Knekning av søyler og rammer 8251902541 [PDF]

Zitiervorschau

Pål G. Bergan - Tor G. Syvertsen s- —

KNEKNING AV SØYLER OG RAMMER

TAPIR 1978

Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

ISBN 82 519-0254-1

V

FORORD Boken behandler stabilitetsproblemet for bjelke- og stav-

systemer. Mekanikken bak stabilitetsproblemene er illustrert med

enkle eksempler.

Det teoretiske grunnlaget er utledet på

generell form, og alternative stabilitetskriterier etablert.

En rekke metoder for løsning av det lineariserte kneknings-

problem er omtalt.

Det er lagt spesiell vekt på metoder som er

velegnet for løsning med små-kalkulatorer og datamaskin.

Det

er sådan vist en generell formulering av stabilitetsproblemet

ved bruk av matriseformulering og geometrisk stivhet.

Løsning

basert på differensialligningen har dessuten fått fornyet

aktualitet, da uttrykt i form av stivhetsmatrise med stabili­ tet s funksjoner .

En stor del av boken er viet annenordens eller ikkelineære metoder.

Dette har sammenheng med at våre sikkerhets­

begrep for konstruksjoner nå i stor grad er knyttet til det fullstendige lastforskyvningsforløp fram til sammenbrudd.

I

denne forbindelse er effekter av egenspenninger og plastiske deformasjoner behandlet.

Generelle formuleringer der en kan ta

hensyn til meget store forskyvninger er også gjennomgått. Det er lagt vekt på å sammenligne teorien med reglene i

de någjeldende forskriftene, for derved å øke forståelsen av

disse.

En ulempe ved slike sammenligninger er at forskriftene

blir revidert med jevne mellomrom og dette stoffet kan derfor miste noe av sin aktualitet.

Drastiske endringer av for­

skriftene er derimot ikke forventet med det første.

Denne boken er utarbeidet i forbindelse med tanke på kurset "Knekning og ikkelineære problemer" som undervises i tredje årskurs ved Bygningsingeniøravdelingen, Norges tekniske høg­

skole.

Boken er imidlertid en god del mer omfattende enn det

som er pensumstoff for dette kurset.

Boken forutsetter grunn­

leggende kunnskaper i faget statikk, så som enkel rammestatikk. Videre forutsettes kjennskap til matrisemetoder i statikken.

VI

Alle symboler og formuleringer er i samsvar med Pål G. Bergan, Geir Horrigmoe og Tor G. Syvertsen: Matrisestatikk, Tapir, 1977 .

Torill Jørgensen har gjort et førsteklasses arbeid ved maskinskrivingen av manuskriptet.

Omslaget er tegnet av Geir Aanvik.

Trondheim, desember 1977

forfatterne

Vil

INNHOLD

1.

INNLEDNING

1

1.1 Historikk

3

1.2 Kritisk last og knekning

5

1.3 Anvendelse av teorien forknekning

og

7

store forskyvninger 2.

DE GRUNNLEGGENDE PRINSIPPER FOR KNEKNING 2.1 Prinsippet om stasjonær potensiell energi og

pp

stabilitet 2.1.1 Kravet til en likevektstilstand

pp

2.1.2 Stabilitetskriterier

P7

2.2 Enkle modeller for knekning

3.

9

20

2.2.1 Linearisert knekning

20

2.2.2 Eksentrisk knekning

23

2.2.3 Stabilitet og store forskyvninger

28

2.3 Stabilitetskriteriene på generell form

30

2.3.1 Prinsipper for variasjonsregning

30

2.3.2 Generelle stabilitetskriterier

34

2.3.3 Eksempel med dobbel pendelsøyle

37

KNEKNINGSBEREGNING VED BRUK AV DIFFERENSIALLIGNING

45

3.1 Differensialligningen for en bjelke med

47

aksialkraft 3.1.1 Direkte oppstilling av differensialligningen

47

3.1.2 Forenkling av differensialligningen når

54

tverrlasten

q = 0

viii

3.1.3 Utledning av differensialligningen fra den

59

potensielle energi

3.1.4 Differensialligningen for bjelke på elastisk

53

underlag

3.2 Kritisk last for søyler og rammer

58

3.2.1 Eksempler på søyleknekning

58

3.2.2 Praktisk kapasitetskontroll av trykkstaver

75

3.2.3 Eksempel på rammeknekning.

Optimalisering

81

3.2.4 Iterasjonsløsning av en ikkelineær ligning

86

3.2.5 Iterativ løsning av differensialligning.

92

av ramme

Vianellos metode 3.3 Stivhetsmatrise for bjelke med aksialkraft

3.3.1 Stivhetsmatrise med stabilitetsfunksjoner 3.3.2 Enkle eksempler på bruk av "eksakt"

95 95

100

stivhetsmatrise 3.3.3 Rammeanalyse med "eksakt" stivhetsmatrise

113

ved bruk av datamaskin 3.4 "Elastica".

Eksakt teori for bøyning av bjelker

118

med store forskyvninger 3.5 Torsjonsknekning og vipping

4.

128

3.5.1

Torsjon

^28

3.5.2

Torsjonsknekning

^3^

3.5.3

Vipping av bjelker

13g

TILNÆRMEDE LØSNINGSMETODER FOR KNEKNING

148

4.1 Energimetoden (Rayleigh-Ritz’ metode)

150

4.1.1 Diskretisering av et kontinuerlig problem

150

4.1.2

152

Rayleigh-Ritz' metode

4.1.3 En metode basert på komplementær energi

4.1.4

Numerisk integrasjon

4.1.5 Tilnærmet knekningsberegning for enkle rammer.

Diskrete energibidrag

151 172

177

IX

4.2 Geometrisk stivhetsmatrise for bjelke- og stav

181

element 4.2.1 Bjelkeelement

181

4.2.2 Stavelement

189

4.3 Knekning av rammer og stavsystemer 4.3.1 Systemanalyse 4.3.2

Eksempler på rammeknekning

197 201

4.3.4 Romlige systemer

204

4.4.1 Generelt om egenverdier 4.4.2 4,4,4

205 205

Metoder basert på similaritetstransformasjoner 208

4.4.3 Vektoriterasjon

6.

191

4.3.3 Eksempel på knekning av stavsystem

4.4 Beregning av egenverdier

5.

191

. Kommentarer om nøyaktighet

209

214

INELASTISK KNEKNING

219

5.1 Modifisert knekningsteori for søyler

221

5.1.1 Elastisk-plastisk materialoppførsel

221

5.1.2 Tangentmodulteorien

223

5.1.3 Dobbetmodulteorien

224

5.1.4 Shanleys formulering

232

5.2 Innflytelse av egenspenninger

233

5.2.1 Egenspenninger i et tverrsnitt

233

5.2.2 Knekning av søyle med egenspenninger

238

5.3 Sammenbruddslaster for rammer

245

KONSTRUKSJONER MED STORE DEFORMASJONER

259

6.1 Geometrisk ikke-linearitet

261

6.2 Formulering av geometrisk ikke-lineære problemer

270

6.2.1 Metoden med oppdaterte koordinater

270

6.2.2 Total Lagrangeformulering

279

X

6.3 Løsningsmetoder

292

6.3.1 Inkrementelle.metoder

292

6.3.2 Iterasjonsmetoder

295

6.3.3 Kombinerte metoder

298

6.4 Eksempler på konstruksjoner med store forskyvninger 301

7.

6.4.1 Legging av oljerørledning

3qj

6.4.2 Gjennomslag av sinusformet bue

qqq

LITTERATUR

TILLEGG 1

STABILITETSFUNKSJONER

Tl.l Diagram TI.2 Tabeller TILLEGG 2

NUMERISK INTEGRASJON

305

311 313 314 321

T2.1 Gauss-Legendre integrasjon

323

T2.2 Labattointegrasjon

324

INNLEDNING

3

1.1 HISTORIKK

Historien om uhell og katastrofer i forbindelse med kon­

struksjoner viser at en meget stor andel av disse ulykkene skyldtes knekning eller instabilitet.

Hva som var grunnen til

en slik dramatisk oppførsel av konstruksjoner var gjenstand for spekulasjoner gjennom århundrer.

Stabilitetsproblemet ble løst av matematikere med Leonard Euler (1707-1783) i spissen /!/.

Ved hjelp av variasjonsregning

kom Euler fram til differensialligningen for en bjelke med

store forskyvninger.

tidligere av Jacob

Denne ligningen var riktignok utledet

Bernoulli (1654-1705) ved en direkte metode,

men Euler klarte ved hjelp av rekkeutviklingen å beregne den

elastiske formen for et stort antall kompliserte bjelkedeformasjonstilfeller. Han greidde også å fastslå at en søyle med lengde £ som er fast innspent i den ene-enden og påkjent

av en trykkraft P i den andre, ikke klarer å bære mer enn

Denne viktige ligningen viser at en fordobling av søylens lengde vil redusere bæreevnen til en fjerdedel.

Euler "absolutt elastisitet".

Konstanten

betegnet

Han trodde at for et rektangulært

tverrsnitt var denne størrelsen proporsjonal med

kvadratet(!) av høyden.

C

bredden

og

Sett i relasjon til den store mate­

matiske innsikt man hadde på den tiden synes det bemerkelses ­

verdig at sansen for ingeniørmessige og fysikalske vurderinger var så lite utviklet. J.L. Lagrange (1736-1813) tok for seg en lang rekke kneknings-

problemer, deriblant det klassiske tilfellet med en søyle som er

fritt opplagt i begge ender.

Han beregnet den kritiske last for

dette tilfellet til å være fire ganger så stor som den Euler hadde funnet for søylen med en fast innspent ende.

Sett i dette

historiske lys synes det noe merkverdig at vi vanligvis betegner

den fritt opplagte søylen for "Euler-søylen" eller "Euler-

tilfellet".

4

FIGUR 1.1

Søyle undersøkt av Euler

Også Lagrange brukte rekkeutviklinger til å beregne mulige 1ikevektsti1stander for laster som overskrider den teoretiske

knekklasten.

Dette tilfellet som vanligvis betegnes "elastica",

vil bli omtalt i kapittel 3. Mot slutten av attenhundretallet begynte forskerne å

interessere seg for egenspenninger og plastisk flytning i for­ bindelse med knekning.

Navn som er knyttet til inelastisk knekning

er blant andre Engesser, Considére, von Karman og Shanley.

Nærmere omtale av deres arbeider vil bli gitt i kapittel 5. Den moderne forskning dreier seg mye om videreutvikling av

numeriske beregningsmetoder.

I dag er disse metodene kommet så

langt at det er mulig å utføre numerisk simulering av svært

kompliserte konstruksjoner med store forskyvninger og plastisk

flytning.

Disse metodene bygger på elementmetoden og gjør

utstrakt bruk av datamaskin.

kan bli meget kostbare.

Beregninger av store problemer

Eksperimentelle undersøkelser for å finne

ut hvordan praktiske konstruksjoner oppfører seg, er også svært viktige.

Pa den maten undersøkes betydningen av egenspenninger,

forbindelsesmidler, formfeil og lignende.

I dag utføres om­

fattende forsøksserier i laboratorier over hele verden.

Det

drives et utstrakt internasjonalt samarbeid som blant annet

har resultert i en rekke forskrifter og anbefalinger for beregning og utføring av konstruksjoner.

5

1.2 KRITISK LAST OG KNEKNING

FIGUR 1.2

Knekning av bjelke

Figur 1.2 viser en ideell, rett bjelke av et homogent, elastisk materiale.

Bjelken er påkjent av en aksialkraft

som virker i aksen gjennom tverrsnittets flatesenter.

starte fra null og så øke.

La

P P

Til å begynne med skjer det ikke noe

annet med bjelken enn at den får en aksialdeformasjon.

Idet

lasten når en kritisk verdi, P^, får bjelken plutselig en sterkt økende utbøyning; den knekker.

Kraft-forskyvningsfor-

løpet blir som antydet med den heltrukkete linjen til høyre i

figuren.

Ved undersøkelse av virkelige konstruksjoner finner

en at de ikke oppfører seg eksakt som beskrevet over, utbøyningen

skjer da mer gradvis med økende P, som vist i det stiplede

forløpet i figuren.

spenninger og over.

Slik oppførsel skyldes formfeil, initial-

andre avvik fra de idealiserte forutsetninger

Det idealiserte tilfellet vil her bli betegnet

et f

knefontng for å presisere at det er gjort visse antakelser som

medfører at knekkforløpet blir lineært.

For praktiske konstruksjoner er det nødvendig å definere

hva vi velger å oppfatte med uttrykket

k. fcuf.

Hva er den

for eksempel for en virkelig konstruksjon som har et kraft-

forskyvningsforløp som det som er prikket i figur 1.2?

Vi

6

velger nå å

definere kritisk last som den kritiske grenseverdien

for knekning som framkommer for det tilsvarende

tilfellet.

Dette betyr at en må fjerne alle initialspenninger

og inhomogeniteter i materialet som forutsettes å være ideelt elastisk, alle ytre laster må virke eksakt sentrisk uten å

medføre momenter og konstruksjonen må være uten initialdeformablir på denne måten en referanseverdi som

sjoner.

markerer den teoretiske grensen for et transformasjonsområde

der konstruksjonen får vesentlige tverrforskyvninger.

Men det er

viktig å merke seg at i praksis kan konstruksjoner få sammenbrudd referanseverdien P^ nås, dette skyldes gjerne flytning

lenge

og sammenbrudd i materialet. Den norske standarden for stålkonstruksjoner, NS 3472, definerer en knekklast

P^ = a^A.

Denne størrelsen avhenger av

Pkp for den lineariserte konstruksjon,men tar også hensyn til

egenspenninger i tverrsnittet og slankhetsavhengige initial-

deformasjoner.

P. er derfor en del mindre enn P, k kr Teoretisk sett er det mulig for den ideelle konstruksjon å

finne likevektstilstander for belastninger som er større enn den kritiske lasten.

Det er derfor nødvendig å klassifisere for­

skjellige typer av likevektstilstander.

Dette vil bli diskutert

i kapittel 2. Hva som skjer

at konstruksjonen har begynt å knekke

ut er også av stor praktisk interesse.

Enkelte konstruksjoner

har betydelige bærereserver etter såkalt knekning, og dette kan en dra nytte av.

Andre typer konstruksjoner får en dramatisk

reduksjon av bæreevnen etter

er nådd.

at et maksimalt belastningsnivå

Typen av post-kritisk oppførsel karakteriseres gjerne

gjennom begrepet & øviiiÅ.ti.vÅ.te.t.

Svært sensitive konstruksjoner

har en lumsk oppførsel som krever store sikkerhetsfaktorer mot knekning.

For å studere dette fenomenet er det nødvendig å

benytte en teori som tar hensyn til store forskyvninger og gjerne

også ikke-lineær materialoppførsel.

Begrepet sikkerhet burde

egentlig knyttes til hele det ikke-lineære last-forskynings-

forløpet fram til fullstendig sammenbrudd av konstruksjonen. En beregningsmetode for konstruksjoner med store forskyvninger

vil bli gjennomgått i kapittel 6.

7

1.3 ANVENDELSER AV TEORIEN FOR KNEKNING OG STORE

FORSKYVNINGER

Beregningsmetodene for stabilitetsproblemer kan i hoved­ sak klassifiseres i tre grupper:

a. Enkle overslagsmetoder b. Metoder basert på differensialligningen

c. Tilnærmete metoder basert på variasjonsformulering Ved planlegging av en konstruksjon kan det ofte være nyttig

å gjøre en grov overslagsberegning av den kritiske last.

Dette

kan gjøres ved en forenkling og en idealisering av det konstruk­ tive system slik at det blir likt et system man allerede kjenner eller lett kan beregne den’ kritiske last for.

Ved å øke eller

minske stivheten i deler av konstruksjonen kan man ofte finne

øvre og nedre grenseverdier for

•

Med litt innsikt og

erfaring går det også an å gjette knekklengder for delkomponenter av konstruksjoner.

De ordinære differensialligninger for

knekning er et uttrykk for likevekt i deformert tilstand. forutsettes imidlertid at forskyvningene er små.

disse ligningene kan

P,

Det

Ved hjelp av

finnes for bjelkeproblemer med for-

skjellige grensebetingelser.

Differensialligningene kan dessuten

brukes til løsning av enkle rammeproblemer.

Ved en matrise-

formulering og bruk av stabilitetsfunksjoner kan eksakt knekk-

last finnes for svært komplekse konstruksjoner.

selvsagt bruk av datamaskin.

Dette krever

Det finnes også differensial-

formuleringer for knekningsproblemer med store forskyvninger.

De tilnærmete løsningsmetoder baseres vanligvis på at forskyvningsmønsteret uttrykkes ved et begrenset antall form-

funksjoner eller generaliserte forskyvninger en variasjonsformulering.

som håndregnemetoder.

i forbindelse med

En del av disse metodene kan betegnes

Det kan også utledes elastisk og geometrisk

stivhetsmatrise for et bjelkeelement med aksialkraft.

Ved en

matriseformulering og bruk av datamaskin kan en løse svært komplekse stabilitetsproblemer.

Det er også lett å ta hensyn til

varierende stivhetsegenskaper. For en konstruktør er det selvsagt hensiktsmessig å benytte

seg av ferdige løsninger i tabell- eller diagramform. løsninger finnes for eksempel i /2/, /3/ og /4/.

Slike

8

Praktiske knekningsundersøkelser må ofte utføres på for­ skjellige nivåer.

Bjelke- og stavkomponenter må undersøkes og

kontrolleres i henhold til forskriftene.

Stabilitet må sjekkes

for deler av konstruksjonen som igjen er sammensatt av flere

komponenter.

Til slutt kan det være nødvendig å utføre en

global stabilitetsundersøkelse for hele konstruksjonen. beregningsgang må f.eks. benyttes for

En slik

kraftledningsmaster.

Først må alle stavene kontrolleres, deretter delkonstruksjoner

som vangeben og tilslutt den totale masten.

DE GRUNNLEGGENDE PRINSIPPER FOR KNEKNING

11

2.1

PRINSIPPET OM STASJONÆR POTENSIELL ENERGI OG STABILITET

2,1,1 Kravet til en likeyektstilstand PÆZnéZppeZ: om mZnZmum pote.n6ze.tt eneJtgz /$/ er et grunn­

leggende prinsipp som beskriver oppførselen av lineære statiske systemer.

Dette prinsippet kan utledes matematisk fra de

virtuelle forskyvningers prinsipp som igjen er et integrert uttrykk

for likevektstilstanden i et legeme /6,7/.

Prinsippet om

minimum potensiell energi kan også utledes fra termodynamikkens lover. Den potensielle energien uttrykker potensialet eller evnen til å utføre arbeid.

La oss betrakte et vilkårlig legeme med

gitte grensebetingelser og påkjent av overflate- og indre volum­

krefter, se figur 2.1.

I det kartesiske x,y,z-systemet er

volumkraften i et punkt gitt ved komponentene

FIGUR 2.1

Legeme i likevekt

12

F = [F

F ■K.

y

F 1T

(kraft pr. volumenhet)

(2.1)

Zi

og overflatekraften (fraksjonen) i et overflatepunkt ved

komponentene T =

T

[T

x

y

(kraft pr. flateenhet 1

T ]T z

(2.2)

Forskyvningen av et vilkårlig punkt er en vektor som kan de­ komponeres langs de tre koordinataksene

[u v w]T

U =

(2.3)

La.AtpotQ.nA-ca.£e.t av kreftene som virker på legemet er gitt ved

H = - J (F u + F v + F w)dV V xy z -/(T u + Tv + Tw)dS q

x

(2.4)

z

y

=-JuTFdV - JuTTdS v V

sa er den delen av overflaten der

er volumet av legemet og

overflatekreftene er gitt.

Uttrykket over forutsetter at kref­

tene skal være faste, gitte størrelser som er uavhengige av forskyvningene.

Legg merke til minustegnet som betyr at last-

potensialet økeÆ når legemet forskyves i ne.ga££v kraftrefning.

Et nærliggende eksempel på dette seg i tyngdekraftfeltet.

er et legeme som befinner

Legemets potensielle energi økeÆ når

det heves, dvs. forskyves i motsatt retning av tyngdekraften.

Merk også at dette er et uttrykk for en koni>ta.nt krafts evne til å utføre arbeid ; ligning (2.4) skal derfor ikke inneholde faktoren 5.

Som vi skal komme tilbake til senere, kan last-

potensialet få en annen form enn den enkle lineære formen gitt

i (2.4). Den energien som lagres i legemet ved at det

kalles for tøynZngAcneAgfcn.

For å kunne beregne denne, er

det nødvendig å kjenne materialets spennings-tøyningssammenheng.

13

Lineær og ikkelineær elastisitet

FIGUR 2.2

Tøyningsenergien som lagres i et volumelement

dV

vil være

representert ved arbeidsdiagrammet for spenningene

a

tøyningene

enaksial

Det framgår av figur 2.2 at for en

e.

tilstand er energien ganske enkelt arealet under

og

a-E kurven.

Tøyningsenergien som er lagret i en volumenhet dV, kalles Xøi/nZng4eneÆgZZeXtheXen og er gitt ved

o

For et lineært elastisk materiale er:

U

- la s o 2 x x

+ la e 2 y y

+ la e 2zz

+ It , v „ 2 xy1xy (2.6)

+ I y + I y 2 t yz'yz 2 t zx'zx - 2 1C

-

der

C

U

-- jc 1 f^C f lt

uttrykker Hookes lov på generell form, se /5/, /6/,

/8/: (2.7)

a = Ce En viktig egenskap ved tøyningsenergitettheten er

_ 9Uo °x Se X.

au

a

o = x—, y 3Ey’

au

t

O = x--xy aYxy

, etc

m

Som en ser av (2.6), er det enkelt å beregne tøynings­

energitettheten for et lineært elastisk materiale med gitt tøyningstilstand.

For ZfefeefZneæte materialer kan det imidlertid

være komplisert eller umulig å beregne

Uq .

Ikkelineære

materialer som har den egenskap at tøyningsenergitettheten kan etableres som funksjon av tøyningene, kalles forøvrig for

Pen totate tøyntngAenestgten (eller den elastiske energien) for et legeme fås nå ved integrasjon av tøyningsenergitettheten

over volumet

U = /U dV V °

(2.8)

Når tøyningsenergitettheten for et lineært elastisk materiale settes inn, se (2.6), får U en enkel kvadratisk form i for­

skyvninger eller tøyninger.

For ikkelineære problemer kan

U

være en fjerdegradsfunksjon av forskyvningene, eller det kan

også inngå avhengigheter av trigonometrisk form. Den totate potenAtette eneagten for et legeme fås ved å summere lastpotensialet og tøyningsenergien

R = H + U

II, H og U

(2.9)

betegnes ofte

JonaZeÆ.

En funksjonal kan populært

sies a være en "funksjon av en funksjon"; H og U av forskyvningsfunksjonen

avhenger her

u.

For et lineært system gjelder ptZn^ZppeX om mtntmum potenAtett enetcgt, som sier at i et legeme som er i statisk like­ vekt vil forskyvningene innstille seg slik at den totale poten­

sielle energien får et minimum. av

II

Dette medfører at den deriverte

med hensyn på forskyvningene må være lik null:

6R = 6H + 6U = 0 6

(2.10)

kalles vasitaAjonAopesiatosie.n og følger de samme regneregler

som ved derivasjon, dvs. differensialet av II".

6IT

tilsvarer

dll, som er "det totale

Grunnen til at symbolet

6

benyttes er

at derivasjonen utføres med hensyn på en kontinuerlig felt-

funksjon som her er forskyvningene

U.

6 leses som ^øaAte

vasitaAjonen av eller bare vasttaA j o nen av.

15

FIGUR 2.3

Enkel lineær fjær

For et system bestående av en enkel linær fjær med fjærkonstant k

og påkjent av en kraft P , er den pdtensielle energien: n=H+U=-Pu+ £ku2 o

Den elastiske energien framkommer her som arealet under arbeidskurven i P-u diagrammet.

I henhold til (2.10) er det en

betingelse for statisk likevekt at TT

6n = k--6u = -P £ £ H2 [EIv"6v’] - [_g_(EIv")6v] + f^v(EIv")6vdx dx Q ^dx2 o og

SL SL Jv'6v’dx = Jv’-^-(6v)dx = } 1 dx o o £ £ [v'6v] - Jv"6vdx o o

Samlet får vi: £ ,2 6ir = f(-^r(EIv") + Pv")6vdx < dx2

£ [EIv"6v’] + [(-Pv' - A(EIv"))6v] dx o For at dette skal oppfylles for

leddene hveÆ for det første

u-cffoåÆZZg Cx = 0

= A(l-coskJL) - å

altså

cosk£

C2 = -A

0

71

Denne betingelsen er oppfylt for TT k£ = v?- + mr ,

n = 0, 1, 2,

•• •

n = 0 gir lavest knekklast: P

-

k2FT

-

7121:1

-

EI

*kr ’ k h± - TIT ’ W

Den tilhørende knekkformen er en sinus- (eller cosinus-)fcvaÆXbølge.

Søyle_3

I denne søylen er skjærkraften forskjellig fra null, se

figur 3.15.

Med M^ og Q som definert i figur 3.6, gir de ytre

likevektsbetingelsene for søylen:

Ma = Q£

Dessuten er

= 0, slik at utbøyningen blir:

v = CjSinkx + C2coskx + ^(£-x)

v' = Cjkcoskx - C2ksinkx - p

Randbetingelsene er:

v(0) = C2 +

= 0 -> Q = -|C2

v’(0) = CTk - S = C1k +

= 0 -> C2 = -k£C1

v(£) = C1sink£ + C2cosk£ = CjCsinkS, - k£cosk£) = 0

72

Ikke-triviell løsning krever sink£ - k£cosk£ = 0 eller tgk£ - k£

(3.41)

Dette blir ofte kalt en t/ta.n.6 cendeni ligning, dvs. en ligning hvor både den variable og en implisitt funksjon av den variable inngår på en slik måte at ligningen ikke kan løses direkte.

tilnærmet løsning kan finnes ved en grafisk metode.

En

I figur

3.16 er høyre og venstre side av (3.41) tegnet opp hver for seg, og løsningen finnes i skjæringspunktet mellom

k£

og

tgk£.

På grunn av de trigonometriske funksjonenes periodisitet finnes

det uendelig mange løsninger, men bare den som gir lavest knekklast er av praktisk ihteresse.

73

Fra figuren kan det leses av at skjæringspunktet fås for

k£ = 4.493

P. = kr

= 2.04 5—-f1 =

F

\? (0.699S,)2

Ligning 3.41 kan også løses med iterative metoder, f.eks. New-

ton-Raphson-iterasjon. 3.2.4.

Dette kommer vi tilbake til i avsnitt

Knekklaster for søyler med andre randbetingelser enn de i En oversikt over

figur 3.15 kan beregnes på tilsvarende måte.

de vanligste søyletilfellene er vist i figur 3.17.

7T2EI £2

tt2EI

4£2

2SL

SL

SL

tt2E1

„ pkr:

£,

k

:

FIGUR 3.17

„ nq7T2EI

SL2

4tt2EI £2

0.7 SL

Kritisk last og knekklengde

I figuren er også fenebfeZengden

angitt.

Denne henger sammen

med knekkformen, og er lik lengden mellom to infleksjonspunkter eller tilsvarer en halv sinusbølge.

Søylen med fritt opplegg i

begge ender (Eulerstaven) har følgelig knekklengde lik

SL, mens

knekklengder for to andre tilfeller er skissert i figur 3.18.

74

Knekklengden

FIGUR 3.18

Generelt kan knekklengden for en søyle defineres som:

(3.42)

hvor

er søylens kritiske last og P^, er en referanse-

P^

Denne er den kritiske lasten for en fritt opplagt

størrelse.

søyle av lengde

p

£, dvs. Eulerlasten:

_ tt2EI E "

Den kritiske lasten kan dermed uttrykkes som:

p Z2 _ kr " ^Eiy k

tt2EI

F~ k

(3.43)

I praksis vil det ofte være lettere å anslå knekkform enn knekklast for en søyle med litt ukurante randbetingelser.

Knekklengden kan da også anslås, og P^

kan beregnes ifølge (3.43)

75

3.2.2 Praktisk kapasitetskontroll av trykkstaver

Konstruksjonsforskriftene inneholder forenklede regler for kontroll av stabilitet av konstruksjoner og konstruksjonsdeler. Disse reglene skal være enkle i bruk, sammenfatte en rekke til­

feller og dessuten gi resultater som ligger på den sikre siden. Dette gjør at det i mange tilfeller kan være vanskelig å se

sammenhengen mellom teori og forskrifter, og vi skal derfor se litt nærmere på forskriftene her.

Vi skal først definere noen nye størrelser.

T v CÆÆ4 n-itti -

mome.ntcuiYn er gitt ved:

I A

(3.44)

eller

I = i2A

hvor

A

er tverrsnittsarealet og I er tverrsnittets kvadratiske

arealmoment.

Denne størrelsen har vanligvis blitt kalt for

treghetsradius .

Siden

i

ikke har noe med treghet (masse) a

gjøre, er dette en fysikalsk sett misvisende betegnelse, og momentarm er valgt i stedet.

En søyles

er definert som

forholdet mellom knekklengde og tverrsnittets momentarm:

(3.45)

Knekklengden uttrykkes ofte som en faktor multiplisert med systemlengden: (3.46)

£k = m

Se også figur 3.17. Ved sentrisk trykk kan aksialkraften regnes jevnt fordelt

over tverrsnittet.

Spenningen som svarer til

k.su.tZik. ipe.nni.ng, og kan beregnes av (3.43):

kalles

76

P

akr

, kr _ tt2EI A VA k

Ved å innføre (3.44) og (3.45), kan dette skrives: Tr2Ei2 akr ’ “P k I et

tt2E T2-

(3.47)

o^^-Å-diagram framstiller (3.47) en hyperbel, ofte kalt

hi/peÆbe£en, se figur 3.20.

Denne kurven representerer den

kritiske spenningen ved ideell sentrisk knekning av en søyle som er laget av et ideelt elastisk materiale.

FIGUR 3.20

Euler-hyperbelen, definert i (3.47)

For et ideelt elastoplastisk materiale kan spenningen nå flyte-

spenningen før staven knekker dersom slankheten er tilstrekkelig liten, og dette gir en øvre grense for 3.20.

som vist på figur

Avvik fra de idealiserte forutsetningene for Eulerhyper-

belen i form av egenspenninger, formfeil, o.l., vil kunne

redusere den kritiske spenningen i forhold til (3.47).

En slik

77

redusert kurve er vist med stiplet strek på figur 3.20.

In-

elastiske effekter vil bli nærmere omtalt i kapittel 5.

Forskriftene for beregning og dimensjonering av stålkon­ struksjoner 717/ angir kurver som svarer til figur 3.20 for bestemmelse av kritisk spenning.

Mens kurven i figur 3.20 er

avhengig av flytegrense og E-modul (se (3.47)), er stålstandar

dens kurver gjort uavhengige av disse størrelsene gjennom inn­ føring av

/Yl! s. 21:

(3.48)

Å

hvor

Åp

beregnes av, se figur 3.20

Ved å innføre

Å =

- /F

i (3.47) blir dermed

aF

°kr _ _1_ aF ’ Å2

(3.49)

(3.49) kan da framstilles i et diagram som er uavhengig av

flytegrense og E-modul.

Figur 3.21 viser knekkurver fra /17/.

Disse kurvene er redusert i forhold til (3.49) for a ta vare pa virkningen av uregelmessigheter som formfeil og egenspenninger.

Fordelingen av egenspenninger varierer gjerne med tverrsnitts-

formen, og 717 Z angir derfor kurver for tre forskjellige tverrsnittsformer , Nærmere omtale av dette vil bli gitt i kapittel 5.

Til sammen­

ligning er den ideelle kurven (3.49) tegnet inn.

Det generelle knekningstilfellet er knekning i rommet med

bøyning om to tverrsnittsakser samt rotasjon om lengdeaksen.

Momentpåkjente bjelker kan dessuten bli utsatt for vipping, dvs. knekning av trykkflensen ut av planet for bøyning.

Torsjons-

knekning og vipping kommer vi tilbake til i avsnitt 3.5.3.

78

NS 3472 behandler sammensatte knekningstilfeller som en kombinasjon av spesialtilfeller. ledes med såkalte Zn-tc/iafei

Kapasiteten kontrolleres så­

som i prinsippet er av

formen Bi

li—i - 1 hvor

B.^

(3.50)

er en beregningsmessig påkjenning og (^

svarende kapasitet nar Bi virker alene.

er den til­

Ved kombinert moment

og aksialkraft forstørres momentpåkjenningen beregnet etter

ZZneæÆ teori med en faktor

1

hvor

Pkp

beregnes etter nærmere angitte regler. Se også side 54.

79 -

Det kan forøvrig bemerkes at enkelte av interaksjonsform­

lene i NS 3472 gjelder samvirke mellom elastisk knekning og deformasjon, se /25/ og avsnitt S.3. Ifølge betongforskriftene /18/ skal slanke trykkstaver

kontrolleres for lastvirkninger beregnet etter 2.ordens teori, dvs. virkningen av konstruksjonens forskyvninger skal tas med. Det skal dessuten regnes med ikkelineære materialegenskaper både

for betong og armering.

Nøyaktige beregninger av denne type

vil i mange tilfeller kreve bruk av datamaskin og forholdsvis avansert programutstyr.

Det er imidlertid utviklet program for

analyse av betongrammer hvor det tas hensyn til både ikkelineær

geometri og ikkelineære materialegenskaper /26/.

Med slike

beregninger kan man fa et meget bra bilde av deformasjons- og

spenningstilstanden i en betongkonstruksjon. Langt vanligere er det imidlertid å bruke forenklede bereg­

ningsmetoder der de enkelte bjelker dimensjoneres hver for seg etter den påkjenning de utsettes for i konstruksjonen.

Snitt-

kreftene beregnes i første omgang etter 1. ordens teori, og for­ størring med en faktor som (3.17) gir dimensjonerende lastvirkning.

I tillegg T5.5 i NS 3473 som behandler slanke trykk­

staver, er denne forstørrelsesfaktoren godt skjult i et tilleggs­

moment som tilsynelatende er proporsjonalt med aksialkraften .

Utgangspunktet for beregning av tilleggsmomentet er imidlertid

at det dimensjonerende momentet er M

hvor P og M^

Y

er henholdsvis aksialkraft og moment beregnet etter

1. ordens teori.

Dette dimensjonerende momentet settes lik

momentkapasiteten (bruddgrensetilstand):

My W, = --- d 1 - JPP. kr

80

hvorav

P M. (1 d Pkr

Y

eller

= M

v '

+ J— M, = M + M E dye kr 1

(3.51)

Denne ligningen uttrykker likevekt mellom momentkapasitet og

M

en fiktiv lastvirkning.

M

e

=

P

P, kr

er det såkalte tilleggsmomentet:

e

M, d

M, kan uttrykkes ved en maksimal tillatt krumning og Pkp d x en knekklengde* :

(3.52)

P pkr -- nrp

M, = EI< . d d

ved

Dermed blir j2

M

e

Dk P~ tKj it 2 d

Zk2 P10Kd d

(3.53)

I NS 3473 angis det hvordan maksimalkrumningen skal beregnes på grunnlag av tøyningene i bruddgrensetilstanden.

Knekklengden

beregnes som "lengden av en leddlagret stav med samme egenverdi som den aktuelle stav". ved elastisk knekning.

Med egenverdi menes her kritisk last Bøyestivheten regnes ut fra initiell

E-modul (null tøyning) og arealmoment for uoppsprukket tverr­ snitt.

med disse antakelsene kan også de fiktive størrelsene

Md og Pkr i (3.52) beregnes.

Stabilitetskontrollen foregår

ved at det påvises en tilstand hvor den beregnede kapasitet for aksial kraft og moment er større enn de beregnede last­

virkning er . Merk at både EI og £,

her er

størrelser som f.eks.

kan beregnes ut fra initiell E-modul og uoppsprukket tverr­

snitt .

81

3.2.3 Eksempel på rammeknekning.

Optimalisering av ramme

I avsnitt 3.2.1 så vi hvordan differensialligningen for en

bjelke med aksialkraft kunne brukes til å bestemme kritisk last for søyler med forskjellige randbetingelser.

I en ramme kan

hver enkelt av søylene regnes som elastisk forbundet med de til­ støtende konstruksjonsdeler, og disse randbetingelsene kan brukes

pa samme måte som i avsnitt 3.2.1 til å bestemme knekklast og knekkform.

Dette forutsetter selvsagt at innspenningsforholdene

er kjent, og dessuten at aksialkraftfordelingen er gitt.

FIGUR 3,22

Plan ramme og forenklede beregningsmodeller

Figuren viser en portalramme som har leddlager nede og er

belastet med to punktlaster P.

Ved å anta en antisymmetrisk

knekkform kan forøvrig systemet forenkles slik som skissert i figuren. av (3.22).

Differensialligningen for søylen AB har løsning gitt Ved å sette inn

82

vA = 0 ,

Ma = 0

Q = 0

,

blir v(x) = CjSinkx + C2coskx ;

k2 =

p

(3.54)

Randbetingelsene er

v(0) = 0 ,

vU) = △ ,

v’ (£) = 9

hvor A og 9 er definert på figuren.

Den første betingelsen gir

C2 = 0, dvs: v(x) = CjSinkx ,

v’(x) - (\kcoskx

Sammenhengen mellom moment og rotasjon i punkt B er vist i

figur 3.23. B

Moment og rotasjon i rigel

FIGUR 3.23

Rotasjonen blir altså

M e =

btl.

= v’(£) = C,kcosk£

(3.55)

1

Likevekt i horisontal retning av hele rammen betyr at skjærkraften i A og D må være lik null, og momentlikevekt av søyle

AB om B gir:

M

B

= PA - Pv(£) - PC sink£ 1

83

Ved å sette dette uttrykket for Mg inn i (3.55), får vi:

P£1C1sink£

-------------------------- = otlj----------- 1

„

n

C.kCOSk£

eller PJ?

tgk£ = 6EI1

Innsetting av P = k2EI

gir

k£tgk£ = 6^- ~

(3.56)

Dette er igjen en transcendent ligning som kan løses grafisk eller ved iterasjon, på samme måte som (3.41).

I figur 3.24 er

venstre side av (3.56) framstilt som funksjon av k£. verdier av I, £,

For gitte

og £} kan dermed kritisk verdi for k£ leses

ut av diagrammet. Ij = I og £x = £ gir for eksempel k£ = 1.35 eller P = 1.823|| = 0.184^^. Dersom rigelen er uendelig stiv er ip = °°, og diagrammet gir den tilsvarende øvre grense for TT

k£ = y, dvs. som en burde vente. Diagrammet i figur 3.24 gir knekklasten når stivhet og geo­ metri er gitt.

I praksis vil problemstillingen ofte være om­

vendt, nemlig å finne fram til de nødvendige stivheter når

belastning og geometri er gitt.

en situasjon der P, £ og £

Vi tar derfor utgangspunkt i

er gitt, mens I og Iy skal bestemmes

på en kostnadsmessig optimal måte. det bare en verdi av I (3.56).

For en gitt verdi av I er

som tilfredsstiller stabilitetsligningen vil medføre knekning, mens

Lavere verdier av I

høyere verdier betyr ekstra sikkerhet.

Når (3.56) framstilles

i et I-I -diagram vil man få en kurve som deler I-I1-planet i

Dette er vist i figur 3.25,

et stabilt og et ustabilt område.

men i stedet for I og I

er

k

og Kj avsatt langs aksene for å

gjøre diagrammet dimensjonsløst.

med I og I} , er gitt ved:

k

og

som er proporsjonale

84

FIGUR 3.24

Grafisk framstilling av (3.56)

K -

EI 1 P$T ’ (k£)2

< i = -Eli. P££j Ligning (3.56) kan nå skrives:

85

Begge sider multipliseres med p-^- og vi får

FIGUR 3.25

Stabilitetskurve og kostnadskurver

Foruten denne stabilitetskurven er også isokostkurver for kostnadsfunksjonen inntegnet.

Prisen på rammekonstruksjonen vil

generelt være avhengig av en lang rekke forhold, men hvis alle andre parametre holdes konstant, kan kostnaden framstilles som

86

en funksjon av I og I

eller < og < .

Formen på denne funksjonen

vil avhenge av materialpris, profiltype, bearbeidingspris osv.

I prinsippet kan kostnadsfunksjonen se ut slik den er skissert

ved hjelp av isokostkurver på figuren.

Langs en isokostkurve

er kostnadsnivået konstant, figuren viser isokostkurvene C2, osv. med CT < C2

• • • • .

,

Stabilitetskurven representerer en

begrensning av tillatt område for valg av 2

0

! 1 6EI, ' £2 $2 ;

EA

0

12EI. 6EIA ""F-*5

0

2EI. 1

! 1

0 0

12EI,

6EI.

0

6EI. 2EI. SL 0

6EI, £2 *2 4EI.

(3.73)

FIGUR 3.44

Bjelkeelement med 6 frihetsgrader og aksialkraft

Ved oppbygging av systemstivhetsmatrisen transformeres element

stivhetsmatrisene først til globalt system, og adderes der­ etter inn i systemstivhetsmatrisen etter den direkte stivhetsmetoden, /5/ kap. 3. Prinsippet for den iterative beregningsmetoden er

følgende:

115

1.

Inngangsdata leses

2.

Aksialkreftene i elementene gis startverdi 0: P = 0.

3.

Systemstivhetsmatrisen nullstilles; K = 0

4.

Systemstivhetsmatrisen beregnes etter den direkte stivhetsFor hvert element utføres følgende:

metoden.

i)

Stabilitetsfunksjonene beregnes på grunnlag av aksial­

kraften P^, og lokal elementstivhetsmatrise IG stilles opp. ii)

Elementstivhetsmatrisen transformeres til globalt

system: k^ = T^k^lG, hvor T. er transformasjonsmatrisen.

iii) Elementets bidrag til ‘systemstivhetsmatrisen adderes Tinn: K := K + ap^pa^ 5.

Forskyvningsvektoren beregnes: r = K ^R R er lastvektoren.

6.

For hvert element utføres:

i)

Elementets forskyvningsvektor plukkes ut av r: v .

i

ii)

7.

= a .r

i

Aksialkraften beregnes:

= P^(V^)

Dersom endringen i aksialkraftfordelingen fra forrige iterasjon er tilstrekkelig liten, har prosessen konvergert.

Hvis

ikke gjentas alle punktene fra og med punkt 3. 8.

Forskyvningsvektoren r skrives ut.

9.

For hvert element utføres:

i)

Elementets forskyvningsvektor plukkes ut av r: v .

ii)

= a .r

i i Elementkreftene beregnes:

= k^V^

iii) Elementkreftene skrives ut. De fleste punktene i prosessen er utførlig beskrevet i /5/.

Iterasjonsprosessen har konvergert når konstruksjonen har nådd en likevekt stilstand der forskyvninger og krefter ikke

endres fra en iterasjon til den neste.

Konvergenskriteriet

kan utformes på flere måter, for eksempel ved å studere end­ ringen i aksialkraftfordelingen.

Denne endringen kan uttrykkes

116

ved en skalar størrelse a: pH+1 _ pH

an+l = m*x

i

(3.74) Ei

som er den største relative aksialkraftfordelingen for noe element.

Indeks i står for element nummer i, mens n er itera-

sjonsnummer.

Referanseaksialkraften er valgt lik Eulerlasten:

PEi =

7T2EI • £?~ i

Iterasjonen sies å ha konvergert når

a ,, < E n+1

(3.75)

hvor £ er en liten positiv størrelse, for eksempel i området

0.01 - 0.0001.

Denne metoden kan brukes til å beregne forskyvninger og krefter for en ramme med en gitt ytre belastning hvor det tas hensyn til aksialkreftenes momentvirkning (2.ordens teori). Dersom den ytre lasten ligger nær konstruksjonens kritiske last

vil det i praksis være vanskelig å oppnå konvergens.

Årsaken

til dette er at forskyvningene er ubestemte for kritisk last.

Metoden egner seg derfor ikke til nøyaktig å beregne last for en konstruksjon, selv om man kan få et brukbart overslag ved å

øke lastnivået gradvis inntil det oppstår konvergensproblemer . Lastøkningen kan foregå ved at lastvektoren uttrykkes ved en

referanselastvektor Rre^ ved hjelp av en lastfaktor p som økes

gradvis R = pR

.

(3.76)

En slik lastøkning kan innføres ved å modifisere beregnings-

gangen i skjemaet på side 112 slik at det legges inn en ny sløyfe hvor ny lastvektor beregnes som omfatter punktene 3-7,

eventuelt også 8 og 9 hvis man vil ha beregnet forskyvninger

og krefter for hvert lastnivå.

Økningen av parameteren p kan

117

gjøres ved at de forskjellige lastnivåer er gitt eksplisitt på forhånd fra en nedre grense P .£

°g oppover, eller ved en eller

annen automatisk pålastningsprosedyre.

Når p når et nivå der

aksialkraftiterasjonen ikke konvergerer, er dette et tegn på at belastningen ligger nært det kritiske nivå

For å bestemme kritisk verdi av p

p,

.

kan en alternativt be­

nytte en determinantmetode for å fastlegge den p-verdien som gir singulær systemstivhetsmatrise.

Determinanten til K

beregnes for hvert lastnivå etter at iterasjonsprosessen har

konvergert.

Løsningen av ligningssystemet

Kr = R

blir gjerne utført ved en faktorisering av K i en øvre og en

nedre triangulær matrise, se /5/ kap. 3: K = LU

Da er det(K) = det(L)«detCU ) hvor determinanten til de triangulære matrisene L og U enkelt lar seg beregne som produktet av diagonalleddene.

Det vil

dermed være hensiktsmessig å beregne det(K) samtidig med løs­ ningen av ligningssystemet. På grunn av konvergensproblemene som oppstår når p nærmer seg pkr, kan ikke pkr bestemmes eksakt på denne måten heller, En tilnærmet løsning kan finnes ved ekstrapolasjon som illu­

strert i figur 3.45a.

Ekstrapolasjonen kan for eksempel ut­

føres ved at en legger en parabel gjennom de tre sist beregnede

punkter og finner nullpunktet for denne. Determinantmetoden egner seg også godt for tilnærmet beregning av p^r i tilfeller der aksialkraftfioscdeVcng en ikke endres vesentlig i forhold til fordelingen etter lineær teori. Aksialkraften i element nummer i kan da tilnærmes med

P. i

pP. . iref

118

FIGUR 3.45

Beregning av p^

hvor P. r er aksialkraften beregnet etter lineær teori med iref & lastvektor lik Systemstivhetsmatrisen blir dermed en funksjon av p: K = K(p)

Determinanten til K kan nå beregnes for visse verdier av

p

mellom to yttergrenser slik det er skissert i figur 3.45b. Knekningstilfellet tilsvarer

det(K) - 0, og det er selvsagt

tilstrekkelig å søke inntil det(K) skifter fortegn.

Deretter

kan p^r bestemmes mer nøyaktig ved interpolasjon eller en

liknende metode. I dette tilfellet er det unødvendig å løse ligningssys­

temet Kr - R.

Det er likevel mest hensiktsmessig å beregne

determinanten ved en faktorisering eller triangulering av K,

se /10/.

3.4 "ELASTICA".

EKSAKT TEORI FOR BØYNING AV BJELKER MED STORE

FORSKYVNINGER Ved utledning av bjelkens differensialligning tidligere i dette kapitlet har vi gjort bruk av den kjente sammenhengen

119

mellom moment og krumning:

M = EIk Krumningen kan uttrykkes ved tverrforskyvningen v, se.ref. Z21Z;

k

d2 v dx"2

=

(3.77)

I de foregående avsnitt har vi forutsatt små forskyvninger og rotasjoner slik at

(-r—)2 P^r.

Formen på utbøyningen slik den

kan beregnes av den eksakte differensialligningen, kalles for

/22/.

Elastica er et av de klassiske problemer i

elastis itet steorien, og den teoretiske løsningen av problemet

går helt tilbake til Lagrange i 1771.

Ved utvikling av den eksakte differensialligningen er det hensiktsmessig å anvende kurvekoordinaten s langs den deformerte bjelkeaksen i stedet for x, se figur 3.146.

FIGUR 3.46

Deformert bjelke

120

Krumningen er pr. definisjon den inverse av krumningsradien:

Som det framgår av figuren, er også ds = rdØ hvorav 1 _ dø r ds

(3.78)

Dette uttrykket for krumningen svarer helt til (3.77), men

k

er nå beskrevet ved 0 og s i stedet for v og x. Momentet blir dermed HA M = EI< = EI^.

(3.79)

Vi forutsetter nå at bjelken ikke har tverrlast og at bj elke-

enden s = 0 er fri slik at momentet fra ytre last er

M = -Pv Likevekt mellom indre og ytre moment gir dermed

PTdØ n EI-t— = -Pv ds dV • Q — = sinØ, Ved å derivere begge sider med hensyn på s og innføre -3ds framkommer differensialligningen

d A + k2 9 sinØ . 2^= 0 ;

k92 =

P

éj

(3.80)

Med utgangspunkt i denne ligningen kan vi studere sammen­ hengen mellom aksialkraft og tverrforskyvning for den innspente

søylen i figur 3.47.

121

FIGUR 3.47

Innspent søyle

For å løse (3.80) multipliseres ligningen med dø og integreres: = ~k2/sinØdØ = k2cosØ + c

Integranden på venstre side kan omskrives idet _d/dØ\2 _ 9dØ d20 ds^cTs7 “ 2ds ds2

slik at f d20 dø _ lfd,dø,2, lzdø.2 12 J HF? Z^3 " 2Wd7} ds = 2(d7} = k cosø + c

dvs. Izd0 /— o /l-y2sin2ø

/cosøds

(3.87) gir

cosø = 1 - 2sin2| = 1 - 2y2sin2ø = 2 (1-y2 sin2ø) - 1

Dermed kan integralet skrives (se også (3.89))

271 rz 1-y 2 sin2 ø ,, /cosøds = v J . " ~dø o /1-y2 sin2 ø

, tt/2

i / /

,

■ .d *

o /1-y2sin2$

q7t/2 _________________ 2 = — f /1-y2 sin2 ødø - £ - rrE(y) - £ K

J 0

K

Aksialforskyvningen blir altså

2 u^ = £ - JcosØds = 2£ - ^E(y) Integralet E(y) er et

(3.93)

ZnXegÆaZ av ancUe z>£ag,

og det finnes tabulert på samme måte som K(y). Forskyvningene av et vilkårlig punkt langs bjelkeaksen kan beregnes på tilsvarende måte, men med elliptiske integraler som

ikke er komplette (øvre integrasjonsgrense < ^). Tabellen nedenfor gir verdiene for y, K, E, P, v^ og u^ for

ulike verdier av a.

Referanseaksialkraften er

126

P

kr ”

4£2

slik at

a

0°

y

0

0.1737

0.3420

0.5

K

1.5708

1.5828

1.6200

E

1.5708

1.5589

1.0

20°

40°

60°

80°

100°

140°

160°

0.6428

0.7660

0.9397

0.9848

1.0

1.6858

1.7868

1.9356

2.5046

3.1534

00

1.5238

1.4675

1.3931

1.3055

1.1184

1.0401

1.0

1.015

1.064

1.152

1.294

1.518

2.542

4.030

oo

0.0

0.220

0.422

0.593

0.719

0.792

0.750

0.625

0.0

UA £

0.0

0.030

0.119

0.259

0.441

0.651

1.107

1.340

2.0

For

or = 40

P pkr VA £

er

180°

således lasten 6.4% større enn kritisk last.

Forskyvningsbildet for søylen er skissert i figur 3.49 for forskjellige verdier av a, mens figur 3.50 viser sammenhengen

mellom last og tverrforskyvning.

127

FIGUR

FIGUR 3

.49

Elastica

128

Denne teorien for store forskyvninger viser altså at søylen i figur 3.47 har ekstra kapasitet ut over den kritiske lasten.

Som figur 3.50 viser, kreves det svært store forskyvninger før

lasten kan økes nevneverdig, og den ekstra kapasiteten ut over P

kan derfor sjelden utnyttes i praksis.

3.5.1

Torsjon

Når en bjelke utsettes for torsjonsmoment, vil endeflatene

rotere relativt til hverandre om bjelkeaksen, slik det er vist for en sirkulærsylindrisk bjelke i figur 3.51a.

Deformasjonen

av denne bjelken er slik at ethvert tverrsnitt forblir plant og

vinkelrett på bjelkeaksen, men tverrsnittene roterer innbyrdes i forhold til hverandre.

Det ytre torsjonsmomentet holdes i

likevekt av indre skjærspenninger. avstanden fra rotasjonsaksen.

Disse er proporsjonale med

Det er enkelt å vise at sammen­

hengen mellom torsjonsmomentet og den relative dreiningen av

tverrsnittet er gitt ved, se 712/ s. III.35:

FIGUR 3.51 Torsjon uten hvelvningshindring

(St.Venant torsjon)

129

hvor G er skjærmodulen og J er Xve-VianZXXeta toMjoni konstant. For et sirkulært tverrsnitt er J lik det polare arealmoment:

J = I p

= Jr2dA = yirr4 A z

(3.94)

hvor r er tverrsnittets radius. Ved torsjon av bjelker med ikke-sirkulære tverrsnitt kan det foruten vridning også oppstå hvelvning av tverrsnittet, dvs.

forskyvning normalt på tverrsnittsplanet, se figur 3.51b.

Dersom

hvelvningen ikke blir forhindret på noen måte, vil det ytre tor-

sjonsmomentet bli holdt i likevekt av tilsvarende skjærspenninger som for det sirkulære tverrsnittet.

Sammenhengen mellom tor-

sjonsmoment og dreining er fortsatt gitt av (3.93), men bereg­

ningen av torsjonskonstanten blir gjerne mer komplisert, se /16/, kap. 2 eller /28/, kap. 7.

For et tverrsnitt som er sammensatt

av rektangulære deler, kan J tilnærmet uttrykkes som /16/ s. 45:

J = |jb.(t.)3

(3.95)

1

hvor b^ og t^ er henholdsvis bredde og tykkelse av rektangel

nummer i, se figur 3.51b.

stammer

Torsjon som følger (3.93), dvs. torsjonsmotstanden

fra skjærspenninger pga. relativ vridning av tverrsnittene, kalles for St.Ve.na.nt tonjon eller uniform torsjon.

Dersom hvelvningen av tverrsnittet forhindres på noen måte, vil fibre som er parallelle med bjelkeaksen få en lengdeendring, og det oppstår spenninger i bjelkens lengderetning.

Figur 3.52

Ved

viser en utkragerbjeike av et dobbeltsymmetrisk H-profil.

innspenningen er hvelvning helt forhindret, og flensene blir

derfor bøyd når bjelken utsettes for et torsjonsmoment.

I

flensene oppstår det nå et bøyemoment om z-aksen som om flensen

ble bøyd som en egen bjelke, se figur 3.52.

Momentet i en av

flensene er gitt av (3.5):

Mf = ElÆjr f fdx2

(3.96)

13Q

Torsjon av tverrsnitt fastholdt mot fri

FIGUR 3.52

hvelvning

der v er tverrforskyvningen av flensen, og moment ved bøyning om z-aksen.

er flensens areal-

Som det framgår av figuren er

oh v = 07 der 9 er dreiningen av tverrsnittet i forhold til innspennings

snittet.

Innsatt i (3.96) gir dette:

M

f

h d2e f2 dx7

(3.97)

Skjærkraften i flensen finnes ved å derivere momentet:

Qf

dMf _rT h d39 " dx ' f 2 dx7

(3.98)

Øvre og nedre flens blir bøyd i hver sin retning så skjærkreftene virker hver sin vei og danner et kraftpar, et torsjonsmoment:

Mh = Qfh = -EIf^ = -ErØ

Størrelsen F =

h2

hvefvnZng4konétanten.

n]

og

c

= [cjCj

Formfunksjonene må tilfredsstille de

••• cn]

T

randbetingelsene

(se avsnitt 3.1.3), men ellers kan de i prinsippet velges fritt.

Man søker imidlertid å finne formfunksjoner som kan representere

den riktige forskyvningstilstanden på en best mulig måte.

Eksempel

FIGUR 4.1

Innspent søyle

Tverrforskyvningen for den innspente søylen i figur 4.1

kan for eksempel antas å være av formen v(x) = cxx2 + c2x3 = cjj + c2(f)2

Begge disse formfunksjonene tilfredsstiller de kinematiske

randbetingelsene, dvs. null forskyvning og null rotasjon ved

innspenningen (x = 0).

Betingelsene om null moment og null

skjærkraft ved den fri enden (x = £) er imidlertid ikke oppfylt.

15 2

Denne metoden krever nemlig ikke at formfunksjonene skal tilfreds

randbetingelser (se avsnitt 3.1.3 og /9/).

stille slike

En annen sak er at en kan forvente langt bedre resultater når også kraftbetingelsene er oppfylte.

De valgte formfunksjonene i eksemplet kan ikke framstille den virkelige knekkformen eksakt.

Denne er som kjent en kvart

sinusbølge, og hvis sinusbølgen blir valgt som formfunksjon vil metoden gi eksakt verdi for knekklasten.

4.1.2 Rayleigh-Ritz1 metode Når aksialdeformasjonene neglisjeres vil tøyningsenergi-

tettheten for en elastisk søyle i utbøyd tilstand være lik halve produktet av moment og krumning, og den totale tøyntng*eneÆgZen

er

U = y/MKdx SL Se også avsnitt 3.1.3.

(4.4)

Når det forutsettes små deformasjoner,

gjelder tilnærmelsen

(4.5)

< = v"

Videre gjør vi bruk av den kjente relasjonen mellom moment og

krumning: M =

EIk

= Elv"

(4.6)

Tøyningsenergien (4.4) kan dermed uttrykkes som

U = |/EI(v")2dx

(4.7)

SL

Det tilnærmete uttrykket for tøyningsenergien svarende til for

skyvningsantakelsen (4.3) blir

n n fEI-f^-( V c.ø.)-^z-( l c.$.)dx dx2 dx2

(4.8)

153

= | l l (c.c /EløVøVdx) i=l j=l 1 3£ 1 J

(4.8 forts.) = icT/EI((|)")T(j)"dxc £

Omformingen til dobbeltsum og matrisenotasjon kan kontrolleres ved å gjennomføre utregningen i detalj, for eksempel med

V = c1(|)1 + c2(f)2 =

2 l c ø = c i=l 1 1

La.Atpote.n.Ai.a.£e.t H beregnes under forutsetning av at aksialkraften P er eneste ytre last, og finnes da som -PA hvor A er

den aksielle forkortelsen av søylen på grunn av bøyning, se figur 4.2.

FIGUR 4.2

Aksialforkorting pga. bøyning

A beregnes slik det ble vist i avsnitt 3.1.3 A = / dA = -y/ (v ’ ) 2 dx £

slik at lastpotensialet blir H = -PA = ~yj(v')2dx £

(4.9)

154

Innsetting av (4.3) gir

(4.10)

l l (c-c. ! !dx) i=l j = l 1 3£ 1 3 = ’yCTJ (4> ’ )T ’ dxc £ Den totale potensielle energien

n = u +

h

= n(c1, c2, •••, cn)

er nå en funksjon av koeffisientene Cj, c2 ,

***, c .

Betingelsen

for knekning er at n har stasjonær verdi:

xn xtt i ru x II oc, = (y)2. Xz

FIGUR 4.4

Eksakt og tilnærmet knekkform og avledete deriverte

At dette forholdet er av stor betydning for den beregnings­ messige knekklasten er åpenbart siden det er nettopp v" og v’ som inngår i beregningen av K og Kg.

Ved valg av formfunksjoner

kan det derfor være lurt å anslå formen på grere to ganger for å finne (f). måten er vist i figur 4.5.

, og deretter inte­

Et eksempel på denne framgangs­

161

FIGUR 4.5

Beregning av formfunksjon ut fra lineær v"

Krumningen antas å variere lineært.

Integrasjonskonstantene

tilpasses de tvungne randbetingelsene ø ’ (0) = 0 og ø (0) = 0. Formfunksjonen blir dermed

(J) (X) — c i (X

9

X

*3 £,

5

C

i ” T

Denne er nesten identisk med den knekkformen som ble beregnet i eksemplet på side 4.12, der det ble brukt 2 frihetsgrader.

Ved

å bruke den ene formfunksjonen vi har funnet her, vil beregnet knekklast bli svært nær den vi fant på side 159.

4.1.3 En metode basert på komplementær energi Metoden som ble beskrevet i forrige avsnitt er en efete Rayleigh-Ritz metode.

Det ble gjort en antakelse om tverrfor-

skyvningen v, mens de øvrige funksjoner som inngikk i energifunksjonalen II (dvs. v" og v') ble avledet av denne antakelsen.

Metoden er en ren forskyvningsmetode som alltid gir for høy knekklast.

162

Vi skal nå beskrive en metode som tar utgangspunkt i den Ved bøyning er tøynings­

komp£e.me.ntsn.e. tøyningsenergien U*.

energitettheten UQ lik arealet under moment-krumningskurven , mens U* er lik arealet under krumnings-momentkurven , se figur 4.6.

U

o

= [M(K)d< }

(4.19)

U* = o J

K

FIGUR 4.6

Tøyningsenergi og komplementær tøyningsenergi

Generelt gjelder U

o

+ U* = o

Mk

og for et lineært elastisk materiale er

Uo = u; = i-MK Krumningen kan avledes direkte av momentet ved M K " EI

og den totale komplementære tøyningsenergien for en bjelke blir

U* = /Ujdx = |/MKdx =

(4.20)

163

Komplementær potensiell energi er gitt ved funksjonalen (4.21)

n* = U* + H*

der H* er det komplementære lastpotensialet som på generell form

kan skrives H* = -JuTFdV v

J uTTdS

Su

Dette svarer helt til lastpotensialet i (2.4), men det er nå forskyvningstilstanden som antas kjent mens krafttilstanden er

den ukjente.

er den delen av overflaten der forskyvningene

er gitt, se side 12.

Prinsippet om stasjonær komplementær energi Z7Z er helt

analogt med prinsippet om stasjonær potensiell energi, men de søkte funksjonene er krefter og ikke forskyvninger.

Diskretisering av problemet skjer ved at momentet uttrykkes ved et sett formfunksjoner: n M(x) = . 7z. c. iYM Mi.(x) =

4>mM C

(4.22)

Innført i uttrykket for den komplementære tøyningsenergien gir

dette

U* = 2jildx = 2C ^EI^M^MdxC

Xz

(4.23)

Xz

For å kunne beregne det komplementære lastpotensialet er det nødvendig å kjenne v’(x).

Vi skal nå se litt nærmere på sammen­

hengen mellom v'(x) og M(x).

Hvis vi nå begrenser oss til

tilfeller der skjærkraften Q er lik null, kan v’ enkelt beregnes

av (3.3): n = _dM _ pÉX = dx dx

dvs. dv _ dx

1 dM P dx

(4.24a)

164

Betingelsen

er ekvivalent med

Q = 0

v (x) = —i-M(x) + v ro

; o

v

= v(0)

(4.24b)

eller M(x) = -P(v(x) - v ) o

(4.24c)

Figur 4.7 viser to tilfeller der dette er oppfylt.

Det er selv­

sagt fullt mulig å anta formen på tverrforskyvningen istedet for på momentet, idet momentet kan beregnes av (4.24c).

FIGUR 4.7

M(x) = -Pv(x)

M(x) = -P(v(x)+e)

a) sentrisk

b) eksentrisk

Søyle med aksialkraft

Bruk av (4.10), (4.22) og (4.24) gir lastpotensialet

H = -P/|(v')2dx = -Pj| £

l

= -^cTJ( ’ )T 'dxc

2P

Xzq

M

M

1 P^dx'

(4.25)

165

Dermed blir

n* = u* + h = |cT(’ |j(^)T^dx)c

611* beregnes på tilsvarende måte som 611 på side 155, og 611* = 0

gir

då*M*Mdx Xz

= 0

Xz

eller (D - ^K*)C = 0

(4.26)

r o

der

nD - Jfl x T a Mdx j r7r4>,, ' EITMTM Xz

KG = /(*M,T*Mdx Xz D er en

e, og hvis M antas å

eÆZ

ha samme form som ø, blir K* lik Kg i (4.17).

De enkelte ledd i D er gitt ved

4>

D. . = /X|>m. m.dx i] 'EIvMiYMj

Xz

(4.28)

Denne metoden gir ofte bedre resultater enn en beregning basert på potensiell energi.

En kan imidlertid ikke si noe

generelt om beregnet knekklast er for høy eller for lav. Metoden som benytter momentvariasjonen er her søkt framstilt på en måte som er konsistent med det tilhørende energiprinsipp :

prinsippet om minimum komplementær energi.

Dette gjør at denne

metoden begrepsmessig kanskje blir noe vanskeligere.

Imidlertid

kan også denne metoden avledes direkte fra Rayleigh-Ritz metoden beskrevet i 4.1.2.

Momenttilstanden kan nemlig i mange tilfeller

uttrykkes ved M(x) = -Pv(x) = -PøC

166

Innsatt i den potensielle energien i (4.1) fås. da n -L f^2 j Pr( . x2j n = 2’JEjdx “ y/Cv’) dx £

S/

T 1 TP2 r .T. , „ P T, 2 C g j J 4> dx C — 2 C J ( ’ ) 4> ’ dxc & &

Stasjonærkravet gir rn

sn = 6c

P2

(£bltJ*M2VM3 £3

K* 4>23

x 3

f

K* b33

£3 + ^

^M3)2dX 113

Egenverdiproblemet (4.26) blir dermed

J-!

(— * 6E

±2

^2.

£2

? < £2 ।

\

^2

0

q

(r-+p-)

a/ j

-*-2

4^

3 )

^3

Ai. I3

1

2(A±+A2.)

2(^+4^)

-*■3

±1*

^2

-A.

£2

0

-r

0

c

^2

(A+A) a2

_A_ s

A

) c

1

2

C

3 _

(4.30) Den enkle systematikken gjør det enkelt å utvide matrisene til å omfatte flere frihetsgrader.

Man trenger bare å forlenge

matrisene i (4.30) langs diagonalene. For enkelhets skyld antar vi at søylen har konstant areal-

moment lik I, og velger videre

=0

171

-- h

=

=

*3

o

h

4

Egenverdiproblemet forenkles dermed til

der

A

_ P£2 p " 96EI

eller med matrisenotasjon (Å D - Kr)c = 0 P G

Ved symmetrisk knekning er

(4.31)

c1 = c3, og vi innfører en redusert

C, gitt ved

momentvektor

Dette innføres i (4.31): (Å D - K*)Hc = 0

G

p

som er et 4»2 ligningssystem.

Premultiplisering med

merer systemet til 2*2: (Å D - K*)c =0 P G

der -

T

D = FTDH,

T

*

K* = nK-H

Ved å utføre matrisemultiplikasjonen får vi:

H

T

kompri­

172

Utvikling av determinanten gir

Å

og

Pi

=

7

,

p _ 96EI. _ q ga EI _kr £2 p " 10-*-39 £2

Dette er en feil på bare 4% i forhold til den eksakte løsningen tt2EI

1 £2

*

De eksemplene vi har vist hittil i dette avsnittet er ikke av så stor praktisk interesse siden eksakt løsning er kjent på forhånd.

Praktisk anvendelse av disse tilnærmete metodene finner

en imidlertid for problemer der teoretisk eksakt løsning er

ukjent eller komplisert å finne.

Dette gjelder for eksempel

søyler med kontinuerlig eller sprangvis variasjon i stivhet.

I

slike tilfeller kan det by på problemer å beregne integraler som (4.18) eksakt, og vi skal derfor se litt på tilnærmete integrasj onsmetoder.

4.1.4

Numerisk integrasjon Det matematiske problemet å beregne integralet

b f f (x-) dx a kan løses tilnærmet ved å erstatte integralet med en endelig

sum: b , n Jf(x)dx = £ W.'f(x.) a é i=l 1 1

I en såkalt, n-punkts integrasjonregel velges det ut punkter x^ hvor integrandens verdi f(x^) beregnes.

(4.32)

n

diskrete

Hver funksjons-

173

verdi multipliseres med et vekttall

og adderes sammen.

Integrasjonsområdet kan gjøres dimensjonsløst ved å innføre en ny variabel

£:

Integrasjonsområdet m.h.p. £ er her valgt fra -1 til 1, og

integrasjonsformelen blir bin ff (x)dx = /f(5)d5 =■' I W.f(C-) a * 1 -1 i^l

(U.3U)

Prinsippet for integrasjonen (4-punkts) er vist i figur 4.11.

FIGUR 4.11

Numerisk integrasjon

(åpen type)

Det finnes en rekke integrasjonsmetoder av denne typen, og det er stort sett valget av integrasjonspunkter (5^) °g vekttall

(WJ som skiller dem fra hverandre.

Vi skal her nøye oss med å

se på en av metodene, nemlig Gau.A-t> - Lzg e.ndKe. integrasjon.

I en n-punkts integrasjonsformel inngår det

verdier og

n

vekttall, i alt 2n parametre.

n

abscisse-

Disse kan bestemmes

174

slik at et polynom av grad 2n-l integreres eksakt, dette poly­

nomet har nemlig 2n konstanter.

Beregningen av E, . og W. er

noe besværlig, men det viser seg at integrasjonspunktene fram­ kommer som nullpunktene i det såkalte Legendrepolynomet av grad n /23 7.

Integrasjonspunktene blir liggende symmetrisk om origo,

og symmetriske punkter har samme vekttall.

Summen av vekttallene

er alltid lik 2, idet en konstant funksjon integreres eksakt over området -1 til 1. Verdiene for

og W. for ulike verdier av

n

finnes

tabulert i Tillegg 2 hvor også Labattointegrasjon er tatt med. Dette er en såkalt lukket integrasjonsmetode der også funksjonsverdiene i endepunktene av integrasjonsområdet blir tatt hensyn til.

Denne metoden kan være fordelaktig i tilfeller der inte-

granden endres sterkt ut mot endene av området.

Tilsvarende tabeller for disse og andre numeriske inte­ gras jonsmetoder, kan finnes i matematiske håndbøker, 724,25/.

En grei innføring i den teoretiske bakgrunnen for metodene

finnes i 7287.

Y Eksempel:

FIGUR 4.12

Søyle med variabel stivhet

Søyle med variabel stivhet

175

Søylen i figur 4.12 har tverrsnitt med konstant bredde og lineært varierende høyde slik at arealmomentet I

varierer som z Vi benytter metoden med

en 3. gradsparabel langs bjelkeaksen.

komplementær energi (avsnitt 4.1.3), og velger momentfunksjon

svarende til knekkformen for en søyle med konstant stivhet: M(x) = CjSin^j = C14>Mi

Koordinatsystemet er plassert med origo i toppen av søylen og (4.24) er da oppfylt.

D og K* blir nå skalare størrelser som

beregnes av (4.28) og (4.17);

1 f

1

. 2lTX^

ÉT “'---FT3 sln 2ldx LiOo (1+y) Az K*G = K* Gn

= if(d>’

(4.37)

2 2 2 )2dx = 42 —_2Jfcos 2 — dx — s 22 ’ 82

2

0

En analytisk beregning av D blir forholdsvis komplisert, så vi

benytter heller en 4-punkts Gauss-Legendre integrasjon. grasjonspunkter og vekttall tas fra Tillegg 2.

x-verdiene for

integrasjonspunktene finnes av (4.33):

x

i

=

2 ^i

+ ktÉ - k + 1 2 2^i 2

eller -f = l(Ci + 1)

Integralet i (4.37) beregnes tilnærmet etter (4.32): £ -i 0 3 ttx. J-- ——sin2yydx - y y W.--- ---- sin2-y~ 211 2i=l 21

Utregningen er vist i følgende tabell:

Inte-

176

3

4

1

2

h

-0.8611

-0.3400

0.3400

0.8611

x. 1 £

0.0695

0.3300

0.6700

0.9306

W. 1

0.3479

0.6521

0.6521

0.3479

7TX . • 2 1 ~in 2£

0.0119

0.2455

0.7545

0.9882

X-i . (1+-T)3

1.2233

2.3526

4.6575

7.1958

w sin TT 0.0034 W .--- ----

0.0680

0.1056

0.0478

i

X

. 2™i

0.2248

1(l+-r)3 Xz

1^1

. 27TX, D = EI-A- f__,X, i__ 3 sin 2£dx

O oQ+yV Xz

£ «2

1

0.2248 =

o

0.1124£ EI o

Når D og K* innføres i likevektsligningen (4.26) får vi K* ^2 EI~ EI^ p = _G = 2L_ ____ 2__ = 10 9 8 __ — rkr D 8£ 0.1124£ x * £2

Til sammenligning er knekklasten for en jevntykk søyle med tverr-

snittshøyde tabell:

der

h

lik henholdsvis

hQ, l»5hQ og 2hQ vist i følgende

Kritisk last for knekning om y-aksen (se figur 4.12) kan beregnes på tilsvarende måte.

Arealmomentet I

varierer lineært

langs bjelkeaksen, så resultatet regnes lett ut ved å erstatte (l4—^)3 med (1+-^) i tabellen ovenfor. I ref. /4/ finner en forøvrig diagrammer over knekklaster

for en rekke lignende tilfeller.

4.1.5

Tilnærmet knekningsberegning for enkle rammer. Diskrete energibidrag

En enkel ramme som vist i figur 4.13 kan modelleres som en søyle med rotasjonsfjær i toppen.

Fjærstivheten er lik rota-

sjonsstivheten for rigelen ved antisymmetrisk deformasjon, se

også figUr 3.22.

FIGUR 4.13

Søyle-fjærmodell for ramme

178

Den potensielle eller komplementære energien for modellen består

av ett bidrag fra søylen og ett fra fjæra.

Energien for søylen

uttrykkes på samme måte som i (4.7) eller (4.20), mens den til­ svarende energien for fjæra er lik halve produktet av moment og rotasjon i punkt B:

Ur =

IVb = IMb M2

A

U» = m e r 2 B B

(1.38a)

= ikr(V(O)2 -

2 k r

2

er elastisk energi mens

U*

lineærelastiske tilfellet har

k

(u.38b)

r

er komplementær energi.

og U* samme verdi.

I det

Tilnærmelsen

(4.3) for tverrforskyvningen og (4.22) for momentet gir henholds­ vis U r

= ik CTc$>' (£)T ’ ( £)C 2 r

U* = -i- c r 2k r

T(J)m( 2 )T’ (£)Tkt( 2)

= ^H>M(2

k

r

M

(4.40b)

De enkelte ledd i matrisene er gitt ved

K . . = k $ ’(£)’ (2) rij rTi 5.

(4.41a)

D . . = i-K- (2)4>„. ( 2) ri] krvMi

(4.41b)

179

Fjæra endrer ikke på lastpotensialet i forhold til (4.9) og (4.10), så likevektsligningene (4.16) og (4.26) får kun addert

til K

r

og D : & r (K + Kr - PKG)C = 0

(4.42)

(D + D

(4.43)

- |K*)c = 0 F

ro

Eksempel

FIGUR 4.14

Ramme med variabel stivhet.

Beregningsmodell og

antatt momentvariasjon

En symmetrisk ramme med variabel stivhet i søylene kan modelleres som vist i figur 4.14. slik at fjærstivheten blir

6EI kr = ~T~

Rigelen har bøyestivhet EI

180

Søylen deles i tre deler som hver har konstant stivhet lik

gjennomsnittsstivheten for den tilsvarende delen i den opp­

rinnelige søylen. Denne beregningsmodellen innbyr til å bruke den spesielle utgaven av komplementærenergimetoden (se side 168), og vi antar

en momentvariasjon som skissert helt til høyre i figur 4.14. Beregningen av D og K* blir akkurat som i eksemplet på side 166

så vi benytter resultatene derfra og stiller opp matrisene 1

+

direkte:

£2

&2 >

0

^2 cm

2 (£2- +

li)

^3

|

D = 6E

Xx

k

når

Bevis kan finnes i 731/.

Det beste overslaget for egenverdien

får en av Rayleigh-kvotienten (4.76):

(xk)TAxk (xk)TBxK~ eller

(x^) x^ 1 ’ (xk)Txk+1

(M.79)

som framkommer av

x = AA-1Bx

og

xk+1 = A-1Bxk

Konvergensen er ofte rask, og iterasjonen avbrytes når endringen i

fra en iterasjon til den neste er tilstrekkelig liten.

Ved en stabilitetsberegning vil A være systemets elastiske stivhetsmatrise som alltid er positiv definit og inverterbar. Laveste egenverdi gir direkte kritisk lastfaktor for konstruk­

sjonen . I praksis kan integrasjonen formuleres på flere måter.

Ved håndregning kan A inverteres direkte og (4.83) skrives som Xk+1 = A-1Bxk = BTxk

(4.80)

For større systemer går inverteringen gjerne veien om en fakto-

risering av A, f.eks. med Choleskys metode (se /5/ avsnitt 5.3.2):

A = UTU

212

Iterasjonsskrittet kan dermed gjøres ved å løse ligningssystemet Uxk+1 = (UT)‘1Bxk = B2xk

(4.81)

der

B2 = (UT)-1B

kan beregnes en gang for alle.

Løsning av (4.81) skjer neden­

fra, idet den siste ligningen bare har én ukjent, den nestsiste

to, osv.

(U er øvre triangulær).

Eksempel

Invers iterasjon kan illustreres ved å løse egenverdipro­ Lett omskrevet lyder dette

blemet fra eksemplet på side 181 .

(

2

-1

-1

2

0

0' -1

-Å

1

-1

P

”18

3

3

10

0

2

o’ 2

K )

5_

C2

0

=

0 0

-C 3 -

der P£2 Xp = 324EI

A =

' 2

-1

-1

2

-1

0

-1

1.

0‘ gir A-1 =

"1

1

1'

1

2

2

1

2

3_

og

B1 = A-1B =

Iterasjonen

x

= B^x

7'

21

15

24

27

14

24

29

19_

er vist i tabellen nedenfor

213

X1

X2

X3

?

1.0

0.60

0.556

0.551

0.550

1.0

0.90

0.886

0.883

0.883

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

21

15

7

43.0

33.10

31.966

31.816

24

27

14

65.0

52.70

51.266

51.065

24

29

19

72.0

59.50

58.038

57.831

X1

X2

X3

x“

Av bekvemmelighetsgrunner er iterasjonsvektoren skalert for hver ny sykel slik at

c3 = 1.

Konvergensen er meget rask, noe som

ofte er typisk for fysikalsk funderte egenverdiproblemer.

Egen­

verdien beregnes av

,

_ (x3)Tx3 1 ’ (i3)Tx4

—-8-3 = 0.017 3 120.452

og kritisk last blir

P, = 324 kr i

S.60

Invers vektoriterasjon er svært godt egnet ved stabilitets­ problemer fordi den nettopp gir laveste egenverdi og tilhørende egenvektor.

Det finnes imidlertid også iterasjonsmetoder som konvergerer mot egenvektoren tilsvarende h-øyo-Ate. egenverdi (direkte vektor-

iterasjon), eller som beregner (simultan vektoriterasjon), /31/.

egenvektorer samtidig Flere egenverdier kan også

beregnes ved invers iterasjon og bruk av såkalt "skift”.

214

4.4.4 Kommentarer om nøyaktighet Matematisk feilanalyse for løsning av egenverdiproblemer

er behandlet i mange bøker om numerisk analyse, se f.eks. /34, Vi skal ikke her gå inn på detaljene i feilanalysen, men

36/.

nøye oss med en mer intuitiv betraktningsmåte /31/. Sterkt forenklet kan det sies at feilen i de numerisk beregnede egenverdier er en funksjon av

i)

feilen i den matrisen man beregner egenverdiene

av (perturbasjonsfeil) ii)

problemets kondisjonstall (forhold mellom høyeste og laveste egenverdi)

iii)

avrundingsfeil i selve løsningsalgoritmen

Når stivhetsmatrisen for en konstruksjon bygges opp ved en sekvensiell innaddering av stivhetsledd (den direkte stivhetsmetoden, se /5/), kan perturbasjonen av systemstivhetsmatrisen få en meget spesiell og alvorlig karakter.

Ved addering

av store og små stivhetsledd blir representasjonen av de små

stivhetene lidende av en vesentlig avrundingsfeil (trunkeringsfeil).

Dersom en for eksempel med 5 siffers nøyaktighet adderer

sammen 104.75 og 0.0369, så blir resultatet 104.79. Det samme resultatet får en imidlertid for alle verdier av det minste

tallet mellom 0.0345 og 0.0444.

Dessverre er det ofte slik at

det er disse lave stivhetstallene som har størst betydning for

de laveste egenverdiene for konstruksjonen.

Som en følge vil

de laveste og mest interessante egenverdiene være befengt med

de største feilene numerisk sett.

Ved rammeanalyse vil det ofte opptre problemer av denne typen på grunn av at aksialstivheten er mye større enn bøye-

stivheten. fra /31/.

Dette kan illustreres med et eksempel som er hentet

215

Eksempel:

FIGUR 4.28

knekning av ramme

Ramme for perturbasjonsanalyse

Rammen ble inndelt i 15 bjelkeelementer, og stabilitetsligningen er gitt ved (K-Å KJr = 0 P G

Forholdet mellom aksial- og bøyestivhet ble variert ved at tverrsnittshøyden

h

varierte.

Den laveste egenverdien ble

beregnet ved invers iterasjon, og sammenlignet med kritisk last fra løsningen av differensialligningen (se avsnitt 3.2.3). Beregningene ble utført i enkel presisjon på en UNIVAC 1108

med ordlengde på 36 biter.

følgende tabell.

Resultatene er sammenfattet i

216

h/b

h

10.

120.

*

p rkr diff.lign.

^kr inv.iter.

8.33’102

267.783

265.950

- 0.69

267.783

268.376

+ 0.22

A£2 I

Avvik o,"0

12.

1.0

8.33*10“

6.

0.5

3.33«105

3.6

0.3

9.26*105

7.23013

7.51195

+ 3.88

1.2

0.1

8.33-106

0.26778

0.32550

+ 21.6

1.2

0.1

8.33«106

0.26778

0.20606

-23.1*

33.4728

33.7328

+ 0.79

Dobbelt presisjon ved produktakkumulering i ligningsløsn.

Av tabellen ser en at resultatene begynner å bli upålitelige når høyde/bredde-forholdet synker under en tredjedel.

h/b = 0.1 er feilen over 20%.

For

For å se om den største feil­

kilden lå i selve ligningsløsningen i den inverse iterasjonen, ble det forsøkt å benytte dobbelt presisjon under produkt-

akkumulering. enda større.

Som tabellen viser medførte dette at feilen ble

Dette viser at årsaken til regneunøykatigheten

ikke er å finne i selve iterasjonsløsningen av egenverdipro­ blemet.

Skaden er allerede skjedd på det tidspunkt systemets

stivhetsmatrise ble oppbygd i enkel presisjon.

Det eneste

skikkelige botemiddel er derfor å utføre alle faser av regne­

prosessen i dobbelt presisjon. Perturbasjonsfeil av denne typen vil vanligvis være den dominerende kilden til feil i de beregnede egenverdier. Kondisjons-

tallet

systemstivhetsmatrisen vil ikke være av

særlig betydning dersom det ikke er svært høyt.

Dette kan skje

dersom det ved modelleringen av konstruksjonen benyttes elementer som er meget små i forhold til den karakteristiske størrelsen

av konstruksjonen. Reduksjon av trunkeringsfeil ved bruk av dobbelt presisjon

i selve egenverdiberegningen vil ikke avhjelpe problemene med

perturbasjonsfeil og høyt kondisjonstall.

Det eneste sikre ved

bruk av datamaskiner med liten ordlengde (f.eks. 36 biter), er

å benytte dobbelt presisjon i alle deler av regneprosessen.

- 217 -

Et vesentlig poeng her er at også hele stivhetsberegningen må

foregå i dobbelt presisjon /31/.

INELASTISK KNEKNING

221

5.1

MODIFISERT KNEKNINGSTEORI FOR SØYLER

5.1.1 Elastisk-plastisk materialoppførsel

Hittil har det vært forutsatt lineær elastisk materialopp­ førsel.

Det er imidlertid velkjent at når et materiale blir

påkjent av tilstrekkelig høye spenninger gjelder ikke Hooke’s

lineære lov lenger.

To typiske spennings-tøyningsforløp fra

trykkprøving av metalliske materialer er vist i figur 5.1.

FIGUR 5.1 Typiske kurver for enaksiell prøving av metalliske materialer

Kurve a viser en jevn overgang fra en lineær elastisk opp­

førsel til en ikkelineær elastisk-plastisk tilstand.

Kurve b

har et platå der den totale tøyningen øker uten at det er nød­

vendig å øke den påførte spenningen. c-ipznn-Lngtn.

Spenningsnivået Op kalles

Kurve b viser også en økning i spenningen

etter at stadiet med o = Op er passert. kalles fastning.

Dette fenomenet

Begge kurvene er lineære og følger Hookes lov inntil, o har nådd pÆopoÆ4 a . Det kan i praksis være vanskelig å fastslå a

nøyaktig, proporsjonalitetsgrensen kan

222

for eksempel defineres som spenninger som gir en bestemt vaÆfg tøyning etter avlastning. 0.8 op.

Vanligvis ligger o

ved ca. P

Avlastning fra spenningstilstanden over proporsjonalitetsgrensen skjer etter en rett linje som er parallell med den ini-

tielle spennings-tøyningsrelasjonen. er stiplet inn i figur 5.1.

avlastning kalles • er gitt ved Hookes lov

FIGUR 5.2

Slike avlastningskurver

Den gjenværende tøyningen ved full

k tøynZng e . cy P ■Lj li

Den elastiske tøyningen

Definisjon av materialegenskaper

Det er nødvendig a innføre en del nye begreper for å

definere den ikkelineære materialoppførselen matematisk.

Spenningstilstanden i punkt A i figur 5.2 er gitt ved

a = Eo e

(5.1)

der Eg er A e.kantnwdu.£.e.n som igjen er avhengig av det aktuelle

spenningsnivået.

Ved en påZa.Atnzng fra punkt A gjelder den

inkrementelle sammenhengen △ o = EppAc

(pålastning)

(5.2)

223

der E^,

er

tang&ntmodu.£e.n.

Som navnet indikerer danner linjen

med helning E^ en tangent til spennings-tøyningskurven. avtaétn-ing

Ved

fra A følges Hookes lov

Ao = EAe

(avlastning)

(5.3)

Det er klart at den reduserte stivhet som materialet oppviser

ved pålastning over Op også får betydning ved beregning av P^r for knekning.

5.1.2 Tangentmodulteorien Det ble tidlig konstatert at den lineære knekningsteorien

ikke stemmer overens med forsøk for korte søyler med liten slankhet.

E. Lamarle fastslo i 1845 at Euler-teorien ikke er gyldig

når aksialspenningene overskrider proporsjonalitetsgrensen. F. Engesser 737/ foreslo i 1889 å benytte tangentmodulen ved knekningsberegninger når aksialspenninger overskrider pro­

pors jonalitetsgrensen .

Differensialligningen for knekning

( 3,. 7 ) forblir uforandret bortsett fra at E erstattes med E^.

I samsvar med ligning (3.47) finnes nå kritisk spenning ved

I likhet med Eulerteorien forutsier tangentmodulteorien at ut-

knekning skjer ved lineær forgreining for konstant ytre last. Et avhenger av aksialspenningen og ligningen (5.4) kunne

derved løses ved iterasjon.

Enklere er det imidlertid å velge

verdier for a^p °g beregne slankhetene som samsvarer med ved­

kommende knekkspenninger. ' Figur 5.3 viser et eksempel på hvordan kritisk spenning avhenger av E^.

224

FIGUR 5.3

Kritisk spenning i henhold til tangentmodulteorien

5.1.3 Dobbeltmodulteorien

A. Considére hevdet at ved utknekning vil det skje en av­

lastning av fibrene på den konvekse siden av bjelken mens fibrene på den konkave siden får en ytterligere økning i trykk spenning, se figur 5.4.

fp FIGUR 5.4 Avlastning av ytre fiber på grunn av utknekning

225

I henhold til figur 5.2 og ligning (5.3) vil avlastningen skje med den elastiske modulen E, antagelsen fra tangentmodulteorien

kan derfor ikke være riktig.

Considére foreslo å beskrive

materialoppførselen med en enkelt materialkonstant kalt dobbelt-

modulen E^ som tar hensyn til både avlastning og pålastning over tverrsnittet ved utknekning. it2E

I henhold til dette blir

,

Considere anga ikke hvordan E^ skulle beregnes.

Dette ble

imidlertid gjort av Engesser /37/ som i 1895 framsatte en

revidert teori for inelastisk knekning.

Som grunnlag for

dobbeltmodulteorien gjorde Engesser følgende forutsetninger:

a) Plane tverrsnitt forblir plane b) Deformasjonene er små

c) Knekning foregår i tverrsnittets

symmetriplan d) Kritisk last defineres som lasten ved

begynnende utknekning, og denne lasten

forutsettes å være konstant under utknekningen.

mellom Ai og A2

Tverrsnitt

Aj = avlastningssone A2 = pålastningssone

C

FIGUR 5.5

= flatesenter

Inndeling av tverrsnittet i henhold til

dobbeltmodulteorien

226

Spenningsfordeling over tverr­ snittet før og etter utknekning.

FIGUR 5.5

forts.

Inndeling av tverrsnittet i henhold til

dobbeltmodulteorien

Samtlige størrelser er definert som positive slik de er

tegnet i figur 5.5.

Ved deformasjonen under utknekningen blir

forlengelsen av et lengdeelement dx i avlastningssonen yxdØ = As^x = —1 dx

Herav = yiEd3E

(5-6)

Yj er avstanden fiberet har fra skillelinjen mellom avlastnings­

sonen og pålastningssonen.

Merk at avlastningen skjer med

modulen E i henhold til (5.3).

Et fiber i pålastningssonen får en tilsvarende forkortning y2dØ = As dx = ^^-dx hT

Herav

△o2 “ V2ETdx

(5.7)

227

Bemerk at videre pålastning skjer med tangentmodulen

i hen­

hold til (5.2).

Ifølge forutsetningene skjer utknekningen for konstant

ytre last, dvs. AP = 0.

Dette betyr at den samlede avlastningen

i sone Ax må være like stor som kraftøkningen i sone A2 f AOjdA = / Aa2dA Aj Ag

(5.8)

Ved å sette inn (5.6) og (5.7) framkommer betingelsen EZX = EtZ2

(5.9)

er de lineære arealmomentene om skillelinjen for

der Zj og Z2

henholdsvis avlastningssonen og pålastningssonen = / y dA

(5.10)

Z2 = J y2dA A2

(5.11)

Z

Det må videre kreves at de indre kreftene er i momentlikevekt med den ytre kraften P (se også avsnitt 3.1.1)

M(x) = -f Ao y dA - f Ao y dA = -Pv At A2

(5.12)

I denne ligningen kommer det egentlig inn et tilleggsledd i momentarmen for P.

Dette skyldes at P virker i flytesenter-

linjen for tverrsnittet i initialtilstanden og avstanden mellom

flatesentret c og skillelinjen mellom Aj og A2 gir også et

momentbidrag i (5.12).

Dette bidraget er konstant langs hele

lengden av bjelken og kan derfor klassifiseres som en "eksentri­ sitet" som ikke har betydning for den kritiske lasten.

For små forskyvninger er sammenhengen mellom 0 og v gitt

ved dø _ dx ”

d2 v dx2

(5.13)

228

Minustegnet skyldes at positiv d8 i figur 5.5 tilsvarer en . . d2 v negativ krumning Ved innsetting av (5.6), (5.7) og (5.13)

i momentligningen (5.12) får vi

♦ EtOA?i y22dA

A,

= -pv

eller (EI. + VP& + Pv = 0

er de kvadratiske arealmomentene om skillelinjen

og I

der I

(5.1*4)

12

for arealene Ax og A2: zi = f y"dA Ai

(5.15)

= J y*dA A

(5.16)

i 2

2

Differensialligningen (5.14) kan også skrives som

(5.17)

der

er den såkalte dobbzttmodut eller ÆedcueÆZ modat = EI, -> EtI; d

I

(5.18)

I

er det kvadratiske arealmoment om flatesenteraksen.

Ligning (5.17) er helt analog med differensialligningen for

elastisk knekning (3.19).

I praksis betyr dette at løsningen

for elastisk knekning ifølge dobbeltmodulteorien også kan benyttes for inelastisk knekning når E erstattes med Ed»

Typisk fås den kritiske spenningen som tt2E , akr = — A

(5.19)

229

Eksempel

FIGUR 5.6

Beregning av dobbeltmodul for rektangulært tverrsnitt

Ved beregning av dobbeltmodulen for et rektangulært tverr­

snitt må først beliggenheten av skillelinjen mellom sonene

Aj og Aj fastlegges.

Her er

likevekt (5.9). zi

Dette gjøres ved ligningen for aksiell

=

=

2bci

o C

2

z2 = / y2bdy2 = JbCj o Ved å sette disse uttrykkene inn i (5.9) og benytte at

c2 = h-Cj får vi

E£bc* = ETJb(h-Ci)2

eller C1

T

230

Tilsvarende fås

Ix og I2 finnes nå lett i henhold til (5.15) og (5.16)

ci i Ix = f y*bdA = ibc3 o I

C2 = / Y*bdA = 4bc3 2 7 J2 32 o

Dessuten har vi I = Å-bh3

Ved innsetting i (5.18) finnes dobbeltmodulen som

(5.20)

FIGUR 5.7

Inelastisk knekning av forskjellige tverrsnitt

231

Ligning (5.20) kan brukes både for rektangulære tverrsnitt og

H-bjelker som knekker om sin svakeste akse, se a) og b) i For tungflensete H-bjelker som knekker om sin

figur 5.7.

sterkeste akse kan det vises at E^ finnes ved

2E Et (5.21)

Ed

E + Et

Formlene (5.20) og (5.21) ble først angitt av von Karman, se ref. 740/.

FIGUR 5.8

Forholdet mellom tangentmodulteorien, dobbeltmodul­

teorien og forsøk Siden E^ representerer en kombinasjon av E og E^ er

dobbeltmodulen alltid større enn tangentmodulen.

Dette gir seg

også utslag i at (5.19) gir høyere kritisk spenning enn (5.4),

se også resultater indikert i figur 5.8.

Nå har det imidlertid

vist seg at resultater fra eksperimentelle undersøkelser stort sett gir verdier som

ligger mellom verdiene fra de to teoriene,

ja, faktisk ligger resultatene oftest nærmere tangentmodul­ teorien enn dobbeltmodulteorien.

Dette fenomen ble tidligere

232

forklart ut fra unøyaktigheter og eksentrisiteter forbundet med

selve eksperimentene.

5.1.4 Shanleys formulering

En plausibel forklaring på uoverensstemmelser mellom teori og eksperimenter ble gitt av den amerikanske flykonstruktøren F.R. Shanley i 1946 /38, 39/.

I en kritisk gjennomgåelse av

den inelastiske knekningsteorien påpekte han at antagelsen om

at den ytre lasten P forblir konstant under utknekning ikke er holdbar.

Utknekning skjer fra en initielt rett tilstand, der

hele tverrsnittet står under konstant trykk og følger E,p.

Av­

lastningen av en del av tverrsnittet kan bare skje etter at det har foregått en utknekning av endefZg størrelse.

Initielt vil

derfor tangentmodulteorien gjelde ved at en passer på å øke aksialkraften P litt, se figur 5.9.

P

, maks

FIGUR 5.9

Shanleys betraktning av inelastisk knekning

Imidlertid vil det skje en gradvis økning av krumningen

mens grenselinjen mellom av- og pålastningssonen flytter seg

fra N til N’.

Ved den samtidige deformasjonen vil den resul­

terende kraftøkningen

dP2 i pålastningssonen være større enn

avlastningsøkning dPx i avlastningssonen.

økning i P.

Dette medfører en

Det kommer imidlertid et stadium der dP

i

= dP

2

og &

233

den maksimale bæreevnen er derved nådd.

Selv om denne verdien

ligger en del over P^ er essensen av Shanleys betraktningsmåte at u.tkne.kntng i>taftteJi. ^on. ta.nge.ntmodu.ttcoscte.n4 kscttt^kc taét

Prp.

Kapasitetsøkningen mellom P^ og Pma^s kan ikke utnyttes i

praksis, og tangentmodulteorien er det logiske grunnlaget for

, slik som i ligning (5.4).

Ved knekningsforsøk vil en lett

komme til å måle P

. i stedet for PT. maks For å underbygge sin teori tok Shanley for seg en enkel

søylemodell som består av to stive staver og en deformerbar celle på midten.

Denne modellen er en inelastisk versjon av kneknings-

modellen vist i figur

2.6.

Den derformerbare cellen er antatt

å bestå av kun to flenser med ulike materialegenskaper, derved

er det mulig å ta hensyn til forskjellige materialegenskaper ved

videre pålastning og ved avlastning, se figur 5.2.

Ut ifra disse

antagelsene er det lett å beregne P-v-forløpet som er antydet i figur 5.9.

Utledningen av de formelmessige uttrykkene for

Shanleys modell er gjengitt i ref. /40/, side 194.

Shanleys betraktningsmåte er senere blitt brukt av mange forfattere til å løse mer kompliserte problemer. er for eksempel Shanleys

I ref. /41/

teori brukt for materialer med

generelle ø-e-diagrammer.

Det er lett å vise at P

,

ikke

utgjør noen vesentlig reserve i forhold til kritisk last ved tangentmodulteorien.

For en tungflenset bjelke som knekker

om sin sterkeste akse vil P

, ligge i området 1.01 - 1.05 Pm. maks T Siden utknekning starter ved P^ er dette den kritiske lasten

som bør legges til grunn ved dimensjonering.

5.2

INNFLYTELSE AV EGENSPENNINGER

5.2.1 Egenspenninger i et tverrsnitt

Forsøk har vist at det ikke er tilstrekkelig bare å ta hensyn til inelastisk materialoppførsel i knekningsanalysen,

egenspenningene i bjelketverrsnittet har i praksis stor inn­

flytelse på oppførselen under knekning.

Slike cg cnA pcnntng esc

eller sccAtdu.a.tApcnntngcsL oppstår på grunn av plastiske deforma­ sjoner under fabrikasjonsprosessen.

Eksempelvis fører ujevn

234

avkjøling av et varmvalset tverrsnitt til slike-spenninger,

videre vil sveising og utretting føre til vedvarende egen­ spenninger.

trykk)

FIGUR 5.10

Egenspenninger i valset tverrsnitt

Fig. 5.10 viser et typisk bilde av egenspenningsfordelingen

i et valset tverrsnitt.

De delene av tverrsnittet som avkjøles

raskt etter valsingen er flensendene og midtpartiet av steget. Partiene ved overgangene mellom flens og steg avkjøles langsomst,

og de vil fortsette å trekke seg sammen etter at de ytre om­

rådene er avkjølt og er blitt faste.

Dette medfører trykk­

spenninger i ytterområdene som vist på figuren.

Det er selv­

sagt likevekt mellom strekk- og trykk-områdene over tverrsnittsarealet. Egenspenningene utgjør ofte ca. 30-40% av Op.

For enkelte

tverrsnitt har det imidlertid vært målt egenspenninger helt opp

mot Op, dette gjelder spesielt for sveiste tverrsnitt. eksempler på egenspenningsfordeling finnes i ref.

Andre

/2/.

Egenspenningene i et tverrsnitt kan undersøkes ved en så­

kalt •éfubbe-p/tøve (eng.: stub-column test).

Dette er en

standardisert prøve /40/ der et kort stykke av den aktuelle bjelken settes i en trykkprøvemaskin , se fig. 5.11.

Under

235

Undersøkelse av egenspenninger ved stubbeprøve

FIGUR 5.11

trykkprøvingen finnes sammenhengen mellom AnZXZé^pennZngen

o

den nomZne££e XveÆ/i-

og stukningen uttrykt ved e, se fig. 5.11.

Den nominelle spenningen er gitt ved

5 = P

(5.22)

der A er tverrsnittsarealet.

Før flytning har inntruffet er

den effektive (reelle) spenningen i et punkt summen av den nomi­ nelle spenningen og egenspenningen.

For et elastisk-ideelt

plastisk materiale vil flytning i flenskanten inntreffe når

den effektive spenningen når flytespenningen: o

p

+ o

rt

(5.23)

= o„ F

Den nominelle spenningen er her gitt indeks

p

for å indikere

at dette spenningsnivået markerer en proporsjonalitetsgrense , se figur 5.11.

For materialer uten markert flytegrense må o^

i (5.23) erstattes med o^.

Når o overskrider o^ er den inkrementelle spennings- tøynings-relasjonen for bjelkestubben gitt ved den nominelle

236

tangentmodulen

Aa = ÉTAe

(pålastning)

Flytning ytterst i flensene

Elastisk-ideelt plastisk materiale

FIGUR 5.12

(5.24)

Flytning i flensene for H-profil med egenspenninger

Ved palastning av et valset H-profil med egenspenninger vil flytning alltid starte ytterst i flensen, se figur 5.12.

Hvis materialet er elastisk-ideelt plastisk vil sonene som

flyter ikke kunne ta effektivspenninger utover u , dvs. disse sonene tar ingen lastøkning. med areal

Den gjenværende elastiske sonen

må derfor ta hele den ytre lastøkningen: AP - AoAe = EAeAe

(5.25)

Fra (5.22) og (5.2*4) har vi også

AP Ao = — = EtAs

Ved å sammenholde AP fra de to ligningene over fås

AP - EAsAe - ÉtAsA

(5.26)

237

eller

A

e A

(5.27)

a

Forholdet mellom den nominelle tangentmodulen for tverrsnittet og E er altså gitt ved forholdet a mellom elastisk og totalt

tverrsnittsareal.

FIGUR 5.13

Lineær egenspenningsfordeling over idealisert H-profil

Under spesielle forutsetninger går det an å regne seg fram

til a-e diagrammet uten å utføre en stubbeprøve.

La oss anta

at egenspenningsforløpet har det idealiserte forløpet som. er

vist i figur 5.13.

Antagelsen om et slikt forløp har vært brukt i mange undersøkelser. Ved en enkel likevektsbetraktning for det ubelastede tverrsnitt kan det vises at forholdet mellom de karakteristiske egenspenningene apt og

er gitt ved /40/

=___ bi___ (5.28)

a . rt

bt+(d-2t)w

238

Ved å gjøre et fornuftig overslag over egenspenningen a

flenskonturen kan a

i

beregnes fra (5.28).

Ved aksiell belastning av bjelken vil effektivspenningene

i flenskanten øke inntil flytespenningen Up nås. lastning vil flyteområdene i flensene bre seg.

Ved videre på­ Det lar seg godt

gjøre å beregne størrelsen på disse områdene for en vilkårlig P. Det er da også lett å beregne sammenhengen mellom den nominelle

spenningen a og den aksielle tøyningen e /4Q/; a = Ee - -t-> -- y (Es + a -o )2 A(cfrf+ars} rt F

(5.29)

Ligningen over er gyldig for området fra proporsjonalitetsgrensen o inntil o når Op, dvs. full flytning. É? finnes nå P enkelt fra (5.29) ved derivasjon med hensyn på e.

5,2.2 Knekning av søyle med egenspenninger

I forrige avsnitt ble egenspenningenes innflytelse på den aksielle stivheten diskutert.

Den inkrementelle aksielle stiv­

heten ble uttrykt ved den nominelle tangentmodulen Ep, se ligningene (5.24) og (5.27).

Man kunne kanskje tenke seg å

benytte denne modulen i formel (5.4) for knekning i henhold til

tangentmodulteorien.

Så enkelt er det imidlertid ikke!

Det

som er avgjørende ved beregning av den kritiske lasten er den bøt/e4ZZvhe.Zen tverrsnittet har ved utknekning.

I

denne forbindelse har det stor betydning hvordan flytesonene

ligger i forhold til bøyeaksene. Hvis vi nå begrenser oss til elastisk-ideelt plastiske materialer som i figur 5.12, er det kun det elastiske arealet Ag som kan ta en ytterligere lastøkning.

I henhold til Shan­

leys betraktninger vil det være nødvendig med en viss økning av den ytre lasten for å få en endelig utknekning, det er derfor bare den elastiske delen av tverrsnittet som bør regnes med i

stivheten.

E-modulen og

Bøyestivheten for denne delen fås fra den elastiske slik at

239

ir2 EI e p k

Pkr

(5.30)

er det kvadratiske arealmomentet for den elastiske delen av e tverrsnittet. Den kritiske spenningen kan derved uttrykkes ved

I

tt2EI

°kr

tt2E

I e , ex F“‘( I J

(5.31)

k

FIGUR 5.14

Idealisert, tungflenset H-profil med initial-

spenninger Vi skal nå se hvordan denne teorien virker for et ideali­

sert, tungflenset H-profil der stegarealet er neglisjert, se figur 5.14.

Siden materialet er elastisk-ideelt plastisk

består det effektive tverrsnittet bare av de elastiske flens-

. fe Det effektive kvadratiske arealmomentet ved knekning om

arealene

x-x aksen er gitt ved: I

xx, e

= 2Af Æ)2 fe 2

240

Herav CN

CO

w

Den siste omskrivningen kommer fra (5.27).

er kjent når

LO

II

CM

e = —--- = ---- -— = (—)3 = a3 i 2-y—tb3 (2tb)3 A yy

Ém

= (—)3 E

(5.33)

Den kritiske spenningen ved knekning om x-x aksen framkommer ved

å kombinere (5.31) og (5.32) TT2 E a 0,kr ,xx := A XX

(5.34)

Ved ligningene (5..31) og (5.33) fås tilsvarende for y-y aksen

kr,yy

et3

-

(5.35)

yy

Her er alltid a < 1.

Det framgår derfor at egenspenningene

fører til en forholdsvis større reduksjon av kritisk spenning

ved knekning om y-y aksen enn ved knekning om x-x aksen. er et viktig resultat.

Dette

241

Eksempel

Flytesoner for tverrsnitt med egenspenninger

FIGUR 5.15

Vi skal nå se på beregning av

a for et idealisert H-profil

der stegarealet er neglisjert, se figur 5.15.

lineær egenspenningsfordeling med a

Det er antatt en

= 0.5 ø , derav følger

o J- o - 0.5 a1 . Det er videre forutsatt at materialet er elastisk ideelt plastisk. Til høyre i figuren er det vist en fordeling av spenningene

etter flytning i flensene har inntruffet (P > -=-OpA) .

fra flensens midtpunkt til flytesonen er gb.

Avstanden

I den elastiske

sonen av flensen har alle punktene fått like stor spenningsøkning i forhold til initialspenningstilstanden.

Ved å bruke

sideforholdet mellom kongruente trekanter finnes spenning midt på flensen:

PF

1 gm _ 2gF Bb lb

a

m

= a (1—2 ) F

Likevekt mellom ytre last og spenningstilstanden i figur 5.15 krever

P - aA = o A - 2»i(a -cr )*2gbt r 2 5 m

242

eller o = (l-B)oF+gom

Ved å sette inn det tidligere uttrykket for

får vi

a = (l-g)aF + gaF(l-2g)

dvs.

(5.36)

Forholdet mellom elastisk og totalt areal er nå gitt ved

A

a = -£■ = 2-2^-|b-Ved knekning er a =

/ -* = 26 = Z(l~)

(5.37)

Kritisk spenning ved knekning om x-x

aksen finnes nå ved (5.3*4) og (5.37) /

tt2E

Ot

kr ,xx

O, °F

XX

Ved å innføre den reduserte slankheten fra (3.48) får vi

Å

xx

O. 1/4 [2(1-Jg>] ol ’ 1/2 (JS£) °F

Ved hjelp av (5.35),

(5.38)

(5.37) og (3.48) finner vi tilsvarende

for knekning om y-y aksen a. 3/4 [2(1-JS£)] Å

_____ 1E______ yy

o,

(

°F

1/2

(5.39)

2 U- 3

Kurvene definert i (5.38) og (5.39) gjelder etter at flytning har inntruffet, dvs. > -j-Cp. For lavere spenningsnivåer

gjelder den vanlige Eulerhyperbelen.

Knekningskurvene er inn­

tegnet i figur 5.16 og sammenlignet med kurve A, B og C i

NS 3472 s 19.

Det framgår at (5.38) passer ganske bra med

kurve A i forskriftene.

Ligning (5.39) definerer en nesten rett

linje som skjærer kurvene B og C.

FIGUR 5.16

Å

Knekningsdiagrammer for H-profil med egenspenninger sammenlignet med standarden

Det går også an å utføre tilsvarende beregninger som i eksemplet ved å benytte antagelsene fra dobbeltmodulteorien. Slike beregningej? er gjennomført i ZUOZ.

Dobbeltmodulteorien

fører selvsagt til kurver som ligger høyere enn det som

(5.38) og (5.39) gir.

244

Som vist i figur 5.16 angir de norske forskriftene tre for­ skjellige kurver for beregning av a

.

Hvilken kurve som skal

benyttes vil avhenge av den forventede egenspenningsfordelingen:

jo ugunstigere egenspenninger, jo lavere kurve.

Det skal vanlig­

vis brukes lavere kurve for et oppsveiset profil enn for et til­ svarende valset profil.

Derimot vil en spenningsglødning av et

sveiset profil føre til en oppgradering til en høyere kurve. Valsete profiler med brede flenser har vanligvis høyere egen­

spenninger enn profiler med smale flenser.

I henhold til de

forutgående beregningene har det stor betydning om hvilken akse knekningen skjer.

Disse forhold har forskriftene tatt

hensyn til, se figur 5.17.

Som nevnt i avsnitt 3.2.2 skyldes

forskjellen mellom Eulerhyperbelen og kurvene A, B og C for store slankheter at forskriftene tar hensyn til mulige eksentrisiteter og initialdeformasjoner.

FIGUR 5.17

Valg av knekningskurver for valset H-profil

De norske forskriftene er forholdsvis avanserte siden det opereres med tre forskjellige knekningskurver, dessuten er det

angitt at kurvene A og B under visse forutsetninger skal redu­

seres med 5%. Grunnlaget for de norske knekningsdiagrammene er i hoved­

sak eksperimenter, og det er ikke oppgitt formelmessige uttrykk

245

for disse kurvene.

Det finnes imidlertid en del forslag til

formler som er tilpasset eksperimentelle resultater, se /22/,

s. 195.

Den enkleste formelen er Tetmajers formel som angir en

rett linje fra Op for Å = 0 til det punktet på Euler-hyperbelen som tilsvarer initiell flytning.

En slik linje faller nesten

sammen med kurven for (5.39) i figur 5.16. En annen empirisk formel er foreslått av Column Research Counsil Zh£= ! _ op &p

Hvis det settes inn

_ |^)å2

(5.40)

@p

= 0.5 Up for største egenspenning i

trykk fås

— = i - é” å2 °F

(5.41)

Denne formelen uttrykker en parabel som ligger svært nær

(5.38) som er inntegnet i figur 5.16.

5.3

SAMMENBRUDDSLASTER FOR RAMMER De norske forskriftene tar utgangspunkt i at konstruksjonene

skal lages med en viss sikkerhet mot Aa.mmenbfLU.dd:

En nøyaktig

analyse av sammenbruddst Ustanden for en konstruksjon krever at

det tas hensyn til første- og annenordens geometriske effekter.

Dessuten må det tas hensyn til at materialet i konstruksjonen

delvis vil være i en elastisk tilstand og delvis i en plastisk. For å prøve å fastslå denne høyst kompliserte oppførselen kan

det være hensiktsmessig å betrakte to forskjellige idealiserte

modeller: en rent plastisk uten elastiske deformasjoner, og en rent elastisk.

I begge tilfellene må det tas hensyn til

annenordens geometriske effekter (aksialkraftens momentvirk-

ning).

Den virkelige oppførselen vil avhenge av en kombina­

sjon av effekter fra de to modellene.

246

virkelig forløp

Forskjellige moment-krumningsforløp

FIGUR 5.18

La oss først ta utgangspunkt i sammenhengen mellom moment

og krumning.

Forutsatt at Naviers hypotese holder og at materi­

alet er ideelt elastisk, gjelder følgende sammenheng: M = EIk, der

k

5.18a.

er krumningen.

Denne sammenhengen er antydet i figur

Når krumningen blir tilstrekkelig stor vil ytterste

fiber i tverrsnittet begynne å flyte, og flytesonene øker i om­ fang ettersom deformasjonene øker.

Teoretisk sett kan vi nå en

grensetilstand der hele tverrsnittet flyter.

Hvis materialet

er elastisk-ideelt plastisk, er det maksimale momentet tverr­ snittet kan ta

Mp = /oF|y|dÅ = oFZp

der Up er flytespenningen i strekk og trykk. 6-Lte.témom^Yite.t.

Z

(5.42)

Mp kalles pftU-tZ-

Zp er det absolutte arealmomentet

= J|y|dA A

(5.43)

Pass på at det absolutte arealmomentet skal tas om den linjen som deler tverrsnittet i to like store arealer; trykk- og

strekk-spenningene vil derved tilfredsstille aksiell likevekt.

247

Et eksempel på en fullstendig plastisk momenttilstand for et

triangulært tverrsnitt er vist i figur 5.19.

FIGUR 5.19

Plastisitetsmoment ved full flytning av triangulært tverrsnitt

Hvis de elastiske deformasjonene neglisjeres, vil sammen­

hengen mellom moment og krumning bli som i figur 5.18b.

Når de

totale deformasjonene er svært store, er det en brukbar an­

tagelse å se bort ifra de elastiske bidragene og anta en stivideelt plastisk sammenheng.

I figur 5.18c er det antydet hvor­

dan et virkelig moment-krumningsforløp kan se ut. I figur 5.20 er det vist en enkel søyle påkjent av en

aksiell last P og en tverrlast P = yP.

I første omgang negli­

sjeres de elastiske deformasjonene, og det antas at tverrsnittet oppfører seg stivt-ideelt plastisk som i figur 5.18b.

Siden

momentet er størst ved innspenningen vil det dannes et flyte-

ledd der, mens resten av søylen forblir udeformert.

En enkel likevektsbetraktning for momentet gir F£ + Pu = Mp

(5.44)

Et kvadratisk ledd i n som skyldes forkortning av momentarmen til F er neglisjert. Vi lar P uttrykkes ved en referanselast som her er valgt

lik

248

ideeelt elastisk

stivt-ideelt plastisk

FIGUR 5.20

Idealiserte søylemodeller

_ MP Pref ” £

(5.45)

slik at (5.46)

P = p P p H ref der p er en lastfaktor. Innsetting av (5.45) og (5.46) i (5.44) gir;

Mn - y P p £(1 - Yn) p refr---_ P uP = -----_ --------p P p P H ref

eller 1

Denne ligningen er gyldig for alle

flyteledd.

(5.47)

u

etter at det er dannet

Flyteleddet dannes idet u = 0, altså for:

249

P = PP = Y

Pp angir sammenbruddslasten ved en vanlig førsteordens brudd-

Sammenhengen mellom p og u er vist i figur 5.21.

betraktning.

u

T

FIGUR 5.21

Last-forskyvningsforløp for 2.ordens bruddteori

Vi skal nå se på oppførselen av søylen når materialet antas

å være ideelt elastisk som i figur 5.18a.

Hvis bare aksial-

kraften virker på søylen fås den kritiske lasten som

Pkr

Ppkr P ref = 4£^

dvs. tt2EI Pkr " 4Mp£

(5.48)

Hvis bare F virker på konstruksjonen fås (se /5/ side 9) F£3 UF ' 3EI

eller

3EI p = yMpPUF

(5.49)

250

(5.49) angir en lineær sammenheng mellom kraft og forskyvning. Et overslag over den koplete virkning mellom aksialkraft og

tverrkraft fås ved å benytte forstørrelsesfaktoren definert i (2.21)

P

Den eksakte løsningen på dette problemet finnes lett ved å

benytte stivhetsmatriser med stabilitetsfunksjoner definert i (3.63).

Ved å eliminere enderotasjonen gir stivhetsmatrisen

F£3

1

3EI 45-3|^ 5

(J) Q

eller

_ 3EI p " yMp£2

/hu. □ ø2 \ (4(j)5 " }

(5.51)

Pass på at lastfaktoren må refereres i forhold til Eulerlasten ved beregning av stabilitetsfunksjonene .

Ligning (5.51)

er opptegnet i figur 5.22.

FIGUR 5.22

Last-forskyvningsforløp for 2.ordens elastisitetsteori

251

I figur 5.21 ble de elastiske effektene neglisjert, mens

i figur 5.22 ble de plastiske effektene oversett.

Den

virkelige oppførselen av en konstruksjon er elastisk-plastisk, moment-krumningsforløpet kan f.eks. være som i figur 5.18c.

Den elastiske deformasjonskurven i figur 5.22 danner derfor et godt utgangspunkt mens deformasjonene enda er små, mens den

fallende kurven i figur 5.21 tilnærmet beskriver den plastiske oppførselen ved store deformasjoner der de elastiske effektene

er mindre vesentlige.

FIGUR 5.23

Virkelig last-forskyvningsforløp

Figur 5.23 viser det virkelige last-forskyvningsforløpet

slik en kan forvente at det framkommer ved forsøk.

Den rent

elastiske og den plastiske kurven danner grenser for den virkelige kurven.

Det er av spesiell interesse å vite hva den

maksimale bæreevnen p

HLcLKS

av systemet er, da denne verdien bør

legges til grunn for dimensjoneringen.

Pmaks

PR

der pD er RankZne-Me/icfiant-i 1\

Det viser seg at (5.52)

som er definert ved 742/

252

1 PR

1 PP

1

(5.53)

Rankines formel (5.53) er egentlig av empirisk karakter og kan

ikke

bevises" ved en matematisk utledning.

Det har vist seg

at den for de fleste formål gir denne interaksjonsformelen som kobinerer to effekter, et bra overslag over den maksimale

bæreevnen.

I de fleste tilfeller er den konservativ og under­

vurderer Pmaks

Det har imidlertid vist seg at ved svært store

sidelaster kan den gi resultater som ligger på den usikre siden.

FIGUR 5.24

Portalramme med horisontal- og vertikallast

Som et eksempel på en annenordens bruddberegning tar vi for oss portalrammen i figur 5.24.

Den aktuelle bruddfiguren

vil avhenge av forholdet mellom kreftene F og P.

Bruddbereg-

ningene baseres på antagelsen om et stivt-ideelt plastisk

materiale med flytemoment M .

253

FIGUR 5.25

Bruddfigur 1

I det tilfelle at horisontalkraften er den dominerende vil det dannes en bruddfigur som vist i figur 5.25, der det er

flyteledd ved innspenningene og i hjørnene. Likevektskravet etableres ved hjelp av virtuelle for-

skyvningers prinsipp som krever at det ytre virtuelle arbeidet skal være lik det indre:

F6u + P6v = 4Mp66 YpPref6u + pPrefI6u = 4MP^F

dvs. MMP - _!*_ ' ^ref1+Prefu ' Y+S

(5.54)

Denne ligningen tar hensyn til aksialkraftens momentvirkning. Når vi lar u gå mot 0 fås bruddlasten etter ordinær første­ ordens bruddteori

n - pPi " y

I figur 5.26 er det vist en alternativ bruddfigur.

(5.55)

Skjær-

kreftene bestemmes lett ut fra flytemomentene i bjelkeendene

254

FIGUR 5,26

Bruddfigur 2

2Mp

2Mp _ UMp £/2

^CD

£

’

%E

~T~

Positiv skjærkraft gir rotasjon mot urviseren.

Det ses nå lett

at ved overføring av disse skjærkreftene fås aksialkreftene (positive som trykk)

2M NBC = NCD = "%E = ~ 4MP NDE = QCD = ~

Aksialkraften i AB fås ved ytre likevekt

nab

=

p

-

nde

= p -

-r-

Ved en annenordens beregning må vi ta hensyn til arbeidet som

gjøres av aksialkraften Lh i stav nr. i.

Denne staven har

rotasjon 6^ som fører til en forkortning

. der

255

a.

= £.(i 11

-

cose.) * ijue. 12 11

Det virtuelle arbeidet som gjøres av aksialkraften blir derved

N. 6A. = N. ^-2.20. 66. = N. 2.0.60. 11

12

iii

lill

Likevekt for bruddfigur 2 krever at det ytre virtuelle arbeidet er lik det indre virtuelle arbeidet.

F6u + P6vc + Nab6Aab + Nbc6Abc + NCB)6ACD + NDE6ADE

= 6Mp60

YPP 6u+pP —6u+(oP — YP ref0U+P ref20U+^P ref

4M 2)2 — 2 2

2.M u. P u 2+“ 2 2 ~

2MP 2 u 6u 4MP u 6u 6u +— 2 2 ~+—£2 — = 6MP T

(yPref+2Pref+Pref2)p =

Mp

6

2Mp u

2

2

2

dvs.

=

6Mp - 2MpH

= 6-2H (5.56)

(y+2)Pref£ + Pref u

y+7+2

Det annenordens bidraget som er knyttet til P ble her tatt vare på gjennom rotasjonene av AB og DE.

Når vi lar u gå mot 0 fås

bruddlasten ved 1.ordens bruddteori som

PP2

(5.57)

En tredje bruddfigur framkommer ved lokalt sammenbrudd av

rigelen.

Det er ingen annenordens effekter forbundet med

denne bruddfiguren, og det er lett å finne at bruddlasten er

256

pPq = 8 r3

FIGUR 5.27

(5.58)

Bruddlast som funksjon av y for 1. ordens bruddteori

Ved en bruddbetraktning må selvsagt (5.55), (5.57) og (5.58) ses i sammenheng og den lastfaktoren som gir lavest bruddlast

velges, se figur 5.27.

FIGUR 5.28

Sentrisk knekning av portalrammen

257

Portalrammen må også undersøkes for sentrisk, elastisk

En kan forutsette at halvparten av horisontalF kraften F tas av hver av søylene, dvs. y overføres som aksialknekning.

Vertikalkraften P fordeles med en

kraft (trykk) i rigelen.

halvdel til hver av søylene slik at belastningen blir rent

sentrisk.

Under disse forutsetningene kan den kritiske lasten finnes.

uttrykt ved lastfaktoren

For det tilfellet at

F = 0 (eller liten) kan det vises at Po,kr = Wref = 7’38^

dvs. p, = 14.7 6-^Æ— = 14.76-^4kr £2Pref

(5.59)

Eksakt løsning på det sentriske knekkproblemet (også når

F | 0) finnes lettest ved bruk av determinantsøkning for stabilitetsfunksjonene og utnyttelse av symmetribetingelser. Stabilitetsfunksjonene kan også med fordel benyttes til en annenordens elastisk beregning der lasten P settes på eksentrisk som i figur 5.24.

Alternativt kan en bruke

En

differensialligningen tilsvarende eksemplet på side 81.

forenklet metode er å benytte forskyvningene fra en lineær

beregning og å øke disse med en forstørrelsesfaktor som gjort i (5.50). Resultatene fra de annenordens beregningene av portal-

rammen er oppsummert i figur 5.29.

Det er foretatt et vil­

kårlig valg av y og materialkonstanter’, i det tenkte tilfellet gir bruddfiguren i figur 5.26 den laveste bruddlasten.

bruk av Rankines formel

Ved

5.53) fas et overslag over p , ° maks

—A— « -A_ + 1 Pn. Pmaks PP2

258

FIGUR 5.29

Resultater fra annenordens beregning av portal-

ramme Forskriftene bygger i prinsippet også på Rankines formel (5.53) for dimensjonering av rammer (NS 3*472 , pkt. 5.9).

Som

i (5.53) benyttes lastfaktor for flytebrudd etter 1. ordens

Ved

bruddteori og lastfaktor for elastisk, sentrisk knekning.

den sentriske knekningen forutsettes det at kreftene flyttes til ramme-knutepunktene. kontrolleres.

Både lokal og global stabilitet må

Kapasitetsformelen i pkt. 5.9.2 i NS 3472

inneholder også et negativt ledd der kapasiteten for aksielt

flytebrudd inngår.

Dette leddet vil øke den totale kapasiteten.

Bakgrunnen for dette leddet synes noe uklar, spesielt fordi aksiallast i virkeligheten vil redusere momentkapasiteten.

Som et alternativ til bruk av interaksjonsformelen for

kapasitet angir forskriftene at kapasiteten kan beregnes ved annenordens plastisitetsmetoder eller elastisitetsteori .

denne forbindelse er de tidligere gjennomgåtte metodene nyttige.

Men ved en skikkelig vurdering av kapasitet og

sikkerhet bør en ta hensyn til både elastiske og plastiske

forhold.

I

KONSTRUKSJONER MED STORE DEFORMASJONER

261

6.1

GEOMETRISK IKKE-LINEARITET Når en konstruksjon utsettes for belastning vil den defor­

meres, og geometrien forandres.

Ved en lineær analyse ser en

bort fra disse endringene og stiller opp likevektsligningens for

den

konstruksjonen.

Dette kan en gjøre sålenge de­

formasjonene er små i forhold til konstruksjonens karakteristiske størrelse.

Ved store deformasjoner må en imidlertid ta hensyn

til de geometriske forandringene, og kreve at konstruksjonen skal være i ZZfeevefeZ Z de.&o*.meJLt t^tétand.

Dette medfører at like-

vektsligningene ikke lenger er lineære med hensyn på forskyv­

ningene; det innføres ge.ome.ZAZ4 fe Zfefee.-ZZne.aA.ZZeZ,

Slike effekter

kalles også ofte annenordens eller høyere ordens geometriske

effekter.

Et eksempel på et geometrisk ikke-lineært problem er

elastica som ble behandlet i avsnitt 3.4. I forrige kapittel ble ikke-lineariteter som skyldes at materialet ikke er lineært elastisk, omtalt.

I praksis vil

ofte ikke-lineære materialeffekter opptre samtidig med høyere ordens geometriske effekter. Ved en ikke-lineær analyse møter en følgende problem: for å

beregne forskyvningene må en kjenne stivhetsrelasjonen, men denne er ukjent fordi en ikke kjenner forskyvningene.

synes som et paradoks.

Dette kan

Løsning av slike problemer kommer vi

tilbake til i avsnitt 6.2. Mange konstruksjoner framviser en betydelig geometrisk

ikke-linearitet.

Naturlig nok er det særlig slanke eller tynne

konstruksjoner som utmerker seg i så måte.

262

y Eksempel

FIGUR 6.1

Stavsystem

For å illustrere begrepet geometrisk ikke-linearitet skal

vi gjennomføre både en lineær og en ikke-lineær analyse av det enkle stavsystemet i figur 6.1.

IZneæÆ ZøénZng (imå de^oftmasjone.fi}

FIGUR 6.2

Deformasjon og likevekt ved små deformasjoner

Når r er liten i forhold til h blir aksialtaøyningen _ rsinctp £/cosa

(e

o

_ r “ T sln0toc°sa

er positiv ved forkorting av staven).

263

og aksialkraften blir

_ _. EA . S = EAe = -r-sina cosa r £ O O S

er positiv som tÆi/kk.

Likevekt for den

geometri

gir

R = 2Ssina

2EA = —7—sin a cosa r £ o o

o

(6.1)

eller R = Kr

der v 2EA . 2 K = —x—sin a cosa £ o o Stivheten K er her konstant, dvs. sammenhengen mellom kraft og forskyvning er fZneæÆ.

I denne lineære analysen er det gjort to tilnærmelser,

nemlig ved beregning av tøyningen Dersom vinkelen

sina

- a o

a

o

e

og i likevektsligningen.

er liten (a

, cosa o ’ o

o

. - jXl - 2h> + J£a2(£ - 3)5 = K + K £ o h h o g

(6.6)

Det første leddet i K er lik den lineære stivheten, se (6.2),

mens det andre leddet representerer en ikke-lineær korreksjon

som skyldes at geometrien endres ved deformasjonen.

Stivhets-

relasjonen (6.5) er en tredjegradskurve som er skissert i figur

6.4. Ligning (6.5) vil ikke alltid gi e.ntydlg løsning for en

gitt last.

Figur 6.5a viser et tilfelle der det finnes 3

mulige likevektspunkter A, B og C.

bare A og C som er

Av disse er det imidlertid

likevektstilstander.

Dette kan en

se av den potensielle energien som er skissert i figur 6.5b. For et problem av denne typen vil det ikke være mulig å følge hele last-forskyvningskurven ved å øke lasten.

Når

punkt D (se figur 6.5a) er nådd, vil en hoppe direkte over til punkt E, som er et stabilt punkt. for gjennomAtag.

Dette fenomenet kalles

266

R

2EAa3 3 16

3 16

FIGUR 6.4

Kraft-forskyvningsforløp etter (6.5)

FIGUR 6.5

Mulige likevektstilstander for gitt last

267

Ligning (6.5) representerer en £Zkeve.ktZ> t$0Æmu£eÆ.ing av problemet, dvs. den uttrykker likevekt mellom ytre og indre kraft:

R . = R. , = K(r)r ytre indre Den tilhørende stivheten (6.6) kalles

kalles for tang ent-itivhet eller ZnkA.e.mente.££ *ttvhet.

Ved en

formulering som (6.7) kan det ikke-lineære problemet løses som et initialverdiproblem.

En slik løsningsmetode kan kombineres

med eller erstattes av iterative metoder.

Dette blir nærmere

diskutert i avsnitt 6.3. Den inkrementelle stivheten for eksemplet foran kan bereg­ nes av (6.5):

2EA ao’dr d (l1 , ,, " r> r x.5 KI/(r)s = T" h)(i " 2h - 2EA 2(1 _ 3r --- To x h

= £

o

2(£)2) 2V 7

(6.8)

+ ^2 - 1) = K + Kr £ o h 2h o G

Her er KQ den lineære (initielle) stivheten (6.2), mens Kg kalles qeometÆt^k ^tZvhet.

Kn representerer endringen i inkre-

mentell stivhet på grunn av geometriendring ved deformasjon.

268

De forskjellige stivhetsbegrepene er illustrert i figur 6.6a.

a) Stabilt punkt

FIGUR 6.6

b) Ustabilt punkt

K°

- lineær stivhet (initiell stivhet)

K

- sekantstivhet

Kj-

~ inkrementell stivhet (tangentstivhet)

Kq

- geometrisk stivhet

(negativ i figuren)

Stivheter

Av figur 6.6b framgår det at i det ustabile punktet (punkt D i figur 6.5) er den inkrementelle stivheten lik 0, eller + K„)dr = 0

dR = KTdr = (K -L

O

U

Dette er helt analogt med stabilitetsbetingelsen ved linearisert knekning, som i det endimensjonale tilfellet lyder

(K - Å K„)r = 0 p G

269

Knekning finner sted når lastfaktoren Å

blir så stor at det

akkurat opphever den elastiske

geometriske stivhetsbidraget

stivheten K. Stivhetsrelasjonene (6.5) og (6.7) kan i prinsippet generaliseres til et system med mange frihetsgrader: (6.9a)

K(r)r = R KT(r)dr =

I

(6.9b)

(K +K„(r))dr = dR

o

G

Her er r og R henholdsvis forskyvnings- og lastvektor, og de forskjellige stivhetsmatrisene gis tilsvarende betegnelser som

skalarstørrelsene i figur 6.6: K

: sekantstivhetsmatrise

Kj

: inkrementell stivhetsmatrise

K

: lineær stivhetsmatrise (elastisk stivhetsmatrise)

o IC

: geometrisk stivhetsmatrise

Ligning (6.9a)

uttrykker likevekt mellom ytre last R og

indre reaksjonskrefter Kr .

For systemer med mange frihets­

grader er imidlertid sekantstivheten lite anvendelig og kan

virke noe forvirrende.

Den faktoriseringen av de indre kreftene

som er representert ved K(r)r kan gjøres på uendelig mange måter,

så sekantstivheten er derfor ikke noe entydig begrep.

Det mest

logiske er å uttrykke de indre kreftene direkte som

uten å gå veien om K. Differensialformuleringen (6.9b)

skrives ofte på endelig

inkrementell form: KpAr = AR

(6.10a)

Ar = K-1AR

(6.10b)

hvorav

AR og Ar er her samsvarende Znk-te.me.nZe.-t i henholdsvis last og forskyvning.

Med utgangspunkt i en kjent tilstand (r,R) kan

270

Kj beregnes, og forskyvningsinkrementet Ar på grunn av et last-

inkrement AR beregnes av (6.1,0b).

6.2 FORMULERING AV GEOMETRISK IKKELINEÆRE PROBLEMER

6.2.1 Metoden med oppdaterte koordinater Formulering av geometrisk ikkelineære problemer innebærer valg av referansesystem(er) for beskrivelse av konstruksjonens

geometri og deformasjoner.

Metoden med oppdaterte koordinater

benytter seg av lokale koordinatsystemer som følger elementene under deformasjonen (engelsk: corotational coordinates). Elementstivhetsrelasjonene beregnes først i lokalt system og

transformeres deretter til et fast globalt koordinatsystem før innaddering i systemstivhetsrelasjonen.

De lokale koordinat­

systemers beliggenhet må oppdateres etterhvert, og de geometrisk ikkelineære effektene blir ivaretatt gjennom transformasjons-

matrisene som stadig endres.

Metoden kalles derfor også for

transformasjonsmetoden. Vi forutsetter at elementene oppfører seg ftneæÆzt når de refereres til de medfølgende lokale koordinatsystemer.

Dette

innebærer Amå deformasjoner på lokalt elementnivå.

Eigur 6.8 viser et vilkårlig element i initiell og deformert tilstand.

Elementet er tilknyttet knutepunktene a

og b, og lokal x-akse er definert ved den rette linjen gjennom disse punktene.

Figur 6.8a definerer de lokale knutepunkts-

kreftene på vanlig måte (se /5/ side 29):

271

a)

Knutepunktskrefter

b)

Deformasjoner

FIGUR 6.8

Krefter og deformasjoner i lokalt system

Deformasjonen av elementet beskrives ved hjelp av den aksielle

forlengelsen u, og rotasjonene

ZZZ boA-den ab, se figur 6.8b.

og

som

Z

Ved hjelp av disse tre para­

metrene kan krafttilstanden S for elementet bestemmes entydig som

272

s

s =

s

2 3

s

5 .SJ

0

0

6EI ~T2~ UEI SL

6EI

0

0

6EI

6EI

£2

T2-

0

2EI SL

UEI SL

0

2EI £

Se forøvrig kapittel 2 i /5/.

0 EA SL

(6.11) u

Vektoren V beskriver elementets

deformasjon i forhold til det lokale koordinatsystemet xy. I "tillegg vil elementet ha en stivlegemebevegelse (translasjon

og rotasjon) som er bestemt av xy-systemets beliggenhet i for­ hold til det globale systemet

xy.

Denne er definert av de

globale koordinatene for knutepunktene a og b.

Stivlegeme-

bevegelsen endrer imidlertid ikke knutepunktskreftene , slik at relasjonen (6.11) er gyldig uansett elementets beliggenhet i forhold til xy-systemet.

Grunnen til at k har dimensjon

6x3 er at de tre komponentene av stivlegemebevegelsen er

fjernet i (6.11).

Forutsetningen om lineær elementoppførsel på lokalt elementnivå betyr at deformasjonene u, u)

og w,

må være små.

Vi er nå interessert i å beregne de globale knutepunkts­ kreftene S når de globale forskyvningene V er kjent.

S og v

er definert i figur 6.9a og b.

Su

I S1S2S3^4^5^6 I

a) Knutepunktskrefter

T

273

b) Forskyvninger FIGUR 6.9

Krefter og forskyvninger i globalt system.

Alle vinklene i figuren er positive Sammenhengen mellom S og S er gitt av (se /5/ avsnitt 2.4): S = 1■Ts

(6. 12)

COSØ

sinø

-sinø

COSØ

der

0

T =

0 0

0

0

0 1 COSØ

sinø

Q

-sinø

COSØ

0

0

0

er vinkelen mellom x- og x -aksen, se figur 6.8a

1. (6.11) og

(6.12) gir 5 = TTS = TTkv = k*v

k* = TTk

(6.13)

kan enkelt uttrykkes eksplisitt ved å utføre matrise­

multiplikasjonen for hånd.

Det gjenstår nå å uttrykke de lokale deformasjonene V ved

de globale forskyvningene V, se figur 6.8a og 6.9b.

Koordinatene

274

til knutepunktene a og b er i deformert tilstand: X

a

=

X

ao

+

v

__

— ya

yao

+

V

— X, b

—. X, bo

+

V

+

V

—

=

*

ybo

yb

i

2

(6.14)

5

x d u , osv. er koordinatene i intialtilstanden. tilstand kan kordelengden

ab

I deformert

beregnes som

= /(xb-x )2 + (y -y )2' d

U

(6.15)

d

I forhold til initialtilstanden har kordeaksen

ab

en rotasjon

(se figur 6.9b)

(6.16)

ip = 0 - 0 0 der

0

= arcsin(—^—-—)

^b ■ ya 0 = arcsin(--- --- -) X?

&0

er elementlengden i initialtilstanden.

For å bestemme

00 °g 0 entydig, må en i praksis også undersøke fortegnet på

cos00 og cosø.

De lokale forskyvningsstørrelsene finnes nå som (se figur 6.8b og 6.9b) wa

v3+ ip

wb u

V6+ *

(6.17)

/ - £o

Betingelsen om små deformasjoner på lokalt elementnivå betyr

forøvrig at w a. , w D og u er små. Relasjonene (6.13) og (6.17) setter oss i stand til å finne de globale elementkreftene S for enhver kjent forskyv-

275

v.

ningstilstand

Når elementet inngår i en konstruksjon, kan den kineog konstruksjonens forskyvningsmatiske sammenhengen mellom

vektor r uttrykkes som, se 75/ side 73: v.

i

(6.18)

= a.r i

Indeks i viser til elementets nummer.

Anta nå at konstruksjonen er i likevekt under en gitt, ytre belastning R. Virtuelle forskyvningers prinsipp sier da at indre virtuelt arbeid skal være lik ytre virtuelt arbeid:

£6 vTii S. 4

= 6rTR

i

Forutsetningen er at de virtuelle forskyvningene

og

6r

er kinematisk kompatible, dvs. 6v .

= a .