42 0 22MB
3 Antonio Caforio Aldo Ferilli
Le risposte
Fisica
della
Edizione nuovo Esame di Stato SIMULAZIONI PER LA SECONDA PROVA
PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO
ACCEDI AGLI AUDIO E AI VIDEO CON LO SMARTPHONE
Antonio Caforio Aldo Ferilli
Le risposte
Fisica
della
Edizione nuovo Esame di Stato
3
© 2020 by Mondadori Education S.p.A., Milano Tutti i diritti riservati www.mondadorieducation.it Questo ebook contiene materiale protetto da copyright e non può essere copiato, riprodotto, trasferito, distribuito, noleggiato, licenziato o trasmesso in pubblico, o utilizzato in alcun altro modo ad eccezione di quanto è stato specificamente autorizzato dall’editore, ai termini e alle condizioni alle quali è stato acquistato o da quanto esplicitamente previsto dalla legge applicabile. Qualsiasi distribuzione o fruizione non autorizzata di questo testo così come l’alterazione delle informazioni elettroniche sul regime dei diritti costituisce una violazione dei diritti dell’editore e dell’autore e sarà sanzionata civilmente e penalmente secondo quanto previsto dalla Legge 633/1941 e successive modifiche. Questo ebook non potrà in alcun modo essere oggetto di scambio, commercio, prestito, rivendita, acquisto rateale o altrimenti diffuso senza il preventivo consenso scritto dell’editore. In caso di consenso, tale ebook non potrà avere alcuna forma diversa da quella in cui l’opera è stata pubblicata e le condizioni incluse alla presente dovranno essere imposte anche al fruitore successivo.
Rita Occhipinti e Monia Cardella hanno collaborato con gli autori alla definizione del progetto editoriale e degli apparati didattici. Redazione Progetto grafico Impaginazione Direzione artistica sistema visivo delle copertine Realizzazione della copertina Disegni Ricerca iconografica Correzione esercizi Stesura Stesura Stesura Stesura
Aperture di Sezione Riepiloghi visuali Mappe concettuali esercizi
Stesura Problem solving passo per passo Stesura Impara e applica Stesura Verso l’esame di Stato
Valentina Buffi, Chiara Capone, Monia Cardella, Alessia Lodola, Chiara Morelli, Rita Occhipinti, Elisa Pettinari, Lara Vozella, Edistudio, Francesco Albanese Massimo De Carli, Edistudio Preparé Italia, Edistudio 46xy studio Alfredo La Posta Susanna Amati, BaMa, Edistudio, Giulio Mannino (illustrazioni 3D), Fabio Ranavolo Valentina Buffi, Chiara Capone, Monia Cardella, Alessia Lodola, Rita Occhipinti, Elisa Pettinari, Lara Vozella Marco Bolzon, Vanni Ghimenti, Maria Elisabetta Pezzoli, Barbara Lo Faro Lara Vozella Elia Bombardelli Chiara Capone, Lara Vozella Elia Bombardelli, Monia Cardella, Vanni Ghimenti, Concetto Gianino, Alessia Lodola, Elisa Pettinari, Lara Vozella, Maria Elisabetta Pezzoli Chiara Capone Vanni Ghimenti Eolo Di Casola, Ruth Silva Loewenstein, Francesca Toglia, Maria Angela Vitali
Contenuti digitali Progettazione Redazione Realizzazione
Fabio Ferri, Lorenzo Testa duDAT srl (video), Viola Bachini e Michela Perrone (webdoc), Fabio Bettani (videolaboratori), Francesco Marchi (videotutorial) duDAT srl (video, esercizi commentati e lezioni LIM), Viola Bachini e Michela Perrone (webdoc), Cineseries srl e Flylab Creative Media (videolaboratori), Groove Factory (videotutorial), IMMAGINA srl (audio), Lumina Datamatics (mappe modificabili)
In copertina Farfalla monarca © thawats/gettyimages
La pubblicazione degli esercizi delle Olimpiadi di Fisica è autorizzata dal MIUR - Direzione Generale per gli ordinamenti scolastici e per la valutazione del sistema nazionale di istruzione proprietario esclusivo dei prodotti delle Olimpiadi. L’editore fornisce - per il tramite dei testi scolastici da esso pubblicati e attraverso i relativi supporti - link a siti di terze parti esclusivamente per fini didattici o perché indicati e consigliati da altri siti istituzionali. Pertanto l’editore non è responsabile, neppure indirettamente, del contenuto e delle immagini riprodotte su tali siti in data successiva a quella della pubblicazione, distribuzione e/o ristampa del presente testo scolastico. Per eventuali e comunque non volute omissioni e per gli aventi diritto tutelati dalla legge, l’editore dichiara la piena disponibilità. La realizzazione di un libro scolastico è un’attività complessa che comporta controlli di varia natura. Essi riguardano sia la correttezza dei contenuti che la coerenza tra testo, immagini, strumenti di esercitazione e applicazioni digitali. È pertanto possibile che, dopo la pubblicazione, siano riscontrabili errori e imprecisioni. Mondadori Education ringrazia fin da ora chi vorrà segnalarli a: Servizio Clienti Mondadori Education e-mail [email protected] numero verde 800 123 931
III
Sommario
Sommario Contenuti digitali integrativi AUDIO
TEST INTERATTIVO
VIDEOTUTORIAL
MAPPA MODIFICABILE
ESERCIZI COMMENTATI
VIDEOLAB
Atlante del corso Le competenze per l’Esame di Stato
X XII
VIDEO
Competenze digitali
XIV
Sezione A La dinamica newtoniana Unità 1
LE LEGGI DELLA DINAMICA E L’EQUILIBRIO
1 Le grandezze della dinamica: un richiamo 2 La rappresentazione cartesiana dei vettori mat 3 Operazioni con i vettori in rappresentazione cartesiana mat 4 Le leggi di Newton Reazioni sul ghiaccio
5 Equilibrio del punto materiale e del corpo rigido Quali forze per equilibrare l’asta?
Unità 2
2 7 11 14 16 17 21
PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
22 23 24 30 32 34 40
Dettaglio dei contenuti video VIDEO La rappresentazione cartesiana dei vettori
I MOTI COME CONSEGUENZA DELLE LEGGI DELLA DINAMICA
1 Il moto rettilineo uniforme A quando l’incontro?
2 Il moto rettilineo uniformemente accelerato A spasso sì, ma non per una boccata d’aria!
3 L’uso delle derivate in fisica: velocità e accelerazione mat 4 Il moto in due e tre dimensioni Quale accelerazione in curva?
5 Il moto parabolico E se lo stuntman non sapesse la fisica?
6 Il moto circolare Come gira la centrifuga?
44 45 46 48 49 51 54 55 57 57 62
7 Le grandezze vettoriali del moto circolare mat
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ
63
8 Il moto armonico e il pendolo Quanto è teso il filo? RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
65 71 72 73 74 83 85 87 90
Dettaglio dei contenuti video VIDEOLAB La cinematica del moto rotatorio; Il sistema
massa-molla VIDEOTUTORIAL
IV
Sommario
Unità 3
SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI E NON INERZIALI
1 Composizione classica di spostamenti, velocità e accelerazioni Calcoliamo la velocità. Sì, ma quale?
2 Il principio di relatività classico Dove cade la palla?
94 96 97 99 100
3 Le trasformazioni galileiane mat 4 Forze apparenti nei sistemi di riferimento 103 in moto traslatorio accelerato Un pendolo in obliquo: che strano equilibrio! 106 5 Forze apparenti nei sistemi di riferimento in moto circolare 107 Come incide la rotazione terrestre sull’accelerazione di gravità?
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
112 113 114 120 122 124 128
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Forze apparenti nei sistemi di riferimento in moto traslatorio accelerato; Forze apparenti nei sistemi di riferimento in moto circolare VIDEOTUTORIAL
109
APPROFONDIMENTI Persone e idee della fisica Procedimenti logici
e metodi del pensiero scientifico
Fisica e tecnologia GPS: la cinematica ai tempi della
globalizzazione
132
133
Towards CLIL Science versus myth: the Coriolis
effect
134
Sezione B Principi di conservazione Unità 4
L’ENERGIA MECCANICA
1 Il lavoro come prodotto scalare All’aeroporto, con un trolley per bagaglio…
2 Il lavoro di una forza costante: il caso della forza peso In equilibrio dinamico... niente lavoro!
3 Il lavoro di una forza variabile: il caso della forza elastica Qual è il lavoro di un sistema di molle?
4 L’energia cinetica Lavoro... invernale!
5 Forze conservative ed energia potenziale È sicuro quel giocattolo?
6 La conservazione dell’energia Come si trasforma l’energia di un pendolo? Come si trasforma l’energia di un sistema molla-blocco?
Unità 5
136 139 139 140 141 143 144 146 147 151 152 153 154
Energia meccanica: che cosa cambia quando in gioco c’è l’attrito?
7 Potenza media e istantanea Che potenza sviluppa lo skilift? RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
155 157 158 160 161 162 171 173 175 178
Dettaglio dei contenuti video VIDEO La potenza media e istantanea VIDEOTUTORIAL
DINAMICA DEI FLUIDI
1 Fluidi ideali e fluidi reali 2 L’equazione di continuità A che velocità scorre il petrolio?
3 L’equazione di Bernoulli Come cambia la pressione in un aneurisma?
4 La viscosità dei fluidi Una sfera nell’olio RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE
182 184 185 186 188 190 193 194 195
ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO Dettaglio dei contenuti video VIDEO Il teorema di Bernoulli VIDEOTUTORIAL
196 201 203 205 208
Sommario
Unità 6
LA QUANTITÀ DI MOTO E GLI URTI
1 Quantità di moto e impulso Quanto è forte il colpo?
2 La conservazione della quantità di moto Pistole… da cinema!
3 Gli urti Impossibile fermare quella palla!
4 Urti elastici in una e due dimensioni Urti a catena
212 214 215 216 220 222 223 226
5 Centro di massa e moto di un sistema di particelle Il gioco del biliardo è una questione di punti di vista
Unità 7
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
230 231 232 238 240 242 248
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Urti elastici
227
VIDEOLAB Il teorema dell’impulso VIDEOTUTORIAL
228
MOMENTO ANGOLARE E CORPI RIGIDI
1 Il momento angolare
252 255 255
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO
4 La conservazione del momento angolare
257 262 262
Può una forza centrale modificare il momento angolare?
264
London Eye: quanto è alto?
2 La variazione del momento angolare 3 Momento di inerzia e momento angolare di un corpo esteso Come accelerare la giostra?
5 La dinamica rotazionale di un corpo rigido Quale momento per azionare la sega elettrica?
264 265
6 Energia cinetica, lavoro e potenza nel moto rotatorio 266 Qual è la potenza del motore? 268
Unità 8
V
PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
270 271 272 281 283 285 288
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Energia cinetica e lavoro nel moto rotatorio VIDEOLAB La dinamica del moto rotatorio; Il principio di conservazione del momento angolare VIDEOTUTORIAL
GRAVITAZIONE UNIVERSALE
1 Le orbite dei pianeti Quanto dura l’anno marziano?
2 La legge di gravitazione universale Quale forza agisce sulla Luna?
3 Il campo gravitazionale L’altezza del vulcano
4 L’energia potenziale gravitazionale Qual è l’energia di fuga dalla Terra?
5 Velocità, periodo ed energia di pianeti e satelliti L’orbita della Stazione Spaziale Internazionale
292 293 294 296 298 302 302 306 307 311
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
312 313 314 321 323 325 328
Dettaglio dei contenuti video VIDEO La legge di gravitazione universale VIDEOTUTORIAL
APPROFONDIMENTI Fisica e tecnologia La propulsione a reazione
332
Towards CLIL 2001: Mars Odyssey
334
VI
Sommario
Sezione C Termodinamica Unità 9
LE LEGGI DEI GAS
1 Temperatura e scale termometriche
336 338 Le leggi dei gas 339 La legge di Boyle e le due leggi di Gay-Lussac 341 Pericolo esplosione! 343 Il termometro a gas a volume costante e lo zero assoluto 344 Un esempio di termometro a gas a volume costante 347 Una forma più semplice per le leggi di Gay-Lussac 348 La pressione della camera d’aria 349 L’equazione di stato dei gas perfetti 350 Una scala di ferro
2 3 4 5 6
Unità 10
PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
352 354 356 357 358 363 365 367 370
Dettaglio dei contenuti video VIDEO L’equazione di stato dei gas perfetti
LA TEORIA CINETICA DEI GAS
1 Modello molecolare dei gas perfetti 2 Urti molecolari e pressione Un pallone gonfiato
3 Velocità quadratica media e temperatura È più veloce una molecola o un aereo supersonico?
4 La distribuzione di Maxwell 5 L’energia cinetica media
mat
Quanta pressione nella bombola d’ossigeno?
6 Le proprietà dei gas reali Il cammino libero medio e la temperatura Una temperatura da tenere sott’occhio
Unità 11
Massa, numero di moli o numero di molecole? Quanto è denso lo strato dell’ozono? RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ
374 375 378 378 379 380 382 384 385 386 387
RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
388 389 390 396 398 400 404
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Ludwig Eduard Boltzmann
IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
1 Calore, equilibrio termico e passaggi di stato
408 412 2 La propagazione del calore 412 Quanta energia transita attraverso un muro? 414 Quanto calore irraggia il corpo umano? 416 3 Sistemi e trasformazioni termodinamiche 416 4 Il lavoro termodinamico 419 La bevanda ghiacciata
Quale lavoro durante un riscaldamento a pressione costante?
5 Il primo principio: la conservazione dell’energia Se la forma nel piano V-p è elementare... il ciclo non ha segreti!
420 423 426
6 L’energia interna e i calori specifici di un gas perfetto
427
Quanto calore per raddoppiare la pressione di un gas?
429
7 Il primo principio e le trasformazioni adiabatiche Quale temperatura al termine di una trasformazione adiabatica? RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Il primo principio della termodinamica VIDEOLAB La conduzione del calore nei solidi VIDEOTUTORIAL
430 431 432 433 434 443 445 447 452
Sommario
Unità 12
VII
SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA ED ENTROPIA
1 Le macchine termiche Motore Diesel o a benzina?
456 457
2 Il secondo principio: il verso privilegiato delle trasformazioni termodinamiche 458 3 Il ciclo di Carnot e il rendimento massimo delle macchine termiche 461 Rendimento reale e rendimento ideale: c’è una certa differenza!
4 Le macchine frigorifere Il frigorifero di Carnot
5 L’entropia di Clausius Reversibile o irreversibile?
464 465 466 467 470
6 Il secondo principio è un principio di “non conservazione” 471
L’entropia e la macchina termica Non importa se la trasformazione è irreversibile!
7 Entropia e disordine: l’equazione di Boltzmann mat RIEPILOGO VISUALE MAPPA CONCETTUALE ESERCIZI DI PARAGRAFO VERSO L’UNIVERSITÀ PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO PROBLEMI DI RIEPILOGO VERSO L’ESAME DI STATO
473 474 475 478 479 480 489 491 493 497
Dettaglio dei contenuti video VIDEO Il secondo principio della termodinamica
APPROFONDIMENTI Persone e idee della fisica Clausius, Maxwell,
Boltzmann e l’irreversibilità
Verso l’Università. Soluzioni Indice analitico Tavola periodica degli elementi
Towards CLIL What about us? Efficiency of the
501
504 505 508
human body as a machine
Tavole scaricabili sul libro digitale
503
HUB Scuola: per una didattica digitalmente aumentata HUB Scuola è la piattaforma digitale per lo studio e l’insegnamento che permette a studenti e docenti di consultare il libro digitale, esplorare le risorse multimediali integrate nel libro e condividere i contenuti disponibili.
HUB Campus è l’ambiente in cui il docente può trovare spunti sempre originali per programmare la didattica del futuro e per motivare gli studenti.
HUB Young è l’App per usare il libro di testo digitale. Pratica e intuitiva, stimola l’apprendimento, favorisce l’inclusione e potenzia i risultati individuali.
HUB Kit raccoglie i contenuti digitali che espandono il libro di testo: audio, video, esercizi interattivi, materiali aggiuntivi e contenuti scaricabili, mappe concettuali, laboratori digitali e gallerie d’immagini.
HUB Smart è l’App per guardare i video, ascoltare gli audio del libro di testo e per consentire agli studenti di allenarsi con i test, direttamente dallo smartphone.
HUB INVALSI è l’ambiente che permette di avvicinare l’alunno all’interfaccia della piattaforma INVALSI consentendogli di esercitarsi in modalità Computer Based.
Come accedere a HUB Scuola? Vai su hubscuola.it e accedi con le tue credenziali Mondadori Education. Non sei registrato? Vai su hubscuola.it, clicca su registrati e compila il form.
HUB Test è la piattaforma che permette ai docenti di creare verifiche partendo da un ricco database di quesiti disponibili.
Scarica HUB Young Scarica l’App da HUB Scuola o dai principali store online per conservare il libro e tutte le risorse multimediali integrate. Lancia l’App, effettua il login e nella libreria troverai tutti i libri che hai attivato.
Link utili › La piattaforma per la didattica digitale: hubscuola.it › Il sito web con le nostre novità: mondadorieducation.it › L’assistenza per tutti: assistenza.hubscuola.it
NOVITÀ
Il canale YouTube di HUB Scuola è online! Vai su youtube.com/c/hubscuola HUB Scuola mette a disposizione i video dell’intera produzione editoriale, divisi in più di 40 playlist comodamente fruibili da tutti e condivisibili sui principali social. Utili ai docenti per progettare percorsi didattici, per motivare gli studenti, per insegnare in modo dinamico trasmettendo la passione per il sapere e la conoscenza. Utili agli alunni per studiare in autonomia, ripassare le lezioni e imparare divertendosi con contenuti certificati e d’autore, usando un canale di comunicazione vicino al loro mondo.
La piattaforma per creare verifiche e mettersi alla prova
La piattaforma dedicata alla preparazione dell’INVALSI
HUB Test è la piattaforma semplice e intuitiva che permette ai docenti di creare verifiche personalizzate. Contiene un ricco database di quesiti ed è utile anche per l’allenamento individuale degli studenti.
HUB INVALSI permette di svolgere esercitazioni di italiano, matematica e inglese – come previsto dalla normativa – in modalità Computer Based, per avvicinare l’alunno all’interfaccia INVALSI.
L’App per guardare i video, ascoltare gli audio e allenarsi con i test HUB Smart è l’App per fruire dei video e degli audio dei libri di testo da smartphone e tablet senza registrazione. Facile e veloce, permette di ripassare le lezioni e di mettersi alla prova con i test.
NOVITÀ
Scopri HUB Campus, il luogo dell’ispirazione Vai su campus.hubscuola.it HUB Campus è l’ambiente in cui il docente può trovare spunti per progettare soluzioni didattiche originali e per motivare gli studenti. Nuovi portali disciplinari con le migliori risorse digitali dell’offerta editoriale. Materiali coinvolgenti e utili per programmare le lezioni e preparare gli studenti agli esami. Strumenti e metodi per una didattica digitalmente aumentata. Strategie per favorire una didattica sempre più inclusiva e per educare alla cittadinanza digitale.
X
Atlante del corso
Atlante del corso Le rubriche della teoria Come e perché: box che illustrano i dettagli della spiegazione teorica. Le risposte della fisica: problemi modello, risolti e commentati, per vedere come i concetti appresi nel paragrafo trovino applicazione in un contesto reale. Con parole tue: domande concettuali per stimolare la rielaborazione e l’esposizione dei concetti in un corretto linguaggio scientifico, come richiede l’esame di Stato. Videolezioni su concetti fondamentali o ritratti di scienziati. Videolaboratori: esperienze di laboratorio filmate.
Didattica inclusiva Due pagine ad alta leggibilità con un riepilogo visuale e una mappa concettuale: per fare il punto, nel rispetto dei diversi stili di apprendimento, sui contenuti dell’Unità. Ogni riepilogo visuale è disponibile in versione audio. La mappa concettuale è modificabile sul libro digitale.
Esercizi di paragrafo Nel Consolidamento delle conoscenze, si lavora su concetti e strumenti matematici. Gli Esercizi di paragrafo propongono semplici esercizi assistiti che aiutano a fissare le idee (Trova l’errore, Inglese, Rispondi in 10 righe, Impara e applica, Dimensioni, Immagini).
Verso l’Università Quindici test a risposta multipla autocorrettivi chiudono il Consolidamento delle conoscenze. Sono utili per un’autoverifica o per simulare una prova di accesso all’Università. I test Verso l’Università sono resi interattivi sul libro digitale.
Atlante del corso
XI
Problem solving passo per passo A partire da un problema modello, questa rubrica espone il metodo generale per la risoluzione dei problemi di fisica: tutti i passaggi necessari sono esplicitati e commentati.
Problemi di riepilogo
Verso l’esame di Stato
Problemi organizzati per livello di difficoltà (Immagini, Stime, Olimpiadi, Inglese, Indagini) sui contenuti dell’intera Unità: in modo graduale, si mettono in gioco le competenze di problem solving attivate nei materiali precedenti. Esercizi commentati: esercizi svolti, passo per passo, sul libro digitale. Videotutorial: video risoluzioni di esercizi particolarmente significativi.
Due problemi, uno risolto e uno proposto, e tre quesiti: attività sfidanti con cui allenarsi in vista della seconda prova.
GUARDA I VIDEO DALLO SMARTPHONE
Accedi ai video del tuo libro di testo direttamente dallo smartphone senza necessità di login! Quando nelle pagine del tuo libro di testo trovi questa icona, inquadra la pagina con il tuo smartphone e guarda il video. Per scaricare la app vai su www.hubscuola.it/download-app o sui principali store.
XII
Rubrica delle competenze
Le competenze per
L’ESAME DI STATO COMPETENZE CHIAVE ■ Imparare a imparare3 ■ Progettare
Questa rubrica delle competenze nel suo complesso mappa una molteplicità di fonti per la descrizione e la valutazione delle competenze. Nella pagina di sinistra trovate le competenze disciplinari indicate dalle Linee
COMPETENZE DISCIPLINARI E COMPETENZE CHIAVE ESAMINARE
■ Osservare e identificare fenomeni1
3
■ Fare esperienza e rendere ragione del significato dei vari as-
■ Collaborare e partecipare3
petti del metodo sperimentale, dove l’esperimento è inteso come: interrogazione ragionata dei fenomeni naturali [...]1
■ Agire in modo autonomo e
responsabile3
■ Analizzare qualitativamente e quantitativamente fenomeni
legati alle trasformazioni di energia a partire dall’esperienza2 ■ Osservare, descrivere e analizzare fenomeni apparteneti
alla realtà naturale e artificiale e riconoscere nelle sue varie forme i concetti di sistema e di complessità2 ■ Acquisire l’informazione3
IPOTIZZARE
■ Formulare ipotesi esplicative utilizzando modelli, analogie e
leggi1 ■ Individuare collegamenti e relazioni3
PROBLEM SOLVING
■ Formalizzare un problema di fisica e applicare gli strumenti
matematici e disciplinari rilevanti per la sua risoluzione1 ■ Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ra-
gionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico 2 ■ Risolvere problemi3
INTERPRETARE
■ Fare esperienza e rendere ragione del significato dei vari as-
petti del metodo sperimentale, dove l’esperimento è inteso come: [...] scelta delle variabili significative, raccolta e analisi critica dei dati e dell’affidabilità di un processo di misura, costruzione e/o validazione di modelli1 ■ Interpretare l’informazione3
COMUNICARE
■ Utilizzare e produrre testi multimediali2
LEGENDA 1 Profilo disciplinare, Linee guida
SOCIETÀ
■ Comprendere e valutare le scelte scientifiche e tecnologiche
che interessano la società in cui vive1
2 Assi culturali: competenze da certificare al termine dell’obbligo di istruzione 3 Competenze chiave di cittadinanza
■ Padronanza della lingua italiana2
■ Essere consapevole delle potenzialità e dei limiti delle tecnol-
ogie nel contesto culturale e sociale in cui vengono applicate2 INGLESE
■ Utilizzare una lingua straniera per i principali scopi comu-
nicativi e operativi2 ■ Comunicazione nelle lingue straniere3
Rubrica delle competenze
guida di Fisica per i Licei scientifici, le competenze di cittadinanza che l’insegnamento di tutte le discipline deve sottendere, ma anche le competenze del quadro di riferimento OCSE-PISA 2015.
XIII
La parte destra della rubrica propone un raccordo tra le competenze disciplinari e di cittadinanza e le competenze attualmente previste nella nuova griglia di valutazione della seconda prova scritta dell’esame di Stato.
COMPETENZE ESAME DI STATO
ANALIZZARE
Esaminare la situazione fisica proposta formulando le ipotesi esplicative attraverso modelli o analogie o leggi.
SVILUPPARE IL PROCESSO RISOLUTIVO
Formalizzare situazioni problematiche e applicare gli strumenti matematici e disciplinari rilevanti per la loro risoluzione.
INTERPRETARE CRITICAMENTE I DATI
Interpretare e/o elaborare i dati proposti e/o ricavati, anche di natura sperimentale, verificandone la pertinenza al modello scelto.
ARGOMENTARE
Descrivere il processo risolutivo adottato e comunicare i risultati ottenuti valutandone la coerenza con la situazione problematica proposta. FONTE Miur, decreto ministeriale DM n.769 del 26/11/2018
XIV
COMPETENZE
digitali
Fare una ricerca in Internet Sul web esistono più di un miliardo di siti, e il loro numero è in costante aumento. Come trovare qualcosa in questo enorme calderone? I motori di ricerca (tra i quali Google è senza dubbio il più famoso) servono proprio a questo: analizzano, ordinano e presentano una lista di pagine in base alla richiesta (in inglese: query) che viene fatta loro. I motori di ricerca funzionano secondo delle regole ben precise, e utilizzano una propria “grammatica” che non tutti conoscono. A seguire, troverai un breve elenco di regole da rispettare per sfruttare al meglio questi potenti strumenti. Imparare tutti i trucchi per fare una ricerca in Internet e per filtrare le informazioni che ne ricavi è un’abilità che si rivelerà utile non solo all’interno della scuola, ma anche nella tua vita di tutti i giorni.
Ricerche con lo SMARTPHONE Per fare una ricerca su Internet non hai necessariamente bisogno di un computer: puoi usare uno smartphone. Addirittura, i dispositivi mobili (smartphone e tablet) oggi sono lo strumento preferito al mondo con cui navigare nel web. Questo cambiamento nelle abitudini degli utenti è da attribuirsi anche alla diffusione dei siti mobile-friendly, cioè ottimizzati per essere consultati da uno schermo di piccole dimensioni come quello di un cellulare. Se vuoi scoprire se un sito è mobile-friendly, ti sarà sufficiente inserire il suo URL in questa pagina Google: https://search.google.com/test/mobile-friendly.
Applicativi? Un motore di ricerca è un software progettato per fare ricerche sul World Wide Web (WWW). Il suo funzionamento è apparentemente semplice: si digitano delle parole chiave nell’apposito box e in cambio si ottiene una lista di elementi digitali (pagine web, immagini, video ecc.). Eppure, il lavoro del motore di ricerca non è solamente quello di trovare gli elementi che corrispondono alla tua query: li ordina secondo una serie di parametri come la rilevanza e la notorietà del sito di origine. Inoltre, i motori di ricerca cercano di personalizzare i risultati delle ricerche sfruttando i cookies, dei pacchettini di dati che vengono inviati al nostro computer quando facciamo una ricerca o visitiamo un sito web, e che permettono la nostra identificazione online.
XV
Le 5 regole d’oro
1
Scegli delle parole chiave che siano significative e abbastanza specifiche da permetterti di restringere il campo; ricorda che la maggior parte dei motori di ricerca ignora articoli e preposizioni.
2
Usa gli operatori di ricerca, dei comandi che ti permettono di restringere il campo per essere più preciso nella tua ricerca. Per esempio, le virgolette (“”) servono a selezionare i siti che contengono quell’esatta combinazione di parole; il segno meno (−) permette di escludere un termine dalla ricerca; il comando sito: limita la ricerca a specifici siti o domini.
3
Seleziona siti noti e universalmente riconosciuti: siti del Ministero, siti istituzionali, giornali.
4
Impara a valutare l’affidabilità di un sito. Per esempio, ti sembra un sito professionale oppure ci sono refusi o errori di formattazione? Sono citate le fonti?
•
È indicato l’autore, ed è una persona conosciuta oppure un esperto nel campo.
•
•
Il testo è chiaro e ben scritto, senza errori o refusi.
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Sono indicate le fonti da cui provengono le informazioni.
•
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Sono presenti dei link che colleghino a siti autorevoli.
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Non si sa chi è l’autore, o non è ben chiaro come abbia ottenuto quelle informazioni. Il testo è scritto male, sono presenti degli errori grammaticali oppure dei refusi. Non è indicata alcuna fonte, non si sa da dove provengono le informazioni. Non ci sono link che colleghino a siti autorevoli.
5
Verifica l’informazione. Quando stai cercando un’informazione in particolare, non ti limitare a una sola pagina web ma visita più siti: sono tutti concordi oppure esistono più versioni differenti dello stesso fatto? www.wikipedia.it
www.epicentro.iss.it
XVI
COMPETENZE
digitali
Fare una presentazione Una presentazione è costituita da una sequenza di diapositive (o slide) che solitamente contengono testo e immagini, ma che possono anche essere arricchite con animazioni, suoni o spezzoni di video. Esistono presentazioni di tutti i tipi e per tutte le occasioni: sono strumenti utilizzati nelle scuole ma anche nel mondo del lavoro, utili per un’interrogazione così come per una conferenza in ufficio. Le presentazioni vengono proiettate durante un discorso orale, e hanno due funzioni principali: catturano l’attenzione degli ascoltatori, fornendo loro un oggetto materiale su cui posare gli occhi e aiutandoli a non perdere il filo, e aiutano l’oratore a ricordarsi tutto quello che deve dire. Possono essere fatte in vari modi, anche secondo il gusto personale, ma esistono delle semplici regole universali da seguire per preparare delle diapositive efficaci. Imparare a fare una bella presentazione è importantissimo: delle slide malfatte non solo non sono utili, ma possono essere addirittura dannose perché distraggono l’ascoltatore. Presentazioni con lo SMARTPHONE Se hai già preparato una presentazione al computer usando Power Point e la vuoi trasferire e visualizzare sul tuo smartphone, ti sarà sufficiente scaricare l’app gratuita ThinkFree Office Mobile Viewer. Se invece vuoi provare a creare una presentazione da zero utilizzando solo il tuo smartphone, prova a scaricare l’app di Prezi (anch’essa gratuita).
Che programma uso? Esistono diversi programmi pensati esclusivamente per preparare delle belle presentazioni; qui di seguito ne elenchiamo alcuni. • Prezi • Google Presentazioni • Open Office Presentazione • Keynote • Microsoft Office Power Point (a pagamento)
XVII
Le 5 regole d’oro
1
Segui la regola di Kawasaki, o regola del 10/20/30, secondo la quale ogni presentazione non deve avere più di 10 slide, non deve durare più di 20 minuti e non deve avere nessun testo di dimensione inferiore ai 30 punti.
2
Colori e caratteri devono essere pensati in primo luogo per essere ben leggibili: evita le fantasie troppo complicate, i colori sgargianti, i caratteri arzigogolati.
3
Non sovraccaricare le tue slide con mille animazioni. Certo, tutti quegli effetti speciali ti possono sembrare carini quando stai preparando le diapositive, ma alla lunga stufano e rischiano di distrarre il pubblico.
4
Inserisci delle immagini significative e di buona qualità: ogni foto deve veicolare un messaggio, non essere semplicemente decorativa, e deve avere buona risoluzione. Inoltre, preferisci una sola grossa immagine a tante immagini grandi come francobolli.
5
Esercitatevi, esercitatevi, esercitatevi! Provate la vostra presentazione a casa, parlando ad alta voce e cronometrandovi. Attenzione, però: non dovete imparare a memoria il vostro discorso! Altrimenti rischiate di diventare monotoni e di annoiare il pubblico.
12 pt
14 pt
18 pt
24 pt
10 slide
20 minuti
30 pt
XVIII
COMPETENZE
digitali
Disegnare un grafico Un grafico è un’immagine che rappresenta dei dati, rendendoli più facili da leggere e interpretare rispetto a una semplice tabella. Esistono moltissimi tipi diversi di grafico, ognuno dei quali è più o meno adatto a seconda dei dati che hai a disposizione. Un areogramma, o grafico a torta, mostra quale percentuale rappresentano i dati presi in esame rispetto a una totalità: ogni categoria costituisce una “fetta” della torta, che è tanto più spessa quanto è più numerosa la categoria. Un diagramma a barre permette il confronto tra una serie di dati relativi a un fenomeno: le barre sono separate tra loro e la loro base è uguale per tutte; il valore dei dati è indicato dall’altezza della colonna. L’istogramma è simile a un diagramma a barre, ma le colonne sono tutte attaccate e sull’asse delle ascisse ci sono degli intervalli numerici. Il grafico a linee, infine, serve per rappresentare l’andamento nel tempo di un dato fenomeno, con la scala temporale indicata sull’asse delle ascisse e i valori su quello delle ordinate. I grafici sono strumenti potentissimi, e proprio per questo motivo è essenziale imparare a farli; infatti, un grafico può essere sbagliato anche se i dati su cui è basato sono corretti. Presentazioni SMART Microsoft ha creato una versione di Excel per smartphone, disponibile sia per Android che per iOS; con questa app potrai creare dei nuovi grafici, oppure visualizzare quelli che hai realizzato con la versione desktop. In alternativa puoi utilizzare l’applicazione Fogli di Google.
Che programma uso? Esistono diversi programmi che ti permettono di ordinare, elaborare e rappresentare tabelle di dati. Prova a raccogliere dei dati riguardanti la tua classe, e crea dei grafici per esercitarti con uno dei programmi indicati qui: • Raw • Fogli di Google • Numbers • Microsoft Office Excel (a pagamento)
XIX
Le 5 regole d’oro
1
Non sovraccaricare il tuo grafico. Troppe informazioni equivalgono a nessuna informazione, perché rendono difficile la lettura e l’interpretazione.
2
Usa bene i colori. Evita i toni troppo contrastanti e i riempimenti a pattern (righine, palline, stelline…), preferendo loro diverse sfumature dello stesso colore. In ogni caso, non usare troppi colori nello stesso grafico.
3
Evita i grafici 3D e i grafici “esplosi”. Queste tipologie sono spesso scelte per motivi estetici, ma sono difficili da leggere e ingannano facilmente l’occhio dando un’impressione errata delle proporzioni.
4
Nei diagrammi a barre e negli istogrammi, l’asse numerico (che di solito è quello delle y) deve sempre partire da zero. In caso contrario, il grafico può diventare fuorviante.
5
Nei diagrammi a torta, gli spicchi non devono essere disposti casualmente ma vanno allineati nel seguente modo: lo spicchio più grande “a ore 12”, e tutti gli altri a seguire in senso antiorario dal più grande al più piccolo. In ogni caso, non devono esserci più di cinque spicchi.
SEZIONE A
LA DINAMICA NEWTONIANA f
Unità
1
Le leggi della dinamica e l’equilibrio A casa: • leggi i paragrafi 2 e 3 • guarda il video “La rappresentazione cartesiana dei vettori” • risolvi l’esercizio 10 a p. 24
2
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
A casa: • leggi il paragrafo 6 • guarda il videotutorial dell’esercizio 20 a p. 88
In classe, a gruppi: COMPETENZE DIGITALI
• considerate l’espressione del raggio massimo in funzione della velocità ottenuta nell’esercizio 20 a p. 88 e riportatela su un grafico • condividete e discutete i risultati
f
f
Unità
Unità
3
In classe, a gruppi: • risolvete l’esercizio 40 a p. 38 • condividete e discutete i risultati
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
A casa: • leggi il paragrafo 4 • guarda il video “Forze apparenti nei sistemi di riferimento in moto traslatorio accelerato” • leggi e risolvi l’Impara e applica “Le forze apparenti” a p. 117
In classe, a gruppi: • risolvete il quesito d’esame 1 a p. 131 • condividete e discutete i risultati
Sezione A
La dinamica newtoniana
LE LEGGI DELLA DINAMICA E L’EQUILIBRIO
1
1 Le grandezze della dinamica: un richiamo Velocità, accelerazione, massa, forze, leggi di Newton, equilibrio, energia meccanica: a questo punto del percorso scolastico molti concetti della meccanica classica suonano familiari [f1]. È però nostra intenzione, in questi primi paragrafi, rivisitare le grandezze fondamentali della dinamica, approfondendo e formalizzando le conoscenze che in qualche misura già possediamo, per applicarle alla comprensione di nuovi concetti e alla risoluzione di nuovi problemi. Nel riepilogo che segue daremo le unità di misura delle grandezze nel Sistema Internazionale, o SI. Figura 1 Meccanica classica: alcuni dei principali argomenti da rispolverare.
Sistema di riferimento e descrizione del moto: per i piccoli passeggeri della giostra, le sue carrozze sono ferme o si muovono?
Equilibrio di forze: quali forze agiscono sulla pietra alla sommità della pila? E quali sulla pietra alla base della pila?
Discesa per gravità lungo un piano inclinato: come cambia l’accelerazione impressa allo sciatore in base all’inclinazione del pendio?
Energia meccanica: quale parametro determina la velocità finale di una goccia d’acqua che cade lungo la cascata?
La posizione Sia P un punto mobile che percorre una traiettoria obbligata. Se Os è una retta orientata, per esempio verso destra, avente la direzione della traiettoria lungo cui si svolge il moto e sulla quale è stato fissato""un ! punto origine ! O, la posizione P è individuata dal vettore posizione s = OP con coda in O e punta in P. La posizione del punto sulla retta orientata è individuata dalla compo! nente scalare del vettore s sulla retta, cioè dalla coordinata s di P. Nel SI la posizione ha per unità di misura il metro (simbolo m) [f2].
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
3
Unità 1
Figura 2 Una retta orientata è il sistema di riferimento per descrivere il moto rettilineo.
O
s Q s
s
0
s
OP
s
P
0 OQ
s
O
La posizione di un punto materiale P sopra una retta"""! ! orientata Os è individuata dal vettore posizione s = OP ! o anche dalla componente s del vettore s sulla stessa retta. Nel caso del punto P, vale s > 0. Il punto Q si trova a sinistra dell’origine della retta orientata: la componente del suo vettore posizione è s < 0.
I binari, nonostante formino delle curve, costituiscono per il treno una traiettoria obbligata. Fissato un punto di riferimento, per specificare la posizione di un treno basta una coordinata: il moto è unidimensionale. Un vagone, un passeggero a bordo, o anche il treno stesso nel suo insieme, essendo di dimensioni limitate rispetto al tracciato, sono idealizzabili come punti materiali.
Il tempo Il tempo è la grandezza fisica che permette di ordinare in sequenza i fenomeni naturali. La differenza tra due valori diversi della grandezza si chiama intervallo di tempo. Il termine viene usato spesso per indicare la durata di un fenomeno. L’unità di misura del tempo nel SI è il secondo (simbolo s).
La velocità ! La rapidità con cui varia nel tempo il vettore posizione s è espressa dalla velocità media [f3]. ! ! Velocità media X Se s1 ed s2 sono i vettori posizione di un punto materiale in moto su una retta orientata Os in due istanti successivi t1 e t2 , si definisce velocità ! vettoriale media v m , o semplicemente velocità media, nell’intervallo di tempo ! ! ! Δt = t2 − t1 , il rapporto fra il vettore spostamento Δ s = s2 − s1 e l’intervallo di tempo stesso: spostamento (m)
! ! Δs vm = Δt
(1) intervallo di tempo (s)
velocità media (m/s)
La velocità media è un vettore, perché è il rapporto tra un vettore e uno scalare: è il vettore che ha la direzione e il verso dello spostamento e come modulo il rapporto fra lo spazio Δs percorso e l’intervallo di tempo Δt impiegato a percorrerlo. t t 1
2
s2 s1 P1
P2 vm
!
!
i vettori posizione di un punto materiale che si muove su una retta, negli istanti t1 e t2 in cui esso occupa, rispettivamente, le posizioni P1 e P2. Lo spostamento nell’intervallo di ! ! ! tempo Δt = t2 − t1 è Δ s = s2 − s1. La velocità vettoriale media nello stesso intervallo di tempo è il rapporto ! ! v m = Δ s/Δt.
Δs
O
Figura 3 I vettori s1 ed s2 sono
s
4
Sezione A
La dinamica newtoniana
! Nel caso del moto rettilineo, sia il vettore spostamento Δ s sia la velocità ! media vm sono diretti come la retta orientata Os, mentre il loro verso può essere lo stesso di Os o il suo opposto. Considerando le componenti lungo Os di entrambi i membri della relazione (1) abbiamo: vm =
Δs Δt
in cui vm è il modulo della velocità media assunto con il segno positivo o ! con quello negativo a seconda che il vettore vm punti nel verso di Os oppure nel verso opposto. Il rapporto tra la distanza effettivamente percorsa, sempre positiva, e il tempo impiegato a percorrerla si chiama velocità scalare media (sempre positiva). L’equazione dimensionale della velocità è [v] =
[l] = [l] [t −1 ] [t]
e la sua unità di misura nel SI è il m/s. Un’unità di misura spesso usata in pratica è il km/h. Vale la seguente trasformazione: 1
1 m km 1000 m = = 3600 s 3,6 s h
Pertanto si passa da km/h a m/s dividendo per 3,6. Viceversa, si passa da m/s a km/h moltiplicando per 3,6. Il concetto di velocità si può applicare sia a un intervallo di tempo sia a un dato istante. Velocità istantanea La velocità vettoriale istantanea, o semplicemente la ! velocità v in un generico istante t, è il vettore a cui tende la velocità media ! v m quando questa è calcolata in intervalli di tempo sempre più piccoli comprendenti l’istante considerato.
Utilizzando il concetto matematico di limite possiamo esprimere la velocità istantanea come: ! Δs ! v = lim (2) Δt→0 Δt ! (leggi: “limite per Δt tendente a zero di Δ s /Δt ”). Considerando le componenti lungo l’asse orientato Os di ambo i membri della (2) abbiamo: v = lim
Δt→0
Δs Δt
(3)
! in cui v rappresenta il modulo della velocità vettoriale istantanea v as! sunto con il segno positivo oppure con il segno negativo a seconda che v punti nel verso positivo o nel verso negativo di Os.
L’accelerazione Se la velocità istantanea di un punto materiale in movimento varia nel tempo, siamo in presenza di un moto vario. Per esempio, è un moto vario quello di un’automobile quando la lancetta del tachimetro indica, al trascorrere del tempo, valori diversi. La rapidità con cui varia la velocità nel tempo è l’accelerazione.
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
5
! ! Accelerazione media X Se v 1 e v 2 sono le velocità di un punto materiale in ! movimento in due istanti successivi t1 e t2, l’accelerazione vettoriale media am , o semplicemente accelerazione media, nell’intervallo di tempo Δt = t2 − t1 è il ! ! ! rapporto fra la variazione di velocità Δ v = v 2 − v 1 e l’intervallo di tempo stesso:
! am accelerazione media (m/s2)
variazione di velocità (m/s)
! Δv = Δt
(4) intervallo di tempo (s)
! In un moto rettilineo l’accelerazione media am e la variazione di velocità ! ! v2 − v1 sono dirette sempre come la traiettoria, mentre il loro verso può essere quello della traiettoria oppure il verso opposto [f4]. t1
Figura 4 L’accelerazione lungo una retta e la sua componente cartesiana. t1
t2
t2
am
am v1 O
s1
am > 0
s2
s
O
Uguagliando le componenti lungo la traiettoria di ambo i membri della (4), abbiamo: am =
Δv Δt
in cui am , accelerazione scalare media, e Δv, variazione della velocità ! scalare, sono positive o negative a seconda che am punti nel verso della traiettoria oppure nel verso opposto. Il moto che ne risulta è accelerato nel primo caso e decelerato nel secondo caso. L’equazione dimensionale dell’accelerazione è [a] =
[v] [l] [t −1 ] = [l] [t −2 ] = [t] [t]
e la sua unità di misura nel SI è il m/s2, rapporto fra l’unità di velocità e l’unità di tempo al quadrato. In modo analogo alla velocità vettoriale istantanea possiamo definire l’accelerazione vettoriale istantanea. Accelerazione istantanea X L’accelerazione vettoriale istantanea, o sempli! cemente l’accelerazione a in un certo istante t, è il vettore a cui tende l’acce! lerazione media am quando questa è calcolata in intervalli di tempo sempre più piccoli comprendenti l’istante considerato.
In simboli, utilizzando anche in questo caso il concetto di limite, l’accelerazione vettoriale istantanea è espressa nella forma ! Δv ! a = lim Δt→0 Δt e l’accelerazione scalare istantanea nella forma Δv a = lim Δt→0 Δt
v2
v1
v2 s1
am < 0
s2
s
6
Sezione A
La dinamica newtoniana
La massa La massa è la quantità di materia contenuta in un corpo ed esprime la resistenza che tale corpo oppone a ogni modificazione del suo stato di moto, cioè la resistenza del corpo a farsi accelerare [f5]. Con questa accezione si parla, più precisamente, di massa inerziale. Operativamente la massa si definisce mediante la misura effettuata con la bilancia a bracci uguali. L’unità di misura della massa nel SI è il kilogrammo (simbolo kg) [f6].
Figura 5 La massa dell’automobile in panne esprime la resistenza al moto indotto dalla spinta.
Figura 6 La bilancia a bracci uguali serve per mettere a confronto la massa di un oggetto e quella di una massa campione.
La forza La forza è la grandezza fisica che rappresenta e caratterizza tutte le interazioni tra corpi. Spinte e urti sono, per esempio, interazioni che si manifestano attraverso il contatto diretto tra corpi. Ci sono anche forze che si manifestano senza contatto, a distanza, come l’attrazione gravitazionale [f7]. Figura 7 Tipologie di interazione tra corpi.
Urti e attrito caratterizzano le interazioni tra panno e palle da biliardo.
L’attrazione gravitazionale governa le interazioni tra corpi celesti.
Gli atomi interagiscono tra loro formando molecole.
La forza magnetica governa l’attrazione tra magneti e materiali ferrosi.
L’unità di misura della forza nel SI è il newton (simbolo N), che, come vedremo meglio più avanti, corrisponde a 1 kg · m/s2. Con parole tue 1. Che differenza c’è tra modulo della velocità media e velocità scalare media? 2. Che cosa significa che un corpo ha accelerazione negativa?
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
2 La rappresentazione cartesiana mat dei vettori
7
Unità 1
VIDEO La rappresentazione cartesiana dei vettori
Per identificare in maniera univoca grandezze fisiche come lo spostamento, la velocità, l’accelerazione e la forza, occorre specificare tre parametri: un modulo, una direzione e un verso. Queste grandezze, come abbiamo visto nei precedenti corsi di fisica, si chiamano grandezze vettoriali. Ogni vettore può essere scomposto lungo due direzioni qualsiasi, ma particolarmente utile è la scomposizione di un vettore secondo due direzioni perpendicolari. Le componenti sono grandezze scalari sulle quali si opera con le normali regole del calcolo algebrico.
Le componenti cartesiane di un vettore ! Dato un vettore a, rappresentato da una freccia con la coda in O e la punta in A, fissiamo un sistema di assi cartesiani Oxy con origine in O e scompo! ! niamo il vettore nei due vettori componenti a x e a y diretti, rispettivamente, lungo gli assi x e y [f8]. ! Possiamo così esprimere il vettore a in funzione dei suoi componenti cartesiani mediante la relazione: ! ! ! a = ax + a y ! ! I moduli dei vettori componenti a x e a y , preceduti dal segno “più” o “meno” a seconda che abbiano lo stesso verso o verso opposto rispetto ai rispettivi assi, si chiamano componenti scalari cartesiane o semplice! mente componenti cartesiane del vettore a e si indicano con ax e ay . La [f9] illustra come si calcolano le componenti cartesiane di un vettore in relazione alle coordinate dei suoi estremi. Tali componenti sono indipendenti dal punto in cui il vettore è applicato. y P P
yP
yP
u by b
b
by yO′
xP
bx
O
x
! Se la coda di un vettore b coincide con l’origine degli assi O, le componenti cartesiane del vettore sono le coordinate cartesiane della sua punta P : bx = xP = − 4 u, by = yP = 5 u.
xP
bx
O
O′ xO′
y A
a ay
O
ax
Figura 9 Calcolo delle componenti cartesiane.
u
y
Figura 8 Componenti di un vettore secondo due assi cartesiani.
x
! Se il punto di applicazione O′ di b non ! coincide con O, le componenti cartesiane di b sono la differenza fra le coordinate di P e quelle di O′: bx = xP − xO′ = −2 u − 2 u = −4 u, by = yP − yO′ = 6 u − u = 5 u.
I versori e l’espressione cartesiana di un vettore Per specificare una direzione e un verso nello spazio è utile introdurre il vettore unitario o versore, cioè un vettore adimensionale di lunghezza unitaria orientato nella direzione e nel verso considerati. Il modulo di un versore è sempre uguale al numero puro 1.
x
8
Sezione A
La dinamica newtoniana
In [f10] sono rappresentati i versori degli assi x e y di un sistema cartesiano, indicati con i simboli xˆ e ˆy. Utilizzando i versori e ricordando la definizione del prodotto fra uno ! ! ! scalare e un vettore, i vettori componenti a x e a y di un vettore a possono essere scritti nella forma: ! ! a y = a y ˆy a x = a x xˆ ! dove ax e ay sono le componenti cartesiane di a. ! Otteniamo così l’espressione cartesiana del vettore a, data dalla seguente relazione vettoriale: ! a = a x xˆ + a y ˆy
Figura 10 Versori in un piano cartesiano.
y
ˆy O
ˆx
x
La [f11] mostra un esempio di come esprimere sul piano cartesiano un vettore. y
u
Figura 11 Componenti cartesiane dei vettori.
a
ˆy b
! Le componenti del vettore b sono: bx = −2 u e by = −2 u. Ne segue che ! la sua espressione cartesiana è: b = (−2 u) xˆ + (−2 u) y. ˆ
Oˆ x
x
! Le componenti del vettore a sono: ax = 3 u e ay = 2 u. La sua espressione cartesiana è: ! a = (3 u) xˆ + (2 u) y. ˆ
Consideriamo, per esempio, un grave lanciato obliquamente rispetto al piano orizzontale. Come sappiamo dai precedenti corsi di fisica, e come approfondiremo a breve, la sua traiettoria è parabolica [f12]. In un certo istante t l’espressione cartesiana della sua velocità è: ! v = v0 x xˆ + (v0 y − g t) ˆy Figura 12 Una palla lanciata obliquamente che rimbalza sul pavimento è un esempio di moto di un grave in un piano, o moto di un “proiettile”.
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
9
Unità 1
Relazioni goniometriche fra modulo e componenti di un vettore La [f13] mostra una circonferenza di centro O e un sistema di assi cartesiani Oxy con origine in O. Il raggio OA, che giace sull’asse x, è fissato come riferimento per la misura degli angoli al centro, con la convenzione di considerare positivi gli angoli descritti, a partire da OA, in senso antiorario e negativi quelli descritti in senso orario. Attribuire un segno all’ampiezza di un angolo significa definire un angolo orientato. Nella figura è indicato un angolo orientato di ampiezza α. Se B è l’intersezione del secondo lato dell’angolo con la circonferenza e H l’intersezione fra l’asse x e la sua perpendicolare passante per B, le funzioni goniometriche coseno, seno e tangente dell’angolo α, indicate con i simboli cos α, sin α e tan α, sono definite attraverso le relazioni: cos α =
OH ; OB
sin α =
BH ; OB
tan α =
Figura 13 Il seno, il coseno e la tangente sono funzioni di un angolo orientato α.
y B′ B α O
A H
x
H′
sin α BH = cos α OH
Se, fissato l’angolo α, eseguiamo la stessa costruzione geometrica su una circonferenza di raggio diverso, sempre con centro in O, individuiamo i punti B′ e H ′ come in figura. I triangoli rettangoli OHB e OH ′B′, avendo in comune l’angolo acuto α, sono simili, e quindi i rapporti fra lati corrispondenti sono gli stessi: OH OH ′ = OB OB′
BH B′H ′ = OB OB′
BH B′H ′ = OH OH ′
Ciò vuol dire che i valori del coseno, del seno e della tangente non dipendono dal raggio della circonferenza, ma solo dall’ampiezza dell’angolo. Nelle relazioni precedenti, le lunghezze dei segmenti OH e BH devono essere intese, rispettivamente, come l’ascissa e l’ordinata del punto B. Pertanto sono quantità dotate di segno, come illustrato in [f14]. Figura 14 Il segno delle funzioni goniometriche.
y
cos α > 0 sin α > 0 B tan α > 0 B x
O
cos α < 0 sin α < 0 tan α > 0
y
α
α
α O
cos α < 0 sin α > 0 tan α < 0
y
x
y
cos α > 0 sin α < 0 tan α < 0
α O
x
x
O B
B
0 < α < 90°: l’ascissa e l’ordinata del punto B sono entrambe positive.
90° < α < 180°: il punto B ha ascissa negativa e ordinata positiva.
180° < α < 270°: l’ascissa e l’ordinata di B sono entrambe negative.
Le funzioni goniometriche di un angolo sono quantità adimensionali. Il seno e il coseno variano fra −1 e 1, e la tangente non è definita per gli angoli di 90° e 270°. Dalle definizioni segue che le funzioni sin α e cos α tornano ad assumere gli stessi valori ogni volta che l’angolo α varia di 360°. Il seno e il coseno di un angolo sono, cioè, funzioni periodiche con periodo uguale a 360°.
270° < α < 360°: il punto B ha ascissa positiva e ordinata negativa.
10
Sezione A
La dinamica newtoniana
Altre proprietà delle funzioni goniometriche sono elencate nella [ Tab. 1]. Tabella 1 Alcune proprietà delle funzioni goniometriche. Funzioni di 180° − α
Funzioni di 180° + α
Funzioni di 360° − α
Funzioni di − α
sin (180° − α) = sin α
sin (180° + α) = −sin α
sin (360° − α) = −sin α
sin (−α) = −sin α
cos (180° − α) = −cos α
cos (180° + α) = −cos α
cos (360° − α) = cos α
cos (−α) = cos α
tan (180° − α) = –tan α
tan (180° + α) = tan α
tan (360° − α) = −tan α
tan (−α) = −tan α
Possiamo sfruttare le funzioni goniometriche per esprimere le componen! ti cartesiane ax e ay di un vettore a se è noto il suo modulo a e l’angolo α da esso formato con l’asse x [f15]: ax = a cos α
ay = a sin α
! Per esempio, supponiamo che il vettore a abbia modulo a = 3,6 u, con u unità di lunghezza, e che formi con l’asse delle x un angolo α = 30°. Le sue componenti sono: ax = a cos α = (3,6 u) cos 30° = 3,1 u ay = a sin α = (3,6 u) sin 30° = 1,8 u Inversamente, se di un vettore sono note le componenti ax e ay , il suo modulo si calcola applicando il teorema di Pitagora:
Figura 15 Mediante le funzioni goniometriche si esprimono le relazioni fra modulo e componenti cartesiane di un vettore.
y
a
ay
a = a x2 + a 2y Da ax e ay è possibile determinare anche l’angolo α fra il vettore e l’asse x. Si ha infatti: ay tan α = ax La funzione inversa della tangente è detta arcotangente e possiamo quindi scrivere: ay α = arctan , se α si trova nel I o IV quadrante ax ay + 180°, se α si trova nel II o III quadrante α = arctan ax
α x
O ax
Le calcolatrici scientifiche forniscono i valori del coseno, del seno e della tangente di un angolo, e delle loro funzioni inverse.
Vettori nello spazio tridimensionale Per rappresentare vettori orientati lungo direzioni qualsiasi dello spazio tridimensionale ed eseguire operazioni su di essi, si deve ricorrere a un sistema cartesiano Oxyz a tre assi, mutuamente perpendicolari. ! ! ! Il procedimento per determinare i vettori componenti a x , a y e az di ! un vettore a secondo una terna assegnata di assi è illustrato nella [f16], in ! cui a è rappresentato con il punto di applicazione coincidente con l’origine degli assi O. Detta A′ la proiezione perpendicolare del secondo estremo A del vettore sul piano xy, si ha: """! ! ! ! """! ! a = OA ′ + az , con OA ′ = a x + a y Pertanto,
Figura 16 Componenti di un vettore secondo una terna di assi cartesiani.
z
A
! ! ! ! a = a x + a y + az
! ! ! ! a: I vettori a x , a y e az sono paralleli agli assi e la loro somma è uguale ad ! sono i componenti di a rispetto al sistema cartesiano considerato. I moduli dei tre vettori, preceduti dal segno “più” o “meno” a seconda che questi abbiano verso concorde o discorde rispetto ai corrispondenti assi, ! sono le componenti scalari cartesiane ax , ay e az di a.
az a ay ax x
y
O A′
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
11
! Indicando con zˆ il versore dell’asse z, l’espressione cartesiana di a riferita a un sistema Oxyz diventa: ! ! ! ! a = a x + a y + az = a x xˆ + a y ˆy + az zˆ Con parole tue 3. Perché è utile introdurre il concetto di versore? 4. Spiega come si scrivono le componenti cartesiane del vettore di modulo 5 u che forma con l’asse delle x un angolo α di 45°.
3 Operazioni con i vettori in rappresentazione cartesiana
mat
Rappresentare i vettori mediante le loro componenti cartesiane in riferimento a un prefissato sistema di assi, e fissare i versori, può facilitare il calcolo delle operazioni tra vettori.
Somma e differenza di vettori in rappresentazione cartesiana !
! Siano a = a x xˆ + a y ˆy e b = bx xˆ + b y ˆy due vettori fra loro omogenei. Come ! si vede dalla [f17], il vettore c che risulta dalla somma dei primi due ha come componente cartesiana x semplicemente la somma algebrica delle ! ! componenti x di a e di !b e come componente y la somma algebrica delle ! componenti y di a e di b. Possiamo dunque scrivere: ! ! ! c = a + b = (a x + bx ) xˆ + (a y + b y ) ˆy ovvero cx = a x + b x cy = ay + by ! ! ! Analogamente, le componenti cartesiane del vettore differenza d = a − b sono: dx = ax − bx dy = a y − b y ! ! Consideriamo per esempio a = (2,0 u) xˆ + (−5,0 u) ˆy e b = (3,0 u) xˆ + (2,0 u) ˆy , ! con u unità di lunghezza opportuna. Il vettore somma c ha componenti pari a:
Figura 17 Componenti cartesiane del vettore ! somma ! di due vettori a e b .
y b
by cy
c =a+ b
a
ay O
ax
bx cx
cx = ax + bx = 5,0 u
cy = ay + by = −3,0 u ! Analogamente il vettore differenza d ha componenti pari a: dx = ax − bx = −1,0 u
dy = ay − by = −7,0 u
Formule simili valgono anche nel caso in cui i vettori si trovino nello spazio tridimensionale.
Figura 18 Un vettore moltiplicato per un numero può cambiare modulo e verso ma non direzione.
Prodotto fra uno scalare e un vettore Un vettore può essere moltiplicato per un numero, come illustrato in [f18]. Il risultato è un vettore di modulo ed eventualmente verso differenti. Moltiplicando un vettore per un numero puro si ottiene un vettore con le stesse dimensioni fisiche di quello di partenza. Moltiplicandolo, invece, per uno scalare dotato di dimensioni fisiche, si ottiene un vettore di dimensioni fisiche diverse.
a 2a – 2a 1a – 2
x
12
Sezione A
La dinamica newtoniana
! ! Consideriamo lo scalare b e il vettore a = a x xˆ + a y ˆy. Il vettore c , risultato del loro prodotto, può essere scritto in termini delle loro componenti: ! ! c = b a = b a x xˆ + b a y ˆy ovvero: cx = b ax cy = b ay
Espressione cartesiana del prodotto scalare ! !
Consideriamo due vettori a e b e chiamiamo α l’angolo ! ! formato dalle loro !direzioni. Sappiamo che il prodotto scalare fra a e b, che indichiamo ! con a · b , è la grandezza scalare definita come il prodotto dei moduli a e b dei due vettori per il coseno dell’angolo α fra essi compreso: ! ! a ⋅ b = a b cos α Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: ! ! ! ! • la proprietà commutativa: a ⋅ b = b ⋅ a ! ! ! ! ! ! ! • la proprietà distributiva rispetto alla somma: ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c Il prodotto scalare si può esprimere usando le componenti cartesiane dei vettori. Dato un sistema cartesiano Oxy, i versori xˆ e ˆy degli assi, essendo due vettori di modulo uguale a 1 e mutuamente perpendicolari, obbediscono alle relazioni: xˆ ⋅ xˆ = ˆy ⋅ ˆy = 1 xˆ ⋅ ˆy = ˆy ⋅ xˆ = 0 ! ! Dati due vettori a = a x xˆ + a y ˆy e b = bx xˆ + b y ˆy appartenenti a un piano cartesiano, si ha pertanto ! ! a ⋅ b = (a x xˆ + a y ˆy ) ⋅(bx xˆ + b y ˆy ) = a x bx + a y b y cioè il prodotto scalare fra i due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle loro componenti x e y. Siano per esempio ! ! a = (3,0 u) xˆ + (5,0 u) ˆy e b = (5,0 u) xˆ + (−2,0 u) ˆy con u opportuna unità di lunghezza. Il loro prodotto scalare è pari a: ! ! a ⋅ b = a x bx + a y b y = (3,0) (5,0) u 2 + (5,0) (−2,0) u 2 = 5,0 u 2 Figura 19 Direzione e verso del prodotto vettoriale.
Espressione cartesiana del prodotto vettoriale ! ! ! !
Il vettoriale fra a e b , che indichiamo con a × b , è un vettore ! prodotto ! ! ! ! p = a × b con direzione perpendicolare al piano individuato da a e b e verso uscente dalla palma della mano destra quando ! il pollice è disposto ! nel verso di a e le altre dita sono orientate come b [f19]. Il modulo del prodotto vettoriale è uguale al prodotto dei moduli a e b dei due vettori di partenza per il seno dell’angolo α fra essi compreso: p = a b sin α
p= a a
b
b
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
13
Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà: •
la proprietà anticommutativa (invertendo l’ordine dei vettori il prodotto vettoriale cambia verso) ! ! ! ! a × b = −b × a
•
la proprietà distributiva rispetto alla somma ! ! ( a! + b ) × c! = a! × c! + b × c!
Scegliamo un cartesiano Oxyz avente gli assi x e y nel piano dei ! ! sistema due vettori a e b . Tenendo conto della definizione di prodotto vettoriale, si trova che per i versori degli assi valgono le relazioni: xˆ × ˆy = zˆ
xˆ × xˆ = ˆy × ˆy = 0
ˆy × xˆ = −ˆ z
Da queste segue: ! ! a × b = (a x xˆ + a y ˆy ) × (bx xˆ + b y ˆy ) = (a x b y − a y bx ) zˆ Pertanto, in rappresentazione cartesiana [f20], il prodotto ! vettoriale ! ! di due vettori a e b appartenenti al piano xy è il vettore p diretto lungo l’asse z con componente scalare pz = (ax by − ay bx ). Il suo modulo è p = |ax by − ay bx|. Figura 20 Il prodotto
z
vettoriale nello spazio cartesiano tridimensionale.
p =a ×b zˆ O
b
ˆy
ˆx x
y
a
Facciamo anche in questo! caso un esempio. Consideriamo i due vettori ! a = (−4 u) xˆ + (−2 u) ˆy e b = (2 u) xˆ + (3 u) ˆy appartenenti al piano xy. Il modulo del loro prodotto vettoriale è pari a: p = |ax by − ay bx| = |(−4) 3 − (−2) 2| = 8 È diretto lungo l’asse z con componente scalare pz = (ax by − ay bx) = −8 u.
Con parole tue ! ! 5. “Se il vettore a appartiene al piano xy e il vettore b al piano xz, si può sicuramente affermare che il prodotto scalare è nullo”. Questa affermazione è corretta? Giustifica la tua risposta. ! ! 6. Dati i vettori a = (3 u) xˆ + (2 u) zˆ e b = (4 u) xˆ + (3 u) zˆ con u unità di lunghezza, spiega come si calcola il loro prodotto vettoriale utilizzando la rappresentazione cartesiana. 7. “Il prodotto scalare di due versori uguali e il prodotto vettoriale di due versori diversi sono nulli.” Spiega perché questa affermazione è sbagliata.
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Sezione A
La dinamica newtoniana
4 Le leggi di Newton Durante l’atterraggio, la resistenza dell’aria sul paracadute e le altre forze frenanti causano la decelerazione della navetta Space Shuttle, portandola dalla velocità di circa 340 km/h con cui essa tocca la pista fino all’arresto [ f 21] . Figura 21 Atterraggio dello Space Shuttle Endeavour al Kennedy Space Center, in Florida.
Ogni volta che mettiamo in relazione il moto di un corpo con le forze che agiscono su di esso facciamo uso dei principi formulati da Isaac Newton (1642–1727).
Il primo principio della dinamica Istintivamente si è portati a pensare che un corpo su cui non agiscono forze sia fermo. In realtà è anche vero che un corpo in moto con velocità costante, su cui non agiscono forze, non cambia il proprio stato di moto: per esempio non cambia la sua velocità, né la direzione in cui si sta muovendo. Ogni corpo tende a restare fermo o a mantenere il proprio stato di moto, finché non intervengono forze a modificare la situazione. Questa tendenza prende il nome di inerzia e si identifica, come vedremo meglio più avanti, con la massa. Infatti, è tanto più difficile mettere in movimento o modificare la velocità di un corpo, quanto maggiore è la sua massa. Questo concetto era già stato intuito correttamente da Galileo ed è stato poi sviluppato e formalizzato da Newton nel 1687. Il primo principio della dinamica è noto anche con il nome di principio di inerzia o prima legge di Newton. Primo principio della dinamica X Se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, esso rimane fermo oppure, se in movimento, continua a muoversi di moto rettilineo uniforme.
Esistono dunque due stati possibili per un corpo su cui agisce una forza totale nulla: un oggetto fermo si dice in equilibrio statico, un oggetto in moto su una retta con velocità costante si dice in equilibrio dinamico. Il primo principio della dinamica può essere utilizzato per conoscere tutte le forze agenti su un corpo. Per esempio, se un corpo è fermo e conosciamo solo alcune delle forze agenti, possiamo determinare le altre imponendo che la forza totale sia nulla.
Il secondo principio della dinamica Scoprire perché un corpo si muove è un problema che ha impegnato gli scienziati e i filosofi fin dall’antichità. Secondo Aristotele lo stato naturale dei corpi è la quiete: l’applicazione di una forza produce e mantiene il moto. Se cessa la forza, l’oggetto si ferma. È stato Galileo a intuire, e Newton a formalizzare nel primo principio, che in assenza di forze è possibile anche il moto rettilineo e uniforme, e non solo la stasi. Il secondo
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
15
principio è una delle leggi fondamentali di tutta la fisica, perché chiarisce qual è l’effetto di una forza: una forza non produce velocità ma una variazione di velocità, cioè un’accelerazione. ! Secondo principio della dinamica X La risultante F delle forze applicate ! a un corpo è uguale al prodotto fra la massa m del corpo e l’accelerazione a da esso acquistata: massa (kg)
! ! F = ma forza (N)
(5) accelerazione (m/s2)
Il secondo principio della dinamica, o seconda legge di Newton, ha una forma vettoriale che ci fornisce altre informazioni. L’accelerazione impressa sull’oggetto ha la stessa direzione della risultante delle forze esterne. Inoltre, l’equazione vettoriale può essere letta nelle sue componenti spaziali. La relazione tra forza e accelerazione sussiste per le tre componenti cartesiane indipendentemente: Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az L’equazione (5) costituisce anche una definizione della massa m, che dagli esperimenti si rivela una costante caratteristica di ogni corpo, almeno per velocità con cui abbiamo comunemente a che fare, cioè per velocità piccole rispetto alla velocità c della luce nel vuoto (c = 300 000 km/s). Pertanto m rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la forza agente su un corpo e l’accelerazione prodotta. Se applichiamo la stessa forza a due corpi di masse diverse, l’effetto prodotto, cioè l’accelerazione, è più grande sul corpo che ha massa minore. Più grande è la massa, più il corpo considerato oppone resistenza a cambiare il proprio stato di moto, ovvero la propria velocità [ f 22] . La massa così definita prende il nome di massa inerziale del corpo. Invece la massa che si misura con una bilancia a bracci uguali, assunta come grandezza fondamentale nel SI, rappresenta la massa gravitazionale, il cui campione unitario, il kilogrammo, è il cilindro di platino-iridio conservato a Sèvres. Si trova sperimentalmente che le due masse considerate, pur essendo due grandezze definite in modo diverso, sono direttamente proporzionali fra loro, cioè se raddoppia l’una raddoppia anche l’altra. In virtù di questa proporzionalità, Albert Einstein (1879–1955) ne postulò l’equivalenza. Perciò in seguito parleremo semplicemente di “massa”, senza alcuna differenza fra i due tipi. Dalla (5) segue che l’equazione dimensionale della forza è [F] = [m] [a] = [m] [l] [t−2] e che la sua unità di misura nel SI, chiamata newton (N), è legata, come abbiamo già evidenziato, alle unità fondamentali dalla seguente relazione: 1 N = 1 kg · m/s2 Pertanto la forza di 1 N è quella forza costante che, applicata a un corpo avente la massa di 1 kg, imprime a esso l’accelerazione! di 1 m/s2. Nel caso particolare in cui la forza agente sia il peso P del corpo in moto, cioè la forza di attrazione che la Terra esercita sul corpo, il secondo principio della dinamica diventa: ! ! P=m g ! da cui risulta che, essendo g uguale per tutti i corpi in un determinato luogo, peso e massa sono due grandezze direttamente proporzionali.
Figura 22 Avendo una massa inferiore a quella di un divano, a parità di forza applicata durante la spinta, la scatola subisce un’accelerazione maggiore.
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Sezione A
La dinamica newtoniana
Il terzo principio della dinamica Le forze sono interazioni reciproche tra corpi e sistemi fisici: se un corpo esercita una forza su un altro, è vero anche il viceversa. Le due forze, che devono essere della stessa natura, si chiamano azione e reazione e sono due forze ugualmente intense, agenti in versi opposti nella stessa direzione. Terzo principio della dinamica X A ogni azione corrisponde sempre una reazione contraria di uguale intensità.
! Se FAB è la forza con cui un corpo A interagisce con un corpo B, quest’ulti! mo reagisce esercitando su A una forza FBA , tale che: ! ! FAB = −FBA
Figura 23 Il cane che tira esercita la sua forza sulla fune, la fune risponde con una forza opposta agente sul cane.
Le due forze non agiscono sullo stesso corpo, quindi gli effetti prodotti, vale a dire le accelerazioni, possono essere molto diversi in base alle masse in gioco [f23]. Può accadere che l’effetto di una delle due sia del tutto trascurabile. Per esempio, se un oggetto cade sotto l’effetto del proprio peso, è la Terra che esercita sull’oggetto una forza di attrazione. Per il terzo principio della dinamica, detto principio di azione e reazione, l’oggetto attrae la Terra a sé con la stessa intensità, nella stessa direzione ma nel verso opposto. Tuttavia, la massa della Terra è talmente più grande che la sua accelerazione è impercettibile e possiamo trascurarla. 1
Le risposte della fisica
Reazioni sul ghiaccio
Una coppia di pattinatori sul ghiaccio esegue una figura che prevede una spinta in avanti orizzontale alla pattinatrice, inizialmente ferma. La ragazza ha una massa di 50 kg e raggiunge, in 0,80 s, la velocità di 7,2 km/h. Se il compagno ha una massa di 75 kg e nel momento della spinta si muove rallentando con una accelerazione di –0,5 m/s2, qual è la sua accelerazione complessiva subito dopo? Dati e incognite m1 = 50 kg m2 = 75 kg Δt = 0,80 s i : prima della spinta f : dopo la spinta 7,2 v1f = 7,2 km/h = m/s = 2,0 m/s 3,6 a2i = −0,5 m/s2 v1i = 0 a1i = 0 a2tot = ?
Soluzione ! Il ragazzo spinge la ragazza con una forza F21 e la ragazza ! acquista una accelerazione a1f nella stessa direzione della spinta. Fissiamo come verso positivo la direzione in cui si muove la ragazza dopo la spinta. In modulo abbiamo: a1f =
[(2 − 0) m/s] = 2,5 m/s2 0,80 s
Per il principio di azione e reazione anche il !ragazzo risente ! della spinta che in questo caso sarà: F12 = − F21 ! ! m1 a1f = −m2 a2f ! ! a2f è rivolta in verso opposto rispetto ad a1f quindi con la spinta il ragazzo acquista ancora accelerazione negativa (e rallenta ancora), che si aggiunge a quella che aveva inizialmente, nel momento della spinta. In modulo si ha: a2f =
m1 a1f 50 kg (2,5 m/s2 ) = = 1,7 m/s2 75 kg m2
Dopo la spinta il ragazzo ha una accelerazione negativa pari in modulo a: a2tot = a2f + a2i = 1,7 m/s2 + 0,5 m/s2 = 2,2 m/s2
Con parole tue 8. Un corpo che non è soggetto a forze può muoversi? In che modo? Pensa a qualche esempio e spiegalo. 9. Un chiodo esercita una forza sul martello che lo spinge nel muro? Di che tipo?
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
17
5 Equilibrio del punto materiale e del corpo rigido Nello studio dell’equilibrio, due sistemi sono stati assunti a modello del comportamento dei corpi reali: il punto materiale e il corpo rigido. Punto materiale X Un punto materiale è un corpo di cui non interessano la conformazione interna né i moti delle sue singole parti e che pertanto può essere rappresentato da un solo punto geometrico privo di dimensioni, ma dotato di massa.
Corpo rigido X Un corpo rigido è un oggetto esteso che non si deforma, qualunque sia l’intensità delle forze agenti.
Si tratta di due modelli ideali, in quanto un punto, se privo di dimensioni, non può essere dotato di massa e un corpo si deforma in modo più o meno evidente quando è sollecitato da una forza. Punto materiale e corpo rigido rappresentano però una schematizzazione molto utile per semplificare lo studio dei corpi reali e cogliere le caratteristiche salienti dell’equilibrio.
Il diagramma di corpo libero Sia nello studio del moto sia in quello dell’equilibrio è necessario conoscere tutte le forze agenti, comprese le reazioni vincolari e le forze di attrito. La rappresentazione di tutte le forze applicate a un corpo in un sistema di riferimento è nota come diagramma di corpo libero. Perché questo nome? L’eventuale presenza di un vincolo, cioè di un oggetto che limita il movimento del corpo in esame, è, a tutti gli effetti, una forza agente sul corpo e può essere rappresentata con una freccia, esattamente come le altre forze. Un corpo vincolato può essere quindi studiato come se fosse libero, purché si considerino nella schematizzazione anche le forze corrispondenti ai vincoli. Queste forze si chiamano reazioni vincolari. Per esempio, un corpo appoggiato su un piano inclinato privo di attrito può essere considerato un corpo libero, sotto l’azione del proprio peso e della reazione vincolare o reazione normale del piano di appoggio, che si manifesta come una forza perpendicolare al piano stesso. Tale forza ha intensità pari alla componente della forza peso del corpo lungo la direzione perpendicolare al piano d’appoggio [f24].
Figura 24 Oggetto su un piano
y N
inclinato privo di attrito e relativo diagramma di corpo libero: il corpo è considerato come punto materiale e il vincolo del piano ! come vettore N.! Le! forze agenti sul corpo sono Px , Py (in ! cui si scompone il peso) ed N.
N Px Py
P x
Generalmente, quando un corpo è a contatto con una superficie, è necessario tener conto anche delle forze di attrito. Se l’attrito è statico, cioè se il corpo appoggiato si trova in equilibrio, il modulo Fs della forza che si
18
Sezione A
La dinamica newtoniana
genera non può mai superare un valore massimo, espresso dal prodotto fra il coefficiente di attrito statico ks e il modulo N della reazione normale esercitata sul corpo dalla superficie di appoggio: Fs ≤ ks N Se invece l’attrito è dinamico, cioè se il corpo si muove strisciando sulla superficie, il modulo Fd della forza agente su di esso è direttamente proporzionale a N: Fd = kd N La costante di proporzionalità kd è detta coefficiente di attrito dinamico e, come il coefficiente di attrito statico ks , dipende dalla natura e dallo stato delle due superfici a contatto.
Moto ed equilibrio di un punto materiale Quando schematizziamo un corpo in equilibrio o in movimento come un punto materiale, tutte le forze agenti sono applicate nello stesso punto (il punto materiale). L’effetto prodotto da tutte le forze nel loro complesso è lo stesso effetto della loro somma vettoriale, detta forza risultante. Un punto materiale è in equilibrio (statico o dinamico) se la risultante di tutte le forze agenti, uguale alla somma vettoriale di tali forze, è nulla. Se la risultante di tutte le forze è invece diversa da zero, il corpo è in moto accelerato e vale il secondo principio della dinamica: note le condizioni iniziali, cioè la posizione e la velocità, possiamo conoscere l’accelerazione, la velocità e la posizione in qualsiasi altro istante.
Figura 25 Una forza e il suo braccio.
F
I moti di un corpo rigido Più complesso è lo studio del moto e dell’equilibrio di un corpo rigido, perché l’effetto di una forza applicata dipende anche dal punto di applicazione. Un corpo rigido può compiere un moto traslatorio, e in questo caso tutti i suoi punti percorrono traiettorie parallele e sono fermi l’uno rispetto all’altro, oppure un moto rotatorio, caratterizzato dal fatto che tutti i punti descrivono traiettorie circolari centrate sulla stessa retta, chiamata asse di rotazione. Se l’asse di rotazione trasla nel tempo, il moto del corpo risulta dalla combinazione di traslazione e rotazione ed è detto moto rototraslatorio.
Come mettere in rotazione un corpo rigido? Da un punto di vista dinamico, la grandezza fisica vettoriale che genera il moto rotatorio di un corpo rigido è il momento della forza, o momento meccanico. Per definire questa grandezza è utile introdurre il concetto di braccio della forza [f25].
P retta di azione
b O
!
Figura 26 Il momento M è orientato in verso uscente dalla palma della mano destra quando il pollice va dal punto O, rispetto al quale il momento è calcolato, al punto di applicazione P della forza e le altre dita sono disposte nel verso della forza.
M
! Braccio di una forza X Il braccio di una forza F rispetto a un punto O è la distanza di O! dalla retta di azione della forza, cioè da quella retta che ha la direzione di F e passa per il suo punto di applicazione P.
F P
! ! Il momento M di una forza F rispetto a un ! punto O è un vettore perpendicolare al piano individuato dal vettore F e da O, avente per modulo il prodotto dell’intensità della forza per il suo braccio b rispetto a O: M=Fb (6) ! Il verso del vettore M è determinato dalla regola della mano destra [f26].
O
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
19
Unità 1
Dalla (6) segue che l’equazione dimensionale del momento di una forza è: [M] = [F] [l] = [m] [l2] [t−2] e la sua unità di misura nel SI è il newton · metro (simbolo N · m). Il momento di una forza rispetto a un punto della sua retta di azione è nullo, perché nullo è il suo braccio. Immaginiamo, per esempio, di voler aprire una porta facendola ruotare attorno ai cardini, che si trovano sull’asse di rotazione. Se la retta di azione della forza interseca l’asse di rotazione, cioè se applichiamo la forza in corrispondenza dei cardini, la porta non ruota affatto. Infatti, in questo caso il braccio della forza e, di conseguenza, il momento sono nulli. La definizione di momento di una forza rispetto a !un punto si estende a qualsiasi sistema di forze. Il momento risultante M di un !sistema ! di due o più forze rispetto a un punto O è la somma dei momenti M 1 , M2 , … delle singole forze rispetto a O: ! ! ! M = M1 + M 2 + … Un caso in cui il momento risultante è nullo è quello in cui due forze uguali e opposte abbiano la stessa retta di azione. I momenti delle due forze rispetto a qualsiasi punto sono infatti due vettori opposti. Se l’insieme delle forze agenti su un corpo rigido inizialmente in quiete, comprese le reazioni vincolari, produce un momento risultante diverso da zero, il corpo viene messo in rotazione.
Figura 27 Un esempio di coppia è il sistema di forze che le mani esercitano sul manubrio quando in bicicletta si vuole curvare.
Coppia di forze e momento Esiste un particolare sistema di forze, detto coppia di forze, la cui somma è il vettore nullo, ma il cui momento ! è !diverso da zero [f27]. Una coppia di forze è l’insieme di due forze F e −F, di uguale intensità e opposte, applicate a uno stesso corpo rigido lungo due distinte rette di azione. La distanza b fra le due rette è detta braccio della coppia [f28]. Per questo sistema, e per qualsiasi altro sistema di forze a somma nulla, il momento risultante è indipendente dal particolare punto rispetto al quale viene calcolato. ! Il momento della coppia è un vettore M che ha come modulo il prodotto dell’intensità F di una forza della coppia (entrambe le forze hanno la stessa intensità) per il braccio b della coppia: M=Fb (7) ! La direzione di M è perpendicolare al piano in cui giacciono le due forze e il suo verso si determina con la regola della mano destra![f29]. Per verificare che il momento di una coppia è il vettore M appena definito si può calcolare, per esempio, il momento risultante delle due forze della coppia rispetto a un punto della retta d’azione di una di esse.
Figura 28 Una coppia di forze e il suo braccio.
F
b
–F
!
Figura 29 Il momento M di
M
una coppia è orientato in verso uscente dalla palma della mano destra quando il pollice va dal punto di applicazione di una delle due forze al punto di applicazione della seconda e le altre dita sono disposte nel verso di quest’ultima.
F
–F
20
Sezione A
La dinamica newtoniana
Il momento come prodotto vettoriale
mat
! Fissato un punto O dello spazio, il vettore posizione r di un punto P rispetto a O è il segmento orientato avente origine! in O e secondo estremo ! in P. Se P è il punto di applicazione di una forza F [f30], il vettore r è utile per esprimere in forma sintetica il momento della forza.
Figura 30 Il punto di ! applicazione P di una forza F è individuato, in riferimento a un ! punto O, dal vettore posizione r .
! Momento di una forza X Rispetto a un punto fissato, il momento M di una ! ! forza F è il prodotto vettoriale del vettore posizione r del punto di applicazione della forza per la forza stessa: momento della forza (N ⋅ m)
posizione (m)
! ! ! M = r ×F
forza (N)
F P r
(8) O
! ! ! Poiché il prodotto vettoriale fra r ed F è perpendicolare sia a r sia a ! F , questa espressione fornisce correttamente la direzione del momento. Inoltre, la regola della mano destra che !determina il verso del momento è ! la stessa da cui si ottiene il verso di r × F . ! ! Chiamiamo α l’angolo compreso fra i due vettori r ed F. Prendendo i moduli dei due membri, la precedente equazione diventa: M = r F sin α Sappiamo che questa espressione fornisce l’area! del parallelogramma ! PQ = F OPQR in [f31], costruito sui due vettori r ed F , avente base ! e altezza OH = r sin α. Poiché OH coincide con il braccio b di F rispetto al punto O, scrivere M = PQ ⋅ OH = r F sin α è come scrivere M = F b. O
Figura 31 Il modulo
R
del momento è l’area del parallelogramma costruito sul vettore posizione e sulla forza.
b r F
α H
P
α
Q
Dimostriamo ora che il momento di una coppia di forze non dipende dal punto rispetto a cui sono calcolati i momenti delle singole forze. Rispetto ! ! a un ! punto O fissato arbitrariamente, i momenti di due forze F1 ed F2 = − F1 sono: ! ! ! ! ! ! ! ! M 2 = r2 × F2 = − r2 × F1 M1 = r1 × F1 ! ! dove abbiamo indicato con r1 ed r2 i vettori posizione dei punti P1 e P2 in cui sono applicate le due forze [f32]. Il momento risultante è: ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! M = M1 + M 2 = r1 × F1 − r2 × F1 = ( r1 − r2 ) × F1 = r12 × F1 Nell’ultimo membro di questa catena di uguaglianze abbiamo posto ! ! ! ! r12 = r1 − r2 . Il vettore r12 , che ha P2 come primo estremo e P1 come secondo, è, in effetti, indipendente da O. La relazione ! ! ! M = r12 × F1
Figura 32 I punti di applicazione ! !
P1 e P2 delle due forze F1 ed F2 di una coppia sono individuati, in riferimento a un punto O, da due ! ! vettori posizione r1 ed r2 . ! ! ! La differenza r12 = r1 − r2 rappresenta il vettore spostamento da P2 a P1.
F1
r 12
Un corpo rigido è in equilibrio se sono soddisfatte due condizioni. La prima condizione ci assicura che il corpo non trasli (a meno che si muova di moto rettilineo uniforme), mentre la seconda ci assicura che il corpo non ruoti.
P1
P2
F2
r1
esprime il momento della coppia in modulo, direzione e verso.
Le condizioni di equilibrio per un corpo rigido
r2
O
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
21
Condizioni di equilibrio per un corpo ! ! rigido X Un corpo rigido è in equilibrio se la somma di tutte le forze F1 , F2 , … agenti sul corpo è nulla ! ! F1 + F2 + ... = 0 e se il momento risultante delle!forze ! applicate calcolato rispetto a un punto qualsiasi, somma dei momenti M1 , M2 , … di tutte le forze agenti sul corpo, è nullo: ! ! M1 + M2 + ... = 0
È importante sottolineare che il momento risultante, trattandosi di un sistema di forze la cui somma è il vettore nullo, può essere calcolato rispetto a un punto qualsiasi. Ciò agevola la risoluzione di alcuni problemi di equilibrio, nei quali la scelta di un particolare punto anziché di un altro può semplificare i calcoli. 2
Le risposte della fisica
Quali forze per equilibrare l’asta?
Un’asta rigida omogenea, lunga 100 cm, ha un peso di 6,0 N. Alla distanza di 20 cm da una delle sue estremità è applicata una forza verticale diretta verso il basso d’intensità 3,0 N. Determiniamo le intensità delle forze che è necessario applicare alle due estremità verticalmente verso l’alto affinché l’asta sia in equilibrio. Dati e incognite L = 100 cm d = 20 cm P ′ = 3,0 N Fs = ? Fd = ?
P = 6,0 N
Soluzione Nella figura sono rappresentate, nei rispettivi punti ! di applicazione, tutte le forze agenti sull’asta. Il peso P dell’asta è applicato al baricentro, cioè al punto mediano dell’asta stessa. La forza verticale orientata verso il basso (che per esempio potrebbe essere esercitata da un pesetto agganFd
! ciato all’asta) è indicata con P!′ e applicata a distanza d ! dall’estremità destra. Le forze Fs ed Fd agenti verticalmente verso l’alto sono applicate, rispettivamente, all’estremità sinistra e a quella destra. Per determinare le intensità Fs ed Fd che le forze alle estremità devono avere per equilibrare l’asta, è sufficiente imporre le due condizioni di equilibrio al sistema di forze. La prima condizione, tenendo conto della direzione e del verso delle forze, è: Fs + Fd = P + P ′ Per imporre che sia soddisfatta la seconda condizione, scegliamo l’estremità sinistra come punto rispetto al quale calcolare il momento risultante. Rispetto ! ! a! tale punto il momento di Fs è nullo, i momenti di P e P ′ sono vettori perpendicolari alla ! pagina e orientati verso l’interno, mentre il momento di Fd , anch’esso perpendicolare alla pagina, !è orientato in ! verso uscente. Tenuto conto che i bracci di P , ! di P ′ e di Fd sono, rispettivamente, L/2, L − d ed L, si ha: L P + P ′ ( L − d ) = Fd L 2 Risolvendo il sistema costituito dalle due precedenti equazioni otteniamo:
Fs L
P P′ (L − d) + = 2 L 6,0 N (3,0 N) (100 cm − 20 cm) = + = 5,4 N 2 100 cm
Fd = d P′
Fs = P + P′ − Fd = 6,0 N + 3,0 N − 5,4 N = 3,6 N
P
Con parole tue 10. Immagina che un mattone sia appoggiato su una superficie orizzontale. Da che cosa dipende e qual è l’espressione dell’intensità massima Fmax della forza di attrito statico che la superficie può esercitare sul mattone? Se il mattone viene spinto con una forza di intensità!F < Fmax diretta parallelamente alla superficie di appoggio, qual è la forza di attrito statico Fs effettivamente sviluppata dal piano? Che cosa accade se è F > Fmax? 11. Una coppia di forze agisce su un’asta rigida: è possibile equilibrare la coppia con una singola forza applicata a un punto opportuno lungo l’asta?
RIEPILOGO VISUALE Velocità (vettoriale) media Se un corpo compie uno spo! stamento Δ s in un intervallo di tempo Δt, si muove con ! una velocità media vm : ! O ! Δs vm = Δt
t1
t2 t s s2
s1 P1
s
P2 vm
Velocità (vettoriale) istantanea ! La velocità media vm calcolata in un intervallo di tempo Δt infinitamente piccolo è la velo! cità istantanea v nell’istante t: ! ! Δs v = lim Δt →0 Δt Accelerazione (vettoriale) media Se la velocità di un corpo nell’intervallo di ! ! ! tempo Δt subisce una variazione Δ v = v2 − v1 , ! esso è soggetto a un’accelerazione media am : ! ! Δv am = Δt t1
t2
t1
t2
t
t am
am v1 O
s1
v2
am > 0
s2
v2
v1 s
O
s1
s
s2
am < 0
Accelerazione (vettoriale) istantanea ! L’accelerazione media am calcolata in un intervallo di tempo Δt infinitamente piccolo ! è l’accelerazione istantanea a nell’istante t: ! ! Δv a = lim Δt →0 Δt Rappresentazione cartesiana di un vettore ô In un piano cartesiano un y ! A vettore a può essere scomposto nei due vettori ! ! componenti ax e ay : a ! ! ! a a = ax + ay ! ! ô I moduli di ax e ay , α presi con segno positivo O a o negativo, si chiamano ! componenti cartesiane di a. ô Tra le componenti cartesiane e il modulo ! di a valgono ax = a cos α e ay = a sin α
Prodotto scalare e vettoriale ! ! Siano a e b due vettori e α l’angolo compreso fra i due vettori. ! ! ô Prodotto scalare: a ⋅ b = a b cos α ! ! ô Prodotto vettoriale: a × b = a b sin α Leggi di Newton ô Primo principio (principio d’inerzia): se la risultante delle forze agenti su un corpo è nulla, esso rimane fermo oppure, se in movimento, continua a muoversi di moto rettilineo uniforme. ! ô Secondo principio: la risultante F delle forze applicate a un corpo di massa m che ! si muove con accelerazione a è: ! ! F = m a ô Terzo principio (principio di azione e reazione): a ogni azione corrisponde sempre una reazione contraria di uguale intensità. Condizioni di equilibrio per un punto materiale La risultante di tutte le forze agenti sul punto materiale deve essere nulla. Il momento di una forza ! Rispetto a un punto fissato O, il momento M ! di una forza F è il prodotto vettoriale: ! ! ! M = r ×F ! con r vettore posizione del punto di appli! cazione di F. ! Il modulo di M è M = r F sin α e coincide con l’area del parallelogramma OPQR. R
O
b
y
r α H
F P
α
Q
x
x
da cui si ricava che: a =
ax2 + ay2
e tan α =
ay ax
Condizioni di equilibrio per un corpo rigido ô Il corpo non trasla: la risultante delle forze applicate deve essere nulla. ô Il corpo non ruota: il momento meccanico risultante calcolato rispetto a un punto generico deve essere nullo.
MAPPA CONCETTUALE DINAMICA descrive la relazione tra il moto dei corpi e le forze che agiscono su di essi
si fonda su
un caso particolare è lo studio delle
TRE PRINCIPI
PRIMO PRINCIPIO
SECONDO PRINCIPIO
TERZO PRINCIPIO
un corpo rimane fermo o in moto rettilineo uniforme se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla
! ! F = m a dove m quantifica l’inerzia del corpo
a ogni azione corrisponde una reazione contraria di uguale intensità
condizioni di EQUILIBRIO
PUNTO MATERIALE
CORPO RIGIDO
punto geometrico dotato di massa che può solo traslare
oggetto esteso non deformabile
è in equilibrio quando
rispetto al
rispetto al
LA RISULTANTE
MOTO TRASLATORIO
MOTO ROTATORIO
è in equilibrio quando
è in equilibrio quando
LA RISULTANTE
IL MOMENTO
DELLE FORZE
MECCANICO
È NULLA
È NULLO
DELLE FORZE È NULLA
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
24
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
ESERCIZI DI PARAGRAFO 1
Le grandezze della dinamica: un richiamo
1 Vero o falso? a. La pressione è una grandezza vettoriale. b. La forza non è uno scalare. c. La velocità scalare media non può assumere valori negativi. d. L’accelerazione scalare media è negativa nei moti decelerati. 2 3
2
8
V
F
V
F
V
V
F
F
Spiega se si può sempre interpretare una forza fra corpi come spinta o urto fra di essi.
ze, usate in meteorologia, se si tratta di un vettore (V) o di uno scalare (S). a. Velocità del vento b. Temperatura c. Pressione atmosferica d. Intensità della pioggia e. Umidità relativa dell’aria
V
S
V
S
V
S
V
S
V
S
IN 10 RIGHE
I bollettini meteo indicano lo stato del mare con la scala Douglas, che classifica l’altezza delle onde da zero a più di 14 m di altezza. Si tratta di una grandezza vettoriale o scalare? IN 10 RIGHE
5
INGLESE Velocity is a vector, defined by its modulus and direction. Give an example referring to the velocity of a ship with a speed of 20 km/h sailing North-East: write its modulus in m/s and its direction in degrees in relation to the eastern [5.6 m/s; East 45° North] direction.
La rappresentazione cartesiana dei vettori
6 Vero o falso? a. Le componenti di un vettore sono grandezze scalari. b. Il modulo di un versore è sempre uguale a 1 m. c. Le funzioni goniometriche di un angolo sono quantità adimensionali. d. Il seno di un angolo compreso tra 180° e 270° è minore di 0. 7
4 Indica accanto a ciascuna delle seguenti grandez-
mat
11 Completa la tabella scrivendo accanto a ciascuna V
F
V
F
V
V
coppia di punti il modulo del vettore spostamento che permette di andare dal primo al secondo punto. Quali vettori sono paralleli e perché? A(2 m; 5 m)
B(7 m; 3 m)
s1 =
C(−3 m; 0)
D(2 m; −2 m)
s2 =
E(−3 m; 5 m)
F(2 m; 3 m)
s3 =
F
F
Qual è l’espressione cartesiana di un vettore orientato lungo una qualsiasi direzione dello spazio tridimensionale? IN 10 RIGHE
“I versori degli assi di un sistema cartesiano sono vettori che hanno la stessa intensità e la stessa direzione, ma verso opposto.” Questa frase è sbagliata. Perché? ! 9 IMMAGINI Traccia i vettori componenti del vettore v secondo la terna di assi cartesiani assegnata. TROVA L’ERRORE
12 Un vettore è solo l’1,01% più lungo di una delle sue componenti cartesiane ortogonali. Supponi che il modulo di questa componente valga 100 unità. Quanto vale il modulo dell’altra componente? Rappresenta la situazione in scala, dopo aver eseguito i calcoli, per controllare graficamente il [14,2 unità] risultato.
13 In un fissato sistema cartesiano Oxyz le compoz
nenti cartesiane dell’accelerazione di un punto materiale sono ax = 3, ay = 2 t, az = 0. Sapendo che nell’istante t = 3,0 s le componenti cartesiane della velocità valgono vx (3) = 8,0, vy (3) = 10, vz (3) = 10 e che tutti i valori numerici sono espressi in unità SI, scrivi in forma vettoriale la velocità in funzione del tempo.
v
x
y
10 Una nave ha una velocità massima di 13 m/s e viaggia verso Nord 30° Ovest. Scrivi l’espressione cartesiana del vettore velocità e rappresentalo su un piano cartesiano, evidenziando anche le sue componenti. Verifica che il vettore da te trovato abbia modulo pari a 13 m/s.
! [v = (−6,5 m/s) xˆ + (11 m/s) ˆy]
! [ v = (3 t − 1) xˆ + (t2 + 1) ˆy + 10 zˆ]
14 Un punto si muove nel piano con legge oraria , dove lo spazio si intende misurato in metri e il tempo in secondi. Qual è l’espressione del vettore velocità istantanea per t = 2,0 s? Quanto vale il suo modulo?
[
; 1,1 m/s]
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Operazioni con i vettori in rappresentazione cartesiana
15 Vero o falso? a. Un vettore moltiplicato per un numero può cambiare modulo, direzione e verso.
mat
20 In un sistema cartesiano Oxy sono assegnati i due ! ! vettori u = xˆ + 2 yˆ e v = 3,0 xˆ + 6,0 y. ˆ Quanto vale ! ! il prodotto scalare fra u e v ?
V
[15]
F
b. Il prodotto scalare di due vettori non
!
21 I vettori a = 2 xˆ + 3 yˆ e b = − xˆ + 2 yˆ giacciono sul
gode della proprietà commutativa.
V
F
V
F
c. Il prodotto vettoriale di due vettori
gode della proprietà commutativa.
piano xy di un sistema cartesiano tridimensionale Oxyz. Disegna i due vettori e calcola il loro prodotto vettoriale.
[7 zˆ]
d. Se moltiplicando scalarmente due
22 Due vettori complanari hanno moduli che valgo-
vettori si ottiene zero, allora anche moltiplicandoli vettorialmente si otterrà zero.
16
V
F
”Il prodotto vettoriale di due vettori è un terzo vettore con direzione parallela al piano individuato dai due vettori e verso entrante nella palma della mano destra, quando pollice e indice sono disposti come i due vettori.” Questa frase è sbagliata. Perché?
no rispettivamente 12 u e 30 u. Calcola il modulo del loro prodotto vettoriale sapendo che l’angolo fra essi compreso è ampio 30°.
[180 u2]
TROVA L’ERRORE
17
IN 10 RIGHE La regola della mano destra per la determinazione del prodotto vettoriale di due vettori è anche chiamata la regola del cavatappi nei paesi di lingua inglese. Come si potrebbero collegare le due regole per confermare che sono equivalenti? (Suggerimento: gira la mano con il palmo verso il basso e ruotala come se il pollice e il mignolo estesi fossero i bracci di un cavatappi.) ! 18 IMMAGINI I due vettori a e b rappresentati nella figura formano un angolo di 20°. Calcola il loro prodotto vettoriale.
10,0 u
a
ay = 4 u e il vettore b ha componenti cartesiane bx = 2 u e by = 8 u. Quanto vale il modulo del vettore somma? E quello del prodotto vettoriale? Disegna un diagramma per rappresentare ogni vettore e controlla graficamente il risultato ottenuto usando una scala opportuna.
[13 u; 16 u2]
24 Calcola il prodotto scalare e il prodotto vettoriale !
dei due vettori a e b qui rappresentati e di modulo pari rispettivamente a 2 2 u e 2 3 u. y
a
b
30° x
O
[( 2 3 − 6) u 2 ; − ( 2 3 + 6) u 2 zˆ, con zˆ versore perpendicolare al piano del foglio e uscente da esso]
20,0 u
b
[68,4 u2 entrante perpendicolarmente nel piano del disegno]
19 Completa la tabella ricordando come si calcola il prodotto scalare e il modulo del prodotto vetto! ! riale di due vettori a e b, le cui direzioni formano un angolo α. b (u)
23 Il vettore a ha componenti cartesiane ax = 3 u e !
45°
20
a (u)
𝛂 (°)
25
a ∙ b (u2)
a × b (u2)
25 Calcola il modulo del vettore risultante dalla somma dei seguenti quattro vettori spostamento: ! s1 = (2,00 cm) xˆ + (16,0 cm) yˆ ! s2 = (−8,50 cm) xˆ − (6,00 cm) yˆ ! s3 = (−10,0 cm) xˆ + (8,50 cm) yˆ ! s4 = (5,50 cm) xˆ + (2,50 cm) yˆ Determina l’ampiezza dell’angolo formato dalla direzione del vettore risultante con l’asse x.
[23,7 cm; −62,4°]
26 Trova il modulo della differenza v 2 − v1 dei vettori: !
5
10
3
90°
5
60°
20
10 0
! ! v 1 = (8,0 m) xˆ + (10 m) yˆ + (−7,0 m) zˆ ! v 2 = (4,0 m) xˆ + (15 m) yˆ + (−9,0 m) zˆ Senza svolgere calcoli, spiega perché il modulo di ! ! ! ! v 2 − v 1 avrà lo stesso valore del modulo di v 1 − v 2.
[6,7 m]
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
3
Unità 1
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
26
4
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
Le leggi di Newton
27 Vero o falso? a. Il secondo principio della dinamica è anche noto come principio d’inerzia.
IMPARA E APPLICA
Impara a risolvere l’esercizio V
F
34 Una macchina lanciapalle per gli allenamenti di
b. La massa inerziale e la massa
gravitazionale di un corpo possono essere entrambe misurate con una bilancia a bracci uguali. c. La relazione 1 N = 1 kg ∙ m/s è errata.
V
F
V
F
V
F
tennis ha una massa di 21 kg e lancia palline da 58 g con un’accelerazione di 7,0 m/s2 in direzione orizzontale. Non essendo stata ancorata al suolo, la macchina rincula in assenza di attrito. Supponendo che la macchina lanci le palle in modo continuo, con quale accelerazione rincula? Quale distanza percorre la macchina in 5,0 s, partendo da ferma?
d. Azione e reazione sono forze di pari
intensità.
28
Che cosa differenzia la massa inerziale dalla massa gravitazionale di un corpo? E che cosa le accomuna?
29
TROVA L’ERRORE “Poiché le forze di azione e reazione hanno la medesima intensità, le accelerazioni prodotte sui corpi su cui agiscono hanno necessariamente la stessa intensità.” Questa frase è sbagliata. Perché?
30
I principi della dinamica
IN 10 RIGHE
Traccia in figura la forza di reazione normale del suolo agente su ciascuna ruota e indicane il modulo, sapendo che il peso P della bicicletta è distribuito uniformemente tra ruota anteriore e ruota posteriore. IMMAGINI
31 Il barone di Münchhausen fu scrittore di avventure e storie mirabolanti: famoso è l’episodio in cui egli stesso racconta di essere uscito fuori dalla palude di fango nella quale era caduto sollevandosi per i capelli. Ma, come ben sai dall’esperienza, non è possibile sollevarsi tirando i propri capelli verso l’alto. Spiega questa affermazione usando il terzo principio.
32 Dati due vettori, la loro risultante e la loro equilibrante hanno sempre lo stesso modulo. Spiega perché e illustra la tua risposta con due vettori non allineati, indicando la loro risultante e la loro equilibrante.
33 Un corpo è sottoposto all’azione di due forze perpendicolari di valore 5,1 N e 6,8 N. Calcola la sua accelerazione, sapendo che la sua massa è di 10 kg. Rappresenta con un diagramma questa situazione.
[0,85 m/s2]
Dati
Massa macchina M = 21 kg Massa palla m = 58 g Accelerazione palla a = 7,0 m/s2 Intervallo di tempo Δt = 5,0 s Incognite
Accelerazione macchina A = ? Distanza percorsa s = ? Situazione fisica
La macchina! imprime alle palle da tennis una forza orizzontale F che le lancia orizzontalmente con acce! lerazione il secondo principio della dinamica ! a. Per ! risulta F = m a, mentre per il terzo principio della dinamica sulla!macchina agisce, a ogni lancio, una forza di rinculo − F . Se la macchina lancia le palle in modo continuo, questa forza agirà in modo costante sulla macchina, facendola accelerare in verso opposto a quello in cui vengono lanciate le palle. Perciò sulla macchina agiscono il suo peso ! agiscono tre forze: in verticale ! P e la reazione normale N del piano di appoggio; in orizzontale agisce la forza di! rinculo che imprime alla macchina un’accelerazione A. Per il secondo principio: ! ! ! ! P+N−F =M A Considerando separatamente le forze orizzontali e quelle verticali, possiamo affermare che in direzione verticale l’accelerazione è nulla: forza peso e reazione normale sono in equilibrio, perciò l’intensità della reazione normale è N = P = M g. In direzione orizzontale risulta: − F = M A da cui: A = − F/M Il valore di A dovrà essere negativo, se per convenzione scegliamo come positivo il verso in cui le palle vengono ! lanciate (che è anche il verso dell’accelerazione a). Il moto della macchina sottoposta all’accelerazione co! stante A è uniformemente accelerato, quindi lo spazio percorso è: s = |A| t2/2 dove abbiamo introdotto il valore assoluto per ottenere un valore positivo della distanza percorsa dalla macchina.
Unità 1
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
27
Iniziamo esprimendo la massa della palla in kilogrammi: 58 g = (58 : 1000) kg = 0,058 kg
verso l’alto. Quanto valgono l’accelerazione e la forza che agiscono su di esso nel punto più alto della sua traiettoria?
Abbiamo detto che l’intensità della forza di rinculo che agisce sulla macchina è uguale, per il terzo principio, alla forza di lancio delle palle F = m a, quindi possiamo sostituire la sua espressione nella formula che, in virtù del secondo principio della dinamica, dà l’accelerazione A della macchina, ossia: F = m a → A = − F /M = − m a /M Possiamo ora sostituire i dati numerici: A = − m a/M = − (0,058 kg) (7,0 m/s2)/(21 kg) = = 0,019 m/s2 Sostituiamo l’espressione che dà A nella legge oraria del moto uniformemente accelerato: 1 1 ma m a ∆t 2 A ∆t 2 = − ∆t 2 = 2M 2 2 M Inserendo i valori numerici, otteniamo la distanza percorsa dalla macchina:
A = −m a/M → s =
s=
m a ∆t 2 (0,058 kg) (7,0 m/s2 ) (5,0 s)2 = = 0,24 m 2M 2 (21 kg)
[9,8 m/s2; 3,9 N]
38 Un pullman di massa 9,50 · 103 kg percorre un rettilineo alla velocità costante di 63,0 km/h. La nebbia riduce la visibilità a 70,0 m quando il conducente vede comparire all’improvviso fra la nebbia un’auto ferma al centro della carreggiata. Supponendo trascurabile il tempo di reazione dell’autista, quanto vale la minima decelerazione che permetterebbe al pullman di fermarsi ed evitare l’urto? Determina con quale velocità il pullman giungerebbe invece sull’auto, se il conducente esercitasse una forza frenante costante di 9,85 · 103 N.
[−2,19 m/s2; 12,7 m/s]
Rifletti sul risultato
Per risolvere il problema abbiamo dovuto applicare sia il secondo principio (per determinare la relazione tra l’accelerazione e le forze agenti sulla palla e sulla macchina) sia il terzo principio, per uguagliare le intensità delle due forze di contatto agenti tra palla e macchina. Sempre applicando i due principi in combinazione, si ricava che palla e macchina vengono accelerate in misura inversamente proporzionale alle rispettive masse: a parità di forza, infatti, maggiore è la massa (ossia l’inerzia) e minore è l’accelerazione. Vale ovviamente il viceversa. Applica la strategia ai prossimi esercizi
35 In un contatto tra due giocatori di rugby, il primo di massa 125 kg esercita una forza orizzontale di 188 N sul secondo, di massa 105 kg. Trascurando gli attriti, calcola i moduli delle accelerazioni dei [1,50 m/s2; 1,79 m/s2] due giocatori.
39 Luigi e Sebastiana potano gli alberi in giardino e tirano i bordi di un telo con 190 kg di rami. Per ridurre l’attrito, tirano il telo leggermente verso l’alto con forze parallele inclinate di 30° rispetto all’orizzontale. Luigi esercita una forza F1 di 410 N e Sebastiana una forza F2 di 460 N. La forza di attrito è di 700 N. Calcola la forza normale necessaria per sostenere il telo con i rami e la sua accelerazione iniziale.
[1,4 kN; 0,28 m/s2]
40 Un carrello della spesa di massa 25 kg, inizialmente fermo, viene spinto su una superficie piana senza attrito fino a raggiungere la velocità di 1,0 m/s. La forza applicata di 20 N è inclinata di 30° rispetto all’orizzontale, verso il basso. Calcola l’accelerazione del carrello, il tempo necessario per raggiungere la velocità finale e lo spazio percorso durante il periodo di accelerazione.
Suggerimento
Applica in combinazione secondo e terzo principio della dinamica.
36 Durante la prova di uno spettacolo due pattinatori artistici, inizialmente fermi, si spingono reciprocamente in modo da allontanarsi uno dall’altro. Nello stesso intervallo di tempo, il primo si allontana di 12 m e il secondo di 18 m. Se si trascurano tutti gli attriti, qual è il rapporto tra le rispettive [3 : 2] masse? Suggerimento
Applica il terzo principio per ricavare il rapporto tra le masse dal rapporto tra le accelerazioni.
[0,69 m/s2; 1,5 s; 0,73 m]
41 Un’auto di massa 1400 kg rientra in autostrada dopo una sosta in area di servizio. Lungo la corsia di accelerazione, il motore le imprime una forza di 2500 N trasmessa alle ruote. La tabella indica il valore assunto dalla forza di attrito, man mano che aumenta la velocità dell’auto. v (m/s)
0
10,0
20,0
30,0
Forza d’attrito (N)
0
45,0
180
400
Considerando la forza di attrito, calcola l’accelerazione nei quattro istanti considerati.
[1,79 m/s2; 1,75 m/s2; 1,66 m/s2; 1,50 m/s2]
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
37 Un pallone da 0,40 kg è lanciato verticalmente
Risoluzione
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
28
5
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
Equilibrio del punto materiale e del corpo rigido
42 Vero o falso? a. Un corpo soggetto a due forze perpendicolari fra loro è in equilibrio purché entrambe abbiano la stessa intensità. b. Secondo la dinamica newtoniana, un corpo mantenuto in moto circolare da una forza di attrito statico non è in equilibrio perché ha un’accelerazione centripeta. c. Se un corpo è sottoposto a forze esterne che lo premono contro il piano di appoggio, la forza di reazione normale del piano sarà superiore alla sua forza peso. d. Un corpo in equilibrio è sempre fermo perché la risultante di tutte le forze agenti su di esso è nulla. 43 44
IN 10 RIGHE
IMPARA E APPLICA
Corpi rigidi in equilibrio
Impara a risolvere l’esercizio
47 Uno scultore dilettante vuole realizzare una strutV
F
V
F
V
F
tura sospesa formata da un’asta omogenea di massa 3,6 kg e da due blocchi di legno sagomati, di masse mA e mB = 2,9 kg appesi alle estremità dell’asta. L’asta viene sospesa a un cavo agganciato a una distanza uguale a un quarto della sua lunghezza dal blocco di massa mA. Se l’asta rimane immobile e inclinata di 30° rispetto all’orizzontale, qual è la tensione del cavo?
A V
C
F
Che cosa si intende per coppia di forze?
O mA
IN 10 RIGHE Un corpo rigido si muove di moto rototraslatorio. Si può concludere che il momento risultante di tutte le forze a esso applicate, calcolato rispetto a un punto qualsiasi dello spazio, è sicuramente diverso da zero?
α B
Dati
45 Per ciascuna delle situazioni raffigurate riporta in tabella modulo, direzione e verso del momento della forza F rispetto al punto O.
| M! |
Direzione ! e verso di M
mB
Incognite
Intensità tensione T = ? Situazione fisica
F O
L’asta AB è un corpo rigido che può ruotare nel piano verticale intorno al punto di sospensione C, dove agisce la tensione del cavo di intensità T. Essendo l’asta omogenea, la sua forza peso di intensità P = M g agisce nel centro geometrico O dell’asta. Le forze peso dei due blocchi di intensità PA = mA g e PB = mB g agiscono alle estremità dell’asta. Tutte queste forze sono dirette verticalmente: la tensione verso l’alto, mentre i pesi verso il basso.
P r F
O P
r
Massa asta M = 3,6 kg Massa secondo blocco mB = 2,9 kg Angolo di inclinazione α = 30°
F O
P r
T
F
O P
r A
46
C
m
[245 N · m]
PA O
0 2,0
IMMAGINI Una bambina di massa pari a 25,0 kg sta O andando sull’altalena. Supponendo che il bari30° centro della bambina sia in P e che il segmento OP formi con la verticale l’angolo indicato, determina il modulo del momento del peso nell’istante considerato.
P α B PB
P
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Applica la strategia ai prossimi esercizi
48 Per tenere in equilibrio un’asta di massa trascurabile e lunghezza 2,44 m, ai cui estremi sono stati legati due contrappesi di masse m1 = 35,0 kg e m2, un operaio deve collocarla su un supporto a distanza d dall’estremità a cui è appesa m2. Sapendo che la reazione del supporto è di 745 N, [1,12 m] calcola d.
Passando alle intensità delle forze possiamo scrivere: T − mA g − mB g − M g = 0 La precedente equazione tuttavia non è sufficiente a determinare la tensione del cavo, dato che non conosciamo né T né mA. Osserviamo allora che condizione necessaria affinché l’asta non ruoti è che la somma dei momenti delle forze agenti sul corpo rispetto a un punto qualsiasi sia nulla. Scegliamo come punto rispetto al quale calcolare i momenti delle forze il punto C di sospensione: la scelta è motivata dal fatto che in tale caso il braccio della tensione è nullo, come pure il rispettivo momento. Indicata con l la lunghezza dell’asta, guardando la figura ricaviamo che il peso del blocco in A, il peso del blocco in B e il peso dell’asta hanno, rispetto al centro di sospensione C, bracci rispettivamente uguali a (l/4) cos α, (3 l/4) cos α e (l/4) cos α. Se imponiamo che la somma dei momenti delle tre forze peso sia nulla, tenendo presente che il momento del peso in A ha verso opposto rispetto agli altri due momenti, l’equilibrio rispetto alla rotazione è garantito dall’equazione: l 3l l cos α − m B g ⋅ cos α − M g ⋅ cos α = 0 4 4 4 Semplificando i fattori comuni e risolvendo rispetto alla massa del blocco in A, otteniamo:
Suggerimento
Applica in combinazione le condizioni necessarie all’equilibrio del corpo rigido.
49 In un villaggio africano un portatore d’acqua usa un bastone di legno approssimativamente rettilineo e omogeneo, di massa 4,5 kg e lunghezza 2,0 m, per portare due secchi alle estremità. Il primo secchio ha capacità 18 litri e il secondo ha capacità 10 litri. Trascurando la massa dei secchi, l’uomo dove deve appoggiare la spalla per tenere il bastone in equilibrio? E quale reazione vincolare esercita la sua spalla sul bastone?
[a 75 cm dal primo secchio; 320 N] Suggerimento
Il punto di appoggio dovrà essere più vicino al secchio di capacità maggiore. Ricorda che la densità dell’acqua è di circa 1,0 kg per litro.
50 Per aprire un barattolo si esercita una coppia di forze sul tappo. Il diametro del tappo vale 10 cm e il momento totale della coppia di forze è pari a 2,5 N · m. Calcola il valore di ognuna delle due forze (uguali e opposte) applicate agli estremi di [25 N] un diametro del tappo.
mA g ⋅
mA = 3 mB + M Ricavata l’espressione di mA in funzione delle masse note, possiamo sostituirla nell’equazione della risultante delle forze: mA = 3 mB + M → T = mA g + mB g + M g =
51 Calcola il momento di una forza di 5,0 N che forma un angolo di 60° con il vettore posizione, lungo 30 cm, del suo punto di applicazione.
[1,3 N · m]
52
In un sistema cartesiano Oxyz una forza F e il vettore posizione r del suo punto di applicazione sono così espressi: F = 2 x − 4 yˆ ed r = −3 x + 5 y. ˆ ˆ ˆ Sapendo che con x, ˆ yˆ e zˆ vengono indicati, nell’ordine, i versori degli assi x, y e z del sistema cartesiano, qual è il momento di F rispetto all’o[2 zˆ] rigine O del sistema?
53
DIMENSIONI Determina i valori degli esponenti m, n e p affinché l’espressione am bn cp abbia le dimensioni del momento di una forza, sapendo che a indica una massa, b una lunghezza e c un tempo.
= (3 mB + M ) g + mB g + M g = 4 mB g + 2 M g Risoluzione
Sostituiamo i valori delle due masse note per trovare la tensione: T = 4 mB g + 2 M g = = 4(2,9 kg)(9,81 N/kg) + 2(3,6 kg)(9,81 N/kg) = = 180 N Rifletti sul risultato
Abbiamo trovato che l’intensità della forza di tensione del cavo non dipende dall’angolo di inclinazione dell’asta o dalla sua lunghezza, ma solo dalle masse in gioco. Per un corpo rigido, le condizioni necessarie all’equilibrio sono due: la risultante delle forze agenti sul corpo e il momento risultante delle forze agenti rispetto a un punto qualsiasi devono essere nulli. Come in questo esercizio, le due condizioni possono essere utilizzate in modo complementare per determinare un dato mancante (per esempio una forza o una massa).
29
mat
[m = 1; n = 2; p = −2]
54 In una barca a 6 remi un vogatore esercita una forza media di 400 N all’estremità di un remo lungo 3,00 m, appoggiato allo scalmo a 1,00 m dall’estremità dell’impugnatura. Supponi che il vogatore eserciti la forza a 30,0 cm dall’estremità superiore del remo. Qual è la forza media totale che i 6 remi esercitano sull’acqua? Supponi, per semplificare, che la forza media sull’acqua sia esercitata in un punto a 20,0 cm dall’estremità opposta del remo. Disegna un diagramma che [933 N] illustri la situazione.
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
Come corpo rigido l’asta è in equilibrio sia rispetto alla traslazione sia rispetto alla rotazione. Se l’asta non trasla, necessariamente la risultante delle forze agenti è nulla, ovvero: ! ! ! ! T + PA + PB + P = 0
Unità 1
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
30
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
55 Durante un disboscamento, un tronco lungo
59 Carlo, un ragazzo di massa pari a 78 kg, è seduto
10,0 m, di massa 200 kg, giace orizzontalmente per terra e il suo baricentro si trova a 4,00 m dalla base perché ha una sezione maggiore. Calcola con quale forza dovrebbe essere alzata ciascuna estremità del tronco, separatamente, per appoggiarlo su due carrelli trasportatori. [785 N; 1,17 kN]
su una slitta di massa 6,2 kg che si trova su un piano orizzontale sulla neve. Il coefficiente di attrito statico fra il fondo della slitta e la neve in quelle condizioni vale 0,080. Calcola la forza orizzontale minima che il fratello di Carlo dovrà esercitare sulla slitta per farla muovere. [66 N]
56
A driver parks its 1.50 · 103 kg car on a slanted road which is 100 m long and 10.0 m high. Draw a diagram to show the forces that act on the car in this situation. Calculate the force down the plane and the normal force that acts perpendicularly to the plane. [1.47 kN; 14.6 kN] INGLESE
57 Luca deve alzare e portare una cassa di peso 75,0 N da uno scaffale all’altro. All’inizio egli non può sostenerla dal fondo, quindi preme sui lati esterni della cassa stessa in versi opposti. Il coefficiente di attrito statico fra la superficie esterna della cassa e le sue mani è pari a 0,630. Calcola la forza minima con la quale ogni mano deve spingere lateralmente la cassa per impedire che cada durante il trasporto. [59,5 N con ogni mano]
58 Una sbarra lunga 1,5 m regge alle sue estremità due cesti di pesi distinti, uno di 30 N e l’altro di 17 N. Trova il punto di equilibrio lungo la sbarra e la misura della forza che è necessaria per mantenerla in equilibrio.
[a 0,54 m dalla forza di 30 N e 0,96 m dall’altra; 47 N]
60 In una miniera di salgemma, delle casse di 100 kg piene di cristalli di sale devono essere tirate a velocità costante lungo un tunnel che presenta un’inclinazione di 20°. Se il coefficiente di attrito dinamico fra la pavimentazione del tunnel e il fondo di legno delle casse vale 0,350, calcola l’intensità della forza con cui deve essere tirata ciascuna cassa di sale. [658 N]
61 Un boccale di birra viene fatto scivolare sul piano orizzontale del bancone di un pub. I coefficienti di attrito statico e dinamico fra boccale e piano valgono rispettivamente 0,300 e 0,200 e il boccale pieno ha la massa 1,20 kg. Sapendo che il barman ha spinto il boccale in modo che questo cominci a scivolare con una velocità iniziale di 2,60 m/s, calcola la forza di attrito dinamico, l’accelerazione e il tempo che occorre perché il boccale si fermi. Qual è la forza minima necessaria per mettere il boccale di nuovo in movimento?
[2,35 N; −1,96 m/s2; 1,33 s; 3,53 N]
TEST
VERSO L’UNIVERSITÀ
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Puoi simulare la parte di fisica di un test di ammissione svolgendo questa batteria di esercizi in 25 minuti. Per calcolare il tuo punteggio dai 1 punto alle risposte esatte, 0 punti a quelle non date e – 0,25 punti a quelle errate. La griglia delle soluzioni è alla fine del libro.
1 The gravitational force acting on an object is called its: a b c d e
weight mass density momentum pressure
2 Quanto tempo impiega un bambino a scendere giù per uno scivolo lungo 2,8 m e inclinato di 25° sopra l’orizzontale, in presenza di attrito dinamico con coefficiente 0,22? a b c d e
9,5 s 1,6 s 0,83 s 19 s Impossibile rispondere senza conoscere la massa del bambino
3 Durante un giro di prova, un’auto da corsa viene portata a un’accelerazione di 15 m/s2 senza far girare le gomme a vuoto. Quanto deve valere come minimo il coefficiente d’attrito statico fra gomme e piano stradale affinché ciò sia possibile? a b c d e
0,65 0,43 1,5 0,30 Impossibile rispondere senza conoscere la massa dell’automobile
4 Which one of the following is NOT a vector? a Position b Velocity c Weight d Acceleration e Time
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
31
12 A straight uniform bar with endpoints A and B is
momento meccanico minimo di 4,2 N · m, quale forza tangenziale bisogna applicare a 50 cm dall’asse di rotazione della porta per poterla aprire?
6 meters long. It is placed vertically, and hinged at A to a fixed point. A horizontal force of 5.0 N (newton) is applied halfway. How intense should an opposite force be, if we apply it at a point P, 2.0 meters away from A, in order to obtain an equilibrium condition?
a b
8,4 N 0,12 N
c d
17 N 4,2 N
e
2,1 N
a b c d e
b c d e
13 Quale dei vettori indicati nei seguenti disegni con i numeri rispettivamente!1, 2, 3, 4, 5 rappresenta il vettore differenza a − b?
1
a
sono perpendicolari fra loro sono paralleli giacciono sullo stesso piano non rispettano la regola della mano destra sono opposti
8 In un! sistema cartesiano sono assegnati i due vet!
a
2 zˆ −22 zˆ
c d
0 −2 zˆ
e
10 zˆ
b c
d e
F = m g (1 − cos α) F = m g tan α
ghezza di 6,0 m e un peso di 150 N. Essa è sistemata su un supporto posizionato esattamente al centro. Un oggetto puntiforme dalla massa di 20 kg è adagiato a una distanza di 1,5 m da A e uno dalla massa di 4,0 kg è posizionato su B. A che distanza da B si deve posizionare un oggetto dalla massa 10 kg affinché l’asta si trovi in equilibrio?
1,5 m
b
4,2 m
c
4,8 m
d
1,8 m
e
1,2 m
11 Two forces of equal intensity F are applied at a point and form an angle of 60°. How intense should a third force, applied at the same point, be to obtain an equilibrium condition? a b c d e
F 3 F 2 2F 3 2F F 3 2
a
b
b
1
b
2
c
3
d
4
e
5
equilibrio: il corpo è quindi fermo e la corda perfettamente in verticale. Se, in queste condizioni, si spinge orizzontalmente e lentamente il corpo di un piccolo tratto, si scopre che lo spostamento è per nulla faticoso malgrado il grande peso: perché? a
10 Un’asta omogenea di estremità A e B ha una lun-
a
5
4
b
14 Un corpo pesante è sospeso a una fune lunga e in
angolo α rispetto all’orizzontale un carrello di massa m con velocità costante, occorre applicare al carrello una forza di intensità:
F = m g sin α F = m g cos α F = m g (1 − sin α)
3
a
b
a
a
9 Per far salire lungo un piano liscio inclinato di un
a
2
a
b
tori u = 2 xˆ + 3 yˆ e v = 4 xˆ − 5 y, ˆ in cui xˆ e yˆ sono i versori degli assi x e y. Se zˆ è il versore dell’asse z, ! ! quanto vale il prodotto vettoriale u × v ? b
7.5 N 5.5 N 8.0 N 5.0 N 6.5 N
a
6 Se P è il punto di applicazione di una forza F , r è il vettore posizione di P rispetto a un punto O e α F M r l’angolo formato da con , il momento della forza F rispetto a O è dato dall’espressione: ! ! a F × r c r F e r F tan α ! d r F sin α b r × F 7 Se P è il punto di applicazione di una forza F ed r è il vettore posizione di P rispetto a un punto O, il momentoM della forza F rispetto a O è nullo se i vettori F ed r :
b
c d
e
Il corpo è sottoposto alla pressione atmosferica anche orizzontalmente Il perno su cui è fissata la corda al soffitto produce una spinta orizzontale La fune produce anche una spinta orizzontale L’attrito dell’aria è nullo per spostamenti piccoli I piccoli spostamenti praticamente orizzontali non sono impediti da alcuna forza apprezzabile
15 Un corpo è sottoposto a una forza di modulo F costante e parallela al piano di appoggio; si verifica che il moto risultante è rettilineo e uniforme con velocità v. Se ne conclude che la forza d’attrito: a b c
d
e
è nulla è ortogonale al piano di appoggio è metà della forza F e ha la stessa direzione e verso è metà della forza F e ha la stessa direzione e verso opposto è uguale e opposta alla forza di modulo F
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
5 Sapendo che per aprire una porta occorre un
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
32
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO Una slitta da traino Una slitta di massa 12,3 kg è trainata da una renna con una forza orizzontale costante, verso destra, di 63,5 N lungo un tratto pianeggiante innevato. La slitta è collegata mediante una fune orizzontale, inestensibile e di massa trascurabile, a una seconda slitta di massa 15,7 kg. Se il coefficiente di attrito dinamico tra le slitte e la neve è di 0,150, qual è la loro accelerazione? Qual è la tensione della fune che le collega? 1
Individua le incognite e i dati espliciti
Leggi di nuovo con attenzione il testo del problema per individuare le incognite e i dati espliciti. Evidenzia le incognite in azzurro e i dati espliciti in giallo.
Una slitta di massa 12,3 kg è trainata da una renna con una forza orizzontale costante, verso destra, di 63,5 N lungo un tratto pianeggiante innevato. La slitta è collegata mediante una fune orizzontale, inestensibile e di massa trascurabile, a una seconda slitta di massa 15,7 kg. Se il coefficiente di attrito dinamico tra le slitte e la neve è di 0,150, qual è la loro accelerazione? Qual è la tensione della fune che le collega?
3
A partire dai dati impliciti ed espliciti definisci gli elementi del modello.
ô Forza orizzontale costante ⇒ La forza applicata alla prima slitta è costante in intensità, direzione e verso. ô Slitta trainata lungo un tratto orizzontale ⇒ La direzione dello spostamento è parallela alla retta d’azione della forza. ô Fune orizzontale inestensibile e di massa trascurabile ⇒ La fune non varia in lunghezza e trasmette la trazione dalla prima slitta alla seconda ⇒ la fune e le due slitte hanno la stessa accelerazione e si comportano come un corpo unico di massa m1 + m2. ô Coefficiente di attrito dinamico tra le slitte e la neve ⇒ Su ognuna delle due slitte agisce una forza di attrito, dipendente dalla massa della slitta, diretta parallelamente allo spostamento e con verso opposto. 4
Tutti i dati sono espressi in unità di misura SI con tre cifre significative: dovrai perciò esprimere il risultato in modo analogo. 5
Dai un nome ai dati. Se sono espressi da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
ô Massa della prima slitta: m1 = 12,3 kg ! ô Forza applicata alla prima slitta F : intensità F = 63,5 N, direzione orizzontale, verso destra ô Massa della seconda slitta: m2 = 15,7 kg ô Coefficiente di attrito dinamico tra le slitte e la neve: kd = 0,150 2
Individua i dati impliciti
Evidenzia in verde tutte quelle informazioni che, anche se fornite nel testo in modo implicito, sono comunque necessarie per poter definire la situazione fisica.
Una slitta di massa 12,3 kg è trainata da una renna con una forza orizzontale costante, verso destra, di 63,5 N lungo un tratto pianeggiante innevato. La slitta è collegata mediante una fune orizzontale, inestensibile e di massa trascurabile, a una seconda slitta di massa 15,7 kg. Se il coefficiente di attrito dinamico tra le slitte e la neve è di 0,150, qual è la loro accelerazione? Qual è la tensione della fune che le collega?
Riporta i dati a unità di misura e cifre significative consistenti
In assenza di altre indicazioni o richieste esplicite è buona norma utilizzare unità di misura del SI. Bisogna fare attenzione a esprimere i dati convertiti con lo stesso numero di cifre significative che avevano i dati iniziali.
Ora dai un nome alle incognite. Se sono espresse da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
! ô Accelerazione delle slitte a: intensità a, direzione e verso da stabilire ! ô Tensione della fune T : intensità T, direzione e verso da stabilire
Costruisci un modello con i dati
Disegna la situazione fisica
Scorri i dati espliciti e impliciti del problema e rappresentali in uno schema. Conviene fissare un sistema di riferimento, individuare eventuali vincoli, sistemare i corpi e infine rappresentare gli eventuali parametri.
ô Sistema di riferimento. Fissa un asse cartesiano Os orizzontale orientato verso destra, come mostrato in figura. La forza applicata alla prima slitta è diretta lungo l’asse Os e ha verso concorde. La forza di attrito delle due slitte con la neve è diretta lungo l’asse Os e ha verso opposto. ô Vincoli. La fune mantiene le due slitte a distanza costante. ô Corpi. Le slitte sono assimilabili a due corpi puntiformi di massa m1 ed m2. ô Parametri. Non sono presenti parametri. m2 Fd
2
O
T
T
m1 Fd
F
1
s
Le leggi della dinamica e l’equilibrio Ipotizza come si evolve il sistema
Partendo dalla situazione fisica iniziale, descrivi in poche righe l’evoluzione del sistema in base alle ipotesi che hai fatto. Ragiona tenendo conto di eventuali simmetrie del problema.
Tutte le forze che agiscono sul sistema di slitte (forza trainante e forze d’attrito) sono costanti, pertanto il sistema si muove con accelerazione costante, determinata dalla risultante delle forze agenti sul sistema e dalla sua massa totale.
determinarla ti basta perciò analizzare le forze in gioco sulla seconda slitta. Poiché la seconda slitta si muove con ! a, su di essa agisce una forza complessiva accelerazione ! ! ! della tensione T della F2 = m2 a. Tale forza è la risultante ! fune e della forza di attrito Fd , ossia 2
F2 = T − Fd
8
Controlla il risultato: analisi dimensionale
Nelle formule risolutive, sostituisci alle variabili le loro dimensioni. Se i calcoli sono corretti dal punto di vista fisico (a meno di costanti numeriche adimensionali), devi ottenere un’identità.
Scrivi le leggi fisiche che legano i dati e le incognite del problema.
Per ! il secondo principio della dinamica, la risultante Ftot delle forze applicate a un corpo di massa m è pari a ! ! Ftot = m a ! con a accelerazione del corpo. Ti risulta inoltre utile la di forza di attrito ! definizione ! dinamico Fd = kd N ! dove kd è il coefficiente di attrito dinamico e N è la reazione normale della superficie d’appoggio.
m2 a = T − kd m2 g
T = m2 (a + kd g)
Richiama le leggi fisiche
! La risultante Ftot delle forze agenti su! un ! corpo è la , , …, a esso somma vettoriale delle singole forze F F 1 2 ! ! ! applicate: Ftot = F1 + F2 + …
2
da cui
e, risolvendo rispetto alla tensione T, ottieni:
9 7
33
Ricordando che il coefficiente di attrito kd è adimensionale, che g ha le dimensioni di un’accelerazione e che la tensione T è una forza, puoi verificare immediatamente le dimensioni dei risultati. Per l’accelerazione delle slitte vale:
[ m ⋅ l ⋅ s −2 ] [ l ⋅ s −2 ] = [ m ] + [ m ] − [ l ⋅ s −2 ] =
⋅ l ⋅ s −2 ] − [ l ⋅ s −2 ] = ]
= [ l ⋅ s −2 ] − [ l ⋅ s −2 ] = [ l ⋅ s −2 ] Per la tensione della fune si ha: [m ∙ l ∙ s −2 ] = [m] ∙ ([l ∙ s −2] + [l ∙ s −2]) = [m] ∙ [l ∙ s −2] = = [m ∙ l ∙ s −2 ]
Trova la formula risolutiva
L’obiettivo è ricavare le incognite da queste leggi. Per isolarle algebricamente, potrebbe essere necessario individuare e ricavare eventuali variabili mancanti mediante passaggi intermedi. Sfrutta in questa fase eventuali ipotesi semplificative (come variabili uguali tra loro o nulle).
Le due slitte si comportano come un corpo unico! di massa m1 + m2, sul quale agisce una forza risultante Ftot: ! ! ! ! Ftot = F + Fd + Fd ! ! con! F forza di traino applicata alla prima slitta, Fd ed Fd rispettivamente forza di attrito dinamico della prima slitta e della seconda. Applicando la definizione di!forza di attrito e ricordando che la reazione normale N ha modulo pari all’intensità della forza peso, puoi scrivere: 1
2
1
2
Fd = kd N 1 = kd m1 g 1
Fd = kd N 2 = kd m2 g 2
Nota la forza risultante agente sul sistema, puoi ricavare l’accelerazione a delle slitte dal secondo principio della dinamica: F − Fd − Fd F − kd m1 g − kd m2 g Ftot 2 1 = = a= = m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2
=
F − kd g ( m1 + m2 ) F − kd g = m1 + m2 m1 + m2
Per il calcolo della tensione della fune devi ricordare che essa ha lo stesso valore in ogni punto della fune. Per
10 Calcola il risultato con le cifre significative corrette
Solo in questa fase sostituisci nella formula risolutiva i dati, espressi con cifre significative consistenti. Le unità di misura fanno parte integrante del dato ma anche del risultato: controlla che le unità di misura del risultato siano consistenti con le sue dimensioni.
L’accelerazione delle slitte ha intensità a=
F 63,5 N −k g = − 0,150 ⋅9,81 m/s2 = m1 + m2 d 12,3 kg + 15,7 kg
= 0,796 m/s2 è diretta orizzontalmente e ha verso concorde all’asse Os. La tensione della fune ha intensità T = m2 (a + kd g) = = 15,7 kg (0,796 m/s2 + 0,150 ∙ 9,81 m/s2) = 35,6 N ed è diretta orizzontalmente. Il verso della tensione è concorde all’asse Os nel punto di contatto tra la fune e m2; ha verso opposto nel punto di contatto con m1. 11 Commenta il risultato
La renna riesce a imprimere un’accelerazione alle slitte ! F > kd g . soltanto se applica una forza F tale che m1 + m2 F = kd g il moto risulta invece Nel caso in cui m1 + m2 uniforme.
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
6
Unità 1
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
34
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
PROBLEMI DI RIEPILOGO ESERCIZIO COMMENTATO
VIDEOTUTORIAL
Clicca su questa icona per verificare sul libro digitale la risoluzione passo per passo dell’esercizio.
Per vedere il video che spiega come risolvere l’esercizio inquadra la pagina o clicca sull’icona.
1 Per sbloccare un bullone di raggio 1,5 cm è neces-
7 La luce del Sole impiega circa 8,0 min ad arrivare
saria una forza totale di 4,0 kN. Si deve progettare una chiave affinché un utente possa applicare una forza massima di 150 N. Quanto deve essere lungo il braccio della chiave?
sulla Terra direttamente, mentre quella riflessa dalla Luna ci arriva in soli 1,3 s. Quanto vale il rapporto fra la distanza Terra-Sole e la distanza [370] Terra-Luna.
8 Un atleta inizia la corsa e si spinge avanti con una forza di breve durata la cui componente orizzontale è stimata in circa 200 N fra le scarpe da ginnastica e la pista. Calcola il momento di questa forza rispetto alle ossa del bacino, sapendo che la sua gamba, momentaneamente in verticale, è lunga 95 cm.
[40 cm]
2 Per aprire il portone blindato di un appartamento si deve esercitare un momento meccanico minimo di 3,9 N · m. Con quale forza perpendicolare alla porta la si deve spingere, a 60 cm dal suo asse di rotazione, per iniziare a chiuderla?
[6,5 N]
3
[190 N · m]
9
STIME Un colibrì ha un’apertura alare di circa 8 cm. Prova a stimare quanto vale, in modulo, la velocità con cui si muove la punta di una sua ala in un battito.
STIME Stima la tua accelerazione quando eserciti una forza sul pavimento pari a 1/5 del tuo peso per spingerti avanti.
[g/5]
4 Un martin pescatore è filmato da una telecamera posizionata nella parte alta di un albero e il programma informatico che misura la sua velocità registra la sua posizione in intervalli di tempo di 2,5 s. La tabella sottostante indica due posizioni succes! s = (1,0 m) x + (5,5 m) yˆ e sive separate da 2,5 s, ˆ 1 ! s2 = (−1,5 m) x + (3,8 m) y. ˆ ˆ Indica queste posizioni in un diagramma cartesiano e disegna il vettore spostamento indicando il suo verso. Completa la seguente tabella e calcola il modulo del vettore v m, velocità media. Coordinata x ! −1,5 posizione s2 (m) ! posizione s1 (m) ! ! spostamento = s2 − s1 (m) ! velocità v m (m/s)
10 Due bambini giocano con la porta girevole di un piccolo albergo: ciascuno esercita una forza diretta perpendicolarmente alla superficie della porta. Se il primo bambino esercita una forza di 49 N a 32 cm dall’asse della porta, a quale distanza dall’asse e in quale verso il secondo bambino dovrà esercitare una forza di 35 N per bloccare la porta?
Coordinata y
[45 cm, in verso opposto]
11 Una gru ha la seguente tabella all’interno della cabina di comando (considera g = 10 N/kg).
5,5
[1,2 m/s]
5
[10 m/s]
Stima l’ordine di grandezza della forza media esercitata da un atleta per arrivare alla velocità di 9 m/s in 5 s ipotizzando un valore ragionevole per la sua massa. STIME
[102 N]
6 Senza il servosterzo, per girare un volante occorre una coppia di 5,80 N · m. Se il suo diametro misura 40,0 cm, calcola il modulo delle forze necessarie per girarlo in queste condizioni e determina il verso del momento torcente nel caso di una curva a destra e di una curva a sinistra.
[14,5 N; entrante nel volante; uscente]
Carico da sollevare (tonnellate)
Distanza massima dalla torre (m)
5,0
24
10
12
15
8,0
29
6,0
Momento (in 106 N · m)
Calcola il momento causato dal carico e completa la tabella. Spiega i risultati ottenuti nel calcolo dei momenti. Calcola la distanza massima a cui si può appendere un carico da 12 t.
[1,2 · 106 N · m in tutti i casi; il momento deve rimanere lo stesso; 10 m]
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
mostra la figura, una terna di assi cartesiani. Per afferrare tre frammenti di cibo, un pesce che nuota nell’acquario compie dapprima uno! spo! stamento s1, subito dopo uno spostamento s2 e di ! seguito uno spostamento s3. In relazione ai versori degli assi, le espressioni dei ! tre spostamenti sono s1 = (35 cm) xˆ + (32 cm) y, ˆ ! ! s2 = (−11 cm) x + (16 cm) ed = (14 cm) z ˆ z. ˆ s3 ˆ Qual è l’espressione cartesiana dello spostamento risultante del pesce rispetto alla posizione di partenza? Di quanti centimetri si è allontanato complessivamente dalla posizione di partenza?
15 Un tratto di strada è lungo 100 m e fra le sue estremità c’è un dislivello di 15,0 m. Alla sera Giovanni appoggia sul terreno uno scatolone di carta da riciclare di massa 4,70 kg. Calcola la sua forza peso, la reazione vincolare del piano e la forza di attrito necessaria per mantenerlo in equilibrio fino al mattino successivo, quando verrà raccolto. Disegna un diagramma con tutte le forze che agiscono sullo scatolone disegnate in scala.
[46,1 N; 45,6 N; 6,92 N]
16 A un disco di raggio 25 cm, con l’asse disposto in verticale, viene applicata una coppia di forze di ! momento M, che lo fa ruotare in senso orario. Per bloccare il disco si applicano dei freni la cui! azione ! può essere schematizzata con le forze F1 e F2 in figura, entrambe parallele al piano del disco. La prima, di intensità 12 N, è applicata in direzione perpendicolare al raggio, a 10 cm dal centro. La seconda, di intensità 6,0 N, è applicata al bordo del disco e forma un angolo di 45° !con il raggio. Determina il modulo del momento M e l’intensità delle forze della coppia nel caso in cui esse siano applicate al bordo del disco.
z
zˆ O
35
yˆ
xˆ y
F1
x
[ s = (24 cm) xˆ + (32 cm) ˆy + (30 cm) zˆ; 50 cm]
F2
Suggerimento
Lo spostamento risultante ha per componenti cartesiane la somma algebrica delle corrispondenti compo! ! ! nenti di s1, s2 ed s3 .
α M
r
13 Rispetto !al radar che lo monitora, un aliante ha
velocità v = (16 m/s) x + (12 m/s) z. ˆ Trova il y + (z) ˆ ˆ valore di z, sapendo che l’aliante si allontana dal [15 m/s] radar di 200 m in 8,0 s. ! ! 14 La figura indica tre spostamenti, a, b e c . Il primo ha modulo di 4,0 m e forma un angolo di 30° con l’orizzontale, il secondo ha modulo 3,0 m e forma un angolo di 50° con l’orizzontale, il terzo ha modulo 8,6 m e forma un angolo di −30° con l’orizzontale.
[2,3 N · m; 4,6 N]
17
INGLESE A 60.0 kg person is doing push-ups. His centre of gravity is 90.0 cm from his feet and 50.0 cm from his shoulders. Calculate the force exerted on his feet and on his hands neglecting the fact that they are not exactly perpendicular to his body.
[210 N; 378 N]
18 Una barca a vela si sta muovendo verso b
c
a
Completa la tabella con le loro componenti, poi somma le componenti e calcola l’intensità del vet! tore risultante d. Vettore ! a ! b ! c ! d
vx = v cos α
vy = v sin α
ax =
ay =
bx =
by =
cx =
cy =
dx =
dy =
Ovest con una velocità di 9,0 km/h. La corrente nel punto in cui si trova la barca si muove verso Sud-Est con una velocità di 2,5 m/s, formando un angolo di 120° con la direzione della velocità della barca. In che direzione si muove la barca per effetto della corrente? Qual è il modulo della velocità risultante?
[30° in senso orario Nord-Sud; 2,5 m/s]
19 Durante una partita di calcio sotto la pioggia, il portiere para un pallone bagnato di massa 0,600 kg che gli arriva alla velocità di 28,0 m/s. L’impatto con il pallone spinge all’indietro il portiere di 40,0 cm. Disegna un grafico velocità-tempo per il pallone e usando l’area sottesa dal grafico stima il tempo di impatto. Calcola l’accelerazione del pallone e la forza con la quale il portiere l’ha fermato.
[13 m]
[0,0286 s; 980 m/s2; 588 N]
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
12 Lungo tre spigoli di un acquario è definita, come
Unità 1
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
36
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
20 Vera aiuta il suo amico Elio a traslocare. Insieme, iniziano a spostare un comò di 80,0 kg; Vera lo tira con una forza F1 di 300 N inclinata di 30° al di sopra dell’orizzontale, ed Elio lo spinge con una ! forza F2 di 400 N inclinata di 20° rispetto all’orizzontale, ma verso il basso. Se la forza di attrito statico vale 600 N, qual è l’intensità della reazione normale del pavimento e l’accelerazione all’inizio del moto del comò? Dopo il primo stacco, per procedere a velocità costante, devono aumentare o ridurre la loro forza?
24 Un ciclista, partendo da fermo, percorre una discesa e dopo 8,0 s raggiunge la velocità di 14 m/s. La massa del sistema ciclistabicicletta è 87 kg. Calcola la forza risultante sul sistema, confrontala con la sua forza peso e stima la pendenza della discesa.
[1,5 · 102 N; 18%; 10°]
25 Nella fase di atterraggio, saltando giù da un muro, un gatto di 4,00 kg tocca il pavimento con la schiena arcuata e le zampe tese; nella fase di arresto le flette in modo tale che il suo baricentro compia una frenata lunga 35,0 cm nella direzione verticale. La velocità di arrivo al suolo è di 5,00 m/s, considerando positivo il verso della discesa. Calcola l’accelerazione durante l’ultima fase e la forza media di frenata su ogni zampa.
[−35,7 m/s2; −35,7 N]
26 Lo sparo di un fucile imprime a una pallottola di 20 g un’accelerazione di 5000 m/s2. Calcola la forza che il fucile ha esercitato sulla pallottola. Calcola l’accelerazione con cui il fucile rincula, sapendo che la sua massa è di 3,5 kg.
[772 N; 0,446 m/s2; ridurre] Suggerimento
È necessario scomporre le forze in due componenti, verticale e orizzontale, e calcolare la risultante parziale in ciascuna direzione. Il comò non accelera nella direzione verticale, quindi la somma delle componenti verticali delle forze deve essere nulla. La forza normale, che è la reazione vincolare del piano, è infatti l’equilibrante della somma delle componenti verticali delle forze.
21 Un aereo di massa 8,70 · 103 kg per poter decollare dal ponte di una nave portaerei, lungo 310 m, deve raggiungere una velocità di 290 km/h. Calcola la spinta media che il motore a reazione deve essere in grado di fornire nella fase [9,12 · 104 N] di decollo.
22
[100 N; −29 m/s2]
27
IMMAGINI Un pompiere si trova su una scala di peso trascurabile, appoggiata a un muro liscio. Supponi che la scala sia in equilibrio e, utilizzando i dati forniti in figura, determina l’intensità della reazione normale del muro. Calcola inoltre le intensità della reazione normale e della forza di attrito statico del pavimento sulla scala.
STIME Stima con quale forza dovresti tirare un cavo legato alla cima di un abete per spostarne la cima di un metro. La tua stima è un valore di quale ordine di grandezza? Unità, decine o centinaia di newton? Stima quindi la forza del vento e il momento che esercita alla base di un abete alto 15 m quando la sua cima si sposta di 3,0 m.
h = 3,80 m 830 N
[decine di newton; circa 100 N; circa 1,5 · 103 N ∙ m]
23
A un corpo di 12 kg sono applicate due forze perpendicolari. Una delle due ha un’intensità di 15 N. Sapendo che il corpo si muove con un’accelerazione di 2,0 m/s2, calcolare l’intensità dell’altra forza. OLIMPIADI
[19 N] Tratto da Olimpiadi di Fisica 2010, Gara di 2° Livello
d = 2,20 m
[481 N; 830 N; 481 N]
28 Una gru deve alzare un carico di 1000 kg con l’accelerazione iniziale di 0,500 m/s2 per 2,00 s per poi proseguire la salita a velocità costante. Calcola la tensione nel cavo nella prima e nella seconda fase del moto.
[10,3 kN; 9,81 kN]
Unità 1
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
37
35 Un container di 2500 kg è posizionato su una
della sbarra rappresentati in figura, supponendo che il peso del vaso sia di 100 N. Trascura i pesi di cavo e sbarra.
piattaforma orizzontale. L’attrito è trascurabile e sul container agiscono simultaneamente quattro forze costanti, orientate come in figura e di intensità F1 = 1000 N, F2 = 950 N, F3 = 240 N, F4 = 166 N. Determina l’accelerazione del blocco.
30° F1
60° F3
F2 F4
[−0,399 cm/s2]
36 Una panca da giardino, di massa 45 kg e lunga 100 N
2,6 m, ha due sostegni a 20 cm dall’estremità di sinistra e due altri sostegni simmetrici all’estremità opposta. Un uomo di 80 kg si siede a 1,0 m dall’estremità di sinistra. Disegna la situazione indicando le forze in scala. Calcola le reazioni vincolari nei quattro sostegni necessarie per mantenere la panca in equilibrio.
[173 N; 200 N]
30 Un aereo di linea ha un peso di 8,24 ∙ 106 N ed è fermo e pronto per il rullaggio davanti alla pista di decollo. Sapendo che i suoi reattori riescono a produrre una spinta totale non equilibrata di 2,80 ∙ 106 N e che esso deve raggiungere una velocità finale di 288 km/h per il decollo, calcola il [24,0 s] tempo che impiega a decollare.
31 Carlo e Giovanni vogliono trasportare un contenitore con 100 kg di cemento usando un’asta omogenea, rigida, di massa 5,00 kg e lunga 2,00 m da appoggiare alle spalle. Carlo, più forte di Giovanni, appende il contenitore a 80,0 cm dall’estremità che appoggia alla propria spalla. Spiega perché il baricentro è al centro della sbarra e quindi calcola la forza esercitata da ognuno agli estremi della sbarra, includendo il peso della stessa.
[613 N; 417 N]
[sinistra: 3,6 · 102 N, 3,6 · 102 N; destra: 2,6 · 102 N, 2,6 · 102 N]
37
OLIMPIADI Un blocco a forma di parallelepipedo rettangolo di massa 750 g è appoggiato sul pianale di un carrellino. Il pianale è inclinato di un angolo θ = 20° rispetto all’orizzontale.
v
a
32 Durante il loro numero due equilibristi appoggiano un asse di legno di 3,4 kg lungo 1,7 m su un cilindro e salgono ognuno su una delle due estremità dell’asse. Se le masse dei due equilibristi sono 52 kg e 68 kg, dove devono posizionare il cilindro in modo da rimanere in equilibrio?
[a 0,96 m dall’estremità in cui si posiziona l’atleta più leggero]
33 Un trenino elettrico è formato da quattro vagoni tutti di massa m = 210 g e da un locomotore di massa M = 5 m. Locomotore e vagoni sono collegati tra loro da cavi inestensibili di massa trascurabile. Se il trenino, accelerando da fermo, copre 8,50 m in 6,70 s, calcola le intensità delle forze risultanti agenti orizzontalmente sull’ultimo vagone e sul locomotore. Trascura tutti gli [79,6 mN; 398 mN] attriti.
34 Su un’auto viene eseguita la prova di frenata. Tale prova consiste nel lanciare l’auto con una velocità iniziale di 108 km/h e successivamente attivare i freni fino a fermarla. Sapendo che l’auto ha una massa di 1200 kg e che la forza frenante di 4700 N è approssimativamente costante, calcola l’accelerazione e il tempo di frenata. [3,92 m/s2; 7,65 s]
Il carrellino si muove di moto rettilineo in direzione orizzontale, con un’accelerazione costante di 0,90 m/s2, concorde con la velocità. Il coefficiente di attrito statico tra blocco e pianale è 0,35, quello dinamico è 0,25. Determinare il modulo della forza di attrito statico necessario ad impedire al blocco di scivolare. Determinare il massimo valore che la forza di attrito statico può assumere, in modulo, in queste condizioni. Stabilire se il blocco scivola o no e dire qual è il valore effettivo del modulo di attrito.
[1,9 N; 2,5 N; 1,9 N] Tratto da Olimpiadi di Fisica 2009, Gara di 2° Livello
38 Un tavolo di 80,0 kg lungo 2,20 m ha un piano che sporge 60,0 cm oltre le gambe a entrambe le estremità. Quale peso limite potrebbe essere appoggiato a 10,0 cm dal bordo prima di sollevare il bordo opposto? A quante persone di 60,0 kg corrisponderebbe? Quanto vale la reazione normale del pavimento? Disegna uno schema semplificato del tavolo con il peso concentrato nel baricentro.
[785 N; una persona; 1570 N]
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
29 Calcola la tensione del cavo e la forza vincolare
39
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
! ! Dati i vettori !a, b e c in figura, calcola il ! prodotto ! ! scalare a ⋅ (b + c ) e il prodotto vettoriale a × (b + c ). mat
c 30° b
43 La figura mostra una scala di peso 196 N e lunghezza 6,00 m, con l’estremità superiore appoggiata a un muro all’altezza di 4,00 m. Un operaio che pesa 588 N sale su per la scala fino a due terzi della sua lunghezza. Nell’ipotesi che il muro sia liscio e che il suolo presenti invece attrito, calcola le intensità delle forze esercitate sulla scala dal muro e dal suolo.
45° a
a a [ ( 2 b + 3 c ); ( 2 b + c ) perpendicolare 2 2 al piano del foglio e uscente da esso] Suggerimento
Applica la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma sia per il calcolo del prodotto scalare sia per quello del prodotto vettoriale.
40
Rispetto a un sistema di assi cartesiani ! Oxy vengono assegnati i vettori a = xˆ + yˆ e b = 2 x. ˆ Considera ora un secondo sistema di assi cartesiani Ox'y', anch’esso con origine in O, ma con gli assi ruotati di 45° in senso antiorario, cioè con x' a 45° rispetto a x e y' a 45° rispetto a y. • Quali sono le espressioni cartesiane dei due vettori riferite a questo secondo sistema? • I loro moduli dipendono dalla scelta del sistema di assi? Spiega. ! • Il modulo del prodotto vettoriale a × b dipende dalla scelta del sistema di assi? Spiega. ! [a = 2 xˆ'; b = 2 xˆ' − 2 ˆy'; no; no]
6,
00
m
4,00 m
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
38
mat
41 Per spingere una ruota di raggio R e peso P oltre un gradino di altezza h (con h < R), come indicato in figura, qual è la minima intensità F della forza orizzontale che deve essere applicata all’estremità superiore della ruota?
[548 N; 957 N]
44 Un ascensore carico ha una massa di 1700 kg. All’inizio della corsa accelera verso l’alto con accelerazione di 1,00 m/s2 per 2,00 s, poi sale a velocità costante per altri 14,0 s e alla fine decelera in 2,00 s fino a fermarsi. Nella fase della discesa segue gli stessi tempi e raggiunge le stesse velocità in valore assoluto. Calcola per le sei fasi del moto la tensione complessiva nei cavi che lo sostengono e stabilisci qual è l’altezza raggiunta valutando l’area del grafico velocitàtempo. Stima il numero di piani del palazzo.
[18,4 kN, 16,7 kN, 15,0 kN, 15,0 kN, 16,7 kN, 18,4 kN; 32 m; circa 10] Suggerimento
L’accelerazione iniziale dell’ascensore è verso l’alto, quindi la forza risultante deve essere anch’essa verso l’alto, pari a m a. Le forze che agiscono sull’ascensore sono la tensione e la sua forza peso. Per la seconda legge della dinamica, assumendo per positivo il verso ascendente, si ha:
O
ma=T−mg [P Suggerimento
2R −h
]
Per salire il gradino, la ruota deve compiere una rotazione intorno allo spigolo del gradino. Allora il momento della forza orizzontale F , rispetto al punto O indicato in figura, che tende a produrre tale rotazione, deve almeno bilanciare il momento della forza peso P , che invece vi si oppone. Per calcolare i bracci delle forze, osserva con attenzione la figura.
42 Un libro è in equilibrio su un piano inclinato. Aumentando progressivamente l’inclinazione del piano, il libro inizia a scivolare nell’istante in cui l’altezza del piano è uguale alla metà della base. Determina il valore del coefficiente di attrito statico.
[0,5]
da cui: T = m a + …. Nella seconda e quinta fase, cioè durante la salita e la discesa a velocità costante, la tensione è uguale alla forza peso, quindi T = m …. Attenzione alla fase in cui l’ascensore frena salendo verso l’alto: la risultante è verso il basso, quindi considerando positivo sempre il verso ascendente, ma=T−mg da cui: T = m a + …. tuttavia il segno dell’accelerazione sarà negativo dato che punta verso il basso.
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Unità 1
39
49 In una sequenza di un film d’azione il protagoni-
mente sul pavimento. Rodrigo lo trascina a velocità costante esercitando una forza trainante di 32 N tramite una corda lunga 1,5 m, inclinata in modo tale che una delle sue estremità è 0,75 m più alta dell’altra. Disegna la situazione indicando le forze che agiscono sul pacco. Trova le componenti orizzontale e verticale della forza trainante. Conferma con un calcolo che la forza di reazione normale del piano è inferiore al peso a causa della componente verticale della forza trainante. Trova il valore del coefficiente di attrito dinamico usando la componente orizzontale della forza trainante.
sta, per portare a termine un salvataggio, tende una corda da alpinismo tra due spuntoni di roccia che si trovano a uguale altezza e distano 50 m l’uno dall’altro e tenta di compiere la traversata insieme a una ragazza. Ammesso che il peso complessivo dei due sia di 1400 N e che la corda si abbassi al centro di 2,0 m, quale tensione dovrebbe sopportare la corda senza rompersi?
[28 N, 16 N; 51 N; 0,55]
46 Alcuni etologi stanno studiando il comportamento di uno scimpanzé di fronte a uno specchio. A un certo punto lo scimpanzé si mette a giocare con un blocco di plastica spingendolo con una zampa contro lo specchio. Il blocco pesa 10 N e la forza esercitata dallo scimpanzé ha modulo pari a 18 N ed è inclinata di 30° rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura. Sapendo che il coefy ficiente di attrito statico tra blocco e specchio è 0,20, stabilisci F se con questa mossa N 30° lo scimpanzé riesce a x impedire al blocco di scivolare verso il basso.
[8,8 · 103 N, superiore al carico di rottura di una normale corda da alpinismo]
50 Si prendono 8 volumi uguali, tutti di larghezza l e se ne fa una pila simile a quella in figura. Di quanto si possono spostare i libri l’uno rispetto all’altro senza che la pila crolli?
[x < l/7, dove x è lo spostamento relativo di ciascun libro rispetto all’altro]
51 Un topo di massa 150 g sale su una mensola lunga 60 cm e di massa 400 g per mangiare un pezzo di formaggio da 70 g. La mensola ha due sostegni e, quando vi sale sopra, il topo dista 20 cm dal sostegno di destra che si trova a 15 cm dal formaggio.
P
20 cm
[il blocco non scivola]
15 cm
47 Una corda omogenea lunga 1,5 m è appoggiata su un tavolo, con una parte che penzola fuori dal bordo. Se la lunghezza della parte pendente non supera i 40 cm, la corda rimane in equilibrio, altrimenti scivola giù dal tavolo. Qual è il coefficiente di attrito statico tra corda e superficie del tavolo?
[0,36] Suggerimento
Poiché il peso P dell’intera corda è distribuito uniformemente lungo la sua lunghezza l, il peso Px di un tratto di corda è direttamente proporzionale alla lunghezza x del tratto. Inoltre, il peso del tratto di corda che pende dal bordo del tavolo deve essere equilibrato dalla forza di attrito statico che agisce sul tratto di corda appoggiato sul tavolo.
48 Due piani inclinati, rispettivamente di 30° e 60°, sono accostati come in figura. I due blocchi, legati da una fune inestensibile di peso trascurabile, sono in equilibrio. Se il blocco più grande pesa 120 N, quanto pesa il blocco più piccolo? Supponi che i piani siano privi di attrito.
Determina il modulo del momento risultante quando il topo sale sulla mensola per mangiare il formaggio. La mensola si ribalta? Dopo avere mangiato tutto il formaggio, il topo ritorna indietro con la pancia piena. Puoi affermare che al rientro la mensola rimane in equilibrio? Se non rimane in equilibrio, a quale distanza dal sostegno di destra si trova il topo quando la mensola [0,20 N ∙ m ; 4,7 cm] si ribalta?
52 Una scala a pioli di massa 20 kg e lunga 5,0 m è poggiata su una parete formando con essa un angolo di 20°. Determina le reazioni vincolari del pavimento, della parete e il coefficiente di attrito statico affinché una persona di massa 65 kg possa salire fino all’ultimo piolo che dista dalla base 4,6 m.
[830 N; 250 N; 0,30]
53 Su un blocco di massa 400 g, posto su piano con attrito trascurabile, agiscono tre forze, dirette come in figura e di intensità F1 = 2,0 N, F2 = 3,0 N, F3 = 4,0 N. Il blocco è in equilibrio? Qual è la sua accelerazione? Quanto vale la reazione vincolare del piano prima che agiscano le forze? E durante la loro azione? F2
F1
30° F3
30°
60°
[69 N]
[no; 1,8 m/s2; 3,9 N; 2,9 N]
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
45 Un pacco di peso 67 N viene spostato orizzontal-
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
40
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
VERSO L’ESAME DI STATO PROBLEMA D’ESAME PASSO PER PASSO
Consegne al volo! In un programma scolastico di stage aziendali, sei stato assegnato a una ditta di logistica che distribuisce giornali e riviste in un’area rurale. Hai così la possibilità di partecipare al collaudo delle consegne per mezzo di droni, un progetto ancora in fase sperimentale. Oggi devi programmare un drone di massa 1,0 kg per effettuare la consegna di un pacco di massa complessiva 0,40 kg contenente un giornale. La sequenza di consegne è la seguente: base (origine O) → casale Croci (punto C) → base → fattoria Quadri (punto Q) → base → casale Trigo (punto T) → base. Le coordinate rispetto alla base scelta come origine O di un sistema di assi cartesiani, sono: C(−2000 m; 3000 m), Q(−1000 m; −2000 m), T(4000 m; −2000 m).
1. Esprimi i vettori posizione rispetto a O dei punti di consegna del pacco C, Q, T
in coordinate cartesiane. Calcola quanti kilometri percorre complessivamente il drone per effettuare tutte le consegne e, trascurando i tempi di consegna e di rifornimento, fai una stima del tempo di volo necessario considerando una velocità media di 7,5 m/s. 2. Durante la fase di volo a velocità e quota costanti, quali sono le forze che agi-
scono sul sistema drone-pacco e quanto vale la forza risultante sul sistema? Quanto deve valere la forza con cui l’aria sostiene il sistema drone-pacco? Interpreta la situazione sfruttando le leggi della dinamica. 3. Per il ritorno alla base dopo aver effettuato la consegna, il drone inizia il
decollo in verticale, con una accelerazione verso l’alto di 0,50 m/s2. Calcola la forza necessaria per il decollo del drone e la forza che l’aria deve esercitare su di esso. Come potresti applicare il terzo principio della dinamica nello studio dell’interazione drone-aria? 4. Sui vertici della superficie quadrata del drone, di lato 60 cm, sono disposte
quattro eliche. Quanto vale, in modulo, il momento del peso del pacco, ancorato nel centro, rispetto a ciascun vertice del quadrato? Spiega se il momento risultante, dato dalla somma di questi quattro momenti, può comportare una rotazione del drone.
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
Dati
Coordinate dei punti di consegna: C(−2000 m; 3000 m), Q(−1000 m; −2000 m), T(4000 m; −2000 m) Velocità drone v = 7,5 m/s, Massa drone md = 1,0 kg, Massa pacco mp = 0,40 kg, Accelerazione di decollo a = 0,50 m/s2, Lato drone l = 60 cm Incognite
Distanza totale percorsa d = ? Tempo di percorrenza t = ? Forza risultante durante volo a velocità costante Ftot = ? Forza esercitata dall’aria Fa = ? Forza per decollo F = ? =? Forza esercitata dall’aria nel decollo F' a Momento della forza peso del pacco rispetto vertice del drone Mv = ? Risoluzione
1. Le coordinate dei vettori posizione dei punti C, Q e T rispetto all’origine O sono:
!!!" !!!" OQ = ( −1000 m ) xˆ + ( −2000 m ) ˆy OC = ( −2000 m ) xˆ + ( 3000 m ) ˆy !!!" OT = ( 4000 m ) xˆ + ( −2000 m ) ˆy La distanza totale percorsa dal drone, tenendo conto dei viaggi di andata e di quelli di ritorno alla base, si ottiene sommando i moduli dei singoli vettori e moltiplicando per 2, ossia: !!!" !!!" !!!" d = 2( OC + OQ + OT ) = = 2 ⎡⎣ ( −2000 m )2 + ( 3000 m )2 + ( −1000 m )2 + ( −2000 m )2 + + ( 4000 m )2 + ( −2000 m )2 ⎤⎦ = 2,1⋅104 m = 21 km Per calcolare il tempo di percorrenza ipotizziamo che il drone mantenga velocità costante, trascurando i tempi in cui accelera e quelli trascorsi a terra durante consegne e rifornimenti. Essendo v = d/t, possiamo ricavare il tempo di volo: t=
d 21 000 m = = 2800 s ≈ 47 min v 7,5 m/s
2. Durante la fase di volo a velocità e quota costanti, la forza risultante deve
essere nulla poiché l’accelerazione è nulla, ossia Ftot = 0. L’aria deve quindi esercitare sul drone una forza verso l’alto che, per la terza legge di Newton, è pari in modulo al suo peso e lo sostiene in volo. Poiché il peso complessivo di drone e pacco ha modulo P = (md + mp) g = (1,0 kg + 0,40 kg) (9,81 m/s2) = 14 N ed è diretto verticalmente verso il basso, la forza esercitata dall’aria sul sistema ha modulo Fa = 14 N ed è diretta verticalmente verso l’alto. 3. La forza necessaria per imprimere al drone l’accelerazione di decollo ha modulo
F = md a = (1,0 kg) (0,50 m/s2) = 0,50 N ed è diretta verticalmente verso l’alto. ! Poiché sul drone che sale agiscono anche ! la forza peso P, diretta verticalmente verso il basso, e la forza dell’aria F'a , diretta verticalmente verso l’alto, applicando la seconda legge di Newton e considerando positivo il verso ascendente, si ottiene: F'a − P = md a da cui:
F'a = md a + P
41
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
SVOLGIMENTO
Unità 1
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
42
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
Questa relazione ci dice che la forza F'a, esercitata dall’aria sul drone che vola verso l’alto, supera la forza peso di una quantità pari alla forza necessaria per imprimere al drone l’accelerazione di decollo. Essendo P = md g = (1,0 kg) (9,81 m/s2) = 9,8 N e avendo già calcolato F = md a, basta sostituire i valori numerici in F'a = md a + P per ricavare infine: F' = 0,50 N + 9,8 N ≈ 10 N a Al momento del decollo il drone fa girare le eliche, che spingono l’aria verso . Infatti la forza che il drone esercita sull’aria è, il basso con una forza −F' a per il terzo principio della dinamica, uguale e opposta alla forza che l’aria esercita sul drone permettendogli di volare. Da notare infatti che, se non , il moto accelerato del drone verso l’alto non sarebbe tenessimo conto di F' a possibile, essendo P > F. 4. La distanza che separa il centro del drone dai suoi vertici è la semi-diagonale
della superficie quadrata. Il braccio della forza peso del pacco rispetto a ciascun vertice è dunque l2 + l2 l = 2 2 e il modulo del momento relativo a ciascun vertice vale quindi b=
Mv = ( l / 2 ) (mp g) = (0,60 m/ 2 ) (0,40 kg) (9,81 m/s2) = 1,7 N ∙ m
La direzione del momento è perpendicolare al braccio che collega la forza peso al vertice e alla forza peso stessa, e risulta quindi parallela al piano del drone. Poiché i momenti relativi ai vertici collocati lungo la stessa diagonale sono uguali ma opposti, ne deriva che: M = M v − M v + M v − Mv = 0 Dunque il collocamento del pacco nel centro del quadrato, non comportando l’insorgere di un momento diverso da zero, non può causare la rotazione del drone. PROBLEMA D’ESAME PROPOSTO
Testardo di un asino! L’asino non vuole uscire dalla stalla, e Sonia si fa aiutare da Ettore a tirarlo fuori. Legate due corde alla briglia dell’animale, Sonia ed Ettore si mettono a tirare orizzontalmente. Il disegno mostra che la corda di Sonia e quella di Ettore formano con l’asse longitudinale della stalla, rispettivamente, un angolo di 20° e uno di 32°. La risultante delle due forze applicate è diretta lungo l’asse e fa sì che l’asino, che ha una massa di 130 kg, scivoli diritto verso l’uscita nonostante tenga gli zoccoli puntati a terra. La forza di Sonia ha un’intensità di 310 N e il coefficiente di attrito dinamico tra gli zoccoli e il pavimento è 0,32.
20° 32°
1. Dopo aver definito sul pavimento un sistema cartesiano Oxy con l’asse x
orientato verso l’uscita, elenca tutte le forze che agiscono sull’asino e traccia il diagramma di corpo libero. 2. Esprimi la condizione di equilibrio lungo l’asse y. 3. Quanto è intensa la forza esercitata da Ettore? 4. Di quanto accelera l’asino?
Le leggi della dinamica e l’equilibrio
1 Due blocchi di massa 5,0 kg e 15 kg sono collegati tra loro da una fune inestensibile e di peso trascurabile. Il primo blocco è collegato a una molla di costante elastica di 250 N/m, mentre il secondo poggia su un piano inclinato liscio con pendenza di 30°, come in figura. All’istante iniziale la molla è a riposo e i blocchi sono fermi. Dopo aver disegnato il diagramma delle forze, determina la condizione di equilibrio del sistema e la corrispondente compressione o estensione della molla.
30°
2 Un blocco di massa 8,3 kg è poggiato su un piano scabro con coefficiente di attrito dinamico 0,090. Su di esso è poggiato un altro blocco di massa 6,0 kg e il coefficiente di attrito dinamico fra i due corpi vale 0,20. Il secondo blocco è legato, mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile e tramite una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, a un terzo blocco di massa 2,5 kg posizionato come in figura. Calcola le accelerazioni dei corpi e la tensione della fune quando i blocchi sono liberi di muoversi.
3 Fra i vari tipi di gru per l’edilizia vi è la gru a torre senza cuspide, nella quale il braccio che solleva i carichi e il braccio che sostiene i contrappesi sono fissati sulla sommità della torre, privi di tiranti. La torre di una di queste gru è larga 4,0 m, il braccio è lungo 52 m e ha una massa di 4000 kg. Il braccio dei contrappesi è lungo invece 10 m e ha una massa di 2000 kg. All’estremità di quest’ultimo sono alloggiati i contrappesi, di massa complessiva uguale a 14 000 kg. Se un carico di 1100 kg viene sospeso all’estremità del braccio di sollevamento, la gru è bilanciata? F x O P1
L —1 2
L1 P3
P4
L —2 2
P2 L2
d
43
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
QUESITI
Unità 1
Sezione A
La dinamica newtoniana
2
I MOTI COME CONSEGUENZA DELLE LEGGI DELLA DINAMICA
1 Il moto rettilineo uniforme I moti trattati nei precedenti corsi di fisica vengono qui approfonditi e affrontati con uno sguardo nuovo, alla luce dei principi della dinamica. Nota la configurazione delle forze agenti, possiamo sapere quale tipo di moto è causato da tali forze e studiarne le caratteristiche.
Leggi di Newton e moto rettilineo uniforme Se la risultante forze applicate su un corpo è zero, il primo membro ! delle ! della legge F = m a si annulla e, di conseguenza, si annulla anche il secon! do membro. Ciò implica che a = 0. Poiché l’accelerazione è definita come la variazione della velocità nel tempo, possiamo concludere che, se la risultante delle forze è zero, la velocità non varia. La legge di Newton ha natura vettoriale, quindi il vettore velocità mantiene costante, oltre al suo modulo, anche direzione e verso. Il moto in assenza di una forza risultante è dunque rettilineo (direzione e verso della velocità costanti) e uniforme (modulo della velocità costante) [f1]. Un corpo fermo rappresenta un caso ancora più particolare, in cui il vettore velocità si mantiene costante e sempre uguale al vettore nullo. Si verifica in questa situazione la prima parte del principio di inerzia.
Figura 1 Grazie all’azione frenante dell’aria, che cresce all’aumentare della velocità e giunge infine a equilibrare la gravità, i paracadutisti lanciati nel vuoto pervengono alla cosiddetta velocità terminale di caduta, o velocità limite, il cui modulo resta costante (circa uguale a 190 km/h). Poiché tale velocità è costante anche in direzione (la verticale) e verso, la fase del lancio compresa fra il raggiungimento della velocità limite e l’apertura del paracadute è un esempio di moto rettilineo uniforme.
Proprietà del moto rettilineo uniforme Chiamiamo uniforme un moto in cui la velocità media è costante, qualunque sia l’intervallo di tempo in cui viene calcolata e qualunque sia la traiettoria. In questo caso la velocità media coincide con la velocità istantanea. Se, in particolare, la traiettoria è rettilinea, si parla di moto rettilineo uniforme. In esso il vettore velocità è costante in modulo, direzione e verso. ! Indichiamo con s0 il vettore posizione nell’istante t 0 = 0 di un punto materiale ! che si muove di moto rettilineo uniforme e con s il vettore posizione in un istante t qualsiasi. La velocità del punto nell’intervallo di tempo considerato è ! ! ! s − s0 v= t Da questa espressione possiamo ricavare la legge oraria, cioè l’equazione ! che esprime l’andamento s (t) della posizione in funzione del tempo: ! ! ! s (t) = s0 + v t Considerando le componenti lungo la retta orientata Os di entrambi i membri della forma vettoriale della legge oraria, si ottiene la legge oraria in forma scalare (1) s = s0 + v t in cui v è la velocità istantanea, uguale per tutti gli istanti. La rappresentazione cartesiana della legge oraria nel piano Ots, dove t è rappresentato sull’asse delle ascisse ed s sull’asse delle ordinate, si chiama diagramma orario. La (1) è una funzione del tipo y=m x+q e corrisponde alla retta passante per il punto di ascissa 0 e ordinata s0 e avente pendenza v [f2].
Figura 2 Diagramma orario di un moto rettilineo uniforme nei due casi in cui la coordinata iniziale s0 sia diversa da zero (grafico in blu) o uguale a zero (in rosso). La pendenza del diagramma orario rappresenta la velocità scalare costante durante il moto. s
s0
O
t
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
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Per s0 = 0, ovvero nel caso in cui il punto mobile parta dall’origine O della retta orientata Os sulla quale si svolge il moto, il diagramma orario passa per l’origine del sistema cartesiano Ots. Dalla legge oraria del moto rettilineo uniforme in forma scalare segue che lo spazio s − s0 percorso dopo un tempo t è direttamente proporzionale a t, con costante di proporzionalità uguale alla velocità scalare v. Nel moto rettilineo uniforme si percorrono spazi uguali in intervalli di tempo uguali.
1
Le risposte della fisica
A quando l’incontro?
Il ciclista Silvestro Verdi (V ) parte dal kilometro 50 di una strada, muovendosi alla velocità costante di 20 km/h. Dopo mezz’ora il ciclista Tiziano Rossi (R) parte dal kilometro 135 della stessa strada muovendosi in senso contrario, alla velocità costante di 30 km/h. Dopo quanto tempo e in quale posizione lungo la strada i due ciclisti si incontrano?
vV V
ciclista V si sposta dall’ascissa sV 0 a un’ascissa sV 1 data da: sV 1 = sV 0 + vV t0 = 50 km + (20 km/h) (0,50 h) = 60 km Quando V ha raggiunto questa posizione, R parte dall’a! scissa sR0 , muovendosi con velocità v R nel verso opposto a ! quello definito come positivo. La componente di v R lungo Os è pertanto negativa e pari a −v R . Se fissiamo come origine dei tempi, cioè come istante zero, l’istante in cui V ha raggiunto l’ascissa sV 1 e R parte dall’ascissa sR0 , le equazioni orarie dei due ciclisti, dette sV ed sR le loro rispettive ascisse in un generico istante t, sono: sV = sV 1 + vV t sR = sR0 − v R t
s (km)
50
Nell’istante t in cui i due ciclisti si incontrano è sV = sR , cioè: vV
sV 1 + vV t = sR0 − v R t
vR
V
R
50
135
Risolvendo rispetto a t, si ricava il tempo trascorso dalla partenza di R: s (km)
Dati e incognite sV0 = 50 km
vV = 20 km/h
s R0 = 135 km
v R = 30 km/h
t0 = 0,50 h t=?
s=?
Soluzione Rappresentiamo la strada come un asse Os, con origine O al kilometro zero, orientato nel verso del moto del ciclista V. Poiché la velocità di V, che indichiamo con ! vV , ha verso concorde con Os, la sua componente lungo l’asse coincide con il suo modulo vV preso con il segno positivo. Nella prima mezz’ora dalla partenza, cioè nel tempo t0 , il
t=
sR0 − sV 1 (135 − 60) km = 1,5 h = (30 + 20) km/h v R + vV
Per ricavare l’ascissa s del punto d’incontro è sufficiente porre t = 1,5 h in una delle due equazioni orarie. Utilizzando, per esempio, l’equazione di sV si ottiene: s = 60 km + (20 km/h) (1,5 h) = 90 km Il tempo trascorso dall’istante della partenza del primo ciclista è t0 + 1,5 h = (0,50 + 1,5) h = 2,0 h. Prosegui tu Questo problema può essere risolto anche con metodo grafico: tracciati i diagrammi orari del moto dei due ciclisti, il tempo e la posizione in cui essi si incontrano corrispondono all’ascissa e all’ordinata del punto d’intersezione dei due diagrammi. Esegui la rappresentazione e controlla se i risultati coincidono con quelli determinati analiticamente.
Con parole tue 1. Un moto può essere rettilineo ma non uniforme? E uniforme ma non rettilineo? Prova a spiegare la differenza. 2. Se il cronometro viene azionato in un istante diverso da 0, che cosa cambia nel diagramma orario?
46
Sezione A
La dinamica newtoniana
2 Il moto rettilineo uniformemente accelerato ! Se la risultante F delle forze applicate su un corpo è costante, per il secondo ! principio della dinamica segue che m a è costante. Quindi, poiché m è un ! parametro costante per un dato corpo, anche l’accelerazione a è costante.
Proprietà del moto rettilineo uniformemente accelerato ! ! Indicando con v0 e v le velocità del punto materiale in due istanti successivi t 0 e t, l’accelerazione è definita come ! ! ! v − v0 (2) a= t − t0 ! ! ed è un vettore costante in modulo, direzione e verso. La differenza v − v0 mantiene direzione e verso costanti se il moto è rettilineo. Inoltre, il modulo dell’accelerazione è costante e quindi l’accelerazione media non dipende dall’intervallo di tempo in cui viene calcolata: accelerazione media e istantanea coincidono. Il moto è rettilineo e uniformemente accelerato. Sotto queste condizioni, la velocità varia linearmente nel tempo. Ricavando infatti dalla (2) la legge con cui varia la velocità nel moto uniformemente accelerato si ritrova una relazione lineare: ! ! ! v ( t ) = v0 + a ( t − t 0 ) Poiché la velocità varia nel tempo a ritmo costante, la velocità media in un certo intervallo di tempo è la media delle velocità rilevate negli istanti iniziale e finale [f3]. La velocità media nell’intervallo di tempo t − t 0 è quindi: ! ! ! ! ! v + v v0 + v0 + a (t − t 0 ) ! 1 ! ! = = v0 + a (t − t 0 ) vm = 0 (3) 2 2 2 Figura 3 Velocità in funzione del tempo con accelerazione costante. Da un punto di vista grafico si trova facilmente che i triangoli fucsia e arancio hanno la stessa area. Quindi l’area del rettangolo v m (t − t0 ) è uguale all’area del trapezio (v 0 + v ) (t − t0 )/2. Segue che v m = (v 0 + v )/2, da cui segue la (3).
v
vm
v0
t0
t
Legge oraria e diagramma orario ! ! Indicati con s e s0 i vettori posizione, rispettivamente nell’istante t e t0 , ! ! ! ricordiamo la definizione generale di velocità media vm = ( s − s0 ) / ( t − t 0 ) e confrontiamola con la (3): ! ! s − s0 ! 1 ! = v0 + a (t − t 0 ) 2 t − t0
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
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Unità 2
Segue la legge oraria per il moto rettilineo uniformemente accelerato: 1! ! ! ! s = s0 + v0 (t − t 0 ) + a (t − t 0 )2 2 La [Tab. 1] raccoglie le leggi del moto uniformemente accelerato, in forma vettoriale e scalare. Nelle leggi scalari, s0 ed s indicano le componenti del vettore posizione negli istanti successivi t 0 e t lungo la retta orientata Os su cui si svolge il moto, v0 e v indicano le componenti della velocità negli stessi istanti e a è la componente dell’accelerazione, costante durante il moto. Tabella 1 Le leggi del moto Legge della velocità
Legge oraria
Forma vettoriale
! ! ! v = v 0 + a (t − t0 )
! ! ! 1 ! s = s0 + v 0 (t − t0 ) + a (t − t0 )2 2
Forma scalare
v = v 0 + a (t − t0 )
s = s0 + v 0 (t − t0 ) +
Forma vettoriale (caso t0 = 0)
! ! ! v = v0 + a t
! ! ! 1 ! s = s0 + v 0 t + a t 2 2
Forma scalare (caso t0 = 0)
v = v0 + a t
s = s0 + v 0 t +
uniformemente accelerato.
1 a (t − t0 )2 2
1 a t2 2
Consideriamo come istante iniziale t 0 = 0. La legge oraria in forma scalare s(t) è, come si vede nella tabella, s(t) = s0 + v0 t + (1/2) a t 2. La dipendenza di s da t è uguale a quella tra y e x in una parabola di equazione y = a x 2 + b x + c. Per il tempo consideriamo i soli valori positivi, quindi il diagramma orario sarà solo la metà di parabola relativa al semiasse positivo delle ascisse [f4]. Una relazione utile per la risoluzione di alcuni problemi è quella fra la posizione s in un dato istante e la velocità scalare v nello stesso istante, ottenuta eliminando la dipendenza dal tempo. Ricavando t − t 0 dalla legge in forma scalare della velocità e sostituendo nella legge oraria si trova: v 2 − v02 s − s0 = 2a
Corpi in caduta libera Un esempio di moto uniformemente accelerato, detto anche naturalmente accelerato, è quello dei gravi, cioè dei corpi che cadono nel vuoto per effetto dell’attrazione gravitazionale della Terra. Quando un corpo cade, l’aria oppone una resistenza che cambia in base alla forma del corpo e influenza la caduta. Per esempio, un foglio di carta disteso e uno identico appallottolato non cadono nello stesso modo. Ma nel vuoto, o se si può trascurare la resistenza dell’aria, tutti i corpi, indipendentemente dalla loro massa e dalla loro forma, cadono con la ! stessa accelerazione g , detta accelerazione di gravità [f5]. Questa accelerazione è diretta verticalmente verso il basso e il suo modulo varia leggermente con la latitudine e con l’altitudine dal suolo. Intorno a 45° di latitudine e per altitudini piccole rispetto al raggio terrestre vale g = 9,81 m/s 2 .
Figura 4 Diagramma orario per il moto rettilineo uniformemente accelerato con t0 = 0 e s0 = 0. s (t) 28 24 20 16 12 8 4 0
0 1 2 3 4 5 6
t
Figura 5 Una pietra e una piuma lasciate cadere simultaneamente, in presenza di aria e nel vuoto.
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Sezione A
La dinamica newtoniana
Nella [Tab. 2] sono raccolte le leggi, in forma scalare, da applicarsi ai vari casi che si presentano nel moto di un grave lungo la verticale. Con s è indicata la coordinata in un generico istante t rispetto alla verticale Os, avente l’origine O nella posizione iniziale del grave e orientata come mostrato di volta in volta. Con v0 e v sono indicate, rispettivamente, la velocità scalare iniziale e la velocità scalare in t. Tabella 2 Le leggi della caduta dei gravi a partire dall’istante t0 = 0.
Legge della velocità
Legge oraria
v = gt
s=
v = v0 + g t
s = v0 t +
1 g t2 2
v = v0 − g t
s = v0 t −
1 g t2 2
O Caduta da fermo (v0 = 0)
1 g t2 2
s
O Lancio verticale verso il basso s
s Lancio verticale verso l’alto O
2
Le risposte della fisica
A spasso sì, ma non per una boccata d’aria!
Per eseguire l’attività extraveicolare che gli è stata affidata, un membro dell’equipaggio della Stazione Spaziale Internazionale compie una passeggiata nello spazio. L’unità di propulsione esercita sull’astronauta, che con la tuta spaziale e l’attrezzatura ha una massa complessiva di 340 kg, una forza costante. Qual è l’intensità di questa forza, se dopo 5,00 s l’astronauta, essendo inizialmente fermo rispetto alla stazione, si è spostato di 4,00 m?
Dati e incognite m = 340 kg t = 5,00 s
Δs = 4,00 m
F =?
Soluzione Fintanto che l’unità! di propulsione esercita sull’astronauta una forza costante F , egli compie rispetto alla stazione spaziale un moto rettilineo uniformemente accelerato, !partendo da fermo (v 0 = 0), nella direzione e nel verso di F . Applicando la legge oraria espressa in forma scalare otteniamo s − s0 =
1 2 at 2
da cui
a=
2 Δs t2
avendo indicato con Δs lo spostamento, con a l’accelerazione costante dell’astronauta e con t il tempo trascorso dall’istante iniziale. Per il secondo principio della dinamica l’intensità della forza è quindi: F =ma=
2 m Δs 2 (340 kg) (4,00 m) = = 109 N t2 (5,00 s)2
Con parole tue 3. In un moto rettilineo, se l’accelerazione scalare è negativa, la velocità è necessariamente decrescente in modulo? 4. Nella caduta dei gravi nel vuoto, in quale rapporto sono fra loro gli spazi percorsi in intervalli di tempo successivi e pari a un secondo?
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
3 L’uso delle derivate in fisica: velocità e accelerazione
Unità 2
49
mat
Tra le grandezze fisiche che abbiamo utilizzato finora per lo studio della dinamica, alcune sono definite come rapporto tra variazioni: per esempio, la velocità è la variazione della posizione in un certo intervallo di tempo e l’accelerazione è la variazione di velocità in un certo intervallo di tempo. La differenza t − t 0 può essere finita oppure, come abbiamo visto nel ricavare grandezze istantanee, tendere a zero. Lo strumento matematico che si usa per questo genere di operazioni è la derivata, di cui diamo un breve ma necessario accenno. Una variabile y è una funzione di un’altra variabile x se esiste una legge che assegni, per ogni valore di x appartenente a un determinato intervallo, un unico valore a y. La x è chiamata variabile indipendente e la y variabile dipendente. Per indicare che y è una funzione di x si scrive y = y(x) (da leggersi “ipsilon uguale a ipsilon di x”), oppure y = f (x) (da leggersi “y uguale a effe di x”). Se y (x) è funzione di x, ha senso chiedersi come varia y rispetto alle variazioni di x. Per ogni Δx, incremento della variabile indipendente x, Δy è il corrispondente incremento della variabile dipendente y [f6].
Figura 6 Grafico di una funzione y (x). Il suo incremento Δy corrisponde a un incremento Δx della variabile indipendente x.
y
y (x + Δ x) Δy y (x)
Δx
x
x+Δx
x
Si chiama rapporto incrementale la quantità: Δy y(x + Δx) − y(x) = Δx Δx Fissato il valore di x, il rapporto incrementale è una funzione di Δx. Il suo limite per Δx tendente a zero si chiama derivata di y rispetto a x e si indidy ca con il simbolo y′(x) (da leggersi “ipsilon primo di x”) o (da leggersi dx “derivata di y rispetto a x”). Abbiamo perciò: dy y(x + Δx) − y(x) = lim dx Δx→0 Δx Geometricamente la derivata rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico della funzione y nel punto di ascissa x.
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Sezione A
La dinamica newtoniana
Nella [Tab. 3] sono indicate le derivate di alcune funzioni.
Funzione
Derivata
Funzione
Derivata
a
0
b eax
a b eax
a xn
n a xn − 1
b cos (a x)
−a b sin (a x)
b ln (a x)
b x
b sin (a x)
a b cos (a x)
Se la funzione considerata, dipendente dal tempo, è la coordinata s(t) di un punto materiale in movimento lungo la traiettoria, il rapporto incrementale Δs/Δt è il modulo della velocità media del punto materiale in un certo intervallo di tempo Δt. La velocità istantanea v(t), essendo il limite della velocità media al tendere di Δt a zero, cioè la pendenza della retta tangente al diagramma orario, coincide con la derivata di s rispetto a t: v(t) =
ds s(t + Δt) − s(t) = lim dt Δt→0 Δt
Una conferma del risultato a cui siamo pervenuti possiamo averla considerando il moto rettilineo uniformemente accelerato, in cui la coordinata s è espressa in funzione del tempo t dalla funzione: s ( t ) = s0 + v0 t +
1 2 at 2
con s0, v0 e a costanti che rappresentano rispettivamente la coordinata iniziale, la velocità iniziale e l’accelerazione del moto. Calcoliamo la derivata della coordinata s, utilizzando la [Tab. 3] e tenendo conto che, se una funzione y = f (x) è la somma di due funzioni, cioè f (x) = g(x) + h(x), la sua derivata è uguale alla somma delle derivate, ovvero f ′(x) = g ′(x) + h ′(x). Otteniamo ds = v0 + a t dt cioè la velocità istantanea nel moto rettilineo uniformemente accelerato. In modo analogo troviamo che la derivata della velocità rispetto al tempo è l’accelerazione. La derivata di una funzione y(x) è, a sua volta, una funzione della variabile x. La derivata della derivata, indicata con i simboli y″ o d2 y/dx2, prende il nome di derivata seconda:
( )
d 2 y d dy = dx 2 dx dx
L’accelerazione è dunque la derivata seconda della coordinata s(t) rispetto al tempo t.
Con parole tue 5. Spiega qual è il significato geometrico della derivata di una funzione. 6. “In un moto rettilineo uniformemente accelerato, l’accelerazione è la derivata della coordinata s(t) rispetto al tempo t”. Sei d’accordo? Giustifica la tua risposta.
Tabella 3 Derivate di alcune funzioni (a, b e n indicano delle costanti).
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
51
4 Il moto in due e tre dimensioni Il moto rettilineo è un moto unidimensionale: per identificare la posizione lungo il tracciato è sufficiente assegnare il valore a una singola coordinata. In molti casi, invece, i punti accessibili all’oggetto in moto sono quelli di un piano o di una porzione dello spazio tridimensionale [f7].
Un’immersione subacquea è un moto tridimensionale: il sub può spostarsi senza vincoli in tutte le direzioni.
Un rally nel deserto è un esempio di moto bidimensionale: il veicolo può spostarsi da un punto a qualsiasi altro punto sulla superficie sabbiosa.
La rappresentazione del moto La posizione di un punto materiale P, in moto su un piano in cui sia fissato un sistema cartesiano Oxy, è individuata dai valori che assumono al variare del tempo le""coordinate x e y oppure, in modo equivalente, dal ! ! vettore posizione s = OP [f8]. Se la traiettoria descritta dal punto materiale P si sviluppa nello spazio tridimensionale, per definire istante per istante la posizione si deve ricorrere a un sistema cartesiano Oxyz con tre assi mutuamente perpendicolari. Nel fissare una terna di assi cartesiani è importante attenersi a una regola convenzionale: scelti arbitrariamente i versi dei due assi x e y, il verso dell’asse z è stabilito dalla regola della mano destra [f9]. y z yP
P
O
s
y O
xP
Figura 8 Coordinate cartesiane
x = x P e y = y P di un punto P in un piano. Per un punto materiale in moto le coordinate x e y, così come il vettore ! posizione s, sono funzioni del tempo.
x
Figura 7 Moti in un piano e nello spazio.
x
Figura 9 Fissati i versi degli assi x e y, il verso dell’asse z è quello uscente dalla palma della mano destra quando il pollice è orientato come l’asse x e le altre dita puntano nel verso dell’asse y.
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Sezione A
La dinamica newtoniana
Nella [f10] sono evidenziate le tre coordinate x, y, z di un punto P rispetto a un sistema cartesiano Oxyz. Lo studio del moto curvilineo di un punto materiale P, sia che la sua traiettoria giaccia su un piano sia che si snodi nello spazio, è riconducibile allo studio di moti rettilinei. Infatti, le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del moto, per esempio lo spostamento o l’accelerazione, sono vettoriali, e ogni vettore può essere scomposto nelle sue componenti rispetto al sistema cartesiano considerato. Se il moto di P è bidimensionale, esso risulta dalla composizione dei moti rettilinei delle proiezioni di P sui due assi cartesiani di un sistema Oxy. Ugualmente, un moto tridimensionale è la composizione di moti rettilinei lungo i tre assi di un sistema Oxyz.
Figura 10 Coordinate cartesiane
x = x P , y = y P e z = zP di un punto P nello spazio. Per un punto materiale in moto le coordinate x, y e z, e anche il vettore posizione ! s , sono funzioni del tempo.
z zP
P s
O
yP y
xP
La velocità nel moto curvilineo
x
Consideriamo un punto materiale che descrive una traiettoria curvilinea, come mostrato nella [f11].
y
t
! Figura 11 Spostamento Δ s ! e velocità media v m in un certo intervallo di tempo di un punto materiale che percorre una traiettoria curvilinea su un piano.
t′
vm P
s
Q
Δs s′
O
x
Se il punto materiale occupa la posizione P nell’istante t e la posizione Q nell’istante t′ dopo un intervallo di tempo Δt, la velocità media è il rapporto ! Δs ! vm = Δt ! ! ! in cui Δ s = s ′ − s è il vettore spostamento nell’intervallo di tempo Δt, !aven!!" ! ""! ! do indicato con s = OP il vettore posizione nell’istante t e con s ′ = OQ il vettore posizione nell’istante t′ = t + Δt. La velocità media così definita è il vettore che ha la direzione e il verso del ! vettore spostamento ∆ s e il modulo uguale al rapporto Δs/Δt fra il modulo Δs dello spostamento e l’intervallo di tempo Δt. La definizione vale sia per un moto curvilineo su un piano, sia per un moto la cui traiettoria si sviluppi nello spazio tridimensionale. ! La velocità istantanea v nell’istante t è il limite a cui tende la velocità media al tendere a zero di Δt: ! Δs ! v = lim Δt→0 Δt
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
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Al diminuire dell’ampiezza dell’intervallo di tempo considerato, il punto Q tende ad avvicinarsi a P e la velocità media tende ad assumere la direzione della retta tangente alla traiettoria in P [f12]. Figura 12 La velocità istantanea
v
è tangente alla traiettoria.
P
Δs
Q
! Pertanto la velocità istantanea v nell’istante t in cui il punto mobile occupa la posizione P è un vettore tangente alla traiettoria in P. Possiamo dunque concludere che su una traiettoria curvilinea la velocità istantanea, essendo tangente alla traiettoria stessa, varia in direzione da un istante all’altro. Se la velocità cambia anche in modulo, si parla di moto vario.
L’accelerazione nel moto curvilineo L’accelerazione di un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea ! ! è definita partendo dalle velocità v e v ′ che esso assume in due istanti di tempo successivi t e t ′ = t + Δt [f13]. t
Figura 13 Variazione v
! ! ! Δ v = v ′ − v della velocità e ! accelerazione media am in un
t′ am
P
traiettoria curvilinea su un piano.
Q s Δv = v ′ − v
v′
v′
L’accelerazione media è il vettore ! Δv ! am = Δt ! ! ! in cui Δ v = v ′ − v è la variazione di velocità nell’intervallo di tempo Δt. ! L’accelerazione istantanea a è il limite a cui tende l’accelerazione media al tendere di Δt a zero: ! Δv ! a = lim Δt→0 Δt ! Da questa definizione si può dimostrare che a è in generale la somma di due termini: ! • l’accelerazione centripeta ac , diretta perpendicolarmente alla traiettoria e orientata verso il centro di curvatura; ! • l’accelerazione tangenziale at , diretta secondo la tangente alla traiettoria. ! ! ! Possiamo dunque scrivere a = ac + at .
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Sezione A
La dinamica newtoniana
L’accelerazione centripeta è dovuta alla variazione nel tempo della direzione della velocità, mentre l’accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità. Quindi l’accelerazione centripeta è nulla se la traiettoria è rettilinea, qualunque sia il moto, mentre l’accelerazione tangenziale è nulla se il moto è uniforme, qualunque sia la traiettoria 1 . 1
Come e perché
Le componenti tangenziale e centripeta dell’accelerazione
a. Riportiamo nella posizione P della traiettoria, in cui il punto materiale in moto
U
! ! ! si trova nell’istante t, la costruzione !!!"del "vettore Δ v = v ′ − v ricavata in figura 13. Chiamiamo W l’intersezione con di circonferenza avente cen!!!" PV" = v ′ dell’arco ! !!!" !!!!" !!!!" tro in P e raggio lungo come PU = v. Essendo Δ v = UV = UW + WV , l’accelera! ! zione media nell’intervallo di tempo Δt in cui la velocità cambia da v a v ′ è la somma di due termini: ! """"! """"! ! Δ v UW WV am = = + Δt Δt Δt !!!!" Il primo termine ha la direzione del vettore UW , che costituisce la base del ! triangolo isoscele PUW un lato, mentre il secondo ha la !!!!di " cui v rappresenta ! direzione del vettore WV , parallelo a v ′. ! ! b. Nel limite per Δt tendente a zero, il vettore v ′ tende a sovrapporsi a v. Pertanto il triangolo isoscele PUW diventa sempre più “stretto” e la sua base !!!!" !!!!" ! UW , tende a diventare perpendicolare al lato v. D’altra parte, il vettore WV , ! tende a diventare parallelo a v. ! Dunque l’accelerazione istantanea a si compone di un termine perpendicolare alla traiettoria e rivolto verso il centro di curvatura, l’accelerazione centripeta ! ! ac , e un termine tangente alla traiettoria, l’accelerazione tangenziale at : """"! """"! ⎛ UW WV ⎞ ! ! ! a = lim ⎜ + = ac + at ⎟ Δt→0 Δt ⎠ ⎝ Δt
3
Le risposte della fisica
v P
W
Δv v′
V
at P a ac
Quale accelerazione in curva?
Un’automobile viaggia con una velocità di modulo costantemente uguale a 20,0 m/s su una curva, seguendo la traiettoria rappresentata in figura. Rispetto agli assi cartesiani indicati, quali sono le componenti ! ! dei vettori velocità v e v ′ nei punti A e B? Qual è l’accelerazione media dell’automobile nell’intervallo di tempo di 5,00 s impiegato per viaggiare da A a B?
di ampiezza pari a 30,0°, possiamo trovare le componenti cartesiane dei due vettori:
y
v x′ = cos 30,0° v ′ =
v A
30,0°
v x = cos 30,0° v = v y = sin 30,0° v =
3 3 v = (20,0 m/s) = 17,3 m/s 2 2 1 1 v = (20,0 m/s) = 10,0 m/s 2 2
3 3 v′ = (20,0 m/s) = 17,3 m/s = v x 2 2
1 1 v ′ = − (20,0 m/s) = −10,0 m/s = −v y 2 2 ! L’accelerazione media am , nell’intervallo di tempo Δt in cui ! ! la velocità passa da v a v ′, ha componenti:
v ′y = −sin 30,0° v ′ = −
B 30,0° v′ O
amx =
x
Dati e incognite v = v ′ = 20,0 m/s v x = ? v y = ? v x′ = ? v y′ = ? ! Δt = 5,00 s α = 30,0° β = 30,0° am = ? Soluzione ! Osservando che il vettore v , che punta nel verso delle or! dinate positive, e il vettore v ′, che punta nel verso delle ordinate negative, formano entrambi con l’asse x un angolo
Δv y
Δv x v x′ − v x =0 = Δt Δt
v ′y − v y
=
=
−v y − v y
= Δt Δt Δt 2 vy 2 (10,0 m/s) =− = − 4,00 m/s2 =− 5,00 s Δt
amy =
! Il vettore am è parallelo all’asse y, punta in verso opposto rispetto all’asse e ha modulo am = |amy| = 4,00 m/s2.
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
55
Forza e accelerazione nel moto curvilineo Da un punto di vista dinamico, il moto di un punto materiale di massa m ! ! su traiettoria curvilinea necessita sempre dell’azione di una forza F = m a non equilibrata. Infatti la forza, essendo diretta come l’accelerazio! ! ! ne ! a =!ac + at , deve inevitabilmente avere una componente centripeta Fc = m ac , per far variare la direzione del vettore velocità e consentire al corpo di seguire una traiettoria curvilinea. Se essa possiede anche una com! ! ponente tangenziale Ft = m at cambia anche il modulo del vettore velocità e il moto è vario. Con parole tue 7. Com’è diretta l’accelerazione di un’automobile che percorre una curva se il tachimetro segna una velocità costante? E se la velocità diminuisce? 8. Se un corpo si muove di moto curvilineo vario, quali componenti ti aspetti che abbia la forza totale che agisce su di esso? Giustifica la tua risposta.
5 Il moto parabolico Un grave lanciato obliquamente rispetto al piano orizzontale compie una traiettoria parabolica sotto l’azione della sola forza di gravità. Tale moto è bidimensionale ed è chiamato moto parabolico, o moto di un proiettile [f14]. Figura 14 Una volta lanciato obliquamente, il pallone rimbalza sul pavimento. Il suo moto avviene su un piano perché la direzione lungo il pavimento è costante.
L’esperienza dimostra che il grave, mentre si muove orizzontalmente con velocità costante uguale alla componente orizzontale della velocità di lancio, accelera verticalmente verso il basso con accelerazione uguale a quella di gravità. I due moti si svolgono indipendentemente l’uno dall’altro. Principio dell’indipendenza dei moti simultanei X Se un corpo compie contemporaneamente due moti, ciascuno si svolge come se l’altro non fosse presente. In ogni istante il corpo occupa la stessa posizione in cui si troverebbe se i due moti fossero eseguiti l’uno dopo l’altro.
La proprietà dell’indipendenza dei moti simultanei, verificata sperimentalmente nel moto dei gravi, vale per due o più moti simultanei qualsiasi. Già sappiamo che, se la resistenza dell’aria è trascurabile, il moto di un grave, indipendentemente dalla sua massa, avviene con accelerazione costante ! g , cioè con un’accelerazione orientata verticalmente verso il basso e di modulo g = 9,81 m/s 2 . Consideriamo il caso in cui il grave venga lanciato ver! so l’alto con una velocità iniziale v0 obliqua rispetto al piano orizzontale.
56
Sezione A
La dinamica newtoniana
Per lo studio del moto conviene fissare, nel piano verticale su cui giace il ! vettore v0, un sistema cartesiano Oxy con l’asse y diretto verticalmente verso l’alto, l’asse x diretto orizzontalmente e l’origine O nel punto di lancio. Le componenti cartesiane dell’accelerazione sono: ax = 0 ay = − g Poiché lungo l’asse x l’accelerazione scalare è nulla, la componente x della velocità del grave si mantiene costantemente uguale a v0x , componente x della velocità iniziale. In altri termini il moto orizzontale, che per il principio sopra enunciato è indipendente dal simultaneo moto verticale, è un moto uniforme. Invece, il moto verticale è un moto uniformemente accelerato che si svolge con le stesse modalità di quello di un grave gettato verticalmente verso l’alto con velocità di lancio v0y , componente y della velocità iniziale. In ogni istante t le componenti cartesiane della velocità sono: v x = v0 x v y = v0 y − g t Inoltre, le coordinate x e y della posizione del grave sono: 1 x = v0 x t y = v0 y t − g t 2 2 Queste ultime due relazioni rappresentano le equazioni parametriche della traiettoria. Combinandole in modo da eliminare il tempo t, da esse otteniamo l’equazione cartesiana della traiettoria stessa, cioè la relazione fra le coordinate x e y. Ricaviamo dunque t dalla prima equazione e sostituiamo la sua espressione, t = x/v0 x , nella seconda. Otteniamo v0 y g (4) y= x − 2 x2 v0 x 2 v0 x che rappresenta l’equazione di una parabola ad asse verticale [f15]. Figura 15 Traiettoria parabolica
y
di un grave lanciato obliquamente verso l’alto. Sono evidenziate la ! velocità di lancio v 0 e le velocità nel punto di massima altezza e nel punto di caduta a terra, insieme alle coordinate xm e ym del punto di massima altezza.
v = v0x
ym
v0 v0y vx = v0x O v0x
x
xm vy = −v0y
v
Nel caso particolare di un lancio orizzontale da una certa altezza, essendo v0 y = 0 e v0 x = v0 , l’equazione della traiettoria diventa g y = − 2 x2 2 v0 cioè l’equazione di una parabola avente come asse di simmetria l’asse y, con la concavità rivolta verso il basso e con il vertice coincidente con il punto O di lancio. Più precisamente, la traiettoria corrisponde al solo tratto discendente della parabola, quello per cui si ha x > 0. La distanza fra il punto di lancio (da terra) e il punto di caduta a terra del grave prende il nome di gittata. Dall’equazione cartesiana (4) della traiettoria, tenendo conto che l’ordinata y del grave è zero sia nell’istante di lancio sia in quello di caduta a terra, e scartando quindi la soluzione x = 0 che corrisponde al punto di lancio, troviamo che la gittata è: 2 v0 x v0 y G= g
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
4
Le risposte della fisica
Le coordinate del motociclista in ogni istante t sono 1 x = v0 t y = y0 − g t 2 2 da cui, eliminando la variabile temporale t, si ottiene: g 2 x y = y0 − 2 v 02 Nel punto in cui il motociclista tocca terra, oltre l’ostacolo, la coordinata x è uguale alla distanza orizzontale d percorsa in volo, mentre la coordinata y è nulla. Ponendo x = d e y = 0 si trova quindi: g g d2 2 0 = y0 − d cioè = y0 2 v 02 2 v 02
v0 = ?
Soluzione Fissiamo il seguente sistema cartesiano Oxy. y y0
57
E se lo stuntman non sapesse la fisica?
In uno stunt show, un motociclista acrobatico si stacca orizzontalmente in sella alla sua moto da una piattaforma alta 4,00 m da terra. Con quale velocità minima deve affrontare il salto se, per superare senza danno l’ostacolo posto ai piedi della piattaforma, ha la necessità di atterrare 7,38 m più avanti? Dati e incognite y 0 = 4,00 m d = 7,38 m
Unità 2
v0
e, risolvendo rispetto all’incognita v 0 : v0 =
O
d
x
g d2 = 2 y0
(9,81 m/s2 ) (7,38 m)2 = 8,17 m/s 2 (4,00 m)
Prosegui tu Se la velocità iniziale è quella che abbiamo ricavato, quanti secondi dura il salto del motociclista? E qual è il modulo della sua velocità quando tocca terra? [0,903 s; 12,0 m/s]
Con parole tue 9. Un grave è lanciato obliquamente: che relazione c’è fra il modulo della velocità di lancio e quello della velocità di caduta a terra? 10. Una pallina è lanciata obliquamente. Quali sono le componenti della forza necessaria affinché la pallina compia un moto parabolico?
6 Il moto circolare Si chiama moto circolare uniforme il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria circolare con velocità di modulo costante. Un esempio è il moto di un’automobile che percorre una rotonda, se il tachimetro segna sempre lo stesso valore. Un altro esempio è il moto dell’estremità della lancetta dei secondi di un orologio, se la lancetta gira non a scatti, ma con continuità. Il moto circolare uniforme è un moto periodico. Sono periodici anche il moto della Terra intorno al proprio asse e quello di rivoluzione intorno al Sole, come pure l’oscillazione di un pendolo o, in prima approssimazione, il battito del cuore di una persona. In generale è periodico un moto che si ripete nel tempo con le stesse proprietà.
La cinematica del moto circolare uniforme Studiando fisica abbiamo già incontrato le grandezze cinematiche che descrivono il moto circolare uniforme. Le ricordiamo qui brevemente. Periodo X Il periodo di un moto circolare uniforme è la durata di un giro completo.
Il periodo della lancetta dei secondi di un orologio è uguale a un minuto. Quello del moto circolare uniforme compiuto da un punto fisso sulla superficie della Terra, a causa della rotazione terrestre intorno al proprio asse, è uguale a un giorno. In generale il periodo di un moto periodico è
58
Sezione A
La dinamica newtoniana
il minimo intervallo di tempo dopo il quale il moto torna ad assumere le stesse proprietà. Essendo un intervallo di tempo, il periodo nel SI è espresso in secondi (simbolo s). Frequenza X La frequenza di un moto circolare uniforme è il numero di giri compiuti nell’unità di tempo. In generale la frequenza f di un moto periodico esprime il numero di volte che il moto si ripete nell’unità di tempo ed è uguale al reciproco del periodo T:
f = frequenza (Hz)
1 T
(5) periodo (s)
L’equazione dimensionale della frequenza nel SI è
[ f ] = [ t −1 ] e la sua unità di misura è il s−1, chiamato anche hertz (simbolo Hz). Velocità scalare X È la componente v lungo la traiettoria circolare della ! velocità istantanea v, ovvero il modulo costante nel tempo di tale velocità. In funzione del periodo T del moto, oppure della frequenza f, detto r il raggio della traiettoria si ha: velocità (m/s)
2πr v = =2πrf T
raggio della traiettoria (m)
(6)
periodo (s)
frequenza (Hz)
! Come per qualsiasi moto curvilineo, la velocità istantanea v di un moto circolare uniforme è un vettore tangente, in ogni punto, alla traiettoria ed è detta anche velocità tangenziale [f16].
Figura 16 Velocità in due punti P e P ′ di una traiettoria circolare percorsa con moto uniforme.
v′
Misura di un angolo in radianti X La misura di un angolo espressa in radianti è:
P′
arco di circonferenza (m)
angolo (rad)
ϕ =
I r
v P
(7) raggio (m)
in cui l è la misura dell’arco che sottende l’angolo di ampiezza φ su una circonferenza di raggio r.
La definizione si giustifica con il fatto che il rapporto l/r non dipende dal raggio r, ma esprime una proprietà dell’ampiezza dell’angolo [f17]. L’ampiezza in radianti dell’angolo giro è: 2πr ϕ= rad = 2 π rad r in cui “rad” non indica una unità di misura, ma serve solo a ricordare che l’angolo è espresso in radianti e non in gradi. Si passa dalla misura in gradi sessagesimali alla misura in radianti di un angolo con la proporzione: ϕ (in gradi) : 360° = ϕ (in radianti) : (2 π) Da questa proporzione si ottiene, in particolare, l’ampiezza in gradi di un angolo di 1 rad, cioè dell’angolo sotteso a un arco avente la stessa misura del raggio: 360° ϕ= = 57,3° 2π
Figura 17 L’ampiezza di un angolo espressa in radianti.
l l φ=– r O
r
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Nel moto circolare e nello studio di fenomeni periodici gli angoli di solito sono espressi in radianti. Nella [Tab. 4] sono indicati i valori in radianti corrispondenti ad alcuni angoli espressi in gradi. Velocità angolare X Nel moto circolare uniforme di un punto materiale P lungo una traiettoria di centro O, la velocità angolare ω è il rapporto fra lo spostamento angolare Δϕ compiuto, cioè l’angolo spazzato dal vettore posi"""! zione OP , e l’intervallo di tempo Δt impiegato a compierlo: velocità angolare (rad/s)
ω =
Δϕ Δt
Tabella 4 Gradi e radianti. Angolo in gradi
Angolo in radianti
0
0
30°
π 6
45°
π 4 π 3
60°
spostamento angolare (rad)
(8) intervallo di tempo (s)
L’equazione dimensionale di questa grandezza è
59
Unità 2
90°
π 2
180°
π
270°
3 π 2
360°
2π
[ ω ] = [ t −1 ]
e la sua unità di misura nel SI è il radiante al secondo (simbolo rad/s). Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è indipendente dal particolare intervallo di tempo cui è riferita. Assumendo come intervallo di tempo il periodo T otteniamo: 2π T
(9)
ω=2π f
(10)
ω= o anche, in virtù della (5),
Confrontando la (6) con le relazioni (9) o (10) troviamo che la velocità scalare v è uguale al prodotto della velocità angolare ω per il raggio r della traiettoria circolare: v=ω r
(11)
Accelerazione centripeta X Il moto circolare uniforme è un moto accelerato, in quanto caratterizzato da una velocità che cambia continuamente direzione. La sua accelerazione è centripeta, cioè orientata in ogni istante verso il centro della traiettoria, con modulo costante espresso da: velocità angolare (rad/s)
velocità scalare (m/s)
ac = accelerazione centripeta (m/s2)
v2 = ω2 r r
(12) raggio (m)
Figura 18 Accelerazione in due
in cui v è la velocità scalare, ω la velocità angolare e r il raggio della traiettoria.
L’accelerazione centripeta è perpendicolare in ogni punto alla traiettoria, e quindi perpendicolare al vettore velocità [f18].
La dinamica del moto circolare Per il secondo principio della dinamica, non può esistere un’accelerazione sen! za una forza che la produca. Pertanto l’accelerazione centripeta ac di modulo ac = v 2 /r posseduta da un punto materiale in moto circolare uniforme con
punti P e P ′ di una traiettoria circolare percorsa con moto uniforme.
P′ a′ P a
60
Sezione A
La dinamica newtoniana
velocità scalare v su una traiettoria di raggio r è sempre generata da una forza ! Fc , detta forza centripeta. Se m è la massa del punto materiale, si ha: ! ! Fc = m ac ! Forza centripeta X La forza centripeta Fc è la forza necessaria a mantenere un oggetto in moto circolare ed è diretta in ogni istante verso il centro della traiettoria. Per un punto materiale di massa m con velocità v su una circonferenza di raggio r, la sua intensità è: massa (kg)
Fc = m
v2 r
velocità (m/s)
(13) Figura 19 Un lancio di Nicola raggio (m)
forza centripeta (N)
Vizzoni, martellista della Nazionale italiana di atletica leggera.
In funzione della velocità angolare ω del moto, l’intensità della forza centripeta è espressa da: Fc = m ω 2 r La forza centripeta non è un nuovo tipo di forza e, ovviamente, non è il moto circolare uniforme a creare la forza centripeta, ma è la forza centripeta che causa questo tipo di moto. Nel lancio del martello, durante la fase in cui viene fatto ruotare l’attrezzo, la forza centripeta che agisce sulla sfera di acciaio è la tensione del cavo [f19]. Quando il lanciatore lascia la presa, il martello si allontana lungo la tangente alla traiettoria circolare fino ad allora descritta dalla sfera, con la velocità posseduta nell’istante in cui la forza centripeta è venuta a mancare. La forza centripeta coincide sempre con la somma delle forze dirette verso il centro della traiettoria.
Figura 20 Accelerazione istantanea in un moto circolare non uniforme.
Accelerazione tangenziale e accelerazione angolare
at
Un punto materiale in moto circolare è sempre soggetto a un’accelerazio! ne centripeta. Se il moto non è uniforme, all’accelerazione centripeta ac si ! sovrappone un’accelerazione tangenziale at [f20]. L’accelerazione tangenziale è generata da una forza tangenziale. Se m è la massa del punto materiale in esame, la relazione tra queste due grandezze è: ! ! Ft = m at Se il moto circolare non è uniforme, in punti diversi della traiettoria la velocità v è differente: affinché la traiettoria mantenga invariato il raggio di curvatura r, è necessario che anche l’intensità della forza centripeta cambi istante per istante, in modo che sia sempre soddisfatta la (13). La (13) deve essere considerata, quindi, come relazione tra grandezze istantanee. Per esempio, nel giro della morte, illustrato in [f21], la forza centripeta che agisce! sul carrello delle montagne ! russe è la somma della reazione normale N della rotaia e del vettore Pc , componente del peso lungo il raggio della traiettoria. La forza risultante di cui risente il carrello nella posizione raffigurata non è diretta verso il centro della traiettoria ! ol! ! ! ! circolare. Si compone infatti, tre che della forza centripeta Fc = N +! Pc , di una forza tangenziale Ft = Pt . Quest’ultima, uguale al componente Pt del peso lungo la tangente alla tra! iettoria, produce un’accelerazione tangenziale at che fa variare il modulo della velocità del carrello. Il moto nel giro della morte è circolare ma non uniforme.
a ac
Figura 21 Le forze in gioco nel giro della morte.
Pt
N Pc
P
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
Per descrivere questi tipi di moto possiamo considerare anche le grandezze fisiche angolari: spostamento angolare, velocità angolare e accelerazione angolare. Se un moto circolare non è uniforme, la sua velocità angolare varia nel tempo. Il rapporto (8) fra lo spostamento angolare Δϕ compiuto e l’intervallo di tempo Δt impiegato a compierlo dipende, in tal caso, dal particolare intervallo considerato. Esso definisce, perciò, una velocità angolare media: Δϕ ωm = Δt La velocità angolare istantanea ω è il valore a cui tende questo rapporto quando è calcolato su intervalli di tempo sempre più piccoli comprendenti l’istante t considerato. In simboli: ω = lim
Δt→0
Δϕ Δt
(14)
Le equazioni (11) e (12) mettono in relazione il valore istantaneo della velocità angolare con la velocità scalare e l’accelerazione centripeta di un moto circolare, e sono valide istante per istante anche se il moto non è uniforme. Supponiamo che la velocità angolare istantanea subisca una variazione Δω = ω − ω 0 in un intervallo di tempo Δt = t − t 0 . Il rapporto αm =
VIDEOLAB La cinematica del moto rotatorio
Δω Δt
definisce l’accelerazione angolare media in Δt, il cui valore tende all’accelerazione angolare istantanea α al diminuire dell’intervallo di tempo considerato: Δω α = lim Δt→0 Δt Nel SI l’accelerazione angolare si misura in rad/s2. Assegniamo ora un verso al moto circolare [f22], considerandolo positivo nel caso in cui si svolga in senso antiorario.
Figura 22 Il verso del moto circolare.
Δφ > 0 Δφ < 0
La circonferenza è percorsa in verso antiorario: lo spostamento angolare Δφ e la velocità angolare sono positivi.
La circonferenza è percorsa in verso orario: lo spostamento angolare Δφ e la velocità angolare sono negativi.
In questo modo, convenzionalmente, la velocità angolare è positiva se lo spostamento angolare è antiorario. L’accelerazione angolare è positiva se la velocità angolare è positiva e crescente, oppure se è negativa e decrescente in valore assoluto. Se l’accelerazione angolare α è costante, la velocità angolare in funzione del tempo (ponendo t 0 = 0) è: ω = ω0 + α t
(15)
61
62
Sezione A
La dinamica newtoniana
La (15) è formalmente identica all’equazione che esprime la velocità scalare v del moto rettilineo uniformemente accelerato: ω figura al posto di v, l’accelerazione angolare α al posto dell’accelerazione scalare a. Per analogia con il moto rettilineo uniformemente accelerato, lo spostamento angolare in ogni istante t è: 1 (16) Δϕ = ω 0 t + α t 2 2 Che relazione c’è fra l’accelerazione angolare α e l’accelerazione tangen! ziale at ? La prima è la rapidità con cui varia la velocità angolare ω. Il modulo at della seconda è la rapidità con cui varia il modulo v della velocità lungo la traiettoria. Poiché, nel moto circolare, il raggio r della traiettoria è costante, l’equazione (11) che lega v a ω esprime una relazione di proporzionalità diretta. Di conseguenza, anche le variazioni di queste due grandezze sono direttamente proporzionali fra loro, e la stessa relazione vale fra le accelerazioni at e α. Si ha dunque: at = α r
(17)
Ricordando che al moto circolare abbiamo convenzionalmente assegnato un verso, possiamo trattare at come un’accelerazione scalare, cui attribuire lo stesso segno posseduto da α. 5
Le risposte della fisica
Come gira la centrifuga?
All’inizio della fase di centrifugazione, in 56,0 s e con accelerazione angolare costante, il cestello di una lavatrice raggiunge da fermo una frequenza di 1,20 · 103 giri al minuto. Qual è l’accelerazione angolare del cestello? Quanti sono i giri compiuti nell’intero intervallo di tempo?
Per la (10), dato che la frequenza finale del moto è f = 1,20 ⋅103 giri/min = 20,0 Hz, si ha inoltre:
Dati e incognite t = 56,0 s f = 1,20 ⋅ 103 giri/min α =? N =?
Per trovare, infine, il numero N dei giri compiuti dall’istante iniziale fino all’istante t, si deve dividere Δφ per 2 π rad:
Soluzione Per calcolare l’accelerazione angolare α del cestello bisogna conoscere i valori, espressi in rad/s, della velocità angolare ω0 nell’istante t0 = 0 e della velocità angolare ω raggiunta nell’istante t. Poiché il cestello comincia a ruotare da fermo, si ha:
ω = 2 π f = 2 π (20,0 Hz) = 126 rad/s L’accelerazione angolare è dunque: α=
ω − ω 0 126 rad/s − 0 = = 2,25 rad/s2 56,0 s − 0 t − t0
Lo spostamento angolare si ricava dalla (16): Δϕ =
1 1 α t 2 = (2,25 rad/s2 ) (56,0 s)2 = 3,53 ⋅103 rad 2 2
N=
3,53 ⋅103 rad = 562 2 π rad
Prosegui tu Il cestello ha un raggio di 0,240 m. Quando ruota a 1,20 · 103 giri al minuto, quali sono i moduli della velocità e dell’accelerazione centripeta di un punto sul bordo?
ω0 = 0
Con parole tue 11. È vero o falso che nel moto su una traiettoria circolare l’accelerazione centripeta ha modulo costante solo se l’accelerazione tangenziale è nulla? Giustifica la tua risposta. 12. Come variano nel tempo la velocità scalare e la velocità angolare di un punto materiale in moto circolare uniformemente accelerato?
[30,2 m/s; 3,80 · 103 m/s2]
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
7 Le grandezze vettoriali del moto circolare
Unità 2
63
mat
Il moto circolare avviene su una traiettoria nota: una circonferenza di raggio assegnato. Spesso si studia questo moto avvalendosi delle sole grandezze scalari, cioè dei moduli di velocità e accelerazione. Sappiamo, infatti, ! ! che v è tangente alla traiettoria e che a, se il moto è uniforme, ha la sola componente centripeta, diretta verso il centro della traiettoria. Tuttavia dobbiamo anche essere in grado di caratterizzare, istante per istante, le grandezze cinematiche del moto circolare come vettori.
Il vettore posizione, la velocità e l’accelerazione centripeta in forma cartesiana Consideriamo un punto materiale P in moto uniforme con velocità angolare ω su una traiettoria circolare di centro O e raggio r, e fissiamo un sistema cartesiano Oxy con l’asse x passante per la posizione iniziale A del punto. Facendo uso delle funzioni goniometriche, troviamo che nell’istante t, quando lo spostamento angolare compiuto è Δϕ = ω t, il vettore posizione ! r è [f23]: ! r = r cos (ω t) xˆ + r sin (ω t) ˆy Ricordando che il modulo della velocità è v = ω r e quello dell’accelerazione centripeta è ac = ω 2 r, troviamo inoltre che i vettori velocità [f24] e accelerazione [f25] sono rispettivamente: ! v = −ω r sin (ω t) xˆ + ω r cos (ω t) ˆy ! ! ac = −ω 2 r cos (ω t) xˆ − ω 2 r sin (ω t) ˆy = −ω 2 r y
C
y vy
P ry
r
O ωt
ωt v B P
r rx H A
x
O ωt
vx
x
Figura 23 Osservando il triangolo
Figura 24 Per le proprietà del triangolo
rettangolo OPH si nota che le componenti cartesiane del vettore posizione ! ! ! r = rx + ry = rx xˆ + ry yˆ sono rx = r cos (ω t) e ry = r sin (ω t).
rettangolo PBC, le componenti cartesiane ! ! ! della velocità v = v x + v y = v x xˆ + v y yˆ sono v x = −v sin (ω t) e v y = v cos (ω t).
Figura 25 Per le proprietà
y
acy
E
del triangolo rettangolo PDE, le componenti cartesiane dell’accelerazione centripeta ! ! ! ac = acx + acy = acx xˆ + acy yˆ sono acx = −ac cos (ω t) e acy = −ac sin (ω t).
P
ac D
O ωt
acx
A
x
64
Sezione A
La dinamica newtoniana
I vettori velocità angolare e accelerazione angolare A parità di velocità angolare, due moti circolari possono differire per il piano in cui giace la loro traiettoria e per il verso in cui questa è percorsa. Attribuendo carattere vettoriale alla velocità angolare si può utilizzare questa grandezza per quantificare la rapidità del moto e, nello stesso tempo, precisare l’orientazione della traiettoria nello spazio. ! Come vettore, la velocità angolare ω ha modulo espresso dalla (14) ed è diretta perpendicolarmente al piano della traiettoria. Il suo verso è indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita sono avvolte nel verso del moto [f26]. Mediante relazioni ! vettoriali, si!possono esprimere in funzione di ω sia la velocità v sia l’accelerazione ! centripeta ac . ! Indichiamo con r il vettore posizione di un punto P della traiettoria rispetto al centro. Come mostrato in [f27] e [f28], in P si ha: ! ! ! ! ! ! ! v =ω×r ac = ω × v = −ω 2 r ω
Figura 26 Il vettore velocità angolare.
ω
ω
v
v=ω×r P
P
r
ac = ω × v
Figura 27 La relazione vettoriale fra velocità e
Figura 28 La relazione vettoriale fra accelerazione
velocità angolare.
centripeta, velocità e velocità angolare.
Poiché ! nel moto circolare la traiettoria è fissa nello spazio, la velocità angolare ω può variare in modulo, ma conserva la sua orientazione. Ciò permette di definire in modo semplice, come vettore, l’accelerazione angolare: il ! ! α vettore ha la stessa direzione di ω e verso concorde o discorde a seconda ! che ω sia crescente o decrescente in modulo. L’accelerazione tangenziale, infine, è espressa da: ! ! ! at = α × r
Con parole tue 13. Un punto materiale compie un moto circolare nel piano individuato dal foglio. Se il verso di percorrenza della traiettoria è orario, determina direzione e verso del vettore velocità angolare. 14. Spiega perché nel moto circolare l’accelerazione angolare ha la stessa direzione del vettore velocità angolare.
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
65
8 Il moto armonico e il pendolo Concludiamo la nostra analisi dei principali argomenti della meccanica classica con il moto armonico. Il moto delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice e quello di una massa attaccata a una molla ideale in assenza di attrito sono esempi di moti armonici.
Il moto armonico come proiezione di un moto circolare uniforme Il moto armonico, o moto armonico semplice, è un particolare tipo di moto periodico e può essere definito a partire dal moto circolare uniforme. Moto armonico X Dato un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza, si chiama moto armonico il moto della proiezione del punto su un diametro della circonferenza.
Consideriamo un punto P che si muove di moto circolare uniforme e la sua proiezione Q su un diametro AB della traiettoria circolare [f29]. Figura 29 Se un punto P si P
P
muove di moto circolare uniforme, la sua proiezione Q su un diametro della circonferenza compie un moto armonico.
r
r O
Q
A
Q
B
B
–s
s
Quando Q si trova a destra di O, consideriamo positivo il suo spostamento s da O.
O
A
Quando Q si trova a sinistra di O, consideriamo lo spostamento s negativo.
Con riferimento alla figura 29, chiamiamo: •
estremi di oscillazione gli estremi A e B del diametro su cui si muove, avanti e indietro, il punto Q;
•
centro di oscillazione il centro O della circonferenza;
•
ampiezza la distanza di O dai due estremi di oscillazione, che coincide con il raggio r della circonferenza;
•
oscillazione completa quella parte del moto che si ripete con le stesse caratteristiche. Per esempio il moto di Q che parte dall’estremo B, raggiunge A e fa ritorno in B è un’oscillazione completa;
•
periodo T la durata di un’oscillazione completa di Q. Poiché nel frattempo P compie un giro completo sulla circonferenza, T coincide con il periodo del moto circolare uniforme di P;
•
pulsazione la grandezza ω = 2 π/T che caratterizza le oscillazioni di Q e che corrisponde alla velocità angolare del moto di P.
Il punto P percorre sulla circonferenza archi uguali in tempi uguali. Il moto di Q sul diametro AB non è uniforme poiché a intervalli di tempo uguali corrispondono tratti di lunghezza differente. A partire dalle posizioni occupate da Q in un intero periodo, costruiamo il diagramma orario. Rappresentiamo in un grafico lo spostamento scalare s
66
Sezione A
La dinamica newtoniana
di Q dal centro di oscillazione O in funzione del tempo. La curva che si ottiene è una cosinusoide [f30]. Figura 30 Posizioni del punto oscillante e relativo diagramma orario a intervalli di tempo di 1/4 del periodo.
T 4
0 T 2
A
B
O
T
3T 4
s r
O T — 4
T — 2
3T –––– 4
T
t
–r
Nell’istante iniziale, in cui Q si trova nell’estremo B della sua traiettoria, lo spostamento è massimo (s = r ). Dopo un quarto di periodo Q passa per O (s = 0), dopo mezzo periodo raggiunge l’estremo A della traiettoria (s = −r ), dopo tre quarti di periodo passa nuovamente per O (s = 0) e dopo un periodo fa ritorno in B.
Spostamento, velocità e accelerazione
Figura 31 Lo spostamento di Q è il cateto OQ del triangolo OPQ, quindi OQ = r cos θ.
Consideriamo la circonferenza della traiettoria inserita in un sistema di riferimento con l’origine coincidente con il centro e raggio r. Scegliamo come diametro su cui proiettare il moto circolare uniforme il diametro AB sull’asse x. Nell’istante t = 0, P si trova nel punto B e la proiezione Q nel punto di ascissa r. Se θ = ω t, vediamo in [f31] che lo spostamento del punto Q nel tempo t è dato da x(t) = r cos (ω t)
(18)
La velocità di Q e la sua accelerazione sono la proiezione sul diametro AB, rispettivamente, della velocità del punto P che percorre di moto uniforme la traiettoria circolare e dell’accelerazione centripeta dello stesso punto P.
y
P r θ A
O
x(t) Q
B
x
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
67
Velocità e accelerazione sono mostrate in [f32].
y
Figura 32 Velocità e accelerazione
y
nel moto armonico.
v0 θ
P
P ac θ
v A
O
Q
B x
A
! La velocità di Q è il vettore v , componente nella direzione del diametro AB della ! velocità v 0 di P.
O
a
Q
B x
! L’accelerazione di Q è il vettore a, componente nella direzione del diametro AB ! dell’accelerazione centripeta ac di P.
Dalla figura 32 notiamo che la velocità v del punto Q vale v = −v0 sin θ, e cioè: v = −ω r sin (ω t) E l’accelerazione a = −ac cos θ, quindi: a = −ω 2 r cos (ω t)
(19)
Confrontando la (18) e la (19) si trova la relazione che lega, in modo caratteristico, l’accelerazione e lo spostamento nel moto armonico.
Accelerazione nel moto armonico X Se un punto materiale compie un moto armonico con pulsazione ω, ed s è il suo spostamento scalare dal centro di oscillazione in un dato istante, la sua accelerazione scalare in quell’istante è: accelerazione (m/s2)
pulsazione (rad/s)
a = −ω 2 s
(20) spostamento (m)
Ogni volta che, esaminando un moto, troviamo che l’accelerazione è direttamente proporzionale in modulo e opposta in verso allo spostamento da un punto fisso O, possiamo dedurre che si tratta di un moto armonico. Poiché il coefficiente di proporzionalità è il quadrato della pulsazione ω, dalla relazione (20) che lega accelerazione e spostamento, possiamo ricavare ω e quindi il periodo T = 2 π/ω. Se moltiplichiamo primo e secondo membro della (20) per m, troviamo: F = −m ω 2 s La forza agente nel moto armonico, essendo proporzionale allo spostamento con una costante di proporzionalità negativa, è una forza che si oppone allo spostamento. Per questo motivo viene detta forza di richiamo. L’espressione specifica per la pulsazione ω dipende dal tipo di sistema che compie il moto armonico. Vediamo alcuni esempi.
68
Sezione A
La dinamica newtoniana
Moto armonico e forza elastica
VIDEOLAB
In [f33] è rappresentato un blocco di massa m appoggiato su un tavolo orizzontale e fissato a una molla di costante elastica k. F
Il sistema massa-molla
Figura 33 Oscillazioni armoniche di una molla.
O
s Spostato a destra della posizione di equilibrio O, il blocco attaccato alla molla ! è accelerato verso sinistra dalla forza elastica F.
v
O In O il blocco ha velocità massima e accelerazione nulla. Il suo moto verso sinistra continua per inerzia.
−F O
s A sinistra di O la forza elastica si inverte e rallenta il blocco. Esso si arresta per un istante nel punto simmetrico a quello di partenza e torna indietro.
Supponiamo che siano trascurabili sia l’attrito fra il blocco e il tavolo sia la resistenza dell’aria. Il peso del blocco è equilibrato dalla reazione normale del piano di appoggio, per cui la risultante delle forze agenti sul blocco in un istante generico è solo la forza elastica ! ! F = −k s ! in cui il vettore spostamento s ha la coda nella posizione O di equilibrio del blocco e la punta coincidente con la sua posizione nell’istante considerato. Per il secondo principio della dinamica si ha: ! ! m a = −k s Considerando le componenti scalari di entrambi i membri lungo l’asse s fissato come in figura, segue: k s = −ω 2 s m Questa equazione coincide con la (20), avendo posto: a=−
k m Pertanto possiamo affermare che il moto di un corpo di massa m soggetto a una forza elastica di costante k è un moto armonico di periodo: 2π m T= =2π ω k ω=
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Moto armonico e forza peso: il pendolo Un altro esempio di moto armonico è quello delle oscillazioni del pendolo semplice. Un pendolo è un sistema schematizzato da un punto materiale (una sferetta di massa m) vincolato per mezzo di un filo inestensibile, di massa trascurabile e di lunghezza l, a un punto fisso, detto centro di sospensione. Le forze che agiscono sulla sferetta, ! poter trascurare la ! nell’ipotesi di resistenza dell’aria, sono il suo peso P e la tensione T del filo che è sempre ! diretta verso il centro C di sospensione. Il peso ha un componente Pt tangente alla traiettoria, che cambia di intensità da punto a punto ed è sempre diretto verso il centro O di oscillazione. Se la sferetta è ferma in O, vi rimane costantemente perché il suo peso è equilibrato dalla tensione del filo. Se invece la spostiamo e l’abbandoniamo da ferma, questa incomincia a oscillare lungo un arco di circonferenza di centro C e lunghezza l 2 . 2
Come e perché
Le forze che agiscono sulla sferetta di un pendolo
! La tensione T del filo varia da un valore minimo agli estremi di oscillazione, ! dove è uguale in intensità al componente Pc del peso secondo la direzione del filo, a un valore massimo al centro di oscillazione, dove la velocità della sferetta è massima e quindi è massima la forza centripeta richiesta per mantenere la sferetta sulla sua traiettoria circolare. C
T
Pc
T
T T
Pt
T Pt
Pt
P
Pc
Pt P
O Pc
Pc P
P
P
Per il secondo principio della dinamica applicato alla sferetta, possiamo scrivere: ! ! ! P +T = m a Considerando le componenti dei due membri di questa equazione lungo la direzione tangente alla traiettoria troviamo Pt = m at
(21)
avendo indicato con Pt e at le componenti tangenziali del peso e dell’accelerazione. Nel caso di piccole oscillazioni (con ampiezza non oltre i 15°), la componente Pt del peso è direttamente proporzionale e opposta in segno all’ascissa s della sferetta, misurata rispetto al punto O lungo la traiettoria curvilinea.
Unità 2
69
70
Sezione A
La dinamica newtoniana
Vediamo come 3 . 3
Come e perché
Calcolo della forza tangenziale
Se la sferetta si trova a destra del centro di oscillazione O, la forza scalare Pt è negativa:
C
−Pt < 0 Per piccole oscillazioni, la lunghezza del segmento L O ′ è quasi uguale a quella dell’arco LO, cioè allo spostamento scalare s della sferetta da O misurato lungo il cammino curvilineo. Dalla similitudine dei triangoli L O ′ C e LMN, essendo
l
CL = I, LM = −Pt e LN = m g O′ O
e, approssimando LO′ con s, segue:
s
L
M P t
(−Pt ) : s = (m g) : I mg s I mg Pt = − s I −Pt =
P N
L’espressione di Pt in funzione di s è: Pt = −
mg s l
Sostituendola nella (21) e risolvendo rispetto ad at otteniamo: at = −
g s l
(22)
Questa espressione, avendo la stessa forma della (20), esprime la proprietà caratteristica del moto armonico. Possiamo così concludere che il moto del pendolo, nel caso particolare delle piccole oscillazioni, è armonico come quello determinato da una forza elastica. Dal confronto della (20) con la (22) segue che la pulsazione delle oscillazioni del pendolo è g ω= l e che il periodo del pendolo, cioè il tempo per compiere un’oscillazione completa è: T =2π
l g
Questa espressione mostra che il periodo è: • indipendente dall’ampiezza di oscillazione (isocronia delle piccole oscillazioni del pendolo) e dalla massa della sferetta oscillante; • direttamente proporzionale alla radice quadrata della lunghezza l; • inversamente proporzionale alla radice quadrata dell’accelerazione di gravità g.
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
71
Sulla Luna, per esempio, dove l’accelerazione di gravità è circa un sesto di quella sulla Terra, il periodo di un pendolo è circa 2,4 volte quello di un pendolo di uguale lunghezza fatto oscillare sulla Terra. 6
Le risposte della fisica
Quanto è teso il filo?
Un pendolo di lunghezza 1,0 m porta all’estremità del filo una sferetta di massa 0,10 kg. Quando il filo forma con la verticale un angolo di 45° la sferetta ha un’accelerazione centripeta di 4,0 m/s2. Determiniamo la velocità della sferetta e la tensione del filo nella posizione considerata.
C
45
l
T
Pc 45 P
Nel disegno sono rappresentate tutte le forze agenti sulla ! ! ! sferetta: la tensione T del !filo e il peso P = m g, di cui è evidenziato il componente Pc lungo la direzione del filo. Per il secondo principio della dinamica, possiamo scrivere: ! ! ! T +mg=ma
Dati e incognite I = 1,0 m m = 0,10 kg α = 45° ac = 4,0 m/s 2 v = ? T = ? Soluzione Se v è la velocità della sferetta nella posizione considerata e l la lunghezza del filo, l’accelerazione centripeta nella stessa posizione è v2 ac = I da cui: v =
I ac =
(1,0 m) (4,0 m/s2 ) = 2,0 m/s
! in cui a è l’accelerazione totale della sferetta, somma dell’accelerazione centripeta e di quella tangenziale. Uguagliamo le componenti di entrambi i membri della relazione precedente secondo un asse orientato come il filo verso il centro di sospensione C. Osservando che la componente scalare del peso rispetto a tale asse è negativa, che la componente dell’accelerazione è quella centripeta di valore noto ac , e infine tenendo conto che è α = 45°, otteniamo: 2 m g = m ac 2 ⎛ 2 ⎞ T = m ⎜ ac + g = 2 ⎟⎠ ⎝ T−
⎞ ⎛ 2 = (0,10 kg) ⎜ 4,0 m/s2 + 9,81 m/s2 ⎟ = 1,1 N 2 ⎠ ⎝
Con parole tue 15. In un moto armonico con pulsazione ω e ampiezza di oscillazione r, quali sono il valore minimo e il valore massimo della velocità scalare? E quali sono il minimo e il massimo dell’accelerazione scalare? 16. Qual è l’origine della forza di tipo elastico che determina le oscillazioni armoniche di un pendolo? Quali sono le analogie e le differenze fra il moto armonico causato da una vera e propria forza elastica e le piccole oscillazioni del pendolo?
RIEPILOGO VISUALE Moto rettilineo uniforme La risultante delle forze applicate su un corpo ! è nulla, F = 0, perciò il vettore accelerazione ! ! a è nullo, a = 0. ! ô Il vettore velocità v è costante: o in modulo (moto uniforme); o in direzione e verso (moto rettilineo). ! ô Se all’istante t0 il vettore posizione è s0 , la legge oraria è: ! ! ! s = s0 + v (t − t0 ) ô Il diagramma orario è una s(t) retta: o passante per il punto di ascissa 0, se s t0 = 0, e ordinata s0 ; 0 o con pendenza v.
Moto curvilineo ! La risultante F delle forze ha rispetto alla traiettoria: ! ! o una componente tangenziale, Ft = m at (moto vario); ! ! o una componente centripeta, Fc = m ac (moto curvilineo). ô L’accelerazione ha due componenti: una cen! tripeta ac e una tan! genziale at .
0
t
Moto rettilineo uniformemente accelerato ! La risultante F delle forze applicate su un ! ! corpo è costante: F = costante → a = costante ô Se all’istante t0 il vettore s (t) ! velocità è v0 , la legge con cui varia la velocità è: ! ! ! v = v0 + a (t − t0 ) ô Se all’istante t0 il vettore ! posizione è s0 , la legge 0 t oraria è: ! ! ! 1 ! s = s0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t0 )2 2 ô Il diagramma orario è una parabola che passa per l’origine se s0 = 0 e t0 = 0.
Moto di un proiettile sparato obliquamente ô Le componenti cartesiane dell’accelerazione sono: ax = 0 e ay = −g. ô Le componenti cartesiane della velocità sono: vx = v0x e vy = v0y − g t ô Le equazioni paray metriche della trav =v y iettoria sono: x = v0x t v v 1 2 y = v0y t − gt 2 v =v 0x
m
0
0y
x
v0x
0x
x
xm vy = −v0y
v
a ac
v
P s
Q
Moto circolare uniforme È un moto curvilineo in cui: Ft = 0 → at = 0 Fc = costante → ac = costante !
ω v
costante ô La velocità istanta! nea v è costante in modulo ed è: v = ω r
P
ac = ω × v
ô L’accelerazione centripeta ac è: ac =
Moto di caduta libera ô È un esempio di moto uniformemente accelerato. L’accelerazione è g = 9, 81 m/s2 .
O
ô La velocità istan! tanea v è tangente alla traiettoria.
at P
v2 = ω2 r r
Moto armonico È un moto periodico causato da una forza proporzionale allo spostamento con una costante di proporzionalità negativa (forza di richiamo). ô Se T è il periodo di oscillazione, la pulsazione ω è: ω = 2 π/T. ô Se s è lo spostamento del corpo dal centro di oscillazione, l’accelerazione è: a = −ω 2 s. Alcuni esempi. ô Il sistema costituito da un blocco di massa m e da una molla di costante elastica k. Periodo del moto: T = 2 π m/k . ô Le piccole oscillazioni di un pendolo di lunghezza l. Periodo del moto: T = 2 π l/g.
MAPPA CONCETTUALE
RISULTANTE DELLE FORZE applicate a un corpo quando è
quando è
quando ha una
NULLA
COSTANTE
l’accelerazione del corpo è nulla
l’accelerazione del corpo è costante
COMPONENTE CENTRIPETA
si ha un
si ha un
si ha un
MOTO RETTILINEO
MOTO RETTILINEO
MOTO CURVILINEO
UNIFORME
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
la velocità del corpo è costante in modulo, direzione e verso
la velocità del corpo varia in modulo linearmente nel tempo, ha direzione e verso costanti
l’accelerazione del corpo è diretta verso il centro di una traiettoria curva
la velocità del corpo è tangenziale alla traiettoria un caso particolare è il
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
l’esempio più comune è il
moto con traiettoria circolare e velocità costante in modulo
MOTO DI CADUTA LIBERA
è strettamente legato al
che è causato da una
FORZA DI RICHIAMO
è proporzionale allo spostamento con costante di proporzionalità negativa
MOTO ARMONICO
moto della proiezione su un diametro di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
74
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
ESERCIZI DI PARAGRAFO 1
Il moto rettilineo uniforme
1 Vero o falso? a. Il moto in assenza di forze è impossibile. b. Il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è una retta di pendenza nulla. c. Nel moto rettilineo uniforme si percorrono spazi uguali in tempi uguali. d. Nel moto uniforme la velocità media rimane costante. 2
3
4
6 Nel 1929, l’astrofisico Sir Edwin Hubble scoprì V
F
V
F
V
F
V
F
che le galassie si allontanano dalla Terra a una velocità che è direttamente proporzionale alla loro distanza dal nostro pianeta. Osservando lo spazio, si rese conto che la velocità di recessione di una galassia segue la legge v = H d, dove d è la distanza che separa la galassia dalla Terra e H = 2,32 · 10–15 s–1 è la cosiddetta costante di Hubble. Se una galassia si allontanasse dalla Terra con una velocità di poco inferiore a quella della luce, pari a 3,00 · 108 m/s, la sua distanza sarebbe di poco inferiore a quale valore?
TROVA L’ERRORE “Un moto è detto uniforme se in esso il vettore spostamento è costante in modulo, direzione e verso.” Questa frase è sbagliata. Perché? IN 10 RIGHE Come si scrive la legge oraria del moto rettilineo uniforme in forma vettoriale? Spiegane il significato.
[1,30 · 1023 m]
7 Per spostarsi di 1,0 km rispetto alle rive lungo un fiume, una barca, con la corrente avversa, impiega 17 min. Al ritorno, trovandosi invece a favore di corrente, riesce a percorrere lo stesso tratto in 12 min. Calcola la velocità della corrente rispetto alla riva, considerando che il moto della barca è rettilineo uniforme sia all’andata, sia al ritorno.
IMMAGINI Il diagramma orario in figura è relativo a un moto rettilineo uniforme caratterizzato da una velocità media v. Completa il disegno con il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme con velocità media v/2.
[0,20 m/s]
8 A bordo della sua mountain bike, Ester affronta
s
una salita rettilinea a una velocità di 23,0 km/h, per poi ridiscenderla con una velocità costante di 41,0 km/h. Calcola la lunghezza dell’intero tragitto percorso da Ester, sapendo che ha pedalato per cinque ore esatte. [147 km] O
t
9 I pipistrelli usano un sistema simile al sonar per percepire gli ostacoli che non riescono a vedere nell’oscurità. Emettono un impulso sonoro ad alta frequenza e, sulla base dell’intervallo di tempo dopo il quale percepiscono l’eco, sono in grado di valutare la distanza dell’oggetto raggiunto dall’impulso. Assumi che un pipistrello stia volando nella sua grotta a una velocità di 15,5 m/s e l’eco dell’impulso sonoro lo raggiunga dopo 120 ms. Calcola la distanza dall’ostacolo percepito al momento della ricezione. La velocità del suono è di 343 m/s.
5 Applica la legge oraria del moto rettilineo uniforme s = s0 + v t per completare la seguente tabella. s (m)
s0 (m)
200
25
40
−10
10
18 98
2
v (m/s)
t (s) 55
12 36 7,2
8,0
[19,7 m]
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
10 Vero o falso? a. Qualsiasi moto sotto l’azione di una forza presenta velocità crescente. b. Nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità varia linearmente nel tempo. c. Il diagramma orario di un corpo in caduta libera è un arco di parabola. d. Nel moto uniformemente accelerato l’accelerazione rimane costante in modulo, ma può variare la sua direzione.
V
11
IN 10 RIGHE Come si scrive la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato in forma vettoriale? Spiegane il significato.
12
IN 10 RIGHE Un corpo sta cadendo a terra da un’altezza h con velocità nulla, soggetto alla sola forza di gravità terrestre. Come si esprime la velocità v del corpo in funzione della sua altezza da terra?
13
TROVA L’ERRORE “L’accelerazione con cui cade un corpo è, per il secondo principio della dinamica, inversamente proporzionale alla massa di quel corpo.” Questa frase è sbagliata. Perché?
F
V
F
V
F
V
F
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica Spostamento, velocità e accelerazione
75
16 Tra tutti gli insetti sono le pulci a compiere i salti più spettacolari, riuscendo a raggiungere altezze oltre 100 volte le proprie dimensioni. Determina con quale velocità iniziale deve staccarsi da terra una pulce per compiere un salto verticale verso l’alto fino a un’altezza di 25 cm dal suolo. Quanto tempo impiega la pulce a salire? Trascura la resistenza dell’aria.
Impara a risolvere l’esercizio
14 Quale spinta deve essere impressa a un razzo di massa 350 kg perché, partendo al suolo da fermo e salendo in verticale di moto uniformemente accelerato, raggiunga quota 650 m alla velocità di 50 m/s? Trascura la resistenza dell’aria.
[2,2 m/s; 0,23 s]
Dati
Massa razzo m = 350 kg Altezza raggiunta h = 650 m Velocità iniziale v0 = 0 Velocità finale v = 50 m/s
Suggerimento
Quando la pulce raggiunge la massima altezza da terra la sua velocità è nulla.
17
Incognite
Spinta F = ? Situazione fisica
Se si trascura la resistenza dell’aria, sul razzo agiscono soltanto la forza peso di intensità P = m g, diretta verticalmente verso il basso, e la forza di spinta F, diretta verticalmente verso l’alto. Per il secondo principio della dinamica, abbiamo: F − m g = m a
IMMAGINI Il grafico v-t in figura è relativo a un moto rettilineo uniformemente accelerato caratterizzato da un’accelerazione costante a. Traccia in figura la curva che descrive l’andamento di v al variare di t nel caso di un moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione 2 a.
v
dove a è l’accelerazione costante del moto del razzo, diretta verticalmente verso l’alto (e quindi di segno positivo). Il moto del razzo è rettilineo uniformemente accelerato. Per determinare il valore di a ricorriamo alla relazione che la lega alla posizione s e alla velocità v, ottenuta combinando la legge in forma scalare della velocità con la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato: v 2 − v02 s − s0 = 2a
(
v 2 − v02 v 2 − v02 →F=mg+ma= m g+ a= 2 ( s − s0 ) 2 ( s − s0 )
)
Risoluzione
Nella formula che dà la spinta F del razzo la velocità iniziale è nulla (il razzo parte da fermo) e risulta s − s0 = h. Perciò si ricava:
(
)
(
lanciati verticalmente verso l’alto da un’altezza iniziale s0 e con velocità iniziale v0 nel caso di resistenza dell’aria trascurabile. s (m)
s0 (m)
v0 (m/s)
4,5
1,0
30
20
15
5,0
0,85
10
t (s) 90
19 In un duello tra due macchine di Formula 1, l’in-
v2 = 2h
= ( 350 kg ) 9,81 m/s2 +
t
18 Completa la tabella relativa al moto di oggetti
Ricaviamo a invertendo la relazione precedente e poi sostituiamo l’espressione trovata nell’equazione che fornisce la spinta:
F =m g+
O
( 50 m/s )2
2 ( 650 m )
) = 4,1⋅10 N 3
Applica la strategia ai prossimi esercizi
15 Un automezzo si muove lungo un rettilineo con accelerazione costante uguale a 3,15 m/s2. Perché la sua velocità passi da 45,8 km/h a 98,1 km/h, quanta [92,2 m] strada deve percorrere l’automezzo? Suggerimento
Per rispondere alla domanda applica la relazione diretta tra spostamento, velocità e accelerazione.
seguitore ha quasi raggiunto il leader della corsa con una velocità sul rettilineo di 58 m/s, quando il suo cronometro segna 1 min e 32 s. Sembra ormai apprestarsi al sorpasso, quando entrambi i piloti sono costretti ad abbassare la loro velocità a 33 m/s per l’ingresso in una curva. Calcola l’accelerazione media della macchina inseguitrice, se il cronometro nella fase finale segna 1 min e 38 s.
[–4,2 m/s2]
20 Durante una partita di pallavolo, Miriam con un bagher ha lanciato la palla verticalmente verso l’alto. Dopo 0,410 s dal lancio, la palla si trova a 3,90 m dal suolo e continua a salire. Determina la velocità iniziale della palla e la massima quota da terra che essa raggiunge (trascura la resistenza [11,5 m/s; 6,74 m] dell’aria).
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
IMPARA E APPLICA
Unità 2
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
76
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
21 Un treno parte da Valencia alle ore 12 diretto
24 Un autobus procede su una strada extraurbana
verso Barcellona, distante 350 km, viaggiando a una velocità media costante di 100 km/h. Un secondo treno parte da Barcellona diretto verso Valencia alle ore 14 e viaggia con una velocità media costante di 70 km/h. A che ora e a quale distanza da Valencia i due [14 h 53 min; 288 km] treni si incontrano?
a una velocità di 22,0 m/s quando è costretto a rallentare fino a 2,80 m/s a causa di un ingorgo. Se la sua accelerazione è stata di −2,20 m/s2, calcola lo spazio percorso e il tempo impiegato prima di raggiungere la nuova velocità.
22 Il sistema frenante di un veicolo produce una decelerazione costante di 3,8 m/s2, a prescindere dalla velocità dell’automezzo. Se la velocità viene ridotta della metà, il tempo di arresto del veicolo si riduce di un fattore 2 o di un fattore 4? Giustifica la tua risposta e calcola i tempi di arre[5,3 s; 2,6 s] sto per v = 72 km/h e v = 36 km/h.
23 Un giocatore di rugby si smarca dal suo difensore e s’invola verso la meta con una velocità costante di 8,00 m/s. Dopo 4,00 s, il giocatore avversario riesce a riprendere l’equilibrio e si lancia all’inseguimento, con un’accelerazione costante di 4,00 m/s2. Calcola lo spazio percorso dall’attaccante prima di [83,8 m] essere raggiunto dal difensore.
3
25
INGLESE Normally, a plane lands with a speed of 132 m/s and an acceleration of −6.14 m/s2. Verify if it could land on a naval aircraft, where the runa[no, it couldn’t] way is 800 m.
26 Nel romanzo “Dalla Terra alla Luna”, Jules Verne propone l’utilizzo di un cannone lungo 220 m per inviare una capsula sul nostro satellite. La velocità del proiettile-navicella all’uscita del cannone dovrebbe raggiungere, secondo lo scrittore, il valore di 1,10 · 104 m/s. Considerando che un essere umano ben equipaggiato è in grado di sopportare fino a un’accelerazione di 7 g, verifica se gli astronauti potrebbero sopravvivere.
[no]
L’uso delle derivate in fisica: velocità e accelerazione
27 Vero o falso? a. La derivata è uno strumento matematico utile nello studio delle grandezze fisiche definite come prodotto di due variazioni. V F b. Un rapporto incrementale è sempre una V F quantità adimensionale. c. La derivata seconda è il quadrato di una V F derivata. d. La derivata rispetto al tempo di una velocità costante è un’accelerazione nulla. V F TROVA L’ERRORE “L’accelerazione è la derivata secon28 da della velocità v(t) rispetto al tempo t.” Questa frase è sbagliata. Perché?
29
[108 m; 8,73 s]
TROVA L’ERRORE “Una variabile y è una funzione di un’altra variabile x se esiste una legge che assegni, per ogni valore di x appartenente a un determinato intervallo, uno o più valori a y.” Questa frase è sbagliata. Perché?
30 Completa la tabella relativa alle derivate di alcune funzioni. Funzione Derivata
5
3 cos (2 x) 2/x
sin (5 x)
mat
32 Un punto materiale si muove di moto rettilineo lungo una retta orientata secondo la legge oraria s = 18,0 t − 8,00 t 2, dove s è espresso in metri e t in secondi. • Determina in quali istanti il punto passa per l’origine. • Calcola la velocità media nell’intervallo di tempo compreso fra 0 e 2,00 s. • Ricava l’espressione della velocità istantanea del moto e calcolane il valore per t = 5,00 s. • Determina in quale istante e in quale posizione il punto è fermo.
ds =18,0 − 16,0 t; dt −62,0 m/s; 1,13 s e 10,1 m]
[0 e 2,25 s; 2,00 m/s; v ( t ) =
33 Per stimare il livello di pericolosità di una pista per torrentismo, gli esperti hanno valutato che gli appassionati che si lanciano da uno scivolo naturale particolarmente ripido si spostano secondo una legge oraria empirica del tipo s(t) = 3,4 t 2 + 0,30 t 3, dove s è espresso in metri e t in secondi. Calcola le corrispondenti leggi della velocità e dell’accelerazione in funzione del tempo.
[v(t) = 6,8 t + 0,90 t 2; a(t) = 6,8 + 1,8 t]
2x
31 Nelle rilevazioni geologiche ci si avvale di sonde
34 Durante i 100 metri piani, vengono effettuate
solidali con le placche tettoniche per la misurazione dei movimenti di quest’ultime. Dai dati in letteratura, risulta che lo spostamento nel tempo di una placca rispetto all’altra è descritto dalla legge s(t) = (1,0 · 10−9 m/s) t, dove s è espresso in metri e t in secondi. Determina il valore dello spostamento che ci si aspetta di ottenere a 30 giorni dall’installazione. Con quale velocità avviene lo spostamento? E con quale accelerazione?
misurazioni particolarmente accurate per valutare le prestazioni dei corridori. Un modello matematico per descrivere la velocità di Usain Bolt durante i mondiali di Berlino 2009 (dove ha stabilito il nuovo record mondiale) ha fornito la funzione v(t) = vM (1 − e−t/τ), dove vM è la massima velocità raggiunta (10,0 m/s) e τ è un parametro di tempo che vale 1,42 s. Calcola l’accelerazione di Bolt alla partenza, dopo 3,00 s e dopo 6,00 s.
[2,6 · 10–3 m; 1,0 · 10–9 m/s; 0]
[7,04 m/s2; 0,852 m/s2; 0,103 m/s2]
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Il moto in due e tre dimensioni
35 Vero o falso? a. Quando si fissa una terna di assi cartesiani, per convenzione ci si attiene alla regola della mano destra. b. Un moto tridimensionale risulta dalla composizione di tre moti rettilinei. c. Su qualsiasi traiettoria curvilinea la velocità istantanea varia in direzione, modulo e verso di istante in istante. d. Il moto di un punto materiale di massa m su traiettoria curvilinea necessita sempre dell’azione di una forza equilibrata. 36
37
38
39 Completa la tabella relativa alle componenti tangenziale e centripeta dell’accelerazione di un punto in moto curvilineo. V
V
F
F
a (m/s2)
at (m/s2)
100
25 12
V
F
V
F
TROVA L’ERRORE “Nel moto curvilineo l’accelerazione istantanea ha modulo pari alla somma dei quadrati dell’accelerazione centripeta e dell’accelerazione tangenziale.” Questa frase è sbagliata. Perché?
Un moto curvilineo può avvenire sotto l’azione di una forza di componente tangenziale nulla e componente centripeta diversa da zero? E sotto l’azione di una forza di componente centripeta nulla e componente tangenziale diversa da zero? Spiega.
ac (m/s2)
42
75
36
40 Una canoa si sta muovendo alla velocità di 40 km/h in direzione Sud-Est. Dopo 10 s ha cambiato direzione e punta verso Sud alla velocità di 58 km/h. Ricava il modulo dell’accelerazione media della canoa nei 10 s considerati. [1,1 m/s2]
41 Una nave mercantile si appresta a uscire dal porto per raggiungere la sua destinazione. Per uscire, i motori assicurano accelerazioni costanti verso Nord di 1,8 · 10–2 m/s2 e verso Ovest di 9,0 · 10–2 m/s2. Trova l’equazione cartesiana della traiettoria della nave. [y = –0,20 x]
IN 10 RIGHE
42 Sulla griglia di un sonar marino un oggetto è rap!
presentato all’inizio da un vettore A = 6,3 x + 7,1 ˆ si è spoyˆ ; nella scansione successiva l’oggetto ! stato, occupando la posizione B = 5,2 x ˆ + 2,4 y. ˆ Calcola le componenti del vettore velocità media nell’intervallo di tempo che intercorre fra una scansione e l’altra assumendo che gli spostamenti siano espressi in !m. Alla terza scansione l’oggetto si è spostato in C = 2,6 x + 1,8 ˆ y. ˆ Calcola le componenti del vettore velocità media nell’intervallo di tempo che intercorre fra la prima e la terza scansione. Il periodo di rivoluzione del sonar, per avere una scansione completa, è di 2,3 s.
Traccia in figura i vettori accelerazione tangenziale e accelerazione centripeta nel punto P della traiettoria circolare indicata. IMMAGINI
a P
5
77
[vx = −0,48 m/s, vy = −2,0 m/s; v'x = −0,80 m/s, v'y = −1,2 m/s]
Il moto parabolico
43 Vero o falso?
44
TROVA L’ERRORE “L’equazione cartesiana della traiettoria parabolica di un corpo lanciato verso l’alto esprime la dipendenza della posizione del corpo dal quadrato del tempo.” Questa frase è sbagliata. Perché?
45
IN 10 RIGHE Quali sono gli effetti del valore assunto dall’accelerazione di gravità sulla traiettoria di un proiettile? E quelli dovuti alla sua massa?
a. L’indipendenza dei moti simultanei è una
proprietà che caratterizza esclusivamente il moto dei proiettili.
V
F
b. Quando un corpo viene lanciato
obliquamente verso l’alto, la sua accelerazione tangenziale è nulla nel punto di massima altezza. c. Quando un corpo viene lanciato obliquamente verso l’alto, raggiunge la velocità massima nel punto di massima altezza. d. Le equazioni parametriche di un moto parabolico descrivono entrambe un moto rettilineo uniforme.
V
F
46 Completa la tabella relativa alla gittata di alcuni moti parabolici con angolo di lancio α. Assumi g = 10 m/s2.
V
F
G (m)
v0 (m/s)
100
45° 30
V
F
250
α (°)
55
60°
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
4
Unità 2
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
78 47
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
IMMAGINI Tre palloni p , p e p vengono calciati 1 2 3 con la stessa velocità iniziale v0, ma ad angoli diversi rispetto all’orizzontale. Le traiettorie dei palloni sono mostrate in figura.
p3
y
49
A tennis ball is thrown with an initial velocity v0x = 11.2 m/s and v0y = 14.7 m/s. Neglecting air resistance, find vx and vy when the ball reaches the top of its trajectory. [vx = 11.2 m/s; vy = 0] INGLESE
50 Nell’isola di Madeira un tuffatore si vuole buttare da una scogliera verticale. Prende la rincorsa e raggiunge una velocità orizzontale di 2,1 m/s, prima di lanciarsi nel vuoto. Se raggiunge l’acqua 1,4 s dopo che si è lanciato, quanto è alta la scogliera e quanto si è allontanato dalla sua base?
p2 p1
[9,6 m; 2,9 m] O
51 Per avvisare Giulietta del suo arrivo, Romeo lancia
x
una palla di carta alla sua finestra in maniera tale che, al momento dell’impatto, la componente verticale della velocità sia nulla. Calcola la componente orizzontale della velocità della palla al momento dell’impatto, sapendo che la distanza orizzontale percorsa dalla palla è di 4,3 m e che la finestra si trova 4,6 m più in alto della mano di Romeo che la lancia. [4,4 m/s]
Elenca i palloni in ordine crescente rispetto al tempo di volo: (1) ............... (2) ............... (3) ............... Elencali ora, sempre in ordine crescente, rispetto al modulo della velocità orizzontale con cui avviene il loro moto. (2') ............... (3') ............... (1') ...............
48 Giovanna sta camminando con una velocità di
6
di inclinazione di 35,0° rispetto all’orizzontale e questa è ricaduta a 4,00 km di distanza dal cannone. Assumendo che la resistenza dell’aria sia trascurabile, ricava la velocità iniziale, la massima quota raggiunta e il tempo di volo della palla.
[4,11 m/s; −72° 42'; 0,415 m]
[204 m/s; 700 m; 23,9 s]
Il moto circolare
53 Vero o falso? a. La forza centripeta è la forza necessaria a mantenere un corpo in moto circolare. b. Nel moto circolare uniforme l’accelerazione tangenziale è nulla. c. La velocità angolare media si misura in rad/s. d. L’accelerazione tangenziale indica la rapidità con cui varia la velocità angolare. 54
52 Un cannone ha sparato una palla con un angolo
1,22 m/s, quando le cade di mano un libro. Sapendo che il libro cade da un’altezza di 1,20 m da terra, trova modulo e direzione della velocità del libro dopo 0,400 s di volo. A quale altezza da terra si trova il libro in quell’istante?
V
F
V
F
V
F
V
F
56
IMMAGINI Un ragazzo vuole diventare un barman acrobatico e si sta allenando a roteare in aria un bicchiere, senza che il contenuto si riversi sul pavimento. Sapendo che la velocità iniziale del bicchiere è di 3,4 m/s, calcola il massimo raggio di curvatura della traiettoria circolare della mano che lo sorregge per evitare che tutta la bevanda finisca a terra quando la posizione è come quella
57
Individua fra le seguenti possibilità le corrette dimensioni dell’accelerazione angolare.
IN 10 RIGHE Come vengono definite la velocità angolare media e l’accelerazione angolare media nel moto circolare?
55 Completa la tabella applicando l’equazione dello spostamento angolare ∆φ in funzione della velocità angolare iniziale ω0, dell’accelerazione angolare α e del tempo t. ∆φ (rad)
1,9
ω0 (rad/s)
α (rad/s2)
t (s)
2,0
3,5
7,0
1,0
0,50 2,2
15 2,0
4,5
5,5
90
DIMENSIONI
[l]/[t2] 1/[t2] [l]/[t] 1/[t]
Unità 2
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica Le grandezze angolari nel moto circolare
Impara a risolvere l’esercizio
58 Un’automobilina elettrica percorre una pista circolare di raggio 0,32 m con un’accelerazione angolare costante di 0,29 rad/s2. Ricava modulo e direzione dell’accelerazione dell’automobilina dopo 5,0 giri, sapendo che all’istante iniziale la sua velocità angolare è nulla. Dati
L’ultima equazione mette in relazione diretta spostamento angolare, velocità angolare e accelerazione angolare. Invertendola possiamo ricavare la velocità angolare: ω = 2 α ∆ϕ Risoluzione
Se l’automobilina percorre N giri, lo spostamento angolare ∆φ è pari a 2 π N. Possiamo quindi determinare la velocità angolare raggiunta dopo N giri: ω = 2 α ∆ϕ = 2 α (2 π N ) = 2 α π N
Raggio traiettoria r = 0,32 m Velocità angolare iniziale ω0 = 0 Accelerazione angolare α = 0,29 rad/s2 Numero giri N = 5,0
Sostituiamo i dati numerici nell’ultima formula: ω=2 απN =2
Incognite
Modulo accelerazione a = ? Direzione accelerazione θ = ? Situazione fisica
Nel moto circolare uniforme la velocità, costante in modulo, varia la sua direzione: si tratta di un moto piano accelerato, con accelerazione istantaneamente diretta verso il centro della traiettoria (accelerazione centripeta). Nel moto circolare non uniforme la velocità varia anche in modulo: l’accelerazione ha perciò due componenti, l’accelerazione centripeta αc = v2/r = ω2 r, in cui ω è la velocità angolare e che dà conto della variazione di direzione della velocità, e l’accelerazione tangenziale αt = α r, in cui α è l’accelerazione angolare e che dà conto della variazione di modulo della velocità. Le due componenti dell’accelerazione sono, istante per istante, perpendicolari tra loro come mostrato in figura. Il modulo dell’accelerazione nel moto circolare non uniforme può essere quindi calcolato ricorrendo al teorema di Pitagora: a = ac2 + at2
(0,29 rad/s2 ) π (5,0) = 4,3 rad/s
Determiniamo l’accelerazione centripeta dopo 5,0 giri applicando la formula che lega ac direttamente alla velocità angolare istantanea ora trovata: ac = ω2 r = (4,3 rad/s)2 (0,32 m) = 5,9 m/s2 Determiniamo anche l’accelerazione tangenziale: at = α r = (0,29 rad/s2) (0,32 m) = 0,093 m/s2 Il modulo dell’accelerazione è allora: a = ac2 + at2 = ( 5,9 m/s2 )2 + ( 0,093 m/s2 )2 = 5,9 m/s2 Notiamo che la componente dell’accelerazione tangenziale è molto più piccola dell’altra componente e di conseguenza il modulo dell’accelerazione vettoriale è con buona approssimazione uguale alla sua componente centripeta. L’angolo θ formato dal ! vettore a con il raggio è dato da: m/s = 0,90° ( aa ) = tan ( 0,093 5,9 m/s ) 2
at
θ = tan −1
t
−1
2
c
a
L’accelerazione è quasi parallela al raggio. ac
Rifletti sul risultato
Nel caso particolare del moto circolare con accelerazione angolare costante, la velocità angolare istantanea è data da ω = ω0 + α t, mentre lo spostamento angolare istantaneo è ∆φ = ω0 t + α t2/2. Se, come nel caso dell’automobilina, la velocità angolare iniziale è nulla, risulta ω = α t, da cui possiamo ricavare il tempo da sostituire nell’equazione dello spostamento angolare: t=
( ) = 2ωα
ω ω 1 1 → Δϕ = α t 2 = α α 2 2 α
2
2
Nel caso in cui l’accelerazione angolare è costante, la velocità angolare cresce linearmente con il tempo t: l’accelerazione centripeta cresce con il quadrato di t. L’accelerazione tangenziale resta invece costante. Il vettore accelerazione, con il passare del tempo, ruota nella direzione del raggio, dato che la sua componente centripeta, diretta lungo il raggio, diventa sempre più grande, mentre la sua componente tangenziale alla traiettoria rimane costante. Le equazioni della velocità angolare e dello spostamento angolare per il moto circolare con α costante sono formalmente identiche, rispettivamente, all’equazione della velocità e alla legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. I due moti sono analoghi da un punto di vista formale: le grandezze angolari (velocità e accelerazione) del moto circolare si comportano come le grandezze lineari (velocità e accelerazione) del moto rettilineo.
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
IMPARA E APPLICA
79
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
80
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
65 In un laboratorio di biochimica, una centrifuga
Applica la strategia ai prossimi esercizi
viene spenta mentre sta girando con una frequenza di 4,2 · 103 giri al minuto. Sapendo che continua a girare con decelerazione angolare costante per 20 s prima di fermarsi completamente, stabilisci quale spostamento angolare e quanti giri compie la centrifuga a motore spento prima [4,4 · 103 rad; 700 giri] di fermarsi.
59 Muovendosi su una pista circolare di raggio 42 m con accelerazione angolare costante uguale a 0,25 rad/s2, un’auto da corsa che parte da ferma completa un giro in 5,1 s. Quali sono velocità angolare e velocità dell’auto al termine del giro?
[1,3 rad/s; 55 m/s]
66 Ciò che permette a un’automobile di tenere una
Suggerimento
curva e non sbandare è l’attrito tra le ruote e la strada. Se un’auto di massa 1200 kg sta percorrendo una curva con un raggio di curvatura di 80,0 m e la forza di attrito è pari a 1,11 · 103 N, quanto [8,60 m/s] vale la velocità dell’auto?
Applica l’equazione della velocità angolare per il moto circolare con accelerazione angolare costante.
60 Una centrifuga per la separazione isotopica sta ruotando alla velocità angolare di 8600 rad/s. Viene decelerata in maniera uniforme con α = −240 rad/s2 fino a metà della velocità iniziale. Quanti giri percorre nella fase di decelerazione?
67 Il trapano del dentista viene acceso e dopo 4,3 s di accelerazione angolare costante raggiunge la velocità angolare di 2,6 · 103 rad/s. Trova l’accelerazione angolare e i radianti percorsi nell’intervallo di tempo considerato.
4
[1,8 · 10 giri] Suggerimento
Puoi applicare l’equazione della velocità per ricavare la durata della fase di decelerazione e poi l’equazione dello spostamento angolare.
61 La forza massima di attrito fra le gomme di un’automobile e l’asfalto ha un valore di 13 kN. La massa dell’auto è pari a 1800 kg. Calcola la velocità massima di percorrenza di una curva il cui raggio vale 20 m. Esprimi il risultato in m/s e in km/h. [12 m/s; 43 km/h]
[6,0 · 102 rad/s2; 5,5 · 103 rad]
68 L’orologio segna che è mezzanotte e le lancette dei minuti e delle ore sono allineate. Calcola quanto tempo dovrà passare perché la lancetta dei minuti sia opposta a quella delle ore (ovvero perché l’angolo compreso fra le due lancette sia ampio π).
62 Supponi di far ruotare una fionda lunga 1,0 m alla quale è attaccata una pietra di 200 g, applicando una forza di 50,0 N. Se si trascura l’attrito dell’aria, quale sarà la velocità massima che può raggiungere la pietra? [15,8 m/s]
[33 min]
69 I cavalli vengono addestrati facendoli girare in circolo intorno all’addestratore, che li tiene legati tramite una corda. Tanto maggiore è il livello di addestramento, tanto più corta è la corda. Oggi il cavallo Marengo è pronto a passare da una corda di 2,4 m a una di 1,9 m. Determina la velocità angolare con la corda più lunga e calcola la variazione nella frequenza di rotazione del cavallo se la sua velocità rimane costante a 2,3 m/s.
63 In una gara di ciclismo su pista, un concorrente riesce a completare un giro in 41,0 s. Se la pista circolare ha un raggio di 88,0 m, assumendo che il ciclista si sia mosso di moto circolare uniforme, calcola la sua velocità tangenziale e angolare.
[13,5 m/s; 0,153 rad/s]
64 Sapendo che il raggio medio terrestre è uguale a 6,38 · 106 m, determina velocità scalare e accelerazione centripeta di un satellite artificiale che percorre un’orbita circolare intorno alla Terra, a un’altezza di 650 km dalla superficie terrestre, con un periodo uguale a 1 h e 16 min.
[0,96 rad/s; 3,8 · 10−2 Hz]
70
[9,69 · 103 m/s; 13,4 m/s2]
7
Le grandezze vettoriali del moto circolare
INGLESE Find the centripetal acceleration of the Earth in its yearly orbit around the Sun. Assume that the Earth has a circular motion of radius 1.50 · 1011 m and remember that the orbital period [5.95 · 10−3 m/s2] is 365 days.
mat
71 Vero o falso? c. Nel moto circolare il vettore accelerazione
a. Il vettore accelerazione angolare a e il
! ! vettore velocità angolare ω sono sempre paralleli e concordi. b. Nel moto circolare il vettore velocità ! angolare ω è sempre diretto perpendicolarmente al piano della traiettoria.
V
F
V
F
! centripeta ac giace sempre sul piano della traiettoria. d. Il vettore accelerazione tangenziale ! α t può essere espresso come prodotto ! vettoriale dell’accelerazione angolare a ! per la velocità v.
V
F
V
F
Unità 2
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
73
IN 10 RIGHE Quali vantaggi si possono ottenere nella descrizione dei moti circolari dall’attribuzione del carattere vettoriale alla velocità angolare?
Nel moto circolare, quale relazione vettoriale esiste fra accelerazione centripeta, velocità e velocità angolare? Scrivi la relazione e disegna i tre vettori. ! 74 IMMAGINI Traccia in figura il! vettore velocità v il ω e il vettore accelevettore velocità angolare ! razione centripeta ac supponendo che un punto materiale si muova di moto circolare lungo la circonferenza nel verso indicato. IN 10 RIGHE
76 Completa la tabella esprimendo il vettore accelerazione centripeta in rappresentazione cartesiana. ! ac
! v
! ω
(10 m/s) xˆ + (2,0 m/s) yˆ
(3,0 rad/s) zˆ
(7,0 m/s) xˆ − (−5,5 m/s) yˆ (−2,5 rad/s) zˆ
77 Un uomo si sta allenando in palestra con una cyclette dotata di strumentazione elettronica e display digitale. Sono trascorsi 0,108 s da quando ha iniziato a pedalare e il computer calcola che la velocità di rotazione del magnete solidale con la ! ruota anteriore vale v = (−1,16 m/s) xˆ + (2,00 m/s) y. ˆ Trova la velocità angolare che il display mostrerà a breve. [279 rad/s]
P r
78 Il sangue umano contiene, oltre al plasma, diversi tipi di particolato. Per poter studiare i vari componenti separatamente, il campione di sangue viene messo in una centrifuga con un’accelerazione uguale a 2,00 · 103 g. Calcola la distanza dal centro di rotazione della boccetta contenente il sangue per avere l’accelerazione richiesta, se la centrifuga gira a 3,60 · 103 giri/min. Fissando un riferimento destrogiro in cui l’origine sia sull’asse di rotazione, quale deve essere il verso di rotazione perché il vettore velocità angolare sia positivo?
75 Una particella carica è immersa in un campo magnetico uniforme e l’accelerazione in un dato istante è (−3,0 m/s2) xˆ + (4,0 m/s2) y. ˆ La particella si muove di moto circolare uniforme con una rotazione antioraria. Se il raggio di rotazione è 4,0 m, calcola il modulo ω della ! velocità angolare. Come è diretto il vetto[(1,1 rad/s) zˆ] re ω ?
8
Il moto armonico e il pendolo
79 Vero o falso? a. Il periodo di un pendolo è direttamente proporzionale alla radice quadrata della V sua massa. b. Le piccole oscillazioni di un pendolo sono un esempio di moto armonico, in quanto la tensione del filo può essere assimilata a V una forza elastica. c. Quando la pallina di un pendolo si trova in un estremo di oscillazione, su di essa V non agisce più la tensione del filo. d. Il periodo di oscillazione di un pendolo varia al variare dell’accelerazione di V gravità. 80
81
[0,138 m; antiorario]
82
F
F
F
F
TROVA L’ERRORE “Se, mentre un pendolo oscilla, si accorciasse progressivamente il filo, si assisterebbe a un incremento del periodo di oscillazione, cioè le oscillazioni diverrebbero via via più frequenti.” Questa frase è sbagliata. Perché?
La pallina di un pendolo sta oscillando avanti e indietro in assenza di resistenze passive. Elenca le forze che agiscono sulla pallina. Prova a descrivere quello che accade alla pallina, se il filo si rompe proprio quando questa si trova in un estremo di oscillazione. IN 10 RIGHE
IMMAGINI Questi tre pendoli sono identici, tranne che per la lunghezza del filo. Ordinali per frequenza di oscillazione crescente: (2) ............... (3) ............... (1) ............... Se f è la frequenza del pendolo arancione, come puoi esprimere la frequenza del pendolo blu e quella del pendolo verde in funzione di f?
83 Completa la tabella ricordando la relazione che lega il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo alla lunghezza del filo e al valore dell’accelerazione di gravità. T (s)
15 3,2
l (m)
g (m/s2)
1,5
10
2,8 7,5
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
72
81
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
82
Consolidamento delle conoscenze
IMPARA E APPLICA
La dinamica newtoniana
L’isocronismo delle piccole oscillazioni
Impara a risolvere l’esercizio
84 Quanto deve essere lungo un pendolo perché le sue piccole oscillazioni abbiano lo stesso periodo del moto armonico di un corpo di massa 5,9 kg che oscilla in orizzontale attaccato a una molla di costante elastica 230 N/m?
86 Qual è la frequenza delle piccole oscillazioni di un [0,14 Hz] pendolo lungo 12 m? Suggerimento
Ricorda che la frequenza è il reciproco del periodo.
87 Un punto situato sull’estremità del rebbio di un diapason quando passa per la sua posizione di equilibrio possiede una velocità di 2,50 m/s. Sapendo che l’ampiezza del moto oscillatorio è 1,00 mm, determina la frequenza di oscillazione del diapason. Quanto tempo occorre perché vengano compiute 100 oscillazioni?
Dati
Massa corpo m = 5,9 kg Costante elastica molla k = 230 N/m Incognite
Lunghezza pendolo l = ?
[398 Hz; 0,251 s]
Situazione fisica
Un corpo di massa m che oscilla attaccato a una molla di costante elastica k ha periodo: T = 2 π m/k Le piccole oscillazioni di un pendolo di lunghezza l hanno periodo: T = 2 π l /g Combinando le due formule si ottiene: m/k
88
89 Un pendolo ha un periodo di 3,0 s. Se la lunghezza subisce un incremento del 60%, il periodo di oscillazione aumenta o diminuisce? Di quanto?
[aumenta di 0,79 s]
90 Sandra ha appeso una pallina di plastica di massa
l /g
50 g a una molla verticale e ne ha registrato il periodo di oscillazione ottenendo il valore di 0,30 s. Poi ha tolto la pallina e al suo posto ne ha agganciata un’altra, di massa incognita. Se, registrando nuovamente il periodo di oscillazione, Sandra trova che è aumentato di 10 ms rispetto al precedente valore, quanto vale la massa della seconda pallina? Qual è la costante elastica della [53 g; 22 N/m] molla?
da cui: m/k = l /g Elevando a quadrato otteniamo una relazione tra le grandezze caratteristiche del moto armonico di una molla, m e k, e quelle delle oscillazioni di un pendolo, l e g: m l = k g
91
Risoluzione
Applichiamo la relazione trovata per ottenere l: l=
INGLESE What is the length of a pendulum that will swing back and forth in simple harmonic motion [1.55 m] with a period of 2.50 s?
m g ( 5,9 kg ) (9,81 m/s2 ) = 0,25 m = ( 230 N/m ) k
Rifletti sul risultato
Il periodo della molla cresce con la radice quadrata della massa e diminuisce con la radice quadrata della costante elastica, perciò la lunghezza del pendolo è direttamente proporzionale alla massa e inversamente proporzionale alla costante elastica della molla che ha il suo stesso periodo. L’uguaglianza tra le espressioni dei due periodi vale solo per le piccole oscillazioni del pendolo, di ampiezza non oltre i 15°.
INGLESE A spring has a spring constant of 850 N/m. The spring is hanging from the ceiling of an elevator and a 6.0 kg box is attached to the lower end. By how much does the spring stretch, relative to its unstrained length, when the elevator is accelerating upward with an acceleration of [73 mm] 0.50 m/s2?
92 Indiana Jones si lancia con una corda lunga 31,0 m. Sapendo che le sue oscillazioni non possono superare l’angolo di π/12 da cui è partito, calcola la sua distanza orizzontale dal punto più basso [2,01 m] dell’oscillazione dopo 2,34 s.
93 L’ago di una macchina da cucire si muove di moto armonico con una frequenza di 2,8 Hz. Sapendo che in un’oscillazione copre una distanza di 2,4 cm, trova l’accelerazione a metà periodo se l’ago parte da uno dei due estremi.
Applica la strategia ai prossimi esercizi
85 Quale rapporto c’è tra le lunghezze di due pendoli, uno sulla Terra e uno su Marte (gM = 3,70 m/s2), le cui piccole oscillazioni hanno lo stesso periodo?
[2,65 : 1] Suggerimento
Ricorda che il periodo è direttamente proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra lunghezza e accelerazione di gravità del pianeta su cui si trova il pendolo.
[1,9 m/s2]
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
83
96 Caterina è pronta per provare il bungee jum-
40,0 kg è finito e lui rimane fermo al centro, in attesa che gli smontino l’imbragatura. A causa del suo peso, il tappeto si deforma sotto di lui e può essere assimilato a una molla collocata sotto i piedi del bambino. Sapendo che la costante elastica è di 638 N/m, calcola di quanto si abbassa il bambino rispetto al piano del tappeto quando è [0,615 m] perfettamente teso.
ping con una corda lunga 37 m. Se l’altezza da cui si tuffa è 57 m e arriva praticamente al pelo dell’acqua sottostante, calcola il periodo delle oscillazioni assimilando il sistema a un oscillatore armonico.
95 Un astronauta che volesse misurare l’accelerazione di gravità su un pianeta alieno, potrebbe semplicemente utilizzare un pendolo. Se dovesse averne uno di lunghezza pari a 70 cm, vedrebbe che la frequenza di oscillazione è di 0,37 Hz. Calcola l’accelerazione di gravità risentita dall’a[3,8 m/s2] stronauta.
[9,0 s]
97 Un disco molto sottile di massa 0,12 g è utilizzato nelle tecniche di imaging a ultrasuoni. Tramite un avvolgimento elettromagnetico lo si fa muovere avanti e indietro di moto armonico, con una frequenza di 1,0 MHz. Se la massima forza che si può applicare al disco è di 3,6 · 104 N, calcola la massima ampiezza di oscillazione che il disco è in grado di sopportare.
[7,6 · 10–6 m]
TEST
VERSO L’UNIVERSITÀ
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Puoi simulare la parte di fisica di un test di ammissione svolgendo questa batteria di esercizi in 25 minuti. Per calcolare il tuo punteggio dai 1 punto alle risposte esatte, 0 punti a quelle non date e – 0,25 punti a quelle errate. La griglia delle soluzioni è alla fine del libro.
1 Immagina di studiare il moto di una sfera di acciaio che rotola lungo una guida rettilinea. Se all’istante t1 = 2,5 s la velocità della sfera vale 5,5 m/s e all’istante t2 = 4,0 s registri una velocità di 7,2 m/s, qual è il valore dell’accelerazione media della sfera tra gli istanti t1 e t2? a b c d e
0,88 m/s2 1,1 m/s2 14 m/s2 6,4 m/s2 2,4 m/s2
2 Un corpo di 200 g viene legato a un estremo di un filo sottile inestensibile, molto leggero e lungo un metro. Il corpo viene fatto oscillare con un’ampiezza di pochi centimetri. Da che cosa dipende essenzialmente il tempo impiegato a percorrere un ciclo completo (periodo)? a b c d e
Dal materiale che forma il corpo appeso Dall’ampiezza delle oscillazioni Dal tipo di supporto a cui è agganciato il filo Dalla natura del filo Dalla lunghezza del filo
3 Se in un moto armonico, a parità di frequenza, l’ampiezza di oscillazione raddoppia, che cosa accade alla velocità massima? a b c d e
Raddoppia Quadruplica Dimezza Rimane invariata Triplica
4 Acceleration is (change in x)/(time taken for that change), where x is: a b c d e
force velocity position displacement pressure
5 Un pinguino, giunto ai bordi della banchisa, si lascia cadere in acqua con velocità iniziale nulla. Considerando trascurabile la resistenza dell’aria, dopo quanto tempo la sua velocità raggiunge il valore di 9,81 m/s? a b c d e
0,10 s 1,0 s 10 s 0,50 s Non si può rispondere perché non si conosce la massa del pinguino
6 Due sferette identiche A e B vengono lasciate cadere contemporaneamente dalla stessa altezza, la sferetta A con velocità iniziale nulla, la sferetta B con velocità orizzontale v. Trascurando l’attrito, quando le sferette arrivano al suolo? a b c d
e
Le sferette raggiungono il suolo insieme La sferetta A per prima La sferetta B per prima La sferetta B per prima, se la velocità orizzontale v è maggiore di 9,8 m/s I dati non sono sufficienti per fare una previsione attendibile
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
94 Il turno sui tappeti elastici per un bambino di
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
84
Consolidamento delle conoscenze
La dinamica newtoniana
7 Un veicolo che viaggia inizialmente alla velocità
11 In un dato istante un disco ruota attorno al pro-
di 15,0 m/s, rallenta con una decelerazione di 4,40 m/s2. Per portarsi, rallentando, alla velocità di 4,00 m/s, il veicolo impiega:
prio asse con una velocità angolare di 2,5 rad/s. Quanto vale la velocità angolare dopo 3,2 s, se il moto avviene con accelerazione angolare costante uguale a 3,6 rad/s2?
a b c d e
5,00 2,50 47,5 2,40 1,20
s s s s s
a b c d
8 Se sai che un quad si muove con velocità v > 0 al tempo t1 e che poi aumenta la sua velocità durante l’intero intervallo di tempo da t1 a t2, che cosa puoi concludere osservando i tre grafici in figura? a
a
e
12 Un veicolo del peso di 9810 N affronta una curva di raggio 200 m alla velocità di 72 km/h. Quanto deve essere intensa la forza di attrito fra ruote e strada perché il veicolo non sbandi in curva? a b c d e
t1
t2 t
t1
t2 t
t1
b
c
d
e
2,00 · 103 N 9,81 · 103 N 1,96 · 104 N 100 N 981 N
13 In una macchina industriale ci sono tre ruote dentate, accoppiate come mostrato in figura. Supponendo che non ci siano slittamenti, se la frequenza di rotazione della ruota di raggio rA è fA, qual è la frequenza fC della ruota di raggio rC?
a
a
28 rad/s 23 rad/s 14 rad/s 21 rad/s 42 rad/s
rB
t2 t
Solo il primo grafico è compatibile con il moto descritto Solo il secondo grafico è compatibile con il moto descritto Il primo e il secondo grafico sono compatibili con il moto descritto Solo il primo e il terzo grafico sono compatibili con il moto descritto Solo il terzo grafico è compatibile con il moto descritto
rA
rC
a
fC =
rA f rC A
d
b
fC =
rA rB f rC2 A
e
fC =
rA rB rC fA
c
fC =
rA rC f rB2 A
fC =
rC rB f rA2 A
9 Lungo un tratto di autostrada, il conducente di un
14 Se f è la frequenza delle piccole oscillazioni di
autotreno procede di moto rettilineo uniforme alla velocità di 110 km/h. Se per cambiare stazione radio si distrae per 4,20 s, di quanto avanza l’autotreno senza che il camionista presti alla guida la dovuta attenzione?
un pendolo sulla Terra, in assenza di resistenze passive, quanto diventa la frequenza dello stesso pendolo, portato sulla Luna, dove l’accelerazione di gravità è circa 1/6 di quella sulla Terra?
a b c d e
128 m 462 m 222 m 539 m 150 m
10 L’accelerazione sulla superficie di Marte vale circa 4,0 m/s2. Se un astronauta lanciasse in alto un sasso imprimendogli una velocità iniziale di 20 m/s, per quanti secondi lo vedrebbe salire? a b c d e
2,5 s 80 s 100 s 5,0 s 10 s
a b c d e
2,5 f 6,0 f 0,41 f 0,17 f 2,8 f
15 Un corpo puntiforme si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato a partire dal tempo t = 0, con una velocità iniziale diversa da zero. Se dopo 1 s il corpo ha percorso 3 m e dopo 2 s ha percorso 10 m, la sua accelerazione è pari a: a b c d e
3 m/s2 2 m/s2 1 m/s2 5 m/s2 4 m/s2
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
85
Una gara avvincente Uscendo dalla corsia dei box alla velocità di 80,0 km/h, Felipe entra in pista 0,214 s dopo che è transitato Lewis. Felipe accelera con un’accelerazione costante di 9,56 m/s2 raggiungendo la velocità di 216 km/h e prosegue la corsa a velocità costante. La vettura di Lewis, che ha le gomme logore, viaggia alla velocità costante di 198 km/h. Dopo quanto tempo dalla sua immissione in pista Felipe raggiunge Lewis? aF =0
2
5
O
1
vL
vF0
sL0
s
Individua le incognite e i dati espliciti
Leggi di nuovo con attenzione il testo del problema per individuare le incognite e i dati espliciti. Evidenzia le incognite in azzurro e i dati espliciti in giallo.
Uscendo dalla corsia dei box alla velocità di 80,0 km/h, Felipe entra in pista 0,214 s dopo che è transitato Lewis. Felipe accelera con un’accelerazione costante di 9,56 m/s2 raggiungendo la velocità di 216 km/h e prosegue la corsa a velocità costante. La vettura di Lewis, che ha le gomme logore, viaggia alla velocità costante di 198 km/h. Dopo quanto tempo dalla sua immissione in pista Felipe raggiunge Lewis? Ora dai un nome alle incognite. Se sono espresse da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
ô Istante in cui Felipe raggiunge Lewis: t Dai un nome ai dati. Se sono espressi da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
ô ô ô ô ô
Modulo velocità iniziale di Felipe: vF0 = 80,0 km/h Vantaggio iniziale di Lewis su Felipe: ∆t = 0,214 s Modulo accelerazione di Felipe: aF = 9,56 m/s2 Modulo velocità finale di Felipe: vF = 216 km/h Modulo velocità di Lewis: vL = 198 km/h
2
Individua i dati impliciti
Evidenzia in verde tutte le informazioni che, anche se fornite nel testo in modo implicito, sono comunque necessarie per poter definire la situazione fisica.
Uscendo dalla corsia dei box alla velocità di 80,0 km/h, Felipe entra in pista 0,214 s dopo che è transitato Lewis. Felipe accele-
ra con un’accelerazione costante di 9,56 m/s2 raggiungendo la velocità di 216 km/h e prosegue la corsa a velocità costante. La vettura di Lewis, che ha le gomme logore, viaggia alla velocità costante di 198 km/h. Dopo quanto tempo dalla sua immissione in pista Felipe raggiunge Lewis? 3
Costruisci un modello con i dati
A partire dai dati impliciti ed espliciti definisci gli elementi del modello.
ô La vettura di Lewis viaggia a velocità costante ⇒ Lewis si muove a velocità costante vL, quindi con accelerazione nulla. Misuriamo i tempi a partire dall’istante t0 = 0 in cui Felipe entra in pista. A t0 = 0 Lewis precede Felipe e si trova in sL0 = vL ∆t. ô Felipe accelera poi prosegue la corsa a velocità costante ⇒ A t0 = 0 Felipe ha una velocità vF0 = 80,0 km/h e procede di moto uniformemente accelerato. Felipe continua ad accelerare fino all’istante t1, a partire dal quale mantiene costante la velocità raggiunta vF . All’istante in cui Felipe raggiunge Lewis, i due si trovano affiancati nella stessa posizione sL = sF. 4
Riporta i dati a unità di misura e cifre significative consistenti
In assenza di altre indicazioni o richieste esplicite è buona norma utilizzare unità di misura del SI. Bisogna fare attenzione a esprimere i dati convertiti con lo stesso numero di cifre significative che avevano i dati iniziali.
Nel SI le velocità vengono espresse in m/s. Ricordando che 1 km = 1000 m e che 1 h = 3600 s, si ottiene: ô vF0 = 80,0 km/h = 80,0 (1000 m/3600 s) = 22,2 m/s ô vF = 216 km/h = 216 (1000 m/3600 s) = 60,0 m/s ô vL = 198 km/h = 198 (1000 m/3600 s) = 55,0m/s 5
Disegna la situazione fisica
Scorri i dati espliciti e impliciti del problema e rappresentali in uno schema. Conviene fissare un sistema di riferimento, individuare eventuali vincoli, sistemare i corpi e infine rappresentare gli eventuali parametri.
ô Sistema di riferimento. Fissa una retta Os orientata nel verso del moto delle due vetture, con origine O nel punto in cui Felipe entra in pista. Quando Felipe si trova in O, Lewis lo precede di 0,214 s. ô Vincoli. Non sono presenti vincoli. ô Corpi. Le due vetture sono schematizzabili come punti materiali che si muovono di moto rettilineo lungo la retta Os. ô Parametri. Non sono presenti parametri.
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
PROBLEM SOLVING PASSO PER PASSO
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
86 6
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
Ipotizza come si evolve il sistema
Partendo dalla situazione fisica iniziale, descrivi in poche righe l’evoluzione del sistema in base alle ipotesi che hai fatto. Ragiona tenendo conto di eventuali simmetrie del problema.
Lewis viaggia con velocità costante e, quando Felipe entra in pista, lo precede. Nel periodo di tempo compreso tra t0 = 0 e t1 Felipe accelera; poi continua con velocità costante. Dal momento che la velocità di Lewis è minore rispetto alla velocità finale raggiunta dall’avversario, prima o poi egli sarà raggiunto e superato: questo potrebbe avvenire durante la fase di accelerazione di Felipe, oppure quando quest’ultimo già si muove con velocità costante. 7
Richiama le leggi fisiche
a t1, quando entrambi si muovono di moto rettilineo uniforme. Imponendo sL = sF e risolvendo rispetto al tempo segue: vL (t + ∆t) = sF1 + vF (t − t1) (vF − vL) t = vL ∆t + vF t1 − sF1 t= 9
Controlla il risultato: analisi dimensionale
Nelle formule risolutive, sostituisci alle variabili le loro dimensioni. Se i calcoli sono corretti dal punto di vista fisico (a meno di costanti numeriche adimensionali), devi ottenere una identità.
Verifica la formula che dà: [t ] =
Scrivi le leggi fisiche che legano i dati e le incognite del problema.
La legge oraria del moto rettilineo uniforme che descrive il moto di Lewis e quello di Felipe per t > t1 è:
corrette
Solo in questa fase sostituisci nella formula risolutiva i dati, espressi con cifre significative consistenti. Le unità di misura fanno parte integrante del dato ma anche del risultato: controlla che le unità di misura del risultato siano consistenti con le sue dimensioni.
La legge del moto uniformemente accelerato, che descrive il moto di Felipe per t0 ≤ t ≤ t1 è: 1 2 at 2
È utile infine ricordare la relazione tra velocità e accelerazione in un moto uniformemente accelerato:
Sostituendo i valori numerici, otteniamo il valore di t1: t1 =
v = v0 + a t 8
Trova la formula risolutiva
L’obiettivo è ricavare le incognite da queste leggi. Per isolarle algebricamente, potrebbe essere necessario individuare e ricavare eventuali variabili mancanti mediante passaggi intermedi. Sfrutta in questa fase eventuali ipotesi semplificative (come variabili uguali tra loro o nulle).
L’istante in cui Felipe raggiunge Lewis è quello in cui la posizione di Lewis coincide con quella di Felipe (sL = sF). Il moto di Felipe può essere scomposto in due fasi, ciascuna descritta da una legge oraria. La prima fase, quella di accelerazione, termina all’istante t1. Ricaviamo t1 da vF = vF0 + aF t1: v − vF 0 t1 = F aF All’istante t1 lo spazio percorso da Felipe è: s F1 = v F 0 t1 +
1 a t2 2 F 1
Nello stesso istante, Lewis si trova in posizione: sL1 = vL (t1 + ∆t) Se sL1 = sF1, significa che Felipe ha raggiunto e superato Lewis in questa fase di accelerazione. In caso contrario, i due piloti si affiancheranno in un istante successivo
[ l ⋅ t −1 ][ t ] + [ l ⋅ t −1 ][ t ] − [ l ] [l ] = [t ] = [ l ⋅ t −1 ] − [ l ⋅ t −1 ] [ l ⋅ t −1 ]
10 Calcola il risultato con le cifre significative
s = s 0 + v0 t
s = s 0 + v0 t +
vL Δt + v F t1 − s F1 v F − vL
v F − v F 0 60,0 m/s − 22,2 m/s = = 3,95 s aF 9,56 m/s2
Lo spazio percorso da Felipe all’istante t1 è: s F1 = v F 0 t1 +
1 a t2 = 2 F 1
1 = ( 22,2 m/s )( 3,95 s ) + (9,56 m/s2 )( 3,95 s )2 = 2 = 162 m Quello percorso da Lewis, invece, è: sL1 = vL (t1 + ∆t) = (55,0 m/s)(3,95 s + 0,214 s) = 229 m Essendo sL1 > sF1 segue che l’istante in cui Felipe raggiunge Lewis è successivo a t1 ed è pari a: t=
vL Δt + v F t1 − s F1 = v F − vL
( 55,0 m/s )( 0,214 s ) + ( 60,0 m/s )( 3,95 s ) − 162 m = 60,0 m/s − 55,0 m/s = 17,4 s
=
11 Commenta il risultato
Il moto di Felipe si compone di due fasi, ciascuna descritta da una diversa legge oraria. La coordinata spaziale e la velocità raggiunte nell’istante in cui termina la prima fase di moto accelerato, sono le stesse con cui inizia la fase successiva.
I moti come conseguenza delle leggi della dinamica
Unità 2
87
1
ESERCIZIO COMMENTATO
VIDEOTUTORIAL
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STIME Sapendo che la velocità con cui le placche scorrono una rispetto all’altra nella deriva dei continenti è 1,0 · 10–9 m/s, calcola lo spostamento relativo dei continenti durante la vita media di un [2,6 m] uomo.
7
2 Calcola il modulo della velocità angolare di un corpo di 36,0 kg soggetto a una forza centripeta di intensità 370 N, quando compie un moto circolare uniforme su una traiettoria di raggio 2,70 m.
[s = (10 m/s) t − (2,5 m/s2) t2; 10 m]
8 Un aereo che vola alla velocità di 300 m/s accelera
[1,95 rad/s]
3
mat Un punto materiale si muove lungo un asse orientato Os con velocità espressa in funzione del tempo dalla relazione v = (10 m/s) − (5,0 m/s2) t. Risali alla legge oraria del moto e calcola lo spazio percorso dal punto fino a quando non si arresta, assumendo che il punto si trovi nell’origine O all’istante t = 0.
con accelerazione costante uguale a 5,00 m/s2 per 4,00 s, mantenendo poi la velocità costante. • Traccia il diagramma velocità-tempo per i primi 10,0 s dall’istante in cui inizia ad accelerare. • Qual è lo spazio percorso dall’aeroplano dopo i primi 4,00 s e dopo i primi 10,0 s? • Quanto vale l’accelerazione al quinto secondo di volo?
IMMAGINI Un cilindro di 0,50 kg oscilla sotto l’azio ne di una forza F il cui modulo varia con la distanza x dal centro di oscillazione, come mostrato nel diagramma qui sotto. Qual è il valore massimo della velocità? E quello dell’accelerazione?
[1,24 km, 3,16 km; 0] F (N)
9 + 0,80
+ 0,40
[v = (2 m/s2) t − (40 m/s); 400 m; 40 m/s] x (m)
– 0,40
10 Quando un falco in picchiata si trova a 60,0 m – 0,80
[0,80 m/s; 1,6 m/s2]
4 Un arrampicatore si sta riposando su una roccia che si erge a strapiombo su un laghetto, 70,0 m più in basso. Lancia verso il basso un primo sasso con una velocità iniziale di 3,20 m/s e poi un secondo sasso 1,20 s dopo. La cosa che lo incuriosisce è che sente un solo tonfo, e non due come si aspettava. Calcola la velocità iniziale del secondo sasso.
[19,9 m/s]
5 Se un pallone cade verticalmente da un’altezza di 8,30 m, determina tempo di caduta e velocità con cui giunge al suolo. [1,30 s; 12,8 m/s]
6
Immagina che un aeroplano in volo subisca una perforazione nella stiva abbastanza grande da far cadere un bagaglio, perpendicolarmente alla velocità del velivolo. Sapendo che la quota di crociera si mantiene costante a 10 km e la sua velocità scalare è 900 km/h, calcola lo spazio percorso, trascurando gli attriti, dall’aereo, mentre il bagaglio cade a terra. Se ci fosse il ponte di Messina che collega la Sicilia con il resto d’Italia, la distanza percorsa sarebbe sufficiente a coprire [11 km] l’intera sua lunghezza? STIME
Un punto materiale si muove lungo l’asse x con legge oraria x = (1 m/s2) t2 − (40 m/s) t. • Come si esprime la velocità in funzione del tempo? • Qual è la distanza massima percorsa dal punto quando si allontana a sinistra dell’origine? • Con quale velocità il punto passa di nuovo per l’origine dopo l’istante iniziale? mat
da terra, il suo addestratore stende il braccio orizzontalmente. Per l’animale è il segnale di cambiare assetto e rallentare per potersi poggiare sul braccio del falconiere senza arrecargli alcun danno. Il tempismo è perfetto e l’animale va a posarsi sul braccio dell’uomo a 1,50 m dal suolo. Se la velocità verticale in discesa è di 72,0 km/h e tutta la manovra dura 6,00 s, calcola l’accelerazione verticale (assunta costante) subita dal falco.
[−3,42 m/s2]
11 Determina la velocità angolare del moto di rotazione della Terra intorno al proprio asse e la velocità scalare di un punto dell’equatore, sapendo che il raggio della Terra è 6,38 ∙ 103 km.
[7,27 · 10−5 rad/s; 464 m/s]
12 Le gare della Nascar (National Association for Stock Auto Racing) sono, dopo il football, l’avvenimento sportivo più seguito dal pubblico statunitense. Durante una di queste gare, una Bugatti Veyron Super Sport entra alla massima velocità (431 km/h) in una curva della pista con un raggio di curvatura pari a 402 m. Calcola l’accelerazione centripeta risentita dal pilota prima che la lancetta del tachimetro segni una diminuzione di velocità. Trova quale dovrebbe essere il raggio di curvatura di una curva in una normale autostrada, affinché le macchine possano raggiungere la stessa velocità angolare. [35,8 m/s2; 121 m]
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
PROBLEMI DI RIEPILOGO
SVILUPPO DELLE COMPETENZE
88
Sviluppo delle competenze
La dinamica newtoniana
13 Un campo quadrato di lato 100 m coltivato
19
a fragole deve essere irrigato con un unico getto d’acqua situato in mezzo al campo. La gittata massima corrisponde a un angolo di lancio di 45,0°, se si trascura la resistenza dell’aria. Calcola la distanza massima dal centro agli angoli più distanti del campo. Con quale velocità iniziale l’acqua deve essere lanciata per coprire tutta l’area? Considera che parte dell’acqua verrà sprecata oltre i confini del campo. [70,7 m; 26,3 m/s]
Due ciclisti in fuga corrono lungo una strada, ciascuno a velocità costante. Il primo ha una velocità v1 = 30,6 km/h e, a un certo istante, si trova 25,0 m oltre un incrocio, che può essere preso come punto di riferimento; il secondo invece procede a velocità v2 = 37,8 km/h e, nello stesso istante, si trova 45,0 m prima dello stesso incrocio. Dopo quanto tempo il secondo ciclista raggiungerà il primo? [35,0 s] OLIMPIADI
Tratto da Olimpiadi di Fisica 2013, Gara di 2° Livello
14 Per un lancio da record del martello femminile, di massa 4,00 kg, l’atleta ha ruotato su se stessa quattro volte, descrivendo una circonferenza di raggio 1,70 m (pari alla lunghezza totale del martello e delle sue braccia), fino a raggiungere la velocità di lancio di 28,0 m/s. Calcola l’accelerazione centripeta finale del martello e la componente centripeta della forza con la quale l’atleta lo ha tenuto. [461 m/s2; 1,84 kN]
20 All’interno di un parco divertimenti si vuole costruire una nuova attrazione, un ottovolante con salite, discese, giri della morte. Gli ingegneri che si occupano del progetto vogliono capire quanto potrà esser grande la circonferenza del giro della morte affinché le vetture non cadano giù, sapendo che la velocità con cui esse cominceranno a percorrere il giro è pari a 14 m/s. Schematizzando la situazione come un oggetto che si muove su un piano liscio, determina il raggio massimo che può avere il giro della morte del nuovo ottovolante. [20 m]
15 La frequenza di un moto armonico semplice descritto dall’ago di una macchina per cucire è 5,0 Hz. Trova periodo, pulsazione e velocità massima, sapendo che l’ampiezza del moto è 1,5 cm.
[0,20 s; 31 rad/s; 0,47 m/s]
21 Carlo gira su una giostra di raggio 1,2 m con
16 Durante una partita di calcio un pallone finisce sugli spalti. Se il pallone colpisce il braccio di un tifoso a 10 m di altezza rispetto al punto di lancio con una velocità di 15 m/s inclinata verso l’alto di 35° rispetto all’orizzontale, qual era il modulo della velocità del pallone nell’istante in cui è stato lanciato? Con quale angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale il calciatore ha tirato il pallone? Trascura la resistenza dell’aria. [21 m/s; 54°] Suggerimento
Fissato un sistema di riferimento cartesiano con origine nel punto di lancio, asse x orizzontale rivolto verso gli spalti e asse y verticale rivolto verso l’alto, per risalire al modulo e alla direzione della velocità ! iniziale v 0 del pallone, devi innanzitutto ricavare le componenti v0x e v0y al momento del lancio. Poiché la resistenza dell’aria è trascurabile, in direzione orizzontale il proiettile si muove a velocità costante; dunque la velocità orizzontale del pallone nell’istante finale in cui colpisce il tifoso deve essere uguale a quella posseduta nell’istante iniziale in cui è lanciato dal calciatore.
17 Se il raggio terrestre è di 6,38 · 106 m, calcola a quale velocità un lanciatore di baseball dovrebbe tirare orizzontalmente una pallina perché questa riesca a compiere un giro completo attorno alla Terra. Trascura tutti gli effetti di attrito, eventuali ostacoli nel volo e considera che la palla venga lanciata da 1,50 m di altezza dal suolo. [7,25 · 107 m/s]
una frequenza di 0,40 Hz. Marta, afferrando il seggiolino di Carlo, riesce, in 4,0 s, a frenare la giostra e poi ad accelerarla fino a farla girare con la stessa frequenza iniziale, ma in verso opposto. Determina l’accelerazione tangenziale di Carlo, supponendo che sia di modulo costante.
[−1,5 m/s2]
22
Un’automobile che comincia ad accelerare uniformemente copre, nei primi 4,0 s, una distanza pari a 32 m e nei successivi 4,0 s un’ulteriore distanza di 56 m. Qual era la velocità iniziale dell’automobile? [5,0 m/s] OLIMPIADI
Tratto da Olimpiadi di Fisica 2000, Gara di 2° Livello
23 Un’automobile lanciata a velocità v0 è costretta
improvvisamente a fermarsi perché si presenta un ostacolo a distanza d. Supponendo che i riflessi dell’automobilista gli consentano di iniziare la frenata dopo un intervallo di tempo ∆t, nell’ipotesi che durante la frenata il moto sia uniformemente decelerato con decelerazione di modulo a, trova la condizione che devono soddisfare i parametri v0, ∆t, a e d affinché l’automobile non investa l’ostacolo.
[ v0 ∆t +
v02 0
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
480
Consolidamento delle conoscenze
Termodinamica
ESERCIZI DI PARAGRAFO 1
Le macchine termiche
1 Vero o falso? a. Una macchina termica opera attraverso una successione di cicli termodinamici. b. Una macchina termica non può funzionare se caldaia e refrigerante hanno la stessa temperatura. c. Il rendimento di una macchina termica misura la percentuale di calore assorbito che viene convertita in lavoro. d. Una macchina termica che cede molto calore al refrigerante è molto efficiente. 2
IMPARA E APPLICA V
F
Il rendimento di una macchina termica
Impara a risolvere l’esercizio
7 In un ciclo di funzionamento, una macchina termica assorbe 420 kcal da un serbatoio caldo e riversa 250 kcal nell’ambiente circostante. Determina il rendimento e calcola il lavoro, in J, compiuto dalla macchina in 18 cicli di funzionamento.
V
F
V
F
Dati
V
F
Calore assorbito Q2 = 420 kcal Calore ceduto Q1 = 250 kcal Numero cicli n = 18
IN 10 RIGHE Per quale motivo, per far funzionare una macchina termica, occorrono almeno due sorgenti di calore?
3
Che cosa si intende per moto perpetuo di seconda specie?
4
Nello schema seguente si vogliono rappresentare gli scambi di calore tra una macchina termica e l’ambiente. Completa il disegno rappresentando direzione e verso del calore Q2 assorbito dall’ambiente, del calore Q1 ceduto all’ambiente e del lavoro L svolto dalla macchina.
IN 10 RIGHE
IMMAGINI
Incognite
Rendimento r = ? Lavoro in J in 18 cicli Ltot = ? Situazione fisica
Se la macchina termica funziona in modo ciclico la variazione di energia interna della macchina è uguale a zero per ogni ciclo: ciò significa, in base al primo principio, che in ogni ciclo il lavoro compiuto dalla macchina è uguale al calore netto scambiato con l’ambiente esterno. Risoluzione
serbatoio freddo
La macchina assorbe dal serbatoio caldo il calore Q2 e cede all’ambiente, che è a temperatura inferiore, la quantità di calore Q1. Il lavoro fatto in un ciclo è: L = Q2 − Q1. Converti le quantità di calore da kcal in J, moltiplicando per 4186 (1 kcal = 4186 J):
macchina termica
Q1 = 250 kcal (4186 J/kcal) = 1,05 · 106 J Q2 = 420 kcal (4186 J/kcal) = 1,76 · 106 J Il rendimento è: r=
serbatoio caldo
Q L Q2 − Q1 1,05 ⋅106 J = = 1− 1 = 1− = Q2 Q2 Q2 1,76 ⋅106 J
= 0,403 = 40,3%
5
Quale tra le seguenti espressioni, dove n è il numero di moli, R è la costante dei gas perfetti, l una lunghezza e F una forza, non ha le stesse dimensioni del rendimento di una macchina termica? DIMENSIONI
pV nRT
pV F l
p l3 F
6 Considera tre diverse macchine termiche. Utilizza la relazione tra lavoro compiuto, quantità di calore assorbito e rendimento della macchina per completare la tabella seguente. L (J)
Q2 (J)
macchina A
4,3 · 105
1,3 · 106
macchina B
6,3 · 105
macchina C
r
0,50 1,3 · 106
0,16
Il lavoro compiuto dalla macchina per 18 cicli è uguale a: L18 = n L = = n (Q2 − Q1) = 18 (1,76 · 106 J − 1,05 · 106 J) = = 1,28 · 107 J Rifletti sul risultato
In base al primo principio la macchina termica può compiere lavoro in un ciclo (ΔU = 0) solo se il calore netto scambiato con l’ambiente è positivo, ovvero L = Q2 − Q1 > 0 che equivale a dire che Q2 > Q1. Ciò implica che il calore assorbito dal serbatoio caldo deve essere maggiore del calore ceduto al serbatoio freddo. Dato che Q2 > Q1 si comprende facilmente perché il rendimento di una macchina termica non possa mai superare il 100%.
481
Unità 12
Secondo principio della termodinamica ed entropia
rante durante un ciclo è pari alla metà del lavoro sviluppato. Quanto vale il rendimento della macchina?
8 Una macchina termica ha un rendimento del 15,0% e assorbe, in ogni ciclo, 250 J di calore. Quanto vale il lavoro sviluppato in 10 cicli?
[375 J] Suggerimento
[67%]
12 Durante un ciclo una macchina termica sottrae 50 J di calore da un termostato caldo e rilascia 30 J a un termostato freddo. Quanto lavoro produce? Quanto lavoro produrrebbe, se avesse un rendimento doppio?
L che dà il rendimento per deQ2 terminare il lavoro in un singolo ciclo, L = … . Inverti la relazione r =
[20 J; 40 J]
9 Una macchina con un rendimento del 21,0% viene fatta funzionare ciclicamente tra due serbatoi, uno caldo e uno freddo. Se la macchina in cinque cicli compie un lavoro pari a 125 kJ calcola il calore scambiato (assorbito e ceduto) con i due [119 kJ; 94,0 kJ] serbatoi.
13
IMMAGINI Un gas perfetto formato da molecole monoatomiche compie il ciclo reversibile rappresentato nel diagramma, dove la curva BC indica una trasformazione isoterma. Qual è il rendimento del ciclo?
Suggerimento p
Calcola il lavoro in un singolo ciclo, poi inverti la relazione che dà il rendimento per determinare il calore assorbito Q2 = … / … .
B 7 p0
10 Durante un ciclo cardiaco il ventricolo sinistro di un soggetto sano consuma circa 2,0 cal. Nell’ipotesi che l’efficienza meccanica del cuore, considerata corrispondente al rendimento di una macchina termica, sia del 15%, a quanto ammonta il lavoro meccanico compiuto dal ventricolo sinistro in [1,3 J] un ciclo cardiaco?
2
17
A 7 V0 V
V0
[0,337]
14 Una macchina termica descrive un ciclo in 3,00 s e ha un rendimento del 30,0%. Calcola il lavoro compiuto dalla macchina in un’ora sapendo che per ogni ciclo la macchina assorbe una quantità di calore pari a 16,7 cal.
[2,52 · 104 J]
Il secondo principio: il verso privilegiato delle trasformazioni termodinamiche
15 Vero o falso? a. La propagazione del calore è un processo sempre spontaneo e irreversibile. b. Esistono macchine termiche che contraddicono il postulato di Kelvin, ma rispettano quello di Clausius. c. Esistono macchine termiche che contraddicono il postulato di Clausius, ma rispettano quello di Kelvin. d. Se aggiungi acqua a un bicchiere di vino stai compiendo un processo irreversibile. 16
C
p0
18
V
IMMAGINI Indica accanto a ciascuna delle seguenti macchine termiche se è fisicamente possibile oppure no.
a.
F
c.
serbatoio caldo
Q2
Q2 V
F
V
F
macchina termica
V
b.
F
IN 10 RIGHE Perché il calore è tanto meno utilizzabile per produrre lavoro quanto più bassa è la temperatura a cui è disponibile? IN 10 RIGHE Che cos’è un processo spontaneo? Che relazione c’è fra spontaneità e irreversibilità di un processo?
L
L macchina termica
Q1
Q1 sì no
serbatoio caldo
serbatoio freddo
sì no
d.
serbatoio caldo
serbatoio freddo serbatoio caldo Q2
L
macchina termica
L
macchina termica
Q1 sì no
serbatoio freddo
sì no
serbatoio freddo
L
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
11 Il calore che una macchina termica cede al refrige-
Applica la strategia ai prossimi esercizi
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
482
3
Termodinamica
Consolidamento delle conoscenze
Il ciclo di Carnot e il rendimento massimo delle macchine termiche
19 Vero o falso? a. Il rendimento di un ciclo di Carnot è uguale a quello di qualsiasi altra macchina che lavori tra le stesse due temperature. b. Il rendimento di un ciclo di Carnot è calcolabile se si conosce il rapporto tra le temperature delle sorgenti espresse in gradi Celsius. c. Il rendimento di una macchina reversibile che lavori con più di due sorgenti è inferiore a quello di una macchina di Carnot che lavori tra le due temperature estreme. d. Il terzo principio della termodinamica sancisce l’impossibilità di condurre un sistema alla temperatura 0 K. 20 21
IMPARA E APPLICA
Impara a risolvere l’esercizio
24 Fai parte di una commissione incaricata di valutaV
F
V
F
V
F
V
F
re la realizzabilità di un nuovo motore per aerei. Il costruttore afferma che il motore opera con un serbatoio caldo alla temperatura di 350 K e con l’ambiente esterno (convenzionalmente a 0,0 °C). In ogni ciclo di funzionamento il motore assorbe 250 kcal e compie un lavoro di 420 kJ. Sei in grado di dire se il progetto potrà essere realizzato?
IN 10 RIGHE Enuncia il teorema di Carnot e illustrane il significato. IN 10 RIGHE
Quante e quali sono le fasi del ciclo di
Carnot?
Dati
22 Considera tre diverse macchine di Carnot. Completa la seguente tabella utilizzando la relazione tra rendimento della macchina e temperature dei serbatoi con cui opera. Quali conclusioni puoi trarre sull’efficienza delle macchine considerate?
macchina A
T1 (K)
T2 (K)
320
400
macchina B macchina C
23
Il rendimento di una macchina di Carnot
r
343
0,150
305
0,200
IMMAGINI Un gas perfetto compie il ciclo di Carnot rappresentato in figura. Quanto vale il rendimento del ciclo?
p (Pa) A
5
Temperatura serbatoio caldo T2 = 350 K Temperatura ambiente t1 = 0,0 °C Calore assorbito Q2 = 250 kcal Lavoro compiuto L = 420 kJ Situazione fisica
Per una macchina termica che opera tra un serbatoio caldo e un serbatoio freddo il rendimento r è definito come il rapporto tra il lavoro compiuto e il calore assorbito dal serbatoio caldo. Secondo il teorema di Carnot il rendimento di una macchina termica non può superare il rendimento rR di una macchina funzionante in modo reversibile tra i due serbatoi, rispettivamente a temperature T2 e T1, che vale: T rR = 1 − 1 T2 Per valutare quindi se questo nuovo motore per aerei è realizzabile, calcoliamo il rendimento nel caso in cui la macchina possa operare in modo reversibile e confrontiamolo con il rendimento che possiamo ricavare dai dati di progetto. Risoluzione
Secondo il progetto, se la macchina potesse operare in modo reversibile tra il serbatoio a temperatura T2 e l’ambiente esterno a temperatura
4 3
T1 = t1 + 273 = 0,0 + 273 = 273 K B
2 1
il suo rendimento massimo sarebbe: rR = 1 −
D
T1 273 K = 1− = 0,22 = 22% T2 350 K
C 0 0
10
20
30
40 V (m3)
[60%]
Nella realtà la macchina proposta non opera in modo reversibile in quanto è soggetta ad attriti e perdite. La
Secondo principio della termodinamica ed entropia
483
26 Calcola le quantità di calore Q1 e Q2 scambiate
con due sorgenti, sapendo che il lavoro compiuto durante un ciclo di Carnot svolto fra le temperature di 600 K e 300 K è pari a 2090 J.
[2090 J; 4180 J] Suggerimento
L 420 kJ r= = = 0,40 = 40% Q2 (250 kcal)(4,186 kJ/kcal)
Quando la macchina funziona in modo reversibile il L suo rendimento r = coincide con il rendimento di T1 Q2 Carnot rR = 1 − . T2
Dato che è impossibile che r > rR, il progetto proposto non è realizzabile.
27 Calcola il rendimento di una macchina di Carnot che lavora fra la temperatura di ebollizione dell’acqua e quella di fusione del ghiaccio a pres[27%] sione atmosferica.
Rifletti sul risultato
Ricorda che nel determinare il rendimento massimo secondo il teorema di Carnot, le temperature dei due serbatoi devono essere espresse in gradi kelvin. L’impossibilità di realizzare un motore che abbia un rendimento superiore al massimo rendimento di una macchina che opera in modo reversibile non è tecnica, ma teorica: per quanto si possano ridurre gli attriti e minimizzare le perdite di calore (migliorando per esempio l’isolamento termico delle sorgenti) non sarà mai possibile superare il rendimento di Carnot rR.
28 Qual è il rendimento massimo percentuale di una turbina a vapore che assorbe calore da un serbatoio alla temperatura di 600 °C e cede calore a un [61%] serbatoio alla temperatura di 65 °C?
29
30 Due macchine di Carnot lavorano ciascuna con una coppia di sorgenti di calore. La prima fra le temperature di 402 °C e 627 °C, la seconda fra le temperature di 600 K e 800 K. Che relazione c’è [r1 = r2] fra i due rendimenti?
Applica la strategia ai prossimi esercizi
25 Una macchina di Carnot, che opera ciclicamente in modo reversibile con un serbatoio freddo alla temperatura di 330 K, ha un rendimento del 33,0%. Calcola la temperatura del serbatoio caldo.
31 Una macchina termica reale che lavora ciclicamente fra le temperature di 500 K e 300 K ha un rendimento del 32%. Quale sarebbe il rendimento ideale se l’impianto potesse lavorare ciclicamente come una macchina reversibile? Nell’ipotesi che la macchina lavori con una potenza di 600 kW, a quanto ammonta il lavoro per unità di tempo che viene perso nei confronti di una macchina ideale che operi fra le stesse temperature e assorba la stessa quantità di calore dalla sorgente calda?
[493 K] Suggerimento
Inverti la formula che dà il rendimento di Carnot per determinare la temperatura maggiore: T rR = 1 − 1 → T2 = … T2
4
[40%; 150 kW]
Le macchine frigorifere
32 Vero o falso? a. Il funzionamento di alcune macchine frigorifere contraddice il secondo principio della termodinamica. b. A parità di calore sottratto all’ambiente da refrigerare, l’efficienza di una macchina frigorifera è più elevata se il calore ceduto all’esterno è maggiore. c. Le macchine frigorifere funzionano secondo il verso spontaneo dei flussi di calore. d. I frigoriferi possono essere usati per compiere un lavoro positivo sull’ambiente. 33
INGLESE A Carnot machine with an efficiency of 42.0% draws its energy from a heat reservoir at a temperature of 527 °C. What is the tempera[464 K] ture of the colder heat reservoir?
34
V
V
F
F
V
F
V
F
IN 10 RIGHE Qual è la differenza tra un frigorifero di Carnot e una macchina termica di Carnot?
È possibile che esista una macchina frigorifera con efficienza infinita? Perché? IN 10 RIGHE
35 Considera tre diverse macchine frigorifere. Completa la seguente tabella utilizzando la relazione tra efficienza della macchina, calore sottratto all’ambiente da refrigerare e calore ceduto all’esterno. Q1 (J)
Q2 (J)
macchina A
185
230
macchina B
86,7
macchina C
f
4,24 258
6,82
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
macchina termica che funziona secondo il teorema di Carnot è il caso ideale, non applicabile a una macchina reale. Secondo il progetto del costruttore il rendimento della macchina è:
Unità 12
CONSOLIDAMENTO DELLE CONOSCENZE
484
Consolidamento delle conoscenze
IMPARA E APPLICA
Termodinamica
Il coefficiente frigorifero utile
Impara a risolvere l’esercizio
36 Per far congelare l’acqua di una bottiglia da 1,50 l, inizialmente liquida e alla temperatura di 0 °C, un congelatore impiega 2700 cicli di funzionamento. Se per ogni ciclo il lavoro fatto sul congelatore è pari a 35,0 J, qual è il coefficiente frigorifero utile del congelatore? Il calore latente di solidificazione dell’acqua è 3,34 · 105 J/kg e la densità 1000 kg/m3. Dati
Volume acqua V = 1,50 l Temperatura iniziale dell’acqua T0 = 0 °C Numero cicli N = 2700 Lavoro per un ciclo L = 35,0 J Calore latente solidificazione acqua Ls = 3,34 · 105 J/kg Densità dell’acqua d = 1000 kg/m3 Incognite
Coefficiente frigorifero utile f = ? Situazione fisica
In un ciclo di funzionamento una macchina frigorifera utilizza un lavoro L fornito dall’esterno (il congelatore è alimentato dalla rete elettrica) per sottrarre una quantità di calore Q1 a un ambiente più freddo (l’interno del congelatore) e restituire una quantità di calore Q2 = Q1 + L a un ambiente più caldo (l’ambiente esterno). L’efficienza della macchina è espressa dal coefficiente frigorifero utile, che è dato dal rapporto tra il calore sottratto e il lavoro impiegato:
m = d V = (1000 kg/m3) (1,50 · 10−3 m3) = 1,50 kg Ora dobbiamo sostituire il valore della massa e gli altri dati numerici nell’equazione risolutiva: f =
m Ls (1,50 kg )( 3,34 ⋅105 J/kg ) = = 5,30 ( 2700 )( 35,0 J ) N L
Rifletti sul risultato
Il rendimento r di una macchina termica di Carnot è un numero puro sempre minore di 1. In effetti, essendo il rapporto tra il lavoro L fatto dalla macchina e il calore Q2 trasferito dal serbatoio caldo alla macchina, con L T1. Possiamo affermare che: a
b
c
d
e
il rendimento può essere reso uguale al rendimento di una macchina di Carnot che lavori fra le due temperature T2 e T1, a condizione che il fluido operante sia un gas perfetto il rendimento è esprimibile in funzione delle sole temperature T2 e T1 il ciclo deve essere descritto da almeno due adiabatiche, in quanto sono necessarie due trasformazioni adiabatiche per caratterizzare un ciclo reale rappresentando il ciclo nel piano volume-pressione il lavoro corrisponde all’area delimitata entro il ciclo Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta
10 Per aumentare il rendimento di un ciclo di Carnot conviene: a b c d e
11 Se un corpo A, posto a contatto con una sorgente termica S, si raffredda, l’entropia: a b c d e
di Carnot fra due serbatoi termici, rispettivamente alle temperature di 177 °C e 27 °C, e assorbe dalla caldaia 1500 cal, qual è la quantità di calore ceduta al refrigerante? a b c d e
ora con un consumo di 1,2 · 105 J. Il coefficiente frigorifero utile è pari a: a
in modo reversibile fra le temperature T1 e T2 con T1 > T2, è:
c
c d
e
uguale a (T1 − T2)/T1 uguale a (1 − T2)/T1 sempre pari al 100% noto solamente se si conosce il tipo di gas utilizzato sempre pari al 50%
9 Un ciclo di Carnot viene descritto prima da una
d e
te una trasformazione isoterma reversibile, assorbe da una sorgente a 127 °C una quantità di calore pari a 1,68 · 105 J: a
b
il rendimento del ciclo descritto dalla sostanza A è maggiore di quello descritto dalla sostanza B, in quanto le temperature di esercizio sono più elevate il rendimento del ciclo descritto dalla sostanza B è maggiore di quello descritto dalla sostanza A in quanto nel secondo caso le temperature di esercizio sono espresse in gradi Celsius il rendimento del ciclo è lo stesso per entrambe le sostanze i rendimenti non sono confrontabili, in quanto non si conosce la natura delle sostanze che descrivono i due processi Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta
d
b
c
d
e
17% 0,17 6,0 6,0% 1,2
14 La variazione di entropia di un sistema che, media-
sostanza A fra le temperature di 800 K e 600 K e poi da una sostanza B fra le temperature di 127 °C e 27 °C. Possiamo affermare che: a
1000 cal 230 cal 1200 J 2,25 · 104 cal 1200 cal
13 Una macchina frigorifera sottrae 7,2 · 105 J ogni
8 Il rendimento di una macchina termica, che opera
b
del corpo A aumenta della sorgente S diminuisce del corpo A diminuisce del sistema A + S rimane costante del sistema A + S diminuisce
12 Se una macchina termica lavora secondo un ciclo
b
a
diminuire T2 mantenendo costante T1 diminuire T1 mantenendo costante T2 aumentare dello stesso fattore sia T1 sia T2 diminuire T2 e aumentare T1 diminuire dello stesso fattore sia T1 sia T2
c
e
non è calcolabile, perché non si conosce la variazione di volume subìta dal sistema non è calcolabile, perché non si conosce la variazione di pressione subìta dal sistema è pari a 420 J/K è pari a 1320 J/K è pari a zero
15 Una mole di gas perfetto compie un’espansione adiabatica libera nel vuoto fino a raddoppiare il suo volume. Si può affermare che la variazione di entropia: a
b
c d
e
non è calcolabile per la mancanza dei dati necessari è nulla, perché il gas non scambia calore con l’ambiente è pari a R ln 2 è negativa, poiché quando un gas si espande la sua temperatura diminuisce è pari a 2 R ln 2
Secondo principio della termodinamica ed entropia
Unità 12
491
L’entropia dentro un calorimetro Un pezzo di ferro di 0,400 kg, alla temperatura di 432 K, viene inserito in un calorimetro di capacità termica trascurabile che contiene 0,200 kg di acqua alla temperatura di 293 K. Sapendo che il calore specifico del ferro è 452 J/(kg ∙ K), di quanto varia l’entropia del sistema composto dal pezzo di ferro e dall’acqua nel passaggio dallo stato iniziale a quello finale di equilibrio?
3
A partire dai dati impliciti ed espliciti definisci gli elementi del modello.
ô Un calorimetro di capacità termica trascurabile ⇒ Poiché il calorimetro ha capacità termica trascurabile, puoi risolvere il problema senza considerare il calore accumulato dal calorimetro. ô Passaggio dallo stato iniziale a quello finale di equilibrio ⇒ Il pezzo di ferro, a contatto con l’acqua a temperatura minore, cede calore al liquido fino a raggiungere l’equilibrio termico caratterizzato da una temperatura T. 4
1
Individua le incognite e i dati espliciti
Tutti i dati sono espressi in unità di misura SI con tre cifre significative: dovrai perciò esprimere il risultato in modo analogo. 5
ô Variazione dell’entropia del sistema: ∆S
ô ô ô ô
Massa del pezzo di ferro: m1 = 0,400 kg Temperatura iniziale del pezzo di ferro: T1 = 432 K Massa dell’acqua nel calorimetro: m2 = 0,200 kg Temperatura iniziale dell’acqua nel calorimetro: T2 = 293 K ô Calore specifico del ferro: cFe = 452 J/(kg ∙ K) 2
Individua i dati impliciti
Evidenzia in verde tutte quelle informazioni che, anche se fornite nel testo in modo implicito, sono comunque necessarie per poter definire la situazione fisica.
Un pezzo di ferro di 0,400 kg, alla temperatura di 432 K, viene inserito in un calorimetro di capacità termica trascurabile che contiene 0,200 kg di acqua alla temperatura di 293 K. Sapendo che il calore specifico del ferro è 452 J/(kg ∙ K), di quanto varia l’entropia del sistema composto dal pezzo di ferro e dall’acqua nel passaggio dallo stato iniziale a quello finale di equilibrio?
Disegna la situazione fisica
Scorri i dati espliciti e impliciti del problema e rappresentali in uno schema. Conviene fissare un sistema di riferimento, individuare eventuali vincoli, sistemare i corpi e infine rappresentare gli eventuali parametri.
Ora dai un nome alle incognite. Se sono espresse da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
Dai un nome ai dati. Se sono espressi da vettori, oltre al modulo indica anche direzione e verso, con riferimento alla figura.
Riporta i dati a unità di misura e cifre significative consistenti
In assenza di altre indicazioni o richieste esplicite è buona norma utilizzare unità di misura del SI. Bisogna fare attenzione a esprimere i dati convertiti con lo stesso numero di cifre significative che avevano i dati iniziali.
Leggi di nuovo con attenzione il testo del problema per individuare le incognite e i dati espliciti. Evidenzia le incognite in azzurro e i dati espliciti in giallo.
Un pezzo di ferro di 0,400 kg, alla temperatura di 432 K, viene inserito in un calorimetro di capacità termica trascurabile che contiene 0,200 kg di acqua alla temperatura di 293 K. Sapendo che il calore specifico del ferro è 452 J/(kg ∙ K), di quanto varia l’entropia del sistema composto dal pezzo di ferro e dall’acqua nel passaggio dallo stato iniziale a quello finale di equilibrio?
Costruisci un modello con i dati
ô Sistema di riferimento. Per questo problema non hai bisogno di un sistema di riferimento. ô Vincoli. Non sono presenti vincoli. ô Corpi. È sufficiente una rappresentazione qualitativa del sistema, come quella in figura. ô Parametri. Non sono presenti parametri. 6
Ipotizza come si evolve il sistema
Partendo dalla situazione fisica iniziale, descrivi in poche righe l’evoluzione del sistema in base alle ipotesi che hai fatto. Ragiona tenendo conto di eventuali simmetrie del problema.
Per il principio zero della termodinamica, la temperatura finale di equilibrio del sistema composto dal pezzo di ferro e dall’acqua assumerà un valore T tale che T2