145 55 76MB
Norwegian Pages 332 Year 1978
Pål G. Bergan - Tor G. Syvertsen s- —
KNEKNING AV SØYLER OG RAMMER
TAPIR 1978
Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket
ISBN 82 519-0254-1
V
FORORD Boken behandler stabilitetsproblemet for bjelke- og stav-
systemer. Mekanikken bak stabilitetsproblemene er illustrert med
enkle eksempler.
Det teoretiske grunnlaget er utledet på
generell form, og alternative stabilitetskriterier etablert.
En rekke metoder for løsning av det lineariserte kneknings-
problem er omtalt.
Det er lagt spesiell vekt på metoder som er
velegnet for løsning med små-kalkulatorer og datamaskin.
Det
er sådan vist en generell formulering av stabilitetsproblemet
ved bruk av matriseformulering og geometrisk stivhet.
Løsning
basert på differensialligningen har dessuten fått fornyet
aktualitet, da uttrykt i form av stivhetsmatrise med stabili tet s funksjoner .
En stor del av boken er viet annenordens eller ikkelineære metoder.
Dette har sammenheng med at våre sikkerhets
begrep for konstruksjoner nå i stor grad er knyttet til det fullstendige lastforskyvningsforløp fram til sammenbrudd.
I
denne forbindelse er effekter av egenspenninger og plastiske deformasjoner behandlet.
Generelle formuleringer der en kan ta
hensyn til meget store forskyvninger er også gjennomgått. Det er lagt vekt på å sammenligne teorien med reglene i
de någjeldende forskriftene, for derved å øke forståelsen av
disse.
En ulempe ved slike sammenligninger er at forskriftene
blir revidert med jevne mellomrom og dette stoffet kan derfor miste noe av sin aktualitet.
Drastiske endringer av for
skriftene er derimot ikke forventet med det første.
Denne boken er utarbeidet i forbindelse med tanke på kurset "Knekning og ikkelineære problemer" som undervises i tredje årskurs ved Bygningsingeniøravdelingen, Norges tekniske høg
skole.
Boken er imidlertid en god del mer omfattende enn det
som er pensumstoff for dette kurset.
Boken forutsetter grunn
leggende kunnskaper i faget statikk, så som enkel rammestatikk. Videre forutsettes kjennskap til matrisemetoder i statikken.
VI
Alle symboler og formuleringer er i samsvar med Pål G. Bergan, Geir Horrigmoe og Tor G. Syvertsen: Matrisestatikk, Tapir, 1977 .
Torill Jørgensen har gjort et førsteklasses arbeid ved maskinskrivingen av manuskriptet.
Omslaget er tegnet av Geir Aanvik.
Trondheim, desember 1977
forfatterne
Vil
INNHOLD
1.
INNLEDNING
1
1.1 Historikk
3
1.2 Kritisk last og knekning
5
1.3 Anvendelse av teorien forknekning
og
7
store forskyvninger 2.
DE GRUNNLEGGENDE PRINSIPPER FOR KNEKNING 2.1 Prinsippet om stasjonær potensiell energi og
pp
stabilitet 2.1.1 Kravet til en likevektstilstand
pp
2.1.2 Stabilitetskriterier
P7
2.2 Enkle modeller for knekning
3.
9
20
2.2.1 Linearisert knekning
20
2.2.2 Eksentrisk knekning
23
2.2.3 Stabilitet og store forskyvninger
28
2.3 Stabilitetskriteriene på generell form
30
2.3.1 Prinsipper for variasjonsregning
30
2.3.2 Generelle stabilitetskriterier
34
2.3.3 Eksempel med dobbel pendelsøyle
37
KNEKNINGSBEREGNING VED BRUK AV DIFFERENSIALLIGNING
45
3.1 Differensialligningen for en bjelke med
47
aksialkraft 3.1.1 Direkte oppstilling av differensialligningen
47
3.1.2 Forenkling av differensialligningen når
54
tverrlasten
q = 0
viii
3.1.3 Utledning av differensialligningen fra den
59
potensielle energi
3.1.4 Differensialligningen for bjelke på elastisk
53
underlag
3.2 Kritisk last for søyler og rammer
58
3.2.1 Eksempler på søyleknekning
58
3.2.2 Praktisk kapasitetskontroll av trykkstaver
75
3.2.3 Eksempel på rammeknekning.
Optimalisering
81
3.2.4 Iterasjonsløsning av en ikkelineær ligning
86
3.2.5 Iterativ løsning av differensialligning.
92
av ramme
Vianellos metode 3.3 Stivhetsmatrise for bjelke med aksialkraft
3.3.1 Stivhetsmatrise med stabilitetsfunksjoner 3.3.2 Enkle eksempler på bruk av "eksakt"
95 95
100
stivhetsmatrise 3.3.3 Rammeanalyse med "eksakt" stivhetsmatrise
113
ved bruk av datamaskin 3.4 "Elastica".
Eksakt teori for bøyning av bjelker
118
med store forskyvninger 3.5 Torsjonsknekning og vipping
4.
128
3.5.1
Torsjon
^28
3.5.2
Torsjonsknekning
^3^
3.5.3
Vipping av bjelker
13g
TILNÆRMEDE LØSNINGSMETODER FOR KNEKNING
148
4.1 Energimetoden (Rayleigh-Ritz’ metode)
150
4.1.1 Diskretisering av et kontinuerlig problem
150
4.1.2
152
Rayleigh-Ritz' metode
4.1.3 En metode basert på komplementær energi
4.1.4
Numerisk integrasjon
4.1.5 Tilnærmet knekningsberegning for enkle rammer.
Diskrete energibidrag
151 172
177
IX
4.2 Geometrisk stivhetsmatrise for bjelke- og stav
181
element 4.2.1 Bjelkeelement
181
4.2.2 Stavelement
189
4.3 Knekning av rammer og stavsystemer 4.3.1 Systemanalyse 4.3.2
Eksempler på rammeknekning
197 201
4.3.4 Romlige systemer
204
4.4.1 Generelt om egenverdier 4.4.2 4,4,4
205 205
Metoder basert på similaritetstransformasjoner 208
4.4.3 Vektoriterasjon
6.
191
4.3.3 Eksempel på knekning av stavsystem
4.4 Beregning av egenverdier
5.
191
. Kommentarer om nøyaktighet
209
214
INELASTISK KNEKNING
219
5.1 Modifisert knekningsteori for søyler
221
5.1.1 Elastisk-plastisk materialoppførsel
221
5.1.2 Tangentmodulteorien
223
5.1.3 Dobbetmodulteorien
224
5.1.4 Shanleys formulering
232
5.2 Innflytelse av egenspenninger
233
5.2.1 Egenspenninger i et tverrsnitt
233
5.2.2 Knekning av søyle med egenspenninger
238
5.3 Sammenbruddslaster for rammer
245
KONSTRUKSJONER MED STORE DEFORMASJONER
259
6.1 Geometrisk ikke-linearitet
261
6.2 Formulering av geometrisk ikke-lineære problemer
270
6.2.1 Metoden med oppdaterte koordinater
270
6.2.2 Total Lagrangeformulering
279
X
6.3 Løsningsmetoder
292
6.3.1 Inkrementelle.metoder
292
6.3.2 Iterasjonsmetoder
295
6.3.3 Kombinerte metoder
298
6.4 Eksempler på konstruksjoner med store forskyvninger 301
7.
6.4.1 Legging av oljerørledning
3qj
6.4.2 Gjennomslag av sinusformet bue
qqq
LITTERATUR
TILLEGG 1
STABILITETSFUNKSJONER
Tl.l Diagram TI.2 Tabeller TILLEGG 2
NUMERISK INTEGRASJON
305
311 313 314 321
T2.1 Gauss-Legendre integrasjon
323
T2.2 Labattointegrasjon
324
INNLEDNING
3
1.1 HISTORIKK
Historien om uhell og katastrofer i forbindelse med kon
struksjoner viser at en meget stor andel av disse ulykkene skyldtes knekning eller instabilitet.
Hva som var grunnen til
en slik dramatisk oppførsel av konstruksjoner var gjenstand for spekulasjoner gjennom århundrer.
Stabilitetsproblemet ble løst av matematikere med Leonard Euler (1707-1783) i spissen /!/.
Ved hjelp av variasjonsregning
kom Euler fram til differensialligningen for en bjelke med
store forskyvninger.
tidligere av Jacob
Denne ligningen var riktignok utledet
Bernoulli (1654-1705) ved en direkte metode,
men Euler klarte ved hjelp av rekkeutviklingen å beregne den
elastiske formen for et stort antall kompliserte bjelkedeformasjonstilfeller. Han greidde også å fastslå at en søyle med lengde £ som er fast innspent i den ene-enden og påkjent
av en trykkraft P i den andre, ikke klarer å bære mer enn
Denne viktige ligningen viser at en fordobling av søylens lengde vil redusere bæreevnen til en fjerdedel.
Euler "absolutt elastisitet".
Konstanten
betegnet
Han trodde at for et rektangulært
tverrsnitt var denne størrelsen proporsjonal med
kvadratet(!) av høyden.
C
bredden
og
Sett i relasjon til den store mate
matiske innsikt man hadde på den tiden synes det bemerkelses
verdig at sansen for ingeniørmessige og fysikalske vurderinger var så lite utviklet. J.L. Lagrange (1736-1813) tok for seg en lang rekke kneknings-
problemer, deriblant det klassiske tilfellet med en søyle som er
fritt opplagt i begge ender.
Han beregnet den kritiske last for
dette tilfellet til å være fire ganger så stor som den Euler hadde funnet for søylen med en fast innspent ende.
Sett i dette
historiske lys synes det noe merkverdig at vi vanligvis betegner
den fritt opplagte søylen for "Euler-søylen" eller "Euler-
tilfellet".
4
FIGUR 1.1
Søyle undersøkt av Euler
Også Lagrange brukte rekkeutviklinger til å beregne mulige 1ikevektsti1stander for laster som overskrider den teoretiske
knekklasten.
Dette tilfellet som vanligvis betegnes "elastica",
vil bli omtalt i kapittel 3. Mot slutten av attenhundretallet begynte forskerne å
interessere seg for egenspenninger og plastisk flytning i for bindelse med knekning.
Navn som er knyttet til inelastisk knekning
er blant andre Engesser, Considére, von Karman og Shanley.
Nærmere omtale av deres arbeider vil bli gitt i kapittel 5. Den moderne forskning dreier seg mye om videreutvikling av
numeriske beregningsmetoder.
I dag er disse metodene kommet så
langt at det er mulig å utføre numerisk simulering av svært
kompliserte konstruksjoner med store forskyvninger og plastisk
flytning.
Disse metodene bygger på elementmetoden og gjør
utstrakt bruk av datamaskin.
kan bli meget kostbare.
Beregninger av store problemer
Eksperimentelle undersøkelser for å finne
ut hvordan praktiske konstruksjoner oppfører seg, er også svært viktige.
Pa den maten undersøkes betydningen av egenspenninger,
forbindelsesmidler, formfeil og lignende.
I dag utføres om
fattende forsøksserier i laboratorier over hele verden.
Det
drives et utstrakt internasjonalt samarbeid som blant annet
har resultert i en rekke forskrifter og anbefalinger for beregning og utføring av konstruksjoner.
5
1.2 KRITISK LAST OG KNEKNING
FIGUR 1.2
Knekning av bjelke
Figur 1.2 viser en ideell, rett bjelke av et homogent, elastisk materiale.
Bjelken er påkjent av en aksialkraft
som virker i aksen gjennom tverrsnittets flatesenter.
starte fra null og så øke.
La
P P
Til å begynne med skjer det ikke noe
annet med bjelken enn at den får en aksialdeformasjon.
Idet
lasten når en kritisk verdi, P^, får bjelken plutselig en sterkt økende utbøyning; den knekker.
Kraft-forskyvningsfor-
løpet blir som antydet med den heltrukkete linjen til høyre i
figuren.
Ved undersøkelse av virkelige konstruksjoner finner
en at de ikke oppfører seg eksakt som beskrevet over, utbøyningen
skjer da mer gradvis med økende P, som vist i det stiplede
forløpet i figuren.
spenninger og over.
Slik oppførsel skyldes formfeil, initial-
andre avvik fra de idealiserte forutsetninger
Det idealiserte tilfellet vil her bli betegnet
et f
knefontng for å presisere at det er gjort visse antakelser som
medfører at knekkforløpet blir lineært.
For praktiske konstruksjoner er det nødvendig å definere
hva vi velger å oppfatte med uttrykket
k. fcuf.
Hva er den
for eksempel for en virkelig konstruksjon som har et kraft-
forskyvningsforløp som det som er prikket i figur 1.2?
Vi
6
velger nå å
definere kritisk last som den kritiske grenseverdien
for knekning som framkommer for det tilsvarende
tilfellet.
Dette betyr at en må fjerne alle initialspenninger
og inhomogeniteter i materialet som forutsettes å være ideelt elastisk, alle ytre laster må virke eksakt sentrisk uten å
medføre momenter og konstruksjonen må være uten initialdeformablir på denne måten en referanseverdi som
sjoner.
markerer den teoretiske grensen for et transformasjonsområde
der konstruksjonen får vesentlige tverrforskyvninger.
Men det er
viktig å merke seg at i praksis kan konstruksjoner få sammenbrudd referanseverdien P^ nås, dette skyldes gjerne flytning
lenge
og sammenbrudd i materialet. Den norske standarden for stålkonstruksjoner, NS 3472, definerer en knekklast
P^ = a^A.
Denne størrelsen avhenger av
Pkp for den lineariserte konstruksjon,men tar også hensyn til
egenspenninger i tverrsnittet og slankhetsavhengige initial-
deformasjoner.
P. er derfor en del mindre enn P, k kr Teoretisk sett er det mulig for den ideelle konstruksjon å
finne likevektstilstander for belastninger som er større enn den kritiske lasten.
Det er derfor nødvendig å klassifisere for
skjellige typer av likevektstilstander.
Dette vil bli diskutert
i kapittel 2. Hva som skjer
at konstruksjonen har begynt å knekke
ut er også av stor praktisk interesse.
Enkelte konstruksjoner
har betydelige bærereserver etter såkalt knekning, og dette kan en dra nytte av.
Andre typer konstruksjoner får en dramatisk
reduksjon av bæreevnen etter
er nådd.
at et maksimalt belastningsnivå
Typen av post-kritisk oppførsel karakteriseres gjerne
gjennom begrepet & øviiiÅ.ti.vÅ.te.t.
Svært sensitive konstruksjoner
har en lumsk oppførsel som krever store sikkerhetsfaktorer mot knekning.
For å studere dette fenomenet er det nødvendig å
benytte en teori som tar hensyn til store forskyvninger og gjerne
også ikke-lineær materialoppførsel.
Begrepet sikkerhet burde
egentlig knyttes til hele det ikke-lineære last-forskynings-
forløpet fram til fullstendig sammenbrudd av konstruksjonen. En beregningsmetode for konstruksjoner med store forskyvninger
vil bli gjennomgått i kapittel 6.
7
1.3 ANVENDELSER AV TEORIEN FOR KNEKNING OG STORE
FORSKYVNINGER
Beregningsmetodene for stabilitetsproblemer kan i hoved sak klassifiseres i tre grupper:
a. Enkle overslagsmetoder b. Metoder basert på differensialligningen
c. Tilnærmete metoder basert på variasjonsformulering Ved planlegging av en konstruksjon kan det ofte være nyttig
å gjøre en grov overslagsberegning av den kritiske last.
Dette
kan gjøres ved en forenkling og en idealisering av det konstruk tive system slik at det blir likt et system man allerede kjenner eller lett kan beregne den’ kritiske last for.
Ved å øke eller
minske stivheten i deler av konstruksjonen kan man ofte finne
øvre og nedre grenseverdier for
•
Med litt innsikt og
erfaring går det også an å gjette knekklengder for delkomponenter av konstruksjoner.
De ordinære differensialligninger for
knekning er et uttrykk for likevekt i deformert tilstand. forutsettes imidlertid at forskyvningene er små.
disse ligningene kan
P,
Det
Ved hjelp av
finnes for bjelkeproblemer med for-
skjellige grensebetingelser.
Differensialligningene kan dessuten
brukes til løsning av enkle rammeproblemer.
Ved en matrise-
formulering og bruk av stabilitetsfunksjoner kan eksakt knekk-
last finnes for svært komplekse konstruksjoner.
selvsagt bruk av datamaskin.
Dette krever
Det finnes også differensial-
formuleringer for knekningsproblemer med store forskyvninger.
De tilnærmete løsningsmetoder baseres vanligvis på at forskyvningsmønsteret uttrykkes ved et begrenset antall form-
funksjoner eller generaliserte forskyvninger en variasjonsformulering.
som håndregnemetoder.
i forbindelse med
En del av disse metodene kan betegnes
Det kan også utledes elastisk og geometrisk
stivhetsmatrise for et bjelkeelement med aksialkraft.
Ved en
matriseformulering og bruk av datamaskin kan en løse svært komplekse stabilitetsproblemer.
Det er også lett å ta hensyn til
varierende stivhetsegenskaper. For en konstruktør er det selvsagt hensiktsmessig å benytte
seg av ferdige løsninger i tabell- eller diagramform. løsninger finnes for eksempel i /2/, /3/ og /4/.
Slike
8
Praktiske knekningsundersøkelser må ofte utføres på for skjellige nivåer.
Bjelke- og stavkomponenter må undersøkes og
kontrolleres i henhold til forskriftene.
Stabilitet må sjekkes
for deler av konstruksjonen som igjen er sammensatt av flere
komponenter.
Til slutt kan det være nødvendig å utføre en
global stabilitetsundersøkelse for hele konstruksjonen. beregningsgang må f.eks. benyttes for
En slik
kraftledningsmaster.
Først må alle stavene kontrolleres, deretter delkonstruksjoner
som vangeben og tilslutt den totale masten.
DE GRUNNLEGGENDE PRINSIPPER FOR KNEKNING
11
2.1
PRINSIPPET OM STASJONÆR POTENSIELL ENERGI OG STABILITET
2,1,1 Kravet til en likeyektstilstand PÆZnéZppeZ: om mZnZmum pote.n6ze.tt eneJtgz /$/ er et grunn
leggende prinsipp som beskriver oppførselen av lineære statiske systemer.
Dette prinsippet kan utledes matematisk fra de
virtuelle forskyvningers prinsipp som igjen er et integrert uttrykk
for likevektstilstanden i et legeme /6,7/.
Prinsippet om
minimum potensiell energi kan også utledes fra termodynamikkens lover. Den potensielle energien uttrykker potensialet eller evnen til å utføre arbeid.
La oss betrakte et vilkårlig legeme med
gitte grensebetingelser og påkjent av overflate- og indre volum
krefter, se figur 2.1.
I det kartesiske x,y,z-systemet er
volumkraften i et punkt gitt ved komponentene
FIGUR 2.1
Legeme i likevekt
12
F = [F
F ■K.
y
F 1T
(kraft pr. volumenhet)
(2.1)
Zi
og overflatekraften (fraksjonen) i et overflatepunkt ved
komponentene T =
T
[T
x
y
(kraft pr. flateenhet 1
T ]T z
(2.2)
Forskyvningen av et vilkårlig punkt er en vektor som kan de komponeres langs de tre koordinataksene
[u v w]T
U =
(2.3)
La.AtpotQ.nA-ca.£e.t av kreftene som virker på legemet er gitt ved
H = - J (F u + F v + F w)dV V xy z -/(T u + Tv + Tw)dS q
x
(2.4)
z
y
=-JuTFdV - JuTTdS v V
sa er den delen av overflaten der
er volumet av legemet og
overflatekreftene er gitt.
Uttrykket over forutsetter at kref
tene skal være faste, gitte størrelser som er uavhengige av forskyvningene.
Legg merke til minustegnet som betyr at last-
potensialet økeÆ når legemet forskyves i ne.ga££v kraftrefning.
Et nærliggende eksempel på dette seg i tyngdekraftfeltet.
er et legeme som befinner
Legemets potensielle energi økeÆ når
det heves, dvs. forskyves i motsatt retning av tyngdekraften.
Merk også at dette er et uttrykk for en koni>ta.nt krafts evne til å utføre arbeid ; ligning (2.4) skal derfor ikke inneholde faktoren 5.
Som vi skal komme tilbake til senere, kan last-
potensialet få en annen form enn den enkle lineære formen gitt
i (2.4). Den energien som lagres i legemet ved at det
kalles for tøynZngAcneAgfcn.
For å kunne beregne denne, er
det nødvendig å kjenne materialets spennings-tøyningssammenheng.
13
Lineær og ikkelineær elastisitet
FIGUR 2.2
Tøyningsenergien som lagres i et volumelement
dV
vil være
representert ved arbeidsdiagrammet for spenningene
a
tøyningene
enaksial
Det framgår av figur 2.2 at for en
e.
tilstand er energien ganske enkelt arealet under
og
a-E kurven.
Tøyningsenergien som er lagret i en volumenhet dV, kalles Xøi/nZng4eneÆgZZeXtheXen og er gitt ved
o
For et lineært elastisk materiale er:
U
- la s o 2 x x
+ la e 2 y y
+ la e 2zz
+ It , v „ 2 xy1xy (2.6)
+ I y + I y 2 t yz'yz 2 t zx'zx - 2 1C
-
der
C
U
-- jc 1 f^C f lt
uttrykker Hookes lov på generell form, se /5/, /6/,
/8/: (2.7)
a = Ce En viktig egenskap ved tøyningsenergitettheten er
_ 9Uo °x Se X.
au
a
o = x—, y 3Ey’
au
t
O = x--xy aYxy
, etc
m
Som en ser av (2.6), er det enkelt å beregne tøynings
energitettheten for et lineært elastisk materiale med gitt tøyningstilstand.
For ZfefeefZneæte materialer kan det imidlertid
være komplisert eller umulig å beregne
Uq .
Ikkelineære
materialer som har den egenskap at tøyningsenergitettheten kan etableres som funksjon av tøyningene, kalles forøvrig for
Pen totate tøyntngAenestgten (eller den elastiske energien) for et legeme fås nå ved integrasjon av tøyningsenergitettheten
over volumet
U = /U dV V °
(2.8)
Når tøyningsenergitettheten for et lineært elastisk materiale settes inn, se (2.6), får U en enkel kvadratisk form i for
skyvninger eller tøyninger.
For ikkelineære problemer kan
U
være en fjerdegradsfunksjon av forskyvningene, eller det kan
også inngå avhengigheter av trigonometrisk form. Den totate potenAtette eneagten for et legeme fås ved å summere lastpotensialet og tøyningsenergien
R = H + U
II, H og U
(2.9)
betegnes ofte
JonaZeÆ.
En funksjonal kan populært
sies a være en "funksjon av en funksjon"; H og U av forskyvningsfunksjonen
avhenger her
u.
For et lineært system gjelder ptZn^ZppeX om mtntmum potenAtett enetcgt, som sier at i et legeme som er i statisk like vekt vil forskyvningene innstille seg slik at den totale poten
sielle energien får et minimum. av
II
Dette medfører at den deriverte
med hensyn på forskyvningene må være lik null:
6R = 6H + 6U = 0 6
(2.10)
kalles vasitaAjonAopesiatosie.n og følger de samme regneregler
som ved derivasjon, dvs. differensialet av II".
6IT
tilsvarer
dll, som er "det totale
Grunnen til at symbolet
6
benyttes er
at derivasjonen utføres med hensyn på en kontinuerlig felt-
funksjon som her er forskyvningene
U.
6 leses som ^øaAte
vasitaAjonen av eller bare vasttaA j o nen av.
15
FIGUR 2.3
Enkel lineær fjær
For et system bestående av en enkel linær fjær med fjærkonstant k
og påkjent av en kraft P , er den pdtensielle energien: n=H+U=-Pu+ £ku2 o
Den elastiske energien framkommer her som arealet under arbeidskurven i P-u diagrammet.
I henhold til (2.10) er det en
betingelse for statisk likevekt at TT
6n = k--6u = -P £ £ H2 [EIv"6v’] - [_g_(EIv")6v] + f^v(EIv")6vdx dx Q ^dx2 o og
SL SL Jv'6v’dx = Jv’-^-(6v)dx = } 1 dx o o £ £ [v'6v] - Jv"6vdx o o
Samlet får vi: £ ,2 6ir = f(-^r(EIv") + Pv")6vdx < dx2
£ [EIv"6v’] + [(-Pv' - A(EIv"))6v] dx o For at dette skal oppfylles for
leddene hveÆ for det første
u-cffoåÆZZg Cx = 0
= A(l-coskJL) - å
altså
cosk£
C2 = -A
0
71
Denne betingelsen er oppfylt for TT k£ = v?- + mr ,
n = 0, 1, 2,
•• •
n = 0 gir lavest knekklast: P
-
k2FT
-
7121:1
-
EI
*kr ’ k h± - TIT ’ W
Den tilhørende knekkformen er en sinus- (eller cosinus-)fcvaÆXbølge.
Søyle_3
I denne søylen er skjærkraften forskjellig fra null, se
figur 3.15.
Med M^ og Q som definert i figur 3.6, gir de ytre
likevektsbetingelsene for søylen:
Ma = Q£
Dessuten er
= 0, slik at utbøyningen blir:
v = CjSinkx + C2coskx + ^(£-x)
v' = Cjkcoskx - C2ksinkx - p
Randbetingelsene er:
v(0) = C2 +
= 0 -> Q = -|C2
v’(0) = CTk - S = C1k +
= 0 -> C2 = -k£C1
v(£) = C1sink£ + C2cosk£ = CjCsinkS, - k£cosk£) = 0
72
Ikke-triviell løsning krever sink£ - k£cosk£ = 0 eller tgk£ - k£
(3.41)
Dette blir ofte kalt en t/ta.n.6 cendeni ligning, dvs. en ligning hvor både den variable og en implisitt funksjon av den variable inngår på en slik måte at ligningen ikke kan løses direkte.
tilnærmet løsning kan finnes ved en grafisk metode.
En
I figur
3.16 er høyre og venstre side av (3.41) tegnet opp hver for seg, og løsningen finnes i skjæringspunktet mellom
k£
og
tgk£.
På grunn av de trigonometriske funksjonenes periodisitet finnes
det uendelig mange løsninger, men bare den som gir lavest knekklast er av praktisk ihteresse.
73
Fra figuren kan det leses av at skjæringspunktet fås for
k£ = 4.493
P. = kr
= 2.04 5—-f1 =
F
\? (0.699S,)2
Ligning 3.41 kan også løses med iterative metoder, f.eks. New-
ton-Raphson-iterasjon. 3.2.4.
Dette kommer vi tilbake til i avsnitt
Knekklaster for søyler med andre randbetingelser enn de i En oversikt over
figur 3.15 kan beregnes på tilsvarende måte.
de vanligste søyletilfellene er vist i figur 3.17.
7T2EI £2
tt2EI
4£2
2SL
SL
SL
tt2E1
„ pkr:
£,
k
:
FIGUR 3.17
„ nq7T2EI
SL2
4tt2EI £2
0.7 SL
Kritisk last og knekklengde
I figuren er også fenebfeZengden
angitt.
Denne henger sammen
med knekkformen, og er lik lengden mellom to infleksjonspunkter eller tilsvarer en halv sinusbølge.
Søylen med fritt opplegg i
begge ender (Eulerstaven) har følgelig knekklengde lik
SL, mens
knekklengder for to andre tilfeller er skissert i figur 3.18.
74
Knekklengden
FIGUR 3.18
Generelt kan knekklengden for en søyle defineres som:
(3.42)
hvor
er søylens kritiske last og P^, er en referanse-
P^
Denne er den kritiske lasten for en fritt opplagt
størrelse.
søyle av lengde
p
£, dvs. Eulerlasten:
_ tt2EI E "
Den kritiske lasten kan dermed uttrykkes som:
p Z2 _ kr " ^Eiy k
tt2EI
F~ k
(3.43)
I praksis vil det ofte være lettere å anslå knekkform enn knekklast for en søyle med litt ukurante randbetingelser.
Knekklengden kan da også anslås, og P^
kan beregnes ifølge (3.43)
75
3.2.2 Praktisk kapasitetskontroll av trykkstaver
Konstruksjonsforskriftene inneholder forenklede regler for kontroll av stabilitet av konstruksjoner og konstruksjonsdeler. Disse reglene skal være enkle i bruk, sammenfatte en rekke til
feller og dessuten gi resultater som ligger på den sikre siden. Dette gjør at det i mange tilfeller kan være vanskelig å se
sammenhengen mellom teori og forskrifter, og vi skal derfor se litt nærmere på forskriftene her.
Vi skal først definere noen nye størrelser.
T v CÆÆ4 n-itti -
mome.ntcuiYn er gitt ved:
I A
(3.44)
eller
I = i2A
hvor
A
er tverrsnittsarealet og I er tverrsnittets kvadratiske
arealmoment.
Denne størrelsen har vanligvis blitt kalt for
treghetsradius .
Siden
i
ikke har noe med treghet (masse) a
gjøre, er dette en fysikalsk sett misvisende betegnelse, og momentarm er valgt i stedet.
En søyles
er definert som
forholdet mellom knekklengde og tverrsnittets momentarm:
(3.45)
Knekklengden uttrykkes ofte som en faktor multiplisert med systemlengden: (3.46)
£k = m
Se også figur 3.17. Ved sentrisk trykk kan aksialkraften regnes jevnt fordelt
over tverrsnittet.
Spenningen som svarer til
k.su.tZik. ipe.nni.ng, og kan beregnes av (3.43):
kalles
76
P
akr
, kr _ tt2EI A VA k
Ved å innføre (3.44) og (3.45), kan dette skrives: Tr2Ei2 akr ’ “P k I et
tt2E T2-
(3.47)
o^^-Å-diagram framstiller (3.47) en hyperbel, ofte kalt
hi/peÆbe£en, se figur 3.20.
Denne kurven representerer den
kritiske spenningen ved ideell sentrisk knekning av en søyle som er laget av et ideelt elastisk materiale.
FIGUR 3.20
Euler-hyperbelen, definert i (3.47)
For et ideelt elastoplastisk materiale kan spenningen nå flyte-
spenningen før staven knekker dersom slankheten er tilstrekkelig liten, og dette gir en øvre grense for 3.20.
som vist på figur
Avvik fra de idealiserte forutsetningene for Eulerhyper-
belen i form av egenspenninger, formfeil, o.l., vil kunne
redusere den kritiske spenningen i forhold til (3.47).
En slik
77
redusert kurve er vist med stiplet strek på figur 3.20.
In-
elastiske effekter vil bli nærmere omtalt i kapittel 5.
Forskriftene for beregning og dimensjonering av stålkon struksjoner 717/ angir kurver som svarer til figur 3.20 for bestemmelse av kritisk spenning.
Mens kurven i figur 3.20 er
avhengig av flytegrense og E-modul (se (3.47)), er stålstandar
dens kurver gjort uavhengige av disse størrelsene gjennom inn føring av
/Yl! s. 21:
(3.48)
Å
hvor
Åp
beregnes av, se figur 3.20
Ved å innføre
Å =
- /F
i (3.47) blir dermed
aF
°kr _ _1_ aF ’ Å2
(3.49)
(3.49) kan da framstilles i et diagram som er uavhengig av
flytegrense og E-modul.
Figur 3.21 viser knekkurver fra /17/.
Disse kurvene er redusert i forhold til (3.49) for a ta vare pa virkningen av uregelmessigheter som formfeil og egenspenninger.
Fordelingen av egenspenninger varierer gjerne med tverrsnitts-
formen, og 717 Z angir derfor kurver for tre forskjellige tverrsnittsformer , Nærmere omtale av dette vil bli gitt i kapittel 5.
Til sammen
ligning er den ideelle kurven (3.49) tegnet inn.
Det generelle knekningstilfellet er knekning i rommet med
bøyning om to tverrsnittsakser samt rotasjon om lengdeaksen.
Momentpåkjente bjelker kan dessuten bli utsatt for vipping, dvs. knekning av trykkflensen ut av planet for bøyning.
Torsjons-
knekning og vipping kommer vi tilbake til i avsnitt 3.5.3.
78
NS 3472 behandler sammensatte knekningstilfeller som en kombinasjon av spesialtilfeller. ledes med såkalte Zn-tc/iafei
Kapasiteten kontrolleres så
som i prinsippet er av
formen Bi
li—i - 1 hvor
B.^
(3.50)
er en beregningsmessig påkjenning og (^
svarende kapasitet nar Bi virker alene.
er den til
Ved kombinert moment
og aksialkraft forstørres momentpåkjenningen beregnet etter
ZZneæÆ teori med en faktor
1
hvor
Pkp
beregnes etter nærmere angitte regler. Se også side 54.
79 -
Det kan forøvrig bemerkes at enkelte av interaksjonsform
lene i NS 3472 gjelder samvirke mellom elastisk knekning og deformasjon, se /25/ og avsnitt S.3. Ifølge betongforskriftene /18/ skal slanke trykkstaver
kontrolleres for lastvirkninger beregnet etter 2.ordens teori, dvs. virkningen av konstruksjonens forskyvninger skal tas med. Det skal dessuten regnes med ikkelineære materialegenskaper både
for betong og armering.
Nøyaktige beregninger av denne type
vil i mange tilfeller kreve bruk av datamaskin og forholdsvis avansert programutstyr.
Det er imidlertid utviklet program for
analyse av betongrammer hvor det tas hensyn til både ikkelineær
geometri og ikkelineære materialegenskaper /26/.
Med slike
beregninger kan man fa et meget bra bilde av deformasjons- og
spenningstilstanden i en betongkonstruksjon. Langt vanligere er det imidlertid å bruke forenklede bereg
ningsmetoder der de enkelte bjelker dimensjoneres hver for seg etter den påkjenning de utsettes for i konstruksjonen.
Snitt-
kreftene beregnes i første omgang etter 1. ordens teori, og for størring med en faktor som (3.17) gir dimensjonerende lastvirkning.
I tillegg T5.5 i NS 3473 som behandler slanke trykk
staver, er denne forstørrelsesfaktoren godt skjult i et tilleggs
moment som tilsynelatende er proporsjonalt med aksialkraften .
Utgangspunktet for beregning av tilleggsmomentet er imidlertid
at det dimensjonerende momentet er M
hvor P og M^
Y
er henholdsvis aksialkraft og moment beregnet etter
1. ordens teori.
Dette dimensjonerende momentet settes lik
momentkapasiteten (bruddgrensetilstand):
My W, = --- d 1 - JPP. kr
80
hvorav
P M. (1 d Pkr
Y
eller
= M
v '
+ J— M, = M + M E dye kr 1
(3.51)
Denne ligningen uttrykker likevekt mellom momentkapasitet og
M
en fiktiv lastvirkning.
M
e
=
P
P, kr
er det såkalte tilleggsmomentet:
e
M, d
M, kan uttrykkes ved en maksimal tillatt krumning og Pkp d x en knekklengde* :
(3.52)
P pkr -- nrp
M, = EI< . d d
ved
Dermed blir j2
M
e
Dk P~ tKj it 2 d
Zk2 P10Kd d
(3.53)
I NS 3473 angis det hvordan maksimalkrumningen skal beregnes på grunnlag av tøyningene i bruddgrensetilstanden.
Knekklengden
beregnes som "lengden av en leddlagret stav med samme egenverdi som den aktuelle stav". ved elastisk knekning.
Med egenverdi menes her kritisk last Bøyestivheten regnes ut fra initiell
E-modul (null tøyning) og arealmoment for uoppsprukket tverr snitt.
med disse antakelsene kan også de fiktive størrelsene
Md og Pkr i (3.52) beregnes.
Stabilitetskontrollen foregår
ved at det påvises en tilstand hvor den beregnede kapasitet for aksial kraft og moment er større enn de beregnede last
virkning er . Merk at både EI og £,
her er
størrelser som f.eks.
kan beregnes ut fra initiell E-modul og uoppsprukket tverr
snitt .
81
3.2.3 Eksempel på rammeknekning.
Optimalisering av ramme
I avsnitt 3.2.1 så vi hvordan differensialligningen for en
bjelke med aksialkraft kunne brukes til å bestemme kritisk last for søyler med forskjellige randbetingelser.
I en ramme kan
hver enkelt av søylene regnes som elastisk forbundet med de til støtende konstruksjonsdeler, og disse randbetingelsene kan brukes
pa samme måte som i avsnitt 3.2.1 til å bestemme knekklast og knekkform.
Dette forutsetter selvsagt at innspenningsforholdene
er kjent, og dessuten at aksialkraftfordelingen er gitt.
FIGUR 3,22
Plan ramme og forenklede beregningsmodeller
Figuren viser en portalramme som har leddlager nede og er
belastet med to punktlaster P.
Ved å anta en antisymmetrisk
knekkform kan forøvrig systemet forenkles slik som skissert i figuren. av (3.22).
Differensialligningen for søylen AB har løsning gitt Ved å sette inn
82
vA = 0 ,
Ma = 0
Q = 0
,
blir v(x) = CjSinkx + C2coskx ;
k2 =
p
(3.54)
Randbetingelsene er
v(0) = 0 ,
vU) = △ ,
v’ (£) = 9
hvor A og 9 er definert på figuren.
Den første betingelsen gir
C2 = 0, dvs: v(x) = CjSinkx ,
v’(x) - (\kcoskx
Sammenhengen mellom moment og rotasjon i punkt B er vist i
figur 3.23. B
Moment og rotasjon i rigel
FIGUR 3.23
Rotasjonen blir altså
M e =
btl.
= v’(£) = C,kcosk£
(3.55)
1
Likevekt i horisontal retning av hele rammen betyr at skjærkraften i A og D må være lik null, og momentlikevekt av søyle
AB om B gir:
M
B
= PA - Pv(£) - PC sink£ 1
83
Ved å sette dette uttrykket for Mg inn i (3.55), får vi:
P£1C1sink£
-------------------------- = otlj----------- 1
„
n
C.kCOSk£
eller PJ?
tgk£ = 6EI1
Innsetting av P = k2EI
gir
k£tgk£ = 6^- ~
(3.56)
Dette er igjen en transcendent ligning som kan løses grafisk eller ved iterasjon, på samme måte som (3.41).
I figur 3.24 er
venstre side av (3.56) framstilt som funksjon av k£. verdier av I, £,
For gitte
og £} kan dermed kritisk verdi for k£ leses
ut av diagrammet. Ij = I og £x = £ gir for eksempel k£ = 1.35 eller P = 1.823|| = 0.184^^. Dersom rigelen er uendelig stiv er ip = °°, og diagrammet gir den tilsvarende øvre grense for TT
k£ = y, dvs. som en burde vente. Diagrammet i figur 3.24 gir knekklasten når stivhet og geo metri er gitt.
I praksis vil problemstillingen ofte være om
vendt, nemlig å finne fram til de nødvendige stivheter når
belastning og geometri er gitt.
en situasjon der P, £ og £
Vi tar derfor utgangspunkt i
er gitt, mens I og Iy skal bestemmes
på en kostnadsmessig optimal måte. det bare en verdi av I (3.56).
For en gitt verdi av I er
som tilfredsstiller stabilitetsligningen vil medføre knekning, mens
Lavere verdier av I
høyere verdier betyr ekstra sikkerhet.
Når (3.56) framstilles
i et I-I -diagram vil man få en kurve som deler I-I1-planet i
Dette er vist i figur 3.25,
et stabilt og et ustabilt område.
men i stedet for I og I
er
k
og Kj avsatt langs aksene for å
gjøre diagrammet dimensjonsløst.
med I og I} , er gitt ved:
k
og
som er proporsjonale
84
FIGUR 3.24
Grafisk framstilling av (3.56)
K -
EI 1 P$T ’ (k£)2
< i = -Eli. P££j Ligning (3.56) kan nå skrives:
85
Begge sider multipliseres med p-^- og vi får
FIGUR 3.25
Stabilitetskurve og kostnadskurver
Foruten denne stabilitetskurven er også isokostkurver for kostnadsfunksjonen inntegnet.
Prisen på rammekonstruksjonen vil
generelt være avhengig av en lang rekke forhold, men hvis alle andre parametre holdes konstant, kan kostnaden framstilles som
86
en funksjon av I og I
eller < og < .
Formen på denne funksjonen
vil avhenge av materialpris, profiltype, bearbeidingspris osv.
I prinsippet kan kostnadsfunksjonen se ut slik den er skissert
ved hjelp av isokostkurver på figuren.
Langs en isokostkurve
er kostnadsnivået konstant, figuren viser isokostkurvene C2, osv. med CT < C2
• • • • .
,
Stabilitetskurven representerer en
begrensning av tillatt område for valg av 2
0
! 1 6EI, ' £2 $2 ;
EA
0
12EI. 6EIA ""F-*5
0
2EI. 1
! 1
0 0
12EI,
6EI.
0
6EI. 2EI. SL 0
6EI, £2 *2 4EI.
(3.73)
FIGUR 3.44
Bjelkeelement med 6 frihetsgrader og aksialkraft
Ved oppbygging av systemstivhetsmatrisen transformeres element
stivhetsmatrisene først til globalt system, og adderes der etter inn i systemstivhetsmatrisen etter den direkte stivhetsmetoden, /5/ kap. 3. Prinsippet for den iterative beregningsmetoden er
følgende:
115
1.
Inngangsdata leses
2.
Aksialkreftene i elementene gis startverdi 0: P = 0.
3.
Systemstivhetsmatrisen nullstilles; K = 0
4.
Systemstivhetsmatrisen beregnes etter den direkte stivhetsFor hvert element utføres følgende:
metoden.
i)
Stabilitetsfunksjonene beregnes på grunnlag av aksial
kraften P^, og lokal elementstivhetsmatrise IG stilles opp. ii)
Elementstivhetsmatrisen transformeres til globalt
system: k^ = T^k^lG, hvor T. er transformasjonsmatrisen.
iii) Elementets bidrag til ‘systemstivhetsmatrisen adderes Tinn: K := K + ap^pa^ 5.
Forskyvningsvektoren beregnes: r = K ^R R er lastvektoren.
6.
For hvert element utføres:
i)
Elementets forskyvningsvektor plukkes ut av r: v .
i
ii)
7.
= a .r
i
Aksialkraften beregnes:
= P^(V^)
Dersom endringen i aksialkraftfordelingen fra forrige iterasjon er tilstrekkelig liten, har prosessen konvergert.
Hvis
ikke gjentas alle punktene fra og med punkt 3. 8.
Forskyvningsvektoren r skrives ut.
9.
For hvert element utføres:
i)
Elementets forskyvningsvektor plukkes ut av r: v .
ii)
= a .r
i i Elementkreftene beregnes:
= k^V^
iii) Elementkreftene skrives ut. De fleste punktene i prosessen er utførlig beskrevet i /5/.
Iterasjonsprosessen har konvergert når konstruksjonen har nådd en likevekt stilstand der forskyvninger og krefter ikke
endres fra en iterasjon til den neste.
Konvergenskriteriet
kan utformes på flere måter, for eksempel ved å studere end ringen i aksialkraftfordelingen.
Denne endringen kan uttrykkes
116
ved en skalar størrelse a: pH+1 _ pH
an+l = m*x
i
(3.74) Ei
som er den største relative aksialkraftfordelingen for noe element.
Indeks i står for element nummer i, mens n er itera-
sjonsnummer.
Referanseaksialkraften er valgt lik Eulerlasten:
PEi =
7T2EI • £?~ i
Iterasjonen sies å ha konvergert når
a ,, < E n+1
(3.75)
hvor £ er en liten positiv størrelse, for eksempel i området
0.01 - 0.0001.
Denne metoden kan brukes til å beregne forskyvninger og krefter for en ramme med en gitt ytre belastning hvor det tas hensyn til aksialkreftenes momentvirkning (2.ordens teori). Dersom den ytre lasten ligger nær konstruksjonens kritiske last
vil det i praksis være vanskelig å oppnå konvergens.
Årsaken
til dette er at forskyvningene er ubestemte for kritisk last.
Metoden egner seg derfor ikke til nøyaktig å beregne last for en konstruksjon, selv om man kan få et brukbart overslag ved å
øke lastnivået gradvis inntil det oppstår konvergensproblemer . Lastøkningen kan foregå ved at lastvektoren uttrykkes ved en
referanselastvektor Rre^ ved hjelp av en lastfaktor p som økes
gradvis R = pR
.
(3.76)
En slik lastøkning kan innføres ved å modifisere beregnings-
gangen i skjemaet på side 112 slik at det legges inn en ny sløyfe hvor ny lastvektor beregnes som omfatter punktene 3-7,
eventuelt også 8 og 9 hvis man vil ha beregnet forskyvninger
og krefter for hvert lastnivå.
Økningen av parameteren p kan
117
gjøres ved at de forskjellige lastnivåer er gitt eksplisitt på forhånd fra en nedre grense P .£
°g oppover, eller ved en eller
annen automatisk pålastningsprosedyre.
Når p når et nivå der
aksialkraftiterasjonen ikke konvergerer, er dette et tegn på at belastningen ligger nært det kritiske nivå
For å bestemme kritisk verdi av p
p,
.
kan en alternativt be
nytte en determinantmetode for å fastlegge den p-verdien som gir singulær systemstivhetsmatrise.
Determinanten til K
beregnes for hvert lastnivå etter at iterasjonsprosessen har
konvergert.
Løsningen av ligningssystemet
Kr = R
blir gjerne utført ved en faktorisering av K i en øvre og en
nedre triangulær matrise, se /5/ kap. 3: K = LU
Da er det(K) = det(L)«detCU ) hvor determinanten til de triangulære matrisene L og U enkelt lar seg beregne som produktet av diagonalleddene.
Det vil
dermed være hensiktsmessig å beregne det(K) samtidig med løs ningen av ligningssystemet. På grunn av konvergensproblemene som oppstår når p nærmer seg pkr, kan ikke pkr bestemmes eksakt på denne måten heller, En tilnærmet løsning kan finnes ved ekstrapolasjon som illu
strert i figur 3.45a.
Ekstrapolasjonen kan for eksempel ut
føres ved at en legger en parabel gjennom de tre sist beregnede
punkter og finner nullpunktet for denne. Determinantmetoden egner seg også godt for tilnærmet beregning av p^r i tilfeller der aksialkraftfioscdeVcng en ikke endres vesentlig i forhold til fordelingen etter lineær teori. Aksialkraften i element nummer i kan da tilnærmes med
P. i
pP. . iref
118
FIGUR 3.45
Beregning av p^
hvor P. r er aksialkraften beregnet etter lineær teori med iref & lastvektor lik Systemstivhetsmatrisen blir dermed en funksjon av p: K = K(p)
Determinanten til K kan nå beregnes for visse verdier av
p
mellom to yttergrenser slik det er skissert i figur 3.45b. Knekningstilfellet tilsvarer
det(K) - 0, og det er selvsagt
tilstrekkelig å søke inntil det(K) skifter fortegn.
Deretter
kan p^r bestemmes mer nøyaktig ved interpolasjon eller en
liknende metode. I dette tilfellet er det unødvendig å løse ligningssys
temet Kr - R.
Det er likevel mest hensiktsmessig å beregne
determinanten ved en faktorisering eller triangulering av K,
se /10/.
3.4 "ELASTICA".
EKSAKT TEORI FOR BØYNING AV BJELKER MED STORE
FORSKYVNINGER Ved utledning av bjelkens differensialligning tidligere i dette kapitlet har vi gjort bruk av den kjente sammenhengen
119
mellom moment og krumning:
M = EIk Krumningen kan uttrykkes ved tverrforskyvningen v, se.ref. Z21Z;
k
d2 v dx"2
=
(3.77)
I de foregående avsnitt har vi forutsatt små forskyvninger og rotasjoner slik at
(-r—)2 P^r.
Formen på utbøyningen slik den
kan beregnes av den eksakte differensialligningen, kalles for
/22/.
Elastica er et av de klassiske problemer i
elastis itet steorien, og den teoretiske løsningen av problemet
går helt tilbake til Lagrange i 1771.
Ved utvikling av den eksakte differensialligningen er det hensiktsmessig å anvende kurvekoordinaten s langs den deformerte bjelkeaksen i stedet for x, se figur 3.146.
FIGUR 3.46
Deformert bjelke
120
Krumningen er pr. definisjon den inverse av krumningsradien:
Som det framgår av figuren, er også ds = rdØ hvorav 1 _ dø r ds
(3.78)
Dette uttrykket for krumningen svarer helt til (3.77), men
k
er nå beskrevet ved 0 og s i stedet for v og x. Momentet blir dermed HA M = EI< = EI^.
(3.79)
Vi forutsetter nå at bjelken ikke har tverrlast og at bj elke-
enden s = 0 er fri slik at momentet fra ytre last er
M = -Pv Likevekt mellom indre og ytre moment gir dermed
PTdØ n EI-t— = -Pv ds dV • Q — = sinØ, Ved å derivere begge sider med hensyn på s og innføre -3ds framkommer differensialligningen
d A + k2 9 sinØ . 2^= 0 ;
k92 =
P
éj
(3.80)
Med utgangspunkt i denne ligningen kan vi studere sammen hengen mellom aksialkraft og tverrforskyvning for den innspente
søylen i figur 3.47.
121
FIGUR 3.47
Innspent søyle
For å løse (3.80) multipliseres ligningen med dø og integreres: = ~k2/sinØdØ = k2cosØ + c
Integranden på venstre side kan omskrives idet _d/dØ\2 _ 9dØ d20 ds^cTs7 “ 2ds ds2
slik at f d20 dø _ lfd,dø,2, lzdø.2 12 J HF? Z^3 " 2Wd7} ds = 2(d7} = k cosø + c
dvs. Izd0 /— o /l-y2sin2ø
/cosøds
(3.87) gir
cosø = 1 - 2sin2| = 1 - 2y2sin2ø = 2 (1-y2 sin2ø) - 1
Dermed kan integralet skrives (se også (3.89))
271 rz 1-y 2 sin2 ø ,, /cosøds = v J . " ~dø o /1-y2 sin2 ø
, tt/2
i / /
,
■ .d *
o /1-y2sin2$
q7t/2 _________________ 2 = — f /1-y2 sin2 ødø - £ - rrE(y) - £ K
J 0
K
Aksialforskyvningen blir altså
2 u^ = £ - JcosØds = 2£ - ^E(y) Integralet E(y) er et
(3.93)
ZnXegÆaZ av ancUe z>£ag,
og det finnes tabulert på samme måte som K(y). Forskyvningene av et vilkårlig punkt langs bjelkeaksen kan beregnes på tilsvarende måte, men med elliptiske integraler som
ikke er komplette (øvre integrasjonsgrense < ^). Tabellen nedenfor gir verdiene for y, K, E, P, v^ og u^ for
ulike verdier av a.
Referanseaksialkraften er
126
P
kr ”
4£2
slik at
a
0°
y
0
0.1737
0.3420
0.5
K
1.5708
1.5828
1.6200
E
1.5708
1.5589
1.0
20°
40°
60°
80°
100°
140°
160°
0.6428
0.7660
0.9397
0.9848
1.0
1.6858
1.7868
1.9356
2.5046
3.1534
00
1.5238
1.4675
1.3931
1.3055
1.1184
1.0401
1.0
1.015
1.064
1.152
1.294
1.518
2.542
4.030
oo
0.0
0.220
0.422
0.593
0.719
0.792
0.750
0.625
0.0
UA £
0.0
0.030
0.119
0.259
0.441
0.651
1.107
1.340
2.0
For
or = 40
P pkr VA £
er
180°
således lasten 6.4% større enn kritisk last.
Forskyvningsbildet for søylen er skissert i figur 3.49 for forskjellige verdier av a, mens figur 3.50 viser sammenhengen
mellom last og tverrforskyvning.
127
FIGUR
FIGUR 3
.49
Elastica
128
Denne teorien for store forskyvninger viser altså at søylen i figur 3.47 har ekstra kapasitet ut over den kritiske lasten.
Som figur 3.50 viser, kreves det svært store forskyvninger før
lasten kan økes nevneverdig, og den ekstra kapasiteten ut over P
kan derfor sjelden utnyttes i praksis.
3.5.1
Torsjon
Når en bjelke utsettes for torsjonsmoment, vil endeflatene
rotere relativt til hverandre om bjelkeaksen, slik det er vist for en sirkulærsylindrisk bjelke i figur 3.51a.
Deformasjonen
av denne bjelken er slik at ethvert tverrsnitt forblir plant og
vinkelrett på bjelkeaksen, men tverrsnittene roterer innbyrdes i forhold til hverandre.
Det ytre torsjonsmomentet holdes i
likevekt av indre skjærspenninger. avstanden fra rotasjonsaksen.
Disse er proporsjonale med
Det er enkelt å vise at sammen
hengen mellom torsjonsmomentet og den relative dreiningen av
tverrsnittet er gitt ved, se 712/ s. III.35:
FIGUR 3.51 Torsjon uten hvelvningshindring
(St.Venant torsjon)
129
hvor G er skjærmodulen og J er Xve-VianZXXeta toMjoni konstant. For et sirkulært tverrsnitt er J lik det polare arealmoment:
J = I p
= Jr2dA = yirr4 A z
(3.94)
hvor r er tverrsnittets radius. Ved torsjon av bjelker med ikke-sirkulære tverrsnitt kan det foruten vridning også oppstå hvelvning av tverrsnittet, dvs.
forskyvning normalt på tverrsnittsplanet, se figur 3.51b.
Dersom
hvelvningen ikke blir forhindret på noen måte, vil det ytre tor-
sjonsmomentet bli holdt i likevekt av tilsvarende skjærspenninger som for det sirkulære tverrsnittet.
Sammenhengen mellom tor-
sjonsmoment og dreining er fortsatt gitt av (3.93), men bereg
ningen av torsjonskonstanten blir gjerne mer komplisert, se /16/, kap. 2 eller /28/, kap. 7.
For et tverrsnitt som er sammensatt
av rektangulære deler, kan J tilnærmet uttrykkes som /16/ s. 45:
J = |jb.(t.)3
(3.95)
1
hvor b^ og t^ er henholdsvis bredde og tykkelse av rektangel
nummer i, se figur 3.51b.
stammer
Torsjon som følger (3.93), dvs. torsjonsmotstanden
fra skjærspenninger pga. relativ vridning av tverrsnittene, kalles for St.Ve.na.nt tonjon eller uniform torsjon.
Dersom hvelvningen av tverrsnittet forhindres på noen måte, vil fibre som er parallelle med bjelkeaksen få en lengdeendring, og det oppstår spenninger i bjelkens lengderetning.
Figur 3.52
Ved
viser en utkragerbjeike av et dobbeltsymmetrisk H-profil.
innspenningen er hvelvning helt forhindret, og flensene blir
derfor bøyd når bjelken utsettes for et torsjonsmoment.
I
flensene oppstår det nå et bøyemoment om z-aksen som om flensen
ble bøyd som en egen bjelke, se figur 3.52.
Momentet i en av
flensene er gitt av (3.5):
Mf = ElÆjr f fdx2
(3.96)
13Q
Torsjon av tverrsnitt fastholdt mot fri
FIGUR 3.52
hvelvning
der v er tverrforskyvningen av flensen, og moment ved bøyning om z-aksen.
er flensens areal-
Som det framgår av figuren er
oh v = 07 der 9 er dreiningen av tverrsnittet i forhold til innspennings
snittet.
Innsatt i (3.96) gir dette:
M
f
h d2e f2 dx7
(3.97)
Skjærkraften i flensen finnes ved å derivere momentet:
Qf
dMf _rT h d39 " dx ' f 2 dx7
(3.98)
Øvre og nedre flens blir bøyd i hver sin retning så skjærkreftene virker hver sin vei og danner et kraftpar, et torsjonsmoment:
Mh = Qfh = -EIf^ = -ErØ
Størrelsen F =
h2
hvefvnZng4konétanten.
n]
og
c
= [cjCj
Formfunksjonene må tilfredsstille de
••• cn]
T
randbetingelsene
(se avsnitt 3.1.3), men ellers kan de i prinsippet velges fritt.
Man søker imidlertid å finne formfunksjoner som kan representere
den riktige forskyvningstilstanden på en best mulig måte.
Eksempel
FIGUR 4.1
Innspent søyle
Tverrforskyvningen for den innspente søylen i figur 4.1
kan for eksempel antas å være av formen v(x) = cxx2 + c2x3 = cjj + c2(f)2
Begge disse formfunksjonene tilfredsstiller de kinematiske
randbetingelsene, dvs. null forskyvning og null rotasjon ved
innspenningen (x = 0).
Betingelsene om null moment og null
skjærkraft ved den fri enden (x = £) er imidlertid ikke oppfylt.
15 2
Denne metoden krever nemlig ikke at formfunksjonene skal tilfreds
randbetingelser (se avsnitt 3.1.3 og /9/).
stille slike
En annen sak er at en kan forvente langt bedre resultater når også kraftbetingelsene er oppfylte.
De valgte formfunksjonene i eksemplet kan ikke framstille den virkelige knekkformen eksakt.
Denne er som kjent en kvart
sinusbølge, og hvis sinusbølgen blir valgt som formfunksjon vil metoden gi eksakt verdi for knekklasten.
4.1.2 Rayleigh-Ritz1 metode Når aksialdeformasjonene neglisjeres vil tøyningsenergi-
tettheten for en elastisk søyle i utbøyd tilstand være lik halve produktet av moment og krumning, og den totale tøyntng*eneÆgZen
er
U = y/MKdx SL Se også avsnitt 3.1.3.
(4.4)
Når det forutsettes små deformasjoner,
gjelder tilnærmelsen
(4.5)
< = v"
Videre gjør vi bruk av den kjente relasjonen mellom moment og
krumning: M =
EIk
= Elv"
(4.6)
Tøyningsenergien (4.4) kan dermed uttrykkes som
U = |/EI(v")2dx
(4.7)
SL
Det tilnærmete uttrykket for tøyningsenergien svarende til for
skyvningsantakelsen (4.3) blir
n n fEI-f^-( V c.ø.)-^z-( l c.$.)dx dx2 dx2
(4.8)
153
= | l l (c.c /EløVøVdx) i=l j=l 1 3£ 1 J
(4.8 forts.) = icT/EI((|)")T(j)"dxc £
Omformingen til dobbeltsum og matrisenotasjon kan kontrolleres ved å gjennomføre utregningen i detalj, for eksempel med
V = c1(|)1 + c2(f)2 =
2 l c ø = c i=l 1 1
La.Atpote.n.Ai.a.£e.t H beregnes under forutsetning av at aksialkraften P er eneste ytre last, og finnes da som -PA hvor A er
den aksielle forkortelsen av søylen på grunn av bøyning, se figur 4.2.
FIGUR 4.2
Aksialforkorting pga. bøyning
A beregnes slik det ble vist i avsnitt 3.1.3 A = / dA = -y/ (v ’ ) 2 dx £
slik at lastpotensialet blir H = -PA = ~yj(v')2dx £
(4.9)
154
Innsetting av (4.3) gir
(4.10)
l l (c-c. ! !dx) i=l j = l 1 3£ 1 3 = ’yCTJ (4> ’ )T ’ dxc £ Den totale potensielle energien
n = u +
h
= n(c1, c2, •••, cn)
er nå en funksjon av koeffisientene Cj, c2 ,
***, c .
Betingelsen
for knekning er at n har stasjonær verdi:
xn xtt i ru x II oc, = (y)2. Xz
FIGUR 4.4
Eksakt og tilnærmet knekkform og avledete deriverte
At dette forholdet er av stor betydning for den beregnings messige knekklasten er åpenbart siden det er nettopp v" og v’ som inngår i beregningen av K og Kg.
Ved valg av formfunksjoner
kan det derfor være lurt å anslå formen på grere to ganger for å finne (f). måten er vist i figur 4.5.
, og deretter inte
Et eksempel på denne framgangs
161
FIGUR 4.5
Beregning av formfunksjon ut fra lineær v"
Krumningen antas å variere lineært.
Integrasjonskonstantene
tilpasses de tvungne randbetingelsene ø ’ (0) = 0 og ø (0) = 0. Formfunksjonen blir dermed
(J) (X) — c i (X
9
X
*3 £,
5
C
i ” T
Denne er nesten identisk med den knekkformen som ble beregnet i eksemplet på side 4.12, der det ble brukt 2 frihetsgrader.
Ved
å bruke den ene formfunksjonen vi har funnet her, vil beregnet knekklast bli svært nær den vi fant på side 159.
4.1.3 En metode basert på komplementær energi Metoden som ble beskrevet i forrige avsnitt er en efete Rayleigh-Ritz metode.
Det ble gjort en antakelse om tverrfor-
skyvningen v, mens de øvrige funksjoner som inngikk i energifunksjonalen II (dvs. v" og v') ble avledet av denne antakelsen.
Metoden er en ren forskyvningsmetode som alltid gir for høy knekklast.
162
Vi skal nå beskrive en metode som tar utgangspunkt i den Ved bøyning er tøynings
komp£e.me.ntsn.e. tøyningsenergien U*.
energitettheten UQ lik arealet under moment-krumningskurven , mens U* er lik arealet under krumnings-momentkurven , se figur 4.6.
U
o
= [M(K)d< }
(4.19)
U* = o J
K
FIGUR 4.6
Tøyningsenergi og komplementær tøyningsenergi
Generelt gjelder U
o
+ U* = o
Mk
og for et lineært elastisk materiale er
Uo = u; = i-MK Krumningen kan avledes direkte av momentet ved M K " EI
og den totale komplementære tøyningsenergien for en bjelke blir
U* = /Ujdx = |/MKdx =
(4.20)
163
Komplementær potensiell energi er gitt ved funksjonalen (4.21)
n* = U* + H*
der H* er det komplementære lastpotensialet som på generell form
kan skrives H* = -JuTFdV v
J uTTdS
Su
Dette svarer helt til lastpotensialet i (2.4), men det er nå forskyvningstilstanden som antas kjent mens krafttilstanden er
den ukjente.
er den delen av overflaten der forskyvningene
er gitt, se side 12.
Prinsippet om stasjonær komplementær energi Z7Z er helt
analogt med prinsippet om stasjonær potensiell energi, men de søkte funksjonene er krefter og ikke forskyvninger.
Diskretisering av problemet skjer ved at momentet uttrykkes ved et sett formfunksjoner: n M(x) = . 7z. c. iYM Mi.(x) =
4>mM C
(4.22)
Innført i uttrykket for den komplementære tøyningsenergien gir
dette
U* = 2jildx = 2C ^EI^M^MdxC
Xz
(4.23)
Xz
For å kunne beregne det komplementære lastpotensialet er det nødvendig å kjenne v’(x).
Vi skal nå se litt nærmere på sammen
hengen mellom v'(x) og M(x).
Hvis vi nå begrenser oss til
tilfeller der skjærkraften Q er lik null, kan v’ enkelt beregnes
av (3.3): n = _dM _ pÉX = dx dx
dvs. dv _ dx
1 dM P dx
(4.24a)
164
Betingelsen
er ekvivalent med
Q = 0
v (x) = —i-M(x) + v ro
; o
v
= v(0)
(4.24b)
eller M(x) = -P(v(x) - v ) o
(4.24c)
Figur 4.7 viser to tilfeller der dette er oppfylt.
Det er selv
sagt fullt mulig å anta formen på tverrforskyvningen istedet for på momentet, idet momentet kan beregnes av (4.24c).
FIGUR 4.7
M(x) = -Pv(x)
M(x) = -P(v(x)+e)
a) sentrisk
b) eksentrisk
Søyle med aksialkraft
Bruk av (4.10), (4.22) og (4.24) gir lastpotensialet
H = -P/|(v')2dx = -Pj| £
l
= -^cTJ( ’ )T 'dxc
2P
Xzq
M
M
1 P^dx'
(4.25)
165
Dermed blir
n* = u* + h = |cT(’ |j(^)T^dx)c
611* beregnes på tilsvarende måte som 611 på side 155, og 611* = 0
gir
då*M*Mdx Xz
= 0
Xz
eller (D - ^K*)C = 0
(4.26)
r o
der
nD - Jfl x T a Mdx j r7r4>,, ' EITMTM Xz
KG = /(*M,T*Mdx Xz D er en
e, og hvis M antas å
eÆZ
ha samme form som ø, blir K* lik Kg i (4.17).
De enkelte ledd i D er gitt ved
4>
D. . = /X|>m. m.dx i] 'EIvMiYMj
Xz
(4.28)
Denne metoden gir ofte bedre resultater enn en beregning basert på potensiell energi.
En kan imidlertid ikke si noe
generelt om beregnet knekklast er for høy eller for lav. Metoden som benytter momentvariasjonen er her søkt framstilt på en måte som er konsistent med det tilhørende energiprinsipp :
prinsippet om minimum komplementær energi.
Dette gjør at denne
metoden begrepsmessig kanskje blir noe vanskeligere.
Imidlertid
kan også denne metoden avledes direkte fra Rayleigh-Ritz metoden beskrevet i 4.1.2.
Momenttilstanden kan nemlig i mange tilfeller
uttrykkes ved M(x) = -Pv(x) = -PøC
166
Innsatt i den potensielle energien i (4.1) fås. da n -L f^2 j Pr( . x2j n = 2’JEjdx “ y/Cv’) dx £
S/
T 1 TP2 r .T. , „ P T, 2 C g j J 4> dx C — 2 C J ( ’ ) 4> ’ dxc & &
Stasjonærkravet gir rn
sn = 6c
P2
(£bltJ*M2VM3 £3
K* 4>23
x 3
f
K* b33
£3 + ^
^M3)2dX 113
Egenverdiproblemet (4.26) blir dermed
J-!
(— * 6E
±2
^2.
£2
? < £2 ।
\
^2
0
q
(r-+p-)
a/ j
-*-2
4^
3 )
^3
Ai. I3
1
2(A±+A2.)
2(^+4^)
-*■3
±1*
^2
-A.
£2
0
-r
0
c
^2
(A+A) a2
_A_ s
A
) c
1
2
C
3 _
(4.30) Den enkle systematikken gjør det enkelt å utvide matrisene til å omfatte flere frihetsgrader.
Man trenger bare å forlenge
matrisene i (4.30) langs diagonalene. For enkelhets skyld antar vi at søylen har konstant areal-
moment lik I, og velger videre
=0
171
-- h
=
=
*3
o
h
4
Egenverdiproblemet forenkles dermed til
der
A
_ P£2 p " 96EI
eller med matrisenotasjon (Å D - Kr)c = 0 P G
Ved symmetrisk knekning er
(4.31)
c1 = c3, og vi innfører en redusert
C, gitt ved
momentvektor
Dette innføres i (4.31): (Å D - K*)Hc = 0
G
p
som er et 4»2 ligningssystem.
Premultiplisering med
merer systemet til 2*2: (Å D - K*)c =0 P G
der -
T
D = FTDH,
T
*
K* = nK-H
Ved å utføre matrisemultiplikasjonen får vi:
H
T
kompri
172
Utvikling av determinanten gir
Å
og
Pi
=
7
,
p _ 96EI. _ q ga EI _kr £2 p " 10-*-39 £2
Dette er en feil på bare 4% i forhold til den eksakte løsningen tt2EI
1 £2
*
De eksemplene vi har vist hittil i dette avsnittet er ikke av så stor praktisk interesse siden eksakt løsning er kjent på forhånd.
Praktisk anvendelse av disse tilnærmete metodene finner
en imidlertid for problemer der teoretisk eksakt løsning er
ukjent eller komplisert å finne.
Dette gjelder for eksempel
søyler med kontinuerlig eller sprangvis variasjon i stivhet.
I
slike tilfeller kan det by på problemer å beregne integraler som (4.18) eksakt, og vi skal derfor se litt på tilnærmete integrasj onsmetoder.
4.1.4
Numerisk integrasjon Det matematiske problemet å beregne integralet
b f f (x-) dx a kan løses tilnærmet ved å erstatte integralet med en endelig
sum: b , n Jf(x)dx = £ W.'f(x.) a é i=l 1 1
I en såkalt, n-punkts integrasjonregel velges det ut punkter x^ hvor integrandens verdi f(x^) beregnes.
(4.32)
n
diskrete
Hver funksjons-
173
verdi multipliseres med et vekttall
og adderes sammen.
Integrasjonsområdet kan gjøres dimensjonsløst ved å innføre en ny variabel
£:
Integrasjonsområdet m.h.p. £ er her valgt fra -1 til 1, og
integrasjonsformelen blir bin ff (x)dx = /f(5)d5 =■' I W.f(C-) a * 1 -1 i^l
(U.3U)
Prinsippet for integrasjonen (4-punkts) er vist i figur 4.11.
FIGUR 4.11
Numerisk integrasjon
(åpen type)
Det finnes en rekke integrasjonsmetoder av denne typen, og det er stort sett valget av integrasjonspunkter (5^) °g vekttall
(WJ som skiller dem fra hverandre.
Vi skal her nøye oss med å
se på en av metodene, nemlig Gau.A-t> - Lzg e.ndKe. integrasjon.
I en n-punkts integrasjonsformel inngår det
verdier og
n
vekttall, i alt 2n parametre.
n
abscisse-
Disse kan bestemmes
174
slik at et polynom av grad 2n-l integreres eksakt, dette poly
nomet har nemlig 2n konstanter.
Beregningen av E, . og W. er
noe besværlig, men det viser seg at integrasjonspunktene fram kommer som nullpunktene i det såkalte Legendrepolynomet av grad n /23 7.
Integrasjonspunktene blir liggende symmetrisk om origo,
og symmetriske punkter har samme vekttall.
Summen av vekttallene
er alltid lik 2, idet en konstant funksjon integreres eksakt over området -1 til 1. Verdiene for
og W. for ulike verdier av
n
finnes
tabulert i Tillegg 2 hvor også Labattointegrasjon er tatt med. Dette er en såkalt lukket integrasjonsmetode der også funksjonsverdiene i endepunktene av integrasjonsområdet blir tatt hensyn til.
Denne metoden kan være fordelaktig i tilfeller der inte-
granden endres sterkt ut mot endene av området.
Tilsvarende tabeller for disse og andre numeriske inte gras jonsmetoder, kan finnes i matematiske håndbøker, 724,25/.
En grei innføring i den teoretiske bakgrunnen for metodene
finnes i 7287.
Y Eksempel:
FIGUR 4.12
Søyle med variabel stivhet
Søyle med variabel stivhet
175
Søylen i figur 4.12 har tverrsnitt med konstant bredde og lineært varierende høyde slik at arealmomentet I
varierer som z Vi benytter metoden med
en 3. gradsparabel langs bjelkeaksen.
komplementær energi (avsnitt 4.1.3), og velger momentfunksjon
svarende til knekkformen for en søyle med konstant stivhet: M(x) = CjSin^j = C14>Mi
Koordinatsystemet er plassert med origo i toppen av søylen og (4.24) er da oppfylt.
D og K* blir nå skalare størrelser som
beregnes av (4.28) og (4.17);
1 f
1
. 2lTX^
ÉT “'---FT3 sln 2ldx LiOo (1+y) Az K*G = K* Gn
= if(d>’
(4.37)
2 2 2 )2dx = 42 —_2Jfcos 2 — dx — s 22 ’ 82
2
0
En analytisk beregning av D blir forholdsvis komplisert, så vi
benytter heller en 4-punkts Gauss-Legendre integrasjon. grasjonspunkter og vekttall tas fra Tillegg 2.
x-verdiene for
integrasjonspunktene finnes av (4.33):
x
i
=
2 ^i
+ ktÉ - k + 1 2 2^i 2
eller -f = l(Ci + 1)
Integralet i (4.37) beregnes tilnærmet etter (4.32): £ -i 0 3 ttx. J-- ——sin2yydx - y y W.--- ---- sin2-y~ 211 2i=l 21
Utregningen er vist i følgende tabell:
Inte-
176
3
4
1
2
h
-0.8611
-0.3400
0.3400
0.8611
x. 1 £
0.0695
0.3300
0.6700
0.9306
W. 1
0.3479
0.6521
0.6521
0.3479
7TX . • 2 1 ~in 2£
0.0119
0.2455
0.7545
0.9882
X-i . (1+-T)3
1.2233
2.3526
4.6575
7.1958
w sin TT 0.0034 W .--- ----
0.0680
0.1056
0.0478
i
X
. 2™i
0.2248
1(l+-r)3 Xz
1^1
. 27TX, D = EI-A- f__,X, i__ 3 sin 2£dx
O oQ+yV Xz
£ «2
1
0.2248 =
o
0.1124£ EI o
Når D og K* innføres i likevektsligningen (4.26) får vi K* ^2 EI~ EI^ p = _G = 2L_ ____ 2__ = 10 9 8 __ — rkr D 8£ 0.1124£ x * £2
Til sammenligning er knekklasten for en jevntykk søyle med tverr-
snittshøyde tabell:
der
h
lik henholdsvis
hQ, l»5hQ og 2hQ vist i følgende
Kritisk last for knekning om y-aksen (se figur 4.12) kan beregnes på tilsvarende måte.
Arealmomentet I
varierer lineært
langs bjelkeaksen, så resultatet regnes lett ut ved å erstatte (l4—^)3 med (1+-^) i tabellen ovenfor. I ref. /4/ finner en forøvrig diagrammer over knekklaster
for en rekke lignende tilfeller.
4.1.5
Tilnærmet knekningsberegning for enkle rammer. Diskrete energibidrag
En enkel ramme som vist i figur 4.13 kan modelleres som en søyle med rotasjonsfjær i toppen.
Fjærstivheten er lik rota-
sjonsstivheten for rigelen ved antisymmetrisk deformasjon, se
også figUr 3.22.
FIGUR 4.13
Søyle-fjærmodell for ramme
178
Den potensielle eller komplementære energien for modellen består
av ett bidrag fra søylen og ett fra fjæra.
Energien for søylen
uttrykkes på samme måte som i (4.7) eller (4.20), mens den til svarende energien for fjæra er lik halve produktet av moment og rotasjon i punkt B:
Ur =
IVb = IMb M2
A
U» = m e r 2 B B
(1.38a)
= ikr(V(O)2 -
2 k r
2
er elastisk energi mens
U*
lineærelastiske tilfellet har
k
(u.38b)
r
er komplementær energi.
og U* samme verdi.
I det
Tilnærmelsen
(4.3) for tverrforskyvningen og (4.22) for momentet gir henholds vis U r
= ik CTc$>' (£)T ’ ( £)C 2 r
U* = -i- c r 2k r
T(J)m( 2 )T’ (£)Tkt( 2)
= ^H>M(2
k
r
M
(4.40b)
De enkelte ledd i matrisene er gitt ved
K . . = k $ ’(£)’ (2) rij rTi 5.
(4.41a)
D . . = i-K- (2)4>„. ( 2) ri] krvMi
(4.41b)
179
Fjæra endrer ikke på lastpotensialet i forhold til (4.9) og (4.10), så likevektsligningene (4.16) og (4.26) får kun addert
til K
r
og D : & r (K + Kr - PKG)C = 0
(4.42)
(D + D
(4.43)
- |K*)c = 0 F
ro
Eksempel
FIGUR 4.14
Ramme med variabel stivhet.
Beregningsmodell og
antatt momentvariasjon
En symmetrisk ramme med variabel stivhet i søylene kan modelleres som vist i figur 4.14. slik at fjærstivheten blir
6EI kr = ~T~
Rigelen har bøyestivhet EI
180
Søylen deles i tre deler som hver har konstant stivhet lik
gjennomsnittsstivheten for den tilsvarende delen i den opp
rinnelige søylen. Denne beregningsmodellen innbyr til å bruke den spesielle utgaven av komplementærenergimetoden (se side 168), og vi antar
en momentvariasjon som skissert helt til høyre i figur 4.14. Beregningen av D og K* blir akkurat som i eksemplet på side 166
så vi benytter resultatene derfra og stiller opp matrisene 1
+
direkte:
£2
&2 >
0
^2 cm
2 (£2- +
li)
^3
|
D = 6E
Xx
k
når
Bevis kan finnes i 731/.
Det beste overslaget for egenverdien
får en av Rayleigh-kvotienten (4.76):
(xk)TAxk (xk)TBxK~ eller
(x^) x^ 1 ’ (xk)Txk+1
(M.79)
som framkommer av
x = AA-1Bx
og
xk+1 = A-1Bxk
Konvergensen er ofte rask, og iterasjonen avbrytes når endringen i
fra en iterasjon til den neste er tilstrekkelig liten.
Ved en stabilitetsberegning vil A være systemets elastiske stivhetsmatrise som alltid er positiv definit og inverterbar. Laveste egenverdi gir direkte kritisk lastfaktor for konstruk
sjonen . I praksis kan integrasjonen formuleres på flere måter.
Ved håndregning kan A inverteres direkte og (4.83) skrives som Xk+1 = A-1Bxk = BTxk
(4.80)
For større systemer går inverteringen gjerne veien om en fakto-
risering av A, f.eks. med Choleskys metode (se /5/ avsnitt 5.3.2):
A = UTU
212
Iterasjonsskrittet kan dermed gjøres ved å løse ligningssystemet Uxk+1 = (UT)‘1Bxk = B2xk
(4.81)
der
B2 = (UT)-1B
kan beregnes en gang for alle.
Løsning av (4.81) skjer neden
fra, idet den siste ligningen bare har én ukjent, den nestsiste
to, osv.
(U er øvre triangulær).
Eksempel
Invers iterasjon kan illustreres ved å løse egenverdipro Lett omskrevet lyder dette
blemet fra eksemplet på side 181 .
(
2
-1
-1
2
0
0' -1
-Å
1
-1
P
”18
3
3
10
0
2
o’ 2
K )
5_
C2
0
=
0 0
-C 3 -
der P£2 Xp = 324EI
A =
' 2
-1
-1
2
-1
0
-1
1.
0‘ gir A-1 =
"1
1
1'
1
2
2
1
2
3_
og
B1 = A-1B =
Iterasjonen
x
= B^x
7'
21
15
24
27
14
24
29
19_
er vist i tabellen nedenfor
213
X1
X2
X3
?
1.0
0.60
0.556
0.551
0.550
1.0
0.90
0.886
0.883
0.883
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
21
15
7
43.0
33.10
31.966
31.816
24
27
14
65.0
52.70
51.266
51.065
24
29
19
72.0
59.50
58.038
57.831
X1
X2
X3
x“
Av bekvemmelighetsgrunner er iterasjonsvektoren skalert for hver ny sykel slik at
c3 = 1.
Konvergensen er meget rask, noe som
ofte er typisk for fysikalsk funderte egenverdiproblemer.
Egen
verdien beregnes av
,
_ (x3)Tx3 1 ’ (i3)Tx4
—-8-3 = 0.017 3 120.452
og kritisk last blir
P, = 324 kr i
S.60
Invers vektoriterasjon er svært godt egnet ved stabilitets problemer fordi den nettopp gir laveste egenverdi og tilhørende egenvektor.
Det finnes imidlertid også iterasjonsmetoder som konvergerer mot egenvektoren tilsvarende h-øyo-Ate. egenverdi (direkte vektor-
iterasjon), eller som beregner (simultan vektoriterasjon), /31/.
egenvektorer samtidig Flere egenverdier kan også
beregnes ved invers iterasjon og bruk av såkalt "skift”.
214
4.4.4 Kommentarer om nøyaktighet Matematisk feilanalyse for løsning av egenverdiproblemer
er behandlet i mange bøker om numerisk analyse, se f.eks. /34, Vi skal ikke her gå inn på detaljene i feilanalysen, men
36/.
nøye oss med en mer intuitiv betraktningsmåte /31/. Sterkt forenklet kan det sies at feilen i de numerisk beregnede egenverdier er en funksjon av
i)
feilen i den matrisen man beregner egenverdiene
av (perturbasjonsfeil) ii)
problemets kondisjonstall (forhold mellom høyeste og laveste egenverdi)
iii)
avrundingsfeil i selve løsningsalgoritmen
Når stivhetsmatrisen for en konstruksjon bygges opp ved en sekvensiell innaddering av stivhetsledd (den direkte stivhetsmetoden, se /5/), kan perturbasjonen av systemstivhetsmatrisen få en meget spesiell og alvorlig karakter.
Ved addering
av store og små stivhetsledd blir representasjonen av de små
stivhetene lidende av en vesentlig avrundingsfeil (trunkeringsfeil).
Dersom en for eksempel med 5 siffers nøyaktighet adderer
sammen 104.75 og 0.0369, så blir resultatet 104.79. Det samme resultatet får en imidlertid for alle verdier av det minste
tallet mellom 0.0345 og 0.0444.
Dessverre er det ofte slik at
det er disse lave stivhetstallene som har størst betydning for
de laveste egenverdiene for konstruksjonen.
Som en følge vil
de laveste og mest interessante egenverdiene være befengt med
de største feilene numerisk sett.
Ved rammeanalyse vil det ofte opptre problemer av denne typen på grunn av at aksialstivheten er mye større enn bøye-
stivheten. fra /31/.
Dette kan illustreres med et eksempel som er hentet
215
Eksempel:
FIGUR 4.28
knekning av ramme
Ramme for perturbasjonsanalyse
Rammen ble inndelt i 15 bjelkeelementer, og stabilitetsligningen er gitt ved (K-Å KJr = 0 P G
Forholdet mellom aksial- og bøyestivhet ble variert ved at tverrsnittshøyden
h
varierte.
Den laveste egenverdien ble
beregnet ved invers iterasjon, og sammenlignet med kritisk last fra løsningen av differensialligningen (se avsnitt 3.2.3). Beregningene ble utført i enkel presisjon på en UNIVAC 1108
med ordlengde på 36 biter.
følgende tabell.
Resultatene er sammenfattet i
216
h/b
h
10.
120.
*
p rkr diff.lign.
^kr inv.iter.
8.33’102
267.783
265.950
- 0.69
267.783
268.376
+ 0.22
A£2 I
Avvik o,"0
12.
1.0
8.33*10“
6.
0.5
3.33«105
3.6
0.3
9.26*105
7.23013
7.51195
+ 3.88
1.2
0.1
8.33-106
0.26778
0.32550
+ 21.6
1.2
0.1
8.33«106
0.26778
0.20606
-23.1*
33.4728
33.7328
+ 0.79
Dobbelt presisjon ved produktakkumulering i ligningsløsn.
Av tabellen ser en at resultatene begynner å bli upålitelige når høyde/bredde-forholdet synker under en tredjedel.
h/b = 0.1 er feilen over 20%.
For
For å se om den største feil
kilden lå i selve ligningsløsningen i den inverse iterasjonen, ble det forsøkt å benytte dobbelt presisjon under produkt-
akkumulering. enda større.
Som tabellen viser medførte dette at feilen ble
Dette viser at årsaken til regneunøykatigheten
ikke er å finne i selve iterasjonsløsningen av egenverdipro blemet.
Skaden er allerede skjedd på det tidspunkt systemets
stivhetsmatrise ble oppbygd i enkel presisjon.
Det eneste
skikkelige botemiddel er derfor å utføre alle faser av regne
prosessen i dobbelt presisjon. Perturbasjonsfeil av denne typen vil vanligvis være den dominerende kilden til feil i de beregnede egenverdier. Kondisjons-
tallet
systemstivhetsmatrisen vil ikke være av
særlig betydning dersom det ikke er svært høyt.
Dette kan skje
dersom det ved modelleringen av konstruksjonen benyttes elementer som er meget små i forhold til den karakteristiske størrelsen
av konstruksjonen. Reduksjon av trunkeringsfeil ved bruk av dobbelt presisjon
i selve egenverdiberegningen vil ikke avhjelpe problemene med
perturbasjonsfeil og høyt kondisjonstall.
Det eneste sikre ved
bruk av datamaskiner med liten ordlengde (f.eks. 36 biter), er
å benytte dobbelt presisjon i alle deler av regneprosessen.
- 217 -
Et vesentlig poeng her er at også hele stivhetsberegningen må
foregå i dobbelt presisjon /31/.
INELASTISK KNEKNING
221
5.1
MODIFISERT KNEKNINGSTEORI FOR SØYLER
5.1.1 Elastisk-plastisk materialoppførsel
Hittil har det vært forutsatt lineær elastisk materialopp førsel.
Det er imidlertid velkjent at når et materiale blir
påkjent av tilstrekkelig høye spenninger gjelder ikke Hooke’s
lineære lov lenger.
To typiske spennings-tøyningsforløp fra
trykkprøving av metalliske materialer er vist i figur 5.1.
FIGUR 5.1 Typiske kurver for enaksiell prøving av metalliske materialer
Kurve a viser en jevn overgang fra en lineær elastisk opp
førsel til en ikkelineær elastisk-plastisk tilstand.
Kurve b
har et platå der den totale tøyningen øker uten at det er nød
vendig å øke den påførte spenningen. c-ipznn-Lngtn.
Spenningsnivået Op kalles
Kurve b viser også en økning i spenningen
etter at stadiet med o = Op er passert. kalles fastning.
Dette fenomenet
Begge kurvene er lineære og følger Hookes lov inntil, o har nådd pÆopoÆ4 a . Det kan i praksis være vanskelig å fastslå a
nøyaktig, proporsjonalitetsgrensen kan
222
for eksempel defineres som spenninger som gir en bestemt vaÆfg tøyning etter avlastning. 0.8 op.
Vanligvis ligger o
ved ca. P
Avlastning fra spenningstilstanden over proporsjonalitetsgrensen skjer etter en rett linje som er parallell med den ini-
tielle spennings-tøyningsrelasjonen. er stiplet inn i figur 5.1.
avlastning kalles • er gitt ved Hookes lov
FIGUR 5.2
Slike avlastningskurver
Den gjenværende tøyningen ved full
k tøynZng e . cy P ■Lj li
Den elastiske tøyningen
Definisjon av materialegenskaper
Det er nødvendig a innføre en del nye begreper for å
definere den ikkelineære materialoppførselen matematisk.
Spenningstilstanden i punkt A i figur 5.2 er gitt ved
a = Eo e
(5.1)
der Eg er A e.kantnwdu.£.e.n som igjen er avhengig av det aktuelle
spenningsnivået.
Ved en påZa.Atnzng fra punkt A gjelder den
inkrementelle sammenhengen △ o = EppAc
(pålastning)
(5.2)
223
der E^,
er
tang&ntmodu.£e.n.
Som navnet indikerer danner linjen
med helning E^ en tangent til spennings-tøyningskurven. avtaétn-ing
Ved
fra A følges Hookes lov
Ao = EAe
(avlastning)
(5.3)
Det er klart at den reduserte stivhet som materialet oppviser
ved pålastning over Op også får betydning ved beregning av P^r for knekning.
5.1.2 Tangentmodulteorien Det ble tidlig konstatert at den lineære knekningsteorien
ikke stemmer overens med forsøk for korte søyler med liten slankhet.
E. Lamarle fastslo i 1845 at Euler-teorien ikke er gyldig
når aksialspenningene overskrider proporsjonalitetsgrensen. F. Engesser 737/ foreslo i 1889 å benytte tangentmodulen ved knekningsberegninger når aksialspenninger overskrider pro
pors jonalitetsgrensen .
Differensialligningen for knekning
( 3,. 7 ) forblir uforandret bortsett fra at E erstattes med E^.
I samsvar med ligning (3.47) finnes nå kritisk spenning ved
I likhet med Eulerteorien forutsier tangentmodulteorien at ut-
knekning skjer ved lineær forgreining for konstant ytre last. Et avhenger av aksialspenningen og ligningen (5.4) kunne
derved løses ved iterasjon.
Enklere er det imidlertid å velge
verdier for a^p °g beregne slankhetene som samsvarer med ved
kommende knekkspenninger. ' Figur 5.3 viser et eksempel på hvordan kritisk spenning avhenger av E^.
224
FIGUR 5.3
Kritisk spenning i henhold til tangentmodulteorien
5.1.3 Dobbeltmodulteorien
A. Considére hevdet at ved utknekning vil det skje en av
lastning av fibrene på den konvekse siden av bjelken mens fibrene på den konkave siden får en ytterligere økning i trykk spenning, se figur 5.4.
fp FIGUR 5.4 Avlastning av ytre fiber på grunn av utknekning
225
I henhold til figur 5.2 og ligning (5.3) vil avlastningen skje med den elastiske modulen E, antagelsen fra tangentmodulteorien
kan derfor ikke være riktig.
Considére foreslo å beskrive
materialoppførselen med en enkelt materialkonstant kalt dobbelt-
modulen E^ som tar hensyn til både avlastning og pålastning over tverrsnittet ved utknekning. it2E
I henhold til dette blir
,
Considere anga ikke hvordan E^ skulle beregnes.
Dette ble
imidlertid gjort av Engesser /37/ som i 1895 framsatte en
revidert teori for inelastisk knekning.
Som grunnlag for
dobbeltmodulteorien gjorde Engesser følgende forutsetninger:
a) Plane tverrsnitt forblir plane b) Deformasjonene er små
c) Knekning foregår i tverrsnittets
symmetriplan d) Kritisk last defineres som lasten ved
begynnende utknekning, og denne lasten
forutsettes å være konstant under utknekningen.
mellom Ai og A2
Tverrsnitt
Aj = avlastningssone A2 = pålastningssone
C
FIGUR 5.5
= flatesenter
Inndeling av tverrsnittet i henhold til
dobbeltmodulteorien
226
Spenningsfordeling over tverr snittet før og etter utknekning.
FIGUR 5.5
forts.
Inndeling av tverrsnittet i henhold til
dobbeltmodulteorien
Samtlige størrelser er definert som positive slik de er
tegnet i figur 5.5.
Ved deformasjonen under utknekningen blir
forlengelsen av et lengdeelement dx i avlastningssonen yxdØ = As^x = —1 dx
Herav = yiEd3E
(5-6)
Yj er avstanden fiberet har fra skillelinjen mellom avlastnings
sonen og pålastningssonen.
Merk at avlastningen skjer med
modulen E i henhold til (5.3).
Et fiber i pålastningssonen får en tilsvarende forkortning y2dØ = As dx = ^^-dx hT
Herav
△o2 “ V2ETdx
(5.7)
227
Bemerk at videre pålastning skjer med tangentmodulen
i hen
hold til (5.2).
Ifølge forutsetningene skjer utknekningen for konstant
ytre last, dvs. AP = 0.
Dette betyr at den samlede avlastningen
i sone Ax må være like stor som kraftøkningen i sone A2 f AOjdA = / Aa2dA Aj Ag
(5.8)
Ved å sette inn (5.6) og (5.7) framkommer betingelsen EZX = EtZ2
(5.9)
er de lineære arealmomentene om skillelinjen for
der Zj og Z2
henholdsvis avlastningssonen og pålastningssonen = / y dA
(5.10)
Z2 = J y2dA A2
(5.11)
Z
Det må videre kreves at de indre kreftene er i momentlikevekt med den ytre kraften P (se også avsnitt 3.1.1)
M(x) = -f Ao y dA - f Ao y dA = -Pv At A2
(5.12)
I denne ligningen kommer det egentlig inn et tilleggsledd i momentarmen for P.
Dette skyldes at P virker i flytesenter-
linjen for tverrsnittet i initialtilstanden og avstanden mellom
flatesentret c og skillelinjen mellom Aj og A2 gir også et
momentbidrag i (5.12).
Dette bidraget er konstant langs hele
lengden av bjelken og kan derfor klassifiseres som en "eksentri sitet" som ikke har betydning for den kritiske lasten.
For små forskyvninger er sammenhengen mellom 0 og v gitt
ved dø _ dx ”
d2 v dx2
(5.13)
228
Minustegnet skyldes at positiv d8 i figur 5.5 tilsvarer en . . d2 v negativ krumning Ved innsetting av (5.6), (5.7) og (5.13)
i momentligningen (5.12) får vi
♦ EtOA?i y22dA
A,
= -pv
eller (EI. + VP& + Pv = 0
er de kvadratiske arealmomentene om skillelinjen
og I
der I
(5.1*4)
12
for arealene Ax og A2: zi = f y"dA Ai
(5.15)
= J y*dA A
(5.16)
i 2
2
Differensialligningen (5.14) kan også skrives som
(5.17)
der
er den såkalte dobbzttmodut eller ÆedcueÆZ modat = EI, -> EtI; d
I
(5.18)
I
er det kvadratiske arealmoment om flatesenteraksen.
Ligning (5.17) er helt analog med differensialligningen for
elastisk knekning (3.19).
I praksis betyr dette at løsningen
for elastisk knekning ifølge dobbeltmodulteorien også kan benyttes for inelastisk knekning når E erstattes med Ed»
Typisk fås den kritiske spenningen som tt2E , akr = — A
(5.19)
229
Eksempel
FIGUR 5.6
Beregning av dobbeltmodul for rektangulært tverrsnitt
Ved beregning av dobbeltmodulen for et rektangulært tverr
snitt må først beliggenheten av skillelinjen mellom sonene
Aj og Aj fastlegges.
Her er
likevekt (5.9). zi
Dette gjøres ved ligningen for aksiell
=
=
2bci
o C
2
z2 = / y2bdy2 = JbCj o Ved å sette disse uttrykkene inn i (5.9) og benytte at
c2 = h-Cj får vi
E£bc* = ETJb(h-Ci)2
eller C1
T
230
Tilsvarende fås
Ix og I2 finnes nå lett i henhold til (5.15) og (5.16)
ci i Ix = f y*bdA = ibc3 o I
C2 = / Y*bdA = 4bc3 2 7 J2 32 o
Dessuten har vi I = Å-bh3
Ved innsetting i (5.18) finnes dobbeltmodulen som
(5.20)
FIGUR 5.7
Inelastisk knekning av forskjellige tverrsnitt
231
Ligning (5.20) kan brukes både for rektangulære tverrsnitt og
H-bjelker som knekker om sin svakeste akse, se a) og b) i For tungflensete H-bjelker som knekker om sin
figur 5.7.
sterkeste akse kan det vises at E^ finnes ved
2E Et (5.21)
Ed
E + Et
Formlene (5.20) og (5.21) ble først angitt av von Karman, se ref. 740/.
FIGUR 5.8
Forholdet mellom tangentmodulteorien, dobbeltmodul
teorien og forsøk Siden E^ representerer en kombinasjon av E og E^ er
dobbeltmodulen alltid større enn tangentmodulen.
Dette gir seg
også utslag i at (5.19) gir høyere kritisk spenning enn (5.4),
se også resultater indikert i figur 5.8.
Nå har det imidlertid
vist seg at resultater fra eksperimentelle undersøkelser stort sett gir verdier som
ligger mellom verdiene fra de to teoriene,
ja, faktisk ligger resultatene oftest nærmere tangentmodul teorien enn dobbeltmodulteorien.
Dette fenomen ble tidligere
232
forklart ut fra unøyaktigheter og eksentrisiteter forbundet med
selve eksperimentene.
5.1.4 Shanleys formulering
En plausibel forklaring på uoverensstemmelser mellom teori og eksperimenter ble gitt av den amerikanske flykonstruktøren F.R. Shanley i 1946 /38, 39/.
I en kritisk gjennomgåelse av
den inelastiske knekningsteorien påpekte han at antagelsen om
at den ytre lasten P forblir konstant under utknekning ikke er holdbar.
Utknekning skjer fra en initielt rett tilstand, der
hele tverrsnittet står under konstant trykk og følger E,p.
Av
lastningen av en del av tverrsnittet kan bare skje etter at det har foregått en utknekning av endefZg størrelse.
Initielt vil
derfor tangentmodulteorien gjelde ved at en passer på å øke aksialkraften P litt, se figur 5.9.
P
, maks
FIGUR 5.9
Shanleys betraktning av inelastisk knekning
Imidlertid vil det skje en gradvis økning av krumningen
mens grenselinjen mellom av- og pålastningssonen flytter seg
fra N til N’.
Ved den samtidige deformasjonen vil den resul
terende kraftøkningen
dP2 i pålastningssonen være større enn
avlastningsøkning dPx i avlastningssonen.
økning i P.
Dette medfører en
Det kommer imidlertid et stadium der dP
i
= dP
2
og &
233
den maksimale bæreevnen er derved nådd.
Selv om denne verdien
ligger en del over P^ er essensen av Shanleys betraktningsmåte at u.tkne.kntng i>taftteJi. ^on. ta.nge.ntmodu.ttcoscte.n4 kscttt^kc taét
Prp.
Kapasitetsøkningen mellom P^ og Pma^s kan ikke utnyttes i
praksis, og tangentmodulteorien er det logiske grunnlaget for
, slik som i ligning (5.4).
Ved knekningsforsøk vil en lett
komme til å måle P
. i stedet for PT. maks For å underbygge sin teori tok Shanley for seg en enkel
søylemodell som består av to stive staver og en deformerbar celle på midten.
Denne modellen er en inelastisk versjon av kneknings-
modellen vist i figur
2.6.
Den derformerbare cellen er antatt
å bestå av kun to flenser med ulike materialegenskaper, derved
er det mulig å ta hensyn til forskjellige materialegenskaper ved
videre pålastning og ved avlastning, se figur 5.2.
Ut ifra disse
antagelsene er det lett å beregne P-v-forløpet som er antydet i figur 5.9.
Utledningen av de formelmessige uttrykkene for
Shanleys modell er gjengitt i ref. /40/, side 194.
Shanleys betraktningsmåte er senere blitt brukt av mange forfattere til å løse mer kompliserte problemer. er for eksempel Shanleys
I ref. /41/
teori brukt for materialer med
generelle ø-e-diagrammer.
Det er lett å vise at P
,
ikke
utgjør noen vesentlig reserve i forhold til kritisk last ved tangentmodulteorien.
For en tungflenset bjelke som knekker
om sin sterkeste akse vil P
, ligge i området 1.01 - 1.05 Pm. maks T Siden utknekning starter ved P^ er dette den kritiske lasten
som bør legges til grunn ved dimensjonering.
5.2
INNFLYTELSE AV EGENSPENNINGER
5.2.1 Egenspenninger i et tverrsnitt
Forsøk har vist at det ikke er tilstrekkelig bare å ta hensyn til inelastisk materialoppførsel i knekningsanalysen,
egenspenningene i bjelketverrsnittet har i praksis stor inn
flytelse på oppførselen under knekning.
Slike cg cnA pcnntng esc
eller sccAtdu.a.tApcnntngcsL oppstår på grunn av plastiske deforma sjoner under fabrikasjonsprosessen.
Eksempelvis fører ujevn
234
avkjøling av et varmvalset tverrsnitt til slike-spenninger,
videre vil sveising og utretting føre til vedvarende egen spenninger.
trykk)
FIGUR 5.10
Egenspenninger i valset tverrsnitt
Fig. 5.10 viser et typisk bilde av egenspenningsfordelingen
i et valset tverrsnitt.
De delene av tverrsnittet som avkjøles
raskt etter valsingen er flensendene og midtpartiet av steget. Partiene ved overgangene mellom flens og steg avkjøles langsomst,
og de vil fortsette å trekke seg sammen etter at de ytre om
rådene er avkjølt og er blitt faste.
Dette medfører trykk
spenninger i ytterområdene som vist på figuren.
Det er selv
sagt likevekt mellom strekk- og trykk-områdene over tverrsnittsarealet. Egenspenningene utgjør ofte ca. 30-40% av Op.
For enkelte
tverrsnitt har det imidlertid vært målt egenspenninger helt opp
mot Op, dette gjelder spesielt for sveiste tverrsnitt. eksempler på egenspenningsfordeling finnes i ref.
Andre
/2/.
Egenspenningene i et tverrsnitt kan undersøkes ved en så
kalt •éfubbe-p/tøve (eng.: stub-column test).
Dette er en
standardisert prøve /40/ der et kort stykke av den aktuelle bjelken settes i en trykkprøvemaskin , se fig. 5.11.
Under
235
Undersøkelse av egenspenninger ved stubbeprøve
FIGUR 5.11
trykkprøvingen finnes sammenhengen mellom AnZXZé^pennZngen
o
den nomZne££e XveÆ/i-
og stukningen uttrykt ved e, se fig. 5.11.
Den nominelle spenningen er gitt ved
5 = P
(5.22)
der A er tverrsnittsarealet.
Før flytning har inntruffet er
den effektive (reelle) spenningen i et punkt summen av den nomi nelle spenningen og egenspenningen.
For et elastisk-ideelt
plastisk materiale vil flytning i flenskanten inntreffe når
den effektive spenningen når flytespenningen: o
p
+ o
rt
(5.23)
= o„ F
Den nominelle spenningen er her gitt indeks
p
for å indikere
at dette spenningsnivået markerer en proporsjonalitetsgrense , se figur 5.11.
For materialer uten markert flytegrense må o^
i (5.23) erstattes med o^.
Når o overskrider o^ er den inkrementelle spennings- tøynings-relasjonen for bjelkestubben gitt ved den nominelle
236
tangentmodulen
Aa = ÉTAe
(pålastning)
Flytning ytterst i flensene
Elastisk-ideelt plastisk materiale
FIGUR 5.12
(5.24)
Flytning i flensene for H-profil med egenspenninger
Ved palastning av et valset H-profil med egenspenninger vil flytning alltid starte ytterst i flensen, se figur 5.12.
Hvis materialet er elastisk-ideelt plastisk vil sonene som
flyter ikke kunne ta effektivspenninger utover u , dvs. disse sonene tar ingen lastøkning. med areal
Den gjenværende elastiske sonen
må derfor ta hele den ytre lastøkningen: AP - AoAe = EAeAe
(5.25)
Fra (5.22) og (5.2*4) har vi også
AP Ao = — = EtAs
Ved å sammenholde AP fra de to ligningene over fås
AP - EAsAe - ÉtAsA
(5.26)
237
eller
A
e A
(5.27)
a
Forholdet mellom den nominelle tangentmodulen for tverrsnittet og E er altså gitt ved forholdet a mellom elastisk og totalt
tverrsnittsareal.
FIGUR 5.13
Lineær egenspenningsfordeling over idealisert H-profil
Under spesielle forutsetninger går det an å regne seg fram
til a-e diagrammet uten å utføre en stubbeprøve.
La oss anta
at egenspenningsforløpet har det idealiserte forløpet som. er
vist i figur 5.13.
Antagelsen om et slikt forløp har vært brukt i mange undersøkelser. Ved en enkel likevektsbetraktning for det ubelastede tverrsnitt kan det vises at forholdet mellom de karakteristiske egenspenningene apt og
er gitt ved /40/
=___ bi___ (5.28)
a . rt
bt+(d-2t)w
238
Ved å gjøre et fornuftig overslag over egenspenningen a
flenskonturen kan a
i
beregnes fra (5.28).
Ved aksiell belastning av bjelken vil effektivspenningene
i flenskanten øke inntil flytespenningen Up nås. lastning vil flyteområdene i flensene bre seg.
Ved videre på Det lar seg godt
gjøre å beregne størrelsen på disse områdene for en vilkårlig P. Det er da også lett å beregne sammenhengen mellom den nominelle
spenningen a og den aksielle tøyningen e /4Q/; a = Ee - -t-> -- y (Es + a -o )2 A(cfrf+ars} rt F
(5.29)
Ligningen over er gyldig for området fra proporsjonalitetsgrensen o inntil o når Op, dvs. full flytning. É? finnes nå P enkelt fra (5.29) ved derivasjon med hensyn på e.
5,2.2 Knekning av søyle med egenspenninger
I forrige avsnitt ble egenspenningenes innflytelse på den aksielle stivheten diskutert.
Den inkrementelle aksielle stiv
heten ble uttrykt ved den nominelle tangentmodulen Ep, se ligningene (5.24) og (5.27).
Man kunne kanskje tenke seg å
benytte denne modulen i formel (5.4) for knekning i henhold til
tangentmodulteorien.
Så enkelt er det imidlertid ikke!
Det
som er avgjørende ved beregning av den kritiske lasten er den bøt/e4ZZvhe.Zen tverrsnittet har ved utknekning.
I
denne forbindelse har det stor betydning hvordan flytesonene
ligger i forhold til bøyeaksene. Hvis vi nå begrenser oss til elastisk-ideelt plastiske materialer som i figur 5.12, er det kun det elastiske arealet Ag som kan ta en ytterligere lastøkning.
I henhold til Shan
leys betraktninger vil det være nødvendig med en viss økning av den ytre lasten for å få en endelig utknekning, det er derfor bare den elastiske delen av tverrsnittet som bør regnes med i
stivheten.
E-modulen og
Bøyestivheten for denne delen fås fra den elastiske slik at
239
ir2 EI e p k
Pkr
(5.30)
er det kvadratiske arealmomentet for den elastiske delen av e tverrsnittet. Den kritiske spenningen kan derved uttrykkes ved
I
tt2EI
°kr
tt2E
I e , ex F“‘( I J
(5.31)
k
FIGUR 5.14
Idealisert, tungflenset H-profil med initial-
spenninger Vi skal nå se hvordan denne teorien virker for et ideali
sert, tungflenset H-profil der stegarealet er neglisjert, se figur 5.14.
Siden materialet er elastisk-ideelt plastisk
består det effektive tverrsnittet bare av de elastiske flens-
. fe Det effektive kvadratiske arealmomentet ved knekning om
arealene
x-x aksen er gitt ved: I
xx, e
= 2Af Æ)2 fe 2
240
Herav CN
CO
w
Den siste omskrivningen kommer fra (5.27).
er kjent når
LO
II
CM
e = —--- = ---- -— = (—)3 = a3 i 2-y—tb3 (2tb)3 A yy
Ém
= (—)3 E
(5.33)
Den kritiske spenningen ved knekning om x-x aksen framkommer ved
å kombinere (5.31) og (5.32) TT2 E a 0,kr ,xx := A XX
(5.34)
Ved ligningene (5..31) og (5.33) fås tilsvarende for y-y aksen
kr,yy
et3
-
(5.35)
yy
Her er alltid a < 1.
Det framgår derfor at egenspenningene
fører til en forholdsvis større reduksjon av kritisk spenning
ved knekning om y-y aksen enn ved knekning om x-x aksen. er et viktig resultat.
Dette
241
Eksempel
Flytesoner for tverrsnitt med egenspenninger
FIGUR 5.15
Vi skal nå se på beregning av
a for et idealisert H-profil
der stegarealet er neglisjert, se figur 5.15.
lineær egenspenningsfordeling med a
Det er antatt en
= 0.5 ø , derav følger
o J- o - 0.5 a1 . Det er videre forutsatt at materialet er elastisk ideelt plastisk. Til høyre i figuren er det vist en fordeling av spenningene
etter flytning i flensene har inntruffet (P > -=-OpA) .
fra flensens midtpunkt til flytesonen er gb.
Avstanden
I den elastiske
sonen av flensen har alle punktene fått like stor spenningsøkning i forhold til initialspenningstilstanden.
Ved å bruke
sideforholdet mellom kongruente trekanter finnes spenning midt på flensen:
PF
1 gm _ 2gF Bb lb
a
m
= a (1—2 ) F
Likevekt mellom ytre last og spenningstilstanden i figur 5.15 krever
P - aA = o A - 2»i(a -cr )*2gbt r 2 5 m
242
eller o = (l-B)oF+gom
Ved å sette inn det tidligere uttrykket for
får vi
a = (l-g)aF + gaF(l-2g)
dvs.
(5.36)
Forholdet mellom elastisk og totalt areal er nå gitt ved
A
a = -£■ = 2-2^-|b-Ved knekning er a =
/ -* = 26 = Z(l~)
(5.37)
Kritisk spenning ved knekning om x-x
aksen finnes nå ved (5.3*4) og (5.37) /
tt2E
Ot
kr ,xx
O, °F
XX
Ved å innføre den reduserte slankheten fra (3.48) får vi
Å
xx
O. 1/4 [2(1-Jg>] ol ’ 1/2 (JS£) °F
Ved hjelp av (5.35),
(5.38)
(5.37) og (3.48) finner vi tilsvarende
for knekning om y-y aksen a. 3/4 [2(1-JS£)] Å
_____ 1E______ yy
o,
(
°F
1/2
(5.39)
2 U- 3
Kurvene definert i (5.38) og (5.39) gjelder etter at flytning har inntruffet, dvs. > -j-Cp. For lavere spenningsnivåer
gjelder den vanlige Eulerhyperbelen.
Knekningskurvene er inn
tegnet i figur 5.16 og sammenlignet med kurve A, B og C i
NS 3472 s 19.
Det framgår at (5.38) passer ganske bra med
kurve A i forskriftene.
Ligning (5.39) definerer en nesten rett
linje som skjærer kurvene B og C.
FIGUR 5.16
Å
Knekningsdiagrammer for H-profil med egenspenninger sammenlignet med standarden
Det går også an å utføre tilsvarende beregninger som i eksemplet ved å benytte antagelsene fra dobbeltmodulteorien. Slike beregningej? er gjennomført i ZUOZ.
Dobbeltmodulteorien
fører selvsagt til kurver som ligger høyere enn det som
(5.38) og (5.39) gir.
244
Som vist i figur 5.16 angir de norske forskriftene tre for skjellige kurver for beregning av a
.
Hvilken kurve som skal
benyttes vil avhenge av den forventede egenspenningsfordelingen:
jo ugunstigere egenspenninger, jo lavere kurve.
Det skal vanlig
vis brukes lavere kurve for et oppsveiset profil enn for et til svarende valset profil.
Derimot vil en spenningsglødning av et
sveiset profil føre til en oppgradering til en høyere kurve. Valsete profiler med brede flenser har vanligvis høyere egen
spenninger enn profiler med smale flenser.
I henhold til de
forutgående beregningene har det stor betydning om hvilken akse knekningen skjer.
Disse forhold har forskriftene tatt
hensyn til, se figur 5.17.
Som nevnt i avsnitt 3.2.2 skyldes
forskjellen mellom Eulerhyperbelen og kurvene A, B og C for store slankheter at forskriftene tar hensyn til mulige eksentrisiteter og initialdeformasjoner.
FIGUR 5.17
Valg av knekningskurver for valset H-profil
De norske forskriftene er forholdsvis avanserte siden det opereres med tre forskjellige knekningskurver, dessuten er det
angitt at kurvene A og B under visse forutsetninger skal redu
seres med 5%. Grunnlaget for de norske knekningsdiagrammene er i hoved
sak eksperimenter, og det er ikke oppgitt formelmessige uttrykk
245
for disse kurvene.
Det finnes imidlertid en del forslag til
formler som er tilpasset eksperimentelle resultater, se /22/,
s. 195.
Den enkleste formelen er Tetmajers formel som angir en
rett linje fra Op for Å = 0 til det punktet på Euler-hyperbelen som tilsvarer initiell flytning.
En slik linje faller nesten
sammen med kurven for (5.39) i figur 5.16. En annen empirisk formel er foreslått av Column Research Counsil Zh£= ! _ op &p
Hvis det settes inn
_ |^)å2
(5.40)
@p
= 0.5 Up for største egenspenning i
trykk fås
— = i - é” å2 °F
(5.41)
Denne formelen uttrykker en parabel som ligger svært nær
(5.38) som er inntegnet i figur 5.16.
5.3
SAMMENBRUDDSLASTER FOR RAMMER De norske forskriftene tar utgangspunkt i at konstruksjonene
skal lages med en viss sikkerhet mot Aa.mmenbfLU.dd:
En nøyaktig
analyse av sammenbruddst Ustanden for en konstruksjon krever at
det tas hensyn til første- og annenordens geometriske effekter.
Dessuten må det tas hensyn til at materialet i konstruksjonen
delvis vil være i en elastisk tilstand og delvis i en plastisk. For å prøve å fastslå denne høyst kompliserte oppførselen kan
det være hensiktsmessig å betrakte to forskjellige idealiserte
modeller: en rent plastisk uten elastiske deformasjoner, og en rent elastisk.
I begge tilfellene må det tas hensyn til
annenordens geometriske effekter (aksialkraftens momentvirk-
ning).
Den virkelige oppførselen vil avhenge av en kombina
sjon av effekter fra de to modellene.
246
virkelig forløp
Forskjellige moment-krumningsforløp
FIGUR 5.18
La oss først ta utgangspunkt i sammenhengen mellom moment
og krumning.
Forutsatt at Naviers hypotese holder og at materi
alet er ideelt elastisk, gjelder følgende sammenheng: M = EIk, der
k
5.18a.
er krumningen.
Denne sammenhengen er antydet i figur
Når krumningen blir tilstrekkelig stor vil ytterste
fiber i tverrsnittet begynne å flyte, og flytesonene øker i om fang ettersom deformasjonene øker.
Teoretisk sett kan vi nå en
grensetilstand der hele tverrsnittet flyter.
Hvis materialet
er elastisk-ideelt plastisk, er det maksimale momentet tverr snittet kan ta
Mp = /oF|y|dÅ = oFZp
der Up er flytespenningen i strekk og trykk. 6-Lte.témom^Yite.t.
Z
(5.42)
Mp kalles pftU-tZ-
Zp er det absolutte arealmomentet
= J|y|dA A
(5.43)
Pass på at det absolutte arealmomentet skal tas om den linjen som deler tverrsnittet i to like store arealer; trykk- og
strekk-spenningene vil derved tilfredsstille aksiell likevekt.
247
Et eksempel på en fullstendig plastisk momenttilstand for et
triangulært tverrsnitt er vist i figur 5.19.
FIGUR 5.19
Plastisitetsmoment ved full flytning av triangulært tverrsnitt
Hvis de elastiske deformasjonene neglisjeres, vil sammen
hengen mellom moment og krumning bli som i figur 5.18b.
Når de
totale deformasjonene er svært store, er det en brukbar an
tagelse å se bort ifra de elastiske bidragene og anta en stivideelt plastisk sammenheng.
I figur 5.18c er det antydet hvor
dan et virkelig moment-krumningsforløp kan se ut. I figur 5.20 er det vist en enkel søyle påkjent av en
aksiell last P og en tverrlast P = yP.
I første omgang negli
sjeres de elastiske deformasjonene, og det antas at tverrsnittet oppfører seg stivt-ideelt plastisk som i figur 5.18b.
Siden
momentet er størst ved innspenningen vil det dannes et flyte-
ledd der, mens resten av søylen forblir udeformert.
En enkel likevektsbetraktning for momentet gir F£ + Pu = Mp
(5.44)
Et kvadratisk ledd i n som skyldes forkortning av momentarmen til F er neglisjert. Vi lar P uttrykkes ved en referanselast som her er valgt
lik
248
ideeelt elastisk
stivt-ideelt plastisk
FIGUR 5.20
Idealiserte søylemodeller
_ MP Pref ” £
(5.45)
slik at (5.46)
P = p P p H ref der p er en lastfaktor. Innsetting av (5.45) og (5.46) i (5.44) gir;
Mn - y P p £(1 - Yn) p refr---_ P uP = -----_ --------p P p P H ref
eller 1
Denne ligningen er gyldig for alle
flyteledd.
(5.47)
u
etter at det er dannet
Flyteleddet dannes idet u = 0, altså for:
249
P = PP = Y
Pp angir sammenbruddslasten ved en vanlig førsteordens brudd-
Sammenhengen mellom p og u er vist i figur 5.21.
betraktning.
u
T
FIGUR 5.21
Last-forskyvningsforløp for 2.ordens bruddteori
Vi skal nå se på oppførselen av søylen når materialet antas
å være ideelt elastisk som i figur 5.18a.
Hvis bare aksial-
kraften virker på søylen fås den kritiske lasten som
Pkr
Ppkr P ref = 4£^
dvs. tt2EI Pkr " 4Mp£
(5.48)
Hvis bare F virker på konstruksjonen fås (se /5/ side 9) F£3 UF ' 3EI
eller
3EI p = yMpPUF
(5.49)
250
(5.49) angir en lineær sammenheng mellom kraft og forskyvning. Et overslag over den koplete virkning mellom aksialkraft og
tverrkraft fås ved å benytte forstørrelsesfaktoren definert i (2.21)
P
Den eksakte løsningen på dette problemet finnes lett ved å
benytte stivhetsmatriser med stabilitetsfunksjoner definert i (3.63).
Ved å eliminere enderotasjonen gir stivhetsmatrisen
F£3
1
3EI 45-3|^ 5
(J) Q
eller
_ 3EI p " yMp£2
/hu. □ ø2 \ (4(j)5 " }
(5.51)
Pass på at lastfaktoren må refereres i forhold til Eulerlasten ved beregning av stabilitetsfunksjonene .
Ligning (5.51)
er opptegnet i figur 5.22.
FIGUR 5.22
Last-forskyvningsforløp for 2.ordens elastisitetsteori
251
I figur 5.21 ble de elastiske effektene neglisjert, mens
i figur 5.22 ble de plastiske effektene oversett.
Den
virkelige oppførselen av en konstruksjon er elastisk-plastisk, moment-krumningsforløpet kan f.eks. være som i figur 5.18c.
Den elastiske deformasjonskurven i figur 5.22 danner derfor et godt utgangspunkt mens deformasjonene enda er små, mens den
fallende kurven i figur 5.21 tilnærmet beskriver den plastiske oppførselen ved store deformasjoner der de elastiske effektene
er mindre vesentlige.
FIGUR 5.23
Virkelig last-forskyvningsforløp
Figur 5.23 viser det virkelige last-forskyvningsforløpet
slik en kan forvente at det framkommer ved forsøk.
Den rent
elastiske og den plastiske kurven danner grenser for den virkelige kurven.
Det er av spesiell interesse å vite hva den
maksimale bæreevnen p
HLcLKS
av systemet er, da denne verdien bør
legges til grunn for dimensjoneringen.
Pmaks
PR
der pD er RankZne-Me/icfiant-i 1\
Det viser seg at (5.52)
som er definert ved 742/
252
1 PR
1 PP
1
(5.53)
Rankines formel (5.53) er egentlig av empirisk karakter og kan
ikke
bevises" ved en matematisk utledning.
Det har vist seg
at den for de fleste formål gir denne interaksjonsformelen som kobinerer to effekter, et bra overslag over den maksimale
bæreevnen.
I de fleste tilfeller er den konservativ og under
vurderer Pmaks
Det har imidlertid vist seg at ved svært store
sidelaster kan den gi resultater som ligger på den usikre siden.
FIGUR 5.24
Portalramme med horisontal- og vertikallast
Som et eksempel på en annenordens bruddberegning tar vi for oss portalrammen i figur 5.24.
Den aktuelle bruddfiguren
vil avhenge av forholdet mellom kreftene F og P.
Bruddbereg-
ningene baseres på antagelsen om et stivt-ideelt plastisk
materiale med flytemoment M .
253
FIGUR 5.25
Bruddfigur 1
I det tilfelle at horisontalkraften er den dominerende vil det dannes en bruddfigur som vist i figur 5.25, der det er
flyteledd ved innspenningene og i hjørnene. Likevektskravet etableres ved hjelp av virtuelle for-
skyvningers prinsipp som krever at det ytre virtuelle arbeidet skal være lik det indre:
F6u + P6v = 4Mp66 YpPref6u + pPrefI6u = 4MP^F
dvs. MMP - _!*_ ' ^ref1+Prefu ' Y+S
(5.54)
Denne ligningen tar hensyn til aksialkraftens momentvirkning. Når vi lar u gå mot 0 fås bruddlasten etter ordinær første ordens bruddteori
n - pPi " y
I figur 5.26 er det vist en alternativ bruddfigur.
(5.55)
Skjær-
kreftene bestemmes lett ut fra flytemomentene i bjelkeendene
254
FIGUR 5,26
Bruddfigur 2
2Mp
2Mp _ UMp £/2
^CD
£
’
%E
~T~
Positiv skjærkraft gir rotasjon mot urviseren.
Det ses nå lett
at ved overføring av disse skjærkreftene fås aksialkreftene (positive som trykk)
2M NBC = NCD = "%E = ~ 4MP NDE = QCD = ~
Aksialkraften i AB fås ved ytre likevekt
nab
=
p
-
nde
= p -
-r-
Ved en annenordens beregning må vi ta hensyn til arbeidet som
gjøres av aksialkraften Lh i stav nr. i.
Denne staven har
rotasjon 6^ som fører til en forkortning
. der
255
a.
= £.(i 11
-
cose.) * ijue. 12 11
Det virtuelle arbeidet som gjøres av aksialkraften blir derved
N. 6A. = N. ^-2.20. 66. = N. 2.0.60. 11
12
iii
lill
Likevekt for bruddfigur 2 krever at det ytre virtuelle arbeidet er lik det indre virtuelle arbeidet.
F6u + P6vc + Nab6Aab + Nbc6Abc + NCB)6ACD + NDE6ADE
= 6Mp60
YPP 6u+pP —6u+(oP — YP ref0U+P ref20U+^P ref
4M 2)2 — 2 2
2.M u. P u 2+“ 2 2 ~
2MP 2 u 6u 4MP u 6u 6u +— 2 2 ~+—£2 — = 6MP T
(yPref+2Pref+Pref2)p =
Mp
6
2Mp u
2
2
2
dvs.
=
6Mp - 2MpH
= 6-2H (5.56)
(y+2)Pref£ + Pref u
y+7+2
Det annenordens bidraget som er knyttet til P ble her tatt vare på gjennom rotasjonene av AB og DE.
Når vi lar u gå mot 0 fås
bruddlasten ved 1.ordens bruddteori som
PP2
(5.57)
En tredje bruddfigur framkommer ved lokalt sammenbrudd av
rigelen.
Det er ingen annenordens effekter forbundet med
denne bruddfiguren, og det er lett å finne at bruddlasten er
256
pPq = 8 r3
FIGUR 5.27
(5.58)
Bruddlast som funksjon av y for 1. ordens bruddteori
Ved en bruddbetraktning må selvsagt (5.55), (5.57) og (5.58) ses i sammenheng og den lastfaktoren som gir lavest bruddlast
velges, se figur 5.27.
FIGUR 5.28
Sentrisk knekning av portalrammen
257
Portalrammen må også undersøkes for sentrisk, elastisk
En kan forutsette at halvparten av horisontalF kraften F tas av hver av søylene, dvs. y overføres som aksialknekning.
Vertikalkraften P fordeles med en
kraft (trykk) i rigelen.
halvdel til hver av søylene slik at belastningen blir rent
sentrisk.
Under disse forutsetningene kan den kritiske lasten finnes.
uttrykt ved lastfaktoren
For det tilfellet at
F = 0 (eller liten) kan det vises at Po,kr = Wref = 7’38^
dvs. p, = 14.7 6-^Æ— = 14.76-^4kr £2Pref
(5.59)
Eksakt løsning på det sentriske knekkproblemet (også når
F | 0) finnes lettest ved bruk av determinantsøkning for stabilitetsfunksjonene og utnyttelse av symmetribetingelser. Stabilitetsfunksjonene kan også med fordel benyttes til en annenordens elastisk beregning der lasten P settes på eksentrisk som i figur 5.24.
Alternativt kan en bruke
En
differensialligningen tilsvarende eksemplet på side 81.
forenklet metode er å benytte forskyvningene fra en lineær
beregning og å øke disse med en forstørrelsesfaktor som gjort i (5.50). Resultatene fra de annenordens beregningene av portal-
rammen er oppsummert i figur 5.29.
Det er foretatt et vil
kårlig valg av y og materialkonstanter’, i det tenkte tilfellet gir bruddfiguren i figur 5.26 den laveste bruddlasten.
bruk av Rankines formel
Ved
5.53) fas et overslag over p , ° maks
—A— « -A_ + 1 Pn. Pmaks PP2
258
FIGUR 5.29
Resultater fra annenordens beregning av portal-
ramme Forskriftene bygger i prinsippet også på Rankines formel (5.53) for dimensjonering av rammer (NS 3*472 , pkt. 5.9).
Som
i (5.53) benyttes lastfaktor for flytebrudd etter 1. ordens
Ved
bruddteori og lastfaktor for elastisk, sentrisk knekning.
den sentriske knekningen forutsettes det at kreftene flyttes til ramme-knutepunktene. kontrolleres.
Både lokal og global stabilitet må
Kapasitetsformelen i pkt. 5.9.2 i NS 3472
inneholder også et negativt ledd der kapasiteten for aksielt
flytebrudd inngår.
Dette leddet vil øke den totale kapasiteten.
Bakgrunnen for dette leddet synes noe uklar, spesielt fordi aksiallast i virkeligheten vil redusere momentkapasiteten.
Som et alternativ til bruk av interaksjonsformelen for
kapasitet angir forskriftene at kapasiteten kan beregnes ved annenordens plastisitetsmetoder eller elastisitetsteori .
denne forbindelse er de tidligere gjennomgåtte metodene nyttige.
Men ved en skikkelig vurdering av kapasitet og
sikkerhet bør en ta hensyn til både elastiske og plastiske
forhold.
I
KONSTRUKSJONER MED STORE DEFORMASJONER
261
6.1
GEOMETRISK IKKE-LINEARITET Når en konstruksjon utsettes for belastning vil den defor
meres, og geometrien forandres.
Ved en lineær analyse ser en
bort fra disse endringene og stiller opp likevektsligningens for
den
konstruksjonen.
Dette kan en gjøre sålenge de
formasjonene er små i forhold til konstruksjonens karakteristiske størrelse.
Ved store deformasjoner må en imidlertid ta hensyn
til de geometriske forandringene, og kreve at konstruksjonen skal være i ZZfeevefeZ Z de.&o*.meJLt t^tétand.
Dette medfører at like-
vektsligningene ikke lenger er lineære med hensyn på forskyv
ningene; det innføres ge.ome.ZAZ4 fe Zfefee.-ZZne.aA.ZZeZ,
Slike effekter
kalles også ofte annenordens eller høyere ordens geometriske
effekter.
Et eksempel på et geometrisk ikke-lineært problem er
elastica som ble behandlet i avsnitt 3.4. I forrige kapittel ble ikke-lineariteter som skyldes at materialet ikke er lineært elastisk, omtalt.
I praksis vil
ofte ikke-lineære materialeffekter opptre samtidig med høyere ordens geometriske effekter. Ved en ikke-lineær analyse møter en følgende problem: for å
beregne forskyvningene må en kjenne stivhetsrelasjonen, men denne er ukjent fordi en ikke kjenner forskyvningene.
synes som et paradoks.
Dette kan
Løsning av slike problemer kommer vi
tilbake til i avsnitt 6.2. Mange konstruksjoner framviser en betydelig geometrisk
ikke-linearitet.
Naturlig nok er det særlig slanke eller tynne
konstruksjoner som utmerker seg i så måte.
262
y Eksempel
FIGUR 6.1
Stavsystem
For å illustrere begrepet geometrisk ikke-linearitet skal
vi gjennomføre både en lineær og en ikke-lineær analyse av det enkle stavsystemet i figur 6.1.
IZneæÆ ZøénZng (imå de^oftmasjone.fi}
FIGUR 6.2
Deformasjon og likevekt ved små deformasjoner
Når r er liten i forhold til h blir aksialtaøyningen _ rsinctp £/cosa
(e
o
_ r “ T sln0toc°sa
er positiv ved forkorting av staven).
263
og aksialkraften blir
_ _. EA . S = EAe = -r-sina cosa r £ O O S
er positiv som tÆi/kk.
Likevekt for den
geometri
gir
R = 2Ssina
2EA = —7—sin a cosa r £ o o
o
(6.1)
eller R = Kr
der v 2EA . 2 K = —x—sin a cosa £ o o Stivheten K er her konstant, dvs. sammenhengen mellom kraft og forskyvning er fZneæÆ.
I denne lineære analysen er det gjort to tilnærmelser,
nemlig ved beregning av tøyningen Dersom vinkelen
sina
- a o
a
o
e
og i likevektsligningen.
er liten (a
, cosa o ’ o
o
. - jXl - 2h> + J£a2(£ - 3)5 = K + K £ o h h o g
(6.6)
Det første leddet i K er lik den lineære stivheten, se (6.2),
mens det andre leddet representerer en ikke-lineær korreksjon
som skyldes at geometrien endres ved deformasjonen.
Stivhets-
relasjonen (6.5) er en tredjegradskurve som er skissert i figur
6.4. Ligning (6.5) vil ikke alltid gi e.ntydlg løsning for en
gitt last.
Figur 6.5a viser et tilfelle der det finnes 3
mulige likevektspunkter A, B og C.
bare A og C som er
Av disse er det imidlertid
likevektstilstander.
Dette kan en
se av den potensielle energien som er skissert i figur 6.5b. For et problem av denne typen vil det ikke være mulig å følge hele last-forskyvningskurven ved å øke lasten.
Når
punkt D (se figur 6.5a) er nådd, vil en hoppe direkte over til punkt E, som er et stabilt punkt. for gjennomAtag.
Dette fenomenet kalles
266
R
2EAa3 3 16
3 16
FIGUR 6.4
Kraft-forskyvningsforløp etter (6.5)
FIGUR 6.5
Mulige likevektstilstander for gitt last
267
Ligning (6.5) representerer en £Zkeve.ktZ> t$0Æmu£eÆ.ing av problemet, dvs. den uttrykker likevekt mellom ytre og indre kraft:
R . = R. , = K(r)r ytre indre Den tilhørende stivheten (6.6) kalles
kalles for tang ent-itivhet eller ZnkA.e.mente.££ *ttvhet.
Ved en
formulering som (6.7) kan det ikke-lineære problemet løses som et initialverdiproblem.
En slik løsningsmetode kan kombineres
med eller erstattes av iterative metoder.
Dette blir nærmere
diskutert i avsnitt 6.3. Den inkrementelle stivheten for eksemplet foran kan bereg nes av (6.5):
2EA ao’dr d (l1 , ,, " r> r x.5 KI/(r)s = T" h)(i " 2h - 2EA 2(1 _ 3r --- To x h
= £
o
2(£)2) 2V 7
(6.8)
+ ^2 - 1) = K + Kr £ o h 2h o G
Her er KQ den lineære (initielle) stivheten (6.2), mens Kg kalles qeometÆt^k ^tZvhet.
Kn representerer endringen i inkre-
mentell stivhet på grunn av geometriendring ved deformasjon.
268
De forskjellige stivhetsbegrepene er illustrert i figur 6.6a.
a) Stabilt punkt
FIGUR 6.6
b) Ustabilt punkt
K°
- lineær stivhet (initiell stivhet)
K
- sekantstivhet
Kj-
~ inkrementell stivhet (tangentstivhet)
Kq
- geometrisk stivhet
(negativ i figuren)
Stivheter
Av figur 6.6b framgår det at i det ustabile punktet (punkt D i figur 6.5) er den inkrementelle stivheten lik 0, eller + K„)dr = 0
dR = KTdr = (K -L
O
U
Dette er helt analogt med stabilitetsbetingelsen ved linearisert knekning, som i det endimensjonale tilfellet lyder
(K - Å K„)r = 0 p G
269
Knekning finner sted når lastfaktoren Å
blir så stor at det
akkurat opphever den elastiske
geometriske stivhetsbidraget
stivheten K. Stivhetsrelasjonene (6.5) og (6.7) kan i prinsippet generaliseres til et system med mange frihetsgrader: (6.9a)
K(r)r = R KT(r)dr =
I
(6.9b)
(K +K„(r))dr = dR
o
G
Her er r og R henholdsvis forskyvnings- og lastvektor, og de forskjellige stivhetsmatrisene gis tilsvarende betegnelser som
skalarstørrelsene i figur 6.6: K
: sekantstivhetsmatrise
Kj
: inkrementell stivhetsmatrise
K
: lineær stivhetsmatrise (elastisk stivhetsmatrise)
o IC
: geometrisk stivhetsmatrise
Ligning (6.9a)
uttrykker likevekt mellom ytre last R og
indre reaksjonskrefter Kr .
For systemer med mange frihets
grader er imidlertid sekantstivheten lite anvendelig og kan
virke noe forvirrende.
Den faktoriseringen av de indre kreftene
som er representert ved K(r)r kan gjøres på uendelig mange måter,
så sekantstivheten er derfor ikke noe entydig begrep.
Det mest
logiske er å uttrykke de indre kreftene direkte som
uten å gå veien om K. Differensialformuleringen (6.9b)
skrives ofte på endelig
inkrementell form: KpAr = AR
(6.10a)
Ar = K-1AR
(6.10b)
hvorav
AR og Ar er her samsvarende Znk-te.me.nZe.-t i henholdsvis last og forskyvning.
Med utgangspunkt i en kjent tilstand (r,R) kan
270
Kj beregnes, og forskyvningsinkrementet Ar på grunn av et last-
inkrement AR beregnes av (6.1,0b).
6.2 FORMULERING AV GEOMETRISK IKKELINEÆRE PROBLEMER
6.2.1 Metoden med oppdaterte koordinater Formulering av geometrisk ikkelineære problemer innebærer valg av referansesystem(er) for beskrivelse av konstruksjonens
geometri og deformasjoner.
Metoden med oppdaterte koordinater
benytter seg av lokale koordinatsystemer som følger elementene under deformasjonen (engelsk: corotational coordinates). Elementstivhetsrelasjonene beregnes først i lokalt system og
transformeres deretter til et fast globalt koordinatsystem før innaddering i systemstivhetsrelasjonen.
De lokale koordinat
systemers beliggenhet må oppdateres etterhvert, og de geometrisk ikkelineære effektene blir ivaretatt gjennom transformasjons-
matrisene som stadig endres.
Metoden kalles derfor også for
transformasjonsmetoden. Vi forutsetter at elementene oppfører seg ftneæÆzt når de refereres til de medfølgende lokale koordinatsystemer.
Dette
innebærer Amå deformasjoner på lokalt elementnivå.
Eigur 6.8 viser et vilkårlig element i initiell og deformert tilstand.
Elementet er tilknyttet knutepunktene a
og b, og lokal x-akse er definert ved den rette linjen gjennom disse punktene.
Figur 6.8a definerer de lokale knutepunkts-
kreftene på vanlig måte (se /5/ side 29):
271
a)
Knutepunktskrefter
b)
Deformasjoner
FIGUR 6.8
Krefter og deformasjoner i lokalt system
Deformasjonen av elementet beskrives ved hjelp av den aksielle
forlengelsen u, og rotasjonene
ZZZ boA-den ab, se figur 6.8b.
og
som
Z
Ved hjelp av disse tre para
metrene kan krafttilstanden S for elementet bestemmes entydig som
272
s
s =
s
2 3
s
5 .SJ
0
0
6EI ~T2~ UEI SL
6EI
0
0
6EI
6EI
£2
T2-
0
2EI SL
UEI SL
0
2EI £
Se forøvrig kapittel 2 i /5/.
0 EA SL
(6.11) u
Vektoren V beskriver elementets
deformasjon i forhold til det lokale koordinatsystemet xy. I "tillegg vil elementet ha en stivlegemebevegelse (translasjon
og rotasjon) som er bestemt av xy-systemets beliggenhet i for hold til det globale systemet
xy.
Denne er definert av de
globale koordinatene for knutepunktene a og b.
Stivlegeme-
bevegelsen endrer imidlertid ikke knutepunktskreftene , slik at relasjonen (6.11) er gyldig uansett elementets beliggenhet i forhold til xy-systemet.
Grunnen til at k har dimensjon
6x3 er at de tre komponentene av stivlegemebevegelsen er
fjernet i (6.11).
Forutsetningen om lineær elementoppførsel på lokalt elementnivå betyr at deformasjonene u, u)
og w,
må være små.
Vi er nå interessert i å beregne de globale knutepunkts kreftene S når de globale forskyvningene V er kjent.
S og v
er definert i figur 6.9a og b.
Su
I S1S2S3^4^5^6 I
a) Knutepunktskrefter
T
273
b) Forskyvninger FIGUR 6.9
Krefter og forskyvninger i globalt system.
Alle vinklene i figuren er positive Sammenhengen mellom S og S er gitt av (se /5/ avsnitt 2.4): S = 1■Ts
(6. 12)
COSØ
sinø
-sinø
COSØ
der
0
T =
0 0
0
0
0 1 COSØ
sinø
Q
-sinø
COSØ
0
0
0
er vinkelen mellom x- og x -aksen, se figur 6.8a
1. (6.11) og
(6.12) gir 5 = TTS = TTkv = k*v
k* = TTk
(6.13)
kan enkelt uttrykkes eksplisitt ved å utføre matrise
multiplikasjonen for hånd.
Det gjenstår nå å uttrykke de lokale deformasjonene V ved
de globale forskyvningene V, se figur 6.8a og 6.9b.
Koordinatene
274
til knutepunktene a og b er i deformert tilstand: X
a
=
X
ao
+
v
__
— ya
yao
+
V
— X, b
—. X, bo
+
V
+
V
—
=
*
ybo
yb
i
2
(6.14)
5
x d u , osv. er koordinatene i intialtilstanden. tilstand kan kordelengden
ab
I deformert
beregnes som
= /(xb-x )2 + (y -y )2' d
U
(6.15)
d
I forhold til initialtilstanden har kordeaksen
ab
en rotasjon
(se figur 6.9b)
(6.16)
ip = 0 - 0 0 der
0
= arcsin(—^—-—)
^b ■ ya 0 = arcsin(--- --- -) X?
&0
er elementlengden i initialtilstanden.
For å bestemme
00 °g 0 entydig, må en i praksis også undersøke fortegnet på
cos00 og cosø.
De lokale forskyvningsstørrelsene finnes nå som (se figur 6.8b og 6.9b) wa
v3+ ip
wb u
V6+ *
(6.17)
/ - £o
Betingelsen om små deformasjoner på lokalt elementnivå betyr
forøvrig at w a. , w D og u er små. Relasjonene (6.13) og (6.17) setter oss i stand til å finne de globale elementkreftene S for enhver kjent forskyv-
275
v.
ningstilstand
Når elementet inngår i en konstruksjon, kan den kineog konstruksjonens forskyvningsmatiske sammenhengen mellom
vektor r uttrykkes som, se 75/ side 73: v.
i
(6.18)
= a.r i
Indeks i viser til elementets nummer.
Anta nå at konstruksjonen er i likevekt under en gitt, ytre belastning R. Virtuelle forskyvningers prinsipp sier da at indre virtuelt arbeid skal være lik ytre virtuelt arbeid:
£6 vTii S. 4
= 6rTR
i
Forutsetningen er at de virtuelle forskyvningene
og
6r
er kinematisk kompatible, dvs. 6v .
= a .