Fisica. 1, Meccanica - termodinamica 9788879590006, 8879590006 [PDF]

Zitiervorschau

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci FISICA - Meccanica Termodinamica - Voi. I Copyright © 1991 , EdiSES Società Editric

9 8 7 6 5 4 3 2 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 Le cifre sulla destra indicano il numero e l'anno dell'ultima ristampn

Tutti i dirilli riservati

fotoco111posi: io11e: EdiSES, s.r.l. - Napoli Fotoincisione: Centro D.M.S. - Napoli

Stampato presso la EdiSES, s.r.l. - Napoli - Via Nuova S. Rocco. 62/A - P.co Soleado Tel. 081/7441706-07 Fax 081/7441705

ISBN 88 7959 000 6

~fl" ttuata

Prefazione

Questo testo ha origine dalla nostra esperienza didattica maturata in anni di insegnamento dei corsi di Fisica presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università di Padova. Anche se validissimi testi di Fisica sono disponibili siamo stati indotti ad aggiungere un contributo all'insegnamento della Fisica Generale dall'esame della realtà universitaria di questi ultimi anni. L'ordinamento delle lezioni è diventato semestrale per la maggior parte dei corsi di laurea di materie scientifiche, con la conseguente limitazione di orario a circa 130 ore tra corso di teoria ed esercizi, quasi sempre irraggiungibili a causa di assemblee, elezioni ed altri eventi vari. Così, accanto all'innegabile vantaggio di poter tenere il corso di Fisica dopo il corso di Analisi Matematica, ci si trova però nella necessità di uno svolgimento contratto e senza pause del programma, con tutte le difficoltà che ciò comporta per un adeguato apprendimento. Il numero di studenti, soprattutto nei corsi di laurea in Ingegneria, è aumentato spesso oltre la capacità di ricezione delle strutture universitarie e la preparazione fisico-matematica di questi studenti è molto varia e purtroppo sovente superficiale o troppo settoriale. D'altra parte i programmi. pur essendo stati sfrondati di nozioni accessorie, nella sostanza sono rimasti gli stessi. le esercitazioni numeriche hanno acquistato maggior spazio e importanza e la trattazione dei vari argomenti è stata mantenuta in generale ad un livello adeguato. Una conseguenza di 4uesti fatti è che l'impatto degli studenti con corsi affol lati, ritmi di apprendimento sostenuti e difficoltà intrinseche delle materie provoca un allungamento dei tempi cli superamento degli esami, se non aclclirillura l'abbandono degli studi. Ci siamo pertanto proposti di aiutare lo studente a superare qualcuno dei problemi sopra accennati fornendogli uno strumento di studio che innanzi tutto indichi con chiarezza le ~ozioni fondamentali e sia realmente di guida alla comprensione ed alla risoluzione degli esercizi. Abbiamo però mantenuto nel testo lutti gli argomenti tradizionali, che formano la base culturale della Fisica Generale e sono di naturale riferimento per molti corsi successivi, anche se non è possibile svolgerli nella loro completezza in un solo semestre. La prima parte, dedicata alla meccanica del punto (capitoli I, 2. 3. 4), è piuttosto estesa in quanto abbiamo ritenuto molto importante discutere a fondo il modo di procedere e il legame con l'Analisi. Cenni di teoria della relatività sono stati introdotti. La meccanica dei sistemi di punti e del corpo rigido (capito( i 5 e 6) è trattata in maniera approfondita mettendo in particolare in evidenza l'importanza dei principi di conservazione e ricorrendo a numerosi esempi. che spesso si configurano come prototipi cli problemi d'esame, caratteristica questa ricorrente per ogni argomento importante. I capitoli 7, 8 e 9, in cui presentiamo elementi di gravitazione, elasticità e meccanica dei fluidi. sono più estesi di quanto normalmente si riesce a svolgere in un corso dcl primo anno (ad esempio sono introdotte le onde elastiche), ma a nostro avviso le parti essenziali non possono essere trascurate. La termodinamica è trattata nei tre capitoli finali ( IO. 11 , 12) in modo classico. senza riferimento a concetti di meccanica statistica. Anche in questo caso la materia

esposta è abbastanza vasta. comprendendo cenni di teoria ci netica dei gas. potenziali termodinamici e proprietà generali dei sistemi p V. T. ma è organizzata in modo tale da poter estrarre facilmente un solido programma di minima, se a ciò si è costretti da restrizioni temporali. Oltre alla citata enfas i sui problemi risolti, che dovrebbero agevolare la soluzione di quelli proposti. sono sempre messe in evidenza le unità di misura e molti dati numerici sono raccolti in tabelle, per dare un'idea quantitati va degli ordini di grandezza. Infine sono raccolti in appendici richiam i di analisi e di calcolo vettoriale e la discussione del sistema internazionale di unità di mi sura. Speriamo di aver lavorato utilmente nell'i nteresse degli studenti. Saremmo soddisfatti se durante lo studio lo studente acquistasse interesse per la materia e. raggiunto lo scopo primario di superare l'esame. fosse consapevole dell'importanza della Fisica Generale per i suoi studi successivi e la sua formazione culturale. Ringraziamo i Colleghi, in particolare il Prof. G. Salandin, per aver letto criticamente parti del testo ed averci dato utili suggerimenti .

P. Mazzoldi , M. Nigro, C. Voci

Indice

Capi tolo I Cinematica de l punto I. I Introduzione 1.2 Moto rettilineo Velocità nel moto retti lineo 1.3 1.4 Accelerazione nel moto rettilineo 1.5 Moto verticale di un corpo 1.6 Moto armonico semplice 1.7 Moto rettilineo smorzato esponenzialmente Paradosso di Zenone 1.8 1.9 Moto nel piano. Posizione e velocità 1.10 Accelerazione nel moto piano I. I I Moto circolare 1.12 Moto parabolico dei corpi 1.13 Moto nello spazio. Composizione di moti 1.14 Riepilogo

Capitolo 2 Dinamica del punto 2.1 Principio d'inerzia. Introduzione al concetto di forza 2.2 Legge di Newton 2.3 Quantità di moto. Impulso 2.4 Risultante delle forze. Equi librio. Reazioni vincolari 2.5 Classificazione delle forze 2.6 Azione dinamica delle forze 2.7 Forza peso 2.8 Forza di attrito radente 2.9 Forza elastica 2.10 Forza di attrito viscoso 2. 11 Piano inclinato 2.12 Forze centripete 2.13 Pendolo semplice 2.14 Tensione dei fili 2.15 Lavoro. Potenza. Energia cinetica 2.16 Lavoro della forza peso 2.17 Lavoro di una forza elastica

Pag.

3 3 4 6 8 IO

12 15 16 17 20 23 27 29 31

34 34 35 36

".

38 39 40 40 41 43 45 46 47 49 51 55 57 57

2.18 Lavoro di una forza di attrito radente 2.19 Forze conservative. Energia potenziale 2.20 Conservazione dell'energia meccanica 2.21 Relazione tra energia potenziale e forza 2.22 Momento angolare. Momento della forza 2.23 Forze centrali 2.24 Riepilogo

Pag.

58 58 60 63 65 67 69

Capitolo 3 Moti relativi 3.1 Sistemi di riferimento. Velocità e accelerazione relative 3.2 Sistemi di riferimento inerziali. Relatività Galileiana Moto di trascinamento rettilineo 3.3 uniforme Moto di trascinamento retti lineo 3.4 accelerato Moto di trascinamento rotatorio 3.5 uniforme 3.6 Il moto rispetto alla terra 3.7 Commenti e note 3.8 Cenni di teoria della relatività

72

Capitolo 4 Oscillatore armonico 4.1 Richiamo de lle proprietà già viste 4 .2 Proprietà dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico 4.3 Energia dell'oscillatore armonico 4.4 Somma dei moti armonici sullo stesso asse 4.5 Somma di moti armonici su assi ortogonali 4.6 Osci ll atore armonico smorzato da una forza di attrito costante

94 94

72 76 78 80 83 85 87 90

95 97 100 103 106

4. 7 4.8 4.9

Oscillatore annonico smorzato da una forza viscosa Oscillatore armonico forzato Analisi di Fourier

l 08 112 116

Leggi di conservazione nel moto di un corpo rigido 6.14 Urti tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi 6. 15 Statica 6. 16 Riepilogo

Pag.

184 186 191 194

Capitolo 5 5.1 5.2

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.1 O 5.11 5. 12 5.13 5.14 5.15

Dinamica dci sistemi di punti materiali Sistemi di punti . Principio di azione e reazione Centro di massa di un sistema di punti. Teorema del moto del centro di massa Conservazione della quantità di moto Osservazioni sulle proprietà del centro di massa. Esempi Teorema del momento angolare Conservazione del momento angolare Sistema di riferimento del centro di massa Teoremi di Konig Ulteriori osservazioni sulle proprietà del centro di massa Il teorema dell'energia Urti tra due punti materiali Urto completamente anelastico Urto elastico Urto anelastico Proprietà dei sistemi di forze applicate a punti diversi

6.13

Pag.

Dinamica del corpo rig ido. Cenni di statica 6.1 Definizione di corpo rigido. Prime proprietà 6.2 Moto di un corpo rigido 6.3 Corpo continuo. Densità 6.4 Rotazioni rigide attorno ad un asse fisso in un sistema di riferimento inerziale 6.5 Momento d'inerzia 6.6 Teorema di Huygens-Steiner Pendolo composto 6.7 6.8 Moto di puro rotolamento 6.9 Momento dell'impulso 6.10 Teorema di Poinsot. Ellissoide d'inerzia 6.1 I Giroscopi 6.12 Corpo rigido libero

119 119

121 123 124 126

Capitolo 7 Gravitazione 7. 1 La forza gravitazionale 7.2 Massa inerziale e massa gravitazionale 7.3 Campo gravitazionale 7.4 Energia potenziale gravitazionale 7.5 Teorema di Gauss. Distribuzione sferica di massa 7.6 Determinazione della traiettoria 7.7 Considerazioni conclusive

195 195 198 198

200 204 208 214

129 129 131 132 134 136 138 140 143 145

Capitolo 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Proprietà meccaniche dei solidi Deformazione elastica Deformazione plastica. Rottura. Isteresi elastica Scorrimento Torsione. Pendolo e bilancia di torsione Pressione. Compressione uniforme Durezza Onde elastiche in una sbarra solida Onde in una corda tesa Alcune considerazioni sulle onde

215 215 219 221 222 223 225 226 230 232

Capitolo 6

149 Capitolo 9

149 151 152

155 161 166 168 169 175

177 181 183

Proprietà meccaniche de i fluidi 9.1 Generalità sui fluidi. Pressione 9.2 Equilibrio statico di un fluido 9.3 Equilibrio in presenza della forza peso Principio di Archimede 9.4 9.5 Liquido in rotazione 9.6 Attrito interno. Viscosità. Fluido ideale 9.7 Moto di un fluido. Regime stazionario. Portata 9.8 Teorema di Bernoulli 9.9 Applicazioni del teorema di Bernoulli 9.10 Effetti dinamici . Vortici

234 234 235 237 242 243 245 247 249 250 254

9.11 Moto laminare Pag. 255 256 9. 12 Moto vorticoso.Numero di Reynolds 9.13 Moto in un fluido. Resistenza del mezzo 257 9. 14 Effetto Magnus. Portanza 259 9. 15 Fenomeni di superficie 260 9.16 Forze di coesione e adesione. Fenomeni di capillarità 263 Problemi di meccanica 266 Guida alla risoluzione dei problemi. Risultati numerici 280

Capitolo IO Primo principio della termodinamica IO. I Sistemi e stati termodinamici 10.2 Equilibrio termodinamico. Principio dell'equilibrio termico I0.3 Definizione di temperatura. Termometri I0.4 Sistemi adiabatici. Esperimenti di Joule. Calore I0.5 Primo principio della termodinamica. Energia interna I0.6 Trasformazioni termodinamiche. Lavoro e calore 10.7 Calorimetria 10.8 Processi isotermi. Cambiamenti di fase 10.9 Trasmissione del calore IO. I O Dilatazione termica di solidi e liquidi IO. I I Conclusioni riassuntive Capitolo 11 Gas ideali e reali I I. I Leggi dei gas. Equazione di stato dei gas ideali I 1.2 Termometro a gas ideale a volume costante I 1.3 Trasformazioni di un gas. Lavoro I 1.4 Calore. Calori specifici I 1.5 Energia interna di un gas ideale I 1.6 Studio di alcune trasformazioni 11 .7 Trasformazioni cicliche I 1.8 Gas reali. Equazione di stato. Energia interna 11.9 Diagrammi pV. Diagrammi pT. Formula di Clayperon 11 . 1O Teoria cinetica dei gas I I. I I Cenni di teoria cinetica dei gas reali

289 289 291 293 295 297 300 303 309 311 316 318

320 320 325 327 330 331 334 342 350 352 359

368

11.12 Significato cinetico di temperatura e calore I I . 13 Proprietà elastiche dei gas 11.14 Propagazione di onde in un gas

Capitolo 12 Secondo principio della tem10dinamica 12. I Enunciati del secondo principio della termodinamica 12.2 Reversibilità e irreversibilità 12.3 Teorema di Carnot 12.4 Temperatura termodinamica assoluta 12.5 Teorema di Clausius 12.6 La funzione di stato entropia 12.7 Il principio di aumento dell'entropia. Calcoli di variazioni di entropia 12.8 Entropia del gas ideale 12.9 Energia inutilizzabile 12.1 O Conclusioni termodinamiche sull'entropia 12.11 Entropia e probabilità 12. 12 Cenni sul terzo principio della termodinamica 12.13 Potenziali termodinamici 12. 14 Proprietà generali dei sistemi p V T 12.15 Relazioni di Maxwell 12. 16 Espansione di Joule-Thomson 12.17 Miscele di gas ideali 12.18 Sistemi aperti. Potenziale chimico. Regola delle fasi Problemi di tern1odinamica çJuida alla risoluzione dei problemi Risultati numerici Appendice A Appendice B Appendice C Indice Analitico

Pag. 369 370

372

376 376 379 380

383 385

387

390 397 401 403 404

408 409 415 422 428 431 434 440 449 456 464

470

487

MECCANICA

CINEMATICA DEL PUNTO

I. I

INTRODUZIONE

La meccanica rig uarda lo studio de l moto di un corpo: essa spiega la re lazione che esiste tra le cause che generano il moto e le caratteristiche di questo e la esprime con leggi quantitative. Se il corpo è esteso, come lo sono tutti i corpi materiali , il moto può risultare notevolmente complicato. Per questa ragione, seguendo un processo molto comune in Fisica, ini ziamo lo studio de l moto dal più semplice corpo, que llo puntiforme, detto punto materiale o spesso anche particella: si tratta di un corpo privo di dimensioni ovvero c he presenti dimensioni trascurabili ri spetto a quel le de llo spazio in cui può muoversi o degli altri corpi con c ui può interagire. L ' introduzione di tale concetto rende innanzitutto più semplice la trattazione di alcuni aspetti di certi problemi . Per esempio, se siamo interessati a studiare il moto della luna intorno a lla terra, poss iamo conside rare in prima approssimazione sia la terra che la luna come punti materiali , dato che le loro dimensioni sono trascurabili ri spe tto alla di stanza. Inoltre, più in generale, lo studio del sistema punto materiale permette di de finire nel modo più facile alcune grandezze meccaniche fondamentali e di capirne il significato con immediatezza, in assenza de lle complicazioni che deriverebbero dalla slrulturé;I estesa del corpo. D'altra parte un corpo esteso solo eccezionalmente si muove come un punto materiale (si parla in tal caso di traslazione, come vedremo in seguito); esso può compiere contemporaneamente a ltri tipi di moto, come rotazioni (ad esempio una ruota) o vibrazioni (una goccia di liquido che cade). Studieremo pertanto anche il moto de i corpi non puntiformi e capiremo allora l' utilità dello studio pre liminare de l punto mate ria le. L 'anali si completa de l moto rig uarda sia il collegamento del moto stesso alle interazioni de l corpo con i corpi circostanti che la descri zione geometrica de ll 'evoluzione temporale de l fenomeno di movimento. Questa parte della meccanica, descrittiva de l moto di un corpo, indipe ndentemente dall e cause che lo determinano, viene detta cinematica, mentre il perché de l moto viene studiato nella dinamica. Noi com incieremo il nostro studio de lla meccanica dalla cinematica del punto , lo proseguiremo con la dinamica del punto e lo concluderemo con la tratt azione più generale de lla dinamica dei sistemi di punti, che applicheremo a casi molto dive rsi tra loro, come i corpi solidi e i nuidi . 11 moto di un punto materia le è determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di r(ferimento, ossia ad esempio le sue coordinate x (t ), y (t),: (t ) in un siste ma di ri ferimento cartesiano. Questa scelta, anche

1

4

Cinematica del punto

se è la più comune, non è unica; in determinate situazioni fi siche possono essere più idonei altri sistemi di riferimento, come quelli basati su coordinate polari. La traielforia è il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento e costituisce una curva continua nello spazio. Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterà a definire il concetto di velocità, mentre lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introdurrà la grandezza accelera:ione; si noti che l' occuparsi di variazioni comporterà necessariamente il collegamento con il concetto matematico di derivata. Le grandez:e fondamentali in cinematica sono pertanto lo spazio, la velocità, l'accelera:ione e il tempo; quest' ultimo in sostanza rappresenta la variabile indipendente. La quiete è un particolare tipo di moto in cui le coordinate restano costanti e quindi velocità e accelerazione sono nulle. Dobbiamo però sottolineare, e riprende remo in dettaglio questo aspetto successivamente, che è necessario specificare sempre il sistema di riferimento rispetto a cui si osserva il moto. Un punto in quiete in un sistema di riferimento può apparire in moto rispetto ad un altro. Oppure si pensi al volo di un uccello visto da una persona ferma o da un 'altra persona in un ' auto in movimento. Di norma dunque la traiettoria di una particella in moto ha una forma diversa ed è rappresentata da un 'equazione diversa in diversi sistemi di riferimento. Nei paragrafi successivi svilupperemo i concetti di velocità e accelerazione, considerando in generale le funzioni x (t),y (1), z (1) continue e derivabili. Più avanti, dopo aver trattato la dinamica del punto, ci occuperemo del problema del moto relativo, cioè delle relazioni che esistono tra le descrizioni di uno stesso moto visto da due sistemi di riferimento in movimento l'uno rispetto all'altro.

1. 2

o

p

.r -.r (1)

-

Fig. I.I

Diagramma orario

MOTO RETTILINEO

Il primo moto che prendiamo i'n considerazione, sempre iniziando dal caso più semplice, è quello rettilineo. Esso si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un 'origine e un verso; il moto del punto è descrivibile tramite una sola coordinata x (1). La geometria del moto rettilineo è rappresentata in figura I. I. Sperimentalmente x (1) può essere determinata ponendo lungo la retta dei traguardi con dispositivi a cellula fotoelettrica collegati ad un cronometro o per via televisiva o per mezzo di fotografia rapida. Con questi sistemi possiamo ottenere coppie di valori xi, ti e ricercare una relazione tra x et, cioè la funzione x (1). Anche la scelta dell'origine dei tempi è arbitraria: t =O può coincidere con l'inizio della nostra osservazione, ma c iò non è assolutamente necessario. Le misure ottenute possono essere rappresentate in un sistema con due assi cartesiani. Su li ' asse de lle ordinate riportiamo i valori di x e su quello delle ascisse i corrispondenti valori del tempo: la figura si chiama diagramma orario. È necessario ovviamente introdurre delle unità di riferimento nei due assi, ad esempio la lunghezza corrispondente ad un intervallo di tempo di un secondo nelle ascisse e que lla relativa ad uno spostamento di un metro nelle ordinate. Ne lle figure 1.2, 1.3, 1.4, sono riportate le misure e i diagrammi orari corrispondenti a tre diversi moti di un punto materiale. Vog liamo sottolineare che in una misura fisica reale ciascun dato è affetto da errori e pertanto i punti che rappresentano le varie misure non si dispongono esattamente su una retta, una parabola o su altri tipi di curve. L'espressione dix (1) è ottenibile solo tramite opportuni metodi di ottimizzazione analitica.

Mow re11ili11eo

tempo

os I s 2 s 4 s 6 s 9 s 12 s

x(111)

pos izio ne 4

- 2.0111 - 1.5 111 - I.O m O.Dm l .Om 2.5 111 4.0 m

2

-2

Al tempo I = 4s il punto passa per l'orig ine: il moto è rappresentabile tramite una re lazione lineare tra .r e t de l tipo x = a r +b. dove a e b sono due costanti c he assumono i valo ri a= 0.5 m s·• . h = - 2m .

tempo

os I s 2 s 3 s

6 s 9 s 10 s

X

posizione

(111)

4

4m 3 111 2m lm lm lm lm

2 I

5

(s)

10

li punto ne l suo mo to s i avvicina all'orig ine con una relazio ne lineare tra .re t dc l tipo .r = ar +b. con a = - I m s 1 • h = 4 111 . Ragg iunta la posizione .r = I m s i fe rma, restando in ta le posizione .

tempo

os I s

3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 10 s

Fig. 1.3

.r(m )

pos1z1onc - 2.0 m - 2.0 m -2.0 m - 1.5 m O.Om 2.5 m 6.0 111 6 .0111 6.0 m

Fig. 1.2

5

I

(s)

10

c l l'inte rvallo di tempo tra t = O et= 3 s il punto rimane fe rmo ne ll a posizione .r = - 2 m . sut:ccssivamente s i muove secondo il verso positivo della re tta con una relazione quadratica tra .re t de l 1ipo.r = a + h (1- 1,y, in cui a = - 2 m. h = 0.5 ms ~ .10 = 3 s. e ll a posizionc.r = 6 m il pun1o si ferma.

Fig. 1.4

5

6

Ci11ema1irn del / Jtllllo

1. 3

V ELOC ITÀ NEL

MOTO RETTILI NEO

Introduciamo ora il concetto di velocità media e velocità istantanea ne l moto rettilineo. Se al tempo t = t 1 il punto si trova nella posizione .r = x 1 e al tempo t = t2 ne lla posiz ione x =x2 , Llx =x2 - x 1 rappresenta lo spazio pe rcorso nel l' interva llo di tempo Ll 1 = t 2 - t 1 • Possiamo caratte ri zzare la rapidità con cui avviene lo spostamento tramite la ve locità media Yc locitù med ia

Ta le grandezza però forni sce una informazione complessiva, ma non dà quasi nessuna indicazione s ulle caratteri stiche e ffettive de l moto. Pe r individuare la funzionex {t) e le sue vari azioni aume ntiamo il numero di misure ne ll ' inte rvallo di spazio Ll x, cioè suddividiamo l' interva llo Ll x in nume rosi piccoli intervalli (Llx) 1 , (Ll .\\ , .. ., (Ll x);, . .. , (Ll x),, percorsi rispettivamente negli intervalli di tempo (Ll 1) 1 , (Ll t)2 , ... , (Ll t); , .. ., (Ll 1) Le corrispondenti ve locità medie sono v, = (Ll x), I (Ll t ); ; in generale v 1 , v 2 , • • • , v, , .. ., v,, non sono eguali tra loro e a v,,, . Infatti in un gene rico moto rettilineo la ve locità non è costante nel tempo (c iò comporterebbe appunto v 1 =v 2 = .. . = v; = . . . = v,, = v,,, ). Il processo di suddivisione in spazi sempre più piccoli può essere continuato e il limite a tale procedura è posto dalla capac ità di apprezzare piccoli intervalli da parte degli strumenti utili zzati pe r la misura deg li interva lli di spazio e di tempo. In ogni caso se Llx ri sulta suddiviso in un numero e le vatis imo di intervallini d x, c iasc uno percorso ne l tempo d I , si può de finire la ve locità istant anea, ad un istante I , de l punto in movimento come il rapporto v = d x/d t , calcolato in que l de te rminato istante. Il metodo che abbiamo descritto in un modo abbastanza semplice consiste mate maticamente ne l calcolare il limite per Ll t ~ O de l rapporto inc rementale Llx/Ll t. Pertanto la velocità di un punto nel moto rettilineo è data dalla derivata dello spazio ri spetto al te mpo: 11 •

Ycloci1;1 istanianca

( I. I ) la velocità istantanea, c ioè, rappresenta la rapidità di varia:ione temporale della

posi: ione nel/' istame t considerato. Il segno de lla veloc ità indica il verso de l moto sul l asse x : se v >O la coordinata x cresce (ne ll a fi g ura I. I il punto va da sinistra verso destra), mentre se v O mentre P 2 si trova in\,> O con velocità positiva v 2 v=dr u, +r dt uo=v, +vo

Yelociti1 radiale Yelocitù trasversa

Si è utilizzato per la derivata del vettore u, il risultato ricavato in appendice C. La velocità che, si ricordi , è sempre tangente alla traiettoria si scompone in due componenti: la velocità radiale v , , diretta lungo re di modulo dr/dt e la velocità trasversa v 0 , ortogonale are di modulo r d8 /dt; v , dipende dalle variazioni del modulo del raggio vettore, v 0 è collegata alle variazioni di direzione dello stesso. Il risultato della scomposizione si può anche ottenere considerando che lo spostamento infinitesimo cl r ha le componenti d r e r cl 8 (a meno di infinitesimi di ordine superiore): dividendo per d t si hanno le componenti della velocità. Il modulo della velocità è, con queste componenti,

ds V=-= dr

o versori

v,,

2 ( dr ) + r 2 dt

r(t)

v,

(

d () )2 dr

In definitiva abbiamo mostrato come si determina la velocità se è nota la posizione, in coordinate cartesiane o polari. Analogamente a quanto fatto per il moto rettilineo, ci poniamo il problema inverso e la soluzione si ricava da ( 1. 17) integrando:

V

.. o

( 1.19)

= r(t0 ) +

r

V(t) d t

(1.20)

L ' integrazione esplicita può essere effettuata ricorrendo alle componenti, per esempio cartesiane, e ricadiamo nella ( 1.2), applicata ai moti rettilinei componenti; calcolate x (t) e y (t) abbiamo r (!). Resta essenziale la conoscenza delle condizioni iniziali .

velocità

I. IO ACCELERAZIONE NEL MOTO PIANO. Fig. 1.13

L'accelerazione nel moto piano deve esprimere le variazioni della velocità sia come modulo che direzione e quindi ci aspettiamo che abbia due componenti , una legata alla variazione del modulo della velocità e la seconda al cambiamento di direzione del moto. Ne l moto rettilineo, dove la velocità mantiene sempre la stessa direzione, l'accelerazione è espressa da un solo termine. Nella figura 1.14 è mostrata la situazione in modo qualitativo, ma già si capisce che l'accelerazione non è parallela alla velocità ed è diretta verso la concavità della curva che rappresenta la traiettoria. Anche nel moto piano l'accelerazione si definisce come derivata della velocità ri spe tto al tempo (ed è una grandezza vettoriale): dV a= - - dt

d 2r ( 1.21) dt

2

Utilizziamo ( 1.18) e la regola di derivazione di un vettore:

21

Accelerazione nel moto piano

a

d

= dt -

(v u ) T

dV

= dt -

UT

+V

duT --

dt

d

V

= dt -

~

+V

d =- tg

a.

Le caratteri stiche geometriche de l moto parabolico di un corpo vicino all a superfi c ie te rrestre si compre ndono chiaramente ne l sistema cartes iano adottato che è in de finitiva il più naturale in questo problema in cui c'è una direzione di particol are importanza, que lla di g, a 90° con una direzione di uso pratico molto comune, que ll a ori zzonta le. Invece, per esempio, nella trattazione de l moto c ircol are è ce rtamente più semplice servirsi di un sistema di coordinate polari con centro ne l centro di simmetria de l sistema, mentre non hanno particolare signifi cato gli ass i x e y . È dunque la situazione fi sica a suggerire la scelta de l sistema di ri fe rimento più adatto; se però non ci sono motivi di pre fe renza di un dato sistema, conviene sceg liere un sistema cartes iano.

1. 13 MOTO NELLO SPA Z IO. COMPOSI Z ION E DI MOTI. Ne l caso più generale il punto P desc rive una traiettori a c urv a ne llo spazio; questo moto tridimensionale può essere rappresentato , in coordinate cartes iane, come la somma di tre moti rettiline i lungo g li ass i di riferimento per cui sc riviamo: r (t ) = x (t) u, + y (t) u_ ,.+ z (t) u, v (t )= dr = d x u +d y u +d z u =v u +v u +v u d { • d { < d { .\' d { X .\ )' .\' ; _ d v _ d 2r _ d 2x d 2y d 2z a (t) - - , - - , u + ~ u . + 2 u = a u +a u +a u . d{ d ,- d ,d ,~ ) d { ; I

I

I

)"

)'

•

.

Secondo la procedura già nota da a (t) ri saliamo a r (t) con due successive integrazioni , note le condiz ioni ini ziali r 0 e v 0 • La ve loc ità v è sempre tangente all a trai ettori a, indica il verso de l moto e in modulo vale ds/dt , l'accelerazione a non è parallel a a v e indica, fi sicamente, la direzione e il ve rso de ll a fo rza agente che incurva la traiettori a. Non sviluppi amo ulteriormente la c inematica ne ll o spaz io pe rché non ne avremo bi sogno ne l seg uito de ll a trattazione. Ci occ upi amo invece, con vari esempi , de lla composiz ione di moti. Richi ami amo i due cas i già vi sti : nel parag rafo 1. 11 abbiamo mostrato che un moto c ircolare uni forme s i scompone in due moti armonic i semplici su ass i ortogonali, di eg ua le ampiezza e periodo, sfasati di Jr I 2, ne l paragra fo 1. 12 che il moto di un punto lungo un arco di pa rabola ha come moti componenti un moto rettilineo lungo l'asse o ri zzonta le e un moto uniformemente acce lerato lungo l' asse verticale. Adesso impostiamo il problema inverso: prendi amo due moti lungo gli ass i .r, y e calco liamo il moto ri sult ante ne l piano.

29

30

Cinematica del punto

..

.r

'' Fig. 1.22

a) Se i due moti sono uniformi con velocità v , e v,. , il moto risultante è un moto uniforme lungo una retta che form a un angolo q,·con l'asse delle x, tale che tg

µ, N. Supponiamo che la forza F formi un angolo a con la direzione normale al piano di appoggio (direzione verticale: si veda la figura 2.5, in cui P è la forza peso del corpo). Pertanto F 1 = F cosa. F , = F sena. La reazione R del piano, in condizioni di equilibrio statico del orpo,__è_tale_che .\

For1a di attrito rade nte stati co

\

-

(2.5)

R+P+F=O

Proiettiamo la (2.5) secondo le due direzioni ortogonali tra loro, quella normale al piano di appoggio assunta positiva verso l'alto e quella parallela al piano stesso (positiva nel verso di F 2 ); chiamiamo Ne F,, le corrispondenti componenti di R. La (2.5) fornisce N - P+ FI

=o

p

Fig. 2.5

N = P - F 1 = P - F cos a

F + F,= - O

F = - F = - F sen "

(/

2

a

La condizione di appoggio del corpo è data da N >O cioè P > F cosa ; se questa è soddisfatta (cioè la forza non solleva il corpo) la componente parallela al piano di appoggio della reazione vincolare controbilancia, quando il corpo è in quiete, la componente orizzontale della forza applicata. Dovendo essere, come detto sopra, F 1 5, µ·' N, la condizione di quiete si scrive

F sen a

5,

µ, (P - F cos a)

Quando il corpo entra in movimento si osserva che si oppone al moto lafor:a di arrriro radente dinamico F a = µ , N doveµ, rappresenta il coefflcienre di arrriro dinamico; risulta sempre µ 11 < µ , . L'equazione del moto è pertanto t

F sen

t

a - µ" N = m a

I-ori.a di attrito rade nte dinami co

42

Di11a111irn del p111110

La forza di attrito dinamico non dipe nde dalla ve loc ità de l corpo ri spetto al piano di appoggio ed ha verso contrario alla direzione de l moto e quindi al versore de lla ve locità, uv. Yettorialmente

(2.6) Fori.e di coes ione

Le forze di attrito radente hanno orig ine dalle j or:e di coesione tra due materiali ; il valore del coe ffi c iente di attrito dipende dallo stato de lle supe rfic ie a contatto e dal la loro composizione chimica . Una eccessi va levi gatura fa aumentare la coesione e quindi l'attrito; se le superfic ie vengono invece bagnate come s i reali zza nel caso di organi meccanic i in movimento mediante l'utili zzazione di lubrifi canti , la forza di attrito diminui sce notevolmente. Conc ludiamo con due osservaz ioni . Ricordando quanto dello ne l paragrafo 2.4, sollo lineamo come la forza di llrit.o ., e eh è a reazione vincolare, n