazio percorso dal gatto? Che cosa accade negli ultimi 2 secondi?

tempo? Rispondi in 5 righe. 33 Quante dimensioni ha il grafico spazio-tempo del

moto di una farfalla in un prato fiorito? 34 Osserva il seguente grafico spazio-tempo del moto

di un ciclista.

DOMANDE 40 Perché questo grafico è assurdo? Spiega in 5 righe. x

x (m) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 O

ESERCIZI DI RIEPILOGO

O

t

41 In base a quale approssimazione possiamo rappre4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 t (s)

¢ Dalle informazioni in esso contenute puoi ricavare in quale intervallo di tempo il ciclista ha pedalato in salita? Motiva la risposta.

sentare il grafico spazio-tempo di un uomo che cammina con una linea? 42 Il panning è una tecnica fotografica usata per ripro-

durre gli oggetti in movimento facendo in modo che essi siano fermi, mentre scorre tutto il resto. Osserva le seguenti fotografie: una è stata scattata usando la tecnica del panning, l’altra è una foto «mossa».

CALCOLI 35 Riporta su un piano spazio-tempo i dati della tabella

dell’esercizio 14. 36 Il moto di un gatto che si muove lungo una strada ret-

tilinea è rappresentato dal seguente grafico spaziotempo:

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s)

¢ Che cosa accade nei primi 4 secondi? ¢ Quanto vale lo spostamento totale nei 10 secondi complessivi?

58

Massimiliano Trevisan

x (m) 7 6 5 4 3 2 1

2

DESCRIVERE IL MOVIMENTO ¢ In quale sistema di riferimento la macchina fotografica è ferma? 43 Descrivi in 5 righe il moto di un gatto descritto dal

seguente grafico spazio-tempo: x (m) 4,0

x (m) 14 12 10 8 A 6 4 2 O

3,0

B C

D E 5

10

15 t (s)

2,0 [∆xAC ⫽ 3 m; ∆xCE ⫽ ⫺9 m; ∆xAE ⫽ ⫺6 m]

1,0 O

49 Lungo un’autostrada due automobili A e B procedo5

10

15 t (s)

44 Un ragazzo è seduto sul sedile di un treno e saluta

dal finestrino un amico fermo in piedi sulla banchina, mentre il treno si allontana dalla stazione. ¢ Quale dei due amici si sta muovendo? Motiva la tua risposta in 10 righe. 45 Nella situazione dell’esercizio 44 il ragazzo seduto

sul treno sta muovendo una mano rispetto al treno: perché possiamo comunque affermare che egli è fermo rispetto al treno? 46 Quale concetto studiato in questo capitolo è stato

illustrato nel dipinto Lo staffato, di Giovanni Fattori? Quale informazione ci dà sull’evento rappresentato? Rispondi in 5 righe.

no a velocità diverse lungo la stessa direzione. Alle 13:14 l’automobile A supera l’automobile B, all’altezza del 124° kilometro. Alle 13:00 l’automobile A si trovava al 94° kilometro, mentre l’automobile B al 97°. ¢ Disegna sullo stesso piano cartesiano i grafici spazio-tempo di entrambe le automobili, usando colori diversi per ciascuna di esse. 50 Durante un esperimento didattico in cui si studia il

moto di un carrello vengono raccolti i dati nella seguente tabella: istante (s)

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

posizione (cm)

4,2

35,3

66,4

97,5

128,6

¢ Disegna il grafico spazio-tempo. ¢ Calcola gli spostamenti ogni 0,3 s. ¢ Quali sono le sensibilità degli strumenti con cui sono state effettuate le misure? [31,1 cm; 0,1 s; 1 mm]

51 Nel seguente piano spazio-tempo sono rappresen-

tati, in colori diversi, i grafici spazio-tempo di due automobili A e B che procedono in direzioni opposte dell’autostrada. x (km) 100

PROBLEMI

A

50

47 Disegna un possibile grafico spazio-tempo di un

cane che, a spasso con il padrone, percorre due metri avanti e uno indietro. ¢ Disegna la sua traiettoria.

B 0 16:00

16:30

17:00 t (h)

48 Scrivi le coordinate dei punti A, B, C, D, E del seguen-

te grafico spazio-tempo e calcola gli spostamento tra i punti A e C; C ed E; A ed E.

¢ A che ora le due automobili si trovano a transitare allo stesso kilometro?

59

2 ESERCIZI ¢ Quali sono gli spostamenti complessivi di ciascuna automobile?

53 Una serranda può essere abbassata o sollevata per

mezzo di una manovella che gira rispettivamente in senso orario o antiorario.

¢ Quale delle due automobili si è fermata in un autogrill? Per quanto tempo?

¢ Disegna la traiettoria dell’estremità della manovella in entrambi i casi.

52 I dischi in vinile hanno sulla superficie un microsolco

nel quale scorre la puntina, solidale a un braccetto, che vibra per le irregolarità del profilo interno e riproduce così la musica incisa sul disco. Durante la riproduzione il disco ruota e la puntina, partendo dalla periferia del disco, si sposta verso il suo centro lungo la traccia del solco.

¢ Quali differenze osservi? ¢ Disegna i rispettivi grafici spazio-tempo. ¢ Quali differenze osservi?

VERSO L’UNIVERSITÀ

Silvano Audisio/Shutterstock

1

¢ Disegna la traiettoria della puntina nel sistema di riferimento della Terra e nel sistema di riferimento del disco.

60

Rientrato in Italia da un viaggio negli Stati Uniti alle 11 e 30 ora italiana, Carlo afferma di aver fotografato la Statua della Libertà 27 ore e un quarto prima. Ricordando che la differenza di fuso orario tra New York e l’Italia è di 6 ore in avanti, che ora era a New York al momento della foto? A

1 e 15

D

14 e 45

B

14 e 15

E

2 e 15

C

1 e 45

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2010/2011)

CAPITOLO

La velocità

“

Noi affermiamo che la magnificenza del mondo si è arricchita di una bellezza nuova; la bellezza della velocità. Un automobile da corsa col suo cofano adorno di grossi tubi simili a serpenti dall’alito esplosivo...un automobile ruggente, che sembra correre sulla mitraglia, è più bello della Vittoria di Samotracia.

Tommaso Marinetti, Manifesto del futurismo

”

Collezione Mattioli, Milano/ Bridgeman Art Library/Archivi Alinari

Il Manifesto del futurismo, pubblicato nel 1909 da Filippo Tommaso Marinetti, introduce il movimento culturale che inneggiava al progresso tecnologico, individuando nella velocità la sua più alta manifestazione. In effetti i primi del Novecento sono caratterizzati dalla progressiva riduzione dei tempi negli spostamenti da un luogo all’altro, nella produzione industriale, nelle telecomunicazioni; un fenomeno che possiamo osservare anche ai nostri giorni. In questo capitolo imparerai che per un fisico la velocità è una grandezza che si ottiene dalla combinazione di due grandezze fondamentali: lo spazio e il tempo. La velocità è definita come il rapporto tra una distanza percorsa e il tempo impiegato a percorrerla, e infatti nella vita di tutti i giorni misuriamo la velocità in kilometri all’ora, cioè con il rapporto di un’unità di spazio e di un’unità di tempo.

Quando la velocità di un corpo ha lo stesso valore istante per istante e la sua traiettoria è rettilinea, abbiamo il moto più semplice da studiare, il moto rettilineo uniforme. Per descriverlo a parole diciamo che distanze uguali vengono percorse in tempi uguali; in termini matematici scriviamo un’equazione che ci permette di calcolare le posizioni che il corpo assume durante un moto nei vari istanti di tempo. In altri termini, se conosciamo la velocità di un moto rettilineo uniforme e il punto di partenza possiamo prevedere istante per istante tutte le posizioni successive. In generale, la regola matematica che lega posizioni e istanti di tempo è detta legge oraria. In questo capitolo imparerai a usare quella del moto rettilineo uniforme, che vedrai essere strettamente collegata al suo grafico spazio-tempo.

Umberto Boccioni, Dinamismo di un ciclista, 1913. La velocià fu esaltata dai futuristi come simbolo del progresso tecnologico, e in effetti il Novecento è stato il secolo della velocità, con la riduzione dei tempi negli spostamenti e la meccanizzazione della produzione e delle comunicazioni.

PAROLE CHIAVE Velocità Moto rettilineo uniforme Legge oraria

61

3

LA VELOCITÀ

1

LA VELOCITÀ MEDIA

Per valutare il moto di un corpo è importante conoscere la sua posizione e l’istante di tempo corrispondente. Il concetto di velocità ci permette di confrontare distanze percorse e intervalli di tempo impiegati.

enciktat/Shutterstock

Figura 1. In una gara di canottaggio la stessa distanza viene percorsa in tempi diversi.

Analizziamo i grafici spazio-tempo relativi a due gatti che si spostano nello spazio lungo una retta (figura 2).

0

posizione

x (m) 8 7 6 5 4 3 2 1

posizione

Figura 2. Due gatti compiono spostamenti uguali in intervalli di tempo diversi.

x (m) 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 istante t (s)

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 istante t (s)

Il gatto del primo grafico in 5 secondi si sposta tra i punti di coordinate 2 m e 7 m, cioè ∆t01 ⫽ t1 ⫺ t0 ⫽ 5 s ⫺ 0 s ⫽ 5 s ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 7 m ⫺ 2 m ⫽ 5 m In altre parole, impiega 5 secondi a spostarsi di 5 metri. Il secondo gatto compie lo stesso spostamento, ma impiega un tempo diverso: ∆t02 ⫽ t2 ⫺ t0 ⫽ 10 s ⫺ 0 s ⫽ 10 s ∆x02 ⫽ x2 ⫺ x0 ⫽ 7 m ⫺ 2 m ⫽ 5 m cioè percorre 5 metri in 10 secondi. I moti dei due gatti sono entrambi rettilinei e si svolgono su un tratto lungo 5 m, ma hanno durate diverse. Nel linguaggio comune diciamo che il primo gat-

62

LA VELOCITÀ

3

to è stato più veloce del secondo perché ha impiegato meno tempo a percorrere la stessa distanza. In fisica è necessario precisare che la velocità di cui si parla è una velocità media, cioè di una grandezza che si riferisce al moto nel suo insieme. Infatti non è detto che il secondo gatto non sia stato fermo per gran parte del tempo, per poi raggiungere la posizione finale con un balzo rapidissimo. Attraverso la rappresentazione grafica del moto osserviamo che la velocità media dipende soltanto dai punti iniziale e finale del moto e non da quello che accade tra essi. Ciò significa che possiamo ignorare la forma della curva e porre l’attenzione solo sul segmento che unisce i due punti (figura 3). x (m) 8 7 6 5 4 3 2 1

posizione

posizione

x (m) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 istante t (s)

0

Figura 3. La velocità media non dipende dalla forma della curva.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 istante t (s)

Per capire in che modo questo segmento ci dà informazioni sulla velocità media di un moto facciamo un esempio. Immaginiamo una gara di corsa che si svolge lungo un tratto rettilineo tra un punto di partenza e uno di arrivo uguali per tutti. I partecipanti partono tutti insieme all’avvio del cronometro, ma impiegano tempi diversi a raggiungere il traguardo e perciò le loro velocità medie sono diverse. Schematizziamo la situazione su un piano spaziotempo (figura 4).

Figura 4. Ogni segmento rappresenta il moto medio di un atleta che parte all’avvio del cronometro e arriva al traguardo dopo un certo intervallo di tempo.

x

t1

t2

t3

t4

t Jim Parkin / Shutterstock

Dato che l’atleta più veloce è quello che impiega meno tempo a raggiungere il traguardo, la velocità media maggiore corrisponde al segmento che ha una pendenza maggiore, cioè è quello che forma un angolo maggiore con l’asse del tempo. Analogamente, all’atleta più lento corrisponde un segmento con pendenza minore. Un atleta che rimanesse fermo alla partenza sarebbe rappresentato su un grafico da un segmento con pendenza nulla, cioè parallelo all’asse del tempo: questa rappresentazione corrisponde a una posizione che rimane costante allo scorrere del tempo. Ecco dunque una prima definizione: La velocità media è data dalla pendenza del segmento che unisce i punti iniziale e finale del moto in un grafico spazio-tempo.

63

3

LA VELOCITÀ

Per scrivere questa grandezza in termini di spostamento e di intervallo di tempo dobbiamo capire come si esprime la pendenza di un segmento in un piano spazio-tempo. Intuitivamente osserviamo che, a parità di intervallo di tempo, pendenze maggiori – cioè velocità medie maggiori – corrispondono a spostamenti maggiori. A parità di spostamento, invece, le velocità medie maggiori sono quelle con intervalli di tempo minori (figura 5). x x1 Figura 5. È più veloce chi nello stesso tempo percorre una distanza maggiore, oppure chi percorre la stessa distanza in un tempo minore.

la stessa distanza in tempi diversi

nello stesso tempo distanze diverse

t1

t2

t

In altri termini: La velocità media è uguale al rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato a compierlo: ∆x (3.1) vm = ∆t

L’unità di misura della velocità media Nel Sistema Internazionale lo spostamento si misura in metri e l’intervallo di tempo in secondi. Da queste unità di misura si ricava quella della velocità media: unità di misura della velocità media ⫽

unità di misura dello spostamento m ⫽ ⫽ m/s unità di misura dell’intervallo di tempo s

L’unità di misura della velocità media nel Sistema Internazionale è il metro al secondo (m/s).

La velocità media può essere negativa o nulla Quando un corpo «torna indietro», cioè si muove nel verso opposto rispetto all’asse spaziale, lo spostamento ∆x è negativo. In questo caso anche il rapporto: ∆x vm ? ∆t è negativo, perché ∆t è sempre maggiore di zero.

64

LA VELOCITÀ

3

La velocità media è negativa quando lo spostamento è negativo e, analogamente, la velocità media è nulla quando lo spostamento è nullo.

La distanza percorsa Dato che su un percorso chiuso lo spostamento è nullo (in quanto si ritorna nella stessa posizione), anche se la distanza percorsa non lo è, può essere utile definire la velocità media come rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerla: ∆s vm ? (3.2) ∆t dove ∆s è la somma degli spostamenti presi in valore assoluto: ∆s = ∆x 01 + ∆x12 + ... Quando si usa lo spazio percorso al posto dello spostamento, la velocità media è sempre positiva.

ESEMPIO ¢ Per andare da casa a scuola un ragazzo percorre 1000 m in 10 min. Quanto vale la sua velocità media in m/s?

x (m) 1200 1000 800 600 400 200 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (min)

SOLUZIONE Scriviamo i dati utilizzando i secondi al posto dei minuti: ∆x ⫽ 1000 m ∆t ⫽ 10 min ⫽ 10 min ⫻ 60 s/min ⫽ 600 s Questi dati vanno sostituiti nella formula (3.1): vm ?

∆x 1000 m ? ? 1, 7 m/s ∆t 600 s

Una persona che percorre 1000 m in 10 min ha una velocità media di 1,7 m/s. DOMANDA Utilizzando il sistema di riferimento dell’esempio precedente, calcola la velocità media durante il ritorno da scuola a casa se il tempo impiegato è di 8 min. Quanto vale la velocità media sull’intero tragitto di andata e ritorno?

65

3

LA VELOCITÀ

Che fine hanno fatto gli indici? Nei primi esempi sullo spostamento indicavamo la differenza tra due posizioni con l’indice numerico in basso a destra (per esempio ∆x01) per indicare la differenza tra x1 e x0. A un certo punto questi indici numerici sono scomparsi dalle formule. Come mai? Gli indici non compaiono nelle formule generali perché queste sono valide in tutti i casi e non solo per valori specifici. La formula della velocità media è valida per tutti gli spostamenti ∆x con i relativi intervalli di tempo ∆t: gli indici compaiono quando questa formula viene applicata ai casi particolari.

Les Scholz / Shutterstock

2

Figura 6. L’unità di misura della velocità a noi più familiare è il kilometro all’ora.

COME SI UTILIZZA LA FORMULA DELLA VELOCITÀ MEDIA

Nella vita di tutti i giorni capita spesso di usare la formula (3.1) della velocità media, per esempio quando viaggiamo: se impieghiamo 2 h per andare da una città a un’altra che dista 200 km dalla prima calcoliamo immediatamente che la nostra velocità (media) è di 100 km/h. Non facciamo fatica nemmeno a ricavare che per percorrere 250 km con una velocità media di 100 km/h impiegheremmo 2,5 h. Sappiamo dunque usare con disinvoltura la formula, anche se con numeri tondi e familiari, come le velocità delle automobili e le distanze fra le città. Ora si tratta di imparare a fare calcoli meno immediati e a usare le unità di misura del Sistema Internazionale.

Equivalenza tra km/h e m/s Dato che l’unità che ci è più familiare è il km/h, ma l’unità di misura del Sistema Internazionale è il m/s, dobbiamo imparare a passare da un’unità all’altra. Ricordiamo che: 1 km ⫽1000 m 1 h ⫽ 3600 s e quindi: 1 km/h ⫽1000 m/3600 s ⫽1000/3600 m/s Semplificando: 1 km/h ⫽ 1/3,6 m/s cioè: se abbiamo una velocità in km/h e vogliamo conoscere il suo valore in m/s dobbiamo dividerla per 3,6. Analogamente si ricava che: 1 m/s ⫽ 3,6 km/h Quindi per sapere il valore in km/h di una velocità espressa in m/s dobbiamo moltiplicare per 3,6.

66

LA VELOCITÀ

3

ESEMPIO ¢ Quanto vale in m/s la velocità di 120 km/h? SOLUZIONE Dividiamo per 3,6: 120 km/h ?

120 m/s ? 33, 3 m/s 36

DOMANDA Quanto vale in km/h la velocità di 120 m/s?

GRANDEZZA FISICA DERIVATA

GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI spazio

Velocità media tempo

FORMULA

v=

UNITÀ DI MISURA Tabella 1. La velocità è una grandezza derivata.

∆x ∆t

m/s

spazio percorso nell’unità di tempo

metri al secondo

Calcolo della velocità media Per ricavare la velocità media di un moto unidimensionale a partire dalla formula (3.1) dobbiamo conoscere lo spostamento ∆x e l’intervallo di tempo ∆t. Questi possono essere espressi direttamente come dati numerici oppure in forma grafica.

ESEMPIO ¢ Il moto di un’automobile è rappresentato dal grafico spazio-tempo: x (km) 80 60 40 20 0

0,5

1,0

1,5 t (h)

SOLUZIONE Calcoliamo i valori della velocità media in km/h e in m/s nella prima mezz’ora e nella prima ora e mezza.

67

3

LA VELOCITÀ

Nella prima mezz’ora: ∆t01 ⫽ t1 ⫺ t0 ⫽ 0,5 h ⫺ 0 h ⫽ 0,5 h ∆x01 ⫽ x1 ⫺ x0 ⫽ 35 km ⫺ 0 km ⫽ 35 km Quindi: v m01 ?

∆x 01 35 km ? ? 70 km/h ∆t 01 0, 5 h

v m01 ? 70 km/h ?

70 km/h ? 19 m/s 3, 6 m/s

Nella prima ora e mezza: ∆t02 ⫽ t1 ⫺ t0 ⫽ 1,5 h ⫺ 0 h ⫽ 1,5 h ∆x02 ⫽ x2 ⫺ x0 ⫽ 75 km ⫺ 0 km ⫽ 75 km Quindi: v m02 ?

∆x 02 75 km ? ? 50 km/h ∆t 02 1, 5 h

v m02 ? 50 km/h ?

50 km/h ? 14 m/s 3, 6 m/s

DOMANDA Quanto vale la velocità media di un’automobile che parte dalla posizione 75 km e raggiunge l’origine in 1,5 h? Disegna il grafico spazio-tempo relativo. (Considera il verso del moto rispetto a quello dell’asse delle ascisse).

Sui viaggi di andata e ritorno in genere si chiede di indicare la velocità media sull’intero tragitto, per cui si utilizza la formula (3.2) in cui al posto dello spostamento (che sarebbe zero) c’è la distanza percorsa, data dalla somma degli spostamenti parziali in valore assoluto.

Calcolo dello spazio percorso Lo spazio percorso, che in un moto rettilineo corrisponde allo spostamento ∆x, si ricava dalla formula diretta risolvendo rispetto all’incognita, cioè moltiplicando entrambi i membri per ∆t: ∆x vm = ∆t ∆x ∆t v m ⋅ ∆t = ∆t ∆x ⫽ vm ⋅ ∆t

(3.3)

Questa è la formula da usare per calcolare di quanto si è spostato un corpo in un intervallo di tempo ∆t, se la sua velocità media è vm.

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LA VELOCITÀ

3

ESEMPIO ¢ Un ragazzo è uscito di casa alle 15:30 e ha raggiunto la casa di un amico alle 15:50. Se la velocità media lungo il tragitto è stata di 2,0 m/s, quanta strada ha percorso? SOLUZIONE I dati sono: vm ⫽ 2,0 m/s ∆t ⫽ 15 h 50⬘ ⫺ 15 h 30′ ⫽ 20′ ⫽ 20 min ⫻ 60 s/min ⫽ 1200 s Approssimando il moto con un moto rettilineo la distanza percorsa è quindi ∆x ⫽ vm ⋅ ∆t ⫽ 2,0 m/s ⫻ 1200 s ⫽ 2400 m ⫽ 2,4 km DOMANDA Quanta strada ha percorso il ragazzo se invece di 2,0 m/s la sua velocità media è stata di 8,3 m/s?

Calcolo del tempo impiegato Con la formula (3.1) si può anche ricavare la durata ∆t di un moto rettilineo, una volta noto lo spostamento ∆x. Moltiplicando a destra e a sinistra per ∆t e dividendo per vm, si risolve rispetto all’incognita: ∆t ?

∆x vm

(3.4)

Questa formula fornisce il tempo impiegato a percorrere una distanza pari a ∆x con una velocità media vm.

ESEMPIO ¢ Quanto tempo impiega una motocicletta a percorrere 150 km a una velocità media di 120 km/h? SOLUZIONE Attenzione alle unità di misura. Se si usano i km/h come unità di misura della velocità bisogna esprimere le distanze in chilometri e il tempo in ore. Dalla formula (3.4): ∆t ?

∆x 150 km ? ? 1, 25 h 120 km/h vm

Questo risultato espresso in formato decimale più essere convertito in formato sessagesimale: 1,25 h ⫽ 1 h ⫹ 0,25 h ⫽ 1 h ⫹ 0,25 ⫻ 60 min ⫽ 1 h 15 min DOMANDA A che ora arriva a destinazione un motociclista che parte alle 9:00 e percorre 150 km con una velocità media di 110 km/h?

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3

LA VELOCITÀ

3

LA VELOCITÀ ISTANTANEA

La velocità media dà informazioni sul moto nel suo insieme, ma non dice nulla a proposito di ciò che accade durante il tragitto. In un una gara ciclistica, per esempio, due atleti che arrivano insieme al traguardo hanno la stessa velocità media sulla tappa, anche se ciascuno di essi potrebbe avere accelerato, rallentato o essersi fermato più volte in momenti e per periodi di tempo differenti dall’altro. Cioè, anche se le velocità medie sono le stesse, i due ciclisti potrebbero aver avuto, istante per istante, velocità diverse. Come si calcola quindi la velocità in un determinato istante, cioè la velocità istantanea? Abbiamo definito l’istante come la coordinata di un punto sull’asse del tempo, mentre la velocità media contiene un intervallo, cioè una differenza tra istanti. In questo caso l’intervallo di tempo è zero perché consideriamo un solo istante. Bisogna forse utilizzare una formula diversa? In realtà non serve un’altra formula, ma è necessario approfondire il ragionamento. Per capire il concetto di velocità istantanea partiamo dal grafico spazio-tempo di un moto qualsiasi. La velocità media tra gli istanti t1 e t2 è data dalla pendenza del segmento P1P2, cioè della retta cui il segmento appartiene. Immaginiamo ora di prendere t2 sempre più vicino a t1, fino a quando il segmento non si vede quasi più (figura 7). x

x P2

x2 Figura 7. Se prendiamo l’istante t2 sempre più vicino all’istante t1 il punto P2 si avvicina al punto P1.

Figura 8. Se si ingrandisce il grafico si vede che t2 può essere ancora avvicinato a t1, e P2 si avvicina a P1.

P2

P2 P1 x

x1

x2

P1

t1

x1

t2

t

P1

P2

P2

t1 t2 t2

P2

P2

t2 t2

t

Certo, potremmo ingrandire il grafico con uno zoom, ma nessuno ci vieterebbe di avvicinare ancora t2 a t1 (figura 8). Gli istanti t1 e t2 sono vicinissimi, ma restano comunque due punti che individuano un intervallo di tempo ∆t; quindi possiamo continuare a usare la formula della velocità media. Tuttavia, se si vuole definire una velocità istantanea, bisogna continuare a spostare t2 verso t1: i P2 punti P1 e P2 saranno sempre più vicini e il segmento diventerà quasi un punto. Mentre t2 si avvicina a t1, anche x2 si avvicina a x1: P2 si avvicina a P1 e la retta diventa la tangente alla curva del grafico. La pendenza della retta tangente al grafico nel punto di coordinate (t1; x1) è la velocità istantanea in quel punto, cioè in quella posizione e in quell’istante.

t

In altre parole, possiamo pensare alla velocità istantanea come a una velocità media tra due istanti di tempo infi-

70

LA VELOCITÀ

3

nitamente vicini, cioè che si avvicinano l’uno all’altro sempre di più, indipendentemente dalla scala del grafico. Possiamo continuare a ingrandire il grafico, ma dobbiamo comunque continuare a far avvicinare i due punti: in questo modo definiamo la tangente alla curva in un punto la cui pendenza è la velocità istantanea in quel punto. Per calcolare la velocità istantanea così definita non sono sufficienti le regole dell’algebra, ma bisogna introdurre una matematica nuova, detta calcolo infinitesimale, che tiene conto del fatto che l’istante t2 non sta «fermo» ma si avvicina sempre più all’istante t1 senza mai raggiungerlo. Un intervallo di tempo di questo tipo è detto «infinitesimo». Qui non faremo calcoli di questo tipo, e tratteremo la velocità istantanea solo dal punto di vista concettuale, oppure la approssimeremo con una velocità media su un intervallo di tempo piccolo ma finito.

Sulle autostrade italiane è operativo un sistema di controllo della velocità dei veicoli detto «tutor». Questo dispositivo calcola la velocità media dopo aver misurato il tempo ∆t che un veicolo impiega ad attraversare due traguardi posti a una distanza ∆x di circa 15-20 km. Non dà però informazioni su ciò che avviene in quel tratto di strada, nel quale il veicolo potrebbe rallentare, accelerare o addirittura fermarsi. Il cosiddetto «autovelox» si basa sulla stessa strategia, ma la velocità media è calcolata tra due traguardi molto vicini, posti a circa 15-20 cm di distanza. Anche se in linea di principio l’automobilista potrebbe accelerare, rallentare o fermarsi tra essi, di fatto la cosa è impossibile: per questo motivo la velocità rilevata da un autovelox può essere considerata, con buona approssimazione, una velocità istantanea.

Autoplus

ESEMPIO

¢ Quanto tempo impiega un veicolo a percorrere la distanza di 20 cm tra due traguardi di un autovelox se la sua velocità media su tale tratto è di 130 km/h? SOLUZIONE Esprimendo le distanze in metri e le velocità in metri al secondo, i dati sono: ∆x ⫽ 20 cm ⫽ 0,20 m v m ? 130 km ?

130 m/s ? 36, 1 m/s 3, 6

Utilizzando l’intervallo di tempo ricavato dalla formula (3.1) avremo:

71

3

LA VELOCITÀ

∆t =

∆x 0, 20 m = = 5, 5 × 10−3 s 36, 1 m/s vm

Il tempo che impiega un’automobile a percorrere 0,20 m con una velocità media di 36,1 m/s è dell’ordine del millesimo di secondo: un tempo troppo breve perché l’automobilista riesca a modificare significativamente il moto. Per questo la velocità rilevata dall’autovelox può essere considerata un’approssimazione di quella istantanea. DOMANDA Quanto tempo impiega un’automobile a raggiungere il secondo traguardo di un «tutor», posto a 20 km dal primo, se la velocità media tra essi è di 130 km/h?

IN LABORATORIO

4

Il moto rettilineo uniforme š Video (6 minuti) š Test (3 domande)

IL MOTO A VELOCITÀ COSTANTE

In generale, in un moto rettilineo qualsiasi la velocità istantanea cambia nel tempo, come si vede confrontando tra loro le pendenze delle tangenti in diversi punti di un ipotetico grafico spazio-tempo (figura 9). x

Figura 9. In un moto vario la velocità può cambiare istante per istante.

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t

Invece, se la velocità istantanea non cambia mai durante il moto, questo è detto moto rettilineo uniforme e corrisponde alla situazione del grafico in figura 10, in cui si vede che la pendenza delle tangenti coincide con la pendenza della retta che unisce gli estremi del moto. La velocità è, istante per istante, sempre uguale alla velocità media. In un moto rettilineo uniforme la velocità istantanea coincide con la velocità media. Su qualsiasi intervallo si vada a calcolare la velocità media, questa ha sempre lo stesso valore, uguale al valore calcolato tra gli estremi. In altri termini, il rapporto tra due spostamenti qualsiasi durante un moto rettilineo uniforme è uguale al rapporto tra i due intervalli di tempo corrispondenti, cioè spazio percorso e tempo impiegato sono direttamente proporzionali. La rappresentazione grafica di un moto rettilineo uniforme è illustrata in figura 10.

72

LA VELOCITÀ x

x

t1

t2

t3

t4

3 Figura 10. Quando la velocità è la stessa istante per istante il moto è detto uniforme.

t

t

Il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniforme è una retta la cui pendenza corrisponde alla velocità costante. L’intersezione di tale retta con l’asse dello spazio corrisponde alla posizione di partenza rispetto all’origine scelta. QUIETE

MOTO RETTILINEO UNIFORME

POSIZIONE

costante

proporzionale a t

VELOCITÀ

nulla

costante

Tabella 2. Confronto tra quiete e moto rettilineo uniforme.

Il moto rettilineo uniforme come approssimazione Nella vita di tutti i giorni, come i moti non sono propriamente rettilinei, così non sono neanche moti propriamente uniformi. Pensando per esempio ai veicoli, sappiamo bene che durante un viaggio la velocità cambia di continuo, e sono brevi i tratti in cui può essere considerata costante. Tuttavia, così come usiamo l’approssimazione rettilinea per tutti i moti unidimensionali, possiamo usare un’approssimazione anche per i moti vari, cioè quelli durante i quali la velocità non è rigorosamente costante. In moltissimi casi, infatti, possiamo studiare il moto come se fosse uniforme con velocità pari alla velocità media (figura 11). x

moto uniforme moto vario

Figura 11. In molti casi un moto vario può essere approssimato con un moto uniforme.

moto vario

t

Un moto durante il quale la velocità può cambiare è detto vario, e in molti casi può essere approssimato con un moto uniforme utilizzando la velocità media.

73

3

LA VELOCITÀ

Traiettoria e grafico spazio-tempo Un moto la cui traiettoria è una retta è detto rettilineo, ma in generale il suo grafico spazio-tempo può essere una curva qualsiasi. Il fatto che si svolga in un’unica direzione rende possibile utilizzare un unico asse per rappresentare le posizioni e gli spostamenti. Un moto rettilineo uniforme, oltre ad avere una retta come traiettoria, ha una retta anche come grafico spazio-tempo. «Uniforme» significa infatti che la velocità è costante, cioè che la pendenza della tangente alla curva istante per istante non cambia mai e questo corrisponde al fatto che la curva in questione è una retta.

Il moto rettilineo uniforme intorno a noi

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yurok / Shutterstock

Joggie Botma / Shutterstock

Vladimir Kirienko / Shutterstock

Figura 12. Un paracadutista cade a circa 180 km/h prima di aprire il paracadute. Le gocce di pioggia raggiungono il suolo con velocità costante tra i 10 e i 30 km/h. Per un motivo simile anche le bollicine di gas, se il loro volume non cambia, risalgono a velocità costante. Il cruise-control è un dispositivo elettronico che si usa per mantenere costante la velocità dei veicoli.

Dall’esperienza di tutti i giorni sappiamo che non è semplice viaggiare con un veicolo a velocità costante: basta cambiare di poco la pressione sul pedale dell’acceleratore o su quello del freno e la nostra velocità aumenta o diminuisce in modo evidente. Se poi lasciamo che le cose vadano per conto loro, senza motore e senza pedali, inevitabilmente ci fermiamo. Il responsabile di ciò è l’attrito, una forza opposta al verso del moto di un corpo. Nello spazio, in assenza di attrito, avremmo tutta un’altra esperienza: gli oggetti fluttuerebbero nel vuoto e, lanciati in una direzione, non la modificherebbero mai proseguendo all’infinito a velocità costante. Anche in presenza di attrito, sulla Terra si possono osservare moti rettilinei praticamente uniformi in tutti i casi in cui una forza contrapposta all’attrito mantiene il corpo in movimento. È il caso degli oggetti che cadono da un’altezza elevata: l’attrazione gravitazionale tende a far aumentare la velocità durante la caduta, ma insieme alla velocità aumenta anche l’azione frenante dell’aria. Il risultato è che dopo un po’ qualunque corpo cade a velocità costante.

3

LA VELOCITÀ

LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME

Galileo Galilei fu il primo a introdurre il tempo nello studio dei moti. In particolare si occupò dei corpi in caduta libera, che all’epoca si riteneva avvenissero a velocità costante e dipendente dal peso. Galileo iniziò a chiedersi che cosa accade nel tempo mentre il corpo cade, e riuscì a scoprire non solo che la velocità non dipende dal peso ma che non è nemmeno costante, perché aumenta seguendo una regola che vedremo più avanti. Un moto è noto nel tempo quando si sa fornire istante per istante la posizione del corpo: come scoprì Galileo, alcuni moti (figura 13) possono essere ben descritti da una formula matematica, detta legge oraria. La legge oraria di un moto è una regola che stabilisce come varia la posizione di un corpo al variare del tempo. Nel caso del moto rettilineo uniforme, la legge oraria si ricava a partire dalla formula (3.1) della velocità media: ∆x vm ? ∆t

ETIENjones / Shutterstock

5

Figura 13. Se non c’è regolarità non si possono fare previsioni su un moto.

che sappiamo essere uguale alla velocità istantanea v costante durante il moto. Siccome siamo interessati a scrivere una formula che valga per tutti gli istanti, consideriamo lo spostamento tra l’istante iniziale t0, che corrisponde alla posizione x0, e un generico istante t, senza indice, che corrisponde alla generica posizione x. Quindi scriviamo una formula della velocità media tra il punto iniziale del moto e un punto qualsiasi: v=

x − x0 t − t0

Questa formula è vera per qualsiasi istante t e posizione x corrispondente, perché il moto è uniforme e la velocità media coincide con quella istantanea costante v su tutto il moto.

ESEMPIO ¢ Quanto vale la velocità costante di un veicolo che, alla partenza del cronometro, si trova a una distanza di 100 m dall’origine del sistema di riferimento scelto, e dopo 2,0 min si trova a 2,1 km? SOLUZIONE I dati del problema, nelle unità di misura del Sistema Internazionale, sono: x0 ⫽ 100 m x1 ⫽2,1 km ⫽ 2,1 ⫻ 103 m t0 ⫽ 0 s t1 ⫽ 2,0 min ⫽ 2,0 min ⫻ 60 s/min ⫽ 120 s

75

3

LA VELOCITÀ

Quindi: v=

x − x0 2100 m − 100 m = = 17 m/s 120 s t − t0

DOMANDA Come si scrivono i dati se l’origine del sistema di riferimento viene posta in x0? LEGGE ORARIA

Tabella 3. Posizione e velocità nel moto rettilineo uniforme.

GRAFICO SPAZIO-TEMPO x x

POSIZIONE

x ⫽ x0 ⫹ v0t

x0 t

t

si legge direttamente dal grafico

x

VELOCITÀ

v ⫽ v0 t

t

è la pendenza della retta che rappresenta il moto

Calcolo della posizione Figura 14. Senza usare la matematica i ballerini si muovono sulla scena secondo una coreografia stabilita, aiutati dal ritmo della musica.

Consideriamo la formula della velocità nel moto rettilineo uniforme. Se moltiplichiamo entrambi i membri per t e poniamo t0 ⫽ 0 s, avremo: x − x0 ⋅t t vt = x − x 0

v ⋅t =

Esplicitando rispetto a x otteniamo la legge oraria del moto rettilineo uniforme:

Yuri Arcurs / Shutterstock

x ⫽ x0 ⫹ vt

76

(3.5)

Questa formula fornisce la posizione x di un corpo che si muove a velocità costante lungo una retta, al variare del tempo t. Se conosciamo x0 e v, basta che sostituiamo nella legge del moto l’istante di tempo che ci interessa (diciamo t1) e otteniamo la corrispondente posizione del corpo x1: x1 ⫽ x0 ⫹ vt1

LA VELOCITÀ

3

ESEMPIO ¢ Un ciclista si muove di moto rettilineo uniforme con una velocità di 25 km/h. Se fa partire il cronometro quando si trova a 1,0 km da casa sua, a quale distanza da questa si trova dopo 15 min? SOLUZIONE Utilizziamo le unità di misura del Sistema Internazionale, per cui: 25 m/s ? 6, 9 m/s 3, 6 x0 ⫽ 1,0 ⫻ 103 m t0 ⫽ 0 s t1 ⫽ 15 min ⫽ 15 min ⫻ 60 s/min ⫽ 900 s v ? 25 km/h ?

Sostituiamo i dati nella formula (3.5): x1 ⫽ x0 ⫹ vt1 ⫽ 1,0 ⫻ 103 m ⫹ 6,9 m/s ⫻ 900 s ⫽ 7,2 ⫻ 103 m Dopo 15 min il ciclista è a 7,2 km da casa. DOMANDA A quale altezza si trova, 2 s prima di raggiungere il suolo, una goccia di pioggia che cade a velocità costante di 5 m/s?

Calcolo dell’istante di tempo Questa volta utilizziamo la legge oraria per ricavare l’istante di tempo t1, nel quale un corpo occupa una posizione nota x1, sempre supponendo che il moto abbia avuto inizio all’istante t0 ⫽ 0 s, nella posizione di partenza x0. Invertiamo la formula (3.5) per isolare t1: x1 ⫽ x0 ⫹ vt1 x1 ⫺ x0 ⫽ vt1 x1 − x 0 vt = 1 v v cioè: t1 =

x1 − x 0 v

Questo vale per qualsiasi coppia (t1; x1) quindi possiamo togliere gli indici e ottenere la formula generale: t=

x1 − x 0 v

(3.6)

77

3

LA VELOCITÀ

Quando il sistema di riferimento è scelto in modo tale che le distanze siano calcolate a partire da x0, cioè che l’origine dell’asse spaziale sia in x0, allora la formula si semplifica: t?

x v

ESEMPIO ¢ Un ragazzo corre a velocità costante di 3,5 m/s. Quanto tempo impiega a percorrere un tratto di 200 m? SOLUZIONE Se t0 è l’istante di partenza, il tempo impiegato t1 ⫺ t0 coincide con l’istante t1; inoltre, ponendo l’origine dell’asse x in x0 avremo: t1 ?

200 m x1 ? ? 57 s 3, 5 m/s v

DOMANDA Quanto tempo impiega la luce del Sole a raggiungere la Terra? La velocità della luce è di 3,0 ⫻ 105 km/s, mentre la distanza tra Terra e Sole è di circa 15 ⫻ 107 km.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME

6

Come abbiamo visto, il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniforme è una retta la cui pendenza rappresenta la velocità durante il moto (figura 10). Questo non va confuso con la traiettoria, che è sempre una retta, ma che non contiene informazioni sul tempo (figura 15). x

y

t1

t2

x3

t3

x2

Mike Lehmann

x1

Figura 15. La traiettoria non contiene informazioni sul tempo.

78

x1

x2

x3

x

t1

t2

t3

t

z

Nel grafico spazio-tempo sono contenute le informazioni necessarie per lo studio del moto: se si vuole conoscere la posizione a un certo istante, basta

LA VELOCITÀ

3

leggere sulla retta la coordinata spaziale che corrisponde a quell’istante e viceversa. Inoltre, a partire da esso si può ricavare anche la velocità come rapporto tra x e t per qualsiasi coppia di punti sulla retta (figura 16). x x4 Figura 16. I triangoli sono simili e la pendenza della retta può essere calcolata a partire da uno qualsiasi di essi.

x3 x2 x1 x0

0

t1

t2

t3

t4

t

Dal grafico otteniamo: ∆x13 ∆x23 ∆x34 ∆x 04 ? ? ? ?v ∆t13 ∆t23 ∆t34 ∆t 04 Per trovare la velocità di un moto uniforme a partire dal suo grafico spazio-tempo, basta scegliere due punti qualsiasi e calcolare il rapporto tra spostamento e intervallo di tempo ad essi corrispondente.

ESEMPIO ¢ Quanto vale la velocità di un moto rettilineo uniforme rappresentato mediante il grafico spazio-tempo in figura? x (m) 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s)

SOLUZIONE Come punti per il calcolo della velocità scegliamone due che ci semplificano i calcoli, per esempio (0 s; 5,0 m) e (4,0 s; 6,0 m): v=

( 6 − 5) m ∆x = 0, 25 m/s = ∆t ( 4, 0 − 0 ) s

DOMANDA Quanto vale la velocità se si scelgono due punti diversi?

79

3

LA VELOCITÀ

Una volta nota la velocità si può scrivere facilmente la legge oraria del moto rettilineo uniforme; il valore x0 (posizione all’istante t0 ⫽ 0 s) si legge direttamente dal grafico, come punto in cui la retta interseca l’asse x.

ESEMPIO Se la velocità è negativa, il grafico spazio tempo ha un’inclinazione negativa, in quanto il moto descritto avviene in verso opposto all’asse. Calcolando la velocità tra i punti (0 s; 4,0 m) e (3,0 s; 1,0 m) avremo: v=

x (m) 5 4 3 2 1 0

2

1

3

4

5 t (s)

∆x (1, 0 − 4, 0 ) m = −1, 0 m/s = ∆t ( 3, 0 − 0 ) s

Spostamenti negativi corrispondono a velocità negative, in quanto gli intervalli di tempo sono sempre positivi. DOMANDA Qual è la legge oraria del moto? Analogamente, nota la legge oraria si ricava il grafico scegliendo due istanti di tempo qualsiasi e calcolando le due posizioni corrispondenti. La retta che rappresenta il moto passa per i punti individuati dalle due coppie di coordinate.

ESEMPIO La legge oraria di un moto rettilineo uniforme è: x ⫽ 3,5 m ⫹ 2,0 m/s ⋅ t ¢ Qual è il suo grafico spazio-tempo? SOLUZIONE Si possono prendere istanti di tempo a piacere, per esempio t0 ⫽ 0 s e t1 ⫽ 1,0 s, in modo da semplificare i calcoli: x0 ⫽ 3,5 m ⫹ 2,0 m/s ⫻ (0 s) ⫽ ⫽ 3,5 m x1 ⫽ 3,5 m ⫹ 2,0 m/s ⫻ 1,0 s ⫽ ⫽ 5,5 m Il grafico che corrisponde alla legge oraria data è la retta che passa per i punti (0 s; 3,5 m) e (1,0 s; 5,5 m).

x (m) 7 6 5 4 3 2 1 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 t (s)

DOMANDA A quale moto reale potrebbe riferirsi questo esempio?

80

LA VELOCITÀ

3

Quando la velocità è nulla Il grafico spazio-tempo di un corpo fermo (figura 17) soddisfa una legge del moto in cui la velocità è nulla, cioè: x ⫽ x0 ⫹ 0 ⋅ t ⫽ x0 x ⫽ x0 Se la posizione x0 non cambia nel tempo il grafico è una retta parallela all’asse del tempo. x x0 Figura 17. Grafico spazio-tempo di un corpo in quiete.

O

t

Il grafico velocità-tempo Se sull’asse verticale invece delle posizioni sono riportate le velocità, il grafico velocità-tempo di un moto uniforme è una retta parallela all’asse del tempo, di equazione: v ⫽ v0 In un grafico velocità-tempo di un moto uniforme l’area del rettangolo individuato dalla retta v ⫽ v0, l’asse t e compresa tra due istanti di tempo t1 e t2 è uguale allo spazio percorso (figura 18). v

v

v0

v0

area ⫽ base ⫻ altezza spazio percorso ⫽ ⌬t 12 ⫻ v0 Figura 18. Lo spazio percorso è equivalente all’area sottesa al grafico velocità-tempo.

0

t

0

t1

t2

t

Infatti il segmento di lunghezza v0 è l’altezza del rettangolo la cui base è il segmento di lunghezza (t2 ⫺ t1). L’area del rettangolo, data dal loro prodotto, è pertanto uguale allo spazio percorso ∆x: ∆x ⫽ v∆t ⫽ v0 (t2 ⫺ t1)

81

3

LA VELOCITÀ

STORIA DELLA FISICA Galileo e la velocità della luce All’inizio del XVII secolo molti scienziati pensavano che la luce non impiegasse intervalli di tempo, come tutte le altre cose, per propagarsi nello spazio, e che quindi bastasse accendere una lanterna per vederla risplendere all’istante in ogni luogo. Galileo Galilei aveva intuito che le cose non stavano esattamente così e ideò un esperimento con il quale intendeva misurare il tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza tra due colline. Salì su una collina con una lanterna coperta e inviò il suo assistente su un’altra collina a circa 2 kilometri di distanza. Quando l’assistente vide illuminarsi la lanterna di Galileo scoprì prontamente la sua: dal ritardo tra la ricezione del secondo segnale luminoso e la partenza del primo Galilei pensava di poter ricavare la velocità di propagazione della luce tra le due colline. In linea di principio il ragionamento era corretto – infatti la luce impiegava un certo tempo per partire dalla prima collina, raggiungere la seconda collina e tornare indietro –, ma di fatto era impossibile misurare un tempo tanto breve con gli strumenti dell’epoca. Inoltre, in un calcolo del genere va considerato il tempo di risposta Justus Suttermans, Ritratto di Galileo Galilei, 1636. allo stimolo dello sperimentatore. Se invece di lampi di luce i due si fossero lanciati una palla l’errore sarebbe stato trascurabile, ma la luce si propaga a una velocità di circa 300 000 km/s, per cui il tempo che impiegò a compiere il percorso di andata e ritorno tra le colline era addirittura molto più piccolo del tempo impiegato da Galileo e dal suo assistente per reagire ai segnali luminosi. L’esperimento ovviamente non riuscì, ma il suo fondamento era corretto e fu utilizzato con successo circa due secoli dopo dal francese Hippolyte Fizeau, con un apparato sperimentale più adatto alla delicatezza della misura.

⌬x ⴝ 2 km 4

3

1

2

1. Galileo scopre la lanterna. 2. L’assistente vede la luce della lanterna di Galileo. 3. L’assistente scopre la lanterna. 4. Galileo vede la luce della lanterna dell’assistente. L’intervallo di tempo totale è dato dalla somma dei tempi di percorrenze della luce avanti e indietro tra le colline, più i tempi di risposta agli stimoli degli sperimentatori.

DOMANDA Quanto dovrebbero essere distanti due colline affinché il tempo di percorrenza della luce tra esse sia di 3 secondi, cioè circa 10 volte maggiore rispetto a un ipotetico tempo di risposta allo stimolo stimato in 0,3 s per ciascun osservatore?

82

LA VELOCITÀ

3

LETTERATURA Gli anni-luce Una notte osservavo come al solito il cielo con il mio telescopio. Notai che da una galassia lontana cento milioni d’anni-luce sporgeva un cartello. C’era scritto TI HO VISTO. [...] il mio E CON CIÒ? replicava al loro TI HO VISTO di duecento milioni di anni prima, ma non mi parve opportuno inserire nel cartello riferimenti più espliciti, perché se la memoria di quella giornata, passati tre milioni di secoli, si fosse andata offuscando, non volevo essere proprio io a rinfrescarla. (Italo Calvino, Le Cosmicomiche, Einaudi, Torino 1965) Nel racconto Gli anni-luce lo scrittore Italo Calvino ha giocato con i concetti di spazio e di tempo creando una situazione paradossale, in cui abitanti di mondi lontani comunicano tra galassie per mezzo di surreali cartelli. Nell’arco di una vita umana sarebbe impossibile scambiare messaggi di qualsiasi tipo fra galassie, perché la luce impiega milioni di anni per raggiungere le galassie più vicine e nulla può viaggiare a una velocità maggiore di quella della luce nel vuoto.

Lo scrittore Italo Calvino in un celebre ritratto fotografico.

La velocità della luce La velocità di propagazione della luce nel vuoto è una costante chiamata c, dal latino celeritas, e vale circa 300 000 km/s. In qualsiasi sistema di riferimento si misuri questo valore non cambia, a differenza di quanto accade per tutti gli altri oggetti in movimento. Se corriamo lungo il corridoio di un treno nella stessa direzione di marcia, un osservatore fermo alla stazione ci vedrebbe correre più velocemente del treno, mentre alla luce questo non succede mai: per qualsiasi osservatore la velocità della luce è sempre 300 000 km/s. Questo strano fatto è ben descritto dalla teoria della relatività ristretta di Einstein e rende possibile misurare le lunghezze avendo a disposizione un orologio e conoscendo la legge oraria del moto uniforme: ∆s ⫽ c∆t

Gli anni-luce L’anno-luce è un’unità di misura di lunghezze ed è pari alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un anno: 1 al ⫽ c · 1 anno

1 anno-luce corrisponde a circa 9500 miliardi di kilometri. Per misurare distanze terrestri non è molto pratico usare un orologio, perché si dovrebbero usare sottomultipli del secondo per tutte le distanze inferiori a 300 000 km; ma basta alzare gli occhi al cielo durante una notte stellata per vedere oggetti così lontani che la loro luce impiega moltissimi anni a raggiungerci.

Robert Gendler / robgendlerastropixs.com

1 al ⫽ 300 000 km/s ⋅ 365 giorni ⋅ 24 h/giorno ⋅ 3600 s/h ⫽ ⫽ 9,5 ⫻ 1012 km

La galassia Andromeda.

Domanda Andromeda, la galassia più vicina a noi, si trova a circa 2,5 milioni di anni-luce. Che cosa vedremmo se potessimo osservare la Terra da quella distanza

83

3

LA VELOCITÀ

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Velocità e progresso tecnologico Una gara emblematica

Il 10 agosto 1519, dal porto fluviale di Siviglia, salparono 5 navi con un equipaggio di circa 250 uomini, guidati da Ferdinando Magellano. La spedizione impiegò tre anni a compiere la straordinaria impresa del primo giro del mondo della storia. Il 6 settembre del 1522, infatti, i 18 superstiti, a bordo dell’unica nave rimasta, rientrarono in Spagna. Nel 1870 furono sufficienti 80 giorni per viaggiare intorno alla Terra e tornare al punto di partenza, con diversi mezzi, tra cui la mongolfiera: protagonista l’eccentrico miliardario statunitense George Francis Train, probabile ispiratore del celeberrimo romanzo di Jules Verne Il giro del mondo in 80 giorni. L’enorme differenza tra i due viaggi è da ricercare nella differenza tra i mezzi di trasporto utilizzati: nel XVI secolo i viaggi via terra avvenivano utilizzando la trazione animale e richiedevano tempi lunghissimi, e perciò si preferiva la navigazione. Nel XIX secolo si affermò il motore a vapore nella navigazione, ma soprattutto nel trasporto ferroviario, decisamente più veloce delle diligenze a cavalli. In questo modo era possibile percorrere lunghe distanze via terra in un tempo concorrenziale rispetto all’eventuale circumnavigazione del continente.

Nel 1830 fu inaugurata la prima linea ferroviaria per merci e passeggeri degli Stati Uniti, ma i dirigenti della compagnia erano propensi ad affidare i trasporti a carrozze trainate da cavalli piuttosto che a locomotive a vapore, come accadeva in Inghilterra. Il loro scetticismo verso le nuove macchine si dissolse il 28 agosto dello stesso anno, quando una piccola locomotiva costruita da Peter Cooper, chiamata Tom Thumb, partecipò a una gara di corsa contro una diligenza a cavalli. Durante la gara il motore ebbe dei problemi e la Tom Thumb non ottenne la vittoria, ma era comunque ben chiara la superiorità della macchina rispetto alla trazione animale: le ferrovie iniziarono immediatamente a diffondersi negli Stati Uniti con le locomotive a vapore.

Louis M de la Maza/Alamy

Intorno al mondo

Il geografo italiano Antonio Pigafetta, testimone dell’impresa di Magellano, ne descrisse dettagliatamente in viaggio nella Relazione del primo viaggio intorno al mondo (1524).

PAROLA CHIAVE

Le locomotive a vapore hanno rivoluzionato il trasporto terrestre riducendo notevolmente i tempi di percorrenza.

Velocità

Comunemente diciamo che è «più veloce» quel mezzo che – a parità di tragitto – impiega meno tempo a percorrerlo; in fisica diciamo che la sua velocità media è maggiore. ¢ Qual è la definizione di velocità media? ¢ Qual è l’unità di misura della velocità media nel Sistema Internazionale?

84

3

Sempre più veloci

Verso nuove frontiere

In seguito a una trovata editoriale per incrementare le vendite del giornale New York World, nel 1889 le due giornaliste americane Nellie Bly ed Elizabeth Bisland furono inviate a partecipare a una gara di velocità intorno al mondo, da effettuarsi sullo stesso percorso ma in senso opposto. Vinse Bly, dopo 72 giorni, 6 ore e 11 minuti di viaggio, percorse per nave, in treno e a cavallo. Negli anni successivi numerosi altri personaggi sfidarono il tempo in gare e imprese intorno al mondo, con mezzi sempre più efficienti e veloci. Il passo decisivo fu l’introduzione – negli anni Venti del XX secolo – degli aeroplani, con i quali i tempi di viaggio si ridussero significativamente. Nel 1957 tre aerei militari statunitensi, bombardieri nucleari B-52, volarono ininterrottamente intorno al globo per 45 ore e 19 minuti. In questo caso l’obiettivo non era battere un record o vincere una gara, ma dimostrare al nemico la superiorità tecnologica e militare. Jurij Gagarin, con una velocità media di circa 27 000 km/h, girò letteralmente intorno al pianeta raggiungendo un’altezza di oltre 300 km dalla superficie: impiegò 89 minuti. Era il 12 aprile 1961 e si apriva l’era dei viaggi dell’uomo nello spazio.

Oggi non siamo più interessati a gare di velocità intorno al mondo, e siamo abituati a spostarci in aereo in poche ore da un punto all’altro del pianeta, senza più stupircene. Le problematiche energetiche e ambientali hanno tuttavia fatto emergere la necessità di associare al progresso una nuova motivazione: la sostenibilità. I satelliti ci forniscono immagini di ogni angolo della Terra, e non abbiamo bisogno di imbarcarci in imprese epiche per scoprire luoghi inesplorati: la nostra curiosità geografica si è spostata nello spazio interplanetario. Nella progettazione dei viaggi spaziali la fisica la fa da padrona: le traiettorie e le leggi orarie delle sonde sono matematicamente determinate. Solo in questo modo, infatti, possiamo essere ragionevolmente sicuri che i veicoli spaziali passino nelle posizioni desiderate nell’istante in cui, per esempio, sta passando di lì un pianeta da esplorare. Il 19 gennaio 2006 la sonda New Horizons ha iniziato il suo viaggio verso i confini del Sistema Solare. La sua legge oraria è stata accuratamente programmata e si prevede che raggiungerà Plutone il 14 luglio 2015.

Jurij Gagarin fu il primo uomo a volare nello spazio, il 12 aprile 1961.

La sonda New Horizons.

PAROLA CHIAVE

Legge oraria

La traiettoria di Gagarin a bordo della navicella spaziale Vostok 1 era un’ellisse, matematicamente determinata da un’equazione. ¢ Come si chiama l’equazione matematica che fornisce istante per istante la posizione della Vostok 1 sull’ellisse?

PAROLA CHIAVE

Moto rettilineo uniforme

Scrivi un testo di 10 righe in cui confronti i viaggi spaziali con i viaggi terrestri, mettendo in evidenza le diverse possibilità di utilizzo della matematica per la loro descrizione. ¢ In quale dei due casi è necessario fare maggiori approssimazioni?

85

Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Southwest Research Institute (JHUAPL/SwRI)

LA VELOCITÀ

MAPPA DEI CONCETTI LA VELOCITÀ

VELOCITÀ MEDIA

SPAZIO

TEMPO

∆x

spostamento

∆t

intervallo di tempo

m

metro

s

secondo

FORMULA

A PAROLE

SPIEGAZIONE

UNITÀ DI MISURA

∆x ∆t

lunghezza del percorso tempo impiegato a percorrerlo

spazio percorso nell’unità di tempo

m/s metro al secondo

VELOCITÀ ISTANTANEA calcolata fra due istanti infinitamente vicini

NEL GRAFICO SPAZIO-TEMPO

LA VELOCITÀ MEDIA

LA VELOCITÀ ISTANTANEA

è la pendenza del segmento che unisce gli estremi del moto

è la pendenza della tangente alla curva in un certo istante

x

x

t

86

t

t

LA VELOCITÀ

3

IL MOTO RETTILINEO UNIFORME

avviene lungo una retta

a velocità costante la velocità media coincide con la velocità istantanea su tutto il tragitto

x

IL GRAFICO SPAZIO-TEMPO DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME è una retta la cui pendenza coincide con la velocità costante del moto

x0 0

istante per istante il grafico spazio-tempo fornisce la posizione del corpo

t

LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME

LEGGE ORARIA

velocità costante del moto

posizione all’istante t

è la formula che definisce la regola con la quale varia la posizione al passare del tempo

x = x0 + v0t posizione di partenza

MOTI A CONFRONTO GRAFICO SPAZIO-TEMPO

TRAIETTORIA

LEGGE ORARIA

x

QUIETE

x0

x

x0

x ⫽ x0

un punto 0

t

una retta parallela all’asse del tempo x

MOTO RETTILINEO UNIFORME

x

un segmento

x ⫽ x0 ⫹ v0t

x0 0

t

una retta la cui pendenza è la velocità

87

20 test (30 minuti)

3 ESERCIZI 1

TEST INTERATTIVI 6 Disegna il grafico di un moto che soddisfi le seguen-

LA VELOCITÀ MEDIA

ti condizioni: š la posizione di partenza al tempo t ⫽ 0 s è 5,0 m; š il moto termina nella posizione 9,5 m dopo 6,0 s.

DOMANDE 1

Correggi questa affermazione: «A parità di spostamento la velocità media è maggiore quando il tempo di percorrenza è minore».

¢ Calcola la velocità media. 7 Un ragazzo esce di casa alle 7:45 e si avvia verso la

scuola, distante 1,2 km. Dopo aver percorso 300 m si ricorda di aver dimenticato un quaderno e torna indietro a prenderlo, dopodiché raggiunge la scuola alle 8:00.

2 Può un corpo in movimento avere una velocità me-

dia nulla? Motiva la tua risposta con un esempio. 3 In x0 è posta la tana di una volpe, che si muove secon-

¢ Qual è la sua velocità media complessiva?

do il grafico spazio-tempo illustrato in figura. Analizza in 10 righe il grafico e dai una possibile spiegazione del comportamento della volpe.

2

x (m) 16 14 12 10 x0 6 4 2 0

COME SI UTILIZZA LA FORMULA DELLA VELOCITÀ MEDIA

DOMANDE 8 «Se il tempo impiegato è doppio la velocità media è la

metà.» Questa frase non è completa; aggiungi quanto necessario a renderla rigorosamente corretta. 9 Si vuole ricavare a che ora un treno è transitato in 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

una stazione intermedia di un viaggio. Quali dati è necessario conoscere? 10 Conosciamo la velocità media e la durata totale di un

CALCOLI 4 Nel 2009 l’atleta giamaicano Usain Bolt ha corso i

moto. Possiamo ricavare le posizioni a istanti di tempo intermedi? Motiva la tua risposta in 5 righe.

100 metri piani in 9,58 s. ¢ Qual è stata la sua velocità media?

CALCOLI 11 In riferimento all’esercizio 4, quanto vale la velocità

media di Bolt in km/h? 12 Un’automobile attraversa il casello autostradale di

Parma Ovest alle 15:40 e, dopo 97 km, raggiunge la barriera di La Spezia alle 16:30. ¢ Qual è la velocità media del veicolo in m/s e in km/h? Richard Giles

[32 m/s; 115 km/h]

5 Quanto vale la velocità media nel moto rappresenta-

13 Dopo aver pedalato per 1 h e 30 min un ciclista cal-

cola che la sua velocità media è stata di 28 km/h. ¢ Quanta strada ha percorso? [42 km]

to nel grafico seguente?

14 Quanto tempo impiega una lumaca a percorrere

x (m) 12 10 8 6 4 2 0

3,0 m se la sua velocità media è 0,05 km/h? [3,6 min]

15 Un treno parte dalla stazione di Ancona alle 17:30 e

percorre 299 km fino alla stazione di Roma con una velocità media di 69,5 km/h. 1

88

2

3

4

5 t (s)

¢ A che ora arriva? [alle 21:48]

3

LA VELOCITÀ 3

23 Quali elementi di questo grafico contengono le in-

LA VELOCITÀ ISTANTANEA

formazioni «il moto è rettilineo» e «il moto è uniforme»?

DOMANDE 16 Definisci in 10 righe la velocità istantanea a partire

dalla definizione di velocità media. 17 Disegna uno schema in cui sia illustrato il concetto di

«istanti infinitamente vicini». 18 Se la velocità media su un intervallo di tempo è posi-

tiva, è possibile che al suo interno la velocità istantanea sia, almeno in un istante, negativa? Motiva la risposta con un grafico.

x (m) 80 70 60 50 40 30 20 10 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t (s)

24 Nella vita di tutti i giorni abbiamo a che fare di rado

CALCOLI 19 In quali intervalli di tempo la velocità istantanea è

positiva? In quali intervalli di tempo è negativa? x

con i moti rettilinei uniformi. Esponi in 10 righe le approssimazioni che si fanno per usare le formule del moto rettilineo uniforme in molti altri casi.

CALCOLI 25 In un esperimento si sono misurati gli istanti di tem-

po nei quali un carrello è transitato in alcune posizioni e si sono riportati i dati nella tabella t1

t2

t3

t4

t5

t6

t

Posizioni x (cm)

Istanti t (s)

20

0,63

30

0,77

40

0,89

50

1,0

60

1,1

20 In riferimento all’esercizio 19, in quali istanti la veloci-

tà istantanea è nulla? 21 Calcola in m/s e in km/h la velocità all’istante t ⫽ 10 min

a partire dal grafico. x (km) 10 8 6 4 2 0

Il moto del carrello è uniforme? 26 Individua sul grafico l’intervallo di tempo in cui il

moto rettilineo è uniforme e calcolane la velocità.

5

10

15

20

25 t (min)

x (m) 120 100 80 60 40 20 0

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) [⫺25 m/s]

IL MOTO A VELOCITÀ COSTANTE

27 Disegna il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo

DOMANDE

uniforme e calcolane la velocità.

22 Conosci gli istanti iniziale e finale e le relative posi-

28 Un ciclista percorre 5,5 km in 15 min con moto uni-

zioni di un corpo in movimento. Se il moto non è uniforme puoi ricavare, da questi dati, le posizioni negli istanti intermedi? Motiva la tua risposta in 5 righe.

forme. Qual è la velocità istantanea del ciclista a metà del percorso? [6,1 m/s]

89

3 ESERCIZI 5

LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME

DOMANDE

35 Quanto tempo impiega un’automobile, che viaggia

alla velocità costante di 120 km/h, a percorrere 7,2 km di autostrada? 36 Un treno attraversa alle 14:19 un passaggio a livello

29 Che cos’è la legge oraria? Rispondi in 10 righe.

viaggiando alla velocità costante di 75 km/h.

30 Dai dati a disposizione puoi ricavare l’orario in cui il

¢ A che ora raggiunge un secondo passaggio a livello, posto a 6,6 km dal primo?

treno transita nella stazione di Voghera? Motiva la tua risposta in 5 righe. Ventimiglia

p.

0,32

Sanremo

p.

0,54

Imperia P.M.

p.

1,22

Imperia ON.

p.

1,28

Alassio

p.

1,52

Savona

p.

2,55

a.

4,00

p.

4,28

Genova P.P. Voghera

p.

Pavia

p.

6,08

Milano C.

a.

6,58

[5,3 min]

6

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME

DOMANDE 37 «Grafico spazio-tempo e legge oraria sono due modi

equivalenti per descrivere rigorosamente un moto rettilineo uniforme». Motiva questa affermazione in 10 righe. 38 Una persona si allontana con velocità costante

31 Conosciamo la velocità di un’auto mentre attraversa

un autovelox e la distanza di questo da una seconda postazione. In quale caso possiamo prevedere l’istante in cui l’auto attraverserà il secondo autovelox?

dall’origine dell’asse dello spazio. Determina il segno della velocità e la pendenza della retta che rappresenta il moto nel grafico spazio-tempo. 39 Nel moto rettilineo uniforme traiettoria, grafico spa-

zio-tempo e grafico velocità-tempo sono rappresentati da rette. Distingui i tre casi, disegna i relativi grafici e argomenta l’affermazione in 10 righe.

CALCOLI 32 Un treno si allontana dalla stazione con velocità co-

stante di 80 km/h e dopo 15 min transita su uno scambio. ¢ Quanto dista lo scambio dalla stazione? [20 km]

33 Alle 16:28 un treno parte dalla stazione e, proceden-

do con velocità costante pari a 93 km/h, raggiunge una seconda stazione alle 17:05. ¢ Quanto distano le due stazioni? [57 km]

34 Nella tabella sono riportati alcuni dati relativi a un

moto uniforme. Posizioni x (cm)

Istanti t (s)

55

0,34

40

0,39

25

0,44

CALCOLI 40 Scrivi la legge oraria del moto descritto dal seguente

grafico spazio-tempo. x (m) 80 70 60 50 40 30 20 10 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t (s)

41 Disegna il grafico spazio-tempo a partire dalla legge

oraria x ⫽ 0,4 m ⫹ 11 m/s · t. 42 Disegna il grafico spazio-tempo a partire dalla legge

oraria x ⫽ 9,0 m ⫺ 3,0 m/s · t. 43 Disegna il grafico velocità-tempo del moto dell’eser-

cizio 42.

¢ Calcola la velocità del moto. [⫺3,0 m/s]

90

LA VELOCITÀ ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE 44 Se si misurassero le distanze in passi e i tempi in

giorni, quale sarebbe l’unità di misura della velocità? 45 Spesso le fotografie degli oggetti in movimento ap-

paiono con i contorni sfumati. In questa foto qualcuno si sta muovendo più velocemente degli altri: chi? Motiva la tua risposta in 10 righe, utilizzando il concetto di velocità media. (Suggerimento: individua che cosa nella fotografia corrisponde allo spostamento e che cosa all’intervallo di tempo.)

3

PROBLEMI 51 L’Eurostar Frecciarossa parte da Roma Termini alle

14:00 e arriva a Napoli Centrale alle 15:10. La distanza tra le due stazioni è 214 km. ¢ Quanto vale la velocità media del treno sul tragitto, in m/s e in km/h? ¢ Disegna il grafico nell’ipotesi che il moto sia uniforme. ¢ Potresti disegnare il grafico senza fare questa ipotesi? Motiva la risposta in 5 righe. [51 m/s; 183 km/h]

52 Secondo la teoria della deriva dei continenti di We-

gener l’Oceano Atlantico ha iniziato a formarsi con la divisione della Pangea e da allora è in continua espansione. Il Sud America e l’Africa si allontanano con una velocità di circa 6 cm/anno e attualmente hanno una distanza media di 7000 km. ¢ Supponendo costante la velocità di allontanamento stima quanto tempo fa i due continenti erano uniti. ¢ Perché parliamo di «stima»? [120 milioni di anni fa]

SVLuma / Shutterstock

53 Un ragazzo esce di casa alle 16:00 e raggiunge la

46 Esponi in 10 righe qual è la differenza tra la velocità

media e la velocità istantanea. Che cosa accade quando velocità media e velocità istantanea coincidono? 47 È possibile che la distanza percorsa aumenti se la

velocità sta diminuendo? 48 Vuoi misurare la velocità media di un gruppo di ami-

ci. Descrivi in 10 righe una procedura per effettuare tale misurazione, specificando quali strumenti di misura devi usare. 49 Un’auto percorre un primo tratto di strada con una

velocità costante v1 e un secondo tratto di strada con una velocità costante v2. Verifica con un esempio numerico che la velocità media sull’intero percorso non è uguale alla media delle velocità. 50 Anche se la velocità media su un percorso è positiva,

è possibile che al suo interno la velocità istantanea sia stata in uno o più intervalli negativa. Disegna un grafico in cui tale affermazione sia confermata.

casa di un suo amico alle 16:06. Rimane dall’amico 15 min e poi va in palestra, dove resta 1 h. Impiega 20 min a tornare a casa, dove giunge alle 17:48, percorrendo a ritroso la stessa strada dell’andata. La distanza tra la casa del ragazzo e la casa dell’amico è 450 m, mentre la distanza tra la casa dell’amico e la palestra è 650 m. ¢ Approssimando il moto del ragazzo come rettilineo, rappresenta su un grafico spaziotempo le velocità medie nei vari tratti. ¢ Quali sono i valori numerici di tali velocità medie? ¢ Quanto vale la velocità media sulla lunghezza complessiva del percorso, escludendo le soste? ¢ A che ora è arrivato in palestra? (Suggerimento: poni l’origine dell’asse dei tempi alle ore 16:00 ed esprimi gli istanti in minuti. Calcola la velocità media complessiva usando la distanza percorsa anziché lo spostamento.) [1,3 m/s; 0 m/s; 1,5 m/s; 0 m/s; 1,1 m/s; alle 16:28]

54 Due amici procedono in direzioni opposte lungo la

stessa strada. Il primo ha una velocità costante di 2,2 m/s, il secondo di ⫺1,4 m/s. ¢ Se il cronometro parte quando la loro distanza è di 3,50 km, dopo quanto tempo si incontrano? ¢ Quanta strada hanno percorso rispettivamente?

91

3 ESERCIZI ¢ Disegna i grafici spazio-tempo dei due amici sullo stesso piano cartesiano.

58 Durante una gara di enduro i motociclisti devono

(Suggerimento: metti a sistema le leggi orarie dei due amici, con le diverse posizioni di partenza.) [16 min; 2,14 km il primo e 1,36 km il secondo]

55 Un’automobile entra in autostrada alle 11:07 e proce-

de alla velocità costante di 100 km/h. Alle 11:15 una seconda automobile supera lo stesso casello e si avvia nella stessa direzione della prima con velocità costante di 130 km/h. ¢ A che ora avviene il sorpasso? ¢ A quale distanza dal casello? (Suggerimento: metti a sistema le leggi orarie delle due automobili, iniziando a misurare il tempo quando la seconda automobile entra in autostrada. Imponi che siano uguali gli spazi percorsi e tieni presente che la prima automobile si trova a una distanza determinata dalla sua velocità quando la seconda entra in autostrada.) [alle 11:42; 58 km]

56 Un imbianchino distratto cammina con un secchio

bucato, pieno di vernice rossa, dal quale cade una goccia ogni secondo. Camminando lascia una traccia di questo tipo:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

¢ Qual è la velocità media nei primi 18 km? ¢ Quanto deve essere la velocità media nel tratto rimanente per arrivare puntuale al controllo orario? ¢ A che ora arriverebbe se la velocità media totale fosse uguale a quella dei primi 18 km?

¢ Rappresenta la situazione graficamente.

0m

mantenere una velocità media prestabilita, rispettando una tabella di marcia individuata da un certo numero di traguardi, denominati «controllo orario», che devono essere raggiunti a orari fissati. Un motociclista parte alle 9.00 e deve raggiungere il primo controllo orario, posto a 26 km, alle 9:39. Dopo 18 km il suo orologio segna le 9:30.

11

12

¢ In quale tratto l’imbianchino ha camminato più velocemente? ¢ In quale tratto ha camminato con velocità costante? ¢ Disegna il grafico spazio-tempo, calcola la velocità nel tratto uniforme e la velocità media sull’intero percorso. [0,8 m/s; 0,7 m/s]

57 Durante un temporale il rumore generato dalla ca-

duta di un fulmine ci raggiunge dopo il suo bagliore, perché il suono viaggia a una velocità inferiore a quella della luce. Di fatto si considera immediata la percezione del lampo, mentre il tuono ci raggiunge con una velocità costante di circa 340 m/s. ¢ Calcola la distanza che ci separa da un fulmine se il ritardo del tuono rispetto al lampo è di 3,5 s.

[36 km/h; 53 km/h; alle 9:43]

59 Nel protocollo di risalita con sosta profonda della Fe-

derazione Italiana Pesca Sportiva ed Attività Subacquee si legge: «dal fondo si risale alla velocità costante di circa 9 metri/minuto fino a metà della profondità massima; a tale quota si effettua una sosta profonda di 2 minuti e 30 secondi; dopo di che si prosegue, sempre alla stessa velocità, fino ai 6 metri circa [dalla superficie]; a tale quota si effettua una sosta di sicurezza di 3 minuti; si risale infine negli ultimi metri ad una velocità di emersione non superiore ai 3 metri/minuto». ¢ Qual è il tempo minimo che un sub deve impiegare per risalire da 20 m? ¢ Qual è la velocità media di risalita in m/s e in m/min? ¢ Disegna il grafico della risalita. [9 min; 0,37 m/s; 2,2 m/min]

60 La distanza media della Terra dal Sole è di circa

150 ⫻ 106 km. Supponi che Icaro abbia impiegato qualche ora per raggiungere il Sole con le sue ali prodigiose. ¢ Quale sarebbe l’ordine di grandezza della sua velocità media? ¢ Confrontala con quella della luce nel vuoto, pari a circa 300 000 km/s. ¢ Quanto tempo impiega la luce del Sole a raggiungere la Terra?

¢ Per giustificare l’approssimazione fatta, confronta l’ordine di grandezza della velocità del suono con quella della luce nel vuoto, pari a circa 300 000 km/s.

61 Anche se la velocità media è determinante per una

[1,2 km; la velocità della luce è 106 volte maggiore di quella del suono]

gara di corsa, noi non sentiamo mai esprimere le

92

[107 km/h; la velocità della luce è di circa 100 volte superiore a quella di Icaro; circa 8 min]

LA VELOCITÀ prestazioni degli atleti in «metri al secondo» o in «kilometri all’ora» ma in termini di tempo impiegato a percorrere una distanza fissata. Nella maratona, per esempio, che si corre per 42,195 km, si parla spesso di «tempo al kilometro» come parametro che quantifica la velocità media dell’atleta sul percorso. ¢ In base ai dati in tabella, relativi ai record del mondo maschile e femminile di maratona, calcola le velocità medie dei rispettivi atleti in metri al secondo, in kilometri all’ora e in tempo al kilometro. 2h 03⬘ 59⬙

Haile Etiopia Gebrselassie Paula Radcliffe

2h 15⬘ 25⬙

Regno Unito

Berlino 28-9-2008 Londra

13-4-2003

[5,67 m/s; 5,19 m/s; 20,41 km/h; 18,68 km/h; 176 s/km; 193 s/km; (176⬙ ⫽ 2⬘ 56⬙; 193⬙ ⫽ 3⬘ 13⬙)]

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Due grandezze x e y tra loro dipendenti assumono i seguenti valori: x y

1 2 3 4 1,4 2,8 4,2 5,6

Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A

Le due grandezze sono linearmente indipendenti.

3

B

Le due grandezze sono inversamente proporzionali e il coefficiente di proporzionalità vale 5/7.

C

Le due grandezze sono inversamente proporzionali e il coefficiente di proporzionalità vale 1/2.

D

Le due grandezze sono direttamente proporzionali e il coefficiente di proporzionalità vale 7/5.

E

Le due grandezze sono direttamente proporzionali e il coefficiente di proporzionalità vale 2.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2007/2008) (Suggerimento: ricorda che nel moto uniforme spazio e tempo sono direttamente proporzionali.) 2 La compagnia telefonica A calcola il prezzo di ogni

telefonata sommando a una quota fissa (scatto alla risposta) di euro 0,15 una tariffazione di 1/4 di centesimo al secondo. La compagnia B invece fa pagare una quota fissa (scatto alla risposta) pari a euro 0,25 e poi 1/5 di centesimo al secondo. Qual è la massima durata al di sotto della quale una telefonata risulta meno costosa se effettuata con la compagnia A? A

3 minuti e 30 secondi.

B

3 minuti e 20 secondi.

C

2 minuti e 20 secondi.

D

2 minuti e 40 secondi.

E

3 minuti esatti.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2008/2009) (Suggerimento: ragiona sostituendo le velocità medie ai prezzi.)

93

CAPITOLO

L’accelerazione

“

La bufera infernal, che mai non resta, mena li spirti con la sua rapina; voltando e percotendo li molesta. Dante, Inferno, canto V, vv. 31-33

Gustave Doré, Paolo e Francesca, 1861. La pena a cui Dante condanna Paolo e Francesca nell’Inferno fa comprendere, per analogia, il peccato che i due hanno commesso in vita. Così, anche la presenza di una stessa struttura matematica può far comprendere, per analogia, una nuova grandezza fisica, riconducendola a una grandezza già nota. È il caso dell’accelerazione, analogo fisico della velocità appena studiata.

PAROLE CHIAVE Analogia Accelerazione Moto uniformemente accelerato

94

Dante immagina che l’inferno sia il luogo ove i peccati compiuti durante la vita terrena si trasformano in pene che possono essere per contrasto (quando esse sono opposte al peccato) o per analogia (quando lo amplificano e lo esasperano). Così accade a Paolo e Francesca, peccatori di lussuria: così come in vita si lasciarono travolgere dalla passione, sono ora travolti da un turbine infernale, condannati a vorticare in eterno. In fisica l’analogia è un’altra cosa. Nella descrizione della realtà attraverso grandezze fisiche ed equazioni può accadere che alcuni fenomeni abbiano la stessa struttura matematica, cioè che le grandezze fisiche in gioco siano collegate dalle stesse relazioni. In questi casi si parla, appunto, di analogia. Essa è uno strumento molto importante nella scienza, perché consente di spingere l’esplorazione della realtà oltre i confini dell’immediato.

”

Molte leggi importanti sono state elaborate a partire da un’analogia, e molti concetti sono compresi con meno difficoltà se si riesce a collegarli a concetti più familiari. È questo il caso dell’accelerazione, di cui si parla in questo capitolo. A partire dalla grandezza fisica velocità, definita come variazione della posizione nel tempo, si applica nuovamente l’operazione di variazione nel tempo e si ottiene una nuova grandezza: l’accelerazione, appunto. Se l’accelerazione è costante abbiamo a che fare con un moto uniformemente accelerato. Mentre imparerai a fare i calcoli con le grandezze fisiche relative ti accorgerai che, ancora una volta, l’analogia semplifica moltissimo le cose, e lo studio di una nuova grandezza fisica diventa così l’occasione di ripassare e consolidare una conoscenza acquisita.

L’ACCELERAZIONE

1

4

L’ACCELERAZIONE MEDIA

Confrontiamo tra loro due grafici in figura 1. x

v

x0

Figura 1. Grafico spazio-tempo di un corpo fermo nella posizione x0 e grafico velocità-tempo di un corpo che si muove a velocità costante v0.

v0

0

t

0

t

Dal punto di vista matematico non c’è alcuna differenza tra essi, perché si tratta in entrambi i casi di rette parallele all’asse delle ascisse. In fisica invece le due situazioni descritte sono molto diverse tra loro: in un caso abbiamo un corpo fermo nel tempo nella stessa posizione, nell’altro un corpo che, nel tempo, mantiene la stessa velocità. In entrambi i grafici è rappresentato qualcosa di costante, ma ogni volta si tratta di una grandezza diversa. Possiamo però farci aiutare da questa somiglianza per introdurre una nuova grandezza fisica: l’accelerazione. Ragioniamo in questo modo: prendiamo altri due grafici identici dal punto di vista matematico, come quelli in figura 2. x

v

⌬x ⌬t x0

0

Figura 2. Il primo è un grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme; la velocità costante è la pendenza della retta. Anche il secondo grafico corrisponde a un tipo di moto e la pendenza della retta rappresenta una nuova grandezza fisica.

⌬v ⌬t

⌬x v ⫽ ⫺⫺ ⌬t

v0

t

0

⌬v a ⫽ ⫺⫺ ⌬t

t

Il primo è il noto grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniforme: la pendenza della retta fornisce il valore della velocità costante del moto. Il secondo è invece un grafico nuovo: al posto della posizione abbiamo una velocità e si legge osservando l’analogia con il primo. Così come nel primo grafico la posizione cambia nel tempo, nel secondo a cambiare nel tempo è la velocità. La pendenza della prima retta corrisponde al valore costante della velocità, la pendenza della seconda corrisponde al valore costante di una sorta di «velocità della velocità», che in fisica è chiamata accelerazione. Continuando a utilizzare l’analogia, diciamo che una retta in un grafico velocità-tempo rappresenta un moto in cui la velocità cambia uniformemente, cioè di quantità uguali in tempi uguali. In questo caso diciamo che l’accelerazione è costante, così come diciamo che la velocità è costante in un moto in cui la posizione cambia di quantità uguali in tempi uguali. Quando ciò non accade, ma la velocità cambia in modo vario, possiamo

95

4

L’ACCELERAZIONE

usare l’analogia con la situazione in cui è la posizione a cambiare in modo vario (figura 3). x Figura 3. La velocità media è la pendenza del segmento che unisce gli estremi del moto in un grafico spazio-tempo; l’accelerazione media è la pendenza del segmento che unisce gli estremi del moto in un grafico velocità-tempo.

v ⌬x vm ⫽ ⫺⫺ ⌬t

⌬v am ⫽ ⫺⫺ ⌬t ⌬v

⌬x x0

v0

⌬t

⌬t

0

0

t

t

Definiamo l’accelerazione media come la pendenza del segmento che unisce gli estremi del moto sul grafico velocità-tempo. A partire dalla formula per la velocità media (3.1) costruiamo la formula per l’accelerazione media, sostituendo la differenza tra posizioni finale e iniziale con la differenza tra velocità finale e iniziale. vm ?

∆x ∆t

am ?

∆v ∆t

A partire dalla somiglianza matematica tra due grafici abbiamo definito una nuova grandezza fisica, che si rivelerà molto importante nel corso dello studio della fisica, l’accelerazione. L’accelerazione media è uguale al rapporto tra la variazione di velocità e il tempo impiegato a compiere tale variazione. am =

∆v ∆t

(4.1)

L’unità di misura dell’accelerazione media L’unità di misura dell’accelerazione media si ricava dalla formula: m unità di misura della velocità unità di misura dell’accelerazione = = s = m/s 2 unità di misura dell’intervalllo di tempo s

L’unità di misura dell’accelerazione media è il metro al secondo quadrato (o metro al secondo per secondo). Le espressioni «metro al secondo quadrato» e «metro al secondo per secondo» sono equivalenti, ma quest’ultima esprime meglio il fatto che l’accelerazione è una velocità rapportata a un tempo, cioè ci dice immediatamente che si tratta della variazione di velocità per ogni secondo del moto.

96

L’ACCELERAZIONE

4

L’accelerazione è dunque una variazione di una variazione della posizione, e questa sua complicazione la rende difficile da usare nella vita di tutti i giorni. Infatti, anche se capita spesso di usare i verbi «accelerare» o «rallentare», non specifichiamo mai di quanto. Non siamo soliti quantificare l’accelerazione e infatti non abbiamo per essa un’unità di misura pratica come i kilometri orari per la velocità.

ESEMPIO ¢ Una persona parte da ferma e raggiunge in 2,0 s la velocità di 3,0 m/s. Quanto vale la sua accelerazione media? SOLUZIONE I dati scritti in termini di variazioni sono: ∆v ⫽ 3,0 m/s ∆t ⫽ 2,0 s Sostituendoli nella formula (4.1): am ?

3, 0 m/s ∆v ? ? 1, 5 m/s2 ∆t 2, 0 s

La velocità è cambiata in media di 1,5 m/s in ogni secondo. DOMANDA In un moto di durata pari a 2 s l’accelerazione media è di 1 m/s2. Sapresti dire quanto varia la velocità senza applicare esplicitamente alcuna formula?

Il segno dell’accelerazione media Dato che ∆t è sempre positivo, il segno dell’accelerazione media dipende da ∆v, che può anche essere negativo o nullo. Se l’accelerazione è nulla la velocità è costante e il moto è uniforme. Se l’accelerazione è negativa significa che la variazione di velocità è negativa: questo accade quando il corpo rallenta mentre procede nello stesso verso dell’asse dello spazio, oppure quando la velocità aumenta in verso opposto (figura 4).

0

x

0

x

a

b

Figura 4. L’accelerazione è negativa (a) se la velocità diminuisce nello stesso verso dell’asse x o (b) se aumenta in verso opposto.

L’analogia in fisica Per definire l’accelerazione non siamo partiti dall’osservazione di qualche fenomeno intorno a noi ma dalla matematica, sfruttando un’analogia con un’altra grandezza fisica. Così come la velocità media era stata definita come la variazione della posizione in un’unità di tempo (un secondo), ab-

97

4

L’ACCELERAZIONE

biamo definito l’accelerazione come la variazione della velocità in un’unità di tempo. Questo ci ha consentito di riutilizzare tutti i ragionamenti fatti in precedenza, risparmiando la fatica di dover costruire tutto dall’inizio. Se due grandezze fisiche diverse sono rappresentate da equazioni uguali, allora si comportano allo stesso modo, perché le equazioni si risolvono allo stesso modo. L’analogia basata sulla somiglianza delle equazioni matematiche è uno strumento molto usato in fisica e ha permesso di elaborare diverse teorie su fenomeni sconosciuti a partire dalla conoscenza di fenomeni diversi. Una volta elaborata la teoria, è sempre e comunque necessario il confronto tra la rappresentazione matematica e la realtà che questa vuole descrivere. VELOCITÀ Tabella 1. Confronto tra velocità e accelerazione.

v=

Formula

ACCELERAZIONE

∆x ∆t

a=

∆v ∆t

Variazione della Spiegazione

Unità di misura

2

Mark McArdle

Figura 5. Un’auto di Formula 1 è capace di accelerazioni che portano la velocità da 0 a 100 km/h in circa 2 s.

98

posizione intervallo di tempo

velocità intervallo di tempo

m s

m s =m s s2

COME SI UTILIZZA LA FORMULA DELL’ACCELERAZIONE MEDIA

Gli appassionati di motori sportivi sanno bene che tra i dati più indicativi sulle caratteristiche di un’automobile o di una motocicletta c’è proprio l’accelerazione media. Questa non viene espressa in forma esplicita, ma attraverso informazioni sul tempo impiegato da un certo veicolo a raggiungere la velocità di 100 km/h. «Da zero a cento in tot secondi» è un’espressione tipica delle riviste specializzate. Intuitivamente ci rendiamo subito conto che l’auto che impiega meno tempo a raggiungere la velocità di 100 km/h è quella capace di un’accelerazione media maggiore; conoscendo la formula possiamo quantificarla.

L’ACCELERAZIONE

4

Calcolo dell’accelerazione Dobbiamo usare la formula (4.1), nella quale vanno inseriti i dati sulla variazione della velocità e sull’intervallo di tempo relativo, ricordando di attenersi alle unità di misura del SI.

ESEMPIO ¢ Un’auto sportiva impiega 4,3 s a passare da 0 a 100 km/h. Quanto vale la sua accelerazione media? v (km/h) 150 100 50 0

1

2

3

4

5

6 t (s)

SOLUZIONE Usando le unità di misura del Sistema Internazionale: ∆v ⫽100 km/h ⫽ 100/3,6 m/s ⫽ 27,8 m/s ∆t ⫽ 4,3 s Sostituendoli nella formula (4.1) si ha: am ?

27, 8 m/s ∆v ? ? 6, 5 m/s2 ∆t 4, 3 s

DOMANDA Quale dovrebbe essere il testo del problema affinché la soluzione sia am ⫽ ⫺6,5 m/s2, e quindi negativa? Esegui i calcoli anche in questo caso.

Calcolo della variazione di velocità Per ricavare un’espressione per ∆v moltiplichiamo entrambi i membri della formula dell’accelerazione media per ∆t e semplifichiamo: am ? am ⋅ ∆t =

∆v ∆t ∆v ⋅ ∆t ∆t

∆v ⫽ am ⋅ ∆t

(4.2)

Con questa formula si calcola l’aumento o la diminuzione di velocità ∆v conoscendo l’accelerazione media am e l’intervallo di tempo ∆t.

99

4

L’ACCELERAZIONE

ESEMPIO ¢ Durante una frenata della durata di 4,0 s un’auto ha un’accelerazione media di ⫺5,5 m/s2. A quale velocità, in km/h, andava il veicolo prima di frenare? SOLUZIONE I dati:

am ⫽ ⫺5,5 m/s2 ∆t ⫽ 4,0 s

possono essere sostituiti direttamente nella formula (4.2): ∆v ⫽ am ⋅ ∆t ⫽ (⫺5,5 m/s2) ⫻ ( 4,0 s) ⫽ 22 m/s ∆v ⫽ 22 ⫻ 3,6 km/h ⫽ 79 km/h DOMANDA A quale formula studiata è analoga la formula per il calcolo della variazione di velocità a partire dall’accelerazione media?

Calcolo del tempo impiegato Per calcolare il tempo bisogna invertire la formula dell’accelerazione media rispetto al tempo, per cui si moltiplica per ∆t e si divide per am: am ? am ⋅

∆v ∆t

∆t ∆v ∆t = ⋅ ∆t am am ∆t =

∆v am

(4.3)

Questa formula fornisce il tempo impiegato a modificare la velocità di una quantità ∆v con un’accelerazione media am.

ESEMPIO ¢ Quanto dura una frenata con accelerazione media di ⫺5,5 m/s2 se la velocità iniziale è 130 km/h? SOLUZIONE Attenzione al segno della variazione di velocità: am ⫽ ⫺5,5 m/s2 v1 ? 130 km/h ?

130 m/s ? 36, 1 m/s 3, 6

v2 ⫽ 0 m/s ∆v ⫽ v2 ⫺ v1 ⫽ 0 m/s ⫺ 36,1 m/s ⫽ ⫺36,1 m/s

100

L’ACCELERAZIONE

4

Sostituiamo nella formula (4.3): ∆t =

∆v −36, 1 m/s = 6, 6 s = −5, 5 m/s2 am

Si osservi che l’intervallo di tempo è sempre positivo. DOMANDA Come si ottiene l’unità di misura nel precedente calcolo? Esegui esplicitamente tutte le semplificazioni.

3

IL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Analogamente alla velocità istantanea, si può definire un’accelerazione istantanea come un’accelerazione media tra due istanti infinitamente vicini tra loro, cioè che tendono ad avvicinarsi l’uno all’altro sempre di più, come abbiamo visto nel capitolo 3. Questa corrisponde alla pendenza della tangente alla curva che rappresenta il moto sul grafico velocità-tempo (figura 6). v Figura 6. La pendenza della tangente in un punto del grafico velocità-tempo rappresenta l’accelerazione istantanea nell’istante di tempo corrispondente.

0

t

Quando l’accelerazione istantanea non cambia durante il moto, questo è detto moto uniformemente accelerato. Un moto rettilineo è uniformemente accelerato quando si svolge con accelerazione costante. Istante per istante l’accelerazione istantanea coincide con l’accelerazione media, e le variazioni di velocità risultano essere direttamente proporzionali ai tempi impiegati per compierle. In un moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità varia di quantità uguali in tempi uguali. Il grafico velocità-tempo di un moto uniformemente accelerato è una retta la cui pendenza rappresenta l’accelerazione costante (figura 7). v

a

v

v0

0

v

b

v0

t

0

c

v0

t

0

t

Figura 7. a. La velocità non varia e il moto è rettilineo uniforme: a ⫽ 0. b. La velocità iniziale è v0 e aumenta con accelerazione costante: a ⬎ 0. c. La velocità iniziale è v0 e diminuisce con accelerazione costante: a ⬍ 0.

101

4

L’ACCELERAZIONE

La legge della velocità Continuiamo a usare l’analogia recuperando il concetto di legge oraria, che abbiamo definito come la regola che stabilisce in che modo varia la posizione di un corpo al variare del tempo. Se al posto della posizione consideriamo la velocità, ecco che in corrispondenza della legge oraria del moto rettilineo uniforme con velocità v (formula (3.5)): x ⫽ x0 ⫹ vt abbiamo la legge della velocità istantanea nel moto uniformemente accelerato con accelerazione a: v ⫽ v0 ⫹ at

(4.4)

Con la legge della velocità nel moto uniformemente accelerato possiamo fare dei calcoli analoghi a quelli che si fanno con la legge oraria del moto rettilineo uniforme, come si vede dal confronto tra le due formule espresso nella tabella 2.

ESEMPIO ¢ Un ciclista agisce sui freni e dopo 2,5 s raggiunge la velocità di 25 km/h, con un’accelerazione costante pari a ⫺1,4 m/s2. Qual era la sua velocità iniziale in km/h? SOLUZIONE La formula da usare si ottiene risolvendo rispetto all’incognita v0 la legge della velocità: v ⫽ v0 ⫹ at v0 ⫽ v ⫺ at I dati, in unità di misura del Sistema Internazionale, sono: v1 ⫽25 km/h ⫽ 25/3,6 m/s ⫽ 6,9 m/s a ⫽ ⫺1,4 m/s2 t1 ⫺ t0 ⫽ 2,5 s L’ultimo dato è la durata del moto considerato, a partire da un istante t0 nel quale la velocità è incognita. Con v1 è indicata la velocità finale del moto, dopo la frenata. Sostituiamo i dati nella formula: v0 ⫽ v1 ⫺ a(t1 ⫺ t0) ⫽ 6,9 m/s ⫺ (⫺1,4 m/s2) ⫻ 2,5 s ⫽ 10 m/s v0 ⫽ 10 ⫻ 3,6 km/h ⫽ 36 km/h DOMANDA Quanto vale la velocità in km/h raggiunta da un ciclista che accelera costantemente di 1,2 m/s2 per 10 s se la sua velocità iniziale è 15 km/h?

102

4

L’ACCELERAZIONE MOTO RETTILINEO UNIFORME

Tabella 2. Confronto tra legge oraria del moto rettilineo uniforme e legge della velocità nel moto uniformemente accelerato.

x

v

x0

v0

0

4

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

0

t

t

grafico spazio-tempo

grafico velocità-tempo

x ⫽ x0 ⫹ vt

v ⫽ v0 ⫹ at

legge oraria

legge della velocità

LA LEGGE ORARIA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Fino ad ora l’analogia ci ha consentito un notevole risparmio in termini di spiegazioni e ragionamenti: abbiamo lavorato con formule matematicamente identiche a quelle già incontrate nello studio del moto rettilineo uniforme e non abbiamo dovuto imparare cose nuove sui calcoli da svolgere. Ora però si pone un nuovo problema: come varia nel tempo la posizione di un corpo in moto rettilineo uniformemente accelerato? Abbiamo visto come varia la velocità, ma non sappiamo nulla sullo spazio percorso, non conosciamo cioè la legge oraria. Fu Galileo Galilei a porsi per primo questa domanda e a trovare la risposta mentre studiava i corpi in caduta sotto l’azione della gravità, anche se lui non sapeva ancora che i moti che stava studiando erano uniformemente accelerati. Noi non seguiremo Galileo e i suoi geniali esperimenti, perché ancora una volta possiamo semplificarci la vita per mezzo di un espediente matematico. Partiamo da una precedente osservazione: analizzando il grafico velocitàtempo del moto rettilineo uniforme (vedi capitolo 3, figura 18) abbiamo trovato che lo spazio percorso è rappresentato dall’area del rettangolo che ha per base la durata e per altezza la velocità costante del moto. Estendiamo il risultato e diciamo che lo spazio percorso ∆x uguaglia l’area sottesa al grafico velocità-tempo anche per un moto uniformemente accelerato. In tal caso si dovrà sommare (o sottrarre) all’area del rettangolo di altezza pari alla velocità iniziale v0 l’area del triangolo che ha per base la durata del moto e per altezza la differenza: v1 ⫺ v0 (o v0 ⫺ v1) (figura 8). v

v

1 ⫺ ⌬v ⭈ ⌬t 2

v

v1

1 ⫺ ⌬v ⭈ ⌬t 2

v0

v0

⌬v v1

v0 ⌬t ⌬t a

t

0

⌬v

v0 ⌬t

v0

0

Figura 8. a. L’area del rettangolo, base ⫻ altezza, cioè (∆t) ⋅ (v0), è lo spazio percorso nel moto rettilineo uniforme. b. Lo spazio percorso è uguale all’area sottesa al grafico velocità-tempo.

⌬t b

t

0

⌬t c

103

t

4

L’ACCELERAZIONE

Esplicitamente: 1 ∆x = v 0 ⋅ ∆t + ∆v ⋅ ∆t 2 dove si tiene conto del fatto che, se ∆v è negativo, l’area del triangolo viene sottratta. Nel moto uniformemente accelerato: ∆v ⫽ a ⋅ ∆t per cui:

1 ∆x = v 0 ⋅ ∆t + a ⋅ ∆t 2

Abbiamo ottenuto questo risultato estendendo il caso del moto rettilineo uniforme, ma si può dimostrare matematicamente e verificare sperimentalmente che è corretto. Se esplicitiamo ∆x e ∆t e poniamo l’istante iniziale uguale a zero (decidiamo cioè di far partire il cronometro all’inizio del moto) otteniamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato: 1 x = x0 + v0 t + at 2 2

(4.5)

Nella legge oraria del moto uniformemente accelerato compare il tempo elevato al quadrato.

ESEMPIO ¢ Un’automobile procede a 50 km/h quando il conducente agisce sui freni con un’accelerazione di ⫺3,0 m/s2. Quanto spazio percorre in 4,0 s? SOLUZIONE Lo spazio percorso ∆x è dato dalla formula (4.5), nella quale dobbiamo sostituire i dati numerici ai simboli, usando le unità del SI: v0 ⫽ 50 km/h ⫽ 50 /3,6 m/s ⫽ 14 m/s a ⫽ ⫺3,0 m/s2 ∆t ⫽ 4,0 s 1 ∆x = v 0 ⋅ ∆t + a ⋅ ∆t 2 = 2 1 = (14 m/s ) × ( 4, 0 s ) + (−3, 0 m/s2 ) × ( 4, 0 s )2 = 32 m 2 Il valore ottenuto è espresso correttamente in metri, ricordando che quando si eleva a potenza una grandezza fisica bisogna elevare a potenza anche l’unità di misura, per cui (4,0 s)2 ⫽ 16 s2. DOMANDA Qual è la velocità dell’automobile al termine della frenata?

104

L’ACCELERAZIONE

4

Scomponiamo la legge oraria La legge oraria del moto uniformemente accelerato è formata da tre termini: s x0 è la posizione di partenza e non contiene il tempo: è la legge oraria di un corpo in quiete; s v0t è il prodotto della velocità iniziale per il tempo e non dipende dall’accelerazione: è la legge oraria di un moto uniforme con velocità v0; 1 2 s at è l’unico termine in cui compare l’accelerazione e il tempo è eleva2 to al quadrato: è questo il contributo uniformemente accelerato alla legge oraria. Se poniamo uguali a zero sia la posizione che la velocità iniziali otteniamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato con partenza da fermo e dall’origine: 1 x = at 2 2

(4.6)

Calcolo del tempo Per ricavare il tempo a partire dalla formula (4.5) bisogna risolvere un’equazione di secondo grado in t: 1 2 at + v 0 t − ∆ x = 0 2 dove a, v0 e ∆x sono valori noti. L’equazione ha due soluzioni, ma solo quella positiva ha significato fisico; l’altra va scartata. Infatti il tempo in questo caso è una durata, ed è scelto in modo tale da partire dal valore 0 e assumere valori crescenti positivi. Nel caso più semplice, in cui la velocità iniziale sia nulla, l’equazione diventa: 1 2 at ? ∆ x 2 Per risolverla rispetto a t bisogna dividere per a e moltiplicare per 2 entrambi i membri, in modo da semplificare i fattori che moltiplicano l’incognita: 1 2 2 2 a ⋅ ⋅t = ⋅ ∆x 2 a a da cui: t2 =

2 ⋅ ∆x a

t=

2 ⋅ ∆x a

(4.7)

105

4

L’ACCELERAZIONE

ESEMPIO ¢ Quanto tempo impiega un’auto a percorrere 150 m, partendo da ferma, con un’accelerazione costante a ⫽ 3,5 m/s2? SOLUZIONE ∆x ⫽ 150 m a ⫽ 3,5 m/s2 Sostituiamo i dati direttamente nella formula (4.7):

SIMULAZIONE

2 ⋅ ∆x = a

t=

Velocità e accelerazione (PhET, University of Colorado)

DOMANDA Quale dato manca al problema per poter ricavare la velocità raggiunta dall’automobile?

Tabella 3. Confronto tra le leggi orarie finora incontrate.

5 IN LABORATORIO Il moto rettilineo uniformemente accelerato š Video (5 minuti) š Test (3 domande)

2 × 150 m = 9, 3 s 3, 5 m/s2

x ⫽ x0

quiete

x ⫽ x0 ⫹ vt

moto rettilineo uniforme

1 x = x0 + v 0t + at 2 2

moto uniformemente accelerato

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Dal grafico velocità-tempo del moto uniformemente accelerato si possono ricavare tutte le informazioni sul moto. s L’accelerazione è la pendenza della retta che rappresenta il moto; s la velocità in un certo istante si trova leggendo direttamente il valore corrispondente sull’asse; s lo spazio percorso in un certo istante si calcola attraverso l’area sottesa al grafico e compresa tra l’istante iniziale e l’istante considerato. v accelerazione

Figura 9. Grafico velocitàtempo di un moto uniformemente accelerato. L’area colorata è lo spazio percorso fino all’istante t*; la pendenza della retta è l’accelerazione; velocità e tempo si leggono sugli assi.

v* velocità spazio percorsoo

0

106

t*

istante

t

L’ACCELERAZIONE

4

ESEMPIO ¢ Quanto vale l’accelerazione nel moto descritto dal grafico velocità-tempo?

v (m/s) 25 20 15 10

SOLUZIONE Scegliamo due punti con i quali i calcoli si semplificano, per esempio P0(0 s; 7 m/s) e P1(2,5 s; 18 m/s). a=

5 0

1

2

3

4 t (s)

∆v 18 m/s − 7 m/s = 4, 4 m/s2 = ∆t 2, 5 s − 0 s

DOMANDA A partire dallo stesso grafico quanto vale la velocità all’istante t ⫽ 0,25 s? Verifica usando la formula. Vediamo ora come si ricava lo spazio percorso a partire dal grafico velocitàtempo.

ESEMPIO ¢ Calcola lo spazio percorso a partire dal grafico. v (m/s) 30 25 20 15 10 5 0

⌱

⌱⌱

10

⌱⌱⌱

20

30

40

50

60 t (min)

SOLUZIONE Lo spazio percorso totale è equivalente all’area sottesa al grafico e si può calcolare segmentando il moto nei vari tratti I, II, III e trasformando il tempo in secondi: 1 300 s × 25 m/s = 3750 m 2 II ∆ x II = 1200 s × 25 m/s = 30 000 m

I ∆ xI =

III ∆x III =

1 600 s × 25 m/s = 7500 m 2

107

4

L’ACCELERAZIONE

Lo spazio percorso complessivamente è: ∆x ⫽ ∆xI ⫹ ∆xII ⫹ ∆xIII ⫽ 3750 m ⫹ 30 000 m ⫹ 7500 m ⫽ = 41 250 m DOMANDA Lo spazio percorso rallentando costantemente fino a fermarsi dalla velocità di 25 m/s è equivalente allo spazio percorso aumentando costantemente la velocità da zero fino a 25 m/s. È vero? Verificalo eseguendo i calcoli.

Grafico spazio-tempo di un moto uniformemente accelerato Anche per il moto uniformemente accelerato si può costruire un grafico spazio-tempo: esso è costituito dai punti le cui coordinate (x, t) soddisfano la legge oraria: 1 x = x 0 + v 0 t + at 2 2 Dal punto di vista matematico si tratta di una parabola, cioè di una curva del tipo mostrato in figura 10. x

Figura 10. Grafico spazio-tempo del moto uniformemente accelerato.

0

t

Il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato è una parabola.

6

Andraž Cerar / Shutterstock

Figura 11. Un cane che riesce a prendere al volo un fresbee «applica» la legge oraria di un corpo soggetto alla forza di gravità.

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LA CADUTA DEI GRAVI

Fino ad ora abbiamo trattato il moto uniformemente accelerato in modo astratto, ragionando su analogie matematiche, su formule e su grafici. Nella storia le cose non sono andate proprio così, anzi, la legge oraria del moto uniformemente accelerato è stata trovata sperimentalmente da Galileo Galilei nel caso particolare dei corpi in caduta libera per effetto dell’attrazione gravitazionale terrestre. Nel linguaggio della fisica un grave è un corpo soggetto alla forza di gravità (figura 11) che, nel caso dell’attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra su un corpo, viene definita forza-peso e sarà oggetto di studio nel capitolo 7. Galileo si accorse che un corpo, mentre cade, è soggetto a un’accelerazione in buona approssimazione costante, detta accelerazione di gravità, diretta verso il basso: g ⫽ 9,8 m/s2

L’ACCELERAZIONE

4

Per scrivere la legge oraria di un oggetto che cade da una certa altezza dobbiamo ricordare che, se scegliamo come asse delle posizioni l’asse y, orientato verso l’alto, l’accelerazione risulta negativa perché il corpo si sposta verso l’origine e la sua velocità è negativa. La legge oraria di un corpo che cade da un’altezza y0 con velocità iniziale nulla è: 1 y = y0 − gt 2 (4.8) 2

ESEMPIO ¢ Quanto tempo impiega una mela a cadere dalla sommità di un albero alto 2,5 m? SOLUZIONE Se poniamo l’origine dell’asse y al livello del suolo, i dati del problema sono: y0 ⫽ 2,5 m y 1⫽ 0 m g ⫽ 9,8 m/s2 Si tratta di un moto uniformemente accelerato con partenza da fermo, per cui nell’istante in cui la mela tocca il suolo si ha: 0 = y0 − cioè: y0 ?

1 2 gt 2

1 2 gt 2

da cui: t=

2 ⋅ y0 = g

2 × 2, 5 m = 0, 71 s 9, 8 m/s2

DOMANDA Quanto tempo impiega la mela a raggiungere il suolo da un’altezza doppia? Se ci limitiamo alla matematica questa legge non ha nulla di sconvolgente, ma se ci soffermiamo sul suo significato fisico ci imbattiamo in qualcosa che contrasta nettamente con il senso comune. A livello intuitivo, infatti, siamo portati a pensare che gli oggetti arrivino a terra più velocemente quando sono più pesanti: nel classico esempio della piuma e della palla di piombo la differenza è evidente. Invece la legge della caduta dei gravi dice tutta un’altra cosa: nella formula non c’è alcuna dipendenza dal peso (o dalla massa), per cui tutti i corpi arriverebbero a terra esattamente con la stessa velocità, impiegando lo stesso tempo, indipendentemente dal materiale di cui sono fatti. La nostra sensata esperienza ci indurrebbe a scartare il moto uniformemente accelerato per descrivere un oggetto che cade, ma Galilei dimostrò

109

4

L’ACCELERAZIONE

che invece la legge fisica che regola la caduta dei gravi è proprio quella, a patto di poter trascurare l’effetto frenante dell’aria (cioè l’attrito). Secondo un noto aneddoto, Galilei sarebbe salito sulla Torre di Pisa e avrebbe lasciato cadere contemporaneamente sfere di materiali diversi, per dare prova di quanto affermato. In realtà la conferma sperimentale della legge della caduta dei gravi fu molto meno spettacolare, perché Galileo la realizzò in un laboratorio, ma anche meno banale, perché rese necessarie particolari attenzioni sperimentali e concettuali. Era difficile, all’epoca, sia misurare gli intervalli di tempo sia inquadrare concettualmente i risultati sulla base di una teoria ancora poco sviluppata.

Fedor Selivanov / Shutterstock

Figura 12. Oggi è più facile rendersi conto che i gravi seguono tutti la stessa legge oraria, perché con le pompe da vuoto siamo in grado di eliminare l’aria da piccoli ambienti. Una biglia di vetro e una pallina di carta in un tubo di Newton arrivano in fondo nello stesso istante.

biglia di vetro

pallina di carta

Analogamente, la legge della velocità di un grave si ottiene sostituendo l’accelerazione di gravità nella formula generale, tenendo conto del fatto che, se l’asse delle y è orientato verso l’alto, la velocità è negativa. La legge della velocità di un corpo in caduta libera è: v ⫽ v0 ⫺ gt

(4.9)

ESEMPIO ¢ Con quale velocità tocca il suolo la mela dell’esempio precedente? SOLUZIONE Come dato relativo al tempo dobbiamo usare il risultato del calcolo svolto: v0 ⫽ 0 m/s g ⫽ 9,8 m/s2 t ⫽0,71 s Quindi: v ⫽ v0 ⫺ gt ⫽ 0 m/s ⫺ (9,8 m/s2) ⫻ (0,71 s) ⫽ ⫺7,0 m/s DOMANDA Trascurando la resistenza dell’aria, qual è l’ordine di grandezza della velocità di un corpo che arriva al suolo da un’altezza di 100 m?

110

L’ACCELERAZIONE

4

Approssimazioni per lo studio dei gravi Per studiare il moto di un corpo che cade con la legge oraria del moto uniformemente accelerato dobbiamo fare due approssimazioni: s porre l’accelerazione di gravità uguale a una costante; s trascurare la presenza dell’aria. In realtà l’accelerazione di gravità diminuisce quando ci allontaniamo dalla superficie terrestre, ma la prima approssimazione è lecita se ci limitiamo a studiare spostamenti dell’ordine di 104 metri. Con la seconda approssimazione dobbiamo essere più cauti. La presenza dell’aria è un elemento determinante per il moto dei corpi, al punto che una piuma – anziché cadere – potrebbe addirittura volare via. Anche se supponiamo che non ci siano venti né correnti di alcun tipo, la caduta di un oggetto continua a essere influenzata dall’aria per vari motivi, e dopo un po’ il moto diventa in ogni caso uniforme.

ESEMPIO ¢ A quale velocità in km/h cadrebbe una goccia di pioggia proveniente da una nube a 10 km di quota se non ci fosse l’aria? SOLUZIONE I dati del problema sono y0 ⫽ 10 km ⫽ 10 000 m y1 ⫽ 0 m g ⫽ 9,8 m/s2 La formula che lega velocità e accelerazione contiene il tempo: v ⫽ v0 ⫺ gt Sapendo che la goccia parte da ferma avremo: t=

2 ⋅ y0 = g

2 × 10 000 m = 45 s 9, 8 m/s2

Sostituiamo nell’espressione precedente: v ⫽ v0 ⫺ gt ⫽ 0 m/s ⫺ (9,8 m/s2) ⫻ (45 s)⫽ ⫺443 m/s In realtà le gocce di pioggia arrivano al suolo con una velocità molto più bassa, tra i 2 e gli 8 m/s, e il loro moto è per un lungo tratto uniforme. DOMANDA Se non ci fosse l’aria, quale sarebbe la velocità di un chicco di grandine che cadesse dalla stessa altezza?

111

4

L’ACCELERAZIONE

STORIA DELLA FISICA Galileo e la caduta dei gravi

La distanza percorsa in ogni intervallo successivo aumenta secondo la progressione dei numeri disparì (1, 3, 5, ...).

Era il 1604 e non esistevano ancora i cronome⌬t ⌬t ⌬t tri digitali, ma nemmeno orologi che fossero in grado di misurare intervalli di tempo piccolissimi, come quelli coinvolti nello studio del moto di un oggetto che cade. Galileo affrontò il problema su diversi fronti: prima di tutto rallentò la caduta con un lungo piano inclinato, poi escogitò diversi stratagemmi per scandire il tempo in modo il più possibile regolare. In un famoso esperimento procedette in questo modo. Si costruì un piano inclinato di circa 10 m e un angolo di inclinazione molto piccolo, molto levigato per ridurre gli attriti e con una scanalatura nella quale poteva scorrere una sfera. Lungo il piano inclinato l’accelerazione è costante e inferiore a quella di gravità. All’avvio dell’esperimento un collaboratore faceva partire la sfera dalla sommità del piano con velocità iniziale nulla. Nello stesso istante Galileo, esperto musicista, iniziava a scandire il tempo secondo battute musicali di uguale durata. Al termine di ogni battuta veniva segnata sul piano la posizione della sfera.

⌬t

⌬t

Una pagina dell’Orfeo di Monteverdi. Galileo usò la sua ottima conoscenza della musica per misurare gli intervalli di tempo durante l’esperimento, sfruttando la regolarità delle battute musicali. Ricostruzione del piano inclinato utilizzato da Galileo (XIX secolo), Firenze, Museo Galileo.

I risultati Se il moto di caduta fosse avvenuto a velocità costante, come si credeva all’epoca, i segmenti così ottenuti avrebbero dovuto essere tutti uguali; invece man mano che la biglia rotolava verso il basso essi diventano sempre più lunghi: era segno che la velocità tendeva ad aumentare nella discesa. In particolare, Galileo scoprì una regolarità matematica nelle lunghezze dei segmenti. Queste aumentavano infatti secondo la progressione dei numeri dispari: la seconda era tre volte la prima, la terza cinque volte, e così via. Grazie a questo esperimento Galileo trovò che lo spazio percorso da un corpo che cade con velocità iniziale nulla è direttamente proporzionale al quadrato del tempo di caduta. Infatti, se per ogni istante segnato sommiamo le lunghezze dei segmenti precedenti, cioè se consideriamo lo spazio percorso dall’inizio all’istante considerato, si ottengono proprio dei quadrati perfetti. 1⫽1⫽

12

1 ⫹ 3 ⫽ 4 ⫽ 22

Galileo dimostra l’esperienza della caduta dei gravi a Don Giovanni de’ Medici, affresco di Giuseppe Bezzuoli (1839), Firenze, Museo Galileo.

1 ⫹ 3 ⫹ 5 ⫽ 9 ⫽ 32 1 ⫹ 3 ⫹ 5 ⫹ 7 ⫽ 16 ⫽ 42

DOMANDA Il risultato ottenuto da Galileo vale per ogni inclinazione del piano? Motiva la risposta in 10 righe.

112

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L’ACCELERAZIONE

ECONOMIA L’inflazione Con il termine «inflazione» si indica comunemente il continuo e generale aumento dei prezzi, con un conseguente indebolimento del potere di acquisto degli stipendi, che non aumentano di pari passo. Senza entrare nel merito del dibattito aperto sulla corretta definizione del termine, poniamo qui l’accento sul suo significato dal punto di vista matematico. Aumenti o diminuzioni di qualcosa sono «variazioni» della grandezza in esame, positive o negative. Se, per esempio, indichiamo con p1 il prezzo di un oggetto in un certo istante di tempo e con p2 il prezzo dello stesso oggetto in un istante successivo, la variazione del prezzo dell’oggetto nel periodo considerato è data dalla differenza: ∆p ⫽ p2 ⫺ p1 La variazione può essere: š
fei_j_lW
i[
_b
fh[ppe
Wkc[djW1 š
d[]Wj_lW
i[
_b
fh[ppe
Z_c_dk_iY[1 š
dkbbW
i[
_b
fh[ppe
ded
YWcX_W$ In un periodo caratterizzato da inflazione monetaria i prezzi sono soggetti a continui aumenti, pertanto la loro variazione è sempre positiva. Diamo un esempio di calcolo nella tabella che segue: Quantità acquistata nell’anno base

Prezzo (anno base)

150 kili di pane

Per unità di prodotto

Totale

¤

1,50

¤ 225

Prezzo (1 anno dopo) Per unità di prodotto ¤

1,30

Totale ¤ 195

Prezzo (2 anni dopo) Per unità di prodotto ¤

1,60

Totale ¤ 240

100 tazze di caffè

¤

2,40

¤ 240

¤

2,40

¤ 240

¤

2,15

¤ 215

12 tagli di capelli

¤ 20,00

¤ 240

¤ 22,00

¤ 264

¤ 23,00

¤ 276

1 giaccone invernale

¤ 145,00

¤ 145

¤176,00

¤ 176

¤ 160,00

¤ 160

¤ 850

Costo totale del paniere Indice di prezzo

100

Tasso di inflazione

¤ 875

¤ 891

102,9

104,8

2,9%

1,8%

L’inflazione al consumo nell’area dell’euro è calcolata mensilmente dall’Eurostat. L’indice armonizzato dei prezzi al consumo (IAPC) tiene conto in media di circa 700 tipologie di beni e servizi, rispecchiando la spesa media delle famiglie dell’area dell’euro per tale paniere.

L’inflazione diminuisce dal primo al secondo anno successivi all’anno di riferimento, ma complessivamente i prezzi aumentano comunque.

Giochi di parole? Quando leggiamo sul giornale che l’inflazione diminuisce, potremmo essere indotti a pensare che siano i prezzi a diminuire. In realtà il fatto che ci sia inflazione è già un’indicazione sul fatto che i prezzi sono in aumento. Aumenti o diminuzioni dell’inflazione sono in realtà variazioni dell’entità dell’aumento dei prezzi, cioè ci dicono quanto velocemente i prezzi stanno aumentando. È proprio come accade quando rallentiamo durante un viaggio in automobile: la nostra velocità diminuisce, ma la distanza dal punto di partenza è sempre in aumento. Intravediamo dunque un’analogia tra l’accelerazione e la variazione dell’inflazione: entrambe sono la variazione di una variazione. Una volta capita la struttura matematica di una grandezza, l’analogia ci aiuta a comprendere con minore fatica altre grandezze che si comportano nello stesso modo, anche se appartengono a diversi ambiti della conoscenza.

DOMANDA Pechino ha annunciato per il 2010 un aumento del bilancio dell’esercito di solo 7,5% dopo circa un decennio di aumenti annuali oltre il 10%. Il titolo dell’articolo riesce a interpretare questi dati? Spiega in 10 righe.

È LA PRIMA VOLTA IN DIECI ANNI CHE IL BILANCIO DELLA DIFESA RALLENTA LA CRESCITA

LaCinariducelespesemilitari Ma a Pechino spopola il libro che profetizza la guerra con gli Usa

113

4

L’ACCELERAZIONE

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Le montagne russe Dalle slitte ai carrelli

Un divertimento internazionale

Sin dal XVII secolo in Russia era molto in voga lasciarsi scivolare con slitte su pendii artificiali ghiacciati, al punto che anche l’imperatrice Caterina II, detta la Grande, attrezzò la sua residenza di campagna di Oranienbaum, vicino San Pietroburgo, con un padiglione dei divertimenti in cui vi era una collina per le scivolate. Si trattava delle prime «montagne russe» della storia: strutture di legno alte più di 15 metri e con pendenze fino a 50°, con le quali si raggiungevano velocità che supervano i 60 km/h. Le slitte potevano gareggiare tra loro scivolando l’una accanto all’altra. L’idea piacque molto ai francesi, che la importarono in Francia con alcune varianti che eliminavano il ghiaccio e le slitte, per sostituirli con guide e carrelli. Risalgono al 1817 le montagne russe di Belleville, con due rotaie affiancate per le relative gare di velocità.

L’idea fu apprezzata anche negli Stati Uniti, dove una ferrovia usata per trasportare carbone diventò una della attrazioni turistiche più popolari. Un treno a vapore portava i passeggeri sulla sommità di un ripido pendio, dal quale poi partivano in scivolata su un carrello soggetto esclusivamente alla forza di gravità, per una discesa mozzafiato in cui si raggiungevano i 140 km/h. La «Mauch Chunck Switchback Gravity Railroad» era lunga circa 28 km e aveva un dislivello di oltre 1200 m. Probabilmente di lì nacque l’idea successiva: un percorso panoramico interamente governato dalla gravità, con dossi e avvallamenti intermedi. Nel 1884 a New York fu costruita la «Gravity Pleasure Switchback Railway», che portava i passeggeri su e giù per le ondulazioni di una struttura in legno con pendenze lievi, senza grosse accelerazioni ma con la possibilità di ammirare comodamente il panorama.

Nella Russia del XVII secolo le prime rampe ghiacciate per abbandonarsi, scivolando, all’accelerazione di gravità.

La Gravity Pleasure Switchback Railway non regalava discese mozzafiato ma una comoda traversata panoramica lungo dolci pendenze.

PAROLA CHIAVE

Le montagne russe di Belleville, del 1817, riproducevano gli scivoli ghiacciati, ma vi sostituivano carrelli che scorrevano in apposite guide.

114

Analogia

L’espressione «montagne russe» esprime l’analogia, cioè la somiglianza, tra le montagne naturali e gli scivoli artificiali che ne riproducono le pendenze. ¢ Su che tipo di somiglianza si basa l’analogia tra grandezze fisiche? Spiegalo in 10 righe.

L’ACCELERAZIONE

4

Discesa e risalita

Nel frattempo si erano sviluppate nuove tecniche per costruire montagne russe sempre più ardite e mozzafiato. Nel 1846 fu brevettato il primo giro della morte: la «Centrifugue Railway» consisteva in una rotaia che dopo una discesa si avvolgeva ad anello, consentendo a un carrello monoposto di effettuare un vero e proprio giro completo. Tra la fine dell’Ottocento e i primi del Novecento si moltiplicarono i brevetti per le montagne russe, e negli anni Venti queste raggiunsero l’apice della popolarità con migliaia di esemplari in tutto il mondo. Si trattava di strutture in legno spesso molto pericolose, con curve strette, discese molto ripide e altezze vertiginose.

La Grande Depressione negli Stati Uniti e la guerra in Europa fecero perdere interesse per le montagne russe, e moltissime strutture furono smantellate. Finché, nel 1955, non aprì Disneyland, con la rivoluzionaria rotaia tubolare in acciaio della Matterhorn Mountain, che inaugurò una nuova era. La nuova tecnologia rendeva più sicuro il divertimento e, soprattutto, la tenuta in tutte le direzioni della rotaia tubolare introdusse la possibilità di effettuare percorsi dalle forme più varie. Dagli anni Novanta sono stati inventati moltissimi tipi di montagne russe, in grado di offrire ai passeggeri accelerazioni di tutti i tipi. Oggi la tecnologia ha raggiunto livelli tali da consentire velocità che superano ai 200 km/h e accelerazioni maggiori dell’accelerazione di gravità.

Il primo giro della morte fu realizzato in Francia nel 1846 su brevetto inglese.

PAROLA CHIAVE

Accelerazione

Arno van Dulmen / Shutterstock

Il brivido dell’accelerazione

Ancora oggi vengono costruite montagne russe in legno, come quelle del primi del Novecento.

Quanto vale l’accelerazione di una vettura (come la Ferrari Formula Rossa della foto) che in 5 s raggiunge i 240 km/h partendo da ferma?

PAROLA CHIAVE

Moto uniformemente accelerato

Due slitte gareggiano sullo stesso scivolo ghiacciato, partendo da ferme dalla stessa altezza, in condizioni di assenza di attrito. ¢ È possibile che percorrano la lunghezza dello scivolo in tempi diversi? Motiva la risposta in 5 righe

115

MAPPA DEI CONCETTI ACCELERAZIONE

ACCELERAZIONE velocità tempo

VELOCITÀ ∆v ∆t

spazio tempo

analogia

∆x ∆t

ACCELERAZIONE MEDIA FORMULA

A PAROLE

SPIEGAZIONE

∆v ∆t

variazione della velocità rispetto al tempo impiegato a compiere tale variazione

variazione della velocità nell’unità di tempo

UNITÀ DI MISURA m s =m s s2 metri al secondo quadrato

ACCELERAZIONE ISTANTANEA calcolata fra due istanti infinitamente vicini

accelerazione → grafico velocità-tempo

analogia

velocità → grafico spazio-tempo

NEL GRAFICO VELOCITÀ-TEMPO L’ACCELERAZIONE MEDIA

L’ACCELERAZIONE ISTANTANEA

è la pendenza del segmento che unisce gli estremi della curva

è la pendenza della tangente alla curva in un certo istante

v

v

0

t

116

0

t

L’ACCELERAZIONE

IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

avviene lungo una retta

con accelerazione costante l’accelerazione media coincide con l’accelerazione istantanea su tutto il tragitto

IL GRAFICO VELOCITÀ-TEMPO DEL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

IL GRAFICO SPAZIO-TEMPO DEL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

v

x

v0

x0

0

t

0

t

è una retta la cui pendenza coincide con l’accelerazione costante del moto

è una parabola la cui tangente punto per punto rappresenta la velocità istante per istante

LEGGE DELLA VELOCITÀ

LEGGE ORARIA

velocità all’istante t

accelerazione

v = v 0 + at velocità iniziale

è la formula che definisce la regola matematica con la quale la velocità cambia nel tempo

posizione all’istante t

velocità iniziale

accelerazione

1 x = x 0 + v 0t + at 2 2 posizione iniziale

è la formula che definisce la regola matematica con la quale la posizione cambia nel tempo

un corpo in caduta libera compie un MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO con accelerazione g = 9,8 m/s2 detta accelerazione di gravità

117

4

4 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI v (km/h) 300

L’ACCELERAZIONE MEDIA

DOMANDE

200

Se misuriamo lo spazio in centimetri e il tempo in minuti, qual è l’unità di misura dell’accelerazione media?

1

100 0

2 L’accelerazione media può essere nulla? Motiva la

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

¢ Ricava l’accelerazione media a partire dal grafico velocità-tempo dell’esercitazione.

risposta con un esempio.

[7,8 m/s2]

3 Un automobilista passa lentamente da 60 km/h a

90 km/h per poi ritornare a 60 km/h. Senza fare calcoli, sapresti dire quanto vale la sua accelerazione media? 4 Nel linguaggio comune spesso si usa il termine «de-

celerazione»: di che cosa si tratta?

2

COME SI UTILIZZA LA FORMULA DELL’ACCELERAZIONE MEDIA

DOMANDE 9 Due automobili procedono a velocità costanti diffe-

CALCOLI 5 Disegna il grafico velocità-tempo di un’automobile

che passa da 0 km/h a 100 km/h in 15 s e poi prosegue a velocità costante per 60 s. 6 Nella savana un ghepardo affamato avvista una gaz-

zella e per raggiungerla inizia a correre. In 3,0 s raggiunge una velocità di 110 km/h.

renti e a un certo punto iniziano a rallentare fino a fermarsi. Si può dire quale delle due auto si ferma per prima conoscendo il valore delle accelerazioni? Motiva la risposta in 5 righe. 10 «L’accelerazione media di un corpo in movimento è

uguale alla variazione media nel tempo della variazione media nel tempo della posizione del corpo». Questa frase, che sembra uno scioglilingua, è corretta? Correggila se occorre. 11 Se l’accelerazione media è negativa, può la velocità

media essere positiva nello stesso intervallo di tempo? Motiva la risposta con un esempio. 12 Il grafico della figura seguente rappresenta due auto AISPIX / Shutterstock

con accelerazioni differenti. Sapresti dire quale delle due ha accelerazione maggiore? v (m/s) A

¢ Disegna un grafico velocità-tempo compatibile con questi dati. ¢ Quanto vale l’accelerazione media del ghepardo?

B 0

[7,4 m/s2]

7 Una barca in mezzo al mare incontra una tempesta

in cui un vento contrario al moto soffia a una velocità di 300 km/h e fa rallentare la barca da 70 km/h a 45 km/h in 2,0 secondi. ¢ Calcola l’accelerazione media della barca. [⫺3,5 m/s2]

8 Durante un’esercitazione militare viene collaudato

uno dei migliori caccia americani che può raggiungere una velocità massima di 2000 km/h.

118

t (s)

CALCOLI 13 Un motociclista viaggia a una velocità costante di

120 km/h quando inizia a frenare. ¢ In quanto tempo si ferma se l’accelerazione media è di ⫺5 m/s2? [6,7 s]

14 In un Gran Premio di Formula 1 Alonso ha superato

Barrichello aumentando in un giro la sua velocità

4

L’ACCELERAZIONE media da 100 km/h a 120 km/h. Si calcola che la sua accelerazione media è stata di 0,07 m/s2.

mente accelerato? Si tratta di un moto con partenza da fermo? v

¢ Quanto tempo ha impiegato a percorrere l’intero giro di pista? [79 s]

15 Due aerei in esercitazione viaggiano a velocità di

900 km/h e 1100 km/h rispettivamente, per poi accelerare per 40 s con accelerazioni medie di am1 ⫽ am2 ⫽ 4,5 m/s2.

v0 0

¢ Quali sono le loro velocità finali?

t

[1550 km/h; 1750 km/h]

CALCOLI

16 Due ragazzi durante una corsa campestre procedo-

no a velocità costante e raggiungono un traguardo intermedio nello stesso istante, nel quale iniziano ad accelerare raggiungendo le velocità di 6 m/s e 5,5 m/s in 4,0 s.

21 Un’automobile rallenta costantemente fino a fer-

marsi in 15 s. ¢ Quanto vale l’accelerazione se la sua velocità iniziale era 40 km/h?

¢ Considerando che le loro accelerazioni medie sono state rispettivamente di 0,7 m/s2 e 0,8 m/s2 quali erano le loro velocità iniziali?

22 Un cavallo da corsa raggiunge in 2,5 secondi una ve-

locità di 42 km/h con un’accelerazione costante di 1,7 m/s2. ¢ Quale era la sua velocità iniziale? [7,4 m/ s2]

23 Un motociclista viaggia a 120 km/h quando inizia a Val Thoermer / Shutterstock

[3,2 m/s; 2,3 m/s]

[–0,74 m/s2]

rallentare con accelerazione costante. In 3,5 s la sua velocità è diventata 58 km/h. ¢ Scrivi la legge della velocità. 24 Quanto tempo impiega il motociclista dell’esercizio

23 a fermarsi, da quando inizia a rallentare? [6,8 s]

3

IL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

DOMANDE 17 Quale legge del moto rettilineo uniforme è analoga

alla legge della velocità del moto uniformemente accelerato? Le due leggi forniscono le stesse informazioni? Motiva la tua risposta in 10 righe. 18 La velocità istantanea si introduce quando la diffe-

renza tra due istanti di tempo diventa sempre più piccola. Vale la stessa cosa per accelerazione istantanea?

4

LA LEGGE ORARIA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

DOMANDE 25 Data la legge oraria del moto uniformemente acce-

lerato x ⫽ x0 ⫹ v0t ⫹ ½ at2, spiega in 10 righe il significato di ciascun termine. 26 Dato il grafico in figura, quale delle due aree in colore

diverso rappresenta un moto uniforme? v (m/s)

19 Dimostra la legge della velocità nel moto uniforme-

mente accelerato (v ⫽ v0 ⫹ at) a partire dalla formula per l’accelerazione media, seguendo un ragionamento analogo a quello seguito per ricavare la legge oraria del moto rettilineo uniforme. 20 Dato il grafico velocità-tempo in figura, da che

cosa deduci che si tratta di un moto uniforme-

0

t (s)

119

4 ESERCIZI 27 A quale dei termini della legge oraria del moto uni-

formemente accelerato corrisponde l’area in bianco sottesa al grafico del quesito 26?

34 Descrivi in 10 righe il moto rappresentato nel grafico

dell’esercizio 33. 35 Descrivi in 10 righe il grafico seguente. v (m/s)

CALCOLI 28 Un atleta partendo da fermo percorre 20 m in 4,0 s

3

con moto uniformemente accelerato. ¢ Scrivi la legge oraria del moto. ¢ Applica la legge oraria per calcolare l’accelerazione. [2,5 m/s2]

0

2

t (s)

4

29 A causa di un tratto con intenso traffico un’automo-

bile che procede a 90 km/h rallenta in modo uniforme fino alla velocità di 50 km/h.

CALCOLI

¢ In quanto tempo rallenta se l’accelerazione è ⫺0,90 m/s2?

36 Un leone parte da fermo verso la sua preda con ac[12 s]

30 Immaginando di salire a bordo di una potentissima

macchina da corsa raggiungerei i 120 km/h in 3,0 s. ¢ Quanto spazio percorrerei in un minuto se potessi mantenere la stessa accelerazione? [20 km]

31 Un ciclista che viaggia con velocità costante di 10 km/h

inizia ad accelerare costantemente di 4,4 m/s2. ¢ In quanto tempo percorre uno spazio di 100 m? [6,1 s]

32 Un autocarro rallenta costantemente da 67 km/h a

celerazione costante a ⫽ 3 m/s2 per 5,0 s. ¢ Calcola le coordinate di 10 punti del grafico spazio-tempo e disegnali su un piano cartesiano. 37 Ulisse per attraversare lo stretto dove abitano i due

temibili mostri Scilla e Cariddi vuole sfruttare l’accelerazione costante di 2,0 m/s2 fornita dall’acqua rigettata da Cariddi; con tale accelerazione intende percorrere i 500 m che lo separano da Scilla. ¢ Quanto tempo è necessario per passare lo stretto? ¢ Calcola le coordinate di 10 punti del grafico spazio-tempo e disegnale su un piano cartesiano. [22 s]

48 km/h in 4,5 s per via di una curva pericolosa. ¢ In quanto spazio avviene il rallentamento?

38 Disegna un grafico velocità-tempo di un moto unifor[7,2 m]

memente accelerato in cui v0 ⫽ 10 m/s e a ⫽ 4,0 m/s2. ¢ Quanto spazio è stato percorso in 20 s? [1,0 km]

5

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

DOMANDE 33 Esiste un istante di tempo in cui il corpo il cui moto è

descritto nel grafico ha cambiato direzione? Se si, qual è?

39 Nella figura seguente è rappresentato il moto di un

corpo con accelerazione negativa. v (m/s) 6,0 4,0

1,5

v (m/s)

0

5,0

t (s)

¢ Trova la velocità iniziale e finale e lo spazio percorso. [6,0 m/s; 1,5 m/s; 19 m]

2

40 Il grafico della figura rappresenta un ragazzo su uno 0

120

3

t (s)

skateboard che oltrepassa un ostacolo al tempo

4

L’ACCELERAZIONE t ⫽ 0 s, con velocità di 3,0 m/s e poi accelera uniformemente per 5,0 s.

lunare un sasso lanciato verticalmente verso l’alto con velocità iniziale di 3 m/s in 1,0 s? [2,2 m]

v (m/s)

47 Quale altezza massima raggiunge il sasso dell’eserci-

zio 46?

9

[2,8 m]

48 Un tuffatore professionista in gara si tuffa da un

trampolino che si trova a un’altezza di 2,5 m dal livello della superficie dell’acqua della piscina.

3 0

5,0

t (s)

¢ Calcola lo spazio percorso mediante l’area sottesa dalla retta. [30 m]

6

LA CADUTA DEI GRAVI

DOMANDE un’altezza h con accelerazione di gravità costante pari a 1,6 m/s2. Quale di questi dati è inutile per ricavare il tempo di caduta? 42 Un sasso viene lanciato con velocità iniziale diretta

lungo la verticale sulla quale raggiunge una quota massima prima di ricadere verso il basso. Confronta il segno dell’accelerazione con quello delle velocità nelle due fasi di salita e discesa.

Craig Maccubbin

41 Un sasso di massa m cade sulla superficie lunare da

¢ Considerando nulla la velocità iniziale e trascurabile la resistenza dell’aria, in quale istante tocca la superficie dell’acqua? [0,7 s]

43 Quali approssimazioni si fanno nello studio del moto

dei gravi mediante la legge del moto uniformemente accelerato? Rispondi in 10 righe.

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE

CALCOLI

49 Qual è la differenza tra accelerazione media e acce-

44 A quale valore di velocità in km/h arriverebbe al suo-

lo una goccia di pioggia proveniente da una nube a 12 km di quota se non ci fosse l’aria? [539 m/s]

45 La leggenda vuole che il celebre Newton ebbe l’intu-

izione della legge di gravitazione universale seduto sotto un albero da cui cadde una mela. ¢ Se l’albero fosse stato alto 3 m e la testa di Newton si fosse trovata a 1 m da terra, quanto tempo dopo essersi staccata la mela sarebbe caduta in testa al noto scienziato? [0,6 s]

46 Sulla Luna l’accelerazione di gravità è 1/6 di quella

terrestre. ¢ A quale altezza arriva rispetto alla superficie

lerazione istantanea? Cosa accade quando le due coincidono? 50 In che senso possiamo riconoscere un’analogia tra la

velocità e l’accelerazione? Rispondi in 10 righe. 51 Conoscendo lo spazio utilizzato da un’automobile

per fermarsi a partire da una data velocità, possiamo ricavare il valore dell’accelerazione media? E dell’accelerazione istantanea? In caso affermativo specifica le formule usate. 52 Un corpo procede con velocità negativa. Può la sua

accelerazione essere positiva? Motiva la risposta in 5 righe. 53 Esprimi con altre parole l’espressione «la variazione

di velocità rispetto al tempo è costante».

121

4 ESERCIZI 54 Individua quali sono i moti rappresentati dalle tre

rette di colore diverso nel grafico seguente. v (m/s)

¢ Se si incontrano dopo 6,0 s, quanto erano distanti quando si sono visti? ¢ Chi dei due ha percorso una distanza maggiore?

A

[38 m]

58 Achille Piè Veloce e la tartaruga concorrono in una

B C 0

t (s)

gara in cui devono percorrere 2,0 km. Il primo parte da fermo e accelera costantemente con un’accelerazione di 0,7 m/s2, mentre la seconda procede con moto rettilineo uniforme. ¢ Quale dovrebbe essere la velocità della tartaruga per battere Achille?

PROBLEMI 55 Un ragazzo su uno scooter deve rallentare per via

del traffico e la sua velocità passa da 50 km/h a 32 km/h in 15 secondi. ¢ Quanto vale l’accelerazione media?

(Suggerimento: trova il tempo in cui Achille percorrerebbe l’intero percorso e sostituiscilo nelle legge oraria del moto della tartaruga.) [26 m/ s2]

59 In primavera i salmoni norvegesi cercano la loro

¢ Si può calcolare lo spazio percorso? ¢ Si può disegnare il grafico velocità tempo del moto? Motiva le risposte in 5 righe. [⫺0,33 m/s2]

56 Durante una corsa di cavalli Bucefalo si è piazzato al

primo posto variando la sua velocità uniformemente negli ultimi 20 secondi da 80 km/h a 90 km/h e battendo il secondo classificato che è passato dalla velocità di 82 km/h a 88 km/h, sempre con accelerazione uniforme. ¢ Quali sono state le rispettive accelerazioni?

compagna per l’accoppiamento risalendo il corso dei fiumi. Per superare gli ostacoli e l’impeto della corrente compiono balzi alti fino a 3 metri, dopo aver preso la rincorsa in acque profonde. Per prepararsi al salto un salmone parte da una velocità iniziale verticale nulla e raggiunge una velocità di 4,0 m/s in uno spazio di 3,0 m. ¢ Quanto tempo dura la rincorsa? ¢ Quale altezza massima raggiunge il salmone una volta uscito dall’acqua? [1,5 s; 0,82 m]

60 Due ciclisti procedono rispettivamente a 45 km/h il

¢ Quale dei due cavalli era più vicino al traguardo 20 s prima della fine dalla gara? [0,14 m/s2 e 0,083 m/s2]

57 Due innamorati si incontrano all’aeroporto dopo un

lungo periodo di lontananza. Lui sta camminando con una velocità di 10 km/h e appena vede lei inizia ad accelerare costantemente di 0,8 m/s2; nello stesso istante lei parte da ferma con un’accelerazione di 0,4 m/s2 in direzione opposta.

primo e a 47 km/h il secondo quando attraversano un traguardo intermedio di una gara. A quel punto il primo inizia ad accelerare costantemente per 25 s e raggiunge la velocità di 50 km/h. ¢ Quanto vale l’accelerazione del primo ciclista? Disegna i grafici velocità-tempo dei moti sullo stesso piano. ¢ A quale istante il primo ciclista sorpassa il secondo? [0,06 m/s2]

ssuaphotos / Shutterstock

61 Due automobili percorrono l’autostrada A14 da nord

122

a sud. Alle 15:00 transitano entrambe davanti all’uscita di Senigallia a velocità costanti: la prima di 120 km/h, la seconda di 130 km/h. Dopo 14 km quest’ultima inizia a rallentare costantemente fino a fermarsi all’uscita di Ancona Nord, posta a 19 km dalla precedente. ¢ Disegna i grafici velocità-tempo delle due automobili. ¢ Quanto tempo dopo l’inizio della frenata le due automobili hanno la stessa velocità?

L’ACCELERAZIONE ¢ A quale orario corrisponde? ¢ A che ora la seconda automobile si trova al casello di Ancona Nord? (Suggerimento: bisogna innanzitutto ricavare il valore dell’accelerazione della seconda automobile a partire dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato degli ultimi 5 km.) [21 s; corrisponde alle 15:07 circa; alle 15:11 circa]

62 Per stimare la profondità di un pozzo misuriamo con

un cronometro il tempo che passa tra l’istante in cui lasciamo cadere un sassolino e l’istante in cui percepiamo il rumore dell’impatto con l’acqua. Sappiamo infatti che il suono viaggia a velocità costante pari a circa 340 m/s e che il moto del sassolino in fase di caduta è uniformemente accelerato. ¢ Se tale intervallo di tempo è pari a 3,0 s, quanto si stima sia profondo il pozzo? ¢ Si tratta di una stima per difetto o per eccesso?

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Un corpo puntiforme si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato a partire dal tempo t ⫽ 0, con una velocità iniziale diversa da zero. Se dopo un secondo il corpo ha percorso 3 m e dopo due secondi ha percorso 10 m, la sua accelerazione è pari a: A

1 m/s2

B

2 m/s2

C

3 m/s2

D

4 m/s2

E

5 m/s2

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2010/2011) 2 Un sasso lasciato cadere da 20 cm di altezza arriva a

terra con una velocità V ⫽ 2 m/s (circa). Se lo stesso sasso è lasciato cadere da un’altezza doppia arriverà a terra con una velocità di circa:

Motiva la risposta in 5 righe.

A

2 2 m/s

B

4 m/s

(Suggerimento: imponi l’uguaglianza tra le relazioni che legano lo spazio percorso al tempo impiegato nei due moti di caduta del sassolino e di risalita del suono.)

C

2 · 9.8 m/s

D

8 m/s

E

dipende dalla massa del sasso

[circa 40 m]

4

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2007/2008)

123

CAPITOLO

I vettori

“

…la matematica si può definire una meravigliosa apparecchiatura spirituale fatta per pensare in anticipo tutti i casi possibili.

”

Robert Musil, L’uomo matematico, 1911

René Magritte, La battaglia delle Argonne, 1959.

PAROLE CHIAVE Vettore Matematica Grandezza vettoriale

124

Sin da piccoli usiamo i numeri per contare gli oggetti e siamo abituati all’evidenza che due più due fa quattro. La matematica però va oltre, e in questo capitolo scoprirai che ci sono enti matematici che seguono regole di somma diverse da quelle che si imparano nella scuola primaria. Alcuni di questi enti matematici astratti, senza peso, sono indispensabili per descrivere situazioni fisiche concrete, nelle quali due più due non fa quattro. Se, lungo un tragitto rettilineo, percorriamo due metri in avanti e due metri indietro, ci ritroviamo al punto di partenza, e così due più due fa zero. La somma di due spostamenti di due metri ciascuno può dare come risultato uno spostamento nullo, e ciò significa che i numeri e le comuni operazioni tra essi non bastano a rappresentare correttamente questa grandezza fisica. Nel linguaggio comune diciamo infatti «avanti e indietro», ma i numeri non contengono queste in-

formazioni: nulla ci dice quale sia l’orientazione spaziale dello spostamento. La matematica, linguaggio della fisica per la descrizione della natura, non è fatta solo di numeri. Definiremo in questo caso i vettori, che contengono informazioni sull’orientamento spaziale e che si possono rappresentare graficamente con delle frecce. Così come sui numeri si possono eseguire somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni, anche i vettori si possono combinare tra loro per mezzo di particolari operazioni, che userai molto spesso nel corso dello studio della fisica. Molte grandezze fisiche, infatti, si comportano esattamente come i vettori e sono per questo dette grandezze vettoriali. Tra le grandezze che conosci, appartengono a questa categoria spostamento, velocità e accelerazione, mentre per il tempo e la massa possiamo utilizzare i numeri.

I VETTORI

1

5

QUANDO I NUMERI NON BASTANO

Un gatto può muoversi lungo una retta avanti o indietro. Ogni sua coordinata è un numero, la direzione del suo moto coincide con la direzione della retta e gli spostamenti sono anch’essi numeri preceduti da un segno più o da un segno meno a seconda del verso del moto. Per combinare tra loro spostamenti successivi semplicemente eseguiamo una somma algebrica sui numeri che li rappresentano, e così ricaviamo che su un percorso di andata e ritorno lo spostamento totale è zero. Se un gatto può muoversi solo avanti e indietro lungo una retta, in un piano (come nello spazio tridimensionale) uno spostamento può avvenire lungo infinite direzioni e non basta un semplice numero preceduto da un più o un meno per rappresentarlo (figura 1). Come si sommano in questo caso spostamenti successivi? Che cosa vuol dire «andata e ritorno» se i percorsi possono essere infiniti? Lo spostamento totale è ancora nullo? È chiaro che per rispondere a queste domande i numeri non bastano. y

Figura 1. Sulla retta il gatto può andare solo avanti e indietro, mentre sul piano può seguire infinite direzioni.

x

O

x

Situazioni del genere richiedono l’utilizzo di entità matematiche più complesse dei numeri, che contengono anche altre informazioni. Tra gli infiniti universi matematici, fatti di costruzioni astratte e logicamente coerenti, i fisici individuano qualcosa che funzioni bene per descrivere un certo fenomeno reale. È questo il caso dei vettori, che consentono di descrivere gli spostamenti in modo semplice ed efficace. Un vettore è una grandezza matematica orientata nello spazio, che segue regole di addizione diverse da quelle che seguono i numeri. Un vettore è un ente matematico definito da un modulo, una direzione e un verso. s Il modulo è un numero e ci dà informazioni sull’entità della grandezza fisica (il numero di metri dello spostamento); s la direzione è la retta lungo la quale essa è diretta (la direzione dello spostamento); s il verso ci dice l’orientazione lungo tale retta (avanti o indietro). A ogni vettore può essere fatta corrispondere una freccia (figura 2). verso direzione modulo

Figura 2. La lunghezza della freccia rappresenta il modulo del vettore, la retta su cui giace il vettore rappresenta la sua la direzione, la punta della freccia (o estremo libero del vettore), ne rappresenta il verso.

125

5

I VETTORI

Il simbolo grafico con cui si indica un vettore è una lettera minuscola con una piccola freccia disegnata sopra: per esempio vÀ. Il modulo del vettore si può indicare con il simbolo v senza la freccia sopra, o con la rappresentazione |vÀ| («modulo di vÀ»).

ESEMPIO Ecco come si disegna la freccia che rappresenta il vettore spostamento À s di modulo 2 m in direzione NE-SO verso SO: N NO

NE

1m O

E SO

SE

S

DOMANDA Come definiresti a parole lo spostamento di un oggetto che cade al suolo da un’altezza di 5 m? Spiegalo in 5 righe usando i concetti di direzione e verso e disegna la freccia corrispondente.

Vettore applicato In base alla definizione data sopra, il vettore non corrisponde a un’unica freccia: infatti una giacitura (la direzione del vettore) individua un’infinità di rette con la stessa inclinazione sulle quali si staccano infiniti segmenti e quindi infinite frecce. Nulla ci autorizza a sceglierne una in particolare, a meno che non ci sia un’informazione aggiuntiva, cioè il suo punto di partenza, detto punto di applicazione. Una volta specificato il punto di applicazione, resta individuata un’unica freccia e il vettore corrispondente è detto vettore applicato (figura 3).

Figura 3. Se non viene specificato il punto di applicazione un vettore è rappresentato da infinite frecce aventi stessa direzione, stesso modulo e stesso verso.

vettore applicato punto di applicazione

In tutti gli esercizi e negli sviluppi delle regole generali avremo a che fare con vettori applicati, per cui sarà necessario specificare sempre il punto di applicazione.

126

I VETTORI

5

Matematica e fisica

Massimiliano Trevisan

J Brew

Joingate/Shutterstock

I rapporti tra matematica e fisica, già individuati da Galileo, sono molto profondi e interconnessi, ma bisogna stare attenti a non fare confusione. I matematici lavorano in astratto, creando enti e spazi che, pur avendo strutture ben precise e regole rigorose, non necessariamente esistono in concreto. I fisici invece sono interessati a entità misurabili che hanno sempre un corrispettivo nella realtà fenomenologica. Un matematico, per esempio, parlerà di n dimensioni spaziali perché, dal punto di vista della trattazione astratta, non c’è grande differenza tra uno spazio euclideo a tre dimensioni e uno a dieci dimensioni. Un fisico invece si riferisce sempre a fenomeni che si possono osservare nella realtà oppure a esperimenti che si possono fare: lo spazio che lo interessa è quindi lo spazio euclideo tridimensionale, nel quale può descrivere i movimenti dei corpi intorno a sé con le regole della meccanica classica. Secondo il pensiero galileiano, quindi, la fisica usa la matematica come strumento per la descrizione dei fenomeni. La realtà, a sua volta, è descrivibile mediante la matematica, che si trova nascosta nella struttura dei fenomeni. Le regolarità della natura sono regolarità matematiche (figura 4), e il lavoro del fisico consiste nella ricerca della rappresentazione opportuna, che non è sempre evidente o facilmente individuabile.

La «caccia alle regolarità matematiche» nascoste nei fenomeni naturali è alla base della fisica ed è una sfida affascinante che si rinnova di continuo. Ci sono moltissimi fenomeni per i quali non si conosce ancora la rappresentazione adeguata. In questa ricerca a volte accade che un fisico si cimenti in un lavoro matematico, trovando nuove regole che rappresentano la realtà ma funzionano anche in generale, così come può accadere che un matematico prenda spunto da problemi di natura fisica per aprire nuovi campi di studio e creare nuove entità, che seguono un insieme di regole ben precise ed esistono anche da un punto di vista più astratto.

2

Figura 4. In natura esistono molte regolarità matematiche. Fra le più evidenti ci sono le regolarità nello spazio, che hanno un ammirato rappresentante nella spirale logaritmica, legata alla successione di Fibonacci.

COMPOSIZIONE E SCOMPOSIZIONE DI VETTORI

Come i numeri si combinano tra loro mediante le quattro operazioni, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, anche i vettori possono combinarsi tra loro in vari modi. Vediamone alcuni.

127

5

I VETTORI

Somma tra vettori Stiamo entrando nel campo della matematica e pian piano i discorsi si fanno sempre più astratti: quando però questi strumenti ci servono per descrivere situazioni fisiche, acquistano concretezza. Per esempio, cominciamo a definire la somma tra vettori dal punto di vista matematico e poi analizziamo un caso fisico per capire meglio. →

→

→

→

Dati due vettori u e v , la loro somma u ⫹ v è un terzo vettore il cui punto di applicazione coincide con quello del primo vettore e il cui estremo libero coincide con l’estremo libero del secondo vettore, applicato all’estremo libero del primo. A una definizione piuttosto verbosa corrisponde un disegno molto semplice (figura 5). →

punto di applicazione → → → → di u e u ⫹ v u

Figura 5. Il vettore v viene applicato all’estremo libero di → → → u . Il vettore u ⫹ v «parte» dal → punto di applicazione di u e → «arriva» all’estremo libero di v .

estremo libero → → → di v e u ⫹ v

→

v →

→

uⴙv

La somma tra vettori così definita gode della proprietà commutativa, infatti è facile verificare (figura 6) che uÀ ⫹ vÀ ⫽ vÀ ⫹ uÀ →

v Figura 6. Cambiando l’ordine dei vettori il risultato della somma non cambia.

→

→

u

→

uⴙv →

→

→

u

uⴙv

→

v

Questo modo di visualizzare la somma tra vettori è detto anche metodo punta-coda, perché essi vengono posizionati uno dopo l’altro. Consente di sommare tra loro un numero qualsiasi di vettori in modo molto semplice ed è particolarmente utile quando si ha a che fare con gli spostamenti.

ESEMPIO ¢ Per esercitarsi in classe sul metodo punta-coda per la somma tra vettori un ragazzo compie tre spostamenti consecutivi À s 1, À s2 ed À s3, utilizzando le mattonelle del pavimento come unità di misura. In quale posizione si trova il ragazzo dopo i tre spostamenti?

A

À

s1 ⫽ 6 mattonelle in avanti;

128

s2

B →

s3

→

C

s1 →

→

→

s1 ⴙ s2 ⴙ s3

O

SOLUZIONE

→

I VETTORI

5

À

s2 ⫽ 5 mattonelle a destra; s3 ⫽ 2 mattonelle all’indietro.

À

Dopo gli spostamenti À s 1, À s2 ed À s3 il ragazzo si trova nel punto C. DOMANDA In quale posizione si trova il ragazzo se l’ordine degli spostamenti è À s 3, À s1 ed À s 2? Esiste un altro modo di visualizzare la somma tra vettori, detto regola del parallelogramma: consiste nell’applicare i due vettori nello stesso punto e poi costruire su essi un parallelogramma. Il vettore somma è applicato allo stesso punto di applicazione dei due vettori e ha come lunghezza la diagonale del parallelogramma. Qualunque delle due strategie si applichi il risultato è equivalente e si può scegliere di usare l’una o l’altra a seconda del contesto (figura 7). Nel caso degli spostamenti è naturale usare il metodo punta-coda, ma come vedremo ci sono casi in cui si ragiona meglio con il parallelogramma. →

→

v

v

→

→

u

u →

→

→

uⴙv

→

uⴙv

→

u

Figura 7. Il metodo punta-coda e la regola del parallelogramma sono equivalenti.

→

v

Differenza tra vettori Il segno meno negli spostamenti unidimensionali è associato a un moto all’indietro, e sommando tra loro due spostamenti opposti si ottiene uno spostamento nullo. Ragionando in astratto, sommando due vettori opposti si ottiene il vettore nullo: vÀ ⫹ (⫺vÀ) ⫽ 0 (vettore nullo) In generale la differenza tra due vettori si ottiene sommando al primo l’opposto del secondo: u→ ⫺ v→ ⫽ u→ ⫹ (⫺v→) Il vettore opposto ⫺vÀ si disegna semplicemente invertendo la freccia: il punto di applicazione di vÀ diventa l’estremo libero di ⫺vÀ e viceversa (figura 8). → →

v

u →

→

uⴚv

v

→

→

u

→

→

⫺v

metodo punta-coda

⫺v

→

→

uⴚv

Figura 8. Una volta definito → il vettore opposto ⫺v , → → la differenza u ⫺ v si ottiene con le stesse regole della somma.

regola del parallelogramma

129

5

I VETTORI

ESEMPIO ¢ Dati i vettori uÀ e vÀ in figura, qual è la loro differenza uÀ ⫺ vÀ?

→

u

→

v

SOLUZIONE Il vettore ⫺vÀ opposto a vÀ va sommato al vettore uÀ:

→

→

→

⫺v

uⴚv

→

→

u

v

Il vettore uÀ ⫺ vÀ si ottiene utilizzando il metodo punta-coda sui vettori uÀ e ⫺vÀ. DOMANDA Per la differenza tra vettori vale la proprietà commutativa? Verificalo trovando il vettore vÀ ⫺ uÀ.

Scomposizione di un vettore →

v

Figura 9. Ci sono infiniti modi di ottenere un vettore somma di altri due o più vettori, così come possiamo raggiungere una posizione nello spazio eseguendo infiniti spostamenti diversi.

Ogni vettore vÀ può essere pensato come se fosse il risultato di una somma tra due o più vettori, che si definiscono componenti. Con la rappresentazione del metodo punta-coda questo equivale, sul piano, a fare un disegno come quello in figura 9. Un caso particolare, molto usato in fisica, è la scomposizione di un vettore lungo due direzioni perpendicolari tra loro: in questo caso, se utilizziamo la rappresentazione del parallelogramma, le componenti sono le proiezioni ortogonali del vettore lungo le direzioni scelte (figura 10). z y

→

Figura 10. → a. v1, v2 e v3 scompongono v lungo tre direzioni ortogonali; b. nel piano la composizione → del vettore v consiste di due vettori. → →

→

v

→

v →

vz

→

vx

x

O

→

vy

␪ y

O

→

vx

x

→

vy

Scomponiamo sul piano il vettore vÀ in due vettori perpendicolari vÀ1 e vÀ2. Il modulo di vÀ1 e quello di vÀ2, cioè la lunghezza delle frecce corrispondenti, si trovano con le regole della trigonometria:

130

I VETTORI

|vÀ1| ⫽ |vÀ| cos θ |vÀ2| ⫽ |vÀ| sin θ

5

(5.1)

Un equivalente fisico di questo ragionamento è quello in cui uno spostamento viene considerato somma di spostamenti perpendicolari. Per esempio, se per raggiungere un punto di una stanza piastrellata ci muoviamo solo lungo le file di piastrelle, lo spostamento può essere scomposto nella somma degli spostamenti perpendicolari (figura 11).

A

B

C

ESEMPIO ¢ Trova il vettore che scompone vÀ lungo la direzione individuata da uno dei due assi ortogonali del disegno. y →

→

v

v

Figura 11. Per andare da A a C passiamo prima per B. → → AB e BC sono spostamenti perpendicolari.

x

O

SOLUZIONE Per proiettare un vettore lungo una direzione si disegna prima la retta ad essa parallela e passante per il suo punto di applicazione; poi si traccia la perpendicolare a tale retta passante per l’estremo libero del vettore.

→

v

→

v

x

→

v

x

x →

O

O

O

vx

DOMANDA Qual è il vettore che scompone vÀ lungo y? Ricalca il disegno e traccia vy.

3

ALTRE OPERAZIONI CON I VETTORI

Prodotto e divisione per un numero Possiamo moltiplicare o dividere un vettore per un numero semplicemente moltiplicando o dividendo il suo modulo per quel numero (figura 12); se il numero è negativo il verso del vettore cambia.

→

v

→

u

→

3v

1 → ⫺u 3

Figura 12. Un numero che moltiplica o divide un vettore allunga o accorcia la relativa freccia.

131

5

I VETTORI

Prodotto scalare Con il prodotto scalare il discorso inizia a farsi più astratto, perché non abbiamo ancora incontrato una grandezza fisica per la quale è utile definire questo tipo di operazione. Non possiamo pertanto fare esempi fisici per chiarirci le idee e ne diamo semplicemente una definizione, in attesa di avere l’occasione per utilizzare questo nuovo strumento matematico. →

Il prodotto scalare u→ · v tra due vettori è un numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo sul primo.

Figura 13. Nel prodotto scalare la lunghezza della prima freccia viene moltiplicata per la lunghezza della seconda proiettata sulla prima.

→

v

→

u →

proiezione di v → nella direzione di u

Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa: uÀ · vÀ ⫽ vÀ · uÀ Il prodotto scalare trasforma due vettori in un numero e ci dà la misura di quanto essi siano «concordi»: s se i vettori sono paralleli e di verso concorde il prodotto scalare è massimo ed è uguale al prodotto tra i moduli dei due vettori; s se i due vettori sono paralleli e di verso opposto il prodotto scalare è minimo e corrisponde al valore del caso precedente con il segno meno; s se i due vettori sono perpendicolari il prodotto scalare è nullo. Figura 14. → a. La proiezione di v → nella direzione di u è uguale → al modulo di v. → b. La proiezione di v → nella direzione di u è uguale → al modulo di v con il segno meno. → c. La proiezione di v → nella direzione di u è nulla.

→

v →

→

u

→

v

u

→

u

→

v

→ →

→ →

→ →

u ⭈ v ⫽ 冷 u冷 冷 v 冷

→ →

u ⭈ v ⫽ ⫺ 冷 u冷 冷 v 冷

a

b

→ →

u⭈v ⫽0 c

Le situazioni intermedie si ottengono con le regole della trigonometria, che danno la formula generale del prodotto scalare: uÀ · vÀ ⫽ |uÀ| |vÀ| cos θ

→

Figura 15. θ è l’angolo compreso tra i due vettori.

v ␪

→

u

132

(5.2)

I VETTORI

5

ESEMPIO ¢ Quanto vale il prodotto scalare tra i vettori in figura? →

v

␪ →

u

|uÀ| ⫽ 7,0 |vÀ| ⫽ 3,5 θ ⫽ 60°

SOLUZIONE

uÀ · vÀ ⫽ |uÀ|·|vÀ|cosθ ⫽ 7,0 · 3,5 · cos 60° ⫽ 7,0 · 3,5 · 0,5 ⫽ 12,3 DOMANDA Quanto vale il prodotto scalare tra gli stessi vettori se l’angolo è di 45°?

Prodotto vettoriale Un’altra operazione che si può fare con due vettori è il cosiddetto prodotto vettoriale, che restituisce come risultato un vettore perpendicolare al piano individuato dai due vettori. Dati due vettori uÀ e vÀ, si definisce prodotto vettoriale uÀ × vÀ il vettore ad essi perpendicolare, il cui modulo è dato dall’area del parallelogramma costruito su uÀ e vÀ e il cui verso è dato dalla regola della mano destra. →

→

→

u ⴛv

→

v

→

u ⴛv

→

v

→

u

→

u

Figura 16. Regola della mano destra: se il primo vettore è parallelo all’asse del pollice e il secondo a quello delle altre dita, il prodotto vettoriale è orientato nel verso uscente dal palmo della mano.

Se si scambia l’ordine dei due vettori il verso cambia, per cui il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa, ma uÀ × vÀ ⫽ ⫺vÀ × uÀ

133

5

I VETTORI

Il modulo del vettore uÀ × vÀ è dato dalla formula: |uÀ × vÀ| ⫽ |uÀ| |vÀ| sin θ ⫽ | −uÀ × vÀ|

(5.3)

In tabella 1 diamo un riepilogo delle operazioni con i vettori. OPERAZIONE Tabella 1. Operazioni con i vettori.

RISULTATO → →

→

u ⫹v

somma

→

u

→

uⴙv

vettore

→

v

→

nv

prodotto per un numero

→

nv

vettore

→

v 1

n

3

2 →

prodotto scalare

→

→

u ·v

u

numero

→

␪

v

u cos␪ →

→

u ⴛv

prodotto vettoriale

→

→

u ×v

vettore

→

v

→ →

u ⭈ v sin␪ →

u

4

Figura 17. Un vettore nello spazio tridimensionale è individuato da tre coordinate cartesiane, dette componenti cartesiane del vettore.

z

→

vz →

v

→

vy

→

vx

O

x

134

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI UN VETTORE

Tra vettori e numeri c’è una stretta relazione, che ci consente di rileggere le operazioni tra vettori come particolari combinazioni di operazioni tra numeri. Per capire questo concetto è utile rappresentare un vettore nello spazio attraverso un sistema di riferimento: se applichiamo il vettore vÀ sull’origine di un sistema di assi cartesiani, esso è univocamente determinato dalle coordinate del suo estremo libero. Le coordinate corrispondono ai moduli dei vettori che scompongono vÀ lungo le direzioni degli assi cartesiani, cioè alle lunghezze delle frecce che y li rappresentano, e sono dette componenti cartesiane del vettore (figura 17). Nello spazio tridimensionale le compo→ v → nenti di un vettore sono terne di numeri, vy nello spazio bidimensionale sono coppie di numeri e nello spazio unidimensionale → y x O vx sono numeri. Si può quindi rappresentare un vettore con un insieme di numeri che dipendono dalle dimensioni dello spazio.

I VETTORI

5

Un vettore è rappresentato: s da un numero in uno spazio unidimensionale; s da una coppia di numeri in uno spazio bidimensionale; s da una terna ordinata di numeri in uno spazio tridimensionale.

Come si usano le componenti cartesiane di un vettore La rappresentazione cartesiana di un vettore è molto utile per fare i calcoli, perché consente di trasformare le operazioni tra vettori in operazioni tra numeri, seguendo regole opportune. A titolo di esempio vediamo il caso della somma (figura 18), che è il più semplice. Le componenti del vettore somma sono uguali alla somma delle componenti omologhe. y

→

u

uy wx

→

O

→

wⴝ u ⴙ v

→

vy

→

Figura 18. La componente wx → del vettore w è uguale alla somma delle componenti → → ux e vx di u e v; analogamente, la componente wy è uguale alla somma di uy e vy.

v

ux

vx

x

wx

Siano uÀ e vÀ due vettori che vogliamo sommare. Se li scomponiamo lungo le direzioni x e y, otteniamo i vettori uÀx, uÀy, vÀx e vÀy, i cui moduli sono le componenti cartesiane dei relativi vettori: uÀ ⫽ uÀx ⫹ uÀy vÀ ⫽ vÀx ⫹ vÀy |uÀx| e |uÀy| sono le componenti cartesiane di uÀ; |vÀx| e |vÀy| sono le componenti cartesiane di vÀ. Il vettore somma

wÀ ⫽ uÀ ⫹ vÀ

risulta essere scomposto nei vettori wÀx ⫽ uÀx ⫹ vÀx wÀy ⫽ uÀy ⫹ vÀy cioè in somme di vettori paralleli tra loro; pertanto |wÀx| ⫽ |uÀx| ⫹ |vÀx| |wÀy| ⫽ |uÀy| ⫹ |vÀy|

(5.4)

135

5

I VETTORI y

z

VETTORI y

O

x

O

x

O

x

(x; y; z) terne di numeri

NUMERI Tabella 2. Un vettore si può rappresentare con un insieme di numeri che dipendono dalle dimensioni dello spazio.

(x; y) coppie di numeri

(x) numeri

ESEMPIO ¢ Trovare le componenti del vettore wÀ ⫽ uÀ ⫹ vÀ dove ux ⫽ 6; uy ⫽ ⫺2 e vx ⫽ 8; vy ⫽ 5 SOLUZIONE wx ⫽ 6 ⫹ 8 ⫽ 14

wy ⫽ ⫺2 ⫹ 5 ⫽ 3

DOMANDA Come si disegnano i vettori uÀ, vÀ e wÀ su un piano cartesiano? Usando i quadretti del quaderno come unità di misura verifica che le componenti di w siano proprio quelle calcolate.

5

GRANDEZZE FISICHE VETTORIALI

Ci sono grandezze fisiche ben rappresentate da numeri, dette grandezze scalari, il cui valore non dipende dall’orientazione spaziale e quindi non dipende dal sistema di riferimento scelto; la loro somma è semplicemente una somma tra numeri. È questo il caso, per esempio, della massa o del tempo: due kilogrammi più due kilogrammi fanno sempre quattro kilogrammi, e due ore più due ore fanno quattro ore, che si stia uscendo da casa o che si stia rientrando. Altre grandezze, invece, hanno un orientamento spaziale e si sommano tra loro esattamente come i vettori matematici: esse sono dette grandezze vettoriali. Una grandezza fisica è detta vettoriale quando la sua rappresentazione matematica è un vettore; è detta scalare quando la sua rappresentazione matematica è un numero. Le grandezze fisiche vettoriali si disegnano come frecce e si sommano tra loro con il metodo punta-coda o con l’equivalente regola del parallelogramma. Tra le grandezze incontrate finora, sono vettoriali la posizione, lo

136

5

I VETTORI

spostamento, la velocità e l’accelerazione. Nel moto in una dimensione ciò potrebbe non essere molto chiaro, ma basta considerare un moto in due dimensioni che la rappresentazione vettoriale diventa evidente. Il caso più generale in tre dimensioni è facilmente ricavabile da quest’ultimo aggiungendo un asse ed estendendo concetti e nozioni.

I vettori posizione e spostamento Nel motociclismo la ricerca della traiettoria che ottimizza i tempi su un circuito è un problema fondamentale (figura 19).

AFP PHOTO / PAOLO COCCO

Figura 19. La traiettoria di un motociclista sul circuito è determinante per il risultato della sua prestazione.

Non sempre però la traiettoria più breve consente una velocità media maggiore: alcuni tratti, come le curve troppo strette, potrebbero richiedere velocità molto ridotte. D’altra parte, anche se è possibile, non sempre è conveniente percorrere una curva a velocità elevata: se ciò sacrifica il mantenimento di una traiettoria contenuta, costringe a un allargamento eccessivo e a un’impostazione errata della curva successiva. Vediamo come possiamo studiare una situazione del genere con la rappresentazione vettoriale delle grandezze fisiche in gioco (figura 20). Chiamiamo P il generico punto che individua la posizione del motociclista sul circuito e disegniamo la freccia che collega l’origine dey gli assi a tale punto: essa rappresenta il vettore posizione → s . Al passare del tempo, se il motociclista si muove, il punto P scorre lungo il circuito e il vettore posizione Às si allunga, si accorcia, cambia orientazione: in una parola, varia. Così come nel caso unidimensionale, chiamiamo «sposta→ s mento» la variazione della posizione, ma stavolta usiamo la À À matematica dei vettori. Se s1 ed s2 sono i vettori posizione negli istanti t1 e t2, tenendo presente la regola del parallelogramma e che la differenza tra due vettori è uguale alla O somma tra l’uno e l’opposto dell’altro, si vede che:

Figura 20. Una possibile traiettoria di un motociclista sul circuito di Misano. Rappresentiamo la posizione del motociclista con un → vettore posizione s .

P

x

137

5

I VETTORI

Lo spostamento ∆→ s ⫽→ s2 ⫺→ s 1 è un vettore diretto dal punto P1 al punto P2. Il suo modulo è tanto maggiore quanto maggiore è stata la variazione di Às , come si evince dalla figura 21. y

Figura 21. Lo spostamento → → → ∆s ⫽ s 2 ⫺ s 1 è un vettore che ha lo stesso verso del moto.

→

⌬s →

s2 →

s1

O

x

Il vettore velocità Estendendo la definizione di velocità media del caso unidimensionale, definiamo la velocità vettoriale media come il rapporto tra lo spostamento vettoriale e l’intervallo di tempo: h h ∆s v? (5.5) ∆t La velocità vettoriale media è un vettore che ha stessa direzione e stesso verso del vettore spostamento. Figura 22. Il vettore velocità ha lo stesso verso del moto, e istante per istante è diretto lungo la tangente alla traiettoria.

y

→

⌬s

→

v →

s1

→

s2

O

138

Il fattore 1/∆t ne moltiplica il modulo. Quando l’intervallo di tempo diventa infinitamente piccolo (nel modo già discusso nel caso unidimensionale) il vettore vÀ diventa una velocità vettoriale istantanea e la sua direzione è quella della tangente alla traiettoria (figura 22). Tra velocità vettoriale e velocità scalare (il modulo y del vettore, per intenderci) può sorgere qualche confusione. Se diciamo, per → esempio, che una curva è v percorsa a velocità costante, ci stiamo riferendo alla grandezza scalare, perché in una curva la direzione O x x del vettore cambia istante per istante. Se invece vogliamo che sia costante il vettore velocità, allora dobbiamo necessariamente riferirci a traiettorie rettilinee. In italiano dobbiamo usare parole aggiuntive per risolvere questa ambiguità, mentre in inglese esistono due termini distinti:

I VETTORI

5

s velocity indica il vettore velocità; s speed indica il suo modulo, cioè il valore numerico a esso associato.

Il vettore accelerazione L’accelerazione è una variazione della velocità nel tempo, e l’accelerazione vettoriale media si definisce come il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta: h h ∆v a? ∆t

(5.6)

Anche in questo caso definiamo il vettore accelerazione istantanea come l’accelerazione media su un intervallo di tempo infinitamente piccolo. Per vedere come è diretta l’accelerazione rispetto alla traiettoria prendiamo due casi particolari: il primo in cui la velocità non cambia direzione ma solo modulo (moto rettilineo non uniforme); il secondo in cui la velocità non cambia modulo ma solo direzione (moto curvilineo uniforme). Se il moto è rettilineo e non uniforme, la freccia che rappresenta il vettore velocità si allunga o si accorcia lungo la traiettoria, ma la direzione non cambia: in tal caso l’accelerazione ha la stessa direzione del moto e il verso dipende dal fatto che il vettore velocità si stia allungando o accorciando lungo il senso di marcia (figura 23). →

→

v1

v2

→

→

→

→

v3

→

v1

→

v4

v2

v3

v5

→

→

v4

v5 x

Se invece il moto è curvilineo e uniforme, la freccia che rappresenta il vettore velocità ha sempre la stessa lunghezza e cambia direzione istante per istante. In tal caso l’accelerazione è un vettore diretto verso il centro di curvatura della traiettoria, cioè perpendicolare al moto (figura 24).

→

⫺ v1

→

v1

→

→

v2 ⴚ v2

→

v2 →

v3

→

v4

→

v2

Se il moto non è né rettilineo né uniforme, l’accelerazione si può pensare come composizione dei due casi. Abbiamo dunque una componente parallela al moto e una perpendicolare, dette accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta (figura 25). L’accelerazione tangenziale è tangente alla traiettoria istante per istante; l’accelerazione centripeta è diretta verso il centro di curvatura.

Figura 23. In un moto rettilineo non uniforme la freccia del vettore velocità si allunga o si accorcia lungo la traiettoria del moto. L’accelerazione è diretta lungo la traiettoria.

Figura 24. In un moto curvilineo uniforme la freccia del vettore velocità cambia orientazione nello spazio mantenendo la stessa lunghezza. L’accelerazione è perpendicolare alla traiettoria e diretta verso il centro di curvatura.

→

→

ac

a

→

at

Figura 25. L’accelerazione in un moto qualsiasi può essere scomposta in una componente tangenziale e in una componente centripeta.

139

5

I VETTORI

BIOLOGIA L’abilità delle formiche del deserto Le formiche si allontanano dal loro cibo percorso di andata nido in cerca di cibo lasciando tracce olfattive lungo la strada: ripercorrendo a ritroso le segnalazioni formicaio lasciate riescono a tornare al punto di partenza. Nel deserto del Sahara percorso di ritorno vive una formica, la Cataglyphis fortis, che riesce ad allontanarsi diverse decine di metri dal formicaio e a La Cataglyphis fortis ritrovare la strada, nonostante le elevatissime temperature e i venti che rendono inaffidabili è in grado di tornare i marcatori odorosi. Come può essere possibile? direttamente al Sembra che queste formiche abbiano un sistema di orientamento incorporato. Nel deserto formicaio seguendo esse possono usare come unico riferimento la posizione del Sole e riescono a calcolare le diil percorso più breve. rezioni dei loro spostamenti in relazione al loro angolo di visione del Sole. Riescono pertanto a ritrovare il formicaio seguendo il percorso più breve, rimanendo esposte il meno possibile alle estreme condizioni di vita del deserto.

Recenti studi hanno mostrato che le formiche del deserto sanno contare. O meglio, non solo sono in grado di tenere sotto controllo l’orientamento della loro direzione, ma riescono a valutare la distanza dal formicaio contando il numero di passi che hanno effettuato nel tragitto di andata verso il cibo. Quando, per esempio, prima del viaggio di ritorno sono state applicate delle protesi alle zampe delle formiche per aumentarne la lunghezza, esse hanno superato la posizione del nido, sottostimando la distanza percorsa.

Matthias Wittlinger/Universität Ulm

Un contapassi

Una formica con le protesi montate sulle zampe.

Somma vettoriale Sembra dunque che le formiche del deserto siano capaci di misurare gli spostamenti e di farne una somma vettoriale. La lunghezza di ogni passo fornisce l’intensità del vettore spostamento e l’angolo sotto cui è visto il Sole ne individua la direzione: cambiando il verso della somma vettoriale degli spostamenti dell’andata, ecco che le formiche riescono a ricostruire un percorso per il ritorno che sia il più breve possibile.

somma degli spostamenti

Lo spostamento totale è pari alla somma degli spostamenti dei singoli passi. Sembra proprio che le formiche del deserto riescano a eseguire questo calcolo per tornare al formicaio seguendo il percorso più breve.

DOMANDA Quali analogie ci sono tra il sistema di orientamento delle formiche e il GPS? Esegui un confronto in un testo di 10 righe.

140

I VETTORI

5

LETTERATURA Flatlandia Immaginate un vasto foglio di carta su cui delle Linee Rette, dei Triangoli, dei Quadrati, dei Pentagoni, degli Esagoni e altre Figure geometriche, invece di restar ferme al lor posto, si muovano qua e là, liberamente, sulla superficie o dentro di essa, ma senza potersene sollevare e senza potervisi immergere, come delle ombre, insomma – consistenti, però, e dai contorni luminosi. Così facendo avrete un’idea abbastanza corretta del mio paese e dei miei compatrioti. Ahimè, ancora qualche anno fa avrei detto: «del mio universo», ma ora la mia mente si è aperta a una più alta visione delle cose. (Edwin A. Abbott, Flatlandia, Adelphi, Milano 2003) Così inizia Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni, scritto da Edwin Abbott Abbott e pubblicato nel 1882. Protagonista un quadrato, figura piana, abitante di un mondo planare, in cui si intravede una satira della società vittoriana rigidamente organizzata e poco incline ai cambiamenti. Un grosso cambiamento interviene, invece, nella vita del protagonista: una sfera lo introduce alla terza dimensione e gli mostra il suo stesso mondo da un punto di vista inimmaginabile.

Dal suo punto di vista bidimensionale, un abitante di Flatlandia ha una diversa percezione delle figure piane rispetto a qualcuno che le osservi dall’alto. Tutto appare come se fosse un segmento: se per esempio immaginiamo di «abbassarci» al livello del piano su cui è appoggiato un triangolo, lo vedremmo diventare un semplice trattino. Proprio come ci appare lineare una moneta vista di taglio.

Vivere in una dimensione È facile per un abitante di Flatlandia, come per noi essere tridimensionali, immaginare un mondo unidimensionale: una linea in cui gli abitanti sono segmenti di diverse dimensioni. Come si percepiscono tra loro gli abitanti di una linea? Ovviamente come punti, in quanto non hanno la possibilità di «guardarsi dal di fuori».

La quarta dimensione Dopo aver incontrato la sfera e aver conosciuto il mondo a tre dimensioni, il protagonista apre la sua mente: perché non pensare a una quarta dimensione? Un mondo quadridimensionale è difficile da concepire, così come per un abitante di Flatlandia era difficile immaginare di potersi guardare dall’alto e scorgere triangoli, quadrati o cerchi invece che semplici segmenti. Talmente difficile che quando il protagonista cercò di convincere i suoi conterranei dell’esistenza dell’altezza finì in prigione come eretico.

Infomages / Shutterstock

Vivere in due dimensioni

Una moneta ci appare circolare solo se la osserviamo perpendicolarmente al piano che la contiene.

Un triangolo, come qualsiasi altra figura piana, ci appare come un segmento se non abbiamo la possibilità di osservarlo usando la terza dimensione.

Ecco come apparirebbe il passaggio di una sfera attraverso un mondo bidimensionale.

DOMANDA È possibile collegare le reti di acqua, luce e gas a tre case distinte di Flatlandia a partire da tre diverse centrali? Disegna su un foglio tre case allineate e, di fronte, le tre diverse centrali. Prova a collegare con delle linee ciascuna casa a ciascuna centrale, senza che le linee si intersechino: ricorda infatti che in un mondo planare non ha senso parlare di «sopra» o «sotto».

141

5

I VETTORI

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Viaggiare con il vento Le calme equatoriali

Gli alisei

Verso la fine del XIX secolo lo scrittore statunitense Mark Twain si trovò in gravi difficoltà economiche per via di un investimento andato male. Per questo nel 1895 si avventurò in un lungo viaggio via mare, per raggiungere i più importanti possedimenti inglesi e tenervi delle conferenze. Dal viaggio nacque un diario, in cui leggiamo una testimonianza sulla cosiddetta zona delle calme equatoriali, una striscia di mare che contiene l’equatore, dove spirano venti orizzontali debolissimi e forti correnti ascendenti che rendono difficile la navigazione a vela:

La zona delle calme equatoriali, o zona di convergenza intertropicale, è racchiusa tra le due zone dei cosiddetti venti «alisei», che spirano da nord-est a ovest nell’emisfero settentrionale e da sud-est a ovest nell’emisfero meridionale. Si tratta di zone comprese circa tra 10° e 30° di latitudine, dove i venti spirano con grande regolarità sia per direzione che per intensità, pari in media a circa 20 km/h. Queste caratteristiche hanno letteralmente accompagnato le imbarcazioni a vela attraverso l’oceano facilitandone la navigazione: non è un caso che le circumnavigazioni del globo, come quella di Ferdinando Magellano, siano avvenute da est verso ovest. Il primo a sfruttare con successo la regolarità di questi venti fu il navigatore italiano Cristoforo Colombo. Egli raggiunse il continente americano «cavalcando» gli alisei, che dalle Canarie lo portarono alle attuali Bahamas.

3 settembre. Latitudine 9° 50’ nord, colazione. Ci avviciniamo all’equatore lungo una diagonale. [...] La scorsa notte siamo entrati nella zona delle «calme equatoriali» – venti variabili, scrosci di pioggia, intervalli di calma, con correnti incostanti e la nave costretta a un’andatura barcollante, da ubriaca – uno stato di cose che spesso si può incontrare in altre regioni, ma che nella zona delle calme equatoriali è costante. La cintura che cinge il globo terrestre e viene chiamata zona delle calme equatoriali è larga 20 gradi, e la linea chiamata equatore corre lungo il centro di essa.

Mike Trenchard, Earth Sciences & Image Analysis Laboratory , Johnson Space Center

(Seguendo l’Equatore, capitolo IV, Baldini, Castoldi e Dalai, Milano 2010)

I venti occidentali Il viaggio di ritorno di Colombo non fu altrettanto agevolato dalla circolazione atmosferica: egli uscì dalla fascia degli alisei e seguì una rotta nella quale incontrò venti instabili e burrasche. Tra le latitudini 35° e 60° i venti spirano prevalentemente da sud-ovest nell’emisfero settentrionale e da nord-ovest in quello meridionale. Noti anche come venti occidentali, non sono regolari come gli alisei ma la loro velocità cambia notevolmente sia per intensità sia per direzione. Man mano che ci si allontana dalla superficie terrestre l’intensità del vento aumenta, andando a interferire con la navigazione aerea. PAROLA CHIAVE

Grandezza vettoriale

In una carta del vento la velocità del vento è rappresentata con simboli che ne quantificano intensità, direzione e verso. ¢ In che modo? Fai una ricerca sulla simbologia usata e mettila in corrispondenza con la rappresentazione mediante frecce.

La zona delle calme equatoriali è anche detta «zona di convergenza intertropicale». È sede di una notevole instabilità atmosferica e periodicamente vi si formano i cosiddetti cicloni tropicali.

Vettore

Una nave naviga parallelamente alla costa con velocità costante, rispetto a essa, di 20 m/s. Improvvisamente un vento la avvicina alla costa perpendicolarmente alla direzione del moto con velocità costante di 10 m/s. ¢ Disegna uno schema della situazione e trova la somma vettoriale delle velocità.

142

Markus Aebischer/MeteoSchweiz

PAROLA CHIAVE

I VETTORI

5

Le correnti a getto

La spiegazione di un mistero

Fra i 30° e i 70° di latitudine, a circa 11 km di quota, si verifica un fenomeno che influisce moltissimo sulla navigazione aerea. Si tratta di intense correnti a getto, cioè stretti e sottili «fiumi» di aria che circolano tutto intorno al pianeta con una velocità superiore ai 100 km/h, da ovest a est. Gli alisei circolano a basse quote e non è stato molto difficile scoprirli una volta intrapresa la navigazione oceanica. Per scoprire e definire le correnti a getto, che circolano molto più in alto, si è dovuto aspettare il XX secolo. In realtà già dal secolo precedente negli ambienti scientifici circolavano voci sull’esistenza di forti venti d’alta quota, ma tali voci furono prese poco sul serio e il fenomeno faticò a ricevere attenzione, finché la conoscenza superficiale del fenomeno non provocò alcuni incidenti. Durante la seconda guerra mondiale un gruppo di aerei della Royal Air Force, di ritorno da un bombardamento, non riuscirono a percorrere in senso inverso la forte corrente a getto di oltre 350 km/h che li aveva portati a destinazione, e l’equipaggio fu costretto a lanciarsi con il paracadute, cadendo in mano al nemico.

Il 2 agosto 1947 l’aereo di linea Stardust, pilotato da un veterano della seconda guerra mondiale, decollava da Buenos Aires in rotta verso Santiago. A cinque minuti circa dall’orario di arrivo previsto lo Stardust comunicava l’imminente atterraggio; dopodiché inviava un oscuro messaggio e scompariva per sempre. Un intricato mistero avvolse la vicenda: tra ipotesi di storie di spionaggio, traffici di tesori e rapimenti alieni, per oltre cinquant’anni non si seppe nulla sul destino delle undici persone che erano a bordo del velivolo. Fino a quando, nel 1998, alcuni scalatori scoprirono tracce dei resti dello Stardust tra i ghiacci andini e resero possibile una ricostruzione di quanto accaduto. Durante il volo il pilota aveva deciso di aumentare la quota per uscire da una perturbazione, ma ignorava la presenza di una forte corrente a getto di circa 250 km/h che trascinò l’aereo fuori dalla rotta e ne rallentò la velocità. Pensando di aver scavalcato le Ande e di essere giunto a destinazione, il pilota iniziò la fase di discesa, ma l’aereo si schiantò contro una vetta, provocando una valanga da cui fu inghiottito. Inglobato dal ghiaccio, venne alla luce solo quando, trascinato a valle dai movimenti del ghiacciaio, incontrò temperature più miti e iniziò ad affiorare.

corrente a getto polare corrente a getto subtropicale

Gerard Prins

Le correnti a getto sono strette correnti d’alta quota che circondano la Terra a diverse latitudini; quella polare è la più intensa. Il Tupungato, dove morirono i passeggeri e l’equipaggio dello Stardust nel 1947.

PAROLA CHIAVE

Matematica

L’atmosfera, a differenza di altri sistemi, è un sistema non predicibile. La previsione del comportamento dell’atmosfera può essere affidabile solo su intervalli di tempo brevi, in quanto tale comportamento è fortemente dipendente dalle condizioni iniziali: un errore anche molto piccolo nella conoscenza dello stato iniziale del sistema a un certo istante provoca un errore molto grande nella previsione, soprattutto se fatta sul lungo termine. Da questa constatazione è nato un nuovo settore della matematica, detto «teoria del caos». ¢ Chi si occupò per primo di questo tipo di studi? Fai una ricerca.

143

MAPPA DEI CONCETTI →

VETTORE v

è un ente matematico definito da

che può essere rappresentato con una freccia

MODULO

LUNGHEZZA della freccia

DIREZIONE

RETTA lungo la quale è diretta

VERSO

ORIENTAZIONE della freccia

PUNTO DI APPLICAZIONE

PUNTO DI PARTENZA della freccia

VETTORE applicato verso modulo

direzione

punto di applicazione

I vettori si sommano con

IL METODO PUNTA-CODA

LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA

→

v →

u

→

→

uⴙv

→

→

u ⫹v

→

v

i due metodi sono equivalenti

144

→

u

→

→

uⴙv

I VETTORI

I vettori si scompongono in componenti componenti perpendicolari y →

→

vy

→

→

→

␪

→

x

il vettore v è pari alla somma → → di vx e vy

rappresentazione grafica

rappresentazione matematica

→

O

vx

→

|v x| ⫽ |v | cos θ → → |v y| ⫽ |v | sinθ

v ⫽ vx ⫹ vy

v

→

relazioni tra i moduli

Rappresentazione cartesiana di un VETTORE z

→

vz →

v →

vx

O

→

vy y

Nello spazio tridimensionale un vettore è rappresentato da una terna di numeri (vx; vy; vz) detti componenti cartesiane del vettore

x

GRANDEZZE SCALARI

NUMERI

esempi

massa tempo

MATEMATICA

FISICA

enti astratti

esempi

VETTORI

spostamento velocità accelerazione

grandezze fisiche

GRANDEZZE VETTORIALI

I fisici usano gli enti matematici per rappresentare la realtà

145

5

5 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI

QUANDO I NUMERI NON BASTANO

8 Un pattinatore si muove su una circonferenza di rag-

gio pari a 2,0 m. ¢ Qual è il suo spostamento quando ne ha percorsa metà?

DOMANDE 1

Se ogni centimetro equivale a un metro, come descriveresti a parole lo spostamento illustrato nel disegno?

2

COMPOSIZIONE E SCOMPOSIZIONE DI VETTORI

DOMANDE 9 In che senso si può affermare, senza sbagliare, che

due più due non fa quattro? Rispondi in 5 righe. 2 Sulla mappa per trovare un tesoro su un’isola deser-

ta, dei pirati hanno scritto: «A partire dai quattro massi disposti in croce percorrere cinquanta passi e scavare». Quale informazione manca? Esprimi i dati della mappa e l’informazione mancante in termini vettoriali. 3 Che differenza c’è tra un vettore e un vettore appli-

cato? Rispondi in 5 righe. 4 Commenta in 10 righe la frase di Galileo citata nell’in-

troduzione del capitolo 1.

10 In che modo si esegue la differenza tra vettori? 11 Quando si può usare il teorema di Pitagora per cal-

colare il modulo della somma di due vettori? 12 In che cosa consiste la scomposizione di un vettore?

CALCOLI 13 Esegui la somma dei vettori della figura con il meto-

do punta-coda.

CALCOLI →

v1

5 In riferimento alla bussola della figura, una nave per-

Kokhanchikov / Shutterstock

corre 1,5 miglia in direzione nord-sud, verso sud.

¢ Disegna, usando una scala opportuna, il vettore spostamento.

→

v2

14 Esegui la differenza tra i vettori dell’esercizio 13. 15 Una nave percorre 20 miglia verso sud, 15 miglia

verso ovest e 12 miglia verso sud-ovest. Disegna i vettori che rappresentano i tre spostamenti e lo spostamento totale.

6 Un nuotatore nuota lungo la corsia di una piscina di

16 Una formica si muove dal formicaio a una briciola di

50 m e percorre l’intera lunghezza della vasca dieci volte. Nello stesso intervallo di tempo, nella corsia accanto, un altro nuotatore percorre la lunghezza della vasca undici volte.

pane seguendo un percorso a L in cui il primo tratto è lungo 4,3 m e il secondo 5,5 m. Poi, seguendo un marcatore olfattivo, torna al formicaio seguendo lo stesso percorso a ritroso.

¢ Disegna in scala la piscina e gli spostamenti complessivi dei due nuotatori per mezzo di vettori.

¢ Quanto è lungo lo spostamento dal formicaio alla briciola di pane? Quanto è lungo lo spostamento complessivo della formica? [7,0 m; 0 m]

7 Disegna con la medesima scala, e a partire dalla

stessa posizione iniziale, uno spostamento di 4,0 m verso est, uno spostamento di 7,2 m in verso opposto e uno spostamento di 2,5 m in una direzione che forma un angolo di 45° con il primo.

146

17 Disegna una possibile scomposizione del vettore in

figura. →

v

5

I VETTORI 18 Disegna i vettori che scompongono il vettore della

figura lungo le due direzioni ortogonali individuate y dagli assi x e y. ¢ Quanto valgono i moduli dei componenti?

→

4

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI UN VETTORE

DOMANDE

v

u

30°

28 Che cosa si ottiene se si sommano fra loro i tre vetto-

ri che hanno come modulo le componenti cartesiane → del vettore v e sono diretti lungo gli assi x, y e z?

x

O

→

29 Quante componenti cartesiane ha un vettore v nello

3

→

spazio? Se una di esse è zero, che cosa puoi dire di v ?

ALTRE OPERAZIONI CON I VETTORI

→

→

→

30 Sia v un vettore del piano di componenti (vx; vy). →

Come è disposto rispetto a v il vettore che si ottiene scambiando tra loro i valori di vx e vy?

DOMANDE 19 «Quando un vettore viene diviso per un numero

maggiore di 1, il suo modulo si accorcia.» Questa frase è corretta? Eventualmente correggila. 20 Il risultato di un prodotto scalare tra due vettori è un

CALCOLI 31 Disegna il vettore spostamento le cui componenti su

un piano cartesiano sono (3,2 cm; 2,1 cm). Calcola il modulo dello spostamento.

vettore?

[3,8 cm]

21 «Se due vettori sono paralleli tra loro il prodotto sca-

lare è nullo.» Correggi questa frase.

32 Un vettore di modulo pari a 7,0 unità giace su un

piano ed è orientato in modo da formare un angolo di 30° con l’asse x. ¢ Disegnalo e calcola le sue componenti cartesiane.

22 Che cosa succede se in un prodotto vettoriale si

scambia l’ordine dei vettori?

[6,1; 3,5]

CALCOLI →

→

33 Due vettori v1 e v2 hanno rispettivamente coordinate

23 Disegna un vettore di modulo pari a 9 unità.

cartesiane (1,2 cm; 3,0 cm) e (4,8 cm; 2,2 cm).

¢ Se viene moltiplicato per il numero 2, che risultato si ottiene? Disegnalo.

¢ Quali sono le coordinate cartesiane del vettore somma? →

stazione ognuno lungo un binario rettilineo. Dopo 5 s il primo ha percorso il triplo della distanza percorsa dall’altro.

→

¢ Disegna v1 ⫹ v 2 con il metodo punta-coda e verifica le sue coordinate.

24 Due treni transitano contemporaneamente in una

[6,0 cm; 5,2 cm]

34 Dati i vettori dell’esercizio 33, quali sono le coordina→

→

te cartesiane del vettore differenza v1 ⫺ v2?

¢ Disegna i due vettori spostamento corrispondenti.

[–3,6 cm; 0,8 cm]

25 Due vettori hanno modulo rispettivamente pari a 3

unità e 8 unità, mentre le loro direzioni formano un angolo di 45°. ¢ Calcola il loro prodotto scalare. [17 unità]

5

GRANDEZZE FISICHE VETTORIALI

DOMANDE

26 Calcola il prodotto scalare tra due vettori di modulo

35 Definisci in 10 righe i vettori posizione e spostamen-

rispettivamente pari a 6 unità e 10 unità, le cui direzioni formano un angolo di 120°.

36 Che differenza c’è fra i termini inglesi «speed» e «ve-

[–30 unità]

27 Dati i vettori in figura, i cui modu-

to di un corpo che si muove su un piano. locity»? Spiegalo in 5 righe. 37 Un corpo si muove lungo una circonferenza con mo-

li sono

dulo della velocità costante: che cosa sai dire dell’accelerazione? Rispondi in 5 righe.

→

|v1| ⫽ 6 unità → |v2| ⫽ 4 unità

→

v1

individua la direzione e il verso → → del prodotto vettoriale v1 × v2 e calcolane il modulo. [12 unità]

→

38 Una biglia, che procede a velocità costante v1 lungo 30°

→

v2

una retta, urta contro una parete e inverte il suo moto mantenendo costante il modulo della velocità, → → cioè v2 ⫽ ⫺v1. Come è diretta l’accelerazione?

147

5 ESERCIZI →

CALCOLI 39 In figura è rappresentata la traiettoria di una farfalla

proiettata sul piano di un prato.

→

¢ Dato il vettore posizione r e il vettore velocità v, disegna direzione e verso dei vettori accelerazione centripeta e accelerazione tangenziale.

y (m)

ESERCIZI DI RIEPILOGO B

4

DOMANDE 43 Spiega in 10 righe la differenza tra grandezze fisiche

⫺3 A

x (m)

6

⫺1

scalari e grandezze fisiche vettoriali e trova un esempio per entrambe. 44 Per ciascuna delle seguenti operazioni con i vettori

¢ Disegna i vettori posizione dei punti A e B e il vettore spostamento tra essi. 40 Data la traiettoria in figura, disegna la direzione e il

verso del vettore velocità media tra l’origine e la posizione A e calcolane il modulo in metri al secondo. y (cm)

specifica se il risultato è un vettore o un numero: š
ieccW
jhW
l[jjeh_1 š
Z_\\[h[dpW
jhW
l[jjeh_1 š
fheZejje
Z_
kd
l[jjeh[
f[h
kd
dkc[he1 š
fheZejje
iYWbWh[1 š
fheZejje
l[jjeh_Wb[$ 45 In quali casi il prodotto scalare tra due vettori è nullo? 46 In quali situazioni si verifica che il modulo del vettore →

A (3s)

3,0

→

somma |v1 ⫹ v2| è uguale alla somma dei moduli som→ → ma |v1| ⫹ |v2|? Che cosa accade invece negli altri casi? 47 Con quale operazione possiamo dare una rappre-

2,0

sentazione numerica di un vettore dello spazio tridimensionale? Argomenta la risposta in 5 righe.

1,0

48 Quali caratteristiche delle frecce ci consentono di uti(0s) 0

1,0

2,0

3,0

lizzarle per rappresentare i vettori? Spiega in 5 righe.

4,0 x (cm)

49 In un moto qualsiasi che cosa sai dire della direzione

(Suggerimento: usa le componenti cartesiane del vettore posizione in A.) [1,5 ⫻ 10–2 m/s]

41 Nel disegno sono

riportati dei vettori: individua quale di essi rappresenta un vettore posizione, quale un vettore spostamento e quale un vettore velocità istantanea.

e del verso del vettore velocità istantanea in un punto della traiettoria? 50 Quali tipi di accelerazione conosci? Descrivile in 10

y

righe.

PROBLEMI →

→

→

51 Dati i vettori v1, v2 e v3 in figura, disegna: x

O

¢ il vettore somma → → → v1 ⫹ v2 ⫹ v3;

→

v3

→

¢ il vettore ⫺v3;

42 Nella figura è rappresentata una traiettoria circolare.

→

v2

¢ il vettore differenza → → v2 ⫺ v1;

→

v1

→

→

→

→

¢ la proiezione di v2 su v3; ¢ la proiezione di v2 su v1. O

→

52 Durante un moto sul piano, le componenti cartesia-

r

→

v

148

ne di tre vettori posizione negli istanti t1 ⫽ 0 s, → → t2 ⫽ 3,5 s, t3 ⫽ 6,0 s sono s 1 (0 m; 4,0 m), s2 (6,0 m; → 4,0 m) ed s3 (4,5 m; 1,0 m).

I VETTORI ¢ Disegna i vettori e calcola il modulo del vettore spostamento complessivo.

¢ Disegna lo spostamento totale dalla base del pendio alla sommità della parete e calcolane il modulo.

¢ Calcola la velocità media nei primi 3,5 s. [5,4 m; 1,7 m/s]

¢ Calcola la velocità media in m/h della cordata durante l’escursione utilizzando lo spazio percorso.

53 Un ragazzo impiega 4,5 s a percorrere la diagonale

di una stanza rettangolare con velocità costante di modulo pari a 1,2 m/s.

(Suggerimento: considera il pendio come un piano inclinato e utilizza le relazioni trigonometriche che legano l’ipotenusa ai cateti del triangolo rettangolo che lo schematizza.)

¢ Quanto sono lunghe le pareti della stanza se la traiettoria del ragazzo forma un angolo di 30° con una di esse?

[30°; 589 m; 153 m/h]

¢ A che cosa corrispondono tali valori dal punto di vista vettoriale?

57 Un punto del bordo della ruota di un tornio da vasa-

io si muove su una circonferenza con velocità uniforme pari a 1,5 m/s.

[4,7 m; 2,7 m]

54 Una biglia inizialmente in moto da ovest a est lungo

¢ Disegna il vettore velocità del punto considerato in due istanti di tempo nei quali occupa posizioni diametralmente opposte.

una retta a velocità costante di modulo 2,5 m/s urta contro una parete e inverte il suo moto, mantenendo costante il modulo della velocità.

¢ Quanto vale il modulo del vettore accelerazione tra questi due istanti?

¢ Rappresenta graficamente la situazione. ¢ Quanto vale il modulo del vettore accelerazione?

¢ Di quale accelerazione si tratta?

[5,0 m/s2] →

5

[3,0 m/s2]

→

55 Considera i vettori v 1 e v 2 in figura, di modulo rispet→

→

tivamente |v 1| ⫽ 3 unità e |v 2| ⫽ 4 unità. y

VERSO L’UNIVERSITÀ

→

v2

Quale dei vettori indicati nei seguenti disegni con i numeri rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5 rappresenta il vet→ → tore differenza b ⫺ a ?

1

→

v1

45° 30° →

x

O

¢ Disegna le componenti cartesiane dei vettori e trovane il valore numerico. →

→

2

a

→

a

3

→

b

→

b

b

→

¢ Disegna il vettore somma v1 ⫹ v2 e trova il valore delle sue componenti cartesiane. →

→

1

a

→

a

→

¢ Quanto vale il modulo di v1 ⫹ v2? [(5,4; 4,3); 6,9]

5

4

→

a

→

→

b

56 Due alpinisti partono alle

¢ Rappresenta la situazione con un disegno dei vettori spostamento degli alpinisti. ¢ Calcola l’angolo di inclinazione del pendio rispetto all’orizzontale.

A

1

B

2

C

3

D

4

E

5

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2007/2008) 2 La sommità di un palo verticale rettilineo di altezza Greg Epperson / Shutterstock

7:00 e raggiungono la base di una parete verticale percorrendo un pendio in salita lungo 500 m; successivamente scalano la parete, lunga 150 m. La salita termina alle 11:15, a 400 metri di quota sopra il livello di partenza.

b

6 m è collegata con un punto del terreno per mezzo di una fune tesa, in modo che questa formi con la direzione orizzontale un angolo di 30º. Qual è la lunghezza della fune? A

18 m

B

12 m

D

6 2m

E

6 3m

C

15 m

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2007/2008)

149

CAPITOLO

I moti nel piano

“

Un orologio che va male non segna mai l’ora giusta; un orologio fermo la dà esatta due volte al giorno.

”

Leonardo Sciascia, Nero su nero, 1979

Giorgio De Chirico, L’enigma dell’ora, 1911.

PAROLE CHIAVE Moto circolare uniforme Velocità angolare Composizione dei moti

150

Le lancette di un orologio si muovono nel tempo, descrivendo cerchi. La punta della lancetta disegna uniformemente sul piano una circonferenza, mentre la sua direzione spazza angoli uguali in tempi uguali. In fisica diciamo che il suo è un moto circolare uniforme. In questo capitolo vedremo come si descrive nel piano il moto circolare uniforme e ci accorgeremo che il nostro compito diventa più semplice quando usiamo gli angoli, anziché le coordinate cartesiane, per individuare la posizione della lancetta. Definiremo quindi la velocità angolare come rapporto tra l’angolo spazzato e l’intervallo di tempo impiegato. Analogamente alla velocità lineare, che abbiamo definito nel capitolo 2, si tratta di una variazione di una grandezza nel tempo: questa volta la grandezza che varia è un angolo anziché una lunghezza. Quando usiamo gli angoli per descrivere un moto circolare uni-

forme lo consideriamo come un moto unidimensionale, perché è sufficiente un solo numero, anziché un vettore, per definire la posizione e la velocità. Non sempre, però, questo si può fare, e in generale un moto nel piano va descritto per mezzo di vettori a due componenti. Tuttavia la possibilità di scomporre e comporre i vettori ci aiuta: il trucco sta nello scomporre il vettore velocità in componenti perpendicolari e di considerare separatamente ciascun moto unidimensionale. Il moto nel piano risulta così essere una composizione di moti rettilinei. In questo capitolo affronteremo questo argomento con due esempi: il moto dei proiettili (composizione di un moto rettilineo uniforme e di uno uniformemente accelerato) e il moto circolare uniforme, visto come composizione di due nuovi moti, detti armonici, molto importanti in fisica.

I MOTI NEL PIANO

1

6

LA COMPOSIZIONE DEI MOTI

Siamo abituati a citare Tolomeo per i suoi errori: aveva posto la Terra al centro dell’Universo e aveva forzato descrizioni geometriche complicatissime per far quadrare le cose senza modificare la filosofia imperante. Il suo compito era molto più difficile di quanto non si pensi, perché doveva anche tenere conto di un dogma secondo il quale gli oggetti celesti facevano parte del mondo della perfezione e quindi dovevano necessariamente muoversi su cerchi o sfere. Tolomeo inventò allora un sistema molto ingegnoso, con il quale le strane traiettorie dei pianeti venivano spiegate come composizioni di moti circolari, immaginando che essi si muovessero su piccoli cerchi, detti epicicli, i quali a loro volta si muovevano su cerchi più grandi, detti deferenti. Il sistema non riproduceva esattamente le traiettorie dei pianeti ma ne era comunque una buona approssimazione (figura 1). Saturno

orbite NON in scala

pianeta

Terra

Mercurio

Marte

Sole

epiciclo

Giove Terra

Venere deferente

Figura 1. Recentemente è stato dimostrato che continuando a sovrapporre in questo modo moti circolari, l’approssimazione migliora: dopo 5 o 6 passaggi il sistema così costruito è in grado di prevedere le posizioni dei pianeti con grande precisione.

stelle fisse

Nel fare ciò Tolomeo assunse implicitamente che un moto possa essere considerato sovrapposizione di più moti. In poche parole, riconobbe la possibilità di scomporre un moto complicato in più moti semplici. Galileo Galilei, che da una parte contribuì a smontare il sistema tolemaico come modello dell’Universo, dall’altra riuscì a dimostrare che l’intuizione di Tolomeo sulla composizione dei moti non era solo un artificio matematico. Nella realtà accade effettivamente così: quando due o più moti si sovrappongono possiamo continuare a individuarli nel moto risultante, per quanto complicato esso appaia. In altri termini, possiamo scomporre il vettore velocità del moto composto come somma di più vettori. Se un corpo compie due o più movimenti simultanei, la sua velocità complessiva è la somma vettoriale delle velocità dei singoli movimenti.

ESEMPIO ¢ È possibile che un essere umano corra più veloce di un treno? STAZIONE

→ →

vt

v

151

6

I MOTI NEL PIANO

SOLUZIONE Nel linguaggio comune la risposta è negativa, invece in termini fisici è possibile che un essere umano corra più veloce di un treno: basta cambiare il sistema di riferimento. Dato che i moti si compongono e le velocità si sommano come vettori, una persona che si metta a correre lungo il corridoio di un treno nello stesso senso di marcia avrebbe davvero una velocità maggiore di quella del treno se osservato dal sistema di riferimento della stazione. Quindi un osservatore fermo rispetto alla Terra vedrebbe la persona spostarsi più velocemente del treno. In questo sistema di riferimento, infatti, le velocità della persona e del treno si sommano come vettori. →

v

STAZIONE

→

vt

→

→

v ⴙ vt

Il moto della persona e del treno si compongono, e il moto risultante si ottiene sommando vettorialmente le velocità e gli spostamenti. DOMANDA È possibile che una persona si sposti restando ferma? Trova un esempio che illustri tale situazione, disegna i vettori relativi e spiega in 10 righe utilizzando il concetto di composizione dei moti.

ESEMPIO ¢ Un cagnolino nuota a velocità costante v ⫽ 2,0 m/s da una sponda all’altra di un fiume, mentre la corrente lo trascina con velocità costante vc ⫽ 6,5 m/s. Quanto vale il modulo della velocità del cagnolino rispetto alla sponda del fiume?

→

v

ia

ttor

traie

→ →

v velocità del cagnolino rispetto alla corrente

→

vⴙ

vc →

vc velocità della corrente rispetto alla sponda → vc

SOLUZIONE Il vettore velocità del cagnolino rispetto alla sponda si ottiene sommando i vettori vÀ (velocità del cagnolino rispetto alla corrente) e vÀc della corrente rispetto alla sponda. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo formato dai vettori vÀ, vÀc e vÀ ⫹ vÀc.

152

I MOTI NEL PIANO

6

h h v + v c = v 2 + v c2 = ( 2, 0 m/s )2 + ( 6, 5 m/s )2 = 6, 8 m/s La composizione di due moti rettilinei uniformi è un moto rettilineo uniforme. DOMANDA Quanto vale il modulo della velocità del cagnolino nel sistema di riferimento di una zattera che viene trascinata dalla corrente?

Vediamo ora che cosa succede quando un moto rettilineo uniforme si combina con uno uniformemente accelerato, esaminando proprio il primo caso studiato Galileo Galilei e immaginando che tutto avvenga in assenza di aria.

2

IL MOTO DEI PROIETTILI

In fisica è detto proiettile, in senso lato, qualsiasi oggetto che venga scagliato con una certa velocità iniziale e che sia soggetto all’attrazione gravitazionale terrestre. Per esempio, è un proiettile una biglia che, rotolando fino al bordo di un tavolo, lo superi cadendo per terra. Quanto più la velocità della biglia è elevata, tanto più lontano dal tavolo raggiunge il pavimento. La figura 2a mostra il disegno originale in cui Galileo ha riportato i dati degli esperimenti fatti per dimostrare che il moto dei proiettili è parabolico. Prima di Galileo, si riteneva che i proiettili procedessero di moto rettilineo fino a perdere la «spinta», che veniva chiamata impetus, per poi cadere in verticale (figura 2b). a

Figura 2. a. Disegno di Galileo relativo all’esperimento con il quale dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola. b. Prima di lui si riteneva che i proiettili procedessero di moto rettilineo fino a perdere ciò che veniva chiamato impetus, per poi cadere in verticale, come si vede in questo disegno medievale.

b

Galileo dimostrò che il moto risultante della biglia è la composizione di due moti: uno verticale uniformemente accelerato e uno orizzontale rettilineo uniforme. La biglia, infatti, continua a procedere nella direzione del piano del tavolo con velocità costante e, nello stesso tempo, viene attratta dalla Terra con un’accelerazione costante verso il basso: il risultato è un moto parabolico.

153

6

I MOTI NEL PIANO

Di fatto il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti l’uno dall’altro, cioè la biglia mantiene il suo moto rettilineo uniforme, indipendentemente dal fatto che inizi a cadere verso il pavimento (figura 3). →

v0x

→

v0x

è costante

→

vy

Figura 3. Il moto orizzontale è rettilineo uniforme, mentre quello verticale è uniformemente accelerato e la velocità aumenta procedendo verso il basso.

→

→

v0x

vy

aumenta uniformemente

→

vy

Tutte le informazioni sul moto della biglia si possono ricavare combinando le leggi orarie del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.

ESEMPIO ¢ A quale distanza da un tavolo alto 0,90 m cade la biglia se la sua velocità iniziale vÀ0x, con direzione orizzontale, ha modulo pari a 4,5 m/s? SOLUZIONE La «gittata», cioè la distanza percorsa dal proiettile prima di toccare il suolo, dipende dal modulo della velocità iniziale v0 e dal tempo di caduta lungo la verticale:

→

v0x

y0

⌬x

∆x ⫽ v0x ⋅ ∆t

L’intervallo di tempo ∆t si ricava studiando il moto uniformemente accelerato con la relativa legge oraria, osservando che la velocità iniziale lungo la verticale è nulla: 1 y = y 0 − g ∆t 2 2 Il tempo impiegato per raggiungere il suolo (y ⫽ 0 m) è: ∆t =

2 ⋅ y0 = g

2 × 0, 90 m = 0, 43 s 9, 8 m/s2

Sostituendo questo intervallo di tempo nella formula del moto uniforme ∆x ⫽ v0x ⋅ ∆t ⫽ (4,5 m/s) ⫻ (0,43 s) ⫽ 1,9 m DOMANDA Quanto tempo impiegherebbe la biglia a toccare il suolo se la sua velocità iniziale lungo l’orizzontale fosse 20 m/s?

154

6

I MOTI NEL PIANO

La velocità della biglia, istante per istante, è data dalla somma vettoriale delle due velocità lungo l’orizzontale e lungo la verticale.

ESEMPIO ¢ Quanto vale il modulo della velocità della biglia dell’esempio precedente nell’istante t1 ⫽ 0,22 s? SOLUZIONE La componente orizzontale della velocità è sempre la stessa: v0x ⫽ 4,5 m/s, mentre quella verticale varia con accelerazione costante: ∆vy ⫽ ⫺g ∆t Considerando che all’istante iniziale la velocità verticale vy è nulla, all’istante t1 abbiamo: vy1 ⫽ ⫺gt1 ⫽ ⫺(9,8 m/s2) ⫻ (0,22 s) ⫽ ⫺2,2 m/s All’istante t1 abbiamo dunque una situazione di questo tipo: il vettore velocità vÀ è dato dalla somma dei vettori vÀx e vÀy, ovvero delle velocità lungo le direzioni orizzontale e verticale. P

→

v0x →

→

→

v0x ⴙ vy

vy A

B

Il suo modulo si ricava con il teorema di Pitagora, considerando che vÀx e vÀy sono perpendicolari e che il triangolo PAB è rettangolo in A: v = v x2 + v 2y = ( 4, 5 m/s )2 + (−2, 2 m/s ) = 5, 0 m/s DOMANDA Quanto vale il modulo della velocità nell’istante in cui la biglia tocca il suolo?

Se la velocità iniziale non è orizzontale Se la velocità con cui è scagliato un proiettile forma un certo angolo θ con l’orizzontale, il discorso non cambia molto: si tratta sempre di studiare separatamente due moti tra loro perpendicolari, uno orizzontale e uno verticale. La velocità iniziale stessa va dunque scomposta in due componenti v0x e v0y (figura 4). Il moto orizzontale è rettilineo uniforme, per cui vx non cambia al passare del tempo, mentre vy segue la legge della velocità del moto uniformemente accelerato: vx ⫽ v0x vy ⫽ v0y ⫺ gt

→

→

v0y

v0

␪ ⫽ 30° →

v0x

Figura 4. Scomponiamo la velocità iniziale lungo l’asse x e lungo l’asse y.

155

6

I MOTI NEL PIANO

Questo significa che vy diminuisce fino ad annullarsi, per poi ricominciare ad aumentare durante la caduta, esattamente come nel caso con velocità iniziale nulla. Dobbiamo semplicemente aggiungere un tratto ascendente al caso studiato precedentemente.

ESEMPIO ¢ Calcola la quota massima che raggiunge un pallone calciato con velocità v0 ⫽ 20 m/s formante un angolo di 30° con il terreno. Quanto tempo impiega il pallone a raggiungere il suolo dal punto più alto? vx è costante ⫽ v0x vy diminuisce uniformemente

vy è nulla

vy aumenta uniformemente

→

v0

y *

→

v0y

␪

v0x ⫽ v0 cos θ ⫽ 17 m/s v0y ⫽ v0 sin θ ⫽ 10 m/s

SOLUZIONE

La quota massima raggiunta y riguarda solo la componente verticale * del moto ed è quella per la quale la velocità vy si annulla. Questo avviene nell’istante di tempo t che si ricava dalla legge della velocità * per il moto uniformemente accelerato: vy ⫽ v0y ⫺ gt 0 m/s ⫽ 10 m/s ⫺ (9,8 m/s2) t * 10 m/s t* ? ? 1, 0 s 9, 8 m/s2 Sostituendo t così trovato nella legge oraria del moto uniformemente * accelerato, troviamo la quota massima y : * 1 y* = y 0 + v 0 y t * − gt *2 2 1 y* = 0 m + (10 m/s ) × (1, 0 s ) − ( 9, 8 m/ss2 ) × (1, 0 s )2 = 5, 1 m 2 Raggiunta la quota y la velocità verticale si annulla e il moto da lì * in poi è uniformemente accelerato con partenza da fermo, per cui il tempo t di discesa è: ** t ** =

2 ⋅ y* g

=

2 × 5, 1 m = 1, 0 s 9, 8 m/s2

cioè esattamente uguale al tempo di salita. DOMANDA Qual è la gittata del pallone?

156

I MOTI NEL PIANO

6

Proiettili in orbita Aumentando la velocità iniziale aumenta la gittata del proiettile. Si può immaginare di aumentarla sempre di più, così che il proiettile torni esattamente al punto di partenza facendo il giro completo del pianeta. A questo punto la curvatura della traiettoria è tale che il proiettile non atterra più e resta in orbita intorno alla Terra (figura 5).

Figura 5. Se la velocità di lancio sulla superficie terrestre è superiore a 11,2 km/s, un proiettile entra in orbita intorno alla Terra; i satelliti sono, di fatto, proiettili che non atterrano mai.

ESA/NASA

3

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Abbiamo visto come in fisica le parole abbiano significati ben precisi e, a volte, diversi da quelli ai quali siamo abituati nel linguaggio comune. Queste sottigliezze, che a volte rischiano di apparire come pignolerie, permettono però ai fisici di ottenere un risultato fondamentale in fisica: la sintesi. Usando il linguaggio in modo appropriato si riescono a esprimere moltissimi concetti con pochissime parole. L’estrema compattezza della matematica si accorda bene con il linguaggio essenziale e rigoroso con cui sono scritti i libri di fisica, che non sono mai molto voluminosi, se si considera che contengono le leggi dell’Universo. Vediamo ora quali informazioni ci dà l’espressione moto circolare uniforme parola per parola: s moto: si ha quando un corpo cambia posizione nel tempo; s circolare: ci dice che la traiettoria è una circonferenza; s uniforme: significa che il modulo della velocità è costante. Attenzione: è necessario specificare che è costante il modulo della velocità, perché in realtà il vettore velocità cambia direzione istante per istante mentre il corpo si muove sulla circonferenza. Se fosse costante il vettore velocità, il moto sarebbe uniforme e rettilineo. Un moto è circolare uniforme quando la traiettoria è una circonferenza e il modulo della velocità è costante. Anche nel moto circolare uniforme, come in quello rettilineo, lo spazio percorso è direttamente proporzionale al tempo impiegato a percorrerlo, ma

157

6

I MOTI NEL PIANO

in questo caso la sua rappresentazione grafica anziché essere un segmento è un arco di circonferenza. Lungo la circonferenza si possono definire posizioni, velocità e accelerazioni, usando la rappresentazione vettoriale, come visto nel capitolo 5 (figura 6). Figura 6. a. La posizione di un punto su una circonferenza è → individuata da un vettore r . → b. La velocità v ha modulo costante lungo tutta la circonferenza se il moto è uniforme. c. L’accelerazione ha solo → la componente centripeta a c, perché cambia solo la direzione della velocità.

P

→

r

␪ O

→

s

A

Figura 7. Fissato il raggio r, la lunghezza dell’arco di circonferenza s dipende dall’ampiezza dell’angolo sotteso θ.

→

→

v

P

P

→

ac

→

r

v

→

P →

r

r

O

O

O

a

b

c

Il moto circolare uniforme è il più semplice moto che possa avvenire su un piano, e a ben vedere, nonostante si svolga in due dimensioni, può essere assimilato a un moto unidimensionale: come abbiamo già osservato, possiamo immaginare di svolgere la circonferenza e trattarla come una retta. La distanza dall’origine del sistema scelto per rappresentare il moto sarebbe in questo caso un arco di circonferenza anziché un segmento, ma concettualmente non ci sarebbe alcuna differenza (figura 7). La lunghezza di un arco di circonferenza s è data dal prodotto del raggio r per l’angolo sotteso θ: s ⫽ θr

(6.1)

Dato che r non cambia, vediamo che la posizione di un punto P su una circonferenza è individuata quando sia noto l’angolo θ sotteso all’arco s compreso tra P e un punto A scelto come origine del moto sulla circonferenza. Se dunque ragioniamo in termini di angoli, possiamo descrivere il moto circolare uniforme con un unico numero anziché con un vettore bidimensionale. In altre parole, istante per istante la posizione di un punto sulla circonferenza è individuata dall’angolo spazzato dal raggio vettore À r. Se passiamo dalle grandezze alle loro variazioni, l’arco ∆s può essere espresso come il prodotto del raggio, che è costante, per la variazione angolare ∆θ: ∆s ⫽ ∆θ ⋅ r Dividendo per l’intervallo di tempo ∆t otteniamo una nuova grandezza, detta velocità angolare, data dal rapporto tra un angolo e un intervallo di tempo: ∆s ∆θ ? r ∆t ∆t La velocità angolare ω è definita come rapporto tra la variazione angolare ∆θ e il tempo ∆t impiegato a spazzare tale angolo: ∆θ (6.2) ω ? ∆t In un moto circolare uniforme la velocità angolare è costante, cioè il raggio vettore spazza angoli uguali in intervalli di tempo uguali.

158

I MOTI NEL PIANO

6

Unità di misura della velocità angolare

B →

Misurando gli angoli in radianti, l’unità di misura della velocità angolare è il radiante al secondo (rad/s). Un angolo misura un radiante quando sottende un arco di circonferenza equivalente al raggio (figura 8). Questo equivale a misurare un angolo attraverso l’arco corrispondente usando come unità di misura il raggio:

␪ ⫽ 1 rad O

→

r

arco in metri angolo in radianti

s θ? r

Figura 8. Quando l’arco ha la stessa lunghezza del raggio, l’angolo sotteso misura un radiante.

raggio in metri

Se anziché prendere un arco s consideriamo l’intera circonferenza C, otteniamo il valore dell’angolo giro in radianti: angolo giro ?

2πr ? 2π rad r

Da qui la formula per ricavare il valore in radianti di un angolo qualsiasi:

angolo in gradi angolo in radianti = 360° 2π GRANDEZZA FISICA COSTANTE

FORMULA

MOTO RETTILINEO UNIFORME

velocità

∆x v= ∆t

m/s

x ⫽ x0 ⫹ vt

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

velocità angolare

ω=

∆θ ∆t

rad/s

θ ⫽ θ0 ⫹ ωt

UNITÀ DI MISURA

LEGGE Tabella 1. Analogie fra moto rettilineo uniforme e moto circolare uniforme.

ESEMPIO ¢ Quanto misura in radianti un angolo retto? SOLUZIONE

90°/360° ⫽ angolo retto in radianti /2π

cioè angolo retto in radianti =

→

r⫽s

π 1 90° ⋅ 2π = ⋅ 2π = 4 2 360°

Quando si esprimono gli angoli in radianti in genere il valore di π si lascia implicito. DOMANDA Quanto misura in radianti un angolo di 30°?

159

A

6

I MOTI NEL PIANO

4

LE GRANDEZZE DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Quando studiamo un moto circolare uniforme possiamo usare gli angoli per semplificare la sua rappresentazione, ma dobbiamo sapere come ricavare da essi tutte le altre grandezze che lo caratterizzano.

Velocità angolare e velocità tangenziale Il valore della velocità angolare ci dice l’ampiezza dell’angolo spazzato dal raggio vettore in un secondo, ed è legato al modulo della velocità sulla circonferenza, cioè della velocità tangenziale vÀ, dalla relazione: ∆s ∆θ ? r ∆t ∆t La velocità angolare e la velocità tangenziale di un moto circolare uniforme sono legate dalle formule equivalenti: v = ωr (6.3) v ω= (6.4) r

ESEMPIO

Figura 9. La lancetta dei minuti di un orologio compie un moto circolare uniforme di periodo pari a 60 min; il periodo della lancetta delle ore è 12 h.

¢ Quanto vale la velocità angolare ω di un punto che ruota con velocità tangenziale di modulo pari a 5,0 m/s su una circonferenza di raggio r ⫽ 3,0 m? SOLUZIONE ω?

→

v

→

r

冷→ v 冷 ⫽ 5,0 m/s 冷→ r 冷 ⫽ 3,0 m

v 5, 0 m/s ? ? 1, 7 rad/s r 3, 0 m

DOMANDA Quanto vale la velocità angolare se il raggio raddoppia a parità di velocità tangenziale?

Andrsr/Shutterstock

Periodo e frequenza di un moto circolare uniforme Un oggetto che si muove di moto circolare uniforme passa più volte nella stessa posizione, ogni volta che compie un giro completo. Un moto di questo tipo, che si ripete identico a se stesso nel tempo, è detto periodico

160

I MOTI NEL PIANO

6

(figura 9).

Il tempo impiegato a compiere un giro completo in un moto circolare uniforme è detto periodo T. Se conosciamo il periodo, possiamo ricavare la velocità angolare facendo il rapporto tra l’angolo giro e tale intervallo di tempo. Dalla definizione ω?

angolo giro 2π ∆θ π ? ? ∆t tempo impiegato a spazzarlo T

2π (6.5) T Il periodo ci dice quanti secondi sono necessari per compiere un giro completo; l’inverso del periodo ci dice quanti giri vengono effettuati in un secondo. Tale grandezza fisica è detta frequenza, che si esprime con la lettera greca o («ni») e si misura in hertz (Hz). ω=

La frequenza o è l’inverso del periodo e si misura in hertz (Hz): 1 o= (6.6) T Un hertz è l’inverso di un secondo: 1 Hz =

1 = 1 s−1 s

ESEMPIO ¢ Quanto vale la velocità tangenziale di un oggetto fermo sull’equatore terrestre, sapendo che la Terra compie un giro completo in 24 h e il suo raggio equatoriale è circa 6378 km?

r

SOLUZIONE La velocità angolare di un punto sull’equatore si ricava approssimando l’equatore stesso a una circonferenza e usando la formula (6.5) che, in combinazione con la formula (6.3), porta al risultato: ω?

2π T

161

6

I MOTI NEL PIANO

v?

2πr T

dove T è il periodo di rotazione della Terra ed r il raggio equatoriale: T ⫽ 24 hr ⫽ 6378 km v?

1670 2πr 2π 6378 km m/s ? 464 m/s ? ? 1670 km/h ? 3, 6 24 h T

DOMANDA La velocità tangenziale degli oggetti fermi sulla superficie terrestre è la stessa a tutte le latitudini? Motiva la tua risposta con un disegno e una didascalia di 5 righe.

ESEMPIO ¢ Un albero motore compie 3000 giri in un minuto. Qual è la velocità tangenziale di un punto posto a 15 cm dall’asse di rotazione? SOLUZIONE Per trovare la velocità tangenziale v dobbiamo usare la formula (6.3), sapendo che il raggio è 15 cm, cioè 0,15 m. La velocità angolare in funzione della frequenza si ricava combinando le formule (6.5) e (6.6): ω?

2π ? 2πo T

Trasformando i minuti in secondi otteniamo quindi la frequenza del moto: o ⫽ 3000 giri/1 min ⫽ 3000 giri/60 s ⫽ 50 s–1 ⫽ 50 Hz In definitiva: v ⫽ ωr ⫽ 2πr ⫽ 2π ⭈ 50 s–1 ⭈ 0,15 m ⫽ 47 m/s DOMANDA Qual è la frequenza di rotazione della Terra intorno al proprio asse?

→

ac

Figura 10. L’accelerazione centripeta è diretta verso il centro della circonferenza e fa variare la direzione → del vettore velocità v , mantenendolo tangente alla traiettoria.

162

v

→

r

→

ac

→

r

O

L’accelerazione centripeta

→

→

v

Se il moto è uniforme, il modulo della velocità non cambia nel tempo, per cui la componente tangenziale dell’accelerazione è nulla. È diversa da zero, invece, l’accelerazione centripeta, che è diretta verso il centro della circonferenza proprio come la variazione della direzione di vÀ (figura 10).

I MOTI NEL PIANO

6

Per esprimere l’accelerazione centripeta in termini di angoli usiamo di nuovo l’analogia. Così come la variazione della posizione v è legata alla posizione r dalla relazione (6.3): v ⫽ ωr ipotizziamo che la variazione della velocità ac sia legata alla velocità v dalla relazione: ac ⫽ ωv

(6.7)

Sostituendo la formula (6.3) nella (6.7) si ha: ac ⫽ ωv ⫽ ω2r La formula che lega il modulo della velocità angolare a quello dell’accelerazione centripeta è: a c ⫽ ω 2r

(6.8)

Non si tratta di una dimostrazione rigorosa, ma comunque si può verificare sperimentalmente che la relazione tra variabili è corretta e consente di raggiungere in pochi passaggi un risultato molto utile. Da questa formula, infatti, possiamo ricavare anche il legame tra l’accelerazione centripeta e la velocità tangenziale. Se invece di sostituire v sostituiamo la velocità angolare ω (eliminando quindi quest’ultima dalla formula (6.7)), otteniamo: ac ? ωv ?

v2 v v? r r

I moduli dell’accelerazione centripeta e della velocità tangenziale sono pertanto legati dalla relazione: v2 (6.9) ac = r

ESEMPIO ¢ Un’automobile percorre una curva circolare di raggio 60 m, con velocità tangenziale costante pari a 50 km/h. Quanto vale il modulo della sua accelerazione centripeta? SOLUZIONE La velocità dell’automobile nel SI è: v ⫽ 50 km/h ⫽ 50/3,6 m/s ⫽ 14 m/s ac ?

(14 m/s )2 v2 ? ? 3, 2 m/s2 60 m r

DOMANDA La formula usata consente di ottenere la corretta unità di misura per l’accelerazione? Verificalo eseguendo tutti i passaggi necessari.

163

6

I MOTI NEL PIANO

SIMULAZIONE

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

5

Moto circolare (PhET, University of Colorado)

Il grafico spazio-tempo di un moto circolare uniforme è dato dallo sviluppo lungo l’asse temporale di una traiettoria circolare percorsa con modulo della velocità costante (figura 11). y

Figura 11. Il tempo trascina la traiettoria nella direzione della freccia e il grafico spazio-tempo del moto circolare uniforme è un’elica.

O t

x

Fortunatamente il moto circolare uniforme può essere scomposto in due moti unidimensionali per cui, al posto dell’elica, possiamo costruire due rappresentazioni grafiche spazio-temporali più semplici che combinate tra loro restituiscono nuovamente il grafico spazio-tempo tridimensionale. Il vantaggio sta nel poter studiare separatamente due moti unidimensionali, molto più facili da visualizzare, da disegnare e da calcolare. Scomponiamo il moto circolare lungo due direzioni perpendicolari, individuate dagli assi x e y di un piano cartesiano: chiamiamo rispettivamente rx ed ry le proiezioni sugli assi del raggio vettore À r, posizione del punto P (figura 12). P Figura 12. Se immaginiamo di osservare il punto P percorrere la circonferenza a velocità angolare costante, vediamo rx ed ry allungarsi e accorciarsi periodicamente.

→

ry O

→

r

→

rx

→

P

ry O

→

r

→

rx

→

r

→

rx

→

ry O

Mentre il punto P ruota sulla circonferenza a velocità angolare costante, le due proiezioni rx ed ry si allungano e si accorciano periodicamente. Vediamo come. Cominciamo a ragionare sulla componente ry , per poi estendere il risultato per analogia alla componente rx . Infatti vediamo che ruotando di 90°

164

I MOTI NEL PIANO

6

la circonferenza si ottiene una situazione analoga alla precedente, in cui le componenti risultano scambiate (figura 13). y

→

ry

y 90°

→

r

→

rx

→

O

x

rx

O →

ry

→

r

x

Costruiamo un sistema di assi cartesiani centrato nel punto A della circonferenza, posizione del punto P alla partenza del cronometro. Riportiamo sull’asse orizzontale il tempo e sull’asse verticale le componenti ry istante per istante durante il moto. In A la proiezione di rÀ sull’asse y è uguale a zero, per cui riportiamo questo valore sull’asse verticale in corrispondenza dell’istante t ⫽ 0 s. Via via che il cronometro procede, P scorre in senso antiorario sulla circonferenza e ry cambia la sua lunghezza. Riportiamo istante per istante tale lunghezza sull’asse verticale (figura 14). y

y

Figura 13. Quando ruotiamo di 90° la circonferenza si scambiano tra loro i valori delle componenti rx e ry.

Figura 14. A ogni istante di tempo corrisponde una lunghezza della proiezione ry di r sull’asse y. La curva disegnata in rosso è detta sinusoide.

r A

t

Ogni volta che il punto P torna a passare per A il moto si ripete: alla proiezione della posizione À r sull’asse y corrisponde un grafico spazio-tempo periodico, rappresentato da una curva detta sinusoide. Analogamente il grafico spazio-tempo della proiezione di À r sull’asse x è una sinusoide sfasata di 90° rispetto alla prima. Ogni singola proiezione del vettore posizione À r sul diametro della circonferenza che descrive il suo estremo libero ha un grafico spazio-tempo sinusoidale. Se un oggetto ruota con velocità angolare costante su una circonferenza, la proiezione della sua posizione sul diametro della circonferenza è periodico e il suo grafico spazio-tempo è una sinusoide. Il grafico spazio-tempo del moto circolare uniforme è dunque la combinazione di due grafici spazio-tempo sinusoidali, sfasati di 90°: se si so-

165

6

I MOTI NEL PIANO

vrappongono gli assi temporali e si compongono i due grafici si riproduce esattamente l’elica tridimensionale (figura 15). y

y Figura 15. I moti si compongono e si scompongono anche a livello delle loro rappresentazioni grafiche. L’elica è la sovrapposizione di due grafici sinusoidali.

x

t

A

x

Il moto armonico

Figura 16. Mentre un punto P ruota uniformemente su una circonferenza, la sua proiezione Px su un diametro oscilla con moto armonico sullo stesso.

Concentriamo ora l’attenzione su una delle due proiezioni di r, diciamo rx, sul diametro della circonferenza percorsa con moto uniforme dal punto P. Essa individua un punto Px, il quale oscilla avanti e indietro sul diametro (figura 16) con un moto che non è né uniforme né uniformemente accelerato, in quanto il suo grafico spazio-tempo non è né una retta né una parabola, ma una sinusoide.

P Px

Px Px

x

x

Px

x

x P P

Tale moto, detto armonico, è importantissimo in fisica, perché molti movimenti complicati possono essere scomposti in più moti armonici (figura 17). x x0

Figura 17. Il grafico spaziotempo di un moto armonico è una sinusoide.

166

0

t

I MOTI NEL PIANO

6

Un corpo compie un moto armonico quando il suo grafico spazio-tempo è una sinusoide: x ⫽ x0 sin ωt

MOTO

LEGGE ORARIA

GRAFICO Figura 18. Il moto di una molla che oscilla liberamente, in assenza di attriti, è armonico.

x

rettilineo uniforme

x ⫽ x0 ⫹ vt

Massimiliano Trevisan

Esso corrisponde al moto della proiezione su un diametro di un punto P che ruota con velocità angolare costante su una circonferenza. Il moto circolare uniforme è dato dalla sovrapposizione di due moti armonici.

x0 0

t Tabella 2. Moti semplici incontrati finora.

x

rettilineo uniformemente accelerato

x = x0 + vt +

1 2 at 2

x0 0

t

x x0

armonico

x ⫽ x0 sin ωt

0

t

167

6

I MOTI NEL PIANO

MATEMATICA La parabola ␪

Parabole luminose Per farci un’idea di come è prodotta una conica possiamo aiutarci con un semplice esperimento casalingo. Servono soltanto una torcia elettrica per generare un cono luminoso e una parete per «affettarlo». L’asse della torcia corrisponde all’asse del cono: quando la puntiamo contro il muro perpendicolarmente ad esso otteniamo una circonferenza; inclinando leggermente la torcia vediamo proiettata un’ellisse e aumentando l’inclinazione vediamo l’ellisse allungarsi fino ad aprirsi. La prima curva aperta è proprio una parabola; continuando a variare l’inclinazione della torcia le curve che osserviamo sono iperboli.

Parabole d’acqua

© CuboImages srl / Alamy

Le fontane con i loro giochi d’acqua ci offrono numerosi esempi di parabole: il moto dell’acqua spinta con una componente orizzontale e sottoposta all’azione della gravità è infatti parabolico, come si ricava dalla legge della composizione dei moti.

Fontana a Villa d’Este, vicino Roma.

DOMANDA Perché i fuochi d’artificio assomigliano così tanto agli spruzzi delle fontane? Spiegalo in 5 righe.

168

circonferenza ␾

ellisse parabola iperbole

␾

Le curve coniche si ottengono intersecando la superficie di un cono retto con piani di diversa inclinazione.

Massimiliano Trevisan

š se φ ⬎ θ allora la curva è un’ellisse, con il caso particolare in cui φ sia un angolo retto e la curva è una circonferenza; š
se φ ⫽ θ allora la curva è una parabola; š
φ ⬍ θ allora la curva è un’iperbole.

␾

Coniche formate dall’intersezione di un cono di luce con il piano di una parete: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.

Oleksii Sagitov / Shutterstock

La parabola fa parte delle cosiddette «coniche», cioè di quelle curve che si ottengono immaginando di «affettare» un cono circolare retto, intersecandolo con piani di diversa inclinazione. In generale esse sono di quattro tipi, circonferenza, ellisse, parabola e iperbole, a seconda dell’angolo che il piano forma con l’asse del cono. Sia φ l’angolo che il piano forma con l’asse del cono e θ l’angolo di apertura del cono, cioè l’angolo formato da una qualsiasi direttrice e l’asse:

6

I MOTI NEL PIANO

MATEMATICA A’

Trigonometria

␣

A

La trigonometria nasce per trovare le relazioni che legano fra loro lati e angoli di un triangolo. È facilmente intuibile: se prendiamo due triangoli simili, essi hanno tutti e tre gli angoli uguali e i lati in proporzione, cioè in rapporto costante.

␥

␤

C’

B’

␣ ␥

␤

C

B

Triangoli simili hanno gli angoli uguali e i lati proporzionali.

Funzioni trigonometriche

Se disegniamo un triangolo rettangolo e misuriamo ciascun cateto rispetto all’ipotenusa, cioè eseguiamo il rapporto fra queste lunghezze, otteniamo un valore tanto maggiore quanto più è ampio l’angolo opposto al cateto scelto. Tale valore è indipendente dalla lunghezza dei lati purché si considerino triangoli rettangoli simili. Il rapporto tra la lunghezza di un cateto BC e quella dell’ipotenusa AB è quindi una funzione dell’angolo α opposto ad AB: tale funzione prende il nome di seno dell’angolo α. Il rapporto tra il cateto adiacente ad α e l’ipotenusa corrisponde a un’altra funzione trigonometrica, il coseno di α.

A ␣

␤ C

B y

Circonferenza trigonometrica Su una circonferenza di raggio unitario (r ⫽ 1) le funzioni trigonometriche sin α e cos α corrispondono rispettivamente alla proiezione del raggio vettore sull’asse y e sull’asse x, come è facile verificare dal disegno. Per questo motivo queste funzioni sono spesso usate nella descrizione di moti circolari, consentendo notevoli semplificazioni.

→

ry O

→

r

␣ →

rx

x

La sinusoide Se riportiamo su un asse orizzontale i valori dell’angolo α e sull’asse verticale i valori della funzione sin α otteniamo il grafico di una sinusoide. Il grafico della funzione cos α è ancora una sinusoide, ma traslata di π/2: ruotando di un quarto di giro una circonferenza le funzioni seno e coseno scambiano i loro ruoli. sin␣

y 90° 3 ⫺␲ ␲ 2

0

␲ ⫺ 2

2␲

t

cos␣

O

x Le funzioni seno e coseno sono traslate l’una rispetto all’altra di un angolo retto.

y ␲ ⫺ 2 ␲

0

3 2␲ ⫺␲ 2

t

O

x

DOMANDA Sapresti dimostrare la cosiddetta identità fondamentale della trigonometria cos2 α ⫹ sin2 α ⫽ 1? Utilizza il teorema di Pitagora.

169

6

I MOTI NEL PIANO

CON GLI OCCHI DI UN FISICO I meccanismi e il calcolo Gli ingranaggi

Nel 1900, presso l’isola di Anticitera, tra il Peloponneso e Creta, alcuni pescatori di spugne si imbatterono in un antico relitto risalente al I secolo a.C. Durante le ricerche successive al ritrovamento venne alla luce un oggetto misterioso, che nascondeva degli ingranaggi tra le incrostazioni. La scoperta spiazzò tutti: non si immaginava che la tecnologia greca fosse così evoluta da produrre un meccanismo tanto sofisticato e complesso. Eppure recentissimi studi hanno confermato che il cosiddetto «meccanismo di Anticitera» appartiene proprio alla civiltà greca ed è in grado di riprodurre i moti degli astri con una serie di 37 ingranaggi tra ruote dentate, perni e lancette. Una specie di antico calcolatore capace di prevedere le eclissi e le fasi lunari, talmente complicato che ci sono voluti vent’anni per ricostruirlo. Sembra che tale tecnologia fosse in qualche modo legata a Siracusa, città di Archimede.

Non c’è da stupirsi di quanto fosse evoluta la tecnologia greca se si pensa a quanta importanza aveva per i greci la matematica e che, in fondo, un meccanismo altro non è che un’applicazione della geometria. Per esempio, un ingranaggio formato da due ruote dentate di raggi diversi r ed r′ che ingranano tra loro dal punto di vista meccanico trasforma il moto circolare dell’una nel moto circolare dell’altra, e dal punto di vista geometrico trasforma una circonferenza in un’altra circonferenza di diverso diametro. Mentre un punto del meccanismo descrive una circonferenza di raggio r, un altro punto descrive una circonferenza di raggio r′.

La pascalina Sono sempre ingranaggi a ruote dentate che fanno funzionare la «pascalina», una calcolatrice meccanica capace di eseguire addizioni e sottrazioni con i riporti, inventata nel 1642 da Blaise Pascal, quando aveva appena 19 anni. Una manovella azionava il meccanismo e una serie di ruote dentate con i numeri da 0 a 9 iniziava a girare: ogni volta che la ruota delle unità arrivava a compiere un giro completo, la ruota delle decine scattava di un decimo di giro, e così via, fino a calcolare somme e sottrazioni con numeri dell’ordine delle centinaia di migliaia.

Marsyas

Mark Roebuck

Il meccanismo di Anticitera

In un ingranaggio costituito da due ruote dentate il rapporto tra le velocità angolari è detto rapporto di trasmissione

PAROLA CHIAVE

Composizione dei moti

DOMANDA Il meccanismo di Anticitera riproduce le periodicità dei moti degli astri attraverso la composizione di moti circolari uniformi. ¢ In quale modello dell’Universo si ritrova questo concetto?

170

David Monniaux

Gli ingranaggi del meccanismo di Anticitera erano in grado di riprodurre le 254 rivoluzioni della Luna con una ruota e contemporaneamente i 19 anni solari con un’altra ruota.

La pascalina del 1642 è una delle prime macchine per eseguire somme e sottrazioni mediante il movimento di organi meccanici.

PAROLA CHIAVE

Velocità angolare

DOMANDA Se i raggi di una coppia di ruote dentate stanno tra loro in rapporto 1:2, in quale rapporto stanno tra loro le rispettive velocità angolari? Per rispondere supponi che la rotazione sia uniforme e che nel punto di contatto delle ruote la velocità tangenziale sia la stessa per entrambe.

I MOTI NEL PIANO

6

Operatrici meccaniche elettriche

Grazie alla rivoluzione industriale, nell’Ottocento la produzione di meccanismi per il calcolo ebbe un rapido incremento. Tra la fine del XIX secolo e gli anni Sessanta del XX erano molto usate calcolatrici semplici e compatte, basate sul meccanismo della cremagliera, come la tedesca «Addiator», venduta in milioni di pezzi, sulla quale l’operatore agiva con un’astina che faceva scorrere gli ingranaggi. Una cremagliera è formata da una ruota dentata che scorre lungo un ingranaggio lineare: trasforma cioè un moto rettilineo in un moto circolare e viceversa; in termini di curve matematiche trasforma una retta in una circonferenza e viceversa.

Dagli anni Sessanta sono apparse le prime calcolatrici in grado di svolgere automaticamente e velocemente tutte e quattro le operazioni, stampando il risultato su un nastro di carta. Una gloria dell’industria italiana Olivetti, la «divisumma», fu un successo mondiale: alimentata da un motore elettrico, riceveva l’input da una tastiera ed eseguiva le operazioni grazie a un intricato sistema di meccanismi tra cui perni, ruote e leve di ogni genere, che compivano ripetuti movimenti fino al risultato richiesto, che veniva stampato sulla carta. All’epoca una divisumma, considerata peraltro una calcolatrice economica rispetto ai prezzi della concorrenza, costava poco meno di un’utilitaria. L’avvento dell’elettronica ha rivoluzionato il calcolo automatico: appena cinquant’anni più tardi con qualche euro è possibile acquistare minuscole calcolatrici infinitamente più potenti.

La calcolatrice tascabile Addiator a cremagliera; una ruota dentata scorre su un ingranaggio rettilineo, operando reciproche trasformazioni tra moti lineari e moti circolari.

La «divisumma» Olivetti ha la tastiera come una moderna calcolatrice, ma i calcoli sono eseguiti per mezzo di complicati sistemi meccanici anziché di circuiti elettronici.

Hannes Grobe

VladimirV/Shutterstock

Rock Poetry

Le calcolatrici a cremagliera

PAROLA CHIAVE

Moto circolare uniforme

DOMANDA Con quale velocità si muove il centro della ruota di una cremagliera rispetto all’ingranaggio lineare se la sua velocità angolare costante è di 10 rad/s e il suo raggio è 1,0 cm?

171

MAPPA DEI CONCETTI COMPOSIZIONE DI MOTI SIMULTANEI

I MOVIMENTI SIMULTANEI di un corpo SI SOMMANO

la traiettoria è una parabola

MOTO PARABOLICO

MOTO RETTILINEO UNIFORME

⫹

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

→

il moto di un proiettile è PARABOLICO

v0x

→

v0y

lungo la verticale la velocità del proiettile aumenta vy ⴝ v0y ⴚ gt

lungo l’orizzontale il proiettile procede a velocità costante vx ⴝ v0x

la traiettoria è una circonferenza

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

MOTO ARMONICO

⫹

il modulo della velocità è costante

MOTO ARMONICO

Il moto armonico è il moto di un corpo che oscilla avanti e indietro su un segmento e il cui grafico spazio-tempo è una sinusoide x

0

172

t

I MOTI NEL PIANO

6

Nel MOTO CIRCOLARE UNIFORME

→

→

s

r

Il RADIANTE è la misura dell'angolo che sottende un arco pari al raggio

␪

Archi di circonferenza uguali vengono percorsi in intervalli di tempo uguali

O

→

→

␪ ⫽ 1 rad se 冷 r 冷 ⫽ 冷 s 冷

GRANDEZZE PER DESCRIVERE IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME GRANDEZZE LINEARI

GRANDEZZE ANGOLARI

s

arco di circonferenza

∆s = vt ∆t

velocità tangenziale

ac =

v2 r

accelerazione centripeta

θ

angolo

∆θ ω= ∆t

velocità angolare

RELAZIONI s ⫽ θr v ⫽ ωr

ac ⫽ ω 2 r

Il grafico spazio-tempo del MOTO CIRCOLARE UNIFORME è un'elica x

O t y

y

→

ry O

→

r

→

rx

x

Il grafico spazio-tempo di ciascuna componente rx o ry del raggio vettore è una sinusoide

→

rx

→

rx

→

ry

0

t

173

6 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI 8 Descrivi in 5 righe come cambia la velocità di un

LA COMPOSIZIONE DEI MOTI

proiettile lungo la sua traiettoria parabolica. Come varia la gittata all’aumentare della velocità iniziale di un proiettile?

DOMANDE Quale moto si ottiene dalla sovrapposizione di due moti uniformi perpendicolari tra loro?

1

2 Può la sovrapposizione di due moti rettilinei uniformi

dare come risultato la quiete? Motiva la risposta con un esempio. 3 Un corpo si muove verso nord con velocità vA in un

sistema di riferimento A, che si muove verso sud con velocità vB rispetto a un secondo sistema di riferimento B. Qual è il moto del corpo nel sistema di riferimento B? Rispondi in 10 righe.

9 Se in assenza di attriti un sasso viene scagliato con

velocità iniziale orizzontale v ⬎ 0 da un’altezza h arriva al suolo con velocità verticale di modulo uguale a v. Correggi questa affermazione.

CALCOLI 10 La velocità iniziale di una freccia scoccata da un arco

è 54 m/s e forma un angolo di 30° con l’orizzontale. ¢ Quanto valgono le componenti della velocità iniziale nelle due direzioni? [48 m/s, 27 m/s]

CALCOLI

11 A quale distanza da un banco alto 70 cm cade una

4 Una barca si allontana perpendicolarmente dalla riva

con velocità costante di 7,5 m/s mentre la corrente la trascina in direzione parallela alla riva con velocità di 8,0 m/s. ¢ Quanto vale il modulo della velocità della barca rispetto alla riva? [11 m/s]

5 Un ciclista si muove con velocità costante di 4,5 m/s

mentre un vento soffia in verso opposto con velocità di 30 km/h. ¢ Quanto vale la velocità del ciclista nel sistema di riferimento del vento? [13 m/s]

gomma, lanciata con velocità iniziale di modulo 2 m/s e diretta lungo l’orizzontale. [0,76 m]

12 Un barman distratto fa scivolare lungo il tavolo un

bicchiere di orzata per un cliente che sfortunatamente non riesce a prenderlo in tempo. ¢ Se la velocità iniziale in direzione orizzontale del bicchiere è di 4,4 m/s e il tavolo è alto 90 cm, a che distanza il bicchiere cade a terra? [1,9 m]

13 Un giocoliere lancia in alto tre palline.

¢ Qual è l’altezza massima che raggiunge la pallina lanciata con velocità iniziale di 7,5 m/s che forma un angolo di 60° con l’orizzontale?

6 Un ragazzo a bordo di un autobus che viaggia con

velocità di 65 km/h si sposta verso la porta anteriore dell’autobus con velocità di 2,6 m/s nel sistema di riferimento dell’autobus. ¢ Quanto vale la velocità del ragazzo in m/s e km/h nel sistema di riferimento terrestre? [21 m/s; 74 km/h]

IL MOTO DEI PROIETTILI

DOMANDE 7 In un vecchio film comico un viaggiatore lascia cade-

re fuori dal finestrino di un treno le scarpe di un malcapitato compagno di cuccetta. Se il treno ha una velocità uniforme e si trascura la presenza dell’aria, qual è la traiettoria delle scarpe nel sistema di riferimento di un osservatore fermo alla stazione?

174

Riley MacLean / Shutterstock

2

[2,2 m]

6

I MOTI NEL PIANO 14 Un giocatore di rugby lancia la palla con velocità di

9,0 m/s e con un angolo di 30° con l’orizzontale al suo compagno che si trova al limite dell’area. ¢ Dopo quanto tempo il compagno riesce a prendere la palla appena prima che tocchi il suolo?

4

LE GRANDEZZE DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

DOMANDE [0,9 s]

15 In riferimento all’esercizio 14, quanto vale la gittata? [7,2 m]

25 In che senso il moto circolare uniforme è definito

«moto periodico»? Quale relazione lega il periodo e la frequenza in tale tipo di moto? 26 Perché l’«accelerazione centripeta» si chiama così?

Quale relazione c’è tra l’accelerazione centripeta e la velocità tangenziale nel moto circolare uniforme?

3

IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME

27 A parità di velocità angolare, è maggiore l’accelera-

DOMANDE 16 «Nel moto circolare uniforme la velocità è costante.»

Questa frase è corretta? Eventualmente correggila. 17 Un moto circolare uniforme può essere considerato

unidimensionale anche se si svolge su un piano? Motiva la tua risposta in 5 righe. 18 Qual è l’unità di misura della velocità angolare se gli

angoli sono espressi in gradi e il tempo in minuti? 19 «La misura di un angolo espressa in gradi è diretta-

mente proporzionale alla misura dello stesso angolo espressa in radianti.» Questa affermazione è corretta? Eventualmente correggila.

zione centripeta delle mani di una ballerina che compie una piroetta con braccia aperte o con braccia chiuse? Motiva la tua risposta. 28 A partire dalla formula ω ⫽ 2 π/T trova una relazione

matematica tra la frequenza e la velocità angolare.

CALCOLI 29 La Terra compie due moti: uno di rotazione attorno

al proprio asse in 24 h e uno di rivoluzione su un’orbita che per semplicità consideriamo circolare di 365 giorni. ¢ Calcola la sua velocità angolare in entrambi i casi. [7,3 ⫻ 10–5 rad/s; 2,0 ⫻ 10–7 rad/s]

30 Un albero a motore compie 2000 giri al minuto.

CALCOLI

¢ Qual è la sua frequenza in Hz?

20 Trasforma i seguenti valori di angoli da radianti a

¢ In quanto tempo l’albero compie un giro completo?

gradi: θ ⫽ 2/3π; θ ⫽ 5/3π; θ ⫽ 7/4π; θ ⫽ 5/6π; θ ⫽ 1/3π; θ ⫽ 3/4π

[33,3 Hz; 0,03 s]

31 Una ruota di bicicletta ha un diametro di 40 cm e la

21 Trasforma i seguenti valori di angoli da gradi a ra-

dianti: θ ⫽ 60°; θ ⫽ 75°; θ ⫽ 120°; θ ⫽ 45°; θ ⫽ 30°; θ ⫽ 270°.

velocità tangenziale di un punto del bordo è di 1,4 m/s. ¢ Quanto vale il periodo di rotazione della ruota? [0,9 s]

circolare di raggio 150 m. ¢ Quanto spazio ha percorso quando il suo raggio vettore ha spazzato un angolo di 60°? [157 m]

23 Il raggio vettore di un corpo su una circonferenza

spazza in 6,0 s un angolo di 50°. ¢ Calcola la sua velocità angolare media. [0,15 rad/s]

24 Quanto tempo occorre a un pianeta con una velocità

32 Una ballerina che fa una piroetta a braccia aperte ha

una velocità angolare di 1,5 rad/s. ¢ Considerando che le sue braccia sono lunghe 75 cm, calcola l’accelerazione centripeta delle sue mani.

Pete Saloutos / Shutterstock

22 Un acrobata si esibisce in motocicletta su una pista

[1,7 rad/s2]

angolare di 7,0 ⫻ 10–4 rad/s per percorrere un arco di orbita che sottende un angolo di 90°? 3

[2,0 ⫻ 10 s]

175

6 ESERCIZI 33 Una trottola ruota con velocità angolare di 12 rad/s.

¢ Quanto vale la velocità tangenziale di un punto del bordo posto a una distanza di 7,0 cm dall’asse di rotazione? ¢ Quanto vale la velocità tangenziale di un punto dell’asse della trottola? [84 cm/s; 0 m/s]

5

39 In riferimento all’esercizio 37, ricava dal grafico la ve-

locità angolare.

[1,6 rad/s]

40 In riferimento all’esercizio 38:

¢ qual è il periodo del moto? ¢ Disegna approssimativamente il grafico spazio-tempo dell’ombra di una cabina sul pavimento orizzontale a partire da mezzogiorno.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME ESERCIZI DI RIEPILOGO

DOMANDE 34 Un cerchio ruota di moto circolare uniforme e la sua

rotazione è resa visibile da un punto colorato sul bordo. Che tipo di moto osserverebbe, dallo stesso piano del cerchio, un abitante di Flatlandia, l’immaginario mondo bidimensionale descritto nella scheda Flatlandia del capitolo 5? 35 Esiste una relazione tra il moto circolare uniforme e il

moto armonico? Motiva la tua risposta in 5 righe. 36 Come si può ottenere il grafico spazio-tempo del

moto armonico? Rispondi in 10 righe.

41 Il pennino di un sismografo orizzontale descrive sulla

carta una curva a zig-zag. Spiega tale fatto in termini di composizione dei moti in 10 righe. 42 Confronta la velocità tangenziale ai poli e all’equato-

re. È corretto affermare che la velocità tangenziale, rispetto alla rotazione terrestre, di un orso bianco che si trovi esattamente sul Polo Nord è nulla? Motiva la risposta in 5 righe. 43 Che cosa succede alla velocità angolare di un corpo

che dimezza il suo periodo di rotazione? Rispondi in 5 righe senza fare i calcoli.

CALCOLI 37 La figura seguente rappresenta il grafico spazio-tem-

po della proiezione sul diametro di un punto che ruota su una circonferenza di raggio r con moto uniforme. s (m)

44 A partire dalla relazione ω ⫽ ∆θ/∆t, come potresti

definire un’accelerazione angolare? Utilizza l’analogia aiutandoti con il ragionamento fatto per la definizione dell’accelerazione a partire dalla velocità. 45 La cardioide è una curva che possiamo vedere in una

tazza di latte quando le pareti proiettano la loro ombra sulla superficie. Si può ottenere dalla composizione di due moti circolari uniformi di uguale raggio, come si può vedere nella figura.

r

O

DOMANDE

1

2

3

4

t (s)

Massimiliano Trevisan

⫺r

¢ Ricava il periodo T. 38 Una ruota panoramica di 40 m di raggio si muove

con velocità angolare costante e impiega 10 min a compiere un giro completo. ¢ Calcola la velocità angolare e tangenziale. ¢ Che tipo di moto compie l’ombra di una cabina sul pavimento orizzontale a mezzogiorno? [0,01 rad/s; 0,42 m/s]

176

M M

M

I MOTI NEL PIANO Disegna approssimativamente la curva che si ottiene se una delle due circonferenze ha il raggio doppio rispetto all’altra. Quale traiettoria ha un punto di una circonferenza di raggio r che rotola all’interno di una circonferenza di raggio 2r? 46 Quale traiettoria ha un corpo il cui moto risulta dalla

6

53 Un pallone viene lanciato da terra con un angolo di

45° e ricade a terra a una distanza di 35 m dal punto in cui è stato lanciato. ¢ Calcola il modulo della velocità iniziale, il tempo che impiega il pallone a tornare a terra e l’altezza massima raggiunta.

[2,6 s; 19 m/s; 8,3 m]

composizione di due moti armonici e di uno rettilineo uniforme, tutti perpendicolari tra loro?

54 La Luna ruota attorno alla Terra con un periodo di

47 In quali casi la composizione di due moti periodici di

28 giorni su una traiettoria approssimativamente circolare.

periodo diverso è ancora un moto periodico? (Suggerimento: rispondi dopo aver riflettuto sui due quesiti degli esercizi 45 e 46) 48 Una pallina da tennis viene sparata da un lanciapalline

con una velocità iniziale inclinata di un certo angolo rispetto all’orizzontale e compie una traiettoria parabolica. Quanto vale la componente verticale della velocità della pallina nel punto più alto della traiettoria?

¢ Calcola la velocità angolare e la frequenza della Luna. ¢ Considerando che l’accelerazione centripeta è di 0,25 ⫻ 10–2 m/s2, calcola il raggio medio dell’orbita lunare. [2,6 ⫻ 10–6 rad/s; 4,1 ⫻ 10–7 Hz; 3,7 ⫻ 105 km]

55 Titano, una delle 18 lune di Saturno, si muove appros-

simativamente su una circonferenza di 122 ⫻ 104 km e ha un periodo di 15 giorni e 23 ore. ¢ Calcola la velocità angolare e tangenziale e l’accelerazione centripeta.

PROBLEMI 49 Un proiettile viene sparato con velocità iniziale di

[4,55 ⫻ 10–6 rad/s; 5,55 km/s; 2,5 ⫻ 10–2 rad/s2]

58 m/s e angolo di 30° rispetto all’orizzontale da un’altezza di 2 m rispetto al suolo.

56 I semi dell’acero, cadendo dai rami, si comportano

¢ Quanto vale il modulo della velocità nel punto più alto della traiettoria? ¢ Quanto vale l’altezza di tale punto rispetto al suolo?

come elicotteri. Approssimando il loro moto come circolare uniforme di raggio 25 mm, la velocità tangenziale periferica è di 1,1 m/s.

[50 m/s; 45 m]

50 Due ragazzi giocano a pallavolo sulla spiaggia. Il pri-

¢ A che distanza si deve trovare l’altro ragazzo per prendere al volo la palla un attimo prima che cada a terra? ¢ Quale quota massima raggiunge? ¢ Dopo quanto tempo? [4,8 m, 2,1 m; 0,26 s]

51 Una freccia viene scagliata con una velocità iniziale

che forma un angolo di 45° rispetto all’orizzontale e il cui modulo è 25 m/s. ¢ Calcola la gittata, il tempo di volo e la quota massima raggiunta dalla freccia.

SAJE / Shutterstock

mo lancia la palla da un’altezza di 1,8 m con velocità iniziale di 5,0 m/s che forma un angolo di 30° con l’orizzontale.

¢ Calcola la velocità angolare, il periodo e la frequenza. ¢ Disegna la traiettoria della periferia di un seme che cade lungo la verticale con velocità orizzontale nulla. ¢ Disegna la stessa traiettoria nel caso in cui la velocità iniziale abbia una componente orizzontale diversa da zero. [44 rad/s; 0,14 s; 7,0 Hz]

[1,8 m; 14 m; 3,5 s]

52 Il cestello di una lavatrice ha un raggio di 25 cm e

compie 500 giri al minuto. ¢ Calcola la sua frequenza e il periodo. ¢ Calcola la velocità tangenziale del bordo. [8,3 Hz; 0,12 s; 13 m/s]

57 Un satellite televisivo gira su un’orbita circolare intor-

no alla Terra a un’altezza di 36 000 km e compie un giro ogni 24 ore. ¢ Sapendo che il raggio della Terra è 6378 km, calcola la velocità angolare, la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta.

177

6 ESERCIZI ¢ Hai sufficienti informazioni per ricavare la componente tangenziale dell’accelerazione? Motiva la risposta.

B

velocità angolare ⫽ 45 ⫻ 2π/180 ⫽ ⫽ 1,6 radianti/secondo

C

velocità angolare ⫽ 45 ⫻ 2π/60 ⫽ ⫽ 4,7 radianti/secondo

58 Un orologio ha tre lancette: quella delle ore è lunga

D

1 cm, quella dei minuti 1,4 cm e quella dei secondi 1,4 cm.

velocità angolare ⫽ 45/60 ⫽ ⫽ 0,75 radianti/secondo

E

manca il valore del raggio del disco per poter eseguire il conto

[7,3 ⫻ 10–5 rad/s; 3,1 km/s; 22,4 cm/s2]

¢ Calcola il periodo dell’estremo di ciascuna lancetta. ¢ Trova la velocità angolare per ognuno dei tre punti. [4,3 ⫻ 104 s; 3,6 ⫻ 103 s; 60 s; 1,5 ⫻ 10–4 rad/s; 1,7 ⫻ 10–3 rad/s; 0,10 rad/s; 10–10 rad/s2]

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Un giradischi si muove a 45 giri al minuto. Per calcolare la velocità angolare in radianti/secondo, quale dei seguenti calcoli è CORRETTO? A

velocità angolare ⫽ 45 ⫻ 2π/360 ⫽ ⫽ 0,8 radianti/secondo

178

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2008/2009) 2 Una fionda è costituita da un sasso vincolato a per-

correre 3 giri al secondo lungo una circonferenza di raggio L ⫽ 1.5 m per mezzo di una corda rigida. Quando il sasso viene svincolato dalla corda la sua velocità sarà: A

di circa 28 m/s

B

di 3 m/s

C

di 4,5 m/s

D

diversa per sassi di massa diversa

E

pari alla velocità del suono

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2007/2008)

CAPITOLO

Le forze

“

Le nuvole correvano sopra le rocce e le macchie e gli alberi si contorcevano al vento, folli dal desiderio di staccarsi da terra e di seguirle.

”

Grazia Deledda, Canne al vento, 1913

Il libeccio piega le tamerici e sconvolge il mare della costa livornese. La forza del vento è una presenza evidente nel quadro di Giovanni Fattori: non abbiamo bisogno di usare le parole. Ma se vogliamo parlare di fisica le suggestioni non bastano, e occorre definire ogni termine con precisione e rigore. In fisica la forza, oltre a essere qualcosa che è capace di agitare le acque, è una grandezza misurabile ed è, inoltre, una grandezza vettoriale. Quando applichiamo una forza a un oggetto materiale questo si sposta, come le foglie al vento, oppure si deforma, come gli arbusti aggrappati al suolo. Se per esempio tiriamo una molla vincolata, la allunghiamo in proporzione, entro certi limiti, alla forza applicata: la deformazione di una molla ci dà dunque una misura dell’intensità della forza. In questo capitolo applicherai quanto appreso sui vettori a questa nuova grandezza fisica, responsabile di movimenti e deformazioni:

imparerai dunque a sommare e a scomporre forze lungo direzioni prestabilite per prepararti a studiare i capitoli successivi. Prima di approfondire i legami tra forze e moto, infatti, inizieremo a conoscere le rappresentazioni matematiche delle grandezze in gioco. Parleremo quindi semplicemente di forza per quanto riguarda i moti rettilinei e di momento di una forza a proposito dei moti circolari, così come abbiamo parlato di velocità tangenziale e velocità angolare per la loro descrizione. Anche il mare increspato dal vento può essere oggetto di uno studio fisico, ma la materia fluida presenta maggiori difficoltà rispetto ai solidi. La matematica si complica e sono poche le equazioni che si possono affrontare in un testo scolastico. Qui inizieremo a definire la pressione, grandezza fisica utilissima nello studio dei liquidi e degli aeriformi, come la forza per unità di superficie.

Giovanni Fattori, La libecciata, 1880-1885.

PAROLE CHIAVE Forza Momento di una forza Pressione

179

7

LE FORZE

CHE COS'È UNA FORZA?

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1

Figura 1. Le forze della natura sono, nell’accezione comune, eventi naturali di tipo impetuoso e potenzialmente distruttivo.

Il concetto di forza in fisica è piuttosto spinoso. L’uso del termine ha origine nella sua accezione più intuitiva (figura 1), ma lo studio rigoroso del moto e delle equazioni che mettono in relazione forza e movimento hanno consentito una definizione più precisa del suo significato. Tuttavia restano numerose ambiguità, che solo una trattazione moderna della meccanica riesce a sciogliere. Per tenere lontane complicazioni inutili a questo livello, evitiamo di ricercare una definizione del concetto di forza che sia esauriente e compiuta in sé e accontentiamoci di una sua descrizione provvisoria, che si raffinerà implicitamente via via che procederemo nello studio della fisica. Esso ci accompagnerà a lungo fino a quando non cederà il passo a quello di interazione: infatti, ogni volta che in fisica si parla di «forza», ci sono due oggetti che agiscono reciprocamente l’uno sull’altro. Leghiamo intuitivamente una forza all’atto di spingere o tirare qualcosa. Diciamo dunque che, quando spingiamo o tiriamo un oggetto, in termini fisici stiamo applicando ad esso una forza, cioè stiamo interagendo con quell’oggetto. Tale interazione modifica qualcosa, e l’entità della modificazione è in stretto rapporto con l’intensità della forza applicata. Vediamo ora quali sono le modificazioni che l’applicazione di una forza provoca a un oggetto materiale. Immaginiamo di dare un calcio a un pallone. Se inizialmente esso era fermo si metterà in movimento, se era in movimento cambierà almeno direzione: in poche parole, la forza che abbiamo esercitato sul pallone ha modificato il suo moto, cioè la sua velocità. Una forza che agisce su un corpo libero di muoversi ne modifica la velocità.

180

7

LE FORZE

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Nicholas Piccillo / Shutterstock

Figura 2. La forza esercitata dal calciatore mette in movimento il pallone; la forza esercitata dal pugile deforma il punching bag.

Se, per qualche strano motivo, qualcuno avesse inchiodato il pallone al suolo, l’effetto del nostro calcio sarebbe diverso: invece che schizzare via il pallone si deformerebbe. In realtà questo è vero non solo per il pallone ma per qualsiasi oggetto solido, anche per un sasso: l’unica differenza è che in questo caso l’entità della deformazione sarebbe talmente piccola che non riusciremmo a determinarla (figura 2).

Figura 3. Un dinamometro è una molla il cui allungamento è tarato.

Una forza che agisce su un corpo vincolato ne modifica la forma.

Misurare una forza Lo scienziato inglese Robert Hooke, vissuto nel XVII secolo, studiò a lungo le proprietà della materia sottoposta a forze, e in particolare studiò le deformazioni delle molle. Si accorse che, se non tiriamo troppo, una molla si allunga in misura direttamente proporzionale alla forza applicata. Così una forza doppia rispetto a un’altra provoca un allungamento o un accorciamento doppio rispetto al primo. Da questa semplice ma importante regola deriva la possibilità di usare una molla non solo per individuare la presenza di una forza, ma anche per misurarne l’intensità (figura 3). Lo strumento per misurare l’intensità di una forza è il dinamometro, una molla il cui allungamento è tarato attraverso una scala. Facciamo ora due osservazioni circa l’uso del dinamometro per la misura delle forze. s Con il dinamometro noi in realtà misuriamo una lunghezza (la deformazione), la quale è legata alla forza (la sua causa) da una regola non fondamentale, ma valida solo entro i limiti di elasticità di un oggetto materiale. Se tiriamo troppo, infatti, la molla potrebbe deformarsi irreversibilmente.

181

7 Figura 4. La lunghezza della molla a riposo corrisponde a una forza applicata nulla; una massa di 102 g appesa provoca una deformazione che corrisponde a una forza di 1 N; una massa doppia corrisponde a una forza e a una deformazione doppia, e così via.

LE FORZE

s Per tarare un dinamometro dobbiamo scegliere un’unità di misura, cioè una forza campione che, applicata alla molla, provochi la deformazionecampione alla quale rapportare tutte le altre. Per farlo utilizziamo la forza-peso, che attira gli oggetti verso il centro della Terra e che sappiamo essere direttamente proporzionale alla loro massa. Prendiamo dunque una massa nota, la applichiamo a una molla vincolata con asse verticale e misuriamo l’entità della deformazione della molla. Diamo una definizione provvisoria di forza utilizzando come forza campione il peso di una massa di 102 g, posto pari a 1 N (un newton). Misuriamo l’allungamento che provoca quando la massa è applicata a una molla verticale vincolata e assegniamo a tale valore la prima tacca del dinamometro: l’allungamento provocato da una massa doppia corrisponderà alla tacca 2 N e così via, perché forze e deformazioni sono direttamente proporzionali (figura 4).

0N

L’unità di misura della forza è il newton (N), equivalente all’intensità della forza-peso che, sulla Terra, agisce su un corpo di massa pari a 102 g.

1N

102 g 2N

2 204 g

LE FORZE SONO VETTORI

Le forze sono grandezze fisiche vettoriali. Esse infatti: s s s s

hanno un’intensità, che si misura in newton; hanno una direzione, che è la retta di azione; hanno un verso, equivalente allo spingere o al tirare; si sommano con le regole della somma vettoriale.

A ogni forza si può dunque associare una freccia: il punto di applicazione corrisponde al punto nel quale la forza agisce (figura 5). verso della forza Figura 5. a. Rappresentazione vettoriale di una forza. b. Forza applicata alla cassa mentre la tiriamo e forza applicata alla cassa mentre la spingiamo.

a

punto di applicazione della forza

→

F

direzione della forza intensità della forza

b →

F

→

F

Per verificare che le forze si sommano effettivamente come grandezze vettoriali controlliamo di poter usare la regola del parallelogramma (equivalente al metodo punta-coda, ma in questo caso più facile da visualizzare) con un semplice esperimento.

182

LE FORZE

7

Prendiamo due dinamometri e posizioniamoli in orizzontale, lungo una retta e in versi opposti. Vincoliamo un loro estremo al piano d’appoggio e colleghiamo l’altro estremo con un comune anello. Osserviamo che quando l’anello è fermo i due dinamometri indicano lo stesso valore: le due forze sono dunque uguali e opposte. La rappresentazione vettoriale è pertanto appropriata per descrivere la situazione: la forza risultante dalla somma vettoriale è zero (figura 6).

2N

Figura 6. L’anello non si muove, e le forze lungo la stessa direzione sono di uguale intensità ma di verso opposto, cioè la loro somma vettoriale è zero.

2N →

→

F1

F2 →

→

F1 ⫽ ⫺ F2

Aggiungiamo un terzo dinamometro allo stesso anello, vincolando anch’esso al piano d’appoggio. Se le forze sono grandezze vettoriali, quando l’anello è fermo, cioè quando le tre forze applicate si annullano complessivamente, la configurazione deve essere tale da riprodurre la regola del parallelogramma. In altre parole, una delle tre forze deve essere uguale e opposta a quella risultante dalla somma vettoriale delle altre due (figura 7). L’esperimento è di semplice esecuzione e conferma la seguente conclusione:

→

Figura 7. La forza F3 → è uguale → e opposta alla forza F1 ⫹ F2, ricavata con la regola del parallelogramma.

1N

90° 1,4 N

1N

→

→

→

F1

→

F1 ⫹ F2

Le forze hanno un’intensità, una direzione e un verso e si sommano come vettori: sono pertanto grandezze fisiche vettoriali.

F3 →

F2

→

→

→

F1 ⫹ F2 ⫽ ⫺ F3

ESEMPIO →

¢ Come si disegna il vettore che rappresenta la forza F3 capace di → → azzerare la somma vettoriale di F2 ed F1? →

F1

→

F2

SOLUZIONE Se con gli spostamenti è comodo usare il metodo puntacoda, con le forze è più semplice visualizzare la situazione con la regola del parallelogramma, in cui le forze hanno lo stesso punto di applicazione. Dal punto di vista matematico le due rappresentazioni sono equivalenti, per cui possiamo usare l’una o l’altra indifferentemente.

183

7

LE FORZE →

→

Mihail Jershov / Shutterstock

Con la regola dal parallelogramma la→somma vettoriale tra F1 ed F2 si oppone al vettore uguale e opposto F3, come si vede nel disegno: →

→

→

F1

F1 ⫹ F2

→

Figura 8. Prova a immaginare quanti vettori occorrono per rappresentare le forze presenti in una ragnatela.

F3

→

F2

DOMANDA Per la somma di forze vale la proprietà associativa? Verifica che F1 è uguale e opposta alla forza F2 ⫹ F3.

3 IN LABORATORIO Il comportamento elastico di una molla š Video (6 minuti) š Test (3 domande)

LA LEGGE DI HOOKE

L’uso del dinamometro per misurare l’intensità di una forza si basa sulla proporzionalità tra forze e deformazioni, che si esprime matematicamente con la relazione nota come legge di Hooke: F ⫽ k ∆x dove ∆x è la variazione xf ⫺ x0 tra la lunghezza finale della molla deformata dalla forza (xf ) e la lunghezza della molla a riposo (x0 ). La costante di proporzionalità k, detta costante elastica, dipende dalla molla: quanto più essa è rigida, tanto più k ha un valore elevato. Una molla più facile da deformare avrà, viceversa, una costante elastica di valore minore. L’unità di misura della costante di proporzionalità tra forze e deformazioni elastiche, detta costante elastica k, è il newton su metro (N/m). Una molla che ha una costante k pari a 1 N/m si allunga di un metro se sollecitata da una forza di un newton; se k è pari a 2 N/m per lo stesso allungamento sono necessari due newton (figura 9).

Figura 9. A parità di forza applicata, a una deformazione maggiore corrisponde una costante elastica k minore.

k1

k2

0 ⌬x2

⌬x 1 k1 ⬎ k2

102 g 102 g

184

LE FORZE

7

ESEMPIO ¢ Quanto vale la costante elastica di una molla che si allunga di 1,0 cm se sollecitata da una forza di 10 N? SOLUZIONE La relazione che esprime la costante elastica si trova invertendo rispetto a k la formula F ⫽ k ∆x cioè

k?

F ∆x

L’allungamento in metri è ∆x ⫽ 1,0 cm ⫽ 1,0 ⫻ 10–2 m per cui k=

10 N = 1, 0 × 10 3 N/m = 1, 0 kN/m −2 1, 0 × 10 m

DOMANDA Quanto deve valere l’intensità della forza per provocare in tale molla un allungamento di 1,5 cm?

ESEMPIO ¢ Di quanto si allungano due molle con costanti elastiche k1 ⫽ 50 N/m e k2 ⫽ 10 N/m se ad esse viene applicata la stessa forza, pari a 2,5 N? SOLUZIONE Invertiamo la formula della proporzionalità tra forza e deformazione: F ⫽ k ∆x Risolvendo rispetto a ∆x: ∆x ?

F k

per cui ∆x1 =

2, 5 N F = = 5, 0 × 10−2 m = 5, 0 cm 50 N/m k1

∆x2 =

2, 5 N F = 2, 5 × 10−1 m = 2, 5 cm = k2 10 N/m

DOMANDA Se con queste due molle si costruiscono due dinamometri, quale di essi ha una sensibilità maggiore?

185

7

Rob Wilson / Shutterstock

Figura 10. Nel progettare la struttura di un ponte un ingegnere deve tener conto delle caratteristiche elastiche dei materiali.

LE FORZE

La forza elastica Una molla a riposo ha una sua lunghezza caratteristica. Quando viene deformata da una forza esterna, la molla esercita una forza di richiamo, definita forza elastica, che tende a riportarla alla lunghezza a riposo. In altre parole, la forza elastica si oppone alla deformazione e permette alla molla di recuperare la forma originaria. La forza deformante e la forza elastica sono uguali e opposte, quindi la forza elastica è anch’essa direttamente proporzionale alla deformazione alla quale si contrappone.

La legge di Hooke in forma vettoriale Tenendo conto del fatto che sia le forze sia le deformazioni (spostamenti) sono grandezze vettoriali, la legge di Hooke si esprime con la formula: →

F ⫽ ⫺k ∆xÀ

(7.1)

dove il segno meno dipende dal fatto che la forza elastica si oppone sempre alla deformazione, in quanto tende a far recuperare la forma originaria all’oggetto deformato. Se la deformazione è un allungamento (per esempio ∆xÀ ⬎ 0) la forza tira nel verso opposto per accorciare la molla; se è un accorciamento (quindi ∆xÀ ⬍ 0) la forza spinge per recuperare l’estensione (figura 11).

Figura 11. La forza elastica si oppone sempre alla deformazione.

⌬x

forza elastica

trazione

⌬x

compressione

forza elastica

La forza elastica F esercitata da una molla deformata è direttamente proporzionale alla sua deformazione ∆x e di verso opposto.

186

7

LE FORZE

LE FORZE INTORNO A NOI: IL PESO

Il peso è una forza in grado di deformare una molla con asse verticale. Si misura in newton, anche se nel linguaggio comune siamo abituati a esprimerci in kilogrammi, cioè con l’unità di misura della massa. La confusione è giustificata perché massa e peso sono grandezze direttamente proporzionali, per cui l’entità dell’una è legata direttamente all’entità dell’altra. La contaminazione tra massa e peso (figure 12-13) si riscontra anche a livello degli strumenti di misura: siamo abituati a chiamare «bilancia» qualcosa che propriamente bilancia non è. Una «pesapersone», infatti, è piuttosto un dinamometro: il nostro peso deforma una molla, e il valore che è riportato sulla scala in kilogrammi non è che il risultato della conversione da deformazione a forza-peso e infine a massa. Il nostro peso, che è direttamente proporzionale alla nostra massa, deforma la molla della pesapersone in misura, ancora una volta, direttamente proporzionale (figura 14).

Figura 12. Un astronauta in orbita intorno alla Terra ha massa ma è privo di peso, perché la forza centrifuga bilancia l’attrazione terrestre.

NASA

4

forza peso

Bodrov Kirill Alexandrovich / Shutterstock

Figura 13. La molla si deforma perché la massa del gatto viene attratta verso il centro della Terra da una forza. Figura 14. Una pesapersone è un dinamometro costituito da una molla che si deforma per compressione anziché per allungamento.

Analizziamo che cosa accade quando saliamo su una pesapersone. La forza-peso Fp è direttamente proporzionale alla nostra massa m attraverso la costante g, l’accelerazione di gravità: →

Fp ⫽ mgÀ"

(7.2)

La stessa forza-peso provoca nella molla una deformazione ∆xÀ che dipende dalla costante di elasticità k. →

Fp ⫽ ⫺k ∆xÀ Dal confronto tra le due si ha: mgÀ ⫽ ⫺k ∆xÀ Quindi, in ultima analisi, anche la massa è direttamente proporzionale alla deformazione della molla, per cui possiamo utilizzare la pesapersone per trovare la nostra massa.

187

7

LE FORZE

Tuttavia in un corso di fisica bisogna essere più precisi e usare i termini correttamente: diremo quindi che una mela di massa 102 g ha un peso di 1 N e non che la mela «pesa 102 g». Da tale definizione di newton ricaviamo il valore di g con queste unità di misura: g?

Fp

?

m

1N ? 9, 8 N/kg 0, 102 kg

g ⫽ 9,8 N/kg

ESEMPIO ¢ Un libro viene attaccato alla molla di un dinamometro e l’indice segna 4,0 N. Qual è la massa del libro? SOLUZIONE Per ricavare l’espressione per la massa bisogna invertire la formula (7.2), considerando solo i moduli e risolvendo rispetto a m:

4N

Fp ⫽ mg m?

Fp g

?

4, 0 N ? 0, 41 kg 9, 8 N/kg

DOMANDA Un ragazzo sale su una pesapersone e l’indice segna 58,6 kg. Qual è il peso del ragazzo? Tabella 1. Accelerazioni di gravità in altri pianeti del Sistema Solare.

ALCUNI CORPI DEL SISTEMA SOLARE

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (N/kg)

Mercurio

3,7

Venere

8,8

Luna

1,6

Marte

3,7

Giove

25

Saturno

9,0

Urano

7,7

Nettuno

11

188

Il peso non è una caratteristica dei corpi Il valore dell’accelerazione di gravità varia leggermente da un luogo all’altro del pianeta, come vedremo nel capitolo 12, ma cambia molto da un pianeta a un altro (tabella 1). Sulla Luna, per esempio, il suo valore è gL ⫽ 1,63 N/kg cioè circa 1/6 del valore terrestre, per cui sulla Luna il nostro peso sarebbe circa 1/6 del peso terrestre. Da questo si deduce che il peso, a differenza della massa, non è una caratteristica dei corpi ma dipende dal fatto che essi siano più o meno vicini a un corpo celeste, cioè a una stella, a un pianeta o a un satellite.

LE FORZE

7

ESEMPIO ¢ Un ragazzo ha una massa di 55 kg. Quanto vale il rapporto tra il suo peso su Marte e il suo peso sulla Terra? SOLUZIONE Su Marte gM ⫽ 3,72 N/kg, per cui: FpM ⫽ mgM ⫽ 55 kg ⫻ 3,72 N/kg ⫽ 205 N Sulla Terra g ⫽ 9,8 N/kg: Fp ⫽ mg ⫽ 55 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 539 N FpM 205 N ? ? 0, 38 Fp 539 N Il peso su Marte è il 38% del peso sulla Terra. DOMANDA Se il ragazzo usasse su Marte una pesapersone tarata sulla Terra, quale valore in kilogrammi leggerebbe sul quadrante? Commenta in 5 righe il risultato.

5

LE FORZE INTORNO A NOI: L'ATTRITO

Immaginiamo di voler spostare una grossa cassa, poggiata sul pavimento, tirando una molla ad essa attaccata. La prima cosa che accade è che la molla si deforma, anche se la cassa è ancora ferma: rileviamo cioè una forza che si oppone al movimento vincolando la cassa. Se però continuiamo ad aumentare l’intensità della forza a un certo punto la cassa inizia a scivolare ma, anche durante il movimento, la molla non è nella sua posizione di riposo e questo indica che c’è ancora una forza applicata: rileviamo in questo caso una forza che si oppone al movimento costringendoci a tirare per mantenerlo. Se smettiamo di tirare, la molla recupera la sua lunghezza originaria ma la cassa si ferma (figura 15).

→

V

→

V⫽ 0

SIMULAZIONE Forze e moto (PhET, University of Colorado)

Figura 15. Una molla deformata rileva la presenza di una forza sia quando la cassa è ferma sia quando la cassa si muove.

→

V⫽ 0

Le forze incontrate, in fisica, prendono il nome generico di attrito. Esso è dovuto al contatto tra due superfici, in questo caso la base della cassa e il pavimento, e si oppone allo strisciamento dell’una sull’altra. L’attrito è una forza che si esercita nel contatto tra due superfici e si oppone al moto relativo dell’una rispetto all’altra.

189

7

LE FORZE

Come abbiamo visto, l’attrito è presente sia quando la cassa non si muove sia quando si muove. Ogni caso va studiato separatamente e a ciascuno corrisponde un nome diverso: s attrito statico radente quando le due superfici stanno ferme l’una rispetto all’altra; s attrito dinamico radente quando le due superfici si muovono l’una rispetto all’altra. Il verso delle forze di attrito è sempre opposto al verso del moto.

L’attrito statico radente

Figura 16. a. Mentre tiriamo per mettere in movimento una cassa l’attrito statico si oppone istante per istante come una forza uguale e opposta. b. A un certo punto la forza di attrito statico non riesce più a eguagliare la forza agente sulla cassa ed essa inizia a strisciare sul pavimento.

Quando cerchiamo di mettere in movimento un oggetto fermo, l’attrito statico ce lo impedisce. Esso si sviluppa tra le superfici di contatto e parallelamente a esse (da cui l’attributo «radente»), come forza uguale e opposta, istante per istante, alla forza applicata: questo significa che, mentre tiriamo, l’attrito statico agisce dall’altra parte in egual misura (figura 16a). A un certo punto, però, la nostra forza raggiunge un valore oltre il quale l’attrito statico non è più in grado di andare, e la cassa inizia improvvisamente a muoversi (figura 16b). →

→

Fs1

attrito statico

attrito statico

→

Fsm

v

→

v⫽ 0

v⫽ 0 b

a

Da quel punto in poi l’attrito cessa di essere «statico» (cioè riferito alla quiete) e diventa «dinamico» (figura 17). →

Fsm

O

190

→

→

attrito statico massimo

→

v⫽ 0

Figura 17. La forza di attrito statico radente Fs aumenta da zero a un valore massimo mentre tiriamo un oggetto con una forza F. La pendenza della retta è il coefficiente di attrito statico radente e dipende dalle superfici di contatto. Figura 18. a. La forza di attrito statico radente dipende dalla forza che preme sulla superficie e dal tipo di superfici in contatto, che aderiscono tra loro e si oppongono allo strisciamento. b. Una forza premente doppia implica una forza massima di attrito statico radente doppia. c. Oltre che dal tipo di materiali, la forza massima di attrito statico radente dipende da quanto sono levigate le superfici.

Fs2

attrito statico massimo

forza applicata (N)

L’attrito statico radente aumenta insieme alla forza applicata, da zero fino a un valore massimo Fsm, che dipende dalla forza che preme e tiene in contatto le due superfici e dalle superfici stesse (figura 18).

→

→

Fsm

a

forza premente

→

Fsm

b

forza premente

Fsm

c

forza premente

7

LE FORZE

Sappiamo bene che è necessaria una forza intensa per mettere in movimento una cassa molto pesante, in particolare se il pavimento non è levigato. In formula quanto detto si esprime così: Fsm ⫽ µs F⊥

(7.3)

dove s Fsm è la forza massima di attrito statico radente, oltre la quale il corpo si mette in movimento; s µs è un numero che dipende dal tipo di superfici, detto coefficiente di attrito statico radente; s F⊥ è la forza perpendicolare alle superfici, che preme tenendole in contatto e che, nel caso di superfici piane e orizzontali, è la forza-peso.

ESEMPIO ¢ Qual è l’intensità della forza con cui bisogna tirare una cassa di legno su un pavimento di legno per metterla in movimento, se la sua massa è 40 kg? Il coefficiente di attrito fra legno e legno è 0,5 (vedi tabella 2 a p. seguente) SOLUZIONE La forza massima che l’attrito statico radente riesce a opporre al movimento della cassa è data dalla formula (7.3), dove: µs ⫽ 0,50 F⊥ ⫽ mg ⫽ 40 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 392 N Perciò: Fsm ⫽ µs F⊥ ⫽ 0,50 ⫻ 392 N ⫽ 196 N DOMANDA Quanto varrebbe la forza massima di attrito statico se alla cassa se ne sovrapponesse un’altra di uguale massa?

L’attrito dinamico radente

Figura 19. Andamento delle forze di attrito: quando la forza applicata è inferiore a Fsm il corpo non si muove e l’attrito aumenta proporzionalmente ad essa; per valori immediatamente superiori il corpo si mette in movimento e l’attrito diventa costante.

Non appena la forza che tira supera la forza massima di attrito statico, la cassa si mette in movimento e immediatamente la molla si accorcia, pur rimanendo deformata. Questo significa che per far muovere la cassa ferma è necessaria una forza maggiore di → Fsm quanta ne occorra per mantenerla in movimento. In- → fatti mentre la cassa striscia sul pavimento la forza di Fd attrito che si oppone al moto è più piccola dell’attrito statico massimo che un istante prima la teneva bloccata. In altri termini, l’attrito dinamico radente è inferiore all’attrito statico radente massimo. Inoltre si riscontra che, mentre la cassa si muove lungo il pavimento, il valore dell’attrito dinamico è pressoché attrito attrito O statico dinamico costante (figura 19).

forza applicata (N)

191

7

LE FORZE

Anche l’attrito dinamico radente dipende dalla forza che spinge perpendicolarmente alle superfici in contatto e dalle caratteristiche delle superfici stesse. In formula: Fd ⫽ µd F⊥

(7.4)

dove s Fd è la forza di attrito dinamico radente, pressoché costante durante il movimento; s µd è un numero che dipende dal tipo di superfici, detto coefficiente di attrito dinamico radente; s F⊥ è la forza perpendicolare alle superfici e che preme tenendole in contatto. Per quanto osservato prima, il coefficiente di attrito dinamico è inferiore al coefficiente di attrito statico. La tabella 2 riporta i coefficienti di attrito di alcuni materiali. µs

µd

Legno - legno

0,50

0,30

Acciaio - acciaio

0,75

0,50

Acciaio - alluminio

0,61

0,47

Acciaio - ghiaccio

0,027

0,014

Vetro - vetro

0,9-1,0

0,4

SUPERFICI Tabella 2. Alcuni esempi di coefficienti di attrito statico e dinamico.

ESEMPIO ¢ Qual è la forza minima necessaria per mantenere in movimento la cassa dell’esempio precedente? SOLUZIONE La forza minima per mantenere in movimento la cassa è data dalla formula (7.4), dove: µd ⫽ 0,30 (vedi tabella 2) F⊥ ⫽ mg ⫽ 40 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 392 N Quindi: Fd ⫽ µd F⊥ ⫽ 0,30 ⫻ 392 N ⫽ 118 N DOMANDA Quale sarebbe la forza minima per mantenerla in movimento se la cassa fosse posta su una slitta d’acciaio che scorre sul ghiaccio?

192

7

LE FORZE

Il rotolamento Un corpo rotola quando procede su una superficie senza strisciare su di essa, ma rimanendo in contatto con essa in un unico punto, diverso istante per istante. Dato che le superfici non strisciano, cioè non c’è movimento relativo tra esse, l’attrito è di tipo statico: in un moto di puro rotolamento le superfici sono entrambe ferme rispetto al punto di contatto. In questo caso non c’è una forza che rallenta un movimento, ma solo una forza che impedisce alle superfici di strisciare: se gli oggetti rotolassero davvero in questo modo, poiché non c’è strisciamento, non si fermerebbero mai. Tuttavia, anche se è vero che è meno faticoso spostare gli oggetti usando carrelli dotati di ruote piuttosto che facendoli strisciare sul pavimento, anche le ruote lasciate a loro stesse prima o poi si fermano. Nel rotolamento reale c’è infatti un attrito di tipo dinamico, che dipende in ultima analisi dalle deformazioni delle superfici, per cui il contatto non avviene mai in un solo punto (figura 20) e si verificano fenomeni di strisciamento. L’attrito in questo caso è detto attrito volvente e ha formula: Fv =

µv F⊥ R

O

attrito statico punto per punto

O

situazione reale Figura 20. Se un corpo rotola senza strisciare le superfici si toccano in un punto, diverso istante per istante, rispetto al quale sono entrambe ferme. Nella realtà la superficie di contatto è più estesa e avvengono fenomeni di strisciamento.

(7.5)

dove, oltre al coefficiente di attrito volvente µv, compare il raggio della ruota al denominatore: l’attrito volvente è minore quanto più è ampio il raggio della ruota.

L’attrito viscoso Oltre allo sfregamento tra superfici solide, anche quello con le molecole dei fluidi (liquidi e aeriformi) si oppone al movimento. Ne deriva una forza detta attrito viscoso, molto più complicata da trattare rispetto alle altre in quanto i fluidi non si lasciano facilmente descrivere con equazioni matematiche semplici.

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Figura 21. Quando si vuole ridurre l'attrito viscoso gli oggetti vengono sagomati con un profilo che offre poca resistenza al fluido nel quale si muovono.

L’attrito viscoso dipende da quanto velocemente il corpo si muove rispetto al fluido e, per basse velocità relative, la formula vettoriale è: →

Fa ⫽ ⫺βvÀ

(7.6)

193

7

LE FORZE

dove s Fa è la forza di attrito viscoso che rallenta i corpi in movimento in un mezzo fluido; s β è un coefficiente che dipende dalla viscosità del fluido, dal volume e dalla forma del corpo; s v è la velocità del corpo rispetto al fluido. In tabella 3 sono riassunte le caratteristiche dei diversi tipi di attrito. DEFINIZIONE

DESCRIZIONE

FORZA

COEFFICIENTE

FORMULA

statico

impedisce il movimento di corpo appoggiato su una superficie

dipende dalla forza che preme sulla superficie

dipende dal tipo di superficie

Fsm ⫽ µs F⊥

dinamico

tende a frenare un corpo che striscia su una superficie

dipende dalla forza che preme sulla superficie

dipende dal tipo di superficie

Fd ⫽ µd F⊥

fa rotolare le ruote

dipende dalla forza che preme sulla superficie e dal raggio della ruota

dipende dal tipo di superficie

Fv =

rallenta i corpi in movimento in un fluido

dipende dalla velocità del corpo rispetto al fluido

dipende dalla viscosità del fluido e da volume e forma del corpo

Fa ⫽ ⫺βv

Tabella 3. Schema dei vari tipi di attrito.

volvente

viscoso

6

µv R

F⊥

FORZE E ROTAZIONI: IL MOMENTO DI UNA FORZA

Per descrivere un moto circolare abbiamo introdotto alcune grandezze angolari, legate alle rispettive grandezze tangenziali per mezzo del raggio di curvatura. Anche le forze, quando ci sono di mezzo delle rotazioni, richiedono rappresentazioni particolari. Vediamo infatti che, in presenza di una rotazione, intensità, direzione e verso di una forza non sono grandezze esaurienti: nessuno penserebbe di poter aprire una porta spingendo sul perno della maniglia; infatti, a parità di forza applicata, l’effetto è tanto maggiore quanto più la spinta è lontana dal centro di rotazione (figura 22). →

Figura 22. Gli effetti di una spinta sono maggiori quando la forza è applicata più lontano dal centro di rotazione.

194

→

F

F O

O

LE FORZE

7

Nelle rotazioni diventa dunque importante il punto di applicazione della forza e in particolare la sua distanza dal centro di rotazione. In questi casi, piuttosto che di forza, si preferisce parlare di momento della forza (M), la cui intensità è data proprio dal prodotto dell’intensità della forza per la distanza del punto di applicazione dal centro di rotazione. Tale distanza a volte è detta braccio ed è indicata con la lettera b, per cui si ha: (7.7)

M ⫽ Fb

Quando abbassiamo una maniglia spingendo vicino al perno dobbiamo usare una forza molto intensa, perché il braccio è corto e il momento è piccolo. Se invece ci spostiamo dal centro di rotazione e aumentiamo il braccio aumenta anche il momento, e ci basta una forza inferiore per avere lo stesso effetto. Lo stesso momento si può ottenere con una piccola forza e un braccio lungo o con una grande forza e un braccio più corto (figura 23). →

→

F1 b1 ⫽ F2 b2 →

Figura 23. Una forza intensa con un piccolo braccio ha gli stessi effetti di una forza meno intensa con un braccio più lungo.

→

F1

F2 O b1

b2

Definizione rigorosa del momento di una forza Il momento di una forza è una grandezza vettoriale che ha una definizione matematica generale poco intuitiva. →

→

→

M⫽r ×F

(7.8)

Il momento di una forza M è dato dal prodotto vettoriale tra la forza F e il vettore r, posizione del suo punto di applicazione rispetto a un punto O scelto come polo del momento. →

Si tratta dunque di un vettore perpendicolare al piano individuato da r ed → F, il cui verso è dato dalla regola della mano destra (vedi capitolo 5, figura 16), e il cui modulo M è pari all’area del parallelogramma costruito sui due vettori, → ovvero pari a: → M F

M ⫽ rF sinθ →

dove θ è l’angolo compreso tra F ed r (figura 24).

␪ O

→

F

Figura 24. Il momento di una forza è un vettore perpendicolare alla forza stessa.

→

r

Il braccio In generale si chiama braccio la distanza tra il polo O e la retta di applicazione della forza F, cioè la componente del vettore r ad essa perpendicolare: b ⫽ r sinθ

195

7

LE FORZE →

→

Il momento è nullo quando F ed r sono paralleli e massimo quando sono perpendicolari: l’esperienza ci insegna che, se vogliamo ruotare una maniglia usando una piccola forza, dobbiamo applicarla non solo lontano dal perno, ma anche in direzione perpendicolare alla maniglia stessa. D’altro canto, se spingiamo in direzione parallela non otteniamo alcun effetto (figura 25). Figura 25. → a. La componente di → r perpendicolare a F è detta «braccio». b. Se la forza è perpendicolare → a r il momento è massimo. → c. Se la forza è parallela a r il momento è nullo.

→

r

→

r

␪ ⫽ 90°

␪ ⫽ 0°

90°

→

r

␪ →

a

→

→

F

F

b

F

c

Coppia di forze Molto spesso, parlando di rotazioni, si sente anche parlare di «coppia»: nelle riviste specializzate di motori, per esempio, questo termine si utilizza quando ci si riferisce alla «forza» che l’albero motore esercita sugli organi a esso collegati. La coppia, detta anche momento torcente, non è altro che il momento della forza, nel caso in cui la forza sia applicata perpendicolarmente all’asse di rotazione, come quando svitiamo un bullone con una chiave inglese (figura 26). →

F

Mark Herreid / Shutterstock

Figura 26. Spingendo su un’estremità della chiave inglese applichiamo un momento torcente parallelo all’asse di rotazione e perpendicolare alla forza e al braccio.

forza

momento torcente

braccio

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b b Zhukov Oleg / Shutterstock

Figura 27. Due forze che agiscono su rette parallele con verso opposto sono dette «coppia di forze» e la distanza fra le rette è detta «braccio» della coppia.

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L’espressione «momento torcente» non ha bisogno di spiegazioni, ma vale la pena chiarire perché si usa anche il termine «coppia». Quando usiamo una chiave inglese applichiamo una forza a una certa distanza dal bullone, centro della rotazione, ma in realtà c’è anche un’altra forza uguale e opposta alla nostra: il bullone è vincolato nella sua sede, e se così non fosse la nostra spinta provocherebbe uno spostamento del suo baricentro. Siamo dunque in presenza di due forze, una coppia appunto, che agiscono su rette parallele e in versi opposti: la loro distanza è il braccio, in questo caso la lunghezza della chiave (figura 27).

LE FORZE

7

Il legame tra coppie e rotazioni è ancora più evidente quando analizziamo il caso della rotazione di un volante. Afferriamo il volante con due mani e agiamo con l’una in verso opposto all’altra: applichiamo dunque una coppia di forze il cui braccio è il diametro del volante. Il momento di una coppia è perpendicolare al piano che contiene le forze e il braccio, e il suo modulo è dato dall’espressione: M ⫽ Fb

(7.9)

dove s F è il modulo delle due forze; s b è la distanza tra le loro rette d’azione, detta braccio. Se le forze sono uguali e opposte, il braccio è nullo e non avvengono rotazioni (figura 28).

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Figura 28. Due forze uguali e opposte costituiscono una coppia a braccio nullo e non avviene alcuna rotazione.

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FORZE E FLUIDI: LA PRESSIONE

Figura 29. Aria e acqua esercitano delle forze sulle vele e sullo scafo della barca. L’acqua preme sui corpi immersi.

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Anche i fluidi, cioè il liquidi e gli aeriformi, sono in grado di esercitare forze. È l’aria che spinge sulla vela e fa avanzare la barca, ed è l’acqua che con le sue onde la percuote facendola oscillare. Il corpo di un sub, immerso nelle profondità marine, è schiacciato tutto intorno dall’acqua che lo circonda: la sensazione dolorosa che si avverte nelle orecchie è una misura di quanto l’acqua preme sui timpani (figura 29).

Per studiare questo tipo di situazione accanto al concetto di forza si introduce quello di pressione, definita come la forza per unità di superficie; essa è valida anche per i corpi solidi, ma è particolarmente utile per i fluidi che non hanno forma propria.

197

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LE FORZE

La pressione è il rapporto fra la forza che preme su una superficie e l’area della superficie stessa: F p= (7.10) S

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s A parità di forza la pressione è maggiore se la superficie è minore: sappiamo benissimo che per far male a qualcuno con uno spillo è sufficiente una forza debolissima. La punta dello spillo ha una superficie molto piccola, ed è quindi sufficiente una forza minima per avere una pressione elevata. La forza ha una debole intensità, ma è «concentrata» in uno spazio molto piccolo (figura 30). s A parità di forza la pressione è minore se la superficie è maggiore: camminare sulla neve con le racchette ci consente di non affondare. La pressione è bassa perché la superficie è ampia; la nostra forza-peso è «distribuita» su una superficie maggiore di quella dei nostri piedi (figura 30).

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Figura 30. La punta di uno spillo è una superficie piccolissima e basta premere con una forza debole per ottenere una pressione molto elevata. Per ridurre la pressione e non affondare nella neve possiamo distribuire il nostro peso su una superficie ampia.

L’unità di misura della pressione è il pascal (Pa). Una pressione di 1 Pa è equivalente a una forza di 1 N che preme su una superficie di 1 m2. Un pascal è una pressione molto piccola: basti pensare che equivale alla forza-peso di una massa di 102 g distribuita su una superficie di 1 m2 (figura 31).

Figura 31. Una mela di massa 102 g poggiata su una superficie di 1 m2 esercita una pressione di 1 Pa.

ESEMPIO ¢ Quanto vale la pressione che esercita il peso di un uomo di 70 kg su una racchetta da neve di area pari a 0,10 m2? SOLUZIONE La forza-peso dell’uomo è: Fp ⫽ mg ⫽ 70 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 69 ⫻ 102 N ⫽ 0,69 kN e la pressione esercitata sulla racchetta: p=

Fp S

=

69 N = 6, 9 × 10 3 Pa = 6, 9 kPa 2 0, 10 m

DOMANDA Quanto vale la pressione se a parità di forza-peso la superficie di appoggio si riduce a 1/10?

198

LE FORZE

7

ESEMPIO ¢ Una cassa esercita sulla sua base, di area pari a 0,80 m2, una pressione di 1,90 ⫻ 103 Pa. Qual è la sua massa? SOLUZIONE La forza-peso della cassa si ricava invertendo la formula (7.10):

Fp ⫽ p ⋅ S ⫽ (1,90 ⫻ 103 Pa) ⫻ (0,80 m2) ⫽ 1,5 ⫻ 103 N ⫽ 1,5 kN Dalla formula (7.2) si ricava, infine, la massa: m=

Fp g

=

1, 52 × 10 3 N = 0, 16 × 10 3 kg 9, 8 N/kg

DOMANDA Perché, se teniamo in una mano cento grammi di piombo e nell’altra cento grammi di polistirolo, ci sembra che il piombo sia più pesante del polistirolo? Spiegalo in 10 righe utilizzando i concetti di pressione e densità.

Il principio di Pascal L’unità di misura della pressione è il pascal, dal nome del filosofo, matematico e scienziato francese Blaise Pascal vissuto nel XVII secolo. Egli, tra le altre cose, studiò il comportamento dei fluidi e si accorse che, se trascuriamo gli attriti, quando si esercita una pressione su un liquido chiuso in un recipiente, essa si trasmette inalterata a tutte le superfici a contatto con esso.

7

6

5

4

3

2

1

Questo fatto è noto come principio di Pascal ed è alla base, per esempio, del funzionamento di una siringa: quando agiamo sul pistone di una siringa in cui vi è un liquido, la pressione esercitata si trasmette all’altra estremità e fa fuoriuscire il suo contenuto (figura 32).

Figura 32. Per il principio di Pascal la pressione è la stessa su tutte le pareti del recipiente, indipendentemente da come sono orientate.

199

7

LE FORZE

La legge di Stevino La pressione della forza-peso in un liquido in quiete è detta pressione idrostatica. Questa dipende dalla quantità di fluido che si trova sopra il punto considerato e dalla sua densità (figura 33) secondo la formula nota come legge di Stevino: pA ⫽ ρghA

(7.11)

dove s pA è la pressione idrostatica nel punto A dovuta al liquido che lo sovrasta; s ρ è la densità del liquido; s g è l’accelerazione di gravità; s hA è l’altezza della colonna di liquido che si trova sopra A.

hA A pA

Questa formula è più semplice di quanto non si pensi. Infatti basta immaginare un recipiente cilindrico e moltiplicare a destra e a sinistra per l’area S della sezione perpendicolare all’asse, per ottenere una formula più familiare:

␳ Figura 33. La pressione idrostatica all’interno di un fluido in quiete dipende dalla densità e dalla profondità.

pA S ⫽ ρghA S forza-peso →

(pAS) ⫽ ρg(hAS) ←

volume del cilindro

Fp ⫽ ρg VA Scambiando l’ordine dei fattori: Fp ⫽ (ρVA)g ↑ massa del liquido nel cilindro

Fp ⫽ mA g Nel caso di un recipiente cilindrico la pressione idrostatica è dunque la forza-peso, punto per punto, del liquido sovrastante per unità di superficie. Il risultato può essere esteso in generale a parziale dimostrazione della legge di Stevino: La pressione idrostatica in un punto di un liquido è tanto maggiore quanto maggiore è la densità del liquido e quanto maggiore è la profondità del punto considerato.

ESEMPIO ¢ Qual è la pressione idrostatica sul fondo di una bottiglia alta 30 cm riempita con acqua? Qual è la pressione sulle pareti laterali della bottiglia? SOLUZIONE I dati che abbiamo a disposizione sono: hA ⫽ 30 cm ⫽ 0,30 m ρacqua ⫽ 1000 kg/m3 g ⫽ 9,8 m/s2

200

h

A

LE FORZE

7

La legge di Stevino fornisce direttamente il risultato: pA ⫽ ρacqua g hA ⫽ 1000 kg/m3 ⫻ 9,8 m/s2 ⫻ 0,30 m ⫽ 2,9 ⫻ 103 Pa Per il principio di Pascal questa pressione è la stessa su tutte le pareti della bottiglia, perciò anche su quelle laterali. DOMANDA Qual è la pressione idrostatica sul fondo di una vasca da bagno dovuta a una quantità di acqua che la riempie fino a un livello di 30 cm?

Un paradosso idrostatico Combinando il principio di Pascal e la legge di Stevino si ottiene un risultato interessante, noto come paradosso idrostatico, anche se in realtà più che paradossale si tratta di un fatto che sfugge al senso comune. Chi penserebbe mai di riuscire a far esplodere una botte con un bicchiere d’acqua? Dopo aver studiato un po’ di fisica saremmo senz’altro pronti a scommettere di poterlo fare. Si tratta di un esperimento noto come «botte di Pascal», in cui si sfrutta il fatto che – per la legge di Stevino – la pressione sul fondo di un recipiente dipende esclusivamente dall’altezza della colonna di liquido che lo sovrasta e non dalla sua quantità. Tale pressione inoltre – secondo il principio di Pascal –, è trasmessa a tutte le pareti del recipiente, per cui basta prendere una botte piena d’acqua con un lungo tubo in cima e riempire quest’ultimo fino a un’altezza tale che la sua pressione riesca a vincere la resistenza massima di cui è capace la botte. Per la legge di Stevino non importa il diametro del tubo ma è importante solo la sua altezza, per cui possiamo prenderlo anche molto sottile e riuscire a far esplodere la botte con un solo bicchiere d’acqua (figura 34).

Figura 34. Non importa il diametro del tubo, ma solo la sua altezza, per modificare la pressione idrostatica all’interno della botte

201

7

LE FORZE

BIOLOGIA Senza peso

Disorientamento Siamo così abituati a fronteggiare costantemente una forza che ci tira verso il basso che ogni nostro movimento nello spazio è influenzato dalla sua presenza. La parte del corpo più sensibile alla presenza di gravità è l’orecchio, dove gli otoliti, piccoli sassolini calcarei, indicano al nostro cervello dove sia l’alto e dove il basso, consentendoci di regolare i nostri movimenti di conseguenza. Questo è uno dei motivi per i quali gli astronauti soffrono, nei primi giorni, di capogiri, nausea, perdita d’appetito, difficoltà di concentrazione.

NASA

Tutti gli abitanti della Terra, siano essi uomini, animali o piante, sono soggetti costantemente all’attrazione terrestre e sono perfettamente adattati per convivere con il loro peso, al punto che quando questo viene a mancare – per esempio in una missione spaziale – emergono diversi problemi. Nonostante l’estrema flessibilità dell’organismo umano nelle condizioni più difficili, all’assenza di peso ci si adatta con grande difficoltà. La mancanza di gravità è uno dei fattori che più influenza la salute fisica e psichica degli astronauti, dalle ossa al cervello. Dal 2000 la Stazione Spaziale Internazionale è abitata stabilmente da almeno due astronauti, che vi stazionano circa sei mesi. Qui vengono svolti esperimenti in assenza di gravità.

Circolazione dei liquidi Altri problemi dell’assenza di gravità riguardano la circolazione del sangue e degli altri liquidi che compongono il nostro corpo. Generalmente siamo abituati alla posizione eretta e tutte le nostre funzioni sono tarate su essa: la pressione dei liquidi, per esempio, è maggiore negli arti inferiori e minore nella testa. In assenza di gravità ciò non è più vero, e la ridistribuzione dei liquidi fa sì che ci sia un maggiore afflusso verso la testa, a scapito delle gambe che si assottigliano. L’organismo, per adattarsi a questa nuova condizione, è costretto a modificare l’attività cardiovascolare.

Il regista Stanley Kubrik, nel film 2001: Odissea nello spazio (1968), ha immaginato una stazione spaziale rotante in cui la gravità è simulata dalla forza centrifuga.

Muscoli e ossa Un’altra importante conseguenza dell’assenza di gravità è l’atrofia muscolare, dovuta alla mancanza dell’esercizio che impone una continua risposta alla presenza di un’attrazione verso il basso: anche il semplice stare in piedi mantiene in attività i nostri muscoli. Ancora più importante, perché potrebbe essere irreversibile, è la riduzione di massa ossea. Le ossa hanno bisogno di stimoli per mantenere la loro forma e densità, e in mancanza dello stimolo gravitazionale tendono a ridursi significativamente.

DOMANDA Come ti aspetti che sia la forma della fiamma di una candela in assenza di gravità? Esegui un disegno e motiva la tua risposta in 10 righe.

202

LE FORZE

7

STORIA DELLA FISICA Robert Hooke

La misura del tempo, che oggi diamo per scontata, è una questione tutt’altro che banale. Essa richiede, come abbiamo già visto, l’utilizzo di un fenomeno periodico (che si ripete identico a se stesso nel tempo). Già Galileo aveva scoperto che, per piccoli angoli di apertura, i pendoli hanno tutti lo stesso periodo indipendentemente dall’ampiezza delle oscillazioni (isocronismo), suggerendo così un fenomeno utile per la misura di brevi intervalli di tempo. Hooke, con i suoi studi sull’elasticità, scoprì inoltre che anche le oscillazioni delle molle sono isocrone, affiancando alla strategia del pendolo una nuova possibilità per la costruzione di orologi.

Gli orologi a molla Il nome di spicco dell’orologeria del XVI secolo è quello dello scienziato olandese Christian Huygens, ma anche i contributi di Hooke hanno avuto un ruolo importantissimo per la realizzazione dei primi orologi a molla e bilanciere. L’idea è quella di abbinare alle oscillazioni di una molla un dispositivo in grado di scandire il loro periodo con regolarità, cioè di trasformare il moto alternato di una molla in un misuratore di secondi. La molla trasferisce il moto a un bilanciere, il quale è collegato a un’ancora che agisce su uno «scappamento», il quale fa ruotare un perno in una sola direzione per mezzo dei suoi particolari «denti». A ogni oscillazione della molla corrisponde in questo modo uno scatto dello scappamento e quindi una rotazione del perno di un angolo costante.

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Misurare il tempo

Le migliorie apportate al microscopio hanno consentito a Hooke di effettuare scoperte importantissime nel Mentre era assistente campo della biologia e della di Robert Boyle, Hooke mineralogia. inventò e costruì una pompa da vuoto con la quale sono stati fatti importanti esperimenti per lo studio della pressione dei gas.

John Eckman

Abbiamo incontrato il nome di Hooke a proposito delle proprietà elastiche dei corpi materiali, ma potremmo ritrovarlo studiando la biologia, la geologia, l’astronomia, l’ottica, l’acustica, l’architettura, la tecnologia... Robert Hooke, eclettico scienziato inglese del XVII secolo, si applicò agli studi più disparati e in ogni campo riuscì a distinguersi per contributi originali e fecondi. Tuttavia spesso il suo nome non spicca tra gli altri, perché non ha sempre sviluppato e approfondito i percorsi intrapresi come invece hanno fatto altri suoi contemporanei o successori.

Monumento al grande incendio di Londra del 1666. Hooke contribuì alla ricostruzione della città affiancando l’architetto Christopher Wren.

Una caratteristica molla a spirale usata in un orologio meccanico.

Il bilanciere spinge l’ancora e questa spinge a sua volta la ruota di scappamento fino a che l’interazione tra i denti non la costringe a fermarsi: mentre la molla oscilla avanti e indietro, la ruota procede «a scatti» nello stesso verso di rotazione.

DOMANDA Su quale fenomeno periodico sono basati gli orologi che si usano oggi? Fai una ricerca.

203

7

LE FORZE

CON GLI OCCHI DI UN FISICO La forza dell’acqua Ruote per muovere l’acqua

Una goccia perfora la pietra con il tempo e la tenacia, la pioggia modifica il profilo dei monti, il mare modella le coste, i fiumi scavano valli: l’acqua si fa strada spingendo e modellando ciò che trova sul suo cammino, esercitando forze su tutto ciò che incontra. Da qui l’idea, molto antica, di utilizzare la forza dell’acqua in aiuto o in sostituzione di quella muscolare, nello svolgimento delle attività umane. Già nel I secolo a.C. il geografo greco Strabone testimoniava l’esistenza di un mulino ad acqua usato per la macinazione dei cereali. Si trattava di un mulino di tipo «orizzontale», cioè in cui la ruota che termina con delle palette e riceve la spinta dall’acqua è orizzontale e mette in rotazione un asse verticale direttamente collegato alla macina. Questo tipo di mulino si adattava bene al carattere torrentizio dei fiumi mediterranei: in mancanza di un flusso costante, l’acqua veniva raccolta in piccoli bacini artificiali e successivamente convogliata e diretta sulle palette del mulino. Inoltre la sua semplicità e l’esigua manutenzione richiesta lo ha fatto sopravvivere a lungo nelle regioni più aride.

Il più antico incontro fra l’acqua e la ruota avvenne probabilmente in Egitto, dove i contadini prelevavano l’acqua per irrigare i campi dal Nilo con catene di secchi montate su ruote azionate da animali (sakiyeh). Le norie, azionate invece direttamente dalla corrente del fiume, sono state inventate probabilmente in Mesopotamia, ma sviluppate dagli ingegneri arabi.

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Gardiner, David “Sakiyeh” For Pumping Water (1906)

Gutta cavat lapidem

Nel mulino orizzontale l’acqua aziona una ruota il cui asse verticale è direttamente collegato alla macina.

PAROLA CHIAVE

Forza

DOMANDA La pressione dell’acqua sulle palette di una ruota idraulica si manifesta come una forza che la fa girare. ¢ Un mulino girerebbe lo stesso se la ruota non avesse le palette? Motiva la risposta in 5 righe.

204

A Hama in Siria si possono ancora ammirare le famose norie, che sin dal II secolo a.C. hanno portato l’acqua del fiume Oronte nella abitazioni della città. Oggi le norie girano a vuoto, non essendo più in funzione il sistema di distribuzione.

PAROLA CHIAVE

Momento di una forza

DOMANDA Quali differenze ci sono tra un mulino con una ruota grande e un mulino con una ruota piccola? Rispondi in 10 righe.

LE FORZE

Ruote mosse dall’acqua

7

La forza dell’acqua oggi La rivoluzione industriale, con le macchine a vapore prima e i motori a combustione interna poi, ha ridotto sempre più l’uso della forza dell’acqua per far muovere le macchine. Tuttavia ancora oggi la si usa moltissimo per mettere in rotazione delle ruote. Le centrali idroelettriche funzionano proprio come mulini, ma al posto degli ingranaggi di un macchinario hanno un generatore di corrente. Le strategie di utilizzo assomigliano molto a quelle degli antichi mulini: le pale delle turbine possono essere azionate da una corrente che fluisce o per caduta. A volte la caduta dell’acqua è dovuta a una cascata naturale, ma spesso si ricorre all’uso di dighe che, sbarrando un fiume, formano un bacino artificiale. Alla base del bacino, dove la pressione è elevata grazie al dislivello che si crea con la superficie libera, sono poste le turbine, che sfruttano così tutta la forza dell’acqua che fuoriesce forzatamente attraverso delle condotte.

LianeM /Shutterstock

Perché non invertire le sakiyeh e utilizzare il movimento dell’acqua per muovere un albero collegato a un macchinario? Vitruvio, nel De Architectura (25 a.C.), descrive mulini con ruota verticale e il loro funzionamento, più adatto a corsi d’acqua con regime regolare. In tali mulini la ruota ha l’asse orizzontale e il moto del suo albero è trasmesso, per mezzo di un opportuno ingranaggio, a un asse verticale collegato alla macina. La spinta dell’acqua può azionare la ruota dal basso per mezzo di palette, o dall’alto per mezzo di cassette: nel primo caso il mulino è immerso parzialmente nella corrente di un fiume, nell’altro è posto sotto un dislivello. I mulini ad acqua verticali sono stati usati in epoca romana, ma hanno avuto un fortissimo sviluppo in epoca medievale, anche come forza motrice per azionare macchine da officina nella lavorazione di pelli e tessuti, dei metalli, del legno. Nel 1086 in Inghilterra c’erano oltre 5000 mulini ad acqua per la macinazione dei cereali, che continuarono a lavorare a pieno ritmo fino a quando, verso la fine del XIX secolo, furono sostituiti da macchine a vapore.

PAROLA CHIAVE

Andrejs Jegorovs / Shutterstock

L’acqua cade e spinge le cassette verso il basso. Anche in questo caso esercita un momento torcente che mette in rotazione il sistema.

Vladislav Gajic / Shutterstock

La creazione di bacini artificiali stravolge il territorio. Dal lago artificiale di Resia, in Val Venosta, spunta ormai soltanto il campanile romanico del paese che occupava la vallata.

L’acqua spinge le palette e mette in rotazione l’albero, esercitando un momento torcente.

Le dighe sono imponenti ma al tempo stesso delicate: soggette a pressioni elevatissime e invasive rispetto alla geologia del territorio che le ospita, richiedono un’estrema attenzione nella progettazione e nella manutenzione.

Pressione

DOMANDA Quanto vale la pressione idrostatica dell’acqua sulla base di un recipiente alto 50 m, come le pareti di una diga? Quella dovuta alla pressione idrostatica è l’unica forza che agisce sulle pareti di una diga? Fai un’analisi qualitativa in 10 righe.

205

MAPPA DEI CONCETTI SU UN CORPO LIBERO DI MUOVERSI ne modifica la velocità

UNA FORZA

che agisce

SU UN CORPO VINCOLATO ne modifica la forma

si misura con

FORZE E DEFORMAZIONI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI F ⴝ k∆x è una molla il cui allungamento è tarato

IL DINAMOMETRO

UNITÀ DI MISURA 1 N equivale alla forza-peso di una massa di 102 g

N newton

LE FORZE SONO VETTORI

punto di applicazione

verso

→

F

direzione

intensità SI SOMMANO CON LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA →

F1 →

→

F1 ⫹ F2 →

F2

206

LE FORZE

è direttamente proporzionale alla deformazione e opposta a essa

FORZA ELASTICA

→

→

F ⫽ k∆x LEGGE DI HOOKE

FORZA-PESO

è direttamente proporzionale alla massa attraverso l'accelerazione di gravità diretta verso il centro della Terra g ⴝ 9,8 N/kg →

→

Fp ⴝ mg

è una forza che si esercita tra due superfici e si oppone al loro moto relativo

ATTRITO

statico

Fs ⴝ µs F⊥

volvente Fv =

nd R

dinamico Fd ⴝ µd F⊥ viscoso Fa ⴝ ⴚ␤v

F⊥

MOMENTO DI UNA FORZA

è l'analogo della forza nelle rotazioni

rispetto a un polo O

Mⴝr ⴛF

MOMENTO TORCENTE o COPPIA DI FORZE se la forza è perpendicolare all'asse di rotazione

→

→

M ⴝ Fb

è il rapporto tra la forza che preme su una superficie e l'area della superficie stessa

PRESSIONE p=

PRESSIONE IDROSTATICA

F S

è la pressione che un liquido esercita su un corpo immerso p ⴝ ␳gh

207

7

7 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI 11 «Due forze hanno la stessa intensità, la stessa dire-

CHE COS'È UNA FORZA

zione e lo stesso verso, sono dunque rappresentate mediante lo stesso vettore.» Questa frase è corretta? Eventualmente correggila.

DOMANDE Attraverso la misura di quale grandezza fondamentale il dinamometro fornisce l’intensità di una forza?

1

2 Quale grandezza fondamentale usiamo per tarare

CALCOLI 12 Due ragazzi tirano la stessa corda con forze di verso

opposto e intensità rispettivamente di 100 N e 150 N.

un dinamometro? 3 Mario e Luca si sfidano in una gara di forza: Mario

spinge una molla appoggiata su un piano orizzontale vincolata a una parete e la accorcia di 10 centimetri; Luca tira la stessa molla e la allunga di 10 centimetri. Chi ha vinto la gara?

¢ Disegna uno schema vettoriale e calcola l’intensità della forza complessiva che agisce sulla corda. [50 N]

13 Disegna una forza che annulli la somma delle forze

F1 ed F2 rappresentate dai vettori del seguente schema:

CALCOLI

→

F1

4 La massa di un uomo è 75 kg.

¢ Quanto vale l’intensità della sua forza-peso?

→

F2

[735 N]

5 Attacchiamo un gatto di 5,3 kg alla molla di un dina-

mometro. ¢ Quale valore leggiamo sull’indice? [52 N]

14 Disegna la forza che si ottiene sommando le forze

6 L’intensità della forza-peso di un elefante è 5000 N.

F1, F2 ed F3 rappresentate nel seguente schema vettoriale:

¢ Quanto vale la massa dell’elefante? [510 kg ]

→

F2

7 Un fruttivendolo pesa la frutta con un dinamome-

→

tro.

F3

¢ Qual è la massa di un sacchetto di mele al quale corrispondono 15 N? [1,5 kg]

→

F1

15 Disegna la differenza tra le forze schematizzate nel

disegno: →

→

F2

2

F1

LE FORZE SONO VETTORI

DOMANDE

3

8 Come si sommano fra loro tre forze? Spiega in 5 ri-

ghe il procedimento che applicheresti. 9 Può la somma di tre forze dare come risultato una

forza nulla? Motiva la risposta con un esempio. 10 Le due forze rappresentate dalle frecce in figura

hanno la stessa direzione? F2 F1

208

DOMANDE 16 Due molle con costanti elastiche k1 < k2 sono sogget-

te alla stessa sollecitazione. Quale delle due si allunga di più? Motiva la tua risposta in 5 righe. →

17 Esistono deformazioni ∆x negative? Rispondi con

un esempio. →

→

LA LEGGE DI HOOKE

18 È più sensibile un dinamometro che ha una costante

elastica grande o un dinamometro che ha una costante elastica piccola? Motiva la risposta in 5 righe.

7

LE FORZE CALCOLI

29 In un’esercitazione di laboratorio un ragazzo misura

con un dinamometro una forza di 5 N.

19 Quanto vale l’intensità della forza che allunga di

¢ Quanto vale la massa dell’oggetto misurato?

1,5 cm una molla con costante elastica k = 104 N/m?

[0,5 kg]

[1,5 ⫻ 10 N] 2

20 Durante un’esercitazione di laboratorio uno studen-

te misura due costanti elastiche differenti k1 = 45 N/m e k2 = 55 N/m, applicando a due molle la stessa forza di intensità pari a 25 N.

30 A quanto corrisponde la forza-peso di una persona

che «pesa» 55,4 kg? [543 N]

31 Quanto vale la forza-peso della persona dell’eserci-

¢ Quali sono i rispettivi allungamenti?

zio 30 sull’asteroide Vesta, la cui accelerazione di gravità è pari a 0,22 m/s2?

[0,56 m; 0,45 m]

[12 N]

21 Se un elastico si allunga di 2,5 cm sotto una forza di

5,5 N, quanto vale la sua costante elastica? [2,2 ⫻ 102 N/m]

22 Vogliamo costruire un dinamometro che si allunghi

5

FORZE INTORNO A NOI: L'ATTRITO

di 5,0 mm, quando è sollecitato da una forza di 1,0 ⫻ 10–3 N.

DOMANDE

¢ Quanto deve valere la sua costante elastica?

32 Due borse di uguale materiale, ma di massa una

[0,20 N/m]

23 Al dinamometro dell’esercizio 22 viene applicata una

forza di 7,8 ⫻ 10–4 N. " ¢ Di quanto si allunga la molla?

[3,9 mm]

doppia dell’altra, scivolano su una superficie metallica. Senza fare calcoli, sai dire per quale delle due la forza di attrito dinamico è maggiore e in quale rapporto? Motiva la tua risposta in 10 righe. 33 Individua almeno tre situazioni in cui l’attrito è utile e

in che modo si può aumentare.

4

FORZE INTORNO A NOI: IL PESO

34 Individua almeno tre situazioni in cui l’attrito è dan-

noso e in che modo si può diminuire.

DOMANDE 24 Una pagnotta di pane costa 2 euro al kilo. Per acqui-

stare una massa pari a 1 kg di pane spenderesti più sulla Terra o sulla Luna? Motiva la risposta in 5 righe. 25 Se l’accelerazione di gravità si dimezza che cosa suc-

cede alla forza-peso di un corpo? 26 Se usassi sulla Terra una pesapersone tarata sulla

Luna, il tuo peso risulterebbe maggiore o minore di quello che misureresti con un pesapersone tarato sulla Terra?

CALCOLI 35 Uno studente spinge una gomma appoggiata sul

banco. L’attrito statico fra la gomma e il banco è di 0,7 e la gomma ha una massa di 24 g. ¢ Quale deve essere l’intensità minima della forza affinché la gomma si sposti? [0,16 N]

36 Una ragazza tira una slitta su cui è seduto un bambi-

no di 25 kg e questa inizia a muoversi quando la forza è pari a 7,0 N.

CALCOLI 27 Un secchio di 2,0 kg viene attaccato a un dinamo-

metro. ¢ Quale valore si legge sulla scala dello strumento? [19,6 N]

farina viene attaccata a un dinamometro, che segna 7,8 N. ¢ Quale frazione di tale massa dobbiamo usare in una ricetta che richiede 200 g di farina? [1/4]

DenisNata /Shutterstock

28 In assenza di una bilancia da cucina, una massa di

209

7 ESERCIZI ¢ Se il coefficiente di attrito tra la slitta e la neve è 0,02, qual è la massa della slitta?

45 Al volante di un’automobile è applicata una coppia

di forze perpendicolare al diametro del volante, che è lungo 30 cm.

[11 kg]

¢ Disegna lo schema vettoriale della situazione e calcola il momento della coppia, sapendo che ogni forza applicata ha intensità pari a 5,0 N.

37 Un uomo deve spostare una cassa di 80 kg piena di

libri da un lato all’altro della stanza facendola scivolare sul pavimento, il cui coefficiente di attrito statico con la cassa è 0,5 mentre quello dinamico è 0,3. ¢ Scegliendo in modo opportuno il coefficiente calcola quale deve essere la forza minima necessaria.

[1,5 Nm]

7

FORZE E FLUIDI: LA PRESSIONE

[235 N]

38 Per muovere un armadio di 212 kg sono necessari

831 N.

DOMANDE 46 In due bottiglie identiche sono contenuti rispettiva-

¢ Qual è il coefficiente di attrito statico tra l’armadio e il pavimento? [0,4]

mente olio di oliva e acqua in uguale quantità. In quale dei due recipienti si misura, sul fondo, una pressione idrostatica maggiore? 47 Sul fondo di quale dei due recipienti in figura, riem-

6

piti con lo stesso liquido, si misura una pressione idrostatica maggiore?

FORZE E ROTAZIONI: IL MOMENTO DI UNA FORZA

DOMANDE 39 In quali modi si può aumentare il momento di una

forza? Rispondi con un esempio. 40 In quali casi una forza che agisce su un corpo ne pro-

voca una rotazione? Fai un esempio e disegna uno schema con i vettori delle forze agenti. 41 Perché per far ruotare un volante lo afferriamo dal

bordo anziché dal centro? Rispondi in 5 righe.

48 Un fachiro si fa più male se si stende su un tappeto di

chiodi o su un unico chiodo appuntito? Spiega il motivo in 5 righe.

CALCOLI 42 Una uomo cerca di svitare un bullone con una chiave

inglese di 20 cm applicando una forza di 3,0 N perpendicolare alla lunghezza della chiave. ¢ Quanto vale il momento massimo della forza? [0,6 Nm]

CALCOLI 49 Un libro appoggiato su un tavolo ha una base di area

di 220 cm2 e una massa di 300 g. ¢ Determina la pressione esercitata dal libro sul tavolo. [134 N/m2]

43 A un’estremità di una bacchetta di 25 cm è applicata

una forza di 60 N inclinata di 30° rispetto alla lunghezza della bacchetta. ¢ Disegna la forza applicata e calcolane il momento.

sci di superficie totale pari a 0,20 m2 una pressione di 4000 Pa? [82 kg]

[7,5 Nm]

44 Al pedale di una bicicletta è applicata una forza di

100 N con un angolo di inclinazione di 60°, che produce un momento di 8,5 Nm. ¢ A quale distanza dal centro di rotazione è applicata la forza? [10 cm]

210

50 Quanto vale la massa di un uomo che esercita sugli

51 Qual è la pressione idrostatica esercitata dall’acqua

sul fondo di una vasca profonda 3,0 m? [2,9 ⫻ 104 Pa]

7

LE FORZE " ¢ Disegna la forza-peso agente sulla pallina e scomponila nella direzione lungo il filo e nella direzione perpendicolare al filo.

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE

¢ Calcola le componenti. [0,12 N; 0,21 N]

52 Come è diretta la forza elastica quando una molla

viene accorciata? E quando viene allungata? 53 Le due semirette della figura seguente si riferiscono

alle molle di due dinamometri. Senza fare calcoli puoi dire quale delle due molle ha una costante elastica maggiore? Quale dei due dinamometri ha una sensibilità maggiore?

60 Una ragazza in aeroporto trascina la sua valigia di

20 kg sul pavimento esercitando una forza di 120 N che forma un angolo di 60° con il pavimento. Il coefficiente di attrito tra valigia e pavimento vale 0,25. ¢ Disegna il sistema di forze agenti sulla valigia e calcola l’intensità della componente parallela al terreno della forza complessiva.

⌬x

[37 N]

molla 1

61 Un cavallo tira un carretto sulla Luna con una forza

di 400 N. Un uomo tenta di frenarlo con una forza di 150 N diretta lungo la stessa retta, ma in verso opposto.

molla 2

O

F

54 Trova una situazine reale che potrebbe essere rap-

presentata dal seguente schema vettoriale: →

¢ Immagina ora che il coefficiente di attrito tra il carro di 100 kg e il suolo lunare sia di 0,2. Disegna anche in questo caso il sistema di forze agenti e calcola la forza risultante. [250 N; 217 N]

→

F1

F2

→

F3

55 Una pallina di piombo viene gettata in un lago. Du-

rante la caduta verso il fondo del lago la forza di attrito esercitata dall’acqua sulla pallina è costante? Motiva la risposta in 5 righe. 56 Chi tra un bambino e un uomo adulto è in grado di

far ruotare più facilmente un bullone con una chiave inglese? Motiva la risposta in 10 righe. 57 Anziché sfidarsi in una gara di forza, due amici deci-

dono di sfidarsi in una gara di pressione. A parità di forza chi vince? 58 L’uomo forzuto è stato battuto da Pierino in una

gara di momento della forza. Come ha fatto a vincere Pierino?

PROBLEMI 59 Un pendolo è spostato di 30° rispetto alla verticale e

ha una massa di 25 g.

¢ Trascurando l’attrito disegna e calcola la risultante di forze agenti sul carretto.

62 Due bambini scivolano lungo un pendio inclinato di

30° rispetto all’orizzontale con una slitta. La massa complessiva dei bambini e della slitta è di 75,0 kg e il coefficiente di attrito dinamico tra la slitta è il terreno è di 0,014. ¢ Disegna il sistema delle forze agenti sulla slitta e calcola le componenti della forza totale che agisce sulla slitta nella direzione parallela al pendio e in quella perpendicolare al pendio. [359 N; 636 N]

63 Una donna che pesa 600 N indossa tacchi a spillo di

superficie complessiva pari a 3,0 cm2. ¢ Qual è la pressione esercitata sul pavimento? ¢ Quale massa dovrebbe avere per esercitare la stessa pressione con scarpe la cui superficie complessiva fosse 250 cm2? ¢ La donna scivolerebbe su una salita del 20% se il coefficiente di attrito tra quest’ultimo e la suola fosse 0,4? (Suggerimento: schematizza la salita con un piano inclinato che per una lunghezza di 100 m presenta un dislivello di 20 m. Confronta la componente parallela al piano della forza-peso con la forza di attrito che dipende dalla componente perpendicolare.) [2,0 ⫻ 106 N; 5,1 ⫻ 103 kg]

211

7 ESERCIZI 64 Durante il pranzo a Marco cade accidentalmente

B

sagomando opportunamente i gradini

un’oliva nel bicchiere con l’acqua che è alto 70 mm.

C

diminuendo l’attrito tra scala e muro

¢ Calcola la pressione idrostatica esercitata sull’oliva quando si trova sul fondo del bicchiere.

D

diminuendo l’attrito tra scala e pavimento

E

aumentando l’attrito tra scala e pavimento

¢ Se la stessa oliva cade in un bicchiere di grappa di densità 810 kg/m3 la pressione esercitata sul fondo è di 2,4 ⫻ 102 Pa. Calcola l’altezza del bicchiere. ¢ La densità media dell’oliva è maggiore o minore di quella dell’acqua? Motiva la risposta in 5 righe. [6,9 ⫻ 102 Pa; 3 cm]

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria 2008/2009) 2 Una sfera rigida, piena e omogenea, immersa in una

soluzione acquosa di glicerina, galleggia mantenendo fuori dal fluido una porzione pari a 1/6 del suo volume.

65 Al girello di un parco giochi, di diametro 200 cm, è

applicata una coppia di forze di intensità 8,0 N che formano con il diametro un angolo di 90°. ¢ Disegna il sistema di forze agenti sul girello e calcolane il momento. ¢ Calcola la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta quando il girello ruota con una velocità angolare di 2 rad/s. [16 Nm; 2 m/s; 4 m/s2]

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Una scala lunga 2 metri e appoggiata al muro sostiene un uomo che è salito fino al secondo gradino. Una condizione di maggiore sicurezza nell’evitare che la scala scivoli sul pavimento si raggiunge: A

facendo eseguire il lavoro a operai dal peso corporeo ridotto

212

Determinare la densità del materiale di cui è composta la sfera sapendo che la densità del fluido è pari a 1,2 g/cm3. A

1 g/cm3

B

0,6 g/cm3

C

0,8 g/cm3

D

1,2 g/cm3

E

1,6 g/cm3

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2009/2010)

CAPITOLO

Le forze e l’equilibrio

“

Ciò che è opposizione è accordo, e dalle cose discordi sgorga bellissima armonia, e tutte le cose nascono per legge di contesa.

Eraclito

”

Mentre la Sapienza Divina regge la bilancia, la Giustizia fa in modo che i suoi piatti siano livellati. La bilancia è metafora di equità, espressione e garanzia di pace e stabilità: una città ben governata è una città in cui governa l’equilibrio. Sulla parete opposta all’affresco, nel Palazzo Pubblico di Siena, un altro affresco, nel quale la bilancia pende da una parte: il cattivo governo non è garante di equilibrio e concordia, e gli effetti negativi dilagano nel territorio circostante. Usciamo dalla metafora ed entriamo nell’ambito della fisica, dove anche una bilancia «sbilanciata» è in equilibrio, se è ferma e rimane ferma. Le forze e i momenti delle forze si annullano: la bilancia non si sposta e non ruota. In questo capitolo imparerai che usare il baricentro per schematizzare i corpi come punti materiali ha una sua giustificazione profonda, perché esso è proprio il punto

nel quale si può pensare applicato il peso del corpo nel suo insieme. I corpi fermi, dunque, sono in equilibrio quando il loro baricentro non cambia posizione, cioè quando è nulla la somma vettoriale delle forze che agiscono su essi. Dato che i corpi si estendono tutto intorno al loro baricentro, affinché siano effettivamente fermi è necessario anche che non ruotino intorno a esso, condizione soddisfatta se è nulla la somma dei momenti di tutte le forze. In fisica non sempre equilibrio è sinonimo di «equità»: si può infatti equilibrare una forza molto intensa con una forza piccolissima attraverso dispositivi meccanici chiamati macchine semplici. Imparerai a capire come funzionano utilizzando i concetti studiati nei capitoli precedenti e vedrai un chiaro esempio dello stretto rapporto che lega la fisica alla tecnologia.

Ambrogio Lorenzetti, Allegoria del Buon Governo, circa 1338-1340.

PAROLE CHIAVE Equilibrio Baricentro Macchine semplici

213

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

1 a

L'EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE

orxy /Shutterstock

John Hoffman / Shutterstock

b

Figura 1. Quale delle due rocce è in equilibrio?

Quando diciamo che qualcosa è «in equilibrio» in genere ci riferiamo a una situazione come quella della figura 1a: un grande masso poggiato su una superficie piccolissima, che sembra dover cadere da un momento all’altro. Per un fisico, invece, è in equilibrio anche un masso poggiato per terra, come quello della figura 1b. Infatti si dice che:

un corpo è in equilibrio statico quando, se inizialmente fermo, continua a rimanere fermo. Tutto ciò che vediamo fermo intorno a noi è dunque in equilibrio: anche una persona comodamente seduta in poltrona. Ed è in equilibrio anche la bandierina che marca il punto centrale durante un tiro alla fune, aiutandoci a formalizzare le condizioni che rappresentano l’equilibrio di un punto materiale. Se immaginiamo che il centro della fune sia un punto, vediamo immediatamente che esso è fermo quando le due squadre tirano con la stessa intensità. In termini fisici questo equivale a dire che sul punto sono applicate due forze lungo la stessa retta, di uguale intensità e verso opposto. Le due forze, cioè, si annullano a vicenda. In generale: quando un punto materiale è in equilibrio, allora la somma di tutte le forze applicate al punto è zero. Questo vale in una dimensione, come nel caso del tiro alla fune, ma anche in due o tre dimensioni, ricordandosi che per sommare le forze bisogna seguire le regole della somma vettoriale (figura 2). F1

F2 F1 ⫹ F2 ⫽ 0

Figura 2. Condizione di equilibrio per un punto materiale: la somma vettoriale delle forze agenti su di esso è nulla.

F2 F3 F2

F1

F4

F1 F3

F5

F1 ⫹ F2 ⫹ F3 ⫽ 0 F1 ⫹ F2 ⫹ F3 ⫹ F4 ⫹ F5 ⫽ 0

214

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

ESEMPIO ¢ La prua di un’imbarcazione è assicurata a due ancoraggi distinti per mezzo di due catene il cui angolo compreso misura 90°. Se la prua è in quiete e le forze F1 ed F2 esercitate dalle catene hanno intensità di 120 N ciascuna, qual è l’intensità della forza F3 con cui tira l’imbarcazione?

90°

SOLUZIONE Dalla condizione di equilibrio per la prua in quiete: F1 ⫹ F2 ⫹ F3 ⫽ 0 cioè: F3 ⫽ ⫺(F1 ⫹ F2) F1 F3

P

90°

B

F2 A

F3 è opposta a F1 ⫹ F2 e la sua intensità si ricava dal teorema di Pitagora applicato al triangolo PAB: F3 = F1 + F2 = F12 + F22 = (120 N )2 + (120 N )2 = 170 N DOMANDA Quanto varrebbe l’intensità della forza equilibrante F3 se l’angolo tra F1 ed F2 fosse 180°?

In equilibrio con la forza-peso Tutti i corpi che si trovano nei pressi della Terra sono soggetti alla sua attrazione gravitazionale e costretti continuamente ad affrontare questioni di equilibrio. Per molti animali la prima sfida che la vita pone è quella di stare ritti sulle zampe, e per noi esseri umani, che di zampe ne usiamo solo due, la prova è ancora più difficile e impieghiamo molti mesi prima di riuscire a trovare un equilibrio soddisfacente. Studiare l’equilibrio di un corpo articolato come quello di un animale non è una cosa semplice nemmeno a livello teorico. Come al solito, quindi, cominciamo con una estrema semplificazione e partiamo dal trattare ogni oggetto come se fosse un punto pesante, rappresentandolo con una pallina. Un punto materiale è in equilibrio con la forza di gravità che lo attira verso il centro della Terra quando un vincolo si oppone alla sua caduta.

215

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Questo può avvenire, per esempio, se il corpo è appeso, e il vincolo è un filo che tira verso l’alto; oppure se il corpo è appoggiato, e il vincolo è una superficie che spinge verso l’alto (figura 3). Figura 3. Una pallina è in equilibrio rispetto al suo peso quando una forza si oppone alla sua caduta. a. Il filo reagisce con una forza uguale e opposta al peso della pallina, impedendole di cadere. b. Il tavolo oppone una forza uguale e opposta al peso della pallina, impedendole di cadere.

reazione vincolare

a

forza peso

reazione vincolare

b

forza peso

Spesso la forza che si oppone a una forza agente, equilibrandola, è detta reazione vincolare (figura 4): s reazione, perché la sua intensità dipende di volta in volta da quella della forza agente; s vincolare, perché pone dei limiti alla libertà di movimento.

Figura 4. Il vincolo reagisce di volta in volta con una forza diversa, a seconda della forza agente su di esso.

Stabilità di una posizione di equilibrio Quando una pallina è ferma in una posizione si dice che quella è una posizione di equilibrio. In essa le forze agenti sulla pallina si annullano. Un punto materiale, fermo in una posizione di equilibrio, rimane fermo. Le posizioni di equilibrio possono essere di tre tipi (figura 5): s equilibrio stabile: un punto materiale che viene allontanato di poco da una posizione di equilibrio stabile tende a tornarvi; s equilibrio instabile: un punto materiale che viene allontanato di poco da una posizione di equilibrio instabile continua ad allontanarsi da essa;

216

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

s equilibrio indifferente: un punto materiale che viene allontanato di poco da una posizione di equilibrio indifferente si trova in un’altra posizione di equilibrio indifferente.

La stabilità di una posizione di equilibrio dipende dunque dal comportamento del punto materiale nelle sue vicinanze.

In equilibrio con l’attrito statico Quando tiriamo o spingiamo un oggetto appoggiato su una superficie l’attrito statico si oppone al suo moto e, fintanto che la forza agente non supera la forza massima di attrito attrito statico statico, l’oggetto non si muove: esso è dunque in equilibrio. La situazione può essere schematizzata mediante due forze di uguale intensità, stessa retta di azione e verso opposto; pertanto l’attrito tra le due superfici di contatto si comporta come un vincolo, impedendo al corpo di muoversi liberamente nella direzione della forza agente (figura 6).

2

L’EQUILIBRIO SU UN PIANO INCLINATO

Su un piano orizzontale un corpo è in equilibrio indifferente, ma se incliniamo di poco il piano d’appoggio, in assenza di attrito, esso inizia a scivolare verso il basso. Per ripristinare l’equilibrio dobbiamo vincolare il corpo e fare in modo che non sia più libero di muoversi sotto l’azione della sua forza-peso. Applichiamo ad esso una forza equilibrante, per esempio una trazione che chiamiamo Fe, e misuriamola per mezzo di un dinamometro. Osserviamo innanzitutto che, a parità di forza-peso, se l’inclinazione del piano d’appoggio è maggiore la forza equilibrante è maggiore (figura 7). I due casi limite sono: s piano orizzontale e forza equilibrante nulla (in ogni punto del piano l’equilibrio è indifferente) (figura 7a); s piano verticale e forza equilibrante uguale e opposta alla forza-peso (figura 7c).

8 Figura 5. Posizioni di equilibrio. Instabile: il corpo continua ad allontanarsi dalla posizione di equilibrio se lo allontaniamo da essa; stabile: il corpo tende a tornare nella posizione di equilibrio se proviamo ad allontanarlo da essa; indifferente: il corpo, allontanato dalla posizione di equilibrio, si trova in un’altra posizione di equilibrio.

Figura 6. L’attrito statico vincola il corpo fintanto che la forza agente è inferiore alla forza massima di attrito statico, e in tal caso il corpo è in equilibrio.

forza agente

Figura 7. a. Su un piano orizzontale la forza-peso è equilibrata dalla reazione vincolare del piano. b. Su un piano inclinato un oggetto è equilibrato da una forza di intensità compresa tra zero e la sua forza-peso, diretta lungo la direzione del piano. c. Su un piano verticale la forza equilibrante è uguale e opposta alla forza-peso dell’oggetto ed è come se il piano non ci fosse.

0 Fp

0 0

a

b

c

217

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Passiamo a studiare i casi intermedi utilizzando gli strumenti matematici del calcolo vettoriale. Sul piano inclinato la forza-peso Fp, unica forza agente sull’oggetto, non preme completamente sulla superficie di appoggio, come nel caso del piano orizzontale, ma una parte di essa risulta non equilibrata. Così, se scomponiamo la forza-peso in due componenti Fp e Fp , una parallela e una perpendicolare al piano, vediamo che solo quest’ultima è annullata dalla reazione vincolare FN del piano. Tale reazione, infatti, può essere solo perpendicolare al piano: esso può soltanto spingere in risposta a una forza che preme (figura 8). La forza che dobbiamo utilizzare per equilibrare un oggetto su un piano inclinato ha la stessa intensità e la stessa direzione della componente della forza-peso parallela al piano, e verso opposto. Figura 8. La forza-peso, verticale, è scomposta lungo le direzioni parallela e perpendicolare al piano. La componente perpendicolare è equilibrata dalla reazione del piano; la componente parallela è equilibrata se vi opponiamo una forza di uguale intensità.

Fn

Fe

Fn ⫽ reazione del piano

艎 Fpⱍⱍ

Fpⱍⱍ

h

Fp⬜ Fp

Fe ⫽ forza equilibrante

Fp⬜ Fp

Tale forza dipende dall’inclinazione del piano: maggiore è l’angolo che il piano forma con l’orizzontale, più intensa è la forza equilibrante necessaria. La relazione matematica che esprime l’intensità della forza equilibrante Fe in funzione della geometria del piano è: Fe

Fp

h ᐉ

(8.1)

A parità di forza-peso l’intensità della forza equilibrante è direttamente proporzionale all’altezza del piano e inversamente proporzionale alla sua lunghezza.

Figura 9. Maggiore è il rapporto h/ᐉ, maggiore è la forza equilibrante.

艎 h2

艎 Fp

h1 Fp

ESEMPIO ¢ Quanto vale la forza che equilibra un carrello di massa 80 kg su un piano inclinato alto 50 cm e lungo 2,0 m?

218

艎 m h

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

SOLUZIONE Il peso del carrello, diretto lungo la verticale, ha intensità pari a: Fp ⫽ mg ⫽ 80 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 7,8 ⫻ 102 N L’intensità della forza equilibrante si ottiene direttamente dalla formula (8.1), utilizzando le unità di misura del Sistema Internazionale: h ⫽ 50 cm ⫽ 0,5 m Fe = Fp

h

b

=

784 N × 0, 5 m = 2, 0 × 10 2 2, 0 m

DOMANDA Quanto dovrebbe essere lungo il piano, a parità di altezza h, affinché la forza equilibrante sia la metà della forza-peso?

Figura 10. Una strada in salita è un piano inclinato. I tornanti servono ad aumentarne la lunghezza in modo da ridurre la forza necessaria a mantenere in equilibrio un corpo.

Figura 11. Molto probabilmente il piano inclinato è alla base delle tecniche costruttive delle piramidi dell’antico Egitto.

Dan Breckwoldt / Shutterstock

Un piano inclinato può essere rappresentato con un triangolo rettangolo. Dato che la lunghezza ᐉ di un piano inclinato è sempre maggiore della sua altezza h, il rapporto h/ᐉ è sempre minore di 1 e quindi l’intensità della forza equilibrante è sempre minore dell’intensità della forza-peso. Il piano inclinato funziona dunque come una sorta di «riduttore» della forzapeso: su un piano inclinato un oggetto ci sembra «meno pesante» di quanto non sia in realtà, perché parte della sua forza-peso è equilibrata dalla reazione del piano. Per superare dislivelli ci serviamo spesso di piani inclinati. Essi riducono la forza necessaria a mantenere un corpo in equilibrio rispetto a quanta ce ne vorrebbe per equilibrare interamente la sua forza-peso. A parità di dislivello, maggiore è la lunghezza del piano inclinato e minore è l’intensità della forza equilibrante (figura 10). Per questo motivo il piano inclinato rientra tra le cosiddette macchine semplici, cioè dispositivi attraverso i quali l’uomo ha potuto ridurre la forza necessaria per compiere azioni meccaniche altrimenti inaccessibili alle sue possibilità naturali (figura 11).

Ljupco Smokovski / Shutterstock

I vantaggi del piano inclinato

219

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

SIMULAZIONE

Il piano inclinato in presenza di attrito

Il piano inclinato

Un oggetto appoggiato su un piano inclinato scivola verso il basso, se non è equilibrato da una forza che si oppone alla componente del suo peso parallela al piano. Il discorso, come premesso, vale in assenza di attrito, quindi in una situazione ideale, che non si verifica esattamente nella realtà. Nella realtà, infatti, se il piano non è inclinato abbastanza, l’oggetto poggiato su di esso non scivola affatto: è l’attrito statico che si oppone alla componente della forza-peso parallela al piano e impedisce all’oggetto di scivolare. Se però iniziamo ad aumentare l’angolo di inclinazione del piano, a un certo punto la componente del peso parallela al piano raggiunge l’intensità della forza massima di attrito statico e l’oggetto inizia a muoversi (figura 12).

(PhET, University of Colorado)

Figura 12. a. Relazioni tra l’angolo di inclinazione del piano e gli angoli formati dai vettori. b. Corpo in equilibrio sul piano inclinato in presenza di attrito con il massimo angolo di inclinazione.

Fn Fpⱍⱍ ␪␪

Fp⬜ Fp

␪sm

␪

Fsm ⫽ è la forza di attrito statico massimo

Fsm

␪sm ⫽ è l’angolo di inclinazione oltre il quale il corpo inizia a scivolare

L’angolo per il quale ciò accade è quindi una misura del coefficiente di attrito statico tra le superfici del piano e del corpo in esame. Ricordiamo che la forza massima di attrito statico radente è data dalla formula (7.3): Fsm ⫽

s

F

Se la uguagliamo alla componente della forza-peso parallela al piano e ricordiamo che la forza che preme sul piano è la componente del peso ad esso perpendicolare, si ottiene la relazione: Fp ⫽

s

Fp

Dalla trigonometria: Fp ⫽ mg sin Fp ⫽ mg cos

sm sm

cioè: mg sin

sm

⫽

s

mg cos

sm

Da cui si ricava che il coefficiente di attrito statico è uguale alla tangente trigonometrica dell’angolo massimo di inclinazione del piano oltre il quale il corpo inizia a scivolare: s

220

sin cos

sm sm

tg

sm

(8.2)

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

ESEMPIO ¢ Una moneta è appoggiata su un piano di legno incernierato al pavimento. Modificando gradualmente l’inclinazione del piano si osserva che quando l’angolo misura 27° la moneta inizia a scivolare. Quanto vale il coefficiente di attrito statico tra il metallo della moneta e il legno?

27°

SOLUZIONE

s

⫽ tg ⫽ tg 27° ⫽ 0,51

DOMANDA Se la massa della moneta raddoppia, in corrispondenza di quale valore dell’angolo di inclinazione si mette in movimento?

3

IL BARICENTRO

Nel trattare un corpo esteso come se fosse un punto dotato di massa abbiamo introdotto il baricentro senza troppe definizioni. Vediamo ora, alla luce dei concetti di equilibrio e di forza-peso, come giustificare questo fatto. Quando un corpo esteso si trova in prossimità della superficie terrestre, esso è soggetto all’attrazione gravitazionale terrestre, che ne determina il peso in relazione alla sua massa. Se guardiamo il corpo nel suo insieme diciamo che la forza-peso con cui è tirato verso il basso è direttamente proporzionale alla sua massa attraverso l’accelerazione di gravità g, come espresso nella formula (7.2): Fp ⫽ mg

Bragin Alexey / Shutterstock

Ma qual è il punto di applicazione di questa forza? Che cosa ci autorizza a sceglierne uno al posto di un altro? A ben guardare, infatti, ogni «punto» del corpo, cioè ogni suo piccolissimo volume, è soggetto a una forza-peso (figura 13). Figura 13. a. Dove è applicata la forzapeso complessiva del sasso? b. Se immaginiamo di scomporre il volume del sasso in tanti piccoli elementi, ciascuno di essi è attratto dalla Terra con una sua forza-peso.

221

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Il peso complessivo del corpo è dato dalla somma di tutti questi vettori forza-peso e il suo punto di applicazione è proprio quello che chiamiamo baricentro, una sorta di «centro della forza-peso» (figura 14). G

Il baricentro di un corpo è il punto di applicazione della forza-peso complessiva del corpo. Fp mg Figura 14. La somma di tutti i pesi dei piccoli volumi di cui immaginiamo sia composto il sasso è il suo peso complessivo. Il punto di applicazione G del peso del sasso è il suo baricentro.

Figura 15. Il centro di massa è un centro di simmetria.

Jim E. Armstrong / Shutterstock

Figura 16. Il centro di massa di un oggetto può essere anche un punto esterno a esso.

Centro di massa Se ci allontaniamo dalla Terra e da qualsiasi altro pianeta o stella, non possiamo più parlare di peso, quindi nemmeno di baricentro. Tuttavia quello che sulla Terra è il baricentro continua a essere un punto speciale detto più in generale centro di massa. Il centro di massa è una specie di «centro di simmetria» rispetto alla distribuzione della massa (figura 15), per cui può non essere interno al corpo, come nel caso di un anello o di un ferro di cavallo (figura 16). Se il corpo è omogeneo e simmetrico, il centro di massa è anche un centro di simmetria geometrico. Se il corpo non è omogeneo il centro di massa è spostato verso le aree di maggiore densità.

C

C

C

Come sarà più chiaro dopo aver studiato la dinamica, attraverso il centro di massa possiamo estendere il concetto di baricentro a tutti gli altri sistemi di forze e affermare che: il centro di massa di un corpo è il punto di applicazione di tutte forze agenti su di esso.

šC

Esso è detto baricentro quando si ha a che fare con la forza-peso.

Baricentro di un corpo rigido Intorno al baricentro le forze peso dei singoli volumi del corpo sono distribuite uniformemente: esso è effettivamente un centro di gravità, nel senso che in qualunque direzione intorno al baricentro l’intensità della forza-peso è la stessa. Se il corpo è rigido, cioè se le distanze reciproche da un punto all’altro sono costanti, il baricentro è dunque un punto rispetto al quale si annulla il momento totale delle forze peso di tutti i volumi del corpo. In un corpo rigido la somma dei momenti della forza-peso delle singole porzioni del corpo rispetto al baricentro è nulla.

222

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Analizziamo l’esempio di un’asta omogenea, immaginando di suddividerla in tanti segmenti uguali. Il baricentro si trova a metà della sua lunghezza, e rispetto ad esso è nulla la somma di tutti i momenti della forza-peso dei segmenti e destra e a sinistra del baricentro G (figura 17). bs

bd G

Fps

bs ⫽ ⫺ bd Fpd ⫽ Fps

Fpd

8 Figura 17. Al momento della forza-peso di ciascun segmento a destra del baricentro corrisponde un momento della forza-peso, uguale e opposto, del segmento simmetrico rispetto al baricentro, alla sua sinistra.

Indichiamo con Ms il momento della forza-peso di un segmento a sinistra del baricentro, con Fps la forza-peso agente su di esso e con bs il braccio rispetto al baricentro dell’asta. Analogamente, indichiamo con Md rispettivamente il momento della forza-peso del segmento a destra del baricentro, simmetrico al primo rispetto al baricentro, con Fpd la forza-peso agente su di esso e con bd il braccio rispetto al baricentro dell’asta. Dalla formula (7.7) risulta che: Md ⫽ Fpd bd ⫽ Fp b Ms ⫽ Fps bs ⫽ ⫺Fp b in cui si è posto Fpd ⫽ Fps ⫽ Fp essendo uguale la forza-peso agente sui due segmenti; anche i rispettivi bracci sono uguali, per cui bd ⫽ bs ⫽ b; i due momenti sono uguali in modulo e hanno segni opposti. Pertanto: Md ⫹ Ms ⫽ Fp b ⫺ Fp b ⫽ 0 Se l’asta non è omogenea, ma per esempio uno dei segmenti ha massa 2m doppia rispetto agli altri, il baricentro è spostato verso quel segmento in modo tale che la somma di tutti i momenti continui a essere nulla (figura 18). Md ⫽ Fpd bd ⫽ Fp b b 2 Md ⫹ Ms ⫽ Fp b ⫺ Fp b ⫽ 0 M s = Fpsbs = −2 Fp

2m

bs

bd

Figura 18. Affinché la somma dei momenti sia nulla, se la forza-peso di un segmento è maggiore la sua distanza dal baricentro deve essere minore.

m

G Fpd Fps

ESEMPIO ¢ Dove si trova il baricentro di un’asta rigida omogenea lunga 1,0 m alle cui estremità sono attaccate due masse rispettivamente di 1,0 kg e 0,8 kg? 0,8 kg

1,0 kg 1,0 m ms

md

223

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

SOLUZIONE

Fpd ⫽ md g ⫽ 1,0 kg Fps ⫽ ms g ⫽ 0,8 kg

9,8 N/kg ⫽ 9,8 N 9,8 N/kg ⫽ 7,8 N

Consideriamo il contributo di tutte le masse a destra e a sinistra del baricentro dell’asta, comprese le masse poste ai suoi estremi. Il momento totale delle forze-peso di tali masse rispetto al baricentro deve essere nullo: Md ⫹ Ms ⫽ 0 essendo Md ⫽ Fpd bd e

Ms ⫽ Fps bs

l’equazione diventa Fpd bd ⫹ Fps bs ⫽ 0 Fpd bd ⫽ ⫺Fps bs Pertanto ricaviamo che bd = −

Fps Fpd

bs

da cui bd = −

7, 8 N bs = −0, 80 bs 9, 8 N

La lunghezza del braccio della forza a destra è minore del braccio della forza a sinistra di un fattore 0,8 ed è orientato in verso opposto. Tenendo conto del fatto che la somma tra bd e bs deve essere uguale alla lunghezza dell’asta bd ⫹ bs ⫽ 1,0 m 0,80 bs ⫹ bs ⫽ 1,0 m da cui si ottiene: bs =

1, 0 m = 0, 56 m 0, 80 + 1

Il baricentro non è dunque al centro dell’asta ma è spostato verso destra, cioè verso la massa maggiore. DOMANDA Che cosa accadrebbe se la massa a destra fosse mille volte maggiore della massa a sinistra?

Baricentro di un essere umano A volte si sente dire che il baricentro di un essere umano è posto all’incirca sull’ombelico. In realtà questa affermazione è corretta solo entro certi limiti: noi non siamo corpi rigidi e possiamo muovere braccia e gambe, possiamo inchinarci, sederci, raggomitolarci... Insomma, possiamo modificare la nostra forma e, con essa, la posizione del nostro baricentro.

224

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

Il baricentro di un essere umano ritto in piedi sull’attenti è all’incirca sull’ombelico, ma basta che egli alzi le braccia e anche il baricentro si alza leggermente. Il baricentro di una ginnasta che esegue un ponte è esterno al suo corpo (figura 19).

šG

šG

Figura 19. Il baricentro di un essere umano non è un punto fisso.

26kot / Shutterstock

šG

4

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

Quanto detto per un punto materiale vale anche per un corpo esteso, e cioè esso è in equilibrio statico quando, se inizialmente fermo, continua a rimanere fermo. È dunque in equilibrio anche una bilancia «sbilanciata», contrariamente a quanto ci suggerisce il significato che attribuiamo comunemente alla parola «equilibrio».

Figura 20. Ambrogio Lorenzetti, Allegoria del Cattivo Governo, circa 1338-1340. Per un fisico è in equilibrio anche una bilancia «sbilanciata».

I più semplici corpi estesi sono quelli indeformabili, detti corpi rigidi, per i quali abbiamo due condizioni di equilibrio. Un corpo rigido fermo è in equilibrio quando: s la somma di tutte le forze applicate al corpo è zero; s la somma di tutti i momenti delle forze applicate al corpo è zero.

225

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

La prima condizione garantisce che il corpo non trasli, cioè che il suo baricentro non cambi posizione nel tempo; la seconda che non ruoti. Per il punto materiale basta la prima condizione perché, non avendo estensione, qualunque forza è necessariamente applicata allo stesso punto e forze uguali e opposte si annullano a vicenda. Se invece il corpo è esteso le forze possono avere punti di applicazione diversi e, anche se uguali e opposte, potrebbero dar luogo a una coppia e quindi a una rotazione (figura 21).

a

b Figura 21. a. Basta che la risultante delle forze sia nulla affinché un punto materiale fermo resti fermo. b. Non vale lo stesso per i corpi estesi: una coppia, pur avendo risultante nulla, ha un momento diverso da zero e il corpo ruota.

Figura 22. Configurazioni di equilibrio. a. Stabile: il corpo tende a recuperare la configurazione di equilibrio se proviamo a modificarla; il vincolo (v) è sopra al baricentro (G). b. Instabile: il corpo continua ad allontanarsi dalla configurazione di equilibrio se la modifichiamo di poco; il vincolo è sotto al baricentro. c. Indifferente: il corpo, modificata la sua configurazione, si trova nuovamente in equilibrio; il vincolo è sul baricentro.

Tabella 1. Condizioni di equilibrio di un corpo rigido.

226

Stabilità di una configurazione di equilibrio Quando un corpo rigido è fermo in una configurazione, si dice che quella è una configurazione di equilibrio. In essa la somma delle forze agenti e dei loro momenti sono entrambe nulle: il baricentro del corpo, che si comporta come un punto materiale nel quale è concentrata la massa del corpo, è fermo in una posizione di equilibrio e il corpo non ruota. In altre parole, il baricentro non effettua traslazioni e non avvengono rotazioni intorno ad esso. Tale configurazione di equilibrio può essere di tre tipologie diverse (figura 22): s equilibrio stabile: quando il corpo viene spostato di poco da una configurazione di equilibrio stabile esso tende a tornarvi; s equilibrio instabile: se il corpo viene spostato di poco da una configurazione di equilibrio instabile continua ad allontanarsi da essa; s equilibrio indifferente: un corpo che viene spostato di poco da una configurazione di equilibrio indifferente si trova in un’altra configurazione di equilibrio indifferente. v

G

v⬅G

G

v a

b

c

Il baricentro è il punto dove si può pensare sia applicato il peso del corpo, dunque il baricentro tende a cadere lungo la verticale se un vincolo non si oppone alla sua caduta. Se il corpo è appeso, il baricentro si colloca lungo la direzione del filo a piombo, attratto dal centro della Terra. SE...

CONDIZIONE

ALLORA...

il baricentro è fermo

somma di tutte le forze agenti ⫽ 0

il baricentro resta fermo

il corpo non ruota intorno al baricentro

somma di tutti i momenti delle forze agenti ⫽ 0

il corpo continua a non ruotare intorno al baricentro

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Baricentro di una figura piana Il fatto che il baricentro di un corpo appeso in equilibrio stabile sia disposto lungo la verticale, sotto al punto di sospensione, suggerisce un metodo per determinare il baricentro di una figura piana. Si appende più volte una sagoma e si traccia su di essa la linea avente la direzione del filo a piombo passante per il punto di sospensione, ogni volta diverso. Tali linee si intersecano tutte in un unico punto: il baricentro della figura. Una «prova» che si tratta effettivamente del baricentro consiste nel sospendere la sagoma esattamente su di esso e verificare che la configurazione così ottenuta è quella di equilibrio indifferente (figura 23).

v

v⬅G

G

5

Figura 23. Le linee verticali passanti per il punto di sospensione V si intersecano nel baricentro G; un corpo sospeso sul baricentro è in equilibrio indifferente.

v

LE MACCHINE

Una macchina è un dispositivo formato da uno o più corpi rigidi vincolati, capace di equilibrare forze di intensità anche molto elevata con forze di piccola intensità. Il guadagno meccanico Gm di una macchina è uguale al rapporto tra l’intensità della forza equilibrante, Fe, e quello della forza da equilibrare, detta forza resistente, Fr: Gm

Fr Fe

(8.3)

Goran Bogicevic / Shutterstock

Jarno Gonzalez Zarraonandia / Shutterstock

L’umanità ha imparato a usare forze e momenti delle forze ancora prima di saperne dare una descrizione matematica. Dai dolmen al Burj Khalifa (figura 24), l’architettura è una delle applicazioni più vistose della statica, cioè dello studio dell’equilibrio dei corpi fermi: non solo perché le stesse strutture architettoniche nascondono le regole della fisica, ma anche perché l’ordine di grandezza della forza media di un essere umano rende impensabile la loro edificazione senza l’uso di macchine.

Figura 24. I dolmen, costruiti fra il 4000 e il 2000 a.C., erano probabilmente le entrate in pietra di camere sepolcrali o tumuli la cui parte in terra è andata persa; il Burj Khalifa di Dubai, con i suoi 828 m all’antenna, è l’edificio più alto del mondo.

227

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

s Se Gm ⬎ 1 la macchina è vantaggiosa: la forza equilibrante è minore della forza resistente; s se Gm ⬍ 1 la macchina è svantaggiosa: la forza equilibrante è maggiore della forza resistente; s se Gm ⫽ 1 la macchina è indifferente: forza equilibrante e forza resistente hanno la stessa intensità. Una macchina complicata può essere scomposta in altre macchine, dette macchine semplici quando non sono ulteriormente scomponibili. Le macchine semplici sono sei: s s s s s s Figura 25. Leonardo da Vinci progettò una grande quantità di macchine.

Fe

il piano inclinato; la leva; la carrucola; il verricello; il cuneo; la vite.

Il piano inclinato Nel caso del piano inclinato la forza resistente è la componente parallela al piano della forza-peso Fp di un oggetto (figura 26) e dipende dalla geometria del piano inclinato per mezzo della formula (8.1):

Fp

Fe

Figura 26. Il piano inclinato è usato per equilibrare la forza-peso con una forza di intensità minore.

Fp

h ᐉ

Quindi, dato che h/ᐉ è sempre minore di 1, avremo: Gm ⬎ 1 cioè il piano inclinato riduce sempre la forza necessaria a equilibrare un oggetto pesante.

La leva Una leva è costituita da un’asta rigida capace di ruotare intorno a un punto fermo O detto fulcro (figura 27). La sua capacità di equilibrare una forza resistente intensa Fr per mezzo di una forza equilibrante meno intensa Fe è spiegata attraverso la condizione d’equilibrio sui momenti: Me ⫽ Mr (8.4)

Fe b e ⫽ Fr b r br Figura 27. Un corpo rigido fermo è in equilibrio quando la somma dei momenti delle forze agenti su di esso è nulla.

228

O

be Fe

Fr

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

Il guadagno meccanico di una leva dipende dal rapporto tra be e br: Fr Fe

Gm

be br

Quindi le leve sono vantaggiose solo quando il braccio be della forza equilibrante è maggiore del braccio br della forza da equilibrare. In base alla posizione del fulcro O rispetto a Fr ed Fe esse possono essere classificate in tre gruppi (tabella 2). TIPO DI LEVA

POSIZIONE DEL FULCRO be O

Tabella 2. Classificazione delle leve.

GUADAGNO MECCANICO

ESEMPI

br

Fe Fr

svantaggiosa Gm ⬍ 1

Fr

vantaggiosa Gm ⬎ 1

Fr O

Fe

PRIMO GENERE

be

O

br O

Fe

be

SECONDO GENERE

Fe

TERZO GENERE

Fr

Fr O

vantaggiosa Gm ⬎ 1

O

svantaggiosa Gm ⬍ 1

O

be

Fe

Fe Fr

Una leva svantaggiosa dal punto di vista meccanico potrebbe non esserlo dal punto di vista pratico: le pinze da camino, per esempio, consentono di spostare braci ardenti senza scottarsi.

ESEMPIO ¢ Il peso di un bambino di massa 20 kg è capace di equilibrare il peso di un uomo di massa 80 kg per mezzo di una leva lunga 3,0 m. A quale distanza dal bambino è posto il fulcro O della leva? SOLUZIONE

20 kg

80 kg

d? O

3,0 m

Fe be ⫽ Fr br me g be ⫽ mr g br be ?

Fr

Fe

br

Fr

br

Fe

80 kg mr br ? br ? 4 br 20 kg me

229

O

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Dato che be ⫹ br ⫽ 3,0 m avremo: 5 br ⫽ 3,0 m br ⫽ 0,6 m br ⫽ 2,4 m DOMANDA Se il bambino e l’uomo prendono in braccio entrambi un gatto di 3,5 kg, il sistema è ancora in equilibrio?

La carrucola Figura 28. Carrucola fissa: il braccio della forza resistente è uguale a quello della forza equilibrante.

Una carrucola è un dispositivo che ruota su un perno, intorno al quale scorre una fune capace di modificare la direzione di una forza, oltre che di amplificarne l’effetto. Anche in questo caso la relazione che ne spiega il funzionamento è la condizione di equilibrio tra i momenti delle forze: Fe be ⫽ Fr br

be

br

Il guadagno meccanico è:

O Fr

Gm

Fe

Fr Fe

be br

Se la carrucola è fissa (figura 28): be ⫽ br cioè Gm ⫽ 1 Figura 29. La carrucola mobile è vantaggiosa: infatti il braccio della forza resistente è doppio rispetto a quello della forza equilibrante.

L’intensità della forza equilibrante è uguale a quella della forza resistente, e il beneficio pratico sta nel poter applicare la forza in una direzione diversa e più comoda. Se la carrucola è mobile (figura 29): be ⫽ 2br

O be

Gm ? Fe

br

be ?2 br

La carrucola mobile è vantaggiosa e consente di equilibrare oggetti pesanti con forze di intensità pari alla metà della loro forza-peso. Una combinazione di carrucole fisse e mobili è detta paranco, capace di un vantaggio meccanico molto elevato.

Fr

230

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

Il verricello Il verricello è costituito da un cilindro, solidale a una manovella, attorno al quale è avvolta una fune: agendo sulla manovella è possibile equilibrare una forza che agisce lungo la fune (figura 30). Anche per spiegare il funzionamento del verricello si usa la formula (8.4):

Figura 30. Il verricello o argano è una macchina semplice molto antica. La forza resistente viene equilibrata per mezzo dell’uso di una manovella.

Fe be ⫽ Fr br

br

Il braccio della forza resistente è il diametro del cilindro e il braccio della forza equilibrante coincide con la lunghezza della manovella: variando quest’ultima si può ottenere il guadagno che si vuole, sempre maggiore di uno. Gm =

O

be Fr Fe

be >1 br

Il cuneo Il cuneo è di fatto un piano inclinato, pertanto è una macchina sempre vantaggiosa. Esso si usa per ridurre la resistenza alla penetrazione di un corpo compatto o di due corpi uniti, e ne sono esempi i chiodi, i coltelli, le asce (figura 31). Il cuneo agisce inizialmente grazie all’elevata pressione della sua punta, e poi si fa strada all’interno di un oggetto, separandone le parti. Il piano inclinato scompone:

Figura 31. La forza che agisce in verticale separa in direzione orizzontale le fibre del legno, la cui resistenza è ridotta dall’inclinazione del cuneo.

Fe

s la forza resistente, riducendo l’intensità della forza necessaria a equilibrarla; s la forza equilibrante, modificando la direzione della sua azione.

Fr

Fr

Forza resistente e forza equilibrante sono infatti quasi perpendicolari.

La vite

Richard Lister / Shutterstock

La vite è una macchina molto ingegnosa e raffinata, capace di equilibrare con una coppia di forze una forza resistente rettilinea. Si tratta, in ultima analisi, di un lungo piano inclinato avvolto ad elica intorno a un cilindro (figura 32).

Figura 32. Un vite è in grado di penetrare nel legno o di sollevare acqua. Un movimento rotatorio è trasformato in un movimento rettilineo.

Può essere usata in molti modi, per esempio per penetrare in un materiale, per serrare due oggetti tra loro, per sollevare acqua o solidi granulosi o per spostamenti di precisione.

231

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

6

I FLUIDI E L’EQUILIBRIO

Un corpo fluido è un corpo esteso non rigido, la cui forma dipende dal recipiente in cui è posto. Se immaginiamo di suddividerlo in tanti piccoli volumi, questi possono scorrere l’uno sull’altro e pertanto le loro distanze reciproche sono variabili. È in equilibrio quando è nulla la somma delle forze agenti su ciascun suo elemento, ma ciò non significa che le particelle siano in quiete, anzi, all’interno di un fluido esse sono in continuo movimento. I fluidi pertanto si studiano nel loro insieme, distinguendo due tipi di forze: s forze di volume, che agiscono sull’intero volume del fluido e sono applicate nel suo baricentro; s forze di superficie, che agiscono perpendicolarmente alla sua superficie e sono proporzionali alla sua area. Un fluido è in equilibrio quando è nulla la somma di tutte le forze di volume e di superficie che agiscono su ciascun suo volumetto.

I vasi comunicanti In un liquido in equilibrio valgono il principio di Pascal e la legge di Stevino, dalla cui combinazione si ricava il principio dei vasi comunicanti (figura 33), il quale si enuncia dicendo che: se due o più recipienti sono in collegamento tra loro, allora il livello di un liquido in equilibrio al loro interno è lo stesso in ciascuno di essi.

Figura 33. Un liquido all’interno di vasi comunicanti ha lo stesso livello in ciascuno di essi.

Alla stessa profondità dalla superficie libera, infatti, la pressione idrostatica deve essere la stessa. Quando non è così, la spinta che si trasmette inalterata da un punto all’altro del liquido viola la condizione di equilibrio e il liquido si mette in movimento (figura 34). Figura 34. Quando all’interno di un liquido c’è una differenza di pressione, esso si mette in movimento nella direzione in cui tale differenza si annulla.

232

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

La pressa idraulica Meno «paradossale» e più utile della botte di Pascal (vedi capitolo 7, figura 34) è un’altra applicazione del principio di Pascal, con la quale è possibile amplificare notevolmente l’effetto di una forza. Si tratta della pressa idraulica, costituita da un sistema capace di equilibrare una forza Fr molto intensa con una forza Fe meno intensa (figura 35).

SA

Figura 35. A parità di pressione, a superficie maggiore corrisponde forza maggiore.

SB A

B pA ⫽ pB

Fr

Fe

In condizioni di equilibrio la pressione nel punto A è uguale a quella nel punto B: pA ⫽ pB cioè: Fe Se

Fr Sr

(8.5)

Fr S ? r Fe Se Gm ?

Figura 36. a. Grande pressa idraulica del 1935, capace di esercitare forze equivalenti a 12 000 tonnellate, oggi monumento della città di Terni. b. I freni a disco sono azionati per mezzo di presse idrauliche che consentono di fermare un veicolo in corsa con la pressione di un piede. c. Il sollevatore idraulico è un dispositivo molto usato nelle officine.

Fr S ? r Fe Se

a

b

Levent Konuk / Shutterstock

daseaford / Shutterstock

Antonio Piccialli

La pressa idraulica (figura 36) è vantaggiosa quando Sr ⬎ Se cioè quando la forza equilibrante è applicata a una superficie minore di quella corrispondente alla forza resistente.

c

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8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

La pressione atmosferica

MarcelClemens / Shutterstock

Figura 37. L’aria che circonda il nostro pianeta «pesa» su tutto ciò che vi è immerso.

Così come un corpo immerso in un recipiente pieno d’acqua, anche noi siamo continuamente soggetti alla cosiddetta pressione atmosferica dovuta alla colonna fluida di aria che ci sovrasta (figura 37). Non ci sentiamo schiacciare perché anche i nostri corpi – in equilibrio con essa – premono verso l’esterno con una pressione uguale e opposta, ma l’aria pesa sulle nostre teste e preme i nostri corpi in tutte le direzioni. Evangelista Torricelli (1607-1647), allievo di Galileo Galilei, misurò per primo la pressione atmosferica con un famoso esperimento. Egli capovolse alcuni tubi pieni di mercurio in una vasca piena anch’essa di mercurio. Qualunque fosse la lunghezza del tubo si accorse che il mercurio scendeva sempre fino allo stesso livello, cioè si arrestava quando la colonna, al livello della superficie libera, misurava 760 mm. Dedusse che la pressione idrostatica della colonna di mercurio è proprio uguale alla pressione idrostatica dell’atmosfera sulla superficie libera perché la porzione di tubo sovrastante il mercurio era vuota: all’equilibrio, infatti, la pressione nel punto A deve essere uguale alla pressione nel punto B (figura 38). La pressione esercitata dall’atmosfera al livello del mare è equivalente alla pressione idrostatica esercitata da una colonna di mercurio alta 760 mm.

Figura 38. Torricelli dimostrò che lo spazio lasciato dal mercurio durante la discesa è vuoto. All’equilibrio la pressione in A è uguale alla pressione in B: questo significa che l’atmosfera esercita una pressione pari a quella esercitata da 760 mm di mercurio.

760 mm

760 mm

A

B

Hg

Tale pressione è indicata convenzionalmente con il simbolo p0 ed è misurata in pascal nel Sistema Internazionale: p0 ⫽ 1,01

234

105 Pa

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

A volte la pressione atmosferica è espressa con altre unità di misura pratiche, quali l’atmosfera (atm) e il bar: 1 atm ⫽ 1 bar ⫽ 1,01

105 Pa

Lo strumento con cui si misura la pressione atmosferica è detto barometro.

La legge di Stevino generalizzata Tenendo conto della pressione atmosferica, in un recipiente aperto la legge di Stevino prende la forma generale: pA ⫽ p0 ⫹ ghA

(8.6)

dove p0 è il contributo dato dall’atmosfera alla pressione idrostatica all’interno del recipiente (figura 39).

p0

h

pA ⫽ p 0 ⫹ ␳gh

A

Figura 39. La pressione nel punto A è dovuta alla pressione idrostatica del liquido più la pressione atmosferica che si misura sulla superficie libera del liquido.

Il principio di Archimede È noto come principio di Archimede l’enunciato: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto uguale al peso del fluido spostato, detta spinta idrostatica. Quando ci immergiamo in acqua ci sentiamo più leggeri e, in effetti, è proprio così: ciò è dovuto a una spinta verso l’alto che riceviamo dall’acqua che abbiamo spostato. Come ogni corpo materiale, anche l’acqua ha un peso che la attira verso il basso e si mette, in un certo senso, «in competizione» con il nostro: l’acqua tende a tornare nella posizione che aveva prima che ci immergessimo, spingendoci verso l’alto. Così come avviene in una bilancia a bracci uguali, l’equilibrio si ottiene quando il corpo più pesante occupa la posizione più bassa; pertanto, se l’acqua spostata è più pesante di noi, veniamo sollevati verso la superficie e galleggiamo. A parità di volume sono più pesanti i corpi che hanno una densità più elevata, pertanto il galleggiamento dipende dalla densità relativa del corpo immerso rispetto al fluido. Per esempio, dato che la densità media di un

IN LABORATORIO La legge di Archimede š Video (6 minuti) š Test (3 domande)

SIMULAZIONE Galleggiamento

(PhET, University of Colorado)

235

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

essere umano è 985 kg/m3 e quella dell’acqua è 1000 kg/m3, emergiamo solo parzialmente dalla superficie (figura 40).

Figura 43. Una mongolfiera «galleggia» nell’aria perché la sua densità complessiva è inferiore a quella dei gas circostanti. Anche i corpi immersi nell’aria sono soggetti alla spinta di Archimede, ma generalmente non ce ne accorgiamo perché si tratta di una forza trascurabile rispetto al peso.

236

Quando proviamo a immergere un tappo di sughero il volume che emerge dall’acqua è maggiore, diciamo che il tappo galleggia (figura 41). Se invece immergiamo un oggetto la cui densità è superiore a quella dell’acqua esso affonda, in quanto il suo peso è superiore al peso dell’acqua spostata. Tuttavia sughero l’oggetto viene attratto verso il basso da una forza inferiore alacqua la sua forza-peso, in quanto da questa bisogna sottrarre la spinta idrostatica, detta anche spinta di Archimede (figure 42-43). acqua

mercurio

koko-tewan / Shutterstock

Figura 42. Un corpo immerso in un fluido galleggia o affonda a seconda della sua densità, relativamente a quella del fluido. Il marmo, che affonda in una vasca d’acqua, galleggerebbe in una vasca di mercurio.

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Figura 41. La differenza tra il peso del sughero e il peso dell’acqua da esso spostata crea una situazione non equilibrata. L’equilibrio si raggiunge quando una porzione del tappo di sughero emerge dall’acqua.

vicspacewalker / Shutterstock

Figura 40. Il corpo umano ha una densità leggermente inferiore a quella dell’acqua, per cui riusciamo a nuotare o a immergerci senza grandi difficoltà. Il Mar Morto ha una densità di 1200 kg/m3 ed è più facile galleggiare.

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

ESEMPIO ¢ Una biglia di vetro di volume Vb ⫽ 0,5 dm3, attaccata a un dinamometro, viene immersa in acqua. Se la densità del vetro è 3 b ⫽ 2800 kg/m , qual è la risultante della forza-peso e della forza di Archimede dopo l’immersione?

SOLUZIONE Il valore letto sul dinamometro dopo l’immersione è pari alla differenza tra la forza-peso Fb della biglia e la spinta idrostatica Fi, pari al peso Fpa dell’acqua spostata: Fi ⫽ Fpa ⫽ ma g Fb ⫺ Fi ⫽ mb g ⫺ ma g ⫽ Vb

b

g ⫺ Va

a

g

Ricordando che m⫽V e dato che il volume di acqua spostato Va è uguale al volume della biglia Vb: Vb ⫽ 0,5 dm3 ⫽ 0,5 ⫻ 10–3 m3 avremo: F b ⫺ F i ⫽ V b b g ⫺ V a a g ⫽ V b g ( b ⫺ a) ⫽ ⫽ 0,5 ⫻ 10–3 m3 9,8 N/kg (2800 ⫺ 1000) kg/m3 ⫽ 8,8 N Il peso della sfera supera quello dell’acqua spostata di 8,8 N. DOMANDA Qual è il peso della biglia fuori dall’acqua?

237

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

ARCHITETTURA

Il duomo di Firenze aveva un progetto grandioso, ma poneva una questione importante: come coprire l’immenso spazio centrale con una cupola che non frantumasse, sotto le sue spinte, le strutture sottostanti? Si presentava anche un altro problema: la classica cupola a tutto sesto, cioè di forma sferica, avrebbe richiesto l’uso di un’impalcatura che sostenesse la muratura durante la sua costruzione, che non è autoportante se non quando è completa, e la sua imponenza ne rendeva molto difficile la realizzazione, fosse solo per la reperibilità delle grosse travi necessarie. Arnolfo di Cambio aveva costruito il duomo ma non aveva un progetto per la cupola, per la quale nel 1418 fu necessario indire un concorso pubblico. Nel 1420 iniziarono i lavori sotto la direzione di Filippo Brunelleschi.

architrave

arco a tutto sesto

vichie81 / Shutterstock

La cupola del Brunelleschi

La chiesa di Santa Maria del Fiore a Firenze.

A differenza dell’architrave, in cui per equilibrare la forza-peso della struttura sovrastante sono coinvolte solo componenti verticali, nell’arco compaiono spinte laterali, da equilibrare quindi orizzontalmente.

cupola sferica Un arco a tutto sesto che ruota su se stesso forma una cupola.

Una sfida all’equilibrio Il progetto era molto ardito: costruire la cupola senza utilizzare impalcature di sostegno. Una struttura autoreggente, formata non da una calotta sferica ma da otto vele, costruite dal basso ad opera di otto cantieri che lavoravano contemporaneamente sotto la guida diretta dello stesso Brunelleschi. La particolare tecnica costruttiva delle murature, un incastro a spina di pesce, le rendeva particolarmente leggere e compatte, così da poterle erigere senza opere di sostegno. Molti erano gli scettici che non credevano nell’impresa, ma nel 1436 terminarono i lavori di copertura e dopo quasi sei secoli ancora possiamo ammirare lo splendore di quel capolavoro.

Una sfida geometrica

Per costruire un arco (e quindi una cupola) si appoggia inizialmente la struttura a un’impalcatura provvisoria, che poi si rimuove quando l’arcata è completa e quindi capace di sorreggersi da sé.

Costruire una cupola di quelle dimensioni senza impalcatura di sostegno non era difficile solo per questioni di statica ma anche perché, senza il riferimento delle armature, era come edificare nel vuoto, con il rischio di compromettere la simmetria della struttura al minimo errore. Brunelleschi risolse ingegnosamente il problema utilizzando sistemi di corde e fili a piombo che disegnavano nello spazio le distanze man mano che l’opera si innalzava verso i suoi 90 metri: una ragnatela geometricamente definita, che guidava la mano degli operai nella posa dei mattoni con il giusto angolo di inclinazione.

DOMANDA Perché nei grossi edifici con copertura ad arcate si trovano muri molto spessi o contrafforti laterali? Motiva la risposta in 5 righe e fai una ricerca sulle due diverse soluzioni nell’architettura romanica e gotica.

238

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

TECNOLOGIA Il cantiere del Brunelleschi Filippo Brunelleschi non si limitò a progettare la cupola e a dirigerne scrupolosamente i lavori, ma dedicò grandissima attenzione a tutto il cantiere, dalle impalcature per gli operai alle macchine per il sollevamento e lo spostamento dei grossi carichi. Si trattava di un’impresa ai limiti del pensabile con la tecnologia dell’epoca: i lavori si svolgevano «in quota», dalla base della cupola a 54 metri dal pavimento, fino ai 90 metri della base della lanterna. La cupola fu costruita dal basso, uno strato alla volta, senza la classica impalcatura portante che si usa per sostenere le arcate prima della loro chiusura, e rese indispensabile l’uso di macchinari capaci di sollevare il materiale all’altezza necessaria.

Le macchine

Gru girevole in un disegno di Giuliano da Sangallo.

Motore dell’argano a tre velocità, disegnato da Francesco di Giorgio.

Brunelleschi stesso progettò e realizzò per il suo cantiere macchine molto ingegnose e particolarmente innovative per l’epoca: ponti sospesi, argani, bracci meccanici rotanti capaci di arrivare alle quote più alte. Si trattava di vere e proprie meraviglie della meccanica, che attirarono l’attenzione di molti ingegneri, curiosi di studiarne il funzionamento. Furono proprio loro a lasciarci le migliori testimonianze delle macchine usate nel cantiere di Brunelleschi, visto che non esistono più i progetti originali.

Leonardo da Vinci disegnò con cura diverse macchine del Brunelleschi, tra cui questo argano a tre velocità.

Gru girevole della lanterna, disegno di Bonaccorso Ghiberti. Un argano mosso da un cavallo in un disegno di Mariano di Jacopo, detto Taccola.

DOMANDA Riconosci almeno una macchina semplice in questo disegno?

239

8

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Numeri da circo L’equilibrio in scena

Il Medioevo dei giullari

Non è un caso che la parola «acrobata» in greco antico voglia dire letteralmente «colui che cammina in punta di piedi». Egli sfida la forza di gravità con configurazioni di equilibrio instabile sempre più complicate ed estreme: esibisce pubblicamente la precarietà con gesti che fanno spettacolo. I giochi di equilibrio sono molto antichi, come testimoniano alcuni disegni egizi ritrovati in una tomba a Beni Hassan, nei quali si riconoscono addirittura esercizi di giocoleria. Giocolieri, ginnasti e acrobati si esibirono in Grecia e nell’antica Roma, fino a quando nel 313 d.C. l’imperatore Costantino proclamò un editto in cui si concedeva libertà di culto ai cristiani e contemporaneamente si proibivano quelli che oggi chiameremmo «giochi circensi».

Durante il Medioevo saltimbanchi, giullari, giocolieri e cantastorie allietavano le corti e girovagavano di città in città, spesso ostacolati dalla cultura cattolica ufficiale, che ne condannava lo stile di vita e i temi spesso licenziosi. In un periodo in cui pochissimi sapevano leggere e scrivere, questi «artisti di strada» si guadagnavano da vivere diffondendo notizie, divertimenti e cultura. Offrivano al pubblico le arti più svariate: suonavano, cantavano, danzavano, raccontavano storie, camminavano sulle mani, facevano capriole, si esibivano in numeri di acrobazia e giocoleria non molto diversi da quelli che ancora oggi si ammirano nei nostri circhi. L’abilità di far volteggiare oggetti senza farli cadere è antichissima. Il disegno riproduce alcune testimonianze risalenti al periodo compreso tra il 1994 e il 1781 a.C., ritrovate in una tomba egizia. Salti mortali suoi tori nella Creta minoica del XV secolo a.C.

PAROLA CHIAVE

Baricentro

DOMANDA In che modo il bilanciere del funambolo può influire sulla posizione del baricentro? Spiegalo in 5 righe. PAROLA CHIAVE

Macchina semplice

DOMANDA Perché il bilanciere è d’aiuto al funambolo? Spiega in 5 righe il suo ruolo come leva di primo genere.

240

Nel 1859 il francese Charles Blondin camminò su un filo teso tra due rive, sopra le cascate del Niagara. Successivamente ripeté l’impresa con il suo manager sulla schiena e con altre ardite varianti sempre più spettacolari.

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

8

Il circo equestre

Durante i festeggiamenti per il carnevale le strade di Venezia, «porta d’oriente», si riempivano di mercanzie, di spezie, di stoffe colorate, di spettacoli e giochi d’ogni tipo. Ancora loro, gli acrobati, i giocolieri, i musicisti, i ballerini, gli attori, attiravano le folle e le intrattenevano con le esibizioni più spettacolari. Una delle più importanti, sin dal XVI secolo, erano le cosiddette «forze d’Ercole», piramidi umane che rievocavano nel giovedì grasso la destrezza delle truppe veneziane nell’assalto alle mura della città di Aquileia. Un’altra importante acrobazia era quella denominata «svolo del turco» – che consisteva nell’attraversare la piazza su una fune, compiendo i numeri più spettacolari, per consegnare un mazzo di fiori al doge –, ispirata a una prodezza eseguita nel 1500 da un turco, appunto. Questa usanza è sopravvissuta, trasformandosi in diverse varianti, fino ad oggi: dal volo della colombina di legno, che spargeva coriandoli per l’apertura del carnevale, all’attuale volo dell’angelo, in cui è una persona a compiere la traversata lungo la fune, con le opportune misure di sicurezza.

Nel XVIII secolo gli acrobati si spostavano di città in città in occasione delle fiere, esibendosi presso una costruzione in legno detta «baracca», che era un vero e proprio teatro ambulante. Verso la fine del secolo l’ufficiale di cavalleria britannico Philip Astley, noto al pubblico perché usava esibirsi effettuando prodezze a cavallo, decise di dare stabilità al suo successo e istituì il primo vero e proprio «circo equestre» della storia. Inizialmente i numeri equestri erano l’attrattiva principale, come lascia intuire la forma circolare della pista, poi acquistarono sempre maggiore spazio i vari numeri di acrobazia, funambolismo, giocoleria, comicità e animali addestrati, che fino ad allora avevano popolato le fiere. Il circo ebbe un tale successo che dall’Inghilterra fu esportato in tutta Europa, con la costruzione di strutture permanenti per gli spettacoli, mentre i tendoni mobili che oggi conosciamo comparvero nel XIX secolo.

beltsazar / Shutterstock

Venezia: forze d’Ercole e svoli

Le forze d’Ercole sono documentate a Venezia dalla metà del XVI secolo. Oltre alla forza e all’agilità degli acrobati, questo numero ne metteva alla prova il coraggio: si trattava infatti di esibizioni pericolose, svolte con misure di sicurezza esigue.

PAROLA CHIAVE

Georges Seurat, Il circo, 1891. La forma circolare della pista del circo è legata all’importante presenza di cavalli negli spettacoli.

Ancora oggi l’equilibrio è protagonista di spettacoli molto apprezzati.

Equilibrio

DOMANDA Perché per un fisico, mentre un funambolo si esibisce sul filo, sono in equilibrio anche gli spettatori? Rispondi in 5 righe.

241

MAPPA DEI CONCETTI UN CORPO IN

EQUILIBRIO STATICO INIZIALMENTE FERMO CONTINUA A RIMANERE FERMO

Condizioni È NULLA LA SOMMA DI TUTTE LE FORZE APPLICATE

il corpo NON TRASLA e

È NULLA LA SOMMA DI TUTTI I MOMENTI DELLE FORZE APPLICATE

NON RUOTA

Punto di applicazione della forza-peso di un corpo

BARICENTRO

Punto di applicazione di tutte le forze agenti su un corpo

CENTRO DI MASSA

UN CORPO APPESO È IN EQUILIBRIO v

G

Condizione

Definizione

Rappresentazione

242

G

v⬅G v

STABILE il vincolo v è sopra il baricentro G

INSTABILE il vincolo v è sotto il baricentro G

INDIFFERENTE il vincolo v è sul baricentro G

Il corpo torna nella posizione di equilibrio stabile se viene allontanato di poco

Il corpo si allontana dalla posizione di equilibrio instabile se viene allontanato di poco

Il corpo si trova in un’altra posizione di equilibrio se viene allontanato di poco

LE FORZE E L’EQUILIBRIO

MACCHINE SEMPLICI Fr forza resistente

servono per equilibrare forze resistenti con forze di intensità diversa

PIANO INCLINATO

la forza resistente è la forza-peso Fp

Fe forza equilibrante Fe

h Fe : Fp b

艎

h Fp

br

DI PRIMO GENERE

be

F

Fr Fr

LEVE

Fe Fe

be

b Fe : r Fr be

br

DI SECONDO GENERE F

F Fr

DI TERZO GENERE

br

Fe

be F

br

FISSA

be

Fe ⫽ Fr

O F

Fr

CARRUCOLA O

be

MOBILE

Fe :

br F

1 F 2 r

Fr

VERRICELLO

b Fe : r Fr be

be

br O Fr

Altre macchine semplici sono il CUNEO e la VITE

EQUILIBRIO NEI FLUIDI: un fluido è in equilibrio quando è nulla la somma delle forze di volume e di superficie agenti su ciascuna sua porzione

Se

Fe

Fr

Sr

S Fe : e Fr Sr

Con la PRESSA IDRAULICA si possono equilibrare forze intense con forze meno intense

243

8

8 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI ¢ Disegna la forza equilibrante che annulla F1 ⫹ F2 e calcolane il modulo.

L’EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE

[18 N]

DOMANDE 1

7 Un quadro di 2,2 kg è appoggiato tramite un chiodo

alla parete di una stanza.

Se approssimiamo una persona seduta su una sedia con un punto materiale, in quale tipo di equilibrio si trova?

¢ Disegna il sistema di forze agenti sul quadro. ¢ Quanto vale la forza equilibrante? [22 N]

2 Perché un computer fermo sul piano di un tavolo è in

equilibrio statico? Quali forze agiscono sul computer? Rispondi in 5 righe. 3 Disegna le forze agenti nell’immagine seguente e

spiega perché i due corpi sono in equilibrio.

2

EQUILIBRIO SU UN PIANO INCLINATO

DOMANDE 8 Definisci in 5 righe che cos’è «un vincolo». 9 Due oggetti di peso uguale sono in equilibrio su due

piani inclinati rispettivamente di 30° e 60°. Su quale di essi l’intensità della forza equilibrante che impedisce al corpo di scivolare lungo il piano è maggiore? 10 Sul pianale di un camion è posta una cassa, che non

scivola per la presenza dell’attrito statico. In che modo la forza di attrito dipende dall’inclinazione del pianale? CALCOLI

CALCOLI

4 Disegna la forza equilibrante che annulla F1 ⫹ F2 nel

seguente schema vettoriale.

amico di massa 30 kg lungo un pendio lungo 500 m, per un dislivello di 50 m. ¢ Trascurando l’attrito, quanto vale la forza che esercita il bambino per trattenere l’amico?

`

F1

`

F2

11 Un bambino trattiene una slitta di 15 kg con sopra un

[44 N]

5 Dato il seguente schema vettoriale, il punto O è in

equilibrio? Se non lo è, quanto vale la forza totale agente su O e come è diretta? 6,50 N

7,50 N

12 Un blocchetto di 230 g si trova su un piano inclinato

lungo 100 cm e alto 500 mm privo di attrito. ¢ Disegna il sistema di forze agenti sul blocchetto e calcola l’intensità della forza che tiene in equilibrio statico il blocchetto. [1,13 N]

30°

13 In riferimento al quesito 10, quando l’angolo di incli-

3,75 N

nazione del pianale del camion è di 30° la cassa inizia a scivolare.

O

¢ Qual è la forza massima di attrito statico se la massa della cassa è 40 kg?

9,50 N

[2,0 ⫻ 102 N]

14 Un gatto è accovacciato lungo la rampa di un garage

il cui coefficiente di attrito statico è 1. [3,50 N]

6 Due forze F1 ed F2 agiscono lungo due rette che for-

mano un angolo di 90° e hanno un’intensità rispettivamente pari a 10 N e 15 N.

244

¢ Calcola l’inclinazione della rampa del garage oltre la quale il gatto scivola. [45°]

LE FORZE E L’EQUILIBRIO 3

IL BARICENTRO

4

8

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

DOMANDE

DOMANDE

15 Perché queste forchette possono

22 Ritaglia su un cartoncino robusto una sagoma a

dondolare senza cadere?

Diak / Shutterstock

scelta tra quelle delle figure piane seguenti e determina sperimentalmente il suo baricentro.

16 Dov’è approssimativamente il baricentro dell’atleta

in questa immagine?

centro. Quando questa gira il suo baricentro è fisso: puoi quindi affermare che la ruota è in equilibrio? 24 Se a un righello si applicano due forze di uguali inten-

sità ma di verso opposto (come mostrato in figura), senza fare calcoli puoi dire se il corpo è in equilibrio? ref348985 / Shutterstock

Diego Barbieri / Shutterstock

23 Disegna la ruota di un mulino e individua il suo bari-

17 Perché la Torre di Pisa non cade? 18 Che cosa deve fare una persona per mantenersi in

equilibrio con un grosso zaino sulle spalle? Perché? Motiva in la risposta in 5 righe. CALCOLI

CALCOLI

19 Agli estremi di un righello di 30 cm sono appoggiati

25 Un fruttivendolo determina la massa di 1,0 kg di mele

due corpi che pesano 0,30 N ciascuno. ¢ Supponendo che il righello non fletta, trova la posizione del baricentro. ¢ Che cosa accade se a uno degli estremi il peso raddoppia? [15 cm]

con una stadera. La distanza della retta di applicazione della forza-peso delle mele dal punto di sospensione della stadera è d1 ⫽ 50 mm, mentre quella della massa equilibrante m è d2 ⫽ 12,5 cm. d1

d2

20 Calcola la distanza del baricentro dagli estremi di

un’asta omogenea di massa trascurabile lunga 150 cm, alle cui estremità sono applicate due forze di 9,0 N e 10,0 N.

m

[79 cm; 71 cm]

21 A un estremo di un’asta rigida omogenea di massa

trascurabile è collocato un corpo di 5,0 kg, che dista 85 cm dal baricentro. All’altro estremo, a 55 cm dal baricentro, è collocato un corpo che equilibra l’asta in posizione orizzontale. ¢ Quanto vale la sua massa?

¢ Quanto vale m? [7,7 kg]

[0,40 kg]

245

8 ESERCIZI 30 Osserva le figure seguenti e individua in esse le mac-

26 Un’asta rigida è sospesa per il suo centro O a un

chine semplici che conosci, specificando se sono vantaggiose, svantaggiose o indifferenti.

filo. ¢ Determina l’intensità della forza F che bisogna applicare a 30 cm da O per equilibrare il peso di un corpo di 510 g agganciato dalla parte opposta a una distanza di 20 cm. [3,3 N]

27 Un dondolo da parco giochi di lunghezza 3,50 m

Warren Goldswain / Shutterstock

come quello in figura dispone di due seggiolini. Su uno è seduto un bambino di 25 kg.

¢ Quanto deve valere la massa del bambino che, sull’altro seggiolino, equilibra il dondolo in orizzontale? ¢ Se il secondo bambino avesse una massa di 31 kg a quale distanza dal centro dovrebbe sedersi per equilibrare il dondolo?

31 Che cos’è il fulcro di una leva? Rispondi in 5 righe.

CALCOLI

[25 kg; 1,4 m]

32 Su un piano inclinato una scatola che pesa 20 N si

5

LE MACCHINE

trova in equilibrio per via della forza di attrito. Il piano è lungo 80 cm e alto 40 cm. ¢ Calcola quanto vale la forza di attrito statico. [10 N]

DOMANDE 28 Disegna nella figura seguente le direzioni delle forze

applicate.

33 Un contadino deve sollevare con una carrucola un

secchio d’acqua di 5,0 kg. ¢ Quale forza deve applicare? ¢ Quanto vale il guadagno della macchina? [49 N; 1]

34 Lo stesso contadino dell’esercizio 33 usa una carru-

cola mobile di raggio 12 cm per sollevare lo stesso peso. ¢ Qual è l’intensità della forza che deve applicare? [25 N]

35 Per tagliare un foglio di carta Marco applica una for-

za di 1,0 N a un paio di forbici, a 30 mm dal fulcro. 29 Quale criterio stabilisce se una macchina semplice è

vantaggiosa o meno? Rispondi in 5 righe.

246

¢ Quanto vale il braccio della forza resistente se questa è di 2,3 N e il sistema è in equilibrio? [13 mm]

LE FORZE E L’EQUILIBRIO 36 Per sollevare un peso di 800 N è utilizzato un verri-

cello composto da un cilindro di raggio 15 cm e una manovella lunga 45 cm.

8

44 Calcola l’intensità della spinta aerostatica applicata

dall’aria a un corpo di volume V ⫽ 1000 dm3. [12,7 N]

¢ Quanto vale l’intensità della forza da applicare? [2,7 ⫻ 102 N]

6

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE

I FLUIDI E L’EQUILIBRIO

45 Quale tipo di leva riconosci nel sistema gamba-

DOMANDE 37 Tizio scommette con Caio di riuscire a far galleggiare

piede durante la flessione plantare del piede? Segna in questa figura il fulcro e i bracci delle forze che agiscono.

un pezzo di marmo. In quale modo Tizio potrebbe vincere la scommessa? 38 Un palloncino pieno di gas elio lasciato libero di an-

dare in aria sale e poi si ferma. Spiega il motivo in 5 righe. 39 L’animatrice di un laboratorio scientifico immerge

una noce di cocco in una bacinella piena d’acqua. Si osserva che la noce di cocco galleggia nonostante sia molto grande e fatta di un materiale più denso dell’acqua: perché? Fornisci in 5 righe una possibile spiegazione. CALCOLI 40 Si deve sollevare un’automobile di massa 1200 kg

con un torchio idraulico che ha un pistone di area 3,5 ⫻ 10–2 m2 e una piattaforma di area 5,0 m2. ¢ Qual è l’intensità della forza da applicare al pistone per sollevare l’automobile? [82 N]

46 Una sfera omogenea è appoggiata su un piano oriz-

zontale privo di attrito e la risultante delle forze agenti è nulla. Rappresenta la situazione con un disegno. Trova il baricentro della sfera e disegna il sistema di forze agenti. La sfera è in equilibrio statico? Se sì di che genere? 47 Yuri Chechi agli anelli si trova per pochi secondi nella

posizione indicata nella foto seguente. Disegna il sistema di forze agenti che lo mantengono in equilibrio.

41 Un oggetto ha una densità di 1200 kg/m3. Immerso

in acqua riceve una spinta di 35 N. Foto © La Presse - Tutti i diritti riservati

¢ Calcola la massa dell’oggetto. ¢ L’oggetto galleggia o affonda? [4,3 kg]

42 Calcola la pressione totale esercitata su un paio di

occhialini di dimensioni 30 cm2 sul fondo di una piscina profonda 300 cm. (Suggerimento: considera la densità dell’acqua pari a 1000 kg/m3.) [1,3 ⫻ 105 Pa]

43 Un masso con un volume V ⫽ 1,20 m3 e densità

⫽ 4550 kg/m3 si trova sul fondo di un lago contenente acqua dolce ( ⫽ 1000 kg/m3). ¢ Quanto vale la risultante della forza-peso e della forza di Archimede del masso in acqua e fuori dall’acqua?

48 Perché quando trasportiamo

una borsa pesante con un braccio solo tendiamo ad allargare l’altro braccio verso l’esterno del corpo? Rispondi in 10 righe.

[41,7 ⫻ 104 N]

247

8 ESERCIZI 49 Quale forza mantiene in equilibrio un castello di

carte?

55 Un falegname utilizza una carrucola mobile per sol-

levare un corpo di massa 10 kg.

50 Perché la pressione atmosferica non ci schiaccia? Ri-

spondi in 5 righe. 51 Un alpinista deve attrezzare una sosta destinata a

sostenere il suo peso durante una discesa. In quale delle due configurazioni illustrate nella figura l’intensità delle forze che agiscono su ciascun chiodo è minore? Dimostra la tua affermazione con uno schema vettoriale.

¢ Se la carrucola ha un raggio di 80 cm quanto vale la forza motrice che deve applicare il falegname? ¢ Quanto vale il momento della forza motrice? ¢ E il guadagno? ¢ Come potrebbe il falegname rendere la macchina ancora più vantaggiosa? [49 N; 39 Nm; 2]

56 Un blocchetto A che pesa 80 N è in equilibrio su un

piano inclinato, lungo 300 cm e alto 100 cm, perché trattenuto dalla forza-peso di un altro blocchetto B di massa ignota, come è mostrato in figura.

120°

60°

300 cm A

100 cm B

52 Osserva i disegni, che rappresentano lo stesso si-

stema in due condizioni diverse: nel disegno A è presente aria, mentre nel disegno B no. Scrivi una didascalia di 10 righe che spieghi i fenomeni illustrati.

¢ Trascurando l’attrito del piano calcola la massa del blocchetto B che tiene A in equilibrio. ¢ Se l’attrito non fosse trascurabile ma pari a 0,4, quale dovrebbe essere la massa di B? [2,7 kg; 1,2 kg]

57 Un operaio carica su di una carriola 300 piastrelle di A

massa pari a 0,10 kg l’una. La distanza tra il manico della carriola e la ruota è 120 cm mentre la distanza tra il carico e la ruota è 40 cm.

B

¢ Rappresenta la situazione con un disegno. ¢ Calcola la forza che deve esercitare l’operaio per equilibrare il peso delle piastrelle. ¢ Che tipo di macchina semplice è la carriola?

PROBLEMI

¢ Quanto vale il guadagno? [98 N; 3]

53 Una cassa di 1250 kg è poggiata su una rampa incli-

nata di 30° rispetto all’orizzontale e la forza di attrito le impedisce di scivolare. ¢ Disegna il sistema di forze agenti sulla cassa.

58 Un ragazzo tiene in equilibrio una scatola di 6,5 kg

con una leva, come mostrato in figura, applicando una forza di 21 N.

¢ Calcola l’intensità della forza di attrito e della reazione vincolare perpendicolare al piano della rampa. ¢ Quanto vale il coefficiente di attrito tra la cassa e la rampa? [6,13 ⫻ 103 N; 1,06 ⫻ 104 N; 0,58]

54 Data una leva di primo genere lunga complessiva-

mente 150 cm, determina la distanza del braccio della forza equilibrante e della forza resistente nel caso in cui la prima sia 49 N e la seconda 69 N. [88 cm; 62 cm]

248

¢ Di quale tipo di leva si tratta? ¢ Quanto vale il guadagno? ¢ A quale distanza agisce la forza del ragazzo se la cassa si trova a 20 cm dal fulcro?

LE FORZE E L’EQUILIBRIO ¢ Volendo utilizzare una forza minore, dovrebbe allontanare o avvicinare il suo punto di applicazione rispetto al fulcro? [3; 61 cm]

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

L’asta in figura è rigida, ha lunghezza ᐉ e può ruotare liberamente intorno a un punto fisso O al quale è incernierata. L’asta rimane in equilibrio in posizione orizzontale sotto l’azione delle forze verticali p e q. Il punto H, dove è applicata la forza p, ha distanza 2 ᐉ/3 dall’estremo O e distanza ᐉ/3 dall’altro estremo, dove invece è applicata la forza q. q H

O 2艎 ⫺ 3

p

艎 ⫺ 3

Quale delle relazioni seguenti può sussistere fra le

8

intensità p e q delle forze? (Le forze sono misurate in newton.) A

p ⫽ 6 N; q ⫽ 4 N

B

p ⫽ 2 N; q ⫽ 1 N

C

p ⫽ 3 N; q ⫽ 3 N

D

p ⫽ 5 N; q ⫽ 4 N

E

p ⫽ 4 N; q ⫽ 3 N

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Architettura 2009/2010) 2 Le giraffe hanno un collo lungo circa 5 m. Assumen-

do per il sangue una densità pari a quella dell’acqua, che differenza di pressione ci aspettiamo alla base del collo tra quando la giraffa ha il collo disteso in verticale e quando ha il collo disteso in orizzontale? A

Circa 50 atm

B

Circa 5 atm

C

Circa 0,5 atm

D

Circa 50 cm Hg

E

Circa 0,05 atm

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2010/2011)

249

CAPITOLO

I principi della dinamica

“ ”

Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem. Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687

Maurits Cornelis Escher, Mani che disegnano, 1948.

PAROLE CHIAVE Interazione Principio Inerzia

250

A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: questo è l’enunciato classico del terzo principio della dinamica, il più moderno dei tre, l’unico ancora valido senza grosse correzioni o restrizioni. Esso introduce nella fisica il concetto attualissimo di interazione, cioè di azione reciproca tra due corpi, per il quale se un corpo agisce su un altro con una forza, a sua volta il secondo agisce sul primo con una forza di uguale intensità e diretta in senso contrario. Questo fatto si verifica continuamente, sia a livello macroscopico che microscopico, per tutti i tipi di interazione conosciuti; inoltre, la fiducia in questo principio è tale che si suppone sia valido anche per tutti i fenomeni che ancora non si conoscono. Esso è dunque un principio importantissimo della fisica, cioè un assunto base, una sorta di punto fermo, una chiave di lettura che serve ai fisici per studiare l’ignoto. Ricorda però che la

fisica è una scienza sperimentale: il terzo principio della dinamica è longevo e continuerà a sopravvivere, ma solo fino a quando in qualche angolo sperduto dell’Universo non si osserverà qualcosa che lo contraddica. Il principio di azione e reazione è terzo ad altri due: il primo, detto anche «principio di inerzia», ci dice che cosa accade quando la forza totale che agisce su un corpo è nulla; il secondo, detto anche «legge di Newton», ci dice che cosa accade quando la forza totale che agisce su un corpo è diversa da zero. Grande protagonista è l’inerzia, cioè la naturale «opposizione» che la materia esercita quando cerchiamo di farle cambiare velocità. Vedrai in che modo essa lega le forze che agiscono sui corpi e le accelerazioni che ne derivano: per esempio vedrai come, in assenza di forze non equilibrate, ogni cosa tenderebbe a procedere per inierzia a velocità costante in linea retta.

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

1

9

IL PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Galileo Galilei morì nel 1642. Un anno dopo nacque Isaac Newton, il grande fisico inglese al quale è intitolata l’unità di misura della forza. I due non si conobbero personalmente, ma il loro contributo alla scienza è concorde: essi sono considerati i padri fondatori della meccanica, cioè della fisica del movimento. Newton, in particolare, formalizzò le relazioni tra forze e movimento, che costituiscono la parte della meccanica detta «dinamica», da ´ (dìnamis), che in greco vuol dire «forza». Egli studiò il lavoro di Galileo e fece un passo avanti. Bravissimo matematico, oltre che fisico, elaborò gli strumenti necessari per descrivere formalmente il moto e le sue cause: introdusse le forze nella fisica e le collegò alle grandezze velocità e accelerazione, definite come variazioni istantanee della posizione e della velocità, nel modo che abbiamo visto nei capitoli precedenti. Raccolse i risultati dei suoi studi in un’opera importantissima, i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, cioè i principi matematici della filosofia naturale, ovvero della fisica, noti brevemente come Principia (figura 1). Premessa di tutta l’opera tre principi, cioè tre affermazioni generali mai smentite da alcun fenomeno, poste a fondamento del suo lavoro. La prima di esse è: ciascun corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è costretto a cambiare tale stato da forze impresse su di esso. Questo enunciato è la forma classica del cosiddetto primo principio della dinamica. Esso esprime, a parole, un fatto importantissimo del quale facciamo esperienza in ogni momento senza nemmeno accorgercene. Anzi, stando alle nostre più immediate percezioni, le cose vanno in modo del tutto diverso. Il principio afferma infatti che, quando le forze applicate su un oggetto sono complessivamente nulle, esso resta fermo se era fermo (e fin qui è facile rendersene conto) ma anche che, se procedeva a velocità costante lungo una retta, continua a procedere con la stessa velocità lungo la stessa retta. In altre parole, in assenza di forze, un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme non si ferma mai, cosa che non sembra corrispondere alla realtà (figura 2). Guardandoci intorno vediamo, infatti, che per mantenere in movimento le cose dobbiamo continuamente spingerle o tirarle, cioè dobbiamo continuamente applicare delle forze.

Figura 1. I Principia furono scritti in latino, perché destinati a un pubblico colto e ristretto. Oggi la lingua per la diffusione dei risultati all’interno della comunità scientifica è l’inglese.

Figura 2. Un’astronave lontana da stelle e pianeti non è soggetta alla forza-peso e non c’è aria che possa frenare il suo moto: essa procede in linea retta all’infinito con velocità costante finché non intervenga una forza a modificare il suo moto.

251

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

In effetti il primo principio della dinamica è ben nascosto nei fenomeni. C’è, ma non si vede senza un’analisi approfondita e una buona dose di astrazione.

ESEMPIO In assenza di attrito una persona ferma in mezzo a una stanza con il pavimento perfettamente orizzontale non potrebbe mai muoversi dalla sua posizione, costretta dalla sua inerzia a restare ferma fino all’intervento di una forza esterna. Il peso, infatti, è perfettamente equilibrato dalla reazione vincolare del pavimento e quindi la forza complessiva è nulla. I pattinatori inesperti sono spesso alle prese con un problema simile e con il suo opposto: fermarsi una volta acquistata velocità. DOMANDA Come sarebbe la nostra vita quotidiana in assenza di attrito e di peso, totalmente in balia della nostra inerzia? Gli astronauti hanno potuto provare di persona questa strana condizione. Cerca su internet immagini e informazioni a riguardo.

Il legame tra forze e moto rettilineo uniforme Il primo principio della dinamica ci dice, in sostanza, come si comportano i corpi quando la forza totale applicata su di essi è nulla: se erano fermi restano fermi, se erano in movimento uniforme lungo una retta continuano nella stessa direzione con la stessa velocità. Quando un corpo è soggetto a una forza nulla, quindi, la sua posizione cambia nel tempo secondo la legge oraria del moto rettilineo uniforme. Inoltre, quando un corpo è in quiete o in moto rettilineo uniforme la forza applicata su di esso è complessivamente nulla (figura 3). CAUSA F⫽0

EFFETTO v⫽0

Figura 3. Le gocce di pioggia arrivano al suolo con moto rettilineo uniforme: la forza di gravità è bilanciata dalla forza di attrito viscoso dell’atmosfera.

252

s Se la forza complessiva è nulla, allora la velocità non cambia; s se la velocità non cambia, allora la forza complessiva è nulla.

Fa Fp

Fp ⫽ forza peso della goccia Fa ⫽ attrito viscoso dell’aria

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

L’inerzia Il primo principio della dinamica è noto anche come principio di inerzia, in quanto definisce una caratteristica dei corpi materiali per la quale essi si oppongono ai cambiamenti di moto, detta appunto inerzia: l’inerzia di un corpo materiale è la sua tendenza a opporsi ai cambiamenti di velocità. Il fatto che tutti i corpi, per inerzia, procedono a velocità costante lungo una retta era stato già osservato da Galileo, per cui spesso gli è attribuita la paternità di tale principio; tuttavia egli non lo evidenziò esplicitamente come fece Newton nei suoi Principia.

ESEMPIO Nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Galileo descrisse numerosi esperimenti fatti con i piani inclinati. Riducendo moltissimo l’attrito, al punto da poterlo immaginare nullo, una biglia scende lungo un primo piano inclinato e successivamente risale lungo un secondo piano inclinato. ¢ In quale modo Galileo ha concluso che i corpi non soggetti a forze non modificano la loro velocità? A

C

B

C

C

C

H

v⫽0

A

B

SOLUZIONE s La biglia parte da ferma nel punto A; s nel tratto AB la sua velocità aumenta; s nel tratto BC la sua velocità diminuisce; s la biglia arriva nel punto C con velocità nulla. Se l’inclinazione del piano diminuisce, la lunghezza del piano per raggiungere la quota C aumenta: la biglia impiega un tempo sempre più lungo ad annullare la sua velocità. Al limite del ragionamento, se invece del secondo piano inclinato BC ci fosse un piano orizzontale BH nulla costringerebbe la biglia a rallentare, pertanto essa continuerebbe indefinitamente a velocità costante. DOMANDA Trascurando l’attrito, quali sono le forze che agiscono sulla biglia nelle diverse situazioni? Disegna i vettori delle forze in gioco su un piano inclinato e su un piano orizzontale.

253

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Che cos’è un principio fisico? Le parole sono importanti in fisica, ma non sempre se ne riesce a dare una definizione dai contorni netti. Sicuramente non sbagliamo quando parliamo in generale di regole della natura che i fisici ricercano con il loro lavoro, ma all’interno di queste «regole» ci sono le «leggi» e ci sono i «principi», cioè c’è una sorta di gerarchia, che dipende dal campo di validità. Il principio di inerzia, per esempio, non è mai stato smentito da alcuna osservazione, e ci aspettiamo con fiducia che valga anche per quei fenomeni che ancora non conosciamo. All’altro estremo c’è una legge come quella di Hooke: una regola matematica che mette insieme dati sperimentali ma che non vale, per esempio, se tiriamo troppo una molla (vedi capitolo 7, paragrafo 3). Le leggi sono regole che formalizzano fatti osservati e noti, e sono in grado di prevedere come si svolgeranno fenomeni dello stesso tipo; i principi sono regole che si assumono valide anche per fenomeni ancora sconosciuti. «Per principio» si assume che le cose vadano in un certo modo, senza un particolare motivo ma semplicemente per il fatto che non si è mai osservato qualcosa di diverso. I principi sono quindi punti fermi, assunti di base, considerati validi per tutti i fenomeni noti e ignoti; sono strumenti essenziali per affrontare lo studio di ciò che non si conosce e per la costruzione delle leggi. Non sempre però è facile distinguere che cosa sia un principio e che cosa una legge. Nel tempo, via via che gli esperimenti si sono arricchiti di nuove osservazioni e le teorie si sono sviluppate, è capitato che qualcosa che si riteneva fosse un principio fondamentale si sia invece rivelato essere una legge, con uno specifico dominio di validità.

ESEMPIO ¢ La legge di Archimede (vedi capitolo 8) è spesso chiamata «principio di Archimede». Si tratta dunque di un principio della fisica?

DOMANDA Se il loro volume non cambia, le bollicine di gas risalgono in un liquido con moto rettilineo uniforme. Sai individuare il principio di inerzia in questo fenomeno?

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Jakub Pavlinec / Shutterstock

SOLUZIONE Questo è proprio un caso in cui si usa la parola «principio» per qualcosa che principio non è. Si tratta di una terminologia tradizionale, che risale a quando la fisica non era ancora una scienza matura e certe definizioni e distinzioni formali non erano ancora state fatte. Il termine «principio» veniva usato per designare una regolarità della natura che non poteva essere spiegata. Archimede visse molto tempo prima che Newton fornisse gli strumenti per interpretare la spinta idrostatica.

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

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Principi e assiomi Spesso si accomunano i principi della fisica agli assiomi della matematica. Gli uni come gli altri sono affermazioni base, che sottostanno alle leggi o ai teoremi su cui si fondano rispettivamente la fisica e la matematica. C’è una grandissima differenza, però, tra principi e assiomi, in quanto la fisica non è una scienza deduttiva, cioè basata sul ragionamento logico, ma una scienza sperimentale, cioè fondata sui fenomeni reali. Gli assiomi non possono essere «falsi», perché la matematica è una costruzione fondata sulla logica, ed è accettabile tutto ciò per cui le conclusioni sono coerenti con le premesse. La fisica invece è basata sugli esperimenti, per cui, se si osserva un fatto in cui un principio non si riscontra, quel principio esso cessa di essere tale: il suo limite di validità si restringe e diventa una legge.

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SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI

Immaginiamo di eseguire il seguente esperimento. Allestiamo un laboratorio su un treno in moto rettilineo uniforme, montando una videocamera che inquadri un tavolo orizzontale, sul quale è appoggiata una biglia, ferma rispetto al treno. Il peso della biglia è equilibrato dalla reazione vincolare del piano e nessun’altra forza agisce su di essa: nella nostra inquadratura vediamo una biglia ferma su un tavolo. Il principio di inerzia è dunque verificato, così come lo è rispetto a qualcuno che osservi la scena dal riferimento della Terra: la biglia procede, insieme al treno, di moto rettilineo uniforme (figura 4).

a

b

Se a un certo punto il treno frena, nell’inquadratura della videocamera la biglia sembra mettersi improvvisamente in movimento nella direzione di marcia del treno (figura 5). In assenza di attrito, invece, nel sistema di riferimento terrestre la vediamo procedere con la stessa velocità di prima.

STAZIONE

a

b

Figura 4. a. La biglia è soggetta a forze complessivamente nulle e procede di moto rettilineo uniforme nel sistema di riferimento terrestre. b. La biglia è soggetta a forze complessivamente nulle ed è ferma nel sistema di riferimento del treno.

Figura 5. a. La biglia è soggetta a forze complessivamente nulle e procede di moto rettilineo uniforme nel sistema di riferimento terrestre. b. La biglia è soggetta a forze complessivamente nulle, ma non è ferma nel sistema di riferimento del treno.

Il principio di inerzia è verificato nel sistema di riferimento della Terra; è verificato anche nel sistema di riferimento del treno finché è in moto rettilineo uniforme rispetto a quello della Terra, mentre non lo è quando il treno modifica la sua velocità. Questo fatto ci consente di distinguere due classi di sistemi di riferimento: quelli inerziali e quelli non inerziali.

255

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

I sistemi di riferimento nei quali è valido il primo principio della dinamica sono detti sistemi di riferimento inerziali. Sono non inerziali tutti gli altri. Se in un certo sistema di riferimento è valido il principio di inerzia, sono inerziali anche tutti quelli che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso. Se consideriamo inerziale un sistema di riferimento solidale al Sole, a rigore la Terra non sarebbe inerziale, in quanto la sua traiettoria non è né rettilinea né uniforme. Tuttavia, dato che gli effetti della curvatura e della variazione del modulo della velocità sono trascurabili, possiamo con buona approssimazione considerare inerziale il sistema di riferimento terrestre.

Il principio di relatività galileiana Diamo la parola a Galileo: Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca [...]. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma. (dal Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo) In termini più attuali: le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali cioè: quando si studia il movimento dei corpi, i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti tra loro. Non importa il valore della velocità, ma solo il fatto che essa sia costante rispetto a un sistema di riferimento inerziale, ovvero nel quale valga il principio di inerzia.

ESEMPIO ¢ Su un treno che si muove su un binario rettilineo a velocità costante, di modulo pari a 120 km/h, un rubinetto gocciola in un bicchiere. Qual è la traiettoria di una goccia nel sistema di riferimento del treno?

256

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

SOLUZIONE Il sistema di riferimento del treno è esattamente equivalente al sistema di riferimento terrestre, dove una goccia cade lungo la verticale con moto uniformemente accelerato. Una goccia d’acqua, come qualsiasi altro oggetto che cada sotto l’azione del suo peso, segue una traiettoria rettilinea con accelerazione costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali, cioè in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. DOMANDA Quale sarebbe la traiettoria della goccia se la velocità del treno fosse 800 km/h?

La composizione dei moti Abbiamo già visto che le velocità si compongono secondo le regole della somma vettoriale. Fino ad ora abbiamo assunto tale fatto come se fosse un principio; ora sappiamo che esso è una conseguenza di un principio più ampio. Se trascuriamo la presenza dell’aria, un paracadutista che si lancia da un aereo che vola con moto rettilineo uniforme cade lungo la verticale sotto l’aereo. Dal sistema di riferimento terrestre la sua traiettoria è parabolica, in quanto data dalla composizione di un moto orizzontale rettilineo uniforme (dovuto all’inerzia del paracadutista) e uno verticale uniformemente accelerato (dovuto all’attrazione gravitazionale) (figura 6). v

v

v Figura 6. La forza di gravità agisce in verticale, mentre in orizzontale la forza è nulla e il paracadutista procede per inerzia di moto rettilineo uniforme sia prima che dopo il lancio.

v v v

3

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Il secondo principio della dinamica è noto anche come legge di Newton. Esso lega le forze al moto e in particolare alle variazioni di velocità, avendo visto che nel moto a velocità costante le eventuali forze sono tutte equilibrate. La sua formulazione matematica è À

F ⫽ maÀ

IN LABORATORIO Il secondo principio della dinamica š Video (6 minuti) š Test (3 domande)

(9.1)

dove s F è la forza totale applicata su un oggetto;

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I PRINCIPI DELLA DINAMICA

s m è la sua massa inerziale; s a è la sua accelerazione. La forza è uguale al prodotto della massa inerziale per l’accelerazione. Questa legge vale solo nei sistemi di riferimento inerziali, ed è strettamente collegata al principio di inerzia. Infatti quando la forza totale è nulla (F ⫽ 0) anche l’accelerazione è nulla (a ⫽ 0).

L’unità di misura della forza L’unità di misura della forza, come abbiamo visto, è il newton (N): l’abbiamo introdotto utilizzando un’equivalenza tra la forza-peso e una massa nota. Ora siamo in grado di giustificare tale operazione e di scrivere esplicitamente tutte le unità di misura fondamentali che concorrono alla sua definizione. Usiamo a tale scopo la legge di Newton (9.1): F ⫽ ma unità di misura della forza ⫽ ⫽ unità di misura della massa unità di misura dell’accelerazione ⫽ ⫽ kg (m/s2)

1 N ⫽ 1 kg (m/s2) Una forza di intensità pari a un newton (1 N) che agisce su un corpo di massa un kilogrammo (1 kg) lo accelera di un metro al secondo per secondo (1 m/s2).

Il legame tra forze e accelerazioni SIMULAZIONE Forze e moto su un piano inclinato (PhET, University of Colorado)

Figura 7. Forza e accelerazione sono due vettori che hanno stessa direzione e stesso verso.

Una forza intensa provoca un’accelerazione intensa. Forze e accelerazioni sono direttamente proporzionali, e la costante di proporzionalità è la massa inerziale (detta brevemente massa). Questo significa che, a parità di massa, una forza doppia provoca un’accelerazione doppia e così via. I vettori forza e accelerazione sono legati da una grandezza scalare, la massa, pertanto sono paralleli: questo significa che quando una forza agisce su un corpo l’accelerazione che ne deriva ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza (figura 7).

a

F

Se su un corpo agiscono più forze che non si equilibrano a vicenda, come nei casi visti nel capitolo 8, il risultato complessivo è dunque un’accelerazione che ha stessa direzione e stesso verso della forza che risulta dalla somma vettoriale. Quando la forza complessiva che agisce su un corpo è costante anche l’accelerazione è costante, pertanto esso si muove di moto uniformemente accelerato.

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I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

ESEMPIO ¢ Qual è l’accelerazione con cui scivola una cassa di 50,0 kg posta su un piano inclinato di altezza h ⫽ 60 cm e lunghezza ᐉ ⫽ 2,50 m, trascurando gli attriti? SOLUZIONE La scomposizione della forza-peso Fp sul piano inclinato è illustrata in figura. L’unica forza non equilibrata è la componente del peso parallela al piano, per cui, dalle formule (7.2) e (8.1):

艎

Fpⱍⱍ Fp

h

Fp⬜

Fp ⫽ mg ⫽ 50,0 kg ⫻ 9,8 N/kg ⫽ 0,49 kN Fp = Fp

h



= 0, 49 kN ×

0, 60 m = 0, 12 kN 2, 50 m

Risolviamo la legge di Newton (formula (9.1)) rispetto all’accelerazione a: FpG ? ma G a G?

FpG m

?

0, 12 kN ? 2, 4 m/s2 50, 0 kg

DOMANDA Quale risultato si ottiene se, anziché scomporre la forza-peso Fp, si scompone il vettore accelerazione di gravità gÀ, diretto verso il basso e di intensità 9,8 m/s2? Esegui i calcoli e confronta i risultati.

g

Una volta note le forze che agiscono su un corpo, si possono usare le leggi matematiche che descrivono il moto, per vedere come il corpo si sposta nello spazio al passare del tempo. Vale a dire che se conosciamo le forze che agiscono su un corpo conosciamo anche la sua accelerazione, per cui siamo in grado, almeno nei casi più semplici, di descrivere matematicamente il suo moto: s se la forza è zero l’accelerazione è zero e il moto è rettilineo uniforme; s se la forza è costante l’accelerazione è costante il moto è uniformemente accelerato. In tutti gli altri casi è necessario usare il calcolo infinitesimale, che consente di lavorare con le grandezze istantanee, ma in questa sede non lo utilizzeremo e faremo riferimento ai valori medi, come abbiamo visto nei capitoli precedenti (tabella 1). FORZA

ACCELERAZIONE

TIPO DI MOTO

nulla

nulla

rettilineo uniforme

costante

costante

uniformemente accelerato

non costante

Tabella 1. Studio dei moti in relazione alle forze.

il moto è vario e va studiato con il calcolo infinitesimale

259

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

ESEMPIO ¢ Con quale velocità arriva alla fine del piano inclinato la cassa dell’esempio precedente, supponendo che parta con velocità nulla dalla sommità? SOLUZIONE La legge della velocità (4.4) e la legge oraria del moto uniformemente accelerato con partenza da fermo (4.6) contengono tutte le informazioni utili per rispondere alla domanda. Infatti, se orientiamo l’asse x lungo il piano, come in figura, abbiamo:

艎

aⱍⱍ

O

h

x

v ? a Gt x?

1 a Gt 2 2

Dalla seconda relazione si ricava il tempo impiegato dalla cassa a percorrere l’intera lunghezza ᐉ del piano: t=

2 × 2, 5 m = 1, 4 s 2, 4 m/s2

 2x = 2⋅ = a a

Sostituendo nella prima: v ⫽ 2,4 m/s2 ⫻1,4 s ⫽ 3,4 m/s DOMANDA Quale sarebbe la velocità della cassa alla quota h ⫽ 0 m se invece di scivolare lungo il piano inclinato cadesse direttamente lungo la verticale? Scrivi in 5 righe la regola verificata con questo calcolo.

La massa La stessa forza, applicata a oggetti diversi, produce accelerazioni diverse in base alla massa del corpo. Se, per esempio, agiamo con la stessa forza costante su una motocicletta e su un’automobile, otteniamo accelerazioni diverse, e precisamente a massa maggiore corrisponde un’accelerazione minore (figura 8). In altre parole, a parità di forza massa e accelerazione sono inversamente proporzionali. La massa è quindi una misura di quanto un corpo «si opponga» ai cambiamenti di velocità, cioè della sua inerzia, da cui l’attributo «inerziale» con il quale l’abbiamo introdotta.

Fox Photos

Diego Cervo / Shutterstock

Figura 8. A parità di forza otteniamo un’accelerazione maggiore se la massa dell’oggetto su cui agiamo è minore.

260

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

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ESEMPIO ¢ Una bicicletta ha un’accelerazione di 1,5 m/s2 mentre viene spinta con una forza costante di 16 N. Considerando trascurabili gli attriti, qual è la massa della bicicletta? SOLUZIONE Risolviamo la legge di Newton (formula (9.1)) rispetto alla massa m: 16 N F ? 11 kg m? ? a 1, 5 m/s2

DOMANDA Tale valore è minore, maggiore o uguale a quello che si otterrebbe se non si trascurassero le forze di attrito? Motiva la tua risposta in 5 righe.

Quando l’accelerazione è costante A parità di accelerazione, invece, sono forza e massa ad essere direttamente proporzionali. Quando abbiamo parlato di forza-peso, infatti, abbiamo assunto costante l’accelerazione di gravità e abbiamo visto come massa e peso siano proporzionali tra loro, cosa che in parte giustifica la confusione che si è soliti fare nell’uso comune di queste due grandezze fisiche.

Sistemi di riferimento non inerziali Una biglia ferma su un tavolo inizia improvvisamente a muoversi: la sua velocità cambia, contrariamente a quanto affermato dal principio di inerzia. Il sistema di riferimento rispetto al quale si osserva il fenomeno è pertanto non inerziale, cioè è accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Un sistema di riferimento non inerziale è in moto accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale. L’accelerazione può avere due componenti: s tangenziale, quando la velocità cambia in modulo; s centripeta, quando la velocità cambia in direzione. Un’automobile che accelera lungo un rettilineo è un sistema di riferimento non inerziale in cui l’accelerazione è solo tangenziale. Un’automobile in curva è un sistema di riferimento non inerziale in cui l’accelerazione è solo centripeta se il modulo della velocità è costante, ed è sia centripeta che tangenziale se l’auto, oltre a curvare, accelera o rallenta.

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I PRINCIPI DELLA DINAMICA

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FORZE APPARENTI

Per inerzia gli oggetti tendono a mantenere la loro velocità costante all’infinito, pertanto in un sistema di riferimento non inerziale essi appaiono «spinti» in una direzione che dipende dall’accelerazione del sistema di riferimento rispetto a uno inerziale (figura 9). Figura 9. a. Mentre la velocità del carrello diminuisce, quella della biglia resta costante. La biglia procede più velocemente rispetto al carrello e al suo interno appare spinta in avanti. b. Mentre il carrello percorre la curva la biglia continua il suo moto rettilineo uniforme e appare spinta verso l’esterno della curva.

a

b

Se attaccassimo una molla alla biglia illustrata nei disegni la vedremmo deformarsi durante le accelerazioni dell’automobile: misureremmo cioè delle forze. Tali forze, dette apparenti, non sono dovute a qualche azione svolta sulla biglia ma dipendono esclusivamente dalla sua inerzia. Le forze apparenti o forze d’inerzia sono misurabili esclusivamente in sistemi di riferimento non inerziali e sono dovute al fatto che tali sistemi sono accelerati rispetto ai sistemi di riferimento inerziali (figura 10). Figura 10. Le cosiddette forze apparenti sono forze vere e proprie forze, misurabili con il dinamometro in sistemi di riferimento non inerziali. Sono forze dovute all’accelerazione relativa di un oggetto rispetto al sistema di riferimento.

O

O

Le forze apparenti (tabella 2) si dividono in: s forze di trascinamento, alle quali sono soggetti tutti i corpi che si trovano in un sistema di riferimento non inerziale; s forza di Coriolis, alla quale sono soggetti solo i corpi in movimento in un sistema di riferimento non inerziale che si muove di moto circolare. La forza di trascinamento può essere, a sua volta: s tangenziale: dovuta alla componente tangenziale dell’accelerazione; s centrifuga: dovuta alla componente centripeta dell’accelerazione.

Tabella 2. Classificazione delle forze apparenti in un sistema di riferimento non inerziale.

In un sistema di riferimento non inerziale Corpo in quiete Corpo in movimento

262

Forze apparenti di trascinamento di Coriolis

tangenziale centrifuga

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

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La forza di trascinamento tangenziale Facciamo quotidianamente esperienza della forza di trascinamento tangenziale nei veicoli: durante le frenate, per esempio, ci sentiamo spinti in avanti. Nessuno ci sta spingendo: la forza è apparente e dipende dalla nostra inerzia che ci fa continuare a velocità costante. Se non ci fosse l’attrito tra noi e il sedile e se non ci trattenesse la cintura di sicurezza ci troveremmo catapultati sul finestrino anteriore a ogni frenata. La forza di trascinamento tangenziale si ricava immediatamente dalla legge di Newton, una volta nota l’accelerazione relativa dell’oggetto rispetto al sistema di riferimento non inerziale. Quest’ultima è opposta all’accelerazione del sistema di riferimento rispetto a un sistema inerziale. Per esempio, immaginiamo una biglia poggiata su un carrello che procede a velocità costante vÀ0. Se a un certo punto il carrello aumenta la velocità con accelerazione costante aÀ, nel sistema di riferimento del carrello la biglia ha un’accelerazione aÀ ⫽ ⫺aÀ (figura 11). À

Ftr ⫽ maÀ ⫽ ⫺maÀ La forza di trascinamento tangenziale è opposta all’accelerazione tangenziale quindi è opposta alla forza che provoca l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale. v0

⫺ at

v0 ⫹ at

sistema di riferimento inerziale

sistema di riferimento del carrello

Figura 11. Quando il carrello accelera con accelerazione a, la biglia, inizialmente ferma nel sistema di riferimento del carrello, inizia a muoversi con accelerazione ⫺a.

ESEMPIO ¢ Un autobus procede a velocità costante quando l’autista inizia a frenare con accelerazione costante aa ⫽ ⫺3,5 m/s2. Quanto vale il modulo della forza di inerzia con la quale un ragazzo di massa 48 kg si sente spingere in avanti?

v0 v0 ⫺ aat

SOLUZIONE Nel sistema di riferimento terrestre: aa ⫽ ⫺3,5 m/s2 ar ⫽ 0 m/s2

263

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Nel sistema di riferimento dell’autobus: a a ⫽ 0 m/s2 a r ⫽ 3,5 m/s2 La forza con la quale il ragazzo si sente spingere è relativa all’autobus e dipende dalla sua massa: F tr ⫽ mar ⫽ 48 kg ⫻ 3,5 m/s2 ⫽ 0,17 kN DOMANDA Quale sarebbe l’accelerazione del ragazzo rispetto all’autobus se la sua massa fosse 55 kg? Con quale forza si sentirebbe spingere?

La forza di trascinamento centrifuga À

La forza centrifuga Fcf è la forza d’inerzia dovuta all’accelerazione centripeta di un sistema di riferimento in moto circolare rispetto a un sistema inerziale. Anch’essa si ricava dalla legge di Newton, una volta nota l’accelerazione relativa dell’oggetto rispetto al sistema di riferimento non inerziale, ed è opposta all’accelerazione centripeta aÀ del sistema di riferimento rispetto a un sistema inerziale: À

Fcf ⫽ maÀ ⫽ ⫺maÀcp La forza di trascinamento centrifuga è opposta all’accelerazione centripeta. Il suo modulo si ottiene sostituendo nella legge di Newton (formula (9.1)) l’espressione per l’accelerazione centripeta data dalla formula (6.8): Fc f ? m

v2 r

oppure dalla formula (6.7): Fcf ⫽ m

2

r

in termini di grandezze angolari. Essa è opposta alla cosiddetta forza centriÀ peta Fcp, che fa curvare il sistema di riferimento ed è diretta verso il centro di curvatura della traiettoria: per modificare la direzione della velocità bisogna agire perpendicolarmente ad essa (figure 12-13).

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forza centrifuga

v forza centripeta

Diego Barbieri / Shutterstock

Figura 12. L’atleta esercita una forza perpendicolare, istante per istante, alla velocità del martello. Nel sistema di riferimento rotante del martello, esso è spinto da una forza centrifuga: l’atleta la sente sulle sue braccia. Quando il martello viene lanciato, non più soggetto alla forza dell’atleta, procede per inerzia lungo la tangente.

Fcf Fcp

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I PRINCIPI DELLA DINAMICA

NASA

Teodor Ostojic / Shutterstock

Figura 13. La forza centripeta che fa curvare il treno è la reazione vincolare della rotaia; la forza centripeta che fa curvare la traiettoria dei satelliti intorno ai pianeti è l’attrazione gravitazionale.

La forza di Coriolis La forza di Coriolis si manifesta come spinta laterale quando un corpo è in movimento rispetto a un sistema rotante, ma non è vincolato in alcun modo. Essa dipende dalla velocità relativa dell’oggetto e dalla velocità angolare del sistema rispetto a uno inerziale e perpendicolare a esse (figura 14). traiettoria a disco fermo

la velocità angolare è perpendicolare al foglio

traiettoria in presenza di una rotazione

v

Fco Figura 14. La forza di Coriolis è perpendicolare alla velocità del corpo e alla velocità angolare del sistema di riferimento.

NASA

ESA/MPS, Katlenburg-Lindau, Germany

Dato che la Terra è un sistema di riferimento in rotazione, tutto ciò che è su di essa risente della forza di Coriolis, dagli oggetti che si muovono sulla sua superficie all’atmosfera che la avvolge. Un esempio molto vistoso degli effetti della forza di Coriolis è la formazione di vortici nei fluidi. Le condizioni meteorologiche sono fortemente influenzate da questa forza apparente, per la quale le masse d’aria curvano il loro moto formando cicloni che ruotano in senso antiorario nell’emisfero settentrionale e in senso orario nell’emisfero meridionale (figura 15).

Figura 15. La forza di Coriolis spinge lateralmente le masse d’aria che si muovono tra regioni a differente temperatura e provoca la formazione di cicloni. Venere ruota molto lentamente, in 243 giorni terrestri, pertanto la forza di Coriolis è debole e la circolazione atmosferica è molto diversa da quella terrestre. La rapida rotazione di Giove (quasi 10 ore) comporta invece effetti molto grandi della forza di Coriolis.

265

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I PRINCIPI DELLA DINAMICA

5

IL TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

In un vecchio film del regista statunitense Woody Allen, il protagonista racconta gli esiti di una colluttazione: «a uno gli ho dato una botta col mento sul pugno e a quell’altro una nasata sul ginocchio...». Se per il senso comune la battuta ha un effetto comico, un fisico potrebbe restare indifferente. Dal suo punto di vista, infatti, non c è alcuna differenza tra una ginocchiata sul naso e una nasata sul ginocchio, in virtù del terzo principio della dinamica, per il quale: quando un corpo A esercita una forza su un altro corpo B, il corpo B esercita contemporaneamente una forza sul corpo A, diretta lungo la stessa retta, ma con verso opposto. Tale principio è detto anche principio di azione e reazione, perché indicando con il termine «azione» la forza da A a B, FAB, e «reazione» la forza da B ad A, FBA, si ha: À

À

FAB ⫽ ⫺FBA

(9.2)

In breve si è soliti dire che a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. Il principio di azione e reazione è semplice da enunciare, ma è altrettanto facile fare confusione. La reazione non è la conseguenza di un’azione ma una forza che si manifesta insieme a essa: le forze non esistono mai da sole, ma sempre due alla volta, dirette lungo la stessa direzione e con versi opposti. Spingere un carrello equivale a essere spinti da esso con una forza uguale e contraria: una forza agisce sul carrello, l’altra su chi lo sta spingendo (figura 16). Figura 16. Quando spingiamo un carrello, a sua volta il carrello spinge noi. Ce ne rendiamo conto se esercitiamo la spinta indossando dei pattini: veniamo, infatti accelerati in direzione opposta rispetto al carrello.

FAB ⫽ ⫺ FBA

Così come l’azione sul carrello ne determina un’accelerazione, anche la reazione del carrello accelera chi lo sta spingendo. Questo non è evidente se l’attrito equilibra la spinta della reazione, ma se, per esempio, indossiamo dei pattini tutto diventa più evidente (figura 17). Figura 17. All’azione che il pattinatore esercita sul muro corrisponde una reazione che il muro esercita sul pattinatore. Egli infatti riceve una spinta all’indietro.

266

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

ESEMPIO ¢ Una pattinatrice di 50 kg spinge un suo compagno di 70 kg e acquista un’accelerazione di ⫺1,3 m/s2. Qual è l’accelerazione del secondo pattinatore?

A

B

SOLUZIONE Il principio di azione e reazione (formula (9.2)) ci dice che l’azione della pattinatrice e la reazione su di lei sono uguali e opposte: À

À

FAB ⫽ ⫺FBA La legge di Newton (formula (9.1)) ci dice inoltre che forza e accelerazione sono direttamente proporzionali. La reazione FBA dovuta alla spinta FAB della pattinatrice è dunque: À

FBA ⫽ mAaÀA dove mA è la massa della pattinatrice e aÀA la sua accelerazione. À La spinta FAB della pattinatrice sul pattinatore ne provoca una accelerazione aÀB: À

FAB ⫽ mBaÀB per cui mBaÀB ⫽ ⫺mAaÀA h h m aB = −aA A mB L’accelerazione del pattinatore ha verso opposto rispetto a quella della pattinatrice e il suo modulo è: aB = −aA

mA 50 kg = −(−1, 3 m/s2 ) × = 0, 93 m/s2 mB 70 kg

DOMANDA Quanto vale l’intensità della forza FAB che la pattinatrice esercita sul pattinatore? Calcola le accelerazioni aA e aB nel caso in cui il pattinatore avesse una massa di 30 kg.

Il principio di azione e reazione si estende anche ai momenti delle forze agenti, ai quali corrispondono simmetricamente i momenti delle forze reagenti. Nel capitolo 11 vedremo come tale principio, comprendendo anche i moti di rotazione, partecipi a una riformulazione più ampia della dinamica in termini di quantità conservate anziché di forze, e osserveremo inoltre alcune delle sue manifestazioni più spettacolari.

267

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Perché ci muoviamo? Un cavallo tira una carrozza con una forza uguale e contraria a quella con cui la carrozza tira il cavallo (figura 18). Com’è possibile, allora che essi si muovano? →

→

FR1

FA1

Figura 18. L’azione del cavallo sulla carrozza è uguale e contraria alla reazione della carrozza sul cavallo: perché allora si muovono?

Un’analisi più attenta ci svela che il problema è mal posto. La seconda legge di Newton ci dice infatti che un corpo subisce un’accelerazione quando è diversa da zero la forza complessiva che agisce su quel corpo. Nel caso in esame l’azione è quella del cavallo sulla carrozza e la reazione è quella della carrozza sul cavallo. Se invece poniamo l’attenzione solo sul cavallo ci accorgiamo che esso, oltre a trainare la carrozza, avanza sul terreno spingendolo indietro. Per reazione la Terra spinge in avanti il cavallo. Se la reazione FR2 del terreno alla spinta degli zoccoli è maggiore della reazione FR1 della carrozza al traino del cavallo, questo si muove in avanti (figura 19).

Figura 19. L’attrito tra zoccoli e terreno consente al cavallo di spingere indietro e ricevere, per reazione, una spinta in avanti.

FA2

FR2

Noi possiamo avanzare camminando per lo stesso motivo: l’attrito fra i nostri piedi e il terreno ci permette di spingerlo dietro di noi, con una componente a esso parallela, mentre ne ricaviamo, per reazione, una spinta in avanti (figura 20).

Figura 20. La componente della spinta perpendicolare al terreno è equilibrata dalla reazione del terreno stesso, la componente parallela è responsabile di una reazione non equilibrata che ci spinge in avanti.

FN Fⱍⱍ Fspinta

268

reazione a Fⱍⱍ

F⬜

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

L’interazione Azione e reazione possono essere sostituite da un’unica parola che le comprende entrambe: interazione, cioè azione reciproca. Non possiamo pensare a una forza che agisce su un oggetto senza considerare la forza reciproca che l’oggetto esercita a sua volta, e in questo senso il terzo principio della dinamica rappresenta un cambiamento di prospettiva molto importante rispetto al secondo. In virtù di ciò, esso può essere considerato un «ponte» concettuale tra la fisica classica e la fisica moderna, nella quale le interazioni occupano un posto centrale e le forze diventano una loro manifestazione. Nella fisica moderna le interazioni fondamentali della natura, con le quali spiegare tutte le forze che si possono misurare, sono quattro: s interazione gravitazionale, che fa attrarre fra loro le masse (figura 21a); s interazione elettromagnetica, che fa attrarre o respingere le cariche elettriche (figura 21b); s interazione nucleare forte, che tiene legati i nuclei degli atomi (figura 21c); s interazione nucleare debole, responsabile del decadimento radioattivo (figura 21d). Senza entrare nei dettagli, il fatto che tali interazioni agiscano «a distanza» è rappresentato mediante lo scambio di una particella «virtuale»: un po’ come quando i tennisti, lanciandosi la pallina, agiscono l’uno sull’altro. b

NASA

NASA, ESA, the Hubble Heritage

a

Figura 21. a. Le galassie interagenti risentono della reciproca attrazione gravitazionale. b. Le interazioni elettromagnetiche illuminano la Terra e interconnettono gli angoli più remoti del pianeta l’uno all’altro. c. Il calore che riceviamo dal Sole dipende da reazioni nucleari che coinvolgono l’interazione forte. d. La radioattività prodotta in un’esplosione nucleare è una manifestazione dell’interazione debole.

FEMA

d

ESA

c

269

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

STORIA DELLA FISICA

A volte anche gli esperimenti più semplici hanno risvolti straordinari. Nel 1851 il fisico francese Jean-Bernard-Léon Foucault riuscì a fornire una prova della rotazione terrestre senza bisogno di andare nello spazio. Tutto quello che utilizzò fu un pendolo, un semplicissimo pendolo formato da una biglia attaccata a un filo: solo che la biglia era una sfera di piombo con una massa di 28 kg e il filo, d’acciaio, era lungo 67 m. Il pendolo di Foucault era sospeso alla volta del Pantheon di Parigi e un folto pubblico era presente per assistere alla dimostrazione: il filo che tratteneva la sfera lontano dalla posizione di equilibrio fu bruciato e il pendolo iniziò a oscillare. Si poté osservare sin dalle prime oscillazioni che la sfera non tornava esattamente nella posizione di partenza ma leggermente spostata verso sinistra rispetto a questa. La sua elevata inerzia garantiva una notevole riduzione degli smorzamenti, e con il passare del tempo si vide chiaramente che il piano di oscillazione del pendolo ruotava in senso orario.

Il pendolo di Foucault e la rotazione terrestre Come premesso, la spiegazione del comportamento del pendolo sta nella rotazione terrestre. In un certo senso è come se il punto di sospensione del pendolo fosse immobile rispetto alle stelle fisse, mentre la Terra gli ruota sotto. Uno degli accorgimenti che richiesero a Foucault particolare attenzione riguardò proprio l’innesto tra il filo e la volta: il pendolo doveva essere libero di oscillare a 360°, e sull’acciaio non dovevano crearsi torsioni che avrebbero interferito con l’esperimento. A seconda della latitudine alla quale si esegue l’esperimento il pendolo ha comportamenti diversi: all’equatore il piano di oscillazione non ruota affatto, mentre ai poli la rotazione è molto veloce, effettuando un giro completo in un giorno. La velocità di rotazione varia con continuità tra questi due valori alle latitudini interme- il piano di oscillazione è fermo rispetto alla Terra die: è più veloce vicino ai poli e più lenta all’equatore. Nell’emisfero australe, inoltre, essa avviene in senso antiorario. 1,2

Sistemi di riferimento non inerziali Lo spostamento laterale della sfera suggerisce la presenza di una forza diversa da quella di gravità, che invece è responsabile dei moti verticali. Si tratta della forza di Coriolis, una forza apparente, dovuta cioè all’inerzia, che si manifesta quando il sistema di riferimento nel quale si osserva il pendolo ruota rispetto alle stelle fisse.

Oggi in moltissimi musei della scienza sono riprodotti esperimenti di questo tipo, ma su scale ridotte. Per ridurre gli smorzamenti si usano elettromagneti o altri dispositivi che consentono al pendolo di non fermarsi dopo poche oscillazioni.

30 h

Il piano di oscillazione del pendolo ruota con velocità angolare crescente da un valore zero all’equatore a un valore massimo ai poli.

33 h

27 h

0,8

3h

0,4 24 h 0 ⫺0,4

Il pendolo di Foucault oggi

piano di oscillazione e Terra ruotano l’uno rispetto all’altro

⫺0,8

6h 21 h 9h

18 h 12 h

15 h

⫺1, 2 ⫺1,2 ⫺0,8 ⫺0,4

0

0,4

0,8

1,2

Traiettoria del pendolo mentre il piano di oscillazione ruota rispetto alla Terra.

DOMANDA In quali musei o istituti universitari è presente un pendolo di Foucault? Fai una ricerca sulla rete, raccogliendo immagini e informazioni sui dispositivi utilizzati, e prepara una breve presentazione.

270

Marco Cannizzaro / Shutterstock

Il pendolo di Foucault

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

9

LETTERATURA Naufragio Pare che il destino si voglia divertire a nostre spese, vedo. Prima ci fa arrivare a un tiro di schioppo dalla salvezza e poi fa in modo che non abbiamo alcun mezzo per arrivarci; ci fornisce di cibo per una settimana, di aria per tre giorni e della provvista di acqua per un anno intero.»

I resti della nave spaziale Silver Queen sono in orbita intorno a Vesta, un grande asteroide fra la Terra e Marte, con i motori in avaria e tre superstiti a bordo. L’ironia della sorte li ha lasciati in un’area intatta, con aria a disposizione per soli tre giorni e un’enorme cisterna piena d’acqua che basterebbe a dissetarli per un anno intero. Si tratterebbe davvero di una beffa del destino se i tre non conoscessero la fisica. Essi infatti risolvono il loro problema e riescono a trarsi in salvo proprio grazie alla grande disponibilità di acqua. Un foro nel serbatoio e i principi della dinamica fanno il resto: la grande differenza di pressione fra l’interno del serbatoio e lo spazio vuoto fa sì che l’acqua venga spinta con forza fuori dalla nave; quest’ultima a sua volta, per il principio di azione e reazione, riceve una spinta uguale e contraria. Una spinta provoca un’accelerazione nella sua stessa direzione, per cui l’astronave può spostarsi dall’orbita e puntare verso Vesta se il foro viene fatto dalla parte giusta.

NASA/JPL-Caltech/UCLA/MPS/DLR/IDA

(Isaac Asimov, Naufragio, in Il meglio di Asimov, Mondadori, Milano 1975)

Vesta è un asteroide di circa 530 km di diametro. È un oggetto molto piccolo ma molto brillante e a volte è visibile a occhio nudo.

Motori a reazione

NASA/Bill Ingalls

Di fatto l’acqua funge da propellente per il nuovo «motore a reazione» dell’astronave. Un motore a reazione, come la denominazione suggerisce, sfrutta il terzo principio della dinamica: un materiale (propellente) viene espulso ad alta pressione in una direzione e il veicolo si muove in direzione opposta. Tutti i veicoli spaziali utilizzano motori a reazione, e ormai anche i motori degli aerei utilizzano lo stesso principio. Possiamo costruire un semplice motore a reazione casalingo con un palloncino pieno d’aria: quando l’aria, a pressione elevata, fuoriesce dal palloncino lo spinge a sua volta in direzione opposta al getto. I gas espulsi in una direzione causano il movimento di un corpo in direzione opposta.

Nel I secolo a.C. Erone d’Alessandria inventò un congegno a reazione che chiamò «eolipila». Essa sfruttava getti di vapore in uscita da due ugelli.

DOMANDA In quale direzione ruota l’eolipila? Spiega con un disegno e una didascalia di 5 righe il funzionamento del dispositivo e individua i vettori delle forze in gioco

271

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Le avventure del barone di Münchhausen Il barone

Sulla palla di cannone

L’ufficiale tedesco Karl Friedrich Hieronymus, barone di Münchhausen, vissuto tra il 1720 e il 1797, era famoso tra gli amici per i suoi straordinari racconti di imprese inverosimili. Pare avesse un vero e proprio repertorio di quelle che oggi chiameremmo «leggende metropolitane» e che fosse abilissimo nell’infarcirle dei particolari più improbabili. Nello stesso periodo viveva Rudolf Erich Raspe, un erudito bibliotecario di Hannover, che decise di dare vita alle vicende del barone in un romanzo, destinato ad accrescerne fama e prodezze. Le avventure del barone di Münchhausen fu riscritto e tradotto da più mani prima di arrivare ai nostri giorni, arricchito nel corso del tempo di assurde spacconate attribuite al protagonista.

Durante la guerra contro i turchi le truppe del barone assediavano una città, ed era diventato molto importante conoscere che cosa stesse succedendo nella piazza principale. Con il suo zelo proverbiale il barone pensò che fosse giunto il momento per una delle sue prodezze: si avvicinò a un cannone e, quando esplose il colpo, saltò prontamente sulla palla diretta verso il nemico. Durante il volo si rese conto che stava volando dritto dritto verso un luogo a lui ostile e ci ripensò. Approfittò dunque di una palla di cannone turca diretta in senso contrario, che stava giusto passando nelle vicinanze, e con incredibile destrezza vi balzò sopra al volo. Non portò a termine la sua missione, ma almeno tornò al campo vivo.

La leggerezza del barone Nella prima delle Lezioni americane (Garzanti, Milano 1985) dedicata alla «leggerezza», Italo Calvino scrive: «Le avventure di Münchhausen, che come le Mille e una Notte non si sa se abbiano avuto un autore, molti autori o nessuno, sono una continua sfida alla legge della gravitazione: il Barone è portato in volo dalle anatre, solleva se stesso e il cavallo tirandosi su per la coda della parrucca, scende dalla luna tenendosi a una corda più volte tagliata e riannodata durante la discesa». Il barone agisce dunque come un essere senza peso e senza massa, sfida le leggi della fisica e i suoi stessi principi.

Grandissimo esperto di caccia, il barone riuscì a catturare diverse dozzine di anatre con un unico pezzo di lardo legato a una cordicella. Il lardo fu divorato avidamente e scivolò indisturbato lungo l’apparato digerente di ciascuna anatra, una dopo l’altra, fino a formare una lunga catena volante.

PAROLA CHIAVE

Inerzia

DOMANDA Potrebbe una palla di cannone procedere indisturbata se qualcuno le saltasse a cavallo al volo? Motiva la tua risposta in 5 righe.

272

Illustrazione di Gottfried Franz

Illustrazione di Oskar Herrfurth

Il barone di Münchhausen in un disegno di Gustave Doré, 1862.

Una delle immagini più famose del barone di Münchhausen è quella che lo vede viaggiare a cavallo di una palla di cannone.

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

I bottoni autoesplodenti

9

Un cavallo a metà

Il barone aveva una giacca prodigiosa, confezionata con la pelle di un suo fedele cane da caccia. Era in grado di guidarlo verso la selvaggina e, quando questa era in vista, i bottoni si sparavano da soli come proiettili, non mancando mai un colpo. Il barone sfidava senz’altro il terzo principio della dinamica, mettendo a serio rischio la sua incolumità: per il principio di azione e reazione possiamo facilmente immaginare che cosa accadesse quando i bottoni «si sparavano» verso la selvaggina spingendo contro il corpo del barone!

Il codino del barone Come il mitico Alessandro Magno, anche il barone aveva domato un cavallo inizialmente selvatico e intrattabile, che successivamente gli divenne fedele e lo seguì in tutte le sue peripezie. Durante una di queste provarono a saltare un fossato troppo largo e vi finirono dentro, sprofondando nella palude fino al collo. Non potendosi liberare altrimenti, il barone dovette impegnare tutta la sua forza sovrumana e, afferratosi per il codino, iniziò a tirare: stringendo saldamente il cavallo tra le ginocchia riuscì in quel modo a sollevare dal pantano se stesso e il cavallo in una sola volta.

Il cavallo del barone fu vittima di un incidente che lo tagliò di netto a metà. Le due zampe posteriori scapparono per i campi, mentre le anteriori, nonostante la mancanza dell’appoggio, non si ribaltarono facendo ruotare il corpo ma continuarono a procedere come se nulla fosse accaduto. Tant’è che il barone si accorse dell’incidente quando notò che il cavallo, portato ad abbeverarsi, non riusciva a dissetarsi: infatti tutta l’acqua che ingoiava dalla bocca fuoriusciva tranquillamente dalla voragine aperta sul retro.

Lo straordinario cavallo del barone, dimezzato da una saracinesca, era in grado di sostenersi su due zampe senza sbilanciarsi.

Illustrazione di Gottfried Franz

Illustrazione di Theodor Hosemann

Il barone di Münchhausen solleva se stesso insieme al suo cavallo tirando con forza il suo codino verso l’alto.

PAROLA CHIAVE

Interazione

DOMANDA Quanto vale la somma della forza che il barone esercita sul suo codino e della forza che il codino esercita sul barone?

PAROLA CHIAVE

Principio

DOMANDA Perché un fisico affermerebbe che l’avventura del cavallo dimezzato è assurda? Argomenta la risposta in 10 righe.

273

MAPPA DEI CONCETTI I PRINCIPI DELLA FISICA sono enunciati mai smentiti da alcuna osservazione

PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA O PRINCIPIO DI INERZIA

F⫽0 v⫽0

Un corpo che persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme cambia tale stato solo se esistono forze non equilibrate impresse su di esso

L’inerzia di un corpo materiale è la sua tendenza a opporsi ai cambiamenti di velocità

I sistemi di riferimento nei quali è valido il principio di inerzia sono detti SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI

IL MOTO È PER INERZIA RETTILINEO UNIFORME

Sono inerziali tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema di riferimento inerziale

PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANA Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali

SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA O LEGGE DI NEWTON

forza

F ⴝ ma

F⫽0

massa inerziale

v⫽0

Le forze sono responsabili delle accelerazioni

UNITÀ DI MISURA DELLA FORZA 1 N ⴝ 1 kg 1m/s2

274

accelerazione

I PRINCIPI DELLA DINAMICA

I SISTEMI DI RIFERIMENTO NON INERZIALI š sono sistemi di riferimento in cui non è verificato il principio di inerzia š sono in moto accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale

In essi sono presenti

FORZE APPARENTI

FORZE DI TRASCINAMENTO

TANGENZIALE

la velocità cambia in modulo

CENTRIPETA

la velocità cambia in direzione

TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA O PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE

azione

F AB ⫽ ⫺F BA

FORZA DI CORIOLIS

È la spinta laterale che subisce un corpo in movimento rispetto a un sistema di riferimento che ruota

Quando un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita contemporaneamente una forza sul corpo A, con la stessa direzione ma verso opposto

reazione

INTERAZIONE è un’azione reciproca fra due corpi

INTERAZIONI FONDAMENTALI FRA CORPI š interazione gravitazionale š interazione elettromagnetica š interazione nucleare forte š interazione nucleare debole

275

9

9 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI Quale delle due navi è un buon sistema di riferimento inerziale? Motiva la risposta in 5 righe.

IL PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

9 Uno studente curioso di verificare il principio di rela-

DOMANDE

tività galileiano misura la massa di una mela con una bilancia a bracci uguali nella sua cucina e poi con la stessa attrezzatura sale su un treno. Che cosa si aspetta di osservare lo studente sul treno in movimento? Rispondi in 10 righe.

Che cos’è un principio fisico? Spiegalo in 10 righe.

1

2 A volte nel linguaggio comune si usa la parola «iner-

zia» per indicare una sorta di «pigrizia», di resistenza all’azione. Spiega in 5 righe quale similitudine riconosci con l’inerzia fisica.

10 Mentre il treno è in movimento rettilineo e uniforme,

lo studente dell’esercizio 9 lascia cadere la mela con velocità iniziale nulla e verifica che, come si aspettava, cade lungo la verticale. Poi lascia cadere la mela fuori dal finestrino, ma non ottiene lo stesso risultato. Spiegane il motivo in 10 righe.

3 Che tipo di moto segue un corpo sparato nello spa-

zio, lontano da stelle o pianeti, da un fucile a canna ricurva? 4 Un’automobile si muove di moto rettilineo uniforme

lungo un’autostrada. Possiamo dedurre che su essa non agiscono forze? Motiva la risposta in 5 righe.

11 Un ragazzo fa rimbalzare un pallone in un ascensore

che sale a velocità costante e si aspetta che il moto della palla durante la caduta sia più breve del moto verso l’alto dopo il rimbalzo. Questa ipotesi è corretta? Motiva in 10 righe.

CALCOLI 5 Quanti anni impiegherebbe un sasso, lanciato nello

spazio alla velocità iniziale di 50 km/s, a percorrere la distanza di un anno luce, lontano da stelle o pianeti? [1,9 ⫻ 1011 s]

6 Durante un lancio, prima di aprire il paracadute, un

paracadutista di 78 kg raggiunge una velocità limite di 180 km/h con la quale continua a cadere di moto rettilineo uniforme. ¢ Quanto vale la forza frenante che l’aria esercita sul paracadutista? [7,6 ⫻ 102 N]

7 Un bambino spinge un tri-

CALCOLI 12

Su un treno che procede a una velocità di 70 km/h verso est un uomo spinge a velocità costante di 1,0 m/s il carrello delle bibite in direzione opposta. Dal carrello, alto 1,2 m, cade il tappo di una bottiglietta. ¢ Quanto tempo impiega a raggiungere il pavimento? ¢ Descrivi la traiettoria nel sistema di riferimento del carrello e in quello terrestre. [0,49 s]

13 Un libro di 300 g è attaccato alla molla di un dina-

ciclo con una forza costante di 0,50 N e questo procede a velocità costante di 1,6 m/s.

mometro.

Glenda M. Powers / Shutterstock

¢ Quanto vale la somma totale di tutte le forze che agiscono sul triciclo? ¢ Quanta strada percorre il bambino spingendo il triciclo in 15 s?

¢ Quale forza-peso misurerebbe il dinamometro se si trovasse su un ascensore che scende a velocità costante? [2,9 N]

14 Su una nave che procede a velocità costante di

35 km/h due passeggeri si lanciano una palla in direzione perpendicolare al moto.

[0 N; 24 m]

2

SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI

DOMANDE 8 Due navi si muovono con velocità costanti rispetto

alla stella polare, lungo traiettorie perpendicolari.

276

¢ Se la componente orizzontale della velocità della palla è 2,8 m/s e la distanza tra i due passeggeri è 4,0 m, quanto tempo dura un palleggio? [1,4 s]

I PRINCIPI DELLA DINAMICA 3

9

spingiamo per 2,0 s con una forza costante di 2,0 N essa acquista una velocità di 15 m/s.

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

¢ Qual è dunque la massa della scatola?

DOMANDE

[0,27 kg]

15 Se su un corpo agisce una forza costante può acca-

23 Un carrello di 100 kg, inizialmente fermo su una stra-

dere che la sua velocità si annulli? Motiva la risposta in 5 righe.

da orizzontale, viene tirato con una forza costante pari a 2,0 ⫻ 102 N. ¢ Trascurando tutti gli attriti, qual è la velocità del carrello dopo 3,0 s?

16 Quale direzione deve avere, rispetto al moto di un

corpo, una forza che fa cambiare la direzione della sua velocità ma non il suo modulo? Rispondi in 5 righe, specificando il tipo di accelerazione del corpo in questo caso.

¢ Quanta strada ha percorso? [6,0 m/s; 9 m]

24 Che cosa succede al carrello dell’esercizio 23 se la

strada è in salita?

17 Quale forza diversa da zero agisce su un’automobile

¢ Disegna lo schema vettoriale e calcola l’accelerazione del carrello se la forza costante è parallela a un piano inclinato il cui rapporto tra altezza e lunghezza sia h/ᐉ ⫽ 4,0%.

mentre percorre una curva a velocità costante? 18 Se il rapporto tra due masse m1 ed m2 è 1000, quanto

deve valere il rapporto tra le forze F1 ed F2 che, agendo rispettivamente sulle masse m1 ed m2, provocano accelerazioni di uguale intensità?

[1,6 m/s2]

4

CALCOLI 19 Uno speleologo di 70 kg si cala in un pozzo scivolan-

do a velocità costante lungo una corda per mezzo di un discensore.

FORZE APPARENTI

DOMANDE 25 All’interno di uno shaker cilindrico i cubetti di ghiaccio

vanno avanti e indietro tra le basi opposte. Come classificheresti la forza apparente che agisce su di essi? 26 Il cestello della lavatrice presenta dei fori. Spiega in

10 righe in che modo la lavatrice elimina gran parte dell’acqua dai tessuti lavati. 27 Tra gli exhibit di un museo scientifico c’è una stanza

¢ Quanto vale la forza frenante del discensore sulla corda? [6,9 ⫻ 102 N]

20 Quale forza costante bisogna applicare a una cassa

rotante: i visitatori possono sperimentare al suo interno le forze apparenti di un sistema di riferimento non inerziale in moto circolare uniforme. Due amici vogliono osservare gli effetti della forza di Coriolis lanciandosi l’un l’altro una palla. In che modo devono disporsi all’interno della stanza? Disegna uno schema aiutandoti con la figura seguente. asse di rotazione

di 50 kg inizialmente ferma per farle acquistare una velocità di 9,2 m/s in 2,1 s, trascurando l’attrito? [2,2 ⫻ 102 N]

21 Un’automobile di 950 kg inizialmente ferma viene

trainata da una forza costante di 20 ⫻ 102 N per 5,0 s.

O

¢ Di quanto varia la sua velocità in km/h? [38 km/h]

22 Non conosciamo la massa di una scatola poggiata

su un piano senza attrito, ma sappiamo che se la

28 Quali forze di trascinamento conosci?

277

9 ESERCIZI CALCOLI

36 Osserva la figura e rispondi: la pallina è attirata dalla

29 Un ragazzo di 56 kg si trova su un autobus che pro-

cede di moto rettilineo uniforme con una velocità di 60 km/h. Con una frenata costante l’autobus riduce la sua velocità di 10 km/h in 2,0 s.

Terra, qual è la reazione? La pallina tira il filo, quale è la reazione?

¢ Quale tipo di forza spinge il ragazzo nella direzione del moto? ¢ Qual è la sua intensità? [78 N]

30 Un carrello di 5,3 kg è attaccato a una molla solidale

alla parete posteriore di un treno in moto rettilineo uniforme. In 6,0 s il treno aumenta la sua velocità di 5,6 m/s con accelerazione costante. `

v

CALCOLI 37 Luigi e Vincenzo, di massa rispettivamente 32 kg e

28 kg, giocano con i loro canotti. Il primo dà una spinta al canotto del secondo e provoca un’accelerazione di 2,1 m/s2.

¢ La molla si allunga o si accorcia?

¢ Trascurando la massa dei canotti e tutti gli attriti, di quanto accelera il canotto di Luigi?

¢ Se la molla fosse tarata, quale forza misurerebbe?

[1,8 m/s2]

[4,9 N]

31 Un’automobile di 1200 kg percorre una curva di rag-

gio pari a 300 m con velocità uniforme di 90 km/h. ¢ Quanto vale la forza che spinge l’auto verso l’esterno della curva?

38 Sul canotto di Luigi dell’esercizio 37 sale anche Gia-

como, il quale spinge l’altro canotto con una forza di 10 N, accelerando in direzione opposta di 0,18 m/s2. ¢ Quanto vale la massa di Giacomo?

[2,5 kN]

32 In una cucina il cuoco asciuga l’insalata con una

centrifuga di raggio pari a 15 cm, poggiata su un tavolo. ¢ Se in ogni secondo il cestello compie due giri, quanto vale l’accelerazione centrifuga delle foglie di insalata al suo interno?

[24 kg]

39 Su un laghetto ghiacciato è poggiato uno slittino. Un

ragazzo di 45 kg lo spinge, ma non tiene conto del fatto che l’attrito tra il ghiaccio e le sue scarpe è praticamente nullo, sicché inizia a muoversi in direzione opposta.

[24 m/s2]

5

IL TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA Hallgerd / Shutterstock

DOMANDE 33 Spiega in 5 righe il significato fisico del termine «in-

terazione». 34 In un vecchio film western il buono sferra un podero-

so pungo in faccia a un cattivo, il quale cade a terra privo di sensi. Perché non è plausibile che il buono non si sia fatto male? Rispondi in 5 righe. 35 Spiega in 5 righe come l’attrito rende possibile cam-

minare.

¢ Se il rapporto tra i moduli delle accelerazioni dello slittino e del ragazzo è 6,9, quanto vale la massa dello slittino? [6,5 kg]

40 Una biglia di 220 g procede con velocità costante di

0,8 m/s su un tavolo da biliardo. Dopo avere urtato

278

9

I PRINCIPI DELLA DINAMICA perpendicolarmente una sponda inverte il verso della velocità in 0,10 s, mantenendo costante il suo modulo. ¢ Quanto vale la forza che la biglia ha esercitato sulla sponda? (Suggerimento: è cambiato il verso della velocità, quindi c’è stata un’accelerazione.) [3,5 N]

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE

righe la forza centrifuga con la quale un indumento è spinto verso le pareti del cestello nei due casi.

PROBLEMI 49 Una cassa di legno di 70 kg si trova su un piano di

legno orizzontale e viene spostata a velocità costante mediante una forza di 206 N. ¢ Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e la cassa? ¢ Quale forza costante dobbiamo applicare alla cassa per 3,0 s per aumentare la sua velocità di 1,5 m/s?

41 Che differenza c’è tra la legge di Hooke e il primo

[0,30; 24 N]

principio della dinamica? Rispondi in 10 righe esplicitando la differenza tra legge e principio.

50 Una cassa di 80 kg, inizialmente ferma, viene spinta

42 In un quesito per l’ammissione a una facoltà univer-

sitaria si legge: «Un corpo di ferro di 5 kg e uno di piombo di 2 kg vengono lasciati cadere da 10 metri di altezza indipendentemente l’uno dall’altro. In un secondo esperimento i due corpi vengono strettamente legati insieme e il corpo così composto viene lasciato cadere dalla stessa altezza» (la resistenza dell’aria è trascurabile). Una delle possibili affermazioni che accompagnano il quesito è che il corpo più pesante tenda a frenare il corpo più leggero per via della sua inerzia maggiore. Spiega in 10 righe perché tale affermazione è sbagliata e scrivine una corretta.

con una forza costante di 190 N per 3,5 s e raggiunge una velocità di 3,0 Km/h. ¢ Quanto vale la forza di attrito che frena la cassa? [0,17 kN]

51 Se non ci fosse l’attrito potremmo far muovere

un’automobile di 10 quintali, inizialmente ferma, con un colpetto di appena un newton della durata di un decimo di secondo. ¢ Quanto tempo impiegherebbe in secondi l’automobile a percorrere un kilometro? ¢ A quanti giorni corrisponde tale intervallo di tempo?

43 La fune che sostiene un ascensore si spezza: quan-

[107 s; un centinaio di giorni]

to vale la forza-peso di un oggetto posto al suo interno durante il moto di caduta? Motiva la risposta in 5 righe.

52 Un bambino spinge una slitta di 5,5 kg, inizialmente

44 Un oggetto viene fatto roteare trattenendolo per

uno spago. Perché se lo spago si spezza l’oggetto non continua a muoversi lungo una traiettoria circolare ma si allontana lungo la sua tangente? Spiega in 10 righe. 45 Quanti sono i sistemi di riferimento inerziali? E quelli

non inerziali? 46 Un’automobile viaggia a velocità costante, dunque

la somma di tutte le forze che agiscono su di essa è zero. L’automobile è in equilibrio? Motiva la risposta in 5 righe. 47 Un remo è una leva di primo grado. Fai un disegno in

cui siano rappresentati i vettori della forza motrice, della forza resistente e della forza di reazione che fa avanzare la barca a remi. 48 Il cestello di una lavatrice può effettuare 500 giri in

un minuto o 1000 giri in un minuto. Confronta in 5

ferma, con una forza costante per 2,5 s fino a quando la slitta acquista una velocità di 11 km/h. ¢ Qual è l’intensità della forza? ¢ Quanto spazio ha percorso la slitta? [6,7 N; 3,8 m]

53 Si vuole fermare un carrello di 60 kg che si muove

con velocità costante di 10 m/s, applicando una forza costante di 120 N. ¢ In quale direzione va applicata la forza? ¢ Per quanto tempo? ¢ Per quanto tempo dovrebbe agire se la massa del carrello fosse doppia? [5,0 s]

54 Lanciamo un frisbee di 0,20 kg con una forza che

provoca un’accelerazione di 19,3 m/s2. ¢ Quanto vale la spinta che riceviamo? ¢ Perché non ci muoviamo in direzione opposta? Rispondi in 5 righe. [3,9 N]

279

9 ESERCIZI 55 Un’automobile di 1500 kg percorre una curva alla ve-

58 In riferimento al carro attrezzi e all’automobile

locità di 60 km/h. Il raggio di curvatura della traiettoria è 80 m, mentre il coefficiente di attrito tra l’asfalto e le gomme è 0,5.

dell’esercizio 57, dopo 20 s la velocità dei veicoli è 20 km/h. ¢ Quanto vale la forza di attrito?

Christian Delbert / Shutterstock

¢ Quanto vale l’accelerazione dei veicoli se a quel punto il carro attrezzi inizia a esercitare una forza di intensità uguale a quella della forza di attrito? ¢ Quanto vale la loro velocità? [2,5 ⫻ 103 N; 0 m/s2; 20 km/h]

59 Un uomo di 80 kg spinge una cassa di 40 kg, inizial-

mente ferma, su un piano senza attrito con una forza costante e percorre 3,0 m in 2,5 s. ¢ Quanto vale l’accelerazione della cassa?

¢ Quanto vale la forza centrifuga che spinge l’automobile verso l’esterno della curva?

¢ Quanto vale la forza che la cassa esercita sull’uomo?

¢ Qual è la velocità massima oltre la quale l’automobile uscirebbe di strada?

¢ Con la stessa forza l’uomo riesce a muovere la cassa se tra questa e il piano c’è un coefficiente di attrito di 0,3?

(Suggerimento: imponi l’uguaglianza tra la forza centrifuga e la forza di attrito.)

[0,96 m/s2; 38 N; no]

[5,2 ⫻ 103 N; 71 km/h]

56 In una stazione spaziale cilindrica, con un raggio di

180 m, la forza di gravità è riprodotta attraverso la forza centrifuga dovuta alla rotazione del cilindro intorno al suo asse.

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

asse di rotazione

¢ Quale deve essere la velocità angolare della stazione per avere un valore dell’accelerazione centrifuga di 9.8 m/s2? ¢ A quale velocità tangenziale corrisponde? ¢ Quanto varrebbe l’accelerazione centrifuga se la velocità di rotazione della stazione raddoppiasse?

Una persona è in piedi su una bilancia a molla posta su di un ascensore. Prima che l’ascensore cominci a salire la bilancia segna 637 newton. Quando l’ascensore accelererà verso l’alto la bilancia segnerà: A

lo stesso valore perché la massa non varia.

B

un valore minore a causa dell’accelerazione verso l’alto.

C

un valore maggiore a causa dell’accelerazione verso l’alto.

D

lo stesso valore perché l’accelerazione è costante.

E

lo stesso valore perché la superficie a contatto col corpo non varia.

[0,23 rad/s; 42 m/s; 39 m/s ]

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2008/2009)

57 Un carro attrezzi di 3,8 ⫻ 103 kg traina un’automobile

2 Una bottiglia di plastica contiene, sul fondo, delle

2

inizialmente ferma di 1,6 ⫻ 103 kg con una forza costante di 4,0 ⫻ 103 N. ¢ Quanto vale l’accelerazione dei veicoli trascurando l’attrito? ¢ Quale forza il carro attrezzi esercita sull’automobile? ¢ Quale forza l’automobile esercita sul carro attrezzi? [0,74 m/s2; 1,2 ⫻ 103 N; 1,2 ⫻ 103 N]

280

biglie di acciaio. Lasciamo cadere la bottiglia da una grande altezza, con una velocità iniziale nulla. Quale affermazione tra le seguenti si ritiene corretta, nell’ipotesi di poter trascurare l’attrito tra bottiglia e aria? A

Le sfere rimangono sul fondo, come conseguenza del fatto che la forza-peso è proporzionale alla massa.

B

Nei primi istanti del moto le sfere si portano

I PRINCIPI DELLA DINAMICA dalle parti del collo della bottiglia, a causa dell’inerzia.

9

Mantenendo costante la velocità orizzontale, l’aereo inizia a perdere quota al regime di 9,8 metri al secondo per ogni secondo, descrivendo in questo modo una traiettoria parabolica. Indicare l’affermazione più adeguata tra le seguenti:

C

Le sfere sono accelerate verso il collo della bottiglia, a causa della spinta di Archimede.

D

Le sfere rimangono sul fondo, come conseguenza del fatto che l’acciaio ha una densità maggiore della plastica.

A

i passeggeri non si accorgono di nulla.

B

i passeggeri rimangono seduti ma si sentono alleggeriti.

Le sfere lentamente ruotano all’interno della bottiglia, a causa della forza di Coriolis.

C

i passeggeri provano una forte turbolenza.

D

i passeggeri si sentono schiacciati contro il sedile.

E

i passeggeri galleggiano nella cabina dell’aereo apparentemente privi di peso.

E

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria 2010/2011) 3 Un aereo di linea viaggia ad altezza e velocità di cro-

ciera. Il segnale luminoso relativo alle cinture di sicurezza è spento e tutti i passeggeri le hanno slacciate.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2009/2010)

281

CAPITOLO

c La conservazione dell’energia dell

“

Anche se l’energia meccanica è indistruttibile, c’è una universale tendenza alla sua dissipazione.

”

William Thomson (Lord Kelvin)

Il’ja E. Repin, I battellieri del Volga, 1870-1873.

PAROLE CHIAVE Conservazione dell’energia Energia cinetica Energia potenziale

282

Incontriamo una nuova grandezza fisica, l’energia, della quale sentiamo spesso parlare e con la quale facciamo i conti tutti i giorni, ovunque e in ogni situazione. L’energia fa muovere i treni e l’economia mondiale, e consente ai battellieri di rimorchiare un’imbarcazione sul Volga. L’energia si trasferisce dagli uomini al battello che, vincendo le forze di attrito, si muove lungo il fiume. L’energia si trasforma: i muscoli traggono nutrimento dal cibo e i processi metabolici lo rendono disponibile sotto forma di energia per compiere movimento. L’energia si trasferisce, si trasforma e complessivamente si conserva, cioè se potessimo misurare la sua quantità nell’intero Universo troveremmo ogni volta lo stesso valore. Questo fatto è fondamentale per i fisici, che lo considerano un principio importantissimo a cui la natura sembra non disobbedire mai. Non è mai stato osservato al-

cun fenomeno in cui l’energia sia comparsa dal nulla o sia sparita misteriosamente: possiamo con fiducia supporre che ciò accada anche in circostanze ancora sconosciute. In questo capitolo non esaurirai la conoscenza di questa importante grandezza fisica, ma incontrerai due sue tipologie fondamentali: l’energia cinetica, legata al movimento, e l’energia potenziale, legata alla posizione. Vedrai anche che i trasferimenti di energia avvengono per mezzo della grandezza fisica «lavoro», che ancora una volta ha un nome familiare, ma non sempre sembra corrispondere a ciò che intendiamo comunemente. Corrisponde comunque, senza equivoci, a ciò che è raffigurato nel dipinto di Repin, dove la fatica dei battellieri è riconosciuta come lavoro anche da un fisico.

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

1

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA: UNA BREVE INTRODUZIONE

Omnia mutantur, nihil interit, scriveva Ovidio nelle Metamorfosi duemila anni fa. Il concetto di conservazione, per cui «tutto si trasforma, nulla si distrugge» è dunque molto antico e ha guidato la ricerca su terreni inesplorati contribuendo alla conquista di nuove conoscenze. Nel XVIII secolo Antoine-Laurent de Lavoisier fece del motto di Ovidio un principio scientifico, e su esso nacque la chimica, che studia le trasformazioni della materia a livello molecolare, nelle quali la massa totale non cambia mai. La conservazione della massa postulata da Lavoisier è dunque un assunto secondo il quale in una reazione chimica la massa totale dei prodotti è uguale alla massa totale dei reagenti. Gli atomi si ricombinano tra loro senza sparire o materializzarsi dal nulla: le diverse molecole non sono altro che diverse combinazioni degli stessi atomi. Ci sono però fenomeni, come alcune reazioni che avvengono all’interno dei nuclei atomici, nei quali la massa non si conserva. La conservazione della massa non vale all’interno del nucleo e non può essere considerata un principio fisico, ma una legge con alcuni limiti di validità. L’ormai famosissima equazione legata al nome di Albert Einstein: E ⫽ mc2 esprime l’equivalenza tra la massa (m), moltiplicata per c2, che è la velocità della luce nel vuoto al quadrato, e un’altra grandezza fisica chiamata energia (E); cioè massa ed energia sono due aspetti diversi della stessa entità. Se consideriamo questa equivalenza, vediamo che anche nelle reazioni nucleari continua a esserci una quantità conservata, in quanto la massa si trasforma in quella che chiamiamo in generale «energia». In pratica l’energia sembra non conservarsi e invece si conserva ancora, perché la sua definizione si amplia comprendendo la massa. La sua quantità totale è risultata costante in qualsiasi trasformazione finora osservata; cioè non è stato mai visto alcun fenomeno in cui il suo valore totale sia cambiato. Pertanto la conservazione dell’energia è attualmente considerata un principio della fisica. Il concetto di energia è intuitivo, perché ne sentiamo parlare molto spesso, ma è molto difficile definirlo a parole. Per fortuna si tratta di una grandezza fisica e come tale è misurabile, rappresentata da diverse espressioni matematiche a seconda della situazione in cui viene misurata. La caratteristica fondamentale dell’energia è che la sua quantità totale nell’intero Universo è costante. L’energia si conserva, dunque, ma passa da un corpo all’altro, si propaga nello spazio e subisce trasformazioni che ce la fanno percepire in modi diversi: una volta la identifichiamo con il calore, un’altra volta con il movimento, un’altra volta ancora con qualcosa che fa accendere le nostre lampadine… In tutti questi casi si può misurare ed esprimere con formule matematiche, più o meno complicate, alcune delle quali sono illustrate in questo capitolo. L’unità di misura dell’energia è il joule (J), e vedremo più avanti come è messa in relazione con le unità di misura del Sistema Internazionale. Qui

283

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

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iniziamo a introdurre il suo ordine di grandezza, collegandolo a un’azione quotidiana: 1 J è all’incirca l’energia necessaria a sollevare di 1 m una mela di 102 g (vedi altri esempi in figura 1).

Figura 1. Quanta energia... in una goccia di pioggia: 10–4 J; per abbassare un tasto: 10–1 J; in una caramella: 104 J; in un’auto a 100 km/h: 106 J; durante un temporale: 1013 J; nell’eruzione del Krakatoa del 1883: 1017 J.

Figura 2. La clorofilla colora di verde le foglie: su di esse avvengono i processi che trasformano l’acqua e l’anidride carbonica in glucosio. 100 g di lattuga contengono circa 80 kJ di energia.

Il Sole è la nostra fonte di energia Le stelle sono «grumi» di energia; il Sole è una di esse e irradia tutto intorno, illuminando, scaldando e consentendo in tal modo il movimento e la vita sulla Terra. Alle nostre latitudini in ogni secondo arrivano dal Sole circa 400 J di energia per metro quadro di superficie; complessivamente ciò equivale a 174 ⫻ 1015 J di energia che ogni secondo investe il pianeta. È una quantità di energia enorme, che in parte viene riflessa e restituita allo spazio e in parte utilizzata dal pianeta e dai suoi abitanti. I processi meteorologici, le correnti marine, la vita e le sue attività: tutto, in ultima analisi, si riconduce principalmente all’energia solare. Anche i combustibili fossili, che oggi ancora alimentano l’economia mondiale, non sono altro che energia solare trasformata mediante la fotosintesi e immagazzinata in milioni di anni.

La fotosintesi clorofilliana Alla base della vita sulla Terra c è la fotosintesi clorofilliana (figura 2), una reazione chimica alimentata dalla luce del Sole, nella quale l’acqua (H2O) e l’anidride carbonica (CO2) si combinano e restituiscono glucosio (C6H12O6) e ossigeno (O2), nutrimento primario di ogni essere vivente:

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6H2O ⫹ 6CO2 ⫹ luce

C6H12O6 ⫹ 6O2

Le piante vengono mangiate dagli animali erbivori e questi a loro volta dai carnivori: in ultima analisi, ogni forma di vita si alimenta di energia solare trasformata in cibo.

284

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

10

ESEMPIO

Massimiliano Trevisan

Le etichette dei prodotti alimentari riportano spesso il loro valore energetico in kJ o in kcal (kilocalorie), un’unità di misura pratica.

Questa è l’etichetta di una bottiglia di latte, in cui si legge che 100 ml di prodotto contengono energia pari a 208 kJ. DOMANDA Quante bottiglie di latte ci vogliono per raggiungere la quantità di energia solare che investe la Terra in un secondo?

2

TRASFERIRE L’ENERGIA: IL LAVORO

Quando spingiamo un oggetto, oppure lo solleviamo da terra, trasferiamo l’energia immagazzinata nel nostro corpo all’oggetto. Per fare ciò dobbiamo utilizzare una forza e compiere con essa ciò che in fisica è chiamato lavoro. Il lavoro di una forza F è uguale al prodotto scalare della forza per lo spostamento s: L ⫽ F· s

(10.1)

Usando la formula (5.2) per il prodotto scalare: L ⫽ Fs cos

(10.2)

L ⫽ FsF Cioè: il lavoro è il prodotto dell’intensità della forza F per la componente sF dello spostamento nella direzione della forza. Vediamo dunque che una forza compie lavoro quando il suo punto di applicazione cambia lungo la

285

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

direzione dello spostamento (figura 3). Una forza che agisce su un corpo trasferisce su di esso energia pari al lavoro svolto, e pertanto lavoro ed energia hanno la stessa unità di misura. L’unità di misura del lavoro è il joule (J): 1 J equivale al lavoro compiuto da una forza di 1 N che sposta il suo punto di applicazione di 1 m nella sua stessa direzione: 1J⫽1N 1m

Figura 3. Solo la componente della forza parallela allo spostamento produce lavoro e contribuisce al trasferimento di energia.

`

F

␪

`

s

`

Fⱍⱍ

ESEMPIO ¢ Qual è il lavoro compiuto da un cavallo che tira un carrello parallelamente a una rotaia con una forza costante di 350 N per 10 m?

`

F

SOLUZIONE L ⫽ Fs cos ⫽

`

s

⫻ 10 m ⫻ cos 0° ⫽

⫻ 10 m ⫻ 1 ⫽ 3,5 kJ

`

F 30° ` s

DOMANDA Quanto vale il lavoro svolto dal cavallo se la forza e lo spostamento formano un angolo di 30°?

Il lavoro può essere positivo, negativo o nullo Dalle regole del calcolo vettoriale per il prodotto scalare si ricavano le condizioni che definiscono il valore e il segno del lavoro. Esso va da un valore

286

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

massimo e positivo se forza e spostamento sono paralleli e di verso concorde a un valore minimo e negativo se invece il verso è opposto. Il lavoro è nullo se forza e spostamento sono perpendicolari (figura 4). `

F `

`

F

`

`

s

F

s

`

s

a

b

c

Figura 4. a. Se la forza agisce nella stessa direzione del moto il lavoro è positivo. b. Se la forza agisce in direzione contraria al moto il lavoro è negativo. c. Se la forza agisce in direzione perpendicolare allo spostamento il lavoro è nullo.

Il lavoro delle forze frenanti, come gli attriti che si oppongono al movimento dei corpi, è pertanto negativo: mentre il corpo procede in una direzione la forza agisce nella direzione opposta. Il lavoro è nullo se forza e spostamento sono perpendicolari: se per esempio ci muoviamo in direzione orizzontale tenendo un peso sulla testa non compiamo lavoro in termini fisici: la forza-peso è infatti verticale, cioè perpendicolare al nostro spostamento (figura 5). Questa osservazione suscita spesso perplessità, ma una volta tanto è il senso comune ad avere ragione: in realtà tenere un peso sulla testa implica lavoro in quanto il nostro corpo non è rigido e flette quasi impercettibilmente sotto il peso che lo schiaccia. I nostri muscoli devono quindi continuamente contrastare una forza premente con microspostamenti che ci fanno avvertire la fatica e che, sommati, comportano un effettivo lavoro anche in senso fisico.

`

F

`

Vishal Shah / Shutterstock

s

Il lavoro su un piano inclinato Se consideriamo il caso in cui forza e spostamento sono paralleli la formula (10.1) diventa semplicemente (10.3)

L ⫽ Fs

Da questa notiamo che lo stesso lavoro si può ottenere con una forza molto intensa che agisce su una breve distanza, oppure con una forza poco intensa che agisce su una distanza più lunga. Ciò sta alla base del funzionamento del piano inclinato come macchina semplice, capace cioè di ridurre la forza necessaria per compiere lo stesso lavoro. La forza-peso Fp che agisce su un corpo lungo l’altezza h di un piano inclinato compie infatti un lavoro Lp, uguale a quello compiuto dalla sua componente parallela al piano che agisce lungo la sua lunghezza ᐉ, Lp . Infatti dalla regola del piano inclinato (figura 6): Fp ? Fp

h



F p ᐉ ⫽ F ph e quindi: Lp ⫽ Lp

`

艎

Fpⱍⱍ 艎 ⫽ Fp h

`

Fpⱍⱍ

h `

Fp

otteniamo:

Figura 5. Se approssimiamo il corpo umano con un sistema rigido questa donna non sta compiendo lavoro, perché il suo spostamento è perpendicolare alla reazione al peso della brocca. Non sempre le approssimazioni aiutano a comprendere meglio le situazioni.

`

Fp⬜

`

Fp

Figura 6. Lungo la verticale o lungo il piano inclinato la forza-peso compie lo stesso lavoro.

287

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

La potenza La potenza è una grandezza fisica molto usata nella pratica: dai motori alle lampadine, i prodotti della tecnologia sono caratterizzati dalla quantità di energia che consumano in un secondo. In termini di lavoro, per esempio, un’automobile è più potente di un’altra quando compie lo stesso lavoro in meno tempo. La potenza sviluppata da un sistema è data dal rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il tempo impiegato a compierlo: L P: (10.4) t Lo stesso lavoro può essere ottenuto con una potenza elevata per un tempo breve o con una potenza bassa per un tempo lungo. L’unità di misura della potenza è il watt (W): 1J 1W : 1s Un sistema che compie lavoro pari a 1 J in 1 s sviluppa una potenza di 1 W.

ESEMPIO ¢ Quanto lavoro compie in un’ora un motore che eroga una potenza di 60 kW? SOLUZIONE Invertendo la formula (10.4) rispetto al lavoro si ottiene: L ⫽ P · t ⫽ 60 kW · 1 h ⫽ 60 · 103 W · 3600 s ⫽ 2,2 · 108 J DOMANDA Qual è la potenza della radiazione solare per unità di superficie terrestre?

L’energia sulla bolletta della luce Un ordinario contratto elettrico casalingo prevede una potenza di 3 kW, cioè nelle nostre case possiamo consumare al massimo 3 kJ di energia ogni secondo. Se usassimo tutta la potenza disponibile per un’ora consecutiva consumeremmo pertanto 3 · 3600 kJ, cioè circa 107 J di energia. Le nostre bollette sarebbero piene di numeri enormi se non si usasse un’unità di misura pratica molto più grande, il kilowattora (kWh). Un kilowattora corrisponde all’energia fornita in un’ora dalla potenza di un kilowatt. 1 kWh ⫽ 1 kW · 1 h 1 kWh ⫽ 3,6 ⫻ 106 J

288

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

3

10

L’ENERGIA CINETICA

In termini di forze, se spingiamo un corpo con una forza F lo acceleriamo in misura proporzionale alla sua massa. In termini di energetici compiamo un lavoro su di esso e gli trasferiamo parte della nostra energia. L’energia di movimento che acquista il corpo in virtù del nostro lavoro è chiamata in fisica energia cinetica e dipende, oltre che dalla velocità, anche dalla sua massa (figura 7), secondo un’espressione che si può intuire osservando come sono collegate tra loro le unità di misura: 1 J ⫽ 1 N 1 m ⫽ (1 kg m/s2) 1 m ⫽1 kg m2/s2 ⫽ 1 kg (m/s)2 cioè l’energia è uguale al prodotto di una massa per il quadrato di una velocità. Più precisamente: l’energia cinetica di un corpo è uguale alla metà del prodotto della sua massa per il quadrato della sua velocità: 1 Ec : mv 2 2

(10.5)

→

v

Figura 7. L’energia cinetica dipende dalla velocità e dalla massa.

→

v

Si osservi che m ⬎ 0 e v2 ⬎ 0: dunque l’energia cinetica è sempre positiva, in qualsiasi sistema di riferimento si stia misurando la velocità.

Lavoro ed energia cinetica Dimostriamo ora che le formule viste fin qui sono compatibili con il fatto che il lavoro compiuto su un corpo è effettivamente responsabile dei trasferimenti di energia su di esso. Immaginiamo una forza costante F , che agisce su un corpo inizialmente fermo, su un piano privo di attrito, provocandone un’accelerazione a costante, inversamente proporzionale alla sua massa m e parallela a F . Lo spazio percorso dal corpo durante la spinta è dato dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato; vanno dunque combinate le tre relazioni scalari date dalle formule (9.1), (4.6) e (10.3): F ? ma

s?

1 2 at 2

L ? Fs

Si ottiene: 1 1 L = ma ⋅ at 2 = ma2t 2 2 2 Dato che nel moto uniformemente accelerato con partenza da fermo v ⫽ at, si ha che:

289

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 2

L?

1 v 2 1 t ? mv 2 m 2 2 t

Quindi il lavoro ha effettivamente modificato l’energia del corpo di una quantità pari a 1/2 mv2, cioè alla sua energia cinetica, che inizialmente era nulla. Osserviamo quindi che: s la forza modifica la velocità; s il lavoro modifica l’energia cinetica. Pertanto, se un corpo possiede un’energia cinetica iniziale Eci, il lavoro compiuto su di esso la incrementa (o la diminuisce, nel caso delle forze frenanti) di una quantità pari a L: Ecf ⫽ Eci ⫹ L cioè: L ⫽ Ecf ⫺ Eci⫽ Ec Abbiamo quindi un risultato molto importante, noto come teorema dell’energia cinetica: il lavoro compiuto su un corpo da una forza è uguale alla variazione dell’energia cinetica del corpo: L = Ec =

1 1 mvf2 − mvi2 2 2

L’energia cinetica aumenta se il lavoro è positivo e diminuisce se è negativo, come nel caso delle forze frenanti.

ESEMPIO ¢ Una palla di massa 0,50 kg cade da un’altezza di 10 m, pertanto la sua forza-peso compie un lavoro positivo. Di quanto aumenta la sua energia cinetica? SOLUZIONE Dal teorema dell’energia cinetica Ec ⫽ L ⫽ Fp h ⫽ mgh ⫽ 0,50 kg ⫻ 9,8 m/s2 ⫻ 10 m ⫽ 49 J DOMANDA Se la palla ha una velocità iniziale nulla, con quale velocità arriva al suolo?

L’energia cinetica rotazionale I moti rotazionali sono più semplici da trattare se al posto delle grandezze fisiche lineari si usano le grandezze fisiche angolari. La formula generale per l’energia cinetica rotazionale è Ecr =

290

1 2 Iω 2

(10.6)

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

10

dove s è la velocità angolare intorno a un asse; s I è una grandezza che si oppone alle variazioni di moto intorno all’asse di rotazione, detta momento di inerzia. Vediamo il significato di questa formula in un caso molto semplice, in cui un oggetto stia ruotando su una circonferenza di raggio R con velocità v. La sua energia cinetica secondo la definizione generale è Ec ?

1 1 1 mv 2 ? m ( R )2 ? mR 2 2 2 2

2

?

1 I 2

2

Avendo posto I ⫽ mR2, osserviamo che il momento di inerzia è tanto più elevato quanto maggiore è la distanza dell’oggetto dal centro di rotazione. In generale un corpo esteso ha diversi momenti di inerzia a seconda dell’asse intorno al quale è posto in rotazione: essi dipendono dalla distribuzione della massa intorno all’asse. SCHEMA DELLA SITUAZIONE `

F `

s

`

F

`

s

F

F

`

s

4

FORZA E SPOSTAMENTO

VELOCITÀ

ENERGIA

TRASFERIMENTO DI ENERGIA

forza e spostamento sono concordi

vf ⬎ vi la velocità finale è maggiore, in modulo, di quella iniziale

Ec ⬎ 0 l’energia cinetica aumenta

il lavoro trasferisce energia sul corpo

forza e spostamento sono discordi

vf ⬍ vi la velocità finale è minore, in modulo, di quella iniziale

Ec ⬍ 0 l’energia cinetica diminuisce

il lavoro sottrae energia al corpo

`

`

`

s

Tabella 1. Trasferimenti di energia.

L’ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

Se il lavoro trasferisce energia, allora perché ` quando solleviamo da terra una palla a velocità F ` costante, compiendo lavoro contro la sua forza- v cost peso, la sua energia cinetica non cambia (figura 8)? ` Da fisici assumiamo per principio che l’energia si Fp conserva, e facciamo l’ipotesi che essa sia nascosta da qualche parte: in effetti, se lasciamo libera la palla, essa cade sotto l’azione del suo peso e, mentre cade, la sua velocità aumenta. Arrivata a terra la sua energia cinetica è esattamente uguale al lavoro che abbiamo compiuto per sollevarla: nulla è andato perduto. Il nostro lavoro non modifica direttamente l’energia cinetica, ma fornisce alla palla una cosiddetta energia potenziale, cioè un’energia «nascosta» che può «potenzialmente» diventare energia cinetica. Quando solleviamo un oggetto con una forza uguale e contraria alla sua forza-peso esso acquista

Figura 8. La nostra forza si oppone esattamente alla forza-peso, per cui il moto della palla è rettilineo uniforme e l’energia cinetica non cambia.

291

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

un’energia potenziale gravitazionale, che viene restituita come energia cinetica quando la forza-peso è libera di agire e compie lavoro sul corpo facendolo cadere (figura 9). L’energia potenziale gravitazionale Ug di un corpo che si trova a un’altezza h rispetto a un certo livello di riferimento è uguale al lavoro che la sua forza-peso compie nel tratto h: (10.7)

Ug ⫽ mgh `

v ⫽0

Figura 9. a. Quando solleviamo una palla compiamo lavoro e trasferiamo su di essa energia. b. La palla è stata «caricata» con un’energia potenziale gravitazionale. c. Quando la palla cade sotto l’azione della sua forza-peso l’energia potenziale gravitazionale diventa energia cinetica.

` `

F⭈s

h

`

v

a

b

c

livello di riferimento

Forza-peso e spostamento sono paralleli (figura 10). Infatti: `

Ug ⫽ Lp ⫽ F p · s ⫽ mgh

s

`

Fp Figura 10. Durante la caduta libera forza-peso e spostamento sono paralleli.

L’energia potenziale gravitazionale di un dato corpo dipende soltanto dalla quota a cui si trova il corpo rispetto a un livello di riferimento arbitrario. Ciò che conta è solo il dislivello h, e il lavoro Lp non dipende dal percorso compiuto dalla forza.

ESEMPIO

SOLUZIONE Se i gemelli procedono a velocità costante il loro lavoro modifica soltanto la loro energia potenziale gravitazionale, che, a parità di massa, dipende solo dal dislivello. I gemelli compiono pertanto lo stesso lavoro per raggiungere la vetta.

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¢ Due gemelli identici vogliono raggiungere la vetta di una montagna. A 200 m di dislivello dalla cima il primo decide di scalare una parete verticale, il secondo sceglie un sentiero più lungo. Quale dei due compie un lavoro maggiore?

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

10

Del resto, schematizzando la situazione con un piano inclinato si ottiene lo stesso risultato: Fp ᐉ ⫽ Fp h

艎 `

Fpⱍⱍ

h ` `

Fp

Fp⬜

`

Fp

DOMANDA Qual è l’energia minima necessaria per compiere la scalata se la loro massa è di 70 kg?

L’energia potenziale elastica Quando teniamo sollevato un oggetto pesante a una certa altezza dal pavimento sentiamo che il suo peso tira verso il basso, come se fosse vincolato a una molla attaccata al pavimento. In virtù di questa somiglianza estendiamo il concetto di energia potenziale anche alla forza elastica, per la quale un corpo elastico deformato tende a recuperare la forma originaria. Così come la forza gravitazionale, anche questa è causa di un’energia potenziale, detta appunto energia potenziale elastica (figura 11). Ricavare l’espressione dell’energia potenziale elastica non è immediato, perché la forza elastica non è costante durante la deformazione del corpo, ma il suo modulo dipende dalla deformazione stessa x:

energia potenziale elestica

F⫽k x Pertanto il lavoro L⫽F·s deve essere calcolato tenendo conto che la forza non è costante ma varia lungo lo spostamento del punto di applicazione. Il problema si risolve ancora una volta mediante il calcolo infinitesimale, suddividendo cioè il processo in infiniti passi infinitamente piccoli, in cui la forza è considerata costante. Il risultato è il seguente: Ue ?

1 k x2 2

Figura 11. Un arco teso ha energia potenziale elastica; mentre l’arco si «scarica» la sua energia potenziale elastica si trasferisce alla freccia sotto forma di energia cinetica.

(10.8)

L’energia potenziale elastica è direttamente proporzionale alla costante elastica dell’oggetto deformato e al quadrato della deformazione. Essa è, pertanto, sempre positiva, sia quando la molla è compressa sia quando è allungata, cioè qualunque sia il segno algebrico di x.

293

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

ESEMPIO ¢ Quanta energia è immagazzinata in una molla di costante elastica k ⫽ 2000 N/m quando la sua lunghezza è inferiore di 2,5 cm alla lunghezza di riposo? SOLUZIONE Ue =

x ⫽ ⫺0,025 m 1 1 k x 2 = × 2000 Nm × (−0, 025 m )2 = 0, 63 J 2 2

DOMANDA Che cosa succede all’energia potenziale se la deformazione raddoppia?

5 SIMULAZIONE Conservazione dell’energia (PhET, University of Colorado)

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, gravitazionale o elastica, è spesso chiamata energia meccanica. Se immaginiamo che non esistano le forze dissipative, che disperdono cioè l’energia, come gli attriti, il principio di conservazione dell’energia durante un moto si riduce alla conservazione dell’energia meccanica. Esso si esprime dicendo che: in assenza di forze dissipative la somma delle energie cinetica e potenziale di un sistema non cambia nel tempo, cioè si conserva: Ec ⫹ U ⫽ costante Questo significa che, se in ogni istante si misurassero l’energia cinetica e l’energia potenziale di un corpo in movimento, la loro somma darebbe sempre lo stesso risultato. Per esempio, immaginiamo una palla ferma a una certa altezza h: la sua energia cinetica è nulla e la sua energia potenziale gravitazionale dipende dall’altezza h. Quando cade, attratta dalla Terra, la sua energia cinetica aumenta mentre quella potenziale diminuisce fino ad annullarsi per h ⫽ 0: a quel punto tutta l’energia è cinetica (figura 12).

Figura 12. Etot ⫽ Epg: l’energia della palla è tutta potenziale gravitazionale. Etot ⫽ Epg ⫹ Ec: l’energia potenziale diminuisce mentre l’energia cinetica aumenta. Etot ⫽ Ec: l’energia della palla è tutta cinetica.

Ec Ec h

Ec

Epg Epg Epg Etot ⫽ Epg

Etot ⫽ Epg ⫹ Ec

Etot ⫽ Ec

livello di riferimento

Andiamo oltre. Immaginiamo che la palla, arrivata a terra, rimbalzi. La palla si deforma e l’energia cinetica diventa via via energia potenziale elastica

294

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

fino a quando la velocità non si annulla. A quel punto l’energia elastica inizia a scaricarsi e quella cinetica aumenta fino a quando la palla non riprende la sua forma originaria (figura 13). `

`

v ⫽0

`

v

`

v

`

v

v

Etot ⫽ Ec

Etot ⫽ Epe ⫹ Ec

Etot ⫽ Epe

Etot ⫽ Epe ⫹ Eg

Etot ⫽ Ec

La velocità è diretta stavolta verso l’alto e la palla si stacca dal pavimento con la stessa energia che aveva all’inizio, stavolta tutta cinetica. Mentre la palla sale l’energia cinetica diminuisce, mentre aumenta quella potenziale. Arrivata all’altezza iniziale h, l’energia cinetica è nuovamente nulla e l’energia totale è solo di tipo potenziale (figura 14). Ec Ec Ec

h

Epg Epg Epg Etot ⫽ Ec

Etot ⫽ Epg ⫹ Ec

Etot ⫽ Epg

livello di riferimento

10 Figura 13. Etot ⫽ Ec: la deformazione è nulla; la palla ha solo energia cinetica. Etot ⫽ Epe ⫹ Ec: diminuisce l’energia cinetica e aumenta l’energia potenziale elastica. Etot ⫽ Epe: l’energia cinetica è nulla, mentre l’energia potenziale elastica è massima. Etot ⫽ Epe ⫹ Ec: mentre l’energia elastica diminuisce, l’energia cinetica aumenta. Etot ⫽ Ec: la deformazione è nulla e l’energia cinetica è massima.

Figura 14. Etot ⫽ Ec: l’energia della palla è solo cinetica. Etot ⫽ Epg ⫹ Ec: l’energia cinetica diminuisce mentre aumenta l’energia potenziale gravitazionale. Etot ⫽ Epg: la palla è nuovamente ferma e l’energia è tutta potenziale.

Nella realtà, quando una palla rimbalza non torna mai alla quota di partenza ma un po’ più in basso, cioè la sua energia meccanica diminuisce e non si conserva. Questo avviene perché sono presenti fenomeni dissipativi, che disperdono l’energia dopo averla sottratta alla palla. Per esempio, la palla si muove attraverso l’aria spostandola al suo passaggio; l’aria pertanto assorbe parte dell’energia della palla rallentandola.

ESEMPIO ¢ Una palla di 0,50 kg cade partendo da ferma dal tetto di un palazzo di quattro piani. Se ogni piano è alto 3,5 m, con quale velocità la palla attraversa il livello del pavimento del primo piano?

14,0 m 3° piano 10,5 m 2° piano 7,0 m 1° piano 3,5 m piano terra

SOLUZIONE h1 ⫽ (3,5 m) ⫻ 4 ⫽ 14 m h2 ⫽ 3,5 m

295

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

La conservazione dell’energia si scrive: Ec ⫹ U ⫽ costante cioè Ec1 ⫹ Ug1 ⫽ Ec2 ⫹ Ug2 Abbiamo: 0 + mgh1 =

1 mv 22 + mgh2 2

Invertendo rispetto a v2: v 2 = 2 g ( h1 − h2 ) = 2 × 9, 8 m/s2 × (14 m − 3, 5 m ) = 14 m/s DOMANDA Quanta energia ha perso la palla dopo il primo rimbalzo, se la sua velocità si annulla a un’altezza di 10 m?

IN LABORATORIO

Un’utile rappresentazione

La conservazione dell’energia meccanica š Video (6 minuti) š Test (3 domande)

Per visualizzare la conservazione dell’energia meccanica si è soliti rappresentare delle montagne russe in un piano posizione-energia potenziale. Immaginando che non ci sia attrito, si rappresenta con una riga orizzontale il livello dell’energia totale (in corrispondenza del valore massimo dell’energia potenziale): l’altezza della rotaia determina l’energia potenziale rispetto al livello di riferimento, e per differenza si ricava l’energia cinetica di un carrello libero di scorrere su essa (figura 15). `

`

v ⫽0 Figura 15. L’energia totale è rappresentata dalla linea tratteggiata in alto, l’energia potenziale in un punto dall’altezza del punto rispetto al livello di riferimento (in azzurro). L’energia cinetica è data dalla loro differenza (in rosa).

v ⫽0

A

D

livello dell’energia totale ⫽ Ep ⫹ Ec

Ec

C Ep B

s s s s

livello di riferimento

In A l’energia del carrello è tutta potenziale e l’energia cinetica è nulla; in B l’energia del carrello è solo cinetica ed è nulla quella potenziale; in C il carrello arriva con un’energia cinetica diversa da zero; in D invece l’energia cinetica è nulla ed è nuovamente massima l’energia potenziale.

L’energia si disperde Una volta arrivato in D il carrello inverte il suo moto, torna indietro fino ad A, inverte nuovamente il suo moto e continua a oscillare avanti e indietro all’infinito, senza perdere nulla della sua energia meccanica. Questa è una

296

situazione ideale che non corrisponde alla realtà, dove gli attriti possono essere ridotti moltissimo ma mai eliminati. Il carrello prima o poi si ferma, ma la sua energia è comunque conservata e potremmo trovarla, per esempio, nel movimento delle molecole dell’aria o nel riscaldamento della rotaia. L’energia che prima era concentrata sul carrello si è dunque dispersa ed è diventata meno utilizzabile. Questo fatto, come vedremo con maggior rigore nel secondo volume, è un altro principio base della fisica che influenza moltissimo le nostre vite. Infatti, se l’energia si conservasse soltanto, senza disperdersi, l’umanità non avrebbe bisogno di bruciare continuamente petrolio per le sue attività: basterebbe mettere in moto un ingranaggio e quello girerebbe all’infinito. Le cose non vanno affatto così, e non è solo per nostra incapacità che non abbiamo ancora inventato la cosiddetta macchina per il moto perpetuo (figura 16).

Il pendolo semplice Per studiare la conservazione dell’energia meccanica prendiamo come esempio un pendolo semplice. Esso è costituito da una pallina attaccata a un filo sospeso in un punto, con le seguenti approssimazioni:

10

illustrazione di Norman Rockwell

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

Figura 16. Nonostante il grande impegno degli uomini nella ricerca di una macchina che non si fermi mai, tutti i tentativi fatti finora per realizzare un moto perpetuo sono falliti.

s il filo è inestensibile e senza massa; s la pallina è un punto materiale; s non ci sono attriti di alcun tipo. Nella configurazione di equilibrio stabile la forza-peso F p è perfettamente equilibrata dalla reazione vincolare del filo F t e la pallina non si muove. Se allontaniamo un po’ la pallina dalla posizione di equilibrio O la componente perpendicolare al filo della forza-peso non è più equilibrata e tira la pallina verso O (figura 17).

→

FR

→

FR →

h O

→

Fp⬜

Fpⱍⱍ

Figura 17. Quando la forza-peso è tutta equilibrata dalla reazione del filo e la pallina non si muove; fuori dalla posizione di equilibrio la reazione del filo non equilibra completamente la forza-peso.

→

Fp

→

Fp

Studiamo il pendolo semplice in termini di energia meccanica. Quando allontaniamo la pallina da O, sollevandola di un’altezza h, le forniamo un’energia potenziale pari a mgh. Durante la discesa verso la posizione di equilibrio l’energia cinetica, inizialmente nulla, aumenta a spese dell’energia potenziale, fino a un valore massimo in O, dove l’energia potenziale si annulla. Il pendolo continua il suo moto oltrepassando O: stavolta l’energia potenziale aumenta e quella cinetica diminuisce, fino a ripristinare una situazione praticamente identica a quella di partenza. Il pendolo, in assenza di attriti, oscillerebbe avanti e indietro su un arco di circonferenza all’infinito.

297

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

livello di riferimento

Tabella 2. Energia meccanica del pendolo.

Ec ⫹ Epg ⫽ K (costante) La velocità è nulla alla quota massima

Ec ⫹ Epg ⫽ K

Ec ⫹ Epg ⫽ K

Ec ⫹ Epg ⫽ K

Ec ⫹ Epg ⫽ K

La somma dell’energia cinetica e potenziale gravitazionale è costante

La velocità è massima al livello di riferimento

La somma dell’energia cinetica e potenziale gravitazionale è costante

La velocità è nulla alla quota massima

A questo punto è facile ricavare la massima velocità raggiunta dalla pallina nel punto più basso: basta uguagliare l’energia potenziale iniziale all’energia cinetica in O e risolvere rispetto alla velocità: E c1 + U g1 = E c 2 + U g 2 0 + mgh = v2 =

1 mv 2 + 0 2

2 mgh = 2 gh m

v = 2 gh Lo stesso risultato che si otterrebbe per un corpo in caduta libera da un’altezza h, ragionando in termini di forze. La forza-peso comporta un moto uniformemente accelerato con accelerazione g, per cui combinando la legge oraria con la legge della velocità si ha: 1 2 gt 2 v ? gt

h?

t? 2 v?g 2

298

h g

h ? 2 gh g

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

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ESEMPIO ¢ Un pendolo di lunghezza ᐉ ⫽ 1,0 m transita nel punto più basso con una velocità di 1,5 m/s. A quale altezza inverte il suo moto? SOLUZIONE Invertiamo rispetto ad h la formula trovata in precedenza: ( 3, 5 m/s )2 v2 = = 0, 11 m 2g 2 × 9, 8 m/s2

Massimiliano Trevisan

h=

DOMANDA Quale sarebbe il risultato se la lunghezza del pendolo fosse 2,0 m? E se fosse 0,11 m? Disegna le diverse situazioni.

6

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA NEI FLUIDI

Per i fluidi valgono tutte le leggi che abbiamo visto finora per i solidi, ma con qualche complicazione in più. È impossibile seguire il moto di ogni molecola e descriverlo con un’equazione, ma si può comunque studiare il fluido nel suo insieme in contesti semplificati. Prendiamo, per esempio, un tubo di gomma attaccato a un rubinetto aperto. Semplifichiamo la realtà immaginando che l’acqua scorra senza attrito con velocità parallela alle pareti del tubo, e che la quantità di acqua in entrata nel tubo sia esattamente uguale a quella in uscita. In altre parole, diciamo che nel tubo è presente una corrente fluida stazionaria (figura 18). ⌬V ⌬V

→

v1 ⌬V →

v2

→

v4

⌬V →

v3 livello di riferimento

Figura 18. In una corrente fluida stazionaria la velocità delle particelle non dipende dal tempo. Una porzione di volume V di un fluido incomprimibile cambia forma, velocità e quota all’interno di una conduttura.

Nell’ipotesi che l’acqua sia incomprimibile, potremmo seguirne una porzione durante il suo corso nel tubo: la vedremmo deformarsi e cambiare velocità, e quindi energia cinetica, mantenendo costante il suo volume. Se la

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10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

conduttura non è orizzontale, oltre che cambiare energia cinetica la massa d’acqua cambia anche quota e, con essa, energia potenziale. Senza darne una dimostrazione, affermiamo che: la conservazione dell’energia per un fluido in moto stazionario sotto l’azione della forza di gravità è detta equazione di Bernoulli: 1 p + ρv 2 + ρgh = costante 2

(10.9)

dove: s p è la pressione della spinta del fluido in un segmento della conduttura; s è la densità del fluido; s v è la velocità del fluido nel segmento considerato; s h è la quota del segmento rispetto a un livello di riferimento.

ESEMPIO ¢ In una sezione di una tubatura posta a 10 m dal suolo scorre acqua alla velocità di 10 m/s, con una pressione di 2,0 ⫻ 105 Pa. Se in una strozzatura della stessa tubatura posta a 7 m dal suolo la velocità vale 15 m/s, quanto vale la pressione? →

v1 →

v2

h1 h2 livello di riferimento

SOLUZIONE Dall’equazione di Bernoulli (10.9): 1 1 p1 + ρv12 + ρgh1 = p2 + ρv 22 + ρgh2 2 2 L’unica grandezza incognita è la pressione nella seconda sezione, p2. Con un po’ di passaggi si ricava: 1 p2 = p1 + ρ (v12 − v 22 ) + ρg (h1 − h2 ) 2 Da cui: 1 p2 = 2, 0 ⋅ 10 5 Pa + 1000 kg/m 3 (10 m/s )2 − (15 m/s )2 + 1000 kg/m 3 × 9, 8 m/s2 (10 m − 7 m ) = 2 = 1, 7 × 10 5 Pa

DOMANDA Che cosa succede se il fluido è in equilibrio e la sua velocità è nulla? Rispondi in 5 righe confrontando il risultato con la legge di Stevino (formula (8.6)).

300

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

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Tubo orizzontale a sezione costante Se l’acqua scorre in un tubo orizzontale a sezione costante, la pressione è la stessa in ogni punto del fluido. Infatti l’equazione di Bernoulli non contiene il termine gravitazionale, perché si può fissare il livello di riferimento con l’asse del tubo stesso: 1 p + ρv 2 = costante 2 La densità dell’acqua e la sua velocità sono costanti, per cui in ogni sezione del tubo si misura la stessa pressione (figura 19): p ⫽ costante Figura 19. La pressione è la stessa in ogni punto di un tubo orizzontale a sezione costante.

pA ⫽ pB A

B

Effetto Venturi Tutto cambia quando nel tubo è presente una strozzatura. Scriviamo dunque l’equazione di Bernoulli confrontando due sezioni del tubo: una precedente la strozzatura, l’altra nel tratto più stretto: 1 1 p A + ρv A2 = pB + ρv B2 2 2 Osservando questa formula si nota che, dove la velocità è maggiore, la pres1 2 v deve rimanere cosione deve essere minore, perché la quantità p ⫹ 2 stante (figura 20). pA ⬎ pB

A B

Figura 20. In una strozzatura la velocità è maggiore e quindi la pressione minore che nel resto del tubo.

La pressione pB nel tratto a sezione minore è minore della pressione pA: 1 1 pB = p A + ρv A2 − ρv B2 2 2 Siccome vB è maggiore di vA, la loro differenza è negativa e sottrae qualcosa alla pressione pA. Questo fenomeno è noto come effetto Venturi e ha molte applicazioni pratiche. Una di esse riguarda il volo degli aerei. Se si osserva il profilo di un’ala si nota un’asimmetria geometrica, che comporta un’asimmetria nelle

301

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

forze che agiscono sulle superfici. L’aria, in moto rispetto all’ala, è costretta a suddividersi lungo due percorsi di lunghezza diversa: quello superiore è più lungo di quello inferiore. Tuttavia, se ipotizziamo una situazione ideale, senza attriti e in regime stazionario, il tempo impiegato dalle due masse d’aria deve essere lo stesso. In pratica è come se il profilo superiore dell’ala fungesse da strozzatura, dove il fluido è costretto a muoversi più velocemente. Per l’effetto Venturi la pressione nella parte superiore dell’ala risulta essere minore di quella inferiore, e ne risulta una complessiva spinta verticale dal basso verso l’alto, detta portanza, che consente all’aereo di rimanere in quota (figura 21). pA ⬎ pB →

Figura 21. La differenza tra la pressione sotto e sopra l’ala, dovuta alla differente velocità di scorrimento dell’aria, spinge l’aereo verso l’alto. La spinta dipende dalla velocità e dalla densità dell’aria.

vB

B moto dell’ala

→

vA

A

La portata Completiamo questo paragrafo con il concetto di portata, grandezza molto utile nella pratica. La portata Q di un tubo è definita come il volume di fluido V che attraversa una sua sezione in un secondo: Q?

∆V ∆t

(10.10)

Smereka / Shutterstock

Figura 22. Le condotte artificiali sono utilizzate per trasportare fluidi sulle lunghe distanze.

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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

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La portata è costante in ogni sezione di un tubo quando al suo interno vi è una corrente fluida stazionaria. Se il tubo presenta strozzature o dilatazioni la velocità in quei tratti aumenta o diminuisce, ma la portata resta costante. In regime stazionario, quindi, la sezione S del tubo, la velocità v del fluido e la portata Q sono legate dalla relazione: Q ⫽ Sv

(10.11)

ESEMPIO ¢ In un tubo di sezione 5,0 cm2 scorre acqua in regime stazionario alla velocità di 3,0 m/s. Calcola la velocità che si misura in una strozzatura in cui la sezione si riduce a 2,0 cm2. SOLUZIONE In regime stazionario: Q ⫽ Sv cioè: S 1v 1 ⫽ S 2v 2 Quindi: v2 =

5, 0 cm 2 × 3, 0 m/s S1 ⋅ v 1 = = 7, 5 m/s 2, 0 cm 2 S2

DOMANDA Quanto vale la differenza di pressione dovuta alla strozzatura?

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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

TECNOLOGIA Un uomo chiamato due cavalli

Per rispondere a questa domanda consideriamo gli esseri umani dalle prestazioni più elevate, ovvero gli atleti Le macchine a vapore sostituirono lentamente i cavalli per di alto livello. aiutare l’uomo nelle attività più faticose. I livelli più alti di potenza vengono raggiunti dai ciclisti. La potenza dell’atleta è calcolata moltiplicando la coppia (ovvero la forza applicata sui pedali moltiplicata per la lunghezza della pedivella) per la velocità angolare. Il test viene effettuato su speciali biciclette da laboratorio, dette cicloergometri, dotate di sensori. I risultati sono sorprendenti: alcuni campioni riescono a sviluppare potenze massime di circa 1800 W, ovvero quasi 2,5 CV! Dobbiamo dunque credere che uno di questi atleti straordinari sia più potente di una pariglia di cavalli da tiro? In realtà non è così. Valori di potenza così elevati possono essere raggiunti dall’uomo solo per pochi secondi, mentre il valore di 745 W approssima la potenza media che un cavallo può fornire durante tutta una giornata di lavoro di 10 ore. Il valore massimo per questi animali è in realtà di circa 15 HP, ovvero oltre Un atleta impegnato con un cicloergometro per misurare la 11 000 W, ma può essere mantenuto per periodi potenza sviluppata dai suoi muscoli. molto brevi. DOMANDA Durante un’attività continuativa che duri molte ore un uomo riesce a sviluppare una potenza di circa 50 W, sufficiente cioè a tenere accesa una lampadina. Quanti uomini sarebbero necessari per tenere acceso un condizionatore da 1 kW?

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Margo Harrison / Shutterstock

Quanto vale la potenza di un uomo-vapore?

Erin Dunham / Boulder Performance Lab

Nella seconda metà del ’700 le macchine a vapore cominciarono a trovare applicazione nell’industria, in primo luogo quella mineraria, soprattutto grazie ad alcune importanti innovazioni introdotte dallo scozzese James Watt. In molti casi i compiti assegnati alle macchine erano in precedenza svolti da cavalli. Non deve perciò sorprenderci che l’unità di misura (inventata dallo stesso Watt) adottata per specificare la potenza di una macchina fosse l’horsepower (HP): i potenziali acquirenti volevano capire immediatamente quanta biada avrebbero risparmiato grazie alla nuova tecnologia. In altri paesi, quali la Francia e l’Italia, a questa unità di misura si diede il nome di cavallo vapore (CV). Per consuetudine, ancora oggi la potenza di un motore a scoppio viene spesso indicata in cavalli (la parola vapore è caduta), benché questa unità non faccia parte del Sistema Internazionale. Un HP vale circa 745 W, mentre un CV ne vale 735: la differenza è dovuta alle diverse convenzioni adottate.

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Il cavallo-vapore

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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

INGEGNERIA Effetto Venturi ed effetto suolo Una spinta molto importante

flusso dell’aria che si divide contro l’ala

depressione superiore

profilo alare

Un corpo che avanza in un fluido è sottoposto a una forza la cui risultante può essere scomposta lungo le direzioni orizzontale e verticale. La portanza è diretta verso la zona La componente orizzontale è sempre diretta in di pressione minore. verso contrario alla velocità del corpo e prende il nome di resistenza; la componente verticale può portanza invece essere diretta sia verso l’alto che verso il basso. Nel primo caso prende il nome di portanprofilo alare resistenza za, nel secondo caso di deportanza.

sovrapressione inferiore Forza Aerodinamica Totale

portanza

resistenza spinta

peso

L’effetto Venturi nelle auto da corsa Fino alla fine degli anni Sessanta i progettisti di auto di Formula 1 si occupavano soprattutto di ridurre la resistenza, e le auto avevano la caratteristica forma «a sigaro», con sezione grosso modo cilindrica e forme allungate e tondeggianti. Tuttavia il progresso degli studi di aerodinamica rivelò che altrettanto o forse più importante della riduzione della resistenza ai fini delle prestazioni in gara era aumentare la deportanza. Infatti questa «schiaccia» l’auto al suolo e fa aumentare l’aderenza delle gomme che, compensando la forza centrifuga, consente di affrontare le curve a velocità superiore senza ribaltarsi o uscire di strada. Alla fine degli anni Settanta per aumentare la deportanza si utilizzò l’effetto Venturi: il fondo dell’auto veniva sagomato in modo da creare una strozzatura entro la quale l’aria accelerava come nella sezione stretta di un tubo di Venturi. La vettura veniva schiacciata al suolo dalla deportanza, dando origine al cosiddetto «effetto suolo». Fondo sagomato di un’auto da corsa per sfruttare l’effetto Venturi. In giallo sono disegnate le «minigonne» che impediscono all’aria di entrare dai lati.

Una soluzione pericolosa

Quando i progettisti erano interessati solo a ridurre la resistenza le auto da corsa avevano una forma affusolata.

v

Fc R

r

Fr

Rappresentazione schematica di una curva.

Le «minigonne» erano sensibili a qualsiasi asperità del terreno con conseguenze anche gravi.

L’idea presentava un inconveniente, perché la depressione sul fondo faceva entrare aria dai lati dell’auto, che erano a pressione atmosferica. La soluzione trovata dagli ingegnosi progettisti fu quella delle «minigonne», una sorta di paratie laterali mobili che impedivano l’ingresso dell’aria. Tuttavia per essere efficaci le minigonne dovevano arrivare a pochi millimetri dal suolo, col risultato che se l’auto incontrava un ostacolo anche molto basso correva il rischio di «decollare», con gravissimi rischi per il pilota. Questi e altri problemi portarono nel 1983 all’abolizione delle minigonne e all’imposizione di un fondo piatto ad almeno 6 cm dal suolo. L‘epoca del tubo di Venturi sotto le auto era finita. DOMANDA Quali altre applicazioni tecnologiche può avere l’effetto Venturi? Fai una ricerca sulla rete.

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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Costruire in grande Il mausoleo di Alicarnasso

La fine di una meraviglia

Il vastissimo impero persiano del IV secolo a.C. era suddiviso in province, ciascuna delle quali era governata da un satrapo. Mausolo era il satrapo della Caria e chiamò nella capitale, Alicarnasso, i migliori scultori e architetti dell’epoca per progettare e realizzare la tomba che avrebbe ospitato il suo corpo e quello di sua moglie Artemisia. Fu proprio quest’ultima che, dopo la morte di Mausolo, fece ultimare l’opera. Si trattava di una costruzione imponente, riccamente decorata con sculture, sormontata da una piramide che si innalzava verso il cielo e terminava con una maestosa quadriga. Possiamo immaginare la quantità di uomini e animali che lavorarono alla sua costruzione: moltitudini silenziose che in ore e ore di lavoro giornaliero issarono, spostarono, scolpirono tonnellate e tonnellate di materiali, tirando e spingendo su e giù per rampe e ponteggi. Le macchine agevolarono senz’altro il loro lavoro, riducendo la forza necessaria a svolgere le attività, ma comunque non diminuirono l’energia utilizzata complessivamente.

La tomba di Mausolo, da cui il termine mausoleo, era una delle sette meraviglie del mondo antico e, come la maggior parte di esse, non è sopravvissuta al tempo. Nel XV secolo fu distrutta dai crociati, che riutilizzarono il materiale ottenuto dalla demolizione per costruire il castello di San Pietro, ancora in piedi. Anche per edificare il castello possiamo immaginare il lavoro di uomini e animali, aiutati da macchine che semplificavano i loro compiti ma non riducevano l’energia utilizzata complessivamente. Nel Medioevo i mezzi a disposizione non erano molto diversi da quelli usati nell’antichità, e per sollevare grossi blocchi di pietra si usavano argani, verricelli, carrucole, ruote, ma tutte rigorosamente azionate da uomini o animali. L’uso di mulini a vento o ad acqua per generare il movimento di macchine era limitato alla lavorazione di materie prime, come la macinazione.

Nevit Dilmen

Costruzione della Torre di Babele in una miniatura del 1370 circa. Un uomo che lavora per 12 ore consecutive sviluppa una potenza media di 50 W; un animale è in grado di sviluppare una potenza quindici volte superiore.

Le dimensioni della tomba di Mausolo ad Alicarnasso, che osserviamo in questa ricostruzione, erano imponenti. Oggi chiamiamo «mausoleo» qualsiasi tomba monumentale.

PAROLA CHIAVE

Conservazione dell’energia

DOMANDA Da dove veniva l’energia utilizzata dagli uomini e dagli animali che costruirono il mausoleo di Alicarnasso? Scrivi un testo di 10 righe in cui illustri le trasformazioni e i trasferimenti dell’energia dal Sole alla quadriga della sommità.

306

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

10

La rivoluzione industriale

La città verticale

Per millenni l’umanità ha usato esclusivamente l’energia che uomini e animali traggono dal cibo per innalzare i suoi edifici. Anche i materiali da costruzione erano poco elaborati: spesso si trattava di pietre messe una sull’altra senza alcun legante; il calcestruzzo, felicemente utilizzato dai romani, fu quasi dimenticato nel Medioevo e ripreso solo in epoche successive. Molte cose cambiarono con la rivoluzione industriale del XIX secolo. La possibilità di utilizzare l’energia termica per produrre movimento, attraverso la macchina a vapore, aprì vasti scenari in moltissimi ambiti. Di lì alla meccanizzazione dell’industria il passo fu breve: in pochi decenni la fonte principale di energia per le attività umane diventò il carbone, e molte macchine divennero in grado di sviluppare potenze superiori a quella umana e animale. La lavorazione industriale dell’acciaio, l’introduzione di macchinari capaci di spostare e sollevare pesi, la produzione meccanizzata del calcestruzzo hanno modificato notevolmente l’edilizia.

Il mausoleo di Alicarnasso era alto circa 50 metri, si dice che il faro di Alessandria superasse i 100 metri: meraviglie del mondo antico destinate a sopravvivere al loro stesso crollo, pezzi unici passati alla storia. Oggi l’altezza non stupisce più. Da quello che è generalmente ritenuto il primo grattacielo, un edificio di 13 piani costruito a Chicago nel 1885, per tutto il XX secolo molte grandi città si sono sviluppate in verticale. A New York iniziò una vera e propria gara all’edificio più alto, con il risultato che interi quartieri svettano verso il cielo, tanto che il famoso skyline di Manhattan è diventato un’icona della città. Per costruire i grattacieli si usano tecniche e macchine diverse da quelle dell’antichità, e grazie a esse le condizioni degli uomini che vi lavorano sono diverse.

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Costruire in altezza pone da sempre problemi di sicurezza.

A Manhattan sorgono gli edifici più importanti di New York.

PAROLA CHIAVE

Energia cinetica

DOMANDA Immaginando trascurabile la resistenza dell’aria, con quale energia cinetica arriverebbe al suolo un secchio che cadesse da un ponteggio posto a un’altezza di 100 m?

PAROLA CHIAVE

Energia potenziale

DOMANDA Qual è la potenza erogata da una gru che solleva un carico di 500 kg a un’altezza di 20 m impiegando 1,0 min?

307

MAPPA DEI CONCETTI L’ENERGIA

SI CONSERVA

SI TRASFERISCE

l’energia dell’Universo è costante

mediante una forza che compie lavoro

Potenza L P= ∆t lavoro nell’unità di tempo

ENERGIA CINETICA Ec =

1 mv 2 2

LAVORO L⫽F s

il lavoro compiuto su un corpo da una forza è uguale alla variazione dell’energia cinetica del corpo

ENERGIA CINETICA ROTAZIONALE 1 E cr = Iω2 2

308

L ⫽ ⌬Ec

SI MISURA IN JOULE (J)

1 J equivale al lavoro compiuto da una forza di 1 N che sposta il suo punto di applicazione di 1 m lungo la sua stessa direzione

l’energia L ⬎ 0 cinetica aumenta l’energia L ⫽ 0 cinetica non cambia l’energia L ⬍ 0 cinetica diminuisce

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

10

mgh

si trasforma in energia cinetica grazie al lavoro della forza peso

1 K ∆x2 2

si trasforma in energia cinetica grazie al lavoro della forza elastica

rispetto a un livello di riferimento

ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

L’ENERGIA MECCANICA SI CONSERVA

ETOT ⫽ Ec + Ep ⫽ costante

Ep ⫹ Ec ⫽ Etot

in assenza di forze dissipative

LE FORZE DISSIPATIVE DISPERDONO ENERGIA

Ep ⫹ Ec ⫽ Etot livello di riferimento

Ep ⫹ Ec ⫽ Etot

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA NEI FLUIDI

EQUAZIONE DI BERNOULLI 1 p + ρ v 2 + ρ gh = costante 2

309

10 ESERCIZI LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA: UNA BREVE INTRODUZIONE

2

DOMANDE

DOMANDE 1

TRASFERIRE L’ENERGIA: IL LAVORO

7 Una forza che agisce su un corpo è responsabile del

Una scatola di cereali per la colazione ha un contenuto energetico alimentare di circa 5000 kJ. Scrivi un testo di 10 righe in cui analizzi le trasformazioni dell’energia dei cereali utilizzando le tue conoscenze sull’argomento e le informazioni che trovi sulla rete.

trasferimento di una quantità di energia pari al lavoro svolto. Spiega in 5 righe la differenza tra un lavoro positivo e un lavoro negativo. 8 Una macchina in grado di sviluppare una potenza

maggiore di un’altra produce una quantità di lavoro maggiore. Questa frase è corretta? Eventualmente correggila.

2 In riferimento alla scatola di cereali del quesito 1, che

fine fa la confezione? Rispondi in 10 righe, analizzando le possibili trasformazioni e l’eventuale energia necessaria a compierle.

9 Per raggiungere un passo alpino due ciclisti di 65 kg

partono dalla stessa quota, ma dai due versanti opposti: il primo affronta una salita più ripida, ma più breve, il secondo percorre invece una strada più lunga, ma meno pendente. Se schematizziamo la situazione con due piani inclinati privi di attrito, quale dei due compie un lavoro maggiore?

CALCOLI 3 Una donna di 60 kg fa colazione con 7 biscotti il cui

contenuto energetico alimentare è 135 kJ ciascuno. ¢ Sono sufficienti a coprire il fabbisogno energetico di una passeggiata di un’ora, in cui utilizza 670 kJ?

CALCOLI

¢ Quanta energia non utilizzata verrà eventualmente immagazzinata?

10 Applicando una forza costante di 39 N, parallela allo

spostamento, una muta di cani trasporta per 8,5 km una slitta lungo una strada in pianura.

[sì; 275 kJ]

4 Quante volte la donna

Tori Jayne Photography / Shutterstock

dell’esercizio 3 deve sollevare di un metro una valigia di 13 kg per utilizzare l’energia contenuta in un biscotto? [circa 1000 volte]

Kirk Geisler / Shutterstock

1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI

5 Su un’etichetta nutrizionale si legge che 100 g del

prodotto a cui si riferisce contengono energia per 1600 kJ.

¢ Calcola il lavoro effettuato dai cani.

¢ Quale quantità di prodotto viene utilizzata in 1,5 h di corsa, con un consumo energetico di 3300 kJ per ogni ora?

¢ Cambierebbe il lavoro dei cani se la strada presentasse una pendenza costante del 5%? Motiva la risposta in 5 righe.

[310 g]

6 Un litro di una benzina è in grado di sviluppare

3,0 ⫻ 107 J di energia. ¢ Se un’automobile utilizza un litro di benzina per fare 20 km, quanta energia consuma per percorrere 150 km? [2,3 ⫻ 108 J]

[3,3 ⫻ 105 J]

11 Con riferimento all’esercizio 10, calcola il lavoro dei

cani se la forza applicata alla slitta forma un angolo di 30° con la direzione del moto. [2,9 ⫻ 105 J]

12 Calcola il lavoro necessario per sollevare di 1,0 m una

cassa di 86 kg lungo un piano inclinato il cui rapporto h/ᐉ tra altezza e lunghezza è 0,30. [8,4 ⫻ 102 J]

310

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

10

13 Quanta energia utilizza in joule e in kilowattora un

22 Una pattinatrice di 56 kg ha una velocità di 5,8 m/s.

asciugacapelli che ha una potenza di 1200 W e resta acceso per 15 min?

Se non si dà alcuna spinta dopo un po’ si ritrova ferma in mezzo alla pista.

[1,1 ⫻ 106 J; 0,30 kWh]

¢ Quanto lavoro hanno effettuato le forze di attrito che hanno fermato la pattinatrice?

14 Calcola la potenza di un cavallo che in un’ora, appli-

[9,4 ⫻ 102 J]

cando una forza costante di 300 N, compie uno spostamento di 8,5 km ad essa parallelo.

23 Una trottola ha una velocità angolare di 45 rad/s e

un momento di inerzia di 7,1 ⫻ 10–3 kg m2.

[7,1 ⫻ 102 W]

¢ Quanto vale la sua energia cinetica rotazionale?

3

[7,2 J]

L’ENERGIA CINETICA

DOMANDE

4

15 La variazione del lavoro di una forza applicata a un

L’ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

DOMANDE

corpo ne provoca un aumento dell’energia cinetica. Questa frase è errata, correggila.

24 Può accadere che in una certa posizione un corpo

abbia un’energia potenziale gravitazionale di 1 J e contemporaneamente un’energia potenziale gravitazionale di 2 J? Motiva la risposta in 5 righe.

16 Utilizzando l’analogia tra la formula dell’energia ci-

netica nei moti di traslazione (lineari) e nei moti di rotazione, metti in corrispondenza le grandezze fisiche nei due casi.

25 Se una molla viene allungata la sua energia poten-

ziale elastica è positiva o negativa? Che cosa cambia se la molla viene accorciata?

17 Può il lavoro essere negativo se l’energia cinetica del

corpo sul quale è applicata la forza è positiva? In quali casi l’energia cinetica di un corpo è negativa?

CALCOLI

18 Come si esprime il joule in unità di misura del Siste-

26 Un sasso di 0,15 kg si stacca da una parete rocciosa a

ma Internazionale?

25 m di altezza e raggiunge il suolo.

CALCOLI

¢ Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza-peso sul sasso?

19 Un ragazzo scaglia una palla

¢ Quanto vale la variazione di energia potenziale del sasso dal livello di partenza a quello di arrivo?

di 0,43 kg, inizialmente ferma, con una velocità di 15 m/s.

[37 J; ⫺37 J] Andresr / Shutterstock

¢ Quanto lavoro ha effettuato il ragazzo? [48 J]

20 Un carrello di 5,5 kg è in moto rettilineo uniforme

con velocità di 2,0 m/s quando riceve una spinta costante di 17 N per un tratto di 3,0 m. ¢ Quanto vale la velocità del carrello dopo la spinta?

27 Un pastore trasporta 8,4 kg di formaggio in una ger-

la dalla sua baita, posta a 1200 m di quota, al paese posto a 850 m. ¢ Calcola l’energia potenziale del formaggio nella baita e nel paese prendendo come livello di riferimento il livello del mare e successivamente la quota del paese. [9,9 ⫻ 104 J; 7,0 ⫻ 104 J; 2,9 ⫻ 104 J; 0 J]

28 Una molla di costante elastica 4,7 ⫻ 102 N/m viene [4,7 m/s]

21 Un’automobile di 1200 kg rallenta, passando da una

allungata e acquista un’energia potenziale elastica di 5,3 J. ¢ Di quanto si è allungata la molla? [15 cm]

velocità di 130 km/h a una velocità di 70 km/h. ¢ Qual è stato il lavoro compiuto dalle forze frenanti? [5,6 ⫻ 105 J]

29 Un turista a Siena percorre i 400 scalini, raggiunge la

sommità della torre del Mangia e, dopo aver scattato alcune foto, ridiscende.

311

10 ESERCIZI CALCOLI 34 Due bambini di masse 24 kg e 31 kg scendono sui

loro slittini lungo lo stesso pendio ghiacciato privo di attrito. ¢ Se il dislivello complessivo della discesa è 19 m e i due ragazzi partono da fermi, quale dei due arriva per primo? ¢ Quanto vale l’energia cinetica di ciascuno all’arrivo? Doctor Jools / Shutterstock

[4,5 ⫻ 103 J; 5,8 ⫻ 103 J]

¢ Se la torre è alta 94 m e il turista pesa 686 N, di quanto cambia la sua energia potenziale durante la salita? ¢ Di quanto cambia la sua energia potenziale durante la visita complessiva alla torre?

35 In riferimento all’esercizio 34, alla fine del pendio è

presente una salita. ¢ A quale quota, rispetto al livello più basso, gli slittini arrivano a velocità nulla? ¢ Qual è la loro velocità a metà del dislivello? [19 m; 9,6 m/s]

36 Un’altalena è attaccata per mezzo di due funi di

4,0 m a un grosso ramo di un albero. Una bambina di 25 kg transita nel punto più basso con un’energia cinetica di 613 J.

[6,4 ⫻ 104 J; 0 J]

5

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

Noam Armonn / Shutterstock

DOMANDE 30 In figura sono schematizzate delle montagne russe

prive di attrito. In quale dei punti, A, B o C, il carrello ha un’energia meccanica maggiore? A

¢ Qual è la velocità della bambina nel punto più basso? C

¢ Qual è la quota massima raggiunta dall’altalena rispetto al suolo? [7,0 m/s; 2,5 m]

B

31 Se si spegne il motore un’automobile in movimento prima o poi si ferma. Quali forze hanno compiuto il lavoro che ha modificato l’energia cinetica dell’automobile?

37 Una palla di 1,0 kg è attaccata a una molla di costan-

te elastica pari a 3,9 ⫻ 103 N, posta su un piano orizzontale, che viene compressa di 0,22 m. Quando viene rilasciata inizia ad oscillare avanti e indietro. ¢ Con quale velocità la palla transita nel punto medio dell’oscillazione? [14 m/s]

32 Che cosa accade all’energia potenziale di una goccia

di pioggia mentre arriva al suolo? Quali trasformazioni subisce? Rispondi in 10 righe distinguendo i casi di assenza o presenza di aria. 33 Descrivi in 10 righe le trasformazioni dell’energia du-

rante il rimbalzo di una palla in assenza di fenomeni dissipativi.

312

38 Una palla di 0,50 kg cade partendo da ferma da un

balcone posto a 10 m dal suolo. ¢ Trascurando l’attrito, a quale altezza dal suolo la palla ha una velocità di 5,0 m/s? ¢ Qual è la velocità quando arriva al suolo? [8,7 m; 14 m/s]

10

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

locità di 10 m/s.

mo valore, corrispondente a una velocità di 9,7 m/s, è 1,6 ⫻ 105 Pa, il secondo è invece 1,8 ⫻ 105 Pa.

¢ Quanta energia le è stata sottratta dalle forze di attrito?

¢ Quanto vale in quest’ultimo caso la velocità dell’acqua all’interno del tubo?

39 La palla dell’esercizio 38 arriva al suolo con una ve-

[6,8 m/s]

¢ Che fine ha fatto tale quantità di energia? [24 J]

45 Da un tubo a sezione costante di 2,5 cm2 fuoriesce

1,0 L di acqua ogni 4,0 s. ¢ Qual è la velocità dell’acqua?

6

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA NEI FLUIDI

[1,0 m/s]

46 Il tubo dell’esercizio 45 presenta a un certo punto un

rigonfiamento nel quale la velocità è di 0,84 m/s.

DOMANDE

¢ Qual è la sezione del rigonfiamento?

40 Se la corrente fluida che scorre in un tubo è stazio-

naria, allora la velocità del fluido è la stessa in tutte le sezioni del tubo. Questa frase è corretta? Eventualmente correggila. 41 Una sezione di un tubo nel quale scorre una corrente

stazionaria di acqua presenta una variazione della sezione. In quale dei due punti segnati con le lettere A e B la pressione è maggiore?

¢ Quanto vale la differenza di pressione rispetto al tubo? [3,0 cm2; 147 Pa]

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE 47 Un motore a benzina ha un rendimento del 20%,

A

cioè trasforma in movimento il 20% dell’energia che riceve dalla combustione del carburante. Che cosa accade al restante 80%? Rispondi in 5 righe.

B

42 Questo disegno illustra un fenomeno possibile? Mo-

tiva la risposta in 5 righe. aria

48 Fai una ricerca sulle fonti energetiche utilizzate per i

trasporti e componi una presentazione in cui siano evidenti vantaggi e svantaggi per ciascuna di esse. 49 Un ragazzo trascina a velocità costante v una slitta di

massa m, su un piano con attrito, per un tratto ᐉ. Come cambia il lavoro compiuto dal ragazzo se la sua velocità è 1/3 v? Come cambia la potenza erogata in tale caso? liquido

50 Correggi le eventuali frasi errate:

š il lavoro è una grandezza fisica vettoriale; (Suggerimento: l’altezza del liquido nei tubicini dipende dalla pressione dell’aria al loro interno.)

CALCOLI 43 In un tubo orizzontale scorre acqua in regime stazio-

nario con una velocità di 8,0 m/s e una pressione di 2,5 ⫻ 105 Pa. ¢ In una strozzatura del tubo, in cui la velocità diventa 10,5 m/s, la pressione aumenta o diminuisce? Di quanto?

š il wattora è una unità di misura del lavoro; š il lavoro è massimo quando la forza e lo spostamento sono perpendicolari; š quando una forza compie lavoro su un corpo l’energia cinetica del corpo aumenta. 51 Quale delle seguenti traiettorie è corretta in assenza

di fenomeni dissipativi? Quale è invece corretta in presenza di fenomeni dissipativi? A O

B C

[2,3 ⫻ 105 Pa]

44 Si misura la pressione in due diverse sezioni di un

tubo dove scorre acqua in regime stazionario. Il pri-

313

10 ESERCIZI 52 Se due corpi hanno la stessa legge oraria, hanno

istante per istante anche la stessa energia cinetica? Motiva la risposta in 5 righe. 53 Osserva la figura. Che cosa succede al liquido nella

vaschetta se si spinge sul pistone provocando una corrente nel tubo? p0

p1

p ⬍ p0 p0

¢ A quale velocità, in m/s e in km/h, arriverebbe a quota 2150 m se non ci fosse l’attrito? ¢ Qual è la potenza minima dello skilift per riportarlo a quota 2500 m in 10 min? [1,9 ⫻ 105 J; 83 m/s; circa 300 km/h; 0,31 kW]

59 Trascurando il moto verticale dovuto all’accelera-

zione di gravità, un frisbee di 200 g procede a velocità orizzontale costante di modulo 3,0 m/s, mentre ruota su se stesso compiendo 2 giri in un secondo. ¢ Se il suo momento di inerzia è di 1,4 ⫻ 10–3 kg m2, quanto vale la sua energia cinetica totale?

54 Due palloni identici seguono la stessa traiettoria con

la stessa velocità dei centri di massa; uno di essi, però, contemporaneamente ruota su se stesso. Quale dei due palloni, a parità di altezza dal suolo, ha un’energia maggiore? Motiva la risposta in 10 righe. 55 All’interno di una tubatura orizzontale la pressione

aumenta o diminuisce al diminuire della velocità del fluido? Che relazione c’è tra questo fatto e la conservazione dell’energia meccanica? Rispondi in 10 righe.

(Suggerimento: scomponendo il moto in una traslazione più una rotazione, l’energia cinetica è uguale alla somma dei contributi distinti dei due moti.) [1,5 J]

60 Luigi e Vincenzo gareggiano con le loro automobili-

ne giocattolo di 250 g lungo un piano in cui è presente l’attrito. L’automobilina di Luigi si ferma a 3,5 m dal punto di partenza, mentre quella di Vincenzo percorre 70 cm di più.

PROBLEMI

¢ Considerando che sulle automobiline ha agito una forza frenante di 5,7 ⫻ 10–2 N, quanto vale il lavoro di tale forza nei due casi?

56 Un’automobile di 1500 kg viaggia a 115 km/h quando

¢ Con quale velocità ha lanciato l’automobilina Luigi?

il guidatore inizia ad agire sui freni, che con una forza costante arrestano il veicolo in 48 m. ¢ Qual è la variazione di energia cinetica dell’automobile? ¢ Qual è il lavoro svolto dalle forze frenanti? ¢ In quanto tempo si ferma l’automobile?

¢ Con quale velocità ha lanciato l’automobilina Vincenzo? [0,20 J; 0,24 J; 1,3 m/s; 1,4 m/s]

61 Un acrobata di 62 kg esegue un esercizio su un tap-

peto elastico, schematizzabile con una molla di costante k ⫽ 3950 N/m.

(Suggerimento: se la forza è costante il moto è uniformemente accelerato.) [7,65 ⫻ 105 J; ⫺7,65 ⫻ 105 J; 3,0 s]

⌬y ⫽ 74 cm

57 Un alpinista di 75 kg porta uno zaino di 17 kg da un

campo base a 3000 m di quota a un secondo campo a 4300 m di quota. ¢ Qual è il lavoro minimo necessario per effettuare lo spostamento tra i campi base? ¢ Qual è l’energia potenziale del solo alpinista nel secondo campo base? ¢ Qual è l’energia potenziale del solo alpinista in vetta, a 5500 m? [1,2 ⫻ 106 J; 3,2 ⫻ 106 J; 4,0 ⫻ 106 J]

58 Uno sciatore di 55 kg parte da quota 2500 m e arriva

a quota 2150 m a velocità costante. ¢ Calcola il lavoro delle forze di attrito.

314

k

¢ Se la deformazione è di 74 cm, qual è l’altezza massima raggiunta dall’acrobata rispetto al tappeto non deformato, in assenza di fenomeni dissipativi? ¢ Con quale velocità raggiunge la superficie orizzontale del tappeto? ¢ Con quale velocità raggiunge la quota più bassa, corrispondente alla massima deformazione del tappeto? [1,0 m; 4,4 m/s; 0 m/s]

LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA 62 Una palla di 350 g cade da un’altezza di 4,5 m e, nel

rimbalzo, perde il 27% dell’energia che possedeva. ¢ Qual è la differenza tra la velocità, diretta verso il basso, con cui arriva al suolo e la velocità, diretta verso l’alto, con cui si stacca dal suolo? ¢ A quale altezza arriva dopo il rimbalzo? [1,4 m/s, 3,3 m]

63 Nell’impianto idraulico di un palazzo una tubatura

porta l’acqua da un serbatoio posto all’ultimo piano, a 13 m di altezza dal suolo, al giardino. All’altezza del secondo piano, esattamente a 6,5 m di quota, la velocità dell’acqua nella tubatura passa da 8,0 m/s a 11,0 m/s per una variazione della sua sezione. ¢ La sezione della tubatura aumenta o diminuisce? ¢ Calcola la variazione della pressione in tale tratto. [diminuisce; 3,5 ⫻ 105 Pa]

VERSO L’UNIVERSITÀ 1

Un sasso lasciato cadere da 20 cm di altezza produce sulla sabbia una buca di profondità 3 mm. Se lo

10

stesso sasso è lasciato cadere da un’altezza doppia produrrà una buca profonda (circa): A

dipende dalla massa del sasso

B

2 mm

C

1 cm

D

12 mm

E

6 mm

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2005/2006) 2 Sui quotidiani è apparsa la notizia di un hotel in cui i

clienti possono pagare il conto producendo energia pedalando su apposite biciclette. Sapendo che il prezzo di 1 kWh di elettricità è di 0,20 euro, e che la potenza muscolare sviluppata durante una pedalata aerobica da un cliente con una massa di 80 kg è circa 1000 W, per quanto tempo il cliente deve pedalare per pagare una colazione dal costo di 2 euro? A

10 s

B 10 m

C

1m

D 1h

E

10 h

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria 2010/2011)

315

CAPITOLO

Qu uan Quantità di moto angolare e momento mo

“

tou` de; kalou` mevgista ei[dh tavxiı kai; summetriva kai; to; wJrismevnon, a} mavlista deiknuvousin aiJ maqhmatikai; ejpisth`mai. Le massime forme del bello sono l’ordine, la simmetria e ciò che è determinato, cose che le scienze matematiche mostrano moltissimo.

”

Luciano Maestri

Aristotele, Metafisica, Libro XIII

Arnaldo Pomodoro, Sfera n. 5, 1967.

PAROLE CHIAVE Quantità di moto Momento angolare Simmetria

316

Una sfera si può far ruotare in qualsiasi direzione e resta una sfera, uguale a se stessa, perfettamente simmetrica. Da sempre la sfera ha assunto il significato simbolico della perfezione e da sempre l’umanità ha mostrato di gradire le cose simmetriche. Ammiriamo la simmetria che ci mostra la natura, la riproponiamo nell’arte. E c’è una simmetria anche nella fisica: non si vede da fuori, come quella di una palla, ma va cercata dentro la struttura stessa delle leggi. Così come una sfera è simmetrica perché non cambia se ruota o si riflette in uno specchio, una legge fisica è simmetrica quando non cambia se compiamo su di essa delle operazioni. In questo capitolo vedrai che questa proprietà, detta anche «invarianza», è collegata alle grandezze fisiche che si conservano nel tempo, come l’energia. Incontrerai qui altre due importanti grandezze che si conservano: la quantità di moto e il momento

della quantità di moto, detto anche momento angolare. La prima deriva dall’invarianza delle leggi fisiche per traslazioni, la seconda dall’invarianza per rotazioni. Si tratta di due grandezze poco intuitive, che a prima vista sembra di non conoscere: eppure è proprio la loro conservazione che ci consente di andare in bicicletta stando in equilibrio su due ruote o di eseguire mirabolanti volteggi su una pista di pattinaggio, o ancora di ricostruire la dinamica di un incidente a partire dalla disposizione dei veicoli sulla strada.

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

1

11

LA QUANTITÀ DI MOTO

Immaginiamo di trovarci su una zattera ferma al centro di un grande lago infestato da pesci famelici e quindi di non poterci immergere in acqua. Non c’è vento, il lago è assolutamente immobile e noi non abbiamo remi per spingere la zattera verso la sponda. Come fare? Per fortuna abbiamo con noi una palla (figura 1) e conosciamo i principi della dinamica: s per il principio di azione e reazione sappiamo che, se diamo una spinta alla palla, la palla dà una spinta a noi, in direzione opposta; s per la legge di Newton sappiamo che una spinta, cioè una forza, provoca un’accelerazione, cioè una variazione della velocità; s per il principio di inerzia, infine, sappiamo che la zattera manterrà la sua velocità costante, per lo meno fino alla sponda del lago. A

B

→

vB

→

vA

Supponendo trascurabili tutti gli attriti, con quale velocità si muove la zattera dopo la spinta? Possiamo intuire che la velocità della zattera dipende dalla sua massa (figura 2): se questa mB → aB è molto grande non ci aspettiamo una velocità molto elevata; viceversa un’imbarcazione più leggera è prevedibilmente più veloce dopo aver ricevuto la stessa spinta. → La legge di Newton ci aiuta a risponmA aA dere quantitativamente a questa domanda, poiché la forza è direttamente proporzionale all’accelerazione attraverso la massa inerziale. La spinta À FAB che diamo alla palla è uguale alla À massa mB della palla per l’accelerazione aÀB; mentre la spinta opposta ⫺FBA che riceviamo dalla palla è uguale alla nostra massa mA (zattera compresa) per l’accelerazione ⫺aÀA:

Figura 1. Se lanciamo una palla, questa reagisce spingendoci in direzione opposta; la nostra velocità, che prima era nulla, cambia, e per inerzia procediamo fino alla sponda.

Figura 2. L’accelerazione della zattera dipende dalla spinta che riceve e dalla massa totale della zattera e del suo carico.

À

FAB ⫽ mB aÀB À ⫺FBA ⫽ ⫺mA aÀA Il principio di azione e reazione si scrive dunque: À

À

FAB ⫽ ⫺FBA mB aÀB ⫽ ⫺mA aÀA

317

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Se supponiamo che la spinta sia costante, e che quindi siano costanti anche la reazione e le accelerazioni relative, possiamo scrivere queste ultime come rapporto tra le variazioni delle velocità ∆vÀA e ∆vÀB e il tempo impiegato ∆t. mB

h h ∆v B ∆v ⫽ ⫺mA A ∆t ∆t

Moltiplichiamo a destra e a sinistra per ∆t: mB ∆vÀB ⫽ ⫺mA ∆vÀA mB (vÀB2 ⫺ vÀB1) ⫽ ⫺mA (vÀA2 ⫺ vÀA1) s vÀB1 e vÀA1 sono le velocità della palla e della zattera prima della spinta; s vÀB2 e vÀA2 sono le velocità della palla e della zattera dopo la spinta. Se la zattera parte da ferma vÀB2 e vÀA1 sono nulle, per cui: mB vÀB2 ⫽ ⫺mA vÀA2 Questa espressione suggerisce di introdurre una nuova grandezza fisica vettoriale, che chiamiamo quantità di moto. La quantità di moto p è definita come il prodotto della massa per la velocità: À ⫽ mvÀ p

(11.1)

L’unità di misura dell’intensità della quantità di moto è il kilogrammo per metro al secondo (kg m/s), che si ottiene moltiplicando tra loro le unità di misura di massa e velocità. Nell’esempio che stiamo seguendo la quantità di moto della zattera carica è uguale e opposta alla quantità di moto della palla. La palla ha una velocità elevata e una massa piccola, la zattera ha una massa maggiore e una velocità minore. Osserviamo infatti che la stessa quantità di moto si può ottenere con una piccola massa che ha un’elevata velocità o con una grande massa che si muove a bassa velocità. Una bicicletta ha la stessa quantità di moto di una moto che proceda più lentamente, ma ha una quantità di moto minore di un’altra bicicletta che proceda più velocemente (figura 3).

m Figura 3. L’intensità della quantità di moto è direttamente proporzionale sia alla massa che alla velocità.

v

→

v

→

→

Mv ⬎ mv

318

m

m

M

→

→

V

→

v

→

→

mV ⬎ m v

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

ESEMPIO ¢ Una freccia di 25 g e un’auto sportiva di 620 kg hanno la stessa velocità di 210 km/h. Quanto valgono le intensità delle rispettive quantità di moto? SOLUZIONE La velocità della freccia e dell’auto v nelle unità del sistema internazionale è: v ⫽ 210 km/h ⫽

210 m/s ⫽ 58, 3 m/s 3, 6

L’intensità della quantità di moto è data dalla formula: p ⫽ mv Per la freccia e per l’auto, rispettivamente: pf ⫽ mf v ⫽ (2,5 ⫻ 10–2 kg) ⫻ (58,3 m/s) ⫽ 1,5 kg m/s pa ⫽ ma v ⫽ (620 kg) ⫻ (58,3 m/s) ⫽ 3,62 ⫻ 104 kg m/s DOMANDA Quale velocità dovrebbe avere la freccia per avere la stessa quantità di moto dell’auto?

A quale velocità si muove la zattera? Torniamo alla domanda iniziale. Per rispondere dividiamo primo e secondo membro dell’espressione trovata per mA: v A2 = −

mB ⋅ vB2 mA

La velocità della zattera è diretta in verso contrario e ridotta di un fattore mB /mA rispetto a quella della palla: quanto più la massa della zattera è maggiore di quella della palla, tanto più lentamente essa si muove verso la sponda. Ciò accade anche nei veicoli a reazione, dove al posto della palla abbiamo i gas di scarico (figura 4).

oriontrail / Shutterstock

Figura 4. In un motore a reazione i prodotti della combustione vengono sparati a grande velocità in direzione opposta a quella dell’aereo.

319

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Che cosa succede al centro di massa? Se consideriamo nel suo insieme il sistema formato dalla zattera, dal suo carico e dalla palla, osserviamo che non è soggetto a forze esterne: le spinte reciproche dovute al lancio della palla sono interne al sistema e si annullano tra loro. Poiché la forza totale è nulla, se rappresentiamo il sistema mediante il suo centro di massa deve valere il principio di inerzia, per cui se questo era fermo resta fermo. Infatti in figura 5 si vede che zattera e palla si allontanano tra loro lasciando fermo il centro di massa. mB Figura 5. Se sul sistema non agiscono forze esterne, la massa maggiore si allontana dal centro di massa con una velocità minore, in modo tale che esso continui a occupare, per inerzia, la stessa posizione.

→

vB

mA ⫹ mB →

→

vA ⫽ vB ⫽ 0

→

vA

CDM

CDM

2

mA

LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

Riprendiamo l’esempio del paragrafo precedente e la formula generale, prima di porre uguali a zero le velocità iniziali vA1 e vB1 della zattera e della palla: mB (vÀB2 ⫺ vÀB1) ⫽ ⫺mA (vÀA2 ⫺ vÀA1) Con un po’ di passaggi matematici questa relazione, ricavata dai principi della dinamica, prende un’altra forma molto interessante, che rivela un’importante legge di conservazione. Vediamo infatti che, svolgendo i calcoli e spostando al primo membro tutti i termini precedenti la spinta e al secondo membro tutti i termini successivi, si ottiene: mB vÀB2 ⫺ mB vÀB1 ⫽ ⫺mAvÀA2 ⫹ mAvÀA1 mA vÀA1 ⫹ mB vÀB1 ⫽ mA vÀA2 ⫹ mB vÀB2 In termini di quantità di moto: pÀA1 ⫹ pÀB1 ⫽ pÀA2 ⫹ pÀB2

(11.2)

cioè la somma delle quantità di moto della zattera e della palla, quantità di moto totale del sistema, è la stessa sia prima che dopo il lancio (figura 6a). Questo risultato si può generalizzare così: se su un sistema non agiscono forze esterne la sua quantità di moto totale si conserva nel tempo. Una forza esterna potrebbe, per esempio, essere quella di un vincolo che trattiene la zattera (figura 6b). In questo caso la quantità di moto non si conserva: la palla viene lanciata e a sua volta spinge la zattera, ma quest’ultima è trattenuta e non può muoversi liberamente.

320

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Figura 6. a. Se sul sistema non agiscono forze esterne la quantità di moto si conserva. b. Se sul sistema agiscono forze esterne la quantità di moto non si conserva.

sistema zattera ⫹ palla mB

→

vA

mB

→

vB

mA

→

vA ⫽ 0

11

→

vB

→

mA

Festerna

b

a

Quantità di moto e inerzia Il centro di massa di un sistema sul quale agiscono solo forze interne, che si compensano a vicenda, si muove per inerzia come un punto materiale libero: persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se non è costretto a cambiare tale stato da forze esterne. Per esempio, mentre andiamo avanti e indietro sulla zattera essa si sposta insieme a noi e compensa il fatto che la nostra massa ha cambiato posizione, lasciando il centro di massa esattamente dov’era prima (figura 7). In altre parole, le forze interne lasciano inalterato il moto del centro di massa di un sistema, e questo procede indisturbato a velocità costante qualunque cosa accada nel sistema stesso (figura 8).

CDM

CDM

CDM

CDM

Figura 7. Le forze interne non modificano il moto del centro di massa.

Ken Schulze / Shutterstock

Figura 8. Quando un razzo esplode i frammenti vengono proiettati in diverse direzioni, ma il centro di massa del sistema continua indisturbato il suo moto parabolico.

traiettoria del CDM

321

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

ESEMPIO ¢ Due pattinatori di masse mA ⫽ 85 kg e mB ⫽ 40 kg, inizialmente fermi, si spingono reciprocamente su una pista senza attrito. In seguito alla spinta, il primo pattinatore acquista una velocità di 2,0 m/s; qual è la velocità del secondo?

→

FAB

→

FBA

SOLUZIONE Considerando isolato il sistema dei due pattinatori, la quantità di moto totale si conserva: mA vÀA1 ⫹ mB vÀB1 ⫽ mA vÀA2 ⫹ mB vÀB2 Le velocità iniziali vÀA1 e vÀB1 sono nulle, per cui: mA vÀA2 ⫹ mB vÀB2 ⫽ 0 mB vÀB2 ⫽ ⫺mA vÀA2 Cioè: v B 2 ⫽ ⫺v A 2

mA 85 kg ⫽ ⫺( 2, 0 m/s ) · ⫽ ⫺ 4, 3 m/s mB 40 kg

DOMANDA Qual è la velocità del centro di massa prima e dopo la spinta?

Quantità di moto e forza Se riscriviamo la legge di Newton in termini di quantità di moto vediamo che h h h ∆v F = ma = m ⋅ ∆t Dato che la massa m è costante: m∆vÀ ⫽ m (vÀ2 ⫺ vÀ1) ⫽ mvÀ2 ⫺ mvÀ1 ⫽ ∆(mvÀ) ⫽ ∆pÀ cioè: h h ∆p F= ∆t

(11.3)

La forza esterna al sistema è uguale al rapporto tra la variazione della quantità di moto e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta.

322

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

L’impulso di una forza Moltiplichiamo entrambi i membri per ∆t: À

F ∆t ⫽ ∆pÀ

(11.4)

Una forza che agisce per un certo intervallo di tempo su un corpo ne modifica la quantità di moto. Definendo impulso della forza I il prodotto della forza per l’intervallo di tempo in cui è applicata, si ha un’espressione nota come teorema dell’impulso: À

La variazione della quantità di moto di un corpo è pari all’impulso della forza che agisce su di esso. Una forza che agisce in un intervallo di tempo molto piccolo è detta forza impulsiva. Più è breve la durata dell’azione della forza, maggiore è la sua intensità, a parità di impulso. In altre parole, se riusciamo a modificare la quantità di moto di un corpo in un intervallo di tempo piccolissimo, la forza che ne deriva è molto intensa. Questo è il motivo per il quale per piantare un chiodo non premiamo su di esso ma lo percuotiamo con colpi brevi (figura 9).

3

russ witherington / Shutterstock

À

I ⫽ F ∆t

Figura 9. Una martellata esercita una forza impulsiva. Una breve martellata esercita una forza molto più elevata di quella esercitata dalla semplice pressione.

GLI URTI

Un tipico esempio di forza impulsiva è quello di una forza esercitata reciprocamente da corpi che urtano l’uno contro l’altro. Nel brevissimo intervallo di tempo in cui avviene l’impatto, il sistema formato dai corpi coinvolti nell’urto si può considerare isolato, in quanto le forze esercitate sono talmente elevate che ogni altra forza agente sul sistema (attriti o forza-peso) diventa trascurabile. Per questo motivo in un urto la quantità di moto totale dei corpi che collidono si conserva.

Figura 10. Sul tavolo da biliardo si conserva la quantità di moto delle biglie. Gli urti avvengono in tempi talmente brevi che le intense forze che ne derivano rendono trascurabili tutte le altre.

Quando oltre alla quantità di moto si conserva anche l’energia meccanica l’urto è detto elastico, altrimenti è detto anelastico.

Terekhov Igor / Shutterstock

Uno dei luoghi in cui si può sperimentare la conservazione della quantità di moto sulla Terra è il tavolo da biliardo. In molti casi le biglie impattano tra loro e con le sponde conservando la quantità di moto totale, e in questo modo i giocatori riescono a prevedere e a controllare le loro traiettorie (figura 10).

323

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Se l’urto avviene su un piano orizzontale e in assenza di molle, non c’è variazione di energia potenziale; quindi la conservazione dell’energia meccanica è equivalente alla conservazione dell’energia cinetica (tabella 1). TIPO DI URTO

QUANTITÀ DI MOTO

ENERGIA CINETICA

elastico

si conserva

si conserva

anelastico

si conserva

non si conserva

Tabella 1. Equazioni valide per urti elastici e anelastici.

FORMULE VALIDE →

→

→

→

pA1 ⫹ pB1 ⫽ pA2 ⫹ pB2 Ec1 ⫽ Ec2 →

→

→

→

pA1 ⫹ pB1 ⫽ pA2 ⫹ pB2

Urti elastici su una retta Analizziamo solo il caso più semplice: quello di due biglie di masse mA e mB che si muovono lungo una retta su un piano orizzontale. Si tratta di un moto unidimensionale in cui i vettori velocità hanno una sola componente, per cui si sommano tra loro come semplici numeri. In questo tipo di urto si conservano sia la quantità di moto totale che l’energia meccanica totale, in cui non compare la componente di energia potenziale perché quella gravitazionale non varia durante l’urto e quella elastica è nulla. Valgono pertanto entrambe le condizioni: mA v A1 ⫹ mB v B 1 ⫽ mA v A 2 ⫹ mB v B 2  1 1 1 1 2 2 2 2  mA v A1 ⫹ mB v B 1 ⫽ mA v A 2 ⫹ mB v B 2 2 2 2 2

(11.5)

Figura 11. La prima biglia trasmette la sua quantità di moto e la sua energia cinetica alla seconda biglia, e così via fino all’ultima, che la utilizza per allontanarsi dalle altre, acquistare energia potenziale gravitazionale e ricominciare in direzione contraria.

324

Ali Ender Birer / Shutterstock

dove al posto dei vettori abbiamo usato le coordinate. Se vogliamo conoscere le velocità delle biglie dopo l’urto, dobbiamo conoscere le loro masse mA e mB e le velocità vA e vB prima dell’urto, e poi risolvere il sistema formato dalle due equazioni. Il cosiddetto «pendolo di Newton» è un oggetto usato spesso anche come soprammobile, in cui si osserva direttamente la conservazione della quantità di moto totale e dell’energia meccanica durante gli urti elastici (figura 11).

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

ESEMPIO ¢ Una biglia procede con velocità vA1 verso una seconda biglia di uguale massa m, inizialmente ferma. Quali sono le velocità dopo l’urto elastico? m

→

m

vA1

SOLUZIONE Il sistema (11.5) in questo caso si scrive: mv A1 ⫹ mv B 1 ⫽ mv A 2 ⫹ mv B 2  1 1 1 1 2 2 2 2  mv A1 ⫹ mv B 1 ⫽ mv A 2 ⫹ mv B 2 2 2 2 2 1 ponendo vB1 ⫽ 0 e dividendo per m la prima e per m la seconda 2 diventa: v A1 ⫽ v A 2 ⫹ v B 2  2 v A1 ⫽ v A2 2 ⫹ v B2 2 Ricavando vA2 dalla prima e sostituendo nella seconda v A 2 ⫽ v A1 ⫺ v B 2  2 2 2 2 v A1 ⫽ v A1 ⫺ 2v A1v B 2 ⫹ v B 2 ⫹ v B 2 Svolgendo i calcoli si ottiene: v A 2 ⫽ v A1 ⫺ v B 2  2 2v A1v B 2 ⫽ 2v B 2 cioè v A 2 ⫽ 0  v A 1 ⫽ v B 2 La biglia A che aveva una velocità iniziale vA1 è ferma dopo l’urto, mentre la biglia B, che aveva una velocità iniziale nulla, acquista una velocità pari a vA1. In un urto elastico fra corpi di uguale massa essi si scambiano le velocità. DOMANDA Che cosa succede se la massa della biglia B è doppia di quella della biglia A? E se è la metà?

325

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Il centro di massa negli urti Figura 12. Il centro di massa di un sistema formato da due masse uguali è sempre a metà della loro congiungente. a. Se le biglie si avvicinano con velocità uguali e opposte la sua posizione non cambia. b. Se le biglie si avvicinano con velocità diverse, ma uniformi, la sua posizione cambia uniformemente nel tempo.

Durante un urto si conserva sempre la quantità di moto totale del sistema, per cui il suo centro di massa si comporta come un punto materiale libero. Esso permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino all’intervento di una forza esterna (figura 12). m

→

→

v

m

m

m

→

v

⫺v CDM

CDM

a

b

Il sistema di riferimento del centro di massa Per quanto detto sopra, in un urto un sistema di riferimento è inerziale quando il suo centro di massa è fermo rispetto a tale sistema. Nello studio degli urti tale sistema di riferimento è un punto di vista privilegiato (figura 13): intorno al centro di massa le biglie si comportano esattamente come la zattera e la palla del primo paragrafo, cioè si avvicinano ad esso o si allontanano da esso con velocità inversamente proporzionali alla loro massa, in modo tale che sia mB vÀB ⫽ ⫺mA vÀA Se l’urto è elastico la velocità di ciascuna biglia si inverte mantenendo invariato il suo modulo: vÀA2 ⫽ ⫺vÀA1 vÀB2 ⫽ ⫺vÀB1

Figura 13. Se si osservasse un urto elastico dal sistema del centro di massa si vedrebbe ciascuna biglia prima avvicinarsi e poi allontanarsi con velocità uguali e opposte.

mA mB

→

vA

→

vB CDM

mA →

→

mB

⫺vA

⫺vB CDM

Come abbiamo visto nel capitolo 2, saper cambiare il punto di vista in fisica agevola sia i calcoli sia la comprensione dei fenomeni. In questo caso il sistema privilegiato è quello del centro di massa, ma non è lo stesso dal quale in genere si osserva un urto nella realtà. Cambiare punto di vista non è un’operazione intuitiva né immediata, perciò evitiamo di approfondire l’argomento e ci limitiamo a fornire in tabella 2 uno schema delle diverse situazioni osservate dal sistema di riferimento terrestre. L’osservazione degli stessi urti dal punto di vista del centro di massa sarà un utile esercizio di immaginazione.

326

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

URTI ELASTICI Prima dell’urto m

m

m

2m

→

v

→

v

⫺v

m

→

Centro di massa →

v

⫺v

→

era fermo e resta fermo

Tabella 2. Urti elastici e anelastici.

→

v

⫺v

m

procede a velocità costante

→

v

→

→

v

m

→

v

→

Dopo l’urto

→ m ⫺v

v ⫺ 3

m

4→ ⫺v 3

→

2m

2→ ⫺v 3

v ⫺⫺ 3

→

v

procede a velocità costante

procede a velocità costante

procede a velocità costante

URTI TOTALMENTE ANELASTICI Prima dell’urto m

m

→

v

→

v

→

⫺v

Dopo l’urto

Centro di massa

m

era fermo e resta fermo →

m

v ⫺ 2

procede a velocità costante

Urto elastico contro una parete Un urto elastico di una biglia contro un muro inverte il moto della biglia nella direzione perpendicolare al muro, lungo la quale è diretta la forza impulsiva (figura 14). Gli angoli che i vettori velocità formano con tale perpendicolare prima e dopo l’urto sono uguali.

→

→

vf

Figura 14. In un urto elastico contro una parete la direzione della velocità prima dell’impatto forma, con la perpendicolare alla parete, un angolo uguale a quello della velocità dopo l’impatto.

Massimiliano Trevisan 2011

vi

327

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

4

IL MOMENTO ANGOLARE

In corrispondenza della quantità di moto per i moti di traslazione, definiamo per i moti di rotazione la grandezza fisica momento della quantità di → moto o momento angolare L . Esso si definisce rispetto a un punto fisso O, scelto come polo, sul quale è applicato il vettore posizione rÀ di un corpo che si muove con velocità vÀ. Il momento angolare (o momento della quantità di moto) di un corpo À è il prodotto vettoriale tra il vettore posizione rÀ e la quantità di moto p del corpo: → → À (11.6) L ⫽r ×p Il momento angolare è dunque un vettore (figura 15) che: s ha per modulo l’area del parallelogramma costruito su rÀ e pÀ pari a L ⫽ r p sinθ; s ha direzione perpendicolare al piano individuato da rÀ e pÀ; s ha verso dato dalla regola della mano destra. →

L

Figura 15. Il momento angolare è un vettore perpendicolare sia a r che a p.

→

p

→

r

L’unità di misura del momento angolare si ricava dal prodotto dell’unità di misura di r per l’unità di misura di p, cioè: m ⋅ kg m/s ⫽ kg m2/s

Il momento angolare nel moto circolare uniforme

→

L

→

mv →

r

O

Figura 16. Il momento angolare rispetto a O è un vettore perpendicolare al piano della circonferenza.

Via via che lo studio della fisica procede le grandezze si fanno sempre meno intuitive: dalla lunghezza alla velocità, dalla forza all’energia, e ora il momento angolare. Per potersi creare una rappresentazione mentale del momento angolare conviene cominciare dal caso più semplice, quello di una pallina di massa m in moto uniforme con velocità di modulo v su una circonferenza di raggio r. Il momento angolare rispetto al centro della circonferenza O (figura 16) si ricava dalla formula À

L ⫽ rÀ × pÀ ⫽ rÀ × mvÀ À

Il vettore L è perpendicolare al piano della circonferenza e diretto verso l’alto se il verso di percorrenza è antiorario; dato che rÀ e vÀ sono perpendicolari, il suo modulo è dato semplicemente dal prodotto L ⫽ rmv

328

(11.7)

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

ESEMPIO ¢ Quanto vale il modulo del momento angolare della Terra rispetto al Sole, approssimando l’orbita con una circonferenza di raggio R ⫽ 1,5 ⫻ 1011 m? La massa della Terra è MT ⫽ 6,0 ⫻ 1024 kg e la velocità lungo l’orbita è circa vT ⫽ 2,9 ⫻ 104 m/s. SOLUZIONE Con le approssimazioni fatte, il modulo del momento angolare del nostro pianeta rispetto al Sole è: L ⫽ rmv ⫽ (1,5 ⫻ 1011 m) (6,0 ⫻ 1024 kg) (3,0 ⫻ 104 m/s) ⫽ ⫽ 2,7 ⫻ 1040 kg m2/s DOMANDA Come è diretto il momento angolare della Terra rispetto al Sole? Fai un disegno che illustri la situazione.

Momento angolare e momento di inerzia Se abbiamo a che fare con un corpo rigido che ruota intorno a un asse possiamo immaginare di dividerlo in tanti piccoli volumi e applicare a ognuno di essi il ragionamento fatto per il momento angolare nel moto circolare uniforme. Il risultato di questa operazione, che qui non svolgiamo per mancanza di strumenti matematici adeguati, è una generalizzazione della formula precedente, cioè: À

À L ⫽ Iω

(11.8)

valida quando il momento angolare e l’asse di rotazione del corpo sono paralleli. Così come la quantità di moto è il prodotto della massa inerziale per la velocità tangenziale, il momento angolare può essere visto anche come il prodotto del momento di inerzia I per la sua velocità angolare ω. Nella tabella 3 vengono confrontate alcune grandezze lineari e le corrispondenti grandezze rotazionali. TRASLAZIONI

ROTAZIONI

Velocità lineare

h h ∆x v= ∆t

∆θ

h h ∆θ ω= ∆t

Velocità angolare

Massa inerziale

m

Momento di inerzia

I

Forza

F

Momento di una forza

À → M⫽r ×F

Energia cinetica traslazionale Quantità di moto

Ec = →

1 mv 2 2 →

p ⫽ mv

Energia cinetica rotazionale Momento angolare

Tabella 3. Confronto tra grandezze lineari e grandezze rotazionali.

→

Spostamento angolare

→

∆x

Spostamento lineare

E cr = →

→

1 2 Iω 2 →

→

L ⫽ r × p ⫽ Iω

329

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

5

LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Quando la forza totale che agisce su un sistema è complessivamente nulla (come nel caso delle sole forze interne) si conserva la quantità di moto. Analogamente, quando è nulla la somma dei momenti delle forze agenti si conserva il momento angolare. Ciò è vero in particolare quando sul sistema non agiscono forze esterne, perché – come abbiamo visto – le forze interne sono tutte coppie a braccio nullo, essendo dovute all’eventuale azione e reazione reciproca delle parti. In definitiva se il momento totale delle forze esterne che agiscono su un sistema è nullo, allora il momento angolare del sistema si conserva nel tempo. Questo fatto ha conseguenze notevoli. Se infatti le forze interne cambiano la distribuzione delle masse all’interno del sistema, cambia anche il momento di inerzia I e, di conseguenza, cambia anche la velocità angolare. Dalla formula che lega i moduli del momento angolare e della velocità angolare

Figura 17. Forze interne riducono il momento di inerzia della pattinatrice e la sua velocità angolare aumenta per lasciare immutato il momento angolare.

Eric Fahrner / Shutterstock

L ⫽ Iω vediamo che, se diminuisce il momento di inerzia, la velocità angolare deve aumentare per far sì che il momento angolare L resti costante. Questo è ben verificato, per esempio, su una pista di pattinaggio (figura 17): se una pattinatrice che esegue una piroetta a braccia aperte a un certo punto chiude le braccia, riducendo il suo momento di inerzia, la sua velocità di rotazione aumenta. La conservazione del momento angolare ha notevoli conseguenze in moltissime situazioni (figura 18). b

330

Radu Razvan / Shutterstock

c

NASA/CXC/CfA/P. Slane et al.

Figura 18. a. Quando una stella si contrae la sua velocità di rotazione aumenta. Le pulsar sono stelle compattissime che possono arrivare a compiere centinaia di rotazioni in un secondo. b. L’effetto giroscopio, secondo il quale le ruote tendono a mantenere la direzione dell’asse di rotazione, è una conseguenza della conservazione del momento angolare. c. È sempre l’effetto giroscopio che mantiene verticale il piano di rotazione delle ruote e ci permette di andare in bicicletta.

Ruta Saulyte-Laurinaviciene / Shutterstock

a

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

ESEMPIO ¢ Trascurando tutte le forze esterne che agiscono sul sistema TerraSole, quale velocità tangenziale avrebbe la Terra se la sua distanza dal Sole si dimezzasse? SOLUZIONE Ricordiamo che la velocità tangenziale della Terra a una distanza R ⫽ 1,5 ⫻ 1011 m è vR ⫽ 3,0 ⫻ 104 m/s Per cui L ⫽ rmv ⫽ cost RMT v R ? Quindi

R MT v R 2 2

v R ? 2v R 2

DOMANDA Quanto durerebbe un anno se fosse soddisfatta tale condizione?

Momento angolare e momento della forza À

Ricordando che il momento di una forza M è uguale al prodotto vettoriale À" del vettore posizione rÀ e della forza F (formula (7.8)) À

À

M ⫽ rÀ × F À

e la forza F, in termini di quantità di moto si scrive (formula (11.3)) h h ∆p F? ∆t vediamo che tra momento angolare e momento della forza c’è una stretta relazione. Analizziamo solo il caso più semplice, in cui il moto è circolare, À rÀ ed F sono perpendicolari e r è costante, per cui M ⫽ rF Sostituendo l’equazione (11.3) nella (7.8) si ha: M ?r

∆p ∆( rp ) ∆ L ? ? ∆t ∆t ∆t

Tornando all’espressione vettoriale e generalizzando il risultato abbiamo quindi l’analogo dell’equazione (11.4) per le rotazioni, che lega impulso e variazione della quantità di moto: À

À

∆L ⫽ M ∆t

(11.9)

331

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

La variazione del momento angolare di un sistema è pari al prodotto del momento della forza per l’intervallo di tempo in cui agisce. Questa espressione conferma il fatto che il momento angolare non varia se il momento totale delle forze esterne applicate al sistema è nullo.

6

LA SIMMETRIA

Il concetto di simmetria è antico. Già nel V secolo a.C. i greci parlavano di simmetria con il significato di armonia, equilibrio, proporzione numerica tra le parti. Ciò che è simmetrico piace: i fiori, la sfericità degli astri, la stessa figura umana (figura 19). A partire da questo significato, che rimane comunque patrimonio del senso comune, si è andata lentamente delineando una definizione geometrica più moderna di simmetria, intesa come distribuzione regolare di oggetti uguali nello spazio.

ARCHITECTE® /Shutterstock

Figura 19. Secondo l’ideale vitruviano, in un corpo umano armonioso le proporzioni sono distribuite nello spazio secondo le simmetrie del cerchio e del quadrato.

Se una cosa è simmetrica, allora è possibile scambiare la posizione di alcune sue parti lasciandone immutato l’aspetto globale. È simmetrica una farfalla, perché si possono scambiare le metà destra e sinistra e si ottiene nuovamente una farfalla. In geometria è simmetrico un rettangolo (figura 20), perché resta lo stesso rettangolo anche se si scambia una metà con l’altra o si ruota di 180° o si riflette su uno specchio. A maggior ragione è simmetrica una sfera, che da qualsiasi punto la si guardi resta sempre la stessa sfera. Un’operazione di simmetria in matematica è una trasformazione che lascia immutato l’oggetto su cui opera.

Figura 20. In geometria una simmetria è una trasformazione che lascia immutata la figura geometrica.

60° 90° 180°

332

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

ESEMPIO Un pentagono regolare è simmetrico per rotazioni di 72° intorno al suo centro ed è simmetrico per riflessione rispetto a un asse che passa per un vertice e la metà del lato opposto. 72°

DOMANDA Quali tipi di simmetria puoi trovare nell’esagono regolare? Anche in fisica si usa moltissimo il concetto di simmetria, ma come al solito richiede una definizione speciale, fortemente ispirata alla definizione matematica. Si tratta sempre di un’operazione che lascia immutato qualcosa, ma stavolta non si tratta di forme geometriche o oggetti matematici in generale. Una simmetria in fisica è una trasformazione che lascia immutate le leggi fisiche. Gli oggetti della fisica sono le leggi della natura: sono simmetriche quando possiamo modificare qualcosa senza che esse perdano validità. La più semplice operazione che si può compiere su una legge fisica è la traslazione spaziale: se osserviamo un dato fenomeno in un laboratorio posto in un certo luogo e verifichiamo che in esso è valida una certa legge, allora possiamo spostare il tutto e chiederci se nella nuova posizione la legge sia ancora valida. È come chiedersi se la legge della caduta dei gravi sia la stessa qui o dall’altra parte del mondo o su Marte (figura 21).

Figura 21. Le leggi della fisica sono simmetriche per traslazione spaziale. Un sasso cade nello stesso modo a Roma e a Pechino.

La risposta sembra scontata: le leggi della fisica (almeno quelle finora studiate o sperimentate personalmente) sono simmetriche rispetto alla traslazione spaziale, cioè non cambiano se cambia la posizione nello spazio o, per usare un’espressione equivalente, sono invarianti per traslazioni spaziali. Siamo talmente abituati a vedere che le cose vanno effettivamente così che nella vita di tutti i giorni non ci facciamo molto caso, mentre in fisica anche ciò che sembra scontato viene analizzato in modo minuzioso.

333

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

Alcune simmetrie della fisica Elenchiamo qui alcune simmetrie verificate in fisica:

heromen30 /Shutterstock

Viktor Gmyria /Shutterstock

s l’invarianza per traslazione nello spazio, per la quale le leggi sono le stesse se cambia la posizione; s l’invarianza per rotazione, per la quale le leggi sono le stesse se cambia l’orientamento nello spazio; s l’invarianza per traslazione nel tempo, per la quale si suppone che le leggi siano le stesse nel presente, nel passato e nel futuro.

risteski goce / Shutterstock

Figura 22. Le leggi della fisica non dipendono da come siamo orientati o posizionati nello spazio. Si suppone che le leggi della fisica non dipendano dal tempo.

Il teorema di Noether Nonostante i pregiudizi e le difficoltà che ha incontrato in vita, la matematica Emmy Noether (1882-1935) ha legato il suo nome a un teorema al quale oggi si riconosce la giusta importanza per la fisica teorica. In parole semplici il teorema di Noether dice che:

334

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

a ogni operazione di simmetria in fisica corrisponde una grandezza conservata. In altre parole, se si trova una trasformazione che lascia invariate le leggi fisiche, allora possiamo anche trovare una grandezza fisica che non cambia nel tempo, associata a quella trasformazione. È un teorema che non possiamo dimostrare in questa sede, ma ci consente di raggruppare le tre grandezze fisiche conservate che finora abbiamo incontrato in uno schema concettuale in cui compaiono operazioni di simmetria. In particolare si può dimostrare che: s alla simmetria per traslazione nello spazio corrisponde la conservazione della quantità di moto; s alla simmetria per rotazione corrisponde la conservazione del momento angolare; s alla simmetria per traslazione nel tempo corrisponde la conservazione dell’energia. Questo modo di vedere le cose collega la fisica classica alla fisica moderna: i fisici di oggi utilizzano i concetti di simmetria e di conservazione anche per lo studio di quei sistemi per i quali non vale la legge di Newton (figura 23). La conservazione della quantità di moto, del momento angolare e dell’energia sono dunque strumenti importantissimi per lo studio di innumerevoli fenomeni naturali.

Argonne National Laborator

Figura 23. Gli urti tra particelle subatomiche non vengono spiegati nei termini della legge di Newton, ma attraverso leggi di conservazione.

335

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

TECNOLOGIA →

Il giroscopio

L

Marsel82 / Shutterstock

Il giroscopio è una spettacolare applicazione della conservazione del momento angolare: quando un corpo rigido ruota liberamente il suo momento angolare si conserva e quindi tende a rimanere orientato lungo una direzione fissa. Questo significa, per esempio, che una trottola posta in rotazione intorno a un asse verticale continuerà a ruotare intorno a quell’asse, almeno fino a quando le forze di attrito non avranno rallentato il suo moto. Mentre ruota liberamente intorno a un asse verticale la trottola non cade, perché il momento angolare tende a rimanere orientato lungo l’asse di rotazione.

La ruota della bicicletta La ruota di una bicicletta non è altro che un giroscopio il cui asse di rotazione è orizzontale: all’aumentare della velocità di rotazione aumenta anche il momento angolare e la stabilità del veicolo. Quando una bicicletta si muove, inoltre, compare un moto di traslazione del suo baricentro; pertanto in condizioni ideali di assenza di forze esterne si conserva la quantità di moto del sistema e la bicicletta tende a mantenere la direzione.

Un esperimento

Massimiliano Trevisan 2011

Così come due pattinatori che si spingono a vicenda si allontanano l’uno dall’altro con velocità di segno opposto, perché le forze agenti hanno risultante nulla, così due ruote con asse parallelo tendono a ruotare in senso opposto quando sul sistema agiscono solo momenti complessivamente nulli. Per esempio: sediamoci su uno sgabello girevole intorno a un asse verticale, inizialmente fermo, tenendo con le mani il perno del mozzo di una ruota che gira intorno a un asse orizzontale. Quando incliniamo l’asse della ruota portandolo verso la verticale, non solo avvertiamo una certa resistenza a compiere tale operazione ma lo sgabello riceve una spinta e si mette a girare in senso opposto alla ruota. La ruota di bicicletta gira, mentre lo sgabello è fermo; lo sgabello inizia a girare in senso opposto alla ruota quando l’asse di quest’ultima viene orientato lungo la verticale.

Thieury/Shutterstock

DOMANDA Senza gli opportuni accorgimenti la fusoliera di un elicottero tenderebbe a ruotare in senso opposto alle pale. Perché? Spiega in 10 righe.

336

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

TECNOLOGIA Le corde di sicurezza

Rechitan Sorin / Shutterstock

In alcuni film i personaggi si salvano la vita, dopo essere precipitati in caduta libera per diverse decine di metri, semplicemente restando appesi a una corda o aggrappandosi a qualche appiglio di fortuna. Chi pratica l’alpinismo o l’arrampicata sa bene che nella realtà le cose vanno diversamente. Un corpo che modifica in un intervallo di tempo piccolissimo la sua quantità di moto, come avviene quando un corpo in velocità viene bruscamente fermato, provoca una forza impulsiva molto intensa. Non è necessario che la velocità sia molto alta, ma basta che l’intervallo di tempo sia piccolo per avere un’elevata intensità della forza. Per resistere allo strappo di un essere umano che cade liberamente, quindi, una corda deve poter opporre una forza molto intensa, ma tale forza, oltre che sulla corda, si svilupperebbe anche sul corpo, con gravi conseguenze.

Nell’alpinismo e nell’arrampicata le corde di sicurezza, oltre ad avere un carico di rottura intorno ai 30 000 N, equivalenti alla forza-peso di circa 3 tonnellate, sono anche elastiche. Durante l’allungamento della corda, infatti, si allunga anche l’intervallo di tempo di azione della forza frenante e il rallentamento che ne deriva è graduale, senza sollecitazioni estreme sul corpo dell’alpinista e sugli ancoraggi di sicurezza.

Olga Danylenko / Shutterstock

Corde elastiche

Le corde in uso nell’arrampicata hanno carichi di rottura di circa 3 tonnellate e si allungano del 10% rispetto alla loro lunghezza a riposo.

Corde statiche L’allungamento di una corda elastica è proporzionale alla sua lunghezza a riposo per cui, quando non si usano corde sufficientemente lunghe, l’effetto frenante non è efficace. Nelle vie ferrate in montagna o nei cantieri edili l’assicurazione avviene per mezzo di brevi corde «statiche» (non elastiche) munite di un apposito «dissipatore» di energia. Il dissipatore è sostanzialmente un dispositivo nel quale la corda scorre con difficoltà, rallentando così la caduta e distribuendo la forza frenante su un intervallo di tempo più lungo.

Quando non si usano corde elastiche è necessario usare dissipatori di energia, per ridurre l’intensità della forza frenante.

DOMANDA Quando un supereroe afferra all’ultimo secondo un autobus in caduta libera, a 10 centimetri dall’impatto con il suolo, è verosimile che i passeggeri si salvino? Motiva la risposta in 5 righe.

337

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Biciclette Un brevetto dimenticato?

Alla ricerca di un antenato

Negli anni Sessanta i monaci del laboratorio di restauro di Grottaferrata, mentre lavoravano al Codice Atlantico di Leonardo da Vinci, staccarono due fogli incollati tra loro. Con grande sorpresa, tra i disegni che nascondevano, scoprirono lo schizzo di una strana bicicletta dall’aspetto straordinariamente moderno. Il disegno fu inizialmente attribuito a un allievo di Leonardo, che avrebbe copiato un progetto del maestro. Tuttavia sorsero diversi dubbi sulla sua autenticità e fu fatta l’ipotesi di un’esecuzione postuma, forse risalente al XIX secolo. L’ipotesi è supportata dal fatto che dall’epoca di Leonardo – parliamo del XV secolo – non è ci giunta alcuna traccia dell’esistenza di meccanismi simili.

In realtà l’idea di cavalcare un asse sospeso tra due ruote è antichissima, e ne esistono diverse sfumate testimonianze provenienti da più epoche e più aree geografiche. Tuttavia, per avere segnali più concreti dell’esistenza di un antenato del veicolo che oggi chiamiamo bicicletta dobbiamo aspettare il XVIII secolo. Durante la rivoluzione francese comparve il «celerifero», una specie di «cavallo» con due ruote di legno allineate e non sterzanti, che avanzava grazie a vigorose spinte date con i piedi sul terreno. Si trattava di un oggetto ludico, con il quale eseguire tutt’al più gare di velocità, piuttosto che di un mezzo di trasporto; inoltre l’impossibilità di modificare l’asse di rotazione della ruota anteriore rendeva molto difficile mantenere l’equilibrio sui terreni irregolari nonché eseguire le curve.

nd

La famosa bicicletta di Leonardo illustra una tecnologia che si è sviluppata diversi secoli dopo la sua morte. Il celerifero era formato da due ruote non sterzanti unite da un asse rigido e procedeva grazie alla spinta dei piedi sul terreno.

PAROLA CHIAVE

Quantità di moto

DOMANDA Qual è la quantità di moto di un ciclista di 75 kg, comprensivi del veicolo, le cui ruote hanno entrambe un diametro di 60 cm e girano con velocità angolare uniforme pari a 17 rad/s? Tieni presente che il sistema ha una velocità pari alla velocità tangenziale delle ruote.

338

PAROLA CHIAVE

Momento angolare

DOMANDA Un velocipede procede a velocità costante lungo un rettilineo. ¢ Se il diametro della ruota anteriore è pari al doppio di quella posteriore, in quale rapporto devono stare le rispettive masse affinché i momenti angolari delle due ruote rispetto agli assi di rotazione siano uguali?

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

11

La comparsa dello sterzo

L’industria italiana

L’idea di collegare un asse sterzante alla ruota anteriore di un celerifero venne all’aristocratico tedesco Karl Friedrich Christian Ludwig Drais von Sauerbronn, che nel 1816 costruì la prima «draisina», anch’essa azionata con la spinta dei piedi sul terreno. Il sogno dell’inventore, di idee democratiche, era quello di fornire alla popolazione meno abbiente un mezzo di trasporto alternativo al costoso cavallo. Tuttavia la draisina era scomoda e pericolosa (non aveva i freni) e restò solo un passatempo.

La tecnologia trasformò rapidamente i velocipedi nelle moderne biciclette, e l’Italia, che fino ad allora aveva assistito alle evoluzioni come spettatrice, entrò con decisione tra i più importanti produttori d’Europa. Una delle vicende più memorabili è quella dell’allora ventunenne Edoardo Bianchi che da riparatore, nel 1885, si trasformò in uno dei costruttori più innovativi e lungimiranti. Nel XX secolo sorsero in Italia numerose case produttrici di biciclette di alta qualità, attente in particolar modo al miglioramento delle prestazioni in ambito sportivo. Le biciclette furono dotate di un cambio meccanico capace di modificare i rapporti di trasmissione e ottimizzare il momento della forza agente sui pedali in relazione alle diverse pendenze della strada.

Una modifica decisiva Intorno al 1860 una vecchia e malconcia draisina capitò nelle mani di Ernest Michaux, un giovane fabbro francese di appena 15 anni che, insieme al padre, vi realizzò alcune modifiche sostanziali: prima fra esse l’applicazione di pedali sul mozzo della ruota anteriore. Nella «michaudine» comparvero i freni e una comoda sella; la ruota anteriore crebbe rispetto a quella posteriore e si aprì la strada ai «velocipedi», con ruote anteriori sempre più grandi. Nonostante le difficoltà di guida e i pericoli questi veicoli ebbero un grandissimo successo, furono prodotti in serie e seguirono rapide e numerose migliorie: le ruote divennero uguali e comparvero la trasmissione a catena, i pneumatici fra ruote e terreno, i cuscinetti a sfera per ridurre l’attrito sull’asse di rotazione e freni efficienti.

Biciclette per ogni terreno La forma delle biciclette è rimasta sostanzialmente invariata dai primi del Novecento, e l’evoluzione si è spostata nella ricerca di nuovi materiali e piccole migliorie meccaniche per rendere questi mezzi di trasporto sempre più adatti a diversi tipi di terreno ed esigenza. Oltre alle biciclette da città, in cui prevale l’attenzione alla comodità, e alle biciclette da corsa su strada, con le quali ottenere le più alte velocità medie su percorsi misti, esistono biciclette da pista, pensate appositamente per raggiungere elevatissime velocità, e biciclette fuoristrada, per terreni più o meno accidentati e ripidi, dotate spesso di sospensioni per ridurre le vibrazioni.

Una draisina. La ruota anteriore può sterzare, ma è ancora l’azione dei piedi sul terreno a far avanzare e frenare il veicolo.

PAROLA CHIAVE

Nella «michaudine» i piedi non spingono più il veicolo agendo sul terreno ma azionando i pedali solidali al mozzo della ruota anteriore.

Agenzia Omega Fotocronache

Negli anni Quaranta il ciclismo era uno sport molto popolare in Italia.

Simmetria

DOMANDA In Australia vale il principio di inerzia. ¢ Che relazione c’è tra questo fatto e la possibilità di andare in bicicletta senza perdere l’equilibrio? Rispondi in 5 righe.

339

MAPPA DEI CONCETTI →

LA QUANTITÀ DI MOTO TOTALE

→

p ⴝ mv

di un sistema

SI CONSERVA

non cambia nel tempo

SE SUL SISTEMA NON AGISCONO FORZE ESTERNE

F⫽0

ELASTICI si conserva la quantità di moto totale ⴙ si conserva l’energia cinetica totale

NEGLI URTI

ANELASTICI si conserva la quantità di moto totale se era fermo resta fermo

IL CENTRO DI MASSA

se era in moto rettilineo uniforme permane in moto rettilineo uniforme

SE LE FORZE ESTERNE NON SONO NULLE

→

→

F ⌬t ⴝ ⌬p

F⫽0

I ⫽ F∆t impulso di una forza

una forza che agisce su un corpo per un intervallo di tempo ∆t modifica la sua quantità di moto

340

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

→

IL MOMENTO ANGOLARE TOTALE

→

→

L ⴝr ⴛp

di un sistema

oppure →

SI CONSERVA

→

L ⴝI␻ L ⴝ costante

SE È NULLO IL MOMENTO TOTALE DELLE FORZE AGENTI SUL SISTEMA

SE IL MOMENTO TOTALE DELLE FORZE ESTERNE NON È NULLO

→

M⫽0

I aumenta ω diminuisce

I diminuisce ω aumenta

M⫽0

→

M ∆t ⴝ ∆ L

La variazione del momento angolare di un sistema → è pari al prodotto del momento M della forza per l’intervallo di tempo

è una trasformazione che lascia immutate le leggi fisiche

è legata alle grandezze fisiche conservate

le leggi sono le stesse

si conserva

se cambia la posizione

la quantità di moto

ROTAZIONE nello SPAZIO

se cambia l’orientazione

il momento angolare

TRASLAZIONE nel TEMPO

nel passato, nel presente, nel futuro

l’energia

LA SIMMETRIA IN FISICA

TRASLAZIONE nello SPAZIO

341

11

11 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI 10 Ricava dalla formula l’unità di misura dell’impulso nel Sistema Internazionale.

LA QUANTITÀ DI MOTO

DOMANDE 1

Correggi questa frase: «Un elefante ha una quantità di moto maggiore di un topolino».

2 A parità di quantità di moto la massa di un corpo è doppia di quella di un altro. Che cosa puoi dire delle loro velocità? 3 «Due corpi di massa diversa non possono avere la stessa quantità di moto.» È vero? Motiva la risposta con un esempio.

11 Si vuole modificare la quantità di moto di un corpo con due forze le cui intensità stanno in rapporto 5:2. In quale rapporto dovranno essere gli intervalli di tempo di azione di tali forze?

CALCOLI 12 Una pattinatrice di 50 kg spinge il suo compagno di 71 kg su una pista ghiacciata senza attrito e acquista una velocità di ⫺2,6 m/s.

¢ Qual è la velocità del compagno? [1,8 m/s]

CALCOLI

13 Una pistola spara un proiettile di 25 g con una velocità di 245 m/s e rincula con una velocità di 2,3 m/s.

4 Un’automobile di 1200 kg viaggia a 120 km/h.

¢ Quanto vale la massa della pistola?

¢ Quale velocità in km/h dovrebbe avere un ciclista

[2,7 kg]

di 83 kg, comprensivi della bicicletta, per avere la stessa quantità di moto? [1,7 ⫻ 103 km/h]

14 Dopo una spinta reciproca, due pattinatori si allontanano con quantità di moto uguali e opposte, pari a 70 kg m/s.

¢ Se la velocità del primo è 1,2 m/s

5 Quanto vale la massa di un proiettile se, con una velocità di 220 m/s, la sua quantità di moto è 11,2 kg m/s?

e la massa del secondo è 67 kg, quanto valgono la massa del primo e la velocità del secondo?

[5,09 ⫻ 10 kg] –2

[58 kg; 1,0 m/s]

15 Su un corpo di 5,0 kg agisce una forza costante di 43 N per 4,0 s.

¢ Di quanto varia la sua velocità?

PKPhoto / Shutterstock

6 Vogliamo che due biglie di massa m1 ⫽ 5,0 g e m2 ⫽ 7,5 g abbiano la stessa quantità di moto.

¢ In quale rapporto devono stare tra loro

¢ Quanto vale l’impulso della forza? [34 m/s; 1,7 ⫻ 102 N s]

3

GLI URTI

le rispettive velocità v1 e v2? 7 Quanto vale la quantità di moto di un proiettile di 20 g che ha una velocità di 300 m/s? Quale velocità dovrebbe avere un sasso di 1,0 kg per avere la stessa quantità di moto? [6,0 kg m/s; 6 m/s]

2

LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

DOMANDE 8 Che cosa succede al centro di massa di un sistema sul quale non agiscono forze esterne? Rispondi in 5 righe. 9 «Quando una forza costante agisce su un corpo per un intervallo di tempo ∆t la quantità di moto del corpo aumenta.» Questa frase è corretta? Eventualmente correggila.

342

DOMANDE 16 Una biglia cade sulla sabbia. L’urto è elastico o anelastico? Quali grandezze fisiche si conservano in questo urto se possiamo trascurare ogni altra forza esterna? 17 Due biglie di massa uguale e velocità diverse compiono un urto elastico. Immagina di osservare l’urto dal sistema del centro di massa e descrivilo in 5 righe. 18 Che cosa accade alle velocità di due corpi che compiono un urto perfettamente elastico se le loro masse sono uguali? Che cosa accade alla velocità del centro di massa?

CALCOLI 19 In un esperimento didattico si fanno scontrare due carrelli di massa m1 ⫽ 1,3 kg e m2 ⫽ 2,0 kg, che procedono inizialmente con velocità v1 ⫽ 2,0 m/s e v2 ⫽ ⫺1,3 m/s.

11

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE ¢ Se l’urto tra i carrelli è anelastico, qual è la velocità

¢ Quanto vale il modulo del momento angolare

dei carrelli dopo l’urto?

della Luna rispetto alla Terra? [0 m/s]

20 In riferimento all’esercizio 19, quali sono le velocità finali dei carrelli se l’urto è perfettamente elastico? [v1f ⫽ ⫺2,0 m/s; v2f ⫽ 1,3 m/s]

21 Una biglia di 500 g ha una velocità di 7,5 m/s quando urta contro una biglia ferma di 1,0 kg.

¢ Quali sono le velocità delle biglie dopo l’urto

[2,7 ⫻ 1034 kg m2/s]

28 Un giocoliere fa roteare una sfera infuocata di 300 g, attaccata a un laccio lungo 1,1 m, compiendo un giro in un secondo. Melissa Schalke / Shutterstock

¢ Quanto vale

elastico?

il modulo del momento angolare della sfera rispetto al giocoliere?

[⫺2,5 m/s; 5,0 m/s]

22 Una biglia urta contro una parete verticale con una velocità di 3,3 m/s la cui direzione forma un angolo di 30° con la perpendicolare alla parete.

[2,3 kg m2/s]

¢ Con quale velocità rimbalza se l’urto è perfettamente elastico?

¢ Disegna uno schema della situazione con il vettore velocità prima e dopo l’urto scomposto lungo le due direzioni perpendicolare e parallela alla parete.

29 Una locomotiva giocattolo di 480 g percorre una rotaia circolare di raggio pari a 96 cm con una velocità angolare costante.

¢ Se il suo momento angolare è 0,55 kg m2/s, quanto vale la sua velocità tangenziale?

[3,3 m/s]

4

IL MOMENTO ANGOLARE

[1,2 m/s]

5

LA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

DOMANDE

DOMANDE

23 Un corpo il cui centro di massa non si sposta nello spazio può avere un momento angolare diverso da zero? Motiva la risposta con un esempio.

30 È corretto affermare che «se su un sistema non agiscono forze esterne, quando diminuisce il momento di inerzia contemporaneamente aumenta la velocità angolare»? Motiva la risposta in 5 righe.

24 Il momento angolare è una grandezza scalare o vettoriale?

31 Quale analogia matematica c’è tra gli effetti delle forze sulla quantità di moto e gli effetti dei momenti delle forze sul momento angolare? Rispondi in 5 righe.

25 «L’unità di misura del momento angolare è uguale al prodotto dell’unità di misura della massa, per l’unità di misura della superficie, diviso l’unità di misura del tempo.» Questa affermazione è corretta? Eventualmente correggila.

32 Che cosa accadrebbe alla durata dei nostri giorni se la Terra improvvisamente si contraesse? Rispondi in 5 righe.

CALCOLI

CALCOLI

26 Un sistema, costituito da una sfera che ruota su una circonferenza a velocità costante, ha un momento angolare di 1 kg m2/s.

33 Il giocoliere dell’esercizio 28 allunga improvvisamente di 40 cm il laccio che trattiene la sfera infuocata.

¢ Trova dei valori per massa, velocità e raggio tali che la condizione sia soddisfatta.

¢ Poi, mantenendo costante la massa, raddoppia il raggio e trova la velocità che continua a soddisfare la condizione. 27 La Luna, con una massa di 7,3 ⫻ 1022 kg, gira intorno alla Terra su un’orbita approssimativamente circolare di raggio 3,8 ⫻ 105 km, con una velocità tangenziale di circa 980 m/s.

¢ Come cambia la velocità angolare della sfera? [6,3 rad/s; 3,4 rad/s]

34 Un cilindro sta ruotando intorno al suo asse con una velocità angolare di 6,8 rad/s. A un certo punto, per azione di forze interne, si espande raddoppiando il suo raggio e di conseguenza il suo momento di inerzia diventa il quadruplo di quello iniziale.

¢ Come cambia la velocità angolare del cilindro? [1,7 rad/s]

343

11 ESERCIZI 35 Una piattaforma circolare ruota liberamente intorno a un asse verticale con velocità angolare di 1,0 rad/s. Un ragazzo si trova sull’asse di rotazione e il momento di inerzia del sistema è 1,4 ⫻ 103 kg m2. A un certo punto inizia a camminare lungo un raggio e quando si trova sul bordo della piattaforma il momento di inerzia del sistema è 1,6 ⫻ 103 kg m2.

¢ Quanto vale in questa configurazione la velocità angolare della piattaforma? [0,88 rad/s]

6

LA SIMMETRIA

ESERCIZI DI RIEPILOGO DOMANDE 44 La quantità di moto totale di un sistema formato da due corpi può essere nulla anche se i due corpi si muovono? Motiva la risposta con un esempio. 45 «A parità di quantità di moto, il rapporto tra le masse è uguale al rapporto tra le velocità.» Questa frase è corretta? Eventualmente correggila. 46 Data la situazione in figura, che cosa ti aspetti che accada quando le biglie in movimento urtano elasticamente la prima biglia della serie? Motiva in 10 righe la tua risposta.

DOMANDE 36 Che cosa vuol dire che una legge della fisica è simmetrica? Rispondi in 5 righe. 37 Quale operazione possiamo compiere senza modificare una legge fisica, per la quale si conserva la quantità di moto? 38 A quale operazione di simmetria è associata la conservazione del momento angolare? 39 Quale grandezza fisica conservata è legata alla simmetria rispetto a traslazioni nel tempo?

CALCOLI 40 Disegna una figura piana simmetrica per rotazioni di un angolo qualsiasi. 41 Quali simmetrie puoi trovare in un cubo?

Electron and Confocal Microscopy Laboratory, Agricultural Research Service, U. S. Department of Agriculture

42 Quali simmetrie riconosci in questi fiocchi di neve?

43 Quali simmetrie riconosci in questo mosaico arabo?

47 In un tuffo raggruppato il tuffatore raggomitola gambe e braccia e la sua velocità di rotazione aumenta. Perché? Spiegalo in 10 righe. 48 Se un corpo rigido in rotazione sottoposto esclusivamente a forze interne cambia configurazione, qual è il rapporto tra i diversi momenti di inerzia se il rapporto tra le velocità angolari è 2:3? 49 Quando ci muoviamo su una giostra in rotazione lungo la direzione del raggio modifichiamo il momento di inerzia della giostra. La velocità di rotazione della giostra è maggiore quando ci troviamo sul bordo o quando ci troviamo sul centro? Motiva la risposta in 5 righe.

PROBLEMI 50 Carlo e Giovanni corrono insieme in un parco cittadino con un’andatura costante di 5,0 min/km. Carlo, di 65 kg, ha una massa pari ai 5/6 di quella di Giovanni.

¢ Quanto valgono le loro quantità di moto? (Suggerimento: se in cinque minuti percorrono un kilometro, quanti metri percorrono in un secondo?) [2,2 ⫻ 102 kg m/s; 2,6 ⫻ 102 kg m/s]

51 Un bambino di 28 kg salta su un monopattino di 2,6 kg, inizialmente fermo, correndo a una velocità di 10 km/h.

¢ Qual è la quantità di moto del sistema formato dal bambino e dal monopattino? Cardaf / Shutterstock

¢ Qual è la loro velocità in km/h?

344

¢ La velocità del centro di massa del sistema cambia? Motiva la risposta in 5 righe. [78 kg m/s; 9,2 km/h]

QUANTITÀ DI MOTO E MOMENTO ANGOLARE

rispondere approssima il moto a circolare uniforme con i seguenti dati:

52 Ti trovi in mezzo a un laghetto ghiacciato senza attrito e per muoverti puoi lanciare un sasso di 0,87 kg in direzione opposta a quella desiderata. La tua massa è 60 kg e vuoi acquistare una velocità di 0,50 m/s.

š distanza della Terra dal Sole RT-S ⫽ 1,5 ⫻ 1011 m; š velocità lungo l’orbita vT ⫽ 3,0 ⫻ 104 m/s;

¢ Con quale velocità devi lanciare il sasso? ¢ Se la durata della spinta per lanciare il sasso è 0,50 s, quanto vale la sua intensità?

¢ Con una spinta di intensità pari alla metà, quanto deve essere la sua durata per avere lo stesso effetto sulla velocità del sasso?

š distanza di Saturno dal Sole RS-S ⫽ 1,4 ⫻ 1012 m.

[87 anni]

57 Utilizzando le approssimazioni e alcuni dati del problema 56, calcola il momento angolare di Saturno e quello di Giove rispetto al Sole, sapendo inoltre che: š la massa di Saturno è MS ⫽ 5,7 ⫻ 1026 kg,

[34 m/s; 59 N; 1,0 s]

š quella di Giove MG ⫽ 1,9 ⫻ 1027 kg,

53 Trascurando il moto verticale dovuto all’accelerazione di gravità, un frisbee di 300 g procede a velocità orizzontale costante di modulo 3,0 m/s, mentre ruota su se stesso compiendo 2 giri in un secondo.

š la distanza di Giove dal Sole è RT-G ⫽ 7,8 ⫻ 1011 m, š la sua velocità lungo l’orbita è vG ⫽ 1,3 ⫻ 104 m/s š quella di Saturno è vS ⫽ 9,7 ⫻ 103 m/s. [7,7 ⫻ 1042 kg m2/s; 1,9 ⫻ 1043 kg m2/s]

¢ Se il suo momento di inerzia è di 3,4 ⫻ 10–3 kg m2, quanto vale il suo momento angolare rispetto al centro di massa?

¢ Quanto vale la sua quantità di moto?

VERSO L’UNIVERSITÀ

(Suggerimento: confronta questo problema con il n. 59 del capitolo 10.)

1

[4,3 ⫻ 10–2 kg m2/s; 0,9 kg m/s]

54 Un martello di 0,50 kg colpisce un chiodo con una velocità di 4,3 m/s.

¢ Quanto vale l’impulso della forza che il martello esercita sul muro?

¢ Quanto deve durare la martellata se si vuole vincere la forza resistente del muro di 1500 N?

¢ Quanto vale l’energia cinetica della testa del martello prima di colpire il chiodo?

¢ Hai notato che quando si colpisce un chiodo con il martello ripetutamente, questo si scalda? Prova a spiegare questo fatto in 5 righe. [2,2 N s; 1,4 ⫻ 10–3 s; 4,6 J]

55 Una palla di 400 g urta contro una parete verticale con velocità orizzontale di modulo 3,5 m/s e rimbalza con una velocità opposta di modulo 3,0 m/s.

¢ Calcola la variazione della quantità di moto. ¢ Calcola la variazione di energia cinetica. ¢ Perché non si conserva la quantità di moto? ¢ Quali forze esterne agiscono sul sistema? ¢ Che cosa succede all’energia meccanica durante l’urto? [⫺0,26 kg m/s; ⫺0,65 J]

56 Quanto durerebbe un anno sulla Terra se, per effetto di forze interne, la sua distanza dal Sole diventasse come quella di Saturno? Fornisci il valore in anni terrestri. Per

11

Una pattinatrice su ghiaccio sta piroettando con le braccia strette al corpo. A un certo punto allarga improvvisamente le braccia. Indicare l’affermazione più probabile tra le seguenti: A

la velocità di rotazione aumenta.

B

la velocità di rotazione diminuisce.

C

la velocità di rotazione rimane inalterata.

D

la velocità di rotazione dipende dallo stato del ghiaccio.

E

la velocità di rotazione dipende dall’affilatura dei pattini.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Odontoiatria e Protesi Dentaria 2009/2010) 2 Due sfere di metallo si muovono su un piano orizzontale l’una verso l’altra con velocità diversa. Trascurando ogni forza esterna e supponendo elastico il loro urto, quale delle seguenti affermazioni è più adeguata? A

Nell’urto si conservano l’energia cinetica totale e la quantità di moto totale.

B

Nell’urto l’energia cinetica totale si conserva, ma non la quantità di moto totale.

C

Nell’urto la quantità di moto totale si conserva, ma parte dell’energia cinetica viene dissipata.

D

L’urto modifica sia l’energia cinetica totale sia la quantità di moto totale.

E

La quantità di moto totale cambia a seconda dell’angolo di impatto delle due sfere.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina Veterinaria 2009/2010)

345

CAPITOLO

L gravitazione La universale u

“

Il fatto più impressionante è che la gravità è semplice: è facile enunciare i principi in maniera completa senza lasciare nessuna incertezza. È semplice e perciò meravigliosa.

”

Richard Feynman, durante una conferenza nel 1964

Marc Chagall, La passeggiata, 1917-1918, particolare.

PAROLE CHIAVE Massa gravitazionale Interazione gravitazionale Legge fisica universale

346

Aristotele aveva diviso il Cielo dalla Terra, assegnando a quest’ultima la posizione centrale. Secondo la sua teoria dell’Universo, i Cieli, uno per ogni astro, erano sfere concentriche che ruotavano intorno alla Terra, e la Luna delimitava la zona celeste dalla zona terrestre. Aristotele aveva elaborato una teoria filosofica della gravità, secondo la quale i corpi lasciati a loro stessi si muovevano di moto naturale verso il luogo al quale, per natura, appartengono: quelli «pesanti» verso il centro della Terra, quelli «leggeri» verso l’alto. Le teorie di Aristotele non sopravvissero alla rivoluzione scientifica iniziata nel XVI secolo, con la quale i concetti di moto, di gravità, di cielo e di Terra furono profondamente modificati. Anche i corpi leggeri cadono: non basta un cuore innamorato per svolazzare senza peso. Tutto ciò che è fatto di materia interagisce con la materia, esercitando una forza che è tanto più forte quanto più gli oggetti interagenti sono vicini. La grandezza

fisica grazie alla quale ciò avviene è detta massa gravitazionale, utilizzata da Newton per elaborare la sua teoria scientifica della gravità. Secondo questa teoria l’interazione gravitazionale, che ci tiene attaccati al suolo e fa cadere le mele dagli alberi, è la stessa che trattiene la Luna in orbita intorno alla Terra e la Terra intorno al Sole. Cielo e Terra non sono più due entità separate, ma sono governate dalle stesse regole. Quella elaborata da Newton è infatti una legge fisica universale, capace di spiegare moltissimi fenomeni apparentemente diversi. Spiega come cadono i sassi sulla Terra, ma anche perché la Luna, che non è altro che un grosso sasso, non cade. Questo capitolo conclude un percorso in cui converge ciò che hai studiato finora: dalla raccolta dei dati tramite l’osservazione sperimentale alla ricerca di regolarità matematiche, all’elaborazione di una legge fisica universale.

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

LE LEGGI DI KEPLERO

Il De Rivolutionibus orbium coelestium fu stampato nel 1543 mentre il suo autore, Mikołaj Kopernik, meglio noto con il nome latinizzato di Niccolaus Copernicus, successivamente italianizzato in Copernico, stava morendo. Il libro annunciava una vera e propria «rivoluzione»: un modello dell’Universo allora conosciuto del tutto diverso da quello approvato dalla Chiesa e quindi dalla cultura istituzionale. Secondo il modello allora in vigore la Terra era il centro di tutto, perfettamente immobile, con tutti gli astri che le ruotavano intorno e, siccome le osservazioni del cielo mostravano che i pianeti non si comportavano in modo compatibile con il modello, Tolomeo nel II secolo aveva introdotto i deferenti e gli epicicli (di cui abbiamo parlato nei capitoli 2 e 6). Il dogma medievale della centralità della Terra cominciava però a stare stretto agli studiosi dell’epoca, al punto che, quando Copernico pubblicò il suo lavoro, molti scienziati diventarono suoi sostenitori. Tra essi Johannes Kepler, latinizzato in Keplerus secondo l’usanza del tempo e italianizzato in Keplero, uno studioso di matematica appassionato di questioni astronomiche. Egli aveva accettato l’ipotesi copernicana delle orbite circolari dei pianeti intorno al Sole e si era prefisso il compito di trovare il modello matematico opportuno che si combinasse bene con le osservazioni. Keplero aveva quindi bisogno di dati astronomici quanto più possibile precisi e puntuali, cosa non scontata all’epoca dato che non esistevano telescopi e il cielo si guardava solo a occhio nudo. All’epoca l’unico scienziato in possesso di tali dati era Tycho Brahe, un ricco astronomo danese, che attrezzò un’intera isola come un osservatorio ed effettuò scrupolosissime osservazioni a occhio nudo di ogni angolo del cielo. La banca dati di Brahe era impressionante e straordinariamente precisa (figura 1). Keplero divenne prima suo assistente, poi suo successore, e ne entrò in possesso. Grazie ad essa riuscì a mettere insieme tre importanti regole matematiche sul moto dei pianeti, note come leggi di Keplero. Prima legge di Keplero: i pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche delle quali il Sole occupa uno dei fuochi; seconda legge di Keplero: il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali; terza legge di Keplero: il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell’orbita è lo stesso per tutti i pianeti.

The Tycho Brahe-museum

1

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Figura 1. L’osservatorio di Uraniborg, dove Tycho Brahe raccolse a occhio nudo dati astronomici straordinariamente precisi.

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Prima legge

Figura 2. Le orbite dei pianeti intorno al Sole sono ellissi delle quali il Sole occupa uno dei fuochi.

La difficoltà più grossa di Keplero era quella di far tornare i conti tra i precisissimi dati di Brahe e le presunte orbite circolari. Perché tutto corrispondesse alle misure sperimentali, infatti, non si doveva solo abbandonare la teoria della centralità della Terra, ma anche quella della perfezione delle sfere. Keplero si accorse che le orbite dei pianeti intorno al Sole erano ellissi, cioè cerchi «schiacciati», e che quindi non è la Terra, e non è neanche il Sole, il centro dell’Universo: la nostra stella occupa infatti uno dei due fuochi dell’ellisse (figura 2). In un’ellisse la somma delle distanze dai due fuochi è uguale per tutti i punti che appartengono alla curva. Pertanto un modo di disegnare l’ellisse è quello di fissare le estremità di un filo nei fuochi e disegnare tutto intorno con la punta di una matita che tenda lo spago (figura 3a). Quando i fuochi coincidono l’ellisse diventa una circonferenza, e la cosiddetta eccentricità dell’ellisse è legata alla distanza tra i fuochi (figura 3b).

a

Figura 3. a. Come si disegna un’ellisse. b. Parametri dell’ellisse.

b

F1

O

F2

c

x a

Figura 4. Le comete sono piccoli corpi che vengono da molto lontano percorrendo orbite talmente eccentriche che possono essere considerate rettilinee.

Tale parametro, che si trova spesso sulle tabelle astronomiche, si può scrivere in termini del semiasse maggiore a e della semidistanza tra il centro e il fuoco c, nel seguente modo: c e? a

Philipp Salzgeber

L’eccentricità per l’ellisse è un valore compreso tra zero e uno: è tanto più piccola quanto più l’ellisse assomiglia a un cerchio, è tanto più grande quanto più l’ellisse tende a essere un segmento (figura 4).

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ESEMPIO L’eccentricità della Terra è 0,017. Questo significa che la semidistanza tra i fuochi della sua orbita è c ⫽ 0,017 ⋅ a cioè pari ai diciassette millesimi del semiasse maggiore. In molti casi l’orbita terrestre si può dunque approssimare con una circonferenza. DOMANDA Se potessimo guardare la Terra ruotare intorno al Sole dall’esterno, ci accorgeremmo che l’orbita è ellittica? Per rispondere aiutati con un modellino in scala del sistema Terra-Sole, in cui i due astri siano puntiformi e il semiasse maggiore misuri 5,0 cm.

Seconda legge La seconda legge di Keplero è anche nota come legge delle aree e rende conto del fatto che i pianeti sono più veloci quando si trovano più vicini al Sole (perielio) che quando si trovano più lontani (afelio). Infatti, se le aree spazzate in intervalli di tempo uguali sono uguali, allora l’arco di ellisse che corrisponde a posizioni più lontane dal Sole deve essere più piccolo di quello che corrisponde a posizioni più vicine. In figura 5 l’eccentricità dell’ellisse è amplificata per poter vedere meglio la differenza tra le due situazioni estreme. s2

s1 afelio

perielio Sole

s3

Figura 5. A parità di intervallo di tempo e quindi di area spazzata, è più corto l’arco che corrisponde a distanze maggiori dal Sole. Il pianeta impiega lo stesso tempo a percorrere una distanza inferiore, cioè si muove più lentamente.

Ciò non deve condurre a pensare che l’alternarsi delle stagioni sulla Terra sia dovuto alla variabilità della distanza dal Sole. Esso infatti dipende dall’inclinazione dell’asse terrestre che comporta un’insolazione disomogenea e quindi una differenza tra emisferi settentrionale e meridionale che altrimenti non sussisterebbe. Nell’emisfero settentrionale, inoltre, è l’inverno la stagione durante la quale la Terra è al perielio, pertanto essa è anche la stagione più corta in quanto il moto in tali condizioni è più veloce, come si evince proprio dalla seconda legge di Keplero.

Terza legge La terza legge di Keplero lega il periodo di rivoluzione T, cioè il tempo impiegato a compiere un giro completo, al semiasse maggiore a. In particolare:

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T2 ?K a3 T 2 ⫽ Ka3 I quadrati dei periodi di rivoluzione sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori. Infatti sui pianeti più lontani gli «anni» hanno una durata più lunga.

ESEMPIO ¢ Quanto vale K, la costante di proporzionalità della terza legge di Keplero?

NASA

SOLUZIONE A partire dalla formula (12.1), eseguiamo i calcoli utilizzando i dati relativi a due pianeti, Urano e Venere (mostrati nelle foto qui sotto con dimensioni non in scala), e quindi misurando i periodi di rivoluzione in anni terrestri:

TU ⫽ 84 anni aU ⫽ 2,9 ⫻ 109 km TV ⫽ 0,62 anni aV ⫽ 1,1 ⫻ 108 km K=

TU2 ( 84 anni )2 = = 2, 9 × 10−25 anni 2 /km m3 3 9 3 ( 2, 9 × 10 km ) aU

K=

TV2 ( 0, 62 anni )2 = = 2, 9 × 10−25 anni 2 /km 3 3 8 3 (1, 1 × 10 km ) aV

Domanda Quanto vale il rapporto tra quadrato del periodo di rivoluzione e cubo del semiasse maggiore della Terra?

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2

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LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Le leggi di Keplero sono molto importanti, ma sono puramente descrittive e non dicono nulla su quale sia la causa del comportamento dei pianeti da esse descritto. Molti scienziati provarono a risolvere la questione cercando una formula per la forza responsabile delle traiettorie ellittiche dei pianeti, ma nessuno aveva conoscenze matematiche sufficienti. Occorreva infatti il calcolo infinitesimale, al quale stava lavorando Isaac Newton in quegli anni. Fu dunque Newton a dare una risposta, proponendo una formula matematica per la forza che tiene i pianeti in orbita intorno al Sole che, unita ai tre principi della dinamica, spiegò perfettamente le leggi di Keplero. Tale forza è diretta lungo la retta che unisce ciascun pianeta al Sole, ed è tanto più intensa quanto più elevata è la massa del pianeta e quanto più esso è vicino al Sole. Newton andò oltre. Ipotizzò che questa stessa forza, che trattiene la Terra intorno al Sole, trattiene anche la Luna intorno alla Terra, fa cadere le mele dagli alberi, ci tiene attaccati al suolo e si esercita fra tutti i corpi in virtù della loro massa (figura 6).

Figura 6. La forza di gravità, che ci attira verso il centro della Terra, fa cadere le mele al suolo e trattiene la Luna in orbita.

La formula è nota come legge di gravitazione universale (figura 7) e si enuncia dicendo che:

m1

m2 r

Due corpi puntiformi, di massa m1 e m2 si attraggono reciprocamente con una forza diretta lungo la loro congiungente, di intensità direttamente proporzionale al prodotto fra le masse e inversamente proporzionale al quadrato delle loro distanze: F?

Gm1m2 r2

(12.2)

Figura 7. Il corpo di massa m1 e il corpo di massa m2 si attraggono reciprocamente con una forza che dipende dal valore delle masse e dalla loro distanza.

Il valore della costante di gravitazione universale G è: G ⫽ 6,67 ⫻ 10–11 N m2/kg2 cioè un valore molto piccolo, motivo per il quale la forza di gravità è evidente quando abbiamo a che fare con stelle e pianeti, ma passa inosservata per oggetti di massa inferiore.

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ESEMPIO ¢ Quanto vale la forza di gravità che Sole e Terra esercitano l’uno sull’altra? SOLUZIONE Le masse della Terra e del Sole sono rispettivamente: MT ⫽ 6,0 ⫻ 1024 kg MS ⫽ 2,0 ⫻ 1030 kg La loro distanza media è: rS-T ⫽ 1,5 ⫻ 1011 m Perciò: F =G =

M T MS = 2 rS-T

( 6, 67 × 10−11 Nm 2 /kg 2 ) × ( 6, 0 × 1024 kg × 2, 0 × 10 30 kg ) = (1, 5 × 1011 m )2 = 3, 6 × 10 22 N

DOMANDA Quanto vale la forza di gravità tra due blocchi di marmo di 1000 kg l’uno, posti a 1,0 m di distanza?

La massa gravitazionale Studiando la dinamica (capitolo 9) abbiamo definito la massa, attraverso la seconda legge di Newton, come la tendenza dei corpi a opporsi alle modificazioni della loro velocità, cioè abbiamo parlato di massa inerziale come della costante caratteristica di ciascun corpo, che lega tra loro la forza che agisce su quel corpo e l’accelerazione che ne deriva. Vediamo che, con la legge di gravitazione universale, compare nuovamente il concetto di massa, ma stavolta definito come la capacità di un corpo di attirare e di essere attirato da altri corpi dotati di massa. Parliamo in questo caso di massa gravitazionale, concetto ben distinto da quello di massa inerziale. Ogni oggetto materiale ha pertanto due proprietà, caratterizzate da due grandezze fisiche distinte, almeno in linea di principio: s massa inerziale, mi, che misura la resistenza ai cambiamenti di moto; s massa gravitazionale, mg, che rappresenta la capacità di interagire con altri oggetti materiali con una reciproca attrazione. Il motivo per cui spesso si parla indistintamente di «massa» e si usa per entrambe le grandezze la stessa unità di misura (il kilogrammo) sta nel fatto che non esistono corpi che hanno una grande massa gravitazionale e una piccola massa inerziale o viceversa: esse sono grandezze direttamente proporzionali.

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L’interazione gravitazionale Il terzo principio della dinamica ci ricorda che a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, per cui, se la Terra attira la Luna, anche la Luna attira la Terra con una forza di pari intensità. Lo stesso vale per le mele: la forza che il nostro pianeta esercita su un qualsiasi oggetto è esattamente uguale e contraria alla forza che tale oggetto esercita sulla Terra. Parliamo dunque di interazione gravitazionale, per tenere conto del fatto che i corpi si attraggono a vicenda. Tuttavia diciamo che una mela cade sulla Terra e non che la Terra cade sulla mela, perché la stessa forza provoca accelerazioni diverse sull’uno e sull’altro corpo (figura 8).

Loskutnikov / Shutterstock

Figura 8. Così come la Terra attira la mela, anche la mela attira la Terra con una forza di pari intensità. Tale forza provoca un’accelerazione elevata sulla mela ma molto debole sulla Terra, perciò vediamo la mela cadere sulla Terra e non viceversa.

Dr. R. Albrecht, ESA/ESO Space Telescope European Coordinating Facility; NASA

E così siamo abituati a dire che la Terra gira intorno al Sole solo perché la Terra ha una massa molto minore di quella del Sole, ma in realtà anche il Sole gira intorno alla Terra. Anzi, a essere precisi, sia il Sole che la Terra girano intorno al loro centro di massa: la forza gravitazionale è una forza interna al sistema, cioè complessivamente nulla, e il centro di massa è fermo in un sistema di riferimento inerziale (figura 9a). Nei sistemi di stelle doppie, in cui i due corpi che interagiscono hanno masse confrontabili, tale fatto è molto più evidente (figura 9b). a

b

CDM

Figura 9. a. Plutone e Caronte ruotano intorno al loro centro di massa. b. In un sistema formato da due corpi che si attraggono reciprocamente, e non soggetto a forze esterne, il centro di massa è fermo mentre essi vi ruotano intorno.

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ESEMPIO ¢ Quanto vale la forza di gravità che attira verso il centro della Terra una mela di 102 g posta sulla superficie terrestre? SOLUZIONE Per usare la formula della forza di gravitazione universale dobbiamo immaginare che la Terra sia un punto, posto al centro del pianeta, in cui sia concentrata tutta la sua massa. La mela, altro punto materiale, è quindi posta a una distanza dal centro pari al raggio terrestre RT. I dati da inserire nella formula sono perciò: MT ⫽ 6,0 ⫻ 1024 kg m ⫽ 0,102 kg RT ⫽ 6370 km Quindi: F =G =

M Tm = RT2

( 6, 67 × 10−11 Nm 2 /kg 2 ) × ( 6, 0 × 1024 kg × 0, 102 kg ) = ( 6, 370 × 10 6 m )2 = 1, 0 N

Abbiamo così ottenuto la forza-peso della mela, secondo la definizione provvisoria data nel capitolo 7 (p. 187). La forza-peso di un oggetto è dunque pari alla forza con la quale tale oggetto interagisce con la Terra. DOMANDA Qual è la forza con cui la mela attira la Terra? Qual è la conseguente accelerazione della Terra?

L’accelerazione di gravità h RT

Ritroviamo qui una «vecchia conoscenza», introdotta senza troppe spiegazioni: l’accelerazione di gravità g con la quale cadono tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre. Considerando che la forza che attira un corpo verso il centro della Terra, cioè la sua forza-peso mg, non è altro che la forza di gravità che tale corpo e il pianeta esercitano l’uno sull’altro reciprocamente, vediamo che: Fp = mg

Figura 10. L’attrazione gravitazionale fra la Terra e un oggetto posto in prossimità della sua superficie dipende dalla distanza tra l’oggetto e il centro della Terra. Se la quota h è piccola possiamo trascurarla.

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Fp =

GM Tm ( R T + h )2

dove h è l’altezza dell’oggetto dal suolo e si può trascurare se esso non si allontana troppo dalla superficie, in quanto il raggio terrestre RT è dell’ordine delle migliaia di kilometri (figura 10).

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Confrontiamo le due equazioni e vediamo che, trascurando h e semplificando m, che compare in entrambi i membri, si ha: g?

GM T RT2

(12.3)

Quella che abbiamo chiamato accelerazione di gravità dipende dalla massa del pianeta e dall’inverso del quadrato del suo raggio. Di conseguenza, come abbiamo visto nel capitolo 7 senza darne una spiegazione completa, la forza-peso è diversa su pianeti diversi.

Interazione a distanza Osserviamo che l’interazione gravitazionale agisce a distanza, cioè anche fra oggetti che non sono in contatto. Il Sole e la Terra, per esempio, interagiscono a 150 milioni di kilometri. Questo fatto creava perplessità concettuali allo stesso Newton, ma qualsiasi calcolo si facesse con la legge di gravitazione universale essa funzionava molto bene, per cui fu accettata e utilizzata con successo per moltissimo tempo. Solo nel XX secolo il fisico tedesco Albert Einstein propose una diversa teoria della gravitazione, in cui la questione dell’azione a distanza veniva risolta.

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PROVE SPERIMENTALI

La fisica è una scienza sperimentale, pertanto anche una bella teoria, come quella della gravitazione, non ha valore scientifico se la realtà non si comporta secondo le sue previsioni. Una delle prime prove della validità della legge di gravitazione universale sta proprio nel suo uso combinato con la legge di Newton per lo studio della caduta dei gravi e per lo studio del moto dei pianeti e dei satelliti. In altre parole la legge di gravitazione universale deve essere in grado di riprodurre il moto di un oggetto che cade, secondo la legge trovata da Galileo, e di riprodurre il comportamento dei pianeti intorno al Sole o dei satelliti intorno ai pianeti, secondo le leggi di Keplero. Per quanto riguarda il moto di un grave, abbiamo visto nel precedente paragrafo che la legge di gravitazione riproduce esattamente il valore dell’accelerazione di gravità, usata con successo in diverse situazioni. Anche le leggi di Keplero possono essere riprodotte in modo soddisfacente utilizzando l’espressione di Newton per la forza di gravità.

SIMULAZIONE Gravità e orbite (PhET, University of Colorado)

Prima legge di Keplero e gravitazione Per verificare la compatibilità di orbite ellittiche con la legge di Newton e la forza di gravità bisogna combinare le due formule (9.1) e (12.2)  F ⫽ ma   GMm  F ⫽ r2

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in cui una massa M è molto maggiore dell’altra, m, in modo da poter trascurare l’accelerazione corrispondente, esattamente come avviene nel caso dei pianeti e del Sole. Risolvendo il sistema si ottiene un’espressione per l’accelerazione che consente di scrivere una legge oraria e quindi di studiare la traiettoria. Noi non svolgeremo la trattazione matematica, ma passeremo direttamente a una descrizione qualitativa del risultato (figura 11). La legge di Newton e la legge di gravitazione universale portano alla previsione di tre tipi di orbita: s un’iperbole (aperta); s una parabola (aperta); s un’ellisse (chiusa). L’ellisse si riduce a una circonferenza se i due fuochi coincidono.

Terra ellisse

Figura 11. Orbita chiusa ellittica, orbita aperta parabolica, orbita aperta iperbolica.

parabola iperbole

Seconda legge di Keplero e gravitazione Se trascuriamo gli altri corpi, il sistema formato dal Sole e da un pianeta non è soggetto a forze esterne in quanto l’interazione gravitazionale è esercitata internamente e reciprocamente tra i due corpi. In tali condizioni il momento angolare si conserva. Vediamo ora che, nel caso particolare del moto circolare uniforme, il momento angolare di un pianeta rispetto al Sole è proporzionale all’area spazzata dal raggio vettore che individua il pianeta nel sistema di riferimento del Sole (figura 12). →

L Figura 12. Il momento angolare è proporzionale, attraverso la massa, all’area spazzata dal vettore posizione rispetto a un punto fisso.

→ ⌬A 冷L 冷 ⫽ 2 m⫺ ⫺⫺ ⌬t

⌬A O

→

r

⌬s m

Ricordiamo infatti che in questo caso la formula per il momento angolare è la (11.7): L⫽rmv

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e anche che v ⫽ ∆s/∆t (formula (3.1)). Si ha: L?

rm∆ s mr ∆ s ? ∆t ∆t

1 In analogia con l’area del triangolo, si può dimostrare che ∆A ⫽ ∆s ⋅ r, 2 per cui: 2 m∆ A mr ∆ s ? ∆t ∆t cioè ∆A L ? ∆t 2m In questo senso: la seconda legge di Newton è una diretta conseguenza della conservazione del momento angolare.

ESEMPIO ¢ Quanto vale l’area spazzata in un secondo dal vettore posizione della Terra rispetto al Sole? La massa della Terra è MT ⫽ 6,0 ⫻ 1024 kg e la velocità lungo l’orbita è circa vT ⫽ 3,0 ⫻ 104 m/s. Terra Sole

SOLUZIONE Ricordando che il momento angolare della terra rispetto al Sole è L ⫽ r m v ⫽ 2,7 ⫻ 1040 kg m2/s dividiamo questo valore per la massa della Terra e troviamo: ( 2, 7 × 10 40 kg m 2 /s ) ∆A L = = = 2, 3 × 1015 m 2 /s ( 2 × 6, 0 × 10 24 kg ) ∆t 2m Cioè in ogni secondo il vettore posizione della Terra rispetto al Sole spazza un settore circolare di area pari a 2,15 ⫻ 1015 m2. DOMANDA Nell’approssimazione di orbita circolare, si può calcolare l’area spazzata dal raggio vettore di un pianeta in un secondo, conoscendo il raggio e il periodo di rivoluzione. Come?

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LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Terza legge di Keplero e gravitazione Approssimiamo per semplicità l’ellisse con una circonferenza, e quindi il semiasse maggiore a con il raggio r. In tale condizione il moto è circolare uniforme, perché comunque soddisfa la seconda legge di Keplero, e le aree spazzate in tempi uguali sono uguali. La forza di gravità è una forza centripeta, cioè diretta verso il centro (figura 13), per cui: →

F ? ma ?

v

m →

a

O

mv 2 R

Il periodo di rivoluzione T, cioè il tempo impiegato a fare un giro completo, per la velocità uniforme v è uguale alla lunghezza della circonferenza 2πR: vT ⫽ 2πR cioè

r

v?

Figura 13. Nel moto circolare uniforme l’accelerazione ha solo la componente centripeta.

2πR T

Quindi: F?

m ( 2 π )2 R 2 m ( 2 π )2 R ? T 2R T2

Uguagliamo la legge di Newton (formula (9.1)) alla legge di gravitazione universale (formula (12.2)), dove M è la massa del Sole: GMm R2 m( 2π )2 R GMm ? T2 R2 F?

Dividendo per m entrambi i membri e riorganizzando i termini dell’uguaglianza si ha: T2 ( 2 π )2 ? R3 GM Al secondo membro abbiamo tutte grandezze costanti e al primo membro abbiamo l’espressione della terza legge di Keplero per il caso di orbite circolari. Con qualche calcolo in più si può dimostrare anche il caso delle orbite ellittiche, quindi: la terza legge di Keplero può essere spiegata mediante la legge di gravitazione universale e la legge di Newton.

La misura di G La costante G è molto piccola, per cui l’attrazione gravitazionale tra corpi di massa piccola sfugge all’osservazione sulla Terra, dove gli attriti superano di gran lunga il suo valore. Una misura in laboratorio di tale costante, con le

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masse che abbiamo a disposizione intorno a noi, appare quasi impensabile. Eppure ci riuscì lo scienziato inglese Henry Cavendish, nel 1798. Egli usò una bilancia di torsione, uno strumento in grado di rilevare impercettibili rotazioni di un filo soggetto a un momento torcente. Lo schema dell’apparato sperimentale è illustrato in figura 14. Due masse uguali m sono attaccate alle estremità di un manubrio orizzontale, sospeso sul suo baricentro a un filo. Alle masse m vengono avvicinate altre due masse molto più grandi M, in modo che la reciproca attrazione crei una coppia sul manubrio: dall’angolo di torsione si può risalire al valore di quest’ultima e quindi delle forze.

12

Figura 14. La bilancia di torsione usata da Cavendish per misurare la forza di attrazione gravitazionale tra i corpi; l’angolo di rotazione del manubrio dipende dall’intensità delle forze gravitazionali tra le masse m ed M.

University of Minnesota

M O

m

␪ O

m

M

M

␪

m

m M

Cavendish con il suo esperimento ottenne un risultato di grandissima precisione e con esso poté dare una stima molto accurata della densità della Terra, allora sconosciuta.

4

UNA LEGGE FISICA UNIVERSALE

Come si muove un corpo soggetto solo alla forza di gravità? Per rispondere a questa domanda dobbiamo trascurare tutti gli attriti e utilizzare la legge di gravitazione universale e la legge di Newton, come abbiamo fatto per derivare le tre leggi di Keplero e la legge della caduta dei gravi. Qui vogliamo mettere a fuoco la questione della traiettoria di un corpo soggetto a gravità nel caso più generale, per poter raccordare quanto studiato finora e inquadrare la legge di gravitazione universale nel contesto di ciò abbiamo chiamato «metodo della fisica». Il percorso che porta alla legge di gravitazione universale parte dall’osservazione: i dati astronomici di Tycho Brahe hanno consentito a Keplero di trovare al loro interno delle regolarità matematiche, sintetizzate nelle tre leggi empiriche (cioè basate sull’osservazione) che portano il suo nome; a partire da queste, Newton ha successivamente elaborato una legge fisica universale che individua contemporaneamente la causa dei moti dei pianeti intorno al Sole e dei gravi che cadono sulla Terra. Una legge fisica universale unifica in un’unica formula fenomeni apparentemente diversi. In questo senso la legge di gravitazione ha l’attributo di «universale»: essa infatti differisce sostanzialmente dalle leggi empiriche, che si riferiscono a fenomeni specifici, in quanto fornisce una struttura teorica che sottostà a una molteplicità di situazioni. Questa legge, usata in combinazione con i

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12 Figura 15. Galileo aveva osservato la Luna con il telescopio e aveva disegnato ciò che aveva visto: il nostro satellite non è che un grosso sasso e come tale soggetto a cadere, come tutti gli altri sassi che stanno sulla Terra. Perché la Luna non cade è spiegato dalla legge di gravitazione universale.

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principi della dinamica, riesce a riprodurre fedelmente il comportamento degli oggetti che si muovono in presenza di attrazione gravitazionale, siano essi mele che cadono dagli alberi o proiettili, satelliti o pianeti (figura 15). I principi della dinamica sono il ponte che collega la legge di gravitazione alle leggi di Keplero e alla legge della caduta dei gravi (tabella 1): s le leggi empiriche di Keplero e del moto dei gravi sulla Terra descrivono matematicamente il moto dei corpi in alcuni casi particolari; s i principi della dinamica collegano il moto alle sue cause, cioè alle forze; s la legge di gravitazione universale fornisce una formula matematica per tali cause, cioè per la forza di gravità.

University of Minnesota

La misura della costante di gravitazione universale G effettuata da Cavendish ha infine fornito una prova sperimentale diretta della validità della legge: effettivamente gli oggetti si attraggono fra loro in misura direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato delle loro distanze. LEGGI

Leggi di Keplero Tabella 1. Leggi e principi per lo studio dei fenomeni gravitazionali.

CHE COSA FANNO Descrivono il moto dei pianeti con formule matematiche

Individua le cause fisiche Legge del moto di tutti i corpi di gravitazione soggetti alla reciproca universale attrazione gravitazionale

Prima legge: descrizione geometrica Seconda e terza legge: descrizione spazio-temporale F=

Gm1m2

r2 Forza reciproca tra corpi materiali

PRINCIPI I principi della dinamica legano il moto alle sue cause e consentono di spiegare le leggi di Keplero con la legge di gravitazione universale

Moto e gravitazione Ora che sappiamo che è la forza di gravità la causa del particolare moto dei proiettili e dei satelliti, proviamo a unificare le cose con uno sguardo d’insieme. Poniamoci da un punto di vista particolare, nel quale la Terra appare come una grossa sfera che interagisce con tutti i corpi che le stanno intorno. Se questi sono sufficientemente piccoli, possiamo anche dire che la Terra attira a sé tutti i corpi che le stanno intorno e li accelera secondo la legge di Newton:  F ⫽ ma   GMm  F ⫽ r2 dove r in questo caso è la distanza dal centro della Terra. Facciamo ora un esperimento concettuale, immaginando di prendere un sasso, di porlo a una certa altezza h dalla superficie e di lasciarlo cadere con velocità iniziale nulla: la sua traiettoria è un segmento. Se abbandonia-

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mo l’approssimazione che h sia trascurabile rispetto al raggio della Terra RT, l’accelerazione non è costante ma aumenta via via che il sasso si avvicina alla superficie. F = ma F=

GM Tm ( R T + h )2

a=

GM T ( R T + h )2

Continuiamo il nostro esperimento concettuale, lanciando il sasso con una → certa velocità orizzontale v , che immaginiamo di far aumentare gradualmente. Si dimostra che quando l’accelerazione cambia con la quota, secondo la formula precedente, la traiettoria è un’ellisse: la curva non si chiude perché il sasso incontra la superficie terrestre (figura 16). v⫽ 0

v ⬍ vc Figura 16. Se la velocità iniziale è nulla, il sasso segue una traiettoria rettilinea; se la velocità orizzontale aumenta gradualmente, le traiettorie sono ellissi che intersecano la superficie terrestre.

Arrivati a un certo valore della velocità, che chiamiamo vc, la traiettoria diventa una circonferenza, cioè un’ellisse in cui i fuochi coincidono. Continuiamo ad aumentare la velocità e ritroviamo le ellissi (figura 17). v ⫽ vc

vc ⬍ v ⬍ vf

Figura 17. C’è un valore della velocità per il quale le orbite introno alla Terra sono circolari; la circonferenza è un’ellisse i cui fuochi coincidono. Figura 18. Alla velocità di fuga le orbite sono parabole, cioè curve aperte: il sasso si allontana dalla Terra e continua il suo moto verso lo spazio; a velocità superiori le orbite sono iperboli.

Arrivati alla cosiddetta «velocità di fuga» vf, la traiettoria diventa una parabola: il sasso si allontana dalla Terra su una traiettoria aperta. Per velocità maggiori della velocità di fuga le traiettorie sono delle iperboli, anche esse aperte (figura 18).

v ⫽ vF

v ⬎ vF

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LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Il valore della velocità di fuga dipende dalla massa del pianeta: più è elevata, maggiore è l’attrazione gravitazionale che esercita sui corpi e maggiore è l’energia cinetica che essi devono possedere per riuscire a sfuggirgli. Possiamo capire questo fatto se ricordiamo che la forza di gravità diminuisce con l’altezza: quando lanciamo un sasso verso l’alto con una certa energia cinetica, la forza di gravità rallenta il suo moto fino a fermarlo; a questo punto il moto si inverte e la forza di gravità accelera il sasso fino a farlo arrivare al suolo con la stessa energia cinetica del lancio. In altre parole, l’energia potenziale «consuma» l’energia cinetica fino ad azzerarla, per poi «restituirla» nella fase di discesa. Possiamo però pensare di fornire al sasso un’energia cinetica tale che l’attrazione di gravità, che diminuisce con la quota, non arrivi mai ad azzerarla completamente: in tal caso l’energia potenziale non riesce a «consumare» tutta l’energia cinetica e il sasso riesce a vincere l’attrazione terrestre. Il valore della velocità per il quale ciò avviene è appunto detto «velocità di fuga». VELOCITÀ Tabella 2. Traiettorie di un corpo soggetto all’attrazione gravitazionale di un pianeta.

v⫽0

v ⬍ vf

v ⫽ vf

v ⬎ vf

segmento

ellisse

parabola

iperbole

traiettoria

Uno degli aspetti da considerare per la presenza di atmosfera su un pianeta è il valore della velocità di fuga. I gas riscaldati dal Sole acquistano un’energia che potrebbe essere sufficiente ad allontanarsi dalla superficie del pianeta. I pianeti più lontani dal Sole o più densi trattengono l’atmosfera più facilmente. Sulla superficie terrestre la velocità di fuga vale circa 11,2 km/s; sulla Luna vale invece 2,38 km/s. A parità di distanza dal Sole, la debole attrazione gravitazionale della Luna sulla sua superficie non ha consentito il mantenimento di un’atmosfera. DOMANDA Quali pianeti del Sistema Solare sono privi o quasi di atmosfera? Fai una ricerca e compila una tabella in cui la presenza o l’assenza di atmosfera siano in relazione con la distanza dal Sole e la velocità di fuga dalla superficie.

362

NASA

ESEMPIO

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

Il moto dei gravi in pratica Per analizzare il caso generale del moto in presenza di gravità non abbiamo potuto trascurare la quota h rispetto al raggio della Terra RT, e quindi non abbiamo potuto considerare costante l’accelerazione di gravità. Nella pratica, tuttavia, non conviene ragionare in questo modo, perché non ci allontaniamo mai molto dalla superficie terrestre e possiamo considerare i moti come uniformemente accelerati e usare il valore g ⫽ 9,8 m/s2 come accelerazione di gravità. In tale approssimazione il moto di un proiettile lanciato con velocità orizzontale inferiore alla velocità di fuga non è ellittico ma parabolico, come abbiamo già visto nel capitolo 6.

ESEMPIO L’accelerazione di gravità è solo approssimativamente costante. Essa infatti cambia da punto a punto della superficie terrestre per diversi 艎 motivi: la forma non perfettamente sferica della Terra, la sua densità non omogenea, la forza centrifuga dovuta alla rotazione che cresce procedendo verso l’equatore. T Forniamo qui, senza dimostrazione, una formula che permette di misurare l’accelerazione di gravità con un pendolo semplice, cioè con una massa che oscilla attaccata a un filo. Per piccoli spostamenti dalla verticale, il periodo di oscillazione T di un pendolo di lunghezza l (cioè il tempo impiegato a compiere un’oscillazione completa avanti e indietro) è infatti approssimativamente uguale a:

b

T ? 2π

g

cioè g ? ( 2 π )2

b T2

Per un’accelerazione di gravità pari a 9,8 m/s2 un pendolo di un metro «batte il secondo», cioè compie un’oscillazione completa avanti e indietro ogni due secondi: T ? 2π

b g

? 2π

1m 9, 8 m/s2

?2s

DOMANDA Quanto varrebbe l’accelerazione di gravità se il periodo di un pendolo lungo un metro fosse quattro secondi?

363

12

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

5

GRAVITAZIONE E UNIVERSO

Se escludiamo il fatto che siamo tutti attratti dal centro della Terra, per poter osservare l’interazione gravitazionale dobbiamo andare nello spazio; infatti gli oggetti con cui abbiamo a che fare quotidianamente hanno masse troppo piccole per poter apprezzare gli effetti della loro gravità su ciò che li circonda. Pianeti, stelle, galassie: è la forza di gravità che agisce e modella l’Universo nelle sue spettacolari strutture. L’interazione gravitazionale tiene insieme la materia nell’Universo.

Nebulose Figura 19. La nebulosa Aquila.

Nello spazio tra le stelle ci sono tracce di polveri e gas che, nonostante le loro ridotte dimensioni, risentono della reciproca attrazione gravitazionale, perché non c’è l’attrito a contrastare il loro moto di avvicinamento. Tale materiale si addensa fino a formare vere e proprie nubi interstellari, dette nebulose (figura 19). È la forza di gravità che tiene insieme le nebulose e impedisce alla materia di disperdersi.

Stelle e pianeti

NASA, Jeff Hester, and Paul Scowen

Più la materia si addensa più attira la materia circostante: le stelle iniziano a formarsi proprio in questo modo (figura 20). La grande energia e le altisime temperature in gioco consentono alle stelle di «accendersi», innescando le reazioni nucleari che le fanno risplendere nel cielo notturno.

NASA, Dana Berry

Figura 20. Intorno alla stella Beta Pictoris (qui in una riproduzione artistica) è stato individuato un grosso pianeta in orbita; inoltre la stella è circondata da un disco di materiale dal quale potrebbero avere origine altri pianeti.

A volte intorno alle stelle si addensano i pianeti. La forma sferica dei pianeti dipende dall’attrazione gravitazionale diretta verso il centro di massa del sistema.

364

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

Galassie

NASA, ESA, and The Hubble Heritage Team STScI/AURA)

Le stelle, i pianeti e altro materiale interstellare si presentano raggruppati in galassie (figura 21). Le galassie sono tenute insieme dall’attrazione gravitazionale delle sue componenti, che ruotano insieme intorno al centro di massa. Il nostro Sole occupa una posizione periferica della galassia chiamata «Via Lattea», che conta almeno 200 miliardi di stelle: dunque la Terra non è il centro dell’Universo e il Sole non è nemmeno il centro della nostra galassia!

Figura 21. La galassia spirale NGC 1232.

Altre strutture a grande scala SDSS

Anche le galassie si attraggono a vicenda e, viste da lontano, appaiono raggruppate a loro volta in strutture chiamate ammassi di galassie. La Via Lattea appartiene al cosiddetto «gruppo locale», insieme a un’altra cinquantina di galassie. A sua volta il gruppo locale fa parte del «superammasso» della Vergine: un centinaio di ammassi di galassie che tendono a stare «vicini» per reciproca attrazione gravitazionale. I superammassi sono le strutture più grandi che si conoscono, insieme ai filamenti di galassie che li collegano tra loro, fino a formare un’unica entità che avvolge ampi spazi vuoti (figura 22): l’Universo non è dunque omogeneo, ma si presenta come una grossa «spugna» in cui la materia si raggruppa come conseguenza dell’interazione gravitazionale.

Figura 22. L’Universo non è omogeneo: raggruppamenti di materia si alternano a grossi buchi.

365

12

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

ASTRONOMIA Il cielo a occhio nudo

Pianeta o stella?

Rick Whitacre

Se potessimo spegnere tutte le luci che illuminano le nostre notti terrestri, come d’incanto si accenderebbe il cielo. Sopra le nostre teste vedremmo moltissime stelle brillare nel nero profondo e, tra esse, vedremmo brillare i pianeti del nostro Sistema Solare. Tale doveva essere il cielo degli antichi, che avevano imparato a distinguere un puntino luminoso dall’altro, anche da prima che esistessero i telescopi. Sin dall’antichità sono infatti noti i cinque pianeti visibili anche a occhio nudo: Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno. Vicino ai centri urbani, o comunque nelle aree abitate della Terra, solo gli oggetti più grandi e luminosi riescono a raggiungere la nostra vista, ma c’è ancora qualche angolo di mondo dove la notte è buia e il cielo appare immenso.

È molto probabile che, alzando gli occhi al cielo, il puntino più luminoso che scorgiamo sia un pianeta e non una stella. I pianeti infatti, anche se brillano di luce solare riflessa, sono molto più vicini a noi e ci appaiono molto più luminosi; inoltre la loro luce non è tremula come quella delle stelle. Un altro criterio di distinzione riguarda il moto: relativamente a un osservatore terrestre, le stelle si muovono «tutte insieme», e la distanza relativa tra l’una e l’altra non cambia; i pianeti invece si muovono in modo indipendente e la loro posizione rispetto a una stella qualsiasi cambia visibilmente nell’arco di una notte. Ancora: i pianeti ruotano intorno al Sole su orbite che giacciono più o meno sullo stesso piano (l’eclittica), per cui dalla Terra essi appaiono muoversi in una stretta fascia, che è il percorso apparente del Sole nel corso dell’anno. La fascia che i pianeti attraversano nel corso dell’anno è il cosiddetto «zodiaco», nel quale la fantasia degli esseri umani ha intravisto dodici figure mitologiche, grossomodo una per ogni mese.

Tauolunga

Il fatto che le orbite dei pianeti si trovano all’incirca sullo stesso piano (eclittica) corrisponde al fatto che dalla Terra li vediamo muoversi in una stretta fascia, detta zodiaco. Gli uomini hanno unito con linee immaginarie stelle anche molto lontane tra loro fino a individuare un gruppo di dodici figure.

DOMANDA Per un osservatore terrestre la distanza relativa tra le stelle non cambia mai ed esse, nell’emisfero settentrionale, ruotano rigidamente intorno alla stella polare. Perché? Spiegalo in 10 righe.

366

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

ASTRONOMIA Urano, Nettuno e Plutone Urano Da Mercurio a Saturno, i pianeti noti fin dai tempi dell’antichità sono visibili e facilmente riconoscibili anche a occhio nudo. Urano invece, pur essendo visibile, è poco luminoso e molto lento, per cui è stato a lungo scambiato per una stella. Nessuno, in fondo, immaginava che potessero esistere altri pianeti oltre a quelli conosciuti e quindi nessuno ne cercava. Quasi per caso il musicista inglese William Herschel, che aveva una passione per l’astronomia e si era costruito un telescopio, scoprì una strana «stella» che sembrava muoversi nel cielo. Era il 13 marzo 1781 ed egli annotò il fatto sul suo diario. Circa un mese più tardi pubblicò i risultati delle sue osservazioni, comunicando di aver scoperto una cometa. Non fu semplice per la comunità scientifica accorgersi che in realtà si trattava di un pianeta: Urano. Urano si trova a circa 3 miliardi di kilometri dal Sole, cioè circa venti volte più lontano della Terra. Con il suo diametro equatoriale di circa 51 000 km è classificato come «gigante gassoso». Il suo colore azzurro-verde è dovuto a una densa atmosfera di idrogeno ed elio, con rilevanti quantità di acqua, ammoniaca e metano.

Urano attirò l’attenzione di molti astronomi. Dopo essere sfuggito per millenni alle osservazioni, era stato finalmente individuato e ora andava studiato il suo moto, attraverso osservazioni sempre più precise e scrupolose. Emerse subito un problema: i dati sperimentali non corrispondevano alle previsioni teoriche del moto, calcolate con la teoria di Newton. Infatti la teoria prevedeva posizioni nel tempo diverse da quelle realmente osservate. C’era una grande fiducia nella legge della gravitazione universale e nei principi della dinamica, per cui si pensò di risolvere il problema ipotizzando la presenza di un ulteriore pianeta che perturbasse il moto di Urano. Indipendentemente l’uno dall’altro, i matematici John Couch Adams, nel 1843, e Urbain Le Verrier, nel 1846, Nettuno è il più lontano calcolarono la possibile posizione del presunto pianeta. Più tardi, il 23 settembre pianeta del sistema solare. 1846, l’astronomo Johann Gottfried Galle trovò Nettuno, a circa un grado dalla posizione indicata da Le Verrier e a dodici gradi da quella indicata da Adams. Il diametro equatoriale di Nettuno è di circa 50 000 km, ed esso è pertanto il quarto pianeta, per dimensioni, dopo Giove, Saturno e Urano. Un pianeta molto grande, dunque, ma anche molto lontano (circa 30 volte più lontano dal Sole rispetto alla Terra), al punto da essere quasi invisibile alle osservazioni.

Plutone, pianeta nano Trovato Nettuno, i conti continuavano a non tornare: una piccola discrepanza fra teoria e osservazioni fece pensare a un altro pianeta. Fu però solo un caso che Plutone si trovasse a passare di lì quando, il 18 febbraio del 1930, fu avvistato esattamente dove i calcoli teorici avevano previsto. Plutone è infatti troppo piccolo per modificare significativamente il moto di Urano e Nettuno: la discrepanza era dovuta a un’errata stima della loro massa, scoperta grazie ai dati della sonda Voyager 2. Plutone è più piccolo della nostra Luna e ha un’orbita molto eccentrica. Inizialmente era considerato un pianeta, ma oggi non ha più questa denominazione.

Terra Luna

3476 km

Plutone

Caronte

2290 km

1270 km

12 756 km Plutone ha un compagno: insieme al suo relativamente grande «satellite» Caronte forma un sistema binario che ruota intorno al comune centro di massa.

DOMANDA Come si spiega il fatto che i corpi più lontani dal Sole si muovono più lentamente di quelli più vicini? Raccogli i dati relativi ai periodi orbitali dei pianeti e rispondi in 10 righe usando le leggi che conosci.

367

NASA/JPL/Voyager mission

Nettuno

12

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

CON GLI OCCHI DI UN FISICO Storie di viaggi sulla Luna La storia vera

Astolfo sulla Luna

L’uomo fantasticava di andare sulla Luna da più tempo di quanto non si pensi: ne abbiamo una testimonianza nel racconto fantastico La storia vera, scritto da Luciano di Samosata nel II secolo. Un gruppo di uomini, spinti dalla sete di nuove conoscenze, decidono di navigare oltre le colonne d’Ercole, il confine del mondo sconosciuto. Dopo mesi di navigazione e alterne vicende, un tifone solleva la nave e la trascina per sette giorni e sette notti, fino a una grande isola di forma sferica. Questa – dice loro il re dell’isola – è quella terra che voi vedete di laggiù e chiamate Luna, e li invita combattere al suo fianco contro il re del Sole per il possesso di una colonia, in cambio di onori e ricchezze. Gli uomini accettano, ma perdono la guerra e vengono fatti prigionieri dal nemico. E da qui nuove fantasiose avventure. All’epoca non era assurdo ipotizzare che tra cielo e Terra non ci fosse soluzione di continuità: la Luna era vista come un pianeta del tutto simile al nostro, raggiungibile addirittura con una comune imbarcazione a vela.

È Ludovco Ariosto che, nella prima metà del XVI secolo, ci racconta di un altro mirabolante viaggio sulla Luna: Astolfo, paladino di Carlo Magno, vi si reca per recuperare il senno di Orlando, impazzito per amore. La Luna è il luogo dove vanno a finire tutte le cose che si perdono in Terra, ciò che si perde qui, là si raguna, dalla fama che il tempo divora al tempo inutile speso al gioco, dai desideri vani al senno degli uomini. Astolfo raggiunge la Luna attraversando la sfera del fuoco con il biblico carro di Elia, accompagnato da san Giovanni Evangelista: il Medioevo è passato, ma il cielo è ancora divino.

La Luna.

Gustave Doré, Astolfo e san Giovanni Evangelista in viaggio verso la Luna, 1879.

PAROLA CHIAVE

Interazione gravitazionale

DOMANDA Il carro di Elia dell’illustrazione di Doré sembra procedere in salita dalla Terra alla Luna. Guardando l’immagine con gli occhi di un fisico, quali correzioni potresti apportare?

368

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

Il XVII secolo

Dalla carta alla celluloide

Con Keplero i viaggi sulla Luna acquistano scientificità. Egli scrive il Somnium, in cui divulga in forma di romanzo proto-fantascientifico le idee di Copernico sulla struttura dell’Universo, secondo le quali Terra e Luna sono due corpi astronomici sostanzialmente equivalenti. Il romanzo è corredato di moltissime note in cui lo scienziato spiega la verosimiglianza di quanto narrato. In una di esse affronta la questione del moto apparente: agli occhi degli abitanti della Luna questa apparirebbe immobile, mentre sarebbe la Terra a ruotarle intorno. L’argomento è sempre più in voga e nel 1649 tocca a Savinien Cyrano de Bergerac raggiungere il nostro satellite con un’altra storia fantastica: L’altro mondo o Gli stati e gli imperi della Luna. Il protagonista del viaggio viene proiettato verso la Luna da un vero e proprio ordigno a reazione. A circa tre quarti del cammino inizia a sentirsi cadere a piedi all’insù: a un certo punto, cioè, smette di sollevarsi dalla Terra e inizia a cadere sulla Luna.

La Luna ha continuato a popolare la fantasia e i romanzi degli uomini, fino a diventare nel 1902 la protagonista di uno dei primi film della storia del cinema: Viaggio nella Luna di George Méliès. Dopo questo, molti altri film di fantascienza hanno avuto per protagonisti più o meno ragionevoli viaggi verso la Luna. In 2001: Odissea nello spazio, di Stanley Kubrik, la Luna è la sede di una base lunare stabilmente abitata da esseri umani: l’uomo non ha più bisogno di fare salti mortali per raggiungere il suo satellite. Il film di Kubrik è datato 1968; appena un anno dopo il sogno di sempre si trasforma in realtà, con la missione Apollo 11 e la prima vera impronta umana sulla Luna.

Jules Verne scrive Dalla Terra alla Luna. Tragitto diretto in 97 ore e 20 minuti nel 1865.

Una celebre immagine del film di Méliès.

PAROLA CHIAVE

Legge fisica universale

DOMANDA Cyrano de Bergerac cade sul suolo lunare come una mela; diversamente accade in Dalla Terra alla Luna di Jules Verne, dove un razzo viene sparato verso la Luna ma, invece di raggiungere la sua superficie, entra in orbita intorno ad essa. ¢ Può una stessa legge fisica spiegare due fatti tanto diversi? Argomenta la risposta in 10 righe.

L’impronta di Neil Armstrong sul suolo lunare (1969).

PAROLA CHIAVE

Massa gravitazionale

DOMANDA Perché, posto che il terreno sia lo stesso, la stessa persona lascia un’impronta più profonda sulla Terra che sulla Luna?

369

MAPPA DEI CONCETTI osservazioni – dati– leggi empiriche

DESCRIZIONE MATEMATICA DEL MOTO DEI PIANETI INTORNO AL SOLE

Prima legge:

LEGGI DI KEPLERO i pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche.

Seconda legge: il raggio vettore di ogni pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. T2 Terza legge: == costante per tutti i pianeti. a3 m1

m2 r

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE LEGGE FISICA UNIVERSALE F =G

m1 m2 r2

unifica in un’unica formula fenomeni apparentemente diversi

INTERAZIONE GRAVITAZIONALE

È LA FORZA CON LA QUALE TUTTI I CORPI MATERIALI SI ATTRAGGONO RECIPROCAMENTE

È LA PROPRIETÀ PER LA QUALE I CORPI INTERAGISCONO MEDIANTE LA FORZA DI GRAVITÀ

MASSA GRAVITAZIONALE

è proporzionale alla massa inerziale si misura in kilogrammi

370

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

+ I PRINCIPI DELLA DINAMICA spiegano

IL MOTO DI TUTTI I CORPI SOGGETTI ALLA FORZA DI GRAVITÀ spiegano

spiegano

F =G

IL MOTO DI UN PENDOLO

Mm

LE LEGGI DI KEPLERO

r2

F = ma spiegano

T = 2π

ᐉ g

IL MOTO DEI PROIETTILI

TRASLAZIONE vⴝ0

TRAIETTORIA segmento

v < vfuga

ellisse

v ⴝ vfuga

parabola

v > vfuga

iperbole

L’INTERAZIONE GRAVITAZIONALE TIENE INSIEME LA MATERIA NELL’UNIVERSO

nebulose → stelle e pianeti → galassie → ammassi → superammassi

371

12

12 ESERCIZI 1

20 test (30 minuti)

TEST INTERATTIVI 11 Qual è la differenza tra massa inerziale e massa gra-

LE LEGGI DI KEPLERO

vitazionale?

DOMANDE

12 Perché diciamo che un sasso cade verso il centro

Perché nell’emisfero nord l’inverno dura meno che nell’emisfero sud? Rispondi in 10 righe.

1

2 In che modo l’errore che commettiamo quando ap-

prossimiamo l’orbita di un pianeta intorno al Sole con una circonferenza dipende dall’eccentricità? Rispondi in 5 righe. 3 Su quali basi Keplero ha elaborato le tre leggi sul

della Terra, ma non diciamo che la Terra cade verso il centro del sasso? Rispondi in 5 righe.

CALCOLI 13 Due mele di 102 g ciascuna esercitano una forza

l’una sull’altra. ¢ Quanto vale la forza alla distanza di 1,0 m? [6,9 ⫻ 10–13 N]

moto dei pianeti? 4 «Il prodotto del quadrato del periodo di rivoluzione di

ciascun pianeta intorno al Sole per l’inverso del cubo del suo semiasse maggiore è costante.» Questa affermazione è corretta? Eventualmente correggila.

14 Una scodella di cibo di 250 g esercita una forza su un

gatto di 4,7 kg a una distanza di 20 cm.

CALCOLI 5 Il semiasse maggiore di Plutone è 5,9 ⫻ 109 km e la

sua eccentricità è 0,25. Asasirov / Shutterstock

¢ Quanto sono distanti i fuochi dell’orbita ellittica di Plutone intorno al Sole? ¢ La circonferenza è una buona approssimazione dell’orbita di Plutone? [3,0 ⫻ 109 km]

6 L’eccentricità dell’orbita di Venere è molto piccola,

pari a 0,0068, e la distanza tra i fuochi dell’ellisse che la rappresenta è 7,5 ⫻ 105 km. ¢ Quanto sono distanti afelio e perielio di Venere?

¢ Quanto vale la forza che la scodella esercita sul gatto? ¢ E quanto vale la forza che il gatto esercita sulla scodella?

[1,1 ⫻ 108 km]

[2,0 ⫻ 10–9 N; 2,0 ⫻ 10–9 N]

7 Calcola il semiasse maggiore dell’orbita di Saturno

15 Qual è il rapporto tra la forza di attrazione gravitazio-

sapendo che un anno su Saturno dura 29,5 anni terrestri. [1,4 ⫻ 109 km]

8 Calcola il periodo di rivoluzione di Marte in anni terre-

stri utilizzando la terza legge di Keplero, sapendo che il semiasse maggiore della sua orbita è 2,3 ⫻ 108 km. [1,9 anni]

2

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

nale fra la Terra e Giove e la forza di attrazione gravitazionale fra la Terra e il Sole quando i tre corpi si trovano in una configurazione come quella in figura, dove rT-S ⫽ 1,5 ⫻ 1011 m e rT-G ⫽ 6,3 ⫻ 1011 m? Approssimiamo le masse della Terra, del Sole e di Giove rispettivamente a MT ⫽ 6,0 ⫻ 1024 kg, MS ⫽ 2,0 ⫻ 1030 kg e MG ⫽ 1,9 ⫻ 1027 kg. S

G

T

DOMANDE 9 In quale misura cambia la forza gravitazionale di at-

trazione reciproca di due masse se la loro distanza raddoppia? 10 In quale misura cambia la forza gravitazionale di at-

trazione reciproca di due masse se una di esse raddoppia?

372

r T-S

r T-G

¢ È possibile disegnare in scala i vettori che rappresentano tali forze su un foglio di quaderno? Motiva la risposta in 5 righe. [5,4 ⫻ 10–5]

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

grandezza dell’attrazione fra Mercurio e il Sole al perielio, con l’ordine di grandezza della forza centrifuga che agisce su Mercurio in quella posizione.

16 Quanto varrebbe l’accelerazione di gravità sulla

superficie della Luna se la sua massa fosse uguale a quella della Terra? (MT ⫽ 5,97 ⫻ 1024 kg; RL ⫽ 1738 km)

[1022 N e 1022 N]

[132 m/s2]

17 Calcola l’accelerazione di gravità sulla superficie di

Marte, sapendo che il suo raggio è 3,4 ⫻ 103 km e la sua massa è 6,4 ⫻ 1023 kg. [3,7 m/s2]

3

4

UNA LEGGE UNIVERSALE

DOMANDE 25 È corretto affermare che gli oggetti possono allonta-

PROVE SPERIMENTALI

narsi indefinitamente dalla Terra perché la forza con cui sono attratti verso il suo centro diminuisce all’aumentare della distanza da esso? Motiva la risposta in 5 righe.

DOMANDE 18 In che modo possiamo ricavare l’espressone mate-

matica che fornisce la traiettoria dei pianeti intorno al Sole? 19 Quale forma ha la traiettoria di un satellite intorno a

un pianeta?

26 Approssimando come costante l’accelerazione di

gravità, in che modo cambia l’espressione matematica della traiettoria dei proiettili, in prossimità della superficie terrestre? Rispondi in 5 righe. 27 Quale traiettoria segue un proiettile lanciato con una

20 Perché la misura della costante di gravitazione uni-

versale G da parte di Cavendish ha permesso di fare la prima stima accurata della densità della Terra? Rispondi in 5 righe.

CALCOLI

velocità superiore alla velocità di fuga? 28 Un orologio a pendolo va avanti di un minuto ogni

ora. Per correggere l’errore dobbiamo allungare o accorciare il pendolo? 29 Un pendolo che sulla Terra ha un periodo T, su Giove

21 Approssimando l’orbita di Venere con una circonfe-

renza di raggio 1,1 ⫻ 1011 m, percorsa alla velocità costante di 3,5 ⫻ 104 m/s, calcola il modulo dell’accelerazione centripeta del pianeta. [1,1 ⫻ 10–2 m/s2]

22 In riferimento alle approssimazioni dell’esercizio 21,

una forza centrifuga agisce su Venere nel sistema di riferimento in rotazione uniforme. ¢ Qual è l’ordine di grandezza della forza centrifuga se la massa di Venere è 4,9 ⫻ 1024 kg? ¢ Qual è l’ordine di grandezza della forza di attrazione tra Venere e il Sole? La massa del Sole è 2,0 ⫻ 1030 kg.

CALCOLI 30 Un pendolo di 30 cm oscilla sulla superficie terre-

stre. ¢ Quanto tempo impiega a compiere un’oscillazione completa avanti e indietro? [1,1 s]

31 Vogliamo costruire un pendolo che inverte il suo

moto ogni 4,0 s. ¢ Quanto deve essere lungo il filo? [16 m]

[10 N; 10 N] 22

22

23 La velocità tangenziale di Mercurio quando si trova a

4,6 ⫻ 10 km dal Sole (perielio) è di 59 km/s, mentre quando si trova a 7,0 ⫻ 107 km dal Sole (afelio) è di 39 km/s. 7

¢ Calcola la forza centrifuga che agisce su Mercurio nei due casi, sapendo che la massa di Mercurio è 3,3 ⫻ 1023 kg. [2,5 ⫻ 10 N; 7,2 ⫻ 10 N] 22

ha un periodo maggiore o minore di T?

32 Nanuk e Zwanga vogliono misurare l’accelerazione

di gravità con un pendolo di 450,0 mm. Il primo si trova al Polo Nord e misura un periodo di oscillazione del pendolo di 1,345 s; il secondo si trova all’equatore e misura un periodo di oscillazione di 1,347 s. ¢ Quali valori trovano per l’accelerazione di gravità nei due diversi luoghi? [9,820 m/s2 e 9,791 m/s2]

21

24 Utilizzando i dati dell’esercizio 23 e sapendo che la

massa del Sole è 2,0 ⫻ 1030 kg, confronta l’ordine di

33 Lo stesso pendolo dell’esercizio 32 è usato da Mario

a Roma, con il quale egli trova un’accelerazione di gravità di 9,806 m/s.

373

12 ESERCIZI ¢ Qual è il periodo di oscillazione che misura Mario?

42 Perché la Luna non cade sulla Terra? Rispondi in 10

righe.

¢ In riferimento all’esercizio 32, come spieghi i diversi risultati? Rispondi in 10 righe.

43 Un diario di laboratorio ha delle pagine mancanti. [1,346 s]

5

L’ENERGIA CINETICA

DOMANDE

Nella relazione di un esperimento si legge che uno stesso proiettile, lanciato alla stessa velocità, segue una volta una traiettoria ellittica e un’altra volta una traiettoria iperbolica. Fai delle ipotesi sulle informazioni che mancano. 44 Confronta il momento angolare della Terra rispetto

34 Perché per osservare direttamente i moti dei corpi

che interagiscono per mezzo della forza di gravità facciamo riferimento a oggetti di dimensioni planetarie o maggiori? Rispondi in 5 righe. 35 «La polvere interstellare è composta da granelli trop-

po piccoli per risentire della reciproca attrazione gravitazionale.» Questa affermazione è corretta? Eventualmente correggila. 36 Ti aspetti che il centro di una galassia ruoti più lenta-

mente o più velocemente della sua periferia? Motiva la risposta in 5 righe.

CALCOLI 37 Qual è l’ordine di grandezza della massa della Via

Lattea? Cerca i dati su internet e confrontali con la massa della Terra.

al Sole al perielio e all’afelio. 45 Da che cosa dipende la presenza o meno di atmo-

sfera su un pianeta? Rispondi in 10 righe. 46 Quanto vale la forza di gravità nel centro della Ter-

ra? 47 «Se pratichiamo un foro nella Terra fino al suo centro

e lasciamo cadere un sasso al suo interno, la sua velocità aumenta costantemente.» Questa affermazione è sbagliata, correggila. 48 Un telescopio montato su una sonda spaziale rac-

coglie i dati relativi a un sistema planetario extrasolare. Ti aspetti che valgano le leggi di Keplero? Motiva la risposta in 10 righe, specificando le eventuali modifiche.

38 La massa dell’atomo di idrogeno è dell’ordine di

10–27 kg. Courtesy of Orbital Sciences Corporation

¢ Quanti atomi di idrogeno occorrerebbero per avere una massa pari a quella del Sole? [1057]

39 A volte si dice che Giove sia una «stella mancata»,

perché, se la sua massa fosse circa 70 volte maggiore di quella che ha, il collasso gravitazionale avrebbe innescato le reazioni nucleari che lo avrebbero «acceso» come il Sole. ¢ Calcola il rapporto tra la massa di Giove e la massa del Sole e tra la massa di Giove e la massa della Terra.

49 In un sistema planetario extrasolare ti aspetti che la

costante di gravitazione G abbia lo stesso valore misurato da Cavendish sulla Terra? Motiva la risposta in 5 righe.

ESERCIZI DI RIEPILOGO PROBLEMI

DOMANDE 40 Perché la Terra ha una forma approssimativamente

sferica? Fai un’ipotesi plausibile in un testo di 10 righe. 41 Perché il moto di una cometa può essere spesso

approssimato con un moto rettilineo? Rispondi in 5 righe.

374

50 Calcola la densità della Luna sapendo che il suo rag-

gio è 1738 km e l’accelerazione di gravità sulla sua superficie è 1,6 m/s2. [3,3 ⫻ 103 kg/m3]

51 Approssimando l’orbita con una circonferenza di

raggio 1,1 ⫻ 1011 m, calcola l’area spazzata da Venere

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

12

¢ Qual è il periodo del satellite?

in un secondo. La velocità tangenziale costante di Venere lungo l’orbita è circa 3,5 ⫻ 104 m/s.

¢ Quanto vale l’area spazzata dal raggio vettore del satellite in un secondo?

[1,9 ⫻ 1015 m2/s]

(Suggerimento: utilizza la terza legge di Keplero.)

52 Se ci allontaniamo dalla superficie terrestre il nostro

peso si riduce.

[circa 7 h; 43 ⫻ 109 m2]

¢ A quale altezza si dimezza? Ricorda che il raggio della Terra è 6370 km.

58 A quale altezza si trovano i satelliti geostazionari,

cioè tali che il loro periodo di rotazione intorno alla Terra è uguale a quello della Terra intorno al suo asse, in modo che essi appaiono fermi rispetto a un punto della superficie? (la massa della Terra è 5,97 ⫻ 1024 kg; il suo raggio è 6,38 ⫻ 106 m).

(Suggerimento: imponi la condizione sull’espressione della legge di gravitazione universale.) [2667 km]

53 La distanza tra i fuochi dell’orbita ellittica di Mercurio

intorno al Sole è 2,4 ⫻ 106 km e il suo semiasse maggiore è 5,8 ⫻ 106 km.

(Suggerimento: vedi il problema 57.) [3,58 ⫻ 107 m]

¢ Quanto vale la sua eccentricità? [0,21]

VERSO L’UNIVERSITÀ

54 Su un pianeta sconosciuto di raggio pari a quello

della Terra, ma di massa pari all’80%, un gatto di 5,3 kg viene pesato con un dinamometro di costante elastica 5300 N/m.

1

¢ Di quanto si allunga la molla del dinamometro? [7,8 mm]

Facciamo compiere piccole oscillazioni a un pendolo, costituito da un peso sostenuto da un filo di massa trascurabile. Quando il pendolo si trova alla massima ampiezza di oscillazione tagliamo il filo. Cosa succede al peso? A

un satellite per le telecomunicazioni è il 2,5% di quella che si misurerebbe sulla superficie terrestre.

Descrive una parabola, partendo con una velocità iniziale verso l’alto, tangente alla traiettoria del pendolo quando il filo viene tagliato.

B

Descrive una parabola, partendo con una velocità iniziale in direzione orizzontale.

C

Cade lungo una traiettoria che per i primi istanti coincide con quella che seguirebbe se il filo fosse integro.

D

Cade in verticale, partendo con velocità iniziale nulla.

E

Sale in verticale per un breve tratto sino a fermarsi, per poi iniziare a cadere.

¢ Con quale forza viene attratta una mela di 102 g posta alla stessa distanza dalla superficie terrestre?

NASA

55 La forza subita da

¢ Qual è il valore di tale distanza? [0,025 N; 3,4 ⫻ 104 km]

56 L’orbita di Plutone è lunga circa 3,7 ⫻ 10 km, ha 10

un’eccentricità di 0,25 e viene percorsa in 248 anni terrestri. ¢ Approssima l’orbita con una circonferenza e calcola la velocità tangenziale. ¢ Il moto circolare uniforme è una buona approssimazione nel caso di Plutone? Motiva la risposta in 10 righe. [4,7 ⫻ 103 m/s]

57 Un satellite artificiale descrive un’orbita circolare in-

torno alla Terra a una distanza di 12000 km dalla superficie (la massa della Terra è 5,97 ⫻ 1024 kg; il suo raggio è 6,38 ⫻ 106 m).

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Medicina e Chirurgia 2010/2011) 2 Su un pianeta, che abbia una densità pari a quella

della Terra ma raggio pari solo alla metà di quello terrestre, un corpo che sulla superficie terrestre abbia un peso P, avrà un peso: A

pari alla metà di P.

B

uguale a P.

C

pari al doppio di P.

D

pari a un quarto di P.

E

pari a quattro volte P.

(Dalla prova di ammissione al corso di laurea in Odontoiatria e protesi Dentaria 2010/2011)

375

PHYSICS IN ENGLISH

Maths talk NUMBERS

How to write numbers

■ ■ ■

Numbers can be written as symbols (10) or words (ten). In formal writing use symbols for large amounts and words for everything else. A decimal point is written as a “dot”, not a comma.

▶ ■

example

6.5

six point five

A comma can be used to separate hundreds from thousands, from millions,….

▶

example

3,498,570

s The word “million” can be expressed by the letter “m”.

How to read numbers

■ ■

Numbers after the decimal dot, are read separately. The “zero” before a dot can be read as “nought” or not be read at all.

▶ ■

0.25

(nought/zero) point two five (not twentyfive)

When reading a big number, do not use plural for “million”, “thousand” and “hundred”

▶ ■

example

example

6,200 six thousand two hundred (not thousands, not hundreds)

One difference between British English (BrE) and American English (AmE) is the use of “and” when reading big numbers.

▶

example

5,370 five thousand three hundred and seventy (in BrE, in AmE there is no “and”)

Scientific notation

■

Numbers in scientific notation are written as: a × 10b (“a times ten to the power of b”) The exponent b is an integer, and the coefficient a is any real number called the significant or mantissa.

Expressions

■

In mathematics, an expression is a finite combination of symbols and numbers. sMathematical expressions are calculated, solved or evaluated.

Grouping

■



If there is more than one level in a mathematical expression, brackets can be used in order to group the levels. s( ) left and right (round) brackets (parentheses, in AmE) s[ ] square brackets (brackets, in AmE) s{ } curly brackets (curly braces, in AmE)

▶ ■

example

{(3 − 4) + 7 − 0.5: 2}

open curly, square and round brackets, three minus four, close round brackets, plus seven minus point five, close square brackets, all divided by two, close curly brackets.

Expressions within parentheses are called nested expressions.

376

MATHS TALK

SYMBOLS IN SYMBOLS

IN WORDS

EXAMPLES

+

plus, add

a+b

a plus b

–

minus, take away, substract

a–b

a minus b

±

plus or minus

⫻

times, multiplied by

a⫻b a⭈b

ab, a times b ab, a times b

divided by

a b

a over b, a divided by b in fractions, a is called the numerator and b the denominator

⭈ (dot product) ⫼

... ...

how to read fractions

(vinculum or fraction bar)

1 5 2 7 π , , , , , ... 2 2 3 10 4

one half, five halves, two thirds, seven tenths, pi over four, …

a=b 1⫹2⫽3

a equals b or a is equal to b one plus 2 is (equals) b

=

is equal, equals, is

≈

is approximately equal to

≠

is not equal to

a≠b

a is different from b, a is not equal to b

< > > ≥ ≤

inequality signs

ab a > b a≥b a≤b

a is (strictly) less than b a is (strictly) greater than b a is much less than b a is much greater than b a is greater than or equal to b a is less than or equal to b

%

percent

5%

five percent

square root left (round) bracket

cubed (to the third)

squared

3

2    1 1   3 1  13 (0.25 ⋅ 12) − 1 −  −  −  + + 3.5 = 4   3 6   4 2   point two five curly bracket

square bracket

three fourths one half

right (round) bracket

377

PHYSICS IN ENGLISH

GRAPHS Cartesian plane y-axis

origin

10 8 6 4 2

⫺8⫺6⫺4 ⫺2

ordinates

0 2 4 6 8 10

⫺4 ⫺6 ⫺8 ⫺10

x-axis

In mathematics, the graph of a function f is the collection of all ordered pairs (x, f(x)). Graphing on a Cartesian plane is sometimes referred to as to plot or draw a curve.

abscissas

Main features of the graph of a function y

␲ (⫺, 0) 2

maximum point

x intercept

(␲, 0)

(2␲, 0) x

(0, 0) y intercept minimum point

3␲ (⫺⫺, ⫺1) 2

curve

One curve is a set of points that form or can be joined by a continuous line on a graph. To plot means to place a point on a coordinate plane using its x-coordinate and y-coordinate.

■ Range: the y-coordinates of the set of points on a graph. In the example above, the range is ]0;1[ (zero; one)

■ x-intercept: the point where the graph crosses the x-axis. In the example, there are three x-intercepts, corresponding to x = 0, x = π and x = 2π

■ y-intercept: the value on the x-axis where a graph crosses the y-axis. In the example, the only y-intercept is the origin of the Cartesian plane (0;0)

■ Domain: the set of x-coordinates corresponding to the points on a graph In the example, the domain is ]0;2π[ (zero; two pi).

■ Asymptote: a line that a curve approaches as it heads towards infinity. The asymptotes can be horizontal, vertical and oblique.

378

MATHS TALK

GRAPHS Describe a trend of a graph current

Stays the same/is flat/remains unchanged The current remains unchanged over time.

ⴙ

0

time

ⴚ force (N) 40 30

Rises/increases/grows The force increases as the mass increases. The force increases with the mass.

20 10 0

2

4

6

8 mass (kg)

pressure

Falls/drops/declines/decreases The pressure decreases as the volume increases.

0

30

volume

displacement s (m)

6

20

4

10

2

0

50

100 time t (s)

0

s (m)

2

4

6

t (s)

Peaks/reaches a peak Hits a low at (4; 2) The peak and the low are stationary points, maximum and minimum, respectively. In the graph on the left, displacement reaches a peak when time is 50 s. In the graph on the right, displacement hits a low when time is 4 s.

temperature (°C) 30 25 20 15 10 5

Fluctuates In these two graphs, temperature fluctuates around a mean value over time. t (d)

379

PHYSICS IN ENGLISH

Physics talk FORMULAE

SUBJECT

IN SYMBOLS

Uniform motion

Uniform accelerated motion

Uniformly circular motion

IN WORDS

h h ∆s v av = ∆t

Average velocity equals change in displacement divided by elapsed time.

h h ∆v aav = ∆t

Average acceleration equals change in velocity divided by elapsed time.

h h h 1h s = s0 + v 0t + at 2 2

Final displacement equals initial displacement plus initial velocity multiplied by time plus half the acceleration multiplied by the square of the time.

ω=

2π = 2πf T

Magnitude of angular velocity equals angular displacement divided by the period, equals angular displacement multiplied by frequency.

v=

2πr = ωr T

Magnitude of linear velocity equals distance travelled divided by period, equals angular velocity multiplied by the radius of the circular motion.

v2 a= = ω2 r r Newton’s second law of motion

h h F = ma

h h W = F ⋅ ∆s

Magnitude of centripetal acceleration equals the square of the linear velocity divided by the radius of the circular motion, equals the square of the angular velocity multiplied by the radius.

Force equals mass multiplied by acceleration.

Work done by a force equals the product of the force parallel to the displacement and the displacement itself.

Work and power P=

Kinetic energy Gravitational potential energy near the Earth surface

380

∆W ∆E = ∆t ∆t

KE =

1 mv 2 2

PE = U = mgh

Power equals work done divided by the elapsed time, which in turn equals the amount of energy transformed in the elapsed time. The kinetic energy of a body in motion equals half its mass multiplied by the square of its velocity. The potential energy of a body in a gravitational field is equal to the product of its mass, the gravitational force and its height.

Visit us online for the pronunciation of these formulas and many others

PHYSICS TALK

FORMULAE SUBJECT

Newton’s law of gravity

Gravitational potential energy

IN SYMBOLS

F =G

r2

mm U = −G 1 2 r

T2 Kepler’s third law

m1m2

r3

4π mG

=

h h F = − k∆x

Elastic system

U=

IN WORDS The gravitational force between two bodies equals the product of the gravitational constant and the masses of the two bodies divided by the square of the straight line distance between them. The gravitational potential energy associated with a gravitational force is equal to minus the product of the gravitational constant and the masses of the two bodies divided by the straight line distance between them. The square of the period of any planet divided by the cube of the semi-major axis of its orbit is a constant given by four multiplied by the square of pi all divided by the product of the gravitational constant and the mass of the Sun. The force exerted by an ideal spring acts in the opposite direction to the displacement with magnitude equal to the product of the spring constant and the displacement.

1 k∆x 2 2

Elastic potential energy equals the product of half the spring constant and the square of the distance from its un-stretched length.

m k

The period of a mass in an elastic system is equal to the product of two pi and the square root of the product of mass and the inverse of the spring constant.

T = 2π

Impulse

h h J = F ∆t

The impulse of a force is the product of the average force and the time interval during which the force acts.

Linear momentum

h h p = mv

The linear momentum of a body equals the product of the mass of a body and its velocity.

Mass density

ρ=

m V

The mass density of an object equals its mass divided by its volume.

Pressure

p=

F A

Pressure equals the normal force divided by the surface area the force is acting on.

381

PHYSICS IN ENGLISH

Reading comprehension

C;997D?97
š
1 Grandezze e misure

Measuring systems in the United States Since the colonialists brought with them the measuring methods of their homelands, confusing and contradictory measuring systems came to America. For instance, the imperial gallon used in England did not come to America. The U.S. gallon is a smaller one, and was called the Queen Anne wine gallon by the British. Today this difference in size between the Imperial gallon and the U.S. gallon causes confusion when converting to the metric system. The law of 1792, under the new Constitution of the United States, provided for fractional coinage and for the decimal system. The adoption of the decimal system for coins shows that the American leaders recognised the advantages of the simple decimal system. In 1795, France tried to convince the United States to use the metric system, but Congress did nothing. In 1821 John Quincy Adams wrote a comprehensive report for Congress based on a four-year investigation. An excerpt of the report follows:

ciety. They enter into the economical arrangements and daily concerns of every family. They are necessary to every occupation of human industry; to the distribution and security of every species of property; to every transaction of trade and commerce; to the ingenuity of the artificer; to the studies of the philosopher; to the researches of the antiquarian; to the navigation of the mariner; and the marches of the soldier; to all the exchanges of peace, and all the operations of war. The knowledge of them, as in established use, is among the first elements of education, and is often learned by those who learn nothing else, not even to read and write.

Weights and Measures may be ranked among the necessaries of life to every individual of human so-

(Taken from http://www.cftech.com/BrainBank/OTHERREFERENCE/WEIGHTSandMEASURES/MetricHistory.html)

Although three decades earlier, Thomas Jefferson also had written a report for the Congress […], the metric system was no more than a conception at that time, and his report was considered only as an alternative and not to be entertained seriously by the newly founded United States of America.

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. The Imperial and the American gallon represent the same quantity.

T

b. The decimal system was introduced in the U.S. in 1972.

T

T

F

d. Abraham Lincoln also had written a report for the Congress about the importance of the decimal system.

T

F

In 1792, with the new U.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , the decimal system with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . began to be used for American coins. By making this . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , American leaders officially . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . the simplicity and the consequent advantage of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. system. Although they . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . not to use the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . system for measuring ............................... distances š fractions š recognized š metric š
constitution š decimal š decided š choice

382

ANSWERS

A

What is the 1 difference between a Queen Ann and a U.S. gallon?

B

What happened in 1792 when the U.S. introduced a new Constitution?

2

It is a necessity for every individual of human society, it affects their everyday life.

C

According to John Quincy Adams’ speech, to whom was the use of a system for measures and weights a necessity?

3

There is no difference, it is the same quantity called by two different names.

F

c. John Quincy Adams though that measures were to be considered as a necessity for every individual in the human society.

2 Complete.

QUESTIONS

F

A .........

B .........

In 1792 U.S. adopted the decimal system for coins.

C .........

READING COMPREHENSION

streaks in the image. A darker background is better. Make sure you press the shutter when the subject reaches a mid point along your panning track to ensure it’s in the best position and try to follow without moving up or down to prevent subject blur. Don’t be tempted to use the LCD screen when taking your panning shots as the scene may appear jerky when tracking at such speeds, making it difficult to follow the subject accurately. What can go wrong? Here are three examples of things that can go wrong. The left shot shows a static looking car caused by a shutter speed that was too fast. The middle shot demonstrates what can happen when you don’t have a look around the frame before you take your shot and the LCD screen was used when the right shot was taken and as there was a slight shutter delay, the action was missed. [...] (Taken from http://www.ephotozine.com/article/camera-panningtechnique-4768)

Vladimer Shioshvili

Peter38 / Shutterstock

Julio Ignacio Olivares Soto

Whether it’s your baby who has just learnt how to walk, a horse galloping along in a field or a car hurtling around a track, you can improve your chances of getting a sharp shot if you grasp a simple technique known as panning. […] Panning is a great technique for action and, once perfected, the main subject will be sharp against a blurred background. The idea is to follow the subject as it passes in front of you and continue to follow it as you press the shutter and even after the shot is taken. If you pan at the same speed as the subject it will appear sharp against a streaking blurred background. To ensure smooth results keep your feet still and rotate the top half of your body as you track your subject. Prefocus your camera at a point where your subject will pass to ensure the picture is sharp. Also ensure the background isn’t too light and doesn’t have shapes as this can create ghostlike effects or

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. A darker background is better

to obtain a good panning effect.

T

b. To obtain a better effect you can use an LCD screen.

T

F

c. To make a good panning picture you have to run.

T

F

d. Making mistakes using panning is almost impossible.

T

F

2 Connect the mistake with the effect obtained

in the picture. If you use a shuttering speed that is too fast

you may loose the subject in the picture.

If you use the LCD something may cover screen to take your shot the moving subject of the picture. If you forget to look around before taking the shot

QUESTIONS

F

ANSWERS

A

What is the main idea of the panning technique?

1

You have to keep on following the subject while you take the shot.

B

Do you have to move your body to obtain better results?

2

To take a good picture you need a background that isn’t too light.

C

What kind of background do you need?

3

You have to rotate the top half of your body keeping your feet still, to obtain smooth results.

A .........

B .........

C .........

you will obtain a picture with a static looking object.

383

C;997D?97
š
2 Descrivere il movimento

Panning

PHYSICS IN ENGLISH C;997D?97
š
3 La velocità

Speed measurement Speeding is always an essential part of evidence before the court in a DUI (Driving Under the Influence) case. Police departments currently use four primary speed measurement devices: [...] Each method has its own advantages and disadvantages. Speedometer Clocks: [...] are still the least expensive method of clocking speeders and can be extremely effective. The patrol car speedometer is used to pace vehicles. The most important component of this method is an accurate speedometer that is factory certified; it can be calibrated several ways: via the fifth wheel attached to the rear of the vehicle; using a stopwatch that has been certified to clock the patrol car over a measured course; or using a dynamometer, which allows the patrol vehicle wheels to rotate in place while the speedometer is checked against the device for discrepancy. [...] RADAR: an acronym for “Radio Detection And Ranging,” radar involves the transmission of electromagnetic waves that reflect off a moving object. When the wave is reflected, it changes frequency and is

interpreted by the radar unit in a speed calculation. This change is referred to as the Doppler effect [...]. In the simplest terms, the Doppler effect explains how as a sound gets closer to a person, it gets louder. [...] Radar may be used in both moving and stationary modes. […] Average Speed Computers: [...] are devices that use a programmed computer to measure speed by dividing the distance travelled by the time it took to travel the distance. They are typically mounted in police patrol cars and can be used in both a moving and stationary mode. [...] LIDAR (Light Detection And Ranging): [...] uses an infrared light wave emitted at frequencies that allow the beam to be focused into an extremely narrow target area. The devices are usually operated in the hand-held mode. Although they can be used through the glass it reduces the device’s range; therefore, an open window or exterior use is preferred. [...] (Taken from http://www.dui1.com/Dui_Lawyers_Driving14.htm)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. Speedometer clocks are very expensive but extremely effective.

T

b. RADAR is an acronym for “Radio Detection And Ranging”.

T

F

c. Average Speed Computers are attached to a wheel of a police patrol car.

T

F

d. Lidar has to be used from behind glass.

T

F

2 Complete.

Speeding is always an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . part of evidence before the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in a DUI case. Police . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . currently use four primary speed measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : Speedometer Clocks, RADAR, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Speed Computers, and LIDAR. Speedometer Clocks are the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . expensive method, Radar uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . waves, and LIDAR uses infrared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . least š important š electromagnetic š court š departments š devices š light š average

384

QUESTIONS

F

ANSWERS

A

What is the most important component of the least expensive method of speed measurement device?

1

It changes frequency; this change is used by the radar to calculate speed.

B

What happens to the electromagnetic wave emitted by a RADAR when it is reflected?

2

An accurate factory certified speedometer is the most important component of a speedometer clock.

C

What is a LIDAR? How are these devices commonly used?

3

It is a device that uses an infrared light wave to calculate speed. These devices are usually operated in a handheld mode.

A .........

B .........

C .........

READING COMPREHENSION

Poets and novelists are renowned for their use of analogy, metaphor and simile, which allow them to identify parallels and transfer features between differing domains. Indeed, we all use these kinds of descriptions on a daily basis. As Forrest Gump famously remarked in the movie of the same name, “life is like a box of chocolates: you never know what you’re going to get”. In physics, analogy is used to help visualize and communicate concepts that are beyond sensory perception, from colliding atoms to colliding galaxies. It is commonly employed when communicating with non-scientists, to make physics accessible and memorable. But analogy can also be used to explore new research areas and to explain novel ideas to colleagues. [...] Examples of analogies range from simple examples with superficial relations, often used to make a topic engaging and accessible to novices, to complex analogies with deep structural relations that are used to compare physical systems. The precise form that an analogy takes depends heavily on its function and the context of use,

but in general analogies fall into three broad and overlapping categories. The first type tend to break down if they are taken beyond superficial similarity and are commonly found in popularizations of science, such as comparing a vibrating cosmic string to a guitar string. [...] Analogies in the second category do not break down when taken beyond the superficial, and usually have a combination of pictorial, physical and/or mathematical features. [...] Finally, physicists sometimes use abstract mathematical analogies in their private conceptualisations, journal articles and conference talks that are too sophisticated for non-experts to understand. Such formal, mathematical analogies are often taken for granted. Like the foundations of a building, these analogies often become invisible as the associated theory becomes established. (Taken from http://people.bath.ac.uk/pspcam/publications/pw_ feb2007_p16.pdf)

EXCERCISES 1

True or false? a. Analogy is commonly used to explain concepts in physics.

T

F

b. Usually physicists use only very simple analogies.

T

F

c. A vibrating cosmic string can be compared with a guitar string.

T

F

d. Physicists never use abstract mathematical analogies in their private conceptualisations.

T

F

robust š superficial š combination š type š understand š explain š organise š analogies š break š group š physicists š features 3 Match questions and answers. QUESTIONS

ANSWERS

A

How do physicists use analogies?

1

The analogy between the gravitational mass quadrupole moment of a body and its tensor of inertia, is an example of an analogy of the third group.

B

Can you make an example of an analogy belonging to the third group?

2

Analogies allow poets to transfer features between differing domains.

C

How do poets commonly use analogies?

3

In physics analogy is used to visualise concepts, it is commonly employed to explain physics concepts to non-scientists.

2 Complete.

Physicists use many analogies to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... physics. In general we can . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . these analogies in three broad categories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . belonging to the first . . . . . . . . . . . . . . .. can be considered only in a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . way, otherwise they tend to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . down. Those belonging to the second category are more . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and usually have a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of pictorial, physical and mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The analogies of the third . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . are too sophisticated for non-experts to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , and are commonly used by . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in their private conceptualisations.

385

C;997D?97
š
4 L’accelerazione

Physics by analogy

PHYSICS IN ENGLISH C;997D?97
š
5 I vettori

GPS: vectors calculated while you move [...] Many people use GPS (Global Positioning System) navigators, but not everyone knows that these computers constantly calculate vectors for you. Twenty-four GPS satellites orbit Earth at an altitude of 11,000 mi. At most times and places, at least three satellites are visible [...] Each satellite broadcasts a continual stream that includes its identification, information about its orbit, and a time marker that is precise to one billionth of a second. The satellites’ internal clocks and orbits are checked by a ground station that can send correction information. A GPS receiver listens for the signals from the satellites. When it can get a lock on three or more satellite signals, it calculates how far away each satellite is [...] From the known orbits of each satellite and the distance to each satellite, the receiver can triangulate its position. A calculation from three satellites will give the longitude and latitude of the receiver. A calculation from four satellites will also give altitude. But where do vectors come in? The receiver does not just triangulate its position once [...] it constantly

listens for the satellites and calculates changes in the receiver position from changes in the triangulation results. It calculates any changes in distance and direction from the last known position. Within a very short time it has taken several readings, enough to calculate the velocity of your travel. The result? A speed in a particular direction – a velocity vector – is always part of the receiver’s calculations. [...] There are times when it is not possible to get a good reading on a receiver. Perhaps you have driven under a bridge or through a tunnel. If the GPS receiver is unable to lock onto a meaningful signal, it will start from your last known position. It will then use your last known velocity and direction to calculate a dead reckoning. It will assume that you are continuing in the same direction and at the same speed until it is able to get a reliable signal from enough satellites. Once it is able to receive good signals again, it will make corrections to your position and your course. (Taken from Paul A. Tipler, Gene Mosca, Physics for Scientist and Engineers, pag. 82)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. GPS stands for Global Positioning System.

T

F

b. 34 satellites orbit the Earth.

T

F

c. When a car goes under a bridge it will probably loose the GPS signal.

T

F

d. To give altitude the signal from five satellites are needed.

T

F

QUESTIONS

ANSWERS

A

How many satellites do you need to calculate latitude, longitude and altitude?

1

A velocity vector is always a part of GPS calculation for one’s position.

B

What does each satellite broadcast?

2

The GPS needs at least four satellites to calculate the three positions.

C

How does a GPS use vectors?

3

Each satellite broadcasts a continual stream that includes its identification, information about its orbit, and an extremely precise time marker.

2 Order the sequence. .. . . . The GPS makes corrections to your position

and your course. .. . . . The GPS assumes that you are continuing in

the same direction and at the same speed. . . . . . The GPS receiver is unable to lock onto a

meaningful signal. . . . . . You drive through a tunnel. .. . . . The GPS starts calculating from your last

known position. . . . . . The GPS gets a reliable signal from enough

satellites. . . . . . Then it will use your last known velocity and

direction to calculate a dead reckoning.

386

A .........

B .........

C .........

READING COMPREHENSION

[...] Throwing a shot put involves much technique and strength, but also a few physics concepts. To find the optimal angle to create the most distance with the shot is one objective. Another objective is to find the difference between force and speed (how hard vs. how fast) to determine the best typical throw. [...] The shot put field event originated in the Olympics. It was a test of strength between various athletes. The athlete who could heave the shot the farthest was the champion. Originally the shot put was a large stone. Since then it has become a 16-pound ball made of a metal not softer than brass. Most of the times it is filled with lead. In older times, the athlete must stand on a wooden rectangle to throw. If he went outside of it, he fouled and his throw was discounted. At the time, a standing throw was the only way to put. Since, the rectangle has become a seven-foot circle. The glide has since been developed. It is used to gain momen-

tum and create more force. Another type of throw has also been made. The rotational throw generates more force because of a longer push with the shot put. [...] Obviously, the best angle for a throw will result in a farther throw. However, many throwers will tell that throwing at the best angle is not always easiest. It is more simple to throw at a personal angle, because of muscle memory and strength in the push muscles. But if one was to achieve an amazing throw, he/she would have to take it into account. It is generally considered that an angle of 45 degrees will achieve a maximum distance. It has been found however that it is best for shot putters to launch at angles of 40 degrees or less. Apparently, many shot putters throw at lower angles, such as 35 degrees, which is easier for chest muscles to produce. Air resistance affects the shot and decreases the optimal angle. [...] (Taken from http://clackhi.nclack.k12.or.us/Physics/projects/ Final%20Project-2005/5-FinalProject/shotPut/Shotput%20 Physics.htm)

EXCERCISES 1

True or false? a. The Shot Put is a modern sport. b. The best throwing angle is at 45 degrees. c. Throwing at the best angle is the easiest way to put the shot. d. At the beginning the Shot Put was a test of strength between athletes.

3 Match questions and answers. T

F

T

F

T

F

T

F

QUESTIONS A

What did the first shot putting athletes throw?

B

When did the glide 2 start to be used?

They usually throw at 35 degrees even though the best throwing angle is at 45 degrees.

C

At which angle do athletes usually throw the shot?

3

They simply threw a stone.

2 Complete.

Shot Put techniques are strongly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . with physics. The main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. of this sport are . . . . . . . . . . . . . . : the first one is to find the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angle for the put in order to .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . the shot as far as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The second objective is to find the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . between force and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . to determine the best . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . throw.

ANSWERS

A .........

1

B .........

It is a technique that began when the seven-foot circle took the place of the wooden rectangle.

C .........

throw š
two š connected š objectives š speed š
possible š optimal š typical š difference

387

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š
6 I moti nel piano

The physics of shot putting

PHYSICS IN ENGLISH C;997D?97
š
7 Le forze

How does a dyno work? A dynamometer, or dyno for short, is a tool used to measure the amount of power being generated by an engine. The physics behind a dyno is what enables the measurement to be taken. It begins with the equation that states that force is equal to mass times acceleration. This means that the amount of force can be calculated by finding the weight of an object being moved and then multiplying that by the rate at which it is accelerated. With this number it is then possible to calculate how much work is being done and then how much power is being generated. These equations are integral to all dynos and make it possible for engine power to be measured. There are two main types of dynos that are used by car enthusiasts today. The Chassis/Inertia Dyno: In this type of dynamometer, a car is driven up onto a platform until its wheels are on a set of large metal cylinders. The car is then strapped in and a computer is connected to the car’s ignition system through a spark plug wire, in order to monitor RPMs. The test will begin and the car will be driven through its full RPM range, from idle

to redline (the maximum Revolutions Per Minute that the engine is designed to safely operate at). Once this is done, and the test is complete, the computer will use the speed of the spinning cylinders to calculate the acceleration, and then use this number, along with the weight of the cylinders which it already knows, to get an answer to the force equation. [...] The Brake/Engine Dyno: In this type of dynamometer, the engine has to be removed from the car and directly connected to the testing mechanism. The testing mechanism then uses either hydraulic fluid or water to create resistance to the engine’s spinning force. This resistance is continued until the engine’s maximum turning force is measured at every RPM, giving the tester an accurate reading of the engine’s torque. A computer or the tester can then use the same equations to derive a horsepower number for the engine. [...] (Taken from http://www.ehow.com/how-does_5183355_ dynowork_.html)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. A dyno is a tool used to measure the amount of power being generated by an engine.

T

F

b. When you use a Chassis you have to remove the engine from the car.

T

F

c. The Brake testing method uses hydraulic fluid or water to create resistance.

T

F

d. Force is equal to mass times acceleration.

T

F

QUESTIONS A

How can you calculate the amount of force of an engine?

1

The computer uses this information to calculate the acceleration and then it uses the acceleration and the weight of the cylinders to get an answer to the force equation.

B

What is the difference between a Chassis and a Brake dynamometer?

2

You have to find the weight of an object being moved and then multiply that by the rate at which it is accelerated.

C

How does the computer of a Chassis use the information about the speed of the spinning cylinders?

3

When you use the first type of dyno a car is driven up onto a platform until its wheels are on a set of large metal cylinders, when you use the second type the engine has to be removed from the car and directly connected to the testing mechanism.

2 Complete.

A dyno is a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tool. It is used to measure the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of an engine. The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . works on the basis of an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . that states that . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is equal to mass times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . This equation means that if you have the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of a moving object and you .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . it by the rate of its .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . you can calculate the force generated by the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . There are two main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of dynos that are used today: the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and the Brake. Force š
multiply š
Chassis š
engine š
acceleration š
power š
Measuring š
dyno š
acceleration š
weight š
equation š
types

388

ANSWERS

A .........

B .........

C .........

READING COMPREHENSION

The jump style called the “Fosbury Flop” dramatically revolutionized the high jump. Dick Fosbury’s movement technique involves racing towards the bar in a curved approach, lifting off with the left foot, pivoting the right leg backwards and sailing over the bar backwards, stretching the back and flipping the legs upwards. In 1968, Fosbury set a personal and Olympic record of seven feet and four inches – a full two and a half inches higher than the 1964 Olympic record. By 1980, 13 of the 16 Olympic high jump finalists used the Fosbury Flop. All three phases of the high jump require allowing for and using different physical forces. The approach involves accelerating the body along a curved path that leads up to the bar. At that point, the jumper is actually leaning away from the bar, allowing for the centrifugal force that will pull him or her into a vertical position for the jump.

The lift-off requires the jumper to overcome gravity by launching directly upwards while pushing against the ground. The greater the force applied to the ground, the greater the force that returns to the jumper. Bar clearance requires careful management of the human centre of gravity. The centre of gravity is that point where an object balances perfectly. The force of gravity pulls down vertically and is concentrated at each object’s centre of gravity. For an object to remain balanced, the centre of gravity must be on a vertical line with the point of suspension, above or below it. The ideal high jump position involves draping the body over the height of the crossbar at the peak of the jump. (Taken from http://www.reachoutmichigan.org/funexperiments/ agesubject/lessons/newton/high.html)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. Fosbury’s Olympic record was three feet higher then the 1964 Olympic record.

T

F

b. Dick Fosbury’s movement technique is not used anymore.

T

F

c. Bar clearance requires careful management of the human centre of gravity.

T

F

d. To perform a “Fosbury Flop” you have to lift off with the right foot.

T

F

QUESTIONS

2 2. Order the “Fosbury Flop” phases. .. . . . To perform the “Fosbury Flop” you have to . . . . . and you can fall down. . . . . . lift off with the left foot,

ANSWERS

A

What is the centre of gravity?

1

The body accelerates along a curved path.

B

Which physics law does the body overcome during the lift off?

2

The centre of gravity is that point where an object balances perfectly.

C

What kind of path does the body follow during the approach phase?

3

Launching directly upwards while pushing against the ground the body overcomes gravity.

A .........

B .........

C .........

. . . . . start racing toward the bar in a curved

approach, . . . . . then pivoting the right leg backwards .. . . . once you get close enough to the bar you have

to . . . . . stretching the back and flipping the legs

upward. . . . . . you have to sail over the bar backwards, .. . . . At this point you will find yourself on the other

side of the bar

389

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š
.
Le forze e l’equilibrio

HIGH JUMP: How do high jumpers set new records?

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š
9 I principi della dinamica

Whiplash of the neck WHIPLASH is a term generally familiar to most people. It is synonymous with the results of an automobile accident. What is generally not known is that there can be other causes of “Whiplash” injury. Understanding the mechanism, and how “Whiplash” occurs will give us a better insight into why it does happen, and the results of it. You have probably seen whips being used in movies or on television. The whip is brought backward at a slower speed, followed by a sharp quick forward snap at a greater speed. That then is the mechanism of a “Whiplash” injury. The head, with a weight of up to 14 lbs., rests on the neck that is comprised of 7 cervical vertebrae that are attached to each other by 32 joints, and held together by muscles, ligaments and tendons. Now picture the head as a heavy ball, resting on a freely moving spindle (the neck), that is attached to the body, and what happens when a sharp sudden force is applied to the back of that body. It doesn’t take a rocket scientist to see that the head would snap

backward and through the law of physics, would snap forward at an even greater speed. The sudden powerful force of one automobile striking another automobile in the rear end reproduces the “Whiplash” effect, whereby the body remains motionless, the head is thrown backward (hyperextension) and snapped sharply forward (hyperflexion). The head is being thrust forward at a greater speed than the backward thrust, hence the term “Whiplash”. “Whiplash” could be caused by other means than the classic automobile rear end accident. For example, a sudden sharp blow or push to a persons back can cause a “Whiplash” injury. Strenuous body contact sports, such as football, hockey, wrestling and soccer to name a few can cause this type of injury. A sudden fall forward or backward where the individual tries to counteract the fall, may also be a causative factor. (Taken from http://www.doctorsexercise.com/journal/whiplash. htm)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. Whiplash is the rare result of an automobile accident.

T

b. Whiplash can be caused by body contact sports.

T

F

c. The head has 32 joints.

T

F

d. The mechanism that works on the neck during a whiplash injury is similar to that used to snap a whip.

T

F

2 Complete.

Whiplash is a term that people . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... with car accidents. The name of this . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . comes from the mechanism used in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a whip. The head of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , during a car accident, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . as a whip, but this is not the only way to get a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; strenuous body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sports, such as football and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . may cause the same injury. Connect š whiplash š passenger š injury š hockey š contact š behaves š snapping

390

QUESTIONS

F

ANSWERS

A

What happens to the neck during a whiplash injury?

1

Strenuous body contact sports, such as football, hockey, wrestling and soccer can all result in whiplash of the neck.

B

Why does the body remain motionless during a car accident?

2

The head, that rests on the neck as it was a ball attached on a spindle, would snap backward and then forward at greater speed.

C

Is there any other possible cause of whiplash, apart from a car accident?

3

Because the person in the car is wearing a seat belt.

A .........

B .........

C .........

READING COMPREHENSION

Energy comes to Earth from the Sun in two main forms that we can use directly, heat and light. We use heat energy for solar heating and we transform the light energy into electrical energy. Solar heating is used for water heating systems as one example. A panel with water pipes in it collects heat energy from the Sun and transfers that heat energy to the water in the pipes to provide hot water. Light energy can be transformed into electrical energy that is used immediately or stored in batteries. Photovoltaic (PV) panels are devices that are used to convert light energy into electrical energy. Energy can only change from one form to another. It cannot be created or destroyed. This is the Law of Conservation of Energy. Let’s look at a solar vehicle as a simple example in the transformation of energy from one form to another. Sunlight hits the PV panel and the panel transforms the light energy into electrical energy. The electrical energy (electricity) passes through the wire circuit to the motor. The motor transforms the electrical energy into mechanical energy and spins the drive shaft which spins the wheel. The front wheel rotates on

the ground to pull the car transforming mechanical energy into vehicle motion (kinetic energy). Solar Vehicle Ideal Energy Chain: Light Energy → Electrical Energy → Mechanical Energy → Kinetic Energy The above case is ideal because not all systems are perfect and in reality there will be losses of energy from our system. In a simplified view of this case some losses will be from: – friction of electrons passing through the wires; this is released as heat energy although you may never notice it in the case of the solar explorer. – friction of the wheel on the ground; this is released as either heat or sound energy. Even with these losses the law of conservation of energy still holds. The amount of energy into a system will always equal the amount of energy out of a system. If energy cannot be created and can only be transformed from one form to another, how do we get heat and light energy from the Sun? (Taken from http://www.solarsam.com/about-solar-energy/energy.html)

EXCERCISES 1

True or false?

3 Match questions and answers.

a. A Solar Panel destroys energy.

T

F

b. A PV converts light energy into electrical energy.

T

F

c. Light energy cannot be transformed into electrical energy.

T

F

d. Friction of electrons releases heat energy.

T

F

QUESTIONS A

What happens to energy according to the law of Conservation of Energy?

1

Energy transforms three times in the solar vehicle example.

B

How many times does energy transforms in the solar vehicle example?

2

Energy cannot be created or destroyed, it can only change from one form to another.

C

How does a solar panel work?

3

It collects heat energy from the Sun and transfers it to the water providing hot water.

2 Order the sentences to describe the Solar

Vehicle energy system. Sunlight hits the PV panel.

Mechanical Energy

The energy transformed by the PV panel passes through the wire circuit to the motor.

Kinetic Energy

The energy transformed by the motor spins the wheel.

Light Energy

The rotation of the front wheel transforms energy into vehicle motion.

Electrical Energy

ANSWERS

A .........

B .........

C .........

391

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š
10 La conservazione dell’energia

Solar panel

PHYSICS IN ENGLISH C;997D?97
š
11 La quantità di moto e il momento angolare

Figure skating & angular momentum conservation During the Winter Olympics and other major figure skating championships, millions of figure skating fans watch their favourite figure skaters perform graceful programs on ice that usually include very rapid spins, which are often combined with jumps. How do figure skaters spin so rapidly? The key is applying the physics principle of the conservation of angular momentum. […] The more rapidly a figure skater is spinning, the greater her angular velocity. The figure skater can also adjust her moment of inertia by controlling how close her mass is to her axis of rotation. By extending her arms and one leg, a figure skater can increase her moment of inertia. By pulling her arms and legs close to her body, she can decrease her moment of inertia. The figure skater’s angular momentum must remain constant according to the law of conservation of angular momentum. As she changes her moment of inertia, her angular velocity must also change so that her angular momentum remains constant.

If a figure skater starts spinning slowly with her arms and possibly one leg extended, she initially has a high moment of inertia and a low angular velocity. If she pulls her arms and leg in closer to her rotational axis, her moment of inertia decreases. Her angular velocity (spinning speed) must therefore increase to keep her angular momentum constant. When a figure skater wants to slow her spin, she can simply extend her arms again. Her moment of inertia increases, and her angular velocity correspondingly decreases. The figure skater’s angular momentum remains constant until she applies an external torque from the ice. [...] Even if they don’t precisely understand the physics involved, figure skaters use the law of conservation of angular momentum to gracefully control their spins and jumps. (Taken from hhttp://paul-a-heckert.suite101.com/figure-skatingangular-momentum-conservation-a179794)

EXCERCISES 1

True or false?

As the angular momentum is .............................. their spinning speed must .............................. .

a. Figure skaters must be perfectly conscious of physics to perform their sport.

T

F

b. In order to increase their spinning speed the skaters must extend their arms.

T

F

c. The physics principle applied in skating is the conservation of angular momentum.

T

F

d. A change in the moment of inertia makes the angular velocity change as well.

T

F

High š rapidly š pull š conservation š extended š increase š Angular š constant š closer š decreases š spinning 3 Match questions and answers. QUESTIONS A

What happens 1 when the skater changes her moment of Inertia?

B

What happens when the angular velocity of the skater decreases?

C

How can a skater 3 adjust her moment of inertia?

2 Complete.

Skaters spin very . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . applying the physics principle of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of angular momentum. When they start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . with arms, and possibly one leg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , they have a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... moment of inertia and a low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . velocity. To make the moment of inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . they have to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... arms and leg in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . to their rotational axis.

392

ANSWERS

A .........

2

B .........

She can do it controlling how close her mass is to the axis of rotation. The skater’s angular velocity also changes, so that her angular momentum remains constant. The moment of inertia increases.

C .........

READING COMPREHENSION

In the early 1600s, Johannes Kepler proposed three laws of planetary motion. Kepler was able to summarize the carefully collected data of his mentor – Tycho Brahe – with three statements that described the motion of planets in a Sun-centered solar system. [...] Kepler’s first law […] explains that planets are orbiting the Sun in a path described as an ellipse. […] An ellipse is a special curve in which the sum of the distances from every point on the curve to two other points is a constant. The two other points […] are known as the foci of the ellipse. The closer together that these points are, the more closely that the ellipse resembles the shape of a circle. In fact, a circle is the special case of an ellipse in which the two foci are at the same location. [...] Kepler’s second law – sometimes referred to as the law of equal areas – describes the speed at which any given planet will move while orbiting the Sun. The speed at which any planet moves through space is constantly changing. A planet moves fastest when it is closest to the Sun and slowest when it is furthest from the Sun. Yet, if an imaginary line were drawn from the centre of the planet to the centre of the Sun, that line

would sweep out the same area in equal periods of time. [...] As can be observed in the diagram, the areas formed when the Earth is closest to the Sun can be approximated as a wide but short triangle; whereas the areas formed when the Earth is farthest from the Sun can be approximated as a narrow but long triangle. These areas are the same size. [...] Kepler’s third law [...] compares the orbital period and radius of orbit of a planet to those of other planets. Unlike Kepler’s first and second laws that describe the motion characteristics of a single planet, the third law makes a comparison between the motion characteristics of different planets. The comparison being made is that the ratio of the squares of the periods to the cubes of their average distances from the Sun is the same for every one of the planets. […] (Taken from http://www.physicsclassroom.com/class/circles/ u6l4a.cfm)

EXCERCISES 1

True or false? a. Kepler was Ticho Brahe’s mentor.

T

F

b. Kepler’s third law makes a comparison between different planets.

T

F

c. According to Kepler’s laws the Sun orbits the planets.

T

F

d. A circle is the special case of an ellipse.

T

F

Imaginary š path š Sun š equal š distances š equal š Harmonies š squares š time š elliptical š focus š centre š any 3 Match questions and answers.

2 Complete.

First Law: The .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of the planets about the Sun is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in shape, with the centre of the Sun being located at one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (The Law of Ellipses)

QUESTIONS

ANSWERS

A

What are the foci of an ellipse?

1

It is Kepler’s second law.

B

What does Kepler’s third law compare?

2

It compares the orbital period and radius of orbit of a planet to those of other planets.

C

What is the law of equal areas?

3

The sum of the distances from every point on the curve of the ellipse to two certain points is a constant, those points are called foci.

Second Law: An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . line drawn from the centre of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . to the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of the planet will sweep out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . areas in equal intervals of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (The Law of Equal Areas) Third Law: The ratio of the .............................. of the periods of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . two planets is .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . to the ratio of the cubes of their average .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . from the Sun. (The Law of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

A .........

B .........

C .........

393

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š
12 La gravitazione universale

Kepler’s three laws

INTERNATIONAL SYSTEM OF UNITS SI BASE UNITS

SI PREFIXES

Base quantity

Name

Symbol

length

metre

m

mass

kilogram

kg

time

second

s

electric current

ampere

A

thermodynamic temperature

kelvin

K

amount of substance

mole

mol

luminous intensity

candela

cd

Symbol

Factor

Symbol

Factor

exa

E

1018

deci

d

10–1

peta

P

1015

centi

c

10–2

tera

T

1012

milli

m

10–3

giga

G

109

micro

µ

10–6

mega

M

106

nano

n

10–9

kilo

k

103

pico

p

10–12

hecto

h

102

femto

f

10–15

deka

da

101

atto

a

10–18

Name

Name

SI DERIVED UNITS Derived quantity

Name

area

square metre

m2

volume

cubic metre

m3

speed, velocity

metre per second

m/s

acceleration

metre per second squared

m/s2

frequency

hertz

Hz

plane angle

radian

rad

solid angle

steradian

sr

force

newton

N

m · kg · s–2

pressure

pascal

Pa

N/m2

energy, work, quantity of heat

joule

J

N·m

power

watt

W

J/s

electric charge

coulomb

C

s·A

electric potential difference

volt

V

W/A

capacitance

farad

F

C/V

electric resistance

ohm

Ω

V/A

magnetic flux

weber

Wb

V·s

magnetic flux density

tesla

T

Wb/m2

394

Symbol

Definition

s–1

1 2 3

Idee per il tuo futuro

Stefania Mandolini

Le parole della fisica Meccanica con Physics in English Un libro che racconta la fisica per concetti, con molta attenzione ai collegamenti con il mondo quotidiano e con le altre discipline. Nel libro s Schede di biologia, architettura, letteratura, arte. s Con gli occhi del fisico: due pagine per ogni capitolo che ripercorrono un fenomeno o una tecnologia nella storia, rivisto con gli occhi di uno scienziato. s Mappe dei concetti: due pagine a fine capitolo per ripassare a colpo d’occhio. s Physics in English: Maths Talk e Physics Talk (come si leggono le formule di matematica e fisica in inglese), letture di fisica in inglese. Su http://aulascienze. scuola.zanichelli.it trovi: s video e interviste a scienziati e ricercatori s notizie e blog per discutere di scienza s le rubriche degli esperti di matematica, fisica e chimica per rispondere alle tue domande

Questo libro è stampato su carta che rispetta le foreste. www.zanichelli.it/la-casa-editrice/carta-e-ambiente/